LIVROUNIDADE 1 Física geral e experimental: mecânica Cinemática – Movimento uniforme e uniformemente variado Paula Beghelli Oliveira © 2016 por Editora e Distribuidora Educacional S.A. Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida ou transmitida de qualquer modo ou por qualquer outro meio, eletrônico ou mecânico, incluindo fotocópia, gravação ou qualquer outro tipo de sistema de armazenamento e transmissão de informação, sem prévia autorização, por escrito, da Editora e Distribuidora Educacional S.A. 2016 Editora e Distribuidora Educacional S.A. Avenida Paris, 675 – Parque Residencial João Piza CEP: 86041-100 — Londrina — PR e-mail:
[email protected] Homepage: http://www.kroton.com.br/ 9 Seção 1. Seção 1.Equações do movimento.1 .Sumário Unidade 1 | Cinemática – Movimento Uniforme e Uniformemente Variado 7 Seção 1. 37 51 .3 .Padrões de medidas e unidades. 21 Seção 1. velocidade e aceleração média e instantânea.2 .4 .Movimento uniforme e variado e queda livre de corpos.Vetores e soma vetorial. . por exemplo. .Palavras do autor A Física é uma ciência em constante desenvolvimento. esquematizar. Vamos descobrir. carros. É uma ciência fundamental que impulsiona e influencia os avanços tecnológicos e suas aplicações para o benefício. e aplicá-los na prática. Unidade 3 – Trabalho e Energia: outra maneira de explicar as variações do estado de movimentos dos corpos. uma das grandes áreas da Física. com o objetivo de entender o funcionamento do universo. energia. simular. tudo se transforma”. Nesta disciplina iremos estudar a Mecânica. não haveria as missões espaciais. o autoestudo desta disciplina permitirá ao aluno conhecer conceitos como cinemática. Esta disciplina está dividida em quatro unidades de ensino. facilita nosso trabalho! – “Na natureza. do ser humano. o aluno poderá desenvolver competências para identificar. realizar experiências práticas de aplicação da física clássica e tomar decisões fundamentadas no raciocínio lógico e no método científico. Ainda. muito menos os equipamentos ultramodernos utilizados na medicina para enxergar dentro do nosso corpo. ou não. o que. em muitas situações. será que um objeto pode se movimentar? Como isso é possível? Assim. não seria possível construir aviões. através das variações de energia e das forças que atuam sobre eles. impulso e colisões. operar e aplicar de maneira consciente as equações matemáticas que representam os fenômenos físicos. responsável por estudar e interpretar diversos fenômenos da natureza. trabalho. nada se cria. nada se perde. responsável por analisar e explicar os movimentos e as interações dos corpos. Sem a Física. o que vai acontecer com um objeto ao aplicarmos uma certa força nele. o que acontecerá? E mesmo sem aplicar nenhuma força. momento linear. compreender e interpretar fenômenos físicos relacionados ao cotidiano pessoal e profissional. Unidade 2 – Dinâmica: estuda as leis da natureza que explicam as causas dos movimentos dos corpos – as conhecidas Leis de Newton. dinâmica. conforme descrito a seguir: Unidade 1 – Cinemática: descrever o movimento dos corpos sem investigar suas causas. Como será que ele vai se movimentar? Com qual velocidade? Qual será a equação matemática que vai descrever esse movimento? Qual será seu deslocamento? E se ele colidir com outro objeto. não teríamos o GPS. por que e quando eles ocorrem. pois aprendemos e compreendemos como os fenômenos funcionam. Desafie-se a entender o universo e a desenvolver sua inteligência. no seu dia a dia.Unidade 4 – Momento Linear. os conceitos e competências que serão desenvolvidos nesta disciplina. Bons estudos! . Aplique. no qual tudo se torna mais interessante. O estudo da Mecânica pode te mostrar um mundo novo. Impulso e Colisões: a interação entre dois ou mais corpos. Desfrute da aventura de entender o que acontece ao seu redor. os principais conceitos referentes à cinemática. Você vai ajudar Rafael. Nesta disciplina. à dinâmica. sem nos preocuparmos com as causas desses movimentos. A cinemática utiliza conceitos de geometria associados à ideia de tempo para descrever os movimentos. ao trabalho e energia e ao momento linear. massa e força. Para entender a importância da Física no seu dia a dia e no seu desenvolvimento profissional. tente responder às seguintes perguntas: Você sabe como é possível conhecer. realizada por observação e análise dos fenômenos físicos. impulso e colisões. precisamos estudar a Física e suas aplicações. o estudo das relações entre movimento. A empresa possui diversas carretas. você irá conhecer por meio da teoria e aplicar através da experimentação. que acabou de se formar em Engenharia e foi contratado para atuar em uma empresa de logística – Transportadora XYZ. O objetivo desta unidade de estudo – cinemática – é o conhecimento e o desenvolvimento de métodos gerais para descrever os movimentos dos corpos.Unidade 1 CINEMÁTICA – MOVIMENTO UNIFORME E UNIFORMEMENTE VARIADO Convite ao estudo Você está começando a estudar a Física através da Mecânica. a posição e a velocidade de naves espaciais? Como um satélite permanece em órbita? Como um míssil atinge perfeitamente um alvo muito distante? Como um guindaste consegue levantar tanto peso sem tombar? Por que sua mão dói e machuca quando você bate em alguma coisa? Por que em dias de chuva ocorrem mais acidentes nas rodovias? Para responder a essas questões. distribuídas por região de . a cada instante. movimento uniformemente variado e queda livre de corpos. Os relatórios deverão conter informações e gráficos importantes para o gerenciamento. Rafael deverá saber usar e converter unidades. planejamento e acompanhamento da carreta. unidades de medidas e conversões. 8 Cinemática – Movimento uniforme e uniformemente variado . descrever. Uma das atribuições de Rafael será gerenciar e apresentar relatórios semanais sobre a carreta que realiza transporte pelas cidades do interior do estado de São Paulo. desenhar. Nela. equações do movimento. formular e calcular o movimento da carreta no espaço e no tempo. vetores e soma vetorial. você deverá aprender e aplicar os conceitos de medidas. movimento uniforme. velocidade e aceleração médias e instantâneas.U1 atuação. Como Rafael fará as conversões de unidades? Como serão calculadas a velocidade e a aceleração média da carreta? É possível desenhar a trajetória percorrida pela carreta? Como descrever o movimento da carreta por meio de equações matemáticas? Todas as respostas para essas perguntas serão tratadas nesta unidade de ensino. o que é facilitado através do uso de fatores de conversão. de maneira que foi necessário instituir um Sistema Internacional de Unidades (SI) para facilitar a comunicação entre as diversas regiões do mundo.1 Padrões de medidas e unidades Diálogo aberto Caro aluno. As grandezas mais utilizadas em mecânica são comprimento. Cinemática – Movimento uniforme e uniformemente variado 9 . conhecer o Sistema Internacional e saber como realizar mudanças (conversões) de unidades. estudaremos os padrões de unidades e medidas. tempo de percurso entre cada cidade (no SI) e tempo de percurso total (em horas). iremos ajudar Rafael. Coloque-se no lugar de Rafael: o que você precisa aprender para apresentar esse relatório exatamente como solicitado? Ao final desta seção. distância percorrida total (em km). Muitas vezes precisamos fazer mudanças ou conversões de uma unidade para outra.U1 Seção 1. descobrimos a Física aprendendo a medir e comparar grandezas com padrões. esperamos que você conclua que para resolver o problema teremos de compreender os padrões e unidades. Nesta seção. Rafael precisa apresentar seu primeiro relatório. que foi apresentado no início desta unidade. Para contextualizar a importância desta seção. Existem inúmeras grandezas físicas e cada uma delas pode ser descrita em termos de diferentes unidades. engenheiro recém-contratado pela Transportadora XYZ. que deverá conter uma tabela com informações de distâncias percorridas pela carreta entre cada cidade (no SI). A unidade é um nome particular que atribuímos às medidas dessas grandezas. tempo e massa. 72 metros. por exemplo.72 unidades de metro na altura da Laura. Quando utilizamos grandezas para descrever qualitativa ou quantitativamente um fenômeno observado. estamos comparando quantos metros cabem na altura dela. Assim. Portanto. Se identificarmos. Ao medirmos uma grandeza física. usamos números para descrever resultados de medidas. normalmente. ao esticarmos uma trena ao lado da Laura. tempo. estamos. estabelecida por um padrão de referência. 10 Cinemática – Movimento uniforme e uniformemente variado . velocidade. devemos comparar quantas vezes a unidade metro “cabe” ou está contida na altura da Laura. dizemos então que a altura da Laura é igual a 1. altura. portanto.U1 Não pode faltar A medição na física A física é uma ciência experimental. chamamos essas grandezas de grandezas físicas. O padrão de referência pode estar associado a um objeto ou a um procedimento experimental e é extremamente desejável que os padrões sejam naturais e invariáveis com o passar do tempo. que são instrumentos de medidas compatíveis com o padrão da unidade metro. distância etc. Podemos fazer essa comparação com o auxílio de uma trena ou de uma fita métrica. Assimile Medir é comparar a grandeza com a unidade e determinar (observar) o número de vezes que a unidade está contida na grandeza avaliada! Exemplificando Queremos medir a altura de Laura e expressar o resultado em metros. utilizando a unidade metro para observar e quantificar a grandeza física altura. Exemplos de grandezas físicas: massa. sempre a comparamos com um padrão de referência (a unidade). medir é o procedimento experimental através do qual o valor momentâneo de uma grandeza física é determinado como um múltiplo e/ou uma fração de uma unidade. que cabem 1. Os experimentos exigem medidas e. realizando uma medição. Para isso. 1. é sempre grafado em letras minúsculas (exceto a unidade de temperatura “grau Celsius”). utilizado mundialmente por cientistas e engenheiros. 23 ⋅ 10−7 s Cinemática – Movimento uniforme e uniformemente variado 11 . é uma unidade derivada: 1N = 1kg ⋅ m s² Muitas vezes. Por exemplo. para expressar grandezas muito grandes ou muito pequenas usamos a notação científica e prefixos. Existem símbolos com letras maiúsculas e minúsculas.U1 O Sistema Internacional de Unidades (SI) Para obter medidas confiáveis. existe um Sistema Internacional de Unidades (SI). Por isso não possuem pontos e nunca vão para o plural. Muitas unidades derivadas do SI são definidas em termos das unidades fundamentais apresentadas na Tabela 1. 456 ⋅ 1012 m | 0.1 estão escritos de forma correta? É muito importante que você saiba escrever e simbolizar corretamente as unidades. quando escrito por extenso. O nome da unidade. precisas e que podem ser repetidas quantas vezes for necessário. O SI é composto por 7 grandezas físicas fundamentais: Tabela 1.1 | As sete grandezas físicas fundamentais do SI Grandeza física Unidade Símbolo Grandeza física Unidade Símbolo Comprimento metro m Temperatura kelvin K Massa quilograma kg Quantidade de matéria mol mol Tempo segundo s Intensidade luminosa candela cd Corrente elétrica ampère A (Essas três são as mais utilizadas na mecânica) Fontes: A autora. newton. e não abreviaturas. Reflita Será que todas as unidades e símbolos apresentados na Tabela 1. que empregam potências de base 10. a unidade de força. 