FONDSUP 2003 –Vol. 2. Magnan (ed.) 2004, Presses de l’ENPC/LCPC, Paris 79 LES MÉTHODES DE CALCUL DE LA PORTANCE DES FONDATIONS SUPERFICIELLES THE CALCULATION METHODS FOR THE BEARING CAPACITY OF SHALLOW FOUNDATIONS Jean-Pierre MAGNAN 1 , Niculai DRONIUC 1 , Yves CANEPA 2 1 Laboratoire Central des Ponts et Chaussées, Paris, France 2 Laboratoire Régional de l’Est Parisien, Melun, France RÉSUMÉ – Les méthodes de calcul de la stabilité des fondations superficielles utilisées dans le monde depuis le début du vingtième siècle sont passées en revue et comparées. Une place particulière est accordée aux développements récents de l’analyse limite, qui renouvellent l’analyse de la stabilité des ouvrages de géométrie complexe sous chargement quelconque. ABSTRACT – The calculations methods of the stability of shallow foundations which have been used since the beginning of the 20 th Century are reviewed and compared in this state of the art report. Special attention is devoted to recent developments of limit analysis, which give a new insight into the stability analysis of geometrically complex structures submitted to any type of loading. 1. Introduction Les fondations superficielles sont considérées comme des ouvrages simples et d’exécution facile. Néanmoins, de très nombreux travaux leur ont été consacrés depuis près d’un siècle pour établir, valider et améliorer leurs méthodes de calcul, car les paramètres à prendre en compte sont variés et ces calculs mettent en jeu nombre de facettes du comportement mécanique des sols et des roches. Faire l’état des connaissances dans un domaine aussi vaste nous a conduits à revoir les grandes étapes de l’évolution des méthodes de calcul de la stabilité de ces ouvrages, en rassemblant des informations existant dans tous les manuels de géotechnique mais aussi des résultats de recherches récentes, qui renouvellent la compréhension de certaines pratiques traditionnelles. Nous n’avons pas couvert le calcul sismique des fondations superficielles, ni les bases expérimentales de la justification de ces ouvrages, qui sont traitées dans un autre état des connaissances du présent symposium international (Canepa et Garnier, 2004). Nous ne traitons pas non plus du dimensionnement de la fondation elle-même, souvent en béton armé. Si la semelle filante ou la semelle isolée sont des concepts de base du calcul des fondations superficielles, qui correspondent typiquement à la fondation d’un mur et à celle d’un poteau, la diversité des situations de fondations superficielles est très grande. Les fondations de ponts ont typiquement des formes rectangulaires et portent un mur ou des poteaux. Les fondations de bâtiments sont par contre beaucoup plus variées et complexes. Les bâtiments anciens comportaient essentiellement des murs porteurs et parfois des colonnes. Les difficultés y sont concentrées dans l’interaction des colonnes et des murs et aussi des dallages, mais surtout dans la diversité des niveaux de fondations et l’existence de parties souterraines, caves, galeries ou cryptes. Les bâtiments modernes ont souvent une ossature de poteaux qui portent la structure et concentrent les charges transmises au sol. On y retrouve de grandes différences de charges entre les parties basses et hautes des bâtiments et aussi des différences de niveaux de fondations. Mais on trouve aussi dans l’architecture moderne des structures qui transmettent aux fondations des charges très excentrées et inclinées, sortant des 80 domaines validés par l’expérience (Steenfelt, 2004). On doit aussi parfois calculer des fondations superficielles supplémentaires à proximité de fondations déjà anciennes. L’étude des fondations superficielles est donc un exercice difficile, dont on sait traiter les configurations courantes tout en ayant besoin de développements complémentaires dans les calculs d’interactions et pour une meilleure maîtrise des mouvements et de la fissuration des bâtiments et des structures. Dans ces études, les méthodes de calcul ne sont qu’un élément : il faut donner des valeurs aux paramètres de calcul, qu’il s’agisse des paramètres de Mohr-Coulomb ou des résultats d’essais en place. L’expérience montre malheureusement que les propriétés des sols sont mal connues et souvent sous-évaluées par des essais mal faits ou trop rares. Une fondation superficielle sur un sol de portance sous-estimée se transforme généralement en fondation sur pieux sensiblement plus onéreuse. Le maître d’ouvrage a donc tout intérêt à ce que le calcul des fondations superficielles soit précis et représentatif du comportement réel du sol, donc fondé sur de bons essais et une reconnaissance bien conçue, ce qui n’est pas nécessairement l’intérêt de son bureau d’études, de son entreprise et de leurs sociétés d’assurance, la sous- estimation des propriétés du sol réduisant les risques et augmentant le volume des travaux. 2. Notations Les notations adoptées dans ce texte sont les notations couramment utilisées pour le calcul des fondations superficielles. La géométrie de la fondation est définie sur la figure 1. Le sol est caractérisé par son poids volumique γ et par sa résistance au cisaillement drainé (cohésion effective c’ et angle de frottement interne ϕ’) ou non drainé (cohésion non drainée c u ), ou encore par les paramètres issus des essais en place. Dans les formules de calcul, la notation générique (c, ϕ) est utilisée. Lorsque ϕ=0, elle représente le comportement non drainé du sol. 3. Généralités sur la capacité portante des fondations superficielles Les facteurs de la capacité portante des fondations superficielles sont nombreux et variés. Les calculs distinguent : - la forme des fondations (semelles filantes, carrées, rectangulaires ou circulaires), - l’inclinaison du sol ou de la fondation (sol horizontal, sol incliné, bord de talus, fondation inclinée), - la géométrie et les propriétés mécaniques du sol (sol homogène, sol stratifié, sol cohérent, sol cohérent et frottant), - les conditions de contact entre semelle et sol (contact rugueux, contact lisse), - les caractéristiques de la charge appliquée (charge verticale centrée, excentrée, inclinée), - l’influence de l’eau (présence d’une nappe à différentes profondeurs). Les méthodes de calcul correspondantes ont été développées progressivement depuis le début du vingtième siècle. Elles doivent beaucoup à quelques précurseurs (Terzaghi, Meyerhof, Brinch Hansen, Caquot, de Beer…), qui ont établi un ensemble de règles validées par l’expérience et couvrant la plupart des situations courantes. À partir des années 1950, l’évolution de la théorie de la plasticité a offert des outils d’analyse qui proposent un nouveau regard sur les méthodes de calcul classiques (Salençon, 1974 ; Chen, 1975), mais dont l’utilisation n’a pas modifié la pratique des études de fondations. L’analyse limite et sa généralisation, le calcul à la rupture, définissent des règles d’encadrement des charges limites par une approche dite statique ou par l’intérieur et une approche dite cinématique ou par l’extérieur. Sous certaines conditions, ces deux approches convergent vers une solution unique, qui est à la fois statiquement et cinématiquement admissible, c'est à dire vérifie toutes les conditions aux limites imposées et respecte les critères de stabilité des matériaux. 81 B L B D B a. Semelle rectangulaire L=B semelle carrée L>>B semelle filante b. Semelle circulaire c. Encastrement D α β d d. Inclinaison α de la base de la semelle e. Inclinaison β de la surface du sol f. Distance d de la semelle au bord du talus δ δδ δ H V e V D w g. Inclinaison δ de la charge h. Excentrement e de la charge (ou e B et e L ) i. Profondeur D w de la nappe dans le sol B L V e B e L j. Excentrement dans le cas d’une semelle rectangulaire (e B , e L ) Figure 1 Notations utilisées pour la géométrie des fondations superficielles Si les nouvelles méthodes d’analyse limite, notamment l’approche cinématique, ne présentent pas d’avantages pour la résolution des problèmes courants, on peut en attendre des possibilités accrues pour le traitement des problèmes complexes de la géotechnique moderne (problèmes tridimensionnels d’interaction entre structures et terrains) qui sortent du champ des méthodes classiques d’analyse. Toutefois, leur usage est conditionné par une validation sur tous les cas classiques de calcul de capacité portante. L’approche cinématique régularisée du calcul à la rupture a été développée au Laboratoire Central des Ponts et Chaussées depuis près de 25 ans (Frémond et Salençon, 1973 ; Friaâ, 82 1978 ; Guennouni, 1982 ; Guennouni et Le Tallec, 1982). Au cours des dix dernières années, ses applications dans le domaine de la géotechnique ont été systématisées (Jiang, 1992 ; Sassi, 1996 ; Antao, 1997 ; Droniuc, 2001) et l’on dispose maintenant d’un nombre convainquant d’exemples qui peuvent servir à valider une approche cinématique de la stabilité des ouvrages géotechniques. Le module LIMI de CESAR-LCPC regroupe toutes les procédures nécessaires à ce type de calcul en éléments finis. 4. Bases conceptuelles des calculs de stabilité On peut analyser la stabilité des fondations superficielles, mais aussi des autres ouvrages géotechniques, de quatre façons différentes : - par analyse d’équilibre limite, - par analyse limite, - par des calculs en déformations et - par des corrélations avec des essais en place. Avant d’inventorier les méthodes de calcul proposées aux ingénieurs dans la littérature spécialisée, il nous a semblé utile de rappeler les bases conceptuelles et historiques de ces méthodes. 4.1. L’analyse d’équilibre limite L’analyse d’équilibre limite applique des principes de base de la mécanique des matériaux et des structures qui étaient utilisées en génie civil longtemps avant l’invention de la plasticité et même de l’élasticité. Les équilibres de forces découlent des travaux de Galilée (1638) et Newton (1687) et ont vu leur première application géotechnique dans les travaux de Coulomb (1773) et de son prédécesseur Couplet (1727). L’idée est que tout solide ou toute partie de solide en équilibre (comme l’est un ouvrage géotechnique avant la rupture) est soumis(e) à un système de forces et moments en équilibre. La référence aux parties de solides en équilibre permet de raisonner aussi sur les forces internes, donc sur les contraintes, et de définir deux principes : - les charges (forces et moments externes, forces internes) appliquées à un solide en équilibre doivent être équilibrées (forces et moments résultants égaux à zéro) ; - les forces internes ou contraintes doivent être inférieures ou égales à la résistance des sols et des autres matériaux existant dans le solide considéré. Avec les concepts et les notations actuels, ces principes peuvent être exprimés par deux ensembles d’équations : ( ) ( ) ¦ ¹ ¦ ´ ¦ = = ∑ ∑ moments 0 M forces 0 F j i (1a) 0 f div i = + σ (2a) σ satisfait les conditions aux limites en forces et contraintes Charge ≤ Résistance (1b) Contraintes σ ≤ Résistance (2b) Les équations (1a) et (1b) s’appliquent aux cas où les sols et les ouvrages sont traités comme des solides soumis à des forces F i et à des moments M j . Les équations (2a) et (2b) s’appliquent dans les cas où l’on utilise la mécanique des milieux continus (contraintes σ et forces volumiques f i ). Dans les deux cas, l’analyse d’équilibre limite définit l’équilibre dans un contexte de stabilité. Les conditions aux limites imposées aux déplacements ne sont pas prises en compte explicitement, mais elles sont intégrées de fait dans la géométrie des blocs dont on analyse l’équilibre. La formulation de l’analyse d’équilibre limite en termes de contraintes trouve ses précurseurs dans les travaux de Rankine (1856) et de Lévy (1867), Résal (1903, 1910), Massau (1905), Caquot (1934) et Frontard (1936). 83 La résolution des équations (2a) et (2b) a fait l’objet de nombreuses recherches et est facilitée notamment par la méthode dite des caractéristiques (Sokolovskij, 1960b). L’analyse d’équilibre limite est la méthode d’analyse de stabilité la plus couramment utilisée en géotechnique. 4.2. L’analyse limite L’évolution des concepts de la mécanique depuis le 18 ème siècle a permis le développement d’une autre stratégie d’analyse de stabilité appelée « analyse limite ». L’analyse limite utilise notamment les concepts de travaux virtuels et équilibre statique (Lagrange, 1788) et le principe du travail plastique local maximal (Kazinczy, 1914 ; Kist, 1917 ; Gvozdev, 1938, 1948 ; Markov, 1947 ; Hill, 1948, 1950 ; Drucker, 1951, 1962 ; Drucker et Prager, 1952). L’analyse cinématique régularisée, qui sera évoquée plus loin, s’appuie de plus sur les travaux de Moreau (1966) et Nayrolles (1970). La grande différence entre l’analyse limite et l’analyse d’équilibre limite réside dans la prise en compte de la cinématique des déformations dans l’analyse de la rupture. L’analyse des déformations permet d’une part de raisonner en termes de travail des forces internes et externes, et plus seulement en termes d’équilibres de forces, et d’autre part de tenir compte directement des conditions aux limites sur les déplacements. L’analyse limite admet que les sols et autres matériaux ont un comportement élastique (ou rigide) parfaitement plastique, avec une loi d’écoulement plastique associée. Notons que cette loi d’écoulement plastique associée n’est en fait utilisée que pour calculer les puissances virtuelles de la déformation du matériau à l’état limite de contraintes, ce qui est aussi la base du calcul à la rupture (Salençon, 1996 ; p. 129). Des présentations détaillées en ont été données par Salençon (1974, 1983, 1996), Chen (1975) et Christiansen (1996). Deux théorèmes limites ont été établis, qui définissent deux approches des charges limites par valeurs supérieures et par valeurs inférieures : - selon le théorème des bornes supérieures, si le travail d’une force externe associé à une cinématique de rupture est supérieur au travail des forces internes (bornées par la résistance des matériaux) pour la même cinématique de rupture, alors cette force est supérieure à la charge limite de rupture. Cette approche, dite cinématique, consiste donc à construire des cinématiques ou mécanismes de rupture respectant les conditions aux limites sur les déplacements, et à trouver pour chacun d’eux des forces ou combinaisons de forces trop grandes pour la résistance du sol ; - selon le théorème des bornes inférieures, si l’on peut trouver dans les matériaux (sols et structures) un champ de contraintes qui équilibre la charge extérieure appliquée, tout en restant compatible avec les résistances des différents matériaux, alors cette charge ne peut être supérieure à la charge limite de rupture. Cette approche, dite statique, consiste donc à chercher des champs de contraintes qui vérifient les conditions d’équilibre statique et les critères de résistance des matériaux et équilibrent la plus grande charge extérieure possible. La méthode cinématique a connu une plus grande popularité que la méthode statique et de nombreuses bornes supérieures ont été proposées pour la portance des sols. Les mécanismes de rupture correspondant à ces bornes supérieures comportent des surfaces de discontinuité, où la vitesse de déplacement instantané fait un angle ϕ avec la surface de contact (Figure 2.a) et des zones de déformation plastique, où la loi d’écoulement plastique associée détermine la géométrie et l’extension de la rupture (Figure 2.b). L’angle entre la vitesse de déplacement et la surface de discontinuité explique la forme de spirale logarithmique des surfaces de rupture dans de nombreux modèles de calcul à base de blocs. On ne peut comparer directement les analyses d’équilibre limite et les calculs d’analyse limite, qui ne résolvent pas les mêmes équations et posent différemment le problème de l’équilibre limite. Même si l’analyse limite paraît plus proche des concepts modernes de la mécanique, elle comporte aussi des approximations fortes qui peuvent l’éloigner de la réalité des sols, tandis que la force de l’analyse d’équilibre limite réside dans le choix de mécanismes 84 de rupture inspirés des modes de rupture observés et la grande expérience acquise dans son utilisation (Magnan et Droniuc, 2000). déplacements imposés surface de discontinuité force volumique f force F 1 ϕ bloc 1 bloc 2 mouvement du bloc 1 vitesse déplacements imposés point P F 2 F 1 charges σ σσ σ i σ σσ σ j critère ε& a. Rupture par blocs b. Rupture par déformation du massif Figure 2 Particularités des calculs de stabilité dans l’approche cinématique de l’analyse limite 4.3. Les calculs en déformations Dans les sols et les roches, la rupture est toujours précédée de déformations, plus importantes et visibles dans les sols, mais aussi présentes dans les roches. La rupture peut être repérée par l’amorce de grands déplacements lors de la rupture des matériaux (ruptures de remblais sur sols mous, glissements de terrain, par exemple), mais aussi par une augmentation des mouvements de terrain, sans instabilité réelle (fondations superficielles et fondations profondes), le cas des soutènements étant intermédiaire (la rupture côté poussée est généralement confinée et la rupture côté butée est la vraie cause de l’instabilité). La rupture peut donc être définie en termes de déplacements, à condition de savoir calculer des déformations non linéaires et qui se concentrent si nécessaire sur des surfaces de rupture. Il est évident que cette possibilité n’existait pas au début du 20 ème siècle et qu’elle n’est offerte que depuis l’avènement du calcul élastoplastique sur ordinateur, notamment par le calcul en éléments finis. Les calculs d’équilibre limite et d’analyse limite supposent que l’instabilité ne dépend pas de l’état initial du sol et de sa réponse aux faibles valeurs des charges. Dans les calculs en déplacements, la rupture est au contraire définie sur la courbe (les courbes) de variation des déplacements en fonction de la charge et/ou du temps (figure 3). L’approche en déplacements des calculs de stabilité est à la fois la plus naturelle, car elle suit l’évolution des terrains et des ouvrages depuis leur état initial jusqu’à la rupture (ou ce qui est défini conventionnellement comme la rupture), et la plus exigeante car elle nécessite de connaître la déformabilité des matériaux en plus de leur résistance. Les paramètres de déformabilité des sols sont particulièrement sensibles aux conditions de prélèvement des carottes pour les essais de laboratoire et aux conditions d’exécution des essais en place. Mais on rencontre aussi des difficultés pour spécifier l’état initial des contraintes dans le sol, qui conditionne l’étendue de la plage élastique avant d’atteindre le critère de plasticité et le passage à un mode de déformation différent. Le perfectionnement des outils de calcul de stabilité en déplacements est toutefois une voie d’avenir, notamment pour les ouvrages complexes. 