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March 18, 2018 | Author: Anthony Llanto | Category: Curve, Square Root, Euclidean Vector, Differential Geometry, Integral
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UNI-FIEE MATEMÁTICAS III2012-1 Página 1 Capítulo 1 Funciones Vectoriales de Variable real Nos interesa estudiar funciones ⃗ Pues para cada ⃗ ()es un vector En especial cuando es un intervalo Identificación Así podemos identificar a ⃗ como ⃗ ( ) donde para cada { } llamada ésima componente de ⃗ Observación ⃗ () ( ) () () () ⃗ () Gráfica de una función vectorial de variable real Gr ⃗ { ⃗ () ⃗ } Se aprecia que: Gr ⃗ Apreciación ⃗ () ( ) [] UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 2 Operaciones Si ⃗⃗⃗⃗ ⃗ definimos: ) ( ⃗ ⃗)() ⃗ () ⃗() ⃗ ⃗ ( ⃗ ) ( ⃗) )( ⃗ ⃗)() ⃗ () ⃗() ( ⃗ ⃗) ( ⃗ ) ( ⃗) 3) Si ⃗ : ( ⃗ )⃗ () ⃗ () ( ⃗ ) ( ) ( ⃗ ) 4) Si definimos ( ⃗ ⃗)() ⃗ () ⃗() ( ⃗ ⃗) ( ⃗ ) ( ⃗) Punto de acumulación Recordemos que y hemos definido lo que significa ⃗ 1 1 0 1 R UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 3 ser punto de acumulación. es un punto de ( ) Si: (〈 〉{}) así si [ es un p.a de . Ya que (〈 〉 〈 〉) [ Pero si [ ] {} no es p.a de Si 〈 〉 〈 〉 Límites 1) Sea ⃗ b p.a de diremos que ⃗ ⃗ () | | ‖ ⃗ () ⃗‖ b ⃗ ⃗ () 2 1 0 0 UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 4 PC ( ) () ⃗ () ( ) Tomemos arbitrario ‖ ⃗ () ()‖ ‖( ) ()‖ ‖( )‖ | |‖( )‖ | | √( ) ⏟ Tomamos 0 | | -1 ( ) ( ) √( ) √ ‖ ⃗ () ()‖ | |√ Si | | ‖ ⃗ () ()‖ si | | | |√ min{ √ } Apreciación Si ⃗ UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 5 ⃗ () ⃗ () OJO ⃗ () ( ()( ) ) ⃗ () ( ()( ) ()() ) = ( ) Prop Si ⃗ ⃗ y existen ⃗ () ; ⃗ () p.a de entonces: ( ⃗ ⃗)() ⃗ () ⃗ () ( ⃗ ⃗)() ( ⃗ ()) ( ⃗ ()) Si ( ⃗ ⃗)() ( ⃗ ()) ( ⃗ ()) Prop Si ⃗ ⃗ acotada en y () b p.a de A,entonces ( ⃗⃗⃗ ) () ⃗⃗ Aplicación ( ( ) ( ) ) () ⃗ () ( ( ) ( ) ) UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 6 ‖ ⃗ ()‖ √ () Continuidad ⃗ Se dice que es continua en , si: 1) 2) ⃗ () 3) ⃗ () ⃗ ( ) Interpretación Si ⃗ es continua en significará que la curva gráfica de ella, no tiene “saltos” Si ⃗ Se dice que es continua en Si es en cada punto de Derivación Sea ⃗ definamos la función ⃗ como UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 7 ⃗ () ⃗ ( ) ⃗ () ⃗ { ⃗ ( ) ⃗ () } Interpretación Si la gráfica de ⃗ () es una curva plana se aprecia fácilmente que ⃗ ( ) es un vector tangente a la gráfica de ⃗ , en el punto ⃗ ( ) Si ⃗ ( ) ⃗⃗⃗⃗ entonces la recta tangente a la gráfica de ⃗ en ⃗ ( ) es: { ⃗ ( ) ⃗ ( ) } Prop ⃗ ( ) , ⃗ ( ) ( ) En caso afirmativo ⃗ () ( () () ()) Prop Si ⃗ ( ) entonces ⃗ es continua en ⃗ ( ) ⃗ ( ) ⃗ ( ) ⃗ ( ) ⃗ ( ) ⃗ ( ) ⃗ ( ) ⃗ ( ) ⃗ ( ) ⃗ ( ) UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 8 = ⃗ ( ) Otras propiedades 1)Si ⃗ ( ) ⃗ ( ) entonces ( ⃗ ⃗) ( ) .Además ( ⃗ ⃗) ( ) ⃗ ( ) ⃗ ( ) asimismo ( ⃗ ⃗) ( ) ⃗ ( ) ⃗( ) ⃗ ( ) ⃗ ( ) Recordando(clase 2) ⃗ ⃗ ( ) ⃗ () (|| ) ⃗ {} () || () ⃗ () () ⃗ () ( || ( ) ( ) ) UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 9 Apreciación ⃗ () (( ) ( ) ) ⃗ () ⃗ () En realidad si ⃗ es de módulo constante entonces ⃗ () ⃗ () Visualización ‖ ⃗ ()‖ ( en el ejemplo ‖ ⃗ ()‖ √ ( ) ( ) () () √ ) ‖ ⃗ ()‖ ⃗ () ⃗ () Derivando con respecto a ⃗ (). ⃗ ()+ ⃗ () ⃗ ()=0 ⃗ () ⃗ () además vemos que ⃗ ( ) ( ) asimismo en caso existan ⃗ ( ) ⃗ ( ) ⃗ ⃗ UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 10 entonces: ( ⃗ ⃗) ( ) ⃗ ( ) ⃗ ( ) ( ⃗ ⃗) ( ) ⃗ ( ) ⃗( ) ⃗ ( ) ⃗ ( ) En el caso especial de ⃗ ⃗ entonces: ( ⃗ ⃗) () ⃗ () ⃗() ⃗ () ⃗ () ⃗ ⃗ | ̅ ̅ ̅ | ( ) ( ⃗ ⃗) ( ) + ( ) ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ | ̅ ̅ ̅ | ⃗ ⃗ | ̅ ̅ ̅ | Integración Dada ⃗ donde cada componente de de ⃗ es integrable en [ ] definimos:∫ ⃗ () (∫ () ∫ () ∫ () ) Aclaración ⃗ () ( ) UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 11 ∫ ⃗ () (∫ ∫ ∫ ) ( ) Referencia ∫ √ ( ()) ( ()) (() ()) [ ] Generalizando: Si es una curva gráfica de una ⃗ [ ] con derivada en todo [ ] entonces se dice que es rectificable (o medible) si ∫ ‖ ⃗ ()‖ ∫ ‖ ⃗ ()‖ CI : [] ⃗ () ( ) ∫ ‖ ⃗ ()‖ ∫ ‖( )‖ ∫ √ () () () Apreciamos 1) Si ∫ ⃗ () y entonces ∫ ⃗ () ∫ ⃗ () Además : ∫ ⃗ () ∫ ⃗ () ∫ ⃗ () (∫ () ) () UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 12 2) (∫ ⃗ () ) ⃗ () 3) ∫ ⃗ () ⃗ () ⃗ () Complementando Definición Una curva en la consideraremos como la gráfica de una función ⃗ un intervalo de PI ( ) [] ¿Puede graficar ? Parametrizar no es sencilla Orientación Dada ∫ () () () UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 13 ( ) [ ] Curvas de clase ( ) Si ⃗ () diremos que es clase si: ⃗ () () ⃗ () ( ⁄ ) [] es de clase ⃗() ( ) es de clase Es decir ⃗ () () Curva Simple determinada por ⃗ , se dice que es una curva simple, si ⃗ es negativa ⃗ () ⃗ () Interpretación es una curva simple Si no “se corta” UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 14 Curvas Cerradas determinada por ⃗ () [ ] se dice que es una curva cerrada si ⃗ () ⃗ () : ⃗ () ( ) [ ] [ ] ⃗ () ⃗ () ( ) ( ) { UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 15 { ⃗ () ⃗ () no es simple Velocidad y Aceleración Si la curva representa la trayectoria de un móvil podemos llamar a ⃗ () el vector velocidad , ⃗ () el vector aceleración. ‖ ⃗ ()‖ ‖ ⃗ ()‖ En general en estos casos escribimos ⃗() ⃗() ⃗ () ⃗() ⃗ () ⃗ () ‖⃗ ‖ ‖⃗ ‖ Curva Regulares Si tiene representación paramétrica ⃗ (), Se dice que es una curva regular si ⃗ () ⃗⃗ . Consecuencia No ⃗ ( ) ⃗ ( ) UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 16 ⃗ ( ) ⃗ ( ) Parametrización Una se puede parametrizar de varias formas (equivalencia) () [] ¿Quién es ? () [] ¿Es una rep. paramétrica de ? ( ) [] ¿Es una rep. par? No, pues () : ( ) ¿Es una rep. param? Longitud de arco () UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 17 ( ) [] es la longitud de arco ∫ ‖ ⃗ ()‖ ∫ ‖( )‖ ∫ CL ∫ ‖ ⃗ ()‖ ∫ ‖( )‖ ∫ √ ∫ √ Geometría Diferencial Si una curva con rep. paramétrica ⃗() donde . ⃗ () [] UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 18 se puede parametrizar en términos de la longitud de arcos : ⃗ ⃗() [ ] ⃗⃗ ( ) ⃗ ( ) En caso esta rep. paramétrica con parámetro , ⃗⃗ () ⃗ () ‖⃗ ()‖ Veamos que son equivalentes ⃗⃗ ⃗ ‖⃗ ‖ ( ) ( ) ‖⃗ ‖ ⃗⃗ ⃗ () ‖⃗ ‖ ‖⃗ ‖ ⃗ () ⃗⃗ es un vector tangente unitario a en ⃗()( ⃗()) ‖ ⃗⃗ ‖ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗() ⃗() ⃗() UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 19 Definimos el vector normal ⃗⃗⃗ () ⃗⃗ () ‖ ⃗⃗ ()‖ ⃗⃗ () ⃗⃗⃗ () asimismo definimos el vector binormal ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗ es un vector unitario ‖ ⃗⃗ ‖ ‖ ⃗⃗ ‖‖ ⃗⃗⃗ ‖ =1 Recordando (clase 3) ⃗⃗ () ⃗⃗ () ⃗⃗⃗ () ⃗() ⃗⃗ ( ) ⃗⃗⃗ ( ) ⃗⃗ ( ) Plano Normal Plano Osculador UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 20 Identidades tiene representación paramétrica un parámetro ⃗⃗ () ⃗ () ‖⃗ ()‖ ⃗⃗ () ⃗ ()⃗ () ‖⃗ ()⃗ ()‖ ⃗⃗⃗ () (⃗ ()⃗ ())⃗ () ‖⃗ ()⃗ ()‖‖⃗ ()‖ aplicando identidades del producto vectorial se tiene que ⃗⃗⃗ () ‖⃗ ()‖ ⃗ ()(⃗ ()⃗ ())⃗ () ‖⃗ ()‖‖⃗ ()⃗ ()‖ Fórmulas de Frenet Generalmente trabajamos con curvas en de clase , regular ( ⃗ () ⃗⃗ ) Estudiemos el comportamiento de estos vectores de referencia o triedro de Frenet en P, cuando P se traslada a lo largo de la curva , originándose 3 campos de vectores a lo largo de . ⃗⃗ ⃗⃗⃗ UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 21 Afirmación ⃗⃗ ‖⃗ ‖ ⃗⃗⃗ Curvatura Sea una curva determinada por ⃗ definamos la función , consideremos a parametrizada con respecto al parámetro s (longitud de arco). s () ‖⃗ ()‖ que se llama curvatura Podemos escribir ⃗⃗ ⃗⃗⃗ al tomar módulos, resulta que la curvatura () es la variación del vector tangente por unidad de longitud de arco. Interpretación ⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 22 Torsión Definamos para con rep. paramétrica ⃗() longitud de arco, la torsión () Como () la variación de la binormal por unidad de longitud. Apreciaciones Tomemos las siguientes expresiones en términos de coordenadas rectangulares 1) Definimos el círculo de curvatura, el ⃗⃗ UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 23 radio de curvatura Centro del círculo de curvatura ⃗⃗⃗ 2) ‖ ⃗⃗ ⃗⃗ ‖ ‖ ⃗⃗ ‖ ⃗() (() () ()) √ | | | | | | ( ) ⁄ Propiedad ⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ (Demostrar) ⃗⃗ ⃗⃗⃗ Matricialmente ( ⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗ ) ( )( ⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗ ) Ejercicios radio de curvatura Círculo de Curvatura UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 24 Encontrar las ecuaciones de los planos osculador y rectificante para la curva : en el punto ( √) Solución y √ ⃗() ( √ ) ⃗ () ( ( ) ⁄ ) ⃗ () ( ( ) ⁄ ( ) ⁄ ) ( ⃗ ( √)) ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ () ⃗ () ⃗ ( ) ( √) ⃗ ( ) ( √) ⃗ ( ) ⃗ ( ) (√ √ ) Plano Osculador ( ⃗ ( √)) (√ √ ) Plano Rectificante ( ⃗ ( √)) ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ( ) ( √) ⃗⃗ ⃗ ( ) ⃗ ( ) (√ √ ) ⃗⃗⃗ ( √) ( ⃗ ( √)) ( √) Ejercicio (tarea) UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 25 Encontrar la curvatura para en ( ) Ejercicios (tarea) ) [⃗ ⃗ ⃗ ] ‖⃗ ‖ ) | | ) Calcule , en el punto ( √ ) de Demostrar la propiedad siguiente ⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ (Demostrar) ⃗⃗ ⃗⃗⃗ Solución De la definición de curvatura () ‖ ⃗⃗ ()‖ () Se sabe que ‖⃗ ()‖ () Por definición de vector normal unitario UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 26 ⃗⃗⃗ () ⃗⃗ () ‖ ⃗⃗ ()‖ ⃗⃗ () () () ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ () () ⃗⃗⃗ () Se sabe que ⃗⃗ y ⃗⃗ son vectores unitarios perpendiculares ⃗⃗ () ⃗⃗ ()=0 Derivando con respecto a ⃗⃗ () ⃗⃗() ⃗⃗() ⃗⃗ () ⃗⃗ () ⃗⃗() ⃗⃗() () () ⃗⃗⃗ () ⃗⃗ () ⃗⃗() Como los tres vectores unitarios constituyen una base en entonces se puede expresar cualquier vector en función de esa base ⃗⃗ () ( ⃗⃗ ⃗⃗ ) ⃗⃗ () ( ⃗⃗ ⃗⃗⃗ ) ⃗⃗⃗ () ( ⃗⃗ ⃗⃗ ) ⃗⃗ () ⃗⃗ () ( ⃗⃗ ⃗⃗⃗ ) ⃗⃗⃗ () entonces ⃗⃗ () ⃗⃗⃗ () ⃗⃗ () () ⃗⃗⃗ () ⃗⃗ () () () ⃗⃗⃗ () Sea () () ⃗⃗ () () ⃗⃗⃗⃗ () ⃗⃗⃗ () ⃗⃗() ⃗⃗() UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 27 ⃗⃗⃗⃗ () ⃗⃗ () ⃗⃗ () ⃗⃗ () ⃗⃗ () ⃗⃗⃗⃗ () () ⃗⃗ () () ⃗⃗ () Ejercicio Encontrar la curvatura para en ( ). Solución: Derivando implícitamente las dos curvas que se dan (con respecto a ) y por otro lado Reemplazando las componentes en el punto que nos dan y Derivando nuevamente implícitamente Reemplazando los valores hallados y UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 28 Se sabe que la curvatura es ‖⃗ ⃗ ‖ ‖⃗ ‖ √ | | | | | | ( ) ⁄ √ | | | | | | (() ( ) ( ) ) ⁄ √ ( ) ( ) ( ) ( ) ⁄ √ √ √ Ejercicios 1) [⃗ ⃗ ⃗ ] ‖⃗ ‖ Solución De las ecuaciones de Frenet ⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ multiplicando escalarmente por el vector binormal ⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗⃗ ( ⃗⃗ ⃗⃗⃗ ) ⃗⃗ () ⃗ () ⃗⃗ () ⃗⃗⃗ ⃗ () ⃗⃗⃗ UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 29 ⃗⃗⃗ ⃗ () ⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ ( ⃗⃗ ⃗⃗ ) (⃗⃗ ⃗⃗ ) ⃗⃗ [⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ] ⃗⃗ (⃗⃗ ⃗⃗ ) [⃗ ⃗ ⃗ ] ‖⃗ ‖ 2) | | Solución Del problema anterior expresando en componentes ⃗ () ( ) ⃗ () ( ) ⃗ () ( ) Reemplazando en la demostración del problema anterior [⃗ ⃗ ⃗ ] ‖⃗ ‖ | | ) Calcule , en el punto ( √ ) de Solución Derivando implícitamente con respecto a UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 30 √ √ √ ( ) √ √ , √ ( √ ) ( √ ) √ ‖⃗ ⃗ ‖ ‖⃗ ‖ √ | | | | | | ( ) ⁄ UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 31 √ | √ √ | | √ √ | | | ( ( √ ) ) ⁄ √ √ √ √ √ ⃗ () (⃗ () ⃗ ()) (‖⃗ () ⃗ ()‖) ⃗ () ⃗ () | ⃗ ⃗ ⃗⃗ √ | (√ ) ⃗ () ( √ ) ‖⃗ () ⃗ ()‖ √ ( √ )(√) √ UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 32 Matemática III FIEE-UNI El vector Darboux Si r = r (s) nos da la posición de un punto de la curva de la cual es una representación paramétrica, se define el vector Darboux como w (s) tal que: T'(s) = w(s) x T(s) N'(s) = w(s) x N(s) B'(s) = w(s) x B(s) Como entrenamiento comprobar y/o resolver: a) w= t T(s) + k N(s) b) ¿Cuál es el vector de Darboux de una curva plana? c) Determinar el vector de Darboux para una hélice circular recta d) ¿Cuáles son las curvas para las cuales w es constante? e) ¿Cuál será la relación entre t y k para que w x w' = 0 f) Ver que T'(s) x T''(s) = k 2 w(s), es decir que el vector de Darboux determina la rotación instantánea del triedro de Frenet. g) Sea r(t) = (rcos(at) , rsen(at), bt) a, b, r Є R, determine el vector de Darboux. h) Determine la curvatura y el vector de Darboux para la curva plana C dada en coordenadas polares. i) Determine la torsión de la curva C en R 3 en coordenadas esféricas. j) Determine la curvatura y el vector de Darboux para las curvas: -La espiral logarítmica: r=ae bθ , a , b Є R -La espiral de Frenet: r 2 = θ -La limacón: r =2acos(nθ) + b UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 33 1.- Sea la ec. de la parábola 2 4 y px = con 0 p > Parametrizando 2 2 x pt y pt = = 2 2 x pt y p ' = ' = 2 0 x p y ' = ' = Ec. de la Evoluta en el plano: * r r N µ = + , donde ( ) ( ) 3 2 2 2 3 2 2 2 x y x y y x k x y y x x y µ ' ' + ' '' ' '' ÷ = ¬ = ' '' ' '' ÷ ' ' + Hallando la evoluta para una parábola cualquiera de la forma 2 4 y px = : 2 2 x pv y pv = = ( ) ( ) 3 2 2 2 3 2 2 2 1 x y p v x y y x µ µ ' ' + = ¬ = + ' '' ' '' ÷ ( ) ( ) 2 ,1 2 ,2 1 v r pv p r T T v ' ' = ¬ ¬ = + ( ) 2 1, 1 v N T v ± ÷ ¬ = ÷ = + Para curvas planas Ec. de la evoluta: UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 34 ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 2 2 3 2 2 1, ,2 2 1 3 2 , 2 1 v pv pv p v pv p pv v ç ÷ = + + = + ÷ + Graficando: Vemos que tanto P y Q se encuentran en el primer cuadrante por lo tanto: 1 1 0 ,0 ,0 ,0 x y x y < < < < … (*) Igualando la ec. de la parábola y la evoluta: ( ) ( ) 2 3 2 3 2 , 2 ,2 pv p pv pt pt + ÷ = 2 2 2 2 3 2 3 2 pv p pt v t + = ¬ + = … (1) 3 3 2 2 pv pt v t ÷ = ¬ ÷ = … (2) Por condición (*): 0 , 0 t v < < Reemplazando (2) en (1): 2 6 6 2 3 2 3 2 0 v v v v + = ¬ ÷ ÷ = hacemos 2 v s = ( ) ( ) 3 3 2 3 2 0 2 2 0 1 2 1 0 s s s s s s s s ÷ ÷ = ¬ ÷ ÷ ÷ = ¬ ÷ ÷ + = UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 35 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 2 1 0 1 2 0 s s s s s s s ÷ + ÷ + = ¬ + ÷ ÷ = ( ) ( ) 2 2 1 2 0 1 2 1 2 2 s s s v v + ÷ = ¬ = ÷ . ¬ = ÷ . ¬ = ÷ por condición (*) Punto de intercepción: ( ) ( ) , 8 , 4 2 x y p p = para 2 2 2 v t = ÷ . = Para que deje la parábola: 2 cos C N C N v F F ma ma m mg u µ = ¬ = ¬ = donde 1 tan y x t u ' = = ' Por conservación de energía: ( ) 2 2 1 1 4 2 2 4 2 i f i f v E y mg E mg m E E v g y p µ = . = + ¬ = ¬ = ÷ ( ) 3 2 2 2 1 54 p t p µ = + = 2 cos v g u µ ¬ = ( ) 1 2 2 4 2 54 1 g y p t g p t ÷ ¬ = + para 2 2 t = u 1 t 2 1 t + UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 36 ( ) ( ) 2 1 1 1 22 2 4 , 242 ,22 2 y p y px x y p p ¬ = ¬ = ¬ = Como sabemos, un espiral equiangular, puede estar dado en forma paramétrica por Luego, la evoluta está dada paramétricamente por Y entonces, analíticamente, la evoluta de un espiral equiangular es otra espiral equiangular, con parametros y . En algunos casos, la evoluta es idéntica a la espiral original, como puede ser demostrado haciendo la substitución en la nueva variable: . Entonces las ecuaciones anteriores se convierten en : UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 37 las que son equivalentes a la forma de la ecuación original si se verifica que . Problema1 Un móvil de masa m es atraído hacia el origen de coordenadas con la fuerza f = - R si parte del punto (a, 0) con velocidad. Perpendicular al eje X, compruébese que la ecuación de la trayectoria es = a √ (donde es el ángulo formado por el vector posición y el eje X). Solución En primer lugar, se va a demostrar que el movimiento tiene su trayectoria en un plano: Se sabe que f = - R luego f = m.a entonces a = - R Como ( ) = r ya que = = 0 Resulta: ( ) = ( ) = 0 =��� (vector constante) ya que r y R son paralelos. Multiplicando escalarmente por r el vector ( ): . ( ) = 0 = .��� Es decir permanece constantemente perpendicular a un vector ��� fijo y , por tanto ,el movimiento se realiza en un plano. La aceleración del movimiento se puede expresar mediante: UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 38 a = [ ( ) ] R + ( ) P () La aceleración es puramente radial, ya que no actúan otras fuerzas distintas que la atracción desde el origen. Por tanto: ( ) () - ( ) = () De (2) se deduce: = c = constante Por otra parte, = ( ) ; ( ) = c = = ( ) = = () La solución de la ecuación diferencial (3) es: = a √ Como vamos a comprobar. Llamando A = √ = Y teniendo en cuenta (4) = = = AsenA = cosA ( ) = cosA. = A ( ) = = Por tanto, - ( ) = A - = ( ) A Como = ; - 1 = - ( ) = ( ) ( ) = A = UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 39 Por tanto, = a √ Es solución de la ecuación (3). Solo tendrá valores reales si Es decir, ; Problema2 demostrar que para dados los positivos , , ,…, se cumple la siguiente desigualdad: 1. > √ > Solución Considerando la función: ( ) √ , siendo , , ,…, positivos, además = C, siendo C una constante. Nuestro problema consistirá en demostrar que el máximo valor de esta función ( ) sea lo cual lo conseguiremos por el método de los extremos condicionados de Lagrange siendo la condición = C, siendo C una constante .Siendo ( ) = = C Resolveremos ( ) ( ) y ( ) = = C . √ = . √ = . √ = Igualando la primera con la segunda ecuación se obtiene que , análogamente se obtiene que además = C UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 40 Entonces , evaluando en la función ( ) = = , que seria un valor extremo (mínimo o máximo) para cualquier valor de n. Demostraremos que es el máximo de la siguiente manera: Se sabe que ( √ √ ) siendo positivos √ √ Es decir el máximo valor de ( ) = √ es = Por lo tanto como ha cumplido que es el máximo valor para n=2, también lo será para todo n entero. Por lo tanto. √ Evoluta de la elipse Dada la elipse: Su evoluta viene dada por: que, eliminando el parámetro, queda: UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 41 UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 42 UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 43 Alumno: Peña Carhuancho Gino Curso: Matemáticas 3 secc: Q 3.- Si la ecuación paramétrica de la podaria de una curva respecto al punto (0; 0) es igual a Entonces determinar la ecuación paramétrica de la curva. Solución: Del grafico se observa: T ORTOGONAL // R* … (a) (R-R*) // t … (b) De (a) se obtiene que: De (b) se obtiene: Despejando la relación: UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 44 2.- Sea una curva plana en coordenadas polares definida por p=p (t), t varia de un valor “a” hasta otro valor “b” (a ≤ t ≤ b) ,hallar la longitud de esta curva . Solución: Definimos la ecuación vectorial de la curva en 2D por : R (t) = (p (t) cos(t), p (t) sen(t)) R'(t) = (p’ (t) cos(t) - p (t) sen(t), p'(t) sen(t) + p (t) cosє(t)) II R’ (t) II = ((p (t)) 2 + (p’ (t)) 2 ) 1/2 Sea “S” la longitud de arco, estará dada por : S (t) = ∫ √( () ) ( () ) dt Donde: S = 0, corresponde el valor de t= a 3.- Probar que si la normal principal a una curva tiene dirección constante, la curva es una recta. Solución: Condición el vector normal es constante: Derivando ⃗⃗⃗ respecto del parámetro natural longitud de arco “S” ⃗⃗⃗ ‘ = -k ⃗⃗ + t ⃗⃗ = ⃗⃗ (de la condición ) ,entonces se desprende : K = 0, ecuación intrínseca de una recta UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 45 ,K= curvatura. 4.- Demuestre que si todo punto de una curva tiene orden de contacto de la curva con la tangente, un orden 2, la curva es una recta. Solución: De la condición orden 2: Sea R(s) el vector posición que define ah la curva atreves de su parametrizacion natural “S” (longitud de arco) entonces al segunda derivada viene dada por: R''(s) = k ⃗⃗⃗ = ⃗⃗ (donde se desprende k=0) por lo cual la curva es una recta. 5.- Demostrar que una curva es una curva es una recta si todas sus tangentes pasan pasan por un punto fijo. Solución: Sea “P“el punto donde coinciden las tangentes, entonces: P(s) = R (s) + C(s) ⃗⃗ (s) , Donde : R (s) Define el vector posición de la curva ⃗⃗ (s) es el Vector tangente unitario de la curva C(s) funcion escalar Derivando respecto del parámetro natural longitud de arco “S” P'(s) =(1+ C'(s) ) ⃗⃗ (s) + C(s) k ⃗⃗⃗ (s) Como “P” es un punto fijo entonces su derivada será el vector cero UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 46 Por lo cual dado que ⃗⃗ (s) y ⃗⃗⃗ (s) son linealmente independientes K =0 por lo cual es una recta. 6.-Demostrar que la siguiente curva X = t 2 -1 , Y = t 2 + 2t+3 , Z = t+1, es Plana. Solución: Sea R (t) el vector que define la posición de la curva para todo parámetro “t” : R (t) = ( t 2 -1 , t 2 + 2t+3 , t+1 ) R' (t) = (2t, 2t +2, 1) R'' (t) = (2, 2, 0) R''' (t) = (0, 0, 0) Torsion = (R’ (t) x R'' (t) .R''' (t) ) / IIR' (t) x R'' (t)II 2 Como R''' (t) = (0, 0, 0), tendremos Torsión = 0 lo que define una curva plana. 7.- sea ⃗⃗⃗: I―R 3 una curva regular con curvatura no nula, supongamos que el normal unitario ⃗⃗⃗ es proporcional al vector posición ⃗⃗⃗ , esto es ⃗⃗⃗ (s) = C (s) ⃗⃗⃗ (s) , para todo “S” ,donde C (s) es una función , determinar la curva. Solución: ⃗⃗⃗ (s) = C (s) ⃗ (s) UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 47 Derivando respecto de “ S “ : -k ⃗⃗ + t ⃗⃗ = C' (s) ⃗ (s) + C (s) ⃗⃗ Donde se desprende : C (s) = - k y de t ⃗⃗ = C' (s) ⃗ (s) se desprende torsión = 0 ……..(1) y C' (s) =0 ……… (2) ,por lo cual C (s) constante que implica curvatura Constante, de (1) y (2) la curva vendría ah ser una circunferencia. 8.-Probar que si los planos normales de una curva tienen un punto en común, la curva esta en una esfera de centro en ese punto. Solución: Sea ⃗⃗ el punto común de los planos normales (plano binormal ),entonces De la ecuación del plano normal: ( ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ). ⃗⃗ = 0 , ⃗⃗⃗⃗ =vector posición de la curva Derivamos respecto del parámetro longitud de arco “S” : - ⃗⃗ . ⃗⃗ + ( ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ). k ⃗⃗⃗ = 0 ( ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ). ⃗⃗⃗ = 1 / k …………………………… (1) Derivamos (1) respecto del parámetro longitud de arco “S” : UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 48 ( ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ).( -k ⃗⃗ + t ⃗⃗ ) = k' / k 2 Donde obtenemos: ( ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ). ⃗⃗ = k' / tk 2 ……………………………………(2) De (1) y (2) desplendemos : ⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗ + (1 / k ) ⃗⃗⃗ + (k' / tk 2 ) ⃗⃗ Ecuación centro de la esfera cuyo radio: R R 2 = (1 / k ) 2 + (k' / tk 2 ) 2 9.-Hallar la ecuación de la recta tangente y del plano osculador en el punto (2,-2,2) a la curva definida por : 2x 2 – z 2 -3x +2 = 0 …………(1) y x 2 - z 2 +x+y = 0 ……….(2) Solución: Derivamos (1) y (2) respecto de “ x “ en forma implícita: 4x- 2zz'-3 = 0 ………… (3) y 2x-2zz'+1 + y' = 0 ……. (4) Evaluando el punto (2,-2, 2) para las ecuaciones (3) y (4) obtenemos: z' = 5/4 , y' = 0 Derivamos (3) y (4) respecto de “ x “ en forma implícita: 4-2z' 2 -2zz'' = 0 ………. (5) y 2-2z' 2 -2 zz''+ y'' = 0 ……….. (6) Evaluando el punto (2,-2, 2) para las ecuaciones (5) y (6) obtenemos: z''= 7/32 , y'' = 2 UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 49 Sea ⃗⃗⃗ (x) el vector posición de la curva oh ecuación vectorial que define la posición, entonces: ⃗ (x) = ( X, Y (x), Z' (x) ) ⃗ (x) = ( 1 , Y' (x), Z' (x) ) ⃗ (x) = ( 1 , Y'' (x), Z'' (x) ) En el punto (2,-2,2) ⃗ (2) = ( 1 , 0 , 5/4 ) ⃗ (2) = ( 0, 2 , 7/32 ) Como ⃗⃗ // ⃗ (x) X ⃗ (x) , entonces: La ecuación del plano osculador en el punto (2,-2,2) vendría dada por: (x-2,y+2,z-2).(-5/2 , -7/2 , 2 ) = 0 Y la recta tangente en el punto (2,-2,2) : (x,y,z) = (2,-2,2) + t ( 1 , 0, 5/4 ) 10.-Considerar un punto P de una curva “C” y un punto P 1 próximo ah P Sobre la curva “C” , en el sentido positivo desde P, sobre el lado positivo de la tangente ah la curva “C” en P , Colocamos un segmento PM igual ah la longitud del arco “ds “ de P 1 entre P y P 1 ,denotamos la longitud del segmento P 1 M por σ ,entonces probar que la curvatura “k” De curva “C” e P esta dada por : K = lim ds →0 2 σ / ( ds ) 2 UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 50 Solución: Por TAYLOR: Aproximamos la curva “C” : Sea ⃗ (s) el vector posición que define ah la curva “C” ⃗ 1 = ⃗ + ds ⃗⃗ + (ds 2 k /2) ⃗⃗⃗ ⃗ 1 - ( ⃗ + ds ⃗⃗ ) = ⃗⃗⃗ II⃗⃗⃗II = σ = ds 2 k/2 De donde se desprende K = lim ds →0 2 σ / ( ds ) 2 11.-Se denomina Hélice general aquella curva cuyas tangentes forman Un ángulo constante con una dirección fija .Demostrar que una curva es una hélice general si solo si sus binormales forman un ángulo constante Con una dirección fija. Solución: Sea ⃗⃗ el vector que define dicha dirección fija , de : ⃗⃗ . ⃗⃗ = cosθ = constante………. (1) y k/t =constante………… (2) Características de una hélice general: Derivamos (1) respecto del parámetro “S” longitud de arco k ⃗⃗⃗ = 0…………….. (3) Derivamos (3) respecto del parámetro “S” longitud de arco -k ⃗⃗ . ⃗⃗ + t ⃗⃗ ⃗⃗ = =0 UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 51 ⃗⃗ ⃗⃗ = (k/t)cosθ Entonces para que sea una hélice general debe cumplir si solo si la condición: “hélice general si solo si sus binormales forman un ángulo constante” Lo cual desprende la característica de una hélice: k/t =constante = tgtθ 12.- Demuestre que la curvatura k* de la proyección de una hélice general estará dada por k = k* (senθ) 2 donde θ diferente de cero, es el ángulo que forma el eje con los vectores tangentes ah la hélice y k la curvatura de la hélice. Solución: Sea ⃗⃗ * el vector posición que define ah la proyección de la hélice y ⃗⃗ el vector posición que define ah la hélice , ⃗⃗ el vector normal al plano de la hélice proyectada ,entonces : ⃗⃗ * = ⃗⃗ – ( ⃗⃗ . ⃗⃗ ) ⃗⃗ Derivando respecto del parámetro S 1 (longitud de arco de la hélice proyectada) ⃗⃗ * = ( ⃗⃗ – ( ⃗⃗ ⃗⃗ ) ⃗⃗ )dS /dS 1 ……….. (1) Sacando modulos en (1) dS/dS 1 = 1/ senθ derivando (1) respecto de S 1 y sacando modulos se obtiene la relación : k = k* (senθ) 2 13.-Si “C” es una curva con torsión “t” no nula, demostrar que es una curva de Bertrand si solo si existen constantes m y n tales que cumple lo sgte : m k + nt = 1 ; k= curvatura y t = torsión UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 52 Solución: Una curva de Bertrand es aquella cuyas normales son paralelas a las normales de otra curva, entonces partimos de ello: ⃗⃗ * y ⃗⃗ las curvas de Bertrand con lo cual tenemos la sgte relación : ⃗⃗ * = ⃗⃗ + c ⃗⃗⃗ ……….(1) , c = constante Derivando (1) respecto del parámetro S 1 (longitud de arco para ⃗⃗ *) ⃗⃗ * = ((1-ck)) ⃗⃗ + ct ⃗⃗ ) dS /dS 1 …………….(2) Sea ⃗⃗ * = (cosθ ,senθ ) , de (2) desprendemos : Tgtθ = ct / 1-ck ………………………… (3) De (3) : 1= (ctgθ)ct +ck -------- m k + nt = 1 (relación pedida) De esta comparación se desprende lo sgte : (ctgθ)c = n y c =m , donde c = es la distancia entre 2 curvas de Bertrand 14.- Demuestre: Lim (X,Y)→(1,2) XY = 2 Solución: Por definición: є > 0, existe un d > 0 / Ix-1I < d y Iy-2I < d entonces Ixy-2I < є De Ixy-2I < є, hacemos el pequeño artificio sgte : Ixy-2x+2x-2I < є → Ix( y-2)+2(x-1)I < є por desigualdad triangular : Ix( y-2)+2(x-1)I < Iy-2I.IxI +2 I(x-1)I < є ……….. (1) UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 53 Acotamos x para un d 1= ½ entonces ½ < x < 3/2 → Iy-2I.IxI < 3 d /2 , ademas Ix-1I < d ……………….. (2) De (1) y (2) Iy-2I.IxI +2 I(x-1)I < 7d / 2 = є Por lo tanto d minimo = ( 2є / 7 , ½ ) 15.- Encuentre en caso exista un plano osculador para la curva “C” : Sea ⃗⃗⃗ (t) el vector posición que define ah la curva “C” , ⃗⃗⃗ (t) =( t 2 , t 2 , t) que pase por el punto (1,2,3). Solución: Hallando el plano osculador en cualquier punto “t” ⃗ (t) = ( 2t , 2t , 1 ) ⃗ (t) = ( 2, 2, 0 ) Como ⃗⃗ // ⃗ (t) X ⃗ (t) la ecuación del plano osculador en cualquier punto “t”, sea “P” un punto perteneciente ah ese plano ,será : (P - ( t 2 , t 2 , t)).(-2,-2,0) =0 Para que el punto (1,2,3) pertenezca ah un plano osculador de la curva ,entonces debe haber un “t” real que satisfaga la ecuación, tomáremos ah UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 54 (1,2,3)como el punto “P” y reemplazamos en la ecuación del plano osculador : (1-t 2 )(-2) +(2-t 2 ).2 = 0 -2+ 2t 2 +4 – 2t 2 =0 → 2 = 0 (falso ) ,lo cual implica que no existe Plano osculador de la curva ⃗ (t) que pase por el punto (1,2,3) . UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 55 16.- UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 56 UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Ciclo Académico : 201113 CULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA Fecha: 22/01/11 DEPARTAMENTOS ACADÉMICOS Duración: 2 horas CURSO: _MATEMATICA III_ COD. CURSO: MA133 M TIPO DE PRUEBA: PRACTICA No. 1 Ex. PARCIAL EX. FINAL 1. Determine si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas en caso sea falsa dar un contraejemplo, si es verdadera justificar brevemente. a. El conjunto { } 2 ( , ) / ( , ) (0, 0) A x y R x y = e = es un conjunto convexo. b. La frontera de la región ( ) { } , / x y x I O= e es 2 R . 