UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIAESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS TECNOLOGÍA E INGENIERÍA ACTIVIDAD INICIAL Nombre del Curso: MÉTODOS NUMÉRICOS Código: 100401_69 PEDRO ANTONIO ORDOÑEZ Código: 98392925 MIGUEL ANGEL ZANGUÑA HURTADO Código: FRANCISCO JAVIER CONTRERAS Código: 88254578 LUZ AMANDA MEDINA RINCÓN Código: 1069262796 TUTOR: JOSÉ ADELA BARRERA Fecha: 21 de octubre de 2014 INTRODUCCIÓN El desarrollo de actividades con base a los sistemas de ecuaciones lineales y no lineales. para el desarrollo de la presente actividad es necesario el material didáctico del curso y las herramientas web. las cuales permiten el desarrollo del conocimiento a partir de la búsqueda de información. análisis de técnicas numéricas las cuales permitan dar soluciones mediante el uso de ecuaciones. . La presente actividad tiene como propósito distinguir y evaluar las diferentes aplicaciones de los sistemas de ecuaciones. se busca la identificación de los sistemas lineales y no lineales. mediante el análisis de técnicas numéricas para la solución de problemas. mediante la identificación de técnicas para la solución de problemas. llamados también procesos de interpretación. el sistema no lineal vamos encontrar ecuaciones con sumas. divisiones. Algunos sistemas no lineales tienen soluciones exactas o integrables. . Las ecuaciones lineales involucra sumas y restas de una variable a la potencia de uno. Más formalmente. por tanto al graficarlas en el plano cartesiano su resultado es una línea recta. un sistema de ecuaciones en donde cada ecuación es de primer grado). sugetos a los principios de superposición Sistemas no lineales Representan sistemas cuyo comportamiento no es expresable como la suma de los comportamientos de sus descriptores. matemático o de otro tipo es no lineal cuando las ecuaciones de movimiento principio de El comportamiento de sistemas no lineales no está sujeto al principio de superposición. CUADRO COMPARATIVO Sistemas lineales Es un conjunto de ecuaciones lineales (es decir. Los sistemas lineales no existen en la práctica. por lo tanto no se pueden reducir a una forma simple ni se pueden resolver.1. mientras que otros tienen comportamiento caótico. definidas sobre un cuerpo o un anillo conmutativo. logarítmicas las cuales al graficarlas no dan como resultado una recta. funciones trigonométricas. por tanto al graficarlas en el plano cartesiano su resultado es una línea recta. restas. Sistemas lineales reales: los sistemas lineales en los cuales los coeficientes de las ecuaciones son números reales. como lo es un sistema lineal. La mayoría de los sistemas de la vida real tienen características no lineales. un sistema físico. ya que todos los sistemas físicos son no lineales en algún grado. Las ecuaciones lineales involucra sumas y restas de una variable a la potencia de uno. Por ejemplo. "y" disminuye en valor provoca un aumento o una cuando "x" se aproxima a 5. "x" es considerada En contraste. "x" puede no "y" es considerada como la salida. siempre causar el incremento En el caso de una ecuación lineal. tipo En general. una forma de x curvada si es de grado 3. en el caso donde y = x ³ 6x + 2 el grado de 3 da esta De lo contrario. En el caso de ecuaciones lineales. llamaremos ecuación le da el nombre "cúbica". grado no superior a 1 recibe el sinusoidales o cualquier otro nombre "lineal". . si y = (5 cualquier aumento en la "x" o bien . ecuación "no lineal" a las Cualquier ecuación que tiene un ecuaciones cuadráticas. no puede tener soluciones para ciertos valores de "x" o "y". donde el mitosis. entonces "x" sólo existe entre 0 e infinito y también "y". si se analiza la explicar mejor mediante distribución de células en ecuaciones lineales. las ecuaciones no lineales a el gráfico siempre será una línea menudo presentan curvas. una ecuación aumento en una variable causa exponencial no lineal . Las ecuaciones no lineales. de "y". Por ejemplo. disminución en "y" dependiendo pero disminuye en caso del valor de la pendiente contrario.x) ². por otro lado. una ecuación no lineal puede parecerse a una parábola si es de grado 2. Por ejemplo. si y = sqrt (x). Un gráfico muestra el conjunto de Mientras que las ecuaciones soluciones para una ecuación dada.Tipos de ecuaciones Relaciones de entrada y