Fuente: Pre Universitario Pedro de ValdiviaGuía Práctica N° 13: Función Exponencial POTENCIAS – ECUACIÓN EXPONENCIAL – FUNCIÓN EXPONENCIAL PROPIEDADES DE LAS POTENCIAS Sean a, b ∈ lR – {0} y m, n ∈ . Entonces: PRODUCTO DE POTENCIAS DE IGUAL BASE am · an = am + n CUOCIENTE DE POTENCIAS DE IGUAL BASE am : an = am – n EJEMPLOS 1. -4a · 42 = A) B) C) D) E) 2. -4a – 2 -4a + 2 -42a 162a (-16)a + 2 (-2)2n = A) -2 2n B) -4 n C) 2-2n D) 4-n E) 2 2n 3. (-3)3 = A) -27 B) -9 C) 3-3 D) 9 E) 27 3x + 1 − 3x 3x = A) B) C) D) E) 3 3x 3x + 1 3x + 1 – 1 3 2 7. ⎛1⎞ ⎜2⎟ ⎝ ⎠ ⎛1⎞ ⎜2⎟ ⎝ ⎠ -2 · (-2)-1 -1 = · (-2)-2 A) 1 B) 4 C) -1 D) -4 E) no se puede determinar debido a que las bases son distintas. 6. 5b : -5b – 4 = A) -54 B) -5-4 C) 5-4 D) 54 E) -52b – 4 5.4. (37 + 33)(34 + 30)-1 = A) B) C) D) E) 3-14 3-6 33 36 2 · 33 2 . Sean a. Al simplificar la expresión 273a − 2 · 9-a a 33 + se obtiene A) B) C) D) E) 36 9-a 35a + 9 36a – 9 9-a + 2 3 . n ∈ . b ∈ lR – {0} y m. 5x – 2 · (20)x – 2 = A) B) C) D) E) 100(x − 2) 104x – 8 102x – 4 102x – 2 2-2x + 4 2 2. 9x 3x − 1 − 1 = A) B) C) D) E) 3x – 4 3x – 3 3x – 2 3x 3x – 1 3. Entonces: PRODUCTO DE POTENCIAS DE IGUAL EXPONENTE am · bm = (a · b)m CUOCIENTE DE POTENCIAS DE IGUAL EXPONENTE am bm ⎛ a⎞ = ⎜ ⎟ ⎝b⎠ m POTENCIA DE UNA POTENCIA (am)n = am · n EJEMPLOS 1. es equivalente a: I) (aa)a II) a(a) a a III) ((a)a ) a Es (son) verdadera(s) A) B) C) D) E) 5.4. Sólo I Sólo II Sólo III Sólo I y III I. (9a)3 (3b)3 = ⎛ a⎞ A) 27 ⎜ ⎟ ⎝b⎠ ⎛ a⎞ B) 9 ⎜ ⎟ ⎝b⎠ ⎛ a⎞ C) 3 ⎜ ⎟ ⎝b⎠ 3 3 3 D) E) 1 3 ⎛ a⎞ ⎜b⎟ ⎝ ⎠ 3 1 ⎛ a⎞ 9 ⎜b⎟ ⎝ ⎠ 3 7. La expresión aa . (-3)2n(-2)2n = A) -(6)2n B) -(6)4n C) -(5)2n D) (6)4n E) (6)2n 4 . entonces A) B) C) D) E) 2-25 2-10 2-4 210 225 = 6. con a perteneciente a los enteros. II y III a-2 · a5 a · a-3 Si a = 2-2. uno y menos uno. Las bases deben ser distintas de cero. n ∈ POTENCIAS DE IGUAL BASE am = an . Entonces: ⇔ m = n .Sean a. o más Para resolver una ecuación exponencial se debe reducir cada miembro de la igualdad a una potencia y luego igualar las bases. aplicando las propiedades correspondientes. EJEMPLOS 1. b ∈ lR – {0} y m. con a distinto de -1 . entonces x es 4 3 4 5 5 2 4 3 4 5 A) B) C) D) E) 5 . Si 4x + 1 · 22x – 6 = (0. Si 32x = 33. 5)x. entonces 2x – 3 = A) 0 B) 1 3 C) 2 D) 2 E) 3 2. 0 y 1 POTENCIAS DE IGUAL EXPONENTE a = b ⇒ an = bn ECUACIÓN EXPONENCIAL Ecuación exponencial es aquella que tiene la(s) incógnita(s) en el exponente de una potencias. entonces x = y. 2 3 4 5 no es divisible por siete. entonces x = 3.01)-x + 5 = 100 es A) B) C) D) E) 6 5 4 3 2 6. w ∈ 4. con x. ⎛3⎞ ¿Cuál es el valor de x en la ecuación ⎜ ⎟ ⎝5⎠ x+2 ⎛ 125 ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ 27 ⎠ -x + 2 ? A) B) C) D) E) 6 5 4 3 1 6 .3. z. entonces x es A) -3 B) -1 C) 0 D) 1 E) 3 Si 2x · 3y · 5z · 7w = 180. II y III 7. . por ende no se puede determinar. ¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son) siempre verdadera(s)? I) Si x6= 36. La solución de la ecuación (0. y. III) Si x3 = y3. entonces x = 5. Si 3x + 3x + 1 + 3x + 2 = 13. II) Si x5 = 55. entonces x + y + z + w = A) B) C) D) E) 5. A) B) C) D) E) Sólo I Sólo II Sólo I y II Sólo II y III I. FUNCIÓN EXPONENCIAL La función f definida por Propiedades El Dominio es: Df = lR El Recorrido es: Rf = lR+ La gráfica intercepta al eje de las ordenadas en el punto (0. Si 0 < a < 1. ⎛1⎞ Dada la función f(x) = ⎜ ⎟ . con a ∈ lR+ y a ≠ 1 se denomina función exponencial. entonces f(x) = ax es creciente. 