Semana 01Darwin Nestor Arapa Quispe VECTORES PROBLEMA : 02 PROBLEMA : 01 Empleando los ejes mostrados, halle el vector unitario del vector A . 5 A 2 O 10 1 b)(4/5;3/5) e)(5;10) c)(2/5;1/5) Resolución: Recordando la definición de vector unitario, diremos que: A UA …….(1) A Q(10;5) 5 45 e) 5 P Resolución: Expresando cada vector en función de los vectores unitarios i y j . P 3i , Q 5 j R 10 cos 45 i 10 sen45 j Según el enunciado tenemos: 10 cos 45 i 10 sen45 j m(3i) n(5 j) A O c) 5/3 d) 1/5 a)(4/3;5/3) d)(1;5) 1 Dado los vectores P , Q y R mP nQ tal como se indica en la figura: si P=3, Q=5 y m R=10. Hallar la relación . n a) 1/2 Q b) 3/5 R 5 2 i 5 2 j 3mi 5n j 2 10 Igualando tenemos: 5 2 3m ; 5 2 5n P(2; 1) m Cálculo de A PQ . PQ Q P PQ (10;5) (2; 1) (8;6) …….(2) Cálculo de PQ . Recordemos que: PQ 82 62 PQ 10 …….(3) Reemplazamos (2) y (3) en (1) 5 2 ; n 2 3 Piden: m n 5 2 3 2 m 5 Rpta. n 3 4 3 UA ; Rpta. 5 5 Colección “G y D” 1 (2) Usamos la ley de cosenos: R A 2 B2 2ABCos 4 x 2 2Cos ……. La suma de dos vectores mide 4 y su diferencia 3.5 Rpta.(1) D A 2 B2 2ABCos 3 x 2 2Cos ……. Halle m+n. Halle el módulo de los vectores sabiendo que son iguales..5 A B 2. 2 .(1) b a 4c ………. x a b c c c c Usando el método del triángulo se tiene: x ac c x a …….. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 Resolución: Graficando según el enunciado: x a b A Resolución: Sea c un vector auxiliar: R D B Además se sabe que: A B x .Semana 01 Darwin Nestor Arapa Quispe PROBLEMA : 04 PROBLEMA : 03 Si en los vectores que se hallan contenidos en el rectángulo se cumple que: x na mb . R=4 y D=3. Colección “G y D” 7 25 4x 64 25 x 2.(2) Dividiendo (1) entre (2) se tiene: Reemplazando (1) en (2): cos b a 4(x a) b a 4x 4a x 3 1 a b na mb 4 4 Reemplazando en (1) 7 4 x 2 2 25 De donde: n 3 1 y m 4 4 m n 1 Rpta. Semana 01 Darwin Nestor Arapa Quispe PROBLEMA : 07 PROBLEMA : 05 Indicar x en función de los vectores A . Colección “G y D” R 02 32 22 R 13 Rpta.0. 1) R (0. 3.1) y B(0. 1) Resolución: Método del paralelogramo PQ Q P (2.1) A(2.0) Piden: R AB PQ O AB B A (2.0. PROBLEMA : 06 En una circunferencia de radio “r” y de centro en O contiene tres vectores. z 1 x A C B y 3 b) A B C a) A B C x d) A B C c) A B 2C e) A B C Resolución: Usamos el método del polígono. 3.0) x Q(2. el modulo del vector resultante es: a) 4r b) 2r c) r d) 3r e) 5r 2 a) 13 b) 2 3 d) 15 e) c) 2 5 5 Resolución: Cálculo de coordenadas: z P(0. 3 .0. B y C. 2) Además: R R x 2 R y 2 R z 2 r r O R 4r R 4r Rpta.0. 3. En la figura determinar el módulo del vector resultante. B CxA x BCA x A B C Rpta. 22 40 20 c) 33°. 22 8 Colección “G y D” b) 10°. 33 75 Calcular el ángulo “ ” y el módulo de la fuerza resultante sabiendo que tiene la misma dirección que el vector de 40 unidades. y a) 37° b) 45° c c) 33° 15 d) 25° e) 22° a) 37°. 24 e) 17°. 25 y 24 x 10 20 d) 15°. x 30 4 . el vector A deberá ser contrario a la suma de los otros dos. la resultante de dos de ellos debe ser el opuesto del tercer vector. y a) 37° A b) 45° c) 60° d) 53° y 10 4 x 3 e) 15° 8 c6 53 75 15 Resolución: Para que la resultante sea mínima. 