85 déplacement charge équilibre limite analyse limite cinématique analyse limite statique max min seuil de rupture état initial charge de rupture critère de rupture en déplacement Figure 3 Définitions de la rupture pour le calcul en déplacements, l’analyse limite et l’analyse d’équilibre limite 4.4. Les méthodes dérivées des essais en place Les essais en place (pénétromètre statique et dynamique, scissomètre, essais de pénétration de carottier – SPT, pressiomètre, …) complètent depuis plus de cinquante ans les essais de laboratoire pour la caractérisation mécanique des sols, notamment pour les sols où l’on ne peut prélever d’échantillons représentatifs. Leurs résultats sont parfois exploités pour obtenir par corrélations ou par transformation analytique des paramètres de résistance utilisables pour l’analyse d’équilibre limite ou l’analyse limite (c u , c’ et ϕ’). Mais ils sont souvent utilisés directement pour évaluer la charge limite du massif de sol par des formules simples, du type de celle utilisée pour déduire la portance de la pression limite pressiométrique (Ménard) : ( ) o o l q p p k q + − = max . (3) Ces formules ne font plus référence à une quelconque équilibre de contraintes ou mécanisme de rupture et proviennent en général d’une étude de corrélation entre les résultats d’essai et la portance des massifs de sol. Elles sont souvent complétées par des coefficients correcteurs (d’inclinaison, d’excentrement, d’encastrement, etc.) directement inspirés de l’analyse d’équilibre limite ou d’analyse limite. Ces méthodes sont très souvent utilisées pour l’étude des ouvrages courants. NOTE : Comme on le voit dans la section suivante, les méthodes de calcul qui ont résisté aux épreuves de la pratique et du temps sont toutes accompagnées d’un « mode opératoire » ou de facteurs correctifs qui les ont adaptées à l’expérience. 5. Inventaire des méthodes de calcul de la portance des fondations superficielles Le développement des méthodes de prévision de la capacité portante des sols sur la base des résultats d’essais de laboratoire, c’est à dire en utilisant le critère de rupture de Mohr-Coulomb 86 (τ max ≤ c + σ tan ϕ), est déjà ancien et il devient compliqué d’en faire une description exhaustive. On peut heureusement se référer à l’état des lieux dressé par Meyerhof en 1963 qui fait le point du calcul des fondations superficielles 20 ans après le manuel de Terzaghi (1943), et à celui de Vesić (1973). Terzaghi (1943) donne pour sa part des indications sur les théories développées au début du vingtième siècle. 5.1. Terzaghi La première expression générale de la capacité portante a été écrite par Terzaghi (1943) sous la forme γ γ + + = N 2 B qN cN q q c max , (4) avec les expressions suivantes des trois facteurs de capacité portante : ( ) ¦ ¦ ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ¦ ¦ ´ ¦ | | ¹ | \ | − ϕ ϕ = | ¹ | \ | ϕ + π ( ¸ ( ¸ ϕ | ¹ | \ | ϕ + π = ϕ − = γ γ γ tables. des par donné K avec 1 K 5 0 N 2 4 2 2 3 N 1 N N p 2 p 2 q q c , cos tan , cos tan exp cot (5) 5.2. Meyerhof Meyerhof (1963) explique que la portance des semelles filantes est calculée en suivant la forme générale (4) décrite par Terzaghi, avec des expressions établies par Prandl (1920) pour N c , par Reissner (1924) pour N q et par lui-même (Meyerhof, 1961) pour une valeur approchée de N γ , ces coefficients ne tenant pas compte de la résistance au cisaillement dans le sol situé au-dessus de la base de la fondation : ( ) ( ) ( ) ( ) ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ´ ¦ ϕ − = | ¹ | \ | ϕ + π ⋅ ϕ π = ϕ − = γ 4 1 1 N N 2 4 N 1 N N q 2 q q c , tan tan tan exp cot (6) Pour les semelles circulaires et rectangulaires de côtés B et L, des facteurs partiels ont été proposés, à l’initiative de Skempton (1951) pour les argiles, par interpolation entre le cas des semelles filantes et celui des semelles circulaires : ¦ ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ¦ ´ ¦ > ϕ | ¹ | \ | ϕ + π + = = = ϕ = = | ¹ | \ | ϕ + π + = γ γ degrés 10 si 2 4 L B 1 0 1 s s 0 si 1 s s 2 4 L B 2 0 1 s 2 q q 2 c tan , tan , (7) Pour les fondations rectangulaires, une interpolation est aussi proposée pour corriger la valeur de l’angle de frottement interne, plus forte de 10% dans les ruptures en déformations planes (ϕ p ) que dans les essais triaxiaux (ϕ t ) : t p L B 1 0 1 1 ϕ | ¹ | \ | − = ϕ = ϕ , , . (8) 87 S’il y a de l’eau dans le sol, ou si le sol n’est pas homogène, il est recommandé d’utiliser des valeurs moyennes du poids volumique déjaugé (sous l’eau) et non déjaugé (en l’absence d’eau), de la cohésion c et de l’angle de frottement interne ϕ : - jusqu’à deux fois B sous la base des semelles filantes, - jusqu’à une fois B sous la base des semelles circulaires et carrées. Pour tenir compte de la résistance du sol au-dessus de la base de la fondation, on utilise d’autres facteurs partiels : ¦ ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ¦ ´ ¦ > ϕ | ¹ | \ | ϕ + π + = = = ϕ = = | ¹ | \ | ϕ + π + = γ γ degrés 10 si 2 4 B D 1 0 1 d d 0 si 1 d d 2 4 B D 2 0 1 d 2 q q 2 c tan , tan , . (9) Meyerhof indique aussi que, pour les charges excentrées, la pratique consistant à faire le calcul de portance sur une semelle filante de largeur B’ réduite : B’ = B - 2e , (10) semble trop sévère par comparaison avec les résultats d’essais. Les observations sont intermédiaires entre ces valeurs et celles déduites d’une répartition triangulaire des pressions sous la semelle (Brinch Hansen, 1955). Toutefois, en cas de double excentrement, la réduction de la longueur et de la largeur de deux fois les excentrements correspondants est jugée suffisante. Pour les charges inclinées, les travaux de Schultze (1952) et de Meyerhof (1953) ont défini des coefficients réducteurs égaux à ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ´ ¦ | | ¹ | \ | ϕ δ − = | ¹ | \ | δ − = = γ 2 2 q c 1 i 90 1 i i (11) en fonction de l’angle d’inclinaison de la charge par rapport à la verticale (δ, exprimé en degrés). Il est conseillé d’incliner la base de la fondation en cas de charge inclinée permanente (par exemple, pour reprendre les charges d’un pont en arc). La solution est alors semblable à celle d’une fondation sur pente. Dans le cas général, la formule de calcul de la capacité portante du sol a donc la forme : γ γ γ γ γ + + = N i d s 2 B N i d s q N i d s c q q q q q c c c c max . (12) Meyerhof attire l’attention du lecteur sur la liaison entre la résistance et le déplacement : sous une charge inclinée et excentrée, une fondation superficielle peut se déplacer horizontalement de 5 à 20% de la largeur de la fondation, et tourner de 1 à 5 degrés, selon la densité ou rigidité du sol et la profondeur d’encastrement de la fondation. Ces déplacements sont nécessaires pour mobiliser la résistance du sol et peuvent avoir une influence importante sur les structures qu’il porte. Pour limiter les déplacements des fondations, il faut les élargir ou les encastrer plus profondément. D’autre part, si la rigidité de la fondation est faible par rapport à celle du sol, il faut utiliser une approche différente, par exemple avec des coefficients de réaction. 5.3. Vesić Vesić (1973) présente un panorama complémentaire du développement de l’analyse de la capacité portante des fondations superficielles. Il rappelle que l’histoire des premiers travaux sur le sujet, commençant à Rankine en 1857, a été décrite dans le premier traité de mécanique 88 des sols de Terzaghi (1925, chapitre 24). Les recherches modernes partent de l’article de Prandl (1921) sur le poinçonnement des métaux, qui a été étendu aux matériaux non pesants à frottement interne par Reissner (1924) et aux problèmes axisymétriques par Hencky (1934). La première application de ces solutions au calcul des fondations est due à Caquot (1934) et à Buisman (1935), qui a inspiré les premières tentatives d’extension des calculs de plasticité aux sols pesants (Raes, 1941) et suggéré la superposition du terme en N γ avec les deux autres termes de l’équation de la capacité portante. Cette approche a été adoptée à la même époque par Terzaghi (1943) et a exercé une influence durable sur tous les travaux ultérieurs. Vesić donne un tableau des références des principales contributions aux études théoriques de 1940 à 1970 : - pour les problèmes plans : Terzaghi (1943), Mizuno (1948), Meyerhof (1948, 1951, 1955), Caquot et Kérisel (1953, 1956), Lundgren et Mortensen (1953), Sokolovskij (1960), Gorbunov- Posadov (1965), Hansen (1969) ; - pour les problèmes axisymétriques : Ishlinskij (1944), Berezantsev (1952), Mizuno (1953), Shield (1955), Eason et Shield (1960), Cox et al. (1961) et Cox (1962). Il donne aussi les références des états des connaissances publiés pendant la même période : Terzaghi (1943), Terzaghi et Peck (1967), de Beer (1949, 1965), Skempton (1951), Meyerhof (1951, 1963), Brinch Hansen (1957, 1961, 1970), de Beer et Vesić (1958), Naujoks (1963), Lambe (1965), de Mello (1969), Whitman (1970), Hvorslev (1970) et Weiss (1970). Vesić décrit le mode de calcul par superposition de la capacité portante avec les facteurs N c et N q de Prandl et Reissner ; pour N γ , il indique que la solution tabulée de Caquot et Kérisel (1953) peut être représentée avec moins de 10% d’erreur sur l’intervalle 15 < ϕ < 45 degrés (moins de 5% d’erreur entre 20 et 40 degrés) par l’expression : ( ) ϕ + = γ tan 1 N 2 N q . (13) La superposition des trois termes de capacité portante donne une estimation approchée par défaut (de 17 à 10% au plus pour ϕ = 30 à 40 degrés) mais exacte pour ϕ = 0 degré. L’auteur indique que le choix d’un angle de frottement en déformations planes n’est pas nécessairement la meilleure solution pour rapprocher les résultats des calculs des portances observées. La prise en compte de la rupture progressive du sol sous des niveaux de contraintes variés semble une voie plus prometteuse. Pour les coefficients correcteurs appliqués à chacun des termes de la formule (4), Vesić donne les expressions suivantes : - coefficients de forme ¦ ¦ ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ¦ ¦ ´ ¦ − = ϕ + = ϕ − + = + = γ L B 4 0 1 s L B 1 s 1 N N L B 1 N N L B 1 s q q q c q c , tan tan (14) - coefficients de profondeur (pour D/B≤1, d’après Brinch Hansen, 1970) ( ) ¦ ¹ ¦ ´ ¦ = ϕ − ϕ + = γ 1 d B D 1 2 1 d 2 q sin tan (15) L’effet de la compressibilité du sol et de la dimension de la fondation est ensuite longuement discuté. La diminution de la résistance du sol lorsque la taille de la fondation augmente semble provenir de trois causes : - l’enveloppe des cercles de Mohr n’est pas une droite ; - la rupture se développe progressivement sur la surface de rupture ; - il existe des zones de plus faible résistance dans tous les sols naturels. 89 Cette diminution provient principalement du terme N γ . Des équations sont proposées pour en tenir compte. 5.4. DTU 13.12 Trente-sept années après l’ouvrage de Terzaghi, les pratiques recommandées pour le calcul des fondations superficielles sont peu différentes (Frank, 1999). Dans les textes français actuels (DTU 13.12, 1988), la formule de calcul de la capacité portante a toujours trois termes (termes de cohésion, de profondeur et de gravité ou surface) : ( ) ( ) ( ) ( ) ϕ γ + ϕ γ + + ϕ = γ N 2 B N D q cN q 1 q 2 c max (16) en distinguant les poids volumiques du sol au-dessus (γ 2 ) et au-dessous (γ 1 ) de la base de la semelle. Les coefficients N c et N q sont toujours ceux de Prandl et Reissner. Les valeurs de N γ sont celles de Meyerhof (1955) pour une fondation à base rugueuse. Pour les semelles filantes sur sols mous ou lâches, il est rappelé que Terzaghi et Peck (1967) recommandent d’utiliser les deux tiers de c et ϕ dans les calculs, au lieu de c et ϕ. L’influence de la forme de la semelle est décrite comme proposé par Terzaghi (1943) [Ces coefficients de forme ont été modifiés dans la seconde édition de l’ouvrage de Terzaghi et Peck (1967), qui adopte les coefficients de Meyerhof]. L’influence de l’inclinaison est décrite selon les formules de Meyerhof (1956). Celle de l’excentrement est aussi représentée, selon la proposition initiale de Meyerhof, par une réduction des dimensions de la semelle de deux fois l’excentrement. Néanmoins, ces ressemblances sont trompeuses : les méthodes utilisées pour calculer la capacité portante diffèrent actuellement, dans les recommandations et les normes, mais aussi dans les manuels utilisés pour l’enseignement, en fonction des approximations retenues pour les (nombreux) éléments du calcul dont les solutions exactes ne sont pas connues. Différentes variantes de ces méthodes de calcul sont inventoriées ci-après. 5.5. Lancellotta Lancellotta (1995) donne pour le facteur de gravité N γ l’expression proposée par Vesić pour la solution de Caquot et Kérisel (1953) : ( ) ϕ + = γ tan 1 N 2 N q (17) et utilise les coefficients de forme de Meyerhof (1963), indiqués ci-dessus, mais des coefficients d’effet de l’encastrement dus à Brinch Hansen (1970), de Beer et Ladanyi (1961) et Vesić (1973) : ( ) ( ) ¦ ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ¦ ´ ¦ ϕ − − = > ϕ − ϕ + = ≤ ϕ − ϕ + = − tan tan sin tan sin tan c q q c 1 2 q 2 q N d 1 d d B D si B D 1 2 1 d B D si B D 1 2 1 d . (18) Pour tenir compte de l’inclinaison α de la base de la fondation, il donne les formules suivantes : ( ) ( ) ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ´ ¦ = ϕ − − = ϕ α − = γ q c q q c q b b N b 1 b b 1970 Hansen, Brinch de exacte solution 1 b tan tan . (19) 90 Pour l’inclinaison β de la surface du sol, il donne une autre série de coefficients réducteurs, proposée par Brinch Hansen (1970) : ( ) ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ´ ¦ = ϕ − − = β − = γ q c q q c 2 q g g N g 1 g g 1970) Hansen, Brinch de exacte (solution 1 g tan . (20) Pour les charges excentrées, il utilise la méthode de réduction de largeur de Meyerhof pour les semelles rectangulaires et donne une construction graphique pour traiter le cas des semelles circulaires. Le cas d’une charge inclinée (force normale N, force horizontale H) mais centrée est traité au moyen de coefficients empiriques dus à Vesić (1975) : ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ´ ¦ + + = ϕ − − = | | ¹ | \ | ϕ + − = | | ¹ | \ | ϕ + − = + γ L B 1 L B 2 m N i 1 i i BLc N H 1 i BLc N H 1 i c q q c m q 1 m / / tan cot cot (21) 5.6. Kézdi et Rétháti Kézdi et Rétháti (1988) présentent un panorama détaillé des calculs de capacité portante qui part de la solution de base de Prandl (1920), ré-établie indépendamment par Caquot (1934), qui fut le premier à l’appliquer aux sols, et démontrée de façon plus simple par Raes (1941). Le terme de gravité ou de surface N γ a été défini pour la première fois par Buisman (1940), par une construction graphique condensée sous forme analytique par Raes (1941) : ( ) ) ` ¹ ( ¸ ( ¸ + ϕ + | ¹ | \ | ϕ π − ϕ ϕ + + + ¹ ´ ¦ + − | ¹ | \ | ϕ π = γ p p 2 p p p K 3 2 3 1 K 3 9 1 K 1 K 2 2 3 K 2 4 1 N tan tan exp tan tan tan exp (22) avec | ¹ | \ | ϕ + π = 2 4 K 2 p tan . (23) Si la fondation est peu encastrée (D<B), on peut négliger la résistance du sol au dessus de la base de la semelle et développer des solutions approchées, comme celle de Terzaghi (1943). Les auteurs indiquent que la question de la validité de la méthode de superposition pour des comportements à seuil de plasticité a été étudiée par Sokolovskij (1960), qui a conclu que le calcul exact donne une valeur supérieure de la capacité portante, écart évalué à +17% pour ϕ=30 degrés par Lundgren et Mortensen (1953). Cordary (1994) développe les conditions très restrictives où la superposition est admissible. Les solutions de Mizuno (1953) et Lundgren et Mortensen (1953) sont jugées moins réalistes que celle de Meyerhof (1951) et ses extensions successives. La solution de Balla (1962), qui s’appuie sur un mécanisme de rupture différent, conduit à des facteurs de capacité portante qui dépendent non seulement de l’angle de frottement interne du sol mais aussi de son poids volumique et de sa cohésion. La solution de Balla 91 donne des valeurs beaucoup plus fortes de N γ , qui traduisent une influence plus forte de la largeur de la fondation et une influence plus faible de la profondeur d’encastrement que dans la théorie de Meyerhof, mais qui correspondent mieux aux observations. Pour les fondations de dimensions finies (carrées, circulaires et rectangulaires), plusieurs séries de facteurs multiplicatifs, proposées par différents auteurs sur une base théorique ou sur une base expérimentale, sont présentées : celles de Terzaghi (1943), Schultze (1952), Brinch Hansen (1955 et 1961), Muhs (1969), de Beer (1970) et du code hongrois de calcul des fondations. Les facteurs de Muhs, qui ont été établis sur des modèles de fondations relativement grands (0,5 à 2 m 2 ), font diminuer N γ et augmenter N q plus que les autres solutions. Les facteurs de Schultze ont pour conséquence que la portance diminue avec l’allongement de la fondation, à surface égale, ce qui n’est pas le cas pour ceux de Brinch Hansen. Kézdi et Rétháti rappellent que Brinch Hansen (1961) a proposé une formule générale de calcul dont la structure est celle citée plus haut (12), avec les coefficients suivants : * coefficients de forme (valables lorsque la résistance du sol est plus forte sous la semelle) : ¦ ¦ ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ¦ ¦ ´ ¦ = < ϕ − − = ≥ ϕ = ϕ + ⋅ + = γ 1 d degrés 25 si N 1 d d d degrés 25 si d d 7 1 6 0 D B 35 0 1 d q c c q c q 4 c tan , , (24) * coefficients d’inclinaison de la charge : ( ) ¦ ¦ ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ¦ ¦ ´ ¦ = − − − = | | ¹ | \ | ϕ + − ≈ ( ¸ ( ¸ | ¹ | \ | δ − ϕ + π − ϕ + ϕ − δ ϕ + = γ 2 q q q q c 2 q i i 1 N i 1 i i Ac N H 1 2 2 1 2 1 i cot exp sin sin sin . (25) (A est l’aire de la base de la semelle). L’étude expérimentale du Degebo à Berlin (Muhs, 1969) sur l’effet de l’inclinaison de la charge a montré que le rapport des capacités portantes sous une charge inclinée de δ et sous la composante verticale seule de cette même charge vaut ( ) 2 1 δ −tan . Kézdi et Rétháti rappellent ensuite que l’effet de l’excentrement a aussi été étudié par de nombreux auteurs. Meyerhof (1963) a proposé la méthode simplifiée qui consiste à réduire forfaitairement la dimension de la fondation dans le sens de l’excentrement. D’autres auteurs introduisent des facteurs partiels f c , f q et f γ pour représenter l’effet de l’excentrement sur les trois termes de la capacité portante. Ainsi, la théorie de Prakash et Saran (1971), qui repose sur un mécanisme de rupture conventionnel, conduit à distinguer pour le coefficient applicable au facteur de gravité N γ le cas des sables denses où : 2 L B B 2 e 3 43 0 L B 68 0 B e 2 1 f | ¹ | \ | | ¹ | \ | − + | ¹ | \ | − + = γ , , (26) et celui des sables lâches où f γ = 1. Les autres facteurs sont égaux à f q = 1 et f c = 1,2. Les essais du Degebo conduisent pour leur part à des réductions de surface portante plus faibles que celles de Meyerhof : 92 B’ = B - 1,14 e B , L’ = L - 1,14 e L , en désignant par e B et e L les excentrements selon les directions de B et L, respectivement (figure 1.j). Kézdi et Rétháti indiquent enfin que la capacité portante des fondations superficielles construites à proximité d’une pente a été étudiée notamment par Meyerhof (1951 et 1957) et Giroud et Tran-Vô-Nhiem (1971), ces derniers auteurs donnant des valeurs moins fortes de la capacité portante pour les valeurs élevées de ϕ (supérieures à 30 degrés). Toutefois, Shields et al. (1977) indiquent que toutes ces valeurs sont plus fortes que les résultats de leurs essais. 