Folleto Fisica Del Ing Zarate

Folleto FísicaIng. Zarate Remasterizado en el Cursillo Pi 1 Física VECTORES 1. Determínese la fuerza resultante en el remache de la figura. Rta.: 70,03 N ; 31,61° 2. En la figura ¿Qué fuerza F y que ángulo B se necesita para llevar directamente el automóvil hacia el este con una fuerza resultante de 400 N? Rta.: 268,71 N ; 26,61° 3. Un aeropuerto trata de seguir una ruta oeste hacia un aeropuerto. La velocidad del aeroplano es de 600 km/ ℎ. Si el viento tiene una velocidad de 40 km/ ℎ y sopla en la dirección suroeste de 30° ¿en qué dirección deberá orientarse la aeronave y cuál será su velocidad relativa con respecto al suelo? Rta.: 1,91° ; 634,31 km/h 4. Dos hombres y un muchacho desean empujar un fardo en la dirección marcada con x en la figura. Ambos hombres empujan con fuerzas F 1 y F 2 cuyos valores y sentidos están inclinados en la figura. Encontrar la magnitud y dirección de la fuerza mínima que debe ejercer el muchacho. Rta.: 46,6 kgf ; 90° F 1 =100 kg¡ 60° 30° F 2 =80 kg¡ x 200 N 37° [ F 60 N 40 N 30° 60° 50 N 2 5. Dos fuerzas F 1 y F 2 actúan sobre un cuerpo de modo que la fuerza resultante R , tiene un valor igual a F 1 y es perpendicular a ella. Sea F 1 =R =10 kgf, encontrar el valor y la dirección (con respecto a F 1 ) de la segunda fuerza F 2 . Rta.: 14,14 kgf ; 45° 6. Un bote que estaba moviéndose a 10 m/ s hacia el oeste cambia de dirección y se dirige hacia el norte a 10 m/ s. ¿Cuánto vale la magnitud y dirección del vector variación de velocidad? Rta.: 14,14 m/s ; 45° 7. Si una persona que se movía hacia el oeste a una velocidad :, siente un viento norte a una velocidad :, ¿Cuál es la dirección real del viento? Rta.: 2 1 2 ⁄ v ; 45° NW desde el norte 8. La velocidad de un bote sobre agua tranquila es 5 km/ ℎ. Se desea cruzar un rio que corre a 3 km/ ℎ. ¿Cuál es la velocidad con que el bote cruza el rio? Rta.: 5,83 km/h ; 59,04° 9. Un tren viaja a 40 km/ ℎ y desde él se dispara horizontalmente un rifle que forma un ángulo de 60° con el tren. La velocidad de la bala es de 1.400 km/ ℎ. ¿Cuál es el ángulo con que sale la bala? Rta.: 58,60° 10. Un avión vuela a 400 km/ ℎ cuando no hay viento. Si el avión mantiene el rumbo norte, pero el viento que sopla desde al oeste lo desvía 10° de su rumbo, calcular la velocidad del viento reinante. Rta.: 70,53 km/h 11. Dados dos vectores A y B determinar el ángulo que forman dichos vectores para que el módulo de A +B sea igual al módulo de A – B. Rta.: 90° 12. En el diagrama se representa el vector C y las componentes B x y A ¡ . Sabiendo que A +B =C, hallar los valores de A x y B ¡ . Rta.: 4 i ; 3 j C A ¡ B x R F 1 0 F 2 3 13. ¿Pueden dar dos vectores A y B, de módulos 3 y 4 respectivamente, dar un vector suma de módulo 5? Rta.: 90° 14. Si A =4i +3j ; B=−2i +6j , hallar: 3A, A +B , A – B , A.B , A × B , el versor en la dirección de B , A × (A × B). Rta.: 12 i +9j ; 2 i + 9j ; 6 i − 3j ; 10 ; 30k ; (−2i + 6j)/40 1 2 ⁄ ; 90 i – 120j 15. Una gota de lluvia cae con una velocidad : formando un ángulo agudo o con un automóvil que se desplaza horizontalmente hacia la derecha con una velocidad 2:. El chofer del automóvil ve que las gotas de lluvia forman con la horizontal un ángulo agudo [. Hallar dicho ángulo. Rta.: arcsen(seno / (5− 4coso) 1 2 ⁄ ) 16. Sobre un carrito que se desplaza horizontalmente hacia la derecha con velocidad : se coloca un tubo que está formando un ángulo o con la horizontal. ¿Cuál es el valor de o para que las gotas de lluvia que caen verticalmente con una velocidad 3:, lleguen al fondo sin hacer contacto con las paredes? Rta.: 71,57° 17. Llueve y las gotas de lluvia forman un ángulo o con la vertical, al caer con una velocidad constante de 10 m/ s. Una mujer corre en contra de la lluvia con una velocidad de 8 m/ s y ve que la lluvia forma un ángulo [ con la vertical. Encontrar la relación entre los ángulos o y [. Rta.: tg[ =(10seno +8)/ (10coso) 18. Un helicóptero intenta aterrizar sobre la cubierta de un submarino que se dirige hacia el sur a 17 m/ s. Existe una corriente de aire de 12 m/ s hacia el oeste. Si a los ojos de la tripulación del submarino, el helicóptero desciende verticalmente a 5 m/ s, encontrar: a. Su velocidad relativa al agua. Rta.: 17 j – 5k b. Su velocidad relativa al aire. Rta.: −12 i + 17 j −5k 4 ESTÁTICA 1. Hallar las tensiones en todos los cables. Rta.: a) W ; 1,41W b) 0,6 W ; 0,8 W ; 0 ; 0,6 W c) 1,01 W ; 0,91 W 2. Hallar las tensiones en los cables y la reacción en el pivote sobre el puntal. Rta.: 3.346 kgf ; 2732 kgf 3. Si la tensión en el cable utilizado no puede exceder 1.000 kgf ¿Cuál es la altura mínima por encima de la viga a la cual se ha de sujetar la cuerda a la pared? En cuanto aumentaría la tensión en el cable si se sujeta 10 cm por debajo de dicho punto? (El peso de la viga se considera despreciable) Rta.: 0,35 m ; 1.300 kgf 4. Calcular el peso máximo que puede soportar la estructura si la tensión de la cuerda superior puede resistir 1.000 kgf y la máxima comprensión que puede soportar el puntal es 2.000 kgf. La cuerda vertical es la bastante fuerte como pasa poder resistir cualquier carga. Rta.: 1.366,02 kgf W 45° 30° W=500 kgf ℓ =60 ℎ 45° 30° 1.000 kgf W 120 cm 90 cm 180cm c) 53° 37° b) W 45° 90° W a) 5 5. ¿Cómo podrían resolverse las estructura (a) y (b) sin el conocimiento de los momentos? Datos: P; W; 1; 0 Rta.: W/tg0 ; 0,5(1 + 9tg 2 0) 1/ 2 W/tg0 6. El bloque de 100 kg descansa sobre una superficie no lisa y se trata de empujar hacia la derecha tirando de una cuerda. a) Si B = 40° y P = 30 kgf, hallar la reacción del suelo contra el bloque y la fuerza de rozamiento. b) ¿Para qué valor de P comienza el bloque a deslizar cuando se aumenta gradualmente el valor de la fuerza? c) Con el bloque en movimiento existe algún valor de B para el ¿Cuál es la fuerza P necesaria para mantener el movimiento es mínima? Rta.: a) 791,02 N ; 225,22 N b) 383,13 N c) 14,04° 7. Un bloque que pesa 100 kgf se encuentra sobre un plano inclinado y está unido a un segundo bloque suspendido de un peso w mediante una cuerda que pasa por una polea lisa pequeña. El confidente de rozamiento estático es 0,40 y el cinético 0,30. a. Hállese el peso para el cual el bloque se mueve hacia abajo a velocidad constante. b. Calcúlese el peso para el bloque se mueve hacia arriba a velocidad constante. c. Para que valores de w permanecerá el bloque en reposo. Rta.: a) 235,29 N b) 744,61 N c) 150,52 N ≤ w ≤ 829,48 N w 100kgf 30° W [ P W ℓ b) 0 P P 0 F p p =0 a) 6 8. El bloque A de peso W se desliza hacia abajo con velocidad constante sobre un plano inclinado cuya pendiente es 37° mientras la tabla B también de peso W descansa sobre la parte superior de A. la tabla está unida mediante una cuerda el punto más alto del plano. a. Dibujar el diagrama del cuerpo libre de A. b. Si el coeficiente de rozamiento cinético de todas las superficies es el mismo, determinar su valor. Rta.: b) 0,25 9. Dos cuerpos idénticos 0 y E de peso P, enlazados con un hilo pasado sobre la polea B están colocados sobre las caras AB y BC del prisma ABC. El coeficiente de rozamiento estático entre los cuerpos y las caras del prisma es el mismo y es igual a los ángulos BAC y BCA son iguales a 45°. Determinar la magnitud del ángulo [ de inclinación de la cara AC respecto a la horizontal para que la carga 0 comience a descender. El rozamiento de la polea se desprecia. Rta.: arctg p 10. Una cuerda que se encuentra arrollada alrededor de un cilindro de radio R y peso W que se mantiene en equilibrio sobre un plano inclinado de pendiente B estando la cuerda horizontal. Hállese: a. La tensión en la cuerda. b. La fuerza normal N ejercida sobre el cilindro por el plano. c. La fuerza de rozamiento ¡ ejercida sobre el cilindro por el plano. d. Represéntese en un diagrama de dirección de la fuerza resultante ejercida sobre el cilindro por el plano. e. ¿Cuál es el valor mínimo del coeficiente de rozamiento estático entre el cilindro y el plano para el cual es posible el equilibrio? Rta.: a) W tg[ [ 2 ¸ b) W c) W tg[ [ 2 ¸ d) tg[ [ 2 ¸ C 45° 45° [ A E 0 B A B 37° W [ 7 11. Dos tableros de 1 m y 1,6 m están unidos entre sí. Sobre los planos se colocan dos bloques de masas m 1 y m 2 . Sabiendo que el coeficiente de rozamiento cinético entre las superficies y los cuerpos es 0,30 y el estático es 0,40 encontrar: a. La relación entre m 1 y m 2 para que el conjunto se mueva hacia la izquierda a velocidad constante. b. Análogamente para derecha. c. ¿Para qué intervalos de valores de m 1 en función m 2 el sistema permanecerá en equilibrio? Rta.: a) 1,23 b) 0,25 c) 0,15 m 2 ≤ m 1 ≤ 1,51 m 2 12. Hallar la tensión en el cable BC y las componentes horizontales y verticales de la fuerza ejercida sobre el puntal AB por el perno A: a. Utilizando la primera y la segunda condición de equilibrio. b. Utilizando la segunda condición de equilibrio. c. Verificar que las líneas de acción de las fuerzas ejercidas sobre el puntal en A, B y C son concurrentes. Rta.: 245 N 13. Un disco circular de 30 cm de diámetro, que puede girar alrededor de un eje horizontal que pasa por su centro tiene arrollada una cuerda alrededor de su borde. La cuerda pasa por una polea sin rozamiento en P y está atada a un cuerpo que pesa 20 kgf. Una barra uniforme de 1,2 m de longitud está fija al disco con un extremo en el centro. El aparto se halla en equilibrio, con la barra horizontal. a. ¿Cuál es el peso de la barra? b. ¿Cuál es la nueva posición de equilibrio cuando se suspende un segundo peso de 2 kgf en el extremo derecho de la barra? Rta.: 49 N ; 56,25° 2 kgf 20 kgf P 120cm Ð A B 90 cm 90 cm 30 cm 20 kgf C 1,6 m 1m m 1 m 2 0,3 m 8 14. Dos escaleras de longitudes 6 m y 4,6 m , respectivamente están articuladas en el punto A y unidas por una cuerda horizontal situada a 90 cm por encima del suelo. Sus pesos respectivos son 40 y 30 kgf y el centro de gravedad de cada uno se halla en su punto medio. Si el suelo es liso, hállese: a. La fuerza hacia arriba ejercida en el punto de apoyo década escalera. b. La tensión de la cuerda. c. Si se suspende ahora del punto A una carga de 100 kgf. Hállese la tensión de la cuerda. Rta.: a) 319,48 N ; 366,52 N b) 219,52 N c) 846,72 N 15. La tabla es uniforme y pesa 20 kgf. Apoya en el punto B sobre una muralla sin rozamiento y en el punto A. sobre un piso cuyo coeficiente de rozamiento estático es 0,50. En el extremo C actúa con una fuerza vertical P = 1 kgf. a. Hacer el DCL de la tabla y calcular todas las fuerzas. b. Hallar el máximo valor de P. Rta.: a) 16,25 kgf ; 7,92 kgf ; 6,34 kgf b) 7,12 kgf 16. La carga pesa 50 N. Si F = 2 N a. Dibujar el DCL de la caja. b. Calcular el valor de las fuerzas que actúan. c. Si la fuerza F crece ¿Qué sucederá primero, se resbalara o volcara, girando sobre A? Rta.: b) 48,32 N ; 2,8 N c) volcará, F =3,75 N 6 m C B A p S =0,5 p S =0 3 m 4 m P 90° 50 cm 50 cm 60 cm F B p s =0,5 p S =0 40 cm 30 cm A 9 17. Un bloque rectangular homogéneo de 60 cm de alto y 30 cm de ancho descansa sobre una tabla AB. El coeficiente de rozamiento estático entre el bloque y la tabla es 0,40. a. Represéntese en un diagrama la línea de acción de la fuerza normal resultante ejercida sobre el bloque por la tabla cuando B =15°. b. Si se levanta lentamente el extremo B de la tabla ¿Comenzara el bloque a deslizar hacia abajo antes de volcar? Hallarse el ángulo B para el cual comienza a deslizar o volcar. c. ¿Cuál sería la respuesta a la parte b si el coeficiente de rozamiento estático fuera 0,60? ¿y si fuera 0,50? Rta.: b) desliza c) vuelca; desliza y vuelca simultáneamente. 18. Calcular los valores máximos de x 1 y x 2 suponiendo que los tres ladrillos iguales de longitud I permanecen en equilibrio. Rta.: I/ 4 ; 3I/ 4 19. La barra AB está apoyada sobre una superficie cilíndrica de radio R y coeficiente de rozamiento estático 0,25 y unida al piso por un vínculo A sin rozamiento. La barra pesa 40 N y se aplica en A una fuerza P. Determinar si para P =12 N, el sistema está en equilibrio. En caso afirmativo determinar el valor y el sentido de las fuerzas en el punto de contacto entre la barra y la superficie cilíndrica. Rta.: Si , 20N ; 2,31 N 20. La barra AB de longitud L y peso W está sujeta por B por el cable ideal BC y apoyada en el piso en A. Se le aplica una carga P. a. Hacer el DCL e indicar el modulo, dirección y sentido de todas las fuerzas que actúan. Considerar P =0,7 w b. Para P =0,7 w determinar el mínimo valor de H para que se mantenga en equilibrio. c. Siendo p = 0,40 ¿entre que valores puede variar P para que se mantenga en equilibrio? L =2 m ; w=100 N ; H =1,6 m Rta.: a) 100 N ; 35,8 N ; 34,2 N b) 0,34 c) 31,25 N ≤ P0 ≤ 146,02 N I x 2 x 1 ¥ x B [ A 60 cm 30 cm P A 30° p S R B 2R C B L A 60° H P 10 21. El semicilindro macizo de radio 50 cm y 100 kg de masa, está apoyada en plano horizontal (p = 0,30) y un plano inclinado 60° sin rozamiento. a. Para o =30° hacer el DCL inclinado el modulo, dirección y sentido de todas las fuerzas. b. Determinar el rango de valores de o para los cuales el cuerpo está en equilibrio. Rta.: a) 240,13 ; 859,93 N ; 207,96 N b) 0 ≤ o ≤ 37,05° 22. ¿Entre que valores debe variar la fuerza F aplicada en el punto A, para que el sistema permanezca en equilibrio? La masa m 1 es esférica y la masa m 3 es una polea cilíndrica. Datos: 10m 1 =6m 2 .w 3 =30kg Rta.: 38,04 N ≤ F ≤ 197,8 N 23. En la estructura el bloque A pesa 120 kg y la barra BC pesa 98 N. El coeficiente de rozamiento entre el bloque A y la superficie inclinada es p 3 =0,30. El bloque Ð pesa 30 kg. a. Averiguar si el sistema se encuentra en equilibrio en la posición que se muestra. b. ¿Entre que valores puede variar el peso de la barra sin que se altere el estado de equilibrio? Rta.: a) si b) 1,9 kgf ≤ w b ≤ 38,03 kgf 53° p S =0,6 H A B m 3 m 1 m 2 0,1 m 0,8m 0,3 m F o 60° p S =0 53° A B 53° 90° 1 m 2 m Ð C 11 24. Calcular el máximo y el mínimo peso P necesario para mantener el equilibrio. El peso A es de 100 kgf y Q es de 10 kgf. El coeficiente de rozamiento entre el bloque A y el plano es de 0,40 Rta.: 254,99 N ≤ P ≤ 894,75 N 25. La escalera mostrada es uniforme y pesa 5 kgf por ella debe subir un hombre de 60 kgf de peso ¿Cuál es la máxima altura que puede alcanzar sin que la escalera resbale? Rta.: 0,64 m 26. Una grúa está formada por una barra uniforme de 6 m de longitud y 100 kgf de peso asegurada a un mástil vertical. En el extremo de la barra cuelga una masa de 400 kgf. Un cable se asegura a una distancia de 1,50 m del extremo libre de la barra y va hasta el mástil formando ángulos cuyos valores se indican: a. ¿Cuál es la tensión del cable? b. ¿Cuáles son las componentes horizontal y vertical de la fuerza ejercida por el pivote sobre el pie de la barra? Rta.: a) 5880 N b) 5092,23 N ; 1960 N 1,5 m 60° 60° 60° 6 m w 100 kg¡ Pi:otc Hástil 1,2 m 0,8 m p s =0 p s =0,4 0,6 m 30° µ A P 12 27. La escalera tipo tijera es de peso despreciable y descansa sobre un piso liso sin rozamiento. Los lados AC y CE miden 2,40 m cada uno y la cuerda BÐ mide 0,30 m y está situada a la mitad de la escalera. El hombre pesa 35 kgf. a. Hacer un diagrama de las fuerzas que actúan sobre la escalera y calcular las intensidades de dichas fuerzas. b. Dibujar por separado la rama CE y hacer un diagrama de las fuerzas que actúan sobre esta rama. c. Calcular la tensión de la cuerda BÐ. Rta.: a) 499,80 N ; 333,20 N c) 235,6 N 28. En el grafico determinar cuál es la máxima fuerza F que puede aplicarse para que el sistema esté en equilibrio. El peso de la barra 20 kg, su longitud 2 m, el ángulo que forma con la horizontal es 60° y el coeficiente de rozamiento entre todas las superficies es 0,20. Rta.: 30 kgf 29. Determinar el centro de gravedad de las figuras que se representan. Rta.: a) 63,07 cm ; 50,23 cm b) 2o ; 2o o o b) o o o o o o Y x ¥ 45 cm 40 cm 35 cm 45 30 15 20 cm a) x I/ 4 I 0 F 85kgf Ð B C 1,80 m A E 13 30. Una placa de espesor uniforme está colocada encima de una mesa horizontal y sometida a la acción de una fuerza horizontal P = w/ 4 a. Hallar el centro de gravedad de la placa. b. Dibujar el DCL de la misma, indicando el valor y punto de aplicación de todas las fuerzas. c. Verificar si en estas condiciones es posible el equilibrio. d. ¿Hasta qué altura con respecto al piso es posible aplicar la misma carga horizontal P de modo que no se altere el equilibrio? Rta.: a) 4,08 cm; 9,02 cm b) 0,4w ;w c) no d) 2,36 cm 31. Determinar el valor del coeficiente de rozamiento estático con las condiciones de que el cuerpo de la figura deslice y vuelque al mismo tiempo. Rta.: 0,5 o/ ℎ 32. Dos cuerpos de peso w 1 y w 2 se cuelgan de cuerdas de pesos despreciables como se muestra en la figura. Hallar el valor del peso w 2 para que la cuerda BC esté horizontal. Rta.: w 1 cotgo tg [ 33. Verificar si la barra homogénea de la figura se encuentra en equilibrio. a. Si está en equilibrio: ¿Qué valor máximo puede tener una fuerza P aplicada verticalmente en el centro de gravedad de la barra m dirigida hacia abajo sin que se rompa el equilibrio? b. Si no está en equilibrio: ¿Cuál es el mínimo valor de H para mantener la barra en equilibrio? No existe rozamiento sobre la barra. H = 100 kg ; m = 30 kg ; o = 30° ; p S =0,2 ; I = 2m Rta.: no está equilibrado; H mìn =129,9( kg) [ Ð C w 2 w 1 B A o b w o F ℎ 5 cm p s =0,4 5 m 15 cm P =w/ 4 12 cm W=peso de la placa m H o p S I 14 34. A partir de los datos que se muestran en la figura, deducir una fórmula que nos permita calcular el ángulo ϕ con las siguientes condiciones: a. El bloque A resbale sin volcar. b. El bloque A vuelque sin resbalar. Rta.: a) arctg p S b) arctg (b ℎ ⁄ ) 35. Calcular las coordenadas del centro de masa de la placa homogénea indicada en la figura. Rta.: X u =0 ; ¥ u =r/ 12 36. La rueda de radio R de la figura está por pasar un obstáculo de altura E =R/ 2 con la ayuda de una fuerza horizontal F aplicada en el centro de la rueda. Todas las superficies son lisas, sin rozamiento. a. Hacer un diagrama de todas las fuerzas que actúan sobre la rueda. b. Deducir las fórmulas que nos permitan calcular las fuerzas mencionadas en la pregunta a. en función de la fuerza F, el radio R y la masa m de la rueda. c. ¿Cuál es el mínimo valor de F que posibilita que la rueda se levante? Rta.: b) N 1 = 2 3 , √3F ;N 2 =mg − 1 3 , √3F ; c) √3 mg 37. Una barra prismática de longitud L cuelga desde ambos extremos, como se muestra en la figura. Si se conoce que la tensión T A <T B , deducir una fórmula que nos permita ubicar el centro de gravedad de la barra con respecto al punto A. Rta.: x >0,5 I I A B r/ 4 r/ 2 r ¢ A ℎ p 1 b R F E 15 38. El bloque de masa m =25 kg que se muestra en la figura descansa en el punto D sobre una tabla de masa H =10 kg y con un coeficiente de rozamiento estático p =0,5. El ángulo que forma la barra con la horizontal es [ =20°, la longitud de la tabla es I =1 m y la longitud AÐ es I 1 =80 cm. a. Verificar que el bloque de masa m se encuentra en equilibrio sobre la tabla. b. Demostrar que en las condiciones que se muestran en la figura la tensión en la cuerda BC no supera el valor máximo admisible F =100 kgf, sin que esta se rompa. c. ¿Cuáles son los valores máximo y mínimo de [ para los cuales el sistema que se muestra en la figura permanece en equilibrio sin que la masa m resbale sobre la tabla o que la cuerda CB se rompa? Rta.: a) si c) 14.04°≤ [ ≤ 26,57° 39. Hallar el centro de gravedad de la plancha metálica uniforme y de pequeño espesor que se muestra en la figura. Rta.: X u =1,82 R ; ¥ u =4,16 R 40. El cilindro de la figura de radio R =50 cm y peso W=300 N ha sido fabricado de tal modo que posee un orificio circular de radio r =35 cm . Siendo 0 el centro del cilindro y 0′ el centro del orificio y sabiendo que 0 y 0′ están alineados horizontalmente, calcular: a. El centro de gravedad en función de la distancia entre los centros 00′. b. Todas las fuerzas que actúan si 00 i =8 cm. Verificar si el cilindro se encuentra en equilibrio. c. El intervalo de valores de 00′ para que el cilindro permanezca en equilibrio. Rta.: a) X u =−0,96 00′ ; ¥ u =0 b) 46,14 N ;57,68 N ;265,39 N c) 0 ≤ 00 i ≤ 9,06 cm 2R 2R 2R 2R ¥ X 2R 2R I Ð B [ A C m 0′ 0 53,13° p s =0,20 p =0 16 41. Los cuerpos m A =300 kg ,m C =100 kg y m B están dispuestos como se indica en la figura. Sabiendo que el coeficiente de rozamiento estático entre todas las superficies es p S =0,30 , determinar entre que valores puede variar m B para que el sistema permanezca en equilibrio. Rta.: 138 kg≤ m ≤ 337,9 kg 42. ¿Qué fuerza F aplicada horizontalmente en el eje de la rueda de la figura es necesaria para levantar la rueda sobre el obstáculo de altura E? Rta.: w (E(2R −E)) 1 2 ⁄ / (R −E) 43. En la figura se observan cuatro ladrillos. Los ladrillos 1 y 3 tienen longitudes iguales a J (conocida) y los ladrillos 2 y 4 tienen longitudes iguales a I (desconocida). Determinar el intervalo de valores de I para que el equilibrio se mantenga. m 1 =m 3 =m ;m 2 =m 4 =m/ 2. Rta.: J ≤ I ≤ 3 2 , I 44. En la estructura de la figura se desea aplicar una fuerza a fin de mantener el equilibrio. Dar el valor del vector fuerza y su punto de aplicación. o =0,61 m ;b =0,91 m ;c =0,30 m ; F 1 =89 N; F 2 =44,5 N; F 3 =22,2 N. Rta.: (22,2 i +133,5 ])N ; 0,70 m c b o o F 3 F 2 F 1 J/ 2 3 2 1 4 I J R F E w 60° o 30° 30° m A p A m B m C p C 17 45. Hallar la resultante de los sistemas de fuerza que se muestran en las figuras I y II. Si la resultante de la figura I se aplica en el punto A de la figura II, hallar la fuerza que has de aplicar en B para que la resultante del sistema sea cero. Rta.: 16,93 N ; 71,15° ; 1N ; 17,88 N ; 72,18° 46. Hallar el centro de masa de la figura. Rta.: X u =15cm ; ¥ u =17,5 cm 47. La tabla de la figura pesa 20 kgf y descansa en reposo sobre un piso rugoso (p =0,4) en A y sobre una pared lisa en B. a. Hacer un diagrama de las fuerzas que actúan sobre la tabla. b. Calcular las fuerzas desconocidas de la pregunta a sabiendo que F =2 kgf. c. ¿Entre que limites puede variar F sin que la escalera pierda su estado de equilibrio? Rta.: b) no está en equilibrio c) 15,23 N ≤ F ≤ 98 N , vertical para arriba. 48. En el sistema de la figura el bloque A tiene una masa de 10 kg y su coeficiente de rozamiento estático con el plano inclinado es de 0,5. Calcular entre que valores (máximo y mínimo) puede variar la masa de B para que el sistema permanezca en equilibrio. Rta.: 3,54 kg≤ m B ≤ 10,61 kg m B 45° m A p S 10cm 20cm 20cm 20cm I A 13N 45° 60° 2N 5N 5N 4m 3m 8N II B 2N p 175 cm B F 100 cm 75 cm A 18 49. La placa de la figura se halla suspendida por medio de dos cabos de acero. Calcular el diámetro del orificio circular de modo que las tensiones en los cabos sean iguales. El peso de la placa por unidad de área es o. Rta.: 11,29 cm 50. La placa de la figura es homogénea, pesa 100 N y tiene las dimensiones indicadas en cm. Está apoyada sobre una superficie que tiene un coeficiente de rozamiento estático es 0,5 y se la aplica una fuerza horizontal F =45 N en el extremo superior. a. Para b =100 cm , ¿estará la placa en equilibrio? b. Determinar el mínimo valor de b que asegure que la placa permanezca en equilibrio. Rta.: b) no está en equilibrio c) 1,07 m 51. La cuerda BE soporta una tensión máximo I =5/ 8 w, y el hombre que la sostiene se desplaza lentamente sobre el punto CÐ, alejándose de punto C y tensando la cuerda de tal manera que la barra homogénea AB, de peso w, permanezca horizontal. En estas condiciones, hallar la máxima distancia x. Rta.: 3 4 , ℎ C B Ð E x ℎ A F 150 cm 50 cm 50 cm b 50cm 10cm 20cm 35cm 35cm 35cm 30cm 19 52. Un disco uniforme, de radio R, se halla situado en un plano vertical y pivotado sin rozamiento en el punto 0, centro del disco. Posteriormente se practican en él dos orificios iguales de radio r, como se muestra en la figura. El disco adoptara una nueva posición de equilibrio en la que el radio 0I formará con el eje y un ángulo. Hallar dicho ángulo. Rta.: 49,66° 53. En la figura se representa una barra rígida de peso despreciable que lleva en sus extremos las fuerzas indicadas. La posición de equilibrio queda caracterizada por los ángulos o y [. Hallar dichos ángulos. AB =1 m ;BC =1,5 m ; y =143,13°. Rta.: 3,18° ; 33,69° 54. En la grúa mostrada en la figura se desea limitar la tensión en el cable AE a un valor I max . Para ello se intercala en el cable elevador FE, un tramo F0 que deberá romperse cuando la carga w levantada produzca en el cable AE una tensión mayor o igual a I max . Para que eso ocurra el cable F0 debe romper a una tensión I ligeramente inferior. Hallar dicha tensión. Rta.: 0,18 I max A B C Ð 0 F molinctc o 2o 3o 5o w [ I E 10o E 100 kgf 80kgf [ B o y A C R 4R/ 5 100° I 3R/ 5 0 20 55. Las barras AB y BC, mostradas en la figura, son homogéneas y de pesos W 1 y W 2 . Calcular la reacción horizontal en el apoyo A sobre la barra AB. Rta.: 0,5 (w 1 +w 2 ) 56. El coeficiente de rozamiento estático p 2 entre el cuerpo A y el B es tal que el cuerpo A puede volcar y deslizar al mismo tiempo bajo la acción de la fuerza F. se desea que el cuerpo B deslice antes de que el cuerpo A deslice o vuelque. Para que ello ocurra encontrar el coeficiente de rozamiento estático entre B y el piso. Rta.: 0,5 ow 2 / ((ℎ − o)(w 1 +w 2 )) 57. La barra AB es homogénea y de peso w. se pretende que la barra gire alrededor del punto 0 sin deslizar mediante la aplicación de una fuerza vertical F. calcular la mínima fuerza F necesaria y el coeficiente de rozamiento estático para lograr que la barra gire sin deslizar. Rta.: 0,5 w(1− 2z) ⁄ z ; p ≥ tg 0 58. Los cuerpos A y B se hallan apoyados sobre una superficie horizontal y los coeficientes de rozamiento estático entre ellos y la superficie son p 1 y p 2 respectivamente. Hallar la fuerza F necesaria para iniciar el movimiento. Rta.: ( p 1 + p 2 )w w w A B F p 2 p 1 p I 0 F zI 0 A B o b b F o ℎ p 1 p 2 B A A o B o C 2o 21 59. En el grafico existe rozamiento entre la pared y el bloque, en estas condiciones y despreciando el peso de la barra AB, hallar las componentes de la reacción sobre el pivote en A, AX y AY. Rta.: 0,5 w cotg0 ; 0,5w 60. En la placa homogénea de la figura, calcular el ancho máximo x permitido para que el cuerpo no vuelque. Rta.: √2 b 61. El cuerpo homogéneo que se muestra en la figura está en equilibrio indiferente. Hallar la altura ℎ Rta.: ¸2 3 ⁄ r 62. La placa homogénea EF0 mostrada se halla suspendida inicialmente de tal modo que la reacción en la cuerda AC y BÐ son iguales. Calcular el ancho x del trozo cortado. Rta.: 3 16 , ℎ ℎ r E A B C Ð x F 0 b ℎ trozo acortar ℎ/ 4 x b ℎ ℎ/ 2 A o B 0 b w 22 63. Despreciando el peso de las barras rígidas, hallar la tensión en la cuerda inextensible AB que une a las dos poleas. Rta.: wb/ (R +r) 64. La barra homogénea AB, de peso w se halla en equilibrio como se muestra en la figura , pero su extremo A está a punto de deslizar sobre el riel horizontal CÐ. Encontrar el valor del coeficiente estático de rozamiento para que esto sea posible. Rta.: 0,5 cotgo 65. En el sistema de la figura, la reacción vertical en A es Ay =W/ 2. Encontrar el valor y dirección de la fuerza equilibrante aplicada en B. Rta.: 0,5 (5−4seno) 1 2 ⁄ w 66. El coeficiente de rozamiento estático en el punto C es p. Si la cuerda AB esta sobre la vertical, hallar la fuerza de rozamiento en C. Rta.: 0 A B θ b C p w I/ 4 A o w I B I/ 2 B Ð A C o R B w A r b 23 67. Dos bloques A y B, de pesos w A y w B , se deslizan sobre la superficie de un lago congelado con velocidad constante como se muestra. Calcular la fuerza ejercida por el bloque A sobre el B. Rta.: 0 68. La barra AÐ de peso despreciable, se halla en equilibrio bajo la acción del par aplicado en P y la tensión de los cables AB y CÐ. Un hombre de 80 kg camina a lo largo de la barra y llega hasta A sin que la barra pierda su horizontalidad. Encontrar el valor mínimo de F en kg para que esto suceda. Rta.: 400 kgf 69. Se tiene una barra homogénea de la forma indicada en la figura suspendida del punto A. calcular el ángulo 0 necesario para que la barra este en equilibrio, sabiendo que su peso es w. Rta.: arctg(o 2 / b 2 ) 70. El extremo inferior de un poste de altura I que pesa 500 N descansa sobre una superficie horizontal rugosa (p S =0,40). El extremo superior está sujeto por una cuerda atada a la superficie y forma un ángulo de 36,9° con el poste. Se ejerce una fuerza horizontal F sobre el poste, como se indica en la figura. a. Si la fuerza F está aplicada en el punto medio del poste ¿Cuál es el máximo valor que puede tener sin ocasionar el deslizamiento del mismo? b. Hallar la altura critica del punto de aplicación de la fuerza F, para la cual el poste no puede deslizar, independientemente del valor de está. Rta.: a) 857,14 N b) 0,65 I b A o 0 b b F 2b 8b B A F C P Ð A B : A F B 36,9 I C 24 71. a. Verificar si el sistema de la figura está en equilibrio para la posición de la fuerza horizontal F =mg/ 3 indicada. b. ¿Cuál es el valor mínimo de ℎ para que permanezca en equilibrio? c. Si F crece gradualmente. ¿hasta qué valor puede aumentar sin que se rompa el equilibrio? ¿Qué sucederá primero vuelca o desliza? Rta.: a) está en equilibrio b) 58,65 cm c) desliza 72. Un cubo de arista o y peso 20 kgf se encuentra dispuesto como se indica en la figura. Sabiendo que el coeficiente de rozamiento estático ( p S ) entre las superficies es de 0,20 , calcular el intervalo de valores de o para los cuales es posible el equilibrio. Rta.: 33,69° ≤ o ≤ 45° 73. En el dispositivo de la figura la barra AB de peso W 1 =15 kgf , sostiene contra la pared a un cilindro de peso W 2 =5 kgf . Calcular: a. Las reacciones en el apoyo A. b. La fuerza de rozamiento en el punto C. c. El valor, la dirección y el sentido de la fuerza entre los dos cuerpos en el punto B. Rta.: a) 24,54 kgf ; 25,99 kgf b) 5,99 kgf c) 26,89 kgf ; 24,13° 74. Siendo la longitud de la barra AB =1 m, y =167,5° , C =45° , hallar la longitud de la barra BC, para que el sistema esté en equilibrio. Rta.: 4 m A z ¢ B C o p S o p S 10cm 50cm 10cm 20cm 10cm F ℎ r I B 37° A 25 75. El automóvil de la figura, de peso W, avanza sobre un puente de longitud L. el puntal CD soporta una carga máxima P. Hallar el mínimo valor admisible de P para que el auto cruce el puente con seguridad. Rta.: 0,5 w(2I − o)/ I 76. Las barras homogéneas