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ApuntesdeapoyoalaasignaturaFUNDAMENTOSFÍSICOSDE LAINFORMÁTICA E.T.S.deIngenieríaInformática UNIVERSIDADDESEVILLA FranciscoL.MesaLedesma II Copyright ©2002 by Francisco L. Mesa Ledesma; esta información puede ser copiada, distribuida y/o modificada bajo ciertas condi- ciones, pero viene SIN NINGUNA GARANTÍA; ver la Design Science License para más detalles. DESIGN SCIENCE LICENSE TERMS AND CONDITIONS FOR COPYING, DISTRIBUTION AND MODIFICATION Copyright ©1999-2001 Michael Stutz <[email protected]>Verbatim copying of this document is permitted, in any medium. 0. PREAMBLE. Copyright law gives certain exclusive rights to the author of a work, including the rights to copy, modify and distribute the work (the reproductive,adaptative,.and "distributionrights). The idea of çopyleft"is to willfully revoke the exclusivity of those rights under certain terms and conditions, so that anyone can copy and distribute the work or properly attributed derivative works, while all copies remain under the same terms and conditions as the original. The intent of this license is to be a general çopyleft"that can be applied to any kind of work that has protection under copyright. This license states those certain conditions under which a work published under its terms may be copied, distributed, and modified. Whereas "design science"is a strategy for the development of artifacts as a way to reform the environment (not people) and subsequently improve the universal standard of living, this Design Science License was written and deployed as a strategy for promoting the progress of science and art through reform of the environment. 1. DEFINITIONS. "License"shall mean this Design Science License. The License applies to any work which contains a notice placed by the work’s copyright holder stating that it is published under the terms of this Design Science License. "Work"shall mean such an aforementioned work. The License also applies to the output of the Work, only if said output constitutes a "derivative work.of the licensed Work as defined by copyright law. .Object Form"shall mean an executable or performable form of the Work, being an embodiment of the Work in some tangible medium. "Source Data"shall mean the origin of the Object Form, being the entire, machine-readable, preferred form of the Work for copying and for human modification (usually the language, encoding or format in which composed or recorded by the Author); plus any accompanying files, scripts or other data necessary for installation, configuration or compilation of the Work. (Examples of "Source Data"include, but are not limited to, the following: if the Work is an image file composed and edited in PNG format, then the original PNG source file is the Source Data; if the Work is an MPEG 1.0 layer 3 digital audio recording made from a WAV format audio file recording of an analog source, then the original WAV file is the Source Data; if the Work was composed as an unformatted plaintext file, then that file is the Source Data; if the Work was composed in LaTeX, the LaTeX file(s) and any image files and/or custom macros necessary for compilation constitute the Source Data.) .Author"shall mean the copyright holder(s) of the Work. The individual licensees are referred to as 2 ou." 2. RIGHTS AND COPYRIGHT. The Work is copyrighted by the Author. All rights to the Work are reserved by the Author, except as specifically described below. This License describes the terms and conditions under which the Author permits you to copy, distribute and modify copies of the Work. In addition, you may refer to the Work, talk about it, and (as dictated by "fair use") quote from it, just as you would any copyrighted material under copyright law. Your right to operate, perform, read or otherwise interpret and/or execute the Work is unrestricted; however, you do so at your own risk, because the Work comes WITHOUT ANY WARRANTY – see Section 7 ("NO WARRANTY") below. 3. COPYING AND DISTRIBUTION. Permission is granted to distribute, publish or otherwise present verbatim copies of the entire Source Data of the Work, in any medium, provided that full copyright notice and disclaimer of warranty, where applicable, is conspicuously published on all copies, and a copy of this License is distributed along with the Work. Permission is granted to distribute, publish or otherwise present copies of the Object Form of the Work, in any medium, under the terms for distribution of Source Data above and also provided that one of the following additional conditions are met: (a) The Source Data is included in the same distribution, distributed under the terms of this License; or (b) A written offer is included with the distribution, valid for at least three years or for as long as the distribution is in print (whichever is longer), with a publicly-accessible address (such as a URL on the Internet) where, for a charge not greater than transportation and media costs, anyone may receive a copy of the Source Data of the Work distributed according to the section above; or (c) A third party’s written offer for obtaining the Source Data at no cost, as described in paragraph (b) above, is included with the distribution. This option is valid only if you are a non-commercial party, and only if you received the Object Form of the Work along with such an offer. You may copy and distribute the Work either gratis or for a fee, and if desired, you may offer warranty protection for the Work. The aggregation of the Work with other works that are not based on the Work – such as but not limited to inclusion in a publication, broadcast, compilation, or other media – does not bring the other works in the scope of the License; nor does such aggregation void the terms of the License for the Work. 4. MODIFICATION. Permission is granted to modify or sample from a copy of the Work, producing a derivative work, and to distribute the derivative work under the terms described in the section for distribution above, provided that the following terms are met: (a) The new, derivative work is published under the terms of this License. (b) The derivative work is given a new name, so that its name or title cannot be confused with the Work, or with a version of the Work, in any way. (c) Appropriate authorship credit is given: for the differences between the Work and the new derivative work, authorship is attributed to you, while the material sampled or used from the Work remains attributed to the original Author; appropriate notice must be included with the new work indicating the nature and the dates of any modifications of the Work made by you. 5. NO RESTRICTIONS. You may not impose any further restrictions on the Work or any of its derivative works beyond those restrictions described in this License. 6. ACCEPTANCE. Copying, distributing or modifying the Work (including but not limited to sampling from the Work in a new work) indicates acceptance of these terms. If you do not follow the terms of this License, any rights granted to you by the License are null and void. The copying, distribution or modification of the Work outside of the terms described in this License is expressly prohibited by law. If for any reason, conditions are imposed on you that forbid you to fulfill the conditions of this License, you may not copy, distribute or modify the Work at all. If any part of this License is found to be in conflict with the law, that part shall be interpreted in its broadest meaning consistent with the law, and no other parts of the License shall be affected. 7. NO WARRANTY. THE WORK IS PROVIDED .AS IS,.AND COMES WITH ABSOLUTELY NO WARRANTY, EXPRESS OR IMPLIED, TO THE EXTENT PERMITTED BY APPLICABLE LAW, INCLUDING BUT NOT LIMITED TO THE IMPLIED WARRANTIES OF MERCHANTABILITY OR FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE. 8. DISCLAIMER OF LIABILITY. IN NO EVENT SHALL THE AUTHOR OR CONTRIBUTORS BE LIABLE FOR ANY DIRECT, INDIRECT, INCIDENTAL, SPECIAL, EXEMPLARY, OR CONSEQUENTIAL DAMAGES (INCLU- DING, BUT NOT LIMITED TO, PROCUREMENT OF SUBSTITUTE GOODS OR SERVICES; LOSS OF USE, DATA, OR PROFITS; OR BUSINESS INTERRUPTION) HOWEVER CAUSED AND ON ANY THEORY OF LIABILITY, WHETHER IN CONTRACT, STRICT LIABILITY, OR TORT (INCLUDING NEGLIGENCE OR OTHERWISE) ARISING IN ANY WAY OUT OF THE USE OF THIS WORK, EVEN IF ADVISED OF THE POSSIBILITY OF SUCH DAMAGE. END OF TERMS AND CONDITIONS Apuntes de FFI Dpt. Física Aplicada 1 Índice general 1. Electrostática 1 1.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2. Ley de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3. Campo eléctrico de cargas puntuales . . . . . . . . . . . . . 3 1.4. Principio de superposición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.5. Campo eléctrico de una distribución de carga . . . . . . . . 4 1.5.1. Campo eléctrico de una distribución discreta de carga 4 1.5.2. Campo eléctrico de una distribución continua de carga 5 1.6. Flujo. Ley de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.7. Trabajo, energía y potencial electrostático . . . . . . . . . . . 11 1.7.1. Potencial eléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.8. Conductores en equilibrio en el campo electrostático . . . . 15 1.8.1. Campo de un conductor cargado en equilibrio electros- tático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.8.2. Conductor neutro en un campo eléctrico externo . . . 16 1.9. Condensadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.9.1. Capacidad de un conductor . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.9.2. Influencia entre conductores . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.10.Campo eléctrico en la materia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.11.Energía Electrostática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.11.1. Trabajo para trasladar una carga puntual . . . . . . . 22 1.11.2. Energía almacenada en un condensador de placas pa- ralelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.12.Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2. Circuitos de Corriente Continua 29 2.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.2. Intensidad y densidad de corriente (vector J) . . . . . . . . . 30 2.3. Conductividad, Ley de Ohm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 III IV ÍNDICE GENERAL 2.3.1. Conductividad eléctrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.3.2. Ley de Ohm circuital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.4. Efecto Joule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.5. Fuerza electromotriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.6. Reglas de Kirchhoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.6.1. Regla de Kirchhoff de las tensiones . . . . . . . . . . . 39 2.6.2. Regla de Kirchhoff de las intensidades . . . . . . . . . 40 2.7. Aplicación a circuitos de CC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.7.1. Teorema de superposición . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.7.2. Teorema de Thevenin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.7.3. Teorema de Norton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.7.4. Balance de potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.8. Circuito RC. Carga y descarga de un condensador . . . . . . 47 2.9. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3. Magnetostática 53 3.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.2. Fuerza de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.2.1. Movimiento de una carga puntual en presencia de un campo magnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.2.2. Efecto Hall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.3. Fuerzas magnéticas sobre conductores . . . . . . . . . . . . 59 3.3.1. Fuerza magnética sobre un hilo . . . . . . . . . . . . . 59 3.3.2. Par de fuerzas sobre una espira de corriente . . . . . 59 3.4. Ley de Biot-Savart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.5. Ley de Gauss para el campo magnético . . . . . . . . . . . . 63 3.6. Ley de Ampère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 3.6.1. Campo magnético producido por un hilo infinito y rec- tilíneo de radio R recorrido por una intensidad I . . . 65 3.6.2. Campo magnético en un solenoide . . . . . . . . . . . 66 3.7. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 4. Inducción electromagnética 71 4.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 4.2. Ley de Faraday . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 4.2.1. Fuerza electromotriz de movimiento . . . . . . . . . . 72 4.2.2. Fuerza electromotriz inducida . . . . . . . . . . . . . . 74 4.3. Inductancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 Apuntes de FFI Dpt. Física Aplicada 1 ÍNDICE GENERAL V 4.3.1. Inductancia mutua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 4.3.2. Autoinducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 4.3.3. Transitorios en circuitos RL . . . . . . . . . . . . . . . 81 4.4. Energía magnética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 4.5. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 5. Circuitos de Corriente Alterna 89 5.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 5.2. Relación I ↔V para Resistencia, Condensador y Bobina . . 90 5.3. Generador de fem alterna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 5.4. Valores eficaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 5.5. Análisis fasorial de circuitos de CA . . . . . . . . . . . . . . . 93 5.5.1. Expresiones fasoriales para resitencia, condensador y bobina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 5.5.2. Reglas de Kirchhoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 5.5.3. Circuito RLC serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 5.5.4. Análisis de mallas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 5.6. Balance de potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 5.6.1. Potencia media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 5.6.2. Factor de potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 5.6.3. Consumo de potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 5.7. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 6. Ondas Electromagnéticas 107 6.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 6.2. Nociones generales de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 6.2.1. Ecuación de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 6.2.2. Ondas armónicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 6.3. Ley de Ampère-Maxwel. Corriente de desplazamiento . . . . 114 6.4. Ecuación de Ondas Electromagnéticas . . . . . . . . . . . . . 117 6.5. Ondas electromagnéticas planas armónicas . . . . . . . . . . 120 6.6. Intensidad de la onda electromagnética . . . . . . . . . . . . 122 6.7. Interferencia de Ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 6.7.1. Superposición de dos ondas electromagnéticas planas armónicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 6.7.2. Focos incoherentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 6.7.3. Focos coherentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 6.8. Ondas estacionarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 Dpt. Física Aplicada 1 Apuntes de FFI VI ÍNDICE GENERAL 6.9. (*) Difracción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 6.10.Espectro electromagnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 6.11.Fuentes de las Ondas Electromagnéticas . . . . . . . . . . . 137 6.12.Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 A. Análisis vectorial 1 A.1. Vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 A.1.1. Notación vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 A.1.2. Suma de vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 A.1.3. Producto escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 A.1.4. Producto vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 A.1.5. Productos triples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 A.2. Diferencial y derivada de funciones de una sola variable . . . 5 A.2.1. Teorema fundamental del cálculo . . . . . . . . . . . . 5 A.3. Diferencial y derivada parcial de funciones de varias variables 5 A.3.1. Operador gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 A.4. Integral de camino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 A.4.1. Teorema fundamental del gradiente . . . . . . . . . . 7 A.5. Integral de flujo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 A.6. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 B. Funciones armónicas y Análisis fasorial 11 B.1. Funciones Armónicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 B.2. Análisis fasorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Apuntes de FFI Dpt. Física Aplicada 1 Prefacio La presente colección de notas sobre Electromagnetismo, Circuitos y Ondas pretende ser una ayuda al estudiante en la asignatura cuatri- mestral Fundamentos Físicos de la Informática de la E.T.S. de Ingeniería Informática de la Universidad de Sevilla. Aunque estas notas han sido inspiradas por diversas fuentes (permítaseme destacar y agradecer la im- portante contribución de los profesores de la ETS de Ingeniería Informá- tica del Departamento de Física Aplicada 1 de la Universidad de Sevilla), cualquier defecto o error sólo es atribuible al autor de estos apuntes. Es importante resaltar que estas notas no pueden ni deben sustituir a otros textos más elaborados sobre la materia. El propósito principal de la materia aquí presentada es dotar al alumno de algunos de los fundamentos físicos elementales en los que se basa el funcionamiento de los dispositivos y sistemas usados en Informática. Gran parte de la tecnología actual de los computadores se basa en la Electró- nica y puesto que la Electrónica consiste básicamente en el control del flujo de los electrones en materiales conductores y semiconductores, es evidente la necesidad de estudiar en primer lugar el comportamiento ge- neral de las cargas y corrientes eléctricas. Este estudio se llevará a cabo mediante una serie de temas dedicados al Electromagnetismo básico y a la Teoría de Circuitos de corriente continua y alterna. Por otra parte, dada la relevancia de las ondas electromagnéticas en las comunicaciones actuales, y en particular la transmisión de datos en las redes de ordena- dores, la última parte de la asignatura se dedicará a un estudio general de las ondas para acabar con una descripción y análisis elemental de las ondas electromagnéticas. Francisco L. Mesa Ledesma Sevilla, septiembre de 2001 VII VIII ÍNDICE GENERAL Apuntes de FFI Dpt. Física Aplicada 1 Tema 1 Electrostática 1.1. Introducción Dado que el objetivo de esta asignatura será el estudio básico de los principales fenómenos electromagnéticos y buena parte de estos fenóme- nos están relacionados con la interacción de cargas eléctricas, empezare- mos este tema con el estudio de las interacciones de cargas eléctricas en reposo. La parte del Electromagnetismo que aborda esta materia se denomina Electrostática. La carga eléctrica es una propiedad fundamental e intrínseca de la materia (al igual que la masa) que tiene las siguientes propiedades: Presenta dos polaridades: positiva y negativa. Cantidades iguales de ambas polaridades se anulan entre sí. La carga total del universo (suma algebraica de todas las cargas existentes) se conserva, esto es, la carga no se puede crear ni des- truir. No obstante, debe notarse que esto no imposibilita que cargas positivas y negativas se anulen entre sí. Además de esta propiedad de conservación global, la carga también se conserva localmente. Esto quiere decir que si cierta carga desa- parece en un sitio y aparece en otro, esto es porque ha “viajado” de un punto a otro. La carga esta cuantizada: cualquier carga que existe en la natu- raleza es un múltiplo entero de una carga elemental q e . Esta carga elemental corresponde a la carga del protón. La unidad de carga en el Sistema Internacional es el culombio (C) y Unidad de carga eléctrica 1 culombio (C) equivale a la carga de 6,2414959 10 18 protones, o lo que es lo mismo, la carga del protón es q e = 1,60218 10 −19 C. Es interesante hacer notar que de las cuatro interacciones fundamen- tales de la naturaleza: nuclear fuerte, electromagnética, nuclear débil y gravitatoria, la interacción electromagnética (o electrostática cuando es entre cargas en reposo) es la segunda más fuerte. De hecho la interacción eléctrica entre dos electrones (de carga e igual a −q e ) es aproximadamen- te 10 42 veces más fuerte que su correspondiente interacción gravitatoria. 1 2 TEMA 1. Electrostática Esto da una idea de la magnitud tan importante de las fuerzas eléctricas. No obstante, en la naturaleza hay muchas situaciones en las que la inter- acción eléctrica no se manifiesta debido a la compensación tan precisa que ocurre en la materia entre cargas positivas y negativas. De hecho los agregados de materia se presentan generalmente en forma neutra y por ello las interacciones entre grandes cantidades de materia (planetas, es- trellas, etc) es fundamentalmente de carácter gravitatorio. No obstante, esto no implica que la interacción entre cargas eléctricas sea irrelevante sino que por el contrario, estas interacciones están en la base de multitud de fenómenos fundamentales, por ejemplo: la formación y estabilidad de los átomos, las fuerzas moleculares, las fuerzas de rozamiento, las tensio- nes mecánicas, las fuerzas de contacto, etc. 1.2. Ley de Coulomb El estudio de la Electrostática se iniciará mediante la ley de Coulomb, ley experimental que describe la interacción entre dos cargas puntua- les en reposo en el vacío (esto es, no existe ningún medio material entre ellas). El concepto de carga puntual es una idealización por la que se considerará que cierta carga está localizada estrictamente en un punto. Aunque en principio, esta idealización pudiera parecer poco realista, la experiencia demuestra que es una aproximación muy precisa en múltiples situaciones. De hecho, la carga uniformemente distribuida de cuerpos es- féricos o incluso cuerpos cargados considerados a distancias lejanas se comportan muy aproximadamente como cargas puntuales. La ley de Coulomb (∼ 1785) establece que la fuerza, F, que ejerce una carga fuente q sobre una carga prueba Q, viene dada por la siguiente q r F Q r expresión: F = 1 4πǫ 0 qQ r 2 ˆr ≡ 1 4πǫ 0 qQ r 3 r , (1.1) donde ǫ 0 es una constante llamada permitivad del vacío cuyo valor en el S.I. es ǫ 0 = 8,85 10 −12 C 2 Nm 2 ¸ 1 4πǫ 0 = 9 10 9 Nm 2 C 2 . (1.2) y r = rˆr es el vector que va desde la carga fuente hasta la carga prueba siendo r = [r[ su módulo y ˆr = r/r su vector unitario asociado. Vea el Apéndice A para un breve repaso de vectores y tenga en cuenta que en las figuras del presente texto usaremos tipo de letra negrita para denotar a los vectores, de modo que u ≡ u.Además los vectores unitarios se denotarán en letra negrita con el signoˆencima, de modo que ˆ u debe leerse como “vector unitario en la dirección y sentido de u”. Asimismo el módulo del vector u se denotará indistintamente como [u[ o bien simplemente como u. Algunas propiedades destacables de la ley de Coulomb, expresión (1.1), son: La fuerza va dirigida según la línea que une las dos cargas (fuerza central), estando su sentido determinado por el signo del producto Apuntes de FFI Dpt. Física Aplicada 1 1.3. Campo eléctrico de cargas puntuales 3 qQ. Por tanto, la fuerza entre dos cargas será atractiva para cargas de signo opuesto o bien repulsiva para cargas del mismo signo. +q F +Q La fuerza decrece con el cuadrado de la distancia. No obstante, a +q F -Q distancias cortas esta interacción crece extraordinariamente. La fuerza que ejercería la carga prueba sobre la carga fuente sería +q F -F +Q − F (principio de acción y reacción). 1.3. Campo eléctrico de cargas puntuales La expresión de la fuerza ejercida por la carga q sobre la carga Q(dada por (1.1)) puede reescribir como F(P) = Q E(P) , (1.3) donde el vector E(P) se denomina campo eléctrico producido por las carga fuente q en el punto P, viniendo éste dado por E(P) = 1 4πǫ 0 q r 2 ˆr ≡ 1 4πǫ 0 q r 3 r . (1.4) Campo eléctrico de una carga pun- tual La introducción de este vector E permite definir una magnitud vecto- rial que varía punto a punto y que sólo depende de las cargas fuentes. De este modo se consigue dotar a cada punto del espacio de una propiedad vectorial tal que el producto del valor de una carga prueba situada en ese punto por el valor de dicho vector en ese punto proporciona la fuerza que ejercerá la configuración de cargas fuentes sobre dicha carga prueba. En este sentido, el campo eléctrico, E, puede, por tanto, definirse como la fuerza por unidad de carga y sus unidades son consecuentemente N/C. Unidad de campo eléctrico: 1 N/C Es interesante observar que el campo eléctrico “recoge” de alguna mane- ra la información sobre las cargas fuentes, “escondiendo” la disposición particular de esta configuración y mostrando únicamente su efecto global. Tal y como se ha introducido el campo eléctrico podría pensarse que este campo es únicamente un ente matemático útil para calcular la fuerza pero sin significado físico concreto. No obstante, tal y como se verá en temas posteriores, E posee por sí mismo una realidad física clara y por tanto desde este momento es conveniente considerar al campo eléctrico como un ente real (con el mismo grado de realidad física que la fuerza o el momento lineal) independiente de la presencia o no de carga prueba. + Una forma gráfica de visualizar el campo eléctrico es dibujando el vec- tor E en ciertos puntos del espacio. No obstante, es más conveniente des- cribir el campo mediante las líneas de campo, que son aquellas líneas tangentes en cada uno de sus puntos al vector campo. Para un sistema de dos cargas idénticas en magnitud, una positiva y otra negativa, las líneas de campo salen de la carga positiva y acaban en la carga negativa según el patrón que se muestra en la figura. Este hecho particular es una pro- piedad del campo electrostático, esto es, las líneas de campo salen de las + - cargas positivas y acaban en las negativas o van al infinito. Dado que las cargas eléctricas son las únicas fuentes del campo electrostático, siempre que existan cargas eléctricas descompensadas espacialmente (cuando no se anulen unas a otras en cada punto), existirá campo electrostático. Dpt. Física Aplicada 1 Apuntes de FFI 4 TEMA 1. Electrostática 1.4. Principio de superposición La ley de Coulomb describe el efecto de una única carga puntual fuen- te, q, sobre la carga prueba, Q. El efecto de un conjunto de cargas sobre cierta carga prueba viene determinado por el principio de superposición. Este principio de superposición establece que La interacción entre dos cargas es completamente in- dependiente de la presencia de otras cargas. Esto significa que para calcular el efecto de un conjunto de cargas fuente sobre cierta carga prueba, se puede proceder calculando el efecto q 1 q 2 q N F 1 F 2 F F N r 1 r 2 r N Q de cada una de las cargas fuentes sobre la carga prueba para obtener el efecto total como la suma de los efectos parciales (esto es, F = F 1 + F 2 + ). De este modo, la fuerza que produce el conjunto de cargas fuentes, ¦q 1 , q 2 , , q N ¦, sobre la carga prueba Q situada en el punto P puede calcularse como F(P) = N ¸ i=1 F i = 1 4πǫ 0 N ¸ i=1 q i Q r 2 i ˆr i (1.5) = Q 4πǫ 0 N ¸ i=1 q i r 2 i ˆr i . (1.6) 1.5. Campo eléctrico de una distribución de carga 1.5.1. Campo eléctrico de una distribución discreta de carga A la vista de la expresión (1.6) podemos concluir que el principio de su- perposición puede aplicarse igualmente al campo eléctrico, de modo que el campo eléctrico de una distribución discreta de cargas (q 1 , q 2 , . . . , q N ) en el punto P viene dado por la siguiente expresión: E(P) = N ¸ i=1 E i = 1 4πǫ 0 N ¸ i=1 q i r 2 i ˆr i (1.7) = 1 4πǫ 0 N ¸ i=1 q i r 2 i ˆr i . (1.8) Nótese de nuevo que el campo eléctrico en el punto P no depende del valor de la carga prueba que se ponga en el punto P. Dicho campo refleja el efecto del conjunto de cargas pruebas en cada punto del espacio. Apuntes de FFI Dpt. Física Aplicada 1 1.5. Campo eléctrico de una distribución de carga 5 Ejemplo 1.1 Calcular el campo en el punto P debido al efecto de las tres cargas seña- ladas en el dibujo. Para calcular el campo eléctrico en el punto P aplicaremos el principio de superposición, por lo que primero debemos obtener el campo producido por cada una de las cargas. Antes de calcular este campo, debemos identificar el vector que va desde cada una de las cargas hasta el punto de observación P. Según el dibujo adjunto tendremos que r1 = 1 2 ˆ x + 1 2 ˆ y , r2 = 1 2 ˆ x − 1 2 ˆ y , r3 = − 1 2 ˆ x + 1 2 ˆ y , siendo el módulo de los tres anteriores vectores idéntico y de valor ri ≡ D = p 1/2 . El campo en P viene dado por E(P) = 3 X i=1 1 4πǫ0 qi r 3 i ri , por lo que tras sustituir el valor de ri obtenido anteriormente tenemos que E(P) = 1 4πǫ0 q D 3 » ( 1 2 ˆ x + 1 2 ˆ y) + 2( 1 2 ˆ x − 1 2 ˆ y) −3(− 1 2 ˆ x + 1 2 ˆ y) – = 1 4πǫ0 q D 3 (3ˆ x −2ˆ y) = 2 √ 2q 4πǫ0 (3ˆ x −2ˆ y) . 1.5.2. Campo eléctrico de una distribución continua de carga Aunque el carácter discreto de la materia (naturaleza atómica) es bien conocido, en multitud de situaciones prácticas, este carácter discreto pue- de “obviarse” y considerar que la materia puede describirse como un con- tinuo. Desde un punto de vista matemático, esto implica que la materia se describirá como una superposición de elementos diferenciales infinite- simales, por ejemplo para calcular su masa: m = dm (en vez de des- cribir la materia como un agregado de partículas individuales, donde: m = ¸ N i m i ). Esta consideración del continuo para la masa de la materia también es extensible a su carga, de modo que en múltiples situaciones la carga se considerará como una distribución continua. En este caso, la carga total q de una distribución de carga se obtendrá como q = dq . (1.9) Para obtener el campo eléctrico producido por la anterior distribución de carga en un punto P, se considerará que la contribución de cada ele- mento diferencial de carga, dq, al campo eléctrico en P, d E(P), puede Dpt. Física Aplicada 1 Apuntes de FFI 6 TEMA 1. Electrostática asimilarse al campo eléctrico producido por una carga puntual de valor dq, cuya expresión vendrá dada por d E(P) = 1 4πǫ 0 dq r 2 ˆr , (1.10) donde el vector r va desde la posición de dq hasta el punto P. dq P x r dE r El campo total producido por toda la distribución de carga se obten- drá usando el principio de superposición, tal y como se hizo para cargas dq P x r dE r discretas en (1.4), al sumar las distintas contribuciones infinitesimales: E(P) = d E(P) = 1 4πǫ 0 dq r 2 ˆr ≡ 1 4πǫ 0 dq r 3 r . (1.11) En la práctica, para calcular el campo producido por las distribuciones de carga se introduce el concepto de densidad de carga, que relaciona la cantidad de carga existente en cada elemento diferencial con el vo- lumen, superficie o longitud de dicho elemento. En función del carácter geométrico del elemento diferencial de carga pueden distinguirse tres ti- pos distintos de distribuciones de carga y expresar el campo en cada uno de los casos según: Distribución lineal de carga λ: dq = λdl E(P) = 1 4πǫ 0 línea λ ˆr r 2 dl . (1.12) Distribución superficial de carga σ: dq = σdS E(P) = 1 4πǫ 0 superficie σ ˆr r 2 dS . (1.13) Distribución volumétrica de carga ρ: dq = ρd1 E(P) = 1 4πǫ 0 volumen ρ ˆr r 2 d1 . (1.14) Debe notarse que en las integrales anteriores, la región de integración está extendida únicamente a la región donde existen cargas. Ejemplo 1.2 Campo de un anillo de carga en los puntos del eje Con referencia en la figura adjunta, el diferencial de campo en el punto P viene dado por d E(P) = 1 4πǫ0 dq r 2 ˆr = 1 4πǫ0 λdL r 2 ˆr , (1.15) donde hemos hechos uso del hecho de que dq = λdL. Ahora debemos considerar que, al integrar en el anillo de cargas, cualquier componente de campo excepto aquellas que van dirigadas respecto al eje x se Apuntes de FFI Dpt. Física Aplicada 1 1.6. Flujo. Ley de Gauss 7 anularán por simetría. Por consiguiente solo operaremos con la componente x, que podrá escribirse como dEx(P) = dE(P) cos(θ) , (1.16) y teniendo en cuenta que cos(θ) = x/r podemos escribir que dEx(P) = 1 4πǫ0 xλdL r 3 . (1.17) Al integrar la expresión anterior en el anillo notamos que ni x ni r variarán, por lo que Ex(P) = Z anillo dEx(P) = Z anillo 1 4πǫ0 xλdL r 3 . = 1 4πǫ0 xλ r 3 Z anillo dL = 1 4πǫ0 xλL r 3 = 1 4πǫ0 xQ r 3 , (1.18) donde Q = λL es la carga total del anillo. La expresión final para el campo eléctrico en el punto x del anillo de radio R vendrá dada por E(P) = 1 4πǫ0 Qx (x 2 +R 2 ) 3/2 ˆ x . (1.19) 1.6. Flujo. Ley de Gauss La ley de Gauss (∼ 1867) dice que el flujo del campo eléctrico debido a una distribución de carga a través una superficie S es igual a 1/ǫ 0 veces la carga total, Q int , encerrada en el interior de la superficie S, esto es, S E d S = Q int ǫ 0 (1.20) Ley de Gauss Aunque las expresiones (1.12)-(1.14) son suficientes para calcular el campo en cualquier punto supuestas conocidas las distribuciones de car- ga (tal como se ha mostrado en el Ejemplo 1.2), este procedimiento de cálculo no es trivial incluso para los casos más simples. Afortunadamente la ley de Gauss nos permitirá obtener fácilmente el campo eléctrico en una serie de situaciones con alta simetría. Para justificar la ley de Gauss, considérese el campo producido por una carga puntual: q r E r E = 1 4πǫ 0 q r 2 ˆr . Es interesante notar que la expresión (1.4) dice que el campo en una superficie esférica de radio r centrada en la posición de la carga q puede expresarse como E = E(r)ˆr , (1.21) esto es, el módulo del campo sólo depende del radio de dicha esfera y va siempre dirigido según la normal exterior a dicha esfera en cada punto (este campo presenta, por tanto, simetría esférica). Si se realiza la siguiente integral (ver sección A.5): q r E dS Dpt. Física Aplicada 1 Apuntes de FFI 8 TEMA 1. Electrostática superf. E d S , (1.22) que se conoce con el nombre de flujo del campo eléctrico, Φ, para el campo producido por la carga puntual en una superficie esférica de radio r centrada en la carga q se tiene que Φ = superf. E d S = E(r) superf. ˆr d S , (1.23) dado que E(r) permanece constante al integrar sobre la superficie esféri- ca. Teniendo ahora en cuenta que ˆr d S = dS (ˆr | d S) , la integral (1.22) puede escribirse para el presente caso como Φ = E(r) superf. dS = E(r) (Area esfera) = 1 4πǫ 0 q r 2 (4πr 2 ) = q ǫ 0 . (1.24) Es interesante notar que el flujo Φ no depende del radio de la esfera y es igual al valor de la carga encerrada en la esfera dividido por ǫ 0 . Si se q considera, por tanto, una esfera centrada en el mismo punto y de distinto radio, se obtendrá que el flujo seguirá siendo el mismo. Parece entonces razonable suponer que el flujo a través de cualquier superficie cerrada que incluya a la carga y comprendida entre ambas esferas concéntricas venga también dado por q/ǫ 0 . Dado que el número de líneas de campo que atraviesa cualquiera de las anteriores superficies es el mismo, el flujo del campo eléctrico a través de estas superficies podría interpretarse como una “medida” del número de líneas de campo que las atraviesa. En este sentido, si el número de líneas de campo que atraviesa una superficie cerrada es cero (esto es, en- tran tantas líneas como salen), parece razonable suponer que el flujo del campo eléctrico a través de dicha superficie sea igualmente nulo. Podría por tanto escribirse para una superficie cerrada arbitraria, S, que el flujo de un carga puntual a través de dicha superficie es q q S S Φ = S E d S = q ǫ o si q ⊂ S 0 en otro caso . (1.25) En el caso de que se tenga una distribución de cargas puntuales, por el principio de superposición, se obtiene que Φ = S E d S = S ¸ i E i d S = ¸ i S E i d S = ¸ i Φ i , (1.26) esto es, el flujo de la distribución a través de la superficie S es igual a la suma del flujo asociado a cada una de las cargas individualmente. Dado que el flujo asociado a una sola carga ya fue obtenido en (1.25) se puede concluir que S E d S = Q int ǫ 0 , Apuntes de FFI Dpt. Física Aplicada 1 1.6. Flujo. Ley de Gauss 9 donde Q int representa la carga total encerrada en el interior de la super- ficie S. La expresión anterior también se aplica en el caso de una distri- bución continua de carga. Ejemplo 1.3 Calcule el flujo del campo que atraviesa la superficie S de la figura adjunta. En la situación mostrada en la figura, la carga en el interior de la superficie S q 1 q 2 q 3 S es justamente Qint = q1 +q2 , por lo que el flujo a través de dicha superficie, según (1.20), será Φ = I S E · d S = q1 +q2 ǫ0 . Aunque la ley de Gauss (1.20) es válida para cualquier tipo de distri- bución de carga y superficie, ésta sólo es útil para obtener el campo en situaciones de alta simetría. Estas situaciones se dan cuando exista una superficie de Gauss, S G , tal que, en aquellas partes donde el flujo sea dis- tinto de cero (superficie que se denominará S ′ G ), la integral del flujo se pueda realizar de modo que el módulo del campo sea constante sobre di- cha superficie, esto es, cuando se pueda proceder de la siguiente manera: Ley de Gauss útil en situaciones de alta simetría Φ = SG E d S = E S ′ G dS . (1.27) Aplicaciones de la ley de Gauss Algunas de las situaciones donde es útil aplicar la ley de Gauss se detallan a continuación: Campo de un hilo recto infinito cargado. Para obtener este campo siguiendo la ley de Gauss notemos que debido a la simetría cilíndrica del problema puede deducirse que E = E(R) ˆ R . Este hecho implica que se puede escoger como superficie de Gauss, una superficie cilíndrica cuyo eje coincida con el propio hilo. De es- S L R dS S - h S + l te modo se tendrá que el flujo a través de las superficies superior e inferior (tapaderas del cilindro) es nulo dado que E ⊥ d S en di- chas superficies y en la superficie lateral, el módulo del campo será constante, esto es, SL+S + +S − E d S = SL E d S = E(R) S L . Dado que el flujo debe ser igual al valor de la carga en el interior de la superficie y ésta incluye un trozo de hilo de altura h, Q int = λh y por tanto E2πRh = λh ǫ 0 , Dpt. Física Aplicada 1 Apuntes de FFI 10 TEMA 1. Electrostática de donde se deduce que el módulo del campo viene dado por E = λ 2πǫ 0 R . Campo de una distribución uniforme esférica de carga Sea una esfera de radio R con una distribución uniforme de carga ρ. Dado que en esta situación el campo eléctrico presenta simetría esférica, esto es, E = E(r)ˆr, se tiene que dΦ = E d S = E(r)ˆr d S = E(r)dS y, por tanto, el flujo a través de una superficie de radio r será Φ = S dΦ = E(r) S dS = E(r) (4πr 2 ) = Q int (r) ǫ 0 . Debe notarse que la carga total encerrada por la superficie sólo de- pende del radio de esta superficie y por tanto sólo debe considerarse aquella carga en el interior del volumen de la esfera de radio r, esto es, Q int = V ρd1 = ρ V d1 = ρ 4 3 πr 3 si r < R ρ 4 3 πR 3 ≡ Q si r ≥ R . A partir de los resultados de las expresiones anteriores puede fácil- mente deducirse que el campo en cualquier punto viene dado por E = ρ 3ǫ 0 rˆr si r < R Q 4πǫ 0 r 2 ˆr si r ≥ R . Campo de un plano infinito cargado uniformemente (S G = S ′ G ) Un plano infinito con una densidad de carga superficial uniforme σ provoca un campo eléctrico del tipo E = E(y)ˆ y . El módulo del campo no presenta dependencia respecto a las varia- bles x y z debido a que cualquier punto con la misma coordenada y es totalmente equivalente (es decir, ese punto “ve” la misma dis- tribución de cargas). Con respecto a la dirección del campo, por si- metría cualquier componente que no sea vertical es perfectamente cancelada dado el carácter infinito del plano. Eligiendo como superficie de Gauss una superficie cilíndrica como la mostrada en la figura, se tiene que SL+S + +S − E d S = S + E d S + S − E d S = 2ES e igualando el flujo al valor de la carga encerrada en el interior de la superficie, Q int = σS, se obtiene 2ES = σS ǫ 0 ⇒ E = σ 2ǫ 0 Apuntes de FFI Dpt. Física Aplicada 1 1.7. Trabajo, energía y potencial electrostático 11 y, por tanto, el campo será E = σ 2ǫ 0 sign(y)ˆ y . (1.28) Es interesante notar que el campo, por ejemplo para y > 0, no de- pende de la altura sobre el plano y por tanto es constante en todos los puntos (puede sorprender que incluso no decrezca con la distan- cia). 1.7. Trabajo, energía y potencial electrostático 1.7.1. Potencial eléctrico Si se realiza la integral de camino del campo eléctrico producido por A q B E r dl G una carga puntual, q, entre dos puntos A y B, a través de una curva Γ, se obtiene que ( B A = B A,Γ E d l = B A,Γ 1 4πǫ 0 q r 2 ˆr d l = q 4πǫ 0 B A,Γ ˆr d l r 2 . (1.29) El numerador de la integral anterior puede expresarse como ˆr d l = dl cos α = dr y por tanto se encuentra que ( B A = q 4πǫ 0 rB rA dr r 2 = q 4πǫ 0 1 r A − 1 r B . (1.30) Es interesante observar en (1.30) que: La integral de camino es independiente del camino tomado para ir A B G U desde el punto A hasta el punto B, B A,Γ E d l = B A,Υ E d l . (1.31) La integral de camino a través de cualquier curva cerrada es nula, Γ E d l = 0 . (1.32) Para una distribución discreta/continua de carga, la integral de camino del campo eléctrico entre los puntos A y B puede calcularse, teniendo en cuenta el principio de superposición, como B A E d l = B A ¸ i E i (r) d l = ¸ i B A E i (r) d l . (1.33) Dado que esta magnitud se ha podido expresar como superposición de las circulaciones relacionadas con cargas puntuales, la circulación del campo de una distribución arbitraria de cargas presentará las propiedades (1.31) y (1.32) expuestas anteriormente. En particular la propiedad (1.32) (la circulación del campo a lo largo de una curva cerrada es nula) nos dice que Dpt. Física Aplicada 1 Apuntes de FFI 12 TEMA 1. Electrostática el campo electrostático es conservativo. Dado que las propiedades que cumple el campo eléctrico son idénticas a las expuestas en el Apéndice A.4.1 para el gradiente de una función, esto sugiere claramente que el campo eléctrico puede escribirse como el gra- diente de una función escalar, V , que se denominará potencial eléctrico, de modo que E = − ∇V . (1.34) Esto provoca que la integral de camino del campo eléctrico entre los pun- tos A y B puede expresarse de la siguiente forma: B A E d l = − B A ∇V d l = − B A dV , (1.35) lo que nos dice finalmente que la diferencia de potencial entre los pun- tos A y B viene dada precisamente por la integral de camino del campo eléctrico desde el punto A hasta el punto B, es decir, Definición de diferencia de potencial entre dos puntos V (A) −V (B) = B A E d l . (1.36) El signo menos en la definición (1.34) del potencial eléctrico se intro- duce simplemente para que el campo “apunte” desde puntos de mayor a menor potencial. Las unidades del potencial eléctrico serán el producto de la unidad de campo eléctrico por la de longitud, esto es: Nm/C en el SI. Esta unidad de potencial recibe el nombre de voltio (V). Usualmente, Unidad de potencial eléctrico: 1 voltio (V) la unidad de campo eléctrico se expresa como V/m. A partir de (1.36) podemos expresar la diferencia de potencial eléctri- co entre un punto cualquiera P y un punto de referencia O como V (P) −V (O) = O P E d l = − P O E d l . (1.37) Si, por conveniencia, imponemos que el potencial en el punto O sea cero, podemos escribir entonces que V (P) −V (O) . .. . =0 = V (P) = − P O E d l . (1.38) Para el caso de una carga puntual, tomando como punto de referencia de potencial cero al infinito, tendríamos a partir de la expresión (1.38) que V (P) = − P ∞ E d l = − q 4πǫ 0 P ∞ ˆr d l r 2 . (1.39) Si ahora tenemos en cuenta que ˆr d l = dr, el potencial en el punto P vendrá dado por Potencial producido por una carga puntual V (P) = − q 4πǫ 0 r ∞ dr r 2 = q 4πǫ 0 ¸ 1 r r ∞ = q 4πǫ 0 r (1.40) Apuntes de FFI Dpt. Física Aplicada 1 1.7. Trabajo, energía y potencial electrostático 13 Para una distribución continua de carga, debido al principio de super- posición y siguiendo el mismo procedimiento que para el campo, se tendrá que V (P) = 1 4πǫ 0 Q 0 dq r = 1 4πǫ 0 región de cargas ρ r d1 . (1.41) Potencial producido por una distribu- ción de cargas Ejemplo 1.4 Calculo del potencial eléctrico para (a) un anillo de carga en los puntos de su eje, y (b) un plano cargado infinito (a) Anillo de carga en los puntos de su eje A partir de la expresión (1.41) podemos calcular el potencial producido por el anillo de carga de la figura en los puntos del eje de dicho anillo. Para ello consideremos que V (P) = 1 4πǫ0 Z Q 0 dq r = 1 4πǫ0 r Z Q 0 dq = 1 4πǫ0 Q r , donde hemos tenido en cuenta que la variable r no varía (es constante) al integrar sobre los distintos elementos diferenciales de carga. Notemos que la expresión anterior puede también escribirse como V (x) = 1 4πǫ0 Q √ R 2 +x 2 . (b) Plano cargado infinito Teniendo en cuenta la expresión (1.28) para el campo producido por un plano infinito con densidad de carga σ, encontramos al aplicar (1.38) que esta expresión se reduce a V (y) = − Z y 0 σ 2ǫ0 sign(y) dy = σ 2ǫ0 sign(y) y = σ 2ǫ0 |y| , donde se ha tomado como referencia de potencial V (0) = 0. Trabajo y Energía potencial El trabajo, W E , que realiza el campo electrostático para mover una carga prueba puntual Q desde el punto A hasta el punto B, vendrá dado por W E = B A,Γ F d l = Q B A,Γ E d l . (1.42) Aplicando los resultados de la sección anterior podemos ver que la integral (1.42) no depende del camino y, por tanto, la fuerza es conser- vativa. Para fuerzas conservativas es sabido que el trabajo realizado por dichas fuerzas puede escribirse como la variación (con signo negativo) de la energía potencial, esto es, W E = −[U(B) −U(A)] = −∆U . (1.43) Dpt. Física Aplicada 1 Apuntes de FFI 14 TEMA 1. Electrostática Este hecho queda patente al escribir el trabajo en términos del potencial eléctrico (ver (1.36)) como W E = QV (A) −QV (B) (1.44) e identificar la energía potencial de la carga Q en el punto P como U(P) = QV (P) . (1.45) Energía potencial eléctrica de una carga puntual Si ahora tenemos en cuenta (según el teorema de las fuerzas vivas) que el trabajo es igual al incremento de la energía cinética del sistema, esto es: W E = ∆E c ; podemos escribir al igualar ∆E c con (1.43) que ∆E c + ∆U = ∆(E c +U) = 0 . (1.46) Dado que la energía mecánica, E m , del sistema se define como E m = E c +U , entonces podemos establecer que la energía mecánica de la carga Q en el campo electrostático se conserva. Ejemplo 1.5 Energía de una carga q en el interior de un condensador plano Si entre las placas de un condensador plano se establece una diferencia de potencial V0 (ver figura adjunta), entonces el campo en el interior del condensador V=V 0 V=0 y E será E = V0 d ˆ y . Dado que el potencial es la integral de camino del campo eléctrico, esto es, Z y 0 E · d l = V (0) −V (y) y como V (0) = V0, se tiene que V (y) = V0 − Z y 0 E(y)dy = V0 “ 1 − y d ” . La energía potencial, U(y), de una carga q en el interior del condensador será por tanto U(y) = qV0 “ 1 − y d ” . Una partícula de carga positiva que parta del reposo (Ec = 0) en la placa del condensador a potencial V0, se desplazará hacia zonas de menor energía potencial a la vez que irá aumentando su energía cinética. Debido a la conservación de su energía mecánica, la energía cinética al llegar a la otra placa, según (1.46), toma un valor de Ec(d) = 1 2 mv 2 = qV0 , por lo que la partícula adquirirá una velocidad al llegar a dicha placa dada por v = r 2qV0 m . (1.47) V=V 0 V=0 a) b) U =qV (0) 0 U d = ( ) 0 E = c (0) 0 E d = mv c ( ) 1/2 2 El hecho de que una diferencia de potencial entre dos electrodos aumente la energía cinética de las cargas es usado muy a menudo para acelerar partículas cargadas. En la práctica, la placa final puede ser sustituida por una rejilla metálica que deje pasar las partículas. Apuntes de FFI Dpt. Física Aplicada 1 1.8. Conductores en equilibrio en el campo electrostático 15 1.8. Conductores en equilibrio en el campo electrostático Es bien conocido que la materia está formada por partículas elementa- les cargadas y neutras. Las partículas de carga positiva (protones) forman parte de los núcleos de los átomos y por consiguiente están fijas en prome- dio en los sólidos. En ciertos materiales llamados dieléctricos, las cargas negativas (electrones) pueden considerarse igualmente fijas. No obstante, en otros materiales denominados conductores, algunos de los electrones no están ligados a átomos en particular sino que forman una especie de “gas de electrones” que vaga por todo el sólido. En esta sección conside- raremos un modelo ideal de conductor en el cual existen infinitas cargas móviles que pueden desplazarse libremente. Dicho modelo se denominará conductor perfecto. 1.8.1. Campo de un conductor cargado en equilibrio electrostático En general, los conductores aparecen de forma natural como sistemas neutros (igual número de cargas negativas que positivas). No obstante, añadiendo o quitando cargas libres al conductor, éste quedará cargado. Si se define equilibrio electrostático como aquella situación en la que todas las cargas libres están en reposo, y se tiene en cuenta la definición de conductor perfecto dada anteriormente, podemos derivar las siguien- tes conclusiones acerca del campo eléctrico: El campo eléctrico es nulo en el interior del conductor. Si el campo eléctrico no fuese nulo en el interior del conductor daría lugar a movimientos de las cargas libres, lo cual estaría en contra- dicción con la condición de equilibrio electrostático. Si el campo eléctrico es nulo en el interior del conductor, al calcular la integral de camino del campo entre dos puntos A y B en el interior del conductor obtenemos que B A E int d l = V (A) −V (B) = 0 ⇒ V ≡ Cte , (1.48) esto es, el conductor es equipotencial y en particular la superficie Conductor es equipotencial del mismo es una superficie equipotencial. La carga en exceso se localiza en la superficie del conductor. Si el campo en todos los puntos del interior del conductor cargado Q =0 int S G es nulo es porque no existe carga en el interior. Este hecho puede justificarse utilizando la ley de Gauss. Si existiese carga neta en el interior, eligiendo una superficie de Gauss que la envolviese, el flujo del campo eléctrico a través de la misma sería proporcional a la carga encerrada. Esto estaría en contradicción con el hecho de que el flujo debe ser cero puesto que el campo en el interior es nulo. Por tanto, la carga en exceso debe localizarse en la superficie. El campo eléctrico en la superficie es normal a ésta y de valor σ/ǫ 0 . Dpt. Física Aplicada 1 Apuntes de FFI 16 TEMA 1. Electrostática Dado que el potencial es constante en todo el conductor, para dos A B E dl puntos cercanos A y B sobre la superficie se verificará que dV = l´ım A→B [V (A) −V (B)] = l´ım A→B ∆V = 0 y por tanto, dado que dV = ∇V d l (ver Apéndice A.3.1), se tiene que ∇V d l = 0 , lo que claramente implica que el campo en la superficie, E S es per- pendicular a d l y, puesto que d l es tangente a la superficie, podemos concluir que E S = Eˆ n. (1.49) Si se aplica ahora la ley de Gauss a una superficie en forma cilíndrica E E int =0 S + S - tal como muestra la figura, se tiene que E d S = Q int ǫ 0 E∆S = σ∆S ǫ 0 , de donde obtenemos finalmente que E S = σ ǫ 0 ˆ n . (1.50) 1.8.2. Conductor neutro en un campo eléctrico externo Si un conductor inicialmente descargado (esto es, con una compen- sación perfecta de cargas eléctricas positivas y negativas) se somete al efecto de un campo eléctrico externo, la carga móvil del conductor se redistribuye de manera que se establezca la condición de equilibrio elec- trostático E int = 0. (Este proceso ocurre típicamente en un tiempo del or- den de 10 −14 s para un conductor de cobre.) La redistribución de la carga E int =0 E ext + + + + + + + + + - - - - - - - - - provoca la aparición de una densidad superficial inhomogénea de carga que a su vez da lugar a un campo en el interior del conductor que anula justamente al campo externo, provocando así la anulación punto a punto del campo total en el interior. Es interesante observar que el proceso de redistribución de carga fru- to del equilibrio electrostático puede considerarse como si ocurriese úni- camente en la superficie, sin que eso implicase cambio alguno en el inte- rior del conductor. Es más, si parte del material conductor del interior es E int =0 E ext + + + + + + + + + - - - - - - - - - extraído, con la consiguiente aparición de un hueco, se daría la misma re- distribución de carga en la superficie exterior del conductor y, por tanto, el campo seguiría siendo nulo en todo el interior del conductor, incluyen- do al hueco. 1 Esto quiere decir que para un conductor con un hueco, el 1 Una manera alternativa de comprobar que el campo es nulo en el interior pasa por notar que la integral de camino del campo eléctrico entre dos puntos arbitrarios, A y B, situados en la superficie interna del hueco será nula, V (A) −V (B) = Z B A E · d l = 0 , debido a que dicha superficie es una equipotencial. La única manera de que se verifique la anterior expresión para puntos arbitrarios es que el campo eléctrico en el interior del hueco sea nulo. Apuntes de FFI Dpt. Física Aplicada 1 1.9. Condensadores 17 interior está completamente aislado del exterior y, en consecuencia, los campos del exterior no afectarían a un dispositivo sensible al campo eléc- trico (por ejemplo, circuitos electrónicos) situado en el interior del con- ductor. Este fenómeno se usa para diseñar jaulas de Faraday que aíslen los sistemas eléctricos. Una simple carcasa metálica (o un plástico con- ductor) aislaría, por ejemplo, los sistemas electrónicos del interior de un ordenador con respecto a posibles influencias eléctricas externas. 1.9. Condensadores 1.9.1. Capacidad de un conductor Si se añade cierta carga Q a un conductor inicialmente descargado, es- ta carga se redistribuye en la superficie del conductor creando una den- sidad de carga superficial σ y consecuentemente un potencial, V , cuyo valor viene dado por la siguiente integral: V (P) = 1 4πǫ 0 σdS r , P ∈ S. (1.51) Por el principio de superposición, si se aumenta la carga total, Q = σdS, es razonable suponer que ello simplemente se traduzca en un au- mento proporcional de la densidad superficial de carga, esto es, Q −→Q ′ = βQ ⇒ σ(S) −→σ ′ (S) = βσ(S) y por tanto V −→V ′ = βV . En la situación descrita anteriormente, el cociente entre la carga y el potencial es el mismo, Q V = Q ′ V ′ ≡ βQ βV , lo que implica que la relación entre la carga y el potencial es una magnitud independiente de Qy V . Esta magnitud se conoce como capacidad, C, del conductor y se define como Capacidad de un conductor C = Q V . (1.52) La capacidad del conductor determina la carga que “adquiere” éste para un potencial dado: a mayor capacidad mayor carga, siendo C un paráme- tro puramente geométrico y que, por tanto, sólo depende de la forma del conductor. La unidad de capacidad es el faradio (F), definida en el sistema inter- nacional como Unidad de capacidad: 1 faradio(F) 1 faradio = 1 culombio 1 voltio . Dpt. Física Aplicada 1 Apuntes de FFI 18 TEMA 1. Electrostática Ejemplo 1.6 Capacidad de un conductor esférico de radio R Por simetría esférica, el campo en el exterior del conductor será del tipo E = E(r)ˆr y, por consiguiente, al aplicar la ley de Gauss a una superficie esfé- rica concéntrica con el conductor se obtiene que I E · d S = Q ǫ0 (1.53) E(r) I dS = E(r)4πr 2 = Q ǫ0 , (1.54) de donde se obtiene que el campo en el exterior del conductor es E = Q 4πǫ0r 2 ˆr . (1.55) El potencial en un punto arbitrario se obtiene como V (r) = Z ∞ r E · d l = Q 4πǫ0 Z ∞ r dr r 2 = Q 4πǫ0 » − 1 r – ∞ r = Q 4πǫ0r , por lo que en la superficie de la esfera, el potencial será simplemente V (R) = Q 4πǫ0R (1.56) y la capacidad: C = Q V = 4πǫ0R . (1.57) Como puede verse, la capacidad sólo depende de la geometría (el radio) de la esfera conductora. Si el radio de la esfera fuese R = 1m, la capacidad del conductor sería C ≈ 111 ×10 −12 F ≡ 111 pF . 1.9.2. Influencia entre conductores Si un conductor cargado con una carga Q, que suponemos positiva, se introduce en el hueco interior de otro conductor inicialmente descarga- do, esto origina una redistribución de cargas en el conductor inicialmen- te neutro (ver figura). Esta redistribución es consecuencia del estableci- miento de la condición de equilibrio electrostático en ambos conductores ( E int = 0). Si la superficie exterior del conductor neutro se conecta a tierra (almacén infinito de cargas libres), suben tantos electrones desde tierra como sean necesarios para compensar las cargas positivas, dando lugar todo este proceso a la aparición de una carga neta −Q en dicho conductor. + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + - - - - - - - - - - - - - - - - + + + + + + + + + + + - - La situación anterior se conoce como influencia total dado que los dos conductores tienen la misma carga pero de signo contrario. Todas las líneas de campo que parten de un conductor acaban en el otro. (Esta situación se encuentra estrictamente en la práctica cuando un conductor está encerrado en el interior de otro). Dos conductores en influencia total Condensador: sistema de dos conductores en influencia total Apuntes de FFI Dpt. Física Aplicada 1 1.9. Condensadores 19 forman un sistema que se conoce como condensador, definiéndose la capacidad de un condensador como C = Q ∆V , (1.58) donde Q es el valor de la carga en módulo de cualquiera de los dos con- ductores y ∆V es la diferencia de potencial en módulo existente entre los dos conductores. Algunos ejemplos típicos de condensadores se presentan a continua- ción: Condensador esférico Para calcular la diferencia de potencial entre los dos conductores esféricos se parte de la expresión del campo en la zona intermedia entre los dos conductores, donde E = Q 4πǫ 0 r 2 ˆr y por tanto: ∆V = R2 R1 E dr = Q 4πǫ 0 R2 R1 dr r 2 = Q 4πǫ 0 ¸ − 1 r R2 R1 = Q 4πǫ 0 R 2 −R 1 R 1 R 2 . La capacidad del sistema viene entonces dada a partir de (1.58) por R 1 R 2 C = 4πǫ 0 R 1 R 2 R 2 −R 1 . (1.59) Es interesante notar que la capacidad del condensador esférico pue- de llegar a ser mucho más grande que la de un conductor esférico del mismo tamaño, dado que R 1 R 2 R 2 −R 1 > R 1 . Condensador de placas paralelas Para calcular la diferencia de potencial entre las placas paralelas, es- te condensador se tratará suponiendo que las dimensiones de dichas placas son mucho mayores que la distancia entre ellas y, por tanto, éstas se modelarán por dos planos infinitos cargados. Teniendo en cuenta la expresión (1.28) para el campo producido por un plano cargado uniformemente, en el caso de dos planos infinitos cargados con distinta polaridad, por superposición se tiene que -Q Q y E( ) Q E(- ) Q E(- ) Q E( ) Q E( ) Q E(- ) Q E = σ ǫ 0 ˆ y si 0 < y < d 0 en otro caso . (1.60) Obsérvese que el campo eléctrico es uniforme en el interior del con- densador y nulo fuera de éste. El condensador plano suele usarse generalmente para producir campos uniformes e intensos. Dpt. Física Aplicada 1 Apuntes de FFI 20 TEMA 1. Electrostática Para calcular la diferencia de potencial entre las placas del conden- sador, se procede realizando la integral de camino del campo eléc- trico dado por (1.60) entre una y otra placa. Dado que el campo eléctrico es uniforme, puede escribirse que -Q Q y E ∆V = d 0 E d l = Ed = σ ǫ 0 d . (1.61) Puesto que la carga de cada uno de las placas finitas viene dada por Q = σS, la capacidad del condensador de placas paralelas será muy aproximadamente C = σS σ ǫ 0 d = ǫ 0 S d . (1.62) Capacidad de un condensador de placas paralelas 1.10. Campo eléctrico en la materia Hasta ahora sólo hemos venido estudiando los diferentes fenómenos electrostáticos en el vacío o bien en conductores perfectos. En este sen- tido, al estudiar, por ejemplo, el campo creado por una carga puntual en el Apartado 1.3 suponíamos que no existía medio material alguno en el espacio que rodeada a la carga puntual. Para introducir el efecto de un posible medio material no conductor en esta ley, debemos considerar que estos medios denominados dieléctricos (ver Apartado 1.8) están forma- dos for átomos/moléculas neutros eléctricamente donde el centro de las cargas positivas (protones) coincide con el de las cargas negativas (elec- trones). No obstante, bajo la influencia de un campo eléctrico externo, el centro de las cargas negativas puede desplazarse con respecto al de + + E ext E ex t =0 - - - - - átomo neutro átomo polarizado las positivas, es decir los átomos/moléculas constitutivos del medio mate- rial pueden polarizarse. Este fenómeno de polarización dará lugar a un nuevo campo eléctrico de polarización que se opondrá al campo original, manifestándose este efecto globalmente en que el campo original queda parcialmente reducido, como si fuese originado por una carga puntual de menor cuantía. El mismo efecto global anterior se produciría igualmente en un con- densador plano, donde se observa experimentalmente que la introducción de un material dieléctrico homogéneo e isótropo entre sus placas aumenta la capacidad de dicho condensador en cierta constante que depende ex- clusivamente del material. Para entender este efecto observemos el con- densador descargado de la Fig. 1.1(a), entre cuyas placas se ha colocado cierto material dieléctrico (madera, papel, agua, plástico,...). Si ahora este condensador es cargado con una carga Q 0 en una placa (y −Q 0 en la otra), entonces aparecerá un cierto campo E 0 entre las placas del condensador. Este campo eléctrico provocará la polarización de los átomos del material dieléctrico dando lugar a una situación microscópica tal como la descrita en la Fig. 1.1(b). Observemos que en el interior del material dieléctrico las cargas positivas y negativas se compensarán mutuamente, quedando sin embargo una carga descompensada de valor Q p justamente en los ex- tremos del material adyacentes a las placas del condensador. Esta carga originará un campo eléctrico E p que al superponerse al campo original E 0 Apuntes de FFI Dpt. Física Aplicada 1 1.10. Campo eléctrico en la materia 21 Q 0 -Q 0 -Q p Q p E 0 d S E p + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - (a) (b) Figura 1.1: (a) Condensador descargado entre cuyas placas existe un material dieléctrico. (Las esferas representan los átomos neutros constituyentes del dieléctrico.) (b) Condensa- dor cargado con una carga Q 0 que es contrarrestada por una carga Qp proveniente de la polarización de los átomos constituyentes del dieléctrico. da lugar a un nuevo campo E, cuyo modulo puede expresarse como E = E 0 ǫ r , (1.63) donde ǫ r es una constante adimensional positiva mayor que la unidad (ǫ r ≥ 1) que dependerá del material y que denominaremos permitividad relativa del material. Si la capacidad del condensador de placas paralelas en vacío (es decir, sin material dieléctrico entre sus placas) venía dada por C 0 = Q 0 V 0 = ǫ 0 S d , (siendo V 0 = E 0 d la diferencia de potencial entre las placas), podemos observar que al introducir el material dieléctrico se reduce el valor del campo entre las placas del condensador y, en consecuencia, también se reducirá la diferencia de potencial entre las mismas, que vendrá ahora dada por V = Ed = V 0 ǫ r . (1.64) Dado que la introducción del dieléctrico no modifica la cantidad de carga inicial depositada en las cargas (la carga en el dieléctrico aparece en los bordes de éste, no en las placas), tenemos que la capacidad del conden- sador con dieléctrico será C = Q 0 V = Q 0 V 0 /ǫ r = ǫ r C 0 = ǫ 0 ǫ r S d , (1.65) explicándose así el aumento de capacidad del condensador observado ex- perimentalmente. Observemos además que, globalmente, el efecto de introducir el ma- terial dieléctrico homogéneo e isótropo ha quedado reflejado en la susti- tución de ǫ 0 ←→ǫ r ǫ r (1.66) Dpt. Física Aplicada 1 Apuntes de FFI 22 TEMA 1. Electrostática en la expresión de la capacidad. De este modo podemos escribir que la capacidad de un condensador de placas paralelas viene dada por C = ǫ S d , (1.67) donde ǫ = ǫ 0 ǫ r , (1.68) es la permitividad dieléctrica del material. Permitividad dieléctrica Evidentemente ǫ ≥ ǫ 0 , siendo la permitividad de algunos materiales usuales la siguiente: Permitividad Material relativa Vacío 1 Aire 1.00059 Agua (20 0 C) 80 Papel 3.7 Porcelana 7 Vidrio 5.6 Neopreno 6.9 Poliestireno 2.55 Podemos observar que, a efectos prácticos, el aire se comporta como el vacío puesto que tiene una permitividad relativa muy próxima a la unidad. La anterior discusión sobre la inclusión de dieléctricos homogéneos e isótropos podría extenderse al estudio de otras magnitudes y situaciones, obteniéndose siempre que las expresiones obtenidas anteriormente para el vacío quedan simplemente modificadas por la sustitución de la permiti- vidad dieléctrica del vacío por la correspondiente permitividad dieléctrica del material. 1.11. Energía Electrostática 1.11.1. Trabajo para trasladar una carga puntual En una región del espacio donde existe un campo E, planteemos la A E dl B siguiente cuestión: ¿cuál es el trabajo mínimo necesario para mover una carga prueba puntual Q desde un punto A a un punto B?. La respuesta a esta pregunta viene dada por la integral de camino de la fuerza externa ejercida sobre la carga entre ambos puntos, esto es, W = B A F ext d l . (1.69) Dado que la fuerza que ejerce el sistema de cargas sobre la carga prueba es de tipo electrostático y puede expresarse según (1.3) en función del campo eléctrico, la fuerza externa mínima que debemos ejercer nosotros para poder desplazar la carga deberá ser justamente F ext = −Q E y, por tanto, el trabajo será W = −Q B A E d l = Q[V (B) −V (A)] , (1.70) Apuntes de FFI Dpt. Física Aplicada 1 1.11. Energía Electrostática 23 que, obviamente, es independiente del camino debido a las propiedades de la integral de camino del campo eléctrico. Teniendo en cuenta la definición de energía potencial dada en (1.45), la expresión (1.70) para el trabajo puede identificarse con el incremento de la energía potencial, ∆U, del sistema, es decir W = ∆U . (1.71) Es interesante observar que la expresión (1.70) ofrece la posibilidad de interpretar la diferencia de potencial entre dos puntos como el trabajo por unidad de carga que debemos ejercer para desplazar una partícula cargada entre dichos puntos. En el caso de que la partícula venga desde el infinito (donde usualmente se supone que está el origen cero de potencial), el trabajo que debemos realizar para situar la partícula en el punto P puede expresarse como W = Q[V (P) −V (∞)] = QV (P) . (1.72) 1.11.2. Energía almacenada en un condensador de pla- cas paralelas Para obtener una expresión general de la energía electrostática de un sistema arbitrario de cargas se analizará el caso particular del proceso +q V(q) E -q + - - Bateria de carga de un condensador de placas paralelas para después generalizar (sin demostración) las expresiones que se obtengan a cualquier sistema. En el proceso de carga de un condensador plano (inicialmente los dos conductores son neutros), el efecto de la batería conectada a las placas del condensador será el de extraer carga negativa de una de las placas y transferirla a la otra, de modo que ambas placas se van cargando dando lugar a la aparición de un campo eléctrico entre las placas y, consecuen- temente, a una diferencia de potencial, V (q) = q/C, que va creciendo en el proceso. Para aumentar en un dq la carga sobre el condensador, la batería debe realizar un trabajo diferencial que a partir de (1.70) (adaptando la expre- sión válida para cargas puntuales a cargas diferenciales) podrá expresar- se como dW = dq∆V . (1.73) Si ahora consideramos que ∆V ≡ V (q), entonces el trabajo diferencial podrá expresarse como dW = qdq C . (1.74) Según (1.71) este trabajo equivale justamente al aumento de la energía potencial electrostática del condensador, esto es: dW ≡ dU. Para cargar el condensador con una carga final Q, el trabajo total realizado (o equivalen- temente el aumento total de la energía potencial del sistema) se obtendrá al integrar la expresión (1.74), de modo que W ≡ ∆U = Q 0 q C dq = 1 2 Q 2 C . (1.75) Dpt. Física Aplicada 1 Apuntes de FFI 24 TEMA 1. Electrostática Dado que el aumento de la energía potencial del sistema es precisamente la energía almacenada en el condensador, podemos identificar esta ga- nancia de energía potencial con la energía electrostática del sistema, U E , por lo que podemos escribir que U E = 1 2 Q 2 C = 1 2 CV 2 = 1 2 QV . (1.76) En el caso particular del condensador plano, se encontró que V = Ed y C = ǫ 0 S d , por lo que al introducir estas expresiones en (1.76) obtendremos U E = 1 2 CV 2 = 1 2 ǫ 0 S d E 2 d 2 = 1 2 ǫ 0 E 2 Sd = 1 2 ǫ 0 E 2 1 . (1.77) Si se define la densidad de energía en un campo electrostático, u E , como dU E = u E d1 , (1.78) de la expresión (1.77) se deduce que la densidad de energía eléctrica en el condensador plano viene dada por u E = 1 2 ǫ 0 E 2 . (1.79) Es interesante observar que la energía electrostática del condensador plano puede expresarse tanto en términos de la carga, expresión (1.76), como del campo eléctrico, expresión (1.77). Estas dos expresiones dan cuenta de la posible ambigüedad que encontramos al definir dónde se al- macena la energía potencial del sistema. Según la expresión (1.76), esta energía estaría almacenada en las cargas y según la expresión (1.77) es- taría asociada al campo eléctrico. Aunque considerar que la energía está en el campo pudiera parecer “extraño”, esta concepción es la más con- veniente para situaciones más generales 2 . Antes de que existiera campo eléctrico entre las placas, la energía electrostática en esa región del es- pacio era cero y después, cuando se ha establecido un campo eléctrico, la energía alcanza cierto valor. Por tanto, parece congruente asociar la energía potencial electrostática con la presencia del campo eléctrico. Aunque el resultado (1.79) se ha obtenido para un caso particular, cálculos más elaborados demuestran que este mismo resultado coincide con la expresión general válida para la densidad de energía electrostática de cualquier sistema cargado. En consecuencia, la energía electrostática de un sistema puede escribirse como Energía electrostática U E = todo el espacio ǫ 0 E 2 2 d1 . (1.80) 2 Por ejemplo, al estudiar la energía asociada a una onda electromagnética. Apuntes de FFI Dpt. Física Aplicada 1 1.12. Problemas propuestos 25 Ejemplo 1.7 Energía electrostática de una esfera conductora. El módulo del campo en el exterior de la esfera conductora con carga Q viene q R E r Q dado por E(r) = Q 4πǫ0r 2 r ≥ R . Antes de calcular la energía de este sistema aplicando la expresión (1.80) de- bemos calcular dV. Para ello tengamos que cuenta que dado el volumen total de una esfera de radio r viene dado por V = 4/3πr 3 , por lo que el volumen diferen- cial dV = (dV/dr)dr puede escribirse como dV = 4πr 2 dr. La energía de la esfera conductora de radio R será por tanto UE = Z todo el espacio ǫ0E 2 2 dV = ǫ0 2 Q 2 16π 2 ǫ 2 0 Z ∞ R 4πr 2 dr r 4 = Q 2 8πǫ0 Z ∞ R dr r 2 = 1 2 Q 2 4πǫ0R = 1 2 Q 2 C . 1.12. Problemas propuestos 1.1: Calcule la fuerza de repulsión electrostática entre dos partículas α (cada partícula α está compuesta por dos protones) y compárela con la fuerza de atracción gravitatoria entre ellas. Sol. F elect = 9,18 ×10 −2 N; Fgrav = 2,97 ×10 −37 N. 1.2: ¿Cuál es el valor del módulo del campo eléctrico en un punto situado a 30 cm de una carga puntual de 10 µC. Sol. E = 10 6 N/C. 1.3: Dos cargas puntuales iguales de valor q están situadas en los puntos (−a, 0, 0) y (a, 0, 0). Calcular el potencial y el campo eléctrico debido a dichas cargas en los puntos del eje Y . Sol.: V (0, y, 0) = [q/(2πǫ 0 )](y 2 +a 2 ) −1/2 , E(0, y, 0) = [q/(2πǫ 0 )]y(y 2 +a 2 ) −3/2 ˆ y. 1.4: Tres cargas puntuales de igual valor, q, se encuentran dispuestas en los vértices de un triángulo, como se indica en la figura. Calcúlese: a) el campo eléctrico y el potencial generado por las tres cargas en puntos del segmento que une los puntos (0, 0) y (0, h); b) la fuerza ejercida por las dos cargas que se encuentran sobre el eje X sobre la carga situada q q q ( ) l/2,0 ( ) 0,h (- ) l/2,0 y x en (0, h). Sol.: a) V (0, y) = Kq[2((l/2) 2 +y 2 ) −1/2 + (h −y) −1 ], E(0, y) = Kq[2y((l/2) 2 +y 2 ) −3/2 − (h −y) −2 ] ˆ y. b) F = Kq 2 2h[(l/2) 2 +h 2 ] −3/2 ˆ y. 1.5: Las cuatro cargas del dibujo están dispuestas en los vértices de un cuadrado de lado L. a) Hallar el valor, sentido y dirección de la fuerza ejercida sobre la carga situada sobre el vértice inferior izquierdo por las cargas restantes. b) Demostrar que el campo eléctrico total en el punto medio de cualquiera de los lados del cuadrado es paralelo al lado considerado, está dirigido hacia la carga negativa vértice de dicho lado y su valor es E = [2q/(πǫ 0 L 2 )](1− √ 5/25) N/C. Sol.: a) F = [q 2 /(4πǫ 0 L 2 )](1 −1/ √ 8)(ˆ x + ˆ y) N. q -q -q q L L Y X 1.6: El potencial electrostático en cierta región del espacio está dado por V = 2x 2 −y 2 +z 2 , donde x, y, z se expresan en metros y V en voltios. Determinar: a) la componente del campo eléctrico en el punto (1, 2, 3) a lo largo de la dirección dada por la recta que pasa por dicho punto y por el punto (3,5,0); b) el trabajo que realizaría el campo sobre una carga puntual q = 2 C que se desplazase desde el punto (1, 2, 3) hasta el (3, 3, 3). Sol.: a) √ 22 N/C; b) −22 J. 1.7: Sobre los planos x = 0 y x = 4 existen densidades de carga de valor σ 1 = 10 −8 C/m 2 y σ 2 = −10 −8 C/m 2 respectivamente. Determinar: a) la fuerza que actúa sobre una Dpt. Física Aplicada 1 Apuntes de FFI 26 TEMA 1. Electrostática carga puntual q = 1 pC situada en el punto (1,0,0); b) el trabajo realizado por el campo para transportar dicha carga hasta el punto (3,2,0); c) la d.d.p. entre los puntos (1,0,0) y (8,0,0). Sol.: a) 36π · 10 −11 ˆ x N; b) 72π · 10 −11 J; c) 1080π V. 1.8: Una gota de aceite cargada de masa 2,5 ×10 −4 g está situada en el interior de un condensador de placas plano-paralelas de área 175 cm 2 . Cuando la placa superior tiene una carga de 4,5 ×10 −7 C, la gota de aceite permanece estacionaria. ¿Qué carga tiene esta gota? Sol. Q = 8,43 ×10 −13 C. 1.9: Determinar el campo eléctrico y el potencial en todos los puntos del espacio en dos casos: a) Esfera conductora de radio R y carga Q; b) Esfera no conductora de radio R con densidad volumétrica de carga uniforme de valor ρ (nota: elegir potencial cero en el infinito en ambos casos). Sol.: a) r > R: E(r) = Q/(4πǫ 0 r 2 ) ˆr, V (r) = Q/(4πǫ 0 r); r < R: E = 0, V = Q/(4πǫ 0 R); b) r > R: E(r) = R 3 ρ/(3ǫ 0 r 2 ) ˆr, V (r) = R 3 ρ/(3ǫ 0 r); r < R: E(r) = rρ/(3ǫ 0 ) ˆr, V (r) = ρ(R 2 −r 2 /3)/(2ǫ 0 ). 1.10: Un esfera no conductora de radio R tiene una densidad volumétrica de carga ρ = Ar, donde A es una constante y r la distancia al centro de la esfera. Determinar: a) la carga total de la esfera; b) el campo eléctrico y el potencial en cualquier punto del espacio (nota: elegir potencial cero en el infinito). Sol: a) Q = πAR 4 ; b) r ≤ R: E(r) = Ar 2 /(4ǫ 0 )ˆr, V (r) = −Ar 3 /(12ǫ 0 ) +AR 3 /(3ǫ 0 ); r > R: E(r) = Q/(4πǫ 0 r 2 )ˆr, V (r) = Q/(4πǫ 0 r). 1.11: Demuestre que el campo eléctrico fuera de un conductor cilíndrico rectilíneo de radio R, longitud infinita y densidad de carga superficial σ es equivalente al campo debido a una línea infinita cargada con la misma cantidad de carga por unidad de longitud (es decir, si λ = 2πRσ). 1.12: Determinar el potencial y el campo eléctrico en el eje de un anillo circularde radio R con una densidad de carga lineal uniforme λ que está situado en el plano XY y tiene su centro en el origen de coordenadas. Sol.: V (0, z, 0) = [λ/(2ǫ 0 )]R(z 2 +R 2 ) −1/2 , E(0, z, 0) = [λ/(2ǫ 0 )]Rz(z 2 +R 2 ) −3/2 ˆz. 1.13: Dos anillos circulares de radio R coaxiales y con sus centros separados una distancia R a l -l a están cargados con densidades de carga lineal λ y −λ respectivamente. Hallar el trabajo que hay que realizar para situar una carga prueba, q, en los puntos siguientes: a) centro del anillo cargado positivamente; b) punto del eje equidistante de ambos anillos; c) centro del anillo cargado negativamente (nota: en los tres apartados, suponer que la carga q se trae desde el infinito al punto considerado). Sol.: a) W = [qλ/(2ǫ 0 )]{1 −R(R 2 +a 2 )} ; b) W = 0; c) W = [qλ/(2ǫ 0 )]{R(R 2 +a 2 ) −1} 1.14: Un cilíndrico de longitud infinita y radio b con una cavidad cilíndrica en su interior de radio a posee una densidad volumétrica de carga ρ, según se indica en la figura. Calcúlese: a) la carga total del cilindro por unidad de longitud; b) el campo eléctrico en todos los puntos del espacio; c) la fuerza sobre una carga puntual, q, situada en el punto de coordenadas (b, b, 0), así como la componente de dicha fuerza en la dirección dada por el unitario ˆ n = (1/ √ 3, 1/ √ 3, 1/ √ 3); d) la diferencia de potencial entre los puntos (b, b, 0) y (2b, 2b, 2b). Sol.: a) π(b 2 − a 2 )ρ ; b) si r ≤ a E = 0 , si a < r ≤ b E = (r 2 −a 2 )ρ 2rǫ 0 ˆr , si r > b E = (b 2 −a 2 )ρ 2rǫ 0 ˆr; c) F = q(b 2 −a 2 )ρ 4ǫ 0 b (1, 1, 0), Fn = q(b 2 −a 2 )ρ 2 √ 3ǫ 0 b ˆ n; d) V (b, b, 0) −V (2b, 2b, 2b) = (b 2 −a 2 )ρ ln 2 2ǫ 0 . 1.15: a) ¿Cuál es la capacidad de un sistema de dos placas plano-paralelas de área 1 mm 2 separadas 1 mm?. b) ¿Cuánto trabajo realizaríamos para carga el anterior condensador con una carga de 10 −3 C ?. c) ¿Cuál sería la fuerza entre las placas?. Sol.: a) C = 8,05 nF; b) W = 62,1 J; c) F = 5,65 ×10 4 N. 1.16: a) ¿Qué cantidad de carga será necesario añadir a una esfera conductora aislada de radio R 1 = 10 cm para que ésta alcance un potencial de 500 V?. b) Si la anterior carga es compartida con otra esfera conductora aislada de radio R 2 = 5 cm de radio (ambas son conectadas mediante un fino hilo conductor), ¿cuál será la carga y el potencial final en cada esfera conductora?. Sol.: a) Q = 5,6 ×10 −9 C; b) Q 1 = 3,74 nC, Q 2 = 1,86 nC, V 1 = V 2 ≈ 336,6V. Apuntes de FFI Dpt. Física Aplicada 1 1.12. Problemas propuestos 27 1.17: Cinco condensadores idénticos de capacidad C 0 están conectados en un circuito puen- a b C 0 C 0 C 0 C 0 C 0 te tal como indica la figura. a) ¿Cuál es la capacidad equivalente entre los puntos a y b?. b) Calcular la capacidad equivalente si la capacidad entre a y b cambia ahora a 10C 0 . Sol.: a) C equiv = 2C 0 ; b) C equiv = 11C 0 ; 1.18: Un condensador de 1 µF se ha cargado a 10 V. Determínese: a) la carga acumulada y el trabajo que fue necesario realizar; b) la densidad de energía eléctrica en el interior del condensador sabiendo que puede asimilarse a un condensador ideal de placas plano para- lelas separadas una distancia de 10 cm; c) el trabajo necesario para aumentar la carga del condensador al doble de la que posee. Compárese con el trabajo calculado en el apartado a) (Dato: ǫ 0 = 8,854 ×10 −12 F/m). Sol.: a) Q = 10 µC, W = 5 ×10 −5 J; b) ρ E = 4,427 ×10 −8 J/m 3 ; c) W = 15 ×10 −5 J. 1.19: Se consideran los condensadores planos esquematizados en la figura. Determinar la d d e r2 e r1 S d e r1 e r2 S/2 S/2 a) b) capacidad de cada uno de ellos. Sol.: a) C = C 0 (ǫ r,1 + ǫ r,2 )/2; b) C = C 0 ǫ r,1 ǫ r,2 /(ǫ r,1 + ǫ r,2 ), siendo en ambos casos C 0 = ǫ 0 S/d. Dpt. Física Aplicada 1 Apuntes de FFI Tema 2 Circuitos de Corriente Continua 2.1. Introducción En el tema anterior se ha introducido la Electrostática como el estudio de la interacción entre cargas en reposo. No obstante, cabe señalar que, en general, la Electrostática puede aplicarse a situaciones en las que la distribución de cargas permanece invariable en el tiempo. El estudio de las cargas en movimiento se iniciará en el presente tema. Estas cargas en movimiento, o lo que es lo mismo, un flujo de partículas cargadas, dan lugar a una corriente eléctrica, de la misma manera que moléculas de agua en movimiento dan lugar a una corriente de agua. En función del tipo de movimiento que lleven las cargas se clasificará la corriente eléctrica en corriente continua y corriente alterna. La co- rriente continua es aquélla en la que el flujo de cargas permanece in- variable en el tiempo (por ejemplo, cuando los electrones en un cable se mueven a velocidad constante) 1 .Cuando el flujo de cargas varía en el tiempo, el movimiento conjunto de estas cargas se conoce como corrien- te variable en el tiempo, y si este flujo varía temporalemente de forma armónica entonces se denomina corriente alterna. El objetivo final del presente tema será el análisis de los circuitos de corriente continua, tanto por su importancia propia en la tecnología ac- tual como por ser un primer paso para el estudio y comprensión de los circuitos electrónicos más complejos. Los circuitos de corriente continua se resuelven a partir de las reglas de Kirchhoff, que serán deducidas en este tema como una consecuencia de un análisis de campos. Tras la de- ducción de estas reglas, se hablará de las fuentes de alimentación de estos circuitos y, en particular, se discutirá el concepto de fuerza electromotriz. 