FLUIDOS EN CANALES CERRADOSI.Q. Carlos Josué Herrera Guzmán Las tuberías como elementos de transporte de alimentos, son conducciones artificiales en las que este puede circular sin presión o con presión, es decir el alimento puede estar en continuo contacto con la atmósfera o no. Cuando el alimento circula sin presión nos encontraremos con conducciones rodadas o por gravedad y se consideran canales cerrados, que se estudiaron en el apartado anterior. Introducción Las tuberías con corrientes en lámina libre, funcionan como un canal Cuando el alimento circula a presión, este llena por completo el elemento conductor dentro del que circula, ejerciendo cierta presión sobre las paredes de dicho elemento y nos encontramos con el caso de tuberías a presión que son las que estudiaremos en este apartado. En general, cuando se hable de canales, siempre se referirá a circulaciones del agua en lámina libre y cuando se hable de tuberías, siempre se referirá a circulaciones del agua (o alimentos) en contorno cerrado o a presión, aún cuando el elemento conductor no sea precisamente un tubo, como en los casos de galerías o túneles a presión de forma de herradura, rectangular o cualquiera. Tuberías en corrientes de contorno cerrado a presión El estudio hidráulico de estas conducciones se caracteriza porque el movimiento del líquido se realiza a presión; (por su propio peso, sin gasto energético y aprovechando la fuerza de la gravedad o aplicándole una energía externa como puede ser la que aplican las bombas en una impulsión y en este caso el líquido no circula por su propio peso). • Provoca la erosión de las paredes. • Tiende a frenar el movimiento del líquido. • Transporta partículas sólidas, por a la energía cinética que se genera por el movimiento. El líquido, al igual que en los canales, al circular por el interior de estas conducciones artificiales tiene un rozamiento con las paredes de las mismas que: Todos estos elementos que provocan que se produzca un desplazamiento del líquido en las tuberías, son las mismas fuerzas que aparecen en la mecánica clásica que son: a) Rozamiento del agua con las paredes (Fuerza de rozamiento) b) Peso del agua (el agua circula por su propio peso). (Fuerza de la gravedad) c) Aplicando fuerza externa (el agua circula contra su propio peso) (Fuerza de un motor) d) Transporte de partículas en el agua (Fuerza tractiz) e) Erosión de la tubería (Fuerza erosiva) Por tanto para el estudio hidráulico de las tuberías se aplicarán las ecuaciones de la mecánica clásica, distinguiendo entre los distintos tipo de movimiento de agua, según las condiciones de la misma en cada sección: • Permanente o estacionario. Permanente uniforme. Permanente variado. •Variable • Geométricas. Forma de la sección transversal. La forma por es circular, aunque puede haber otro tipo de secciones. Pendiente longitudinal de la tubería (cualquier valor, pueden ser verticales, estar a contrapendiente,etc). Las características que influyen en el estudio y diseño de una tubería son: • Hidráulicas Presión, velocidad, caudal, pérdida de carga unitaria, radio hidráulico, sección mojada. • Constructivas. Clase y calidad del material de las paredes. Determinan el coeficiente de rugosidad. Presencia de singularidades (curvas, estrechamientos...).Determinan los coeficientes de pérdida de carga. La elección de materiales para las tuberías es muy importante, ya que dependiendo del tipo de material a utilizar los coeficientes empíricos a aplicar para calcular las pérdidas de carga variarán. Los principales materiales que se utilizan para la construcción de tuberías son: Materiales empleados para tuberías • Hormigón en masa • Hormigón armado • Hormigón armado con camisa de chapa • Fibrocemento • Polietileno • PVC • PRFV (Poliéster reforzado con fibra de vidrio) • Centrifugado • Filamento continuo • Acero • Fundición • Cerámicos El movimiento permanente uniforme del agua en tuberías se encuentra relacionado con el Número de Reynolds, la Rugosidad, el Radio