UNIVERSIDAD DESAN MARTIN DE PORRES FÍSICA MÉDICA FÍSICA MÉDICA - Sistema Internacional de unidades (S.I.). - Notación científica - Constantes físicas - Conversión de unidades. Factores de conversión. Problemas de aplicación - Análisis dimensional. Principio de homogeneidad. Problemas de aplicación - Análisis vectorial. Suma y Resta de vectores. Componentes rectangulares de un vector. Problemas de aplicación. SEMANA Nº 1 SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES (S.I.) El S.I. está formado por cantidades de base (o funda- mentales), suplementarias y derivadas. Se pueden formar múltiplos y submúltiplos decimales de cada unidad mediante el uso de prefijos. SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES (S.I.) CANTIDADES DE BASE (O FUNDAMENTALES) Longitud metro m Masa kilogramo Kg Tiempo segundo s Temperatura termodinámica Kelvin K Intensidad de corriente eléctrica amperio A Intensidad luminosa candela cd Cantidad de sustancia mol mol CANTIDAD FÍSICA UNIDAD SIMBOLO CANTIDAD FÍSICA UNIDAD SIMBOLO Ángulo Plano radián rad Ángulo Sólido estereorradián sr SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES (S.I.) CANTIDADES SUPLEMENTARIAS CANTIDAD FISICA UNIDAD SIMBOLO Superficie metro cuadrado m 2 Volumen metro cúbico m 3 Densidad kilogramo por metro cúbico kg/m 3 velocidad metro por segundo m/s velocidad Angular radián por segundo rad/s Aceleración metro por segundo cuadrado m/s 2 Aceleración angular radián por segundo cuadrado rad/s 2 Fuerza newton N CANTIDADES DERIVADAS MAS UTILIZADAS SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES (S.I.) CANTIDAD FISICA UNIDAD SIMBOLO Trabajo o energía joule J potencia watt W presión pascal Pa frecuencia hertz Hz cantidad de electricidad coulombio C potencial eléctrico volt V capacitancia eléctrica farad F resistencia eléctrica ohm O SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES (S.I.) CANTIDADES DERIVADAS MAS UTILIZADAS PREFIJO SIMBOLO FACTOR Exa E 10 18 Peta P 10 15 Tera T 10 12 Giga G 10 9 Mega M 10 6 Kilo K 10 3 Hecto h 10 2 Deca da 10 1 MÚLTIPLOS DEL S.I. PREFIJO SIMBOLO FACTOR Deci d 10 -1 Centi c 10 -2 Mili m 10 -3 Micro µ 10 -6 Nano n 10 -9 Pico p 10 -12 Femto f 10 -15 atto a 10 -18 SUBMÚLTIPLOS DEL S.I. 602 000 000 000 = 6,02 x 10 11 0,000000000254 = 2,54 x 10 -10 - 0,00000000165 = -1,65 x 10 -9 NOTACIÓN CIENTÍFICA Se emplea Notación Científica cuando tratamos con números muy grandes y/o muy pequeños, expresándolos en función a otro con base 10. Ejemplos: C = Velocidad de la luz = 3x10 8 m/s e = Carga del electrón = -1,6x10 -19 C h = Constante de Planck = 6,626x10 -34 J.s G = Constante gravitatoria = 6,67x10 -11 N.m 2 /kg 2 Masa del electrón = 9,1x10 -31 kg Masa del protón = 1,67x10 -27 kg N A (Número de Avogadro) = 6,023x10 23 partículas/mol 1 micra (µ)= 10 -6 m = 10 -4 cm 1 pulg = 2,54 cm 1 Amstrong ( ) = 10 -10 m = 10 -8 cm 1 m = 100 cm = 3,281 pie 1 cm = 10 -2 m 1 milla terrestre =1609 m 1 milla marítima = 1853 m 1 yarda = 3 pie = 0,9144 m 1 pie = 30,48 cm = 12 pulg 1 año luz = 9,461 x 10 15 m 0 A 1 b = 16 onzas = 454 g 1 onza = 28,36 g 1 tonelada métrica = 10 3 kg = 2 205 b 1 kg = 1000 g = 2,205 b 1 N = 0,2245 bf = 10 5 dinas ; 1 bf = 4,448 N 1 kgf = 1 000 gf = 9,81 N = 2,205 bf 1 barril = 42 galones 1 dm 3 = 10 3 cm 3 = 1 1 galón = 3,7853 ( EEUU) = 4,546 (Inglés) 1 pie 3 = 28,316 1 m 3 = 1 000 1 m = 1 cm 3 1 atm = 101 300 Pa = 760 mm Hg 1 atm = 10,33 m de H 2 O 1 atm = 1 033 gf/cm 2 = 14,7 lbf/pulg 2 1 hp = 550 bf.pie/s = 756 W 1 W = 1 J/s = 0,738 bf.pie/s 1 Btu/h = 0,293 W 1 J = 10 7 ergios = 0,24 cal 1 cal = 4,184 J 1 eV = 1,602 x 10 -19 J 1 Kwh = 3,6 x 10 6 J Problema N o 1: Un pequeño insecto, de 0,50 mg, tiene en cierto instante una velocidad de 30 cm/s. Su energía cinética en ese instante es: a) 22,5 pJ b) 225 nJ c) 22,5 nJ d) 17,5 nJ e) 22,5 µJ PROBLEMAS DE APLICACIÓN TEMA: CONVERSIÓN DE UNIDADES Resolución: Para calcular la energía cinética, primero debo recordar su fórmula y sus unidades SI: Ec= (1/2) m V 2 ; J (joule)= N.m = (kg.m/s 2 ).m Además, aplicar los factores de conversión o factores unidad siguientes: 1 mg = 10 -3 g = 10 -6 kg ; 1 cm 2 = 10 -4 m 2 . nJ J x cm m mg kg s cm mg V m E C 5 , 22 10 5 , 22 10 10 30 ) 50 , 0 ( 2 1 2 1 9 2 2 4 6 2 2 = = | | . | \ | | | . | \ | | . | \ | = = ÷ ÷ ÷ Problema N o 2: Si el calor específico a presión constante de 1 atm para el etanol es 0,581 cal/g.ºC, su equivalente en J/kg.ºC es: (1 cal = 4,184 J) a) 243 b) 0,243 c) 24,3 d) 2 430,9 e) 24 309 Resolución: Este tipo de ejercicios se resuelve aplicando factores de conversión o factores unidad. En nuestro caso los factores de conversión a utilizar son dos: 1 cal = 4,184 J y 1 kg = 10 3 g C Kg J kg g x cal J x C g cal C ol e P .º 9 , 2430 1 10 1 184 , 4 .º 581 , 0 3 ) tan ( = = PROBLEMAS DE APLICACIÓN TEMA: CONVERSIÓN DE UNIDADES Problema N o 3: El fémur en la pierna tiene un área mínima de sección transversal, aproximada, de 3 cm 2 . Esta área equivale a: (1 pulgada = 2,54 cm) a) 3 x 10 -4 m 2 ó 4,65 x 10 -2 pulg 2 b) 3 x 10 -4 m 2 ó 4,65 x 10 -1 pulg 2 c) 3 x 10 -4 m 2 ó 4,65 x 10 -3 pulg 2 d) 3 x 10 4 m 2 ó 4,65 x 10 -2 pulg 2 e) 3 x 10 -2 m 2 ó 4,65 x 10 -1 pulg 2 Resolución: En este caso los factores de conversión a utilizar son los siguientes: (1 pulgada) 2 =(2,54 cm) 2 y 1 cm 2 = 10 -4 m 2 2 4 2 2 4 ) . (sec min 10 3 1 10 3 2 m x cm m x cm A femur del transv cion ÷ ÷ = = 2 1 2 2 ) . (sec min lg 10 65 , 4 ) 54 , 2 ( lg) 1 ( 3 2 pu x cm pu x cm A femur del transv cion ÷ = = PROBLEMAS DE APLICACIÓN TEMA: CONVERSIÓN DE UNIDADES Problema N o 4: Si la presión manométrica pulmonar de una persona equivale a 31 mm Hg ¿Cuál es su valor en kPa? 1 atm = 760 mm Hg = 10 5 Pa a)2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10 Resolución: En este caso los factores de conversión a utilizar son los siguientes: 760 mm Hg = 10 5 Pa y 1 kPa = 10 3 Pa 5 3 10 1 31 4 760 10 m Pa kPa P mmHg kPa mmHg Pa = × × = PROBLEMAS DE APLICACIÓN TEMA: CONVERSIÓN DE UNIDADES Problema N o 5: La masa promedio del corazón de un bebé es de aproxi- madamente 1 onza. En mg ésta masa equivale a: a) 28,36 b) 283,6 c) 2836 d) 2,836x10 3 e) 2,836x10 4 4 3 28, 36 1 1 2, 836 10 1 10 corazón g mg m onza x mg onza g ÷ = × × = Resolución: En este caso los factores de conversión (o factores unidad) a utilizar son los siguientes: 1 onza = 28,36 g y 1 mg = 10 -3 g. PROBLEMAS DE APLICACIÓN TEMA: CONVERSIÓN DE UNIDADES Problema N o 6: Una gragea de andantol contiene 12 mg del agente activo. Si este medicamento se suministra dos veces al día a un paciente, ¿cuántos μg ingirió el paciente en cuatro días de tratamiento? a) 4,8.10 4 b) 2,4.10 4 c) 9,6.10 5 d) 9,6.10 3 e) 9,6.10 4 | | 3 4 6 10 1 (12 ) 8 9, 6 10 1 10 g g m mg g mg g µ µ ÷ ÷ = × × = × Resolución: Sea “m” la masa del medicamento ingerida por el paciente durante los cuatro días (total 8 dosis). Entonces, tenemos que: PROBLEMAS DE APLICACIÓN TEMA: CONVERSIÓN DE UNIDADES Problema N o 7: El VOLTAREN es un anti inflamatorio cuya dosificación en niños mayores de un año es de 0,5 a 2 mg/kgf de peso corporal al día, repartido en dos tomas. Si el niño pesa 25 kgf, ¿cuántos gramos como mínimo ingirió el niño en una semana? a) 87,5 b) 175 c) 350 d) 8,75x10 -2 e) 3,5x10 -1 | | 3 2 10 (0, 5 25 ) 7 8, 75 10 1 mg g m kgf g kgf mg ÷ ÷ = × × = × Resolución: Sea “m” la masa mínima del medicamento ingerida por el niño durante una semana (total 7 días). Entonces, tenemos que: PROBLEMAS DE APLICACIÓN TEMA: CONVERSIÓN DE UNIDADES TEMA: ANÁLISIS DIMENSIONAL - Inquietud, explicación, respuesta - Ecuación Dimensional. - Principales Ecuaciones Dimensionales en el S.I. - Reglas para las Operaciones Dimensionales. - Principio de Homogeneidad Dimensional. Inquietud • ¿Cómo se establece un tratamiento terapéutico con amoxicilina a un niño de 6 meses que pesa 8,5Kgf? • ¿Qué parte de la física nos permite analizar y resolver este problema? EXPLICACIÓN • Se requiere establecer una relación entre el peso corporal del paciente y la dosificación del agente activo del medicamento. • Determinamos así la cantidad por día y el número de dosis al día. RESPUESTA • La dosificación del medicamento se podrá dar en “ml”, “cucharaditas” o “gotas”. ¿Qué podría ocasionar una “equivocación” en la cantidad?... El riesgo es una vida humana.... • La física nos permitirá emplear las “unidades” apropiadas para evitar errores fatales. Ese campo de la física se llama: “ANÁLISIS DIMENSIONAL” ECUACIÓN DIMENSIONAL Igualdad matemática que muestra la relación entre las cantidades derivadas y las cantidades de base o fundamentales. Notación: [ ] Ejm: [longitud] se lee: “Ecuación dimensional de la longitud” o “dimensiones de la longitud” TEMA: ANÁLISIS DIMENSIONAL ANÁLISIS DIMENSIONAL CANTIDAD FISICA UNIDAD SIMBOLO DIMENSION Longitud metro m L Masa kilogramo kg M Tiempo segundo s T Temperatura Termodinámica kelvin k Intensidad de corriente Ampere A I Intensidad Luminosa candela cd J Cantidad de sustancia mol mol N u Principales Ecuaciones Dimensionales en el S.I. PARA LAS CANTIDADES FUNDAMENTALES DEL S.I. CANTIDAD FISICA NOTACION DIMENSION Velocidad lineal [ V] LT -1 Aceleración lineal [ a ] LT -2 Fuerza [ F ] MLT -2 Trabajo o energía [ W ] ML 2 T -2 Potencia [ P ] ML 2 T -3 Presión [ P ] ML -1 T -2 Densidad [ D ] ML -3 Periodo [ T ] T ANÁLISIS DIMENSIONAL Principales Ecuaciones Dimensionales en el S.I. PARA ALGUNAS CANTIDADES DERIVADAS DEL S.I. REGLAS PARA LAS OPERACIONES DIMENSIONALES 1. La suma o resta de dimensiones iguales da como resultado la misma dimensión. Es decir, no se cumplen la suma y resta aritméticas. Ejemplo: L + L = L LMT - LMT = LMT 2. Las dimensiones cumplen con las operaciones de multiplicación, división, potenciación y radicación. Ejemplo: L 2 . L 3 = L 5 M 7 / M 3 = M 4 (( T ) 2 ) 3 = T 2x3 = T 6 REGLAS PARA LAS OPERACIONES DIMENSIONALES 3. La dimensión de todo número, ángulo, función trigonométrica y logaritmo (constantes adimensionales) se considera igual a uno. Ejemplo: [ 2 011 ] = 1 ; [ 37º ] = 1 [ Cos 45º ] = 1 ; [ Log 3 246 ]= 1 NOTA.- Si un exponente tiene una variable, su ecuación dimensional se iguala a 1 , y luego se halla la variable. Ejemplo: Si Q = V.a.e kt , donde t es tiempo, es una ecuación física correcta, entonces se cumple: | | | | | | T t k kt 1 1 1 ÷ = = ¬ = PRINCIPIO DE HOMOGENEIDAD DIMENSIONAL (P.H.D.) “Una ecuación es homogénea o correcta, sí y sólo sí todos sus términos son dimensionalmente iguales” Ejemplo: sea la ecuación: 2 1/ 2 . . . A X BY C Z D + = ÷ Esta ecuación es homogénea, si se cumple que: [ A.X 2 ] = [ B.Y ] = [ C.Z ] = [ D ½ ] También se cumple que: [ A.X 2 + B.Y ] = [ C.Z - D ½ ] PROBLEMA Nº 1 Si el esfuerzo de compresión para rompimiento de un hueso compacto es 170 N/mm 2 y la velocidad metabólica de un atleta es 500 W. Las dimensiones SI de estas cantidades físicas, respectivamente, son: a) L -1 M T -2 ; L 2 M T -3 b) L -1 M T -2 ; L M T -3 c) L -1 M 2 T -2 ; L 2 M T -3 d) L M T -2 ; L 2 M T -2 e) L -1 M T -2 ; L 2 M 2 T -3 POBLEMAS DE APLICACIÓN TEMA: ANÁLISIS DIMENSIONAL Resolución La forma más sencilla de resolver esta pregunta es identificando que el esfuerzo de compresión tiene las mismas dimensiones de la PRESIÓN y la velocidad metabólica, las de la POTENCIA, luego: [ Esfuerzo de compresión] = [ Presión] = L -1 M T -2 [ Velocidad metabólica] = [ Potencia] = L 2 M T -3 POBLEMAS DE APLICACIÓN TEMA: ANÁLISIS DIMENSIONAL PROBLEMA Nº 2 La tensión superficial ( ) de la sangre a la temperatura normal de 37ºC es 0,058 N/m, ¿cuáles son las dimensiones S.I. de ? a) MT -2 b) MT 2 c) MLT -2 d) MLT -1 d) ML T-3 ¸ ¸ Resolución Si la tensión superficial de la sangre es 0,058 N/m, entonces sus dimensiones están dadas por el cociente entre las dimensiones de la fuerza y las dimensiones de la longitud. Es decir: | | | | | | 2 2 ) ( ) ( 058 , 0 058 , 0 ÷ ÷ = = = ¬ = MT L MLT m N m N SANGRE SANGRE ¸ ¸ PROBLEMA Nº 3 La ley de Pouseuille establece que : Q = π r 4 (P 1 – P 2 )/8 η L Donde: Q = flujo del fluido, r = radio , P 1 - P 2 = caída o disminución de la presión , η = viscosidad y L = longitud. ¿Cuáles son las dimensiones SI de la viscosidad? Resolución Como nos piden las dimensiones de η , primero despejamos η. Se obtiene: η = π r 4 (P 1 – P 2 )/8 Q L . . . (1) Aplicando el operador dimensional [ ] a la ecuación (1), esta se convierte en: [ η ] = [π][r 4 ] [(P 1 – P 2 )] / [8] [Q] [L] . . . (2) POBLEMAS DE APLICACIÓN TEMA: ANÁLISIS DIMENSIONAL Donde: [π] = 1 ; [r 4 ] = L 4 ; [(P 1 – P 2 )] = ML -1 T -2 ; [8] = 1; [Q] = L 3 T -1 ; [L] = L Reemplazando en la ecuación (2) tenemos: [ η ] = 1. L 4 ML -1 .T -2 / 1. L 3 T -1 . L Simplificando se obtiene: [ η ] = M L -1 T -1 POBLEMAS DE APLICACIÓN TEMA: ANÁLISIS DIMENSIONAL PROBLEMA Nº 4 Al estudiar el transporte de la sangre se deduce que la fuerza F que ejerce el fluido depende de la densidad absoluta D, del flujo de la sangre Q y del diámetro d de la aorta. Halle la fórmula empírica para dicha fuerza. Considere: K = constante de proporcionalidad. Resolución Según el enunciado, F depende (es una función) de D, Q y d. Matemáticamente se expresa con la siguiente ecuación: F = K D x Q y d z . . . (1) En la ecuación (1) se debe hallar los exponentes x, y y z, para luego reemplazarlos en dicha ecuación (1) y de esa forma hallar la fórmula empírica solicitada. POBLEMAS DE APLICACIÓN TEMA: ANÁLISIS DIMENSIONAL