Filosof€a de la matem•tica1 Filosof€a de la matem•tica La filosof€a de las matem•ticas es un •rea de la filosof€a te‚rica, que trata de comprender y explicar los requisitos, el objeto, el mƒtodo y la naturaleza[1] de las matem•ticas. Como •rea de estudio puede ser aproximada desde dos direcciones: el punto de vista de los fil‚sofos y el de los matem•ticos. Desde el punto de vista filos‚fico, el objetivo principal es dilucidar una variedad de aspectos problem•ticos en la relaci‚n entre las matem•ticas y la filosof€a. Desde el punto de vista matem•tico, el interƒs principal es proveer al conocimiento matem•tico de fundaciones firmes. Es importante mantener presente que aunque estos puntos de vistas pueden implicar diferentes esquemas e intereses, no son opuestos, sin m•s bien complementarios: €Cuando los matem•ticos profesionales se ocupan de los fundamentos de su disciplina, se dice que se dedican a la investigaci‚n fundamental (o trabajo fundacional o de fundamentos.- ver Metamatem•tica). Cuando los fil‚sofos profesionales investigan cuestiones filos‚ficas relativas a las matem•ticas, se dice que contribuyen a la filosof€a de las matem•ticas. Por supuesto, la distinci‚n entre la filosof€a de las matem•ticas y los fundamentos de las matem•ticas es vaga, y a la mayor interacci‚n que haya entre los fil‚sofos y los matem•ticos que trabajan en cuestiones relativas a la naturaleza de las matem•ticas, mejor.•.[2] „ De acuerdo a Jeremy Avigad (profesor de ciencias matem•ticas y de filosof€a en la Universidad Carnegie Mellon[3]) €El conocimiento matem•tico ha sido considerado por mucho tiempo como un paradigma del conocimiento humano con verdades que son a la vez necesarias y ciertas, por lo que dar una explicaci‚n del conocimiento matem•tico es una parte importante de la epistemolog€a. Los objetos matem•ticos, tales como los n…meros y los conjuntos, son ejemplos arquet€picos de abstracciones, dado que el tratamiento de tales objetos en nuestro discurso es como si fueran independientes del tiempo y el espacio, encontrar un lugar para los objetos de este tipo en un marco m•s amplio del pensamiento es una tarea central de la ontolog€a, o metaf€sica. El rigor y la precisi‚n del lenguaje matem•tico depende del hecho de que est• basado en un vocabulario limitado y gram•tica muy estructurado, y las explicaciones sem•nticas del discurso matem•tico a menudo sirven como punto de partida de la filosof€a del lenguaje. Aunque el pensamiento matem•tico ha demostrado un alto grado de estabilidad a travƒs de la historia, su pr•ctica tambiƒn ha evolucionado con el tiempo, y algunos desarrollos han provocado controversia y debate; clarificar los objetivos b•sicos de esta pr•ctica y los mƒtodos apropiados es, por lo tanto, una la tarea metodol‚gica y††fundacional importante, situando la filosof€a de las matem•ticas dentro de la filosof€a general de la ciencia. „ De acuerdo a Bertrand Russell, las matem•ticas son un estudio que, cuando se parte de sus porciones m•s familiares, puede llevarse a cabo en cualquiera de dos direcciones opuestas (una busca la expansi‚n del conocimiento, la otra darle fundamentos. nota del traductor). Pero se debe entender que la distinci‚n es una, no en la materia objeto, pero en el estado de la mente del investigador...(...)... as€ como necesitamos dos tipos de instrumentos, el telescopio y el microscopio, para la ampliaci‚n de nuestras capacidades visuales, igual necesitamos dos tipos de instrumentos para la ampliaci‚n de nuestras capacidades l‚gicas, una para hacernos avanzar a las matem•ticas superiores, y el otro que nos lleve hacia atr•s, hacia los fundamentos l‚gicos de las cosas que estamos inclinados a tomar por sentado en las matem•ticas. Veremos que mediante el an•lisis de las nociones matem•ticas ordinarias se adquiere una nueva perspectiva, nuevos poderes, y los medios de llegar a nuevos temas matem•ticos completos, mediante la adopci‚n de nuevas l€neas de avance, siguiendo nuestro viaje hacia atr•s.[4] Como ya se ha sugerido, estas aproximaciones no son conflictivas. En las palabras de Imre Lakatos: ‡Al discutir los esfuerzos modernos para establecer las fundaciones para el conocimiento matem•tico uno tiende a olvidarse que esos son solo un cap€tulo en el gran esfuerzo para superar el escepticismo a travƒs de establecer las fundaciones para el conocimiento en general. El objeto de mi contribuci‚n es mostrar la filosof€a matem•tica moderna como profundamente empotrada en la epistemolog€a general y como solo siendo entendible en ese contexto.ˆ (ƒnfasis de Lakatos.[5]) As€ el matem•tico es. al que inmediatamente sigui‚ otro desastre mayor: el desarrollo del an•lisis por caminos contrarios a la intuici‚n geomƒtrica (curvas que llenan el espacio.. …ltimamente..[6] En las palabras de Miguel de Guzm•n: "Pero hay otros aspectos interesantes de la matem•tica que atraen de modo natural al fil‚sofo. expone Plat‚n que las matem•ticas est•n en el alma humana. hacen de ella un modelo de reflexi‚n fiable que suscita el consenso de todos.[7] Mario Bunge va tan lejos como a sugerir que las matem•ticas son no solo el fundamento no s‚lo del quehacer cient€fico sino tambiƒn filos‚fico. as€. Ella a menudo se digna a prestar un servicio a la astronom€a y a otras ciencias naturales. proceso que eventualmente culmin‚. en este sentido.[10] Esa posici‚n es generalmente conocida como Realismo.[9] Esta preeminencia se deb€a a una percepci‚n que. hacia fines del siglo XIX esta situaci‚n comenz‚ a cambiar. el estudio de las propiedades del espacio. era el modelo a seguir en todo conocimiento intelectual."."[18] Esa situaci‚n ha sido resumida de la siguiente manera[19] "Hasta bien entrado el siglo XIX. Estas se manifestaban como verdades objetivas.. segundo. la l‚gica de su estructura. clara. ya que en esta se halla presente el logos que gobierna el mundo material mediante las proporciones aritmƒticas y geomƒtricas. pero en todas las relaciones. tersa. funciones continuas no diferenciables. platonismo o Realismo plat‚nico y "de manera muy esquem•tica. . que partiendo de axiomas y definici‚nes llegaba a la demostraci‚n de teoremas. El mƒtodo deductivo. existen fuera del espacio y del tiempo de la experiencia f€sica y cualquier pregunta significativa sobre ellos tiene una respuesta definida. ciertos aspectos de la matem•tica. simple. Los fil‚sofos interesados en aclarar los misterios del conocimiento humano han visto en el pensamiento matem•tico un campo ideal de trabajo donde poner a prueba sus hip‚tesis y teor€as. En esta la idealizaci‚n de los entes matem•ticos se transforma en la idealizaci‚n de los entes f€sicos y ps€quicos. Dicha "crisis" se origin‚ principalmente por dos descubrimientos: primero el de las geometr€as no euclidianas y. La din•mica interna del pensamiento matem•tico. Esto era una autƒntica cat•strofe puesto que en alg…n sentido implicaba la pƒrdida de la certeza.. El primero fue el descubrimiento de Geometr€as no eucl€deas. que sucedi‚ en el siglo XIX. por su invariabilidad en el tiempo. la Geometr€a era universalmente considerada la rama m•s firme del conocimiento. de una manera popular. a fines del siglo XIX y comienzo del XX. S‚lo se requiere la introspecci‚n para volvernos conscientes de ese saber interno. La verdad matem•tica. era el modelo prestigioso de razonamiento para todo saber. no solo en la Matem•tica sino en todo el conocimiento humano.[11] Sin embargo. por lo menos. hace que un esclavo alcance por su propio razonamiento una verdad matem•tica.Filosof€a de la matem•tica Dada la vastedad y complejidad del tema. puede sintetizarse en la creencia de que los objetos matem•ticos son reales y su existencia es un hecho objetivo e independiente de nuestro conocimiento de los mismos. el de la teor€a de los conjuntos. 2 Introducci‚n Desde la antig‰edad la filosof€a ha tenido interƒs en. Durante el siglo XIX sucedieron €varios desastres que iban a cambiar completamente esta situaci‚n.