Hidráulico, la Pérdida de Carga Unitaria y la Presión; por lo que se pretende conseguir es una ecuación que relacione entre sí los distintos factores que definen el movimiento. Movimiento uniforme en tuberías En el líquido en reposo de la figura siguiente, aislemos el volumen infinitesimal formado por un prisma rectangular de base A y de altura dz. Escojamos a continuación un plano de referencia horizontal desde donde se miden las alturas en el eje z. La presión en la base superior será p+dp. La ecuación de equilibrio en la dirección del eje z será: pA – (p+dp)A – pg = 0 Si los puntos 1 y 2 son puntos cualesquiera en el seno del fluido entonces la ecuación queda: (1) (2) (3) ECUACIÓN GENERAL DE LA HIDROSTÁTICA PARA UN FLUIDO INCOMPRESIBLE Si se divide toda la expresión entre g entonces la ecuación queda: En este caso C es conocida como altura piezométrica y se designa con la letra h. (4) De la ecuación (1) se deduce que: z 1 =z 2 , p 1 =p 2 , debido a que el fluido está en reposo en todos los puntos a la misma cota del plano horizontal y tienen la misma presión. En el flujo conviene distinguir los regímenes de corriente: a) Corriente permanente y corriente variable. Permanente si en cualquier punto del especio por donde circula el fluido no varían con el tiempo las características de éste (aunque varíen de un punto a otro) en particular su velocidad y su presión. Ejemplo: corriente de agua en un canal de hormigón de pendiente uniforme. Variable si sucede lo contrario. Ejemplo: vaciado de un depósito por un orificio de fondo. b) Corriente uniforme y no uniforme. Uniforme si en cualquier sección transversal a la corriente la velocidad en puntos homólogos es igual en magnitud y dirección, aunque dentro de una misma sección transversal varíe de un punto a otro. No uniforme es el caso contrario. Por ejemplo: en el cono divergente a la salida de una bomba la velocidad disminuye a medida que la sección aumente (como difusor). Si aguas arriba de A hay una compuerta que permite variar el caudal del canal; durante la maniobra de la compuerta, en los tramos AB y CD será uniforme y variable, y en el tramo BC no uniforme y variable, y terminada la maniobra de la compuerta, uniforme y permanente y no uniforme y permanente, respectivamente. Definición de Caudal Caudal Q es el volumen de fluido por unidad de tiempo que pasa a través de una Sección transversal a la corriente. Así, por ejemplo, en una tubería de agua los litros por hora que circulan a través de un plano transversal a la tubería. Si la velocidad de la corriente c es paralela a la superficie A (vertical como la figura (a) el caudal que la atraviesa es nulo. Si la velocidad de c tiene cualquier otra dirección como la figura (b), descomponiendo c según tres ejes, dos paralelos a la superficie y el tercero normal a la misma, solo la componente normal a la misma produce caudal. Entonces si sabemos que Q = c n A Entonces si diferenciamos: Si es la velocidad media normal a la sección A entonces se deduce: Siendo la velocidad media: Para una tubería circular de diámetro D entonces: Velocidad media en la tubería ECUACIONES DIFERENCIALES DE EULER PARA UN FLUIDO IDEAL Sea la figura anterior una conducción por la que circula un fluido ideal. Si escogemos un sistema de coordenadas cartesianas y sea un punto A 1 (x, y, z). Sea A 1 A 2 un elemento infinitesimal de la trayectoria de este punto que en régimen permanente coincidiría en la línea de corriente. Los puntos A 1 y A 2 están infinitamente próximos a una distancia ds. Sean v x , v y y v z las componentes del vector v, velocidad del punto A; v será tangente a la trayectoria. En general, la velocidad v (y por tanto sus componentes v x , v y y v z ) en cada punto del fluido dependerá del punto de que se trate y del tiempo que se considere por tanto matemáticamente se expresa: En un instante t determinado estas ecuaciones nos dan la velocidad del fluido en cada punto del espacio, es decir la configuración del flujo en ese instante; mientras