Fuerzas Estatica Opta 2010 II
Comments
Description
UNIVERSIDAD NACIONAL“SANTIAGO ANTUNEZ DE MAYOLO” CURSO: FISICA I TEMA: FUERZAS - ESTATICA Profesor: Mag. Optaciano Vásquez García HUARAZ -PERÚ 2011 I. FUERZA • En física, la fuerza es todo agente capaz de modificar la cantidad de movimiento o la forma de los cuerpos. Es decir, la fuerza expresa la acción mecánica de un cuerpo sobre otro. • Siendo la fuerza una cantidad vectorial su especificación completa requiere de: (a) una intensidad, (b) una dirección y sentido, y (c) un punto de aplicación. ELEMENTOS DE LA FUERZA II. EFECTOS DE LA FUERZA La fuerza produce dos efectos: A. Exteriores: En la estructura el efecto exterior de la fuerza aplicada al cable son las reacciones que aparecen sobre la estructura B. Interiores: El efecto interior de la fuerza F es las deformaciones y esfuerzos resultantes distribuidos en el interior del material I. FUERZA_2 Al estudiar la mecánica de los cuerpos rígidos donde se tiene en cuenta el efector exterior podemos considerar a la fuerza como un vector deslizante es decir, goza del principio de transmisibilidad, esto es, la fuerza puede considerarse aplicada en cualquier punto de su línea de acción sin que altere su efecto exterior sobre el cuerpo II. CLASES DE FUERZAS 1. FUERZAS DE CONTACTO. Se generan mediante el contacto físico directo entre dos cuerpos 2. FUERZAS MASICAS se crean por acción a distancia. Ejm. la fuerza gravitacional, eléctrica y magnética. II. CLASES DE FUERZAS_2 1. FUERZAS CONCENTRADAS Aquellas que se consideran aplicada en un punto 2. FUERZAS DISTRIBUIDAS Aquellas que se consideran aplicadas en una línea, un área o un volumen III. UNIDADES DE FUERZA • Una fuerza puede medirse comparándola con otras fuerzas conocidas, recurriendo al equilibrio mecánico, o por deformación calibrada de un resorte. • La unidad patrón de la fuerza en el SI de unidades es el Newton (1 N) IV. FUERZA RESULTANTE • Consideremos dos fuerzas actuando sobre un cuerpo como se ve en la figura . • Geométricamente se determina mediante la ley del paralelogramo o triángulo. Su modulo y dirección son 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 cos ( ) R R F F F F F F F F sen sen sen u t u | o = + + = = ÷ EJEMPLO La camioneta es remolcada usando dos cables. Determine las magnitudes de las fuerzas F A y F B que actúan en los extremos de los cables de tal manera que la fuerza resultante sea de 950N dirigida a lo largo del eje +x. Considere que θ = 50°. V. DESCOMPOSICIÓN DE UNA FUERZA 1. EN DOS DIRECCIONES PERPENDICULARES EN EL PLANO 2 2 1 2 ˆ ˆ ˆ ˆ cos ˆ ˆ (cos ) ˆ ˆ ˆ (cos ) R x y R x y R R R y x F F F F F i F j F F i Fsen j F F i sen j i sen j F F F F tg F u u u u ì u u u = + = + = + = + = + = + = V. RESULTANTE DE FUERZAS EN FORMA DE COMPONENTES 2 2 ˆ ˆ ; tan x y x x y y x y y x R F R R i R j R F R F R R R R R u = = + = = = + = ¿ ¿ ¿ Ejemplo • Si F B = 2 kN y la fuerza resultante actúa a lo largo del eje positivo u. Determine la magnitud de la fuerza resultante y el ángulo θ. • Ejemplo • Si la magnitud de la fuerza resultante actuando sobre el soporte es de 450 N dirigida a lo largo de eje +u. Determine la magnitud de la fuerza F 1 y su dirección φ. • VI. DESCOMPOSICIÓN DE UNA FUERZA 2. EN DOS DIRECCIONES NO PERPENDICULARES EN EL PLANO R A A B B F F F ÷ ÷ = + Ejemplo Calcule las componentes de la fuerza de 260 N representada en la figura, una de ellas actúa en la dirección de AB mientras que la línea de acción de la otra componente pasa por C Ejemplo • Resuelva la fuerza de 250 N en componentes actuando a lo largo de los ejes u y v y determine las magnitudes de estas componentes. • EJEMPLO O2 La fuerza de 500 N que actúa sobre la armadura ha de ser resuelta en dos componentes actuando a lo largo de los ejes AB y AC de la estructura. Si la componente de la fuerza a lo largo de AC es de 300 N dirigida de A C, determine la magnitud de la fuerza actuante a l largo de AB y el ángulo θ de la fuerza de 500 N Ejemplo • Una barra y una riostra resisten una fuerza de 100 kN en la forma que se indica en la figura. Determine la componente de la fuerza según el eje AB de la barra y la componente de la fuerza según el eje AC de la riostra. EJEMPLO Un cable ejerce una fuerza F en el soporte del miembro estructural. Si la componente x de F es 4 kN. Halle su componente y y su módulo EJEMPLO Expresar la fuerza P, de módulo 10 N, en función de los vectores i y j : Halle las componentes escalares P t y P n respectivamente paralela y normal a la recta OA. EJEMPLO La fuerza F de 500 N está aplicada al poste vertical tal como se indica . (a) Escribir F en función de los vectores unitarios i y j e identificar sus componentes vectoriales y escalares; (b) hallar las componentes escalares de F en los ejes x’ e y’; © hallar las componentes escalares de F en los ejes x e y’. EJEMPLO Determine: (a) el valor requerido de o si la resultante de las tres fuerzas mostradas en la figura es vertical. (b) La correspondiente magnitud de la resultante EJEMPLO Combinar las dos fuerza P y T, que actúan sobre el punto B de la estructura fija, para obtener una única fuerza R. EJEMPLO En el sistema de fuerzas mostrado en la figura determine la magnitud y la dirección de la fuerza resultante. VII. DESCOMPOSICIÓN DE UNA FUERZA 3. EN TRES DIRECCIONES PERPENDICULARES EN EL ESPACIO 2 2 2 ˆ ˆ ˆ ( ) ˆ ˆ ˆ cos cos cos ˆ ˆ ˆ (cos cos cos ) ˆ ˆ ˆ ˆ (cos cos cos ) R H z R x y z R R R x y z F F F F F i F j F k F F i F j F k F F i j k i j k Modulo F F F F o | ¸ o | ¸ ì o | ¸ = + = + + = + + = + + = + + = + + DIRECCIÓN DEL VECTOR FUERZA ˆ (cos cos cos cos cos cos x y z A Ae A A A A A A A A o | ¸ o | ¸ = = + + = + + = + + A i j k i j k i j k ) ˆ 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ( ) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ cos cos cos A x y y x z A A A Ae A e A i A j Ak A A A A A e i j k A A A e i j k o | ¸ = = = + + = + + = + + A A A z = ¸ cos A A x = o cos A A y = | cos 1 cos cos cos 2 2 2 = + + ¸ | o •Coordinate Direction Angles Fuerzas en 3D = + + ˆ ˆ ˆ x y z F F i F j F k u u u = = = cos , cos , cos x x y y z z F F F F F F = + + 2 2 2 x y z F F F F VIII. FUERZA DEFINIDA POR SU MODULO Y DOS PUNTOS DE SU LINEA DE ACCIÓN En algunos casos la fuerza está definida por su modulo y dos puntos de su línea de acción. En este caso VIII. FUERZA DEFINIDA POR SU MODULO Y DOS PUNTOS DE SU LINEA DE ACCIÓN ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ x y z x y z x y z x x i y y j z z k MN F F F F MN x x y y z z d i d j d k d i d j d k F F F d d d d ì ÷ + ÷ + ÷ = = = ÷ + ÷ + ÷ + + + + = = + + VIII. FUERZA EN 3D | | | u | u = = = = cos , sin cos cos , cos sin xy z x y F F F F F F F F EJEMPLO Expresar la fuerza F de 36 kN en función de los vectores unitarios i, j y k. Hallar la proyección sobre el eje x EJEMPLO El cable ejerce una fuerza de 2 kN sobre el extremo A de la estructura mostrada en la figura. (a) Escribir la expresión vectorial de la fuerza de tensión T. (b) Encuentre la proyección de T a lo largo de la línea 0A EJEMPLO La tensión en el cable es de 350 N. Represente esta fuerza , actuando sobre el soporte A como un vector cartesiano 2 2 2 (0, 0, 7.5) (3, 2,1.5) (3, 2, 6) (3 2 6 ) 3 ( 2) ( 6) 7 3 2 6 3 2 6 ( ) 7 7 7 7 7 7 3 2 6 350 ( ) 7 7 7 (150 100 300 ) AB AB AB AB AB AB AB A m B m r B A m r m r m r u r F Fu N F N = = ÷ = ÷ = ÷ ÷ = ÷ ÷ = + ÷ + ÷ = = = ÷ ÷ = ÷ ÷ = = ÷ ÷ = ÷ ÷ i j k , , i j k i j k i j k EJEMPLO Sabiendo que la tensión en el cable AB es 1425 N, determine las componentes de la fuerza sobre la placa ejercida en B EJEMPLO Encontrar la magnitud y la dirección de la resultante de las dos fuerzas mostradas en la figura, EJEMPLO Expresar la fuerza F de 400 N en función de los vectores unitarios i, j y k. Hallar la proyección sobre la recta OA. EJEMPLO Determine la magnitud y los ángulos directores de la fuerza resultante actuando en A Ejemplo • Determine las magnitudes de las componentes