FLUJ O SOBRE VERTEDERO RECTANGULAR1. OBJ ETI VOS a) Determinar el caudal que fluye por un canal, empleando un vertedero rectangular. b) Determinar experimentalmente el coeficiente de descarga para vertederos rectangulares. c) Graficar la curva altura H vs. Gasto Q. 2. FUNDAMENTO TEÓRI CO Vertederos rectangulares Para el vertedero rectangular de pared delgada que se encuentran al centro de un canal, de ancho B mayor que la longitud de la cresta b del vertedero y una altura p desde el fondo del canal al inicio del vertedero, tal como se muestra en la FIG. 1: Y ya que se producen contracciones laterales semejantes al del orificio se utilizara la siguiente ecuación para caudal teórico: √ ( ) ]…………………….. (1) Donde b es la longitud de la cresta del vertedero, H la altura del agua sobre el vertedero, la altura dinámica y g la aceleración de la gravedad La altura dinámica se expresa como: ……………………………………………. (2) Donde V es la velocidad del fluido sobre el vertedero. Afectando la ecuación (1) por el coeficiente de descarga C d nos dará la fórmula general para caudal real en vertederos rectangulares: √ ( ) ………. (3) Entonces el coeficiente de descarga es: 3. EQUI POS Y MATERI ALES • Canal rectangular • Equipo de bombeo • Vertedero rectangular • Cronómetro • Wincha • Piezómetro 4.-PROCEDI MI ENTO a) Colocar el vertedero rectangular con sus respectivos pernos b) Medir la longitud de la cresta b del vertedero y el ancho B del vertedero. c) Medir la altura p desde el fondo del canal al vértice del vertedero. d) Llenar el tanque con agua. e) Encender la bomba y esperar que se estabilice el flujo f) Medir el volumen del depósito inmediato al vertedero. g) Medir el tirante h en el piezómetro, aguas arriba del vertedero. h) Medir cuatro veces el tiempo t que demora el agua en llenar el volumen para ello tapar el sumidero. i) Repetir el procedimiento para diferentes caudales, para ello regular la válvula situada en la tubería de descarga de la bomba. 5.- DATOS Tabla N° 1 VERTEDERO RECTANGULAR Longitud de cresta del vertedero: b = 0.06 m Ancho del canal: B = 0.163 m Aceleración de la gravedad: g = 9.81 m/s 2 Altura desde el fondo del canal al vértice del vertedero: P = 0.115 m PRUEBA VOLUMENES (ml) TIEMPO (s) 1 3480 3.69 3.73 4000 4.44 4.43 3725 4.28 4.21 2 2450 3.04 3.04 2800 3.46 3.44 3400 4.33 4.36 3 1350 3.74 3.81 1430 4.01 3.98 1600 4.49 4.47 4 960 3.03 3.05 1240 3.50 3.47 1090 3.36 3.16 6.- CALCULOS Y RESULTADOS Con los datos obtenidos en la prueba 1 calculamos el caudal real: - Para volumen = 3480 ml <> 0.00348 m³ Calculo del tiempo promedio: Calcular el tiempo promedio para cada prueba con la fórmula: ̅ = ∑ ………(s) para i=1…4 ̅ = = 3.71 s Calculo del caudal real Calcular el caudal real con la fórmula: ….. ( ) Donde: = volumen ( ) t= tiempo promedio (s) = 0.000938 - Para volumen = 4000 ml <> 0.004 m³ Calculo del tiempo promedio: ̅ = = 4.435 s Calculo del caudal real = 0.000902 - Para volumen = 3725 ml <> 0.003725 m³ Calculo del tiempo promedio: ̅ = = 4.225 s Calculo del caudal real = 0.000882 El caudal real final de la prueba 1 es Q real 1 = = 0.000907 Calculo del tirante sobre la cresta “ H ” Calcular el tirante sobre la cresta con la fórmula: H =h – p… (m) Donde: h = tirante aguas arriba gfhfghfg del vertedero (m) P = altura desde el fondo del canal al vértice del vertedero (m) H= h-p = 0.164-0.115= 0.049 m Calculo de la velocidad: V= Q real 1 /Bxh = 0.000907 / (0.163x0.164) = 0.0339 m/s Calculo de la altura dinámica: h v = V 2 / 2g = (0.339) 2 /2x9.801= 0.0058 m Calculo del caudal teórico: Q teórico 1 = 0.0024 m³/s Calculo del coeficiente de descarga: Cd= 0.000907 /0.0024= 0.38 Con los datos obtenidos en la prueba 2 calculamos el caudal real: - Para el volumen: = 2450 ml <> 0.0024 m³ Calculo del tiempo promedio: ̅ = (3.04+3.04)/2= 3.04 s Calculo del caudal real V/A = 0.0024/3.04= 0.00078 m³/s - Para