1 Es interesante notar que si el flujo de cargas permanece invariable en el tiempo (co- rriente continua), esto implica que la carga por unidad de tiempo que atraviesa cualquier superficie no aumenta ni disminuye y, por tanto, la distribución de cargas permanece in- variable en el tiempo, provocando que, a pesar de que las cargas se muevan, todavía se pueda seguir aplicando la Electrostática. No obstante, las cargas del interior del conductor generalmente no generan campo eléctrico dado que existe una compensación precisa entre cargas positivas y negativas. 29 30 TEMA 2. Circuitos de Corriente Continua Finalmente se presentará un método de análisis de circuitos lineales de- nominado análisis de mallas. 2.2. Intensidad y densidad de corriente (vec- tor J) Una “medida” de la corriente eléctrica es proporcionada por la inten- sidad de la corriente, I. Esta magnitud se define como Intensidad de la corriente I = dQ dt , (2.1) esto es, la carga total por unidad de tiempo, Q, que atraviesa cierta super- ficie S. La unidad de intensidad de la corriente eléctrica es el amperio (A) definido como Unidad de intensidad: 1 amperio (A) 1amperio = 1 culombio 1 segundo ; 1 A = 1 C/s . La definición de la intensidad de corriente como el ritmo temporal con que la carga atraviesa cierta superficie S establece una dependencia de esta magnitud con el flujo de carga a través de cierta superficie que debe dS S J especificarse. Este hecho sugiere la conveniencia de expresar la intensi- dad como el flujo de cierto vector (ver Apéndice A.5), que se denominará vector densidad de corriente J, a través de la superficie S: I = S J d S . (2.2) Evidentemente las unidades de J son de intensidad partido por superficie, esto es: A/m 2 ; representando el módulo de esta magnitud la cantidad de carga que pasa por unidad de superficie y por unidad de tiempo a través de un elemento de superficie perpendicular al flujo. Para obtener una expresión explícita del vector densidad de corriente en función de las características del flujo de partículas cargadas, consi- deraremos la situación mostrada en la figura adjunta. En esta figura se muestra la contribución a la corriente, ∆I, de la parte de carga, ∆Q, que atraviesa el área ∆S (la carga por unidad de tiempo que atraviesa la superficie completa será I). Claramente la carga que atraviesa ∆S en la unidad de tiempo ∆t es aquélla comprendida en un volumen de área transversal ∆S y de longitud l igual al recorrido de una de las cargas en el tiempo ∆t, siendo por tanto l = v d ∆t, donde v d es el módulo de la velo- cidad de desplazamiento de las partículas cargadas. Supuesto que existen n partículas cargadas móviles por unidad de volumen y que la carga de cada una de las partículas es q (luego la carga por unidad de volumen es nq), se tiene que ∆Q = nq∆V = nq∆Sv d ∆t . La carga que atraviesa el elemento de área ∆S por unidad de tiempo ∆t, será por tanto ∆I = ∆Q ∆t = nqv d ∆S . Apuntes de FFI Dpt. Física Aplicada 1 2.2. Intensidad y densidad de corriente (vector J) 31 Si se tiene en cuenta que en el caso analizado previamente, el área consi- derada estaba orientada perpendicularmente al movimiento, la expresión anterior ofrecía directamente el valor del flujo que atravesaba dicha área. Si el área considerada, ∆S, presenta otra orientación, entonces el flujo debe expresarse en términos del producto escalar de la velocidad de las partículas por el vector área (al igual que ya se hizo para el flujo del campo eléctrico) y por tanto, en general, ∆I = nqv d ∆ S . (2.3) Tomando ahora el límite de la expresión anterior para áreas infinitesima- les, ∆S →0, (2.3) puede reescribirse como: dI = nqv d d S , (2.4) de donde se deduce que la intensidad que atraviesa el área total S vendrá dado por I = S dI = S nqv d d S . (2.5) Comparando ahora (2.5) con (2.2), obtenemos la siguiente expresión para el vector densidad de corriente en el caso de que exista un único tipo de portadores: Vector densidad de corriente J = nqv d . (2.6) En aquellas situaciones en las que haya más de un tipo de portadores, la expresión (2.6) puede generalizarse y escribirse como J = ¸ i n i q i v d,i . (2.7) Es interesante observar (según muestra la figura adjunta) que si tenemos cargas positivas y negativas fluyendo en el mismo sentido, la corriente respectiva estará dirigida en sentidos opuestos. + - v d J J Ejemplo 2.1 Cálculo de la velocidad de desplazamiento de los electrones en un cable de Cu (densidad ρ = 8,93 g/cm 3 y masa atómica A = 63,55 g) de radio 0.8 mm que transporta una corriente de intensidad 20 mA. Es interesante primero notar que para el caso de corriente continua en un ca- ble (que generalmente presenta una sección transversal invariante), la expresión de la intensidad se reduce a I = Z S J · d S = Z S JdS = J Z S dS = JS , (2.8) donde se ha supuesto que J dS y que J permanece constante en toda la sección transversal (n no varía en la sección y la velocidad de las cargas es la misma en toda la sección). Puesto que J = nqv d , de la expresión (2.8) se deduce que la velocidad de desplazamiento de las cargas móviles puede escribirse como v d = I nqS . Dado que la intensidad, la carga elemental q y la sección transversal pueden calcularse a partir de los datos del problema, v d quedará determinada si conoce- mos el valor de n. Para calcular el número de electrones libres por m 3 en el cobre, Dpt. Física Aplicada 1 Apuntes de FFI 32 TEMA 2. Circuitos de Corriente Continua supondremos que cada átomo de cobre aporta un electrón libre al metal, por lo que el número de éstos coincidirá con el número de átomos de Cu por m 3 , na. Pa- ra obtener na puede calcularse el número de moles por m 3 , χ, y multiplicar este número por el número de átomos en un mol, NA = 6,02 ×10 23 , esto es: na = χNA. A su vez, el número de moles por m 3 puede obtenerse como χ = masa de 1m 3 masa de un mol = ρ A , por lo que n puede obtenerse a partir de la siguiente expresión: n = NA ρ A . Para el caso del Cu, A = 63,55g y ρ = 8,93 g/cm 3 , por lo que n = 6,02 ×10 23 8,93 ×10 6 63,55 = 8,46 ×10 28 electrones/m 3 . La velocidad de desplazamiento será por tanto: v d = 20 ×10 −3 8,46 ×10 28 · 1,6 ×10 −19 · π(0,8 ×10 −3 ) 2 = 7,43 ×10 −7 m/s . Obsérvese el valor tan pequeño de velocidad que se obtiene para el desplazamien- to de los electrones en el interior del cable, aunque esta velocidad de desplaza- miento tan pequeña no implica que haya que esperar un largo tiempo para que se inicie la corriente eléctrica. Algo similar ocurre en una columna de soldados respondiendo a la voz de “marcha”, aunque la velocidad de desplazamiento de los soldados pueda ser pequeña, la columna se pone en marcha de forma casi instantánea. (*) Ecuación de continuidad de la carga El principio de conservación local de la carga (ver Apartado 1.1) exigía que si cierta carga desaparecía de un lugar, esta misma carga debía haber viajado y aparecer posteriormente en otro lugar. Dado que la carga via- jando constituye una corriente eléctrica, este principio puede expresarse en términos de dicha corriente eléctrica como La intensidad de corriente que atraviesa la superficie cerrada de un recinto es igual a menos la variación tem- poral de la carga móvil en su interior. Esta ley simplemente dice que si en cierto recinto entran, por ejemplo, 5 cargas por segundo y salen 2 cargas por segundo, entonces la carga en el interior del recinto aumenta a un ritmo de 3 cargas por segundo. En forma matemática, el principio anterior se conoce como ecuación de continuidad para la carga y puede expresarse como S J d S = − dQ dt , (2.9) donde el signo menos delante del segundo miembro sólo indica que un flu- jo positivo (es decir, carga saliendo del recinto) está relacionado con una J -dQ/dt disminución de la carga en su interior. Dado que la carga en el interior Apuntes de FFI Dpt. Física Aplicada 1 2.3. Conductividad, Ley de Ohm 33 del recinto puede expresarse en términos de la densidad de carga volu- métrica en su interior: Q = V ρd1, la expresión (2.9) puede reescribirse como S J d S = − d dt V ρd1 = − V ∂ρ ∂t d1 . (2.10) Para el caso de corriente continua, donde no existen variaciones tem- porales de carga móvil en el interior de los conductores (dado que la carga por unidad de tiempo que atraviesa cualquier superficie es siempre la misma), se cumple que ∂ρ ∂t = 0 , por lo que la ecuación de continuidad establece que Ecuación de continuidad en régimen estacionario S J d S = 0 , (2.11) esto es, el flujo de corriente a través de un recinto cerrado es nulo; o lo que es lo mismo, la misma cantidad de carga que entra en el recinto sale de él. 2.3. Conductividad, Ley de Ohm 2.3.1. Conductividad eléctrica El modelo más elemental de lo que sucede en un conductor real su- pone que las cargas móviles del conductor responden a la aplicación de un campo eléctrico externo acelerándose, pero que esta ganancia conti- E + nua de energía cinética es compensada por una pérdida equivalente de energía debida a las continuas colisiones que sufren las cargas móviles (generalmente electrones) con los restos atómicos fijos del material con- ductor. Este proceso simultáneo de aceleración debido al campo eléctrico y desaceleración debido a las continuas colisiones es equivalente a un movimiento promedio en el que la velocidad de los portadores de carga permanece constante. El complicado proceso interno puede simularse globalmente conside- rando que el resultado de las colisiones puede modelarse mediante el efecto de una fuerza disipativa, F d = −λv d , que se opone al movimiento. Según este sencillo modelo, la ley de movimiento de una de las partículas cargadas en el interior de un conductor real vendría dada por m dv d dt = q E −λv d . (2.12) En la situación estacionaria en la que la velocidad de desplazamiento de las cargas permanece constante (esto es: dv d /dt = 0), ésta podrá expre- sarse, según (2.12), como v d = q λ E , y por tanto, dado que J = nqv d , el vector densidad de corriente vendrá dado por J = nq 2 λ E . (2.13) Dpt. Física Aplicada 1 Apuntes de FFI 34 TEMA 2. Circuitos de Corriente Continua La anterior expresión manifiesta la existencia de una relación lineal entre el vector densidad de corriente y el campo eléctrico aplicado que puede expresarse como 2 J = σ E , (2.14) siendo σ un parámetro asociado al material que se conoce como con- Ley de Ohm para J y E ductividad eléctrica y que vendrá dado por Conductividad eléctrica σ = nq 2 λ . (2.15) La conductividad eléctrica mide el grado de conducción eléctrica de los materiales, siendo mayor para aquellos materiales en los que la corriente eléctrica fluye con más facilidad (dado que σ es inversamente proporcio- nal al parámetro λ). Es interesante notar que independientemente del signo de la carga, - + v d v d E J J dado que ésta aparece al cuadrado, el sentido de la corriente es siempre el mismo que el del campo eléctrico aplicado. 2.3.2. Ley de Ohm circuital Si un conductor filiforme dotado de cierta conductividad σ se sitúa en una región donde existe un campo eléctrico E, este campo eléctrico pene- tra en el conductor (a diferencia de un conductor perfecto donde E int = 0) y “afectará” a las cargas móviles dando lugar a una corriente eléctrica. La integral de camino del campo eléctrico entre dos puntos del conductor será justamente la diferencia de potencial entre esos dos puntos, esto es, 2 1 E d l = V (1) −V (2) ≡ V 12 . Esta diferencia de potencial entre dos puntos es usualmente denominada E 1 2 J l tensión eléctrica, o simplemente tensión. Dado que el campo eléctrico puede relacionarse con la densidad de corriente mediante la ley de Ohm (2.14), se tiene que V 12 = 2 1 J σ d l . (2.16) Supuesto que en el conductor filiforme de sección transversal S, el vector densidad de corriente pueda escribirse como J = I S ˆ u (2.17) (siendo ˆ u el vector unitario en la dirección del conductor), el cálculo de la integral de camino (2.16) será entonces V 12 = 2 1 J σ d l = I σS 2 1 ˆ u d l = I σS 2 1 dl = l σS I , (2.18) donde l es distancia entre los puntos 1 y 2. Obsérvese que se ha obtenido una relación lineal entre la diferencia de potencial entre dos puntos del conductor y la intensidad de la corrien- te eléctrica que circula por él. Esta relación se puede escribir de forma genérica como Ley de Ohm circuital 2 En general esta ley también será válida para campos eléctricos no electrostáticos. Apuntes de FFI Dpt. Física Aplicada 1 2.4. Efecto Joule 35 V = RI (2.19) que se conoce como ley de Ohm circuital (enunciada por G.S. Ohm en 1827), donde el parámetro R, denominado resistencia del material, es para el conductor filiforme Resistencia de un conductor filiforme R = l σS . (2.20) La resistencia es una característica de cada conductor que depende de su constitución material (a través de σ) y de su geometría. La unidad de resistencia en el SI es el ohmio (Ω), siendo Unidad de Resistencia: 1 ohmio (Ω) 1 ohmio = 1 voltio 1 amperio , 1 Ω = 1 V/A . A diferencia de lo que ocurre en un conductor perfecto, que es equipoten- cial, la presencia de una resistencia (esto es, la existencia de una pérdida de energía de los portadores de carga móviles debido a las colisiones con los restos atómicos fijos) se manifiesta en una caída de potencial, o ten- sión, a lo largo del conductor real si éste es recorrido por una corriente. A partir de (2.20) podemos deducir que las unidades de conductividad σ son inversamente proporcional a la resistencia y longitud, por lo que las unidades de conductividad suelen darse en (Ωm) −1 . La conductividad Unidad de conductividad eléctrica: 1 (Ωm) −1 eléctrica es una de las magnitudes que más varían de un material a otro: desde 10 −15 (Ωm) −1 para materiales muy poco conductores (dieléctricos) hasta 10 8 (Ωm) −1 en metales muy buenos conductores como el cobre o la plata. Puesto que la conductividad de los metales suele ser muy alta y, por tanto, su resistencia muy baja, en múltiples situaciones prácticas (por ejemplo, en la mayoría de los circuitos) se considera que no hay caída de potencial en los conductores metálicos sino que toda la caída de potencial se da en unos elementos específicos de menor conductividad llamados resistencias. R V=V 12 AB A B 1 2 2.4. Efecto Joule En los apartados anteriores se ha discutido que la presencia de co- rriente eléctrica en un conductor real lleva aparejado un proceso disipati- vo de energía fruto de las continuas colisiones de los portadores móviles con los restos atómicos fijos. Este proceso disipativo implica una pérdida de energía cinética de los portadores de carga en forma de calor que se transmite al material conductor. La presencia de una caída de potencial en un conductor real (cuando éste es recorrido por una corriente eléctri- ca) provoca que para desplazar un diferencial de carga, dq, desde el punto de potencial V 1 al punto de potencial V 2 , el campo eléctrico externo deba E V 1 dq V 2 realizar un trabajo. Si la diferencia de potencial entre estos dos puntos es V = V 1 −V 2 , este trabajo viene dado, según (1.72), por dW = dq(V 1 −V 2 ) = dqV . Teniendo ahora en cuenta que el elemento de carga, dq, es parte de una corriente I que circula por el conductor, podremos escribir que: dq = Idt; por lo que el diferencial de trabajo realizado por el campo podrá expresarse como dW = IV dt . (2.21) Dpt. Física Aplicada 1 Apuntes de FFI 36 TEMA 2. Circuitos de Corriente Continua En consecuencia, el ritmo temporal con el que se realiza este trabajo, que coincidirá con la potencia, P = dW/dt, disipada en forma de calor en la resistencia, vendrá dado por Ley de Joule P = IV = I 2 R = V 2 /R . (2.22) Esta ley para la potencia disipada en una resistencia fue deducida experi- mentalmente por J.P. Joule sobre 1841. Ejemplo 2.2 Dos conductores de la misma longitud y el mismo radio se conectan a tra- vés de la misma diferencia de potencial. Si uno de los conductores tiene el doble de resistencia que el otro, ¿cuál de los dos conductores disipará más potencia? Si la resistencia del conductor 1 es R1 = R y la del conductor 2 es R2 = 2R, entonces, de acuerdo con la expresión (2.22), las potencias disipadas en cada conductor son: P1 = V 2 R1 = V 2 R P2 = V 2 R2 = V 2 2R , por lo que: P1 = 2P2 . Esto quiere decir que, supuesta igual la diferencia de potencial en los conducto- res, aquel conductor con menor resistencia es el que disipa mayor cantidad de potencia. ¿Qué ocurriría si los conductores anteriores fuesen recorridos por la misma intensidad? 2.5. Fuerza electromotriz Antes de analizar el proceso de mantenimiento de una corriente conti- nua, detengámonos un momento en el análisis de una “corriente continua de masa”. En el dibujo adjunto se muestras bolitas que se mueven en el interior de un tubo cerrado sobre sí mismo. La cuestión es: ¿puede existir un movimiento constante de masa en la situación anterior?. Obviamen- te, bajo el efecto único del campo gravitatorio, una bolita que sale de la parte superior no podrá llegar a un punto más alto que aquél desde el cual ha partido y, por tanto, no puede producir un movimiento circular continuo (es decir, no puede alcanzar un punto de potencial gravitatorio mayor que el de partida). No obstante, si además existe rozamiento, ha- brá una perdida de energía cinética en forma de calor que provocará que la bolita no alcance el punto teórico de máxima altura sino que se deten- drá en un punto de altura menor. En definitiva, la bolita en el dispositivo anterior no podrá realizar un movimiento circular mantenido sino que só- lo podrá realizar un movimiento oscilatorio que desaparecerá tras unas cuantas oscilaciones. Por tanto, podemos afirmar que el campo gravitato- rio, que es conservativo, no es capaz de mantener una corriente continua de masa. Para conseguir una corriente continua de masa se debe añadir al Apuntes de FFI Dpt. Física Aplicada 1 2.5. Fuerza electromotriz 37 sistema anterior un elemento que proporcione el “empuje” adicional nece- sario a las masas para que puedan continuar su movimiento. Claramente este elemento adicional debe producir un campo de naturaleza distinta al gravitatorio (esto es, no conservativo). La misma cuestión puede ahora plantearse respecto al mantenimiento de una corriente de cargas eléctricas por un campo electrostático. En este caso, y debido a la naturaleza conservativa del campo electrostático, la respuesta sigue siendo NO, por razones análogas a las del caso anterior. En otras palabras, el trabajo por unidad de carga que realiza el campo electrostático, E els , en un recorrido circular de la carga es nulo, W q = E els d l = 0 , debido al carácter conservativo de E els . Dado que en cualquier situación real siempre existe una pérdida de energía debido al efecto Joule, para mantener un movimiento continuo de cargas debemos introducir un ele- mento externo que proporcione a las cargas móviles el “impulso externo” necesario para compensar esta perdida constante de energía. El agente de este impulso externo a las cargas no puede ser claramente un cam- po electrostático pues éste proporcionaría siempre una energía nula por ciclo. Puesto que el impulso sobre los portadores móviles puede estar loca- lizado en una parte concreta del circuito o bien distribuido a lo largo de éste, lo que importa es la integral a lo largo de todo el circuito de la fuer- za por unidad de carga, f, que origina este impulso. Generalmente esta fuerza por unidad de carga puede identificarse con un campo eléctrico no electrostático, f = E/q. La circulación de dicho campo se conoce como fuerza electromotriz, c, (denotada usualmente como “fem”): Fuerza electromotriz (fem) c = circuito E d l , (2.23) esto es, la fuerza tangencial por unidad de carga integrada sobre la longi- tud del circuito completo (esta cantidad es igual a la energía por unidad de carga suministrada en cada ciclo por el agente externo). Debe notarse que la denominación de “fuerza” electromotriz es un poco desafortunada, dado que c no tiene unidades de fuerza sino de fuerza por unidad de carga (o sea, de campo eléctrico) y por longitud, que son precisamente unida- des de potencial eléctrico (recuérdese que, según (1.38), el potencial se define como la integral de camino del campo electrostático). Por consi- guiente, las unidades de fuerza electromotriz son voltios. No obstante, es Unidad de fem : 1 voltio (V) importante aclarar que la fuerza electromotriz NO es una diferencia de potencial, c = ∆V , puesto que el agente de fem no puede ser un campo electrostático, E s (campo de circulación nula), sino un campo de naturaleza no electrostá- tica que llamaremos campo electromotor, E m . El agente físico concre- to responsable de este campo electromotor puede ser muy diverso, por ejemplo: fuerzas de origen químico en una batería, fuerza mecánica en un generador de Van de Graaff, la luz en una célula fotoeléctrica, la presión mecánica en un cristal piezoeléctrico, etc... Dpt. Física Aplicada 1 Apuntes de FFI 38 TEMA 2. Circuitos de Corriente Continua Podemos, por tanto, establecer que la existencia de una corriente eléc- trica continua en un circuito requiere la acción de un agente externo, usualmente denominado generador de fem (o también, fuente de ten- sión), que proporcione el campo electromotor necesario para “empujar” las cargas positivas/negativas hacia potenciales crecientes/decrecientes en contra del efecto del campo electrostático. Este hecho queda de ma- nifiesto en la parte (a) de la Fig. 2.1, donde al realizar la circulación del Figura 2.1: (a) Esquema físico de la acción de un generador de fuerza electromotriz. (b) Representación circuital del esquema anterior campo total, E T = E s + E m : c = E T d l = E s d l + E m d l = 2 1 E m d l (2.24) se obtiene que la fuerza electromotriz es justamente la integral de camino del campo electromotor entre los puntos 1 y 2. En términos circuitales, la representación de la situación anterior se muestra en la parte (b) de la figura. Potencia suministrada por el generador El trabajo que realiza el generador (en concreto, el campo electromo- tor, E m ) para mover un diferencial de carga dq vendrá dado por dW = dq E m d l = dqc . (2.25) Puesto que este diferencial de carga forma parte de una corriente, ten- dremos que dq = Idt y por tanto dW = Icdt . (2.26) De la expresión anterior podemos deducir que la potencia, P, suministra- da por el generador es Potencia suministrada por el generador de fem P = Ic . (2.27) Apuntes de FFI Dpt. Física Aplicada 1 2.6. Reglas de Kirchhoff 39 2.6. Reglas de Kirchhoff 2.6.1. Regla de Kirchhoff de las tensiones Si calculamos la integral de camino del campo total, E t , entre los pun- tos 1 y 2 de la rama (asociación de elementos en serie recorridos por la misma intensidad) mostrada en la figura adjunta, tendremos que 2 1 E T d l = 2 1 E s d l + 2 1 E m d l . (2.28) Ahora bien, según la expresión (2.14), el primer miembro de la expresión anterior se puede reescribir como 2 1 E T d l = 2 1 J σ d l . (2.29) Suponiendo válida la expresión (2.17) y operando obtenemos que 2 1 E T d l = 2 1 J σ d l = 2 1 I σS dl = IR . (2.30) El sentido de la intensidad se supone inicialmente fluyendo en el sentido de recorrido del punto 1 al punto 2. El primer término del segundo miembro es justamente la integral de camino del campo electrostático entre los puntos 1 y 2, esto es, la dife- rencia de potencial entre ambos puntos (o tensión): 2 1 E s d l = V 12 . Dado que el segundo término es, por definición, la fuerza electromotriz del generador, la expresión (2.28) puede reescribirse como IR = V 12 +c , (2.31) o bien: V 12 = IR −c . (2.32) Es interesante notar que si entre los puntos 1 y 2 sólo existiese el genera- dor de fuerza electromotriz (R = 0), de acuerdo con la ecuación anterior, la caída de tensión V 21 es numéricamente igual al valor de la fuerza elec- tromotriz, c, del generador. (La misma situación se daría, V 21 = c, si no circulase intensidad por la rama aunque R = 0). Si en vez de una sola resistencia y generador tenemos una rama con varios de ellos, entonces, la aplicación del anterior razonamiento nos dice que V 12 = I(R 1 + R 2 +R 3 ) −(−c 1 +c 2 ) , que de forma general se puede escribir como V 12 = I ¸ R i − ¸ c i , (2.33) donde el signo de la correspondiente c i se toma: sign(c) = + si sentido E m = sentido recorrido − si sentido E m = sentido recorrido . Dpt. Física Aplicada 1 Apuntes de FFI 40 TEMA 2. Circuitos de Corriente Continua Figura 2.2: En un caso todavía más general como el que se muestra en la Figura 2.2, donde tenemos varias ramas recorridas por diferentes corrientes, el cálculo de la integral de camino entre los puntos 1 y 2 nos dice que V 12 = [I 1 R 1 −I 2 R 2 +I 3 (R 3 +R 4 )] −(−c 1 +c 2 ) , donde el signo de la intensidad se toma positivo si su sentido de recorrido coincide con el del camino del punto 1 al 2 y negativo si no coincide. En general, la expresión anterior se puede expresar como Regla de Kirchhoff para la tensión. V 12 = ¸ j I j R j − ¸ i c i , (2.34) (donde R j es la resistencia total de la rama j recorrida por la intensidad I j ) y se conoce como regla de Kirchhoff para la tensión. 2.6.2. Regla de Kirchhoff de las intensidades Si la expresión (2.11) se aplica a un cable, ésta dice que J dS 2 dS 1 S J d S = S1 J d S + S2 J d S = J S 1 + J S 2 = −I +I = 0 . Para el caso de tres ramas de un circuito que confluyen en un nudo, al J 1 J 2 J 3 dS 2 dS 3 dS 1 aplicar (2.11) obtenemos: S J d S = S1 J d S + S2 J d S + S3 J d S = J 1 S 1 + J 2 S 2 + J 3 S 3 = −I 1 +I 2 +I 3 = 0 , donde los valores de las distintas intensidades serán negativos (si la carga entra en el recinto) o positivos (si la carga sale del recinto). Si la expresión anterior se generaliza para un nudo con N ramas, se obtiene la regla de Kirchhoff para las intensidades: Regla de Kirchhoff para las intensidades N ¸ i=1 I i = 0 , (2.35) que establece que la suma de todas las intensidades en un nudo es nula. Apuntes de FFI Dpt. Física Aplicada 1 2.7. Aplicación a circuitos de CC 41 2.7. Aplicación a circuitos de CC Denominaremos circuito de corriente continua (cc) a la interconexión de un número arbitrario de resistencias y generadores de cc. La interco- nexión puede tener cualquier topología, siendo la más simple la mostrada en la figura adjunta. La aplicación de las dos reglas de Kirchhoff ante- riores conducirá, en general, a un sistema de ecuaciones, cuya resolución nos dará los valores de las magnitudes buscadas. Para el caso simple de la anterior figura, tendremos que solo existe una intensidad, I, que recorre el circuito. La aplicación de la regla de Kirchhoff (2.32) para la tensión al anterior circuito (recorrido en el sentido horario desde el punto 1 hasta él mismo) dice que V 11 = 0 = IR −c , por lo que la intensidad será I = c/R . Para un circuito más complejo como el mostrado en la Fig. 2.3, tomamos Figura 2.3: como incógnitas las intensidades que recorren cada rama: I a , I b e I c . Las reglas de Kirchhoff dan lugar al siguiente sistema lineal de tres ecuacio- nes: I a R a +I b R b = c a −c b (2.36a) I c R c +I b R b = c c −c b (2.36b) I b = I a +I c , (2.36c) que tras sustituir I b queda como I a (R a +R b ) +I c R b = c a −c b (2.37a) I a R a +I c (R b +R c ) = c c −c b . (2.37b) La resolución del anterior sistema por cualquiera de los métodos conoci- dos permitirá obtener las intensidades en cada una de las ramas. (*) Método de las corrientes de malla Existen algunas métodos que permiten resolver los circuitos linea- les (circuitos cuyos componentes muestran una relación lineal entre la intensidad y la tensión) planteando de forma sistemática un sistema de ecuaciones para ciertas variables auxiliares. Uno de estos métodos es el Dpt. Física Aplicada 1 Apuntes de FFI 42 TEMA 2. Circuitos de Corriente Continua conocido como método de las corrientes de malla. Este método simple- mente “reorganiza” las expresiones resultantes de la aplicación de las reglas de Kirchhoff, de modo que las variables incógnitas son las denomi- nadas intensidades de malla. Antes de presentar el método, es conve- niente determinar con precisión el significado de ciertas denominaciones: Rama: Conexión en serie de componentes. Nudo: Punto en el que concurren tres o más ramas. Red: Conjunto de nudos y ramas. Malla: Recorrido de una red, tal que partiendo de un punto se vuelve a él sin pasar dos veces por un mismo nudo. En la aplicación del método, se debe empezar identificando un número mínimo de mallas que recubra completamente el circuito. En el caso del circuito de la Figura 2.3, podemos comprobar que el circuito es recubier- to por al menos dos mallas, siendo su elección más trivial, la malla de la izquierda (malla 1) y la de la derecha (malla 2). Para cada una de estas mallas definiremos su intensidad de malla respectiva (con su sentido) co- mo aquella intensidad que recorre la malla: I 1 e I 2 ; de modo que I 1 es la intensidad que recorre la rama a y parcialmente la rama b. Por su parte, la intensidad de la rama b vendrá dada por I b = I 1 +I 2 . En general, el sistema planteado para las intensidades de malla, I j , es el siguiente: c i = N ¸ j=1 R ij I j (2.38) i = 1, . . . , N , donde N es el número de mallas; c i es la fem total de la malla, tomando el signo de cada f.e.m. par- cial positivo si el campo electromotor va en el mismo sentido que la intensidad de malla, y negativo en otro caso; R ij es la resistencia total común de la malla i y j, cuyo signo será sign(R ij ) = + si sentido I i = sentido I j − si sentido I i = sentido I j . Si aplicamos la técnica anterior al circuito de la Figura 2.3, obtendre- mos el siguiente sistema en forma matricial: ¸ c a −c b c c −c b = ¸ R a +R b R b R b R b +R c ¸ I 1 I 2 (2.39) Apuntes de FFI Dpt. Física Aplicada 1 2.7. Aplicación a circuitos de CC 43 Ejemplo 2.3 Obtenga el sistema de ecuaciones para las intensidades de malla del si- guiente circuito de tres mallas En el circuito de la figura adjunta definimos una intensidad para cada una de las mallas señaladas, tomando el sentido de esta intensidad tal y como se muestra en la figura. Siguiendo los criterios de signos ya señalados para las resistencias y fuerzas electromotrices, encontramos que el sistema de ecuaciones escrito en forma matricial que caracteriza al circuito es el siguiente: 2 4 −E1 −E4 E3 +E4 E2 3 5 = 2 4 R1 +R2 +R8 −R8 −R2 −R8 R5 +R6 +R7 +R8 −R5 −R2 −R5 R2 +R3 +R4 +R5 3 5 2 4 I1 I2 I3 3 5 2.7.1. Teorema de superposición En aquellos circuitos en los que existe más de una fuente de tensión podemos usar el principio de superposición para derivar el siguiente teor- mea (es básicamente el principio de superposición aplicado a circuitos): La respuesta en cualquier elemento de un circuito lineal que contenga dos o más fuentes es la suma de las respuestas obte- nidas para cada una de las fuentes actuando separadamente y con todas las demás fuentes anuladas. Para demostrar este teorema podemos partir del sistema de ecuacio- nes que nos daba el método de análisis de mallas, [c] = [R][I] , (2.40) o, equivalentemente, [I] = [R] −1 [c] . (2.41) Si ahora consideramos una descomposición de las fuentes, de manera que [c] = α[c] 1 +β[c] 2 , (2.42) tendremos entonces que existe una descomposición análoga para la in- tensidad, [I] = [R] −1 [c] = α[R] −1 [c] 1 +β[R] −1 [c] 2 = α[I] 1 +β[I] 2 . (2.43) La ecuación anterior muestra que toda combinación lineal de fuerzas elec- tromotrices provoca una correspondiente combinación lineal de intensida- des. Dpt. Física Aplicada 1 Apuntes de FFI 44 TEMA 2. Circuitos de Corriente Continua Ejemplo 2.4 Aplicar el teorema de superposición para calcular la intensidad I b en el cir- cuito de la parte (a) de la figura. El cálculo de la corriente I b mediante la aplicación del teorema de superposi- ción requiere la descomposición de la excitación provocada por las dos fuentes en dos excitaciones distintas debidas a cada una de las fuentes actuando por separa- do. De esta manera I b = I b,1 +I b,2 , y, por tanto, debemos resolver dos problemas más simples según muestra la parte (b) de la figura. Para calcular I b,1 , tenemos que resolver el siguiente sistema: Ea = IaRa +I b,1 R b I b,1 R b = IcRc Ia = I b,1 +Ic . Asimismo para calcular I b,2 , se resolverá Ec = IcRc +I b,2 R b I b,2 R b = IaRa Ic = I b,2 +Ia . Aunque el ejemplo anterior no muestra ninguna ventaja de cálculo en la resolución del circuito, existen múltiples situaciones en las que la apli- cación de este teorema puede ser muy beneficioso para simplificar los cálculos. Una situación en la que este teorema muestra su utilidad se en- cuentra cuando tengamos en un mismo circuito fuentes de corriente con- tinua y de corriente alterna. Algún ejemplo de esta situación se mostrará en el tema de corriente alterna. 2.7.2. Teorema de Thevenin Este teorema puede enunciarse de la siguiente manera: En un circuito de CC que contenga resistencias y fuentes de fem del cual salen dos terminales, éstos pueden ser conside- rados a efectos de cálculo como los terminales de un circuito que contiene una única fuente de tensión, c TH , de valor igual a la diferencia de potencial que aparece entre los terminales, y una única resistencia, R TH , equivalente a la que aparece entre los terminales cuando se anulan todas las fuentes de fem del circuito. El contenido del teorema puede interpretarse diciendo que todo cir- cuito lineal activo con terminales de salida A y B puede sustituirse por una fuente de tensión en serie con una resistencia (ver Fig. 2.4). Los valo- res concretos de esta fuente de tensión y de la resistencia se determinan según el procedimiento descrito por el propio teorema. Apuntes de FFI Dpt. Física Aplicada 1 2.7. Aplicación a circuitos de CC 45 Figura 2.4: Red compuesta por múltiples fuentes de fem y resistencias junto con su circuito equivalente Thevenin. Ejemplo 2.5 Calcular el equivalente Thevenin del circuito de la figura Para aplicar el teorema de Thevenin, debemos calcular el valor de la resisten- cia y de la fuente de tensión de Thevenin. En primer lugar calcularemos RTH, para lo cual debe obtenerse la resistencia equivalente cuando se anula (cortocircuita) la fuente. En primer lugar obtenemos la resistencia paralelo, R , debido a las resistencias de 60Ω y 40Ω: A 26W 60W 40W B 1 R = 1 40 + 1 60 , de donde R = 24Ω. La resistencia Thevenin será simplemente RTH = R + 26 = 50Ω . Para obtener la fuente de tensión Thevenin, obtendremos la diferencia de po- tencial entre los terminales A y B dado que ETH = VAB. La intensidad, I, que recorre el circuito será I = 200 V 60Ω + 40Ω = 2 A . Teniendo en cuenta que por las ramas A o B no circula intensidad, tenemos que: VAB = V A ′ B ′ y por tanto ETH = 40I = 80 V . A A’ B B’ 2.7.3. Teorema de Norton Este teorema puede enunciarse de la siguiente manera: En un circuito de CC que contenga resistencias y fuentes de fem del cual salen dos terminales, éstos pueden ser conside- rados a efectos de cálculo como los terminales de un circuito que contiene un generador de corriente, I NR , de valor igual a la intensidad de la corriente que aparece entre los terminales en cortocircuito, y una resistencia en paralelo, R NR , equivalente a la que aparece entre los terminales cuando se anulan todas las fuentes de fem del circuito. Dpt. Física Aplicada 1 Apuntes de FFI 46 TEMA 2. Circuitos de Corriente Continua Figura 2.5: Red compuesta por múltiples fuentes de fem y resistencias junto con su circuito equivalente Thevenin. El contenido del teorema puede interpretarse diciendo que todo cir- cuito lineal activo con terminales de salida A y B puede sustituirse por un generador de corriente en paralelo con una resistencia (ver Fig. 2.5). Los valores concretos de esta fuente de intensidad y de la resistencia se determinan según el procedimiento descrito por el propio teorema. Nótese que los equivalentes Thevenin y Norton están relacionados me- diante las siguientes expresiones I NR = c TH R TH y R NR = R TH . 2.7.4. Balance de potencia En los apartados 2.4 y 2.5 se ha discutido la potencia disipada en una resistencia y la proporcionada por una fuente de tensión. En un circuito compuesto de varias fuentes de tensión y resistencias resulta evidente, a partir del principio de conservación de la energía, que la potencia total (energía por unidad de tiempo) disipada en todas las resistencias debe coincidir con la potencia suministrada por el conjunto de todas las fuen- tes. En otras palabras, si tenemos N fuentes de tensión, cada una de ellas suministrando una potencia dada por P(c n ) = I n c n (siendo I n la intensidad de la corriente que circula por la fuente c n ) y M resistencias, disipando cada una de ellas una potencia P(R m ) = I m V m (siendo V m e I m respectivamente la caída de tensión y la intensidad en la resistencia R m ), entonces debe cumplirse que Potencia suministrada por todas las fuentes de tensión debe ser igual a potencia consumida en todas las resistencias N ¸ n=1 P(c n ) = M ¸ m=1 P(R m ) , (2.44) o equivalentemente, N ¸ n=1 I n c n = M ¸ m=1 I m V m = M ¸ m=1 I 2 m R m = M ¸ m=1 V 2 m /R m . (2.45) Apuntes de FFI Dpt. Física Aplicada 1 2.8. Circuito RC. Carga y descarga de un condensador 47 2.8. Circuito RC. Carga y descarga de un con- densador Un circuito RC será aquel formado por resistencias, condensadores y generadores de fuerza electromotriz. La principal diferencia con los cir- cuitos con generadores y resistencias que hemos visto hasta ahora reside en el hecho de que el condensador sufre procesos temporales de carga y descarga, lo que hace que la corriente que fluya por el circuito sufra una variación temporal, denominada transitorios, hasta que se alcanza finalmente un régimen estacionario. Descarga de un condensador Veamos lo anteriormente expuesto en el proceso de descarga de un condensador. Supongamos que el condensador de capacidad C ha sido cargado previamente, adquiriendo una carga final Q 0 . Si como muestra la Fig. 2.6 el interruptor se cierra en el instante t = 0, entonces empezará a fluir carga desde una placa a otra del condensador a través del circuito Figura 2.6: Esquema de la descarga de un condensador a traves de un circuito con una resistencia. con la resistencia R. Ciertamente este proceso continuará hasta que se anule la carga en las placas del condensador (y consecuentemente la dife- rencia de potencial entre dichas placas). La ecuación que rige el anterior proceso viene dada por la regla de Kirchhoff de las tensiones, que nos dice que V C = V R . (2.46) Teniendo en cuenta que V C = Q/C y que V R = RI = −RdQ/dt, 3 la ecua- ción anterior puede reescribirse como Q C = −R dQ dt =⇒ dQ dt + Q RC = 0 . (2.47) Notemos que la anterior ecuación es una ecuación diferencial, lo que sig- nifica que los distintos términos de la ecuación relacionan cierta función con sus derivadas. En otras palabras debemos encontrar la función Q(t) cuya derivada sea igual a ella misma multiplicada por 1/RC. Es fácil re- conocer que la única función cuya derivada es proporcional a ella misma 3 En el presente caso tenemos que I = −dQ/dt dado que, tal como se ha definido el sentido de la intensidad en la Fig. 2.6, la introducción del signo menos hace que este sentido sea compatible con la disminución de la carga en el condensador. Dpt. Física Aplicada 1 Apuntes de FFI 48 TEMA 2. Circuitos de Corriente Continua es la función exponencial. En este sentido podemos comprobar que la so- lución a la ecuación (2.47) es Q(t) = Q 0 e −t/RC , (2.48) donde Q 0 es precisamente el valor de la carga en el condensador en el instante t = 0 (Q(0) = Q 0 ). La expresion anterior nos dice que la carga en el condensador va de- creciendo de forma exponencial, siendo el factor τ = RC, denominado constante de tiempo, el que rige el ritmo de decrecimiento. Podemos comprobar que para tiempos t 4τ la carga del condensador es prác- ticamente despreciable y podemos considerar, a efectos prácticos, que el condensador ya se ha descargado. Para calcular la intensidad de la corriente que fluye en el proceso de descarga simplemente debemos derivar la expresión (2.48) para obtener I(t) = I 0 e −t/RC , (2.49) donde I 0 es el valor de la intensidad de la corriente en el instante t = 0, I(0) = I 0 = Q 0 /RC. Carga de un condensador El proceso contrario a la descarga del condensador será precisamente la carga de dicho condensador. En este proceso debemos contar con un generador de fuerza electromotriz, c, que nos proporcione la energía sufi- ciente para llevar a cabo este proceso. Consideremos el circuito mostrado en la Fig. 2.7. Si en el instante t = 0 cerramos el interruptor del circuito Figura 2.7: Esquema de la carga de un condensador a traves de un circuito con una resis- tencia R y un generador de fuerza electromotriz E. y suponemos el condensador inicialmente descargado Q(t = 0) = 0, en- tonces a partir de dicho momento el generador provoca un movimiento de cargas entre las placas del condensador que sólo cesará cuando la di- ferencial de potencial entre las placas del mismo se iguale al valor de la fuerza electromotriz. Aplicando la regla de Kirchooff de las tensiones al circuito tenemos que c = V C +V R (2.50) (en este caso, según el sentido de la intensidad en la Fig. 2.7, notemos que V R = RI = RdQ/dt), ecuación que podemos reescribir como c = Q C +R dQ dt =⇒ dQ dt + Q RC = c R . (2.51) Apuntes de FFI Dpt. Física Aplicada 1 2.9. Problemas propuestos 49 Esta ecuación diferencial es muy similar a (2.47) excepto en el miembro no nulo de la derecha. La solución es similar a la de (2.47) aunque ahora debemos añadir un término más, y así obtendremos que Q(t) = Cc +Q ′ e −t/RC . (2.52) El coeficiente Q ′ podemos obtenerlo a partir de la condición inicial para la carga, que nos decía que Q(t = 0) = 0. Aplicando esta condición a (2.52) obtenemos que Cc +Q = 0 =⇒ Q ′ = −Cc , lo que nos permite escribir finalmente que Q(t) = Cc 1 −e −t/RC . (2.53) Notemos que el proceso de carga viene caracterizado por una función monótonamente creciente, de manera que el tránsito de carga dura apro- ximadamente un tiempo t ≈ 4τ. Dependiendo de los valores de R y C este intervalo de carga (y también el de descarga) puede durar desde tiempos casi infinitesimales hasta tiempos del orden de segundos. 2.9. Problemas propuestos 2.1: En un tubo fluorescente de 3 cm de diámetro pasan por un punto y por cada segundo 2 ×10 18 electrones y 0,5 ×10 18 iones positivos (con una carga +qe) ¿Cuál es la intensidad de la corriente en el tubo?. Sol. 0,4 A. 2.2: Para saber la longitud del cable que ha sido arrollado en una bobina se mide la resis- tencia de este cable, encontrándose un valor de 5,18 Ω. Si la resistencia de una longitud de 200 cm de este mismo cable es de 0,35 Ω, ¿cuál era la longitud inicial del cable en la bobina?. Sol.: l = 2960 cm. 2.3: a) ¿Cuál es el valor del módulo del campo eléctrico en el interior de un conductor de cobre de resistividad ρ = 1,72 ×10 −8 Ωm si éste está recorrido por una corriente eléctrica de densidad de corriente J = 2,54 ×10 6 A/m 2 . b) ¿Cuál sería la diferencia de potencial entre dos puntos separados 100 m?. Sol.: a) E = 43,7 mV/m; b) ∆V = 4,37 V. 2.4: Cierto dispositivo mueve una carga de 1.5 C una distancia de 20 cm en una región del espacio sometida a un campo eléctrico uniforme de módulo E = 2 ×10 3 N/C. ¿Qué fuerza electromotriz desarrolla el dispositivo?. Sol.: E = 400 V. 2.5: ¿Cuánto calor produce en 5 minutos una resistencia eléctrica de hierro recorrida por una intensidad de 5 A y sometida a una diferencia de potencial de 120 V?. Sol. Calor ≈ 2,23 ×10 5 J. 2.6: Dos conductores de la misma longitud pero distinta área de sección transversal se conectan en serie y en paralelo. ¿Qué conductor de la combinación disipará más calor si ambas son sometidas a la misma diferencia de potencial?. Sol. Serie: el conductor con menor área; Paralelo: el conductor con mayor área. 2.7: En el circuito de la figura, determine: a) la corriente en cada resistencia; b) la diferen- cia de potencial entre los puntos a y b; y c) la potencia suministrada por cada batería. Sol.: a) I 4 = 2/3 A, I 3 = 8 A, I 6 = 14/9 A; b) V b − Va = −28/3 V; c) 8 W suministradas por la batería de la izquierda, 32/3 W suministrados por la otra. Dpt. Física Aplicada 1 Apuntes de FFI 50 TEMA 2. Circuitos de Corriente Continua 2.8: Se dispone de dos baterías, una con E 1 = 9 V, r 1 = 0,8 Ω y otra con E 2 = 3 V, r 2 = 0,4 Ω. a) ¿Cómo deberían conectarse para dar la máxima corriente a través de una resistencia R?. b) Calcular la corriente para R = 0,2 Ω y R = 1,5 Ω. Sol.: a) En paralelo para R pequeño, en serie para R grande; b) I 0,2 = 10,7 A, I 1,5 = 4,44 A. 2.9: Los condensadores del circuito de la figura están inicialmente descargados. a) ¿Cuál es el valor inicial de la corriente suministrada por la batería cuando se cierra el interruptor S? b) ¿Cuál es la intensidad de la corriente de la batería después de un tiempo largo? c) ¿Cuáles son las cargas finales en los condensadores? Sol.: a) 3,42 A; b) 0,962 A; c) Q 10 = 260 µC, Q 5 = 130 µC. 2.10: En el circuito de la figura se conecta entre los puntos A y B una batería de 10 V y de resistencia interna 1 Ω. Determínese: a) la corriente por la batería; b) la resistencia equivalente entre A y B; c) la diferencia de potencial entre las placas de un condensador que se conectase entre los nudos C y D. Sol.: a) 32/7 A; b) 1,18 Ω; c) 4/7 V. 2.11: En el circuito de la figura, determinar: a) la intensidad en cada rama, b) la d.d.p. entre a y b por todos los caminos posibles, c) la carga del condensador d) la potencia suministrada por las fuentes y la consumida por las resistencias. Sol.: a) 0 A, 4/3 A, 4/3 A; b) 4 V; c) 12 µC; d) suministradas: P(ξ = 4V ) = 0 W, P(ξ = 8V ) = 10,67 W; consumidas: P = 10,76 W. 2.12: Determínense las corrientes en el circuito de la figura. Sol.: 1.1 A, 0.87 A, 0.73 A, 0.36 A, 0.15 A y 0.22 A. 2.13: En el circuito de la figura: a) determínense las corrientes; b) hágase el balance de potencia. Sol.: a) 7 A, 2 A y 5 A; b) suministrada: 560 W; consumidas: P(R = 10) = 490 W, P(R = 5) = 20 W, P(R = 2) = 50 W. 2.14: Determinar la corriente por R = 6 Ω por dos métodos: a) utilizando las leyes de Kirchhoff; b) mediante el equivalente de Thévenin. Sol.: a) i R=6 = 1 A ; b) V Th = 22/3 V y R Th = 4/3 Ω, i R=6 = 1 A. 2.15: En el circuito de la figura determinar la potencia consumida en la resistencia de carga Ry encontrar el valor de dicha resistencia para el cual la potencia antes calculada es máxima. Complétese el estudio anterior representando gráficamente la función potencia consumida en R en función del valor de R. Sol.: P(R) = ξ 2 R(R +Rg) −2 ; P(R) es máxima si R = Rg. 2.16: En el circuito de la figura calcúlese la intensidad que circula por la resistencia R = 3 Ω utilizando dos técnicas diferentes: a) leyes de Kirchhoff; b) aplicando sucesivamente el equivalentes de Thévenin, primero entre los puntos A y B y seguidamente entre los puntos C y D. Sol.: a)=b) i R=3 = 21/29 A. 2.17: Plantear las ecuaciones de Kirchhoff para el circuito de la figura. Una vez planteadas, considérese ahora que R 5 = R 3 y bajo esta hipótesis elíjase un posible conjunto de valores para las fuentes de tensión de forma que la intensidad que circula por la fuente ξ 1 sea nula. Sol.: Una posible solución sería ξ 1 = 1 V, ξ 2 = 0 V y ξ 3 = 2 V. Obsérvese que existen infinitas soluciones. Apuntes de FFI Dpt. Física Aplicada 1 2.9. Problemas propuestos 51 2.18: En el circuito de la figura encuéntrese la relación entre las resistencias R 1 , R 2 , R 3 y R 4 para que la intensidad por la resistencia R sea nula. Sol.: R 1 R 4 = R 2 R 3 . 2.19: Se considera el proceso de carga de un condensador de capacidad C mediante una fuente de tensión continua de valor E, a través de una resistencia R. Determinar: a) las funciones q(t) (carga del condensador), i(t) y v(t) (voltaje entre placas); b) los valores de la energía eléctrica en el condensador y de la potencia disipada en la resistencia en función del tiempo; c) las energías totales consumida en la resistencia y almacenada en el condensador, así como la energía suministrada por la batería, comprobando el balance global; d) el instante del proceso de carga en que es máxima la potencia suministrada al condensador; e) el valor máximo de la resistencia R si se desea que el condensador adquiera el 90% de la carga final en un tiempo de 2,31 ms (tómese C = 1 µF para este apartado). Sol.: a) q(t) = EC(1 −e −t/RC ), i(t) = E R e −t/RC , V (t) = q(t) C ; b) U(t) = q 2 (t) 2C , P(t) = Ri 2 (t); c) U R = E 2 C/2, U C = E 2 C/2, U E = E 2 C; d) d 2 U(t) dt 2 = 0 →t = RC ln2; e) R ≤ 1003,22 Ω, de forma aproximada R menor que 1 kΩ. Dpt. Física Aplicada 1 Apuntes de FFI Tema 3 Magnetostática 3.1. Introducción En los temas precedentes se han estudiado las interacciones entre dis- tribuciones de carga invariantes en el tiempo (Tema 1) así como el mo- vimiento de las cargas en el interior de conductores filiformes (Tema 2). Todas las posibles interacciones y fenómenos pudieron ser descritos en función de campos y potenciales eléctricos y sus efectos sobre las cargas. Desde muy antiguo es también conocido que existe en la naturaleza una fuerza cuyo origen no está ligado a las cargas eléctricas estáticas pero que sin embargo tiene efectos sobre las cargas eléctricas en movi- miento. Esta nueva interacción es conocida con el nombre de interacción magnética y se manifiesta, por ejemplo, en las fuerzas de atracción y re- pulsión entre imanes y/o cables que transportan corrientes, la atracción de trozos de hierro (y otros metales) por imanes o bien la orientación per- manente de una aguja imantada hacia el Norte magnético de la Tierra. El estudio de esta nueva interacción (tal como se hizo en el caso de la Electrostática) se llevará a cabo mediante la introducción de un campo vectorial llamado campo magnético B. Esto nos permitirá estudiar la in- teracción magnética obviando las fuentes que la producen. En el presente tema sólo estaremos interesados en estudiar los campos magnéticos que no varían en el tiempo, es decir, los campos magnetostáticos y, en conse- cuencia, este tema se denomina Magnetostática. 3.2. Fuerza de Lorentz Supuesta una región del espacio donde existe un campo magnético B, experimentalmente se encuentra que sobre una carga prueba, q, que se mueve a una velocidad v (medida en el mismo sistema de referencia donde se ha medido B) actúa una fuerza, F m , con la siguientes características: La fuerza es proporcional al producto qv. Esto implica que esta fuerza q B B v F m no actúa sobre partículas neutras o bien sobre partículas cargadas en reposo. 53 54 TEMA 3. Magnetostática La fuerza está dirigida normal al plano formado por los vectores v y B, siendo nulo su módulo cuando v | B y máximo cuando v ⊥ B. Los anteriores resultados experimentales pueden ser descritos en forma matemática por la siguiente expresión: F m = qv B , (3.1) que determina completamente la fuerza magnética sobre una carga móvil. A partir de la anterior expresión puede deducirse que las unidades de campo magnético en el SI, llamadas teslas (T), vendrán dadas por Unidad de campo magnético 1 tesla (T) 1 T = 1 N/C m/s . (3.2) La unidad de campo magnético es una unidad relativamente grande, esto es, es difícil conseguir campos magnéticos del orden de los teslas o ma- yores. De hecho, el campo magnético terrestre es del orden de 10 −4 T. Por esta razón suele usarse como unidad de campo magnético el gauss (G), de modo que 1 T = 10 4 G . (3.3) Si en una región del espacio, además del campo magnético B, existe un q F E B v F m F e campo eléctrico E, H.A. Lorentz (1853-1928) propuso que la fuerza total sobre una carga puntual q, o fuerza de Lorentz , podía escribirse como la superposición de la fuerza eléctrica, F e = q E, más la fuerza magnética, F m = qv B, esto es, F = q E +v B . (3.4) 3.2.1. Movimiento de una carga puntual en presencia de un campo magnético Antes de tratar la fuerza magnética, es importante recordar que la F v F t F n fuerza externa F ext que actúa sobre una partícula se puede descomponer en dos partes, una tangente al movimiento, F τ , y otra normal, F n : F = F τ + F n = F τ ˆ τ +F n ˆ n . En consecuencia, la ecuación de movimiento m dv dt = ¸ F ext se puede reescribir (teniendo en cuenta que v = vˆ τ) como m d dt (vˆ τ) =m dv dt ˆ τ +mv dˆ τ dt =m dv dt ˆ τ +m v 2 r ˆ n =F τ ˆ τ +F n ˆ n , o equivalentemente, F τ = m dv dt (3.5) F n = m v 2 r , (3.6) Apuntes de FFI Dpt. Física Aplicada 1 3.2. Fuerza de Lorentz 55 siendo r el radio de curvatura de la trayectoria. La ecuación de movimiento para una partícula de masa m y carga q en el seno de una región donde existe un campo magnético B viene dada por m dv dt = F m = qv B (3.7) y puesto que F m es perpendicular a v (debido a la presencia del producto vectorial), podemos deducir que La fuerza magnética no realiza trabajo sobre la partícula puesto que F d l = F vdt = 0 al ser v ⊥ F. Como F τ = 0, según (3.5): dv/dt = 0 (v = cte), por lo que la fuerma magnética no cambia el módulo de la velocidad sino simplemente su dirección. Puesto que F n = [ F m [, (3.6) y (3.7) nos dicen que m v 2 r = qvBsen θ , (3.8) (siendo θ el ángulo formado por v y B) por lo que el módulo de la velocidad será v = qBr m sen θ . (3.9) En el caso particular de que tengamos una región con un campo mag- nético uniforme y que la velocidad inicial de la partícula no tuviese compo- nente paralela al campo magnético, v = 0, el movimiento de la partícula en la región donde existe B será un movimiento circular puro. El radio R del círculo recorrido por la partícula puede deducirse a partir de (3.8) (θ = π/2): m v 2 R = qvB , esto es, R = mv qB . (3.10) Recordando que ω = v/R = 2π/T, el periodo de este movimiento vendrá dado por T = 2π m qB . (3.11) Ejemplo 3.1 Determinar la masa de una partícula de carga q = 1,6 ×10 −19 C que al penetrar en una región con un campo B = 4000G describe un círculo de radio 21 cm, habiendo sido previamente seleccionada su velocidad con una disposición como muestra la figura con E = 3,2 ×10 5 V/m. En el selector de velocidades, se cumplirá que sólo aquellas partículas para las que se verifique Fe = Fm ⇒ E = vB0 pasarán a la región II. En consecuencia las partículas que llegan a esta región tendrán una velocidad: v = E B0 = 3,2 ×10 5 0,4 m/s = 8,05 ×10 6 m/s . Dpt. Física Aplicada 1 Apuntes de FFI 56 TEMA 3. Magnetostática Una vez en la región II, las partículas por efecto de la fuerza magnética normal a la trayectoria describirán un círculo de radio: R = mv qB y por tanto su masa será m = qRB v = 1,6 ×10 −19 · 0,21 · 0,4 8,05 ×10 6 = 1,67 ×10 −27 kg . Dada la carga y masa de la partícula, se puede concluir que ésta es un protón. Si en la región de campo magnético uniforme, el vector velocidad ini- cial tiene una componente no nula a lo largo de la dirección del campo magnético uniforme, entonces escribiendo el vector velocidad instantánea como suma de dos componentes, una paralela a B y otra perpendicular, v = v +v ⊥ , obtenemos que la fuerza magnética puede expresarse como F m = qv B = qv ⊥ B . Dado que F m carece de proyección a lo largo de B, podemos escribir en el presente caso las siguientes ecuaciones para las velocidades v y v ⊥ : m dv dt = 0 (3.12) m dv ⊥ dt = F m = qv ⊥ B . (3.13) Estas ecuaciones nos dicen que la componente de la velocidad paralela B a B uniforme no cambia por efecto del campo magnético, v =cte, y que la componente perpendicular, v ⊥ , es afectada por una fuerza normal a és- ta que únicamente cambia su dirección. Estos hechos dan lugar a que el movimiento de la partícula pueda descomponerse en un movimiento uni- forme a lo largo de la dirección marcada por B junto con un movimiento circular en un plano perpendicular, es decir, la trayectoria de la partícula es de tipo helicoidal a lo largo de un eje dirigido según B. Apuntes de FFI Dpt. Física Aplicada 1 3.2. Fuerza de Lorentz 57 3.2.2. Efecto Hall Se conoce como efecto Hall a la aparición de una diferencia de poten- cial entre los extremos transversales de un conductor por el que circula una corriente cuando éste es sometido a un campo magnético externo. Este fenómeno es fácilmente detectable para el caso de un conductor en forma de paralelepípedo (por ejemplo, una cinta conductora) y con un campo magnético aplicado normal al conductor. Nótese que para los casos de corriente eléctrica sostenida por cargas positivas y negativas mostrados en la figura 3.1(a) y (b) respectivamente, y dado que qv tiene B I I B E H E H F m F m qv a) b) qv Figura 3.1: Corriente eléctrica hacia la derecha sostenida por (a) cargas positivas y (b) cargas negativas el mismo sentido en ambos casos, la fuerza magnética F m = qv B hace que los portadores de carga móviles deriven hacia la cara inferior de la cinta conductora, acumulándose allí. Debido a la neutralidad de la carga en el interior del conductor, el exceso de carga en esta cara de la cinta es compensado por la aparición de una carga igual pero de sentido contrario en la otra cara de la cinta conductora. La existencia de esta separación de cargas da lugar a un campo E H de origen electrostático y, por tanto, a la aparición de una fuerza eléctrica F e que se opondrá a F m . Este proceso de deriva de portadores libres de carga tiene lugar hasta que la fuerza magnética es estrictamente compensada por la fuerza eléctrica, esto es, cuando [ F m [ = [ F e [ qvB = qE H , por lo que el campo eléctrico Hall que se instaura alcanza finalmente un valor E H = vB . (3.14) La presencia de esta campo eléctrico Hall da lugar a una diferencia de potencial entre los extremos de la cinta de anchura w dado por V H = vBw . (3.15) Esta diferencial de potencial se conoce voltaje Hall, V H , y ha sido ob- tenida suponiendo que el campo E H puede considerarse uniforme en el interior de la cinta conductora. Dado que el módulo de la velocidad de los portadores puede deducirse de I = JS = (nqv)(wh) , Dpt. Física Aplicada 1 Apuntes de FFI 58 TEMA 3. Magnetostática esto es, v = I nqwh , el voltaje Hall puede expresarse como Voltaje Hall V H = R H IB h , (3.16) donde R H = 1/nq se conoce como coeficiente de Hall. Es interesante destacar que mientras que el sentido de la corriente no aporta ninguna información sobre el signo de los portadores de car- ga móviles, la medida del voltaje Hall permitiría distinguir el signo de la carga móvil, tal y como se hace patente al comparar las figuras 3.1(a) y (b). A finales del siglo pasado, el efecto Hall permitió comprobar que la corriente en los buenos conductores metálicos, como Au,Ag,Cu,Pt,... , es- taba efectivamente sostenida por portadores de carga negativa, esto es, electrones. No obstante, analizando otros conductores (y algunos semi- conductores) como Fe,Co,Zn,... , se descubrió sorprendentemente que la corriente eléctrica parecía estar sostenida en estos materiales por cargas positivas. Este hecho no encontró ninguna explicación en aquel momento y hubo que esperar hasta el desarrollo de la teoría cuántica de los electro- nes en sólidos (Teoría de Bandas) para hallar una explicación satisfactoria a este fenómeno. Además del uso del efecto Hall para determinar el signo de los por- tadores (así como la densidad de éstos, supuesta conocida su carga), és- te suele utilizarse en la construcción de teslámetros, esto es, medidores de campo magnético. Para medir el campo magnético puede construir- se una sonda Hall en la que R H es conocido y por la que se hace pasar una intensidad determinada. Si se mide el voltaje Hall, el valor del campo magnético puede obtenerse fácilmente a partir de la expresión (3.16). Ejemplo 3.2 En una región donde existe un campo magnético de 1,5 T, una tira con- ductora de cobre de espesor 1 mm y anchura 1,5 cm transporta una corriente de 2 A, produciéndose un voltaje Hall de 0.22µV. Calcular la densidad de portadores de carga y comparar con el resultado para este dato que ya se obtuvo en el Ejemplo 2.1. Dado que el voltaje Hall viene dado por la expresión VH = IB nqh , la densidad de portadores será n = IB qhVH = (2A)(1,5T) (1,6 ×10 −19 C)(0,001m)(0,22 ×10 −6 V) ≈ 8,45 ×10 28 electrones/m 3 . Puede comprobarse que este dato es muy similar al número de átomos por m 3 que se obtuvo en el Ejemplo 2.1. Esto permite verificar que efectivamente cada átomo de cobre contribuye con un solo electrón de conducción. Apuntes de FFI Dpt. Física Aplicada 1 3.3. Fuerzas magnéticas sobre conductores 59 3.3. Fuerzas magnéticas sobre conductores 3.3.1. Fuerza magnética sobre un hilo La expresión (3.1) describía la fuerza que ejercía un campo magnético B sobre una carga prueba q con una velocidad v respecto al campo mag- nético. A partir de esta expresión puede obtenerse fácilmente la fuerza que ejerce el campo magnético sobre un hilo conductor recorrido por una corriente I considerando que sobre cada elemento diferencial de carga móvil del hilo conductor se ejercerá una fuerza de valor d F m = dqv B . (3.17) Dado que el elemento diferencial de carga móvil forma parte de la co- rriente I, éste puede expresarse como dq = Idt y, por tanto, escribir dqv = Ivdt = Id l , donde d l es un vector cuyo módulo es un diferencial de longitud a lo largo del hilo y su sentido es el de recorrido de la corriente eléctrica. Sustitu- yendo ahora dqv en (3.17) tenemos que d F m = Id l B (3.18) y consecuentemente la fuerza total sobre un hilo recorrido por una inten- sidad I vendrá dada por la siguiente expresión: Fuerza magnética sobre un hilo F m = d F m = hilo Id l B . (3.19) En aquellas situaciones en las que tanto I como B no varíen a lo largo de todo el hilo, la expresión anterior puede reescribirse como F m = I ¸ hilo d l ¸ B = I l B , (3.20) donde l es un vector cuyo módulo es la longitud total del hilo y su sentido coincide con el de la corriente eléctrica. 3.3.2. Par de fuerzas sobre una espira de corriente En el caso de una espira de corriente (conductor filiforme cerrado so- bre sí mismo) recorrida por una intensidad I, la fuerza magnética sobre B dl I ésta, de acuerdo a la expresión (3.19), viene dada por F m = I espira d l B . (3.21) Si se considera ahora el caso particular y usual en el cual el campo B es uniforme en la región donde está inmersa la espira, entonces dado que F m = I espira d l ¸ ¸ B siendo espira d l = 0 , Dpt. Física Aplicada 1 Apuntes de FFI 60 TEMA 3. Magnetostática observamos que no se ejerce fuerza magnética neta sobre la espira. No obstante, el hecho de que no haya fuerza total resultante no implica que la espira no se mueva, sino simplemente que la espira no tendrá movimiento de traslación. La espira podría “moverse” realizando un movimiento de rotación supuesto que el momento dinámico de la fuerza en la espira fuese no nulo. Para calcular el momento dinámico de la fuerza consideraremos la es- pira rectangular mostrada en la Figura 3.2. La fuerza sobre los lados 1 y B F 4 F 3 F 2 F 1 B B B b I Il 1 Il 2 Il 3 Il 4 l Figura 3.2: Fuerzas magnéticas sobre cada uno de los lados de una espira rectangular reco- rrida por una intensidad I 3 es una fuerza de deformación que generalmente está compensada por la resistencia a la deformación del material conductor. Por el contrario, la disposición de las fuerzas sobre los lados 2 y 4 puede reconocerse co- mo un par de fuerzas aplicado sobre la espira. El cálculo del momento dinámico, M, de este par de fuerzas viene dado por M = b F , (3.22) donde b es el brazo de la fuerza. La dirección de M es perpendicular a b y a F ( M presenta la misma dirección y sentido que F 3 ) y su módulo: M = bF sen θ . (3.23) Teniendo ahora en cuenta que, para este caso, F viene dada por F = IlB, al sustituir en la expresión anterior tenemos que M = bIlBsen θ = ISBsen θ , (3.24) donde S = bl es el área de la espira. Dado que el módulo de M viene dado por (3.24) y su dirección es idéntica a la de F 3 , el momento del par de fuerzas puede expresarse como B m I M = m B , (3.25) donde m = NI S (3.26) es un vector que se conoce como momento dipolar magnético (o sim- plemente momento magnético), cuyo módulo es m = NIS (N numero de arrollamientos de la espira) y su dirección y sentido coinciden con las de Apuntes de FFI Dpt. Física Aplicada 1 3.4. Ley de Biot-Savart 61 la normal a la superficie de la espira (el sentido de m viene determinado por el sentido de recorrido de la corriente siguiendo la regla de la mano derecha). Es importante notar que aunque la expresión (3.25) se ha dedu- cido para el caso particular de una espira rectangular, esta expresión es válida para cualquier tipo de espira (supuesto que B sea uniforme). El par de fuerzas sobre la espira recorrida por una corriente eléctrica provoca entonces un giro de la espira sobre su eje tratando de alinear m con B. La aparición de este par de fuerzas magnético constituye el funda- mento físico del funcionamiento de los motores eléctricos. Un esquema elemental de un motor eléctrico es precisamente una espira recorrida por una intensidad que, en presencia de un campo magnético, sufre un par de fuerzas que da lugar a un movimiento de rotación. Dado que la espira tratada anteriormente no giraría de forma continua (el momento del par de fuerzas tendería más bien a hacer oscilar la espira), habría que dise- ñar un dispositivo que hiciera cambiar el sentido del par de fuerzas en el momento adecuado. Si la espira es fijada a algún rotor, se conseguiría transformar energía eléctrica/magnética en energía cinética de rotación, que posteriormente puede transformarse mediante los mecanismos ade- cuados en energía asociada a cualquier otro tipo de movimiento. 3.4. Ley de Biot-Savart Hasta ahora se han discutido algunos efectos del campo magnético B sin referirnos a las posibles fuentes de este campo. Una posible fuente de campo magnético conocida desde muy antiguo son los imanes per- manentes. Estos imanes son trozos de ciertos materiales (por ejemplo, la magnetita) que tienen entre sus propiedades más aparentes la de atraer fragmentos de hierro. Una carga prueba móvil en presencia de un imán sufre igualmente el efecto de una fuerza magnética que está perfectamen- te definida por la expresión (3.1). A pesar de que los imanes son conocidos y usados desde hace mucho tiempo, un estudio realista del origen del cam- po magnético producido por estos imanes sólo puede ser llevado a cabo en el marco de la Física Cuántica y, por tanto, no se abordará esta tarea en el presente tema. Los experimentos de H. C. Oersted (∼ 1820) demostraron que los efec- tos sobre cargas móviles e hilos de corriente (recogidos en las expresiones (3.1) y (3.19)) producidos por campos magnéticos originados por imanes eran perfectamente reproducidos cuando estos imanes son sustituidos por cargas en movimiento o bien hilos de corriente. Esto implica que, en gene- ral, las cargas eléctricas en movimiento son fuentes del campo magnético. Dado que en el presente tema sólo estamos interesados en campos mag- netostáticos, en este apartado estudiaremos únicamente las fuentes que producen este tipo de campos constantes en el tiempo. Experimentalmen- te se encuentra por tanto que las fuentes del campo magnetostático son las corrientes eléctricas invariantes en el tiempo. La forma concreta en que estas corrientes estacionarias crean campos magnéticos viene dada por la ley de Biot y Savart (∼ 1830) que establece Dpt. Física Aplicada 1 Apuntes de FFI 62 TEMA 3. Magnetostática que el campo magnético en el punto de observación, P, producido por un elemento diferencial de corriente, Id l, que forma parte de una corriente continua viene dado por d B(P) = µ 0 4π Id l ˆr r 2 ≡ µ 0 4π Id l r r 3 , (3.27) donde r es el radiovector que va desde el elemento diferencial de co- rriente hasta el punto P donde se evalúa el campo y µ 0 es una constante conocida como permeabilidad del vacío de valor µ 0 = 4π 10 −7 T·m A . (3.28) Obsérvese que la expresión (3.27) es similar a la obtenida en (1.10) que nos daba el campo electrostático producido por un elemento diferencial de carga. Ambas expresiones muestran la misma dependencia respecto a r, esto es, r −2 . No obstante, una importante diferencia entre ambas ex- presiones es que la dirección del campo es distinta en una y otra. Si, para el caso electrostático, la dirección del campo eléctrico venía determinada por el radiovector que unía el punto fuente con el punto de observación, para el campo magnetostático la dirección de d B viene determinada por el producto vectorial Id l ˆr , por lo que la dirección de d B en el punto de observación siempre será perpendicular a su radiovector asociado (esto es, d B ⊥ ˆr). Esta direc- ción puede obtenerse por la regla de la mano derecha haciendo apuntar el dedo pulgar derecho en la dirección del elemento de corriente, el de- do índice coincidiendo con r y el dedo corazón marcando la dirección del campo. Así, por ejemplo, las líneas de campo producidas por un elemento diferencial de corriente serían circunferencias concéntricas a un eje diri- gido según el elemento de corriente. La discusión anterior indica que las líneas de B no tienen principio ni fin, pudiendo ser, como en este caso, líneas cerradas. El campo total producido por la corriente continua que circula en una espira podrá, por tanto, escribirse como la integral de (3.27) a lo largo de los diferentes elementos diferenciales de corriente, Campo magnético debido a una espira de corriente continua B(P) = µ 0 4π espira Id l r r 3 . (3.29) Ejemplo 3.3 Cálculo del campo magnético en cualquier punto del eje de una espira cir- cular de radio R. En la figura adjunta puede apreciarse que d l ⊥ r y por tanto el módulo de d B para el presente caso viene dado por dB(P) = µ0 4π Idl r 2 . Dada la simetría del problema, únicamente las componentes de B a lo largo del eje z se suman mientras que las perpendiculares a este eje se anulan entre sí. Apuntes de FFI Dpt. Física Aplicada 1 3.5. Ley de Gauss para el campo magnético 63 Consecuentemente sólo nos interesa dBz: dBz(P) =dB(P) cos θ = µ0 4π Idl r 2 cos θ = µ0 4π IRdl r 3 (nótese que cos θ = R/r). Para obtener el campo total hay que integrar la expre- sión anterior y dado que tanto r como R permanecen constantes al recorrer la espira, se tiene que Bz(P) = I espira dBz = µ0 4π IR r 3 I espira dl = µ0 4π IR r 3 2πR = µ0 2 IR 2 r 3 = µ0 2 IR 2 (R 2 +z 2 ) 3/2 . 3.5. Ley de Gauss para el campo magnético En el apartado 1.6 se estudió la ley de Gauss para el campo eléctros- tático, donde se vio que el flujo de dicho campo a través de una superficie cerrada estaba relacionado con el valor de la carga total en el interior de esta superficie mediante S E d S = Q int ǫ 0 . En ese apartado discutimos que este hecho podía relacionarse con la for- ma de las líneas de campo electrostático (es decir, que las líneas “parten” de las cargas positivas y “acaban” en las cargas negativas), de modo que si en el interior de una superficie había una sola carga positiva, entonces era claro que las líneas de campo “salían” de dicha superficie dando en- tonces un flujo del campo electrostático positivo. Si por el contrario en el interior de la superficie había una sola carga negativa las líneas de campo “entraban” en dicha superficie. Si había una carga positiva y otra negativa del mismo valor en el interior de la superficie, entonces el mismo número de líneas de campo “entra” y “sale” de la superficie, dando flujo total nulo. Para el caso del campo magnético, la ley de Biot y Savart nos dice que las líneas de campo asociadas con elementos de corriente no tienen prin- cipio ni fin, es decir, son generalmente líneas cerradas. Esta afirmación puede relacionarse con la no existencia de “cargas magnéticas” positi- vas/negativas en la naturaleza. Es decir, no existe un símil de la carga eléctrica positiva/negativa para el caso del magnetismo. 1 Estos hechos han sido confirmados experimentalmente de forma inequívoca, y quedan recogidos “matemáticamente” por la siguiente ley de Gauss para el mag- netismo: Ley de Gauss para el magnetismo S B d S = 0 , (3.30) es decir, el flujo del campo magnético a través de cualquier superficie cerrada es siempre nulo. 1 Los conocidos como “polos’ positivo y negativo de un imán permanente no están rela- cionados con la existencia de cargas magnéticas poistivas/negativas. De hecho nunca puede existir un “polo” postivo aislado de un “polo” negativo. Dpt. Física Aplicada 1 Apuntes de FFI 64 TEMA 3. Magnetostática 3.6. Ley de Ampère La ley de Ampère (∼ 1830) para el campo magnetostático nos dice que Γ B d l = µ 0 S(Γ) J d S = µ 0 I Γ , (3.31) esto es, la circulación del campo magnetostático, B, a lo largo de una curva Γ es µ 0 veces el flujo de la densidad de corriente, , J, que atraviesa una superficie S(Γ) cuyo contorno es la curva Γ. El sentido de recorrido de la curva Γ determina igualmente el sentido de d S (siguiendo la ley de la mano derecha) y por tanto el signo del flujo a través de la superficie. El flujo de la densidad de corriente que atraviesa la superficie S(Γ) es obviamente el valor de la intensidad de la corriente “interceptada”, I Γ , por la superficie En la figura adjunta, la aplicación de la ley de Ampère para la curva Γ 1 establece que Γ1 B d l = µ 0 (I 1 +I 2 −I 3 ) , dado que I 3 tiene sentido contrario a I 1 e I 2 , mientras que I 4 no atraviesa la superficie apoyada en la curva. Para el caso de la curva Γ 2 , tendremos que Γ2 B d l = 0 , puesto que la misma intensidad atraviesa en los dos sentidos la superficie apoyada en la curva. Nota: Obviamente, el hecho de que la circulación de B a lo largo de Γ2 sea cero no implica que B sea nulo. De hecho, para el campo electrostático se encontraba que H Γ E · d l = 0 para toda curva Γ. Esto simplemente quería decir que el campo electrostático “derivaba” de un potencial. Dado que para el campo magnetostáti- co, la circulación de éste no es siempre nula, B no puede expresarse, en general, como el gradiente de un potencial escalar. Es interesante notar que la ley de Ampère es siempre válida cuando se aplica al campo magnetostático pero que sin embargo no siempre es útil. Esta ley es particularmente útil para calcular el campo magnético en aquellos casos en los que es posible encontrar una curva Γ tal que la circulación de B a lo largo de esa curva pueda expresarse como Γ B d l = B Γ dl . Esta situación se encuentra generalmente en situaciones de alta simetría Ley de Ampère siempre válida para campos magnetostáticos y útil para cálculo del campo en situaciones de alta simetría. donde es posible predecir la forma de las líneas de campo de B y por tanto encontrar una curva que sea tangente a las líneas de campo y donde éste sea constante en módulo. Apuntes de FFI Dpt. Física Aplicada 1 3.6. Ley de Ampère 65 3.6.1. Campo magnético producido por un hilo infinito y rectilíneo de radio R recorrido por una inten- sidad I En el presente caso, la simetría del problema indica que el módulo del campo magnético sólo puede depender de la distancia al hilo (puntos J r B B z x x y y z R con la misma distancia ρ al hilo “ven” exactamente las misma disposición de fuentes del campo magnético, por lo que el módulo del campo será el mismo). Con respecto a la dirección del campo, ésta puede deducirse de ley de Biot y Savart (3.27). En la figura puede observarse que la dirección del campo es siempre tangente a una circunferencia centrada en el hilo (puesto que d l r tiene esa dirección). Por tanto, podemos escribir que B = B(ρ)ˆ τ , (3.32) siendo las líneas de campo circunferencias centradas en el hilo, donde además el módulo del campo es constante (ˆ τ es el vector unitario tangente a la circunferencia centrada en el hilo). Este hecho sugiere aplicar la ley de Ampère en estas curvas para obtener el valor del campo, obteniendo que Γ B d l = B Γ dl = µ 0 I Γ , (3.33) donde I Γ es la corriente que atraviesa la superficie interior a Γ. Dado que la intensidad total de corriente, I, que recorre el hilo de radio R es uniforme, la densidad de corriente vendrá dada por J = I πR 2 ˆ z y, por tanto, I Γ vendrá dada por I Γ = S(Γ) J d S = Jπρ 2 si ρ ≤ R I si ρ > R . Al introducir la anterior expresión en (3.33) se tiene que B2πρ = µ 0 Jπρ 2 si ρ ≤ R I si ρ > R , de donde se puede obtener finalmente que B = µ 0 I 2πR 2 ρˆ τ si ρ ≤ R µ 0 I 2πρ ˆ τ si ρ > R . (3.34) Para el caso particular de un hilo cuyo radio pueda considerarse des- preciable, el campo magnético producido por este hilo recto infinito en cualquier punto viene dado por B(P) = µ 0 I 2πρ ˆ τ . (3.35) Dpt. Física Aplicada 1 Apuntes de FFI 66 TEMA 3. Magnetostática Ejemplo 3.4 Tres conductores rectilíneos largos y paralelos pasan a través de los vérti- ces de un triángulo equilátero de lado 10 cm, según la figura, donde los puntos indican que la corriente está dirigida hacia el lector y la cruz indica que está dirigida hacia el pa- pel. Si cada corriente vale 15 A, hallar (a) el campo magnético B en el conductor superior y (b) la fuerza por unidad de longitud ejercida sobre el conductor superior debido a los otros dos conductores inferiores. (a) Cálculo del campo magnético. Para calcular el campo magnético en el vértice superior del triángulo (punto P) aplicamos superposición, de modo que el campo total BT en el punto P se escribirá como BT (P) = B1(P) + B2(P) , donde B1(P) y B2(P) son los campos magnéticos en el punto P debidos a las corrientes I1 e I2 (ver figura adjunta). Dichos campos magnéticos vienen dados por Bi(P) = µ0Ii 2πρi ˆ τ i , donde, en este caso, Ii ≡ I = 15 A, ρi ≡ D = 10 cm y ˆ τ1 = cos αˆ x + sin αˆ y ˆ τ2 = cos αˆ x −sin αˆ y , con α = π/6. Al realizar la suma vectorial de ambos campos, obtenemos finalmente que BT (P) = µ0I 2πD 2 cos αˆ x = 5,196 ×10 −5 ˆ x, T . (b) Cálculo de la fuerza por unidad de longitud. Para obtener la fuerza sobre el hilo situado en el vértice superior debemos aplicar (3.20), que en nuestro caso se escribirá como F(P) = I3 l3 × BT (P) , donde I3 ≡ I = 15 A es la corriente del hilo situado en el vértice superior y l3 = lˆ z es el vector “longitud” correspondiente a dicho hilo de corriente. En consecuencia, la fuerza por unidad de longitud, f = F/l, en el hilo situado en el vértide superior será f(P) = I3 ˆz ×BT (P)ˆ x = I3BT (P)ˆ y = 7,794 ×10 −4 ˆ y N m . 