5.7. Brinch Hansen (1970) Dans une conférence présentée au Japon en octobre 1968 et publiée après son décès, Brinch Hansen (1970) résume ses recommandations pour le calcul de la force portante des fondations superficielles en suivant le cadre général introduit par Terzaghi [équation (8)] : - trois facteurs de capacité portante ( ) ( ) ( ) ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ´ ¦ ϕ − = | ¹ | \ | ϕ + π ⋅ ϕ π = ϕ − = γ tan , tan tan exp cot 1 N 5 1 N 2 4 N 1 N N q 2 q q c (27) dont le dernier est une borne inférieure calculée par Lundgren et Mortensen (1953), puis Odgaard et Christensen. En 1961, Brinch Hansen proposait une expression différente : ( ) ϕ − = γ tan , 1 N 8 1 N q , (28) intermédiaire entre la borne inférieure précédente et la solution de Meyerhof (1951). Le statut de cette expression n’est pas clair. Brinch Hansen (1961) indique que ce n’est qu’une borne inférieure parce qu’elle n’est que statiquement admissible. Mandel et Salençon (1969) parlent de schéma d’écoulement à propos du même schéma de calcul mais ne disent pas s’ils calculent des bornes supérieures ou inférieures. Mandel et Salençon (1972) parlent pour leur part de « la solution correcte » donnée par Lundgren et Mortensen pour le calcul de N γ , ce qui n’est pas plus précis. L’addition des trois termes N c , N q et N γ , qui ne correspondent pas au même mécanisme de rupture, conduit à une sous-estimation de la portance de la fondation, qui reste en général inférieure à 20%, d’après Lundgren et Mortensen (1953). À part l’excentrement des charges, qui est pris en compte en calculant la portance sur la « surface effective de la fondation », tous les autres écarts par rapport au cas de la semelle filante sous charge verticale centrée sont décrits au moyen de coefficients correcteurs établis séparément et dont l’usage simultané constitue naturellement une approximation. La capacité portante d’une fondation inclinée de forme quelconque, encastrée dans un massif incliné et soumise à une charge inclinée, est égale à : c c c c c c q q q q q q g b i d s cN g b i d s qN g b i d s BN 5 0 A N q + + γ = = γ γ γ γ γ γ , max (29) (notations : s – forme ; d – profondeur ; i – inclinaison de la charge ; b – inclinaison de la base de la fondation ; g – inclinaison de la surface du sol : N – composante de la charge normale à la base de la fondation ; A – aire de la fondation). Pour une fondation sur sol cohérent (où ϕ = 0, donc N γ =0), Brinch Hansen indique qu’il vaut mieux écrire l’expression (29) sous la forme additive : ( ) [ ] a c a c a c a c a c u g b i d s 1 c 2 A N q − − − + + + π = = max . (30) Pour l’inclinaison de la charge, il recommande les formules approchées suivantes : 93 ¦ ¦ ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ¦ ¦ ´ ¦ ( ¸ ( ¸ ϕ + − = ( ¸ ( ¸ ϕ + − = − − = γ 5 5 q u a c Ac N H 7 0 1 i Ac N H 5 0 1 i Ac H 1 5 0 5 0 i cot , cot , , , (31) L’expression de i c n’est pas donnée. Dans son article de 1961, Brinch Hansen donnait l’expression ϕ − − = tan c q q c N i 1 i i . (32) Pour l’inclinaison de la base de la fondation, les coefficients correcteurs de Brinch Hansen ont pour expression : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ´ ¦ ϕ α − = ϕ α − = α + π α = γ empirique expression 7 2 b exacte solution 2 b exacte solution degrés 147 ou radians 2 2 b q a c tan , exp tan exp (33) L’expression de b c n’est pas donnée. En cas d’inclinaison de la base de la fondation, le coefficient i γ est modifié pour assurer la continuité des solutions : ( ) 5 Ac N 450 7 0 1 i ( ¸ ( ¸ ϕ + α − − = γ cot / , . (34) Pour l’inclinaison de la surface du sol, Brinch Hansen suggère d’utiliser les formules approchées : [ ] ¦ ¹ ¦ ´ ¦ = β − = γ q 5 q g g 5 0 1 g tan , pour ϕ < β et 90 ≤ β + α degrés . (35) L’expression de g c n’est pas donnée. Les coefficients adoptés par Brinch Hansen pour décrire l’effet de la forme de la fondation sont, pour les fondations rectangulaires (B < L) et carrées (côté B) sous charge verticale : L B 2 0 s a c , = ϕ + = sin L B 1 s q L B 4 0 1 s , − = γ (36) et, pour les charges inclinées (dans le sens de B ou dans le sens de L) : ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ´ ¦ = = B L i 2 0 s L B i 2 0 s a cL a cL a cB a cB , , ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ´ ¦ ϕ + = ϕ + = sin sin B L i 1 s L B i 1 s qL qL qB qB ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ´ ¦ − = − = γ γ γ γ γ γ B L L L B B Bi Li 4 0 1 s Li Bi 4 0 1 s , , (37) expressions dans lesquelles on utilise l’expression en B (première ligne) ou en L (seconde ligne) selon le sens de l’inclinaison de la charge. Pour s γB ou s γL , Brinch Hansen indique qu’il faut prendre la valeur supérieure à 0,6. Enfin, pour l’effet de la profondeur, Brinch Hansen suggère les formules approchées suivantes : 1 d = γ B D 4 0 d a c , = ( ) B D 1 2 1 d 2 q ϕ − ϕ + = sin tan pour D ≤ B (38) et 94 1 d = γ B D 4 0 d a c arctan , = ( ) B D 1 2 1 d 2 q arctan sin tan ϕ − ϕ + = pour D ≥ B (39) Notons que l’angle de frottement interne à utiliser pour les problèmes de déformations planes est l’angle ϕ p , déduit de l’angle de frottement interne ϕ t déterminé à l’appareil triaxial par la formule : t p 1 1 ϕ = ϕ , . (40) 5.8. Manuel Canadien d’Ingéniérie des Fondations Le Manuel Canadien d’Ingéniérie des Fondations (Société Canadienne de Géotechnique, 1994) donne une formule de structure globale classique (4) dont les facteurs de capacité portante sont ceux de Brinch Hansen. Ces facteurs ont pour expressions : ( ) ( ) ( ) ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ´ ¦ ϕ − = | ¹ | \ | ϕ + π ⋅ ϕ π = ϕ − = γ tan , tan tan exp cot 1 N 5 1 N 2 4 N 1 N N q 2 q q c . (41) Les coefficients de forme pour une semelle rectangulaire sont égaux à : ¦ ¹ ¦ ´ ¦ − = + = = γ L B 4 0 1 s N N L B 1 s s c q q c / , . (42) Pour l’excentrement, la méthode utilisée est celle de Meyerhof (réduction de deux fois l’excentrement). Pour l’inclinaison, les expressions de Schultze et Meyerhof [équations (11)] sont utilisées. Il est noté que l’on peut utiliser les formules de Meyerhof (1957) et Shields et al. (1977) pour tenir compte de la proximité d’un talus et que l’influence de la profondeur d’encastrement est complexe. Pour la capacité portante non drainée des sols cohérents, la formule de calcul s’écrit : o u q L B 1 B D 2 0 1 c 5 q + | ¹ | \ | + | ¹ | \ | + = , max . (43) 5.9 Bowles Parmi les ouvrages de référence dans la littérature mondiale, le livre de Bowles (1988) sur l’analyse et le calcul des fondations présente une description des nombreuses méthodes déjà citées (Terzaghi, 1943 ; Meyerhof, 1951, 1963 ; Brinch Hansen, 1970 ; Vesić, 1973). Une section intitulée « Quelles équations doit-on utiliser ? » indique que la comparaison des méthodes citées sur huit essais de chargement décrits par Milović (1965) laisse l’impression qu’aucune méthode n’est vraiment précise. L’utilisation d’un angle de frottement interne ϕ p corrigé pour les déformations planes [ ( ) degrés 17 5 1 t p − ϕ = ϕ , , pour ϕ t > 34 degrés] au lieu de l’angle de frottement interne ϕ t déduit des essais triaxiaux améliore légèrement les résultats. Le conseil de l’auteur est que - la méthode de Terzaghi est convenable pour les sols très cohérents, avec D/B<1 ou pour des estimations rapides ; - les méthodes de Brinch Hansen, Meyerhof et Vesić peuvent être utilisées indifféremment ; - les méthodes de Brinch Hansen et Vesić sont mieux adaptées lorsque la base de la fondation ou le sol sont inclinés ou lorsque D/B>1. 95 D’autre part, il suggère d’utiliser un facteur réducteur r γ pour limiter l’influence de la largeur de la fondation sur la capacité portante, notamment pour les fondations de grande largeur et de faible encastrement : 2 B 25 0 1 r lg , − = γ (B en mètres). (44) Enfin, des valeurs calculées par l’auteur sont données pour les fondations sur pente. 5.10. Tomlinson et Boorman L’ouvrage de Tomlinson et Boorman (1995) indique (chap. 2.3) que les méthodes les plus complètes sont celles de Brinch Hansen et Meyerhof, qui diffèrent par les coefficients de forme, profondeur et inclinaison, et par le facteur N γ . La méthode de Brinch Hansen, qui donne des capacités portantes plus faibles, est plus utilisée en Europe et celle de Meyerhof en Amérique du Nord. Ces coefficients ont été adoptés en Europe pour le calcul de la capacité portante verticale des fondations superficielles dans l’Eurocode 7 (voir aussi Frank, 1999) : γ γ γ γ γ γ γ + + = g b i d s BN 5 0 g b i d s qN g b i d s cN q q q q q q q c c c c c c , max (45) où γ est le poids volumique du sol sous le niveau de la fondation, B est la largeur de la fondation, c est la cohésion du sol, q est la pression existant dans le sol au niveau de la base de la fondation, N c , N q et N γ sont les facteurs de capacité portante, s c , s q et s γ sont les facteurs de forme, d c , d q et d γ sont les facteurs de profondeur, i c , i q et i γ sont les facteurs d’inclinaison de la charge, b c , b q et b γ sont les facteurs d’inclinaison de la base de la fondation, g c , g q et g γ sont les facteurs d’inclinaison de la surface du sol. Les valeurs de tous ces coefficients sont données sous forme d’abaques et de formules. 5.11. Normes de l’ancienne Union Soviétique La justification des ouvrages se fait par rapport à deux types d’états limites : les états limites du premier groupe (en capacité portante) et les états limites du second groupe (en déformations). Pour les états limites du second groupe (en déformations), on peut procéder à un calcul direct des déformations du sol ou effectuer un calcul de la charge « critique », qui assure une valeur admissible des déformations du sol sous l’ouvrage. Dalmatov (1988) explique que, pour ce faire, on cherche à limiter l’extension des zones en équilibre limite sous la base de la fondation à une profondeur de 0,25B et que cela conduit à limiter la charge à c q cM qM BM p + + γ = γ max (46) avec ¦ ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ¦ ´ ¦ π − ϕ + ϕ ϕ π = + π − ϕ + ϕ π = π − ϕ + ϕ π = γ 2 M 1 2 M 2 25 0 M c q / cot cot / cot / cot , . (47) Ces facteurs de capacité portante sont ensuite multipliés par divers facteurs pour calculer la pression applicable sur le sol (Norme SNiP 2.02.01-83) : 96 ( ) [ ] c 2 2 b q q 2 1 z 2 2 c 1 c adm M c D 1 M M D M Bk k p + γ − + γ + γ γ γ = γ ' ' (48) avec γ c1 et γ c2 - coefficients dépendant des conditions d’interaction du sol et de la fondation. Ces coefficients, qui sont lus dans des tables de la norme, peuvent conduire à doubler la valeur de la charge maximale dans les sols dont les propriétés sont connues de façon fiable, avec la possibilité d’augmenter encore la charge si les tassements sont faibles et la structure du bâtiment s’adapte bien aux déformations du sol ; k = 1 si l’on a mesuré directement les propriétés du sol et 1,1 si on les a choisies dans des tables en fonction de ses propriétés physiques ; k z = 1 pour B ≤ 10m et k z = z o /B+0,2 (avec z o =8m) dans le cas contraire ; B – plus petite dimension de la fondation ; γ 2 et γ’ 2 – valeurs de calcul du poids volumique du sol au-dessous de la semelle de la fondation et au-dessus, respectivement ; D 1 – profondeur de la base de la fondation par rapport au niveau du sous-sol du bâtiment, s’il existe, sinon par rapport à la surface du terrain naturel ; D b – profondeur de la base de la fondation par rapport à la surface du terrain naturel, limitée à 2m (lorsque B > 20m, on prend d b = 0) ; c 2 – cohésion du sol ; ϕ - angle de frottement interne du sol ; M γ , M c et M q sont donnés dans des tables (Tableau 1), issues des expressions précédentes. Tableau 1 Valeurs des coefficients M γ , M c et M q (Dalmatov, 1988) ϕ ϕϕ ϕ (deg) M γ M q M c ϕ ϕϕ ϕ (deg) M γ M q M c 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 0 0,03 0,06 0,10 0,14 0,18 0,23 0,29 0,36 0,43 0,51 0,61 1,00 1,12 1,25 1,39 1,55 1,73 1,94 2,17 2,43 2,73 3,06 3,44 3,14 3,32 3,51 3,71 3,93 4,17 4,42 4,69 4,99 5,31 5,66 6,04 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 45 0,72 0,84 0,98 1,15 1,34 1,55 1,81 2,11 2,46 2,88 3,38 3,66 3,87 4,37 4,93 5,59 6,35 7,22 8,24 9,44 10,85 12,51 14,50 15,64 6,45 6,90 7,40 7,95 8,55 9,22 9,97 10,80 11,73 12,79 13,98 14,64 Pour la vérification de la capacité portante (premier groupe d’états limites), on utilise une formule de capacité portante de la forme : ( ) 1 c c 1 q q 1 c s N D s N B s N 5 0 L B N + γ + γ = γ γ ' , ' ' max (49) avec B’ et L’ – largeur réduite et longueur réduite de la fondation (B’=B-2e B et L’=L-2e L , en fonction de l’excentricité de la charge dans la direction de B, soit e B , et dans la direction de L, soit e L ) ; N γ , N q et N c - facteurs sans dimensions dont les valeurs sont données dans la norme SNiP 2.02.01-83 (Tableau 2). Les valeurs des facteurs de capacité portante sont attribuées à Sokolovskij pour les semelles filantes et à Berezantsev pour les semelles circulaires. Pour les sols sans frottement interne, les solutions sont celles de Prandl pour les semelles filantes et d’Ishlinskij pour les semelles circulaires. Pour les cas plus complexes, les noms de Gorbunov- Posadov, Malyshev, Khristoforov, Mintskovskij et Zaretskij sont cités ; γ 1 et γ’ 1 – poids volumiques du sol au-dessous et au-dessus de la base de la fondation ; 97 d – profondeur d’encastrement minimale de la fondation, soit par rapport à la surface du terrain naturel soit par rapport au niveau du plancher ; c 1 – cohésion du sol sous le niveau de la fondation ; s γ , s q , s c – coefficients de forme égaux à L B 3 0 1 s L B 5 1 1 s L B 25 0 1 s c q / , / , / , + = + = − = γ . (50) En cas d’excentricité de la charge, on utilise B’ et L’ à la place de B et L. Cette force portante sert à vérifier la stabilité de la fondation, une fois multipliée par un coefficient de correction lié aux conditions de fonctionnement de la fondation (Tableau 3) et divisée par un coefficient lié à l’importance de l’ouvrage (égal à 1,2 ou 1,15 ou encore 1,1). Il semble exister des méthodes parallèles pour estimer la capacité portante dans les cas complexes. Les noms de Meyerhof et Prandl sont cités pour certaines de ces méthodes. Les coefficients pour traduire l’effet de l’inclinaison de la base de la fondation dans l’une des méthodes sont ceux de Tran-Vô-Nhiem, qui sont utilisés avec les valeurs correspondantes des facteurs de capacité portante. Tableau 2 Valeurs des coefficients N γ , N c et N q (Dalmatov, 1988) Semelle filante Semelle circulaire ϕ ϕϕ ϕ (deg) N γ N q N c ϕ ϕϕ ϕ (deg) N γ N q N c 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 3,4 4,6 6,0 7,6 9,8 13,6 16,0 21,6 28,6 39,6 52,4 74,8 100,2 154,6 220,6 319,2 4,4 5,3 6,5 8,0 9,8 12,3 15,0 19,3 24,7 32,6 41,5 54,8 72,0 98,7 137,2 195,0 11,7 13,2 15,1 17,2 19,8 23,2 25,8 31,5 38,0 47,0 55,7 70,0 84,7 108,7 141,2 187,5 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 4,1 5,7 7,3 9,9 14,0 18,9 25,3 34,6 48,8 69,2 97,2 142,5 216,0 317,0 4,5 6,5 8,5 10,8 14,1 18,6 24,8 32,8 45,5 64,0 87,6 127,0 185,0 270,0 12,8 16,8 20,9 24,6 29,9 36,4 45,0 55,4 71,5 93,6 120,0 161,0 219,0 300,0 Tableau 3. Valeurs du coefficient décrivant les conditions de fonctionnement de la fondation (Shvets et al., 1987) Sols - sables non limoneux - sables limoneux et sols limono-argileux à long terme - sols limono-argileux en cours de consolidation 1,0 0,9 0,85 Roches - roches intactes et faiblement altérées - roches altérées - roches très altérées 1,0 0,9 0,8 Des développements comparables peuvent être trouvés dans de nombreux autres manuels, tels que ceux de Sorochan (1986), de Silkin et Frolov (1987), de Shvets et al. (1987) et de Berlinov (1988). En particulier, Sorochan (1986) donne de nombreuses tables de valeurs numériques. 98 5.12. Chen L’ouvrage de Chen (1975) présente un panorama des possibilités offertes au début des années 1970 par l’analyse limite pour le calcul des fondations superficielles. Il présente notamment une chronologie des travaux qui ont permis son développement, qu’il fait remonter à Coulomb (1773), puis Rankine (1857), Moseley (1833), Massau (1899) et Kötter (1903). Les techniques proprement dites de la méthode des caractéristiques ou des lignes de glissement, commencent à Kötter (1903), qui a écrit les équations pour le cas des déformations planes. Prandl (1920) a donné la première solution analytique pour un matériau non pesant, qui a été appliquée par Reissner (1924) et Novotortsev (1938). Sokolovskij (1965) a développé une méthode de résolution par la méthode des différences finies et l’a appliquée à la capacité portante de semelles et de pentes, ainsi qu’à la pression des sols sur les murs de soutènement. De Jong (1957) a préféré une méthode graphique de résolution des équations de Kötter, et d’autres approches ont été utilisées par Spencer (1962, méthodes de pertubations) et Dembicki et al. (1964 ; développements en série). L’auteur commente ensuite l’effet des conditions de contact entre le sol et la semelle sur la capacité portante : la borne supérieure de Hill pour le cas d’une semelle lisse, qui a pour expression : ) ` ¹ ¹ ´ ¦ + ϕ | ¹ | \ | ϕ + π + | ¹ | \ | ϕ π ( ¸ ( ¸ ϕ − | ¹ | \ | ϕ + π ϕ + ϕ + ( ¸ ( ¸ − | ¹ | \ | ϕ π | ¹ | \ | ϕ + π | ¹ | \ | ϕ + π = γ 1 3 2 4 2 3 3 2 4 8 1 3 1 2 3 2 4 2 4 4 1 N 2 cot tan tan exp cot tan sin sin tan exp tan tan (51) est identique à l’expression de Terzaghi (1943) et proche de celle de Sokolovskij (1965), mais un peu différente, sans doute parce que Sokolovskij a trop simplifié son champ de contraintes. Prandl (1920), qui a traité le cas d’un contact rugueux, a trouvé des valeurs beaucoup plus fortes, preuve de l’influence du frottement de contact. La capacité portante d’une semelle filante sur sol cohérent et frottant a été étudiée dans le cas général par une méthode de résolution numérique, qui a fourni les valeurs présentées dans différents tableaux et figures donnant la capacité portante réduite q o /c en fonction de l’angle de frottement interne ϕ, du rapport D/B et du paramètre adimensionnel G=0,5γB/c. Les tableaux 4 et 5 regroupent les capacités portantes correspondantes. Tableau 4 Capacité portante d’une semelle filante lisse ϕ (degrés) G 0 0,1 1 10 0 5,14 5,14 5,14 5,14 10 8,35 8,42 9,05 14,4 20 14,8 15,2 18,1 43,4 30 30,1 31,7 44,3 159 40 75,3 83,4 151 786 Tableau 5 Capacité portante d’une semelle filante rugueuse ϕ (degrés) c (kPa) B (m) D (m) ρ (t/m 3 ) G D/B q o (kPa) 10 47,9 0,914 0 0,457 0,914 1,062 1,062 1,062 0,15 0,15 0,15 0 0,5 1 410 498 579 30 23,9 3,05 0 1,52 3,05 6,10 15,2 1,062 1,062 1,062 1,062 1,062 1 1 1 1 1 0 0,5 1 2 5 1154 2000 2691 4252 10055 Chen indique que la borne supérieure pour le facteur N γ selon le mécanisme de Prandl, peut être approchée par la formule : 99 ( ) | ¹ | \ | ϕ + π ϕ ( ¸ ( ¸ | ¹ | \ | ϕ + π ϕ π + = γ 5 4 2 4 1 2 N 2 tan tan tan tan exp (52) avec une erreur inférieure à 8% de 15 à 45 degrés et à 6% de 20 à 40 degrés. La modification du mécanisme de Prandl améliore la solution pour les faibles valeurs de ϕ (jusqu’à 25 degrés) La meilleure borne supérieure du facteur de capacité portante N γ est donnée pour chaque valeur de ϕ dans le tableau 6, pour le cas de la semelle rugueuse et pour celui de la semelle lisse. Les solutions de l’analyse limite (bornes supérieures) sont comparées aux solutions établies numériquement par Hansen et Christensen (1969) qui ont appliqué la démarche de Lundgren et Mortensen (1953). Ces solutions ne sont pas des bornes supérieures et doivent être étendues à l’ensemble du massif pour être des bornes inférieures, mais elles semblent à l’auteur être les meilleures solutions disponibles. Tableau 6 Facteur de capacité portante N γ ϕ Semelle filante rugueuse Semelle filante lisse (degrés) Analyse limite Hansen- Christensen Analyse limite Hansen-Christensen 15 20 25 30 35 40 2,1 4,6 10,9 25 57 141 1,2 2,9 7 15 35 85 1,2 2,7 5,9 12,7 28,6 71,6 0,7 1,6 3,5 7,5 18 42 Chen traite aussi du cas des « semelles profondes » rugueuses et lisses, pour D/B = 1 à 10. Finalement, pour le calcul de la capacité portante des semelles filantes, Chen recommande d’utiliser les valeurs déduites des expressions : ( ) ( ) ( ) ¦ ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ¦ ´ ¦ | ¹ | \ | ϕ + π ϕ + = ϕ − = | ¹ | \ | ϕ + π ϕ π = γ 5 4 1 N 2 N 1 N N 2 4 N q q c 2 q tan tan cot tan tan exp . (53) Les problèmes à géométrie plus complexe, comme celui des sols bicouches, peuvent être traités, dans le cas des sols cohérents, en utilisant des schémas de rupture circulaire (qui fournissent des bornes supérieures). 