flujos de potencia

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PERUFACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA DEPARTAMENTO ACADEMICO DE ELECTRICIDAD Y ELECTRONICA ANALISIS DE FLUJO DE CARGAS PROFESOR GUIA : Msc Ing. Pedro N. Torres Mayta MARZO - 2007 3.1.- Introducción El cálculo y análisis del flujo de potencias en la red de un Sistema Eléctrico de Potencia (SEP) es uno de los aspectos más importantes de su comportamiento en régimen permanente. Consiste en determinar los flujos de potencia activa y reactiva en cada línea del sistema y las tensiones en cada una de las barras, para ciertas condiciones preestablecidas de operación. Hasta el año 1950, el cálculo del flujo de potencias (CFP) se realizaba utilizando principalmente los Analizadores de Redes de Corriente Alterna (ARCA) y en algunos casos, los Analizadores de Redes de Corriente Contínua (ARCC) que corresponden a una simulación a escala del Sistema real. En la actualidad, el CFP se realiza fundamentalmente, utilizando los computadores digitales por las grandes ventajas que éstos presentan respecto a los analizadores de redes. El análisis del flujo de potencias (AFP) permite: - Programar las ampliaciones necesarias del SEP y determinar su mejor modo de operación, teniendo en cuenta posibles nuevos consumos, nuevas líneas o nuevas centrales generadoras. - Estudiar los efectos sobre la distribución de potencias, cuando se producen pérdidas temporales de generación o circuitos de transmisión. - Ayudar a determinar los programas de despacho de carga para obtener un funcionamiento óptimo. 3.2.- Planteamiento del problema básico. Considérese el SEP elemental de dos barras de la Figura 3.1. Figura 3.1.- Sistema elemental de dos barras para plantear el problema básico. En la Figura 3.1, las potencias complejas netas de las barras 1 y 2 son: (3.1) donde: : Potencias complejas netas de las barra 1 y 2 respectivamente, representadas como fuentes de potencia activa y reactiva, que corresponden a la Potencia Generada menos la Potencia Consumida. : Flujo de potencia compleja que van desde la barra 1 a la barra 2 y viceversa Si la línea se representa por su circuito π nominal se puede dibujar el circuito equivalente por fase de la Figura 3.2, donde las potencias netas se han dibujado como fuentes de potencia activa y reactiva Figura 3.2.- Circuito equivalente por fase del sistema de la Figura 3.1 A partir de esta figura se puede escribir: (3.2) Estas ecuaciones, que relacionan las tensiones con las potencias activas y reactivas, presentan las siguientes características. - Son algebraicas y no lineales - La frecuencia no aparece en forma explícita porque se la supone constante - El sistema de cuatro ecuaciones, tiene 12 variables en total: PG1, PG2, QG1, QG2, PC1, PC2, QC1, QC2, V1, θ 1, V2, θ 2, por lo que no es posible obtener una solución para ninguna de ellas a menos que se reduzca el número de incógnitas, fijando de antemano algunas variables. En relación a esto último, una forma posible de resolver el problema es la siguiente: . Vp y θ incógnitas p son las .- . Según las variables conocidas y desconocidas. o sea. es necesario considerar lo siguiente: 3. de relajación (slack).3.. Qp y θ p son las incógnitas. . Pp y Qp constituyen las incógnitas.2. La necesidad de definir esta barra nace del hecho que no es posible especificar a priori.3. En esta barra debe existir por lo menos un generador. QCi. las potencias de las cargas PCi. Esta barra se conoce también con otros nombres tales como: de referencia. QG1.Barras de tensión controlada (Barra P-V): Pp y Vp están especificadas. las variables que quedan son: PG1. es decir. 3. En particular. θ 2. oscilante. No se pueden fijar las cuatro variables de generación debido a que las pérdidas en el sistema no son conocidas inicialmente.. Para una línea conectada entre las barras p y q de un SEP. θ 1. con i = 1. las barras se clasifican en los siguientes grupos: . θ 1=0 En estas condiciones..2).Fijar a priori dos variables de generación PG2 y QG2 por ejemplo. la potencia que es necesario generar en el sistema debido a que inicialmente no se conocen las pérdidas en el mismo.Modelo de representación del SEP Teniendo presente el análisis del problema básico y con el objeto de establecer un procedimiento general para el CFP. V2.Tipos de Barras Asociados a cada barra p de un SEP existen cuatro variables. Vp. 3. el circuito equivalente corresponde al mostrado en la Figura 3.1..Barras de Carga (Barras P-Q): Pp y Qp están especificadas. La barra flotante debe suministrar la diferencia entre la potencia compleja inyectada al sistema en el resto de las barras y la carga total más las pérdidas. θ p.3. En este tipo de barra debe existir alguna fuente controlable de potencia reactiva.A partir de los datos del consumo suponer conocidas e independientes del voltaje. Pp.Fijar el módulo y ángulo de la tensión en barra 1. en el sistema de cuatro ecuaciones (3.Barra flotante (Barra ): Vp y θ p están especificados. .2. puede tomarse esta tensión como referencia. Qp. suponer conocidos V1.3.Representación de los elementos del SEP Líneas: Se representan usualmente por su circuito π nominal. y donde t1 y t2. están relacionadas por las siguientes ecuaciones (que constituyen las ecuaciones de barras) Figura 3. Cuando operan con cambio de TAPS y razón no nominal.Circuito equivalente p de una línea tanto por unidad de un transformador para el cálculo de flujos de potencia con cambio de TAP (3. basta representar la línea por su Impedancia serie..5.Figura 3..4.4.4.Modelación circuital en Figura 3. cuyos parametros se indican en la ecuación (3.Planteamiento matemático del problema para un SEP de “n” barras..Ecuaciones de Barras Considérese una barra p cualquiera del sistema como se muestra en la Figura 3. 3.3. Transformadores: Cuando funcionan en su razón nominal. Generadores: Se consideran normalmente como fuentes de potencia activa y reactiva..4.3) Con α =1+t1 y β =1+t2. se representan por su circuito equivalente π que se muestra en la Figura 3..3.Circuito equivalente π de una línea para el cálculo de flujos de potencia En algunos casos.5.1. representan el cambio del Tap..Representación de una Barra p en un SEP . 3. La potencia compleja neta y la corriente inyectada en la barra p. se representan por su impedancia de cortocircuito. en el lado respectivo.3). Figura 3. . Sin embargo.8) 3. 3. Además.4..4..4. la potencia compleja (3.7) indican claramente que para resolver el problema del flujo de potencias se requiere determinar previamente las tensiones en todas las barras que correspondan.Cálculo de las tensiones de barras Las ecuaciones (3. de la ecuación (3.6) y (3.7) Las expresiones (3.3.3 se puede escribir: (3.Potencia perdida en la transmisión Teniendo en cuenta los sentidos adoptados para perdida en la línea será: . la potencia compleja que fluye desde la barra q a la barra p estará dada por: (3.10).en forma matricial.Ecuaciones del flujo de potencias A partir de la Figura 3. Empleando el método nodal de resolución de circuitos. Ypq corresponde al inverso de la impedancia entre las barras p y q.4) 3.2. para la red de un SEP de n barras se puede escribir: .7) constituyen las ecuaciones del flujo de potencia a través de la línea. el que no debe confundirse con el valor correspondiente en la matriz YB.6) Análogamente.5) La potencia compleja que fluye desde la barra p a la q está dada por: (3.6) y (3.(3.4. se debe hacer notar que . 10) Teniendo presente que según (3.4).10).11) .9) y (3.9) donde : : Vector de corrientes inyectadas a las barras : Matriz admitancia de barras : Esto definido como: Vector tensiones de barra (3.(3. las corrientes inyectadas en las barras dependen de las potencias complejas netas respectivas y considerando (3. se puede escribir: (3. valores iniciales estimados a priori de la solución del sistema (3. A cada etapa del proceso se le denomina “iteración”..12). 3. su aplicación a un sistema no lineal resulta inmediata.15) . Por simplicidad consideraremos un sistema lineal de ecuaciones. Entre ellos podemos mencionar el de Gauss. Desacoplado rápido).12) .1. el de Gauss-Seidel. Desacoplado. etc.Método de Gauss Se emplea para resolver un problema lineal o no lineal. reemplazando estos valores en (3.12) Despejando x1 de la primera ecuación. (3. por ejemplo. es decir. para fundamentarlo. el indicado en (3. 3. donde ε es una cantidad de valor pequeño y positivo. por lo tanto es necesario resolverlo mediante técnicas de aproximaciones sucesivas.13) Sean .Este sistema de ecuaciones es similar al obtenido en el problema elemental de 2 barras. Sin embargo. el flujo DC. entonces.5. (3. los de Newton-Raphson (Completo.15)..13) se tiene: (3. x2 de la segunda y x3 de la tercera se obtiene: (3.Técnicas de solución para el problema del flujo de potencias Existen actualmente diversos métodos para resolver el problema de cálculo del flujo de potencias.5. las ecuaciones son algebraicas y no lineales. como el indicado en (3.14) El procedimiento continua hasta que se satisface algún “criterio de convergencia” tal como. pues en este tipo de barras no se conoce el valor de la potencia reactiva Qp.. En el método de Gauss se calculan todos los valores de las incógnitas correspondientes a una iteración y luego se emplean para determinar los nuevos valores de las incógnitas en la iteración siguiente.16) al problema de cálculo de los voltajes en las barras del sistema de ecuaciones (3.2. por lo que no se utiliza para resolver el problema de cálculo de los voltajes de la ecuación (3. Por lo dicho en el párrafo anterior.Caso general Consiste en una modificación del método de Gauss tendiente a acelerar la convergencia del proceso iterativo.11) se obtiene: (3.Método de Gauss-Seidel a...Aplicando el método a un sistema de n ecuaciones con n incógnitas. Al aplicar la ecuación (3.. lo que justifica su análisis.5.. constituye la base para la formulación del Método de Gauss-Seidel.16) Los inconvenientes de este procedimiento son el gran número de pasos que se requiere para llegar al resultado y la ocurrencia relativamente alta de situaciones en que no converge.. la modificaciones requeridas se estudiarán al considerar el Método de Gauss-Seidel YB 3..17) se conoce como método de Gauss Y B.. De este modo. entonces. se puede escribir: (3. La expresión es válida sólo para las barras de carga. porque se trabaja con la matriz admitancia de barras del sistema eléctrico. 