Fluidos

Anexo C: Problemas Resolvidos e PropostosAPOSTILA DE FENÔMENOS DE TRANSPORTE MECÂNICA DOS FLUIDOS PROBLEMAS RESOLVIDOS E PROPOSTOS (2012) Jorge A. Villar Alé C-1 Mecânica dos Fluidos CAP 1 PROPRIEDADES DOS FLUIDOS PROBLEMAS RESOLVIDOS (A seguir estes problemas estão resolvidos) [ 1 ] Determine o peso de um reservatório de óleo que possui uma massa de 825 kg. [ 2 ] Se o reservatório do exemplo anterior tem um volume de 0,917 m 3 determine a massa específica, peso específico e densidade do óleo. [ 3 ] Se 6,0m3 de óleo pesam 47,0 kN determine o peso específico, massa específica e a densidade do fluido. [ 4 ] Um tanque de ar comprimido apresenta um volume igual a 2,38x10 -2m3. Determine a massa específica e o peso do ar contido no tanque quando a pressão relativa do ar no tanque for igual a 340kPa. Admita que a temperatura do ar no tanque é 210C e que a pressão atmosférica vale 101,3kPa. A constante do gás para o ar é R=287 (J/kg K) [ 5 ] Um fluido tem uma viscosidade dinâmica de 5x10 -3 N.s/m2 e uma massa específica de 0,85 kg/dm 3. Determinar a sua viscosidade cinemática. [ 6 ] Determinar a altura representativa de uma pressão de 500 K N m2 em termos da altura de coluna de água de massa específica   1000 kg m3 , e em termos de altura de coluna de Mercúrio com massa específica   13.6  103 kg m3 . Utilizando p  gh . [ 7 ] A água de um lago localizada numa região montanhosa apresenta temperatura média igual a 100C e profundidade máxima do lago de 40m. Se a pressão barométrica local é igual a 598 mmHg, determine a pressão absoluta na região de mais profundidade do lago. Considere a densidade do mercúrio igual a 13,54. [ 8 ] Expresse a pressão relativa de 155kPa como uma pressão absoluta. A pressão atmosférica local é de 98,0 kPa. [ 9 ] Expresse uma pressão absoluta de 225,0 kPa como uma pressão manométrica. A pressão atmosférica local é de 101,0 kPa. [ 10 ] Um vacuômetro indica uma pressão de 70 kPa. Determinar a pressão absoluta considerando que a pressão atmosférica local é igual a 100 kPa. [ 11 ] Um manômetro instalado numa tubulação de água indica uma pressão de 2,0 kgf/cm 2. Determinar a pressão absoluta em kgf/cm2, Pa, mH20 e mm Hg. Considere a pressão atmosférica igual a 1,0 kgf/cm 2 e a densidade do mercúrio igual a 13,6. [ 12 ] Um fluido newtoniano apresenta viscosidade dinâmica igual a 0,38 N.s/m2 e densidade igual a 0,91 escoando num tubo de 25mm de diâmetro interno. Sabendo que a velocidade média do escoamento é de 2,6 m/s, determine o valor do número de Reynolds. [ 13 ] Em um reservatório contendo glicerina, com massa=1200 kg e volume=0,952 m³. Determine: a) peso da glicerina; b) massa específica da glicerina; c) peso específico da glicerina; d) densidade da glicerina. C-2 PUCRS Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos [ 14 ] Um avião voa a 10700 m de altura, a velocidade de 850 km/h, onde a temperatura chega a -55ºC. Dados: K AR = 1,4 e RAR = 287 [J/(kg.K)] , determine: a) a velocidade do som; b) número de Mach; fluido compressível ou incompressível? c) subsônico ou supersônico? [ 15 ] Determine a massa específica do ar que se encontra num reservatório com temperatura de 50°C, no qual existe um manômetro indicando uma pressão de 370 kPa. Solução dos Problemas - Propriedades dos Fluidos [1] Determine o peso de um reservatório de óleo que possui uma massa de 825 kg. w  mg w  825kgx9,81 m  8093,25 N ou 8,093kN s2 [2] Se o reservatório do exemplo anterior tem um volume de 0,917 m 3 determine a massa específica, peso específico e densidade do óleo. Massa específica m 825 kg kg    899,67  900 3 3 V 0,917 m m Peso específico kg m N x9,81 2  8825,8 3 3 m s m   g  899,67 Também poderia ser determinada como w 8093,25 N N     8825,8 3 3 V 0,917 m m densidade d  fluido  H O ( a 4 c ) 2 d  fluido  H O ( a 4 c ) 2   fluido  H O ( a 4 c ) 2 899,67   0,89967  0,90 1000 [3] Se 6,0m3 de óleo pesam 47,0 kN determine o peso específico, massa específica e a densidade do fluido. Peso específico   W 47 x1000 N   7833,34 3 V 6 m Massa específica   Densidade d  Jorge A. Villar Alé  7833,34 kg   798,51 3 g 9,81 m  óleo H 2 0a 4  0 C N kg.m 2 xs 2 3 2  m Ns s    3  m g m m. m3m s2 798,51  0,80 1000 C-3 em qualquer profundidade h. Se a pressão baromêtrica local é igual a 598 mmHg.95m de água g 1000  9.88 x10 6 m    2 kg  kg s  s  kg 850 3 m [ 6 ] Determinar a altura representativa de uma pressão de 500 K N m2 em termos da altura de coluna de água de massa específica   1000 kg m3 .6  103 kg m3 .85kg/dm3.6  103 kg m3 .81 [7] A água de um lago localizada numa região montanhosa apresenta temperatura média igual a 100C e profundidade máxima do lago de 40m.88 x10 6 N .75m de mercúrio 13.m  5.54. Admita que a temperatura do ar no tanque é 210C e que a pressão atmosférica vale 101.3kPa= 441.22 N Conferindo as unidades:   kg. Considere a densidade do mercúrio igual a 13. A pressão da água.38x10 -2m3.38 x10 2  1. Ns 5 x10 3 2 2  m  5.23 x9.m  kg   m  3 m  2 N 3   2  s  m  s  W  g   [ 5 ] Um fluido tem uma viscosidade dinâmica de 5x10-3 N.m xK m   x K   kgK  O peso de ar contido no tanque é igual a W  g  5. Determine a massa específica e o peso do ar contido no tanque quando a pressão relativa do ar no tanque for igual a 340kPa. Solução Em termos de coluna de água: h  p 500  10 3   50.m.88 x10 6  kgm  .kg .s.3 kPa. e em termos de altura de coluna de Mercúrio com massa específica   13.81x 2.s/m2 e uma massa específica de 0. A temperatura absoluta é Tabs(K) =T(oC) + 273= 21+273=294 K A massa específica pode ser determinada com a lei dos gases perfeitos  P 441. A constante do gás para o ar é R=287 (J/kg K) A pressão absoluta é Pabs=Pman+Patm=340kPa + 101. Utilizando p  gh . é dada pela equação: C-4 PUCRS .s. Determinar a sua viscosidade cinemática.3kPa.m  5.81 Em termos de coluna de mercúrio com   13. determine a pressão absoluta na região de mais profundidade do lago.K kg  m      3 2 RT  Nm  N .23 3 RT 287 x 294 m As unidades são:  N   2 P N .3 x1000 kg   5. 500  103 h  3.6  103  9.Mecânica dos Fluidos [ 4 ] Um tanque de ar comprimido apresenta um volume igual a 2. desta forma e que 1cm2 = (1/100)2m2. mH20 e mm Hg. N kgf kgf p abs  3. p abs  Pman  p atm  155kPa  98.3  10 3  2.0kPa  253kPa [9] Expresse uma pressão absoluta de 225.0 kPa como uma pressão manomêtrica. p abs  p atm  p vac  100kPa  70kPa  30kPa [11] Um manômetro instalado numa tubulação de água indica uma pressão de 2.79 2  79. Desta forma. Determinar a pressão absoluta considerando que a pressão atmosférica local é igual a 100 kPa.43kPa  1000 x9. Villar Alé C-5 . Pa.2m de coluna mercúrio 13.  Pressão em Pascal.6.0 kgf/cm 2.54 x1000 kg m N x9.81x 40  79. A pressão atmosférica local é de 98. p abs  Pman  p atm em kgf/cm2 p abs  1  2  3 kgf cm 2 Sabemos que 1 kgf =9.0kPa [10] Um vacuômetro indica uma pressão de 70 kPa.81N.6 x1000  9.81 2 x0. Pman  p abs  p atm  225.3  10 3  30m de coluna de água 1000  9.3kPa 2 1 cm 2 m 100 2  Coluna de água h p H 0g  2  h 294.598m  79430. Considere a pressão atmosférica igual a 1.81 Coluna de mercúrio considerando d=13.43kPa  392.81  3.Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos p  p 0  gh Onde po é a pressão na superfície do lago que representa a pressão atmosférica local (patm).43kPa 3 m s m Desta forma para o fundo do rio (h=40m) para água a 100C a qual corresponde uma massa especifica de 1000kg/m 3 podemos determinar a pressão absoluta como.81 Jorge A.0 x9. Como patm foi dada em coluna de mercúrio devemos p atm  gh  13.0 x9.81x100 2  294.0 kgf/cm 2 e a densidade do mercúrio igual a 13. p  Hg g  294. p  p atm  gh  79.0kPa  124.0 kPa. A pressão atmosférica local é de 101.4kPa  472kPa [8] Expresse a pressão relativa de 155kPa como uma pressão absoluta.6. Determinar a pressão absoluta em kgf/cm2.0 kPa.0kPa  101. 37 kN / m3 3 m s kg m 3  1.adimensional  .s/m2 e densidade igual a 0.91 escoando num tubo de 25mm de diâmetro interno.952 m³  1261 kg / m³   1261 kg m x 9.s  O valor de um parâmetro adimensional não depende do sistema de unidade utilizado desde que todas as variáveis utilizadas forem expressas num sistema de unidades consistente. [13] Em um reservatório contendo glicerina.m  m2  m2     1 . a) W = F = m.Mecânica dos Fluidos [12] Um fluido newtoniano apresenta viscosidade dinâmica igual a 0. d) densidade da glicerina.81 2  12.91x1000  kg kg  910 3 3 m m 2. Sabendo que a velocidade média do escoamento é de 2.   p ( Eq.77 kN  = 1200 kg / 0.81 m/s2  11.s  s   m   kg. c) peso específico da glicerina. b) massa específica da glicerina. Gás Perfeito) R xT   pabs p p  atm man R xT R AR x Tabs C-6 PUCRS .6 m/s.38 Conferindo as unidades m kg xmx 3 2 VD m kg m 2  m   kg   s  s m  Re    xmx 3 x     m   3   Ns  s m N .a = mg b) =m/V c)  =  g W = 1200 kg x 9.025 x910  156 0. Determine: a) peso da glicerina. determine o valor do número de Reynolds. O número de Reynolds é definido como Re  VD  ou  VD  a massa específica do fluido é determina em função da densidade   d H Re  20 VD   0. no qual existe um manômetro indicando uma pressão de 370 kPa.26 d  kg 1000 3 m 1261 d) d = fluido / água a 4ºC [15] Determine a massa específica do ar que se encontra num reservatório com temperatura de 50°C.38 N.952 m³.6 x 0. temos: massa = 1200 kg e volume = 0. 0 kg de ar a 800C.2. indicando uma altura de 55 cm de coluna de fluido com d=0. Considere a massa especifica da água igual a 1000kgf/m 3 e o peso específico do mercúrio é igual a 13600kgf/m3.5m3 Obs: considere g=9.08 kg m3 CAP 1 PROPRIEDADES DOS FLUIDOS PROBLEMAS PROPOSTOS 1. Determinar a pressão absoluta dentro do tanque. o volume específico e a densidade do mercúrio: a) na lua b) na terra. 3. Um tanque de ar comprimido contém 6.85.81 m/s2.6) 6.6 e a pressão atmosférica igual à pressão atmosférica normal (101. (h=83. A pressão atmosférica local é igual a 96k Pa. a massa especifica e a densidade deste líquido. Determine nestas circunstancias a altura de coluna de mercúrio.208 kg/m3. A pressão relativa do tanque é igual a 300kPa. Qual a densidade do mercúrio. A pressão manométrica de um tanque é medida. Mergulha-se numa cuba contendo mercúrio um tubo de vidro aberto numa extremidade tal como se mostra na figura. A densidade da água salgada é igual a 1. Determine o volume do tanque. Para uma pressão de 10kgf/cm2. Determine a altura de pressão estática de uma coluna de água e de uma coluna de mercúrio para uma pressão de 10kgf/cm2.3 mca) 7.81m/s2.52m3) 5.33kPa) com g=9. (d=0.85x10-4 Poise e a massa especifica igual a 1. (h=760mmHg) Jorge A. Considere d=13. volume específico.96) 4. Determine a viscosidade cinemática do ar a 20 0C sabendo que nestas condições a viscosidade dinâmica é igual a 1. qual será a altura de coluna de óleo e qual a sua densidade. Um reservatório graduado contém 50ml de um líquido que pesa 6N. A aceleração da gravidade na terra é igual a 9.Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos 101330 Pa  370000 Pa    J 287 x  50  273 K kg x K 471330 kg m. o peso específico e a densidade de um óleo que pesa 33kN contido num reservatório de 3. Considere a massa especifica do mercúrio igual a 13600 kg/m3. 2. (V=1. Determinar a altura equivalente de pressão estática de uma coluna de água salgada considerando uma pressão de 10kgf/cm2.s 2 kg. Determinar o peso específico.65m) 9.81 m/s2 e o peso especifico da água igual a 9806N/m 3. 10. 11. (h=117. Determine a massa específica.5N/m3 determinar qual a coluna representativa de pressão quando se tem uma pressão de 981kPa. Determine o peso especifico.m 2 2 287 s x  323 K kg x K    5. (d=13. 8. Villar Alé C-7 . Para um líquido que tem um peso específico igual a 8338. O óleo tem um pesos específico igual a 850kgf/m3. Determine o número de Reynolds numa tubulação de aço galvanizado novo de 300mm de diâmetro interno na qual escoa água a uma temperatura de 350C com uma vazão de 60m3/h. Especifique se o escoamento é laminar ou turbulento. Um tanque fechado contem ar comprimido e um óleo que apresenta uma densidade igual a 0.22N). Um manômetro tipo Bourdon indica que a pressão num tanque é igual a 5. 14. Calcule as alturas levando em conta a pressão de vapor destes fluidos e compare com seus respectivos desconsiderando a pressão de vapor dos fluidos. Qual será a leitura do manômetro quando a pressão atmosférica local for igual a 773mm de Hg. 13.1kPa) 16. 17.30kPa.23kg/m3. Admitindo que a pressão atmosférica local é igual a 101kPa. Determine a massa especifica e o peso do ar contido no tanque quando a pressão relativa do ar no tanque for igual a 340kPa. determine as alturas das colunas de fluido em barômetros que contém os seguintes fluidos: a) mercúrio b) água c)álcool etílico.31 bar quando a pressão atmosférica local é igual a 760mmHg.9. Determinar a massa especifica do ar num local onde a temperatura é igual a 50 0C e leitura do barômetro indica uma pressão igual a 100kPa. Qual é a pressão absoluta correspondente se a pressão atmosférica local é igual a 100kPa. (5. determine a leitura no manômetro localizado no topo do tanque. 1. (Resposta: Pmam=21.6. Se h1=914mm h2=152mm h3=229mm. O manômetro em U conectado ao tanque utiliza mercúrio com densidade igual a 13.38x10 -2m3.07kg/m3) 18. Considere que a temperatura do ar no tanque é de 210C e que a pressão atmosférica é igual a 101. Um tanque de ar comprimido apresenta um volume igual a 2. Um manômetro de Bourdon instalado na tubulação de alimentação de uma bomba indica que a pressão negativa é igual a 40kPa. (Obs: Considere o ar como um gás ideal) (=1.Mecânica dos Fluidos 12. C-8 PUCRS . 15. Entre elas encontra-se óleo de massa específica de 850 kg/m3 e viscosidade cinemática igual a 7. Se o perfil de velocidade for uniforme (1).15m/s eqüidistante entre ambas superfícies. Considere um perfil linear de velocidade.4 m2 de área movese a uma velocidade de 0. (1) (2) (3) y x   du dy [2] Considerando um perfil parabólico de velocidade V(y)= a + by2 determinar (a) O gradiente de velocidade (b) A tensão de cisalhamento em y=0 e em y= -100mm. A viscosidade do líquido é de 0. [4] Uma placa infinita move-se sobre uma segunda placa. y 0 V=2.2) [1] Duas grandes superfícies planas mantêm uma distância h entre elas esta escoando um determinado fluido.0x10-3 kg/ms.88 Determinar: Jorge A. havendo entre elas uma camada de líquido.65 Centipoise A densidade relativa é igual a 0.3m. Villar Alé C-9 .5m/s h=100mm [3] Duas superfícies grandes planas estão separadas por um espaço de 25 mm. Considere um perfil de velocidade linear.1 PROBLEMAS RESOLVIDOS – Lei da Viscosidade de Newton (Cap. Uma placa muito fina de 0. Determinar (a) O gradiente de velocidade (b) A tensão de cisalhamento sobre a placa fina (c) força necessária para puxar a placa.615x10-5 m2/s.Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos EXEMPLOS LEI DA VISCOSIDADE (CAP 1) 1. Onde a tensão de cisalhamento será maior ? Se o perfil de velocidade for parabólico (3): Onde a tensão de cisalhamento será menor ?. A separação das placas é igual a 0. como mostrado na figura.     Se o fluido for considerado não-viscoso (ideal) qual a tensão de cisalhamento na parede da placa superior ?. Considere um fluido com viscosidade dinâmica igual a 8. Qual será a magnitude da tensão de cisalhamento na parede inferior comparada com a tensão de cisalhamento no centro das placas ? Se o perfil de velocidade for uma reta inclinada (2). U=0.5mm. A altura do embolo é de 320 mm. [ 7 ] Um embolo de 100kg se move por gravidade no interior de um cilindro vertical.A viscosidade cinemática do líquido ( b ) A tensão de cisalhamento na placa superior e na placa inferior em (Pa) ( c ) Indique o sentido de cada tensão de cisalhamento calculado em c e d. O fluido apresenta uma viscosidade dinâmica igual a 1.5 N. Ob. Determinar a velocidade na descida considerando um perfil linear de velocidade (dv/dy=u/y).8x10-5 (Pa s).92 N.s/m 2. O espaço entre elas esta preenchido com um fluido. Considerando que V=0. C-10 PUCRS . O diâmetro do êmbolo é de 200mm e o diâmetro do cilindro de 200.s Determinar a tensão de cisalhamento a 20cm da superfície sólida. Determine a tensão de cisalhamento para y=3. O gradiente de velocidades é dado por: du     y   U max   cos  dy  2b   2b  Obs. Solução – Problema 1 [1] Duas grandes superfícies planas mantém uma distância H. [ 8 ] Ar a 200C escoa sobre uma placa plana apresentando um perfil de velocidade senoidal tal como mostrado na figura. O óleo apresenta viscosidade absoluta de 2x10-3Pa.3m/s [5] A distribuição de velocidades do escoamento de um fluido newtoniano num canal formado por duas placas paralelas e largas é dada pela equação u 3V 2   y   h   1   2   onde V é a velocidade média. Apresente a dedução de unidades no sistema internacional do resultado. Considere a massa especifica do ar igual a 1.Mecânica dos Fluidos    ( a ) A viscosidade absoluta em Pa s e em (kg/ms) .6m/s e h=5mm determinar: a) Tensão de cisalhamento na parede inferior do canal b) Tensão de cisalhamento que atua no plano central do canal. Onde U  y  é o perfil de velocidade em m/s e y o afastamento da superfície em (m).23 kg/m3 e viscosidade dinâmica igual a 1. [ 6 ] O perfil de velocidade do escoamento de um óleo numa superfície sólida é dada por: U  y   2 y 2 .s/m2. O espaço entre o embolo e o cilindro esta cheio de óleo com viscosidade dinâmica igual a 8.1mm. Qual será a magnitude da tensão de cisalhamento na parede inferior comparada com a tensão de cisalhamento no centro das placas ? (c) Se o perfil de velocidade for uma reta inclinada (2).Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos (a) Se o fluido for considerado não-viscoso (ideal) qual será a tensão de cisalhamento na parede da placa superior ?. Desta forma a tensão de cisalhamento vai aumentando linearmente. (c) Se o perfil de velocidade for uma reta inclinada o perfil de velocidade será do tipo u=k1 + k2y . do tipo: u=k1 + k2y2 . (d) Se o perfil de cisalhamento for parabólico. Para y=ymax (paredes) =max. Villar Alé C-11 . desta forma o termo du/dy=k2 y . (b) Num perfil uniforme de velocidade du/dy=0 e. portanto a magnitude da tensão de cisalhamento é nula em toda a seção (=0). Para y=0 (centro do canal) =0. (a) Num fluido ideal a viscosidade do fluido é nula (=0) e portanto a tensão =0. por exemplo. portanto. (b) Se o perfil de velocidade for uniforme (1). Desta forma a tensão de cisalhamento será zero no centro e máxima nas paredes. Desta forma o termo du/dy=k2 = constante. Onde a tensão de cisalhamento será maior ? (d) Se o perfil de velocidade for parabólico (3): Onde a tensão de cisalhamento será menor ?. a tensão de cisalhamento será igual em todos os pontos da seção (=cte). (=ky) Jorge A. Para y=0. V=Vmax=2.Mecânica dos Fluidos Solução – Problema 2 Considerando um perfil parabólico de velocidade V(y)= a + by2 determinar (a) O gradiente de velocidade (b) A tensão de cisalhamento em y=0 e em y= -100mm. Considere um fluido com viscosidade dinâmica igual a 8.5   250 y2  0.0x10 -3 x500x(-0.s/m 2 s m F1  A  A  u F  2 A  y  du u  A dy y1 F2  A u como y1=y2 temos que F1=F2.06473 2 x 0.5  250 y 2 du O gradiente de velocidade é dada por: dy  500 y Tensão de cisalhamento em y=0 :   du  8. Considere um perfil linear de velocidade (dv/dy=u/y). F  F1  F2 2 kg 5 m     850 3 7. y2 m N . Determinar a força necessária para puxar uma placa muito fina de 0.4m2 de área a uma velocidade de 0.0x10 -3 x500x0  0 dy Tensão de cisalhamento em y=-0.15m/s que se move eqüidistante entre ambas as superfícies.s s  0.62 N  2 x0.4m 2 x0.1 2 V  2.06473N.10)  0.5m/s Para y=-100 mm V=0 com V  a  by 2 achamos b V  a 0  2. Entre elas encontra-se óleo de massa específica de 850 kg/m3 e viscosidade cinemática igual a 7.615 x10  0.15 Solução – Problema 4 C-12 PUCRS .5m/s como V  a  by 2 achamos que a=2.0x10-3 kg/ms.1m   du N  8.615x10-5m2/s.4 2 dy m Solução – Problema 3 Duas superfícies grandes planas estão separadas por um espaço de 25mm.0125m m 0. 65cP ) 1 cP = Pa s /1000   (0. A viscosidade do líquido é de 0.Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos [4] Uma placa infinita move-se sobre uma Segunda placa.3 kg 2  3 m ms     7.5 x10  4   1000  0. portanto yx atua no sentido negativo (-) dos x  A placa inferior é uma superfície y (positiva). supomos uma distribuição linear de velocidade no líquido.39 x10 kg  s 0. como mostrado na figura. Villar Alé C-13 .5 x10  4 (c) A tensão de cisalhamento na placa inferior em (Pa)  yx   du   dy   y 0 U 1 N  kg   6.65 centipoise A densidade relativa é igual a 0. havendo entre elas uma camada de líquido.5 x10  4 kg /( ms ) cP 1000 A viscosidade dinâmica Desta forma o perfil de velocidade é dado como:  U  d u( y)     y  O gradiente é dado por: du U 0. portanto yx atua no sentido positivo dos x Jorge A.5 x10  4 Pa s cP1000   (0.88 x1000 3 m 6.88 Determinar: (a) (b) (c) (d) (e) A viscosidade absoluta em Pa s e em (kg/ms) A viscosidade cinemática do líquido A tensão de cisalhamento na placa superior (Pa) A tensão de cisalhamento na placa inferior em (Pa) Indique o sentido de cada tensão de cisalhamento calculado em c e d.) u=0 e por tanto b=0 (intercepto no eixo de Para y=d u=U e por tanto m= U/d Pa s  6. Para uma pequena largura da camada d.3 x1000    1000 s 1  cte dy d 0.65 2  0.65 Pa d ms s m    A placa superior é uma superfície y (negativa). Hipóteses:  Distribuição linear da velocidade  Escoamento em regime permanente  Viscosidade constante (a) 1 cP = Pa s /1000 O perfil de velocidade é representado por a equação de uma reta: u ( y )  my  b Para y=0 coord.65cP) (b) kg /( ms)  6. plano médio=0. a tensão de cisalhamento na parede superior apresenta o mesmo valor. Para determinar a tensão de cisalhamento devemos determinar o gradiente de velocidade du/dy. Neste caso a tensão de cisalhamento varia de 0 no plano central a 691Pa nas paredes. du 3V  dy 2  3V  y   0  2 h 2     h 2 y    a) A tensão de cisalhamento na parede inferior do canal é dada para y=-h.Mecânica dos Fluidos Solução – Problema 5 [5] A distribuição de velocidades do escoamento de um fluido newtoniano num canal formado por duas placas paralelas e largas é dada pela equação u 3V   y   1  2   h  2   onde V é a velocidade média.  y  h    3V 3V 1  N   Ns   m (  h)    1. Considerando que V=0. O gradiente de velocidade e portanto a tensão de cisalhamento varia linearmente com y. C-14 PUCRS . Utilizando a lei universal   du dy A distribuição da velocidade é unidimensional e em regime permanente já que u=u(y). Desta forma a tensão de cisalhamento neste plano é nula.005  m  ou 691Pa esta tensão cria um arrasto na parede.92 2  x3 x0. Derivando a equação da distribuição da velocidade temos. O fluido apresenta uma viscosidade dinâmica igual a 1. Tensão de cisalhamento que atua no plano central do canal é dada para y=0 ou du/dy.6m/s e h=5mm determinar: c) Tensão de cisalhamento na parede inferior do canal d) Tensão de cisalhamento que atua no plano central do canal. Como a distribuição de velocidade é simétrica.92 N. e sentido da tensão na parede inferior.6    691 2  x 2 h h m  m   s  0.s/m 2. 1x10 -4 m2/s e Jorge A. A tensão de cisalhamento é dada por:    u y Desta forma   dU  y   4 y. dy dU ( y ) N  2 x10 3 x 4 x (0.0287 m  2.0257 Pa 1.707106 2 x 7 . A altura do embolo é de 320mm. Considere a massa especifica do ar igual a 1.98 x0.5         U max     cos  2b   2 x 7.23 kg/m3 e viscosidade dinâmica igual a 1.2 PROBLEMAS PROPOSTOS – Lei da Viscosidade de Newton (Cap.Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Solução – Problema 6 [ 6 ] O perfil de velocidade do escoamento de um óleo numa superfície sólida é dada por: U  y   2 y 2 .0 x  x1000 x 0. Onde U  y  é o perfil de velocidade em m/s e y o afastamento da superfície em (m).8x10-5 (Pa s). 0     5  1.87 cm Fy  DL x 0.8 x10 Pa. enquanto a inferior é fixa.s/m2. Determine a tensão de cisalhamento para y=3. mostra duas placas planas paralelas a distância de 2 mm. A placa superior move-se com velocidade de 4 m/s.    du dy y 3. O diâmetro do êmbolo é de 200mm e o diâmetro do cilindro de 200. Villar Alé C-15 . Como o perfil de velocidade é dado por U  y   2 y 2 . Se o espaço entre as duas placas for preenchido com óleo de viscosidade 0.5 N. F  A  A u du u  DL dy y 100 x9.s Determinar a tensão de cisalhamento a 20cm da superfície sólida.2) [1] A Fig.00005  0.0            9.5 s s Solução – Problema 8 [ 8 ] Ar a 200C escoa sobre uma placa plana apresentando um perfil de velocidade senoidal tal como mostrado na figura. 5 mm   x3. O espaço entre o embolo e o cilindro esta cheio de óleo com viscosidade dinâmica igual a 8. O gradiente de velocidades é dado por: du     y   U max   cos  dy  2b   2b  Obs.1mm. Determinar a velocidade na descida considerando um perfil linear de velocidade (du/dy=u/y). Apresente a dedução de unidades no sistema internacional do resultado. 5 mm  du dy y 3.5mm. O óleo apresenta viscosidade absoluta de 2x10-3Pa.2 x0.0016 2 dy m Solução – Problema 7 [ 7 ] Um embolo de 100kg se move por gravidade no interior de um cilindro vertical.068  0.sx1428. Ob.32 x8.2)  0. R: (a) 2000 s-1 (b) 16. Fluido: óleo SAE 30   0. viscosidade dinâmica e 1.88 m/s [4] A correia da Fig.10-3Pa. Determinar: (a) a tensão requerida para mover a placa superior com uma velocidade V=6.0m h=3cm V=2. Considerando a distribuição linear do perfil de velocidade no óleo.6 N/m2 (c) 16. (b) A tensão de cisalhamento (N/m 2) na superfície da placa móvel em contato com o fluido (c) A tensão de cisalhamento (N/m 2) na superfície da placa fixa em contato com o fluido.5m/s b=60cm. A corria apresenta um comprimento L e uma largura b.15x10-3 Pa. conforme a figura.33 N/m2 (b) 2.s.s  [ 5 ] O escoamento laminar entre duas placas paralelas fixas é dado por:   2y  u ( y )  umax  1      h   2   onde umax representa a velocidade máxima no canal. R: (c) 0. área superficial da placa superior igual a 0.s.29  m.5 Pa.Mecânica dos Fluidos massa específica 830 kg/m3. e h a separação das placas. (b) Determinar a expressão da tensão de Obs água massa especifica 1000 kg/m3 e cisalhamento. move-se a uma velocidade constante V e desliza no topo de um tanque de óleo. Considere a separação entre placas de 5mm.3 N [2] um canal é formado por duas placas paralelas separadas h=6mm tendo entre elas glicerina a 200C com massa específica é igual a 1260 kg/m3 e a viscosidade dinâmica igual a 1. Dados:  kg   R: 72. (a) Determinar o gradiente de velocidades. determine a potencia necessária para o acionamento da correia.5 m/s Determine (c) A tensão de cisalhamento no centro do canal e na placa superior (d) A força de atrito na placa inferior.46 C-16 PUCRS . Determine: (a) O gradiente de velocidade. L=2. (b) a força necessária para puxar a placa superior considerando esta com superfície igual a 1.0m2. considerando que esta a potencia é dada por W  FV onde F é a força tangencial na correia e V a velocidade da correia. O óleo tem densidade 0. R: (a) 1500 N/m2 (b) 1500 N [3] Uma placa deslocando-se sobre uma pequena lâmina de óleo sob a ação de uma força F.5m 2.3m2 e velocidade máxima umax=0.750 e viscosidade 3.s. (d) A força que deve ser vencida para puxar a placa superior com área de 0.6 N/m2 (d) 8.5 W. O óleo apresenta uma profundidade h.0m/s. (a) Qual a tensão de cisalhamento produzida pelo fluido sobre a placa? (b) Qual a velocidade da placa móvel? R: (a) 4. (a) Determinar uma expressão geral que permita determinar a força requerida para puxar o eixo em função das variáveis apresentadas. sobre uma película de óleo.s [9] Determine o torque resistente (Nm) originado pelo óleo lubrificante em contato com o eixo vertical da Fig.9 Pa.52 mm e massa de 1. R: (b) 796 N Jorge A. R: (a) 0. uma altura igual a 200mm e um diâmetro igual a 149. Viscosidade do óleo 0.88 e viscosidade cinemática igual a 0.s R: (a) 1256. Este corpo se move com uma velocidade constante igual a 50mm/s dentro de um tubo de 150mm de diâmetro. O fluido apresenta uma viscosidade dinâmica igual a 1.8 Pa.5mm.92 Pa.5 Nm [10] Uma barra cilíndrica de 30. Calcule a velocidade atingida pela barra se uma película de óleo de viscosidade 23. R: (a) 691. escorrega num tubo vertical com 0.003 m2/s. Entre o tubo e o cilindro existe uma película de óleo.Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos N/m2.01 Pa. A velocidade da placa é de 2 m/s. (c) Desenhe a distribuição da velocidade e da tensão de cisalhamento no canal.6 (N/m2) (b) 39. diâmetro de 0. Determine (a) tensão de cisalhamento na parede interna do tubo externa (b) viscosidade dinâmica do óleo. (b) Determinar a força requerida para puxar o eixo. Determine viscosidade dinâmica do óleo.58mm de diâmetro.L=500mm.6m/s e h=5mm determinar: (a) Tensão de cisalhamento na parede inferior do canal (b) Tensão de cisalhamento que atua no plano central do canal.138 N [6] A distribuição de velocidades do escoamento de um fluido newtoniano num canal formado por duas placas paralelas e largas é dada pela equação dada ao lado: onde V é a velocidade média. (d) 0. Villar Alé C-17 . se a espessura da película é 2 mm.4 cm de comprimento. R: (a) 160 (N/m2) (b) 0.s Considerando que V=0. O Diâmetro do eixo é igual a De=200mm e o diâmetro da luva igual a Dm=200.2 (N/m2) u( y)  3V   y   1  2   h  2   [ 7 ] Uma placa quadrada de 1 m de lado e 20 N de peso desliza sobre um plano inclinado de 30o.s preenche o espaço entre o tubo e a barra.36 kg.4m/s através de uma luva de 60. [11] Um eixo na posição horizontal de D=60mm e 400mm de comprimento é arrastado com uma velocidade de V=0. possui um peso igual a 15N.s [8] O corpo cilíndrico da Fig. O eixo apresenta uma rotação constante de 3000 rpm.2mm.1mm. podendo cair livremente. No espaço entre o eixo e a luva existe óleo altamente viscoso com densidade 0.2x10-2 Pa. Mecânica dos Fluidos [12] Um eixo gira de 60mm de diâmetro e 400mm de comprimento gira dentro de uma luva com velocidade igual 1500 rpm. No espaço entre o eixo e a luva existe óleo altamente viscoso com densidade 0.2mm.003 m2/s.2 kW CAP 2 . Determinar (a) torque e (b) potência originado nesta condições de operação. R: (a) 281 Nm (b) 44.ESTÁTICA DOS FLUIDOS C-18 PROBLEMAS RESOLVIDOS (A seguir estes problemas estão resolvidos) PUCRS . A luva possui um diâmetro igual a 60.88 e viscosidade cinemática igual a 0. 81 x 0.6 x 1000 x 9.17 bar) b) pA = 13.6 x 1000 x 9. b) Pressão relativa em A quando h1=0. p A  man gh2  gh1 a) pA = 13.81 x 0.5  12508 N / m 2 (ou Pa )  12.4m e h2=0.6.0. (Cap.4 = -16 088.4 N ( -16.4 = 117 327 N (. Determinar: a) Pressão relativa em A quando h1=0. Villar Alé C-19 .5m.16 bar) A pressão negativa (-) indica que a pressão é menor que a pressão atmosférica.2) [1] Qual será a máxima pressão relativa que poderá ser medido com o tubo piezometrico para uma altura de 1.5.1m.9m.6 x1000 x9. Considere a densidade do fluido igual a 8. P(B) = Pressão da coluna de líquido acima de B p B  gh2  d mercurio  água g h2  8.1) .4m e h2=-0.700 x 9.81x1.117. Jorge A.5kN / m 2 (ou kPa) Manômetro piezométrico simples [2] Se utiliza uma manômetro tipo “U” para medir uma pressão de um fluido com massa especifica igual a 700kg/m3.81 x 0.700 x 9.9 .3 kN óu 1.Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos PROBLEMAS RESOLVIDOS – Manometría.0 kN óu .0. O manômetro utiliza mercúrio com densidade igual a 13.81 x ( . 6 x1000 x9.6 – 0.81x1.pB = g (hB ..75 – 1.99) x 1000 = -7284 + 61852 = 54 568 N/m2 ou Pa ( 0.0  13.hA) + hg(man .55 bar) [ 4 ] Um manômetro em U é fixado a um reservatório fechado contendo três fluidos diferentes como mostra a Fig. determine: A pressão absoluta no ponto A. pC = pD pC = pA + g hA pD = pB + g (hB .hA) + hg(dhg .pB = g (hB .dfluido) H20 = 990 x9.81x(0.5) + 0.81 x(13.81 m/s2 x 5 m  49 kPa C-20 PUCRS . a pressão do ar igual a 30kPa é uma pressão relativa a atmosfera.0m  d Hg  agua g y 30  0.5x9.82 x1000 x9.Mecânica dos Fluidos [3] Na figura mostra-se dois tubos com fluido de massa específica igual a 990kg/m3 conectados a um manômetro tipo U. Como o reservatório este fechado.81 5  2   1000 x9. Desta forma utilizando pressões relativas: Par  d oleo  agua g  E5  E 2    agua g  E 2  E 0    agua gx1.81 2  0   1000 x9. Determinar a pressão entre os tubos considerando que o fluido manométrico é mercúrio com densidade igual a 13.6.    Por definição um manômetro mede pressão em relação a pressão atmosférica. g . Para determinar Y trabalhamos com pressões relativas a atmosférica. Determine qual será a elevação da coluna de mercúrio do manômetro.h) + man g h pA .81 y Resolvendo: [ 5 ] Com base na figura ao lado. hH2O PA (Rel) = 1000 kg/m3 x 9. A pressão (relativa) do ar no reservatório é igual a 30kPa. PA (Rel) = H2O .) pA . oliva.hóleo +H2O. a) PA (Abs) = PAtm + PA (Rel) PA (Abs) = 101. determine: a) A pressão absoluta e relativa na interface gasolina-água.3 kPa.33 kPa + 120 kPa + 49 kPa PA (Abs)  270 kPa [ 6 ] Baseado na figura ao lado.6 e a pressão absoluta no ponto F é igual a 231.g. a) PA (Abs) = PAtm + Póleo + Págua + Paz. g .68 x 1000 kg/m3 = 680 kg/m3 b) PB (Abs) = PA (Abs) + PB (Rel) = PA (Abs) + água. d mercúrio = 13. hágua PB (Abs) = 134. g .g.68 kPa PA (Rel) = Gas. b) A pressão absoluta e relativa no fundo do reservatório. hgas = 680 kg/m3 x 9.hH2O +az.g.33 kPa + 33.81 m/s2 x 1 m = (134.g.oliva +Hg.81 m/s2 x 5 m = 33.81) kPa  144.Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos PA (Abs) = PAtm + Pman + PA(Rel) PA (Abs) = 101. Villar Alé C-21 .68 + 9. Dados: d óleo = 0.oliva + PHg PA (Abs)=PAtm +óleo. b) a densidade do azeite de oliva.5 kPa [ 7] Observando a figura e os dados seguintes. determine: a) a massa específica do azeite de oliva.68 kPa + 1000 kg/m3 x 9.haz.354 kPa Gas = d x água à 4°C = 0. 354 kPa  134.hHg Jorge A.89 . oliva   a .2.89 x 10 0 3  890 kg /m b) água à 4C m d az. 2.5  1000.81.hH 2O   Hg .0.hHg g .oliva  água à 4C 1370 kg / m3   d az.hóleo   H 2O .oliva  1.haz .g .5  13600.  890.g .81 2 .81  az.oliva  231300  101330  9.28kPa Obs: A pressão em B é maior que a pressão em A C-22 PUCRS .oliva  38982 kg m.1.oliva   az.Mecânica dos Fluidos  az .s 2 m 9.37 1000 kg / m3 [8] Um manômetro diferencial é conectado a dois tanques como mostrado na figura.4  Pa 9.g .o  PF  PATM   óleo .9 m s m . 2. (b) indicando em que câmara a pressão é maior. (a) Determine a pressão entre as câmaras A e B.9 m s2  1370 kg / m 3 óleo kg 3 dóleo   óleo  dóleo x água à 4C  0. PA   óleo gh1   Hg gh2   tetra gh3  PB PA  PB  37. Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos [ 9 ] Numa tubulação industrial é utilizado um tubo de Venturi conectado a um manômetro diferencial como mostrado na figura. A deflexão do mercúrio no manômetro diferencial é de 360mm e a velocidade da água no ponto B é de 9,73m/s. Determine a variação de pressão entre os pontos A e B. Obs. Densidade do mercúrio: 13,6. x   360  750  x  360   a g  PB    x13,6  a g    a g  1000 1000 1000 1000        PA   a g   PA  PB   (360 x13,6  369  750)9,81  52kPa 1000 PROBLEMAS PROPOSTOS - Conceitos de Pressão (Cap2) [ 1 ] O sistema da Fig. encontra-se aberto a atmosfera. Se a pressão atmosférica é 101,03 KPa e pressão absoluta no fundo do taque é 231,3 kPa determine a pressão relativa entre a água e Jorge A. Villar Alé [ 2 ] A Fig. mostra o efeito da infiltração de água num tanque subterrâneo de gasolina. (a) Se a densidade da gasolina é 0,68 determine (a) pressão absoluta e relativa na interfase gasolina-água e (b) pressão abs. e relativa no fundo do tanque. R: (a) P(abs) 135 kPa P(rel) 33,67 kPa (b) P(bas) 144,8 kPa P(rel) 43,48 kPa C-23 Mecânica dos Fluidos o aceite de oliva. Obs: Densidade do óleo SAE 0,89. Densidade do mercúrio 13,6. [4] Os recipiente A e B da figura contém água sob pressão de 294,3 kPa e 147 kPa respectivamente. Determine a deflexão do mercúrio (h) no manômetro diferencial. Na Fig. x + y = 2,0 m. Massa específica da água: 1000 kg/m3; Massa específica do mercúrio: 13600 kg/m3 C-24 [5] Determinar a altura h2 (mm) no manômetro da Fig. considerando que a diferença de pressão pB-pA=97kPa. Considere água com massa especifica igual a 1000 kg/m3. A densidade do óleo e do mercúrio é dada na Fig. R: 22cm PUCRS Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos [ 6 ] Seja a água contida na câmara pressurizada mostrada na Fig. Massa específica da água 1000 kg/m 3. Massa especifica do mercúrio 13550 kg/m3. Determine a pressão manométrica no ponto A. R: 20,92 kPa. [ 7 ] Um manômetro em U é fixado a um reservatório fechado contendo três fluidos diferentes como mostra a Fig. A pressão (relativa) do ar no reservatório é igual a 30kPa. Determine qual será a elevação da coluna de mercúrio do manômetro. R: y=626mm [8] Um manômetro diferencial é usado para a medição da pressão causada por uma diminuição da seção reta ao longo do escoamento. Massa específica da água = 1000kg/m³. Massa específica do mercúrio = 13600kg/m³. (a) Determine diferença de pressão entre os pontos A e B (b) Quanto corresponde essa diferença de pressão em metros de coluna de água ? R: (a) (PA - PB) =375,72 kPa (b) 38,2 mH20 [9] Um manômetro diferencial é conectado a dois tanques fechados como mostrado na Fig. Determine a diferença de pressão entre as câmaras A e B indicando em que câmara a pressão é maior. R: (PA - PB) = -37, 28 kPa (PB > PA) Jorge A. Villar Alé C-25 R: 8.75 kPa [ 13 ] Um reservatório de grande porte (Fig. R: (a) 2.p2 = 870Pa.95.6. Considere que h1=30cm e h2=10cm. A pressão absoluta em A é igual a 350 kPa.45m (b) 251. Densidade do mercúrio: d=13.0 kPa [ 11 ] Determinar a deflexão h do manômetro da figura abaixo. O reservatório é fechado e pressurizado tendo uma pressão absoluta igual a 180 kPa.12 kPa C-26 PUCRS .R: 42.88 e dB=2. R: (a) 6.84mm [ 12 ] Para o reservatório mostrado determinar a pressão manométrica lida no instrumento. (Obs. quando a variação de pressão p1 .Mecânica dos Fluidos [10] Determine a pressão na tubulação com água (A) considerando que o manômetro em U esta aberto para a atmosfera. ( b ) Determine a pressão absoluta em B.) contém água.6). O fluido manométrico apresenta um peso especifico igual a 30 KN/m3. tendo uma região ocupada por mercúrio com densidade igual 13. Considere as densidades dos fluidos dA=0. Obs: água a 200C: Massa especifica 1000 kg/m3. Determinar ( a ) A altura h2 em (metros) da coluna de água. CAP 3 FLUIDODINÂMICA PROBLEMAS RESOLVIDOS (A seguir estes problemas estão resolvidos) 1. No tempo t=0 o ar escapa do tanque Jorge A.3 PROBLEMAS RESOLVIDOS – Conservação da Massa (Cap.Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos [14] Dado o esquema da figura: a) Qual a leitura no manômetro (Pa) . b) Qual a força (N) que age no interior do reservatório sobre o topo. Villar Alé C-27 .5) [1] Um tanque com volume de 0. R: (a) 200 Pa (b) 2000 N.05 m3 contêm ar a pressão absoluta de 800 kPa. 02m2 A2=0. [3] Um dispositivo semelhante ao da figura abaixo é utilizado para escoamento de água em regime permanente.6m/s.05 m3 contêm ar a pressão absoluta de 800 kPa. O ar que passa pela válvula tem uma velocidade de 311 m/s e uma massa especifica de 6. D2=75mm V1=0.05m2 A3= A4=0.04m2. Determine a taxa instantânea de variação da massa especifica do ar no tanque. em t=0. [2] Um fluido escoa numa tubulação de raio R em regime laminar e permanente. Solução Exemplo 1 [1] Um tanque com volume de 0.9m/s e V2=0.0i m/s. No tempo t=0 o ar escapa do tanque C-28 PUCRS . considerado saindo do dispositivo.Mecânica dos Fluidos através de uma válvula com uma área de escoamento de 65mm 2 . Aplique a Eq.03m3/s. integral da conservação da massa para obter uma expressão que representa a variação da altura da água (dh/dt) devido ao enchimento do reservatório. A vazão entrando na seção (4) é igual a 0. A velocidade V é dada pela equação:    r V  U max  1     R   2  iˆ  Onde r é a distancia radial a partir do eixo central do tubo. O fluxo de massa através da seção (3) é de 60 kg/s. [ 4 ] O reservatório da figura abaixo é abastecido com água por duas entradas sendo que ar é aprisionado no topo do reservatório. A velocidade entrando na seção (1) é igual a V1=3. As áreas das A1=0. Na figura D1=25mm. Considerando as propriedades do fluido uniformes através de todas as entradas e saídas do fluxo determine o fluxo e massa e velocidade na seção (2). Determine o fluxo de massa da tubulação.13 kg/m 3. As propriedades no resto do tanque podem ser consideradas uniformes a cada instante. 48 kg/m3 no momento de ser aberta a válvula (t=0).13 3  x m2   x   kg        m  1000  s  3 1000 x1000  2. em t=0. Como as propriedades são uniformes: Podemos retirar  da integral do primeiro termo. Determine a taxa instantânea de variação da massa especifica do ar no tanque. O ar que passa pela válvula tem uma velocidade de 311 m/s e uma massa especifica de 6. Villar Alé C-29 .c.) não é uma função do tempo:        1V1 A1 t       1V1 A1 t    65  kg  311  m  6. (2) Escoamento uniforme na seção (1). As propriedades no resto do tanque podem ser consideradas uniformes a cada instante. porem dependentes do tempo. Equação Básica  d  VdA  0 sc t vc Hipóteses: (1) As propriedades no tanque são uniformes.  Na superfície (1) o fluido esta saindo e o produto VdA é positivo (+). Jorge A.48 3  / s t 0.  d        d  VdA  0 t  vc  sc  Como  O fluido atravessa a fronteira unicamente na seção (1).Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos através de uma válvula com uma área de escoamento de 65mm 2 .05 m  m     Significa que a massa especifica esta diminuindo a uma taxa de 2.13 kg/m 3.  Se as propriedades são uniformes na superfície (1) vc     VdA  0 sc  t      sc VdA  A1 VdA    A1 VdA   1V1 A1     1V1 A1  0 t  Como o volume do tanque (v. Mecânica dos Fluidos Solução Exemplo 2 [2] Um fluido escoa numa tubulação de raio R em regime laminar e permanente. Solução: A Eq. Determine o fluxo de massa da tubulação.   m     V dA 1 1 1        2V2 dA2   VdA Considerando o elemento de área da seção do tubo : dA  2πrdr R   r     u max  1   m   R  0  2  ( 2r ) dr  2 R   r    u max 2   1   m   rdr  R   0  Resolvendo a integral : R   r 0  1   R   2   r2 r4  1      rdr   4  R   2  R2  4   u max 2  m      R  2   R2 R4  1  2   R2 R2  R2         4  R   4  4  2  2   0 u max u R 2   max A 2 2 Pode ser verificado que neste escoamento laminar a velocidade media é u  C-30 u max 2 PUCRS . A velocidade V é dada pela equação:    r V  U max  1     R   2  iˆ  Onde r é a distancia radial a partir do eixo central do tubo. básica utilizada é a que representa o princípio da conservação da massa definida como:  d  VdA  0 sc t vc Hipóteses:  Escoamento permanente  Escoamento incompressível  Velocidade não-uniforme nas seções onde o fluido cruza as fronteiras. c.04m2 kg  3  60 Fluxo de massa em (3): m (+) s Vazão em (4) : Q4=0. 03  30kg / s (-) entrando no v. m m 4   V4 A4  Q4  1000 kg m3 x 0 .c.02m 2  60kg / s (-) entrando no v. Villar Alé C-31 . As seções ondeo fluido atravessa as fronteiras:       VdA   VdA   VdA  sc A1 A3      VdA   VdA  0 A3 A4 Considerando escoamento uniforme e propriedades uniformes nas seções de entrada e saída do fluido no v.Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Solução Exemplo 3 [3] Dados Áreas: A1=0.c.c.    V  dA m 1  m 2  m 3  m 4  0 sc kg m  1   V1 A1  1000 3 x3.   Os vetores velocidade e de área apontam em sentido contrário.    