PROBLEMAS DE APLICACIÓN TEMA: ANÁLISIS DIMENSIONAL Aplicando el operador dimensional [ ] a la ecuación, ésta se convierte en: [F] = [K][D] x [Q] y [d] z . . . (2) Donde: [F] = MLT -2 ; [K] = 1; [D] = ML -3 ; [Q] = L 3 T -1 ; [d] = L Reemplazando en la ecuación (2) tenemos: MLT -2 = 1 (ML -3 ) x (L 3 T -1 ) y (L) z , la cual equivale a: MLT -2 = M x L -3x+3y+z T -y . Aplicando la propiedad del álgebra que señala que a bases iguales los exponentes también deben ser iguales, tenemos que: 1 = x; 1 = -3x + 3y + z; -2 = -y. Resolviendo se obtiene: x = 1; y = 2; z = -2 Reemplazando finalmente en (1) tenemos: F = K D Q 2 d -2 PROBLEMAS DE APLICACIÓN TEMA: ANÁLISIS DIMENSIONAL PROBLEMA Nº 5 En los experimentos con líquidos en movimiento se comprueba que la presión P ejercida sobre un cuerpo totalmente sumergido en la corriente del líquido depende de la densidad ρ y de la velocidad V. ¿Cuál es la fórmula empírica para la presión, si se considera que la constante de proporcionalidad K es adimensional? RESOLUCIÓN Según el enunciado: P = K ρ x V y . . . (1) Luego: [P] = [K] [ρ] x [V] y . . . (2) Sabemos: [P] = M L -1 T -2 ; [K] = 1 ; [ρ] = M L -3 ; [V] = LT -1 Reemplazando en la ecuación (2) tenemos: ML -1 T -2 = 1 (ML -3 ) x (LT -1 ) y ML -1 T -2 = M x L -3x+y T -y Aplicando la propiedad del álgebra que señala que a bases iguales los exponentes también deben ser iguales, tenemos que: 1 = x ; -1 = -3x + y ; -2 = -y De estas últimas ecuaciones, obtenemos: x = 1 ; y = 2 Reemplazando x e y en la ecuación (1) tenemos: P = K ρ V 2 POBLEMAS DE APLICACIÓN TEMA: ANÁLISIS DIMENSIONAL TEMA: ANÁLISIS VECTORIAL - Inquietud, explicación, respuesta. - Vector, concepto, elementos de un vector. - Notación gráfica de un vector - Operaciones con vectores: suma y resta de vectores. - Métodos para hallar la resultante de dos o más vectores coplanares. - Componentes rectangulares de un vector. Inquietud • ¿Cómo se establece una apropiada terapia de rehabilitación de una pierna o brazo fracturado? • ¿Qué parte de la física nos permite analizar y resolver este problema? EXPLICACIÓN • La graduación del peso para recuperar la fuerza muscular tiene estrecha relación con la masa muscular. Cualquier exceso podría dañar a los tendones. • Esto nos obliga a relacionar cantidades (o magnitudes) que poseen una dirección determinada. • La física estudia esas cantidades en el: “ANÁLISIS VECTORIAL” RESPUESTA • Se requiere establecer un peso para someter al músculo a un esfuerzo y recuperar así la fuerza muscular perdida por la inactividad del músculo. • El peso se aumentará de manera gradual, a fin de evitar un daño a los tendones. ANÁLISIS VECTORIAL VECTOR.- Representación matemática de una cantidad vectorial que se grafica mediante un segmento de recta orientado. ELEMENTOS DE UN VECTOR: 1. MAGNITUD O MÓDULO.- es la longitud del vector. 2. DIRECCIÓN.- es la orientación del vector con respecto a un sistema de coordenadas referenciales. ANÁLISIS VECTORIAL Notación gráfica de un vector en el plano cartesiano El módulo o magnitud del vector es: x DIRECCIÓN A u y MÓDULO A A = ÷ ÷ A ANÁLISIS VECTORIAL OPERACIONES CON VECTORES Sean los vectores A y B mostrados en la figura: A B u Utilizando estos vectores, cuyos módulos y direcciones son conocidos, definimos las siguientes operaciones: 1. Suma o adición de Vectores. Operación cuya finalidad es hallar un único vector, denominado vector suma o vector resultante, el cual es igual a la suma de todos los vectores. Ejemplo: Si A y B son vectores, entonces: S = A + B = vector suma ANÁLISIS VECTORIAL OPERACIONES CON VECTORES A B u A B u S = + 1. Resta o sustracción de Vectores. Operación cuya finalidad es hallar un único vector, denominado vector diferencia, el cual es igual a la resta de los vectores. Ejemplo: Si A y B son vectores, entonces: D = A - B = vector diferencia ANÁLISIS VECTORIAL OPERACIONES CON VECTORES A B u = A -B u D * En este caso, primero se halló el vector opuesto del vector B y luego se procedió como en la suma de vectores. ANÁLISIS VECTORIAL Vector Resultante para dos vectores coplanares: 1° caso: vectores colineales o paralelos A R min B A B R = A + B = R max R = A - B = R min R max El vector resultante es: El módulo del vector resultante es: o cos 2 2 2 AB B A R + + = A + B = R o A R B 2° caso: vectores no colineales ni paralelos. a) Método del Paralelogramo ANÁLISIS VECTORIAL Vector resultante para dos vectores concurrentes ANÁLISIS VECTORIAL Resultante para dos vectores concurrentes b) Método del Triángulo | ÷ + = cos AB 2 B A 2 R 2 El vector resultante es: El módulo del vector resultante es: R = A + B A B R u | ¸ Además se cumple: A B R Sen Sen u Sen = = | ¸ ANÁLISIS VECTORIAL Resultante para más de dos vectores coplanares c) Método del Polígono u o | A B C o | u A B C R R = A + B + C ANÁLISIS VECTORIAL Componentes Rectangulares de un Vector Módulo del vector A: | | 2 2 y x A A A + = o X Y A Ax Ay Ax = A Cos o Ay = A Sen o Todo vector en el plano se puede descomponer en dos componentes mutuamente perpendiculares, tal como se muestra en la figura. Se cumple que: ANÁLISIS VECTORIAL Resultante para más de dos vectores coplanares Método de las Componentes Rectangulares Pasos a seguir: 1. Se hallan las componentes rectangulares de los vectores que forman ángulo con los ejes coordenados. 2. Se calcula las resultantes parciales en los ejes “x” e “y” (Rx y Ry). 3. Se calcula la resultante total aplicando Pitágoras. La resultante de estos tres vectores se obtiene hallando primero: ¿ = = n i i x R R 1 Rx Vx i ¿ = = n i i y R R 1 Ry Vy i Y X B By Bx Ay Ax Cy Cx C A Resultante para más de dos vectores Método de las componentes rectangulares Ejemplo: sean los vectores A, B y C, mostrados en la figura. Resultante para más de dos vectores Método de las componentes rectangulares ( ) x y R R tg 1 ÷ = u x y R R tg = u Módulo de la resultante: | | 2 2 y x R R R + = R u Y X R Rx Ry Dirección de la resultante: Después de hallar R x y R y hallo el módulo de R total aplicando el Teorema de Pitágoras. La dirección de “R” se halla aplicando la función tangente PROBLEMAS DE VECTORES 1. Un nadador posee una rapidez resultante de 3 m/s cuando se desplaza a favor de la corriente y posee una rapidez de 1 m/s cuando nada en contra de la corriente. Calcular la rapidez del nadador y la rapidez de la corriente. RESOLUCIÓN A favor de la corriente, las velocidades del nadador (VN) y de la corriente (VC) se suman porque están en la misma dirección. En contra de la corriente, las velocidades se restan porque están en direcciones contrarias. Es decir: VN + VC = 3 m/s VN – VC = 1 m/s Resolviendo estas ecuaciones se obtiene: VN = 2 m/s ; VC = 1 m/s 2. El freno de alambre que se ve en la figura tiene una tensión T igual a 2 N a lo largo de él. Por ,lo tanto ejerce fuerzas de 2 N en los dientes a los que se fija, en las dos direcciones que se indican. Calcular la fuerza resultante sobre el diente, debida al freno. RESOLUCIÓN Como se trata de dos fuerzas que tienen el mismo punto de origen, para calcular la resultante se aplica el método del paralelogramo. 