3.6.2. Campo magnético en un solenoide Un solenoide es básicamente un cable arrollado de manera compac- ta en forma de hélice o, equivalentemente, una superposición de espiras muy juntas. Un solenoide esbelto (más largo que ancho) se usa general- mente para crear campos magnéticos intensos y uniformes dado que el campo magnético en el interior de los solenoides tiene estas característi- cas. En este sentido, el solenoide juega el mismo papel respecto al campo magnético que el condensador plano para el campo eléctrico. Dado que una deducción teórica de la forma de las líneas del campo B producido por un solenoide es relativamente complicado, usaremos ar- gumentos experimentales para determinar la forma de estas líneas. Los Apuntes de FFI Dpt. Física Aplicada 1 3.7. Problemas propuestos 67 experimentos demuestran que las líneas de campo son aproximadamente líneas rectas paralelas al eje del solenoide en el interior de éste cerrándo- se por el exterior de modo que la magnitud del campo magnético exterior se reduce a medida que el solenoide se hace más esbelto. Para el caso de un solenoide infinitamente largo, que puede servir como un modelo aproximado de un solenoide esbelto, el campo magnético será nulo en el exterior. Dado que las líneas de campo son paralelas al eje del solenoide y por simetría no pueden variar a lo largo de la dirección paralela al eje (desde cualquier punto de una misma línea el solenoide se ve invariante), la aplicación de la ley de Ampère a la curva ABCD mostrada en la figura nos dice que ABCD B d l = AB B d l , ya que B ⊥ d l en los tramos de curva BC y DA y B = 0 a lo largo de CD. Por la forma de las líneas de B en el interior del solenoide y teniendo en cuenta que el sentido de B está marcado por el sentido de recorrido de la intensidad, obtenemos que AB B d l = Bl , siendo l la longitud del segmento AB. Por otra parte, la intensidad inter- ceptada por el rectángulo interior a la curva ABCD será S(ABCD) J d S = NI , esto es, intercepta N espiras cada una de ellas transportando una inten- sidad de corriente I. Teniendo en cuenta los resultados de las dos últimas expresiones y la dirección del campo, podemos concluir según la ley de Ampère que B(P) = µ 0 nI ˆ u en el interior del solenoide 0 en el exterior del solenoide , (3.36) siendo n = N/l el número de espiras por unidad de longitud en el solenoi- de y ˆ u el vector unitario en la dirección del eje del solenoide. 3.7. Problemas propuestos 3.1: ¿Cuál es el radio de la órbita de un protón de energía 1 MeV en el seno de un campo magnético de 10 4 G. Sol. R = 14,4 cm. 3.2: Una partícula de carga q entra a velocidad v en una región donde existe un campo Región de campo v B a q d magnético uniforme (dirigido hacia el interior de la página). El campo desvía a la partícula una distancia d de su trayectoria original al atravesar la región del campo, como se muestra en la figura. Indicar si la carga es positiva o negativa y calcular el valor de su momentum de la partícula, p, en términos de a, d, B y q. Sol.: es positiva; p = qB(a 2 +d 2 )/(2d). 3.3: Un alambre conductor paralelo al eje y se mueve con una velocidad v = 20 ˆ x m/s en un campo magnético B = 0,5 ˆz T. a) Determinar la magnitud y la dirección de la fuerza magnética que actúa sobre un electrón en el conductor. b) Debido a esta fuerza magnética, Dpt. Física Aplicada 1 Apuntes de FFI 68 TEMA 3. Magnetostática los electrones se mueven a un extremo del conductor, dejando el otro extremo positivamente cargado hasta que el campo eléctrico debido a esta separación de carga ejerce una fuerza sobre los electrones que equilibra la fuerza magnética. Calcular la magnitud y dirección de este campo eléctrico en estado estacionario. c) Si el cable tiene 2 m de longitud, ¿cuál es la diferencia de potencial entre sus dos extremos debido a este campo eléctrico?. Sol.: a) F = 1,6 ×10 −18 N ˆ y ; b) E = 10 V/m ˆ y ; c) V = 20 V.; 3.4: Una cinta de metal de 2 cm de ancho y 1 mm de espesor lleva soporta una corriente 1 mm 2 cm 20 A 2,0 T de 20 A. La cinta está situada en un campo magnético de 2 T normal a la misma. En estas condiciones se mide un valor del potencial Hall de 4,7 µV. Determinar la velocidad media de los electrones de conducción de la cinta así como la densidad de dichos electrones. Sol.: v = 1,07 ×10 −4 m/s, n = 5,85 ×10 28 m −3 . 3.5: Un conductor cilíndrico de longitud infinita es macizo siendo b el radio de su sección transversal. Por dicho conductor circula una intensidad, I, uniformemente distribuida en su sección transversal. a) Determinar el campo B en cualquier punto del espacio; b) repetir el apartado anterior suponiendo que ahora el cilindro posee una cavidad cilíndrica en su interior de radio a (a < b). Sol.: a) B(r) = 8 < : µ 0 Ir 2πb 2 si r < b µ 0 I/(2πr) si r > b ; b) B(r) = 8 > > > < > > > : 0 si r < a µ 0 I(r 2 −a 2 ) 2πr(b 2 −a 2 ) si a < r < b µ 0 I/(2πr) si r > b . En ambos apartados, las líneas de campo son circunferencias con centro en el eje del con- ductor y contenidas en planos perpendiculares al mismo. a b b a) b) 3.6: Una placa metálica de espesor despreciable y extensión infinita está situada en el plano z = 0. Por dicha placa circula un corriente eléctrica en sentido positivo del eje X. Si dicha intensidad está uniformemente distribuida a razón de J = Jˆ x (A/m) (J representa en este problema la corriente que atraviesa un segmento perpendicular al eje X y de longitud 1 metro), calcular el campo B en todo punto del espacio (nota: utilizar el teorema de Ampère). Sol.: si z > 0, B = −µ 0 J/2ˆ y; si z < 0, B = µ 0 J/2ˆ y. 3.7: Repetir el problema anterior si, además de la citada placa, se coloca en el plano z = −d una nueva placa idéntica a la anterior pero que cuya densidad de corriente tiene sentido contrario, esto es, J = −Jˆ x (A/m). Sol.: Entre ambas placas (esto es, 0 > z > −d), B = µ 0 J ˆ y ; para el resto de los puntos (esto es, z > 0 o z < −d ), el campo es nulo. 3.8: Un conductor recto infinitamente largo y circulado por una intensidad I se dobla en la R I I r forma indicada en la figura. La porción circular tiene un radio R = 10 cm con su centro a distancia r de la parte recta. Determinar r de modo que el campo magnético en el centro de la porción circular sea nulo. Sol. r = 3,18 cm. 3.9: Dos conductores filiformes rectos y paralelos entre sí de longitud 90 cm están separa- dos una distancia de 1 mm. Si ambos conductores son recorridos por una corriente de 5 A en sentidos opuestos, ¿cuál es la magnitud y el sentido de las fuerzas entre ambas corrientes?. Sol.: 4,5 mN, siendo una fuerza repulsiva. 3.10: Por un conductor rectilíneo de longitud infinita circula una corriente de 20 A, según X Y Z A 20 A 5cm 10cm 2cm 5 A B C D se indica en la figura. Junto al conductor anterior se ha dispuesto una espira rectangular cuyos lados miden 5 cm y 10 cm. Por dicha espira circula una corriente de 5 A en el sentido indicado en la figura. a) Determinar la fuerza sobre cada lado de la espira rectangular así como la fuerza neta sobre la espira; b) calcular el flujo a través de la espira del campo B creado por el conductor rectilíneo. Sol. a) lado AB: −2,5 × 10 −5 N ˆ y, lado BC: 10 −4 N ˆ x, lado CD: 2,5 × 10 −5 N ˆ y, lado DA: −2,85 ×10 −5 N ˆ x, Fneta = 7,15 ×10 −5 Nˆ x; b) Φ = 5,01 ×10 −7 Wb. 3.11: El cable coaxial de la figura transporta una intensidad I por el conductor interno y I I la misma intensidad pero en sentido contrario por el externo. Utilizando la ley de Ampère, calcular el módulo del campo magnético entre ambos conductores y en el exterior del cable. Sol.: Entre los conductores B = µ 0 I/(2πr), donde r es la distancia al eje del cable, y siendo las líneas de campo circunferencias con centro en el eje del cable. En el exterior el campo es nulo. Apuntes de FFI Dpt. Física Aplicada 1 3.7. Problemas propuestos 69 3.12: Un solenoide esbelto de n 1 vueltas por unidad de longitud está circulado por una R 1 I 1 I 2 R 2 intensidad I 1 y tiene una sección transversal circular de radio R 1 . En su interior, y coaxial con él, se ha colocado un segundo solenoide de n 2 vueltas por unidad de longitud y de sección transversal circular de radio R 2 (R 2 < R 1 ). Si este segundo solenoide está circulado por una intensidad I 2 , determinar: a) el campo magnético en todos los puntos del espacio; b) la magnitud y sentido que debería tener I 2 para que, fijada I 1 , el campo en el interior del segundo solenoide sea nulo. Sol.: a) B(P) = 8 > < > : µ 0 n 1 I 1 ±µn 2 I 2 si r < R 2 µ 0 n 1 I 1 si R 2 < r < R 1 0 si r > R 1 donde r es la distancia al eje de los solenoides y el signo más/menos se toma si ambas inten- sidades circulan en igual/opuesto sentido; b) I 2 = −n 1 I 1 /n 2 . 3.13: Dos conductores filiformes, rectilíneos y de longitud infinita son perpendiculares al plano XY y cortan a dicho plano en los puntos (0, a, 0) y (0, −a, 0). Por dichos conductores circulan las intensidades I 1 e I 2 respectivamente. Calcular el campo magnético generado por ambas corrientes en cualquier punto del espacio (nota: la solución del problema debe ser válida para cualquier sentido de las intensidades por los conductores). Sol.: B(P) = µ 0 2π „ (a −y)I 1 x 2 + (a −y) 2 − (a +y)I 2 x 2 + (a +y) 2 « ˆ x + „ xI 1 x 2 + (a −y) 2 + xI 2 x 2 + (a +y) 2 ] « ˆ y ff , donde las intensidades se consideran positivas si van en el sentido positivo del eje z y nega- tivas en el caso contrario. 3.14: Un alambre de longitud l se arrolla en una bobina circular de N espiras. Demostrar que cuando esta bobina transporta una corriente I, su momento magnético tiene por magni- tud Il 2 /(4πN). Dpt. Física Aplicada 1 Apuntes de FFI Tema 4 Inducción electromagnética 4.1. Introducción En el Capítulo 3 se vio que las corrientes eléctricas son fuentes de campos magnéticos, en concreto sobre 1820 H.C. Oersted comprobó que un cable recorrido por una intensidad de corriente continua produce un campo magnetostático en su entorno (detectado por ejemplo por el efecto que tiene sobre una aguja imantada). Dado que las corrientes eléctricas producen campos magnéticos, cabe plantearse igualmente si se produ- ce el fenómeno inverso, es decir, si campos magnéticos pueden producir corrientes eléctricas. En este sentido se llevó a cabo una intensa labor experimental que parecía negar esa posibilidad. No obstante, los experi- mentos elaborados por M. Faraday (1791-1867) alrededor de 1830 permi- tieron establecer que la generación de corriente eléctrica en un circuito estaba relacionada con la variación en el tiempo del flujo magnético que atravesaba dicho circuito. En consecuencia, campos magnetostáticos nun- ca producirían corrientes eléctricas en circuitos fijos. Conviene recordar (según se discutió en el Capítulo 2) que debido al efecto Joule existe una disipación de energía en las resistencias presen- tes en todos los circuitos reales, lo que implica que para mantener una corriente eléctrica en el circuito es necesario un aporte continuo de ener- gía. La pérdida de energía de los portadores de carga móviles en los cho- ques con los átomos del material resistivo debe ser compensada por una “fuerza externa impulsora” sobre estos mismos portadores. Dado que el impulso sobre los portadores móviles puede estar localizado en una parte del circuito o bien distribuido a lo largo de éste, la magnitud relevante es la integral de esta fuerza a lo largo de todo el circuito. De esta mane- ra, se definió la fuerza electromotriz (fem), c, como la fuerza tangencial por unidad de carga en el cable integrada sobre la longitud del circuito completo, esto es, c = f d l . (4.1) En consecuencia, la presencia de una intensidad de corriente eléctrica en 71 72 TEMA 4. Inducción electromagnética un circuito estará relacionada con la existencia de una fuente de fem que la mantenga. El origen de la fem puede ser diverso, de origen químico en baterías y pilas, de origen mecánico en el generador de Van der Graff, de orgien óptico en las células fotovoltaícas, etc. De forma general pode- mos decir que el efecto de un generador de fem es transformar algún tipo de energía en energía eléctrica. En el caso de los experimentos realiza- dos por Faraday, el mecanismo de generación de fem está directamente involucrado con las variaciones del flujo del campo magnético. Esta fem inducida por el campo magnético tendrá unas consecuencias importan- tísimas, tanto conceptuales como tecnológicas, estando en la base de la generación de energía eléctrica en las centrales eléctricas, en el funcio- namiento de los circuitos de corriente alterna y en la generación de las ondas electromagnéticas. 4.2. Ley de Faraday 4.2.1. Fuerza electromotriz de movimiento Una forma posible de generar una fem en un circuito sería hacer uso de la aparición de una fuerza magnética sobre los portadores de carga móviles en una región donde exista un campo B. Por ejemplo, el movi- miento de un conductor en el seno de un campo magnético dará lugar a lo que se conoce como fem de movimiento. En particular, considérese la situación mostrada en la figura adjunta donde la región sombreada indica la presencia de un campo magnético B uniforme (producido por ejemplo por un imán) dirigido hacia el papel y un circuito moviéndose con velo- cidad v = vˆ x hacia la derecha. En esta situación, las cargas móviles del segmento ab experimentarán la siguiente fuerza de Lorentz por unidad de carga: f mag = F mag q = v B , (4.2) cuyo efecto global es justamente impulsar las cargas desde a hasta b. Este impulso dará lugar a una corriente en el circuito (en el mismo sentido que esta fuerza) debida a la aparición de una fem de valor c = v B d l , (4.3) que puede reducirse en el presente caso a c = b a v B d l = b a vBdl = vBl , (4.4) donde l es la longitud del segmento ab, siendo nulas las contribuciones a la fem de los segmentos paralelos al desplazamiento dado que la fuerza impulsora es aquí perpendicular al hilo ( f mag ⊥ d l). La intensidad, I, que circula por el circuito de resistencia R será por tanto I = c R = vBl R . (4.5) Aunque la fem de movimiento ha podido deducirse a partir de la fuerza de Lorentz sobre los portadores de carga móviles, es interesante notar Apuntes de FFI Dpt. Física Aplicada 1 4.2. Ley de Faraday 73 que el valor de la fem de movimiento también se habría podido obtener como menos la variación temporal del flujo del campo magnético, Φ m , que atraviesa el área del circuito; esto es, mediante la expresión c = − dΦ m dt . (4.6) Para comprobar este hecho, tengamos en cuenta que el flujo magnético se obtiene como Φ m = S B d S (4.7) y puesto que en el presente caso: B d S = BdS, tenemos que Φ m = S BdS = B S dS = BS = Bls , (4.8) siendo ls el área del circuito situada en la región donde el campo mag- nético no es nulo. La variaciones temporales de flujo magnético vendrán entonces dadas por dΦ m dt = d dt Bls = −Blv , ya que v = −ds/dt (esto es, la velocidad es positiva cuando s decrece), lo que da lugar a la misma fem que la obtenida en (4.3) cuando se integra directamente la fuerza de Lorentz por unidad de carga. (*) Balance de potencia Es interesante notar que si el campo magnético ha dado lugar a una fem que genera una corriente, la velocidad de los portadores de carga móviles en el segmento ab será la composición de un movimiento hacia la derecha más otro hacia arriba, esto es, la velocidad total, w, de los portadores será w = vˆ x +uˆ y , (4.9) por lo que la fuerza por unidad de carga que afecta a una de las cargas móviles vendrá dada por f mag = −uBˆ x +vBˆ y . (4.10) Evidentemente sólo la parte de la fuerza dirigida según y es responsable de la aparición de la fem de movimiento (causando una corriente en la misma dirección que esta fuerza). La componente x de f mag da cuenta de la fuerza que ejerce el campo magnético sobre la corriente. Dado que esta fuerza por unidad de carga es f x = −uBˆ x , (4.11) la fuerza total sobre el conductor ab será el producto de (4.11) por la carga total de este conductor, esto es, F x = −nqAluBˆ x , (4.12) siendo n el número de electrones por unidad de volumen y A el área trans- versal del conductor. Puesto que la intensidad de la corriente que recorre el circuito es I = nqAu , Dpt. Física Aplicada 1 Apuntes de FFI 74 TEMA 4. Inducción electromagnética F x puede expresarse como F x = −IlBˆ x , (4.13) expresión que coincidiría con la aplicación directa al presente caso de la expresión (3.20): F = I l B. La existencia de esta fuerza sobre el conductor ab implica que para que éste se mueva a velocidad constante, v = vˆ x, un agente externo debe compensar dicha fuerza ejerciendo una fuerza, F ext , de igual módulo y sentido opuesto, esto es, F ext = IBlˆ x . (4.14) La potencia, P, suministrada por el agente externo al circuito vendrá dada por P = F ext v = IBlv , (4.15) que puede reescribirse, teniendo en cuenta la expresión (4.5), como P = c 2 R = I 2 R . (4.16) Esta potencia es precisamente el valor de la potencia Joule disipada en la resistencia, por lo que podemos concluir que la potencia suministrada por el agente externo que mueve el circuito es justamente aquélla disipada en la resistencia por efecto Joule. 4.2.2. Fuerza electromotriz inducida La discusión de la situación analizada en la sección 4.2.1 ha mostra- do que la aparición de una fuerza electromotriz en el circuito móvil podía atribuirse a la existencia de una fuerza de Lorentz. Ahora bien, si conside- ramos que el circuito permanece quieto y es el agente que crea el campo magnético (por ejemplo, un imán) el que se mueve hacia la izquierda, es razonable suponer que también aparecerá una fem de igual magnitud y sentido que en el caso anterior puesto que lo que debe importar, según el principio de relatividad, es el movimiento relativo entre el campo B y el circuito y no cuál de ellos se mueve. Los experimentos muestran que efectivamente la suposición anterior es cierta. No obstante, si analizamos el caso del circuito fijo y el imán moviéndose según nuestra teoría, dado que las cargas móviles en el cir- cuito estarán ahora en reposo, no existirá fuerza de Lorentz que impulse a las cargas. Por tanto, si no hay fuerza de Lorentz actuando sobre las cargas, ¿de dónde proviene la fem inducida en el circuito?. Podemos res- ponder que el agente que crea ahora la fem debe ser un campo eléctrico, que evidentemente no puede ser un campo electrostático (ver discusión en el apartado 2.5 ) sino un nuevo tipo de campo eléctrico que debe estar relacionado con las variaciones temporales del campo magnético. El punto en común de los dos fenómenos equivalentes descritos ante- riormente se encuentra en que en ambos casos existen variaciones tem- porales del flujo magnético que atraviesa el circuito. Este hecho no es una coincidencia sino que M. Faraday encontró experimentalmente (∼ 1830) que Apuntes de FFI Dpt. Física Aplicada 1 4.2. Ley de Faraday 75 La fuerza electromotriz c inducida en un circuito viene dada por la variación temporal del flujo magnético, Φ, que atraviesa dicho circuito. En forma matemática, esta ley puede expresarse como Ley de Faraday c = − dΦ dt , (4.17) donde el signo menos está relacionado con el sentido de la fem inducida. Teniendo en cuenta que el origen de la fem es la aparición de un campo E no electrostático, la ley de Faraday puede también expresarse en forma integral como Γ E d l = − d dt S(Γ) B d S , (4.18) donde la curva Γ es precisamente el recorrido del circuito. El signo menos de la ley de Faraday queda ahora completamente determinado ya que el sentido de recorrido de la integral de camino a la largo de Γ está relacio- nado con el sentido de d S según la regla de la mano derecha. La expresión (4.18) pone claramente de manifiesto que la feminducida está, en general, distribuida a lo largo de todo el circuito 1 . Una manera muy útil y sencilla de determinar a veces el sentido de la fem y de la intensidad inducida lo proporciona la ley de Lenz. Esta ley establece que La fem y la corriente inducidas poseen una dirección y sentido tal que tienden a oponerse a la causa que las produce. La ley de Lenz no hace referencia a la causa (o causas) concreta que provoca la aparición de la fem inducida sino simplemente sugiere que la reacción del sistema generando una fem y corriente inducidas será siem- pre actuar en contra de la causa que las provoca. Este hecho parece con- gruente pues de lo contrario el circuito favorecería la causa que provoca la corriente inducida, intensificando su efecto indefinidamente. A efectos prácticos, la deducción del sentido de la fem y corriente indu- cidas puede hacerse considerando el carácter creciente o decreciente del flujo magnético con respecto al tiempo (este carácter lo da el signo de su derivada temporal). Si, por ejemplo, el flujo es creciente en cierto instante de tiempo, entonces la fem y corriente inducidas deben tener un sentido tal que originen un campo magnético que contrarreste el crecimiento del flujo (lo contrario debe ocurrir si el flujo es decreciente). Veamos el efecto de la ley de Lenz en el circuito móvil mostrado en la B I v F mag figura. En este ejemplo, la barra móvil se desplaza hacia la derecha con una velocidad v debido a la acción de un agente externo. Según se ha dis- cutido en el apartado 4.2.1 y de acuerdo a ley de Lenz, el sentido de la corriente inducida en el circuito es tal que la fuerza magnética que actúa sobre la barra móvil, F mag = I l B, se oponga al movimiento impuesto 1 Al contrario de lo que ocurriría, por ejemplo, en una pila, donde la fuerza electromotriz (y por tanto el campo electromotor) estaba confinada exclusivamente a la región interior de la batería. Dpt. Física Aplicada 1 Apuntes de FFI 76 TEMA 4. Inducción electromagnética externamente. Si la corriente inducida fuese en sentido opuesto al mos- trado en la figura, la fuerza magnética sobre la barra móvil favorecería el movimiento hacia la derecha de la barra de modo que ésta se aceleraría continuamente, causando un aumento incesante de energía cinética que obviamente no tiene sentido. Hemos encontrado, por tanto, que siempre que exista una variación de flujo magnético en un circuito aparecerá una fem inducida en dicho circui- to. En consecuencia, algunas de las causas que provocarían la aparición de una fem inducida son: Movimiento de un circuito o deformación de su área en una región donde existe un campo magnético constante en el tiempo. Movimiento del agente que produce el campo magnético (por ejem- plo un imán) de modo que un circuito fijo intercepte un flujo magné- tico variable en el tiempo. Por ejemplo, el movimiento de aproxima- ción y alejamiento de un imán daría lugar a una fem inducida en el circuito. Variación de la corriente que pasa por un circuito primario de modo V I t ( ) que el flujo interceptado por un circuito secundario próximo varíe en el tiempo. Combinación simultánea de algunas de las causas anteriores. En el caso de una corriente variable en un circuito primario que indu- ce una corriente en un circuito secundario, es importante observar que esta corriente inducida se ha generado sin que exista contacto eléctrico entre los circuitos. Desde un punto de vista energético, la energía asocia- da a la corriente inducida en el circuito secundario debe ser obviamente suministrada por la fuente de fem del primario. Dado que no ha habido contacto físico entre ambos circuitos, la única explicación de la aparición de una energía en el secundario es que ésta haya sido transmitida desde el primario hasta el secundario por el campo electromagnético a través del espacio. Esto indica que el campo es un agente capaz de transmitir energía y por tanto debe ser considerado como un ente con realidad física propia. Ejemplo 4.1 Obtener el sentido y el valor de la intensidad inducida en el dispositivo mos- trado en la figura. Datos. Barra móvil: σ = 10 8 (Ωm) −1 , b = 10 cm, r = 2 mm, v = 5 m/s; i = 200 mA, a = 20cm. En la situación mostrada en la figura, dado que la barra vertical se mueve, el flujo magnético que atraviesa el circuito (debido al campo magnético del hilo recto infinito) varía en el tiempo, por lo que se inducirá una E en el circuito. Dado que el circuito muestra una resistencia, R (debida a la conductividad finita de la barra móvil), la intensidad que circula por él vendrá dada por I = E R . (4.19) Según los datos que nos da el problema, la resistencia de la barra móvil será R = b σS = 0,1 10 8 · π(2 ×10 −3 ) 2 = 10 −3 4π Ω . Apuntes de FFI Dpt. Física Aplicada 1 4.2. Ley de Faraday 77 Antes de calcular la E inducida notemos que, en el plano z = 0 donde se sitúa el circuito móvil, el valor del campo magnético creado por el hilo recto e infinito viene dado por B(x) = µ0I 2πx ˆz . (4.20) Puesto que al moverse la barra móvil hacia la derecha, el flujo magnético del circuito crece, aplicando la ley de Lenz, tenemos que la reacción del circuito ge- nerando una corriente inducida debe ser la de contrarrestar la acción que la pro- duce. En consecuencia, la corriente inducida, I, en el circuito debe ser tal que genere un campo magnético, Bind que contrarreste el campo externo. Esta co- rriente debe ir dirigida por tanto según el sentido mostrado en la figura de modo que el sentido de Bind sea el opuesto al de (4.20). Dado que hemos determinado el sentido de la corriente, nos preocuparemos a continuación únicamente por el módulo de la E y de la intensidad inducidas. La E inducida puede calcularse en este caso por dos procedimientos: Fuerza de Lorentz. Dado que las cargas de la barra vertical se mueven en una región donde existe un campo magnético, encontraremos una fuerza magnética por uni- dad de carga, fm = v × B, sobre las cargas móviles. Al aplicar la expresión (4.3), esta fuerza magnética provoca la aparición de una E en el circuito dada por E = Z 2 1 v × B · d l = Z 2 1 vBdy = vBb . Teniendo en cuenta la expresión (4.20) del campo magnético, y admitiendo que la posición de la barra móvil viene dada por x(t) = a +vt , (4.21) tenemos que la E puede escribirse como E(t) = µ0Ivb 2π(a +vt) . (4.22) Ley de Faraday. Para aplicar la ley de Faraday dada por la expresión (4.17) debemos calcular primero el flujo magnético Φ. Dado que el diferencial de superficie puede escribirse como d S = dxdyˆz, el diferencial de flujo magnético, dΦ, a través la superficie del circuito será dΦ = B · d S = BdS = µ0I 2πx dxdy . Para calcular el flujo hay que integrar la expresión anterior en la superficie total del circuito, de modo que Φ = Z b 0 dy Z x a dx µ0I 2πx ff = Z b 0 dy  µ0I 2π ln x a ff = µ0I 2π ln x a Z b 0 dy = µ0Ib 2π ln x a . (4.23) Dado que la E es la derivada temporal del flujo magnético, debemos derivar con respecto al tiempo (4.23). Si hacemos esto tenemos que dΦ dt = µ0Ib 2π d dt “ ln x a ” = µ0Ib 2π dx/dt x(t) = µ0Ib 2π v x(t) . Para aplicar la ley de Lenz observamos que el signo de dΦ/dt en la ex- presión anterior es siempre positivo, por lo que la corriente inducida debe generar un campo magnético que se oponga a este crecimiento. Este campo Dpt. Física Aplicada 1 Apuntes de FFI 78 TEMA 4. Inducción electromagnética debe tener dirección −ˆz y, consecuentemente, debe estar generado por una corriente dirigida en sentido horario (tal como se dedujo anteriormente). Finalmente encontramos que el módulo de la E será E(t) = µ0Ib 2π v a +vt , (4.24) expresión que coincide con la obtenida previamente en (4.22). Finalmente el valor de la intensidad inducida será I(t) = E(t) σS b = µ0IσS 2π v a +vt . (4.25) Tras un minuto de movimiento, la intensidad toma el siguiente valor: I(60) = 4π ×10 −7 · 0,2 · 10 8 · 4π 2 ×10 −6 2π 5 0,2 + 5 · 60 ≈ 2,6µA . 4.3. Inductancia 4.3.1. Inductancia mutua Si calculamos el flujo magnético, Φ 21 , que atraviesa la superficie del circuito 2 (véase la figura adjunta), debido al campo magnético, B 1 , gene- rado por la corriente, I 1 , que circula a través del circuito 1, encontraría- V I 1 B 1 1 2 mos que Φ 21 ∝ I 1 , esto es, el flujo magnético es proporcional a la intensidad. Este hecho puede explicarse fácilmente si se considera que según la ley de Biot y Savart, el campo magnético B generado por una corriente I en el punto P viene dado por B(P) = µ 0 4π espira Id l r r 3 , (4.26) lo que implica que B 1 puede escribirse como B 1 (P) = I 1 β 1 (P) , (4.27) donde β 1 (P) es una función que depende de la posición y de la forma geométrica del circuito 1. El flujo magnético Φ 21 se obtiene como Φ 21 = S2 B 1 d S , donde al sustituir la forma de B 1 dada por (4.27), se tiene que Φ 21 = I 1 S2 β 1 d S . (4.28) La expresión anterior nos confirma que existe una relación de proporcio- nalidad entre el flujo magnético y la intensidad. Al factor de proporciona- lidad entre el flujo magnético en un circuito debido a la intensidad que recorre otro se le denomina inductancia mutua y se denota como M. En nuestro caso tendríamos que Φ 21 = MI 1 . (4.29) Apuntes de FFI Dpt. Física Aplicada 1 4.3. Inductancia 79 Las unidades de inductancia en el SI se denominan henrios (H), de modo que inductancia henrio (H) 1 H = 1 T·m 2 A . (4.30) Usando razonamientos que no serán discutidos aquí encontraríamos que la relación entre el flujo que atraviesa el circuito 1, Φ 12 , debido a un campo B 2 producido por una intensidad I 2 que recorriese el circuito 2 vendría dada por la misma razón de proporcionalidad, esto es, Φ 12 = MI 2 . (4.31) Ejemplo 4.2 Flujo magnético que atraviesa una espira rectangular debido al campo de un hilo recto e infinito recorrido por una intensidad I. En el plano z = 0 donde se sitúa la espira rectangular, el valor del campo magnético creado por el hilo recto e infinito viene dado por B(x) = µ0I 2πx ˆz . En el presente caso, el diferencial de superficie puede expresarse como d S = dxdyˆz, por lo que el diferencial de flujo magnético, dΦ, a través de esta superficie es dΦ = B · d S = BdS = µ0I 2πx dxdy . El cálculo del flujo total requiere la integración de la expresión anterior en la I a c dS b y z x superficie de la espira rectangular, de modo que Φ = Z b 0 dy Z a+c a dx µ0I 2πx ff = Z b 0 dy µ0I 2π ln a +c a = µ0I 2π ln a +c a Z b 0 dy = µ0Ib 2π ln a +c a . La expresión anterior muestra que la inductancia mutua en el presente caso es M = Φ I = µ0b 2π ln a +c a . 4.3.2. Autoinducción Si consideramos ahora el caso en el que tenemos un solo circuito por el que circula una intensidad i, un cálculo similar al del apartado ante- rior nos muestra que el flujo magnético, Φ, que atraviesa este circuito es igualmente proporcional a la intensidad que lo recorre: Φ ∝ i . Cuando el flujo magnético que atraviesa un circuito se debe únicamente a la corriente que circula por el propio circuito, este flujo se conoce como autoflujo y el parámetro de proporcionalidad entre el autoflujo y la inten- sidad se conoce como autoinducción y se denota como L (las unidades de esta inductancia son obviamente henrios). En consecuencia podemos escribir Φ = Li . (4.32) Dpt. Física Aplicada 1 Apuntes de FFI 80 TEMA 4. Inducción electromagnética Ejemplo 4.3 Cálculo de la autoinducción de un solenoide esbelto de N = 100 vueltas, longitud l = 1cm y r = 1mm. Para un solenoide esbelto de N vueltas y longitud l, el campo magnético en el B dS i interior del solenoide puede escribirse según (3.36) como B = µ0ni ˆ u , donde n = N/l es la densidad lineal de espiras y ˆ u es el vector unitario según el eje del solenoide. Dado que el diferencial de superficie de las espiras viene dado por d S = dS ˆ u, el flujo que atraviesa las N espiras del solenoide será Φ = N Z S B · d S = N Z S BdS = NB Z S dS = µ0 N 2 l iS , de donde se deduce que la autoinducción L es L = µ0 N 2 l S = µ0n 2 lS . Sustituyendo ahora los datos del problema tenemos que L = 4π ×10 −7 10 4 10 −2 π ×10 −6 ≈ 3,95µH; . En el caso de que circule corriente tanto por el circuito 1 como por I i B 1 B 2 1 2 el circuito 2, el flujo total, Φ tot , que atraviesa la superficie del circuito 2 puede expresarse como Φ tot = Φ 21 + Φ 22 = Φ ext + Φ aut , (4.33) donde Φ ext es el flujo que atraviesa el circuito 2 debido a los agentes exter- nos, en este caso, el campo generado por la intensidad, I, que recorre el circuito 1 y Φ aut es el autoflujo del circuito 2. Dadas las relaciones de pro- porcionalidad entre los flujos y las intensidades vistas en las expresiones (4.29) y (4.32), el flujo total puede escribirse como Φ tot = MI +Li . (4.34) Según la ley de Faraday y teniendo en cuenta (4.33), la fem inducida en el circuito 2 vendrá dada por c = − d dt (Φ ext + Φ aut ) . (4.35) En el caso frecuente de que la autoinducción y la inducción mutua no varíen en el tiempo (esto es, si la forma de los circuitos no cambia en el tiempo), c puede escribirse como c = −M dI dt −L di dt . (4.36) El cálculo de la fem inducida en el circuito 2 según (4.36) no es trivial dado que esta fem depende de las variaciones temporales de i, pero esta Apuntes de FFI Dpt. Física Aplicada 1 4.3. Inductancia 81 misma intensidad depende a su vez del valor de la fem inducida. Afortuna- damente, existen muchas situaciones prácticas en las que las variaciones temporales del autoflujo son mucho menores que las correspondientes al flujo externo, por lo que la fem inducida en el circuito puede obtenerse muy aproximadamente como c = − dΦ ext dt . No obstante, existen otras situaciones donde el autoflujo no puede despre- ciarse. Un caso particularmente importante se encuentra cuando cuando Valor de la c si autoflujo es despreciable las variaciones del flujo externo son nulas (por ejemplo cuando I = 0). En este caso la fem inducida debe calcularse como Valor de la c si flujo externo nulo c = − dΦ aut dt . 4.3.3. Transitorios en circuitos RL Una situación práctica donde el único flujo que atraviesa el circuito es el autoflujo se muestra en la figura adjunta, donde tenemos una batería de fem c B que mediante un conmutador alimenta una bombilla (o cualquier otro dispositivo). Desde un punto de vista circuital, la bombilla puede con- siderarse como una resistencia de valor R. Aplicando la ley de Kirchhoff de las tensiones a la configuración anterior tendremos que la suma de las fem existentes en el circuito debe ser igual a la caída de tensión en la resistencia. Dado que existen dos fuentes de fem, una debida a la bate- ría, c B , y otra fem inducida, c ind , debida a las variaciones temporales del autoflujo, la ley de Kirchhoff dice que c B +c ind = Ri . (4.37) Dado que en el presente caso: c ind = −L di dt , (4.38) podemos reescribir (4.37) como c B −L di dt = Ri . (4.39) Para obtener el valor de la intensidad i(t) que circula por el circuito de- bemos resolver la ecuación diferencial anterior. Según esta ecuación, la fem inducida puede considerarse que actúa como una fuerza “contralec- tromotriz”, en el sentido de que actúa contra la fem de la batería intentan- do contrarrestar (según determinaba la ley de Lenz) los cambios de flujo magnético en el circuito. El efecto de esta fuerza contrelectromotriz se notará en que la corriente que circula por el circuito no cambiará brusca- mente desde 0 hasta un valor de c B /R tal como ocurriría si se despreciase el efecto de la inducción electromagnética. Aunque la expresión (4.39) proporciona una buena interpretación físi- ca de los fenómenos que suceden en el circuito, es usual reescribir esta ecuación como c B = Ri +L di dt (4.40) = V R +V L . (4.41) Dpt. Física Aplicada 1 Apuntes de FFI 82 TEMA 4. Inducción electromagnética Escrito en esta forma, la Teoría de Circuitos interpreta que la fem genera- da por la batería es igual a la caída de tensión en la resistencia, V R = Ri, más una caída de tensión, V L , debida a la autoinducción L. El efecto distri- buido de la fem inducida en el circuito puede modelarse, por tanto, como una caída de potencial en un elemento de circuito, denominado genérica- mente inductor, caracterizado por la inductancia L (ver figura adjunta): V L = L di dt . (4.42) De este modo, los efectos de inducción electromagnética relacionados i t ( ) L V L con el campo magnético variable se supone que están localizados en los inductores. Estos inductores son comúnmente elementos puestos a propó- sito en los circuitos para aumentar los efectos de inducción electromag- nética, por ejemplo, solenoides o bobinas. Dado el alto valor del campo magnético en el interior de los solenoides y la posibilidad de miniaturi- zarlos, estos elementos son parte fundamental de los circuitos eléctricos y electrónicos. En este sentido, consideraremos a la autoinducción o bobina como otro elemento del circuito donde se produce una caída de tensión al igual que en la resistencia; aunque obviamente la dependencia de V con la intensi- dad que recorre el elementos es distinto en la resistencia y en la bobina. Desde un punto de vista circuital, el circuito que debemos resolver se muestra en la figura adjunta, donde la intensidad i(t) que circula por este circuito será la solución de (4.40) o equivalentemente: di dt + R L i = c B L . (4.43) La solución de esta ecuación diferencial viene dada por i(t) = I 0 e − R L t + c B R , donde la constante I 0 se determina en función del valor de i(t) en t = 0. En el presente caso dado que i(0) = 0 (esto es, la intensidad era nula antes de conmutar), se encuentra que I 0 = −c B /R y por tanto i(t) = c B R 1 −e − R L t . (4.44) La forma de i(t) claramente muestra que esta intensidad no cambia brus- camente sino que el valor final c B /R se alcanza aproximadamente tras un tiempo t s ≈ 4L/R. Si L tiene un valor alto (esto es, si los efectos de inducción electromagnética son importantes) el valor final de la corriente tarda más tiempo en alcanzarse. Consideramos ahora la situación mostrada en la figura adjunta en la que el interruptor pasa de la posición 1 →2 en t = 0. Antes de conmutar, el circuito había alcanzado una situación estacionaría por lo que tendremos que en t = 0, i(0) = c B /R. Para resolver la evolución de la corriente en el tiempo podemos notar que ahora tenemos la misma situación que en el caso anterior, pero con c B = 0. Esto hace que ahora el segundo miembro de la ecuación (4.43) sea nulo y, por tanto, la solución para i(t) venga dada por i(t) = i(0)e − R L t (4.45) = c B R e − R L t . (4.46) Apuntes de FFI Dpt. Física Aplicada 1 4.4. Energía magnética 83 Podemos observar que, en la presente situación, la corriente no desciende a cero bruscamente sino que tardaría aproximadamente un tiempo t s en alcanzar este valor. 4.4. Energía magnética En el apartado anterior se ha visto que la evolución de un circuito serie RL tal como el mostrado en la figura adjunta venía regida por la ecuación c = Ri +L di dt . (4.47) Multiplicando ambos términos de la ecuación por la intensidad, i, obtene- mos ci = Ri 2 +Li di dt , (4.48) donde el primer miembro de (4.48) nos da, según (2.27), la potencia sumi- nistrada por la batería y el segundo miembro debe ser, por tanto, la poten- cia “consumida” en el circuito. Dado que el primer término del segundo miembro, Ri 2 , es la potencia disipada en la resistencia por efecto Joule –ver (2.22)–, podemos concluir que el segundo término, Lidi/dt, estará exclusivamente asociado a la autoinducción. Este término puede enton- ces interpretarse como la energía por unidad de tiempo que se almacena en el campo magnético del inductor (recuérdese que en el circuito se ha supuesto que los efectos del campo magnético están localizados en este elemento). Si designamos por U B a la energía magnética almacenada en el inductor, entonces la razón con la que se almacena esta energía puede escribirse como dU B dt = Li di dt = d dt 1 2 Li 2 . (4.49) En consecuencia, la energía magnética almacenada en el inductor vendrá dada por Energía almacenada en el inductor U B = 1 2 Li 2 . (4.50) Ejemplo 4.4 Calcular el calor disipado en la resistencia R2 cuando el conmutador pasa de la posición 1 a la 2. Supuesto que en t = 0 se realiza el cambio del conmutador de la posición 1 a la 2, podemos afirmar que el valor de la intensidad en este instante era I0 = E R1 +R2 , supuesto que el conmutador estuvo en la posición 1 por un tiempo considerable –ver expresión (4.44). Para t > 0, la intensidad que recorre el circuito R2L será, según (4.45), i(t) = I0e − R 2 L t . Dado que el calor disipado en la resistencia R2 por unidad de tiempo viene dado por PR 2 = dW dt = i 2 R2 , Dpt. Física Aplicada 1 Apuntes de FFI 84 TEMA 4. Inducción electromagnética el calor total disipado en esta resistencia, W, puede calcularse como W = Z ∞ 0 PR 2 dt = Z ∞ 0 i 2 R2dt = Z ∞ 0 I 2 0 e − 2R 2 L t R2dt = I 2 0 R2 Z ∞ 0 e − 2R 2 L t dt . Si en la integral anterior se introduce el siguiente cambio de variable: t = L 2R2 α se tiene que W = I 2 0 R2 „ L 2R2 Z ∞ 0 e −α dα « = 1 2 LI 2 0 . El calor disipado en la resistencia es justamente la energía magnética que estaba almacenada en el inductor. La energía almacenada en el inductor podemos decir que está “con- tenida” en el campo magnético presente en este elemento y, consecuen- temente, U B puede identificarse como la energía del campo magnético. Para hacer este hecho más evidente, consideremos que el inductor es un solenoide esbelto (cuya autoinducción fue obtenida en el Ejemplo 4.3), por lo que podemos escribir que U B = 1 2 µ 0 n 2 lSi 2 = 1 2µ 0 µ 2 0 n 2 i 2 Sl . (4.51) Dado que el campo en el interior de un solenoide se encontró que era B = µ 0 ni, la expresión anterior puede reescribirse como U B = B 2 2µ 0 1 , (4.52) siendo 1 = Sl el volumen del solenoide. Finalmente podemos deducir que en este inductor la densidad volumétrica de energía magnética, u B , viene dada por u B = B 2 2µ 0 . (4.53) Aunque el resultado anterior se ha obtenido para un caso particular, Densidad de energía magnética cálculos más rigurosos demostrarían que este resultado es válido en ge- neral. Ejemplo 4.5 Cálculo de la autoinducción por unidad de longitud de una cable coaxial de radio interior a = 1mm y radio exterior b = 3mm. Dado que un cable coaxial la corriente I que circula por el conductor interno retorna por el conductor externo, la aplicación de la ley de Ampère al presente caso nos dice que el campo magnético producido por ambas corrientes fuera de los conductores será B = 8 < : µ0I 2πρ ˆ τ si a ≤ ρ ≤ b , 0 si ρ > b . (4.54) Apuntes de FFI Dpt. Física Aplicada 1 4.5. Problemas propuestos 85 La densidad volumétrica de energía magnética en el interior del cable coaxial vendrá entonces dada, según (4.53), por uB = µ0I 2 8π 2 ρ 2 , (4.55) de donde podemos obtener la energía magnética almacenada en un conductor coaxial de longitud l como UB = Z volumen uB dV . (4.56) Teniendo en cuenta que en el presente caso y debido a la simetría cilíndrica del problema podemos escribir dV = dS dl = 2πρdρdl , la energía magnética se calculará como UB = Z l 0 dl Z b a µ0I 2 8π 2 ρ 2 2πρdρ ff = Z l 0 dl  µ0I 2 4π Z b a dρ ρ ff = µ0I 2 l 4π ln b a . Considerando ahora que la energía magnética almacenada en el inductor viene dada por (4.50), tenemos que UB = 1 2 LI 2 = 1 2 „ µ0 2π ln b a « l I 2 , por lo que la autoinducción por unidad de longitud del cable coaxial será L l = µ0 2π ln b a . (4.57) Sustituyendo ahora los valores de a y b obtenemos el siguiente valor numérico: L l = 4π ×10 −7 2π ln 3 ≈ 0,22µH/m . (4.58) 4.5. Problemas propuestos 4.1: En el interior de un solenoide de 600 vueltas, el flujo magnético cae de 8,0×10 −5 weber a 3,0 ×10 −5 weber en 15 ms. ¿Cuál es la fem media inducida? Sol.): E = −2 V. 4.2: Una barra metálica se desplaza a velocidad constante, v, sobre dos varillas conductoras unidas por una resistencia R en sus extremos izquierdos. Se establece una campo magnético uniforme y estático, B, como se indica en la figura. a) Calcúlese la fem inducida en el circuito así como la corriente inducida indicado su sentido; b) ¿Qué fuerza está siendo aplicada a la barra para que se mueva a velocidad constante?; c) Realízese un balance entre la potencia aplicada y la energía consumida. Nota: Despreciar el autoflujo del circuito. Sol.: a) E = −Blv; b) Fa = IlBˆ x; c) Pot. aplicada=Fav = Pot. consumida=I 2 R. 4.3: Determinar el coeficiente de inducción mutua entre le circuito rectangular de la figura y el conductor recto infinito. a b c Sol: M = µ 0 c 2π ln „ a +b a « . Dpt. Física Aplicada 1 Apuntes de FFI 86 TEMA 4. Inducción electromagnética 4.4: Un conductor rectilíneo e infinitamente largo está recorrido por una intensidad I(t). R x a b I t ( ) x t ( ) Una espira rectangular de lados a y b y resistencia R es coplanaria con dicho conductor y varía su posición de acuerdo con una ley de movimiento x(t) conocida. Calcúlese: a) el flujo magnético, Φ(t), que atraviesa la espira; b) la fem inducida en la espira, indicando que parte de la misma se debe al movimiento y cuál a la variación temporal del campo magnético; c) el valor de la corriente inducida en el instante t si I(t) = I 0 y x(t) = vt (v > 0). Nota: Despreciar el autoflujo del circuito. Sol.: a) Φ(t) = µ 0 bI(t) 2π ln „ a +x(t) x(t) « ; b) ξ(t) = − µ 0 b 2π » dI(t) dt ln „ a +x(t) x(t) « − aI(t)v x(t)(a +x(t)) – ; c) I ind = abµ 0 I 0 2πR(at +vt 2 ) en sentido horario. 4.5: Un circuito rectangular de 2 Ω de resistencia se desplaza en el plano Y Z en una zona donde existe un campo magnético B = (6 −y) ˆ x T. Las dimensiones del circuito son de 0,5 m B v X Y Z de altura por 0,2 m de anchura. Suponiendo que en el instante inicial (t = 0) el lado izquierdo del circuito coincidía con el eje Z (según puede verse en el dibujo), calcular la intensidad inducida en el circuito en los casos siguientes: a) se desplaza a velocidad uniforme de 2 m/s hacia la derecha; b) transcurridos 100 segundos, si se mueve aceleradamente hacia la derecha con a = 2 m/s 2 (supóngase que el circuito partió del reposo). c) Repetir los apartados anteriores suponiendo que el movimiento es ahora paralelo al eje Z. Nota: en todos los casos considérese despreciable el autoflujo. Sol.: a) 0.1 A; b) 10 A; c) 0 A en los dos casos, ya que no hay variación del flujo magnético. 4.6: Un conductor rectilíneo infinito está recorrido por una intensidad I. Otro conductor en forma de U es coplanario con el primero, su base es una resistencia, R, y mediante un puente a v v R R I puente móvil l l a a) b) I móvil, que se mueve a velocidad v, forma una espira rectangular de área variable (véase figura). Se consideran los casos en que R es paralela o perpendicular al conductor rectilíneo infinito (casos a) y b) en la figura respectivamente). Determinar en cada caso la intensidad de corriente inducida y la fuerza que es necesario aplicar al puente móvil para que se mueva a velocidad v. Nota: en ambos casos considérese despreciable el autoflujo del circuito en U. Sol.: a) I ind = µ 0 Ilv 2πR(a +vt) , F = v R » Iµ 0 l 2π(a +vt) – 2 ; b) I ind = µ 0 Iv 2πR ln „ a +l a « , F = v R » µ 0 I 2π ln „ a +l a «– 2 . 4.7: En la figura se muestra un campo magnético uniforme y no estacionario, B(t) = B( ) t v X Y Z R A C (2 + 0,5t 2 ) ˆ z T (t en segundos). En el seno de dicho campo se ha dispuesto un circuito formado por un conductor en forma de U, que contiene una resistencia R = 10 Ω, y que junto con la barra conductora móvil AC, de longitud l = 1 m y masa m kg, forma una espira rec- tangular de área variable. Si la ley de movimiento de la barra AC es y(t) = 3t 2 m, calcular: a) el flujo magnético a través del circuito; b) la fem inducida en el circuito; c) la intensidad inducida, indicando su sentido; d) la fuerza debida al campo magnético que actúa sobre la barra en dirección y; e) la fuerza que hemos de aplicar a la barra móvil para que satisfaga la mencionada ley de movimiento. Nota: Considere despreciable el autoflujo en el circuito. Sol.: a) Φ(t) = 6t 2 + 1,5t 4 weber; b) E(t) = −(12t + 6t 3 ) V; c) I ind (t) = 1,2t + 0,6t 3 sentido horario; d) Fmag(t) = −(2,4t +1,8t 3 +0,3t 5 ) ˆ y; e) F aplic (t) = (6m+2,4t + 1,8t 3 + 0,3t 5 ) ˆ y. 4.8: A través de un hilo conductor rectilíneo muy largo circula una corriente que varía con el tiempo según la expresión I(t) = at, donde a = 0,7 A/s. En las proximidades del hilo, y en un plano que contiene a éste, se encuentra una espira de radio b = 5 mm y resistencia R = 0,2 mΩ. Esta espira se aleja del hilo con una velocidad constante v, estando situada en el instante inicial (t = 0) a una distancia r 0 del hilo. Obtener a) la expresión del flujo magnético que atraviesa la espira; b) la expresión de la fuerza electromotriz inducida; c) la intensidad inducida en la espira en el instante inicial, indicando su sentido. Nota: debido al pequeño tamaño de la espira, podemos considerar —a efecto de cálculo— que el campo magnético creado por el hilo es uniforme en el interior de la espira e igual a su valor en el centro de ésta). Sol: a) Φ(t) = µ 0 b 2 at 2(r 0 +vt) ; b) E(t) = µ 0 b 2 ar 0 2(r 0 +vt) 2 ; c) I(0) = 4,39 µA, sentido antihorario. Apuntes de FFI Dpt. Física Aplicada 1 4.5. Problemas propuestos 87 4.9: En la figura se muestra un solenoide esbelto de longitud l 1 y un total de N 1 espiras. N 1 I 1 Cortepara verelinterior N 2 Dentro del mismo y coaxial con el se ha dispuesto una bobina de radio R 2 y un total de N 2 espiras. Calcular: a) el coeficiente de inducción mutua entra ambos bobinados; b) la fem inducida entre los extremos de la bobina pequeña cuando por el solenoide esbelto circula una intensidad I 1 (t) = I 0 cos(ωt). c) Repítanse los dos apartados anteriores suponiendo ahora que el eje de la bobina pequeña forma un ángulo θ con el del solenoide. Sol.: a) M = µ 0 πR 2 2 N 1 N 2 l 1 ; b) E = MωI 0 sen(ωt); c) en este caso, los resultados anteriores se multiplican por cos(θ). 4.10: Determinar la fem autoinducida en un solenoide de inductancia L = 23 mH cuando: a) la corriente es de 25 mA en el instante inicial y aumenta con una rapidez de 37 mA/s; b) la corriente es cero en el instante inicial y aumenta con una rapidez de 37 mA/s; c) la corriente es de 125 mA en el instante inicial y disminuye con una rapidez de 37 mA/s; d) la corriente es de 125 mA y no varía. Sol.: en los tres casos a), b) y c), E = 851 × 10 −6 V, salvo que la polaridad es diferentes. Así, dado que la polaridad de fem autoinducida es tal que se opone a las variaciones de la intensidad, en los apartados a) y b) la polaridad es la misma (ya que en ambos casos la intensidad aumenta), siendo en c) contraria a los apartados anteriores (ya que en este caso disminuye); d) E = 0. 4.11: La intensidad que circula una bobina de inductancia L varía de acuerdo con la ex- presión i(t) = I 0 (1 − e −t/τ ), donde τ es una constante. Determínese: a) la corriente inicial (t = 0) y final (t = ∞) en la bobina; b) las expresiones temporales de la energía magnética en la bobina y de la potencia recibida por la misma; c) el instante de tiempo, t, en el cual la potencia recibida es máxima; d) la energía final almacenada en la bobina (esto es, para t = ∞). Sol.: a) i(0) = 0, i(∞) = I 0 ; b) Um(t) = Li 2 (t) 2 , P(t) = LI 0 e −t/τ i(t) τ ; c) t = τln2; d) Um = LI 2 0 2 . 4.12: En la figura se ha representado un solenoide esbelto de longitud l y área de sección N 1 I 1 N 2 transversal S, que posee un total de N 1 espiras. Por dicho solenoide circula un intensidad i(t) = I 0 sen(ωt). Rodeando dicho solenoide se ha colocado una bobina rectangular de N 2 espiras. Calcular: a) el campo magnético, B(t), en el interior del solenoide; b) el coeficiente de autoinducción, L, del solenoide; c) la diferencia de potencial, V 1 (t), entre los extremos del solenoide; d) el flujo magnético que atraviesa la bobina rectangular, Φ 2 (t), así como la fuerza electromotriz inducida, V 2 (t), entre los bornes de dicha bobina. Sol.: a) B(t) = µ 0 N 1 I 0 l sen(ωt); b) L = µ 0 N 2 1 S l ; c) V 1 (t) = LωI 0 cos(ωt); d) Φ 2 (t) = µ 0 I 0 N 1 N 2 Ssen(ωt)/l, V 2 (t) = −µ 0 I 0 N 1 N 2 Sωcos(ωt)/l. Dpt. Física Aplicada 1 Apuntes de FFI Tema 5 Circuitos de Corriente Alterna 5.1. Introducción Dado que en el Tema 4 se han establecido algunas de las leyes físicas que rigen el comportamiento de los campos eléctrico y magnético cuan- do éstos son variables en el tiempo, en el presente capítulo estamos ya preparados para tratar circuitos con corriente variable en el tiempo y así extender los conceptos de circuitos de corriente continua (Tema 2) al caso de circuitos de corriente variable en el tiempo. Entre las posibles dependencias temporales de la corriente, I(t), en este tema estudiaremos únicamente aquélla cuya variación es armónica, esto es, del tipo I(t) = I 0 cos(ωt +δ) (5.1) (ver Apéndice B para una descripción de las funciones armónicas). Las razones fundamentales para estudiar este tipo de corriente variable en el tiempo, denominada de forma genérica corriente alterna, son dos: 1. Relevancia tecnológica. Desde un punto de vista tecnológico, el uso de la corriente alter- na es muy conveniente debido a que ésta es muy fácil de generar y su transporte puede realizarse fácilmente a altas tensiones (y pe- queñas intensidades) minimizando así las pérdidas por efecto Joule (posteriormente, por inducción electromagnética, la corriente alter- na puede fácilmente transformarse a las tensiones usuales de traba- jo). Estas características junto con su fácil aplicación para motores eléctricos hizo que, a partir de finales del siglo XIX, la corriente al- terna se impusiera para uso doméstico e industrial y que, por tanto, la tecnología eléctrica se haya desarrollado en torno a esta forma de corriente (en Europa la frecuencia de la corriente alterna es de 50 Hz). Una característica adicional de esta corriente es que su for- ma armónica se conserva cuando la corriente es modificada por el efecto de elementos lineales, a saber: resistencias, condensadores, bobinas, transformadores, etc. 89 90 TEMA 5. Circuitos de Corriente Alterna 2. Relevancia matemática. Debido a que cualquier función periódica puede expresarse como la suma de diferentes armónicos (teorema de Fourier), el estudio de la corriente alterna constituye la base para el análisis de señales variables en el tiempo en redes lineales. 5.2. Relación I ↔ V para Resistencia, Con- densador y Bobina Resistencia. Según se discutió en el Apartado 2.3.2, en corriente continua la re- lación que existía entre la caída de potencial V y la intensidad I en una resistencia caracterizada por R venía dada por la ley de Ohm, esto es, V = RI. Experimentalmente puede verificarse que la ley de Ohm sigue siendo válida para corrientes alternas y, por tanto, puede I t ( ) R V t ( ) + - escribirse que 1 I(t) = V (t) R . (5.2) Condensador. En la expresión (1.58) se definió la capacidad C de un condensador como la relación entre la carga Qde las placas y la caída de potencial V entre éstas, esto es, C = Q V . (5.3) Esta relación se cumple igualmente para corrientes alternas, de don- de puede deducirse que la carga variable en el tiempo, Q(t), puede escribirse como Q(t) = CV (t) . (5.4) Al derivar la expresión anterior respecto al tiempo obtenemos la si- guiente relación entre la intensidad I(t) y la caída de potencial entre las placas V (t): I(t) = C dV (t) dt . (5.5) Esta relación indica que la derivada temporal de la caída de po- I t ( ) C V t ( ) + - tencial entre las placas está relacionada linealmente mediante el parámetro C con la intensidad que llega al condensador. Bobina. Tal y como se expresó en (4.42), el efecto de autoinducción elec- tromagnética de una bobina caracterizada por una inductancia L y recorrida por una intensidad I(t) podía considerarse como una caída de potencial en la bobina, V (t), dada por I t ( ) L V t ( ) + - V (t) = L dI(t) dt . (5.6) 1 Los signos más y menos en la resistencia y en otros elementos en los circuitos de corrien- te alterna indican los puntos de potencial más alto y más bajo en dichos elementos cuando la corriente tiene el sentido supuesto en la correspondiente figura. Apuntes de FFI Dpt. Física Aplicada 1 5.3. Generador de fem alterna 91 La bobina puede considerarse, por tanto, como un elemento de cir- cuito que relaciona linealmente, mediante el parámetro L, la deri- vada temporal de la intensidad que circula por ella con la caída de potencial en la misma. 5.3. Generador de fem alterna Anteriormente se ha señalado que una de las propiedades más des- tacadas y que hacen más útiles el uso de la corriente alterna es su fácil generación. El generador de fem alterna basa su funcionamiento en la ley de inducción electromagnética de Faraday (ver Apartado 4.2.2), trans- formando energía mecánica en energía electromagnética (en una forma opuesta a lo que hace el motor eléctrico, ver Apartado 3.3.2). Un esquema básico de un generador de fem alterna se muestra en la figura 5.1, donde podemos observar que el flujo magnético que atraviesa la espira giratoria B dS e( ) t w q Figura 5.1: Esquema básico de un generador de fuerza electromotriz alterna. viene dado por Φ = S B d S = BS cos θ , (5.7) donde se ha supuesto que el campo magnético es uniforme en la región donde se mueve la espira. Si el movimiento que se le imprime a la espira es un movimiento angu- lar uniforme caracterizado por una velocidad angular ω constante (como por ejemplo el que produciría un chorro de vapor constante dirigido a unas aspas conectadas con la espira), dado que θ = ωt + θ 0 , el flujo mag- nético que atraviesa la espira puede expresarse como Φ(t) = BS cos(ωt +θ 0 ) . (5.8) Haciendo uso de la ley de inducción de Faraday (4.17), la fem c(t) induci- da en un conjunto de N espiras similares a la de la figura anterior será c(t) = −N dΦ dt = NBSω sen(ωt +θ 0 ) , (5.9) esto es, se ha generado una fem alterna que puede expresarse en general como c(t) = c 0 cos(ωt +δ) , (5.10) donde, en el presente caso, c 0 = NBSω y δ = θ 0 −π/2. Dpt. Física Aplicada 1 Apuntes de FFI 92 TEMA 5. Circuitos de Corriente Alterna 5.4. Valores eficaces El valor eficaz, I ef , de una corriente alterna, I(t) = I 0 cos(ωt +δ) , (5.11) se define como la raíz cuadrada del valor cuadrático medio 'I 2 (t)` de la corriente, es decir, I ef = 'I 2 (t)` , (5.12) donde el valor medio de una función periódica, f(t), de periodo T se define como 'f(t)` = 1 T T 0 f(t) dt . (5.13) El valor eficaz de la corriente, al igual que otras magnitudes circuitales que varíen armónicamente, tiene mucha importancia práctica dado que el valor que miden los polímetros analógicos es precisamente el valor eficaz. Siguiendo la definición (5.12) y teniendo en cuenta (5.13) se tiene que I 2 ef = 'I 2 0 cos 2 (ωt +δ)` = 1 T I 2 0 T 0 cos 2 (ωt + δ) dt = I 2 0 2 , por lo que el valor eficaz se relaciona con la amplitud, I 0 , de la corriente mediante la siguiente expresión: Valor eficaz de la corriente alterna I ef = I 0 √ 2 . (5.14) Análogamente, el valor eficaz de cualquier otra magnitud que varíe ar- mónicamente en el tiempo se define como la amplitud de dicha magnitud dividida por √ 2. Es interesante observar que el valor eficaz, I ef , de una corriente al- terna, I(t) = I 0 cos(ωt + δ), que recorre una resistencia R es justamente el valor de la intensidad de la corriente continua que produce el mismo efecto Joule durante un periodo de tiempo T. La energía W CA disipada por efecto Joule en una resistencia R por una corriente alterna durante un periodo de tiempo T puede calcularse como W CA = T 0 P(t) dt , (5.15) donde P(t) es la potencia instantánea disipada en la resistencia, que viene dada por el producto de la intensidad por la tensión, esto es: P(t) = I(t)V (t) . (5.16) Dado que según (5.2) la caída de potencial en la resistencia es V (t) = RI(t), la energía disipada por la corriente alterna en esta resistencia pue- de escribirse como W CA = I 2 0 R T 0 cos 2 (ωt +δ) dt = I 2 0 R T 2 = I 2 ef RT , (5.17) que es precisamente el valor de la energía disipada por efecto Joule duran- te un periodo de tiempo T en dicha resistencia R si ésta fuese recorrida por una corriente continua de valor I ef , esto es, W CC = I 2 ef RT . (5.18) Apuntes de FFI Dpt. Física Aplicada 1 5.5. Análisis fasorial de circuitos de CA 93 5.5. Análisis fasorial de circuitos de CA Dado que el estudio de la corriente alterna implica el tratamiento de funciones con una dependencia temporal de tipo armónica, la introduc- ción de los fasores asociados a estas funciones simplificará enormemente el cálculo matemático necesario. Tal y como se explica en el Apéndice B.2, a una función armónica I(t) = I 0 cos(ωt + δ) se le hace corresponder un fasor ˜ I: I(t) ↔ ˜ I , que viene dado por Fasor ˜ I asociado a I(t) = I 0 cos(ωt +δ) ˜ I = I 0 e jδ , (5.19) de modo que I(t) = Re ˜ Ie jωt . (5.20) Las propiedades básicas de los fasores se discuten en el Apéndice B.2, donde también se muestra que una propiedad muy útil para el presente tema es la que relaciona la derivada temporal de una función armónica con su fasor asociado, esto es, dI(t) dt ↔jω ˜ I . (5.21) 5.5.1. Expresiones fasoriales para resitencia, conden- sador y bobina Haciendo uso de las relaciones fasoriales apropiadas es posible ex- presar las relaciones fundamentales para resistencias, condensadores y bobinas en la siguiente forma: Resistencia. La relación (5.2) puede expresarse en forma fasorial simplemente como ˜ I = ˜ V R , (5.22) o bien como ˜ V = R ˜ I . (5.23) Condensador. Para el condensador, haciendo uso de la propiedad (5.21), la relación (5.5) puede expresarse como ˜ I = jωC ˜ V , (5.24) o equivalentemente ˜ V = 1 jωC ˜ I . (5.25) La expresión anterior suele también escribirse como ˜ V = −jX C ˜ I , (5.26) donde X C = 1 ωC (5.27) Dpt. Física Aplicada 1 Apuntes de FFI 94 TEMA 5. Circuitos de Corriente Alterna se denomina reactancia capacitiva y se expresa en ohmios (Ω). Esta magnitud depende de la frecuencia tendiendo a cero para fre- cuencias muy altas y a infinito para frecuencias muy bajas. Esto se manifiesta en el hecho de que para frecuencias bajas el condensa- dor se comporta como un elemento que apenas deja fluir la corriente mientras que a frecuencias altas casi no impide la circulación de la corriente. Bobina. La relación (5.21) para la bobina puede expresarse en forma fasorial como ˜ V = jωL ˜ I . (5.28) Si se define la reactancia inductiva, X L , como X L = ωL , (5.29) la expresión fasorial (5.28) puede también escribirse como ˜ V = jX L ˜ I . (5.30) La reactancia inductiva viene dada en ohmios y es un parámetro que depende linealmente con la frecuencia, de modo que tiende a cero para frecuencias bajas y a infinito para frecuencias altas. Podemos afirmar entonces que la bobina se comporta como un elemento que se opondría al paso de la corriente a medida que la frecuencia de ésta aumenta. Es interesante observar que las relaciones tensión/intensidad 2 para el condensador y la bobina fueron expresadas en el Apartado 5.2 mediante expresiones diferenciales han podido ser ahora reescritas como simples expresiones algebraicas mediante el uso de sus fasores asociados. Es más, se ha encontrado que el fasor ˜ V siempre puede relacionarse linealmente con el fasor ˜ I mediante un parámetro genérico Z, ˜ V = Z ˜ I , (5.31) que denominaremos impedancia y que, en general, es un número com- plejo (notar que no es un fasor) que toma los siguientes valores para el caso de resistencias, condensadores y bobinas: Z = R Resistencia −jX C Condensador jX L Bobina . (5.32) Impedancia de una resistencia, condensador y bobina 5.5.2. Reglas de Kirchhoff Las reglas de Kirchhoff junto con las relaciones tensión/intensidad en los distintos elementos que constituyen los circuitos nos permitirán de- terminar el comportamiento de las magnitudes eléctricas en corriente al- terna. Las reglas de Kirchhoff fueron introducidas en el Capítulo 2 para 2 Recordemos que tensión es sinónimo de diferencia de potencial y de voltaje. Apuntes de FFI Dpt. Física Aplicada 1 5.5. Análisis fasorial de circuitos de CA 95 los circuitos de corriente continua, donde suponíamos que se había esta- blecido una situación estacionaria (es decir, las magnitudes no variaban en el tiempo). En los circuitos de corriente alterna supondremos que las reglas de Kirchhoff siguen siendo válidas para cada instante de tiempo 3 . En consecuencia podemos expresar las reglas de Kirchhoff de la siguiente manera: ◮ Regla de Kirchhoff para la tensión: V 12 (t) = ¸ j V j (t) − ¸ i c i (t) , (5.33) donde V j (t) es la caída de potencial en el elemento j-ésimo y c i (t) es la i-esima fem del recorrido. En el ejemplo mostrado en la figura adjunta, la regla (5.33) nos dice que V 12 (t) = [V 1 (t) −V 2 (t) +V 3 (t) +V 4 (t)] −[−c 1 (t) +c 2 (t)] . ◮ Regla de Kirchhoff para las intensidades: N ¸ i=1 I i (t) = 0 , (5.34) esto es, en cada instante de tiempo, la suma de todas las intensida- des que llegan y salen de un nudo es cero. Las anteriores reglas pueden también expresarse en forma fasorial, adoptando entonces la siguiente forma: Regla de Kirchhoff fasorial para la tensión ˜ V 12 = ¸ j ˜ V j − ¸ i ˜ c i , (5.35) o, equivalentemente, ˜ V 12 = ¸ j Z j ˜ I j − ¸ i ˜ c i , (5.36) donde Z j es la impedancia del elemento j-ésimo recorrido por la intensidad fasorial ˜ I j . En el ejemplo de la figura (siguiendo los crite- rios de signos ya explicados para los circuitos de corriente continua), al aplicar (5.36) obtenemos ˜ V 12 = Z 1 ˜ I 1 −Z 2 ˜ I 2 + (Z 3 +Z 4 ) ˜ I 3 − − ˜ c 1 + ˜ c 2 . Regla de Kirchhoff fasorial para las intensidades N ¸ i=1 ˜ I i = 0 , (5.37) es decir, la suma de todas las intensidades fasoriales que llegan y salen de un nudo es cero. 3 Básicamente estamos admitiendo que en cada instante de tiempo se alcanza una situa- ción estacionaria. Dpt. Física Aplicada 1 Apuntes de FFI 96 TEMA 5. Circuitos de Corriente Alterna 5.5.3. Circuito RLC serie Debemos observar que las reglas de Kirchhoff tal como han sido es- tablecidas en (5.36) y (5.37) son “idénticas” a las reglas (2.34) y (2.35) establecidas para corriente continua, considerando que ahora tenemos fasores e impedancias en vez de números reales y resistencias. Como un ejemplo sencillo de aplicación de las leyes de Kirchhoff fasoriales consi- deraremos a continuación un circuito RLC serie en corriente alterna. Si el generador de fem alterna proporciona una c dada por c(t) = c 0 cos(ωt +δ E ) , (5.38) cuyo fasor asociado es ˜ c = c 0 e jδE , (5.39) al aplicar la ley de Kirchhoff de las tensiones (5.33) al circuito de la figura tendremos que c(t) = V R (t) +V C (t) + V L (t) , (5.40) o bien en forma fasorial: ˜ c = ˜ V R + ˜ V C + ˜ V L . (5.41) Teniendo ahora en cuenta las expresiones fasoriales (5.23),(5.26) y (5.30), se tiene que ˜ c = [R + j(X L −X C )] ˜ I (5.42) = Z ˜ I , (5.43) donde la impedancia, Z, del circuito RLC serie será Impedancia de un circuito serie RLC Z = R + j(X L −X C ) , (5.44) esto es, la suma de las impedancias de cada uno de los elementos del circuito. Esta impedancia puede también expresarse en forma módulo y argumento como Z = [Z[e jδZ (5.45) donde [Z[ = R 2 + (X L −X C ) 2 (5.46) y δ Z = arctan X L −X C R . (5.47) Despejando en la expresión (5.43), el fasor intensidad puede calcularse como ˜ I = I 0 e jδI = ˜ c Z . (5.48) Sustituyendo ahora (5.39) y (5.45) en la expresión anterior, ˜ I puede rees- cribirse como ˜ I = c 0 [Z[ e j(δE−δI) , de donde concluimos que la amplitud y fase del fasor intensidad vienen dados por I 0 = c 0 R 2 + (X L −X C ) 2 (5.49) Apuntes de FFI Dpt. Física Aplicada 1 5.5. Análisis fasorial de circuitos de CA 97 y δ = δ E −arctan X L −X C R . (5.50) Obviamente, la expresión temporal de la intensidad puede obtenerse al sustituir las expresiones anteriores para I 0 y δ en I(t) = I 0 cos(ωt +δ). Resonancia Si la amplitud de la intensidad para el circuito serie RLC, según se ha obtenido en (5.49), se expresa explícitamente como una función de la frecuencia, obtendríamos que I 0 (ω) = c 0 R 2 + ωL − 1 ωC 2 (5.51) o, equivalentemente, I 0 (ω) = c 0 R 2 + L 2 ω 2 ω 2 − 1 LC 2 . (5.52) Definiendo la frecuencia ω 0 como ω 2 0 = 1 LC , (5.53) podemos reescribir (5.52) como I 0 (ω) = ωc 0 ω 2 R 2 +L 2 (ω 2 −ω 2 0 ) 2 , (5.54) donde puede observarse que la amplitud de la intensidad en el circuito serie RLC depende claramente de la frecuencia y presenta un máximo ab- soluto para un valor de frecuencia ω = ω 0 . Este fenómeno se conoce en ge- neral como resonancia y aparece en múltiples situaciones prácticas (por ejemplo, en los osciladores forzados). La frecuencia, ω r , a la que aparece el máximo de amplitud recibe el nombre de frecuencia de resonancia, siendo para el circuito serie RLC: ω r = ω 0 ; cumpliéndose además a esta frecuencia que X L = X C , por lo que, según (5.47), la impedancia es pu- ramente real. Los fenómenos de resonancia tienen múltiples aplicaciones prácticas; por ejemplo, si el circuito serie RLC se utiliza como el circuito de sintonía de una radio, la capacidad del condensador puede variarse de modo que la frecuencia de resonancia vaya cambiando, sintonizándose así las diferentes emisoras (esto es, la emisora que emita con frecuencia igual a la de resonancia es la que se recibiría con más intensidad). 5.5.4. Análisis de mallas La resolución del circuito RLC serie en corriente alterna ha puesto de manifiesto que mediante el uso de los fasores y de la impedancia asocia- da a cada elemento, la resolución de un circuito de corriente alterna es Dpt. Física Aplicada 1 Apuntes de FFI 98 TEMA 5. Circuitos de Corriente Alterna equivalente a la de uno de corriente continua en la que las magnitudes intensidad y tensión son ahora fasores y las impedancias juegan el papel de resistencias. De este modo, todas las técnicas introducidas en el Ca- pítulo 2 para la resolución de circuitos de corriente continua pueden ser ahora aplicadas a la resolución de circuitos de corriente alterna, teniendo en cuenta las equivalencias antes mencionadas. Como ejemplo, un circuito como el mostrado en la Figura 5.2 puede Figura 5.2: Circuito de tres mallas resolverse mediante la aplicación del método de las corrientes de mallas. Definiendo los fasores intensidades de malla en cada una de las tres ma- llas del circuito según se muestra en la figura y teniendo en cuenta el valor de las impedancias de cada uno de los elementos implicados, la ecuación para las intensidades de malla puede escribirse como ˜ c 1 0 0 ¸ ¸ = [Z ij ] ˜ I 1 ˜ I 2 ˜ I 3 ¸ ¸ , donde la matriz de impedancias viene dada por [Z ij ] = j(X L1 −X C1 ) 0 jX C1 0 R 1 + j(X L2 −X C2 ) −jX L2 jX C1 −jX L2 R 2 + j(X L2 −X C1 ) ¸ ¸ . Para los cálculos en los ejercicios es siempre conveniente trabajar con números sustituyendo las expresiones algebraicas por sus valores numé- ricos concretos antes de resolver el correspondiente sistema de ecuacio- nes. Ejemplo 5.1 En el circuito de la figura, determine las intensidades fasoriales, ˜ I1, ˜ I2 e ˜ I3 y las instantáneas, i1(t), i2(t) e i3(t). Datos: E(t) = 20 sen(4 ×10 4 t)V, R1 = 8Ω, R2 = 4Ω, L = 0,2mH y C = 3,125µF . Lo primero que debemos hacer es obtener los fasores fuerza electromotriz y las impedancias de cada elemento. Dado que la fuente proporciona una fem de valor E(t) = 20 sen(4 ×10 4 t) V = 20 cos(4 ×10 4 t −π/2) V , de aquí obtenemos que la frecuencia angular, ω, de la fuente es ω = 4 ×10 4 rad/s Apuntes de FFI Dpt. Física Aplicada 1 5.5. Análisis fasorial de circuitos de CA 99 y su correspondiente fasor asociadao es ˜ E = 20e −jπ/2 = −j20 V . Para obtener las impedancias de la bobina y los condensadores, debemos cal- cular primero las reactancias inductivas y capacitivas, esto es, XL = ωL = 4 ×10 4 · 2 ×10 −4 = 8Ω XC = 1 ωC = 1 4 ×10 4 · 3,125 ×10 −6 = 8Ω , por lo que el circuito equivalente que debemos resolver es el mostrado en la figura adjunta. Las ecuaciones para las intensidades fasoriales de malla, ˜ I1 e ˜ I2, son » −j20 0 – = » 8 −j8 −j8 −j8 4 – » ˜ I1 ˜ I2 – , o bien simplificando al dividir por 4: » −j5 0 – = » 2 −j2 −j2 −j2 1 – » ˜ I1 ˜ I2 – . Las intensidades de mallas pueden ahora calcularse usando, por ejemplo, el mé- todo de sustitución. Así de la segunda ecuación obtenemos ˜ I2 = 2j ˜ I1 , que al sustituir en la primera ecuación, nos lleva a que −j5 = (2 −j2) ˜ I1 −j2j2 ˜ I1 = (2 −j2 + 4) ˜ I1 = (6 −j2) ˜ I1 . Despejando tenemos que ˜ I1 = −j5 6 −j2 = −j5(6 + j2) (6 −j2)(6 + j2) = −j5(6 + j2) 5 · 8 = −j6 + 2 8 = 1 −j3 4 y sustituyendo ahora este valor para obtener ˜ I2, obtenemos ˜ I2 = 2j(1 −j3) 2 · 2 = 3 + j 2 . Para calcular ahora el fasor ˜ I3, asociado a i3(t), debemos tener en cuenta que ˜ I3 = ˜ I1 − ˜ I2 , por lo que ˜ I3 = 1 −j3 4 − 3 + j 2 = 1 −j3 −6 −j2 4 = −5 −j5 4 . Dpt. Física Aplicada 1 Apuntes de FFI 100 TEMA 5. Circuitos de Corriente Alterna Antes de obtener las expresiones de las intensidades instantáneas es conve- niente expresar los fasores anteriores en forma módulo y argumento: ˜ I1 = √ 10 4 e j arctan(−3) = √ 10 4 e −j1,249 ˜ I2 = √ 10 2 e j arctan(1/3) = √ 10 2 e j0,291 ˜ I3 = 5 √ 2 4 e j arctan(−1/−1) = 5 √ 2 4 e j5π/4 . (Notar que ˜ I3 se encuentra en el tercer cuadrante, por lo que su fase será π+π/4 = 5π/4). Finalmente las intensidades instantáneas vienen dadas por i1(t) = √ 10 4 cos(4 ×10 4 t −1,249) A i2(t) = √ 10 2 cos(4 ×10 4 t + 0,291) A i3(t) = 5 √ 2 4 cos(4 ×10 4 t + 5π/4) A . 5.6. Balance de potencia 5.6.1. Potencia media Consideremos una rama de un circuito de CA caracterizada por una I t ( ) Z V t ( ) impedancia Z donde se han medido las siguientes tensión e intensidad instantáneas: V (t) = V 0 cos ωt I(t) = I 0 cos(ωt −δ) , siendo −δ el ángulo de desfase entre la tensión y la intensidad (en el presente caso se ha tomado por sencillez la fase inicial de la tensión igual a cero, aunque este hecho no afecta a las conclusiones y resultados del presente apartado). La potencia instantánea, P(t), consumida en dicha rama vendrá dada por la siguiente expresión: P(t) = I(t)V (t) = I 0 V 0 cos ωt cos(ωt −δ) , (5.55) donde debemos observar que dicha potencia es una función variable y pe- riódica en el tiempo (T = 2π/ω). Debido al carácter variable y periódico de esta magnitud, la idea de “potencia consumida en el sistema” puede re- lacionarse más convenientemente con la potencia media en un periodo, P med , cuya expresión será P med = 'P(t)` = 1 T T 0 P(t) dt . (5.56) La potencia media es justamente el valor que usualmente se propor- ciona al referirnos al consumo de cualquier aparato eléctrico. Esta mag- nitud nos nos da una idea clara de cómo se comporta el sistema puesto Apuntes de FFI Dpt. Física Aplicada 1 5.6. Balance de potencia 101 que lo que ocurre en el intervalo “natural” de tiempo en el sistema (esto es, el periodo T) determina el comportamiento del sistema en cualquier otro intervalo de tiempo mayor —éste será simplemente una repetición de lo que sucede en uno de los periodos. Así, por ejemplo, la energía, ∆E, consumida en el sistema en un intervalo de tiempo ∆t ≫T será muy aproximadamente ∆E ≃ P med ∆t . Introduciendo (5.55) en (5.56) para obtener la potencia media tenemos que P med = 1 T I 0 V 0 T 0 cos(ωt) cos(ωt −δ) dt = 1 T I 0 V 0 ¸ cos δ T 0 cos 2 (ωt) dt + senδ T 0 cos(ωt) sen(ωt) dt ¸ y dado que la segunda integral se anula mientras que la primera es 1 2 T, podemos concluir que Potencia media consumida P med = 1 2 I 0 V 0 cos δ = I ef V ef cos δ . (5.57) Es interesante observar que, desde un punto de vista operativo, la po- tencia media podría haberse calculado igualmente mediante la siguiente expresión: P med = 1 2 Re ˜ V ˜ I ∗ = 1 2 Re ˜ V ∗ ˜ I , (5.58) donde f ∗ significa complejo conjugado de f. Si tomamos las expresiones fasoriales correspondientes a la intensidad y tensión consideradas, ˜ I = I 0 e −jδ (5.59) ˜ V = V 0 , (5.60) podemos comprobar que efectivamente P med = 1 2 Re V 0 I 0 e −jδ = 1 2 I 0 V 0 cos δ . (5.61) 5.6.2. Factor de potencia En la expresión (5.57) de la potencia media podemos apreciar que jun- to al producto de las amplitudes de la tensión e intensidad aparece un factor cos δ denominado factor de potencia. Este factor de máxima im- portancia práctica es determinante en el consumo/suministro de potencia en el sistema puesto que su valor está comprendido en el intervalo [−1, 1]. Por ejemplo, en la resonancia donde el desfase entre la tensión y la inten- sidad es nulo, el factor de potencia es uno y consecuentemente el consumo de potencia es máximo. Por el contrario si el desfase entre la tensión y la intensidad fuese de π/2 el consumo de potencia sería nulo. El factor de potencia puede expresarse en términos de la impedancia Z de la rama, que podemos escribir como Z = [Z[e jα . Dpt. Física Aplicada 1 Apuntes de FFI 102 TEMA 5. Circuitos de Corriente Alterna Dado que en el presente caso la fase del fasor ˜ V es nula, la fase del fasor intensidad ˜ I será la opuesta a la fase de la impedancia, esto es, ˜ I = I 0 e −jδ = ˜ V Z = V 0 [Z[e jα = V 0 [Z[ e −jα , de donde obtenemos que I 0 = V 0 [Z[ (5.62) y δ = α . (5.63) Teniendo en cuenta que cos α = Re(Z)/[Z[ y (5.63), el factor de potencia puede, por tanto, escribirse como cos δ = Re (Z) [Z[ (5.64) y, consecuentemente, la potencia media puede también expresarse como P med = I ef V ef cos δ = I ef [Z[I ef Re (Z) [Z[ = I 2 ef Re (Z) (5.65) o expresiones equivalentes (en función de V ef ). 5.6.3. Consumo de potencia La expresión (5.65) indica que la potencia media consumida está direc- tamente relacionada con la parte real de la impedancia. Si el sistema bajo estudio fuese un circuito “serie”, entonces la parte real de la impedan- cia vendría dada simplemente por la suma de las resistencias pero si el circuito fuese de otro tipo, la presencia de las partes reactivas del circui- to (condensadores y bobinas) aparecerán explícitamente en la parte real de la impedancia. Evidentemente el consumo de potencia sólo se lleva a cabo en las resistencias (únicos elementos en los que tiene lugar efecto Joule) y no en las bobinas y condensadores. No obstante, esto no quiere decir que estos últimos elementos no influyan en el consumo de potencia, más bien habría que decir que la potencia se disipa en las resistencias pe- ro que la presencia y disposición de bobinas y condensadores determina ciertamente cuánta potencia es disipada en estas resistencias. En el caso de un circuito alimentado por una fuente de tensión (ver figura adjunta), un análisis similar al del Apartado 5.6.1 nos dice que la potencia instantánea suministrada por el generador de fuerza electromo- triz c(t), que proporciona una corriente I(t), viene dada por P(t) = c(t)I(t) , (5.66) por lo que la potencia media suministrada por dicho generador será Potencia media suministrada por un generador de fem P gen med = 1 T T 0 c(t)I(t) dt = 1 2 Re ˜ c ˜ I ∗ . (5.67) Dado que las potencias medias (5.67) y (5.57) representan físicamente la energía por periodo proporcionada por la fuente y la consumida en el circuito respectivamente, debe cumplirse que Apuntes de FFI Dpt. Física Aplicada 1 5.6. Balance de potencia 103 la suma de las potencias medias suministrada por los gene- radores debe ser igual a la suma de las potencias medias disipadas en las resistencias. Ejemplo 5.2 En el circuito de la figura, comprobar que la potencia media suministrada por la fuente es igual a la suma de las potencias medias consumidas en las resistencias. Teniendo en cuenta que ˜ E1 = 8 y ˜ E2 = 4, tras resolver el circuito para obtener las intensidades fasoriales de rama obtendríamos que ˜ I1 = 1 + j mA = √ 2 e jπ/4 mA ˜ I2 = 1 −j mA = √ 2 e −jπ/4 mA ˜ I3 = 2 mA . Los fasores tensión en las resistencias se obtienen simplemente multiplicando los correspondientes fasores intensidad por el valor de la resistencia, de modo que ˜ V2kΩ = 2 √ 2 e jπ/4 V ˜ V4kΩ = 4 √ 2 e −jπ/4 V . La potencia media, Pmed, consumida en cada una de las respectivas resistencias puede obtenerse según (5.58) resultando Pmed(R = 2kΩ) = 2 mW Pmed(R = 4kΩ) = 4 mW . Análogamente la potencia media suministrada por cada una de las fuentes de fem será Pmed(E1) = 1 2 Re “ ˜ I1 ˜ E ∗ 1 ” = 4 mW Pmed(E2) = 1 2 Re “ ˜ I2 ˜ E ∗ 2 ” = 2 mW . Obtenemos que la potencial media total suministrada por las fuentes coincide con la potencia media total consumida en las resistencias. Dpt. Física Aplicada 1 Apuntes de FFI 104 TEMA 5. Circuitos de Corriente Alterna Ejemplo 5.3 En el circuito de la figura, calcular: (1) la intensidad (instantánea y eficaz) que circula por la fuente; (2) la potencia media consumida por el circuito; (3) el equiva- lente Thevenin entre los puntos A y B; y (4) la energía almacenada por la bobina de reactancia inductiva XL = 1,6 Ω en un instante t. 1. Para calcular el fasor intensidad, ˜ I, que circula por la fuente, podemos cal- cular en primer lugar la impedancia, Z, en serie con dicha fuente. Para ello notemos que 1 ZAB = 1 6 + j8 + 1 3 −j4 = 0,18 + j0,08 = 0,2 e j0,418 , por lo que ZAB = 4,6 −j2 = 5 e −j0,418 y, por consiguiente, encontramos que Z = (1,2 + j1,6) + (4,6 −j2) = 5,8 −j0,4 = 5,8 e −j0,069 . Ahora podremos calcular el fasor intensidad a partir de ˜ I = ˜ E Z = 10 5,8 e −j0,069 = 1,72 e j0,069 , de donde finalmente obtenemos que Ie = 1,72 A I(t) = 2,43 cos(100πt + 0,069) A , recordando que la amplitud de la intensidad instantánea, I0, vendrá dada por I0 = Ie √ 2. 