37 Rpta. Resolución: Para que la resultante sea cero. PROBLEMA : 10 PROBLEMA : 09 Dados 3 vectores en el plano.Semana 01 Darwin Nestor Arapa Quispe PROBLEMA : 08 Halle el ángulo conociéndose que la resultante debe tener valor mínimo. y x 10 A 3 4 Según el grafico es fácil notar que: c=6 Además: 15 53 90 De donde: x 3 4 Notamos un triángulo notable: 22 Rpta. halle el ángulo “ ” de manera que la suma de estos sea cero. 24 30 cos( 20) 4 cos( 20) 5 60 4 Ley de cosenos: R 4 2 12 2(4)(1)cos 60 R 21 Rpta. la resultante en y debe ser nula. 5 . y descomponiendo rectangularmente. 1 120 a) 2 5 b) 23 c) 21 d) 15 e) 5 1 M 120 Colección “G y D” 2 a) 2 15 b) 17 d) e) 13 21 c) 19 Resolución: Descomponiendo los vectores poligonalmente. y 40 Resolución: Descomponiendo vector x poligonalmente 2 1 2 M 24 120 30 sen( 20) 20 30 cos( 20) cada 60 2 Reduciendo se tiene: 30 R Como la resultante tiene la misma dirección que el vector de 40 unidades.Semana 01 Darwin Nestor Arapa Quispe Resolución: Haciendo rotar los ejes convenientemente. Hale el módulo del vector resultante. PROBLEMA : 11 En un rombo cuyo lado mide 2 unidades se ha colocado dos vectores. M es punto medio. como se puede ver en la figura. 1 PROBLEMA : 12 Tres vectores han sido colocados sobre un triángulo. determine el módulo de la suma de vectores. 20 37 17 Cálculo de la resultante: R 40 30sen(37) R 22 17 y R 22 Rpta. PROBLEMA : 13 La figura mostrada es un cuadrado. PROBLEMA : 14 Determinar X en función de A y B . R A X B A G X B P a) (2 2 1)(A B) b) ( 2 2)(A B) c) ( 2 1)(A B) a) BA 3 b) B 2A 6 d) BA 6 e) A 2B 6 d) ( 2 1)(A B) e) ( 2 3)(A B) Colección “G y D” W Q M c) 3B A 6 6 . El vector X es colineal con el vector suma (A B) . sabiendo que PM = 5MQ y G es el baricentro del triángulo PQR. 1 L 120 1 AB 2 A R 3 60 1 Ley de cosenos: 2 L L 2 B PROPIEDAD: AB tamaño(A B) 2 R 3 1 2(3)(1)cos 60 AB R 13 Rpta.Semana 01 Darwin Nestor Arapa Quispe Resolución: Comparando los gráficos. Determinar el vector X . L 2 X tamaño(X) X L(2 2) X ( 2 1)(A B) Rpta. expresado en función de los vectores A y B . (1) 6 AB AB n ……(2) 2 6 Además El problema se reduce a sumar cuatro vectores verticales. por ser de igual módulo y sentidos opuestos.5 s d) 3. R 2n A Resolución: Se descomponen los vectores convenientemente. 7 . determinar el módulo de la resultante.. En la cara superior del cubo los vectores componentes se cancelan par a par. Dentro de cuánto tiempo estarán separados 30 m.Semana 01 Darwin Nestor Arapa Quispe Resolución: De la figura notamos que W es punto medio de PQ. 6 PROBLEMA : 15 Si la arista del cubo mide “a”.(3) Reemplazando (1) y (2) en (3) BA AB X 2 6 6 X 3B A Rpta. B G X n P 3m W 2m M m Q Del método del polígono. X 2m n ………. a) 2a b) 3a c) 4a a a MRU PROBLEMA : 01 Dos móviles están separados por 1200 m y se dirigen en sentido contrario con velocidades de 40 m/s y 20 m/s. R 4a Rpta.5 s b) 20 s e) 4 s Resolución: t c) 10 s t 20 m s 40 m s 40t 30m 20t 1200 m d) 5a e) a Colección “G y D” 1200 60t 30 117 t 6 t 19. B 6m A m 3n a a BA …. a) 19.5 s Rpta. (III) Sumando (II)+(III): 500 (VM VC )t E 500 (4 6)t E 20 m e vt t 1s Rpta. 20 20t Colección “G y D” t E 50 s Reemplazando en (I): e 35(50) e 1750 m Rpta. y su espacio recorrido será: 10 m s e VP t E 35t E ………(I) 100 m 90 m VM VC e vt t 19 s Rpta. Carlos lleva una paloma que va de él a ella sucesivamente con velocidad de 35 m/s.