ASIGNATURA: FISICA MATEMATICA IIC DOCENTE: La Torre Alarcón Cesar ALUMNOS: Augusto Bernabé Siesquen Tuñoque Carlos Javier Cotrina Saavedra Cristian Urcia Díaz CICLO : 2012-II LAMBAYEQUE-PERU 2013 CONTENIDO: SERIES DE TAYLOR SERIES DE LAURENT TEOREMA DEL RESIDUO Series de Taylor, Series de Laurent, Teorema del residuo Análisis complejoIng. Carlos J. C.S. 2 1.1 SERIES DE POTENCIAS.- Una serie de potencias en el plano complejo es de la forma: Donde n c , son constantes reales y complejas llamados coeficientes de la serie, o z es constante y se llama centro de la serie, z es la variable compleja. Si 0 0 z = , la serie se reduce a: Ya hemos definido la series de potencia sin embargo surge una pregunta ¿Sera convergente esta cualquier serie de potencias o solamente algunas de ellas son convergentes?,¿De ser solamente algunas series de potencias convergentes cuales serían las condiciones de convergencia? No todas las series de potencias son convergentes veamos el siguiente ejemplo: Para 0 0 z = . 2 3 0 1 ....... ... n n n z z z z z ∞ = = + + + + + ∑ Si le damos por ejemplo un valor a 1 4 z = , entonces la serie es convergente 1. SERIES DE POTENCIA DE TAYLOR Series de Taylor, Series de Laurent, Teorema del residuo Análisis complejoIng. Carlos J. C.S. 3 Sin embargo si 2 z = Entonces concluimos en que no todas las series de potencia son convergentes Pero si no todas las series de potencias son convergentes entonces ¿Qué condiciones deben reunir aquellas que si lo son? La respuesta a esta pregunta nos da el siguiente teorema: 1.2 TEOREMA (CRITERIO DE LA RAZÓN) Sea 0 ( ) n n o n c z z ∞ = − ∑ una serie de potencia en C y sea ( ) n n n o u c z z = − , tal que 1 lim n n n u L u + →∞ = , entonces: Ejemplo: Determinar la región de convergencia de la siguiente serie: 2 0 ( 1) (2 )! ( !) n n n n z n ∞ = − ∑ Solución: Utilizando el criterio del teorema anterior tenemos: La serie converge absolutamente 1) Si L<1 La serie diverge 2) Si L>1 El criterio no decide 3) Si L=1 Series de Taylor, Series de Laurent, Teorema del residuo Análisis complejoIng. Carlos J. C.S. 4 Primer paso: hallar n u y 1 n u + 2 ( 1) (2 )! ( !) n n n n u z n − = , 1 1 1 2 ( 1) (2( 1))! (( 1)!) n n n n u z n + + + − + = + Segundo paso: calcular L 1 lim n n n u L u + →∞ = , reemplazando tenemos: L 1 1 2 2 ( 1) (2( 1))! (( 1)!) lim ( 1) (2 )! ( !) n n n n n n z n n z n + + →∞ − + + = − 2 2 ( !) (2 2)! 2(2 1) lim lim 4 1 (( 1)!) (2 )! n n n n n L z z z n n n →∞ →∞ + + = = = + + Tercer paso: región de convergencia de la serie 4 1 L z = < , luego: 1 4 z < Cuarto paso: interpretación de resultados Podemos concluir en que la serie 2 0 ( 1) (2 )! ( !) n n n n z n ∞ = − ∑ es convergente si 1 4 z < , de lo contrario será divergente, luego la región de convergencia será: Re(Z) Im(Z) Radio=1/4 Series de Taylor, Series de Laurent, Teorema del residuo Análisis complejoIng. Carlos J. C.S. 5 1.3 FUNCIONES REPRESENTADAS MEDIANTE SERIES DE POTENCIA Entonces ya sabemos de lo anterior que para que si una serie de potencias de la forma : 0 ( ) n n o n c z z ∞ = − ∑ , es convergente es necesario conocer su radio de convergente, pues esta serie no converge necesariamente en todo el plano sino que en forma general solo en una región de ella. La serie 