CONJUNTOS SA teoria moderna dos conjuntos é geralmente considerada ter sido criada em 1859 pelo matemático famoso Georg Cantor (1845-1918), que notou a necessidade de uma tal teoria quando estudava séries trigonométricas. Cantor escreveu: Por um `conjunto‘ entenderemos qualquer coleção dentro de um todo de objetos distintos definidos, de nossa intuição ou pensamento". Esta definição não proibe ninguém de considerar o conjunto" de todos os conjuntos, como o fez Bertrand Russel. A diculdade real na definição de Cantor de um conjunto é a palavra coleção". O que é uma coleção? É claro que podemos procura-la em um dicionário e encontrar algo. Um conjunto de elementos pode ser representado de três formas diferentes. Vejamos o caso do conjunto M, formado por janeiro, março, maio, julho, agosto, outubro, dezembro. a) pela enumeração de seus elementos: M ={janeiro, março, maio, julho, agosto, outubro, dezembro}. b) através de uma propriedade característica de seus elementos: M = {m/ m é um mês do ano que possui 31 dias}. c) graficamente, através de diagramas: Denominamos como n(A) o número de elementos distintos de um conjunto A qualquer. Com isto, um conjunto pode ser caracterizado conforme a quantidade de elementos distintos que a eles pertencem. I – Se um conjunto não possuir elementos (n(A) = 0), será chamado de 1.2 Conjunto vazio. II – Quando um conjunto tiver apenas um elemento (n(A) = 1), será chamado de conjunto unitário. De acordo com n(A), podemos classificar os conjuntos como finitos ou infinitos. Exemplos: a) A = {-10, 2, 10, 27} é um conjunto finito e n(A) = 4. b) B = {x / x> 8 e x < 2} não possui elementos: n(B) = 0. B é um conjunto vazio. 1.1.Definição Teoria dos Conjuntos é admitir que “conjunto” e “elemento de um conjunto” são conceitos primitivos(aceitamos como conhecidos sem definição), e não como conceitos definidos. Estes conceitos são relativos, ou seja o elemento de um conjunto pode não ser elemento de outro conjunto Exemplos: a) P = Conjuntos dos números primos entre 1 e 9. Elementos: 2, 3, 5, 7. b) N = Conjunto dos algarismos do número 4.123: Elementos: 1, 2, 3, 4. Associamos à idéia de constituir ao conceito de pertencer. Dizemos então que o elemento pertence ao conjunto. Os símbolos ∈ e ∉ são usados para relacionar elementos com conjuntos. ∈ = pertence ∉ = não pretence c) O conjunto dos números naturais, ù, é um conjunto infinito: n(ù) = ¥. Se todos os elementos de um conjunto A também pertencerem a um conjunto B, dizemos que A está contido em B, ou ainda que A é subconjunto de B. Notação: A Ì B Û ("x Î A Þ x Î B) Significa dizer que o conjunto A está contido no conjunto B se e somente se todo elemento do conjunto A é também elemento do conjunto B. Exemplo: Dados os conjuntos: A = {a, g, t, o}. B = {g, a, t, o}. Todo elemento do conjunto A é elemento do conjunto B e todo elemento do conjunto B pertence ao conjunto A. Logo: A Ì B e B É A. Isso ocorre sempre que tivermos dois conjuntos iguais e equivale a dizer que todo conjunto está contido em si mesmo. Exercícios 01) (OSEC) Numa escola de 360 alunos, onde as únicas matérias dadas são matemática e português, 240 alunos estudam matemática e 180 1 alunos estudam português. O número de alunos que estudam matemática e português é: a)120 b)60 c)90 d) 180 e) N.d.a. 07) (UF-BH) Um colégio ofereceu cursos de inglês e francês, devendo os alunos se matricularem em pelo menos um deles. Dos 45 alunos de uma classe, 13 resolveram estudar tanto inglês quanto francês; em francês, matricularam-se 22 alunos. Quantos alunos se matricularam em inglês? 08) (FAAP) Os sócios dos clubes A e B formam um total de 2200 pessoas. Qual é o número de sócios do clube B se A tem 1600 e existem 600 que pertencem aos dois clubes? 09) (MED. RIO PRETO) Num almoço, foram servidos, entre outros pratos, frangos e leitões. Sabendo-se que, das 94 pessoas presente, 56 comeram frango, 41 comeram leitão e 21 comeram dos dois, o número de pessoas que não comeram nem frango nem leitão é: a) 10 b) 12 c) 15 d) 17 e) 18 10) (UNIV. FED. PARÁ) Uma escola tem 20 professores, dos quais 10 ensinam Matemática, 9 ensinam Física, 7 Química e 4 ensinam Matemática e Física. Nenhum deles ensina Matemática e Química. Quantos professores ensinam Química e Física e quantos ensinam somente Física? a) 3 e 2. b) 2 e 5. c) 2 e 3. d) 5 e 2. e) 3 e 4. O que é função? 02) (PUC-CAMPINAS) Numa indústria, 120 operários trabalham de manhã, 130 trabalham à tarde, 80 trabalham à noite; 60 trabalham de manhã e à tarde, 50 trabalham de manhã e a noite, 40 trabalham à tarde e à noite e 20 trabalham nos três períodos. Assim: a) 150 operários trabalham em 2 períodos; b) há 500 operários na indústria; c) 300 operários não trabalham à tarde; d) há 30 operários que trabalham só de manhã; e) N.d.a. 03) (UNIV. FED. PARÁ) Num colégio foi realizada uma pesquisa para saber quais os esportes praticados pelos alunos. Sabe-se que A={alunos que jogam basquete}, B={alunos que jogam futebol} e C={alunos que jogam voley}, e o resultado está resumido na tabela abaixo. n(A)n(B)n(C)n(AÇB)n(AÇC) n(CÇB)n(AÇBÇC) 150 180 100 30 40 25 20 n(È)n(AÈBÈC) 245 O número total de alunos da escola é: É uma correspondência entre dois conjuntos onde um único elemento do conjunto A se corresponde com algum elemento de B. a)790 335 b)600 c)675 d) 570 e) 04) (NUNO LISBOA) Um subconjunto X de números naturais contém 12 múltiplos de 4, 7 múltiplos de 6, 5 múltiplos de 12 e 8 números ímpares. O número de elementos de X é: a) 22 b) 27 c) 24 d) 32 e) 20 05) (CESGRANRIO) Em uma universidade são lidos dois jornais A e B; exatamente 80% dos alunos lêem o jornal A e 60% o jornal B. Sabendo-se que todo aluno é leitor de pelo menos um dos jornais, o percentual de alunos que lêem ambos é: a) 48% b) 60% c) 40% d) 140% e) 80% 06) (GV) Em uma pesquisa de mercado foram entrevistadas várias pessoas acerca de suas preferências em relação a três produtos A, B e C. Os resultados da pesquisa indicaram que: 210 compram o produto A. 210 compram o produto B. 250 compram o produto C. 20 compram os três produtos. 100 não compram nenhum dos três produtos. 