(II) Para Carlos: 500 x VC t E ………. si el largo del tren es de 90m. ¿En cuánto tiempo pasara por delante de un semáforo? a) 3 s d) 4 s b) 2 s e) 5 s Resolución: 5 V 72 20 m s 18 20 m s E x PROBLEMA : 03 c) 1 s 500 x 500 m Siendo “E” el punto de encuentro: Para Martha: x VM t E ……. 190 10t Un bus. cuya longitud es de 20 m tiene una velocidad de 72 km/h. 8 . a) 18 s d) 15 s b) 19 s e) 10 s c) 20 s Resolución: Expresamos la velocidad 5 multiplicar por: 18 5 V 36 10 m s 18 en (m/s). es el tiempo de encuentro entre Carlos y Martha. un tren que marcha a 36Km/h atravesara un túnel de 100 m. ¿Cuál es el espacio total recorrido por la paloma hasta que se produce el encuentro? a) 1750 m d) 1005 m b) 1800 m e) 1000 m c) 2000 m Resolución: El tiempo que emplea la paloma. Carlos con velocidad de 6 m/s y Martha con 4 m/s parten simultáneamente de sus casas distantes 500m.Semana 01 Darwin Nestor Arapa Quispe PROBLEMA : 04 PROBLEMA : 02 En cuanto tiempo. Halle la posición de la partícula en el instante t = 5s: Colección “G y D” t t PROBLEMA : 06 Para el problema se tiene: X(m) x O V tan 2 m s x 0 4 2 5 t(s) x 4 2t 4 Para t=5 se tendrá: x 4 2(5) x 6 m Rpta. Hallar la velocidad del bote. PROBLEMA : 08 Dos coches partieron al mismo tiempo: Uno de A en dirección a B. 9 . Hallar la distancia entre A y B.(I) Río arriba: 4 km h Vbote Vrío …. PROBLEMA : 07 La figura muestra la gráfica posición contra tiempo de una partícula que se mueve en el eje X. Cuando se encontraron. y el segundo 4h en llegar a A. y el otro de B en dirección a A. Calcular la longitud del tren b) +2 m a) 575 m d) 525 m d) +6 m b) 500 m e) 400 m c) 450 m c) +4 m O t(s) 4 e) -8 m Resolución: Grafiando se tiene: 2 Resolución: Recordando las ecuaciones del MRU: 55 m s X 800 m L x x x 0 Vt e vt L 800 55(25) L 575 m Rpta.(II) Sumando (I)+(II): 14 km h 2Vbote Vbote 7 km h Rpta. A partir de este momento (en que se encontraron) el primero tardo una hora en llegar a B. a) 7 km/h d) 10 km/h b) 8 km/h e) 15 km/h c) 9 km/h Resolución: Río abajo: 10 km h Vbote Vrío ….Semana 01 Darwin Nestor Arapa Quispe a) 1 m PROBLEMA : 05 X(m) Un tren para atravesar un túnel de 800 m de longitud demora 25s a la velocidad de 55m/s. el primero había recorrido 36 km más que el segundo. V tan x0 Un hombre rema río abajo a 10km/h. y río arriba a 4km/h. R.(III) Dividimos (II) entre (III) xt E x 36 (x 36) t E 4x Resolviendo: x=36 km En (I): D=2(36)+36 D 108 km Rpta.tiempo son como se indica en el gráfico adjunto. PROBLEMA : 10 Dos móviles que se desplazan por el eje X con M. y al cabo de 10s escucha el eco..