FACULTAD: Ingenierías y ArquitecturasESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL: Ingeniería Civil ANÁLISIS DIFERENCIAL EN MECÁNICA DE FLUIDOS 1. CINEMÁTICA Y DINÁMICA DE FLUIDOS 1.1. Métodos de análisis en Mecánica de Fluidos: Lagrangiano y Euleriano. 1.2. Tipos de análisis en Mecánica de Fluidos: Diferencial, Dimensional e Integral. 1.3. Cinemática de Fluidos: propiedades del vector velocidad. 1.4. Dinámica de Fluidos: fuerzas macroscópicas sobre los fluidos. 1.5. Tipos de flujo. 2. ECUACIONES DE CONSTITUCIÓN 2.1. Comportamiento mecánico: tensor de velocidad de deformación. 2.2. Fluidos Stokesianos: tensor de tensiones viscosas. 2.3. Fluidos Newtonianos. 2.4. Comportamiento térmico. 3. ECUACIONES DE CONSERVACIÓN. 3.1. Ecuación diferencial de conservación de masa: ecuación de Continuidad. 3.2. Ecuación diferencial de conservación de cantidad de movimiento: ecuación De movimiento de CAUCHY. 3.3. Ecuación diferencial de conservación de la energía: ecuación de la energía. 3.4. Condiciones de contorno. 4. PROBLEMAS RESUELTOS. 4.1. Métodos de análisis: Euleriano y Lagrangiano. 4.2. Aplicación de la ecuación de continuidad: criterios de incompresibilidad. 4.3. Aplicación de las ecuaciones de continuidad y BERNOULLI: descarga de depósitos. 4.3. Otros Mecánica De Fluidos I Pág 1 de FACULTAD: Ingenierías y Arquitecturas ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL: Ingeniería Civil CINEMÁTICA Y DINÁMICA DE FLUIDOS 1. MÉTODOS EN EULERIANO. MECÁNICA DE FLUIDOS: LAGRANGIANO Y El ámbito general de la Mecánica de Fluidos, es la interacción entre fluidos y su entorno. Además el fluido está constituido por una sucesión continua de partículas que interaccionan entre si y entre los contornos. La partícula fluida está formada por una sucesión continua de puntos materiales, que integran un volumen infinitesimal; que en el proceso de fluir, se deforma por la interacción con el resto de fluido, permaneciendo su masa y su volumen elementales constantes, es decir, la densidad en toda la extensión de la partícula fluida es constante. Como metodología de estudio se dispone de dos alternativas: - La identificación de cada partícula fluida y su seguimiento en el tiempo; es decir, hay que determinan la posición de la partícula en función del tiempo, además de conocer las magnitudes asociadas a cada partícula. Este el método de LAGRANGE, que es el usado normalmente en Mecánica de Sólidos. - En Mecánica de Fluidos, es suficiente conocer el valor de las propiedades en los diversos puntos del campo fluido a lo largo del tiempo, con independencia de la partícula que lo ocupa en un instante determinado; ésta es la base del método de EULER, en el que las magnitudes de las propiedades de una partícula fluida en un determinado instante, vienen dadas por los valores de las propiedades en el punto que es ocupado por la partícula en el citado instante. En el método Euleriano, se deben determinar los “campos de propiedades”; así, el campo de presiones, es la expresión espacial y temporal de la presión: p=p(x, y, z, t), con lo que una partícula que en un instante “t0”, ocupe una posición (x0, y0, z0), tiene una presión dada por el campo de presiones p=p(x 0, y0, z0) Al movimiento de un fluido se le denomina flujo, y en su análisis es interesante tener algún tipo de representación. Cada método de análisis utiliza diferentes procedimientos de representación. En el método lagrangiano, se definen las trayectorias de las partículas como lugar geométrico de las diferentes posiciones temporales de las partículas. La trayectoria de una partícula es el lugar geométrico de las posiciones sucesivas, a lo largo del tiempo, de la partícula, que en el instante inicial (t0) estaba en l aposición inicial (0rr). Mecánica De Fluidos I Pág 2 FACULTAD: Ingenierías y Arquitecturas ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL: Ingeniería Civil Fig.1.1.: Trayectoria de una partícula A ah lo largo del tiempo: Método Lagrangiano 2. TIPOS DE ANÁLISIS EN MECÁNICA DE FLUIDOS. La dinámica de fluidos trata del movimiento de los fluidos, a lo que se denomina flujo, y de sus interacciones con el entorno. En el estudio de flujos hay que analizar el estado de movimiento del fluido, definido por las ecuaciones de conservación (leyes fundamentales en el movimiento de fluidos), por las ecuaciones de constitución (leyes del comportamiento del fluido) y por las condiciones de contorno (impuestas por la geometría y el entorno). Las ecuaciones de conservación y de constitución, junto con las condiciones de contorno, aplicadas a cada una de las partículas del fluido, dan sistemas de ecuaciones diferenciales, cuya resolución lleva a definir el flujo, en cuanto al campo de velocidades (cinemática) y al campo de fuerzas (dinámica). Este tipo de análisis diferencial, da sistemas de ecuaciones simultaneas en derivadas parciales, que son de difícil o imposible resolución; aunque pueden encontrarse soluciones analíticas con hipótesis restrictivas y en determinados casos, en donde se pueden obtener soluciones parciales por cálculo numérico, utilizando las técnicas actuales de simulación que constituye la mecánica de fluidos computacional (CFD: computacional fluid mechanics), en donde las derivadas se sustituyen por relaciones algebraicas en un número finito de puntos del flujo (mallado). Si lo que se pretende obtener, no es el estado de movimiento del fluido, sino sus efectos sobre una determinada región del flujo, se puede establecer otro tipo de análisis que evalúe las características globales del flujo: caudales, fuerzas, momentos, potencias,... A la región de estudio, en donde se consideran las interrelaciones entre entorno y flujo, se le denomina volumen de control; las modificaciones sobre el entorno que introduce el flujo en su entrada-residencia-salida del volumen de control, o que el entorno introduce en las propiedades del flujo, vienen determinadas