Formulas Inferencia

Ingeniería de Sistemas e InformáticaFÓRMULAS Y TABLAS ESTADÍSTICAS ALUMNO (A) : ........................................................................... CICLO : IV SEMESTRE : 2015-II PROFESORA : Lic. Gladys Enríquez Mantilla. [email protected] 05 N Tamaño de la muestra para estimar el promedio poblacional: Población Infinita:  n    z  / 2  2  e  Profesora: Gladys Enríquez Mantilla Población Finita: n  Z2 / 2 2 N e2 ( N 1)  Z2 /2 2 1 .05 N DISTRIBUCIÓN DE LA PROPORCIÓN MUESTRAL Muestreo con reemplazo: z  p  P PQ n Muestreo sin reemplazo: z  p  P PQ n Nn N 1  n  0.P( Z  z1 ) z1 z2 DISTRIBUCIÓN DE LA MEDIA MUESTRAL Muestreo con reemplazo: z  x    n Muestreo sin reemplazo: x    Nn N 1 n z   n  0.P( Z  z 2 ) z2 c) P( z1  Z  z 2 ) = P( Z  z 2 ) . z1 b) P( Z > z 2 ) = 1 .UAP Ingeniería de Sistemas e Informática Inferencia Estadística DISTRIBUCIÓN NORMAL a) P( Z  z1 ) = F( z1 ) Lectura directa. n  0.UAP Ingeniería de Sistemas e Informática Inferencia Estadística INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA MEDIA POBLACIONAL Li    Ls Se conoce σ 2 : 1.05 N t0  t1  /2 . Población infinita: Población finita:  Nn  x  z  /2 n N 1  x  z  /2 n 2. n 1 2 . n1 Si n < 30 : x  Nn N 1 S n S n x  t0 S n Población finita: Nn  N 1 n  0. n 1 Profesora: Gladys Enríquez Mantilla  2  ( n  1 ) S2 2 / 2 .05 N Error máximo probable: Si n ≥ 30: Si n < 30: E  Z  /2  E  n t0 S n INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA VARIANZA POBLACIONAL L i  2  L s ( n  1 ) S2 12  / 2 .05 N No se conoce σ 2 : a) Si n  30: Población infinita: x  b) z  /2 Población finita: S n x  z  /2 Población infinita: t0  n  0. 05 N INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA DE PROPORCIONES POBLACIONALES L i  P1  P2  L s  1 1   P  Q     n1 n2  ( p1  p2 )  z  /2 Donde: P  x1  x 2 n1  n 2 P  ó n1  p1  n 2  p 2 n1  n 2 INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA RAZÓN DE VARIANZAS L i 2 1  2  Ls 2 S12 S2 2 F1  / 2 . v2  n 2  1 Grados de libertad del denominador. v . v 1 2 Donde: v1  n 1  1 Grados de libertad del numerador. v . v 1 2  12 2 2 S12  S2 2 F / 2 .UAP Ingeniería de Sistemas e Informática Inferencia Estadística INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA PROPORCIÓN POBLACIONAL Li  P  Ls Población infinita: p  Z /2 Población finita: pq n pq n p  Z /2 Nn N 1  n  0. Profesora: Gladys Enríquez Mantilla 3 . se supone: 12  2 2  ( n2  1) S22  1 n  1 n1  n2  2 t0 n1  n2  30 . Profesora: Gladys Enríquez Mantilla 4 . t0  t1 /2 .  