0 ( ) n n o n c z z ∞ = − ∑ , con radio de convergencia R>0, define una función, pues tiene los tres elementos fundamentales que nos permiten llegar a esta conclusión veamos: El dominio de la función será la región donde la serie converge es decir: { } \ f o D z C z z R = ∈ − < El Rango será un subconjunto de los números complejos , f R C ⊂ . La regla de correspondencia seria 0 ( ) ( ) n n o n f z c z z ∞ = = − ∑ A partir de estas situaciones surge la pregunta ¿Es posible encontrar una función cuyo desarrollo en series sea la serie de potencias convergentes estudiadas anteriormente? Para aclarar la pregunta consideremos el siguiente ejemplo: Tenemos la siguiente serie: 0 ( ) n n z ∞ = − ∑ con radio de convergencia R= 1 z < , ¿Esta sería podría ser el desarrollo en serie de potencias de alguna función? La respuesta es afirmativa y la función buscada seria aquella cuya regla de correspondencia está dado por : 1 ( ) 1 f z z = + , entonces tenemos que: 0 1 ( ) ( ) 1 n n f z z z ∞ = = = − + ∑ Series de Taylor, Series de Laurent, Teorema del residuo Análisis complejoIng. Carlos J. C.S. 6 1.4 RECORDANDO SERIES DE TAYLOR Y MACLAURIN EN CALCULO DIFERENCIAL La serie de Taylor de una función f real ƒ(x) infinitamente diferenciable en el entorno de un número real a es la siguiente serie de potencias: Que en su forma más compacta podría ser escrito como: Esta idea del desarrollo de una función real de variable real en series de potencia la podríamos aplicar a funciones de variable compleja? La respuesta es afirmativa pero no para todas las funciones de variable compleja pues como observamos en el desarrollo de la serie de potencias para una función real necesitamos las derivadas de la función en el punto x=a Tomando esta idea necesitaremos que la función de variable compleja sea infinitamente derivable. Ahora supongamos que hemos encontrado una función de variable compleja que sea infinitamente derivable en 0 z , esto significa según la idea del análisis real que puede ser expresado con una serie de potencias y además que 2 3 1 2 3 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ....... ( ) .. n n n o o o o o n o n f z c z z c c z z c z z c z z c z z ∞ = = − = + − + − + − + − + ∑ Pero como ( ) f z es infinitamente diferenciable entonces 0 ( ) n n o n c z z ∞ = − ∑ , también debe serlo, entonces surge la siguiente pregunta: ¿Existe la posibilidad de que al derivar la serie infinitas veces el radio de convergencia se modifique?, ¿Podría suceder que el radio de convergencia se reduzca y por lo tanto lleguemos a un orden de derivada en la cual la serie deja de ser convergente? , lo cual sería contradictorio pues ( ) f z es c ∞ . La respuesta a esta pregunta la encontramos en el ítem 1.5 Series de Taylor, Series de Laurent, Teorema del residuo Análisis complejoIng. Carlos J. C.S. 7 1.5 DERIVACIÒN DE SERIES Sea ( ) f z = 0 ( ) n n o n c z z ∞ = − ∑ , una serie de potencias convergente z C ∀ ∈ , tal que o z z − R < , 0 R > , donde 1 lim n n n c R c →∞ + = ,entonces: De la primera derivada 1 0 '( ) ( ) n n o n f z nc z z ∞ − = = − ∑ , hallemos su radio de convergencia Sabemos que el radio de convergencia está dado por: 1 lim n n n c R c →∞ + = Entonces tenemos 1 1 1 lim lim ( 1) 1 n n n n n