AB y BC pesan W 1 y W 2 respectivamente. La barra BC se apoya en una pared rugosa en C. Hallar el valor mínimo del coeficiente de rozamiento estático p S . Rta.: w 2 tg0 / (w 1 +w 2 ) 77. AC es una barra homogénea de peso W , y AD un cable que se rompe a una tensión T. Si la barra se corre hacia la derecha 0,01 L , el cable se rompe y si la barra se corre 0,20 L hacia la izquierda, la tensión en el cable es cero. Si la tensión de rotura del cable es T =100 kgf , calcular el peso de la barra. Rta.: 1567 kgf 78. Calcular la condición para que el cuerpo mostrado en la figura vuelque antes de deslizar. Rta.: b ≤ ℎ tg0 ] ℎ =b b =o o w b p S 0 C I B x A Ð A I 0 p B C 0,6 I C B I o A Ð 26 79. Se trata de extraer el n-ésimo tablón de una pila. La máxima fuerza de tracción soportada por los tablones es de 1.000 kgf, el coeficiente de rozamiento estático en todas las superficies es p S =0,30 y el peso de cada tablón es W=100 kgf . Encontrar el máximo número de n de tablones, por debajo de los cuales podrá extraerse un tablón. Rta.: 16 80. La barra AB, de peso despreciable, se halla en equilibrio en la posición mostrada en la figura. Hallar la relación entre los pesos W 1 y W 2 . Rta.: w 1 =3w 2 81. Encontrar la relación máxima o/ b para que el cuerpo de peso w permanezca en equilibrio. Rta.: o =3b 82. Hallar la altura máxima a la que puede aplicarse una fuerza que se muestra en la figura para que el cuerpo no vuelque. Rta.: 5 8 , b ℎ o 4w/ 5 b w o/ 2 o w/ 3 b w A C I/ 4 w 1 Ð I/ 4 B n tablones F 27 83. Las ruedas de la puerta que se muestra en la figura están herrumbradas y no giran. El coeficiente de rozamiento entre las ruedas y el riel es p S =0,5 y la puerta pesa 80 kgf. Si ninguna rueda debe separarse del riel, calcular el máximo valor posible de ℎ. Rta.: 1,2 m 84. Una caja de 110 kgf es empujada a velocidad constante por una fuerza horizontal como se muestra. Hallar el valor de la fuerza F. Rta.: 730 N 85. Calcular la posición del centro de gravedad de la figura homogénea. Rta.: X u = −R/ 3 ; ¥ u =0 86. El sistema formado por un semicilindro B de peso W 2 y un cuerpo A de peso W 1 se halla en equilibrio en la posición mostrada en la figura. El cuerpo A está a punto de deslizar, pero no ocurre lo mismo con el semicilindro B. Calcular el ángulo 0 formado por el semicilindro B con la horizontal. Rta.: tg0 0 0 B A p 1 x p 2 ℎ F 0.3m 1.2m 0.3 2R y x F 34,11 28 87. Encontrar la posición del punto de aplicación y el sentido con relación a la articulación A de una fuerza F 1 =F/ n , para que la barra AB se encuentre en equilibrio. Rta.: na, vertical para arriba 88. El cable EF soporta una tensión máxima I. Todas las barras tienen pesos despreciables. Encontrar el máximo valor posible de w. Rta.: 1 3 , Ib (o +b) -1 89. La máxima tensión soportada por el cable ÐC es I y la máxima compresión soportada por la barra AB es P, tales que I =P. Se cuelga un peso como se muestra en la figura y se la incrementa gradualmente hasta alcanzar un valor w. Hallar el valor de w para el cual fallará el sistema. Rta.: I tg0 90. En el sistema mostrado en la figura, calcularla fuerza F necesaria para iniciar el movimiento y la resistencia mínima necesaria de la cuerda CÐ. Rta.: p 1 w 1 +p 2 w 2 +p 3 w 3 ; p 2 w 2 +p 3 w 3 w 3 w 2 w 1 A B C Ð p 3 p 2 p 1 F E Ð C w B A C b o I 3/ 4I Ð B F E A I J F 1 F o B F 29 91. El sistema de la figura se abandona a sí mismo y el cuerpo vuelca sin deslizar ¿Cuál es el valor del coeficiente de rozamiento estático p S ? Rta.: p S >tg0 92. Una cadena flexible de peso W se cuelga entre dos ganchos situados a la misma altura y sus extremos forman un ángulo 0 con la horizontal. Calcular la magnitud y el sentido de la fuerza ejercida por la cadena sobre el gancho izquierdo. Rta.: 0,5 w/ sen0 93. Dadas la fuerza F =(2i +3j − 6k) N y el vector de posición r =(3i − 2j +4k)m, del punto de aplicación de dicha fuerza F, hallar el momento de la fuerza F, con respecto al origen de coordenadas. Rta.: (26 j +13 k)Nm 94. En el sistema de la figura, calcular la tensión de la cuerda AC. Rta.: wcoso / sen(o − 0) 95. La placa de la figura pesa 50 kgf y está suspendida mediante cabos de acero de igual sección. Calcular el valor de b para que las tensiones en los cabos sean iguales. R =0,50 m Rta.: 1,23 m 1,1 m 1,9m 3m B A b A 0 o o C B w Ð E A 0 0 B I o w 1 b p S 0 w A 30 96. En la escalera tijera que se representa en la figura, AC y CE tienen 2,44 m de largo y están articuladas en C. BÐ es una varilla de tirante de 0,76 m de largo a la mitad de la altura. Un hombre que pesa 855 N sube a 1,83 m en la escalera. Suponiendo que el piso no tiene rozamiento y no tomando en cuenta el peso de la escalera, encontrar la tensión en la varilla y las fuerzas ejercidas por el piso sobre la escalera. Rta.: 210,2 N ; 534,37 N ;320,63 N 97. ¿Entre que limites debe variar una fuerza vertical aplicada en el extremo C de la barra suponiendo que el sistema permanezca en equilibrio? La barra ABC es uniforme y pesa 9 kgf. 98. Una barra horizontal delgada AB, de peso insignificante y longitud I, está articulada en una pared vertical en el punto A y sostenida en el punto B mediante un alambre delgado BC que forma un ángulo 0 con la horizontal. Un peso P puede ocupar sobre la barra diversas posiciones definidas por la distancia x a la pared. a. Encontrar la fuerza de tensión I en el alambre delgado en función de x. b. Encontrar las componentes horizontal y vertical de la fuerza ejercida sobre la barra por el perno en A. Rta.: Px/ (I sen0) ;Px/ (I tg0) ;P(I −x)/ I 99. Un extremo de un poste que pesa w descansa sobre una superficie horizontal rugosa con coeficiente de rozamiento estático de 0,30. El extremo superior está sujeto por una cuerda atada a la superficie y forma un ángulo de 37° con el poste. Se ejerce una fuerza horizontal F sobre el poste, como se indica en la figura. a. Si la fuerza F está aplicada en el punto medio del poste ¿Cuál es el máximo valor que puede tener sin ocasionar el deslizamiento del mismo? b. Demuéstrese que si el punto de aplicación de la fuerza está demasiado alto, el poste no puede deslizar, independientemente del valor de esta. Hallar la altura critica del punto de aplicación de la fuerza F. Rta.: a) w b. 5 7 , I 150 cm B 100 cm 750 cm A A E B Ð C I x m o B A C I 37° A B F C 31 100. Una caja de embalaje de 30 kg de masa debe moverse hacia la izquierda a lo largo del piso sin voltearla. Sabiendo que el coeficiente de rozamiento entre la caja y el piso es 0,35, determinar: a. El máximo valor del ángulo o. b. La correspondiente tensión I. Rta.: a) 56,73° b) 122,31 N 101. Una barra delgada AB, de peso w, es acoplada a dos bloques A y B que se mueven libremente por las guías que se muestran en la figura. Los dos bloques se conectan entre sí mediante una cuerda elástica que pasa por la polea C. En esas condiciones, calcular el valor de la tensión en la cuerda. Rta.: 0,5 w/ (1−tg0) 102. Un bloque de masa m se encuentra en reposo sobre un canal en forma de escuadra como se muestra en la figura. Si el coeficiente de rozamiento estático entre todas las superficies es p S , calcular su valor. Rta.: √2tg o/ 2 90° o C 0 A B I I o 60 cm 90 cm 32 103. Un disco homogéneo de peso W=100 N y radio r =20 cm esta apoyado en dos superficies en los puntos A y B según muestra la figura. Una fuerza horizontal de intensidad F =10 N actúan sobre el disco a una ℎ del suelo. Se sabe que la fricción en el suelo es despreciable y que el coeficiente de rozamiento estático entre el disco y la superficie vertical es p =0,4. a. Con ℎ =18 cm, verificar el equilibrio del disco. b. ¿Qué valores puede tomar ℎ sin que el equilibrio del disco se rompa? c. Para cada valor de ℎ hallado en la parte anterior. ¿Existe un valor máximo de F que condicione el equilibrio del disco? Si existe ¿Cuál es? Fundamente su respuesta con fórmulas. Rta.: a) está en equilibrio b) 12 cm ≤ ℎ ≤ 28 cm 104. El sistema de la figura muestra un bloque de masa m sobre un cuerpo de forma angular de masa H =2m. Hallar el máximo valor de la fuerza F aplicada horizontalmente a la masa m, cuando el sistema se mueve hacia la derecha con velocidad constante. Rta.: 3 p mg 105. Doblamos un alambre de sección constante por su punto medio, de manera que ambas mitades formen un ángulo o. Si colgamos el alambre de un extremo, calcular el valor de o para que el segmento libre quede horizontal en la posición de equilibrio. Rta.: arccos(1/ 3) 106. Una varilla de vidrio de sección uniforme, de masa m y longitud 2I se apoya sobre el fondo y borde de una capsula de porcelana de forma semiesférica de radio R(I <2R). Despreciando los rozamientos, hallar el ángulo o que formará la varilla con la horizontal en la posición de equilibrio. Rta.: arccos((I +(I 2 +32 R 2 ) 1 2 ⁄ )/ (8R)) o 2I R F p S =4p p S =3p p K =p ℎ F r A R w p =0 33 107. El bloque de masa m =2 kg que descansa sobre un plano inclinado, está sujeto una cuerda ideal que pasa por una polea. Esta cuerda a su vez está sujeta a un resorte vertical fijo al suelo. Los coeficientes de rozamiento son p K =0,3 y p S =0,4 y la constante del resorte es ℓ 0 =100 cm y la de la cuerda es I =250 cm. Si se sujeta la masa m y se la mueve muy lentamente sobre el plano inclinado, determinar entre qué puntos del plano se puede soltar la masa m con la condición de que permanezca en reposo luego de ser soltada. Rta.: 54,39 cm ≤ J ≤ 73,26 cm 108. Sabiendo que el tablón de la figura es homogéneo y pesa 5 kgf. a. Verificar si el tablón está en equilibrio en la posición que se muestra en la figura. b. Calcular el valor de [ para el cual el tablón comienza a resbalar. c. Suponiendo que el tablón inicia el movimiento a partir de la posición deducida en la pregunta b, calcular la energía cinética con que el tablón llega al suelo. I = 3 m ; [ =60° ; p S1 =p K1 =0 ; p S2 =p K2 =0,25. Rta.: a) no está en equilibrio b) 63,43° 109. Una viga uniforme de peso w y longitud I está inicialmente esta inicialmente en la posición AB. Cuando se estira lentamente el cable sobre la polea C, la viga se desliza sobre el piso y luego se levanta, con el extremo A aun deslizando. Llamando p al coeficiente de rozamiento entre la viga y el piso, calcular la distancia x que se desplaza la viga antes de que empiece a levantarse. p =0,4 ; I =10 m Rta.: 6 m I B A I x I B p S2 =p K2 I p S1 =p k1 k ℎ m 53° 34 110. En un cilindro, de peso w =100 N y radio R =50 cm ,se enrolla un hilo, cuyo extremo se sujeta en el punto superior de un poste, empotrado en un plano inclinado un ángulo o con respecto a la horizontal. El coeficiente de fricción entre el cilindro y el plano inclinado es p =0,5. Para o =30° , verificar si el sistema se encuentra en equilibrio. Calcular las reacciones en el empotramiento del poste. ¿Hasta qué ángulo máximo o el cilindro no se deslizara del plano inclinado? Rta.: está en equilibrio ; 45° ; 25 N , 0 , 25 Nm 111. Encontrar el máximo peso w sabiendo que la máxima tensión que puede soportar la cuerda AB es I. Despreciar el peso de la barra. CA =AÐ =1/ 2. Rta.: √6I/ 2 112. Sabiendo que tg0 =o/ b, hallar la tensión I de la cuerda AB cuando el cuerpo está por moverse. Rta.: 0,5 w(pb +2 o)/ (o 2 +b 2 ) 1 2 ⁄ 113. Dos esferas de radio R y peso w quedan en equilibrio en la posición indicada, de manera que la línea que une sus centros forma un ángulo de 30° con la horizontal. Calcular las fuerzas que ejercen las esferas en los apoyos A,B y C. Rta.: mg ; 1,5 mg ; √3 mg / 2 30° 60° A B C b B o w 0 p S 60° 60° w C 45° 90° A B Ð o p =0,5 w R 35 114. Una barra ligera de longitud I se coloca entre el apoyo C y la pared, como se indica en la figura. Despreciando el rozamiento y el peso de la barra, determinar el ángulo o para que la barra se encuentre en equilibrio. Rta.: arcsen(o I ⁄ ) 1 3 ⁄ 115. Despreciando las masas de la tabla, de las cuerdas y de las poleas, determinar la fuerza F con que debe estirar la cuerda una persona de masa H para mantener la plataforma en equilibrio. Rta.: Hg/ 4 116. Un tablón homogéneo de longitud I y peso w sobresale de la cubierta de un barco una distancia I/ 3 sobre el agua. Un pirata de peso 2w es obligado a caminar sobre el tablón. Calcular la máxima distancia que podrá caminar sobre el tablón. Rta.: 3I/ 4 117. Hallar la relación m 1 / H para que la barra de longitud I permanezca en posición horizontal. Rta.: 3/2 118. El sistema de la figura se encuentra en equilibrio, siendo los dos cubos de idéntica naturaleza y de igual masa m. Si la esfera tiene masa H y radio R, hallar el coeficiente de rozamiento estático entre los cubos y la superficie horizontal. Rta.: tgo / (2m H ⁄ +1) 119. A una barra AB de longitud I y peso despreciable, se le aplica una fuerza longitudinal F, como se muestra en la figura. Determinar el valor de x para que la barra esté a punto de deslizar. Rta.: I −o(1+p 2 ) 1 2 ⁄ m 2 H 3/ 4 I m 1 F p =0 B C I w A o o 36 CINEMÁTICA 1. Dos cuerpos indican una caída libre partiendo del reposo y desde la misma altura, con un intervalo de tiempo de 1 s ¿Cuándo tiempo después de que empieza a caer el primer cuerpo estarán estos separados por una distancia de 10 m? Rta.: 1,52 s 2. Un elevador abierto está ascendiendo con una velocidad constante de 32 pies/s. Cuando está a una altura de 100 pies por encima del suelo, un niño lanza una pelota directamente hacia arriba. La velocidad inicial de la pelota respecto al elevador es 64 pies/s: a. ¿Cuál será la altura máxima alcanzada por la pelota? b. ¿Cuánto tardara la pelota en volver a caer al elevador? Rta.: a) 244 pie b) 4 s 3. Se deja caer un balín de acero desde el tejado de un edificio. Un observador colocado frente a una ventana de 122 cm de altura observa que el balín tarda 1/3 s en caer desde la parte baja de la ventana. El balín continua cayendo, sufre una colisión completamente elástica en el pavimento horizontal y reaparece en la parte baja de la ventana 2 s después de que pasó por allí en su bajada. ¿Cuál es la altura del edificio? Rta.: 20,74 m 4. El maquinista de un tren que se mueve con una velocidad de 15 m/ s observa a otro tren de carga que se encuentra adelantado una distancia d en la misma vía, moviéndose en la misma dirección pero con una velocidad menor 5 m/ s. Aplica los frenos y el tren adquiere una desaceleración constante a 3 m/ s 2 . ¿Para qué valores de d no habrá colisión? Rta.: J >(I 1 − I 2 ) 2 / 2o 5. La velocidad inicial de disparo de un arma es 30 m/ s. Un hombre dispara un tiro cada segundo hacia arriba en el aire, considerado sin rozamiento. a. ¿Cuántos proyectiles existirán en el aire en cualquier momento? b. ¿A qué alturas sobre el suelo se cruzaran las balas? Rta.: a) 7 6. Dos móviles A y B corrían a 40 y 30 m/ s respectivamente y frenaron al mismo tiempo. A se detuvo en 5 s mientras que B, en 6 s (M.R.U.V) a. Dibujar el grafico de V-t de los dos movimientos en uno solo. b. Hallar la relación entre las aceleraciones de A y B. c. Hallar las distancias que recorren A y B antes de detenerse después del frenado. d. ¿A cuántos segundos después del frenado las velocidades de A y B se igualan? Rta.: b) 1,6 c) 100 m ,90 m d) 3,33 s 37 7. Sabiendo que los móviles se cruzan en el origen cuando t =0 . Calcular: a. ¿En qué instante tienen la misma velocidad? b. ¿Cuál es la separación de los móviles cuando tienen la misma velocidad? c. ¿A qué distancia del origen se vuelven a cruzar? d. La velocidad de cada móvil cuando se vuelven a cruzar. e. La aceleración de cada móvil cuando se vuelven a cruzar. Rta.: a) 4,55 s b) 11,36 m c) 34,71 m d) 5,64m/ s ;0,64m/ s e) 0,4 m/ s 2 ; −0,7 m/ s 2 8. La posición de un automóvil en una carretera varía de acuerdo con el grafico de la figura. Construir el grafico de I −t para ese automóvil. 9. A partir de la figura construir el grafico de la aceleración en función al tiempo. 10. A partir del grafico de la figura y sabiendo que cuando t =0 ; : 0 =2cm/ s y x 0 =5cm. Calcular: a. La aceleración, la velocidad y el desplazamiento con respecto al origen cuando t =4 s y cuando t =10 s. b. La aceleración media, la velocidad media y el desplazamiento entre los instantes t =7 s y t =11 s. 11. Un globo asciende con una velocidad de 12 m/ s hasta una altura de 80 m sobre el suelo y entonces se deja caer desde él, un paquete. ¿Cuánto tiempo tarda el paquete en llegar al suelo? Rta.: 5,45 s 3 0 10 20 30 t(s) :(m/ s) 1 x(km) t(ℎ) 80 40 0 0,5 1,0 1,5 2,0 0 5 10 5 v(cm/ s) A B t(s) 4 9 0 5 8 12 t(s) o(cm/ s 2 ) 38 12. Un perro ve una maceta que pasa primero hacia arriba y después hacia abajo, frente a una ventana de 1,5 m de altura. Si el tiempo total en que la maceta está ante su vista es de 1,0 s encontrar la altura que alcanza la maceta por encima de la ventana. Rta.: 0,015 s 13. Si un cuerpo recorre la mitad de su camino total en el último segundo de su caída a partir del reposo, encontrar el tiempo y la altura de su caída. Rta.: 3,41 s ; 57 m 14. Un elevador asciende con una aceleración hacia arriba de 4 pies/s 2 . En el instante en que su velocidad es de 8 pies/s se cae un perno suelto desde el techo del elevador que está a 9 pies sobre su piso. Calcular el tiempo en que el perno cae desde el techo hasta el piso del elevador, y la distancia que cayó con relación al pozo del elevador. Rta.: a) 0,71 s b) 2,32 pie 15. Un paracaidista después de saltar del avión, desciende 50 m sin fricción. Cuando abre el paracaídas se retarda su caída a razón de 2 m/ s 2 alcanzado el suelo con una velocidad de 3m/ s. a. ¿Cuánto tiempo está el paracaidista en el aire? b. ¿Desde qué altura salto del avión? Rta.: a) 17,34 s b) 292,67 m 16. Se deja caer una piedra desde una ventana del último piso de un edificio y un segundo después se lanza otra piedra verticalmente hacia abajo. La segunda piedra abandona la mano con una velocidad de 20 m/ s. a. Despreciando la resistencia del aire, ¿Cuánto tiempo después de lanzada la primera piedra es alcanzada por la segunda? b. ¿A qué altura del suelo debe estar el lugar de lanzamiento con el fin de que ambas piedras toquen el suelo al mismo tiempo? Rta.: a) 1,48 s b) 10,73 m 17. Demostrar que la distancia recorrida durante el enésimo segundo por un cuerpo que cae verticalmente en el vacío a partir del reposo es d =[n− 1 2 ¸ g 18. En el gráfico de la figura se representa la aceleración en función del tiempo, habiendo partido el móvil del reposo. Hallar la velocidad del móvil en el sexto segundo, en m/ s. Rta.: 38,5 m/ s o(m/ s 2 ) 10 7 5 3 4 8 10 t(s) 39 19. La Tortuga y la Liebre se disponen a disputar una carrera. La Liebre puede correr de cero a V (m/s) en t(s) y mantener luego esa velocidad; la Tortuga corre a V/n (m/s), con velocidad constante. Si la carrera se corre sobre una distancia de d (m), calcular la máxima ventaja que puede dar la Liebre a la Tortuga para no perder. Rta.: (2J(n −1) −It)/ 2n 20. Una persona sube por una escalera automática inmóvil en 90 s. Cuando permanece inmóvil sobre la misma y ésta se mueve, llega hasta arriba en 60 s. Calcular el tiempo, en segundos, que tardaría en subir si la escalera está en movimiento. Rta.: 36 s 21. Sabiendo que los dos móviles cuyos diagramas de velocidad se muestran en la figura, se cruzan en el origen en el instante t =0, calcular la separación de los móviles cuando tienen la misma velocidad y el tiempo que demoran en volver a cruzarse. Rta.: 175 cm ; 100 s 22. En la figura se representa la aceleración en función del tiempo para un móvil que parte del origen con velocidad inicial nula. Calcular (usando el gráfico) a. Su velocidad a los 1,5 s. b. El espacio recorrido en los primeros segundo. c. ¿Para qué valor de t su velocidad vuelve a ser cero? d. ¿Para qué valor de t está pasando de vuelta por el origen? Rta.: a) 4,5 m/ s b) 6m c) 4s d) no vuelve a pasar por el origen 23. En la figura se muestra la variación de la velocidad en función del tiempo para un móvil. Sabiendo que la velocidad promedio del móvil durante los 20 segundos fue de 2,5 m/s, calcular la velocidad media en los primeros 5 segundos. Rta.: 2 m/ s 4: :(m/ s) 0 5 10 20 t(s) 1 2 3 4 0 −1 −2 −3 1 2 3 o(m/ s^2) t(s) 0 50 5 :(cm/ s) 1 2 t(s) 40 24. En el grafico se representa la aceleración en función del tiempo de un móvil que parte del origen con velocidad inicial nula. Hallar: a. La velocidad para t =1,5 s. b. El espacio recorrido para t =2s. c. La velocidad para t =4 s. Rta.: a) 4,5 m/ s b) 6m c) 0 25. Dos automóviles A y B se aproximan entre sí con velocidades constantes I A =5 m/ s y I B =10 m/ s , sobre una pista recta. Cuando están a una distancia 1.500 m, una mosca que se hallaba sobre el parabrisas de los autos emprende el vuelo en línea recta hacia el otro auto a una velocidad constante de 25 m/ s; al llegar al parabrisas del mismo invierte su vuelo y retorna hacia el primero a la misma velocidad, repitiendo el ciclo y así sucesivamente. Calcular la distancia, en m, que la mosca habrá recorrido, al cruzarse los autos. Rta.: 2500 m 26. Se deja caer una piedra desde la azotea de un edificio, cuando recorre la cuarta parte de la distancia hasta una ventana que está 8 m por debajo de la azotea, desde la ventana salta un hombre. Calcular: a. La distancia que el hombre estará por debajo de la ventana, cuando la piedra lo alcance. b. La velocidad de la piedra, observada por el hombre en el instante del encuentro. c. La velocidad de la piedra observada por el hombre en cualquier momento. Rta.: a) 4,5 m b) 6,26 m/ s c) 6,26 m/ s 27. En el momento en que una partícula P pasa por el origen 0 con velocidad constante I en la dirección de las x positivas, un hombre cae libremente a partir del mismo origen. Al cabo de un tiempo t, hallar la velocidad de la partícula medida por el hombre. Rta.: v i +gt j 28. Un automovilista sube por una carretera de 1 km hasta la cima de una colina a 15 km/h y desciende por la pendiente del otro lado con una velocidad tal que la velocidad media para todo el trayecto es de 30 km/h. Si la longitud de la pendiente de bajada es también de 1 km, encontrar la velocidad de bajada, en km/h. Rta.: 30 km/ ℎ B 1km 1km A C 3km 1 2 3 4 0 −1 −2 −3 1 2 3 o(m/ s^2) t(s) 41 29. Si dos autos marchan uno tras otro a velocidades constantes I 1 =90 km/h y I 2 =81 km/h y el primero puede frenar 2 veces más rápido que el segundo que lo hace a 2 m/ s 2 . Calcular la mínima distancia a que debe mantenerse el segundo tras el primero, si frenan al mismo tiempo. Rta.: 48,44 m 30. Un hombre parte del reposo y corre hacia la derecha, acelerando a 0,2 m/ s 2 hasta llegar a los 10 m, luego detiene su carrera en los siguientes 10 m y corre hacia la izquierda durante 5 s, deteniéndose 5 s más tarde y reiniciando el ciclo al correr nuevamente hacia la derecha como al principio. Al cabo de una hora de repetir el mismo ciclo ha recorrido 1.200 m hacia la derecha. Suponiendo que todas las aceleraciones son constantes, hallar el valor de su aceleración durante los primeros 5 s que corre hacia la izquierda. Rta.: 0,4 m/ s 2 31. Un móvil parte del punto A y acelera durante t segundos, después frena hasta llegar al punto B y retorna a A con velocidad constante. Si la distancia entre los puntos A y B es d, hallar: a. El desplazamiento. b. El espacio recorrido. 32. La figura representa la v =f(t) de un móvil que se mueve en línea recta. ¿Cuál es el módulo de su desplazamiento y el espacio recorrido entre t =0 y t =10 s? Rta.: 25 m ; 35 m 33. Un móvil viaja de A a B con una velocidad I 1 m/ s y de B a C con una velocidad I 2 m/ s. Sabiendo que la distancia AB es igual a la BC, hallar su velocidad media. Rta.: 2 v 1 v 2 / (v 1 +v 2 ) 34. Empleando el grafico, calcular el desplazamiento del móvil. 0 6 18 24 R =10 v(m/ s) 8 30 42 R =10 t(s) 0 −5 5 4 8 10 t(s) v(m/ s) 42 35. Un cuerpo efectúa un movimiento rectilíneo de acuerdo al siguiente gráfico, que representa su posición en función del tiempo. Calcular el número de veces que la velocidad instantánea se anula entre los instantes cero y 16 s. 36. Un avión que vuela horizontalmente a 1.300 km/h, a una altura de 35 m del suelo, para evitar el radar, se encuentra repentinamente con que el terreno sube con un ángulo de 4,3°. El piloto ha de evitar que el avión toque el suelo elevándolo. Hallar el tiempo que dispone para hacer tal maniobra. 37. Desde el suelo se lanza un objeto verticalmente hacia arriba. Una persona que se encuentra mirando por la ventana de un edificio ve pasar el objeto hacia arriba 6 s después de su lanzamiento y 4 s más tarde lo ve pasar de hacia abajo. Calcular la altura máxima que alcanza el objeto. 38. El grafico de la : = ¡(t) es el indicado en la figura. Trazar los gráficos de x = ¡(t) y o = ¡(t). 39. A partir del diagrama de velocidad tiempo de la figura, hallar: a. Las aceleraciones para los diferentes tramos del movimiento. b. Los espacios recorridos. c. Hacer el diagrama espacio tiempo. d. El espacio recorrido a los 35 s. :(m/ s) 15 10 0 20 30 60 t(s) 0 1 2 3 4 5 t(min) :(km/ ℎ) 15 30 45 60 75 8 x(cm) t(s) 16 43 40. En el gráfico : = ¡(t) de la figura, determinar el espacio recorrido antes detenerse hacer los gráficos de o =¡(t) y c =¡(t). 41. Una cucaracha se mueve con una velocidad v de modulo constante, sigue la trayectoria rectangular indicada en el gráfico. Calcular el módulo de la velocidad media de la cucaracha cuando pasa del punto A al punto B, moviéndose en el sentido de las manecillas del reloj. Rta.: v (o 2 +b 2 ) 1 2 ⁄ / (o +b) 42. Un conejo corre hacia su madriguera con una velocidad V C . Cuando se encuentra a una distancia d de ella un perro situado a d/5 más atrás y en la misma dirección del movimiento del conejo, sale en su persecución, recorriendo 9d/20 con una aceleración a y continuando luego con esa velocidad constante. Hallar la relación d/Vc para que el conejo se salve. Rta.: (J V C ⁄ ) <11(10oJ) 1 2 ⁄ / 20o 43. En la gráfica de la figura se representa : = ¡(t). Hacer las demás gráficas de cinemática. Suponer que para t =0 , x 0 =0. 44. Una pelota se lanza verticalmente hacia arriba desde una torre de 18 m de altura, con una velocidad de 12 m/s. a. Determinar las ecuaciones de la velocidad y altura de la pelota sobre el suelo como función del tiempo. b. Hacer las gráficas de v =f(t) y h =f(t), dando las coordenadas de por lo menos tres puntos notables. : 2: : 0 t 2t 3t 4t t A B o o b b 0 : 1 t 1 2t 1 3t 1 2: 1 : t 44 45. Dos móviles parten simultáneamente de dos puntos A y B distantes entre sí 20 km. Se desea conocer: a. La aceleración de cada móvil. b. El tiempo que tardan en encontrarse. Interpretar los resultados. Rta.: a) 3,1 10 -3 m/ s 2 ; 3,9 10 -3 m/ s 2 b) 0,2 ℎ ; 19,8 ℎ 46. Dos móviles A y B se mueven a lo largo de una línea recta de acuerdo al diagrama de velocidad tiempo de la figura. Sabiendo que ambos móviles están en el origen para t = 0, hallar las ecuaciones que definen aceleración, velocidad y posición en que ocurrirá este encuentro. 47. El móvil A y el B están en x =0 para t = 0. A partir del grafico : = ¡(t) de la figura, dibujar el grafico x función de t. Para ambos móviles deducir una fórmula que nos permita calcular el tiempo en que volverán a encontrarse. Se considera dato todo lo que se muestra en la figura. : : A 0 t 1 A B t 4 8 0 5 8 t(s) A B :(m/ s) 0 100 80 1 2 t(s) :(km/ ℎ) 45 48. Un móvil H recorre una semicircunferencia vertical de radio R con velocidad tangencial de modulo constante I. Determinar la velocidad media de la sombra S que proyecta el móvil sobre un diámetro horizontal al ir desde A hasta B. Rta.: 2 v / π 49. Dos móviles que parten de A y B separados por una distancia J, se mueven con velocidades constantes I A y I B . Sabiendo que si se mueven en la misma dirección y sentido se encuentran a J/ 3 de B y si se mueven en sentidos opuestos tardan t minutos en encontrarse, encontrar las velocidades I A y I B . Rta.: 10 J / 3t ;40J/ 3t 50. Una partícula se mueve sobre sobre un cuadrado de 2 cm de lado con una rapidez constante de 2 cm/ s, en el sentido de las manecillas del reloj. A su vez el cuadrado se mueve sobre el eje x con una rapidez constante de 2 cm/ s, como se indica en la figura. Si el vértice inferior izquierdo del cuadrado y la partícula cuando esta da una vuelta completa al cuadrado, para un observador que se encuentra en un sistema de referencia inercial. 