Mecánica De Fluidos I Pág 3 El análisis diferencial puede ser utilizado para cualquier tipo de flujo.. hilo radiante. Se pueden tener dos casos extremos: Flujo estacionario. pero siempre de magnitudes globales. la velocidad (y en general cualquier Mecánica De Fluidos I Pág 4 . sí que aporta resultados en el estudio técnico de flujos. extensiométricos de fuerza. en donde los resultados se obtienen a partir de las magnitudes medidas en los experimentos.FACULTAD: Ingenierías y Arquitecturas ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL: Ingeniería Civil por las ecuaciones integrales de conservación aplicadas al sistema aislado entorno-volumen de control. con la que se correlacionan los resultados experimentales de un modelo con los que tendría su prototipo. en cuanto al análisis integral. Cuando el flujo es complejo y el análisis diferencial no aporta soluciones (por ser insuficientes las ecuaciones o porque la resolución de los sistemas en derivadas parciales no es posible). pero la dificultad de establecer y resolver sistemas de ecuaciones diferenciales.).) y de técnicas cada vez menos intrusivas (velocimetría laserdoppler. es necesario recurrir a un análisis experimental. En la actualidad las potentes técnicas de cálculo numérico. está aportando medidas cada vez más fiables 3. en cuanto a la posibilidad de resolución de flujos cada vez más complejos. el resurgimiento del análisis diferencial. se fundamenta en las ecuaciones integrales que dan las velocidades de variación de las propiedades del fluido a su paso por el volumen de control. y el análisis integral. En este método de análisis aparecen dos problemas propios: el gran número de variables que intervienen en la descripción del flujo y la imposibilidad. el desarrollo de sensores específicos (piezoeléctricos de presión. han hecho posible.. aunque propuesto por EULER. Este método de análisis integral.. z . implementadas en ordenadores cada vez más rápidos. t ) vr es la variable fundamental.. y debido a que el análisis integral da resultados globales. en ciertos casos. En cuanto al análisis experimental. de ensayar en condiciones reales. con lo que en un determinado punto.. En la descripción Euleriana del flujo. El análisis diferencial comenzó con EULER y LAGRANGE en el siglo XVIII. la velocidad local del fluido( x . cuando la velocidad es independiente del tiempo. son las que limitan el método. limita el método. presupuesto y universalidad. CINEMÁTICA DE FLUIDOS: PROPIEDADES DEL VECTOR VELOCIDAD. pero las dificultades inherentes a las técnicas experimentales. y . el análisis dimensional tuvo sus primeros pasos con RAYLEIG a finales del siglo XIX. El término cinemática está asociado a las propiedades del campo de velocidades. también el análisis experimental puede aplicarse a cualquier flujo. en donde se consideran los efectos viscosos. se desarrolló a mediados del siglo XX.. Para abordar estos problemas. se dispone del análisis dimensional que permite reducir el número de variables y la teoría de modelos. En todo caso los valores de las magnitudes son medias temporales y espaciales. y su gradiente es nulo. que determinan los siguientes tipos de flujos: Flujo Permanente: El flujo permanente tiene lugar cuando. es decir la velocidad solo depende del tiempo.) Flujo uniforme. la velocidad (y en general cualquier propiedad) es la misma en todos los puntos del campo fluido. y en este estado de equilibrio de la partícula aislada. Por tanto. referidas a un intervalo de tiempo elemental y al conjunto de moléculas que integran la partícula fluida. en un punto cualquiera. se establecen las pertinentes restricciones. (t)0⇒ = vvvr r r (2. sin que exista mezcla macroscópica o intercambio transversal entre ellas. ser variable respecto de las coordenadas especiales. la partícula fluida se aísla del fluido que la envuelve mediante las superficies de contacto partícula-fluido. DINÁMICA DE FLUIDOS: FUERZAS MACROCÓPICAS. estas fuerzas se dividen en tres tipos: fuerzas de volumen. pero puede variar de un punto a otro es decir. la velocidad es constante respecto del tiempo o bien V / t = 0. con lo que en un determinado instante. El tamaño esta en relación a las dimensiones del equipo de medida y del tiempo de medición. fuerzas de superficie y fuerzas de inercia 5. separadas y perfectamente definidas dando la impresión de que se tratara de láminas o capas más o menos paralelas entre sí. z ) 0 t ∂= ⇒ =∂vvvrr r (1. En el Análisis Diferencial de Fluidos.) 4. hemos considerado como volumen de control a la partícula fluida. Flujo laminar: Se caracteriza porque el movimiento de las partículas del fluido se produce siguiendo trayectorias bastante regulares. Para su análisis. se analizan las fuerzas que laman tienen en equilibrio. las cuales se deslizan suavemente unas sobre otras. TIPOS DE FLUJOS Para poder acotar el estudio del movimiento de un fluido. cuando la velocidad no depende de la posición. la velocidad de la sucesiva partícula q ocupan ese punto en los sucesivos instantes es la misma.FACULTAD: Ingenierías y Arquitecturas ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL: Ingeniería Civil propiedad) no varía con el tiempo. que es una porción de fluido de dimensiones infinitesimales y arbitrarias. y . es decir la velocidad solo depende de la posición: ( x . La ley de Newton de la viscosidad es la que rige el flujo laminar: Mecánica De Fluidos I Pág 5 . Flujo incompresible: Es aquel en los cuales los cambios de densidad de un punto a otro son despreciables. Si la densidad es constante. Numero de Reynolds: El Número de Reynolds (Re). de modo similar a la transferencia de cantidad de movimiento molecular pero a una escala mayor. ocasionando la transferencia de cantidad de movimiento de una porción de fluido a otra.FACULTAD: Ingenierías y Arquitecturas ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL: Ingeniería Civil Esta ley establece la relación