5.13. Chen et McCarron Chen et McCarron (1991) reprennent pour l’essentiel les conclusions de Chen (1975) sur le calcul de la capacité portante. Les facteurs de capacité portante de l’équation classique de Terzaghi (4) sont ceux de l’équation (53). Les deux premiers sont identiques aux facteurs utilisés couramment depuis Terzaghi. Les valeurs de N γ sont en bon accord avec les observations pour ϕ < 40 degrés. Les valeurs de Brinch Hansen constituent une borne inférieure des valeurs trouvées expérimentalement (Andersen, 1972 ; Georgiadis et Michalopoulos, 1985). Les auteurs indiquent que l’angle de frottement interne à utiliser doit, selon de nombreux auteurs, être corrigé par rapport au résultat des essais triaxiaux et donnent la formule proposée par Meyerhof : t p L B 1 0 1 1 ϕ | ¹ | \ | − = ϕ , , . (54) Quelques indications sur la façon d’obtenir des bornes inférieures sont également données. Pour l’influence de la forme de la fondation et des charges inclinées et excentrées, les auteurs 100 décrivent les solutions de Brinch Hansen (modifiées par Vesić) et Meyerhof. Pour les effets de l’inclinaison de la fondation ou de la surface du sol, ils donnent celles de Brinch Hansen et Vesić. Des indications sur le traitement des fondations sur sols non homogènes sont ensuite données. Enfin, le caractère partiel et largement empirique des solutions est commenté. 5.14. Normes allemandes Les nouvelles normes allemandes (DIN V 4017-100) tiennent compte des choix faits pour la rédaction de l’Eurocode 7. Les expressions des facteurs de capacité portante N q , N c et N γ sont celles de Meyerhof pour les deux premières et une expression spécifique pour le troisième, issue du projet d’Eurocode 7 : ( ) ϕ − = γ tan 1 N 2 N q (55) (la norme précédente utilisait l’expression de Brinch Hansen : ( ) ϕ − = γ tan , 1 N 5 1 N q , qui donne des portances plus faibles). Les coefficients de forme ' ' , L B 3 0 1 s − = γ ' sin ' ' ϕ + = L B 1 s q 1 N 1 N s s q q q c − − = (56) remplacent des expressions antérieures déduites des travaux de Brinch Hansen et donnant des valeurs plus faibles de la portance : ' ' , L B 4 0 1 s − = γ ' ' , L B 3 0 1 s q + = ' ' , L B 3 0 1 s c + = (57) Enfin, pour les coefficients d’inclinaison de la charge, on est passé du système de Meyerhof et Schultze à celui de Brinch Hansen, qui est utilisé dans l’Eurocode 7. 5.15. Eurocode 7 La formule de calcul de la capacité portante des fondations superficielles donnée comme exemple dans le projet d’Eurocode 7 a la même structure générale que celles décrites jusqu’ici, avec trois termes comportant chacun un facteur de capacité portante et des coefficients correcteurs. Pour les calculs en conditions non drainées, la formule suggérée est ( ) q b i s c 2 A V q c c c u + + π = = ' max (58) (ce qui correspond à la valeur minimale de N c pour ϕ=0, soit N c = 5,14), avec des coefficients correcteurs égaux à : * pour la forme de la fondation : ¹ ´ ¦ = + = (59) ; circulaire semelle une pour 2 1 s , L' et B' réduites dimensions de ire rectangula semelle une pour L B 2 0 1 s c c , ' / ' , * pour l’inclinaison de la charge (composantes horizontale H et verticale V) : | | ¹ | \ | − + = u c c A H 1 1 5 0 i ' , ; (60) * pour l’inclinaison de la base de la fondation : 2 2 1 b c + π α − = . (61) A’ (B’xL’) est l’aire de la surface de contact de la semelle avec le sol après réduction de deux fois l’excentrement dans chaque direction, selon la méthode de Meyerhof. Pour les calculs en contraintes effectives (c’, ϕ’), la formule de calcul de base est : 101 γ γ γ γ γ + + = b i s N B 5 0 b i s N q b i s N c q q q q q c c c c ' ' , ' ' ' max (62) où q’ max est la pression effective maximale sous la semelle, γ’ est le poids volumique déjaugé du sol sous le niveau de la fondation, B’ est la largeur réduite de la fondation, c’ est la cohésion du sol, N c , N q et N γ sont les facteurs de capacité portante, s c , s q et s γ sont les facteurs de forme, i c , i q et i γ sont les facteurs d’inclinaison de la charge, b c , b q et b γ sont les facteurs d’inclinaison de la base de la fondation. Le tableau 7 rassemble les valeurs de ces facteurs et les expressions des coefficients correcteurs correspondants. Tableau 7. Facteurs de capacité portante et coefficients correcteurs (projet d’Eurocode 7) Terme de surface ou gravité N γ Terme de profondeur N q Terme de cohésion N c ( ) ϕ − = γ tan 1 N 2 N q ( ) | ¹ | \ | ϕ + π ϕ π = 2 4 N 2 q tan tan exp ( ) ϕ − = cot 1 N N q c Valeurs de ϕ (deg) N γ ϕ (deg) N q ϕ (deg) N c N γ , N q , N c 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 0 0,11 0,50 1,60 4,60 9 20 45 106 268 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 1 1,6 2,5 3,9 6,4 10,7 18,4 33,3 64,2 134,9 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 5,1 6,5 8,3 11,0 14,8 20,7 30,1 46,1 75,3 133,9 Forme (1) c’, ϕ’ ' ' , L B 3 0 1 s − = γ ' sin ' ' ϕ + = L B 1 s q 1 N 1 N s s q q q c − − = Profondeur (pas de formule) (pas de formule) (pas de formule) Inclinaison de la charge (2) 1 m c A V H 1 i + γ ( ¸ ( ¸ ϕ + − = ' cot ' ' m q c A V H 1 i ( ¸ ( ¸ ϕ + − = ' cot ' ' ' tanϕ − − = c q q c N i 1 i i Inclinaison de la semelle ( ) 2 1 b ϕ α − = γ tan ( ) 2 q 1 b ϕ α − = tan ϕ − − = tan c q q c N b 1 b b Talus (pas de formule) (pas de formule) (pas de formule) Excentrement Réduction de B de 2e B Réduction de L de 2e L Réduction de B de 2e B Réduction de L de 2e L Réduction de B de 2e B Réduction de L de 2e L Notes (1) Les formules sont données pour une semelle rectangulaire de côtés L>B. Pour un carré ou un cercle, on fait L=B dans les formules. (2) La valeur du paramètre m dépend du sens de l’inclinaison de la charge. Il vaut : ' / ' ' / ' L B 1 L B 2 m m B + + = = lorsque H est dirigée dans la direction de B, ' / ' ' / ' B B 1 B L 2 m m L + + = = lorsque H est dirigée dans la direction de L. Lorsque la force est dirigée dans une direction quelconque θ, le paramètre m vaut : θ + θ = = θ 2 B 2 L m m m m sin cos 102 5.16. Graham Les travaux publiés par J. Graham de 1968 à 1988 (Graham, 1968, 1974 ; Graham et Hovan, 1986 ; Graham et Stuart, 1971 ; Graham et al., 1988) portent sur l’application de l’analyse d’équilibre limite plastique au calcul des semelles filantes. L’article de 1968 décrit une procédure numérique de calcul de la charge limite inspirée des procédures de résolution développées par Sokolovskij (1965). L’article de 1971 (Graham et Stuart) traite de l’effet des conditions de contact sous la base de la fondation sur N γ en l’absence de surcharge, de l’effet de l’encastrement sur N q et de l’effet des variations de ϕ dans le sol. L’article de 1974 discute l’effet d’échelle pour les semelles posées sur un massif de sable. Pour représenter l’effet de la non linéarité du critère de rupture en fonction du niveau des contraintes, il modifie la valeur de l’angle de frottement de contact sous la base de la semelle. Cette technique conduit à des réductions sensibles du facteur Ν γ lorsque la largeur de la semelle augmente : 52% de réduction quand B est multiplié par 10. L’article de 1986 s’intéresse au traitement de l’influence de différents aspects du comportement des sables (non linéarité du critère de rupture, compressibilité du sable, antiécrouissage), représentés par un modèle d’état critique pour les sables. L’article de 1988 présente des solutions théoriques fondées sur de nouvelles descriptions des contraintes de contact semelle-sol et les compare à des données expérimentales. 5.17. Publications françaises Des travaux importants ont été exécutés en France au cours des années 1950 et 1960, principalement au CEBTP (Paris et Saint-Rémy-les-Chevreuse) et à l’université de Grenoble. On en trouve les conclusions dans les ouvrages de Lebègue (1981), d’une part, et de Giroud et al. (1973), d’autre part. Nous avons aussi répertorié les méthodes décrites dans les cours de Caquot et Kérisel (1966), Costet et Sanglerat (1983), Schlosser (1983) et, plus récemment, d’Absi (1993), Bourges (1993), Cordary (1994) et Philipponnat et Hubert (1998). Enfin, les résultats de travaux récents, réalisés au sein des Laboratoires des Ponts et Chaussées, sont passés en revue. 5.17.1. Caquot et Kérisel Caquot et Kérisel (1966) donnent pour les facteurs de capacité portante les expressions suivantes : ( ) ϕ − = cot 1 N N q c (63a) ( ) | ¹ | \ | ϕ + π ⋅ ϕ π = 2 4 N 2 q tan tan exp (63b) butée. de t coefficien K 2 4 K 2 4 2 2 4 N p p 2 , sin sin cos ( ¸ ( ¸ | ¹ | \ | ϕ − π − | ¹ | \ | ϕ + π | ¹ | \ | ϕ − π = γ (63c) Ces facteurs ont les valeurs indiquées dans le tableau 8. Les trois valeurs de N γ correspondent respectivement à une semelle horizontale lisse, à une semelle horizontale rugueuse (frottement selon l’angle ϕ) et à une semelle en coin (qui peut correspondre au coin de sol rigide que l’on observe souvent sous les fondations. Les auteurs indiquent que des expériences de Tcheng montrent que ces dernières valeurs sont largement réalisées sous les fondations planes. La dernière valeur est celle de l’équation (63). La première correspond à la formule : ( ) [ ] 1 55 4 2 4 192 0 N 2 1 − ϕ | ¹ | \ | ϕ + π = γ tan , exp tan , (63d) 103 Tableau 8 Valeurs des facteurs de capacité portante de Caquot et Kérisel (1966) ϕ (degrés) N γ (1) ou (2) ou (3) N q N c 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 0 0,11 0,34 0,78 1,66 3,475 7,39 16,4 39,3 105 327 0 0,35 0,8 1,6 3,5 7,3 15 35 80 210 620 0 0,29 1,0 2,3 4,9 10,7 21,9 46 111 299 910 1 1,57 2,47 3,94 6,40 10,7 18,4 33,3 64,2 135 319 5,14 6,51 8,32 11,0 14,75 20,8 30,1 46 75 134 267 Les trois valeurs de N γ correspondent respectivement à une semelle horizontale lisse, à une semelle horizontale rugueuse (frottement selon l’angle ϕ) et à une semelle en coin (qui peut correspondre au coin de sol rigide que l’on observe souvent sous les fondations. Les auteurs indiquent que des expériences de Tcheng montrent que ces dernières valeurs sont largement réalisées sous les fondations planes. La dernière valeur est celle de l’équation (63). La première correspond à la formule : ( ) [ ] 1 55 4 2 4 192 0 N 2 1 − ϕ | ¹ | \ | ϕ + π = γ tan , exp tan , (63a) Pour les effets de forme, une formule empirique est suggérée : γ | ¹ | \ | + γ = N L 2 B 1 L 2 A q max , (64) où A est l’aire de la fondation. Pour une semelle rectangulaire, A/L=B. Pour tenir compte de l’obliquité de la charge appliquée à la fondation (angle δ avec la verticale), les auteurs proposent une correction de la forme 1 N i 1 i i q q q c − − − = , (65) ( ) [ ] ϕ δ + η − ϕ + η ϕ + δ = tan exp sin cos sin cos 1 i q , (66) avec ϕ δ = η sin sin sin . Pour le terme de surface N γ , le coefficient réducteur a été déduit de l’analyse de résultats d’essais. Les valeurs de ces deux coefficients réducteurs sont données dans le tableau 9. Tableau 9 Valeurs des coefficients i q et i γ (Caquot et Kérisel, 1966) δ ϕ = 20 degrés ϕ = 30 degrés ϕ = 40 degrés ϕ = 50 degrés (degrés) i γ i q i γ i q i γ i q i γ i q 0 5 10 15 20 30 40 50 1 0,86 0,70 0,49 0 - - - 1 0,88 0,74 0,60 0,35 - - - 1 0,86 0,70 0,57 0,40 0 - - 1 0,86 0,72 0,58 0,46 0,17 - - 1 0,85 0,68 0,55 0,44 0,18 0 - 1 0,82 0,67 0,54 0,42 0,25 0,07 - 1 0,80 0,63 0,50 0,35 0,16 0,03 0 1 0,78 0,62 0,46 0,35 0,19 0,08 0,02 104 Pour tenir compte de l’excentricité de la charge appliquée à une semelle filante, les auteurs préconisent d’appliquer aux termes de la capacité portante des coefficients réducteurs égaux à (B-2e)/B pour le terme de profondeur N q et à (B-2e)/(B+2e) pour le terme de surface N γ . Les valeurs de ces coefficients sont données dans le tableau 10. Tableau 10 Valeurs des coefficients d’excentricité de la charge (Caquot et Kérisel, 1966) e/B 0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,4 0,5 e γ 1 0,82 0,67 0,54 0,43 0,33 0,25 0,11 0 e q 1 0,90 0,80 0,70 0,60 0,50 0,40 0,20 0 La différence sensible des valeurs du facteur N γ selon les auteurs a été illustrée par de Beer (1965), qui a comparé ces valeurs pour ϕ = 40 degrés : Auteurs N γ Gorbunov-Posadov 192 Buisman 163 Terzaghi 130 Caquot- Kérisel 111 Berezantsev 100 Lundgren 93 Sokolovskij 38 5.17.2. Giroud, Tran-Vô-Nhiem et Obin Giroud, Tran-Vô-Nhiem et Obin (1973) ont publié un document très complet, regroupant de très nombreux résultats de calculs de capacité portante, obtenus par diverses méthodes. Les fondations étudiées sont des semelles filantes rigides à base rugueuse. Les calculs sont présentés en respectant la décomposition instituée initialement par Terzaghi, bien qu’elle ne paraisse pas toujours la plus adaptée. Les cas traités sont les suivants : * semelle horizontale sous charge normale centrée sur : - un sol homogène à surface horizontale. Il s’agit des solutions de Prandl et Reissner pour N c et N q et est un calcul non analytique original pour N γ ; - un sol finement stratifié à surface horizontale. Les calculs sont des travaux originaux de Giroud, en application de la méthode de Sokolovskij ; - un sol anisotrope à surface horizontale. Les calculs sont dus à Davis et Christian ; - une couche horizontale d’épaisseur finie. Les calculs sont dus à Salençon, sous la direction de Mandel ; - un massif bicouche à surface horizontale. Les calculs sont dus à Obin, en collaboration avec Giroud ; - un massif à cohésion augmentant avec la profondeur (surface horizontale). Il s’agit de calculs originaux qui étendent les travaux de Button ; - un massif à surface horizontale contenant une nappe phréatique. Ces calculs sont des travaux originaux d’Obin ; - un massif homogène à surface inclinée. Ces calculs sont des travaux de Tran-Vô-Nhiem et Giroud ; * semelle à base oblique sous charge normale centrée sur : - un sol homogène à surface horizontale. Ces résultats sont dus à Tran-Vô-Nhiem ; * semelle horizontale sous charge inclinée et excentrée sur : - un sol homogène à surface horizontale. Ces résultats sont dus à Tran-Vô-Nhiem ; - un sol homogène à surface horizontale de niveau différent de part et d’autre de la semelle. Ces résultats sont dus à Tran-Vô-Nhiem ; - un sol homogène à surface inclinée ; * semelle à base oblique sous charge inclinée et excentrée sur : - un sol homogène à surface horizontale. Ces résultats sont dus à Tran-Vô-Nhiem. 105 5.17.3. Lebègue Lebègue (1981) décrit le calcul de la portance des fondations superficielles en s’appuyant sur les travaux de Caquot et Kérisel (1966). L’exposé est limité aux semelles filantes. Pour la semelle à base inclinée dans un sol à surface horizontale et pour le cas de la semelle sous charge inclinée, la méthode de calcul utilisée a été développée par Lebègue en 1972, par extension de celle de Caquot et Kérisel. Le cas de la semelle filante sur pente est aussi décrit. L’effet de l’excentrement est traité selon la méthode de Meyerhof. 5.17.4. Costet et Sanglerat Costet et Sanglerat (1983) décrivent de façon détaillée les différentes approches adoptées pour l’estimation de la capacité portante. Pour le calcul des fondations, ils recommandent l’utilisation de la formule : c q cN L B 2 0 1 DN N 2 B L B 2 0 1 q | ¹ | \ | + + γ + γ | ¹ | \ | − = γ , , max , (67) qui s’applique aussi pour les fondations circulaires (pour B/L=1). Pour l’excentrement des charges, la réduction de dimensions de Meyerhof est adoptée, ce qui est équivalent à des coefficients réducteurs de ( ) 2 e 2 1 e − = γ e 2 1 e e c q − = = , (68) pour une semelle filante, en notant e l’excentrement de la charge. Pour les charges centrées inclinées de δ sur la verticale, les coefficients de correction ont les mêmes expressions que chez Caquot et Kérisel. La description du comportement des semelles soumises à des charges à la fois excentrées et inclinées est fondée sur les travaux de Tran-Vô-Nhiem sous la direction de Biarez à Grenoble, comme celle de l’influence des talus. 5.17.5. Schlosser Schlosser (1983) décrit les facteurs de capacité portante proposés par Terzaghi et les coefficients correctifs de Meyerhof pour l’inclinaison et l’excentrement des charges. 5.17.6. Absi Absi (1993) cite pour les semelles rectangulaires une formule de calcul identique à celle de Costet et Sanglerat (1983) : γ | ¹ | \ | − γ + | ¹ | \ | + + γ = N L B 2 0 1 2 B cN L B 2 0 1 DN q c q , , max , (69) avec des facteurs de capacité portante dont l’origine n’est pas citée, mais qui sont proches de ceux de Caquot et Kérisel (Tableau 8), et sont donnés dans le tableau 11. Tableau 11 Valeurs des facteurs de capacité portante d’Absi (1993) ϕ (degrés) N γ N q N c ϕ (degrés) N γ N q N c 0 5 10 15 20 0 0,2 1 2,33 4,97 1 1,56 2,49 3,94 6,4 5,14 6,47 8,45 11 14,8 25 30 35 40 45 10,4 21,8 48 113 297 10,7 18,4 33,3 64,2 135 20,7 30,1 46,1 75,4 134 Pour les semelles circulaires, on prend la même formule avec B/L=1. 