2. Teniendo en cuenta que la potencia media consumida en el circuito será idéntica a la proporcionada por la fuente de fem, usando la expresión (5.67), tenemos que Pmed = 1 2 Re “ ˜ E ˜ I ∗ ” = 10 ×1,72 ×cos(0,069) = 17,16 W . 3. Para calcular el equivalente es quizás conveniente dibujar el circuito origi- nal en la forma mostrada en la figura adjunta. Así para calcular la impedan- cia Thevenin, ZTH, tendremos que calcular la impedancia equivalente a las tres ramas en paralelo resultantes tras cortocircuitar la fuente de fem, esto es, 1 ZTH = 1 4,6 −j2 + 1 1,2 + j1,6 , que tras operar nos da ZTH = 1,43 + j0,95 = 1,72 e j0,588 . Para obtener el fasor de tensión Thevenin, ˜ VTH, notemos que debido a que las tres ramas están en paralelo ˜ VTH = ˜ VAB = ZAB ˜ I = 8,6 e −j0,349 , resultado que también podría haberse obtenido si consideramos que ˜ VTH = ˜ E −(1,2 + j1,6) ˜ I . 4. Para calcular la energía instantánea almacenada en la bobina debemos usar la siguiente expresión: Um(t) = 1 2 LI 2 (t) , que al operar nos da Um(t) = 1 2 1,6 100π [1,72 √ 2 cos(100πt + 0,069)] 2 = 0,015 cos 2 (100πt + 0,069) J . Apuntes de FFI Dpt. Física Aplicada 1 5.7. Problemas propuestos 105 5.7. Problemas propuestos 5.1: Una bobina de 200 vueltas posee un área de 4 cm 2 y gira dentro de un campo magné- tico. ¿Cuál debe ser el valor del módulo de este campo magnético para que genera un fem máxima de 10 V a 60 Hz? Sol. 0,332 T. 5.2: Calcular el valor eficaz y la amplitud de la corriente de un secador eléctrico de una lavandería que proporciona 5,0 kW eficaces cuando se conecta a una red de a) 240 V eficaces y b) 120 V eficaces. Sol.: a) I ef = 20,8 A, I 0 = 29,5 A ; b) I ef = 41,7 A, I 0 = 58,9 A. 5.3: Un determinado dispositivo eléctrico consume 10 A eficaces y tiene una potencia media de 720 W cuando se conecta a una línea de 120 V eficaces y 60 Hz. a) ¿Cuál es el módulo de la impedancia del aparato? b) ¿A qué combinación en serie de resistencia y reactancia es equivalente este aparato? c) Si la corriente se adelanta a la fem, ¿es inductiva o capacitiva la reactancia? Sol.: a) |Z| = 12 Ω ; b) R = 7, 2 Ω, X = 9,6 Ω ;c) Capacitiva. 5.4: En un nudo de una red concurren cuatro ramas. Las intensidades que recorren tres de ellas son: i 1 (t) = 3 cos(ωt) A, i 2 (t) = 4 cos(ωt + π/4) A e i 3 (t) = 2 cos(ωt + 5π/4) A. Utilizando la técnica de fasores, determinar la intensidad, i 4 (t), en la cuarta rama. Sol.: i 4 (t) = 4,414 cos(ωt + 0,31) A. i t 1 ( ) i t 2 ( ) i t 3 ( ) i t 4 ( ) 5.5: En el circuito de la figura, determinar la d.d.p. entre los extremos de R 2 cuando se conecta entre los terminales a y b: a) una fuente de continua de 100 V; b) una fuente de alterna de valor eficaz 100 V y frecuencia f = 400/π Hz. Sol.: a) 50 V; b) V (t) = 79,05 √ 2 cos(800t −0,3217) V. 5.6: En el circuito de la figura, se conecta entre los terminales A y B una fuente de alterna de valor eficaz 500 V y frecuencia 50 Hz. Determinar: a) la impedancia total entre A y B; b) la intensidad, i(t), que circula por la fuente; c) la capacidad del condensador y la inductancia de la bobina; d) la potencia media consumida en el circuito. Sol.: a) Z AB = (100/41)(121 + 18j) Ω; b) i(t) = 2,37 cos(100πt −0,1477) A; c) C = 12,73 µF, L = 1,273 H; d) P = 828,8 W. 5.7: En el circuito de la figura determinar: a) la impedancia de cada elemento y la admitan- cia del conjunto; b) la intensidad i(t) que circula por la fuente; c) las intensidades complejas por las ramas de la resistencia y de la bobina, dibujando, además, el diagrama fasorial de intensidades; d) el valor de la capacidad, C, que conectada en serie en el punto M hace que la intensidad que circula por la fuente esté en fase con la tensión de la misma. Sol.: a) R = 20 Ω, Z L = 4j Ω; b) i(t) = 56,09 √ 2 cos(ωt −1,3734) A; c) e I R = 11 √ 2 A, e I L = −55 √ 2j A; d) C = 650 µF. 5.8: Una bobina de 0.1 H está conectada en serie con una resistencia de 10 Ω y con un con- densador. El condensador se elige de forma que el circuito esté en resonancia al conectarlo a una fuente de alterna de 100 V (voltaje máximo) y 60 Hz . Calcular el valor del condensador utilizado así como la d.d.p. entre los extremos del condensador (V C (t)) y de la bobina (V L (t)). Sol.: C = 70,4 µF, V C (t) = 120π cos(120πt +π/2)V, V L (t) = 120π cos(120πt −π/2)V. 5.9: Un receptor de radio se sintoniza para detectar la señal emitida por una estación de radio. El circuito de sintonía –que puede esquematizarse como un circuito RLC serie– utiliza un condensador de 32.3 pF y una bobina de 0.25 mH. Calcular la frecuencia de emisión de la estación de radio. Sol.: 1.77 MHz. 5.10: Un método para medir autoinducciones consiste en conectar la bobina en serie con una capacidad y una resistencia conocidas, un amperímetro de ca y un generador de señales de frecuencia variable. La frecuencia del generador se varía y se mantiene constante la fem hasta que la corriente es máxima. Si C = 10 µF, Emax = 10 V, R = 100 Ω, siendo la intensidad máxima para ω = 5000 rad/s, calcular cuánto vale L e Imax. Sol. L = 4 mH, Imax = 100 mA. Dpt. Física Aplicada 1 Apuntes de FFI 106 TEMA 5. Circuitos de Corriente Alterna 5.11: En el circuito de la figura determinar: a) la impedancia Z ab ; b) la intensidad, i(t), que atraviesa la fuente; c) la potencia activa suministrada y la potencia media consumida (verificar el balance de las mismas); d) el elemento que debe conectarse entre los puntos a y b para que la intensidad y tensión en la fuente estén en fase. Sol.: a) Z ab = 5 + 5j Ω; b) i(t) = 44 cos(400t − π/4) A; c) Pact = P R = 4840W; d) un condensador de 250 µF. 5.12: En el circuito que se muestra en la figura, calcular: a) las intensidades (expresiones temporales y fasoriales) y representar el diagrama fasorial de las mismas; b) la potencia media suministrada y consumida. Sol.: e I 1 = −10(1 + j)/3 A, e I 2 = 5 A, i 1 (t) = 10 √ 2/3 cos(ωt −3π/4) A, i 2 (t) = 5cos(ωt) A; b) fuente(1) consume 50/3 W, fuente(2) suministra 50 W, resistencia consume 100/3 W. 5.13: Se desea diseñar un dispositivo RLC serie destinado a funcionar conectado a una fuente de frecuencia angular ω y resistencia de salida Rs. Determinar los valores de R, L y C (en función de ω y Rs) para que el dispositivo cumpla las tres especificaciones siguientes: 1) la tensión eficaz entre los bornes de R debe ser igual a la que exista entre los bornes de L; 2) el dispositivo debe ser globalmente resistivo, esto es, debe equivaler a una resistencia; 3) la potencia consumida en la resistencia de salida de la fuente debe ser igual a la consumida en el dispositivo. Determinar también la intensidad que circularía en el circuito si la fuente utilizada tuviese amplitud máxima V 0 . Sol.: R = Rs, L = Rs/ω y C = 1/(ωRs); i(t) = V 0 2Rs cos(ωt) 5.14: En el circuito de la figura: a) obtener las intensidades fasoriales y temporales en las ramas, representado el diagrama fasorial; b) calcular las potencias medias suministradas y consumidas; c) encontrar el equivalente Thévenin entre los terminales A y B, obteniendo, además, la intensidad que circularía entre dichos terminales al conectar entre ellos un con- densador de 50 nF. Sol.: a) e I 1 = 2 + 6j mA, e I 2 = 2 mA, e I 3 = 4 + 6j mA, i 1 (t) = √ 40cos(10 4 t +arctan(3)) mA, i 2 (t) = 2cos(10 4 t) mA, i 3 (t) = √ 52cos(10 4 t +arctan(3/2)) mA; b) Suministradas fuentes: P 1 = 8 mW, P 2 = 16 mW, consumida resistencias: P R 1 = 20 mW, P R 2 = 4 mW; c) e V Th = 8j, Z Th = (2 + 2j) kΩ, i C (t) = 4 cos(10 4 t −π/2) mA. Apuntes de FFI Dpt. Física Aplicada 1 Tema 6 Ondas Electromagnéticas 6.1. Introducción Una de las características fundamentales de una onda es que es ca- paz de transmitir una energía (junto con su correspondiente momento lineal/angular) sin que ello implique un transporte neto de materia. Usual- mente, las ondas consisten en la propagación de alguna perturbación físi- ca a través de algún medio material, por ejemplo: olas en el agua, varia- ciones de presión en el aire (sonido), etc. No obstante, existe un tipo de fenómeno ondulatorio que no requiere la presencia de medios materiales para su propagación (esto es, la perturbación se puede propagar en el vacío o espacio libre) aunque ciertamente también puede propagarse en presencia de medios materiales. Estas ondas son las ondas electromag- néticas, que consisten en la transmisión de campos eléctricos y magné- ticos a una velocidad v ≤ c; siendo c la velocidad de propagación en el vacío. El origen de estas ondas puede entenderse como una consecuencia de que un campo magnético variable en el tiempo, B 1 (x, t), puede ser la fuente de un campo eléctrico variable en el tiempo, E 1 (x, t), y éste a su vez puede ser la fuente de un campo magnético variable en el tiempo, B 2 (x, t), y así sucesivamente: B 1 (x, t) ⇒ E 1 (x, t) ⇒ B 2 (x, t) ⇒ E 2 (x, t) ⇒ B 3 (x, t) ⇒ De este modo, los campos eléctrico y magnético se generan mutuamente dando lugar a una onda electromagnética que se propaga en el espacio libre a una velocidad c = 1/ √ µ 0 ǫ 0 ≈ 3 10 8 m/s. (Evidentemente si el campo primario fuese uno eléctrico, en vez de uno magnético, también se produciría una onda electromagnética). Esta hipótesis teórica deducida por James C. Maxwell (∼ 1860) fue confirmada experimentalmente por H. Hertz en 1888. Adicionalmente, el hecho de que la velocidad de propaga- ción de las ondas electromagnéticas fuese justamente la velocidad medida experimentalmente para la propagación de la luz fue el primer indicio cla- ro de que la luz no era otra cosa que una onda electromagnética. Las ondas electromagnéticas, además de constituir uno de los fenóme- nos físicos más predominantes en la naturaleza, tienen una importancia tecnológica fundamental en el campo de las comunicaciones. Podría de- cirse que la mayoría de las comunicaciones actuales se sustentan en la 107 108 TEMA 6. Ondas Electromagnéticas transmisión de ondas electromagnéticas, ya sea a través del espacio libre: radio, televisión, teléfonos móviles, redes inalámbricas, satélites,... o bien a través de medios materiales: telefonía convencional, televisión por ca- ble, transmisión por fibra óptica, redes locales de ordenadores, etc. Exis- ten muchas razones para justificar este extendido uso pero, entre otras, cabe destacar: la posibilidad de que las ondas electromagnéticas se propaguen en el vacío; el desarrollo de antenas (emisoras y receptoras) que permiten la transmisión y recepción de estas ondas involucrando muy poca ener- gía; la posibilidad de “guiar” estas ondas mediante diversos sistemas de transmisión: linea bifilar, cable coaxial, guías de ondas metálicas, fibras ópticas, etc; el hecho de poder usar señales portadores de muy alta frecuencia que permiten grandes anchos de banda; la facilidad de tratamiento de las señales electromagnéticas, por ejemplo su modulación/demodulación en fase, amplitud o frecuen- cia, que permite usar estas señales como soporte de información tanto analógica como digital; y la fácil integración de los equipos de generación/recepción con la circuitería electrónica. 6.2. Nociones generales de ondas En la Naturaleza existen muchos fenómenos físicos en los que una per- turbación física viaja sin que ello lleve aparejado un desplazamiento neto de materia. Un ejemplo de esto puede ser la ola que se produce en el agua tras arrojar una piedra. En este fenómeno se observa el desplazamiento de una ondulación en la superficie del agua en la que las partículas indi- viduales de agua no se trasladan sino que realizan un simple movimiento de vaivén (movimiento oscilatorio). Otro ejemplo, es la propagación del sonido, que básicamente es un desplazamiento de un cambio de presión en el aire pero sin que ello implique que las partículas de aire viajen des- de el lugar donde se originó el sonido hasta el receptor; más bien cada partícula transmite su movimiento oscilatorio a la siguiente antes de vol- ver a su posición original. Otro ejemplo bastante visual de este tipo de fenómenos se produce al agitar una cuerda por uno de sus extremos. En este caso se observaría claramente el desplazamiento de un pulso en la cuerda, siendo también evidente que cada segmento de cuerda no viaja junto a este pulso. En todos los ejemplos anteriores una perturbación física se desplaza a través de un medio (agua, aire y cuerda respectivamente) sin que las partículas de este medio hayan sufrido un desplazamiento neto. 1 Estos 1 Debe notarse que la ausencia de un desplazamiento neto no implica la existencia de movimiento nulo. El movimiento oscilatorio de una partícula en torno a un punto fijo es un claro ejemplo de movimiento en el cual no existe traslación neta. Apuntes de FFI Dpt. Física Aplicada 1 6.2. Nociones generales de ondas 109 ejemplos son casos concretos de un tipo general de fenómenos físicos denominados ondas, las cuales pueden definirse como Propagación de una perturbación física sin que exista un transporte neto de materia. Debe notarse que la propagación de la perturbación en la onda implica el transporte de cierta energía y momento lineal. En este sentido, el com- portamiento ondulatorio debe discernirse claramente del comportamiento de las partículas, puesto que estas últimas siempre transportan energía y momento lineal asociado a un transporte neto de materia. Entre las posibles formas de clasificar a las ondas, a continuación se presentan dos de ellas: Naturaleza física de la perturbación • Ondas mecánicas: cuando la perturbación física involucrada es de naturaleza mecánica, por ejemplo: desplazamiento, veloci- dad, presión, torsión, etc. • Ondas electromagnéticas: cuando la perturbación es un campo electromagnético. Dirección relativa de la perturbación y el desplazamiento on- dulatorio perturbación perturbación propagación propagación • Ondas longitudinales: cuando la dirección de la perturbación física y de la propagación ondulatoria coinciden, por ejemplo: onda de sonido. • Ondas transversales: cuando la perturbación física se realiza en un plano transversal a la dirección de propagación de la on- da; por ejemplo: el desplazamiento de un pulso en una cuerda, ondas electromagnéticas planas en el espacio libre, etc. Cuando se trata de caracterizar una onda, algunos conceptos usuales son: Foco: es el recinto donde se produce la perturbación inicial. Superficie/Frente de Onda: es el lugar geométrico de los puntos en que han sido alcanzados simultáneamente por la perturbación. Velocidad de Fase: velocidad con la que se propagan las superficies de onda. Los conceptos anteriores pueden clarificarse si los concretamos en el caso de la propagación del sonido. En este caso, el foco sería el lugar donde se emiten los sonidos (por ejemplo la boca de alguien), la superficie de onda serían superficies aproximadamente esféricas centradas en el foco, y la velocidad de fase sería la velocidad a la que se viaja el frente de ondas, esto es, la velocidad del sonido ∼ 340 m/s. Dpt. Física Aplicada 1 Apuntes de FFI 110 TEMA 6. Ondas Electromagnéticas 6.2.1. Ecuación de ondas Del mismo modo que existe una ecuación diferencial general que de- termina el momento lineal, p, de una partícula (o conjunto de ellas) en función de la fuerza externa, F, F = d p dt (6.1) (o bien F = md 2 x/dt 2 para el caso de movimiento monodimensional), exis- te también una ecuación diferencial, denominada ecuación de ondas, que se aplica a todos los fenómenos ondulatorios. La ecuación que describe el comportamiento ondulatorio de una perturbación física descrita mate- máticamente como u(x, t) que se propaga con velocidad constante v sin distorsión (onda no-dispersiva) a lo largo del eje x viene dada por Ecuación de ondas no dispersiva monodimensional ∂ 2 u ∂x 2 − 1 v 2 ∂ 2 u ∂t 2 = 0 . (6.2) Para mostrar que la ecuación anterior describe apropiadamente des- de un punto de vista matemático el fenómeno ondulatorio analizaremos la propagación de un pulso en una cuerda (dado que este ejemplo ofrece una imagen visual muy clara). En este caso, la perturbación que se propaga, u(x, t), es justamente el desplazamiento vertical de cada trocito de cuer- da. La forma del pulso para un instante arbitrario, que podemos tomar como t = 0, se muestra en la Figura 6.1(a), esto es, la forma matemática de la onda en ese instante de tiempo viene completamente descrita por la función u(x). Si tras un tiempo t, el pulso viaja sin distorsión hacia la derecha una distancia a, el perfil de la cuerda será como el mostrado en la Figura 6.1(b), pudiéndose describir matemáticamente por la función u(x − a). Ahora bien, si el pulso está viajando a una velocidad v, enton- Figura 6.1: Evolución del pulso en una cuerda en dos instantes ces la distancia recorrida por el pulso puede escribirse como a = vt y, Apuntes de FFI Dpt. Física Aplicada 1 6.2. Nociones generales de ondas 111 consecuentemente, la expresión matemática de la onda en el instante t será u(x, t) = f(x −vt) . (6.3) Evidentemente, el pulso podría haber viajado igualmente hacia la izquier- da, en cuyo caso, la expresión matemática de la onda viajera en la cuerda sería u(x, t) = f(x +vt) , (6.4) de modo que un movimiento ondulatorio general en la cuerda podría ser descrito por la función u(x, t) = f(χ) siendo χ = x ±vt , (6.5) que representaría una onda que puede viajar tanto hacia la izquierda co- mo hacia la derecha. Para encontrar la ecuación diferencial cuya solución general es una función del tipo (6.5), diferenciaremos la función u(x, t) con respecto a x y a t, esto es, ∂u ∂x = du dχ ∂χ ∂x = u ′ (χ) (6.6) ∂u ∂t = du dχ ∂χ ∂t = ±vu ′ (χ) , (6.7) donde hemos tenido en cuenta que ∂χ/∂x = 1 y ∂χ/∂t = ±v Dado que las anteriores primeras derivadas no pueden relacionarse entre sí debido a la indefinición en el signo de (6.7), procedemos para obtener las derivadas segundas: ∂ 2 u ∂x 2 = ∂ ∂x ¸ ∂u ∂x = d dχ [u ′ (χ)] ∂χ ∂x = u ′′ (χ) (6.8) ∂ 2 u ∂t 2 = ∂ ∂t ¸ ∂u ∂t = d dχ [±vu ′ (χ)] ∂χ ∂t = v 2 u ′′ (χ) . (6.9) Si observamos ahora la forma de los segundos miembros de (6.8) y (6.9), podemos comprobar que al eliminar u ′′ (χ) obtendríamos precisamente la ecuación general de ondas mostrada en (6.2). En consecuencia, esta ecua- ción diferencial en derivadas parciales tiene por soluciones a funciones del tipo (6.3) y (6.4) con la única condición de que éstas sean diferen- ciables hasta el segundo orden (la forma concreta de estas funciones en cada caso particular vendrá determinada por las condiciones iniciales del problema). Una propiedad muy importante de la ecuación general de ondas es que ésta es lineal, lo que implica que si u 1 (x, t) y u 2 (x, t) son soluciones individuales de la ecuación de ondas, entonces la superposición lineal de ambas, u(x, t) = αu 1 (x, t) + βu 2 (x, t), también lo es. Esta propiedad de linealidad de la ecuación de ondas simplemente expresa en forma mate- mática el siguiente principio físico conocido como principio de super- posición de ondas: Principio de superposición de ondas la perturbación ondulatoria resultante es igual a la su- ma de las perturbaciones coincidentes. Dpt. Física Aplicada 1 Apuntes de FFI 112 TEMA 6. Ondas Electromagnéticas 6.2.2. Ondas armónicas Según se ha explicado en el apartado anterior, la expresión matemá- tica general de una onda monodimensional no-dispersiva venía dada por (6.5). De entre las posibles formas matemáticas que puede tener este tipo de ondas, hay una especialmente interesante conocida como onda armó- nica. La forma de una onda armónica es una curva tipo senoidal, cuya instantánea en t = 0 puede venir dada por la siguiente expresión matemá- tica: u(x, 0) = Asen 2π λ x . (6.10) La constante A es la amplitud de la onda y representa el valor máximo de la perturbación, λ es la longitud de onda o periodo espacial, esto es, la distancia en la que se repite la perturbación (por ejemplo, la distancia entre dos mínimos sucesivos). Si la onda se mueve hacia la derecha con cierta velocidad v, la función de onda en cualquier instante de tiempo t posterior vendrá dada por u(x, t) = Asen ¸ 2π λ (x −vt) . (6.11) El tiempo que tarda la onda en recorrer una longitud de onda se conoce como periodo T, por lo que v = λ T o’ λ = v T . (6.12) El periodo T corresponde igualmente al tiempo empleado por la pertur- bación en realizar una oscilación completa en un punto fijo. Usando la definición del periodo, (6.11) puede escribirse como u(x, t) = Asen ¸ 2π x λ − t T . (6.13) La expresión anterior indica claramente que la onda armónica muestra una doble periodicidad, tanto en el espacio como en el tiempo: u(x, t) = u(x +nλ, t +mT) . (6.14) Esta doble periodicidad es una consecuencia de la periodicidad temporal de la perturbación en el foco (x = 0), que se refleja en una periodicidad espacial 2 . La función de onda armónica puede expresarse en una forma más con- veniente si se definen dos cantidades, k y ω que corresponden a la fre- cuencia espacial o número de ondas y a la frecuencia angular respecti- vamente, esto es, k = 2π/λ (6.15) ω = 2π/T . (6.16) 2 De manera análoga a como un pastelero soltando pasteles cada tiempo T en un extremo de una cinta transportadora (periodicidad temporal en el foco) que se mueve con veloci- dad v da lugar a una periodicidad espacial en dicha cinta; esto es, los pasteles aparecen distanciados una distancia que equivaldría a la “longitud de onda”. Apuntes de FFI Dpt. Física Aplicada 1 6.2. Nociones generales de ondas 113 Combinando las expresiones (6.15) y (6.16) junto con (6.12), obtenemos la siguiente relación para la frecuencia angular y el número de ondas de una onda armónica: ω = vk . (6.17) La frecuencia angular ω suele expresarse comúnmente en términos de la frecuencia temporal, f (siendo ésta la inversa del periodo: f = 1/T) mediante ω = 2πf . (6.18) La frecuencia temporal representa por tanto el número de oscilaciones realizadas por unidad de tiempo, siendo su unidad el hertzio (Hz). Unidad de frecuencia: 1 hertzio (Hz ≡ s −1 ) Teniendo en cuenta las definiciones dadas en (6.15) y (6.16), la fun- ción de onda armónica que viaja en el sentido positivo de las x puede re escribirse como u(x, t) = Asen(kx −ωt) . (6.19) La expresión anterior es un caso particular de la siguiente expresión ge- nérica usando la función coseno: Expresión matemática de la onda ar- mónica viajando en el sentido positi- vo de las x u(x, t) = Acos(ωt −kx −ϕ) , , (6.20) donde el argumento completo del coseno se conoce como fase de la onda y la constante ϕ como fase inicial (que se introduce para posibilitar que en t = 0 la perturbación en el foco, x = 0, pueda tomar un valor arbitrario: u(0, 0) = Acos ϕ). Una onda armónica viajando en el sentido negativo de las x tendrá la siguiente forma general: u(x, t) = Acos(ωt +kx −ϕ) . (6.21) Es interesante notar que el carácter viajero de la onda en sentido positi- vo/negativo del eje x lo determina la desigualdad/igualdad entre los signos que acompañan a ωt y kx en la fase. Para facilitar las operaciones con ondas armónicas, éstas suelen expre- sarse en forma de exponencial compleja, de manera que la onda armónica dada en (6.20) se escribirá usualmente como Expresión matemática compleja de la onda armónica u(x, t) = Ae −j(kx+ϕ) e jωt (6.22) (ver Apéndice B para un estudio de los fasores), aunque debe considerarse que u(x, t) tal como se ha expresado en (6.20) es solamente la parte real de (6.22): u(x, t) = Acos(ωt −kx −ϕ) = Re Ae −j(kx+ϕ) e jωt . (6.23) No obstante, en lo que sigue del tema, cuando tratemos con ondas armó- nicas usaremos la notación compleja por simplicidad, debiéndose sobre- entender que la onda verdadera es la parte real de la expresión compleja correspondiente. Dpt. Física Aplicada 1 Apuntes de FFI 114 TEMA 6. Ondas Electromagnéticas 6.3. Ley de Ampère-Maxwel. Corriente de des- plazamiento La ley de Ampère tal como se introdujo en Apartado 3.6 sólo era válida, en principio, para campos magnetostáticos y corrientes continuas. Para generalizar la ley de Ampère, es tentador suponer que esta ley es cierta también para campos variables en el tiempo y formular Γ B(r, t) d l ? = µ 0 S(Γ) J(r, t) d S . (6.24) Para comprobar la validez de la expresión (6.24) basta considerar el pro- ceso de carga de un conductor recorrido por una intensidad I(t), donde la curva Γ rodea al conductor y la superficie S(Γ) es tal como se muestra en la figura adjunta. Al tomar el límite cuando la curva Γ se hace tender a cero obtenemos que l´ım Γ→0 Γ B(r, t) d l = 0 , (6.25) puesto que el valor del campo magnético en los puntos de la curva Γ tien- de a cero en el límite Γ →0. 3 Ahora bien, supuesta cierta (6.24) y teniendo en cuenta que al hacer Γ →0 la superficie S(Γ) cierra el conductor, la ex- presión (6.25) también implicaría que l´ım Γ→0 S(Γ) J(r, t) d S = S J(r, t) d S = 0 , (6.27) es decir, el flujo de J a través de la superficie cerrada sería nulo. Este resultado es claramente incorrecto puesto que en nuestro caso observa- mos claramente que entra una intensidad I(t) en la superficie S(Γ) y, por tanto, (6.27) no puede ser cero. Idéntica conclusión puede alcanzarse partiendo de la ecuación de con- tinuidad de la carga discutida en el Apartado 2.2, Ecuación de continuidad de carga S J(r, t) d S = − d dt Q S (t) , (2.9) que establece que la variación por unidad de tiempo de la carga ence- rrada en una superficie cerrada S es igual al flujo total de densidad de corriente que atraviesa dicha superficie. Observamos entonces una clara contradicción entre lo que dice la ecuación de continuidad de la carga (2.9) y la expresión (6.27) derivada directamente de la ley de Ampère al aplicarla a campos variables en el tiempo. Dado que no cabe discusión acerca de la validez de la ecuación de continuidad de la carga (ésta no es más que la expresión local del principio de conservación de la carga), tenemos que concluir que la extensión de la ley de Ampère, tal y como se expresó en (6.24), NO es válida para situaciones no estacionarias. Siguiendo el razonamiento de J.C. Maxwell debemos asumir que esta ley debe modificarse para hacerla compatible con la ecuación de continui- dad de la carga. Así, si consideramos en primer lugar que la expresión de 3 Recuérdese que en el Apartado 3.6.1 se mostró que el campo magnetostático en el in- terior de un conductor cilíndrico rectilíneo de radio R recorrido por una intensidad I venía dado por B(r) = µ 0 I 2πR 2 rˆ τ . (6.26) Apuntes de FFI Dpt. Física Aplicada 1 6.3. Ley de Ampère-Maxwel. Corriente de desplazamiento 115 la ley de Gauss dada en (1.20) sí puede extenderse para campos eléctricos variables en el tiempo y escribirse como S E(r, t) d S = Q S (t) ǫ 0 , (6.28) la ecuación de continuidad de la carga puede entonces expresarse como S J(r, t) d S = − d dt S ǫ 0 E(r, t) d S = − S ǫ 0 ∂ E(r, t) ∂t d S , (6.29) o bien S ¸ J(r, t) +ǫ 0 ∂ E(r, t) ∂t ¸ d S = 0 . (6.30) A la vista de la expresión anterior, es claro que reescribiendo la ley de Ampère de la siguiente forma: Ley de Ampère-Maxwell Γ B(r, t) d l = µ 0 S(Γ) ¸ J(r, t) +ǫ 0 ∂ E(r, t) ∂t ¸ d S (6.31) y siguiendo el mismo procedimiento de paso al límite de la curva Γ, tene- mos que esta ley es ya congruente con la ecuación de continuidad de la carga. La ecuación (6.31), conocida como ley de Ampère-Maxwell, es en- tonces la extensión válida de la ley de Ampère para campos y corrientes variables en el tiempo. En el segundo miembro de (6.31) aparecen dos términos de corriente, a saber: la densidad de corriente de conducción: J, que es la corriente que hasta ahora se ha estudiado y que podemos identificar con el movimiento neto de las cargas eléctricas. Clara- mente esta corriente aparece donde haya un movimiento neto de cargas, por ejemplo, en el interior de un conductor recorrido por una corriente eléctrica. la densidad de corriente de desplazamiento: J D = ǫ 0 ∂ E ∂t , que es un término de corriente que no está directamente relaciona- do con el movimiento de cargas (aunque puede ser consecuencia de ello) sino que debemos asociarlo exclusivamente a las variaciones temporales del campo eléctrico. (Recuérdese que una corriente es- tacionaria que recorre un conductor no da lugar a campo eléctrico alguno.) El origen de esta corriente podemos explorarlo en el paso de la ecuación (2.9) a (6.30) y relacionar la existencia de este tipo de corriente con la mera presencia de una carga eléctrica variable en el tiempo. En consecuencia, la densidad de corriente de desplaza- miento existirá en todos los puntos del espacio donde haya un campo eléctrico variable en el tiempo. Es interesante hacer notar que en el caso de que no haya corriente de conducción, la ley de Ampère-Maxwell se escribiría como Γ B(r, t) d l = µ 0 ǫ 0 S(Γ) ∂ E(r, t) ∂t d S . (6.32) Dpt. Física Aplicada 1 Apuntes de FFI 116 TEMA 6. Ondas Electromagnéticas Esta ecuación es análoga a la ecuación (4.18) y establece la existencia de un campo magnético asociado a la existencia de una campo eléctrico variable en el tiempo. Ejemplo 6.1 Cálculo del campo magnético en el interior de un condensador de placas circulares de radio R alimentado por una corriente I(t) El campo eléctrico en el interior de un condensador de placas paralelas de densidad superficial de carga σ viene dado por E = σ ǫ0 ˆ u donde ˆ u es el vector unitario que va desde la placa cargada positivamente a la cargada negativamente. Expresando ahora la densidad superficial de carga σ en función de la carga total en la placa Q(t) se tiene que E(t) = Q(t) ǫ0πR 2 ˆ u , y obviamente esto implica la existencia de una corriente de desplazamiento, JD(t), en el interior del condensador, que viene dada por JD(t) = ǫ0 ∂ E ∂t = I(t) πR 2 ˆ u . Aplicando ahora la ley de Ampère-Maxwell según (6.32), esto es, I Γ B(r, t) · d l = µ0 Z S(Γ) JD · d S . nos encontramos con un problema muy similar al del cálculo del campo magne- tostático en el interior de un conductor cilíndrico rectilíneo (Apartado 3.6.1), con la diferencia de que en dicho problema la corriente era de conducción. Consecuentemente usando la expresión (6.26) se llegaría a que en el interior del condensador aparece un campo magnético dado por B(r, t) = µ0I(t) 2πR 2 ρˆ τ (r ≤ R) Por último es importante destacar que la combinación de la ecuación Γ E(r, t) d l = − S(Γ) ∂ B(r, t) ∂t d S (6.33) junto con Γ B(r, t) d l = µ 0 ǫ 0 S(Γ) ∂ E(r, t) ∂t d S (6.34) sugiere la existencia de una perturbación electromagnética que puede autosustentarse en el vacío (es decir, en ausencia de cargas y corrien- tes eléctricas). La ecuación (6.33) nos dice que la presencia de un campo magnético variable en el tiempo provoca la aparición de un campo eléc- trico, pero a su vez la ecuación (6.34) establece que la presencia de un campo eléctrico variable en el tiempo da lugar a la aparición de un cam- po magnético. En consecuencia, la existencia de una campo magnético Apuntes de FFI Dpt. Física Aplicada 1 6.4. Ecuación de Ondas Electromagnéticas 117 variable en el tiempo generaría otro campo magnético que a su vez gene- raría otro.... (igualmente ocurriría con campos eléctricos variables en el tiempo). Tenemos, por tanto, una situación en la que los campos electro- magnéticos se autosustentan ya que serían ellos mismos su propia causa y efecto. Este fenómeno es precisamente el origen de las ondas electro- magnéticas. 6.4. Ecuación de Ondas Electromagnéticas Según se discutió en el Apartado 6.2.1, la expresión matemática de cualquier magnitud física que represente a una onda debe satisfacer la ecuación de ondas (6.2). En este sentido, aparte de la idea cualitativa obtenida en el anterior apartado acerca de que Variaciones temporales del campo eléctrico E ⇒ ⇐ Variaciones temporales del campo magnético B , es fundamental comprobar si los campos E y B en el vacío satisfacen la ecuación de ondas para verificar así que efectivamente estos campos son ondas. Por simplicidad, supondremos campos eléctricos/magnéticos del tipo E = E(x, t) ; B = B(x, t) , (6.35) es decir, campos variables en el tiempo cuya dependencia espacial es úni- camente a lo largo de la dirección x. Si estos campos representaran a una onda electromagnética, ésta sería una onda electromagnética pla- na, dado que la perturbación física (campos E y B) tomaría los mismos y z x valores en los planos definidos por x = Cte; es decir, su frente de on- das serían planos normales al eje x. Para obtener la ecuación diferencial que relaciona las derivadas espaciales y temporales de los campos, apli- caremos la ecuación (6.33) al contorno rectangular, Γ xy , mostrado en la Fig. 6.2. Dado que el camino de integración está situado en el plano xy Figura 6.2: obtendremos la siguiente expresión para la circulación de la componente y del campo eléctrico: Γxy E d l = [E y (x 2 ) −E y (x 1 )] ∆y , (6.36) Dpt. Física Aplicada 1 Apuntes de FFI 118 TEMA 6. Ondas Electromagnéticas donde E y (x 2 ) y E y (x 1 ) son los valores de la componente y del campo eléc- trico en los puntos x 1 y x 2 respectivamente. No aparecen contribuciones del tipo E x ∆x pues éstas se anulan mutuamente en los tramos superior e inferior de Γ xy . Suponiendo que ∆x es muy pequeño, podemos realizar la siguiente aproximación: E y (x 2 ) −E y (x 1 ) = ∆E y (x) ≈ ∂E y ∂x ∆x , por lo que Γxy E d l = ∂E y ∂x ∆x∆y . (6.37) Para calcular el segundo miembro de (6.33), hemos de tener en cuenta que d S = dS z ˆz y por tanto el flujo del campo magnético a través del contorno rectangular será − S(Γxy) ∂ B ∂t d S = − S(Γxy) ∂B z ∂t dS z = − ∂B z ∂t ∆x∆y . (6.38) Igualando ahora (6.37) con (6.38), obtenemos la siguiente relación dife- rencial entre E y y B z : ∂E y ∂x = − ∂B z ∂t , (6.39) esto es, si existe una componente de campo eléctrico dirigido según y que varía espacialmente en x, entonces existirá un campo magnético dirigido según z que varía temporalmente (o viceversa). Podemos obtener otra re- lación diferencial entre E y y B z aplicando la ecuación (6.34) a un contorno rectangular, Γ zx , situado en el plano xz. Procediendo de forma análoga a la anterior, obtendríamos la siguiente relación: ∂B z ∂x = −µ 0 ǫ 0 ∂E y ∂t . (6.40) Si derivamos con respecto a x ambos miembros de la ecuación (6.39) se tiene que ∂ ∂x ∂E y ∂x = − ∂ ∂x ∂B z ∂t , que puede reescribirse, tras intercambiar el orden de las derivadas en el segundo miembro, como ∂ 2 E y ∂x 2 = − ∂ ∂t ∂B z ∂x , (6.41) Sustituyendo ahora en (6.41) el valor de ∂B z /∂x según (6.40) encontra- mos que ∂ 2 E y ∂x 2 = − ∂ ∂t −µ 0 ǫ 0 ∂E y ∂t , lo que nos permite escribir la siguiente ecuación diferencial para E y : ∂ 2 E y ∂x 2 = µ 0 ǫ 0 ∂ 2 E y ∂t 2 , (6.42) que claramente es una ecuación de ondas del tipo (6.2) tras identificar E y con u y µ 0 ǫ 0 con 1/v 2 . Procediendo de forma análoga, derivando con Apuntes de FFI Dpt. Física Aplicada 1 6.4. Ecuación de Ondas Electromagnéticas 119 respecto a x (6.40) y haciendo la sustitución adecuada, se obtiene una ecuación de ondas similar para B z : ∂ 2 B z ∂x 2 = µ 0 ǫ 0 ∂ 2 B z ∂t 2 . (6.43) A la vista de las ecuaciones de onda (6.42) y (6.43) puede parecer que los campos E y y B z son independientes. No obstante, debe notarse que estas ecuaciones de onda provienen de las ecuaciones (6.39) y (6.40) en las que se observa claramente que ambos campos están relacionados entre sí; esto es, uno de ellos determina completamente al otro. En este sentido, puede afirmarse que los campos eléctrico y magnético de una onda son simplemente dos manifestaciones distintas de un único ente físico: la onda electromagnética. Es fácil comprobar que aplicando la ecuación (6.33) al contorno Γ zx y la ecuación (6.34) al contorno Γ xz , tras realizar las sustituciones opor- tunas, obtendríamos unas ecuaciones de onda análogas a las anteriores para las componentes E z y B y . Dado que se ha supuesto que los cam- pos sólo dependen espacialmente de la coordenada x, la aplicación de las ecuaciones (6.33) y (6.34) a un contorno situado en el plano yz nos daría circulaciones nulas y, por tanto, no obtendríamos ninguna relación diferencial para las componentes E x y B x . En consecuencia podemos concluir que efectivamente se satisfacerán las siguientes ecuaciones de onda monodimensionaleslos para los campos eléctrico, E = (0, E y (x, t), E z (x, t)), y magnético, B = (0, B y (x, t), B z (x, t)): Ecuaciones de onda monodimensio- nales para los campos eléctrico y magnético ∂ 2 E ∂x 2 − 1 c 2 ∂ 2 E ∂t 2 = 0 (6.44) y ∂ 2 B ∂x 2 − 1 c 2 ∂ 2 B ∂t 2 = 0 . (6.45) La solución de estas ecuaciones de onda son precisamente ondas electro- magnéticas planas que se propagan en la dirección x a velocidad c y cuyos campos asociados tienen direcciones normales a la dirección de propaga- ción. En consecuencia puede establecerse que las ondas electromagnéticas planas en el vacío son ondas transversales. Las ecuaciones (6.44) y (6.45) nos dicen también que el campo eléctri- co y el magnético se propagan en el vacío conjuntamente a una velocidad c ≡ v cuyo valor viene dado por c = 1 √ µ 0 ǫ 0 . (6.46) Al sustituir los valores numéricos de µ 0 y de ǫ 0 en la expresión anterior se obtiene que c = 2,99792 10 8 m/s . Dado que la velocidad a la que se propaga el campo electromagnético en el vacío (obtenida de forma teórica mediante manipulaciones en las Dpt. Física Aplicada 1 Apuntes de FFI 120 TEMA 6. Ondas Electromagnéticas ecuaciones de Maxwell) era muy próxima a la velocidad medida experi- mentalmente para la luz, esta sorprendente coincidencia sugería que la luz era simplemente una onda electromagnética. Debe notarse que en el momento en que se dedujo teóricamente la velocidad de propagación del campo electromagnético se admitía que la luz era una onda pero se dis- cutía sobre la naturaleza de esta onda. Así, por ejemplo, se postulaba que la luz, en analogía con las ondas mecánicas, podía ser una vibración de las partículas de un medio que “impregnaba” todo el universo denomina- do éter. Esta y otras teorías fueron desechadas a la vista de los trabajos teóricos de Maxwell y a la verificación experimental de las ondas electro- magnéticas realizada por Hertz. 6.5. Ondas electromagnéticas planas armóni- cas Ya se indicó en el Apartado 6.2.2 que una solución particularmente importante de la ecuación de ondas era la solución armónica. Para el caso de ondas electromagnéticas planas, un campo eléctrico E(x, t) de tipo armónico que satisfaga la ecuación de ondas (6.44) puede ser descrito por la siguiente expresión: E(x, t) = E 0 cos(ωt −kx)ˆ y . (6.47) El campo magnético asociado a este campo eléctrico armónico en la onda electromagnética puede calcularse a partir de (6.39): ∂B z ∂t = − ∂E y ∂x = −kE 0 sen(ωt −kx) . (6.48) Resolviendo ahora la anterior ecuación diferencial se tiene que B z (x, t) = − kE 0 sen(ωt −kx)dt = k ω E 0 cos(ωt −kx) , (6.49) esto es, el campo magnético vendrá dado por B(x, t) = B 0 cos(ωt −kx)ˆz , (6.50) donde, como ω = kc, la relación entre las amplitudes del campo eléctrico y magnético es B 0 = E 0 c . (6.51) A la vista de la forma de los campos E y B dados en (6.47) y (6.50) podemos establecer para la onda electromagnética plana armónica mos- trada en la Fig.6.3 que los campos eléctrico y magnético están en fase; y E, B y c (siendo c el vector velocidad de la onda; en el presente caso c = cˆ x) forman un triedro rectángulo, es decir, cada uno de estos vectores es perpendicular a los otros dos. Apuntes de FFI Dpt. Física Aplicada 1 6.5. Ondas electromagnéticas planas armónicas 121 E B c x Figura 6.3: Las dos anteriores conclusiones junto con la relación (6.51) pueden ser expresadas matemáticamente mediante la siguiente relación vectorial que cumplen los campos eléctrico y magnético de una onda electromagnética plana armónica: E = B c . (6.52) Ejemplo 6.2 Una onda electromagnética plana armónica de frecuencia f = 3 GHz viaja en el espacio libre en la dirección x. El valor máximo del campo eléctrico es de 300 mV/m y está dirigido según el eje y. Calcular la longitud de onda de esta onda así como las expresiones temporales de sus campos eléctrico y magnético. Dado que f = 3 GHz, la longitud de onda asociada a esta frecuencia será λ = c f = 3 ×10 8 3 ×10 9 = 10 cm . Asimismo, el número de ondas, k, y la frecuencia angular, ω, de esta onda serán ω = 2πf = 6π ×10 9 rad/s y k = ω c = 6π ×10 9 3 ×10 8 = 20π m −1 . Si el el campo eléctrico, E, de la onda plana armónica que viaja según x está dirigido según y, este campo vendrá dado por la siguiente expresión: E(x, t) = E0 cos(kx −ωt)ˆ y , donde E0 representa la amplitud del campo que coincide con el valor máximo de éste, luego E0 = 0,3 V/m. Según se ha visto en el presente apartado, la expresión correspondiente para el campo magnético de esta onda será entonces B(x, t) = B0 cos(kx −ωt)ˆz , siendo, según la expresión (6.51): B0 = E0 c = 3 ×10 −1 3 ×10 8 = 10 −9 T . Finalmente, las expresiones temporales de los campos E y B de esta onda electromagnética serán E(x, t) = 0,3 cos(20πx −6π ×10 9 t) ˆ y V/m B(x, t) = 10 −9 cos(20πx −6π ×10 9 t) ˆz T . Dpt. Física Aplicada 1 Apuntes de FFI 122 TEMA 6. Ondas Electromagnéticas 6.6. Intensidad de la onda electromagnética Una de las propiedades más significativas de la onda electromagnética es que transporta energía. Así, la onda electromagnética que transmite la luz de una estrella, que ha viajado durante muchos millones de kiló- metros antes de llegar a la Tierra, tiene todavía suficiente energía como para hacer reaccionar a los receptores de nuestros ojos. Cuando estamos tratando con ondas, la magnitud relevante para caracterizar el contenido energético de las mismas es su intensidad, 1 (no confundir con la inten- sidad, I, de una corriente eléctrica, que aunque tiene el mismo nombre es una magnitud completamente diferente). La intensidad de una onda se define como la energía que fluye por unidad de tiempo a través de una superficie de área unidad situada per- pendicularmente a la dirección de propagación. Si u es la densidad volu- métrica de energía de la onda (esto es, la energía por unidad de volumen contenida en la región donde se propaga la onda) y c la velocidad de pro- pagación de la onda, la intensidad 1 de la onda puede escribirse como Intensidad de la onda 1 = uc , (6.53) cuyas unidades son (ms −1 )(Jm −3 )=Js −1 m −2 =Wm −2 ; es decir, potencia por unidad de área. A la vista de la anterior ecuación, para calcular la intensidad de la onda electromagnética debemos obtener en primer lugar la densidad volumé- trica de energía asociada con esta onda. La energía del campo eléctrico y del magnético ya se discutió en los Temas 1 y 4 donde se obtuvieron las expresiones (1.79) y (4.53) respectivamente. Concretamente se obtu- vo que u E = 1 2 ǫ 0 E 2 densidad de energía eléctrica (6.54) u B = B 2 2µ 0 densidad de energía magnética , (6.55) por lo que la intensidad (también denominada intensidad instantánea: 1 inst ) de la onda electromagnética vendrá dada por Intensidad instantánea de una onda electromagnética 1 = (u E +u B )c . (6.56) Para ondas planas armónicas, encontramos que la relación entre los módulos de los campos eléctrico y magnético de la onda electromagnética verificaban que E = cB. Esto nos permite escribir la densidad volumétrica de energía almacenada en el campo magnético como u B = B 2 2µ 0 = E 2 2µ 0 c 2 = 1 2 ǫ 0 E 2 , (6.57) donde se ha tenido en cuenta que c 2 = 1/µ 0 ǫ 0 . Hemos obtenido, por tan- to, que para una onda plana electromagnética armónica, la densidad de energía almacenada en el campo magnético es idéntica a la almacenada en el campo eléctrico, esto es, Igualdad de las densidades de energía eléctrica y magnética en una onda electromagnética plana armónica u E = u B . (6.58) Apuntes de FFI Dpt. Física Aplicada 1 6.6. Intensidad de la onda electromagnética 123 La anterior igualdad nos permite escribir las siguientes expresiones para la densidad de energía de dicha onda electromagnética, u EB : u EB = u E +u B = 1 2 ǫ 0 E 2 + 1 2 ǫ 0 E 2 = ǫ 0 E 2 = B 2 µ 0 = EB µ 0 c , (6.59) y, consecuentemente, podemos expresar la intensidad instantánea de di- cha onda como 1 inst = u EB c = cǫ 0 E 2 = c B 2 µ 0 = EB µ 0 . (6.60) En el espacio libre, la energía de la onda plana armónica viaja en la dirección de propagación de la onda, esto es, en una dirección perpen- dicular tanto a E como B. Por otra parte, para este tipo de ondas, la intensidad de la onda se puede expresar, según (6.60), en función de los módulos de los campos eléctrico y magnético de la onda. Todo ello nos sugiere la introducción de un vector S, denominado vector de Poynting, que caracterice energéticamente a la onda electromagnética y que, por tanto, tenga por dirección la dirección de propagación de la energía y por módulo la intensidad instantánea de la onda electromagnética. A la vis- ta de las expresiones anteriores, para una onda electromagnética plana armónica, este vector vendría dado por el siguiente producto vectorial: Vector de Poynting S(r, t) = E B µ 0 . (6.61) Aunque la expresión anterior del vector de Poynting se ha obtenido para el caso concreto de una onda plana armónica, cálculos más elaborados muestran que la expresión (6.61) tiene validez general para cualquier tipo de onda electromagnética en el espacio libre. Para la onda plana armónica discutida en el apartado anterior, el vec- tor de Poynting vendrá dado por S(x, t) = cǫ 0 E 2 0 cos 2 (ωt −kx)ˆ x = cu EB ˆ x , (6.62) por lo que la intensidad instantánea de esta onda será 1 inst (x, t) = cǫ 0 E 2 0 cos 2 (ωt −kx) . (6.63) Tal y como se comentó en el Apartado 5.6, los valores instantáneos de magnitudes energéticas armónicas no tienen mucho interés práctico da- do que estas magnitudes suelen variar muy rápidamente (por ejemplo, del orden de 10 15 veces en un segundo para la luz). Es, por tanto, más significativo obtener el promedio de la intensidad, 1 med , en un periodo de tiempo, para lo cual debemos promediar temporalmente (6.63): 1 med = '1 inst (x, t)` = cǫ 0 E 2 0 1 T T 0 cos 2 (ωt −kx) dt = cǫ 0 E 2 0 2 = 1 2 E 0 B 0 µ 0 . (6.64) Intensidad promedio de una onda electromagnética armónica Dpt. Física Aplicada 1 Apuntes de FFI 124 TEMA 6. Ondas Electromagnéticas Ejemplo 6.3 Sabiendo que la amplitud del campo eléctrico de la radiación solar que lle- ga a la superficie terrestre es de aproximadamente E0 = 850 V/m, calcule la potencia total que incidiría sobre una azotea de 100 m 2 . Para calcular la potencia promedio que incide en una superficie S debemos primero obtener el valor de la intensidad promedio, Imed, de la onda. En este caso dado que conocemos el valor de la amplitud del campo eléctrico, esta intensidad vendrá dada por Imed = 1 2 cǫ0E 2 0 = 3 ×10 8 · 8,85 ×10 −12 2 (850) 2 ≈ 959 W/m 2 . Una vez calculada la intensidad promedio, la potencia promedio, Pmed, que incide sobre la superficie será simplemente Pmed = ImedS = 959 · 100 ≈ 9,6 ×10 4 W . Aunque esta potencia es realmente alta, debe tenerse en cuenta que está dis- tribuida en una área grande y que su aprovechamiento total es imposible. De hecho con placas solares típicas se podría transformar en potencia eléctrica apro- ximadamente el 10% de la radiación solar, debiéndose tener en cuenta además que los datos dados en el problema se refieren a las horas de iluminación de días soleados. 6.7. Interferencia de Ondas Cuando dos o más ondas coinciden en el espacio en el mismo instante de tiempo se produce un fenómeno que se conoce como interferencia. El principio de superposición de ondas establece que cuando dos o más ondas coinciden en un punto y en un instante de tiempo, la perturbación resultante es simplemente la suma de las perturbaciones individuales (es- te principio ya fue relacionado en el Apartado 6.2.1 con la linealidad de la ecuación de ondas). En consecuencia, la perturbación resultante en un punto P y en un instante de tiempo t, u(P, t), debido a la coincidencia de N ondas u i (x, t) se obtendrá mediante la siguiente expresión: u(P, t) = N ¸ i=1 u i (P, t) . (6.65) 6.7.1. Superposición de dos ondas electromagnéticas planas armónicas Para estudiar los aspectos cuantitativos de la interferencia considera- remos la superposición de dos ondas electromagnéticas planas armónicas de la misma frecuencia pero distinta amplitud y fase inicial en cierto pun- to P, cuyos campos eléctricos vienen dados por P F 1 F 2 r 1 r 2 E 1 (r, t) = E 0,1 cos(ωt −kr −ϕ 1 )ˆ y y E 2 (r, t) = E 0,2 cos(ωt −kr −ϕ 2 )ˆ y , Apuntes de FFI Dpt. Física Aplicada 1 6.7. Interferencia de Ondas 125 Si r 1 y r 2 son las distancias desde los focos respectivos (F 1 y F 2 ) al punto P, la componente y del campo eléctrico resultante vendrá dada por E y (P, t) = E y1 (r 1 , t) +E y2 (r 2 , t) . (6.66) Si usamos la notación compleja, la perturbación suma puede obtenerse a partir de E y (P, t) = E 0,1 e −j(kr1−ωt+ϕ1) +E 0,2 e −j(kr2−ωt+ϕ2) = E 0,1 e −jε1 +E 0,2 e −jε2 e jωt = E 0 (P)e −jε(P) e jωt , (6.67) donde ε i = kr i +ϕ i (6.68) y E 0 (P) y ε(P) son respectivamente la amplitud y la fase de la compo- nente y del campo eléctrico resultante en el punto P. Operando en (6.67) encontramos que E 0 (P)e −jε(P) =E 0,1 e −jε1 +E 0,2 e −jε2 =(E 0,1 cos ε 1 −jE 0,1 sen ε 1 ) + (E 0,2 cos ε 2 −jE 0,2 sen ε 2 ) =(E 0,1 cos ε 1 +E 0,2 cos ε 2 ) −j (E 0,1 sen ε 1 +E 0,2 senε 2 ) , (6.69) de donde obtenemos que la amplitud puede ser calculada como sigue: E 2 0 (P) =E 2 0,1 cos 2 ε 1 + E 2 0,2 cos 2 ε 2 + 2E 0,1 E 0,2 cos ε 1 cos ε 2 + E 2 0,1 sen 2 ε 1 +E 2 0,2 sen 2 ε 2 + 2E 0,1 E 0,2 senε 1 sen ε 2 =E 2 0,1 +E 2 0,2 + 2E 0,1 E 0,2 cos(ε 1 −ε 2 ) , esto es, E 0 (P) = E 2 0,1 +E 2 0,2 + 2E 0,1 E 0,2 cos δ(P) , (6.70) siendo Amplitud de la interferencia de 2 on- das armón. de igual frecuencia δ(P) = kr 1 −kr 2 +ϕ 1 −ϕ 2 = k∆r + ∆ϕ . (6.71) En la expresión anterior, δ(P) se denomina diferencia de fase, ∆r = r 1 − r 2 se conoce como diferencia de camino entre el recorrido de las dos ondas al propagarse desde los focos respectivos hasta el punto P y ∆ϕ = ϕ 1 − ϕ 2 es la diferencia de fase inicial entre las dos ondas. El último término de la expresión anterior, 2E 0,1 E 0,2 cos δ(P) , se denomina usualmente término de interferencia puesto que es el res- ponsable de que la amplitud de la interferencia varíe al variar la diferencia de camino hasta el punto P. En concreto, si notamos que −1 ≤ cos δ(P) ≤ 1 encontraremos que la amplitud en un punto podrá tomar en general valo- res comprendidos entre (E 0,1 −E 0,2 ) ≤ E 0 (P) ≤ (E 0,1 +E 0,2 ) . (6.72) Dpt. Física Aplicada 1 Apuntes de FFI 126 TEMA 6. Ondas Electromagnéticas Para obtener la intensidad resultante de la superposición de las dos ondas electromagnéticas planas armónicas de igual frecuencia en el punto P debemos tener en cuenta que, según (6.63), la intensidad de dichas ondas depende del cuadrado de la amplitud (1 ∝ E 2 0 ). En consecuencia, a partir de (6.70), podemos deducir que la intensidad resultante será 1(P) = 1 1 +1 2 + 2 1 1 1 2 cos δ(P) . (6.73) 6.7.2. Focos incoherentes En el apartado anterior observamos que la amplitud resultante en el punto P oscilaba entre dos valores dependiendo del valor concreto de δ en dicho punto. No obstante, en la práctica ocurre frecuentemente que la diferencia de fase no es constante en el tiempo sino que δ = δ(t). Esto puede ser causado por una posible variación temporal de las condiciones de emisión de los focos (usualmente en tiempos característicos menores que 10 −10 s) debida, por ejemplo, a que 1. La frecuencia de los focos no es estrictamente constante sino que presenta pequeñas fluctuaciones arbitrarias que provocan que el número de ondas (y equivalentemente la longitud de onda) oscile ligeramente en torno a cierto valor promedio, 'k` k(t) = 'k` + ∆k(t) . 2. Las fases iniciales de los dos focos presentan fluctuaciones al azar de modo que las funciones ϕ 1 (t) y ϕ 2 (t) no están correlacionadas de ninguna manera dando lugar a que la diferencia de fase inicial sea una función del tiempo, ∆ϕ = ϕ 1 (t) −ϕ 2 (t) = f(t) , que varía igualmente al azar. Cuando nos encontramos con alguna de las condiciones anteriores deci- mos que los focos son incoherentes. Debido a esta rápida variación ar- bitraria en el tiempo de la diferencia de fase, el término de interferencia se anula en promedio durante el intervalo de observación debido a que el valor medio del coseno de un argumento que varia al azar es cero: 'cos δ(t)` = 1 T T 0 cos δ(t) dt = 0 . Esto hecho implica que la intensidad promedio en el punto P, '1(P)` = 1 med , venga dada por 1 med = 1 med,1 +1 med,2 focos incoherentes. (6.74) Notemos que en el presente caso de focos incoherentes, la anulación en promedio del término de interferencia hace que la intensidad de la per- turbación no dependa de la posición del punto de observación. Este hecho provoca que aunque podamos, en un sentido estricto, hablar de interfe- rencia, ésta no será observable y usualmente diremos que “no existe in- terferencia”. Apuntes de FFI Dpt. Física Aplicada 1 6.7. Interferencia de Ondas 127 A menudo cuando se habla de un único foco también podemos decir que este foco es “incoherente”. En este caso, en realidad estamos que- riendo decir que este único foco tiene cierta extensión espacial, y que las distintas partes del foco (asimilables a diversos focos puntuales) no son coherentes entre sí. 6.7.3. Focos coherentes Cuando la frecuencia de los focos es constante y sus fases iniciales están completamente correlacionadas, de modo que ϕ 1 (t) −ϕ 2 (t) = f(t) , manteniendo una diferencia de fase inicial constante, se dice que los dos focos son coherentes. En el caso de que ∆ϕ = 0, δ sólo dependerá de la diferencia de camino (en general ∆r), δ = k∆r = 2π∆r/λ , (6.75) dando lugar así a una interferencia que sí podría ser observable dado que el término de interferencia no se anula ahora en promedio. En las circunstancias anteriores, podemos distinguir dos casos de inte- rés, dependiendo de si cos δ es 1 o’ -1, esto es, si A adquiere su valor máxi- mo (interferencia constructiva) o bien su valor mínimo (interferencia destructiva). Por tanto, si δ = 2nπ ⇒ E 0 = E 0,1 +E 0,2 Interferencia Constructiva (2n + 1)π ⇒ E 0 = E 0,1 −E 0,2 Interferencia Destructiva. (6.76) Teniendo en cuenta (6.75), la condición de interferencia constructiva o destructiva para ∆r en P vendrá dada por ∆r = nλ Interferencia Constructiva (2n + 1) λ 2 Interferencia Destructiva ; (6.77) es decir, si la diferencia de camino es un múltiplo entero/semientero de la longitud de onda, entonces tendremos interferencia constructiva/destruc- tiva. Desde un punto de vista práctico, una forma usual de producir focos coherentes es generar dos focos secundarios a partir de la misma fuen- te primaria, asegurando así que la diferencia de fase inicial en los dos focos secundarios es una constante. Uno de los primeros experimentos que mostró el fenómeno de interferencia con luz es el experimento de la doble rendija de Young mostrado en la Figura 6.4(a), constatando así convincentemente la naturaleza ondulatoria de la luz. En este experimen- to la luz (u otra perturbación ondulatoria) proveniente de un foco primario S se hace pasar por una pantalla en la que se han realizado dos ranuras S 1 y S 2 separadas una distancia d. Las rendijas se comportan como dos focos coherentes de luz cuyas ondas interfieren en el semiespacio derecho. Es- te fenómeno provoca un patrón de interferencias en la pantalla S D donde aparecen regiones sombreadas (dibujadas en negro) junto a regiones más iluminadas tal y como se muestra en la Figura 6.5. En este experimento Dpt. Física Aplicada 1 Apuntes de FFI 128 TEMA 6. Ondas Electromagnéticas Figura 6.4: Experimento de la doble rendija de Young tenemos que la amplitud de las ondas que interfieren es idéntica, esto es, E 0,1 = E 0,2 . Si además consideramos que la pantalla S D se coloca a una distancia tal que D ≫ d de las rendijas y admitimos que θ es muy pequeño, entonces, según muestra la Figura 6.4(b), encontramos que la diferencia de camino en la coordenada y de la pantalla viene dada por ∆r = d sen θ ≈ d tanθ ≈ d y D . (6.78) En consecuencia, el patrón de interferencia obtenido en la pantalla S D mostrará franjas de interferencia constructiva o bien destructiva según se cumplan las siguientes condiciones: Interferencia constructiva, y = y M : k∆r = 2nπ ⇒ 2π λ d y M D = 2nπ , (6.79) de donde se deduce que las franjas y = y M de interferencia cons- tructiva verifican y M = n D d λ , (6.80) siendo la intensidad media de la onda en estas franjas: 1 med = 41 med,1 . Interferencia destructiva, y = y m : k∆r = (2n + 1)π ⇒ 2π λ d y m D = (2n + 1)π , (6.81) de donde se deduce que las franjas y = y m de interferencia destruc- tiva verifican y m = 2n + 1 2 D d λ , (6.82) siendo la intensidad de la onda en estas franjas 1 med = 0. Apuntes de FFI Dpt. Física Aplicada 1 6.7. Interferencia de Ondas 129 Figura 6.5: Patrón de interferencia resultante en el experimento de la doble rendija de Young Nótese que la diferencia ∆y entre un máximo y un mínimo consecutivo es ∆y = D d λ 2 . (6.83) Esta expresión nos proporciona adicionalmente un procedimiento muy sencillo para determinar el valor de la longitud de onda a partir de la medida de la distancia entre franjas de interferencia constructiva y des- tructiva. Es interesante notar que en las franjas de interferencia constructiva se ha obtenido que la intensidad media es cuatro veces (y no dos) el va- lor de la intensidad media proporcionada por cada uno de los focos. Esto parece violar el principio de conservación de la energía, aunque tal hecho no se produce puesto que la energía de la onda no se distribuye homo- géneamente en la pantalla S D sino que, debido a la interferencia, existen puntos donde la energía es mayor que la suma de las energías provenien- tes de los focos pero también existen otros puntos donde la energía es menor (incluso cero) que la proveniente de los focos. Ejemplo 6.4 Un foco de luz amarilla (λ = 600 nm) incide sobre dos rendijas separadas una distancia d, observándose la interferencia de la luz proveniente de estas rendijas en una pantalla situada a una distancia de 3 m. Obtener la separación d entre las rendijas para que la distancia entre máximos y mínimos consecutivos del patrón de interferencia luminoso sea mayor que 5 mm. Según la teoría expuesta anteriormente, la distancia entre máximos y mínimos consecutivos en el experimento de la doble rendija de Young viene dado por ∆y > D d λ 2 . Al despejar en la expresión anterior d encontramos que d < Dλ 2∆y = 3 · 6 ×10 −7 2 · 5 ×10 −3 = 1,8 ×10 −4 m = 180 µm . Dpt. Física Aplicada 1 Apuntes de FFI 130 TEMA 6. Ondas Electromagnéticas El resultado anterior nos muestra que la separación entre rendijas debe ser muy pequeña (y aún menor si ∆y se quiere mayor) por lo que en la práctica no es fácil llevar a cabo este experimento. 6.8. Ondas estacionarias Observemos que cuando una perturbación viaja hacia la izquierda por una cuerda, al llegar al extremo, ésta se refleja de la forma mostrada en u x,t 1 ( ) ondaincidente x= 0 u x,t 2 ( ) ondareflejada la figura adjunta. Este fenómeno ondulatorio también se dará para ondas electromagnéticas cuando dichas ondas son reflejadas por “espejos”. Con- sideremos entonces una onda electromagnética plana armónica viajando hacia la izquierda con un campo eléctrico dado por E 1 (x, t) = E 0,1 cos(ωt +kx)ˆ y . Al llegar al punto x = 0, la onda se refleja en un espejo dando lugar a otra onda armónica viajando hacia la derecha cuyo campo eléctrico vendrá dado por E 2 (x, t) = E 0,2 cos(ωt −kx)ˆ y . Dado que las dos ondas viajeras anteriores se encuentran en una misma región del espacio darán lugar a un fenómeno típico de superposición o interferencia. Puesto que en el punto x = 0 la amplitud del campo electro- magnético debe ser nula para cualquier instante de tiempo (por hipótesis, ésta es la condición de reflexión “ideal” en un espejo), tendremos que E y (0, t) = E 0,1 cos(ωt) +E 0,2 cos(ωt) = (E 0,1 +E 0,2 ) cos ωt = 0 , (6.84) de donde se deduce que E 0,1 = −E 0,2 . Como las dos ondas electromagnéticas anteriores coinciden simultá- neamente en la misma región del espacio, la superposición de ambas (usando notación compleja) dará lugar al siguiente campo eléctrico de la onda electromagnética resultante: E y (x, t) = −E 0,2 e j(ωt+kx) +E 0,2 e j(ωt−kx) = E 0,2 (−e jkx + e −jkx ) e jωt = E 0 sen(kx)e j(ωt−π/2) (6.85) (donde E 0 = 2E 0,2 y −j se ha escrito como e −jπ/2 ), cuya parte real puede finalmente escribirse como E y (x, t) = E 0 sen kxsenωt . (6.86) Nótese que en la expresión (6.86) no aparecen explícitamente expresio- nes del tipo f(ωt ± kx), lo que indica que esta perturbación no puede identificarse ya simplemente con una onda viajera, sino que constituye un nuevo tipo de onda conocido como onda estacionaria. En este tipo de perturbación ya no podemos decir que la energía viaja de un punto a otro sino que, como muestra la figura 6.6, esta onda estacionaria correspon- de a una situación en la que cada punto del espacio está sometido a un Apuntes de FFI Dpt. Física Aplicada 1 6.8. Ondas estacionarias 131 Figura 6.6: Instantánea de la onda estacionaria en t = t 0 . Los nodos están separados una distancia λ/2. campo eléctrico caracterizado por una oscilación armónica simple cuya “amplitud” es una función de x, E 0 (x), pudiéndose escribir entonces que E y (x, t) = E 0 (x) sen ωt , (6.87) siendo E 0 (x) = E 0 senkx . (6.88) Observemos que en la situación anterior podemos encontrar puntos de- nominados nodos donde el campo eléctrico es nulo para todo instante de tiempo. Estos puntos son aquellos que verifican que E 0 (x) es cero, es decir, aquellos que satisfacen la siguiente condición: kx = nπ ⇒ x nodo = n λ 2 , (6.89) siendo la distancia entre dos nodos sucesivos una semilongitud de onda (recuérdese que la longitud de onda está determinada por la frecuencia y la velocidad de propagación de la onda: λ = c/f). Si ahora imponemos al problema anterior una segunda condición con- sistente en colocar un segundo espejo en el punto x = L, entonces ha de verificarse igualmente que E y (L, t) = 0 , lo cual requiere que sen kL = 0 ⇒ kL = nπ . (6.90) La condición anterior implica que tanto el número de ondas como la lon- gitud de onda de la onda electromagnética estacionaria resultante sólo pueden tomar ciertos valores discretos (fenómeno conocido como cuan- tización) dados por k n = n π L = π L , 2π L , 3π L , . . . (6.91) λ n = 2L n = 2L, 2L 2 , 2L 3 , . . . (6.92) Vemos entonces que la imposición de (6.90) ha limitado los valores de las Dpt. Física Aplicada 1 Apuntes de FFI 132 TEMA 6. Ondas Electromagnéticas longitudes de onda de la onda electromagnética en la región del espacio limitada por los dos espejos a aquellos valores que cumplan la condición (6.92). De forma análoga, las frecuencias permitidas serán aquéllas que cumplan ω n = ck n = c nπ L . (6.93) En consecuencia podemos concluir que tanto las longitudes de onda co- mo las frecuencias permitidas están cuantizadas y que esta cuantización es fruto de la imposición de condiciones de contorno en las fronteras de cierta región del espacio. Ejemplo 6.5 En el montaje de la figura se genera una onda estacionaria en la región en- tre la bocina emisora y la pantalla metálica (espejo). Supuesto que el detector de campo eléctrico nos dice que la distancia mínima entre los mínimos de amplitud de campo están situados a 15 cm, determine la frecuencia de la onda emitida por la bocina. Osciloscopio Generador de microondas Bocina Detector Teniendo en cuenta que la distancia entre mínimos de amplitud de campo eléctrico viene determina por la expresión (6.89), y que la distancia entre dos nodos sucesivos es ∆ = λ/2, tenemos entonces que la longitud de onda será λ = 2∆ = 2 · 0,15 = 0,3 m . Considerando ahora la relación existente entre la frecuencia y la longitud de onda (λ = cf) tendremos que la frecuencia emitida es f = λ c = 0,3 3 ×10 8 = 1 GHz . Finalmente observemos que en la región limitada por espejos, cada una de las ondas electromagnéticas estacionarias permitidas poseen un campo eléctrico que responde a la siguiente expresión: E y,n (x, t) = E 0,n sen(k n x) sen(ω n t +ϕ n ) , que se denominan genéricamente como armónicos. Estos armónicos pre- sentan la importante propiedad de que cualquier perturbación electro- magnética en dicha región puede expresarse como una superposición de ellos, esto es, E y (x, t) = ∞ ¸ n=1 E 0,n sen(k n x) sen(ω n t +ϕ n ) = ∞ ¸ n=1 E n,0 sen(nk 1 x) sen(nω 1 t +ϕ n ) , (6.94) siendo k 1 = π L , ω 1 = v π L y E 0,n la amplitud del n-ésimo armónico (esta amplitud será distinta en cada caso particular). El resultado anterior puede considerarse como una conclusión particular de un teorema más general, llamado teorema de Fourier, que básicamente dice que una función periódica puede expre- sarse como la suma de senos/cosenos cuyas frecuencias son un número entero de veces la frecuencia original del problema (un tratamiento deta- llado de este teorema puede encontrarse en cualquier libro de Cálculo). Apuntes de FFI Dpt. Física Aplicada 1 6.9. (*) Difracción 133 6.9. (*) Difracción Uno de los fenómenos ondulatorios más característicos es el conocido como difracción. Este fenómeno se produce cuando una onda es distor- sionada en su propagación por un obstáculo, aunque también se llama difracción a la interferencia producida por muchos focos coherentes ele- mentales. Desde el punto de vista físico, la difracción no se diferencia básicamente de la interferencia puesto que ambos fenómenos son fruto de la superposición de ondas. La difracción es, por ejemplo, la causa de la desviación de la luz de una trayectoria recta, explicando así por qué la luz llega a puntos que, en principio, no debería alcanzar si su propagación fuese estrictamente rectilínea. Un ejemplo de difracción puede verse en la Figura 6.7(b) que muestra el patrón de sombras cuando una fuente de luz coherente ilumina una esquina recta. En la Fig. 6.7(a) se muestra esta misma sombra cuando no se produce difracción (por ejemplo, cuando la fuente de luz es incoherente). Intensidad Intensidad Distancia Distancia Sombra geométrica Borde Borde a) b) Figura 6.7: Sombra producida por una esquina recta iluminada por una fuente de luz cuando: (a) no se produce difracción, (b) sí se produce difracción En el presente estudio de la difracción, consideraremos únicamente la denominada difracción de Fraunhofer, que se presenta cuando las ondas incidentes pueden considerarse planas y el patrón de difracción es observado a una distancia lo suficientemente lejana como para que solo se reciban los rayos difractados paralelamente. Por ello consideraremos que la onda incidente es una onda electromagnética plana armónica cuyo campo eléctrico está dirigido en la dirección y (de forma similar a co- mo hemos hecho en apartados anteriores). Para obtener la perturbación resultante haremos uso del principio de Huygens, que explica la propa- gación ondulatoria suponiendo que cada punto de un frente de ondas primario se comporta como un foco de ondas esféricas elementales secunda- rias que avanzan con una velocidad y frecuencia igual a la onda primaria. La posición del frente de ondas pri- mario al cabo de un cierto tiempo es la envolvente de dichas ondas elementales. Dpt. Física Aplicada 1 Apuntes de FFI 134 TEMA 6. Ondas Electromagnéticas Siguiendo este principio, cuando un frente de onda alcanza una panta- lla en la que existe una rendija de anchura b, tal y como se muestra en la Figura 6.8, sólo aquellos puntos del frente de ondas coincidentes con la (a) (b) S 1 S D P b S 2 S N r R q ( ) N - 1 r D I n t e n s i d a d x Figura 6.8: (a) Difracción de Fraunhofer de una rendija rectangular; (b) Cada punto de la rendija se comporta como un foco puntual emisor de ondas secundarias. rendija se convierten en focos emisores secundarios, de modo que la per- turbación ondulatoria en cualquier punto a la derecha de la rendija puede calcularse como la superposición de las ondas originadas en cada uno de estos focos secundarios (ver Figura 6.8b). En este sentido, y a efectos de cálculo, supondremos que existen N focos puntuales equiespaciados en la rendija. El camo eléctrico de la onda electromagnética resultante, E y (r, t), en cierto punto P de una pantalla S D (situada a una distancia D ≫ d) será fruto de la interferencia de un gran número de fuentes equiespaciadas de igual amplitud y fase inicial, esto es, E y (P, t) = N ¸ n=1 E 0 e −j(krn−ωt) , (6.95) donde r n es la distancia desde el foco secundario n-ésimo hasta el punto P y A 0 la amplitud constante de cada onda elemental. Notemos que, bajo la presente aproximación, todos los rayos que llegan a P se consideran paralelos. Si llamamos r a la distancia desde el foco 1 hasta P y ∆r a la diferencia de camino entre la perturbación que llega a P desde un foco y el siguiente, r n puede escribirse como r n = r + (n −1)∆r . La perturbación en P según (6.95) puede entonces expresarse como E y (P, t) = E 0 e −jkr + e −jk(r+∆r) + e −jk(r+2∆r) +. . . e jωt = E 0 1 + e −jφ +e −2jφ +. . . +e −(N−1)jφ e −j(kr−ωt) , (6.96) Apuntes de FFI Dpt. Física Aplicada 1 6.9. (*) Difracción 135 donde φ = k∆r y pudiéndose identificar la suma entre corchetes como una serie geométrica, S g , de razón q = e −jφ . Dado que la suma de la siguiente serie geométrica viene dada por 1 +q +q 2 +. . . +q N−1 = 1 −q N 1 −q , el resultado de la serie geométrica en (6.96) puede expresarse como S g = 1 −e jNφ 1 −e jφ = e jNφ/2 e jφ/2 e −jNφ/2 −e jNφ/2 e −jφ/2 −e jφ/2 = sen(Nφ/2) sen(φ/2) e j(N−1)φ/2 , por lo que E y (P, t) = E 0 sen(kN∆r/2) sen(k∆r/2) e −j[k(r+ N−1 2 ∆r)−ωt] . (6.97) La expresión anterior puede reescribirse como E y (P, t) = E P e −j(kR−ωt) , (6.98) donde R = r + N −1 2 ∆r es la distancia desde el centro de la rendija al punto P y E P = E 0 sen(kN∆r/2) sen(k∆r/2) . (6.99) es la amplitud resultante de la componente y del campo eléctrico en P. Dado que esta amplitud varía en cada punto de la pantalla, también lo hará la intensidad de la onda, formando lo que se conoce como un patrón de difracción: 1 med (θ) 1 max med = sen 2 (Nk∆r/2) sen 2 (k∆r/2) . (6.100) Claramente existe un mínimo en la intensidad de la perturbación cuan- do E P →0, esto es, cuando el numerador de (6.99) sea cero, sen(kN∆r/2) = 0 , es decir, cuando el argumento verifica que kN∆r/2 = mπ . (6.101) Según se puede deducir de la Figura 6.8(b) (si N ≫): N∆r ≈ (N −1)∆r = b senθ , por lo que la condición de mínimo (6.101) para E P puede reescribirse como 2π λ b senθ 2 = mπ , (6.102) o equivalentemente Condición de intensidad nula en la difracción por una rendija b senθ m = mλ m = 1, 2, . . . . (6.103) Dpt. Física Aplicada 1 Apuntes de FFI 136 TEMA 6. Ondas Electromagnéticas El primer mínimo (o mínimo de primer orden) ocurre para m = 1, verificándose entonces que senθ 1 = λ b . (6.104) Puede observarse que si λ ≪ b, θ 1 ≈ 0, por lo que apenas se observará patrón de difracción, es decir, la zona de sombra aparece bien definida tal como ocurriría si la onda se propagase en línea recta. A medida que el cociente λ/b crece, el ángulo θ 1 aumenta, haciéndose, por tanto, más evidente el fenómeno de difracción. En general, los fenómenos de difrac- ción son más apreciables cuando las dimensiones de la rendija son del orden de la longitud de onda de la perturbación ondulatoria (no obstante, debe tenerse en cuenta que el análisis efectuado para obtener la expre- sión (6.103) es sólo válido si λ < b, puesto que de otro modo el seno sería mayor que uno para todo valor de m). Ejemplo 6.6 Hallar la anchura de la franja central del patrón de difracción producido en una pantalla situada a una distancia de 5 m de una rendija de anchura 0.3 mm por la que se ha hecho pasar una luz laser de 600 nm. La anchura de la franja central puede obtenerse a partir del ángulo θ1 que nos da el primer mínimo en el patrón de difracción. Según la expresión (6.104), este ángulo viene dado por sen θ1 = λ b = 6 ×10 −7 m 3 ×10 −4 m = 2 ×10 −3 . Dado que sen θ1 ≪, tenemos que senθ1 ≈ tan θ1 y, por tanto, la anchura de la franja central será 2a = 2Dtan θ1 ≈ 2 · 5 · 2 ×10 −3 = 20 mm . 6.10. Espectro electromagnético Uno de los aspectos más interesantes de las ondas electromagnéticas es que distintos fenómenos ondulatorios aparentemente inconexos como la luz, las ondas de radio, las microondas, los rayos X, los rayos gamma, etc, son todos ellos ondas electromagnéticas que se diferencian simple- mente por su distinta frecuencia y longitud de onda. Todos los fenómenos anteriores son básicamente campos eléctricos y magnéticos oscilantes a determinada frecuencia. En el espacio libre, la relación entre la frecuen- cia f y la longitud de onda λ viene dada por λ = c f . (6.105) El conjunto de todas las radiaciones electromagnéticas se conoce espec- tro electromagnético, distinguiéndose en él las distintas denominacio- nes que toman las ondas electromagnéticas en función de la frecuencia, tal como se muestra en la Fig. 6.9. Apuntes de FFI Dpt. Física Aplicada 1 6.11. Fuentes de las Ondas Electromagnéticas 137 10 3 10 3 10 0 10 -3 10 -6 10 -9 10 -12 10 6 1MHz- 1kHz- -1km -1m -1cm -1nm -1 m m 1GHz- 1 THz- Frecuencia (Hz) Longitudde onda(m) 10 9 10 12 10 15 10 18 10 21 -1 A OndasdeRadio TV,FM Microondas Infrarrojo Visible Ultravioleta Radiofrecuencia RayosGamma RayosX Figura 6.9: Espectro electromagnético A lo largo de este tema hemos visto cómo la longitud de onda y la frecuencia determinan fundamentalmente las propiedades de la onda. En este sentido se vio en el Apartado 6.9 que los fenómenos de difracción dependían básicamente de la relación entre la longitud de onda y el tama- ño físico de los objetos donde se producía la difracción. Esto justificaba que los efectos de difracción de la luz sean apenas perceptibles debido a la corta longitud de onda de la luz visible (400 λ(nm) 700) y que, por tanto, la luz pueda ser considerada en muchas situaciones prácticas como un rayo. La misma explicación sirve para entender por qué grandes obstáculos como edificios o montes no afectan drásticamente a la propa- gación de ondas de radio largas (10 7 λ(m) 10 2 ). La interacción de la onda electromagnética con la materia también depende básicamente de la longitud de la onda y así, la pequeña longitud de onda de los ra- yos X (10 −12 λ(m) 10 −8 ) es la que explica por qué estos rayos pueden atravesar fácilmente muchos materiales que son opacos para radiaciones de mayor longitud de onda. Igualmente, al coincidir la longitud de onda de las ondas generadas en los hornos de microondas (λ ∼ 15cm) con el espectro de absorción de las moléculas de agua se explica que esta ra- diación sea considerablemente absorbida por las moléculas de agua que contienen los alimentos y, consecuentemente, se calienten. 6.11. Fuentes de las Ondas Electromagnéticas Hasta ahora hemos estado estudiando algunas de las características de las ondas electromagnéticas pero todavía no sabemos dónde y cómo se originan estas ondas. Dado que las ondas electromagnéticas son simple- mente campos eléctricos y magnéticos oscilantes y las fuentes de estos Dpt. Física Aplicada 1 Apuntes de FFI 138 TEMA 6. Ondas Electromagnéticas campos son las cargas eléctricas estáticas y/o en movimiento, es razona- ble suponer que estas cargas serán las fuentes de las ondas electromagné- ticas. No obstante, debemos notar que estamos hablando de las fuentes de los campos “primarios” puesto que, como se ha discutido anteriormente, una vez que se han generado estos campos primarios, son precisamente los propios campos los responsables de la generación de los subsiguientes campos. Ahora bien, para que los campos primarios generen otros cam- pos, éstos debían ser campos variables en el tiempo por lo que ni cargas estáticas ni las cargas en movimiento uniforme de una corriente estacio- naria puede producir ondas electromagnéticas 4 . Consecuentemente las cargas eléctricas aceleradas (único estado de movimiento no considerado hasta ahora) sí que originen estos campos primarios y, por tanto, podemos concluir que las cargas eléctricas aceleradas son fuentes de las on- das electromagnéticas. Cargas eléctricas oscilando a una determinada frecuencia ω serán los fo- cos de ondas electromagnéticas de esa misma frecuencia y con una longi- tud de onda en el espacio libre dada por: λ = 2πc/ω. Normalmente la oscilación de una única carga produce una onda cuya intensidad es prácticamente indetectable, por ello las ondas electromag- néticas suelen originarse en la práctica cuando un número importante de cargas están oscilando conjuntamente. Este hecho se produce, por ejem- plo, en las antenas, que no son, en su forma básica, más que dos varillas conductoras alimentadas mediante un generador de corriente alterna. El generador de corriente alterna provoca que los electrones de las varillas conductoras viajen desde un extremo a otro de las varillas realizando un movimiento oscilatorio que viene determinado por la frecuencia del gene- rador. Este tipo de antenas es el comúnmente usado para generar ondas de radio y TV (MHz f GHz). Las ondas de la luz visible que oscilan a una f ∼ 10 15 Hz son originadas por el movimiento oscilatorio de las cargas atómicas y las radiaciones de mayor frecuencia por rápidas oscilaciones electrónicas y nucleares. El mismo mecanismo que justifica que los electrones en movimiento en un conductor originan ondas electromagnéticas, esto es, forman una antena emisora, también explica por qué este mismo dispositivo (sin el V generador) sería una antena receptora. Los campos eléctricos que llegan a la antena ejercen una fuerza sobre las cargas móviles del conductor (electrones) que las hacen oscilar a la misma frecuencia que la onda elec- tromagnética incidente. Claramente, el movimiento de estas cargas, que simplemente sigue el patrón de la radiación incidente, produce una co- rriente eléctrica oscilante que puede ser detectada por algún dispositivo adecuado. De esta manera el patrón de variación temporal que se produjo en el generador de la antena emisora es ahora “recogido” en el detector de la antena receptora. (Los electrones de la antena receptora se mueven tal como lo hacían los electrones de la antena emisora, sólo que cierto intervalo de tiempo después; justamente el necesario para que la onda re- 4 Recordemos que las cargas estáticas son las fuentes de campos eléctricos estáticos y las cargas en movimiento uniforme en un conductor (esto es, las corrientes eléctricas continuas) son las fuentes de los campos magnéticos estáticos. Apuntes de FFI Dpt. Física Aplicada 1 6.12. Problemas propuestos 139 corra la distancia entre las dos antenas). De esta manera se ha transmitido información desde un sitio a otro del espacio usando como intermediario a la onda electromagnética. Esta manera de transmitir información es muy eficaz ya que pone en juego muy poca energía y permite transmitir infor- mación entre puntos muy lejanos entre sí (incluyendo comunicaciones con satélites y vehículos espaciales). 