51. Dos móviles A y B poseen los gráficos de posición en función del tiempo indicados. Determinar: a. El tiempo de encuentro de ambos móviles. b. ¿Cuál de los dos móviles es más rápido? t =0 t >0 y(cm) x(cm) 0 A S R B A B 20 0 10 20 x(m) t(s) 46 MOVIMIENTO PARABÓLICO 1. Calcular el ángulo de tiro para que el alcance sea igual al doble de la altura máxima alcanzada por el proyectil. Rta.: 63° 26’ 5,82” 2. Una pelota de futbol americano es pateada con una velocidad inicial de 19,6 m/ s con un ángulo de proyección de 45°. Un jugador en la línea de meta colocado a 54,7 m de distancia en la dirección por donde llega la pelota corre en ese mismo instante hacia la pelota ¿Cuál debe ser su velocidad para que pueda alcanzar la pelota antes de esta caiga al suelo? Rta.: 5,47 m/ s 3. Desde un globo que asciende verticalmente, un hombre dispara dos flechas con un intervalo de 30 s, apuntando horizontalmente y con la misma velocidad. La primera flecha tarda 4,73 sen clavarse en el suelo y la segunda tarda 5,92 s. a. ¿Con que velocidad constante asciende el globo? b. ¿Con que velocidad fueron disparadas las flechas, sabiendo que caen en puntos separados 11,9 m? c. ¿Con que ángulo se clavó cada flecha en el suelo? Rta.: a) 2 m/ s b) 10 m/ s c) −77,29° ; −79,88° 4. Desde lo alto de una suave colina inclinada un ángulo de 37° se desliza un proyectil con una velocidad : 0 =350 m/ s, haciendo blanco contra un objetivo situado abajo, a una distancia inclinada de 14.182 m. Calcular: a. Los ángulos de tiros posibles respecto a la horizontal. b. El tiempo de vuelo más corto posible. c. La velocidad máxima alcanzada por el proyectil. Rta.: a) 68,04° ; −15,11° b) 33,52 s c) 539,6 m/ s 5. El avión que vuela a una altura de 300 m y con una velocidad de 360 km/ ℎ desea hacer blanco sobre el barco que viaja a 72 km/ ℎ. Si en el mismo instante en que el avión suelta la bomba el barco dispara su cañón (cuyo proyectil sale con un ángulo de 60°). ¿Con que velocidad sale la bala del cañón para hacer blanco en el avión? Rta.: 99,05 m/ s 60° 72 km/ ℎ 360km/ ℎ 300 m 47 6. Un avión cae en picada con una cierta velocidad y formando un ángulo de 15° con la horizontal. En el momento en que está a una altura de 800 m deja caer una bomba. Sabiendo que la bomba toca el suelo a una distancia horizontal de 2 km del punto de lanzamiento, calcular. a. La velocidad del avión en el momento de dejar caer la bomba. b. El tiempo en que tarda en caer la bomba. c. El vector velocidad de la bomba en el momento de tocar el suelo. Rta.: a) 282,03 m/ s b) 7,34 s c) 272,42 i −144,93 j 7. Un cañón está colocado para que dispare sus proyectiles, con una rapidez : 0 , directamente hacia una colina cuyo ángulo de elevación es o. ¿Cuál será el ángulo respecto a la horizontal al que deberá apuntarse el cañón para obtener el mayor alcance R posible a largo de la colina? Rta.: n 4 ⁄ +o/ 2 8. Un basquetbolista lanza la pelota desde una altura de 1,80 m con respecto al suelo y emboca en el aro que está situado a una distancia horizontal de 4 m y a una altura de 2,5 m del suelo. Suponiendo que la velocidad con que se lanzó la pelota formaba con la horizontal un ángulo de 70°. Calcular: a. La velocidad con que se lanzó la pelota. b. El ángulo respecto a la horizontal con que la pelota penetro en el aro. c. La altura máxima que alcanzo la pelota. d. El tiempo total que la pelota estuvo en el aire (desde que lanzo hasta que toco nuevamente el suelo) Rta.: a) 8,07 m/ s b) 37,39° c) 4,73 m d) 1,76 s R 0 o 800 m 2 km 15° 48 9. Un hombre viaja sobre una plataforma que avanza con una velocidad de 30 pies/s y desea lanza una pelota através de un aro fijo situado a 16 pies por encima de sus manos, de tal modo que la pelota se mueva horizontalmente en el instante en que la atraviesa. Si lanza la pelota con una velocidad de 40 pics/ s respecto a él. a. ¿Cuál debe ser la componente vertical de está? b. ¿Cuántos segundos después de abandonada pasara la pelota sobre el aro? c. ¿A qué distancia horizontal por delante del aro ha de lanzarse? Rta.: a) 32 pie/s b) 1s c) 54 pie 10. Un avión que vuela horizontalmente a la altura de 1.000 m a una velocidad de 600 km/ ℎ suelta una bomba para abatir un tanque que se desplaza con una velocidad constante, en la misma dirección y sentido. Si el tanque llega a desplazarse 60 m antes del impacto. Calcular la velocidad del tanque y el ángulo que la visual dirigida al tanque forma con la horizontal, inicialmente. Rta.: 4,2m s ⁄ ; 23,32° 11. Un cañón lanza un proyectil por encima de una montaña de altura ℎ, de forma a pasar casi tangencialmente a la cima c en el punto más alto de su trayectoria. La distancia entre el cañón y la cima es R. Detrás de la montaña hay una depresión de profundidad J. Determinar la distancia horizontal entre el punto de lanzamiento 0 y el punto P donde el proyectil alcanza el suelo en función de R,J y ℎ. Rta.: (1+(ℎ +J ℎ ⁄ ) 1 2 ⁄ )R 12. Dar la velocidad inicial del proyectil para que pase justo sobre el muro. Dar también la distancia en que toca el suelo. Rta.: ( g(25o 2 +81b 2 )/ 40b) 1 2 ⁄ ; 9o/ 4 13. Una pelota se lanza directamente hacia una segunda pelota. Esta se abandona partiendo del reposo en el mismo instante en que se lanza la primera. Suponiendo que el ángulo de tiro es 15° y que x =5 m. Donde chocaran ambas pelotas si la velocidad de salida de la primera es 20 m/ s. Rta.: 1,01 m 14. Un mortero de trinchera dispara un proyectil con un ángulo de 53° con la horizontal y una velocidad de 3 m/ s. ¿Cuál deberá ser la distancia inicial desde el mortero al tanque en el instante en que el mortero es disparado para hacer blanco? Rta.: 382,46 m I 0 x 49 15. Un jugador de tenis golpea a la pelota justo antes de que toque el suelo, imprimiéndole una velocidad : 0 =10 m/ s y con un ángulo o =45° con respecto al plano horizontal. La pelota pega en la red a una altura de 0,40 m. ¿A qué distancia de la red estaba el jugador? Rta.: 0,42 m ; 9,79 m 16. Una flecha se dispara hacia una pared, que está a una distancia de 50,0 m con una velocidad inicial que hace un ángulo de 45° con la horizontal. Pega con la pared a 35,0 m sobre el terreno. Suponiendo que la flecha se disparó desde el nivel del terreno, y sin tomar en cuenta la fricción del aire, determinar la velocidad inicial de la flecha. Rta.: 40,41 m/ s 17. Haciendo referencia a la figura, el proyectil se dispara con una velocidad inicial : 0 =30 m/ s a un ángulo 0 =23°. La camioneta se mueve a lo largo de X con una velocidad constante : =15 m/ s. En el instante que el proyectil se dispara, la parte trasera de la camioneta se encuentra en x =45 m. a. Encuéntrese el tiempo necesario para que el proyectil pegue contra la parte trasera de la camioneta, si la camioneta es muy alta. b. ¿Cómo debe ser el disparo si la camioneta tiene únicamente 2 m de alto? Rta.: a) 2,614 s b) x =84,54 m ; y =2 m 18. Hallar el ángulo de disparo de un proyectil con la condición de que la altura máxima sea igual al doble del alcance horizontal. Rta.: 82° 52’ 30” 19. Dos proyectiles de masas diferentes son disparados horizontalmente con velocidades iniciales diferentes desde una misma altura. Suponiendo que la superficie del terreno es perfectamente plana, ¿Cuál proyectil emplea menos tiempo para llegar a tierra? Rta.: los tiempos son iguales 20. Demostrar que en un movimiento parabólico para una velocidad de disparo : 0 y ángulo de disparo 0 1 =45+o y 0 2 =45−o , se tiene el mismo alcance horizontal. 21. Un vehículo se mueve sobre una línea recta con velocidad v. Si desde un punto que se encuentra a una distancia D de la recta, se desea disparar un proyectil que haga impacto en el mismo en el menor tiempo posible, determinar: a. ¿Cuál es el ángulo mínimo de disparo? b. ¿Cuánto tiempo antes del impacto debe dispararse el proyectil? c. ¿A qué distancia del punto de impacto se encuentra el vehículo en el momento del disparo? ¥ X : 0 : 0 50 22. Un hombre avanza parado encima de la plataforma de una camioneta que se mueve a una velocidad de 36 km/h. desea embocar una pelota a través de un aro circular que cuelga a 5 m por encima de sus manos, (El aro cuelga de tal manera que la superficie circular es vertical y está de frente a la dirección del movimiento de la camioneta). Si lanza la pelota con una rapidez de 12 m/s con respecto de si mismo de tal manera que al atravesar el aro la velocidad de la misma sea horizontal: a. ¿Cuál debe ser la componente vertical de la velocidad inicial de la pelota con respecto a la tierra? b. ¿Cuántos segundos después de haber sido lanzado pasara la pelota por el aro? c. ¿Cuántos metros antes de pasar por debajo del arco debe el hombre lanzar la pelota? 23. El alcance de un proyectil es cuatro veces su altura máxima y permanece en el aire 2 s. ¿Cuáles fueron su velocidad inicial y su ángulo de disparo? Rta.: 13,86 m/ s ; 45° 24. Un avión volando en picada a 30° por debajo de la horizontal y a una velocidad constante de 200 km/ ℎ suelta una bomba dirigida contra un objetivo en el suelo que se desplaza a una velocidad de 80 km/ ℎ en sentido contrario al del avión. Si el piloto del avión ve su blanco cuando éste se encontraba a 2.800 m de distancia en línea recta y su altímetro indicaba 1.200 m, se pide: a. Escribir las ecuaciones de los movimientos del avión, del blanco y de la bomba. b. Calcular el tiempo que debe esperar el piloto desde el instante en que vio el blanco, para tirar la bomba y acertarlo. Rta.: b) 29,57 s 25. ¿Cuál es el alcance que puede tener el proyectil de la figura si sabemos que pasa rozando el muro? Rta.: 70,98 m 26. Un jugador de futbol que chuta la pelota con una velocidad inicial : 0 =25 m/ s acierta el travesaño superior de la alambrada que está detrás del arco a una altura E =3,45 mde altura. Si el disparo se produjo desde una distancia horizontal J =50 m con respecto a la alambrada. ¿Cuál pudo ser el ángulo de disparo? Rta.: 31,13° ; 62,81° 30 m 10 m 30° 200km/ ℎ 1200 m 30° 51 27. Encontrar el ángulo de disparo para el cual el alcance horizontal es igual a la máxima altura de un proyectil. Rta.: 75° 57’ 50” 28. En un sistema de referencia X0¥, dos proyectiles P 1 y P 2 son lanzados simultáneamente, el primero desde el origen y el segundo desde un punto sobre el eje X que dista 150 m del origen. El proyectil P 1 es disparado con una velocidad I 1 de módulo 100 m/s que forma un ángulo de 60° con el eje X y se encuentra con P 2 después de un tiempo de 1,5 s en el aire. a. Calcular la dirección y el módulo de la velocidad de lanzamiento de P 2 . b. Determinar si el encuentro se produce en el trayecto ascendiente o descendente de los dos proyectiles. Rta.: a) 120° , 100 m/ s b) ascendente 29. El piloto de un avión que pierde altura, jala la palanca de emergencia, saliendo despedido con una velocidad horizontal I 0 con respecto al avión. En ese momento el avión se encontraba a 6.000 m de altura, sobre un terreno horizontal, a 10.500 m de un abismo y se movía con una velocidad de 120 m/s con una inclinación de 7° con respecto de la horizontal, tal como se indica en la figura. El piloto abre su paracaídas, cierto tiempo después, justo cuando se encontraba a 5.000 m de altura, retardando con ello su velocidad vertical y llega al suelo en el momento que la componente vertical de su velocidad se reduce a cero. ¿Cuál debe ser la velocidad I 0 para que el piloto caiga justo al borde del precipicio? Rta.: 6,08 m/ s 30. Un hombre apunta horizontalmente su rifle al centro del blanco y dispara. La bala pega a 2 cm por debajo del centro. Si la velocidad del proyectil es 500 m/s, calcular la distancia desde la cual disparó. Rta.: 31,94 m 31. Un cañón antitanques está ubicado en el borde de una meseta a una altura de 60 m sobre la llanura que la rodea. La cuadrilla del cañón. En el mismo instante la tripulación del tanque ve el cañón y comienza a escapar en línea recta de éste con una aceleración de 0,90 m/s 2 . Si el cañón antitanque dispara un obús con una velocidad de salida de 240 m/s y un ángulo de elevación de 10° sobre la horizontal, ¿Cuánto tiempo esperaran los operarios del cañón antes de volver a disparar para darle al tanque? Rta.: 5,45 s 10° 240 m/ s 60m 2200m 10500m 500 m 200 km/ ℎ 7° 52 32. Se lanza un proyectil A con una velocidad inicial I 0 y un ángulo 0 en el mismo instante en que se lanza verticalmente un proyectil B con una velocidad I a una distancia horizontal J. Calcular el valor de I 0 y 0 de tal modo que A acierte a B en el punto más alto de su recorrido. Rta.: (I 4 +g 2 J 2 ) 1 2 ⁄ / I 33. Un arquero parado en un terreno con inclinación ascendente constante de 30° apunta a un blanco que está a 60 m más arriba en la ladera. La flecha en el arco y el centro del blanco están ambos a 1,50 m sobre el suelo. La velocidad inicial de la flecha es de 32 m/s. ¿Con que ángulo sobre la horizontal debe apuntar el arquero para dar en el blanco? ¿Cuánto tiempo tarda la flecha en clavarse en el blanco? Rta.: 49° 16’ 09” ; 70° 43’ 51” ; 2,49 s ; 4,92 s 34. Desde un punto A, ubicado a una distancia d de la base de un plano inclinado un ángulo o con la horizontal, se lanza verticalmente hacia arriba una pelota de goma perfectamente elástica. Calcular la velocidad de lanzamiento de la pelota, para que la misma llegue justo a la base del plano inclinado, después de chocar elásticamente con el plano. Rta.: ( g J ∕ seno) 1 2 ⁄ / 2 35. Un niño andando en un skate con una velocidad v en un plano horizontal lanza para arriba una bola con una velocidad inicial 2I, atrapándola de nuevo en su retorno. Calcular la distancia horizontal que recorre la bola y determinar el tipo de trayectoria descripta para un sistema fijo al niño. Rta.: 4 I 2 / g 36. Dos proyectiles A y B se disparan desde un piso plano horizontal con velocidades de módulos iguales. La velocidad inicial de A hace un ángulo 0 A con la horizontal, y B hace un ángulo 0 B también con la horizontal. Si 0 A <0 B <90°, ¿Cuál de los proyectiles dura más tiempo en el aire, cual alcanza mayor elevación, y cual viaja más lejos? Rta.: proyectil B ; proyectil B ; indeterminado I 0 I B A 0 J 53 MOVIMIENTO CIRCULAR 1. El cuerpo m se encuentra sostenida por los cables A y B. Si se corta el cable B, hallar la relación de tensiones I/ I’ en el cable A. Rta.: I/ I’ =sec 2 0 2. Un cable de longitud I tiene atada una masa H en un extremo y una masa m en el otro. El cable pasa por un tubo de vidrio vertical liso. Se hace girar la masa m alrededor del eje vertical del tubo de tal manera que la masa H permanece a una distancia b de la parte superior del mismo. Determinar la velocidad angular necesaria y el ángulo o resultante. H > m Rta.: arcsen(m/ H) ; [Hg/ (m(I −b))¸ 1 2 ⁄ 3. Una curva circular de 500 m de radio tiene un ángulo de peralte de 7,5°. Sabiendo que el coeficiente de rozamiento estático entre el asfalto y las ruedas es 0,6, calcular las velocidades con que se puede circular en dicha curva. Rta.: 62,39 m/ s 4. Un cubo muy pequeño de masa m se coloca en el interior de un embudo que gira en torno de un eje vertical con ritmo constante de ¡ rev/s. La pared del embudo forma un ángulo o respecto de la horizontal. Si el coeficiente de rozamiento entre el embudo, y el cubo es p y el centro del cubo se encuentra a una distancia R del eje de rotación, determinar el valor máximo y mínimo de ¡ para que el cubo no deslice. Rta.: (g(seno + p coso) (r(coso −p seno)) ⁄ ) 1/ 2 / (2n) m u R æ w m H I′ m 54 5. Un balde de agua está girando alrededor de un eje vertical, a una altura E del suelo. El cable que lo sostiene tiene una longitud I y forma un ángulo o con la vertical. Si del fondo del balde comienzan a caer gotas de agua, determinar el lugar geométrico que forman al llegar al suelo. Rta.: (I sen 2 o (I coso +2ℎ) coso ⁄ ) 1 2 ⁄ 6. Los bloques de masa m =500 g se encuentran unidos mediante un resorte de constante k =30 N/ m, siendo su longitud sin deformación ℓ 0 =80 cm. Los bloques se sitúan sobre una plataforma, girando con una velocidad angular constante æ =3,5 roJ/ s. a. Calcular la deformación del resorte para que no exista contacto entre bloques y topes respectivamente. b. Si la velocidad angular es de 4 rad/s, calcular las reacciones de los topes sobre los bloques. c. En este último caso, ¿Cuánto vale la fuerza del resorte? Si a partir de aquí se aumenta la velocidad angular, ¿Qué ocurre con la fuerza del resorte? Rta.: a) 0,09 m b) 0,86 N c) constante 7. ¿A cuántas revoluciones por segundo ha de girar el aparato de la figura alrededor de un eje vertical para que la cuerda queda formando un ángulo de 45° con la vertical ¿Cuál es entonces la tensión de la cuerda? I = 20 cm ; o = 10 cm ; m = 200 g Rta.: 1,01 rpm m I æ k H H æ E 0 55 8. Los bloques de masa m =500 g se encuentran unidos mediante un resorte de constante k =10 N/ m, siendo su longitud sin deformación ℓ 0 =90 cm. El sistema está apoyado sobre un embudo que gira con una velocidad angular constante. a. Calcular la velocidad angular para la cual no se produce deformación en el resorte. b. Calcular la deformación del resorte cuando el sistema gira a 4 rad/s. c. Si el resorte se alarga ℓ 0 / 4, calcular la velocidad angular necesaria para que esto ocurra. Rta.: a) 4,67 roJ/ s b) 0,22 m ; 5,04 m/ s 9. Un bloque de 8 kg está unido a una barra vertical por medio de dos cuerdas. Si el sistema gira alrededor del eje de la barra, las cuerdas están tensas como se indica en la figura. ¿Cuántas rpm ha de dar el sistema para que la tensión en la cuerda superior sea de 15 kgf? ¿Cuál es entonces la tensión en la cuerda inferior? Rta.: 38,61 rpm 10. Una plataforma de fonógrafo gira a la velocidad constante de 78 rpm. Se encuentra que un pequeño objeto, colocado sobre el disco, permanece en reposo con respecto a éste si su distancia al centro es menor a 7,5 cm pero desliza si su distancia es mayor ¿Cuál es el coeficiente de rozamiento entre el objeto y el disco? Rta.: 0,5 11. Un disco de radio r se halla girando en un plano vertical, con una velocidad angular constante æ, con una masa H adherida a su periferia. Cuando H pasa por el punto más alto se desprende del disco y sale disparada, pegando en una pared vertical como se muestra en la figura. Encontrar la distancia x a la que se halla ubicada de la pared. Rta.: 2 æ r (r/ g) 1 2 ⁄ H r H r æ 8 kg 1,5 m 1,5 m 2,4 m æ m 45° k æ m 45° 56 12. Una masa de 1 kg gira en una circunferencia vertical, atada a una cuerda de 1 m de longitud que soporta una tensión máxima de 205,8 N. Si la masa girara a k rad/s más la cuerda se rompería en el punto de tensión máxima y si girara a k rad/s menos tendría la velocidad crítica en el punto más alto de su recorrido. Calcular el valor de k. Rta.: 5,43 roJ/ s 13. Un cubo muy pequeño de masa m =1 kg se coloca en el interior de un embudo que gira con un ritmo constante de ¡ (rev/s), como se muestra en la figura. La pared del embudo forma un ángulo o =30° con respecto de la horizontal. Si el coeficiente de rozamiento entre el embudo y el cubo es p =0,5 y el centro del cubo se encuentra a una distancia R = 1 m del eje de rotación, determinar los valores máximo y mínimo de f para que el cubo no deslice. Rta.: 0,61 Ez ; 0,122 Ez 14. El sistema de la figura está compuesto por una pesa de masa m, que cuelga de la polea A por medio de una cuerda unida a otra polea móvil B, y por un cuerpo de masa H =2 kg que se apoya sobre un plano inclinado o =53,13° y que está sujeto por otra cuerda que pasa por la polea B y se fija al muro CÐ. Ambas poleas tienen masas y diámetros despreciables y el coeficiente de rozamiento estático entre el cuerpo y el plano inclinado es 0,5. a. Calcular la masa m de la pesa y las tensiones en las cuerdas, con la condición de que el cuerpo M esté a punto de subir el plano inclinado. b. Si luego se levanta la pesa un ángulo o en torno a la polea A, en el plano XX’ y se la deja caer, calcular el nuevo ángulo ç, con el cual el cuerpo H está nuevamente a punto a deslizar. Rta.: a) 4,4 kg b) 42,83° 15. Un hombre se encuentra inicialmente parado en el borde de un disco de radio r =2,45 m, que gira con una velocidad angular constante æ =1 rad/s, como se muestra en la figura. Entonces salta fuera del disco, elevándose una altura z =1,225 m y con velocidad I X igual a la mitad de su velocidad I ¥ . En estas condiciones, encontrar la distancia d, medida desde el centro del disco, donde el hombre tocara suelo. Rta.: 4,42 m H m B o A X′ Ð C m o m R ¡ æ x y x z r H 57 16. El sistema de la figura gira alrededor del eje AB con una velocidad angular constante æ. La esfera perforada de masa m se desliza sobre la varilla CÐ sin rozamiento. Calcular: a. El vector aceleración de la esfera en un instante cualquiera. b. ¿A qué distancia x la esfera se encuentra en reposo con respecto a la varilla? Rta.: b) g cos0 / (æsen0) 2 17. Dos bloques, que tienen pesos w A =16,1 kgf y w B =24,15 kgf y posiciones como se indican en la figura, descansan sobre un marco que gira alrededor de un eje vertical con velocidad angular constante. El coeficiente de rozamiento entre los bloques y el marco es de 0,20. Despreciando el peso y la fricción de la polea, calcular: a. ¿A cuántas rpm empezaran a deslizarse los bloques? b. ¿Cuál es la tensión en la cuerda en ese instante? Rta.: a) 31,53 rpm b) 111,9 N 18. En una estación espacial, para evitar la sensación de ingravidez a los astronautas, se la hace girar como se muestra en la figura. Hallar el perímetro de giro I para que una persona sienta su mismo peso que en la Tierra. Rta.: 2 n (R g ⁄ ) 1 2 ⁄ R p S A B 45 cm 15cm æ Ð 0 A æ C x B 58 19. Hallar la relación entre las longitudes del horario y del segundero de un reloj para que las velocidades lineales en sus extremos sean iguales. Rta.: 720 20. En un tren con movimiento circular uniforme, de radio R =100 m , se pesa con un dinamómetro un cuerpo de masa m =5 kg. Sabiendo que el módulo de la velocidad del tren es V =25,75 m/s, hallar la lectura del dinamómetro. Rta.: 60 N 21. Un vehículo se mueve sobre una curva de radio R y ángulo de peralte ϕ, con la máxima velocidad posible. Si del techo del mismo cuelga un péndulo que forma un ángulo 0 con la vertical, calcular su coeficiente de rozamiento. Rta.: tg(0 −¢) 22. Un punto material recorre una trayectoria circular de radio 2 m el grafico de la velocidad en función del tiempo es dado abajo. Hallar la aceleración resultante del movimiento en el instante t = 1 s. Rta.: 40 m/ s 2 23. Sobre la superficie completamente lisa del cono de revolución representando en la figura, que gira con una velocidad angular ω, está dado el cuerpo A de masa m sujeto al vértice del cono por un hilo inextensible y sin masa, de longitud L. Calcular la velocidad angular del cono para que se anule su relación sobre el cuerpo A. Rta.: ( g I coso ⁄ ) 1 2 ⁄ 24. Un cuerpo describe una trayectoria circular con velocidad angular æ =2n rad/s constante, ligado a un hilo de longitud I = 1 m. Una hormiga sale en el instante t =0 desde el origen alcanzar el cuerpo. Rta.: 100 25. Dos poleas de radios o y b están acopladas entre sí por medio de una correa, como se muestra en la figura. La polea mayor de radio o , gira en torno de su eje empleando un tiempo t para completar una vuelta. Calcular el módulo I de la velocidad del punto P de la correa. Rta.: 2 n o/ t o A L 34 4 6 t(s) v(m/ s) P o b 59 26. Una moneda es colocada sobre un plato de tocadiscos, que comienza a girar, cada vez más rápidamente. Siendo p , el coeficiente de rozamiento estático entre la moneda y el plato; :, la velocidad de la moneda y R, la distancia de la moneda al eje de rotación; hallar la velocidad cuando la moneda se escapa del plato. Rta.: ( p g R) 1 2 ⁄ 27. Para que un automóvil recorra una curva horizontal de radio dado, en un camino horizontal, con una cierta velocidad, el coeficiente de rozamiento estático entre los neumáticos y la pista debe tener un mínimo valor p. Para que el automóvil recorra una curva horizontal, con el mismo radio y con la misma velocidad por un camino con una sobreelevación, sin tener tendencia a deslizar, el ángulo de sobreelevación debe tener un valor o con respecto a la horizontal. Hallar dicho ángulo. Rta.: arctgp 28. Un ciclista corre sobre una pista circular, peraltada un ángulo o respecto a la horizontal, describiendo su centro de gravedad una circunferencia de radio R. Determinar su velocidad angular æ, para que el plano de la bicicleta se mantenga perpendicular a la pista, sin que vuelque. Rta.: ( g tg o/ R) 1 2 ⁄ 29. Una pista circular de alta velocidad tiene un diámetro de 500 m y un ángulo de peralte de 30°. El coeficiente de rozamiento estático entre el pavimento y las ruedas es 0,4. Calcular entre que velocidades se puede conducir un coche por esa pista sin que el mismo resbale lateralmente ni hacia el borde exterior ni hacia el borde interior. Rta.: 18,79m s ⁄ ≤ I ≤ 55,79 m/ s 30. En una curva peraltada de radio 100 m, con un ángulo de peralte de 20°, se mueve un vehículo que tiene un coeficiente de rozamiento estático de 0,25 entre sus neumáticos y la superficie ¿Cuáles son las velocidades máxima y mínima que puede tener el vehículo? Rta.: 10,12m s ⁄ ≤ I ≤ 25,72 m/ s 31. Un bloque de masa H está sujeto a una barra vertical mediante dos cuerdas. Cuando el sistema gira alrededor del eje de la barra, las tensiones están entre sí como 4/3. Determinar la expresión de la velocidad angular. Rta.: (14 g/ o) 1/ 2 B I′ I o C A R : 60 32. La figura muestra el corte transversal de un recipiente hemisférico hueco de radio R, que está girando alrededor de un eje vertical con una velocidad angular æ. Dentro del hemisferio se encuentra una pequeña esferita en reposo con respecto a dicho hemisferio. Deducir la fórmula que permita calcular la coordenada angular 0 que fija la posición de la esfera para cada uno de los siguientes casos: a. El rozamiento entre la esfera y el recipiente es despreciable; b. El coeficiente de rozamiento estático es p y æ es máxima. c. El coeficiente de rozamiento estático es p y æ es mínima. 33. Calcular el ángulo de peralte mínimo en una curva de una carretera conociendo el radio R de la curva, el coeficiente de rozamiento máximo p y la velocidad máxima permitida v. Rta.: arctg((v 2 − p g R)/ ( p v 2 +g R)) 34. Un cuerpo de masa m describe una circunferencia horizontal de radio r =3 m, alrededor de un eje vertical, tal como se muestra en la figura, a una altura de 5,50 m del piso. Si el hilo se suelta y se observa que el cuerpo m cae a una distancia D=8 m del eje vertical, hallar la frecuencia a la que estaba girando y el ángulo que el hilo formaba con la vertical. Rta.: 0,37 Ez ; 58,85° 35. Deducir una fórmula que nos permita calcular la máxima velocidad v con que un automóvil puede tomar una curva de una carretera con un radio R y un ángulo de peralte ϕ para que no resbale lateralmente, suponiendo que se conoce el coeficiente de rozamiento estático p entre las ruedas y el pavimento. Rta.: ( g R(seno + p coso) coso − p seno ⁄ ) 1 2 ⁄ o m æ ℎ Ð æ R o 61 DINÁMICA 1. Calcular la aceleración del sistema y la tensión en cada cuerda. Despreciar rozamientos. Rta.: F/ (m 1 +m 2 +m 3 ) ; m 1 F/ (m 1 +m 2 +m 3 ) ; (m 1 +m 2 ) F/ (m 1 +m 2 +m 3 ) 2. Una plomada está suspendida del techo de un tren de ferrocarril fusionando como acelerómetro. Deducir la formula general que relaciona la aceleración horizontal o con el ángulo que forma la plomada con la vertical. Rta.: g tg0 3. a. Analizar qué pasa cuando F =30 N. b. Calcular las aceleraciones de los cuerpos. c. Calcular las tensiones de cuerdas. d. ¿Qué fuerza mínima es necesaria para que ambos cuerpos se despeguen del suelo? Calcular las nuevas aceleraciones. Rta.: b) en reposo, 4,9 m/ s 2 ; c) 147 N ; d) 784 N , 0 29,4 m/ s 2 4. Un mono de 10 kg está trepando por una cuerda sin masa amarrada por su extremo a una masa de 15 kg, pasando la cuerda sobre la rama de un árbol sin rozamiento. a. Explicar cómo tendría que subir el mono por el cable para levantar del suelo la masa de 15 kg. b. Si después que la masa ha sido levantada del suelo, el mono deja de trepar y se prende de la cuerda, ¿Cuál será su aceleración y la tensión de la cuerda? Rta.: a) 4,9 m/ s 2 b) 1,96 m/ s 2 c) 117,6 N F 10 kgf 10 kgf 0 m 1 m 2 m 3 F 62 5. Un bloque de masa m 1 =43,8 kg descansa en un plano inclinado liso que forma un ángulo de 30° con respecto a la horizontal. La masa está unida por una cuerda que pasa por una polea sin rozamiento y de masa despreciable a otro cuerpo de masa m 2 =29,2 kg. a. ¿Cuál es la aceleración de cada cuerpo? b. ¿Cuál es la tensión de la cuerda? Rta.: a) 0,98 m/ s 2 b) 257,5 N 6. En el sistema de la figura, inicialmente en reposo el ángulo [ varía gradualmente levantando el plano inclinado. ¿Qué bloque se moverá primero y con qué valor de [? Luego de haber iniciado el movimiento y con el valor de [ hallado, calcular la aceleración del sistema y la fuerza de rozamiento entre ambos bloques y contra el piso para ese instante m 1 =20 kg, m 2 =45 kg; p S1 =0,40 ; p S2 =0,35 ; p k1 =0,25; p k2 =0,20 Rta.: bloque 2 , 19,29° ; 1,39 m/ s 2 ; 120,25 N ; 37,12 N 7. Un bloque de 35,6 N y otro de 21,2 N, están unidos entre sí por medio de una varilla sin masa y resbalan por un plano inclinado 30°. Considerar que no hay rozamiento. Encontrar la tensión en la varilla. Calcular además la aceleración de cada bloque y aceleración del sistema. Rta.: 4,9 m/ s 2 ; 0 8. En el sistema de la figura: a. Si m C =200 g, averiguar si los bloques A y B se mueven juntos. b. ¿Cuál sería el máximo valor de m C para que A y B se muevan juntos? m A =500 g; m B =200 g; p S =0,2; p k =0,2 Rta.: a) si b) 0,35 kg A B C p s p k 30° w 2 w 1 30° m 1 m 2 0 m 2 m 1 p 1 p 2 63 9. En el sistema de la figura, inicialmente en reposo, se le aplica una fuerza de 50 N al cuerpo de masa H. Determinar el movimiento del sistema. Si m se desliza sobre H ¿Cuánto tiempo tarda en caerse? ¿Qué pasa entonces con la aceleración de H? Rta.: 2,02 s ; 5,27 m/ s 2 10. Despreciando la masa de las poleas, calcular la aceleración de H.H = 2 m; p k =0 Rta.: 0,44 m/ s 2 11. Calcular entre que valores debe variar F para que las masa m 1 y m 2 no deslice sobre M. m 1 =30 kg; m 2 =50 kg; M =100 kg; p S =0,2; o =30° Rta.: 232,2 N ≤ F ≤ 1024,2 N 12. Sobre la plataforma de masa m se encuentra un hombre de masa M. Una cuerda que está amarrada al elevador pasa por una polea y de allí a las manos del hombre. La cuerda y la polea son ideales. El hombre tira de la cuerda y sube con el elevador una aceleración constante o. Calcular la fuerza ejercida por el hombre sobre la plataforma. Rta.: 1 2 (o +g)(H − m) g m 2 m 1 p s p s H F o H p H =2m m H m F p 2 p 1 3m 64 13. En el dispositivo mostrado, m 1 =100 g, m 2 =400 g, m 3 =200 g. Las poleas se suponen sin masa y las superficies sin rozamiento. ¿Cuántos son las aceleraciones de cada cuerpo? Rta.: 3,92 m/ s 2 ; 1,96 m/ s 2 ; 1,96 m/ s 2 14. Los cuerpos m 1 y m 2 están dispuestos en un plano inclinado. Se conocen m 1 , m 2 , L, p 1 , p 2 y o. Se pide calcular el tiempo que tardaría m 2 en llegar al otro extremo. Rta.: (I(m 1 +m 2 ) (m 2 − m 1 )g seno − g coso (2 m 1 p k1 +p k2 (m 1 +m 2 )) ⁄ ) 1 2 ⁄ 15. Sabiendo que el sistema que se muestra en la figura se mueve hacia abajo. Calcular la tensión transmitida por la barra rígida. Si se quita la barra, ¿Cuánto tiempo tardan los bloques en chocarse? El peso de la barra es despreciable. Rta.: 1,96N ; 2,02 s 16. El bloque se muestra en la figura parte del reposo desde el extremo superior del plano inclinado. El p k es 0,2 y la fuerza que actúa el bloque es constante e igual a 10 kgf (Esta fuerza deja de aplicarse al final del plano inclinado). El bloque llega al piso a una distancia x =2 m. Conociendo que m =50 kg , ℎ 1 =5 m , [ =30°, hallar el valor de ℎ 2 . Rta.: 1,42 m ℎ 2 [ ℎ 1 m F x m 1 m 2 60° p k1 p k2 I m 1 m 2 p 2 o p 1 m 2 m 1 m 3 65 17. Un carro que lleva una caja, se mueve sobre un plano inclinado 30°, con una velocidad de 11,5 m/s. Calcular ¿Cuál debe ser el p S entre la caja y el carro si se desea que el carro pueda frenar en una distancia de 10 m? Rta.: p S ≥ 0,2 18. Se sueltan dos bloques de masas m =3 kg y m i =9 kg, en un plano inclinado 30°. Ambos bloques están unidos por un resorte de constante k =0,5 kg/cm tal que al soltarlos el resorte no se encuentra estirado ni comprimido. Sabiendo que el p k =0,25 y el p k =0,30. Hallar cuanto se deforma el resorte e indicar si se