5.17.7. Bourges Bourges (1993) utilise les valeurs des coefficients N γ , N c , N q publiées par Giroud et al. (1993), où N c et N q ont les valeurs usuelles (Prandl et Reissner), tandis que N γ provient de l’application 106 de la méthode dite du coin minimal, utilisée notamment par Biarez (1962), avec interpolation par une formule de la forme « N γ = (N q -1) tanϕ f(ϕ) » (Tableau 12). Tableau 12 Valeurs des facteurs de capacité portante de Giroud et al. (cités par Bourges, 1993) ϕ (degrés) N γ N q N c 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 0 0,09 0,47 1,42 3,54 8,11 18,10 41,10 100,0 254,0 720,0 1 1,57 2,47 3,94 6,40 10,66 18,40 33,30 64,20 134,9 319,1 5,14 6,49 8,34 10,98 14,83 20,72 30,14 46,12 75,31 133,9 266,7 Les facteurs de forme sont ceux du DTU 13.12, qui proviennent d’une interpolation linéaire en B/L entre les cas de la semelle filante et de la semelle carrée (Terzaghi, 1943) : L B 2 0 1 s , − = γ , 1 s q = , L B 2 0 1 s c , + = . (70) Les coefficients d’inclinaison de la charge i γ , i c et i q sont ceux de Tran-Vô-Nhiem (1971), reportés dans le tableau 13. Tableau 13 Valeurs des coefficients d’inclinaison de Tran-Vô-Nhiem (cités par Bourges, 1993) δ Valeur de ϕ (degrés) (degrés) 20 25 30 35 40 45 0 1 1 1 1 1 1 5 0,85 0,83 0,8 0,79 0,75 0,78 i γ 10 0,58 0,56 0,56 0,57 0,53 0,52 15 0,25 0,32 0,35 0,37 0,35 0,34 20 0,08 0,14 0,19 0,21 0,21 0,21 25 0 0,04 0,07 0,10 0,12 0,12 30 0 0 0,02 0,04 0,06 0,06 0 1 1 1 1 1 1 5 0,86 0,86 0,85 0,82 0,82 0,80 10 0,72 0,71 0,70 0,68 0,65 0,63 i q 15 0,56 0,57 0,56 0,54 0,51 0,48 20 0,32 0,43 0,43 0,42 0,39 0,36 25 0 0,22 0,31 0,30 0,29 0,26 30 0 0 0,15 0,21 0,20 0,18 0 1 1 1 1 1 1 5 0,84 0,84 0,84 0,82 0,81 0,80 10 0,67 0,68 0,68 0,67 0,65 0,63 i c 15 0,49 0,53 0,54 0,53 0,51 0,48 20 0,20 0,37 0,40 0,40 0,38 0,36 25 0 0,14 0,27 0,28 0,28 0,26 30 0 0 0,10 0,18 0,19 0,18 107 Les coefficients d’excentrement sont ceux de Meyerhof et valent 2 B e 2 1 e | ¹ | \ | − = γ , B e 2 1 e c − = , B e 2 1 e q − = . (71) Pour la proximité d’une pente, les valeurs sont celles de Tran-Vô-Nhiem (1971), comme celles correspondant à l’inclinaison de la base de la fondation (Tableau 14). Tableau 14 Valeurs des coefficients d’inclinaison de la base de la fondation de Tran-Vô-Nhiem (cités par Bourges, 1993) α Valeur de ϕ (degrés) (degrés) 20 25 30 35 40 45 0 1 1 1 1 1 1 5 0,96 0,81 0,88 0,84 0,82 0,78 b γ 10 0,92 0,81 0,76 0,73 0,68 0,68 15 0,89 0,74 0,68 0,62 0,55 0,48 20 0,85 0,70 0,61 0,54 0,45 0,37 25 0,82 0,64 0,55 0,45 0,37 0,31 30 0,79 0,60 0,49 0,40 0,31 0,26 40 0,72 0,51 0,38 0,30 0,21 0,16 0 1 1 1 1 1 1 5 0,94 0,93 0,90 0,88 0,86 0,84 10 0,88 0,85 0,81 0,78 0,74 0,70 b q 15 0,82 0,79 0,74 0,69 0,64 0,59 20 0,77 0,72 0,67 0,61 0,56 0,50 25 0,72 0,67 0,60 0,54 0,48 042 30 0,68 0,61 0,54 0,48 0,41 0,35 40 0,62 0,52 0,45 0,39 0,31 0,25 0 1 1 1 1 1 1 5 0,92 0,91 0,90 0,88 0,86 0,84 10 0,86 0,83 0,81 0,77 0,74 0,70 b c 15 0,80 0,76 0,72 0,68 0,64 0,59 20 0,73 0,69 0,65 0,60 0,55 0,49 25 0,67 0,63 0,58 0,53 0,47 0,41 30 0,62 0,57 0,52 0,46 0,40 0,34 40 0,53 0,47 0,41 0,35 0,30 0,24 5.17.8. Cordary Cordary (1994) décrit les principes des méthodes de détermination de la capacité portante des massifs de sols et renvoie aux tables de Giroud, Tran-Vô-Nhien et Obin (1973) et aux travaux de Tran-Vô-Nhiem (1971) pour les formules à appliquer dans la pratique. 5.17.9. Philipponnat et Hubert Philipponnat et Hubert (1998) présentent les calculs de Caquot et Kérisel pour les facteurs de capacité portante des semelles filantes sur sol horizontal, puis les règles (différentes) du DTU 13.12 (1988). Ils donnent aussi les valeurs de Lebègue (1981) pour les charges inclinées, les semelles inclinées et les semelles sur pentes, ainsi que différentes solutions particulières. 5.17.10. Bakir, Garnier et Canepa Bakir et al. (1994) passent en revue les théories traitant du problème des fondations placées au bord d’une pente et leurs comparaisons avec des données expérimentales : Meyerhof, Brinch Hansen, Giroud et al., Graham et Hovan (analyse limite), Kusakabe et al. (calcul à la rupture), Salençon et Garnier (calcul à la rupture), Narita et Yamaguchi (équilibre limite). Les 108 valeurs du facteur de capacité portante N γ , obtenu par différentes méthodes pour la semelle filante en bordure de pente représentée sur la figure 4, sont comparées dans le tableau 15. La diversité des résultats est très grande. 2 1 B=1m d Semelle filante rugueuse c’=0 ϕ’ γ d = 16 kN/m 3 D = 0 Figure 4 Données du calcul de la portance d’une semelle filante en tête de talus (Bakir et al., 1994) Tableau 15 Comparaison des capacités portantes calculées d’une semelle filante en tête de talus (Bakir et al., 1994) Méthode ϕ’ = 35 degrés ϕ’ = 40 degrés ϕ’ = 45 degrés d/B 0 2 4 0 2 4 0 2 4 Meyerhof 11 35 41 26 70 105 61 140 220 Brinch Hansen 10 24 78 Giroud 10 16 28 21 35 52 50 72 100 Graham 19 55 55 44 100 100 123 247 410 Kusakabe 13 33 55 29 66 105 69 138 213 Salençon 11 33 54 26 64 104 63 130 211 Narita 16 48 84 36 96 162 92 209 334 5.17.11. Combarieu (1997) Par comparaison avec la méthode de calcul de la capacité portante au pressiomètre, Combarieu (1997) propose de modifier les trois facteurs de capacité portante du projet d’Eurocode 7 pour diminuer l’influence de l’accroissement de B sur la portance d’une semelle filante. La formule de calcul devient : c q cN qN BN 5 0 q ' ' ' , max + + γ = γ (72) avec ( ) ( ) ¦ ¦ ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ¦ ¦ ´ ¦ ϕ − = ϕ − | ¹ | \ | = | ¹ | \ | = ϕ + ϕ ϕ + ϕ γ γ cot ' ' sin ' ' sin sin sin sin 1 N N 1 B B N N B B N N q c 1 o q q 1 o (73) B o – dimension de référence, prise égale à 1m (Le modèle d’analyse est applicable pour des largeurs de semelle filante limitées à 30m). 5.17.12. Maréchal Maréchal (1999) passe en revue les travaux consacrés au comportement de fondations superficielles soumises à des chargements complexes (charges inclinées, excentrées, à proximité d’une pente). Sur le plan théorique, il s’agit des travaux de Meyerhof, de Salençon et Pecker (1992), de Giroud et al., d’Urichton et al. (1998) et de Bakir. Son étude a produit des coefficients d’influence complexes, déduits d’essais en centrifugeuse et d’études numériques. 109 5.18. Conclusions Les méthodes de calcul de la capacité portante des fondations superficielles ont une allure identique puisqu’elles sont toutes présentées selon la décomposition en trois termes introduite par Terzaghi, mais les détails sont très variés d’un auteur à l’autre. Les travaux de Malcharek et Smoltczyk (1981) sur les méthodes de calcul en vigueur dans treize pays (Autriche, Canada, Tchécoslovaquie, Allemagne (RFA et RDA), Danemark, France, Royaume-Uni, Inde, Pologne, Suède, Union Soviétique et Etats-Unis) et ceux de Sieffert et Bay-Gress (1998) sur les méthodes utilisées dans treize pays d’Europe (Allemagne, Autriche, Belgique, Finlande, France, Grèce, Irlande, Norvège, Portugal, République Tchèque, Royaume Uni, Slovénie et Suède) illustrent cette diversité. On rencontre ainsi trois présentations équivalentes de la capacité portante : γ γ + + = N 2 B qN cN q q c max , (74) dans tous les pays sauf en Allemagne et Autriche, où le coefficient 0,5 de N γ est intégré dans * γ N , d’où * max γ γ + + = BN qN cN q q c , (74a) et en Slovénie, où l’on utilise la relation ( ) ϕ − = cot 1 N N q c pour faire disparaître N q : ( ) γ γ + + ϕ + = N 2 B q N q c q c tan max (74b) (cette formulation provient des normes de l’ancienne Yougoslavie). Cette différence de présentation n’a pas d’influence sur les résultats des calculs et nous nous en tiendrons à la formulation (74) dans la suite de cet étude. Le facteur N q est calculé en général au moyen de la solution (6) de Reissner (Meyerhof), mais on utilise aussi l’expression (5) de Terzaghi, ainsi que des expressions spécifiques tabulées en Autriche et dans les normes de l’ancienne URSS (Tableau 2). Le facteur N c est toujours lié à N q par la relation ( ) ϕ − = cot 1 N N q c (expression issue des travaux de Prandl, adoptée par Terzaghi, Meyerhof, Brinch Hansen, etc.). Le facteur N γ est celui qui connaît la plus grande diversité, puisqu’il en existe au moins dix formes : Terzaghi | | ¹ | \ | − ϕ ϕ = γ γ 1 K 5 0 N 2 p cos tan , (K pγ donné par des tables), Meyerhof ( ) ( ) ϕ − = γ 4 1 1 N N q , tan , Brinch Hansen ( ) ϕ − = γ tan , 1 N 5 1 N q (borne inférieure), Vesić ( ) ϕ + = γ tan 1 N 2 N q (expression approchée des valeurs de Caquot et Kérisel), Eurocode 7 ( ) ϕ − = γ tan 1 N 2 N q , Normes URSS Tableau 2, Chen ( ) | ¹ | \ | ϕ + π ϕ + = γ 5 4 1 N 2 N q tan tan (borne supérieure), Caquot-Kérisel Tableau 5, Giroud Tableau 9, Suède ( ) ( ) sin , sin , , tan , exp tan ϕ − ϕ + ( ¸ ( ¸ − ϕ π | ¹ | \ | ϕ + π = γ 2 04836 0 2 3231 0 08705 0 x x 1 5 1 2 4 N 2 2 110 Cette dernière expression interpole exactement les valeurs de N γ calculées par Lundgren et Mortensen (1953) et devient inférieure à l’approximation adoptée par Brinch Hansen pour les fortes valeurs de l’angle de frottement interne. L’effet de l’excentrement des charges est traité en réduisant la surface effective de contact de deux fois l’excentrement dans chaque direction pour les semelles carrées et dans le sens de la largeur pour les semelles filantes. Pour le calcul de la portance des semelles rectangulaires, carrées ou circulaires, de nombreuses expressions des coefficients de forme ont été proposées (pour les fondations circulaires, les coefficients sont en général les mêmes que pour une fondation carrée). On trouve cinq expressions du coefficient de forme s γ : L B 2 0 1 s / , − = γ , L B 3 0 1 s / , − = γ , L B 4 0 1 s / , − = γ , L B 25 0 1 s / , − = γ , 1 s sinon degrés, 10 si 2 4 L B 1 0 1 s 2 = > ϕ | ¹ | \ | ϕ + π + = γ γ tan , huit expressions du coefficient de forme s q : 1 s q = , L B 2 0 1 s q / , + = , L B 3 0 1 s q / , + = , ϕ + ϕ + = tan tan c c c q N 1 N s 1 s , ( ) ϕ + = sin / L B 1 s q , ( ) ϕ + = tan / L B 1 s q , L B 5 1 1 s q / , + = , 1 s sinon degrés, 10 si 2 4 L B 1 0 1 s q 2 q = > ϕ | ¹ | \ | ϕ + π + = tan , quatre expressions du coefficient de forme s c pour les sols frottants (ϕ ≠ 0) : L B 2 0 1 s c / , + = , L B 3 0 1 s c / , + = , | ¹ | \ | ϕ + π + = 2 4 L B 2 0 1 s 2 c tan , ϕ − + = − − = − = tan 1 N N L B 1 1 N 1 N s L B N N 1 s q q q q q c q c mais une seule expression de ce coefficient pour les sols purement cohérents (ϕ = 0) : L B 2 0 1 s c / , + = . Pour l’inclinaison de la charge, la diversité des coefficients correctifs est aussi très grande. On trouve sept expressions du coefficient correcteur i γ : ( ) 2 1 i δ − = γ tan ; 2 1 i | | ¹ | \ | ϕ δ − = γ ; Tableau 9 (Caquot-Kérisel) ; ( ) 2 1 i θ − = γ tan avec ϕ + = θ cot tan Ac V H (A, aire de contact effectif sous la semelle) ; ( ) 3 1 i θ − = γ tan ; ( ) α γ θ − = tan ,7 0 1 i avec α compris entre 2 et 5 ; ( ) 1 m 1 i + γ θ − = tan avec L B 1 L B 2 m / / + + = ; sept expressions du coefficient correcteur i q : ( ) 2 q 1 i δ − = tan ; 2 q 2 1 i | ¹ | \ | π δ − = ; Tableau 9 (Caquot-Kérisel) ; ( ) 3 q 7 0 1 i θ − = tan , ; ( ) 2 q 1 i θ − = tan ; 111 ( ) α θ − = tan ,5 0 1 i q avec α compris entre 2 et 5 ; ( ) 1 m q 1 i + θ − = tan avec L B 1 L B 2 m / / + + = ; quatre expressions du coefficient correcteur i c pour les sols frottants (ϕ ≠ 0) : ( ) 2 c 1 i δ − = tan ; 2 c 2 1 i | ¹ | \ | π δ − = ; 1 N 1 N i i q q q c − − = ; ( ) 2 c 1 i θ − = tan ; et sept expressions du coefficient correcteur i c pour les sols cohérents (ϕ = 0) : ( ) 2 c 1 i δ − = tan ; Ac H 1 5 0 5 0 i c − + = , , ; Ac H 1 5 0 i c − − = , ; L B 1 L B 2 AcN H 1 i c c / / + + − = ; 1 N i 1 i i q q q c − − = ; 2 1 i c , = ; 2 c 2 1 i | ¹ | \ | π δ − = . Cette diversité des formules utilisées pour évaluer la portance des sols sous les fondations superficielles peut laisser perplexe l’ingénieur peu au fait des fondements des outils pratiques de la géotechnique. Il est impossible de faire un tri parmi ces formules car elles ne sont pas d’origine théorique et représentent pour la plupart l’écart entre les fonctions de base N c , N q et N γ , et une représentation moyenne sécuritaire de résultats d’essais exécutés dans des conditions variées. Si l’on y ajoute les effets de la façon dont les valeurs de calcul des paramètres géotechniques sont déterminées, il est clair que l’on ne peut évaluer que l’ensemble de la procédure de calcul, sur des ouvrages réels ou des essais représentatifs. 6. Applications de l’analyse limite 6.1 Généralités De nombreuses études ont été consacrées à la résolution des problèmes de capacité portante des fondations superficielles dans le cadre de l’analyse limite, c’est à dire par l’établissement de bornes supérieures par analyse cinématique et de bornes inférieures par analyse statique (analyse d’équilibre des contraintes). Un premier état des connaissances a été dressé par Meyerhof en 1980. Entre divers développements sur la plasticité et les sols, on y lit que « les théorèmes d’analyse limite ne s’appliquent pas aux matériaux dont la loi d’écoulement plastique n’est pas associée. Toutefois, la solution obtenue avec les mêmes paramètres c et ϕ pour une loi d’écoulement plastique associée constitue une borne supérieure de la charge de rupture (Davis, 1968). D’autre part, on peut obtenir une borne inférieure de cette charge limite en utilisant un champ de contraintes statiquement admissible qui correspond au chemin de chargement réel du sol, sans produire de plasticité dans le massif. » L’approche cinématique de l’analyse limite a fait l’objet de nombreuses recherches en France, sous l’influence de J. Salençon, M. Frémond, P. de Buhan, L. Dormieux, E. Leca et d’autres. Toutefois, la recherche de publications donnant une approche complète des calculs de portance des fondations superficielles dans le cadre de l’analyse limite a donné des résultats décevants : seules quelques configurations géométriques simples sont en général traitées et 112 l’on utilise pour couvrir l’ensemble des situations de calcul des facteurs correctifs dont la justification a été faite dans le cadre traditionnel. D’autre part, la validation des calculs d’analyse limite est le plus souvent faite par comparaison avec les solutions classiques issues de l’analyse d’équilibre limite, de sorte que l’on ne voit pas d’avantage à adopter ce nouveau cadre d’analyse. L’inventaire qui suit est pour cette raison limité à une liste des situations de calcul traitées par différents auteurs depuis le début des années 1950, mais en majorité depuis 1970. 6.2. Inventaire des calculs de portance en analyse limite Sans espérer l’exhaustivité sur le traitement des problèmes de capacité portante dans le cadre de l’analyse limite, on peut citer les travaux suivants : - pour les facteurs de capacité portante, le caractère de solution exacte (à la fois borne inférieure et borne supérieure) a été attribué assez tôt à la solution de Prandl (1920) pour N c et à celle de Reissner (1923) pour N q , qui s’appliquent à des semelles filantes posées à la surface d’une couche de sol homogène de forte épaisseur Cette reconnaissance est par exemple affirmée par Brinch Hansen (1961). Le facteur N γ a pour sa part une borne inférieure due à Lundgren et Mortensen (1953) et une borne supérieure due à Meyerhof (1955). Le cas des lois d’écoulement non associées est aussi discuté par Meyerhof (1955), qui a montré que la portance est plus faible d’au moins 10% pour un angle de frottement interne ϕ supérieur à 30 degrés quand on passe d’une loi associée à une loi d’écoulement plastique à volume constant. Ce même article traite de l’influence de la présence d’une nappe d’eau dans le sol sur la capacité portante ; - Berezantsev (1952) et Salençon et al. (1973) donnent des bornes supérieures des facteurs de capacité portante pour des semelles circulaires rugueuses reposant sur un massif homogène de sol à loi d’écoulement plastique associée ; - Sokolovski (1965) donne une borne inférieure et Meyerhof et Hanna (1970) une borne supérieure pour la capacité portante d’une semelle filante sur un massif de sol stratifié (loi d’écoulement plastique associée) ; - Mandel et Salençon (1969, 1972) ont étendu les solutions de Prandl, Reissner et Lundgren-Mortensen au cas de couches d’épaisseur limitée ; - Lysmer (1970) décrit une méthode informatisée pour la construction de champs de contraintes admissibles dans un massif de sol et en montre une application à la portance d’une semelle filante posée sur un sol cohérent ; - Davis et Booker (1973) analysent l’influence de la croissance de la cohésion de l’argile sur sa capacité portante (semelles filantes) ; - Matar et Salençon (1977) donnent une solution exacte pour la portance d’une semelle filante posée sur un massif de sol cohérent dont la cohésion augmente linéairement avec la profondeur (voir aussi Matar, 1977) ; - Kusakabe et al. (1981) analysent la capacité portante des pentes chargées en tête par une semelle filante (borne supérieure). - Salençon et Matar (1980) et Matar et Salençon (1982) donnent une solution exacte pour la portance d’une semelle circulaire posée sur un massif de sol cohérent dont la cohésion augmente linéairement avec la profondeur; - Narita et Yamaguchi (1989) appliquent aux semelles filantes une méthode de calcul cinématique utilisant des surfaces de rupture en spirale logarithmique ; - Narita et Yamaguchi (1990) appliquent aux semelles filantes en bord de pente la méthode de recherche de borne supérieure par spirale logarithmique déjà appliquée aux semelles sur sol horizontal ; - Salençon et Pecker (1992) donnent des enveloppes supérieure et inférieure de la capacité portante d’une semelle filante placée sur un massif de sol horizontal et soumise à des charges inclinées et excentrées ; 113 - Salençon et Pecker (1995a, 1995b) donnent la capacité portante des fondations superficielles sous charge inclinée et excentrée ; - de Buhan et Garnier (1994) présentent une borne supérieure pour la portance d’une semelle filante proche d’une pente ; - Sekigushi et Kobayashi (1997) donnent des bornes supérieure et inférieure (différentes) pour la portance d’une fondation circulaire soumise à une charge verticale excentrée ; - de Buhan et Garnier (1998) calculent une borne supérieure de la portance d’une fondation rectangulaire proche d’une pente ; - Ukritchon et al. (1998) présentent des bornes supérieure et inférieure pour des semelles filantes reposant sur un massif d’argile non drainée et soumises à des forces verticale et horizontale et à un moment. Le calcul est effectué en éléments finis par un calcul cinématique où les inconnues sont les vitesses de déplacement des nœuds du maillage et par un calcul statique où les inconnues sont les forces nodales ; - Michalowski et You (1998) déterminent des bornes supérieures pour la portance de semelles filantes sous charge inclinée et excentrée. 6.3. Calcul de bornes supérieures par analyse cinématique régularisée La méthode de calcul de bornes supérieures de la charge de rupture qui a été utilisée au Laboratoire Central des Ponts et Chaussées pour analyser la portance des sols sous les fondations superficielles est une forme de l’approche cinématique de l’analyse limite, programmée dans le code de calcul en éléments finis CESAR-LCPC (module LIMI). Il s’agit de l’analyse limite cinématique régularisée par le modèle de Norton-Hoff, dont la base mathématique a été développée par A. Friaâ (1978, 1979), sous la direction de M. Frémond, et qui a été ensuite appliquée à des problèmes de mécanique des sols par T. Guennouni (1982) puis Jiang G.L. (1992), K. Sassi (1996), A. Antao (1997) et N. Droniuc (2001). L’analyse cinématique régularisée est fondée sur un ensemble de théorèmes qui prouvent que « l’on peut trouver une série de solutions visco-plastiques qui converge vers la solution rigide-plastique du problème cinématique étudié ». La forme du modèle visco-plastique utilisé (la loi visco-plastique de Norton-Hoff) est prédéterminée par les théorèmes fondateurs. On peut utiliser en principe tout type d’éléments finis, mais l’expérience a prouvé que certains types d’éléments sont plus efficaces (Figure 5). On peut utiliser un maillage régulier homogène d’éléments finis, dont la seule contrainte est de respecter le zonage géotechnique du sol (c’est à dire les limites des couches dont les propriétés sont différentes) et les conditions aux limites sur les déplacements. Ainsi, il n’est pas nécessaire d’avoir au préalable connaissance du mécanisme de rupture : la cinématique de la rupture sera découverte pendant le calcul. La description des couches du sol est limitée à leur géométrie, à leur masse volumique et au critère de rupture du sol (les critères de Tresca, von Mises et Mohr-Coulomb sont actuellement utilisés). La procédure utilisée pour trouver la solution cinématique est itérative et sélectionne un chargement minimal pour lequel la puissance (travail par unité de temps) des forces externes est supérieure à la puissance dissipée par la déformation du massif. En pratique, cette comparaison est effectuée en utilisant deux fonctions J p et G p , dépendant du champ de vitesses v des points du massif de sol et définies comme : J p (v) = puissance des efforts internes – puissance des efforts externes et p 1 p p p d 1 p pJ G − Ω ( ( ( ¸ ( ¸ Ω − = ∫ ) ( , (75) avec Ω - volume du massif de sol et p – coefficient de viscosité du modèle de Norton-Hoff. En pratique, le critère principal est la valeur de G p , qui est supérieure à 1 pour un système instable et inférieure à 1 lorsque le système est stable. 