000 000123 s = 1. Os símbolos das unidades são entes matemáticos. 3 456 000 000 000 m = 3. sem produzir variações significativas. por diferentes pessoas. 64 Gb = 64 ⋅ 109 b = 64 ⋅ 1000 000 000b = 64 000 000 000 bytes . Veja a Tabela 1.2 (os prefixos em negrito são os mais utilizados). Exemplificando O que significa comprar um smartphone com 64 Gb (gigabytes) de memória? Como vimos. o smartphone possui 64 bilhões de bytes de memória.2 | Prefixos do SI Potência Símbolo Potência Prefixo Símbolo 1 2 iota I 10 deci d zeta Z 10 18 10 10 Prefixo 21 10 24 centi c 3 6 exa E 10 mili m 15 peta P 10 micro µ 12 9 12 10 tera T 10 nano n 9 10 giga G 10 10 6 10 pico p 15 18 mega M 10 femto f 3 10 quilo k 10 10 2 hecto h deca da 10 1 ato a 21 10 zepto z 24 10 iocto i Fontes: INMETRO. foram desenvolvidos prefixos e símbolos. Portanto. 12 Cinemática – Movimento uniforme e uniformemente variado .456E12 e 1. Assimile Perceba que os prefixos das unidades têm efeito de multiplicar a unidade pelo fator correspondente: 1 kg = 1 quilograma. pdf>. Assim. Disponível em: <http://www. Tabela 1. Acesso em: 24 fev.gov.inmetro. Para representar as potências mais utilizadas.23E-7. Portanto: 1 kg = 1⋅ 103 g = 1⋅ 1000g = 1000g . o 10 muitas vezes aparece como E.U1 No computador ou nas calculadoras científicas. o símbolo G faz referência à potência 109. os exemplos acima poderiam aparecer no formato 3.br/noticias/conteudo/sistema-internacional-unidades. 2016. Ou seja. Note que prefixo quilo (k) corresponde à potência 103. É necessário saber algumas correspondências entre as unidades. centi(c) = 10-2 e mili(m) = 10-3. Quadro 1.gov. Acesso em: 24 fev. 2016. Fontes: a autora. é importante conhecermos como converter uma unidade em outra.inmetro. por isso. A maioria das conversões de unidades (mudanças de unidades) pode ser realizada através da regra de três simples. Mudança (Conversão) de Unidades É possível medir as grandezas físicas nas unidades fundamentais do SI e também em diversas outras unidades derivadas. Seria impossível sabermos e guardarmos todos os fatores de conversão. Assim.pdf>.1 | Principais correspondências entre as unidades utilizadas em mecânica Conversões de Comprimento 1 km (um quilômetro) = 1000 m (mil metros) 1 m (um metro) = 100 cm (cem centímetros) 1 m (um metro) = 1000 mm (mil milímetros) Conversões de massa 1 kg (um quilograma) = 1000 g (mil gramas) 1 g (um grama) = 1000 mg (mil miligramas) Conversões de tempo 1 h (uma hora) = 60 min (sessenta minutos) 1 min (um minuto) = 60 s (sessenta segundos) 1 h (uma hora) = 3600 s (três mil e seiscentos segundos) 1 dia = 24 h (vinte e quatro horas) *Lembre-se dos significados dos prefixos quilo(k) = 1013 . vamos sugerir que guarde alguns fatores de conversão amplamente utilizados na mecânica. Demais fatores não citados aqui podem ser encontrados na internet ou aplicativos de conversão de medidas. Cinemática – Movimento uniforme e uniformemente variado 13 . acesse: <http://www.U1 Pesquise mais Para que você tenha um melhor conhecimento sobre o Sistema Internacional de Unidades e sobre as grandezas fundamentais.br/noticias/conteudo/sistema-internacionalunidades. U1 Exemplificando Sabendo que em 1 ano temos 365 dias. Sabendo que um carro viaja a uma velocidade de 180km/h. Calculamos que em 365 dias temos 8760 horas. teremos que transformar duas unidades. portanto. temos: 1 dia → 24h 365 dias → X Ao multiplicar em cruz. qual seria sua velocidade no SI? Lembremos que no SI a unidade de comprimento é metro (m) e de tempo é segundo (s). Para transformar os 180 quilômetros em metros. restando apenas a unidade hora (h). 1h 3600s → Portanto. Precisamos transformar o quilômetro em metro e a hora em segundo. podemos fazer uma regra de três simples. basta lembramos que 1 h = 3600s 180km 180000m Então concluímos que: = = 50 m s 180km/h equivalem a 50m/s. em 1 ano temos 8760 horas. quantas horas temos em 1 ano? Usando regra de três simples. temos: 1 dia ⋅ X = 365 dias ⋅ 24h 365 dias ⋅ 24h X= ∴ X = 8760h 1 dia Observe que cancelamos a unidade “dia”. devemos calcular a velocidade em . Nesse caso. portanto. Se 1 ano tem exatamente 365 dias. obtendo: 1km ⋅ X = 180km ⋅ 1000m ⇒ X = 180km ⋅ 1000m ∴ X = 180 000 m ∴ X = 180 ⋅ 103 m 1km Para transformar a hora em segundo. O que significa uma velocidade de 120km/h? O que significa uma velocidade de 50m/s ? Será que existe uma forma rápida para transformar km/h em m/s e vice-versa? 14 Cinemática – Movimento uniforme e uniformemente variado . Reflita É importante que você compreenda o significado das unidades de medidas das grandezas físicas. Exemplo: 9.6666 arredondado para uma casa decimal tornase 5. ao medir a espessura de um livro com uma régua. ou seja.6. cuja menor medida é de um milímetro (1 mm).9.5500 arredondado à primeira decimal torna-se 6.U1 Assimile Aplicando uma regra de três simples. Por exemplo. A resolução do instrumento representa o erro máximo da medição. permanece o algarismo a ser conservado e retiram-se os posteriores. é importante seguirmos as orientações da norma ABNT NBR 5891:2014. Nessa situação. seguido de 5 e posteriormente de zeros.7. seria errado representar o resultado como 5. ou igual a 5 seguido de no mínimo um algarismo diferente de zero. 00 ± 0. podemos fazer conversões de unidades para medir grandezas físicas. soma-se uma unidade ao algarismo a ser conservado e retiram-se os posteriores. Caso seja necessário realizar arredondamentos. Porém. Exemplo: 7. Em todo processo de medição existem erros (incertezas) envolvidos. com apenas um algarismo significativo. a forma correta de representar o resultado é 5 mm. Portanto.0 mm (dois algarismos significativos) ou 5.3333 arredondado para uma casa decimal torna-se 2.05 mm. Quando o algarismo a ser conservado for seguido de algarismo superior a 5. o correto é representar o resultado da medida como (5. Quando o algarismo a ser conservado for ímpar.00 mm (três algarismos significativos). se obtivermos o resultado de cinco milímetros. Exemplo: 6. Quando o algarismo a ser conservado for par. seguido de 5 e posteriormente de zeros. precisamos utilizar as regras de arredondamento e determinar os algarismos significativos. para representar corretamente os resultados das medições. Cinemática – Movimento uniforme e uniformemente variado 15 . Exemplo: 2.8500 arredondado à primeira decimal torna-se 7. podemos dizer que a espessura do livro é de (5 ± 1)mm . soma-se uma unidade ao algarismo a ser conservado e retiram-se os posteriores.3. permanece o algarismo a ser conservado e retiram-se os posteriores. Esta norma define que: Quando o algarismo a ser conservado for seguido de algarismo inferior a 5. Portanto. Exemplo: 5. de acordo com a menor medida (resolução) da régua utilizada.8.8505 arredondado para uma casa decimal torna-se 9. se fizermos a mesma medida com um paquímetro. 05)mm . cuja menor medida é de 0. percorrendo trajetos distintos na ida e na volta. Francis Weston. Mark W. através do site de cobrança eletrônica de pedágio. São Paulo: Pearson.1. A carreta gerenciada por Rafael sai da cidade de Ribeirão Preto com destino a São Paulo e retorna a Ribeirão Preto. Hugh D. b) Meça a sua altura em cm e transforme para o SI.U1 Pesquise mais Para que você tenha um melhor conhecimento sobre os assuntos abordados. 12. 2008. v. Rafael coleta informações sobre o trajeto percorrido pela carreta no dia anterior. Física 1: Mecânica. leia o capítulo 1 do Livro: SEARS... ZEMANSKY. c) Uma área de 100 cm² corresponde a quantos m²? Sem medo de errar Conhecendo o SI e como converter unidades. vamos ajudar o engenheiro Rafael? Para iniciar o relatório. YOUNG. Tabela 1. ed.3 | Cidades percorridas pela carreta e horário de chegada em cada cidade 16 Praça Cobrança (Cidade) Horário Ribeirão Preto 6h20min Bauru 9h00min Sorocaba 12h30min São Paulo 14h00min Campinas 15h30min Piracicaba 16h30min Ribeirão Preto 19h00min Cinemática – Movimento uniforme e uniformemente variado . Faça você mesmo Converta as unidades a seguir: a) Transforme 20km/s em km/h. as informações de distâncias percorridas e tempo de percurso entre cada cidade deverão ser apresentadas no SI. devem ser transformadas em metros (m) – SI. você deve transformar o tempo em minutos para segundos (unidade internacional para o tempo). levando em consideração o tempo gasto e convertendo as informações da tabela para minutos. espera-se que a tabela a ser apresentada no relatório de Rafael contenha as seguintes informações: Tabela 1. Já as informações de distâncias percorridas total e tempo de percurso total deverão ser apresentadas em quilômetros e horas. (Exemplo: de Ribeirão Preto para Bauru foram gastas 2h40min = 160 min. É muito importante que você sempre escreva a simbolize as unidades e os prefixos de forma correta. calcule o tempo de percurso entre cada cidade. Solução Inicialmente.U1 Na tabela a ser elaborada por Rafael.67 h = 12h40 min Atenção! Fique bastante atento às conversões de unidades. você deve fazer uma breve pesquisa na internet (aplicativos) sobre a localização das cidades citadas no estado de São Paulo e as distâncias estimadas entre elas.) Finalmente. Utilize regra de três. Cinemática – Movimento uniforme e uniformemente variado 17 . respectivamente. portanto. Muitas conversões de unidades podem ser feitas por meio da regra de três simples. Em seguida. Esse tipo de erro pode destruir um projeto. Normalmente essas distâncias serão encontradas em quilômetros. (Exemplo: 160 min = 9600 s.) Então.4 | Estudo do movimento da carreta (distâncias e tempo de percurso) Percurso Distância Tempo Ribeirão Preto – Bauru 211 km = 211000 m (2h40min) = 9600 s Bauru – Sorocaba 248 km = 248000 m (3h30min) =12600 s Sorocaba – São Paulo 101 km = 101000 m (1h30min) = 5400 s São Paulo – Campinas 95 km = 95000 m (1h30min) = 5400 s Campinas – Piracicaba 71 km = 71000 m (1h) = 3600 s Piracicaba – Ribeirão Preto 207 km = 207000 m (2h30min) = 9000 s TOTAL 933000 m = 933 km 45600 s = 12. Calcule a distância entre a sua posição atual e a posição do naufrágio no SI.5 milhas náuticas. Usando a regra de três.5 milhas comuns (milhas terrestres). 5 milhas nauticas → X Ao multiplicar em cruz. Em contato novamente com a base. 5 X= = 39 420. 5 X= = 45 374 m 1 Portanto. Assim. Ao chegar no local você percebe que não há nada. 18 Cinemática – Movimento uniforme e uniformemente variado . 9 ⋅ 103 m (ou 5. 5 1852 ⋅ 24.9 km) para chegar ao local do naufrágio. 5m = 5953. 9 ⋅ 103 m .5 m. 5m ≈ 5. 1 milha terrestre = 1609 metros.5 milhas comuns (milhas terrestres). 5 m 1 Portanto a distância no SI realmente percorrida foi de 39.420.U1 Avançando na prática “Bote salva-vidas” Descrição da Situação-Problema Você recebeu ordens para navegar um bote salva vidas a uma distância de 24. usando a regra de três. Você ainda deve navegar mais aproximadamente 5. 5 1609 ⋅ 24. Mas. foram percorridas 24. a distância entre o local atual do bote e o local do naufrágio no SI é: 45374m − 39420.5 milhas náuticas e não 24. temos: 1⋅ X = 1609 ⋅ 24. 