6.12. Problemas propuestos 6.1: Demostrar por sustitución directa que la siguiente expresión: Ey(x, t) = E 0 sen(kx −ωt) = E 0 sen k(x −ct) , donde c = ω/k, satisface la ecuación (6.42). 6.2: Hallar la longitud de onda de a) una onda de radio de AM típica con una frecuencia de 100 kHz, b) una onda de radio de FM típica de 100 MHz; c) la frecuencia de una microonda de 3 cm y d) la frecuencia de unos rayos X con una longitud de onda de 0,1 nm. Sol. a) λ = 300 m ; b) λ = 300 m ; c) f = 10 GHz; d) f = 3 ×10 18 Hz. ; 6.3: Una onda electromagnética (OEM) plana se propaga en el vacío. Sabiendo que su fre- cuencia es de 98.4 MHz y su amplitud de campo eléctrico es de 20 mV/m, calcúlese: a) la amplitud del campo magnético; b) la intensidad de onda (potencia media por unidad de área). Sol.: a) B 0 = 0,66×10 −10 T; b) I = 0,53 µW/m 2 . 6.4: Una OEM plana se propaga a lo largo del eje X con una longitud de onda de 3 cm, transportando una potencia media por unidad de área de 6 µW/m 2 . Determínense las expre- siones completas de los campos E y B sabiendo que el campo eléctrico está dirigido según el eje Y . Sol.: E(x, t) = 67,26×10 −3 cos(2π×10 10 t −200πx/3 +φ) ˆ y V/m, B(x, t) = 22,42×10 −11 cos(2π×10 10 t −200πx/3 +φ) ˆ z T. 6.5: Cierto pulso de campo electromagnético puede asimilarse a una onda plana cuyos cam- pos son E(x, t) = E 0 e −(x−ct) 2 ˆ y (V/m) y B(x, t) = B 0 e −(x−ct) 2 ˆz (T). Demostrar que ambos campos verifican la ecuación de onda y obtener la relación entre E 0 y B 0 sabiendo que de acuerdo con la ley de Faraday debe cumplirse que ∂Ey(x, t)/∂x = −∂Bz(x, t)/∂t. Sol.: E 0 = cB 0 . 6.6: La antena de un receptor radioeléctrico es equivalente a una barra conductora de 2 m de altura y está orientada paralelamente al campo eléctrico de la OEM que se desea sin- tonizar. Si la tensión eficaz entre los extremos de la antena al recibir la onda es de 4 mV, determínense las amplitudes de los campos eléctrico y magnético de la onda sintonizada, así como la potencia media por unidad de área transportada por la onda. Sol.: Ee = 2×10 −3 V/m; Be = 0,666×10 −11 T, I = 10 −8 W/m 2 . 6.7: En la superficie de la Tierra,el flujo solar medio aproximado es de 0,75 kW/m 2 . Se desea diseñar un sistema de conversión de energía solar a eléctrica para que proporcione una potencia eléctrica de 25 kW que permita cubrir las necesidades de una casa. Si el sistema tiene una eficacia del 30%, ¿cuál será el área necesaria de los colectores solares, supuestos que son absorbentes perfectos?. Sol. 111 m 2 . 6.8: Un pulso de láser tiene una energía de 20 J y un radio de haz de 2 mm. La duración del pulso es de 10 ns y la densidad de energía es constante dentro del pulso. a) ¿Cuál es la longitud espacial del pulso? b) ¿Cuál es la densidad de energía dentro del mismo? c) Hallar los valores de la amplitud de los campos eléctrico y magnético. Sol.: a) 3 m; b) 5,31 ×10 5 J/m 3 ; c) E 0 = 3,46 ×10 8 V/m, B 0 = 1,15 T. 6.9: El campo eléctrico de una onda electromagnética oscila en la dirección z, viniendo su vector de Poynting dado por S(x, t) = −100 cos 2 [10x + (3 ×10 9 )t] ˆ xW/m 2 Dpt. Física Aplicada 1 Apuntes de FFI 140 TEMA 6. Ondas Electromagnéticas donde x está en metros y t en segundos. a) ¿En qué dirección se propaga la onda? b) Calcular la longitud de onda y la frecuencia. c) Hallar los campos eléctrico y magnético. Sol.: a) sentido negativo de x ;b) λ = 0,620 m, f = 4,77 ×10 8 Hz ; c) E = 194 cos[10x + (3 ×10 9 )t]ˆz V/m, B = 0,647 ×10 −6 cos[10x + (3 ×10 9 )t]ˆ y T. 6.10: El campo eléctrico de una onda electromagnética armónica plana tiene la expresión E(z, t) = 3×10 −3 cos(kz −2π×10 8 t)ˆ y (V/m). Determínese: a) la longitud de onda, frecuencia, periodo y número de onda; b) el campo magnético, B, así como el vector de Poynting, S, y la intensidad de onda, I. Sol.: a) λ = 3 m, f=100 MHz, T=10 ns, k = 2π/3 m −1 ; b) B(z, t) = −0,01 cos(2πz/3 −2π×10 8 t)ˆ x nT, S(z, t) = 0,0239 cos 2 (2πz/3 −2π×10 8 t)ˆz µW/m 2 , I = S = 0,01195 µW/m 2 . 6.11: Una OEM armónica plana de longitud de onda λ = 6 m se propaga en el sentido negativo del eje de las X siendo su campo magnético B(x, t) = 2×10 −10 cos(ωt+kx+π/4)ˆ y T. Determínese: a) el número de ondas, la frecuencia y el periodo de la onda; b) las expresiones del campo eléctrico, E, y del vector de Poynting, S, así como la intensidad de onda, I. Sol.: a) k = π/3 m −1 , f = 50 MHz, T = 20 ns; b) E(x, t) = 60×10 −3 cos(π×10 8 t +kx +π/4)ˆz V/m, S(x, t) = −(30/π) cos 2 (π×10 8 t +kx +π/4)ˆ x µW/m 2 , I = S = 15/π µW/m 2 . Constantes: c = 3×10 8 m/s, µ 0 = 4π×10 −7 H/m, ǫ 0 = 8,854×10 −12 F/m. Apuntes de FFI Dpt. Física Aplicada 1 Apéndice A Análisis vectorial A.1. Vectores En la naturaleza existen magnitudes físicas que están completamente determinadas por su valor y sus unidades. De forma genérica puede decir- se que estas magnitudes son escalares. Ejemplos de estas magnitudes son la masa, la distancia, la temperatura, etc. Por el contrario, existen otras magnitudes que además de su valor y unidades están “dotadas” de una propiedad adicional: su dirección. Este tipo de magnitudes se conocen con el nombre de magnitudes vectoriales e incluyen a magnitudes tales como la posición, la velocidad, la fuerza, el campo eléctrico, etc. Para ex- presar las magnitudes vectoriales se hace uso de los vectores y por tanto se hace imprescindible el álgebra de vectores. A.1.1. Notación vectorial Usualmente las magnitudes vectoriales suelen denotarse en los textos impresos mediante letras minúsculas o mayúsculas en tipo negrita, v, V , dejándose usualmente la notación con una flecha/raya encima de dichas letras, v, V , para la escritura manual de los mismos. No obstante en el texto de estos apuntes y con la idea de evidenciar más si cabe el caracter vectorial de las magnitudes usaremos la notación con una flechita enci- ma de las variables. En las figuras aparecerán sin embargo los vectores denotados en tipo negrita. Para especificar los vectores se usan frecuentemente varios tipos de notación. x y z v v z v x v y Mediante una terna de números que son las componentes del vec- tor en los ejes cartesianos x, y, z, v = (v x , v y , v z ) . (A.1) Geométricamente, las componentes del vector son las proyecciones de este vector en los ejes cartesianos. El vector v puede también expresarse en función de su módulo y de su vector unitario. El módulo del vector u suele denotarse como v 1 2 Apéndice A. Análisis vectorial o bien [v[ y viene dado según el teorema de Pitágoras por v v ^ [v[ ≡ v = v 2 x +v 2 y +v 2 z . (A.2) El vector unitario asociado con el vector v se define como aquel Módulo del vector v vector de módulo unidad que tiene la misma dirección y sentido que v. Dicho vector se denotará de forma genérica como ˆ v o bien como ˆ v, pudiéndose expresar como ˆ v = v v = (v x , v y , v z ) v 2 x +v 2 y +v 2 z . (A.3) Obviamente el vector v puede escribirse como: v = vˆ v. Vector unitario de v Expresando el vector como suma de las componentes del vector por los vectores unitarios a lo largo de los ejes coordenados. Los vecto- res unitarios a lo largo de los ejes x, y, z se denotaran como ˆ x, ˆ y, ˆ z respectivamente. Otras notaciones frecuentes para estos vectores unitarios son i, j, k o bien e x , e y , e z . Usando esta notación, el vector x y z v v se escribirá como: v = v x ˆ x +v y ˆ y +v z ˆ z . (A.4) A.1.2. Suma de vectores La suma de vectores se realiza sumando sus componentes. De este modo si a b c a = a x ˆ x +a y ˆ y +a z ˆ z b = b x ˆ x +b y ˆ y +b z ˆz , el vector c suma de los dos anteriores será por tanto: c =a + b = (a x +b x )ˆ x + (a y +b y )ˆ y + (a z +b z )ˆz . (A.5) A.1.3. Producto escalar El producto escalar de dos vectores a y b, denotado como a b es un escalar fruto de la siguiente operación: a b = a x b x +a y b y +a z b z (A.6) = ab cos α , (A.7) siendo α el ángulo formado por los dos vectores (es independiente si es- te ángulo se mide en dirección horaria o antihoraria ya que cos(π − α) = cos α). El producto escalar a b puede interpretarse geométricamente como la proyección de uno de los vectores sobre el otro (salvo factores numéri- cos). Este hecho se manifiesta claramente en el producto escalar de a por uno de los vectores unitarios según los ejes coordenados, esto es, a ˆ x = a x , Apuntes de FFI Dpt. Física Aplicada 1 A.1. Vectores 3 donde se ve claramente que a ˆ x es justamente la proyección del vector a sobre el eje x. Algunas de las propiedades del producto escalar son: El producto escalar es conmutativo: a b = b a . (A.8) El producto escalar es distributivo respecto a la suma de vectores: a ( b +c) =a b +a c . (A.9) El producto escalar de dos vectores perpendiculares es nulo: a b = 0 ⇒ a ⊥ b . (A.10) El producto escalar de un vector por sí mismo es igual al cuadrado del módulo de dicho vector: a a = a 2 . (A.11) A.1.4. Producto vectorial El producto vectorial de dos vectores a y b, denotado como a b, es un vector definido como a b = ab senα ˆ n , (A.12) siendo α el ángulo más pequeño formado por los dos vectores y ˆ n el vector unitario normal exterior al plano que contiene a los vectores a y b. Puesto que el plano tiene dos normales (cada una con distinto sentido), el vector ˆ n que aparece en (A.12) siempre se refiere a la normal que apunta según la regla de la mano derecha. Esta regla dice que usando la mano derecha y apuntando el dedo índice en la dirección de a y el dedo corazón en la de b, el dedo pulgar indicará la dirección de ˆ n 1 . Geométricamente, el módulo del producto vectorial, [a b[, es igual al área del paralelogramo generado por los vectores a y b. A partir de la definición del producto vectorial (A.12) pueden deducirse las siguientes propiedades: El producto vectorial es anticonmutativo: a b = − b a . (A.13) El producto vectorial es distributivo respecto a la suma de vectores: a ( b +c) =a b +a c . (A.14) El producto vectorial de dos vectores paralelos es nulo: a b = 0 ⇒ a | b . (A.15) 1 Esta regla también se conoce a veces como regla del tornillo cuando dice que conside- rando el giro que va desde a hasta b por el camino más corto, si este giro se aplica a un tornillo, el sentido de avance o retroceso del tornillo indica hacia donde se dirige la normal. Dpt. Física Aplicada 1 Apuntes de FFI 4 Apéndice A. Análisis vectorial Multiplicación por un escalar α: α(a b) = αa b =a α b . (A.16) Teniendo en cuenta la definición (A.12) y las propiedades (A.13)–(A.15), el producto vectorial de a por b puede obtenerse como a b = (a x ˆ x +a y ˆ y +a z ˆz) (b x ˆ x +b y ˆ y +b z ˆ z) = = (a y b z −a z b y )ˆ x + (a z b x −a x b z )ˆ y + (a x b y −a y b x )ˆz . (A.17) Usando la definición del determinante, la expresión anterior puede escri- birse como a b = ˆ x ˆ y ˆ z a x a y a z b x b y b z . (A.18) A.1.5. Productos triples Dado que el producto vectorial de dos vectores es otro vector, este vector puede a su vez multiplicarse escalar o vectorialmente para formar lo que se conoce como productos triples. Producto triple escalar: a ( b c). Desde un punto de vista geométrico, este producto triple escalar puede interpretarse como el volumen del paralelepípedo generado c a b por los tres vectores a, b y c dado que según la figura adjunta [ b c[ es el área de la base y [a cos α[ es la altura (α es el ángulo entre a y b c). Usando esta interpretación geométrica es fácil deducir que a ( b c) = b (c a) =c (a b) . (A.19) Es interesante notar que en la expresión anterior se ha preservado el “orden alfabético”. El productor triple escalar puede también obtenerse a partir del si- guiente determinante: a ( b c) = a x a y a z b x b y b z c x c y c z . (A.20) Producto triple vectorial: a ( b c). Este producto triple vectorial puede también obtenerse como a ( b c) = b(a c) −c(a b) . (A.21) Nótese que el vector (a b) c = −c (a b) = −a( b c) + b(a c) (A.22) es un vector completamente diferente al definido en la expresión (A.21). Apuntes de FFI Dpt. Física Aplicada 1 A.2. Diferencial y derivada de funciones de una sola variable 5 A.2. Diferencial y derivada de funciones de una sola variable Dada una función de una sola variable f = f(x), se define la derivada de la función f(x) con respecto a x como df(x) dx = l´ım ∆x→0 f(x + ∆x) −f(x) ∆x = l´ım ∆x→0 ∆f ∆x (A.23) y expresa geométricamente el valor de la pendiente de la tangente a la curva f(x) en el punto x. El concepto de diferencial de f(x), denotado genéricamente como df, expresa la variación infinitesimal de la función f(x) entre x y x + dx, esto es, df(x) = f(x + dx) −f(x) . (A.24) Desde un punto de vista matemático, este diferencial viene dado por el siguiente producto: df(x) = df dx dx . (A.25) Debe notarse que df/dx no expresa un cociente entre df y dx sino que por el contrario debe entenderse como la acción del operador d/dx sobre la función f(x). Este hecho se pone de manifiesto con otras notaciones que prefieren expresar la derivada de la función f(x) con respecto a x como D x f(x), donde D x ≡ d/dx es precisamente el operador derivada. A.2.1. Teorema fundamental del cálculo El teorema fundamental del cálculo establece la siguiente relación en- tre las operaciones de integración y diferenciación de la función f(x): b a df dx dx = f(b) −f(a) . (A.26) Es posible “deducir” la expresión anterior teniendo en cuenta que df(x) = df dx dx y por tanto b a df(x) = f(b) −f(a) . (A.27) A.3. Diferencial y derivada parcial de funcio- nes de varias variables Es muy frecuente que en la naturaleza las magnitudes dependan de más de una variable, así la temperatura de una habitación depende de la posición del punto donde se mide, esto es, de las tres coordenadas espaciales del punto. Este hecho se manifiesta matemáticamente diciendo que la temperatura es función de x, y y z y se denota como T = T(x, y, z). Similarmente al concepto de derivada introducido en la sección ante- rior para funciones de una sola variable, puede ahora definirse el concepto de derivada parcial. Esta derivada hace referencia a la variación de cierta Dpt. Física Aplicada 1 Apuntes de FFI 6 Apéndice A. Análisis vectorial función con respecto a una sola de las variables cuando las demás perma- necen constantes. Así, se define la derivada parcial de la función f(x, y, z) con respecto a x como ∂f ∂x = l´ım ∆x→0 f(x + ∆x, y, z) −f(x, y, z) ∆x (A.28) y análogamente para las restantes variables. A partir del concepto de de- rivada parcial, puede deducirse que una variación infinitesimal de la fun- ción f(x, y, z) cuando dicha función varía entre los puntos x y x+dx podrá expresarse como: df[ x = ∂f ∂x dx . (A.29) La variación infinitesimal de la función f(x, y, z) cuando ésta varía entre los puntos (x, y, z) y (x + dx, y + dy, z + dz) podría obtenerse, por tanto, sumando las variaciones parciales a lo largo de cada una de las coordena- das. De este modo, puede escribirse que df = ∂f ∂x dx + ∂f ∂y dy + ∂f ∂z dz . (A.30) A.3.1. Operador gradiente Es interesante notar en la expresión (A.30) que el diferencial de la fun- ción f(x, y, z), df, puede expresarse como el siguiente producto escalar: df = ∂f ∂x , ∂f ∂y , ∂f ∂z (dx, dy, dz) . (A.31) Definiendo el operador vectorial ∇ como Operador ∇ ∇ ≡ ∂ ∂x , ∂ ∂y , ∂ ∂z (A.32) ≡ ˆ x ∂ ∂x + ˆ y ∂ ∂y + ˆz ∂ ∂z , (A.33) al aplicarlo a la función f(x, y, z) se obtiene el gradiente de f, ∇f, que es evidentemente una magnitud vectorial : ∇f(x, y, z) = ∂f ∂x , ∂f ∂y , ∂f ∂z (A.34) = ∂f ∂x ˆ x + ∂f ∂y ˆ y + ∂f ∂z ˆ z . (A.35) Esta definición permite escribir el diferencial de la función f como el Definición de gradiente de f siguiente producto escalar: df = ∇f dr , (A.36) donde dr = (dx, dy, dz). Usando la definición de producto escalar, df también puede escribirse como Apuntes de FFI Dpt. Física Aplicada 1 A.4. Integral de camino 7 df = [ ∇f[ [dr[ cos α , (A.37) lo que permite deducir que la máxima variación de la función f(x, y, z) se produce cuando α = 0, esto es, cuando dr es paralelo al gradiente de f, ∇f. Consecuentemente, la dirección del vector ∇f marca la dirección de máxima variación de la función en el punto (x, y, z). A.4. Integral de camino Dado un campo vectorial F (esto es, una magnitud vectorial cuyas componentes dependen de la posición espacial), la integral de camino de F entre dos puntos A y B a lo largo de la curva Γ se define como la siguiente integral: ( B A = B A,Γ F d l = l´ım Pi+1→Pi(Γ) ¸ i F(P i ) P i P i+1 . (A.38) La integral anterior puede interpretarse como la superposición infinitesi- mal del producto escalar F d l para cada elemento diferencial de la curva Γ entre los puntos A y B (El vector d l es un vector que tiene por módulo la longitud de un elemento diferencial de la curva y por dirección la de la tangente a la curva en dicho punto). Las integrales de camino son muy A B F dl usuales en Física, definiendo, por ejemplo, el trabajo que realiza cierta fuerza entre dos puntos a través de cierta trayectoria. En general, la in- tegral de camino depende del camino que se elija para ir desde A hasta B. Algunas de las propiedades más importantes de las integrales de ca- mino son: B A,Γ F d l = − A B,Γ F d l . Si A ′ es un punto intermedio de la curva Γ entre A y B, se tiene que B A,Γ F d l = A ′ A,Γ F d l + d l B A ′ ,Γ F d l . A.4.1. Teorema fundamental del gradiente De forma similar a como se hizo para funciones de una sola variable en (A.26), se verifica que B A ∇f d l = f(B) −f(A) , (A.39) donde la integral en la expresión anterior es una integral de camino. La expresión (A.39) puede “justificarse” considerando la definición del diferencial de f dada por (A.36). A partir de esta definición, la integral en (A.39) puede verse como una superposición infinitesimal de las va- riaciones de la función entre los puntos A y B, y esto es precisamente f(B) −f(A). Dpt. Física Aplicada 1 Apuntes de FFI 8 Apéndice A. Análisis vectorial Dos importantes corolarios se pueden extraer de la expresión (A.39) B A,Γ ∇f d l = B A,γ ∇f d l , (A.40) esto es, B A ∇f d l es independiente del camino tomado entre los puntos A y B. Debe notarse que, en general, la integral de camino ( B A = B A,Γ F d l sí depende del camino (considérese, por ejemplo, el trabajo realizado por un coche para desplazarse entre dos puntos siguiendo distintas carreteras). Γ ∇f d l = 0 . (A.41) La integral de camino anterior a través de cualquier curva cerrada, Γ, es nula. A.5. Integral de flujo Una integral muy útil que aparece en Física es la integral de flujo. El flujo de un campo vectorial A a través de una superficie S se define como la siguiente integral de superficie: Φ = S A d S , (A.42) donde S es una superficie arbitraria y d S es el vector diferencial de su- perficie, definido como d S = dSˆ n , (A.43) que tiene por módulo el área del elemento diferencial y por dirección y sentido el del vector unitario normal exterior a la superficie, ˆ n. Por ejemplo, para el caso del plano z = Cte, el diferencial de superficie se- rá d S = dxdyˆz. A.6. Problemas propuestos 1. Expresar el vector (9, 8) como combinación lineal de los vectores (3, 1) y (1, 2) y representar gráficamente el resultado. Sol.: (9, 8)=2(3, 1)+ 3(1, 2). 2. Encontrar el unitario en la dirección dada por los puntos de coordenadas (3, 2, 0) y (6, 8, 2). Sol.: ˆ n=(3/7, 6/7, 2/7). 3. Calcular el vector unitario perpendicular al plano determinado por los puntos (0, 0, 0), (1, 2, 3) y (3, 3, 1). Sol.: (−7, 8, −3)/ √ 122 4. Encontrar el ángulo formado por los vectores (3, 6, 2) y (8, 6, 0) utilizando dos técnicas diferentes (producto escalar y vectorial). Sol.: α = 31,003 o . 5. Utilizando el concepto de producto vectorial, determinar el área del triángulo cuyos vértices son los puntos de coordenadas (1, 0, 0), (4, 5, 2) y (3, 1, 2). Sol.: Área= √ 117/2. Apuntes de FFI Dpt. Física Aplicada 1 A.6. Problemas propuestos 9 6. Encontrar los vectores unitarios radial (ˆr) y tangente ( ˆ t) en los puntos (x, y) de una circunferencia de radio R que se halla en el plano XY y tiene su centro en el origen de coordenadas. Repetir lo anterior suponiendo ahora que la circunferencia tiene su centro en el punto (3, 2). Sol.: centro en (0, 0): ˆr = (x/R, y/R), ˆ t = (−y/R, x/R); centro en (3, 2): ˆr = ((x −3)/R, (y −2)/R), ˆ t = (−(y −2)/R, (x −3)/R). 7. Indicar cuales de las siguientes expresiones tienen sentido y cuales no: a) (a · b) · c; b) a · ( b ×c); c) a( b · c); d) (a · b) ×c. Sol.: correctas: b), c); incorrectas: a) y d) . 8. Utilizando el hecho de que |a| = √ a · a, demostrar que |a + b| = q |a| 2 +| b| 2 + 2a · b . 9. Encontrar la componente del vector (7, 5, 2) en la dirección dada por la recta que une los puntos (5, 4, 3) y (2, 1, 2). Sol.: (6, 6, 2). 10. Descomponer el vector A = (1, 5, 5) en sus componentes paralela y perpendicular a la dirección dada por el unitario ˆ n=(0, 3/5, 4/5). Sol.: A = A + A ⊥ , siendo A =(0, 21/5, 28/5) y A ⊥ =(1, 4/5, -3/5). 11. Las coordenadas de una partícula móvil de masa m = 2 kg en función del tiempo son r(t) = (3t, t 2 , t 3 ) m (t en segundos). Determinar: a) la velocidad y aceleración de la partícula; b) la fuerza que actúa sobre la misma en el instante t = 1 s, así como las componentes de dicha fuerza en la dirección perpendicular y tangente a la trayectoria. Sol.: a) v(t) = (3, 2t, 3t 2 ) m/s, a(t) = (0, 2, 6t) m/s 2 ; b) F = (0, 4, 12) N; F ⊥ = (−6, 0, 6) N, y F = (6, 4, 6) N. 12. Calcule el gradiente de la función φ(x, y, z) = 2xy/r, siendo r = p x 2 +y 2 +z 2 . Sol. ∇φ = r −3 ˆ 2y(r 2 −x 2 )ˆ x + 2x(r 2 −y 2 )ˆ y −2xyzˆz ˜ Dpt. Física Aplicada 1 Apuntes de FFI Apéndice B Funciones armónicas y Análisis fasorial B.1. Funciones Armónicas Una función armónica f(t) es aquella que varía en el tiempo de la forma genérica: f(t) = Acos(ωt +ϕ) , (B.1) donde A es la amplitud, ω la frecuencia angular y ϕ el desfase. La ampli- tud, A, determina el rango de variación de la señal, esto es −A ≤ f(t) ≤ A . La frecuencia angular está relacionada con la frecuencia f a través de ω = 2πf = 2π T , (B.2) donde T el periodo de la señal, esto es, aquel valor tal que f(t) = f(t+T). El desfase ϕ determina el origen del tiempo, esto es, cuál es el valor de la función en el instante t = 0: f(0) = Acos ϕ . Es interesante recordar algunas relaciones trigonométricas de las fun- ciones seno o coseno, a saber: sen(a ±b) = sena cos b ±cos a sen b (B.3) cos(a ±b) = cos a cos b ∓sena sen b , (B.4) de donde puede deducirse, por ejemplo, que cos(ωt +ϕ −π/2) = sen(ωt +ϕ) . (B.5) B.2. Análisis fasorial En la resolución de ecuaciones de segundo grado, es frecuente encon- trarse con soluciones que implican tomar la raíz cuadrada de un negativo, 11 12 Apéndice B. Funciones armónicas y Análisis fasorial por ejemplo √ −9. No obstante, es fácil notar que no existe ningún número real (esto es, que pertenezca al conjunto R) tal que su cuadrado sea −9. Para solucionar esta cuestión se introducen los números imaginarios, que pueden formarse a partir de la definición de la unidad imaginaria, j: j = √ −1 , (B.6) de modo que √ −9 = √ −1 9 = √ −1 √ 9 = j3 . Los números que tienen tanto parte real como imaginaria se conocen co- mo números complejos y pueden definirse como z = a + jb , (B.7) donde a = Re (z) se dice que es la parte real de z y b = Im(z) la parte imaginaria de z. Usualmente los números complejos se representan en un plano de mo- do que sobre el eje vertical se sitúa el eje imaginario y sobre el eje hori- zontal el eje real. De este modo, el número z queda caracterizado por un punto (como se muestra en la figura adjunta) que está a una distancia [z[ dada por [z[ = a 2 +b 2 , (B.8) que se conoce como módulo de z, y con un ángulo ϕ medido en sentido antihorario a partir del eje real dado por ϕ = arctan b a , (B.9) que se denomina argumento de z. Es fácil observar en la figura que z puede escribirse como z = [z[(cos ϕ + j senϕ) , y dado que la identidad de Euler dice que e jϕ = cos ϕ + j sen ϕ , (B.10) se tiene que el número complejo z puede reescribirse como z = [z[e jϕ . (B.11) Teniendo en cuenta la identidad (B.10), es fácil notar que la función armónica f(t) = Acos(ωt +ϕ) puede escribirse como f(t) = Re Ae j(ωt+ϕ) = Re Ae jϕ e jωt . (B.12) Si ahora definimos el fasor, ˜ f, de la función f(t) como ˜ f = Ae jϕ , (B.13) se tiene que f(t) = Re ˜ fe jωt . (B.14) Apuntes de FFI Dpt. Física Aplicada 1 B.2. Análisis fasorial 13 La identidad (B.14) permite establecer una relación biunívoca entre las funciones armónicas y sus fasores asociados, de modo que a toda función armónica se le puede asociar un fasor, esto es, f(t) ↔ ˜ f . (B.15) Siguiendo las propiedades más elementales del cálculo de números complejos pueden demostrarse fácilmente las siguientes propiedades: f 1 (t) +f 2 (t) ↔ ˜ f 1 + ˜ f 2 (B.16) αf(t) ↔ α ˜ f , (B.17) siendo f i (t) = A i cos(ωt +ϕ i ) y α un número real. Una propiedad adicional de fundamental importancia práctica es df(t) dt ↔jω ˜ f . (B.18) Esta última propiedad puede deducirse como sigue: df(t) dt =−ωAsen(ωt +ϕ) = −ωAcos(ωt +ϕ −π/2) =Re −ωAe j(ωt+ϕ−π/2) = Re −ωAe jϕ e −jπ/2 e jωt =Re jωAe jϕ e jωt = Re jω ˜ fe jωt , de donde se deduce que el fasor asociado a df/dt es precisamente jω ˜ f. Dpt. Física Aplicada 1 Apuntes de FFI II Copyright ©2002 by Francisco L. Mesa Ledesma; esta información puede ser copiada, distribuida y/o modificada bajo ciertas condiciones, pero viene SIN NINGUNA GARANTÍA; ver la Design Science License para más detalles. DESIGN SCIENCE LICENSE TERMS AND CONDITIONS FOR COPYING, DISTRIBUTION AND MODIFICATION Copyright ©1999-2001 Michael Stutz <[email protected]>Verbatim copying of this document is permitted, in any medium. 0. PREAMBLE. Copyright law gives certain exclusive rights to the author of a work, including the rights to copy, modify and distribute the work (the reproductive,adaptative,.and "distributionrights). The idea of çopyleft"is to willfully revoke the exclusivity of those rights under certain terms and conditions, so that anyone can copy and distribute the work or properly attributed derivative works, while all copies remain under the same terms and conditions as the original. The intent of this license is to be a general çopyleft"that can be applied to any kind of work that has protection under copyright. This license states those certain conditions under which a work published under its terms may be copied, distributed, and modified. Whereas "design science"is a strategy for the development of artifacts as a way to reform the environment (not people) and subsequently improve the universal standard of living, this Design Science License was written and deployed as a strategy for promoting the progress of science and art through reform of the environment. 1. DEFINITIONS. "License"shall mean this Design Science License. The License applies to any work which contains a notice placed by the work’s copyright holder stating that it is published under the terms of this Design Science License. "Work"shall mean such an aforementioned work. The License also applies to the output of the Work, only if said output constitutes a "derivative work.of the licensed Work as defined by copyright law. .Object Form"shall mean an executable or performable form of the Work, being an embodiment of the Work in some tangible medium. "Source Data"shall mean the origin of the Object Form, being the entire, machine-readable, preferred form of the Work for copying and for human modification (usually the language, encoding or format in which composed or recorded by the Author); plus any accompanying files, scripts or other data necessary for installation, configuration or compilation of the Work. (Examples of "Source Data"include, but are not limited to, the following: if the Work is an image file composed and edited in PNG format, then the original PNG source file is the Source Data; if the Work is an MPEG 1.0 layer 3 digital audio recording made from a WAV format audio file recording of an analog source, then the original WAV file is the Source Data; if the Work was composed as an unformatted plaintext file, then that file is the Source Data; if the Work was composed in LaTeX, the LaTeX file(s) and any image files and/or custom macros necessary for compilation constitute the Source Data.) .Author"shall mean the copyright holder(s) of the Work. The individual licensees are referred to as ou." 2. RIGHTS AND COPYRIGHT. The Work is copyrighted by the Author. All rights to the Work are reserved by the Author, except as specifically described below. This License describes the terms and conditions under which the Author permits you to copy, distribute and modify copies of the Work. In addition, you may refer to the Work, talk about it, and (as dictated by "fair use") quote from it, just as you would any copyrighted material under copyright law. Your right to operate, perform, read or otherwise interpret and/or execute the Work is unrestricted; however, you do so at your own risk, because the Work comes WITHOUT ANY WARRANTY – see Section 7 ("NO WARRANTY") below. 3. COPYING AND DISTRIBUTION. Permission is granted to distribute, publish or otherwise present verbatim copies of the entire Source Data of the Work, in any medium, provided that full copyright notice and disclaimer of warranty, where applicable, is conspicuously published on all copies, and a copy of this License is distributed along with the Work. Permission is granted to distribute, publish or otherwise present copies of the Object Form of the Work, in any medium, under the terms for distribution of Source Data above and also provided that one of the following additional conditions are met: (a) The Source Data is included in the same distribution, distributed under the terms of this License; or (b) A written offer is included with the distribution, valid for at least three years or for as long as the distribution is in print (whichever is longer), with a publicly-accessible address (such as a URL on the Internet) where, for a charge not greater than transportation and media costs, anyone may receive a copy of the Source Data of the Work distributed according to the section above; or (c) A third party’s written offer for obtaining the Source Data at no cost, as described in paragraph (b) above, is included with the distribution. 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(b) The derivative work is given a new name, so that its name or title cannot be confused with the Work, or with a version of the Work, in any way. (c) Appropriate authorship credit is given: for the differences between the Work and the new derivative work, authorship is attributed to you, while the material sampled or used from the Work remains attributed to the original Author; appropriate notice must be included with the new work indicating the nature and the dates of any modifications of the Work made by you. 5. NO RESTRICTIONS. You may not impose any further restrictions on the Work or any of its derivative works beyond those restrictions described in this License. 6. ACCEPTANCE. Copying, distributing or modifying the Work (including but not limited to sampling from the Work in a new work) indicates acceptance of these terms. If you do not follow the terms of this License, any rights granted to you by the License are null and void. The copying, distribution or modification of the Work outside of the terms described in this License is expressly prohibited by law. If for any reason, conditions are imposed on you that forbid you to fulfill the conditions of this License, you may not copy, distribute or modify the Work at all. If any part of this License is found to be in conflict with the law, that part shall be interpreted in its broadest meaning consistent with the law, and no other parts of the License shall be affected. 7. NO WARRANTY. THE WORK IS PROVIDED .AS IS,.AND COMES WITH ABSOLUTELY NO WARRANTY, EXPRESS OR IMPLIED, TO THE EXTENT PERMITTED BY APPLICABLE LAW, INCLUDING BUT NOT LIMITED TO THE IMPLIED WARRANTIES OF MERCHANTABILITY OR FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE. 8. DISCLAIMER OF LIABILITY. IN NO EVENT SHALL THE AUTHOR OR CONTRIBUTORS BE LIABLE FOR ANY DIRECT, INDIRECT, INCIDENTAL, SPECIAL, EXEMPLARY, OR CONSEQUENTIAL DAMAGES (INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO, PROCUREMENT OF SUBSTITUTE GOODS OR SERVICES; LOSS OF USE, DATA, OR PROFITS; OR BUSINESS INTERRUPTION) HOWEVER CAUSED AND ON ANY THEORY OF LIABILITY, WHETHER IN CONTRACT, STRICT LIABILITY, OR TORT (INCLUDING NEGLIGENCE OR OTHERWISE) ARISING IN ANY WAY OUT OF THE USE OF THIS WORK, EVEN IF ADVISED OF THE POSSIBILITY OF SUCH DAMAGE. END OF TERMS AND CONDITIONS 2 Apuntes de FFI Dpt. Física Aplicada 1 Índice general 1. Electrostática 1.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 2 3 4 4 4 5 7 11 11 15 15 16 17 17 18 20 22 22 23 25 29 29 30 33 1.2. Ley de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Campo eléctrico de cargas puntuales . . . . . . . . . . . . . 1.4. Principio de superposición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5. Campo eléctrico de una distribución de carga . . . . . . . . 1.5.1. Campo eléctrico de una distribución discreta de carga 1.5.2. Campo eléctrico de una distribución continua de carga 1.6. Flujo. Ley de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7. Trabajo, energía y potencial electrostático . . . . . . . . . . . 1.7.1. Potencial eléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8. Conductores en equilibrio en el campo electrostático . . . . 1.8.1. Campo de un conductor cargado en equilibrio electrostático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.2. Conductor neutro en un campo eléctrico externo . . . 1.9. Condensadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.9.1. Capacidad de un conductor . . . . . . . . . . . . . . . . 1.9.2. Influencia entre conductores . . . . . . . . . . . . . . . 1.10. ampo eléctrico en la materia . . . . . . . . . . . . . . . . . . C 1.11. nergía Electrostática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E 1.11.1. rabajo para trasladar una carga puntual T . . . . . . . 1.11.2. nergía almacenada en un condensador de placas paE ralelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.12. roblemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P 2. Circuitos de Corriente Continua 2.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Intensidad y densidad de corriente (vector J ) . . . . . . . . . 2.3. Conductividad, Ley de Ohm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III 2.1. . Apuntes de FFI Dpt. . . . . . .8. . . . . . . . Ley de Ohm circuital . . . . . . . . Fuerza electromotriz de movimiento . Fuerza electromotriz . . . . . . 3. . . . . . 3. .3. .2. . . . Inducción electromagnética 4. . . . . . . 2. 3. . . . . Ley de Gauss para el campo magnético 3.2. . . .6. . . . . . . . . . . . . . . . . . Regla de Kirchhoff de las tensiones . . . . .1. . . Regla de Kirchhoff de las intensidades . . . . . .1.7. . . . . . . . . 2. . . . . . . . . . .1. Movimiento de una carga puntual en presencia de un campo magnético . . . . .1. . . . Fuerza electromotriz inducida . .7. .3. . . . . . . . 3. . . 4. . . . . . .2. . . . . 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2. . .4. . . . . . .5. . 3. . Fuerza de Lorentz . . . . 2. . . . . . . . . . .1. . . . . . . . Conductividad eléctrica . . . . . . . . . . . Problemas propuestos . . . . 2. . . . . . . . .6. . 3. . . . . . . .3. . . . . . . . . .2. . . . . . . Fuerzas magnéticas sobre conductores . . . 33 34 35 36 39 39 40 41 43 44 45 46 47 49 53 53 53 54 57 59 59 59 61 63 64 65 66 67 71 71 72 72 74 78 3. . . . . 3. . . Par de fuerzas sobre una espira de corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1. . . . . 2. . Fuerza magnética sobre un hilo . . . 2. . . . . . Balance de potencia . . . . . . . .5. . . . .6. . . . . . . . . . . 2. 2. . . . . .7. . . . 2. . 3. . . . . . . . Inductancia . . . .IV ÍNDICE GENERAL 2. . . Magnetostática 3. . . . . . . . . . . Campo magnético producido por un hilo infinito y rectilíneo de radio R recorrido por una intensidad I . . . Efecto Hall . . Carga y descarga de un condensador .2. .2.7. . . . . . . . .2. . . . . . Introducción . . . . . . . . . . . Ley de Ampère . . . . . . . . . . . . . . . Teorema de Norton . . . Física Aplicada 1 . 2. Campo magnético en un solenoide . . . . . . .1. 2. . . . .6. . .3.3.2.7. . . . Ley de Faraday . 2. . . 3. . . . .3. . . . . . . .2. . . . . . . . . . . . .3.9. . . . . .6. . . . . . . . . . . . . Teorema de Thevenin . . . Reglas de Kirchhoff .7. . . . . .4.2. . . . . . . . . . . . . . . . . Aplicación a circuitos de CC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Efecto Joule . . . . . . . . . . . . .6. Ley de Biot-Savart . . . . . Teorema de superposición . . . . . . . . . . . . . . . . . . Circuito RC. . . . . . . . . . Introducción .2. . . . . . . . . . . . . . . . . 4. . 4. . .1. 2. . . . . . . Problemas propuestos . . 4. . . . . . . . . . . . . . . . .4. . . 3. . . . . . . . 3. . . Potencia media . . . . . . . . . Autoinducción . . . . . Ondas electromagnéticas planas armónicas . . Nociones generales de ondas . . . . . . . 5. 5. . . . condensador y bobina . . . . . . . . Análisis de mallas . . . . . . . .3. . . . Inductancia mutua . . . 126 127 130 . . . . 5. . . . . . . .6. . . .1.5. .1. .4. Intensidad de la onda electromagnética . . . . 6. Análisis fasorial de circuitos de CA . . . . . . . Expresiones fasoriales para resitencia. . . . . .2. . . . . . . . . . . . .3. . . . . . . . . . . Ondas Electromagnéticas 6. . . . . . . . . . . . . . . Corriente de desplazamiento . . . . . . . . . . . . . . . . Consumo de potencia . 78 79 81 83 85 89 89 90 91 92 93 93 94 96 97 100 100 101 102 105 107 107 108 110 112 114 117 120 122 124 V 5. . . Ecuación de ondas . . Relación I ↔ V para Resistencia. . . . . . . . . . . . .ÍNDICE GENERAL 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. . . . . . . . Física Aplicada 1 Apuntes de FFI . . . . . .5. . . . . . . . . . . . . . . . .5. . . . . 6. . . . . 5. . . . .4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5. . 5. . . . . . . . . . . Generador de fem alterna . . . . . 6. . . . . .3. . . . . . 5. .5. . . Problemas propuestos . .6. . .2. . . . . . .4. . 5. . . . . . . . . . Valores eficaces . . . Circuito RLC serie . . . . . Energía magnética . . . . . .2. Factor de potencia . . .2. 6. . . . . . . . . 4. . . . . . . . . . . .7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. . . . . . . Circuitos de Corriente Alterna 5. . . . . . . . . . . . . 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Focos coherentes 6. . . . . .2. . . . 6. . . . . . .4. . . 6.7. . . . . . . . . . . . 5. . . . . 5. . . Transitorios en circuitos RL . . . . . . . . . . . Superposición de dos ondas electromagnéticas planas armónicas . .3. . . Interferencia de Ondas . . . . Dpt. . . . . .1. . . . . Ondas estacionarias . . . . . . . . . . . . . .1. . . .6. . Balance de potencia . Introducción . . . . . . . . .2. . . . 6. . .1. Ecuación de Ondas Electromagnéticas . . . . .7.3. . . . . . . . 4. .5. . 4.7. . . . . . . . . . Ley de Ampère-Maxwel.2. . .2. . . 5. . . . . Introducción .1. . . . . . . . . . . . . . . 5. . . . 5. . . Ondas armónicas . . . . . . . . . . . . .3. . . . . . . . . . . . . .3. 4. . . . . . . . Reglas de Kirchhoff . . . .8. .2. . . 124 6. Problemas propuestos . . . . .3. . . . . . . . . . . . . Focos incoherentes .5. . 6. .6. . . . Condensador y Bobina . . . . . . . . . . . .3. .7. . . . . . . . .1. . .6. . . . . . . . . . Producto vectorial . . . . . . . . . . . . Producto escalar . . . . . . . . . spectro electromagnético E . . . . . . . .5. . . . . . Suma de vectores . . . . . . . . . .VI ÍNDICE GENERAL 6. . . . . . . .1. . .5. .1. . . . . . . . A. .1. .1. . . . . . . . . . . . . . . Funciones Armónicas . . . . . . . . . . . . . . .1. . . . . . . . . . . . . A. . B. . . . . . . . . . . . . . . . . .3. . A.2. . .6. A. . . . . . A. . B. . . . . . A. . . (*) Difracción . . . uentes de las Ondas Electromagnéticas F 6. . .3. . 133 136 137 139 1 1 1 2 2 3 4 5 5 5 6 7 7 8 8 11 11 11 6. Integral de flujo . . . Diferencial y derivada parcial de funciones de varias variables A. . . . . Vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . .2. . . . . . . . . . . . . . . . . . A. . . Problemas propuestos . .1. .12. . . . . .1. . . . . . .4. . . . . . .1. . . . . P A. . . . Operador gradiente . .10. . .2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Diferencial y derivada de funciones de una sola variable . . . . . . . . Análisis fasorial . . .9. . . A. Funciones armónicas y Análisis fasorial B. . . . . . . . . . . . Física Aplicada 1 . . . . .1. . . . . .11. . . . . . roblemas propuestos .1. . . A. Integral de camino . . . .3. . . . . . . . . . 6. . . . . . . . . . A. . . . . . . . . . . . . . . . . Apuntes de FFI Dpt. . . . A. . . . . . .4. . Teorema fundamental del cálculo . . . . . . Teorema fundamental del gradiente . . .4.2. . . . . . . . . . Notación vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . A. . . . . . . Análisis vectorial A. . . . . Productos triples . . .1. Prefacio La presente colección de notas sobre Electromagnetismo.S. es evidente la necesidad de estudiar en primer lugar el comportamiento general de las cargas y corrientes eléctricas. Es importante resaltar que estas notas no pueden ni deben sustituir a otros textos más elaborados sobre la materia. septiembre de 2001 VII . Este estudio se llevará a cabo mediante una serie de temas dedicados al Electromagnetismo básico y a la Teoría de Circuitos de corriente continua y alterna. dada la relevancia de las ondas electromagnéticas en las comunicaciones actuales.T. Circuitos y Ondas pretende ser una ayuda al estudiante en la asignatura cuatrimestral Fundamentos Físicos de la Informática de la E. Francisco L. Mesa Ledesma Sevilla. Gran parte de la tecnología actual de los computadores se basa en la Electrónica y puesto que la Electrónica consiste básicamente en el control del flujo de los electrones en materiales conductores y semiconductores. Por otra parte. la última parte de la asignatura se dedicará a un estudio general de las ondas para acabar con una descripción y análisis elemental de las ondas electromagnéticas. Aunque estas notas han sido inspiradas por diversas fuentes (permítaseme destacar y agradecer la importante contribución de los profesores de la ETS de Ingeniería Informática del Departamento de Física Aplicada 1 de la Universidad de Sevilla). cualquier defecto o error sólo es atribuible al autor de estos apuntes. y en particular la transmisión de datos en las redes de ordenadores. El propósito principal de la materia aquí presentada es dotar al alumno de algunos de los fundamentos físicos elementales en los que se basa el funcionamiento de los dispositivos y sistemas usados en Informática. de Ingeniería Informática de la Universidad de Sevilla. VIII ÍNDICE GENERAL Apuntes de FFI Dpt. Física Aplicada 1 . Esto quiere decir que si cierta carga desaparece en un sitio y aparece en otro. La carga eléctrica es una propiedad fundamental e intrínseca de la materia (al igual que la masa) que tiene las siguientes propiedades: Presenta dos polaridades: positiva y negativa. Cantidades iguales de ambas polaridades se anulan entre sí.2414959 ×1018 protones. La carga total del universo (suma algebraica de todas las cargas existentes) se conserva. De hecho la interacción eléctrica entre dos electrones (de carga e igual a −qe ) es aproximadamente 1042 veces más fuerte que su correspondiente interacción gravitatoria. esto es. la interacción electromagnética (o electrostática cuando es entre cargas en reposo) es la segunda más fuerte. electromagnética. nuclear débil y gravitatoria. 1 Unidad de carga eléctrica 1 culombio (C) . debe notarse que esto no imposibilita que cargas positivas y negativas se anulen entre sí. o lo que es lo mismo.Tema 1 Electrostática 1. la carga no se puede crear ni destruir. la carga también se conserva localmente. empezaremos este tema con el estudio de las interacciones de cargas eléctricas en reposo. Esta carga elemental corresponde a la carga del protón. esto es porque ha “viajado” de un punto a otro. La parte del Electromagnetismo que aborda esta materia se denomina Electrostática. La unidad de carga en el Sistema Internacional es el culombio (C) y equivale a la carga de 6. No obstante. La carga esta cuantizada: cualquier carga que existe en la naturaleza es un múltiplo entero de una carga elemental qe .1. la carga del protón es qe = 1. Es interesante hacer notar que de las cuatro interacciones fundamentales de la naturaleza: nuclear fuerte.60218 ×10−19 C. Además de esta propiedad de conservación global. Introducción Dado que el objetivo de esta asignatura será el estudio básico de los principales fenómenos electromagnéticos y buena parte de estos fenómenos están relacionados con la interacción de cargas eléctricas. las fuerzas de rozamiento. No obstante. etc. las tensiones mecánicas. r Vea el Apéndice A para un breve repaso de vectores y tenga en cuenta que en las figuras del presente texto usaremos tipo de letra negrita para denotar a los vectores. son: La fuerza va dirigida según la línea que une las dos cargas (fuerza central). El concepto de carga puntual es una idealización por la que se considerará que cierta carga está localizada estrictamente en un punto. Física Aplicada 1 .1). viene dada por la siguiente expresión: F r q r Q F = 1 qQ 1 qQ ˆ≡ r . Ley de Coulomb El estudio de la Electrostática se iniciará mediante la ley de Coulomb.2 T EMA 1. Asimismo el módulo del vector u se denotará indistintamente como |u| o bien simplemente como u. las fuerzas moleculares. estas interacciones están en la base de multitud de fenómenos fundamentales.1) donde ǫ0 es una constante llamada permitivad del vacío cuyo valor en el S. no existe ningún medio material entre ellas). Aunque en principio. De hecho los agregados de materia se presentan generalmente en forma neutra y por ello las interacciones entre grandes cantidades de materia (planetas. F .85 × 10−12 = 9 × 109 2 . esto no implica que la interacción entre cargas eléctricas sea irrelevante sino que por el contrario. de modo que u ≡ u. de modo que u debe leerse como “vector unitario en la dirección y sentido de u”. estrellas. La ley de Coulomb (∼ 1785) establece que la fuerza. ley experimental que describe la interacción entre dos cargas puntuales en reposo en el vacío (esto es. r 4πǫ0 r2 4πǫ0 r3 (1. estando su sentido determinado por el signo del producto Apuntes de FFI Dpt. (1. expresión (1. la carga uniformemente distribuida de cuerpos esféricos o incluso cuerpos cargados considerados a distancias lejanas se comportan muy aproximadamente como cargas puntuales. Electrostática Esto da una idea de la magnitud tan importante de las fuerzas eléctricas. es C2 Nm2 1 ǫ0 = 8. De hecho. No obstante. etc) es fundamentalmente de carácter gravitatorio. 1. por ejemplo: la formación y estabilidad de los átomos. en la naturaleza hay muchas situaciones en las que la interacción eléctrica no se manifiesta debido a la compensación tan precisa que ocurre en la materia entre cargas positivas y negativas. la experiencia demuestra que es una aproximación muy precisa en múltiples situaciones.2) 4πǫ0 Nm2 C y r = rˆ r es el vector que va desde la carga fuente hasta la carga prueba siendo r = |r| su módulo y ˆ = r/r su vector unitario asociado. esta idealización pudiera parecer poco realista. las fuerzas de contacto.I.Además los vectores unitarios se denotarán ˆ en letra negrita con el signo ˆ encima.2. Algunas propiedades destacables de la ley de Coulomb. que ejerce una carga fuente q sobre una carga prueba Q. Campo eléctrico de cargas puntuales La expresión de la fuerza ejercida por la carga q sobre la carga Q (dada por (1. definirse como la fuerza por unidad de carga y sus unidades son consecuentemente N/C.3. existirá campo electrostático. Dado que las cargas eléctricas son las únicas fuentes del campo electrostático. Para un sistema de dos cargas idénticas en magnitud. Campo eléctrico de cargas puntuales F +Q +q 3 qQ.4) Campo eléctrico de una carga puntual La introducción de este vector E permite definir una magnitud vectorial que varía punto a punto y que sólo depende de las cargas fuentes. por tanto. “escondiendo” la disposición particular de esta configuración y mostrando únicamente su efecto global. la fuerza entre dos cargas será atractiva para cargas de signo opuesto o bien repulsiva para cargas del mismo signo. E posee por sí mismo una realidad física clara y por tanto desde este momento es conveniente considerar al campo eléctrico como un ente real (con el mismo grado de realidad física que la fuerza o el momento lineal) independiente de la presencia o no de carga prueba. Es interesante observar que el campo eléctrico “recoge” de alguna manera la información sobre las cargas fuentes. siempre que existan cargas eléctricas descompensadas espacialmente (cuando no se anulen unas a otras en cada punto). Una forma gráfica de visualizar el campo eléctrico es dibujando el vector E en ciertos puntos del espacio. Por tanto. r 2 4πǫ0 r 4πǫ0 r3 (1. Este hecho particular es una propiedad del campo electrostático. tal y como se verá en temas posteriores.1)) puede reescribir como F (P ) = QE(P ) . esto es. Tal y como se ha introducido el campo eléctrico podría pensarse que este campo es únicamente un ente matemático útil para calcular la fuerza pero sin significado físico concreto.3. viniendo éste dado por E(P ) = 1 q 1 q ˆ≡ r. No obstante. No obstante. el campo eléctrico. La fuerza que ejercería la carga prueba sobre la carga fuente sería −F (principio de acción y reacción). En este sentido. Unidad de campo eléctrico: 1 N/C + + - Dpt. (1. No obstante. las líneas de campo salen de las cargas positivas y acaban en las negativas o van al infinito. las líneas de campo salen de la carga positiva y acaban en la carga negativa según el patrón que se muestra en la figura. La fuerza decrece con el cuadrado de la distancia. puede. De este modo se consigue dotar a cada punto del espacio de una propiedad vectorial tal que el producto del valor de una carga prueba situada en ese punto por el valor de dicho vector en ese punto proporciona la fuerza que ejercerá la configuración de cargas fuentes sobre dicha carga prueba. que son aquellas líneas tangentes en cada uno de sus puntos al vector campo. Física Aplicada 1 Apuntes de FFI . F -Q +q F -F +Q +q 1. es más conveniente describir el campo mediante las líneas de campo.3) donde el vector E(P ) se denomina campo eléctrico producido por las carga fuente q en el punto P . E . una positiva y otra negativa.1. a distancias cortas esta interacción crece extraordinariamente. se puede proceder calculando el efecto de cada una de las cargas fuentes sobre la carga prueba para obtener el efecto total como la suma de los efectos parciales (esto es. q . ri (1. ri (1. Apuntes de FFI Dpt. Electrostática 1. . · · · . El efecto de un conjunto de cargas sobre cierta carga prueba viene determinado por el principio de superposición. .5. F = F1 + F2 + · · · ). Q.1. Física Aplicada 1 .6) podemos concluir que el principio de superposición puede aplicarse igualmente al campo eléctrico. sobre la carga prueba. Este principio de superposición establece que La interacción entre dos cargas es completamente independiente de la presencia de otras cargas. q2 .8) Nótese de nuevo que el campo eléctrico en el punto P no depende del valor de la carga prueba que se ponga en el punto P . la fuerza que produce el conjunto de cargas fuentes.5) = qi r 2 ˆi . de modo que el campo eléctrico de una distribución discreta de cargas (q1 . qN ) en el punto P viene dado por la siguiente expresión: N E(P ) = i=1 Ei = 1 4πǫ0 N i=1 1 4πǫ0 N i=1 qi r 2 ˆi ri (1. Campo eléctrico de una distribución de carga Campo eléctrico de una distribución discreta de carga 1. Esto significa que para calcular el efecto de un conjunto de cargas fuente sobre cierta carga prueba. . q2 .7) = qi r 2 ˆi . Dicho campo refleja el efecto del conjunto de cargas pruebas en cada punto del espacio.5. . qN }. F FN r1 q1 q2 qN r2 Q F1 rN F2 Principio de superposición La ley de Coulomb describe el efecto de una única carga puntual fuente.4.6) 1. A la vista de la expresión (1. sobre la carga prueba Q situada en el punto P puede calcularse como N N i=1 F (P ) = i=1 Fi = Q 4πǫ0 N i=1 1 4πǫ0 qi Q r 2 ˆi ri (1. {q1 . De este modo.4 T EMA 1. 5. la carga total q de una distribución de carga se obtendrá como q= dq . Antes de calcular este campo. x y (3ˆ − 2ˆ ) = x y 4πǫ0 D3 4πǫ0 1. Campo eléctrico de una distribución continua de carga Aunque el carácter discreto de la materia (naturaleza atómica) es bien conocido. en multitud de situaciones prácticas. 2 2 1 1 ˆ ˆ r3 = − x + y . E(P ) = 3 X i=1 1 qi r . 2 2 r2 = 1 1 ˆ ˆ x− y . este carácter discreto puede “obviarse” y considerar que la materia puede describirse como un continuo. En este caso.1 Calcular el campo en el punto P debido al efecto de las tres cargas seña- ladas en el dibujo. donde: m = N mi ). Para calcular el campo eléctrico en el punto P aplicaremos el principio de superposición. dq .5. se considerará que la contribución de cada elemento diferencial de carga. por lo que primero debemos obtener el campo producido por cada una de las cargas.2. Esta consideración del continuo para la masa de la materia i también es extensible a su carga. por ejemplo para calcular su masa: m = dm (en vez de describir la materia como un agregado de partículas individuales. Según el dibujo adjunto tendremos que r1 = 1 1 ˆ ˆ x+ y . puede Dpt. Física Aplicada 1 Apuntes de FFI . al campo eléctrico en P . esto implica que la materia se describirá como una superposición de elementos diferenciales infinitesimales. 2 2 siendo el módulo de los tres anteriores vectores idéntico y de valor ri ≡ D = El campo en P viene dado por p 1/2 . (1. dE(P ). 3 i 4πǫ0 ri por lo que tras sustituir el valor de ri obtenido anteriormente tenemos que E(P ) = » – 1 q 1 1 1 1 1 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ( x + y) + 2( x − y) − 3(− x + y) 4πǫ0 D3 2 2 2 2 2 2 √ 1 q 2 2q = (3ˆ − 2ˆ ) .9) Para obtener el campo eléctrico producido por la anterior distribución de carga en un punto P .1. debemos identificar el vector que va desde cada una de las cargas hasta el punto de observación P . Campo eléctrico de una distribución de carga 5 Ejemplo 1. de modo que en múltiples situaciones la carga se considerará como una distribución continua. Desde un punto de vista matemático. para calcular el campo producido por las distribuciones de carga se introduce el concepto de densidad de carga. tal y como se hizo para cargas discretas en (1.6 T EMA 1. r 4πǫ0 r2 (1.12) Distribución superficial de carga σ : dq = σdS E(P ) = 1 4πǫ0 σ superficie ˆ r dS . la región de integración está extendida únicamente a la región donde existen cargas.2 Campo de un anillo de carga en los puntos del eje Con referencia en la figura adjunta. r2 (1. dE(P ) = (1.15) Ahora debemos considerar que. r2 (1. r3 (1.11) En la práctica.10) donde el vector r va desde la posición de dq hasta el punto P . r r 4πǫ0 r 2 4πǫ0 r 2 donde hemos hechos uso del hecho de que dq = λdL.13) Distribución volumétrica de carga ρ: dq = ρdV E(P ) = 1 4πǫ0 ρ volumen ˆ r dV .14) Debe notarse que en las integrales anteriores. r2 (1. superficie o longitud de dicho elemento. El campo total producido por toda la distribución de carga se obtendrá usando el principio de superposición. Ejemplo 1. cuya expresión vendrá dada por dE r dq r dq r x x r P dE(P ) = 1 dq ˆ. Física Aplicada 1 . al integrar en el anillo de cargas. que relaciona la cantidad de carga existente en cada elemento diferencial con el volumen.4). En función del carácter geométrico del elemento diferencial de carga pueden distinguirse tres tipos distintos de distribuciones de carga y expresar el campo en cada uno de los casos según: Distribución lineal de carga λ: dq = λdl E(P ) = 1 4πǫ0 λ línea ˆ r dl . cualquier componente de campo excepto aquellas que van dirigadas respecto al eje x se Apuntes de FFI Dpt. Electrostática asimilarse al campo eléctrico producido por una carga puntual de valor dq . al sumar las distintas contribuciones infinitesimales: P dE E(P ) = dE(P ) = 1 4πǫ0 1 dq ˆ≡ r 2 r 4πǫ0 dq r. el diferencial de campo en el punto P viene dado por 1 λdL 1 dq ˆ= ˆ. por lo que Ex (P ) = Z 1 xλdL dEx (P ) = .5): E r q dS Dpt. Para justificar la ley de Gauss. y teniendo en cuenta que cos(θ) = x/r podemos escribir que (1.12)-(1. Por consiguiente solo operaremos con la componente x.1.6.17) Al integrar la expresión anterior en el anillo notamos que ni x ni r variarán.14) son suficientes para calcular el campo en cualquier punto supuestas conocidas las distribuciones de carga (tal como se ha mostrado en el Ejemplo 1.4) dice que el campo en una superficie esférica de radio r centrada en la posición de la carga q puede expresarse como E = E(r)ˆ . el módulo del campo sólo depende del radio de dicha esfera y va siempre dirigido según la normal exterior a dicha esfera en cada punto (este campo presenta. Física Aplicada 1 Apuntes de FFI .21) esto es.6. dL = = 4πǫ0 r 3 anillo 4πǫ0 r 3 4πǫ0 r 3 Z (1.20) Ley de Gauss Aunque las expresiones (1.18) donde Q = λL es la carga total del anillo. Flujo. S E · dS = Qint ǫ0 (1. encerrada en el interior de la superficie S .2). 4πǫ0 (x2 + R2 )3/2 (1. considérese el campo producido por una carga puntual: r r q E E= 1 q ˆ. Ley de Gauss anularán por simetría.19) 1. r (1. por tanto. que podrá escribirse como 7 dEx (P ) = dE(P ) cos(θ) .16) dEx (P ) = 1 xλdL . este procedimiento de cálculo no es trivial incluso para los casos más simples. r 4πǫ0 r2 Es interesante notar que la expresión (1. La expresión final para el campo eléctrico en el punto x del anillo de radio R vendrá dada por E(P ) = 1 Qx ˆ x. Afortunadamente la ley de Gauss nos permitirá obtener fácilmente el campo eléctrico en una serie de situaciones con alta simetría. Flujo. 4πǫ0 r 3 (1. simetría esférica). Qint . esto es. Ley de Gauss La ley de Gauss (∼ 1867) dice que el flujo del campo eléctrico debido a una distribución de carga a través una superficie S es igual a 1/ǫ0 veces la carga total. Si se realiza la siguiente integral (ver sección A. 4πǫ0 r 3 anillo anillo Z 1 xQ 1 xλL 1 xλ = . 8 T EMA 1. En este sentido. parece razonable suponer que el flujo del campo eléctrico a través de dicha superficie sea igualmente nulo. i (1. que el flujo de un carga puntual a través de dicha superficie es S q S q En el caso de que se tenga una distribución de cargas puntuales. el flujo de la distribución a través de la superficie S es igual a la suma del flujo asociado a cada una de las cargas individualmente. se obtendrá que el flujo seguirá siendo el mismo.26) esto es. E · dS . 2 4πǫ0 r ǫ0 q Es interesante notar que el flujo Φ no depende del radio de la esfera y es igual al valor de la carga encerrada en la esfera dividido por ǫ0 .22) que se conoce con el nombre de flujo del campo eléctrico. Si se considera. entran tantas líneas como salen).22) puede escribirse para el presente caso como Φ = E(r) superf. (1. dS = E(r) × (Area esfera) (1. S . Electrostática superf. Dado que el flujo asociado a una sola carga ya fue obtenido en (1. ǫ0 Dpt. la integral (1. Física Aplicada 1 Apuntes de FFI . Teniendo ahora en cuenta que ˆ · dS = dS r (ˆ r dS) .25) Φ= S E · dS = Ei S i · dS = i S Ei · dS = Φi . para el campo producido por la carga puntual en una superficie esférica de radio r centrada en la carga q se tiene que Φ= superf. si el número de líneas de campo que atraviesa una superficie cerrada es cero (esto es. el flujo del campo eléctrico a través de estas superficies podría interpretarse como una “medida” del número de líneas de campo que las atraviesa. una esfera centrada en el mismo punto y de distinto radio. se obtiene que  q Φ= E · dS = ǫo 0 S si q ⊂ S en otro caso . r (1. E · dS = E(r) superf. Parece entonces razonable suponer que el flujo a través de cualquier superficie cerrada que incluya a la carga y comprendida entre ambas esferas concéntricas venga también dado por q/ǫ0 . Podría por tanto escribirse para una superficie cerrada arbitraria. Dado que el número de líneas de campo que atraviesa cualquiera de las anteriores superficies es el mismo. (1. Φ. ˆ · dS . por el principio de superposición.23) dado que E(r) permanece constante al integrar sobre la superficie esférica. por tanto.24) = 1 q q (4πr2 ) = .25) se puede concluir que S E · dS = Qint . según (1. Ley de Gauss donde Qint representa la carga total encerrada en el interior de la superficie S .20) es válida para cualquier tipo de distribución de carga y superficie. por lo que el flujo a través de dicha superficie.3 Calcule el flujo del campo que atraviesa la superficie S de la figura adjunta. Este hecho implica que se puede escoger como superficie de Gauss. Qint = λh y por tanto E2πRh = Dpt. cuando se pueda proceder de la siguiente manera: Φ= SG E · dS = E dS . una superficie cilíndrica cuyo eje coincida con el propio hilo. Flujo. ′ SG (1. Física Aplicada 1 λh . será Φ= = I S E · dS q1 + q2 .1. la integral del flujo se pueda realizar de modo que el módulo del campo sea constante sobre dicha superficie. 9 S Ejemplo 1. Dado que el flujo debe ser igual al valor de la carga en el interior de la superficie y ésta incluye un trozo de hilo de altura h.20). SG . ésta sólo es útil para obtener el campo en situaciones de alta simetría. De este modo se tendrá que el flujo a través de las superficies superior e inferior (tapaderas del cilindro) es nulo dado que E ⊥ dS en dichas superficies y en la superficie lateral. Para obtener este campo siguiendo la ley de Gauss notemos que debido a la simetría cilíndrica del problema puede deducirse que l S + h R dS SL ˆ E = E(R)R . En la situación mostrada en la figura.27) Ley de Gauss útil en situaciones de alta simetría Aplicaciones de la ley de Gauss Algunas de las situaciones donde es útil aplicar la ley de Gauss se detallan a continuación: Campo de un hilo recto infinito cargado. la carga en el interior de la superficie S es justamente q1 q2 q3 Qint = q1 + q2 . en aquellas partes donde el flujo sea dis′ tinto de cero (superficie que se denominará SG ).6. ǫ0 Aunque la ley de Gauss (1. Estas situaciones se dan cuando exista una superficie de Gauss. S - E · dS = SL +S + +S − SL E · dS = E(R) × SL . el módulo del campo será constante. La expresión anterior también se aplica en el caso de una distribución continua de carga. esto es. tal que. ǫ0 Apuntes de FFI . esto es. ǫ0 Debe notarse que la carga total encerrada por la superficie sólo depende del radio de esta superficie y por tanto sólo debe considerarse aquella carga en el interior del volumen de la esfera de radio r.10 T EMA 1. E = E(r)ˆ. ese punto “ve” la misma distribución de cargas). por tanto. se tiene que r dΦ = E · dS = E(r)ˆ · dS = E(r)dS r y. 2πǫ0 R Campo de una distribución uniforme esférica de carga Sea una esfera de radio R con una distribución uniforme de carga ρ. Electrostática de donde se deduce que el módulo del campo viene dado por E= λ . esto es. Eligiendo como superficie de Gauss una superficie cilíndrica como la mostrada en la figura. Con respecto a la dirección del campo. Qint = σS . esto es. E=  ρ  r  3ǫ rˆ  0      si r < R Q ˆ r 4πǫ0 r2 si r ≥ R . por simetría cualquier componente que no sea vertical es perfectamente cancelada dado el carácter infinito del plano. Física Aplicada 1 . Dado que en esta situación el campo eléctrico presenta simetría esférica. ′ Campo de un plano infinito cargado uniformemente (SG = SG ) Un plano infinito con una densidad de carga superficial uniforme σ provoca un campo eléctrico del tipo y E = E(y)ˆ . se tiene que E · dS = SL +S + +S − S+ E · dS + S− E · dS = 2ES e igualando el flujo al valor de la carga encerrada en el interior de la superficie. el flujo a través de una superficie de radio r será Φ = S dΦ = E(r) S dS = E(r) × (4πr2 ) = Qint (r) . 4 si r < R ρ 3 πr3 Qint = ρdV = ρ dV = V V A partir de los resultados de las expresiones anteriores puede fácilmente deducirse que el campo en cualquier punto viene dado por 4 ρ 3 πR3 ≡ Q si r ≥ R . se obtiene 2ES = Apuntes de FFI σS ǫ0 ⇒ E= σ 2ǫ0 Dpt. El módulo del campo no presenta dependencia respecto a las variables x y z debido a que cualquier punto con la misma coordenada y es totalmente equivalente (es decir. la circulación del campo de una distribución arbitraria de cargas presentará las propiedades (1. Física Aplicada 1 Apuntes de FFI .32) expuestas anteriormente. entre dos puntos A y B .30) U A Es interesante observar en (1. En particular la propiedad (1.33) Dado que esta magnitud se ha podido expresar como superposición de las circulaciones relacionadas con cargas puntuales.Υ E · dl . Trabajo. la integral de camino del campo eléctrico entre los puntos A y B puede calcularse.7. teniendo en cuenta el principio de superposición. Potencial eléctrico G Si se realiza la integral de camino del campo eléctrico producido por una carga puntual. energía y potencial electrostático 1. (1. (1. no depende de la altura sobre el plano y por tanto es constante en todos los puntos (puede sorprender que incluso no decrezca con la distancia).Γ q 1 q ˆ · dl = r 4πǫ0 r2 4πǫ0 B A. el campo será 11 E= σ sign(y)ˆ . Γ E · dl = 0 .31) y (1. Trabajo.1.28) Es interesante notar que el campo.1.7. energía y potencial electrostático y.Γ B E · dl = A. por tanto. se obtiene que B CA = B A. r2 (1.29) El numerador de la integral anterior puede expresarse como ˆ · dl = dl cos α = dr r y por tanto se encuentra que B CA q = 4πǫ0 rB rA q dr = r2 4πǫ0 1 1 − rA rB G B .32) Para una distribución discreta/continua de carga. a través de una curva Γ. 1. B A.32) (la circulación del campo a lo largo de una curva cerrada es nula) nos dice que Dpt. q . (1.31) La integral de camino a través de cualquier curva cerrada es nula.Γ ˆ · dl r .Γ B E r dl B A q E · dl = A. (1.30) que: La integral de camino es independiente del camino tomado para ir desde el punto A hasta el punto B . por ejemplo para y > 0. y 2ǫ0 (1. como B A B B E · dl = Ei (r) A i · dl = i A Ei (r) · dl .7. Usualmente. (1. (1. la unidad de campo eléctrico se expresa como V/m. de modo que E = −∇V .34) del potencial eléctrico se introduce simplemente para que el campo “apunte” desde puntos de mayor a menor potencial. (1. V . (1. el potencial en el punto P r vendrá dado por Potencial producido por una carga puntual V (P ) = − q 4πǫ0 q = 4πǫ0 r r ∞ q 1 dr = 2 r 4πǫ0 r r ∞ (1. r2 (1. es decir.36) Unidad de potencial eléctrico: 1 voltio (V) El signo menos en la definición (1.38) que P V (P ) = − ∞ E · dl = − q 4πǫ0 P ∞ ˆ · dl r . imponemos que el potencial en el punto O sea cero. A (1.12 T EMA 1. A partir de (1.35) Definición de diferencia de potencial entre dos puntos lo que nos dice finalmente que la diferencia de potencial entre los puntos A y B viene dada precisamente por la integral de camino del campo eléctrico desde el punto A hasta el punto B . Electrostática el campo electrostático es conservativo.37) Si. por conveniencia. tendríamos a partir de la expresión (1.1 para el gradiente de una función. Física Aplicada 1 . tomando como punto de referencia de potencial cero al infinito. esto es: Nm/C en el SI.4. podemos escribir entonces que P V (P ) − V (O) = V (P ) = − =0 O E · dl .39) Si ahora tenemos en cuenta que ˆ · dl = dr.38) Para el caso de una carga puntual. Las unidades del potencial eléctrico serán el producto de la unidad de campo eléctrico por la de longitud. Esta unidad de potencial recibe el nombre de voltio (V). B V (A) − V (B) = A E · dl .40) Apuntes de FFI Dpt.34) Esto provoca que la integral de camino del campo eléctrico entre los puntos A y B puede expresarse de la siguiente forma: B A B B E · dl = − A ∇V · dl = − dV . esto sugiere claramente que el campo eléctrico puede escribirse como el gradiente de una función escalar. Dado que las propiedades que cumple el campo eléctrico son idénticas a las expuestas en el Apéndice A.36) podemos expresar la diferencia de potencial eléctrico entre un punto cualquiera P y un punto de referencia O como O P V (P ) − V (O) = P E · dl = − O E · dl . que se denominará potencial eléctrico. 2ǫ0 2ǫ0 2ǫ0 donde se ha tomado como referencia de potencial V (0) = 0. Dpt. encontramos al aplicar (1.42) no depende del camino y. Trabajo. vendrá dado por B B WE = A. Para ello consideremos que V (P ) = 1 4πǫ0 Z Q 0 1 dq = r 4πǫ0 r Z Q dq = 0 1 Q . Para fuerzas conservativas es sabido que el trabajo realizado por dichas fuerzas puede escribirse como la variación (con signo negativo) de la energía potencial.Γ E · dl . Trabajo y Energía potencial El trabajo.38) que esta expresión se reduce a V (y) = − Z y 0 σ σ σ sign(y) dy = sign(y) y = |y| .28) para el campo producido por un plano infinito con densidad de carga σ . 4πǫ0 r donde hemos tenido en cuenta que la variable r no varía (es constante) al integrar sobre los distintos elementos diferenciales de carga. WE = − [U (B) − U (A)] = −∆U . WE . Física Aplicada 1 (1.7. se tendrá que 13 V (P ) = 1 4πǫ0 Q 0 1 dq = r 4πǫ0 ρ dV .4 Calculo del potencial eléctrico para (a) un anillo de carga en los puntos de su eje.1. que realiza el campo electrostático para mover una carga prueba puntual Q desde el punto A hasta el punto B .41) Potencial producido por una distribución de cargas Ejemplo 1. r región de cargas (1. Notemos que la expresión anterior puede también escribirse como V (x) = (b) Plano cargado infinito 1 Q √ .42) Aplicando los resultados de la sección anterior podemos ver que la integral (1. y (b) un plano cargado infinito (a) Anillo de carga en los puntos de su eje A partir de la expresión (1.41) podemos calcular el potencial producido por el anillo de carga de la figura en los puntos del eje de dicho anillo. esto es. la fuerza es conservativa. (1. por tanto. energía y potencial electrostático Para una distribución continua de carga.Γ F · dl = Q A. 4πǫ0 R2 + x2 Teniendo en cuenta la expresión (1. debido al principio de superposición y siguiendo el mismo procedimiento que para el campo.43) Apuntes de FFI . entonces podemos establecer que la energía mecánica de la carga Q en el campo electrostático se conserva. esto es. según (1. m v= (1. toma un valor de Ec (d) = por lo que la partícula adquirirá una velocidad al llegar a dicha placa dada por 1 mv 2 = qV0 . V=0 V=V0 E Ejemplo 1. la placa final puede ser sustituida por una rejilla metálica que deje pasar las partículas. entonces el campo en el interior del condensador será E= Z y 0 Dado que el potencial es la integral de camino del campo eléctrico. Electrostática Este hecho queda patente al escribir el trabajo en términos del potencial eléctrico (ver (1.46).43) que ∆Ec + ∆U = ∆(Ec + U ) = 0 .44) e identificar la energía potencial de la carga Q en el punto P como U (P ) = QV (P ) . Em .47) b) U(d)=0 Ec(d)=1/2mv2 El hecho de que una diferencia de potencial entre dos electrodos aumente la energía cinética de las cargas es usado muy a menudo para acelerar partículas cargadas. Apuntes de FFI Dpt. d y d La energía potencial. 2 r 2qV0 .36)) como WE = QV (A) − QV (B) Energía potencial eléctrica de una carga puntual (1. del sistema se define como (1. de una carga q en el interior del condensador será por tanto ” “ U (y) = qV0 1 − .5 Energía de una carga q en el interior de un condensador plano y Si entre las placas de un condensador plano se establece una diferencia de potencial V0 (ver figura adjunta). Física Aplicada 1 .14 T EMA 1. U (y). se tiene que V (y) = V0 − “ y” E(y)dy = V0 1 − . V=V0 a) V=0 U(0)=qV0 Ec(0)=0 Una partícula de carga positiva que parta del reposo (Ec = 0) en la placa del condensador a potencial V0 . Debido a la conservación de su energía mecánica. En la práctica. esto es: WE = ∆Ec . Dado que la energía mecánica. se desplazará hacia zonas de menor energía potencial a la vez que irá aumentando su energía cinética.45) Si ahora tenemos en cuenta (según el teorema de las fuerzas vivas) que el trabajo es igual al incremento de la energía cinética del sistema. la energía cinética al llegar a la otra placa. podemos escribir al igualar ∆Ec con (1.46) Em = Ec + U . (1. d E · dl = V (0) − V (y) Z y 0 y como V (0) = V0 . V0 ˆ y. en otros materiales denominados conductores.48) esto es. Este hecho puede justificarse utilizando la ley de Gauss. Conductor es equipotencial SG Qin = 0 t Dpt. el flujo del campo eléctrico a través de la misma sería proporcional a la carga encerrada. En esta sección consideraremos un modelo ideal de conductor en el cual existen infinitas cargas móviles que pueden desplazarse libremente. lo cual estaría en contradicción con la condición de equilibrio electrostático. Si existiese carga neta en el interior. el conductor es equipotencial y en particular la superficie del mismo es una superficie equipotencial.8. éste quedará cargado. Si el campo en todos los puntos del interior del conductor cargado es nulo es porque no existe carga en el interior.8. y se tiene en cuenta la definición de conductor perfecto dada anteriormente. añadiendo o quitando cargas libres al conductor. eligiendo una superficie de Gauss que la envolviese. Campo de un conductor cargado en equilibrio electrostático En general. Esto estaría en contradicción con el hecho de que el flujo debe ser cero puesto que el campo en el interior es nulo. Si el campo eléctrico es nulo en el interior del conductor. No obstante. Si el campo eléctrico no fuese nulo en el interior del conductor daría lugar a movimientos de las cargas libres. (1. No obstante. Conductores en equilibrio en el campo electrostático Es bien conocido que la materia está formada por partículas elementales cargadas y neutras.8. 1. los conductores aparecen de forma natural como sistemas neutros (igual número de cargas negativas que positivas). En ciertos materiales llamados dieléctricos.1. Si se define equilibrio electrostático como aquella situación en la que todas las cargas libres están en reposo. Por tanto. Conductores en equilibrio en el campo electrostático 15 1. al calcular la integral de camino del campo entre dos puntos A y B en el interior del conductor obtenemos que B A Eint · dl = V (A) − V (B) = 0 ⇒ V ≡ Cte . Dicho modelo se denominará conductor perfecto. Las partículas de carga positiva (protones) forman parte de los núcleos de los átomos y por consiguiente están fijas en promedio en los sólidos. la carga en exceso debe localizarse en la superficie. La carga en exceso se localiza en la superficie del conductor. Física Aplicada 1 Apuntes de FFI . podemos derivar las siguientes conclusiones acerca del campo eléctrico: El campo eléctrico es nulo en el interior del conductor.1. algunos de los electrones no están ligados a átomos en particular sino que forman una especie de “gas de electrones” que vaga por todo el sólido. las cargas negativas (electrones) pueden considerarse igualmente fijas. El campo eléctrico en la superficie es normal a ésta y de valor σ/ǫ0 . Apuntes de FFI Dpt. V (A) − V (B) = Z B A E · dl = 0 . se daría la misma redistribución de carga en la superficie exterior del conductor y.+ + .1 Esto quiere decir que para un conductor con un hueco. se tiene que ∇V · dl = 0 . el 1 Una manera alternativa de comprobar que el campo es nulo en el interior pasa por notar que la integral de camino del campo eléctrico entre dos puntos arbitrarios. provocando así la anulación punto a punto del campo total en el interior.- - . Electrostática Dado que el potencial es constante en todo el conductor. Es más. situados en la superficie interna del hueco será nula. Es interesante observar que el proceso de redistribución de carga fruto del equilibrio electrostático puede considerarse como si ocurriese únicamente en la superficie.2. se tiene que Eint=0 S- E · dS = Qint ǫ0 σ∆S . dado que dV = ∇V ·dl (ver Apéndice A. ES es perpendicular a dl y.49) Si se aplica ahora la ley de Gauss a una superficie en forma cilíndrica tal como muestra la figura. para dos puntos cercanos A y B sobre la superficie se verificará que E dV = l´ [V (A) − V (B)] = l´ ∆V = 0 ım ım A→B A→B y por tanto.+ + Si un conductor inicialmente descargado (esto es. el campo seguiría siendo nulo en todo el interior del conductor. por tanto. puesto que dl es tangente a la superficie. E∆S = ǫ0 σ ˆ n. (1.+ 1. debido a que dicha superficie es una equipotencial. Física Aplicada 1 . A y B . E S + lo que claramente implica que el campo en la superficie.8.3. podemos concluir que ˆ ES = E n.50) Eext + + + Eint=0 + + .16 T EMA 1. La única manera de que se verifique la anterior expresión para puntos arbitrarios es que el campo eléctrico en el interior del hueco sea nulo. con una compensación perfecta de cargas eléctricas positivas y negativas) se somete al efecto de un campo eléctrico externo.1). incluyendo al hueco. ǫ0 de donde obtenemos finalmente que ES = (1. (Este proceso ocurre típicamente en un tiempo del orden de 10−14 s para un conductor de cobre. + Conductor neutro en un campo eléctrico externo Eext .) La redistribución de la carga provoca la aparición de una densidad superficial inhomogénea de carga que a su vez da lugar a un campo en el interior del conductor que anula justamente al campo externo. sin que eso implicase cambio alguno en el interior del conductor. con la consiguiente aparición de un hueco.