60 compram os produtos A e B. 70 compram os produtos A e C. 50 compram os produtos B e C. Quantas pessoas foram entrevistadas? As relações acima são funções, pois todo elemento do conjunto A, está associado a somente um elemento do conjunto B. A relação acima não é uma função, pois existe o elemento 4 no conjunto A, que está associado a mais de um elemento do conjunto B. 2 Portanto x1, x2 e x3 são raízes da função. DOMÍNIO E IMAGEM DE UMA FUNÇÃO: O domínio de uma função é sempre o próprio conjunto de partida, ou seja, D=A. Se um elemento x estiver associado a um elemento y A B, dizemos que y é a imagem de x (indica-se y=f(x) e lê-se “y é igual a f de x”). PROPRIEDADES DE UMA FUNÇÃO Essas são algumas propriedades caracterizam uma função f:A : B que a) Função sobrejetora: Dizemos que uma função Exemplo: se f é uma função de IN em IN (isto significa que o domínio e o contradomínio são os números naturais) definida por y=x+2. Então temos que: é sobrejetora se, e somente se, o seu conjunto imagem for igual ao contradomínio, isto é, se Im=B. Em outras palavras, não pode sobrar elementos no conjunto B sem receber flechas. b) Função Injetora: A função é injetora se elementos distintos do domínio tiverem imagens distintas, ou seja, dois elementos não podem ter a mesma imagem. Portanto não pode haver nenhum elemento no conjunto B que receba duas flechas. Por exemplo, a função f:IRIR definida por f(x)=3x é injetora pois se x1 x2 então 3x1 3x2, portanto f(x1) f(x2). • • A imagem de 1 através de f é 3, ou seja, f(1)=1+2=3; A imagem de 2 através de f é 4, ou seja, f(2)=2+2=4; De modo geral, a imagem de x através de f é x+2, ou seja: f(x)=x+2. Numa função f de A em B, os elementos de B que são imagens dos elementos de A através da aplicação de f formam o conjunto imagem de f. c) Função Bijetora: Uma função é bijetora Com base nos diagramas acima, concluímos que existem 2 condições para uma relação f seja uma função: quando ela é sobrejetora e injetora ao mesmo tempo. Por exemplo, a função f: IRIR definida por y=3x é injetora, como vimos no exemplo anterior. Ela também é sobrejetora, pois Im=B=IR. Logo, esta função é bijetora. Já a função f: ININ definida por y=x+5 não é sobrejetora, pois Im={5,6,7,8,...} e o contradomínio CD=IN, mas é injetora, já que valores diferentes de x têm imagens distintas. Então essa função não é bijetora. Observações: FUNÇÃO PAR E FUNÇÃO ÍMPAR Dada uma função f: AB, dizemos que f é par se, e somente se, f(x)=f(-x) para todo x A. Ou seja: os valores simétricos devem possuir a mesma imagem. O diagrama a seguir mostra um exemplo de função par: • Como x e y têm seus valores variando nos conjuntos A e B, recebem o nome de variáveis. • A variável x é chamada variável independente e a variável y, variável dependente, pois para obter o valor de y dependemos de um valor de x. • Uma função f fica definida quando são dados seu domínio (conjunto A), seu contradomínio (conjunto B) e a lei de associação y=f(x). RAÍZES DE UMA FUNÇÃO Por exemplo, a função f: IR IR definida por f(x)=x2 é uma função par, pois f(x)=x 2=(x)2=f(-x). Podemos notar a paridade dessa função observando o seu gráfico: Dada uma função y=f(x), os valores, os valores de x para os quais f(x)=0 são chamados raízes de uma função. No gráfico cartesiano da função, as raízes são abscissas dos pontos onde o gráfico corta o eixo horizontal. Observe o gráfico abaixo: No gráfico acima temos: f(x1)=0, f(x2)=0 e f(x3)=0. 3 Notamos, no gráfico, que existe uma simetria em relação ao eixo vertical. Elementos simétricos têm a mesma imagem. Os elementos 2 e -2, por exemplo, são simétricos e possuem a imagem 4. Existem algumas variações desta definição, se b for iguala zero, teremos uma função linear e se a for igual a zero termos uma função constante. Por outro lado, dada uma função f: AB, dizemos que f é ímpar se, e somente se, f(-x)=f(x) para todo x A. Ou seja: valores simétricos possuem imagens simétricas. O diagrama a seguir mostra um exemplo de função ímpar: Equações e gráficos Por exemplo, a função f: IR IR definida por f(x)=x3 é uma função ímpar, pois f(-x)=(-x)3=x3=-f(x). Podemos notar que a função é ímpar observando o seu gráfico: Notamos, no gráfico, que existe uma simetria em O gráfico da função do primeiro grau é uma reta e sua equação é muito importante quanto sua inclinação. Veja relação a origem 0. Elementos simétricos têm imagens simétricas. Os elementos 1 e -1, por exemplo, são simétricos e possuem imagens 1 e -1 (que também são simétricas). Obs: Uma função que não é par nem ímpar é chamada função sem paridade. Funções Elementares Função do Primeiro grau Definição : Uma aplicação de R em R é chamada de função afim quando cada valor x do domínio estiver associado a ax + b do contra domínio Funções crescentes . Seja y = ax + b uma função do primeiro grau, então se a> 0 a função é crescente.Veja o gráfico Caso contrário a tangente estaria no segundo quadrante e portanto seria negativa. Logo teremos: 4 OBSERVAÇÃO O coeficiente angular, também chamado declividade da reta, é a tangente do ângulo formado entre a reta e o eixo das abcissas, medido no sentido anti-horário. Primeiramente, se a > 0, e fazendo a = 1, a =1/ 2, a =1/3 , por exemplo, observe na figura abaixo: para cada valor não nulo da abscissa x, o valor da ordenada correspondente é, respectivamente, x, 2x, 1/2x, 1/3x. Além disso, para x = 0 temos sempre y = 0, o que significa que todas essas retas passam pela origem. Dessa maneira, variando o coeficiente a > 0 em y = ax, observamos que o ângulo de inclinação da reta varia: se a > 1, o ângulo é maior que 45o; se 0 < a < 1, o ângulo é menor que 45o na equação y = ax + b. Basta observar um caso simples e, a partir daí, a generalização é imediata. De fato, comparando os gráficos de y = x e de y = x +1, observamos que, ao fazer o segundo gráfico, para um mesmo valor de x a ordenada foi acrescida de uma unidade quando comparada àquela do ponto correspondente no gráfico de y = x. Por isso, no gráfico de y = x + 1 ocorreu uma translação vertical de uma unidade quando comparado ao gráfico de 1) Obtenha a lei das funções de 1º grau que passam pelos pares de pontos abaixo: a) (-1, 2) e (2, -1) b) (-1, 0) e (3, 2) 2) Determine a lei da função do 1º grau cujo gráfico está representado abaixo: y • 3 2 • Nova mente, se a < 0, observe na figura abaixo, onde a = –1, a = –2, a = – , a = – : para cada valor não nulo da abscissa x, o valor da ordenada correspondente é, respectivamente, –x, –2x, – x, – x. Além disso, como antes, para x = 0 temos sempre y = 0, o que significa que todas essas retas passam pela origem. Dessa maneira, o coeficiente a < 0 em y = ax também faz mudar o ângulo de inclinação da reta: se a < –1, temos a reta numa posição mais próxima da vertical; se –1 < a < 0, a reta se encontra numa posição mais próxima da horizontal. x 3) Determine a lei da função do 1º grau cujo gráfico passa pelo ponto (2, 3) e cujo coeficiente linear vale 5. 4) Dada a função y = 3x – 2, calcule os valores de x que tornam a função negativa. 5) Dada a função y = –2x + 1, calcule os valores de x que tornam a função positiva. 1. Função do 1º grau – Aplicação prática 1) O preço a pagar por uma corrida de táxi depende da distância percorrida. A tarifa P é composta por duas partes: uma parte fixa, denominada bandeirada e uma parte variável que depende do número d de quilômetros rodados. Suponha que a bandeirada esteja custando R$ 6,00 e o quilômetro rodado, R$ 1,20. a)Expresse o preço P em função da distância d percorrida. b)Quanto se pagará por uma corrida em que o táxi rodou 10 km? Uma vez entendida a ação do coeficiente a, precisamos entender qual o papel do coeficiente b 5 c)Sabendo que a corrida custou R$ 20,00, calcule a distância percorrida pelo táxi. 2) Uma piscina de 30 mil litros, totalmente cheia, precisa ser esvaziada para limpeza e para isso uma bomba que retira água à razão de 100 litros por minuto foi acionada. Baseado nessas informações, pede-se: a)a expressão que fornece o volume (V) de água na piscina em função do tempo (t) que a bomba fica ligada. b)a expressão que fornece o volume de água que sai da piscina (VS) em função do tempo (t) que a bomba fica ligada. c)o tempo necessário para que a piscina seja esvaziada. d)quanto de água ainda terá na piscina após 3 horas de funcionamento da bomba? e)o esboço do gráfico que representa o volume de água na piscina em função do tempo em que a bomba fica ligada. Exercícios de fixação: 1) Determinar a lei da função do 1º grau que passa pelo ponto (-2, 1) e cujo coeficiente angular é -4. c) Determine o domínio e a imagem desta função. 