n n n nc c c n R n c n c c →∞ →∞ + + + = = = + + Observamos que el radio de convergencia de la derivada de la serie de potencias también es R De la segunda derivada 2 0 ''( ) ( 1) ( ) n n o n f z n n c z z ∞ − = = − − ∑ , hallemos su radio de convergencia Sabemos que el radio de convergencia está dado por: 1 lim n n n c R c →∞ + = Entonces tenemos 1 1 1 ( 1) ( 1) lim lim ( 1) ( 1) n n n n n n n n n n c c c n n R n nc n n c c →∞ →∞ + + + − − = = = + + Observamos que el radio de convergencia de la derivada de la serie de potencias también es R De la tercera derivada 3 0 '''( ) ( 1)( 2) ( ) n n o n f z n n n c z z ∞ − = = − − − ∑ , hallemos su radio de convergencia Series de Taylor, Series de Laurent, Teorema del residuo Análisis complejoIng. Carlos J. C.S. 8 Sabemos que el radio de convergencia está dado por: 1 lim n n n c R c →∞ + = Entonces tenemos 1 1 1 ( 1)( 2) ( 1)( 2) lim lim ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) n n n n n n n n n n n c c c n n n R n n n c n n n c c →∞ →∞ + + + − − − − = = = + − + − Observamos que el radio de convergencia de la derivada de la serie de potencias también es R Si continuamos derivando observamos que el radio de convergencia de la serie de potencias y sus derivadas tienen el mismo radio de convergencia 1.6 SERIE DE TAYLOR Y DE MACLAURIN COMPLEJA Ahora que sabemos que el radio de convergencia de la serie de potencias y de sus derivadas no cambia podemos usar las ideas del cálculo real para funciones de variables complejas. Sea ( ) f z = 0 ( ) n n o n c z z ∞ = − ∑ , una serie de potencias convergente z C ∀ ∈ , tal que o z z − R < , 0 R > , calcularemos los coeficientes n c Calculo de o c Para calcular o c , simplemente reemplazamos o z z = ( ) 0 0 0 0 0 0 0 ... o o f z c = + + + + + + + + de donde ( ) o o f z c = Calculo de 1 c Para calcular 1 c , simplemente derivamos ambos miembros y reemplazamos o z z = Derivando tenemos: 2 1 1 2 3 '( ) 2 ( ) 3 ( ) ....... ( ) . n o o n o f z c c z z c z z nc z z − = + − + − + − + y reemplazando o z z = , 1 '( ) 0 0 0 0 0 0 0 .. o f z c = + + + + + + + + de donde 1 '( ) o f z c = Calculo de 2 c , simplemente derivamos nuevamente ambos miembros y reemplazamos o z z = Derivando tenemos: Series de Taylor, Series de Laurent, Teorema del residuo Análisis complejoIng. Carlos J. C.S. 9 1 2 2 2 3 ''( ) 2 3.2 ( ) 4.3.( ) ........ ( 1) ( ) . n o o n o f z c c z z z z n n c z z − = + − + − − − + y reemplazando o z z = , 2 ''( ) 2 0 0 0 0 0 0 0 ..... o f z c = + + + + + + + + de donde 2 ''( ) 2! o f z c = Calculo de 3 c , simplemente derivamos nuevamente ambos miembros y reemplazamos o z z = Derivando tenemos: 1 3 3 '''( ) 3.2.1 4.3.2( ) ........ ( 1)( 2) ( ) . n o n o f z c z z n n n c z z − = + − − − − + y reemplazando o z z = , 3 '''( ) 3.2.1 0 0 0 0 0 0 0 ... o f z c = + + + + + + + + de donde 3 ''( ) 3.2.1 o f z c = , que se puede expresar como 3 ''( ) 3! o f z c = Continuando con el procedimiento de derivación y sustitución de o z z = ,llegamos a que ( ) ( ) ! n o n f z n c = , de donde ( ) ( ) ! n o n f z c n = Como ( ) f z = 0 ( ) n n o n c z z ∞ = − ∑ , desarrollando tenemos: 2 3 1 2 3 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ....... ( ) .. n n n o o o o o n o n f z c z z c c z z c z z c z z c z z ∞ = = − = + − + − + − + − + ∑ Ahora reemplazando por los valores de los coeficientes tenemos: ( ) 2 3 0 0 0 0 0 ''( ) '''( ) ( ) ( ) ( ) '( )( ) ( ) ( ) ....... ( ) . 