5 milhas terrestres → X Ao multiplicar em cruz. temos: 1⋅ X = 1852 ⋅ 24. você descobre que deveria navegar 24. Utilize a internet ou aplicativos para descobrir o fator de conversão de milhas terrestres e milhas náuticas para o SI. a distância no SI correta a ser percorrida seria de 45.374 metros para chegar ao local do naufrágio. devido ao erro.5 milhas na direção leste com o objetivo de resgatar sobreviventes de um naufrágio. Portanto. temos que: 1 milha terrestre → 1609 metros 24. Sabemos que 1 milha náutica = 1852 metros. temos que: 1 milha nautica → 1852 metros 24. Resolução da Situação-Problema A distância correta a ser percorrida seria 24. por formar profissionais responsáveis pela saúde e bem-estar animal. 1. Foi criada para integrar os conhecimentos da biologia em situações de conflitos e dilemas morais que possam surgir pelas práticas humanas. Em uma cidade norte-americana. Quanto seria esse limite. c) 500 m/s. b) 200. Essas grandezas são medidas no SI. massa e tempo.341 km/s. a) 100. d) 1228 km/h. Cinemática – Movimento uniforme e uniformemente variado 19 . Essa velocidade no SI seria de: a) 741 m/s. Uma fazenda de 75 hectares possui quantos m²? Faça valer a pena O conceito de bioética é considerado um grande desafio na medicina veterinária. pelas unidades metro. O recorde mundial de velocidade no solo é de 1228 km/h atingido por um carro movido a jato. você vê o seguinte aviso: limite máximo de velocidade de 100 milhas/h. definido como m². quilograma e segundo. 2. Faça você mesmo Uma unidade de área frequentemente usada para medir terrenos é o hectare.U1 Lembre-se As grandezas do SI mais importantes para a Mecânica são: comprimento. b) 341. aproximadamente. c) 161.11 m/s. respectivamente. em km/h? Dado:1 milha = 1609 metros. e) 0. Conseguimos muitas conversões de medidas utilizando apenas regra de três simples. b) c) 3. calcule o tempo. em milissegundos. 3. que a luz leva para percorrer uma distância de 1 km. e) 3. 33 ⋅ 10−4 . 10−2 20 Cinemática – Movimento uniforme e uniformemente variado . a) 3. Sabendo que a velocidade da luz é de 3 ⋅ 108 m s . 33 ⋅. 33 ⋅ 10−3 .U1 d) 171. e) 180. 33 ⋅ 10−5 . d) 3. 3. 33 ⋅ 10−2 . estudaremos os vetores e a soma vetorial. estudamos os padrões de medidas e unidades e tivemos a oportunidade de aprender sobre a importância das medições e também de como usar. Será preciso calcular e desenhar o deslocamento diário da carreta. desenhos esquemáticos e representativos do movimento da carreta no espaço. precisamos de mais informações além do valor numérico e da unidade. A nossa tarefa continua sendo ajudar o engenheiro Rafael. Cinemática – Movimento uniforme e uniformemente variado 21 . ao final desta seção. Nesta seção. sendo esta uma grandeza vetorial. A empresa possui diversas carretas distribuídas por região de atuação. planejamento e acompanhamento da carreta. Uma das atribuições de Rafael será gerenciar e apresentar relatórios semanais sobre a carreta que realiza transporte pelas cidades do interior do estado de São Paulo.U1 Seção 1. Os relatórios deverão conter informações e gráficos importantes para o gerenciamento. estudada e representada por meio dos vetores. Agora. recém-contratado pela Transportadora XYZ. Muitas vezes. A essas grandezas físicas damos o nome de grandezas vetoriais. representar e converter corretamente as unidades de medidas.2 Vetores e soma vetorial Diálogo aberto Na seção anterior. você perceba que o movimento da carreta pode ser representado pela grandeza física deslocamento. que precisa conter cálculos. você deverá ajudar Rafael no seu próximo relatório. ao medirmos uma grandeza física. Vamos novamente nos colocar no lugar de Rafael: o que será preciso saber para apresentarmos esse relatório com êxito? Como representar corretamente o movimento da carreta no espaço? Existe uma grandeza física que pode nos ajudar? Esperamos que. O eixo x representa a direção horizontal e o eixo y representa a direção vertical. uma grandeza escalar ou vetorial? Como podemos representar a grandeza deslocamento? Podemos representar geometricamente (desenhar) as grandezas vetoriais através de flechas. direção e sentido (orientação). Você acredita que essa informação é suficiente para seu colega te encontrar? Pensando nisso. para cima ou para baixo. As grandezas vetoriais. Então você diz que está há 20 metros da sua casa. para a esquerda. Tempo. Velocidade. Exemplos especiais de direção são a horizontal e a vertical. Essas são denominadas de grandezas vetoriais. Necessitam também de informações de orientação. são representadas por uma letra com uma flecha sobreposta ao seu símbolo. Elas são chamadas de grandezas escalares. Uma grandeza é vetorial quando. massa e temperatura são exemplos de grandezas físicas que podem ser medidas e descritas apenas através de um valor numérico (módulo) e unidade. para serem medidas e descritas corretamente. 22 Cinemática – Movimento uniforme e uniformemente variado . de forma que todos entendam sem gerar dúvidas. A direção é indicada pelo segmento da reta e o sentido é indicado pela ponta da flecha. normalmente. aceleração e força são exemplos de grandezas vetoriais. as direções horizontal e vertical são representadas pelo plano cartesiano xy. para seu perfeito entendimento. Na física. O módulo da grandeza deve ser indicado pelo comprimento total da flecha. que chamamos de vetores. como você definiria a grandeza deslocamento. em que os sentidos seriam: para direita. necessitam de mais informações além de um valor numérico (módulo). tais como direção e sentido. precisando te encontrar. existem outras grandezas físicas que. No entanto. Reflita Você saiu de casa e seu amigo te ligou. são necessários: módulo.U1 Não pode faltar Grandezas escalares e vetoriais Assimile Uma grandeza é escalar quando ela fica perfeitamente definida através de um número (módulo). Define-se versor como sendo um vetor de módulo unitário e que tem a mesma orientação do eixo. Iremos utilizar o plano cartesiano xy como referência e os vetores unitários. os versores dos eixos x e y. B = ( −1) ⋅ A = − A é um ur vetor de mesmo módulo. sendo que ˆı = 1. Entenda: com módulo. para representar os sentidos positivos.1 | Plano cartesiano y ˆ ıˆ x Fontes: O autor. direção ur se A éurum vetor ur e sentido bem definidos. Lembre-se Como não faz sentido falar em um comprimento (módulo) negativo para o vetor. O mais comum é adotar: Direção horizontal (eixo x): sentido positivo para a direita (leste) e representado pelo versor ıˆ. também chamados de versores.U1 Figura 1. Cinemática – Movimento uniforme e uniformemente variado 23 . Direção vertical (eixo y): sentido positivo para cima (norte) e representado pelo versor ˆ. É usual representarmos por ıˆ e ˆ. um sinal de menosurna frente do vetor significa que o sentido foi invertido. mesma direção e sentido oposto ao de A . respectivamente. sendo que ˆ = 1. ele começa a mover-se em concordância com ela. Jorge se deslocou do ponto C para o ponto A. Exemplificando a) Paulo se deslocou do ponto A para o ponto B. Considere uma Força F inclinada a um ângulo α em relação ao eixo horizontal (eixo x) e inclinada a um ângulo β em relação ao eixo vertical (eixo y). conforme mostra a Figura 1.U1 Figura 1. percorrendo 18 m. urPodemos representar o deslocamento de Paulo como d = 10 ıˆ e d = 10m . Podemos desenhar esse deslocamento através de um vetor. Vamos tomar como exemplo a grandeza vetorial força. conforme Figura 1. Quando você aplica uma força em um objeto sobre sua ur mesa. percorrendo 10 m. 3 | Deslocamento A B A C Fonte: O autor. Como utilizar o plano cartesiano para descrevê-la? 24 Cinemática – Movimento uniforme e uniformemente variado . Figura 1.2 | Eixos cartesianos y ˆ ıˆ x Fontes: O autor.4. Observe que o tamanho do vetor (flecha) que representa o deslocamento de Jorge é maior que o de Paulo.2.urPodemos representar o deslocamento de Jorge como d = −18 ıˆ e d = 18m . porque o módulo do deslocamento de Jorge é maior que o de Paulo. cos α = Ainda.4. ur F y = Fy ˆ a componente ou projeção vertical de F (no eixo y). e cos β = F F F F concluímos que o vetor pode ser decomposto nas suas projeções ur Portanto. ur c) Encontre o ângulo de inclinação do vetor B com relação à horizontal. Fy Fx F . Cinemática – Movimento uniforme e uniformemente variado 25 . sendo os módulos dessas projeções dados por: Fx = F ⋅ cos α = F ⋅ sen β uur e Fy = F ⋅ cos β = F ⋅ senα . ur uur F x e F y . a) Como poderíamos representar esses vetores utilizando versores? ur b) Calcule a projeção horizontal e a vertical para o vetor A . na Figura 1. os vetores deslocamento A . Denominamos: ur F x = Fx ıˆ a componente ou projeção horizontal de F (no eixo x). Exemplificando ur ur ur ur Veja. temos: senα = Fy . C e D medidos em metros. E podemos representar o vetor inclinado através das suas projeções.5. ou seja: F = Fx ıˆ + Fy ˆ .4 | Decomposição de um vetor y ur Fy ur F β α ur Fx x Fontes: O autor. sen β = x . B . Da Figura 1.U1 Figura 1. temos que o módulo do vetor inclinado é ur 2 uur 2 uur 2 F = Fx + Fy . pelo teorema de Pitágoras. U1 Figura 1. Utilizando a função inversa da tangente. Solução: a) Podemos representar os vetores através do versores: A = 2ıˆ + 3ˆ . É possível obter seu módulo utilizando o teorema de Pitágoras ur 2 uuur 2 uuur 2 A = Ax + Ay ur A = 22 + 32 ≈ 3. uur uur c) Os módulos das componentes são Bx = 1 e By = 4 . cat adj 1 portanto tg(α ) = . temos 4 1 arctg ≈ 14° . Desejamos α com relação à vertical. e sabemos cat op . C = 2 ıˆ e D = −3ˆ ur b) As componentes horizontal e vertical do vetor A são dadas por: A x = Ax ıˆ = 2 ıˆ e A y = Ay ˆ = 3ˆ . 61m .5 | Representação de vetores através de versores Fonte: O autor. B = − ıˆ + 4 ˆ . 4 que 26 tg (α ) = Cinemática – Movimento uniforme e uniformemente variado . Tenha muito cuidado.6. A soma vetorial possui duas propriedades importantes: ur ur ur ur Propriedade comutativa: A + B = B + A → a ordem da soma é irrelevante. Soma de dois vetores ur ur Considere dois urvetores A e B . as direções e os sentidos dos vetores envolvidos. Pesquise mais Assista a este vídeo para compreender melhor a regra do paralelogramo: <http://sas-origin. Propriedade associativa: ( A + B ) + C = A + (B + C ) → é possível agrupar os vetores em qualquer ordem para somá-los. na Figura 1. 