Formelsammlung Vektorrechnung

http://www.online.de/home/sand/xedu/ Formelsammlung Vektorrechnung bezogen auf rechtwinkliges x / y / z - Koordinatensystem und Punkt Mathematische Symbole und Formeln:  x1   x2      P  y1  P2  y2  1 z  z   1  2 l= Punkt P1 P2 in Koordinatenschreibweise Abstand zweier Punkte ! !  a cosα a   a = !  a sin α  a   Vektor a mit den Komponenten in Betrag-RichtungsSchreibweise (2-dimensional) Einheitsvektor mit der ! Richtung von a und der Länge 1 in Betrag-RichtungsSchreibweise Eiheitsvektoren in den Richtungen der x-, y- und z-Achse eines räumlichen rechtwinkligen Koordinatensystems ! (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 + (z2 − z1 )2 P1  x1   y M 1   z1   + x2 2 + y2 2 + z2 2         und P2 Mittelpunkt M zwischen zwei Punkten P1 und P2 !  cosα a  ! ! ao =   sin α , a ≠ 0  a   ! !o !0 a a =1, a = ! a ! ! ! i , j ,k ! ! ! i = j = k =1 1 !   i = 0 0    xa   − xa      ! ! − a = −1 ⋅ a = −1 ⋅  ya  =  − ya   z  − z   a  a  xa   xb   xa + xb   ! !      a + b =  ya  +  yb  =  ya + yb  z  z  z +z   a  b  a b  xa   xb   xa − xb   ! !      a − b =  ya  −  yb  =  ya − yb  z  z  z −z   a  b  a b  x 2 − x1  →   P1 P2 =  y 2 − y1  z −z  1   2  xp  !   0P = p =  y p  z   p → Vektor, der durch den Pfeil von nach ist. → → P 1 P2 bestimmt Gegenvektor zu ! a dem Punkt P zugeordneter Ortsvektor mit dem Koordinatenursprung 0 als Anfangs- und P als Endpunkt Vektor a mit den Komponenten Summe der Vektoren ! ! a ,b  xa  !   a =  ya  z   a ! a = xa y a z a ! xa , ya und za Differenz !der Vekto! ren a , b ! ! ! ! a −b = a + −b ( ) ( ) Vektor a mit den Komponenten xa , ya und za (Zeilenschreibweise) Betrag des Vektors (Länge des Vektors ! a) zum Vektor a höriger Winkel !  x a   k ⋅ xa      ! k ⋅a = k  y a  =  k ⋅ y a  z  k⋅z  a   a  Multiplikation des ! Vektors a mit einem Skalar k (k ∈ R) zwei !Vektoren a und b sind kollinear oder linear abhängig ⇒ Vektoren besitzen die gleiche Richtung ! 2 2 2 a = xa + ya + za ! a =a ! a ! ! ! ! a = k ⋅ b oder b = k ⋅ a oder zusammengefaßt: ! xa > 0 y α a = ATAN  a x  a xa < 0     ! αa ge- ! ! ! k1 ⋅ a + k 2 ⋅ b = 0 nicht beide (2-dimensional) ki = 0 y  α a = ATAN  a  + 180" x   a 1 http://www.online.de/home/sand/xedu/ Formelsammlung Vektorrechnung bezogen auf rechtwinkliges x / y / z - Koordinatensystem drei Vektoren a , b ! und c sind komplanar oder linear abhängig ⇒ Vektoren liegen auf einer Ebene in der Ebene: Zerlegen Vektors in nenten: eines Kompo- Mathematische Symbole und Formeln: ! ! ! c = k1 ⋅ a + k2 ⋅ b ! ! oder allgemein: ! ! ! ! k1 ⋅ a + k 2 ⋅ b + k 3 ⋅ c = 0 nicht alle drei  x1   x a   xc         y1  =  y a  + r ⋅  y c  z  z  z   1  a   c ! ! c1 = k ⋅ c2  x c1   xc 2       y c1  = k ⋅  y c 2  z  z   c1   c2  für jede Komponente kann das gleiche k ermittelt werden Punktprobe: jede Komponente das gleiche r bestimmen läßt Parallelitätsprobe: Richtungsvektoren kollinear sind ! x1 ∈ g wenn sich für ki = 0 ! ! ! c = m⋅ a + n ⋅b ! m ⋅ a ! ist Komponente von c in Richtung von ! a ! n ⋅ b ! ist Komponente von c in Richtung von ! b ! ! ! ! d = l ⋅ a + m⋅b + n ⋅ c ! l ⋅ a ! ist Komponente von d in Richtung von ! a ! m ⋅ b ! ist von d in ! b ! n ⋅ c ! ist von d in ! b Komponente Richtung von Komponente Richtung von g1 ™ g2 wenn die Darstellen eines Vek! tors c durch Linearkombination zweier linear unabhängiger ! Vektoren ! a und b im Raum: Zerlegen eines Vektors in Komponenten: Darstellen eines Vek! tors d durch Linearkombination dreier linear unabhängiger ! ! Vektoren a , b und ! ! x1 = x2 ! ! ! ! a1 + r ⋅ c1 = a2 + s ⋅ c2 Schnittpunktprobe / berechnung r und s können berechnet werden / das Gleichungssystem ist Widerspruchsfrei ! a ! b ! c ! ! a⊥b !! α = ∠ a,b Vektor Vektor ! !a b ! parallel ortogonale Vektoren (Vektor a !senkrecht zu Vektor b ) orientierter Winkel α zwischen den Vekto! ! ren a und b Skalarprodukt zwischen den ! ! Vektoren a und b ( ) ! ! ! g: x = a + r ⋅ c r ∈ R Ortsvektoren Geradenpunkte Gerade in PunktRichtungs-Form aller (gilt für Ebene und Raum) ! x ! a ! c Stützvektor Richtungsvektor Gerade in 2-PunkteForm (gilt für Ebene und Raum) ! ! ! ! g: x = a + r ⋅ ( − a + b ) ! x aller  x a   xb  ! !     a • b =  y a  •  yb  z  z   a  b = xa ⋅ xb + ya ⋅ yb + za ⋅ zb ! ! a •b cos (α ) = ! ! a⋅b ! ! a • b = 0 oder xa ⋅ xb + ya ⋅ yb + za ⋅ zb = 0 r ∈ R Ortsvektoren Geradenpunkte Berechnung des Winkels zwischen ! a den !Vektoren und b gilt für ortogonale ! ! Vektoren a ⊥ b ist der Richtungsvektor 2 ! ! ( −a + b ) ! a ist der Stützvektor