1  n2  se supone: 12  2 2 S2 S12  2 n1 n2 . g  2 2  t1 /2 .UAP Ingeniería de Sistemas e Informática Inferencia Estadística INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS POBLACIONALES Li  1  2  Ls 1)  i2 conocidas: ( x1  x 2 )  2 2)  i desconocidas:  i2 desconocidas: ( x1  x 2 )  Donde: t0 ( x1  x 2 )   n1 z  /2 S12 n1 n1  n2  30 t0 ( n1  1) S12 n2  S2 2 n2 . n1  n2 2  i2 desconocidas: 4) 12 n1  n2  30 ( x1  x 2 )  3) z  /2 g  2   S2  1  S2   n n2   1  2  S2   1 n   1 n1  1  2 2  S2   2 n   2 n2  1 Para el valor de g siempre se toma sólo la parte entera. n1 Estadística de Prueba: σ 2 desconocida: σ 2 conocida : Si n ≥ 30 : x  0 z  / n z  Si n < 30: x  0 S/ n t  x  0 S/ n Valor P P  2  P ( Z  ep ) P  2  P ( t n 1  ep ) P  P ( Z  ep ) P  P ( t n 1  ep ) P  P ( Z  ep ) P  P ( t n 1  ep ) Error Tipo II x c   0  VC   P ( x c1  x  x c2 )   P ( x  xc )   P ( x  xc )  n  x c   0  VC n x c   0  VC  n PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA LA PROPORCIÓN POBLACIONAL H0 : P  P 0 H1 : P  P0 H0 : P  P 0 H1 : P  P0 Z1  Z Estadística de prueba: Z  Profesora: Gladys Enríquez Mantilla H0 : P  P 0 H1 : P  P0 Z  / 2 p  P0 P0  Q0 n 5 . n1   0 H1 :    0 z1 t1 . n1  z / 2  t1 / 2 .UAP Ingeniería de Sistemas e Informática Inferencia Estadística PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA LA MEDIA POBLACIONAL H0 :   0 H0 :   0 H0 : H1 :    0 H1 :    0 z t  . 12  . n 1 2  Estadística de prueba: 2  /2 . n1 n 1 12  / 2 . n 1 ( n  1 ) S2 20 P. v . PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA LA DIFERENCIA DE PROPORCIONES H0 : P1  P2 H1 : P1  P2 H0 : P1  P2 H1 : P1  P2 H0 : P1  P2 H1 : P1  P2 Z1   Z  Z / 2 Estadística de prueba: Z  p1  p 2  1 1   P  Q   n 2   n1 donde: Profesora: Gladys Enríquez Mantilla P  x1  x 2 n1  n 2 ó P  n1  p1  n 2  p 2 n1  n 2 6 . v .H. v 1 2 Estadística de prueba: F  S12 v 2  n2  1 S22 v1  n1  1 .UAP Ingeniería de Sistemas e Informática Inferencia Estadística PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA LA VARIANZA POBLACIONAL H0 : 2  2 0 H0 : 2  2 0 H0 : 2  2 0 H1 : 2  2 0 H1 : 2  2 0 H1 : 2  2 0  2 . v 1 2 F1 /2 . v 1 2 F /2 . PARA LA DIFERENCIA DE VARIANZAS POBLACIONALES H0 : 12  2 2 H0 : 12  2 2 H0 : 12  2 2 H1 : 12  2 2 H1 : 12  2 2 H1 : 12  2 2 F . v . v . v 1 2 F1 . UAP Ingeniería de Sistemas e Informática Inferencia Estadística P.H. PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS POBLACIONALES 1) σ2 i conocidas: 1   2 H1 : 1   2 H0 : H0 : H1 : 1   2 1   2 z1 z H0 : H1 : 1   2 1   2  z / 2 Estadística de prueba: z  x1  x 2 12 n1 2) 22  n2 σ2 i desconocidas: a) n1  n2  30 : 1   2 H1 : 1   2 H0 : H0 : H1 : 1   2 1   2 z z1 H0 : H1 : 1   2 1   2  z / 2 Estadística de prueba: z  x1  x 2 S12 n1 Profesora: Gladys Enríquez Mantilla  S2 2 n2 7 . n1  n2  30 1   2 H1 : 1   2 H0 : H0 : H1 : t. g 1   2 1   2  t1 /2 . n1  n2  2  t1 /2 . g 1   2 1   2 H0 : H1 : t1 . n1 n2 2 1   2 1   2 H1 : t1  . g Estadística de prueba: t  x1  x 2 S12 n1  S2 2 n2 g  2  S2  1  S2   n1 n2    2 2 2  S2   S2   2  1 n   n1      2 n1  1 n2  1 * Para el valor de g sólo se toma la parte entera.UAP Ingeniería de Sistemas e Informática Inferencia Estadística b) se supone que σ12  σ 22 . n1  n2  30 1   2 H1 : 1   2 x1  x 2  ( n1  1) S12  ( n2  1)S22 n1  n2  2 Se supone que σ12  σ 22 H0 : H0 :  1 1    n  n  2  1 H1 : t . Profesora: Gladys Enríquez Mantilla 8 . n1 n2 2 H0 : 1   2 1   2 Estadística de prueba: t c) . n  1 H0 : H1 : t1 .05  N Tamaño de muestra: n0 n  n 1 0 N .UAP Ingeniería de Sistemas e Informática Inferencia Estadística PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA DATOS PAREADOS H0 : D  0 H1 : D  0 H0 : D  0 H1 : D  0 t .  Z /2 S   n0     E  2 . E  % x MUESTREO ALEATORIO SISTEMÁTICO Muestra Piloto: np  0. n  1 D  D  0 0  t1  / 2 . n 1 Estadística de prueba: t  x D  D SD n MUESTREO ALEATORIO SIMPLE Muestra Piloto: n p  0. K N n 9 .05  N Tamaño de muestra: n0 n  n 1 0 N .  Z /2 S   n0     E  Profesora: Gladys Enríquez Mantilla 2 . E  % x . 05 N . ( f 1 ) (c 1 ) 2    ( Oi j  f : Nº de filas c : Nº de columnas ei j )2 . f. x ST  Ni N x i PRUEBA CHI CUADRADO DE HOMOGENEIDAD O DE INDEPENDENCIA Valor Crítico: 12 Estadística de Prueba: . . k 1 2  : Nº de celdas   Corrección de Yates: 2   Si ei j  ( Oi j  Donde: ei j )2 ei j pi  ei j 1 k  n pi Coeficiente de Contingencia:  Oi j  ei j  0. ei j ei j  f i . n0 n 1 0 N N  ni  n  i  N   E   V    Z /2    2 E  % x ST .5 2 ei j C  2 n  2  5 en 20% o más de celdas  Cuando algún ei j  1 Profesora: Gladys Enríquez Mantilla 10 .UAP Ingeniería de Sistemas e Informática Inferencia Estadística MUESTREO ALEATORIO ESTRATIFICADO Muestra Piloto: n  Tamaño de muestra: 1 n0  V  Ni 2 S N i N  nip  np  i  N n p  0. j n Si f=1 ó c=1: Valor Crítico: 12 k Estadística de Prueba: . ... n2 . k  2 VC  12  . S2 2  1 2 nk 1  N k Sk    S2p Profesora: Gladys Enríquez Mantilla  k donde:    n i  1 S2i i 1 S2 p  Nk 11 . nk )  n1 bk (  . n  p x q n  x Estadística de Prueba: 2    ( Oi j  ei j )2 ei j  donde: ei j n pi  Oi j PRUEBA DE BARTLETT Valor Crítico: bk bk (  . S2 S1 2 k 2 Sp k 1  S2i k donde: S2p  i  1 k Estadística de Prueba: para n i diferentes:    2 n11   S1 b     n 1 2  . nk ) N Estadística de Prueba: para ni iguales: b    2  S2  . n1 )  n2 bk (  .. n1 . k  3 VC  12  .  nk bk (  . n ) Para n i iguales: Para n i diferentes: bk (  . n2 )  ..UAP Ingeniería de Sistemas e Informática Inferencia Estadística PRUEBA CHI CUADRADO DE BONDAD DE AJUSTE Valor Crítico: VC NORMAL: POISSON: BINOMIAL: VC  12  ... k  2 P (X  x i )  P(Zz )  F(z ) e   x x!  