2) y 4 x -2 -1 0 1 -2 -1 1 2 x 1 2 ⎛1⎞ f(x) = ⎜ ⎟ ⎝2⎠ f(x) = 2x f(x) 4 2 1 1 2 1 4 x 1 f(x) = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ y 4 ⎝2⎠ 1 2 4 1 -2 -1 1 2 x EJEMPLOS 1. 1). II y III 7 . Con respecto a la función f(x) = 5x. La gráfica no corta al eje de las abscisas. Si a > 1. 0) f(-2) < f(2) x 2. ¿cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son) verdadera(s)? ⎝4⎠ I) La función f(x) es decreciente. II) f(-2) = 16 III) f(-1) > f(1) A) B) C) D) E) Sólo I Sólo II Sólo I y II Sólo II y III I. GRÁFICAS DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL 1) x -2 -1 0 1 2 f(x) = 2x f(x) 1 4 1 2 x f(x) = ax. ¿cuál de las siguientes opciones es falsa? A) B) C) D) E) La función f(x) es creciente f(2) = 25 La gráfica no intersecta al eje de las abscisas La gráfica intersecta al eje de las ordenadas en el punto (1. entonces f(x) = ax es decreciente. II) Su dominio son los reales. ¿cuál es el valor de la constante k y de la base a. ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) La función f(x) es una función constante. 0<a<1 y k<0 a>1 y k>0 a>1 y k<0 a>1 y k<1 ninguna de las alternativas anteriores.3. A) B) C) D) E) Sólo I Sólo II Sólo I y II Sólo II y III I. II y III 4. III) Su recorrido está dado por {1}. si f(0) = 2 y f(2) = 50. 5. En la función exponencial f(x) = kax. Dada la función f(x) = 1x. respectivamente? A) .2 y -5 B) 2 y -5 5 C) -2 y 2 y -5 D) E) 2 y 5 Para que la función f(x) = akx. La gráfica de la función y = -5x está mejor representada en la opción A) y B) y C) y x x x D) y E) y x x 8 . sea decreciente se debe cumplir que A) B) C) D) E) 6. ⎛ 1 -3 ⎞ ⎜ 3b ⎟ ⎝ ⎠ -2 = A) B) C) D) E) 1 6 b 9 1 6 b 3 1 -5 b 3 9b-5 9b6 4. a3 − x a5x = A) B) C) D) E) a3 – 6x a3 + 4x a-2 a3 – 4x a6x – 3 9 . -24 – (42 – 25) = A) -32 B) -16 C) 32 D) 16 E) 0 2.EJERCICIOS 1. ¿Cuánto es la mitad de 28? A) B) ⎛1⎞ ⎜2⎟ ⎝ ⎠ 8 ⎛1⎞ ⎜ ⎟ ⎝2⎠ C) 18 D) 24 E) 27 4 3. 5. Si 3x + 2 = 9x – 1. Si 32x = 27. entonces b = a A) B) C) D) E) x+3 ax ax + 1 ax + 2 a-x – 2 10 . ¿cuántas veces x es igual a 6? A) B) C) D) E) 4 3 2 2 9 2 9 8. Si ax + 3 = b. entonces x es igual a A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) -4 7. a4 b-12 a-2 b-4 = A) a2b-16 B) a6b-8 C) a-2b3 8 D) 6 8 E) 6 6. ¿cuál(es) de las siguientes igualdades es (son) siempre verdadera(s)? I) II) III) A) B) C) D) E) n2 · n3 = n5 2n + 3n = 5n 2n · 3n = 6n Sólo I Sólo I y II Sólo I y III Sólo II y III I. ⎛2⎞ ⎜3⎟ ⎝ ⎠ -a ⎛3⎞ ⋅ ⎜ ⎟ ⎝2⎠ a a ⎛9⎞ ⎜4⎟ ⎝ ⎠ = A) B) 1 3 2 2 ⎛3⎞ C) ⎜ ⎟ ⎝2⎠ ⎛3⎞ D) ⎜ ⎟ ⎝2⎠ a E) ⎛3⎞ ⎜ ⎟ ⎝2⎠ 2 a 11 . entonces x = A) B) C) D) E) 3 4 5 6 8 10. La expresión b5 + b5 + b5 es equivalente a A) B) C) D) E) (3b)5 b15 (3b)15 3b15 3b5 12. II y III 11.9. Si n es un número entero. Si 16 · 16 = 4x. Si M = (t2 )-2 · (-t)2 t4 . Si (0.000.01 B) 10. Si 32x · 9x · 272x = . Si 3x + 2 = 243.001 A) 0. entonces el valor de x es A) -6 B) -4 3 C) 2 D) 3 E) 4 12 .000 1 815 16. entonces cuando t = 0.000 D) E) 1.000 C) 100. 