estira o se comprime. Rta.: 2 10-3 m ; se estira 19. La figura es el esquema de una doble máquina de Atwood. Calcular la aceleración del sistema y las tensiones de las cuerdas que sostienen los cuerpos de masas m 1 y m 2 . Despreciar el rozamiento y las masas de las poleas. (m 1 +m 2 )>m 3 Rta.: (m 1 +m 2 −m 3 )g/ (m 1 +m 2 +m 3 ) ; 2 m 1 m 3 g/ (m 1 +m 2 +m 3 ) ; 2 m 2 m 3 g/ (m 1 +m 2 +m 3 ) 20. Se acelera una masa m 2 sobre un plano horizontal mediante el dispositivo de la figura. Durante el movimiento la masa m forma un ángulo constante [. Los coeficientes de rozamiento cinético sobre el plano horizontal e inclinado son respectivamente p k2 y p k2 . Las masas de las poleas son despreciables. Calcular: a. El ángulo [. b. La tensión de la cuerda que une A con la masa m. m 1 =150 kg; m 2 =100 kg; m 3 =30 kg; m =20 kg; o =53,13°; p k1 =0,2 ; p k2 =0,1 Rta.: a) 78,69° ; b) 199,88N [ m m 3 m 1 o p k1 p k2 m 2 m 1 m 2 m 3 30° p k p k ′ m′ m 30° 10m 66 21. Calcular la fuerza horizontal F que debe aplicarse al carro de masa H para que los carros de masas m 1 y m 2 , cuyos rozamientos son despreciables, estén en reposo con respecto a él. Rta.: (m 1 +m 2 +H)m 2 g/ m 1 22. En el sistema de la figura la masa m 1 =20 kg tiene inicialmente una velocidad hacia arriba y sube el plano con inclinación o ayudada por la masa m 2 =10 kg. Los coeficientes de rozamiento son p S =0,5 y p k =0,3. Calcular para que valores del ángulo o la masa m 1 a. Sube con aceleración positiva. b. Sube sin aceleración. c. Sube con aceleración negativa, se detiene y ya no baja. d. Sube con aceleración negativa, se detiene y baja acelerando. Rta.: a) 0 <o <11,92° b) o =11,92° c) 11,92° <o <53,13° d) o <53,13° 23. Un bloque de masa m resbala en un canal de escuadra como se muestra en la figura. Si el coeficiente de rozamiento cinético entre el bloque y el material de que esta hecho el canal es p, obtener la aceleración del bloque. Rta.: g(sen0 − 2 1 2 ⁄ p k cos0) 24. ¿Cuál debe ser la masa mínima del bloque A para que el sistema de la figura permanezca en equilibrio en esa posición? ¿Cuál es ahora la tensión de la cuerda? Ahora si se cambia el bloque A por un bloque de 10 kg. ¿Cuál es el mínimo coeficiente de rozamiento estático necesario para que A y B aceleren juntos? ¿Cuál es ahora la tensión de la cuerda? m B =50 kg ; m C =24 kg ; p S =0,3 ; p k =0,2 Rta.: 30 kg ; 235,2 N ; 0,14 90° o m 1 m 2 o I 0 X m 1 H m 2 F A B C 67 25. Un pintor está sobre una plataforma suspendida de una polea fija como se indica en la figura. Tirando de la cuerda 3, él hace subir la plataforma M/2. Calcular las tensiones en las cuerdas 1 , 2 y 3, y la fuerza ejercida por el pintor sobre la plataforma. Rta.: 15/ 16 Hg ; 15/ 8 Hg 15/ 16 Hg ; 15/ 8 Hg 26. Un bloque de 4 kgf está colocado sobre otro de 5 kgf. Para hacer que el bloque superior resbale sobre el inferior, debe aplicarse una fuerza horizontal de 12 N sobre el bloque superior. Suponiendo que la mesa no tiene rozamiento, calcular la máxima fuerza horizontal F que se puede aplicar al bloque inferior para que los dos bloques se muevan juntos. Rta.: 15 N 27. Un bloque A de 0,2 kg de masa descansa sobre otro bloque B de 0,8 kg de masa. El conjunto es arrastrado con velocidad constante sobre una superficie horizontal rugosa por otro bloque C de masa 0,2 kg, que se encuentra suspendido como se muestra en la figura. a. El bloque A se separa del bloque B y se une al bloque C, también suspendido, como se muestra en la figura. ¿Cuál es la aceleración del sistema? b. ¿Cuál es la tensión de la cuerda unida al bloque B? Rta.: a) 1,96 m/ s 2 ; 3,14 N 28. Un bloque de masa m =1 kg está inicialmente suspendido en un carrito de masa H = 11 kg, mediante el sistema de poleas mostrado en la figura. Las poleas y los hilos son de masa despreciable y también se desprecian todas las fuerzas de fricción. Si el bloque se suelta cuando está a una altura ℎ = 4,9 m por encima de la base del carrito: a. ¿Al cabo de cuánto tiempo golpeará el bloque a la base del carrito? b. ¿Cuál habrá sido el desplazamiento del carrito en ese tiempo? c. ¿Cuáles son las aceleraciones del bloque y del carrito? d. ¿Cuál es la tensión de la cuerda? Rta.: a) 2 s b) 2,45 m c) 2,74 m/s 2 ; 2,45 m/s 2 d) 7,35 N B A C B A C A B F 3 2 1 H ℎ m 68 29. Un bloque de masa m 1 =0,2 kg descansa sobre otro bloque de masa m 2 =8 kg y el conjunto descansa sobre un plano horizontal rugoso como muestra la figura. El coeficiente de rozamiento entre m 1 y m 2 es p k1 =0,1 y entre m 2 y el plano es p k2 =0,3. Se empuja m 2 con una fuerza “F” de tal manera que el bloque m 1 tarda un tiempo t =1,5 s en caerse del bloque m 2 . Calcular: a. La aceleración de cada bloque. b. La fuerza “F”. Rta.: a) 0,98 m/s 2 ; 2,047 m/s 2 b) 40,68 N 30. En la figura el bloque 1 tiene un cuarto de la longitud del bloque 2 y pesa una cuarta parte de este último. Supóngase que no existe fricción entre el bloque 2 y la superficie sobre la cual se desplaza y que el coeficiente de fricción cinética entre los dos bloques es p k =1/ 3. Después que el sistema es liberado, encuéntrese la distancia que ha recorrido el bloque 2 cuando únicamente la cuarta parte del bloque 1 permanece sobre el bloque 2. El bloque 1 y el bloque 3 tienen la misma masa y la longitud del bloque 2 es I = 1,6 m. Rta.: 0,5 m 31. Un ómnibus se desplaza sobre un plano inclinado un ángulo o con la horizontal y se verifica que un péndulo colgado del techo del mismo forma un ángulo [ con la vertical. Calcular su aceleración. Rta.: g(coso tg(o +[) −seno) 32. Los cuerpos A y B pesan 40 N y 24 N respectivamente. Inicialmente se hallan en reposo sobre el suelo y unidos por una cuerda que pasa por una cuerda que pasa por una polea sin masa ni rozamiento. Se aplica a la polea una fuerza F =120 N hacia arriba. Hallar la aceleración del cuerpo B. Rta.: 14,7 m/s 2 F B A 1 2 3 F 1 2 1,2 m 69 33. Hallar la mayor tensión ejercida en el cabo de un elevador, cuando la cabina: a. Se desplaza para arriba con velocidad constante. b. Se desplaza para abajo con velocidad constante. c. Se desplaza para arriba con movimiento acelerado. d. Se desplaza para abajo con movimiento acelerado. e. Está en reposo. Rta.: (o +g)m 34. Si el sistema que se muestra en la figura parte del reposo y las poleas carecen de fricción y de peso determinar: a. La aceleración del cuerpo B. b. La tensión de la cuerda unida al cuerpo A. c. La velocidad que adquiere de cuerpo B cuando el cuerpo A sufre un desplazamiento vertical de 52,92 cm. d. El tiempo que tarda el cuerpo B en alcanzar la velocidad de 313,6 cm/s m A =100 kg; m B =150 kg; p k =0,2 ; tgo =3/ 4 Rta.: a) 1,57 m/s 2 b) 822,8 N c) 2,35 m/s d) 2 s 35. El sistema de la figura muestra un bloque de masa m sobre un cuerpo de forma angular de masa H = 2 m. calcular el máximo valor de la fuerza F aplicada horizontalmente a la masa m, cuando el sistema se mueve hacia la derecha con velocidad constante. Rta.: 3 p m g 36. Sabiendo que el bloque m =500 g se desliza hacia abajo sobre la superficie inclinada del carro de masa H, y que la componente de su aceleración según el eje ¥ es o ¥ =1,2 m/s 2 , calcular: a. El vector aceleración del bloque m b. La aceleración de m relativa al carro H c. La aceleración del carro H d. La fuerza F, sabiendo que H = 5 kg El coeficiente de rozamiento cinético entre todas las superficies es p k =0,20. Rta.: a) 9,79 i – 1,2 j (m/s 2 ) b) 1,39 m/s 2 ; -60° c) 9,09 i (m/s 2 ) d) 61 N F p S =4p p S =3p p K =p A B o p o p m H 60° ¥ X 70 37. La figura muestra un sistema de seis cuerpos de masas iguales a m, unidos por hilos inextensibles y de masa despreciable. La masa de la polea y la fricción en la misma son despreciables. Si el coeficiente de rozamiento entre las superficies de los cuerpos y la mesa es p =0,25, el sistema permanece en reposo. ¿Cuál debería ser el hilo que es necesario cortar para que la mayor cantidad posible de cuerpos se desplace aceleradamente? Rta.: 4 38. En el sistema mostrado en la figura, se conocen los pesos W A y W C . Determinar el peso W B , para que al dejar libre el sistema, el bloque B no se mueva. Las poleas son de masa despreciable y se sabe que W C >W A Rta.: 4 w A w C / (w A +w C ) 39. Del techo de un ascensor está suspendido un resorte en cuyo extremo tiene una masa M. Cuando el ascensor asciende con velocidad constante la masa dista del piso una distancia S y cuando sube con aceleración constante o, la masa dista 3/ 4 S. Hallar la constante elástica del resorte. Rta.: 4 M a/s 40. En un elevador hay una báscula graduada en kgf. Una persona de 60 kg está parada sobre la misma y ésta marca cero. Calcular la aceleración del elevador. Rta.: g 41. Un bloque triangular de masa M, con ángulos 30° , 60° y 90°, descansa sobre el lado 30°-90° sobre una mesa horizontal. Un bloque cúbico, de masa m, descansa sobre el lado 60°-30°, como se indica en la figura. ¿Qué fuerza horizontal F se debe aplicar al sistema para lograr que la masa m quede fija con respecto al bloque triangular, suponiendo que no haya rozamiento en los contactos? ¿Cuál es la aceleración de la masa M, en relación con la mesa en ese caso? Rta.: 3 1/2 g(m +M)/3 ; 3 1/2 g/3 C A B 1 2 3 4 5 6 60° 90° 30° H m 71 42. Un ómnibus frena bruscamente y un péndulo colgado del techo del mismo forma un ángulo de 36,87° con la vertical. Calcular la deceleración del ómnibus. Rta.: 7,35 m/s 2 43. Tres bloques de masas m 1 =1 kg, m 2 =3 kg y m 3 =4 kg están dispuestos como se muestra en la figura. Desde la posición señalada se suelta el sistema, se observa que el bloque 3 desciende. El coeficiente de rozamiento cinético entre el bloque 2 y el plano horizontal es 0,3 y entre los bloques 1 y 2 es 0,1. Determinar: a. La aceleración con que se mueven los bloques 2 y 3. b. La tensión de la cuerda que une a los bloques 2 y 3. c. La tensión de la cuerda que sostiene al bloque 1. Rta.: a) 3,78 m/s 2 b) 24,08 N c) 0,98 N 44. Un cuerpo se encuentra a punto de deslizar hacia abajo por un plano inclinado un ángulo o. Determinar la máxima aceleración o con que se debe mover el plano para que el cuerpo no deslice hacia abajo. Rta.: g tgo 45. Un bloque A pesa 35,6 N y otro B pesa 71,2 N están unidos por medio de una cuerda y deslizan por un plano inclinado 30° con la horizontal. El coeficiente de rozamiento cinético entre el bloque A y el plano es 0,10 y entre el bloque B y el plano es de 0,20 ¿Cómo deben disponerse los bloques para que deslicen juntos sobre el plano inclinado? Calcular en este caso la aceleración del sistema y la tensión en la cuerda. Rta.: 3,49 m/s 2 ; 2,06 N 46. En la figura se muestra un sistema donde las poleas A y B son de masa despreciable, m 1 =1 kg y m 2 =2 kg. Cuando el sistema se libera a partir del reposo se observa que la masa m 3 permanece en equilibrio. En estas condiciones, calcular: a. La tensión de la cuerda que une las masas m 1 y m 2 . b. La tensión de la cuerda une la polea A con la masa m 3 c. La masa m 3 Rta.: 13,07 N ; 26,13 N ; 2,67 Kg o o 1 2 3 p 2 p 1 B 3 A 2 1 72 47. Calcular el coeficiente de rozamiento cinético entre el cuerpo 3 y la mesa y aceleración del sistema, sabiendo que el cuerpo m 1 desciende. m 1 =100 kg; m 2 =75 kg, m 3 =25 kg, m 4 =10 kg, p S =0,5 Rta.: 0,15 ; 3,15 m/s 2 48. Un bloque de masa M es estirado a lo largo de una superficie horizontal sin rozamiento por medio de una cuerda de masa m, sobre la cual se ejerce una fuerza horizontal F. Determinar la aceleración del bloque y de la cuerda. Rta.: F/(m+M) 49. En la figura, despreciando el peso de las poleas, determinar la aceleración de cada uno de los cuerpos y decir cuánto debe valer la masa A con respecto a la masa B para que el cuerpo A baje y el B suba. Rta.: a B =2 a A =2(m A -2m B )( m A +4m B ) ; m A >2 m B 50. Verificar que los bloques A y B de la figura se mueven juntos ¿Cuál es el máximo valor de la masa del bloque C para que el bloque A no resbale sobre el B? los coeficientes de rozamiento entre todas las superficies son: p k =0,2 y p S =0,3 m A =5 kg, m B =20 kg, m C =8 kg Rta.: a) si b) 17,86 kg A B C B A 1 2 3 4 p k p k 73 51. Un camión lleva una carga de peso 500 kgf asegurada a través de una cuerda única cuya resistencia máxima es 907,05 kgf. Entre la plataforma del camión y la carga existe un coeficiente de rozamiento estático igual a 0,25. a. ¿Cuánto vale la aceleración máxima que puede permitirse el conductor cuando sube una cuesta inclinada un ángulo de 30°? b. Cuando sube con una velocidad de 52,25 km/h ¿Cuál debe ser la distancia mínima de frenado para detenerse por completo? c. El camión baja la cuesta de B hacia A y cuando está en B tiene una velocidad de 50 km/h. Determinar el tiempo máximo y el tiempo mínimo en que se puede recorrer BA sin poner en peligro la carga. AB=700 m Rta.: a) 15 m/s 2 b) 15 m c) 18 s ; 7s 52. La plataforma de la figura desciende libremente sobre el plano inclinado. Determinar la tensión de la cuerda. Si esa misma plataforma asciende ahora pero frenando con una aceleración de 7,5 m/s 2 , determinar la nueva tensión de la cuerda. M =10 kg Rta.: 0 ; 30,02 N 53. Un hombre de peso 100 kg sube al montacargas de la figura que tiene montado en su base una balanza de peso despreciable. Calcular los valores máximo y mínimo del contrapeso A sabiendo que la lectura de la balanza varía entre 90 kgf y 110 kgf. El peso del montacargas es de 200 kgf. Rta.: 344,44 kgf ; 295,92 kgf 54. El sistema compuesto por las masas m 1 y m 2 es soltado en la posición indicada en la figura. Después de 2 s de movimiento, el hilo se corta repentinamente. Sabiendo que m 1 =4 m 2 , que la polea y el hilo son de masas despreciables y que no existe rozamiento, hallar la máxima altura a la que llega m 2 sobre el plano XX. Rta.: 48/25 g A balanza M 30° A B 30° 1 2 x x 74 GRAVITACIÓN 1. ¿Qué relación hay entre la aceleración de la gravedad g y la constante de la gravitación universal 0? Rta.: 0 H/ R 2 2. Calcular la altura de un satélite geoestacionario. Rta.: 3,58 . 10 7 m 3. Dos satélites se encuentran en orbitas de radio r 1 y r 2 . Calcular la relación entre las velocidades angulares, las velocidades lineales y entre los periodos. Rta.: (r 2 r 1 ⁄ ) 3/ 2 ; (r 2 r 1 ⁄ ) 1/ 2 ;(r 1 r 2 ⁄ ) 3/ 2 4. En la superficie de un planeta esférico, la aceleración de la gravedad es de 6,25 m/s 2 y a una distancia de 3.000 km encima de la superficie de 4 m/s 2 . Calcular el radio del planeta. Rta.: 12.000 km 5. Determinar la aceleración de la gravedad a una altura de 2.000 km de la superficie de la Tierra. Rta.: 5,68 m/s 2 6. Demostrar que la velocidad de un cuerpo abandonado a una distancia h sobre la superficie de la Tierra, cuando llega a su superficie es V 2 =2 g R 2 [1/R – 1/ (R +h)] y que en el caso de que h sea mucho menor que R ( radio de la Tierra). La expresión se reduce a V 2 =2 g h Rta.: V 2 =2 g R 2 [ 1/R – 1/ (R +h) ] ; V 2 =2 g h 7. ¿A qué distancia del centro de la Tierra un cuerpo pesa la décima parte de lo que pesa sobre la superficie? Rta.: 20.144 km 8. Suponiendo que la masa de la Tierra es 81 veces mayor que la luna, ¿A qué distancia del centro de la Tierra, un cuerpo situado entre la Tierra y la Luna sería igualmente atraído por los dos astros? Rta.: 350.272 km 9. Si un cuerpo fuese llevado a la superficie de un planeta de forma esférica cuya masa fuese 8 veces mayor que la de la Tierra y cuyo radio fuese 4 veces mayor que el de la Tierra, ¿Cuál sería el peso del cuerpo con relación a su peso en la Tierra? Rta.: 0,5 W 10. Sabiendo que la masa de la Luna es 0,012 veces la masa de la Tierra y que el radio lunar es 0,27 veces el radio terrestre, ¿Cuál es el periodo de oscilación de un péndulo que en la Tierra tiene un periodo T =1 s? Rta.: 2,46 s 75 11. La Tierra gira alrededor del Sol en una órbita que puede ser considerada circular. Manteniendo fijo el radio de esa órbita pero imaginando que la masa del Sol fuese cuatro veces el valor real, ¿Cuál sería la relación entre la nueva velocidad angular de traslación de la Tierra y la real? Rta.: 2 æ 12. Se sabe que la luz proveniente del Sol tarda en llegar a la tierra 8,5 minutos. Considerando que la velocidad de la luz es 3 × 10 8 m/s, calcular el valor de la masa del Sol. Rta.: 2,13 . 10 30 kg 13. Calcular el periodo de rotación, alrededor de su eje, de un planeta, de radio R =6.400 km y de aceleración de la gravedad g =9,8 m/s 2 , para que una persona en reposo sobre la superficie del planeta, se sienta flotar. Rta.: 1,41 h 14. Un satélite artificial, en órbita circular a 700 km de altitud, completa por día un número de vueltas alrededor de la Tierra. Hallar dicho número de vueltas. Rta.: 14,6 vueltas 15. ¿A qué distancia del centro de la Tierra la intensidad del campo gravitacional es igual a su valor en el centro de la Tierra? Rta.: ∞ 16. Dos estrellas giran en torno de su centro de masa común. Una de las estrellas tiene una masa M, que es dos veces la masa de la otra. Determinar el periodo de rotación de las estrellas en torno a su centro de masa, sabiendo que ambas estrellas están separadas una distancia d. Rta.: 2 n (d 3 /(3Gm)) 1/2 17. Un péndulo de longitud L forma un ángulo 0 con la horizontal debido a una masa M ubicada a una distancia L de la vertical. Hallar el valor de la masa M. Rta.: g L 2 (1 – cos θ ) 2 / (G tg θ ) 18. Si la Luna tuviese el triple de la masa que tiene y si su órbita fuese la misma, ¿Cuál sería su periodo de revolución en torno de la Tierra? Rta.: 2 n (R 3 /(GM)) 1/2 19. Cierto sistema de estrellas triples consta de dos estrellas, cada una de masa m, que giran en la misma órbita circular en torno a una estrella central, de masa M. Las dos estrellas están situadas en los extremos opuestos de un diámetro de la órbita circular. Obtener una expresión para el periodo de revolución de las estrellas. El radio de la órbita es r. Rta.: 4 n r 3/2 /(G(4M +m)) 1/2 0 L m L M 76 20. Se practica una oquedad esférica dentro de una esfera de plomo de radio R, de modo que su superficie toque la superficie exterior de la esfera de plomo y pase por su centro. La masa de la esfera antes de practicar la oquedad era M. ¿Cuál será la fuerza de atracción gravitacional con que la esfera de plomo ahuecada atraerá a una pequeña masa m que está situada a una distancia d del centro de la esfera de plomo? ¿Cuál será la nueva energía potencial gravitacional del sistema? Rta.: 1/2 G mM(7d 2 – 8 d R +2 R 2 )/ d 2 .(2d – R ) 2 ; - 1/4 G mM(7d – 4 R )/ d.(2d – R ) 21. Tres estrellas de masa M cada una, formando una estrella triple, giran en torno de su centro de masa común y están situadas en los vértices de un triángulo equilátero de lado L. a) ¿Con qué velocidad deben moverse las estrellas para que giren todas ellas bajo la influencia de sus fuerzas gravitacionales, en una órbita circular que circunscribe al triángulo, con la condición de que se siga conservando el triángulo equilátero? b) ¿Cuál es el periodo de cada una de las estrellas? c) ¿Cuál es la fuerza resultante en el centro de masa del sistema? Rta.: a) (G M/ L ) 1/2 ; b) 2 n (L 3 /(3 G M)) 1/2 ; 0 22. Hallar el peso de un cuerpo de masa m en el centro de la Tierra. Rta.: 0 23. Sabiendo que el período de la Luna es aproximadamente 28 días, calcular la distancia entre la Tierra y la Luna.(Considerar el radio de la Tierra de 6.370 km) Rta.: 3,89 . 10 8 m 24. El valor de la constante de gravitación universal en el Sistema Internacional es 0 =6,673×10 -11 . Deducir el valor de dicha constante si las unidades de la misma deben ser kgf . km 2 . kg -2 Rta.: 6,809 . 10 -18 kgf km 2 kg -2 25. Deducir la fórmula que nos permita calcular el periodo T de un satélite cuya órbita se encuentra a una altura h =R sobre la superficie terrestre en función del radio terrestre R, la masa de la Tierra M y las constantes adecuadas. Rta.: 4 n R ( 2R / G M ) 1/2 26. ¿A qué altura sobre la superficie de la Tierra y a qué velocidad debe girar un satélite para que de 4 vueltas en 24 h? M =5,97 × 10 24 kg ; R =6, 37 × 10 6 m. Rta.: 10.388 km ; 4,87 km/s 27. Tres satélites artificiales A, B y C se encuentran en órbitas circulares en torno al centro de la Tierra. A y B están en órbitas de radios iguales, en tanto que C se encuentra más alejado de la Tierra. Suponga que m A >m B >m C ¿Cómo son los periodos de los satélites entre si? Rta.: T A =T B <T C 77 28. Un satélite artificial de 1.540 kg es lanzado a una órbita circular alrededor de la Tierra y a una altura de 15.000 km sobre la superficie terrestre. Sabiendo que el radio terrestre es de 6.370 km y que la aceleración de la gravedad en la superficie es de 9,8 m/s 2 , calcular: a) La velocidad del satélite. b) Su período. c) La fuerza centrípeta. Rta.: 4,31 km/s ; 31.127 s ; 1.341 N 29. A partir de las leyes de gravitación, calcular el valor de la aceleración de la gravedad. Rta.: 9,81 m/s 2 30. De dos planetas de masas iguales pero de radio diferentes, ¿Cuál tiene mayor aceleración de la gravedad en su superficie? Rta.: menor radio 31. ¿A qué altura sobre la superficie de la Tierra y a qué velocidad de órbita tiene que girar un satélite para que quede estacionado sobre un punto fijo de la Tierra? Suponer que la órbita del satélite es concéntrica con la circunferencia de la Tierra y que además se encuentra en el plano ecuatorial. M =5,97 × 10 24 kg ; R = 6,37 × 10 6 m. Rta.: 3,59 . 10 7 m ; 3,07 km /s 32. Dos satélites iguales están en órbitas circulares de igual radio, uno alrededor de la Tierra y el otro alrededor de la Luna. ¿Cuál de los satélites emplea menor tiempo en efectuar un giro? Rta.: satélite terrestre 33. ¿Por qué los astronautas cuando están en la Luna dan grandes saltos con mayor facilidad que en la Tierra? Justificar Rta.: F L <F T 34. Dos masas M y m se hallan separadas por una distancia d. Se desea que la fuerza de atracción gravitacional sobre una partícula ubicada a una distancia d/2 de cada masa sea cero. ¿A qué distancia de la masa M se debe colocar una segunda masa m? Rta.: ½d (1 +(m / ( M – m )) 1/2 35. Un satélite geoestacionario permanece a una cierta distancia D del centro de la Tierra, sobre un punto del ecuador terrestre. Determinar el periodo del satélite que describe una órbita circular de radio 2D. Rta.: 67,88 h 78 TRABAJO Y ENERGÍA 1. Una masa puntual m parte del reposo y se desliza sobre la superficie de una esfera sin rozamiento, de radio r. Tome el nivel de la energía potencial en el punto superior. Determine en función al ángulo que se indica: a) La variación de la energía potencial de la masa. b) La energía cinética. c) Las aceleraciones radial y tangencial. d) El ángulo en que la masa abandona la esfera. Rta.: a) – m g r (1 – cos θ) ; b) m g r (1 – cos θ) ; c) g sen θ , 2g (1 – cos θ) ; d) 48,19° 2. Se hace girar un cuerpo en una circunferencia vertical por medio de una cuerda. Demostrar que la tensión de la cuerda en el punto más bajo excede a la tensión en el punto superior en seis veces el peso del cuerpo. Rta.: 6 m g 3. El cable de un elevador que pesa 17.800 N, revienta rompe cuando el elevador estaba en reposo en el primer piso, de modo que la base del elevador queda a una distancia d =3,66 m por encima de un resorte amortiguador cuya constante elástica es k =146 N/m. Un dispositivo de seguridad sujeta a los ríeles de guías de modo que se provoca una fuerza de fricción de 4.450 N que se opone al movimiento del elevador. Encontrar: a) La velocidad del elevador un momento antes de que llegue al resorte. b) La distancia de compresión del resorte. c) La distancia que el elevador rebota hacia arriba por su pozo. d) La distancia total que recorrerá el elevador antes de quedar en reposo. Rta.: a) 7,33 m/s ; b) 0,9 m ; c) 2,72 m ; d) 14,88 m 4. Una masa M suspendida por medio de un resorte en el punto superior A de un anillo circular, situado en plano vertical, cae deslizándose sobre el anillo. Calcular la constante k del resorte para la cual la reacción que ejerce el anillo sobre la masa M en el punto inferior B es igual a cero. En la posición inicial el resorte tiene su longitud natural. R =20 cm ; AM =20 cm ; M =5 kg. Rta.: 490 N/m R O B M 20cm 0 k d K=146000 N/m 79 5. El bloque de masa m =60 kg está sometido a una fuerza F que varía según el grafico F=f(X). En la posición A el resorte de constante k =100 N/m tiene su longitud natural l 0 =1 m. Sabiendo que parte del reposo y que en B su velocidad es de 3 m/s, determinar: a) El trabajo que realiza la fuerza F. b) El trabajo realizado por la fuerza de rozamiento. Rta.: a) 13 J ; b) 202,2 J 6. Un resorte ideal sin masa se puede comprimir 1 m mediante una fuerza de 100 kgf. Ese mismo resorte se coloca en la parte inferior de un plano inclinado, sin rozamiento que forma un ángulo de 30° con respecto a la horizontal. Una masa M =10 kg se suelta a partir del reposo en la parte superior del plano inclinado y queda en reposo momentáneamente después de comprimir el resorte 2 m. a) ¿A qué distancia resbaló la masa antes de quedar en reposo? b) ¿Cuál es la velocidad de la masa cuando está a punto de hacer contacto con el resorte? Rta.: a) 40 m ; b) 19,3 m/s 7. El bloque A de masa 0,5 kg se encuentra a una altura H =5 m sobre un plano inclinado 30°, donde μk =0,10. Desde allí se desliza libremente y choca con el resorte de constante k =0,30 kg/cm, que se encuentra en la base del plano. a) Deducir el valor de la altura H’, después del rebote. b) ¿Cuánto se comprime el resorte en la posición final de equilibrio? c) ¿Qué distancia recorre el bloque hasta alcanzar la posición de equilibrio? Rta.: a) 3,5 m ; b) 0,01 m ; c) 57,8 m H=5 m M 30° k A 30° M 10 N x F A k ℓ 0 30° B AB 2 AB x F 80 8. Un plano inclinado un ángulo de 30° con respecto a la horizontal, tiene un bloque de masa m=1 kg que comprime el resorte de constante k=50 kgf/cm, una distancia x 0 =2 cm. Sabiendo que después de que la masa M es disparada por el resorte, alcanza una distancia horizontal d=1,45 m contada a partir del final del plano inclinado de altura h=0,25 m, calcular el coeficiente de rozamiento entre el bloque y el plano. Rta.: 0,22 9. Se desea lanzar una masa M =50 g con ayuda de un resorte de constante k=8 N/m de tal forma que la masa sortee un obstáculo de 33 cm de altura, situado a 66 cm del resorte y caiga en un punto a 90 cm del resorte. Calcular cuanto se debe comprimir el resorte y en que dirección se la debe colocar. Rta.: 0,32 m ; 61,93° 10. Un cuerpo de masa m =2 kg, parte del reposo del punto A. En la parte horizontal de la vía, el coeficiente de rozamiento cinético es 0,2. La masa comprime al resorte, de constante k=100 N/m, una distancia de 30 cm antes de detenerse y regresar. Calcular la velocidad de la masa en el punto B y el trabajo de la fuerza de rozamiento desde A hasta B. Rta.: 7,26 m/s ; – 45,29 J 11. La masa m cae a partir del reposo a lo largo de una vía sin rozamiento. Calcular en el punto A: a) La velocidad de la masa. b) La fuerza normal que ejerce la vía sobre la masa. c) Las componentes normal y tangencial de la aceleración de la masa. Rta.: a) 7 m/s ; b) 26,95 N ; c) 49 m/s 2 ; 8,49 m/ s 2 30° A R 3 m m =0,5 kg R=1,0 m B 5 m 12 m A 0 33 cm 66 cm 90 cm 30° M h d 81 12. Un cuerpo A desliza desde una altura H, partiendo del punto A, en una vía sin rozamiento y sale despedido por el borde derecho que forma un ángulo de 45° con la horizontal. Calcular la altura H mínima para que el cuerpo sea capaz de atravesar la fosa de 20 m de longitud. Rta.: 11,7 m 13. Hallar la velocidad inicial V 0 con que debe soltarse el bloque para que su alcance horizontal sea de h=1 m. El coeficiente de rozamiento entre el bloque y todos los planos es 0,5. Rta.: 5,57 m/s 14. El bloque de masa m=10 kg se encuentra en una posición en la cual el resorte (k=100 N/m) tiene su longitud natural l 0 =0,30 m. El bloque desliza sobre la superficie horizontal y luego sobre la cilíndrica de radio R=0,15 m. En la posición indicada, a 30° respecto a la vertical, el bloque se despega de la superficie. Despreciando el rozamiento, determinar la velocidad V 0 que debe tener el bloque inicialmente. Rta.: 0,92 m/s 15. El clavo esta situado a una distancia d por debajo del punto de suspensión. Demostrar que d debe ser por lo menos 0,6 L, si se quiere que la bola de una vuelta completa en un círculo cuyo centro sea el clavo. Rta.: 0,6 L R 30° k ℓ 0 2R m m h 2h h/2 h 45° 45° : 0 H 45° h =3m 20 m m ℓ d 82 16. Una partícula de masa m se mueve en un círculo vertical de radio R, dentro de una vía sin rozamiento. Cuando m se encuentra en la posición más baja, lleva una velocidad v 0 . ¿Cuál deberá ser el mínimo valor de v 0 para que la masa m logre dar una vuelta completa en el circulo sin despegarse de la vía? Si la velocidad en el punto más bajo es sólo del 75% del valor calculado anteriormente, la partícula se moverá hasta cierto punto P, en el cual se despegara de la vía y seguirá moviéndose según la trayectoria marcada con línea de puntos. Encontrar la posición angular α del punto P donde la partícula se despegará la vía. Rta.: (5 g R) 1/2 ; arcsen (1/3) 17. Una partícula resbala por un carril cuyos extremos están elevados, mientras que su parte central es plana. La parte plana tiene una longitud L =2m. Las porciones curvas del carril no tienen fricción y en la parte plana el coeficiente de fricción cinética es μ k =0,2. La partícula se suelta en el punto A que está a una altura h=1 m sobre la parte plana del carril. ¿Dónde se detendrá finalmente la partícula? Rta.: en el medio de la vía 18. Un resorte de constante k=200 kg/m está comprimido 20 cm y empuja a una masa M=5 kg sobre una mesa horizontal. Si inicialmente la masa M se encuentra a 2 m del borde la mesa y en reposo, calcular la distancia D en que la masa toca el piso. El coeficiente de rozamiento cinético entre la mesa y la masa es 0,2 y la altura de la mesa es de 1 m. Rta.: 1,26 m D k M H=1m m L h R : 0 α P 83 19. Un cuerpo de masa 5 kg parte del reposo en la posición A. Sobre dicho cuerpo actúan una fuerza F=10 N constante y un resorte de constante de k =75 N/m, cuya longitud natural es 55 cm. No existe rozamiento. Hallar: a) El trabajo hecho por la fuerza F desde A hasta B. b) La fuerza en el resorte cuando pasa por B. c) La velocidad del cuerpo cuando pasa por B. Rta.: a) 5 J ; b) 3,5 N ; c) 1,53 m/s 20. Un bloque de masa m=2 kg se comprime contra un resorte de constante k=1,5 kg/cm. En estas condiciones