P (X  x i )  C n x    ˆ p  x n ...... ... Nk F  CM (tr ) CME Tabla de ANOVA Fuente de Variación Grados de Libertad Suma de Cuadrados k 1 Tratamientos SC (tr) Error N-k SCE Total N1 SCT Suma de Cuadrados del Total: k n SCT   i 1 j1 CME  F CM ( tr ) CME SCE N-k Suma de Cuadrados de Tratamientos: T2 N X2 ij  Cuadrado Medio SC ( tr ) CM ( tr )  k 1 SC ( tr )  k T2 i.UAP Ingeniería de Sistemas e Informática Inferencia Estadística DISEÑO COMPLETAMENTE ALEATORIO (ANOVA con un factor) Valor Crítico: Estadística de Prueba: F1 . Nk CME n Para ni diferentes: x i  xj  q  . k .  ni i 1  T2 N SCE  SCT  SC ( tr ) Suma de Cuadrados del Error: INTERVALOS DE CONFIANZA DE TUKEY Para ni iguales: x i  xj  q  . k . Nk Profesora: Gladys Enríquez Mantilla CME  1 1   2  ni nj    12 . k 1 . b1 . k 1 .UAP Ingeniería de Sistemas e Informática Inferencia Estadística DISEÑO EN BLOQUES COMPLETOS AL AZAR (ANOVA con dos factores) Hipótesis 1: Hipótesis 2: Valor crítico: Valor crítico: F1 . Nbk 1 Estadística de Prueba: F  Estadística de Prueba: CM (tr ) CME F  CMB CME Tabla de ANOVA Fuente de Variación Grados de Libertad k 1 Tratamientos Suma de Cuadrados SC (tr) b 1 SCB Error N  b  k 1 SCE Total N1 SCT Bloques Cuadrado Medio SC ( tr ) CM ( tr )  k 1 CMB  CME  F CM ( tr ) CME CMB CME SCB b 1 SCE N  b  k 1 Donde: Suma de Cuadrados del Total: k Suma de Cuadrados de Tratamientos: k  Ti2. b T2 SCT  X2  ij N i 1 j1  Suma de Cuadrados del Error: SC ( tr )  i 1 b Suma de Cuadrados de Bloques: b  B2j SCE  SCT  SC ( tr )  SCB SC B  Profesora: Gladys Enríquez Mantilla T2 N  j1 k  T2 N 13 . Nbk 1 F1 . b Ecuación de Regresión Lineal Conociendo r: Conociendo la Covarianza: ˆ  r Y SY ( Xx )  y SX ˆ  Y SXY ˆ  r X SX (Yy )  x SY ˆ  X SXY Profesora: Gladys Enríquez Mantilla S2X S2Y (Xx)  y (Yy)  x 14 .UAP Ingeniería de Sistemas e Informática Inferencia Estadística REGRESIÓN Y CORRELACIÓN LINEAL SIMPLE Ecuación de regresión de Y sobre X: Ecuación de regresión de X sobre Y: ˆ  a  b Y X ˆ  abX Y Ecuaciones Normales: na  b a  Xi  a  b  Xi  X2i Ecuaciones Normales:    Yi n a   Xi Yi a  Yi  X2  Y   X  XY 2 n  X2    X  b  a'  XY   X  Y 2 n  X2    X  b    Yi   Yi2   Xi  Yi Xi  Y2  X   Y  YX 2 n  Y2    Y  b'  n b  YX   Y  X 2 n  Y2    Y  n Coeficiente de Correlación Lineal Simple Coeficiente de Correlación Lineal de Pearson: r  Conociendo a y b :  XY   X Y 2 2 n X 2    X   n  Y 2    Y        n SXY  Usando la Covarianza:   XY n  r  X . Y n a  Y  b  XY  n Y2  Y2  n Y2 Forma de Regresión: n r  SXY r  SX SY b . 1 .UAP Ingeniería de Sistemas e Informática Inferencia Estadística Error Estándar de Estimación: SL  Y 2  a Y  b n2 Intervalo de confianza para β :  XY SL b  to X   X  2 2 n Intervalo de pronóstico para un valor de Y: a  b x0  t0 SL 1  1 n ( x0  x )2  2 n n  X2  (  X ) to  t1 . n2 ANOVA en Regresión Valor Crítico Estadística de Prueba F1   .