el volumen: = 2800 ml <> 0.0028 m³ Calculo del tiempo promedio: ̅ = (3.46+3.44)/2= 3.44 s Calculo del caudal real = V/A = 0.0028/3.44= 0.00092 m³/s - Para el volumen: = 3400 ml <> 0.034 m³ Calculo del tiempo promedio: (4.36+4.33)/2= 4.34 s Calculo del caudal real V/A = 0.034/4.34= 0.0078 m³/s El caudal real final de la prueba 2 es: Q real 2 = (0.00078+0.00092+0.0078)/3 = 0.0032 m³/s Calculo del tirante: H= h-p = 14.9-11.5=3.4 cm <> 0.034 m Calculo de la velocidad: V= Q real 2 /Bxh = 0.0032/(0.163x0.149)= 0.13 m/s Calculo de la altura dinámica: h v = V 2 / 2g = (0.13) 2 /2x9.801= 0.014 m Calculo del caudal teórico: Q teórico 2 = 0.0016 m³/s Calculo del coeficiente de descarga: Cd= 0.0032/0.0016= 0.40 Con los datos obtenidos en la prueba 3 calculamos el caudal real: - Para el volumen: = 1350 ml <> 0.0013 m³ Calculo del tiempo promedio: (3.74+3.79)/2= 3.78 s Calculo del caudal real Q ’ = V/A = 0.0013/3.78= 0.00034 m³/s - Para el volumen: =1430 ml <> 0.0014 m³ Calculo del tiempo promedio: (4.01+3.94)/2= 3.98 s Calculo del caudal real V/A = 0.0014/3.98= 0.00035 m³/s - Para el volumen: = 1600 ml <> 0.0016 m³ Calculo del tiempo promedio: (4.49+4.47+4.59)/3= 4.51 s Calculo del caudal real V/A = 0.0016/4.51= 0.00035 m³/s El caudal real final de la prueba 3 es: Q real 3 = (0.00034+0.00035+0.00035)/3 = 0.00034 m³/s Calculo del tirante: H= h-p = 13.6-11.5=2.1cm <> 0.021 m Calculo de la velocidad: V= Q real 3 /Bxh = 0.00034/(0.163x0.136)= 0.15 m/s Calculo de la altura dinámica: h v = V 2 / 2g = (0.15) 2 /2x9.801= 0.011 m Calculo del caudal teórico: Q teórico 3 = 0.0008 m³/s Calculo del coeficiente de descarga: Cd= 0.00034/0.0008= 0.425 Con los datos obtenidos en la prueba 4 calculamos el caudal real: - Para el volumen: = 960 ml <> 0.00096 m³ Calculo del tiempo promedio: (3.05+3.17)/3= 3.08 s Calculo del caudal real V/A = 0.00096/3.08= 0.00031 m³/s - Para el volumen: 1240 ml <> 0.0012 m³ Calculo del tiempo promedio: (3.47+3.40)/2= 3.45 s Calculo del caudal real V/A = 0.0012/3.45= 0.00035 m³/s - Para el volumen: 1090 ml <> 0.0011 m³ Calculo del tiempo promedio: (3.36+3.16)/2= 3.22 s Calculo del caudal real V/A = 0.0011/3.22= 0.00034 m³/s El caudal real final de la prueba 4 es: Q real 4 = (0.00031+0.00035+0.00034)/3 = 0.00033 m³/s Calculo del tirante: H= h-p = 13.5-11.5= 2cm <> 0.02 m Calculo de la velocidad: V= Q real 4 /Bxh = 0.00033/(0.163x0.135)= 0.14 m/s Calculo de la altura dinámica: h v = V 2 / 2g = (0.14) 2 /2x9.801= 0.09 m Calculo del caudal teórico: Q teórico 4 = 0.0016 m³/s Calculo del coeficiente de descarga: Cd= 0.00033/0.0016= 0.21 1) CALCULO DE LA VELOCIDAD DE APROXIMACIÓN “V” Calcular la velocidad de aproximación del flujo sobre el vertedero con la fórmula: V = …. (m/s) Donde B = ancho del canal (m) h = tirante aguas arriba del vertedero (m) Anotar los resultados en la tabla 2. 5) CALCULO DEL CAUDAL TEORICO “ ” Calcular la altura dinámica con la fórmula: …(m) Donde V = velocidad de aproximación (m/s) g = la aceleración de la gravedad (m/ ) Anotar los resultados en la tabla 2. 6) CALCULO DEL CAUDAL TEÓRICO “ ” Calcular el caudal teórico con la fórmula: √ ( ) ……( ) Anotar los resultados en la tabla 2. 7) CALCULO DEL COEFICIENTE DE DESCARGA “ Calcular el coeficiente de descarga con la siguiente fórmula: Anotar los resultados en la tabla 2. Tabla 2 RESULTADOS PARA VERTEDERO RECTANGULAR PRUEBA T promedio(s) Qr (m³/s) H(m) V (m/s) hv (m) Qt (m³/s) Cd 1 3.04 0.000902 0.049 0.0339 0.0058 0.0024 0.38 2 3.44 0.0032 0.034 0.13 0.014 0.0016 0.4 3 3.78 0.00034 0.021 0.15 0.011 0.0008 0.425 4 3.08 0.00033 0.02 0.14 0.09 0.0016 0.21 En los gráficos adjuntos se aprecia la relación entre h y el caudal teórico y el experimental. 7.- CUESTI ONARI O 1).- Grafique la curva altura h vs Caudal Real Qr y Caudal teórico Qt. En los gráficos adjuntos se aprecia la relación entre h y el caudal teórico y el experimental. 