† a travƒs de preguntas y respuestas. emana de Plat‚n: "En las matem•ticas se halla el origen y fundamento de la teor€a plat‚nica de las formas o ideas. universalmente v•lidas para la mente humana.. en la llamada crisis de los fundamentos:[12][13][14][15][16][17] "La imagen tradicional de las matem•ticas (formal e infalible) fue cuestionada a ra€z de la llamada "crisis de los fundamentos de las matem•ticas".. La Geometr€a era. como un cient€fico emp€rico que no puede inventar ni construir sino solo descubrir algo que ya existe.".[8] Por mucho de ese tiempo la opini‚n general era la que Carl Friedrich Gauss resumi‚: ‡La matem•tica es la reina de las ciencias y la aritmƒtica es la reina de las matem•ticas. etc) lo que puso de manifiesto la gran vulnerabilidad del …nico fundamento que hasta entonces ten€an las Matem•ticas: la intuici‚n geomƒtrica. sobria. simplemente. lo que sigue ofrece una visi‚n muy superficial. En el di•logo "Men‚n" S‚crates. tiene derecho a la primera filaˆ. el modo de ser de los objetos matem•ticos: acaso estos existen "realmente" e independientemente de cualquier empleo espec€fico.Filosof€a de la matem•tica Se pens‚ entonces buscar otra €base segura• para fundamentar las Matem•ticas. la relaci‚n entre las matem•ticas y la realidad: ŠCu•l es la relaci‚n entre el mundo abstracto de las matem•ticas y el universo material? Tienen las matem•ticas sus ra€ces en la experiencia. Šc‚mo? ŠC‚mo es que las matem•ticas €calzan tan bien con los objetos de la realidad" (Albert Einstein[27])? ŠDe quƒ manera los conceptos tales como n…mero. En efecto. La tarea consiste tanto en determinar las condiciones de la posibilidad de adquirir ese conocimiento. que puede ser traducida por €cualquier condici‚n determina un conjunto•. adquieren un significado que trasciende el •mbito estrictamente matem•tico? El punto de partida es casi siempre la concepci‚n de que las proposiciones matem•ticas son ciertas por principio. Sin embargo.a partir de la Aritmƒtica. la naturaleza del ser humano? . el origen del conocimiento matem•tico: ŠCu•les son la fuente y la esencia de la verdad matem•tica? ŠCu•les son las condiciones de la ciencia matem•tica? ŠCu•les son. Šen quƒ sentido? Y Šquƒ significa referirse a un objeto matem•tico? ŠCu•l es el car•cter de los teoremas matem•ticos? ŠCu•l es la relaci‚n entre la l‚gica y las matem•ticas? ... pues nadie dudaba de la certeza proporcionada por nuestra intuici‚n de contar y as€ los n…meros enteros ser€an la nueva base segura para todo el edificio matem•tico. ya en ese momento se hab€an hecho unos descubrimientos que iban a sacudir completamente este optimismo dejando de nuevo a la Matem•tica sin fundamentos seguros. de manera atemporal y exacta y que su veracidad no depende ni de evidencias emp€ricas ni de puntos de vista personales. infinito etc. del Empirismo. en relaci‚n a lo anterior. a su vez. Sin embargo. Argumentablemente esas tentativas fueron infructuosas[22] lo que dio origen a otras escuelas. 3. Este fue el punto de partida de la escuela logicista que m•s tarde seria continuada por Russell y Whitehead. de modo que una vez culminado su programa podr€a asegurarse que la Matem•tica estaba libre de contradicci‚n al menos en la misma medida que la propia l‚gica. Pero el intento de fundamentar rigurosamente la Matem•tica iba a ser llevado un paso m•s lejos por Frege. tanto derivadas de las anteriores[23]como de otras percepciones b•sicas -por ejemplo. la construcci‚n del continuo a partir de la Aritmƒtica se basaba en la Teor€a de Conjuntos de Cantor (ver Hip‚tesis del continuo). algunos incluyen otras escuelas. 2. logicista y formalista[20] (esa es la visi‚n general o com…n. y argumentablemente. sus mƒtodos de investigaci‚n? ŠQuƒ papel. (ver Programa de Hilbert). y si es as€. quien comenz‚ un ambicioso programa para basar las Matem•ticas en la L‚gica -a travƒs de la Aritmƒtica." Esa crisis dio origen a varias tentativas de resoluci‚n. . iba a revelarse inconsistente.Aqu€ se trata de cuestiones epistemol‚gica. lo que. en lo fundamental. y as€ Dedekind y Weierstrass mostraron como era posible construir el an•lisis -el continuo. dio origen a tres corrientes principales: las escuelas intuicionista. como en cuestionar cr€ticamente este punto de partida.Aqu€ se trata de cuestiones ontol‚gicas.. La idea logicista consist€a en demostrar que la Matem•tica cl•sica era parte de la l‚gica. y si es as€. punto. tales como el fenomenalismo de Husserl[21]). Pero la teor€a de Cantor. la situaci‚n todav€a no se ha resuelto del todo[24][25][26] 3 Problemas Al respecto de todo lo anterior hay algunas interrogantes fundamentales y sistem•ticas tales como: 1. y en particular su hip‚tesis b•sica sobre la existencia de conjuntos encerrada en su definici‚n: €un conjunto es cualquier colecci‚n de objetos distintos de nuestra intuici‚n o nuestro pensamiento•. que tambiƒn hab€a sido utilizada por Frege en sus fundamentacion de la Aritmƒtica. Parec€a que todo volv€a a estar en orden. sugiere que el problema es m•s profundo: "nuestras mejores teor€as epistƒmicas parecen excluir cualquier conocimiento de los objetos matem•ticos. el tratamiento m•s sofisticado de este asunto (por Paul Benacerraf en su art€culo €Mathematical Truth. etc. que.". quiz•s. Solo es posible para los enunciados simples con tƒrminos singulares como componentes ser verdaderos si los objetos a los que se refieren los tƒrminos singulares existen. o "lo divino". sino que se descubren. Tales intuiciones racionales tambiƒn son defendidas por la mayor parte de los cl•sicos del racionalismo. interpersonal. "lo bello". por tanto.[40] Sin embargo. reconocer los objetos matem•ticos y las verdades si ƒstas se encuentran en las "esferas celestiales de las ideas". que ha sido definido como " cualquiera explicaci‚n metaf€sica de las matem•ticas que implica que las entidades matem•ticas existen. en debates m•s recientes acerca de la justificaci‚n y el conocimiento a priori. en1934. o bien hay uno que no la posee. Pero. es el punto de vista que sostiene que la matem•tica es la ciencia de los n…meros. Šc‚mo podemos nosotros. son objetos abstractos que son independientes de todas las actividades racionales. Mark Steiner. La intenci‚n era designar un modo de razonar que es caracter€stico sobre todo del an•lisis matem•tico y la teor€a de conjuntos. hace que los seres humanos percibamos partes de ese otro mundo. Esto es. y es el modo en que tales objetos son lo que hace a los enunciados de la matem•tica verdaderos o falsos. argumento que busca mostrar que las teor€as epistƒmicas son (deben ser) consistentes con la aproximaci‚n realista: El Argumento de indispensabilidad de Quine y Putnam. entre otros matem•ticos. si los n…meros naturales existen. b•sicamente sugiere que debemos estar "ontol‚gicamente comprometida con todas aquellas entidades que sean indispensables para nuestras mejores teor€as . la posici‚n m•s ampliamente difundida entre los matem•ticos. cuerpos astron‚micos y part€culas subat‚micas entre otros.[33][34] Eugene Paul Wigner y Paul Erd‹s. figuras geomƒtricas. Una consecuencia de dicho modo de pensar es que para una propiedad cualquiera (expresable en la teor€a) puede decirse que o bien la poseen todos los elementos del conjunto. del matem•tico).[31] En las palabras de P Maddy: "El realismo.[45][46][47] En el presente los partidarios del realismo/platonismo generalmente citan el siguiente argumento a favor de sus posiciones. la matem•tica trata acerca de esos objetos.[38] es decir.".[36] Alrededor de los 1900 tuvo mucha influencia en esa posici‚n el El argumento de Frege."[39] El principal problema del platonismo en la filosof€a de las matem•ticas es la pregunta. junto con otras ideas tales como las de "lo bueno". El tƒrmino ‚platonismoƒ fue introducido al •rea.". Michael Dummett[35] . por el l‚gico matem•tico Paul Bernays. Es representado.[32] En otras palabras. como seres finitos. que se considera dada o independiente del sujeto pensante (es decir." La forma cl•sica del realismo es el platonismo.• de 1973[41]). de las matem•ticas. aunque tambiƒn del •lgebra moderna y la topolog€a: los objetos de la teor€a se conciben como elementos de una totalidad o conjunto. que los objetos y teoremas matem•ticos existen en forma aislada del mundo material e independientemente del espacio y del tiempo.