2. y con i= 1.17) La ecuación (3. para la incógnita xi se puede escribir después de k iteraciones. la ecuación (3. Sin embargo. si el proceso de cálculo se encuentra en la iteración (k+1) y ya se han determinado calcular serán . los valores calculados en una iteración determinada. se utilizan inmediatamente para calcular los valores de las incógnitas que restan por calcular en la misma iteración. n.17) debe ser modificada. los valores que se utilizan para . En el método de GaussSeidel en cambio. En el caso en que el SEP contenga barras de tensión controlada.11). En las barras de tensión controlada debe existir una fuente regulable de potencia reactiva para poder cumplir su cometido. Normalmente un SEP incluye además de las barras de carga y flotante. A continuación analizaremos la situación de las barras de tensión controlada. Por ello consideraremos en primer lugar los sistemas con barras de carga y flotante solamente.18) b. es necesario calcular previamente la potencia reactiva..Conocidos los valores de sistema. se calculan los flujos de potencia aplicando . por ejemplo: (3.19) La secuencia de solución según este método es como sigue: .19) hasta que se cumpla algún criterio de convergencia. por ser el caso más simple.. .11) se tiene: (3. b1.18) al sistema (3. la fórmula iterativa del Método de Gauss-Seidel aplicada a un sistema de n ecuaciones de la forma dada por (3. tensión controlada y flotante.Por tanto.12) es: (3..Determinadas las tensiones las ecuaciones (3. antes de emplear la ecuación (3.19) para determinar el voltaje complejo en ella. cuya tensión está especificada.6) y (3.20) . o sea es dato del problema al igual que Pp y Qp en todas las barras de carga y los términos de la matriz admitancia de barras (YB) .7) . empleando la ecuación (3.Aplicación del método de Gauss-Seidel YB al cálculo flujos de potencia El cálculo de las tensiones de barras aplicando el procedimiento explicado anteriormente es distinto según sean los tipos de barras existentes en el SEP.Sistemas con barras de carga. barras de tensión controlada (BTC) que tienen por objeto permitir regular la tensión en uno o varios puntos del sistema.Sistemas con barras de carga y flotante solamente Aplicando la ecuación (3.Se suponen valores iniciales de tensión para todas las barras a excepción de la flotante. Debido a que en este tipo de barra sólo se conocen el módulo de la tensión y la potencia activa.8) es posible determinar las pérdidas en el b2.Se aplica la fórmula iterativa (3. entonces el valor de Qp se puede escribir como: (3. Límites de Potencia reactiva en una Barra de tensión Controlada: En el cálculo del flujo de potencias en un SEP con Barras de tensión controlada es necesario tomar en cuenta los límites de potencia reactiva de las fuentes de potencia. en la cual la potencia reactiva es igual al límite superior e inferior según corresponda. el valor de Qp. el que se debe actualizar en cada iteración.22) Cuando se emplea la ecuación (3. Al determinar el voltaje.22) en una iteración cualquiera k. Esto es posible.- . siempre que no se violen los límites de Qp.19) en una BTC.A partir de la ecuación para la barra p de la expresión (3. QCp = Potencia reactiva de la carga en la barra Los límites de potencia reactiva para la barra p serán: (3. significa que es imposible obtener una solución con la tensión especificada en esta barra y en consecuencia. que lo permitan. excede el límite máximo o mínimo prefijado.21) es decir: (3. que debe emplearse corresponde al indicado por (3.24) Si el valor de la potencia reactiva calculado según (3. debe tenerse en cuenta que su módulo en esta barra está especificado y por lo tanto sólo puede cambiar su ángulo. ella debe ser considerada como una barra de carga en esa iteración.23) Además: (QGp)máx = Valor máximo de generación de potencia reactiva de la fuente.22).11). En las iteraciones siguientes. porque pueden ocurrir cambios en otros puntos del sistema. el método intentará mantener el voltaje especificado originalmente en esa barra. consideremos el sistema de 3 barras de la Figura 3.6. Sea p una BTC. (Qgp)mín = Valor mínimo de generación de potencia reactiva de la fuente. se puede escribir: (3. Para explicar mejor el procedimiento. Qpk. P3. θ 20.27) 7. P2. 1. determinar la tensión en la barra 3 según (3..Verificar si está dentro de los límites establecidos 6.Calcular la tensión en la barra 2 (3...27).6.27) completo (módulo y ángulo) 8..Si no se está dentro de los límites.. mantener el valor especificado para V3 y cambiar el ángulo inicial por el determinado con (3. θ 1.26) 5. θ 30.Si se está dentro de los límites.27) (3. en todas las barras..Figura 3.27) por el valor del límite excedido. V3 y los parámetros para determinar la matriz YB 2. V3 está especificado 3. Si se cumple.Especificar los datos necesarios: V1.0 (pu) para los módulos de voltaje y 0º para los ángulos.Sistema de tres barras para explicar el método de Gauss-Seidel YB Sean: Barra 1: Flotante Barra 2: de carga Barra 3: de tensión controlada La secuencia de cálculo aplicando el Método de Gauss-Seidel YB es: 1. Q2. el proceso de cálculo de las .Calcular la potencia reactiva en la barra 3 (3.20).25) 4. reemplazar en (3. tomando el valor de calculado en (3.Suponer los valores iniciales: V20. por ejemplo... Normalmente se usa.Verificar que se cumpla el criterio de convergencia tal como se indica en ecuación (3.. 7) y las pérdidas en las líneas. Realizar una iteración con el método de Gauss-Seidel YB. volver al punto 3 y repetir el proceso. Solución: a) Determinación de la matriz de admitancia de barras YB b) Valores iniciales y otros datos .6) y (3.Si el criterio de convergencia no se cumple. ecuación (3. 9.8). para determinar el voltaje en todas las barras. los datos en pu. Con los valores obtenidos. se dan en las Tablas Nº 1 y Nº 2.1. la potencia entregada por el generador de la barra slack y la verificación de la potencia entregada a la carga SC1. Ejemplo 3.tensiones finaliza y se determinan los flujos de potencia según ecuaciones (3.7. las pérdidas del sistema. determinar los flujos de potencia en todas las líneas. Para el sistema de tres barras de la Figura 3. base común.. 19). (3.7) y considerando que: se tiene: .19) Antes de determinar expresión se debe calcular la potencia reactiva neta de la barra 2.6) y (3. es decir: d) Cálculo de los flujos de potencia en las líneas: Usando las expresiones (3.c) Proceso iterativo: Utilizando la ecuación (3.22) La tensión se determina usando de nuevo la expresión (3. para que el voltaje sea más cercano al valor al que se está aproximando. Sin embargo. se denomina factor de aceleración.6 para las componentes real e imaginaria es una buena selección. el número de iteraciones requeridas si la corrección en el voltaje de cada barra se multiplica por alguna constante que la incremente. ¿Porqué? Factores de Aceleración: La experiencia con el método de Gauss-Seidel YB para el cálculo de flujos de potencia ha mostrado que se puede reducir. considerablemente. es posible que el factor de aceleración utilizado para la componente real de la corrección pueda diferir del usado para la componente imaginaria. α varía entre 1. El multiplicador que realiza esto. Una mala selección de ellos puede dar como resultado una convergencia menos rápida o hacerla imposible.8.)ac se multiplica por un α apropiado para obtener una mejor corrección que se agrega a este último. . Es decir: (3. Generalmente. Por lo general. un factor de aceleración de 1. en los estudios de flujos de potencia. Hay valores óptimos de los factores de aceleración para cualquier sistema.3 y 1. La diferencia entre el valor de voltaje de la barra p calculado en la iteración actual Vpk+1 y el mejor que se obtuvo en la iteración anterior (Vpk.8) se tiene: f) Potencia entregada por el generador de la barra slack g) Verificación de la potencia recibida por la carga SC1 Observación: No corresponde exactamente al valor especificado para la carga.e) Pérdidas: Utilizando la ecuación (3.28) La elección del valor de α depende del sistema en estudio. se trata de un sistema de n ecuaciones de la forma: (3.3.3.. aunque f(xi0) ≠ 0. Es decir. El sistema se puede escribir ahora: .29) Supongamos una estimación inicial del vector solución: (3. tener f(xi0+∆ xi0) = 0.Método de Newton Raphson a. Formulación general: Es mas sofisticado que los anteriores y exige un mayor volumen de cálculos. El problema matemático a resolver consiste en n relaciones no lineales del tipo f(xi)=0.5.30) Al que le falta un residuo correcta.32) donde: φ i superior : residuo en la serie de Taylor. Esto es. pero asegura convergencia en un mayor número de veces y además en forma más rápida. para llegar a la solución (3.31) Desarrollando cada ecuación en serie de Taylor en torno a los valores xi0 se tiene: (3. que contiene los términos de orden . 35) Donde cada vector y matriz está definido según las ecuaciones (3.35).34) Es decir: (3.34) y (3. o sea: Vector función evaluada en xi0 Matriz Jacobiana evaluada en xi0 Vector residuo evaluado en xi0 . evaluadas en xi0 Como los ∆ xi0 son pequeños.: representa las correspondientes derivadas parciales.33) Matricialmente se puede escribir: (3. se pueden despreciar los términos de orden superior y se obtiene: (3. a los valores calculados.35). [xk+1] no será la solución correcta y se debe repetir el proceso en forma iterativa. hasta que se satisfaga algún criterio de convergencia. de manera que la ecuación (3. tal como: (3.21). Según (3.40) en que: (3.37) se puede escribir como: (3. se puede (3.37) Suponiendo que se conoce (vector de valores aproximados de la variable).36) En general entonces. el residuo en una iteración k es: (3. los valores de P y Q en la barra p se pueden obtener a partir de: calc .38) Como se han despreciado los términos de orden superior. Para mayor comodidad. los designaremos simplemente como P y Q.A partir de (3.41) donde: Pesp y Qesp son los valores de P y Q especificados o programados y Pcalc y Q son los respectivos valores que se van calculando en cada iteración. se les eliminará el superíndice calc. el vector residuo evaluado en escribir: . los xi corresponden a las tensiones de las barras (módulo y ángulo). es decir. de la forma: entonces puede obtenerse una aproximación mejor (3.39) bAplicación al cálculo de flujos de potencia: En el caso de un Sistema de Potencia. Por lo tanto.47) b.48) c.. En las ecuaciones anteriores.43) Reemplazando (3.Para las barras PQ (3.41) y (3.Para las barras PQ y PV (3. las magnitudes de las tensiones en las barras PV y slack al igual que el ángulo en la barra slack no son variables. Las variables del problema son V y θ para cada barra PQ y θ para cada barra PV.45).44) se obtiene finalmente: (3.42) Expresando los voltajes de barras en forma polar y las admitancias de línea en forma rectangular se tiene que: (3. . ∆ P y ∆ Q para la barra p se pueden determinar (3.