VdA   V A2 2    VdA   V 3 A3 A3    VdA  A4  2Não sabemos se o fluido esta entrando o saindo nesta seção A2   V2 A2  m A2  V A4 4  3 (+) Pelo enunciado sabemos que o fluido esta na seção 3 saindo do v.02m2 A2=0.0iˆ s Consideramos a massa específica da água igual a 1000 kg/m3 A Eq.c. A4   V4 A4  m Significa que o fluido esta entrando na seção 4 no v. m s m  3  60kg / s (+) saindo do v. (-)4 Os vetores velocidade e de área apontam em sentido contrário. s m3 m 1  m 2  m 3  m 4  60  m 2  60  30  0 kg  2  30 m Como o valor é positivo (+). Básica utilizada é a que representa o princípio da conservação da massa definida como:  d  VdA  0 sc t vc Hipóteses: (1) Escoamento permanente (2) Escoamento incompressível (3) Propriedades uniformes em cada seção onde o fluido cruza as fronteiras.0 x0. A1 VdA  A1 V1 A1   V1 A1  m 1(-) Significa que o fluido esta entrando na seção 1 no v. significa que na seção (3) o fluido está saindo do v.c. s Para determinar a velocidade em (2):  2  V2 A2 m Jorge A.c. Aplicando a Eq. A3  V3 A3  m Por tanto os vetores velocidade e de área apontam no mesmo sentido.05m2 A3= A4=0.03m3/s  m Velocidade em (1) V1  3.c. Na figura D1=25mm.6m/s.  1 m 2 0 d  m t A V  A2V2 dh Q1  Q2   1 1 t Ares Ares     2 2 dh  D12V1  D22V2  0.5) [1] Água saí de um bocal estacionário e atinge uma chapa perpendicular ao fluxo.18m2. Aplicando a Eq.6m / s na forma vetorial: V2  0.0172m / s t 4 Ares 4 0. V2  Solução Exemplo 4 [ 4 ] O reservatório da figura abaixo é abastecido com água por duas entradas sendo que ar é aprisionado no topo do reservatório. Notamos que os ângulos de inclinação das seções 3 e 3 não são necessários para avaliar o fluxo de massa.9m/s e V2=0.9  0.Mecânica dos Fluidos  2 m 30 m   0.4 PROBLEMAS RESOLVIDOS – Quantidade de Movimento (Cap.025 x0.01m2.6    0.18 1.6 ˆj (aponta em sentido negativo do eixo y) A2 1000 x0. A velocidade da água ao sair do bocal é de 15m/s.075 x0. integral da conservação da massa se obtém uma expressão que representa a variação da altura da água (dh/dt) devido ao enchimento do reservatório dada por: Ares  dh 1 m 2 0 m dt Determinar dh/dt considerando que a área do reservatório: Ares=0. C-32 PUCRS . D2=75mm V1=0. A área do bocal é de 0.05 s Obs. Determinar a força horizontal sobre o suporte. (Massa especifica da água 1000 kg/m3).05m 3/s e uma velocidade de 8m/s. [ 5 ] Utilizando as equações da quantidade de movimento determine a força horizontal e vertical exercida sobre a superfície mostrada na figura. O jato escoa livremente na atmosfera. Determinar: força necessária para manter o cotovelo no lugar. O ângulo da placa é de 600 Respostas: Rx=883. Determinar as componentes x e y da força que exerce a placa plana a água.Determine as reações nas direções x e y. [3] Considere o escoamento de água através de um cotovelo de 900 em regime permanente.39 N [ 6 ] Determinar a velocidade do jato de água que sai de um bico de 50mm de diâmetro o qual permite o equilíbrio da plataforma com peso de 700N. Considere o jato como sendo com diâmetro de 100mm.1 m/s atinge uma chapa curvada como mostrado na figura. (b) Determine a forças resultante e o ângulo em que atua.0025 m2 e o fluido é descarregado a pressão atmosférica (101kPa).4mm de diâmetro com velocidade de 6. A velocidade do jato de água e igual a 15m/s. Villar Alé C-33 .01 m 2 .57 N Ry= 1530. e com velocidade igual a 16 m/s. Jorge A.Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos [2] Um jato de água de 25. Na entrada a pressão absoluta igual a 221 kPa e seção igual a 0. Na saída a seção é igual a 0. (a) Considere que o ângulo  definido na figura é igual a 600. [4] Uma fonte decorativa tem uma vazão igual a 0. Obs. O fluido escoa de (1) para (2).Mecânica dos Fluidos [ 7 ] Uma tubulação horizontal de 200mm de diâmetro faz uma curva de 1800. (b) Qual a vazão do jato. C-34 PUCRS . Determine pelo método simplificado. Obs. Na tubulação escoa um derivado de petróleo líquido com massa especifica igual a 900 kg/m3 com vazão de 150 m3/h. [ 8 ] Um jato de água de 60mm de diâmetro incide sobre uma placa tal como mostrado na Figura. Se o peso total suportado é de 825N determine: (a) qual será a velocidade do jato. Determine a força exercida pelo fluido na curva se a pressão relativa no ponto (1) é de 100 kPa e pressão no ponto (2) é igual a 80 kPa. A área do bocal é de 0.y) e um volume de controle (v. Jorge A. Fx  p atm A  R x  p atm A Por tanto Fx  R x A quantidade de movimento na direção .C. Solução: Escolhemos um sistema de coordenadas (x.01m2. Villar Alé C-35 . Fluido água =1000 kg/m3 Pressão atmosférica Patm=101 kPa.Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Solução Exemplo 1 Água saiu de um bocal estacionário e atinge uma chapa perpendicular ao fluxo. Dados:  Velocidade do jato: V  15iˆm / s Área do bocal: An=0.) como mostrado na figura.x.c. A velocidade da água ao sair do bocal é de 15m/s. Equações Básicas        Fs  FB  vcVd  scVVdA t Hipóteses: Escoamento permanente Escoamento incompressível Escoamento uniforme em cada seção onde o fluido cruza as fronteiras do V. Determinar a força horizontal sobre o suporte. Admitimos que Rx atua no sentido positivo (+) do eixo x.01m2.  Fs      VVdA sc Analisamos as forças na direção . Determinar: Força resultante.x:         VVdA sc  x    uVdA A1  uVdA   u    A1 A1    VdA   uV1 A1 O vetor velocidade apresenta uma única componente V1=u1=15m/s. Forças de campo desprezíveis. y) e um volume de controle (v.  u1  150 Fx   m Solução: Exemplo 2 Um jato de água de 25.1 m/s atinge uma chapa curvada como mostrado na figura. Como todo o sistema está submetido a pressão atmosférica sua atuação anula-se. m  u1 A1  1000 kg m x15 x0.4mm de diâmetro com velocidade de 6.01m 2  150kg / s (+) saindo do v.0251m. 3 s m A velocidade na seção 2 é igual a zero (u2=0) kg m x15  2250 N Aponta no sentido contrário ao eixo x.) como mostrado na figura. Área do bocal: Djato=0. O jato escoa livremente na atmosfera. C-36 PUCRS . s s Obs.  Na forma vetorial Fs  2250iˆN Método simplificado No método simplificado : Fx  Q  u 2  u1  Fx  m  u 2  u1  A massa especifica é determinada com as condições da seção 1.Mecânica dos Fluidos  uV1 A1  15 Rx  m kg m x1000 3 x15 x 0. Dados:  Velocidade do jato: V  15iˆm / s Pressão atmosférica Patm=101 kPa.01m 2  2250 N s s m    uVdA  2250 N A1 Como é negativo aponta no sentido contrário do eixo x.c. Fluido água =1000 kg/m3 Solução: Escolhemos um sistema de coordenadas (x. Determinar as componentes x e y da força que exerce a placa plana a água.c. Admitimos que Rx atua no sentido positivo (-) do eixo x.Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Equações Básicas       Fs  FB   vcVd  scVVdA t Hipóteses: Escoamento permanente Escoamento incompressível Escoamento uniforme em cada seção onde o fluido cruza as fronteiras do V.(Somente agem forças no eixo .c. Forças de campo desprezíveis.0251m.1iˆm / s e desta forma u1=6.) Igualando os termos:  R x  u1 V1 A1 e por tanto Rx aponta no sentido contrário ao admitido Vetor velocidade:  Ponto (1) V  6.  Fs      VVdA sc Análise de escoamento em (1) (Somente agem forças no eixo . Fsx  p atm A  R x  p atm A Por tanto Fsx   R x A quantidade de movimento na direção . Admitimos que Ry atua no sentido positivo (+).1m/s. Fsy  p atm AH  R y  p atm AH Por tanto Fsy  R y  Pela conservação da massa em (2) V  6.1m/s.x. Villar Alé A2 C-37 .1x10-4m2 R x  u1 V1 A1  6.1 m kg m x1000 3 x 6.x) Fsx     uVdA sc Analisamos as forças na direção . Consideramos que o jato é uniforme Área do bocal: Djato=0.c. e A1=A2=5.1 x 0.98 N s s m Análise de escoamento em (2) .C. v A2  2      V2 dA2   v 2  V2 dA2 v 2 V2 A2 (fluido saindo da s.) Jorge A.y) Fsy  v  2  V2 dA2 A2 Analisamos as forças na direção .1 ˆjm / s e desta forma: v2=6.x:    uVdA   u 1 A1  V dA    u V A 1 1 1 1 1 A1 (fluxo entrando no v.y.00051m 2  18. 11 3 s s m Fx  m  u 2  u1   u1  3.98 N u1=6.) m kg m u1 V1 A1  4.x.98 N v1=0 v2=6.x) Fsx     uVdA ( considerando força de campo FBx=0) Analisamos as forças na direção .11x 6.98 N s s m R y  v 2 V2 A2  19. Para simplificar trabalharemos com a pressão relativa sc Fsx  p r1 A1  R x A1= 0. Análise de escoamento em (1) (Somente agem forças no eixo .Mecânica dos Fluidos v 2 V2 A2  6.11x 6.1 x0.1m/s u2=0 e desta forma: Fx   m   v 2  v1  Fy  m  v 2  3. Obs.0113 m 2  160 N s s m R x  p r1 A1  u1 V1 A1 C-38 PUCRS . Apresente a equação integral geral do problema e aplique as simplificações (hipótese) do escoamento. Na seção (2) da saída ó diâmetro é igual 60 mm sendo o fluido descarregado a pressão atmosférica com velocidade igual a 16 m/s.C.        Fs  FB  vcVd  scVVdA t Hipotese e escoamento: Escoamento permanente Escoamento incompressível Escoamento uniforme em cada seção onde o fluido cruza as fronteiras do V. Na seção (1) da entrada o diâmetro é 120 mm.1 x0.1  18. Determinar: A força resultante Rx e Ry.c.00283m2 A quantidade de movimento na direção .0113m2 A2= 0.000511m 2  18.0 x0. a velocidade é igual a 4m/s e a pressão relativa igual a 120 kPa.1m/s e desta forma: Fy  m Solução: Exemplo 3 [ 3 ] Considere o escoamento de água através de um cotovelo de 900 em regime permanente. Admitimos que Rx atua no sentido positivo (-) do eixo x.1  18.00051m 2  3.1 m kg m x1000 3 x6.98 N (Com o sentido admitido originalmente no sentido positivo (+) Método simplificado O fluxo de massa é dada por:   u1 A1  1000 m kg m kg x6.x:       u  V d A  u   V   u1 V1 A1 1 1 1 1 1 dA1   A1 A1 (fluxo entrando no v.0 x1000 3 x 4. Determine as reações nas direções x e y.05m 3/s e uma velocidade de 8m/s. Villar Alé C-39 .66 s Componentes da velocidade em y: Jorge A.) (+) m kg m v 2 V2 A2  16 x1000 3 x 16 x0. Admitimos que Ry atua no sentido positivo (+).00283m 2  724 N s s m R y  v 2 V2 A2  724 N (Contrario ao sentido admitido originalmente) Solução: Exemplo 4 Uma fonte decorativa tem uma vazão igual a 0. Desta forma analisamos unicamente as forças de superfície: Fsy  p r 2 A2  R y  como pr2=0.   V1  u1iˆ  v1 ˆj V2  u 2 iˆ  v 2 ˆj Componentes da velocidade em x: O ângulo formado entre o plano horizontal e o veto V2 é: 1800 – (450 + 600)= 750 m u2  V2 cos(750 )  8 cos 750  2.c. (a) Considere que o ângulo  definido na figura é igual a 600. No presente exercícios consideramos desprezível força de campo FB .28 m s s m Análise de escoamento em (2) (Somente agem forças no eixo .0113  160 N  1516 N kg m kg   V2 A2  1000 3 x16 x 0.y. A componente de força de campo FBy não pode ser avaliada já que não conhecemos o volume ou a massa de fluido no interior de cotovelo.Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos R x   p r1  A1  u1 V1 A1 R x  120 x1000  0.y) Fsy  FBy  v 2   V2 dA2 A2 Analisamos as forças na direção . 05  50 3 s s m Resta determinar as componentes dos vetores de velocidade na entrada e saída do v. (b) Determine a força resultante e o ângulo em que atua.  Fsy  R y     v  V d A  v   V 2 2 2 2 2 dA2   A2  v 2 V2 A2 A2 (fluido saindo da s. No método simplificado: Equações utilizadas: F x F y   u 2  u1  m   v 2  v1  m O fluxo de massa pode ser determinado como: m  V1 A1  Q  1000 kg m3 kg x 0 .c.00283m 2  45.07 s m 0 0 u1  V1 cos 45  8 cos 45  5. 118 m3 s  Rx  1000 x 0. Não que existe variação das propriedades no tempo no V.Mecânica dos Fluidos m s m v1  V1 sin 45 0  8sin 45 0  5.C.66m/s v2  V2 sin 750  8 sin 750  7.y) Força Resultante: R ( 179.5m / s   m 2  0.66 s Como v1 aponta em sentido contrario ao eixo-x fica com sinal negativo: v1= -5. Fazendo analise em x:  Fx  Q v Q  V1 A1  15 x2 m s  v x1  onde:  x 0.73 Força Resultante em x: F x  R x  50 kg  2.73  5.  Escoamento uniforme na entrada (1) e na saída (2).  Escoamento com velocidades unidimensionais.66  669.5 N s (Aponta em sentido contrário ao eixo . Considere que a lamina de fluido mantém a mesma espessura em toda sua trajetória.4 N C-40 PUCRS .5 R x2  R y2  Ângulo formado pela resultante: Tan   2  693N Ry Rx  75 0 Solução: Exemplo 5 [ 5 ] Determine a força horizontal exercida sobre a superfície mostrada na figura.       Fs  FB   vcVd  scVVdA t Hipóteses:  Escoamento em regime permanente.1 4  x  2 v x1  15m / s v x 2  15 cos 60  7. A velocidade do jato de água é igual a 15m/s.5 N s (Aponta no mesmo sentido que o eixo .x) Força Resultante em x: F y  R y  50 kg  7.5) 2   669.5  15  Rx  883.118 x 7.66  179.07  5.  Escoamento com considerando fluido incompressível. Villar Alé C-41 .052 Solução: Exemplo 7 [ 7 ] Uma tubulação horizontal de 200mm de diâmetro faz uma curva de 1800. O fluido escoa de (1) para (2).33m / s D 2 4 Fx  Q  u 2 x  u1x   R x  P1 A1  P2 A2  Q u 2 x  u1x   R x   P1  P2  ( A1 )  Q  u 2 x  u1x  conforme os eixo de coordenados: u1x=1.33m/s e u2x= -1.8  5652  5552 N 3600 Solução: Exemplo 8 [ 8 ] Um jato de água de 60mm de diâmetro incide sobre uma placa tal como mostrado na Figura. Determine a força exercida pelo fluido na curva se a pressão relativa no ponto (1) é de 100 kPa e pressão no ponto (2) é igual a 80 kPa.33  1. P1=100kPa P2=80 kPa 150 A1=A2 Velocidade media na tubulação: V  3600  1.88m / s 1000 0. F y  Q v 2  v1  Jorge A. Obs. Na tubulação escoa um derivado de petróleo líquido com massa especifica igual a 900 kg/m3 com vazão de 150 m3/h.  Fy  m (v1 )  m (v2 ) F y  (v1 )  0  m  W   vAv W  v 2 D 2 4 4W  D 2 v 4 x700  18. Obs.0314  99. Se o peso total suportado é de 825N determine: (a) qual será a velocidade do jato. (b) Qual a vazão do jato. Determine pelo método simplificado.33m/s R x   Q  u 2 x  u1x    P1  P2  ( A1 ) R x  900 x 150 x( 1.Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Solução: Exemplo 6 [ 6 ] Determinar a velocidade do jato de água que sai de um bico de 50mm de diâmetro o qual permite o equilíbrio da plataforma com peso de 700N.33)  100  80  x0. (Massa especifica da água 1000 kg/m3). água=1000 kg/m3 .60 N [ 3] O jato de água de 6 cm de diâmetro atinge uma placa contendo um orifício de 4cm de diâmetro. O ângulo da placa é de 600 R:: Rx=883.29 Kg/s e pressão relativa em (1) igual a p1=232 kPa. Determine a forças resultantes (Rx e Ry) sobre o flange. Na seção (2) o diâmetro D2=5cm e a pressão é igual a p2=patm=101. R: 981. Determine a força horizontal necessária para conter a placa. Os diâmetro da tubulação é D1=100mm e o diâmetro do bocal na saída é D2=30mm. O ângulo em relação ao plano horizontal é igual a 40 0. Parte do jato atravessa pelo orifício.25 N Ry=-212. Nestas condições do escoamento o manômetro de coluna de mercúrio apresenta uma altura de h=58cm. Considere um fluxo de massa igual 15. A velocidade do jato de água e igual a 15m/s.5 825  D 2 1000 x  4    4 x825 x1000 x1000  17. Considere o jato como sendo com diâmetro de 100mm.75N [ 4 ] A figura mostra o escoamento de água na qual a tubulação apresenta uma redução de seção. (a) Determine a pressão relativa na seção (1) ( b ) Determine a força total que os flanges resistem.39 N [ 2 ] Considere uma tubulação que escoa água com a curva mostrada na figura. e parte é defletida.57 N Ry= 1530. R:: Rx=2105.08m / s 1000 xx60 2  PROBLEMAS PROPOSTOS – QUANTIDADE DE MOVIMENTO [ 1 ] Utilizando as equações da quantidade de movimento determine a força horizontal e vertical exercida sobre a superfície mostrada na figura.32kPa. Hg=13600 kg/m3 C-42 (1) V1=5m/s (2) D1=8cm água D2=5cm P2=Patm h=58cm y x mercúrio PUCRS . Na seção (1) o diâmetro D1=8cm e a velocidade V1=5m/s.Mecânica dos Fluidos F y  W  825 N  825  v1 A 0  v1  825  v12 A v1  1. 