queda situado a una distancia L=0,25 m del punto B donde termina la superficie horizontal. La superficie curva de radio R=0,5 m no tiene rozamiento y la superficie horizontal tiene un coeficiente de rozamiento cinético μ k =0,1 con el bloque. El bloque se despega de la superficie en el punto A. ¿Cuánto se comprime el resorte? Rta.: 0,18 m 21. Una partícula de 0,5 kg sujeta a una cuerda sigue una circunferencia vertical. Cuando pasa por el punto A, la tensión de la cuerda es de 10 kgf. Si la cuerda se suelta cuando la partícula está en B, calcular la distancia D. Rta.: 13,8 m B C A R=1m 30° R 150° m L F A m B 0,50 m 0,50 m 84 22. El gráfico representa la variación de la intensidad de la fuerza F en función del desplazamiento x. la fuerza es siempre paralela al desplazamiento. A partir de dicho gráfico, calcular: a) El trabajo realizado por la fuerza F entre x =0 y x=10 b) La potencia desarrollada, sabiendo que el tiempo empleado fue de 30 s. Rta.: a) 32 J ; b) 1,07 W 23. Una esfera de 10 kg de masa gira en una circunferencia vertical – Al pasar por el punto A, la tensión de la cuerda es de 1.545 N. si sale disparada en B, calcular a que altura h choca la muralla. Rta.: 3,39 m 24. En la vía sin rozamiento, desde el punto A se deja caer un cuerpo a partir del reposo. Calcular: a) La altura h de la que se deja caer para que recorra la distancia BC en 0,1 s. b) El valor de la fuerza aplicada por la vía sobre el bloque en el punto D. m=2 kg Rta.: a) 4,1 m ; b) 156,8 N h h/6 h/6 h/6 C B h 8,6 m R=1m 45° B A 2 4 6 8 2 4 6 8 10 X(m) F(N) 85 25. Un cuerpo de masa m=10 kg esta suspendido de una cuerda de 1 m de longitud. Se coloca el sistema en posición horizontal y se lo suelta. Sabiendo que la cuerda se rompe para una tensión de 10 kgf, calcular en que posición esto ocurre. Una vez rota la cuerda, decir que trayectoria describirá el cuerpo y sí cae o no sobre la mesa. Dar la distancia horizontal a partir del punto de rotura. Rta.: 0,22 m 26. Un balde que contiene agua, con una masa total de 10 kg , se encuentra girando en una circunferencia vertical de radio r =2 m. Si la velocidad en el punto más alto de su trayectoria es de 5 m/s, calcular la tensión de cuerda en el punto más bajo de su trayectoria. Rta.: 615 N 27. El bloque de masa m=1 kg de la figura desliza sobre un plano inclinado a partir de la posición indicada. El resorte que está unido al bloque tiene una longitud natural l 0 =10 cm y se encuentra inicialmente perpendicular al plano inclinado. La constante elástica de resorte es k=500 N/m, el coeficiente de rozamiento cinético μ k =0, y el ángulo θ =53°. Sabiendo que el bloque queda finalmente en reposo a una distancia d=15 cm de su posición original, calcular: a) La velocidad inicial v 0 del bloque. b) El máximo valor de la fuerza normal en el tramo recorrido. Rta.: a) 1,97 m/s ; b) 65,9 N 28. Un motociclista de circo que con su moto tiene una masa de 200 kg, avanza hacia una pista que forma un rulo (circunferencia vertical) de radio R=3 m, con una velocidad de 63 km/h, efectuando una vuelta completa, antes de salir por el lado derecho de la pista. a) ¿Cuál es la velocidad en el punto B? b) ¿Cuál es la fuerza que ejerce la pista sobre la moto en el mismo punto? c) ¿Cuáles son los vectores velocidad y aceleración en el punto C? d) ¿Cuál es la mínima velocidad con que el motociclista debe avanzar para dar la vuelta completa? Rta.: a) 13,73 m/s ; b) 10.608 N ; c) – 15,73 j (m/s) , 82,48 i – 9,8 j (m/s 2 ) ; d) 43,65 m/s L 5 4 L L L L 20 cm 53° d =15cm V 0 M C B R A 86 29. Un cuerpo de 98 N sube el plano inclinado de la figura a partir del punto A, con una velocidad inicial v 0 =54 km/h. Se desea saber: a) La velocidad instantánea al pasar por B. b) La distancia d. c) El tiempo total que tarda el móvil de ir de A hasta C. μ k =0,4 ; L=3 m ; h=1,8 m Rta.: a) 13,07 m/s ; b) 2,13 m ; c) 0,41 s 30. Sobre un cuerpo obra una sola fuerza en un movimiento rectilíneo. En la figura se muestra una gráfica de la velocidad en función del tiempo para ese cuerpo. Encontrar el signo (positivo o negativo) del trabajo efectuado por la fuerza sobre el cuerpo en cada uno de los intervalos AB, BC , CD y DE. Rta.: + ; 0 ; - ; + 31. Desde el punto A de la pista circular sin rozamiento y de radio R=2 m se suelta un bloque de masa m =500 g que está comprimiendo un resorte de constante k=20 kgf/cm una distancia x, tal como se muestra en la figura. Si el bloque desliza sobre la pista sin despegarse, calcular: a) El mínimo valor de x. b) Las aceleraciones normal y tangencial del bloque al pasar por el punto B. Rta.: a) 0,05 m ; b) 12,5 m 32. Un juego de feria consiste en un carro de masa M sujeto a un brazo de longitud L. El carro se suelta desde la posición más alta, donde estaba en reposo. Cuando el carro pasa por la posición horizontal, ¿Cuál será la variación de la energía potencial? Cuando el carro pasa por la posición más baja, que valor tendrá su energía cinética, la aceleración neta él y la fuerza neta sobre un hombre de masa m que se encuentra sobre el carro. Rta.: - m g L ; 2 m g L ; 4 g ; 5 m g R B m k A B C D E t v A B A o V 0 L h C d 87 33. La masa puntual m=50 g de la figura se sujeta apretando un resorte de constante k=20 N/cm una longitud L=5 m y coeficiente de rozamiento cinético μ k =0,4. Al terminar la trayectoria plana entra en una vía circular lisa que está en un plano vertical y que tiene un radio R=2 m. Al salir de la trayectoria circular la pista tiene otro tramo plano y recto BC, de longitud indefinida, pero con el mismo coeficiente de rozamiento. a) ¿Cuál es el mínimo valor de x 0 que asegure que la masa m recorre la parte circular de la pista sin despegarse? b) Bajo las condiciones de la pregunta anterior, ¿a qué distancia d del punto B se detiene finalmente la masa m? Rta.: a) 0,059 m ; b) 12,5 m 34. De dos resortes de constantes k 1 y k 2 sujetos del techo cuelgan masas iguales M. Si k 1 <k 2 y los resortes tienen masas despreciables, ¿Cuál de ellos almacena más energía potencial? Rta.: resorte 1 35. Calcular la altura H a la cual se despega el cuerpo M del dro de radio R, si parte del punto A en reposo y no existe rozamiento. Rta.: 5 R/3 36. El cuerpo de masa 2 kg comprime el resorte de constante elástica 300 N/m. Las superficies planas son rugosas mientras que el rizo (radio R=1 m) es liso. El coeficiente de rozamiento cinético entre las superficies planas y el cuerpo es de 0,2. Calcular: a) La compresión mínima del resorte de modo que el cuerpo pase justo por el punto A. b) La distancia horizontal a partir de B donde el cuerpo se detiene. (la figura muestra al cuerpo sin comprimir al resorte) Rta.: a) 0,55 m ; 12,5 m 1 m A k m 30° 2m 2m H R A M C m L d B A R 88 37. Un objeto de 250 g se empuja contra el resorte (k=600 n/m) y se suelta desde la posición A. despreciando el rozamiento, determinar la deformación mínima del resorte para la cual el objeto viajará alrededor del aro BCD (R=0,60 m) permaneciendo en todo momento en contacto con el aro. Rta.: 11,07 cm 38. Un cuerpo se mueve una distancia de 10 m bajo la acción de una fuerza F que tiene un valor constante de 5,5 kgf durante los 6 primeros metros y disminuye luego hasta un valor de 2 kgf como se muestra en la figura. Encontrar el trabajo realizado: a) Durante los primeros 6 metros. b) Durante los últimos 4 metros. Rta.: a) 970,2 J ; b) 398,37 J 39. En la posición que muestra en la figura se tiene un cuerpo de masa m =10 kg, en reposo sobre una superficie rugosa. La superficie horizontal tiene un coeficiente de rozamiento μ k =0,3 y el resorte en la posición A tiene du longitud natural. Luego se comprime el resorte, de constante k=100 kgf/cm, una longitud de 5 cm y se suelta. Desde el punto B hasta el punto C la superficie es cilíndrica, sin rozamiento y de radio R=1m. Hallar: a) La distancia d, a partir del centro del cilindro, a la cual cae el cuerpo. b) La velocidad del cuerpo en el punto B para la cual el cuerpo no se despega de la superficie cilíndrica. Rta.: a) 1,59 m ; b) no existe 40. Se dispara un proyectil verticalmente hacia arriba, desde la superficie de la tierra, con una velocidad inicial de 10 km/s. No tomando en cuenta el efecto retardador de la atmosfera, ¿a qué altura sobre la superficie de la tierra llegaría? Considerar el radio terrestre R=6.370 km Rta.: 25632 km C R D k W B 2m m A p k =0,3 B C R p k =0 d F 0 2 4 8 6 10 W 2 4 6 Distancia (m) F u e r z a ( k g f ) 89 41. Dos resorte A y B son idénticos salvo que k A <k B . ¿Cómo son entre sí los trabajos realizados en cada resorte: a) Al deformarlos la misma distancia. b) Al aplicarles la misma fuerza F. Rta.: a) W A < W B ; b) W A > W B 42. El cuerpo de masa m =500 g, firmemente adherido al resorte se suelta a partir del reposo. Con los grafico de la fuerza del resorte FR, la fuerza de rozamiento Fr y la fuerza F en función del desplazamiento x, determinar: a) La constante elástica del resorte k b) El coeficiente de rozamiento cinético μk entre el plano y el cuerpo. c) Una fórmula que permita obtener la energía cinética en función del desplazamiento x. d) El valor de x con el cual la velocidad del cuerpo es nuevamente cero. Los gráficos se han confeccionado considerando que las fuerzas actúan sobre el cuerpo con respecto al sentido positivo establecido en la figura. Rta.: a) 200 N/m ; b) 0,5 ; c) - 100 x 2 + 5,46 x ; d) 5,46 cm 43. ¿Qué trabajo es necesario realizar para que en el tiempo t sea posible subir una escalera mecánica del aeropuerto, que se mueve hacia abajo? La altura de subida es h, la velocidad de la escalera es v y el ángulo que la escalera forma con la horizontal es α. Rta.: m g (v t sen α +h ) 44. Por un plano inclinado un ángulo α con respecto a la horizontal y de longitud L, cuya mitad superior carece de rozamiento, mientras que la mitad inferior la tiene (μ k ), se deja resbalar un cuerpo. Representar en un gráfico su velocidad en función del camino recorrido. 45. El sistema de la figura consiste en un plano inclinado un ángulo α con un generador eléctrico que sirve para encender una lámpara incandescente de potencia P. El generador gira por medio de un bloque de masa M que se desliza por el plano con velocidad constante. Sabiendo que el rendimiento del generador es η y que el coeficiente de rozamiento cinético entre el plano y el bloque es μ k , calcular la distancia x que deberá recorrer el bloque en un tiempo t para que la lámpara alumbre al máximo. Rta.: P t / ( η M g ( sen α - μk cos α )) p k M α y 3,5 F 30° x k m μ F f(N) FR 2 -1,575 Fr x(cm) 90 46. Un cuerpo de masa M=5 kg parte del reposo en la posición A como se muestra en la figura. Sobre dicho cuerpo actúan una fuerza F =10 N constante y un resorte de constante k=75 N/m cuya longitud natural es 50 cm. Hallar: Rta.: a) - 0,24 J ; b) 40,51 N , 52,75 N 47. El bloque de masa m mostrado en la figura, se desliza inicialmente sobre la superficie horizontal IO sin rozamiento con velocidad v constante. Al llegar al punto O pasa a deslizarse sobre la superficie horizontal OF, con un coeficiente de rozamiento cinético μk. Hallar la distancia que recorrerá el bloque antes de detenerse, medida a partir del punto O. Rta.: 1/2 v 2 / (g μ k ) 48. Dos resortes A y B son idénticos salvo que k A =3k B . ¿Cómo son entre sí los trabajos realizados en cada resorte al aplicarles la misma fuerza F? Rta.: 1/3 49. Un cuerpo de peso W sube por un plano inclinado que forma un ángulo α con la horizontal, por la acción de una fuerza variable F, paralela al plano. Hallar el trabajo mecánico realizado por el peso cuando el cuerpo alcanza una altura h, por encima del punto de partida. Rta.: - W h 50. Un bloque desliza hacia abajo con velocidad constante sobre un plano inclinado un ángulo α con la horizontal. Después se lanza hacia arriba sobre el mismo plano con una velocidad v 0 . Determinar la distancia s que recorrerá sobre el plano inclinado antes de detenerse y lo que ocurrirá después. Rta.: v 0 2 / (4 g sen α) O v F M μk I 0,50 m F M A B 0,50 m k 91 A C k B t(s) 51. El trabajo realizado por una fuerza constante F(newton) que actúa sobre un cuerpo durante un tiempo t (minuto) para elevar una altura h (m) es W (joule). Calcular el trabajo, en joule, que realizará para elevarlo a la misma altura pero en un tiempo 2t. Rta.: W 52. Un bloque de masa m se suelta a partir del reposo de la posición A y desciende sobre la pista de la figura, supuestamente sin rozamiento, deteniéndose en C, después de comprimir el resorte de constante elástica k. En estas condiciones, calcular la máxima deformación sufrida por el resorte. Rta.: ( 2m g (h A – h C ) / k) 1/2 53. Una bomba con un rendimiento igual a 40%, es accionada por un motor que le suministra una potencia de 1/4 CV (1 CV =735 W). Esa bomba colecta agua en reposo y la deposita en un reservorio a 49 m de altura, llegando con velocidad despreciable. En esas condiciones, hallar la cantidad de litros de agua que el reservorio recibe por hora. Rta.: 551 54. Dos bloques idénticos de masa m están unidos a los extremos de un resorte ideal de constante elástica k y longitud natural Lo. El sistema se sitúa en posición vertical apoyado sobre una mesa como se indica en la figura. El bloque superior se desplaza hacia abajo una distancia d, partiendo de su posición de equilibrio y a continuación se libera sin velocidad inicial. Hallar: a) El máximo valor de la reacción de la mesa b) El mínimo valor de la distancia d para que el bloque inferior llegue a separarse de la mesa. Rta.: a) 2 m g +k d ; b) 2 m g / k 55. Calcular el mínimo ángulo α para que el péndulo de masa m y longitud L llegue justamente a la posición horizontal indicada en la figura, después que la cuerda gire alrededor del clavo O fijo. Rta.: 60° L α L/ 2 d m m 92 56. Una cinta transportadora debe levantar 20 fardos de 1.800 kg cada uno, hasta una altura de 10 m, no debiendo emplear más de 15 minutos para hacerlo. Si el rendimiento del sistema es del 75%, determinar la potencia mínima del motor requerida en HP. Rta.: 7 HP 57. Una cuerda enrollada en la polea de un motor levanta un cuerpo del piso, con aceleración constante desde el reposo. Construir el gráfico de la potencia P desarrollada por el motor, en función de la altura h alcanzada por el cuerpo. 58. Un collar de masa m se acopla a un resorte y se desliza sin rozamiento a lo largo de una verilla circula de radio R, la cual se encuentra en un plano horizontal. El resorte no está deformado cuando está en C y su constante es k. Si el collar se abandona en reposo en B, hallar la velocidad del collar cuando pasa por el punto C. (AC=1,4 R) Rta.: 1,2 R ( k / m) 1/2 59. En la figura, el cuerpo de 0,2 kg es lanzado a partir del reposo por el resorte de constante elástica 6 . 10 3 N/m y describe la trayectoria D , E , F , G , H e I sin perder contacto con la trayectoria. Despreciando el rozamiento, calcular la mínima compresión del resorte para que esto ocurra. Rta.: 0,01 m 60. El carro de una montaña rusa sin fricción, parte del punto A con velocidad v 0 , como se indica en la figura. Supóngase que puede ser considerado como una partícula y que siempre se mantiene sobre su carril. a) ¿Con qué velocidad pasará por los puntos B y C? b) ¿Qué desaceleración constante se requeriría para detenerlo en el punto E si se aplican los frenos en el punto D? Rta.: a) v 0 , (g h +v 0 2 ) 1/2 ; b) 1/2 (2 g h + v 0 2 ) / L H A B C H H/2 a a b L E D R m O B k C A 10 cm H C D G F E I 10 cm 10 m 15 m 93 CANTIDAD DE MOVIMIENTO 1. Un perro que pesa 10 libras está sobre una batea de tal manera que queda a 20 pies de una ribera. Camina 8 pies sobre la batea hacia la costa y ahí se detiene. La batea pesa 40 libras y se puede suponer que no hay fricción entre el agua y ella. ¿A qué distancia de la orilla estará al transcurrir este tiempo? Rta.: 13,6 pie 2. Una bola de masa m y de radio R se encuentra colocada en el interior de una esfera hueca más grande, que tiene su misma masa y un radio interno 2R. Esta combinación está en reposo sobre una superficie sin fricción tal como se muestra en la figura. Se suelta la bola pequeña y finalmente se detiene en el fondo. ¿Cuál será la distancia que se habrá movido la esfera durante este proceso? Rta.: R/2 3. Ricardo, cuya masa es de 80 kg y Carmelita disfrutan un atardecer en una canoa de 30 kg. Cuando la canoa se encuentra en reposo en aguas tranquilas, se intercambian sus lugares, que están separados una distancia de 3 m y que están localizados simétricamente respecto al centro de la canoa. Ricardo nota que la canoa se mueve 0,40 m respecto de un tronco sumergido y con ello calcula la de Carmelita. ¿Cuál es esta masa? Rta.: 58 kg 4. Un objeto de 5 kg con una rapidez inicial de 15 m/s, incide sobre una lámina de acero con un ángulo de 45° y rebota con la misma rapidez y con el mismo ángulo, según se indica en la figura. ¿Cuál es el cambio del ímpetu del objeto en dirección y magnitud? Rta.: 212,13 j ( kg m/s ) 5. Un cuerpo de 8 kg de masa se está moviendo con una velocidad de 2 m/s, sin influencia de ninguna fuerza externa. En cierto instante ocurre una explosión interna que divide al cuerpo en dos fragmentos que tienen 4 kg de masa cada uno. La explosión suministra una energía traslacional de 16 J al sistema formado por los dos fragmentos. Ninguno de los dos fragmentos se sale de la línea original del movimiento. Determinar la rapidez y el sentido del movimiento de cada uno de los fragmentos después de la explosión. Rta.: 0 ; 4 i ( m/s ) 45° 45° m m 2R R m 94 6. Una vasija que estaba en reposo, explota rompiéndose en tres fragmentos. Dos de ellos, que tienen igual masa, vuelan perpendicularmente entre sí y con la misma rapidez de 30 m/s. El tercer fragmento tiene tres veces la masa de cada uno de los otros dos. ¿Cuál es la dirección y magnitud de su velocidad inmediatamente después de la explosión? Rta.: 14,14 m/s ; 135° 7. Un proyectil se dispara desde un cañón con una velocidad de 1.500 pies/s a un ángulo de 60° respecto de la horizontal. El proyectil explota en dos fragmentos de igual masa, 50 s después de haber abandonado el cañón. Uno de los fragmentos, cuya rapidez justo después de la explosión es cero, cae verticalmente. ¿A qué distancia del cañón cae el otro fragmento, suponiendo que el terreno está a nivel? Rta.: 25.514 m 8. Un cuerpo de masa m está colocado sobre una cuña de masa M, que a su vez se apoya sobre una mesa horizontal. Todas las superficies son lisas y sin fricción. Si el sistema parte del reposo, estando el punto P del cuerpo a una distancia h por encima de la mesa, encontrar la velocidad de la cuña en el instante en que el punto P toca la mesa. Rta.: ( 2m 2 h g cos 2 α / (m +M) / (M +m sen 2 α)) 1/ 2 9. Una plataforma de ferrocarril, cuyo peso es W, puede rodar sin fricción sobre un carril horizontal recto, como se muestra en la figura. Inicialmente el hombre de peso w está parado sobre la plataforma que se mueve a la derecha con velocidad v 0 . ¿Cuál será el cambio de velocidad de la plataforma si el hombre empieza a correr hacia la izquierda, de tal manera que su rapidez con relación a la plataforma es v rel , justo antes de que salte por el extremo izquierdo? Rta.: w v rel / (w +W) 10. ¿Cuál debe ser la mínima velocidad v 0 de una masa m, para que luego de chocar contra la masa 2m vuelca a subir al punto más alto del rizo? Rta.: 20,04 m/s R=1m V0 m 2m W μ w V 0 h α M P m 95 11. Un platillo de 200 g de masa, suspendido de un cierto resorte, lo alarga 10 cm. Se deja caer una bola de barro de 200 g desde una altura de 30 cm, partiendo del reposo. Hallar la máxima distancia que se desplaza el platillo hacia abajo. Rta.: 0,30 m 12. Las dos masas de la derecha están inicialmente en reposo y un poco separadas. La masa de la izquierda incide con una rapidez de v 0 . Suponiendo que las colisiones eran frontales, demostrar: a) Si M <m hay dos colisiones y encontrar todas las velocidades finales. b) Si M >m hay tres colisiones y encontrar todas las velocidades finales. 13. Un automóvil cuya masa es de 1.500 kg avanza a lo largo de una calle en dirección norte con una velocidad de 50 km/h. al llegar a la bocacalle choca con un camión cuya masa es 5.000 kg y que avanza por la calle transversal en dirección oeste con una velocidad de 60 km/h. Si como consecuencia del choque ambos vehículo quedan unidos, dar la velocidad inmediatamente después del choque y la energía cinética perdida durante el mismo. Rta.: 47,57 km/h ; 271648 J 14. Una partícula de masa m desliza a partir del reposo desde el punto A en una vía sin rozamiento. Abandona la vía en el punto B y en el punto C (punto más alto de su trayectoria) choca elásticamente contra otra partícula de masa M =2m, que estaba inicialmente en reposo. Calcular la máxima altura H’ a la que se elevará M. Rta.: 0,75 m H O H’ M C B R R m R=30 cm H=100 cm θ= 4S° M=2m θ A M m m V 0 30 cm m 96 15. Demostrar que la fuerza que actúa entre dos cuerpos que chocan inelásticamente durante un tiempo t es: F=m 1 m 2 (v 1 – v 2 )/[( m 1 +m 2 ) t ] 16. Calcular el trabajo hecho por una bala de 0,10 g para atravesar un bloque y la fuerza de rozamiento media existente entre la bala y el bloque. Las velocidades inicial y final de la bala son respectivamente 300 y 250 m/s. La bala atraviesa el bloque en 0,5 s. Rta.: 1,375 J ; 0,01 N 17. Dos péndulos, ambos de longitud L, están colocados originalmente como se indica el la figura. El primer péndulo se suelta y pega contra el segundo. Suponga que el choque es completamente inelástico y que no se tiene en cuenta las masas de las cuerdas ni ningún efecto de rozamiento. ¿Hasta qué altura se eleva el centro de masas después del choque? Rta.: m 1 2 d / (m 1 +m 2 ) 2 18. Un cuerpo de masa m 1 =2 kg resbala sobre una mesa sin fricción con una velocidad de 10 m/s. directamente enfrente de él y moviéndose en su misma dirección está otro cuerpo de masa m 2 =5 kg cuya velocidad es de 3 m/s. A la parte posterior de m 2 se sujeta un resorte sin masa con una constante elástica k=1.120 N/m. Cuando los cuerpos chocan, ¿Cuál será la máxima compresión del resorte? Rta.: 0,25 m 19. Una bola de masa m es proyectada con una velocidad v i en el ánima de una pistola de resorte de masa M que inicialmente está en reposo sobre una superficie sin fricción. La masa m se atora en el ánima en el punto de máxima compresión del resorte. No se pierde energía por fricción. ¿Qué fracción de la energía cinética inicial de la bola se almacena en el resorte? Rta.: M / (m +M) M V 0 m m 2 m 1 V 0 1 V 0 2 k ℓ ℓ m 1 m 2 d 97 20. Demostrar que la aceleración del centro de masas del sistema de la figura es a cm =g (m 1 – m 2 ) 2 / (m 1 +m 2 ) 2 21. Una bala de masa m y velocidad v pasa a través de un péndulo de masa M, saliendo con velocidad v/2. La esfera pendular cuelga del extremo de una cuerda de longitud L. ¿Cuál es el menor valor de v para el cual el péndulo completará una circunferencia entera? Rta.: 2 M (5 g L) 1/2 /(2m 1 ) 22. El bloque A parte del reposo y se desliza cuesta abajo hasta chocar elásticamente con B. ¿A qué distancia del punto C se detendrá cada bloque sabiendo que el coeficiente de rozamiento entre los bloques y todas las superficies es μ k =0,18 h=4,9 m Rta.: 11,06 m ; 3,36 m 23. La masa m de la izquierda se mueve con velocidad v 0 hacia la derecha y choca elásticamente con la masa m/2 que está en reposo en el centro. La masa del centro avanza luego hacia la derecha y choca con una masa M que también está en reposo y más hacia la derecha, de tal forma que estas últimas quedan pegadas después del último choque. Calcular el valor de la masa M en función de m, para que luego de los dos choques, todas las masas tengan la misma velocidad. Se desprecia el rozamiento entre los bloques y el piso. Rta.: M=3 m/2 M m/2 m V 0 30° h A m 2m B h C ℓ O v v/ 2 M m 1 m 2 m 1 >m 2 98 24. Las partículas de masas m 1 y m 2 chocan como se indica en la figura. Sabiendo que m 2 está inicialmente en reposo, calcular la mínima velocidad v 0 que debe tener m 1 para que m 2 pueda subir hasta la parte superior del plano inclinado. El choque es perfectamente elástico. Rta.: (m 1 +m 2 ) (2 g L) 1/2 /(2m 1 ) 25. Una bala de masa m =10 g se mueve con velocidad v 0 y se incrusta en un bloque de masa M = 990 g, el cual se encuentra inicialmente en reposo unido a un resorte de constante k =2 N/m. El resorte se comprime 2 cm. Calcular v 0 si el coeficiente de rozamiento entre el bloque y la superficie es 0,2. Calcular el trabajo hecho por la bala al penetrar en el bloque. Rta.: 28,14 m/s ; 3,36 m 26. Sobre un cuerpo de masa m=5 kg, actúa una fuerza F, tal como se indica en el diagrama. Si para t 1 =2s la velocidad de la masa es 4 m/s, hallar su velocidad, en m/s, para t 2 =5s. Rta.: 7,9 m/s 27. El barco transportador de minerales, cuya masa es M, pasa bajo un dispositivo cargador a una velocidad v 0 , recibiendo una masa m de minerales durante un tiempo t. Calcular el valor de la aceleración media del navío durante el tiempo de cargado. Rta.: m v 0 / ((M +m) t) M F(N) t(s) 8 5 2 5 m M k V 0 m 1 h m 2 μ=0 V 0 99 28. Dos masas M 1 y M 2 que se encuentran sobre un plano horizontal sin rozamiento, comprimen un resorte de constante k, una longitud x. Si las masas se sueltan a partir del reposo, expresar las velocidades de cada masa en función de M 1 , M 2 , k y x , en el instante que la fuerza del resorte es cero. Rta.: M 2 x ( k / M 1 M 2 + M 2 2 )) 1/2 ; x (k M 1 / (M 1 M 2 +M 2 2 )) 1/2 29. Una bala de masa m=2 g se mueve horizontalmente a la velocidad v=500 m/s y atraviesa una bola de madera de masa M=1 kg que cuelga en reposo de una cuerda de longitud L=1 m, como se muestra en la figura. Luego de atravesar la bola, la bala queda con una velocidad de 100 m/s. a) ¿Con qué velocidad comienza a moverse la bola de madera luego de ser atravesada por la bala? b) ¿Cuál es la altura máxima que alcanza la bola respecto de la posición que se muestra en la figura? c) ¿Cuál es el trabajo de la fuerza de fricción entre la bola y la bala? Rta.: a) 0,8 m/s ; b) 0,03 m ; c)239,68 J 30. Una masa m y velocidad v pega perpendicularmente contra una pared y rebota sin disminuir su velocidad. Si el tiempo que dura el choque es t. ¿Cuál es la fuerza media ejercida por la pelota sobre la pared? Rta.: 2 m v/t 31. Una masa m 1 avanza con una velocidad v 0 hacia otra masa m 2 que descansa en reposo sobre una superficie horizontal sin rozamiento. ¿Qué relación tiene que haber entre las masas, para que después del choque, m 1 rebote para atrás con una velocidad v 0 /2? ¿Cuál es entonces la expresión que nos permite calcular la velocidad de m 2 después del choque? Rta.: m 2 =3 m 1 ; 1/2 v 0 32. Sabiendo que la fuerza que ejerce la pista circular de la figura sobre la masa m=2 kg, es seis veces su peso, calcular la mínima masa M del otro bloque que se encuentra en reposo sobre la superficie horizontal, para que el bloque m, luego de chocar elásticamente con el bloque M, rebote hacia atrás y alcance el punto B sin despegarse de la pista. R=5 m Rta.: 12,59 kg R 120° m A B M k M 1 M 2 M v m 100 33. Dos cuerpos se dirigen el uno hacia el otro y chocan elásticamente. Si M 1 tiene una velocidad V 1 y M 2 =M 1 /2 tiene una velocidad v =2v 1 . Determinar las velocidades finales de ambos cuerpos. Rta.: - v 1 ; 2 v 1 34. Considérese un choque elástico en una dirección entre un cuerpo dado A que llega a un cuerpo B que está inicialmente en reposo. ¿Cómo escogería usted la masa de B en comparación con la masa de A para que B rebote con la máxima velocidad? Rta.: m A >>m B 35. ¿Qué fracción de la energía cinética inicial es transmitida por una partícula de masa m, que se mueve con velocidad v, en un choque frontal elástico con otra partícula de masa m’ inicialmente en reposo? Expresar el resultado en función de la razón λ = m’ / m. ¿Para qué valor de λ la transferencia es máxima y cuánto vale? 36. Un cuerpo de masa M avanza con velocidad v 0 hacia otro de masa m que esta en reposo, como se muestra en la figura. Ambos cuerpos chocan elásticamente, rebotando el cuerpo de masa M hacia la izquierda y el de masa m hacia la derecha hasta chocar elásticamente contra la pared. ¿Cuál debe ser la relación m/M si los cuerpos terminan moviéndose hacia la izquierda con la misma velocidad final u? Rta.: 3 37. Un hombre de masa M, que lleva puesto patines, está parado sobre la superficie congelada de un lago. Lleva en sus bolsillos una esfera de plomo de masa m. Arroja horizontalmente la esfera de plomo con una velocidad relativa u respecto de sí mismo. ¿Con qué velocidad v se mueve el hombre con respecto al lago después de tirar la esfera? Suponga que no hay rozamiento entre el hombre y la superficie congelada del lago. Rta.: m u / (m +M) 38. Sobre un riel sin rozamiento un deslizador 1, de masa m, se aproxima con velocidad v 0 al deslizador 2, de masa M, inicialmente en reposo. Suponiendo que el choque es elástico demostrar que la velocidad del centro de masa del sistema es la misma antes y después del choque. 39. Un hombre de masa M, que lleva puesto patines, está parado sobre la superficie congelada de un lago. Lleva en sus bolsillos dos esferas de plomo de masa m cada una. En forma sucesiva arroja horizontalmente las dos esferas de plomo con una velocidad relativa u respecto de sí mismo. ¿Con qué velocidad v se mueve el hombre con respecto al lago después de tirar las dos esferas? Suponga que no hay rozamiento entre el hombre y la superficie congelada del lago. Rta.: m (2M +3m) u / (M +2m) / (M +m) M m V 0 101 40. Tres bolas de plastilina se mueven en la forma que se indica en la figura y al chocar en un punto continúan moviéndose como una sola. Hallar: a) La velocidad de la masa combinada inmediatamente después del choque. b) La pérdida de energía. Rta.: a) 5,16 i +1,25 j (m/s) ; b) 12 kgrm 41. La masa m de la izquierda se mueve con velocidad v 0 hacia la derecha y choca elásticamente con la masa M que está en reposo en el centro. La masa del centro avanza luego hacia la derecha y choca con la masa m que también está en reposo y más hacia la derecha, de tal forma que estas últimas quedan pegadas después del último choque. Calcular el valor de la masa M en función de m, para que luego de los dos choques, todas las masa tengan la misma velocidad. Se desprecia el rozamiento entre los bloques y el piso. Rta.: M=(2 1/2 – 1) m 42. Dos hombres de igual masa se mueven sobre patines especiales, que van sujetos al piso sobre sendos carriles paralelos y sin fricción. Uno de los hombres viaja a velocidad v perseguido por el otro que lleva sobre sus hombros a un niño de masa m y que viaja con una velocidad 2v. En el instante en que se cruzan, el niño se pasa al hombro del otro patinador. La masa combinada de cada hombre y su patín es 2m. a) Escriba la fórmula que permita calcular la velocidad de ambos hombres después de que el niño realizó el traspaso en función de los datos que se mencionan en el problema. b) ¿Se pierde o se gana energía en el proceso? Justifique con una fórmula. 