(3.θ pq = θ p-θ q se obtiene: (3.46) Por lo tanto se puede escribir a manera de resumen: a. sino que se mantienen en sus valores especificados.42)ν ο χ .45) como: A partir de (3. el sistema formulado incluye dos ecuaciones para cada barra PQ y una para cada barra PV..Para la barra slack no se requiere ecuaciones.43) en (3..44) de (3. 50) Despejando ∆ P y ∆ Q de (3. se tendrá (n-m-1) barras con control de voltaje (barras PV).46). considerando (3. 1 libre y n-m-1 de voltaje controlado las dimensiones de las submatrices que forman el Jacobiano son: [H] es de (n-1) x (n-1) [M] es de m x (n-1) [N] es de (n-1) x m [L] es de m x m De acuerdo con lo anterior.40) queda entonces: (3.49) Con ∆ P y ∆ Q calculados según (3.51) Si se tiene n nodos.49). se pueden determinar todos los elementos de la matriz Jacobiana como sigue: para p ≠ q .Por razones prácticas se da a la barra slack el número n y se colocan los primeros números a las barras PQ. los valores actualizados para θ y V son: (3. La Ecuación (3. para hacer más fácil el manejo de las ecuaciones.46) Luego. la matriz Jacobiana completa es cuadrada y de dimensión [(n-1)+m] x [(n-1)+m] A partir de (3.34) y arreglando adecuadamente. Luego si se tiene m barras PQ.52) Considerando (3. m de carga. se obtiene que: (3. se tiene: (3.51). se muestra en la Figura 3.(3.8.51). Utilizando este tipo de coordenadas.51): (3.53) Se puede apreciar.55) muestran lo importante que fue el haber planteado la matriz Jacobiana tal como se hizo en (3. que por la forma de la ecuación (3.54) Para p = q (3. .55) Las expresiones (3. luego de lo cual se determinan los flujos de potencia y las pérdidas en las líneas. El proceso mediante el método de Newton-Raphson para calcular los voltajes en las barras.54) y (3. el valor de Q en las barras PV puede ser calculado luego que el proceso haya convergido. 53) para p≠ q y (3. Sin embargo.8. Ejemplo 3. determine el Jacobiano completo en la iteración 1 Solución: La matriz Jacobiana queda de la siguiente forma: Los elementos de la matriz Jacobiana se obtienen utilizando las expresiones (3. considerando los valores de voltajes obtenidos mediante el método de Gauss-Seidel. utilizando (3. con el fin de aumentar la velocidad al proceso iterativo.. para los elementos de la diagonal se deben determinar previamente P y Q.Diagrama de Flujo del Algoritmo de Newton-Raphson En estricto rigor. por lo tanto.1.1 y. en la práctica se recalcula usualmente sólo un determinado número de veces en un rango de iteraciones.2. que se resumen a continuación: .55) para p=q.45) y considerando los resultados obtenidos en el ejemplo 3. En el sistema del ejemplo 3.Figura 3. la matriz Jacobiana se calcula e invierte en cada iteración. matriz Jacobiana obtiene: Q2=-0.45) P2=0.57) (3. (3.4.53) y (3..5. en la ecuación (3.1948.. Con (3.- Método de Newton-Raphson desacoplado (MNRD) Cuando se resuelven problemas que involucren un número considerable de barras.Un cambio en el módulo del voltaje V en una barra afecta principalmente al flujo de potencia reactiva Q en las líneas y débilmente a la potencia activa P.2865 queda: 3.58) Estas ecuaciones están desacopladas. la . este método representa una alternativa para mejorar la eficiencia computacional y reducir los requerimientos de memoria. las matrices [H] y [L] son . en el sentido que las correcciones de los ángulos de los voltajes se calculan usando sólo los cambios en la potencia activa mientras que las correcciones en la magnitud de los voltajes se determinan sólo con los cambios en la potencia reactiva.6628.3.5. Por lo tanto: De acuerdo con esto. se Q1=-0.56) o bien: (3.55).Un cambio en el ángulo del voltaje θ en una barra afecta principalmente al flujo de potencia activa P en las líneas y débilmente a la potencia reactiva Q.51) N y M se pueden despreciar frente a L y H respectivamente y se puede escribir: (3. basada en las siguientes consideraciones: .235. Con P1=-0. Se hace uso de una versión aproximada del método de Newton-Raphson completo visto en 3. Sin embargo. lo que significa que: . Las susceptancias Bpq de las líneas son mucho más grandes que las conductancias Gpq. por lo que: (3. lo que en la práctica queda compensado por el menor tiempo en cada iteración. Estas características son: . sigue requiriendo la inversión de dos matrices en cada iteración. Ejemplo 3. porque los elementos de [H] dependen de las magnitudes de los voltajes que se están resolviendo en la ecuación (3.62) . y usando (3.Las diferencias angulares θ pq = θ p-θ q entre los voltajes de dos barras típicas son.5. tan pequeños que: (3.57).58). por lo general.2 escriba la matriz jacobiana del método de Newton-Raphson desacoplado. Esta aproximación significa aumentar el número de iteraciones. Para evitar estos cálculos.interdependientes. Método de Newton-Raphson desacoplado rápido (MNRDR) El método de Newton Raphson desacoplado. las soluciones más recientes del otro. se introducen más simplificaciones que se justifican por las características que presentan los flujos de potencia en las líneas y los voltajes en las barras de un sistemas de transmisión bien diseñado y operando apropiadamente.5. debido a la disminución del tiempo ocupado en la inversión de las matrices [H] y [L] de menor dimensión que la del Jacobiano completo. A partir del ejemplo 3.59) .61) Con estas aproximaciones. mientras que los elementos de [L] dependen de los ángulos de la ecuación (3. Eliminando las submatrices N y M se tiene: 3.60) .3.45) se tiene: (3. Esto es: (3.La potencia reactiva Qp que se inyecta a cualquier barra p del sistema durante su operación normal es mucho menor que la potencia reactiva que fluiría si todas las líneas de la barra estuvieran en cortocircuito con la referencia. El procedimiento natural es ir resolviendo alternadamente los dos sistemas de ecuaciones usando en uno. 67) según (3.70) se obtiene: .68) en (3.64) A partir de (3. las ecuaciones (3.65) y (3.57) y (3.70) Introduciendo (3.Es decir: (3.65) (3.66) y (3.46).69) y (3.63) y (3.66) (3.63) (3.58).69) (3. para el nudo p se puede escribir: (3. los elementos de [H] y [L] se obtienen como sigue: (3.61).64) y considerando (3.68) Considerando (3.67) quedan: (3. es decir: (3.77) (3.73) (3.0(pu).73) en 1. Si fijamos arbitrariamente los Vp y Vq del segundo miembro de la ecuación (3.71) (3.78) .74) Se ha reducido la no linealidad de las ecuaciones.75) (3.76) Matricialmente se tiene: (3.72) se puede escribir: (3. los coeficientes de ambas ecuaciones quedan iguales. lo que debería permitir mejorar el comportamiento del proceso iterativo.72) Dividiendo ambas ecuaciones por Vp y simplificando los voltajes de la ecuación (3.(3. .78) para calcular ∆ V 5.Modelo de una línea de transmisión para el cálculo de flujo de potencia DC La potencia compleja que va desde la barra p a la barra q es: .. Sin embargo. sólo se obtienen los flujos de potencia activa. y repetir el proceso hasta que todos los errores estén dentro de la tolerancias especificadas. Ejemplo 3..6. Consideremos la línea conectada entre los nudos p y q de la Figura 3..1 escriba la matriz Jacobiana del método de NewtonRaphson desacoplado rápido.Resolver (3.Volver al punto 2.9.. teniendo la ventaja de que se trabaja con números reales.Flujo de Carga “DC” o Flujo de Potencia en Corriente Continua Recibe este nombre no porque se aplique a sistemas que operan con corriente continua. El análisis considera la base fundamental de los flujos de potencia en corriente alterna ya estudiados.77) para determinar ∆ θ 3.donde B’ es el negativo de la parte imaginaria de la matriz YB. El método es aplicable a los Sistemas Eléctricos de Potencia que operan a corriente alterna haciendo ciertas simplificaciones que permitan analizar la red como si fuera de corriente continua.- Figura 3.Actualizar los ángulos θ y usarlos para calcular los errores ∆ Q/V 4.Actualizar las magnitudes del voltaje V y usarlas para calcular los nuevos errores ∆ P/V 6... simplificando mucho los cálculos. sin la fila y columna correspondiente a la barra slack y B” es el negativo de la parte imaginaria de la matriz YB sin las filas y columnas correspondientes a las barras slack y PV Una estrategia típica de solución es: 1. Solución: A partir de los valores de la matriz [B] del Ejemplo 3.4.Calcular los errores iniciales ∆ P/V 2.Resolver la ecuación (3..9. Para el ejemplo 3.2 se tiene: 3. θ q es muy pequeño A partir de b) y considerando (3.81) Entonces: (3.80) (3.0 (pu) b) b) Rpq << Xpq c) c) θ pq = θ p .82) Es decir: (3.84) suposiciones simplificatorias: a) a) Vp = Vq = 1.(3.81) se tiene que: (3.79) Sea: (3.83) Por lo que la potencia activa entre las barras p y q es: (3.85) . 86) Según c) Por lo tanto (3.87) Para una red eléctrica que tiene n nudos la potencia neta inyectada en cada nodo se pueden escribir: (3. para los n nudos se tiene: (3. Luego.89) o sea: (3.(3.88) donde q considera todos los nodos directamente conectados al nodo p.84) queda: (3.90) en que: : Vector de potencias activas netas en cada barra : Matriz de susceptancias del sistema : Vector de ángulos de las tensiones de barra . para un sistema de n barras sólo hay (n-1) ecuaciones linealmente independientes.Los elementos de la Matriz [B] se determinan como sigue: con p ≠ referencia q incluye todas las líneas conectadas al nudo p (3.87).94).94) De acuerdo con lo indicado en las expresiones (3.95) Como se aprecia.91) con p = referencia (3.5.91) a (3.93) con p = referencia o q = referencia (3. el procedimiento es muy sencillo. Ejemplo 3.95) para luego mediante (3. determinar los flujos de potencia activa en las líneas.90) se obtiene entonces: (3.1 utilizando el método de Flujo DC. la matriz . por lo que se debe considerar la submatriz de [B] con dimensión (n-1)x(n-1). A partir de (3.92) con p ≠ referencia y q ≠ referencia (3. ya que el sistema es lineal y por lo tanto todos los ángulos de las tensiones de las barras se pueden determinar utilizando (3. la que puede invertirse para solucionar el problema del cálculo de los ángulos de fase de las tensiones de las barras. Resuelva el Ejemplo 3. Así.1 se tiene: . tal como se planteó en (3.89) es singular ya que la fila y columna correspondientes a la barra de referencia contienen solamente ceros. Solución: A partir de los parámetros dados en el ejemplo 3. 