[37] que se puede resumir as€: "Tƒrminos singulares que se refieren a n…meros naturales aparecen en enunciados verdaderos simples. de manera similar a un ‚rgano sensorial.Filosof€a de la matem•tica 4 Corrientes Platonismo El realismo[28][29][30] es. que son abstractos. tanto los "objetos matem•ticos" (n…meros. es decir.[42] (Esto es generalmente conocido como el Dilema de Benacerraf[43][44] dado que es generalmente interpretado como estableciendo debemos abandonar nuestras teor€as epistemolog€as o la certeza matem•tica. el objeto aritmƒtico del platonismo es verdad. conjuntos. tal y como la f€sica es el estudio de los objetos f€sicos ordinarios. funci‚nes. as€ como. entre otros por Laurence Bonjour.. etc) como las leyes matem•ticas no se inventan. por Kurt G‹del. Este realismo ontol‚gico es incompatible con todas las variedades de la filosof€a materialista. De acuerdo a G‹del. Por lo tanto: los n…meros naturales son objetos abstractos que existen independientes de todas las actividades racionales. Por lo tanto: los n…meros naturales existen. esto se logra mediante la intuici‚n matem•tica que. Con esto se explica al car•cter objetivo. Entre los fil‚sofos que han adoptado la posici‚n se cuentan Willard Van Orman Quine. y que son independientes de todas nuestras actividades racionales. se considera que. en …ltima instancia. representada por el grupo Bourbaki. se trata. sino la ley de c‚mo estructurar las relaciones entre los objetos matem•ticos. entonces se obtienen ‚conclusiones ciertasƒ. Por lo tanto un matem•tico deductivista puede mantenerse al margen tanto de la responsabilidad por la interpretaci‚n como de las dificultades ontol‚gicas de los fil‚sofos.. de facto.. Este sistema formal estar€a integrado por uno o m•s conjuntos de elementos fundamentales. que demostr‚ que cualquier sistema de axiomas que incluya los n…meros naturales es ya sea incompleto o contradictorio.[49] Por ejemplo.Filosof€a de la matem•tica cient€ficas. de tal manera que los axiomas y reglas de inferencia sean verdaderas. por relaciones definidas entre los elementos de estos conjuntos y por proposiciones reguladoras de estas relaciones (proposiciones que comprenden los axiomas y las dem•s proposiciones de ellos deducidas: los teoremas). En esta visi‚n los enunciados matem•ticos pierden el car•cter de verdades. en cambio. alternativamente. El matem•tico puede confiar. cit) con el fin de lograr un sistema completo y consistente (ver Programa de Hilbert).. proposiciones "sobre algo"."[54] Otro matem•tico de nota que fue inspirado por el formalismo fue Haskell Curry. de un sistema formal vac€o. debemos afirmar como v•lidas e independientes todos aquellos elementos b•sicos del an•lisis que necesitamos en nuestros razonamientos. en el ejemplo del teorema de Pit•goras.[50][51] David Hilbert es generalmente considerado fundador del formalismo moderno. En consecuencia." (es decir. A pesar que esta propuesta fue de corta duraci‚n. "Los objetos y/o estructuras matem•ticos son indispensables para nuestras mejores teor€as cient€ficas. usando teor€a de modelos. somos intelectualmente deshonestos). a constituir la posici‚n m•s aceptada entre los matem•ticos hasta el …ltimo cuarto del siglo XX: "Los aŒos setenta vieron decaer la tendencia formalista. tal que las reglas conduzcan a €afirmaciones verdaderas•. en el juego de geometr€a euclidiana se obtiene el teorema de Pit•goras combinando ciertas cadenas (los axiomas) seg…n determinadas reglas (las del razonamiento l‚gico). generalmente considerado el fundador de la l‚gica combinatoria.[52] Su interƒs era la construcci‚n axiom•tica consistente y completa de la totalidad de las matem•ticas. Las reglas que enlazan funcionalmente los objetos con su sistema de referencia formar•n parte de un Sistema Formalizado Matem•tico. tales como el teorema de Pit•goras. debemos reconocer la existencia de esos objetos o estructuras. cuya condici‚n fundamental es la ausencia de contradicci‚n. seud‚nimo de varias generaciones de matem•ticos franceses." 5 Formalismo El formalismo matem•tico entiende las matem•ticas como un juego (en el sentido de Wittgenstein[48]) basado en un cierto conjunto de reglas para manipular cadenas de caracteres: ". Por lo tanto. Putnam interpreta las proposiciones ."[55] Deductivismo En el deductivismo -una variante usual del formalismo..[53] seleccionando como punto de partida los n…meros naturales y asumiendo que mediante el uso de axiomas se obv€a la necesidad de definir los objetos b•sicos (op. que existe una interpretaci‚n de las cadenas de caracteres sugerida por ejemplo por la f€sica o por otras ciencias naturales. en donde. la €verdad• de una proposici‚n matem•tica es s‚lo correcta en relaci‚n a: Si a las cadenas se les asignan significados. pues. En este sentido. lleg‚. debido al teorema de incompletitud de G‹del. Lo que importa son las relaciones que se establecen entre ellos: "Hilbert sostiene que la verdadera importancia en la construcci‚n de los saberes matem•ticos no es el resultado numƒrico.[57] Putnam propone considerar las matem•ticas como el estudio de las consecuencias de los axiomas. el formalismo no sigue siendo obligatoriamente un juego simb‚lico sin sentido. El deductivismo fue introducido formalmente por Hilary Putnam[56] "como una respuesta a algunos problemas con el logicismo de Russell en su Principia".el programa del formalismo matem•tico consiste en construir la Matem•tica como un sistema l‚gico-formal puro. dejan de ser. prescindiendo de todo tipo de contenido. se entiende como formalizaci‚n a un conjunto de leyes descubiertas en el seno de su misma estructura. la que mantiene su consistencia en las demostraciones. ). Para los intuicionistas un (cualquier) ente es valido si y solo si puede ser construido por medio de un procedimiento especificado y con un n…mero finito de pasos o operaciones (este procedimiento puede ser un algoritmo o alg…n otro que siga una regla: por ejemplo: arrojar un dado veinte mil veces a fin de generar cualquier n…mero). op.[60][61] Este intuicionismo se origina en la propuesta de L.Filosof€a de la matem•tica matem•ticas como refiriendose a un posible modelo para esas proposiciones. Los deductivistas requieren que toda y cada prueba matem•tica sea una deducci‚n.[73] Si bien esta diferencia es m•s bien metaf€sica (op. un elemento temporal en la "verdad" matem•tica). que si tiene tales consecuencias. se crean.[70][71] (ver. A partir de lo anterior. op. es la introducci‚n a la diferencia sobre la concepci‚n del continuo. Pareja. (Lo anterior no es un rechazo absoluto del principio. argumentablemente sin consecuencias mayores para la pr•ctica matem•tica. en el caso de conjuntos bien definidos y finitos. La l‚gica deductivista incluye. (op. Ver Aritmƒtica de Heyting)[72]) Otras diferencias con lo que se puede considerar matem•ticas cl•sicas se encuentran en la concepci‚n del infinito y la del continuo. A diferencia del logicismo estricto. cit).ver D. lo que requiere un mƒtodo claro y preciso[65]. 6 Intuicionismo El intuicionismo matem•tico[59] rechaza tanto la sugerencia logicista como la formalista. la demostraci‚n intuicionista del teorema de la barra (bar theorema[80]) y el teorema del abanico (fan theoreme[81]). op. pero consideran que toda prueba informal debe ser completable como deducci‚n a fin de ser considerada v•lida[58] Quiz•s sea necesario notar que "deductivismo" es un concepto amplio. basada en la teor€a de conjuntos y sugiere utilizar una especie de "principio de elecci‚n" (choice principles[75] que Brouwer llama "secuencias de elecciones libres").. L‚gica intuicionista). por ejemplo. basado en la intuici‚n que. el infinito intuicionista es solo potencial.[76] (al respecto de todo esto. Brouwer[62] que el saber matem•tico se basa en la intuici‚n primordial[63][64] de los n…meros naturales ( 1. el resto de la matem•tica puede (y debe) ser construida de forma expl€cita y rigurosa. tienen validez matem•tica.