6) Um botijão de cozinha contém 13 kg de gás. Sabendo que em média é consumido, por dia, 0,5 kg de gás: a) Expresse a massa (m) de gás no botijão, em função do número (t) de dias de consumo. b) Esboce o gráfico desta função. c) Depois de quantos dias o botijão estará vazio ? 7) A água congela a 0° C e a 32° F; ferve a 100° C e 212° F. A temperatura em graus Fahrenheit (F) varia linearmente com a temperatura em graus Celsius (C). a) Expresse a temperatura em F em função de C e faça o gráfico desta função. b) A temperatura do corpo humano não febril é de 37° C. Qual é esta temperatura em graus Fahrenheit? c) d) A que temperatura, em graus Celsius, corresponde 20° F. 8) Dois táxis têm preços dados por: Táxi A: bandeirada a R$ 4,00, mais R$ 0,75 por quilômetro rodado; Táxi B: bandeirada a R$ 3,00, mais R$ 0,90 por quilômetro rodado. Obtenha a expressão que fornece o preço de cada táxi (PA e PB) em função da distância percorrida. a) Para que distâncias é vantajoso tomar cada táxi ? 2) Dadas as funções f ( x) = −x + g( x ) = 2x − 4 , calcule os valores de x para os quais g( x ) < f ( x ). 3) Determine a lei da função do 1º grau que passa pelos pares de pontos abaixo: a) (0, 1) e (1, 4) b) (-1, 2) e (1, -1) 4) Faça os gráficos das seguintes funções: a) y = 2x + 3 b) y = a) 1 2 e Respostas dos exercícios: −3 x + 1 2 1. y = -4x – 7 y= -3 x + 1 2 2x < 3 2 3.a) y = 3x + 1 b) y = –x 5) Em uma determinada loja, o salário mensal fixo de um vendedor é de R$ 240,00. Além disso, ele recebe R$ 12,00 por unidade vendida. a) Expresse o ganho mensal (S) desse vendedor em função do número (u) de unidades vendidas. b) Quantas unidades ele deve vender para receber um salário de R$ 700,00 ? 4.-//5.a) S = 240 + 12u D(f) = [0, ∞) Im(f) = [240, ∞) b) 39 unidades 6 2. a) m = 13 - 0,5t 3. a) F = 1,8C + 32 4. c) 26 dias b) F = 98,6º c) C = -6,7º 5. a) PA = 4 + 0, 6. P B = 3 + 0,90d b) Táxi A: a partir de 6,7 km Táxi B: Até 6,7 km Função do segundo grau 6 Toda equação do segundo grau pode ser escrita na forma ax2 + bx + c = 0 onde a,b e c são coeficientes reais. Quando a equação não possui um dos coeficientes b e c ela se denomina incompleta. ax2 + bx = 0 ou ax 2 + c = 0 em ambos os casos esta equação possui solução trivial sem o uso de formulas Equações completas Sua solução geral já foi tese de doutorado no oriente médio atual. É ate hoje um exemplo se uso brilhante das fatorações Uso gráfico das equações do segundo grau e sua co-relação com a álgebra de polinômios O coeficiente a determina se a função possui concavidade para cima ou para baixo Aspectos avançados ou não usuais das funções Eixo de simetria É a reta vertical que passa pelo vértice da parábola cortando a mesma em duas partes iguais O gráfico da função é chamado de parábola Os itens gráficos desta função são dados basicamente pelos valores que o delta ou discriminante assume 1° - Conhecidas as raízes da função, o x do vértice pode ser calculado como a média aritmética das raízes da unção. 2° - Conhecido o valor de x, pode-se calcular o y do vértice como o valor que a função assume para x = x y: As posições deste gráfico em relação ao eixo são dadas pelo quadro abaixo Com estas informações podemos demonstrar as formulas do x do vértice e do y do vértice Se uma função não possui o termo b ela é simétrica em relação ao eixo y Lembre-se: se uma função não possui o termo c ela passa pela origem Devido à dificuldade muitas vezes encontrada em se determinar o gráfico atribuindo valores à x e assim calculando f(x) , a exemplo da função afim existe uma outra forma de estabelecer o gráfico 7 da função. A forma canônica é usada nessas situações, sendo ela: (quantidade produzida que torna o lucro máximo) e a ordenada do vértice será o lucro máximo TEXTO COMPLEMENTAR FUNÇÃO CUSTO TOTAL, FUNÇÃO RECEITA TOTAL E FUNÇÃOLUCRO TOTAL Custo total Seja x a quantidade produzida de um produto. O custo total depende de x e à relação entre eles chamamos função custo total (e indicamos por Ct). Verifica-se que, em geral, existem alguns custos que não dependem da quantidade produzida, tais como seguros, aluguel, etc. À soma desses custos, que independem da quantidade produzida, chamamos custo fixo (e indicamos por Cf).À parcela de custos que depende de x chamamos custo variável (e indicamos por Cv). Desta forma, podemos escrever: ``Não provo por falta de espaço´´ Se realmente deuses da matemática existissem, Pierre de Fermat seria uma espécie de deus amador, jurista francês e atuante no parlamento, Pierre de Fermat ainda encontrava tempo para se dedicar a matemática. Restaurando a obra de Papus, fermat descobriu o principio fundamental da geometria anlítica, com o qual desenvolveu tratados que são rudimentos bem aproveitados do cálculo. Com a obra de Diofante, protagonizou um dos mais espetaculares episódios da história da matemática. Ele foi considerado o pai da Teoria dos números e sua matemática era registrada em notas desorganizadas ou em cartas que não tinha a menor intenção de publicar. Por volta do século XVII ele profetizou o que seria chamado o último teorema de Fermat, para desespero de matemáticos que analizaram suas notas após a morte, Fermat escreveu o enunciado do seu teorema em uma borda de uma página do livro de Diofante e apos enunciar seu teorema escreveu: Não provo este teorema por falta de espaço. Após ler estas anotações quase sobrenaturais, todos, simplesmente todos os matemáticos do mundo se puseram a provar o tal teorema de Fermat, do século XVII ao final século XX, nenhum matemático no planeta Terra havia obtido êxito. Após tomar conhecimento na infância do teorema e 15 anos de pesquisas, o pesquisador inglês Andrew Willes, de Cambrige, conseguiu perceber a semelhança entre o teorema e as equações elípticas e após a tarefa colossal e praticamente sobre humana de provar a famosa conjectura de Taniama-Shimura igualmente famosa por não possuir demonstração Andrew conseguiu estabelecer padrões avançadíssimos para uma demonstração na estrutura da indução finita conseguindo a prova definitiva e secular que cercava o teorema. A comunidade cientifica mundial conhecia o primeiro ser humano desde o século XVII que havia demonstrado o último teorema de Fermat. Alguns anos se passaram e físicos ligados Ao MIT em Boston anunciaram ter descoberto uma maneira possível de viajar no tempo e um dos físicos que estavam na Coletiva de imprensa respondeu que se pudesse voltar no tempo, iria ate o século XVII perguntar a Fermat se ele realmente