2. Justificar la verdad o falsedad de: a. SI , A B B c simplemente conexo, entonces A | = también es simplemente conexo . b. Si una partícula se mueve a lo largo de una curva ¸ , con parametrización | | 3 : , ,100 r I R I a ÷ = , con aceleración constante en modulo, entonces ( ). ( ) 0 t a a u a u du ' = } . 3. Analice si se cumple: 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) , f t f t f t t Dom f ' ' ' ' - ÷- e 4. Demostrar que { } 2 ( , ) / 0 A x y R x = e > es un conjunto abierto. 5. Demostrar que toda curva plana, tiene torsión cero en cada punto de dicha curva. 6. Demostrar que una curva ¸ con parametrización ( ) r t es una curva plana si su torsión es cero en todo punto de ella. 7. Demostrar que una curva ¸ con parametrización ( ) r t tiene como curvatura ( ) ( ) ( ) 3 ( ) r t xr t k t r t ' '' = 8. Parametrizar la curva ¸ si una parametrización es | | ( ) (1 , , 2 ) , 0,1 r t t t t t = + e Usando como parámetro la distancia del origen al punto del segmento. 9. Encontrar el vértice de la parábola descrita por la función vectorial 2 ( ) (1 , 3 1 ) r t t t t t = + ÷ + + . 10. Hallar las ecuaciones de los planos normal, rectificante y osculador a la curva ( ) { } { } 2 2 2 2 2 , / 3, 2 C x y x y z x y = + + = + = en el punto (1,1,1). 11. Sea C una curva dada por ) 2 3 , 1 , 2 ( ) ( 2 2 t t t t + ÷ = o hallar la ecuación de la recta paralela al vector curvatura ) (t K y que pasa por el punto ) ( 0 t o donde el radio de curvatura es mínima. UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 57 1. Encontrar una función armónica U (X,Y,Z) = φ (x 2 + y 2 +z 2 ) En caso exista tal función. Solución: Sea T (X,Y,Z) = x 2 + y 2 +z 2 Para que sea armonica φ (t) debe cumplir la ecuación de Laplace de Donde se desprende la sgte relación: () () = - () () () Tx = 2x → Txx = 2 Ty = 2y → Tyy = 2 Tz = 2z → Tzz = 2 Entonces () () = () ∫ dt → () = /c Φ' (t) = (t/c) -3/2 → φ(t) = -2C 1 (1-1/ ) + C 2 , donde C 1 =( ) -3/2 FUNCIONES REALES DE VARIABLE VECTORIAL. Teorema de Schwartz Se trata sobre la permutabilidad de las derivadas parciales. Enunciado. UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 58 tal que tenga dadas en , si las funciones , son continuas en , y aplicación Encontrar de manera que: ( ) ( ) ( ) ( ) ) continuas en todo ) ( ) ( ) ( ) ( ) FP: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) En el caso de se tendrá. ( )/ en si son continuas. en y en aplicación: Encontrar UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 59 1) continuas en . Hallamos ( ) ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) () ( ) () () () cte luego: ( ) a cte Relación con EDO Podemos apreciar que al igual que en : I I () () es diferenciable si: ( ) ( ) ( ) ( ) para alguna ( ) UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 60 tal que ( ) Para una ( ) ⃗⃗ ( ) (( ) ( )) ( ) (( )) ( ) ⃗⃗ (( ) ⃗⃗ ) ( ) siempre que ⃗⃗ (( ) ⃗⃗ ) (( ) ( )) ( ) ( ( ) ( )) ( ) ‖ ⃗⃗ ‖ es pequeño ( ⃗⃗ ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ( ) ( )) (⃗) PDA Usando dif √ √ ( ) √ √ ⃗⃗ ( ) ( ) () ( ) () ().( ) √ √ ( ) ( ) √ √ ( ) ( ) ( ) UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 61 EDOEPO ( ) ( ) Es exacta si Por Schwartz ( )( ) ( ) ( ) ( ) es la solución EDO. Aplicación Resolver ( ) ( ) ∫ () () () () () ∫ () () ( ) Aplicación Resolver: ( ) veamos si ( ) UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 62 sq ( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) () ( ) () () La solución será. Recordando MA113 ambos diferenciales, () () ( )() () (()) () Sea : y si cada variable ( ) entonces podemos encontrar para lo cual usamos “cadenas” UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 63 + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Comentario ( ) UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 64 ( ) ( ) ( ) () Caso Particular () () ( ) ( ) ( ) Ejercicio Si es una función de ()(unidad imaginaria) Verificar que Derivada Direccional |⃗⃗| ⃗⃗ ⃗⃗⃗ (⃗ ) (⃗ ⃗⃗⃗)(⃗ ) Interpretación UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 65 Derivadas Parciales ⃗⃗ ⃗ {⃗ } base canónica de ⃗ ( ) ⃗⃗⃗ (⃗ ) (⃗ ) (⃗ ) es la derivada parcial de con respecto a en ⃗ . Notación (⃗ ) (⃗ ) (⃗ ) Apreciaciones )Si (⃗ ) (⃗ ) entonces ( ) (⃗ ) () (⃗ ) En caso (⃗ ) ( ) (⃗ ) )Si (⃗ ) ¿ es continua en ⃗ ? (⃗ ) ⃗ Veamos si se cumple o no que (⃗ ⃗ ) (⃗ ) k-ésima componente (⃗ ) ( ) ⃗⃗ Plano ⃗ ( ) ⃗⃗ ⃗⃗ UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 66 (⃗ ⃗ ) (⃗ ⃗ ) (⃗ ) (⃗ ) (⃗ ⃗ ) (⃗ ) (⃗ ) (⃗ ⃗ ) (⃗ ) (⃗ ) (⃗ ) Consecuencia (⃗ ) (⃗ ⃗ ) (⃗ ) (⃗ ) (⃗ ) (⃗ ) es conocida como una derivada de orden? así podemos definir cualquier otra derivada de orden superior Comentario (⃗) { ‖‖ ‖‖ ⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ encontremos () ( ) ( ) { ( ) () ( ) () UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 67 ( ) { ( ) ( ) () ( ) () () ()() ( ) () () ( ) ( ) { ( ) ( ) ( ) () ( ) () () () ( ) ( ) - ( ) ( ) ( ) () () Gradiente Dada entonces el gradiente de se define como (⃗ ) ( (⃗ ) (⃗ ) (⃗ )) (⃗ )⃗ (Notación sintética) UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 68 Nos interesa cuando (⃗) ( ( ) ) Ejemplo ( ) ⃗⃗⃗ ( ) En cada punto donde existe se interpreta de la siguiente manera. ( ) será una “superficie” (en general), si (⃗ ) entonces ⃗ Consecuencia ( ) ⃗⃗⃗ (⃗ ) ( ) UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 69 ( ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ) ( ) ( ) Relación con la Derivada Direccional ⃗⃗⃗ (⃗ ) (⃗ ) ⃗⃗ ⃗⃗ así podemos ver que ⃗⃗⃗ (⃗ ) es máxima cuando (⃗ ) y ⃗⃗ tiene la misma dirección y sentido. Laplaciano Es un operador que está definido { } ∑ ⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ ( ) UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 70 Nota ( ) ( ) Ecuación de Laplace Definición se dice que es una función armónica, si: ⃗ PI ¿( ) ( ) ? (nota ) En General Sustituyendo en la ecuación de Laplace. ( ) ( ) Separando variables UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 71 () () () ( ) ∫() () ∫() () () En caso afirmativo ( ) ∫ ∫() ⌋ Caso analizado _ ___ () ( ) ∫ ∫() ⌋ ( ) Teorema de Existencia Si conocemos las derivadas parciales de una , como encontramos . Para lo cual hablaremos de la diferencial de una función. Continuidad Si se dice que es continua en ⃗ si 1) ⃗ p.a de 2) ⃗ (⃗) 3) ⃗ (⃗) (⃗ ) (⃗ ) Consecuencia continua en ⃗ si 1) ⃗ UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 72 2) ⃗ (⃗) 3) ⃗ (⃗) (⃗ ) Equivalentemente: cont en ⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ( ⃗⃗ ⃗ ) (⃗ ) Continuidad en ( ) Sea cont en ⃗ continua en ⃗ Limitación Imaginación (pensemos en n=6) . (⃗) ⃗ ( ) UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 73 Derivada Direccional Dada una función donde , tomemos ⃗⃗ unitario (‖⃗⃗‖ ) definimos ⃗⃗⃗ (⃗ ) (⃗ ⃗⃗⃗)(⃗ ) h variable real Consideremos ⃗ ( ) () . ⃗⃗ . . (⃗ (⃗ )) Plano ( ) ⃗⃗ ⃗ UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 74 ( ) ⃗ ( ) en este caso ( )es una superficie (⃗ (⃗ )) (( ) ( )) De la gráfica se concluye que ⃗⃗⃗ (⃗ ) es la pendiente de la recta tangente a curva intersección del plano ( ) ( ) () ( ) ⃗⃗ ( ) ⃗⃗ ( ( )) ( ) ( ( )) ⃗⃗ ( ) ( ) ( ) ( ) ⃗⃗ UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 75 (⃗ ⃗⃗⃗)(⃗ ) = ⃗⃗⃗ (⃗ ) Aplicación Encuentre ⃗⃗⃗ () si ( ) { donde ⃗⃗ ( √ √ ) ⃗⃗⃗ () (()⃗⃗⃗)() = ( √ √ ) = ( √ ) ( √ ) √ √ √ ahora ⃗⃗⃗ () ⃗⃗⃗ () ( √ ) Derivadas Parciales La base canónica de { } ⃗ es aquel vector unitario cuyas componentes son O, salvo la i-ésima componente que es 1 ⃗ ( ) ⃗ ( ) UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 76 Definición Si ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ (⃗ ) (⃗ ) Aplicación Si ( ) , encontrar ()() () ( ) ()() ()( ) apreciamos ( ) ( ) Observación Si ( ) { ( ) () ( ) () () () ()() UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 77 () () () ( ) ( )()() ( ) ( ) () ( ) ( ) ( ) () Ejemplo: ( ) { ( ) () ( ) () () ( ) { ( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) () V o F ) () () ⃗() ( () () ()) intervalo )Sea ⃗() (( ) ( ) ) entonces. ⃗() ⃗ () ) ⃗ () ⃗ () ( ) )Encontrar la curvatura máxima para dada ⃗() ( ) [ ] ) ⃗ () ( ) UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 78 ⃗ () ( ) son curvas de Bertrand asociadas )El vector de Darboux satisface en el cual ⃗⃗ ( ) ⃗⃗⃗( ) )Determine en caso exista un plano osculador a la curva ⃗() ( ) de manera que pase por el punto () )Encuentre la podaria para la parábola P.I V o F )⃗() ( ) [] es una curva simple ) definida por ⃗() (|| ) [] es una curva regular ) {( ) } es un conjunto convexo )Si , y convexos entonces es convexo ( ) () UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 79 )No tiene derivada en cero II) () III) 4) Si , y convexos entonces es convexo ( ) 5) Si es los conjuntos convexo , entonces y son convexos )Si {⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ } es convexo (no vacío) 1 √ V F UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 80 entonces y son convexos {()} {() ()} {() ()} De la def Taylor Recordemos cuando ( ) ( ) ( ) () ∑ () ( ) ( ) Generalizando: ⃗ diferenciable en ⃗ , es decir tiene todas sus derivadas parciales continuas en ⃗ . Podemos aproximar , mediante los polinomios de Taylor, ⃗ ( ) ⃗ ( ) () ( ) aproximemos por un polinomio de grado 1 en ( ). ( ) ( ) UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 81 () () ( ) () [( ) ( )] Polinomio de grado 2 ( ) [ ()( ) ()( )( ) + ()( ) ] ( ) ( ) [ ( )( ) ( )( ) ( ) ( )] ( ) ( ) [ ( )( ) ( )( ) ( )( )]+ [ ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )] Grado 3 en tres variables ( ) ( ) [ ( )( ) ( )( ) ( )( )]+ [ ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )] [ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 82 ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )( )( ) ( ) ( )( )( ) Ejercicio Aproximar ( ) por ⃗ () PROBLEMAS 1 1. Calcular ̅ ̅ (||̅ ||)̅ ∑ | | Sol. Como: ||̅ || √ (||̅ ||) ( √ √ √ ) (||̅ ||) ̅ √ √ √ √ √ Luego: ̅ ̅ (||̅ ||) ̅ ∑ | | ̅ ̅ √ | | | | | | Tomamos la trayectoria UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 83 ̅ ̅ √ | | | | | | ̅ ̅ | | | | ̅ ̅ ̅ ̅ √ | | | | | | √ | | √| | | | √ Como los limites son diferentes, entonces: ̅ ̅ (||̅ ||) ̅ ∑ | | 2. Calcular: ̅ ̅ (||̅ ||)(||̅ ||) ∑ , ( ) Sol. Como: (||̅ ||) ( √ √ √ ) (||̅ ||) ( √ ( ) ) ( ( ) √ ( ) √ ( ) √ ( ) ) (||̅ ||) (||̅ ||) ( ) √( ) √ √( ) √ √( ) √ √( ) √ √( ) √ UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 84 (||̅ ||) (||̅ ||) ∑ ( ) √( ) ( ) Luego: ̅ ̅ (||̅ ||) (||̅ ||) ∑ ̅ ̅ ( ) √( ) ( ) Tomamos la trayectoria: √ ( ) ( ) √ ( ) ( ) | | Si: ( ) √ ( ) ( ) ( ) ( ) √ ( ) ( ) ( ) Entonces concluimos que: ̅ ̅ (||̅ ||) (||̅ ||) ∑ UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 85 3. Resolver: Sol. Sea: ̅ { ̅ ̅ Derivamos respecto a x: ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅̅ ̅ ̅ ̅ ̅̅ ̅ ̅̅ Derivamos respecto a y: ̅ ̅ ̅ ( ̅ ) ( ̅ ̅ ̅ ̅̅ ̅ ) ̅ ̅ ̅̅ ̅ ̅̅ Luego: ̅ ̅̅ ̅ ̅̅ ̅ UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 86 Entonces tenemos la ecuación: ̅ ( ̅ ) ( ̅ ) ( ̅) ( ̅) ( ̅) ̅ (̅ ) () ( ̅) [(̅ )] ∫() (̅) ( ̅) [(̅ )] ∫() (̅) 4. Resolver: () Sol. Usamos: ̅ ̅ Entonces: ̅ ( ̅ ) (̅ ̅ ̅ ̅ ) Integramos: ( ̅ ̅ ̅ ̅ ()) ( ̅ ̅ ̅ ̅ ∫() (̅)) ( ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ∫() (̅)) UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 87 5. Resolver: Sol. Usamos: ̅ ̅ Entonces: ̅ ( ̅ ) ( ̅ ) (̅ ̅ ) ( ̅ ̅ ̅ ()) ( ̅ ̅ ̅ ∫() (̅)) ( ̅ ̅ ̅ ∫() (̅)) UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 88 PROBLEMAS 2 1. Analizar si existe o no: ̅ ∑ (∑ ) En caso afirmativo demostrar que existe por definición. Sol. ̅ ∑ (∑ ) ̅ ( ) Tomamos la trayectoria: ̅ ( ) ( ) ̅ ( ) = Si: ̅ ∑ (∑ ) ̅ ∑ (∑ ) ( ) Demostramos usando la definición: Con ̅ ( ) = ̅ ( ) ̅ | | | | || Como: || , tomamos: . El limite queda demostrado. Entonces: ̅ ∑ (∑ ) , si UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 89 ̅ ∑ (∑ ) , si 2. Determine la condición para que exista una función armónica ( ) ( ) Sol. Sea: () () () () () () () () () () Por la ecuación de Laplace: () () () () () Integrando: () () ( ) ( ) ( ) , constantes. UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 90 3. Determinar la distancia mínima del origen a la curva Sol. La distancia del origen a un punto (x,y,z) de la curva esta dada por: ( ) ( ) ( ) Por multiplicadores de Lagrange: ( ) ( ) ( ) Derivando: Resolviendo el sistema: Evaluando en la ecuación: UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 91 4. Encontrar una solución de la ecuación: ( ) Sol. Sea: ̅ { ̅ ̅ Derivamos respecto a x: ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅̅ ̅ ̅ ̅ ̅̅ ̅ ̅̅ ̅ ̅ ̅ ̅̅ ̅ ̅̅ ̅̅̅ ̅ ̅ ̅̅ ̅̅̅ ̅ ̅ ̅ ̅̅ ̅ ̅̅ ̅̅̅ ̅ ̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅ ̅ ̅̅ ̅̅̅ ̅̅̅̅ Derivamos respecto a y: ̅ ̅ ̅ ( ̅ ) ( ̅ ̅ ̅ ̅̅ ̅ ) ̅ ̅ ̅̅ ̅ ̅̅ ̅ ̅ ̅ ̅̅ ̅ ̅̅ ̅̅̅ ̅ ( ̅ ̅̅ ̅̅̅ ) ̅ ̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅̅ ̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅ ̅̅ ̅̅̅ ̅̅̅̅ Entonces: UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 92 ̅̅ También: ( ) (( ̅ ) ( ̅ ) ) (̅) Entonces tenemos la ecuación: ̅ (̅) Integrando: ̅ ̅ () ̅ ()̅ () ̅ ̅ ∫() ∫() (̅) ( ̅ ̅ ∫() ∫() (̅) (̅)) UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 93 5. Se tiene que ( ) Determine la ecuación de Laplace en términos de y Sol. Ordenando variables: Por diferenciación total: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Por la ecuación de Laplace: ( ) 6. Determinar la ecuación de la recta tangente a la curva , paralela a la recta L={P=t(2,-3,1)/t} UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 94 Sol. Sea: ( ) .…(1) ( ) .…(2) Hallamos sus vectores gradiente: ( ) ( ) ( ) () La recta tangente tiene por vector direccional a: ( ) x ( ) ( )x() ( ) Por ser paralela a la recta: L={P=t(2,-3,1)/t}, entonces: ( ) ( ) , Entonces: ( ) x ( ) ( ) Buscamos un punto de paso (el punto de tangencia): en (1) y (2) { ( ) ( ) ( ) 7. Encontrar en que dirección la derivada direccional ̅ ( ) , ̅ √ () Sol. Por definición: ̅ ( ) ( ) ̅ (producto escalar) UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 95 ̅ ( ) | ( )|| ̅| | ( )| El máximo valor se da cuando , es decir: (paralelos) Como: es el ángulo formado entre el gradiente y el unitario ̅ √ () Por ser paralelos, el gradiente tiene la dirección ̅ √ () Por lo tanto: El máximo valor de la derivada direccional se obtiene cuando el gradiente y ̅ tienen la misma dirección. La dirección pedida será (). 8. Demostrar que la media aritmética de tres números es mayor que la media geométrica usando máximos y mínimos. Sol. Sean los números: Tomémoslo como los puntos de la esfera: UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 96 Hallaremos los puntos de la esfera en los cuales la función: ( ) es máxima. Usando multiplicadores de Lagrange: ( ) ( ) Resolviendo: √ Evaluando en la función: ( ) () (valor mínimo) (√ √ √) (valor máximo) Entonces: ( ) (√ √ √) Como: ( ) √ 9. Determine la distancia mínima entre las superficies ( ) ( ) Sol. Sea: ( ) ( ) ( ) ( ) UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 97 Hallando los máximos y mínimos de las funciones ( ) y ( ) ( ) (valor extremo: máximo absoluto) ( ) ( ) ( ) (valor extremo: mínimo absoluto) Luego: La distancia mínima será: dmin=20-10=10unidades 10. Sea f una función definida sobre un conjunto abierto A, supongamos que existen derivadas parciales para todo punto de este conjunto y que son continuas. Demostrar que es diferenciable. Sol. Dado que , están definidas en un entorno de un punto ( ) cualquiera del conjunto A, además , son continuas en ( ). Luego podemos hallar un incremento de f en el punto ( ): ( ) ( ) [( ) ( )] [( ) ( )] x y z UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 98 Donde: ( ) ( ) ( ) ( ) Podemos definir: ( ) ( ) ( ) ( ) Luego: [ ( )] [ ( )] ( ) ( ) Por continuidad: cuando Entonces por definición: es diferenciable. 11. Mostrar que la función ( ) es diferenciable en todo Sol. F esta definida en todo , veamos si es diferenciable en un punto cualquiera ( ) Analizamos el incremento de la función: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) Ordenando términos: ( ) ( ) ( ) ( ) UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 99 Como: ( ) ( ) ( ) Entonces podemos escribir: ( ) Donde: Entonces: () () () () () () la diferenciabilidad queda demostrada 12. En el circuito mostrado, halle R la resistencia conectada en ab talque consume la máxima potencia, I,r1,r2 son conocidas. Sol. Reduciendo el circuito UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 100 Luego la resistencia equivalente entre los puntos a y b es: Entonces: La resistencia conectada entre a y b que consume la máxima potencia es: PROBLEMAS 3 1. ( √ )/ ? Sol. Sea: √ Luego: √ ( ) √ ( ) UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 101 Reemplazamos en: () ( ) ( ) ( √ ) ( √ ) √ como: √ () Luego. ( ) ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ (√ ) Reemplazando: √ ( ) ( √ √ ) 2. Expresar el laplaciano en términos de u y v …(1) …(2) Sol. Derivamos respecto a x: Derivamos respecto a y: () () ( ) ( ) ( ) UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 102 PROBLEMAS 1 6. Calcular ̅ ̅ (||̅ ||)̅ ∑ | | Sol. Como: ||̅ || √ (||̅ ||) ( √ √ √ ) (||̅ ||) ̅ √ √ √ √ √ Luego: ̅ ̅ (||̅ ||) ̅ ∑ | | ̅ ̅ √ | | | | | | Tomamos la trayectoria ̅ ̅ √ | | | | | | ̅ ̅ | | | | ̅ ̅ ̅ ̅ √ | | | | | | √ | | √| | | | √ Como los limites son diferentes, entonces: ̅ ̅ (||̅ ||) ̅ ∑ | | UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 103 7. Calcular: ̅ ̅ (||̅ ||)(||̅ ||) ∑ , ( ) Sol. Como: (||̅ ||) ( √ √ √ ) (||̅ ||) ( √ ( ) ) ( ( ) √ ( ) √ ( ) √ ( ) ) (||̅ ||) (||̅ ||) ( ) √( ) √ √( ) √ √( ) √ √( ) √ √( ) √ (||̅ ||) (||̅ ||) ∑ ( ) √( ) ( ) Luego: ̅ ̅ (||̅ ||) (||̅ ||) ∑ ̅ ̅ ( ) √( ) ( ) Tomamos la trayectoria: UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 104 √ ( ) ( ) √ ( ) ( ) | | Si: ( ) √ ( ) ( ) ( ) ( ) √ ( ) ( ) ( ) Entonces concluimos que: ̅ ̅ (||̅ ||) (||̅ ||) ∑ UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 105 8. Resolver: Sol. Sea: ̅ { ̅ ̅ Derivamos respecto a x: ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅̅ ̅ ̅ ̅ ̅̅ ̅ ̅̅ Derivamos respecto a y: ̅ ̅ ̅ ( ̅ ) ( ̅ ̅ ̅ ̅̅ ̅ ) ̅ ̅ ̅̅ ̅ ̅̅ Luego: ̅ ̅̅ ̅ ̅̅ ̅ Entonces tenemos la ecuación: ̅ ( ̅ ) ( ̅ ) ( ̅) ( ̅) ( ̅) ̅ (̅ ) () ( ̅) [(̅ )] ∫() (̅) ( ̅) [(̅ )] ∫() (̅) UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 106 9. Resolver: () Sol. Usamos: ̅ ̅ Entonces: ̅ ( ̅ ) (̅ ̅ ̅ ̅ ) Integramos: ( ̅ ̅ ̅ ̅ ()) ( ̅ ̅ ̅ ̅ ∫() (̅)) ( ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ∫() (̅)) 10. Resolver: Sol. Usamos: UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 107 ̅ ̅ Entonces: ̅ ( ̅ ) ( ̅ ) (̅ ̅ ) ( ̅ ̅ ̅ ()) ( ̅ ̅ ̅ ∫() (̅)) ( ̅ ̅ ̅ ∫() (̅)) PROBLEMAS 2 UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 108 13. Analizar si existe o no: ̅ ∑ (∑ ) En caso afirmativo demostrar que existe por definición. Sol. ̅ ∑ (∑ ) ̅ ( ) Tomamos la trayectoria: ̅ ( ) ( ) ̅ ( ) = Si: ̅ ∑ (∑ ) ̅ ∑ (∑ ) ( ) Demostramos usando la definición: Con ̅ ( ) = ̅ ( ) ̅ | | | | || Como: || , tomamos: . El limite queda demostrado. Entonces: ̅ ∑ (∑ ) , si ̅ ∑ (∑ ) , si 14. Determine la condición para que exista una función armónica ( ) ( ) Sol. UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 109 Sea: () () () () () () () () () () Por la ecuación de Laplace: () () () () () Integrando: () () ( ) ( ) ( ) , constantes. 15. Determinar la distancia mínima del origen a la curva Sol. La distancia del origen a un punto (x,y,z) de la curva esta dada por: ( ) ( ) ( ) UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 110 Por multiplicadores de Lagrange: ( ) ( ) ( ) Derivando: Resolviendo el sistema: Evaluando en la ecuación: 16. Encontrar una solución de la ecuación: ( ) Sol. Sea: ̅ UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 111 { ̅ ̅ Derivamos respecto a x: ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅̅ ̅ ̅ ̅ ̅̅ ̅ ̅̅ ̅ ̅ ̅ ̅̅ ̅ ̅̅ ̅̅̅ ̅ ̅ ̅̅ ̅̅̅ ̅ ̅ ̅ ̅̅ ̅ ̅̅ ̅̅̅ ̅ ̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅ ̅ ̅̅ ̅̅̅ ̅̅̅̅ Derivamos respecto a y: ̅ ̅ ̅ ( ̅ ) ( ̅ ̅ ̅ ̅̅ ̅ ) ̅ ̅ ̅̅ ̅ ̅̅ ̅ ̅ ̅ ̅̅ ̅ ̅̅ ̅̅̅ ̅ ( ̅ ̅̅ ̅̅̅ ) ̅ ̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅̅ ̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅ ̅̅ ̅̅̅ ̅̅̅̅ Entonces: ̅̅ También: ( ) (( ̅ ) ( ̅ ) ) (̅) Entonces tenemos la ecuación: ̅ (̅) Integrando: UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 112 ̅ ̅ () ̅ ()̅ () ̅ ̅ ∫() ∫() (̅) ( ̅ ̅ ∫() ∫() (̅) (̅)) 17. Se tiene que ( ) Determine la ecuación de Laplace en términos de y Sol. Ordenando variables: UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 113 Por diferenciación total: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Por la ecuación de Laplace: ( ) 18. Determinar la ecuación de la recta tangente a la curva , paralela a la recta L={P=t(2,-3,1)/t} Sol. Sea: ( ) .…(1) UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 114 ( ) .…(2) Hallamos sus vectores gradiente: ( ) ( ) ( ) () La recta tangente tiene por vector direccional a: ( ) x ( ) ( )x() ( ) Por ser paralela a la recta: L={P=t(2,-3,1)/t}, entonces: ( ) ( ) , Entonces: ( ) x ( ) ( ) Buscamos un punto de paso (el punto de tangencia): en (1) y (2) { ( ) ( ) ( ) 19. Encontrar en que dirección la derivada direccional ̅ ( ) , ̅ √ () Sol. Por definición: ̅ ( ) ( ) ̅ (producto escalar) ̅ ( ) | ( )|| ̅| | ( )| El máximo valor se da cuando , es decir: (paralelos) UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 115 Como: es el ángulo formado entre el gradiente y el unitario ̅ √ () Por ser paralelos, el gradiente tiene la dirección ̅ √ () Por lo tanto: El máximo valor de la derivada direccional se obtiene cuando el gradiente y ̅ tienen la misma dirección. La dirección pedida será (). 20. Demostrar que la media aritmética de tres números es mayor que la media geométrica usando máximos y mínimos. Sol. Sean los números: Tomémoslo como los puntos de la esfera: Hallaremos los puntos de la esfera en los cuales la función: ( ) es máxima. Usando multiplicadores de Lagrange: UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 116 ( ) ( ) Resolviendo: √ Evaluando en la función: ( ) () (valor mínimo) (√ √ √) (valor máximo) Entonces: ( ) (√ √ √) Como: ( ) √ 21. Determine la distancia mínima entre las superficies ( ) ( ) Sol. Sea: ( ) ( ) ( ) ( ) Hallando los máximos y mínimos de las funciones ( ) y ( ) UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 117 ( ) (valor extremo: máximo absoluto) ( ) ( ) ( ) (valor extremo: mínimo absoluto) Luego: La distancia mínima será: dmin=20-10=10unidades 22. Sea f una función definida sobre un conjunto abierto A, supongamos que existen derivadas parciales para todo punto de este conjunto y que son continuas. Demostrar que es diferenciable. Sol. Dado que , están definidas en un entorno de un punto ( ) cualquiera del conjunto A, además , son continuas en ( ). Luego podemos hallar un incremento de f en el punto ( ): ( ) ( ) [( ) ( )] [( ) ( )] Donde: ( ) ( ) x y z UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 118 ( ) ( ) Podemos definir: ( ) ( ) ( ) ( ) Luego: [ ( )] [ ( )] ( ) ( ) Por continuidad: cuando Entonces por definición: es diferenciable. 23. Mostrar que la función ( ) es diferenciable en todo Sol. F esta definida en todo , veamos si es diferenciable en un punto cualquiera ( ) Analizamos el incremento de la función: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) Ordenando términos: ( ) ( ) ( ) ( ) Como: UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 119 ( ) ( ) ( ) Entonces podemos escribir: ( ) Donde: Entonces: () () () () () () la diferenciabilidad queda demostrada 24. En el circuito mostrado, halle R la resistencia conectada en ab talque consume la máxima potencia, I,r1,r2 son conocidas. Sol. Reduciendo el circuito UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 120 Luego la resistencia equivalente entre los puntos a y b es: Entonces: La resistencia conectada entre a y b que consume la máxima potencia es: SOLUCIONARIO DEL EXAMEN PARCIAL DE MATEMATICAS III (18/05/06) ALUMNO: Edwin Gómez Obregón CODIGO: 20050211J Pregunta Nº 01 Halle la ecuación vectorial de una curva , tal que la perpendicular trazada desde el centro de curvatura hacia el vector de posición, divida a la longitud del radio vector en dos segmentos que están en la relación de: n(OM)=m(MP) O: origen de coordenadas. P: extremo del radio vector. M: intersección de la perpendicular. solución : UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 121 Sabemos que: tg¢ = ' r r → 2 2 ' r r + r Y | ' ' . ' 2 | ) ' ( 2 2 2 / 3 2 2 r r r r r r ÷ + + = µ r’ Sea: r(t) la ecuación de , Del grafico: n P M m O ¢ µ sen MP = 2 2 ' ) .( r r r m n n r + = + µ Reemplazando “ µ ”, obtenemos: n m n r r r r r r + = + ÷ + | ' | | ' ' . ' 2 | 2 2 2 2 = C Derivando tg¢ = ' r r , se obtiene: sec 2 2 2 ' ' ' . ' ' . r r r r ÷ = ¢ ¢ → 2 2 2 2 2 ' ' ' . ' ) ' )( ' ' ( r r r r r r r ÷ = + ¢ UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 122 1 2 2 2 2 2 2 2 ) ( : int 1 ' 1 ' ' ' . ' 2 ' ' ' ' . ' ' C C egrando C r r r r r r r r r r r + ÷ = ÷ = ÷ + ÷ + = + ÷ = u ¢ ¢ ¢ ¢ Luego: tg| | ' ) 1 ( 1 r r C C = + ÷ u | | 1 ) 1 ( C C tg r r + ÷ c = c u u | | | | ) 1 /( 1 1 2 2 1 ) 1 ( ln ) 1 ( ) 1 ( ln ln : int ÷ + ÷ = + ÷ + ÷ = C C C sen C r C C C C sen r egrando u u La ecuación vectorial de la curva , será: | | ) ) 1 ( ( ); ) 1 ( .( cos ) ( 1 2 1 2 C C sen sen C C C sen C X + ÷ + ÷ = u u u u u Pregunta Nº 02 En una circunferencia de diámetro OA consideramos dos puntos variables M y N tales que m<AOM=<MON. La circunferencia de centro M y radio MO interfecta en P a ON. Halle y grafique la función vectorial que describe el punto P. solución : Del grafico: UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 123 R N P M O ) 2 / cos( 2 u R OM = ) 2 / cos( 2 u OM OP= 2 ) 2 / cos( 4 u R OP = )) cos( 1 ( 2 u + = R OP r= )) cos( 2R(1 u + ……ecuación polar de una cardiode. Pregunta Nº 03 Hallar las ecuaciones paramétricas de la PODARIA de una curva plana F(x,y)=0, respecto al punto ) , ( 0 0 y x P . P N M O UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 124 Del grafico adjunto: 0 = c c + c c dx dy y F dx dx x F y x F F dx dy ÷ = Luego el vector 1 ) ( ) , 1 ( 2 + ÷ = y x y x F F F F T y el vector 1 ) ( ) 1 , ( 2 + = y x y x F F F F N M= PN proy P n + =( 0 ; 0 y x ) +[( 0 , 0 y y x x ÷ ÷ ) .( 1 ) ( ) 1 , ( 2 + y x y x F F F F )] * 1 ) ( ) 1 , ( 2 + y x y x F F F F Pregunta Nº 04 Demostrar que las Involutas de la curva , : ( ¸ ( ¸ + + ÷ = ) ( 2 , 1 2 , ) 1 ( ) 1 ( ) ( 2 2 2 u barctg u au u u a u x · < <u 0 , son curvas planas. solución : Hacemos el siguiente cambio de variable: u= tg (t/2) → | | bt asent t a t x , , cos ) ( = Notamos que es una hélice: 2 2 b a a + = k ; 2 2 b a b + = t UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 125 Luego la ecuación de la involuta: ) ( ). ( ) ( ) ( * s T s c s r s r ÷ + = Hacemos la primera, segunda y tercera derivada respectivamente: i) ) ( ) ( ) ( *' s N s c s r k ÷ = ii) ) ( ) ( ' ) ( ) ( ' *' s N s N s c s r k k ÷ ÷ = iii) ) ( ' 2 ) ( ' ' ) ( ) ( ' ' *' s N s N s c s r k k ÷ ÷ = . Luego, sabemos: | | 2 | ' *' *' | ' ' *' '. *' . * r r r r r × = t Entonces: ' ' ' ) ( ' ' ) ( ' . 2 ' ' *' ' *' 2 2 2 2 N N s c N N c s N N r r × ÷ + × ÷ + × = × k k k Haciendo el triple producto escalar: | | | | ' ' ' . ) ( ' ' *' ' *' *'. 3 3 N N N s c r r r × ÷ = × k ……….(o ) ) ( ' ' ' ' ' 2 2 kt k kt k t k ÷ ÷ = ÷ ÷ = + ÷ = N N N N N B T N Reemplazando en (o ): | | 0 ' ' *' ' *' *'. = ×r r r → t =0…. (curva plana) Pregunta Nº 05 Sea f: A R R ÷ c 2 , definida por: ) , ( y x f = ) 9 3 3 )( ( + + + + xy y x y x xy Halle los extremos de la función usando la matriz Hesiana. solución : UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 126 Factorizando denominador: ) 3 )( 3 )( ( ) , ( + + + = y x y x xy y x f Hallando los puntos críticos e igualando a 0: ) 3 ( ) 3 ( ) ( ) 3 ( ) , ( 2 2 2 + + + ÷ = y x y x x y y y x f x = 0 2 2 2 ) 3 ( ) )( 3 ( ) 3 ( ) , ( + + + ÷ = y y x x y x x y x f y =0 Existe en todo su dominio; resolviendo los sistemas de ecuaciones 2 3 y x = . 3y=x 2 3 = x 3 = y Punto critico ) 3 , 3 ( = x 432 / 1 ) 3 , 3 ( ÷ = xx f xx f ) 3 , 3 ( < 0 432 / 1 ) 3 , 3 ( ÷ = yy f H (3,3) = yy yx xy xx f f f f ) 3 , 3 ( ) 3 , 3 ( ) 3 , 3 ( ) 3 , 3 ( > 0 864 / 1 ) 3 , 3 ( = xy f 864 / 1 ) 3 , 3 ( = yx f Luego 24 / 1 ) 3 , 3 ( = f máximo relativo Pregunta Nº 06 En el circuito mostrado, halle R para que la resistencia conectada en a-b consuma la máxima potencia. I, r1 y r2 son conocidos. solución : UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 127 Reduciendo el circuito: ) 2 ( ) )( ( 2 1 1 2 1 R r r r R r r R ab + + + + = De acuerdo al teorema de thevenin: R = ab R …… para maximizar la potencia entre los bornes ¨a¨ y ¨b¨ ) 2 ( ) )( ( 2 1 1 2 1 R r r r R r r + + + + =R R 2 1 2 1 2 1 ) ( r r r r r + + + =2 2 2 1 R Rr R r + + → ) ( ) ( 2 1 1 1 2 r r r r R R + ÷ + =0 2 ) ( 4 2 1 1 2 1 1 r r r r r R + + + ÷ = . 