6.2.Por otra parte: P1=-0.87) . luego. según (2.90): Resolviendo la ecuación se obtiene: Con estos valores se determinan los flujos de potencia activa en las líneas. utilizando (3. la ecuación matricial queda. P2=0. La potencia que entrega el generador en la barra slack es: La potencia recibida por la carga es: . . 2007 .UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PERU FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA DEPARTAMENTO ACADEMICO DE ELECTRICIDAD Y ELECTRONICA ANÁLISIS DE FALTAS EN SEP PROFESOR GUIA: Msc Pedro N. Torres Mayta Marzo . - INTRODUCCION Las condiciones anormales de funcionamiento de un Sistema Eléctrico de Potencia (SEP)..Fenómenos transitorios ultrarápidos Corresponden sustancialmente a descargas atmosféricas sobre las líneas de transmisión y a los fenómenos producidos por operaciones de conexión y desconexión de diversos componentes de la red del SEP. se deben a fenómenos transitorios.Fenómenos transitorios lentos Cuando ocurre un cortocircuito en una línea de transmisión importante y no se desconecta oportunamente la sección afectada. los procesos de reflexión de las ondas producen elevadas tensiones que pueden llegar a destruir el equipo asociado a las líneas. (fundamentalmente. La razón del estudio de estos fenómenos radica en el hecho de que su análisis suministra las bases necesarias para la selección adecuada del nivel de aislación de los equipos eléctricos asociados a las líneas y de las líneas mismas.. b. Sin embargo. . pero su efecto dura unos pocos milisegundos después de iniciado.4. oscilaciones mecánicas de los rotores de los generadores. c. o sea los cortocircuitos o líneas abiertas. Las perturbaciones de este tipo dan origen a ondas de tensión y corriente que viajan prácticamente a la velocidad de la luz.Fenómenos transitorios medianamente rápidos En este grupo se incluyen los fenómenos causados por cambios abruptos de la estructura del SEP.1. esto es. los cuales se pueden clasificar. Se producen fenómenos transitorios electromecánicos que se estudian bajo el nombre de estabilidad transitoria. las líneas). de acuerdo al tiempo de duración en las siguientes categorías: a.. puede producirse uno de los fenómenos más peligrosos de un SEP. Usualmente. sólo los 10 primeros ciclos son de importancia práctica y se estudian en el rango de 10 a 100 milisegundos siguientes a la falla. reduce a cero la capacidad de transmisión de una línea. En .Las oscilaciones mecánicas de los rotores son relativamente lentas. 4. aislado o a tierra. pueden causar un serio daño térmico al equipo y problemas de estabilidad de funcionamiento en el SEP. lo siguen los cortocircuitos bifásico y finalmente el monofásico . el tipo de cortocircuito más severo es el trifásico. dentro del curso. Si se permite que estas corrientes circulen por un período prolongado. ya que el sistema queda eléctricamente desbalanceado en el punto de falla. el que además de dar valores elevados de corriente. el cálculo se realiza en base a una representación monofásica (por fase) de la red del SEP y se aplican las técnicas normales de análisis de circuitos.3. Los cortocircuitos trifásicos dan origen a fallas simétricas pues el SEP permanece eléctricamente balanceado. En este aspecto. Debido a los fenómenos transitorios se pueden producir en un SEP. En el caso de fallas simétricas. los estudios de estabilidad transitoria se realizan en el rango de fracción de segundo hasta un minuto. designaremos como fallas a los cortocircuitos y las fases abiertas. en cambio los cortocircuitos bifásicos aislado y a tierra y el monofásico. dos fases abiertas y tres fases abiertas. La última situación significa que la línea o dispositivo sale completamente de servicio. transformadores y líneas. diversas alteraciones que reciben el nombre de fallas. bifásico a tierra (entre dos líneas y el conjunto a tierra) y monofásico (una línea conectada a tierra). en consecuencia. 4.Fases abiertas: Una fase abierta. resulta conveniente utilizar al Método de las Componentes Simétricas. Para el cálculo de las fallas asimétricas.CALCULO DE CORTOCIRCUITOS En general las corrientes de cortocircuito alcanzan magnitudes mucho mayores que los valores nominales de los generadores. Tipos de fallas .2. bifásico aislado (cortocircuito entre 2 líneas). así como 1 ó 2 fases abiertas corresponden a fallas asimétricas.Cortocircuitos: Trifásico simétrico. Sin embargo. . b.2. 4. debido a que este tipo de falla produce las corrientes de cortocircuito más elevadas en la mayoría de los casos. se utilizan en la práctica interruptores que reconectan automáticamente la línea dañada. para lo que se realiza normalmente un cálculo de cortocircuito trifásico simétrico.-Las máquinas síncronas se representan por los circuitos equivalentes aproximados. En muchas oportunidades las corrientes de cortocircuito se auto extinguen y se reestablece la aislación .-Objetivos del Cálculo de Cortocircuitos a. . una.1.-En muchos casos se desprecian las resistencias de los elementos y sólo se consideran sus reactancias .-Todas las tensiones internas de los generadores se suponen iguales entre si e iguales a 1. que se muestran en la Fig.Circuito equivalente para las Maquinas Síncronas b. .0 (pu) d. el Cálculo de Cortocircuitos debe proporcionar los siguientes resultados: . cuando se estima necesario incluirlas.3.cambio.-Las cargas. se suponen independientes de la tensión y se representan por una impedancia o admitancia equivalente.Las tensiones post-falla en todas las barras 4... dos o más veces para probar si la falla se ha eliminado. 4. Sólo en el caso de que la falla persista.-Aproximaciones a.La potencia de cortocircuito en el punto de falla .1. para lo que se debe realizar un cálculo de distribución de corrientes en la red del SEP tanto para cortocircuitos simétricos como asimétricos (usualmente el cortocircuito monofásico). el interruptor desconecta la línea en forma definitiva.Ayudar a establecer un sistema adecuado de protección para diversas condiciones de falla.-Se desprecian las corrientes pre-falla e.3. Debido a este hecho. c.La distribución de corrientes post-falla en todas las líneas del SEP .La corriente en el punto de falla . En general.Definir la capacidad de ruptura de los interruptores necesarios en las diversas partes de un SEP.1 Fig 4. el tipo mas frecuente es el monofásico (aproximadamente el 75 % de los casos) y el menos frecuente es el trifásico (aproximadamente el 5 % de los casos). Despreciando el efecto de la componente continua. la corriente es asimétrica respecto al eje de tiempo y disminuye en forma exponencial. . 4. Sin embargo.1. se ilustran en la Fig 4.El generador en vacío antes de producirse la falla La corriente que circula por cada fase del generador en cortocircuito.1. es similar a la que circula por un circuito R-L serie.-Los transformadores con cambio de Taps se consideran en su razón nominal 4.Usualmente la corriente continua no se considera en el análisis y su efecto se considera posteriormente en el cálculo de las corrientes instantáneas y de interrupción de los interruptores. Las corrientes en las 3 fases de un generador en cortocircuito. resulta simétrica. como se muestra en la Fig.-CORTOCIRCUITOS TRIFÁSICOS SIMÉTRICOS 4. que corresponde a un generador con enrollados amortiguadores y en vacío antes de producirse la falla.4. la corriente de cortocircuito de una fase cualquiera. existe una diferencia fundamental y ella radica en el hecho de que la reactancia del generador no permanece constante durante el fenómeno (Fig.4. es decir.2.-Comportamiento de un generador en condiciones de cortocircuito trifásico simétrico a. 4.-). alimentado brúscamente por una fuente de tensión sinusoidal.3.f.. . S.Corriente de cortocircuito en un G.. .3. 4.3 se definen los siguientes valores eficaces de corrientes de cortocircuito.Fig 4.Corrientes de cortocircuito en un Generador Síncrono Fig 4.2. Despreciando la componente de CC Directamente de la Fig. 4.5) .4.4) Por lo tanto el circuito de la Fig. Fig 4.El generador en carga antes de la falla En este caso. sean: VF(0): tensión en el punto F antes de producirse la falla I* : corriente subtransiente de cortocircuito ZTH :Impedancia equivalente de Thevenin calculada desde los puntos de falla.6.3) b.1) Corriente transiente (4..4.-.Aplicando el teorema de Thevenin en el punto de Falla En la Fig.2) - Corriente permanente (4.6.-Circuito equivalente de Thevenin en Régimen subtransitorio Luego: (4.se transforma en el de la Fig. para determinar las corrientes subtransiente y transiente de cortocircuito se deben considerar los circuitos mostrados en las Figura 4..- Fig. 4.- Corriente subtransiente (4. 4.4 y 4. donde Ze es una impedancia externa que puede existir entre los terminales del generador y el punto de Falla F y Zc es la impedancia del consumo. donde: (4.Circuito Subtransiente Fig..4.5. 4.5. 4.