0.132 0.134 0.136 0.138 0.14 0.142 0.144 0.146 0.148 0.15 0 0.0005 0.001 0.0015 0.002 0.0025 0.003 0.0035 h vs Qr 2).- Averiguar el coeficiente de descarga de los textos y comparar con el obtenido experimentalmente. El coeficiente de descarga en los textos es: Cd textos =0.65 Luego de acuerdo a los datos obtenidos en la experiencia se tiene: Cd experimental =0.40 Con estos datos calculamos el error en la experiencia: e experimentla = 0.6901 – 0.65 x 100 % =6.1692% 3).- Demuestre la ecuación teórica del caudal para vertedores rectangulares Asumimos Flujo Ideal; h f = 0 P A + V A 2 /2g + Z A = P B + V B 2 /2g + Z B + h f Donde: P A = P B = P atm Z A = y, Z B = 0 V A = 0, V B = V t Entonces: y = (V t 2 )/2g 0 0.0005 0.001 0.0015 0.002 0.0025 0.003 0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 h vs Qt Si no se considera pérdida de energía la aplicación del teorema de Bernoulli entre la superficie libre del líquido en el reservorio y la sección de salida (a través del chorro la presión es constante e igual a la atmosférica) dará sucesivamente, para la velocidad y el caudal volumétrico: V t =\2gy (V t = Velocidad teórica de salida) Luego de la ecuación de continuidad: Q = V*A Q t = } V*dA De la geometría del vertedero: dA = bdy Q t = } (\2gy) (bdy) h2+h Q = } h1-h (2g(y+h)) 1/2 .b.dy h2+h h2+h Q= b(2g) 1/2 . } h1-h (2g(y+h)) 1/2 .dy= b(2g) 1/2 . } h1-h (y+h) 1/2 .dy Integrando y sustituyendo y cuando h 1 = 0 y h 2 = H √ ( ) 4).- Desarrolle las ecuaciones para vertederos triangular Los vertederos triangulares se encuentran ampliamente difundidos por la facilidad de su construcción y proceso de medida de caudales. La fórmula matemática para un caudal teórico es √ ⁄ Afectando a esta fórmula con el coeficiente Cd de gasto, nos queda la formula general de vertederos triangulares: √ ⁄ Las experiencias más numerosas se han referido a vertederos triangulares de ángulo inferior recto es decir: Según la figura anterior y también a vertederos de de los que se dispone de mayor información respecto a las condiciones de descarga. A fin de adecuar la formula anterior a los vertederos triangulares se hace la siguiente sustitución: Reemplazando en la ecuación anterior y haciendo las reducciones del caso: √ ⁄ Vertederos con ángulo √ ⁄ √ ⁄ En el texto Hydraulics de M &T Merriman se recomienda que los vertederos triangulares se utilicen para medir caudales pequeños y que los bordes del vertedero sean muy afilados. Para la medición bastara medir la altura de la napa de agua sobre el vértice inferior, es decir el valor . Esta practica esta muy difundida entre los administradores de agua, que utilizan este tipo de vertederos en sus mediciones, teniendo incluso tableros portátiles con la sección requerida con los que se intercepta los pequeños canales a nivel de parcela para conocer la cantidad de agua que transportan. Al efecto Merriman da cuenta que las experiencias de Thompson detalladas en el British Association Report de 1858 con vertederos de ángulo recto que permiten atribuir al coeficiente un valor de 0.592 de donde resulta que si la velocidad de aproximación es pequeña, el caudal circulante tiene un valor de: ⁄ En el caso que la velocidad de aproximación no sea insignificante, según las recomendaciones del propio James Thompson, el valor de H deberá ser reemplazado por , siendo h la componente de aproximación o sea: ( ) ⁄ Donde Por su parte en el libro de Hidráulica del Ing. S. Trueba de Mexico se menciona que en el Handbook of Hydraulics del profesor Horace W King de la Universidad de Michigan de los EEUU de N.A. se propone una formula muy aproximada de los caudales registrados en los vertederos triangulares de angulo recto: 5).