2 ) 4 5 2 1 2 1 1 r r r r R + + ÷ = Pregunta Nº 07 UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 128 Usando la regla de la cadena, halle la ecuación del plano tangente a la superficie S en el punto M (3, 5,7) S: x = 2u - v y = u² + v² z = u³ - v³ solución : Consideremos: F(x,y,z) = 0 → F(u,v) = 0, para hallar la ecuación del plano tangente necesitamos hallar el vector gradiente, es decir: VF = ( z F y F x F c c c c c c ; ; ) Luego: u F c c = x F c c . u x c c + y F c c . u y c c + z F c c . u z c c = 0 v F c c = x F c c . v x c c + y F c c . v y c c + z F c c . v z c c = 0 F x (2) + F y (2u) + F z (3u²) = 0 F x (-1) + F y (2v) + F z (3v²) = 0 ; para (x,y,z)=(3,5,7) →(u,v)=(3,5) Reemplazamos: F x = ( 2 9 ÷ ) F z F y = ( 4 3 ÷ ) F z ; VF = ( 2 9 ÷ ; 4 3 ÷ ; 1) F z . La ecuación del plano será: [(x-3) ;(y-5) ;(z-7)]. (18; 3;-4)=0 → P: 18x + 3y – 4z = 41 UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 129 Pregunta Nº 08 Determinar las coordenadas de un punto de la superficie. S: 12 2 x + 18 2 y + 6 2 z = 1, cuya distancia al plano P: x + y – z = 18, sea mínima. solución : Teniendo: S: 12 2 x + 18 2 y + 6 2 z = 1 P: x + y – z = 18 La distancia mínima en un punto esta dada por: d = 3 | 18 | 0 0 0 ÷ ÷ + z y x Entonces, aplicando el método de los multiplicadores de Lagrange: G F z y x z y x G z y x d z y x F V = V = ÷ + + = ÷ ÷ + = = ì 0 1 6 18 12 ) , , ( ) 18 ( 3 ) , , ( 2 0 2 0 2 0 2 0 0 0 2 Desarrollando: 2(x 0 + y 0 - z 0 - 18) = λ ( 12 2 0 x ) 2(x 0 + y 0 - z 0 - 18) = λ ( 18 2 0 y ) -2(x 0 + y 0 - z 0 - 18) = λ ( 6 2 0 z ) UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 130 De donde encontramos: x 0 = 12k, y 0 =18k, z 0 =-6k, reemplazando en G(x,y,z) =0, tenemos que k= ± 1/6 El punto donde ocurre la distancia mínima (k = 1/6): (x 0 , y 0 , z 0 )= (2,3,-1) Pregunta Nº 09 Hallar la curvatura de una curva ζ definida por las ecuaciones S1: x + senhz = seny + y S2: z + e z = x + Ln(1 + x) + 1, en el punto (0,0,0). solución : Derivando implícitamente ambas ecuaciones de las superficies, tenemos: - 1 + coshz.z’ = cosy.y’+ y’→ z’+1=2y’ - z’+ e z .z’=1 + x + 1 1 + 0→z’=1 x’=1, y’=1, z’=1→ ' r =(1,1,1) Derivando por segunda vez implícitamente: - senhz.(z’)² + coshz.(z’’)=-seny.(y’)² +cosy.(y’’) + y’’ - z’’ + e z .(z’)² +e z .(z’’) = 2 ) 1 ( 1 x + ÷ z’’=2y’’ Luego z’’ + (z’)² + z’’= -1, de donde obtenemos: z’’=-1→ y’’=-1/2 UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 131 ' ' r = (0,-1/2,-1) κ=| 3 | ' | | ' ' ' | r xr r , reemplazando obtenemos finalmente: κ = 2 /2 PROBLEMA: Dada una curva R*= | | . | \ | + + ÷ ) 4 ( 2 ; 4 2 2 3 2 2 2 t p t t p pt y un punto P = (0,0) , determine la ecuación vectorial de una curva R cuya PODARÍA es R*(t) respecto al punto P. SOLUCION: Observando el grafico, nos damos cuenta de que la curva R, viene a ser la ENVOLVENTE de la familia de rectas que son perpendiculares a P-R*(t) y que pasan por el punto R*(t) Del grafico se deduce que (P-R*) - (R-R*)=0 Ahora llamaremos: f(x,y,t) = (P-R*(t)) - (R(x,y)-R*(t))=0 …(1) UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 132 Derivando C parcialmente respecto a t ,e igualando a cero t c c t) y, f(x, = (-R*´(t)) - (R-R*)+(P-R*) - (-R*´(t))=0 t c c t) y, f(x, = (R*´(t)) - (R- 2R* +P)=0 …(2) Ahora sabemos que la ecuación de una ENVOLVENTE cumple las siguientes 2 ecuaciones: f(x,y,t) = 0 t c c t) y, f(x, =0 Por lo tanto la Ecuación de R tendrá que cumplir las ecuaciones (1) y (2) f(x,y,t) = (P-R*(t)) - (R-R*(t))=0 …(1) t c c t) y, f(x, = (R*´(t)) - (R- 2R*(t) +P)=0 …(2) Y a partir de este sistema de ecuaciones se hallara la ecuación de R. (ANTIPODARIA) UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 133 -------- Ahora, en el problema nos dan: R* = | | . | \ | + + ÷ ) 4 ( 2 ; 4 2 2 3 2 2 2 t p t t p pt y P = (0,0) ¬luego: R*´ = | | . | \ | + + + ÷ ) 4 ( 2 12 ( ; ) 4 ( 8 2 2 2 2 2 2 2 2 3 t p p t t t p t p Remplazando R* y P en (1): f(x,y,t) = | | . | \ | + + ÷ ) 4 ( 2 ; 4 2 2 3 2 2 2 t p t t p pt - | | . | \ | | | . | \ | + + ÷ ÷ ) 4 ( 2 ; 4 ) , ( 2 2 3 2 2 2 t p t t p pt y x = 0 Luego multiplicando y ordenando, se reduce a: f(x,y,z) = x(-16p 3 -4pt 2 ) + y(8p 2 t+2t 3 ) -4p 2 t 2 - t 4 = 0 …(3) Ahora reemplazamos R*´ , R* y P en (2): t c c t) y, f(x, = | | . | \ | + + + ÷ ) 4 ( 2 12 ( ; ) 4 ( 8 2 2 2 2 2 2 2 2 3 t p p t t t p t p - | | . | \ | | | . | \ | + + ÷ ÷ ) 4 ( 2 ; 4 2 ) , ( 2 2 3 2 2 2 t p t t p pt y x = 0 Multiplicando, desarrollando y ordenando : t c c t) y, f(x, = x(-64p 5 -16p 3 t 2 )+ y(t 5 +48p 4 t+16p 2 t 3 ) –t 6 -12p 2 t 4 -32p 4 t 2 =0 …(4) UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 134 Resolviendo las ecuaciones (3) y (4) : x = 4p t 2 ; y = t Por lo tanto: R = | | . | \ | t p t ; 4 2 ¬ y 2 =4px NOTA: el R obtenido es una parábola y 2 =4px que tiene como podaría a R*que es una cisoide. UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 135 PROBLEMAS 3 1. ( √ )/ ? Sol. Sea: √ Luego: √ ( ) √ ( ) Reemplazamos en: () ( ) ( ) ( √ ) ( √ ) √ como: √ () Luego. ( ) ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ (√ ) UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 136 Reemplazando: √ ( ) ( √ √ ) 2. Expresar el laplaciano en términos de u y v …(1) …(2) Sol. Derivamos respecto a x: Derivamos respecto a y: () () ( ) ( ) ( ) Valores Extremos Sea definamos toma un valor máximo absoluto en ⃗ ⃗ (⃗) (⃗ ) UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 137 ( ) () {( ) } toma un valor mínimo absoluto en ⃗ ⃗ (⃗ ) (⃗) alcanza un valor máximo (mínimo) relativo o local en ⃗ ⃗ (⃗ ) (⃗) (⃗ ) ((⃗ ) (⃗)) Recordemos () UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 138 Visualizando alcanza un valor mínimo absoluto (por ende relativo o local) en los ejes coordenados y en la recta ⃗ ( ) ( ) ( ) ( ) Punto Crítico Dada si (⃗ ) ⃗⃗ (⃗ ) MAX MIN ( ) ( ) () UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 139 Conclusión Si es diferenciable en su dominio, entonces en caso tome un valor extremo, lo alcanzará en un punto crítico. Caso n Si ⃗ es un punto crítico para (que es diferenciable en ⃗ ) entonces definimos | | entonces 1) Si y (⃗ ) ,entonces alcanza un valor mínimo en ⃗ 2) Si y (⃗ ) , entonces alcanza un valor máximo en ⃗ Aplicación ( ) Gráficamente apreciamos que toma valores extremos Punto crítico ( ) UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 140 Dado si (⃗ ) ⃗⃗ (⃗ ) (⃗) ⃗⃗ ( ) ( ) ( ) ( ) de donde. ( ) ( ) Puntos críticos: ( )( ) Verificando con el criterio de las segundas derivadas parciales. ( ) ( ) () () ( ) ( ) () ( ) ( ) () (()) | | analizar ( ) (⃗) ⃗⃗ UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 141 ( ) () { | | PC:() () | | y () ( ) ( ) ( ) ( ) pero: ( ) ( ) ( ) (√ ( ) ( ) ) ante este caso tedioso, lo que se sugiere es usar Multiplicadores de Lagrange. Si tenemos una restricción: Distancia mínima ( ) ( √ ) ( ) ( √ ) UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 142 ( ) ( ) ( ) es una restricción || √ () ( ) ALT 1 () ( ) ⃗⃗ Puntos Críticos ALT 2 Punto de Silla ( ) UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 143 Matriz Hessiana (⃗) [ (⃗ ) (⃗ ) (⃗ ) (⃗ ) ] Polinomio Característico () | (⃗ )| Criterio ( ) () PC ( ) () es () () P.C () () ALT 1 Cambio de signo de ALT 2 DEF ( ) | | | | ( ) | | | | ( ) ( ) Comentario Si hay un valor extremo, y tiene { UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 144 PC (0, 0,0) √ ( ) { ⁄ ⁄ ( ) ( ) 1) () ( ) [ ] () () ( ) () ( ) ( ) así tenemos un punto de silla en el () 2) () () | [ ] [ ]| | | () ( ) ( ) Valor mínimo relativo o local en el () Multiplicadores de Lagrange Cuando encontremos un valor extremo condicionado para una función , podemos usar multiplicadores de Lagrange. Aclaración UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 145 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ALT 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ALT 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⃗⃗ { ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { ALT 3 Encontrar tal que: ( ) ( ) Cuando hay una restricción si ( ) donde ALT 2 ( ) ( ) ⃗⃗ ALT 3 ( ) ( ) ( ) ( ) PC:( ) Problema ( ) () ( ) UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 146 Distancia al ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) : ( ) ( ) ( ) : ALT 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Distancia al | | √ ( ) ( ) ( ) (( ) ( ) ( )) (( ) ( ) ) ( ) ( ) ⁄ ⁄ SOLUCIONARIO DE LA TERCERA PRACTICA CALIFICADA DE MATEMATICA III (2009-I) 1.-Usando integrales dobles, calcule el área de la región acotada por la curva denominada Bifolium de Descartes. SOLUCION Dada la ecuación: ( ) 2 2 2 2 4 x y axy + = ( ) UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 147 Transformando a polares obtenemos: 4 3 2 2 4 cos 4 cos r ar sen r a sen u u u u = = Los límites de integración, según la grafica son: 0 2 t u s s ; 2 0 4 cos a sen u u u s s A= 2 4 cos 2 2 0 0 4 a sen a rdrd t u u t u = } } Pero la gráfica es simétrica respecto al eje polar razón por la cual multiplicamos ala integral por dos, de donde el área es igual a: A= 2 2 a t 2.-Usando la serie de Taylor para dos variables, deducir la ecuación de Euler, para la integral ( ) 2 1 ; ; '; " x x I f x y y y dx = } SOLUCION Estableceremos los límites: ( ) ( ) 1 2 0 x x q q = = Si o es un pequeño parámetro, entonces: ( ) ( ) ( ) y x y x x oq = + ( ) ( ) ( ) ' ' ' y x y x x oq = + ( ) ( ) ( ) '' '' '' y x y x x oq = + UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 148 ( ) ( ) 2 1 ; ; '; '' x x I f x y y y dx o = } ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 ; ; ' ' ; '' '' x x I f x y x x y x x y x x dx o oq oq oq = + + + } Cuando o =0, la formula da ( ) ( ) ' ' y x y x = y puesto que ( ) y x minimiza la integral, se sabe que ( ) I o debe tener un valor mínimo cuando o =0. Por calculo elemental, una de las condiciones necesarias para esto es que se anule la derivada de ( ) ' I o cuando o =0.La deriva de ( ) ' I o puede calcularse derivando la forma inicial ( ) ( ) 2 1 ' ; ; '; '' x x I f x y y y dx o o oo = } Por regla de la cadena para derivar funciones de varias variables, se tiene ( ) ' '' ; ; '; '' ' '' f x f y f y f y f x y y y x y y y o o o o o o o o o oo o oo oo oo oo o o o = + + + ' '' ' '' f y f y f y y y y o o o o o o oo oo oo o o o = + + ( ) ( ) ( ) ' '' ' '' f f f x x x y y y o o o q q q o o o = + + UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 149 Reemplazando en la integral: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 ' ' '' ' '' x x f f f I x x x dx y y y o o o o q q q o o o | | = + + | \ . } Ahora bien , ( ) ' 0 0 I = ,de modo que la hacer 0 o = ,se obtendrá dicho resultado ,en esta ecuación la derivada ( ) ' x q ,se puede eliminar integrando del segundo y tercer termino por partes ,lo que da : Como ( ) ( ) 1 2 0 x x q q = = , la integral nos quedaría: ( ) ( ) 2 2 1 1 ' ' ' x x x x f f x dx x dx y x y o o o q q o o o | | | | = ÷ | | \ . \ . } } Integrando por partes el segundo termino: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 '' ' ' '' '' '' x x x x x x f f f x dx x x dx y y x y o o o o q q q o o o o | | | | = ÷ | | \ . \ . } } ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 ' ' ' ' x x x x x x f f f x dx x x dx y y x y o o o o q q q o o o o | | | | = ÷ | | \ . \ . } } ( ) ( ) 2 2 1 1 '' ' '' '' x x x x f f x dx x dx y x y o o o q q o o o | | | | = ÷ | | \ . \ . } } UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 150 Pero integramos nuevamente por partes: Reemplazando en la funcional, obtenemos: Pero ( ) 0 x q = , razón por la cual la expresión que debe ser cero es la que se encuentra dentro del paréntesis. De allí que la ecuación de Euler quede expresado de la siguiente manera: 2 2 0 ' '' f f f y x y x y o o o o o o o o o o | | | | ÷ + = | | \ . \ . ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 2 2 '' '' '' '' x x x x f f f x dx x dx x dx y x y x y o o o o q q q o o o o | | | | | | c = ÷ | | | c \ . \ . \ . } } ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 2 2 ' '' '' '' x x x x x x f f f x dx x dx x dx x y x y x y o o o o o q q q o o o o o | | | | | | c = ÷ | | | c \ . \ . \ . } } ( ) ( ) 2 2 1 1 2 2 '' '' '' x x x x f f x dx x dx y x y o o o q q o o o | | | | = | | \ . \ . } } ( ) ( ) ( ) 2 1 2 2 (0) 0 ' '' x x f f f I x x x dx y x y x y o o o o o q q q o o o o o | | | | | | = ÷ + = | | | \ . \ . \ . } UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 151 3.-Evalué usando una transformación adecuada la siguiente integral doble ( ) 2 I x y dxdy O = + }} en la región ( ) { } ; /1 2 2;1 2 2 x y x y x y O= s + s s ÷ s SOLUCIÓN Para simplificar los cálculos usamos la siguiente transformación: 2 2 u x y v x y = + = ÷ De donde, despejando obtenemos: 2 2 u v x u v y + = ÷ = De la transformación, se deduce:1 2;1 2 u v s s s s Hallando el jacobiano de la transformación: 1 1 2 2 1 4 1 1 4 4 dx dx du dv dy dy du dv = = ÷ Reemplazando en La integral, obtenemos : ( ) 2 2 2 2 1 1 1 55 2 96 16 u v uv u v dudv + + + ÷ = } } UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 152 6.-Utilice las coordenadas polares para combinar la suma siguiente 2 2 1 2 2 4 1 1 0 0 2 1 2 x x x x I xydydx xydydx xydydx ÷ ÷ = + + } } } } } } dentro de una integral doble .Grafique la región de integración y después evalué la doble integral doble. SOLUCION Los límites de la primera integral son: 1 1 2 x s s ; 2 1 x y x s s ÷ Los límites de la segunda integral son: 1 2 x s s ; 0 y x s s Los límites de la tercera integral son: 2 2 x s s ; 2 0 4 y x s s ÷ Transformando a polares, se obtiene: 2 4 3 0 1 15 cos 16 r sen drd t u u u = } } 7.Evaluar : 2 2 2 x y x D e dA + }} ; siendo ( ) { } 2 2 2 , / 2 D x y R x y x = e + s ( ) { } ; ( , ) / 2 x y x dxdy x y x y + ÷ O= + s }} SOLUCION En la región D : 2 2 2 x y x + s , hacemos la transformación a coordenadas polares : UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 153 Reemplazamos en la integral : Evaluando se obtiene: 2 2 2 2 x y x D e dA t + = }} 8. Encontrar el valor de la siguiente integral doble : SOLUCION Haciendo la transformación : cos x r y rsen u u = = 2 2 cos r r D e rdrd u u }} / 2 / 2 0 2cos r t u t u ÷ < < < < ( ) { } ; ( , ) / 2 x y x dxdy x y x y + ÷ O = + s }} : , 2 2 u v u v Despejando x y + ÷ = = x+y=u , x-y=v UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 154 Haciendo las gráficas: Como usamos transformación, tenemos que hallar el Jacobiano para evaluar en la ecuación: Reemplazando en la ecuación : 1 1 1 2 2 1 1 2 2 2 x x u u J y y u v c c c c = = = c c ÷ c c y x v u -2 2 -2 2 2 2 -2 -2 2 2 0 2 0 2 2 2 2 1 3 2 2 2 4 4 2 6 8 u v u dudv u v u v dvdu dvdu ÷ ÷ ÷ + | | ÷ | \ . | | | | ÷ + ÷ ÷ | | \ . \ . + = }} } } } } UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 155 9. Determinar el valor mínimo de la funcional 1 2 0 [ ( )] ( cos ) J y x y x dx ' = + } SOLUCION Desarrollando la funcional 1 2 0 ( cos ) y x dx ' + } 2 2 ( , , ) ( ) 2 cos cos F x y y y y x x ' ' ' = + + Aplicando la ecuación de Euler: 0 y xy yy y y F F y F y F ' ' ' ' ' ' '' ÷ ÷ ÷ = UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 156 Como F depende de x,y,y’ , la expresión queda : 0 2( ) 2 0 2 2 cos senx y y senx y x C '' ÷ ÷ ÷ = '' = ' = ÷ + Reemplazando en la integral : 1 2 2 0 C dx C k cte = = = } SOLUCIONARIO 3RA PRACTICA/2007-I  Tres resistencias 1 R , 2 R y 3 R se conectan en paralelo para obtener una resistencia equivalente R . a) Demostrar que la diferencia total dRes: 3 2 3 2 2 2 1 2 1 R R R R R R dR dR dR dR | | . | \ | + | | . | \ | + | | . | \ | = b) En el problema anterior estime el posible error que resulta de medir R si los errores en las mediciones de 1 R , 2 R y 3 R son respectivamente 1% , 2% y 3%. % R 3R R 2R R R 100 R dR 3 2 1 + + s × Solución : UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 157 ( ) ( ) ( )    0 . , . h h x h a x f h x f ¢ + + = + ( )( ) 2 1 , . , R R dy dx dR = dy R dx R dR 2 1 + = 3 2 1 3 2 1 3 2 1 2 1 3 2 1 3 2 1 2 1 3 2 1 3 2 1 2 1 3 2 1 2 1 . . . . . . . . . . . . . R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R E + + = | | . | \ | + + + | | . | \ | + = + | | . | \ | + | | . | \ | + = = a) 3 3 2 2 1 1 dR R f dR R f dR R R dR c c + c c + c c = ( )( ) ( ) ( ) 2 3 2 1 3 2 1 2 3 2 2 3 2 1 3 2 1 3 2 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R dR eq + + = + + + ÷ + + = ( ) ( ) ( ) 3 2 3 2 1 3 2 1 2 2 2 1 2 2 3 2 1 3 2 1 2 3 2 1 1 2 3 2 1 3 2 1 2 3 2 2 dR R R R R R R R R dR R R R R R R R R dR R R R R R R R R dR eq + + + + + + + + = Para el 1er término : ( ) 1 2 1 1 2 2 1 1 2 3 2 1 3 2 1 3 2 1 dR R R dR R R dR R R R R R R R R | | . | \ | = = | | . | \ | + + Para el 2do término: 2 2 2 2 2 3 2 1 3 2 1 3 1 dR R R dR R R R R R R R R | | . | \ | = | | . | \ | + + Para el 3er término: UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 158 3 2 3 3 2 3 2 1 3 2 1 2 1 dR R R dR R R R R R R R R | | . | \ | = | | . | \ | + + = 3 2 3 2 2 2 1 2 1 dR R R dR R R dR R R dR | | . | \ | + | | . | \ | + | | . | \ | = b) 3 2 3 2 2 2 1 2 1 dR R R dR R R dR R R R dR + + = 3 2 3 2 2 2 1 2 1 dR R R dR R R dR R R R dR + + s % 3 2 . 1 . 100 . 2 3 2 2 2 1 R R R R R R R dR + + s  Una curva ç : x = x (t), y = y (t) en el primer cuadrante une (0,0) con (1,0) y acota un área dada . Halle la ecuación de la curva más corta que une dichos puntos. ç : ( ) ( ) 2 2 2 2 1 ì = ÷ + ÷ C x C x Solución: UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 159 ( ) dx y L } + = 1 0 2 ' 1 Condiciones limítrofes: ( ) 0 0 = y ( ) 0 1 = y En este caso se tiene: ( ) 2 ' 1 y y F + + = ì 0 ' = c c ÷ | | . | \ | c c = y F y F dx d ( ) 0 1 1 2 ' ' = ÷ | | | . | \ | + y y dx d ì ……………………() ( ) ( ) ( ) ( ) ì 1 1 1 1 2 ' 2 ' " 2 ' 2 ' " = + + ÷ + y y y y y y Después de diferenciar: ( ) | | ì 1 1 2 3 2 ' " = + y y ……………………(o ) UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 160 La ecuación (o ) nos indica que la curvatura es constante y equivale a ì 1 . De ello se deduce que la curva necesaria es un arco de círculo con el radio ì . Integramos () para obtener: ( ) ì 1 2 ' ' 1 c x y y ÷ = + Al resolver esto para y' e integrar nuevamente, se obtiene: ( ) ( ) 2 2 2 2 1 ì = ÷ + ÷ c y c x UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 161 UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Ciclo Académico : 2011-3 FACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA Fecha: 25/02/12 DEPARTAMENTOS ACADÉMICOS Duración: 2 horas CURSO: _MATEMATICA III_ COD. CURSO: MA133 TIPO DE PRUEBA: PRACTICA No. 4 Ex. PARCIAL EX. FINAL EX. SUST. 1. Determine el valor de las siguientes integrales a) + + }}} 2 2 2 V 2y 3z (x ) dxdydz donde { } + = = ÷ ÷ = ÷ + 2 2 2 2 V (x,y,z) / y x z , y 2 x z . b) }}} V xdxdydz donde { } + s + s ÷ s = x y 1, 2x z 1, 2y z 1 V (x,y,z) / siempre y cuando exista. c) }}} V x dxdydz, donde { } s s ÷ s = ÷ x, y 1, 2y z 1 V (x,y,z) / 1 d) }}} V f(x;y;z)dxdydz donde , 1 ( ; ; ) , 1 x si x z f x y z y si x z ÷ + > ¦ = ´ ÷ + s ¹ y { } + + s = 2 2 2 y z 1 V (x,y,z) / x . 2. a) En caso sea posible usando el teorema de Green determine la integral ( ) 2 2 2 3 2 2 2 , : 16, 0 xdx ydy zdz x y z x y z x y z ¸ ¸ + + + + = + + = + + } Además determine si ¸ determina una región simplemente conexa. b) Determine el trabajo realizado al desplazar una partícula desde el (0;1) hasta el punto 1 (1; ) e ÷ sobre la curva ÷ = > x y e , x 0, siendo el campo vectorial ( ) ( , ) , F x y x y x y = + ÷ 4. Determine el valor de la siguiente integral, si 1 2 ( , ,..., ) n X x x x = ( ) 4 2 2 1 2 3 1 2 3 4 . ( ... ), : 2 1, ... 0 n n X X dx dx dx dx x x x x x ¸ ¸ V + + + + + = = = = = } . 5. Usando el teorema de Green encontrar el área de la región que encierra la curva: 2 2 2 16 x y y + + = Además evalué en caso exista ( ) , : 1, 0. x y dx zdy z dz x z y ¸ ¸ + + + + = = } EJERCICIOS UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 162 UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Facultad de Ingeniería Eléctrica y Electrónica “MATEMÁTICAS III” PRESENTACIÓN: Solución de Ejercicios TEMA: - Multiplicadores de Lagrange PROFESOR: Víctor Daniel Rojas Cerna CÓDIGO Y SECCIÓN DEL CURSO: MA133Q ESTUDIANTES: CÓDIGO UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 163 - Crisóstomo Yance, Pamela 20084105H - Salas Villegas, Jhon 20080088A FECHA DE ENTREGA: 05 / 05 / 09. Ciudad Universitaria, Mayo 2009. EJERCICIOS I. Resuelva los siguientes problemas a) Determine el punto sobre el plano 2x – y + z = 1 que este mas cercano al punto (-4, 1, 3) Solución: ( ) ( ) ( ) = + + ÷ + ÷ 2 2 2 1 3 d x y y z ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = + + ÷ + ÷ = ÷ + ÷ = 2 2 2 2 , , 4 1 3 , , 2 1 0 Sea f x y z d x y z g x y z x y z Entonces aplicando Lagrange: ì V = V f g ( ) ( ) ( ) ì ì ì + = ÷ = ÷ ÷ = 2 4 2 2 1 2 3 x y z + = ÷ + = ÷ = 2 2 4 2 10 x y y z z y ÷ + ÷ = 2x y z 1 0 ….. (1) UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 164 Reemplazando en (1) ( ) ( ) ÷ ÷ ÷ + ÷ = ¬ 2 2z 10 4 z z 1 0 25 1 5 z = ; y = - ; x = - 6 6 3 | | ÷ ÷ | \ . 5 1 25 Punto más cercano es ; ; 3 6 6 | | = ÷ ÷ = | \ . 2 min 5 1 25 49 d f ; ; 3 6 6 6 7 d = 6 6 b) Determine los puntos máximos y mínimos de la función a b c x y z , tal que a, b y c son constantes y también se cumple 100 x y z + + = . Solución: Tenemos dos funciones: ( , , ) a b c f x y z x y z = y la restricción ( , , ) 100 g x y z x y z = + + ÷ . Aplicamos Lagrange: f g ì V = V 1 1 1 ( , , ) (1,1,1) a b c a b c a b c ax y z bx y z cx y z ì ÷ ÷ ÷ = Obtenemos el sistema de ecuaciones: 1 1 1 a b c a b c a b c ax y z bx y z cx y z ì ì ì ÷ ÷ ÷ = = = De donde despejamos: ay x b = y cy z b = Reemplazando en la restricción: 100 100 100 a x a b c b y a b c c z a b c = + + = + + = + + UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 165 c) Calcule el volumen de la caja rectangular mas grande que este en el primer octante con tres de sus caras en los planos coordenados y un vértice en el plano x + 2y + 3z = 6. Solución: Volumen: ( ) = f x,y,z xyz Restricción: ( ) = + + = g x,y,z x 2y 3z 6 ¬ max Piden calcular el volumen maximo f Usamos el método de los multiplicadores de Lagrange: ( ) ( ) ( ) ì ì V = V = f g yz, xz, xy 1,2,3 ¬ yz xz 2 xy 3 ì ì ì = = = xyz x 2y 3z k ì = = = = (x,y,z) (vértice en el plano X+2y+3z=6) (x,0,0) (x,y,0) (0,y,0) (0,0,z) P UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 166 Reemplazando en ( ) g x, y,z k k k 2 3 6 2 3 k 2 | | | | + + = | | \ . \ . = ( ) ¬El punto P 2,1,2 3 (Al ser unico punto critico, se asume como máximo) = = max 3 2 4 V 2 . 1 . u 3 3 II. Calcule los valores máximos y mínimos de f(x,y) sobre el conjunto D: a) ( ) f x,y 1 xy x y = + ÷ ÷ , D es una región acotada por la parábola y = x 2 y la recta y = 4. Solución: ( ) = + ÷ ÷ f x,y 1 xy x y | = ÷ = 2 1 y x 0 Puntos críticos: x 2 = y y = 4 4 UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 167 o o o o = ÷ = = = F y 1 0 x F x 0 y ( ) = 0 P 0,1 Puntos en la parábola ì | V = V . 2 1 F y - x = 0 .... (1) ( ) ì ì ÷ = ÷ = y 1 2x x = ÷ 2 y 1 2x Reemplazando en (1): = ± 1 x 3 ¬ | | = | \ . | | = ÷ | \ . 1 2 1 1 P , 3 3 1 1 P , 3 3 En la recta y – 4 = 0 Reemplazando en (1): = ± x 2 ¬ ( ) ( ) = = ÷ 3 4 P 2,4 P 2,4 Luego: ( ) ( ) ( ) = | | = | \ . | | ÷ = | \ . = ÷ = ÷ f 0,1 0 1 1 f , 0,2817 3 3 1 1 f , 1,051 3 3 f 2,4 3 max. f 2,4 9 min. b) ( ) 2 2 f x,y 2x x y 2 = + + ÷ , ( ) { } 2 2 D x,y / x y 4 = + s UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 168 Solución: = + = = = df 4x 1 0 dx df 2y 0 dy 1 x = - y = 0 4 Punto crítico | | ÷ | \ . 0 1 P : ;0 4 Puntos en la frontera: ( ) 2 2 2 2 2 2 x y 4 f x, y x y x x 2 4 x x 2 + = = + + ÷ ÷ = + ÷ ÷ o o ¬ = + = f 2x 1 0 x = ÷ . = ± 1 15 x y 2 2 1 2 1 15 P : ; 2 2 1 15 P : ; 2 2 | | ÷ | | \ . | | ÷ ÷ | | \ . 4 y x x 2 +y 2 < 4 UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 169 1 17 f ,0 4 8 1 15 7 f ; 2 2 4 1 15 7 f ; 2 2 4 | | ÷ = ÷ | \ . | | ÷ = | | \ . | | ÷ ÷ = | | \ . 7 Máximo de f = 4 17 Mínimo de f = - 8 c) ( ) 3 4 f x,y 2x y , = + ( ) { } 2 2 D x,y / x y 1 = + s Solución: Sabemos que D es una región encerrada por una circunferencia de radio r = 1. Determinamos los puntos críticos de la función situados: - Dentro del círculo r=1 D UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 170 ( ) ( ) ( ) 2 3 1 f 0 6x ,4y 0,0 D x 0 y 0 P 0,0 V = = e ¬ = . = ¬ = - Contorno del círculo: ( ) { } 2 2 D x,y / x y 1 = + s ( ) ( ) 2 3 f D 6x ,4y 2x,2y ì ì V = V = 2 3 6x 2x 4y 2y ì ì = = 2 2 3x 2y 3x y 2 = ¬ = Reemplazando en la restricción ( )( ) 2 3x x 1 0 2 2x 1 x 2 0 + ÷ = ÷ + = 2 2 1 3 3 x y y = 2 4 2 1 x y 3 (NO) 2 = ¬ = ± = ÷ ¬ = ÷ 2 3 1 3 1 3 P , ;P , 2 2 2 2 | | | | ¬ ÷ | | | | \ . \ . Entonces tenemos 3 puntos críticos: ( ) 1 2 3 1 3 1 3 P 0,0 ;P , ;P , 2 2 2 2 | | | | ÷ | | | | \ . \ . Comparamos el valor de la función en cada valor: ( ) 1 2 3 1 3 13 1 3 13 P 0,0 0; P , ; P , 2 2 16 2 2 16 | | | | = = ÷ = | | | | \ . \ . UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 171 El mínimo absoluto esta en ( ) 1 P 0,0 y el máximo en 2 1 3 P , 2 2 | | | | \ . y 3 1 3 P , 2 2 | | ÷ | | \ . d) ( ) 3 3 f x,y x 3x y 12y, = ÷ ÷ + D es el cuadrilátero cuyos vértices son (-2,3), (2,3), (2,2) y (-2,-2). Solución: Determinamos puntos críticos dentro del cuadrilátero ( ) ( ) 2 2 f 0 3x 3,12 3y 0,0 V = ÷ ÷ = 2 2 3x 3 0 3 3x 0 3 x 1 ÷ = + = + = ± 2 2 12 3y 0 12 3y 2 y ÷ = = ± = (2,2) (2,3) (-2,3) (-2,-2) L 1 L 2 L 3 L 4 x y UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 172 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 3 4 P 1,2 ; P 1,2 ; P 1, 2 ; P 1, 2 ÷ ÷ ÷ ÷ No eD No eD Determinamos los puntos críticos de la función condicionada por el contorno, cada lado por separado: ( ) 3 3 f x, y x 3x y 12y ¬ = ÷ ÷ + L 1 : y = 3 ¬ ( ) 3 3 f x,y x 3x y 12y = ÷ ÷ + g (x,y) = L 2 : x = -2 Hacemos f g ì V = V ( ) ( ) 2 2 3x 3,12 3y 1,0 ì ÷ ÷ = 2 2 12 3y 0 4 y 2 y ÷ = = ± = 2 3x 3 x Pero x = -2 ÷ = ( ) ( ) 5 6 P 2, 2 ; P 2,2 ¬ ÷ ÷ ÷ ¬ ( ) 3 3 f x,y x 3x y 12y = ÷ ÷ + g (x,y) = L 3 : x = 2 Hacemos f g ì V = V ( ) ( ) 2 2 3x 3,12 3y 1,0 ì ÷ ÷ = ( ) ( ) ( ) 2 3 4 f ' x 0 3x 3 1 x P 1,3 ,P 1,3 ¬ = = ÷ ± = ¬ ÷ ( ) ( ) 3 3 f x x 3x 27 36 f x x 3x 9 = ÷ ÷ + = ÷ + UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 173 2 2 12 3y 0 4 y 2 y ÷ = = ± = 2 3x 3 x Pero x = 2 ÷ = ( ) ( ) 7 8 P 2,2 ; P 2, 2 ¬ ÷ No eg(x,y) porque ( ) s s ¬÷ e 2 y 3 2 g x,y ¬ ( ) 3 3 f x,y x 3x y 12y = ÷ ÷ + ( ) ( ) { } { } { } 4 4 4 4 L : 2,2 t 1,1 x 2 t L : y 2 t L : x 2 y 2 L : x y + = + ¦ ¹ ´ ` = + ¹ ) ÷ = ÷ = ¬ ( ) ( ) ( ) 3 3 f x, y x 3x x 12x f x 9x f ' x 0 9 = ÷ ÷ + = = = - En los vértices también pueden haber puntos críticos ( ) ( ) ÷ 8 9 P 2,3 ; P 2,3 Comparamos el valor de la función en cada punto crítico ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 P 1,2 = 14 ; P 1,2 = 18 ; P 1,3 = 7 ; P 1,3 = 11 ; P 2, 2 = -18 P 2,2 = 14 ; P 2,2 = 18 ; P 2,3 = 7 ; P 2,3 = 11 Luego el mínimo absoluto esta en ( ) ÷ ÷ 5 P 2, 2 y el máximo en ( ) ÷ 2 P 1,2 y ( ) 7 P 2,2 III. Resuelva los siguientes problemas: 1. Hállense los puntos sobre la elipse x 2 + 2y 2 = 1 donde ( ) f x,y xy = tiene sus valores extremos. Solución: UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 174 ( ) ( ) ì ì ì ì ì V = V = ÷ ± = ÷ f G y y 2x = 2x x= 2y x x 4y = 2y ( ) + = + = ÷ ± 2 2 2 2 x 2y 1 ..... (1) 1 En (1) - 2y 2y 1 y = 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 3 3 4 4 2 1 2 P : ; f P 4 2 2 2 1 2 P : ; f P Máximo 4 2 2 2 1 2 P : ; f P Mínimo 4 2 2 2 1 2 P : ; f P 4 2 2 | | ÷ = | | \ . | | ÷ ÷ = | | \ . | | ÷ ÷ ÷ ÷ = | | \ . | | ÷ ÷ = ÷ | | \ . | | ÷ | | \ . | | ÷ ÷ | | \ . 2 3 2 1 f tiene un máximo en P = ; 2 2 2 1 f tiene un mínimo en P = ; 2 2 2. Hállense los valores extremos de ( ) f x,y xy = sujetos a la restricción ( ) 2 2 g x,y x y 10 0 = + ÷ = . Solución: ( ) ì ì ì V = V . = f G x2 + y2 - 10 = 0 .... (1) (y, x) 2 ,2x ì ì y = 2x x = 2y = ± x 2y En (1) UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 175 2 2 x y 10 0 x 5 + ÷ = ÷ = ± ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 3 3 4 4 P : 5; 5 f P 5 P : 5; 5 f P 5 Máximo P : 5; 5 f P 5 Mínimo P : 5; 5 f P 5 ÷ = ÷ ÷ = ÷ ÷ ÷ = ÷ ÷ ÷ ÷ = ( ) ( ) ( ) ( ) f tiene un máximo en 5; 5 5; 5 f tiene un mínimo en 5; 5 5; 5 . ÷ ÷ ÷ . ÷ 3. Hállese el valor máximo de ( ) 2 2 f x,y 9 x y = ÷ ÷ sobre la recta x + 3y = 12. Solución: ì V V Por Lagrange: f = g ì ì ÷ = 2x -2y = 3 y = 3x + ÷ = x 3y 12 0 ........ (1) ( ) En (1) x + 3 3x - 12 = 0 ÷ 6 x 5 = . 18 y 5 = 6 18 6 18 27 f toma su maximo en P = ; ,f , , 5 5 5 5 5 ÷ | | | | = | | \ . \ . 4. Calcúlese la distancia mínima entre la recta y = x + 1 y la parábola y 2 = x. Solución: Recta: = + ¬ = + ÷ 1 y x 1 g 1 x y UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 176 Parábola: = ¬ = ÷ 2 2 2 y x g x y La función distancia es: Sea (x,y) un punto de la parábola y (a,b) un punto de la recta Entonces: ( ) ( ) = ÷ + ÷ 2 2 d x a y b ( ) ( ) ( ) = ÷ + ÷ ÷ 2 2 2 f x,y x a y b d Hacemos V = F 0 Tal que ( ) ì µ V = + + 1 2 F f x g g = + ÷ = ÷ 1 2 2 g 1 a b g x y ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ì µ ì µ = ÷ + ÷ ÷ + + ÷ + ÷ 2 2 2 2 F x,y,a,b, , x a y b d 1 a b x y ( ) ( ) µ µ ì ì V = = ÷ + ÷ ÷ ÷ + ÷ ÷ + ÷ ÷ = 2 F 0 2x 2a ,2y 2b 2y ,2a 2x ,2b 2y ,1 a b,x y 0,0,0,0,0,0 x 2 = y y 2 = x 1 -1 y = x + 1 x y d (a,b) (x,y) UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 177 µ µ ì ì ÷ + = ÷ ÷ = + ÷ = ÷ + ÷ = + ÷ = ÷ = 2 2x 2a 0 2y 2b 2y 0 2a 2x 0 2b 2y 0 1 a b 0 x y 0 ì µ ì µ + = ÷ = ¬ = . = 0 2y 1 1 y x 2 4 µ µ ÷ + = + ÷ ÷ = = + 1 2a 0 2 1 2b 0 3 2a 2b 2 + = ÷ = ÷ = ÷ = ÷ . a b 3 4 a b 1 2a 1 4 a 1 8 b = 7 8 | | | | = . ÷ | | \ . \ . 