existente entre el esfuerzo cortante y la rapidez de deformación angular. r ˳ = radio de la tubería en m v= viscosidad cinemática del fluido en m 2/s p= densidad del fluido en UTM/m 3 o kps2/m4 o kg/m3 o Ns2/m4 µ= viscosidad absoluta en kg s/m 2 o Ns/m2 Flujo turbulento: Este tipo de flujo es el que más se presenta en la práctica de ingeniería. es decir. pero sería una condición más restrictiva. viene dado por el cociente de las fuerzas de inercia por las fuerzas de vida a la viscosidad. La acción de la viscosidad puede amortiguar cualquier tendencia turbulenta que pueda ocurrir en el flujo laminar. Número de Reynolds Re = Vdp µ o Vd v = V ( 2r ˳) v Dónde: V= velocidad media en m/s d= diámetro de la tubería en m. en flujo a tubería llena. que es un grupo adimensional. Para tubería circulares. Mecánica De Fluidos I Pág 6 . En este tipo de flujo las partículas del fluido se mueven en trayectorias erráticas. obviamente el flujo es incompresible. mientras se examinan puntos dentro del campo de flujo. en trayectorias muy irregulares sin seguir un orden establecido. es decir: Lo anterior no exige que la densidad sea constante en todos los puntos. Flujo uniforme: Este tipo de flujos son poco comunes y ocurren cuando el vector velocidad en todos los puntos del escurrimiento es idéntico tanto en magnitud como en dirección para un instante dado o expresado matemáticamente: Mecánica De Fluidos I Pág 7 . no existen cambios en la densidad. Flujo compresible: Es aquel en los cuales los cambios de densidad de un punto a otro no son despreciables. En este tipo de flujo en general las propiedades de un fluido y las características mecánicas del mismo serán diferentes de un punto a otro dentro de su campo. además si las características en un punto determinado varían de un instante a otro se dice que es un flujo no permanente. si las variaciones en ellas son tan pequeñas con respecto a los valores medios. Así mismo en cualquier punto de un flujo permanente. presión o temperatura con el tiempo. o sea que permanecen constantes con el tiempo o bien. es decir: Donde: N: parámetro a analizar. es factor que depende del movimiento del fluido y de su densidad. de acuerdo con el observador. es decir: Flujo no permanente: Llamado también flujo no estacionario.FACULTAD: Ingenierías y Arquitecturas ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL: Ingeniería Civil La ecuación para el flujo turbulento se puede escribir de una forma análoga a la ley de Newton de la viscosidad: Donde: h : viscosidad aparente. Flujo permanente: Llamado también flujo estacionario. Este tipo de flujo se caracteriza porque las condiciones de velocidad de escurrimiento en cualquier punto no cambian con el tiempo. El flujo puede ser permanente o no. es el caso más general en que las componentes de la velocidad en tres direcciones mutuamente perpendiculares son función de las coordenadas espaciales x. Mecánica De Fluidos I Pág 8 . Flujo rotacional: Es aquel en el cual el campo rot v adquiere en algunos de sus puntos valores distintos de cero. Flujo Irrotacional: Al contrario que el flujo rotacional.FACULTAD: Ingenierías y Arquitecturas ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL: Ingeniería Civil Donde el tiempo se mantiene constante y s es un desplazamiento en cualquier dirección. para cualquier instante. este tipo de flujo se encuentra cerca de fronteras sólidas por efecto de la viscosidad Flujo unidimensional: Es un flujo en el que el vector de velocidad sólo depende de una variable espacial. no existiendo. z. Flujo bidimensional: Es un flujo en el que el vector velocidad sólo depende de dos variables espaciales. y. Este es uno de los flujos más complicados de manejar desde el punto de vista matemático y sólo se pueden expresar fácilmente aquellos escurrimientos con fronteras de geometría sencilla. Flujo tridimensional: El vector velocidad depende de tres coordenadas espaciales. Dichos flujos se dan en tuberías largas y rectas o entre placas paralelas. cambio alguno en dirección perpendicular a los planos. En este tipo de flujo se supone que todas las partículas fluyen sobre planos paralelos a lo largo de trayectorias que resultan idénticas si se comparan los planos entre sí. y del tiempo t. este tipo de flujo se caracteriza porque dentro de un campo de flujo el vector rot v es igual a cero para cualquier punto e instante. es decir que se desprecian los cambios de velocidad transversales a la dirección principal del escurrimiento. por tanto. Flujo no uniforme: Es el caso contrario al flujo uniforme. Un fluido que no presente fricción resulta no viscoso y los procesos en que se tenga en cuenta su escurrimiento son reversibles ECUACIÓN DE CONSTITUCIÓN COMPORTAMIENTO MECÁNICO: Tensor de velocidad de deformación. La deformación de una determinada partícula en su movimiento por el campo fluido. que al ser una magnitud tensorial (9 variaciones posibles). con las que se analiza el comportamiento de los fluidos reales. Flujo ideal: Es aquel flujo incompresible y carente de fricción. El comportamiento especifico de un determinado fluido. y que se denomina viscosidad. que son inherentes a cada fluido analizado. es decir. las cuales son causadas por los efectos de viscosidad del fluido en movimiento. en cada punto del flujo. la velocidad de deformación viene determinada por el campo de velocidades. las débiles fuerzas intermoleculares. hacen que cualquier esfuerzo tangencial. provocadas por los gradientes de las componentes de la Mecánica De Fluidos I Pág 9 . La hipótesis de un flujo ideal es de gran utilidad al analizar problemas que tengan grandes gastos de fluido. El comportamiento mecánico del fluido. La velocidad de deformación viene determinada por la magnitud del esfuerzo tangencial y de la capacidad de transporte de cantidad de movimiento entre partículas. tiene asociado un valor del tensor de velocidades de deformación. Este es el comportamiento