4.7 Energía potencial.4.7.1 Energía potencial gravitacional 4.7.2 Energía potencial elástica. 4.8 Conservación de la energía mecánica. Se define la energía potencial EP, a aquella que puede obtenerse en virtud de la posición del cuerpo, tal que el trabajo realizado por la fuerza conservativa entre dos posiciones, es igual a la disminución de la energía potencial, esto es, el trabajo realizado por una fuerza conservativa es igual al valor negativo del cambio de energía potencial asociada con la fuerza. U W iva Fconservat A ÷ = f i iva Fconservat U U W ÷ = } ÷ = A f i x x x x dx F U ) ( ) ( ) (x F dx dU = ÷ U r d F W f i r r A ÷ = - = } } - ÷ = A f i r r r r r d F U ) ( ) ( Para las fuerzas no conservativas no existe una función de energía potencial, ya que el trabajo, que depende de la trayectoria, no es función de la posición inicial y final de la partícula. Como ejemplo, se calculará el trabajo y la energía potencial para una partícula que se deja caer libremente desde una posición inicial y i a otra posición final y f . La fuerza que produce el movimiento de la partícula es la gravitacional, que para caída libre es el peso P = mg, entonces el trabajo es: y i y f dy mg h U r d F W f i r r A ÷ = - = } } } ÷ = - ÷ = f i f i r r r r g mgdy j dy j mg W ) ˆ ( ) ˆ ( } ÷ ÷ = ÷ = f i y y i f g y y mg dy mg W ) ( f i g mgy mgy W ÷ = i f g mgy mgy U ÷ = A g g W U ÷ = A mgy U y g = ) ( mgh h mg y y mg U i f g ÷ = ÷ = ÷ = A ) ( ) ( dx U r d F W f i r r A ÷ = - = } i kx F R ˆ ÷ = i dx r d ˆ = U i dx i kx W f i x x R A ÷ = - ÷ = } ˆ ) ˆ ( } ÷ = f i x x R kxdx W f i x x R kx W 2 2 1 ÷ = 2 2 2 1 2 1 f i R kx kx W ÷ = 2 ) ( 2 1 kx U x e = ef ei R U U W ÷ = R e W U ÷ = A 2 2 2 1 2 1 i f e kx kx U ÷ = A Para un sistema aislado donde solo actúan fuerzas conservativas, por el teorema del trabajo y la energía cinética, el trabajo realizado por las fuerzas es igual a la variación de energía cinética del sistema. K W neto A = U W neto A ÷ = U K A ÷ = A ) ( i f i f U U K K ÷ ÷ = ÷ i i f f K U U K + = + i i f f K U U K + = + i f E E = i i g e f g e f K U U U U K + + = + + ) ( ) ( i g ei i f g ef f U U K U U K + + = + + Ejercicio Un bloque de hielo de 0.150 kg se coloca contra un resorte horizontal comprimido montado en una mesa horizontal que está 1.20 m sobre el piso. El resorte tiene una constante de fuerza de 1900 N/m y masa despreciable, y está comprimido inicialmente 0.045 m. El resorte se suelta y el bloque se desliza sobre la mesa, cae por el borde y se sigue deslizando por el piso. Si la fricción entre el hielo y la mesa es despreciable, ¿qué rapidez tiene el bloque al tocar el piso? 1 . 2 m m=0.150 kg k = 1900 N/m Δx = 0.045 m v f 2 1 E E = 1 2 2 1 ) ( ) ( Ug Ue K Ug Ue K + + = + + Condiciones 1: Resorte comprimido y bloque en reposo, a una altura de 1.2m Condiciones 2: Resorte liberado y bloque con velocidad vf, a una altura de 0.0 m 2 2 2 1 2 2 ) 2 1 2 1 ( ) 2 1 2 1 ( mgy kx mv mgy kx mv + + = + + 2 2 1 2 1 2 1 2 1 mv mgy kx = + 0 0 0 2 2 2 150 . 