72kPa. Determine a forca Rx que deve ser exercida pelos tubos adjacentes para suportar o bocal convergente. [5 ] A figura mostra um bocal convergente montado numa linha de uma tubulação industrial. A área total do duto e A 2=0. A água e eficazmente misturada e deixa a bomba com uma corrente uniforme na seção 2.075m2. Determine a velocidade na seção de saída. [ 9 ] Uma bomba de jato de água tem área de Aj=0.4 N. Determinar a força resultante no eixo-y (Ry) considerando que a velocidade V1=10m/s sendo o diâmetro da lamina de fluido homogênea e igual a 30mm.7 KPa (b) Rx=164.01m2 e uma velocidade Vj=30m/s. Villar Alé C-43 . Obs. O jato fica dentro de uma corrente secundaria de água com velocidade V1=3. A diferença de pressão entre os pontos 1 e 2 é 24. [ 7 ] No sistema representado na figura escoa água em regime permanente ( =1000 kg/m3).0m/s. Obs: água 1000kg/m3 mercúrio 13600kg/m3. Massa especifica da água 1000 kg/m3 ‘ [ 10 ] Num Venturi escoa água conforme mostrado a figura. O ângulo da placa inclinada é igual a 450. Os manômetros instalados antes e após o bocal apresentam as pressões indicadas na figura. Considere que o fluido e gasolina com massa especifica igual a 680 kg/m3. Considere d1 = 2d2 = 16cm.Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos (a) 71. Desconsiderar a perda de carga. O manômetro de mercúrio indica uma altura H=20cm. Jorge A. Sistema em regime permanente e propriedades uniformes na entrada (1) e saída (2) do fluido. Calcular o fluxo de massa no sistema. A água sai a pressão atmosférica em forma de jato devido a placa plana com diâmetro de 100 mm. [ 8 ] Determinar a força de reação no sistema apresentado na figura no qual escoa água (=1000 kg/m3 ) numa tubulação de 400mm de diâmetro com velocidade media igual a 5 m/s. Na entrada da bomba as pressões do jato e da corrente secundaria são iguais. 179x10-6 m2/s.s Determine (a) a perda de carga da tubulação.7) [ 1 ] Numa tubulação horizontal escoa água através com uma vazão de 0. numa vazão de 1. A pressão máxima permitida na saída da bomba é de 1200 psi.s. O tubo é de ferro galvanizado diâmetro interno igual a 48 pol. para graficar o perfil de velocidades.1m 3/s.4MW [4 ] As cabeças borrifadoras num sistema agrícola devem ser supridas com água através de 500 pés de tubo de PVC utilizando uma bomba acionada por motor de combustão interna. [2] Determinar a perda de carga numa tubulação de 150mm de diâmetro e 30 metros de comprimento na qual escoa glicerina com uma velocidade media igual a 4. (c) Tensão de cisalhamento na parede da tubulação. a vazão de descarga da bomba é de 1500 gpm a uma pressão não superior a 65psig. R: (a) hL=13. O diâmetro da tubulação é igual a 150mm. Para tais condições determine o espaçamento máximo possível entre as estações de bombeamento.Mecânica dos Fluidos EXEMPLOS ESCOAMENTO VISCOSO INTERNO 1. Considere água a 200C.4 kPa/m (c)  W = 204 N/m2.93 e viscosidade cinemática igual 1. os borrifadores devem trabalhar a 30psig ou mais. Para uma operação satisfatória. Para um comprimento de tubulação de 10 metros determinar a variação de pressão na tubulação e a tensão de cisalhamento na parede. O petróleo a temperatura de bombeamento tem densidade igual a 0. Determine o diâmetro do tubo padrão que pode ser empregado. A rugosidade do tubo é de 0. A glicerina esta a uma temperatura de 25 oC e com o qual a massa especifica é igual a 1258 kg/m3 e a viscosidade dinâmica igual a 9. Na sua faixa de operação de maior eficiência. (d) A eq.1464mm. As perdas localizadas e as variações de elevação podem ser desprezadas. (d) V=6. C-44 PUCRS .6x10-1 Pa. Se a eficiência da bomba é 85%. A pressão mínima requerida para manter os gases dissolvidos em solução é 50psi. (b) o gradiente de pressão da tubulação. R: 27.6 e Cap.6 PROBLEMAS RESOLVIDOS – Escoamento Viscoso em Dutos (Cap.0149. A 20 0C a água tem uma massa específica igual a 999 kg/m 3 e viscosidade dinâmica igual a 1.0 m/s. (e) O valor da velocidade para r = R/2. determine potência que deve ser fornecida em cada estação de bombeamento. R: P=16 kPa  W = 60 N/m2.6 milhão de barris por dia (1barril=42galões). O fator de atrito da tubulação é igual a 0.0m/s [ 3 ] Petróleo bruto escoa através de um trecho horizontal do oleoduto do Alasca.3 m (b) 5.0x10-3 Pa. Obs. 2x10-4 Pa.s) de uma ponto A até um outro ponto B com uma pressão de 550kPa. deve transportar-se benceno a 500C (d=0.Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos [5] Numa planta de processamento químico. no diagrama de Moody se obtém um fator de atrito igual a 0. A diferença de altura entre o nível do fluido no reservatório e a saída do fluido na tubulação é igual a 15m. Na seção (1) o diâmetro D1=8cm e a velocidade V1=5m/s. O diâmetro da tubulação é igual a 50mm. =900 kg/m3 =0. de Energia determine a perda de carga entre (1) e (2) ( c ) Aplicando a equação da quantidade de movimento determine a força total que os flanges resistem. O ponto A esta conectado ao ponto B por uma tubulação de pvc nova com diâmetro interno igual a 50mm. =4. água=1000 kg/m3 . Nestas condições do escoamento o manômetro de coluna de mercúrio apresenta uma altura de h=58cm. Villar Alé C-45 . ( b ) Aplicando a Eq. Com relação à horizontal. Obs.26mm. Na saída (ponto B) a pressão é igual a pressão atmosférica (101. A perda de carga do sistema é igual a 12 metros de coluna de fluido (hL=12m). [6] A figura mostra o escoamento de água na qual a tubulação apresenta uma redução de seção. (a) Determine a perda de carga na tubulação. Considere que a perda de carga na tubulação igual a 3.2m /s por um tubo de ferro fundido de 500m de comprimento e 200mm de diâmetro o qual apresenta um rugosidade =0. Na seção (2) o diâmetro D2=5cm e a pressão é igual a p2=patm=101. Nestas condições.91m. [8] No sistema mostrado escoa água em regime permanente de A para B. Determinar a pressão requerida na saída da bomba considerando que o benzeno deve ser transportado com uma vazão de 110 litros/min. ( a ) Aplicando as relações de manométrica determine a pressão relativa na seção (1). Jorge A. (b) Determine a queda de pressão se o tubo tem um ângulo de declive de 100 no sentido do escoamento.32 kPa) Determinar (em A) qual a pressão relativa e pressão absoluta para que o fluido escoe com uma vazão 12 litros/segundo. Antes do ponto A esta instalada uma bomba.00001 m2/s.0225.32kPa. R: 760kPa.86. Hg=13600 kg/m3 (1) (2) D1=8cm V1=5m/s água D2=5cm P2=Patm h=58cm y x mercúrio 3 [7] Óleo escoa com uma vazão de 0. o ponto A esta 21 metros abaixo do ponto B. Obs. [ 14 ] Determine a perda de pressão (Pa) e o coeficiente de perda de carga num laminador de fluxo instalado num duto de 50 cm de diâmetro no qual escoa ar a 20 0C com =1. [ 11 ] Dois reservatórios são conectados por 100m de tubulação retilínea com diâmetro de 50mm e rugosidade relativa igual a 0.002. Qual será a perda de carga na tubulação em metros de coluna de água. A vazão e igual a 2. Determine a perda de carga na tubulação para uma vazão de 15 m3/h.6. Determinar a tensão de cisalhamento. (Densidade do mercúrio 13.s. A massa especifica do fluido é igual a 780 kg/m 3 e a viscosidade dinâmica igual a 1.s. A perda de carga da tubulação e acessórios e igual a 27.7x10-3 Pa.002 no qual escoa água a 20 oC com uma vazão de 0.0 m/s.999 e viscosidade dinâmica igual a 1.1 m3/s.2 kg/m3 =1. considere para água a 200C a densidade igual a 0. Obs: massa especifica da água 1000 kg/m3 [ 10 ] Numa tubulação de 150mm de diâmetro e 30 metros de comprimento escoa um fluido com velocidade media igual a 4.. [13] Uma experiência de laboratório foi realizada na disciplina para determinar a perda de carga entre os pontos A e B distantes 150cm numa tubulação de 7mm de diâmetro.6x10-1 Pa. Determinar a perda de carga entre os pontos A e B em função da leitura manométrica do sistema apresentado na figura abaixo. Massa especifica da água 1000 kg/m3).29m. C-46 PUCRS .Mecânica dos Fluidos [ 9 ] Água flui de um reservatório através de uma tubulação com 750mm de diâmetro para uma unidade geradora (turbina) e sai para um rio que localizado a 30 metros abaixo da superfície do reservatório. Ambos reservatórios estão abertos á atmosfera. Determine a perda de carga da tubulação.s.s.8x10-5 Pa.0x10-3 kg/m. [ 12 ] Determinar a diferença de pressão (em kPa) ao longo de uma tubulação de aço de 150mm de diâmetro e comprimento igual a 10m e rugosidade relativa igual a 0. Obs. Considere a massa especifica igual a 1258 kg/m 3 e a viscosidade dinâmica igual a 9.0 m 3/s. O laminador e formado por tubos lisos de 30 cm de comprimento e 4 mm diâmetro.  Determine a potencia da maquina considerando um rendimento global de 88%. 6 litros/s. 2.88 N  x  0.0216.15 2 x9. Villar Alé C-47 . Calcule a potência requerida pela bomba em Watts considerando um rendimento global de 70%. numa tubulação de 122m de comprimento e 50mm de diâmetro.Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos [ 15 ] Água e bombeada entre dois reservatórios abertos para a atmosfera a uma vazão de 5.81  15. 1. O somatório de todos os coeficientes de perda de carga dos acessórios e igual a Σk=13. O diâmetro da tubulação é igual a 150mm. da energia: pA u2 pB u2  A  z A  hL   B zB g 2g g 2 g como a tubulação é horizontal (z1=z2) e do mesmo diâmetro (v1=v2) pA p  B  hL g g onde a perda de carga é dada por:  5. Solução: Exemplo 1 [ 1 ] Numa tubulação horizontal escoa água através com uma vazão de 0.06kPa  60 2 4 L 4 10 m Solução: Exemplo 2 [ 2 ] Determinar a perda de carga numa tubulação de 150mm de diâmetro e 30 metros de comprimento na qual escoa glicerina com uma velocidade media igual a 4.1m 3/s.001 sendo que o coeficiente de atrito da tubulação igual a 0.0149.81 2 hL  f p A  p B  ghL  1. Obs.6m sendo (1) a superfície livre do reservatório de aspiração (antes da bomba) e (2) a superfície livre do reservatório de recalque (após a bomba).66  1. =1000 kg/m3 =1. Considere Z1=6. O diâmetro da tubulação é igual a 150mm.2.(b) a potencia de acionamento da bomba. A glicerina esta a uma temperatura de 25 oC e com o qual a massa Jorge A.s.66m/s. O fator de atrito da tubulação é igual a 0. Para determinar a variação de pressão na tubulação utilizamos a Eq. Para um comprimento de tubulação de 10 metros determinar a variação de pressão na tubulação e a tensão de cisalhamento na parede.2m 3/s.1m e Z2=36.s.0149 x x D 2g 0. continuidade determinamos a velocidade que é igual a 5.15 15.0x10-3 Pa.0 m/s. A rugosidade relativa e igual a 0. Considere que para a temperatura de 200C a água tem uma massa específica igual a 999kg/m3 e viscosidade dinâmica igual a 1.02x10-6 m2/s. Para um comprimento de tubulação de 1000 metros determinar (a) a variação de pressão na tubulação. ] [ 16 ] Numa tubulação horizontal escoa água através com uma vazão de 0.62 x999 x9.0x10-3 Pa. Pela Eq.62mca L v2 10  0. Considere que para a temperatura de 20 0C a água tem uma massa específica igual a 999 kg/m3 e viscosidade dinâmica igual a 1.88kPa Desta forma a tensão de cisalhamento na parede é dada como: w  D p 0. 6x10 -1 Pa.28 x1258 x9.Mecânica dos Fluidos especifica é igual a 1258 kg/m3 e a viscosidade dinâmica igual a 9.93 e viscosidade cinemática igual 1.15 Re    786 . Para tais condições determine o espaçamento máximo possível entre as C-48 PUCRS .   r u  u max  1      R  2   com umax=2umedio = 2x4m/s=8m/s   r u  8. (d) A equação apropriada para graficar o perfil de velocidades.28mca 64 L v 2 64 30  x Re D 2 g 786 0. A variação de pressão p  ghL  13.s Determine (a) Perda de carga da tubulação.   1 u  8. A rugosidade do tubo é de 0.81  163kPa O gradiente de pressão p 163kPa kPa   5. O tubo é de ferro galvanizado diâmetro interno igual a 48 pol. A pressão mínima requerida para manter os gases dissolvidos em solução é 50psi. D=150mm T=25oC L=30m =9. O petróleo a temperatura de bombeamento tem densidade igual a 0.0 x0.Escoamento La min ar  9.6 milhão de barris por dia (1barril=42galões). (c) Tensão de cisalhamento na parede da tubulação.97x10-5m2/s.6x10-1 V=4. (e) O valor da velocidade para r = R/2.1464mm.6 x10 1 Para escoamento laminar a perda de carga é dada por: hL   4  13.81 2 64 L v 2 Re D 2 g hL  Determine o gradiente de pressão da tubulação.15 2 x9. (b) Determine o gradiente de pressão da tubulação.4 L 30m m Tensão de cisalhamento na parede da tubulação W f v 2 64 v 2     4 2 Re 8 desta forma W  64 42  N  x1258  204 2  786 8  m  A equação apropriada para graficar o perfil de velocidades. numa vazão de 1.0 1      2  2  =6m/s  Solução: Exemplo 3 [ 3 ] Petróleo bruto escoa através de um trecho horizontal do oleoduto do Alasca. Determinamos o Número de Reynolds VD 1258 x 4.0 1      R  2   O valor da velocidade para r = R/2.0m/s =1258 kg/m3 Perda de carga da tubulação. A pressão máxima permitida na saída da bomba é de 1200 psi. 5psi.6 x10 6 barris dia 01 barril = 42 galões Q  gal 1. determine potência que deve ser fornecida em cada estação de bombeamento.Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos estações de bombeamento.86  344.83 x1000 hL  f 930 x9.32m. p1 u2  1  z1  h L  H g 2g A  p2 u2  2 z2 g 2 g Simplificações  Não existem equipamento adicionado ou retirando energia entre o ponto 1 e 2 portanto HR=0 e HA=0  A tubulação apresenta o mesmo diâmetro portanto v1=v2. Escoamento numa tubulação: comprimento desconhecido Dados: Q=1. =85% Q  1.81  869. de Energia entre o ponto 1 e o ponto 2.6 x10 6 x 42  46666.86kPa) P2=50 psi. Com tais simplificações se tem: hL   p1  p 2   P g g o valor limite da perda a de carga é dada por: hL   8275.67 24 x 60 min Conversão 01 galão/min = 6.1464mm D=48 pol ( 1220mm) DR=0.94 m3 s Aplicamos a Eq. Villar Alé C-49 . (344. ou 1psi  6.  Como os pontos estão na mesma altura z1=0 e z2=0.309x10-5 m3/s Q  46666. Se a eficiência da bomba é 85%.83 kPa) Ferro galvanizado =0.309 x10 5  2. (275.93 oú =930 kg/m3 =1.97x10-5 m2/s. fluido (neste caso de Petróleo bruto) L V2 D 2g Com tal equação podemos explicitar o comprimento da tubulação Jorge A.6 milhões de barris dia 100kPa = 14.c.897kPa P1=1200 psi.67 x6. 32  191. As perdas localizadas e as variações de elevação podem ser desprezadas.51m / s A D 2  1. Para uma operação satisfatória. 