proyectadas de la fuerza F = 300 N actuando a lo largo de los ejes x e y. Ejemplo • En el ensamble de tuberías. Determine las magnitudes de las componentes de la fuerza F = 400 N actuando paralela y perpendicular al segmento BC Ejemplo • Determine el ángulo θ que forman los dos vectores fuerzas EJEMPLO Sabiendo que la tensión en el cable AB es de 510 lb y en el cable AC es de 425 lb. Determine la magnitud y la dirección de la resultante de las fuerzas en el punto A ejercida por lo dos cables EJEMPLO Calcular las componentes rectangulares de la fuerza de 110 N, representada en la figura, una es paralela a AB y la otra es perpendicular a esta línea. Ejemplo • Determine la coordenada angular γ y F 2 y entonces exprese cada una de las fuerzas en forma de vectores cartesianos. ¿Cuál sería la magnitud y dirección de la fuerza resultante?. Ejemplo • La placa rectangular está sujeta por dos bisagras montadas en su canto BC y el cable AE. Si la tensión en el cable vale 300 N. Determine la proyección sobre la recta BC de la fuerza que el cable ejerce sobre la placa. Observe que E es el punto medio del borde superior del soporte estructural IX. MOMENTO DE UNA FUERZA Al finalizar esta sección el estudiante será capaz de: a) Definir el momento de una fuerza b) Determinar momentos de fuerzas en el plano y en el espacio c) Determinar el momento respecto de un eje d) Definir una cupla e) Determinar momentos de cuplas f) Reducir un sistema de fuerzas IX. MOMENTO DE UNA FUERZA El momento o torque de una fuerza con respecto de un punto es la medida de la tendencia a la rotación que produce dicha fuerza IX. MOMENTO DE UNA FUERZA • El momento de una fuerza (respecto a un punto dado) es una magnitud vectorial, obtenida como producto vectorial del vector de posición del punto de aplicación de la fuerza con respecto al punto al cual se toma el momento por la fuerza, en ese orden. IX. MOMENTO DE UNA FUERZA_2 El momento de una fuerza aplicada en un punto P con respecto de un punto O viene dado por el producto vectorial del vector de posición OP por el vector fuerza F; esto es El momento es un vector perpendicular al plano de r y F. La magnitud del momento esta dado por El sentido del momento se determina mediante la regla de la mano derecha. Dado que las fuerzas tienen carácter de vectores deslizantes, el momento de una fuerza es independiente de su punto de aplicación sobre su recta de acción o directriz. / O A O M r F = × ( ) sin O M r F Fd u = = IX. INTERPRETACIÓN DEL MOMENTO DE UNA FUERZA- CON RESPECTO A UN PUNTO…. El momento de una fuerza con respecto a un punto o a un eje nos da una medida de la tendencia de la fuerza a causar que el cuerpo rote con respecto a un punto o eje IX. INTERPRETACIÓN DEL MOMENTO DE UNA FUERZA- CON…. El momento tiende a provocar un giro en el cuerpo sobre el cual se aplica y es una magnitud característica en elementos que trabajan sometidos a torsión (como los ejes de maquinaria) o a flexión (como las vigas Componentes rectangulares del momento ( ) ( ) ( ) O x y z O x y z O z y x z y x M M i M j M k i j k M x y z F F F M yF zF i zF xF j xF yF k = + + = = ÷ + ÷ + ÷ • El momento alrededor de O es, , O x y z M r F r xi yj zk F F i F j F k = × = + + = + + 9.3. COMPONETES RECTANGULARES DEL MOMENTO RESPECTO A UN PUNTO CUALQUIERA 9.4. COMPONETES RECTANGULARES DEL MOMENTO EN EL PLANO Ejemplo • Determine el momento de la fuerza de 100 N con respecto al punto A Ejemplo • Una fuerza P de 13,2 N se aplica a la palanca que controla la barrena de un soplador de nieve. Determine el momento de P respecto a A cuando o es igual a 30 °. Ejemplo • Determine el momento de las tres fuerzas respecto a: (a) punto A y (b) punto B de la viga Ejemplo • Encuentre el momento de la fuerza F con respecto al punto O Ejemplo • Una tabla de madera AB, que se utiliza como un apoyo temporal para apoyar a un pequeño tejado, ejerce en el punto A del techo una fuerza de 228 N dirigida a lo largo de BA. Determinar el momento con respecto a C de esa fuerza. Ejemplo • Si F = 450 N. determine el momento producido por esta fuerza alrededor del eje x Ejemplo • La fuerza de 200 N actúa como se muestra en la figura. Determine el momento de dicha fuerza con respecto al punto O Ejemplo Se aplica una fuerza vertical de 100 lb al extremo de una palanca que está unida a un eje en O. Determine: (a) el momento de la fuerza de 100 lb con respecto al punto O, (b) el módulo de la fuerza horizontal que aplicada en A produce el mismo momento produce el mismo momento respecto a O, (c) la menor fuerza que aplicada en A produce el mismo momento respecto a O, (d) a que distancia del eje debe aplicarse una fuerza vertical de 240 lb para que produzca el mismo momento respecto a O Parte (a) La magnitud del momento de la fuerza de 100 lb se obtiene multiplicando la fuerza por el brazo de palanca esto es La dirección de Mo es perpendicular al plano que contiene F y d y su sentido se determina mediante la regla derecha ( ) ( )( ) in. 12 lb 100 in. 12 60 cos in. 24 = = ° = = O O M d Fd M in lb 1200 · = O M •SOLUCIÓN Parte (b) La fuerza que aplicada en A produce el mismo momento se determina en la forma siguiente •SOLUCIÓN ( ) ( ) in. 8 . 20 in. lb 1200 in. 8 . 20 in. lb 1200 in. 8 . 20 60 sin in. 24 · = = · = = ° = F F Fd M d O lb 7 . 57 = F Parte (b) Debido a que M = F d. el mínimo valor de F corresponde al máximo valor de d. Eligiendo la fuerza perpendicular a OA se encuentra que d = 24 in; entonces •SOLUCIÓN ( ) in. 4 2 in. lb 1200 in. 4 2 in. lb 1200 · = = · = F F Fd M O lb 50 = F Parte (b). En este caso Mo = Fd obteniendo •SOLUCIÓN ( ) in. 5 cos60 in. 5 lb 40 2 in. lb 1200 lb 240 in. lb 1200 = ° = · = = · = OB d d Fd M O in. 10 = OB Ejemplo • Una fuerza de 450 N se aplica en A. Determine: (a) el momento dela fuerza de 450N con respecto al punto D, (b) la fuerza más pequeña que aplicada en B, crea el mismo Ejemplo • Determine el momento resultante de las cuatro fuerzas con respecto al punto O Ejemplo • Una fuerza Q de 450 N se aplica en C. Determine el momento de Q: (a) con respecto al origen de coordenadas del sistema y (b) con respecto al punto D Ejemplo • La placa rectangular es soportada por dos pernos en A y B y por un alambre CD. Conociendo que la tensión e el alambre es 200 N. Determine el momento con respecto al punto A de la fuerza ejercida por el alambre en C •El momento MA de la fuerza F ejercida por el alambre es obtenido evaluando el producto vectorial •SOLUCIÓN SOLUCIÓN F r M A C A × = ( ) ( ) j i r r r A C A C m 08 . 0 m 3 . 0 + = ÷ = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )k j i k j i r r F F D C D C N 128 N 6 9 N 120 m 5 . 0 m 32 . 0 m 0.24 m 3 . 0 N 200 N 200 ÷ + ÷ = ÷ + ÷ = = = ì 128 96 120 08 . 0 0 3 . 0 ÷ ÷ = k j i M A Ejemplo La tensión en el cable AB es 150 N. Determine la tensión en AC y CD tal que la suma de los momentos alrededor del origen debido a la fuerza ejercida por los cables en el punto A es cero. Ejemplo 9.5. MOMENTO DE UNA FUERZA CON RESPECTO A UN EJE QUE PASA POR EL ORIGEN • Sabemos que el momento de la fuerza F respecto al punto O. 9.5. MOMENTO DE UNA FUERZA CON RESPECTO A UN EJE QUE PASA POR EL ORIGEN • El momento de la fuerza F con respecto al eje OL es la proyección ortogonal de Mo sobre el eje OL. • El momento MOL de F alrededor del eje OL mide la tendencia de la fuerza F a impartir al cuerpo rígido rotación alrededor del eje OL ( ) ( ) 0 ˆ ˆ ˆ ˆ . . . OL M M r F ì ì ì ì ( = = ¸ ¸ 12.6. MOMENTO DE UNA FUERZA CON RESPECTO A UN EJE QUE PASA POR UN PUNTO CUALQUIERA • El momento de una fuerza alrededor de un eje cualquiera es • El resultado es independiente del punto B ( ) ( ) / / ˆ ˆ . ˆ ˆ . OL B OL A B A B A B M M M r xF r r r ì ì ì ì = ( = ¸ ¸ = ÷ Ejemplo • Sobre un cubo de arista a actúa una fuerza P, como se muestra en la figura. Determine el momento de P: (a) con respecto a A, (b) con respecto a la arista AB. (c) Con respecto a la diagonal AG •SOLUCIÓN • Moment