salida Diferencias en el gráfico Excepciones Beneficios CUADRO COMPARATIVO SISTEMA LINEAL NO LINEAL Cada ecuación toma su forma basado del grado más alto o el exponente de la variable. o cualquier otro tipo de curva. lineales son siempre rectas. ya Con excepción del caso de las que la raíz cuadrada de un líneas verticales (x = una número negativo no existe en constante) y de las líneas el sistema de números reales horizontales (y = una constante). en una ecuación como la entrada de una ecuación e no lineal. Por el contrario. y no hay raíces cuadradas que existirán ecuaciones lineales para den como resultado un todos los valores de "x" e "y" número negativo Las relaciones lineales se pueden Sin embargo. Una fila es proporcional a otra. Dos filas son iguales. RESOLVER EL SISTEMA MATRICIAL PLANTEADO ELIMINACIÓN DE GAUSS El método de Gauss consiste en transformar un sistema de ecuaciones en otro equivalente de forma que éste sea escalonado. Por ejemplo.directamente el aumento o encajaría mejor con los datos. Si: Todos los coeficientes son ceros. Obtenemos sistemas equivalentes por eliminación de ecuaciones dependientes. Una fila es combinación lineal de otras. el número de galletas que comes en un día podría tener un impacto directo en tu peso como se ilustra mediante una ecuación lineal. disminución de la otra. Ejercicio: . Quedando como sigue: Diagonal principal . el signo de igual también es eliminado pero se mantienen los datos del lado derecho de la ecuación.Forma matriz ( | ) ( | ) ( | ) 2F+ (1F (-1)) 3F+ (1F (-1)) 3F+ (2F (-2)) ( | ) 3F+ (2F (-2)) 1 ( | ) USANDO EL MÉTODO DE ELIMINACIÓN GAUSSIANA. Solución: Para simplificar las operaciones se retiran las variables y se mantienen exclusivamente los coeficientes de cada una. 3×3. siempre y cuando se respete la relación de al menos tener el mismo número de ecuaciones que de variables. Multiplico la ecuación 1 por −4 y la resto de la ecuación 2. y z= 10. entonces el valor de x será: 1x + 2y + 3z = 1 x + 2(−18) + 3(10)= 1 x – 36 + 30 = 1 x–6=1 x=1+6 x=7 La solución del sistema de ecuaciones sería x= 7. El sistema de eliminación gaussiana es el mismo no importando si es un sistema de ecuaciones lineales del tipo 2×2. tendríamos y + 2z = 2 al sustituir el valor de z obtenemos que: y + 2(10) = 2 y + 20 = 2 y = 2. Una vez lograda la diagonal principal formada por unidades y los datos por debajo de la diagonal principal ceros reintegro las variables en cada ecuación y también el signo igual de las ecuaciones obteniendo: Donde el valor de z= 10 y al sustituir este valor en la ecuación resultante 2.La diagonal principal de la matriz busca quede conformada por solo unidades (1) la parte inferior a la diagonal debe quedar en ceros. de arriba hacia abajo y de izquierda a derecha. 4×4 etc. . Después divido la ecuación 2 (renglón 2) entre −3 para hacer el componente de la diagonal principal 1 quedando como sigue: Multiplico la ecuación 2 (renglón 2) por 6 y lo sumo a la ecuación 3 (renglón 3). y= −18. Esto se hace utilizando las operaciones básicas de renglón para las ecuaciones.20 y = −18 Al sustituir estos valores en la ecuación resultante 1 se tiene: 1x + 2y + 3z = 1 Si z= 10 y y=−18. de igual forma la multiplico por −7 y la resto de la 3 obteniendo. ya que depende del tipo de computadora y de las propiedades de las ecuaciones. En la normalización del primer renglón habrá una división entre a11 = 0. Debido a que los errores de redondeo llegan a provocar pequeños cambios en los coeficientes. siempre se deben sustituir los resultados en las ecuaciones originales y verificar si ha ocurrido un error sustancial Sistemas mal condicionados Los sistemas bien condicionados son aquellos en los que un pequeño cambio en uno o más coeficientes provoca un cambio similarmente pequeño en la solución. Por ejemplo. También se pueden presentar problemas cuando un coeficiente está muy cercano a cero. Resulta complicado especificar el tamaño de los sistemas donde los errores de redondeo son significativos. un error en los primeros pasos tiende a propagarse. si se utiliza el método de eliminación de Gauss simple para resolver. La técnica de pivoteo se ha desarrollado para evitar en forma parcial estos problemas Errores de redondeo El problema de los errores de redondeo llega a volverse particularmente