inherente de los fluidos. originando el movimiento de las partículas o flujo. se tienen las Ecuaciones de Constitución. viene determinado por la relación entre las tensiones a las que está sometido y las velocidades de deformación que se producen por la acción de las tensiones mecánicas. es decir del gradiente de velocidad. que marca la deformación unitaria de una partícula fluida a su paso por el citado punto. viene determinado por su comportamiento mecánico y su comportamiento térmico. como en el movimiento de un aeroplano o de un submarino. que es la propiedad más importante. En el método Euleriano. deforme continuamente el fluido. En función de las hipótesis restrictivas.FACULTAD: Ingenierías y Arquitecturas ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL: Ingeniería Civil En el flujo irrotacional se exceptúa la presencia de singularidades vorticosas. Cada punto del flujo. marca la misma condición tensorial a la velocidad de deformación Se tienen dos tipos de deformación: las debidas a alargamientos o contracciones. viene determinada por las posibles variaciones espaciales de la velocidad de cada uno de los puntos que la integran. inherente al fluido. dadas por: Mecánica De Fluidos I Pág 10 . Consideremos. provocados por los gradientes de las componentes de la velocidad en direcciones perpendiculares a la propia componentes. v=v(x. un caso muy simple. y las debidas a giros. y que se determinan por la velocidad de la variación unitaria (por unidad de longitud). la única componente de la velocidad. se obtienen las correspondientes velocidades de dilataciones lineales unitarias. se ha deformado (en este caso sólo en la dirección “y”). Si consideramos una partícula elemental dx·dy·dz.z).y. y que se determinan por la velocidad de variación angular.z). es decir.y. w=w(x.y.z). al cabo de un tiempo elemental. es en la dirección “y”.FACULTAD: Ingenierías y Arquitecturas ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL: Ingeniería Civil velocidad en sus respectivas direcciones. en donde v ( y ) = ⋅vjrr. y además esa componente sólo varia en la propia dirección “y”. teniendo que su velocidad de deformación unitaria (dilatación o contracción por unidad de longitud y de tiempo) viene dada por: Que además representa la velocidad del aumento (o disminución) unitario de volumen: Si se tiene un campo de velocidades genérico: u=u(x. es decir. en un plano z = cte. Mecánica De Fluidos I Pág 11 . viene dada por: . Consideremos el efecto de deformación. Cada una de las tres dilataciones cúbicas. debidas a las variaciones de cada una de componentes del vector velocidad. que tienen las variaciones cruzadas de las componentes de la velocidad. y por lo tanto su flujo es divergente. obteniéndose. que la deformación angular por unidad de tiempo. es decir : . cuando pasa por el citado punto. no hay variación del volumen. en donde el vector velocidad sea: u ( y ) + v ( x ) = ⋅ ⋅vijr rr . son la diagonal principal del tensor gradiente de velocidad. viene determinada por. por conservación de masa.FACULTAD: Ingenierías y Arquitecturas ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL: Ingeniería Civil Con lo que. analicemos el caso más simple. la velocidad de dilatación cúbica. que representa la velocidad de deformación angular. la suma de las dilataciones posibles en cada una de las tres direcciones. en sus respectivas direcciones: . Para lo cual. que es la divergencia de la velocidad: Así un fluido de densidad constante. Hasta ahora hemos considerado deformaciones puramente lineales de dilatación o de contracción. el citado tensor está marcando la dilatación cúbica que experimenta una partícula. el tensor de velocidad de deformación es: Mecánica De Fluidos I Pág 12 . y para los gradientes cruzados. tanto longitudinal como angularmente.FACULTAD: Ingenierías y Arquitecturas ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL: Ingeniería Civil Análogamente. y viene determinado por el tensor gradiente de velocidad. En coordenadas cartesianas. sin variación de “y”. provoca que las partículas que pasan por el citado punto. se tiene que la velocidad de deformación angular en un plano x = cte. para los gradientes cruzados. en un determinado punto. es igual a Con todo. se tiene que la velocidad de deformación angular en un plano y = cte. El tensor. se tiene que el tensor gradiente de velocidad. que marca las velocidades de deformaciones. sin variación de “x”. se deformen con una determinada velocidad. es el tensor de velocidades de deformación. es igual a: . El comportamiento más simple. se denotan por: . y 6componentes tangenciales. estableció que la diferencia de tensiones. con ello el tensor de tensiones para un fluido Stokesiano está integrado por dos términos: el debido a la presión termodinámica y el debido a la viscosidad Como se había visto anteriormente. 15. venia determinada por una función tensorial del tensor de velocidad de deformación. provocados por las interacciones entre partículas: Las 3 componentes normales. se denota por τ . este es el comportamiento experimental dado por NAVIER y POISSON. FLUIDOS NEWTONIANOS. El conocimiento de la función tensorial “f” de la Ec.. es la diferencia entre el tensor de tensiones y el tensor esférico. se denotan por . que se denominan fluidos newtonianos . El tensor de tensiones viscosas. COMPORTAMIENTO TÉRMICO. STOKES. en donde las tensiones viscosas sean proporcionales a las velocidades de deformación. entre un fluido viscoso y un fluido ideal. viene dado por los esfuerzos normales y tangenciales. el tensor de tensiones en un determinado punto. siendo respectivamente iguales: . Las 6 componentes tangenciales. para el comportamiento reo lógico de un gran número de líquidos y de gases. es que la función sea lineal.FACULTAD: Ingenierías y Arquitecturas ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL: Ingeniería Civil FLUIDOS STOKESIANOS: TENSOR DE TENSIONES