-Circuito Transiente Para realizar el cálculo se pueden emplear dos procedimientos bl. respectivamente.. la fuerza electromotriz (fem) interna E se va modificando a medida que transcurre el fenómeno y. . las corrientes de falla son: (4. para la figura 4.8) (4.se puede escribir : (4. se pueden visualizar tres tensiones internas posibles y sus correspondientes reactancias según se mencionó antenormente.. empleando las tensiones internas..de la misma forma.6) b2.11) (4.Concepto de Potencia de Cortocircuito .se tiene: (4.5.12) c.10) (4.7) (4. Las Figuras 4. a) Circuito Equivalente b) Diagrama Fasorial A partir de la Figura 4.Empleando las tensiones detrás de las reactancias subtransiente o transiente Cuando circula corriente de carga antes de la falla.7. Figura 4.7..Cálculo de Corriente de Cortocircuito.7 a) y b) muestran los circuitos equivalentes y los diagramas fasoriales respectivos.9) Luego. la potencia de cortocircuito Scc en la barra p será : Scc = Vp(0) Ipf (4.Durante un cortocircuito trifásico simétrico en un SEP. Es conveniente disponer de una medida de esta propiedad del sistema como asimismo de la severidad de la falla. Luego. corresponden a corrientes simétricas respecto al eje del tiempo y por lo tanto no incluyen la componente de corriente contínua. Figura 4. d. "Capacidad de cortocircuito". Para determinarla. por ello se distinguen dos valores de corriente: Corriente instantánea Es la corriente que debe soportar un interruptor inmediatamente después de ocurrida la falla. Entonces.13) Por otra parte si VB e IB son el voltaje base y la corriente base en el sector que corresponde a la barra p.. se calcula en primer lugar la corriente simétrica de cortocircuito utilizando las reactancias subtransientes de los generadores. el valor así calculado. se puede demostrar que: o bien: (4. En la selección de interruptores debe tenerse en cuenta la componente de corriente continua. La magnitud de la caída de tensión en las barras es una indicación de la capacidad de SEP para reaccionar frente al cortocircuito.8. las tensiones en las barras no falladas disminuyen. .14) en que Zpf es la impedancia de cortocircuito en la barra (p) y corresponde a la impedancia equivalente de Thevenin calculada desde la barra p hacia el interior del SEP.SEP con un cortocircuito trifásico en la barra p Sean: Vp(0) : tensión en la barra p antes de producirse la falla Ipf : corriente de cortocircuito o de falla en la barra p. se multiplica por un factor que depende de la tensión de operación del interruptor. o "nivel de falla" de la barra fallada. Los factores usualmente empleados se indican en la Tabla 4. por definición.Algunos antecedentes relativos a la selección de interruptores Los valores de corriente suministrados por un cálculo de cortocircuito.1. Consideremos una barra (p) cualquiera del SEP en la cual se ha producido un cortocircuito trifásico simétrico. motores sincrónicos y de inducción. Ambos objetivos se pueden cumplir definiendo una cantidad denominada "Potencia de cortocircuito". Ejemplo 4.Tabla 4. considerando la corriente de prefalla y utilizando: a. Para determinar su valor. El método de Thevenin Figura 4.SCC3Ø es la Potencia de Cortocircuito trifásico en la barra del sistema.9.. las reactancias transientes de los motores y condensadores síncronos.Factores de corrección para la corriente instantánea Corriente de interrupción Es la corriente que un interruptor debe ser capaz de interrumpir en el momento que se abren sus contactos. Tabla 4. En el sistema de la Figura 4.. determinar la corriente subtransitoria de falla (Amperes) en cada uno de los motores y en la línea.Factores de corrección para la corriente de interrupción Para el cálculo se recomienda emplear las reactancias subtransientes de los generadores. se procede primero a calcular la corriente simétrica de cortocircuito y luego se aplica un factor que depende de la velocidad de operación del interruptor.2 muestra algunos valores típicos. así como la corriente de falla en la barra m. Los motores de inducción no se consideran.. cuando el voltaje en esta barra es el nominal y los motores están trabajando en condiciones nominales. Si ocurre un cortocircuito trifásico en la barra m. La Tabla 4. Solución: a) Cálculos previos: .2.000 kVA y 480 Volt. El método de las tensiones internas b.1.9.1. los datos en pu están en base 2. VTH=Vm(0)=1 0º (pu) . cortocircuitado las fuentes de tensión se obtiene la Impedancia de Thevenin: Además.10 b) Método de las tensiones internas: Figura 4.10 En falla.10.Figura 4. por lo tanto. Vm=0.11): Figura 4.11 Valores en amperes: Multiplicando por la corriente base se obtiene: d) Usando el Teorema de Thevenin A partir de la Figura 4. del circuito (Figura 4. para luego repartirlas en todo el sistema.4. b. post-falla se pueden obtener como la superposición de la situación prefalla (obtenida normalmente de un cálculo de flujo de potencia) con la situación durante la falla solamente. en vez de calcular las corrientes en el punto de falla. la matriz de impedancia puede por ejemplo. con las aproximaciones usuales. El procedimiento que se sigue. Las tensiones. pueden calcularse a continuación las corrientes por las diversas ramas. incluir las admitancias paralelo tales como las asociadas a las cargas. para calcular un cortocircuito en otra barra es necesario hacer de nuevo todos los cálculos.2. es decir : (4.Cortocircuitos trifásicos simétricos en un SEP a. los cálculos manuales resultan demasiado engorrosos y se debe recurrir al uso de los computadores digitales. la determinación de los voltajes en las otras barras y el cálculo de las corrientes en las líneas significa resolver la red completa del SEP. el SEP queda balanceado. El método es cómodo para resolver problemas con pocos nudos.. con ayuda de un modelo nodal de impedancias. consiste en calcular directamente las tensiones en los distintos nudos. es posible trabajar utilizando el circuito equivalente por fase. Debido a la rapidez del cálculo digital. Conocidas las tensiones durante la falla.4. Adicionalmente. cuando se trata de sistemas de mayor tamaño.Método tradicional Como en el caso de un cortocircuito trifásico simétrico.Cálculo sistemático de Cortocircuitos trifásicos (Método general) Cuando se trata de sistemas de gran magnitud. aplicando Thevenin en el punto de falla. resulta poco práctico. sin embargo. Por otra parte.15) donde : :Vector de tensiones post falla :Vector de tensiones prefalla :Vector de tensiones debido sólo a la falla: . 20) (4. (4. la barra p).16) (4.21) en (4.(4.17) y lo dicho recién respecto a la corriente se obtiene: (4.19) En que [IF]es el vector de corrientes (de falla) inyectadas en las distintas barras y [ZB] es la matriz de Impedancia de barras que corresponde a la inversa de la matriz de admitancia de barras [YB] . después de falla se tiene: (4. considerando (4.20) y (4.19). entonces sólo uno de los elementos del vector de corrientes inyectadas es distinto de cero y vale Introduciendo (4.18) Aplicando el método de resolución nodal a la red del SEP.15).17) (4.21) Como en realidad no se inyecta corriente en ninguna de las barras.16). (4. sino que se extrae corriente exclusivamente desde la barra fallada (por ejemplo.22) Si existe una impedancia de falla ZF entre la barra fallada p y tierra se tiene: . definidas como: (4. (4.24) expresión que permite calcular la corriente en la barra fallada.25) Análogamente se puede obtener el voltaje en cualquier otra barra y la corriente de falla en una línea cualquiera conectada entre las barras p y q cuya impedancia es zpq: (4. estando el sistema en vacío y utilizando: a.27) Ejemplo 4.14 muestra el circuito anterior donde se ha realizado una transformación de Delta a Estrella entre los nudos 1.12 Solución: a) Método tradicional: El circuito equivalente se muestra en la Figura 4. Determinar las corrientes en cada una de las líneas y en los generadores.23) en la p-ésima ecuación de (4. El método general (Matricial) Figura 4.22) se obtiene finalmente: (4. En el sistema de la Figura 4.23) reemplazando (4.12. El método tradicional b. cuando ocurre un cortocircuito trifásico simétrico en la barra 2.26) (4. están en base común.2.13. 2 y 3. La Figura 4. Para encontrar la impedancia de Thevenin en la barra 2 es necesario reducirlo. el voltaje en esta barra es: (4. Los valores de la estrella equivalente son: . todos los datos en por unidad. Así mismo. la impedancia equivalente de Thevenin en la barra 2 queda: Figura 4.13 El circuito equivalente de Thevenin queda tal como se muestra en la Figura 4. donde.14. por lo tanto: Figura 4.15. debido a que el cortocircuito es directo.14 Figura 4.A partir del circuito de la Figura 4. se tiene que V2F=0 y.14 se pueden determinar las corrientes y voltajes: .15 Considerando la Figura 4. 24) a (4. 2 y 3 respectivamente: 4.5.- Cortocircuitos Asimétricos .13. se determina la matriz YB.b) Método general: Considerando el circuito de la Figura 4. que resulta: Utilizando las expresiones (4.27) con ZF=0 se obtienen: Las corrientes en los generadores se determinan aplicando la Ley de Kirchhoff de corrientes en los nudos 1. de forma que la secuencia de fase de los voltajes y las corrientes en el sistema es abc. 2 para las de secuencia negativa y 0 para las de secuencia cero. b) negativa. desfasados 120° entre si y con la misma secuencia de fase que el sistema original. En el caso particular de tensiones y corrientes trifásicas desequilibradas. Vb y Vc. Componentes de secuencia negativa: formado por tres fasores de igual módulo. d) Suma gráfica de ellas . se acostumbra designar las tres fases del sistema como a.. Una vez obtenidos los resultados en el dominio de las componentes simétricas. El Método de las Componentes Simétricas se basa en el teorema de Fortescue. por lo que es conveniente iniciar este estudio resumiendo algunos puntos fundamentales relacionados con su teoría.muestra los tres sistemas equilibrados de vectores (considerándolos como tensiones) y la suma gráfica de los componentes para obtener los fasores desbalanceados. los tres conjuntos de componentes simétricas se designan agregando un subíndice (o superíndice) adicional 1 para las componentes de secuencia positiva. los valores reales en cantidades de fase se calculan haciendo uso de una transformación inversa adecuada. Cuando se resuelve un problema utilizando componentes simétricas. con desfase de 120° uno de otro y con la secuencia de fases opuesta a la de los fasores originales. Los conjuntos balanceados de componentes son: Componentes de secuencia positiva: formado por tres fasores de igual magnitud. Si los fasores originales de voltaje se designan como Va.5. Relación entre voltajes (corrientes) de secuencia y de fase La Figura 4. Se trata de un método particular de transformación lineal que consiste básicamente en descomponer un conjunto de fasores desbalanceados en otro conjunto de fasores de características tales que permitan un análisis más sencillo del problema original.Componentes simétricas El cálculo de cortocircuitos asimétricos en un SEP.Componentes de secuencia: a) positiva. la secuencia de fase de las componentes de secuencia positiva es abc y la secuencia de fase de las componentes de secuencia negativa es acb. Figura 4.16.16. Así.. b.4. c) cero. se realiza normalmente empleando el método de las componentes simétricas. este método los transforma en tres sistemas de fasores balanceados.. Componentes de secuencia cero: formada por tres fasores de igual módulo y con desfase nulo.1. b y c. 32) siguiente: (4.29) y (4.30) e introduciendo las expresiones (4.33) donde: . se puede escribir: (4.29) Designando como "a".32) o bién: (4.Como cada uno de los vectores desequilibrados originales es igual a la suma de sus componentes.28). esta última se puede escribir como: (4.28) Si se consideran como referencia los fasores Va1.31) se puede escribir en forma matricial. Va2 y Va0.30) en (4.31) La ecuación (4. es decir: (4. respectivamente se tiene: (4. al operador que origina un desplazamiento de 120º. tal como se muestra en la expresión (4. es decir: (4. o si el sistema está balanceado. b y c viene dada por: (4. c. se obtiene: (4. Vb y Vc son las tensiones respecto al neutro en los terminales e Ia. Puede existir o no neutro. la corriente de secuencia cero es nula. se puede calcular directamente la potencia suministrada en un circuito trifásico a partir de las componentes. .33) por la inversa de T.36) y la ecuación (4. La potencia compleja total transmitida en un circuito trifásico por 3 líneas.