1 1 1 1 7 P , , 2 4 8 8 Siendo único punto crítico, entonces la distancia mínima será: | | | | = + + ÷ = | | \ . \ . 2 2 1 1 1 7 5 d 2 2 8 4 8 8 5. Determínense los valores extremos de ( ) 2 f x,y x = y sobre la recta x + y = 3. Solución: ( ) = ÷ 2 f x,y x y sobre x + y = 3 restricción ( ) ¬ = + ÷ g x,y x y 3 Aplicamos f g ì V = V ( ) ( ) ì = 2 2xy,x 1,1 ì ì = = 2 2xy x ì = ± . ± = 2y x x = 2y x Reemplazamos en la restricción UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 178 + = = 2y y 3 y 1 Entonces cuando = ¬ = = ÷ ¬ = ÷ y 1 x 2 y 1 x 2 Luego evaluamos ( ) 1 P 2,1 y ( ) ÷ ÷ 2 P 2, 1 y obtenemos los valores extremos: ( ) ( ) = ÷ ÷ = ÷ 1 2 P 2,1 4 máximo P 2, 1 4 mínimo 6. Determínense los puntos sobre la curva x 2 y = 2 mas próximos al origen. Solución: Curva: x 2 y = 2 Desde el origen a la curva la distancia se determina con d 2 = x 2 + y 2 Debemos minimizar d Tomemos así: ( ) ( ) = + ÷ = ÷ 2 2 2 2 f x,y x y d y su restricción g x,y x y 2 Aplicamos ( ) ( ) ì ì V = V = 2 f g 2x,2y 2xy, x ì ì ¬ = = 2 2x 2xy 2y x = 2 2 x 2y Reemplazamos en la restricción ( ) ÷ = 2 2y y 2 0 = . = ± 3 y 1 y = 1 x 2 Tenemos entonces ( ) 1 P 2,1 y ( ) ÷ 2 P 2,1 UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 179 Evaluamos en la función ( ) = 1 P 2,1 ( ) ÷ = 2 P 2,1 3 ( ) 1 P 2,1 y ( ) ÷ 2 P 2,1 puntos mas próximos al origen. IV. 1. Determinar los máximos, mínimos y puntos de silla de las superficies: a) 2 2 z 3x 6xy 7y 2x 4x = + + ÷ + Solución: ( ) = = + + ÷ + f x,y z 3x2 6xy 7y2 2x 4y = + ÷ = = + + = df 6x 6y 2 0 dx df 6x 14y 4 0 dy = = ÷ 13 x 12 3 y 4 | | ÷ | \ . c c = c c c c c = c c c 0 2 2 2 2 13 3 Punto crítico : P = ; 12 4 f f 6 ; = 6 x x y f f 14 ; = 6 y y x ( ) ( ) ì ì ì ì ì ì ì | | = | \ . ÷ | | | | = ÷ = | | ÷ \ . \ . = ÷ + 2 6 6 H x 6 14 6 6 1 0 6 6 P 6 14 0 1 6 14 P 20 48 ì ì ÷ = ÷ ÷ = + 1 2 10 2 13 (+) 10 2 13 (+) UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 180 | | ÷ = ÷ | \ . 13 3 31 Po es un mínimo, f ; 12 4 12 b) 1 8 z xy x y = + + Solución: c = ÷ = c c = ÷ = c 2 2 f 1 y 0 x x f 1 x 0 y y = = 1 x 2 y 4 | | | \ . c c = c c c c c = c c c o 2 2 3 2 2 3 1 Punto crítico : P = ;4 2 f 2 f ; = 1 x x x y f 16 f ; = 1 y y y x ( ) ì ì ì ì ì | | | | | | | = = | | | \ . | \ . ÷ ÷ + = = ÷ 3 o 3 2 2 1 16 1 x H x ; H P 1 16 1 1 4 y 16 1 4 65 12 P 1 4 1 4 ì ì ÷ = ÷ = 1 2 (+) (+) | | = | \ . o 1 En P existe un mínimo, f ;4 6 2 UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 181 2. Hallar los valores máximo y mínimo de ( ) 2 2 f x,y y x = ÷ sujeto a la condición 2 2 x y 1 4 + = Solución: ( ) = ÷ 2 2 f x,y y x sujeto a ( ) = + = 2 2 x g x, y y 1 4 Aplicamos: ( ) ì ì V = V | | ÷ = | \ . f g x 2x,2y ,2y 2 ì ì ÷ = = x 2x 2 2y 2y = Si hacemos y 0 habra solución absurda, entonces hacemos y = 0 Reemplazando en la restricción: = ¬ = ¬ = ± 2 2 x 1 x 4 x 2 4 Teniendo ( ) 1 P 2,0 y ( ) ÷ 2 P 2,0 Evaluando: ( ) ( ) = ÷ ÷ = ÷ 1 2 P 2,0 4 P 2,0 4 Evaluamos ahora en la matriz Hessiana ( ) ( ) ( )( ) ì ì ì ì ÷ | | ( = ¬ ÷ = ÷ ¬ ÷ + = | ¸ ¸ + \ . 2 2 0 H x H x 4 2 2 0 0 2 Hessiana para ì ì = = ÷ 2 2 todo punto UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 182 Entonces como las raíces son de signos diferentes no hay máximo ni mínimo. (2,0) y (-2,0) son puntos de silla. 3. Encontrar el área máxima que pueda tener un rectángulo si la longitud de su diagonal es 2. Solución: ( ) ( ) = = + ÷ = 2 2 Area : f x, y xy Diagonal (restricción) g x, y x y 4 0 Hacemos ( ) ( ) ì ì V = V = f g y, x 2x,2y ì ì ¬ = = y 2x x 2y ¬ = y x 2x 2y = + = + y x y x (asumiendo valores positivos por ser longitud) Reemplazando en la restricción ( ) = + ÷ = 2 2 g x,y x x 4 0 = = + . = + 2 x 2 x 2 y 2 (formación de un cuadrado) y 2 2 x y 2 + = x UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 183 El punto crítico es ( ) 2, 2 . El área maximizada es: ( )( ) = + + = 2 max A 2 2 2u V. Encontrar la distancia mínima del punto (1,1,0) a la superficie + + = 2 2 2 x y z 4 Solución: Superficie: ( ) = + + ÷ 2 2 2 g x,y,z x y z 4 Debemos hallar distancia mínima al punto (1,1,0) desde la curva Sea ( ) ( ) e x,y,z g x,y,z , la distancia es: ( ) ( ) = ÷ + ÷ + 2 2 2 2 d x 1 y 1 z al punto (1,1,0) Tenemos así ( ) ( ) ( ) = ÷ + ÷ + ÷ 2 2 2 2 f x,y,z x 1 y 1 z d ( ) ( ) ì ì V = V ÷ ÷ = f g 2x 2,2y 2,2z 2x,2y,2z ì ì ì ÷ = ÷ = = 2x 2 2x 2y 2 2y 2z 2z UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 184 Notamos que si damos a z = 0 habrá solución absurda, sin embargo si z = 0, resulta ì ÷ ÷ = = x 1 y 1 x y Reemplazando en la restricción + ÷ = = = ± = . = 2 2 2 x x 4 0 2x 4 x 2 y z 0 Teniendo ( ) ( ) ( ) ( ) ÷ ÷ ÷ ÷ 1 2 3 4 P 2, 2,0 ; P 2, 2,0 ; P 2, 2,0 ; P 2, 2,0 Evaluando en la función: ( ) ( ) ( ) ( ) ~ ÷ ÷ ÷ ÷ = 1 2 3 4 P 2, 2,0 0,6 ; P 2, 2,0 = 6 P 2, 2,0 = 6 ; P 2, 2,0 3,41 ~ La distancia mínima 0,6 Aclaración 1) armónica ¿ ( ) ( √ ) ? 2) Demostrar ()() 3) Si ,transformar en términos de y 4) Encontrar usando Lagrange la distancia mínima entre ( ) 4) Encontrar la distancia mínima entre la recta tangente a la curva UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 185 a la esfera Coordenadas cilíndricas Las coordenadas cilíndricas son un sistema de coordenadas para definir la posición de un punto del espacio mediante un ángulo, una distancia con respecto a un eje y una altura en la dirección del eje. El sistema de coordenadas cilíndricas es muy conveniente en aquellos casos en que se tratan problemas que tienen simetría de tipo cilíndrico o acimutal. Se trata de una versión en tres dimensiones de las coordenadas polares de la geometría analítica plana. Un punto en coordenadas cilíndricas se representa por (ρ, φ, ), donde: - ρ: Coordenada radial, definida como la distancia del punto al eje , o bien la longitud de la proyección del radio vector sobre el plano - φ: Coordenada acimutal, definida como el ángulo que forma con el eje la proyección del radio vector sobre el plano . - : Coordenada vertical o altura, definida como la distancia, con signo, desde el punto P al plano . Los rangos de variación de las tres coordenadas son La coordenada acimutal φ se hace variar en ocasiones desde -π a +π. La coordenada radial es siempre positiva. Si reduciendo el valor de ρ llega a alcanzarse el valor 0, a partir de ahí, ρ vuelve a aumentar, pero φ aumenta o disminuye en π radianes. Relación con otros sistemas de coordenadas Teniendo en cuenta la definición del ángulo φ, obtenemos las siguientes relaciones entre las coordenadas cilíndricas y las cartesianas: Base coordenada A partir del sistema de coordenadas cilíndricas se puede definir una base vectorial en cada punto del espacio, mediante los vectores tangentes a las líneas coordenadas. Esta nueva base puede relacionarse con la base fundamental de las coordenadas cartesianas mediante las relaciones e inversamente UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 186 En el cálculo de esta base se obtienen los factores de escala Disponiendo de la base de coordenadas cilíndricas se obtiene que la expresión del vector de posición en estas coordenadas es: Nótese que no aparece un término . La dependencia en esta coordenada está oculta en los vectores de la base. Efectivamente: Diferencial de línea Un desplazamiento infinitesimal, expresado en coordenadas cilíndricas, viene dado por Diferenciales de superficie La expresión general de un diferencial de superficie en coordenadas curvilíneas es complicada. Sin embargo, para el caso de que se trate de una superficie coordenada, el resultado es y expresiones análogas para las otras dos superficies coordenadas. En el caso particular de las coordenadas cilíndricas, los diferenciales de superficie son - ρ=cte: - φ=cte: UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 187 - z=cte: Diferencial de volumen El volumen de un elemento en coordenadas curvilíneas equivale al producto del jacobiano de la transformación, multiplicado por los tres diferenciales. El jacobiano, a su vez, es igual al producto de los tres factores de escala, por lo que que para coordenadas cilíndricas da Operadores diferenciales en coordenadas cilíndricas El gradiente, la divergencia, el rotacional y el laplaciano poseen expresiones particulares en coordenadas cilíndricas. Éstas son: - Gradiente - Divergencia - Rotacional - Laplaciano Coordenadas esféricas UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 188 El sistema de coordenadas esféricas se basa en la misma idea que las coordenadas polares y se utiliza para determinar la posición espacial de un punto mediante una distancia y dos ángulos. En consecuencia, un punto P queda representado por un conjunto de tres magnitudes: el radio , el ángulo polar o colatitud θ y el azimut φ. Algunos autores utilizan la latitud, en lugar de colatitud, en cuyo caso su margen es de 90º a -90º (de -π/2 a π/2 radianes), siendo el cero el plano XY. También puede variar la medida del acimut, según se mida el ángulo en sentido reloj o contrarreloj, y de 0º a 360º (0 a 2π en radianes) o de -180º a +180º (-π a π). Se debe tener en cuenta qué convención utiliza un autor determinado Relación con las coordenadas cartesianas Sobre los conjuntos abiertos: Existe una correspondencia unívoca entre las coordenadas cartesianas y las esféricas, definidas por las relaciones: UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 189 Estas relaciones se hacen singulares cuando tratan de extenderse al propio eje , donde , en el cual φ, no está definida. Además, φ no es continua en ningún punto tal que . La función inversa entre los dos mismos abiertos puede escribirse en términos de las relaciones inversas: Relación con las coordenadas cilíndricas Como sistema intermedio entre las coordenadas cartesianas y las esféricas, está el de las coordenadas cilíndricas, que se relaciona con el de las esféricas por las relaciones y sus inversas Base coordenada A partir del sistema de coordenadas esféricas puede definirse una base vectorial en cada punto del espacio, mediante los vectores tangentes a las líneas coordenadas. Esta nueva base puede relacionarse con la base fundamental de las coordenadas cartesianas mediante las relaciones e inversamente En el cálculo de esta base se obtienen los factores de escala Disponiendo de la base de coordenadas esféricas se obtiene que la expresión del vector de posición en estas coordenadas es UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 190 Nótese que no aparecen término en o . La dependencia en estas coordenadas está oculta en el vector . Diferencial de línea Un desplazamiento infinitesimal, expresado en coordenadas esféricas, viene dado por Diferencial de superficie La expresión general de un diferencial de superficie en coordenadas curvilíneas es complicada. Sin embargo, para el caso de que se trate de una superficie coordenada, el resultado es y expresiones análogas para las otras dos superficies coordenadas. En el caso particular de las coordenadas esféricas, los diferenciales de superficie son - =cte: - θ=cte: - φ=cte: Diferencial de volumen El volumen de un elemento en coordenadas curvilíneas equivale al producto del jacobiano de la transformación, multiplicado por los tres diferenciales. El jacobiano, a su vez, es igual al producto de los tres factores de escala, por lo que que para coordenadas esféricas da Operadores diferenciales en coordenadas esféricas El gradiente, la divergencia, el rotacional y el laplaciano poseen expresiones particulares en coordenadas esféricas. Estas son: - Gradiente UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 191 - Divergencia - Rotacional - Laplaciano Operadores vectoriales en coordenadas ortogonales - El gradiente viene dado por: - La divergencia viene dada por: - El rotacional viene dado por el desarrollo del siguiente determinante: UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 192 - El laplaciano de una magnitud escalar viene dado por: UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 193 UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Ciclo Académico : 2011-3 FACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA Fecha: 14/02/12 DEPARTAMENTOS CIENCIAS BASICAS Duración: 2 horas CURSO: _MATEMATICA III_ COD. CURSO: MA133 M-N TIPO DE PRUEBA: PRACTICA No. Ex. PARCIAL EX. FINAL PRACTICA DIRIGIDA 1. Determine | | ( ) { } , , / 1 2 , 0 2 xy dxdy x y x y O O= s s s s }} 2. Evalue ( ) ( ) { } , , / 1 2 , 0 2 x y dxdy x y x y O + O= ÷ s s s s }} . 3. Calcular ( ) ( ) { } , , / 1 2 , 0 2 x y x dxdy x y x y O + ÷ O= ÷ s s s s }} . 4. Calcular ( ) ( ) { } 2 , , / 1 2 , 0 2 xy y dxdy x y xy x y O + O= s s s + s }} . 5. Determine ( ) ( ) { } 2 2 2 , , / 1 2 , 0 2 x yx y dxdy x y y x y x O + + O= ÷ s + s s ÷ s }} . 6. Calcular ( ) ( ) { } 2 2 2 2 , , / 1 , 0 x yx y dxdy x y y x y x O + + O= s ÷ s ÷ }} . 7. Determine ( ) ( ) { } 2 , , / 1 x y x y dxdy x y x y O + + ÷ O= + s }} . 8. Determine ( ) | | { } 2 2 0 , , / 0,1 , x y e dxdy x y x y R ÷ ÷ + O O= e e }} . 9. Encontrar ( ) ( ) { } , , / 2 x y x y dxdy x y x y O + + ÷ O= + s }} 10. Determine ( ) | | { } 2 2 2 1 0 ( 1) , , / 0,1 , x y dxdy x y x y R + + + O O= e e }} 11. Determine ( ) ( ) { } / , , / 4 4 1 x y x y dxdy x y x y O + ÷ O= + + + s }} 12. Determine 1 1 0 0 x dxdy y ¦ ¹ ´ ` ¹ ) } } x x x y y y ¦ ¹ = ÷ ´ ` ¹ ) 13. Encontrar el volumen encerrado por 2 2 2 2 4 ( 1) ( 1) 1 ( 1) ( 1) 5 z x y x y z ¦ = ÷ ÷ ÷ ÷ ¦ = ÷ + ÷ ´ ¦ = ¹ 14. Usando el teorema de Pappus halle el volumen del solido al rotar la región y=3x, y= alrededor de y=4x 15. Demuestre que ( ) ( ) , , E E f x y dxdy f x y dxdy s }} }} . 16. Encontrar ( ) { } 2 2 4 2 2 1 ( 1) , , / 16 x y dxdy x y x y + + O O= + > }} . 17. Calcule ( ) { } 2 2 , , / 1 2, 4 , , 0 , 0 x y dxdy x y xy y x y x x y O O= s s s > > > }} . 18. Calcule ( ) ( ) { } 2 2 2 2 5 , , / 0 , 4 16 x y dxdy x y y x y O + O= s s + s }} . 19. Determine el centrodie de una lamina delgada de densidad uniforme µ si ocupa la región { } 2 2 ( , ) / 0 , 1 x t y x x y O= s s + s UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 194 20. Sea la region el espacio limitada por: 5 1 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 4 2 2 2 2 = = ÷ + ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ = z y x y x z Solución: Haciendo la transformación: z z rsen y r x = + = + = u u 1 cos 1 r z z z r z z y y r y z x x r x = c c c c c c c c c c c c c c c c c c u u u Del gráfico : 5 4 2 < < ÷ z r , evaluando en la integral : } } } ÷ = t t u 2 0 1 0 5 4 2 2 / 3 r rdzdrd 2. Hallar el volumen de intersección de los cilindros 2 2 2 2 2 2 , a z x a y x = + = + (a>0) Solución: De acuerdo a la simetría del grafico calcularemos solo el volumen del 1er octante V = 8 V1 x y z 4-- a UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 195 Calculo de V1 : la altura corresponde a : 2 2 ) , ( x a y x f z ÷ = = } } ÷ 0 = ÷ = a x a a dydx x a V 0 3 2 2 2 2 3 2 , evaluando 3 16 1 8 3 a V V = = 3. PROBLEMA - Calcular 1 1 0 0 x dxdy y ¦ ¹ ´ ` ¹ ) } } , si: x x x y y y ¦ ¹ = ÷ ´ ` ¹ ) SOLUCION: 1 1 ( ) ( ) 0 0 ...( ) I II x x x x x x dxdy dxdy dxdy y y y y y y o | | | | | | ÷ = ÷ + ÷ | | | \ . \ . \ . } } }} }} La región donde se va integrar es: Seccionando: 1 1 1 1 I II UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 196 Para (I): 0 1 0 0 x x y x y y > > ¬ > > ¬ = 1 1 ( ) ( ) 0 0 1 4 I I x x x x dxdy dxdy dxdy y y y y | | | | | | ¬ ÷ = = = | | | \ . \ . \ . }} }} } } ( ) 1 4 I x dxdy y | | ¬ = | \ . }} Para (II): : , 1 1 1 ( 1) x Sea k k y x k k x y y x k k ky x k y + = e ¹ s s + ¦ ¦ · s s ` ´ + ¹ ¦ s s + ) Podemos expresar la integral doble como la suma de integrales en cada subregión de II: 1 ( ) 1 0 1 lim x k n n II k x k x x dxdy dxdy y y ÷· = + | | | | = | | \ . \ . ¿ }} } } 1 1 ( ) 1 1 0 0 lim lim n n n n II k k k x x x x dxdy dydx k dydx y y y y ÷· ÷· = = | | | | | | | ¬ = ÷ = ÷ | | | \ . \ . | \ . ¿ ¿ }} } } x y k = 1 x y k = + UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 197 1 1 1 1 lim ln( ) 2 ( 1) n n k k k k ÷· = | | + = ÷ | + \ . ¿ ( ) 1 1 1 1 1 lim ln( ) 2 ( 1) n n n II k k x k dxdy y k k ÷· = = ( | | | | + | | = ÷ ( | | | + \ . \ . \ . ¸ ¸ ¿ ¿ }} 1 ( ) 1 1 1 lim ln( 1) ( 1) 2 n n II k x dxdy n y k + ÷· = | | ( = + ÷ ÷ | ( ¸ ¸ \ . ¿ }} 1 ( ) 1 1 1 1 lim ( ln( 1)) 2 2 n n II k x dxdy n y k + ÷· = | | = ÷ ÷ + + | \ . ¿ }} De ( ) o reemplazamos lo obtenido: 1 1 1 1 ( ) ( ) 0 0 1 1 1 1 lim ( ln( 1)) 4 2 2 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 lim ( ln( 1)) 4 2 2 n n k I II n k n n k x x x x x dxdy dxdy dxdy y y y y y x dxdy n y k + ÷· = ÷ ÷ + + + ÷· = | | | | | | = ÷ + ÷ | | | \ . \ . \ . ¿ | | = ÷ ÷ + + | \ . } } }} }} ¿ } } 1 1 1 1 0 0 . ( ) 3 1 1 1 lim ( ln( 1)) 4 2 2 n n k cte deEuler x dxdy n y k ¸ + ÷· = | | = ÷ ÷ + + | \ . ¿ } } UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 198 Delta de kronecker Ejercicios 1) Demostrar ijk ist js kt ks jt c c o o o o = ÷ Solución: Comenzamos la solución de la siguiente relación ir is it ijk rst jr js jt kr ks kt o o o c c o o o o o o = Para el índice i = r quedaría de la siguiente forma: ii is it ijk ist ji js jt ki ks kt o o o c c o o o o o o = 3( ) ( ) ( ) ijk ist js kt ks jt js kt ks jt jt ks kt js c c o o o o o o o o o o o o = ÷ ÷ ÷ + ÷ Usamos la propiedad de substitución del Delta de Kronecker y la convención de la suma, y logramos reducir a : ijk ist js kt ks jt c c o o o o = ÷ UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 199 2) Demostrar 3 ij jk o o = Solución: 1 2 3 ij jk j jk j jk j jk o o o o o o o o = + + 11 1 12 2 13 3 21 1 22 2 23 3 31 1 32 2 33 3 ij jk k k k k k k k k k o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o = + + + + + + + + Pero sabemos que el delta de Kronecker esta definido como: 1, 0, ij i j i j o = ¦ = ´ = ¹ Entonces quedaría: 1 2 3 ij jk k k k o o o o o = + + 11 12 13 21 22 23 31 32 33 ij jk o o o o o o o o o o o = + + + + + + + + 11 22 33 ij jk o o o o o = + + 3 ij jk o o = UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 200 3) Demostrar 6 ijk ijk c c = Solución: De la expresión del ejercicio 1: ijk ist js kt ks jt c c o o o o = ÷ Solamente igualamos los índices j = s y k = t, ijk ijk jj kk kj jk c c o o o o = ÷ 2 ijk ijk kk c c o = 6 ijk ijk c c = 4) Demostrar 0 ijk j k A A c = Solución: UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 201 1 2 3 ijk j k jk j k jk j k jk j k A A A A A A A A c c c c = + + 11 1 12 2 13 3 21 1 22 2 23 3 31 1 32 2 33 3 ijk j k k k k k k k k k k k k k k k k k k k A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A c c c c c c c c c c = + + + + + + + + Pero conocemos que el Símbolo de Levi-Civita esta definido como: 1, 123, 231, 312 1, 321, 213,132 0, dos indices son iguales ijk ijk ijk c = ¦ ¦ = ÷ = ´ ¦ ¹ La expresión anterior de reduciría a: 12 2 13 3 21 1 23 3 31 1 32 2 ijk j k k k k k k k k k k k k k A A A A A A A A A A A A A A c c c c c c c = + + + + + Se reduce nuevamente y solamente quedaría: 123 2 3 132 3 2 213 1 3 231 3 1 312 1 2 321 2 1 ijk j k A A A A A A A A A A A A A A c c c c c c c = + + + + + UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 202 2 3 3 2 1 3 3 1 1 2 2 1 ijk j k A A A A A A A A A A A A A A c = ÷ ÷ + + ÷ 0 ijk j k A A c = 5) Hallar 1 .( ) ? r r ÷ V = 1 1 1 .( ) .( ) ( ). r r r r r r ÷ ÷ ÷ V = V +V 2 .( ) n n r nr r ÷ V = 1 1 3 .( ) (3) 1 . r r r r r r ÷ ÷ ÷ V = ÷ 1 1 3 .( ) 3 1 r r r r ÷ ÷ ÷ V = ÷ EJERCICIOS DESARROLLADOS. 1. Determine ∫ ̅ ̅ donde: , ̅ () ( ) SOL: Graficando: UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 203 Parametrizando las ecuaciones: Donde ̅ ( ) ̅ ( ) Reemplazando en la integral ∫ ̅ ̅ tenemos: ∫ ̅ ̅ ∫ ( ) ( ) ∫ ̅ ̅ ∫ ( ) ∫ ̅ ̅ ∫ ( ( ) ) Integrando obetenemos que: ∫ ̅ ̅ UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 204 2. determine: ∫ ̅ ̅, donde: , || , , ̅ ( ) ( ) Sol. Hallaremos la curva de interseccion || Sea: { Entonces la parametrizacion de la interseccion sera: ̅ ( ||) De donde: ̅ ( ) Ademas de: ̅ ( ) ( ) ̅ ( ) ( ) Luego: ∫ ̅ ̅ ∫( )( ) ∫() () ∫() ∫() 3.- Determine ∫ ̅ ̅ donde: , ̅ () ( ) SOL: Graficando: UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 205 De forma análoga al ejercicio anterior parametrizamos las ecuaciones: Donde Reemplazando en la integral ∫ ̅ ̅ tenemos: ∫ ̅ ̅ ∫ ( ) ( ) Reduciendo al expresión ∫ ̅ ̅ ∫ ( ( ) ) ∫ ̅ ̅ ∫ ( ( ) ) ∫ ̅ ̅ ∫ ( ) Integrando obetenemos que: UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 206 ∫ ̅ ̅ 4. encontrar el centro de gravedad del casquete semiesferico de radio R, con centro en (R,0,0) Sol. La ecuacion de la esfera de radio R y centro (R,0,0) es: ( ) Entonces la ecuacion del casquete semiesferico sera: √ ( ) En centroide de un solido esta dado por: ̅ ∭ ∭ , ̅ ∭ ∭ , ̅ ∭ ∭ Dado que una esfera es simetrica respecto a un eje diametral, entonces segun la ubicacion del casquete, las coordenadas de su centroide es: ̅ ̅ , ̅ ∭ ∭ Haciendo una traslacion de ejes al punto (R,0,0) determinaremos la coordenada ̅ Entonces la ecuacion del casquete en el nuevo sistema es: √ ̅ ∭ ∭ ...(*) Usamos coordenadas cilindricas para calcular la integral: { Luego: ∭ ∫ ∫ ∫ √ √ ∫ ∫( ) ∫ UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 207 El volumen del casquete semiesferico (mitad de una esfera) es: ∭ ( ) ( ) Reemplazamos en (*): ̅ ∭ ∭ Por lo tanto, el centroide del casquete semiesferico es: ( ) 5.-Hallar el área de la superficie limitada por: SOL: Graficando : Sabemos que área está dada por al integral: ∫∫| | Entonces parametrizando la ecuación: UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 208 √ ∫∫√ ∫∫√ ∫∫√ Se observa que por simetría del grafico: Analizando el dominio de y pasándola a coordenadas polares. Si … reemplazando en la ecuación obtenemos: Entonces: ∫∫ √ ∫∫ √ ∫ √ | ∫ (|| ) UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 209 Entonces la integral será: ∫ ( ) ∫ ( ) Integrando obtenemos que: ( ) Del grafico ( ) PARTE 2 2. Determine el area de la superficie del elipsoide , limitada por el cono eliptico √ SOL El area de una superficie esta determinada por: UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 210 () ∬ √ ( ) ( ) ................(1) Le ecuacion del elipsoide es: ( √ ) Luego, la ecuacion de la mitad superior del elipsoide es: √ ( √ ) Entonces: ( ) Hallando las derivadas parciales de : ( ) ( ) √ ( √ ) ( ) √ ( √ ) ( ) ( ( √ ) ) √ ( √ ) ( ) √ ( √ ) Reemplazamos en (1): () ∬ √ ( ) ( ) ∬ √ ( ( ) √ ( √ ) ) ( ( ) √ ( √ ) ) Simplificando” R” ∬√ ( ) ( ) UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 211 ∬√ ( ) ∬√ ( ) Sea: () { √ ( ) √ Donde: () ∬ √ () ( ) √ .......(2) Hallando la interseccion del cono eliptico y el elipsoide, obtenemos la elipse: , reemplazando por (*): √ Entonces la region , sobre la cual integraremos, es la encerrada por dicha elipse. En (2): () √ ∫ ∫ √ () ( ) √ 3.-Determine el area de la superficie del cilindro limitada por el cono circular √ . SOL: Graficando: UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 212 Parametrizando las ecuaciones: √ | | √ Entonces el area de la superficie está dada por: ∫∫ √ Analizando el dominio de y pasándola a coordenadas polares. √ () √ √ Entonces: ∫∫√ √ () UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 213 ∫ √ () () | √ Integrando obtenemos que: √ 4. determine el area de la superficie: |x|+ , limitada por el cilindro , R>0 Sol. Graficando vemos que la superficie es simetrica respecto al eje Z, luego: () ..........(*) Donde: () es la porcion de la superficie que se encuentra en el primer octante. Asi, siendo Luego: ( ) Hallando las derivadas parciales de : El area de una superficie viene dada por: () ∬ √ ( ) ( ) Entonces: () ∬ √ () () ∬ √√ .........(1) UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 214 Segun el grafico la region es la region encerrada por la circunferencia en el primer cuadrante. Usando coordenadas polares: { ( ) Reemplazamos en (1): () ∫∫√√ () ∫∫√√ () () ∫ ( () ) () GRADIENTE, DIVERGENCIA Y ROTACIONAL Expresión en los sistemas de coordenadas curvilíneas. Sea φ una función escalar y 3 3 2 2 1 1 e A e A e A A + + = una función vectorial de las coordenadas curvilíneas ortogonales 1 μ , 2 μ , 3 μ .Se verifica: C 3 3 3 2 2 2 1 1 1 e μ h 1 e μ h 1 e μ h 1 φ c c + c c + c c = V | | | C ( ) ( ) ( ) ( ¸ ( ¸ c c + c c + c c = = V 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 A h h μ A h h μ A h h μ h h h 1 divA A . C 3 3 2 2 1 1 3 2 1 3 3 2 2 1 1 3 2 1 A h A h A h μ μ μ e h e h e h h h h 1 rotA A c c c c c c = = × V UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 215 C = V | 2 Laplaciano de | = ( ( ¸ ( ¸ | | . | \ | c c c c + | | . | \ | c c c c + | | . | \ | c c c c 3 3 2 1 3 2 2 1 3 2 1 1 3 2 1 3 2 1 1 µ | µ µ | µ µ | µ h h h h h h h h h h h h C 3 3 2 2 1 1 e f e f e f φ + + = V 3 3 2 2 1 1 μ μ r μ μ r μ μ r r c c c + c c c + c c c = c 3 3 3 2 2 2 1 1 1 μ e h μ e h μ e h r c + c + c = c 3 3 3 2 2 2 1 1 1 u f h u f h u f h r φ. φ c + c + c = c V = c 3 3 2 2 1 1 μ μ φ μ μ φ μ μ φ φ c c c + c c c + c c c = c 3 3 3 2 2 2 1 1 1 3 3 2 2 1 1 u f h u f h u f h μ μ φ μ μ φ μ μ φ c + c + c = c c c + c c c + c c c 1 1 1 1 µ | c c = h f , 2 2 2 1 µ | c c = h f , 3 3 3 1 µ | c c = h f 3 3 3 2 2 2 1 1 1 μ h e μ h e μ h e c c + c c + c c = V | | | | © Sean 1 μ , 2 μ , 3 μ coordenadas curvilíneas ortogonales. *Demostrar : 1 ρ ρ h μ ÷ = V 1,2,3 ρ = Sea: 1 μ φ = 2 2 2 2 1 1 1 1 1 μ μ h e μ μ h e μ c c + c c = V UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 216 1 1 h 1 μ = V ¬ *Demostrar que : 3 2 3 2 μ μ h h e × V = 1 1 1 h e μ = V 2 2 2 h e μ = V 3 3 3 h e μ = V 3 2 3 2 μ μ h h e V × V = ¬ *Demostrar en coordenadas curvilíneas ortogonales : a) ( ) ( ) 1 3 2 1 3 2 1 1 1 μ h h A h h h 1 e A . c c = V ( ) 3 2 3 2 1 μ μ h h A . V × V V = ( ) ( ) 3 2 3 2 1 3 2 3 2 1 μ μ . h h A μ μ . h h A . V × V V + V × V V = ( ) 0 h e h e . h h A 3 3 2 2 3 2 1 + × V = ( ) 3 2 1 3 2 1 h h e . h h A V = ( ) ( ) ( ) 3 2 1 3 2 1 3 3 3 3 2 1 2 2 2 3 2 1 1 1 1 h h e . h h A μ h e h h A μ h e h h A μ h e | | . | \ | c c + c c + c c = ( ) 3 2 1 1 3 2 1 h h A μ h h h 1 c c = UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 217 b) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 1 3 1 1 3 1 3 2 1 1 h A μ h h e h A μ h h e e A c c ÷ c c = × V ( ) 1 1 1 1 1 1 μ h A μ h A V × V + V × V = ( ) 0 h e A h 1 1 1 1 + × V = ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 3 3 3 1 1 2 2 2 1 1 1 1 1 h e A h μ h e A h μ h e A h μ h e × ( ¸ ( ¸ c c + c c + c c = c) Expresar .A divA V = en coordenadas curvilíneas ortogonales ( ) 3 3 2 2 1 1 e A e A e A . .A + + V = V ( ) ( ) ( ) 3 3 2 2 1 1 e A . e A . e A . V + V + V = ( ) ( ) ( ) ( ¸ ( ¸ c c + c c + c c = 3 2 1 3 2 1 3 1 1 3 2 1 3 2 1 μ h h A μ h h A μ h h A h h h 1 d) Expresar en coordenadas curvilíneas ortogonales : ( ) 3 3 2 2 1 1 e A e A e A A + + × V = × V ( ) ( ) ( ) 3 3 2 2 1 1 e A e A e A × V + × V + × V = ( ) ( ) 2 1 1 2 1 3 3 1 1 3 1 2 μ h A h h e μ h A h h e c c ÷ c c = ( ) ( ) 2 2 3 3 2 1 2 2 1 2 1 3 h A μ h h e h A μ h h e c c ÷ c c + ( ) ( ) 3 3 1 1 3 2 3 3 2 3 2 1 h A μ h h e h A μ h h e c c ÷ c c + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ¸ ( ¸ c c ÷ c c + ( ¸ ( ¸ c c ÷ c c = 3 3 1 1 1 3 1 3 2 2 2 3 3 3 2 3 2 1 h A h A h h e h A h A h h e µ µ µ µ ( ) ( ) ( ¸ ( ¸ c c ÷ c c + 1 1 2 2 2 1 2 1 3 h A h A h h e µ µ 3 3 2 2 1 1 3 2 1 3 3 2 2 1 1 3 2 1 1 h A h A h A e h e h e h h h h A µ µ µ c c c c c c = × V UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 218 e) Expresar ψ 2 V en coordenadas curvilíneas ortogonales : 3 3 3 2 2 2 1 1 1 μ ψ h e μ ψ h e μ ψ h e ψ c c + c c + c c = V ψ A V = , 1 1 1 μ h ψ A c c = , 2 2 2 μ ψ h 1 A c c = , 3 3 3 μ ψ h 1 A c c = ψ ψ . .A 2 V = V V = V ( ) 3 3 2 2 1 1 e A e A e A . + + V ( ) ( ) ( ) ( ¸ ( ¸ c c + c c + c c 3 3 3 2 2 2 1 1 1 3 2 1 e A μ e A μ e A μ h h h 1 ( ¸ ( ¸ | | . | \ | c c c c + | | . | \ | c c c c + | | . | \ | c c c c 3 3 2 1 3 2 2 3 1 2 1 1 3 2 1 3 2 1 μ ψ h h h μ μ ψ h h h μ μ ψ h h h μ h h h 1 Problema1 Demostrar que: ( ) ( ) ( ) 1 . u v w v w u w u v u v w f f h h f h h f h h h h h u v w c c c ( V = + + ( c c c ¸ ¸ Si: u u v v w w f f e f e f e = + + . Solución Usando la definición de divergencia: 0 1 . . lim V s f f dS V A ÷ V = A }} UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 219 Sea ( ) , , P u v z el punto central del elemento de volumen curvilíneo dV .y sea u v w dV h h h dudvdw = Como u u v v w w f f e f e f e = + + , entonces el flujo para la normal externa a través de la superficie ABCD para u constante es: ( ) 1 2 u v w u v w f h h dvdw f h h dudvdw u c ÷ + c …(1) Y a través de la superficie EFGH es ( ) 1 2 u v w u v w f h h dvdw f h h dudvdw u c + c …(2) (Hacemos despreciables los infinitésimos de orden superior).sumando (1) con (2), el flujo de salida a través de las dos superficies para u constante, es: ( ) u v w f h h dudvdw u c c Sumando los elementos semejantes para las otras dos parejas de superficies, ( ) ( ) ( ) . u v w v w u w u v s f dS f h h f h h f h h dudvdw u v w c c c ( = + + ( c c c ¸ ¸ }} Dividiendo por u v w dV h h h dudvdw = se obtiene: ( ) ( ) ( ) 1 . u v w v w u w u v u v w f f h h f h h f h h h h h u v w c c c ( V = + + ( c c c ¸ ¸ Problema2 UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 220 Demostrar que: 1 u u v v w w u v w u u v v w w h e h e h e f h h h u v w h f h f h f c c c V× = c c c Solución Por la definición del rotacional dado por: ( ) 0 1 . lim S C n f f dr S A ÷ · V× = A } Calculemos primero ( ) u e f · V× .considerando una curva cerrada u C (ABCD) de la superficie u constante, además el elemento de superficie dS encerrado por u C es: v w dS h h dvdw = La circulación alrededor de la curva cerrada u C es: . . . . . D C B A C A D C B f dr f dr f dr f dr f dr = + + + } } } } } De nuevo despreciando los infinitésimos de orden superior, . D v v A f dr h f dv = } ( ) . C w w w w D f dr h f h f dv dw v c ( = + ( c ¸ ¸ } ( ) . B v v v v C f dr h f h f dw dv w c ( = ÷ + ( c ¸ ¸ } UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 221 . A w w B f dr h f dw = ÷ } Sumando estos resultados se obtiene: ( ) ( ) . w w v v C f dr h f h f dvdw v w c c ( = ÷ ( c c ¸ ¸ } Dividiendo por v w dS h h dvdw = se obtiene ( ) ( ) ( ) 1 u w w v v v w e f h f h f h h v w c c ( · V× = ÷ ( c c ¸ ¸ Por la permutación cíclica de los índices se obtiene las dos componentes restantes de f V× ,en consecuencia: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 w w v v u u u w w v v v u u w v w w u u v f h f h f e f h f h e f h f h e h h v w h h w u h h u v c c c c c c ( ( ( V× = ÷ + ÷ + ÷ ( ( ( c c c c c c ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ Que es igual a: 1 u u v v w w u v w u u v v w w h e h e h e f h h h u v w h f h f h f c c c V× = c c c Problema3 Demostrar que la divergencia se puede escribir en coordenadas esféricas de la siguiente forma: ( ) ( ) 2 2 1 1 r f f r f sen f r r rsen | u u u u | c ( c c V· = + + ( c c c ¸ ¸ Solución Ya calculamos anteriormente que: ( ) ( ) ( ) 1 . u v w v w u w u v u v w f f h h f h h f h h h h h u v w c c c ( V = + + ( c c c ¸ ¸ De donde en nuestro caso: 1 u r h h = = , v h h r u = = y w h h rsen | u = = Además: u r f f = , v f f u = y w f f | = .que reemplazando se obtiene: UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 222 ( ) ( ) ( ) 1 . . .1. 