2016.6 | Regra do paralelogramo Fontes: O autor.webm>.com/origin/theeducationgroup/ video/pt/d0102_pt_s. A Regra do Paralelogramo consiste em colocar os dois vetores A e B na mesma e desenhar um paralelogramo ur ur origem ur através desses vetores. pois somar grandezas vetoriais é diferente de somar grandezas escalares. Chama-se vetor soma ou vetor resultante um terceiro vetor S que pode ser obtido geometricamente através da Regra do Paralelogramo. Acesso em: 30 mar.onstreammedia. que o módulo (valor absoluto) do vetor soma S pode ser ur 2 ur 2 ur 2 ur ur obtido pela lei dos Cossenos (com sinal positivo): S = A + B + 2 ⋅ A ⋅ B ⋅ cos θ ur ur (onde θ é o ângulo formado entre os vetores A e B ). temos que lembrar que estamos somando os módulos. ur Observe. conforme mostra ur ur a Figura 1. Cinemática – Movimento uniforme e uniformemente variado 27 . Figura 1.6.U1 Soma vetorial ur ur ur Podemos representar a soma de vetores da equação vetorial: S = A + B ur ur através ur onde S é o vetor soma dos vetores A e B . O vetor soma S = Aur+ B será ur a diagonal do paralelogramo que contém a mesma origem dos vetores A e B . Quando somamos grandezas vetoriais. colocamos o terceiro vetor. na Figura 1. conforme Figura 1. é mais fácil usarmos a Regra do Polígono. Exemplificando Um motociclista percorreu 300 m na direção leste e 400 m na direção norte. Solução: Deslocamento é uma grandeza vetorial. ur Observe. Vejamos: 28 Cinemática – Movimento uniforme e uniformemente variado . o vetor soma tem origem no início do primeiro vetor e extremidade no último vetor representado. a partir da extremidade desse primeiro vetor. e assim sucessivamente. Colocamos um vetor nessa origem e.7. Para aplicar essa regra. e a partir da extremidade desse segundo vetor. formando um polígono.7. Vamos ver um exemplo lei dos Cossenos (agora com sinal negativo): S para aplicação dessas regras na soma vetorial. conforme mostra a Figura 1.8. escolhemos um ponto de origem (ponto O). O vetor soma é o vetor que fecha esse polígono. que o módulo do vetor soma S pode ser obtido pela ur 2 ur 2 ur 2 ur ur = A + B − 2 ⋅ A ⋅ B ⋅ cos θ ur ur (onde θ é o ângulo formado entre os vetores A e B ). colocamos o segundo vetor.U1 Soma de dois ou mais vetores Para somar vários vetores. Figura 1. podendo ser representada por vetores. isto é. Desenhe seu percurso e calcule o deslocamento resultante.7 | Regra do polígono Fontes: O autor. ur ur ur ur ur Temos que S = A + B . 1. O vetor soma será a diagonal do paralelogramo com a mesma origem dos demais vetores. nesse caso. Como seria se aplicássemos a regra do polígono? 2.9. os vetores A e B são perpendiculares entre si (formam ângulo de 90º). Concluímos.8 | Motocicleta: regra do paralelogramo ur 2 ur 2 ur 2 ur ur 400 S = A + B − 2⋅ A ⋅ B = ⋅ cos θ ur 2 ur 2 ur 2 ur ur S = A + B − 2⋅ A = ⋅ B300 ⋅ cos θ Fonte: O autor. Cinemática – Movimento uniforme e uniformemente variado 29 .U1 Figura 1. Observe. Aplicando a Regra do Paralelogramo: Coloque os vetores na mesma origem.9 | Motocicleta: regra do paralelogramo ur 2 ur 2 ur 2 ur ur 400 S = A + B − 2⋅ A ⋅ B = ⋅ cos θ ur 2 ur 2 ur 2 ur ur S = A + B − 2⋅ A = ⋅ B300 ⋅ cos θ Fonte: O autor. a partir da extremidade desse primeiro vetor. colocamos o segundo vetor. Aplicando a Regra do Polígono: Vamos colocar um dos vetores em uma origem qualquer e. que o deslocamento resultante do motociclista possui módulo de 500 m. Desenhe um paralelogramo através desses vetores. Podemos obter o módulo do vetor resultante através da relação de Pitágoras: Figura 1. Observe que. Para calcular o deslocamento resultante do motociclista. Para encontrar o módulo do vetor resultante. que temos um triângulo retângulo e que o vetor resultante é exatamente a hipotenusa desse triângulo. onde: 2 ur S = 3002 + 4002 + 2 ⋅ 300 ⋅ 400 ⋅ cos ( 90° ) → Resolvendo. precisamos somar esses dois vetores. O vetor resultante deve fechar esse polígono com origem no mesmo ponto do primeiro vetor e extremidade no último vetor. na Figura 1. temos S = 500m . pela regra do paralelogramo. podemos aplicar a lei dos cossenos. ZEMANSKY. 30 Cinemática – Movimento uniforme e uniformemente variado . somos capazes de calcular o módulo. podemos aplicar a regra do paralelogramo ou a regra do polígono. v. Física 1: Mecânica. Hugh D. Pesquise mais Dicas importantes para seu desenvolvimento: veja mais operações com vetores (produto e componentes de vetores) e familiarize-se com o conceito e uso de versores (vetores unitários). podemos usar as relações trigonométricas cateto oposto . Para achar a direção e o sentido do vetor S devemos encontrar o ângulo que este vetor faz com algum eixo de referência. Para achar esse ângulo. São Paulo: Pearson. normalmente os eixos x ou y do plano cartesiano são referências. Leia o capítulo 1 do Livro: SEARS. temos: tan α = cateto oposto 400 = → α = arctg ( 4 / 3) ∴ α ≈ 53º cateto adjacente 300 Assim. pela regra do polígono. Mark W. YOUNG. o deslocamento resultante do motociclista possui módulo de 500 m. Assimile Para calcular e obter geometricamente o vetor resultante da soma de vetores. 2008. utilizando os eixos do plano cartesiano como referência. a direção e o sentido do vetor resultante. Francis Weston. estando de acordo com o resultado obtido pela ur regra do paralelogramo. 12. Portanto α será o ângulo entre o vetor soma e o sentido positivo do eixo x. vamos usar o eixo x como referência. ed. direção oblíqua de 53º no sentido de leste para norte. concluímos que o deslocamento resultante do motociclista possui módulo de 500 m..U1 ur 2 ur 2 ur 2 ur S = A + B ∴S = ( 300 ) 2 ur 2 + ( 400 ) ∴ S = 500m Observe que. cateto adjacente tan α = senα = cos α = cateto adjacente hipotenusa hipotenusa Nesse exemplo. Uma dica é que sempre podemos “resumir” a soma de n vetores em uma soma com apenas dois vetores. Relembrando algumas relações trigonométricas. Nesse exemplo. cateto oposto .1.. passando por Bauru e Sorocaba até chegar a São Paulo.11.saude. Vamos lá? Solução: Você deve fazer uma breve pesquisa sobre a localização das cidades citadas no estado de São Paulo. Para testar os conhecimentos adquiridos nesta seção. Note que não estamos representando a trajetória da carreta. Acesso em: 11 mar. a carreta sai de São Paulo. Na volta.U1 Sem medo de errar Agora que você já sabe que algumas grandezas físicas são vetoriais e aprendeu a representar e operar essas grandezas. Apresentaremos aqui os cálculos e desenhos esquemáticos do deslocamento da carreta no trajeto de ida. na Figura 1. uma ilustração do estado de São Paulo e as cidades de nosso interesse.5.10 |O estado de São Paulo dividido em macrorregiões Fontes: adaptado de: <http://www. Veja a seguir. vamos ajudar o engenheiro Rafael no seu desafio? Vamos lembrar que a carreta gerenciada por Rafael percorre cidades do interior do estado de SP. saindo da cidade de Ribeirão Preto. 2016.gov.sp.br/ses/institucional/departamentos-regionais-de-saude/regionaisde-saude>.10. você deverá fazer o mesmo para o trajeto de volta. conforme representado na Figura 1. Vamos esquematizar o deslocamento da carreta no seu trajeto de ida (Ribeirão uuur Preto – Bauru – Sorocaba – São Paulo) e estimar o deslocamento resultante dR1 . e sim seu deslocamento (estamos considerando apenas a posição final e inicial da carreta em cada trecho). conforme representado na Figura 1. passa por Campinas e Piracicaba até voltar novamente para Ribeirão Preto. Cinemática – Movimento uniforme e uniformemente variado 31 . Figura 1. podemos dizer que a direção é obliqua no sentido sudeste. podemos representá-lo através de vetores. 32 Cinemática – Movimento uniforme e uniformemente variado . podemos enfim calcular o módulo do deslocamento resultante dR1 : 2 dR1 = 3262 + 1022 − 2 ⋅ 326 ⋅ 102 ⋅ cos (100º ) ∴ dR1 ≈ 358km Portanto. obtemos aproximadamente 2 90°. desafie-se e faça você mesmo as estimativas para o deslocamento da carreta no seu trajeto de volta. assim. o deslocamento resultante da carreta no seu trajeto de ida possui módulo de aproximadamente 358 km e. conforme ilustra a Figura 1. temos: s1 = 2122 + 2482 − 2 ⋅ 212 ⋅ 248 ⋅ cos ( 90º ) ∴ s1 ≈ 326km uur Medindo agora o ângulo entre s e d3 obtemos aproximadamente 100°.12 | Diagrama vetorial resultante (ida) Fontes: O autor ur u uur Medindo o ângulo entre d1 e d 2 com um transferidor. assim. pelaulei uurdos cossenos.12. pela lei dos cossenos. Agora. Fontes: O autor. conseguimos então resumir a soma vetorial da seguinte forma: Figura 1. pelo diagrama.U1 ur Sendo o deslocamento ( d ) uma grandeza vetorial. Sendo s1 o vetor resultante da soma ur u entre d1 e d 2 . uuur ur u uur uur Temos que: dR1 = d1 + d 2 + d3 uuur Observe que estamos utilizando a regra do polígono para representar o dR1 Para calcular um vetor resultante é importante “resumirmos” a soma vetorial dos n vetores em uma soma de dois vetores (lembre-se das propriedades comutativa ueurassociativas da soma vetorial). ele vira à esquerda em uma rua. por fim. a direção e o sentido do deslocamento resultante? Lembre-se Relembre as relações trigonométricas. o que só é possível fazer através do uso da geometria (relações trigonométricas).1 km na direção nordeste até estacionar o caminhão. Ao somarmos vetores. Vamos determinar o módulo. A direção e o sentido de um vetor devem ser representados tomando como referência os eixos x e y do plano cartesiano.U1 Atenção! Soma de grandezas vetoriais é diferente de soma de grandezas escalares. Resolução da Situação-Problema Construindo o diagrama vetorial pela regra do polígono. em seguida vira à direita e percorre mais 4. funcionário dos Correios. não podemos somar apenas os módulos (números). e percorre mais 3. os versores ıˆ e ˆ .6 km na direção norte. é preciso considerar a direção e o sentido de cada vetor. ou seja.0 km na direção leste e. Avançando na prática “Caminhão dos Correios” Descrição da Situação-Problema Vamos ajudar Lucas. Elas são fundamentais para trabalharmos com grandezas vetoriais. a analisar fisicamente seu trajeto de entrega? Lucas dirige um caminhão e faz um trajeto percorrendo 2.13 | Trajeto do caminhão Fontes: O autor Cinemática – Movimento uniforme e uniformemente variado 33 . temos: Figura 1. que faz 45° em relação à rua que ele estava anteriormente. 1⋅ cos (135° ) ∴ s1 ≈ 6.4° . 4° . 6 senθ senα . Pela lei dos cossenos.9km Agora.1⋅ sen(135° ) = ∴ senα = ∴ senα ≈ 0.Vamos agora calcular o vetor deslocamento resultante dR = d1 + s1 . 02 + 3.6 km e direção oblíqua ur ude 19.U1 ur u uur uur km Chamaremos d1 = 2. Cinemática – Movimento uniforme e uniformemente variado .4° no sentido de leste para norte. temos que: α = arcsen(0. Observe que o ângulo entre esses dois vetores é θ = 180° −45 °∴θ = 135° .14 | Soma vetorial Fontes: O autor Aplicando a lei dos senos. 79 7. 6 ⋅ cos (109. 0 ⋅ 3. Vamos calcular primeiro o vetor soma ( s1 ) entre d 2 e d3 . 6 6. 9 6. Assim.1km . 4° ) ∴ dR ≈ 7 . d 2 = u4ur.15 | Deslocamento do caminhão Fontes: O autor Logo. aplicando a lei dos senos. Figura 1. 6km Figura 1. 62 + 6. 22 − 2 ⋅ 4. pela lei dos cossenos. 62 − 2 ⋅ 2. 33) ∴ α ≈ 19. temos: 6. 6 ⋅ sen(109. 9 sen β senγ Então. 33 6. o vetor s1 possui módulo de 6. 4° ) = ∴ senγ = ∴ senα ≈ 0. 0km uure d3 = 3. ur u Portanto.4°∴ β = 109 . ur u ur u Atente que o ângulo entre d1 e s1 é: β = 90° +19 . podemos achar o ângulo γ := arcsen(0. 79) ∴ γ ≈ 52° .4° com o sentido positivo douueixo xu ouur r ur ucom o versor ıˆ. 6ur u . temos que: 34 γ = arcsen(0. Podemos dizer também que o vetor s1 faz 19. temos: 2 s1 = 4. temos: 2 dR = 2. 6 ⋅ 6. 79) ∴ γ ≈ 52° 7.1 3. 