2 N 2N 140 o R La magnitud o módulo de la resultante se halla con la siguiente ecuación: o 2 2 140 2 2 2 2 2 R cos ) )( ( + + = Reemplazando cos 140 o = -0,766, y simplificando obtenemos: R = 1,368 N PROBLEMAS DE VECTORES 3. Las partes posterior y anterior del músculo deltoides elevan el brazo al ejercer las fuerzas F p (4 kgf) y F a (6 kgf) que muestra la figura, ¿cuál es la magnitud de la fuerza total sobre el brazo y qué ángulo forma con la vertical? PROBLEMAS DE VECTORES 2 2 8, 27 x y R R R kgf = + = RESOLUCIÓN: Este problema se resuelve por el método de las componentes rectangulares (en la figura se muestran las componentes de las fuerzas Fp = 4 kgf y Fa = 6 kgf). De la figura: Rx = 6 sen 40º - 4 sen 30º = 1,86 kgf Ry = 6 cos 40º + 4 cos 30º = 8,06 kgf Luego: Además: 1, 86 13º 8, 06 x y R kgf tg R kgf u u = = ¬ = y x 6 kgf 4 kgf 40º 30º 4 sen 30º 6 sen 40º 6 cos 40º 4 cos 30º Ry Rx θ y x R PROBLEMAS DE VECTORES 4. ¿Cuánta fuerza debe ejercer el bíceps cuando se sostiene una masa de 5 kg en la mano, como muestra la figura? Suponga que la masa del antebrazo y la mano juntos es de 2 kg y que su centro de gravedad está como se indica en la figura. Considere que el sistema se halla en equilibrio y que g = 10 m/s 2 . 5 kg FM FC = 330 N (2 kg) (g) (5 kg) (g) PROBLEMAS DE VECTORES F F | + = ¿ ¿ 5 M C ANTEBRAZO MANO DELAMASADE kg F F w w + = + + RESOLUCIÓN: Si el sistema se halla en equilibrio, entonces la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre el es igual a cero. Es decir, la suma de fuerzas hacia arriba es igual a la suma de fuerzas hacia abajo. Matemáticamente sería: 330 20 50 400 M M F N N N F N = + + ¬ = Es decir: PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Un grupo de unidades que representa la medición del trabajo realizado por una fuerza es: a) b) c) d) e) 2. Si el calor específico a presión constante de 1 atm para el plomo es 129 J/kg.K, su equivalente en cal/g.ºC es: (1 cal = 4,184 J) a) b) c) d) e) 2 2 . . s pie b 2 . . s m kg 2 / . s m kg 2 / . s pie b 2 2 / . s pie b a) d) 308 , 0 0308 , 0 0608 , 0 608 , 0 10 , 0 PROBLEMAS PROPUESTOS 3. Las dimensiones del torque y un grupo de unidades S.I. equivalente al N.m, son: a) ML 2 T -2 ; kg m 2 s -2 b) ML 2 T -2 ; kg m s -2 c) ML 3 T -2 ; kg m 3 s -2 d) ML -2 T -2 ; kg m -2 s -2 e) ML -1 T -3 ; kg m -1 s -3 4. Si el módulo de Young (E) de un hueso cuando es sometido a tracción es 1,6x10 10 N/m 2 . Sus equivalentes en kgf/cm 2 y en lbf/pulg 2 son: (1 kgf = 2,205 lbf = 9,81 N ; 1 pulg = 2,54 cm) a) 1,63 x 10 5 ; 2,32 x 10 6 b)1,63 x 10 4 ; 2,32 x 10 6 c) 1,63 x 10 6 ; 2,32 x 10 6 d)1,36 x 10 5 ; 3,22 x 10 6 e) 1,43 x 10 5 ; 3,22 x 10 6 PROBLEMAS PROPUESTOS 5. El número de Reynolds es una cantidad adimensional que nos indica si un flujo es turbulento o laminar, dentro de un tubo. El número de Reynolds “R”, se calcula mediante la siguiente ecuación Donde es la densidad, la velocidad y el diámetro del tubo. Determinar las dimensiones de la viscosidad . a) M 2 L ÷1 T ÷1 b) M 3 L ÷1 T ÷ 1 c) M L ÷1 T ÷1 d) M L ÷2 T ÷1 e) M L ÷1 T ÷2 q µ / d V R = µ V d q PROBLEMAS PROPUESTOS 6. El desplazamiento s de un objeto que se mueve sujeto a una aceleración uniforme a es cierta función del tiempo t y de la aceleración a. Si la constante de proporcionalidad K es adimensional, ¿cuál de las siguientes es la fórmula correcta para hallar s? a) s = kat 2 b) s = kat 3 c) s = kat d) s = ka/t 2 e) s = ka/t 3 PROBLEMAS PROPUESTOS 7. Halle la fórmula física que nos permite expresar el volumen de agua por unidad de tiempo (Q) que sale por un agujero, sabiendo que depende de la densidad D, la presión P y del diámetro d del orificio. Considere: K = constante adimensional. a) Q = K D P 2 d b) Q = K D -1/2 P 1/2 d -2 c) Q = K D 3/2 P 3/2 d -2 d) Q = K D -3/2 P -3/2 d -2 e) Q = K D -3/2 P 3/2 d 2 PROBLEMAS PROPUESTOS 8. Suponiendo que un riñón humano es aproximadamente una esfera de 4 cm de radio y que su densidad es 1,01 g/cm 3 ¿cuál es la masa del riñón? a) 0,027 kg b) 0,072 kg c) 0,037 kg d) 0,37 kg e) 0,27 kg 9. Las unidades SI de la temperatura, la velocidad y la fuerza, respectivamente, son: a) ºC ; km/h ; kgf b) ºC ; m/s ; kgf c) ºC ; m/s ; N d) K ; m/s ; N e) ºF ; m/s ; N 10. BEROTEC es un medicamento de alta eficacia contra la disnea en el asma bronquial. Cada gota contiene 0,25 mg del elemento activo y 20 gotas equivale a 1 ml. Si a los lactantes se les administra 0,75 mg dos veces al día, ¿Cuántos ml se le administrará en una semana? a) 4 b) 21 c) 1 d) 4,2 e) 2,1 PROBLEMAS PROPUESTOS PROBLEMAS PROPUESTOS 11. La dosis de eritromicina en niños es de 30 mg/kgf de peso corporal al día, la que deberá suministrarse en dosis fraccionadas cada 8 horas. Si un niño pesa 27 kgf, ¿cuántos gramos ingirió en 10 dosis? a) 8,1 b) 0,81 c) 81 d) 2,7 e) 0,27 12. El LINCOCIN es un antibiótico con acción contra gérmenes aerobios grampositivos. En adultos, para infecciones serias debido a organismos susceptibles se suministra 500 mg cada 8h y para infecciones más severas cada 6h. Un paciente se encontró en tratamiento con infección severa por tres días y al responder al tratamiento el médico lo trato por otros cuatro días con infección seria. ¿Cuántos gramos de Lincocin fueron suministrados al paciente? a) 12 b) 10,5 c) 21 d) 25 e) 12,5 PROBLEMAS PROPUESTOS 13. Una paciente con infección del tracto urinario causado por microorganismos gramnegativos es tratado con WINTOMYLON. Para tratamientos prolongados en niños menores de 12 años de edad su administración es de 11 mg por kgf de peso por dosis, suministrada cada 8 h. Si el niño pesa 50 kgf, ¿cuántos gramos ingirió en un tratamiento de diez días? a) 5,5 b) 55 c) 165 d) 16,5 e) 44 PROBLEMAS PROPUESTOS 14. PAIDOVIT es un medicamento empleado en la profilaxis y tratamiento de los estados carenciales clínicos y subclínicos de vitámina A, D y C en lactantes y niños pequeños . Cada 10 gotas contiene: Retinol palmitato ................ 1,375 mg Ergocalciferol . ................... 0,0125 mg Ácido ascórbico .................. 37,5 mg Si la dosis preventiva en lactantes es de 8 gotas al día, ¿cuántos mg de ácido ascórbico ingirió en 5 días de tratamiento? a) 7,4 b) 74 c) 14,8 d) 148 e) 0,148 PROBLEMAS PROPUESTOS 15. Hallar la fuerza que ejerce sobre el pie el dispositivo de tracción de la figura mostrada. 