1. . 1. . r f r rsen f rsen f r f r rsen r u | u u u u | ( c c c V· = + + ( c c c ¸ ¸ ( ) ( ) 2 2 1 . r f sen r f r sen f r f r sen r u | u u u u | ( c c c V· = + + ( c c c ¸ ¸ ( ) ( ) 2 2 1 1 r f f r f sen f r r rsen | u u u u | c ( c c V· = + + ( c c c ¸ ¸ Problema4 Demostrar que en coordenadas esféricas el rotacional es. ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 r r r f f f f sen f e rf e rf e rsen r sen r r r u | | u u | u u u | u | u c ( ( c c c c c ( V× = ÷ + ÷ + ÷ ( ( ( c c c c c c ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ Solución Anteriormente demostramos que: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 w w v v u u u w w v v v u u w v w w u u v f h f h f e f h f h e f h f h e h h v w h h w u h h u v c c c c c c ( ( ( V× = ÷ + ÷ + ÷ ( ( ( c c c c c c ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ En este caso: 1 u r h h = = , v h h r u = = y w h h rsen | u = = Además: u r f f = , v f f u = y w f f | = .que reemplazando se obtiene: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1. 1. . .1 1. r r r f rsen f rf e f rsen f e rf f e r rsen rsen r r r | u | u u | u u u u | u | u ( ( c c c c c c ( V× = ÷ + ÷ + ÷ ( ( ( c c c c c c ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 1 r r r f r sen f r f e f sen rf e rf f e r sen rsen r r r | u | u u | u u u u | u | u ( ( c c c c c c ( V× = ÷ + ÷ + ÷ ( ( ( c c c c c c ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 r r r f f f f sen f e rf e rf e rsen r sen r r r u | | u u | u u u | u | u c ( ( c c c c c ( V× = ÷ + ÷ + ÷ ( ( ( c c c c c c ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ Problema5 Sea ( ) 1 2 3 , , u u u ¢ un campo escalar, demostrar que el gradiente del campo escalar con la notación abreviada seria. 1 i i i e h u ¢ ¢ c V = c . Como operador 1 i i i e h u c V = c . UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 223 Solución El operador nabla Ven coordenadas cartesianas: i j k x y z c c c V ÷ + + c c c La forma de este operador puede definirse como: i i g u c V ÷ c Donde: i g Son los vectores de la base reciproca: i i m m g g o = i u Son las coordenadas de la base natural: i g La notación puede verse en la siguiente tabla: base Vectores base componentes natural i g i v contravariantes Natural fisica i i i g e g ÷ ( ) i v físicos covariantes Reciproca i g i v covariantes Reciproca física i i i g e g ÷ ( ) i v físicos covariantes La representación de un vector cualquiera utilizando estas bases es entonces: ( ) ( ) i i i i i i i i V v g v g v e v e = = = = Para coordenadas ortogonales: i i g g o = ( ) ; factor de escala i i i i e e g h ÷ = = Entonces: 2 1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 g g g g g h h o o o o = = = = ¬ = 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 i i i e g g e e g h h h h = = = ¬ = Con esto podemos expresar el operador nabla como: UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 224 1 i i i i k i e e h u h u c c V ÷ = c c Además: 1 i i i e h u ¢ ¢ c V ÷ c Problema6 Demostrar que el gradiente en coordenadas esféricas se puede escribir como: 1 1 r e e e r r rsen u | u u | c c c V = + + c c c Solución En coordenadas esféricas se tiene: 1 u r h h = = , v h h r u = = y w h h rsen | u = = Del problema anterior se tiene: 1 i i i e h u c V = c ; entonces: = r r e e e h r h h | u u | u | c c c V + + c c c = r e e e r r rsen | u u u | c c c V + + c c c 1 1 r e e e r r rsen u | u u | c c c V = + + c c c Problema7 Hallar el gradiente en coordenadas cilíndricas. Solución Según el problema 5 se tiene que 1 i i i e h u ¢ ¢ c V ÷ c Pero en coordenadas cilíndricas se tiene que: 1 r h = ; h r u = y 1 z h = . Reemplazando en la expresión anterior se tiene: 1 1 1 r z r z e e e h r h h z u u ¢ ¢ ¢ ¢ u c c c V = + + c c c UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 225 1 1 1 1 1 r z e e e r r z u ¢ ¢ ¢ ¢ u c c c V = + + c c c Practica Dirigida 7 1. Sea ( ) 1/2 2 2 2 ( , , ) f x y z x y z ÷ = + + . Demostrar que la circulación en el sentido antihorario del campo F f = V alrededor del círculo 2 2 2 x y a + = es cero. 2. Use la identidad 0 x f V V = y el teorema de Stokes para obtener la circulación del campo (2 , 2 , 2 ) F x y z = alrededor de cualquier superficie suave orientable en el espacio es cero. 3. Use la integral de superficie en el teorema de Stokes para calcular el flujo del rotacional del campo ( , , ) F y z z x x y = ÷ ÷ ÷ a través de la superficie ( ) { } 2 cos , , 9 / 0 3 , 0 2 S r rsen r r u u u t = ÷ s s s s 4. f(x,y,z)=Determine el valor de ÷ ÷o ÷o ÷o }}} i j k ij ik jk i j k V (x x x )(1 )(1 )(1 )dxdx dx donde { } = = ÷ ÷ = ÷ + + 2 2 2 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 V (x ,x ,x ) / x x x , x 2 x x . 5. Usando el teorema de Green, encuentre el área encerrada por la curva ( ) ¦ ¹ ( + = > ¦ ¦ ¸ = ´ ` ( = < ¦ ¦ ¸ ¸ ¹ ) x x y y 1, si y 0 x, y / y 0, si y 0 . 6. Determine el trabajo realizado al desplazar una partícula desde el ( 4 , 0) t ÷ hasta el punto (6, 2) sobre la curva ÷ = > x y e , x 0, siendo el campo vectorial UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 226 ( ) ( , ) , F x y x y x y = + ÷ 4. Determine el valor de 2 2 2 2 , : 1 x y dx yxdy x y ¸ ¸ + + + = } . 5. Encontrar el valor de ( ) ( ) { } 2 2 2 2 , , / 4, 1 2 x y dxdydz x y x y z O + O= + = s s }}} . 6. Encontrar el centroide para el sólido de densidad constante, y que ocupa la región ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 z x y z x y = + ÷ . = + ÷ . 7. Encuentre los momentos de inercia de la región limitada por 2 2 , 1 z x y x y z = + + + = 8. Usando Green encontrar el valor de la integral { } ( 2 ) , ( , ) / 1 x y dxdy x y x y O + O= + = }} 9. Usando Green encontrar el valor de la integral 2 2 ( ) , : 2 1 xydx x y dy x y ¸ ¸ + + + = } . 10. Usando el teorema de Green encontrar el área de la región que encierra la curva: 2 2 2 16 x y y + + = 11. .- Sea U la región limitada abajo por el plano z=0, arriba por la esfera 2 2 2 4 x y z + + = y lateralmente por el cilindro 2 2 1 x y + = .Establezca las integrales triples en coordenadas cilíndricas que dan el volumen de U, usando los siguientes órdenes de integración: a) dzdrdu b) drdzdu c) d dzdr u 12. Resuelva en cada caso: a) Hallar el volumen de la región U más pequeña cortada de la esfera sólida 2 µ s por el plano z=1. b)Hallar el volumen de la porción de la esfera sólida 3 µ s , en el primer octante, que se encuentra entre los planos : z y = , 3 z y = UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 227 13. Calcular ( ) 3 2 ( / ) cos( / ) cos( / ) C xsen y x y y x dx x y x dy + ÷ + } ,donde C es el arco de la semielipse superior 2 2 4 16 12 0 x y x + ÷ + = , que va de (1;0) a (3;0). SOLUCIONARIO DE LA PRÁCTICA N° 3 (2008-III) 1. Demuestre que: ( ) ( ) , , E E f x y dxdy f x y dxdy s }} }} Solución: Dado que las integrales dobles representan áreas o superficies, la integral ( ) , E f x y dxdy }} será considerada como la acción de un campo escalar f sobre dicha superficie, tal que dicha función pueda ser positiva o negativa para cierto dominio. Dividimos la superficie E en dos partes tal que en 1 E y 2 E la integral siempre tenga un valor positivo o negativo (Sea el valor en 1 E igual a M y en 2 E igual a N ), entonces: ( ) ( ) ( ) 1 2 , , , E E E f x y dxdy f x y dxdy f x y dxdy M N = + = + }} }} }} ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 , , , , , , E E E E E E f x y dxdy f x y dxdy f x y dxdy f x y dxdy f x y dxdy f x y dxdy M N M N = + = + = + = + }} }} }} }} }} }} (Se puede sacar el valor absoluto de la integral porque en 1 E y 2 E tendrán un solo valor, positivo o negativo) UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 228 Por desigualdad triangular tendremos que: M N M N + s + Entonces queda demostrado que: ( ) ( ) , , E E f x y dxdy f x y dxdy s }} }} 2. Hallar el volumen de la intersección de los cilindros 2 2 2 x y a + = y 2 2 2 x y a + = , 0 a > Solución: Debido a la simetría que se presente en el sólido, solo trabajaremos con la octava parte del volumen total. Del gráfico mostrado el volumen será: UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 229 2 2 2 2 0 0 8 a a x V a x dydx ÷ = ÷ } } ( ) 2 2 0 8 a V a x dx = ÷ } 3 16 3 V a = 3. Demostrar que: ( ) 2 4 2 3 1 2 4 2 2 2 x x x x x Sen dydx Sen dydx y y t t t t + | | | | + = | | \ . \ . } } } } Solución: Las acotaciones son: 1 2 2 4 2 x x y x x x y s s s s s s s s Graficando el dominio: x=y UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 230 Haciendo un cambio en las variables de integración: 2 2 3 1 4 8 2 y y x Sen dxdy y t t t | | + = | \ . } } ( ) 2 2 3 1 4 2 2 y y x Sen dxdy y t t t + | | = | \ . } } 4. Hallar el centroide de la región E en el primer cuadrante limitada por la parábola 2 4 y ax = , el eje x y el lado recto de esta parábola ( 0 y > ). Solución: 1 2 4 2 1 2 y x x y = v = UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 231 2 4 y ax = La fórmula canónica de la parábola es: 2 4 y ap = p a = 2 2 AB p a = = 0 0 2 x a y ax s s s s 2 0 0 2 0 0 3 2 4 3 5 4 5 3 a ax a ax xdA x dA xdydx x dydx a x a a = = = = }} }} } } } } 2 0 0 2 0 0 3 2 3 4 4 3 a ax a ax ydA y dA ydydx y dydx a y a a = = = = }} }} } } } } El centroide de E se encuentra en 3 3 ; 5 4 a a | | | \ . UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 232 5. Hallar el volumen de la porción de E de la esfera 2 2 2 2 x y z a + + = ( 0 a > ), que se encuentra dentro del cilindro ( ) r aSen u = . Solución: 2 2 2 2 1 : S x y z a + + = ( ) r aSen u = 2 2 2 : S x y y + = Transformando a coordenadas cilíndricas: ( ) ( ) x rCos y rSen z z u u = = = UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 233 2 2 2 2 0 ( ) 0 r aSen a r z a r u u t s s s s ÷ ÷ s s ÷ ( ) 2 2 2 2 0 0 aSen a r a r V V dV rdzdrd t u u ÷ ÷ ÷ = = }}} } } } ( ) 2 2 4 3 3 V a a t = ÷ 6. Calcule la integral 2 2 D y z dV + }}} siendo D el sólido interior al elipsoide cuya ecuación es 2 2 2 4 16 x y z + + = y exterior al paraboloide de ecuación 2 2 12x y z = + . Solución: 2 2 2 1 2 2 2 : 4 16 :12 S x y z S x y z + + = = + En coordenadas cilíndricas: ( ) ( ) x z y rCos z rSen u u = = = 0 0 4 0 2 2 r z x u t s s s s ÷ s s UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 234 Donde: r y u se obtienen de proyectar el sólido en el plano yz y 0 x se obtiene de intersecar las superficies 1 S y 2 S ( ) ( ) 1 2 2 2 2 0 2 2 2 0 2 2 0 2 0 0 2 0 0 0 0 0 : 4 16 16 4 12 12 16 4 3 4 0 3 1 0 1 S S x y z y z x x y z x x x x x x x · + + = + = ÷ = + = ÷ + ÷ = + ÷ = = ( 0 x pertenece al eje x + ) 2 2 2 1 2 4 2 2 2 2 0 0 2 2 128 D D D D D y z dV rdV r drd dz y z dV r drd dz y z dV t u u t ÷ + = = + = + = }}} }}} }}} }}} } } } }}} UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 235 7. Calcular ydx zdy xdz , + + } donde , es la intersección de la superficie 2 x y + = y ( ) 2 2 2 2 x y z x y + + = + , recorrida en sentido horario vista desde el origen. Solución: ( ) ( ) ( ) 1 2 2 2 2 2 2 2 : 2 : 2 1 1 2 S x y S x y z x y x y z + = + + = + ÷ + ÷ + = Parametrizando: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 x Cos t dx Sen t dt y Cos t dy Sen t dt z Sen t dz Cos t dt = + ÷ = ÷ = ÷ ÷ = = ÷ = 0 2 t t s s Reemplazando y evaluando en la integral de línea: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 2 2 ydx zdy xdz y t dx t z t dy t x t dz t ydx zdy xdz t , , t + + = + + + + = } } } UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 236 8. Calcular la integral 2 y dx xdy , + } a lo largo del astroide , . Solución: Sea la ecuación del astroide: 2 2 2 3 3 3 : x y a , + = Parametrizando: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 3 2 3 3 x aCos t dx aCos t Sen t dt y aSen t dy aSen t Cos t dt = ÷ = ÷ = ÷ = 0 2 t t s s ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 0 2 2 3 8 y dx xdy y t dx t x t dy t y dx xdy a t , , t + = + + = } } } 9. Demostrar mediante integrales dobles: UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 237 2 2 k x e dx k t · ÷ ÷· = } , 0 k > Solución: Sea: 2 2 2 2 k x k y E e dx e dy · · ÷ ÷ ÷· ÷· = = } } ( )( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 . k x k y k x k y E e dx e dy e e dxdy · · · · ÷ ÷ ÷ ÷ ÷· ÷· ÷· ÷· = = } } } } A continuación transformaremos la integral doble en coordenadas cartesianas a una integral en coordenadas polares. 2 2 2 2 2 0 0 k r E re drd k t t u · ÷ = = } } Despejando de la expresión tenemos: E k t = 2 2 k x e dx k t · ÷ ÷· = } 10. Un leñador corta una pieza W con forma de cuña de un árbol cilíndrico de radio r mediante dos cortes de sierra hacia el centro del árbol: uno horizontal y otro con ángulo u . Calcular el volumen de la cuña W . UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 238 Solución: Ecuación plano que corta el cilindro para formar la cuña: 1 1 : 0 : , tan S ax by cz d h S z y donde h r r u + + + = = ÷ = Ecuación de la base de la cuña: 2 2 2 2 : S x y r + = Las acotaciones en polares serían: 0 * 0 * 0 h z r sen r r r u u t s s s s s s UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 239 * 2 0 0 0 2 * * 3 h r r sen r V r dzdr d r h t u u = = } } } 3 2 tan 3 V r u = INTEGRALES TRIPLES Si tenemos una función 3 : , f R R O÷ Oc siendo ella integrable en dicho dominio O, lo cual implicaría que sea continua por sectores., entonces definimos la integral triple como en el caso de la integral doble, particionando el dominio de tal manera que la norma de la partición tienda a cero. En este caso los rectángulos son ahora paralelepípedos, la norma seria la diagonal. Apreciaciones. 1. Si { } ( , , ) / , , x y z a z b c y d p x q O= s s s s s s es un paralelepípedo, siendo la función ( , , ) f x y z integrable sobre O, entonces tendremos que: ( , , ) ( , , ) rf x y z dxdydz r f x y z dxdydz O O = }}} }}} 2. Si { } ( , , ) / , , x y z a z b c y d p x q O= s s s s s s es un paralelepípedo, siendo la función ( , , ) f x y z integrable sobre O, entonces tendremos que: ( , , ) ( , , ) q b d a c p f x y z dxdydz f x y z dxdydz O = }}} } } } . 3. Si { } ( , , ) / , , x y z a z b c y d p x q O= s s s s s s y 1 2 3 ( , , ) ( ) ( ) ( ) f x y z x y z | | | = , es decir admite una separación de variables, entonces, 1 2 3 ( , , ) ( ( ) )( ( ) )( ( ) ) q b d a c p f x y z dxdydz x dz y dy x dx | | | O = }}} } } } 4. Si ( , , ) 1 f x y z = , entonces el volumen del sólido O, esta dado por ( ) V dxdydz O O = }}} . 5. Si ( , , ) : 0 ( , , ) ( , , ) x y z f x y z g x y z ¬ eO s s y si ambas son 9integrables sobre O, entonces ( , , ) ( , , ) f x y z dxdydz g x y z dxdydz O O s }}} }}} 6. Si { } 1 2 3 3 ( , , ) / , ( ) ( ), ( , ) ( , ) x y z a z b z y z y z x y z | | | | O= s s s s s s siendo la función ( , , ) f x y z integrable sobre O, entonces tendremos que: 2 4 1 3 ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( , , ) ( , , ) z y z b a z y z f x y z dxdydz f x y z dxdydz | | | | O = }}} } } } . UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 240 7. Si { } 1 2 3 3 ( , , ) / , ( ) ( ), ( , ) ( , ) x y z a y b y z y y z x y z | | | | O= s s s s s s siendo la función ( , , ) f x y z integrable sobre O, entonces tendremos que: 2 4 1 3 ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( , , ) ( , , ) y y z b a y y z f x y z dxdydz f x y z dxdzdy | | | | O = }}} } } } . 8. Si { } 1 2 3 3 ( , , ) / , ( ) ( ), ( , ) ( , ) x y z a x b x z x x z y x z | | | | O= s s s s s s siendo la función ( , , ) f x y z integrable sobre O, entonces tendremos que: 2 4 1 3 ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( , , ) ( , , ) x x z b a x x z f x y z dxdydz f x y z dydzdx | | | | O = }}} } } } . 9. Si { } 1 2 3 3 ( , , ) / , ( ) ( ), ( , ) ( , ) x y z a x b x z x x z y x z | | | | O= s s s s s s siendo la función ( , , ) f x y z integrable sobre O, entonces tendremos que: 2 4 1 3 ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( , , ) ( , , ) x x z b a x x z f x y z dxdydz f x y z dydzdx | | | | O = }}} } } } . 10. Si 3 : , f R R O÷ Oc es integrable sobre O, r una constante entonces rf es integrable sobre O y ( , , ) ( , , ) rf x y z dxdydz r f x y z dxdydz O O = }}} }}} . CENTROIDES DE SÓLIDOS. Supongamos que tenemos un sólido 3 R Oc , asumamos que la función de densidad es ( , , ) x y z µ , así tenemos las siguientes apreciaciones: 1. La masa de lámina será ( , , ) m x y z dxdydz µ O = }}} . 2. Centroide. Tenemos que ( ) ( ) ( ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) , . , , , , , , , , y x z x x y z dxdydz y x y z dxdydz z x y z dxdydz M M M m m m m m m x x y z dV y x y z dV z x y z dV m m m x y z x y z µ µ µ µ µ µ O O O O O O | | }}} }}} }}} | = = | \ . | | }}} }}} }}} | = | \ . 3. Momento de inercia. ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 ( , , ) ( , , ) ( , , ) x y z I y z x y z dxdydz I x z x y z dxdydz I x y x y z dxdydz µ µ µ O O O = + = + = + }}} }}} }}} TRANSFORMACIONES UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 241 Cuando exista dificultades para determinar el valor de una integral triple, podemos cambiar el orden de integración, o si el sólido ( región en caso de la integral doble) podemos apelar a realizar un doble cambio de variables, para lo cual se demuestran que hay una especie de cambio de escala dada por el Jacobiano 1. ( ) , u v u v x x J u v y y = de la transformación, cuando estemos en dos variables. 2. ( ) , , u v w u v w u v w x x x J u v w y y y z z z = cuando se tenga tres variables. 3. ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ... .... , ,..., .... ....................... .... n n n n u u u u u u n u u u u u u x x x y y y J u u u z z z w w w = si se tiene n variables.. Se puede apreciar que, hay casos interesantes por ejemplo, como en el caso de las integrales triples el cambio a coordenadas cilíndricas y esféricas. CAMBIO A COORDENADAS CILINDRICAS. Cambio a efectuar. cos x r x rsen z z u u = ¦ ¦ = ´ ¦ = ¹ ( ) ( , , ) ( , , ) cos 0 , , cos 0 0 0 1 r z x y z r z r z r z x x x rsen J r z y y y sen r r z z z u u u u u u u u u c c ÷ = = = = * ( , , ) ( ( , , ) ( , , ), ( , , )) f x y z dxdydz f x r z y r z z r z rdrd dz u u u u O O = }}} }}} * O es la imagen de O mediante la transformación.. Ejercicio: UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 242 Halle el volumen acotado por la esfera 2 2 2 25 x y z + + = COORDENADAS ESFERICAS Cambio a efectuar. cos cos x sen y sen sen z µ | u µ | u µ | = ¦ ¦ = ´ ¦ = ¹ ( ) ( , , ) 2 ( , , ) cos cos cos , , cos cos 0 x y z x x x sen sen sen J y y y sen sen sen sen sen sen sen z z z µ | u µ | u µ | u µ | u | u µ | u µ | u µ | u | u µ | u µ | u µ | | µ | c c ÷ = = = = ÷ ÷ ( ) * ( , , ) ( ( , , ) ( , , ), ( , , )) , , f x y z dxdydz f x y z J d d d µ | u µ | u µ | u µ | u µ | u O O = }}} }}} ( ) * 2 ( , , ) ( ( , , ) ( , , ), ( , , )) f x y z dxdydz f x y z sen d d d µ | u µ | u µ | u µ | µ | u O O = ÷ }}} }}} * O es la imagen de O mediante la transformación.. Ejercicios. 1. Determine el volumen acotado por 2 2 , z x y z x y = + = + . 2. Hallar el volumen acotado por ( ) ( ) 3 2 2 2 2 2 2 2 16 x y z z y x + + = ÷ ÷ . 3. Determine el valor de { } 2 2 cos 2 2 2 , ( , , ) / 1 y xy x dxdydz x y z x y z O O= + + = }}} Coordenadas cilíndricas Las coordenadas cilíndricas son un sistema de coordenadas para definir la posición de un punto del espacio mediante un ángulo, una distancia con respecto a un eje y una altura en la dirección del eje. El sistema de coordenadas cilíndricas es muy conveniente en aquellos casos en que se tratan problemas que tienen simetría de tipo cilíndrico o acimutal. Se trata de una versión en tres dimensiones de las coordenadas polares de la geometría analítica plana. Un punto en coordenadas cilíndricas se representa por (ρ, φ, ), donde: - ρ: Coordenada radial, definida como la distancia del punto al eje , o bien la longitud de la proyección del radio vector sobre el plano UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 243 - φ: Coordenada acimutal, definida como el ángulo que forma con el eje la proyección del radio vector sobre el plano . - : Coordenada vertical o altura, definida como la distancia, con signo, desde el punto P al plano . Los rangos de variación de las tres coordenadas son La coordenada acimutal φ se hace variar en ocasiones desde -π a +π. La coordenada radial es siempre positiva. Si reduciendo el valor de ρ llega a alcanzarse el valor 0, a partir de ahí, ρ vuelve a aumentar, pero φ aumenta o disminuye en π radianes. Relación con otros sistemas de coordenadas Teniendo en cuenta la definición del ángulo φ, obtenemos las siguientes relaciones entre las coordenadas cilíndricas y las cartesianas: Base coordenada A partir del sistema de coordenadas cilíndricas se puede definir una base vectorial en cada punto del espacio, mediante los vectores tangentes a las líneas coordenadas. Esta nueva base puede relacionarse con la base fundamental de las coordenadas cartesianas mediante las relaciones e inversamente En el cálculo de esta base se obtienen los factores de escala Disponiendo de la base de coordenadas cilíndricas se obtiene que la expresión del vector de posición en estas coordenadas es: Nótese que no aparece un término . La dependencia en esta coordenada está oculta en los vectores de la base. Efectivamente: UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 244 Diferencial de línea Un desplazamiento infinitesimal, expresado en coordenadas cilíndricas, viene dado por Diferenciales de superficie La expresión general de un diferencial de superficie en coordenadas curvilíneas es complicada. Sin embargo, para el caso de que se trate de una superficie coordenada, el resultado es y expresiones análogas para las otras dos superficies coordenadas. En el caso particular de las coordenadas cilíndricas, los diferenciales de superficie son - ρ=cte: - φ=cte: - z=cte: Diferencial de volumen El volumen de un elemento en coordenadas curvilíneas equivale al producto del jacobiano de la transformación, multiplicado por los tres diferenciales. El jacobiano, a su vez, es igual al producto de los tres factores de escala, por lo que que para coordenadas cilíndricas da Operadores diferenciales en coordenadas cilíndricas El gradiente, la divergencia, el rotacional y el laplaciano poseen expresiones particulares en coordenadas cilíndricas. Éstas son: UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 245 - Gradiente - Divergencia - Rotacional - Laplaciano Coordenadas esféricas El sistema de coordenadas esféricas se basa en la misma idea que las coordenadas polares y se utiliza para determinar la posición espacial de un punto mediante una distancia y dos ángulos. En consecuencia, un punto P queda representado por un conjunto de tres magnitudes: el radio , el ángulo polar o colatitud θ y el azimut φ. Algunos autores utilizan la latitud, en lugar de colatitud, en cuyo caso su margen es de 90º a -90º (de -π/2 a π/2 radianes), siendo el cero el plano XY. También puede variar la medida del acimut, según se mida el ángulo en sentido reloj o contrarreloj, y de 0º a 360º (0 a 2π en radianes) o de -180º a +180º (-π a π). Se debe tener en cuenta qué convención utiliza un autor determinado UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 246 Relación con las coordenadas cartesianas Sobre los conjuntos abiertos: Existe una correspondencia unívoca entre las coordenadas cartesianas y las esféricas, definidas por las relaciones: Estas relaciones se hacen singulares cuando tratan de extenderse al propio eje , donde , en el cual φ, no está definida. Además, φ no es continua en ningún punto tal que . La función inversa entre los dos mismos abiertos puede escribirse en términos de las relaciones inversas: Relación con las coordenadas cilíndricas UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 247 Como sistema intermedio entre las coordenadas cartesianas y las esféricas, está el de las coordenadas cilíndricas, que se relaciona con el de las esféricas por las relaciones y sus inversas Base coordenada A partir del sistema de coordenadas esféricas puede definirse una base vectorial en cada punto del espacio, mediante los vectores tangentes a las líneas coordenadas. Esta nueva base puede relacionarse con la base fundamental de las coordenadas cartesianas mediante las relaciones e inversamente En el cálculo de esta base se obtienen los factores de escala Disponiendo de la base de coordenadas esféricas se obtiene que la expresión del vector de posición en estas coordenadas es Nótese que no aparecen término en o . La dependencia en estas coordenadas está oculta en el vector . Diferencial de línea Un desplazamiento infinitesimal, expresado en coordenadas esféricas, viene dado por Diferencial de superficie UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 248 La expresión general de un diferencial de superficie en coordenadas curvilíneas es complicada. Sin embargo, para el caso de que se trate de una superficie coordenada, el resultado es y expresiones análogas para las otras dos superficies coordenadas. En el caso particular de las coordenadas esféricas, los diferenciales de superficie son - =cte: - θ=cte: - φ=cte: Diferencial de volumen El volumen de un elemento en coordenadas curvilíneas equivale al producto del jacobiano de la transformación, multiplicado por los tres diferenciales. El jacobiano, a su vez, es igual al producto de los tres factores de escala, por lo que que para coordenadas esféricas da Operadores diferenciales en coordenadas esféricas El gradiente, la divergencia, el rotacional y el laplaciano poseen expresiones particulares en coordenadas esféricas. Estas son: - Gradiente - Divergencia - Rotacional UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 249 - Laplaciano Operadores vectoriales en coordenadas ortogonales - El gradiente viene dado por: - La divergencia viene dada por: - El rotacional viene dado por el desarrollo del siguiente determinante: - El laplaciano de una magnitud escalar viene dado por: INTEGRALES DE LINEA O CURVILÍNEA UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 250 Sea γ una curva en R n , con parametrización γ ( ), [ , ] r r t t a b = = e donde γ es una curva (regular),es decir, [ , ]: '( ) 0 t a b r t ¬ e - = , entonces definimos la integral de una función : , n n F R R O÷ Oc como: ( ( )) ( ( )) '( ) b a F r t dr F r t r t dt ¸ = } } F es un campo vectorial La interpretación de la F dr ¸ } No es otra que el trabajo que se realiza para desplazar una partícula desde el origen de la curva ( ) r a hasta ( ) r b Ejemplo: ( , ) ( , ) : cos F x y x y xy r x r u = ÷ = y rsenu = r cte = γ: ( ) ( cos ; ) r r rsen u u u = ; [0; 2 ] u t e γ es una curva cerrada F dr ¸ } = 2 2 0 ( cos ; cos ).( ; cos ) r rsen r sen rsen r d t u u u u u u u ÷ ÷ } ( ) r a ( ) r b UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 251 = 2 2 2 2 0 (cos cos ) r sen sen r sen d t u u u u u u ÷ ÷ ÷ } INTERPRETACIÓN DE LA TRAYECTORIA En caso F | = V para algún campo escalar | , entonces el valor de la integral no depende de la trayectoria. Ejemplo: 2 2 2 2 2 2 ( ) 2 2 (2 , )( , ) (2 ; ) ( , ) d x y xydx x dy xydx x dy xy x dx dy F xy x x y x y F ¸ ¸ | | = + ÷ + = = = V } } Conceptos Topológicos 1.