TECSUP – P.F.R.Laboratorio de Ondas y Calor PRÁCTICA DE LABORATORIO Nº 04 MOVIMIENTO ARMÓNICO. 1. OBJETIVOS 1) Verificar las ecuaciones correspondientes al movimiento armónico simple. 2) Determinar experimentalmente el periodo y la frecuencia de oscilación del sistema. 3) Verificar las ecuaciones dinámicas y cinemáticas que rigen el movimiento armónico para el sistema masa–resorte. 4) Ser capaz de configurar e implementar equipos para toma de datos experimentales y realizar un análisis gráfico utilizando como herramienta el software PASCO CapstoneTM. 5) Utilizar el software PASCO CapstoneTM para verificación de parámetros estadísticos respecto a la información registrada. 2. MATERIALES - Computadora personal con programa PASCO CapstoneTM instalado 02 Interfase USB Link 01 Sensor de movimiento 01 Sensor de fuerza 03 Resortes 06 Pesas con porta pesas 01 Regla metálica 01 Balanza. (por ambiente) 3. FUNDAMENTO TEÓRICO Hay muchos casos en los cuales el trabajo es realizado por fuerzas que actúan sobre el cuerpo y cuyo valor cambia durante el desplazamiento; por ejemplo, para estirar un resorte ha de aplicarse una fuerza cada vez mayor conforme aumenta el alargamiento, dicha fuerza es directamente proporcional a la deformación, siempre que esta ultima no sea demasiado grande. Esta propiedad de la materia fue una de las primeras estudiadas cuantitativamente, y el enunciado, publicado por Robert Hooke en 1678, el cual es conocido hoy como “La Ley de Hooke”, que en términos matemáticos predice la relación directa entre la fuerza aplicada al cuerpo y la deformación producida. F=-kx (1) donde k es la constante elástica del resorte y x es la elongación del resorte. El signo negativo en el lado derecho de la ecuación (1) se debe a que la fuerza tiene sentido contrario al desplazamiento. 31 Consideremos un cuerpo de masa m suspendido de un resorte vertical de masa despreciable.1. podemos escribir: -k x = m a (2) Luego si consideramos que: a dv dt (3) Entonces d 2x k x0 dt 2 m (4) En este punto introduciremos la variable.Laboratorio de Ondas y Calor 3.1.1. fija en su extremo superior como se ve en la figura 3. si se aplica una fuerza al cuerpo desplazándose una pequeña distancia y luego se le deja en libertad.1. TECSUP – P. Si aplicamos la Segunda ley de Newton sobre el lado izquierdo de la ecuación (1).1. tal que: k m (5) Por lo cual la ecuación (4) se modifica.R. pero se realiza en ausencia de fuerzas de rozamiento. oscilara ambos lados de la posición de equilibrio entre las posiciones +A y –A debido a la sección de la fuerza elástica. Figura. 3. Sistema masa-resorte. Sistema masa-resorte.F. Este movimiento se le puede denominar armónico. transformándose en la siguiente expresión: 32 . entonces se define como “Movimiento Armónico Simple” (MAS). por medio de la relación: T 1 2 f (9) Las expresiones para la velocidad y aceleración de un cuerpo que se mueve con movimiento armónico simple. siendo las posiciones –A y +A los limites del desplazamiento de la masa. es decir el desplazamiento y la velocidad inicial. podemos usar la ecuación (6). esta relacionado con la frecuencia angular por medio de la relación: =2f (8) Periodo (T). La amplitud representa el desplazamiento máximo medido a partir de la posición de equilibrio. seleccionando el punto del ciclo a partir del cual se inicia la cuenta destiempo (t = 0). Laboratorio de Ondas y Calor d 2x 2x 0 2 dt (6) La solución de (5) es una función