55º 25º 3 kgf a) 4,6 kgf b) 6,4 kgf c) 2,6 kgf d) 3,7 kgf e) 5,2 kgf FÍSICA MÉDICA SEMANA Nº 1 - Sistema Internacional de unidades (S.I.). - Notación científica - Constantes físicas - Conversión de unidades. Factores de conversión. Problemas de aplicación - Análisis dimensional. - Análisis vectorial. Principio de homogeneidad. Problemas de aplicación Suma y Resta de vectores. Componentes rectangulares de un vector. Problemas de aplicación. SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES (S.I.) El S.I. está formado por cantidades de base (o fundamentales), suplementarias y derivadas. Se pueden formar múltiplos y submúltiplos decimales de cada unidad mediante el uso de prefijos. SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES (S.I.) CANTIDADES DE BASE (O FUNDAMENTALES) CANTIDAD FÍSICA UNIDAD SIMBOLO Longitud metro m Masa kilogramo Kg Tiempo segundo s Temperatura termodinámica Kelvin K Intensidad de corriente eléctrica amperio A Intensidad luminosa candela cd Cantidad de sustancia mol mol . I.SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES (S.) CANTIDADES SUPLEMENTARIAS CANTIDAD FÍSICA Ángulo Plano UNIDAD radián SIMBOLO rad Ángulo Sólido estereorradián sr . SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES (S.) CANTIDADES DERIVADAS MAS UTILIZADAS CANTIDAD FISICA Superficie Volumen Densidad velocidad velocidad Angular Aceleración Aceleración angular Fuerza UNIDAD metro cuadrado metro cúbico kilogramo por metro cúbico metro por segundo radián por segundo metro por segundo cuadrado radián por segundo cuadrado newton SIMBOLO 2 m m 3 3 kg/m 2 m/s rad/s m/s N rad/s 2 .I. SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES (S.I.) CANTIDADES DERIVADAS MAS UTILIZADAS CANTIDAD FISICA Trabajo o energía potencia presión frecuencia cantidad de electricidad potencial eléctrico capacitancia eléctrica resistencia eléctrica UNIDAD joule watt pascal hertz coulombio volt farad ohm SIMBOLO J W Pa Hz C V F W . PREFIJO Exa Peta Tera Giga Mega Kilo Hecto Deca SIMBOLO FACTOR E 1018 P 1015 T 1012 G 109 M 106 K 103 h 102 da 101 .MÚLTIPLOS DEL S.I. I.SUBMÚLTIPLOS DEL S. PREFIJO Deci Centi Mili Micro Nano Pico Femto atto SIMBOLO FACTOR d 10-1 c 10-2 m 10-3 10-6 n 10-9 p 10-12 f 10-15 a 10-18 . NOTACIÓN CIENTÍFICA Se emplea Notación Científica cuando tratamos con números muy grandes y/o muy pequeños.0.02 x 1011 0.65 x 10-9 . expresándolos en función a otro con base 10. Ejemplos: 602 000 000 000 = 6.000000000254 = 2.54 x 10-10 .00000000165 = -1. 67x10-27 kg NA (Número de Avogadro) = 6.C = Velocidad de la luz = 3x108 m/s e = Carga del electrón = -1.1x10-31 kg Masa del protón = 1.6x10-19 C h = Constante de Planck = 6.s G = Constante gravitatoria = 6.67x10-11 N.626x10-34 J.023x1023 partículas/mol .m2/kg2 Masa del electrón = 9. 281 pie 1 milla terrestre =1609 m 1 yarda = 3 pie = 0.1 micra ()= 10-6 m = 10-4 cm 1 Amstrong ( A) = 10-10m = 10-8cm 1 cm = 10-2 m 1 milla marítima = 1853 m 0 1 pulg = 2.461 x 1015 m .48 cm = 12 pulg 1 año luz = 9.54 cm 1 m = 100 cm = 3.9144 m 1 pie = 30. 448 N 1 kgf = 1 000 gf = 9.205 b 1 N = 0.81 N = 2.36 g 1 tonelada métrica = 103 kg = 2 205 b 1 kg = 1000 g = 2.1 b = 16 onzas = 454 g 1 onza = 28.205 bf .2245 bf = 105 dinas . 1 bf = 4. 1 barril = 42 galones 1 dm3 = 103 cm3 = 1 1 galón = 3.546 (Inglés) .7853 1 pie3 = 28.316 1 m3 = 1 000 1 m = 1 cm3 ( EEUU) = 4. pie/s 1 Btu/h = 0.33 m de H2O 1 atm = 1 033 gf/cm2 = 14.1 atm = 101 300 Pa = 760 mm Hg 1 atm = 10.pie/s = 756 W 1 W = 1 J/s = 0.7 lbf/pulg2 1 hp = 550 bf.293 W .738 bf. 6 x 106 J .24 cal 1 cal = 4.184 J 1 eV = 1.602 x 10-19 J 1 Kwh = 3.1 J = 107 ergios = 0. 5 µJ Resolución: Para calcular la energía cinética. 1 cm2 = 10-4 m2 . J (joule)= N.5 nJ e) 22. tiene en cierto instante una velocidad de 30 cm/s.50 mg.m = (kg.PROBLEMAS DE APLICACIÓN TEMA: CONVERSIÓN DE UNIDADES Problema No 1: Un pequeño insecto. de 0. 1 2 1 30 cm EC mV (0. primero debo recordar su fórmula y sus unidades SI: Ec= (1/2) m V2 . aplicar los factores de conversión o factores unidad siguientes: 1 mg = 10-3 g = 10-6 kg .50 mg ) 2 2 s 2 106 kg 104 m2 22.m/s2).5 pJ b) 225 nJ c) 22. Su energía cinética en ese instante es: a) 22.5 nJ d) 17.5 nJ mg cm2 .m Además.5x109 J 22. 184 J y 1 kg = 103 g CP ( e tan ol ) cal 4.ºC es: (1 cal = 4.581 cal/g.581 x x 2430.º C .3 d) 2 430.ºC.PROBLEMAS DE APLICACIÓN TEMA: CONVERSIÓN DE UNIDADES Problema No 2: Si el calor específico a presión constante de 1 atm para el etanol es 0.184 J) a) 243 b) 0.243 c) 24.9 e) 24 309 Resolución: Este tipo de ejercicios se resuelve aplicando factores de conversión o factores unidad.º C 1cal 1kg Kg.184 J 103 g J 0. su equivalente en J/kg.9 g. En nuestro caso los factores de conversión a utilizar son dos: 1 cal = 4. aproximada. 3 cm2 x 4. de 3 cm2.65 x 10-1 pulg2 Resolución: En este caso los factores de conversión a utilizar son los siguientes: (1 pulgada)2=(2.PROBLEMAS DE APLICACIÓN Problema No 3: El fémur en la pierna tiene un área mínima de sección transversal.65 x 10-2 pulg2 b) 3 x 10-4 m2 ó 4.65 x 10-3 pulg2 d) 3 x 104 m2 ó 4.54 cm) a) 3 x 10-4 m2 ó 4. Esta área equivale a: (1 pulgada = 2.54 cm)2 y 1 cm2 = 10-4 m2 TEMA: CONVERSIÓN DE UNIDADES 104 m2 Amin (seccion transv .65 x 10-1 pulg2 c) 3 x 10-4 m2 ó 4.65 x101 pu lg 2 (2. 3 cm2 x 3 x104 m2 1cm2 del femur) (1 pu lg) 2 Amin (seccion transv.65 x 10-2 pulg2 e) 3 x 10-2 m2 ó 4.54 cm) 2 del femur) . PROBLEMAS DE APLICACIÓN TEMA: CONVERSIÓN DE UNIDADES Problema No 4: Si la presión manométrica pulmonar de una persona equivale a 31 mm Hg ¿Cuál es su valor en kPa? 1 atm = 760 mm Hg = 105 Pa a)2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10 Resolución: En este caso los factores de conversión a utilizar son los siguientes: 760 mm Hg = 105 Pa y 1 kPa = 103 Pa 10 Pa 1kPa Pm 31mmHg 3 4 kPa 760 mmHg 10 Pa 5 . mcorazón 28.36 g y 1 mg = 10-3 g.6 e) 2.836x104 c) 2836 En este caso los factores de conversión (o factores unidad) a utilizar son los siguientes: 1 onza = 28.36 d) 2.836x103 Resolución: b) 283. En mg ésta masa equivale a: a) 28.36 g 1 mg 4 1onza 3 2.PROBLEMAS DE APLICACIÓN TEMA: CONVERSIÓN DE UNIDADES Problema No 5: La masa promedio del corazón de un bebé es de aproximadamente 1 onza.836 x 10 mg 1onza 10 g . 