2! 3! ! n n o o o o f z f z f z f z f z f z z z z z z z z z n = + − + − + − + − + Que escrito en forma compacta seria: ( ) 0 0 ( )( ) ! n n o n f z z z n ∞ = − ∑ Que es la serie de Taylor alrededor del punto o z z = Cuando 0 o z = , se tiene la serie ( ) 0 (0)( ) ! n n n f z n ∞ = ∑ que se denomina serie de MACLAURIN Series de Taylor, Series de Laurent, Teorema del residuo Análisis complejoIng. Carlos J. C.S. 10 1.7 EJEMPLOS 1.-Hallar la serie de Taylor de ( ) f z senz = , alrededor de z =0 ( ) '( ) cos ''( ) '''( ) cos ( ) . . . iv f z senz f z z f z senz f z z f z senz = = = − = − = (0) 0 '(0) 1 ''(0) 0 '''(0) 1 ( ) 0 . . . iv f f f f f z = = = = − = ( ) 0 (0)( ) ( ) ! n n n f z f z n ∞ = = ∑ , desarrollando se tiene: ( ) 2 3 ''(0) '''(0) (0) ( ) (0) '(0)( ) ( ) ( ) ....... ( ) . 2! 3! ! n n f f f f z senz f f z z z z n = = + + + + + 3 5 7 3 5 1 1 ( ) 0 0 ( ) 0 ( ) ...... .... 3! 5! 3! 5! 7! z z z f z senz z z z z = = + + − + + = − + − + = 2 1 0 ( 1) ( ) (2 1)! n n n z f z senz n + ∞ = − = = + ∑ , z C ∀ ∈ es convergente 2.-Hallar la serie de Taylor de ( ) cosh f z z = , alrededor de z =0 Desarrollo: ( ) cosh '( ) ''( ) cosh '''( ) ( ) cosh . . . iv f z z f z senhz f z z f z senhz f z z = = = = = (0) 1 '(0) 0 ''(0) 1 '''(0) 0 ( ) 1 . . . iv f f f f f z = = = = = Series de Taylor, Series de Laurent, Teorema del residuo Análisis complejoIng. Carlos J. C.S. 11 ( ) 2 3 ''(0) '''(0) (0) ( ) cosh (0) '(0)( ) ( ) ( ) ....... ( ) . 2! 3! ! n n f f f f z z f f z z z z n = = + + + + + 2 2 4 0 1 1 ( ) cos 1 ( ) ( ) ...... . , 2! 4! (2 )! n n z f z hz z z z n ∞ = = = + + = < ∞ ∑ 2 0 ( ) cos . , (2 )! n n z f z hz z n ∞ = = = < ∞ ∑ Series de Taylor, Series de Laurent, Teorema del residuo Análisis complejoIng. Carlos J. C.S. 12 Si f es analítica en 0 z , entonces se puede desarrollar f en una serie de Taylor alrededor de 0 z que contiene potencias en 0 z z − ¿Si la función no es analítica 0 z se podrá expresar f como una serie de potencias? La respuesta es afirmativa ahora veremos el caso en que f no sea analítica en 0 z , si aún podríamos tratar de representar en una serie de 0 z . Si incluimos potencias de 0 1 z z − , esta es la idea detrás de la serie de Laurent. Sea 1 γ : 0 z z − > r , 2 γ : 0 z z − < R , r < R D= 0 { / } z C r z z R ∈ < − < , la región anular (disco) acotado por 1 γ y γ . Sea f : D C C ⊂ → ,función analítica dentro y sobre la frontera de D,entonces z D ∀ ∈ Se tiene: Donde n a y n b son los coeficientes de la serie de Laurent y n a = ( ) ( ) 1 0 n n f w dw w z γ + − ∫ ( ) ( ) ( )( ) 2 2 1 0 1 0 1 1 2 2 n n n f w dw b f w w z dw i w z γ γ π π − − + = = − − ∫ ∫ En la serie de Laurent ( ) 0 0 n n n a z z ∞ = − ∑ Se llama parte analítica 2. SERIES DE LAURENT Series de Taylor, Series de Laurent, Teorema del residuo Análisis complejoIng. Carlos J. C.S. 13 ( ) 0 1 n n n b z z ∞ = − ∑ Se llama parte principal TEOREMA: Sea ( ) f z una función analítica en el anillo 1 0 2 z z γ γ < − < , entonces para z en este anillo ( ) ( ) 0 n n n f z a z z ∞ =∞ = − ∑ Donde ( ) ( ) 1 0 1 2 n n f w dw a i w z γ π + = − ∫ para n =0, 1, 2,..., ± ± Y γ es cualquier circunferencia 0 z z ρ − = , 1 2 1 r r ρ < < < r1 zO P r2 x zo D Series de Taylor, Series de Laurent, Teorema del residuo Análisis complejoIng. Carlos J. C.S. 14 Ejemplo: 1.