possuía alguma prova elementar do teoram, pois, a prova dada por Andrew usou teoremas e técnicas que so depois da morte de Fermat seriam conhecidas Chama-se custo médio de produção ou custo unitário (e indica-se por Cm) o custo total dividido pela quantidade, isto é: Receita total Suponhamos agora que x unidades do produto sejam vendidas. A receita de vendas depende de x e a função que relaciona receita com quantidade é chamada função receita (e indicada por R). Na maioria das vezes, o preço unitário (p) varia com a quantidade demandada, sendo p = f(x). Assim, a receita total pode ser expressa através da função demanda como: Lucro total : Chama-se função lucro total (e indicase por L) a diferença entre a função receita e a função custo total Os valores de x para os quais o lucro é nulo são chamados de pontos críticos ou pontos de nivelamento. Então, o ponto de intersecção dos gráficos das funções Receita e Custo é denominado ponto de nivelamento. Na Economia, empregam-se, muitas vezes, polinômios para representar estas funções. O interesse básico é achar o lucro.Devem ser determinados os intervalos onde o lucro é positivo, por isso precisamos conhecer as raízes da função lucro total. Outro problema é achar o lucro máximo. Para polinômios de 20 grau, será suficiente determinar o vértice da parábola, no caso em que esta tenha os ramos para baixo. A abscissa do vértice será o ponto de máximo 8 mesma faixa de idade, pela função g(h) = (15,3)×h. Paulo, usando a fórmula para meninos, calculou seu consumo diário de energia e obteve 2.975 kcal. Sabendo-se que Paulo é 5 cm mais alto que sua namorada Carla (e que ambos têm idade entre 15 e 18 anos), o consumo diário de energia para Carla, de acordo com a fórmula, em kcal, é a) 2501. b) 2601. c) 2770. d) 2875. e) 2970. 4.(UFES) O banco Mutreta & Cambalacho cobra uma Tarifa para Manutenção de Conta (TMC) da seguinte forma: uma taxa de R$ 10,00 mensais e mais uma taxa de R$ 0,15 por cheque emitido. O banco Dakah Tom Malah cobra de TMC uma taxa de R$ 20,00 mensais e mais uma taxa de R$ 0,12 por cheque emitido. O Sr. Zé Doular é correntista dos dois bancos e emite, mensalmente, 20 cheques de cada banco. A soma das TMCs, em reais, pagas mensalmente por ele aos bancos é a) 10,15 b) 20,12 c) 30,27 d) 35,40 e) 50,27 5.(UFSC) Dois líquidos diferentes encontram-se em recipientes idênticos e têm taxas de evaporação constantes. O líquido I encontra-se inicialmente em um nível de 100 mm e evapora-se completamente no quadragésimo dia. O líquido II, inicialmente com nível de 80 mm, evapora-se completamente no quadragésimo oitavo dia. Determinar, antes da evaporação completa de ambos, ao final de qual dia os líquidos terão o mesmo nível (em mm) nesses mesmos recipientes. Emprestando um capital C, a ser pago numa única parcela após um mês. A empresa E1 cobra uma taxa fixa de R$ 60,00 mais 4% de juros sobre o capital emprestado, enquanto a empresa E2 cobra uma taxa fixa de R$ 150,00 mais juros de 3% sobre o capital emprestado. Dessa forma, a) determine as expressões que representam o valor a ser pago em função do capital emprestado, nas duas empresas. b) calcule o valor de C, de modo que o valor a ser pago seja o mesmo, nas duas empresas. 7.(UFMG) Em 2000, a porcentagem de indivíduos brancos na população dos Estados Unidos era de 70% e outras etnias - latinos, negros, asiáticos e outros - constituíam os 30% restantes. Projeções do órgão do Governo norte-americano encarregado do censo indicam que, em 2020, a porcentagem de brancos deverá ser de 62%. FONTE: "Newsweek International", 29 abr. 2004. Admite-se que essas porcentagens variam linearmente com o tempo. Com base nessas informações, é CORRETO afirmar que os brancos serão minoria na população norte-americana a partir de a) 2050. b) 2060. c) 2070. d) 2040. 8.(UEG) Em uma fábrica, o custo de produção de 500 unidades de camisetas é de R$ 2.700,00, enquanto o custo para produzir 1.000 unidades é de R$ 3.800,00. Sabendo que o custo das camisetas é dado em função do número produzido através da expressão C(x) = q x + b, em que x é a Exercícios Série 1 1.(UEL) Um consumidor adquiriu um aparelho de telefonia celular que possibilita utilizar os serviços das operadoras de telefonia M e N. A operadora M cobra um valor fixo de R$ 0,06 quando iniciada a ligação e mais R$ 0,115 por minuto da mesma ligação. De modo análogo, a operadora N cobra um valor fixo de R$ 0,08 e mais R$ 0,11 por minuto na ligação. Considere as afirmativas a seguir: I. O custo de uma ligação de exatos 4 minutos é o mesmo, qualquer que seja a operadora. II. O custo da ligação pela operadora M será menor do que o custo da ligação pela operadora N, independentemente do tempo de duração da ligação. III. Uma ligação de 24 minutos efetuada pela operadora M custará R$ 0,10 a mais do que efetuada pela operadora N. IV. O custo da ligação pela operadora N será menor do que o custo da ligação pela operadora M, independentemente do tempo de duração da ligação. Assinale a alternativa afirmativas corretas. que contém todas as a) I e II. b) I e III. c) III e IV. d) I, II e IV. e) II, III e IV. 2.(FGV) Um terreno vale hoje R$ 40.000,00 e estima-se que daqui a 4 anos seu valor seja R$ 42.000,00. Admitindo que o valor do imóvel seja função do 1o grau do tempo (medido em anos e com valor zero na data de hoje), seu valor daqui a 6 anos e 4 meses será aproximadamente: a) R$ 43.066,00 b) R$ 43.166,00 c) R$ 43.266,00 d) R$ 43.366,00 e) R$ 43.466,00 3.(UNESP) A unidade usual de medida para a energia contida nos alimentos é kcal (quilocaloria). Uma fórmula aproximada para o consumo diário de energia (em kcal) para meninos entre 15 e 18 anos é dada pela função f(h) = 17×h, onde h indica a altura em cm e, para meninas nessa 9 quantidade determine: produzida e b é o custo fixo, a) Os valores de b e de q. b) O custo de produção de 800 camisetas. 9.(PUCMG) A receita R, em reais, obtida por uma empresa com a venda de q unidades de certo produto, é dada por R(q) = 115q, e o custo C, em reais, para produzir q dessas unidades, satisfaz a equação C(q) = 90q + 760. Para que haja lucro, é necessário que a receita R seja maior que o custo C. Então, para que essa empresa tenha lucro, o número mínimo de unidades desse produto que deverá vender é igual a: a) 28 b) 29 c) 30 d) 31 10.(UNESP) O gráfico da função quadrática definida por y = x2 – mx + (m-1), onde m Î R, tem um único ponto em comum com o eixo das abscissas. Então, o valor de y que essa função associa a x = 2 é: a) - 2. b) - 1. c) 0. d) 1. e) 2. 11.(UNESP) A expressão que define a função quadrática f(x), cujo gráfico está esboçado, é: 15.(PUCSP) Usando uma unidade monetária conveniente, o lucro obtido com a venda de uma unidade de certo produto é x- 10, sendo x o preço de venda e 10 o preço de custo. A quantidade vendida, a cada mês, depende do preço de venda e é, aproximadamente, igual a 70 - x. Nas condições dadas, o lucro mensal obtido com a venda do produto é, aproximadamente, uma função quadrática de x, cujo valor máximo, na unidade monetária usada, é a) 1200 b) 1000 c) 900 d) 800 e) 600 16.