104 e) 9.105 Resolución: Sea “m” la masa del medicamento ingerida por el paciente durante los cuatro días (total 8 dosis).6 104 g 1mg 10 g 3 .PROBLEMAS DE APLICACIÓN TEMA: CONVERSIÓN DE UNIDADES Problema No 6: Una gragea de andantol contiene 12 mg del agente activo.8.6.4. tenemos que: 10 g 1 g m (12 mg 6 ) 8 9.6. ¿cuántos μg ingirió el paciente en cuatro días de tratamiento? a) 4. Entonces.103 b) 2.6.104 c) 9.104 d) 9. Si este medicamento se suministra dos veces al día a un paciente. PROBLEMAS DE APLICACIÓN TEMA: CONVERSIÓN DE UNIDADES Problema No 7: El VOLTAREN es un anti inflamatorio cuya dosificación en niños mayores de un año es de 0,5 a 2 mg/kgf de peso corporal al día, repartido en dos tomas. Si el niño pesa 25 kgf, ¿cuántos gramos como mínimo ingirió el niño en una semana? a) 87,5 b) 175 c) 350 d) 8,75x10-2 e) 3,5x10-1 Resolución: Sea “m” la masa mínima del medicamento ingerida por el niño durante una semana (total 7 días). Entonces, tenemos que: mg 10 g 2 m (0,5 25 kgf ) 7 8,75 10 g kgf 1mg 3 TEMA: ANÁLISIS DIMENSIONAL - Inquietud, explicación, respuesta - Ecuación Dimensional. - Principales Ecuaciones Dimensionales en el S.I. - Reglas para las Operaciones Dimensionales. - Principio de Homogeneidad Dimensional. Inquietud • ¿Cómo se establece un tratamiento terapéutico con amoxicilina a un niño de 6 meses que pesa 8,5Kgf? • ¿Qué parte de la física nos permite analizar y resolver este problema? • Determinamos así la cantidad . por día y el número de dosis al día.EXPLICACIÓN • Se requiere establecer una relación entre el peso corporal del paciente y la dosificación del agente activo del medicamento. El riesgo es una vida humana..RESPUESTA • La dosificación del medicamento se podrá dar en “ml”. ¿Qué podría ocasionar una “equivocación” en la cantidad?.. evitar • La física nos permitirá emplear las “unidades” apropiadas para errores fatales. “cucharaditas” o “gotas”. Ese campo de la física se llama: “ANÁLISIS DIMENSIONAL” .... Notación: [ Ejm: ] [longitud] se lee: “Ecuación dimensional de la longitud” o “dimensiones de la longitud” .TEMA: ANÁLISIS DIMENSIONAL ECUACIÓN DIMENSIONAL Igualdad matemática que muestra la relación entre las cantidades derivadas y las cantidades de base o fundamentales. ANÁLISIS DIMENSIONAL Principales Ecuaciones Dimensionales en el S.I.I. PARA LAS CANTIDADES FUNDAMENTALES DEL S. CANTIDAD FISICA Longitud Masa Tiempo Temperatura Termodinámica Intensidad de corriente Intensidad Luminosa Cantidad de sustancia UNIDAD SIMBOLO DIMENSION metro kilogramo segundo kelvin Ampere candela mol m kg s k A cd mol L M T q I J N . I.ANÁLISIS DIMENSIONAL Principales Ecuaciones Dimensionales en el S.I. CANTIDAD FISICA NOTACION DIMENSION Velocidad lineal Aceleración lineal Fuerza Trabajo o energía Potencia Presión Densidad Periodo [ V] [a] [F] [W] [P] [P] [D] [ T] LT -1 LT -2 MLT -2 ML2T -2 ML2T -3 ML-1T -2 ML T -3 . PARA ALGUNAS CANTIDADES DERIVADAS DEL S. no se cumplen la suma y resta aritméticas. Las dimensiones cumplen con las operaciones de multiplicación. Ejemplo: L2 .REGLAS PARA LAS OPERACIONES DIMENSIONALES 1. La suma o resta de dimensiones iguales da como resultado la misma dimensión. L3 = L5 M7 / M3 = M4 (( T )2) 3 = T 2x3 = T 6 . Ejemplo: L + L = L LMT LMT = LMT 2. división. potenciación y radicación. Es decir. Ejemplo: [ 2 011 ] = 1 . función trigonométrica y logaritmo (constantes adimensionales) se considera igual a uno. es una ecuación física correcta. [ Log 3 246 ]= 1 NOTA. La dimensión de todo número.a. donde t es tiempo.e kt . [ 37º ] = 1 [ Cos 45º ] = 1 .Si un exponente tiene una variable. ángulo.. su ecuación dimensional se iguala a 1 .REGLAS PARA LAS OPERACIONES DIMENSIONALES 3. y luego se halla la variable. Ejemplo: Si Q = V. entonces se cumple: 1 1 kt 1 k T t . ) “Una ecuación es homogénea o correcta.H.D.Z D 2 1/ 2 Esta ecuación es homogénea.Z ] = [ D½ ] También se cumple que: [ A.X2 ] = [ B. si se cumple que: [ A. sí y sólo sí todos sus términos son dimensionalmente iguales” Ejemplo: sea la ecuación: A.D½ ] .Y ] = [ C.Y ] = [ C.PRINCIPIO DE HOMOGENEIDAD DIMENSIONAL (P. X B.Y C.Z .X2 + B. luego: [ Esfuerzo de compresión] = [ Presión] = L-1 M T -2 [ Velocidad metabólica] = [ Potencia] = L2 M T -3 . son: a) L-1 M T -2 . L2 M T -2 e) L-1 M T -2 . L M T -3 c) L-1 M2 T -2 . L2 M T -3 b) L-1 M T -2 . L2 M T -3 d) L M T -2 .POBLEMAS DE APLICACIÓN TEMA: ANÁLISIS DIMENSIONAL PROBLEMA Nº 1 Si el esfuerzo de compresión para rompimiento de un hueso compacto es 170 N/mm2 y la velocidad metabólica de un atleta es 500 W. las de la POTENCIA. Las dimensiones SI de estas cantidades físicas. respectivamente. L2 M2 T -3 Resolución La forma más sencilla de resolver esta pregunta es identificando que el esfuerzo de compresión tiene las mismas dimensiones de la PRESIÓN y la velocidad metabólica. entonces sus dimensiones están dadas por el cociente entre las dimensiones de la fuerza y las dimensiones de la longitud.I.058 N/m.058 ( SANGRE ) m m L .POBLEMAS DE APLICACIÓN TEMA: ANÁLISIS DIMENSIONAL PROBLEMA Nº 2 La tensión superficial ( ) de la sangre a la temperatura normal de 37ºC es 0. Es decir: ( SANGRE ) 0.058 N/m.058 N MLT 2 MT 2 N 0. ¿cuáles son las dimensiones S. de ? a) MT-2 b) MT2 c) MLT-2 d) MLT-1 d) MLT-3 Resolución Si la tensión superficial de la sangre es 0. (1) Aplicando el operador dimensional [ ] a la ecuación (1). .POBLEMAS DE APLICACIÓN TEMA: ANÁLISIS DIMENSIONAL PROBLEMA Nº 3 La ley de Pouseuille establece que : Q = π r4 (P1 – P2)/8 η L Donde: Q = flujo del fluido. P1 . . η = viscosidad y L = longitud. (2) . ¿Cuáles son las dimensiones SI de la viscosidad? Resolución Como nos piden las dimensiones de η . r = radio . esta se convierte en: [ η ] = [π][r4] [(P1 – P2)] / [8] [Q] [L] . primero despejamos η.P2 = caída o disminución de la presión . . Se obtiene: η = π r4 (P1 – P2)/8 Q L . . L Simplificando se obtiene: [ η ] = M L-1 T -1 . L3T-1.POBLEMAS DE APLICACIÓN TEMA: ANÁLISIS DIMENSIONAL Donde: [π] = 1 . [r4] = L4 .T-2 / 1. [8] = 1. [(P1 – P2)] = ML-1T-2 . L4 ML-1. [Q] = L3T-1 . [L] = L Reemplazando en la ecuación (2) tenemos: [ η ] = 1. Considere: K = constante de proporcionalidad.POBLEMAS DE APLICACIÓN TEMA: ANÁLISIS DIMENSIONAL PROBLEMA Nº 4 Al estudiar el transporte de la sangre se deduce que la fuerza F que ejerce el fluido depende de la densidad absoluta D. Q y d. Resolución Según el enunciado. Halle la fórmula empírica para dicha fuerza. F depende (es una función) de D. para luego reemplazarlos en dicha ecuación (1) y de esa forma hallar la fórmula empírica solicitada. Matemáticamente se expresa con la siguiente ecuación: F = K Dx Qy dz . . . . (1) En la ecuación (1) se debe hallar los exponentes x. y y z. del flujo de la sangre Q y del diámetro d de la aorta. Resolviendo se obtiene: x = 1. Aplicando la propiedad del álgebra que señala que a bases iguales los exponentes también deben ser iguales. [Q] = L3T-1.PROBLEMAS DE APLICACIÓN TEMA: ANÁLISIS DIMENSIONAL Aplicando el operador dimensional [ ] a la ecuación. . [K] = 1. tenemos que: 1 = x. 1 = -3x + 3y + z. z = -2 Reemplazando finalmente en (1) tenemos: F = K D