(4.32) y (4.Esta matriz es no singular y por lo tanto existe su inversa.34) La matriz de transformación T permite obtener las componentes de fase abc a partir de las de secuencia 012 . de manera que es posible obtener las componentes de secuencia 012 a partir de las de fase abc.35) queda (4. a.35) en que: (4.38) De la segunda ecuación de (4.38) se puede concluir que si en un sistema trifásico no existen conductor neutro o conexiones a tierra. Premultiplicando (4.37) Las ecuaciones (4.Potencia en función de los componentes simétricas Si se conocen las componentes de secuencia de la corriente y tensión.37) son válidas también para las corrientes.39) en que Va. Ib e Ic las corrientes que entran al circuito por las tres líneas. b) Negativa y c) cero de líneas de transmisión Generalmente: Z1 = Z2 ≠ Z0.33) y (4. ya que la corriente se reparte por ambos caminos Generadores Un generador de rotor cilíndrico operando en condiciones de carga balanceada y despreciando el efecto de la resistencia de sus enrollados.40) Introduciendo (4. en caso que ellos existan. Líneas Las líneas se representan de la siguiente forma: Figura 4.38) en (4.Matricialmente se tiene: (4.40) y haciendo las operaciones correspondientes se obtiene: (4. correspondiendo cada uno a una determinada secuencia.5. se puede representar según el circuito equivalente que se muestra en la Figura 4.2. ya que en secuencia cero es necesario considerar tanto el efecto del retorno por tierra...Directamente de esta figura se puede escribir: .Circuitos equivalentes de secuencia: a) Positiva. Veremos a continuación.41) Es decir. como el de los conductores de guardia..Circuitos equivalentes de secuencia de los elementos componentes de un SEP La aplicación del método de las componentes simétricas al cálculo de cortocircuitos asimétricos implica que cada componente del SEP se representa por tres circuitos equivalentes monofásicos. 4.18. En cada uno de estos circuitos equivalentes las variables tensiones y corrientes corresponden a una misma secuencia y las impedancias asociadas a los elementos reciben el nombre de impedancia a la secuencia que corresponde.17. esta transformación no es invariante a la potencia compleja. los circuitos equivalentes de secuencia de los elementos componentes del sistema. sus ecuaciones de comportamiento tienen la misma forma. Se puede demostrar que en este caso: (4.45) y haciendo las operaciones respectivas se obtiene: .(4. sin embargo.42) o bien: (4. es mucho más complicado que el caso anterior. Zm1 y Zm2 son funciones complicadas de las inductancias propias y mutuas de todos los enrollados de la máquina. variando sólo en la matriz de impedancia.44) donde: Zs.18.43) Figura 4.. Esta matriz se puede transformar a una matriz de impedancia de secuencia. utilizando la siguiente expresión: (4.44) en (4.45) Introduciendo (4.Generador de rotor cilíndrico operando en condiciones balanceadas El análisis de un generador operando en régimen permanente y con carga desbalanceada. Z1 y Z2 son distintas y que no existe impedancia mútua entre las redes de secuencia. como ocurre normalmente.47) Se observa aqui. que las redes de secuencia resultan desacopladas.46) donde: (4. donde se ha considerado que.51) . La Figura 4. que Z0.49) o bien: (4. Esto significa.19 muestra los circuitos equivalentes de secuencia de ungenerador síncrono. ya que los elementos fuera de la diagonal de la matriz de impedancia de secuencia son todos nulos. La expresión (4.50) Estas ecuaciones permiten representar elgenerador mediante tres circuitos monofásicos independientes (uno para cadasecuencia).48) Es decir: (4.(4.43) en componentes simétricas queda: (4. lastensiones generadas son equilibradas y por lo tanto: (4. la caída de tensión de secuencia cero entre una fase cualquiera y tierra es . dependiendo de la conexión del generador.21.20. c) Estrella a tierra a través de una impedancia Zn Transformadores Consideremos el circuito equivalente de Thevenin de un transformador trifásico de dos enrollados operando en condiciones balanceadas.. b) secuencia positiva. De lo anterior se puede inferir que habrá distintos tipos de mallas de secuencia cero.Circuito equivalente de Thevenin de un transformador trifásico de dos enrollados .20.. Figura 4. c) secuencia negativa Las impedancias de secuencia Z0.18).Figura 4. La corriente es . Como la malla de secuencia cero es un circuito monofásico (por fase) por el que se supone circula sólo la corriente de secuencia cero de una fase. b) Estrella a tierra directa. Z2..Circuitos equivalentes de secuencia cero de un generador síncrono en conexión: a) Estrella aislada de tierra. La barra de referencia para las redes de secuencia positiva y negativa es el neutro del generador ya que por la impedancia Zn sólo circula corriente de secuencia cero (Figura 4. sin embargo. La corriente de secuencia cero existirá sólo si el generador está puesto a tierra. directamente o a través de una impedancia. debe tener una impedancia total de 3 Zn + Z0. usualmente se determinan en forma experimental. La barra de referencia para la red de secuencia cero es la tierra del generador.21. algunas de las cuales se muestran en la Figura 4. de un generador se pueden calcular en forma analítica a partir de los parámetros fundamentales de la máquina. que se muestra en la Figura 4. Z1.Circuitos equivalentes de secuencia de una generador síncrono: a) Secuencia cero. a) b) c) Figura 4. por lo tanto.19. 22. Cuando un transformador trifásico de dos enrollados opera con carga desbalanceada. La impedancia de secuencia cero puede tener valores totalmente diferentes según sean los terminales del transformador que se consideren.52) o bien: (4.. Se puede verificar sin embargo.22.45) para llevar la impedancia en componentes de fase. que los circuitos equivalentes de secuencia positiva y negativa son iguales entre sí y corresponden a los ya estudiados. En cambio.Diagrama general para determinar la impedancia de secuencia cero A partir de esta figura. no es posible emplear directamente la ecuación (4.53) en que: (4. ilustra el diagrama general necesario para determinar experimentalmente la impedancia de secuencia cero de un transformador trifásico de tres enrollados. De la Figura 4.54) es la matriz de impedancia del transformador. a componentes simétricas y de allí deducir los circuitos equivalentes de secuencia.21 se puede escribir: (4. La Figura 4. la impedancia de secuencia cero es: .Zeq2 es la impedancia equivalente referida al secundario. el circuito equivalente de secuencia cero depende del tipo de conexión de los enrollados primario y secundario y de la existencia de neutros conectados a tierra de los enrollados. Figura 4. Las líneas de segmentos corresponden al caso que existan neutros conectados a tierra. En Anexo I. según lo expuesto. Por lo tanto las redes de secuencia negativa y cero. Esto significa que las 3 redes deben interconectarse en una forma que dependerá del tipo particular de falla y cuyos detalles veremos luego. Supongamos que se produce una falla en el punto F de un sistema y que los circuitos equivalentes de Thévenin corresponden a los indicados en la Figura 4.(4. se incluye una tabla con las mallas de secuencia cero asociadas a diferentes conexiones de transformadores trifásicos de dos y tres enrollados.. su circuito equivalente de Thévenin mirado desde el punto de falla. negativa y cero. La situación post falla se puede ilustrar esquemáticamente como se muestra en la figura 4.- Figura 4.Mallas de secuencia y red de interconexión Directamente de esta figura se puede escribir: . una red de secuencia negativa y una red de secuencia cero. teniendo presente las aproximaciones usuales que se realizan en los cálculos de cortocircuito. Por otra parte.24. que las fem de todos los generadores se consideran iguales en módulo y ángulo de fase y que se desprecian las corrientes de prefalla. donde la tensión prefalla en F es Va(0). La red de secuencia positiva es la única que normalmente contendrá fuentes de fem . el valor de Z 0 puede ser diferente según se hagan las mediciones en el primario o secundario. es decir.24. Cada red de secuencia representa una fase del SEP y todas las impedancias corresponden a una determinada secuencia. La corriente de falla en dicho punto tendrá en general componentes de secuencia positiva. se concluye que en ausencia de cortocircuitos en el sistema no existirán corrientes en ninguna de las redes de secuencia.24.55) Tal como se ha señalado anteriormente. En estas condiciones circularán corrientes en todas las redes de secuencia y aparecerán tensiones en sus terminales. Para los efectos del cálculo de cortocircuitos asimétricos es necesario establecer para cada red de secuencia. una red de secuencia positiva. son totalmente pasivas antes de falla. - Redes de secuencia Un SEP balanceado se puede representar por tres redes de secuencia independientes entre si (sin acoplamientos). 58) 4.56) o bien: (4.25 muestra en forma esquemática esta situación Figura 4.3.59) Las componentes simétricas de las corrientes se pueden escribir: (4. Análisis de algunos tipos de cortocircuito 4.25.1Cortocircuito monofásico a tierra a través de una impedancia de falla ZF Diagrama esquemático La Figura 4.3..60) de donde se obtiene: .5.(4.Representación esquemática de un cortocircuito monofásico Las condiciones impuestas por la falla son (4.5.57) Es decir: (4. 66) (4.38) y se obtiene: (4.64) A partir de (4.61) (3. se deduce que las mallas de secuencia quedan conectadas en serie.67) . utilizando la primera ecuación de (3.62) y por lo tanto: (4.Interconexión de las mallas de secuencia para una falla monofásica Del circuito de la Figura 4.61) y (4.26.63) o bien. tal como se muestra en la Figura 4. a partir de (4.64).26. se pueden determinar las corrientes de las fases.