of P about A, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) j i P j i a M j i P j i P P j i a j a i a r P r M A A F A F A + × ÷ = + = + = ÷ = ÷ = × = 2 2 2 2 ( )( ) k j i aP M A + + = 2 • Moment of P about AB, ( )( ) k j i aP i M i M A AB + + - = - = 2 2 aP M AB = •La magnitud del momento respecto a AB es •SOLUCIÓN •(c) La magnitud del momento respecto a AG es ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 6 2 3 1 2 3 1 3 ÷ ÷ = + + - ÷ ÷ = + + = ÷ ÷ = ÷ ÷ = = - = aP k j i aP k j i M k j i aP M k j i a k a j a i a r r M M AG A G A G A A AG ì ì 6 aP M AG ÷ = Ejemplo • Se aplica una tensión T de intensidad 10 kN al cable amarrado al extremo superior A del mástil rígido y se fija en tierra en B. Hallar e momento Mz de T respecto del eje Z que pasa por la base O del mástil. Ejemplo • La fuerza F tiene una intensidad de 2 kN y está dirigida de A hacia B. Determine : (a) La proyección FCD de La fuerza F sobre la recta CD (b) el ángulo que θ que forma la fuerza F y la recta CD y (c) si el modulo del momento F respecto a la recta CD es de 50 N. m, halle el módulo de la fuerza Ejemplo • La tensión el cable es 143,4 N. Determine el momento alrededor del eje x de esta fuerza de tensión actuando en A. Compare su resultado con el momento del peso de 15 kgf de la placa uniforme alrededor del eje x. ¿Cuál es el momento de fuerza de tensión actuando en A alrededor de la línea OB Ejemplo • Una barra doblada está rígidamente fijada a una pared en el punto (0,0,0). Una fuerza de magnitud F = 7 lb actúa en su extremo libre con una línea de acción que pasa por el origen, como se muestra en la figura: Halle : (a) el momento de la fuerza respecto al punto P, (b) el momento respecto a la línea l que pasa por P con una pendiente 5/12 en el plano yz. Ejemplo • La cadena CB mantiene a la puerta abierta a 30°. Si la tensión en la cadena es F C = 250 N. Determine: (a) La expresión vectorial de la fuerza , (b) el momento de fa fuerza con respecto a la bisagra en A, (c) el momento de la fuerza con respecto al eje a-a que pasa por las bisagras de la puerta. Ejemplo • Una fuerza es aplicada al extremo de una llave para abrir una válvula de gas. Determine la magnitud del omento de dicha fuerza con respecto al eje z Ejemplo • Determine el momento producido por la la fuerza F el cual tiende a hacer rotar al tubo alrededor del eje AB 9.7. PRINCIPIO DE MOMENTOS: Teorema de Varignon Si un sistema de fuerzas concurrentes esta actuando sobre un cuerpo como se muestra en la figura, el momento de la fuerza resultante alrededor del punto puede ser determinado mediante la suma de cada uno de los momentos de las fueras individuales respecto al mismo punto. Es decir: 9.8. CUPLA O PAR DE FUERZAS La cupla o par de fuerzas es un sistema formado por dos fuerzas F y –F que tiene la misma magnitud, líneas de acción paralelas separadas por una distancia perpendicular pero de sentidos opuestos. 9.8. CUPLA O PAR DE FUERZAS • El momento de la cupla es, •El vector momento de la cupla es un vector independiente del origen o es decir es un vector libre perpendicular al plano que contiene la fuerzas ( ) ( ) sin A B A B M r F r F r r F r F M rF Fd u = × + × ÷ = ÷ × = × = = 9.8. DIRECCIÓN Y SENTIDO DEL PAR • La cupla es un vector libre perpendicular al plano de la cupla y su sentido se determina mediante la regla de la mano derecha 9.8. CUPLA O PAR DE FUERZAS • Dos cuplas tendrán igual momento si: a) b) Las dos cuplas se encuentran ubicadas en planos paralelos c) La dos cuplas tienen el mismo sentido o la misma tendencia a causar rotación y la misma dirección Ejemplo de cupla • Determine el momento de la cupla mostrada en la figura y la distancia perpendicular entre las dos fuerzas Ejemplo de cupla Dos fuerzas paralelas de sentidos opuestos son F1 = (-70i - 120j - 80k)lbf y F2 = (70i +120j + 80k)lbf y actúan en los puntos A y B del cuerpo mostrado en la figura. Determine el momento de la cupla y la distancia perpendicular entre las dos fuerzas Ejemplo de cupla En la figura se muestra a dos cuplas actuando sobre el soporte. (a) Descomponga las fuerzas en componentes x e y. (b) Encuentre el momento producido por dichas cuplas Ejemplo de cupla En la figura se muestra a dos cuplas actuando sobre el soporte. (a) Descomponga las fuerzas en componentes x e y. (b) Encuentre el momento producido por dichas cuplas Ejemplo de cupla En la figura se muestra una cupla o par de fuerzas actuando sobre un sistema de tuberías. Si la magnitud de las fuerzas es de 35 N. Determine el momento del par de fuerzas actuando sobre la tubería en coordenadas cartesianas Ejemplo de cupla Determine el momento de la cupla que actúa sobre la tubería. El segmento AB está dirigido 30° hacia abajo del plano xy. Ejemplo de cupla Determine el momento de la cupla que actúa sobre la tubería. La magnitud de cada una de las fuerzas es de 25N Ejemplo de cupla En la figura se muestra un sistema compuesto por dos cuplas actuando sobre una viga. Si el momento resultante es nulo. Determine las magnitudes de las fuerzas P y F así como la distancia d Ejemplo de cupla En la figura se muestra un par de fuerzas de 15 N de magnitud actuando sobre un sistema de tuberías. Determine el momento de la cupla X. EQUIVALENCIA ENTRE LOS PARES Dos sistemas de fuerzas son equivalentes (es decir producen el mismo efecto sobre un sólido) si pueden transformarse el uno en el otro mediante una o varias de las operaciones siguientes: a) Sustituyendo dos fuerzas que actúan sobre la misma partícula por su resultante; b) Descomponiendo una fuerza en dos componentes y c) Anulando fuerzas iguales y opuestas que actúan sobre la misma partícula d) Aplicando a una partícula dos fuerzas iguales y opuestas e) Moviendo una fuerza a lo largo de su recta soporte XI. SISTEMAS FUERZA- PAR Cualquier fuerza F aplicada a un sólido rígido puede ser trasladada a un punto arbitrario B, sin más que añadir una cupla cuyo momento sea igual al momento de F respecto de B •No hay cambio en el efecto externo •Cupla XI. SISTEMAS FUERZA- PAR Ejemplo Remplace la fuerza de 350 N por una fuera y una cupla en el punto B- Exprese su respuesta en coordenadas cartesianas solución •Se trazan dos fuerzas en B como se ve en la figura . La expresión vectorial de F es •El momento C será Ejemplo Remplace la fuerza de 600 N mostrada en la figura por una fuera y una par en el punto A. Exprese su respuesta en coordenadas cartesianas Ejemplo La tensión en el cable sujeto al extremo C del botalón ajustable ABC es de 1000 N. Sustituir la fuerza que el cable ejerce en C por un sistema fuerza-par equivalente : (a) en A , (b) en B Ejemplo • Una fuerza de 700 N es aplicada en el punto A de un miembro estructural. Sustituirla por: (a) un sistema fuerza – par equivalente en C, (b) un sistema equivalente compuesto por una fuerza vertical en B y una segunda fuerza en D Ejemplo La fuerza horizontal P actúa como se muestra sobre la palanca acodada. (a) sustituir P por un sistema fuerza-par equivalente en B. Determinar las dos fuerzas verticales en C y D equivalentes al par hallado en la parte (a) XII. COMPOSICIÓN DE FUERZAS CONCURRENTES Consideremos un sistema de fuerzas aplicadas a un cuerpo como se muestra en la figura. Para encontrar la resultante de las fuerzas se descompone cada una de ellas en componentes i, j, k. es decir 1 1 1 1 2 2 2 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ; ;........ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ;.........; ; x y z x y z i ix iy iz nx ny nz F F i F j F k F F i F j F k F F i F j F k F F i F j F k = + + = + + = + + = + + XII. COMPOSICIÓN DE FUERZAS CONCURRENTES La resultante es la suma vectorial de todas las fuerzas esto es 1 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 .... .... ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ( ) ( ) ........ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ( ) ......... ( ). ˆ ( ... ... ) ( ... ... ) ( ... ... i n x y z x y z ix iy iz nx ny nz x ix nx y iy ny z iz n R F F F F R F i F j F k F i F j F k F i F j F k F i F j F k R F F F i F F F j F F F = + + + + + = + + + + + + + + + + + + + = + + + + + + + + + + + + + + 1 1 1 ˆ ) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ z n n n ix iy iz i i i x y z k R F i F j F k R R i R j R k = = = | | | | | | = + + | | | \ . \ . \ . = + + ¿ ¿ ¿ XII. COMPOSICIÓN DE FUERZAS CONCURRENTES La magnitud y dirección de la resultante son 2 2 2 cos ; cos ; cos x y z y x z R R R R R R R R R R o | ¸ = + + = = = Ejemplo • A un punto de un cuerpo se aplican dos fuerzas en la forma que se indica en al figura. Determine: (a) El módulo dirección y sentido de la fuerza resultante R; (b) El ángulo α que forman las fuerzas F1 y F2. Ejemplo • A un punto de un cuerpo se aplican dos fuerzas en la forma que se indica en al figura. Determine: (a) El módulo dirección y sentido de la fuerza resultante R; Ejemplo Determine la magnitud y dirección de la fuerza resultante R del sistema de fuerza concurrentes mostrado en la figura COMPOSICIÓN DE FUERZAS APLICADAS A UN CUERPO RIGIDO Cuando las fuerzas no se aplican al mismo punto sino que actúan en un cuerpo rígido, es necesario distinguir dos efectos: (a) Traslación: la misma que se encuentra definida por la suma vectorial de la fuerzas (la resultante R). (b) Rotación: El cual queda determinado por la suma vectorial de los momentos. 1 2 .... .... i n i R F F F F F = + + + + + = ¿ 1 ... .... i n i M M M M M = + + + + = ¿ XIII. COMPOICIÓN DE FUERZAS APLICADAS A UN CUERPO RIGIDO Parece lógico suponer que el punto de aplicación de la resultante R debe ser tal que el momento o torque debido a R sea igual a M. Esta situación se cumple para fuerzas concurrentes. En estas condiciones la resultante sustituye en todos su efectos al sistema. Sin embargo, esto no es posible, ya que el torque de R es un vector perpendicular a R y en muchos casos esto no se cumple. Un ejemplo de estos lo constituye la cupla o par de fuerzas XIV. COMPOSICIÓN DE FUERZAS COPLANARES NO CONCURRENTES Consideremos el sistema de fuerzas en el plano mostrado Debido a que las fuerzas están en el plano, la resultante también lo estará. Si los momentos se evalúan respecto a cualquier punto del plano, los vectores de posición de los puntos de aplicación de las fuerzas también lo estarán en el plano XIV. COMPOSICIÓN DE FUERZAS COPLANARES NO CONCURRENTES Esto nos indica que los momentos de cada una de las fuerzas así como el de la resultante son perpendiculares al plano. Es decir son vectores paralelos. Esta es la condición necesaria para que los vectores sean iguales . Es decir 1 ( ) R i n R i i i M M r xR r xF = = = ¿ ¿ XIV. COMPOSICIÓN DE FUERZAS COPLANARES NO CONCURRENTES Debido a que: los vectores fuerza, el vector fuerza resultante; los vectores de posición de cada fuerza y el de la resultante están en el plano por ejemplo el plano xy, entonces el momento o torque tendrá una sola componente entonces, tenemos Conociendo las fuerzas y sus puntos de aplicación, se puede determinar las componentes de la resultante y por tanto su punto de aplicación 1 ˆ ˆ ( ) ( ) n y x i yi i xi i xR yR k x F y F k = ÷ = ÷ ¿ Ax By C ÷ = Ejemplo Las fuerzas representadas en la figura tienen las magnitudes siguientes: F1 = 130 kN, F2 = 200 kN y F3 = 100 kN. Calcule y localice la fuerza resultante del sistema de fuerzas considerado Ejemplo Hallar la fuerza resultante R de las tres fuerzas y los dos pares representados. Determine la abscisa en el origen x de la recta soporte de R. Ejemplo • Un soporte está sometido al sistema de fuerzas y pares representados en la figura. Determine: (a) El módulo, dirección y sentido de la fuerza resultante; (b) La distancia perpendicular desde el pasador A hasta la recta soporte de la resultante. Ejemplo La fuerza de 200 kN representada en la figura es la resultante del par de 300 kN-m y tres fuerzas, dos de las cuales están definidas en el diagrama. Determine la otra fuerza y localícela con respecto al punto A. Ejemplo Determine la resultante del sistema de fuerzas y momentos definidos en la figura y localícelo con respecto al punto A. Ejemplo Encuentre: (a) La fuerza resultante equivalente y el momento de un par actuando en A. (b) La localización de una sola fuerza equivalente actuando con respecto al punto A Ejemplo • Remplace las tres fuerzas que actúan sobre el tubo por una sola fuerza equivalente R. Especifique la distancia x desde el punto O por donde pasa la línea de acción de R. Ejemplo • Para ensayar la resistencia de una maleta de 25 por 20 pulg se le somete a la acción de las fuerzas representadas . Si P = 18 lb. (a) hallar la resultante de las fuerzas aplicadas y (b) Ubicar los dos puntos en donde la recta soporte de la resultante corta al canto de la maleta. Ejemplo • Para el sistema de fuerzas y momentos que actúan sobre la viga. Determine La fuerza resultante equivalente y el par actuando en A Ejemplo Determine la resultante de las cuatro fuerzas y una cupla que actúan sobre la placa Ejemplo Determine y localice la resultante R de las dos fuerzas y la cupla que actúan sobre la viga mostrada Ejemplo Remplace el sistema de tres fuerzas y la cupla por una sola fuerza resultante. Especifique en donde actúa la resultante medida desde A XV. RESULTANTE DE FUERZAS PARALELAS Consideremos un sistema de fuerzas paralelas mostrado en la figura ˆ e XV. RESULTANTE DE FUERZAS PARALELAS Cada una de las fuerzas puede expresarse donde Fi puede ser positivo o negativo y es un vector unitario paralelo a las fuerzas.. La resultante del sistema será La magnitud de la resultante es ˆ e ˆ i i F Fe = ˆ e ( ) 1 2 ˆ .... .... i n i i R F F F F F F e = + + + + + = = ¿ ¿ i R F = ¿ XV. RESULTANTE DE FUERZAS PARALELAS Aplicando el teorema de omentos tenemos De donde se tiene ( ) 1 1 1 ( ) ˆ ˆ ( ) ( ) ˆ ˆ ( ) R i n R i i i n R i i i i n R i i i i M M r xR r xF r x Fe r xFe r F xe r F xe = = = = = = ( ( = ( ¸ ¸ ¸ ¸ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ 1 1 1 2 2 1 2 ( ) ... .. ... .. n i i i i i n n R i i n r F r F r F r F r F r F F F F F = + + + + + = = + + + + + ¿ ¿ Ejemplo • La fuerza de 150 kN de la figura es la resultante de un par y cuatro fuerzas , tres de las cuales están definidas en dicho gráfico. Determine la cuarta fuerza y localícelo con respecto al punto A. Ejemplo La viga mostrada en la figura se encuentra sometida a las fuerzas que se indican. Reducir el sistema de fuerzas dado a: (a) un sistema fuerza–par en A , (b) a un sistema fuerza-par en B, (c) una sola fuerza o resultante Ejemplo Determine la fuerza resultante que actúa sobre el aeroplano sabiendo que una de las turbinas ha fallado como se muestra en la figura. Especifique las coordenadas y y z a través de la cual pasa dicha resultante Ejemplo Si la lámina mostrada en la figura es sometida a las tres fuerzas que se muestran. Determine: (a) La fuerza resultante equivalente y el par correspondiente actuando en O y (b) La localización (x,y) de una sola fuerza resultante equivalente. Ejemplo • Determinar la resultante de sistema de fuerzas que actúan sobre las columnas mostrado en la figura si F 1 =30 kN y F 2 = 40 kN. Localícela con respecto al punto al origen de coordenadas. Ejemplo Tres fuerzas paralelas son aplicada a los pernos para asegurar la placa circular como se muestra en al figura. Determine la fuerza resultante, y especifique su localización (x, z) sobre la placa. Considere que FA = 200 lb, FB = 100 lb y FC = 400 lb Ejemplo Halle la resultante del sistema de fuerzas paralelas que actúan sobre la placa •SOLUCIÓN XVI. SISTEMAS FUERZA GENERAL •Paso 1 •Paso 2 •Paso 3 •Seleccionar un punto para encontrar el momento •Remplazar las fuerzas por una fuerza y un par en el punto O •Sumar las fuerza y cuplas vectorialmente para encontrar la resultarte y el momento resultante Ejemplo Reducir el sistema de fuerzas y momentos a una fuerza un par actuando en A Ejemplo