importante cuando se trata de resolver un gran número de ecuaciones. GAUSS-JORDAN . Los sistemas mal condicionados son aquellos en donde pequeños cambios en los coeficientes generan grandes cambios en la solución. Por consiguiente. Una regla generalizada consiste en suponer que los errores de redondeo son de importancia cuando se trata de sistemas de 100 o más ecuaciones. Otra interpretación del mal condicionamiento es que un amplio rango de resultados puede satisfacer las ecuaciones en forma aproximada. En cualquier caso. estos cambios artificiales pueden generar grandes errores en la solución de sistemas mal condicionados. Esto se debe al hecho de que cada resultado depende del anterior. es decir.DESVENTAJAS DEL MÉTODO DE ELIMINACIÓN División entre cero La razón principal por la que se le ha llamado simple al método anterior se debe a que durante las fases de eliminación y sustitución hacia atrás es posible que ocurra una división entre cero. a causar errores en los siguientes pasos. Un sistema de ecuaciones se resuelve por el método de Gauss cuando se obtienen sus soluciones mediante la reducción del sistema dado a otro equivalente en el que cada ecuación tiene una incógnita menos que la anterior.Es un algoritmo del álgebra lineal para determinar las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales. El método de Gauss-Jordan continúa el proceso de transformación hasta obtener una matriz diagonal. RESOLVIENDO POR MÉTODO GAUSS-JORDÁN Forma matriz ( | ) ( | ) ( | ) ( | ) 2F-1F 3F-1F 3F-(10*2F) ( | ) . El método de Gauss transforma la matriz de coeficientes en una matriz triangular superior. encontrar matrices e inversas. es un método por el cual pueden resolverse sistemas de ecuaciones lineales con n números de variables. se debe en primer lugar anotar los coeficientes de las variables del sistema de ecuaciones lineales en su notación matricial: . Para resolver sistemas de ecuaciones lineales aplicando este método.( | ) ( | ) 2F+ (3F (-15)) 1F+ (3F (-25)) ( | ) ( | ) 1F+ (2F (-5)) SOLUCIÓN { Método de Gauss-Jordan El Método de Gauss – Jordan o también llamado eliminación de Gauss – Jordan. encontrar matrices y matrices inversas. en este caso desarrollaremos la primera aplicación mencionada. dichos términos resultaran ser la solución del sistema y verificaran la igualdad para cada una de las variables. Para ilustrarnos mejor lo analizaremos con un ejemplo concreto: Sea el sistema de ecuaciones: Procedemos al primer paso para encontrar su solución. anotando como matriz (también llamada matriz aumentada): Una vez hecho esto. podemos explicar paso a paso la resolución de sistemas de ecuaciones lineales por medio de este método. resta. la cual es de la forma: Esto se logra aplicando a las distintas filas y columnas de las matrices simples operaciones de suma. esto se debe a que cuando nuestra matriz original alcance la forma de la matriz identidad. sea el caso.Entonces. a continuación se procede a convertir dicha matriz en una matriz identidad. correspondiéndose de la siguiente forma: d1 = x d2 = y d3 = z Ahora que están sentadas las bases. multiplicación y división. anotarlo en su forma matricial: . Obsérvese que en dicha matriz identidad no aparecen los términos independientes. es decir una matriz equivalente a la original. teniendo en cuenta que una operación se aplicara a todos los elementos de la fila o de la columna. para lograr esto. En el caso de la 3ª fila se multiplicara a -5 (opuesto de 5) por cada uno de los elementos de la 1º fila y se sumara su resultado con el número que le corresponda en columna de la tercera fila. . Luego debemos obtener los dos ceros de la primera columna de la matriz identidad. en este caso el opuesto de 3 que será -3 y el opuesto de 5 que será -5. se multiplicara a -3 (opuesto de 3) por cada uno de los elementos de la 1º fila y se sumara su resultado con el número que le corresponda en columna de la segunda fila.: en el caso de la 2º fila. Una vez hecho esto. Una vez hecho esto podemos empezar a operar con las distintas filas y columnas de la matriz para transformarla en su matriz identidad. es decir ½. se procederá a multiplicar los opuestos de estos números por cada uno de los elemento de la 1ª fila y estos se sumaran a los números de su respectiva columna. Por ej. buscamos el opuesto de los números que se ubicaron por debajo del 1 de la primera columna. para hacer esto debemos multiplicar toda la 1ª fila por el inverso de 2. teniendo siempre en cuenta la forma de la misma: Lo primero que debemos hacer es transformar el 2 de la 1ª fila de la matriz original en el 1 de la 1ª fila de la matriz identidad. 