[67] Entre otras consecuencias de lo anterior se encuentra la restricci‚n del principio del tercero excluido:[68][69] saber que una proposici‚n es falsa implica. Cada uno de esos n…meros puede. el logicismo seria solo una versi‚n (usando una concepci‚n m•s restrictiva de la l‚gica matem•tica) del deductivismo (Hossack.. el deductivismo basa y transforma la matem•tica en una l‚gica en un sentido mucho m•s amplio que el sentido logicista. (N‚tese que esto introduce un elemento temporal . Los intuicionistas lo utilizan en situaciones espec€ficas -por ejemplo. poder demostrar esa falsedad. entre dos puntos (o n…meros) cualquiera. Consecuentemente. cit). nuevamente. o por medio de tal mƒtodo. el presente) es perfectamente posible que haya proposiciones acerca de las cuales no tenemos certeza acerca de si son correctas o no. E. Ellos reconocen que no todas tales pruebas son estrictamente v•lidas (ver Validez (epistemolog€a) y Validez (l‚gica)). Y no puede por lo tanto ser pensado como una mera colecci‚n de unidades. 2. Sigue que. 3.de algunos conceptos matem•ticos b•sicos. las verdades matem•ticas no se descubren. (n‚tese que esto introduce. (R. etc). consecuentemente. se podr€a decir que. ser "construido" agregando 1 al anterior. El concepto intuicionista del continuo[74] rechaza la concepci‚n axiom•tica cl•sica (de Cantor y Zermelo. etc ver Hip‚tesis del continuo. Marcuss.Solo entidades cuya existencia (positiva o negativa) haya sido demostrada de tal manera.[66] Parafraseando el dicho platonista. para los intuicionistas. cit.•. la teor€a de conjuntos necesaria para estudiar las consecuencias que siguen de axiomas. Pero cual procedimiento espec€fico y finito puede generar el infinito? Cualquier procedimiento que escojamos solo nos dar• alg…n n…mero concreto. J. en un momento dado (por ejemplo. La introducci‚n de secuencias de elecciones tiene varias consecuencias[78] dif€ciles de aceptar para la matem•tica no intuicionista. a partir de la intuici‚n b•sica del 1. proponiendo que el conocimiento matem•tico se basa en la aprehensi‚n -que antecede cualquier lenguaje o l‚gica. desde el punto de vista intuicionista.". .[79] Como ejemplos. por ejemplo. ci). ver: "El Error de Cantor"[77]). un matem•tico puede elegir libremente otro punto o n…mero. cit). a diferencia del "infinito oficial" que lo concibe como "una totalidad completa y acabada. esp p 108). y as€ indefinidamente: €El continuo lineal no puede ser agotado por la interpolaci‚n de nuevas unidades. ya no puede ser considerado en forma separada de la estructura de los n…meros naturales. • 6]). en tanto n…mero natural. se obtiene la estructura general de una asociaci‚n. Considerando s‚lo el esquema de los cargos (y por tanto "omitiendo" las personas reales que trabajan en ellos). fuerza a quienes practican esta aproximaci‚n a utilizar estrictamente la l‚gica intuicionista.[88] Los distintos cargos (presidente.[85] Bishop logra esta flexibilidad a travƒs de no definir lo que llama "rutinas finitas" (algoritmos) que constituyen el proceso de demostraci‚n. al mismo tiempo.[84] Modificando algunas percepciones de los autores mencionados de tal manera que la propuesta constructivista resulta m•s restrictiva que las sugerencias de Brouwer y Markov pero. la filosof€a de la mente. Si eso fuera el caso. El club en s€. Del mismo modo. As€. Erret Bishop postulo el Constructivismo. esquiva la cuesti‚n de la existencia de los objetos matem•ticos y los explica como errores categoriales. al punto de vista funcionalista en. cosa que no ocurre con las otras dos. logrando que todos sus teoremas resulten compatibles tanto con esas sugerencias como con las de la matem•tica cl•sica.[82] Entre los fil‚sofos que contin…an esta tradici‚n encontramos Michael Dummett. Lo mismo se aplica a otros objetos matem•ticos."[87] Para ilustrar lo anterior. tambiƒn se centra en las relaciones que los elementos definidos tienen el uno al otro. Puesto que el estructuralismo no considera los objetos. y aut‚nomas. tales como n…meros. ya que. Estructuralismo El estructuralismo considera las matem•ticas principalmente como una ciencia que se ocupa de las estructuras generales.tal como la administraci‚n de un club deportivo. auditor. el (n…mero) dos. por ejemplo. en el sentido de que no hay restricciones sobre el tipo de cosas que pueden ejemplificar (vƒase Shapiro [1997. no solo esa clase especial de "objetos constructivos"[86] Finitismo El finitismo es una forma extrema del constructivismo. como otras que rechazan su existencia[89] Los problemas con esta corriente surgen principalmente de la cuesti‚n de las propiedades y el ser de las estructuras. es decir. en efecto. los trabajos matem•ticos de Andrƒi Kolmog‚rov y los de Andrƒi M•rkov y los desarrollos de una l‚gica intuicionista por Saul Kripke. por ejemplo.[90] Al igual que en el problema de los universales es aparente que €las estructuras• son algo que puede aplicarse a muchos sistemas simult•neamente.Filosof€a de la matem•tica Aparte de Arend Heyting. quien promovi‚ una visi‚n constructivista de la matem•ticas. existen tanto variantes del estructuralismo que asumen la existencia de los objetos matem•ticos. tesorero. Una definici‚n funcional es. Parece ser que utilizar tal l‚gica equivale a practicar matem•tica algor€tmica formal. estructural. cap€tulo 3. la aproximaci‚n intuicionista podr€a ser implementada en relaci‚n a cualquier objeto matem•tico. etc. "El estructuralismo matem•tico es similar. Si bien esto parece introducir una cierta falta de precisi‚n. considƒrese un "sistema ejemplo• .) son independientes de las personas que asumen esas tareas. la estructura de un equipo de f…tbol es ciertamente . sino que m•s bien los considera como "espacios en una estructura". de acuerdo a la cual un objeto matem•tico no existe a menos que sea construido partiendo de los n…meros naturales en un n…mero de pasos finitos.[83] 7 Constructivismo A partir de las sugerencias de Brouwer y Markov. cualquier sistema cuyos elementos tengan un sucesor …nico ejemplifica la estructura de los n…meros naturales. de manera separada de su totalidad o estructura. otros matem•ticos y l‚gicos de nota influidos por esta visi‚n incluyen: Hermann Weyl. con las personas que han tomado posesi‚n de los cargos. sino como el identificador del "segundo lugar en la estructura de los n…meros naturales": no tiene propiedades internas ni una estructura propia. ejemplifica esta estructura. las relaciones de los elementos dentro de un sistema. Por ejemplo. La diferencia es que las estructuras matem•ticas son m•s abstractos. En consecuencia. La aplicaci‚n del intuicionismo a la topolog€a por Alfred Tarski. en algunos aspectos. III) la consistencia de la mayor€a de nuestros sistemas formales es un hecho emp€rico. Otras cuestiones pendientes est•n relacionadas con el acceso a las estructuras y la de Šc‚mo podemos aprender acerca de ellas? Entre los representantes actuales del estructuralismo se cuentan Stewart Shapiro. 2) el proceder de las matem•ticas no es axiom•tico.[92] Geoffrey Hellman[93] y el ya mencionado Paul Benacerraf.[101] Carl E. pero es siempre conjetural. en una teor€a cuasi-emp€rica los postulados b•sicos (verdaderos) son explicados por el resto del sistema. las enseŒan los profesores y las aprenden los estudiantes. Adicionalmente. Una teor€a cuasi-emp€rica puede „a lo m•s„ ser bien corroborada. las comunidades de matem•ticos. de los hechos emp€ricos. Para Kalmar "los axiomas de cualquier rama interesante de las matem•ticas fueron originalmente extra€dos. quien sugiere que "Al rehabilitar el empirismo de John Stuart Mill y combinarlo con el conocimiento cada vez mayor de la naturaleza de la mente humana. 3) el intento de proveer de fundamentos a las matem•ticas conlleva un retroceso al infinito. 125-126). 4) la historia de las matem•ticas debe ser estudiada . Mill solo considera las m•s rudimentarias partes de la matem•ticas"[96]).". Lakatos propone que: 1) las pruebas formales son falseables por medio de las pruebas informales. (y) a…n cuando se ha demostrado. por as€ decirlo.[98] Para K‹rner. junto con su marco de trabajo matem•tico como constituyentes sincategorem•ticos[99] de las proposiciones emp€ricas ".Filosof€a de la matem•tica ejemplificado por miles de equipos. la manera en que efectivamente las aplican los matem•ticos. secci‚n 2). entre otros. Esto plantea la cuesti‚n de si y c‚mo las estructuras existen. aunque de un car•cter m•s general. en una teor€a Euclidiana los postulados verdaderos b•sicos en "la cumbre" del sistema deductivo (generalmente llamados 'axiomas') demuestran. Behrens. quien busca sistematizarla. siempre falibles.