6 3. Então. podemos achar o ângulo α que determina a direção e o ur u sentido do vetor soma s1 . medida na unidade newton (N). Uma grandeza vetorial deve ser representada por: a) Apenas números. c) Apenas unidade. O módulo do vetor resultante é: a) 11 m. ou podemos dizer também que o vetor dR faz 52° com o sentido positivo do eixo y ou com o versor ˆ. direção oblíqua uur de 52° no sentido de norte para leste. c) 13 m. d) 14 m. d) Módulo. Desenhe e calcule o módulo. Faça valer a pena 1. ur u Imagine um objeto que está ur u submetido a duas forças. direção e sentido. b) 90°. sendo um vetor de módulo de 12 m e outro de 5 m.9 km. b) 12 m. 2 . b) Números e unidade. e) Módulo e sentido. perpendiculares entre si. c) 120°. Cinemática – Movimento uniforme e uniformemente variado 35 . a direção e o sentido da força resultante no objeto. e) 15 m. Considere dois vetores. sendo uma força F1 = 30N e a outra força F2 = 40N .U1 uur Podemos concluir que o deslocamento resultante dR do Lucas possui módulo de 7. Faça você mesmo Força é uma grandeza vetorial. quando o ângulo θ entre essas duas forças for: a) 60°. c) d) a + b + c = 1ıˆ + 4 ˆ . Considere o vetor c = 1ıˆ + 6 ˆ . a soma desses dois vetores pode ser representada por a + b = −1ıˆ − 2ˆ . seja a = 2ıˆ + 3 ˆ e b = −3ıˆ − 5ˆ . a) a + b + c = 4 ˆ . o vetor soma a + b + c será: a + b + c = 3ıˆ − 4 ˆ . É possível somarmos vetores a partir das componentes. 36 Cinemática – Movimento uniforme e uniformemente variado . e) a + b + c = 1ıˆ + 3 ˆ . Por exemplo.U1 3. b) a + b + c = −4 ˆ . no qual precisa apresentar os cálculos da velocidade e aceleração da carreta em diferentes momentos do percurso. velocidade e aceleração média e instantânea Diálogo aberto Um dos objetivos da Física é estudar o movimento dos objetos: a rapidez com que se movem. a distância que percorrem no espaço em um determinado tempo. e também em situações perigosas de frenagens bruscas. você vai precisar conhecer. suas dimensões podem ser importantes ou não. você aprenda a interpretar as equações do movimento. Não pode faltar Posição de um ponto material Quando estudamos o movimento de um objeto. Vamos ajudá-lo? O que será preciso saber para calcular a velocidade e a aceleração da carreta? Esperamos que. quanto tempo você tem para segurá-lo antes que ele atinja o solo? Como funcionam os radares? Nesta seção. Ao contrário.3 Equações do movimento. Ele está preparando seu relatório semanal de uma das carretas. que está trabalhando duro em seu novo emprego na transportadora XYZ. Ponto material (ou partícula) é um corpo cujas dimensões são desprezíveis em comparação com as distâncias envolvidas no movimento estudado.U1 Seção 1. Você sabe. se as dimensões do objeto forem importantes. saber calcular e trabalhar com duas grandezas físicas vetoriais muito importantes na Física: velocidade e aceleração. Para isso. dizemos Cinemática – Movimento uniforme e uniformemente variado 37 . quantos metros um carro percorre até parar. e você aprenderá a responder a essas perguntas. ao final desta seção. quando você pisa no freio? Quando um objeto escorrega da sua mão. estudaremos as equações do movimento. Lembre-se de que desejamos ajudar o engenheiro Rafael. velocidade e aceleração média e instantânea. por exemplo. B.16 | Coordenadas cartesianas no plano Fontes: O autor. as posições das partículas A. Mas o mesmo carro deve ser tratado como um corpo rígido se estivermos estudando o tempo que ele gasta para ultrapassar um caminhão. Toda trajetória deve ter um sentido de orientação.16. a bola faz uma trajetória curvilínea 38 Cinemática – Movimento uniforme e uniformemente variado . Quando a trajetória do objeto é uma reta. Sua trajetória fica marcada por ele. C e D: Figura 1. Para esta pessoa. Agora imagine a mesma situação. Para você. Por exemplo: um carro pode ser considerado um ponto material em uma viagem de São Paulo à Bahia. a bola apenas faz uma trajetória em linha reta de subida e descida. Iniciaremos o estudo do movimento considerando os objetos como pontos materiais. Trajetória e espaço Trajetória de um ponto material é a união de todas as posições por onde o ponto material passou em um determinado tempo. y). A posição de um ponto material (em um plano) é definida pelo par de coordenadas cartesianas (x.U1 que o objeto é um corpo extenso (ou corpo rígido). porém observada por uma pessoa parada na calçada. Referencial este que pode ser entendido como o observador em relação ao qual pretendemos estudar um movimento qualquer. imagine que você está dentro de um carro em movimento e lança uma bola para cima. Figura 1. Por exemplo. Veja. dizemos que o movimento é retilíneo. Imagine um avião deixando um rastro de fumaça em um espetáculo aéreo. Uma consideração importante é que a trajetória depende do referencial adotado. pois dependem do referencial adotado. O espaço (s) não indica a distância percorrida e pode ser um valor positivo. e quando o móvel se deslocar no sentido oposto.17. Podemos avaliar a variação de posição de um objeto através do seu deslocamento . é necessário adotar sentido positivo para o deslocamento. ∆s Vale ressaltar que o deslocamento é uma grandeza vetorial (como visto na seção anterior). quando sua posição permanece invariável no decorrer do tempo. o metro. Assim. Uma partícula está em movimento. Cinemática – Movimento uniforme e uniformemente variado 39 . há variação de pelo menos uma coordenada. Denominamos espaço (representado pela letra s) a localização do objeto na sua trajetória a partir de um ponto denominado de origem dos espaços ( s0 ). Assim. o espaço (s) é um indicador de local (posição). então a trajetória não é um ponto. para um dado referencial. isto é. ou seja. seu deslocamento será negativo. Assimile Uma partícula está em repouso. Assim. Veja a Figura 1. pois além de subir e descer há também o movimento na horizontal do carro. a trajetória da bola é diferente em cada caso pois depende do referencial adotado. negativo ou nulo. Reflita Considere um metrô com velocidade constante em um trilho reto e horizontal. quando sua posição varia no decorrer do tempo. A trajetória percorrida pelo celular é a mesma se você observar a situação de dentro do vagão e fora do vagão (na plataforma de espera)? Perceba que repouso e movimento são conceitos relativos. pois as coordenadas não mudam. quando a trajetória é um ponto. para um dado referencial. Utilizaremos sempre uma unidade de comprimento como referência. Um passageiro que está dentro de um vagão do metrô deixa cair seu celular no chão. No caso. em geral. responde à pergunta “onde está o objeto?”.U1 (como uma parábola). 0s. s0 = 8. É importante indicar as unidades das variáveis s e t na equação. No SI. após 5. 0m . 0s . Assim. 1. temos s = 23. Assim: s0 = 3. 0)2 ∴ s = 75m . o deslocamento de A para B é positivo. 0s . 0 + 3.U1 Figura 1. temos duas equações do movimento de objetos que podem ser aproximados por pontos materiais. a) s = 8. 40 Cinemática – Movimento uniforme e uniformemente variado . podemos dizer que s = f (t ) e dizemos que esta é a função horária do movimento.0 s do início do movimento. o objeto se encontra na posição 23 m. Ou seja. b) s = 3. ou seja. Solução: Determinamos a posição inicial s0 do objeto na origem dos tempos.17 | Deslocamento: grandeza vetorial + A B D C Fontes: O autor. O deslocamento é dado por: ∆s = sfinal − sinicial (A letra grega maiúscula ∆ – delta – é usada para representar a variação de uma grandeza e corresponde à diferença entre o valor final e o valor inicial. Para t = 1. temos que s = 8 + 3 ⋅ 1 = 11. Para t = 1. respectivamente. Chamamos de espaço inicial ( s0 ) a posição quando t = 0 . 0 ⋅ (0)2 ∴ s0 = 0 . 0m . Exemplificando A seguir. Para t = 5. temos s=3m e para t = 5. Encontre a posição das partículas nos instantes 0s. sua posição (s) varia no decorrer do tempo (t). 0m . temos que s = 8. enquanto o deslocamento de C para D é negativo. 0s . 0s . metros e segundos. 0 ⋅ t 2 (SI). 0 ⋅ (5. 0 ⋅ t (SI). Se adotarmos o sentido positivo para a direita. Assim.0s e 5. quando t = 0 . Solução: Utilizando t = 0s . temos: s = 3. 0m .) Equação horária do movimento Quando um ponto material está em movimento. A velocidade é uma grandeza vetorial.0 horas. estudamos a velocidade escalar do objeto. temos o conceito de velocidade. maior a velocidade do objeto. Se quisermos medir a taxa de variação da posição com o tempo. podemos definir que a velocidade média ( v m ) é dada por: vm = sf − si ∆s = tf − t i ∆t Onde: sf = espaço (posição) final no tempo final considerado ( t ).com/origin/theeducationgroup/ video/pt/d0201_pt_s. Quando a velocidade é positiva. dizemos que ele está em repouso (sua velocidade é nula). Podemos calcular uma média da velocidade do carro durante o trajeto percorrido. Se o carro percorreu os 400 km em 5. o carro percorreu 80 km a cada hora. significa que o objeto se move no sentido negativo da trajetória (movimento retrógrado).onstreammedia. isso significa que o objeto se move no sentido positivo da trajetória (movimento progressivo). podemos dizer que. em média. Quando queremos saber apenas o módulo (o valor) da velocidade de um objeto. o carro está mais rápido (velocidade maior). 2016. Quando a velocidade for negativa. A medida que descreve a rapidez com que a posição do carro varia no tempo é a velocidade. o painel do carro mostra velocidades diferentes. Durante a viagem. Se a posição de um objeto não varia no tempo. Chamaremos essa grandeza de velocidade média. está mais devagar (velocidade menor). Assim.webm>. Quanto mais rápida a mudança de posição no tempo. Pesquise mais Assista a esse vídeo e aprenda mais sobre velocidade: Disponível em: <http://sas-origin. Velocidade média Considere o mesmo exemplo do carro viajando de São Paulo para o Rio de Janeiro (400 km). outras. ti Cinemática – Movimento uniforme e uniformemente variado 41 . Imagine um carro viajando de São Paulo para o Rio de Janeiro. Acesso em: 28 mar. Às vezes. f si = espaço (posição) inicial no tempo inicial considerado ( ).U1 Velocidade Vimos que a posição do objeto ao longo da trajetória é definida pela grandeza física espaço (s). obtendo a velocidade instantânea. e poderá tomar o limite da velocidade média com ∆t → 0. estivesse marcando sempre 80 km/h. No SI. Na linguagem da Física. e saberá obter a velocidade instantânea calculando a derivada da posição com relação ao tempo. o que de fato não ocorre. Determine: 42 Cinemática – Movimento uniforme e uniformemente variado . você estudará o processo conhecido como limite. A velocidade variável mostrada no painel do carro a cada instante da viagem é a chamada velocidade instantânea. Ou seja: quantos metros são percorridos em cada segundo de movimento. Estudará também como fazer derivadas. Velocidade instantânea Voltemos ao exemplo do carro que viaja de São Paulo para o Rio de Janeiro. durante toda a viagem. Em cálculo. que é a velocidade instantânea v . Velocidade instantânea v é a velocidade do objeto em um dado instante (intervalo de tempo muito pequeno) em uma determinada posição específica da trajetória. dizemos que a velocidade em um dado instante é aproximada a partir da velocidade média com o intervalo de tempo ∆t muito pequeno. Assimile Velocidade é uma grandeza vetorial que indica a taxa de variação da posição com o tempo. ∆t (delta t) = variação do tempo. Velocidade média v m é uma medida fictícia que representa a velocidade constante que o objeto deveria ter para percorrer a trajetória no tempo considerado. mais nos aproximaremos de um valor limite. como se no painel do carro.U1 ∆s (delta s) = variação dos espaços (deslocamento). a velocidade média v m é medida em metros por segundo (m/s). Quanto mais próximo de zero o intervalo de tempo ∆t tomado. A posição da partícula é dada pela equação s = 12 ⋅ t 2 − 2 ⋅ t 3 (SI). A velocidade média que acabamos de definir é uma medida fictícia. Exemplificando Uma partícula parte do repouso e começa a se movimentar. A aceleração também pode ser positiva ou negativa. 