-Vecindad { } 0 0 ( ; ) / n x R x R x x R ¬ = e ÷ s 2.-Vecindad Reducida { } 0 0 0 '( ; ) ( ; ) / V x R V x R x = 3.-Punto Interior 0 n x A R e c se dice que es un punto interior de A, si R - >0/ 0 ( ; ) V x R A c 4.-Conjunto Abierto n A R c es abierto, si todo punto de A, es un punto interior 5.-Convexo y Conexo 0 x R 0 x R UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 252 n R n A R c es convexo, si , : x y A xy A ¬ e c ( xy es el segmento que uno x con y) A es un conjunto convexo n B R c es conexo, si , : x y x y A P B ¬ e - c B es un conjunto conexo 6.-Dominio n R Oc es un dominio, si es un conjunto abierto y conexo. 7.-Dominio Simplemente Conexo n R Oc es un dominio simplemente conexo si: 1) Dominio 2) ¸ ¬ conjunto simplemente conexo cO, se reduce aun punto sin salirse del dominio de Ω Ω 1 no es un dominio simplemente conexo Ω 2 no es un dominio simplemente conexo 8.-Punto Exterior x A e , n A R c es un punto exterior si x es un punto interior de c A = / n R A p q n R p q n R x c A A UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 253 9.-Conjunto Cerrado A es cerrado ÷÷÷ c A es Abierto Ejemplo: n R es abierto y cerrado 10.-Punto Frontera Son Aquellos puntos que no son puntos interiores ni puntos exteriores de un conjunto n A R c 11.-Región n R Oc es un dominio con algunos puntos frontera, sea dominio región. PROPIEDADES. 1. Si ( ( )). f r t dr ¸ - } , entonces : ( ( )). a K af r t dr ¸ ¬ e - } . Además se cumple ( ( )). ( ( )). af r t dr a f r t dr ¸ ¸ = } } . 2. Si ( ( )). f r t dr ¸ - } y ( ( )). g r t dr ¸ - } entonces ( )( ( )). f g r t dr ¸ - + } además se cumple que. ( )( ( )). f g r t dr ¸ - + } y también se cumple que ( )( ( )). ( ( )). ( ( )). f g r t dr f r t dr g r t dr ¸ ¸ ¸ + = + } } } 3. Si { } , k m n m n P ¸ ¸ ¸ ¸ = = ÷ · = disjuntos salvo el punto de unión de las curvas, entonces si ( ( )). f r t dr ¸ - } se cumple ( ( )). ( ( )). k k f r t dr f r t dr ¸ ¸ = ¿ } } . 4. Si ¸ ÷ es la curva ¸ recorrida en sentido contrario, entonces en caso ( ( )). f r t dr ¸ - } se cumple ( ( )). f r t dr ¸ ÷ - } y además se cumple también que ( ( )). ( ( )). f r t dr f r t dr ¸ ¸ ÷ = ÷ } } . 5. Si la curva ¸ es rectificable de longitud L, si f es continua en los puntos de ¸ , además en caso f sea acotada en ¸ entonces se cumple: ( ( )). f r t dr ML ¸ s } M es la cota de f sobre ¸ . UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 254 Ejemplos. Calcular: 2 2 xdy ydx I x y O + = + } donde : 1 x y O + = Solución: 1 1 2 2 0 1 (1 ) I dt t t = ÷ + } =0 1 x t y t = ÷ = 1 2 2 2 0 1 2 (1 ) t I dt t t ÷ = ÷ + } =ln5/2 1 x t y t = = ÷ 1 3 2 2 0 1 2 ( 1) t I dt t t ÷ = ÷ + } =0 1 x t y t = ÷ = ÷ 1 4 2 2 0 2 1 ( 1) t I dt t t ÷ = ÷ + } =0 1 x t y t = = ÷ 1. Calcular ( ) ( ( )). ( ) , ( , , ) , , I f r t r t dt f x y z xz y yx x y ¸ ' = = + + } donde la curva ¸ es el segmento que une el (1,1, 0) (1, 1, 1) y ÷ ÷ . 2. Determine el valor de ( ) ( ( )). ( ) , ( , , ) , , I f r t r t dt f x y z z yx y ¸ ' = = } donde la curva | | 2 : ( ) ( , 2 , ), 1, 3 r t t t t t ¸ = ÷ e . 3. Determine ( ) 1 2 1 1 ( ( )). ( ) , ( , ,..., ) , ,..., n n n I f r t r t dt f x x x x x x ¸ ÷ ' = = } done la curva ( ) | | : ( ) , 2 , 3 ,..., , 0, 20 r t t t t nt t ¸ = e . 4. Determine el valor de ( ) | | , : ( ) cos , , 2 , 0, 5 2 2 2 ydx zdy xdz I r t t sent t x y z ¸ t ¸ + + = = e } + + Propiedad.1 Sea f | = V donde | es un campo escalar, entonces si ¸ es una curva que va de P hacia Q dentro de un dominio simplemente conexo., entonces el valor de . ( ) (Q ) dr P ¸ | | | V = ÷ } es decir no depende de la trayectoria de integración. Propiedad.2 Si f | = V donde | es un campo escalar, entonces si ¸ es una curva simple cerrada dentro de un dominio simplemente conexo., entonces el valor de UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 255 . 0 dr ¸ | V = } Campo Conservativo. Dado un campo de fuerzas en un dominio simplemente conexo, diremos que es un campo conservativo si cumple una de las siguientes condiciones. 1. Un campo es conservativo si, y sólo si, el trabajo que realiza la fuerza que genera el campo de fuerzas entre dos puntos no depende de la trayectoria que une dos puntos de ¸ , dentro del dominio simplemente conexo O. Es decir : 1 2 . . f dr f dr ¸ ¸ = } } 2. Un campo es conservativo si, y sólo si, el rotacional de ese campo vectorial en todos los puntos de es cero: 0 x f V = 3. La mas importante, un campo de fuerzas es conservativo si, y sólo si, podemos encontrar una función escalar potencial llamada energía potencial, de la cual su gradiente sea esa fuerza. De tal modo que para esa fuerza el trabajo que realiza sobre una partícula o móvil, entre dos puntos cualesquiera del espacio es igual a la variación de esa función escalar entre esos dos puntos, cambiada de signo. . ( ) ( ) B A f dr W A W B = ÷ } Otra propiedad interesante es que las curvas integrales de un campo vectorial conservativo, llamadas líneas de campo , no pueden ser cerradas. Un campo de fuerzas donde el trabajo que es necesario para mover una partícula a lo largo de una trayectoria simple cerrada contenida dentro del espacio ocupado por el campo es cero. Ejemplo. El campo de fuerzas ( ) ( , ) , f x y y x = es un campo conservativo en todo 2 R , pues para cualquier trayectoria simple cerrada contenida en 2 R se cumple ( ( )). 0 f r t dr ¸ = } Otros ejemplos. El campo electrostático, el campo gravitatorio en mecánica clásica o las fuerzas intermoleculares en un sólido para pequeños valores de vibración son todos ellos casos de fuerzas conservativas. El campo electrostático y el gravitatorio en mecánica clásica de un cuerpo en reposo y a grandes distancia del mismo tiene la forma aproximada: UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 256 Donde ˆ r u es un vector unitario dirigido desde la fuente del campo hacia el punto donde se mide el campo, , , q m r r r son respectivamente el vector de posición del punto donde se mide el campo, el vector posición de la carga que crea el campo gravitatorio y el vector de la posición de la masa que crea el campo gravitatorio Las fuerzas intermoleculares pueden ser escritas por unas fuerzas del tipo: Donde ( ; ; ) i i i i r x y z = representa el vector de posición de la molécula i-ésima y las , , m i j k son constantes elásticas que dependen de la red cristalina del material o su estructura interna. La energía potencial es la correspondiente problema de oscilaciones acopladas y viene dado por una forma cuadrática de las coordenadas: El campo magnético es un ejemplo de campo no conservativo que no puede ser derivado de un potencial escalar. Esto se refleja por ejemplo que las líneas de campo del campo magnético son cerradas. Relación entre integrales. En física y matemática, el teorema de Green da la relación entre una integral de línea alrededor de una curva cerrada simple ¸ y una integral doble sobre la región plana O limitada por ¸ . El teorema de Green se llama así por el científico británico George Green y es un caso especial del más general teorema de Stokes.. Teorema de Green Sea ( , ),Q( , ) P x y x y dos funciones de un dominio O, en R con derivadas parciales continuas, ¸ es un conjunto simplemente conexo que encierra un dominio simplemente conexo O, Entonces ( ) ( , ) Q( , ) Q ( , ) ( , ) x y P x y dx x y dy x y P x y dA ¸ O + = ÷ } }} . Consecuencia. O ¸ UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 257 Podemos apreciar que si existe el área de una región O, dominio simplemente conexo, con frontera ¸ , entones el área está dada por: 1 ( ) 2 A ydx xdy ¸ O = ÷ ÷ } Para lo cual podemos aplicar el teorema de Green, las funciones ( , ) , Q( , ) P x y y x y x = = ÷ ( ) 1 1 2 2 ydx xdy dA dA A ¸ O O ÷ + = + = = } }} }} 1 2 A ydx xdy ¸ = ÷ + } . Comprobar que el área del círculo es 2 A R t = . X=rcost, Y=rsent ( )( ) 2 2 2 0 0 1 cos ( cos ) 2 A Rsent Rsent R t R t dt dt R t t t = ÷ ÷ + = = ( ¸ ¸ } } Ejercicios: Hallar el Área de una Elipse Solución: El área de un región es invariable con respecto a cualquier rotación y/o traslación x= acost y= bsent ( )( ) ( ) 2 2 0 0 1 1 cos ( cos ) 2 2 A bsent asent a t b t dt ab dt ab t t t = ÷ ÷ ÷ = = ( ¸ ¸ } } Dominio Múltiplemente Conexo 1 O es doblemente conexo 1 2 A ydx xdy ¸ = ÷ + } 1 ¸ 2 ¸ UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 258 1 ¸ 2 ¸ 3 ¸ 2 O es triplemente conexo Ejemplo: Calcular: 4 x dx xydy ¸ + } ( ) 1 1 4 0 0 0 y x dx xydy y dxdy ¸ ÷ ÷ + = ÷ } } } 1 0 2 3 1 0 (1 ) ] 1/ 6 2 3 y y dy y y = ÷ = ÷ = } Calcular el área de la curva 3 3 cos x t y sen t = = Solución: Aplicando green 2 3 2 0 , / 1 ( , ) 0 ( , ) 3 3cos cos 8 x y P Q Q P P x y Q x y x dxdy Pdx Qdy t tsen tdt t ¸ t O - ÷ = = . = = + = = }} } } Limitaciones del Teorema de Green 1 ¸ 2 ¸ O 1 1 UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 259 Sea 2 2 ˆ ˆ ( , ) yi xj F x y x y ÷ + = + a) Calcular su integral de línea sobre el circulo 2 2 1 x y + = b) Calcular ( ) x y Q P dxdy O ÷ }} O región encerrada por ¸ c) Discutir si estos resultados están o no de acuerdo con el teorema de Green Solución: a) ( ) 2 2 2 2 , , y x dx dy x y x y ¸ | | ÷ | + + \ . } 2 2 ydx xdy x y ¸ ÷ + = + } x=cost , y =sent | | 0; 2 t t e ( ) 2 2 2 0 cos 2 sen t t dt t t = + = } b) 2 2 2 2 ( , ) ( , ) y P x y x y x Q x y x y ÷ = + = + ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 , 0 x y x y y x y x Q P x y x y Q P ÷ ÷ = = + + ÷ = ( ) 0 x y Q P dxdy O ÷ = }} c) No se cumple el teorema de Green , porque P y Q no tienen derivadas parciales en el (0;0), punto interior de O ( Oregión encerrada por ¸ ) FUNCIONES DIFERENCIABLES DEFINICIÓN Una función : , n f A R A R ÷ c se dice que es diferenciable en 0 a A e si UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 260 1. 2. ( ) ( ) ( ).( ) lim 0 x a f x f a f a x a x a ÷ ÷ ÷V ÷ = ÷ La matriz de orden 1xn dada por el gradiente se le denomina matriz jacobiana para f en . a CASO PARTICULAR DE 2 VARIABLES. Una función 2 : , f A R A R ÷ c se dice que es diferenciable en 0 1 2 ( , ) a a a A = e si 3. Existen números A y B tales que: 4. 1 2 1 2 1 2 2 2 ( , ) ( , ) 1 2 ( , ) ( , ) ( ) ( ) lim 0 ( ) ( ) x y a a f x y f a a A x a B x a x a x a ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ = ÷ + ÷ En este caso el plano 1 2 1 2 ( , ) ( ) ( ) z f a a A x a B y a = + ÷ + ÷ es el plano tangente a la grafica de f en 1 2 ( , ) a a a = . DEFINICIÓN Una función : , m n f A R A R ÷ c se dice que es diferenciable en 0 a A e si la función f tiene sus m componentes , 1, 2,..., j f j m = diferenciables en . a 5. La condición de diferenciabilidad seria: 6. ( ) ( ) ( ) lim 0 m x a n f x f a M x a x a ÷ ÷ ÷ ÷ = ÷ Done la matriz jacobiana es UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 261 7. 1 1 1 1 1 2 3 2 2 2 2 1 2 3 3 3 3 3 1 2 3 ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) .......................................................... .... n n f n f f f f a a a a x x x x f f f f a a a a x x x x f f f f a a a a M M a x x x x c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c = = c c c c 1 2 3 ...................................................... ( ) ( ) ( ) ... ( ) m m m m n f f f f a a a a x x x x ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( c c c c ( c c c c ( ¸ ¸ 8. Apreciación. 9. Una función : , n f A R A R ÷ c es diferenciable en 0 a A e , si las derivadas parciales de orden 1, son todas continuas en . a REGLA DE LA CADENA. Sean A y B dos conjuntos abiertos de n m R y R respectivamente, : , m n f A R A R ÷ c , : , p m g B R B R ÷ c , de manera que ( ) Ran f B c . Si f es derivable en 0 a A e y g es derivable en ( ) f a , entonces gof es derivable en . a Además se cumple: 10. ( ( )) ( ) gof g f M M f a M a = 11. Problemas resueltos de matemáticas III 1) Determinar el área de la superficie de la esfera limitado por el cono circular UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 262 Solución: En coordenadas polares: x y z UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 263 ) 2) Determinar el área de la superficie del elipsoide , limitado por el cono elíptico Solución: De x y z UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 264 3) Determine el area de la superficie del cilindro limitado por el cono circular Solución: De De S1 hacemos: UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 265 4) Determine el area de la superficie de limitado por el cilindro Solución : Analizando el primer octante 5) Determine donde UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 266 6) Determine donde Solución: x y z S1 UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 267 7) Determine donde S2 S1 UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 268 8) Encontrar el centro de gravedad del casquete semiesférico radio R, con centro en Solución: El centro del casquete semiesférico es 8) Hallar el área de la superficie limitada por: 0 , 0 , 0 , 2 2 2 2 2 2 2 2 > + + > ÷ + > = + + RX Y X RX Y X R R Z Y X Solución: Mostramos los gráficos de la región de espacio y de su campo. UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 269 Z Y X Y R R (R/2,0) (R/2,0) Entonces procedemos a calcular: Debido a la simetría de la región, entonces calcularemos el área de la superficie que se encuentra en un octante, entonces el campo quedaría como: UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 270 Y R (R/2,0) 2 2 X R Y ÷ = 2 2 ) 2 ( ) 2 ( R X R Y ÷ ÷ = 8 T S = dA Y Z X Z }} O + c c + c c ] 1 ) ( ) ( [ 2 2 = dydx Z Y Z X R X R R X R } } ÷ ÷ ÷ + ÷ + ÷ 0 ) 2 ( ) 2 ( 2 2 2 2 2 2 1 ) ( ) ( = dydx Z R R X R R X R } } ÷ ÷ ÷ 0 ) 2 ( ) 2 ( 2 2 2 2 = dx X R Y Rarcsen R X R R X R } ÷ ÷ ÷ ÷ 0 ) 2 ( ) 2 ( 2 2 2 2 2 2 ) ( = dx X R X arcsen R R } + ÷ 0 ) 2 ( t = } + ÷ R R dx X R X arcsen R RX 0 0 2 t = R R RX R X R X R X Xarcsen R RX 0 0 ] arctan [ 2 + ÷ + ÷ t = 2 ) 1 ( 2 R ÷ t EXAMEN FINAL Pregunta 1: Considere una esfera hueca de material homogéneo, con un radio interno “a” y un radio externo “b”, con una temperatura interna a T y una temperatura externa b T . Determine la temperatura en estado estable en función de la distancia r con respecto al centro, para valores entre “a” y “b”. Solución: De acuerdo a la ecuación de Fourier se tiene que: dT H kA dr = ÷ , donde en caso de que se trate de un estado estacionario H , que es la cantidad de calor que pasa a través de un área Apor unidad de tiempo, es constante. Entonces integrando para nuestro caso de la esfera hueca se tiene: UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 271 2 4 ( ) 1 1 4 ( ) b a T b a b T a k T T H dr dT H k r a b t t ÷ = ÷ ¬ = ÷ } } Por lo tanto: 1 1 ( ) 4 ( ) 1 1 ( ) , 1 1 ( ) r a a b r a H T T k r a T T T T a r b r a a b t = ÷ + ÷ = ÷ + s s ÷ Pregunta 2: Evaluar la siguiente integral 2 ( )(1 )(1 )(1 ) i j k ij ik jk i j k v x x x dx dx dx o o o ÷ ÷ ÷ ÷ }}} , siendo: V ={ 2 2 2 1 2 3 1 2 3 ( ; ; ) / 4 x x x x x x + + = } Solución: Simplificando se tiene que: (aplicando la definición del delta de Krocner) 2 ( ) i j k i j k v x x x dx dx dx ÷ }}} , siendo i j k = = y de la restricción se puede notar que para cada combinación subíndices, que cumplan la restricción anterior, el resultado es el mismo. Dado que hay 6 combinaciones posibles: 2 ( ) i j k i j k v x x x dx dx dx ÷ }}} =6 2 1 2 3 3 2 1 ( ) v x x x dx dx dx ÷ }}} , Pasando esta ecuación a coordenadas esféricas: 2 2 2 2 2 2 0 0 0 ( ( ) cos( ) ( ) cos ( )) ( ) sen sen sen d d d t t | u u | | | u 2 µ ÷µ µ µ } } } = 128 15 t Entonces: 2 ( ) i j k i j k v x x x dx dx dx ÷ }}} =6 2 1 2 3 3 2 1 ( ) v x x x dx dx dx ÷ }}} = 256 5 t UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 272 Pregunta 3: Usando una transformación ( , , ) u v w T , demostrar la siguiente relación: 1 1 1 1 2 1 0 0 0 ( 1) 1 n n dv xy n ÷ · = ÷ = + ¿ } } } Solución: Integrando respecto de z se tiene: 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 ln(1 ) 1 dv xy dydx xy xy = + + } } } } } , ahora aplicando la serie de Taylor para poder expandir el logaritmo respecto a “y”, se obtiene: 1 1 1 1 2 2 3 3 0 0 0 0 1 2 3 3 3 3 3 0 1 ln(1 ) (1 ...) 2 3 4 1 1 1 1 (1 ...) 1 ... 4 9 16 2 3 4 5 xy x y x y xy dydx dydx xy x x x dx + = ÷ + ÷ + ÷ + ÷ + = ÷ + ÷ + ÷ } } } } } Y esto es igual a: 1 2 1 ( 1) n n n ÷ · = ÷ ¿ Pregunta 4: Calcule el área de la superficie 2 2 x y z e ÷ ÷ = , si la proyección al plano XY es la región acotada por la circunferencia: 2 2 4 x y + = Solución: Se sabe que la integral de superficie es: 2 2 2 2 2 2 2( ) 1 ( ) ( ) 1 4( ) x y s s z z dydx x y e dydx x y ÷ + c c + + = + + c c }} }} Pasando a coordenadas polares se tiene: 2 2 2 2 2 0 0 1 4 4.45 r r r e drd t u t ÷ + ~ } } UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 273 Pregunta 5: Calcule el volumen del Sólido acotado por las siguientes superficies: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 : S b c x a c y a b z a b c + + = y 2 2 2 2 2 2 2 2 : 2 c x c y S cz c a b + = ÷ Solución: Simplificando las ecuaciones anteriores se tiene: 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 : 1 : 2 1 x y z S a b c x y z S a b c + + = + = ÷ Y haciendo el cambio de: , , x ax y by z cz ' ' ' = = = Entonces: dv abcz y x ' ' ' = Por lo que el volumen del sólido en coordenadas cilíndricas será: V abcdz dy dx ' ' ' }}} Para ver el dominio sobre el que están definidos x e y, se interseccionan las dos superficies: UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 274 2 1 2 1 3 1 z z z ÷ = ÷ ¬ = ÷ Ahora pasando a coordenadas cilíndricas se tiene: 2 2 2 3 3 2 1 0 0 1 2 r r abc rdzdrd t u ÷ ÷ + } } } = 2 3/ 2 (2 3 3) ( 2 3 4) 2 3 3 1 (2 )( ) 8 3 4 3 abc t ÷ ÷ ÷ + ÷ ÷ ÷ + 0.12 V abc t ~ Problema 6: Calcular la siguiente integral doble R x dxdy y }} , siendo R la región acotada por el triángulo de vértices (1/2 ; 1/2) ; (0;1) ; (1;1) Solución: Para la región sobre la que se nos pide evaluar la integral: x y =0, pues y>x, excepto sobre la rectas y=x, donde vale 1. Pero entonces se interpretaría como el área sobre la región en la que esté definida, la cual es una recta y como su área es 0. Entonces: R x dxdy y }} =0 Problema 7: Del octante de la esfera 2 2 2 2 x y z c + + s ; ( 0; 0; 0) x y z > > > se ha quitado el cuerpo OABC , limitado por los planos de coordenadas y por el plano 1 x y a b + = (a<0,b<0,c<0). ( 0, 0, 0) a b c s s s y O es el origen de las coordenadas. Calcule la masa de este cuerpo si su densidad en cada punto (x;y;z) es igual a su cota z. Solución: UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 275 La masa total del cuerpo se puede calcular como la masa del octavo de esfera menos la masa encerrada entre el plano dado y los ejes coordenados. Esto es: 2 2 4 / 2 / 2 0 0 0 0 0 0 cos ( ) b b x x y c a a M sen d d d zdzdydx t t | | | u ÷ ÷ ÷ 2 = µ ( )µ µ ÷ } } } } } } Entonces operando: 4 3 3 2 16 24 24 4 c a b ab abc M t = + + ÷ Problema 8: Se sabe que un cierto camino ¸ en el plano 2x+2y+2z=1 se proyecta en la circunferencia unidad 2 2 1 x y + = del plano XY . Sea c una constante y sea R xi yj zk = + + . Calcule mediante el teorema de Stokes ( ). ck R dr ¸ × } . Solución: Por el teorema de Stokes se sabe que: ( ). ( ). S ck R dr x ck R dS ¸ × = V × } }} Operando se tiene: ( ) 2 x ck R ck V × = Por lo que: ( ). (2 ) (2, 2,1) 2 S S ck R dr ck x dydx c dydx ¸ × = = } }} }} UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 276 Y como el área proyectada en el plano XY es un círculo, entonces: ( ). 2 ck R dr c t ¸ × = } Problema 9: Demuestre que la medida (“volumen”) de una n-bola en n de radio “a” está dada por 1 2 ( ) (1 ) 2 n n a V a n t = I + Solución: Tenemos la n-esfera, definida como el lugar geométrico de los puntos en el espacio euclídeo n-dimensional que equidistan de uno llamado centro (en nuestro caso el origen).En otras palabras, 2 2 2 2 2 1 2 3 ... n x x x x r + + + + = .Y queremos calcular su superficie y volumen. Para ello, consideramos la integral: 2 n r R I e dV ÷ = } Donde integramos sobre todo el espacio. Pero podemos usar una identidad conocida para simplificarnos la vida: 2 2 2 2 2 2 3 1 2 1 2 3 1 ( ).( ).( )...( ) ( ) n i n n x x x x x r n i i R I e dV e dx e dx e dx e dx e dx · · · · · ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ = ÷· ÷· ÷· ÷· ÷· = = = [ } } } } } } Ahora bien, cada una de las integrales del producto vale raíz de pi, por lo que: 2 / 2 1 ( ) i n x n i i I e dx t · ÷ = ÷· = = [ } Bien, guardemos este resultado un momento, y vayamos a otra cosa. Hasta ahora no nos hemos ocupado directamente de la esfera. Vamos a ello, haciendo una simplificación que resultará ser esencial: En el jacobiano del cambio a coordenadas polares n-dimensionales, la variable radial r sólo aparece mediante un factor de 1 n r ÷ . UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 277 En efecto, veamos qué es un cambio a polares n-dimensional. Básicamente es un cambio del tipo: 1 2 cos.... cos.... x r x r = = Etc., etc. con la variable r apareciendo sólo delante del (habitualmente inmenso) producto de senos, cosenos, etc. Las variables angulares aparecen sólo dentro de senos y cosenos por muchas razones, una de las cuales es que el cambio a polares en n dimensiones es una generalización del cambio a polares plano y tridimensional, y en éstos se procede mediante senos y cosenos. Y aunque no fuera un producto de senos y cosenos, sino una función arbitraria de los ángulos, eso no invalidaría para nada nuestro argumento. Desarrollar por completo las coordenadas polares es complicado y sería desviarse del tema principal, pero de todas formas es algo interesante. Decíamos que la variable r sólo aparece delante del producto de senos y cosenos, y esto es así porque cuando r=1 las coordenadas polares deberían parametrizar la superficie de la esfera de radio 1. Al multiplicar las coordenadas por un r arbitrario deberían parametrizar la esfera de radio r. Calculemos su jacobiano, y fijémonos en una cosa: La variable r aparece en todas las columnas, sencillamente multiplicando a todo lo demás, menos en la primera. Esto es lógico, pues la primera columna del jacobiano corresponde a tomar la derivada parcial respecto a r, y por la forma del cambio de coordenadas eso elimina a la variable r. En resumen, el jacobiano tendrá la forma: ... .... .... .... ... .... .... .... ... .... .... .... r r r r r r r r r Donde los puntos suspensivos son montones de funciones trigonométricas de las variables angulares que no vienen al caso ahora. La cuestión es que una de las propiedades del determinante dice que si una fila o columna está multiplicada por un número, digamos, r, entonces el determinante es igual a la constante r por el determinante sin la fila multiplicada por la constante. Aplicando eso sucesivamente a las columnas 2, 3...n-1,n del determinante J queda que 1 ( ) (1) n J r r J ÷ = Donde J(1) es el valor del jacobiano cuando r=1, y que por tanto no contiene factores de r. Es decir, la única dependencia de la variable r que puede tener jacobiano general J(r) es mediante un factor de 1 n r ÷ . Como se quería demostrar. UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 278 Antes de hallar el volumen de la n-esfera hallaremos el área de esta. Primero, demostraremos que: 1 1 2 3 4 (1) ... ( ) n n A r J d d d d d S r u u u u u ÷ = } Donde A es el conjunto de todos los valores posibles que toman las variables angulares 1 2 , ,... u u En el caso plano, por ejemplo, el conjunto A es sencillamente [0, 2 ] t .En un caso más general será un producto cartesiano del tipo [ , ] [ , ] ... a b x c d x . Y S(r) es la superficie de la esfera de radio r. Por ejemplo, para 2 dimensiones, tenemos que A=[0,2pi] y J(1)=1, y por tanto la integral de arriba toma la forma: 2 0 2 rd r t u t = } Que es precisamente la superficie de la esfera de radio 1 (en este caso, longitud). En fin, vamos a demostrarlo: Consideremos la integral: . ( ) S S x NdA rdA rS r = = } } Donde S es la superficie de la esfera de radio 1, y N es el vector normal unitario a la superficie de la esfera. La igualdad de la derecha se produce porque el vector normal a la superficie y el de posición son paralelos, uno de módulo 1 y el otro de módulo r. Por tanto el valor del producto escalar en el integrando es r. Si aplicamos el Tª de la divergencia al lado de la izquierda, siendo V el volumen de la esfera de radio r, teniendo en cuenta que i i X x n V = c = donde n es el número de dimensiones del espacio, tenemos que: 1 2 3 4 0 1 1 1 2 3 4 1 2 3 4 0 0 . . ( ) ... (1) ... ( ).( (1) ... ) r n S V V A r r n n n n n A A x NdA xdV ndV nJ n drd d d d d nr J drd d d d d nr dr J drd d d d d r u u u u u u u u u u u u u u u ÷ ÷ = V = = = = = } } } } } } } } } UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 279 Con lo que queda demostrada la afirmación de arriba. Nótese que ello implica dos cosas: 1 1 2 3 4 ( ) (1) (1) (1) ... n n A S r r S S J drd d d d d u u u u u ÷ = = } Bueno, ahora sí que sí vamos a calcular la superficie de la n-esfera. Recordemos de las demostraciones anteriores que: 2 / 2 n r n R e dV t ÷ = } 2 1 / 2 1 2 3 4 0 (1) ... n r n n A r e J drd d d d d u u u u u t · ÷ ÷ = } } 2 1 / 2 0 (1) n r n S r e dr t · ÷ ÷ = } Si ahora en la integral que obtenemos, hacemos el cambio de variable 2 t r = , la integral queda: 2 1 1 2 0 0 1 2 n n r t r e dr t e dt · · ÷ ÷ ÷ ÷ = } } Pero recordemos que la función gamma se define como: 1 0 ( ) n t n t e dt · ÷ ÷ I = } Así que la integral nos queda que vale 1 ( ) 2 2 n I .En otras palabras, nuestra ecuación de arriba queda: / 2 / 2 1 (1) ( ) 2 2 (1) 1 ( ) 2 2 n n n S S n t t I = = I Y ahora, multiplicando ambos lados por 1 n r ÷ , obtenemos la Superficie de la n-esfera de radio r: / 2 1 2 ( ) ( ) 2 n n r S r n t ÷ = I UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 280 Volumen de la n-esfera Se obtiene de forma directa, mediante el uso del teorema de la divergencia. Sea una esfera de radio r, S su superficie y V su volumen, tenemos que: . . S V x NdA xdV = V } } Por los mismos argumentos que los empleados en el cálculo de una integral similar hecha anteriormente, se tiene que: / 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 V n n rS r n dV rS r nV r r r V r S r n n n t = = = = I } Ahora bien, si recordamos que la función gamma cumple la propiedad de recurrencia: ( ) ( 1) x x x I = I + y sustituimos esto en la ecuación, nos queda el Volumen de la n-esfera de radio r: / 2 ( ) (1 ) 2 n n r V r n t = I + Por lo que termina el problema. Problema 10: Suponga que u ; v ; w son coordenadas curvilíneas ortogonales para las cuales 2 2 2 2 2 ds v du u dv dw = + + . a) Calcule la divergencia de u , donde u es el vector unitario tangente a la curva u. b) Determine el laplaciano de la función f=uvw . Solución: a) Se sabe que: UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 281 1 2 3 2 1 3 3 1 2 1 2 3 1 2 3 1 . [ ( ) ( ) ( )] F Fh h F h h F h h h h h u u u c c c V = + + c c c Y dado que: 1 2 3 ; ; 1 h v h u h = = = Además: 1 0 0 F u v w = + + Entonces: 1 ( ) 1 . ( ) u u uv u uv c V = = c b) Parecido al caso anterior, se tendría que evaluar en: 2 2 3 1 3 1 2 1 2 3 1 1 1 2 2 2 3 3 3 1 [ ( ) ( ) ( )] h h h h h h f f f f h h h u h u u h u u h u c c c c c c V = + + c c c c c c Entonces: 2 2w f uv V = EXAMEN FINAL 2010-2 4.- Si A= rcosθεr θεθ vaú ∫dS alrededor de la trayectoria que es el contorno de un trapecio circular en el primer cuadrante formado por dos circunferencias concéntricas cuyos radios miden 2u y 3u, y los rayos trazados desde el origen de coordenadas formando ángulos agudos de medidas 3⁰ y ⁰ j d a aba E d d a trayectoria es contrario a las manecillas del reloj. Mediante el teorema de Stokes: 1) ∮dS ∬(���xA)d dS = rdrdθεz ���xA = εr [(1/r) ���Az/���θ-���θ���] εθ(���Ar/���t-���Az/���r) εz(r)[���(rθ)���r-���Ap/���θ] 2) ���xA=(0-)εr + (0-)εθ (r)θεz UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 282 ∬ (���) ∬ ( ) = ∫ ∫ ( ) =[(√ )]7/2 5: demuestre el teorema de la divergencia Sea S una superficies cerrada en la que toda recta paralela a los ejes coordenados la corta a lo sumo en dos puntos. Suponiendo que las ecuaciones de las superficies limites inferior y superior con z = ( ) ( ) respectivamente y llamando R a la proyección de la superficie sobre el plano xy, se tiene ∭ ∭ ∬ ( ∫ ( ) ) () () ∬ ( ) ( ) En la cara superior ya que la normal Agudo En la cara superior ya que la normal UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 283 Obtuso Por lo tanto ∬ ( ) ∬ ∬ ( ) ∬ ∬ ( ) -∬ ( ) ∬ +∬ ∬ S Luego : ∭ ∬ S Analogamente ∭ ∬ ∭ ∬ ∭( ) ∬( ̂ ̂ ̂ ) ∭ ∬ 6: Demostrar que ̅ ̅ es una condicion necesaria y suficiente para ∮ ̅ ̅ =0 alrededor de cualquier curva suave simple cerrada c Si ̅ ̅ Luego por el teorema de Stokes ∮ ̅ ̅ ∬( ̅ ) 7: UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 284 ̅ ̂ ̂ ̂ ( ) ( ) ( ) ( ) ((( ) ( ) ) ) Luego : ⃗ ( ) ( ) ( ) ( ) ((( ) ( ) ) ) 8: ∬ ̅ ̅ ̅ ( ) ̅ ̅ ( ) 0<x<3 ( ) 0<y<3-x Luego ∬ /3 =45/4 9.-Usando transformaciones T(u,v) determine el volumen del solido acotado por un octaedro regular cuya arista mide l. UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 285 l = a Sea P el plano que limita la cara superior derecha P: AX + BY +CZ = 0… P*: u + v + w + a = 1 Una vez hecho el conveniente cambio de variable se procede con una simple integral triple: V = 2 ʃʃʃ J (u,v,w) dudvdw =2 a2ˆ(1/2)/3 10.