VISCOSAS. que se denomina función detenciones viscosas (f). que a su vez depende del campo de velocidades. El comportamiento térmico del fluido viene determinado por las ecuaciones de estado y por la relación entre flujo de calor y gradiente térmico Mecánica De Fluidos I Pág 13 . que coinciden con la del tensor de tensiones. Con lo que se tiene 6tensiones distintas: 3 normales y 3 tangenciales. permitiría la determinación del campo de tensiones viscosas a partir del campo de deformaciones. y tiene 3 componentes normales: . correspondiente a la presión termodinámica. es decir se requiere su continuidad. es debida al flujo másico por las caras del elemento de volumen en el tiempo “dt” Con las dos expresiones de la variación de masa de la partícula fluida considerada.FACULTAD: Ingenierías y Arquitecturas ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL: Ingeniería Civil ECUACIONES DE CONSERVACIÓN Ecuación diferencial de conservación de masa: ecuación de continuidad. En el caso del análisis diferencial en Mecánica de Fluidos se consideran las siguientes leyes de conservación: conservación de masa. que son válidos para cualquier tipo de entidad material. la de una partícula fluida. dx. conservación de cantidad de movimiento y conservación de energía. que se aísla del resto del fluido. en coordenadas cartesianas) es siempre el mismo y está siempre en la misma posición. se tiene: Ecuación que se denomina de continuidad. porque estamos considerando como modelo del fluido. consideraremos que la partícula es indeformable y que su volumen elemental (dz. es decir es un medio continuo Mecánica De Fluidos I Pág 14 . Analizaremos en primer lugar la conservación de masa: utilizando el método “euleriano”. Los principios generales. porque en la ecuación de conservación de masa sólo se requiere la derivabilidad de las funciones que dan la densidad y las componentes de la velocidad. el formado por una sucesión continua de partículas. se establece el siguiente balance de masa entre dos instantes de tiempo “t” y “t+dt”: La variación de masa en el volumen considerado durante el intervalo de tiempo “dt”. dV …=. y se le aplican las leyes de conservación. dy. Las funciones son continuas. son una expresión matemática de las leyes de conservación. Consideraremos como entidad. Considerando la primera ley del movimiento de NEWTON aplicadas a una partícula fluida en el seno de un campo fluido o flujo. y reagrupar la variación local de la densidad con su variación conectiva. fuerzas de superficie y fuerzas de inercia Mecánica De Fluidos I Pág 15 . se analizan las fuerzas que la mantienen en equilibrio. se pueden establecer el principio de conservación de cantidad de movimiento para una partícula fluida: en una partícula en equilibrio su cantidad de movimiento se conserva. la partícula fluida se aísla del fluido que la envuelve mediante las superficies de contacto partícula-fluido. Para su análisis.FACULTAD: Ingenierías y Arquitecturas ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL: Ingeniería Civil La ecuación de continuidad también se puede expresar en función de la derivada total de la densidad. En todo caso los valores delas magnitudes son medias temporales y espaciales. referidas a un intervalo de tiempo elemental y al conjunto de moléculas que integran la partícula fluida. obteniendo: Ecuación diferencial de conservación de cantidad de movimiento: ecuación de movimiento de cauchy. Una partícula fluida es una porción de fluido de dimensiones infinitesimales y arbitrarias. estas fuerzas se dividen en tres tipos: fuerzas de volumen. y en este estado de equilibrio de la partícula aislada. el tamaño esta en relación a las dimensiones del equipo de medida y del tiempo de medición. ello permite establecer como nula la resultante de las fuerzas que actúan sobre la partícula. al descomponer la divergencia de v r ρ en dos términos. los esfuerzos son debidos a la presión termodinámica y a los esfuerzos viscosos que aparecen en el movimiento del fluido con gradiente de velocidad. se denominan fuerzas de superficie y son debidas a los esfuerzos en las superficies de contacto partícula fluido. y la fuerza de inercia de reacción correspondiente (3ª ley de Newton del movimiento) del entorno del flujo sobre la partícula fluida será: Mecánica De Fluidos I Pág 16 . que sobre las superficies de la partícula.FACULTAD: Ingenierías y Arquitecturas ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL: Ingeniería Civil - Fuerza De Volumen: en función de que la masa de fluido (contenida en el volumen de la partícula) está en una determinada posición de un campo de fuerzas. vienen dada por su masa y por su aceleración. en el caso de campo gravitatorio. lo más usual es que el campo de fuerzas sea central. y que genéricamente se denomina. En donde “p” es la presión termodinámica y τij las tensiones viscosas La resultante de las fuerzas de contacto sobre toda la partícula fluida viene determinada por el gradiente depresión y por el gradiente del tensor de tensiones viscosas: - Fuerzas De Inercia: las fuerzas de inercia que el fluido ejerce sobre su entorno. La expresión diferencial de las fuerzas de volumen de un campo central sobre una partícula fluida de volumen elemental dV y de masa dm es: - Fuerzas De Superficie: las fuerzas de contacto. ejerce el fluido que la rodea. A estas fuerzas se les denomina fuerzas másicas o fuerzas de volumen. y que sea el campo gravitatorio. del que se conoce su vector aceleración. éste vector tiene únicamente componente vertical: g= −gk rr. La evaluación de estas fuerzas es simple si derivan de un campo central. con toda la ecuación de conservación de energía es: En donde: Mecánica De Fluidos I Pág 17 . y como negativos el trabajo consumido por la partícula y el calor cedido por la partícula. siempre que no existan aportes energéticos por transferencia de calor o de trabajo. se consideran como positivos el