Sobre la viga se encuentran actuando dos fuerzas y una cupla como se muestra en al figura. Encuentre la fuerza resultante y el par correspondiente actuando en O Ejemplo Las fuerza F1 y F2 mostradas actúan sobre el sistema de tuberías. Determine la fuerza resultante equivalente y el par correspondiente actuando en O Ejemplo Se desea establecer el efecto combinado de las tres fuerzas sobre la base O, haciendo que por ese punto pase la resultante R. Determine esta resultante y el momento M del par correspondiente. Ejemplo Remplace las tres fuerzas mostradas en la figura por un sistema fuerza par actuando en O Ejemplo Tres cables están sujetos a un soporte como se indica . Reduzca el sistema de fuerzas dado a un sistema fuerza par en A. Solución Solución- Conti…. I. FUERZA • En física, la fuerza es todo agente capaz de modificar la cantidad de movimiento o la forma de los cuerpos. Es decir, la fuerza expresa la acción mecánica de un cuerpo sobre otro. • Siendo la fuerza una cantidad vectorial su especificación completa requiere de: (a) una intensidad, (b) una dirección y sentido, y (c) un punto de aplicación. ELEMENTOS DE LA FUERZA EFECTOS DE LA FUERZA La fuerza efectos: produce dos A. Interiores: El efecto interior de la fuerza F es las deformaciones y esfuerzos resultantes distribuidos en el interior del material .II. Exteriores: En la estructura el efecto exterior de la fuerza aplicada al cable son las reacciones que aparecen sobre la estructura B. esto es. la fuerza puede considerarse aplicada en cualquier punto de su línea de acción sin que altere su efecto exterior sobre el cuerpo .I. goza del principio de transmisibilidad. FUERZA_2 Al estudiar la mecánica de los cuerpos rígidos donde se tiene en cuenta el efector exterior podemos considerar a la fuerza como un vector deslizante es decir. 2. . FUERZAS DE CONTACTO. Ejm. FUERZAS MASICAS Se generan mediante el contacto físico directo entre dos cuerpos se crean por acción a distancia. eléctrica y magnética. CLASES DE FUERZAS 1. la fuerza gravitacional.II. FUERZAS CONCENTRADAS 2.II. un área o un volumen Aquellas que se consideran aplicada en un punto . FUERZAS DISTRIBUIDAS Aquellas que se consideran aplicadas en una línea. CLASES DE FUERZAS_2 1. III. • La unidad patrón de la fuerza en el SI de unidades es el Newton (1 N) . recurriendo al equilibrio mecánico. UNIDADES DE FUERZA • Una fuerza puede medirse comparándola con otras fuerzas conocidas. o por deformación calibrada de un resorte. Su modulo y dirección son FR F F 2 F F cos 2 1 2 2 2 1 2 2 FR F1 F2 sen( ) sen sen . FUERZA RESULTANTE • Consideremos dos fuerzas actuando sobre un cuerpo como se ve en la figura . • Geométricamente se determina mediante la ley del paralelogramo o triángulo.IV. EJEMPLO La camioneta es remolcada usando dos cables. Considere que θ = 50°. Determine las magnitudes de las fuerzas FA y FB que actúan en los extremos de los cables de tal manera que la fuerza resultante sea de 950N dirigida a lo largo del eje +x. . EN DOS DIRECCIONES PERPENDICULARES EN EL PLANO FR Fx Fy ˆ FR Fx i Fy ˆ j ˆ FR F cos i Fsen ˆ j ˆ FR F (cos i sen ˆ) j ˆ ˆ (cos i sen ˆ) j FR F F 2 1 2 2 tg Fy Fx . DESCOMPOSICIÓN DE UNA FUERZA 1.V. Ry Fy R R R 2 x 2 y tan Ry Rx .V. RESULTANTE DE FUERZAS EN FORMA DE COMPONENTES R F ˆ R Rx i Ry ˆ j Rx Fx . • . Determine la magnitud de la fuerza resultante y el ángulo θ.Ejemplo • Si FB = 2 kN y la fuerza resultante actúa a lo largo del eje positivo u. Ejemplo • Si la magnitud de la fuerza resultante actuando sobre el soporte es de 450 N dirigida a lo largo de eje +u. Determine la magnitud de la fuerza F1 y su dirección φ. • . VI. EN DOS DIRECCIONES NO PERPENDICULARES EN EL PLANO FR FA A FBB . DESCOMPOSICIÓN DE UNA FUERZA 2. una de ellas actúa en la dirección de AB mientras que la línea de acción de la otra componente pasa por C .Ejemplo Calcule las componentes de la fuerza de 260 N representada en la figura. Ejemplo • Resuelva la fuerza de 250 N en componentes actuando a lo largo de los ejes u y v y determine las magnitudes de estas componentes. • . determine la magnitud de la fuerza actuante a l largo de AB y el ángulo θ de la fuerza de 500 N . Si la componente de la fuerza a lo largo de AC es de 300 N dirigida de A C.EJEMPLO O2 La fuerza de 500 N que actúa sobre la armadura ha de ser resuelta en dos componentes actuando a lo largo de los ejes AB y AC de la estructura. . Determine la componente de la fuerza según el eje AB de la barra y la componente de la fuerza según el eje AC de la riostra.Ejemplo • Una barra y una riostra resisten una fuerza de 100 kN en la forma que se indica en la figura. EJEMPLO Un cable ejerce una fuerza F en el soporte del miembro estructural. Halle su componente y y su módulo . Si la componente x de F es 4 kN. de módulo 10 N. en función de los vectores i y j : Halle las componentes escalares Pt y Pn respectivamente paralela y normal a la recta OA.EJEMPLO Expresar la fuerza P. . EJEMPLO La fuerza F de 500 N está aplicada al poste vertical tal como se indica . . © hallar las componentes escalares de F en los ejes x e y’. (b) hallar las componentes escalares de F en los ejes x’ e y’. (a) Escribir F en función de los vectores unitarios i y j e identificar sus componentes vectoriales y escalares. EJEMPLO Determine: (a) el valor requerido de si la resultante de las tres fuerzas mostradas en la figura es vertical. (b) La correspondiente magnitud de la resultante . . para obtener una única fuerza R.EJEMPLO Combinar las dos fuerza P y T. que actúan sobre el punto B de la estructura fija. EJEMPLO En el sistema de fuerzas mostrado en la figura determine la magnitud y la dirección de la fuerza resultante. . DESCOMPOSICIÓN DE UNA FUERZA 3.VII. EN TRES DIRECCIONES PERPENDICULARES EN EL ESPACIO FR FH Fz ˆ ˆ FR ( Fx i Fy ˆ) Fz k j ˆ ˆ FR F cos i F cos ˆ F cos k j ˆ ˆ F F (cos i cos ˆ cos k ) j R ˆ ˆ (cos iˆ cos ˆ cos k ) j Modulo FR Fx2 Fy2 Fz2 . DIRECCIÓN DEL VECTOR FUERZA •Coordinate Direction Angles cos Ax A cos Ay A cos Az A ˆ A AeA A 1 ˆ ˆ ( Ax i Ay ˆ Ak ) j A A Ax ˆ Ay ˆ Az ˆ ˆ eA i j k A A A ˆ ˆ ˆ eA cos i cos ˆ cos k j ˆ eA ˆ A AeA A(cos i cos j cos k ) A cos i A cos j A cos k A Ax i Ay j Az k cos 2 cos 2 cos 2 1 . Fz F cos z F Fx 2 Fy 2 Fz 2 . Fy F cos y .Fuerzas en 3D ˆ F Fxˆ Fyˆ Fz k i j Fx F cos x . En este caso . FUERZA DEFINIDA POR SU MODULO Y DOS PUNTOS DE SU LINEA DE ACCIÓN En algunos casos la fuerza está definida por su modulo y dos puntos de su línea de acción.VIII. FUERZA DEFINIDA POR SU MODULO Y DOS PUNTOS DE SU LINEA DE ACCIÓN ˆ F F F MN MN F ˆ j x2 x1 iˆ y2 y1 ˆ z2 z1 k 2 2 2 x2 x1 y2 y1 z2 z1 2 y 2 z FF ˆ ˆ d xi d y ˆ d z k j d d d 2 x F ˆ ˆ d xi d y ˆ d z k j d .VIII. Fz F sin Fy F cos sin .VIII. FUERZA EN 3D Fxy F cos . Fx F cos cos . j y k.EJEMPLO Expresar la fuerza F de 36 kN en función de los vectores unitarios i. Hallar la proyección sobre el eje x . (b) Encuentre la proyección de T a lo largo de la línea 0A . (a) Escribir la expresión vectorial de la fuerza de tensión T.EJEMPLO El cable ejerce una fuerza de 2 kN sobre el extremo A de la estructura mostrada en la figura. . actuando sobre el soporte A como un vector cartesiano A (0. 2. 2. 6)m rAB (3i 2 j 6k )m rAB 32 (2) 2 (6) 2 7 m u AB rAB 3 2 6 3 2 6 ( .5)m B (3.1.EJEMPLO La tensión en el cable es de 350 N. ) i j k rAB 7 7 7 7 7 7 3 2 6 F Fu AB 350 N ( i j k ) 7 7 7 F (150i 100 j 300k ) N .5)m rAB B A (3. 0. Represente esta fuerza . 