114 1 2 3 4 3 4 1 2 Éléments linéaires T3 a. Calculs bidimensionnels (plans) Éléments linéaires T4 (15 noeuds pour 24 éléments) b. Calculs tridimensionnels Figure 5. Éléments utilisés pour l’analyse limite cinématique régularisée Les résultats du calcul sont constitués par une valeur de la (des) charge(s), qui constitue une borne supérieure de la charge de rupture, et par des représentations du maillage déformé et du champ des valeurs principales des vitesses de déformations. Ces vitesses de déformations sont très utiles pour la compréhension de la cinématique de la rupture et sa comparaison avec les mouvements réels du sol et des structures. Pour les analyses de capacité portante en présence d’eau (nappe hydrostatique ou réseau d’écoulement), un calcul préalable des pressions d’eau et des gradients hydrauliques est effectué en utilisant le même maillage et une autre partie du programme de calcul par éléments finis CÉSAR-LCPC. Les gradients hydrauliques ainsi obtenus sont introduits comme charges extérieures dans l’analyse cinématique de stabilité, où ils sont combinés aux contraintes effectives. Ensuite, l’analyse cinématique se déroule de façon habituelle. Droniuc et al. (2003) ont décrit les bases théoriques, la programmation et la validation de l’analyse cinématique régularisée. Le module LIMI de CÉSAR-LCPC a été appliqué de façon systématique à tous les cas classiques de fondations superficielles et les résultats obtenus sont comparés dans ce qui suit aux valeurs fournies par les autres méthodes de calcul. 6.4. Semelles sur sol horizontal : charge verticale et centrée (analyse cinématique régularisée) Le problème de la capacité portante des fondations superficielles sur sol horizontal constitue le test de base pour les méthodes de calcul. Nous l’avons pour cette raison examiné en détail, de façon à disposer de calculs par LIMI pour toutes les situations classiques. 6.4.1. Situations analysées Les situations étudiées sont caractérisées par un ensemble de paramètres : - des paramètres géométriques de la semelle (semelle filante, semelle circulaire, semelle carrée, semelle rectangulaire de rapport B/L=0,5), - la profondeur d’encastrement (semelle encastrée de D=0, D=B/2, D=B), - le niveau de la nappe (D w =0, D w =D, D w =D+B), - les propriétés mécaniques du sol (γ=16kN/m 3 , c= 0 ou 10 kPa ; ϕ = 0-20-30 ou 40 degrés), - l’inclinaison de la charge (δ = 0 ou 10 degrés), - l’excentrement de la charge (e = 0 ou B/10). Les calculs présentés ici ont nécessité la préparation de douze séries de maillages bi- dimensionnels ou tridimensionnels (pour chaque combinaison de la forme de la semelle et de son encastrement). Les séries de calculs étaient organisées de la façon suivante : 115 Série 1 : analyse des facteurs de capacité portante N γ ; N c et N q , pour une charge verticale et centrée sur une semelle filante (B=1m) posée à la surface du sol. Ces calculs correspondent aux combinaisons suivantes de paramètres du sol : Calcul de N γ : c= 0 kPa, q= 0 kPa, γ = 16 kN/m 3 , ϕ = 10 - 20 – 30 – 40 degrés ; Calcul de N c : c=10 kPa, q= 0 kPa, γ = 0 kN/m 3 , ϕ = 0 – 10 - 20 – 30 – 40 degrés ; Calcul de N q : c= 0 kPa, q=10 - 20 kPa, γ = 0 kN/m 3 , ϕ = 0 – 10 - 20 – 30 – 40 degrés. Série 2 : comportement global de la semelle filante sous charge verticale et centrée. Ces calculs ont combiné les valeurs suivantes des paramètres : Valeurs de c : 10 – 20 kPa, Valeurs de ϕ : 20 – 30 - 40 degrés Valeurs de q : 0 – 10 - 20 kPa Valeurs de γ : 16 kN/m 3 . Série 3-1 : influence de la forme de la fondation sur les termes de la capacité portante. Ces calculs ont combiné les valeurs suivantes des paramètres : Forme de la fondation (calculs tridimensionnels) : semelle carrée (B=L) semelle rectangulaire (B=0,5L), semelle circulaire Calcul de s g N γ : c= 0 kPa, q= 0 kPa, γ = 16 kN/m 3 , ϕ = 10 - 20 – 30 – 40 degrés ; Calcul de s c N c : c=10 kPa, q= 0 kPa, γ = 0 kN/m 3 , ϕ = 0 – 10 - 20 – 30 – 40 degrés ; Calcul de s q N q : c= 0 kPa, q=10 - 20 kPa, γ = 0 kN/m 3 , ϕ = 0 – 10 - 20 – 30 – 40 degrés. Série 3-2 : influence de la forme de la fondation sur la capacité portante globale. Ces calculs ont combiné les valeurs suivantes des paramètres : Forme de la fondation (calculs tridimensionnels) : semelle carrée (B=L) semelle rectangulaire (B=0,5L), semelle circulaire Valeurs de c : 10 – 20 kPa, Valeurs de ϕ : 20 – 30 - 40 degrés Valeurs de q : 0 – 10 - 20 kPa Valeurs de γ : 16 kN/m 3 . Série 4 : influence de l’encastrement. Ces calculs ont combiné les valeurs suivantes des paramètres : Forme de la fondation : Semelle filante, semelle carrée (B=L), semelle rectangulaire (B=0,5L), semelle circulaire Valeurs de c : 10 – 20 kPa, Valeurs de ϕ : 20 – 30 - 40 degrés Valeurs de q : 0 – 10 - 20 kPa Valeurs de γ : 16 kN/m 3 . Encastrement : D=B/2 ; D=B Série 5 : influence d’une nappe hydrostatique. Ces calculs ont combiné les valeurs suivantes des paramètres : Forme de la fondation : Semelle filante, semelle carrée (B=L), semelle rectangulaire (B=0,5L), semelle circulaire Valeurs de c : 10 – 20 kPa, Valeurs de ϕ : 20 – 30 - 40 degrés Valeurs de q : 0 – 10 - 20 kPa Valeurs de γ : 16 kN/m 3 . Encastrement : D=B/2 ; D=B Niveau de la nappe : TN (D w =0) ; TN-D (D w =D) ; TN-D-B (D w =D+B) 6.4.2. Analyse des résultats Les résultats des séries de calcul décrites ci-dessus sont comparés sur les figures 6 à 19 aux valeurs déduites des méthodes de calcul existantes. 116 a. Facteur de portance N c Il n’existe que trois formes différentes de ce facteur : celle de Reissner (Prandl), considérée comme une solution exacte du problème, l’expression antérieure de Terzaghi et la valeur tabulée des normes de l’ancienne URSS. On observe sur la figure 6 que les valeurs les plus faibles correspondent bien à celle de Reissner-Prandl, dont les calculs par LIMI donnent une approximation par excès à environ 1%, que les valeurs des normes russes sont un peu plus fortes pour les angles de frottement supérieurs à 30 degrés et que la solution de Terzaghi est sensiblement plus forte. Comme les sols qui possèdent une cohésion ont en général un angle de frottement interne inférieur à 30 degrés, les trois premières solutions sont pratiquement équivalentes. 0 20 40 60 80 100 120 0 10 20 30 40 50 angle de frottement interne (degrés) f a c t e u r d e p o r t a n c e N c Reissner-Prandl Terzaghi URSS LIMI 35 degrés : 137,8 40 degrés : 311,4 Figure 6 Évolution du facteur de portance N c avec l’angle de frottement interne b. Facteur de portance N q Toutes les méthodes de calcul de la capacité portante des fondations superficielles relient N q à N c par la même formule. Il existe donc trois solutions de base (Reissner-Prandl, Terzaghi et normes russes) qui sont classées dans le même ordre que pour N c et une solution donnée par LIMI très proche de la solution de base de Reissner-Prandl (Figure 7). 0 20 40 60 80 100 120 0 10 20 30 40 50 angle de frottement interne (degrés) f a c t e u r d e p o r t a n c e N q Reissner-Prandl Terzaghi URSS LIMI 40 degrés : 64,2 Figure 7 Évolution du facteur de portance N q avec l’angle de frottement interne 117 c. Facteur de portance N γ La détermination de N γ est l’objet de divergences plus marquées. Les dix solutions recensées plus haut sont comparées avec les calculs de LIMI sur la figure 8. Les solutions notées « Suède » et « Brinch Hansen » constituent probablement des bornes inférieures. À part la borne supérieure de Chen, les autres solutions sont relativement proches et donnent environ 100 pour un angle de frottement interne de 40 degrés. Notons que la forme de toutes ces courbes fait que des variations mineures de l’angle de frottement interne produisent des variations de N γ plus grandes que les différences des courbes pour un ϕ donné. 0 20 40 60 80 100 120 0 10 20 30 40 50 angle de frottement interne (degrés) f a c t e u r d e p o r t a n c e N γ γ γ γ Meyerhof Terzaghi Brinch Hansen URSS Chen Caquot-Kérisel Giroud Vesic Suède (L&M) Eurocode 7 LIMI Figure 8 Évolution du facteur de portance N γ avec l’angle de frottement interne d. Combinaison des paramètres de la portance Les formules de calcul utilisées dans la pratique décomposent la capacité portante en la somme de trois termes, comme l’a instauré Terzaghi en 1943. Or la superposition des mécanismes de rupture partiels ne fournit pas une solution exacte du problème global : la somme des capacités portantes cN c , qN q et 0,5BγN γ est inférieure à la capacité portante totale q max (c,ϕ,q). Nous l’avons vérifié en comparant la capacité portante calculée pour diverses combinaisons de c, ϕ et q (Série 2) à la somme des capacités portantes partielles correspondantes. Les résultats sont présentés dans le tableau 16. La figure 9 compare les résultats des calculs effectués au moyen de LIMI selon la décomposition traditionnelle de la capacité portante q max en la somme de trois termes (quantité notée q max,c+γ+q dans le tableau 16 et q max,somme sur la figure 9) et dans un calcul unique en tenant compte des trois paramètres du calcul (c, γ et q) (quantité notée q max,c,γ,q dans le tableau 16 et q max,global sur la figure 9). On observe que le calcul décomposé en trois calculs partiels donne des capacités portantes plus faibles, de quelques pourcents à 17 pourcents au maximum, ce qui est proche de la valeur indiquée par Lundgren et Mortensen (1953). e. Influence de la forme de la fondation La capacité portante des semelles rectangulaires dépend du rapport L/B des côtés, comme l’illustre la figure 10. On observe que les termes s c N c et s q N q sont particulièrement sensibles, puisqu’ils sont multipliés par deux quand on passe de la semelle carrée à la semelle filante. Pour s γ N γ , la forme de la fondation semble avoir une influence limitée pour les valeurs de l’angle de frottement interne inférieures à 30 degrés. La forme du mécanisme de rupture sous une semelle carrée est représentée sur la figure 11, en termes de vitesses de déformation. 118 Tableau 16 Comparaison du calcul global de la portance et de la décomposition en trois termes Données LIMI LIMI partiel cumulé Méthodes classiques Cas c ϕ q q max c,γ,q q max c+γ+q q max c+(γ,q) q max (c,γ)+q q max (c,q)+γ q max Terz. q max Mey. q max B-H q max EC7 q max URSS (kPa) (deg) (kPa) (kPa) (kPa) (kPa) (kPa) (kPa) (kPa) (kPa) (kPa) (kPa) (kPa) Calcul de la portance d’un sol cohérent (non drainé) 1 10 0 0 53,2 52,2 52,2 53,2 52,2 51,4 51,4 51,4 51,4 2 20 0 0 107,0 104,2 104,2 107,0 104,2 102,8 102,8 102,8 102,8 3 10 0 10 63,3 62,3 62,5 63,3 62,3 61,4 61,4 61,4 61,4 4 10 0 20 73,5 72,5 72,5 73,5 72,5 71,4 71,4 71,4 71,4 Calcul de la portance d’un sol purement frottant (cohésion nulle) 5 0 10 10 33,9 32,9 33,9 32,9 32,9 38,2 27,6 27,8 28,9 6 0 20 10 112,9 103,4 112,9 103,4 103,4 135,9 87,0 87,6 95,4 113 7 0 30 10 377,4 325,4 377,4 325,4 325,4 568,7 309,4 304,6 344,8 365,8 8 0 40 10 1603 1429 1603 1429 1429 3426 1391 1278 1490 1522 9 0 10 20 59,0 57,4 59,0 57,4 57,4 66,9 52,4 52,5 53,6 10 0 20 20 176,2 170,2 176,2 170,2 170,2 231,8 151,0 151,6 159,4 178 11 0 30 20 587,2 511,8 587,2 511,8 511,8 979,7 493,4 488,6 528,8 558,8 12 0 40 20 2304 2078 2304 2078 2078 6049 2033 1920 2132 2242 Calcul de la portance d’un sol cohérent et frottant, mais non pesant 13 10 10 10 111,8 110,7 110,7 110,7 111,8 134,4 108,2 108,2 108,2 14 10 20 10 218,6 216,5 216,5 216,5 218,6 331,9 212,3 212,3 212,3 216 15 10 30 10 516,2 496,3 496,3 496,3 516,2 1106 485,4 485,4 485,4 508 16 10 40 10 1565 1451 1451 1451 1565 5736 1395 1395 1395 1567 17 10 10 20 139,2 135,2 135,2 135,2 139,2 163,0 132,9 132,9 132,9 18 10 20 20 293,3 283,3 283,3 283,3 293,3 427,8 276,3 276,3 276,3 281 19 10 30 20 714,7 682,7 682,7 682,7 714,7 1517 669,4 669,4 669,4 701 20 10 40 20 2222 2100 2100 2100 2222 8359 2037 2037 2037 2287 Calcul de la portance d’un sol cohérent, frottant et pesant (cas général) 21 10 10 0 96,9 92,0 92,0 96,9 92,0 115,3 86,4 86,6 87,6 22 10 20 0 198,9 188,0 188,0 198,9 188,0 276,0 171,3 171,9 179,8 199 23 10 30 0 512,4 443,3 443,3 512,4 443,3 852,3 426,7 422,0 462,1 487,8 24 10 40 0 1798 1534 1534 1798 1534 3917 1503 1389 1602 1649 25 10 10 10 123,1 117,8 118,8 122,8 118,9 144,0 111,1 111,3 112,3 26 10 20 10 268,1 253,9 263,5 264,8 256,1 372,0 235,3 235,9 243,8 264 27 10 30 10 717,2 632,5 684,5 701,6 652,5 1263 610,8 606,0 646,2 680,0 28 10 40 10 2571 2207 2382 2471 2321 6540 2145 2031 2244 2369 29 10 10 20 147,4 142,3 143,9 147,2 146,3 172,6 135,8 136,0 137,0 30 10 20 20 336,6 320,8 326,8 331,6 330,8 467,8 299,3 299,9 307,8 329 31 10 30 20 919,9 818,9 894,3 888,0 851,0 1674 794,8 790,0 830,2 873,8 32 10 40 20 3148 2856 3082 3119 2978 9162 2787 2673 2885 3089 f. Influence de l’encastrement La prise en compte de l’encastrement de la fondation superficielle dans le calcul de la portance modifie sensiblement le résultat des calculs, comme on peut le voir sur la figure 12. Cette figure compare les prévisions des calculs par analyse cinématique régularisée (LIMI avec et sans contact avec le sol sur les bords verticaux de la fondation) avec ceux d’autres méthodes de calcul (Meyerhof, Brinch Hansen et Eurocode 7) ainsi qu’avec les résultats d’un essai en centrifugeuse (Magnan et al., 2001). On peut garder comme ordre de grandeur que la capacité portante globale est plus que doublée quand on passe d’une semelle en surface à une semelle encastrée de sa largeur. 119 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 1 3 5 7 9 1 1 1 3 1 5 1 7 1 9 2 1 2 3 2 5 2 7 2 9 3 1 Cas étudié C a p a c i t é p o r t a n t e ( k P a ) a. Valeurs de q max,somme et q max,global pour chaque cas étudié 0,9 0,95 1 1,05 1,1 1,15 1,2 1 3 5 7 9 1 1 1 3 1 5 1 7 1 9 2 1 2 3 2 5 2 7 2 9 3 1 3 3 Cas étudié R a p p o r t q m a x , g l o b a l / q m a x , s o m m e b. Rapport des capacités portantes calculées globalement et par somme Figure 9. Comparaison du calcul global de la portance et de la décomposition en trois termes g. Influence de la présence d’une nappe dans le sol La figure 13 donne une idée de l’effet de la pression hydrostatique de l’eau sur la stabilité d’un massif de sol chargé par une fondation superficielle. La solution obtenue numériquement par LIMI (borne supérieure) est comparée à une borne inférieure due à Krishnamurthy et al. (1975). La capacité portante diminue progressivement quand la nappe s’enfonce et devient égale à la capacité portante sans eau dès que la nappe est plus basse que le bord inférieur du mécanisme de rupture (environ la moitié de la largeur de la semelle filante). D’autres calculs impliquant des champs de pression d’eau ont été réalisés avec LIMI. Ils ont confirmé le bon fonctionnement de la méthode générale de prise en compte de l’influence de l’eau dans les analyses de stabilité des massifs de sols. Ils ne sont pas présentés ici. 120 0 20 40 60 80 100 120 140 160 0 10 20 30 40 angle de frottement interne ϕ ϕϕ ϕ (degrés) s N L/B= 1 L/B= 1 L/B= 2 L/B= 2 L/B= 3 L/B= 3 L/B= 4 L/B= 4 L/B= 5 L/B= 5 L/B= 6 L/B= 6 L/B= 7 L/B= 7 L/B=13 L/B=13 L/B=infini L/B=infini LIMI MCNL a. Facteur de portance s γ N γ 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 0 10 20 30 40 angle de frottement interne ϕ ϕϕ ϕ (degrés) s c N c L/B= 1 L/B= 1 L/B= 2 L/B= 2 L/B= 3 L/B= 3 L/B= 4 L/B= 4 L/B= 5 L/B= 5 L/B= 6 L/B= 6 L/B= 7 L/B= 7 L/B=13 L/B=13 L/B=infini L/B=infini LIMI MCNL b. Facteur de portance s c N c 0 20 40 60 80 100 120 140 0 10 20 30 40 angle de frottement interne ϕ ϕϕ ϕ (degrés) s q N q L/B= 1 L/B= 1 L/B= 2 L/B= 2 L/B= 3 L/B= 3 L/B= 4 L/B= 4 L/B= 5 L/B= 5 L/B= 6 L/B= 6 L/B= 7 L/B= 7 L/B=13 L/B=13 L/B=infini L/B=infini LIMI MCNL c. Facteur de portance s q N q Figure 10. Influence du rapport L/B des côtés d’une semelle rectangulaire sur la portance du sol 121 Figure 11. Déformations du sol lors du poinçonnement d’une semelle carrée 6.5. Influence de l’inclinaison de la charge L’inclinaison de la charge est une situation courante dans le calcul des ouvrages de géotechnique et il a paru utile d’explorer le calcul de la portance du sol dans cette situation en comparant LIMI et d’autres méthodes de calcul classiques. La figure 14 montre le schéma de calcul et le maillage utilisé. Le calcul des facteurs d’inclinaison de la charge i γ , i c et i q est fait avec différentes hypothèses sur le comportement du sol : sol purement frottant et pesant pour le calcul de i γ , sol cohérent, frottant et non pesant pour le calcul de i c , sol purement frottant avec une surcharge q latérale à la semelle pour le calcul de i q . Par ailleurs, ces études ont été faites pour différentes valeurs de l’inclinaison δ de la charge appliquée : 5, 10, 15, 20, 25 et 30 degrés. Le tableau 17 compare les valeurs de i γ N γ , i c N c et i q N q données par différentes méthodes et par LIMI, pour différentes valeurs de l’angle d’inclinaison δ de la charge et pour différentes valeurs de l’angle de frottement interne ϕ. Les valeurs de δ prises en compte sont 20, 30 et 40 degrés, celles de ϕ sont égales à 0, 10, 20 et 30 degrés. La comparaison vise à mettre en évidence les différences entre les relations proposées par les différents auteurs. Les figures 15 à 19 donnent les valeurs de i γ N γ , i c N c et i q N q pour différents angles de frottement interne ϕ et pour différents angles d’inclinaison δ de la charge. Pour l’influence de l’inclinaison de la charge sur la portance d’une semelle filante, les calculs de LIMI et MCNL donnent des résultats en bonne concordance, mais qui diffèrent sensiblement des valeurs traditionnellement admises, notamment pour i γ N γ . Des différences remarquables existent entre les résultats des calculs de LIMI et MCNL et les solutions proposées par Brinch Hansen et l’Eurocode 7, et ces différences augmentent avec l’angle d’inclinaison de la charge. Par contre, les calculs LIMI+MCNL sont en bonne concordance avec les solutions données par Vesič, même si les solutions de Vesič ne sont pas toujours bornées par les deux approches de LIMI (approches par l’extérieur) et de MCNL (approche par l’intérieur mais, comme on l’a indiqué dans les paragraphes précédents, cette approche n’assure pas la continuité des contraintes entre les éléments finis du maillage). Sur la figure 15, on peut voir plus clairement l’influence de l’inclinaison de la charge sur la portance des semelles filantes. Pour chaque coefficient de portance étudié, on a représenté sur cette figure la variation de la portance en fonction de l’angle de frottement interne pour différentes inclinaisons de la charge. On remarque la faible influence de l’inclinaison, lorsque la charge est peu inclinée (pour δ = 5 degrés et ϕ = 40 degrés, la valeur de i γ N γ , par exemple, ne 122 diminue que de 4% par rapport au cas où la charge est verticale). Sur la figure 20, on a représenté les mécanismes de rupture obtenus lors de la détermination de i c N c , pour un angle de frottement de 40 degrés et pour les quatre valeurs testées de l’angle d’inclinaison de la charge. L’étendue de la zone d’écoulement plastique est directement liée à la résistance du sol. 