+ + + + + Eint=0 + + . si parte del material conductor del interior es extraído. la carga móvil del conductor se redistribuye de manera que se establezca la condición de equilibrio electrostático Eint = 0. Este fenómeno se usa para diseñar jaulas de Faraday que aíslen los sistemas eléctricos. por ejemplo. siendo C un parámetro puramente geométrico y que. Condensadores interior está completamente aislado del exterior y. 1 voltio Unidad de capacidad: 1 faradio(F) Dpt. Una simple carcasa metálica (o un plástico conductor) aislaría.1. en consecuencia. P ∈ S. Física Aplicada 1 Apuntes de FFI . los campos del exterior no afectarían a un dispositivo sensible al campo eléctrico (por ejemplo. Q −→ Q′ = βQ ⇒ σ(S) −→ σ ′ (S) = βσ(S) y por tanto V −→ V ′ = βV .1. C . definida en el sistema internacional como 1 culombio 1 faradio = . cuyo valor viene dado por la siguiente integral: V (P ) = 1 4πǫ0 σdS .52) Capacidad de un conductor La capacidad del conductor determina la carga que “adquiere” éste para un potencial dado: a mayor capacidad mayor carga. es razonable suponer que ello simplemente se traduzca en un aumento proporcional de la densidad superficial de carga. Q βQ Q′ = ′ ≡ .9. por tanto. si se aumenta la carga total. los sistemas electrónicos del interior de un ordenador con respecto a posibles influencias eléctricas externas. esta carga se redistribuye en la superficie del conductor creando una densidad de carga superficial σ y consecuentemente un potencial. circuitos electrónicos) situado en el interior del conductor. Esta magnitud se conoce como capacidad. el cociente entre la carga y el potencial es el mismo. V . V V βV lo que implica que la relación entre la carga y el potencial es una magnitud independiente de Q y V . esto es. Q = σdS . V (1. del conductor y se define como C= Q . La unidad de capacidad es el faradio (F). En la situación descrita anteriormente.9.51) Por el principio de superposición. r (1. Capacidad de un conductor Si se añade cierta carga Q a un conductor inicialmente descargado. sólo depende de la forma del conductor. Condensadores 1.9. 17 1. 1. dando lugar todo este proceso a la aparición de una carga neta −Q en dicho conductor. al aplicar la ley de Gauss a una superficie esfér rica concéntrica con el conductor se obtiene que I E(r) I E · dS = Q ǫ0 Q .+ Si un conductor cargado con una carga Q. Todas las líneas de campo que parten de un conductor acaban en el otro. Esta redistribución es consecuencia del establecimiento de la condición de equilibrio electrostático en ambos conductores (Eint = 0). que suponemos positiva. por consiguiente.2. V (1. Influencia entre conductores + + + + - + - + - + . el campo en el exterior del conductor será del tipo E = E(r)ˆ y.55) El potencial en un punto arbitrario se obtiene como V (r) = Z ∞ dr Q E · dl = 4πǫ0 r r 2 r » –∞ Q 1 Q = − . la capacidad del conductor sería C ≈ 111 × 10−12 F ≡ 111 pF .+ . Electrostática Ejemplo 1.57) Como puede verse.+ - + Apuntes de+ FFI - - + + Dpt.9. (Esta situación se encuentra estrictamente en la práctica cuando un conductor está encerrado en el interior de otro).18 T EMA 1. Si el radio de la esfera fuese R = 1m. el potencial será simplemente V (R) = y la capacidad: Q 4πǫ0 R (1. suben tantos electrones desde tierra como sean necesarios para compensar las cargas positivas. Si la superficie exterior del conductor neutro se conecta a tierra (almacén infinito de cargas libres).53) (1.56) C= Q = 4πǫ0 R . r 4πǫ0 r 2 (1. Dos conductores en influencia total ++++- + + + + ++ + + + + + + + + + ++ - . la capacidad sólo depende de la geometría (el radio) de la esfera conductora. se introduce en el hueco interior de otro conductor inicialmente descargado. ǫ0 (1. esto origina una redistribución de cargas en el conductor inicialmente neutro (ver figura).54) dS = E(r)4πr 2 = de donde se obtiene que el campo en el exterior del conductor es E= Q ˆ. La situación anterior se conoce como influencia total dado que los dos conductores tienen la misma carga pero de signo contrario.6 Capacidad de un conductor esférico de radio R Por simetría esférica. Física Aplicada 1 Condensador: sistema de dos conductores en influencia total . = 4πǫ0 r r 4πǫ0 r Z ∞ por lo que en la superficie de la esfera. en el caso de dos planos infinitos cargados con distinta polaridad. por superposición se tiene que -Q Q E(Q) E(Q) E(Q) E(-Q) y E(-Q) E(-Q) Obsérvese que el campo eléctrico es uniforme en el interior del condensador y nulo fuera de éste. (1.1. 4πǫ0 R1 R2 R1 La capacidad del sistema viene entonces dada a partir de (1.58) por C = 4πǫ0 R1 R2 .28) para el campo producido por un plano cargado uniformemente. Teniendo en cuenta la expresión (1. por tanto. éstas se modelarán por dos planos infinitos cargados. Física Aplicada 1 Apuntes de FFI .60) Dpt. definiéndose la capacidad de un condensador como 19 C= Q . dado que R1 R2 > R1 . Algunos ejemplos típicos de condensadores se presentan a continuación: Condensador esférico Para calcular la diferencia de potencial entre los dos conductores esféricos se parte de la expresión del campo en la zona intermedia entre los dos conductores.9.59) Es interesante notar que la capacidad del condensador esférico puede llegar a ser mucho más grande que la de un conductor esférico del mismo tamaño. donde E= y por tanto: R2 Q ˆ r 4πǫ0 r2 R2 ∆V = R1 E · dr = R2 Q 4πǫ0 = R2 R1 dr r2 = Q 1 − 4πǫ0 r R1 Q R2 − R1 .58) donde Q es el valor de la carga en módulo de cualquiera de los dos conductores y ∆V es la diferencia de potencial en módulo existente entre los dos conductores. este condensador se tratará suponiendo que las dimensiones de dichas placas son mucho mayores que la distancia entre ellas y. R2 − R1 (1.  σ y ˆ E = ǫ0 0 si 0 < y < d en otro caso . R2 − R1 Condensador de placas paralelas Para calcular la diferencia de potencial entre las placas paralelas. ∆V (1. El condensador plano suele usarse generalmente para producir campos uniformes e intensos. Condensadores forman un sistema que se conoce como condensador. papel.61) Puesto que la carga de cada uno de las placas finitas viene dada por Q = σS . 1. Campo eléctrico en la materia Eex t=0 -+átomo neutro + átomo polarizado E ext Hasta ahora sólo hemos venido estudiando los diferentes fenómenos electrostáticos en el vacío o bien en conductores perfectos. la capacidad del condensador de placas paralelas será muy aproximadamente Capacidad de un condensador de placas paralelas σS S C = σ = ǫ0 . No obstante. ǫ0 (1. plástico. Esta carga originará un campo eléctrico Ep que al superponerse al campo original E0 Apuntes de FFI Dpt. es decir los átomos/moléculas constitutivos del medio material pueden polarizarse. por ejemplo.. Para introducir el efecto de un posible medio material no conductor en esta ley. al estudiar. d d ǫ0 (1..60) entre una y otra placa. 1. entonces aparecerá un cierto campo E0 entre las placas del condensador.62) 1.1(b). agua. Este fenómeno de polarización dará lugar a un nuevo campo eléctrico de polarización que se opondrá al campo original. Dado que el campo eléctrico es uniforme. el centro de las cargas negativas puede desplazarse con respecto al de las positivas. bajo la influencia de un campo eléctrico externo. Este campo eléctrico provocará la polarización de los átomos del material dieléctrico dando lugar a una situación microscópica tal como la descrita en la Fig.. El mismo efecto global anterior se produciría igualmente en un condensador plano. Física Aplicada 1 . Si ahora este condensador es cargado con una carga Q0 en una placa (y −Q0 en la otra). Observemos que en el interior del material dieléctrico las cargas positivas y negativas se compensarán mutuamente. donde se observa experimentalmente que la introducción de un material dieléctrico homogéneo e isótropo entre sus placas aumenta la capacidad de dicho condensador en cierta constante que depende exclusivamente del material. Para entender este efecto observemos el condensador descargado de la Fig. entre cuyas placas se ha colocado cierto material dieléctrico (madera.1(a). manifestándose este efecto globalmente en que el campo original queda parcialmente reducido. debemos considerar que estos medios denominados dieléctricos (ver Apartado 1. el campo creado por una carga puntual en el Apartado 1. En este sentido. Electrostática Para calcular la diferencia de potencial entre las placas del condensador. puede escribirse que d -Q Q ∆V = 0 E · dl = Ed = σ d. como si fuese originado por una carga puntual de menor cuantía.8) están formados for átomos/moléculas neutros eléctricamente donde el centro de las cargas positivas (protones) coincide con el de las cargas negativas (electrones).10. quedando sin embargo una carga descompensada de valor Qp justamente en los extremos del material adyacentes a las placas del condensador. se procede realizando la integral de camino del campo eléctrico dado por (1.).3 suponíamos que no existía medio material alguno en el espacio que rodeada a la carga puntual.20 T EMA 1. que vendrá ahora dada por V = Ed = V0 . globalmente. no en las placas). cuyo modulo puede expresarse como E= E0 .1: (a) Condensador descargado entre cuyas placas existe un material dieléctrico.) (b) Condensador cargado con una carga Q0 que es contrarrestada por una carga Qp proveniente de la polarización de los átomos constituyentes del dieléctrico. podemos observar que al introducir el material dieléctrico se reduce el valor del campo entre las placas del condensador y. da lugar a un nuevo campo E . también se reducirá la diferencia de potencial entre las mismas. sin material dieléctrico entre sus placas) venía dada por C0 = S Q0 = ǫ0 .66) Dpt. Si la capacidad del condensador de placas paralelas en vacío (es decir. ǫr (1.63) donde ǫr es una constante adimensional positiva mayor que la unidad (ǫr ≥ 1) que dependerá del material y que denominaremos permitividad relativa del material. Campo eléctrico en la materia 21 (a) d (b) Q0 + + + + E0 + + + + + + + + + + + + + + -Q0 S + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + -Qp Ep Qp Figura 1. Física Aplicada 1 Apuntes de FFI .64) Dado que la introducción del dieléctrico no modifica la cantidad de carga inicial depositada en las cargas (la carga en el dieléctrico aparece en los bordes de éste.1.65) explicándose así el aumento de capacidad del condensador observado experimentalmente. Observemos además que. = V V0 /ǫr d (1. en consecuencia. el efecto de introducir el material dieléctrico homogéneo e isótropo ha quedado reflejado en la sustitución de ǫ0 ←→ ǫr ǫr (1. V0 d (siendo V0 = E0 d la diferencia de potencial entre las placas). (Las esferas representan los átomos neutros constituyentes del dieléctrico. tenemos que la capacidad del condensador con dieléctrico será C= S Q0 Q0 = ǫr C0 = ǫ0 ǫr .10. ǫr (1. 11. Electrostática en la expresión de la capacidad. obteniéndose siempre que las expresiones obtenidas anteriormente para el vacío quedan simplemente modificadas por la sustitución de la permitividad dieléctrica del vacío por la correspondiente permitividad dieléctrica del material. (1. es la permitividad dieléctrica del material.67) Permitividad dieléctrica ǫ = ǫ0 ǫr .68) Evidentemente ǫ ≥ ǫ0 .22 T EMA 1.3) en función del campo eléctrico. d (1. planteemos la siguiente cuestión: ¿cuál es el trabajo mínimo necesario para mover una carga prueba puntual Q desde un punto A a un punto B ?. el aire se comporta como el vacío puesto que tiene una permitividad relativa muy próxima a la unidad. La respuesta a esta pregunta viene dada por la integral de camino de la fuerza externa ejercida sobre la carga entre ambos puntos. dl B En una región del espacio donde existe un campo E .9 2. esto es.7 7 5. siendo la permitividad de algunos materiales usuales la siguiente: Permitividad relativa 1 1.55 Material Vacío Aire Agua (200 C) Papel Porcelana Vidrio Neopreno Poliestireno Podemos observar que.6 6. 1. B W = A Fext · dl . (1. De este modo podemos escribir que la capacidad de un condensador de placas paralelas viene dada por C =ǫ donde S . la fuerza externa mínima que debemos ejercer nosotros para poder desplazar la carga deberá ser justamente Fext = −QE y.00059 80 3.70) Dpt. el trabajo será B W = −Q Apuntes de FFI A E · dl = Q [V (B) − V (A)] . Energía Electrostática Trabajo para trasladar una carga puntual E A 1.1. (1.69) Dado que la fuerza que ejerce el sistema de cargas sobre la carga prueba es de tipo electrostático y puede expresarse según (1.11. Física Aplicada 1 . La anterior discusión sobre la inclusión de dieléctricos homogéneos e isótropos podría extenderse al estudio de otras magnitudes y situaciones. por tanto. a efectos prácticos. es independiente del camino debido a las propiedades de la integral de camino del campo eléctrico. de modo que ambas placas se van cargando dando lugar a la aparición de un campo eléctrico entre las placas y.70) para el trabajo puede identificarse con el incremento de la energía potencial.74). obviamente. el trabajo que debemos realizar para situar la partícula en el punto P puede expresarse como W = Q [V (P ) − V (∞)] = QV (P ) .75) Apuntes de FFI . esto es: dW ≡ dU . V (q) = q/C . En el caso de que la partícula venga desde el infinito (donde usualmente se supone que está el origen cero de potencial). entonces el trabajo diferencial podrá expresarse como - Bateria +q V(q) E -q - + dW = qdq . de modo que Q W ≡ ∆U = Dpt. (1. del sistema.71) este trabajo equivale justamente al aumento de la energía potencial electrostática del condensador. consecuentemente. el trabajo total realizado (o equivalentemente el aumento total de la energía potencial del sistema) se obtendrá al integrar la expresión (1. Para aumentar en un dq la carga sobre el condensador. Para cargar el condensador con una carga final Q.73) Si ahora consideramos que ∆V ≡ V (q). a una diferencia de potencial.74) Según (1.45).71) Es interesante observar que la expresión (1.70) ofrece la posibilidad de interpretar la diferencia de potencial entre dos puntos como el trabajo por unidad de carga que debemos ejercer para desplazar una partícula cargada entre dichos puntos. Teniendo en cuenta la definición de energía potencial dada en (1.11. es decir 23 W = ∆U . C (1. C 2 C (1. (1.72) 1. (1. En el proceso de carga de un condensador plano (inicialmente los dos conductores son neutros). el efecto de la batería conectada a las placas del condensador será el de extraer carga negativa de una de las placas y transferirla a la otra.70) (adaptando la expresión válida para cargas puntuales a cargas diferenciales) podrá expresarse como dW = dq∆V . ∆U . la batería debe realizar un trabajo diferencial que a partir de (1. Energía Electrostática que. Física Aplicada 1 0 1 Q2 q dq = . Energía almacenada en un condensador de placas paralelas Para obtener una expresión general de la energía electrostática de un sistema arbitrario de cargas se analizará el caso particular del proceso de carga de un condensador de placas paralelas para después generalizar (sin demostración) las expresiones que se obtengan a cualquier sistema.1.2. que va creciendo en el proceso.11. la expresión (1. la energía alcanza cierto valor. podemos identificar esta ganancia de energía potencial con la energía electrostática del sistema. En consecuencia. por lo que podemos escribir que UE = 1 1 1 Q2 = CV 2 = QV .76). (1. 2 C 2 2 (1. como del campo eléctrico.78) de la expresión (1.24 T EMA 1. Estas dos expresiones dan cuenta de la posible ambigüedad que encontramos al definir dónde se almacena la energía potencial del sistema.79) Es interesante observar que la energía electrostática del condensador plano puede expresarse tanto en términos de la carga. Física Aplicada 1 . expresión (1. se encontró que V = Ed y C = ǫ0 S . al estudiar la energía asociada a una onda electromagnética. Electrostática Dado que el aumento de la energía potencial del sistema es precisamente la energía almacenada en el condensador.76) En el caso particular del condensador plano. Por tanto. Aunque considerar que la energía está en el campo pudiera parecer “extraño”. la energía electrostática en esa región del espacio era cero y después.77) estaría asociada al campo eléctrico. 2 (1. expresión (1. 2 (1. 2 2 (1.77). cuando se ha establecido un campo eléctrico. esta energía estaría almacenada en las cargas y según la expresión (1. la energía electrostática de un sistema puede escribirse como Energía electrostática UE = todo el espacio ǫ0 E 2 dV . d por lo que al introducir estas expresiones en (1. UE .77) Si se define la densidad de energía en un campo electrostático. Aunque el resultado (1. como dUE = uE dV . Según la expresión (1. uE . parece congruente asociar la energía potencial electrostática con la presencia del campo eléctrico.76) obtendremos UE = = 1 S 1 CV 2 = ǫ0 E 2 d2 2 2 d 1 1 ǫ0 E 2 Sd = ǫ0 E 2 V . esta concepción es la más conveniente para situaciones más generales2 .76). Antes de que existiera campo eléctrico entre las placas. Apuntes de FFI Dpt.79) se ha obtenido para un caso particular. cálculos más elaborados demuestran que este mismo resultado coincide con la expresión general válida para la densidad de energía electrostática de cualquier sistema cargado.80) 2 Por ejemplo.77) se deduce que la densidad de energía eléctrica en el condensador plano viene dada por uE = 1 ǫ0 E 2 . 3) a lo largo de la dirección dada por la recta que pasa por dicho punto y por el punto (3. √ Sol. z se expresan en metros y V en voltios. 0) = [q/(2πǫ0 )]y(y 2 + a2 )−3/2 y. Determinar: a) la fuerza que actúa sobre una Y -q q L L q X -q Dpt. Felect = 9. Problemas propuestos 1. por lo que el volumen diferencial dV = (dV/dr)dr puede escribirse como dV = 4πr 2 dr .97 ×10−37 N.80) debemos calcular dV . R Antes de calcular la energía de este sistema aplicando la expresión (1. 1. Sol. b) el trabajo que realizaría el campo sobre una carga puntual q = 2 C que se desplazase desde el punto (1.0) L. se encuentran dispuestas en los vértices de un triángulo. 1. 0) y (0. h) q x (l/2. 1. donde x. b) Demostrar que el campo eléctrico total en el punto medio de cualquiera de los lados del cuadrado es paralelo al lado considerado.5. q . √ x ˆ Sol. y) = Kq[2((l/2)2 + y 2 )−1/2 + (h − y)−1 ].0) (0. h). E(0.1. ˆ Sol.: a) F = [q 2 /(4πǫ0 L2 )](1 − 1/ 8)(ˆ + y) N. 3). 1. 1.1: Calcule la fuerza de repulsión electrostática entre dos partículas α (cada partícula α está compuesta por dos protones) y compárela con la fuerza de atracción gravitatoria entre ellas. Problemas propuestos 25 E Ejemplo 1.5: Las cuatro cargas del dibujo están dispuestas en los vértices de un cuadrado de lado y q q (-l/2. Fgrav = 2. b) −22 J. 3. y. a) Hallar el valor. Sol. como se indica en la figura. Calcúlese: a) el campo eléctrico y el potencial generado por las tres cargas en puntos del segmento que une los puntos (0. b) F = Kq 2 2h[(l/2)2 + h2 ]−3/2 y.3: Dos cargas puntuales iguales de valor q están situadas en los puntos (−a. La energía de la esfera conductora de radio R será por tanto UE = todo el espacio Z ǫ0 E 2 ǫ0 Q2 dV = 2 2 16π 2 ǫ2 0 Z ∞ R Q2 4πr 2 dr = 4 r 8πǫ0 Z ∞ R dr r2 = 1 Q2 1 Q2 = .7 Energía electrostática de una esfera conductora. Calcular el potencial y el campo eléctrico debido a dichas cargas en los puntos del eje Y . El módulo del campo en el exterior de la esfera conductora con carga Q viene dado por r Q q E(r) = Q 4πǫ0 r 2 r≥R.0). E(0. 0. 0) y (a.12.6: El potencial electrostático en cierta región del espacio está dado por V = 2x2 −y 2 +z 2 . 2. sentido y dirección de la fuerza ejercida sobre la carga situada sobre el vértice inferior izquierdo por las cargas restantes. 3) hasta el (3. 0) = [q/(2πǫ0 )](y 2 + a2 )−1/2 . está dirigido hacia la carga negativa vértice de dicho lado y su valor es E = [2q/(πǫ0 L2 )](1 − √ 5/25) N/C.4: Tres cargas puntuales de igual valor. y .: a) 22 N/C. y) = Kq[2y((l/2)2 + y 2 )−3/2 − ˆ ˆ (h − y)−2 ] y.12. 0. 0). h). E = 106 N/C. Sol. b) la fuerza ejercida por las dos cargas que se encuentran sobre el eje X sobre la carga situada en (0.18 ×10−2 N. 1. Determinar: a) la componente del campo eléctrico en el punto (1. Física Aplicada 1 Apuntes de FFI . 2. Para ello tengamos que cuenta que dado el volumen total de una esfera de radio r viene dado por V = 4/3πr 3 .: a) V (0.7: Sobre los planos x = 0 y x = 4 existen densidades de carga de valor σ1 = 10−8 C/m2 y σ2 = −10−8 C/m2 respectivamente. y.: V (0.2: ¿Cuál es el valor del módulo del campo eléctrico en un punto situado a 30 cm de una carga puntual de 10 µC. 2 4πǫ0 R 2 C 1. 86 nC. V (r) = −Ar 3 /(12ǫ0 ) + AR3 /(3ǫ0 ). d) la diferencia de potencial entre los puntos (b.0).: a) W = [qλ/(2ǫ0 )]{1 − R(R2 + a2 )} . 0) = [λ/(2ǫ0 )]R(z 2 + R2 )−1/2 . 2b). c) W = [qλ/(2ǫ0 )]{R(R2 + a2 ) − 1} 1.26 T EMA 1.10: Un esfera no conductora de radio R tiene una densidad volumétrica de carga ρ = Ar . r < R: E = 0. r > R: E(r) = Q/(4πǫ0 r 2 )ˆ. en los puntos siguientes: a) centro del anillo cargado positivamente.: a) 36π · 10−11 x N. b. 0) y (2b.0) y (8. Sol.12: Determinar el potencial y el campo eléctrico en el eje de un anillo circularde radio R con una densidad de carga lineal uniforme λ que está situado en el plano XY y tiene su centro en el origen de coordenadas.0. b) Esfera no conductora de radio R con densidad volumétrica de carga uniforme de valor ρ (nota: elegir potencial cero en el infinito en ambos casos).11: Demuestre que el campo eléctrico fuera de un conductor cilíndrico rectilíneo de radio R.0. b) si r ≤ a E = 0 . V (r) = Q/(4πǫ0 r). Apuntes de FFI Dpt. z l R a -l 1. b. 1. b) punto del eje equidistante de ambos anillos. 1. V (r) = R3 ρ/(3ǫ0 r).0. Sol. ¿Qué carga tiene esta gota? Sol.0). 2b.14: Un cilíndrico de longitud infinita y radio b con una cavidad cilíndrica en su interior de radio a posee una densidad volumétrica de carga ρ. 0). así como la componente de dicha fuerza en la dirección dada por el unitario n = √ √ √ (1/ 3. r 1. b) el campo eléctrico y el potencial en cualquier punto del espacio (nota: elegir potencial cero en el infinito). Sol. q . b) ¿Cuánto trabajo realizaríamos para carga el anterior condensador con una carga de 10−3 C ?. Hallar el trabajo que hay que realizar para situar una carga prueba. c) 1080π V. Sol. d) V (b. 1. b) Si la anterior carga es compartida con otra esfera conductora aislada de radio R2 = 5 cm de radio (ambas son conectadas mediante un fino hilo conductor). Sol.5 × 10−4 g está situada en el interior de un condensador de placas plano-paralelas de área 175 cm2 .6V. Calcúlese: a) la carga total del cilindro por unidad de longitud.15: a) ¿Cuál es la capacidad de un sistema de dos placas plano-paralelas de área 1 mm2 separadas 1 mm?. según se indica en la figura.: a) C = 8. c) F = 5. longitud infinita y densidad de carga superficial σ es equivalente al campo debido a una línea infinita cargada con la misma cantidad de carga por unidad de longitud (es decir. V1 = V2 ≈ 336. Determinar: a) la carga total de la esfera. V = Q/(4πǫ0 R).9: Determinar el campo eléctrico y el potencial en todos los puntos del espacio en dos casos: a) Esfera conductora de radio R y carga Q. 0) = [λ/(2ǫ0 )]Rz(z 2 + R2 )−3/2 ˆ. r Sol. 1. 1/ 3). la gota de aceite permanece estacionaria. b) r > R: E(r) = R3 ρ/(3ǫ0 r 2 ) ˆ. 2b. E(0. ¿cuál será la carga y el potencial final en cada esfera conductora?. Electrostática carga puntual q = 1 pC situada en el punto (1. b) W = 62.0). c) centro del anillo cargado negativamente (nota: en los tres apartados. suponer que la carga q se trae desde el infinito al punto considerado). ˆ Sol.: a) Q = 5.43 ×10−13 C. 2b) = (b2 − a2 )ρ 2ǫ0 (r 2 − a2 )ρ ˆ .: V (0. b) W = 0. c) la fuerza sobre una carga puntual. b) el campo eléctrico en todos los puntos del espacio. z. 1/ 3. Física Aplicada 1 . c) F = ˆ (1. situada en el punto de coordenadas ˆ (b. b) r ≤ R: E(r) = Ar 2 /(4ǫ0 )ˆ. Q = 8. V (r) = r r ρ(R2 − r 2 /3)/(2ǫ0 ). si a < r ≤ b E = E= (b2 − a2 )ρ q(b2 − a2 )ρ q(b2 − a2 )ρ ˆ.5 ×10−7 C. si r > b r 2rǫ0 1. Cuando la placa superior tiene una carga de 4. c) la d. entre los puntos (1. b) 72π · 10−11 J. r < R: E(r) = rρ/(3ǫ0 ) ˆ. V (r) = Q/(4πǫ0 r). b) el trabajo realizado por el campo para transportar dicha carga hasta el punto (3. 2rǫ0 4ǫ0 b 2 3ǫ0 b ln 2 . r Sol: a) Q = πAR4 .16: a) ¿Qué cantidad de carga será necesario añadir a una esfera conductora aislada de radio R1 = 10 cm para que ésta alcance un potencial de 500 V?.6 ×10−9 C.13: Dos anillos circulares de radio R coaxiales y con sus centros separados una distancia a están cargados con densidades de carga lineal λ y −λ respectivamente. 1. b) Q1 = 3.65 ×104 N. b.d. c) ¿Cuál sería la fuerza entre las placas?.p. 0) − V (2b.: a) r > R: E(r) = Q/(4πǫ0 r 2 ) ˆ.05 nF. Q2 = 1. q . 1. z. 0).1 J.2. donde A es una constante y r la distancia al centro de la esfera. si λ = 2πRσ).74 nC.: a) π(b2 − a2 )ρ . Fn = √ r n.8: Una gota de aceite cargada de masa 2. 1. a) ¿Cuál es la capacidad equivalente entre los puntos a y b?. 27 C0 a C0 C0 C0 b a) er1 S/2 er2 S/2 d b) S er1 er2 d d Dpt.19: Se consideran los condensadores planos esquematizados en la figura.2 /(ǫr. b) C = C0 ǫr.17: Cinco condensadores idénticos de capacidad C0 están conectados en un circuito puente tal como indica la figura.: a) Cequiv = 2C0 . Sol.12.854 × 10−12 F/m). W = 5 × 10−5 J.427 × 10−8 J/m3 . b) ρE = 4.: a) C = C0 (ǫr. Problemas propuestos C0 1.2 ).1 + ǫr.1 + ǫr. siendo en ambos casos C0 = ǫ0 S/d. Compárese con el trabajo calculado en el apartado a) (Dato: ǫ0 = 8. Determínese: a) la carga acumulada y el trabajo que fue necesario realizar.18: Un condensador de 1 µF se ha cargado a 10 V. Sol. Física Aplicada 1 Apuntes de FFI .: a) Q = 10 µC. c) W = 15 × 10−5 J.1 ǫr. b) Cequiv = 11C0 . 1. b) la densidad de energía eléctrica en el interior del condensador sabiendo que puede asimilarse a un condensador ideal de placas plano paralelas separadas una distancia de 10 cm. b) Calcular la capacidad equivalente si la capacidad entre a y b cambia ahora a 10C0 . 1. c) el trabajo necesario para aumentar la carga del condensador al doble de la que posee. Sol.2 )/2. Determinar la capacidad de cada uno de ellos. . que serán deducidas en este tema como una consecuencia de un análisis de campos. dan lugar a una corriente eléctrica. de la misma manera que moléculas de agua en movimiento dan lugar a una corriente de agua. Tras la deducción de estas reglas. provocando que. tanto por su importancia propia en la tecnología actual como por ser un primer paso para el estudio y comprensión de los circuitos electrónicos más complejos. 29 . se discutirá el concepto de fuerza electromotriz. En función del tipo de movimiento que lleven las cargas se clasificará la corriente eléctrica en corriente continua y corriente alterna. en general. la distribución de cargas permanece invariable en el tiempo. todavía se pueda seguir aplicando la Electrostática.1. cuando los electrones en un cable se mueven a velocidad constante)1 . a pesar de que las cargas se muevan. en particular. se hablará de las fuentes de alimentación de estos circuitos y. La corriente continua es aquélla en la que el flujo de cargas permanece invariable en el tiempo (por ejemplo. Introducción En el tema anterior se ha introducido la Electrostática como el estudio de la interacción entre cargas en reposo.Tema 2 Circuitos de Corriente Continua 2. cabe señalar que.Cuando el flujo de cargas varía en el tiempo. el movimiento conjunto de estas cargas se conoce como corriente variable en el tiempo. o lo que es lo mismo. 1 Es interesante notar que si el flujo de cargas permanece invariable en el tiempo (corriente continua). la Electrostática puede aplicarse a situaciones en las que la distribución de cargas permanece invariable en el tiempo. El objetivo final del presente tema será el análisis de los circuitos de corriente continua. un flujo de partículas cargadas. No obstante. Estas cargas en movimiento. El estudio de las cargas en movimiento se iniciará en el presente tema. Los circuitos de corriente continua se resuelven a partir de las reglas de Kirchhoff. las cargas del interior del conductor generalmente no generan campo eléctrico dado que existe una compensación precisa entre cargas positivas y negativas. esto implica que la carga por unidad de tiempo que atraviesa cualquier superficie no aumenta ni disminuye y. por tanto. y si este flujo varía temporalemente de forma armónica entonces se denomina corriente alterna. No obstante. que atraviesa el área ∆S (la carga por unidad de tiempo que atraviesa la superficie completa será I ). (2. La carga que atraviesa el elemento de área ∆S por unidad de tiempo ∆t. donde vd es el módulo de la velocidad de desplazamiento de las partículas cargadas. siendo por tanto l = vd ∆t. Q. ∆I . Esta magnitud se define como Intensidad de la corriente I= dQ . dt (2. ∆t Dpt. En esta figura se muestra la contribución a la corriente.5). Este hecho sugiere la conveniencia de expresar la intensidad como el flujo de cierto vector (ver Apéndice A. Supuesto que existen n partículas cargadas móviles por unidad de volumen y que la carga de cada una de las partículas es q (luego la carga por unidad de volumen es nq ). consideraremos la situación mostrada en la figura adjunta. representando el módulo de esta magnitud la cantidad de carga que pasa por unidad de superficie y por unidad de tiempo a través de un elemento de superficie perpendicular al flujo. que se denominará vector densidad de corriente J . Física Aplicada 1 . la carga total por unidad de tiempo. La unidad de intensidad de la corriente eléctrica es el amperio (A) definido como Unidad de intensidad: 1 amperio (A) 1amperio = 1 culombio 1 segundo . 2. 1 A = 1 C/s . Circuitos de Corriente Continua Finalmente se presentará un método de análisis de circuitos lineales denominado análisis de mallas.2) Evidentemente las unidades de J son de intensidad partido por superficie. se tiene que ∆Q = nq∆V = nq∆Svd ∆t . de la parte de carga. Para obtener una expresión explícita del vector densidad de corriente en función de las características del flujo de partículas cargadas. S J dS La definición de la intensidad de corriente como el ritmo temporal con que la carga atraviesa cierta superficie S establece una dependencia de esta magnitud con el flujo de carga a través de cierta superficie que debe especificarse. Intensidad y densidad de corriente (vector J ) Una “medida” de la corriente eléctrica es proporcionada por la intensidad de la corriente. I .1) esto es. ∆Q. esto es: A/m2 .30 T EMA 2. que atraviesa cierta superficie S . Claramente la carga que atraviesa ∆S en la unidad de tiempo ∆t es aquélla comprendida en un volumen de área transversal ∆S y de longitud l igual al recorrido de una de las cargas en el tiempo ∆t.2. será por tanto ∆I = Apuntes de FFI ∆Q = nqvd ∆S . a través de la superficie S : I= S J · dS . 2).93 g/cm3 y masa atómica A = 63.8 mm que transporta una corriente de intensidad 20 mA. la corriente respectiva estará dirigida en sentidos opuestos. (2.i . obtenemos la siguiente expresión para el vector densidad de corriente en el caso de que exista un único tipo de portadores: J = nqvd .4) de donde se deduce que la intensidad que atraviesa el área total S vendrá dado por I= S dI = S nqvd · dS . de la expresión (2. la expresión de la intensidad se reduce a I= Z S J · dS = Z JdS = J S Z dS = JS .8) se deduce que la velocidad de desplazamiento de las cargas móviles puede escribirse como vd = I .6) Vector densidad de corriente En aquellas situaciones en las que haya más de un tipo de portadores. (2.1 Cálculo de la velocidad de desplazamiento de los electrones en un cable J + vd J - de Cu (densidad ρ = 8. nqS Dado que la intensidad. 31 ∆I = nqvd · ∆S . ∆S . (2. ∆S → 0. Intensidad y densidad de corriente (vector J ) Si se tiene en cuenta que en el caso analizado previamente. Para calcular el número de electrones libres por m3 en el cobre. en general. Dpt. S (2.5) con (2.2. Si el área considerada. la expresión (2. presenta otra orientación. entonces el flujo debe expresarse en términos del producto escalar de la velocidad de las partículas por el vector área (al igual que ya se hizo para el flujo del campo eléctrico) y por tanto. la carga elemental q y la sección transversal pueden calcularse a partir de los datos del problema.2.5) Comparando ahora (2.3) Tomando ahora el límite de la expresión anterior para áreas infinitesimales. Es interesante primero notar que para el caso de corriente continua en un cable (que generalmente presenta una sección transversal invariante).6) puede generalizarse y escribirse como J= i ni qi vd. (2.55 g) de radio 0. (2.7) Es interesante observar (según muestra la figura adjunta) que si tenemos cargas positivas y negativas fluyendo en el mismo sentido. vd quedará determinada si conocemos el valor de n. Física Aplicada 1 Apuntes de FFI .3) puede reescribirse como: dI = nqvd · dS .8) donde se ha supuesto que J dS y que J permanece constante en toda la sección transversal (n no varía en la sección y la velocidad de las cargas es la misma en toda la sección). la expresión anterior ofrecía directamente el valor del flujo que atravesaba dicha área. el área considerada estaba orientada perpendicularmente al movimiento. (2. Ejemplo 2. Puesto que J = nqvd . por ejemplo. masa de un mol A por lo que n puede obtenerse a partir de la siguiente expresión: n = NA ρ .9) donde el signo menos delante del segundo miembro sólo indica que un flujo positivo (es decir. na . entonces la carga en el interior del recinto aumenta a un ritmo de 3 cargas por segundo. y multiplicar este número por el número de átomos en un mol. · 1.93 ×106 = 8. Esta ley simplemente dice que si en cierto recinto entran. Circuitos de Corriente Continua supondremos que cada átomo de cobre aporta un electrón libre al metal. este principio puede expresarse en términos de dicha corriente eléctrica como La intensidad de corriente que atraviesa la superficie cerrada de un recinto es igual a menos la variación temporal de la carga móvil en su interior. A su vez.55g y ρ = 8.8 ×10−3 )2 Obsérvese el valor tan pequeño de velocidad que se obtiene para el desplazamiento de los electrones en el interior del cable. Física Aplicada 1 . Algo similar ocurre en una columna de soldados respondiendo a la voz de “marcha”. la columna se pone en marcha de forma casi instantánea. Dado que la carga en el interior Apuntes de FFI Dpt.1) exigía que si cierta carga desaparecía de un lugar.32 T EMA 2.6 ×10−19 · π(0.02 × 1023 8. (*) Ecuación de continuidad de la carga El principio de conservación local de la carga (ver Apartado 1. carga saliendo del recinto) está relacionado con una disminución de la carga en su interior.02 ×1023 . 63. esto es: na = χNA . el número de moles por m3 puede obtenerse como χ= masa de 1m3 ρ = . Para obtener na puede calcularse el número de moles por m3 .55 La velocidad de desplazamiento será por tanto: vd = 8. Dado que la carga viajando constituye una corriente eléctrica.46 × 1028 electrones/m3 . NA = 6. esta misma carga debía haber viajado y aparecer posteriormente en otro lugar. aunque la velocidad de desplazamiento de los soldados pueda ser pequeña. por lo que n = 6. por lo que el número de éstos coincidirá con el número de átomos de Cu por m3 . 5 cargas por segundo y salen 2 cargas por segundo. En forma matemática.93 g/cm3 . A Para el caso del Cu. aunque esta velocidad de desplazamiento tan pequeña no implica que haya que esperar un largo tiempo para que se inicie la corriente eléctrica. dt (2. el principio anterior se conoce como ecuación de continuidad para la carga y puede expresarse como J -dQ/dt S J · dS = − dQ . χ. A = 63.46 ×1028 20 ×10−3 = 7.43 ×10−7 m/s . o lo que es lo mismo. λ y por tanto. Ley de Ohm del recinto puede expresarse en términos de la densidad de carga volumétrica en su interior: Q = V ρdV .9) puede reescribirse como S 33 J · dS = − d dt V ρdV = − V ∂ρ dV . según (2. ésta podrá expresarse.12). Fd = −λvd . Conductividad. donde no existen variaciones temporales de carga móvil en el interior de los conductores (dado que la carga por unidad de tiempo que atraviesa cualquier superficie es siempre la misma).13) Apuntes de FFI . dt (2.11) Ecuación de continuidad en régimen estacionario esto es. el vector densidad de corriente vendrá dado por J= Dpt.12) En la situación estacionaria en la que la velocidad de desplazamiento de las cargas permanece constante (esto es: dvd /dt = 0). la expresión (2. el flujo de corriente a través de un recinto cerrado es nulo. λ (2.2. Según este sencillo modelo.3. dado que J = nqvd . la ley de movimiento de una de las partículas cargadas en el interior de un conductor real vendría dada por + m dvd = q E − λvd . ∂t por lo que la ecuación de continuidad establece que S J · dS = 0 . como vd = q E. la misma cantidad de carga que entra en el recinto sale de él. 2.10) Para el caso de corriente continua. ∂t (2. (2. se cumple que ∂ρ =0. pero que esta ganancia continua de energía cinética es compensada por una pérdida equivalente de energía debida a las continuas colisiones que sufren las cargas móviles (generalmente electrones) con los restos atómicos fijos del material conductor.1. El complicado proceso interno puede simularse globalmente considerando que el resultado de las colisiones puede modelarse mediante el efecto de una fuerza disipativa. Conductividad eléctrica E El modelo más elemental de lo que sucede en un conductor real supone que las cargas móviles del conductor responden a la aplicación de un campo eléctrico externo acelerándose. Conductividad.3. Este proceso simultáneo de aceleración debido al campo eléctrico y desaceleración debido a las continuas colisiones es equivalente a un movimiento promedio en el que la velocidad de los portadores de carga permanece constante. que se opone al movimiento. Física Aplicada 1 nq 2 E.3. Ley de Ohm 2. 3. o simplemente tensión. Dpt. Es interesante notar que independientemente del signo de la carga.17) ˆ (siendo u el vector unitario en la dirección del conductor).16) Supuesto que en el conductor filiforme de sección transversal S . Circuitos de Corriente Continua La anterior expresión manifiesta la existencia de una relación lineal entre el vector densidad de corriente y el campo eléctrico aplicado que puede expresarse como 2 Ley de Ohm para J y E J = σE . se tiene que 2 V12 = 1 J · dl . Física Aplicada 1 .14) siendo σ un parámetro asociado al material que se conoce como conductividad eléctrica y que vendrá dado por Conductividad eléctrica σ= nq 2 .2. σ (2. dado que ésta aparece al cuadrado.34 T EMA 2. Esta relación se puede escribir de forma genérica como Ley de Ohm circuital Apuntes de FFI 2 En general esta ley también será válida para campos eléctricos no electrostáticos. Dado que el campo eléctrico puede relacionarse con la densidad de corriente mediante la ley de Ohm (2.14). (2. Esta diferencia de potencial entre dos puntos es usualmente denominada tensión eléctrica. Obsérvese que se ha obtenido una relación lineal entre la diferencia de potencial entre dos puntos del conductor y la intensidad de la corriente eléctrica que circula por él.18) donde l es distancia entre los puntos 1 y 2. el sentido de la corriente es siempre el mismo que el del campo eléctrico aplicado. - 2. el cálculo de la integral de camino (2. esto es. el vector densidad de corriente pueda escribirse como J= I ˆ u S (2. σS (2. Ley de Ohm circuital Si un conductor filiforme dotado de cierta conductividad σ se sitúa en una región donde existe un campo eléctrico E . este campo eléctrico penetra en el conductor (a diferencia de un conductor perfecto donde Eint = 0) y “afectará” a las cargas móviles dando lugar a una corriente eléctrica. siendo mayor para aquellos materiales en los que la corriente eléctrica fluye con más facilidad (dado que σ es inversamente proporcional al parámetro λ).16) será entonces 2 V12 = 1 J I · dl = σ σS 2 1 ˆ u · dl = I σS 2 dl = 1 l I. 2 1 E J l 2 1 E · dl = V (1) − V (2) ≡ V12 .15) E + vd vd J J La conductividad eléctrica mide el grado de conducción eléctrica de los materiales. λ (2. La integral de camino del campo eléctrico entre dos puntos del conductor será justamente la diferencia de potencial entre esos dos puntos. por lo que las unidades de conductividad suelen darse en (Ωm)−1 . que es equipotencial. La unidad de resistencia en el SI es el ohmio (Ω). dq . este trabajo viene dado. la presencia de una resistencia (esto es. Unidad de conductividad eléctrica: 1 (Ωm)−1 1 A R B 2 2. la existencia de una pérdida de energía de los portadores de carga móviles debido a las colisiones con los restos atómicos fijos) se manifiesta en una caída de potencial. (2. su resistencia muy baja. Unidad de Resistencia: 1 ohmio (Ω) A diferencia de lo que ocurre en un conductor perfecto.2. por tanto. desde el punto de potencial V1 al punto de potencial V2 . Efecto Joule V12=VAB En los apartados anteriores se ha discutido que la presencia de corriente eléctrica en un conductor real lleva aparejado un proceso disipativo de energía fruto de las continuas colisiones de los portadores móviles con los restos atómicos fijos. Este proceso disipativo implica una pérdida de energía cinética de los portadores de carga en forma de calor que se transmite al material conductor. según (1. el campo eléctrico externo deba realizar un trabajo. a lo largo del conductor real si éste es recorrido por una corriente. denominado resistencia del material. podremos escribir que: dq = Idt.20) podemos deducir que las unidades de conductividad σ son inversamente proporcional a la resistencia y longitud. por V1 E dq V2 dW = dq(V1 − V2 ) = dqV . por lo que el diferencial de trabajo realizado por el campo podrá expresarse como dW = IV dt . dq . en múltiples situaciones prácticas (por ejemplo.19) que se conoce como ley de Ohm circuital (enunciada por G. Ohm en 1827). siendo 1 ohmio = 1 voltio 1 amperio . La presencia de una caída de potencial en un conductor real (cuando éste es recorrido por una corriente eléctrica) provoca que para desplazar un diferencial de carga. A partir de (2. Física Aplicada 1 Apuntes de FFI . Efecto Joule 35 V = RI (2. 1 Ω = 1 V/A . Si la diferencia de potencial entre estos dos puntos es V = V1 − V2 . donde el parámetro R. o tensión. La conductividad eléctrica es una de las magnitudes que más varían de un material a otro: desde 10−15 (Ωm)−1 para materiales muy poco conductores (dieléctricos) hasta 108 (Ωm)−1 en metales muy buenos conductores como el cobre o la plata. Teniendo ahora en cuenta que el elemento de carga.21) Dpt. Puesto que la conductividad de los metales suele ser muy alta y.4. es para el conductor filiforme R= l . σS (2. es parte de una corriente I que circula por el conductor.20) Resistencia de un conductor filiforme La resistencia es una característica de cada conductor que depende de su constitución material (a través de σ ) y de su geometría. en la mayoría de los circuitos) se considera que no hay caída de potencial en los conductores metálicos sino que toda la caída de potencial se da en unos elementos específicos de menor conductividad llamados resistencias.S.72).4. bajo el efecto único del campo gravitatorio. No obstante. por tanto. Ejemplo 2. En el dibujo adjunto se muestras bolitas que se mueven en el interior de un tubo cerrado sobre sí mismo. supuesta igual la diferencia de potencial en los conductores. no puede alcanzar un punto de potencial gravitatorio mayor que el de partida). aquel conductor con menor resistencia es el que disipa mayor cantidad de potencia. En definitiva. (2. el ritmo temporal con el que se realiza este trabajo. Obviamente. si además existe rozamiento. vendrá dado por Ley de Joule P = IV = I 2 R = V 2 /R . Si uno de los conductores tiene el doble de resistencia que el otro. la bolita en el dispositivo anterior no podrá realizar un movimiento circular mantenido sino que sólo podrá realizar un movimiento oscilatorio que desaparecerá tras unas cuantas oscilaciones. que es conservativo. Esto quiere decir que.22).22) Esta ley para la potencia disipada en una resistencia fue deducida experimentalmente por J. . habrá una perdida de energía cinética en forma de calor que provocará que la bolita no alcance el punto teórico de máxima altura sino que se detendrá en un punto de altura menor. que coincidirá con la potencia. Circuitos de Corriente Continua En consecuencia. no es capaz de mantener una corriente continua de masa. una bolita que sale de la parte superior no podrá llegar a un punto más alto que aquél desde el cual ha partido y. La cuestión es: ¿puede existir un movimiento constante de masa en la situación anterior?. de acuerdo con la expresión (2.5. podemos afirmar que el campo gravitatorio. ¿cuál de los dos conductores disipará más potencia? Si la resistencia del conductor 1 es R1 = R y la del conductor 2 es R2 = 2R. P = dW/dt. no puede producir un movimiento circular continuo (es decir. detengámonos un momento en el análisis de una “corriente continua de masa”. disipada en forma de calor en la resistencia. Por tanto. Fuerza electromotriz Antes de analizar el proceso de mantenimiento de una corriente continua. ¿Qué ocurriría si los conductores anteriores fuesen recorridos por la misma intensidad? 2. Para conseguir una corriente continua de masa se debe añadir al Apuntes de FFI Dpt.36 T EMA 2. R2 2R P1 = 2P2 . las potencias disipadas en cada conductor son: P1 P2 por lo que: = = V2 V2 = R1 R V2 V2 = .2 Dos conductores de la misma longitud y el mismo radio se conectan a tra- vés de la misma diferencia de potencial. Física Aplicada 1 .P Joule sobre 1841. entonces. La circulación de dicho campo se conoce como fuerza electromotriz. Física Aplicada 1 Apuntes de FFI . el potencial se define como la integral de camino del campo electrostático). la respuesta sigue siendo NO.2. la fuerza tangencial por unidad de carga integrada sobre la longitud del circuito completo (esta cantidad es igual a la energía por unidad de carga suministrada en cada ciclo por el agente externo). sino un campo de naturaleza no electrostática que llamaremos campo electromotor. Generalmente esta fuerza por unidad de carga puede identificarse con un campo eléctrico no electrostático. puesto que el agente de fem no puede ser un campo electrostático. el trabajo por unidad de carga que realiza el campo electrostático.5. la luz en una célula fotoeléctrica. E . Puesto que el impulso sobre los portadores móviles puede estar localizado en una parte concreta del circuito o bien distribuido a lo largo de éste. fuerza mecánica en un generador de Van de Graaff. Por consiguiente. por razones análogas a las del caso anterior. etc. En otras palabras. no conservativo). En este caso. la presión mecánica en un cristal piezoeléctrico. f = E/q . Dpt. las unidades de fuerza electromotriz son voltios. dado que E no tiene unidades de fuerza sino de fuerza por unidad de carga (o sea. 37 W = q Eels · dl = 0 .. para mantener un movimiento continuo de cargas debemos introducir un elemento externo que proporcione a las cargas móviles el “impulso externo” necesario para compensar esta perdida constante de energía. Claramente este elemento adicional debe producir un campo de naturaleza distinta al gravitatorio (esto es.. El agente de este impulso externo a las cargas no puede ser claramente un campo electrostático pues éste proporcionaría siempre una energía nula por ciclo. f . La misma cuestión puede ahora plantearse respecto al mantenimiento de una corriente de cargas eléctricas por un campo electrostático. debido al carácter conservativo de Eels . según (1. (2. (denotada usualmente como “fem”): Fuerza electromotriz (fem) E= circuito E · dl . No obstante. Debe notarse que la denominación de “fuerza” electromotriz es un poco desafortunada.23) esto es. en un recorrido circular de la carga es nulo. El agente físico concreto responsable de este campo electromotor puede ser muy diverso. lo que importa es la integral a lo largo de todo el circuito de la fuerza por unidad de carga. es importante aclarar que la fuerza electromotriz NO es una diferencia de potencial. y debido a la naturaleza conservativa del campo electrostático. de campo eléctrico) y por longitud. que son precisamente unidades de potencial eléctrico (recuérdese que. por ejemplo: fuerzas de origen químico en una batería. Es (campo de circulación nula). Eels . que origina este impulso. Dado que en cualquier situación real siempre existe una pérdida de energía debido al efecto Joule. Em . Fuerza electromotriz sistema anterior un elemento que proporcione el “empuje” adicional necesario a las masas para que puedan continuar su movimiento. Unidad de fem : 1 voltio (V) E = ∆V .38). Circuitos de Corriente Continua Podemos. donde al realizar la circulación del Figura 2. (2. Em ) para mover un diferencial de carga dq vendrá dado por dW = dq Em · dl = dqE . usualmente denominado generador de fem (o también. ET = Es + Em : E= = 1 ET · dl = 2 Es · dl + Em · dl (2.27) Dpt. Este hecho queda de manifiesto en la parte (a) de la Fig. establecer que la existencia de una corriente eléctrica continua en un circuito requiere la acción de un agente externo. (2. el campo electromotor. fuente de tensión). por tanto. P .1. (b) Representación circuital del esquema anterior campo total. (2.26) Potencia suministrada por el generador de fem Apuntes de FFI De la expresión anterior podemos deducir que la potencia.24) Em · dl se obtiene que la fuerza electromotriz es justamente la integral de camino del campo electromotor entre los puntos 1 y 2. Potencia suministrada por el generador El trabajo que realiza el generador (en concreto.1: (a) Esquema físico de la acción de un generador de fuerza electromotriz. En términos circuitales.25) Puesto que este diferencial de carga forma parte de una corriente.38 T EMA 2. tendremos que dq = Idt y por tanto dW = IEdt . que proporcione el campo electromotor necesario para “empujar” las cargas positivas/negativas hacia potenciales crecientes/decrecientes en contra del efecto del campo electrostático. suministrada por el generador es P = IE . 2. la representación de la situación anterior se muestra en la parte (b) de la figura. Física Aplicada 1 . según la expresión (2. V12 = I Ri − Ei .6. V21 = E . (La misma situación se daría. Dado que el segundo término es.28) Ahora bien. la expresión (2. Et .17) y operando obtenemos que 2 1 2 ET · dl = 1 J · dl = σ 2 1 I dl = IR . de acuerdo con la ecuación anterior. Regla de Kirchhoff de las tensiones Si calculamos la integral de camino del campo total.6. Reglas de Kirchhoff 2. el primer miembro de la expresión anterior se puede reescribir como 2 1 2 ET · dl = 1 J · dl . la aplicación del anterior razonamiento nos dice que que de forma general se puede escribir como V12 = IR − E .28) puede reescribirse como IR = V12 + E . (2.30) El sentido de la intensidad se supone inicialmente fluyendo en el sentido de recorrido del punto 1 al punto 2.14). Reglas de Kirchhoff 39 2. por definición. (2. o bien: (2. tendremos que 2 1 2 2 ET · dl = 1 Es · dl + 1 Em · dl . Física Aplicada 1 . entre los puntos 1 y 2 de la rama (asociación de elementos en serie recorridos por la misma intensidad) mostrada en la figura adjunta.33) donde el signo de la correspondiente Ei se toma: sign(E) = + si sentido Em = sentido recorrido − si sentido Em = sentido recorrido . El primer término del segundo miembro es justamente la integral de camino del campo electrostático entre los puntos 1 y 2. Si en vez de una sola resistencia y generador tenemos una rama con varios de ellos. si no circulase intensidad por la rama aunque R = 0). σ (2. la diferencia de potencial entre ambos puntos (o tensión): 2 1 Es · dl = V12 . la fuerza electromotriz del generador.29) Suponiendo válida la expresión (2. la caída de tensión V21 es numéricamente igual al valor de la fuerza electromotriz.1. σS (2. E . Apuntes de FFI Dpt. (2. entonces.32) V12 = I(R1 + R2 + R3 ) − (−E1 + E2 ) .31) Es interesante notar que si entre los puntos 1 y 2 sólo existiese el generador de fuerza electromotriz (R = 0). del generador. esto es.6.2. 34) (donde Rj es la resistencia total de la rama j recorrida por la intensidad Ij ) y se conoce como regla de Kirchhoff para la tensión.11) se aplica a un cable. al aplicar (2. i=1 (2. En general. donde los valores de las distintas intensidades serán negativos (si la carga entra en el recinto) o positivos (si la carga sale del recinto). Apuntes de FFI Dpt. Para el caso de tres ramas de un circuito que confluyen en un nudo.2: En un caso todavía más general como el que se muestra en la Figura 2. (2. 2. la expresión anterior se puede expresar como Regla de Kirchhoff para la tensión.6. V12 = j Ij Rj − i Ei . se obtiene la regla de Kirchhoff para las intensidades: Regla de Kirchhoff para las intensidades N Ii = 0 .2. Regla de Kirchhoff de las intensidades Si la expresión (2. Física Aplicada 1 . Si la expresión anterior se generaliza para un nudo con N ramas. ésta dice que dS1 J dS2 S J · dS = S1 J · dS + S2 J · dS = J · S1 + J · S2 = −I + I = 0 .35) que establece que la suma de todas las intensidades en un nudo es nula.2. donde el signo de la intensidad se toma positivo si su sentido de recorrido coincide con el del camino del punto 1 al 2 y negativo si no coincide. Circuitos de Corriente Continua Figura 2. donde tenemos varias ramas recorridas por diferentes corrientes.11) obtenemos: dS2 dS1 J1 J2 S J · dS = S1 J · dS + S2 J · dS + S3 J · dS J3 dS3 = J1 · S1 + J2 · S2 + J3 · S3 = −I1 + I2 + I3 = 0 .40 T EMA 2. el cálculo de la integral de camino entre los puntos 1 y 2 nos dice que V12 = [I1 R1 − I2 R2 + I3 (R3 + R4 )] − (−E1 + E2 ) . (*) Método de las corrientes de malla Existen algunas métodos que permiten resolver los circuitos lineales (circuitos cuyos componentes muestran una relación lineal entre la intensidad y la tensión) planteando de forma sistemática un sistema de ecuaciones para ciertas variables auxiliares.32) para la tensión al anterior circuito (recorrido en el sentido horario desde el punto 1 hasta él mismo) dice que V11 = 0 = IR − E . Ia (Ra + Rb ) + Ic Rb = Ea − Eb (2.2. La aplicación de las dos reglas de Kirchhoff anteriores conducirá.37b) La resolución del anterior sistema por cualquiera de los métodos conocidos permitirá obtener las intensidades en cada una de las ramas. La interconexión puede tener cualquier topología.36c) que tras sustituir Ib queda como Ia Ra + Ic (Rb + Rc ) = Ec − Eb . Aplicación a circuitos de CC Denominaremos circuito de corriente continua (cc) a la interconexión de un número arbitrario de resistencias y generadores de cc. Para un circuito más complejo como el mostrado en la Fig. Uno de estos métodos es el Dpt.36a) (2.7. 2. Aplicación a circuitos de CC 41 2.37a) (2.36b) (2. (2. tendremos que solo existe una intensidad. que recorre el circuito. en general.3: como incógnitas las intensidades que recorren cada rama: Ia . Ib e Ic . siendo la más simple la mostrada en la figura adjunta. I .3. tomamos Figura 2. por lo que la intensidad será I = E/R . Las reglas de Kirchhoff dan lugar al siguiente sistema lineal de tres ecuaciones: Ia Ra + Ib Rb = Ea − Eb Ic Rc + Ib Rb = Ec − Eb Ib = Ia + Ic . La aplicación de la regla de Kirchhoff (2. a un sistema de ecuaciones.7. Física Aplicada 1 Apuntes de FFI . cuya resolución nos dará los valores de las magnitudes buscadas. Para el caso simple de la anterior figura. .e. Red: Conjunto de nudos y ramas. podemos comprobar que el circuito es recubierto por al menos dos mallas. Antes de presentar el método. En la aplicación del método. Este método simplemente “reorganiza” las expresiones resultantes de la aplicación de las reglas de Kirchhoff. Nudo: Punto en el que concurren tres o más ramas. la malla de la izquierda (malla 1) y la de la derecha (malla 2).38) i = 1.39) Dpt. la intensidad de la rama b vendrá dada por Ib = I1 + I2 . tal que partiendo de un punto se vuelve a él sin pasar dos veces por un mismo nudo. En general. obtendremos el siguiente sistema en forma matricial: Ra + Rb Ea − Eb = Rb Ec − Eb Apuntes de FFI Rb Rb + Rc I1 I2 (2. de modo que I1 es la intensidad que recorre la rama a y parcialmente la rama b.3. Rij es la resistencia total común de la malla i y j . Por su parte.3. parcial positivo si el campo electromotor va en el mismo sentido que la intensidad de malla. Circuitos de Corriente Continua conocido como método de las corrientes de malla. Si aplicamos la técnica anterior al circuito de la Figura 2. Malla: Recorrido de una red. y negativo en otro caso. Para cada una de estas mallas definiremos su intensidad de malla respectiva (con su sentido) como aquella intensidad que recorre la malla: I1 e I2 .42 T EMA 2. tomando el signo de cada f. cuyo signo será sign(Rij ) = + si sentido Ii = sentido Ij − si sentido Ii = sentido Ij . siendo su elección más trivial. es conveniente determinar con precisión el significado de ciertas denominaciones: Rama: Conexión en serie de componentes. Ij .m. Física Aplicada 1 . . Ei es la fem total de la malla. N . . donde N es el número de mallas. de modo que las variables incógnitas son las denominadas intensidades de malla. En el caso del circuito de la Figura 2. el sistema planteado para las intensidades de malla. es el siguiente: N Ei = Rij Ij j=1 (2. . se debe empezar identificando un número mínimo de mallas que recubra completamente el circuito. de manera que [E] = α[E]1 + β[E]2 .7. Aplicación a circuitos de CC 43 Ejemplo 2. (2. (2. Siguiendo los criterios de signos ya señalados para las resistencias y fuerzas electromotrices.41) Si ahora consideramos una descomposición de las fuentes. Dpt.2.42) tendremos entonces que existe una descomposición análoga para la intensidad. equivalentemente. Física Aplicada 1 Apuntes de FFI . (2. (2. encontramos que el sistema de ecuaciones escrito en forma matricial que caracteriza al circuito es el siguiente: 2 3 2 −E1 − E4 R1 + R2 + R8 4 E3 + E4 5 = 4 −R8 E2 −R2 −R8 R5 + R6 + R7 + R8 −R5 32 3 −R2 I1 5 4I2 5 −R5 R2 + R3 + R4 + R5 I3 2. [E] = [R][I] . [I] = [R]−1 [E] = α[R]−1 [E]1 + β[R]−1 [E]2 = α[I]1 + β[I]2 . Teorema de superposición En aquellos circuitos en los que existe más de una fuente de tensión podemos usar el principio de superposición para derivar el siguiente teormea (es básicamente el principio de superposición aplicado a circuitos): La respuesta en cualquier elemento de un circuito lineal que contenga dos o más fuentes es la suma de las respuestas obtenidas para cada una de las fuentes actuando separadamente y con todas las demás fuentes anuladas.43) La ecuación anterior muestra que toda combinación lineal de fuerzas electromotrices provoca una correspondiente combinación lineal de intensidades. o.1. tomando el sentido de esta intensidad tal y como se muestra en la figura.7.40) [I] = [R]−1 [E] . Para demostrar este teorema podemos partir del sistema de ecuaciones que nos daba el método de análisis de mallas.3 Obtenga el sistema de ecuaciones para las intensidades de malla del si- guiente circuito de tres mallas En el circuito de la figura adjunta definimos una intensidad para cada una de las mallas señaladas. tenemos que resolver el siguiente sistema: Ea = Ia Ra + Ib. existen múltiples situaciones en las que la aplicación de este teorema puede ser muy beneficioso para simplificar los cálculos. Una situación en la que este teorema muestra su utilidad se encuentra cuando tengamos en un mismo circuito fuentes de corriente continua y de corriente alterna.1 Rb Ib. Los valores concretos de esta fuente de tensión y de la resistencia se determinan según el procedimiento descrito por el propio teorema. Apuntes de FFI Dpt.1 + Ib.4 Aplicar el teorema de superposición para calcular la intensidad Ib en el circuito de la parte (a) de la figura. Algún ejemplo de esta situación se mostrará en el tema de corriente alterna. por tanto.1 .2 Rb Ib. El contenido del teorema puede interpretarse diciendo que todo circuito lineal activo con terminales de salida A y B puede sustituirse por una fuente de tensión en serie con una resistencia (ver Fig. 2.2 . 2. Aunque el ejemplo anterior no muestra ninguna ventaja de cálculo en la resolución del circuito. éstos pueden ser considerados a efectos de cálculo como los terminales de un circuito que contiene una única fuente de tensión. Circuitos de Corriente Continua Ejemplo 2.2 Rb = Ia Ra Ic = Ib. equivalente a la que aparece entre los terminales cuando se anulan todas las fuentes de fem del circuito. de valor igual a la diferencia de potencial que aparece entre los terminales. Física Aplicada 1 . se resolverá Ec = Ic Rc + Ib.4). Asimismo para calcular Ib. debemos resolver dos problemas más simples según muestra la parte (b) de la figura. Teorema de Thevenin Este teorema puede enunciarse de la siguiente manera: En un circuito de CC que contenga resistencias y fuentes de fem del cual salen dos terminales.2 . El cálculo de la corriente Ib mediante la aplicación del teorema de superposición requiere la descomposición de la excitación provocada por las dos fuentes en dos excitaciones distintas debidas a cada una de las fuentes actuando por separado. y.1 Rb = Ic Rc Ia = Ib. De esta manera Ib = Ib. ETH .2 + Ia .1 + Ic . Para calcular Ib.44 T EMA 2.2. RTH .7. y una única resistencia. La intensidad.5 Calcular el equivalente Thevenin del circuito de la figura Para aplicar el teorema de Thevenin. R . de valor igual a la intensidad de la corriente que aparece entre los terminales en cortocircuito. y una resistencia en paralelo. para lo cual debe obtenerse la resistencia equivalente cuando se anula (cortocircuita) la fuente. B’ B 2. obtendremos la diferencia de potencial entre los terminales A y B dado que ETH = VAB . éstos pueden ser considerados a efectos de cálculo como los terminales de un circuito que contiene un generador de corriente. debemos calcular el valor de la resistencia y de la fuente de tensión de Thevenin.4: Red compuesta por múltiples fuentes de fem y resistencias junto con su circuito equivalente Thevenin.7. tenemos que: VAB = VA′ B′ y por tanto A’ A ETH = 40I = 80 V . I= 60Ω + 40Ω Teniendo en cuenta que por las ramas A o B no circula intensidad. equivalente a la que aparece entre los terminales cuando se anulan todas las fuentes de fem del circuito. que recorre el circuito será 200 V =2A. La resistencia Thevenin será simplemente 26W A 60W 40W B RTH = R + 26 = 50Ω . Ejemplo 2. debido a las resistencias de 60Ω y 40Ω: 1 1 1 = + . Para obtener la fuente de tensión Thevenin. Aplicación a circuitos de CC 45 Figura 2. RNR . En primer lugar obtenemos la resistencia paralelo.7.3. Teorema de Norton Este teorema puede enunciarse de la siguiente manera: En un circuito de CC que contenga resistencias y fuentes de fem del cual salen dos terminales.2. Dpt. I . Física Aplicada 1 Apuntes de FFI . En primer lugar calcularemos RTH . INR . R 40 60 de donde R = 24Ω. si tenemos N fuentes de tensión. que la potencia total (energía por unidad de tiempo) disipada en todas las resistencias debe coincidir con la potencia suministrada por el conjunto de todas las fuentes. 2. En otras palabras. (2.5: Red compuesta por múltiples fuentes de fem y resistencias junto con su circuito equivalente Thevenin.44) o equivalentemente.4 y 2. disipando cada una de ellas una potencia P (Rm ) = Im Vm (siendo Vm e Im respectivamente la caída de tensión y la intensidad en la resistencia Rm ). Nótese que los equivalentes Thevenin y Norton están relacionados mediante las siguientes expresiones INR = ETH RTH y RNR = RTH . Física Aplicada 1 . In En = Im Vm = m=1 (2. 2.5).4. a partir del principio de conservación de la energía. Circuitos de Corriente Continua Figura 2. En un circuito compuesto de varias fuentes de tensión y resistencias resulta evidente. Balance de potencia En los apartados 2.45) Apuntes de FFI Dpt. Los valores concretos de esta fuente de intensidad y de la resistencia se determinan según el procedimiento descrito por el propio teorema.5 se ha discutido la potencia disipada en una resistencia y la proporcionada por una fuente de tensión. cada una de ellas suministrando una potencia dada por P (En ) = In En (siendo In la intensidad de la corriente que circula por la fuente En ) y M resistencias. El contenido del teorema puede interpretarse diciendo que todo circuito lineal activo con terminales de salida A y B puede sustituirse por un generador de corriente en paralelo con una resistencia (ver Fig. N n=1 M M M 2 Im Rm = m=1 m=1 2 Vm /Rm .7. entonces debe cumplirse que N M Potencia suministrada por todas las fuentes de tensión debe ser igual a potencia consumida en todas las resistencias P (En ) = n=1 m=1 P (Rm ) .46 T EMA 2. 2.8. Circuito RC. Carga y descarga de un condensador 47 2.8. Circuito RC. Carga y descarga de un condensador Un circuito RC será aquel formado por resistencias, condensadores y generadores de fuerza electromotriz. La principal diferencia con los circuitos con generadores y resistencias que hemos visto hasta ahora reside en el hecho de que el condensador sufre procesos temporales de carga y descarga, lo que hace que la corriente que fluya por el circuito sufra una variación temporal, denominada transitorios, hasta que se alcanza finalmente un régimen estacionario. Descarga de un condensador Veamos lo anteriormente expuesto en el proceso de descarga de un condensador. Supongamos que el condensador de capacidad C ha sido cargado previamente, adquiriendo una carga final Q0 . Si como muestra la Fig. 2.6 el interruptor se cierra en el instante t = 0, entonces empezará a fluir carga desde una placa a otra del condensador a través del circuito Figura 2.6: Esquema de la descarga de un condensador a traves de un circuito con una resistencia. con la resistencia R. Ciertamente este proceso continuará hasta que se anule la carga en las placas del condensador (y consecuentemente la diferencia de potencial entre dichas placas). La ecuación que rige el anterior proceso viene dada por la regla de Kirchhoff de las tensiones, que nos dice que VC = VR . (2.46) Teniendo en cuenta que VC = Q/C y que VR = RI = −RdQ/dt,3 la ecuación anterior puede reescribirse como Q dQ = −R C dt =⇒ dQ Q + =0. dt RC (2.47) Notemos que la anterior ecuación es una ecuación diferencial, lo que significa que los distintos términos de la ecuación relacionan cierta función con sus derivadas. En otras palabras debemos encontrar la función Q(t) cuya derivada sea igual a ella misma multiplicada por 1/RC . Es fácil reconocer que la única función cuya derivada es proporcional a ella misma En el presente caso tenemos que I = −dQ/dt dado que, tal como se ha definido el sentido de la intensidad en la Fig. 2.6, la introducción del signo menos hace que este sentido sea compatible con la disminución de la carga en el condensador. 3 Dpt. Física Aplicada 1 Apuntes de FFI 48 T EMA 2. Circuitos de Corriente Continua es la función exponencial. En este sentido podemos comprobar que la solución a la ecuación (2.47) es Q(t) = Q0 e−t/RC , (2.48) donde Q0 es precisamente el valor de la carga en el condensador en el instante t = 0 (Q(0) = Q0 ). La expresion anterior nos dice que la carga en el condensador va decreciendo de forma exponencial, siendo el factor τ = RC , denominado constante de tiempo, el que rige el ritmo de decrecimiento. Podemos comprobar que para tiempos t 4τ la carga del condensador es prácticamente despreciable y podemos considerar, a efectos prácticos, que el condensador ya se ha descargado. Para calcular la intensidad de la corriente que fluye en el proceso de descarga simplemente debemos derivar la expresión (2.48) para obtener I(t) = I0 e−t/RC , (2.49) donde I0 es el valor de la intensidad de la corriente en el instante t = 0, I(0) = I0 = Q0 /RC . Carga de un condensador El proceso contrario a la descarga del condensador será precisamente la carga de dicho condensador. En este proceso debemos contar con un generador de fuerza electromotriz, E , que nos proporcione la energía suficiente para llevar a cabo este proceso. Consideremos el circuito mostrado en la Fig. 2.7. Si en el instante t = 0 cerramos el interruptor del circuito Figura 2.7: Esquema de la carga de un condensador a traves de un circuito con una resistencia R y un generador de fuerza electromotriz E . y suponemos el condensador inicialmente descargado Q(t = 0) = 0, entonces a partir de dicho momento el generador provoca un movimiento de cargas entre las placas del condensador que sólo cesará cuando la diferencial de potencial entre las placas del mismo se iguale al valor de la fuerza electromotriz. Aplicando la regla de Kirchooff de las tensiones al circuito tenemos que E = VC + VR (2.50) (en este caso, según el sentido de la intensidad en la Fig.2.7, notemos que VR = RI = RdQ/dt), ecuación que podemos reescribir como E= Apuntes de FFI Q dQ +R C dt =⇒ dQ Q E + = . dt RC R (2.51) Dpt. Física Aplicada 1 2.9. Problemas propuestos Esta ecuación diferencial es muy similar a (2.47) excepto en el miembro no nulo de la derecha. La solución es similar a la de (2.47) aunque ahora debemos añadir un término más, y así obtendremos que 49 Q(t) = CE + Q′ e−t/RC . (2.52) El coeficiente Q′ podemos obtenerlo a partir de la condición inicial para la carga, que nos decía que Q(t = 0) = 0. Aplicando esta condición a (2.52) obtenemos que CE + Q = 0 =⇒ Q′ = −CE , . (2.53) lo que nos permite escribir finalmente que Q(t) = CE 1 − e−t/RC Notemos que el proceso de carga viene caracterizado por una función monótonamente creciente, de manera que el tránsito de carga dura aproximadamente un tiempo t ≈ 4τ . Dependiendo de los valores de R y C este intervalo de carga (y también el de descarga) puede durar desde tiempos casi infinitesimales hasta tiempos del orden de segundos. 2.9. Problemas propuestos 2.1: En un tubo fluorescente de 3 cm de diámetro pasan por un punto y por cada segundo 2 ×1018 electrones y 0,5 ×1018 iones positivos (con una carga +qe ) ¿Cuál es la intensidad de la corriente en el tubo?. Sol. 0,4 A. 2.2: Para saber la longitud del cable que ha sido arrollado en una bobina se mide la resistencia de este cable, encontrándose un valor de 5,18 Ω. Si la resistencia de una longitud de 200 cm de este mismo cable es de 0,35 Ω, ¿cuál era la longitud inicial del cable en la bobina?. Sol.: l = 2960 cm. 2.3: a) ¿Cuál es el valor del módulo del campo eléctrico en el interior de un conductor de cobre de resistividad ρ = 1,72 ×10−8 Ωm si éste está recorrido por una corriente eléctrica de densidad de corriente J = 2,54 ×106 A/m2 . b) ¿Cuál sería la diferencia de potencial entre dos puntos separados 100 m?. Sol.: a) E = 43,7 mV/m; b) ∆V = 4,37 V. 2.4: Cierto dispositivo mueve una carga de 1.5 C una distancia de 20 cm en una región del espacio sometida a un campo eléctrico uniforme de módulo E = 2 × 103 N/C. ¿Qué fuerza electromotriz desarrolla el dispositivo?. Sol.: E = 400 V. 2.5: ¿Cuánto calor produce en 5 minutos una resistencia eléctrica de hierro recorrida por una intensidad de 5 A y sometida a una diferencia de potencial de 120 V?. Sol. Calor ≈ 2,23 ×105 J. 2.6: Dos conductores de la misma longitud pero distinta área de sección transversal se conectan en serie y en paralelo. ¿Qué conductor de la combinación disipará más calor si ambas son sometidas a la misma diferencia de potencial?. Sol. Serie: el conductor con menor área; Paralelo: el conductor con mayor área. 2.7: En el circuito de la figura, determine: a) la corriente en cada resistencia; b) la diferencia de potencial entre los puntos a y b; y c) la potencia suministrada por cada batería. Sol.: a) I4 = 2/3 A, I3 = 8 A, I6 = 14/9 A; b) Vb − Va = −28/3 V; c) 8 W suministradas por la batería de la izquierda, 32/3 W suministrados por la otra. Dpt. Física Aplicada 1 Apuntes de FFI b) hágase el balance de potencia. b) 4 V. 2.15: En el circuito de la figura determinar la potencia consumida en la resistencia de carga R y encontrar el valor de dicha resistencia para el cual la potencia antes calculada es máxima.76 W. Sol.5 Ω.: a) iR=6 = 1 A .5 = 4. 4/3 A. b) la d.8: Se dispone de dos baterías. 2. Circuitos de Corriente Continua 2. P (ξ = 8V ) = 10. 2.: a) En paralelo para R pequeño. 0.: a) 32/7 A.: P (R) = ξ 2 R(R + Rg )−2 .2 Ω y R = 1. a) ¿Cuál es el valor inicial de la corriente suministrada por la batería cuando se cierra el interruptor S ? b) ¿Cuál es la intensidad de la corriente de la batería después de un tiempo largo? c) ¿Cuáles son las cargas finales en los condensadores? Sol. r1 = 0.73 A. ξ2 = 0 V y ξ3 = 2 V.10: En el circuito de la figura se conecta entre los puntos A y B una batería de 10 V y de resistencia interna 1 Ω.12: Determínense las corrientes en el circuito de la figura. b) 0. iR=6 = 1 A. primero entre los puntos A y B y seguidamente entre los puntos C y D.: a) 0 A.d. 0.: a)=b) iR=3 = 21/29 A. Sol. I1.44 A. b) VT h = 22/3 V y RT h = 4/3 Ω.: a) 3.: Una posible solución sería ξ1 = 1 V. P (R = 2) = 50 W.: a) 7 A.14: Determinar la corriente por R = 6 Ω por dos métodos: a) utilizando las leyes de Kirchhoff. 2.8 Ω y otra con E2 = 3 V. Sol. Física Aplicada 1 . Apuntes de FFI Dpt.13: En el circuito de la figura: a) determínense las corrientes. determinar: a) la intensidad en cada rama.36 A. c) la diferencia de potencial entre las placas de un condensador que se conectase entre los nudos C y D. b) suministrada: 560 W. b) mediante el equivalente de Thévenin. Una vez planteadas. 2. b) Calcular la corriente para R = 0.11: En el circuito de la figura. consumidas: P (R = 10) = 490 W. c) 4/7 V. Sol.4 Ω. b) aplicando sucesivamente el equivalentes de Thévenin. Sol.42 A. d) suministradas: P (ξ = 4V ) = 0 W.7 A. 0.67 W. b) 1. b) la resistencia equivalente entre A y B. Sol.p.16: En el circuito de la figura calcúlese la intensidad que circula por la resistencia R = 3 Ω utilizando dos técnicas diferentes: a) leyes de Kirchhoff. Obsérvese que existen infinitas soluciones. 2. 2. Sol. 2. b) I0. Sol. a) ¿Cómo deberían conectarse para dar la máxima corriente a través de una resistencia R?. c) 12 µC. 2. c) Q10 = 260 µC. consumidas: P = 10. Determínese: a) la corriente por la batería.17: Plantear las ecuaciones de Kirchhoff para el circuito de la figura. Q5 = 130 µC.15 A y 0. considérese ahora que R5 = R3 y bajo esta hipótesis elíjase un posible conjunto de valores para las fuentes de tensión de forma que la intensidad que circula por la fuente ξ1 sea nula. P (R = 5) = 20 W.962 A. entre a y b por todos los caminos posibles.22 A.1 A.50 T EMA 2. 4/3 A. Complétese el estudio anterior representando gráficamente la función potencia consumida en R en función del valor de R.2 = 10.18 Ω. P (R) es máxima si R = Rg . 0. Sol.: 1. 2 A y 5 A.87 A. c) la carga del condensador d) la potencia suministrada por las fuentes y la consumida por las resistencias. en serie para R grande. una con E1 = 9 V.9: Los condensadores del circuito de la figura están inicialmente descargados. r2 = 0. 22 Ω. Sol.: R1 R4 = R2 R3 . e) R ≤ 1003.19: Se considera el proceso de carga de un condensador de capacidad C mediante una fuente de tensión continua de valor E . e) el valor máximo de la resistencia R si se desea que el condensador adquiera el 90 % de la carga final en un tiempo de 2. i(t) y v(t) (voltaje entre placas). a través de una resistencia R. R2 .9. así como la energía suministrada por la batería. de forma aproximada R menor que 1 kΩ. P (t) = Ri2 (t). Problemas propuestos 2. c) las energías totales consumida en la resistencia y almacenada en el condensador. dt2 q 2 (t) . 2C E −t/RC q(t) e . i(t) = b) U (t) = d) d2 U (t) = 0 → t = RC ln2.: a) q(t) = EC(1 − e−t/RC ). b) los valores de la energía eléctrica en el condensador y de la potencia disipada en la resistencia en función del tiempo.2. UE = E 2 C . Física Aplicada 1 Apuntes de FFI . UC = E 2 C/2. Sol. d) el instante del proceso de carga en que es máxima la potencia suministrada al condensador.31 ms (tómese C = 1 µF para este apartado).18: En el circuito de la figura encuéntrese la relación entre las resistencias R1 . V (t) = . 2. Determinar: a) las funciones q(t) (carga del condensador). R C Dpt. R3 y 51 R4 para que la intensidad por la resistencia R sea nula. c) UR = E 2 C/2. comprobando el balance global. . este tema se denomina Magnetostática. que se mueve a una velocidad v (medida en el mismo sistema de referencia donde se ha medido B ) actúa una fuerza. Todas las posibles interacciones y fenómenos pudieron ser descritos en función de campos y potenciales eléctricos y sus efectos sobre las cargas. por ejemplo. Esto implica que esta fuerza no actúa sobre partículas neutras o bien sobre partículas cargadas en reposo. Fm . en las fuerzas de atracción y repulsión entre imanes y/o cables que transportan corrientes. con la siguientes características: La fuerza es proporcional al producto qv . Fuerza de Lorentz B B v q Fm Supuesta una región del espacio donde existe un campo magnético B . es decir. 53 . En el presente tema sólo estaremos interesados en estudiar los campos magnéticos que no varían en el tiempo. q . 