Q2 d-2 . -2 = -y. la cual equivale a: MLT-2 = Mx L-3x+3y+z T-y . [D] = ML-3. ésta se convierte en: [F] = [K][D]x [Q]y [d]z . (2) Donde: [F] = MLT-2. . [d] = L Reemplazando en la ecuación (2) tenemos: MLT-2 = 1 (ML-3)x (L3T-1)y (L)z. y = 2. si se considera que la constante de proporcionalidad K es adimensional? RESOLUCIÓN Según el enunciado: P = K ρx Vy . . [ρ] = M L-3 .PROBLEMAS DE APLICACIÓN TEMA: ANÁLISIS DIMENSIONAL PROBLEMA Nº 5 En los experimentos con líquidos en movimiento se comprueba que la presión P ejercida sobre un cuerpo totalmente sumergido en la corriente del líquido depende de la densidad ρ y de la velocidad V. (1) Luego: [P] = [K] [ρ]x [V]y . . ¿Cuál es la fórmula empírica para la presión. . (2) Sabemos: [P] = M L-1 T-2 . [K] = 1 . . [V] = LT-1 . -1 = -3x + y . -2 = -y De estas últimas ecuaciones. tenemos que: 1=x .POBLEMAS DE APLICACIÓN TEMA: ANÁLISIS DIMENSIONAL Reemplazando en la ecuación (2) tenemos: ML-1T-2 = 1 (ML-3)x (LT-1)y ML-1T-2 = Mx L-3x+y T-y Aplicando la propiedad del álgebra que señala que a bases iguales los exponentes también deben ser iguales. obtenemos: x = 1 . y = 2 Reemplazando x e y en la ecuación (1) tenemos: P = K ρ V2 . .Notación gráfica de un vector . concepto. respuesta. explicación.Operaciones con vectores: suma y resta de vectores.Métodos para hallar la resultante de dos o más vectores coplanares.Inquietud.Componentes rectangulares de un vector. .TEMA: ANÁLISIS VECTORIAL . . . .Vector. elementos de un vector. Inquietud • ¿Cómo se establece una apropiada terapia de rehabilitación de una pierna o brazo fracturado? • ¿Qué parte de la física nos permite analizar y resolver este problema? . • La física estudia esas cantidades en el: “ANÁLISIS VECTORIAL” . Cualquier exceso podría dañar a los tendones. • Esto nos obliga a relacionar cantidades (o magnitudes) que poseen una dirección determinada.EXPLICACIÓN • La graduación del peso para recuperar la fuerza muscular tiene estrecha relación con la masa muscular. a fin de evitar un daño a los tendones.RESPUESTA • Se requiere establecer un peso para someter al músculo a un esfuerzo y recuperar así la fuerza muscular perdida por la inactividad del músculo. manera gradual. • El peso se aumentará de . 2..es la orientación del vector con respecto a un sistema de coordenadas referenciales.. MAGNITUD O MÓDULO. .Representación matemática de una cantidad vectorial que se grafica mediante un segmento de recta orientado.ANÁLISIS VECTORIAL VECTOR.es la longitud del vector. DIRECCIÓN. ELEMENTOS DE UN VECTOR: 1. ANÁLISIS VECTORIAL Notación gráfica de un vector en el plano cartesiano y MÓDULO A q DIRECCIÓN El módulo o magnitud del vector A es: AA x . definimos las siguientes operaciones: . cuyos módulos y direcciones son conocidos.ANÁLISIS VECTORIAL OPERACIONES CON VECTORES Sean los vectores A y B mostrados en la figura: B q A Utilizando estos vectores. Suma o adición de Vectores. Ejemplo: Si A y B son vectores. denominado vector suma o vector resultante. entonces: S = A + B = vector suma A + q B = A S q B . el cual es igual a la suma de todos los vectores. Operación cuya finalidad es hallar un único vector.ANÁLISIS VECTORIAL OPERACIONES CON VECTORES 1. ANÁLISIS VECTORIAL OPERACIONES CON VECTORES 1. denominado vector diferencia. Ejemplo: Si A y B son vectores.B = vector diferencia A B = A q D -B q * En este caso. entonces: D = A . Resta o sustracción de Vectores. Operación cuya finalidad es hallar un único vector. primero se halló el vector opuesto del vector B y luego se procedió como en la suma de vectores. . el cual es igual a la resta de los vectores. B = Rmin .ANÁLISIS VECTORIAL Vector Resultante para dos vectores coplanares: 1° caso: vectores colineales o paralelos B R max A R = A + B = Rmax B Rmin A R = A . a) Método del Paralelogramo A R El vector resultante es: A+B =R B El módulo del vector resultante es: R 2 B 2 2 AB cos A .ANÁLISIS VECTORIAL Vector resultante para dos vectores concurrentes 2° caso: vectores no colineales ni paralelos. ANÁLISIS VECTORIAL Resultante para dos vectores concurrentes b) Método del Triángulo El vector resultante es: R q A B R=A+B El módulo del vector resultante es: R 2 B2 2AB cos A Además se cumple: A Sen = B Sen q = R Sen . ANÁLISIS VECTORIAL Resultante para más de dos vectores coplanares c) Método del Polígono B q C A B q C A R R=A+B+C . ANÁLISIS VECTORIAL Componentes Rectangulares de un Vector Todo vector en el plano se puede descomponer en dos componentes mutuamente perpendiculares. Y Se cumple que: Ay A Ax X Ax = A Cos Ay = A Sen A Módulo del vector A: A A 2 x 2 y . tal como se muestra en la figura. Se hallan las componentes rectangulares de los vectores que forman ángulo con los ejes coordenados. Se calcula la resultante total aplicando Pitágoras. 2. 3. .ANÁLISIS VECTORIAL Resultante para más de dos vectores coplanares Método de las Componentes Rectangulares Pasos a seguir: 1. Se calcula las resultantes parciales en los ejes “x” e “y” (Rx y Ry). Resultante para más de dos vectores Método de las componentes rectangulares Ejemplo: sean los vectores A. mostrados en la figura. Y C Cy Ax Ay By X La resultante de estos tres vectores se obtiene hallando primero: Bx Cx n Rxx Vxii R R i 1 n R yy Ri R i 1 A B Vy i . B y C. Resultante para más de dos vectores Método de las componentes rectangulares Después de hallar Rx y Ry hallo el módulo de Rtotal aplicando el Teorema de Pitágoras. La dirección de “R” se halla aplicando la función tangente Y q Rx X Módulo de la resultante: R R R R 2 x 2 y Ry Dirección de la resultante: R q tg tgq Ry Rx 1 R y Rx . Un nadador posee una rapidez resultante de 3 m/s cuando se desplaza a favor de la corriente y posee una rapidez de 1 m/s cuando nada en contra de la corriente. RESOLUCIÓN A favor de la corriente. Es decir: VN + VC = 3 m/s VN – VC = 1 m/s Resolviendo estas ecuaciones se obtiene: VN = 2 m/s . las velocidades se restan porque están en direcciones contrarias. En contra de la corriente. VC = 1 m/s . Calcular la rapidez del nadador y la rapidez de la corriente.PROBLEMAS DE VECTORES 1. las velocidades del nadador (VN) y de la corriente (VC) se suman porque están en la misma dirección. Calcular la fuerza resultante sobre el diente.lo tanto ejerce fuerzas de 2 N en los dientes a los que se fija. debida al freno. Por . El freno de alambre que se ve en la figura tiene una tensión T igual a 2 N a lo largo de él. en las dos direcciones que se indican.2. . y simplificando obtenemos: R = 1.766. 