sinusoidal conocida y se escribe de la siguiente manera: X = A cos (t + ) (7) donde A. Frecuencia (f). como sabemos por definición que: v dxdt . (t+) es el ángulo de fase y representa el argumento de la función armónica. Velocidad de la partícula (v). para obtener lo siguiente: V = . La variable es la frecuencia angular y nos proporciona la rapidez con que el ángulo de fase cambia en la unidad de tiempo.F. se llama periódico debido a esto se puede definir algunas cantidades de interés que facilitaran la descripción del fenómeno. esta relacionado con f y . La cantidad se denomina constante de fase o fase inicial del movimiento.R. es el número de oscilaciones completas o ciclos de movimiento que se producen en la unidad de tiempo. También puede evaluarse cuando se conozca otra información equivalente. pueden ser deducidas a partir de la ecuación (6) usando las relaciones cinemáticas de la segunda Ley de Newton. es la amplitud de oscilación. este valor se determina usando las condiciones iniciales del movimiento. es el tiempo que emplea el sistema para realizar una oscilación o un ciclo completo.TECSUP – P. A sen ( t + ) 33 (10) . Como el movimiento se repite a intervalos iguales. Con el montaje de la figura sólo hace falta que ejercer una pequeña fuerza que se irá incrementando gradualmente hacia abajo. 2 decimales). PROCEDIMIENTO Determinación de la constante de elasticidad. elabore una gráfica fuerza vs desplazamiento. Fast Fourier Transform).1.R. 34 . 2 A cos (t + ) (11) La ecuación (11) nos indica que en el MAS. Ingrese al programa PASCO CapstoneTM. previamente insertado a la interfase 850 Universal Interface. su relación con la masa y la constante elástica del resorte. Haga el montaje de la figura 4.Laboratorio de Ondas y Calor TECSUP – P. pero no por el uso de filtros. mientras se hace esta operación. mantenga siempre sujeto con las manos el montaje de los sensores y ponga el sensor de movimiento perfectamente vertical a fin de que no reporte lecturas erróneas. Respecto al periodo de oscilación. El algoritmo se llama la transformada rápida de Fourier (FFT. la cual puede obtenerse usando la ecuación (9) y la definición de . la transformada de Fourier da el espectro de frecuencias. Seguidamente arrastre el icono GRÁFICO sobre el sensor de fuerza (Tiro positivo. 4. Dicha relación se escribe de la siguiente forma: T 2 m k (12) Transformada de Fourier Es un tratamiento matemático para determinar las frecuencias presentes en una señal. que se empleó para llegar a la ecuación (6). las aceleración es siempre proporcional y opuesta al desplazamiento.F. haga clic sobre el icono tabla y gráfica y seguidamente reconocerá el dinamómetro y el sensor de movimiento. podemos usar la ecuación (10) para obtener lo siguiente: A = . La computadora puede obtener el espectro de frecuencias. es posible señalar algo adicional. Dada una señal. como sabemos por definición que: a dvdt . sino por esta técnica. su compañero grabará dicho proceso. Aceleración de la partícula (a). pues puede vencerlo y quedar permanentemente estirado. Coeficientes de elasticidad k.97 N/M 73.TECSUP – P.1 N/M E(%) 6% 0. TABLA 4. Repita el proceso para los otros 2 resortes. La relación de la gráfica fuerza vs desplazamiento es obviamente lineal. Laboratorio de Ondas y Calor No estire mucho el resorte.1. Figura.37% 7.1.42% 35 .3 N/M 7. Anote el valor de la constante k en la tabla 4. de la pendiente de esta gráfica obtenga el valor de k. 4.R. no deje el equipo suspendido del resorte. Resorte Nº 1 2 3 Constante k teórica (N/m) 5 N/M 8 N/M 70 N/M Constante k (N/m) 5.1.F. Primer montaje. 