43. Una masa m 1 =12 kg que se mueve con una velocidad v 1 =4 m/s y choca elásticamente contra una masa m 2 que se encuentra en reposo. Rta.: a) 36 kg ; b) 2 m/s 44. Una bomba de masa m y velocidad v 0 explota en tres fragmentos de la forma indicada en la figura. Las masas de los fragmentos 2 y 3 son m/2 y m/3 respectivamente, en tanto que la velocidad del fragmento 3 es el triple de v 0 . Los fragmentos salen disparados de tal manera que la dirección de m 1 es perpendicular a las direcciones de m 2 y m 3 , siendo las direcciones de m 2 y m 3 , opuestas. a) Hallar las velocidades v 1 y v 2 de los fragmentos 2 y 3. b) ¿La energía mecánica aumenta, disminuye o es la misma? Justificar. Rta.: a) v 1 =6 v 0 , v 2 =2 v 0 ; b) aumenta M m m V 0 30° 1 kg 15 m/s 5 m/s 0,5 kg 1,5 kg 7,5 m/s m m 2 m 1 m 3 V 0 102 45. El grafico de la figura representa la variación de una fuerza F aplicada a una masa m 1 =20 kg que se mueve a lo largo de una línea recta sin rozamiento desde un punto A hasta un punto B. a) Hallar la velocidad de la masa m 1 en el punto B si la del punto A es la tercera parte del módulo de la velocidad del patín de la figura de 40 kg, luego de que un hombre de 60 kg haya saltado con un ángulo de 20° con la horizontal y una velocidad de 10 m/s (el patín se encontraba inicialmente en reposo). b) Si m 1 choca en el punto B con una masa m 2 =20 kg que avanza en sentido opuesto con una velocidad de 3/2 de la de m 1 , hallar el módulo y el sentido de la velocidad después del choque si el mismo es completamente inelástico. 46. Un cuerpo de masa m=10 kg descansa sobre una cuña de masa M=100 kg y una inclinación de α =30° , la cual a su vez descansa sobre una mesa horizontal, como se muestra en la figura. Despreciar el rozamiento en todas las superficies. Suponiendo que el punto P del bloque se encuentra a una distancia h=2 m y que es sistema se encuentra inicialmente en reposo, encontrar la velocidad de la cuña en el instante en que el punto P llega a la mesa. Rta.: 0,51 m/s 47. En un plano horizontal, absolutamente liso, se encuentran en reposo dos bloques 1 y 2, de masas iguales a m, unidas por un resorte de constante k y longitud normal L. En dirección al bloque de la izquierda se mueve un tercer bloque con una velocidad v cuya masa también es m. Calcular las velocidades de los bloques 1 y 2 en el momento de máxima deformación del resorte y la distancia entre los mismos en ese instante. Demostrar que los bloque unidos por el resorte se moverán siempre en un mismo sentido. Rta.: 1/2 v ; L ± 1/2 v (2 m / k) 1/2 3 1 2 k V 0 h M m α 5 3 2 3 6 F(kgf) t(s) 103 48. Dos péndulos, cada uno de 1,20 m de longitud, están suspendidos del mismo punto, como se muestra en la figura. La masa M 1 es 10/5 UTM y la masa M 2 es 5/3 UTM. Si se suelta M 1 a partir del reposo y desde la posición horizontal, determinar las alturas máximas que alcanzan las masas. Rta.: 0,010 m ; 1,43 m 49. Un cuerpo de masa m =2 kg está inicialmente en reposo. En el instante t=0, actúan sobre él dos fuerzas F 1 y F 2 que varían con el tiempo de acuerdo al grafico indicado en la figura. Calcular la velocidad del cuerpo después de 6 segundos de la aplicación de las fuerzas F 1 y F 2 . Rta.: 8 m/s 50. En un choque elástico en una dirección y en un mismo sentido entre dos masas m 1 y m 2 , encontrar la velocidad del centro de masa de las dos partículas, sabiendo que sus velocidades antes del choque eran v 1 y v 2 respectivamente. Rta.: (m 1 v 1 +m 2 v 2 ) / (m 1 +m 2 ) 51. Un cuerpo de masa m=5 kg se mueve hacia la izquierda con una velocidad de 10 m/s, durante 2 segundos. Calcular la variación de su cantidad de movimiento expresada en unidades del SI. Rta.: 0 52. Un jugador de fútbol patea un tiro libre aplicando una fuerza de 30 kgf a una pelota de 0,5 kg de masa, durante 0,10 s. Hallar la velocidad con que sale disparada la pelota. Rta.: 212 km/h 53. Dos cuerpos A y B, de masas m y 10 m , se hallan unidos por un resorte comprimido como se muestra en la figura. Se sueltan los bloques y el bloque A adquiere una velocidad V A . El resorte tiene una constante k. Calcular la distancia x que estaba comprimida el resorte. Rta.: (1,1 m/ k) 1/2 A B 10 m m k t(s) 6 2 - 4 12 F(N) M 2 M 1 104 54. Dos trozos de arcillas de masas m A =0,250 kg y m B =0,500 kg, chocan. Siendo V A1 =10 m/s y V B1 =100 m/s. Tras el choque ambas masas se desplazan unidas. Determinar la pérdida porcentual de energía a causa del choque. Rta.: 27 % 55. Un cañón y n proyectiles están dentro de un carro de ferrocarril sellado de longitud L. El cañón dispara hacia la derecha y el carro retrocede hacia la izquierda. Las balas permanecen en el carro después de chocar contra la pared del mismo a una velocidad V. Después de que se hayan disparado todos los proyectiles, hallar la velocidad del carro. 56. Un hombre de masa m se halla parado sobre un tablón de longitud L y masa M, apoyado en una superficie sin rozamiento, en la posición mostrada en la figura. Posteriormente se desplaza una distancia L/2 hacia la izquierda. Calcular la distancia d que se desplazará el extremo B del tablón. Rta.: 1/2 m L / (m +M) 57. Un objeto de masa m a una velocidad v golpea una placa de acero con un ángulo a y rebota a igual velocidad y ángulo. Determinar el cambio de la cantidad de movimiento ΔP. Rta.: 2 m v sen α j 58. Una ametralladora dispara sus proyectiles de 50 g con una velocidad de 1000 m/s. El tirador, manteniéndola en sus manos, puede ejercer una fuerza media de 180 N contra ella. Determinar el número máximo de proyectiles que puede disparar por minuto. Rta.: 216 m o o L/4 L/4 L/2 m M m v M 105 59. Dos bloques A y B, ambos de masa M, se hallan reposo sobre una superficie horizontal sin rozamiento. El bloque A lleva adherida a él una masa m. Posteriormente, el bloque A dispara la masa m con velocidad relativa u, ésta efectúa un choque perfectamente elástico con el bloque B y rebota, chocando nuevamente con el bloque A al cual se adhiere. Calcular las velocidades finales de A y B. Rta.: 2 M 2 m u / (m +M) 3 ; 2 M m u / (m +M) 2 60. Dos partículas de masas m 1 =5kg y m 2 =8 kg , se mueven con velocidades V 1 =4 m/s y V 2 =16m/s, como se muestra en la figura. Las partículas chocan inelásticamente y continúan unidas. Hallar la cantidad de movimiento final. Rta.: - 20 i +128 j (kg m/s) 61. Un cuerpo A de masa igual a 6 kg desliza con una cierta velocidad inicial en una vía sin rozamiento y choca elásticamente con el cuerpo B de masa igual a 3 kg, que inicialmente se encuentra en reposo. Calcular la velocidad inicial del cuerpo A para que el cuerpo B sea capaz de atravesar la fosa de 12 m de longitud mostrada en la figura. Rta.: 14,85 m/s 62. Una rana de masa m está subida a un patín de masa M, como se muestra en la figura, estando el patín inicialmente en reposo. La rana salta con una velocidad v formando un ángulo α con la horizontal, justo en el momento que el cuerpo 1 pasa por D. a) ¿Cuánto vale la velocidad del patín después de saltar la rana? b) ¿A qué distancia de su posición inicial la rana toca el suelo? Despréciese la altura del patín. Rta.: a) m v 0 cos α / M ; b) v 0 2 sen 2 α /g M 12 m A A B m 2 m 1 v 2 v 1 x A M m u B M 106 63. Los cuerpos 1 y 2 están dispuestos como se indica en la figura, en los puntos A y B (está a 80 m del origen O). Sabiendo que en la posición A el resorte se encuentra con su longitud natural y que el cuerpo 2 es lanzado con una velocidad v 0 y formando un ángulo α con la horizontal, justo en el momento que el cuerpo 1 pasa por D. a) ¿Cuál es la velocidad v 0 y el ángulo α, con que sale el cuerpo 2, si ambos cuerpos chocan en C, ubicado en el punto medio de OD y OB y que el cuerpo 1 tarda 4 s en ir de D a C? b) ¿Cuál es la compresión del resorte, si AD=2m y μ k =0,30 entre el plano y el cuerpo 1? c) Si m 1 =m 2 =5 kg, calcular a qué distancia, a partir del origen de coordenadas indicado en la figura, caerá el cuerpo 2, sabiendo que el coeficiente de rozamiento es 1 y que el cuerpo 1 sale después del choque con un ángulo de 45° con el sentido positivo del eje x. 64. Dos satélites A y B de masas m A =m B , se encuentra girando en una misma orbita circular de radio R, alrededor de la tierra, pero en sentidos de rotación opuestos. Si el choque de los satélites es completamente inelástico, calcular la velocidad de los satélites unidos, después del choque. ¿Qué trayectoria describirán los satélites unidos, después del choque? Rta.: 0 ; movimiento rectilíneo 65. Un cuerpo de masa m 1 =100 kg está en reposo sobre una mesa larga y sin fricción, una de cuyos extremos termina en una pared. Otro cuerpo de masa m 2 se coloca entre el primero y la pared y se pone en movimiento hacia la izquierda con velocidad constante v 2i , como se ve en la figura. Suponiendo que todas las colisiones sean elásticas, encontrar el valor de m 2 para el cual ambos cuerpos se mueven con la misma velocidad después que m 2 choca primero con m 1 y después con la pared. La pared tiene una masa infinita. Rta.: 33,3 kg 66. En la figura se muestra un émbolo sin rozamiento, suspendido de un resorte de masa despreciable y de constante k=19,6 N/m, la masa del émbolo es M=1,5 kg. Posteriormente, sobre el émbolo choca en forma completamente inelástica un trozo de masilla de masa m=0,5 kg a una velocidad de 14,7 m/s. Determinar la altura a la que se eleva el émbolo tras el choque. Rta.: 0,95 m m v M k m 1 m 2 v 2i Y 1 A D C V 0 2 h O B x o 107 67. A una masa m=1 kg, que se desplaza inicialmente con una velocidad constante V=10i – 4j (m/s) se le aplica una fuerza constante F=20 i +25 j (N) durante un tiempo de 2 segundos. Hallar la velocidad final de la masa. Rta.: 50 i +46 j (m/s) 68. Una bola, con velocidad inicial de 10 m/s, choca elásticamente con otras dos bolas idénticas, cuyos centros están sobre una línea perpendicular a la velocidad inicial y que originalmente estaban en contacto entre sí. La primera bola se apuntó directamente al punto de contacto y ninguna bola tiene fricción. Encontrar las velocidades de las tres bolas después de la colisión. Rta.: 2 m/s ; 6,93 m/s ; 6,93 m/s 69. Un carro lanzador de misiles con una masa M, dispara horizontalmente un cohete con masa m y retrocede hacia arriba de un plano inclinado liso, elevándose hasta una altura h. Encuéntrese la velocidad inicial del cohete. Rta.: M(2 g h) 1/2 / m 70. La carreta de masa M de la figura se mueve sin rozamiento sobre un plano horizontal con una velocidad v 0 . En la parte delantera de la carreta se coloca un cuerpo de masa m y velocidad inicial igual a cero. Las dimensiones del cuerpo en relación con la longitud de la carreta pueden ser despreciadas. El coeficiente de rozamiento entre el cuerpo y la carreta es μ. ¿Para qué longitud L de la carreta el cuerpo no caerá de la misma? Rta.: 1/2 Mv 0 2 / (μ g (m +M)) 71. Considérese un choque elástico en una dirección entre un cuerpo dado A que llega a un cuerpo B que está inicialmente en reposo. ¿Cómo escogería usted la masa de B en comparación con la masa de A para que B rebote con la máxima cantidad de movimiento? Rta.: m B >>m A M m V 0 L M m θ h 1 V 0 2 3 108 72. Dos bloques A y B, ambos de masa M=10 kg, se hallan inicialmente en reposo sobre una superficie horizontal sin rozamiento. El bloque A lleva adherida una masa m=5kg. Posteriormente el bloque A dispara la masa m con una velocidad relativa u= 27 m/s. La masa m efectúa un choque completamente elástico con el bloque B y rebota, chocando nuevamente con el bloque A, al cual se adhiere finalmente. Hallar las velocidades finales de los bloques A y B. Rta.: - 9 m/s ; 12 m/s 73. Un bloque de masa M =30 kg se suelta desde una altura h =2 m sobre el plato, de masa m=10 kg, de una balanza de resorte. Asumiendo que el impacto es perfectamente elástico, determinar la máxima deflexión x del plato. La constante del resorte es k=20 kN/m. Rta.: 0,225 m 74. Una partícula de masa m posee una velocidad v 0 cuando se encuentra en la parte inferior de un cuerpo en forma de cuña de masa M, que en ese mismo instante está en reposo. Siendo α el ángulo de la cuña y sabiendo que todas las superficies son lisas, hallar la máxima altura a que llega la partícula sobre la cuña y el tiempo que tarda en alcanzarla. M=1 kg ; M=2 kg ; v 0 =5 m/s ; α =30° Rta.: 0,96 m ; 0,765 s 75. Varios niños empujan, partiendo del reposo, un vagón de masa M sobre una vía horizontal, aplicando sobre él una fuerza horizontal constante F durante un tiempo t. En ese momento empieza a llover copiosamente, de manera que caen λ litros de agua, de densidad ρ, en un tiempo t. Hallar la nueva velocidad del vagón al cabo de ese tiempo t. Rta.: 2 F t /(M +λρ) M α m V 0 M h x m k x A M m u B M 109 76. Dos esferas A y B, que tienen masas diferentes pero desconocidas, chocan elásticamente entre sí. Inicialmente A está en reposo y B se mueve con una velocidad v 0 . Después del choque B se mueve con una trayectoria perpendicular a la original con una velocidad vo/2. Determinar la dirección de la trayectoria de la masa A, con respecto a la de B. Rta.: 90° +arctg (1/2) 77. Una bola es lanzada verticalmente hacia arriba con velocidad inicial v 0 . Posteriormente choca sucesivamente con el suelo, perdiendo en cada choque una fracción de su energía cinética. Hacer el gráfico de v =f(t) que mejor representa el fenómeno. (adoptar el sistema de referencia hacia arriba) 78. Dos cuerpos de masas m 1 =1,5 m 2 se mueven sobre una superficie horizontal sin rozamiento con velocidades v 2 =1,5 v 1 en sentidos opuestos. Sabiendo que después del choque oblicuo la masa m 2 sufre un desvío α de su dirección original que su velocidad u 2 =v 1 , hallar la nueva velocidad de la masa m 1 y su desvió angular. Rta.: - v 1 / 1,5 79. Los gráficos representan las velocidades en función del tiempo, de dos objetos esféricos homogéneos e idénticos, que colisionan frontalmente. Si es la cantidad de movimiento del sistema formado por los dos objetos y E la energía cinética del mismo sistema, ¿Cuál de las dos magnitudes se conserva? Rta.: cantidad de movimiento 80. Una bola es abandonada desde una altura H, sobre una superficie horizontal plana. Sabiendo que después de chocar contra la superficie, la bola asciende hasta una altura H/2, determinar el coeficiente de restitución del choque. Rta.: 1/2 2 1/2 81. Un pescador de masa m se encuentra en el extremo de un bote de masa M y longitud L, en un lago tranquilo. Estando inicialmente el sistema en reposo, el pescador comienza a caminar sobre el bote hasta alcanzar el otro extremo. Suponiendo que no existe rozamiento entre el agua y el bote, hallar el desplazamiento del bote al terminar el recorrido y lo que ocurre con el sistema. Rta.: m L / (m +M) v/2 v/2 v v t t 1 V 1 V 2 2 110 82. Un carrito A, de masa m, y otro B, de masa 3m, unidos por un resorte de masa despreciables e inicialmente estirado, son mantenidos en reposo sobre una superficie plana y horizontal. Cuando los dos carritos son liberados simultáneamente, el resorte los empuja uno contra otro y el carrito A adquiere, después que el resorte estuviera relajado una velocidad de 1,5 m/s. Calcular la velocidad adquirida por el carrito B. Rta.: - 0,5 m/s 83. Un proyectil de masa m y velocidad v acierta a un objeto de masa M, inicialmente inmóvil. El proyectil atraviesa el cuerpo de masa M y sale de él con una velocidad v/2. El cuerpo que fue acertado desliza por una superficie sin rozamiento, subiendo una rampa hasta una altura H. determinar la velocidad inicial v del proyectil. Rta.: 2 M (2 g h) 1/2 / m 84. Un bote de masa M, inicialmente en reposo tiene instalada una ametralladora. El arma dispara horizontalmente N balas por segundo durante un intervalo de tiempo T. cada bala tiene una masa m y es disparada con velocidad Vo. Considere también que T es pequeño y que M >>TNm. Desprecie además la resistencia que el agua ejerce sobre el bote. Teniendo en cuenta estas aproximaciones, hallar la distancia recorrida por el bote al cabo del tiempo T. Rta.: 1/2 N m v 0 T 2 / M 85. Dos péndulos A y B, de masas m y 5m/3, respectivamente, cuelgan verticalmente de dos hilos de masas despreciables, cuya longitud es L. El péndulo A se eleva hasta una posición tal que el hilo forme con la vertical un ángulo de 45° y desde allí se suelta. Sabiendo que la relación entre las alturas a que suben los cuerpos A y B después del primer choque vale 0,034 , el coeficiente de restitución vale, aproximadamente: Rta.: 0,80 86. Un hombre de masa M=80 kg, que lleva puesto patines, está parado sobre la superficie congelada de un lago. Lleva en sus bolsillos dos esferas de plomo de masa m=0,5 kg cada una. En forma sucesiva arroja horizontalmente las dos esferas de plomo con una velocidad relativa u=2 m/s respecto a sí mismo. ¿Con qué velocidad v se mueve el hombre con respecto al lago después de tirar las dos esferas? Suponga que no hay rozamiento entre el hombre y la superficie congelada del lago. Rta.: 0,025 m/s 87. Un mono de masa M que se encuentra a una altura H del piso, se lanza a recoger un cesto de frutas de masa m que se encuentra en el piso, usando una cuerda ligera de longitud L justamente debajo del punto de suspensión de la cuerda, a una distancia L. Hallar la relación entre las velocidades del mono inmediatamente antes y después de tomar el cesto. Rta.: (M +m) / M L A B 45 L m h M 111 88. Un proyectil se dividió en tres partes, que se separan formando ángulo de 120° como se indica en la figura. Sabiendo que la relación entre las cantidades de movimiento es p 1 >p 2 =p 3 , determinar la dirección en que se movía el proyectil antes de dividirse. Rta.: - i 89. Dos bloques de masas M y m se encuentran inicialmente moviéndose sobre una superficie horizontal sin rozamiento con una velocidad v 0 . Repentinamente se libera un resorte de constante k que se encontraba comprimido entre las dos masas y la masa M se detiene. Hallar la deformación inicial del resorte. Rta.: (M (M +m)/(k m)) 1/2 90. Un proyectil de masa m y velocidad v se incrusta en el primero de n bloques de masa M=3m que descansan en reposo sobre una superficie horizontal sin rozamiento. Hallar la cantidad de bloque que estarán en movimiento para cuando la velocidad del sistema sea 1 % de la velocidad inicial del proyectil. (suponer que todos los choques son completamente inelásticos) Rta.: 33 91. El plano inclinado de masa M de la figura está en reposo sobre una superficie horizontal sin rozamiento. Contra él choca elásticamente una bola de masa m que se mueve horizontalmente con velocidad v 0 y rebota en dirección vertical con velocidad v 1 . Calcular la velocidad v 1 . Rta.: v 0 ((M – m) /M) 1/2 M V 0 V 1 V 2 M _______________ n bloques M m V 0 120° 120° 120° P 2 P 1 P 3 112 92. La velocidad de la partícula de masa m=30 kg que se mueve sobre el eje x, varía con el tiempo como se indica en la figura. Calcular el valor de la fuerza media, en N, que actúa sobre la partícula en el intervalo t 1 =5 s y t 2 =35 s. Rta.: - 20 N 93. Dos bolas A y B, de masas m A =2 m B , tienen inicialmente las velocidades v A y v B =3/8 v A , que se muestran en la figura. Si el coeficiente de restitución e= 0,5 , determinar la velocidad después del choque de la bola A. Rta.: 5/16 v A 94. Dos carros de una montaña rusa de masa m 1 y m 2 , salen sin velocidad desde dos alturas diferentes h 1 y h 2 y chocan en la recta AB, con un coeficiente de restitución de 0,8 , recorren el rizo vertical de radio R 1 , bajan por una pendiente de altura H y recorren una circunferencia horizontal de radio R 2 con ángulo de peralte 45°. Si se desea que el carro más lento llegue al punto C y que el carro más rápido no derrape en el punto D, calcular los mínimos valores de h 1 y h 2 sabiendo que m 1 = 100 kg , m 2 =50 kg, R 1 =1,96 m , R 2 =40,33 m y H =8,07 m. Rta.: 10 m ; 2,5 m 95. Se deja caer un pesado martillo de masa M=3.000 kg desde una altura h=3m sobre el extremo de un pilote de masa m=1.000 kg, y penetra en el suelo una distancia d=50 cm. Encontrar: a) La resistencia del suelo, suponiendo que es constante y que el pilote y la masa M permanecen juntos durante el impacto. b) El tiempo en que el pilote se encuentra en movimiento. c) La energía cinética que se pierde en el impacto. Rta.: a) 171500 N ; b) 0,174 s ; 22050 J m B m A v B v A 10 V(m/s) -10 0 5 10 20 30 35 40 T(s) R 2 H B A D C 2R 1 h h m 2 m 1 H m M d 113 CINEMÁTICA DE ROTACIÓN. 1. Un automóvil que viaja a 97 km/h, tiene ruedas de 76 cm de diámetro. a) ¿Cuál es la rapidez angular de las ruedas alrededor del eje? b) Si las ruedas se detuviesen uniformemente en 30 vueltas, ¿Cuál sería la aceleración angular? c) ¿Cuánto avanza el automóvil durante este periodo de frenado? Rta.: a) 70,91 rad/s b) 13,34 rad/s 2 c) 71,61 m 2. Un método para medir la velocidad de la luz emplea una rueda giratoria. Un haz de luz pasa por una ranura en el borde exterior, exactamente en el tiempo necesario para pasar por la siguiente ranura de la rueda. a) Calcular la velocidad angular de la rueda. b) Calcular la velocidad de un punto de la periferia. Rta.: a) 3770 rad/s b) 188,5 m/s 3. Una rueda A de radio r a =10 cm, está acoplada mediante una banda B a otra rueda C de radio r c =25 cm, tal como se muestra en la figura. La rueda A aumenta su rapidez angular a partir del reposo con un ritmo uniforme de π/2 rad/s 2 . Determinar el tiempo que le toma a la rueda C, alcanzar una rapidez rotacional de 100 rev/min, suponiendo que la banda no resbala. Rta.: 16,7 s 4. Un insecto de masa 8.10 -2 g, camina hacia afuera, con una rapidez constante de 1,6 cm/s, a lo largo de una línea radial marcada en la tornamesa de un tocadiscos que gira con una velocidad angular constante de 33,33 rpm. Encontrar: a) La velocidad b) La aceleración del insecto según un observador en el piso, cuando el insecto está a 12 cm del eje de rotación. c) ¿Cuál debe ser el coeficiente de fricción mínima para que el insecto llegue al borde de la tornamesa, de 16 cm de radio, sin resbalar? Rta.: a) 0,42 m/s b) 1,47 m/s 2 c) 0,20 B r A r C A C C=299792458 m/s 500 dientes R=5cm 114 5. La rapidez angular del motor de un automóvil aumenta de 1.200 rpm hasta 3.000 rpm en 12 s. a) ¿Cuál sería la aceleración angular suponiendo que fuese uniforme? b) ¿Cuántas revoluciones efectúa la máquina durante este tiempo? Rta.: a) 15,71 rad/s 2 b) 420 rev 6. La tornamesa de un fonógrafo, que gira a 78 rpm, se frena y se detiene 30 s después de haber desconectado el motor. a) Encontrar su aceleración angular (uniforme) b) ¿Cuántas revoluciones efectúa en dicho tiempo? Rta.: a) 0,27 rad/s 2 b) 20 rev 7. Un disco uniforme gira alrededor de un eje fijo, partiendo del reposo y acelerándose con aceleración angular constante. En un tiempo dado está girando a 10 rev/s. Después de completar 60 rev más, su rapidez angular es de 15 rev/s. Calcular: a) La aceleración angular. b) El tiempo requerido para completar las 60 rev mencionadas. c) El tiempo requerido para alcanzar la rapidez angular de 10 rev/s. d) El número de revoluciones efectuadas desde el reposo hasta el tiempo en que el disco alcanza la rapidez angular de 10 rev/s. Rta.: a) 6,54 rad/s 2 b) 4,8 s c) 9,6 s d) 48 rev 8. Un volante completa 40 rev al desacelerarse desde una rapidez angular de 1,5 rad/s hasta detenerse totalmente. Suponiendo que tenga una aceleración uniforme. a) ¿Cuál es el tiempo requerido para llegar al reposo. b) ¿Cuál es la aceleración angular? c) ¿Cuánto tiempo se requiere para completar la mitad de las 40 rev? Rta.: a) 335,1 s b) 4,48 .10 -3 rad/s 2 c) 98,15 s 9. La Tierra gira alrededor del Sol casi en un círculo a) ¿Cuál es la velocidad angular de la Tierra (Considerada como una partícula) alrededor del Sol y b) su rapidez lineal media en su órbita? c) ¿Cuál es la aceleración centrípeta de la Tierra respecto al Sol? Rta.: a) 2. 10 -7 rad/s b) 3 . 10 4 m/s ; 6 . 10 -3 m/s 2 . 10. ¿Cuál es la rapidez angular de un automóvil que toma una curva circular de 110 m de radio a 48 km/h? Rta.: 0,12 rad/s 115 DINÁMICA DE ROTACIÓN 1. En el sistema que se muestra en la figura, calcular: a) La aceleración angular del sistema. b) La aceleración angular del sistema cuando m 1 haya caído 20 cm a partir del reposo. m 1 =10 kg ; m 2 =5 kg ; m 3 =5 kg ; R=25 cm Rta.: a) 11,2 rad/s 2 ; b) 4,23 rad/s 2. Determinar para el sistema de la figura la aceleración angular del disco y la aceleración lineal de las masas m 1 y m 2 . Calcular la tensión en cada cuerda. Los espesores de ambos discos son iguales a e. m 1 =600 g ; m 2 = 500 g ; M=800 g ; R=8 cm ; r=6 cm Rta.: 22,62 rad/s 2 ; 1,81 m/s 2 ; 1,36 m/s 2 ; 4,79 N ; 5,58 N 3. Un bloque de 26,8 N de peso se coloca en un plano inclinado 30° con respecto a la horizontal, y mediante una cuerda paralela al plano y que pasa por una polea que está en la parte superior, va unido a un bloque colgante que pesa 80 N. La polea pesa 8,9 N y tiene un radio de 0,10 m. Encontrar la aceleración del bloque que está suspendido y la tensión de la cuerda a cada lado de la polea. La polea es un disco uniforme. Rta.: 5,87 m/s 2 ; 29,45 N ; 32,08 N 30° 26,8N 80N m 2 m 1 M r R R m 3 m 1 m 2 116 4. En el sistema que se muestra en la figura: a) Calcular la aceleración del sistema en el instante que se corta el hilo AB. b) Calcular la velocidad del sistema cuando la barra está en la posición vertical. m 1 =5 kg ; m 2 = 4 kg ; m 3 =6 kg ; m 4 =10 kg ; R=40 cm ; l=2m ; x=0,5 m ; h=5m Rta.: a) 3,57 rad/s 2 ; b) 2,35 rad/s 5. Una regla de longitud L=1 m se sostiene verticalmente con un extremo en el piso y se le deja caer. Encontrar la velocidad del otro extremo cuando este pega contra el piso suponiendo que el extremo apoyado sobre el piso no resbale. Rta.: 5,4 m/s 6. El sistema de la figura consta de dos discos giratorios de masas m 1 y m 2 y radio R 1 y R 2 unidos por una cuerda que se ajusta perfectamente sobre su borde. Lleva además los accesorios indicados en el gráfico, donde m 4 es una masa esférica. a) Encontrar la posición de equilibrio del sistema (la dibujada no lo está) b) Si se suelta el aparato en la posición dibujada, encontrar la velocidad de M y la aceleración angular de la barra en el momento de pasar por la posición de equilibrio. Rta.: a) 90° ; b) 0,082 m/s ; 0 7. Un cilindro de 0,30 m de longitud y 0,025 m de radio pesa 26,7 N. Dos cuerdas están arrolladas alrededor del cilindro, cada una de ellas cerca de los extremos y los extremos de las cuerdas se encuentran fijos en ganchos colocados en el techo. El cilindro se sostiene horizontalmente con las dos cuerdas. Encontrar la tensión de las cuerdas al desenrollarse. Rta.: 4,45 N ℓ m 3 m 2 m 1 R 1 R 2 r m 4 m 1 =12 kg m 2 =6 kg m 3 =30 kg m 4 =70 kg M =3400 kg R 1 =0,5 m R 2 =0,25 m r =0,1 m ∅=0,2 m ℓ =2 m M ∅ L x h m 1 m 2 B m 3 m 4 A L r 117 8. El cilindro de masa m 1 =20 kg está unida por una cuerda sujetada a su eje. La cuerda pasa por una polea cilíndrica de masa m 2 =10 kg y está unida en su otro extremo a una masa m 3 =50kg. Sabiendo que el cilindro rueda sin resbalar, calcular: a) La aceleración lineal del sistema. b) La tensión de la cuerda que tira el cilindro. c) La tensión en la cuerda que cuelga a m 3 . d) La fuerza de rozamiento entre el cilindro y el plano inclinado. e) El mínimo coeficiente de rozamiento entre el cilindro y el plano inclinado. f) Hallar la velocidad lineal del sistema cuando m 3 baja 30 cm a partir de la posición de reposo. Rta.: a) 4,61 m/s 2 b) 236,35 N c) 259,41 N d) 46,12 N e) 0,27 f) 1,66 m/s 9. Un proyectil de masa m=0,10 kg choca una varilla homogénea de masa 8 kg. La bala queda incrustada en el extremo inferior. La varilla puede girar alrededor del punto A, por donde cuelga y tiene una longitud de 1 m. Siendo la velocidad inicial de la bala de 50 m/s, calcular la velocidad angular de la barra inmediatamente después del choque y la pérdida de energía. Rta.: 1,81 rad/s ; 120,47 J 10. Dos cilindros de radios R 1 =2m y R 2 =1m y masas m 1 = 20 kg y m 2 =10 kg, respectivamente, están apoyados en ejes perpendiculares al plano de la figura. El cilindro mayor está girando inicialmente con una velocidad angular ω 0 =3 rad/s. El cilindro pequeño se mueve hacia la derecha hasta tocar al grande y en un momento dado, deja de haber resbalamiento entre los dos, y los dos cilindros giran a razones constantes y en direcciones opuestas. a) Encontrar la velocidad angular final del cilindro más pequeño. b) ¿Se conserva la energía cinética del sistema? En caso negativo, hallar la variación de la energía cinética del sistema? Rta.: l 1 ω 0 R 1 R 2 /(l 2 R 1 2 + l 1 R 2 2 ) I2 I1 R 1 R 2 L M m V 0 30° 118 11. En un parque de juegos hay una pequeña calesita de 1,22 m de radio y 175 kg de masa. Su radio de giro es de 0,915 m. Un muchacho de masa 43,8 kg corre con una velocidad de 3,05 m/s en dirección tangente a la periferia de la calesita cuando ésta se encuentra en reposo y salta a la calesita. Despreciando los rozamientos, encontrar la velocidad angular de la calesita. Rta.: 0,77 rad/s 2 12. Un disco macizo y homogéneo de aluminio de 10 cm de radio y 5 cm de espesor puede girar alrededor de un eje que pasa por O. Se dispara hacia la periferia del disco, en dirección tangente, una bala de plomo de 30 g de masa con una velocidad de 300 m/s, quedando ésta incrustada en el extremo del disco. Calcular la velocidad angular del sistema después del choque y la energía cinética que se pierde en el choque. ρ al =2,7 g/cm 3 . Rta.: 412,85 rad/s 1131,17 J 13. Una cucaracha de masa m corre en sentido contrario a las manecillas del reloj, alrededor del borde de un disco circular, montado sobre un eje vertical de radio R y masa M, con cojinetes sin