que en un punto determinado (x, y, z) las mismas ecuaciones nos dan la variación de la velocidad con el tiempo en ese punto, por tanto: Si dividimos los dos miembros de las tres ecuaciones por dt se obtiene: (1) Las ecuaciones anteriores nos dan las componentes de la aceleración en cada punto y cada instante del tiempo. Si el movimiento es permanente, en un punto cualquiera del espacio la velocidad no varía con el tiempo; por tanto: ECUACIONES DE EULER Consideremos ahora el punto A(x,y,z) en el centro del paralelepípedo rectangular de los lados dx, dy, dz. Sea p=f(x,y,z) la presión en el punto A. La presión en la cara vertical izquierda será: y en la cara vertical derecha: Sobre las seis caras del parelelepípedo actúa la fuerza debida a la presión. Por claridad en la figura anterior solamente se han indicado las fuerzas debidas a la presión que actúan sobre las caras normales al eje x. El eje z se ha elegido, como es costumbre en hidraúlica, vertical hacia arriba. Por tanto sobre el parelelepípedo actúa la fuerza de la gravedad dW en la dirección negativa del eje z, como se indica en la figura; siendo esta fuerza igual a la masa del parelelepípedo x la acelaración de la gravedad O bien: La segunda ley de Newton (fuerza=masa x aceleración) según el eje x, siendo la masa del parelelepípedo dm=ρd x d y d x , nos proporciona la siguiente ecuación: Para el eje x la ecuación nos queda: Análogamente para el eje y: O bien: Para la ecuación correspondiente al eje z se ha de introducir en el segundo miembro la fuerza debida a la gravedad, indicada en la figura, a saber: Con lo que se obtienen las ecuaciones siguientes: Si se introducen la ecuaciones de la aceleración se obtienen finalmente las siguientes ecuaciones: ECUACIÓN DE BERNOULLI PARA UN FLUIDO IDEAL Bernoulli tomó las ecuaciones de Euler en su forma sintetizada y multiplicó la primera ecuación por dx, la segunda por dy y la tercera por dz; entonces obtuvo: Sumando las tres ecuaciones obtenemos: Si se integra el primer miembro de la ecuación: El diferencial total del segundo miembro de la ecuación queda: La ecuación queda como: Si la integramos en dos puntos cualesquiera 1 y 2, situados en una misma linea de corriente entonces la ecuación queda: O bien: La técnica estudia los cambios de unas formas de energía en otra, así como su intercambio con el trabajo mecánico y calor, llamadas estas dos últimas formas de energía, energías de tránsito, porque solo existen cuando pasa energía de un cuerpo a otro. El estudio se simplifica porque la mecánica del fluido incompresible: a) No se ocupa del calor ni de su transformación en otras formas de energía, esto pertenece a la termodinámica. b) No se ocupa de la energía atómica liberada en la fisión o fusión del átomo, de esto se ocupa la energía nuclear. c) Se ocupa solo de tres formas de energía: potencial geodésica, de presión y cinética. d) Estudia las transformaciones de las tres formas anteriores entre sí y de su intercambio con el trabajo mecánico. En las transformaciones reales del fluido viscoso tiene lugar una fricción, que origina un aumento de la temperatura del fluido y por tanto de su energía interna. Pero esta fricción no existe en el fluido ideal que se está considerando. Se prefiere utilizar más que le energía total, la energía específica e. En el SI la energía específica lo mismo que otras magnitudes específicas se refieren a la unidad de masa; mientras que en el sistema ST se refieren a la unidad de peso: Entre dos puntos situados a una distancia de 2m de una tubería cuya inclinación es de 30° esta cambia gradualmente de diámetro de 300 a 150mm. La presión en el primer punto es de 10.5bar y el caudal de agua 2,000 l/h. Supóngase que no hay pérdidas por rozamiento. Calcular la presión en el segundo punto. En la contracción suave de la figura se desprecian las pérdidas. Calcular la diferencia De lecturas de los dos manómetros de la figura, si el caudal es de 5,000 l/min y el fluido De aceite de densidad = 950 kg/m 3 .