- Use el teorema de Green, determine el área acotada por la curva “ ҫ” Denominado evoluta de una cardiode. UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 286 r=a(1+cosθ) r*=r+ρN … evoluta de “r” r*=a(1-cosθ) X aθ Y aθ S = 0.5ʃXdY-YdX a /24 LEY DE GAUSS Relaciona el flujo de un campo eléctrico E sobre una superficie “cerrada” S con carga neta Q encerrada por la superficie a saber (En unidades adecuadas) . S E ds Q = }} …..(1) Superficie cerrada Supóngase que el s E En = esto es; un múltiplo escalar constante de la normal unitaria entonces la ley de Gauss, ecuación (1) anterior se convierte en 0 s s s Q EdS EdS S dS c = = = }} }} }} Pues s E E n = · 0 ( ) Q E A S c = …..(2) S E UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 287 Q En el caso de que S sea la esfera de radio R , la ecuación (2) se convierte en 2 0 4 Q E R c t = El campo eléctrico debido a una carga Puntual Q es 0 1 4 s Q E r r tc = ……(3) Aun cuando hemos demostrado el teorema de la divergencia solo para regiones solidas simples, se puede demostrar también para regiones que son la unión de una cantidad finita de regiones solidas simples. (El procedimiento es semejante al planeado para extender el teorema de Green) Por ejemplo, consideramos la región que se encuentra entre las superficies cerradas S1 y S2, donde S1 es interior a S2. Sean 1 n y 2 n normales exteriores (dirigidas hacia afuera) de S1 y S2, entonces la superficie frontera de E es S = S1 U S2 y su normal n está dada por 1 n n = ÷ sobre S1 y 2 n n = sobre S2. . . S E S S divFdV F dS F n dS = = = }}} }} }} 1 2 1 2 .( ) .( ) S S F n dS F n dS = ÷ + }} }} 1 2 . . S S F dS FdS = ÷ + }} }} ……..(4) Apliquemos esto al campo Eléctrico 3 ( ) Q E x x x c = 0 1 4 c tc = Donde S es una pequeña esfera de radio a y centro en el origen, es posible verificar que 0 divE = por lo tanto la ecuación (4) da 2 2 . . S S E dS E ndS = }} }} 1 S 2 S 1 n ÷ 1 n 2 n UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 288 Lo que interesa en este proceder es que podemos calcular la integral de superficie sobre S1 porque S1 es una esfera. El vector normal es x es x x por tanto 3 2 2 . . Q x Q Q E n x x a x x c c c = = = Porque la ecuación de S1 es x a = , entonces tenemos 2 1 . . S S E dS E ndS = }} }} 2 2 1 ( 1) S Q Q dS A S a a c c = = }} 0 4 Q Q tc c = = Esto demuestra que el flujo eléctrico E a través de cualquier superficie cerrada S2 que contenga el origen es 4 Q tc [este es un caso particular de la ley de Gauss para una carga simple] Supóngase ahora que el E surge de una carga puntual aislada a Q por simetría, es razonable que el E En = donde n es la normal a cualquier esfera con centro Q , por tanto se cumple la ecuación (3). Consideremos una segunda carga puntual Q 0 situada a una distancia R , de la fuerza F que actúa sobre esta segunda carga esta dado por 0 0 0 2 0 4 QQ F EQ EQ n n R c t = = = Así F es magnitud de F , tenemos 0 2 0 4 QQ F R tc = Es la conocida ley de Columb para fuerzas entre dos cargas puntuales. La ley de Gauss tiene la siguiente interpretación física. El potencial debido a una carga puntual Q en (0,0,0) está dado por 2 2 2 0 ( , , ) 4 Q Q x y z r x y z c | tc = = + + Y el campo correspondiente es UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 289 3 0 4 Q r E r | tc | | = ÷V = | \ . Así la ley de Gauss asegura que el flujo eléctrico total . M E dS o }} (Esto es el fuljo de e hacia afuera de la superficie M o ) Es igual a 0 Q c si la carga está dentro de M, y cero de no ser así. Nótese que aun si (0,0,0) eM, E continuara siendo diferente de cero en M. Para una distribución continua de carga descrita por la densidad de carga µ el campo E esta relacionado con la densidad µ mediante . divE E µ = V = Así por el teorema de Gauss, 0 0 1 . S Q E dS dV µ c c O = = }} }}} O el flujo hacia afuera de la superficie es igual a la carga total que hay dentro. ELECTROMAGNETISMO Sean , E y H los campos magnéticos y eléctricos que dependen del tiempo respectivamente en el espacio. Sea S una superficie con frontera ç definimos . E dS , = } Voltaje alrededor de , . S H dS = }} Flujo magnético atreves de S 1. Evaluar: ∭ {( ) } Sol. UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 290 Graficando observamos que el volumen “” donde integraremos es el superior al plano , en el primer octante. Analizando la integral en cada región señalada, tenemos: ∭ Donde: ∭ ( ) ∫ ∫ ∫ ∭ ( ) ∫ ∫ ∫ ∭ ( ) ∫ ∫ ∫ 2. Calcule el valor de ∫ ()()() () , es la poligonal que une los puntos: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Sol. Comprobamos si el campo ( ) ( () () () () ) ( () () () ) es conservativo, para ello bastara con demostrar que la diferencial ()()() () es exacta, entonces tiene que cumplir la siguiente condición: UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 291 { { ( ) ( ) ( ) ( ) Las igualdades se cumplen. Por lo tanto tenemos un campo conservativo. Por ser una diferencial exacta, entonces existe una función tal que: { () () integramos cada ecuación: { ( ) ( ) ( ) Comparando las tres ecuaciones, tenemos: Asi la integral ∫ ()()() () se convierte en: ∫ ( ) Por ser un campo conservativo la integral ∫ ()()() () no depende de la trayectoria. Entonces bastara tomar los puntos extremos () y () de la trayectoria para hallar dicha integral. Entonces: ∫ ( ) ∫ ( ) () () { } () () 3. Usando el teorema de Green, determine el área de la región limitada por el hipocicloide. Sol. Podemos escoger la hipocicloide: ……(astroide) Por Green: ∫ ………..(1) UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 292 Parametrizando tenemos: { { [] Reemplazando en (1): ∫ ∫ ∫ ( ) ∫ ( ) ( ) 4. Sea , un conjunto convexo. ¿ {( )( )} es convexo? Justifique su respuesta. Sol. Para que B sea convexo, toda recta que une dos puntos cualesquiera de su dominio esta contenido en B. Sea: { (a b ) ( ) formamos la recta ( ) (a b ) (a b ) (a (a) b ( b) ( )) Ademas si: {( )( )}, entonces: (a b ) (a b ) Evaluamos en la recta ( ) ({a (a)} b ( b) { ( )} ) (a b ) (a b ) Por lo tanto, B es un conjunto convexo. 5. Determinar el momento de inercia de una arandela homogénea de radio interno a, radio externo b y masa M, respecto a uno de sus diámetros. Sol. UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 293 El momento de inercia de la figura viene dado por: ∬ ( ) Como la placa es homogénea, entonces: ( ) , además: ( ) ( ) ( ) Luego: ∬ ( ) ( ) ∬ …….(1) Usando coordenadas polares: { En (1): ( ) ∫ ∫ ( ) ( ) ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) 6. Usando transformación para integrales triples, calcule el volumen acotado por un hexaedro de caras regiones triangulares equiláteras de lado a. Sol. UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 294 Tomamos la mitad del hexaedtro, entonces: ………..(1) Del grafico: ……..(2) Hallaremos la ecuación del plano ABC para calcular el volumen del solido O-MBC= ̅̅̅̅̅ ( √ ) ( √ ) ( ) ̅̅̅̅̅ ( √ ) ( √ ) ( √ √ ) ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ( √ √ ) ̅ (√ ) como vector normal al plano ABC Luego: ̅ ( √ ) √ √ ……….(*) Además la región es: {( ) √ √}………….(**) De (*)y(**): ∫ ∫ ∫ √ √ √ √ ∫ ∫ (√ √ ) √ √ ∫ (√ √ ) √ √ En (2): ( √ ) √ Finalmente en (1): UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 295 ( √ ) √ 7. Evalue ∭ , siendo {( ) } Sol. Para calcular la integral, transformaremos el volumen de integración. Analizando las desigualdades determinaremos los dominios de x,y,z ……… ……… ……… z Entonces hacemos los siguientes cambios de variable: … y …y v entonces: { √ v …z Ahora hallamos los dominios de u,v,w: √ v √ v Como: Entonces: √ v Elevando al cuadrado: ( v ) ( ) v Asi el solido S queda transformado en: {( ) () } UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 296 El jacobiano de la transformación es: () | | | √ v √ v | √ v Entonces la integral pedida será: ∭ ∭ ( √ v ) ∫ ∫ ∫ ( √ v ) √ () √ () ( ) ∫ ∫ ( √ v ) ( ) ∫ ( √ ) √ () √ () ( )() ( ) 8. Sea el campo vectorial ̅ ( ) [ ] Definido en Ω ( ) a)¿en que región de , ̅ ( ) es conservativo y evalue ∫ ̅ ( )̅? b) sea , a=(2,2), b=(2,y), c=(x,y) calcule la función potencial f(x,y) UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 297 f(x,y)=∫ ̅ ̅ () ∫ ̅ () ̅ sol. a)Comprobaremos si ̅ ( ) es conservativo: ̅ ( ) [ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ] [ ] { () () {() () } () () {() () } …es conservativo con dominio: () Por ser una diferencial exacta, entonces existe una función tal que: { () () () () () integramos cada ecuación: { ( ) () ( ) () Comparando ambas ecuaciones, obtenemos: ( ) Asi tenemos que: ∫ ̅ ( )̅ ∫ b) dado que F es conservativo, entonces: f(x,y)=∫ ̅ ̅ () ∫ ̅ () ̅=∫ ̅ ̅ () luego: f(x,y)= ∫ ̅ ̅ () ∫ () { ( )} () () ( ) f(x,y)= ( ) 9. Halle el trabajo maximo que se debe efectuar sobre una particula que se desplaza en la curva Si el campo de fuerzas esta definida por: ̅ ( ) [ ] Sol. El trabajo viene dado por: ∫ ̅ ̅ UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 298 ∫( ) …………..(1) Tenemos la ecuación de la elipse: Parametrizamos: { { Reemplazamos en (1): ∫( ) ∫( ) ∫( ) Luego: Si [] ∫ ( ) ….es el trabajo máximo realizado en una vuelta. 10. Hallar el área de la región acotada por la curva que es la podaría de una parábola, usando el teorema de green. Sol. Sea la parábola Entonces la podaría respecto a su vértice, tiene por ecuaciones parametricas: ̅ ( ( ) ) ( ) Derivando ̅ : ̅ ( ( ) ( ) ) Parametrizando la recta x=-p UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 299 ̅ ( ) [ ] Derivando ̅ : ̅ () Por el teorema de Green: ∫ Analizando por tramos: ∫ ∫ ∫ Entonces: ∫ ∫ [{ } { ( ) } { ( ) } { ( ) }] ∫ [{ ( ) } { ( ) }] ∫ { ( ) } ∫ ∫ Por lo tanto, por Green comprobamos que el área acotada por una podaría no tiene valor finito. TEOREMA DE STOKES. INTEGRALES DE SUPERFICIES. Ecuaciones de superficies. UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 300 Una superficie ( ) { } , , / ( , , ) 0, S x y z f x y z f continua = = es un conjunto de puntos de 3 R . Lo que nos interesa en estos momentos es hallar superficies limitadas de manera que podamos determinar el área de esas superficies. Una superficie , se dice que es una superficie suave, si las derivadas parciales de f son continuas en el dominio de la superficie S y nunca se anula. Ahora deseamos encontrara su área, mediante una integral doble, sobre la región R, que viene a ser la proyección de la superficie sobre el plano piso o sea el plano XY.. Aunque puede ser cualquier otro plano sobre el cual se proyecte la superficie, pero no debe existir dos puntos de la superficie que tengan dos imágenes de la proyección R. Es decir bajo esta proyección es uno a uno, o sea inyectiva, o sea para cada punto de la proyección solamente hay una imagen. Simbólicamente: ( ) , , 0 : ! / ( , , ) XY x y R z f x y z c ¬ e - = Análogamente si se proyecta la superficie sobre otro plano. ( ) , 0, : ! / ( , , ) XZ x z R y f x y z c ¬ e - = ( ) , 0, : ! / ( , , ) YZ x z R x f x y z c ¬ e - = Aproximación. Tomemos un punto cualquiera de la superficie S , en el plano tangente a la superficie S consideremos un paralelogramo k P A , , el se puede considerar como una aproximación para k o A , la proyección de sobre la región XY R la denotamos k A A que viene a ser un rectángulo como se puede apreciar en la figura. S k P A UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 301 Si el paralelogramo es paralelo al rectángulo k A A , ellos serán congruentes. En caso contrario será un paralelogramo con una área mayor que el área . Ahora analizaremos la siguiente grafica El área del paralelogramo que esta en el plano tangente, determinado por los vectores es k k u xv y en la proyección el área de es . k A A = ( ). cos k k k k k u xv n u xv n u = . Luego: , donde cos 0 k u = , siempre que 0 f A = y no sea paralelo al XY R ( o cualquiera de los otros casos). Pensando en la refinamiento que podemos hacer, para mejorar la aproximación., al área de la superficie, tendremos que : cos k k k A P u A A = ¿ ¿ k P A k A A , k k u v k A A ( ). k k u xv n cos k k k A P u A A = u k v k n UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 302 Así tenemos esta aproximación de lo que se conoce como área de la superficie S , por lo que podemos apreciar que el área de la superficie será: 1. 1 ( ) cos k R A S dA u = }} 1 1 1 . cos cos . k k f f n f n f u u V = = = V V V ( ) . R f A S dA f n V = V }} . Donde n es un vector unitario normal a R y . 0 f n V = . CONSECUENCIA. Si S es la superficie definida por ( , ) z f x y = , la cual tiene derivadas parciales continuas a través de la región XY R , tendremos que la ecuación que define la superficie es ( , ) 0 f x y z ÷ = , así tendremos que: 2 2 ( ) 1 . . XY XY XY x y R R R f f A S dA dxdy f f dxdy f n f k V V = = = + + V V }} }} }} REPRESENTACION DE UNA SUPERFICIE. El problema de expresar una superficie, la cual liga tres variables mediante una ecuación, lo cual se interpreta que hay dos variables que pueden tomar valores arbitrarios, puede representarse implícitamente o explícitamente, es decir habría lo que se llama dos grados de libertad. Una tercera alternativa es la llamada representación parametrica de una superficie. Así tendremos que: UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 303 2. : ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) , ( , ) S r u v x u v i y u v j z u v k u v RxR = + + eOc que viene a ser la ecuación parametrica de la superficie. Así tendremos que ( ) u v u v A S r xr dA r xr dudv O O = = }} }} . ÁREA DE SUPERFICIE DE REVOLUCION. Cuando el eje de rotación es el eje z cuya ecuación es 3. : ( ) ( ( ), ( )) r u f u g u ¸ = esta dada por | | | | 2 2 2 0 ( ) 2 ( ) 1 ( ) ( ) b a A S f u f u g u dudv t t ' ' = + + } } . Esto se deriva del hecho de que : ( ) ( ( )cos , ( ) , ( )) r u f u v f u senv g u ¸ = 4. ( ( )cos , ( ) , ( )) u r f u v f u senv g u ' ' ' = ( u r = ( ( ) , ( )cos , 0) v r f u senv f u v = ÷ | | | | 2 2 x ( ) 1 ( ) ( ) u v r r f u f u g u ' ' = + + Definición. Si R es la proyección de una superficie : ( , , ) S f x y z c = y la función g continua g continua en los puntosa de la superficie S , entonces definimos la integral de g sobre S como la integral ( , , ) . R R f g x y z dA f n V V }} donde R n es un vector unitario a R y . 0 R f n V = . u v x y z (u,v) Ω UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 304 Centro de gravedad. Dado el campo escalar f se interpreta como la densidad (masa por unidad de área)de una lamina delgada que coincide con la superficie S tendremos que la masa de la lamina seria: ( , , ) S m f x y z dS = }} El centroide seria 1 ( , , ) ( , , ) S S S x y z xdS ydS zdS m = }} }} }} . Momento de inercia: 2 ( , , ) ( , , ) L S I d x y z f x y z dS = }} Donde ( , , ) d x y z es la distancia de un punto genérico de la lamina hacia la recta L . INTEGRALES DE SUPERFICIE – TEOREMA DE STOKES Preliminares Es de nuestro interés inicialmente trabajar con superficies ( , , ) 0 f x y z = donde ( , , ) f x y z -V , donde x, y, z están variando en su determinada extensión. Además inicialmente consideraremos que: ( , , ) 0, ( , , ) f x y z x y z Domf V = ¬ e (a veces se suele decir que la superficie la “suave”). Podemos definir y determinar el área de esta superficie mediante una integral doble sobre su proyección R en algún plano coordenado (en la figura el plano piso o sea xy). Sabemos también que la proyección sobre el plano coordenado es de uno a uno. S M S R T H CASO POR ANALIZAR CASO NO ANALIZADO INICIALMENTE R Al punto H le corresponden los puntos M y T. (O sea la proporción de M y T es H) UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 305 Consecuencia Ahora tomemos un diferencial de la superficie S, que la denotamos como k S A y Tk P A es el paralelogramo que determina k S A proyectado al plano tangente. Hemos considerado un punto ( , , ) k k k k T x y z = de k S A y también estaría en un lado del paralelogramo que se encuentra en el plano tangente. Tenemos que si el paralelogramo es paralelo al piso y por ende a k A A . k P A será congruente con k A A , en caso contrario el área de Tk P A será mayor que el área de k A A . Denotemos un n el vector normal del plano piso pero unitario (si el piso es el plano XY, en este caso k ), el plano tangente a la superficie S es ( , , ) k k k f x y z V . Visualizando la gráfica: ( , , ) k k k x y z k S A Tk S A S k A A S CASO POR ANALIZAR k A A ( , , ) k k k f x y z V k v k u n El área de la proyección ortogonal del paralelogramo determinado por k u y k v sobre cualquier plano con normal n es: ( ) k k u v n × (Valor absoluto del triple producto escalar) Luego por conocimientos elementales de cálculo vectorial tenemos: ( ) ( ) cos k k k k k k A u v n u v n u A = × = × k Tk A A P A = A cos k Tk k P P u A A = , donde: cos 0 k u = UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 306 Podemos apreciar que la suma cos k Tk k A P u A A = ¿ ¿ , es una aproximación de lo que llamamos el área de la superficie S, cuando más reducida sea la partición k A A . ÁREA DE UNA SUPERFICIE Deducimos el área de una superficie ( , , ) 0 f x y z = sobre una región plana, cerrada y acotada en , así veremos que: ( ) R f A s dA f n V = V }} Donde n es un vector unitario normal a R y f V , 0 n = y 0 f V = . Casos Especiales Cuando z se puede despejar de ( , , ) 0 f x y z = , o sea z definida explícitamente por x e y, además que tenga derivadas parciales continuas en una región R de R 2 (del plano xy), entonces ( , ) z x y = se tiene: 2 2 1 xy xy x y R R f dA f f dxdy f n V = + + V }} }} Caso Paramétrico Toda superficie gráfica de una función ( , ) z f x y = , se podría decir que se trata de un punto el cual tendría dos grados de libertad. En realidad tenemos que podríamos representar implícitamente a la superficie { } ( , , ) / ( , , ) 0 S x y z f x y z = = en tanto de ( , , ) 0 f x y z = no podemos despejar z, en caso contrario si podemos expresar ( , ) z h x y = diremos que z está representado explícitamente en términos de x e y. O sea que podemos expresar { } ( , , ) / ( , ), ( , ), ( , ), ( , ) S x y z x x u v y y u v z z u v u v R = = = = e . Es decir: 2 : ( , ), ( , ), ( , ), ( , ) S x x u v y y u v z z u v u v = = = eOc O un conjunto simplemente conexo de 2 , así interpretamos que al variar u y v de manera que ( , ) u v eO se advierte que hay dos grados de libertad (2 variables toman valores arbitrarios en un determinado conjunto). v z u ( , ) r u v : . cte ¸ UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 307 O sea tenemos : ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) , ( , ) S r u v x u v i y u v j z u v k u v = + + eO esta es la conocida ecuación vectorial de la superficie S. S es la imagen de O , a través de la aplicación r , ella se denomina producto vectorial fundamental. Sea : ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) , ( , ) S r u v x u v i y u v j z u v k u v = + + eO admitiendo que x, y, z son diferenciables en O, podemos ver que: u u u u v v v v r x i y j z k r x i y j z k = + + = + + El producto vectorial u v r r × se denomina el producto vectorial fundamental de la representación de r . Así tenemos: ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) u u u u u u u v u u u v v v v v v v v v i j k y z z x x y y z z x x y r r x y z i j k i j k y z z x x y u v u v u v x y z c c c × = = + + = + + c c c Si ( , ) u v eO, para el cual u r y v r son continuos y 0 u v r r × = , el punto imagen ( , ) r u v se denomina punto regular de r . Si u r o v r no son continuas o si 0 u v r r × = el punto ( , ) u v se denomina punto singular de la superficie de r . SUPERFICIE REGULAR : ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) S r u v x u v i y u v j z u v k = + + se dice que es una superficie regular si todos sus puntos son regulares. Toda superficie S tiene más de una representación paramétrica. Podemos dar ejemplos de puntos los cuales una representación paramétrica es regular y con otra singular. O u u v =constante x u y u ( , ) u v : . cte ì UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 308 Significado Geométrico Sabemos que: ( ) ' 0 // u v f r r n r r V = × Razón por la cual el vector, el vector u v r r × se denomina normal a la superficie ( ) r O el vector u v r r × es no nula. El plano que pasa por P y tiene este vector como normal se denomina plano tangente a la superficie en P. SUPERFICIE PARAMÉTRICA SUAVE Una superficie : ( , ) ( , ) ( , ) S r x u v i y u v j z u v k = + + es suave si: u r y v r son continuas y nunca es nulo u v r r × para ( , ) u v eO. Definamos una superficie paramétrica general dada por la ecuación ( , ) r u v . Como inicio consideremos O un rectángulo, partimos O en un rectángulo R ij por comodidad R O= (rectángulo), en la parte de la superficie correspondiente a R ij denotada S ij tomamos un punto ( , ) i j u v como el vértice inferior de R ij . La parte S ij de la superficie S cuya proyección es R ij se denomina parche y tiene el punto P ij como vector posición ( , ) i j r u v , sean: PLANO TANGENTE n u r v r P V= cte. U= cte. UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 309 * ( , ) * ( , ) u u i j v v i j r r u v r r u v = ¦ ¦ ´ = ¦ ¹ Los vectores tangentes en P ij Observemos que: ( ) ij ij r R S = Aclaremos la gráfica en 3 , específicamente ij S . En la figura se aprecia que los dos bordes del parche con vértice en ij P se puede aproximar mediante vectores tangentes u ur A y v vr A . Consecuencia Un rectángulo O que tenga un área u v A A se convierte en una porción de ( ) r O que se puede aproximar por el paralelogramo determinado por los vectores u ur A y v vr A . Así podemos aproximar ij S por dicho paralelogramo, lo que significa que: v vr A u v vr A u v A v u u x u y u ( , ) i j u v ij S ij P ij R u A u ur A ij S u ur A ij P z u UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 310 1 1 1 1 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ij ij u v n n n n ij u v i j i j A R S ur vr A A R r r u v ÷ ÷ ÷ ÷ = = = = = ~ A ×A O = = × A A ¿¿ ¿¿ Cuando la partición se refina, o sea n ÷· la suma ( ) A O converge a la integral doble, así: u v r r dudv O × }} Como ( ) A O deberá aproximarse, cada vez más al área de la superficie conforme n ÷·. Definición Si una superficie paramétrica suave S, dada por ( , ) r u v , ( , ) u v eO S se “cubre” solo una vez cuando ( , ) u v eO, entonces el área de la superficie S es: ( ) S u v A r r dA O = × }} ÁREA DE UNA SUPERFICIE DE REVOLUCIÓN Si tenemos una curva suave ¸ la cual no corta al eje Z con parametrización ( ) ( ) ( ) : ( , ) u u u r f g ¸ = . Determinemos el área de la superficie obtenida al girar esta curva alrededor del eje oz. De la gráfica: ( ) ( ) ( ) : ( , ) ( cos , , ) u u u r u v r f v f senv g ¸ = a v u u x u y u ( , ) i j u v ( ) u g b 2t ( ) u f ( ) ( ) ( , 0, ) u u f g ¸ z u UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 311 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ' cos , ' , ' ) ( , cos , 0) ' cos ... ' 1 ' ' 1 ' ' 2 1 ' ' u u u u v u u u v u u u u v u u u b S u u u a b S u u u a r f v f senv g r f senv f v r r g vi f f k r r f f g A f f g dudv A f f g t t = = ÷ × = ÷ + + × = + + = + + = + + } } } Área de la superficie de un cono trucado: ( , ) ( cos , , tan ) ( , ) (cos , , tan ) ( , ) (cos , , tan ) ( , ) ( , cos , 0) (cos , , tan ) ( , cos , 0) r r r r rsen r r r sen r sen r r sen sen r sen u u o u u u | o u u u | o u u u | o u u u o o u u | u u = = = = ÷ × = × ÷ cos tan ( cos tan , tan ,1) cos 0 r i j k sen r sen sen u o o u u | u | u | u u × = = ÷ ÷ ÷ 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 2 1 0 cos tan tan 1 sec ( ( )) sec sec ( ) r R S R r sen r A A r drd R R u t o o u | u | | o | | t | × = + + = O = = = ÷ } } 2 z u | u r u u 2t 2 R 1 R 1 R ( ) ( , ) r o o u O = 2 R 1 z u UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 312 Región Esférica (Casquete Esférico) 2 ( , ) ( cos , , cos ) ( , ) (cos cos , cos , ) ( , ) ( , cos , 0) r R sen sen sen r R sen sen r R sen sen sen r r R sen | u | u | u | u | u | | u | u | u | | u | u | u | = = ÷ = ÷ × = 2 1 2 2 2 1 2 0 ( ( )) ( ) 2 (cos cos ) 2 E A r A C R sen d d R Rh | t | | | u t | | t O = = = ÷ = } } Ejemplo de Aplicación: Encuentre el área de la superficie sobre el paraboloide 2 2 2 4 x y z R + + = y el cilindro 2 2 2 ( ) x y R R + ÷ = . Proyectamos sobre el piso P xz para evitar que no sea uno a uno sobre la proyección. La curva de intersección será: 2 : (2 ), , 4 2 x y R y y y z R Ry ¸ = ÷ = = ÷ 2 2 2 ( , , ) 2 , (2 , 2 2 , 0), 2 f x y z x y R f x y R f i x = + ÷ V = ÷ V = 2R R 2t 2 | 1 | h u h u z 2 4R Por simetría tendremos que: 2 2 2 2 4 ( ) 0 4 2 2 R R S R Ry f A f i ÷ V = V } } 2 2 2 2 4 ( ) 0 4 2 2 2 2 R R S R Ry R A R dzdy x ÷ = } } UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 313 (OJO: la ecuación simétrica de 2 2 : 1 4 2 2 4 y z L z R Ry R R + = ÷ = ÷ ) TEOREMA DE GREEN ENUNCIADO DEL TEOREMA Sea C una curva simple y cerrada, suave a trozos y orientada positivamente, y sea F(x;y) = (P;Q) un campo vectorial cuyas funciones coordenadas tienen derivadas parciales continuas sobre una región abierta que contiene a la región D acotada por C. Entonces: } }} } + = = | | . | \ | c c ÷ c c C D C Qdy Pdx dA y P x Q dr F· PROBLEMAS RESUELTOS 1.) Transformación de una integral de línea en una de área. Evaluar } + C xydx dx x 4 , donde C es la curva triangular que une los puntos (0;0), (0;1) y (1;0), orientada positivamente. SOLUCIÓN: y u 2R O x y 1 1 y = 1 - x UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 314 La gráfica indica la región encerrada por la curva C. Tenemos: y x Q xy y x Q y P x y x P = c c ¬ = = c c ¬ = ) ; ( 0 ) ; ( 4 Por lo tanto: ( ) ( ) 6 1 1 1 1 0 3 6 1 2 1 0 2 1 1 0 1 0 1 0 1 0 2 2 1 4 = ÷ ÷ = = ÷ = | . | \ | = = | | . | \ | c c ÷ c c = + } }} } } } } ÷ ÷ x dx x dx y ydydx dA y P x Q xydx dx x D x x C Nótese que si hubiéramos hecho la integral de línea habríamos tenido que hacer 3 integrales con las correspondientes parametrizaciones. UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 315 y x 1 1 -1 -1 2.) Determinación de un área mediante una integral de línea. Determine el área de la región limitada por la hipocicloide que tiene la ecuación vectorial r(t) = cos 3 t i + sen 3 t j , 0 s t s 2t SOLUCIÓN: De la parametrización de la curva tenemos: x = cos 3 t ¬ x 2/3 = cos 2 t y = sen 3 t ¬ y 2/3 = sen 2 t Sumando miembro a miembro tenemos: ( ) ( ) ( ) ( ) } } } ÷ ÷ ÷ + ÷ ÷ ÷ = = ¬ ÷ ± = ¬ = + 1 1 2 / 3 3 / 2 1 1 1 1 2 / 3 3 / 2 3 / 2 3 / 2 1 2 1 1 2 / 3 3 / 2 2 / 3 3 / 2 dx x dydx A x y y x x x Este cálculo, ejecutado como integral de área, es muy complicado. El teorema de Green nos permite transformar esta integral en una de línea, usando como trayectoria la hipocicloide del enunciado y definiendo una función apropiada para la integración. Veamos: El área de una región D viene dada por }} = D dA A 1 . Por lo tanto, para aplicar Green deberíamos encontrar funciones P, Q / 1 = c c ÷ c c y P x Q . Un par de funciones sencillas que cumplen esta condición son P = 0, Q = x. Si recordamos la parametrización, escribimos: x = cos 3 t ¬ dx = -3 cos 2 t sent dt y = sen 3 t ¬ dy = 3 sen 2 t cost dt UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 316 Luego: t t t t t t t t 8 3 6 2 sen 8 4 sen 2 cos 2 sen 2 4 cos 1 ) 2 cos 2 sen 2 (sen 4 2 sen 2 2 cos 1 3 4 2 sen cos 3 sen cos 3 cos sen 3 cos 2 0 3 2 1 8 3 2 0 2 8 3 2 0 2 2 8 3 2 0 2 2 0 2 2 2 0 2 4 2 0 2 3 = ( ¸ ( ¸ + ÷ = | . | \ | + ÷ = = + = | . | \ | + = = = = = + = | | . | \ | c c ÷ c c = } } } } } } } }} t t t dt t t t dt t t t dt t t dt t t tdt t tdt t t Qdy Pdx dA y P x Q A C D De esta manera contamos con una herramienta más para obtener el área de la región encerrada por una curva cerrada, que se suma al método en coordenadas polares visto en Análisis II y al cálculo por integral de área que ejecutamos cuando tenemos la expresión cartesiana de la curva. UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 317 3.) Limitaciones en la aplicación del Teorema de Green. Dado F(x;y)= (P;Q) = (-y i + x j) / (x 2 + y 2 ) a) Calcular su integral de línea sobre el círculo x 2 + y 2 = 1 b) Calcular dA y P x Q D }} | | . | \ | c c ÷ c c , donde D es la región encerrada por la curva del punto a). c) Discutir si estos resultados están de acuerdo o no con el Teorema de Green. SOLUCIÓN: a) Parametricemos el círculo. t 2 0 , cos sen sen cos s s = ¬ = ÷ = ¬ = t tdt dy t y tdt dx t x tdt Qdx tdt t t t t y t x Q tdt Pdx tdt t t t t y t x P 2 2 2 2 2 2 cos cos cos sen cos )) ( ); ( ( sen sen cos sen sen )) ( ); ( ( = ¬ = + = = ¬ ÷ = + ÷ = Integrando tendremos, así: ( ) } } = + = + C dt t t Qdy Pdx t t 2 0 2 2 2 cos sen b) Haciendo los cálculos directamente en coordenadas cartesianas es: UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 318 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 2 ) ( 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = | | . | \ | c c ÷ c c ¬ = c c ÷ c c ¬ ¦ ¦ ¦ ) ¦ ¦ ¦ ` ¹ + ÷ = + ÷ ÷ + ÷ = c c + ÷ = + ÷ + = c c }} dA y P x Q y P x Q y x x y y x y y y x y P y x x y y x x x y x x Q D c) Aparentemente estos resultados contradirían el Teorema de Green. Sin embargo, este último no es aplicable a la región en cuestión, dado que las funciones P y Q no tienen derivadas parciales continuas en el punto (0;0), que está contenido en la región. UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 319 4.) Aplicación del teorema de Green a un problema físico sobre una región con agujeros. Determinar el momento de inercia de una arandela homogénea de radio interno a, radio externo b y masa M, respecto a uno de sus diámetros. SOLUCIÓN: Determinaremos el momento de inercia respecto al diámetro colineal con el eje x. De Física sabemos que: }} = D x dA y I 2 µ Donde µ es la densidad superficial de la arandela, supuesta constante dado que es homogénea. Esta región no es simplemente conexa pero, como se vio en la teoría, se puede extender el teorema de Green a este tipo de regiones con agujeros, siendo: }} } } + ÷ + = | | . | \ | c c ÷ c c D C C Qdy Pdx Qdy Pdx dA y P x Q 1 2 Por lo tanto podremos calcular la integral doble del momento de inercia como dos integrales. Para ello debemos encontrar funciones P, Q tales que: 3 3 1 2 ; 0 : ejemplo por , tomamos ; y P Q y y P x Q = = = | | . | \ | c c ÷ c c Aplicando Green con esta función tenemos: y x a b C 2 C 1 UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 320 ( ( ¸ ( ¸ + ÷ = ( ( ¸ ( ¸ + ÷ ÷ + ÷ = = } } } } }} 2 1 2 1 3 3 1 3 3 1 3 3 1 3 3 1 2 0 0 C C C C D x dx y dx y dy dx y dy dx y dA y I µ µ µ (1) Parametrizando estas curvas tenemos ¹ ´ ¦ s s = ¬ = ÷ = ¬ = ¹ ´ ¦ s s = ¬ = ÷ = ¬ = t t 2 0 , cos sen sen cos 2 0 , cos sen sen cos 2 1 t t a dy t a y t a dx t a x C t t b dy t b y t b dx t b x C Reemplazando con esto en (1) tendremos: ( ) = ÷ = ( ¸ ( ¸ ÷ + ÷ ÷ = } } } t t t µ µ 2 0 4 4 4 3 1 2 0 2 0 3 3 3 1 3 3 3 1 sen ) sen ( sen ) sen ( sen tdt a b dt t a t a dt t b t b I x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )M a b a b a b a b dt t t a b dt t t a b dt t t a b 2 2 4 1 2 2 2 2 4 1 4 4 4 1 2 0 4 4 3 1 2 0 2 2 4 4 3 1 2 0 2 2 4 4 3 1 8 4 cos 1 2 cos 1 4 2 sen sen cos 1 sen + = = ÷ + = ÷ = | . | \ | ÷ ÷ ÷ ÷ = = | | . | \ | ÷ ÷ = ÷ ÷ = } } } µt t µ µ µ µ t t t Ésta es la manera estándar de expresar un momento de inercia: como el producto de una longitud o suma de longitudes al cuadrado por la masa del rígido. 