[91] Michael Resnik. si acaso existen independientes de los sistemas. las revoluciones que ocurren en ellas. por medio del cual se llega a las pruebas formales que despuƒs dan lugar a las axiomatizaciones. la aceptabilidad de los mƒtodos metamatem•ticos utilizados en la prueba (por ejemplo inducci‚n transfinita hasta cierto ordinal constructivo) es de nuevo un hecho emp€rico. o no valoramos adecuadamente el proceso de pruebas y refutaciones informales."[104] El cuasi empirismo de Lakatos: Lakatos plantea que la supuesta necesidad l‚gica (o verdad a priori) de las matem•ticas deriva de que nos hemos olvidado. la idea b•sica fue eventualmente retomada por dos autores: Stephan K‹rner[97] y L•szl‚ Kalm•r. "El cuasi-empirismo postula que para entender y explicar las matem•ticas no basta con analizar su estructura l‚gica ni su lenguaje sino que hay que estudiar su pr•ctica real.[95] para quien los conceptos matem•ticos proceden del mundo f€sico y las verdades de la matem•tica son verdades acerca del mundo f€sico.[100] Esta visi‚n ha sido expandida por. los paradigmas y los programas que dominan. A pesar que la sugerencia de Mill no despert‚ gran interƒs entre matem•ticos (P Kitcher: "el problema que muchas de sus formulaciones son imprecisas (casi invitando las bien conocidas iron€as de Frege) y." (op cit. Philip Kitcher. como plantean los formalistas. Las verdades matem•ticas ser€an las verdades m•s generales de todas (Dummett 1998.[102] Cuasi-empirismo El tƒrmino cuasi-empirismo fue introducido por Imre Lakatos[103] a fin de enfatizar un punto crucial de su sugerencia: "Una teor€a Euclidiana puede ser proclamada verdadera. su historia. y las reglas de inferencia utilizadas en ella originalmente manifestaron su validez universal en nuestra pr•ctica del pensamiento. 8 Empirismo El empirismo matem•tico[94] puede trazarse a la obra de John Stuart Mill. "las teor€as cient€ficas integradas en la matem•tica funcionan y est•n justificadas. en adici‚n. no conocemos. el tipo de ret‚rica que se emplea en ellas y el papel que juega el conocimiento matem•tico en las distintas sociedades y culturas.. podemos escapar del indefinible universo plat‚nico de la conciencia inmaterial y abandonar la vana b…squeda por la certidumbre que ha plagado la filosof€a desde los tiempos de los griegos. sino basado en una sucesi‚n de pruebas y refutaciones que s‚lo llegan a resultados falibles. pp. m•s o menos directamente. el resto del sistema. andrew. uaemex. en Luis Puelles et al (Wenceslao J. Concretamente. mejor a…n. org/ hem/ dep/ rcf/ n06p025. pdf) (en Princeton Companion to Mathematics Proof) [15] A Timeline for the Foundational Crisis and the Vienna Circle (http:/ / www.Diego Fusaro: "Siempre hay una relaci‚n inseparable entre la matem•tica y la filosof€a. ucm.Filosof€a de la matem•tica no a travƒs de teor€as aisladas sino de series de teor€as o. pruebas informales o cuasi-emp€ricas y revoluci‚n conceptual. 9 Notas y referencias [1] Natura es la traducci‚n latina de la palabra griega physis (Ž••‘’).MATEMATICA (http:/ / www. science and epistemology Cambridge U Press. que en su significado original hac€a referencia a la forma innata en la que crecen espont•neamente plantas y animales. es/ josef/ pcmCrisis. Harper Physical (http:/ / www. Madrid [13] SIGLO XX: CRISIS EN LOS FUNDAMENTOS (http:/ / catedu. mat. umass. de programas de investigaci‚n que incluyen un n…cleo firme no falseable y un cintur‚n protector de hip‚tesis auxiliares que s€ son falseables.) [3] Jeremy Avigad (http:/ / www. del impacto de la f€sica moderna en nuestra concepci‚n de la ciencia y de la realidad.. Putnam reconoce que las matem•ticas no son ciencias experimentales y que son m•s a priori que. es/ catedramdeguzman/ old/ 05edumat/ remediosfracasouniv/ laboratorio99/ tercera parte/ enciclanayahtm/ 02matyfil. sin embargo seŒala que la distinci‚n entre lo a priori y lo a posteriori es m•s bien relativa: que algo sea a priori significa. Philosophy of Mathematics (http:/ / plato. seg…n Putnam. etymonline. las matem•ticas comparten el contenido emp€rico con las teor€as f€sicas de las que forman parte y se modifican junto con ellas. por ello. htm) [8] Adianez Fern•ndez Berm…dez: Una visi‚n de la ciencia y su relaci‚n con la ƒtica. que juega un papel fundamental en nuestra concepci‚n del mundo o en nuestra forma de vida y que. org/ educacion/ 3/ Usrn/ fundoro/ web_fcohc/ 002_proyectos/ bachillerato/ filosofia/ platon_01. es/ matematicas_mundo/ HISTORIA/ historia_XX_Fundamentos.. unam. esto es. deben ser considerados como reales."(ver D. com/ wp-content/ uploads/ 2012/ 04/ Timeline-for-the-Foundational-Crisis-and-the-Vienna-Circle1.. p. hay un juego entre postulaci‚n. html?obra=2514). cmu. car•cter natural. pues no se puede aceptar el conocimiento que proporciona la f€sica sin aceptar dichas entidades o. no estamos dispuestos a renunciar a ello. 1978. Zalta†(ed. la teor€a de conjuntos. net/ libros-gratis/ 2011e/ 1067/ vision_ciencia. us. php?term=physical)). php?term=nature) [2] Horsten. como su maestro Reichenbach." en IL RAPPORTO FILOSOFIA . mejor dicho. eumed. Harper: Nature (http:/ / www. es/ books?id=z-J62MTB5XYC& printsec=frontcover& source=gbs_ge_summary_r& cad=0#v=onepage& q& f=false) p 127 [12] JAVIER DE LORENZO: "La matem•tica: de sus fundamentos y crisis". gobiernodecanarias. etymonline. impl€citamente. htm) [18] Eduardo Harada O (2005): El cuasi empirismo en la filosof€a de las matem•ticas (http:/ / redalyc. tuobra. ya se ha aceptado. htm) (en italiano en el original) [7] M de Guzm•n: Filosof€a y matem•ticas (http:/ / www. edu/ klement/ russell-imp. htm) [14] JOS“ M. net/ filos52. por ejemplo. pdf) [16] Herman Weyl On the New Foundational Crisis in Mathematics (http:/ / philpapers. com/ index. As€. FERREIR”S: The Crisis in the Foundations of Mathematics (http:/ / personal. 4 [6] Por ejemplo: Iv•n Pedro Guevara V (2008): "La filosof€a ha considerado siempre la matem•tica como uno de los objetos principales de sus investigaciones. google. las entidades sobre las cuales cuantifica. la f€sica. En las matem•ticas.. Leon.10 5) debemos preferir no el programa matem•tico que estƒ completamente axiomatizado sino el que sea progresivo. pero tambiƒn. " en LA FILOSOFIA DE LA MATEMATICA: LA RAZON DE SER DEL NUMERO (http:/ / www. [10] ‡El sentido de las matem•ticas en la filosof€a de Plat‚nˆ (http:/ / www. Edward N. al aceptar el conocimiento de la f€sica. pdf) [19] Josƒ Luis G‚mez Pardo: €Observaciones sobre la naturaleza de la Matem•tica•. org/ rec/ WEYOTN) [17] Mario O. Gonz•lez edt) (1988): Aspectos Metodol‚gicos de la Investigaci‚n Cient€fica: Un Enfoque Multidisciplinar (http:/ / books. mx/ pdf/ 294/ 29405903. com/ index. filosofico. es/ books?id=z-J62MTB5XYC& printsec=frontcover& source=gbs_ge_summary_r& cad=0#v=onepage& q& f=false) p 125. mx/ vistaObra. (ver D. el que permita descubrir hechos nuevos e inesperados. Gonz•lez edt) (1988): Aspectos Metodol‚gicos de la Investigaci‚n Cient€fica: Un Enfoque Multidisciplinar (http:/ / books. stanford. simplemente. la teor€a de conjuntos es indispensable para la f€sica. en Luis Puelles et al (Wenceslao J. Gonz•lez (1950): La crisis actual de los fundamentos de la Matem•tica (http:/ / www. pero que son modificables. por tanto.[105] El cuasi empirismo de Putman: Hilary Putnam parte de las tesis quineanas acerca del holismo de las teor€as y la naturalizaci‚n de la epistemolog€a. edu/ archives/ sum2012/ entries/ philosophy-mathematics/ ). filosofia. jamieyorkpress.Tecnos. html) chap 1 [5] I Lakatos: €Infinite regress and foundations of mathematics• en Mathematics.156: . html) [9] R Gauss: frases cƒlebres de o sobre Carl Friedrich Gauss. google. a saber. The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Summer 2012 Edition). en Mario Bunge (http:/ / www. edu/ user/ avigad/ ) [4] Bertrand Russell: Introduction to Mathematical Philosophy (http:/ / people. En Idioma alem•n el tƒrmino "naturaleza" proviene de naturist. html) [11] Josƒ Luis G‚mez Pardo: €Observaciones sobre la naturaleza de la Matem•tica•. que significa "el curso de los animales. los conjuntos. org/ stable/ 2215255) No˜s Vol. org/ stable/ 20118604) en Synthese. pp. pero no como es que los conocemos. ISSN 1139-4382. petemandik. ar/ fotovideo/ EXm/ NotasEXm45/ exm45mate. en LA POLEMICA INTUICIONISMO FORMALISMO EN LOS A•OS 20. 