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 M e y e r h o f B r i n c h H . E C 7 L i m i a v e c L i m i s a n s E s s a i L i m i s a n s L i m i a v e c E C 7 B r i n c h H . M e y e r h o f p r e s s i o n m a x i m a l e q m a x ( k P a ) D/B=0 D/B=0,5 D/B=0,8 D/B=1 ϕ ϕϕ ϕ = 40 degrés ϕ ϕϕ ϕ = 42 degrés a. Capacité portante pour c = 0 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 M e y e r h o f B r i n c h H . E C 7 L i m i s a n s L i m i a v e c E s s a i L i m i a v e c L i m i s a n s E C 7 B r i n c h H . M e y e r h o f p r e s s i o n m a x i m a l e q m a x ( k P a ) D/B=0 D/B=0,5 D/B=0,8 D/B=1 ϕ ϕϕ ϕ = 42 degrés ϕ ϕϕ ϕ = 40 degrés b. Capacité portante pour c = 5 kPa Figure 12. Capacité portante des semelles filantes encastrées : calculs de LIMI et comparaison avec des mesures en centrifugeuse. 123 0 10 20 30 40 50 60 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 rapport d w /B c h a r g e l i m i t e ( k P a ) bornes inférieures Krishnamurty et al. (1975) bornes supérieures LIMI 0 100 200 300 400 500 600 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 rapport d w /B c h a r g e l i m i t e ( k P a ) bornes inférieures Krishnamurthy et al. (1975) bornes supérieures LIMI ϕ = 15 degrés ϕ = 30 degrés 0 20 40 60 80 100 120 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 rapport d w /B c h a r g e l i m i t e ( k P a ) bornes inférieures Krishnamurthy et al. (1975) bornes supérieures LIMI 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 rapport d w /B c h a r g e l i m i t e ( k P a ) bornes inférieure Krishnamurthy et al. (1975) bornes supérieures LIMI ϕ = 20 degrés ϕ = 35 degrés 0 50 100 150 200 250 300 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 rapport d w /B c h a r g e l i m i t e ( k P a ) bornes inférieure Krishnamurthy et al. (1975) bornes supérieures LIMI 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 rapport d w /B c h a r g e l i m i t e ( k P a ) bornes inférieures Krishnamurthy et al. (1975) bornes supérieures LIMI ϕ = 25 degrés ϕ = 40 degrés Figure 13. Influence de la présence d’une nappe sur la capacité portante du sol sous une semelle filante. Comparaison des bornes supérieures obtenues avec LIMI et des bornes inférieures obtenues par Krishnamurthy et al. (1975) q max (γ, c, ϕ) B q δ a. Géométrie et chargements b. Maillage d’éléments finis Figure 14. Semelle filante sous charge centrée et inclinée. 124 Tableau 17. Comparaison des facteurs de portance pour ϕ = 20, 30, 40 degrés et δ = 0, 10, 20, 30 degrés. δ = 0 degrés ϕ = 20 degrés ϕ = 30 degrés ϕ = 40 degrés Méthode i γ N γ i c N c i q N q i γ N γ i c N c i q N q i γ N γ i c N c i q N q Meyerhof (1963) 2,87 14,84 6,40 15,69 30,15 18,41 93,73 75,34 64,22 Brinch Hansen (1970) 3,54 14,84 6,40 18,08 30,15 18,41 95,47 75,34 64,22 Eurocode 7 (prEN) 4,60 14,84 6,40 20,00 30,15 18,41 106,0 75,34 64,22 Michalowski-You(1998) 4,52 14,84 6,40 21,35 30,15 18,41 118,2 75,34 64,22 LIMI (borne supérieure) 6,68 15,06 6,59 17,03 30,71 18,78 94,52 77,81 66,08 MCNL (borne inf. appr.) 4,11 14,74 6,42 16,22 28,29 18,33 80,17 72,23 62,09 δ = 10 degrés ϕ = 20 degrés ϕ = 30 degrés ϕ = 40 degrés Méthode i γ N γ i c N c i q N q i γ N γ i c N c i q N q i γ N γ i c N c i q N q Meyerhof (1963) 0,72 11,72 5,06 6,97 22,82 14,54 52,72 59,52 50,73 Brinch Hansen (1970) 1,83 4,04 9,36 11,61 49,41 40,48 Eurocode 7 (prEN) 2,57 9,95 4,34 11,18 20,27 12,48 59,23 50,84 43,56 Michalowski-You(1998) 2,08 10,13 4,37 9,82 20,59 12,57 54,37 51,45 43,85 LIMI (borne supérieure) 3,12 13,22 5,44 15,58 26,40 14,43 84,38 61,17 51,91 MCNL (borne inf. Appr.) 2,87 12,62 5,13 14,18 25,25 14,06 75,00 58,50 49,00 δ = 20 degrés ϕ = 20 degrés ϕ = 30 degrés ϕ = 40 degrés Méthode i γ N γ i c N c i q N q i γ N γ i c N c i q N q i γ N γ i c N c i q N q Meyerhof (1963) 0,00 6,53 2,82 1,74 13,27 8,10 23,43 33,15 28,26 Brinch Hansen (1970) 0,81 2,34 4,16 6,74 21,94 23,52 Eurocode 7 (prEN) 1,18 5,79 2,59 5,15 11,85 7,44 27,27 29,98 25,97 Michalowski-You(1998) 1,04 6,42 2,77 4,92 13,06 7,97 27,22 32,62 27,80 LIMI (borne supérieure) 1,60 9,24 3,25 10,80 17,88 10,11 41,53 39,38 32,34 MCNL (borne inf. appr.) 1,05 8,40 3,05 9,38 17,20 9,72 36,75 37,10 30,80 δ = 30 degrés ϕ = 20 degrés ϕ = 30 degrés ϕ = 40 degrés Méthode i γ N γ i c N c i q N q i γ N γ i c N c i q N q i γ N γ i c N c i q N q Meyerhof (1963) 0,00 6,53 2,82 0,00 13,27 8,10 5,86 33,15 28,26 Brinch Hansen (1970) 0,27 1,17 1,36 3,35 7,17 11,69 Eurocode 7 (prEN) 0,35 2,35 1,14 1,51 4,91 3,29 8,00 12,77 11,47 Michalowski-You(1998) 0,40 3,61 1,60 1,88 7,54 4,60 10,39 18,84 16,06 LIMI (borne supérieure) 0,11 5,31 0,75 1,85 10,87 5,27 12,25 22,94 16,19 MCNL (borne inf. appr.) 0,00 5,20 0,00 0,48 10,56 5,07 11,62 21,50 15,61 125 0 20 40 60 80 100 120 0 10 20 30 40 50 ϕ ϕϕ ϕ (degrés) i γ γ γ γ N γ γ γ γ Meyerhof Vesic Brinch-Hansen Eurocode 7 LIMI inclinée LIMI verticale MCNL inclinée a. Facteur de portance i γ N γ 0 20 40 60 80 100 120 0 10 20 30 40 50 ϕ ϕϕ ϕ (degrés) i c N c Meyerhof Vesic Brinch-Hansen Eurocode 7 LIMI inclinée LIMI verticale MCNL inclinée b. Facteur de portance i c N c 0 10 20 30 40 50 60 70 0 10 20 30 40 50 ϕ ϕϕ ϕ (degrés) i q N q Meyerhof Vesic Brinch-Hansen Eurocode 7 LIMI inclinée LIMI verticale MCNL inclinée c. Facteur de portance i q N q Figure 15. Facteurs de portance réduits pour les semelles filantes sous charge centrée et inclinée : δ = 5 degrés. 126 0 20 40 60 80 100 120 0 10 20 30 40 50 ϕ ϕϕ ϕ ( (( ( degrés) i γ γ γ γ N γ γ γ γ Meyerhof Vesic Brinch-Hansen Eurocode 7 LIMI inclinée LIMI verticale MCNL inclinée a. Facteur de portance i γ N γ 0 20 40 60 80 100 120 0 10 20 30 40 50 ϕ ϕ ϕ ϕ (degrés) i c N c Meyerhof Vesic Brinch-Hansen Eurocode 7 LIMI inclinée LIMI verticale MCNL inclinée b. Facteur de portance i c N c 0 20 40 60 80 100 0 10 20 30 40 50 ϕ ϕϕ ϕ (degrés) i q N q Meyerhof Vesic Brinch-Hansen Eurocode 7 LIMI inclinée LIMI verticale MCNL inclinée c. Facteur de portance i q N q Figure 16. Facteurs de portance réduits pour les semelles filantes sous charge centrée et inclinée : δ = 10 degrés. 127 0 20 40 60 80 100 120 0 10 20 30 40 50 ϕ ϕϕ ϕ (degrés) i γ γ γ γ N γ γ γ γ Meyerhof Vesic Brinch-Hansen Eurocode 7 LIMI inclinée LIMI verticale MCNL inclinée a. Facteur de portance i γ N γ 0 20 40 60 80 100 120 0 10 20 30 40 50 ϕ ϕϕ ϕ (degrés) i c N c Meyerhof Vesic Brinch-Hansen Eurocode 7 LIMI inclinée LIMI verticale MCNL inclinée b. Facteur de portance i c N c 0 20 40 60 80 0 10 20 30 40 50 ϕ ϕϕ ϕ (degrés) i q N q Meyerhof Vesic Brinch-Hansen Eurocode 7 LIMI inclinée LIMI verticale MCNL inclinée c. Facteur de portance i q N q Figure 17. Facteurs de portance réduits pour les semelles filantes sous charge centrée et inclinée : δ = 20 degrés. 128 0 20 40 60 80 100 0 10 20 30 40 50 ϕ ϕϕ ϕ (degrés) i γ γ γ γ N γ γ γ γ Meyerhof Vesic Brinch-Hansen Eurocode 7 LIMI inclinée LIMI verticale MCNL inclinée a. Facteur de portance i γ N γ 0 20 40 60 80 100 0 10 20 30 40 50 ϕ ϕϕ ϕ (degrés) Meyerhof Vesic Brinch-Hansen Eurocode 7 LIMI verticale LIMI inclinée MCNL i c N c b. Facteur de portance i c N c 0 20 40 60 80 100 0 10 20 30 40 50 ϕ ϕϕ ϕ (degrés) Meyerhof Vesic Brinch-Hansen Eurocode 7 LIMI inclinée LIMI verticale MCNL inclinée i q N q c. Facteur de portance i q N q Figure 18. Facteurs de portance réduits pour les semelles filantes sous charge centrée et inclinée : δ = 30 degrés. 129 0 20 40 60 80 100 120 140 0 10 20 30 40 50 ϕ ϕϕ ϕ (degrés) LIMI δ δδ δ = 0 deg LIMI δ δδ δ = 5 deg LIMI δ δδ δ = 10 deg LIMI δ δδ δ = 20 deg LIMI δ δδ δ = 30 deg MCNL δ δδ δ = 0 deg MCNL δ δδ δ = 5 deg MCNL δ δδ δ = 10 deg MCNL δ δδ δ = 20 deg MCNL δ δδ δ = 30 deg i γ γ γ γ N γ γ γ γ a. Facteur de portance i γ N γ 0 20 40 60 80 100 120 140 0 10 20 30 40 50 ϕ ϕϕ ϕ (degrés) LIMI δ δδ δ = 0 deg LIMI δ δδ δ = 5 deg LIMI δ δδ δ = 10 deg LIMI δ δδ δ = 20 deg MCNL δ δδ δ = 0 deg MCNL δ δδ δ = 5 deg MCNL δ δδ δ = 10 deg MCNL δ δδ δ = 20 deg MCNL δ δδ δ = 30 deg LIMI δ δδ δ = 30 deg i c N c b. Facteur de portance i c N c 0 20 40 60 80 100 120 140 0 10 20 30 40 50 ϕ ϕϕ ϕ (degrés) LIMI δ δδ δ = 0 deg LIMI δ δδ δ = 5 deg LIMI δ δδ δ = 10 deg LIMI δ δδ δ = 20 deg LIMI δ δδ δ = 30 deg MCNL δ δδ δ = 0 deg MCNL δ δδ δ = 5 deg MCNL δ δδ δ = 10 deg MCNL δ δδ δ = 20 deg MCNL δ δδ δ = 30 deg i q N q c. Facteur de portance i q N q Figure 19. Influence de l’inclinaison de la charge sur la portance d’une semelle filante. Comparaison de la portance pour différentes valeurs de δ. 130 δ = 5 degrés δ = 10 degrés δ = 20 degrés δ = 30 degrés Figure 20. Semelle filante sous charges inclinées et centrées : mécanismes de rupture pour différents angles d’inclinaison de la charge (calcul du terme i c N c pour ϕ = 40 degrés). 6.6. Influence de l’excentricité Dans l’approche proposée par Meyerhof, l’excentricité de la charge appliquée sur une semelle filante est prise en compte par la réduction de la surface active de la semelle. Ainsi, le terme N γ de la formule de portance pour une semelle filante est multiplié par (B-2e) 2 au lieu de B 2 et les termes N c et N q par (B-2e) au lieu de B, e désignant l’excentricité de la charge appliquée à la semelle. Les études présentées ici visaient à comparer les solutions obtenues par application de l’analyse limite régularisés avec celles données par Meyerhof (1953) et Zaharescu (1961), pour des semelles posées sur des massifs de sable. La variation du rapport e γ = q max (e)/q max (e=0) en fonction du rapport e/B est représentée sur la figure 21. Les calculs ont été faits pour un sol 131 caractérisé par un angle de frottement interne ϕ variant de 36 à 48 degrés, les résultats d’essais donnés par Meyerhof correspondent aux valeurs de ϕ de 36 et 48 degrés et ceux donnés par Zaharescu correspondent à 37 degrés. Le rapport L/B était égal à 6, ce qui permet de considérer le comportement de cette semelle comme proche de celui d’une semelle filante. D’une manière générale, les solutions LIMI-MCNL encadrent les valeurs de la portance obtenues lors des essais, et les deux solutions LIMI et MCNL sont suffisamment proches lorsque les maillages en éléments finis sont suffisamment fins. La courbe marquée « Meyerhof (1-2e/B)2 » correspond à la correction couramment utilisée en (B-2e) 2 . La comparaison avec les courbes déduites de LIMI et MCNL montre qu’elle correspond aux valeurs fortes de l’angle de frottement interne quand l’excentrement est faible et aux valeurs faibles de l’angle de frottement interne quand l’excentrement est plus important. Meyerhof ϕ = 36 degrés Meyerhof ϕ = 48 degrés Zaharescu ϕ = 37 degrés LIMI ϕ = 36 degrés MCNL ϕ = 36 degrés LIMI ϕ = 48 degrés MCNL ϕ = 48 degrés 0 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 rapport e/B 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 f a c t e u r d ’ e x c e n t r i c i t é e γ γ γ γ Résultats d’essais Meyerhof (1-2e/B) 2 Figure 21. Influence de l’excentricité de la charge appliquée sur une fondation superficielle. Comparaison des calculs par LIMI-MCNL avec la correction classique de Meyerhof et avec des résultats issus d’essais. 6.7. Influence de la proximité d’un talus a. Semelle filante sous charge centrée Les logiciels de calcul en éléments finis LIMI et MCNL ont aussi été appliqués au calcul de fondations superficielles filantes et carrées placées en tête de talus (Droniuc et Magnan, 2003). La figure 22 montre les notations et le maillage utilisé pour les calculs sur semelle filante. Les résultats sont présentés dans le tableau 18 et sur la figure 23, qui les comparent avec d’autres calculs théoriques. d B β (Ω) q max M N P R (ϕ,γ) a. Géométrie et conditions aux limites b. Maillage de calcul en éléments finis Figure 22. Semelle filante à proximité d’une pente : 132 Dans le tableau 18, les valeurs les plus fortes ont été proposées par Graham et Hovan (1988), sauf pour deux cas (angle de frottement interne ϕ = 35 degrés, rapport d/B = 4 et angle de frottement interne ϕ = 40 degrés, rapport d/B = 4) où les valeurs données par Narita et Yamaguchi (1990) sont supérieures. Les valeurs les plus petites sont celles données par Giroud et Tran-Vô-Nhiem (1971). Les résultats obtenus avec le module LIMI sont proches de ceux de Salençon (1972, 1974) et Kusakabe et al. (1981), mais inférieurs de 1,18% pour ϕ = 35 degrés et d/B = 4 et de 4,7% pour le cas où ϕ = 40 degrés et d/B = 4. Par ailleurs, on a effectué des calculs élastoplastiques et les valeurs obtenues sont reportées dans le tableau 18 (ligne « MCNL »). Tableau 18. Comparaison des valeurs de la portance d’une semelle filante en tête d’un talus. ϕ ϕϕ ϕ = 35 degrés ϕ ϕϕ ϕ = 40 degrés ϕ ϕϕ ϕ = 45 degrés Référence d/B 0 2 4 0 2 4 0 2 4 Meyerhof (1957) 11 35 41 26 70 105 61 140 220 Brinch Hansen (1970) 10 - - 24 - - 78 - - Giroud et Tran-Vô-Nhiem (1971) 10 16 28 21 35 52 50 72 100 Graham et Hovan (1988) 19 55 55 44 100 100 123 247 410 Kusakabe et al. (1981) 13 33 55 29 66 105 69 138 213 Salençon (1972) 11 33 55 29 66 105 69 138 211 Narita et Yamaguchi (1990) 16 48 84 36 96 162 92 209 334 MCNL 9,1 29,9 50,8 24,6 61,5 95,6 59,8 125 202 LIMI 10,8 32,0 53,4 25,1 63,6 99,3 62,7 128 210 Les variations de la portance de la semelle filante étudiée, pour un rapport d/B égal à 4 et pour des valeurs d’angle de frottement interne comprises entre 35 et 45 degrés, sont reportées sur la figure 23. On remarque une forte dispersion des résultats : pour ϕ = 45 degrés, par exemple, on a 100 kPa pour la valeur proposée par Giroud et Tran-Vô-Nhiem (1971) et 410 kPa pour la valeur proposée par Graham et Hovan (1988). Les valeurs q LIMI de la capacité portante obtenues avec le module LIMI sont en bonne concordance avec celles données par Meyerhof, Kusakabe et al. et Salençon, mais aussi avec les valeurs déduites des calculs élastoplastiques faits avec le module MCNL. La figure 24 présente le mécanisme de rupture (champ de vitesses de déformation) pour le cas où le rapport d/B égal à 2 et l’angle de frottement interne ϕ égal à 40 degrés. On observe qu’un coin rigide, solidaire de la semelle, se développe et que les mécanismes de rupture débouchent dans le talus. b. Semelle filante sous charge inclinée et excentrée Les tableaux 19 à 21 comparent les facteurs réducteurs de portance calculés pour tenir compte de l’excentricité (i e ) et de l’inclinaison (i δ ) de la charge et de la présence du talus (i β ). Les comparaisons sont faites entre les résultats des essais en centrifugeuse réalisés par Maréchal (1999), les résultats obtenus par la méthode cinématique (LIMI - bornes supérieures) et les calculs élastoplastiques (MCNL - bornes inférieures approchées), pour un angle d’inclinaison du talus de 26,6 degrés et un excentrement de la charge e/B = 1/8. La convention de signe (-) et (+) pour l’excentrement et l’inclinaison de la charge est donnée sur la figure 25. 133 0 100 200 300 400 500 600 35 37 39 41 43 45 Angle de frottement interne (degrés) c a p a c i t é p o r t a n t e ( k P a ) Meyerhof Giroud Graham Kusakabe Salençon Narita MCNL LIMI Figure 23. Variations de la capacité portante d’une semelle filante située à proximité d’une pente. Cas représenté : d/B = 4. 4,8B 14,8B 0,69B a. Mécanisme de rupture b. Agrandissement Figure 24. Semelle filante en tête de talus : mécanismes de rupture pour d/B = 2 et ϕ = 40 degrés. Tableau 19. Semelle filante en tête de talus : δ = (-) 15 degrés, e/B = (+) 1/8, d/B = 1m. (+)i e (-)i δ δδ δ i β ββ β i e i δ δδ δ i β ββ β i eδβ δβ δβ δβ Maréchal (1999) (centrifugeuse) 0,83 0,48 0,64 0,25 0,30 LIMI (bornes supérieures) 0,85 0,51 0,69 0,30 0,32 MCNL (bornes inférieures) 0,80 0,45 0,60 0,22 0,27 Tableau 20. Semelle filante en tête de talus : δ = (-)15 degrés, e/B = (-)1/8, d/B = 1m. (-)i e (-)i δ δδ δ i β ββ β i e i δ δδ δ i β ββ β i eδβ δβ δβ δβ Maréchal (1999) (centrifugeuse) 0,84 0,54 0,84 0,38 0,33 LIMI (bornes supérieures) 0,86 0,56 0,85 0,41 0,35 MCNL (bornes inférieures) 0,83 0,52 0,81 0,35 0,30 Tableau 21. Semelle filante en tête de talus : δ = (-) 20 degrés, e/B = (+) 1/8, d/B = 1m. (+)i e (-)i δ δδ δ i β ββ β i e i δ δδ δ i β ββ β i eδβ δβ δβ δβ Maréchal (1999) (centrifugeuse) 0,75 0,32 0,66 0,16 0,22 LIMI (bornes supérieures) 0,77 0,35 0,69 0,18 0,24 MCNL (bornes inférieures) 0,72 0,30 0,64 0,14 0,21 134 (-)δ (+)δ (+)e (-)e Figure 25. Semelle filante en tête de talus : convention de signes pour δ et e Dans les trois tableaux 19 à 21, on remarque que les coefficients de réduction de portance issus de l’approche par l’extérieur (LIMI) et de l’approche par l’intérieur (MCNL) encadrent bien les coefficients réducteurs déduits des essais en centrifugeuse. Lorsque les signes de l’inclinaison et de l’excentrement sont opposés (figure 25), les effets combinés de l’inclinaison et de l’excentrement de la charge ainsi que l’effet de la présence du talus sont sous-estimés lorsque l’analyse est faite de manière découplée (multiplication de i e , i δ et i β ), une analyse globale du problème étant plus réaliste (i eδβ ). Dans le cas où l’inclinaison et l’excentrement ont le même signe, les coefficients réducteurs de portance sont surestimés dans l’analyse découplée (i e i δ i β ). Ces observations confirment l’importance d’une analyse globale de la portance des fondations lorsque les configurations géométriques et de chargement sont complexes. c. Semelles carrées sous charge verticale centrée La figure 26 regroupe les résultats de quelques expérimentations en centrifugeuse (Gemperline, 1988 ; Bakir, 1993 ; Garnier et al., 1994) et en vraie grandeur (des essais faits par le LCPC sur le site de Labenne), comparés aux résultats de calculs numériques effectués au LCPC en utilisant les modules LIMI et MCNL de CESAR-LCPC. Les fondations sont des semelles carrées de côté B, posées à la surface du sol à une distance d du bord du talus. Les essais de Bakir (notés « LCPC Centrifugeuse ») ont été réalisés avec un talus de pente 1/2 (β = 26,6 degrés) et du sable sec d’angle de frottement interne ϕ = 37,2 ± 2 deg. Les essais de Labenne avaient une pente de talus de 1/2. Le sable avait une faible teneur en eau et un angle de frottement interne à l’état saturé de 32,5 deg. Les calculs en éléments finis ont été effectués avec la même pente de talus mais avec la valeur moyenne de l’angle de frottement interne (ϕ = 37 deg). Si on divise N γq par la valeur de référence correspondant à d=∞, D=0 et L=∞, la courbe proposée par Gemperline pour i γq ne dépend pas de l’angle ϕ. Elle a pour équation, quand la semelle est non encastrée et carrée (D=0, B=L), la pente est de tanβ=1/2 et ϕ=37 degrés : ( ) ( ) ) ` ¹ ¹ ´ ¦ ( ¸ ( ¸ + + ) ` ¹ ¹ ´ ¦ ( ¸ ( ¸ + − = − − γ 2 2 40 2 0 34 0 386 2 37 1159 0 q B d 4 4 45 0 1 B d 4 4 45 0 1 73 0 10 10 N / , / , , lg , , , . , . Si l’accord semble bon pour les fortes valeurs de d/B (quand la fondation est éloignée du talus) et pour les valeurs faibles de d (semelle au bord du talus), les essais en centrifugeuse du LCPC et de Gemperline sont un peu décalés par rapport aux calculs dans la zone des rapports D/B compris entre 1 et 3. L’origine de cette divergence doit probablement être recherchée dans la variabilité des propriétés du sable dans les essais. 