SISTEMA Y VOLUMEN DECONTROL • Un sistema es aquella porción del universo: un átomo, una galaxia, una determinada cantidad de materia o un cierto volumen en el espacio, la cual se desea estudiar. • Es una región encerrada por una frontera específica (que puede ser imaginaria) fija o móvil, escogida para estudiarla. 3 • Para nuestro objeto se establecerán tres clases de sistemas: • Un sistema cerrado es aquel en el que no existe intercambio de materia con su alrededor (la masa no atraviesa la frontera). • Un sistema abierto es aquel en que hay flujo de masa a través de su frontera. En uno u otro sistemas puede existir paso de energía a través de sus límites. • Un sistema aislado es aquel que es completamente impenetrable a su alrededor, es decir, ni masa ni energía pueden cruzar su frontera. 4 En el caso de sistemas abiertos suele denominarse a la frontera superficie de control, y al espacio determinado por ella, volumen de control. Por consiguiente, un volumen de control se define como aquella región del espacio que se considera en un estudio o análisis dados. Generalmente encierra un dispositivo que implica flujo de masa, como una tobera, un compresor o una bomba. 5 6 ECUACIÓN DE CONTINUIDAD La ecuación de continuidad se enuncia a partir del principio de la conservación de la masa que afirma que la masa dentro de un sistema permanece constante con el tiempo. Es decir: Que dice que el flujo neto de salida de masa del VC es nulo. 0 = dt dm 7 Considerando las velocidades promedio en cada sección transversal 1 y 2, la ecuación de continuidad es: (1) 2 2 2 1 1 1 A V A V m µ = µ = 8 Para volúmenes de control con varias entradas y salidas: ( ) ( ) ¿ ¿ ¿ ¿ µ = µ = s i e i s i e i vA vA m m 9 Se define la descarga, flujo o caudal como Por lo que Entonces la ecuación de continuidad para flujo incompresible: VA Q = Q m µ = (2) 2 2 1 1 A V A V Q = = 10 Por un sistema de tubos circula agua a 3.0 ft/s en la sección 1 de 2 ft diámetro. En la sección 2 el diámetro es de 3 ft. Encuentre la descarga y la velocidad en la sección 2. 11 De la ecuación 2: Y la velocidad en 2 es ( ) s / ft . s / ft Q 3 2 42 9 3 2 4 3 = t = | | . | \ | × t = ( ) s / ft . . A Q V 33 1 3 4 42 9 2 2 2 = t = = 12 Determine la rapidez de cambio de h(t) si el fluido es agua y V 1 = 10 m/s, m 2 = 10 kg/s y el caudal en 3 es 600 L/min. 13 Primero calcularemos el caudal en 1 y 2: Aplicamos la ley de la conservación de la masa al VC: ( ) s / m . Q s / m . . A V Q 3 2 3 2 1 1 1 01 0 1000 10 013 0 04 0 4 10 = = = t × = = 14 VC dt dm m m m | | . | \ | = ÷ + 3 2 1 | | . | \ | = ÷ + | | . | \ | µ = µ ÷ µ + µ dt dh A Q Q Q dt dV Q Q Q VC 3 2 1 3 2 1 ( ) s / m . . . . . dt dh 011 0 2 1 4 01 0 01 0 013 0 2 = × t ÷ + = 15 FLUJO NO VISCOSO 16 ECUACIÓN DE LA ENERGÍA Para un fluido en movimiento la ecuación de energía es, de acuerdo a la primera ley de la termodinámica: En régimen permanente la ecuación se transforma a: (3) 2 2 vc 2 2 dt dE m gz V pv u m gz V pv u W Q e s S + | | . | \ | + + + ÷ | | . | \ | + + + = ÷ ¿ ¿ (4) 2 2 2 2 ¿ ¿ | | . | \ | + + + ÷ | | . | \ | + + + = ÷ e s S m gz V pv u m gz V pv u W Q 17 ECUACIÓNDE ENERGÍA: SIMBOLOGÍA K = ENERGÍA CINÉTICA ΔP/ρ = ENERGÍA DE FLUJO EP = ENERGÍA POTENCIAL u = ENERGÍA INTERNA Q = CALOR W S = TRABAJO DE FLECHA 18 Para una entrada y una salida: (5) 2 2 1 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 m gz V P u gz V P u W Q S ( ( ¸ ( ¸ | | . | \ | + + µ + ÷ | | . | \ | + + µ + = ÷ 19 Las unidades