fricción. La velocidad de la cucaracha con relación al piso es v, mientras que el disco gira en el sentido de las manecillas con una rapidez angular ω. La cucaracha encuentra un migaja de pan en el borde y por supuesto se detiene. a) ¿Cuál es la velocidad angular del platillo después que se detiene la cucaracha? b) ¿se conserva la energía? Si no, hallar la condición para que se conserve. Rta.: a) (M R ω 0 – 2 m v) / (M R +2 m R) 14. El sistema que se muestra en la figura está compuesto de un hilo de masa despreciable con una masa m en su extremo y una barra uniforme de masa 4m. El hilo y la barra están fijos en el punto A al plano de la hoja y se suelta a partir del reposo. La masa choca elásticamente con la barra. Deducir las fórmulas que nos permitan calcular la velocidad de la masa m y la velocidad angular de la barra después del choque en función de g, l y ϕ. Rta.: 72 91 (1,5 g (1 – cos ϕ)) 1/2 ; 37 91 ( 1,5 g ( 1 – cos ϕ)) 1/2 ℓ ∅ 3/ 4 ℓ 4 m A m O m R V 0 119 15. El sistema de la figura consiste en una polea cilíndrica de radio R=50 cm y masa m 1 =2 kg, unida rígidamente a una varilla de longitud L =2 m y masa m 2 =1kg, que puede girar alrededor del apoyo fijo en A. Se aplica un golpe seco a la varilla, que dura 5 milisegundos, de tal manera que el sistema da una vuelta completa alrededor del punto A ¿Cuál es el mínimo valor de la fuerza F que actúa durante el golpe seco, si se supone que dicha intensidad es constante? Rta.: 787,82 N 16. Tres masas puntuales iguales en los vértices de un triángulo equilátero están unidas por una lámina triangular de masa despreciable. a) Determinar el momento de inercia I z con respecto al eje normal que pasa por el centro geométrico C. b) Evaluar I y para el eje y representado. c) Evaluar I x para el eje x representado. Rta.: a) m a 2 ; b) 1 2 m a 2 ; c) 1 2 m a 2 17. Hallar el momento de inercia del sistema con respecto a un eje que pasa por O y es perpendicular al plano de la figura. Todas las varillas son uniformes, de la misma sección y con una masa μ kg por metro lineal. Rta.: 1 4 μ (b 3 + 2 a 2 b +2 a b 2 +a 3 ) o b 0 x C Y L F R 120 18. Si el sistema que se muestra parte del reposo, calcular: a) El momento de inercia de la polea con respecto a su eje. b) La aceleración angular del sistema. c) El número de vueltas que da el sistema en los primeros 20 s. d) La energía cinética del sistema cuando la masa m 2 sube 1m. e) La variación de energía potencial del sistema en los primeros 10 s. Rta.: a) 0,17 kg/m 2 ; b) 23,71 rad/s 2 ; c) 755 rev ; d) 147 J ; e) – 17427 J 19. Un cilindro rueda sin deslizar desde una altura H sobre un plano inclinado 30°. En un punto situado a 2/3 H se traba el giro y el cilindro comienza a deslizar. Determinar el valor de μ k para que el cilindro se detenga justo al final del plano. Rta.: 0,77 20. En la figura la barra está pivotada en el punto A. Si inicialmente se encuentra en reposo son θ=0°, hallar la velocidad angular de la barra en función al ángulo. Determinar además la velocidad lineal del centro de masa cuando la barra toca el suelo. La longitud de la barra es L=4m. Rta.: (3 g (1 – cos θ)) 1/2 ; 5,42 m/s 21. Un cilindro, una esfera y un cubo se lanzan sucesivamente a partir del reposo y recorren todos la mismas distancias sobres un mismo plano inclinado de 30°. El cilindro y la esfera ruedan, en tanto que el cubo desliza. El coeficiente de rozamiento entre el cubo y la superficie es 0,36. Si la velocidad final del cilindro es 1 m/s ¿Cuál es la velocidad final de la esfera y la del cubo? Rta.: 1,04 m/s ; 0,75 m/s A θ H 2/3H 30° B R A R B A m 2 m 1 121 22. La puerta que se muestra en la figura, es homogénea, de masa M, ancho a y se halla suspendida de sus goznes formando un ángulo θ con la pared. Si se aplica una fuerza F, perpendicular al plano de la puerta y actuando durante un intervalo de tiempo muy pequeño Δt, ¿Cuál será el mayor valor de θ para que la puerta se cierre, suponiendo que el rozamiento en los goznes produce una desaceleración constante α? El momento de inercia de la puerta con respecto al eje que pasa por su centro de masa es l=7/4 Ma 2 . Rta.: F 2 Δt 2 / (8 M 2 a 2 α) 23. El sistema que se muestra en la figura parte del reposo. La masa m 1 es esférica y la masa m 2 es una polea cilíndrica. Calcular: a) La aceleración lineal inicial del sistema. b) La velocidad angular de la barra cuando pasa por su posición vertical. m=1kg ; m 1 =3 kg ; m 2 =12 kg ; M =30 kg ; r 1 =10 cm ; r 2 =80 cm ; l=1 m ; μ k =0,2 ; θ=60° Rta.: a) 4,23 m/s 2 ; b) 4,27 rad/s 24. Se tienen dos esferas de masas m y 3m, de radios r y 2r, unidos por una varilla de masa M=5m. El sistema puede girar alrededor del centro de la esfera menor en un plano vertical. Calcular la velocidad lineal del centro de masa del sistema al pasar por la posición vertical. Rta.: 8,02 r 1/2 3m m M=5m L=5r ℓ m p k θ m 2 M r r 1 m 1 a θ θ 90° F 122 25. Sabiendo que no hay rozamiento entre la mesa horizontal y el cilindro, calcular la relación r/R para que el cilindro ruede sin resbalar. La cuerda está enrollada por el eje de radio r. l cm =1/3MR 2 Rta.: 1/3 26. El péndulo físico que se muestra en la figura es de aluminio y consta de una varilla, de 90 cm de largo y 0,25 kg de masa, y de una esfera de 20 cm de diámetro y 10 kg de masa. Una bala de plomo de 50 g, dispara horizontalmente, choca centralmente con la masa esférica. Luego del choque la bala queda incrustada en la esfera. Sabiendo que como consecuencia del choque el péndulo oscila con una amplitud máxima de 30°, calcular: a) La velocidad angular del sistema después del choque. b) La velocidad de la bala antes del choque. c) La pérdida de energía mecánica. Rta.: a) 1,62 rad/s ; b) 329,1 m/s ; c) 2694,34 J 27. ¿Cuál es la mínima velocidad que tiene que llevar el proyectil de masa m para que al chocar e incrustarse en el extremo inferior de una barra homogénea de longitud L, masa M y que se encuentra en el otro extremo por un eje, dé una vuelta completa alrededor de dicho eje, después del impacto? Rta.: (2/3 (M +3m) (M +2m) g L /m 2 ) 1/2 m M L V 0 m V 0 40cm 20cm F R r 123 28. La esfera hueca y de masa M y momento de inercia I=5/9 MR 2 con respecto a un diámetro, parte del reposo desde una altura h=1,27 m sobre la base de un plano inclinado un ángulo de 30° y rueda sin deslizar hasta chocar contra el bloque de masa 3M, inicialmente en reposo. El choque es frontal y elástico y se supone que durante el mismo no varis la velocidad angular de la esfera. a) Si M =3kg y la máxima compresión del resorte es 60 cm, ¿Cuál es la constante k del mismo? b) ¿Cuál es el mínimo valor del coeficiente de rozamiento estático entre la esfera y el plano inclinado para que ésta ruede sin resbalar? Rta.: a) 100 N/m ; b) 0,21 29. Un carrete tiene un radio interior r 1 y un radio exterior r 2 y un momento de inercia I 0 respecto del centro de masa. El carrete tiene enrollado un hilo, según se indica en la figura, en el cual actúa una fuerza constante F. Hallar la aceleración angular del carrete si el mismo gira sin deslizar, en función de r 1 , r 2 , I 0 , F y m (Masa del carrete) Rta.: F (r 2 – r 1 ) / (l 0 +m r 2 2 ) 30. En el esquema de la figura un cuerpo C de masa m C =12kg se encuentra suspendido de una cuerda que pasa por una polea B, sin rozamiento, de masa m b =m C /3 y radio R. El otro extremo de la cuerda está enrollado alrededor de un cilindro A de masa m a =m C /4 y que tiene dos ruedas cilíndricas de masas m C /6 cada una y de radios iguales al doble del cilindro. Calcular: a) La aceleración del bloque C b) La aceleración del centro de masa del bloque A. c) La tensión de la cuerda a cada lado de la polea. d) La fuerza de rozamiento entre las ruedas y las superficies. Rta.: a) 4,96 m/s 2 ; b) 3,31 m/s 2 ; c) 58,08 N ; 48,11 N ; d) 16,20 N 37° 2R R A C B R F r 1 r 2 h M μ k =0 μ s 3M 30° 124 31. Una cuerda se encuentra arrollada a un cilindro. Una persona estira dicha cuerda de tal forma que el cilindro rueda sin deslizar aplicándole una fuerza igual a tres veces el peso del cilindro. Determinar la aceleración del cilindro. Rta.: 39,2 m/s 2 32. Una esfera y un cilindro, que tienen la misma masa y el mismo radio, parten del reposo y bajan rodando por el mismo plano inclinado θ=30°. ¿Cuál es la relación de sus velocidades al llegar a la base del plano? Rta.: (15/14) 1/2 33. Sobre un plano inclinado 30° se encuentra un bloque de m 1 =600 N. Una cuerda inextensible, que pasa por una polea de masa M, une este bloque a otro de masa m 2 . Calcular la variación de tensión que soporta la cuerda. m 1 =m 2 =M Rta.: 60 N 34. Un bloque de masa m=5 kg desliza por una superficie inclinada 30° y que tiene un coeficiente de rozamiento de 0,25 con el bloque. La cuerda atada el bloque está arrollada a una polea de masa M=20 kg y de radio R=20 cm. Calcular la aceleración del bloque y la tensión que soporta la cuerda. Rta.: 0,93 m/s 2 ; 9,3 N 30° m M 30° m 1 m 2 M F 125 35. Calcular el alargamiento del resorte y la aceleración del sistema. El coeficiente de rozamiento entre todas las superficies es μ k =0,4. La polea es cilíndrica y de masa M p =10 kg de masa. M=50 kg ; m=10 kg ; k=1.100 N/m Rta.: 0,043 m ; 0,55 m/s 2 . 36. El carrito indicado consiste en una plataforma simplemente apoyada en rodillos uniformes. La plataforma pesa 4,5 kg, cada uno de los rodillos pesa 2 kg y tiene 10 cm de radio. Si el movimiento es de rodamiento puro, calcular la aceleración de la plataforma, si la fuerza aplicada es de 16 N. Si el carrito parte del reposo, hallar la velocidad de la plataforma al cabo de 3 s. Rta.: 2,67 m/s 2 ; 8 m/s 37. En la figura se tiene un hilo del cual cuelga un peso W=5 kg, y se halla enrollado a un cilindro de radio R=10 cm, provisto de dos varillas de longitud l=70 cm y de masa m=4,9 kg. La inercia del cilindro con respecto a un eje que pasa por su centro es I 0 =0,05 kg m 2 . Calcular: a) La aceleración angular del conjunto cilindro varillas. b) La velocidad del bloque un instante antes de tocar el piso. c) Si un instante después del choque del bloque contra el piso aplicamos una fuerza en la cara lateral del cilindro, calcular el valor de dicha fuerza de modo que el conjunto se detenga en 10 s. Rta.: a) 2,88 rad/s 2 ; b) 0,76 m/s ; c) 12,53 N h W l l F B A 30° M M p k m 126 38. Una esfera está suspendida de un punto A por medio de una varilla de masa de 1 kg y longitud 40 cm rígidamente vinculada a la esfera. La esfera es de madera, su masa es 4 kg y el radio es 10 cm. Se dispara una bala de 100 g horizontalmente, con una velocidad v 0 , para chocar contra la esfera en un punto medio, y la misma atraviesa la madera reduciendo su velocidad en un 25 %. Encontrar la velocidad mínima de impacto de la bala para que después del choque el sistema esfera varilla dé por lo menos una vuelta entera alrededor de A. Rta.: 768,25 m/s 39. Hallar la velocidad v con que la masa m llega al suelo en función de los datos de la figura. I CM =1/2 Mr 2 . Rta.: (4 m g h (1 – cotg θ) / (2m +M)) 1/2 40. Calcular el valor de la fuerza media que el cuerpo ejerce contra el suelo cuando choca contra el mismo, sabiendo que el tiempo de contacto es 0,1 s y que M 1 =2 M 2 =3M 3 =10 kg. El choque es perfectamente elástico. Rta.: - 686 N 41. Si se lanza una esfera a partir del reposo en el punto, como se muestra en la figura, y rueda sin resbalar a lo largo de la pista. a) ¿Cuánto vale h si la esfera alcanza el punto B sin despegarse de la pista y con la mínima velocidad posible? b) ¿Qué parte de la energía total en B es debida a la traslación? ¿Qué parte es debida a la rotación? El radio de la esfera es 2 cm y el momento de inercia de la esfera respecto a un diámetro es 2/5 mr 2 . R=1 m Rta.: a) 2,67 m ; b) 5/7 ; 2/7 m A h R B 2m M 3 M 2 M 1 θ h m μ k M R 127 42. La figura muestra tres cortes transversales de diferentes ruedas, de igual masa. ¿Cuál de ellas tiene mayor momento de inercia y por qué? Rta.: l 1 > l 2 >l 3 43. En la figura las masas de las bolas A y B es M y giran alrededor del eje vertical con una velocidad angular ω, a una distancia L del mismo. Se obliga al collar C a desplazarse hacia abajo hasta que las bolas se encuentran a una distancia L/3 del eje. ¿Qué trabajo se realizó en este desplazamiento? Rta.: 8 M L 2 ω 0 2 44. Considérese el sistema que aparece en la figura. Sobre un plano inclinado 30° se encuentra un cilindro de masa M=10 kg y radio R, alrededor del cual se ha enrollado una cuerda paralela al plano que pasa también por una polea de masa despreciable y se une finalmente con un cuerpo de masa m. La tensión de la cuerda y la fuerza de rozamiento cinético ejercida por el plano sobre el cilindro son suficientes para que éste permanezca en su sitio a medida que gira, mientras la cuerda se desenrolla y el cuerpo de masa m desciende con aceleración a. El coeficiente de rozamiento cinético entre el plano y el cilindro es 0,25. Calcule la aceleración con que desciende el bloque de masa m. Rta.: 1,31 m/s 2 30° m M L L A B ω C I II III 128 45. Dar la aceleración y la fuerza de rozamiento en la figura sabiendo que la masa M= 2m=10 kg. Rta.: 3,68 m/s 2 ; 9,19 N 46. El sistema que se muestra en la figura comienza a moverse a partir del reposo. El cuerpo A es un cilindro de masa m A =6 kg que es arrastrado hacia arriba por el bloque de masa m C por medio de una cuerda que pasa por una polea cilíndrica de masa m B =2 kg. a) ¿Cuál es el máximo peso del bloque C, suponiendo que el cilindro suba rodando sin resbalar? b) En estas condiciones, ¿Cuál es la aceleración del sistema y las tensiones en la cuerda? c) ¿Cuál es la energía cinética total del sistema cuando el bloque C ha bajado 1 m? d) ¿Cuál es la fuerza de rozamiento que actúa sobre el cilindro A? μ S =0,3 ; μ k =0,2 Rta.: a) 17,05 kgf ; b) 5,09 m/s 2 ; 80,31 N ; 75, 21 N ; c) 196,49J ; d) 15,27 N 47. En el sistema que se muestra en la figura, hallar: a) La tensión de la cuerda. b) La aceleración de los bloques m 1 =5 kg y m 2 =10 kg El coeficiente de rozamiento cinético entre m 1 y m 2 es μ 1 =0,2 y el coeficiente de rozamiento cinético entre m 2 y el plano inclinado es μ 2 =0,1. La masa de la polea es m p =2kg y el radio de la misma es r =10 cm. Rta.: a) 55,24 N ; 56,82 N ; b) 1,58 m/s 2 60° m 2 m 1 m p μ 2 μ 1 30° m C m A m B 30° M m m 129 48. Una barra metálica delgada de longitud d y masa m puede girar libremente en torno de un eje horizontal que lo atraviesa perpendicularmente a la distancia d/4 de uno de sus extremos. La barra se suelta a partir del reposo en la posición horizontal. Calcular la velocidad angular adquirida por la barra después de haber recorrido el ángulo α indicado en la figura. Rta.: (24/7 g sen α /d) 1/2 49. Un bloque de masa m, que puede deslizar sin rozamiento sobre un plano inclinado un ángulo α con respecto a la horizontal, está ligado por un hilo inextensible y sin peso, que pasa por una polea de radio R y masa M, a una masa m’ (m <m’) suspendida como se indica en la figura. Soltando el sistema desde el reposo, calcular la velocidad v de m’ después de caer una altura h. Rta.: (4 g h (m’ – m sen α) / (3m +2m’)) 1/2 . 50. La barra AB de la figura se encuentra en un plano horizontal, tiene una longitud L=1m y una masa M=1 kg. En el extremo A está unido a un resorte de constante elástico K=10 5 N/m, y en la posición indicada en la figura no esta deformado. Una partícula de masa m=0,10 kg y velocidad v 0 =50 m/s choca contra la barra y queda incrustada en ella. Considerando que el choque es instantáneo, que no hay rozamiento entre la barra AB y el plano horizontal, y que el resorte no se desvía de su posición original; calcular la máxima deformación del resorte. El momento de inercia de una barra con respecto a un eje perpendicular a la misma y que pasa por su centro de masa es I=ML 2 /12 Rta.: 2,64 cm A m V 0 L/4 3L/4 C B α h m’ m m d d/4 α 130 51. La barra de masa m y longitud L es soltada desde el reposo sin girar. Cuando cae una distancia L, el extremo A golpea el gancho S, que proporciona una conexión permanente. Determine la velocidad angular ω de la barra después de girar 90°. Considere el peso de la barra durante el impacto como una fuerza no impulsiva. Rta.: 5 rad/s 52. Un cilindro de cobre de masa M y de radio R gira alrededor de su eje con una velocidad angular ω 0 . Si aumenta la temperatura del cilindro en un valor ∆t ; varía la velocidad del mismo? Justifique su respuesta. Rta.: disminuye 53. La barra de masa M=10 kg y longitud L=1 m que se muestra en la figura, se encuentra inicialmente en reposo, en un plano horizontal, fijada en el punto O y unida a dos resortes verticales idénticos de contante k=100 N/cm y longitud natural L 0 . Se aplica un impulso rápido en el extremo A de la barra por medio de una fuerza F=1.000 N y que actúa durante un pequeñísimo intervalo ∆t=10 -3 s. determinar: a) La velocidad angular de la barra justo después de terminar el intervalo ∆t. b) La máxima altura que alcanzará el extremo A de la barra. Rta.: a) 0,3 rad/s b) 0,49 cm 54. Determinar para el sistema de la figura las aceleraciones de las masas m 1 y m 2 , siendo conocidos m 1 , m 2 , M , r , R y m Rta.: 2 gR(m 1 R – m 2 r)/((2m 2 +m)r 2 +(2m 1 +M)R 2 ) ; 2gr(m 1 R – m 2 r)/((2m 2 +m)r 2 +(2m 1 +M)R 2 R m 1 m 2 m M K K L/2 L/2 L 0 O L L A S 131 55. El sistema de la figura está formado por disco circular M 1 =10 kg, de radio R=0,20 m, unido rígidamente a una barra M 2 =5 kg, de longitud L= 1 m. El péndulo indicado está formado por un hilo ideal de longitud L y una masa puntual m=1 kg en su extremo. En la posición indicada m parte del reposo y choca inelásticamente contra la parte inferior de la barra M 2 , quedando de esta forma adherida a ella. Después del choque el sistema formado por M 1 , M 2 y m adquiere una velocidad angular de 1 rad/s. determinar el ángulo inicial ϕ. Rta.: 54° 29’ 54,26” 56. Una barra de longitud L y masa M b está pivotada en su centro. En cada extremo de la barra hay un motor cohete de masa M C que produce un empuje T. Determinar la aceleración angular de la barra. Rta.: 12 T / (L (M b +6 M c )) 57. Una bala de masa m=10 g situada a una distancia l=4 m de longitud l y masa M=100 g, tal como se indica en la figura, es disparada contra la barra formando un ángulo θ con la horizontal de forma tal que impacta en la barra justo cuando alcanza su máxima altura en el extremo superior de la misma. Sabiendo que k=100 N/m y que el resorte se comprimió 5 cm calcular el valor de θ. Rta.: 50° 37’ 7,03” B L/4 3L/4 L k A m V 0 L L m θ R M 1 M 2 132 58. Una varilla de masa M y longitud 5R lleva en un extremo una esfera de masa 2M y radio R. El otro extremo está sujeto a una pared por medio de un clavo. Si se suelta la varilla a partir de la posición horizontal, deducir una fórmula que nos permita calcular la velocidad angular ω, cuando ésta pasa por la posición vertical. Rta.: ( 435 1217 g/R ) 1/2 . 59. El péndulo físico que se muestra en la figura está compuesto por una varilla de longitud L=5R y masa m y de una esfera de radio R y masa M=2m. La varilla está sujeta en el punto O a un eje horizontal. Deducir las fórmulas que nos permiten calcular: a) La posición del centro de masa del péndulo respecto al eje que pasa por O. b) El momento de inercia del péndulo respecto al eje que pasa por O. c) La velocidad angular ω 0 que tiene que tener el péndulo en la posición que se muestra, para que dé una vuelta completa alrededor de O. d) La fuerza que hace el eje que está en O sobre el péndulo en la posición que se muestra y en las condiciones mencionadas en la pregunta c. Rta.: a) 29 6 R ; b) 1217 15 m R 2 ; c) ( 870 1217 g/R) 1/2 ; d) 7856 1217 mg 60. En la figura se muestra una masa M=12 kg suspendida de dos cuerdas, una enrollada alrededor de un cilindro de radio igual a 0,1 m y 0,05 kg m 2 de momento de inercia, y la otra enrollada alrededor de un cilindro de radio igual a 0,15 m y 0,12 kg m 2 de momento de inercia. La masa se suelta desde el reposo y desciende una altura h=6 m. Calcular: a) La velocidad final de la masa M. b) La aceleración de la masa M. c) La tensión en ambas cuerdas. Rta.: a) 7.95 m/s ; b) 5,27 m/s 2 ; c) 26,33 N ; 28,11 N M r 2 h r 1 5R 2R 5R 2R 133 61. Un hombre se encuentra sobre una plataforma giratoria con los brazos extendidos y sosteniendo dos masas idénticas m, girando inicialmente a una velocidad angular ω 1 . Demostrar que la velocidad angular ω 2 después de bajar los brazos es mayor que ω 1 . Rta.: ω 2 > ω 1 62. Una varilla homogénea de masa M=20 kg y longitud l=1 m está suspendida por un extremo de una charnela sin rozamiento. Un pequeño trozo de masilla de masa m=200 g se adhiere a la varilla al nivel de su centro de masa. Antes de adherirse la velocidad v=20 m/s de la masilla era horizontal. Hallar el ángulo máximo de desviación de la varilla respecto a la vertical. Rta.: 4° 26’ 43,44” 63. Una masa de 18 kg en reposo sobre una superficie horizontal sin fricción, está unida a un resorte cuya constante de elasticidad es 2.400 N/m y a una cuerda enrollada sobre un volante circular de 0,36 m de radio y momento de inercia l=1,20 kg m 2 , como se muestra en la figura. El resorte se encuentra estirado 0,20 m en la posición inicial. Si el sistema se suelta de esta posición, ¿Cuál es la velocidad cuando el resorte tiene su longitud natural? Rta.: 1,88 m/s 64. El diámetro de una piedra de afilar de 60 kg es de 1 m. su radio de giro k es 0,232m. Se presiona una herramienta contra el borde con una fuerza normal de 50 N. El coeficiente cinético de rozamiento entre la herramienta y la piedra es 0,6 y existe un momento constante de rozamiento de 5 N m entre el eje de la piedra y sus cojinetes. a) ¿Qué fuerza debe aplicarse normalmente en el extremo de la manivela de 0,5 m de longitud para que la piedra adquiera del reposo una velocidad de 120 rev/ min en 9 s? b) Tras alcanzar una velocidad de 120 rev /min ¿Cuál ha de ser la fuerza normal que se ha de ejercer en el extremo de la manivela para que se mantenga constante esta velocidad? c) ¿Cuánto tiempo empleará la piedra de afilar en llegar al reposo desde la velocidad de 120rev/min, si solo actúa sobre ella el rozamiento del eje? Rta.: a) 49,04 N ; b) 40 N ; c) 8,11 s M k v M v m L L/2 134 65. La varilla de masa m y longitud L que se muestra en la figura, se pone a oscilar alrededor del punto O en un plano vertical. Si se suelta la varilla desde una posición horizontal, deducir una fórmula que permita calcular la velocidad angular ω de la misma cuando pasa por su posición vertical. Rta.: (3 g / L) 1/2 66. Una bala de masa m=50 g avanza en línea recta con una velocidad v 0 =300 m/s, atravesando el tambor cilíndrico de madera, como se muestra en la figura. La bala sale del otro lado con una velocidad v f =200 m/s. El tambor de radio R=50 cm y de peso P=75 kgf, está inicialmente en reposo y sujeto a un eje fijo, sin rozamiento en O. Suponiendo que en el proceso la masa de madera del tambor astillada por la bala es despreciable, calcular la velocidad angular del tambor después que la bala lo atraviese. A continuación se observa que debido al rozamiento con el aire, el tambor tarda 1,5 minutos en detenerse. Si suponemos que la aceleración angular del frenado es constante, calcular el número de vueltas que dio el tambor hasta detenerse y el torque ejercido por el rozamiento del aire sobre el tambor. Rta.: 0,27 rad/s ; 1,96 ; 2,78. 10 -2 N.m 67. Una esfera homogénea parte del reposo en el extremo superior de la vía que se muestra en la figura y rueda sin resbalar hasta que sale disparada en el extremo de la derecha. Si H=62,2 m, h=19,5 m y la vía es horizontal en el extremo derecho, determinar ¿A qué distancia a la derecha del punto A llegará la bola a la base horizontal? Rta.: 48,77 m H h x R O V f V 0 L O O 135 68. Un cuerpo de masa m está unido a una cuerda ligera enrollada al eje de una rueda de radio R, tal como se indica en la figura. El radio del eje es r y se apoya en cojinetes fijos sin rozamiento. Cuando se abandona partiendo del reposo, el cuerpo desciende una distancia h en un tiempo t. Hallar el momento de inercia I de la rueda y su eje en función de los datos del problema. Rta.: 1 2 mr 2 (g t 2 – 2 h) / h 69. La masa de una barra cilíndrica uniforme de 2 cm de radio es igual a 4 kg y tiene tres cuerdas enrolladas alrededor del mismo. Los extremos de la cuerda están fijos al techo, como se muestra en la figura. Si la barra se mantiene horizontal y se suelta desde el reposo, calcule la aceleración de translación de la varilla a medida que cae y la tensión en cada una de las cuerdas. La barra se mantiene horizontal durante la caída. Rta.: 6,53 m/s 2 ; 4,36 N 70. La varilla AB de longitud L=50 cm y masa m=5 kg, está soldada a un disco uniforme de masa M=3 kg y radio R=12,5 cm, que gira alrededor del punto A, tal como se indica en la figura. Un resorte de constante k=80 N/m está unido al disco y se encuentra con su longitud natural cuando la varilla está en posición horizontal. Si se suelta el conjunto desde el reposo, hallar la velocidad angular del sistema después que ha girado 90°. Rta.: 6,96 rad/s m B A M R 2R m r I 136 71. La figura muestra dos bloques, cada uno de masa m, suspendidos de los extremos de una barra rígida carente de peso, de longitud L 1 +L 2 , siendo L 1 < L 2 . La barra está sostenida en posición horizontal como se muestra en la figura y luego se deja caer. Calcular las aceleraciones lineales de los dos bloques cuando comienza a moverse. Rta.: g L 1 (L 2 – L 1 ) / 2 (L 1 2 +L 2 2 ) ; g L 2 (L 2 – L 1 ) / 2 (L 1 2 +L 2 2 ) 72. Un cuerpo rígido está hecho de tres varillas idénticas aseguradas entre sí en forma de letra H. El cuerpo está libre de girar en torno a un eje horizontal que pasa por una de las piernas de la H, tal como se muestra en la figura. Se permite que el cuerpo caiga a partir del reposo desde una posición en que el plano de la H es horizontal. ¿Cuál es la velocidad angular del cuerpo cuando el plano de la H es vertical? Rta.: 1,5 (g / L) 1/2 73. Un disco macizo de masa m=100 kg y 2 m de radio se halla pivotado, sin rozamiento, en un plano horizontal como se muestra en la figura e inicialmente se encuentra en reposo. Entonces se aplica al disco un par motor constante durante 5 s y se observa que su velocidad angular llega a 25 rad/s. Hallar el valor del momento aplicado y el trabajo realizado por el par motor. Rta.: 1.000 N.m ; 62.500 J m R ω L L L m m L 2 L 1 137 74. El disco de la figura tiene una masa M=100 kg y radio R=1 m, y se halla inicialmente girando con una velocidad angular ω=14,7 rad/s, pivotado, sin rozamiento, en un plano vertical. Entonces se tensa la cuerda AB que lo une al bloque de masa m=25 kg, el cual empieza a elevarse. Calcular la altura h, a la que se encuentra el bloque cuando el disco se detiene y la potencia desarrollada por la tensión de la cuerda. Rta.: 11,025 m ; 3.602 W 75. En la figura se representa un disco macizo de radio R y masa M, que lleva una cuerda enrollada y unida a ella un peso W que cae. En estas condiciones demostrar que la tensión en la cuerda y el torque resultante son constantes. Rta.: M g W (M g + 2W) ; M g W R (M g +2W) 76. Sabiendo que el sistema que se muestra en la figura parte del reposo, calcular la velocidad y la aceleración con que el bloque B llega al suelo. La polea C es cilíndrica. m A =30 kg ; m B =100kg ; m C =50 kg ; μ K =0,2 ; α= 6u° ; d = 2m Rta.: 3,43 m/s ; 2,95 m/s 2 77. Una piedra de amolar en forma de disco sólido de 0,6 m de diámetro y masa 50 kg gira a 1.100 rpm. Se presiona un hacha contra el borde con una fuerza normal de 160 N y la piedra se para en 10 s. Calcular el coeficiente de fricción entre el hacha y la piedra. Ignorar la fricción en los cojinetes. Rta.: 0,54 B C d A α μk M R W M R A ω B m 138 78. Una barra metálica delgada de longitud L y masa m puede girar libremente en torno de un eje horizontal que lo atraviesa perpendicularmente a la distancia L/3 de uno de sus extremos. La barra se suelta a partir del reposo en la posición horizontal. Calcular la velocidad angular adquirida por la barra al pasar por la posición vertical. Rta.: ( 3 g /L) 1/2 79. Un experimento rudimentario para determinar el coeficiente de rozamiento estático μ S entre dos superficies, consiste en colocar un cuerpo de masa m 1 a una distancia d sobre una barra que se encuentra en posición horizontal, de masa m 2 , longitud L y pivotada en su extremo, tal como se indica en la figura. Luego se suelta desde el reposo el sistema y se mide el ángulo α con el cual resbala el cuerpo. Se considera que el pivote ejerce un momento resistente M debido a la fricción. Determinar el coeficiente de rozamiento estático μ S entre el cuerpo y la barra. M=1 N m ; m 1 =300 g ; m 2 =2 kg ; d=0,40 m ; L=1,50 m ; α=5°. Rta.: 0,26 80. La figura muestra una tabla homogénea de masa M, longitud L, apoyada en parte sobre una mesa horizontal rugosa y con su extremo libre a una distancia d del borde A de la mesa. Justo encima de dicho extremo se encuentra una pieza de masa m, la cual se deja caer a partir del reposo desde una altura h. Luego la masa impacta en el extremo de la barra, consiguiendo esto, que el sistema obtenga un movimiento de rotación en torno al borde de la mesa. Suponiendo que la pieza se adhirió a la barra y que la barra no desliza sobre la mesa durante su rotación, calcular: a) La velocidad angular del sistema justo después del impacto. b) La máxima desviación angular de la barra. c) Ahora bien, imaginando que en la posición de máxima desviación angular la barra esta a punto de deslizar sobre la mesa. Determinar entonces, el coeficiente de rozamiento estático entre ambas superficies. M=2kg ; m=200 g ; d= 40 cm; L=100 cm ; h=180 cm Rta.: a) 2,17 rad/s ; b) 25,95° ; c) 0,5 L d α μ m 1 m 2 90° L/3 L h m d M A 139 81. La rueda de madera de la figura pesa 50 kgf, tiene un radio de 50 cm y está sujeta en reposo a un eje fijo en el punto O. Una bala de plomo de 150 g, que avanza con una velocidad de 200m/s según la trayectoria punteada en la figura, se incrusta en el borde de la rueda. Calcular la velocidad angular del sistema rueda bala después del choque. Rta.: 2,39 rad/s 82. Un automóvil viaja por una ruta horizontal con una velocidad constante v durante una distancia d. El peso del automóvil es W y se distribuye uniformemente en cada una de