(I) Ahora se requiere x y la calcularemos analizando a los coches. Si en determinado instante el chofer del automóvil hace sonar la bocina. Se pide determinar la velocidad del móvil A.Semana 01 Darwin Nestor Arapa Quispe a) 90 km d) 100 km b) 110 km e) 108 km c) 105 km Resolución: Graficando según el enunciado: Hasta el encuentro.t 100 2x 340(10) x 1650 Piden: D=100+x D 1750 m Rpta. A tE tE E x 36 B x a) 1000 m d) 1500 m D Después del encuentro 4h PROBLEMA : 09 Un automóvil se acerca hacia una tapia a una velocidad constante 10m/s.U. calcular a que distancia se encontraba el móvil cuando el chofer hizo sonar la bocina (considerar la velocidad del sonido 340m/s) b) 500 m e) 1750 m Resolución: Graficando: 1h A B E x 36 c) 1650 m x 100 x tapia 10 m s D De los diagramas debemos calcular D.(II) Para el coche “B”: x 36 x 4 tE (x 36) t E 4x ………. a) 30m/s b) 20m/s c) 10m/s X(m) A 48 B d) 14m/s e) 9m/s O 3 8 t(s) 10 . Colección “G y D” 100 m x Para el sonido: d Vsonido . donde: D (x 36) x D 2x 36 ……. y sus graficas posición. para ellos se cumple que: d V t x 36 x Para el coche “A”: tE 1 xt E x 36 ………. halle la longitud de la pendiente.Semana 01 Darwin Nestor Arapa Quispe Resolución: Se sabe que la velocidad del móvil “A” está dado por: VA tan Completamos la gráfica. D PROBLEMA : 02 Un ciclista se mueve con una rapidez de 6m/s. 4)(10)2 2 d V0 t D 80 m Rpta. ¿A qué distancia del punto de partida se hallara? a) 118 m b) 128 m c) 138 m d) 148 m e) 100 m Resolución: Graficamos: 1 2 at 2 1 D (0)(16) (1)(16)2 2 d V0 t t 16 s V0 0 a 1m s 2 D 128 m Rpta. a) 60 m b) 65 m c) 70 m d) 75 m e) 80 m Resolución: 6m s t 10s a D Colección “G y D” 1 2 2 at . 4 m s 2 1 D (6)(10) (0. de pronto llega a una pendiente suave en donde acelera a razón de 0. t(s) 8 MRUV PROBLEMA : 01 Un coche parte del reposo acelerando uniformemente con 1m/s2.4 m/s2 terminando de recorrer la pendiente en 10 s. 30 De la figura: tan 10 3 X(m) A 48 B 30 O 3 VA 10 m s Rpta. 11 . a 0. a los 16 segundos. Determinar la distancia total recorrida. ¿en cuánto tiempo más el coche estará pasando al atleta? a) 13 s b) 12 s c) 14 s Resolución: Graficamos según el enunciado d) 16 s e) 15 s t t V0 4 m s 7m s a 2 m s2 7t 180m Para el coche: d V0 t 1 2 1 at 180 7t 4t (2)t 2 2 2 t 2 3t 180 0 t 15 s Rpta. a) 408 m b) 428 m c) 438 m d) 448 m e) 400 m Resolución: 20 s 10 m s MRU 10 m s A d Tramo (AB): d Vt d 10(20) 200 m B 8s MRUV a 2 m s2 V C D D 10(8) 1 (4)(8)2 208 m 2 Piden: e=d+D Tramo (BC): d V0 t Colección “G y D” 1 2 at 2 e 408 m Rpta. durante 8 s. 12 .Semana 01 Darwin Nestor Arapa Quispe PROBLEMA : 03 Un atleta corre con una velocidad constante de 7m/s y puede percatarse que a 180m detrás de él viene un coche con una velocidad de 4m/s y 2 de aceleración. luego acelera a 4m/s2. Resolviendo se obtiene: PROBLEMA : 04 Un cuerpo viaja a una velocidad constante de 10 m/s durante 20s. r0 2i 4j . a) 1 b) 1. halle V en m/s. PROBLEMA : 06 En t0 = 0 una partícula parte de la posición 2i 4j m .5 Resolución: Graficamos t 10 s V V V0 e f t 2 2V a 2V V 240 (10) 2 V 16 m s 240 m V V0 32 16 a f a 10 t a 1.Semana 01 Darwin Nestor Arapa Quispe PROBLEMA : 05 Para que un auto duplique su velocidad requiere de 10s y una distancia de 240 m. Halle la aceleración del auto en m/s2. a) 3 i 3j 2 3 b) 3i+ j 2 c) 3i 3 j 2 d) 3i 3j e) 5 i 3j 2 Resolución: Usamos la ecuación vectorial del MRUV rf r0 V0 t 1 2 at 2 rf 7i 4j . r0 2i 4j y a 4i 3j m / s 2 Para t=1 s. 7i 4j 2i 4j V(1) 1 (4i 3j)(1)2 2 De donde: V 3i V 3i Colección “G y D” 3 j 2 3 j Rpta. 2 13 . Se sabe que en t = 1 s la partícula se encuentra en la posición 7i 4j m .3 d) 1.6 e) 1. con una velocidad V y aceleración a 4i 3j m / s 2 la cual permanece constante.6 m s 2 Rpta.2 c) 1. el auto inicia su movimiento con una aceleración constante “a”. 