de la ec. 5 son J/s ≡ W ó kJ/s ≡ kW. Al dividir la ec. 6 por el flujo de masa, las unidades cambian a J/kg o kJ/kg: Para flujo incompresible, isotérmico y adiabático, donde no existe trabajo de flecha: La ec. 7 se conoce como ecuación de Bernoulli. Se puede expresar de varias maneras. (6) EP K P u w q S A + A + | | . | \ | µ A + A = ÷ (7a) 0 1 = A + A + A µ EP K P 20 Formas de la ecuación de Bernoulli La ec. 7a se puede arreglar de la manera siguiente: Que está expresada en unidades de energía por unidad de masa. Al multiplicarla por ρ, tiene unidades de energía por unidad de volumen: (7b) 2 2 1 2 1 1 2 2 2 2 gz V P gz V P + + µ = + + µ (7c) 2 2 1 2 1 1 2 2 2 2 gz V P gz V P µ + µ + = µ + µ + 21 Al dividir la ec. 7b por g se obtiene una de las formas más útiles de la ecuación de Bernoulli.: Que expresa a la energía en unidades de longitud. En la Mecánica de Fluidos se habla de “altura de presión”, “altura de velocidad” y “altura de la cota”. Se debe aclarar que esta ecuación de Bernoulli no considera los efectos de la viscosidad ni pérdidas de energía por accesorios (válvulas, codos, curvas, contracciones o expansiones…) (7d) 2 2 1 2 1 1 2 2 2 2 z g V P z g V P + + ¸ = + + ¸ 22 23 Por un tramo de tubería circulan 370 L/s de agua, existiendo en A una altura de presión de 6.6 m. Si no hay pérdidas, calcule la altura de presión en B. 24 Escribimos la ecuación de Bernoulli y resolvemos para la altura de presión en B: Calculamos las velocidades: B B B A A A z g V P z g V P + + ¸ = + + ¸ 2 2 2 2 s / m . V D D V V A V A V s / m . . . D Q A Q V B A B B A B B A A B A B 24 5 4 31 1 60 0 37 0 4 4 2 2 2 = = | | . | \ | = ÷ = = × t × = t = = B B A A A B z g V z g V P P ÷ ÷ + + ¸ = ¸ 2 2 2 2 25 Sustituyendo valores: A continuación se muestran las líneas energéticas. m . . g . . g . . P B 41 3 5 7 2 31 1 0 3 2 24 5 6 6 2 2 = ÷ ÷ + + = ¸ 26 27 EJEMPLO 2 Para el sifón mostrado determinar las pérdidas del punto 1 al punto 3. El flujo es de 150 L/s. La velocidad en el tubo es V. Determine la presión en el punto 2 si dos tercios de las pérdidas ocurren entre 1 y 2. El tubo es de 200 mm de diámetro. 28 Aplicaremos Bernoulli entre 1 y 3; tomaremos z = 0 en el punto 3: Calculamos la velocidad en el tubo: Sustituyendo obtenemos: Las pérdidas entre 1 y 2 son 0.23 m. g V . H g V H . p p 2 5 1 0 2 0 5 1 0 0 2 13 2 13 ÷ = ÷ + + = ÷ + + ( ) s / m . . . V 77 4 200 0 150 0 4 2 = × t × = m . H p 34 0 13 = 29 Hacemos Bernoulli entre 1 y 2; tomamos z = 0 en el punto 1: m . . . P . g V P H p 39 3 2 16 1 23 0 0 2 2 0 0 0 2 2 2 12 ÷ = ÷ ÷ ÷ = ¸ + + ¸ = ÷ + + Pa . P 9 33255 2 ÷ = 30 PROBLEMA 12 31 Al colocar el sistema de referencia en s los datos conocidos son los siguientes: 3 1 3 2 1 3 2 4 62 7 14 30 10 0 720 5 0 ft / lb . , V V , psia . inHg P , ft z z z , P , psf psi P , z V P o s s s = ¸ = = = = = = = = = = = = 32 Plantearemos 4 ecuaciones: Bernoulli entre s y 3: Bernoulli entre s y 1: Bernoulli entre 2 y 3: (1) 10 2 0 03 0 2 0 0 0 2 3 2 + + = + | | . | \ | ÷ + + g V H D L . g V B (2) 10 2 03 0 2 0 0 0 2 1 2 + + ¸ = | | . | \ | ÷ + + g V P D L . g V (3) 10 2 0 10 2 2 3 2 2 2 + + = + + ¸ g V g V P 33 Continuidad entre 2 y 3: Sustituyendo (4) en (3) calculamos V 2 y V 3 : Haciendo continuidad entre 1 y 3 hallamos V: Ahora debemos hallar P 1 . (4) 4 2 2 3 2 2 3 2 2 3 3 V D D V V A V A V = | | . | \ | = ÷ = s / ft . V s / ft . V 12 28 03 7 3 2 = = s / ft . V V 12 3 9 3 = = 34 De tablas a 20°C, P 1 = 0.34 psia =−14.4 psi = 2073.6 psf Sustituyendo estos valores en (2) hallamos L: A partir de (1) hallamos la carga de la bomba: La potencia es: ft L 2545 = ft . H B 4 45 = HP . ft lb . . . . H V W B 14 3 1 1728 4 45 61 0 4 62 = · = × × = ¸ = 35 Un chorro de agua escapa a la atmósfera mediante un tubo. Si la velocidad en el punto A es de 20 m/s, a) calcule la presión en B, b) determine el flujo en masa de agua a través del tubo. Desprecie las pérdidas. 