(FGV) O preço de ingresso numa peça de teatro (p) relaciona- se com a quantidade de frequentadores (x) por sessão através da relação; p = - 0,2x + 100 a) Qual a receita arrecadada por sessão, se o preço de ingresso for R$60,00? b) Qual o preço que deve ser cobrado para dar a máxima receita por sessão? 17.(FGV) A função f, de IR em IR, dada por f(x) = ax2 - 4x + a tem um valor máximo e admite duas raízes reais e iguais. Nessas condições, f(-2) é igual a a) 4 b) 2 c) 0 d) – 1/2 e) – 2 18.(UFSM) Uma empresa que elabora material para panfletagem (santinhos) tem um lucro, em reais, que é dado pela lei L(x) = - x 2 + 10x - 16, onde x é a quantidade vendida em milhares de unidades. Assim, a quantidade em milhares de unidades que deverá vender, para que tenha lucro máximo, é a) 9 b) 8 c) 7 d) 6 e) 5 19.(UEL) Sejam as funções quadráticas definidas por f(x) = 3x2 – kx + 12. Seus gráficos não cortam o eixo das abscissas se, e somente se, k satisfizer à condição a) k < 0 b) k < 12 c) - 12 < k < 12 12.(UEC) A função quadrática f assume seu mínimo quando x = 2 e é tal que seu gráfico contém os pontos (-1, 0) e (0, - 5). O valor de f(4) é a) - 4 b) - 5 c) 5 d) 4 13.(UFMG) A função f(x) do segundo grau tem raízes -3 e 1. A ordenada do vértice da parábola, gráfico de f(x), é igual a 8. A única afirmativa VERDADEIRA sobre f(x) é a) f(x) = -2(x-1)(x+3) b) f(x) = -(x-1)(x+3) c) f(x) = -2(x+1)(x-3) d) f(x) = (x-1)(x+3) e) f(x) = 2(x+1)(x-3) 14.(FGV) Ajustando um modelo linear afim aos dados tabelados do IDH brasileiro, de acordo com esse modelo, uma vez atingido o nível alto de desenvolvimento humano, o Brasil só igualará o IDH atual da Argentina (0,863) após d) 0 < k < 12 e) - 4√3 < k < 4√3 20.(FUVEST) Para que a parábola y = 2x2 + mx + 5 não intercepte a reta y=3, devemos ter a) -4 < m < 4 b) m < -3 ou m > 4 c) m > 5 ou m < -5 d) m = -5 ou m = 5 e) m ¹ 0 10 21.(UFRS) A parábola na figura a seguir tem vértice no ponto (- 1, 3) e representa a função quadrática f(x) = a x2 + b x + c. Portanto, a + b é 26.(CFTMG) A função f(x) = ax2 - 2x + a tem um valor máximo e admite duas raízes reais e iguais. Nessas condições, f(- 2) é igual a a) -4 b -1 c) 1 d) 16 GABARITO 01.b 02.b 03.b 04.d 05. 24o 06. a) M1 = 1,04C + 60 M2 = 1,03C + 150 b) R$ 9.000,00 07.a 08. B = 1600 e q = 11/5 b) R$ 3 360,00 09.d 10.d 11.d 12.b 13.a 14.e 15.c 16.a) R$ 12 000,00 b) R$ 50,00 17.e 18.e 19.c 20.a 21.a 22. a) R$ 800,00 b) R$ 5,50 23. 1506 g 24.b 25. 12,5 m2 26.b Série 2 1-(ANGLO) O vértice da parábola y= 2x²- 4x + 5 é o ponto a) (2,5) b) 22.(UFG) Um supermercado vende 400 pacotes de 5 kg de uma determinada marca de arroz por semana. O preço de cada pacote é R$ 6,00, e o lucro do supermercado, em cada pacote vendido, é de R$ 2,00. Se for dado um desconto de x reais no preço do pacote do arroz, o lucro por pacote terá uma redução de x reais, mas, em compensação, o supermercado aumentará sua venda em 400x pacotes por semana. Nestas condições, calcule: a) O lucro desse supermercado em uma semana, caso o desconto dado seja de R$ 1,00. b) O preço do pacote do arroz para que o lucro do supermercado seja máximo, no período considerado. 23.(UNESP) O desenvolvimento da gestação de uma determinada criança, que nasceu com 40 semanas, 50,6 cm de altura e com 3.446 gramas de massa, foi modelado, a partir da 20 semana, aproximadamente, pelas funções matemáticas h(t) = 1,5t - 9,4 e p(t) = 3,8 t 2 - 72 t + 246, onde t indica o tempo em semanas, t ≥ 20, h(t) a altura em centímetros e p(t) a massa em gramas. Admitindo o modelo matemático, determine quantos gramas tinha o feto quando sua altura era 35,6 cm. 24.(PUCMG) Certo posto vende diariamente uma média de 10.000 litros de gasolina ao preço de R$ 2,60 por litro. Um estudo demonstrou que, para uma redução de 1 centavo no preço do litro, corresponde um aumento de 50 litros nas vendas diárias. Com base nesse estudo, o preço por litro de gasolina que garante a maior receita é: a) R$ 2,20 b) R$ 2,30 c) R$ 2,40 d) R$ 2,50 25.(FGV) No retângulo ABCD da figura a seguir, AD = 6 m e AB = 4 m, e os pontos M, N, P e Q dos lados AD, AB, CB e CD, respectivamente, são tais que AM = AN = CP = CQ. ( 1, 3) e) (1,3) a) 8 14 ( − 1, 11 ) c) (-1,11) d) 2-(ANGLO) A função f(x) = x²- 4x + k tem o valor mínimo igual a 8. O valor de k é : b) 10 e) 16 c)12 d) 3-(ANGLO) Se o vértice da parábola dada por y = x² - 4x + m é o ponto ( 2 , 5), então o valor de m é: a) 0 b) 5 e) -9 c) -5 d) 9 4- ( VUNESP) A parábola de equação y = ax² passa pelo vértice da parábola y = 4x - x². Ache o valor de a: a) 1 -1 b) 2 e) nda c) 3 d) 5-(METODISTA) O valor mínimo da função f(x) x²kx + 15 é -1. O valor de k, sabendo que k<0 é : a) -10 1/2 b)-8 e)-1/8 c)-6 d)- 6-(ANGLO) A parábola definida por y = x² + mx + 9 será tangente aos eixos das abscissas se, e somente se : a) m = 6 ou m = -6 −6≤m≤6 m≥6 b) -6< m < 6 c) d) e) m ≤ −6 7-(ANGLO) Considere a parábola de equação y = x² - 4x + m . Para que a abscissa e a ordenada do vértice dessa parábola sejam iguais, então m deve ser igual a : Determine o valor máximo da área do quadrilátero MNPQ. a) -14 b) -10 e) 6 c) 2 d) 4 8-(VUNESP) O gráfico da função quadrática definida por y = x² - mx + ( m - 1 ), onde m ∈R, tem um 11 único ponto em comum com o eixo das abscissas. Então, o valor de y que essa função associa a x = 2é: a)-2 b)-1 e)2 c)0 d)1 16-(UFMG) Nessa figura, está representada a parábola de vértice V, gráfico da função de segundo grau cuja expressão é 9-(UFPE) Planeja-se construir duas estradas em uma região plana. Colocando coordenadas cartesianas na região, as estradas ficam representadas pelas partes dos gráficos da parábola y=-x²+10x e da reta y=4x+5, com 2≤ x≤ 8. Qual a soma das coordenadas do ponto representando a interseção das estradas? a) 20 35 b) 25 e) 40 c) 30 d) a) y = (x² /5) - 2x b) y = x² - 10x c) y = x² + 10x d) y = (x²/5) - 10x e) y = (x² /5) + 10x 10-(FATEC) A distância do vértice da parábola y= -x²+8x-17 ao eixo das abscissas é : a)1 d)17 b)4 e)34 c)8 11-(MACK-99) O gráfico da função real definida por y = x² + mx + ( 15-m ) tangencia o eixo das abscissas e corta o eixo das ordenadas no ponto (0,k). Se a abscissa do vértice da parábola é negativa, k vale : a)25 b) 18 e) 6 c) 12 d) 9 17-(UFMG) A função f(x) do segundo grau tem raízes -3 e 1. A ordenada do vértice da parábola, gráfico de f(x), é igual a 8. A única afirmativa VERDADEIRA sobre f(x) é a) f(x) = -2(x-1)(x+3) b) f(x) (x+3) c) f(x) = -2(x+1)(x-3) d) f(x) = (x-1)(x+3) 3) = -(x-1) 12-(FUVEST-02) Os pontos (0, 0) e (2, 1) estão no gráfico de uma função quadrática f. O mínimo de f é assumido no ponto de abscissa x = - 1/ 4 . Logo, o valor de f(1) é: a) 1/10 4/10 b) 2/10 e) 5/10 c) 3/10 d) e) f(x) = 2(x+1)(x- 13-(FATEC)O gráfico de uma função f, do segundo grau, corta o eixo das abcissas para x=1 e x=5. O ponto de máximo de f coincide com o ponto de mínimo da função g, de R em R, definida por g(x)=(2/9)x²-(4/3)x+6. A função f pode ser definida por a) y = - x² + 6x + 5 b) y = - x² - 6x + 5 c) y = - x² - 6x - 5 d) y = - x² + 6x – 5 e) y = x² - 6x + 5 18-(UFMG) Nessa figura, a reta r intercepta a parábola nos pontos (-4, -24) e (2, 0). 