10 m s V V0 0 a 50 m a) 1 m/s2 b) 2 m/s2 c) 3m/s2 d) 4 m/s2 e) 5 m/s2 Resolución: Para que el camión no adelante al auto. Determine el mínimo valor de “a” para que el auto no sea adelantado por el camión que realiza MRU. Calcular el módulo de su aceleración. este deberá alcanzarlo en el instante en que el auto tenga la misma velocidad que el camión. t t 10 m s 10 m s V V0 0 a x 50 m Para el camión (MRU) e vt 50 x 10t ……….Semana 01 Darwin Nestor Arapa Quispe PROBLEMA : 07 En el instante mostrado. a) 1 m/s2 b) 2 m/s2 c) 3m/s2 d) 4 m/s2 e) 5 m/s2 Resolución: Seguimos el mismo procedimiento que el problema 05: Colección “G y D” 14 . PROBLEMA : 08 Un móvil triplica su rapidez luego de recorrer 300 m empleando 10 s.(I) V V0 Además: a f t 10 0 a 10 Para el auto: (MRUV) V Vf e 0 2 10 m s t x 5t Reemplazando en (I) se tiene que: t 10 a 1m s 2 Rpta. ¿En qué posición estará en el instante t = 7 s? a) 2 i m b) 2 i m V (m s) a (m s 2 ) 2 c) 3 i m d) 3 i m e) 0 m Colección “G y D” 3 4 t (s) 3 7 t (s) 15 . 2 PROBLEMA : 10 En función del tiempo se muestra la aceleración y velocidad de una partícula.U.V. parte del reposo con aceleración de módulo 2m/s2. PROBLEMA : 09 Un móvil que tiene M.Semana 01 Darwin Nestor Arapa Quispe V V0 e f t 2 t 10 s V 3V a 3V V 300 (10) 2 V 15 m s 300 m V V0 45 15 a f a 10 t a 3m s 2 Rpta. ¿Cuantos metros recorre en el n-ésimo segundo de su movimiento? a) 2n 1 b) 4n 1 c) 2n 1 Resolución: Graficamos a 2m s 0 0 n seg 3 seg 2 seg e) n 2 1 2 0 0 1 seg d) 2n 3 x La distancia “X” que recorre el móvil en el enésimo segundo (n) se calcula con la siguiente 1 formula: X V0 a(2n 1) 2 1 X V0 ( 2)(2n 1) X 2n 1 Rpta. Si en el instante t = 0 se encuentra en la posición x0 39 i m .R. y t0 V0 4 m s x V (m s) a1 tan 2 10 a 2 tan a 2 tan 5 2 A 4 39 m 2 Para 0 t 3 : a1=2 m/s 1 e1 V0 t at 2 2 1 e1 4(3) (a)(3)2 21 2 Calculamos la aceleración para 3 t 7 según la gráfica. a) 10 m b) 11 m c) 12 m d) 13 m e) 14 m PROBLEMA : 12 Dos móviles A y B separados 32m parten en el mismo instante y en el mismo sentido. A lo hace con una rapidez constante de 8m/s y B desde el reposo con aceleración constante. el cuerpo se mueve hacia la derecha.7s (el tiempo de reacción es el tiempo de percepción de una señal para parar y luego aplicar los frenos). Si un automóvil puede experimentar una desaceleración de 4. calcular la distancia total recorrida antes de detenerse. halle la máxima aceleración de este para que el móvil A pueda alcanzarlo. aproximadamente 0. una vez perdida la señal cuando la velocidad es de 30Km/h.8 m/s2. PROBLEMA : 11 El tiempo de reacción de un conductor de un automóvil es. 3 t (s) 7 1 2 at 2 1 5 e2 10(4) ( )(4)2 20 2 2 Piden: xf x0 e1 e2 39 41 e2 V0 t x f 2 m Rpta.5m/s2 b) 2m/s2 Colección “G y D” c) 3m/s2 d) 4m/s2 e) 1m/s2 16 . a) 1.Semana 01 Darwin Nestor Arapa Quispe Resolución: Como la velocidad tiene signo positivo.