36 Hagamos un diagrama de velocidades: De la cinemática obtenemos: 37 ( ) s / m . V s / m V V s / m . V . V c ax cx cy cy 5 28 20 3 20 21 6 19 2 = ¬ = = = ÷ × = Continuidad entre B y C: Haciendo Bernoulli entre B y C: El flujo másico en el tubo es: 38 s / m . . V B 0 4 200 75 5 28 2 = | | . | \ | × = Pa P . g V g V P B C B B 403030 5 0 2 0 0 2 2 2 = ¬ + + = + + ¸ ( ) s / kg . . A V m B 7 125 2 0 4 4 1000 2 = × t × × = µ = FLUJO VISCOSO 39 La ecuación de la energía para un fluido incompresible en movimiento, considerando las fuerzas viscosas y accesorios puede escribirse como: (8) 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 | | . | \ | + + ¸ = ÷ ÷ + | | . | \ | + + ¸ z g V P H H H z g V P E P A 40 ES UN GRUPO ADIMENSIONAL QUE VIENE DADO POR: En donde ρ, V y μ son, respectivamente, la densidad, la velocidad y la viscosidad del fluido, D es el diámetro del tubo. La viscosidad cinemática es μ/ρ = ν. (9) v = µ µ = VD VD R E 41 FÓRMULA DE DARCY-WEISBACH La pérdida de carga (energía) en tuberías se calcula mediante la fórmula: En donde f es el factor de fricción, L y D la longitud y diámetro del tubo y V la velocidad de flujo. (10) 2 2 g V D L f h f = 42 El coeficiente de fricción f se calcula mediante la ecuación de Colebrook: En donde ε es la rugosidad de la tubería en mm o pulgadas. (11a) 523 2 7 3 2 1 ( ¸ ( ¸ + c ÷ = f R . D . log f E (11b) 523 2 7 3 869 0 1 ( ¸ ( ¸ + c ÷ = f R . D . ln . f E 43 Aunque las ecuaciones 11 son de resolución engorrosa, existe una representación gráfica de ella conocida como el diagrama de MOODY. En ella se observa que para tuberías lisas el valor de ε/D es muy pequeño y se puede ignorar el primer término en corchetes de las ecuaciones 11. Del mismo modo, para números de Reynolds elevados, el segundo término entre corchetes de las ecuaciones 11 es despreciable; el tales casos la viscosidad no influye y f solo depende de la rugosidad relativa de la tubería. 44 45 Para evitar usar la ecuación 11 o el diagrama de MOODY , se puede utilizar la fórmula explícita para f, con las restricciones puestas en ella: Esta ecuación (Swamee) produce una f de la ecuación 11 con 1% de error. 46 (12) 10 5000 10 10 74 5 7 3 325 1 8 3 6 2 9 0 ¦ ¹ ¦ ´ ¦ s s s c s ( ¸ ( ¸ | | . | \ | + c = ÷ ÷ E . R D R . D . ln . f 47 Problemas simples de tuberías Por problemas simples en tuberías se hace referencia a tubos en donde la fricción del tubo es la única causa de pérdida de energía. Seis variables entran en juego (fluido incompresible): En general, L, μ y ε son conocidas. Los problemas simples de tuberías se pueden clasificar en tres tipos: . , , h , D , L , Q f c µ 48 Tipo Dado Para calcular I II III 49 . , , D , L , Q c µ . , , h , D , L f c µ . , , h , L , Q f c µ f h Q D TIPO I Determínese la pérdida de energía para un flujo de 140 L/s de aceite ν = 0.00001 m 2 /s, a través de 400 m de tubería de hierro fundido de 200 mm de diámetro. De la ecuación 9 calculamos Reynolds: 50 280000 00001 0 2 0 140 0 4 4 4 A Q 2 = × × = v = v t = v = v = . . . D Q D D Q D VD