0s . significa que a velocidade dele não varia no tempo. v i = velocidade inicial no tempo inicial considerado ( t i ). ou seja. Solução: a) Substituindo t = 0 na equação. Quando o produto entre a velocidade e a aceleração for positivo. ∆v (delta v) = variação da velocidade. b) Substituindo t = 4 na equação. Quando o produto entre a velocidade e a aceleração for negativo. ∆t (delta t) = variação do tempo. isso significa que a aceleração é a favor do movimento e dizemos que o movimento é acelerado.U1 a) A posição inicial s0 da partícula (quando t = 0 ). Aceleração média A aceleração média am é dada por: v − v i ∆v am = f = tf − t i ∆t Onde: v f = velocidade final no tempo final considerado ( tf ). Se um objeto possui aceleração nula. A aceleração também é uma grandeza vetorial e ela descreve a taxa de variação da velocidade com o tempo. temos que s0 = 0 . A partícula sai da origem do sistema de coordenadas. a velocidade é constante. ∆t tf − t i 4−0 4 Aceleração Quando a velocidade de um objeto em movimento varia com o tempo. b) A posição da partícula quando t = 4. Cinemática – Movimento uniforme e uniformemente variado 43 . dizemos que o objeto possui aceleração. 0s . isso significa que a aceleração é contrária ao movimento e dizemos que o movimento é retardado. temos que ( ) ( ) s = 12 ⋅ 42 − 2 ⋅ 43 = 12 ⋅ 16 − 2 ⋅ 64 = 64m c) A velocidade média é v m = ∆s sf − si 64 − 0 64 = = = = 16 m s . c) A velocidade média da partícula entre t = 0 e t = 4. Portanto. se o intervalo de tempo considerado tender a zero. podemos dizer que a aceleração instantânea é o limite da aceleração média quando o intervalo de tempo considerado tende a zero. 2016. ou seja.U1 No SI. Estudará também como fazer derivadas. KRANE. Tabela 1. cole no seu navegador o link <https:// integrada.. K. Física 1.com. estudante de nossa instituição. você estudará o processo conhecido como limite. tem acesso gratuito ao livro. que você conhecerá em seu curso de cálculo. e aprenderá a obter a aceleração instantânea calculando a derivada da velocidade com relação ao tempo. Em cálculo. a aceleração média tende a um valor que é denominado de aceleração instantânea. HALLIDAY.1. 44 Cinemática – Movimento uniforme e uniformemente variado . v. Ou seja: em quantos metros por segundo aumentou a velocidade a cada segundo de movimento? Aceleração instantânea A aceleração instantânea mede a taxa de variação da velocidade em um dado instante. a aceleração média am é medida em metros por segundo ao quadrado ( m s 2 ). 5. Veja mais no capítulo 2 do Livro: RESNICK. Acesso em: 28 mar. Pesquise mais Você sabia que o cálculo fornece ferramentas para obter as velocidades e acelerações instantâneas? São os limites e as derivadas.00>. 2003.5 | Classificação do movimento em relação à velocidade e à aceleração Sinal da velocidade (v) Sinal da aceleração (a) Sinal de vxa Módulo da velocidade Classificação + + + aumenta progressivo acelerado + - - diminui progressivo retardado - + - diminui retrógrado e retardado - - + aumenta retrógrado e acelerado Fontes: O autor. ed. R. obtendo a aceleração instantânea.00:0.br/#/books/978-85-216-1945-1/ cfi/27!/4/
[email protected]. D. e poderá tomar o limite da aceleração média com ∆t → 0. Em seguida. Primeiro.. Você. Rio de Janeiro: LTC. faça seu login na sua área de estudante e depois na sua biblioteca virtual. As distâncias entre cada cidade e o tempo gasto entre uma cidade e outra já foram definidos e calculados na primeira parte do relatório (Seção 1. você pode calcular as velocidades médias do trajeto de volta para testar seus conhecimentos. freou e diminuiu a velocidade de 15. basta dividirmos as distâncias percorridas (deslocamento) pelo tempo gasto. Nessa terceira etapa.0 m/s² para carretas. Assim. para calcular tf − t i ∆t a entre cada cidade. Durante o percurso de Ribeirão Preto para Bauru. o condutor é advertido. vamos lembrar que a carreta gerenciada por Rafael percorre. para ajudarmos Rafael a definir se o condutor deve ou não ser advertido. realizando trajetos distintos na ida e na volta.0 s. São consideradas situações perigosas as frenagens com aceleração igual ou superior a 4. cidades do interior do estado de SP.U1 Sem medo de errar Agora que você aprendeu o que é e como calcular velocidade e aceleração. para evitar situações perigosas e o desgaste antecipado dos freios. diariamente.6 | Estudo do movimento da carreta (distâncias e tempo de percurso) TRAJETO DE IDA Percurso Distância Tempo Ribeirão Preto – Bauru 211 km = 211000 m (2h40min) = 9600 s Bauru – Sorocaba 248 km = 248000 m (3h30min) =12600 s Sorocaba – São Paulo 101 km = 101000 m (1h30min) = 5400 s Fontes: O autor. Quando isso acontece. Tabela 1.1) e estão apresentados na Tabela 1. para desviar de um buraco. Cinemática – Movimento uniforme e uniformemente variado 45 . Solução: Vamos calcular as velocidades médias entre cada percurso do trajeto de ida. 0 m s em um intervalo de tempo de 3. Sabemos que a velocidade média é v m = sf − si ∆s = . será necessário calcular a velocidade média da carreta entre cada percurso de ida (de acordo com os dados já apresentados nas seções anteriores) e também analisar uma situação de freada.1). Nota: Estudante. Atenção: o tempo deve ser convertido para horas (lembre-se da conversão de unidades discutida na Seção 1. o condutor da carreta.6. A carreta é rastreada e monitorada por um sistema que avisa sobre freadas bruscas. 0 s. 0 m s Tempo de frenagem Aceleração Advertência por situação perigosa? ∆t = 3. 46 Cinemática – Movimento uniforme e uniformemente variado . Portanto. 0 ∴ am = −5. Tabela 1. 5 Sorocaba – São Paulo 101 km 1.0 m/s² devem ocasionar uma advertência ao condutor. temos que ∆t am = −15. 0s a ≈ −5. Sabemos que a aceleração média am é dada por am = ∆v . 5 Fontes: O autor. concluímos que o condutor deverá ser advertido por freada brusca. 0 m s em um intervalo de tempo de 3.U1 Tabela 1. 0 desacelerações iguais ou acima de 4. A aceleração mede a taxa de variação da velocidade de um objeto no tempo.7 | Velocidades médias no trajeto de ida TRAJETO DE IDA vm Percurso Distância Tempo Ribeirão Preto – Bauru 211 km 2. colocando a carreta e o próprio condutor em situação perigosa.67h v m1 = 211 ≈ 79 km h 2.8 | Frenagem da carreta Informações sobre a situação de frenagem Variação da velocidade ∆v ≈ −15.5h v m2 = 248 ≈ 71km h 3. 0 m s ² . para desviar de um buraco.5h v m3 = 101 ≈ 67 km h 1. quando o condutor da carreta. 67 Bauru – Sorocaba 248 km 3. freou e diminuiu a velocidade de 15. 0 m s 2 SIM Atenção! A velocidade mede a taxa de variação da posição de um objeto no tempo. Vamos analisar agora a desaceleração durante o percurso de Ribeirão Preto para Bauru. Visto que 3. temos que o v − vf 20 − 0 20 módulo da velocidade média é v = i = = = 10 m s . retilínea e plana. 0 m s 2 . 0m s ² Para conseguir parar. você precisa saber se os trens conseguem frear a tempo de evitar uma colisão para poder avisar seus superiores sobre uma possível situação de emergência. fazendo com que os dois trens sofram uma desaceleração de 1. a velocidade do trem deve zerar. Resolução da Situação-Problema Vamos analisar qual é o espaço que cada um dos trens precisa percorrer para poder parar completamente: Para o trem vermelho: v = 72 km h → v = 20 m s e a = −1. Assim. a distância 2 2 2 ∆s percorrida durante a frenagem é v = → ∆s = v ⋅ ∆t = 10 ⋅ 20 = 200m . Portanto. Com essas informações. o ∆t a= Cinemática – Movimento uniforme e uniformemente variado 47 . Quando a distância entre os trens é de 950m você percebe a gravidade da situação e avisa os dois maquinistas para acionarem imediatamente os freios. movendo-se em direções opostas (um em direção ao outro). O trem vermelho vai levar 20 ∆t ∆t ∆t −1 segundos para frear completamente. temos que: ∆v v f − v i 0 − 20 −20 = → −1 = → ∆t = = 20s . assim. Lembre-se Velocidade e aceleração são duas grandezas vetoriais muito importantes no estudo da cinemática. Nesse processo de frenagem.U1 Avançando na prática “Gerenciamento de ferrovias” Descrição da Situação-Problema Você trabalha em uma operadora de monitoramento e rastreamento de trens e percebe a seguinte situação de perigo: um trem vermelho a 72km h e um trem azul a 144 km h estão na mesma linha. O movimento de uma partícula é definido pela equação horária dos espaços: s = 3. qual é a aceleração média em m/s² e qual é a distância percorrida pelo carro? Faça valer a pena 1.4 s. velocidade média é v = Faça você mesmo Um carro de corrida é capaz de acelerar de 0 a 60 km/h em 5. 48 Cinemática – Movimento uniforme e uniformemente variado . 0 ⋅ t 2 − 12. assim. A distância total percorrida pelos dois trens até poderem parar completamente é de ∆stotal = 200 + 800 = 1000m . haverá colisão e será necessário avisar os supervisores sobre a situação de emergência. Nesse processo de frenagem temos que o módulo da vi − vf 40 − 0 40 = = = 20 m s . o trem azul ∆t precisa percorrer 800 m até parar completamente. 0s é: a) 6. 0 m s ² .0m/s². Para o trem azul: v = 144 km h → v = 40 m s e a = −1. Para conseguir parar. d) -4. a distância percorrida 2 2 2 ∆s durante a frenagem é v = → ∆s = v ⋅ ∆t = 20 ⋅ 40 = 800m .U1 trem vermelho precisa percorrer 200 m até parar completamente. b) -6. Como a distância entre eles é de 950 m. a velocidade do trem deve zerar.0m/s. A velocidade média entre os instantes t1 = 0 e t2 = 2. 0 ⋅ t + 4. Nesse intervalo de tempo. e) 6. O trem azul vai levar 40 segundos a= ∆t ∆t ∆t −1 para frear completamente.0m/s. Portanto. 0 no SI.0m/s. temos que: ∆v v f − v i 0 − 40 −40 = → −1 = → ∆t = = 40s . c) 4. Assim.0m/s. Cinemática – Movimento uniforme e uniformemente variado 49 .5 passos por segundo. Ela deseja atravessar uma avenida com 21 metros de largura. b) 14 s. c) 20 s. d) Movimento retrógrado acelerado. b) Movimento retrógrado retardado. e) Nenhuma das anteriores. e) 45 s. Como podemos classificar o movimento de um objeto que possui velocidade positiva e aceleração negativa? a) Movimento progressivo retardado.U1 2. 