7. EJEMPLO Sabiendo que la tensión en el cable AB es 1425 N. determine las componentes de la fuerza sobre la placa ejercida en B . EJEMPLO Encontrar la magnitud y la dirección de la resultante de las dos fuerzas mostradas en la figura. . Hallar la proyección sobre la recta OA.EJEMPLO Expresar la fuerza F de 400 N en función de los vectores unitarios i. j y k. . EJEMPLO Determine la magnitud y los ángulos directores de la fuerza resultante actuando en A . .Ejemplo • Determine las magnitudes de las componentes proyectadas de la fuerza F = 300 N actuando a lo largo de los ejes x e y. • En el ensamble de tuberías. Determine las magnitudes de las componentes de la fuerza F = 400 N actuando paralela y perpendicular al segmento BC Ejemplo . Ejemplo • Determine el ángulo θ que forman los dos vectores fuerzas . EJEMPLO Sabiendo que la tensión en el cable AB es de 510 lb y en el cable AC es de 425 lb. Determine la magnitud y la dirección de la resultante de las fuerzas en el punto A ejercida por lo dos cables . una es paralela a AB y la otra es perpendicular a esta línea. . representada en la figura.EJEMPLO Calcular las componentes rectangulares de la fuerza de 110 N. ¿Cuál sería la magnitud y dirección de la fuerza resultante?. .Ejemplo • Determine la coordenada angular γ y F2 y entonces exprese cada una de las fuerzas en forma de vectores cartesianos. Observe que E es el punto medio del borde superior del soporte estructural Ejemplo .• La placa rectangular está sujeta por dos bisagras montadas en su canto BC y el cable AE. Determine la proyección sobre la recta BC de la fuerza que el cable ejerce sobre la placa. Si la tensión en el cable vale 300 N. MOMENTO DE UNA FUERZA Al finalizar esta sección el estudiante será capaz de: a) Definir el momento de una fuerza b) Determinar momentos de fuerzas en el plano y en el espacio c) Determinar el momento respecto de un eje d) Definir una cupla e) Determinar momentos de cuplas f) Reducir un sistema de fuerzas .IX. MOMENTO DE UNA FUERZA El momento o torque de una fuerza con respecto de un punto es la medida de la tendencia a la rotación que produce dicha fuerza .IX. obtenida como producto vectorial del vector de posición del punto de aplicación de la fuerza con respecto al punto al cual se toma el momento por la fuerza. . MOMENTO DE UNA FUERZA • El momento de una fuerza (respecto a un punto dado) es una magnitud vectorial.IX. en ese orden. La magnitud del momento esta dado por M O r sin F Fd El sentido del momento se determina mediante la regla de la mano derecha.IX. . esto es M O rA / O F El momento es un vector perpendicular al plano de r y F. Dado que las fuerzas tienen carácter de vectores deslizantes. MOMENTO DE UNA FUERZA_2 El momento de una fuerza aplicada en un punto P con respecto de un punto O viene dado por el producto vectorial del vector de posición OP por el vector fuerza F. el momento de una fuerza es independiente de su punto de aplicación sobre su recta de acción o directriz. El momento de una fuerza con respecto a un punto o a un eje nos da una medida de la tendencia de la fuerza a causar que el cuerpo rote con respecto a un punto o eje IX.CON RESPECTO A UN PUNTO…. .INTERPRETACIÓN DEL MOMENTO DE UNA FUERZA. CON…. .INTERPRETACIÓN DEL MOMENTO DE UNA FUERZA. El momento tiende a provocar un giro en el cuerpo sobre el cual se aplica y es una magnitud característica en elementos que trabajan sometidos a torsión (como los ejes de maquinaria) o a flexión (como las vigas IX. MO r F.Componentes rectangulares del momento • El momento alrededor de O es. r xi yj zk F Fx i Fy j Fz k M O M xi M y j M z k i MO x Fx j y Fy k z Fz M O yFz zFy i zFx xFz j xFy yFx k . 3.9. COMPONETES RECTANGULARES DEL MOMENTO RESPECTO A UN PUNTO CUALQUIERA . 9.4. COMPONETES RECTANGULARES DEL MOMENTO EN EL PLANO . Ejemplo • Determine el momento de la fuerza de 100 N con respecto al punto A . 2 N se aplica a la palanca que controla la barrena de un soplador de nieve. .Ejemplo • Una fuerza P de 13. Determine el momento de P respecto a A cuando es igual a 30 °. Ejemplo • Determine el momento de las tres fuerzas respecto a: (a) punto A y (b) punto B de la viga . Ejemplo • Encuentre el momento de la fuerza F con respecto al punto O . Determinar el momento con respecto a C de esa fuerza. ejerce en el punto A del techo una fuerza de 228 N dirigida a lo largo de BA.Ejemplo • Una tabla de madera AB. . que se utiliza como un apoyo temporal para apoyar a un pequeño tejado. determine el momento producido por esta fuerza alrededor del eje x .Ejemplo • Si F = 450 N. Determine el momento de dicha fuerza con respecto al punto O .Ejemplo • La fuerza de 200 N actúa como se muestra en la figura. (c) la menor fuerza que aplicada en A produce el mismo momento respecto a O. (d) a que distancia del eje debe aplicarse una fuerza vertical de 240 lb para que produzca el mismo momento respecto a O . (b) el módulo de la fuerza horizontal que aplicada en A produce el mismo momento produce el mismo momento respecto a O.Ejemplo Se aplica una fuerza vertical de 100 lb al extremo de una palanca que está unida a un eje en O. Determine: (a) el momento de la fuerza de 100 lb con respecto al punto O. •SOLUCIÓN Parte (a) La magnitud del momento de la fuerza de 100 lb se obtiene multiplicando la fuerza por el brazo de palanca esto es M O Fd M O 100 lb 12 in. d 24 in. cos 60 12 in. M O 1200 lb in La dirección de Mo es perpendicular al plano que contiene F y d y su sentido se determina mediante la regla derecha •SOLUCIÓN Parte (b) La fuerza que aplicada en A produce el mismo momento se determina en la forma siguiente d 24 in. sin 60 20.8 in. 1200 lb in. F 20.8 in. 1200 lb in. F 20.8 in. M O Fd F 57.7 lb •SOLUCIÓN Parte (b) Debido a que M = F d. el mínimo valor de F corresponde al máximo valor de d. Eligiendo la fuerza perpendicular a OA se encuentra que d = 24 in; entonces 1200 lb in. F 24 in. 1200 lb in. F 24 in. M O Fd F 50 lb •SOLUCIÓN Parte (b). En este caso Mo = Fd obteniendo M O Fd 1200 lb in. 240 lb d 1200 lb in. d 5 in. 240 lb OB cos60 5 in. OB 10 in. crea el mismo . (b) la fuerza más pequeña que aplicada en B. Determine: (a) el momento dela fuerza de 450N con respecto al punto D.Ejemplo • Una fuerza de 450 N se aplica en A. Ejemplo • Determine el momento resultante de las cuatro fuerzas con respecto al punto O . Determine el momento de Q: (a) con respecto al origen de coordenadas del sistema y (b) con respecto al punto D .Ejemplo • Una fuerza Q de 450 N se aplica en C. Ejemplo • La placa rectangular es soportada por dos pernos en A y B y por un alambre CD. Conociendo que la tensión e el alambre es 200 N. Determine el momento con respecto al punto A de la fuerza ejercida por el alambre en C •SOLUCIÓN •El momento MA de la fuerza F ejercida por el alambre es obtenido evaluando el producto vectorial . 3 0 0.3 m i 0.5 m 120 N i 96 N j 128 N k i j k M A 0.32 m k 200 N 0.SOLUCIÓN M A rC A F rC A rC rA 0.24 m j 0.08 120 96 128 .3 mi 0.08 m j rC D F F 200 N rC D 0. .Ejemplo La tensión en el cable AB es 150 N. Determine la tensión en AC y CD tal que la suma de los momentos alrededor del origen debido a la fuerza ejercida por los cables en el punto A es cero. Ejemplo . 9.5. MOMENTO DE UNA FUERZA CON RESPECTO A UN EJE QUE PASA POR EL ORIGEN • Sabemos que el momento de la fuerza F respecto al punto O. 9.5. MOMENTO DE UNA FUERZA CON RESPECTO A UN EJE QUE PASA POR EL ORIGEN • El momento de la fuerza F con respecto al eje OL es la proyección ortogonal de Mo sobre el eje OL. ˆ ˆ ˆ ˆ M OL .M 0 . r .F • El momento MOL de F alrededor del eje OL mide la tendencia de la fuerza F a impartir al cuerpo rígido rotación alrededor del eje OL 12.6. MOMENTO DE UNA FUERZA CON RESPECTO A UN EJE QUE PASA POR UN PUNTO CUALQUIERA • El momento de una fuerza alrededor de un eje cualquiera es ˆ ˆ M OL .M B ˆ ˆ M OL . rA / B xF rA / B rA rB • El resultado es independiente del punto B como se muestra en la figura. Determine el momento de P: (a) con respecto a A.Ejemplo • Sobre un cubo de arista a actúa una fuerza P. (c) Con respecto a la diagonal AG . (b) con respecto a la arista AB. about aP 2 i j k i M AB aP 2 .