14-(UFPE) O gráfico da função quadrática y=ax²+bx+c, x real, é simétrico ao gráfico da parábola y=2-x² com relação à reta de equação cartesiana y= -2. Determine o valor de 8a+b+c. a) – 4 b) 1/2 e) 4 c) 2 d) 1 a) Determine a equação da reta r. b) Determine a equação dessa parábola. c) Seja f(x) a diferença entre as ordenadas de pontos de mesma abscissas x, nesta ordem: um sobre a parábola e o outro sobre a reta r. Determine x para que f(x) seja a maior possível. 19- (UFPE) O gráfico da função y=ax²+bx+c é a parábola da figura a seguir. Os valores de a, b e c são, respectivamente: 15-(UEL) A função real f, de variável real, dada por f(x)=-x² +12x+20, tem um valor a) mínimo, igual a -16, para x = 6 mínimo, igual a 16, para x = -12 c) máximo, igual a 56, para x = 6 máximo, igual a 72, para x = 12 e) máximo, igual a 240, para x = 20 b) d) 12 a) mínimo de f é -5/6 b) máximo de f é -5/6 c) mínimo de f é -13/3 d) máximo de f é -49/9 e) mínimo de f é -49/6 28-(CESGRANRIO) O ponto de maior ordenada, pertence ao gráfico da função real definida por f(x) = (2x - 1) (3 - x), é o par ordenado (a,b). Então a - b é igual a: a) 1, - 6 e 0 1, 6 e 0 b) - 5, 30 e 0 c) - 1, 3 e 0 e) - 2, 9 e 0 d) a) -39/8 b) -11/8 d) 11/8 e) 39/8 c) 3/8 20-(UFSC) A figura a seguir representa o gráfico de uma parábola cujo vértice é o ponto V. 29-(UEL) Seja x um número real estritamente positivo. Sejam as funções f e g tais que f associa a cada x o comprimento da circunferência de raio x centímetros e g associa a cada x a área do círculo de raio x centímetros. Nessas condições, é verdade que a) f(x) > g(x) para 0 < x < 2. b) f(x) = g(x) para x = 4. c) g(x) > f(x) para 0 < x < 1. d) f(x) > g(x) para x > 10. g(x) para qualquer valor de x. e) f(x) > A equação da reta r é: a) y = -2x + 2 b) y = x + 2. = 2x + 2. e) y = -2x – 2 c) y = 2x + 1 d)y 30-(PUCCAMP)A soma e o produto das raízes de uma função do 2° grau são, respectivamente, 6 e 5. Se o valor mínimo dessa função é -4, então seu vértice é o ponto a) (3, -4) b) (11/2, -4) (-4; 3) e) (-4, 6) c) (0, -4) d) 21-(MACK) Se a função real definida por f(x) = x²+ (4 – k²) possui um máximo positivo, então a soma dos possíveis valores inteiros do real k é: a) - 2. 1. b) - 1. e) 2. c) 0. d) 31-(PUCRIO) O número de pontos de intersecção das duas parábolas y=x² e y=2x² -1 é: a) 0. 3. b) 1. e) 4. c) 2. d) 22-(GV) A função f, de R em R, dada por f(x)=ax²4x+a tem um valor máximo e admite duas raízes reais e iguais. Nessas condições, f(-2) é igual a a) 4 1/2 b) 2 e) – 2 c) 0 d) - 32-(UFV) O gráfico da função real f definida por f(x)=ax²+bx+c, com a < 0, passa pelos pontos (1,10) e (0,5). Logo o conjunto de todos os valores possíveis de b é: a) {b ∈IR | b ≤ -4} b) {b ∈ IR | b < -5} c) {b ∈ IR | b ≤ -3} d) {b ∈IR | b ≤ -2} e) {b ∈ IR | b ≤ -1} 33-( UFMG-01) Nessa figura, estão representados os gráficos das funções 23-(UFPE) Qual o maior valor assumido pela função f:[-7.10] →R definida por f(x) = x² - 5x + 9? 24-(FUVEST) O gráfico de f(x)=x²+bx+c, onde b e c são constantes, passa pelos pontos (0,0) e (1,2). Então f(-2/3) vale a) - 2/9 1/4 b) 2/9 e) 4 c) - 1/4 d) 25-(PUCMG) Na parábola y = 2x² - (m - 3)x + 5, o vértice tem abscissa 1. A ordenada do vértice é: a) 3 b) 4 e) 7 c) 5 d) 6 f(x) = x²/2 e g(x) = 3x - 5. Considere os segmentos paralelos ao eixo y, com uma das extremidades sobre o gráfico da função f e a outra extremidade sobre o gráfico da função g. Entre esses segmentos, seja S o que tem o menor comprimento. Assim sendo, o comprimento do segmento S é a) 1/2 5/4 b) 3/4 c) 1 d) 26-(UFMG) O ponto de coordenadas (3,4) pertence à parábola de equação y = ax² + bx + 4. A abscissa do vértice dessa parábola é: a) 1/2 b) 1 c) 3/2 d) 2 27-(UEL) Uma função f, do 2°grau, admite as raízes -1/3 e 2 e seu gráfico intercepta o eixo y no ponto (0;-4). É correto afirmar que o valor 13 34-(UNIFESP-02) O gráfico da função f(x) = ax² + bx + c (a, b, c números reais) contém os pontos (-1, -1), (0,-3) e (1, -1). O valor de b é: a) -2. e) 2. b) -1. c) 0. d) 1 a) [-20, ∞[ d) ]- ∞ , 20] b) [20, ∞ [ e) ]- ∞ , 25] c) ]- ∞, -20] 41-(UFMG-04) O intervalo no qual a função f(x) = x£ - 6x + 5 é crescente é: a) x < 5 GABARITO 1) E 2) C 3) D 4) A 5)B 6) A 7) E 8)D 9)C 10)A 11)D 12) C 13)D 14)C 15)C 16)A 17)A 18) a) 4x + y + 8 = 0 b) y = - x² + 2x c) x = -1 19)D 20)D 21)C 22)E 23) 93 24)A 25)A 26)C 27)E 28)B 29) A 30)A 31)C 32)B 33) A 34)C 35)D 36)A 37)C 38)E 39)B 40)A 41)D TESTES 1-) Seja a função f(x) = x2 – 2x + 1 e g(x) = 2x + 10. ilustradas na figura a seguir; b) 1 < x < 5 d) x > 3 c) x > 1 35-(PUCCAMP-01) Considere a função dada por y=3t² -6t+24, na qual y representa a altura, em metros, de um móvel, no instante t, em segundos. O valor mínimo dessa função ocorre para t igual a a) -2 e) 2 b) -1 c) 0 d) 1 36-(PUCCAMP-01) (Considere a função dada por y=3t²-6t+24, na qual y representa a altura, em metros, de um móvel, no instante t, em segundos. O ponto de mínimo da função corresponde ao instante em que a) a velocidade do móvel é nula. b) a velocidade assume valor máximo. c) a aceleração é nula. d) a aceleração assume valor máximo. e) o móvel se encontra no ponto mais distante da origem. 37-(PUCPR-01) O gráfico da função definida por f(x) = x² + bx + cos 8π /7:, x ∈ R a) intercepta o eixo das abscissas em exatamente 2 pontos positivos. b) intercepta o eixo das abscissas em exatamente 2 pontos negativos. c) intercepta o eixo das abscissas em 2 pontos de sinais diferentes. d) intercepta o eixo das abscissas na origem. e) não intercepta o eixo das abscissas. 38-(UFAL) O gráfico da função quadrática definida por f(x)=4x²+5x+1 é uma parábola de vértice V e intercepta o eixo das abscissas nos pontos A e B. A área do triângulo AVB é a) 27/8 b) 27/16 e) 27/128 c) 27/32 d) 27/64 calcule o maior dos comprimentos na região indicada. 2-EXPCEX-98) O gráfico abaixo fornece a relação entre o custo das ligações telefônicas locais de um assinante e o número de pulsos utilizados pelo mesmo. Considerando-se que: I – Em Maio/98 o assinante utilizou 100 pulsos. II – Em Junho/98 o valor de sua conta telefônica foi o dobro do valor de Maio/98. III – Só foram realizadas ligações locais à mesma tarifa. Pode-se afirmar que o número de pulsos utilizados por esse assinante em Junho/98 foi: 3-EXPCEX-98)A temperatura T de aquecimento de um forno, em oC, varia com o tempo t, em minutos, segundo a função abaixo: 39-(UFES-00) O gráfico da função y = x² - 1 é transladado de 3 unidades na direção e sentido do eixo x e de 1 unidade na direção e sentido do eixo y. Em seguida, é refletido em torno do eixo x. A figura resultante é o gráfico da função a) y = -(x + 3)² b) y = -(x - 3)² c) y = -(x + 3)² - 2 d) y = (x - 3)² - 2 e) y = (x + 3)² 40-(PUCPR-04) O gráfico de uma função do segundo grau tem seu eixo de simetria na reta x = 3, tem uma raiz igual a 1 e corta o eixo dos y em y = 25, então seu conjunto imagem é: O tempo necessário para que a temperatura do forno passe de 160 oC para 564 oC é? 14 4-) Na figura, a reta r encontra o gráfico de y = log3 x no ponto (9, b) . O valor de a + b é? Logaritmos 5-) Suponha que um projétil de ataque partiu da origem do sistema de coordenadas cartesianas descrevendo uma parábola, conforme a figura. Definição: Seja b ≠ 1 um número real positivo. Dado um número positivo x qualquer, existe um único número real y tal que x = by . Este número y é chamado logaritmo do número x na base b e será denotado por y = Log bx . Temos, então, a igualdade: a) Sabendo-se que o vértice da parábola do projétil de ataque é dado pelas coordenadas (15,45) e baseado nos dados da figura, calcule a equação da parábola do projétil de ataque. b) Um projétil de defesa é lançado a partir das coordenadas (6,0) e sua trajetória também descreve uma parábola segundo a equação y = – 0,25x2 + 9x – 45. Considerando-se que o projétil de defesa atingirá o projétil de ataque, calcule as coordenadas onde isto ocorrerá e diga se o alvo estará a salvo do ataque. 