12 . entonces podemos eliminarlos multiplicando todos los elementos de la 3º fila por 2 (el denominador).6875 + 6. es decir multiplicamos toda la fila por el inverso del número que deseamos transformar en 1. en este caso -13/2. y procedemos de igual forma que antes. si bien este no es un paso necesario para el desarrollo del método. cuyo inverso es -2/13 Además si observamos la tercera fila. GAUSS-SEIDEL 1x + 5y + 25z = 19 5y + 75z = 42 80z = -21 Z= Y= 12.3375 1x + 5y + 25z = 19 X = -5y – 25z + 19 X = -5(12.2623) + 19 X = -61. nos damos cuenta que todos los elementos poseen el mismo denominador.36. es útil para facilitar cálculos posteriores.3375) – 25(-0. Nuestro siguiente paso es obtener el 1 de la 2ª fila de la matriz identidad.12 X = .5575 + 19 = -36. además de usar los valores anteriores de las x.Seidel Al igual que el Método de Jacobi. para encontrar los valores de las incógnitas hasta llegar a una tolerancia deseada. El Método de Gauss-Seidel consiste en hacer iteraciones.2625 Método De Gauss . el elemento de la diagonal correspondiente a la fila i debe ser mayor a la suma de los elementos de esa fila i. A partir de la siguiente identidad: Donde D corresponde a la matriz formada por los elementos de la diagonal de A (D=diag (a11. ann)). para todo i desde 1 hasta n que es el tamaño de la matriz A: Es decir.D.. la diferencia radica en que cada vez que se desee encontrar un nuevo valor de una xi.12 Y= 12. también utiliza valores actuales de las x encontradas antes (desde x0 hasta xi-1). la evaluación de las siguientes no es necesario realizarlas): 1.X= .3375 Z=-0. por filas). a partir de un vector inicial. .D. La matriz sea estrictamente dominante diagonalmente por filas (E.36.. Convergencia del método: Para determinar si el método de Gauss-Seidel converge hacia una solución. La ecuación es la siguiente: Este proceso de usar valores actuales para hallar un valor de x puede facilitar la convergencia del mismo. es decir.. -L corresponde a la matriz triangular inferior obtenida de . Se evalúan las siguientes condiciones de convergencia (Nota: las siguientes van en un orden de modo que si se cumple una de las condiciones. comenzando por la primera por supuesto. a22. 2. que corresponde al máximo de los valores absolutos de las raíces de la ecuación característica de la matriz BG (det(BG . . y -U corresponde a la matriz triangular superior obtenida de la parte triangular estrictamente superior de A..λI)) es menor que 1. 19 i 0 1 2 Xi 5 10 15 f(Xi) Primera 19 f(x1. De donde BG (conocida como la matriz de iteración de Gauss-Seidel) es (D-L)-1U. 2. k = 1. para una norma matricial inducida. x1) 82 82 Segunda f(x2..la parte triangular estrictamente inferior de A. 2. x0) 61 f(x2. Teniendo en cuenta los datos de la tabla que se presenta en el video Suponga las condiciones ideales y halle el polinomio de diferencias divididas de newton. x1. se puede deducir la fórmula vectorial de este método: . Para que el método de Jacobi converja hacia una solución. x0) . Además identifique los coeficientes de x y x 2 y compare su respuesta con la obtenida en el anterior procedimiento. . 3. ρ(BG). 42 61 4.4 -0. x1.4 f(x2.i 0 1 2 Xi 5 10 15 f(Xi) Primera Segunda 19 8.2 82 i 0 1 2 Xi 5 10 15 f(Xi) Primera Segunda 19 8. x0) 61 4.2 82 Además Identifique Los Coeficientes De X Y X2 Y Compare Su Respuesta Con La Obtenida En El Anterior Procedimiento . f. Obtenido de Método de Gauss: http://www. Recuperado el 10 de 2014.org/wiki/Sistema_de_ecuaciones_lineales lineales.). Obtenido de Sistemas lineales y no lineales: http://fisica.ditutor.org/wiki/No_linealidad Wikipedia. Método de Gauss. (01 de 04 de 2014). I. DIFERENCIAS DIVIDIDAS.wikipedia.: http://es.co/~labgicm/Instrumentacion/2014_Sistemas%20lineales%20y%20no%20lineales. (s. Inc. (2014). l.co/lms/moodle/mod/resource/view. C. (s.org/wiki/Eliminaci%C3%B3n_de_GaussJordan .html Fundación Wikimedia. F.edu. Sistemas lineales y no lineales. 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