trabajo desarrollado por la partícula y el calor aportado a la partícula. El principio de conservación de energía (PRIMER PRINCIPIO DE TERMODINÁMICA) aplicado a una partícula fluida. establece que la energía total de la partícula fluida es constante. Siguiendo el criterio termodinámico de signos.FACULTAD: Ingenierías y Arquitecturas ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL: Ingeniería Civil Al estar la partícula en equilibrio. la resultante de las fuerzas que actúan sobre ella es nula. con lo que combinando las ecuaciones anteriores se tiene: Ecuación diferencial de conservación de energía: ecuación de energía. es decir en flujo viscoso parte de su energía disponible se disipa por las irreversibilidades de los fenómenos de transporte de cantidad de movimiento entre partículas.el trabajo (por unidad de tiempo) intercambiado entre partícula y su entorno tiene dos términos. Condiciones De Contorno. la energía cinética y la energía potencial: . Mecánica De Fluidos I Pág 18 . El trabajo debido a los esfuerzos viscosos. el debido a las fuerzas de presión (trabajo de flujo) y el debido a los esfuerzos viscosos. por lo que su valor siempre expositivo. introduciendo el concepto de función de disipación viscosa de RAYLEIG Φ: En coordenadas cartesianas para un fluido newtoniano. se puede expresar como suma de dos términos.la energía total de la partícula viene dada por la suma de la energía interna.la transferencia de calor (por unidad de tiempo) entre partícula y su entorno por conducción viene determinada por el gradiente de temperatura (T∇) y por la conductividad térmica (κ) . la función de disipación viscosa es: En la ecuación de disipación viscosa todos los términos son cuadráticos. lo que está de acuerdo con el segundo principio de Termodinámica de que los procesos reales son irreversibles con degradación de energía y su consiguiente aumento de entropía del universo.FACULTAD: Ingenierías y Arquitecturas ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL: Ingeniería Civil . FACULTAD: Ingenierías y Arquitecturas ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL: Ingeniería Civil A partir de las ecuaciones de conservación para una partícula fluida se han obtenido las ecuaciones: Las ecuaciones de continuidad y de energía son ecuaciones diferenciales escalares y la ecuación de movimiento es vectorial. es decir en las cuatro ecuaciones aportadas por la continuidad y por la cantidad de movimiento. v. por lo que entre todas aportan 5 ecuaciones diferenciales escalares. Con la restricción de Flujo incompresible y propiedades constantes. siendo suficientes las ecuaciones de continuidad. sólo aparecen 4 incógnitas: presión y componentes de la velocidad. es decir se tienen7 incógnitas. se tiene solo 5 incógnitas: la presión. w). movimiento (3) y energía: Además la ecuación de energía esta desacoplada. si se requiere el campo de temperaturas. y normalmente con técnicas numéricas. se dispone de un sistema homogéneo de 7 ecuaciones diferenciales con 7 incógnitas. por lo que para poder tener un sistema homogéneo de ecuaciones es necesario disponer de 2 ecuaciones adicionales. estas ecuaciones son las ecuaciones de estado de constitución del propio fluido considerado: Con todo lo expuesto anteriormente. la presión (p). cuya resolución es posible. las componentes del vector velocidad (u. En cuanto a las incógnitas se tienen: la densidad (ρ). con las condiciones de contorno apropiadas para cada caso. se Mecánica De Fluidos I Pág 19 . por lo que es posible su resolución. las tres componentes de la velocidad y la temperatura. la temperatura (T) y la energía interna (û). siendo posible solo para casos muy concretos la solución analítica. se tiene la condición de no deslizamiento ni de cambio de temperatura. no pudiendo decir nada sobre la velocidad tangencial del flujo cerca de la pared. en donde no se cumple la condición de no deslizamiento. de igualdad de velocidades perpendiculares a la superficie de separación (no debe haber huecos entre el líquido y el gas). está condicionadas por las Condiciones de contorno apropiadas. es decir que sean iguales las velocidades normales de la pared y del fluido. es decir igualdad de tensión normal o presión e igualdad de tensión tangencial. con lo que el perfil de velocidades (que incluye la propia superficie libre) sí que debe ser una función continua. previo conocimiento del campo de velocidades. y vienen determinadas por los valores de las propiedades en el instante inicial. Las condiciones de contorno más complejas se tienen cuando existe superficie libre. La solución de los sistemas de ecuaciones diferenciales anteriores. temperatura y presión. siendo la única condición de contornó establecida por la pared. por la geometría de las paredes y por las condiciones en las entradas y en las salidas. En las entradas y salidas se deben conocer las distribuciones de velocidad. es decir: en las partículas que “tocan” una pared se ponen a la velocidad de la pared y a su temperatura: velocidad del fluido en la pared = velocidad de la pared. es el caso de los flujos que se consideran no viscosos. que el flujo no la atraviese. en donde se cumple la condición cinemática de contorno. que dependen de cada caso. Un caso muy particular de condición de contorno impuesta por una pared. En las paredes impuestas por la geometría en la que está confinado el flujo. y temperatura del fluido en la pared = temperatura de la pared. aunque los esfuerzos tangenciales deben ser iguales. Además debe cumplirse la condición de igualdad de temperaturas en todos los puntos de la superficie libre. son distintos los gradientes de velocidad de cada fluido en la superficie libre. Por la distinta viscosidad de cada fluido. en la interface líquido-líquido o líquido-gas. así como el equilibrio de tensiones en la superficie libre (excepto por los efectos de tensión superficial). pero no es derivable en los