Formulas Teoria de Colas Varios Servidores

Investigación OperativaTeoría de Colas - Fórmulas λ = tasa media de llegadas (número de llegadas por unidad de tiempo) 1/λ = tiempo medio entre llegadas µ= tasa media de servicio (número de unidades servidas por unidad de tiempo cuando el servidor está ocupado) 1/µ = tiempo medio requerido para prestar el servicio ρ = factor de utilización del sistema (proporción de tiempo que el sistema está ocupado) Pn = probabilidad de que n unidades se encuentren en el sistema Lq = número medio de unidades en la cola (longitud de la cola) Ls = número medio de unidades en el sistema Wq = tiempo medio de espera en la cola Ws = tiempo medio de espera en el sistema λ = Tasa promedio de llegadas de clientes dentro de las instalaciones de servicio Ws(t) = Probabilidad de que un cliente permanezca más de t unidades de tiempo en el sistema Wq(t) = _ Probabilidad de que un cliente permanezca más de t unidades de tiempo en la cola Modelo de Colas Sencillo Para un sólo servidor (s = 1) ρ=λ/µ P0 = 1 – ρ Para servidores múltiples (s >1) ρ = λ / (s. µ) P0 = 1 / {[ n=0 ∑ (λ / µ)n / n!] + (λ / µ)s } s!(1 - ρ) Pn = P0 [(λ / µ)n / n!] para 0 ≤ n ≤ s s –1 Pn = P0 ρn _ λ=λ Pn = P0 [(λ / µ)n / (s! . sn – s)] para n ≥ s _ λ=λ Lq = [P0 . (λ / µ)s . ρ] / [s! (1 - ρ)2] Ls = Lq + (λ / µ) W q = Lq / λ W s = W q + (1 / µ) (t ≥ 0) W s(t) = e- µ.t 1 + (s.ρ)s . p0.(1 – e-µ t (s – 1 - s . ρ)) s! (1 - ρ) (s – 1 – s.ρ) Lq = λ2 / [µ . (µ - λ)] = ρ Ls Ls = λ / (µ - λ) W q = λ / [µ . (µ - λ)] = Lq / λ W s = 1 / (µ - λ) = Ls / λ W s(t) = e- t / Ws W q(t) = ρ . e- t / Ws (t ≥ 0) W q(t) = (sρ)s p0 . e- s µ t (1 - ρ) s! (1 - ρ) INGENIERÍA INDUSTRIAL 1 ρ) W s = Ls / [λ (1 .Investigación Operativa Teoría de Colas . µ) Si ρ = 1 P0 = 1 / {[ ∑ (λ / µ) / n!] + (λ / µ) ∑ ρ } n=0 n=s+1 s! n s s M n-s Para cualquier valor de ρ para 0 ≤ n ≤ M Pn = (λ / µ)n P0 n! Pn = (λ / µ)n P0 s! sn-s Pn = 0 _ λ = λ (1 – PM) para 0 ≤ n ≤ s para s ≤ n ≤ M para n > M _ λ = λ (1 – PM) Ls = ρ .P0 ρ )] M Modelo Básico con una Fuente de Entrada Limitada INGENIERÍA INDUSTRIAL 2 .s)ρM-s(1 .ρ)] 2 s! (1 .P0 ρM)] W q = Lq / [λ (1 .(M+1) ρM+1 1-ρ 1 .ρM+1 Si ρ ≠ 1 Ls = [ ∑ n Pn] + Lq + s (1 .1 + P0 Lq = P0 (λ / µ)s ρ [1 .(M .P0 ρ )] M W s = Ls / [λ (1 . de clientes ≤ M) Para un sólo servidor (s = 1) ρ=λ /µ P0 = 1 .∑ Pn) n=0 n=0 s-1 s -1 LS = M / 2 Si ρ = 1 Lq = Ls .P0 ρM)] W q = Lq / [λ (1 .Fórmulas Modelo Básico con una Cola Finita (Nro.ρM-s .ρ M+1 1-ρ P0 = 1 M+1 Pn = P0 ρn Si ρ ≠ 1 Para servidores múltiples (s >1) ρ = λ / (s. (λ + µ ) (1 .P0)] W q = Lq / [λ (M .P0) λ ∑ (n .ρ Pn = P0 ρn Lq = λ2σ2 + ρ2 2 (1 .ρ Pn = P0 ρn Lq = ρ2 2 (1 .n)! n! para n > M Pn = M! (λ / µ) P0 n-s (M .Investigación Operativa Para un sólo servidor (s = 1) ρ=λ /µ P0 = 1 / ∑ [ n=0 M Teoría de Colas .ρ) Ls = Lq + ρ W q = Lq / λ W s = Ls / λ = W q + 1/µ INGENIERÍA INDUSTRIAL 3 .n)! n! (M .n)! n P0 = 1 / { ∑ [ M! (λ / µ) ] + ∑ [ M! (λ / µ) ] } n=0 n=s n-s (M .s) Pn Lq = n=s M Ls = Lq + 1 .Fórmulas Para servidores múltiples (s >1) ρ = λ / (s.n=0 ∑ Pn) s-1 s -1 W q = Lq / [µ (1 .ρ) Ls = Lq + ρ W q = Lq / λ W s = Ls / λ = W q + 1/µ Un solo servidor (s = 1) con entrada tipo Poisson y tiempos de servicio constantes (⇒ varianza σ2 = 0) ρ=λ /µ P0 = 1 .n)! s! s n para 0 ≤ n ≤ s para s ≤ n ≤ M para n > M Pn = 0 _ λ = λ (M – LS) = µ (1 .Ls)] W s = Ls / [λ (M .n)! n para 0 ≤ n ≤ M Pn = M! (λ / µ) P0 (M .P0)] W s = Ls / [µ (1 .Ls)] Otros Modelos de Colas Un solo servidor (s = 1) con entrada tipo Poisson y cualquier distribución del tiempo de servicio ρ=λ /µ P0 = 1 .n)! s! s n n n s -1 M Pn = M! ρ P0 (M .P0) Pn = 0 _ λ = λ (M – LS) Lq = M .P0 Ls = [n=0 ∑ n Pn] + Lq + s (1 . µ) M! ρ ] (M .