135 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 0 2 4 6 8 10 d/B LCPC centrifugeuse Gemperline LCPC essais en vraie grandeur LIMI bornes supérieures MCNL bornes inférieures LIMI semelle filante MCNL semelle filante i β ββ β Figure 26. Correction de portance pour des semelles carrées proches d’un talus de pente β Les mécanismes de rupture comportent aussi un coin rigide sous la fondation. La figure 27 montre un exemple de maillage et de mécanisme de rupture (vitesses de déformation) pour un calcul de fondation carrée en bord de talus. a. Maillage b. Mécanisme de rupture (vitesses de déformation) Figure 27. Exemple de maillage et de mécanisme de rupture pour une semelle à proximité d’un talus 6.8 Semelle rectangulaire à proximité de deux talus L’intérêt des travaux consacrés au développement de l’approche cinématique régularisée ne réside pas dans la possibilité de reproduire, voire légèrement améliorer, les possibilités des méthodes existantes pour des semelles placées dans des configurations géométriques simples, mais d’étendre le domaine des géométries que l’on peut étudier. Nous en donnerons deux exemples, dont le premier est consacré à un problème issu d’un projet où l’on découvrit, peu avant le lancement des travaux, que la semelle de fondation d’une culée de pont était située à proximité de deux talus enterrés et non d’un seul, comme on l’avait cru initialement. La géométrie du problème est présentée sur la figure 28. Les valeurs numériques sont les suivantes : - B = 6m ; L = 22m ; h = 8m ; b 1 = 2,5m ; b 2 = 4,0m ; α = 120 degrés ; β 1 = 50 degrés ; β 2 = 40 degrés. Le sol a pour caractéristiques mécaniques un poids volumique γ = 20 kN/m 3 , une cohésion c = 28 kPa et un angle de frottement interne ϕ = 25 degrés. 136 L B q max α β 2 b 1 b 2 β 1 h Figure 28. Semelle rectangulaire au bord de deux talus : géométrie et chargement. Pour l’étude de l’influence des deux talus sur la portance de la fondation rectangulaire représentée sur la figure 28, plusieurs analyses ont été menées (Droniuc et Bourgeois, 2003). Les configurations suivantes ont été étudiées : - des calculs en déformations planes : - semelle sur sol horizontal ; - semelle à proximité d’un talus ; - des calculs tridimensionnels : - semelle carrée à proximité d’un seul talus ; - semelle rectangulaire à proximité d’un seul talus ; - semelle carrée à proximité des deux talus ; - semelle rectangulaire à proximité des deux talus. Dans tous les cas, la charge appliquée sur la semelle est verticale et centrée. Le poids volumique du béton constituant la semelle n’a pas été pris en compte, donc il faut l’intégrer dans la charge appliquée sur la semelle. a. Analyse bidimensionnelle Pour l’analyse bidimensionnelle (Figure 29), on a étudié d’abord la portance d’une semelle filante sur sol horizontal. Le maillage, la déformée sous la charge verticale centrée appliquée sur la semelle et le mécanisme de rupture sont représentés sur la figure 30.a. On a ensuite étudié la portance de la semelle filante de largeur B = 6m, au bord d’un seul talus incliné de β 1 = 50 degrés sur l’horizontale. Dans ce cas, le maillage, la déformée sous la charge verticale centrée appliquée sur la semelle et le mécanisme de rupture sont représentés sur la figure 30.b. u = 0 q max B/2 u = v = 0 u = 0 q max B u = 0 u = 0 u = v = 0 h b 1 β 1 a. Semelle filante sur sol horizontal b. Semelle filante à proximité d’un talus Figure 29. Analyse bidimensionnelle : géométrie, conditions aux limites et chargement. 137 maillages déformées mécanismes de rupture a. Semelle filante sur sol horizontal b. Semelle filante à proximité d’un talus Figure 30. Analyse bidimensionnelle : maillage et résultats des calculs Pour la semelle sur sol horizontal, la borne supérieure de la charge limite donnée par LIMI est égale à 1480 kPa et diffère de 6,5% par rapport à la borne inférieure donnée par le calcul élastoplastique (MCNL), égale à 1390 kPa. Pour la semelle filante à proximité du talus, la borne supérieure donnée par LIMI est égale à 502 kPa et diffère de 9,1% par rapport au résultat élastoplastique (MCNL), égal à 460 kPa. b. Analyse tridimensionnelle b.1. Fondation carrée à proximité d’un talus La figure 31 montre le calcul de la portance d’une semelle carrée située à proximité d’un seul talus. Pour cause de symétrie géométrique et du chargement, seule la moitié du modèle est discrétisée en éléments finis (figure 31.a). La figure 31.b montre la déformée et la figure 31.c le mécanisme de rupture, qui se développe jusqu’au pied du talus. Le mécanisme de rupture est de type Prandtl, avec un coin rigide sous la semelle. La borne supérieure de la charge limite donnée par LIMI est égale à 1190 kPa, et dépasse de 19% la borne inférieure approchée donnée par le calcul élastoplastique (1000 kPa). b.2. Fondation rectangulaire à proximité d’un seul talus La figure 32 montre les résultats de LIMI pour une semelle rectangulaire à proximité d’un seul talus : maillage d’éléments finis (Figure 32.a), déformée (Figure 32.b) et mécanisme de rupture (Figure 32.c). Comme dans le cas précédent, le mécanisme de rupture s’étend jusqu’au pied du talus et ne se développe pas en arrière de la semelle (côté opposé au talus). La borne supérieure de la charge limite de rupture est égale à 730 kPa. Cette valeur est inférieure à la borne supérieure obtenue pour le cas de la semelle carrée au bord d’un seul talus (le talus est plus instable lorsqu’on appuie avec une semelle rectangulaire en tête de talus que lorsqu’on appuie avec une semelle carrée) et diffère de 15,9% par rapport à la borne inférieure approchée donnée par le calcul élastoplastique, qui est égale à 630 kPa. On note aussi la forte influence de la forme de la fondation, puisque la borne supérieure diminue de 63% lorsque l’on passe d’une semelle carrée à une semelle rectangulaire. 138 a. Maillage d’éléments finis b. Déformée c. Mécanisme de rupture Figure 31. Portance d’une semelle carrée à proximité d’un seul talus. b.3. Fondation carrée à proximité de deux talus Les résultats du calcul de la portance d’une semelle carrée à proximité de deux talus sont représentés sur la figure 33 : maillage d’éléments finis (Figure 33.a), déformée du maillage (Figure 33.b) et mécanisme de rupture (Figure 33.c). Le mécanisme de rupture se développe principalement vers le talus situé en face de la semelle et incliné de β 1 = 50 degrés sur l’horizontale. Les isovaleurs des vitesses de déplacement totales représentées sur la figure 33.d mettent bien en évidence ce phénomène. Comme le deuxième talus est situé plus loin et s’éloigne de la fondation (l’angle de raccordement des deux talus vaut α = 120 degrés) et aussi à cause de l’inclinaison moins importante de ce deuxième talus (β 2 = 40 degrés), le mécanisme de rupture se développe de façon moins importante dans sa direction. Les deux coupes planes verticales, l’une perpendiculaire au talus incliné de β 1 = 50 degrés (figure 33.e), l’autre parallèle au même talus (figure 33.f), montrent le développement du mécanisme de rupture dans le massif de sol. Rappelons que ces isovaleurs donnent le champ des vitesses de déplacement virtuelles correspondant à la valeur de la borne supérieure trouvée avec le module LIMI et que les valeurs numériques donnent des informations sur la géométrie du mouvement mais pas sur son amplitude. La borne supérieure de la charge limite dans cette configuration où il y a deux talus est égale à 1165 kPa, et n’est inférieure que de 2,1% par rapport au cas de la semelle carrée à proximité d’un seul talus. Cette borne supérieure pour la semelle carrée à proximité de deux talus est supérieure de 18,9% à la borne inférieure approchée donnée par le calcul élastoplastique. 139 a. Maillage en éléments finis b. Déformée c. Mécanisme de rupture Figure 32. Portance d’une semelle rectangulaire à proximité d’un seul talus. b.4. Fondation rectangulaire à proximité de deux talus Pour le cas de la semelle rectangulaire à proximité de deux talus, le maillage d’éléments finis, la déformée, le mécanisme de rupture et les isovaleurs des vitesses de déplacement sont représentés sur la figure 34. Le mécanisme de rupture se développe principalement du côté du talus incliné à 50 degrés par rapport à l’horizontale (le talus situé en face de la semelle). Les figures 34.e et 34.f donnent des informations sur la forme et l’étendue du mécanisme de rupture sous la fondation rectangulaire : on remarque, comme dans le cas de la semelle carrée à proximité de deux talus, la faible influence du deuxième talus (le talus incliné à 40 degrés par rapport à l’horizontale). En termes de portance, le module LIMI donne une borne supérieure égale à 715 kPa, valeur qui diffère de seulement 2,1% du cas de la semelle rectangulaire à proximité d’un seul talus. Cette borne supérieure donnée par LIMI diffère de 15,3% de la borne inférieure approchée donnée par le calcul élastoplastique. Les résultats obtenus par les calculs élastoplastiques (MCNL) et par la méthode cinématique régularisée du LCPC (LIMI) sont récapitulés dans le tableau 22. On remarque que : - il existe une assez bonne concordance entre les résultats issus de l’analyse élastoplastique et de l’analyse cinématique régularisée ; les différences sont plus importantes pour les calculs tridimensionnels ; - dans l’analyse bidimensionnelle la pente exerce une forte influence sur la portance de la semelle filante ; - dans l’analyse tridimensionnelle, le deuxième talus a une influence faible sur la portance de la fondation (lorsque le deuxième talus existe, la portance diminue d’un peu plus de 2%). 140 a. Maillage d’éléments finis b. Déformée 1 2 3 4 c. Mécanisme de rupture d. Isovaleurs des vitesses de déplacements 0 0,013 0,026 e. Isovaleurs des vitesses de déplacement dans une coupe perpendiculaire au talus incliné de β 1 = 50 degrés 0 0,0067 0,0133 f. Isovaleurs des vitesses de déplacement dans une coupe parallèle au talus incliné de β 1 = 50 degrés Figure 33. Portance d’une semelle carrée à proximité de deux talus. 141 a. Maillage en éléments finis b. Déformée 1 2 3 4 5 c. Mécanisme de rupture d. Isovaleurs des vitesses de déplacement 0 0,057 0,114 e. Isovaleurs des vitesses de déplacement dans une coupe perpendiculaire au talus incliné de β 1 = 50 degrés 0 0,0257 0,057 f. Isovaleurs des vitesses de déplacement dans une coupe parallèle au talus incliné de β 1 = 50 degrés Figure 34. Portance d’une semelle rectangulaire à proximité de deux talus. 142 Tableau 22. Tableau récapitulatif des résultats. Géométrie Type d’analyse Borne inférieure approchée MCNL (kPa) Borne supérieure LIMI (kPa) Différence (%) Semelle filante sur sol horizontal 2D 1390 1480 6,5 Semelle filante à proximité d’un talus 2D 460 502 9,1 Semelle carrée à proximité d’un seul talus 3D 1000 1190 19 Semelle rectangulaire à proximité d’un seul talus 3D 630 730 15,9 Semelle carrée à proximité de deux talus 3D 980 1165 18,9 Semelle rectangulaire à proximité de deux talus 3D 620 715 15,3 6.9. Capacité portante des planchers de stabilité pour plates-formes en treillis (offshore) Ce type de fondations à caractère provisoire (figure 35) est utilisé pour la construction des plates-formes pétrolières en treillis métallique en milieu marin. Il est en effet nécessaire de poser la structure métallique sur une fondation provisoire avant d’installer les fondations définitives, qui sont généralement des pieux battus. Le calcul de la portance d’une telle fondation (généralement métallique) est assez difficile à faire par les méthodes classiques, qui nécessitent d’imposer des surfaces de rupture, à cause de sa forme géométrique complexe et du chargement (chargement vertical excentré, chargement horizontal, etc.) auquel elle est soumise. Au plan de la géométrie, une telle fondation comporte une jupe de hauteur h p qui, dans le plan horizontal, a une forme carrée et sur les coins de laquelle sont disposées quatre plaques triangulaires (figure 36). La jupe est enfoncée dans le sol jusqu’à ce que les plaques viennent s’appuyer sur le sol. Le chargement est constitué de forces verticales excentrées et de forces horizontales, et le calcul doit se faire en prenant en compte les différents modes d’action de ces charges. Nous avons admis que toutes les charges peuvent être réduites, comme indiqué sur la figure 36, à une force horizontale suivant la diagonale de la fondation, une force verticale et un moment, contenus dans un plan (Π), qui contient aussi la diagonale (∆). Les calculs ont été faits pour les valeurs suivantes des paramètres : - données géométriques (figure 36) : l = 16m ; l 1 = 7m ; l 2 = 2m ; h p = 1,2m ; - caractéristiques mécaniques du sol : poids volumique γ ’ = 8 kN/m 3 ; cohésion à variation linéaire en profondeur c = c 0 + k⋅z, où c 0 = 2,5 kPa désigne la cohésion en surface du sol, k = 1,2 kPa/m le gradient de variation de la cohésion et z la profondeur par rapport à la surface du sol sous–marin. La figure 37.a montre le maillage d’éléments finis de l’ensemble du sol et de la fondation. Le détail de la discrétisation de la fondation est présenté sur la figure 37.b. La figure 37.c montre la déformée du maillage, dont on remarque que les déformations sont dissymétriques à cause du chargement appliqué sur la fondation. Le mécanisme de rupture est présenté sur la figure 37.d : les plus fortes variations des vitesses de déformation se développent sous la plaque la plus chargée, et elles sont localisées autour de la plaque. La borne supérieure de la charge F donnée par le module LIMI vaut F LIMI = 5695 kN. 143 fondation définitive (pieux) M V H structure fondation provisoire h Figure 35. Schéma d’une structure en milieu marin comportant un plancher de fondation provisoire (« mud-mat »). (Π) (∆) M V H l l 1 l 2 l 2 l 1 l h p Figure 36. Plancher de stabilité provisoire : géométrie et chargement. 144 a. Maillage du sol et de la fondation b. Maillage de la fondation c. Déformée d. Mécanisme de rupture Figure 37. Maillage, déformée et mécanisme de rupture pour un plancher de stabilité temporaire. e 145 7. Le délicat problème de la validation des méthodes de calcul L’élaboration des méthodes de calcul de la portance des fondations superficielles a toujours cherché appui sur des données expérimentales. Une partie de ces données a été publiée et conservée dans des conditions parfois parfaites, parfois partielles. Le rapport de Canepa et Garnier au symposium FONDSUP 2003, qui fait suite à celui-ci dans ce volume 2 des actes, passe en revue les données expérimentales disponibles et l’utilisation qui peut en être faite pour définir ou valider les méthodes de calcul. Mais il existe aussi des données expérimentales qui ont été citées par des auteurs plus anciens et qui ne sont plus accessibles. L’utilisation des données expérimentales paraît facile : on calcule des portances théoriques à partir des caractéristiques mécaniques des sols et on les compare aux charges de rupture. Dans les comparaisons de ce type, deux obstacles se présentent souvent : il n’est pas facile de déterminer les propriétés mécaniques des sols qui sont sollicités par les essais et il n’est pas facile de déterminer la charge de rupture. Pour les essais de laboratoire et les essais en vraie grandeur exécutés sur des massifs de sols reconstitués, les études ont souvent porté sur des sables, dont l’angle de frottement interne est très sensible à la densité, sans que l’on soit en mesure de garantir une homogénéité parfaite des couches testées. Pour les massifs de sols naturels, la difficulté vient de la variabilité de tous les sols entre les sondages, mais aussi de l’influence de l’eau dans les couches de sables superficiels non saturés. La valeur de ϕ' et celle de la cohésion c’ ont une très forte influence sur les capacité portantes calculées, mais on peut s’interroger aussi sur le rôle de l’enfoncement de la fondation (10% de sa largeur B quand on adopte la définition courante de la rupture pour les fondations profondes et superficielles), dont la prise en compte augmente sensiblement la capacité portante calculée. La définition de la charge de rupture n’est guère plus simple : le choix d’un critère exprimé en déformations pour justifier la qualité d’un calcul à la rupture fait entrer la validation des calculs dans le domaine de l’arbitraire. Pour donner un exemple déjà ancien, la courbe de la figure 38, qui représente l’enfoncement en fonction de la charge appliquée d’une des semelles de la série d’essais du DEGEBO dans les années 1960, pourrait donner envie de définir la charge de rupture au premier coude de la courbe, mais certainement pas au milieu de la zone de compressibilité plus forte, comme conduit à le faire la définition de la rupture à 0,1B. Le choix de l’une ou l’autre définition de la rupture, pour une même valeur (même incertaine) des propriétés mécaniques du sol, va donc conduire à des appréciations divergentes sur la qualité de chaque formule de calcul. La bonne stabilité de la quasi-totalité des fondations superficielles n’est pas en elle-même une preuve de qualité des formules de calcul de la rupture, puisque le jeu des coefficients de sécurité ramène de toutes façons les charges dans la zone des faibles déformations. La prise en compte des déformations dans l’analyse de la rupture serait certainement une voie de progrès dans ce domaine. 8. Conclusions Nous avons analysé dans cette étude les méthodes de calcul de la capacité portante des fondations superficielles qui s’appuient sur les outils de la mécanique des milieux continus et définissent la résistance par la cohésion et l’angle de frottement interne. Les méthodes les plus anciennes ont été corrélées sur des études expérimentales et validées par l’expérience. Les plus modernes sont surtout validées par rapport aux approches anciennes et par rapport à des essais sur modèles réduits. Pour les situations classiques, toutes ces méthodes peuvent être appliquées, en se référant à l’expérience locale des pays où elles ont été développées. Mais l’extension des calculs à des conditions géométriques plus complexes nécessite des outils plus souples, dont les logiciels MCNL et LIMI du programme de calcul en éléments finis CESAR- LCPC sont un exemple efficace, comme le montrent les différentes parties de ce rapport. 146 q (kPa) q max t a s s e m e n t ( m m ) maximum de la courbe expérimentale q max = 237 kPa borne supérieure LIMI q LIMI = 255,7 kPa 0 50 100 150 200 250 300 350 400 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 0,1 B Figure 38. Essai de chargement pour une semelle carrée (Weiss, 1970). 9. Références bibliographiques Absi E. (1993). Pathologie des fondations et ouvrages en terre. Annales de l’Institut Technique du Bâtiment et des Travaux Publics, n°516, Série « Sols et fondations », 220, 61-138. Andersen K.H. (1972). Bearing capacity of shallow foundations on cohesionless soils. Internal Report 51404-1. Norwegian Geotechnical Institute. Antao A. M. Sequeira Numes (1997). 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