puntos de la superficie libre: Mecánica De Fluidos I Pág 20 .FACULTAD: Ingenierías y Arquitecturas ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL: Ingeniería Civil obtiene a partir de la ecuación de energía. en donde la aceleración de la partícula se obtiene por la derivada segunda de su vector de posición. Utilizando el método Euleriano la aceleración de una partícula que se mueve en un campo de velocidad.FACULTAD: Ingenierías y Arquitecturas ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL: Ingeniería Civil Normalmente el aumento de presión debido al efecto de la tensión superficial es despreciable. excepto cuando los radios de curvatura son muy pequeños: así en el caso de una gota de líquido en el seno de un gas o de otro líquido. Se considera un flujo unidimensional. se tiene que la sobrepresión que tiene lugar entre puntos separados por la superficie libre es: 4. es una función del tiempo y de la posición. como los radios son pequeños y además iguales. respecto al tiempo. se puede utilizar el método Lagrangiano. Mecánica De Fluidos I Pág 21 . Para determinar la aceleración de una partícula. y es suma de la aceleración local y de la covectiva. PROBLEMAS 1) Métodos de análisis: Euleriano y Lagrangiano. que en ese instante. en un determinado instante. en un determinado punto (local). por el gradiente de velocidad En el método Lagrangiano. y viene determinada. en una determinada posición y en un instante de tiempo. es: es la aceleración local. las partículas se mueven por un campo de velocidad: . y se obtiene su aceleración por la derivada segunda del vector deposición con respecto al tiempo: Mecánica De Fluidos I Pág 22 . con lo que la aceleración local será nula. por la variación dela velocidad con el tiempo. está en la posición determinada. se parte del conocimiento del vector de posición de una determinada partícula a lo largo del tiempo: . la aceleración de la partícula. y viene determinada.FACULTAD: Ingenierías y Arquitecturas ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL: Ingeniería Civil estacionario e incompresible a través de una tobera convergente. Es la aceleración convectiva. en un determinado punto las propiedades no varían con el tiempo (no hay variaciones locales). si el flujo es estacionario. y en particular la velocidad en ese punto es la misma a lo largo del tiempo. A partir de los datos: Determine: (1) Aceleración por método Eureliano (2) Aceleración por método Lagrangiano Datos: campo de velocidades RESOLUCIÓN: En el método Euleriano. el flujo es estacionario y unidimensional: Estacionario: Unidimensional: La aceleración es puramente convectiva: El gradiente de velocidad es: En el problema: Con lo que el gradiente de velocidad es: Mecánica De Fluidos I Pág 23 .FACULTAD: Ingenierías y Arquitecturas ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL: Ingeniería Civil ACELERACIÓN DE LAS PARTICULAS EN EL MÉTODO EULERINO. En el problema. la posición de esa partícula a lo largo del tiempo es: . está situada en el inicio de la tobera (x=0).FACULTAD: Ingenierías y Arquitecturas ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL: Ingeniería Civil Y la aceleración convectiva es: ACELERACIÓN DE LAS PARTÍCULAS EN EL MÉTODO LAGRANGIANO. Mecánica De Fluidos I Pág 24 dar el mismo valor de la . y se determina a partir del campo de velocidades: Con lo que la aceleración de la partícula será: Evidentemente las dos expresiones deben ACELERACIÓN (¡compruébelo!). Consideremos una partícula que en el instante inicial (t=0). no supera el límite de 0. DATOS: Con lo que la ecuación de continuidad queda en flujo compresible (con las hipótesis anteriores). es que el número de Mach. es posible asumir la hipótesis de incompresibilidad.3. tomando normalmente como límite Ma<0. bajo determinadas condiciones del flujo. es que la densidad sea constante. es posible suponer su flujo incompresible. se hubiese considerado además incompresible.FACULTAD: Ingenierías y Arquitecturas ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL: Ingeniería Civil 2) Aplicación de la de incompresibilidad. Uno de los criterios. ecuación de continuidad: criterios La condición estricta de incompresibilidad. aunque el aire tiene un módulo de compresibilidad bajo. no obstante. sea relativamente pequeño. si el nº de Mach en la punta del alabe. Así en el flujo en un ventilador. la ecuación de continuidad sería: Mecánica De Fluidos I Pág 25 .3. como: Si el flujo. DETERMINE: La máxima velocidad de giro del ventilador para asumir la hipótesis de incompresibilidad. queda como: La variación de densidad se puede expresar en función de la velocidad que tienen pequeñas perturbaciones en el flujo. definiéndose por tanto la velocidad sónica como: La variación de velocidad se puede expresar en función de la variación de presión (Ec. la desigualdad anterior. “Ma”: Mecánica De Fluidos I Pág 26 . aunque la densidad varíe. es el número de MACH. puede considerarse el flujo como “cuasi-incompresible”. la ecuación [1] se convierte “casi” en la [2]. es decir si se cumple la desigualdad. dependen del tipo de proceso que tenga lugar. De BERNOULLI sin variaciones de energía potencial): Con las dos últimas expresiones se puede rescribir la desigualdad [3]. en este caso el movimiento de las pequeñas perturbaciones en el seno de un fluido. es rápido y prácticamente no hay tiempo para la transmisión de calor (además las irreversibilidades son también despreciables). Para flujo unidimensional. es decir se puede considerar que el proceso es isotrópico. que se denomina velocidad sónica 7 “a”: Estrictamente las variaciones de presión debidas a las variaciones de densidad. y la velocidad de pequeñas perturbaciones en el seno del fluido. quedando: La relación entre la velocidad de una partícula del flujo.FACULTAD: Ingenierías y Arquitecturas ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL: Ingeniería Civil Con la condición: . en