- Desarrollar la función ( ) ( ) ( ) 1 1 2 f z z z = − − , en serie de Laurent en el disco 1 z < Desarrollo: ( ) ( ) ( ) 1 1 2 1 2 A B f z z z z z = = + − − − − , de donde 2 1 1 lim 1 1 2 1 z B z → = = = − − Luego ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 f z f z z z z z z z = − + = − ⇒ = − − − − − − | | − | \ ¹ ( ) 1 0 0 0 0 1 2 2 2 n n n n n n n n n z z f z z z ∞ ∞ ∞ ∞ + = = = = | | = − = − | \ ¹ ∑ ∑ ∑ ∑ ∴ ( ) 1 0 1 1 2 n n n f z z ∞ + = | | = − | \ ¹ ∑ 2.- Desarrolle la función ( ) ( ) ( ) 2 2 2 5 2 1 z z f z z z − + = − + , en una vecindad del punto z =2 y el anillo 1 2 5 z ≤ − < Desarrollo: ( ) ( ) ( ) 0 0 2 2 n n n n n n f z a z b z ∞ ∞ − = = = − + − ∑ ∑ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 2 2 2 2 5 2 5 2 2 2 1 z z z z A B C f z z z i z i z z i z i z z − + − + = = = + + − + − − + − − + 1 1 1 lim 1 2 1 z A z → − = = = − − Series de Taylor, Series de Laurent, Teorema del residuo Análisis complejoIng. Carlos J. C.S. 15 Calculando los valores de , A B y C se tiene: 2 2 2 2 5 4 4 5 lim 1 1 5 z z z A z → − + − + = = = + ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 5 1 2 5 lim 2 2 2 2 2 z i i z z i B i z z i i i i i →− + − + − + + = = = = − − − − − − + ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 5 1 2 5 lim 2 2 2 2 2 z i i z z i C z z i i i i i → − − + − − + = = = − + − − − =i , por lo tanto; ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 2 2 2 2 i i i i f z z z i z i z z i z i = − + = − + − + − − − + + − + − ( ) ( ) ( ) 1 2 2 2 2 1 2 1 2 2 i i f z z z z i i i i = − + − − − | | | | + + − + | | + − \ ¹ \ ¹ ( ) ( ) ( ) 0 0 1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 n n n n n n i z i z f z z i i i i ∞ ∞ = = − − | | | | = − − + − | | − + + − − \ ¹ \ ¹ ∑ ∑ Esto vale si: 2 1 2 z i − < + Λ 2 1 2 z i − < − Entonces: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 0 1 1 1 1 2 2 2 2 n n n n n f z i z z i i ∞ + + − ( = − − − − ( − + − ( ¸ ¸ ∑ 2 2 z i − < + Λ 2 2 2 5 z i z − < − ⇒ − < Series de Taylor, Series de Laurent, Teorema del residuo Análisis complejoIng. Carlos J. C.S. 16 SINGULARIDAD: Un punto 0 z es un punto singular o una singularidad de un función F , si F es analítica en algún punto de toda variedad de 0 z , excepto en 0 z mismo. Existen varios tipos de singularidades. 1.- SINGULARIDAD AISLADA: El punto z = 0 z es una singularidad aislada o un punto singular de ( ) f z si ∃ 0 δ > , tal que el circulo 0 z z δ − = no encierra puntos singulares distintos de 0 z (es decir ∃ ( ) 0 v z δ sin singularidad). Si tal δ no existe, decimos que 0 z es una singularidad no aislada. Si 0 z no es punto singular y si ∃ 0 δ > / 0 z z δ − = no encierra puntos singulares, decimos que 0 z es un punto ordinario de ( ) f z . 2.