9    3.94    2.7 (1.74  0. A eficiência da bomba é definida como a relação entre o potencial adicionado pela bomba ao fluido e a potência subministrada à bomba (potência motriz). Determine o diâmetro do tubo padrão que pode ser empregado. C-50 PUCRS .  Bomba  Potência adicionada pela bomba ao fluido Potência fornecida para a bomba Desta forma a potência fornecida para a bomba: Pmotriz  H A gQ G Pmotriz  869.00012 Re  Re  VD a velocidade media  VD   2.22 2  1.2kW 0.22 2 x9.25 log   0.74   f  0.8km 2 f V 0.7 Re  D 2g f V2   2     /D= 0.22 1.01722 5 0 .1464mm/1220mm=0.55 x10 )     D 2g 1.81x 2.94  27432.32 x930 x9.01722 2.32m A potência teórica adicionada pela bomba ao fluido pode ser determinada como: PA  H A gQ onde  é a massa específica do fluido e Q a vazão.97 x10 5 V  Q 4Q 4 x 2.00012   5. a vazão de descarga da bomba é de 1500 gpm a uma pressão não superior a 65psig.85 Solução: Exemplo 4 [ 4 ] As cabeças borrifadoras num sistema agrícola devem ser supridas com água através de 500 pés de tubo de PVC utilizando uma bomba acionada por motor de combustão interna.51x1.Mecânica dos Fluidos L  hL    / D 5. os borrifadores devem trabalhar a 30psig ou mais. Na sua faixa de operação de maior eficiência.55 x10 5 2   0.25 log  3.81 L  hL  869.512 A bomba deverá fornecer (adicionar) no ponto 1 uma energia equivalente a perda de carga HA=hL=869.9 onde f  0. ou 1psi  6. Com tais simplificações se tem: hL   p1  p 2   P g g Assumindo os valores extremos estamos considerando Pamx hL  hL  f  448. Villar Alé f D5 C-51 .c.02x10-6 m2/s =998 kg/m3 L=152m P  1109.81  24.715 Jorge A. (448.02x10-6 m2/s.16 kPa) P2 >= 30 psig (206.85 kPa) p1 u2  1  z1  h L  H g 2g A  p2 u2  2 z2 g 2 g Simplificações  Não existem equipamento adicionado ou retirando energia entre o ponto 1 e 2 portanto HR=0 e HA=0  A tubulação apresenta o mesmo diâmetro portanto v1=v2.16  206.015mm Fluido: água a 200C Tabela: =998 kg/m3 =1.5psi.85 x1000 1000 x9.095 m3/s =1.897kPa P1<= 65psig.Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Escoamento num Sistema de Irrigação: Diâmetro desconhecido Dados: Q=1500 gpm (95 lts/s) L=152m Tubo de PVC =0.agua L V2 D 2g Igualando os termos P  f L V2  D 2g (Pa) Para trabalhar com o diâmetro substituímos a velocidade pela vazão (V=Q/A): P  f L   4Q    D 2  D 2  2  f L  16 Q 2 L 8 Q2 8  L  1  f   f  2 Q2  5 D 2  2 D4 D  2 D5 D    D Substituindo Q = 0.  Como os pontos estão na mesma altura z1=0 e z2=0.6m. 100kPa = 14.  Pmax significa que o diâmetro assumido é adequado. de Energia entre o ponto A e B. Antes do ponto A está instalada uma bomba.01435 0.  Tomando como eixo de referencia o nível do ponto A: ( ZB . 6. Se Pcal. 2.001834 m3/s) Solução: Aplicamos a Eq. < Pmax significa que podemos diminuir o diâmetro e recalcular Se Pcal. (Pa) 57 kPa < (241. D=50mm (A=0. Considere que a perda de carga na tubulação igual a 3.04 D Procedimento Iterativo.31 kPa) 201. Solução: Exemplo 5 [5] Numa planta de processamento químico. ( 0.5) Determinamos o Re.31 kPa Quando o diâmetro não corresponde ao diâmetro comercial do tubo devemos recalcular e verificar os dados. Dados: Fluido Benzeno d=0. Com Re e e/D determinamos o fator de atrito f Com D e F obtemos a variação de pressão Se Pcal. Resposta: 760kPa. Com relação à horizontal. Por exemplo Eq. Substituindo os dados   D 2      D Re  118586. Obs.001 Re 3. 5.001964m2) Q=110 l/min. deve transportar-se benzeno a 500C (d=0.000487 0. Admitimos um valor para o diâmetro.ZA) =21m  C-52 PUCRS . Não existe turbinas retirando energia do sistema (HR=0)  Como não existe perda de carga localizada (hLacc=0) hLT= hL  Como a tubulação entre A e B não muda de diâmetro.2x10-4 Pa. pela continuidade AA=AB e portanto vA=vB. 1. O ponto A esta conectado ao ponto B por uma tubulação de pvc nova com diâmetro interno igual a 50mm.86 T=500C =4.s PB=550kPa. de Bresse. pA u2 p u2  A  z A  H AD  H R  hLT  B  B  z B g 2g g 2 g Simplificações: Como a bomba esta antes do ponto A HAD=0 . > Pamx significa que devemos aumentar o diâmetro e recalcular.91m. 7. Diâmetro (mm) 308 150 Continuar /D 0.01378 Pcal. ( D=Q0. =4.86. 3. Determinar a pressão requerida na saída da bomba considerando que o benzeno deve ser transportado com uma vazão de 110 litros/min. 4.Mecânica dos Fluidos Re  VD  4Q  D  4Q  1     .85x105 8x105 f 0. o ponto A esta 21 metros abaixo do ponto B.s) de uma ponto A até um outro ponto B com uma pressão de 550kPa.2x10-4 Pa. de Manometria: P1R  (  M   a ) gh  (13600  1000) x9. Hg=13600 kg/m3 (1) V1=5m/s (2) D1=8cm água D2=5cm P2=Patm h=58cm y x mercúrio Aplicando Eq. e explicitando a pressão em A: pA p  B   z B  z A   hLT g g Devemos determinar a perda de carga da tubulação hL  f Considerando: velocidade: v=Q/A =0.7 kPa (Relativa) Aplicando Eq.93  0. L V2 240  0. Na seção (1) o diâmetro D1=8cm e a velocidade V1=5m/s.58  71.32kPa. Jorge A.Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos pA pB  z A  hLT  zB g g reorganizando os termos.005  9563 (escoamento turbulento) 4. fluido g 860 x9. Nestas condições do escoamento o manômetro de coluna de mercúrio apresenta uma altura de h=58cm.05 2 x9.934 m/s v Reynolds: Re  V D  Re  L V2 D 2g Q 0.4 com /D=0 .81  759.93 A 0.2x10 .c. de Energia determine a perda de carga entre (1) e (2) ( c ) Aplicando a equação da quantidade de movimento determine a força total que os flanges resistem. ( b ) Aplicando a Eq.81m D 2g 0.001834   0.81x 0.81  90m. ( a ) Aplicando as relações de manométrica determine a pressão relativa na seção (1).81 2 hL  f p A  90 x860 x9.018.018 x x  3. água=1000 kg/m3 .81 pA 550 x1000   21  3.tubo liso no Diagrama de Moody achamos f=0. Na seção (2) o diâmetro D2=5cm e a pressão é igual a p2=patm=101.30kPa Solução: Exemplo 6 [6] A figura mostra o escoamento de água na qual a tubulação apresenta uma redução de seção. Villar Alé C-53 . de Energia.001964 860 x 0.934 x 0.  (v 2  v1 )  71.07  0.1N R x  p1 A1  m Solução: Exemplo 7 [7] Óleo escoa com uma vazão de 0.c. =900 kg/m3 =0. O diâmetro da tubulação é igual a 50mm.012  6.00001 m2/s.7 x0. Na saída (ponto B) a pressão é igual a pressão atmosférica (101. fazemos desprezível o termo de energia cinética da mesma.23m   Aplicando Eq.81        7. PB= 101. A diferença de altura entre o nível do fluido no reservatório e a saída do fluido na tubulação é igual a 15m.0225.37 2  0. (Pressão Atm. (a) Determine a perda de carga na tubulação. pA u2 pB u2  A  z A  hL   B zB g 2g g 2 g Considerando a velocidade em A muito pequena comparada com a velocidade na tubulação.12(12.0225  116 m D 2g 0. de energia aplicada entre os pontos A e B. pA pB u2  z A  hL   B zB g g 2 g C-54 PUCRS .32 kPa) Determinar (em A) qual a pressão relativa e pressão absoluta para que o fluido escoe com uma vazão 12 litros/segundo.f.012 x 0.7 x1000   5  12.8    1000 x9.81   2 x9.3  7.05 4 2  0. no diagrama de Moody se obtém um fator de atrito igual a 0.33kPa.2m3/s por um tubo de ferro fundido de 500m de comprimento e 200mm de diâmetro o qual apresenta um rugosidade =0. A perda de carga do sistema é igual a 12 metros de coluna de fluido (hL=12m).12m / s 0. Dados Q=12 l/s=0.Mecânica dos Fluidos  p  p2 hL   1 g   v 2  v 22    1 2g     2 2  71. padrão) ZB – ZA= 15m D=50mm Com a vazão podemos determinar a velocidade na tubulação: v Q  D   4   2   0.26mm. hL  f L V2 500 6. Solução: Exemplo 8 [8] No sistema mostrado escoa água em regime permanente de A para B.005 x1000  25. Nestas condições.012m3/s hL=12 m. fazendo não tendo máquinas adicionado (bombas) o extraindo (turbinas) energia.2 2 g Continuar: R: P=265Pa.00196 A Eq. (b) Determine a queda de pressão se o tubo tem um ângulo de declive de 100 no sentido do escoamento.8  5)  163. da Quantidade de movimento. 0056 W    4536Watts  0.12 2 pA   15   12  1.s.Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Utilizando nesta expressão a pressão relativa.6x10-1 Pa.9  15  12  28.. Jorge A.90m g 2 x9.81x 28.29m. Determine a perda de carga da tubulação.6 + 101.81x57.81 em unidades de pressão. Villar Alé C-55 . Obs: massa especifica da água 1000 kg/m3 pA u2 p u2  A  z A  hL  H A  B  B  z B g 2g g 2 g H A  hL  z B  z A H A  27.6kPa A pressão absoluta pA= pA(Rel) + pAtm = 283.80 x0. Solução: Exemplo 9 [ 9 ] Água flui de um reservatório através de uma tubulação com 750mm de diâmetro para uma unidade geradora (turbina) e sai para um rio que localizado a 30 metros abaixo da superfície do reservatório.5  57. Perda de carga da tubulação.0 m3/s. em B temos que PB=0.0 m/s.80m gH AQ 1000 x9. Considere a massa especifica igual a 1258 kg/m 3 e a viscosidade dinâmica igual a 9.29  30. A perda de carga da tubulação e acessórios e igual a 27.  Determine a potencia da maquina considerando um rendimento global de 88%. a pressão relativa em A é dada como: p A 1000 x9.33 =385 kPa.90  283. Desta forma a pressão relativa em A é dada como: pA u2  B   z B  z A   hL g 2g considerando a massa especifica do fluido =1000kgm/3 6.7 Solução: Exemplo 10 [ 10 ] Numa tubulação de 150mm de diâmetro e 30 metros de comprimento escoa um fluido com velocidade media igual a 4. Obs. A vazão e igual a 2. 15 2 x9.88kPa C-56 PUCRS . Ambos reservatórios estão abertos á atmosfera. Obs.002 5.0149 x x D 2g 0.62 x999 x9.s.Escoamento La min ar  9.002.05 2 x9.12 x0.28mca 64 L v 2 64 30  x Re D 2 g 786 0.9   3.0x10-3 kg/m. Determine a perda de carga na tubulação para uma vazão de 15 m3/h.635 (turbulento)  1.74 f  0.81  15.7 hL  f Re         VD 780 x 2.15 Re    786 .81 2 hL  Solução: Exemplo 11 [ 11 ] Dois reservatórios são conectados por 100m de tubulação retilínea com diâmetro de 50mm e rugosidade relativa igual a 0. de energia. A variação de pressão ma tubulação é dada pela Eq.25 log   48635 0.81 2 hL  f p A  p B  ghL  1.s. considere para água a 200C a densidade igual a 0.7x10-3 Pa.81 Solução: Exemplo 12 [ 12 ] Determinar a diferença de pressão (em kPa) ao longo de uma tubulação de aço de 150mm de diâmetro e comprimento igual a 10m e rugosidade relativa igual a 0.999 e viscosidade dinâmica igual a 1.0 x0.12 m V   2 s D x0.1 m3/s.6 x10 1 Para escoamento laminar a perda de carga é dada por: hL  64 L v 2 Re D 2 g  4  13.15 2 x9.05 2 4x   0.002 no qual escoa água a 20 oC com uma vazão de 0. Qual será a perda de carga na tubulação em metros de coluna de água. 15 4Q 3600  2.28m D 2g 0.0268 x  12.7 x10 3 2  0.66  1. A massa especifica do fluido é igual a 780 kg/m 3 e a viscosidade dinâmica igual a 1. pA u2 pB u2  A  z A  hL   B zB g 2g g 2 g como a tubulação é horizontal e do mesmo diâmetro pA p  B  hL g g  5. Determinar a tensão de cisalhamento.Mecânica dos Fluidos Número de Reynolds VD 1258 x 4.05   48.0268 L V2 100 2.62mca L v2 10  0.12 2  0. O laminador e formado por tubos lisos de 30 cm de comprimento e 4 mm diâmetro.Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos a tensão de cisalhamento na parede é dada como: w  D p 0. pA u2 pB u2  A  z A  hL   B zB g 2g g 2 g Tubulação é horizontal e do mesmo diâmetro: hL  pA p  B g g Aplicando Eqs.0 x0004   1600 . de manometria obtemos: p A   agua gh x   Hg gh   agua g (hx  h)  p B p A   Hg gh   agua gh  p B p A  p B  h  Hg   agua  g p A  p B  0.6.74 x1000   4.3713600  1000  x9.74kPa hL  p A  pB 45.s. (Densidade do mercúrio 13.2 kg/m3 =1.8x10-5 Pa.66m g 1000 x9m81 Solução: Exemplo 14 [ 14 ] Determine a perda de pressão (Pa) e o coeficiente de perda de carga num laminador de fluxo instalado num duto de 50 cm de diâmetro no qual escoa ar a 20 0C com =1.88 N  x  0.2 x6.15 15. Massa especifica da água 1000 kg/m3). VD 1.81  45.88 kPa  W=60 N/m2 Solução: Exemplo 13 [ 13 ] Uma experiência de laboratório foi realizada na disciplina para determinar a perda de carga entre os pontos A e B distantes 150cm numa tubulação de 7mm de diâmetro.8 x10 5 Para escoamento laminar a perda de carga é dada por: Re  Jorge A.Escoamento La min ar  1.06kPa  60 2 4 L 4 10 m Respostas P=15. Determinar a perda de carga entre os pontos A e B em função da leitura manométrica do sistema apresentado na figura abaixo. Villar Alé C-57 . O diâmetro da tubulação é igual a 150mm.7 H A  27.6 litros/s.05 2 x9.81 2 hL  f hac   K  2.001 sendo que o coeficiente de atrito da tubulação igual a 0.1m e Z2=36.02x10-6 m2/s.91mca 64 L v 2 64 0.5  57.15  848.0056 W    4536Watts  0.00 Turbulento.91   2.0x10-3 Pa.82m D 2g 0.0 x10 3 PUCRS .2 x9.6m sendo (1) a superfície livre do reservatório de aspiração (antes da bomba) e (2) a superfície livre do reservatório de recalque (após a bomba).0216. O somatório de todos os coeficientes de perda de carga dos acessórios e igual a Σk=13. ] pA u2 p u2  A  z A  hL  H A  B  B  z B g 2g g 2 g H A  hL  z B  z A L V2 122  2.3  x Re D 2 g 1600 0.2 2g 2 x9.8 Pa hL  k v2 2g k 2 ghL 2 x9.(b) a potencia de acionamento da bomba.151.81x 4. Calcule a potência requerida pela bomba em Watts considerando um rendimento global de 70%.81 2 64 L v 2 Re D 2 g hL  P  ghL P  1.29  30.81 2 gH AQ 1000 x9. Para um comprimento de tubulação de 1000 metros determinar (a) a variação de pressão na tubulação.2.80m Solução: Exemplo 16 [ 16 ] Numa tubulação horizontal escoa água através com uma vazão de 0. Considere Z1=6.1m 3/s.67 V2 62 Solução: Exemplo 15 [ 15 ] Água e bombeada entre dois reservatórios abertos para a atmosfera a uma vazão de 5. 1.81x57. =1000 kg/m3 =1.s.80 x0. pA u2 pB u2  A  z A  hL   B zB g 2g g 2 g Como a tubulação é horizontal e do mesmo diâmetro pA p  B  hL g g C-58 onde: Re  VD   5. A rugosidade relativa e igual a 0.Mecânica dos Fluidos hL   6   4.46m V2  13. Obs.66 x999 x 0.85  5.81x 4.0216  21.85  0. Considere que para a temperatura de 200C a água tem uma massa específica igual a 999kg/m3 e viscosidade dinâmica igual a 1.91  57. numa tubulação de 122m de comprimento e 50mm de diâmetro.004 2 x9. [ 3 ] Para condições de escoamento laminar.15 2 x9. com densidade 0.s /m2 .9x10-4m2/s.81  1280kPa 1. R: 8.089 Pa.81 2 hL  f p A  p B  ghL  130.14m.62 x999 x9.7   1280 x 0.Perda de Carga em Tubulações (Cap. número de Reynolds e tensão de cisalhamento na parede da tubulação.000 Turbulento (b) Re=1600 Laminar. Determine a vazão em m3/s. A pressão em A é de 1068. Determine o diâmetro do tubo necessário para descarregar a gasolina com uma vazão de 0. sendo a pressão neste ponto de 2.24x10-5 m2/s.68 kPa e em B é de 34.00114m3/s.912.056  0.07m/s (b) óleo combustível pesado a 150C escoando com a mesma velocidade considerando que apresenta uma viscosidade cinemática igual a 20. para tubos lisos com Re > 105 f  0. Considere a glicerina com massa especifica igual a 1260 kg/m3 e viscosidade cinemática 1. R: hL=1.Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos Da apostila. R: (a) Re 290. [ 6 ] Um óleo combustível pesado escoa de A para B através de 914.265bar.1  128kW W PROBLEMAS PROPOSTOS . O ponto 1 localizado a 966m de tubo do ponto 2.5mm.012 L v2 1000  5.37 m/s Re= 1247 (laminar)  W=45. R:: =0.0444m3/s.918 e viscosidade cinemática é de 41.s [ 5 ] Um óleo com viscosidade absoluta de 0.101 Pa. R: D=60mm [ 4 ] Um óleo lubrificante médio.47 kPa.4m de um tubo horizontal de açõ de 152mm.1m/s.66  0. está elevado na elevação de 83m. [ 2 ] Determine o tipo de escoamento que ocorre num tubo de 305mm quando (a) água a 15 0C que escoa a uma velocidade de 1.48x10-7 m2/s.53x10-5 m2/s.0222 m 3/s de óleo combustível pesado a 16 oC com viscosidade cinemática v=2.4 N/m2. Obs. [ 7 ] Que diâmetro de tubo deve ser instalado para transportar 0.85 escoa através de 3000m de tubulação de ferro fundido com 300 de diâmetro com uma vazão de 0. Jorge A. Se a queda de pressão for 200kPa qual será a viscosidade absoluta do óleo. R: D=258 mm [ 9 ] Por um tubo inclinado 300 de 100mm de diâmetro escoa glicerina a 300C em sentido ascendente. qual o diâmetro da tubulação que poderá conduzir 0. Para gasolina a 200C a massa específica é igual a 6.7m. Obs. O óleo apresenta uma densidade de 0. R: D=170mm [ 8 ] Uma quantidade de gasolina esta sendo descarregada de um tubo em um ponto de 2 a 67m de elevação.86 é bombeado através de 300m de um tubo horizontal de 50mm de diâmetro a razão de 0.s e densidade 0.039m3/s. Determine a perda de carga no tubo. A vazão é de 900 L/h e a queda de pressão entre as duas seções distantes 2m é de 0. utilizando a Eq.92x104 N. determinar a viscosidade cinemática e dinâmica e verificar se escoamento é realmente laminar. V=2.62mca D 2g 0.32  0. Villar Alé C-59 .0057m 3/s de óleo combustível médio a 4oC com viscosidade cinemática igual a 6. Considerando escoamento laminar. R:(a) V=0. R: Q=0. Entre as seções de 1 e 2 distantes 10m se mede uma diferença de pressão p1-p2=0.09x10-6 m2/s. [ 10 ] De um deposito de óleo com massa especifica igual a 900 kg/m 3 sai uma tubulação de 13mm de diâmetro. Determinar a perda de carga velocidade do escoamento.4) [ 1 ] Determine a velocidade crítica para (a) gasolina a 20 0C escoando em um tubo de 20mm e (b) para água a 20 0C escoando num tubo de 20mm. Se a rugosidade do tubo é de 0.05x10-4m2/s e densidade igual a 0.5(8 x10 5 ) 0.5kPa. A perda de carga disponível nos 300 m de tubo é de 6. Adote a hipótese inicial de escoamento laminar e verifique posteriormente tal hipótese.012 x x  130.8bar.065m/s (b) V=0. Para gasolina considere massa especifica igual a 719 kg/m 3 e viscosidade dinâmica igual a 2.10m3/s.47m. R: a) f=0. Na tubulação existe um registro globo aberto com comprimento equivalente de 50 metros e duas junções com coeficiente de perda de carga igual a 0. distantes 560m. [13] Uma queda de pressão de 700 kPa é medida sobre um comprimento de 300m de um tubo em ferro forjado de 10cm de diâmetro que transporta óleo (d=0. Considerando escoamento em regime laminar determinar a viscosidade cinemática e dinâmica do fluido. Usando um perfil exponencial determine.Laminar  w=43Pa Nota: exercício similar resolvido no Fox ( Cap.35m c) hacc=hval-globo + hjunção=2. Verifique se de fato o escoamento é laminar como suposto no problema. Considere que para a temperatura de 20 0C a água tem uma massa específica igual a 999kg/m3 e viscosidade dinâmica igual a 1.s.037 Pa.25mm e diâmetro de 150mm determinar. Para um comprimento de tubulação de 10 metros determinar a variação de pressão na tubulação e a tensão de cisalhamento na parede.037 m3/s [14] Que diâmetro de uma tubulação horizontal de 400m de comprimento deve ser escolhido para transportar 0. Posição radial em que u( r ) = Umedia : r=15.74m/s.004 m3/s de água a 200C.4.023 b) hl=22. c) Determine a perda de carga localizada pelos acessórios presentes na tubulação. b) Determinar com o fator de atrito (obtido pela equação) a perda de carga na tubulação em metros de coluna de fluido e em Pascal. O diâmetro da tubulação é igual a 150mm.1x10-5 m2/s Re  590 .9 v=10-5 m2/s).s =4. Determine a vazão: (a) Procedimento iterativo (b) Método explicito. a) Determine o fator de atrito por equação apropriada e compare o resultado utilizando o diagrama de Moody.2m 3/s. d) Determina a perda de carga total pela tubulação mais acessórios. A tubulação é de ferro fundido com rugosidade de 0. A vazão é de 900 litros/hora e a queda de pressão na tubulação entre duas seções distantes 2 metros é de 0.0x10-3 Pa. R: V=1.76x10-5 m2/s =3. R: D=40mm [15] Um deposito com óleo com massa especifica igual a 900 kg/m 3 é conectado a uma tubulação horizontal de 13mm de diâmetro interno.s [ 11 ] Numa tubulação horizontal escoa água através com uma vazão de 0.04m d) hlT= hl+ hacc 25m C-60 PUCRS . de escoamentos em dutos) [16] Se requer bombear 40 litros/segundo de água de um deposito a outro 40m mais elevado. Determine a tensão de cisalhamento na parede. O fator de atrito da tubulação é igual a 0.2mm Tensão de cisalhamento na parede  w=22Pa Queda de pressão considerando um comprimento de 10m  P=22kPa. R: P=16 kPa  W = 60 N/m2.Mecânica dos Fluidos Ra: v=3. [12] Um tubo liso horizontal de 4cm de diâmetro transporta 0. (a) (b) (c) (d) (e) Fator de atrito Velocidade máxima Posição radial em que u( r ) =Umedia Tensão de cisalhamento na parede Queda de pressão considerando um comprimento de 10m Respostas:      Fator de atrito f=0.338x10-2 Pa. R: Q=0.265bar.88 m/s =0.0149.0173 Velocidade máxima Umax=3.002 m3/s de água a 200C de modo que a perda de carga não exceda 30m (a) Utiliza método iterativo (b) Utilize método explicito. Determine a perda de carga total do sistema de Bombeamento e a potência de acionamento da bomba considerando que apresenta um rendimento de 76%.2kW.s C-61 . de perda de carga .z1) =10m H=217.Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos [ 17 ]O sistema de bombeamento trabalha com uma vazão de 0. A válvula de globo aberta apresenta um comprimento equivalente Le=30D onde D é o diâmetro da tubulação. A tubulação de aspiração tem um comprimento de 15 metros. Considere uma tubulação é de aço com rugosidade igual a 4.0 curva de 900 0.5 Entrada do reservatório de recalque 1. Elemento Coef.6x10-5m. Villar Alé Fluido .57 R: hL=207.4m W=33. Jorge A.K Saída do reservatório de aspiração 0. A tubulação de aspiração tem um diâmetro de 100 mm e a tubulação de recalque apresentam um diâmetro interno de 50mm. A tubulação de recalque tem um comprimento de 200 metros.015 m3/s.4m (z2 .álcool 24oC =789 kg/m3 = a 5.6x10-4 Pa. R: (D=165. Saída em canto agudo R: (3.7 e Cap.06mm.342m3/s e a rugosidade =0. [2] Óleo com =1000 kg/m3 =0. Determinar a perda de carga da tubulação.2kW) Coeficiente de perda de carga 0.2 m3/s por um tubo de ferro fundido de 500m de comprimento e 200mm de diâmetro.342 m3/s). R: hL=18. [9] Uma tubulação de fibrocemento de 100m de comprimento e diâmetro de 200mm apresenta uma rugosidade de 10 4 m escoando água a 200C com uma vazão de 62.22 kg/m3 =1.21mm).Mecânica dos Fluidos 1. [10] Num duto de concreto (= 3.46x10-5 m2/s e forcado através de um duto horizontal quadrado de 229mmx229mm de 30m de comprimento. C-62 PUCRS . Determinar a vazão. =1000 kg/m3 =1.84 m/s) (0. R: (0.0x10-5 m2/s escoa por um tubo de 100m de comprimento com uma perda de carga de 8m sendo a vazão Q=0. por um tubo de 122m de comprimento e 50mm de diâmetro e diversos acessórios como mostra a figura.37m ) (13.37m.02x10-6 m2/s e bombeada entre dois reservatórios abertos para a atmosfera a uma vazão de 5.001. Determine a velocidade media e a vazão.091mm determine a queda de pressão. R: (Q=0. R: (117m ) (265 kPa).0x10-5 m2/s escoa por um tubo de 30cm de diâmetro e 100m de comprimento com uma perda de carga de 8m.6m sendo (1) a superfície livre do reservatório de aspiração (antes da bomba) e (2) a superfície do reservatório de recalque (após a bomba).5 6. – Solução Iterativa.1m e Z2=36.3 m) – Solução Iterativa. Determinar o diâmetro da tubulação.7 1.83m/s.02x10-6 m2/s. R: (258 N/m2) [7] Água com 1000 kg/m3 =1. Cotovelo normal de 900 Válvula de gaveta aberta pela metade.43kPa). [6] Ar com =1.0x10-4m) de 100mm de diâmetro escoa água a 37oC com perda de carga unitária de 0.84 m/s) – Solução Iterativa. Se a rugosidade =0. Determine o diâmetro da tubulação.007155 m3/s ). Determinar (a) a perda de carga (b) a queda de pressão se o tubo tem um ângulo de declive de 100 no sentido do escoamento.8 PROBLEMAS PROPOSTOS .00001 m2/s escoa a 0.9 0. =1000 kg/m3 =1. A rugosidade relativa e 0.15 0.0002.9m. Considere Z1=6. A rugosidade relativa e 0. Obs.0115 mca/m. Acessório Entrada em canto agudo Válvula globo aberta Curva com 12 pol de raio.8) [1] Determinar a perda de carga e a queda de pressão em 61m de um tubo de ferro fundido asfaltado horizontal de 152mm de diâmetro transportando água a uma velocidade media de 1.95 3. [5] Óleo com =950 kg/m3 =2. a uma vazão de 0.26 m. [4] Determinar a velocidade numa tubulação de ferro fundido asfaltado horizontal de 61m na qual escoa água apresentando uma perda de carga de 1.708 m3/s. R: (1.0 [8] Um duto de ferro fundido de 360m de comprimento e rugosidade absoluta igual a 10 -4m conduz água a temperatura de 200C com uma vazão de 12 m3/s apresentando uma perda de carga na tubulação horizontal de 3.6 litros/s. R: (4. Calcule a potencia requerida pela bomba em Watts.8 litros/s. R: (1.02x10-6 m2/s.Escoamento Viscoso em Dutos (Cap. [3] Óleo com =950 kg/m3 =2. b) A viscosidade cinemática em St.8 N/m3.2] Uma placa plana infinita move-se a 0.5] De quanto é reduzido um volume de 1m3 de água.65cP e a densidade 0.75.105 Pa. 000 (turbulento). (b) volume específico (c) peso específico.10-3 m3/kg.6] Um líquido comprimido num cilindro tem volume de 1 litro a pressão de 1 MPa e um volume de 995 cm 3 a 2 MN/m2.s/m2. R: Re = 30.s. R: 16. 6.030.2 GPa R: 4. qual o peso do ar por m3 a uma pressão de 1atm e 20 oC.cm para manter uma velocidade angular de 180 rpm.Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos PROBLEMAS ADICIONAIS 1.4] Num motor. [1. [1.4 . R: 2. a viscosidade 0. Eixo e bucha possuem ambos 430 mm de comprimento.26 kg/m3. Villar Alé C-63 .10-2 kgf.13] Identificar o tipo de escoamento de um fluido que escoa numa tubulação de 3 cm de diâmetro a uma velocidade de 1m/s. [1. R = 6.88. [1.9 MPa e a temperatura de 20 oC.8.s e a massa específica é de 800 kg/m 3.10-4 Pa.3] Sendo 1030 kg/m3 a massa específica da cerveja. Qual é a viscosidade do fluido lubrificante se é necessário um torque de 36 kgf. [1. Determinar a massa específica. um eixo de 112 mm de raio gira internamente a uma bucha engastada de 120 mm de raio interno.10 -3 Pa.5. calcular: a) A viscosidade em Pa.7] Um gás com massa molecular 44 está a uma pressão de 0.10-3 St.3 m/s sobre outra igual e estacionária. R: 0. Problemas de Propriedades dos fluidos [1. (b) 1. R: 1. Sabe-se que a viscosidade é de 10-6 m2/s.06 N.02 m/s Jorge A. R = 0. Admitindo que a distribuição das velocidades sejam linear. R: 11. R: 3. [1. [1.3. Ev  2. (c) 7848 N/m3. Entre ambas há uma camada líquida de espessura 3 mm. R: (a) 800 kg/m3. Determine o módulo de elasticidade volumétrica do líquido. quando nele é aplicada uma pressão excedente de 1atm. Determine (a) massa específica.s. R = 7.8] Sabendo que a massa molecular do ar é 29 kg/kmol. Sabe-se que a viscosidade do fluído é 2.65 Pa.9 PROBLEMAS ADICIONAIS 1. [1.14] Calcular a velocidade máxima que um fluido pode escoar através de um duto de 30 cm de diâmetro quando ainda se encontra em regime laminar.1] A densidade de um óleo é 0. c) A tensão de cisalhamento na placa em Pa.10-5 m3. [1.5. qual sua densidade e o peso dela por garrafa? Sabe-se que o volume ocupado é 600 ml. PUCRS . Obs. Supondo o peso específico da água igual a 10 kN/m3.7] Determine PB – PA na figura.58. qual a massa de carga que pode ser colocada no navio antes que o calado atinja o valor de 9. R: 1. [2.75 produzirá uma pressão de 2. Problemas de Estática dos Fluidos [2.2] Um navio de carga tem uma seção reta longitudinal de área igual a 3000 m2 na linha d'água quando o calado é de 9 m.000 Pa. 2. [2.3 m. R: 7.105 Pa.6 Pa. Qual a profundidade em água para esta mesma pressão? R: 37. C-64 [2. 27. 28 mca.Mecânica dos Fluidos 2.pB.6] Dado o desenho abaixo.1] Que profundidade de óleo de densidade 0.8 kgf/cm2. Desconsiderar o peso específico do ar.7 kPa. R: -35. [2.25 hPa. R: 101858 Pa. calcular pA . [2.3] Determinar as pressões manométricas e absolutas em B e em C.2 m? Obs: Calado de um navio é a distância vertical entre a superfície da água e a parte inferior do casco. Reservatório aberto para atmosfera.280Pa. [2. R: 533.105 Pa.5] Qual a pressão manométrica e absoluta dentro de uma tubulação onde circula ar se o desnível do nível do mercúrio no manômetro de coluna é de 4 mm? Obs: Massa específica do mercúrio 13600 kg/m 3 e pressão atmosférica 1013.67 kPa.57. R: 96. R: 612644 kg.4] Determine a pressão efetiva (relativa) e a absoluta no tanque da figura. [3.31 m/s. A redução de seção é feita através de um elemento cônico colocado entre os dois trechos.207Pa.4] Qual a velocidade da água que escoa em um duto de 25 mm se a vazão é de 2 litros/s? R: 0.85 N/m3.181 kg/s. 12.20m.25 m/s.25m e 0. [3. [3. 55 litros [3. Jorge A.1 m/s.6] Uma tubulação cilíndrica tem um trecho com uma seção de 300 mm de diâmetro e outro com 200 mm de diâmetro. Na parte maior da seção escoa ar com peso específico 9.8 N/m3 a uma vazão de 3. R: 36 cm. b) A velocidade do ar no trecho de menor seção. Viscosidade 10-6m2/s.21 litros/s. 3m acima do ponto (B) a pressão se eleva para 144. A redução de seção é feita através de um elemento cônico colocado entre os dois trechos. R: 43.6 m/s.5] Uma tubulação cilíndrica tem um trecho com uma seção de 300 mm de diâmetro e outro com 200 mm de diâmetro.82 m3/s.8] Qual a velocidade da água através de um furo na lateral de um tanque. A pressão no ponto (A) é de 1. (Supor movimento sem atrito). se o desnível entre o furo e a superfície livre é de 2 m? [3.5 atmosferas e que a velocidade no trecho de maior diâmetro é de 0. Villar Alé C-65 . provocando uma expansão no mesmo e reduzindo o peso específico para 7.9] Um conduto que escoa água é constituído por 2 trechos. Determine o fluxo de massa. Determine o diâmetro da canalização para que a velocidade média seja 1.06 litros/s.097 m/sc) A vazão mássica do ar no escoamento.1 m/s [3. c) A vazão mássica do ar no escoamento. Re= 19490 (turbulento) [3. R: 3.32 kPa. calcule a vazão no duto e a pressão no ponto (B.42 m/s.06 litros/s b) A velocidade do ar no trecho de menor seção.1] Uma estação de água deve recalcar 450 m3/h para abastecimento de uma cidade. R: 3. R: 0.06 kg/s. Determine: a) A vazão volumétrica no trecho de menor seção. Determine: a) A vazão volumétrica no trecho de menor seção. Ao fluir para o trecho de menor seção o ar sofre uma redução de pressão e aumento de velocidade. Na tubulação escoa água líquida com massa específica de 1000 kg/m 3 a uma vazão de 3. com diâmetros de 0. R: 0.3] Determine a vazão da água (em litros/s) circulando através de um tubo de 32 mm de diâmetro. Problemas de Conservação da Massa [3. considerando a velocidade do fluido igual a 4 m/s? R: 3. A pressão atmosférica é 101. R: 3.2] Em um tubo de 150 mm escoa ar com velocidade de 3 m/s sob uma pressão manométrica de 203 kPa e uma temperatura de 27 oC.06 m3/s. Determinar a vazão e a velocidade nos pontos (A) e (B).7] Uma canalização lisa que conduz água a 15oC com diâmetro de 150 mm apresenta num determinado trecho uma seção contraída de 75mm de diâmetro onde a pressão interna é de uma atmosfera (ao nível do mar).Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos 3. [3. R: 3. Ao fluir para o trecho de menor seção a água sofre uma redução de pressão e aumento de velocidade. [4. [4. R: 41. através do duto com diâmetro de 20 cm e descarrega através do duto de descarga de diâmetro 15 cm que está instalado com uma elevação 0. A área da seção do tubo é 10 cm2. qual será a altura de carga que atua na turbina? R: 87.1] Uma turbina gera 600 Hp quando o fluxo de água através dela é de 0.2] A bomba mostrada na figura recebe água.6 kW [4. Considerando o fluido ideal.8 kW [4. Considerando um rendimento global de 87%. Determinar a potência extraída pela turbina.Mecânica dos Fluidos 4. determine a potência fornecida pela bomba. com vazão Q = 0. R: 131. Problemas de Equação de Bernoulli e Equação da Energia [4. A pressões em A e B são respectivamente 150 kPa e -35 kPa. com vazão Q = 0. R: 73. a razão de 0.5 m em relação a tubulação de sucção.3] A água escoa através de uma turbina.21 m³/s.5 m³/s.6 m 3/s. em regime permanente. As pressões estáticas nas seções (1) e (2) são.kPa. C-66 PUCRS .7 kW. P1 = 180 kPa e P2 = -20 kPa.5] O reservatório de grandes dimensões da figura descarrega água pelo tubo a uma vazão de 10 l/s.4] A figura mostra um esquema de escoamento de água. enquanto o manômetro instalado no tubo de descarga mede uma pressão p2 = 300.2 m³/s. Considerando que não há trocas de calor e desprezando o atrito. determine a potência fornecida pelo escoamento á turbina.4 m. através de uma turbina. respectivamente. Desprezando a dissipação de energia mecânica por atrito viscoso e considerando que não há troca de calor. determinar se a máquina instalada é bomba ou turbina e determinar sua potência se o rendimento for de 75%. O manômetro colocado no duto de sucção indica uma pressão p 1 = -30 kPa. 66 m Jorge A. Se a queda de pressão é 2. R: 4.1] Um fluido escoa por um tubo de 10 mm de diâmetro com um Reynolds de 1800.06 litros/min. Determine a potência que a bomba fornece ao escoamento.86 é bombeado através de 500 m de um tubo horizontal de 50 mm de diâmetro a razão de 0. a uma altura 38 m acima da bomba.8] Na instalação da figura uma bomba opera com água. Determinar a perda de carga entre as seções (1) e (2). A bomba tem potência de 3600 W e seu rendimento é de 80%. A perda de carga é de 30 m em 100 m de tubulação. No ponto (2) o diâmetro se reduz a 43 mm e a pressão é de 300 kPa.1 kgf/cm2. R: 6.051 Pa. Calcule a perda de carga entre os pontos sabendo que o desnível entre eles é de 5 m. [5. [5.6] A água flui numa tubulação. R: 4.4 m.6 m/s e a pressão é igual a 345 kPa. 5. de um reservatório de grandes dimensões com a superfície livre mantida em nível constante. qual a viscosidade do óleo? R: 0.02 m³/s. num reservatório aberto para atmosfera.2] Seja 100 m de tubo liso horizontal de PVC de 32 mm de diâmetro por onde escoa água a uma velocidade de 2 m/s. através de um duto com diâmetro D=10 cm. através de um duto de diâmetro interno d = 8 cm. a velocidade é de 0. R: 62. A perda de carga entra as seções (1) e (2) é igual a h p = 2m. A água é descarregada na atmosfera a uma velocidade de 5 m/s pelo tubo. A água é descarregada.7] A figura mostra um sistema no qual a bomba retira água.4 kW. com vazão constante Q = 0.00125 m3/s. [4.4] Calcular a perda de carga para o escoamento de 140 litros/s de um óleo de viscosidade cinemática 10 -5 m2/s num tubo horizontal de ferro fundido de 40 m de comprimento e 200 mm de diâmetro. Villar Alé C-67 .5 m [4. cuja área da seção é 10 cm 2.3] Um óleo lubrificante médio de densidade 0.s. conforme figura. No ponto (1) da tubulação o diâmetro é de 175 mm.Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos [4. R: 7.65 m. Problemas de Escoamentos Viscosos Internos [5. Calcular a vazão em litros/min.172 Pa. Determinar (a) a perda de carga (energia): R: 12. [5. (b) a variação de pressão R: 124. .82 m .RG = 0. R: 4. R: 4.VP = 18.Mecânica dos Fluidos [5. da figura. [5. b) A variação de pressão provocada pela redução. Viscosidade cinemática = 10 6 2 m /s.6] Determinar o diâmetro do tubo de aço estruturado necessário para transportar 252 litros/s de óleo. A seção sofre uma redução brusca para a metade da área.5] A água circula a 15 oC num tubo de aço rebitado de 300 mm de diâmetro e  = 3 mm com ma perda de carga de 6 m. Supondo uma tubulação lisa.2 mbomba.8] Calcular a vazão pela tubulação de ferro fundido.12 m3/s.045 mH2O. m R: 9.ST = 1. [5.4 m c) Perdas de carga . v  10 5 m 2 / s a distância de 3.15 Comprimentos Equivalentes m. R: 46 litros/s. [5.86 m.Curva ferro fundido = 0.5total.3 mmHg.c. R: 441.Curva adicionada PVC =pela 1.5 Pa. Calcular a vazão.a num comprimento de 300 m de comprimento. R: 709 W f) A potência de acionamento da bomba considerando um rendimento de 85%.3 m b) A perda de carga . determine em relação ao escoamento: a) A perda de carga provocada pela contração em altura de coluna de mercúrio. R: 3. 25.9] Seja uma tubulação cilíndrica de 4 cm2 de seção transversal por onde circula um escoamento de água a 15 oC e velocidade de 2 m/s. [5. C-68 PUCRS .VR = 6.048 m com uma perda de carga de 22. de 150 mm de diâmetro.0 m/s provocando um Reynolds de 1000.6 m [5.488 m . R: 3. R: 424 mm.03 m d) A energia.7] Seja um escoamento de um fluido através de uma válvula globo totalmente aberta conectada em uma tubulação de ferro galvanizado de 2. R: 834 W. Determinar: a) A perda de carga na sucção.10] No sistema de bombeamento a vazão (água temperatura 20 oC) é de 10 m3 /h As conexões são curvas. R: 0. Sabe-se que a velocidade do escoamento é 3. Determine em relação a válvula: (a) O comprimento equivalente.9 e) A potência hidráulica da bomba. c) A perda de carga correspondente em altura de coluna de mercúrio. R: 4.4no m recalque.9 m (b) A perda de carga provocada.5 cm de diâmetro. R: 0. R: 51000 Total de perdas localizadas. que esta a 6 m a jusante. O tubo possui um comprimento de 40m e 20mm de diâmetro. R: 441 W LISTA DE EXERCICIOS – 2010 [ 1 ] Óleo SAE 30W a 200C escoa por um tubo horizontal de 12cm de diâmetro. Ra: 43. a pressão é de 171 KPa.6 W A potência de acionamento da bomba considerando um rendimento de 80%.7 kPa Jorge A.97 m A potência hidráulica.Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos [5. Se o escoamento é laminar determine: (a) o fluxo de massa (Kg/s) e (b) o número de Reynolds.92 m A energia adicionada pela bomba. (=981 kg/m3 μ=0. Considere a perda de carga pela entrada com canto vivo do fluido no tubo e a perda de carga pela saída do fluido no tubo.002 m3/s A velocidade do escoamento. R: 1. 1580 [2] Dois reservatórios de água A e B estão conectados entre si por um tubo de ferro fundido com rugosidade de 0. a pressão é de 186 kPa. R: 352.16 kg/s. Temperatura da água 100C. Villar Alé C-69 . R: 1.26mm. sendo o reservatório B aberto a atmosfera a pressão igual a 88 kPa. R: 0. O tubo possui uma válvula de retenção e uma válvula de gaveta aberta. Na seção (2). R: 17.94 m O total de perdas de carga. Se a vazão inicial através do tubo for 1.98 m Total de perdas nas tubulações. Na seção (1). R: 0. O nível da água de ambos os reservatórios é igual.11] Seja o sistema abaixo com tubulação lisa Determinar: a) b) c) d) e) f) g) h) i) A vazão volumétrica. O reservatório A é fechado e pressurizado com ar comprimido. R: 741.02 m/s O número de Reynolds.2 Litros/s determine a pressão absoluta do ar na parte superior do reservatório A.29 kg / m s ). R: 0. Água: ρ=1000 kg/m3. Na seção menor a velocidade é igual a 10m/s sendo o escoamento turbulento. (b) 30 kPa.74m/s (c) 15.Mecânica dos Fluidos [3] Um tubo horizontal no qual escoa água tem uma expansão brusca de D 1=80mm para D2=160mm. (a) Fator de atrito (b) Velocidade máxima (c ) Posição radial em que u(r) =U media (d) Tensão de cisalhamento na parede (e) Queda de pressão considerando um comprimento de 10m R: (a) 0. A pressão absoluta a 15m antes da saída é 135 kPa. Determine a velocidade no centro do tubo.24 kg/m s.15. (a) Tomando o fator de correção da energia cinética igual a 1. a perda de carga: (a) Dobrará (b) Triplicará (c) Quadruplicará (d) Aumentara por um fator de 8 (e) Aumentara por um fator de 16 R: Aumentara por um fator de 16 [7] Um tubo liso horizontal de 4cm de diâmetro transporta 0.63x10-5 m3/s [5] No escoamento laminar completamente desenvolvido em tubo circular. (b) 3. A pressão na seção menor é de P 1=300kPa. a velocidade em R/2 (a meio caminho entre a superfície da parede e o eixo central) é medida como 6.5 mm.2mm (d) 22 N/m2 (e) 22kPa. 17m de comprimento e com rugosidade igual a 0. Faça um desenho esquemático do problema com a respectiva solução.s. Determine a elevação Z 1 para uma vazão de 6 litros/s. Se o diâmetro do tubo for reduzido pela metade enquanto a vazão e o comprimento do tubo forem mantidos constantes.0m/s. R: (a) P2=320 kPa. μ= 1.10-3 Pa.0173. Determine a vazão do óleo através do tubo. (b) Estime o erro em Pa que teria ocorrido se a equação de Bernoulli tivesse sido usada. Resposta: 11. [8] A água escoa de um reservatório grande para um menor através de uma tubulação enferrujada de 50mm de diâmetro. [4] Óleo escoa por um tubo horizontal de 15mm de diâmetro que descarrega na atmosfera com pressão de 88 kPa. Usando um perfil exponencial determine.06 na entrada e na saída determine a pressão à jusante P 2.4m C-70 PUCRS . Propriedades: =876 kg/m3 μ=0. Resposta: 8m/s [6] Considere um escoamento laminar completamente desenvolvido num tubo circular.004 m3/s de água a 200C. R: 1. Para uma vazão de projeto de 56.25 kW [ 10 ] Na figura mostra-se um sistema que utiliza uma turbina hidráulica.004 m3/s. e 30 oC entra com velocidade de 7. Jorge A.2m. A tubulação é de ferro galvanizado com rugosidade igual a 0.3 kW [11] Ar a pressão de 1Atm. o sistema bombeia água do reservatorio inferior para o superior para restaurar a situação. Determine: (a) Fator de atrito e perda de carga na tubulação (b) Potencia da turbina considerando uma eficiência de 100%.55. R: (a) 26.83m (b) 2. Desprezando os efeitos de entrada determine a perda de carga da tubulação e a potencia necessária para superar a perda de pressão nessa seção.027 (b) 1.02x10-6 m2/s.7m e Z2=7. De noite.6m. Fluido: ρ=1000 kg/m3 ν=1. Utilize aço com rugosidade igual a 0. Para os dois casos apresente a equação geral do problema e aplique as simplificações (hipótese) do escoamento. A soma dos coeficientes de perda de carga de todos os acessórios é igual a 13.0m/s num duto de 7m de comprimento com seção retangular de 15cmx20cm. Na tubulação de 50m de comprimento e 60 mm de diâmetro a velocidade do fluido é igual a 1. Determine a potência em kW (a) extraída pela turbina (b) adicionda pela bomba.8 m3/min em ambas as direções.Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos [9] Um sistema de bombeamento água opera com vazão de 20 m³/h. R: 5 W [ 12 ] O sistema bomba-turbina da figura retira água do reservatório superior durante o dia para gerar energia para uma cidade. O sistema opera com uma vazão de 0. (a) Altura adicionada pela bomba (b) Potência de acionamento considerando um rendimento de 65%.045mm.96 m/s. Villar Alé C-71 . O Comprimento da tubulação é igual a 125m e o diâmetro igual a 60mm.15x10-6m²/s. Na tubulação existe um registro de globo aberto com coeficiente de perda de carga k=10.15mm. Na instalação Z1=5 m e Z2=25 m. Considere água com: ρ = 998 kg/m3 ν=1. R: (a) 0. Na figura Z1=45.1 mm. A tubulação é de ferro fundido com rugosidade ε=0. a perda de carga por atrito é de 5. Mecânica dos Fluidos [ 13 ] Um piezômetro e um tubo de Pitot são colocados em um tubo de água horizontal.02x10-3 Pa. [15] Numa de 20mm de diâmetro escoa água a 200C com velocidade media igual 2. A tubulação apresenta 20m de comprimento e rugosidade igual a 0.0mm (c ) r=10mm Água: Massa especifica ρ =1000 kg/m3 Viscosidade dinâmica μ = 1. [ 14 ] Água escoa com uma vazão de 6 litros/s por uma tubulação horizontal com 50mm de diâmetro e 89m de comprimento.48m/s. h2=70mm e h3=120mm. 0 N/m2 (b) 2.5 N/m2 [16] Para medir a velocidade do ar numa tubulação de ventilação industrial pode-se utilizar um tubo de Pitot introduzido a partir da parede da tubulação. Determinar: ( a ) Número de Reynolds identificando o regime do escoamento ( b ) Fator de atrito e perda de carga da tubulação ( c ) Variação de pressão da tubulação ( d ) Tensão de cisalhamento na parede da tubulação. Na figura h1=30mm. Determine a velocidade e tensão de cisalhamento em (a) r=0 (b) r=4.0 m/s.25mm.7 kg/m3. Considerando os escoamentos laminar e turbulento e utilizando as expressões do perfil de velocidade para cada um dos regimes identifique (para cada caso) qual a distância y a partir da parede da tubulação que deve ser introduzido o tubo de Pitot para que a sua medida represente a velocidade média da tubulação. Para as alturas de coluna d’água indicadas. 5 N/m2 (b) 0 m/s. como mostra a figura para medir a pressão estática e de estagnação (estática + dinâmica). Obs: Fluido água a 100C: Viscosidade dinâmica: 1.s Massa especifica 999.293R Turbulento: y=0.02mm.s R: (a) 2.307x10-3 Pa. determine (a) A pressão de estagnação (b) a velocidade no centro do tubo. Laminar   r  u (r )  U max  1      R  Turbulento (n=7)   2    r  u ( r )  U max  1   R  1/ n R: Laminar: y=0.242R C-72 PUCRS . Considere tubulação de ferro fundido com rugosidade de 0.29 m/s. 12.