donde prácticamente adquieren la velocidad tangencial de la punta (ωR). se puede determinar considerándolo como gas ideal. se tiene que el flujo se podrá considerar como incompresible. para que el flujo se pueda considerar como incompresible: El ventilador de 1 m de diámetro. para poder considerar la hipótesis de “cuasi-incompresibilidad” en todo el flujo. para poder considerar el flujo como incompresible. debe girar a una velocidad menor de 2006. La velocidad de giro máxima del ventilador. como criterio de incompresibilidad.FACULTAD: Ingenierías y Arquitecturas ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL: Ingeniería Civil Con todo. si el Ma en la punta del alabe no supera el valor de 0. se tiene que el criterio de flujo “cuasi-incompresible” es Normalmente se toma . el mayor Ma del flujo.3: La velocidad del sonido en el aire. En el caso de un ventilador. y como las partículas más rápidas son las de las puntas.3. viene determinada por la condición de que el número de Ma en cualquier punto del flujo sea menor de 0. Mecánica De Fluidos I Pág 27 . . se obtiene en las partículas de aire que tocan las puntas de los alabes. con lo que se tiene: Con lo que da la ecuación [4] se obtiene el máximo valor de la velocidad de giro.25 rpm. 3. DETERMINE para cada caso: 1.) A partir de los datos numéricos. Se suelen tener tres casos: a) determinación de la velocidad de salida. es la descarga de un depósito. diámetro del orificio = D2. forma del depósito de revolución. velocidad del chorro para flujo no viscoso. b) tiempo de descarga de un depósito y c) forma del depósito para que la velocidad de descenso del nivel sea constante (reloj de agua o clepsidra). D2=4 mm RESOLUCIÓN: a) Deposito de nivel constante .velocidad de descenso del nivel de agua = v.). 2. Uno de los problemas clásicos de hidrodinámica. 2. D1 =2m. tiempo de descarga. Mecánica De Fluidos I Pág 28 .) Y 3.FACULTAD: Ingenierías y Arquitecturas ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL: Ingeniería Civil 3) Aplicación de las ecuaciones de continuidad y de BERNOULLI: descarga de depósitos. diámetro del depósito = D1. D0=20mm (c) v=2 mm / min. considerando que el nivel del depósito es constante. 4. DATOS: nivel del depósito = H. diámetro de salida = D2 Numéricos: (a) H=3m (b) h0 = 3m. Valores de 1. por un orificio inferior. nivel inicial del depósito =h0. es: COEFICIENTE DE CONTRACCIÓN: existe una contracción del chorro de salida. Numéricamente. que suele ser del orden de 0.COEFICIENTE DE DESCARGA: el caudal que atraviesa la sección contraída es: Al producto CcCv se le denomina coeficiente de descarga Cd.95. que suele ser del orden de 0. con respecto al área del orificio de salida. y a partir de cuales puede obtener el caudal que sale por el orificio: b) Deposito de nivel variable: En un determinado instante. se denomina coeficiente de contracción de la vena líquida: Cc=A C /A. la relación entre las dos áreas. si el nivel es h (t).60. la ecuación de Bernoulli entre un punto de la superficie libre (1) y un punto del chorro de salida (2) es: Mecánica De Fluidos I Pág 29 . es menor que ladada por la ecuación de Torricelli.FACULTAD: Ingenierías y Arquitecturas ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL: Ingeniería Civil BERNOULLI (1) (2) Con lo que la velocidad de descarga es: Que es la ecuación de TORRICELLI. que suele ser del orden de 0. si el nivel del depósito es de H=3m. según el coeficiente de velocidad: Cv= (vd) experimental / (vd) Torricelli. la velocidad de descarga. COEFICIENTE DE VELOCIDAD: experimentalmente la velocidad de salida en la contracción.65. FACULTAD: Ingenierías y Arquitecturas ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL: Ingeniería Civil En donde: la velocidad del punto (1) es –dh/dt. el signo menos es debido a que dh es <0la velocidad del punto (2). por continuidad. es La ecuación anterior queda como: Separando variables. se tiene la cuya integración es: El tiempo de descarga del depósito. se tiene con h=0: Mecánica De Fluidos I Pág 30 ecuación diferencial: . FACULTAD: Ingenierías y Arquitecturas ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL: Ingeniería Civil Numéricamente. por continuidad. el área viene determinada por πr2. el signo menos es debido a que dh es <0la velocidad del punto (2). la ecuación anterior queda como: Mecánica De Fluidos I Pág 31 . es decir en cada sección. si el nivel es h (t). con velocidad de disminución de nivel constante: En un determinado instante. es Considerando que el recipiente es de revolución. con los datos de El tiempo de descarga es: Es decir el depósito tarda en vaciarse 3h 37 m 21s c) Deposito de nivel y sección variable. la ecuación de Bernoulli entre un punto de la superficie libre (1) y un punto del chorro de salida (2) es: En donde: la velocidad del punto (1) es –dh/dt. de tal forma. con lo que de la última ecuación se tiene la forma que debe tener el recipiente que se utilice como reloj de agua: Es decir un paraboloide de revolución de cuarto orden: Numéricamente. proporcional a la escala de tiempos: se tiene un reloj de agua.FACULTAD: Ingenierías y Arquitecturas ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL: Ingeniería Civil Se quiere construir el recipiente. El que la velocidad de bajada del nivel sea constante. el radio del recipiente con h=720mm es: La cantidad de agua que debemos de poner en la clepsidra. por ejemplo. que mida el nivel. será el volumen del paraboloide: Mecánica De Fluidos I Pág 32 . con lo que al cabo de 6 horas el nivel bajara 720 mm. La velocidad “v” de bajada del nivel es constante e igual a –dh/dt. para tener un reloj de 6 horas. se da el dato de que la velocidad de disminución del nivel es de (2mm/min). es decir cada minuto el nivel del depósito baja 2mm. y que cada minuto el nivel descienda 2mm. permite establecer una escala vertical de longitudes. que la disminución de nivel sea constante con el tiempo.