-POLOS: Si podemos encontrar un entero positivo n tal que ( ) 0 0 lim n z z z z → − ( ) 0 f z A = ≠ , entonces 0 z z = es llamado polo de orden n , si n =1, , es llamado un polo simple. Ejemplo: ( ) ( ) 3 1 2 f z z = − , tiene un polo de orden tres en z =2 ( ) ( ) ( )( ) 2 3 2 1 1 4 z f z z z z − = − + − ,tiene un polo de orden 2en 1 z = y polos simples en 1 z = − , 4 z = . Si ( ) ( ) ( ) 0 n y z z z F z = − , de donde ( ) 0 0 F z ≠ y n es un entero positivo entonces 3. TEOREMA DEL RESIDUO Series de Taylor, Series de Laurent, Teorema del residuo Análisis complejoIng. Carlos J. C.S. 17 0 z z = es llamado un cero de orden n de ( ) y z . Si n =1, 0 z es llamado un cero simple, en tal caso 0 z es un polo de orden n de la función ( ) 1 y z . RESIDUOS: Se conoce que el desarrollo de la serie de Laurent de una función analítica ( ) f z es una región anular { } 1 0 2 / D z C R z z R = ∈ < − < está dado por: ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 1 * n n n n n n f z a z z b z z ∞ ∞ − = = = − + − • • • • • • ∑ ∑ Si la parte principal consiste de un numero finito de términos es decir 0 n b = ,para n m > y m b o ≠ entonces la serie ( ) toma la forma: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 0 2 0 0 0 0 0 0 n m n m n b b b f z a z z z z z z z z ∞ = = − + + +•••• + + + ••• − − − ∑ En este caso ( ) f z tiene un polo de orden m en 0 z z = y el coeficiente 1 b denotado por 1 1 a b − = recibe el nombre de residuo de F en 0 Z . Si ( ) f z tiene un polo simple 0 z z = , entonces la serie es ( ) ( ) 1 0 0 0 n n n b f z a z z z z ∞ = = − + − ∑ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 0 1 0 2 0 0 0 n n b f z a a z z a z z a z z z z = + − + − +••• + − +••• + − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 0 0 0 1 0 0 1 n n z z f z a z z a z z a z z b + − = − + − +••• + − +••• + Ahora tomamos límite cuando 0 z z → Si tiene: ( ) ( ) ( ) 0 0 1 0 1 lim Re , , z z z z f z b f z b → − = = recibe el nombre de ( ) f z en 0 z z = . Luego si ( ) f z tiene un polo en 0 z z = y 0 z está en el interior de γ entonces ( ) ( ) ( ) 0 0 0 1 n n n n n n f z a z z b z z ∞ ∞ = = = − + − ∑ ∑ Series de Taylor, Series de Laurent, Teorema del residuo Análisis complejoIng. Carlos J. C.S. 18 En este caso ( ) f z se puede expresar mediante la serie ( ) ( ) ( ) 0 0 0 1 n n n n n n f z a z z b z z ∞ ∞ = = = − + − ∑ ∑ , convergente z C ∀ ∈ tal que 0 0 z z R < − < ( ) ( ) 1 0 1 2 n n f z dz a i z z γ π + = − ∫ y, ( ) ( ) 1 0 1 2 n n b z z f z dz i γ π + = − ∫ donde γ es una curva cerrada contenida en el anillo 0 0 z z R < − < Si, ( ) 1 1 1, 2 n b f z dz i γ π = = ∫ de donde ( ) 1 2 f z dz b i γ π = ∫ donde Ces el coeficiente de 0 1 z z − y 1 b es el residuo de ( ) f z que denotamos por ( ) 0 1 Re , f z b = r, por lo tanto: ( ) ( ) 1 0 2 2 Re , f z dz ib i f z γ π π = = ∫ Ejemplo: Calcular la integral 1 3 , z z e dz γ ∫ donde γ : 1 z = Desarrollo: ( ) 1 3 z F z z e = , no es analítica en 0 z = Es decir 0 z = es un polo de ( ) F z ( ) 1 3 3 3 2 3 4 0 1 1 1 1 1 1 ... ! 2!. 3!. 4!. n z n z F z z e z z n z z z z ∞ = | | | | | \ ¹ = = = + + + + + | \ ¹ ∑ 3 2 2 1 1 1 ( ) ... 2! 3! 4!. 5!. z F z z z z z = + + + + + + Luego ( ) 1 1 1 1 1 Re , 0 4! 