0 2 1 2 . 1 8 . 9 150 . 0 045 . 0 1900 2 1 v = × × + × 2 2 150 . 0 2 1 v = +1.764 1.92375 49.17 = 2 2 v s m 7 2 = v 4.9 Conservación de la energía en general. Ecuación y enunciado. 0 = ¦ ) ¦ ` ¹ ¦ ¹ ¦ ´ ¦ + A + A energía de f ormas otras en cambio U K La energía puede cambiar de forma en el interior de un sistema. En un sistema aislado la energía total permanece constante; la energía total de un sistema puede cambiarse transfiriendo energía por medio de trabajo externo. int E U K W Fext A + A + A = ) ( int a Temperatur f E = int E U K E total + + == La energía no aumenta ni disminuye en ningún proceso. La energía puede transformarse de una forma a otra, y transferirse de un objeto a otro; pero la cantidad total permanecerá constante. mg F R Dicho análisis se verá afectado por lo que consideremos “EL SISTEMA” 1ª Alternativa de Sistema: Bloque. mg F R Sistema F ext = F resorte y F Gravedad ΔK = W resorte + W g 2ª Alternativa de Sistema: mg F R Sistema ΔK + ΔU e = W g F ext = F Gravedad 3ª Alternativa de Sistema: mg F R Sistema F ext = F resorte ΔK + ΔU g = W resorte 4ª Alternativa de Sistema: mg F R Sistema F ext = 0 ΔK + ΔU g + ΔU e = 0 x 0 x v f k F R x v f k F R 1ª Alternativa de Sistema: Bloque. Sistema F externas = f k y F R R k F f ext W W W E K + = = A + A int 0 0 = A = A e g U y U x v f k F R 2ª Alternativa de Sistema: Bloque + Resorte Sistema F externas = f k k f ext e W W E U K = = A + A + A int 0 = A g U x v f k F R 3ª Alternativa de Sistema: Bloque+Resorte + Mesa Sistema F externas = 0 0 int = = A + A + A ext e W E U K ext g e W E U U K = A + A + A + A int Una bola de 12.2 g de masa se deja caer desde el reposo a una altura de 76 cm arriba de la superficie de aceite que llena un barril hasta una profundidad de 55 cm. La bola llega al fondo con una rapidez de 1.48 m/s. a) Sin tener en cuenta la resistencia del aire, calcule la rapidez de la bola cuando entra en el aceite. b) ¿Cuál es el cambio en la energía interna del sistema bola + aceite? Ejercicio h 1 =76cm h 2 =55cm v 0 = 0 0 1 2 v 2 = 1.48 m/s v 1 = ? ? int = AE m = 12.2 g Sistema = Bola + barril + aceite + tierra NR 0 1 Analizando entre los puntos y : 1 int 1 2 2 0 2 2 ) 2 1 2 1 ( ) 2 1 2 1 ( E mgy kx mv mgy kx mv + + + = + + 2 0 1 1 ( ) 2 mgy mv mgy = + 1 0 2 1 2 1 mgy mgy mv ÷ = a) Sin tener en cuenta la resistencia del aire, calcule la rapidez de la bola cuando entra en el aceite. 1 int 1 0 ) ( ) ( E U U K U U K g e g e + + + = + + s m v 86 . 3 1 = ( ) 1 0 1 2 y y g v ÷ = ( ) 76 . 0 8 . 9 * 2 1 = v h 1 b) ¿Cuál es el cambio en la energía interna del sistema bola + aceite? 1 2 Analizando entre los puntos y : 2 int 2 1 int 1 ) ( ) ( E U U K E U U K g e g e + + + = + + + 2 int 2 1 int 1 ) ( ) ( E U K E U K g g + + = + + 2 int 2 2 2 1 int 1 2 1 2 1 2 1 E mgy mv E mgy mv + + = + + ) ( ) ( 2 1 2 1 2 2 2 1 1 int 2 int y y mg v v m E E ÷ + ÷ = ÷ h 2 ) 55 . 0 ( 8 . 9 ) 0122 . 0 ( ) 48 . 1 86 . 3 )( 0122 . 0 ( 2 1 2 2 2 int m s m kg kg E + ÷ = A J E 143 . 0 int = A