23 (2011). org/ stable/ 40104655) [44] Bob Hale and Crispin Wright Benacerraf's Dilemma Revisited (http:/ / www. (Eds. pdf) p 1 10 [29] Para una visi‚n general de esta posici‚n. edu/ mathplat/ #SH2a) [38] Internet Enciclopedia of Philosophy: Mathematical Platonism (http:/ / www. com/ blog/ wp-content/ uploads/ pms_wips-014-jerzykiewicz. jstor. edu/ ~matc/ MathDrama/ reading/ Wigner.) (2009): Logicism. "Mathematical Truth". utm. [36] Mark Steiner (1983): "Mi intenci‚n es argumentar a favor de la realidad de ciertas entidades matem•ticas" en Mathematical Realism (http:/ / www.. pdf) [45] Eleonora Cresto (2002): "Benacerraf nos ofrece all€ un dilema. google. pp.. zubiri. Vol. unam. edu/ kandathi/ goedel_viewpoint. iep. html?id=5-8LVP00OJcC& redir_esc=y) [30] Haim Gaifman: On Ontology and Realism in Mathematics (http:/ / www. citada por Luis Miguel —ngel Cano P (2003) en Frege y la nueva l‚gica. viene a ser casi sin‚nimo de 'platonismo'.Vol. html) [33] K G‹del: €Los conceptos tienen una existencia objetiva• en My philosophical viewpoint (http:/ / cs. jstor. 70 (1973). st-andrews. filosofia. sostienen que las entidades matem•ticas (o estructuras) son abstractas y a-causal. el fil‚sofo Paul Benacerraf argument‚ que las explicaciones anti-plat‚nicas de las matem•ticas deprivan los enunciados matem•ticos de su verdad objetiva en el sentido cotidiano popular. Hart (1991): Benacerraf's Dilemma (http:/ / www. The Three Crisis in Mathematics: Logicism. princeton. pdf) [31] De acuerdo a Davis y Hersh (ver la Experiencia matem•tica €el matem•tico profesional t€pico es un platonista durante la semana y un formalista en el Domingo• (ver Realismo plat‚nico). com/ EBchecked/ topic/ 369237/ philosophy-of-mathematics/ 259818/ Logicism-intuitionism-and-formalism) [21] Por ejemplo: Ulrich Majer (2004): Husserl Between Fregeƒs Logicism And Hilbertƒs Formalism (http:/ / thebalticyearbook. XVII (2). nyu. pdf) [35] Michael Dummett (1998): La existencia de los objetos matem•ticos." en Comentarios a "La filosof€a de la matem•tica del segundo Wittgenstein: El problema de la objetividad de la prueba matem•tica (https:/ / docs. Palmgren. P–ginas 557-574. pero explicaciones anti-plat‚nicas hacen las . com/ mathematics/ book/ 978-1-4020-8925-1) [24] Ferran Mir Sabatƒ (2006): Las discusiones posteriores sobre la filosof€a matem•tica (la metamatem•tica) ilustrar•n las distintas concepciones de la disciplina. org/ general/ xzreview/ 2000/ pdf/ guillerma2000. uba. moldeado sobre la dicotom€a entre platonismo y constructivismo: el primero nos permite entender como es que los enunciados matem•ticos son verdaderos. [25] Por ejemplo: Edward Nelson (2006): Warning Signs of a Possible Collapse of Contemporary Mathematics (https:/ / web. philo. and Formalism: What Has Become of Them? (http:/ / www. E. mx/ publicadas/ 040315180338-Frege. 1998) Entrada en wikipedia inglesa acerca de Bonjour [41] P Benacerraf: The Truth (http:/ / thatmarcusfamily. K. tuobra. com/ misc/ 1117326643jrnDoc. S. pp. en el Journal of Philosophy. britannica. pero si se les demanda una justificaci‚n de su posici‚n. Intuitionism. 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(London: Cambridge University Press. edu/ ~matgtc/ three crises in mathematics. springer.Filosof€a de la matem•tica [20] Encyclopedia Britanica: (http:/ / www. pdf) [42] IEP. lo que generalmente se interpreta como significando que la mayor€a de los matem•tico se comportan como si aceptaran que los objetos matem•ticos y sus relaciones fueran objetivos. 363-385 [37] The Fregean Argument for Object Platonism (http:/ / www. de la idea de que las verdades matem•ticas son verdaderas piense alguien en ellas o no. (http:/ / sammelpunkt. 425-448 [27] Vƒase: Guillermo Mattei Irrazonable eficacia de la matem•tica (http:/ / www. net/ materiales/ pdf23/ CDM35. iep. org/ journals/ baltic/ article/ view/ 128) [22] Ernst Snapper (1979). pdf) . columbia. a pesar de su cierre aparente. math. Durante los a‚os 20s se desarrollar• un profundo debate sobre las bases de las matem•ticas que.ver tambiƒn Eugene Paul Wigner: The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences (http:/ / www. 5-24. iep. org/ philosophy/ Course_Websites/ Readings/ Benacerraf .. html) [28] Luke Jerzykiewicz (2007) "La gran mayor€a de los realistas de hoy en d€a. edu/ ~nelson/ papers/ warn. google. La verdad objetiva es una propiedad de las matem•ticas que para la mayor€a de nosotros es obvia. en Platonist epistemology and cognition (http:/ / www. 3 (Sep. (http:/ / www. en un importante art€culo. fcen.. Segerberg. 2005). pero no la verdad. sigue vigente en nuestros d€as. us. utm. 145. dartmouth. P™g.3 El formalismo (http:/ / cimm. The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Fall 2012 Edition). pdf) [48] Para una profundizaci‚n. en relaci‚n a la epistemolog€a. prosigue Benacerraf. 8 … David Hilbert y el formalismo. cr/ aruiz/ libros/ Historia y Filosofia/ Parte7/ Cap26/ Parte03_26. l€nea. es/ books?id=ZHg3e7n7iagC& dq=formalismo+ matematico& source=gbs_navlinks_s) p 577 y sig [52] Diego Pareja H (2008): "el concepto moderno de formalismo que incluye las tƒcnicas del razonamiento finitista debemos atribuirlo a Hilbert y a sus disc€pulos. angelruizz. una actividad que se basa en la intuici‚n pura del tiempo (interior).edu/archives/fall2012/entries/intuitionism/> [60] van Atten. es/ investigacion-y-ciencia/ numeros/ 2001/ 10/ el-progreso-de-la-matemtica-en-los-ltimos-25-aos-6688) [56] H Putnam (1967): The Thesis that Mathematics is Logic. en general las explicaciones disponibles de la verdad matem•tica no logran satisfacer ambos requisitos.. 001. com/ )) [51] Jean-Paul Collette (1993): Historia de las matem•ticas. es/ books?id=GKYQizoRIU8C& pg=PA12& lpg=PA12& dq=Putnam+ + + "The+ Thesis+ that+ Mathematics+ is+ Logic. net/ ger/ ficha_GER. toda la disciplina en todas sus variantes. (http:/ / personal.]: "En las matem•ticas no existe el ignorabimus".). es/ bitstream/ 10347/ 1256/ 3/ pg_01-06_ag23-2. Ning…n reino independiente de los objetos y el lenguaje juegan alg…n papel fundamental. sino m•s bien alguno de ellas a expensas del otro. Un aŒo antes. en Mathematical Knowledge: A Dilemma (http:/ / philosophynow.. usc. Pags.. al contrario de Euclides que hab€a precisado de una definici‚n (intuitiva) de los objetos b•sicos (punto. Hilbert hab€a publicado su Grundlagen der Geometrie. Zalta (ed.181 [59] Iemhoff. La sem•ntica usual es necesaria para que los tƒrminos de los enunciados matem•ticos se refieran a entidades reales. Filosof€a (http:/ / www. en la que planteo los 23 problemas matem•ticos a resolver durante el siglo XX. 0001/ acprof-9780199296309-chapter-1?rskey=AdapBo& result=6& q=Vienna Circle). La convicci‚n claramente expresada por Hilbert de que todo problema ha de tener su soluci‚n basada en la pura raz‚n [6. google. M. pdf) [54] Pedro Angulo L (2010): EPISTEMOLOGšA DE LA MATEM—TICA. xing.Filosof€a de la matem•tica matem•ticas subjetivas (aunque el argumento de Benacerraf se dirige al convencionalismo y al formalismo. 151]. telefonica. 001. terra. etc [49] Formalismo. N 68 (Agosto 1991) 157. como suponemos en nuestro discurso habitual. oxfordscholarship. pdf). 