24 24 b b F = = ⇒ = = ( ) 1 3 1 2 Re , 0 2 24 12 z z e dz i F i i γ π π π | | = = = | \ ¹ ∫ Series de Taylor, Series de Laurent, Teorema del residuo Análisis complejoIng. Carlos J. C.S. 19 TEOREMA DEL RESIDUO: Si ( ) f z es una fracción analítica dentro y sobre de una curva γ excepto en un número finito de puntos singulares 1 2 3 , , ,..., ,..., j m z z z z z pertenecientes al interior de γ , entonces: ( ) ( ) 2 Re , j j i f z dz i f z γ π ∞ = = ∑ ∫ DEMOSTRACION: Sea ( ) f z una función analítica dentro y sobre una curva simple y cerrada en γ , excepto en los puntos 1 2 3 , , ,..., ,..., j m z z z z z dentro de γ También sea ( ) j j Cr z la circunferencia de centro j z y de radio j r suficientemente pequeño para que ( ) , j j Cr z j γ ⊂ ∀ ( ) ( ) , j j k k Cr z Cr z k j φ ∩ = ∀ ≠ Entonces: ( ) ( ) ( ) 1 1 1 ( ) ( ) 2 Re , 2 Re , r j j j j C z f z dz f z dz i f z i f z γ π π ∞ ∞ ∞ = = = = = = ∑ ∑ ∑ ∫ ∫ 1 ( ) 2 Re( , ) j f z dz i f z γ π ∞ = = ∑ ∫ OBSERVACION: Si 0 z es un polo de orden m, hay una formula relativamente simple para calcular Re( , ) f z . DEMOSTRACION: Como 0 z es un polo de orden m de la función ( ) f z , entonces f tiene un desarrollo en serie de Laurent en el anillo 0 0 z z R < − < 0 2 1 1 0 1 0 2 1 0 0 0 ( ) ..... ( ) ( ) .......( ) ( ) ( ) m m m m a a a F z a a z z a z z z z z z z z α − − + − − = + + + + + − + − + − − − Con 0, m a − ≠ puesto que ( ) f z tiene un polo de orden m en 0 z ahora lo que queremos evaluar es 1 a − que es el residuo de f en 0 z es decir: Series de Taylor, Series de Laurent, Teorema del residuo Análisis complejoIng. Carlos J. C.S. 20 0 1 Re( , ) f z a − = ……………….1 Ala ecuación ( ) α multiplicamos por 0 ( ) m z z − 1 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ...... m m m m z z f z a z z a z z − − − = − + − + Como la serie de la derecha es una serie de Taylor alrededor de 0 z , entonces 0 ( ) ( ) m z z f z − es analítica en 0 z ahora derivamos esta ecuación 1 m− veces es decir: 1 0 1 0 0 1 [( ) ( )] ( 1)( 2)....1 ( 1)( 2)...(2)( ) ... m m m d z z f z a m m a m m m z z dz − − − − = − − + − − − + Tomando límite cuando 0 z z → se tiene: 0 0 1 0 1 0 0 1 lim [( ) ( )] lim[ ( 1)! !( ) ...] m m m z z z z d z z f z a m a m z z dz − − − → → − = − + − + 0 1 0 1 1 lim [( ) ( )] ( 1)! 0 0 ... 0 m m m z z d z z f z a m dz − − − → − = − + + + + De donde se obtiene: 0 1 1 0 1 1 lim [( ) ( )]............2 ( 1)! m m m z z d a z z f z m dz − − − → = − − Al reemplazar (2) en (1) se obtiene: 0 1 0 0 1 1 Re( , ) lim [( ) ( )] ( 1)! m m m z z d f z z z f z m dz − − → = − − Ejemplo: Evaluar la integral si 2 4 1 , ( 3 2) z dz z z γ − + + ∫ γ es Desarrollo: La función 2 4 1 ( 3 2) z z z − + + = 4 1 ( 2)( 1) z z z − + + tiene polos simples en es analítica 2, 1 z z = − = − y que están en el interior deγ Aplicando el teorema del residuo tenemos: Series de Taylor, Series de Laurent, Teorema del residuo Análisis complejoIng. Carlos J. C.S. 21 [ ] 2 4 1 2 Re( , 2) Re( , 1) ( 3 2) z dz i f f z z γ π − = − + − + + ∫ , [ ] 2 2 (4 1) (4 1) Re( , 2) lim( 2) lim 9 ( 2)( 1) ( 1) x x z z f z z z z →− →− − − − = + = = + + + [ ] 1 2 (4 1) (4 1) Re( , 1) lim( 1) lim 5 ( 2)( 1) ( 2) x x z z f z z z z →− →− − − − = + = = − + + + , Luego tenemos: : 2 4 1 2 (9 5) 2 ( 3 2) z dz i i z z γ π π − = − = + + ∫ BIBLIOGRAFIA: Espinoza R. “Variable compleja” Serie schaum “Análisis Complejo” LINKOGRAFÍA http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Taylor http://es.wikipedia.org/wiki/Serie_de_Laurent http://licmat.izt.uam.mx/notas_de_clase/vcmplx09c1.pdf http://personal.us.es/contreras/t10residuos.pdf