6-) Uma pessoa parte de carro de uma cidade X com destino a uma cidade Y. Em cada instante t (em horas), a distância que falta percorrer até o destino é dada, em dezenas de quilômetros, pela função D, definida por: Logaritmos 1)Função logarítmica Considere a função y = a x ,denominada de função exponencial, onde a base é um número positivo e diferente de 1, definida para todo x pertencente ao conjunto dos reais. Observe que nestas condições, a x é um numero positivo para todo o número positivo, para todo x ∈ IR ( Conjunto dos números reais). Denotando o conjunto dos números reais positivos por R * + ,poderemos escrever a função exponencial como se segue: * f : R → R+ ; y = a x , 0 < a < 1 Considerando o percurso da cidade X até a cidade Y, a distância, em média, por hora, que o carro percorreu foi: (A) 40 km. (B) 60 km. (D) 100 km. (E) 120 km (C) 80 km. Esta é bijetora, pois: a)É injetora ,ou seja:elementos distintos possuem imagens distintas. b)É sobrejetora,pois seu conjunto imagem coincide com seu conjunto contradomínio. Assim sendo, a função exponencial é Bijetora e, portanto, é uma função inversivel, ou seja, admite uma função inversa: * f : R+ → R; y = Log a x, 0 < a ≠ 1 . Função exponencial. Mostramos a seguir que os gráficos relacionados pela função exponencial e a função logarítmica( inversa a ela), são curvas simétricas em relação à bissetriz do primeiro e terceiro quadrantes, ou seja, simétricos em relação à reta y= x. Gráficos y = a x → y = Log a x;(a > 1) A função será crescente se a.>1 e decrescente se 0 < a < 1. É uma função Injetora. 15 Uma das principais aplicações das funções exponenciais, são suas aplicações nos ambientes tecnológicos. Modelo 1: Gráficos y = a x → y = Log a x, (0 < a < 1) Usado em: Da simples observação podemos concluir que: dos gráficos acima, Matemática financeira ( juros compostos). crescimento de bactérias. crescimento de sistemas populacionais. Para a > 1, as funções exponencial e logarítmica são CRESCENTES; Para 0 < a ≠ 1, elas são DECRESCENTES. O domínio da função y = Log a x é o conjunto R*+ . O conjunto imagem da função y = Log a x é o conjunto R dos números reais. O domínio da função Modelo 2 y = ax é o conjunto R dos números reais. O conjunto imagem da função y = ax é o conjunto R* +. Condições de existência dos logaritmos : b>0,a>0,e a≠1 Conseqüências da definição: log a 1 = 0 log a a = 1 log a a m = m a log a b Usado em: Matemática financeira ( juros compostos). Decrescimento radioativo. decrescimento de fármacos. =b Nomes dados à constante k: Constante de crescimento ou decaimento Taxa de juros compostos. log a b = log a c ⇔ b = c Propriedades operacionais dos logaritmos 1) Logaritmo do produto log b (a.c) = log b a + log b c 2) Logaritmo de um quociente log b a = log b a − log b c c Modelo 3 Dentre as funções que apresentam crescimento limitado, destacamos a função definida por: f(t) = A – Ce -kt , com t ≥ 0 e a e k positivos Após o estudo 16 3) Logaritmo de uma potência log b a n = n. log b c dos limites, será fácil verificar que esta função apresenta um crescimento limitado, isto é, à medida que x cresce o valor de f(t) fica próximo de a, sem ultrapassá-lo. Seu gráfico é: N(t) = No ekt Modelo 4: Curva sigmoidal: A função é: Desintegração radioativa: Os fundamentos do estudo da radioatividade ocorrerram no início do século por Rutherford e outros. Alguns átomos são naturalmente instáveis, de tal modo que após algum tempo, sem qualquer influência externa sofrem transições para um átomo de um novo elemento químico e durante esta transição eles emitem radiações. Rutherford formulou um modelo para descrever o modo no qual a radioatividade decai. Se N=N(t representa o número de átomos da substância radioativa no instante t, No o número de átomos no instante t=0 e k é uma constante positiva chamada de constante de decaimento, então: N(t) = No e-kt Curvas de aprendizagem: Devido ao seu uso por psicólogos e educadores na descrição do processo de aprendizagem, as curvas exponenciais realizam um papel importante. Usado em: Propagação de doenças. Propagação de boatos. Crescimento populacional: Em 1798, Thomas Malthus, no trabalho "An Essay on the Principle of Population" formulou um modelo para descrever a população presente em um ambiente em função do tempo. Considerou N=N(t) o número de indivíduos em certa população no instante t. Tomou as hipóteses que os nascimentos e mortes naquele ambiente eram proporcionais à população presente e a variação do tempo conhecida entre os dois períodos. Chegou à seguinte equação para descrever a população presente em um instante t: Exercícios 1) A figura abaixo mostra o gráfico da função logarítmica na base b. O valor de b é: 17 duplicado, após 6 horas o número de bactérias será a)4a. b) 2a√2. c) 6a. d) 8a. e) 8a√2. 2-UNESP) A função f(x)=500 . (5/4)x/10 com x em anos, fornece aproximadamente o consumo anual de água no mundo, em km3, em algumas atividades econômicas, do ano 1900 (x = 0) ao ano 2000 (x = 100). Determine, utilizando essa função, em que ano o consumo de água quadruplicou em relação ao registrado em 1900. Use as aproximações log 2 = 0,3 e log 5 = 0,7. 1960 3-UEG) Certa substância radioativa desintegra-se de modo que, decorrido o tempo t, em anos, a quantidade ainda não desintegrada da substância é S = S0 2-0,25t em que S0 representa a quantidade de substância que havia no início. Qual é o valor de t para que a metade da quantidade inicial desintegre-se? 4 anos 4-UNICAMP) A função L(x) = aebx fornece o nível de iluminação, em luxes, de um objeto situado a x metros de uma lâmpada. a) Calcule os valores numéricos das constantes a e b, sabendo que um objeto a 1 metro de distância da lâmpada recebe 60 luxes e que um objeto a 2 metros de distância recebe 30 luxes. 