R E La rugosidad es, 0.26 mm y la rugosidad relativa es: Calculando f de 12 : f = 0.022 La pérdida de carga en la tubería es, de la ecuación 10: 51 3 10 3 1 200 26 0 ÷ × = = c . mm mm . D m . g . . . h f 54 44 2 0.2 14 0 4 200 0 400 022 0 2 2 = | | . | \ | t × × = TIPO II Fluye agua a 15°C (ν = 1.13 x 10 -6 m 2 /s) a través de un tubo de acero remachado de 300 mm de diámetro y ε = 3 mm, con una pérdida de carga de 6.0 m en 300 m. Determine el flujo. Solución: Primero asumimos un valor de f para flujo totalmente desarrollado. Para una rugosidad relativa de 0.01, f = 0.04 (Ec. 12). Podemos calcular ahora la velocidad de flujo: 52 s / m . V g V . . 716 1 2 3 0 300 04 0 6 2 = ¬ × = Determinamos Reynolds y por la ecuación 12 determinamos f , y lo comparamos con el de prueba: De la ecuación 12: f = 0.038 ≈ 0.04. Por lo que, 53 455575 10 13 1 30 0 716 1 6 = × × = ÷ . . . R E ( ) s / m . . . VA Q 3 2 121 0 30 0 4 716 1 = × t × = = Determine el tamaño de un tubo de hierro forjado que se requiere para conducir 4000 gpm de aceite ν = 0.0001 ft 2 /s. La longitud del tubo es de 10000 ft con una pérdida de carga de 75 ft. De la ec. 10: Eliminamos la velocidad por continuidad y la expresamos en función del caudal, resolviendo para el diámetro: 54 TIPO III 2 2 g V D L f h f = (13) 8 1 2 2 5 f C f g h LQ D f = t = Haciendo lo mismo para Reynolds: Ahora seguimos el siguiente procedimiento: a) Asuma un valor para f; b) Resuelva la ecuación 13 para el diámetro; c) Determine R E por ec. 14; d) Calcule la rugosidad relativa; e) Calcule f por Swamee, ec. 12. g) Utilice el nuevo valor de f y repita el procedimiento. 55 (14) 4 2 D C D Q R E = tv = Siguiendo el procedimiento: Asumimos f = 0.02 De la ec. 13: D 5 = 266.5 f → D = 1.397 ft De la ec. 14: R E =113446/D = 81207 De la tabla de rugosidades ε = 0.00015 ft →ε/D = 0.000107 56 ( ) s / ft . s min m ft . gal m . min gal min gal 3 3 3 3 3 91 8 60 1 1 281 3 1 10 758 3 4000 4000 = × × × × = ÷ Por Swamee: f = 0.019. Es necesario que al menos coincidan 2 cifras significativas. Repitiendo el proceso: f = 0.019 D = 1.383 ft, R E = 82029, ε/D = 0.000108 Swamee: f = 0.019. Por lo que D = 1.383 ft = 16.5 in ◄ 57 PÉRDIDAS POR ACCESORIOS EN TUBERÍAS 58 En cualquier sistema de tuberías, además de la pérdida de carga por fricción existen pérdidas menores o localizadas debidas a: • Entrada o salida de tuberías. • Expansión o contracción bruscas. • Codos y tes. • Válvulas, abiertas o parcialmente cerradas. 59 • Las pérdidas menores, h m , vienen expresadas en función de la carga de velocidad, V 2 /2g, • Existe mucha literatura para la determinación del coeficiente de pérdida, K, para los accesorios listados como las causas de las pérdidas menores. • A continuación se dan los valores de K para diferentes accesorios. 60 g V K h m 2 2 = ENTRADAS Y SALIDAS 61 EXPANSIÓN Y CONTRACCIÓN BRUSCA Para una expansión súbita, el factor de pérdida de carga es Para una contracción súbita, el factor de pérdida de carga es 62 2 2 2 1 | | . | \ | ÷ = D d KEB | | . | \ | ÷ = 2 2 1 42 0 D d . KCB 63 CURVAS 64 VÁLVULAS, CODOS Y TES 65 VÁLVULAS SEMIABIERTAS 66 Agua es bombeada entre dos tanques a 0.2 ft 3 /s a través de 400 ft de tubería de 2 in de diámetro con rugosidad relativa de 0.001. Calcule la potencia de la bomba. 67 En un sistema de tubería hay 125 ft de 2 in, 75 ft de 6 in y 150 ft de 3 in, todas de hierro fundido. Calcule la potencia extraída por la turbina si el flujo es de 0.16 ft 3 /s. 68