- Figura 4.61) Para las componentes simétricas de los voltajes se tiene: (4..(4.26 se tiene: (4.65) Conocidas las corrientes de secuencia. las mallas de secuencia quedan conectadas en paralelo.27.68) y por lo tanto los voltajes de las fases quedan: (4.71) Si el cortocircuito es directo a tierra. tal como se muestra en la Figura 4.72) -Ecuaciones en componentes de secuencia Las componentes simétricas de las corrientes y de los voltajes quedan: (4.73). 4.69) (4.27.-Representación esquemática de un cortocircuito bifásico a tierra a través de una impedancia -Condiciones impuestas por A partir de la Figura 4.73) -Conexión de las mallas A partir de las ecuaciones (4.65) a (4.71). se puede escribir: la falla (4.5.28. basta con hacer ZF = 0 en las expresiones (4.2 Cortocircuito bifásico a tierra a través de una impedancia de falla ZF -Diagrama esquemático La Figura 4.70) (4.- .3.Para los voltajes de secuencia se puede escribir: (4.27 muestra esta situación Figura 4. Haciendo ZF = 0 y ZF = ∞ (infinito). es posible modelar el cortocircuito bifásico a tierra directo y el cortocircuito bifásico aislado.Secuencia negativa Figura 4. Figura 4.05 (pu).-Conexión de las mallas de secuencia para un cortocircuito bifásico a tierra Ejemplo 4.29 Solución: Mallas de secuencia: Figuras 4. determinar: a.31 . En el sistema de la Figura 4.28. respectivamente.32 . en el punto de falla b. ocurre una falla bifásica a tierra en la barra 1.3.Secuencia positiva .30 a 4.29.30 Figura 4. Las corrientes de línea en Amperes. Los voltajes entre líneas en kV.28. Las corrientes de línea en Amperes en bornes de G1 y de G2 Figura 4. en el circuito de la Figura 4. en el punto de falla c. a través de una impedancia de falla ZF=j0. Con las consideraciones usuales del cálculo de cortocircuitos y considerando que todos los datos en % están en base 100 MVA. 16 y Z0=j0.. a) Corrientes de línea en el Figura 4.32 De la Figura 4.33 se tiene que: . Sus valores son: Z1=Z2=j0.Secuencia cero .Interconexión de las mallas Figura 4.33 punto de falla a1) Corrientes de secuencia: A partir del circuito de la Figura 4.33 se obtiene: a2) Corrientes de línea en (pu): Utilizando la matriz de transformación [T] a3) Corrientes de línea en Amperes (sector 1): b) Voltajes entre líneas en el punto de falla b1) Voltajes de secuencia: A partir de la Figura 4. Z2 y Z0 corresponden a las impedancias de Thevenin de las respectivas mallas de secuencia.33 y a partir de las condiciones de prefalla se tiene que: Va(0)= 0º Las impedancias Z1.05. b2) Tensiones fase neutro: Utilizando la matriz de transformación [T] b3) Voltajes entre líneas en (pu) b4) Voltajes entre líneas en kV: Considerando que en ese sector (sector 1). se obtienen: c2) Corrientes de línea en bornes de G1: Aplicando la matriz de transformación se tiene c3) Corrientes de línea en Amperes en bornes de G1 (sector 1): c4) Corrientes de secuencia en bornes de G2: De los circuitos de la Figura 4. se obtienen: .30 a 4. el voltaje base por fase será de kV. VB1=15 kV. por lo tanto: c) Corrientes de línea en bornes de G1 y G2 c1) Corrientes de secuencia en bornes de G1: De los circuitos de las Figura 4.32.30 a 4.32. c5) Corrientes de línea en bornes de G2: Aplicando la matriz de transformación se tiene c6) Corrientes de línea en Amperes en bornes de G2 (sector 3) 4.5.3.3. Cortocircuito entre dos fases a través de una impedancia de falla Este tipo de falla es muy poco frecuente y produce sobrecorrientes inferiores a las de los otros tipos de corcircuitos, por lo que sólo se calcula en casos excepcionales. Sin embargo, su análisis resulta interesante ya que es idéntico al de una carga conectada entre dos fases (carga bifásica). -Diagrama esquemático Figura 4.34.- Representación esquemática de un cortocircuito entre dos fases -Condiciones impuestas por la falla (4.74) -Ecuaciones en componentes de secuencia (4.75) -Conexión de las mallas Las ecuaciones (4.75) nos indican que la malla de secuencia cero no interviene y que las mallas de secuencia positiva y negativa quedan conectadas en paralelo, según se muestra a continuación: Figura 4.35.- Conexión de las mallas de secuencia para un cortocircuito entre dos fases 4.5.3.4.Observaciones finales respecto a los cortocircuitos asimétricos -Las corrientes y tensiones de secuencia calculadas corresponden sólo al punto de falla, no a otro. Si se quiere calcular las corrientes y tensiones en otros puntos distintos, se debe resolver los respectivos circuitos. -Los cortocircuitos asimétricos pueden producir sobre tensiones en las fases no falladas, los que dependen de la relación entre X0 y X1 y de la existencia o no de impedancia de falla. -Para limitar los valores de corriente de cortocircuito de las fallas a tierra se utilizan impedancias entre el neutro y tierra, las que pueden ser de tipo resistiva pura o reactiva pura. -En aquellas partes del sistema que estén separadas del punto de falla por transformadores Y-∆ o viceversa, se deben considerar los desfases de las componentes simétricas de las corrientes y de los voltajes introducidos por la conexión del transformador. 4.6.Fases abiertas 4.6.1.- Introducción Las fallas de conductor abierto o las fases abiertas, son los defectos producidos por la interrupción de una o más fases, sin contacto simultáneo con otras fases o tierra. Aunque no producen corrientes elevadas, provocan la circulación de corrientes de secuencia (en especial negativa) que son peligrosas para los equipos por el fuerte calentamiento que pueden originar. A primera vista, el cálculo empleando componentes simétricos se ve complicado por el hecho de que las fallas implican una asimetría en las impedancias del sistema, lo que haría necesario considerar los acoplamientos entre mallas de secuencia. El problema se resuelve aplicando a las mallas de secuencia, supuestas independientes y sin impedancias mutuas, las condiciones eléctricas impuestas por la falla. Como las condiciones impuestas a las tres mallas están relacionadas entre sí, ello equivale a interconectar las mallas en el punto de falla, en una forma fijada por el tipo de falla. El fenómeno que sigue a la aparición de la falla es transiente, donde las corrientes máximas se producen en el instante inicial. Normalmente interesa determinar lo que ocurre al cabo de algunos ciclos de iniciada la falla (operación de las protecciones, apertura de interruptores, etc.), por lo que en secuencia positiva, los generadores se representan por la fem E' y la reactancia transitoria X' 1 .Sólo cuando interesa verificar los esfuerzos electrodinámicos de los equipos o al especificar interruptores, se considera E'' tras X''1. Una dificultad preliminar en el estudio de este tipo de fallas será entonces la de calcular las fem E' (o E"), a partir de las condiciones de operación existentes antes de la falla. Dada la simetría longitudinal de estas fallas, se acostumbra usar como variables de cálculo, las caídas longitudinales de tensión ∆ Va, ∆ Vb y ∆ Vc entre los bornes P y Q de la zona en falla y las corrientes en las fases: Ia, Ib e Ic , tal como se indica en la Figura 4.36.- Figura 4.36.- Modelación de fallas tipo fases abiertas Para evitar la aparición de razones de transformación no reales (a, a2, etc) en las ecuaciones de conexión es preciso mantener en el análisis una simetría respecto a la fase de referencia a, por lo que la falla monofásica se supondrá en la fase a y la bifásica en las fases b y c. 4.6.2.- Una fase abierta Esta situación se presenta por ejemplo cuando se emplean elementos de apertura que controlen individualmente cada una de las fases (fusibles o interruptores de accionamiento monopolar). A veces ocurre también al cortarse un conductor y quedar suspendido de tal forma de no hacer contacto con otra fase o tierra. -Diagrama esquemático Figura 4.37.- Representación esquemática de una falla de una fase abierta -Condiciones impuestas por la falla (4.76) Es decir: (4.77) haciendo que la disminución de potencia transmitida sea mayor. Factor de Potencia 0. aumenta la impedancia serie de la malla de secuencia positiva. se abre la fase "a" en la barra 3 cuando el motor M está recibiendo el 80% de su potencia nominal.78). En el sistema de la Figura 4.78) -Conexión de las mallas A partir de (4. puede resultar que Z0pq = ∞.Conexión de las mallas de secuencia para una falla de una fase abierta Puesto que las mallas de secuencia negativa y cero son pasivas. Es conveniente indicar que Z0pq y Z2pq son las impedancias equivalentes vistas en esas mallas desde los bornes P y Q.250 kVA.39. lo que significa que se reduce la corriente y en consecuencia. tal como se indica en la Figura 4. En algunos casos particulares y.4. se puede concluir que las mallas de secuencia quedan conectadas en paralelo entre los punto P y Q.38. la potencia activa transmitida. en cuyo caso aumenta aún mas la impedancia serie agregada a la malla de secuencia positiva.. Calcular la potencia recibida por el motor (kVA) y las corrientes en los neutros de los transformadores en estas condiciones. .8 inductivo. Por lo tanto. su efecto es el de intercalar una impedancia: (4.-Ecuaciones en componentes de secuencia Las componentes simétricas de las corrientes y de las caídas de voltajes quedan: (4. Ejemplo 4.- Figura 4. con su tensión nominal en bornes. Datos en % en base común 1.38.79) entre los bornes P y Q de la malla de secuencia positiva. debido a las conexiones de los transformadores vecinos a P y Q. 40 b) Condiciones de falla: Como se abre una sola fase las mallas de secuencia quedan en paralelo y se muestran en la Figura 4.14 se tiene: Figura 4.39 Solución: a) Condiciones de prefalla: El circuito equivalente por fase se muestra en la Figura 4.41.Figura 4.40 Del Circuito de la Figura 4. A partir de este circuito se tiene: . 41 c) Potencia que llega al motor en estas condiciones d) Corrientes en los neutros de los transformadores en pu d) Corrientes en los neutros de los transformadores en Amperes => .Figura 4. 