120 b)Considerando que um objeto recebe 15 luxes, calcule a distância entre a lâmpada e esse objeto. -ln2 5-UFU) Uma peça metálica foi aquecida até atingir a temperatura de 50 °C. A partir daí, a peça resfriar á de forma que, após t minutos, sua temperatura (em graus Celsius) será igual a 30 + 20e-0,2t. Usando a aproximação ln 2 = 0,7, determine em quantos minutos a peça atingirá a temperatura de 35 °C. 7 minutos 6-UNIFESP) Uma droga na corrente sangüínea é eliminada lentamente pela ação dos rins. Admita que, partindo de uma quantidade inicial de Qo miligramas, após t horas a quantidade da droga no sangue fique reduzida a Q(t)=Qo(0,64) t miligramas. Determine: a) a porcentagem da droga que é eliminada pelos rins em 1 hora. 36% b) o tempo necessário para que a quantidade inicial da droga fique reduzida à metade. Utilize log 2 = 0,30. 1,5 horas 7-UNICAMP) Um capital de R$12.000,00 é aplicado a uma taxa anual de 8%, com juros capitalizados anualmente. Considerando que não foram feitas novas aplicações ou retiradas, encontre: a) O capital acumulado após 2 anos. b) O número inteiro mínimo de anos necessários para que o capital acumulado seja maior que o dobro do capital a) 1 / 4 b)2 c)3 d)4 e)10 2) Na figura está representado o gráfico da função 1 f ( x) = log 2 ax + b Qual o valor de f(1)? 3) Seja f :]0, ∞[→ ¡ dada por f (x) = log 3 x . Sabendo que os pontos (a, -β), (b, 0), (c, 2) e (d, β) estão no gráfico de f, calcule b + c + ad. 4) A figura abaixo exibe um esboço do gráfico da função logaritmo na base b. Calcule o valor de 5b. EXERCICIOS CONTEXTUALIZADOS 1-UNESP) Uma cultura de bactérias cresce segundo a lei N(t) = a×10 xt , onde N(t) é o número de bactérias em t horas, t ³ 0, e a e x são constantes estritamente positivas. Se após 2 horas o número inicial de bactérias, N(0), é 18 inicial. (Se necessário, use log 2 = 0,301 e log 3 = 0,477). 8-UFSM) Carros novos melhoram o escoamento do trânsito e causam menos poluição. Para adquirir um carro novo, um cidadão fez um investimento de R$10.000,00 na poupança, a juros mensais de 1%, o qual rende, ao final de n meses, o valor de C(n) = 10.000 × (1,01)n reais. O número mínimo de meses necessário, para que o valor aplicado atinja R$ 15.000,00, é (Dados: log 2 = 0,301, log 3 = 0,477 e log 101 = 2,004) a)44 b) 46 c) 47 d) 48 e) 50 9-UFBA) A temperatura Y(t) de um corpo - em função do tempo t ≥ 0, dado em minutos - varia de acordo com a expressão Y(t) = Ya + Bekt, sendo Ya a temperatura do meio em que se encontra o corpo e B e k constantes. Suponha que no instante t = 0, um corpo, com uma temperatura de 75°C, é imerso em água, que é mantida a uma temperatura de 25°C . Sabendo que, depois de 1 minuto, a temperatura do corpo é de 50°C, calcule o tempo para que, depois de imerso na água, a temperatura do corpo seja igual a 37,5°C. 10-UNIFESP) A tabela apresenta valores de uma escala logarítmica decimal das populações de grupos A, B, C, ... de pessoas. Por algum motivo, a população do grupo E está ilegível. A partir de valores da tabela, pode-se deduzir que a população do grupo E é Após cinco dias da liberação do predador, o número de indivíduos desse grupo presentes no ambiente será igual a: a)3 b) 4 c) 300 d) 400 13-UFMS) Qual é a base do sistema de logaritmos em que o quíntuplo do logaritmo de qualquer número real positivo nessa base é uma unidade superior ao logaritmo, na base 2, da metade desse número real positivo? 14-UNICAMP) O decaimento radioativo do estrôncio 90 é descrito pela função P(t) = P0 . 2–bt, onde t é um instante de tempo, medido em anos, b é uma constante real e P0 é a concentração inicial de estrôncio 90, ou seja, a concentração no instante t = 0. a) Se a concentração de estrôncio 90 cai pela metade em 29 anos, isto é, se a meia-vida do estrôncio 90 é de 29 anos, determine o valor da constante b. b) Dada uma concentração inicial P0, de estrôncio 90, determine o tempo necessário para que a concentração seja reduzida a 20% de P0. Considere log210 » 3,32. 15-UNESP) A expectativa de vida em anos em uma região, de uma pessoa que nasceu a partir de 1900 no ano x (x ³ 1900), é dada por L(x) = 12(199 log10 x - 651). Considerando log10 2 = 0,3, uma pessoa dessa região que nasceu no ano 2000 tem expectativa de viver: a) 48,7 anos. b) 54,6 anos. c) 64,5 anos. d) 68,4 anos. e) 72,3 anos. 16-) Uma certa bactéria se alastra de tal forma que o números de indivíduos é 50% maior em 10 horas. Se o número de bactérias é dado por Q= Q0 ekt determine a constante de crescimento. 17-) Um certo isótopo se desintegra de tal forma que sua massa se reduz a metade do inicial em 400 anos . Sabendo que sua massa é dada por M = M0 e-kt 18-) Um certo antibiótico é eliminado no do corpo humano de tal forma que sua quantidade no corpo humano é dada por : Q = Q0 e-kt. Se em 10 horas a quantidade é de 20% do inicial . Determine a constante de decaimento. 19-) Uma colônia de bactérias esta sob a ação de um novo bactericida que mata indivíduos da colônia de tal forma que a quantidade de integrantes da colônia se reduz a 80% do inicial em 20 minutos. Calcule o tempo necessário para que a colônia se reduza a metade considerando 19 11-UFG) A lei de resfriamento de Newton estabelece para dois corpos, A e B, com temperatura inicial de 80oC e 160oC, respectivamente, imersos num meio com temperatura constante de 30oC, que as temperaturas dos corpos, após um tempo t, serão dadas pelas funções TA = 30 + 50´10- kt e TB = 30 + 130´10-2kt onde k é uma constante. Qual será o tempo decorrido até que os corpos tenham temperaturas iguais? a) (1/k).log5 b) (2/k).log(18/5) c) (1/k).log(2/5) d) (2/k).log(5/2) e) (1/k).log(13/5) 12-UERJ) O número, em centenas de indivíduos, de um determinado grupo de animais, x dias após a liberação de um predador no seu ambiente, é expresso pela seguinte função: que a quantidade do bactericida é dada por Q = Q0 e -kt 20-) Um pesticida experimental que aumenta a imunidade de plantas em relação de mutualismo com formigas, diminui 40% da quantidade inicial de vespas na plantação em 20 horas. Determine depois de quantas horas a quantidade de vespas reduz a 90% considerando Q = Q0 e –kt 21-PSS 1- 2005) Um antibiótico age no corpo humano de tal forma que sua concentração se reduz a 20% do inicial em 12 horas. Determine o tempo necessário para que a quantidade seja de 40% 22-) Segundo a lei do resfriamento de Newton, a temperatura T de um corpo colocado num ambiente cuja temperatura é T0 obedece à seguinte relação: P0 . 2–bt, onde t é um instante de tempo, medido em anos, b é uma constante real e P0 é a concentração inicial de estrôncio 90, ou seja, a concentração no instante t = 0. a) Se a concentração de estrôncio 90 cai pela metade em 29 anos, isto é, se a meia-vida do estrôncio 90 é de 29 anos, determine o valor da constante b. b) Dada uma concentração inicial P0, de estrônciTo 90, determine o tempo necessário para que a concentração seja reduzida a 20% de P0. Considere log210 » 3,32. Nesta relação, T é medida na escala Celsius, t é o tempo medido em horas, a partir do instante em que o corpo foi colocado no ambiente, e k e c são constantes a serem determinadas. Considere uma xícara contendo café, inicialmente a 1000 C, colocada numa sala de temperatura 200 C. Vinte minutos depois, a temperatura do café passa a ser de 400 C. 23-UNICAMP) O decaimento radioativo do estrôncio 90 é descrito pela função P(t) = 20