3. Esto nos permitirá estudiar la interacción magnética obviando las fuentes que la producen. experimentalmente se encuentra que sobre una carga prueba.Tema 3 Magnetostática 3. en consecuencia. Esta nueva interacción es conocida con el nombre de interacción magnética y se manifiesta. los campos magnetostáticos y.2. Desde muy antiguo es también conocido que existe en la naturaleza una fuerza cuyo origen no está ligado a las cargas eléctricas estáticas pero que sin embargo tiene efectos sobre las cargas eléctricas en movimiento.1. Introducción En los temas precedentes se han estudiado las interacciones entre distribuciones de carga invariantes en el tiempo (Tema 1) así como el movimiento de las cargas en el interior de conductores filiformes (Tema 2). El estudio de esta nueva interacción (tal como se hizo en el caso de la Electrostática) se llevará a cabo mediante la introducción de un campo vectorial llamado campo magnético B . la atracción de trozos de hierro (y otros metales) por imanes o bien la orientación permanente de una aguja imantada hacia el Norte magnético de la Tierra. existe un campo eléctrico E .2) B F q Fm E Fe v La unidad de campo magnético es una unidad relativamente grande. Fτ Fn Apuntes de FFI = = m dv dt v2 m . (3. r (3. En consecuencia. es difícil conseguir campos magnéticos del orden de los teslas o mayores. H. o fuerza de Lorentz . F =q E+v×B . esto es.6) Dpt. además del campo magnético B .1) que determina completamente la fuerza magnética sobre una carga móvil. (3. de modo que 1 T = 104 G . Movimiento de una carga puntual en presencia de un campo magnético Fn Antes de tratar la fuerza magnética. (3. Fe = q E . Fτ . Fn : ˆ ˆ F = Fτ + Fn = Fτ τ + Fn n .5) (3. De hecho. una tangente al movimiento. Física Aplicada 1 . Por esta razón suele usarse como unidad de campo magnético el gauss (G). Lorentz (1853-1928) propuso que la fuerza total sobre una carga puntual q . el campo magnético terrestre es del orden de 10−4 T. es importante recordar que la fuerza externa Fext que actúa sobre una partícula se puede descomponer en dos partes. llamadas teslas (T).4) v Ft F 3. podía escribirse como la superposición de la fuerza eléctrica. o equivalentemente. la ecuación de movimiento m dv = dt Fext ˆ se puede reescribir (teniendo en cuenta que v = v τ ) como m dv dˆ τ d ˆ ˆ (v τ ) = m τ + mv dt dt dt dv v2 ˆ ˆ =m τ + m n dt r ˆ ˆ = Fτ τ + Fn n . A partir de la anterior expresión puede deducirse que las unidades de campo magnético en el SI. Magnetostática La fuerza está dirigida normal al plano formado por los vectores v y B y máximo cuando v ⊥ B .A. (3. vendrán dadas por Unidad de campo magnético 1 tesla (T) 1T = 1 N/C m/s .54 T EMA 3. y otra normal.3) Si en una región del espacio.2.1. más la fuerza magnética. B . Fm = qv × B . siendo nulo su módulo cuando v Los anteriores resultados experimentales pueden ser descritos en forma matemática por la siguiente expresión: Fm = qv × B . esto es. Fuerza de Lorentz siendo r el radio de curvatura de la trayectoria. podemos deducir que La fuerza magnética no realiza trabajo sobre la partícula puesto que F · dl = F · vdt = 0 al ser v ⊥ F . Como Fτ = 0. Física Aplicada 1 Apuntes de FFI . por lo que la fuerma magnética no cambia el módulo de la velocidad sino simplemente su dirección. v2 = qvB . R mv .4 Dpt.6 × 10−19 C que al En el selector de velocidades.8) (θ = π/2): m esto es. el movimiento de la partícula en la región donde existe B será un movimiento circular puro.3.9) En el caso particular de que tengamos una región con un campo magnético uniforme y que la velocidad inicial de la partícula no tuviese componente paralela al campo magnético. el periodo de este movimiento vendrá dado por T = 2π m .10) R= Recordando que ω = v/R = 2π/T . v = 0.05 ×10 m/s . m (3.7) y puesto que Fm es perpendicular a v (debido a la presencia del producto vectorial).7) nos dicen que m v2 = qvB sen θ . Puesto que Fn = |Fm |.2 ×105 V/m. Ejemplo 3. B0 0. habiendo sido previamente seleccionada su velocidad con una disposición como muestra la figura con E = 3. En consecuencia las partículas que llegan a esta región tendrán una velocidad: Fe = Fm ⇒ E = vB0 v= 3. (3.1 Determinar la masa de una partícula de carga q = 1.2 ×105 E 6 = m/s = 8. El radio R del círculo recorrido por la partícula puede deducirse a partir de (3. qB (3. La ecuación de movimiento para una partícula de masa m y carga q en el seno de una región donde existe un campo magnético B viene dada por 55 m dv = Fm = qv × B dt (3. qB (3. se cumplirá que sólo aquellas partículas para las que se verifique pasarán a la región II.11) penetrar en una región con un campo B = 4000G describe un círculo de radio 21 cm.5): dv/dt = 0 (v = cte).6) y (3. r (3.2. según (3.8) (siendo θ el ángulo formado por v y B ) por lo que el módulo de la velocidad será v= qBr sen θ . Apuntes de FFI Dpt. Dado que Fm carece de proyección a lo largo de B .13) Estas ecuaciones nos dicen que la componente de la velocidad paralela a B uniforme no cambia por efecto del campo magnético.6 ×10−19 · 0. el vector velocidad inicial tiene una componente no nula a lo largo de la dirección del campo magnético uniforme.56 T EMA 3. m dt m (3.67 ×10−27 kg .05 ×106 Dada la carga y masa de la partícula.21 · 0. y que la componente perpendicular. Si en la región de campo magnético uniforme. entonces escribiendo el vector velocidad instantánea como suma de dos componentes. se puede concluir que ésta es un protón. v = v + v⊥ . obtenemos que la fuerza magnética puede expresarse como Fm = qv × B = qv⊥ × B .12) (3. v =cte. podemos escribir en el presente caso las siguientes ecuaciones para las velocidades v y v⊥ : B dv =0 dt dv⊥ = Fm = qv⊥ × B . es afectada por una fuerza normal a ésta que únicamente cambia su dirección. Estos hechos dan lugar a que el movimiento de la partícula pueda descomponerse en un movimiento uniforme a lo largo de la dirección marcada por B junto con un movimiento circular en un plano perpendicular. v 8. Física Aplicada 1 .4 qRB = = 1. las partículas por efecto de la fuerza magnética normal a la trayectoria describirán un círculo de radio: R= y por tanto su masa será mv qB m= 1. v⊥ . una paralela a B y otra perpendicular. la trayectoria de la partícula es de tipo helicoidal a lo largo de un eje dirigido según B . es decir. Magnetostática Una vez en la región II. Debido a la neutralidad de la carga en el interior del conductor. la fuerza magnética Fm = qv × B hace que los portadores de carga móviles deriven hacia la cara inferior de la cinta conductora. a la aparición de una fuerza eléctrica Fe que se opondrá a Fm . acumulándose allí. por tanto. por lo que el campo eléctrico Hall que se instaura alcanza finalmente un valor EH = vB . una cinta conductora) y con un campo magnético aplicado normal al conductor. Este proceso de deriva de portadores libres de carga tiene lugar hasta que la fuerza magnética es estrictamente compensada por la fuerza eléctrica. el exceso de carga en esta cara de la cinta es compensado por la aparición de una carga igual pero de sentido contrario en la otra cara de la cinta conductora. La existencia de esta separación de cargas da lugar a un campo EH de origen electrostático y. y dado que qv tiene a) I qv B Fm EH b) EH B I qv Fm Figura 3.14) La presencia de esta campo eléctrico Hall da lugar a una diferencia de potencial entre los extremos de la cinta de anchura w dado por |Fm | = |Fe | VH = vBw . y ha sido obtenida suponiendo que el campo EH puede considerarse uniforme en el interior de la cinta conductora. Dado que el módulo de la velocidad de los portadores puede deducirse de I = JS = (nqv)(wh) .2. Fuerza de Lorentz 57 3.2. Este fenómeno es fácilmente detectable para el caso de un conductor en forma de paralelepípedo (por ejemplo. Dpt. VH .2.3.15) Esta diferencial de potencial se conoce voltaje Hall. Efecto Hall Se conoce como efecto Hall a la aparición de una diferencia de potencial entre los extremos transversales de un conductor por el que circula una corriente cuando éste es sometido a un campo magnético externo. cuando qvB = qEH . (3. (3.1: Corriente eléctrica hacia la derecha sostenida por (a) cargas positivas y (b) cargas negativas el mismo sentido en ambos casos. Física Aplicada 1 Apuntes de FFI . esto es.1(a) y (b) respectivamente. Nótese que para los casos de corriente eléctrica sostenida por cargas positivas y negativas mostrados en la figura 3. 45 × 1028 electrones/m3 .5 T. Magnetostática v= I . como Au.22µV. Para medir el campo magnético puede construirse una sonda Hall en la que RH es conocido y por la que se hace pasar una intensidad determinada.. se descubrió sorprendentemente que la corriente eléctrica parecía estar sostenida en estos materiales por cargas positivas. h (3.. el valor del campo magnético puede obtenerse fácilmente a partir de la expresión (3. Dado que el voltaje Hall viene dado por la expresión VH = la densidad de portadores será IB .16). esto es.5 cm transporta una corriente de 2 A. Ejemplo 3. nqwh el voltaje Hall puede expresarse como Voltaje Hall VH = RH IB .Pt.22 ×10−6 V) ≈ 8. una tira con- ductora de cobre de espesor 1 mm y anchura 1..Ag.. Si se mide el voltaje Hall. éste suele utilizarse en la construcción de teslámetros. nqh n= (2A)(1.Zn.16) donde RH = 1/nq se conoce como coeficiente de Hall. estaba efectivamente sostenida por portadores de carga negativa. Calcular la densidad de portadores de carga y comparar con el resultado para este dato que ya se obtuvo en el Ejemplo 2. Puede comprobarse que este dato es muy similar al número de átomos por m3 que se obtuvo en el Ejemplo 2.1. medidores de campo magnético. Física Aplicada 1 . Es interesante destacar que mientras que el sentido de la corriente no aporta ninguna información sobre el signo de los portadores de carga móviles..5T) IB = qhVH (1.Cu. supuesta conocida su carga). analizando otros conductores (y algunos semiconductores) como Fe. Apuntes de FFI Dpt. . produciéndose un voltaje Hall de 0. No obstante. Además del uso del efecto Hall para determinar el signo de los portadores (así como la densidad de éstos. Esto permite verificar que efectivamente cada átomo de cobre contribuye con un solo electrón de conducción. electrones.001m)(0.6 ×10−19 C)(0. Este hecho no encontró ninguna explicación en aquel momento y hubo que esperar hasta el desarrollo de la teoría cuántica de los electrones en sólidos (Teoría de Bandas) para hallar una explicación satisfactoria a este fenómeno. el efecto Hall permitió comprobar que la corriente en los buenos conductores metálicos. . esto es.. T EMA 3.Co. la medida del voltaje Hall permitiría distinguir el signo de la carga móvil.1(a) y (b). tal y como se hace patente al comparar las figuras 3.58 esto es.2 En una región donde existe un campo magnético de 1. A finales del siglo pasado.1. 1. Física Aplicada 1  espira dl × B  siendo espira dl = 0 . escribir dqv = Ivdt = Idl .17) Dado que el elemento diferencial de carga móvil forma parte de la corriente I .3. Sustituyendo ahora dqv en (3.3.21) Si se considera ahora el caso particular y usual en el cual el campo B es uniforme en la región donde está inmersa la espira. por tanto.2. la fuerza magnética sobre ésta.3.3. donde dl es un vector cuyo módulo es un diferencial de longitud a lo largo del hilo y su sentido es el de recorrido de la corriente eléctrica.19). la expresión anterior puede reescribirse como Fuerza magnética sobre un hilo donde l es un vector cuyo módulo es la longitud total del hilo y su sentido coincide con el de la corriente eléctrica. Fuerzas magnéticas sobre conductores 59 3. viene dada por B I Fm = I espira dl × B .1) describía la fuerza que ejercía un campo magnético B sobre una carga prueba q con una velocidad v respecto al campo magnético. Fm = I   hilo dl × B = I l × B . (3. Par de fuerzas sobre una espira de corriente En el caso de una espira de corriente (conductor filiforme cerrado sobre sí mismo) recorrida por una intensidad I . A partir de esta expresión puede obtenerse fácilmente la fuerza que ejerce el campo magnético sobre un hilo conductor recorrido por una corriente I considerando que sobre cada elemento diferencial de carga móvil del hilo conductor se ejercerá una fuerza de valor dFm = dqv × B .3. entonces dado que Fm = I  Dpt.17) tenemos que dFm = Idl × B (3.19) En aquellas situaciones en las que tanto I como B no varíen a lo largo de todo el hilo. Fuerzas magnéticas sobre conductores 3. Fuerza magnética sobre un hilo La expresión (3.20) 3. dl Apuntes de FFI .18) y consecuentemente la fuerza total sobre un hilo recorrido por una intensidad I vendrá dada por la siguiente expresión: Fm = dFm = hilo Idl × B . de acuerdo a la expresión (3. éste puede expresarse como dq = Idt y. (3.  (3. (3. La dirección de M es perpendicular a b y a F (M presenta la misma dirección y sentido que F3 ) y su módulo: M = bF sen θ . (3.23) Teniendo ahora en cuenta que. cuyo módulo es m = N IS (N numero de arrollamientos de la espira) y su dirección y sentido coinciden con las de Apuntes de FFI Dpt.25) m = N IS (3. La espira podría “moverse” realizando un movimiento de rotación supuesto que el momento dinámico de la fuerza en la espira fuese no nulo.60 T EMA 3. Para calcular el momento dinámico de la fuerza consideraremos la espira rectangular mostrada en la Figura 3.26) es un vector que se conoce como momento dipolar magnético (o simplemente momento magnético). La fuerza sobre los lados 1 y F4 l I F1 Il3 Il4 B b B Il1 Il2 B F2 F3 B Figura 3. Magnetostática observamos que no se ejerce fuerza magnética neta sobre la espira. (3.22) donde b es el brazo de la fuerza. (3. al sustituir en la expresión anterior tenemos que m M = bIlB sen θ = ISB sen θ .24) B I Dado que el módulo de M viene dado por (3. El cálculo del momento dinámico. sino simplemente que la espira no tendrá movimiento de traslación. M . el momento del par de fuerzas puede expresarse como M =m×B . donde S = bl es el área de la espira. el hecho de que no haya fuerza total resultante no implica que la espira no se mueva.2. F viene dada por F = IlB . donde (3. Física Aplicada 1 . No obstante.2: Fuerzas magnéticas sobre cada uno de los lados de una espira rectangular recorrida por una intensidad I 3 es una fuerza de deformación que generalmente está compensada por la resistencia a la deformación del material conductor.24) y su dirección es idéntica a la de F3 . para este caso. Por el contrario. de este par de fuerzas viene dado por M =b×F . la disposición de las fuerzas sobre los lados 2 y 4 puede reconocerse como un par de fuerzas aplicado sobre la espira. El par de fuerzas sobre la espira recorrida por una corriente eléctrica provoca entonces un giro de la espira sobre su eje tratando de alinear m con B . un estudio realista del origen del campo magnético producido por estos imanes sólo puede ser llevado a cabo en el marco de la Física Cuántica y. La aparición de este par de fuerzas magnético constituye el fundamento físico del funcionamiento de los motores eléctricos.25) se ha deducido para el caso particular de una espira rectangular. en general.4. La forma concreta en que estas corrientes estacionarias crean campos magnéticos viene dada por la ley de Biot y Savart (∼ 1830) que establece Dpt. Ley de Biot-Savart la normal a la superficie de la espira (el sentido de m viene determinado por el sentido de recorrido de la corriente siguiendo la regla de la mano derecha). en este apartado estudiaremos únicamente las fuentes que producen este tipo de campos constantes en el tiempo. Es importante notar que aunque la expresión (3. las cargas eléctricas en movimiento son fuentes del campo magnético. Una carga prueba móvil en presencia de un imán sufre igualmente el efecto de una fuerza magnética que está perfectamente definida por la expresión (3. Dado que en el presente tema sólo estamos interesados en campos magnetostáticos. Estos imanes son trozos de ciertos materiales (por ejemplo. Un esquema elemental de un motor eléctrico es precisamente una espira recorrida por una intensidad que. 61 3. Dado que la espira tratada anteriormente no giraría de forma continua (el momento del par de fuerzas tendería más bien a hacer oscilar la espira). Ley de Biot-Savart Hasta ahora se han discutido algunos efectos del campo magnético B sin referirnos a las posibles fuentes de este campo. que posteriormente puede transformarse mediante los mecanismos adecuados en energía asociada a cualquier otro tipo de movimiento. Los experimentos de H. Oersted (∼ 1820) demostraron que los efectos sobre cargas móviles e hilos de corriente (recogidos en las expresiones (3. A pesar de que los imanes son conocidos y usados desde hace mucho tiempo. se conseguiría transformar energía eléctrica/magnética en energía cinética de rotación. C. Si la espira es fijada a algún rotor. en presencia de un campo magnético.4. Experimentalmente se encuentra por tanto que las fuentes del campo magnetostático son las corrientes eléctricas invariantes en el tiempo. la magnetita) que tienen entre sus propiedades más aparentes la de atraer fragmentos de hierro. Física Aplicada 1 Apuntes de FFI . Una posible fuente de campo magnético conocida desde muy antiguo son los imanes permanentes. esta expresión es válida para cualquier tipo de espira (supuesto que B sea uniforme).1).19)) producidos por campos magnéticos originados por imanes eran perfectamente reproducidos cuando estos imanes son sustituidos por cargas en movimiento o bien hilos de corriente. sufre un par de fuerzas que da lugar a un movimiento de rotación. Esto implica que. habría que diseñar un dispositivo que hiciera cambiar el sentido del par de fuerzas en el momento adecuado. por tanto.3.1) y (3. no se abordará esta tarea en el presente tema. producido por un elemento diferencial de corriente. para el campo magnetostático la dirección de dB viene determinada por el producto vectorial r Idl × ˆ .10) que nos daba el campo electrostático producido por un elemento diferencial de carga. r3 (3. r−2 . esto es. las líneas de campo producidas por un elemento diferencial de corriente serían circunferencias concéntricas a un eje dirigido según el elemento de corriente. el dedo índice coincidiendo con r y el dedo corazón marcando la dirección del campo. P . En la figura adjunta puede apreciarse que dl ⊥ r y por tanto el módulo de dB para el presente caso viene dado por dB(P ) = µ0 Idl . pudiendo ser. líneas cerradas.29) Ejemplo 3. como en este caso. para el caso electrostático. Física Aplicada 1 . No obstante. Si. dB ⊥ ˆ). únicamente las componentes de B a lo largo del eje z se suman mientras que las perpendiculares a este eje se anulan entre sí.28) Obsérvese que la expresión (3.62 T EMA 3. por lo que la dirección de dB en el punto de observación siempre será perpendicular a su radiovector asociado (esto es. Campo magnético debido a una espira de corriente continua B(P ) = µ0 4π espira Idl × r .27) es similar a la obtenida en (1.27) donde r es el radiovector que va desde el elemento diferencial de corriente hasta el punto P donde se evalúa el campo y µ0 es una constante conocida como permeabilidad del vacío de valor µ0 = 4π ×10−7 T·m A .3 Cálculo del campo magnético en cualquier punto del eje de una espira cir- cular de radio R. Apuntes de FFI Dpt.27) a lo largo de los diferentes elementos diferenciales de corriente. Esta direcr ción puede obtenerse por la regla de la mano derecha haciendo apuntar el dedo pulgar derecho en la dirección del elemento de corriente. la dirección del campo eléctrico venía determinada por el radiovector que unía el punto fuente con el punto de observación. 4π r 2 Dada la simetría del problema. que forma parte de una corriente continua viene dado por dB(P ) = r µ0 Idl × r µ0 Idl × ˆ ≡ . por ejemplo. una importante diferencia entre ambas expresiones es que la dirección del campo es distinta en una y otra. Idl . por tanto. 4π r2 4π r3 (3. El campo total producido por la corriente continua que circula en una espira podrá. La discusión anterior indica que las líneas de B no tienen principio ni fin. (3. Magnetostática que el campo magnético en el punto de observación. Así. escribirse como la integral de (3. Ambas expresiones muestran la misma dependencia respecto a r. donde se vio que el flujo de dicho campo a través de una superficie cerrada estaba relacionado con el valor de la carga total en el interior de esta superficie mediante S E · dS = Qint . De hecho nunca puede existir un “polo” postivo aislado de un “polo” negativo. dando flujo total nulo. Para obtener el campo total hay que integrar la expresión anterior y dado que tanto r como R permanecen constantes al recorrer la espira. de modo que si en el interior de una superficie había una sola carga positiva. Si por el contrario en el interior de la superficie había una sola carga negativa las líneas de campo “entraban” en dicha superficie.5.3. Física Aplicada 1 Apuntes de FFI . el flujo del campo magnético a través de cualquier superficie cerrada es siempre nulo. entonces el mismo número de líneas de campo “entra” y “sale” de la superficie. la ley de Biot y Savart nos dice que las líneas de campo asociadas con elementos de corriente no tienen principio ni fin.6 se estudió la ley de Gauss para el campo eléctrostático. Ley de Gauss para el campo magnético Consecuentemente sólo nos interesa dBz : 63 dBz (P ) =dB(P ) cos θ = µ0 Idl µ0 IRdl cos θ = 4π r 2 4π r 3 (nótese que cos θ = R/r ). 1 Estos hechos han sido confirmados experimentalmente de forma inequívoca. entonces era claro que las líneas de campo “salían” de dicha superficie dando entonces un flujo del campo electrostático positivo. Ley de Gauss para el campo magnético En el apartado 1. se tiene que Bz (P ) = espira I dBz = µ0 IR 4π r 3 espira I dl = µ0 IR 2πR 4π r 3 µ0 IR2 IR2 µ0 = . (3. es decir. y quedan recogidos “matemáticamente” por la siguiente ley de Gauss para el magnetismo: S B · dS = 0 . = 2 r3 2 (R2 + z 2 )3/2 3. no existe un símil de la carga eléctrica positiva/negativa para el caso del magnetismo.30) Ley de Gauss para el magnetismo es decir. 1 Dpt. son generalmente líneas cerradas. ǫ0 En ese apartado discutimos que este hecho podía relacionarse con la forma de las líneas de campo electrostático (es decir. Si había una carga positiva y otra negativa del mismo valor en el interior de la superficie.5. que las líneas “parten” de las cargas positivas y “acaban” en las cargas negativas). Esta afirmación puede relacionarse con la no existencia de “cargas magnéticas” positivas/negativas en la naturaleza. Para el caso del campo magnético. Los conocidos como “polos’ positivo y negativo de un imán permanente no están relacionados con la existencia de cargas magnéticas poistivas/negativas. Es decir. B . la circulación del campo magnetostático. Dado que para el campo magnetostáticomo el gradiente de un potencial escalar. Nota: Obviamente. la circulación de éste no es siempre nula. H Γ E · dl = 0 para toda curva Γ. en general. por la superficie En la figura adjunta. Ley de Ampère La ley de Ampère (∼ 1830) para el campo magnetostático nos dice que Γ B · dl = µ0 S(Γ) J · dS = µ0 IΓ . IΓ . que atraviesa una superficie S(Γ) cuyo contorno es la curva Γ. mientras que I4 no atraviesa la superficie apoyada en la curva. Dpt. Es interesante notar que la ley de Ampère es siempre válida cuando se aplica al campo magnetostático pero que sin embargo no siempre es útil. a lo largo de una curva Γ es µ0 veces el flujo de la densidad de corriente. para el campo electrostático se encontraba que electrostático “derivaba” de un potencial. Apuntes de FFI Esta situación se encuentra generalmente en situaciones de alta simetría donde es posible predecir la forma de las líneas de campo de B y por tanto encontrar una curva que sea tangente a las líneas de campo y donde éste sea constante en módulo. De hecho. dado que I3 tiene sentido contrario a I1 e I2 . El sentido de recorrido de la curva Γ determina igualmente el sentido de dS (siguiendo la ley de la mano derecha) y por tanto el signo del flujo a través de la superficie. (3.6. Para el caso de la curva Γ2 .31) esto es. El flujo de la densidad de corriente que atraviesa la superficie S(Γ) es obviamente el valor de la intensidad de la corriente “interceptada”. . la aplicación de la ley de Ampère para la curva Γ1 establece que Γ1 B · dl = µ0 (I1 + I2 − I3 ) . puesto que la misma intensidad atraviesa en los dos sentidos la superficie apoyada en la curva. Esto simplemente quería decir que el campo co. Esta ley es particularmente útil para calcular el campo magnético en aquellos casos en los que es posible encontrar una curva Γ tal que la circulación de B a lo largo de esa curva pueda expresarse como Γ B · dl = B dl .64 T EMA 3. el hecho de que la circulación de B a lo largo de Γ2 sea cero no implica que B sea nulo. Magnetostática 3. J . tendremos que Γ2 B · dl = 0 . Física Aplicada 1 . B no puede expresarse. Γ Ley de Ampère siempre válida para campos magnetostáticos y útil para cálculo del campo en situaciones de alta simetría. Con respecto a la dirección del campo. que recorre el hilo de radio R es uniforme. Campo magnético producido por un hilo infinito y rectilíneo de radio R recorrido por una intensidad I En el presente caso. Por tanto. por tanto.32) siendo las líneas de campo circunferencias centradas en el hilo. de donde se puede obtener finalmente que B=   µ0 I ρˆ   2πR2 τ      µ0 I ˆ τ 2πρ si ρ≤R ρ>R. I . podemos escribir que z J r y B x B = B(ρ)ˆ . la simetría del problema indica que el módulo del campo magnético sólo puede depender de la distancia al hilo (puntos con la misma distancia ρ al hilo “ven” exactamente las misma disposición de fuentes del campo magnético.3. (3. τ (3. obteniendo que Γ B · dl = B dl = µ0 IΓ .27). 2πρ (3. Física Aplicada 1 Apuntes de FFI . el campo magnético producido por este hilo recto infinito en cualquier punto viene dado por B(P ) = µ0 I ˆ τ . ésta puede deducirse de ley de Biot y Savart (3. Ley de Ampère 65 3. por lo que el módulo del campo será el mismo). Este hecho sugiere aplicar la ley de Ampère en estas curvas para obtener el valor del campo.1.33) se tiene que B2πρ = µ0 I Jπρ2 si ρ ≤ R si ρ > R .35) Dpt. Dado que la intensidad total de corriente.34) si Para el caso particular de un hilo cuyo radio pueda considerarse despreciable.6. Γ (3.33) Rz B x y donde IΓ es la corriente que atraviesa la superficie interior a Γ.6. donde ˆ además el módulo del campo es constante (τ es el vector unitario tangente a la circunferencia centrada en el hilo). IΓ vendrá dada por IΓ = S(Γ) J · dS = I Jπρ2 si ρ ≤ R si ρ > R . la densidad de corriente vendrá dada por I ˆ z J= πR2 y. En la figura puede observarse que la dirección del campo es siempre tangente a una circunferencia centrada en el hilo (puesto que dl × r tiene esa dirección). Al introducir la anterior expresión en (3. x 2πD (b) Cálculo de la fuerza por unidad de longitud. equivalentemente. según la figura. Campo magnético en un solenoide Un solenoide es básicamente un cable arrollado de manera compacta en forma de hélice o. En este sentido. donde los puntos indican que la corriente está dirigida hacia el lector y la cruz indica que está dirigida hacia el papel. Para obtener la fuerza sobre el hilo situado en el vértice superior debemos aplicar (3. el solenoide juega el mismo papel respecto al campo magnético que el condensador plano para el campo eléctrico. En z consecuencia.4 Tres conductores rectilíneos largos y paralelos pasan a través de los vérti- ces de un triángulo equilátero de lado 10 cm. m 3.20). Los Apuntes de FFI Dpt. la fuerza por unidad de longitud. que en nuestro caso se escribirá como F (P ) = I3 l3 × BT (P ) . una superposición de espiras muy juntas.196 ×10−5 x . Física Aplicada 1 . x y con α = π/6. 2πρi donde. donde B1 (P ) y B2 (P ) son los campos magnéticos en el punto P debidos a las corrientes I1 e I2 (ver figura adjunta). Ii ≡ I = 15 A. Al realizar la suma vectorial de ambos campos.794 ×10−4 y N . usaremos argumentos experimentales para determinar la forma de estas líneas. de modo que el campo total BT en el punto P se escribirá como BT (P ) = B1 (P ) + B2 (P ) . f = F /l. en este caso. Un solenoide esbelto (más largo que ancho) se usa generalmente para crear campos magnéticos intensos y uniformes dado que el campo magnético en el interior de los solenoides tiene estas características. Para calcular el campo magnético en el vértice superior del triángulo (punto P ) aplicamos superposición.66 T EMA 3. T . obtenemos finalmente que BT (P ) = µ0 I ˆ 2 cos αˆ = 5. Si cada corriente vale 15 A.6.2. Magnetostática Ejemplo 3. hallar (a) el campo magnético B en el conductor superior y (b) la fuerza por unidad de longitud ejercida sobre el conductor superior debido a los otros dos conductores inferiores. en el hilo situado en el vértide superior será ˆ z x y f (P ) = I3 ˆ × BT (P )ˆ = I3 BT (P )ˆ = 7. (a) Cálculo del campo magnético. ρi ≡ D = 10 cm y Bi (P ) = ˆ τ 1 = cos αˆ + sin αˆ x y ˆ τ 2 = cos αˆ − sin αˆ . Dado que una deducción teórica de la forma de las líneas del campo B producido por un solenoide es relativamente complicado. donde I3 ≡ I = 15 A es la corriente del hilo situado en el vértice superior y l3 = lˆ es el vector “longitud” correspondiente a dicho hilo de corriente. Dichos campos magnéticos vienen dados por µ0 Ii ˆ τi . d. R = 14. como se muestra en la figura. el campo magnético será nulo en el exterior. Dpt. que puede servir como un modelo aproximado de un solenoide esbelto.4 cm.5 ˆ T.: es positiva. (3.2: Una partícula de carga q entra a velocidad v en una región donde existe un campo magnético uniforme (dirigido hacia el interior de la página). p = qB(a2 + d2 )/(2d). Problemas propuestos experimentos demuestran que las líneas de campo son aproximadamente líneas rectas paralelas al eje del solenoide en el interior de éste cerrándose por el exterior de modo que la magnitud del campo magnético exterior se reduce a medida que el solenoide se hace más esbelto. Por otra parte. a) Determinar la magnitud y la dirección de la fuerza magnética que actúa sobre un electrón en el conductor.3. obtenemos que AB B · dl = B l . la intensidad interceptada por el rectángulo interior a la curva ABCD será S(ABCD) J · dS = N I . en términos de a.3: Un alambre conductor paralelo al eje y se mueve con una velocidad v = 20 x m/s en z un campo magnético B = 0. Problemas propuestos 3. 3.7. Dado que las líneas de campo son paralelas al eje del solenoide y por simetría no pueden variar a lo largo de la dirección paralela al eje (desde cualquier punto de una misma línea el solenoide se ve invariante). Por la forma de las líneas de B en el interior del solenoide y teniendo en cuenta que el sentido de B está marcado por el sentido de recorrido de la intensidad. Teniendo en cuenta los resultados de las dos últimas expresiones y la dirección del campo. B y q . ya que B ⊥ dl en los tramos de curva BC y DA y B = 0 a lo largo de CD . El campo desvía a la partícula una distancia d de su trayectoria original al atravesar la región del campo. podemos concluir según la ley de Ampère que B(P ) = ˆ µ0 nI u en el interior del solenoide 0 en el exterior del solenoide . b) Debido a esta fuerza magnética. la aplicación de la ley de Ampère a la curva ABCD mostrada en la figura nos dice que ABCD 67 B · dl = AB B · dl . intercepta N espiras cada una de ellas transportando una intensidad de corriente I . Región de campo B v q a d ˆ 3. siendo l la longitud del segmento AB .1: ¿Cuál es el radio de la órbita de un protón de energía 1 MeV en el seno de un campo magnético de 104 G. p. Sol. Indicar si la carga es positiva o negativa y calcular el valor de su momentum de la partícula. Física Aplicada 1 Apuntes de FFI . esto es.36) siendo n = N/l el número de espiras por unidad de longitud en el solenoiˆ de y u el vector unitario en la dirección del eje del solenoide. 3.7. Sol. Para el caso de un solenoide infinitamente largo. uniformemente distribuida en su sección transversal. Calcular la magnitud y dirección de este campo eléctrico en estado estacionario.68 T EMA 3. ˆ ˆ ˆ Sol. a) Determinar el campo B en cualquier punto del espacio.6 ×10−18 N y .5 × 10−5 N y. Por dicha placa circula un corriente eléctrica en sentido positivo del eje X .: si z > 0. se coloca en el plano z = −d una nueva placa idéntica a la anterior pero que cuya densidad de corriente tiene sentido ˆ contrario. según se indica en la figura. lado BC: 10−4 N x. siendo una fuerza repulsiva. 8 8 >0 si r < a > > µ0 Ir < < µ I(r 2 − a2 ) si r < b 0 Sol. r = 3.7 µV. Junto al conductor anterior se ha dispuesto una espira rectangular cuyos lados miden 5 cm y 10 cm. Sol. ˆ ˆ Sol. para el resto de los puntos (esto es. dejando el otro extremo positivamente cargado hasta que el campo eléctrico debido a esta separación de carga ejerce una fuerza sobre los electrones que equilibra la fuerza magnética. esto es.9: Dos conductores filiformes rectos y paralelos entre sí de longitud 90 cm están separados una distancia de 1 mm.7: Repetir el problema anterior si. B = µ0 J/2ˆ . Sol. Magnetostática los electrones se mueven a un extremo del conductor.10: Por un conductor rectilíneo de longitud infinita circula una corriente de 20 A.: a) B(r) = . 2πb2 :µ I/(2πr) si r > b > 2πr(b2 − a2 ) > 0 > : µ0 I/(2πr) si r > b En ambos apartados. n = 5. Física Aplicada 1 .18 cm.5 mN. I . R I r I 3.15 × 10−5 N x.8: Un conductor recto infinitamente largo y circulado por una intensidad I se dobla en la forma indicada en la figura. z > 0 o z < −d ). Sol. las líneas de campo son circunferencias con centro en el eje del conductor y contenidas en planos perpendiculares al mismo.0 T 2 cm 20 A 1 mm 3.: v = 1. 20 A B A 5A 2 cm C Y X Z 10 cm D 5 cm 3. ¿cuál es la magnitud y el sentido de las fuerzas entre ambas corrientes?.4: Una cinta de metal de 2 cm de ancho y 1 mm de espesor lleva soporta una corriente de 20 A. Si dicha ˆ intensidad está uniformemente distribuida a razón de J = J x (A/m) (J representa en este problema la corriente que atraviesa un segmento perpendicular al eje X y de longitud 1 metro). En estas condiciones se mide un valor del potencial Hall de 4.: 4. Si ambos conductores son recorridos por una corriente de 5 A en sentidos opuestos.85 × 1028 m−3 . La cinta está situada en un campo magnético de 2 T normal a la misma.85 × 10−5 N x. Sol. Determinar la velocidad media de los electrones de conducción de la cinta así como la densidad de dichos electrones. ˆ Sol. Por dicha espira circula una corriente de 5 A en el sentido indicado en la figura. calcular el campo B en todo punto del espacio (nota: utilizar el teorema de Ampère). ¿cuál es la diferencia de potencial entre sus dos extremos debido a este campo eléctrico?. lado DA: ˆ ˆ −2. La porción circular tiene un radio R = 10 cm con su centro a distancia r de la parte recta. B = µ0 J y .. I I Apuntes de FFI Dpt.11: El cable coaxial de la figura transporta una intensidad I por el conductor interno y la misma intensidad pero en sentido contrario por el externo. si z < 0. a) Determinar la fuerza sobre cada lado de la espira rectangular así como la fuerza neta sobre la espira. y y 3. calcular el módulo del campo magnético entre ambos conductores y en el exterior del cable. B = −µ0 J/2ˆ . Determinar r de modo que el campo magnético en el centro de la porción circular sea nulo. b) calcular el flujo a través de la espira del campo B creado por el conductor rectilíneo. b) repetir el apartado anterior suponiendo que ahora el cilindro posee una cavidad cilíndrica en su interior de radio a (a < b). c) Si el cable tiene 2 m de longitud.01 × 10−7 Wb. J = −J x (A/m).: Entre los conductores B = µ0 I/(2πr). Fneta = 7. b) Φ = 5. b) B(r) = si a < r < b . 3. Por dicho conductor circula una intensidad. 0 > z > −d). Utilizando la ley de Ampère. c) V = 20 V. donde r es la distancia al eje del cable. Sol. 3.: a) F = 1. En el exterior el campo es nulo.6: Una placa metálica de espesor despreciable y extensión infinita está situada en el plano b a b a) b) z = 0.5 × 10−5 N y.07 × 10−4 m/s. a) lado AB: −2. y siendo las líneas de campo circunferencias con centro en el eje del cable. 2.: Entre ambas placas (esto es. lado CD: 2.5: Un conductor cilíndrico de longitud infinita es macizo siendo b el radio de su sección transversal. 3. además de la citada placa. el campo es nulo. 3. b) E = 10 V/m y . 13: Dos conductores filiformes. Física Aplicada 1 Apuntes de FFI .: a) B(P ) = 69 I1 R1 I2 R2 8 >µ0 n1 I1 ± µn2 I2 si r < R2 < µ n I > 0 1 1 : 0 si R2 < r < R1 si r > R1 donde r es la distancia al eje de los solenoides y el signo más/menos se toma si ambas intensidades circulan en igual/opuesto sentido. 3. y coaxial con él. Problemas propuestos 3. En su interior. el campo en el interior del segundo solenoide sea nulo. determinar: a) el campo magnético en todos los puntos del espacio. rectilíneos y de longitud infinita son perpendiculares al plano XY y cortan a dicho plano en los puntos (0. + 2 x2 + (a − y)2 x + (a + y)2 ] donde las intensidades se consideran positivas si van en el sentido positivo del eje z y negaB(P ) = µ0 2π (a − y)I1 (a + y)I2 − 2 x2 + (a − y)2 x + (a + y)2 ˆ x+ tivas en el caso contrario. Sol.12: Un solenoide esbelto de n1 vueltas por unidad de longitud está circulado por una intensidad I1 y tiene una sección transversal circular de radio R1 . −a. Calcular el campo magnético generado por ambas corrientes en cualquier punto del espacio (nota: la solución del problema debe ser válida para cualquier sentido de las intensidades por los conductores). Por dichos conductores circulan las intensidades I1 e I2 respectivamente. Demostrar que cuando esta bobina transporta una corriente I . a.: „ „ « ff « xI1 xI2 ˆ y . su momento magnético tiene por magnitud Il2 /(4πN ).3. Si este segundo solenoide está circulado por una intensidad I2 . Sol.7. 3. b) I2 = −n1 I1 /n2 . se ha colocado un segundo solenoide de n2 vueltas por unidad de longitud y de sección transversal circular de radio R2 (R2 < R1 ).14: Un alambre de longitud l se arrolla en una bobina circular de N espiras. 0). fijada I1 . Dpt. 0) y (0. b) la magnitud y sentido que debería tener I2 para que. . lo que implica que para mantener una corriente eléctrica en el circuito es necesario un aporte continuo de energía.1) En consecuencia.1. (4. como la fuerza tangencial por unidad de carga en el cable integrada sobre la longitud del circuito completo. si campos magnéticos pueden producir corrientes eléctricas. Faraday (1791-1867) alrededor de 1830 permitieron establecer que la generación de corriente eléctrica en un circuito estaba relacionada con la variación en el tiempo del flujo magnético que atravesaba dicho circuito. se definió la fuerza electromotriz (fem). en concreto sobre 1820 H. Introducción En el Capítulo 3 se vio que las corrientes eléctricas son fuentes de campos magnéticos. los experimentos elaborados por M.C. La pérdida de energía de los portadores de carga móviles en los choques con los átomos del material resistivo debe ser compensada por una “fuerza externa impulsora” sobre estos mismos portadores. E= f · dl . Dado que el impulso sobre los portadores móviles puede estar localizado en una parte del circuito o bien distribuido a lo largo de éste. En este sentido se llevó a cabo una intensa labor experimental que parecía negar esa posibilidad. De esta manera. No obstante. la magnitud relevante es la integral de esta fuerza a lo largo de todo el circuito. Dado que las corrientes eléctricas producen campos magnéticos.Tema 4 Inducción electromagnética 4. En consecuencia. es decir. esto es. E . la presencia de una intensidad de corriente eléctrica en 71 . campos magnetostáticos nunca producirían corrientes eléctricas en circuitos fijos. cabe plantearse igualmente si se produce el fenómeno inverso. Oersted comprobó que un cable recorrido por una intensidad de corriente continua produce un campo magnetostático en su entorno (detectado por ejemplo por el efecto que tiene sobre una aguja imantada). Conviene recordar (según se discutió en el Capítulo 2) que debido al efecto Joule existe una disipación de energía en las resistencias presentes en todos los circuitos reales. tanto conceptuales como tecnológicas. Este impulso dará lugar a una corriente en el circuito (en el mismo sentido que esta fuerza) debida a la aparición de una fem de valor E= v × B · dl . de orgien óptico en las células fotovoltaícas. Por ejemplo. 4. en el funcionamiento de los circuitos de corriente alterna y en la generación de las ondas electromagnéticas. Ley de Faraday Fuerza electromotriz de movimiento Una forma posible de generar una fem en un circuito sería hacer uso de la aparición de una fuerza magnética sobre los portadores de carga móviles en una región donde exista un campo B . (4.2.1.3) que puede reducirse en el presente caso a b b E= a v × B · dl = vBdl = vB l . El origen de la fem puede ser diverso. que circula por el circuito de resistencia R será por tanto I= E vB l = . De forma general podemos decir que el efecto de un generador de fem es transformar algún tipo de energía en energía eléctrica. La intensidad. el mecanismo de generación de fem está directamente involucrado con las variaciones del flujo del campo magnético. R R (4. el movimiento de un conductor en el seno de un campo magnético dará lugar a lo que se conoce como fem de movimiento. estando en la base de la generación de energía eléctrica en las centrales eléctricas. de origen químico en baterías y pilas. I . Esta fem inducida por el campo magnético tendrá unas consecuencias importantísimas. es interesante notar Apuntes de FFI Dpt. 4. En el caso de los experimentos realizados por Faraday. En esta situación.2.72 T EMA 4. q (4. Física Aplicada 1 . las cargas móviles del x segmento ab experimentarán la siguiente fuerza de Lorentz por unidad de carga: fmag = Fmag =v×B . a (4.2) cuyo efecto global es justamente impulsar las cargas desde a hasta b. de origen mecánico en el generador de Van der Graff. etc. considérese la situación mostrada en la figura adjunta donde la región sombreada indica la presencia de un campo magnético B uniforme (producido por ejemplo por un imán) dirigido hacia el papel y un circuito moviéndose con velocidad v = vˆ hacia la derecha.5) Aunque la fem de movimiento ha podido deducirse a partir de la fuerza de Lorentz sobre los portadores de carga móviles. Inducción electromagnética un circuito estará relacionada con la existencia de una fuente de fem que la mantenga. siendo nulas las contribuciones a la fem de los segmentos paralelos al desplazamiento dado que la fuerza impulsora es aquí perpendicular al hilo (fmag ⊥ dl).4) donde l es la longitud del segmento ab. En particular. (4. la velocidad total.10) Evidentemente sólo la parte de la fuerza dirigida según y es responsable de la aparición de la fem de movimiento (causando una corriente en la misma dirección que esta fuerza).9) por lo que la fuerza por unidad de carga que afecta a una de las cargas móviles vendrá dada por ˆ ˆ fmag = −uB x + vB y . tengamos en cuenta que el flujo magnético se obtiene como Φm = S B · dS (4.6) Para comprobar este hecho. de los portadores será w = vˆ + uˆ . Dpt.8) siendo ls el área del circuito situada en la región donde el campo magnético no es nulo. esto es. La variaciones temporales de flujo magnético vendrán entonces dadas por dΦm d = B ls = −B lv .11) por la carga total de este conductor. w . dt dt ya que v = −ds/dt (esto es. (*) Balance de potencia Es interesante notar que si el campo magnético ha dado lugar a una fem que genera una corriente.2. La componente x de fmag da cuenta de la fuerza que ejerce el campo magnético sobre la corriente. Dado que esta fuerza por unidad de carga es ˆ fx = −uB x . Puesto que la intensidad de la corriente que recorre el circuito es I = nqAu . esto es. dt (4. mediante la expresión 73 E=− dΦm .7) y puesto que en el presente caso: B · dS = BdS . (4. esto es. (4. (4. lo que da lugar a la misma fem que la obtenida en (4.4. x y (4. ˆ Fx = −nqAluB x .3) cuando se integra directamente la fuerza de Lorentz por unidad de carga. la velocidad de los portadores de carga móviles en el segmento ab será la composición de un movimiento hacia la derecha más otro hacia arriba.11) la fuerza total sobre el conductor ab será el producto de (4. Física Aplicada 1 Apuntes de FFI . la velocidad es positiva cuando s decrece). que atraviesa el área del circuito. Φm . tenemos que Φm = S BdS = B S dS = BS = B ls . Ley de Faraday que el valor de la fem de movimiento también se habría podido obtener como menos la variación temporal del flujo del campo magnético.12) siendo n el número de electrones por unidad de volumen y A el área transversal del conductor. 74 T EMA 4. Inducción electromagnética Fx puede expresarse como ˆ Fx = −I lB x , (4.13) expresión que coincidiría con la aplicación directa al presente caso de la expresión (3.20): F = I l × B . La existencia de esta fuerza sobre el conductor ab implica que para que éste se mueva a velocidad constante, v = vˆ , un agente externo debe x compensar dicha fuerza ejerciendo una fuerza, Fext , de igual módulo y sentido opuesto, esto es, ˆ Fext = IB lx . (4.14) La potencia, P , suministrada por el agente externo al circuito vendrá dada por (4.15) P = Fext · v = IB lv , que puede reescribirse, teniendo en cuenta la expresión (4.5), como P = E2 = I 2R . R (4.16) Esta potencia es precisamente el valor de la potencia Joule disipada en la resistencia, por lo que podemos concluir que la potencia suministrada por el agente externo que mueve el circuito es justamente aquélla disipada en la resistencia por efecto Joule. 4.2.2. Fuerza electromotriz inducida La discusión de la situación analizada en la sección 4.2.1 ha mostrado que la aparición de una fuerza electromotriz en el circuito móvil podía atribuirse a la existencia de una fuerza de Lorentz. Ahora bien, si consideramos que el circuito permanece quieto y es el agente que crea el campo magnético (por ejemplo, un imán) el que se mueve hacia la izquierda, es razonable suponer que también aparecerá una fem de igual magnitud y sentido que en el caso anterior puesto que lo que debe importar, según el principio de relatividad, es el movimiento relativo entre el campo B y el circuito y no cuál de ellos se mueve. Los experimentos muestran que efectivamente la suposición anterior es cierta. No obstante, si analizamos el caso del circuito fijo y el imán moviéndose según nuestra teoría, dado que las cargas móviles en el circuito estarán ahora en reposo, no existirá fuerza de Lorentz que impulse a las cargas. Por tanto, si no hay fuerza de Lorentz actuando sobre las cargas, ¿de dónde proviene la fem inducida en el circuito?. Podemos responder que el agente que crea ahora la fem debe ser un campo eléctrico, que evidentemente no puede ser un campo electrostático (ver discusión en el apartado 2.5 ) sino un nuevo tipo de campo eléctrico que debe estar relacionado con las variaciones temporales del campo magnético. El punto en común de los dos fenómenos equivalentes descritos anteriormente se encuentra en que en ambos casos existen variaciones temporales del flujo magnético que atraviesa el circuito. Este hecho no es una coincidencia sino que M. Faraday encontró experimentalmente (∼ 1830) que Apuntes de FFI Dpt. Física Aplicada 1 4.2. Ley de Faraday La fuerza electromotriz E inducida en un circuito viene dada por la variación temporal del flujo magnético, Φ, que atraviesa dicho circuito. En forma matemática, esta ley puede expresarse como 75 E =− dΦ , dt (4.17) Ley de Faraday donde el signo menos está relacionado con el sentido de la fem inducida. Teniendo en cuenta que el origen de la fem es la aparición de un campo E no electrostático, la ley de Faraday puede también expresarse en forma integral como Γ E · dl = − d dt S(Γ) B · dS , (4.18) donde la curva Γ es precisamente el recorrido del circuito. El signo menos de la ley de Faraday queda ahora completamente determinado ya que el sentido de recorrido de la integral de camino a la largo de Γ está relacionado con el sentido de dS según la regla de la mano derecha. La expresión (4.18) pone claramente de manifiesto que la fem inducida está, en general, distribuida a lo largo de todo el circuito1 . Una manera muy útil y sencilla de determinar a veces el sentido de la fem y de la intensidad inducida lo proporciona la ley de Lenz. Esta ley establece que La fem y la corriente inducidas poseen una dirección y sentido tal que tienden a oponerse a la causa que las produce. La ley de Lenz no hace referencia a la causa (o causas) concreta que provoca la aparición de la fem inducida sino simplemente sugiere que la reacción del sistema generando una fem y corriente inducidas será siempre actuar en contra de la causa que las provoca. Este hecho parece congruente pues de lo contrario el circuito favorecería la causa que provoca la corriente inducida, intensificando su efecto indefinidamente. A efectos prácticos, la deducción del sentido de la fem y corriente inducidas puede hacerse considerando el carácter creciente o decreciente del flujo magnético con respecto al tiempo (este carácter lo da el signo de su derivada temporal). Si, por ejemplo, el flujo es creciente en cierto instante de tiempo, entonces la fem y corriente inducidas deben tener un sentido tal que originen un campo magnético que contrarreste el crecimiento del flujo (lo contrario debe ocurrir si el flujo es decreciente). Veamos el efecto de la ley de Lenz en el circuito móvil mostrado en la figura. En este ejemplo, la barra móvil se desplaza hacia la derecha con una velocidad v debido a la acción de un agente externo. Según se ha discutido en el apartado 4.2.1 y de acuerdo a ley de Lenz, el sentido de la corriente inducida en el circuito es tal que la fuerza magnética que actúa sobre la barra móvil, Fmag = I l × B , se oponga al movimiento impuesto Al contrario de lo que ocurriría, por ejemplo, en una pila, donde la fuerza electromotriz (y por tanto el campo electromotor) estaba confinada exclusivamente a la región interior de la batería. 1 B Fmag I v Dpt. Física Aplicada 1 Apuntes de FFI 76 T EMA 4. Inducción electromagnética externamente. Si la corriente inducida fuese en sentido opuesto al mostrado en la figura, la fuerza magnética sobre la barra móvil favorecería el movimiento hacia la derecha de la barra de modo que ésta se aceleraría continuamente, causando un aumento incesante de energía cinética que obviamente no tiene sentido. Hemos encontrado, por tanto, que siempre que exista una variación de flujo magnético en un circuito aparecerá una fem inducida en dicho circuito. En consecuencia, algunas de las causas que provocarían la aparición de una fem inducida son: Movimiento de un circuito o deformación de su área en una región donde existe un campo magnético constante en el tiempo. Movimiento del agente que produce el campo magnético (por ejemplo un imán) de modo que un circuito fijo intercepte un flujo magnético variable en el tiempo. Por ejemplo, el movimiento de aproximación y alejamiento de un imán daría lugar a una fem inducida en el circuito. V I(t) Variación de la corriente que pasa por un circuito primario de modo que el flujo interceptado por un circuito secundario próximo varíe en el tiempo. Combinación simultánea de algunas de las causas anteriores. En el caso de una corriente variable en un circuito primario que induce una corriente en un circuito secundario, es importante observar que esta corriente inducida se ha generado sin que exista contacto eléctrico entre los circuitos. Desde un punto de vista energético, la energía asociada a la corriente inducida en el circuito secundario debe ser obviamente suministrada por la fuente de fem del primario. Dado que no ha habido contacto físico entre ambos circuitos, la única explicación de la aparición de una energía en el secundario es que ésta haya sido transmitida desde el primario hasta el secundario por el campo electromagnético a través del espacio. Esto indica que el campo es un agente capaz de transmitir energía y por tanto debe ser considerado como un ente con realidad física propia. Ejemplo 4.1 Obtener el sentido y el valor de la intensidad inducida en el dispositivo mos- trado en la figura. Datos. Barra móvil: σ = 108 (Ωm)−1 , b = 10 cm, r = 2 mm, v = 5 m/s; i = 200 mA, a = 20cm. En la situación mostrada en la figura, dado que la barra vertical se mueve, el flujo magnético que atraviesa el circuito (debido al campo magnético del hilo recto infinito) varía en el tiempo, por lo que se inducirá una E en el circuito. Dado que el circuito muestra una resistencia, R (debida a la conductividad finita de la barra móvil), la intensidad que circula por él vendrá dada por I= E . R (4.19) Según los datos que nos da el problema, la resistencia de la barra móvil será R= b 0,1 10−3 = 8 = Ω. −3 )2 σS 10 · π(2 × 10 4π Apuntes de FFI Dpt. Física Aplicada 1 tenemos que la E puede escribirse como (4.20) Puesto que al moverse la barra móvil hacia la derecha. 2π(a + vt) (4. encontraremos una fuerza magnética por unidad de carga. Dado que las cargas de la barra vertical se mueven en una región donde existe un campo magnético. a través la superficie del circuito será dΦ = B · dS = BdS = µ0 I dxdy . dy = 2π a Dado que la E es la derivada temporal del flujo magnético.3). Bind que contrarreste el campo externo. Esta corriente debe ir dirigida por tanto según el sentido mostrado en la figura de modo que el sentido de Bind sea el opuesto al de (4.20) del campo magnético. Física Aplicada 1 Apuntes de FFI . debemos derivar con respecto al tiempo (4. por lo que la corriente inducida debe generar un campo magnético que se oponga a este crecimiento. Dado que el diferencial de superficie puede escribirse como dS = dxdyˆ. el flujo magnético del circuito crece.23). La E inducida puede calcularse en este caso por dos procedimientos: Fuerza de Lorentz. aplicando la ley de Lenz. sobre las cargas móviles.22) Ley de Faraday. y admitiendo que la posición de la barra móvil viene dada por x(t) = a + vt .2. esta fuerza magnética provoca la aparición de una E en el circuito dada por E= Z 2 1 v × B · dl = Z 2 vBdy = vBb . Al aplicar la expresión (4. el valor del campo magnético creado por el hilo recto e infinito viene dado por 77 B(x) = µ0 I ˆ. en el plano z = 0 donde se sitúa el circuito móvil. dt 2π dt a 2π x(t) 2π x(t) Para aplicar la ley de Lenz observamos que el signo de dΦ/dt en la expresión anterior es siempre positivo. I .21) E (t) = µ0 Ivb . 1 Teniendo en cuenta la expresión (4. nos preocuparemos a continuación únicamente por el módulo de la E y de la intensidad inducidas. Si hacemos esto tenemos que µ0 Ib dx/dt µ0 Ib d “ x ” µ0 Ib v dΦ ln = = = . Este campo Dpt. en el circuito debe ser tal que genere un campo magnético. 2πx Para calcular el flujo hay que integrar la expresión anterior en la superficie total del circuito. la corriente inducida. Para aplicar la ley de Faraday dada por la expresión (4.4.23) µ0 I x = ln 2π a Z 0 µ0 Ib x ln . de modo que Φ= Z b dy 0 Z x dx a b µ0 I 2πx ff = Z b dy 0  x µ0 I ln 2π a ff (4. dΦ. el z diferencial de flujo magnético. Dado que hemos determinado el sentido de la corriente. fm = v × B . En consecuencia.20). z 2πx (4. Ley de Faraday Antes de calcular la E inducida notemos que. tenemos que la reacción del circuito generando una corriente inducida debe ser la de contrarrestar la acción que la produce.17) debemos calcular primero el flujo magnético Φ. consecuentemente. I1 .28) La expresión anterior nos confirma que existe una relación de proporcionalidad entre el flujo magnético y la intensidad. el flujo magnético es proporcional a la intensidad.24) expresión que coincide con la obtenida previamente en (4.78 T EMA 4. debe estar generado por una corriente dirigida en sentido horario (tal como se dedujo anteriormente).26) lo que implica que B1 puede escribirse como B1 (P ) = I1 β1 (P ) . B1 B(P ) = µ0 4π espira Idl × r . Inducción electromagnética z debe tener dirección −ˆ y.3. que circula a través del circuito 1. b 2π a + vt (4. Al factor de proporcionalidad entre el flujo magnético en un circuito debido a la intensidad que recorre otro se le denomina inductancia mutua y se denota como M . Este hecho puede explicarse fácilmente si se considera que según la ley de Biot y Savart.3. (4. 2π a + vt (4. El flujo magnético Φ21 se obtiene como Φ21 = S2 B1 · dS . que atraviesa la superficie del circuito 2 (véase la figura adjunta). En nuestro caso tendríamos que Φ21 = M I1 .1.27). 4.29) Dpt.22).2 + 5 · 60 4. Inductancia Inductancia mutua Si calculamos el flujo magnético. se tiene que Φ21 = I1 S2 β1 · dS . generado por la corriente.25) Tras un minuto de movimiento.6µA . Φ21 . Finalmente el valor de la intensidad inducida será I(t) = E (t) σS µ0 IσS v = . Finalmente encontramos que el módulo de la E será E (t) = µ0 Ib v . 2π 0. debido al campo magnético. (4.2 · 108 · 4π 2 × 10−6 5 ≈ 2. Física Aplicada 1 . B1 .27) donde β1 (P ) es una función que depende de la posición y de la forma geométrica del circuito 1. Apuntes de FFI (4. donde al sustituir la forma de B1 dada por (4. r3 (4. encontraríamos que 1 I1 2 V esto es. la intensidad toma el siguiente valor: I(60) = 4π × 10−7 · 0. el campo magnético B generado por una corriente I en el punto P viene dado por Φ21 ∝ I1 . (4. 2πx El cálculo del flujo total requiere la integración de la expresión anterior en la superficie de la espira rectangular.3. este flujo se conoce como autoflujo y el parámetro de proporcionalidad entre el autoflujo y la intensidad se conoce como autoinducción y se denota como L (las unidades de esta inductancia son obviamente henrios). por lo que el diferencial de flujo magnético. I 2π a 4. Inductancia Las unidades de inductancia en el SI se denominan henrios (H). esto es.31) Ejemplo 4. Física Aplicada 1 Apuntes de FFI . (4. de modo que T·m2 1H=1 . que atraviesa este circuito es igualmente proporcional a la intensidad que lo recorre: Φ∝i. 79 nductancia henrio (H) Φ12 = M I2 . En el plano z = 0 donde se sitúa la espira rectangular. 2π a La expresión anterior muestra que la inductancia mutua en el presente caso es M= Φ µ0 b a + c = ln . debido a un campo B2 producido por una intensidad I2 que recorriese el circuito 2 vendría dada por la misma razón de proporcionalidad. el diferencial de superficie puede expresarse como dS = dxdyˆ. de modo que Φ= = Z b dy 0 Z a+c dx a µ0 I 2πx ff = Z b dy 0 a+c µ0 I ln 2π a µ0 I a+c ln 2π a Z b dy = 0 µ0 Ib a + c ln .4. Φ12 . z 2πx I a z En el presente caso. dΦ.30) A Usando razonamientos que no serán discutidos aquí encontraríamos que la relación entre el flujo que atraviesa el circuito 1. Autoinducción Si consideramos ahora el caso en el que tenemos un solo circuito por el que circula una intensidad i. a través de esta superficie z es dS b x dΦ = B · dS = BdS = µ0 I dxdy . Cuando el flujo magnético que atraviesa un circuito se debe únicamente a la corriente que circula por el propio circuito. En consecuencia podemos escribir Φ = Li .2. Φ.32) Dpt. un cálculo similar al del apartado anterior nos muestra que el flujo magnético. (4.3. el valor del campo magnético creado por el hilo recto e infinito viene dado por y c B(x) = µ0 I ˆ.2 Flujo magnético que atraviesa una espira rectangular debido al campo de un hilo recto e infinito recorrido por una intensidad I . Dadas las relaciones de proporcionalidad entre los flujos y las intensidades vistas en las expresiones (4. Para un solenoide esbelto de N vueltas y longitud l.36) El cálculo de la fem inducida en el circuito 2 según (4. ˆ donde n = N/l es la densidad lineal de espiras y u es el vector unitario según el eje del solenoide. que atraviesa la superficie del circuito 2 puede expresarse como Φtot = = Φ21 + Φ22 Φext + Φaut . (4. el flujo total. el flujo que atraviesa las N espiras del solenoide será Φ=N Z B · dS = N Z BdS = N B S S Z dS = µ0 S N2 l iS . 10−2 1 I i B2 B1 2 En el caso de que circule corriente tanto por el circuito 1 como por el circuito 2.32). en este caso. de donde se deduce que la autoinducción L es L = µ0 N2 l S = µ0 n2 lS . la fem inducida en el circuito 2 vendrá dada por E=− d (Φext + Φaut ) . pero esta Apuntes de FFI Dpt.36) como dS i B ˆ B = µ0 n i u .3 Cálculo de la autoinducción de un solenoide esbelto de N = 100 vueltas. dt dt (4. Inducción electromagnética Ejemplo 4. Dado que el diferencial de superficie de las espiras viene dado ˆ por dS = dS u.35) En el caso frecuente de que la autoinducción y la inducción mutua no varíen en el tiempo (esto es. E puede escribirse como E = −M dI di −L . dt (4.33).36) no es trivial dado que esta fem depende de las variaciones temporales de i.33) donde Φext es el flujo que atraviesa el circuito 2 debido a los agentes externos. el campo magnético en el interior del solenoide puede escribirse según (3. que recorre el circuito 1 y Φaut es el autoflujo del circuito 2. Física Aplicada 1 .80 T EMA 4. . el campo generado por la intensidad. Φtot . (4. el flujo total puede escribirse como Φtot = M I + Li .34) Según la ley de Faraday y teniendo en cuenta (4. Sustituyendo ahora los datos del problema tenemos que L = 4π ×10−7 104 π ×10−6 ≈ 3. si la forma de los circuitos no cambia en el tiempo). I . longitud l = 1cm y r = 1mm.29) y (4.95µH. Desde un punto de vista circuital. Un caso particularmente importante se encuentra cuando cuando las variaciones del flujo externo son nulas (por ejemplo cuando I = 0).41) Dpt. Afortunadamente. En este caso la fem inducida debe calcularse como E =− dΦaut . Eind . Transitorios en circuitos RL Una situación práctica donde el único flujo que atraviesa el circuito es el autoflujo se muestra en la figura adjunta. existen otras situaciones donde el autoflujo no puede despreciarse.39) Para obtener el valor de la intensidad i(t) que circula por el circuito debemos resolver la ecuación diferencial anterior. la fem inducida puede considerarse que actúa como una fuerza “contralectromotriz”. Según esta ecuación.39) proporciona una buena interpretación física de los fenómenos que suceden en el circuito. por lo que la fem inducida en el circuito puede obtenerse muy aproximadamente como 81 E =− dΦext .40) (4.4. en el sentido de que actúa contra la fem de la batería intentando contrarrestar (según determinaba la ley de Lenz) los cambios de flujo magnético en el circuito. dt (4. EB . (4. la bombilla puede considerarse como una resistencia de valor R. dt (4. es usual reescribir esta ecuación como EB = Ri + L di dt = VR + VL .3. dt Valor de la E si autoflujo es despreciable No obstante. una debida a la batería.3. debida a las variaciones temporales del autoflujo. Dado que existen dos fuentes de fem. donde tenemos una batería de fem EB que mediante un conmutador alimenta una bombilla (o cualquier otro dispositivo). Aplicando la ley de Kirchhoff de las tensiones a la configuración anterior tendremos que la suma de las fem existentes en el circuito debe ser igual a la caída de tensión en la resistencia.3.37) Eind = −L podemos reescribir (4. Dado que en el presente caso: (4. y otra fem inducida.38) EB − L di = Ri . existen muchas situaciones prácticas en las que las variaciones temporales del autoflujo son mucho menores que las correspondientes al flujo externo. la ley de Kirchhoff dice que EB + Eind = Ri . El efecto de esta fuerza contrelectromotriz se notará en que la corriente que circula por el circuito no cambiará bruscamente desde 0 hasta un valor de EB /R tal como ocurriría si se despreciase el efecto de la inducción electromagnética. dt Valor de la E si flujo externo nulo 4.37) como di . Inductancia misma intensidad depende a su vez del valor de la fem inducida. Aunque la expresión (4. Física Aplicada 1 Apuntes de FFI . En el presente caso dado que i(0) = 0 (esto es. la intensidad era nula antes de conmutar). Física Aplicada 1 . Estos inductores son comúnmente elementos puestos a propósito en los circuitos para aumentar los efectos de inducción electromagnética. dt L L La solución de esta ecuación diferencial viene dada por R (4. por ejemplo. Consideramos ahora la situación mostrada en la figura adjunta en la que el interruptor pasa de la posición 1 → 2 en t = 0. por tanto. Si L tiene un valor alto (esto es. Desde un punto de vista circuital. se encuentra que I0 = −EB /R y por tanto i(t) = R EB 1 − e− L t R . por tanto.43) sea nulo y. estos elementos son parte fundamental de los circuitos eléctricos y electrónicos. R donde la constante I0 se determina en función del valor de i(t) en t = 0. pero con EB = 0. dt (4. VR = Ri. denominado genéricamente inductor.40) o equivalentemente: EB di R + i= . consideraremos a la autoinducción o bobina como otro elemento del circuito donde se produce una caída de tensión al igual que en la resistencia. la Teoría de Circuitos interpreta que la fem generada por la batería es igual a la caída de tensión en la resistencia. aunque obviamente la dependencia de V con la intensidad que recorre el elementos es distinto en la resistencia y en la bobina. la solución para i(t) venga dada por i(t) = i(0)e− L t EB − R t = e L .42) De este modo. El efecto distribuido de la fem inducida en el circuito puede modelarse. como una caída de potencial en un elemento de circuito.45) (4. Para resolver la evolución de la corriente en el tiempo podemos notar que ahora tenemos la misma situación que en el caso anterior.46) Apuntes de FFI Dpt.43) i(t) = I0 e− L t + EB . los efectos de inducción electromagnética relacionados con el campo magnético variable se supone que están localizados en los inductores. más una caída de tensión.44) La forma de i(t) claramente muestra que esta intensidad no cambia bruscamente sino que el valor final EB /R se alcanza aproximadamente tras un tiempo ts ≈ 4L/R. debida a la autoinducción L. Antes de conmutar. Dado el alto valor del campo magnético en el interior de los solenoides y la posibilidad de miniaturizarlos. (4. Esto hace que ahora el segundo miembro de la ecuación (4. solenoides o bobinas. R R (4. donde la intensidad i(t) que circula por este circuito será la solución de (4. En este sentido. el circuito había alcanzado una situación estacionaría por lo que tendremos que en t = 0. i(0) = EB /R. VL . si los efectos de inducción electromagnética son importantes) el valor final de la corriente tarda más tiempo en alcanzarse. el circuito que debemos resolver se muestra en la figura adjunta. caracterizado por la inductancia L (ver figura adjunta): i(t) L VL VL = L di .82 T EMA 4. Inducción electromagnética Escrito en esta forma. por tanto. Ri2 .45).4. según (2. Física Aplicada 1 Apuntes de FFI . dt Dpt. Dado que el primer término del segundo miembro.47) Multiplicando ambos términos de la ecuación por la intensidad. la intensidad que recorre el circuito R2 L será. podemos afirmar que el valor de la intensidad en este instante era I0 = E . i(t) = I0 e− R2 t L . es la potencia disipada en la resistencia por efecto Joule –ver (2. 83 4. Supuesto que en t = 0 se realiza el cambio del conmutador de la posición 1 a la 2. Lidi/dt. i. (4. la corriente no desciende a cero bruscamente sino que tardaría aproximadamente un tiempo ts en alcanzar este valor. según (4. Si designamos por UB a la energía magnética almacenada en el inductor.4 Calcular el calor disipado en la resistencia R2 cuando el conmutador pasa de la posición 1 a la 2. en la presente situación. la energía magnética almacenada en el inductor vendrá dada por UB = 1 2 Li . Dado que el calor disipado en la resistencia R2 por unidad de tiempo viene dado por PR2 = dW = i2 R2 .4. obtenemos Ei = Ri2 + Li di . estará exclusivamente asociado a la autoinducción.50) Energía almacenada en el inductor Ejemplo 4.4. R1 + R2 supuesto que el conmutador estuvo en la posición 1 por un tiempo considerable –ver expresión (4. la potencia suministrada por la batería y el segundo miembro debe ser. la potencia “consumida” en el circuito.48) donde el primer miembro de (4. Energía magnética En el apartado anterior se ha visto que la evolución de un circuito serie RL tal como el mostrado en la figura adjunta venía regida por la ecuación E = Ri + L di . Este término puede entonces interpretarse como la energía por unidad de tiempo que se almacena en el campo magnético del inductor (recuérdese que en el circuito se ha supuesto que los efectos del campo magnético están localizados en este elemento). dt (4.27).22)–. entonces la razón con la que se almacena esta energía puede escribirse como di d dUB = Li = dt dt dt 1 2 Li 2 .48) nos da. dt (4. podemos concluir que el segundo término. 2 (4. Para t > 0.49) En consecuencia. Energía magnética Podemos observar que.44). 52) siendo V = S l el volumen del solenoide. la aplicación de la ley de Ampère al presente caso nos dice que el campo magnético producido por ambas corrientes fuera de los conductores será 8 B= < µ0 I τ si ˆ 2πρ : 0 si a ≤ ρ ≤ b.5 Cálculo de la autoinducción por unidad de longitud de una cable coaxial de radio interior a = 1mm y radio exterior b = 3mm. Inducción electromagnética el calor total disipado en esta resistencia.3). consecuentemente. e− 2R2 t L Si en la integral anterior se introduce el siguiente cambio de variable: t= se tiene que 2 W = I0 R2 L α 2R2 ∞ 0 „ L 2R2 Z « 1 2 e−α dα = LI0 . Para hacer este hecho más evidente. (4. Apuntes de FFI Dpt. La energía almacenada en el inductor podemos decir que está “contenida” en el campo magnético presente en este elemento y. µ0 n2 lSi2 = 2 2µ0 0 (4. cálculos más rigurosos demostrarían que este resultado es válido en general. UB puede identificarse como la energía del campo magnético. Física Aplicada 1 . 2µ0 (4.84 T EMA 4. W . Dado que un cable coaxial la corriente I que circula por el conductor interno retorna por el conductor externo. 2µ0 (4. consideremos que el inductor es un solenoide esbelto (cuya autoinducción fue obtenida en el Ejemplo 4.51) Dado que el campo en el interior de un solenoide se encontró que era B = µ0 ni. la expresión anterior puede reescribirse como UB = B2 V. Finalmente podemos deducir que en este inductor la densidad volumétrica de energía magnética. por lo que podemos escribir que UB = 1 2 22 1 µ n i Sl .53) Aunque el resultado anterior se ha obtenido para un caso particular. 2 El calor disipado en la resistencia es justamente la energía magnética que estaba almacenada en el inductor.54) ρ>b. puede calcularse como W = Z ∞ PR2 dt = 0 Z ∞ i2 R2 dt = 0 Z ∞ 0 2 = I0 R2 2 I 0 e− Z ∞ 0 2R2 t L R2 dt dt . Ejemplo 4. uB . viene dada por Densidad de energía magnética uB = B2 . 2π a (4. tenemos que UB = 1 2 1 LI = 2 2 „ b µ0 ln 2π a « l I2 . b) Fa = IlB x. Se establece una campo magnético uniforme y estático. 4π a Considerando ahora que la energía magnética almacenada en el inductor viene dada por (4. aplicada=Fa v = Pot.53). Problemas propuestos 4. 4. b) ¿Qué fuerza está siendo aplicada a la barra para que se mueva a velocidad constante?.55) de donde podemos obtener la energía magnética almacenada en un conductor coaxial de longitud l como UB = Z uB dV . 4. Nota: Despreciar el autoflujo del circuito.56) Teniendo en cuenta que en el presente caso y debido a la simetría cilíndrica del problema podemos escribir dV = dS dl = 2πρdρdl .5. por 85 uB = µ0 I 2 . consumida=I 2 R.22µH/m . B .5. c) Pot.2: Una barra metálica se desplaza a velocidad constante. „ « Sol: M = b µ0 c ln 2π a+b .58) 4.0 ×10−5 weber a 3. 2π (4. a) Calcúlese la fem inducida en el circuito así como la corriente inducida indicado su sentido. como se indica en la figura. v. sobre dos varillas conductoras unidas por una resistencia R en sus extremos izquierdos. c) Realízese un balance entre la potencia aplicada y la energía consumida. 8π 2 ρ2 (4.1: En el interior de un solenoide de 600 vueltas. ˆ Sol. a a c Dpt. Física Aplicada 1 Apuntes de FFI . el flujo magnético cae de 8. volumen (4.57) Sustituyendo ahora los valores de a y b obtenemos el siguiente valor numérico: L l = 4π ×10−7 ln 3 ≈ 0.4.): E = −2 V.0 ×10−5 weber en 15 ms. Problemas propuestos La densidad volumétrica de energía magnética en el interior del cable coaxial vendrá entonces dada.: a) E = −Blv. ¿Cuál es la fem media inducida? Sol.3: Determinar el coeficiente de inducción mutua entre le circuito rectangular de la figura y el conductor recto infinito.50). según (4. la energía magnética se calculará como UB = Z l dl 0 Z b a µ0 I 2 2πρdρ 8π 2 ρ2 ff = Z l dl 0  µ0 I 2 4π Z b a dρ ρ ff = b µ0 I 2 l ln . por lo que la autoinducción por unidad de longitud del cable coaxial será L l = µ0 b ln . c) el valor de la corriente inducida en el instante t si I(t) = I0 y x(t) = vt (v > 0). b) 10 A. que contiene una resistencia R = 10 Ω. Las dimensiones del circuito son de 0.3t5 ) y. indicando su sentido. y en un plano que contiene a éste. estando situada en el instante inicial (t = 0) a una distancia r0 del hilo.39 µA. d) la fuerza debida al campo magnético que actúa sobre la barra en dirección y .: a) Φ(t) = a I(t) b x(t) R x a + x(t) µ0 bI(t) ln . 0 0 0 Sol: a) Φ(t) = 2(r +vt) . que se mueve a velocidad v.5 m de altura por 0. calcular: C B(t) Y v R X A a) el flujo magnético a través del circuito. . .8t3 + 0.F = 2πR(a + vt) R 2π(a + vt) « » «–2 „ „ µ0 Iv a+l a+l v µ0 I = .8: A través de un hilo conductor rectilíneo muy largo circula una corriente que varía con el tiempo según la expresión I(t) = at. Una espira rectangular de lados a y b y resistencia R es coplanaria con dicho conductor y varía su posición de acuerdo con una ley de movimiento x(t) conocida. Otro conductor en forma de U es coplanario con el primero. de longitud l = 1 m y masa m kg. c) Repetir los apartados anteriores suponiendo que el movimiento es ahora paralelo al eje Z . y mediante un puente móvil. Obtener a) la expresión del flujo magnético que atraviesa la espira. Inducción electromagnética 4. ya que no hay variación del flujo magnético. 4. e) Faplic (t) = (6m + 2. forma una espira rectangular de área variable. En el seno de dicho campo se ha dispuesto un circuito formado por un conductor en forma de U. b) transcurridos 100 segundos. Calcúlese: a) el flujo magnético. sentido antihorario. indicando su sentido.3t5 ) y.F = ln ln 2πR a R 2π a Z 4. Sol.7 A/s.: a) Iind = b) Iind I a v R b) » –2 Iµ0 l v µ0 Ilv .2t + 0. indicando que parte de la misma se debe al movimiento y cuál a la variación temporal del campo magnético. puente móvil v a) l l 4.1 A. d) Fmag (t) = −(2. R.7: En la figura se muestra un campo magnético uniforme y no estacionario. Esta espira se aleja del hilo con una velocidad constante v.2 m de anchura. Determinar en cada caso la intensidad de corriente inducida y la fuerza que es necesario aplicar al puente móvil para que se mueva a velocidad v. b) la expresión de la fuerza electromotriz inducida. que atraviesa la espira. 2πR(at + vt2 ) Z B v Y X I R a 4. Se consideran los casos en que R es paralela o perpendicular al conductor rectilíneo infinito (casos a) y b) en la figura respectivamente).8t3 + 0. c) Iind (t) = 1. Φ(t). 2π » x(t) „ « – µ0 b dI(t) a + x(t) aI(t)v b) ξ(t) = − ln − . Nota: Considere despreciable el autoflujo en el circuito.5t4 weber. Nota: debido al pequeño tamaño de la espira. c) 0 A en los dos casos. 2π dt x(t) x(t)(a + x(t)) abµ0 I0 c) Iind = en sentido horario. Sol. Nota: en todos los casos considérese despreciable el autoflujo. b) E(t) = −(12t + 6t3 ) V. su base es una resistencia.4t + 1. Física Aplicada 1 .5: Un circuito rectangular de 2 Ω de resistencia se desplaza en el plano Y Z en una zona ˆ donde existe un campo magnético B = (6 − y) x T. b) la f em inducida en la espira.6t3 sentido ˆ ˆ horario. y que junto con la barra conductora móvil AC . En las proximidades del hilo. b) E(t) = 2(r +vt)2 . forma una espira rectangular de área variable (véase figura). calcular la intensidad inducida en el circuito en los casos siguientes: a) se desplaza a velocidad uniforme de 2 m/s hacia la derecha. si se mueve aceleradamente hacia la derecha con a = 2 m/s2 (supóngase que el circuito partió del reposo).: a) Φ(t) = 6t2 + 1. e) la fuerza que hemos de aplicar a la barra móvil para que satisfaga la mencionada ley de movimiento. b) la fem inducida en el circuito. c) la intensidad inducida en la espira en el instante inicial. c) la intensidad inducida. « Sol. Nota: en ambos casos considérese despreciable el autoflujo del circuito en U.2 mΩ.4t + 1.5t2 ) z T (t en segundos). Sol. 0 0 µ b2 at µ b2 ar Apuntes de FFI Dpt. se encuentra una espira de radio b = 5 mm y resistencia R = 0. B(t) = ˆ (2 + 0.4: Un conductor rectilíneo e infinitamente largo está recorrido por una intensidad I(t).6: Un conductor rectilíneo infinito está recorrido por una intensidad I .86 T EMA 4. c) I(0) = 4. Suponiendo que en el instante inicial (t = 0) el lado izquierdo del circuito coincidía con el eje Z (según puede verse en el dibujo). podemos considerar —a efecto de cálculo— que el campo magnético creado por el hilo es uniforme en el interior de la espira e igual a su valor en el centro de ésta). Nota: Despreciar el autoflujo del„ circuito. donde a = 0. Si la ley de movimiento de la barra AC es y(t) = 3t2 m.: a) 0. b) Um (t) = d) Um = 2 LI0 . 87 N1 I1 N2 µ0 πR2 N1 N2 2 . Problemas propuestos 4. V2 (t). Dentro del mismo y coaxial con el se ha dispuesto una bobina de radio R2 y un total de N2 espiras. d) la corriente es de 125 mA y no varía. en el interior del solenoide. N2 N1 I1 Dpt. Por dicho solenoide circula un intensidad i(t) = I0 sen(ωt). b) las expresiones temporales de la energía magnética en la bobina y de la potencia recibida por la misma. Calcular: a) el coeficiente de inducción mutua entra ambos bobinados. d) la energía final almacenada en la bobina (esto es. b) la fem inducida entre los extremos de la bobina pequeña cuando por el solenoide esbelto circula una intensidad I1 (t) = I0 cos(ωt).: a) M = 4. Sol. E = 851 × 10−6 V.11: La intensidad que circula una bobina de inductancia L varía de acuerdo con la expresión i(t) = I0 (1 − e−t/τ ).: a) B(t) = 2 µ0 N1 S µ0 N1 I0 sen(ωt). siendo en c) contraria a los apartados anteriores (ya que en este caso disminuye). Así. i(∞) = I0 . c) la diferencia de potencial. entre los extremos del solenoide. del solenoide. B(t). b) el coeficiente de autoinducción. en el cual la potencia recibida es máxima. Sol. c) V1 (t) = LωI0 cos(ωt). c) t = τ ln2. dado que la polaridad de fem autoinducida es tal que se opone a las variaciones de la intensidad. Sol. l l d) Φ2 (t) = µ0 I0 N1 N2 S sen(ωt)/l. Determínese: a) la corriente inicial (t = 0) y final (t = ∞) en la bobina. b) y c). V1 (t).: en los tres casos a). V2 (t) = −µ0 I0 N1 N2 Sω cos(ωt)/l . L. b) L = . que posee un total de N1 espiras. 4. c) en este caso.10: Determinar la fem autoinducida en un solenoide de inductancia L = 23 mH cuando: a) la corriente es de 25 mA en el instante inicial y aumenta con una rapidez de 37 mA/s.4. salvo que la polaridad es diferentes. para t = ∞). c) Repítanse los dos apartados anteriores suponiendo ahora que el eje de la bobina pequeña forma un ángulo θ con el del solenoide. b) E = M ωI0 sen(ωt). d) E = 0. 2 Corte para ver el interior LI0 e−t/τ i(t) Li2 (t) . P (t) = . c) la corriente es de 125 mA en el instante inicial y disminuye con una rapidez de 37 mA/s. donde τ es una constante.9: En la figura se muestra un solenoide esbelto de longitud l1 y un total de N1 espiras. t. 2 τ 4.5. Física Aplicada 1 Apuntes de FFI . c) el instante de tiempo. entre los bornes de dicha bobina. Rodeando dicho solenoide se ha colocado una bobina rectangular de N2 espiras.: a) i(0) = 0. b) la corriente es cero en el instante inicial y aumenta con una rapidez de 37 mA/s. d) el flujo magnético que atraviesa la bobina rectangular. en los apartados a) y b) la polaridad es la misma (ya que en ambos casos la intensidad aumenta). los resultados anteriores l1 se multiplican por cos(θ). así como la fuerza electromotriz inducida. Sol.12: En la figura se ha representado un solenoide esbelto de longitud l y área de sección transversal S . Φ2 (t). Calcular: a) el campo magnético. . la tecnología eléctrica se haya desarrollado en torno a esta forma de corriente (en Europa la frecuencia de la corriente alterna es de 50 Hz). por inducción electromagnética. la corriente alterna se impusiera para uso doméstico e industrial y que. por tanto. bobinas. son dos: 1. a partir de finales del siglo XIX. en este tema estudiaremos únicamente aquélla cuya variación es armónica. I(t). a saber: resistencias. denominada de forma genérica corriente alterna. condensadores. 89 . del tipo I(t) = I0 cos(ωt + δ) (5. en el presente capítulo estamos ya preparados para tratar circuitos con corriente variable en el tiempo y así extender los conceptos de circuitos de corriente continua (Tema 2) al caso de circuitos de corriente variable en el tiempo. Introducción Dado que en el Tema 4 se han establecido algunas de las leyes físicas que rigen el comportamiento de los campos eléctrico y magnético cuando éstos son variables en el tiempo. Relevancia tecnológica.1) (ver Apéndice B para una descripción de las funciones armónicas). el uso de la corriente alterna es muy conveniente debido a que ésta es muy fácil de generar y su transporte puede realizarse fácilmente a altas tensiones (y pequeñas intensidades) minimizando así las pérdidas por efecto Joule (posteriormente. Estas características junto con su fácil aplicación para motores eléctricos hizo que. Las razones fundamentales para estudiar este tipo de corriente variable en el tiempo. Entre las posibles dependencias temporales de la corriente. esto es. etc.1.Tema 5 Circuitos de Corriente Alterna 5. Desde un punto de vista tecnológico. transformadores. Una característica adicional de esta corriente es que su forma armónica se conserva cuando la corriente es modificada por el efecto de elementos lineales. la corriente alterna puede fácilmente transformarse a las tensiones usuales de trabajo). C= Q . dada por I(t) + V(t) L V (t) = L 1 dI(t) . Física Aplicada 1 . Relación I ↔ V para Resistencia. Experimentalmente puede verificarse que la ley de Ohm sigue siendo válida para corrientes alternas y. el estudio de la corriente alterna constituye la base para el análisis de señales variables en el tiempo en redes lineales. R (5.2. puede escribirse que1 I(t) = - V (t) .58) se definió la capacidad C de un condensador como la relación entre la carga Q de las placas y la caída de potencial V entre éstas. V = RI . Circuitos de Corriente Alterna 2.5) C Esta relación indica que la derivada temporal de la caída de potencial entre las placas está relacionada linealmente mediante el parámetro C con la intensidad que llega al condensador.2. esto es. dt (5. puede escribirse como Q(t) = CV (t) . en corriente continua la relación que existía entre la caída de potencial V y la intensidad I en una resistencia caracterizada por R venía dada por la ley de Ohm.90 T EMA 5. Dpt. Q(t). (5. Relevancia matemática. V (t).3. esto es. Bobina.42). En la expresión (1. el efecto de autoinducción electromagnética de una bobina caracterizada por una inductancia L y recorrida por una intensidad I(t) podía considerarse como una caída de potencial en la bobina. 