α/2 . n  2 F  CMR CME Tabla de ANOVA Fuente de Variación Grados de Libertad Regresión 1 Suma de Cuadrados SCR Cuadrado Medio SCR CMR  1 SCE CME  n.2 Error n-2 SCE Total n-1 SCT Suma de Cuadrados Total: SCT   Y2  F CMR CME Suma de Cuadrados de Regresión:   Y 2 n Suma de Cuadrados del Error: SCE  SCT  SCR Profesora: Gladys Enríquez Mantilla  SCR  b2     X2    X  2  n   Coeficiente de Determinación: r2  SCR SCT 15 .  Coeficiente de correlación exponencial: r   n  X2  X log Y   X .  log Y  (  X )2   n  ( log y )2  (  log Y )2  n Profesora: Gladys Enríquez Mantilla 16 .UAP Ingeniería de Sistemas e Informática Inferencia Estadística REGRESIÓN Y CORRELACIÓN CUADRÁTICA Ecuaciones Normales: Ecuación de Regresión: ˆ Y  X  c  X2 a  X  b  X2  c  X3 a  X2  b  X3  c  X 4 a n 2  a  bX  cX  b    Y XY  X2 Y Coeficiente de correlación cuadrático:  r a Y  b  XY  c  X2 Y 2  Y2  n Y  n Y 2 Error estándar de Estimación cuadrático: SC   Y2  a Y  b  XY  c n  3  X2 Y REGRESIÓN Y CORRELACIÓN EXPONENCIAL Ecuación de Regresión: Ecuaciones Normales: ˆ  a . bX Y Log Y = Log a + X log b  log Y  X log Y  n log a  log a .  X2  log b . X X log b .  X3  b3  X2 X3  b3  X2 3  b3 Y  X2 Y  X3 Y    X3 y X 4 : ˆ  b1. 345 X2  b13 . 245 X3  b14 .. 235 X4  b15 . 34 X2  b13 . 23 X4 Y Ecuación de Regresión de Y sobre X 2 . 2345  b12. de Regresión de Y sobre X 2 y X 3 :  Y  b1  b2 X 2  b3 X 3  Y  b1. X 3 . 3 X2  b13.23  b12. 2 X3 Ecuaciones Normales: b1 n  X2 b1  X3 b1  X2 b2  X2 2 b2  X2 X3  b2   Ecuación de Regresión de Y sobre X 2 . 234 X5 Y Error estándar de estimación múltiple: SM  Profesora: Gladys Enríquez Mantilla ( Yi  Yˆi )2 n  m 1 17 .UAP Ingeniería de Sistemas e Informática Inferencia Estadística REGRESIÓN Y CORRELACIÓN MÚLTIPLE Ec. 234  b12. 24 X3  b14 . X 4 y X5 : ˆ  b1. orden parcial Coeficiente de Correlación Parcial para cuatro variables: rij kl  rij l  rik l rjk l 2 2 ( 1  rik l ) ( 1  rjk l ) Profesora: Gladys Enríquez Mantilla Fórmula de 2do. 2 . 23  b1 Y R12. 1 Fórmula de 1er. 23  b2  X 2 Y  b3  X 3 Y 2  Y2  n Y 2 2 r12  r13   1  nY 2 2 r12 r13 r23 2 r23 . 3 .UAP Ingeniería de Sistemas e Informática Inferencia Estadística Coeficientes de Correlación Lineal Simple Correlación simple entre Y y X 2 : n r12   n  X22  Y X2   Y  X2  (  X2 )2  n  Y2  (  Y )2  Correlación simple entre Y y X3 n r13   n  X23  Y X3   Y  X3  (  X3 )2  n  Y2  (  Y )2  Correlación simple entre X 2 y X3  X 2 X3   X 2  X 3  n  X22  (  X2 )2  n  X23  (  X3 )2  n r23  Coeficiente de Determinación Múltiple: R12. CORRELACIÓN PARCIAL Coeficiente de Correlación Parcial para tres variables: r12 . rij k  rij  rik rjk 2 ( 1  rik ) ( 1  r2 jk ) r13 . orden parcial 18 . r23 .