•SOLUCIÓN MMoment of P • A rF A P rF about A. a i j A ai a j P P 2 i 2 j P 2 i j M A a i j P 2 i j M A aP 2 i j k •La magnitud del momento respecto a AB es MMoment of P • AB i M A AB. •SOLUCIÓN •(c) La magnitud del momento respecto a AG es M AG M A rA G ai aj ak 1 i j k rA G a 3 3 aP i j k MA 2 1 aP i j k 2 i j k M AG 3 aP 1 1 1 6 M AG aP 6 . . Hallar e momento Mz de T respecto del eje Z que pasa por la base O del mástil.Ejemplo • Se aplica una tensión T de intensidad 10 kN al cable amarrado al extremo superior A del mástil rígido y se fija en tierra en B. Ejemplo • La fuerza F tiene una intensidad de 2 kN y está dirigida de A hacia B. Determine : (a) La proyección FCD de La fuerza F sobre la recta CD (b) el ángulo que θ que forma la fuerza F y la recta CD y (c) si el modulo del momento F respecto a la recta CD es de 50 N. m. halle el módulo de la fuerza . Compare su resultado con el momento del peso de 15 kgf de la placa uniforme alrededor del eje x. ¿Cuál es el momento de fuerza de tensión actuando en A alrededor de la línea OB . Determine el momento alrededor del eje x de esta fuerza de tensión actuando en A.4 N.Ejemplo • La tensión el cable es 143. (b) el momento respecto a la línea l que pasa por P con una pendiente 5/12 en el plano yz. como se muestra en la figura: Halle : (a) el momento de la fuerza respecto al punto P.0). .Ejemplo • Una barra doblada está rígidamente fijada a una pared en el punto (0. Una fuerza de magnitud F = 7 lb actúa en su extremo libre con una línea de acción que pasa por el origen.0. . (c) el momento de la fuerza con respecto al eje a-a que pasa por las bisagras de la puerta. Si la tensión en la cadena es FC = 250 N. (b) el momento de fa fuerza con respecto a la bisagra en A.Ejemplo • La cadena CB mantiene a la puerta abierta a 30°. Determine: (a) La expresión vectorial de la fuerza . Determine la magnitud del omento de dicha fuerza con respecto al eje z .Ejemplo • Una fuerza es aplicada al extremo de una llave para abrir una válvula de gas. Ejemplo • Determine el momento producido por la la fuerza F el cual tiende a hacer rotar al tubo alrededor del eje AB . 7. PRINCIPIO DE MOMENTOS: Teorema de Varignon Si un sistema de fuerzas concurrentes esta actuando sobre un cuerpo como se muestra en la figura. Es decir: .9. el momento de la fuerza resultante alrededor del punto puede ser determinado mediante la suma de cada uno de los momentos de las fueras individuales respecto al mismo punto. CUPLA O PAR DE FUERZAS La cupla o par de fuerzas es un sistema formado por dos fuerzas F y –F que tiene la misma magnitud.9.8. . líneas de acción paralelas separadas por una distancia perpendicular pero de sentidos opuestos. 8.9. CUPLA O PAR DE FUERZAS • El momento de la cupla es. M rA F rB F rA rB F r F M rF sin Fd •El vector momento de la cupla es un vector independiente del origen o es decir es un vector libre perpendicular al plano que contiene la fuerzas . DIRECCIÓN Y SENTIDO DEL PAR • La cupla es un vector libre perpendicular al plano de la cupla y su sentido se determina mediante la regla de la mano derecha .8.9. 8.9. CUPLA O PAR DE FUERZAS • Dos cuplas tendrán igual momento si: a) b) Las dos cuplas se encuentran ubicadas en planos paralelos c) La dos cuplas tienen el mismo sentido o la misma tendencia a causar rotación y la misma dirección . Ejemplo de cupla • Determine el momento de la cupla mostrada en la figura y la distancia perpendicular entre las dos fuerzas . 120j .80k)lbf y F2 = (70i +120j + 80k)lbf y actúan en los puntos A y B del cuerpo mostrado en la figura. Determine el momento de la cupla y la distancia perpendicular entre las dos fuerzas .Ejemplo de cupla Dos fuerzas paralelas de sentidos opuestos son F1 = (-70i . (b) Encuentre el momento producido por dichas cuplas .Ejemplo de cupla En la figura se muestra a dos cuplas actuando sobre el soporte. (a) Descomponga las fuerzas en componentes x e y. (a) Descomponga las fuerzas en componentes x e y.Ejemplo de cupla En la figura se muestra a dos cuplas actuando sobre el soporte. (b) Encuentre el momento producido por dichas cuplas . Determine el momento del par de fuerzas actuando sobre la tubería en coordenadas cartesianas .Ejemplo de cupla En la figura se muestra una cupla o par de fuerzas actuando sobre un sistema de tuberías. Si la magnitud de las fuerzas es de 35 N. El segmento AB está dirigido 30° hacia abajo del plano xy. .Ejemplo de cupla Determine el momento de la cupla que actúa sobre la tubería. La magnitud de cada una de las fuerzas es de 25N .Ejemplo de cupla Determine el momento de la cupla que actúa sobre la tubería. Si el momento resultante es nulo.Ejemplo de cupla En la figura se muestra un sistema compuesto por dos cuplas actuando sobre una viga. Determine las magnitudes de las fuerzas P y F así como la distancia d . Determine el momento de la cupla .Ejemplo de cupla En la figura se muestra un par de fuerzas de 15 N de magnitud actuando sobre un sistema de tuberías. X. EQUIVALENCIA ENTRE LOS PARES Dos sistemas de fuerzas son equivalentes (es decir producen el mismo efecto sobre un sólido) si pueden transformarse el uno en el otro mediante una o varias de las operaciones siguientes: a) b) c) d) Sustituyendo dos fuerzas que actúan sobre la misma partícula por su resultante. Descomponiendo una fuerza en dos componentes y Anulando fuerzas iguales y opuestas que actúan sobre la misma partícula Aplicando a una partícula dos fuerzas iguales y opuestas e) Moviendo una fuerza a lo largo de su recta soporte . . sin más que añadir una cupla cuyo momento sea igual al momento de F respecto de B •No hay cambio en el efecto externo •Cupla .PAR Cualquier fuerza F aplicada a un sólido rígido puede ser trasladada a un punto arbitrario B.XI. SISTEMAS FUERZA. XI. SISTEMAS FUERZA.PAR . Ejemplo Remplace la fuerza de 350 N por una fuera y una cupla en el punto B.Exprese su respuesta en coordenadas cartesianas . solución •Se trazan dos fuerzas en B como se ve en la figura . La expresión vectorial de F es •El momento C será . Exprese su respuesta en coordenadas cartesianas .Ejemplo Remplace la fuerza de 600 N mostrada en la figura por una fuera y una par en el punto A. Ejemplo La tensión en el cable sujeto al extremo C del botalón ajustable ABC es de 1000 N. (b) en B . Sustituir la fuerza que el cable ejerce en C por un sistema fuerza-par equivalente : (a) en A . Ejemplo • Una fuerza de 700 N es aplicada en el punto A de un miembro estructural. Sustituirla por: (a) un sistema fuerza – par equivalente en C. (b) un sistema equivalente compuesto por una fuerza vertical en B y una segunda fuerza en D . Ejemplo La fuerza horizontal P actúa como se muestra sobre la palanca acodada. Determinar las dos fuerzas verticales en C y D equivalentes al par hallado en la parte (a) . (a) sustituir P por un sistema fuerza-par equivalente en B. .... j j Para encontrar la resultante de las fuerzas se descompone cada una de ellas en componentes i. ˆ ˆ ˆ ˆ F1 F1xi F1 y ˆ F1z k .COMPOSICIÓN DE FUERZAS CONCURRENTES Consideremos un sistema de fuerzas aplicadas a un cuerpo como se muestra en la figura......... es decir ˆ ˆ ˆ ˆ Fi Fixi Fiy ˆ Fiz k ... k. j. XII..... F2 Fnxi Fny ˆ Fnz k . j j . F2 F2 xi F2 y ˆ F2 z k . . j j R ( F1x .... j j ˆ ˆ ˆ ˆ ( Fixi Fiy ˆ Fiz k ) .. Fiz .... Fny ) ˆ j ˆ ( F1z . Fix .... Fnx )i ( F1 y .COMPOSICIÓN DE FUERZAS CONCURRENTES La resultante es la suma vectorial de todas las fuerzas esto es XII... ( Fnxi Fny ˆ Fnz k ).... Fi . R F1 F2 ..... Fn ˆ ˆ ˆ R ( F1xi F1 y ˆ F1z k ) ( F2 xiˆ F2 y ˆ F2 z k ) ..... Fnz )k n ˆ n ˆ n ˆ R Fix i Fiy j Fiz k i 1 i 1 i 1 ˆ ˆ R Rxi Ry ˆ Rz k j .......... Fiy . COMPOSICIÓN DE FUERZAS CONCURRENTES La magnitud y dirección de la resultante son XII.cos R R R . R R R R 2 x 2 y 2 z Ry Rx Rz cos .cos . . Determine: (a) El módulo dirección y sentido de la fuerza resultante R.Ejemplo • A un punto de un cuerpo se aplican dos fuerzas en la forma que se indica en al figura. (b) El ángulo α que forman las fuerzas F1 y F2. Ejemplo • A un punto de un cuerpo se aplican dos fuerzas en la forma que se indica en al figura. . Determine: (a) El módulo dirección y sentido de la fuerza resultante R. Ejemplo Determine la magnitud y dirección de la fuerza resultante R del