81) -Conexión de las mallas A partir de (4. -Diagrama esquemático Figura 4. se concluye que las mallas de secuencia quedan conectadas en serie tal como se indica en la Figura 4.3. (4.81).43.Dos fases abiertas Esta situación se presenta en las mismas situaciones que originan una fase abierta. pero con una frecuencia menor. en una cantidad mayor que para el caso de una fase abierta..4. . ya que la impedancia es mas alta.82) entre los bornes P1 y Q1 de la malla de secuencia positiva.6. Con ello se reduce la potencia activa transmitida en el sistema. Nótese que la transmisión se interrumpe totalmente si Z0pq = ∞..42.80) -Ecuaciones en componentes de secuencia Las componentes simétricas de las corrientes y de las caídas de voltajes quedan: (4. es decir si el sistema no está puesto a tierra.Representación esquemática de una falla de dos fases abiertas -Condiciones impuestas por la falla (4. Figura 4.. aunque menos grave que el de las fases abiertas. produce la conexión de una impedancia anormal en una de las fases. en el caso de reemplazar temporalmente una unidad monofásica defectuosa en un banco de transformadores por otra de características diferentes.Conexión de las mallas de secuencia para una falla de una fase abierta 4. Es una situación que se presenta.Impedancias series desequilibradas -Condiciones impuestas por la falla (4. donde dos de las fases tendrán el mismo valor en su impedancia serie.Impedancias serie desequilibradas Un efecto similar. el que será distinto al de la tercera.43. -Diagrama esquemático Figura 4. debido a un cortocircuito monofásico a tierra en una línea trifásica.6. por ejemplo.4.. que corresponde al caso de una fase abierta en dos puntos. Otra situación de interés práctico se presenta cuando.83) -Ecuaciones en componentes de secuencia .44. se desconecta la fase fallada por acción de los interruptores (monopolares) que protegen el tramo.. determinar la corriente de falla subtransiente y el máximo valor posible de la componente de corriente continua. conectado en estrella alimenta el primario de un transformador de 65 MVA. la conexión de las mallas de secuencia en esta forma. La reactancia subtransiente del generador es de 0..ZB) con (Z2pq + ZB) y con (Z0pq + ZB). Problemas propuestos 4. se tiene el caso ya visto de una fase abierta. las mallas de secuencia quedan conectadas en paralelo. ambas en base 65 MVA. 15. Si ZA → 0 y ZB → ∞ . a. tal como se indica en la Figura 4. conexión ∆ /Y. Si ZA=∞ y ZB corresponde a las respectivas impedancias de secuencia del tramo. se tiene el caso de una fase abierta en dos puntos.5 kV.45. Un generador de 65 MVA. . Si ZA → ∞ y ZB → 0 .45. antes de hacer tender ZB a ∞ . 15.Conexión de las mallas de secuencia cuando se tiene impedancias serie desequilibrada Para la transferencia de potencia activa. Estando el generador en vacío se produce un cortocircuito trifásico simétrico en los terminales del secundario del transformador.84).(4.5/120 kV.1. equivale a intercalar en la malla de secuencia positiva.7. Figura 4.12 (pu) y la reactancia del transformador es 0.0 (pu). pero para llegar a las relaciones ya vistas hay que calcular primero el equivalente de las impedancias en paralelo. 4. Suponiendo que la tensión interna del generador es 1.84) -Conexión de las mallas Considerando las ecuaciones (4. la combinación de impedancias ZB en serie con el paralelo de 1/3(ZA . se obtiene el caso de dos fases abiertas.1 (pu). Para un cortocircuito trifásico directo en la barra 3 y utilizando el método general. determinar los voltajes en todas las barras.b. Posteriormente se produce un cortocircuito trifásico simétrico en los terminales de la carga. En el sistema de la Figura 4. El método general (Matricial) Figura 4. estando el sistema en vacío. todos los parámetros están en tanto por unidad. 4. cuando la tensión en bornes del generador es la nominal. Figura 4. en una base común. 4. b. Determinar la corriente subtransiente de falla en el generador incluyendo la corriente de prefalla. En la barra 3. En el sistema de la Figura 4.5.04 (pu) en la barra 1. Repetir el Problema 4. cuando ocurre un cortocircuito trifásico simétrico a través de un impedancia ZF=j0.47. (matricial). de valor (0.4. El método tradicional (Thevenin) b.2 considerando un cortocircuito trifásico simétrico: a.46. todos los datos en por unidad.6) (pu) en base 65 MVA. Se conecta una carga impedancia trifásica balanceada en los terminales del secundario del transformador. están en base común.46 4. Determinar las corrientes en cada una de las líneas y en los generadores. las corrientes en las líneas y las corrientes en los generadores. utilizando: a.8+j0. Suponer que el sistema está en vacío antes de producirse la falla. En la barra 2. En el sistema de la Figura 4.3.48 ocurre un cortocircuito monofásico a tierra en la .47 4.2. en en en (kV) en bornes de G. Con las consideraciones usuales del cálculo de cortocircuitos y considerando que todos los datos en % están en base propia. en los neutros de los transformadores y de los generadores e. Los voltajes entre líneas en kV. determinar: a. en el interior de la delta de los transformadores Figura 4. determinar: a. Las corrientes de secuencia cero en Amperes. La corriente en Amperes.8.6.2 kV 4. Las corrientes en Amperes en bornes de G1 y G2 d. Datos en % en base 100 MVA Figura 4.49 . Repetir el Problema 4. c.5 considerando un cortocircuito bifásico a tierra en la barra de 13.7.5 considerando un cortocircuito bifásico a tierra en la barra de 220 kV 4.2 kV. kV G.48 4. en el punto de falla c. d.barra de 13. Repetir el Problema 4. En el sistema de la Figura 4. Repetir el Problema 4. La corriente de falla en Amperes b.9. Con las aproximaciones usuales del cálculo de cortocircuitos. b.49.5 considerando un cortocircuito monofásico a tierra en la barra de 220 kV 4. el barra bornes punto de de 220 de falla. ocurre una falla monofásica a tierra en la barra 2. Determinar: a.11. El valor que debería tener una resistencia de falla que limite la corriente de falla máxima a un 40% de su valor original.51 a) 4. Resuelva el problema 4. Un generador alimenta un motor a través de un transformador conectado en Y/D. en base común.13. b. Los parámetros están en tanto por unidad. La corriente de falla en Amperes y la tensión en el punto de falla en Volt. los valores en % de los parámetros están en la base propia de cada equipo. del tipo mostrado en la Figura 4.4. El generador está conectado al lado en estrella del transformador.51 a) se produce una falla en F. Se produce una falla entre los terminales del motor y el transformador. c.50 4. considerando una falla bifásica a tierra. Figura 4. 4.10. Las componentes simétricas de la . Los voltajes entre líneas en el punto de falla en kV.12.51 b) Figura 4. En el sistema de la Figura 4.50. La interconexión de las mallas de secuencia que permita representar dicha falla b. Las corrientes de falla en Amperes.9. 20 MVA.51 b). En el sistema de la Figura 4. Determinar: a. El sistema se encuentra en vacío cuando ocurre un cortocircuito monofásico en el secundario del transformador conectado al generador G1. Figura 4. La corriente en el neutro del transformador (A) e. tal como se muestra en la Figura 4. Calcular: a. Factor de Potencia 0. Las tensiones nominales son: 6. La corriente de secuencia cero en la delta del transformador (A) 4.17.15. Las reactancias de un generador de 100 MVA. Las corrientes y voltajes de secuencia en el punto de falla (pu) b. 13. Determinar: a.16. Suponer que X1=X2 para el motor y el generador. 4. En el sistema de la Figura 4. En estas condiciones y considerando que todos los parámetros están en base 20 MVA.53. con su tensión nominal en bornes.250 kVA. La corriente en todas las fases del generador (A) d. 20/230 kV con una reactancia del 10%. se abren las fases "b" y "c" en la barra 4 (bornes del motor) cuando el motor M está recibiendo el 80% de su potencia nominal. Datos en % en base común 1. X0=5%. X2=35%. . Considerando que la corriente en la carga en cada fase del primario y la corriente en el terciario. El tipo de falla b.6) (pu) se conecta entre las fases "b" y "c" de un generador de 20 MVA.8 kV. Se tiene un transformador trifásico de tres enrollados. . El generador está conectado a un transformador ∆ Y1 de 100 MVA. Desde el transformador hacia la falla.200 volt (P/T/S). las corrientes son: .52. X0=10%.600/660/2. El neutro del transformador está sólidamente aterrizado. La corriente previa a la falla en la fase a c.14. X1=25%. 4. El voltaje en terminales del generador es de 20 kV cuando ocurre una falla bifásica (entre las fases b y c) y a tierra en el lado del alto voltaje del transformador. determinar las tensiones entre líneas del generador (en volt). Las corrientes de línea (A) y los voltajes entre líneas en el punto de falla (kV) c.corriente que circulan desde el motor hacia la falla: son . con carga desequilibrada. Una carga cuya impedancia Zc=(1. Todos los valores están en por unidad. La corriente de falla. 20 kV son: X1=X2=20%. calcular la corriente Figura 4.1 + j 0.8 inductivo.52 4. Calcular la potencia recibida por el motor (kVA) y las corrientes en los neutros de los transformadores en estas condiciones. base común. en estas condiciones.2 kV. está entregando 90 MW (en sus bornes).6 kV.53 4. X1=X2=X0=0.3. X0=0. esto es.1. Representando la carga como una impedancia constante. está trabajando en las condiciones indicadas. 6.9 inductivo a un motor.95 inductivo a tensión nominal en bornes.6 kV. X'd=X1=X2=0. Los datos en tanto por unidad. El sistema de la Figura 4. el motor está recibiendo una potencia de 100 MW. 100 MVA.2/6. a través de un transformador cuando se abren las fase "b" y "c" en bornes del motor (secundario del transformador).04.54 4. pero su reactancia es del 7% en base propia. El sistema de la Figura 4. Los datos están en base 100 MVA. Conexión: Estrella con neutro a tierra Transformador: 13. Determine las corrientes que circulan por las líneas. cuando se abre la fase "a" en este punto. Conexión Delta-Estrella con neutro a tierra: ∆ Y1 Motor: 100 MVA. son los siguientes: Generador: 13. . con Z1C=Z2C=Z0C. cuando es necesario cambiar el transformador de la fase "a" del banco trifásico. Figura 4. conectada en estrella con neutro a tierra. 4.19.54 está trabajando en las condiciones indicadas.860 volt (entre líneas). La tensión en bornes del Generador en ese instante era de 13. esto es. está recibiendo la potencia de (80+j60) MVA a voltaje nominal en sus bornes.18.20. Factor de Potencia 0.1. El nuevo transformador monofásico es de 40 MVA.55.Figura 4. X0=0.1. 100 MVA. X1=X'd=0. X2=0.04. la carga. Factor de Potencia 0. con SB=100 MVA. Conexión: Estrella con neutro a tierra Determinar la potencia activa (MW) y reactiva (MVAr) que recibe el motor en estas condiciones. Los datos están en base común 120 MVA. determine los voltajes en los bornes del generador en estas condiciones. Un generador. 55 .Figura 4.