3. c) Movimento progressivo acelerado. d) 32 s. com passos que medem 70 cm cada um. Uma pessoa caminha dando 1. O tempo mínimo que o sinal de pedestres deve ficar aberto para que essa pessoa atravesse a avenida com segurança é: a) 10 s. U1 50 Cinemática – Movimento uniforme e uniformemente variado . Lembra-se do Rafael? Para finalizar seu relatório de gerenciamento da carreta que percorre diariamente as cidades do interior de São Paulo. movimento uniformemente variado e queda livre. Estudar os movimentos dos corpos é desafiador e muito importante para entendermos o que ocorre à nossa volta. da velocidade e da aceleração? Podemos descobrir muitas informações e reconstituir o movimento de um objeto ao analisarmos essas grandezas. você terá aprendido os principais tipos de movimento. Vamos nos aprofundar um pouco mais no estudo dos movimentos? Que tal agora analisarmos os movimentos de acordo com as variações da posição. vamos lá? Vamos finalizar esse relatório com excelência? Ao final desta seção. iniciada na seção anterior. velocidade e aceleração no tempo. um movimento é chamado de uniforme quando o objeto percorre distâncias iguais para intervalos de tempos iguais. Não pode faltar Movimento uniforme (MU) Em relação a um dado referencial. Você. ou Cinemática – Movimento uniforme e uniformemente variado 51 . como representar e trabalhar com cada um deles e quais são as funções horárias que os descrevem e caracterizam. Como podemos definir e representar uma mudança de posição (velocidade) que é sempre igual (constante) no decorrer do tempo? E se a mudança de posição não variar de forma constante? O que ocorre quando se abandona um objeto do alto de um prédio ou quando uma pessoa salta de paraquedas? Nesta seção estudaremos três tipos de movimentos: movimento uniforme.4 Movimento uniforme e variado e queda livre de corpos Diálogo aberto Caro estudante. deve ajudar Rafael nesse desafio. ao longo desta unidade você já aprendeu bastante sobre a cinemática. Ele deverá construir a função horária do deslocamento e da velocidade da carreta nessa situação e também os gráficos dos espaços.U1 Seção 1. mais uma vez. ele precisa continuar o estudo da situação de frenagem. Bons estudos. não há aceleração. diferente e zero dado por v = ∆s e ∆t também que a aceleração é nula a = 0 . Assim. Fontes: O autor.18 | Gráficos do movimento uniforme (MU) Variação da posição do objeto em função do tempo s×t Variação da velocidade em função do tempo v × t A velocidade é constante. quando a velocidade é constante e.U1 seja. portanto. Assim. Movimento uniformemente variado (MUV) O movimento uniformemente variado (MUV) caracteriza-se pela variação da velocidade no decorrer do tempo devido à presença de uma aceleração constante e diferente de zero. Na Cinemática. podemos generalizar dizendo: Assimile O movimento é uniforme (MU) quando a função horária dos espaços é de primeiro grau. temos que no MU: s = s0 + v ⋅ t . 52 Cinemática – Movimento uniforme e uniformemente variado . o parâmetro A representa o espaço (posição) inicial do objeto ( A = s0 ) e o parâmetro B representa a velocidade média ( B = v ). onde v é constante. Figura 1. ou seja: s = A + B ⋅ t . U1 Assimile O movimento é uniformemente variado (MUV) quando a função horária dos espaços é de segundo grau, ou seja: s = A + B ⋅ t + C ⋅ t 2 . Na Cinemática, o parâmetro A representa o espaço (posição) inicial do objeto ( A = s0 ), o parâmetro B representa a velocidade escalar inicial ( B = v 0 ) e o parâmetro a C é igual à metade da aceleração média C = . Assim, temos que no MUV: 2 a 2 s = s0 + v 0 ⋅ t + ⋅ t , onde a é constante, diferente e zero dada por 2 ∆ v a= . ∆t a 2 ⋅ t e como a 2 velocidade varia no tempo devido à aceleração constante, temos a função horária da velocidade dada por: No MUV, a função horária dos espaços é s = s0 + v 0 ⋅ t + v = v0 + a ⋅ t . Além disso, no MUV podemos relacionar o deslocamento ∆s com a velocidade em uma equação independente do tempo, através da equação de Torricelli: v 2 = v 02 + 2 ⋅ a ⋅ ∆s . Pesquise mais Entenda mais sobre aceleração constante. Assista ao vídeo disponível em: <http://sas-origin.onstreammedia.com/origin/theeducationgroup/ video/pt/d0204_pt_s.webm>. Acesso em: 13 abr. 2016. Cinemática – Movimento uniforme e uniformemente variado 53 U1 Figura 1.19 | Gráficos do movimento uniformemente variado (MUV) Variação da posição do objeto em função do tempo s×t Variação da velocidade em função do tempo v ×t Variação da aceleração em função do tempo a×t A aceleração é constante. Fontes: O autor. Exemplificando Um avião, ao decolar, percorre 1,20 km no solo com aceleração constante, partindo do repouso, em um intervalo de tempo de 20 s. a) Calcule a aceleração (SI) do avião durante a decolagem. b) Calcule a velocidade (em km/h) com que o avião desprende-se do solo. c) Confirme o deslocamento total do avião no processo de decolagem usando a equação de Torricelli. Solução a) Como há aceleração, concluímos que se trata de MUV. Nesse movimento, 54 Cinemática – Movimento uniforme e uniformemente variado U1 a 2 a ⋅ t , ou seja, ∆ s = v 0 ⋅ t + ⋅ t 2. Como o avião 2 2 a 2 parte do repouso, v 0 = 0 , assim temos: 1200 = ⋅ 20 ∴ a = 6, 0 m s 2 . temos que s = s0 + v 0 ⋅ t + 2 b) Temos que v = v 0 + a ⋅ t . No nosso exemplo: v = 6 ⋅ 20 = 120 m s ⇒ v = 432 km h . c) Usando a equação de Torricelli: v 2 = v 02 + 2 ⋅ a ⋅ ∆s . Nesse caso, temos: (120)2 = 2 ⋅ 6 ⋅ ∆s ∴ ∆s = 1200m ⇒ 1, 2km , o que está de acordo com o enunciado. Queda livre Quando um objeto se movimenta sob ação exclusiva de um campo de gravidade (aceleração da gravidade) e quando podemos desprezar o efeito do ar, dizemos que ele está em queda livre. A queda livre é um caso especial do MUV (movimento uniformemente variado). Segundo Galileu, todos os corpos em queda livre, no mesmo local, se movimentam com a mesma aceleração, quaisquer que sejam suas massas e, portanto, chegam ao solo ao mesmo tempo. Disponível em: <http:// mundoeducacao.bol.uol.com.br/fisica/queda-livre.htm>. Acesso em: 6 jun. 2016. Pesquise mais Verifique a teoria de Galileu. Assista ao vídeo disponível em: <http:// sas-origin.onstreammedia.com/origin/theeducationgroup/video/pt/ d0207_pt_s.webm>. Acesso em: 13 abr. 2016. A aceleração da gravidade, representada pela letra g, é uma grandeza física vetorial com direção vertical e sentido para baixo. O módulo da aceleração da gravidade varia de um local para outro. Na Lua, por exemplo, ela é bem menor do que na Terra. Mesmo no planeta Terra, o módulo da aceleração da gravidade varia dependendo da altitude do local. Adotaremos o módulo da aceleração da gravidade na Terra como g = 9, 8 m s 2 . (Curiosidade: na Lua, g = 1, 6 m s 2 .) Considere um objeto abandonado do repouso ( v 0 = 0 ) de uma altura h acima do solo em um local onde a aceleração da gravidade é g e o efeito do ar é desprezível. Observe que esse objeto irá apenas na direção vertical e para baixo. Nesse tipo de movimento, costumamos adotar o sentido para baixo como Cinemática – Movimento uniforme e uniformemente variado 55 temos que g 2 ⋅t . Assim. temos que ∆s = v 0 ⋅ t + Como o vaso parte do repouso. ou seja. g 2 g ⋅ t → ∆s = ⋅ t 2 . 2 v 0 = 0 . 8 m s 2 . quando t = tq → ∆s = h . onde 2 2 utilizamos v 0 = 0 (parte do repouso). substituindo na equação g 2 2⋅h ⋅ tq → tq = . 8 Cinemática – Movimento uniforme e uniformemente variado . Repare que quando tiver transcorrido o 2 2 tempo de queda tq o objeto terá percorrido toda a altura h. Partindo do repouso. quando o objeto chega ao solo em queda livre. da janela de um prédio de uma altura h = 45 m acima do solo. Temos sempre a liberdade de escolher o sentido positivo de nossos eixos xy.U1 positivo. Substituindo os valores. podemos concluir a velocidade de chegada. ∆s = 0 ⋅ t + quando t = tq → ∆s = h . que é dada por v f 2 = v 02 + 2 ⋅ g ⋅ h ∴ v f = 2 ⋅ g ⋅ h . desde que sejamos coerentes com a definição do início ao fim do cálculo. portanto. b) O módulo da velocidade do vaso ao atingir o solo. logo. o objeto terá percorrido toda a altura h. Portanto: s = s0 + v 0 ⋅ t + ⋅ t 2 ou s − s0 = ∆s = ⋅ t . Despreze o efeito do ar e considere g = 9. Calcule: a) O tempo de queda ( tq ) do vaso até atingir o solo. entrará positiva nas equações da queda livre. A aceleração da gravidade g possui sentido para baixo. a partir do repouso. esse movimento de g 2 g queda livre é um MUV. Devido à presença da aceleração constante da gravidade. temos g 2 ⋅ 45 ≈ 3. do deslocamento. A velocidade do objeto em relação à distância percorrida é dada pela equação de Torricelli: v 2 = v 02 + 2 ⋅ g ⋅ ∆s . Repare que quando tiver transcorrido o tempo de queda tq . concluímos h = Exemplificando Um vaso de flores cai. portanto. g 2⋅h 2 2 temos h = 2 ⋅ tq → tq = g → tq = que o tempo de queda é: tq = 56 2⋅h . ou seja. A velocidade do objeto em 2 g queda livre a qualquer instante é dada por v = v 0 + g ⋅ t . substituindo na equação anterior. 0s . 9. Solução: a) No movimento de queda livre. U1 b) Pela equação de Torricelli. pois o objeto parte do repouso. o objeto realiza um movimento vertical (de subida e descida) e também um movimento horizontal. e sendo a velocidade final do objeto dada por v = v f .0) e adotaremos os sentidos para cima e para a direita como sentidos positivos. vamos precisar decompor o movimento em vertical e horizontal e analisá-los separadamente. temos v 2 = v 02 + 2 ⋅ g ⋅ ∆s . para analisar o movimento do projétil. como mostra a Figura 1.20. lançado obliquamente. sob ação da gravidade 2 terrestre ( g = 9. Conforme explicado na Seção 1. Assim. apresenta um arco de parábola como trajetória. sendo v 0 = 0 .2. Figura 1. temos então v f = 2 ⋅ g ⋅ h . 7 m s . com velocidade inicial v 0 inclinado de um ângulo θ em relação ao plano horizontal de lançamento.20. sabemos que as componentes horizontal e vertical da velocidade inicial v 0 são: uuur uur uuur uur v 0 x = v 0 ⋅ cos θ e v 0 y = v 0 ⋅ senθ Cinemática – Movimento uniforme e uniformemente variado 57 . Observe que nessa situação o objeto. ou seja. Portanto v f = 2 ⋅ 9.20 | Lançamento oblíquo de um projétil Fontes: O autor. Lançamento de projéteis (movimento balístico) Consideremos um projétil lançado obliquamente. Vamos adotar o ponto de lançamento como a origem dos espaços. 8 m s ). 8 ⋅ 45 ≈ 29. de acordo com o princípio da independência dos movimentos de Galileu. e de acordo com a Figura 1. x0 = 0 e y 0 = 0 (0. devemos estudar o movimento separando as análises em movimento vertical e movimento horizontal. por ter a presença da aceleração da gravidade. que a aceleração da gravidade será negativa.U1 De acordo com Galileu. são independentes e podem ser estudados separadamente. não usaremos a letra s para indicar o deslocamento. no movimento balístico. A presença da aceleração caracteriza o movimento uniformemente variado (MUV). onde escolhemos definir 2 o ponto de lançamento como a origem dos espaços ( y 0 = 0 ). de acordo com o princípio da independência dos movimentos de Galileu. 58 Cinemática – Movimento uniforme e uniformemente variado . como mostra a Figura 1. Para diferenciar. movimentos em direções diferentes.20. Portanto. a aceleração da gravidade é negativa – sentido para baixo). portanto. O movimento vertical estuda a subida e a descida do objeto (movimentação pelo eixo y) e. 2 Função horária da velocidade vertical: v y = v 0 ⋅ senα − g ⋅ t (equação 2). vamos dividir o estudo do movimento do projétil em movimento vertical e horizontal. Equação de Torricelli: v y 2 = v 02 ⋅ (senα )2 − 2 ⋅ g ⋅ ∆sy (equação 3). é um MUV. Movimento vertical do projétil (altura do objeto): lembre-se de que na vertical temos a presença da aceleração da gravidade (g). Precisamos adotar um sentido positivo para analisar o movimento vertical. O movimento horizontal estuda o alcance do objeto (movimentação pelo eixo x) e é um MU. Usaremos a letra y para indicar o deslocamento vertical e a letra x para indicar o deslocamento horizontal. o movimento no eixo vertical apresenta as seguintes características: a 2 ⋅ t . Assim. Adotaremos o sentido para cima como positivo. Assimile Quando um objeto é lançado obliquamente. O deslocamento na vertical será representado pela letra y. Observe. v 0 y = v 0 ⋅ senα e a = −g (pois adotamos o sentido para cima como positivo e. de acordo com a Figura 1. Daí resulta: g y = (v 0 ⋅ senα ) ⋅ t − ⋅ t 2 (equação 1). em relação a Função horária dos espaços: y = y 0 + v 0 y ⋅ t + ele. O movimento na vertical refere-se à subida e à descida do objeto. pois seu sentido é para baixo.20. perpendiculares. a altura máxima hmax e o alcance total horizontal d. g v 02 ⋅ sen 2α . 