- Bajo qué condiciones se considera vertedero de pared delgada y pared gruesa VERTEDEROS DE PARED DELGADA La utilización de vertederos de pared delgada está limitada generalmente a laboratorios, canales pequeños y corrientes que no lleven escombros y sedimentos. Los tipos más comunes son el vertedero rectangular y el triangular. La cara de aguas arriba debe ser instalada verticalmente y el borde de la placa debe estar cuidadosamente conformado. La estructura delgada está propensa a deteriorarse y con el tiempo la calibración puede ser afectada por la erosión de la cresta. El vertedero triangular es preferido cuando las descargas son pequeñas, porque la sección transversal de la lámina vertiente muestra de manera notoria la variación en altura. La relación entre la descarga y la altura sobre la cresta del vertedero, puede obtenerse matemáticamente haciendo las siguientes suposiciones del comportamiento del flujo: - Aguas arriba del vertedero el flujo es uniforme y la presión varía con la profundidad de acuerdo con la hidrostática (p=ρgh). - La superficie libre permanece horizontal hasta el plano del vertedero y todas las partículas que pasan sobre el vertedero se mueven horizontalmente (en realidad la superficie libre cae cuando se aproxima al vertedero). - La presión a través de la lámina de líquido o napa que pasa sobre la cresta delvertedero es la atmosférica. - Los efectos de la viscosidad y de la tensión superficial son despreciables. La descarga se efectúa sobre una placa con perfil de cualquier forma, pero con arista aguda el vertedero es de pared delgada. Como se muestra la figura: Donde: - ω: es la altura de la cresta medida desde la plantilla del canal. - α: ES el coeficiente de coriolis. - h: Es la carga del vertedero medida desde el nivel de a cresta. - V 0 : Es la velocidad de aproximación o de llegada. Un vertedero da lugar a un chorro, es decir a un napa vertiente tal como se muestra en la figura. Sobre el vertedero hay un movimiento rápidamente variado (M.R.V).Es un remanso de depresión, originado en la transformación de energía potencial en energía cinetica. Hacia aguas arriba en una sección AB hay un movimiento gradualmente variado (M.G.V).esta sección se encuentra a cierta distancia del vertedero, referencialmente se considera que esta distancia es igual a 4h, siendo h la carga sobre el vertedero. Observar que aguas arriba de la cresta hay una zona de estancamiento o de aguas muertas. Existe fundamentalmente dos tipos de napa vertiente en función de la presión q la rodea. Napa libre (vertedero libre): Es aquel que no sufre influencias aguas abajo y cuya lámina vertiente toma una forma de caída natural. Esto ocurre cuando en la zona inferior de la napa o lámina la presión existente es la atmosférica. En consecuencia todo el contorno de la napa la presión es igual a la atmosférica. Napa deprimida (vertedero con lámina deprimida): Es aquel que sufre influencias aguas abajo y la presión ejercida en la parte inferior de la napa es menor que la atmosférica. 1.1.ECUACI ÓN GENERAL DEL GASTO Para un vertedero de pared delgada y sección geométrica como se observa en la figura. a) Elevación. b) Geometría de la sección. De modo que: g V h H . 2 2 0 + = Si ω es muy grande, entonces la velocidad de llegada en despreciable y se tiene que H=h La forma del canal será una función conocida. ) ( y f x = Aplicando energía en los puntos O y C se tiene: g v y h h g V h . 2 . 2 2 0 2 0 0 + + ÷ = + De lo cual vemos: g v y g V h H . 2 . 2 2 2 0 + = + = Como la velocidad de llegada es despreciable 0 . 2 2 0 = g V La velocidad en cualquier punto de la sección C es: ) ( . 2 y h g v ÷ = El gasto a través del área elemental, de la figura es: dy y h x Cd g dQ . . . . 2 2 ÷ = Cd: Coeficiente de descarga de tipo experimental y es próximo a 0.60. El gasto total queda representado con la siguiente formula. ( ) } ÷ = h dy y h x Cd g Q 0 2 / 1 . . . . . 