las cuatro ruedas del vehículo. Si el coeficiente de rozamiento entre las ruedas y el suelo es μ, el radio de la rueda es r y el rendimiento del motor es η, hallar el trabajo desarrollado por el motor durante la distancia d. (suponer que la tracción es en una sola rueda) Rta.: 1 4 μ W d / η 83. Una barra metálica delgada de longitud L y masa m puede girar libremente entorno de un eje horizontal que lo atraviesa perpendicularmente a la distancia L/3 de uno de sus extremos. La barra se suelta a partir del reposo en la posición horizontal. Calcular la aceleración angular α de la barra cuando ésta forma un ángulo de 60° con la horizontal. Rta.: 3 4 g/L 84. ¿Cuál es la distancia d, por debajo del punto de suspensión, a la que se debe golpear una varilla uniforme, de longitud 2L, que cuelga verticalmente, para que su movimiento oscilatorio se inicie sin que se imparta una fuerza de reacción horizontal al punto de suspensión? Rta.: 4 3 L 2L d F L/3 L 60° O V 0 140 85. El eje del cilindro de la figura está fijo. El cilindro se encuentra inicialmente en reposo. En un principio la masa M se mueve hacia la derecha sin fricción con una velocidad v 1 . Pasa sobre el cilindro hasta la posición mostrada con puntos. Cuando hace contacto por primera vez con el cilindro resbala sobre éste, pero la fricción es lo suficientemente grande como para que el resbalamiento termine antes de que M pierda contacto con el cilindro. El cilindro tiene radio R y una inercia rotacional I. Hallar la velocidad final v 2 del bloque M. Rta.: v 1 / (1 +l/M) 2 86. Tres partículas todas ellas de masa m, están unidas entre sí y a un eje rotacional por varillas uniformes de masa M, cada una de las cuales tiene una longitud L. Esta combinación gira alrededor del eje rotacional con una velocidad angular ω, de tal manera que las partículas permanecen alineadas. Hallar la energía cinética rotacional K de este sistema. Rta.: (7m + 9 2 M) L 2 ω 2 87. Un cubo sólido de lados 2a=1m y masa M=1 kg se desliza sobre una superficie sin fricción con velocidad uniforme v 0 , como se indica en la figura. Choca contra un pequeño obstáculo en el extremo de la mesa que provoca la inclinación del cubo. Encuentre el mínimo valor de v 0 para que el cubo caiga fuera de la mesa. Considerar que el momento de inercia del cubo respecto a un eje a lo largo de sus aristas es 8 Ma 2 /3. Rta.: 3,29 m/s M 2a V 0 L L L m m m ω O R M V 1 141 88. Un cubo sólido de madera de lados de longitud 2a =1m y masa M=1 kg, descansa sobre una superficie horizontal. El cubo está restringido a girar alrededor de la arista AB. Se dispara una bala, de masa m=10 g con una velocidad v sobre la cara opuesta ABCD, a una altura 4a/3. Sabiendo que la bala queda incrustada en el bloque, encontrar el mínimo valor de v requerido para que el cubo se incline hasta caerse sobre la cara ABCD. Considerar que la inercia del cubo con respecto a la arista AB es igual a 8Ma 2 /3 y suponiendo que m <<M. Rta.: 246,76 m/s 89. El cilindro sólido homogéneo de la figura pesa W y está girando a una velocidad angular ω en el sentido de las manecillas del reloj alrededor de un eje horizontal fijo que pasa por O. El coeficiente de rozamiento cinético entre los frenos y el cilindro es μ k . Si el resorte, cuya constante elástica es k, se deforma δ cuando se aplican repentinamente los frenos, hallar el tiempo necesario para detener la rotación del cilindro. Se desprecia el espesor de los miembros verticales. L=1,20 m ; R=0,80 m ; W=300 kgf ; μ k =0,20 ; k=15 kgf/cm ; δ=10 cm ; ω=60 rad/s. Rta.: 6,12 s 90. A una varilla homogénea de masa despreciable están fijas dos esferas de masas m y 3m. La varilla comienza a girar desde el reposo hasta una cierta velocidad angular ω. Sabiendo que la longitud de la varilla es L, determinar la posición de los ejes en que se realiza menor y mayor trabajo. Rta.: W 2 <W 3 <W 1 m 3L/4 L/4 3m I II III L L R O k M 4a/3 2a v D – C A – B 142 91. Un disco circular macizo de aluminio, de masa M=2 kg y radio R=0,15 m, se encuentra inicialmente en reposo, en un plano horizontal. Se dispara un proyectil de plomo, de masa m=0,1 kg con una velocidad v 0 =200 m/s, que queda incrustado en la periferia del disco. El cable indicado en la figura es inextensible y está unido en sus extremos al disco y a un resorte de constante elástica k=10.000 N/m, no deformado inicialmente. Determinar: a) La velocidad angular del disco justo después del choque. b) El máximo ángulo que girará el disco. Rta.: a) 121,21 rad/s ; b) 1,27 rad 92. Tres partículas, todas ellas de masa m, están unidas entre sí y a un eje rotacional por tres cuerdas, cada una de las cuales tiene una longitud L. Esta combinación gira alrededor del eje rotacional que pasa por el punto O con una velocidad angular ω, de tal manera que las partículas permanecen alineadas. Hallar el momento cinético total de este sistema con respecto al eje rotacional. Rta.: 14 m L 2 ω 93. Una esfera hueca uniforme de masa M, radio R e inercia 2/3 MR 2 , gira alrededor de un eje vertical sobre cojinetes sin fricción. Una cuerda ligera pasa alrededor del ecuador de la esfera, sobre una polea de inercia I y radio r, y se fija a un pequeño objeto de masa m que de no ser así, caería bajo de la acción de la gravedad. Hallar la velocidad del objeto después que ha caído una distancia h a partir del reposo. Rta.: ( 6m g r 2 h /(3m r 2 +3 l +2M r 2 )) 1/2 m 1.r M.R L L L m m m ω O V 0 k M R 143 HIDROESTÁTICA 1. Un trozo de fundición de hierro pesa 267 N en el aire y 178 N en el agua. ¿Cuál es el volumen de huevos en el trozo de fundición sí el peso especifico del hierro es igual a 7,8 g/cm 3 ? Rta.: 5,59. 10 -3 m 3 2. La tensión de una cuerda prendiendo un bloque macizo debajo de la superficie de un líquido (de densidad mayor que el bloque) es T 0 , cuando el vaso que encierra está en reposo. Hallar la tensión en el hilo cuando el vaso sufre una aceleración ascendente vertical a. Rta.: 5,59 . 10 -3 m 3 3. Una barra homogénea AB de 3,6 m de longitud y que pesa 12 kg está sujeta en el extremo B por una cuerda y lastrada por un peso de 6 kg en A. La barra flota con la mitad de su longitud sumergida. Despreciando el empuje sobre el lastre calcular la tensión en la cuerda y el volumen de la barra. Rta.: 2 kgf ; 32 dm 3 4. Calcular hasta que profundidad llegará una esfera de madera que pesa 1 kg y que se deja caer a un estanque desde 20 m de altura. Despreciar el rozamiento entre la esfera y el agua como también la pérdida de energía en el momento en que la esfera toca el agua (ρ esf =0,8 g/cm 3 ) ¿Es el empuje una fuerza conservativa? Rta.: 80 m 5. Un cuerpo de volumen V 1 flota en agua con un tercio de su volumen sumergido. ¿Qué parte de su volumen quedará sumergido si se coloca sobre él otro cuerpo del mismo material y de volumen V 2 =V 1 /2? Rta.: ½ v 1 A B 6 kg 1,8 m 3,6 m a 144 6. El cilindro que se muestra en la está sumergido en agua hasta un tercio de su volumen y sujeta al fondo por medio de un resorte de constante k=400 N/m, el cual está estirado una cierta longitud x 0 . Si se agrega ahora alcohol de densidad relativa 0,8 hasta cubrir totalmente en cilindro, calcular el incremento de deformación y de tensión del resorte. Rta.: 6,4 cm ; 25,6 N 7. El dispositivo de la figura es utilizado para evitar que el nivel de agua en el estanque no sobrepase la altura H. Calcular dicha altura. W cil =10 kg ; W tap =1 kg ; L=1 m ; h=1 m ; R=10 cm ; r=5 cm. Rta.: 1,80 m 8. Una barra homogénea de peso P=75 kg flota entre agua y mercurio. Se sujeta la barra por el extremo B con un hilo de cobre de 2 mm 2 de sección transversal, de tal manera que la barra quede en la posición que se muestra en la figura. Calcular: a) La densidad del material de la barra. b) El alargamiento del hilo de cobre. Rta.: a)8087,5 kg/m 3 b) 0,91 mm A 1m B ¼ L ¾ L H h L R 0 R 1 11 cm 2 cm 2 cm 2 cm 2 cm 26 cm 145 9. El bloque A de la figura está suspendido mediante una cuerda, de balanza de resorte D, y se encuentra sumergido en un liquido C contenido en el vaso B. El peso del vaso es 0,9072 kg y el del líquido 1,3608 kg. La balanza D indica 2,268 kg mientras que la E señala 6,804 kg. El volumen del bloque del A es 2832 cm 3 . a) ¿Cuál es el peso específico del líquido? b) ¿Qué indicará cada balanza si se saca el bloque A fuera del líquido? Rta.: a) 1601,69 kg/m 3 b) 6,804 kgf ; 2,268 kgf 10. Un bloque cúbico de madera de 10 cm de arista flota en la superficie de separación de aceite y agua, estando su cara inferior a 3,5 cm por debajo de dicha superficie. Si la densidad del aceite 0,6 g/cm 3 . ¿Cuál es la densidad del bloque? Rta.: 740 kg/m 3 11. Una barra cilíndrica de 10 kg de masa y 5 cm 2 de sección tiene una longitud de 1 m y está unida a una esfera de 0,2 kg de masa y 10 cm de radio. El sistema está sumergido en agua y articulado en 0. Calcular el valor y sentido de la aceleración angular en el momento que se suelta. ¿Cuál es la velocidad angular y la aceleración angular en el instante en que se encuentra en la posición vertical? Rta.: 1 rad/s 2 ; 1,41 rad/s ; 0 m O m’ 10 cm D A C E B 146 12. La esfera hueca de la figura tiene un radio interior de 4 cm y un radio exterior de 5 cm. La densidad relativa de la sustancia de que está hecha la esfera es 0,9. Hasta que altura sobre el nivel de la superficie libre del agua llegará si se sumerge a 2 m de profundidad? Rta.: 2,55 m 13. Una pieza de aleación de aluminio y oro pesa 5 kg. Si se suspende de una balanza de resorte y se sumerge en agua, la balanza indica 4 kg. ¿Cuál es el peso del oro en la aleación, si la densidad relativa del oro es 19,3 y la del aluminio 2,7? Rta.: 2,67 kg 14. Sabiendo que la barra de aluminio de la figura está en equilibrio, calcular: a) La longitud de la barra sumergida en agua y en mercurio. b) La fuerza que se ejerce sobre la barra en el punto A. La sección transversal de la barra es de 10 cm 2 . La densidad relativa del mercurio es 13,6. Rta.: 1,84 m ; 3,16 m ; 143,9 N 15. Una esfera maciza de 30 kg de peso y peso especifico relativo al líquido donde se halla sumergida de 0,4 , está sujeta por dos cables I y II, como se indica en la figura. Si se corta el cable II, al pasar por la posición vertical, calcular: a) La velocidad lineal de la esfera. b) La aceleración angular en la misma posición. c) La fuerza en el cable I. L=1 m. Rta.: a) 3,83 m/s ; b) 0 ; c) 882 N 30° 1m I II B 5m 2m 147 16. Un tubo en U de longitud L contiene un líquido de densidad ρ. Hallar la diferencia de altura entre las columnas de líquido en las ramas verticales cuando: a) El tubo tiene una aceleración a hacia la derecha. b) El tubo está montado sobre una plataforma horizontal que gira con una velocidad angular ω alrededor de un eje que coincide con una de las ramas verticales. Rta.: a) L a / g ; b) ½L 2 ω 2 / g 17. El cilindro hueco de madera de la figura flota en mercurio con la mitad de su volumen sumergido, estando enganchado al fondo del recipiente por medio de un hilo de cobre de 1 m de longitud y 5 mm 2 de sección. Calcular la longitud final del hilo de cobre. Y Cu =14.103 kg/mm 2 ; ρ mad =0,7 g/cm 3 ; ρ Hg =13,6 g/cm 3 . Rta.: 1,0032 m 18. El sistema de la figura representa una barra homogénea cilíndrica, de longitud L=4 m, de 10kg y 2cm de diámetro y una esfera hueca de 8 kg y radio exterior R=15 cm que se encuentra, unida a la barra en su extremidad mediante un cable ideal. El resorte tiene una constante k=14 kg/cm. Si el sistema se encuentra en posición horizontal, determinar la deformación del resorte. Rta.: 3,8 mm R 2/3L 1/3L O 20 cm 5 cm 5 cm 5 cm 5 cm 100 cm 40 cm L 148 19. Calcular la fuerza ejercida por el líquido 2 sobre la superficie horizontal de área A que se muestra en la figura y el mínimo valor de h para que el líquido 2 comience a descender por el tubo de la derecha. Rta.: P atm A +g A(ρ 1 h – ρ 2 H) 20. Una boya esférica hueca de acero, con radio exterior igual a 25 cm, flota en agua con la cuarta parte de su volumen sumergido, para lo cual se fijará al fondo del estanque con ayuda de un hilo de acero. Calcular: a) El radio interior de la esfera. b) La mínima sección de acero para que la fatiga unitaria no supere el valor de 2.500 kg/cm 2 . c) La deformación unitaria del hilo de acero. Y Ac =14 105 kg/mm 2 ; ρ Ac =7,8 g/cm 3 . Rta.: a) 24,73 cm ; b) 1,3 mm 2 ; c) 1,25 10 -3 21. Un cubo de hielo conteniendo una gota de mercurio está flotando en un vaso con agua. Cuando el cubo se funde ¿se eleva el nivel de agua?. Justificar la respuesta a través de fórmulas. Rta.: descende 22. Una caja cúbica, de 1 m de arista, se encuentra flotando con la mitad de su volumen sumergido, en un líquido cuya densidad relativa es δ’=0,8. Determinar las masas m 1 y m 2 de cada una de las dos aristas opuestas sumergidos, si el ángulo α vale 30° y se desprecia la masa de las demás partes de la caja. Rta.: 302,64 kg ; 97,36 kg 1m m 2 α m 1 H A h ρ 1 ρ 2 149 23. En el fondo de un recipiente, que forma un ángulo α =30° con la horizontal, se encuentra un cubo de arista de a=10 cm, hecho de un material de densidad relativa δ’=7,85. Sabiendo que en estas condiciones el cubo está a punto de deslizar, calcular la variación de las fuerzas normal y tangencial, actuantes sobre el cubo, cuando en el recipiente se vierte un líquido de densidad relativa δ’ L =1,5 , de tal manera que el mismo cubre totalmente el cubo (entre el fondo del recipiente y el cubo no hay líquido; considerar la presión atmosférica actuante de 1,033 kgf/cm 2 ) Rta.: 7,35 N ; 3,68 N 24. Dos cuerpos m 1 =m 2 =10 kg, que están unidos por un cabo (Y=2,1 .10 3 kgf/cm 2 ; ϕ=20 mm) que pasa una polea de radio R=16 cm e inercia I=4,173 kg.m 2 , se encuentran sumergidos en agua. Determinar cuan sumergidos deben estar en el agua para que la deformación unitaria del cabo sea de 0,001. Si se coloca ahora un tercer cuerpo m 3 =10 kg, en el extremo derecho del cuerpo 2, calcular la aceleración inicial del sistema. Considerar que a=20 cm ; b=40 cm y que todos los bloques tienen un espesor a=20 cm. Rta.: 8,5 cm ; 4,25 cm ; 0,51 m/s 2 25. Un tanque cerrado de altura h 2 y sección S se comunica en su parte inferior con un tubo que se eleva a su costado y está abierto en su extremo superior. El sistema está enteramente lleno de aceite. La altura del aceite en el tubo es h 1 por encima de la base del tanque. Son conocidos h 1 , h 2 y la densidad del aceite ρ 0 . La presión atmosférica equivale a una altura H de mercurio de densidad ρ. Calcular la presión absoluta en la cara inferior de la tapa S. Rta.: g (ρ H +ρ 0 (h 1 – h 2 )) h 2 S h 1 2 3 1 b a a b a α δ δL 150 26. Un vaso de masa 1 kg contiene 2 kg de agua y descansa sobre una balanza. Un bloque de 2 kg de aluminio ( ρ’= 2,70) suspendido de un dinamómetro se sumerge en agua. Determinar las lecturas de ambas balanzas. Rta.: 12,34 N ; 36,66 N 27. Una esfera homogénea de radio R=9/π 1/3 cm y densidad ρ=0,5 g/cm 3 está totalmente sumergida en un líquido de densidad ρ L =1,5 g/cm 3 . La esfera está presa por medio de un hilo, a un resorte de constante elástica k=97 N/m, conforme se muestra en la figura. En esas condiciones determinar la deformación del resorte. Rta.: 9,82 cm 28. Un recipiente cilíndrico de 0,5 m de radio de base contiene agua hasta una altura de 1,10 m y dentro de él se halla un globo que inicialmente estaba desinflado por completo. Luego el globo recibe aire por la boquilla a la que está sujeto, inflándose hasta ser una esfera de 0,3 m de radio; en estas condiciones hallar la diferencia de presión entre la presión p 2 en el fondo del recipiente, después de inflarse el globo y la presión p 1 antes de inflarse. Rta.: 1411,2 Pa 1.10 m 151 29. En los recipientes idénticos mostrados en la figura, contienen la misma cantidad de agua y soportan la misma fuerza F. Calcular la diferencia de presiones entre los puntos A y B. Rta.: 2 γ h 30. La pasarela flotante de la figura se compone de dos vigas de madera de sección cuadrada, de longitud a=2 m, lados d=30 cm y 2d y su distancia de centro a centro es L=3 m. Sobre ambas vigas existe un tablero de peso G=25 kgf. El líquido donde se halla flotando es agua y la densidad relativa de la madera es 0,8. En esas condiciones la posición x de la carga P=100 kgf para que el tablero esté horizontal es aproximadamente. Rta.: 2,84 m 31. Se tiene un cuerpo hueco de forma irregular. Se conocen el peso del cuerpo en el aire W 1 , el peso del cuerpo en un líquido, W 2 , el peso específico del cuerpo, γ A y el peso específico del líquido, γ L . Sabiendo que los huecos no se comunican con el exterior, deducir la fórmula que nos permite calcular el volumen de huecos sin destruir el cuerpo. Rta.: (W 1 – W 2 ) / γ L – W 1 /γ A 32. En el tanque cerrado mostrado en la figura el gas contenido en la parte superior del líquido se mantiene a una presión manométrica ρ. El bloque cúbico de madera que flota en el líquido, de densidad ρ L , tiene densidad p M y arista a. Hallar la distancia d que el bloque se hunde. Rta.: ρ M a / ρ L a d ρ1 L x P 2d d F B F A 152 33. La tensión en una cuerda, de longitud L, sección transversal A y módulo de elasticidad Y, que mantiene a un cuerpo sólido por debajo de la superficie de un líquido, (cuya densidad es mayor que la del sólido), es T 0 cuando el recipiente que lo contiene se encuentra en reposo. Cuando el recipiente tiene una aceleración vertical hacia arriba. a) ¿Cuál es la deformación de la cuerda? Rta.: T 0 A L / (g A Y) 34. Un tubo sencillo en U contiene mercurio, de densidad relativa ρ’, cuando se echan ρ’ cm de agua en la rama de la izquierda. El área de la sección transversal de la rama de la izquierda es A 1 y el de la derecha es A 2 =2 A 1 . Calcular la altura, en cm, que sube el mercurio en la rama de la derecha, a partir de su nivel inicial. Rta.: 0,33 cm 35. Una esfera maciza de densidad ρ A , se encuentra sumergida inicialmente una profundidad H en un líquido de densidad ρ L tal que ρ L >ρ A . Hallar la altura máxima que se eleva la esfera por encima de la superficie libre del líquido. Rta.: (ρ L – ρ A ) / ρ A 36. En el sistema de la figura, calcular la velocidad del cuerpo al salir a la superficie, sabiendo que la relación entre las densidades del cuerpo y del líquido es de 1/2. Rta.: (2 g h) 1/2 h A 2 A 1 a 153 37. En el sistema de la figura la barra tiene un peso G =10 kgf y volumen despreciable y el flotador tiene un volumen V=200 litros y peso despreciable. Determinar el aumento de longitud del tensor ubicado a un tercio de la longitud de la barra, sabiendo que el mismo es de acero, de longitud normal de 2 m y diámetro de 6 mm, y que el flotador se encuentra sumergido en el agua hasta la mitad. Hallar las reacciones en el apoyo. Rta.: 0,96 mm ; 0 ; 195 kgf 38. Una esfera de radio 4 cm y densidad relativa 7,8 desciende por un plano inclinado (α=30) sumergido en agua. El coeficiente de rozamiento entre el plano y la esfera es 0,2. Calcular: a) La fuerza de rozamiento entre el plano y la esfera. b) La velocidad cuando la misma ha descendido una altura de 5 m, suponiendo que parte del reposo. Rta.: a) 2,55 N ; b) 7,81 m/s 39. En la figura la esfera se encuentra en el fondo de un lago de 5 m de profundidad. Determinar hasta que altura llegará la esfera fuera del agua y que aceleración tiene mientras se encuentra dentro del agua. La densidad relativa de la esfera es 0,8. Rta.: 1,25 m ; 2,45 m/s 2 40. Se pesa en el aire una bolsa de plástico vacía y luego se pesa cuando está llena de aire a la presión atmosférica. ¿Son los dos pesos distintos? Explique. Ahora se repite los pesos en el vacío. ¿Son ambos pesos iguales? ¿Por qué? Rta.: iguales ; distintos 41. Un cubo está flotando en mercurio tiene sumergida la cuarta parte de su volumen. Si se agrega suficiente agua para cubrir el cubo, ¿Qué fracción de su volumen quedará sumergida en el mercurio? Rta.: 12/63 V 5m L 154 42. En el sistema que se muestra en la figura, la sección de la cuerda AB de acero es de 1,5 mm 2 , la barra CB es maciza, homogénea, indeformable y pesa 8 kgf, y la esfera D es de aluminio, hueca, de 2L de volumen y 2 kgf de peso. El agua está inicialmente en el nivel que se muestra en la figura y luego sube hasta la línea de puntos. Calcular: a) El volumen de huecos de la esfera. b) El alargamiento inicial y final de la cuerda AB. 43. Un bloque de madera de 3,6 kg tiene una densidad relativa de 0,6. Se desea sujetar a dicho bloque de madera una masa de plomo de tal manera que el conjunto flote en agua con el 90% del volumen de madera sumergido. ¿Qué cantidad de masa de plomo se necesita si: a) El plomo se coloca sobre el bloque de madera y queda fuera del agua? b) El plomo se coloca debajo del bloque de madera y queda dentro del agua? La densidad relativa del es 11,3 44. Una esfera de densidad ρ se deja caer desde una altura h a una piscina profunda que contiene agua salada de densidad ρ’. Si se desprecia el rozamiento, ¿Cuál es la máxima altura H que alcanza la esfera dentro del agua? Rta.: ρ h / (ρ’ – ρ) 45. Dos troncos idénticos se sitúan de manera indicada en la figura. El tronco inferior está atado a la pared vertical mediante cables que forman un ángulo de 45°. El tronco superior está sumergido a medias en el agua. Determinar la densidad de los troncos. Rta.: 667 kg / m 3 46. Una esfera hueca, de radio interior 9 cm y radio exterior 10 cm, flota en un líquido de densidad relativa 0,8, quedando la mitad fuera del líquido. a) Calcular la densidad del material que forma la esfera. b) ¿Cuál seria la densidad de un líquido en el cual la esfera hueca pudiera justamente sostenerse cuando está sumergida por completa? Rta.: 1476 kg/m 3 ; 400 kg/m 3 45° 90° B D 2m 1.5m A 155 47. Considerar un depósito de fluido sometido a una aceleración ascendente a. Hallar la fórmula que permita calcular la diferencia de presiones entre dos puntos del fluido separados una distancia vertical h. Rta.: ρ h (a +g) 48. Una pieza de aleación de oro y aluminio pesa 4,5 kgf. Cuando se suspende de un balanza de resorte y se sumerge el cuerpo en el agua, la balanza indica 3,6 kgf. ¿Cuál es el peso del oro en la aleación, si la densidad relativa del oro es 19,3 y la del aluminio 2,5? 49. Un tubo en U contiene inicialmente un líquido de densidad ρ 1 . Posteriormente se agrega en una de las ramas otro líquido de densidad ρ 2 , tal que ρ 1 >ρ 2 . Calcular la distancia vertical d entre las superficies libres de ambos líquidos. Rta.: (ρ 1 – ρ 2 ) h 1 /ρ 1 50. El depósito cerrado mostrado en la figura contiene un líquido de densidad ρ. Hallar la presión manométrica en el punto S. Rta.: ρ g ( h 2 – h 1 ) 51. Un bloque cúbico de madera de 10 cm de arista, flota entre dos capas de aceite y agua, como se indica en la figura, estando su cara inferior 2 cm por debajo de la superficie de separación. La densidad del aceite es 0,6 g/cm 3 . Calcular la presión manométrica en la cara inferior del bloque. Rta.: 784 Pa 8cm 10cm 10cm S h 2 h 1 h d h 1 h 2 h 3 156 52. En el depósito mostrado de la figura, hallar la diferencia de presiones entre los puntos 2 y 1. Rta.: – ρ g ( y 2 – y 1 ) 53. Un bloque cúbico de metal de densidad ρ m =1,68 g/cm 3 y arista a=20 cm, descansa en el fondo de un estanque de 1,50 m de profundidad de tal manera que el agua no se infiltra entre la base del bloque y el fondo. Hallar la fuerza ejercida en la base del bloque. Rta.: 65,44 kgf 54. De acuerdo al Principio de Pascal, calcular la presión en el punto Q dentro del depósito de la figura. Rta.: p +ρ g h 1 P h 1 h 2 Q ρ h a P 1 P 2 y 2 y 1 h 157 55. En los recipientes abiertos de la figura se colocan dos fluidos inmiscibles y tales que ρ 1 < ρ 2 . Calcular las presiones manométricas en los puntos Q y R situados a la misma altura h. Rta.: g (ρ 1 h 1 +ρ 2 ( h 2 – h )) ; g (ρ 2 h 1 +ρ 1 ( h 2 – h )) 56. Una esfera de densidad ρ <ρ H2O se deja caer libremente sobre la superficie sólida y lisa regresando a su altura original en T 0 segundos. Si la esfera se deja caer desde la misma altura sobre la superficie del agua de un lago, calcular el tiempo que demorará la esfera en alcanzar su altura original. Rta.: ρ a T 0 / (ρ a – ρ) 57. La tensión de una varilla de sección S=2/3 cm 2 , pendiendo de un bloque macizo debajo de la superficie de un líquido (de densidad mayor que el bloque), es T 0 =19,6 kgf, cuando el vaso que la encierra está en reposo. Conociendo los datos del grafico σ vs ε, determinar la deformación unitaria de la varilla cuando el vaso sufre una aceleración vertical ascendente a=2,2 m/s 2 y la zona donde se encuentra el material de la varilla en el gráfico σ vs ε. Rta.: 0,18 ; zona elástica 58. Una esfera maciza, de densidad relativa ρ’ =0,9 y volumen V=4.000 cm 3 , está atada a una plomada de peso W=5 kgf mediante una cuerda inextensible de longitud L=1 m. Se sumerge el conjunto en agua y se mantiene la esfera en la posición indicada en la figura 1 por medio una fuerza F. Si dejamos de aplicar F, calcular: a) La velocidad del sistema un instante después de tensarse la cuerda. b) La altura máxima que alcanza el peso W. c) La tensión de la cuerda en el instante en que la plomada alcanza la altura máxima. Rta.: a) 0,62 m/s ; b) 0,04 m ; c) 20,98 N F L a 50 0,25 σ(kgf/cm 2 ) ε h Q ρ 2 ρ 1 ρ 2 ρ 1 h 1 h 2 h 2 h 1 R 158 59. El manómetro de émbolos de la figura se compone de dos émbolos de distintos diámetros D=2 d unidos rígidamente entra sí. El gas de presión p empuja a estos émbolos hacia arriba u con ellos al líquido de peso específico relativo 13,6 que existe sobre el émbolo superior. Determinar p sabiendo que h=19 cm. Rta.: 2 atm 60. El sistema de la figura está constituido por dos esferas de volúmenes iguales a 10 cm 3 , unidas entre sí por un hilo de aluminio de 1 mm de diámetro. Las esferas se encuentran flotando en un volumen sumergido y la esfera inferior en tres veces más pesada que la superior. a) Determinar la deformación unitaria del hilo que las une b) Calcular el nuevo volumen sumergido de la esfera superior si el sistema se acelera hacia abajo con una aceleración de 4,9 m/s 2 . Rta.: a) 2,23 . 10 -7 ; b) 5 cm 3 61. Calcular la fuerza que comprime las dos mitades de un cubo de peso W y arista a que flota en un líquido de densidad ρ. Rta.: ½W 2 / (ρ g a 3 ) a D h p 0 p p 0 d 159 62. Un bloque de madera de masa m flota en agua con el 60 % de su volumen sumergido. Se desea sujetar a dicho bloque una masa de plomo de masa m’ y densidad relativa ρ’ de tal manera que el conjunto flote con el 90% del volumen de madera sumergido. Hallar la masa de plomo m’ necesaria, si el plomo se coloca debajo del bloque de madera y queda dentro del agua. Rta.: ½ρ’ m (ρ’– 1) 63. En un líquido de densidad ρ 0 flota un paralelepípedo rectangular, hecho de un material de densidad ρ. La altura del paralelepípedo es b, la anchura y longitud, a. Demostrar que el equilibrio es estable para la relación a/b >(6 ρ (1 – ρ/ρ 0 ) / ρ 0 ) 1/2 . Rta.: a/b >( 6 ρ ( 1 – ρ /ρ 0 )/ ρ 0 ) 1/2 64. Suponiendo que se sueltan simultáneamente dos balines de acero dentro del agua siendo el diámetro de una de ellos el doble que el del otro, hallar al llegar al fondo la relación entre la velocidad del balín más grande y el otro balín. Rta.: 1 65. Una masa M de algodón y una masa m de plomo al ser pesadas en el aire la balanza indica 1kgf. Al repetir las pesadas en el vacío ¿Cuál de los dos es más pesado? Rta.: algodón 66. Un bloque cúbico, de 10 cm de arista, pesa 10 N. Se lo sumerge en líquido, contenido en un recipiente que está moviéndose verticalmente hacia arriba con una aceleración de g/4, recibiendo un empuje de 8 N. Sabiendo que el líquido en el recipiente alcanza una altura de 10 m, hallar la fuerza que el fondo del recipiente ejercerá sobre el cuerpo, cuando éste llegue al fondo. Suponer que en la posición final no existe agua infiltrada entre la base del bloque y el fondo. Rta.: 804 N 67. Un tubo cilíndrico tiene dos secciones diferentes, en las cuales se insertan dos pistones de áreas A y a (A =2a) y masas m y m/2, conectadas entre sí por una varilla como se indica en la figura. Los pistones pueden deslizar sin fricción del líquido contenido entre los pistones, sabiendo que el sistema está en equilibrio. Rta.: p 0 +2 ρ g h +3 m g / A a m/2 m A =2a h a 160 68. Un cuerpo de densidad ρ 1 flota en un líquido de densidad ρ 2 y se hunde en otro líquido de densidad ρ 3 . Determinar la relación entre sus densidades. Rta.: ρ 3 <ρ 1 <ρ2 69. Un cubo de densidad relativa 0,88 y arista de 50 cm flota entre aceite y agua como indica la figura a. Si por medio de un tensor de cobre se hace flotar al cubo como muestra la figura b, calcular la deformación unitaria del tensor si el diámetro del mismo es 1 mm. Rta.: 2,84 . 10 -4 70. Un pistón (disco circular) con un orificio en el centro, tiene área A. En el orificio se encuentra ajustado un tubo delgado de radio r y masa despreciable. El pistón encaja exactamente dentro de un recipiente y se encuentra inicialmente en la base del cilindro. Si después de depositar dentro del recipiente una masa M de agua, el agua sube por un tubo delgado una altura h, calcular la masa m del pistón. Rta.: ρ h A 71. En el sistema mostrado en la figura, todos los cuerpos suspendidos tienen igual volumen, las densidades son ρ 1 para los de arriba y ρ 2 para el de abajo, los líquidos de arriba poseen densidades iguales a ρ 2 y el de abajo densidad ρ 3 . Para que el sistema se encuentre en equilibrio el valor de ρ 3 es: Rta.: 3 ρ 2 – 2 ρ 1 p 1 p 2 p 1 p 2 p 2 p 3 h 2r A 10 cm a b 161 72. Las secciones transversales de las ramas de un tubo doblado en forma de U son A y 2 A respectivamente (Ver figura). En el tubo se encuentra un líquido de densidad ρ. Si en el tubo de la izquierda se coloca un pistón de masa m (ajustado herméticamente, de tal forma que se puede desplazar libremente por aquél), determinar la diferencia de alturas H de los niveles de las dos superficies del líquido. Rta.: m/ (ρ A) 73. Dos cilindros circulares de longitud L =2 m, radios R =1,25 cm y r =1 cm y densidad relativa ρ’, cuelgan de los extremos de una cuerda de aluminio y sección 2,3 mm 2 , y se sumergen en agua. Calcular: a) Las longitudes X 1 y X 2 que cada cilindro entra en el agua sabiendo que la longitud de la cuerda es a =3 m , h =2 m y e =1 m. b) El alargamiento que sufre la cuerda. Rta.: a) 1,65 m ; 0,35 m b) 0,21 mm h 2R L e X2 X1 L G 1 G 2 H