5±__ g (Consultar al ____±____ g Cuide de no estirar mucho el resorte pues con la masa adicional corre el peligro de quedar permanentemente estirado. cuide que la masa suspendida no caiga sobre el sensor de movimiento. Detenga la toma de datos después de 10 segundos de iniciada.1.2.9. elabore una gráfica posición. velocidad y aceleración vs tiempo.1.1. al 4.F. 4.2. haga clic sobre el icono tabla y gráfica y seguidamente reconocerá el sensor de movimiento previamente insertado a la interfase 850 Universal Interface.Laboratorio de Ondas y Calor TECSUP – P. Determinación del periodo y la frecuencia de oscilación.R. Seguidamente arrastre el icono GRÁFICO sobre el sensor de movimiento. Segundo montaje. Identifique y halle las variables solicitadas con la ayuda del icono puntos coordenados.2. 36 . mientras hace esta operación su compañero grabará los datos resultantes de hacer dicha operación. Masa adicional para el resorte 1: Masa adicional para el resorte 2: docente) Masa adicional para el resorte 3: 49. Haga el montaje figura 4. Ingrese al programa PASCO CapstoneTM. Es importante que la masa sólo oscile en dirección vertical y no de un lado a otro. Repita la operación para cada resorte y complete las tablas 4. deberá hacer oscilar la masa suspendida del resorte.5±____ g 49. Figura.2. 13m/ s2 2.63s 0.6s 0.4 Grafica aceleración vs tiempo Masa suspendid a (kg): Amplitud (m/s2) Periodo (s) Amplitud teórica (m/s2) 1 2 3 Promedio total 2.2m/s 0. k= 5N/M TABLA 4.6s 2.91% E% . RESORTE 1.14m/ s2 2.06+ϫ) TABLA 4.52% v(t) TABLA 4.13m/s2 0. Masa suspendi da (kg): Amplitud (m) Periodo (s) 1 2 3 Promedio total 0.2 Grafica posición vs tiempo.606s Periodo teórico (s) 0.02m 0.6s Amplitud teórica (m/s) 0.6 0.6s 0.04% X(t)=0. Laboratorio de Ondas y Calor Borre los datos erróneos.24m/s2 a(t) 37 0.02m 00.2m/s 0.02m 0.2m/s 0. no acumule información innecesaria.3 Grafica velocidad vs tiempo Masa suspendid a (kg): Amplitud (m/s) Periodo (s) 1 2 3 Promedio total 0.TECSUP – P.2m/s 0.R.6s 0.62s 0.13m/ s2 2.197m/s E% 1.625 x(t) E% 3.F.6s 0.606s 4.02m 0.02 cos(6.62s 0. 5 Grafica posición vs tiempo.09m/s2 E% A(t)-122.Laboratorio de Ondas y Calor TECSUP – P.606s Periodo teórico (s) 0.R.6s 0.6s 0.19sen((6.112m/s v(t) E% V(t)=1.6s 0.6s Amplitud teórica (m/s) 5.105m 0. Masa suspendid 0. RESORTE 2.07m/s2 0.2cos(70+ 38 ) .48% V(t)=0.11m/ 0.62s 0.105m 0.58s 0.01cos (6.01m 0.01m 0.7 Grafica aceleración vs tiempo Masa suspendi 0.F.07 1 2 3 Promedio total a (kg): Amplitud (m/s) 0.07m/ s2 1.07m/ s2 1.58s x(t) E% 4.62s 0.6 Grafica velocidad vs tiempo Masa suspendid 0.47+ ) TABLA 4.070 a (kg): Amplitud (m) Periodo (s) 1 2 3 Promedio total 0.62s 0.07 da (kg): Amplitud (m/s2) Periodo (s) Amplitud teórica (m/s2) a(t) 2 3 Promedio total 1.613s 1.08m/ s2 1.38+ ) TABLA 4.16m/s /s s /s Periodo (s) 0.66s 0.01m 0.35 0.83% 1.01m 0. k = 8N/M TABLA 4.62s 0. 17m/ s 0.15m/s 0.47+ ) TABLA 4.6s 0. Laboratorio de Ondas y Calor RESORTE 3.F.2 % .6s V(t) 2.4513 Amplitud (m/s) Periodo (s) 1 0.6s 0.15m/ s 0.06+ 5.015m 0. CUESTIONARIO 39 ) 16.015m 0.61m/ s2 1.015m 0.2% E% 0.6s 0.4513 Amplitud (m) Periodo (s) 1 0.6s Amplitud teórica (m/s2) a(t) E% A(t)-251cos(93.R.57s X(t) X(t)=0.47+ ) TABLA 4.6s Amplitud teórica (m/s) 2 3 Promedio total 0.TECSUP – P. k= 70n/m TABLA 4.451 suspendi 3 da (kg): Amplitud (m/s2) Periodo (s) 2 3 Promedio total 1.10 Grafica aceleración vs tiempo Masa 0.9 Grafica velocidad vs tiempo Masa suspendid a (kg): 0.6s Periodo teórico (s) 3 0.58m/s 0.6s 0.26% E% 0.57m/ s2 1.6s 0.14m/ s 0.6s 0.56m/ s2 1.015cos(7. Masa suspendid a (kg): 0.6s 5.6s 0.8 Grafica posición vs tiempo.128m/s V(t)=159sen(7.015m 2 Promedio total 0. 