1093/ acprof:oso/ 9780199296309. pdf)) y "Seg…n Benacerraf. Francisco Rodriguez C: Lo que es y no es la verdad matem•tica (http:/ / dspace. concordia. ver —ngel Ruiz Z 26. En los primeros aŒos del siglo XX. Mark: "Sobre la base de su filosof€a de la mente. P. com/ view/ 10. iba mucho m•s all• de la mera relaci‚n de dichos problemas. esta idea es todav€a vaga [13. CASO: FORMALISMO (http:/ / www. 0001/ acprof-9780199245697-chapter-12?rskey=8hszxc& result=4& q=Vienna Circle). forthcoming URL = <http://plato. pdfE) p 6 [58] Keith Hossack (1991): Access to Mathematical Objects (http:/ / files. pdf) Razonamientos finistas son aquellos "razonamientos absolutamente seguros y libres de cualquier clase de sospecha" (ibid) [53] Ferran Mir S (2006): "La conocida intervenci‚n de David Hilbert (1862-1943) en el Congreso Internacional de Paris de 1900. conducir• en los aŒos sucesivos a la idea de completud del sistema axiom•tico. cualquier explicaci‚n de la verdad matem•tica debe satisfacer dos requisitos b•sicos: erigirse sobre la base de una sem•ntica y de una epistemolog€a paralelas a las usuales en el discurso no matem•tico. ucr. como suponemos en nuestro usos ling‰€sticos habituales. investigacionyciencia. volumen 2. parece implicar que los enunciados matem•ticos no pueden referirse a objetos abstractos" (en BENACERRAFƒS DILEMMA AND INFORMAL MATHEMATICS (http:/ / philosophy. ver. meetup. info/ Epistemologia 2009/ David HIlbert y el Formalismo. google. no creo que las tentativas del intuicionismo se libren nada mejor". Al mismo tiempo. 125 y ss. Volume 2 (http:/ / books. stanford. [47] GREGORY LAVERS (2009): "El sentido com…n respecto a la verdad y la forma sint•ctica de los enunciados matem•ticos nos lleva a concluir que los enunciados matem•ticos se refieren a objetos abstractos. ›& f=false) [57] Russell Marcus (2006): Pluribus Putnams Unum (http:/ / www. thatmarcusfamily. canalsocial. Intuitionism in the Philosophy of Mathematics (http:/ / plato." en 5. etc. El hecho de prescindir de las definiciones de los objetos b•sicos. en el que establec€a los axiomas a partir de los cuales pod€a desarrollarse. edu/ entries/ intuitionism/ ). Rosalie. org/ issues/ 81/ Mathematical_Knowledge_A_Dilemma).". com/ view/ 10." en LA POLEMICA INTUICIONISMO FORMALISMO EN LOS A•OS 20. por ejemplo Douglas Patterson: "Introducci‚n" en New Essays on Tarski and Philosophy (http:/ / www. Mediante este ideal axiom•tico pod€a construir un raciocinio sobre objetos que no necesitaba definir.. org/ philosophy/ Papers/ Putnams.stanford.Vol XXIII. (http:/ / books. Tambiƒn esta presente la idea de simplicidad: el conjunto de axiomas ha de ser lo m•s reducido posible y deben ser independientes unos de otros. S Hacker: "On Carnap's Elimination of Metaphysics" en Wittgenstein: Connections and Controversies (http:/ / www. (http:/ / www. Brouwer caracteriza principalmente las matem•ticas como la libre actividad del pensamiento exacto. La epistemolog€a se necesita para que la verdad de los enunciados matem•ticos presuponga alg…n conocimiento de las entidades referidas por los tƒrminos enunciados.-Cr€tica: Revista Hispanoamericana de Filosof€a. La combinaci‚n del ideal axiom•tico con la convicci‚n de que todo problema debe tener soluci‚n. com/ 1148978/ mathobjects1. De este modo se esforz‚ por evitar 11 .). 1093/ 019924569X. pero esta claro que Hilbert considera que desde un reducido grupo de axiomas pueden derivarse la totalidad de los teoremas aceptados en las matem•ticas ordinarias. com/ net/ mathe/ didactica-536990/ formalismo-matematico-y-epistemologia-parte-1-34552535) [55] Aroca. si tales enunciados han de ser verdaderos. mediante pura deducci‚n. Edward N. en la que Kant y Schopenhauer fueron las principales influencias. asp?id=5736& cat=filosofia) [50] Para una introducci‚n general. ac. es/ web/ mir/ ferran/ PTE20. ca/ facultyandstaff/ faculty/ documents/ benacerraf. tanto euclideas como no euclideas. plano. matematicasyfilosofiaenelaula. hace que se le haya reprochado la reducci‚n de las matem•ticas al estudio de las simples relaciones entre objetos abstractos: un puro juego con s€mbolos. ›& source=bl& ots=BHCIzfZIdc& sig=FNGNX7E1N3t1CmqTigO2oW20lPE& hl=en& sa=X& ei=YBTFUPDgAvSq0AXT64DIAg& ved=0CC8Q6AEwAQ#v=onepage& q=Putnam + "The Thesis that Mathematics is Logic. I. Josƒ Manuel El progreso de la matem•tica en los …ltimos 25 aŒos (http:/ / www. ese sentido com…n. oxfordscholarship. htm) (en Historia y filosof€a de las matem•ticas (http:/ / www. Esta construcci‚n mental de un n…mero natural tras de otro. revista. En la intuici‚n. por tanto es imposible tomar alguno de ellos como autosuficiente construir el otro a partir de ah€. una proposici‚n s‚lo se hace realidad cuando el sujeto ha experimentado su verdad (por haber llevado a cabo una construcci‚n mental apropiado). una preconcepci‚n del tiempo. o la esencia de los n…meros naturales 1. En oposici‚n al formalismo de Hilbert (v.). pp 15-19 [62] L. de manera similar. ii) las leyes que rigen el comportamiento de dichos objetos derivan de su construcci‚n. pdf) [73] Ver Miguel Espinoza (2003): Intuicionismo y Objetividad (http:/ / institucional. us. Russell y los logicistas 33 y iii) en la matem•tica no es admisible ninguna teor€a que rebase el marco de lo dable en la intuici‚n. E. pdf) revista unam vol. como sostienen Hilbert y los cantorianos. p. no hay factor determinante de la verdad matem•tica fuera de la actividad de pensar. 20 (2): 81…96. BARRIO GUTI“RREZ: "Intuicionismo matem•tico. como la aplicaci‚n de un algoritmo. todo ser humano tiene una intuici‚n congƒnita en relaci‚n con los n…meros naturales. en vista de Brouwer. Brouwer (v.Brouwer. N. Dado que. Angela Patricia Franco Uri•n en "el uso de la noci‚n del tiempo como base primordial de su elaboraci‚n del continuo.. una nueva repetici‚n y aparece el n…mero 3.Heyting y el Intuicionismo. 2. edu/ ~schang/ math/ formal. pdf) p 101-102 [65] J. como el conocimiento que presupone el lenguaje. matematicasyfilosofiaenelaula. Para preguntarnos si lo que pensamos corresponde o no a algo externo al pensamiento. a la iniciaci‚n de un gran espacio de posibilidades no actualizadas ni determinadas y esto se observa en Brouwer tomando como base su 12 . es necesario que el intelecto y la cosa estƒn separados. El tiempo es el …nico elemento €a priori• del continuo. stanford. que el proceso mental que origin‚ el numero 1 puede repetirse. Digo "se supone" porque la inmidiatez podr€a ser una ilusi‚n. Este se basa en lo que Brouwer denomina €intuici‚n primordial o primigenia•. es/ revistas/ themata/ 30/ 07 espinoza.6/num 1 (2005) secci‚n € El intuicionismo de Brouwer•. us. Una de las corrientes matem•ticas de m•s fecundidad en el momento actual es el llamado Intuicionismo matem•tico." en KANT VISTO DESDE LAS MATEM—TICAS (http:/ / www. y en segundo lugar. A veces en matem•ticas se entiende tambiƒn por intuici‚n las operaciones de calculo o lo que llega a entenderse f•cilmente. es/ revistas/ themata/ 30/ 07 espinoza.488).) sobre la base de anteriores ideas defendidas por L. 1975. no de la l‚gica. [67] Dick de Jongh: Intuicionismo (http:/ / staff. 6/ num1/ art06/ ene_art6. us. pdf) Bull. la inmediatez atribuida a la intuici‚n que ha dado a los intuicionistas la confianza en este modo de conocimiento. telefonica.. el tƒrmino €despuƒs• tiene una connotaci‚n de tiempo. de acuerdo a Angela Patricia Valencia Salas. Zalamea (2001) menciona que uno de los rasgos que caracteriza la idea de un continuo sintƒtico es la Genericidad. citado por Espinoza en Intuicionismo y objetividad (http:/ / institucional. com/ adm/ uploads/ artigo/ negacion_y_doble_negacion_en_el_intuicionismo_de_brouwer/ 23_Negacion_y_doble_negacion. por eso no se plantea el problema de la verdad-adecuacion. en Intuicionismo y objetividad (http:/ / institucional. pdf). y en ese aspecto Brouwer se adhiere al fil‚sofo Immanuel Kant (1724-1804) para quien la mente humana tiene una apreciaci‚n inmediata de la noci‚n de tiempo. nl/ ~dickdj/ intsalamanca1.