sistema de fuerza concurrentes mostrado en la figura . Fi ..COMPOSICIÓN DE FUERZAS APLICADAS A UN CUERPO RIGIDO Cuando las fuerzas no se aplican al mismo punto sino que actúan en un cuerpo rígido... R F1 F2 ... Fn Fi (b) Rotación: El cual queda determinado por la suma vectorial de los momentos. Mi ... M n M i .. es necesario distinguir dos efectos: (a) Traslación: la misma que se encuentra definida por la suma vectorial de la fuerzas (la resultante R).. M M1 ... esto no es posible. En estas condiciones la resultante sustituye en todos su efectos al sistema. Esta situación se cumple para fuerzas concurrentes. COMPOICIÓN DE FUERZAS APLICADAS A UN CUERPO RIGIDO Parece lógico suponer que el punto de aplicación de la resultante R debe ser tal que el momento o torque debido a R sea igual a M.XIII. Sin embargo. ya que el torque de R es un vector perpendicular a R y en muchos casos esto no se cumple. Un ejemplo de estos lo constituye la cupla o par de fuerzas . la resultante también lo estará. los vectores de posición de los puntos de aplicación de las fuerzas también lo estarán en el plano . COMPOSICIÓN DE FUERZAS COPLANARES NO CONCURRENTES Consideremos el sistema de fuerzas en el plano mostrado Debido a que las fuerzas están en el plano. Si los momentos se evalúan respecto a cualquier punto del plano.XIV. Es decir son vectores paralelos. Es decir M R Mi rR xR (ri xFi ) i 1 n . Esta es la condición necesaria para que los vectores sean iguales .XIV. COMPOSICIÓN DE FUERZAS COPLANARES NO CONCURRENTES Esto nos indica que los momentos de cada una de las fuerzas así como el de la resultante son perpendiculares al plano. tenemos ˆ ˆ ( xRy yRx )k ( xi Fyi yi Fxi )k i 1 n Conociendo las fuerzas y sus puntos de aplicación. COMPOSICIÓN DE FUERZAS COPLANARES NO CONCURRENTES Debido a que: los vectores fuerza.XIV. entonces el momento o torque tendrá una sola componente entonces. el vector fuerza resultante. se puede determinar las componentes de la resultante y por tanto su punto de aplicación Ax By C . los vectores de posición de cada fuerza y el de la resultante están en el plano por ejemplo el plano xy. Ejemplo Las fuerzas representadas en la figura tienen las magnitudes siguientes: F1 = 130 kN. Calcule y localice la fuerza resultante del sistema de fuerzas considerado . F2 = 200 kN y F3 = 100 kN. Ejemplo Hallar la fuerza resultante R de las tres fuerzas y los dos pares representados. . Determine la abscisa en el origen x de la recta soporte de R. dirección y sentido de la fuerza resultante. Determine: (a) El módulo.Ejemplo • Un soporte está sometido al sistema de fuerzas y pares representados en la figura. (b) La distancia perpendicular desde el pasador A hasta la recta soporte de la resultante. . Ejemplo La fuerza de 200 kN representada en la figura es la resultante del par de 300 kN-m y tres fuerzas. dos de las cuales están definidas en el diagrama. . Determine la otra fuerza y localícela con respecto al punto A. .Ejemplo Determine la resultante del sistema de fuerzas y momentos definidos en la figura y localícelo con respecto al punto A. Ejemplo Encuentre: (a) La fuerza resultante equivalente y el momento de un par actuando en A. (b) La localización de una sola fuerza equivalente actuando con respecto al punto A . Ejemplo • Remplace las tres fuerzas que actúan sobre el tubo por una sola fuerza equivalente R. Especifique la distancia x desde el punto O por donde pasa la línea de acción de R. . . (a) hallar la resultante de las fuerzas aplicadas y (b) Ubicar los dos puntos en donde la recta soporte de la resultante corta al canto de la maleta. Si P = 18 lb.Ejemplo • Para ensayar la resistencia de una maleta de 25 por 20 pulg se le somete a la acción de las fuerzas representadas . Determine La fuerza resultante equivalente y el par actuando en A .Ejemplo • Para el sistema de fuerzas y momentos que actúan sobre la viga. Ejemplo Determine la resultante de las cuatro fuerzas y una cupla que actúan sobre la placa . Ejemplo Determine y localice la resultante R de las dos fuerzas y la cupla que actúan sobre la viga mostrada . Ejemplo Remplace el sistema de tres fuerzas y la cupla por una sola fuerza resultante. Especifique en donde actúa la resultante medida desde A . RESULTANTE DE FUERZAS PARALELAS Consideremos un sistema de fuerzas paralelas mostrado en la figura ˆ e .XV. . Fi ..XV. RESULTANTE DE FUERZAS PARALELAS Cada una de las fuerzas puede expresarse ˆ Fi Fe i donde Fi puede ser positivo o negativo y e ˆ unitario paralelo a las fuerzas.... ˆ e es un vector ˆ R F1 F2 ... Fn Fi Fi e La magnitud de la resultante es La resultante del sistema será R Fi . Fn 2 .. RESULTANTE DE FUERZAS PARALELAS Aplicando el teorema de omentos tenemos M R Mi n i 1 rR xR ( ri xFi ) ˆ ˆ rR x ( Fi e) (ri xFi e) i 1 n n rR Fi xe (ri Fi ) xe ˆ ˆ i 1 De donde se tiene rR (r F ) r F r F F F F i 1 i i 1 1 2 i 1 n .. Fi . ri Fi . rn Fn 2 ....XV.. Ejemplo • La fuerza de 150 kN de la figura es la resultante de un par y cuatro fuerzas . . Determine la cuarta fuerza y localícelo con respecto al punto A. tres de las cuales están definidas en dicho gráfico. Reducir el sistema de fuerzas dado a: (a) un sistema fuerza–par en A . (c) una sola fuerza o resultante .Ejemplo La viga mostrada en la figura se encuentra sometida a las fuerzas que se indican. (b) a un sistema fuerza-par en B. Ejemplo Determine la fuerza resultante que actúa sobre el aeroplano sabiendo que una de las turbinas ha fallado como se muestra en la figura. Especifique las coordenadas y y z a través de la cual pasa dicha resultante . y) de una sola fuerza resultante equivalente.Ejemplo Si la lámina mostrada en la figura es sometida a las tres fuerzas que se muestran. Determine: (a) La fuerza resultante equivalente y el par correspondiente actuando en O y (b) La localización (x. . . Localícela con respecto al punto al origen de coordenadas.Ejemplo • Determinar la resultante de sistema de fuerzas que actúan sobre las columnas mostrado en la figura si F1 =30 kN y F2 = 40 kN. Considere que FA = 200 lb. Determine la fuerza resultante. FB = 100 lb y FC = 400 lb . z) sobre la placa. y especifique su localización (x.Ejemplo Tres fuerzas paralelas son aplicada a los pernos para asegurar la placa circular como se muestra en al figura. Ejemplo Halle la resultante del sistema de fuerzas paralelas que actúan sobre la placa •SOLUCIÓN XVI. SISTEMAS FUERZA GENERAL •Paso 1 •Seleccionar un punto para encontrar el momento •Paso 2 •Paso 3 •Sumar las fuerza y cuplas vectorialmente para encontrar la resultarte y el momento resultante •Remplazar las fuerzas por una fuerza y un par en el punto O Ejemplo Reducir el sistema de fuerzas y momentos a una fuerza un par actuando en A Encuentre la fuerza resultante y el par correspondiente actuando en O .Ejemplo Sobre la viga se encuentran actuando dos fuerzas y una cupla como se muestra en al figura. Determine la fuerza resultante equivalente y el par correspondiente actuando en O .Ejemplo Las fuerza F1 y F2 mostradas actúan sobre el sistema de tuberías. Ejemplo Se desea establecer el efecto combinado de las tres fuerzas sobre la base O. . haciendo que por ese punto pase la resultante R. Determine esta resultante y el momento M del par correspondiente. Ejemplo Remplace las tres fuerzas mostradas en la figura por un sistema fuerza par actuando en O . . Reduzca el sistema de fuerzas dado a un sistema fuerza par en A.Ejemplo Tres cables están sujetos a un soporte como se indica . Solución . Solución.Conti…. . -0.42-3.390 0 2420394 /0 5.03/4 6:0 547 080 5:394 5.8 84-70 ./4 /0 . 708:9.07 0 010.94 .7 . 089.80 . 708:9.80 .47708543/0390 .390 # 0907230 089.8 9708 1:07. 0254 $0 /080.. -. 1:7.8 24897.9:./..8 9708 1:07. 0254 #025.. 5.3/4 03 . 1:07. 547 :3 88902.8 03 .7 .0 . 0254 %708 .8 /. 1:07. :3 88902.424 80 3/.. :3 8454790 .-08 089E3 8:0948 . #0/:.. 0 88902. 5./4 .7 03 . /0 1:07.. $4:.O3 . O3 439 .$4:.
Copyright © 2024 DOKUMEN.SITE Inc.