8 En la experiencia realizada se consideró un sistema masa resorte en la dirección vertical.4 ¿Cuál es el valor de la aceleración de un oscilador con amplitud A y frecuencia f cuando su velocidad es máxima? 5.7 Realice un análisis teórico las condiciones necesarias para que el péndulo sea un péndulo simple y su semejanza con el sistema masa resorte. 5.F. 5. 5. 40 .R. 5. Calcule el error porcentual. 5.3 Realice el ajuste senosoidal a la posición y velocidad para cada uno de los resorte y escribe sus ecuaciones cinemáticas.2 Utilizando la calculadora halle la variable elongación desde la posición de equilibrio.1 Halle la frecuencia natural teórica del resorte. 5. 5.5 ¿Qué magnitud caracteriza el periodo de un sistema resorte? 5. Con la ayuda de la Transformada rápida de Fourier halle la frecuencia experimental (realice un grafico para cada resorte). se obvio la fuerza gravitacional (peso del objeto suspendido) ¿Por qué no se consideró? Explique.Laboratorio de Ondas y Calor TECSUP – P. ¿Tiene el mismo sentido o sentidos opuestos? Explique.9 ¿Cuál es la importancia de estudio de movimiento armónico simple? Explique con ejemplos de aplicados en el ejercicio de su profesión.6 Compare el sentido de la aceleración con la velocidad y posición para un movimiento armónico simple. Realice un diagrama de fase (grafica velocidad versus elongación) para cada uno de los resortes e interprete cada uno de los gráficos y sus diferencias debido a la constante de los resortes. está parcialmente lleno con un líquido de densidad .2 _____________________________________________________________ _____________________________________________________________ 41 . Determine el periodo de la oscilación de la columna de fluido.) 6. se retira el incremento de presión y el fluido oscila en el tubo.1 _____________________________________________________________ _____________________________________________________________ 8.) 7 OBSERVACIONES 7.TECSUP – P. (Usted tiene que determinar cuáles son las cantidades desconocidas. Entonces.1 A mass m = 2.2 Un tubo de vidrio en forma de U con un área de sección transversal.R. What is the frequency of this simple harmonic oscillator? (Consider only the horizontal motion and ignore the effect of gravity. Laboratorio de Ondas y Calor 6 PROBLEMAS 6. The springs both have k = 400 N/m and are both in their relaxed states (unstretched and uncompressed) when the mass is centered between the two walls. como se muestra en la figura. A. lo cual resulta en una diferencia en la elevación de L entre los dos brazos del tubo. Una presión incrementada se aplica a uno de los brazos.F.4 kg is attached to two springs.2 _____________________________________________________________ _____________________________________________________________ 8 CONCLUSIONES 8. and the springs are fastened to two walls as shown in Figure.1 _____________________________________________________________ _____________________________________________________________ 7. Laboratorio de Ondas y Calor TECSUP – P.R. 9 BIBLIOGRAFIA (según formato de la APA) 42 .F.