2N 2N 140o R La magnitud o módulo de la resultante se halla con la siguiente ecuación: R 2 2 2(2)(2) cos140 2 2 o Reemplazando cos 140o = -0. para calcular la resultante se aplica el método del paralelogramo.RESOLUCIÓN Como se trata de dos fuerzas que tienen el mismo punto de origen.368 N . ¿cuál es la magnitud de la fuerza total sobre el brazo y qué ángulo forma con la vertical? . Las partes posterior y anterior del músculo deltoides elevan el brazo al ejercer las fuerzas Fp (4 kgf) y Fa (6 kgf) que muestra la figura.PROBLEMAS DE VECTORES 3. 86 kgf Ry = 6 cos 40º + 4 cos 30º = 8.PROBLEMAS DE VECTORES RESOLUCIÓN: Este problema se resuelve por el método de las componentes rectangulares (en la figura se muestran las componentes de las fuerzas Fp = 4 kgf y Fa = 6 kgf).86 kgf Además: tgq Ry 8.4 sen 30º = 1. 27 kgf y 4 kgf 6 cos 40º 4 cos 30º 6 kgf 30º 40º 4 sen 30º y 6 sen 40º x Ry R Rx 1.06 kgf 2 2 Luego: R Rx Ry 8. 06 kgf q 13º θ Rx x . De la figura: Rx = 6 sen 40º . como muestra la figura? Suponga que la masa del antebrazo y la mano juntos es de 2 kg y que su centro de gravedad está como se indica en la figura. FM 5 kg (2 kg) (g) FC = 330 N (5 kg) (g) . Considere que el sistema se halla en equilibrio y que g = 10 m/s2. ¿Cuánta fuerza debe ejercer el bíceps cuando se sostiene una masa de 5 kg en la mano.PROBLEMAS DE VECTORES 4. Es decir. entonces la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre el es igual a cero.PROBLEMAS DE VECTORES RESOLUCIÓN: Si el sistema se halla en equilibrio. la suma de fuerzas hacia arriba es igual a la suma de fuerzas hacia abajo. Matemáticamente sería: F Es decir: F FM FC wANTEBRAZO MANO wDE LA MASA DE 5 kg FM 330 N 20 N 50 N FM 400 N . s 2 b) kg . m / s 2 d) b . s 2 c) kg .ºC es: (1 cal = 4.184 J) a) 0. pie / s 2 e) b .a) PROBLEMAS PROPUESTOS d) 1.0608 d) 0.0308 c) 0. m .308 b) 0. pie 2 / s 2 2.K.608 e) 0.10 . Si el calor específico a presión constante de 1 atm para el plomo es 129 J/kg. Un grupo de unidades que representa la medición del trabajo realizado por una fuerza es: a) b . pie 2 . su equivalente en cal/g. kg m s-2 c) ML3 T -2 .63 x 106 .22 x 106 b)1. kg m2 s-2 b) ML2 T -2 .63 x 105 .63 x 104 . 2. kg m-2 s-2 e) ML-1 T -3 . Las dimensiones del torque y un grupo de unidades S.PROBLEMAS PROPUESTOS 3. Si el módulo de Young (E) de un hueso cuando es sometido a tracción es 1. 3. 2. son: a) ML2 T -2 . 1 pulg = 2.m.32 x 106 e) 1.36 x 105 . 2. kg m-1 s-3 4.I.32 x 106 d)1.32 x 106 c) 1. equivalente al N.81 N .6x1010 N/m2. 3.22 x 106 . kg m3 s-2 d) ML-2 T -2 .54 cm) a) 1.205 lbf = 9. Sus equivalentes en kgf/cm2 y en lbf/pulg2 son: (1 kgf = 2.43 x 105 . dentro de un tubo. El número de Reynolds “R”. se calcula mediante la siguiente ecuación Donde es la densidad. a) M2 L1 T 1 b) M3 L1 T 1 c) M L1 T 1 d) M L2 T 1 e) M L1 T 2 R V d / . Determinar las dimensiones de la viscosidad .PROBLEMAS PROPUESTOS 5. El número de Reynolds es una cantidad adimensional que nos indica si un flujo es turbulento o laminar. V la velocidad y d el diámetro del tubo. Si la constante de proporcionalidad K es adimensional. El desplazamiento s de un objeto que se mueve sujeto a una aceleración uniforme a es cierta función del tiempo t y de la aceleración a. ¿cuál de las siguientes es la fórmula correcta para hallar s? a) s = kat2 b) s = kat3 c) s = kat d) s = ka/t2 e) s = ka/t3 .PROBLEMAS PROPUESTOS 6. la presión P y del diámetro d del orificio. Halle la fórmula física que nos permite expresar el volumen de agua por unidad de tiempo (Q) que sale por un agujero. sabiendo que depende de la densidad D.PROBLEMAS PROPUESTOS 7. Considere: K = constante adimensional. a) Q = K D P2 d b) Q = K D-1/2 P1/2 d-2 c) Q = K D3/2 P3/2 d-2 d) Q = K D-3/2 P-3/2 d-2 e) Q = K D-3/2 P3/2 d2 . Las unidades SI de la temperatura. km/h . N 10. m/s .2 e) 2. ¿Cuántos ml se le administrará en una semana? a) 4 b) 21 c) 1 d) 4. m/s . Si a los lactantes se les administra 0.072 kg c) 0.PROBLEMAS PROPUESTOS 8. m/s . Suponiendo que un riñón humano es aproximadamente una esfera de 4 cm de radio y que su densidad es 1. son: a) ºC .027 kg b) 0. BEROTEC es un medicamento de alta eficacia contra la disnea en el asma bronquial. N e) ºF .27 kg 9. N c) ºC .01 g/cm3 ¿cuál es la masa del riñón? a) 0.37 kg e) 0. kgf d) K . kgf b) ºC .1 . m/s . Cada gota contiene 0.037 kg d) 0. respectivamente. la velocidad y la fuerza.25 mg del elemento activo y 20 gotas equivale a 1 ml.75 mg dos veces al día. ¿Cuántos gramos de Lincocin fueron suministrados al paciente? a) 12 b) 10.1 b) 0. La dosis de eritromicina en niños es de 30 mg/kgf de peso corporal al día. la que deberá suministrarse en dosis fraccionadas cada 8 horas.81 c) 81 d) 2.27 12. Si un niño pesa 27 kgf. para infecciones serias debido a organismos susceptibles se suministra 500 mg cada 8h y para infecciones más severas cada 6h.5 . El LINCOCIN es un antibiótico con acción contra gérmenes aerobios grampositivos.PROBLEMAS PROPUESTOS 11.7 e) 0. En adultos.5 c) 21 d) 25 e) 12. ¿cuántos gramos ingirió en 10 dosis? a) 8. Un paciente se encontró en tratamiento con infección severa por tres días y al responder al tratamiento el médico lo trato por otros cuatro días con infección seria. 5 b) 55 c) 165 d) 16. Una paciente con infección del tracto urinario causado por microorganismos gramnegativos es tratado con WINTOMYLON. suministrada cada 8 h. Para tratamientos prolongados en niños menores de 12 años de edad su administración es de 11 mg por kgf de peso por dosis. ¿cuántos gramos ingirió en un tratamiento de diez días? a) 5. Si el niño pesa 50 kgf.5 e) 44 .PROBLEMAS PROPUESTOS 13. ...148 c) 14. ¿cuántos mg de ácido ascórbico ingirió en 5 días de tratamiento? a) 7.. 37...... Cada 10 gotas contiene: Retinol palmitato ..... D y C en lactantes y niños pequeños ..0125 mg Ácido ascórbico .................4 d) 148 b) 74 e) 0.PROBLEMAS PROPUESTOS 14..5 mg Si la dosis preventiva en lactantes es de 8 gotas al día....375 mg Ergocalciferol ..... 0... 1..... PAIDOVIT es un medicamento empleado en la profilaxis y tratamiento de los estados carenciales clínicos y subclínicos de vitámina A..8 ..... .. 2 kgf 55º 25º 3 kgf .6 kgf d) 3.PROBLEMAS PROPUESTOS 15.4 kgf c) 2. Hallar la fuerza que ejerce sobre el pie el dispositivo de tracción de la figura mostrada.6 kgf b) 6. a) 4.7 kgf e) 5. .6 9.1.. 1 3.0../30 5. 795. . 1 9.36:09:/ T 46 : :.7.9.3. 56: 794.5. :0.9 9:639 :. 6 /9.7967. .0 5 1 5./3. .9. 796/34.16 T$ 7.9. 4:03.9 . .1: 6 4.1.065.90.1.1: 8 76:5 5.6 56: 6/3.5165: :.9 0. 93. .1: 5 3 !V && '"% . 4.9 . 4:03. ! . 1900 5 1.9 3.1.5. 9. 36: .:. 93. :.9.: 0.1. 1. 9079.0 5 065 3.0 5 13 7:6 7.5.5.389 0:6 7619 .5 :.9 . :. . :0. 9.1.945. 1.9 .9 .9 5 1.. 9..: 3.9.1 13 4 :036 4. 769 3.3 . 6 . 4:03./309 5 7:6 7.5165: 3 7:6 : . :64.9 1 .9 7911.0.# $!& $% & 989 :.3 4 :036 .45.1.59.. 5. 5 1 . 36: . 5 :96 9079. 9. 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