2 2 1.2.CLASI FICACI ÓN DE LOS VERTEDEROS SEGÚN SU FORMA. Según su forma hay diferentes tipos de vertederos entre ellos encontramos los vertederos rectangulares, triangulares, trapeciales circulares, parabólicos y muchas otras posibilidades geométricas. VERTEDERO DE PARED GRUESA Este tipo de vertederos es utilizado principalmente para el control de niveles en los ríos o canales, pero pueden ser también calibrados y usados como estructuras de medición de caudal. Son estructuras fuertes que no son dañadas fácilmente y pueden manejar grandes caudales. Algunos tipos de vertederos de borde ancho son: Si la cresta del vertedero no es una arista afilada, entonces se presenta un vertedero de pared gruesa que puede adquirir varias formas. Se presenta la forma la forma más sencilla, la cual consiste en aumentar el espesor de la cresta en un vertedor rectangular sin contracciones laterales. - Cuando e/h<0.67, el chorro se separa de la cresta y el funcionamiento es idéntico al de un vertedor de pared delgada. - Cuando e/h>0.67 el funcionamiento es diferente, pues la lamina vertiente se adhiere a la cresta del vertedero. Se presentan también distintos funcionamientos, dependiendo de la altura ω de la cresta sobre el fondo del canal. Se considera que la longitud máxima de e debe estar alrededor de 15h. 2.1. ECUACI ÓN DEL VERTEDERO DE PARED GRUESA. Se aprecia el perfil característico de la superficie libre.la energía específica aguas arriba es: g V h E . 2 2 0 + = Lo que debe ser igual a la energía sobre la cresta, suponiendo que no haya fricción ni perdidas de carga y que el coeficiente α de coriolis sea igual a 1.Por lo tanto: g V y g V h . 2 . 2 2 2 0 + = + Siendo v la velocidad media del flujo sobre la cresta .de la última ecuación se obtiene que la velocidad media sobre la cresta es: | | . | \ | ÷ + = y g V h g V . 2 . 2 2 0 Aguas arriba del vertedero se ha considerado que el flujo es subcritico (F<1).En la sección correspondiente a la caída, al final de la cresta, se produce un flujo supercrítico (F>1).En algún lugar intermedio, como el mostrado se produce un flujo crítico. El flujo sobre el vertedero es crítico (F=1) entonces el tirante es el tirante crítico. Es decir, que el flujo resuelve el cruce del vertedero haciéndolo con el mínimo contenido de energía. Si se tratase de una sección rectangular de largo b, entonces. | | . | \ | + = = g V h y y c . 2 3 2 2 0 Por lo tanto, el gasto teórico sobre el vertedero es: | | . | \ | ÷ + | | . | \ | + = = c c y g V h g g V h b V y b Q . 2 . 2 . . 2 3 2 . . . 2 0 2 0 De donde: 2 3 2 3 13 . 3 c c by by g Q = = Esta fórmula se suele expresar en función de la energía aguas arriba 2 3 2 0 2 3 . 2 3 2 | | . | \ | + | . | \ | = g V h b g Q Si la velocidad de aproximación es muy pequeña y/o su efecto se considera indirectamente, entonces el gasto teórico es: 2 3 2 3 3 2 bh g Q | . | \ | = En el sistema métrico el gasto teórico sobre un vertedero rectangular en pared gruesa es 2 3 7 . 1 bh Q = Para obtener el gasto real deberá introducirse en la ecuación un coeficiente de descarga Cd. Su valor se obtiene experimentalmente y depende de varios factores. 2 3 7 . 1 bh C Q d = . Se presentan algunos valores del coeficiente, provenientes de tres investigadores para diversos valores de longitud b del vertedero, de la altura de la cresta ω y de las condiciones del borde de aguas arriba del vertedero. Son mostrados en la siguiente tabla. 6).- Desarrolle el vertedero Cipoletti El Ingeniero Cipoletti propuso un vertedero para eliminar la corrección y longitud efectiva de la cresta. Este vertedero trapezoidal tiene los bordes con una inclinaci6n de 4 cm. verticales a 1 cm. horizontal, como se presenta en la figura . La ecuación para el caudal a través del vertedero es: Q = 1.86 LH 3/2 . La instalación del vertedero trapezoidal debe seguir las mismas normas como para los vertederos. Siempre H debe ser mayor de los 6 cm. y debe seleccionarse las dimensiones de manera que H es menor que L/3.