†414…437. En esta forma. science. y es de all€ de donde proviene el tƒrmino €intuicionismo•. sobre los que se seguir•n construyendo otros mediante un sistema operacional claro. Math. info/ Epistemologia 2009/ Brouwer. org/ Rialp/ I/ intuicionismo. MR†1559427.. y se apoya en tres tesis radicales: i) los objetos matem•ticos se construyen directamente en la intuici‚n pura. como unidad de lo continuo y lo discreto... J. que consiste en la capacidad de conciencia de la relaci‚n entre antes-despuƒs. no es gradual como una inferencia. pdf) p 110. donde n es un natural arbitrario. induce la creaci‚n del n…mero 2. nunca podr€a darse. Es entonces la falta de distinci‚n sujeto-objeto. pdf) [64] La "intuici‚n" a la que se hace referencia tiene un sentido m•s bien especializado: Miguel Espinoza: "Se supone que un conocimiento intuitivo no ocurre en etapas. Kant us‚ la palabra €intuici‚n• para €apreciaci‚n inmediata•." en 3. El Principio de Tercio Excluso (http:/ / personal.) est• constituida exclusivamente por un conjunto de entes construidos intuitivamente por el matem•tico. el ser humano puede construir cualquier segmento inicial 1.. Que la conciencia sea incapaz de seguir los diferentes pasos del cerebro no significa que biol‚gicamente haya tambiƒn inmediatez. pp. pdf) [71] SEP: 2. pdf) (Thƒmata. Cuando afirmamos 2 va despuƒs de 1. nl/ ~dickdj/ intsalamanca1. unam. Por lo tanto Brouwer puede afirmar que "no hay verdades sin experiencia" (Brouwer. si no tuviƒramos dentro de nosotros. como pretenden Frege. edu/ entries/ philosophy-mathematics/ #Int) [72] Dick de Jongh: Intuicionismo (http:/ / staff. math. [70] ver Jorge Alberto Molina (2008): Negaci‚n y Doble Negaci‚n en el Intuicionismo de Brouwer (http:/ / www. htm) [66] De acuerdo a Brouwer "un ente solo existe si puede ser construido a partir de la intuici‚n primordial". Amer. [69] A. Esto no ocurre en la intuici‚n. a la matem•tica no constructiva y a las paradojas. una proposici‚n s‚lo es falsa cuando el sujeto ha experimentado su falsedad (por darse cuenta de que una construcci‚n mental apropiado no es posible). terra. mx/ vol. Esto significa en primer lugar que tenemos una certeza inmediata de lo que significamos con el n…mero €1•. edu/ entries/ brouwer/ #Bri) [61] Carlos Torres A: "El intuicionismo fue la respuesta de Brouwer al logicismo de Russell. pasado-presente. La repetici‚n de este proceso. science. " en 5. oquenosfazpensar. la posibilidad de pensar a la vez en singularidades unidas por un "entre" que nunca se agota por inserci‚n de nuevas singularidades. uva. Toda inferencia debe estar basada finalmente en verdades intuitivas"... es/ revistas/ themata/ 30/ 07 espinoza. Heyting y el Intuicionismo.2 Intuitionism (http:/ / plato. La tesis fundamental de este i(ntuicionismo) es la afirmaci‚n de que la Matem•tica (v. uva. siendo por ello previos al lenguaje y a la l‚gica. n." en INTUICIONISMO (http:/ / mercaba. La rapidez de un ordenador no implica intuici‚n. Brouwer (1913): INTUITIONISM AND FORMALISM (http:/ / www. 3. lo aprehendido y la operaci‚n de la mente forman un solo proceso. [63] DIEGO PAREJA HEREDIA: "Para los intuicionistas las bases de las matem•ticas estaban en la explicaci‚n del origen. tienen una sola forma.Filosof€a de la matem•tica la Escila del platonismo (con sus problemas epistemol‚gico) y el Caribdis del formalismo (con su pobreza de contenido). Brief Characterization of Brouwer's Intuitionism" en Luitzen Egbertus Jan Brouwer (http:/ / plato.7 … Brouwer. (http:/ / www. Para la filosof€a intuicionista. pdf) [68] Ferran Mir Sabatƒ (2006): LA POLEMICA INTUICIONISMO FORMALISMO EN LOS A•OS 20. es/ web/ mir/ ferran/ PTE20. Kronecker. 3. preciso y fecundo. stanford. fue creado por L. Kolmogorov: "On the principle of excluded middle". Nro 30) p 111 -112 y 103-106 [74] Esta concepci‚n se basa. que refiere a lo no particularizante. Soc. uga. 2. Azriel Lƒvy (1973): Foundations of set theory (http:/ / books. org/ rec/ GEOSWS) [94] Para una visi‚n general del empirismo matem•tico. es/ books?id=z4MEAAAAQAAJ& q=mathematics#v=snippet& q=mathematics& f=false) ("El sistema de la l‚gica"). produce el teorema de continuidad. Dragalin (originator) Intuitionism (http:/ / www. pdf) [77] Michel Bordeau: El Error de Cantor en Jorge Mart€nez Contreras. (http:/ / www. En una nota al pie. un corolario del teorema de la barra. buffalostate. Brouwer.) [87] Stewart Shapiro. 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Brouwer menciona que tales pruebas. las pruebas intuicionistas no son cl•sicamente aceptables porque dependen de la reflexi‚n sobre la estructura de las pruebas mentales. scribd. P. que no es v•lido cl•sicamente. stanford. The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Fall 2012 Edition). edu/ philosophy/ documents/ mathematical structuralism today.Filosof€a de la matem•tica Intuici‚n Primigenia. google. maths. html?hl=es& id=Z7I-AAAAIAAJ) (ver Revisi‚n del libro (http:/ / projecteuclid." en 4. citado por D. se/ matematiklth/ personal/ mario/ talks/ godel. com/ doc/ 49725186/ 13/ Desarrollos-posteriores-de-intuicionismo-y-constructivismo) p 102 y sig [84] Bishop. edu. uis. Mark: "Los teoremas fundamentales del an•lisis intuicionista . por otro lado. cl•sicamente v•lido. Zalta. htm) [82] Para una visi‚n mas profunda de estos desarrollos. ver David Bostock (2009): "Empiricism in the Philosophy of Mathematics" en D. punto 3. google. Azriel Lƒvy (1973): Foundations of set theory (http:/ / books. ver: Abraham Adolf Fraenkel. de hecho. stanford. [83] ver Gustavo Fern•ndez D: Desarrollos posteriores de intuicionismo y constructivismo (http:/ / www. utm. matematicasyfilosofiaenelaula. google. google. en Encyclopedia of Mathematics. Woods (edtrs): Philosophy of Mathematics (http:/ / books. en Mathematical Structuralism (http:/ / www. scribd. edu/ archives/ fall2012/ entries/ mathematics-constructive/ ). que ƒl identifica con los objetos mentales en la mente del sujeto. libro III. (1967): Foundations of Constructive Analysis. info/ Epistemologia 2009/ Brouwer. info/ revue-internationale-de-philosophie-2004-4-page-483. Gabbay. En esta reflexi‚n. El teorema del abanico es. S. Mill: "La matem•tica es la ciencia emp€rica de validez m•s general.1] † ‡ es continua e incluso uniformemente continua. que ser€a adoptada m•s tarde por Martin-L‹f y por Dummett. 1927). edu/ entries/ brouwer/ #Bri) [80] Win Veldman: "Some applications of Brouwers Thesis on Bars. Natiello en Los fundamentos de la matem•tica y los teoremas de G‹del (http:/ / www. en One Hundred Years of Intuitionism (1907-2007): The Cerisy Conference (http:/ / books. Aura Ponce de Le‚n.G. cairn. S. E. y el teorema de la continuidad . punto 4. p 162.Vƒase tambiƒn J. P HEREDIA 5. Resnik (2004): Structuralism and the Independence of Mathematics (http:/ / philpapers. es/ books?id=ah2bwOwc06MC& printsec=frontcover#v=onepage& q& f=false) p 259 [76] L. org/ DPubS?service=UI& version=1. bams/ 1183531480) (ambos en inglƒs) [85] Gustavo Fernandez D: "SEMINARIO DE LOGICA Y FILOSOFIA DE LA CIENCIA I. Yehoshua Bar-Hillel. Oxford 2000. Mill: System of logic (http:/ / books.se encuentran en "Sobre los dominios de definici‚n de las funciones" (Brouwer. Douglas. Las pruebas cl•sicas no son €intuicionisticamente• aceptable debido a la manera en que depender de PEM. ver STRUCTURALISM. Cole (2010): Mathematical Structuralism Today (http:/ / www. umn. stanford. MATHEMATICAL (http:/ / www. php?title=Intuitionism& oldid=18352). stanford.405 [78] Para profundizar estas. Luis Villoro: El saber filos‚fico (http:/ / books. google. Shapiro (1997): Philosophy of Mathematics: Structure and Ontology (http:/ / philpapers. y el tercero (que no debe confundirse con el principio de continuidad para las secuencias de elecci‚n) establece que cada funci‚n total [0. que tampoco es cl•sicamente v•lido. ver A. Thagard.el teorema de la barra. Brouwer introdujo la noci‚n de la forma de una prueba con "an•lisis completo" o "can‚nica".. es/ books?id=mbn35b2ghgkC& printsec=frontcover#v=onepage& q& f=false) p 157. 0& verb=Display& handle=euclid. 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J. google." en SOBRE UNA CONSTRUCCIœN ALTERNATIVA AL CONTINUO DE CANTOR: EL CONTINUO INTUICIONISTA (http:/ / matematicas.7 … Brouwer.230 [95] J. org/ index. pdf) Ver tambiƒn Julian C.Edward N. edu/ entries/ brouwer/ #Bro) en Luitzen Egbertus Jan Brouwer (http:/ / plato. vol 2. pdf) [91] Por ejemplo: S. es/ books?id=PL9dBmodfS4C& printsec=frontcover#v=onepage& q& f=false) esp pp 396. pdf) [75] ver: Abraham Adolf Fraenkel. edu/ m-struct/ ) en "Internet Encyclopedia of Philosophy (IEP) 2010 [88] Stewart Shapiro. edu/ Papers/ structuralism. es/ books?id=ah2bwOwc06MC& printsec=frontcover#v=onepage& q& f=false) pp 252-264: "The Primordial intution of integer: Choice sequences and Brouwer's concept of set [79] van Atten. S.. cap XXIV. M. el teorema del abanico.: Foundations for Mathematical Structuralism (http:/ / mally. Lakatos (ed. es/ url?sa=t& rct=j& q=mathematical%20empiricism& source=web& cd=18& ved=0CFsQFjAHOAo& url=http%3A%2F%2Fscholarship. 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