2⋅g Da equação 4. não temos aceleração. podemos deduzir que ts = tq = 0 . calcule a altura máxima atingida pelo objeto. portanto. no eixo horizontal. g Pela equação 3. o tempo total da trajetória ttotal . v x = v 0 x = v 0 ⋅ c os α (a componente horizontal da velocidade é sempre constante e diferente de zero no movimento balístico). Cinemática – Movimento uniforme e uniformemente variado 59 . podemos calcular a altura máxima atingida pelo objeto v 2 ⋅ (senα )2 (lembrando que na altura máxima v y = 0 e ∆ sy = hmax): hmax = 0 . o movimento horizontal é uniforme (MU) e determina o alcance do objeto. é importante sabermos que no ponto mais alto da trajetória a componente vertical da velocidade é nula v y = 0 . No lançamento de um projétil. 8 m s 2 . temos: d = Exemplificando Considere um objeto lançado obliquamente com velocidade inicial v 0 = 30 m s e formando um ângulo de α = 45° com o solo. Assim: d = v 0⋅ cos α ⋅ 2 ⋅ v 0 ⋅ senα lembrando que 2 ⋅ senα ⋅ cos α = sen 2α .U1 Movimento horizontal do projétil (alcance): reveja novamente a Figura 1. O deslocamento horizontal será representado pela letra x. Utilizando as equações apresentadas acima. considerando t = ttotal . ou seja: x = (v 0 ⋅ cos α ) ⋅ t (equação 4).20 e observe que. é possível desenvolver as equações para calcular o tempo de subida ts (que é igual ao tempo de queda tq ). g v 2 = v x2 + v y2 A velocidade em qualquer ponto da trajetória é dada por . g 2 ⋅ v 0 ⋅ senα Assim: ttotal = ts + tq = . Esse movimento apresenta as seguintes características: Função horária dos espaços: x = x0 + v x ⋅ t onde x0 = 0 (pois o ponto de lançamento é a origem dos espaços). Lembre-se de que a componente horizontal da velocidade (v x ) é sempre constante nesse movimento. v ⋅ senα Da equação 2. temos o alcance total horizontal do objeto ( x = d ). Desprezando o efeito do ar e considerando g = 9. R. temos que a altura máxima é: hmax = (302 ) ⋅ (sen 45)2 ≈ 23m 2 ⋅ 9. Para analisar a altura atingida pelo objeto. No movimento vertical do lançamento oblíquo. 5. cole o link: <https://integrada. 2003. Você acredita que os conceitos apresentados nesta seção poderiam.. adotamos o sentido para cima como positivo. a componente vertical da velocidade é nula → v y = 0 e o deslocamento vertical é a altura máxima do objeto → ∆ sy = hmax. Física 1. que v 0 y = v 0 ⋅ senα e a = −g . D. 60 Cinemática – Movimento uniforme e uniformemente variado . portanto.. Assim temos. pois seu sentido é para baixo. pois há aceleração da gravidade. a equação de Torricelli fica da seguinte forma: (02 ) = v 02 ⋅ (senα )2 − 2 ⋅ g ⋅ hmax → v 02 ⋅ (senα )2 = 2 ⋅ g ⋅ hmax → hmax = v 02 ⋅ (senα )2 . ed.1. v. uuuAs r componentes uur uhorizontal uur uur e vertical da velocidade inicial v 0 são: v 0 x = v 0 ⋅ cos α e v 0 y = v 0 ⋅ senα . HALLIDAY.br/#/books/978-85-216-1945-1/cfi/87!/4/2@100:0. Podemos analisar o deslocamento no eixo 2 2 y pela equação de Torriceli: v y = v 0 y + 2 ⋅ a ⋅ ∆sy . o movimento é variado (MUV).00>.. no lançamento oblíquo. No eixo vertical. Acesso em: 13 abr. com. conforme informado no enunciado. 8 . devemos analisar o movimento vertical (eixo y).minhabiblioteca. portanto. K. Rio de Janeiro: LTC. Assim. por exemplo. Na sua biblioteca virtual. Quando o objeto atinge a altura máxima. a equação de Torricelli fica: v y 2 = v 02 ⋅ (senα )2 − 2 ⋅ g ⋅ ∆sy . que a aceleração da gravidade será negativa. KRANE. Reflita Cada vez mais os conceitos da Física estão sendo aplicados nos esportes com o objetivo de melhorar o desempenho dos atletas. 2⋅g Substituindo os valores.U1 Solução: Vamos precisar decompor o movimento em vertical e horizontal e analisá-los separadamente. Observe. ser aplicados para aprimorar o desempenho em alguma modalidade esportiva? Pesquise mais Aprofunde seus conhecimentos. 2016. Leia o capítulo 4 do Livro: RESNICK. Portanto. a velocidade da carreta no final da frenagem é v = 22 − 5. Tabela 1. temos: v = 22 − 5. Para esse movimento. Assim. durante o processo de frenagem da carreta. 5 ⋅ (32 ) ∴ ∆s = 43.9 | Frenagem da carreta Variação da velocidade Tempo de frenagem Aceleração ∆v ≈ −15. Para finalizar. você o ajudou a avaliar a carreta durante uma possível situação perigosa de frenagem entre no percurso Ribeirão Preto – Bauru e obteve os dados apresentados na Tabela 1. Para a carreta. ou seja. A função horária da velocidade no MUV é: v = v 0 + a ⋅ t . 0 m s 2 . velocidade e aceleração no tempo. por: ∆s = v 0 ⋅ t + Podemos calcular o deslocamento total da carreta durante a frenagem. quando t = 3. 0 ⋅ t (SI). variado (MUV) e queda livre. Solução: Como há presença da aceleração. que tal ajudar Rafael a finalizar com êxito seu último relatório? Na seção anterior. 0s a ≈ −5. Então.U1 Sem medo de errar Você concluiu o estudo da cinemática na Física. Assim. Temos então que: ∆s = 22 ⋅ 3 − 2. 0 ⋅ 3 ∴ v = 7 m s . devemos construir a função horária do deslocamento e da velocidade da carreta nessa situação de frenagem e os gráficos dos espaços.9. sabemos que a função horária do deslocamento é dada a 2 ⋅ t e sabemos que v 0 ≈ 22 m s e a = −5. ∆s = 22 ⋅ t − 2. vimos os movimentos dos tipos uniforme (MU). temos 2 que. 5m . 0s . 0 m s 2 Fontes: O autor. Lembre-se de que nesse trecho a carreta trafega com v m ≈ 79 km h (ou v m ≈ 22 m s ). temos: Cinemática – Movimento uniforme e uniformemente variado 61 . temos um MUV. 0 m s ∆t = 3. Podemos considerar essa velocidade como sendo a velocidade inicial da carreta no processo de frenagem. 5 ⋅ t 2(SI). Construindo os gráficos. Nesta seção. continuaremos a estudar essa situação de frenagem. Figura 1.22 | Gráfico da função horária da velocidade Fontes: O autor.23 | Gráfico da aceleração (constante) Fontes: O autor.U1 Figura 1. 62 Cinemática – Movimento uniforme e uniformemente variado .21 | Gráfico da função horária do deslocamento Fontes: O autor. Figura 1. Sabendo que a aceleração da gravidade na Terra é aproximadamente g = 9. lançamento horizontal. será negativa (a = −g ) . Resolução da Situação-Problema Observe que o movimento do gato é semelhante. um dedicado estudante de Física. a aceleração é constante (diferente de zero). esse gato salta verticalmente para cima e sobe em seu portão. Porém. Podemos analisar a altura do gato através da equação 2 2 de Torricelli: v = v 0 + 2 ⋅ a ⋅ ∆s . portanto. Como é um movimento vertical. ao de queda livre. Você. seu gráfico é uma reta. De repente.U1 Atenção! Propriedades do MUV: a função horária dos espaços é uma equação de segundo grau. e que ∆ s = h. Você sabe que a altura do portão é 2. Avançando na prática “O pulo do gato” Descrição da Situação-Problema Você observa um gato que está em frente ao portão de sua casa. seu gráfico é uma parábola. essa é a altura máxima atingida pelo gato no salto. portanto. a função horária da velocidade é do primeiro grau. portanto. podemos adotar o sentido para cima como positivo. 8 m s 2 e desprezando o efeito do ar. queda livre e lançamento vertical para cima são todos casos especiais do MUV. Podemos considerar esse movimento como um lançamento vertical para cima.1 m e que. portanto. Sabendo que a = −g e quando o gato atinge a altura máxima sua velocidade é nula (v = 0) . porém no sentido contrário. temos a presença da aceleração da gravidade. a aceleração da gravidade. qual seria a velocidade inicial do gato e quanto tempo ele levou para subir no seu portão? Lembre-se Os movimentos de lançamento de projétil. trata-se de um movimento uniformemente variado (MUV). Como o movimento do gato é para cima. que tem sentido para baixo. fica surpreso com a rapidez com que o gato subiu no portão e resolve analisar seu movimento. temos então que Cinemática – Movimento uniforme e uniformemente variado 63 . II-F.1 → v 0 ≈ 6. III-F. Analise as afirmações e marque a alternativa correta. Desprezando o efeito do ar e adotando g = 9. devemos lembrar que no MUV a função horária da velocidade é v = v 0 + a ⋅ t . III-F. Faça valer a pena 1. III. temos que a velocidade inicial do gato é: v 0 = 2 ⋅ 9.0 3.U1 02 = v 0 2 − 2 ⋅ g ⋅ h → v 0 2 = 2 ⋅ g ⋅ h → v 0 = 2 ⋅ g ⋅ h . O quilômetro zero da rodovia é adotado como o início dos espaços. b) I-F. 8 ⋅ 2. a) I-V. Portanto. A velocidade média do automóvel é 112 km/h. retorna ao ponto de partida. Logo. Um automóvel se desloca em uma rodovia conforme os dados do quadro a seguir. 8 g Faça você mesmo Uma pedra é lançada verticalmente para cima a partir do solo e. no instante em que o gato atinge sua altura máxima. O movimento é uniforme (MU). temos que a = −g e que.2 t(h) 1. depois de 10s. II-F. Quadro 1. o tempo de subida do gato no portão é: ts = v0 6. I. 8 m s 2 . Substituindo as informações constantes no enunciado. 42 m s Para calcular o tempo de subida. A equação horário dos espaços (para t em horas e s em km) é: s = 112 ⋅ t .0 s(km) 112 224 336 448 Fonte: O autor. sua velocidade é nula (v = 0) e o tempo é justamente o tempo de subida (t = ts ) .0 2. temos: 0 = v 0 − g ⋅ ts → v 0 = g ⋅ ts . II. Nessa situação. calcule a velocidade inicial de lançamento da pedra. 64 Cinemática – Movimento uniforme e uniformemente variado . 66s . 9.0 4. 42 → ts = ≈ 0. II-F. 0 ⋅ t 2 . Uma partícula se move conforme as características do MU. 0 ⋅ t 2 . e) s = 400 − 20t . 0 ⋅ t 2 . a equação horária dos espaços dessa partícula é: a) s = −400 + 20t . Sabendo que a posição inicial do objeto é 20 m. d) I-V. 0 ⋅ t + 2. 0 ⋅ t + 1. 0 ⋅ t + 1. a) a = 2. Cinemática – Movimento uniforme e uniformemente variado 65 . 0 ⋅ t 2 . d) a = 4. II-V. c) s = 400 − 2t . III-F. e) a = 4. 2. Sabendo que a posição inicial da partícula é 400 m e que sua velocidade média é de −20 m s . b) s = 0 + 20t . d) s = 0 − 2t . b) a = −2. II-V. c) a = 2. 0 m s ² e s = 20 + 6. III-V. 0 m s ² e s = 6.U1 c) I-V. 3. 0 ⋅ t + 1. 0 ⋅ t − 1. III-V. 0 m s ² e s = 20 + 6. 0 m s ² e s = 20 + 6. podemos afirmar que a aceleração do objeto e a função horária da velocidade são. e) I-V. O gráfico a seguir representa a velocidade em função do tempo do movimento de um objeto. 0 m s ² e s = 20 + 6. 0 ⋅ t 2 . respectivamente: Fonte: O autor. U1 66 Cinemática – Movimento uniforme e uniformemente variado . Rio de Janeiro: LTC.. Queda livre. Francis Weston. 2008. 2007.. Mark W.pdf>. Disponível em: <http:// mundoeducacao. 2016. RESNICK. Física 1: Mecânica. Acesso em: 6 jun.gov. 12.br/fisica/queda-livre. KRANE. Disponível em: <http://www. 2016.bol. ed.SI. Física 1. SEARS. Sistema internacional de unidades . 5. D. São Paulo: Pearson.com. Mundo Educação. Cinemática – Movimento uniforme e uniformemente variado 67 . v. ZEMANSKY.htm>. ed.inmetro. Hugh D. INMETRO.br/inovacao/publicacoes/Si. R. 2003. HALLIDAY. YOUNG. K. Talita Alves.uol. 1. Acesso em: 1 jun.1. (revisada) Rio de Janeiro.U1 Referências ANJOS.. 8. ed. v.