2 2 2 4 2 ( ) 2 2 0 0 4 2 1 2 2 2 2 2 R R R S R Ry Ry A R dzdy R dy Ry y Ry y ÷ = = ÷ ÷ } } } INTEGRALES DE SUPERFICIE UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 321 Una integral de línea generaliza la integral definida, de manera análoga una integral de superficie generaliza una integral doble. Definición Sea : ( ) S r O una superficie paramétrica descrita por la función vectorial v diferenciable en el dominio O, O determina una región en el plano uv y consideramos una función escalar definida y acotada en S. La integral de superficie se representa con el símbolo ( ) r fdS O }} (a veces ( , , ) S f x y z dS }} ) definida por: ( ) ( ( , )) ( , ) ( , ) u v r fdS f r u v r u v r u v dudv O O = = × }} }} Obviamente, en caso exista dicha integral. Definición Si O es una región que es la proyección de una superficie S (a veces se le denomina la sombra de S), : ( , , ) 0 S f x y z = si ( , , ) g x y z es una función continua en todos los puntos de S, entonces: ( , , ) ( ) R R f g x y z dA R f n V ÷ O= V }} Donde R n es un vector unitario normal a O y 0 R f n V = . Centro de Gravedad (Centroide) Si el campo escalar f se interpreta como densidad (masa por unidad de área) de una lámina delgada “adaptada” a la superficie S, la masa total de la superficie se define por: ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) S S M f x y z dS x y z dS f x y z x y z µ µ = = ÷ = }} }} El centroide viene dado por: UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 322 1 ( , , ) 1 ( , , ) 1 ( , , ) S S S x x x y z dS M y y x y z dS M z z x y z dS M µ µ µ = = = }} }} }} CENTROIDE: ( , , ) x y z Momento de Inercia El momento de inercia con respecto a la recta ±, la denotamos L ± y tenemos que 2 ( , , ) ( , , ) L S d x y z x y z dS µ ± = }} Donde: ( , , ) d x y z representa la distancia del punto genérico ( , , ) x y z de S a la recta L (eje). Cambio de representación paramétrica: u u A G v u L u S u B S r T UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 323 Si S podemos representarla de dos formas ( ) ( ) S r A T B = = admitiendo que existe una : G B A ÷ , se tiene que: ( ) ( , ) ( ) ( ) ( ) B S t T B r G r G = = Entonces tenemos el siguiente teorema: Teorema Sean r y T dos funciones regularmente equivalentes que cumplen ( , ) ( ) ( ) S t T B r G = , donde G ui v j = + es una aplicación uno a uno y con derivadas continuas en la región B del plano st sobre una A del plano uv, entonces tenemos: ( , ) ( ) ( , ) s t u v u v T T r r s t c × = × c Donde las derivadas parciales u r y v r están calculadas en el punto ( ( , ), ( , )) u s t v s t . Es decir el producto vectorial fundamental de T es igual al de r , multiplicado por el jacobiano de la transformación G. Teorema Si r y T son dos funciones regularmente equivalentes como las descritas en el teorema anterior, y si ( ) r A fdS - }} entonces ( ) T B fdS - }} , además: ( ) ( ) r A T B fdS fdS = }} }} INTEGRACIÓN DE SUPERFICIE EN CAMPOS VECTORIALES v u u x u y u z u O dS u UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 324 Consideramos el campo vectorial F definido sobre S y representación paramétrica r , la integral de superficie F sobre r denotado por: ( ) ( ) . u v r F dS F r r dudv O O = × }} }} SUPERFICIES ORIENTADAS Tenemos que los vectores 1 n y 2 1 n n = ÷ vectores normales de una superficie en un determinado punto. Definición Una superficie orientada es una superficie de dos lados, uno de ellos el lado exterior o positivo, el otro el lado interior o negativo. En cada punto ( , , ) x y z S e tenemos dos normales 1 n y 2 n , 2 1 n n = ÷ cada uno asociado a un lado de la superficie. Así para especificar un lado de la superficie de S, en cada punto escogemos un vector normal unitario en n que apunta hacia afuera desde el lado positivo de S en ese punto. Una superficie suave, es orientable o tiene dos lados, si es posible definir un campo n de vectores unitarios normales a S que varíe continuamente con la posición, cualquier parte de S orientable, también es orientable. Las superficies cerradas como el elipsoide son orientables. Por convención n lo tomamos hacia afuera. Una vez elegido n , diremos que hemos orientado S y llamaremos a S con su campo normal una superficie orientada. Definición Si F es un campo vectorial continuo en una superficie S orientada con un vector unitario normal s n , entonces la integral de superficie de F sobre S es: s S S F dS F n dS = }} }} Esta integral se llama flujo de F a través de S. UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 325 SIGNIFICADO GEOMÉTRICO Y FÍSICO DE LA INTEGRAL DE SUPERFICIE El volumen del paralelepípedo es el valor absoluto del triple producto escalar. ( ) ( ) u v u v Vol F ur vr F r r u v = A ×A = × A A El vector u v r r × es una normal a la superficie en ( , , ) P x y z y apunta hacia afuera desde el lado exterior de la superficie. En general, el paralelepípedo está en el lado donde apunta F . Si pensamos F como un campo de velocidad de un fluido ( , , ) F x y z apunta en la dirección en la cual se mueve el fluido a través de la superficie área ( , , ) x y z , además el número: ( ) u v F ur vr A ×A Es la cantidad de fluido que pasa a través del paralelogramo tangente por unidad de tiempo, como el signo de ( ) u v F ur vr A ×A es positivo si el vector ( , , ) F x y z apunta hacia afuera en ( , , ) x y z , o negativo si apunta hacia adentro ( ) ( , ) ( , ) u i j v i j ij F r u v r u v u v × A A ¿ es una medida aproximada de la cantidad de fluido que fluye hacia afuera a través de la superficie por unidad de tiempo. F u P u S u F u v vr A u v u u x u y u ij R u A z u v A UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 326 Luego S F dS }} es la cantidad neta del flujo de un fluido en tres dimensiones. El flujo de F a través de S es la tasa neta con el que el fluido atraviesa S en la dirección positiva tomada. Ejemplo: Encontrar el flujo de F a través de S, cuando: a) 2 ( , , ) ( , , ) F x y z x y z = S es la helicoide recta | | | | : ( , ) cos , ( , ) 0,1 0, 2 (cos , , 0) ( , cos ,1) u v S r u v u vi usenv j vk u v r v senv r usenv u v t = + + eO= × = = ÷ cos 0 ( , cos , ) cos 1 u v i j k r r v senv senv v u usenv u v × = = ÷ ÷ ( ) 1 2 2 3 0 0 ( ) 8 3 u v r F r r dudv v udvdu t t O × = = }} } } (OJO: ( ) 2 2 ( ( , )).( , cos , ) ( cos , , ).( , cos , ) u v F r r F r u v senv v u u v usenv v senv v u v u × = ÷ = ÷ = ) b) ( , , ) ( , 2 , 3 ) F x y z x y z = , S es el cubo de vértices ( 1, 1, 1) ± ± ± 6 0 6 i i i i S S S F dS F ndS F n d A = = = = ¿ }} }} }} UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 327 PROBLEMAS DEL TEOREMA FUNDAMENTAL DE LAS INTEGRALES DE LÍNEA TEOREMA 1 (TEOREMA FUNDAMENTAL) Sea C una curva suave dada por la función vectorial r(t), a s t s b. Sea f una función derivable de 2 ó 3 variables, cuyo vector gradiente Vf es continuo sobre C. Entonces: )) ( ( )) ( ( · a f b f f C r r dr ÷ = V } TEOREMA 2 } C dr F · es independiente de la trayectoria en D si y sólo si 0 · = } C dr F para toda trayectoria cerrada C en D. TEOREMA 3 Sea F un campo vectorial continuo sobre una región abierta conexa D. Si } C dr F · es independiente de la trayectoria en D, entonces F es un campo vectorial conservativo sobre D; es decir, existe una función f tal que Vf = F. TEOREMA 4 UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 328 Si F(x;y) = P(x;y) i + Q(x;y) j es un campo vectorial conservativo, donde P y Q tienen derivadas parciales de primer orden continuas sobre un dominio D, entonces en todo D tenemos que x Q y P c c = c c Este teorema se puede extender a 3 variables (se verá al estudiar el rotacional). TEOREMA 5 Sea F(x;y) = P(x;y) i + Q(x;y) j un campo vectorial sobre una región simplemente conexa D. Supóngase que P y Q tienen derivadas parciales continuas de 1º orden y que: x Q y P c c = c c Entonces F es conservativo (extensible a 3 variables). EQUIVALENCIAS - F conservativo. - } C dr F · independiente de la trayectoria. - 0 · = } C dr F en una trayectoria cerrada. - Derivadas parciales cruzadas de F iguales en una región simplemente conexa. PROBLEMAS RESUELTOS 5.) Independencia del camino en una integral de línea. Calcular el trabajo llevado a cabo por el campo de fuerza F al llevar un objeto desde A hasta B, siguiendo a) un camino compuesto de UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 329 un tramo horizontal seguido de uno vertical; y b) un camino compuesto por un tramo vertical seguido de uno horizontal. Discutir si el resultado es lógico o no. ) 2 ; 4 ( ; ) 1 ; 1 ( ; 2 ) ; ( 2 2 ÷ | . | \ | ÷ | . | \ | = B A Q x y P x y y x j i F       SOLUCIÓN: a) Si llamamos C a la curva indicada, la podemos subdividir en las curvas C 1 y C 2 mostradas en la figura. En tal caso tendremos: } } } + = 2 1 C C C Ejecutando ambas integrales por separado tendremos (escogiendo parametrizaciones simples): ( ) ( ) ( ) 4 3 4 9 2 3 3 0 2 4 1 2 1 3 0 2 4 3 3 0 3 0 2 1 2 1 4 ) 1 ( 2 3 0 , 1 4 1 1 1 1 3 0 , 1 1 ÷ = ÷ = ÷ = ¦ ¹ ¦ ´ ¦ ÷ = + ¬ s s ÷ = = = + ÷ = ¦ ¹ ¦ ´ ¦ + = + ¬ s s = + = } } } } t t dt t Qdy Pdx t t y x C t dt t Qdy Pdx t y t x C C C Con lo cual resulta: ( ) 0 - 4 3 4 3 = + = + } C Qdy Pdx x y (1;1) C 1 (4;-2) C 2 UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 330 UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 331 b) Llamando C * a este nuevo camino, vemos que lo podemos separar en dos tramos C 3 y C 4 . Tendremos entonces, igual que en el apartado anterior, que } } } + = 4 3 * C C C Realizando parametrizaciones parecidas a las ejecutadas en el apartado anterior, llegamos a lo siguiente: ( ) 3 1 4 ) 1 ( ) 2 ( 3 0 , 2 1 3 2 ) 1 ( 1 ) 1 ( 2 3 0 , 1 1 3 0 3 0 2 2 2 3 0 2 3 0 3 4 3 = + ÷ = ¦ ¹ ¦ ´ ¦ + ÷ = + ¬ s s ÷ = + = ÷ = ÷ = ¦ ¹ ¦ ´ ¦ ÷ ÷ ÷ = + ¬ s s ÷ = = } } } } t dt t Qdy Pdx t y t x C t t dt t Qdy Pdx t t y x C C C Sumando esto se obtiene: 0 3 3 * = + ÷ = + } C Qdy Pdx Por ambas vías obtenemos el mismo resultado. Esto es lógico, ya que vemos que: x Q x y y P c c = = c c 2 2 Las derivadas cruzadas son iguales, excepto cuando x = 0, pero esto último no ocurre dentro de un dominio simplemente conexo que abarca a ambos caminos analizados. Por lo tanto, por el teorema 5 las integrales sobre ambos caminos deben ser iguales. x y (1;1) C 3 (4;-2) C 4 UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 332 UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 333 6.) Cálculo de una integral de línea usando una función potencial. Calcular la integral de línea del campo vectorial F(x;y) = P(x;y)i + Q(x;y)j = e y i + xe y j a lo largo de la trayectoria: r(t) = (senh(5t 4 )/senh5; t 4 + 5t 3 - 3t 2 - 2t) , =0 s t s 1 SOLUCIÓN: x Q e y P y c c = = c c ¬ F es conservativo. Por lo tanto puede expresarse como el gradiente de una función potencial f; esto es: Vf = F. Si obtenemos tal función f, podremos aplicar el teorema fundamental de las integrales de línea. Para ello notemos que: ) ( y g xe f e P x f y y + = ¬ = = c c (1), donde g(y) es una función que depende solamente de la variable y. Si ahora derivamos la función f obtenida respecto a y, debemos llegar a una expresión equivalente a la otra función coordenada, esto es, Q. K y g y g xe Q y g xe y f y y = ¬ = ' ¬ = = ' + = c c ) ( 0 ) ( ) ( Reemplazando este último resultado en (1), tenemos: K xe f y + = (2) Ya tenemos la función potencial. Ahora podemos aplicar el teorema fundamental de las integrales de línea: UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 334 )) 0 ( ( )) 1 ( ( · · r r dr dr F f f f C C ÷ = V = } } Calculando los puntos extremos de la curva con los valores correspondientes del parámetro tenemos: | | . | \ | ÷ ÷ = | . | \ | · ÷ · ÷ · + = = | . | \ | = ÷ ÷ 1 ; 1 2 1 3 1 5 1 ; 5 senh 1 senh ) 1 ( ) 0 ; 0 ( 0 ; 5 senh 0 senh ) 0 ( 5 5 1 2 3 4 e e e e r r Aplicando ahora la función f dada por (2) a estos dos puntos tenemos: K e e e e e f K f + ÷ ÷ = + = ÷ ÷ 5 5 1 )) 1 ( ( 0 )) 0 ( ( r r Y finalmente: e e e e e f f C 5 5 1 )) 0 ( ( )) 1 ( ( · ÷ ÷ ÷ ÷ = ÷ = } r r dr F De esta manera nos evitamos ejecutar una integral de línea sumamente engorrosa. UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 335 7.) Cálculo de un trabajo mediante una función potencial. Dado el campo vectorial de fuerzas F(x;y;z) =4xe z i + cosy j + (2x 2 e z + z) k , a) Determinar una función f tal que Vf = F. b) Hallar el trabajo que desarrolla F cuando mueve una partícula desde el punto ( ) ( ) 0 ; ; 0 al ; ; 2 3 2 2 2 2 2 2 siguiendo el camino más corto sobre la esfera 2 3 2 2 2 = + + z y x , expresándolo con 3 cifras decimales. SOLUCIÓN a) La función f que buscamos debe cumplir con las condiciones: (i) f x = 4xe z (ii) f y = cosy (iii) f z = 2x 2 e z Integrando la condición (i) tenemos: } + = = ) ; ( 2 4 1 2 z y g e x dx xe f z z Derivando ahora con respecto a y e introduciendo el resultado en la ecuación (ii) tenemos: ) ( sen cos 2 1 1 z g y g y y g y f + = ¬ = c c = c c Y ahora podemos introducir esta expresión en la correspondiente a f, y derivarlo con respecto a z e introducir el resultado en (iii): UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 336 K z z g z e x z g e x f z g y e x z y x f z z z z + = ¬ + = ' + = ¬ + + = 2 2 1 2 2 2 2 2 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( sen 2 ) ; ; ( Con esta expresión para g 2 , tenemos ahora la expresión final de f: K z y e x z y x f z + + + = 2 2 1 2 sen 2 ) ; ; ( b) Por el teorema fundamental de las integrales de línea, podemos ahora calcular el trabajo como la diferencia de valores de la función potencial entre sus extremos final e inicial: 987 , 1 9278 , 2 94072 , 0 ) ; ; ( 94072 , 0 ) 0 ; ; 0 ( 2 1 2 1 2 1 2 3 ÷ = ÷ = + + = W K f K f -2,269 es un resultado incorrecto que se obtiene con la calculadora puesta en grados. UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 337 x y (-1;0) C 1 (1;0) C 2 8.) Limitaciones en la aplicación del Teorema Fundamental de las integrales de línea. Sea 2 2 ) ; ( y x x y y x + + ÷ = j i F a) Probar que x Q y P c c = c c en todo el dominio. b) Calcule } } · · 2 1 y C C dr F dr F , donde C 1 y C 2 son las mitades superior e inferior de la circunferencia x 2 + y 2 = 1 de (1;0) a (-1;0). ¿Cómo se explica que la integral dependa del camino en vista del resultado de (a)? SOLUCIÓN a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y Q y P y x x y y x x x y x y Q y x x Q y x x y y x y y y x y P y x y P c c = c c ¬ ¦ ¦ ¦ ) ¦ ¦ ¦ ` ¹ + ÷ = + ÷ + = c c ¬ + = + ÷ = + ÷ ÷ + ÷ = c c ¬ + ÷ = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ) 2 ( 1 ) ( 2 ) 1 ( Nótese que este resultado es válido en todo el dominio, ya que, si bien las derivadas parciales no están definidas en el (0;0), este último no pertenece al dominio. b) Las curvas están indicadas en la figura. Parametrizando C 1 e integrando F se tiene: ¹ ´ ¦ s s = = t 0 , sen cos 1 t t y t x C } } } = + ÷ ÷ = = + = · t t 0 cos cos ) sen ( sen 1 1 tdt t dt t t Qdy Pdx C C dr F UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 338 Haciendo un trabajo similar para C 2 es: ¹ ´ ¦ s s = = t 0 , sen cos 1 t t y t x C 0 2 cos ) cos ( cos ) sen ( sen 0 0 1 1 = ÷ = ÷ + ÷ ÷ = + = · } } } } t t tdt dt t t dt t t Qdy Pdx C C dr F La explicación es que cualquier región que abarque ambos caminos necesariamente debe ser no simplemente conexa (debe excluirse alguna subregión que incluya el (0;0), que no pertenece al dominio), y por ende no vale el teorema 5. DIADAS Y TENSORES. UN POCO DE HISTORIA. En matemática un tensor es cierta clase de entidad geométrica, que generaliza los conceptos de escalar, vector y operador lineal de una manera que sea independiente de cualquier sistema de coordenadas elegido. Los tensores son de especial importancia en física. Los tensores pueden ser representados por una matriz de componentes en algunos casos. Este artículo procura proporcionar una introducción no técnica a la idea de tensores, y proporcionar una introducción a los artículos que describen tratamientos diversos, complementarios de la teoría de tensores detalladamente. La palabra la introdujo William Rowan Hamilton en 1846, pero la usó para lo que actualmente se conoce como módulo. La palabra se usó en su acepción actual por Waldemar Voigt en 1899. La notación fue desarrollada alrededor de 1890 por Gregorio Ricci-Curbastro bajo el título de geometría diferencial absoluta, y lo hizo accesible a muchos matemáticos con la publicación del texto clásico de Tullio Levi-Civita el cálculo diferencial absoluto en 1900 (en italiano; con posteriores traducciones). La aceptación más amplia del cálculo tensorial se alcanzó con la introducción de la teoría de la relatividad general por parte de Einstein alrededor de 1915. La relatividad general se formula totalmente en el lenguaje de los tensores, que UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 339 Einstein había aprendido del mismo Levi-Civita con gran dificultad. Pero los tensores se utilizan también dentro de otros campos por ejemplo la mecánica de medios continuos (véase tensor de tensiones o elasticidad lineal). Díadas. Una díada es un objeto formado con dos vectores con cierta ordenación, para los vectores , A y B AB es una díada. Aunque algunas veces se usa la super-flecha con los vectores, es decir se une con una flecha de doble sentido. Productos Diádicos. Operación representada por dos vectores, en especial en del espacio, que es lo fundamental para lo que estamos estudiando: AB. Se puede operar con un vector C tomando la posición de pre-factor o post-factor. ( ) ( ) ( ) . . . . . C AB C A B AB C A B C B C A = = = Producto de tres vectores. En el espacio tomamos el vector A, y el vector unitario n , entonces tendremos que: ( ) A n n A ì | = + × . Podemos ver que al multiplicar escalarmente por n , . n A ì = ì = Bases Ortogonales. Dada la base ortogonal 1 2 3 , , a a a , donde 1 2 3 a a a × = así tendremos que el vector A, se puede expresar como: 1 1 2 2 3 3 A Aa A a A a = + + la cual se puede simplificar en su notación, y escribiremos: 1 1 2 2 3 3 , 1, 2, 3. i i A Aa A a A a A a i = + + = = Representación de índices. Lo que hemos hecho es una representación de índices y hemos convenido lo que significa, lo cual será fructífero cuando trabajemos con gradientes, rotacionales, divergencias. Consecuencias. Producto escalar: UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 340 . . , , 1, 2, 3. i j i j A B a b A B i j = = Demostración. 1 1 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3 2 1 2 1 2 2 2 2 2 3 2 3 3 1 3 1 3 2 3 2 3 3 1 3 . . . . . . . . . . j j j j j j j j j A B a a A B a a A B a a A B a a A B a a A B a a A B a a A B a a A B a a A B = + + + + + + + + + Así tendremos que: 1 1 2 2 3 3 . A B A B A B A B = + + . Producto vectorial. , , 1, 2, 3. i j i j A B a b A B i j × = × = Demostración. 1 1 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3 2 1 2 1 2 22 2 2 2 3 3 3 3 11 3 1 3 22 3 2 3 3 3 3 A B a a A B a a A B a a A B a a A B a a A B a a A B a a A B a a A B a a A B × = × + × + × + × + × + × + × + × + × Efectuando los productos, tenemos: ( ) ( ) ( ) 3 1 2 2 1 3 3 2 1 1 2 3 2 3 1 1 3 2 2 3 3 2 1 3 1 1 3 2 1 2 2 1 3 A B a A B a A B a A B a A B a A B a A B A B A B a A B A B a A B A B a × = ÷ ÷ + + ÷ = ÷ + ÷ + ÷ Producto Diádico: , , 1, 2, 3. i i j j AB a A B b i j = = Delta de Kronacker Definimos el delta de Kronacker como: 1 , . 0 , i i k ik j i k i i i k o o = ¦ = = = ´ = ¹ Consecuencia: . A B A B i j ij o = Símbolo de Levi-Civita UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 341 En matemáticas, y en particular en cálculo tensorial, se define el símbolo de Levi-Civita, también llamado el símbolo de permutación, como sigue: Símbolo de Levi-Civita nombrado así por Tullio Levi-Civita. Se utiliza en muchas áreas de las matemáticas y en física. Por ejemplo, en álgebra lineal, el producto cruzado de dos vectores se puede escribir como: Consecuencia: , , 1, 2, 3. A B a A B i j i j k ijk × = e = Demostración. 1 1 1 111 1 1 2 112 1 1 3 113 1 2 1 121 1 2 2 122 1 2 3 123 1 3 1 131 1 3 2 132 1 3 3 133 2 1 1 211 2 1 2 212 1 1 3 213 2 2 1 221 2 2 2 222 2 2 3 223 2 3 1 231 2 A B a A B a A B a A B a A B a A B a A B a A B a A B a A B a A B a A B a A B a A B a A B a A B a A B a × = e + e + e + e + e + e + e + e + e + e + e + e + e + e e + e + 3 2 232 2 3 3 233 3 1 1 311 3 1 2 312 3 1 3 313 3 2 1 321 3 2 2 322 3 2 3 323 3 3 1 331 3 3 2 332 3 3 3 333 A B a A B a A B a A B a A B a A B a A B a A B a A B a A B a A B e + e + e + e + e + e + e + e + e + e + e + UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 342 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 3 123 1 3 2 132 1 1 3 213 2 3 1 231 3 1 2 312 3 2 1 321 1 1 1 1 2 3 1 3 2 1 1 3 1 1 1 2 3 1 3 1 2 3 2 1 A B a A B a A B a A B a A B a A B a A B a A B a A B a A B a A B a A B a A B × = e + e + e + e + e + e = + ÷ + ÷ + + + ÷ 2 3 3 2 1 3 1 1 3 2 1 2 1 2 3 A B A B A B a A B A B a A B A B a | | | | | | × = ÷ + ÷ + ÷ | | | \ . \ . \ . El tensor cuyas componentes son dadas por el símbolo de Levi-Civita (un tensor covariante de rango 3) a veces se llama el tensor de permutación. El símbolo de Levi-Civita se puede generalizar a dimensiones más altas: Ver permutación par o grupo simétrico para una definición de 'permutación par' y de 'permutación impar'. Ejemplo de aplicación: , , , 1, 2, 3. e ue i j k ij ij kk ij t ìo = + = ( ) ( ) 11 11 11 22 33 11 11 22 33 11 e e e ue e e e ue t ìo ì = + + + = + + + ( ) 12 12 11 22 33 12 12 e e e ue ue t ìo = + + + = ( ) 13 13 11 22 33 13 13 e e e ue ue t ìo = + + + = ( ) 21 21 11 22 33 21 21 e e e ue ue t ìo = + + + = ( ) ( ) 22 22 11 22 33 22 11 22 33 22 e e e ue e e e ue t ìo ì = + + + = + + + ( ) 23 23 11 22 33 23 23 e e e ue ue t ìo = + + + = UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 343 ( ) 31 31 11 22 33 31 31 e e e ue ue t ìo = + + + = ( ) 32 32 11 22 33 32 32 e e e ue ue t ìo = + + + = ( ) ( ) 33 33 11 22 33 33 11 22 33 33 e e e ue e e e ue t ìo ì = + + + = + + + Otro ejemplo. Desarrollar , , 1, 2, 3. i i T a i j j j o = = 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 T a a a a a a a a a o o o o o o o o o = + + + + + + + + 1 2 3 1 2 3 T a a a = + + Gradiente: f un campo escalar, expresemos convenientemente el gradiente . 1 1 2 2 3 3 , 1, 2, 3. i i f f a f a f a f a i V = + + = = Laplaciano. , 1, 2, 3. 11 22 33 u u u u u i ii A = + + = = Divergencia. ( ) . , 1, 2, 3. i i Div f f a i = = Álgebra de díadas. Si tenemos los vectores , , ,...., A B C H y sea la díada A AB CD EF GH = + + + La díada , , 1, 2, 3. i ij j A a A a i j = = 1 11 1 1 12 2 1 13 3 2 21 1 2 22 2 2 23 3 3 31 1 3 32 2 3 33 3 A a A a a A a a A a a A a a A a a A a a A a a A a a A a = + + + + + + + + La transpuesta de una díada. Dada la díada A, denotamos la transpuesta de la díada como A a A a i ji j = siempre que la díada A a A a i ij j = UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 344 Suma y resta de díadas. A a A a i ij j = , B a B a i ij j = definimos: A B a A a a B a a A B a i ij j i ij j i ij ij j A B a A a a B a a A B a i ij j i ij j i ij ij j | | + = + = + | \ . | | ÷ = ÷ = ÷ | \ . Productos de díadas. 1. Díada por un escalar: mA 2. Producto escalar de vector y díada. . . V A V a a A a k k i ij j = . . . . 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 3 3 . . . 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 3 3 . . . 3 3 1 1 3 3 2 2 3 3 3 3 V A V a a A a V a a A a V a a A a j j j j j j V a a A a V a a A a V a a A a j j j j j j V a a A a V a a A a V a a A a j j j j j j = + + + + + + + + . . 1 1 2 2 3 3 3 3 V A V A a V A a V a a A a V A a j j j j j j i ij j = + + = De igual manera: . . A V a A a a V a A V i ij j j j i ij j = = Ejercicios. 1. . . V A A V = . 2. . . A V V A = . Producto Vectorial vector –díada. V A V a a A a k k i ij j A V a A a V a i ij j k k × = × × = × Yuxtaposición de vector –díada. UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 345 V A a a a V A k i j k ij = la dirección la da la díada. AV a a a V A i j k k ij = la dirección la da el vector. Producto escalar de díadas. Dadas las díadas , A B definimos el producto escalar de díadas como: . . A B a A a a B a i ij j k kl l = Demostrar que: . A B a A B a i ij jl l = . Ejercicio: ( ) . . A B A B = Doble producto escalar. : : . . . A B a A a a B a a a a a A B a i ij j k kl l i l j k ij kl l = = Doble producto de díadas ( )( ) : . . AB CD A C B D = Doble producto vectorial-díada. A B a a a a A B i l j k ij kl ×× = × × Díada unitaria. La díada unitaria I El factor identidad o díada unitaria I , se define por la relación . . , I V V I V I a a i i = = = Demostración. . . I V a a a V i i j j = . . . . 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 3 3 . . . 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 3 3 . . . 3 3 1 1 3 3 2 2 3 3 3 3 I V a a a V a a a V a a a V a a a V a a a V a a a V a a a V a a a V a a a V = + + + + + + + + UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 346 . 1 1 2 2 3 3 I V a V a V a V = + + Traza de una díada. La traza de una díada A se representa por A y se define por el doble producto escalar de la díada A y la díada unitaria I . : 11 22 33 A A I A A A A ii = = = + + . Vector rotación de una díada. El vector rotación de una díada se representa por A se define por el doble producto escalar- vectorial de la díada unitaria I y la díada A. . . . A I A a a a A a a a a A i i j jk i j i j jk | || | = × = × = × | | \ .\ . ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) . . . 1 1 1 1 1 1 2 1 2 2 1 3 1 3 3 . . . 2 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 3 2 3 3 . . . 3 1 3 1 1 3 2 3 2 2 3 3 3 3 3 A a a a a A a a a a A a a a a A k k k a a a a A a a a a A a a a a A k k k a a a a A a a a a A a a a a A k k k = × + × + × + × + × + × + × + × + × 2 3 3 1 1 2 A a A a A a A k k k =÷ + + Demostrar que: . AB A B AB A B = . = × . Reciproca de una díada. Se define la reciproca de una díada A, en caso exista una díada 1 A ÷ tal que cumpla 1 1 . . A A A A I ÷ ÷ = = . Para calcular 1 A ÷ se expresa la díada en la forma: i i A a c = . 1 1 2 2 3 3 A a c a c a c = + + ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 . 1 2 3 3 2 1 3 1 2 1 2 3 A c c c c c a c c a c c a ÷ ÷ ( = × × + × + × ( ¸ ¸ UNI-FIEE MATEMÁTICAS III 2012-1 Página 347 La condición necesaria y suficiente para que 1 A ÷ - es que: . 0 1 2 3 c c c × = . Ejercicios. 1. ijk ist ij kt jt ks o o o o e ÷e = ÷ . 2. 3 ij jk o o = . 3. 6 ijk jkt e ÷e = . 4. 0 A A ijk j k e = . 5. Demostrar que el producto vectorial ( ) ( ) 1 2 3 1 2 3 , , , , , x x x x y y y y = = z x y x y ijk j k = × =e Introducción a Tensores. Tensor esfuerzo en física. m F T A = F fuerza, A área. Formalmente : 0 lim A F A t ÷ = 11 12 13 21 22 23 31 32 33 ij t t t t t t t t t t = 9 componentes
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