63 + 63 + 63 + 63 + 63 + 63 = A) 63 B) 64 C) 618 D) 363 E) 3618 14. entonces x es igual a 2 A) -4 B) -2 C) -1 D) 1 E) 2 17. entonces 2x es igual a A) 3 B) 5 C) 6 D) 8 E) 27 15.1 el valor de M es 0.13.01)x – 5 = 100. siendo t el tiempo en horas. El número de bacterias B en un cierto cultivo está dado por B = 100t · 100100.1 · 2n + 1 mm 0. Si tomáramos una hoja de papel de 0. El valor de x2 en la ecuación ⎜ ⎟ ⎝3⎠ x − 3 ⎛9⎞ = ⎜ ⎟ ⎝4⎠ x+3 es A) -1 B) 1 C) -3 D) 3 E) 9 20. ¿cual sería el grosor del cuerpo resultante luego del n-ésimo doblez? A) B) C) D) E) 0.1 mm de grosor y la dobláramos sucesivamente por la mitad.1 · 2n – 1 mm 0.1 · 2n mm (0. El valor de x en la ecuación 2x + 1 + 2x + 2 + 2x + 3 = 56 es 2 3 2 C) 3 D) -3 E) -4 A) B) ⎛2⎞ 19.18.1 + 2n + 1) mm (0. ¿Cuál será el número de bacterias al cabo de 4 horas? A) B) C) D) E) 100400 4 · 100100 400100 100104 104100 13 .1 + 2n) mm 21. Un microorganismo se duplica cada 15 minutos.22. ¿cuántos microorganismos habrá en esa misma muestra a las 4:00 P. ¿En cuántas horas se tendrá 1. siendo t el tiempo en horas.M? A) B) C) D) E) 228 224 220 214 27 24. entonces 4x + 4-x = A) B) C) D) E) M2 M2 M2 M2 M2 –x –1 +2 –2 +1 25. Una bacteria se reproduce de acuerdo a la expresión 2t. Si 2x + 2-x = M. Si una muestra de laboratorio existía un microorganismo a las 09:00 A. El gráfico de la función f(x) = 2x – 1 está representado por la alternativa A) y 4 3 2 1 1 2 B) y 3 2 1 1 2 C) y 4 3 2 1 -1 1 x D) y 4 3 2 1 -2 -1 -1 1 x -2 -1 1 2 1 2 x E) y 2 1 1 2 1 x 1 2 x 23.M.024 bacterias? A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12 14 . 1 m x 29. Sean x ≠ 5 e y ≠ 0.26. (1) y (2) Cada una por sí sola (1) ó (2) Se requiere información adicional 27. (1) y (2) Cada una por sí sola (1) ó (2) Se requiere información adicional y y = ax n fig. El valor de m se puede determinar en la figura 1. Se puede determinar el punto de intersección del gráfico de la función exponencial f(x) = n · ax. A) B) C) D) E) (1) por sí sola (2) por sí sola Ambas juntas. (2) Se conoce el valor de n. (2) a es un número par. si : (1) f(m) = 125 y a = 5 (2) n = 125 y f(x) = 5x A) B) C) D) E) (1) por sí sola (2) por sí sola Ambas juntas. (1) y (2) Cada una por sí sola (1) ó (2) Se requiere información adicional ⎛6⎞ ⎛y⎞ + ⎜ ⎟ · ⎜ ⎟ · z si : 2 y⎠ ⎝6⎠ ⎝ (5 − x) (x − 5)2 3 3 28. A) B) C) D) E) (1) por sí sola (2) por sí sola Ambas juntas. (1) y (2) Cada una por sí sola (1) ó (2) Se requiere información adicional 15 . con el eje de las ordenadas si : (1) Se conoce el valor de a. Se puede determinar el valor numérico de (1) y = 4 (2) z = 5 A) B) C) D) E) (1) por sí sola (2) por sí sola Ambas juntas. La expresión ax + 7 ax + 2 toma siempre un valor positivo si : (1) a es un número positivo. Se puede afirmar que la expresión ⎜ ⎟ . de variable x.⎛1⎞ 30. (2) a < 1 A) B) C) D) E) (1) por sí sola (2) por sí sola Ambas juntas. (1) y (2) Cada una por sí sola (1) ó (2) Se requiere información adicional DMNMA25 Puedes complementar los contenidos de esta guía visitando nuestra web http://pedrodevaldivia. es una función exponencial creciente ⎝ a⎠ sobre los reales si : x (1) a es positivo.cl/ 16 .