5. Según se discutió en el Apartado 2. Tal y como se expresó en (4. V (5.2) Condensador.4) Al derivar la expresión anterior respecto al tiempo obtenemos la siguiente relación entre la intensidad I(t) y la caída de potencial entre las placas V (t): I(t) V(t) + - I(t) = C dV (t) . por tanto.6) Apuntes de FFI Los signos más y menos en la resistencia y en otros elementos en los circuitos de corriente alterna indican los puntos de potencial más alto y más bajo en dichos elementos cuando la corriente tiene el sentido supuesto en la correspondiente figura. Condensador y Bobina I(t) + V(t) R Resistencia.3) Esta relación se cumple igualmente para corrientes alternas. Debido a que cualquier función periódica puede expresarse como la suma de diferentes armónicos (teorema de Fourier). dt (5. de donde puede deducirse que la carga variable en el tiempo. Física Aplicada 1 Apuntes de FFI . viene dado por Φ= S B · dS = BS cos θ . el flujo magnético que atraviesa la espira puede expresarse como Φ(t) = BS cos(ωt + θ0 ) .5.3. El generador de fem alterna basa su funcionamiento en la ley de inducción electromagnética de Faraday (ver Apartado 4. en el presente caso.3. Si el movimiento que se le imprime a la espira es un movimiento angular uniforme caracterizado por una velocidad angular ω constante (como por ejemplo el que produciría un chorro de vapor constante dirigido a unas aspas conectadas con la espira). (5.10) donde. donde podemos observar que el flujo magnético que atraviesa la espira giratoria w B q dS e(t) Figura 5.9) esto es. mediante el parámetro L.2). se ha generado una fem alterna que puede expresarse en general como E(t) = E0 cos(ωt + δ) . dt (5.3.17). como un elemento de circuito que relaciona linealmente. la fem E(t) inducida en un conjunto de N espiras similares a la de la figura anterior será E(t) = −N dΦ = N BSω sen(ωt + θ0 ) .1: Esquema básico de un generador de fuerza electromotriz alterna.8) Haciendo uso de la ley de inducción de Faraday (4. (5. la derivada temporal de la intensidad que circula por ella con la caída de potencial en la misma. Generador de fem alterna Anteriormente se ha señalado que una de las propiedades más destacadas y que hacen más útiles el uso de la corriente alterna es su fácil generación. E0 = N BSω y δ = θ0 − π/2. ver Apartado 3.7) donde se ha supuesto que el campo magnético es uniforme en la región donde se mueve la espira. Dpt. Generador de fem alterna La bobina puede considerarse. por tanto. (5. Un esquema básico de un generador de fem alterna se muestra en la figura 5.1. 91 5. dado que θ = ωt + θ0 .2. transformando energía mecánica en energía electromagnética (en una forma opuesta a lo que hace el motor eléctrico.2). Ief . I(t) = I0 cos(ωt + δ) . 2 (5. Ief . Valores eficaces El valor eficaz. que recorre una resistencia R es justamente el valor de la intensidad de la corriente continua que produce el mismo efecto Joule durante un periodo de tiempo T . de una corriente alterna. Ief = I 2 (t) .12) donde el valor medio de una función periódica. 2 por lo que el valor eficaz se relaciona con la amplitud. la energía disipada por la corriente alterna en esta resistencia puede escribirse como 2 WCA = I0 R T 0 2 cos2 (ωt + δ) dt = I0 R T 2 = Ief RT . Es interesante observar que el valor eficaz. La energía WCA disipada por efecto Joule en una resistencia R por una corriente alterna durante un periodo de tiempo T puede calcularse como T WCA = 0 P (t) dt . (5. de periodo T se define como f (t) = 1 T T f (t) dt . de una corriente alterna.13) se tiene que 2 2 Ief = I0 cos2 (ωt + δ) = 1 2 I T 0 T 0 cos2 (ωt + δ) dt = 2 I0 . f (t). 2 WCC = Ief RT . (5. (5.2) la caída de potencial en la resistencia es V (t) = RI(t). el valor eficaz de cualquier otra magnitud que varíe armónicamente en el tiempo se define como la amplitud de dicha magnitud √ dividida por 2. Circuitos de Corriente Alterna 5.18) Apuntes de FFI Dpt. 0 (5.16) Dado que según (5.4. 2 (5. I0 . que viene dada por el producto de la intensidad por la tensión. (5.17) que es precisamente el valor de la energía disipada por efecto Joule durante un periodo de tiempo T en dicha resistencia R si ésta fuese recorrida por una corriente continua de valor Ief .14) Análogamente.92 T EMA 5. tiene mucha importancia práctica dado que el valor que miden los polímetros analógicos es precisamente el valor eficaz. Siguiendo la definición (5.13) El valor eficaz de la corriente. esto es.15) donde P (t) es la potencia instantánea disipada en la resistencia.11) se define como la raíz cuadrada del valor cuadrático medio I 2 (t) de la corriente. esto es: P (t) = I(t)V (t) . Física Aplicada 1 . es decir. I(t) = I0 cos(ωt + δ). al igual que otras magnitudes circuitales que varíen armónicamente. (5. de la corriente mediante la siguiente expresión: Valor eficaz de la corriente alterna I0 Ief = √ .12) y teniendo en cuenta (5. condensador y bobina Haciendo uso de las relaciones fasoriales apropiadas es posible expresar las relaciones fundamentales para resistencias. Condensador.5. donde también se muestra que una propiedad muy útil para el presente tema es la que relaciona la derivada temporal de una función armónica con su fasor asociado. I= R (5.22) (5. Para el condensador.25) La expresión anterior suele también escribirse como ˜ ˜ V = −jXC I .5. donde (5.26) XC = Dpt.2) puede expresarse en forma fasorial simplemente como ˜ ˜ V . jωC (5.20) ˜ Fasor I asociado a I(t) = I0 cos(ωt + δ) Las propiedades básicas de los fasores se discuten en el Apéndice B.19) (5. ˜ I = I0 ejδ . haciendo uso de la propiedad (5. condensadores y bobinas en la siguiente forma: Resistencia.23) o bien como ˜ ˜ V = RI . La relación (5. esto es.2. Análisis fasorial de circuitos de CA 93 5. Expresiones fasoriales para resitencia. dt (5.1.21) 5. dI(t) ˜ ↔ jω I . Física Aplicada 1 1 ωC (5. o equivalentemente (5.5) puede expresarse como ˜ ˜ I = jωC V .2.24) ˜ V = 1 ˜ I . Tal y como se explica en el Apéndice B. a una función armónica I(t) = I0 cos(ωt + δ) se le hace corresponder un ˜ fasor I : que viene dado por de modo que ˜ I(t) ↔ I . la relación (5. ˜ I(t) = Re Iejωt . (5.21). Análisis fasorial de circuitos de CA Dado que el estudio de la corriente alterna implica el tratamiento de funciones con una dependencia temporal de tipo armónica.5. la introducción de los fasores asociados a estas funciones simplificará enormemente el cálculo matemático necesario.5.27) Apuntes de FFI . ˜ se ha encontrado que el fasor V siempre puede relacionarse linealmente ˜ mediante un parámetro genérico Z . de modo que tiende a cero para frecuencias bajas y a infinito para frecuencias altas. (5. Reglas de Kirchhoff Las reglas de Kirchhoff junto con las relaciones tensión/intensidad en los distintos elementos que constituyen los circuitos nos permitirán determinar el comportamiento de las magnitudes eléctricas en corriente alterna.28) Si se define la reactancia inductiva.31) que denominaremos impedancia y que. Física Aplicada 1 . Circuitos de Corriente Alterna se denomina reactancia capacitiva y se expresa en ohmios (Ω). (5. Apuntes de FFI Dpt. XL .30) La reactancia inductiva viene dada en ohmios y es un parámetro que depende linealmente con la frecuencia. es un número complejo (notar que no es un fasor) que toma los siguientes valores para el caso de resistencias. (5.29) ˜ ˜ V = jXL I . Esto se manifiesta en el hecho de que para frecuencias bajas el condensador se comporta como un elemento que apenas deja fluir la corriente mientras que a frecuencias altas casi no impide la circulación de la corriente.94 T EMA 5. condensadores y bobinas: Impedancia de una resistencia. Es interesante observar que las relaciones tensión/intensidad 2 para el condensador y la bobina fueron expresadas en el Apartado 5. con el fasor I ˜ ˜ V = ZI . condensador y bobina  Resistencia R  Z = −jXC Condensador   jXL Bobina .28) puede también escribirse como (5.21) para la bobina puede expresarse en forma fasorial como ˜ ˜ V = jωL I . Podemos afirmar entonces que la bobina se comporta como un elemento que se opondría al paso de la corriente a medida que la frecuencia de ésta aumenta. Esta magnitud depende de la frecuencia tendiendo a cero para frecuencias muy altas y a infinito para frecuencias muy bajas. la expresión fasorial (5. Es más. Las reglas de Kirchhoff fueron introducidas en el Capítulo 2 para 2 Recordemos que tensión es sinónimo de diferencia de potencial y de voltaje.2 mediante expresiones diferenciales han podido ser ahora reescritas como simples expresiones algebraicas mediante el uso de sus fasores asociados.5. en general.2. como XL = ωL . La relación (5.32) 5. (5. Bobina. 36) obtenemos ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ V12 = Z1 I1 − Z2 I2 + (Z3 + Z4 )I3 − −E1 + E2 .34) esto es. i=1 (5. la suma de todas las intensidades que llegan y salen de un nudo es cero. ◮ Regla de Kirchhoff para las intensidades: N Ii (t) = 0 .33) donde Vj (t) es la caída de potencial en el elemento j -ésimo y Ei (t) es la i-esima fem del recorrido. En consecuencia podemos expresar las reglas de Kirchhoff de la siguiente manera: 95 ◮ Regla de Kirchhoff para la tensión: V12 (t) = j Vj (t) − i Ei (t) . Dpt. 3 Básicamente estamos admitiendo que en cada instante de tiempo se alcanza una situación estacionaria.36) donde Zj es la impedancia del elemento j -ésimo recorrido por la ˜ intensidad fasorial Ij . adoptando entonces la siguiente forma: Regla de Kirchhoff fasorial para la tensión ˜ V12 = j ˜ Vj − i ˜ Ei .37) es decir. al aplicar (5. (5. En los circuitos de corriente alterna supondremos que las reglas de Kirchhoff siguen siendo válidas para cada instante de tiempo3 .35) o. Análisis fasorial de circuitos de CA los circuitos de corriente continua. la regla (5.5.33) nos dice que V12 (t) = [V1 (t) − V2 (t) + V3 (t) + V4 (t)] − [−E1 (t) + E2 (t)] . Las anteriores reglas pueden también expresarse en forma fasorial. Física Aplicada 1 Apuntes de FFI . En el ejemplo mostrado en la figura adjunta. i=1 (5. la suma de todas las intensidades fasoriales que llegan y salen de un nudo es cero. donde suponíamos que se había establecido una situación estacionaria (es decir. Regla de Kirchhoff fasorial para las intensidades N ˜ Ii = 0 . ˜ V12 = j ˜ Zj Ij − i ˜ Ei . (5. equivalentemente.5. (5. En el ejemplo de la figura (siguiendo los criterios de signos ya explicados para los circuitos de corriente continua). las magnitudes no variaban en el tiempo). en cada instante de tiempo. 96 T EMA 5. Circuitos de Corriente Alterna 5.5.3. Circuito RLC serie Debemos observar que las reglas de Kirchhoff tal como han sido establecidas en (5.36) y (5.37) son “idénticas” a las reglas (2.34) y (2.35) establecidas para corriente continua, considerando que ahora tenemos fasores e impedancias en vez de números reales y resistencias. Como un ejemplo sencillo de aplicación de las leyes de Kirchhoff fasoriales consideraremos a continuación un circuito RLC serie en corriente alterna. Si el generador de fem alterna proporciona una E dada por E(t) = E0 cos(ωt + δE ) , cuyo fasor asociado es (5.38) al aplicar la ley de Kirchhoff de las tensiones (5.33) al circuito de la figura tendremos que E(t) = VR (t) + VC (t) + VL (t) , (5.40) o bien en forma fasorial: ˜ E = E0 ejδE , (5.39) ˜ ˜ ˜ ˜ E = VR + VC + VL . (5.41) Teniendo ahora en cuenta las expresiones fasoriales (5.23),(5.26) y (5.30), se tiene que ˜ E = = ˜ [R + j(XL − XC )] I ˜ ZI , (5.42) (5.43) donde la impedancia, Z , del circuito RLC serie será Impedancia de un circuito serie RLC Z = R + j(XL − XC ) , (5.44) esto es, la suma de las impedancias de cada uno de los elementos del circuito. Esta impedancia puede también expresarse en forma módulo y argumento como (5.45) Z = |Z|ejδZ donde y |Z| = R2 + (XL − XC )2 XL − XC R . (5.46) δZ = arctan (5.47) Despejando en la expresión (5.43), el fasor intensidad puede calcularse como ˜ E ˜ I = I0 ejδI = . Z (5.48) ˜ Sustituyendo ahora (5.39) y (5.45) en la expresión anterior, I puede reescribirse como E0 j(δE −δI ) ˜ e , I= |Z| E0 de donde concluimos que la amplitud y fase del fasor intensidad vienen dados por I0 = Apuntes de FFI R2 + (XL − XC )2 (5.49) Dpt. Física Aplicada 1 5.5. Análisis fasorial de circuitos de CA y 97 δ = δE − arctan XL − XC R . (5.50) Obviamente, la expresión temporal de la intensidad puede obtenerse al sustituir las expresiones anteriores para I0 y δ en I(t) = I0 cos(ωt + δ). Resonancia Si la amplitud de la intensidad para el circuito serie RLC, según se ha obtenido en (5.49), se expresa explícitamente como una función de la frecuencia, obtendríamos que I0 (ω) = E0 1 R2 + ωL − ωC 2 (5.51) o, equivalentemente, I0 (ω) = L R2 + 2 ω Definiendo la frecuencia ω0 como 2 ω0 = 2 E0 1 ω2 − LC 2 . (5.52) 1 , LC (5.53) podemos reescribir (5.52) como I0 (ω) = ωE0 2 ω 2 R2 + L2 (ω 2 − ω0 ) 2 , (5.54) donde puede observarse que la amplitud de la intensidad en el circuito serie RLC depende claramente de la frecuencia y presenta un máximo absoluto para un valor de frecuencia ω = ω0 . Este fenómeno se conoce en general como resonancia y aparece en múltiples situaciones prácticas (por ejemplo, en los osciladores forzados). La frecuencia, ωr , a la que aparece el máximo de amplitud recibe el nombre de frecuencia de resonancia, siendo para el circuito serie RLC: ωr = ω0 ; cumpliéndose además a esta frecuencia que XL = XC , por lo que, según (5.47), la impedancia es puramente real. Los fenómenos de resonancia tienen múltiples aplicaciones prácticas; por ejemplo, si el circuito serie RLC se utiliza como el circuito de sintonía de una radio, la capacidad del condensador puede variarse de modo que la frecuencia de resonancia vaya cambiando, sintonizándose así las diferentes emisoras (esto es, la emisora que emita con frecuencia igual a la de resonancia es la que se recibiría con más intensidad). 5.5.4. Análisis de mallas La resolución del circuito RLC serie en corriente alterna ha puesto de manifiesto que mediante el uso de los fasores y de la impedancia asociada a cada elemento, la resolución de un circuito de corriente alterna es Dpt. Física Aplicada 1 Apuntes de FFI 98 T EMA 5. Circuitos de Corriente Alterna equivalente a la de uno de corriente continua en la que las magnitudes intensidad y tensión son ahora fasores y las impedancias juegan el papel de resistencias. De este modo, todas las técnicas introducidas en el Capítulo 2 para la resolución de circuitos de corriente continua pueden ser ahora aplicadas a la resolución de circuitos de corriente alterna, teniendo en cuenta las equivalencias antes mencionadas. Como ejemplo, un circuito como el mostrado en la Figura 5.2 puede Figura 5.2: Circuito de tres mallas resolverse mediante la aplicación del método de las corrientes de mallas. Definiendo los fasores intensidades de malla en cada una de las tres mallas del circuito según se muestra en la figura y teniendo en cuenta el valor de las impedancias de cada uno de los elementos implicados, la ecuación para las intensidades de malla puede escribirse como  donde la matriz de impedancias viene dada por   ˜ E1  0  = [Zij ]  0 ˜  I1 ˜ I2  , ˜ I3  j(XL1 − XC1 ) 0 jXC1  . [Zij ] =  0 R1 + j(XL2 − XC2 ) −jXL2 jXC1 −jXL2 R2 + j(XL2 − XC1 ) Para los cálculos en los ejercicios es siempre conveniente trabajar con números sustituyendo las expresiones algebraicas por sus valores numéricos concretos antes de resolver el correspondiente sistema de ecuaciones.  ˜ ˜ ˜ Ejemplo 5.1 En el circuito de la figura, determine las intensidades fasoriales, I1 , I2 e I3 y las instantáneas, i1 (t), i2 (t) e i3 (t). Datos: E (t) = 20 sen(4 ×104 t)V, R1 = 8Ω, R2 = 4Ω, L = 0,2mH y C = 3,125µF . Lo primero que debemos hacer es obtener los fasores fuerza electromotriz y las impedancias de cada elemento. Dado que la fuente proporciona una fem de valor E (t) = 20 sen(4 ×104 t) V = 20 cos(4 ×104 t − π/2) V , de aquí obtenemos que la frecuencia angular, ω , de la fuente es ω = 4 ×104 rad/s Apuntes de FFI Dpt. Física Aplicada 1 I2 o bien simplificando al dividir por 4: » – » 2 − j2 −j5 = −j2 0 −j2 1 –» – ˜ I1 ˜ . I3 = 4 2 4 4 Dpt. Análisis fasorial de circuitos de CA y su correspondiente fasor asociadao es 99 ˜ E = 20e−jπ/2 = −j20 V .5. debemos calcular primero las reactancias inductivas y capacitivas. Despejando tenemos que ˜ I1 = −j5 −j5(6 + j2) −j5(6 + j2) −j6 + 2 1 − j3 = = = = 6 − j2 (6 − j2)(6 + j2) 5·8 8 4 ˜ y sustituyendo ahora este valor para obtener I2 . son » – » 8 − j8 −j20 = −j8 0 −j8 4 –» – ˜ I1 ˜ . esto es. XL = ωL = 4 ×104 · 2 ×10−4 = 8Ω 1 1 = = 8Ω . debemos tener en cuenta que ˜ ˜ ˜ I3 = I1 − I2 . I1 e I2 . I2 Las intensidades de mallas pueden ahora calcularse usando. el método de sustitución. nos lleva a que ˜ ˜ ˜ ˜ −j5 = (2 − j2)I1 − j2j2I1 = (2 − j2 + 4)I1 = (6 − j2)I1 .5. ˜ ˜ Las ecuaciones para las intensidades fasoriales de malla. que al sustituir en la primera ecuación.125 ×10−6 por lo que el circuito equivalente que debemos resolver es el mostrado en la figura adjunta. Así de la segunda ecuación obtenemos ˜ ˜ I2 = 2jI1 . 2·2 2 ˜ Para calcular ahora el fasor I3 . por ejemplo. por lo que 3+j 1 − j3 − 6 − j2 −5 − j5 1 − j3 ˜ − = = . asociado a i3 (t). XC = ωC 4 ×104 · 3. Para obtener las impedancias de la bobina y los condensadores. obtenemos 2j(1 − j3) 3+j ˜ I2 = = . Física Aplicada 1 Apuntes de FFI . 4 5.6. Pmed . Física Aplicada 1 .249 e = e 4 4 √ √ 10 j arctan(1/3) 10 j0. (5. Consideremos una rama de un circuito de CA caracterizada por una impedancia Z donde se han medido las siguientes tensión e intensidad instantáneas: V (t) I(t) = V0 cos ωt = I0 cos(ωt − δ) .6. Finalmente las intensidades instantáneas vienen dadas por i1 (t) i2 (t) i3 (t) = = = √ 10 cos(4 ×104 t − 1. la idea de “potencia consumida en el sistema” puede relacionarse más convenientemente con la potencia media en un periodo. consumida en dicha rama vendrá dada por la siguiente expresión: P (t) = I(t)V (t) = I0 V0 cos ωt cos(ωt − δ) . 4 4 ˜ (Notar que I3 se encuentra en el tercer cuadrante. cuya expresión será Pmed = P (t) = 1 T T P (t) dt . Circuitos de Corriente Alterna Antes de obtener las expresiones de las intensidades instantáneas es conveniente expresar los fasores anteriores en forma módulo y argumento: ˜ I1 ˜ I2 ˜ I3 = = = √ √ 10 j arctan(−3) 10 −j1. por lo que su fase será π+π/4 = 5π/4).291) A 2 √ 5 2 cos(4 ×104 t + 5π/4) A .56) La potencia media es justamente el valor que usualmente se proporciona al referirnos al consumo de cualquier aparato eléctrico.100 T EMA 5.249) A 4 √ 10 cos(4 ×104 t + 0. Esta magnitud nos nos da una idea clara de cómo se comporta el sistema puesto Apuntes de FFI Dpt.55) donde debemos observar que dicha potencia es una función variable y periódica en el tiempo (T = 2π/ω ). Balance de potencia Potencia media I(t) V(t) Z 5. P (t). La potencia instantánea. Debido al carácter variable y periódico de esta magnitud.1. siendo −δ el ángulo de desfase entre la tensión y la intensidad (en el presente caso se ha tomado por sencillez la fase inicial de la tensión igual a cero.291 e = e 2 2 √ √ 5 2 j arctan(−1/−1) 5 2 j5π/4 e = e . 0 (5. aunque este hecho no afecta a las conclusiones y resultados del presente apartado). 1]. por ejemplo.5.58) 2 2 donde f ∗ significa complejo conjugado de f . ˜ I = ˜ V = I0 e−jδ V0 . que podemos escribir como Z = |Z|ejα .56) para obtener la potencia media tenemos que Pmed = = 1 I0 V0 T T 0 cos(ωt) cos(ωt − δ) dt T 0 1 I0 V0 cos δ T cos2 (ωt) dt + sen δ 0 T cos(ωt) sen(ωt) dt 1 2T. en la resonancia donde el desfase entre la tensión y la intensidad es nulo. el periodo T ) determina el comportamiento del sistema en cualquier otro intervalo de tiempo mayor —éste será simplemente una repetición de lo que sucede en uno de los periodos. la potencia media podría haberse calculado igualmente mediante la siguiente expresión: 1 1 ˜˜ ˜ ˜ Re V I ∗ = Re V ∗ I .61) 5. (5.59) (5. (5. la energía.55) en (5.57) de la potencia media podemos apreciar que junto al producto de las amplitudes de la tensión e intensidad aparece un factor cos δ denominado factor de potencia. el factor de potencia es uno y consecuentemente el consumo de potencia es máximo. Por ejemplo.2. El factor de potencia puede expresarse en términos de la impedancia Z de la rama.6. Así. Por el contrario si el desfase entre la tensión y la intensidad fuese de π/2 el consumo de potencia sería nulo. Dpt. desde un punto de vista operativo.6. 2 2 (5.57) Potencia media consumida Es interesante observar que. Física Aplicada 1 Apuntes de FFI . consumida en el sistema en un intervalo de tiempo ∆t ≫ T será muy aproximadamente 101 ∆E ≃ Pmed ∆t . Balance de potencia que lo que ocurre en el intervalo “natural” de tiempo en el sistema (esto es. ∆E . Introduciendo (5. Factor de potencia En la expresión (5. 2 (5.60) podemos comprobar que efectivamente Pmed = 1 1 Re V0 I0 e−jδ = I0 V0 cos δ . Si tomamos las expresiones Pmed = fasoriales correspondientes a la intensidad y tensión consideradas. Este factor de máxima importancia práctica es determinante en el consumo/suministro de potencia en el sistema puesto que su valor está comprendido en el intervalo [−1. y dado que la segunda integral se anula mientras que la primera es podemos concluir que Pmed = 1 I0 V0 cos δ = Ief Vef cos δ . (5. entonces la parte real de la impedancia vendría dada simplemente por la suma de las resistencias pero si el circuito fuese de otro tipo.3. la potencia media puede también expresarse como Pmed = Ief Vef cos δ = Ief |Z|Ief |Z| (5.1 nos dice que la potencia instantánea suministrada por el generador de fuerza electromotriz E(t). debe cumplirse que Apuntes de FFI Dpt.65) indica que la potencia media consumida está directamente relacionada con la parte real de la impedancia. consecuentemente.57) representan físicamente la energía por periodo proporcionada por la fuente y la consumida en el circuito respectivamente. intensidad I ˜ I = I0 e−jδ ˜ V V0 −jα V0 = = = e . Potencia media suministrada por un generador de fem (5.66) por lo que la potencia media suministrada por dicho generador será gen Pmed = 1 T T 0 E(t)I(t) dt = 1 ˜˜ Re E I ∗ 2 . jα Z |Z|e |Z| I0 = y de donde obtenemos que V0 |Z| (5. 5.65) o expresiones equivalentes (en función de Vef ).67) Dado que las potencias medias (5. Evidentemente el consumo de potencia sólo se lleva a cabo en las resistencias (únicos elementos en los que tiene lugar efecto Joule) y no en las bobinas y condensadores. viene dada por P (t) = E(t)I(t) . más bien habría que decir que la potencia se disipa en las resistencias pero que la presencia y disposición de bobinas y condensadores determina ciertamente cuánta potencia es disipada en estas resistencias. la presencia de las partes reactivas del circuito (condensadores y bobinas) aparecerán explícitamente en la parte real de la impedancia. No obstante.63). Física Aplicada 1 . En el caso de un circuito alimentado por una fuente de tensión (ver figura adjunta). un análisis similar al del Apartado 5. esto no quiere decir que estos últimos elementos no influyan en el consumo de potencia.102 T EMA 5. esto es.62) (5. Si el sistema bajo estudio fuese un circuito “serie”. Teniendo en cuenta que cos α = Re(Z)/|Z| y (5.63) δ=α.67) y (5. Circuitos de Corriente Alterna ˜ Dado que en el presente caso la fase del fasor V es nula.6.6. por tanto. el factor de potencia puede. que proporciona una corriente I(t). la fase del fasor ˜ será la opuesta a la fase de la impedancia. escribirse como cos δ = Re (Z) |Z| Re (Z) 2 = Ief Re (Z) (5. Consumo de potencia La expresión (5.64) y. 2 Obtenemos que la potencial media total suministrada por las fuentes coincide con la potencia media total consumida en las resistencias. Dpt. La potencia media. tras resolver el circuito para obtener las intensidades fasoriales de rama obtendríamos que ˜ I1 ˜ I2 ˜ I3 = = = 1 + j mA = 1 − j mA = 2 mA . √ 2 ejπ/4 mA 2 e−jπ/4 mA √ Los fasores tensión en las resistencias se obtienen simplemente multiplicando los correspondientes fasores intensidad por el valor de la resistencia. consumida en cada una de las respectivas resistencias puede obtenerse según (5.6.5. Análogamente la potencia media suministrada por cada una de las fuentes de fem será Pmed (E1 ) Pmed (E2 ) = = “ ” 1 ˜ ˜∗ Re I1 E1 = 4 mW 2 “ ” 1 ˜ ˜∗ Re I2 E2 = 2 mW . ˜ ˜ Teniendo en cuenta que E1 = 8 y E2 = 4. Balance de potencia la suma de las potencias medias suministrada por los generadores debe ser igual a la suma de las potencias medias disipadas en las resistencias. de modo que ˜ V2kΩ ˜ V4kΩ = = √ 2 2 ejπ/4 V √ 4 2 e−jπ/4 V .2 En el circuito de la figura. 103 Ejemplo 5. Pmed . comprobar que la potencia media suministrada por la fuente es igual a la suma de las potencias medias consumidas en las resistencias. Física Aplicada 1 Apuntes de FFI .58) resultando Pmed (R = 2kΩ) Pmed (R = 4kΩ) = = 2 mW 4 mW . VTH . Apuntes de FFI Dpt.08 = 0.2 + j1.069) J . notemos que debido a que las tres ramas están en paralelo ˜ ˜ ˜ VTH = VAB = ZAB I = 8. encontramos que Z = (1. usando la expresión (5.3 En el circuito de la figura. Física Aplicada 1 . tendremos que calcular la impedancia equivalente a las tres ramas en paralelo resultantes tras cortocircuitar la fuente de fem. (3) el equivalente Thevenin entre los puntos A y B . I . Para calcular la energía instantánea almacenada en la bobina debemos usar la siguiente expresión: Um (t) = que al operar nos da 1 1.8 e−j0.43 + j0. y (4) la energía almacenada por la bobina de reactancia inductiva XL = 1. ZAB 6 + j8 3 − j4 ZAB = 4.72 × cos(0.6 ZTH = 1.2 + j1.2 ej0. 4.6 − j2 = 5 e−j0. ZTH 4.069 .418 .6 [1.418 por lo que y. Para calcular el fasor intensidad.588 .104 T EMA 5. que circula por la fuente. Así para calcular la impedancia Thevenin.6 Ω en un instante t.6 − j2 1. en serie con dicha fuente. tenemos que Pmed = 1 “ ˜ ˜∗ ” Re E I = 10 × 1. (2) la potencia media consumida por el circuito. I= Z 5.6) + (4. 2 3. por consiguiente.015 cos2 (100πt + 0. calcular: (1) la intensidad (instantánea y eficaz) que circula por la fuente.43 cos(100πt + 0. esto es. recordando que la amplitud de la intensidad instantánea.72 ej0. ˜ Para obtener el fasor de tensión Thevenin. Ahora podremos calcular el fasor intensidad a partir de ˜ 10 ˜ E = = 1.67). Circuitos de Corriente Alterna Ejemplo 5. Para calcular el equivalente es quizás conveniente dibujar el circuito original en la forma mostrada en la figura adjunta. ˜ 1.72 ej0.8 − j0.4 = 5. que tras operar nos da 1 1 1 = + . Z . resultado que también podría haberse obtenido si consideramos que ˜ ˜ ˜ VTH = E − (1. 2 2 cos(100πt + 0.6 − j2) = 5. vendrá dada √ por I0 = Ie 2.95 = 1.16 W . Teniendo en cuenta que la potencia media consumida en el circuito será idéntica a la proporcionada por la fuente de fem.069 .069)]2 Um (t) = √ = 0.2 + j1. podemos calcular en primer lugar la impedancia.069) A .72 A I(t) = 2. 2.72 2 100π 1 2 LI (t) .18 + j0. Para ello notemos que 1 1 1 = + = 0.6)I .069 de donde finalmente obtenemos que Ie = 1.349 . ZTH .6 e−j0.8 e−j0.069) = 17. I0 . 0 kW eficaces cuando se conecta a una red de a) 240 V eficaces y b) 120 V eficaces. d) P = 828. un amperímetro de ca y un generador de señales de frecuencia variable.2: Calcular el valor eficaz y la amplitud de la corriente de un secador eléctrico de una lavandería que proporciona 5. 2 Ω. i(t).3217) V. el diagrama fasorial de intensidades. Dpt. Sol.: a) |Z| = 12 Ω . ZL = 4j√ . Emax = 10 V. d) la potencia media consumida en el circuito.77 MHz. El condensador se elige de forma que el circuito esté en resonancia al conectarlo a una fuente de alterna de 100 V (voltaje máximo) y 60 Hz . 5. L = 1. i4 (t). R = 100 Ω. Problemas propuestos 5.: C = 70. c) las intensidades complejas por las ramas de la resistencia y de la bobina. entre los extremos del condensador (VC (t)) y de la bobina (VL (t)).: a) ZAB = (100/41)(121 + 18j) Ω. b) la intensidad i(t) que circula por la fuente. VL (t) = 120π cos(120πt − π/2)V.5: En el circuito de la figura.p. dibujando. que conectada en serie en el punto M hace que la intensidad que circula por la fuente esté en fase con la tensión de la misma.273 H.31) A. 5. X = 9. b) Ief = 41. d) C = 650 µF.414 cos(ωt + 0. Calcular el valor del condensador utilizado así como la d. b) V (t) = 79.9: Un receptor de radio se sintoniza para detectar la señal emitida por una estación de radio. VC (t) = 120π cos(120πt + π/2)V. Sol. b) i(t) = 2. además. Problemas propuestos 105 5.3734) A.8 A. b) una fuente de alterna de valor eficaz 100 V y frecuencia f = 400/π Hz. ¿es inductiva o capacitiva la reactancia? Sol. 5.3 pF y una bobina de 0. I0 = 29.6: En el circuito de la figura.1 H está conectada en serie con una resistencia de 10 Ω y con un condensador.7.7: En el circuito de la figura determinar: a) la impedancia de cada elemento y la admitancia del conjunto. que circula por la fuente. I0 = 58.1: Una bobina de 200 vueltas posee un área de 4 cm2 y gira dentro de un campo magnético. 5. Sol. L = 4 mH.05 2 cos(800t − 0. 5.73 µF. b) i(t) = 56. c) C = 12. Sol.6 Ω . 5. b) R = 7. en la cuarta rama.p. Utilizando la técnica de fasores.37 cos(100πt − 0. √ Sol. IL = −55 2j A. determinar la intensidad.4: En un nudo de una red concurren cuatro ramas. Si C = 10 µF.c) Capacitiva.8: Una bobina de 0. Calcular la frecuencia de emisión de la estación de radio.10: Un método para medir autoinducciones consiste en conectar la bobina en serie con una capacidad y una resistencia conocidas. calcular cuánto vale L e Imax . 0.7 A. i2 (t) = 4 cos(ωt + π/4) A e i3 (t) = 2 cos(ωt + 5π/4) A.5. Física Aplicada 1 Apuntes de FFI . Determinar: a) la impedancia total entre A y B .9 A. i1(t) i2(t) i4(t) i3(t) 5. d) el valor de la capacidad. √ Sol. ¿Cuál debe ser el valor del módulo de este campo magnético para que genera un fem máxima de 10 V a 60 Hz? Sol.8 W.: a) 50 V.7. determinar la d.3: Un determinado dispositivo eléctrico consume 10 A eficaces y tiene una potencia media de 720 W cuando se conecta a una línea de 120 V eficaces y 60 Hz. b) la intensidad.: 1. La frecuencia del generador se varía y se mantiene constante la fem hasta que la corriente es máxima.332 T.: a) Ief = 20. Las intensidades que recorren tres de ellas son: i1 (t) = 3 cos(ωt) A.09 2 cos(ωt − 1.d. C . El circuito de sintonía –que puede esquematizarse como un circuito RLC serie– utiliza un condensador de 32. a) ¿Cuál es el módulo de la impedancia del aparato? b) ¿A qué combinación en serie de resistencia y reactancia es equivalente este aparato? c) Si la corriente se adelanta a la fem. Sol. Sol.1477) A.25 mH.5 A . c) la capacidad del condensador y la inductancia de la bobina. Ω √ e e c) IR = 11 2 A. 5.: i4 (t) = 4. 5.: a) R = 20 Ω. entre los extremos de R2 cuando se conecta entre los terminales a y b: a) una fuente de continua de 100 V. Imax = 100 mA. siendo la intensidad máxima para ω = 5000 rad/s. se conecta entre los terminales A y B una fuente de alterna de valor eficaz 500 V y frecuencia 50 Hz.d.4 µF. e e e Sol. resistencia consume 100/3 W.: a) Zab = 5 + 5j Ω. Apuntes de FFI Dpt. c) encontrar el equivalente Thévenin entre los terminales A y B . b) fuente(1) consume 50/3 W. además. b) la intensidad. iC (t) = 4 cos(104 t − π/2) mA. Física Aplicada 1 . i1 (t) = 10 2/3 cos(ωt − 3π/4) A. I2 = 5 A. i(t) = V0 cos(ωt) 2Rs 5. d) un condensador de 250 µF.: a) √ = 2 + 6j mA. c) Pact = PR = 4840W. I2 = 2 mA.: R = Rs . i3 (t) = 52cos(104 t + arctan(3/2)) mA. fuente(2) suministra 50 W. consumida resistencias: PR1 = 20 mW. i(t). L = Rs /ω y C = 1/(ωRs ). Determinar también la intensidad que circularía en el circuito si la fuente utilizada tuviese amplitud máxima V0 . Circuitos de Corriente Alterna 5. d) el elemento que debe conectarse entre los puntos a y b para que la intensidad y tensión en la fuente estén en fase.: I1 = −10(1 + j)/3 A. b) la potencia media suministrada y consumida. b) calcular las potencias medias suministradas y consumidas. la intensidad que circularía entre dichos terminales al conectar entre ellos un condensador de 50 nF.14: En el circuito de la figura: a) obtener las intensidades fasoriales y temporales en las ramas. b) Suministradas fuentes: P1 = 8 mW. b) i(t) = 44 cos(400t − π/4) A. obteniendo. Sol. 2) el dispositivo debe ser globalmente resistivo.12: En el circuito que se muestra en la figura. calcular: a) las intensidades (expresiones temporales y fasoriales) y representar el diagrama fasorial de las mismas. L y C (en función de ω y Rs ) para que el dispositivo cumpla las tres especificaciones siguientes: 1) la tensión eficaz entre los bornes de R debe ser igual a la que exista entre los bornes de L. c) VTh = 8j. 5. esto es. I3 = 4 + 6j mA. representado el diagrama fasorial. debe equivaler a una resistencia. √ e e Sol. c) la potencia activa suministrada y la potencia media consumida (verificar el balance de las mismas).13: Se desea diseñar un dispositivo RLC serie destinado a funcionar conectado a una fuente de frecuencia angular ω y resistencia de salida Rs . P2 = 16 mW. Sol. ZTh = (2 + 2j) kΩ. I1 i1 (t) = √40cos(104 t + arctan(3)) mA. 5.106 T EMA 5. i2 (t) = 2cos(104 t) mA. Determinar los valores de R.11: En el circuito de la figura determinar: a) la impedancia Zab . i2 (t) = 5cos(ωt) A. e PR2 = 4 mW. 3) la potencia consumida en la resistencia de salida de la fuente debe ser igual a la consumida en el dispositivo. que atraviesa la fuente. en vez de uno magnético. t) ⇒ B3 (x.Tema 6 Ondas Electromagnéticas 6. E1 (x. y éste a su vez puede ser la fuente de un campo magnético variable en el tiempo. Usualmente.1. t). B1 (x. el hecho de que la velocidad de propagación de las ondas electromagnéticas fuese justamente la velocidad medida experimentalmente para la propagación de la luz fue el primer indicio claro de que la luz no era otra cosa que una onda electromagnética. y así sucesivamente: B1 (x. Maxwell (∼ 1860) fue confirmada experimentalmente por H. El origen de estas ondas puede entenderse como una consecuencia de que un campo magnético variable en el tiempo. Introducción Una de las características fundamentales de una onda es que es capaz de transmitir una energía (junto con su correspondiente momento lineal/angular) sin que ello implique un transporte neto de materia. Las ondas electromagnéticas. t). (Evidentemente si el campo primario fuese uno eléctrico. tienen una importancia tecnológica fundamental en el campo de las comunicaciones. t) ⇒ B2 (x. además de constituir uno de los fenómenos físicos más predominantes en la naturaleza. B2 (x. t) ⇒ E1 (x. Podría decirse que la mayoría de las comunicaciones actuales se sustentan en la 107 . por ejemplo: olas en el agua. Adicionalmente. etc. Esta hipótesis teórica deducida por James C. Hertz en 1888. existe un tipo de fenómeno ondulatorio que no requiere la presencia de medios materiales para su propagación (esto es. siendo c la velocidad de propagación en el vacío. las ondas consisten en la propagación de alguna perturbación física a través de algún medio material. t) ⇒ · · · De este modo. también se produciría una onda electromagnética). puede ser la fuente de un campo eléctrico variable en el tiempo. variaciones de presión en el aire (sonido). Estas ondas son las ondas electromagnéticas. los campos eléctrico y magnético se generan mutuamente dando lugar a una onda electromagnética que se propaga en el espacio √ libre a una velocidad c = 1/ µ0 ǫ0 ≈ 3 × 108 m/s. t). No obstante. la perturbación se puede propagar en el vacío o espacio libre) aunque ciertamente también puede propagarse en presencia de medios materiales. que consisten en la transmisión de campos eléctricos y magnéticos a una velocidad v ≤ c. t) ⇒ E2 (x. El movimiento oscilatorio de una partícula en torno a un punto fijo es un claro ejemplo de movimiento en el cual no existe traslación neta. Nociones generales de ondas En la Naturaleza existen muchos fenómenos físicos en los que una perturbación física viaja sin que ello lleve aparejado un desplazamiento neto de materia. la facilidad de tratamiento de las señales electromagnéticas. el desarrollo de antenas (emisoras y receptoras) que permiten la transmisión y recepción de estas ondas involucrando muy poca energía. guías de ondas metálicas. fibras ópticas. Otro ejemplo. entre otras. Ondas Electromagnéticas transmisión de ondas electromagnéticas. etc. teléfonos móviles. que básicamente es un desplazamiento de un cambio de presión en el aire pero sin que ello implique que las partículas de aire viajen desde el lugar donde se originó el sonido hasta el receptor... que permite usar estas señales como soporte de información tanto analógica como digital. satélites. 1 Apuntes de FFI Dpt. amplitud o frecuencia. cable coaxial. 6.. Física Aplicada 1 . más bien cada partícula transmite su movimiento oscilatorio a la siguiente antes de volver a su posición original. En todos los ejemplos anteriores una perturbación física se desplaza a través de un medio (agua. Existen muchas razones para justificar este extendido uso pero. televisión por cable. aire y cuerda respectivamente) sin que las partículas de este medio hayan sufrido un desplazamiento neto. por ejemplo su modulación/demodulación en fase. es la propagación del sonido. Un ejemplo de esto puede ser la ola que se produce en el agua tras arrojar una piedra. Otro ejemplo bastante visual de este tipo de fenómenos se produce al agitar una cuerda por uno de sus extremos. siendo también evidente que cada segmento de cuerda no viaja junto a este pulso. redes inalámbricas. televisión. transmisión por fibra óptica.2. cabe destacar: la posibilidad de que las ondas electromagnéticas se propaguen en el vacío. la posibilidad de “guiar” estas ondas mediante diversos sistemas de transmisión: linea bifilar. o bien a través de medios materiales: telefonía convencional. el hecho de poder usar señales portadores de muy alta frecuencia que permiten grandes anchos de banda. ya sea a través del espacio libre: radio.108 T EMA 6. En este fenómeno se observa el desplazamiento de una ondulación en la superficie del agua en la que las partículas individuales de agua no se trasladan sino que realizan un simple movimiento de vaivén (movimiento oscilatorio).1 Estos Debe notarse que la ausencia de un desplazamiento neto no implica la existencia de movimiento nulo. etc. En este caso se observaría claramente el desplazamiento de un pulso en la cuerda. y la fácil integración de los equipos de generación/recepción con la circuitería electrónica. redes locales de ordenadores. En este caso. torsión. presión. Velocidad de Fase: velocidad con la que se propagan las superficies de onda. ondas electromagnéticas planas en el espacio libre. • Ondas transversales: cuando la perturbación física se realiza en un plano transversal a la dirección de propagación de la onda. a continuación se presentan dos de ellas: Naturaleza física de la perturbación • Ondas mecánicas: cuando la perturbación física involucrada es de naturaleza mecánica. algunos conceptos usuales son: Foco: es el recinto donde se produce la perturbación inicial. el foco sería el lugar donde se emiten los sonidos (por ejemplo la boca de alguien). puesto que estas últimas siempre transportan energía y momento lineal asociado a un transporte neto de materia. Dirección relativa de la perturbación y el desplazamiento ondulatorio • Ondas longitudinales: cuando la dirección de la perturbación física y de la propagación ondulatoria coinciden.2. la superficie de onda serían superficies aproximadamente esféricas centradas en el foco. esto es. Los conceptos anteriores pueden clarificarse si los concretamos en el caso de la propagación del sonido. y la velocidad de fase sería la velocidad a la que se viaja el frente de ondas. por ejemplo: desplazamiento. velocidad. etc.6. por ejemplo: el desplazamiento de un pulso en una cuerda. Debe notarse que la propagación de la perturbación en la onda implica el transporte de cierta energía y momento lineal. Superficie/Frente de Onda: es el lugar geométrico de los puntos en que han sido alcanzados simultáneamente por la perturbación. Nociones generales de ondas ejemplos son casos concretos de un tipo general de fenómenos físicos denominados ondas. perturbación propagación perturbación propagación Dpt. la velocidad del sonido ∼ 340 m/s. las cuales pueden definirse como 109 Propagación de una perturbación física sin que exista un transporte neto de materia. Entre las posibles formas de clasificar a las ondas. etc. En este sentido. el comportamiento ondulatorio debe discernirse claramente del comportamiento de las partículas. Física Aplicada 1 Apuntes de FFI . • Ondas electromagnéticas: cuando la perturbación es un campo electromagnético. por ejemplo: onda de sonido. Cuando se trata de caracterizar una onda. el perfil de la cuerda será como el mostrado en la Figura 6.1. la perturbación que se propaga.1(a). Ondas Electromagnéticas 6.110 T EMA 6. es justamente el desplazamiento vertical de cada trocito de cuerda. Si tras un tiempo t.1(b). que se aplica a todos los fenómenos ondulatorios. Física Aplicada 1 . existe también una ecuación diferencial. denominada ecuación de ondas. ∂x2 v ∂t (6.1) (o bien F = md2 x/dt2 para el caso de movimiento monodimensional). F = dp dt (6. se muestra en la Figura 6. p. t) que se propaga con velocidad constante v sin distorsión (onda no-dispersiva) a lo largo del eje x viene dada por Ecuación de ondas no dispersiva monodimensional ∂ 2u 1 ∂2u − 2 2 =0 . F . u(x. si el pulso está viajando a una velocidad v . la forma matemática de la onda en ese instante de tiempo viene completamente descrita por la función u(x). pudiéndose describir matemáticamente por la función u(x − a). Apuntes de FFI Dpt. En este caso. Ecuación de ondas Del mismo modo que existe una ecuación diferencial general que determina el momento lineal.2. La ecuación que describe el comportamiento ondulatorio de una perturbación física descrita matemáticamente como u(x. esto es. de una partícula (o conjunto de ellas) en función de la fuerza externa. enton- Figura 6. t). La forma del pulso para un instante arbitrario.1: Evolución del pulso en una cuerda en dos instantes ces la distancia recorrida por el pulso puede escribirse como a = vt y. el pulso viaja sin distorsión hacia la derecha una distancia a. Ahora bien.2) Para mostrar que la ecuación anterior describe apropiadamente desde un punto de vista matemático el fenómeno ondulatorio analizaremos la propagación de un pulso en una cuerda (dado que este ejemplo ofrece una imagen visual muy clara). que podemos tomar como t = 0. u(x. entonces la superposición lineal de ambas. en cuyo caso. Esta propiedad de linealidad de la ecuación de ondas simplemente expresa en forma matemática el siguiente principio físico conocido como principio de superposición de ondas: la perturbación ondulatoria resultante es igual a la suma de las perturbaciones coincidentes. t) + βu2 (x. ∂t dχ ∂t (6. t) y u2 (x.7) donde hemos tenido en cuenta que ∂χ/∂x = 1 y ∂χ/∂t = ±v Dado que las anteriores primeras derivadas no pueden relacionarse entre sí debido a la indefinición en el signo de (6.9) Si observamos ahora la forma de los segundos miembros de (6. En consecuencia.4) de modo que un movimiento ondulatorio general en la cuerda podría ser descrito por la función u(x.8) y (6. Física Aplicada 1 Apuntes de FFI . t). t) = f (χ) siendo χ = x ± vt . esta ecuación diferencial en derivadas parciales tiene por soluciones a funciones del tipo (6. t) = f (x − vt) . Una propiedad muy importante de la ecuación general de ondas es que ésta es lineal.9). (6. la expresión matemática de la onda en el instante t será 111 u(x. t) con respecto a x y a t. la expresión matemática de la onda viajera en la cuerda sería u(x. esto es. ∂t2 ∂t ∂t dχ ∂t (6.6.5). procedemos para obtener las derivadas segundas: ∂2u d ′ ∂ ∂u ∂χ = = [u (χ)] = u′′ (χ) 2 ∂x ∂x ∂x dχ ∂x ∂2u d ∂ ∂u ∂χ = = [±vu′ (χ)] = v 2 u′′ (χ) . Principio de superposición de ondas Dpt.6) (6.4) con la única condición de que éstas sean diferenciables hasta el segundo orden (la forma concreta de estas funciones en cada caso particular vendrá determinada por las condiciones iniciales del problema). t) = f (x + vt) . el pulso podría haber viajado igualmente hacia la izquierda.3) Evidentemente. (6.8) (6.2). du ∂χ ∂u = = u′ (χ) ∂x dχ ∂x du ∂χ ∂u = = ±vu′ (χ) . Nociones generales de ondas consecuentemente.5) que representaría una onda que puede viajar tanto hacia la izquierda como hacia la derecha. Para encontrar la ecuación diferencial cuya solución general es una función del tipo (6. también lo es. (6. lo que implica que si u1 (x. podemos comprobar que al eliminar u′′ (χ) obtendríamos precisamente la ecuación general de ondas mostrada en (6. t) son soluciones individuales de la ecuación de ondas.3) y (6.2.7). diferenciaremos la función u(x. t) = αu1 (x. la función de onda en cualquier instante de tiempo t posterior vendrá dada por u(x.10) La constante A es la amplitud de la onda y representa el valor máximo de la perturbación.16) 2 De manera análoga a como un pastelero soltando pasteles cada tiempo T en un extremo de una cinta transportadora (periodicidad temporal en el foco) que se mueve con velocidad v da lugar a una periodicidad espacial en dicha cinta.11) puede escribirse como u(x. Ondas armónicas Según se ha explicado en el apartado anterior. esto es. por lo que v= λ T o’ λ = v T . La forma de una onda armónica es una curva tipo senoidal. Apuntes de FFI Dpt. los pasteles aparecen distanciados una distancia que equivaldría a la “longitud de onda”.15) (6. t) = A sen 2π (x − vt) . λ (6. k ω = = 2π/λ 2π/T .112 T EMA 6. Usando la definición del periodo.11) El tiempo que tarda la onda en recorrer una longitud de onda se conoce como periodo T . esto es. (6. tanto en el espacio como en el tiempo: u(x. (6. la distancia entre dos mínimos sucesivos). la expresión matemática general de una onda monodimensional no-dispersiva venía dada por (6. cuya instantánea en t = 0 puede venir dada por la siguiente expresión matemática: u(x. t) = A sen 2π t x − λ T . (6. (6. Física Aplicada 1 . λ es la longitud de onda o periodo espacial. (6. 0) = A sen 2π x λ . t + mT ) . De entre las posibles formas matemáticas que puede tener este tipo de ondas. esto es. la distancia en la que se repite la perturbación (por ejemplo.12) El periodo T corresponde igualmente al tiempo empleado por la perturbación en realizar una oscilación completa en un punto fijo. La función de onda armónica puede expresarse en una forma más conveniente si se definen dos cantidades. Ondas Electromagnéticas 6.2.5). (6. Si la onda se mueve hacia la derecha con cierta velocidad v .13) La expresión anterior indica claramente que la onda armónica muestra una doble periodicidad. k y ω que corresponden a la frecuencia espacial o número de ondas y a la frecuencia angular respectivamente.14) Esta doble periodicidad es una consecuencia de la periodicidad temporal de la perturbación en el foco (x = 0). t) = u(x + nλ.2. que se refleja en una periodicidad espacial2 . hay una especialmente interesante conocida como onda armónica. cuando tratemos con ondas armónicas usaremos la notación compleja por simplicidad.18) La frecuencia temporal representa por tanto el número de oscilaciones realizadas por unidad de tiempo.15) y (6.6. (6. Teniendo en cuenta las definiciones dadas en (6. pueda tomar un valor arbitrario: u(0.20) es solamente la parte real de (6. siendo su unidad el hertzio (Hz). en lo que sigue del tema. t) = Ae−j(kx+ϕ) ejωt (6.22): u(x. (6. Nociones generales de ondas Combinando las expresiones (6.16) junto con (6. x = 0. (6.21) Es interesante notar que el carácter viajero de la onda en sentido positivo/negativo del eje x lo determina la desigualdad/igualdad entre los signos que acompañan a ωt y kx en la fase. (6.15) y (6.20) Expresión matemática de la onda armónica viajando en el sentido positivo de las x donde el argumento completo del coseno se conoce como fase de la onda y la constante ϕ como fase inicial (que se introduce para posibilitar que en t = 0 la perturbación en el foco. t) tal como se ha expresado en (6. t) = A cos(ωt − kx − ϕ) = Re Ae−j(kx+ϕ) ejωt .12). Física Aplicada 1 Apuntes de FFI . debiéndose sobreentender que la onda verdadera es la parte real de la expresión compleja correspondiente. aunque debe considerarse que u(x. Para facilitar las operaciones con ondas armónicas.19) La expresión anterior es un caso particular de la siguiente expresión genérica usando la función coseno: u(x. t) = A cos(ωt + kx − ϕ) . (6. t) = A cos(ωt − kx − ϕ) . 0) = A cos ϕ).17) La frecuencia angular ω suele expresarse comúnmente en términos de la frecuencia temporal.16). . t) = A sen(kx − ωt) .23) No obstante. f (siendo ésta la inversa del periodo: f = 1/T ) mediante ω = 2πf .22) Expresión matemática compleja de la onda armónica (ver Apéndice B para un estudio de los fasores). Una onda armónica viajando en el sentido negativo de las x tendrá la siguiente forma general: u(x.20) se escribirá usualmente como u(x. obtenemos la siguiente relación para la frecuencia angular y el número de ondas de una onda armónica: 113 ω = vk .2. (6. de manera que la onda armónica dada en (6. la función de onda armónica que viaja en el sentido positivo de las x puede re escribirse como Unidad de frecuencia: 1 hertzio (Hz ≡ s−1 ) u(x. Dpt. éstas suelen expresarse en forma de exponencial compleja. 25) también implicaría que Γ→0 l´ ım S(Γ) J(r. supuesta cierta (6. Dado que no cabe discusión acerca de la validez de la ecuación de continuidad de la carga (ésta no es más que la expresión local del principio de conservación de la carga ). t) · dS = − d QS (t) . donde la curva Γ rodea al conductor y la superficie S(Γ) es tal como se muestra en la figura adjunta.2. el flujo de J a través de la superficie cerrada sería nulo. Física Aplicada 1 . (6. la expresión (6. Observamos entonces una clara contradicción entre lo que dice la ecuación de continuidad de la carga (2. (6. Maxwell debemos asumir que esta ley debe modificarse para hacerla compatible con la ecuación de continuidad de la carga. es tentador suponer que esta ley es cierta también para campos variables en el tiempo y formular Γ B(r. Ley de Ampère-Maxwel. t) · dS = 0 .9) que establece que la variación por unidad de tiempo de la carga encerrada en una superficie cerrada S es igual al flujo total de densidad de corriente que atraviesa dicha superficie. t) · dl = µ0 ? S(Γ) J(r. Para generalizar la ley de Ampère.9) y la expresión (6. (6. Al tomar el límite cuando la curva Γ se hace tender a cero obtenemos que Γ→0 l´ ım Γ B(r. Idéntica conclusión puede alcanzarse partiendo de la ecuación de continuidad de la carga discutida en el Apartado 2. 2πR2 (6. Ecuación de continuidad de carga S J(r. Ondas Electromagnéticas 6. Este resultado es claramente incorrecto puesto que en nuestro caso observamos claramente que entra una intensidad I(t) en la superficie S(Γ) y. (6.1 se mostró que el campo magnetostático en el interior de un conductor cilíndrico rectilíneo de radio R recorrido por una intensidad I venía dado por B(r) = µ0 I ˆ rτ .114 T EMA 6.3.24) y teniendo en cuenta que al hacer Γ → 0 la superficie S(Γ) cierra el conductor. Así.27) es decir. en principio. si consideramos en primer lugar que la expresión de 3 Recuérdese que en el Apartado 3. por tanto. NO es válida para situaciones no estacionarias.24).24) basta considerar el proceso de carga de un conductor recorrido por una intensidad I(t). para campos magnetostáticos y corrientes continuas. t) · dS . Corriente de desplazamiento La ley de Ampère tal como se introdujo en Apartado 3.6 sólo era válida.27) derivada directamente de la ley de Ampère al aplicarla a campos variables en el tiempo. t) · dl = 0 .25) puesto que el valor del campo magnético en los puntos de la curva Γ tiende a cero en el límite Γ → 0.C.3 Ahora bien.24) Para comprobar la validez de la expresión (6. tal y como se expresó en (6. tenemos que concluir que la extensión de la ley de Ampère.27) no puede ser cero.6. t) · dS = S J(r. dt (2.26) Apuntes de FFI Dpt. Siguiendo el razonamiento de J. t) + ǫ0 S ∂ E(r.32) Dpt. t) + ǫ0 S(Γ) ∂ E(r. Corriente de desplazamiento la ley de Gauss dada en (1.31) Ley de Ampère-Maxwell y siguiendo el mismo procedimiento de paso al límite de la curva Γ. conocida como ley de Ampère-Maxwell.20) sí puede extenderse para campos eléctricos variables en el tiempo y escribirse como 115 S E(r. ∂t (6.9) a (6. Es interesante hacer notar que en el caso de que no haya corriente de conducción. En el segundo miembro de (6.29) ∂ E(r. Ley de Ampère-Maxwel. es claro que reescribiendo la ley de Ampère de la siguiente forma: Γ B(r. a saber: la densidad de corriente de conducción: J . Física Aplicada 1 Apuntes de FFI . la densidad de corriente de desplazamiento existirá en todos los puntos del espacio donde haya un campo eléctrico variable en el tiempo. t) · dS . ǫ0 (6. en el interior de un conductor recorrido por una corriente eléctrica.31). que es la corriente que hasta ahora se ha estudiado y que podemos identificar con el movimiento neto de las cargas eléctricas.30) A la vista de la expresión anterior. tenemos que esta ley es ya congruente con la ecuación de continuidad de la carga. t) · dS ∂t (6. (Recuérdese que una corriente estacionaria que recorre un conductor no da lugar a campo eléctrico alguno. t) · dl = µ0 ǫ0 ∂ E(r. En consecuencia. La ecuación (6. ∂t o bien J(r.3. por ejemplo.28) la ecuación de continuidad de la carga puede entonces expresarse como S J(r. t) · dS = − =− S ǫ0 E(r.30) y relacionar la existencia de este tipo de corriente con la mera presencia de una carga eléctrica variable en el tiempo.6. t) · dl = µ0 J (r. ∂t Γ B(r. es entonces la extensión válida de la ley de Ampère para campos y corrientes variables en el tiempo. t) · dS = 0 .) El origen de esta corriente podemos explorarlo en el paso de la ecuación (2.31) aparecen dos términos de corriente. t) · dS . t) · dS (6. ∂t S(Γ) (6. t) · dS = d dt ǫ0 S QS (t) . la densidad de corriente de desplazamiento: JD = ǫ0 que es un término de corriente que no está directamente relacionado con el movimiento de cargas (aunque puede ser consecuencia de ello) sino que debemos asociarlo exclusivamente a las variaciones temporales del campo eléctrico. la ley de Ampère-Maxwell se escribiría como ∂E . Claramente esta corriente aparece donde haya un movimiento neto de cargas. 116 T EMA 6. esto es. la existencia de una campo magnético Apuntes de FFI Dpt. t) = µ0 I(t) ρˆ τ 2πR2 (r ≤ R) Por último es importante destacar que la combinación de la ecuación Γ E(r.26) se llegaría a que en el interior del condensador aparece un campo magnético dado por B(r. ∂t πR2 Aplicando ahora la ley de Ampère-Maxwell según (6.18) y establece la existencia de un campo magnético asociado a la existencia de una campo eléctrico variable en el tiempo. en el interior del condensador. La ecuación (6. que viene dada por JD (t) = ǫ0 I(t) ∂E ˆ = u.32). nos encontramos con un problema muy similar al del cálculo del campo magnetostático en el interior de un conductor cilíndrico rectilíneo (Apartado 3.6.34) S(Γ) sugiere la existencia de una perturbación electromagnética que puede autosustentarse en el vacío (es decir. Ejemplo 6. JD (t). t) · dl = µ0 Z S(Γ) JD · dS .33) junto con Γ B(r. t) · dl = − ∂ B(r.1 Cálculo del campo magnético en el interior de un condensador de placas circulares de radio R alimentado por una corriente I(t) El campo eléctrico en el interior de un condensador de placas paralelas de densidad superficial de carga σ viene dado por E= σ ˆ u ǫ0 ˆ donde u es el vector unitario que va desde la placa cargada positivamente a la cargada negativamente.34) establece que la presencia de un campo eléctrico variable en el tiempo da lugar a la aparición de un campo magnético. En consecuencia. ǫ0 πR2 y obviamente esto implica la existencia de una corriente de desplazamiento.1). Ondas Electromagnéticas Esta ecuación es análoga a la ecuación (4. Expresando ahora la densidad superficial de carga σ en función de la carga total en la placa Q(t) se tiene que E(t) = Q(t) ˆ u. t) · dS ∂t S(Γ) ∂ E(r.33) nos dice que la presencia de un campo magnético variable en el tiempo provoca la aparición de un campo eléctrico. t) · dl = µ0 ǫ0 (6. pero a su vez la ecuación (6. en ausencia de cargas y corrientes eléctricas). I Γ B(r. Consecuentemente usando la expresión (6. t) · dS ∂t (6. Física Aplicada 1 . con la diferencia de que en dicho problema la corriente era de conducción. . (igualmente ocurriría con campos eléctricos variables en el tiempo).33) al contorno rectangular.. Tenemos. Ecuación de Ondas Electromagnéticas Según se discutió en el Apartado 6. 117 6. su frente de ondas serían planos normales al eje x. es decir.. Dado que el camino de integración está situado en el plano xy Figura 6. Física Aplicada 1 Apuntes de FFI . ésta sería una onda electromagnética plana. una situación en la que los campos electromagnéticos se autosustentan ya que serían ellos mismos su propia causa y efecto.4. (6. Γxy . t) . B = B(x.1. Por simplicidad. campos variables en el tiempo cuya dependencia espacial es únicamente a lo largo de la dirección x. Este fenómeno es precisamente el origen de las ondas electromagnéticas. En este sentido.2.4.35) z x es decir. Para obtener la ecuación diferencial que relaciona las derivadas espaciales y temporales de los campos. t) . por tanto. es fundamental comprobar si los campos E y B en el vacío satisfacen la ecuación de ondas para verificar así que efectivamente estos campos son ondas. mostrado en la Fig.6.36) Dpt. la expresión matemática de cualquier magnitud física que represente a una onda debe satisfacer la ecuación de ondas (6. aplicaremos la ecuación (6. supondremos campos eléctricos/magnéticos del tipo y E = E(x. (6. aparte de la idea cualitativa obtenida en el anterior apartado acerca de que Variaciones temporales del campo eléctrico E ⇒ ⇐ Variaciones temporales del campo magnético B . dado que la perturbación física (campos E y B ) tomaría los mismos valores en los planos definidos por x = Cte. Ecuación de Ondas Electromagnéticas variable en el tiempo generaría otro campo magnético que a su vez generaría otro. 6. Si estos campos representaran a una onda electromagnética.2).2.2: obtendremos la siguiente expresión para la circulación de la componente y del campo eléctrico: Γxy E · dl = [Ey (x2 ) − Ey (x1 )] ∆y . 34) a un contorno rectangular. obtenemos la siguiente relación diferencial entre Ey y Bz : ∂Ey ∂Bz =− . obtendríamos la siguiente relación: ∂Ey ∂Bz = −µ0 ǫ0 . ∂x (6. si existe una componente de campo eléctrico dirigido según y que varía espacialmente en x.38). Ondas Electromagnéticas donde Ey (x2 ) y Ey (x1 ) son los valores de la componente y del campo eléctrico en los puntos x1 y x2 respectivamente. ∂x Para calcular el segundo miembro de (6. ∂x ∂t (6.41) el valor de ∂Bz /∂x según (6. que puede reescribirse.118 T EMA 6. (6. 2 = µ0 ǫ0 ∂x ∂t2 (6. ∂t ∂t S(Γxy ) (6.39) esto es. No aparecen contribuciones del tipo Ex ∆x pues éstas se anulan mutuamente en los tramos superior e inferior de Γxy . Γzx . Suponiendo que ∆x es muy pequeño. situado en el plano xz . lo que nos permite escribir la siguiente ecuación diferencial para Ey : ∂ 2 Ey ∂ 2 Ey .2) tras identificar Ey con u y µ0 ǫ0 con 1/v 2 .38) Igualando ahora (6.37) con (6. como ∂ ∂ 2 Ey 2 = − ∂t ∂x ∂Bz ∂x . Podemos obtener otra relación diferencial entre Ey y Bz aplicando la ecuación (6. tras intercambiar el orden de las derivadas en el segundo miembro.39) se tiene que ∂ ∂x ∂Ey ∂x =− ∂ ∂x ∂Bz ∂t . Procediendo de forma análoga a la anterior. Física Aplicada 1 .40) Si derivamos con respecto a x ambos miembros de la ecuación (6.41) Sustituyendo ahora en (6. derivando con Apuntes de FFI Dpt. podemos realizar la siguiente aproximación: Ey (x2 ) − Ey (x1 ) = ∆Ey (x) ≈ por lo que Γxy ∂Ey ∆x . entonces existirá un campo magnético dirigido según z que varía temporalmente (o viceversa).42) que claramente es una ecuación de ondas del tipo (6. ∂x ∂t (6.33).40) encontramos que ∂ ∂ 2 Ey =− ∂t ∂x2 −µ0 ǫ0 ∂Ey ∂t . Procediendo de forma análoga. hemos de tener en cuenta z que dS = dSz ˆ y por tanto el flujo del campo magnético a través del contorno rectangular será − ∂B · dS = − S(Γxy ) ∂t ∂Bz ∂Bz dSz = − ∆x∆y .37) E · dl = ∂Ey ∆x∆y . Ez (x.39) y (6. Física Aplicada 1 Apuntes de FFI . por tanto.33) y (6. se obtiene una ecuación de ondas similar para Bz : 119 ∂ 2 Bz ∂ 2 Bz = µ0 ǫ0 . Dado que la velocidad a la que se propaga el campo electromagnético en el vacío (obtenida de forma teórica mediante manipulaciones en las Dpt. t)).43) puede parecer que los campos Ey y Bz son independientes. B = (0. obtendríamos unas ecuaciones de onda análogas a las anteriores para las componentes Ez y By . esto es.6. By (x. no obtendríamos ninguna relación diferencial para las componentes Ex y Bx . t). la aplicación de las ecuaciones (6.42) y (6.44) y (6. Ecuación de Ondas Electromagnéticas respecto a x (6. tras realizar las sustituciones oportunas. puede afirmarse que los campos eléctrico y magnético de una onda son simplemente dos manifestaciones distintas de un único ente físico: la onda electromagnética.99792 ×108 m/s . E = (0. No obstante. t). c= √ µ0 ǫ0 (6. 2 − c2 ∂x ∂t2 (6. uno de ellos determina completamente al otro.44) Ecuaciones de onda monodimensionales para los campos eléctrico y magnético ∂2B 1 ∂2B =0 . Dado que se ha supuesto que los campos sólo dependen espacialmente de la coordenada x.40) en las que se observa claramente que ambos campos están relacionados entre sí.45) nos dicen también que el campo eléctrico y el magnético se propagan en el vacío conjuntamente a una velocidad c ≡ v cuyo valor viene dado por 1 .33) al contorno Γzx y la ecuación (6. ∂x2 ∂t2 (6.43) A la vista de las ecuaciones de onda (6. t)): ∂2E 1 ∂2E − 2 2 =0 c ∂t ∂x2 y (6. Las ecuaciones (6. Ey (x.34) al contorno Γxz . Bz (x. En este sentido.45) La solución de estas ecuaciones de onda son precisamente ondas electromagnéticas planas que se propagan en la dirección x a velocidad c y cuyos campos asociados tienen direcciones normales a la dirección de propagación. debe notarse que estas ecuaciones de onda provienen de las ecuaciones (6. y magnético. En consecuencia puede establecerse que las ondas electromagnéticas planas en el vacío son ondas transversales. En consecuencia podemos concluir que efectivamente se satisfacerán las siguientes ecuaciones de onda monodimensionaleslos para los campos eléctrico.46) Al sustituir los valores numéricos de µ0 y de ǫ0 en la expresión anterior se obtiene que c = 2.4.40) y haciendo la sustitución adecuada. Es fácil comprobar que aplicando la ecuación (6.34) a un contorno situado en el plano yz nos daría circulaciones nulas y. es decir. cada uno de estos x vectores es perpendicular a los otros dos.51) A la vista de la forma de los campos E y B dados en (6.50) podemos establecer para la onda electromagnética plana armónica mostrada en la Fig. por ejemplo.39): ∂Bz ∂t = = − ∂Ey ∂x −kE0 sen(ωt − kx) . 6. Para el caso de ondas electromagnéticas planas.47) El campo magnético asociado a este campo eléctrico armónico en la onda electromagnética puede calcularse a partir de (6. t) = E0 cos(ωt − kx)ˆ . Ondas electromagnéticas planas armónicas Ya se indicó en el Apartado 6. Apuntes de FFI Dpt. esta sorprendente coincidencia sugería que la luz era simplemente una onda electromagnética. Esta y otras teorías fueron desechadas a la vista de los trabajos teóricos de Maxwell y a la verificación experimental de las ondas electromagnéticas realizada por Hertz.5.44) puede ser descrito por la siguiente expresión: y E(x.120 T EMA 6.48) Resolviendo ahora la anterior ecuación diferencial se tiene que Bz (x. c (6.3 que los campos eléctrico y magnético están en fase. z (6.49) esto es. el campo magnético vendrá dado por B(x.47) y (6. se postulaba que la luz.2. la relación entre las amplitudes del campo eléctrico y magnético es B0 = E0 . Ondas Electromagnéticas ecuaciones de Maxwell) era muy próxima a la velocidad medida experimentalmente para la luz. t) = − kE0 sen(ωt − kx)dt = k E0 cos(ωt − kx) . como ω = kc. (6. (6. B y c (siendo c el vector velocidad de la onda. t) de tipo armónico que satisfaga la ecuación de ondas (6. un campo eléctrico E(x. Física Aplicada 1 . ω (6. Debe notarse que en el momento en que se dedujo teóricamente la velocidad de propagación del campo electromagnético se admitía que la luz era una onda pero se discutía sobre la naturaleza de esta onda.50) donde. t) = B0 cos(ωt − kx)ˆ . en analogía con las ondas mecánicas. podía ser una vibración de las partículas de un medio que “impregnaba” todo el universo denominado éter. y E .6.2 que una solución particularmente importante de la ecuación de ondas era la solución armónica. en el presente caso c = cˆ ) forman un triedro rectángulo. Así. c 3 ×108 Asimismo. t) = = 10−9 cos(20πx − 6π ×109 t) ˆ T . las expresiones temporales de los campos E y B de esta onda electromagnética serán E(x. Calcular la longitud de onda de esta onda así como las expresiones temporales de sus campos eléctrico y magnético. t) = B0 cos(kx − ωt)ˆ .3 cos(20πx − 6π ×109 t) y V/m Dpt. la expresión correspondiente para el campo magnético de esta onda será entonces B(x. Según se ha visto en el presente apartado.3: x c Las dos anteriores conclusiones junto con la relación (6. E . f 3 ×109 ω 6π ×109 = = 20π m−1 .6. la longitud de onda asociada a esta frecuencia será λ= 3 ×108 c = = 10 cm .51): B0 = E0 3 ×10−1 = = 10−9 T .52) Ejemplo 6. y donde E0 representa la amplitud del campo que coincide con el valor máximo de éste. de esta onda serán ω = 2πf = 6π ×109 rad/s y k = Si el el campo eléctrico. ω . El valor máximo del campo eléctrico es de 300 mV/m y está dirigido según el eje y . (6. de la onda plana armónica que viaja según x está dirigido según y . el número de ondas. k . Dado que f = 3 GHz. Ondas electromagnéticas planas armónicas 121 E B Figura 6. t) B(x.2 Una onda electromagnética plana armónica de frecuencia f = 3 GHz viaja en el espacio libre en la dirección x. z ˆ 0.5. c 3 ×108 Finalmente. t) = E0 cos(kx − ωt)ˆ . según la expresión (6. y la frecuencia angular.3 V/m. este campo vendrá dado por la siguiente expresión: E(x.51) pueden ser expresadas matemáticamente mediante la siguiente relación vectorial que cumplen los campos eléctrico y magnético de una onda electromagnética plana armónica: E =B×c . Física Aplicada 1 Apuntes de FFI . luego E0 = 0. z siendo. Concretamente se obtuvo que uE uB = = 1 ǫ0 E 2 densidad de energía eléctrica 2 B2 densidad de energía magnética . por tanto. la magnitud relevante para caracterizar el contenido energético de las mismas es su intensidad. que para una onda plana electromagnética armónica. Cuando estamos tratando con ondas. que ha viajado durante muchos millones de kilómetros antes de llegar a la Tierra. la energía por unidad de volumen contenida en la región donde se propaga la onda) y c la velocidad de propagación de la onda. Esto nos permite escribir la densidad volumétrica de energía almacenada en el campo magnético como uB = E2 1 B2 = = ǫ0 E 2 . (6. Hemos obtenido. Si u es la densidad volumétrica de energía de la onda (esto es. Intensidad de la onda electromagnética Una de las propiedades más significativas de la onda electromagnética es que transporta energía. A la vista de la anterior ecuación.122 T EMA 6.53) respectivamente. para calcular la intensidad de la onda electromagnética debemos obtener en primer lugar la densidad volumétrica de energía asociada con esta onda.57) Igualdad de las densidades de energía eléctrica y magnética en una onda electromagnética plana armónica Apuntes de FFI donde se ha tenido en cuenta que c2 = 1/µ0 ǫ0 . uE = uB . la intensidad I de la onda puede escribirse como Intensidad de la onda I = uc .53) cuyas unidades son (ms−1 )(Jm−3 )=Js−1 m−2 =Wm−2 . que aunque tiene el mismo nombre es una magnitud completamente diferente).54) (6. Ondas Electromagnéticas 6. (6. la densidad de energía almacenada en el campo magnético es idéntica a la almacenada en el campo eléctrico. La energía del campo eléctrico y del magnético ya se discutió en los Temas 1 y 4 donde se obtuvieron las expresiones (1. es decir. I (no confundir con la intensidad.56) Para ondas planas armónicas. tiene todavía suficiente energía como para hacer reaccionar a los receptores de nuestros ojos. I . potencia por unidad de área. 2µ0 (6. Física Aplicada 1 . Así.55) por lo que la intensidad (también denominada intensidad instantánea : Intensidad instantánea de una onda electromagnética Iinst ) de la onda electromagnética vendrá dada por I = (uE + uB )c . (6.79) y (4. la onda electromagnética que transmite la luz de una estrella. esto es. encontramos que la relación entre los módulos de los campos eléctrico y magnético de la onda electromagnética verificaban que E = cB . de una corriente eléctrica. La intensidad de una onda se define como la energía que fluye por unidad de tiempo a través de una superficie de área unidad situada perpendicularmente a la dirección de propagación.58) Dpt. 2 2µ0 2µ0 c 2 (6.6. la energía de la onda plana armónica viaja en la dirección de propagación de la onda.64) Intensidad promedio de una onda electromagnética armónica Dpt. µ0 (6. Para la onda plana armónica discutida en el apartado anterior. para lo cual debemos promediar temporalmente (6. los valores instantáneos de magnitudes energéticas armónicas no tienen mucho interés práctico dado que estas magnitudes suelen variar muy rápidamente (por ejemplo. esto es. Todo ello nos sugiere la introducción de un vector S . uEB : 123 uEB = uE + uB = 1 EB 1 B2 = ǫ0 E 2 + ǫ0 E 2 = ǫ0 E 2 = .63): 2 Imed = Iinst (x.62) por lo que la intensidad instantánea de esta onda será 2 Iinst (x. consecuentemente. t) = cǫ0 E0 cos2 (ωt − kx)ˆ = cuEB x . denominado vector de Poynting. t) = E×B . t) = cǫ0 E0 2 cǫ0 E0 1 E0 B0 = . la intensidad de la onda se puede expresar. este vector vendría dado por el siguiente producto vectorial: S(r. en función de los módulos de los campos eléctrico y magnético de la onda.60) En el espacio libre. el vector de Poynting vendrá dado por 2 ˆ S(x. por tanto.63) Tal y como se comentó en el Apartado 5.6. Es. en una dirección perpendicular tanto a E como B .59) y. podemos expresar la intensidad instantánea de dicha onda como Iinst = uEB c = cǫ0 E 2 = c B2 EB = . cálculos más elaborados muestran que la expresión (6. A la vista de las expresiones anteriores. Intensidad de la onda electromagnética La anterior igualdad nos permite escribir las siguientes expresiones para la densidad de energía de dicha onda electromagnética.61) Vector de Poynting Aunque la expresión anterior del vector de Poynting se ha obtenido para el caso concreto de una onda plana armónica. más significativo obtener el promedio de la intensidad. t) = cǫ0 E0 cos2 (ωt − kx) . para una onda electromagnética plana armónica. que caracterice energéticamente a la onda electromagnética y que. = 2 2 µ0 1 T T 0 cos2 (ωt − kx) dt (6. en un periodo de tiempo. según (6. µ0 µ0 (6.61) tiene validez general para cualquier tipo de onda electromagnética en el espacio libre.6. para este tipo de ondas. x (6. tenga por dirección la dirección de propagación de la energía y por módulo la intensidad instantánea de la onda electromagnética. del orden de 1015 veces en un segundo para la luz). 2 2 µ0 µ0 c (6. Física Aplicada 1 Apuntes de FFI . Imed . Por otra parte. (6.6. por tanto.60). debiéndose tener en cuenta además que los datos dados en el problema se refieren a las horas de iluminación de días soleados. Interferencia de Ondas Cuando dos o más ondas coinciden en el espacio en el mismo instante de tiempo se produce un fenómeno que se conoce como interferencia. t) = E0. El principio de superposición de ondas establece que cuando dos o más ondas coinciden en un punto y en un instante de tiempo.7.85 ×10−12 2 cǫ0 E0 = (850)2 ≈ 959 W/m2 . t). t) . (6. t) = i=1 ui (P. cuyos campos eléctricos vienen dados por E1 (r. Superposición de dos ondas electromagnéticas planas armónicas F1 r1 r2 P Para estudiar los aspectos cuantitativos de la interferencia consideraremos la superposición de dos ondas electromagnéticas planas armónicas de la misma frecuencia pero distinta amplitud y fase inicial en cierto punto P .3 Sabiendo que la amplitud del campo eléctrico de la radiación solar que lle- ga a la superficie terrestre es de aproximadamente E0 = 850 V/m. 2 2 Una vez calculada la intensidad promedio. 6. Aunque esta potencia es realmente alta. u(P. En consecuencia. De hecho con placas solares típicas se podría transformar en potencia eléctrica aproximadamente el 10 % de la radiación solar. la perturbación resultante es simplemente la suma de las perturbaciones individuales (este principio ya fue relacionado en el Apartado 6.2 cos(ωt − kr − ϕ2 )ˆ . Imed . debido a la coincidencia de N ondas ui (x. la perturbación resultante en un punto P y en un instante de tiempo t.124 T EMA 6. t) = E0. Para calcular la potencia promedio que incide en una superficie S debemos primero obtener el valor de la intensidad promedio.65) 6. Ondas Electromagnéticas Ejemplo 6. En este caso dado que conocemos el valor de la amplitud del campo eléctrico. Pmed . Física Aplicada 1 . t) se obtendrá mediante la siguiente expresión: N u(P.7. que incide sobre la superficie será simplemente Pmed = Imed S = 959 · 100 ≈ 9. debe tenerse en cuenta que está distribuida en una área grande y que su aprovechamiento total es imposible.1 cos(ωt − kr − ϕ1 )ˆ y y F2 Apuntes de FFI E2 (r.2. de la onda. y Dpt. la potencia promedio.1. calcule la potencia total que incidiría sobre una azotea de 100 m2 . esta intensidad vendrá dada por Imed = 1 3 ×108 · 8.1 con la linealidad de la ecuación de ondas).6 ×104 W . 1 sen2 ε1 + E0. de igual frecuencia δ(P ) = kr1 − kr2 + ϕ1 − ϕ2 = k∆r + ∆ϕ .2 + 2E0.2 sen ε2 ) . Física Aplicada 1 (6.71) En la expresión anterior.1 e−j(kr1 −ωt+ϕ1 ) + E0.2 ) ≤ E0 (P ) ≤ (E0.1 cos ε1 − jE0. Operando en (6. si notamos que −1 ≤ cos δ(P ) ≤ 1 encontraremos que la amplitud en un punto podrá tomar en general valores comprendidos entre (E0.1 sen ε1 + E0.1 + E0. 2E0.2 sen2 ε2 + 2E0. (6.1 e−jε1 + E0.70) Amplitud de la interferencia de 2 ondas armón.1 cos2 ε1 + E0. δ(P ) se denomina diferencia de fase.1 E0. Interferencia de Ondas Si r1 y r2 son las distancias desde los focos respectivos (F1 y F2 ) al punto P . la componente y del campo eléctrico resultante vendrá dada por 125 Ey (P.2 cos(ε1 − ε2 ) .1 E0.1 e−jε1 + E0.69) esto es.1 + E0.1 − E0.2 cos ε2 − jE0. En concreto. t) = E0.68) y E0 (P ) y ε(P ) son respectivamente la amplitud y la fase de la componente y del campo eléctrico resultante en el punto P .2 cos2 ε2 + 2E0.1 cos ε1 + E0.2 cos ε1 cos ε2 + 2 2 E0.6. la perturbación suma puede obtenerse a partir de Ey (P.7.1 E0.1 sen ε1 ) + (E0.2 e−jε2 = (E0. t) = Ey1 (r1 . El último término de la expresión anterior. t) + Ey2 (r2 . donde (6.2 e−jε2 ejωt = E0 (P )e−jε(P ) ejωt .1 + E0.1 E0. (6.72) Apuntes de FFI .2 sen ε1 sen ε2 2 2 = E0. (6. de donde obtenemos que la amplitud puede ser calculada como sigue: 2 2 2 E0 (P ) = E0.2 ) . E0 (P ) = siendo 2 2 E0. Dpt.2 e−j(kr2 −ωt+ϕ2 ) = E0.66) Si usamos la notación compleja. = (E0.2 + 2E0.67) encontramos que E0 (P )e−jε(P ) =E0.67) εi = kri + ϕi (6.1 E0. t) .2 cos δ(P ) .2 sen ε2 ) (6. ∆r = r1 − r2 se conoce como diferencia de camino entre el recorrido de las dos ondas al propagarse desde los focos respectivos hasta el punto P y ∆ϕ = ϕ1 − ϕ2 es la diferencia de fase inicial entre las dos ondas.2 cos ε2 ) − j (E0.2 cos δ(P ) . se denomina usualmente término de interferencia puesto que es el responsable de que la amplitud de la interferencia varíe al variar la diferencia de camino hasta el punto P . I(P ) = Imed = Imed. la anulación en promedio del término de interferencia hace que la intensidad de la perturbación no dependa de la posición del punto de observación.70). a partir de (6. Cuando nos encontramos con alguna de las condiciones anteriores decimos que los focos son incoherentes. Apuntes de FFI Dpt. la intensidad de dichas 2 ondas depende del cuadrado de la amplitud (I ∝ E0 ). el término de interferencia se anula en promedio durante el intervalo de observación debido a que el valor medio del coseno de un argumento que varia al azar es cero: cos δ(t) = 1 T T cos δ(t) dt = 0 . según (6. a que 1.2. 2.74) Notemos que en el presente caso de focos incoherentes. venga dada por Esto hecho implica que la intensidad promedio en el punto P .126 T EMA 6.73) 6. en un sentido estricto. Este hecho provoca que aunque podamos. k k(t) = k + ∆k(t) . Las fases iniciales de los dos focos presentan fluctuaciones al azar de modo que las funciones ϕ1 (t) y ϕ2 (t) no están correlacionadas de ninguna manera dando lugar a que la diferencia de fase inicial sea una función del tiempo.2 focos incoherentes. Esto puede ser causado por una posible variación temporal de las condiciones de emisión de los focos (usualmente en tiempos característicos menores que 10−10 s) debida.1 + Imed.7. hablar de interferencia. que varía igualmente al azar. En consecuencia. podemos deducir que la intensidad resultante será I(P ) = I1 + I2 + 2 I1 I2 cos δ(P ) . (6. ∆ϕ = ϕ1 (t) − ϕ2 (t) = f (t) . en la práctica ocurre frecuentemente que la diferencia de fase no es constante en el tiempo sino que δ = δ(t). Focos incoherentes En el apartado anterior observamos que la amplitud resultante en el punto P oscilaba entre dos valores dependiendo del valor concreto de δ en dicho punto. por ejemplo. (6. ésta no será observable y usualmente diremos que “no existe interferencia”. 0 Imed .63). No obstante. Física Aplicada 1 . La frecuencia de los focos no es estrictamente constante sino que presenta pequeñas fluctuaciones arbitrarias que provocan que el número de ondas (y equivalentemente la longitud de onda) oscile ligeramente en torno a cierto valor promedio. Ondas Electromagnéticas Para obtener la intensidad resultante de la superposición de las dos ondas electromagnéticas planas armónicas de igual frecuencia en el punto P debemos tener en cuenta que. Debido a esta rápida variación arbitraria en el tiempo de la diferencia de fase. δ = k∆r = 2π∆r/λ . es decir. En este caso.5. entonces tendremos interferencia constructiva/destructiva.7.3.75) dando lugar así a una interferencia que sí podría ser observable dado que el término de interferencia no se anula ahora en promedio. en realidad estamos queriendo decir que este único foco tiene cierta extensión espacial.75).77) Dpt. En las circunstancias anteriores. constatando así convincentemente la naturaleza ondulatoria de la luz. Física Aplicada 1 Apuntes de FFI . Desde un punto de vista práctico. Interferencia de Ondas A menudo cuando se habla de un único foco también podemos decir que este foco es “incoherente”. (6.2 Interferencia Constructiva Interferencia Destructiva. Este fenómeno provoca un patrón de interferencias en la pantalla SD donde aparecen regiones sombreadas (dibujadas en negro) junto a regiones más iluminadas tal y como se muestra en la Figura 6. Por tanto. δ sólo dependerá de la diferencia de camino (en general ∆r). si δ= 2nπ (2n + 1)π ⇒ E0 = E0. la condición de interferencia constructiva o destructiva para ∆r en P vendrá dada por ∆r =  nλ Interferencia Constructiva Interferencia Destructiva . dependiendo de si cos δ es 1 o’ -1. asegurando así que la diferencia de fase inicial en los dos focos secundarios es una constante. esto es.7. se dice que los dos focos son coherentes. manteniendo una diferencia de fase inicial constante. si la diferencia de camino es un múltiplo entero /semientero de la longitud de onda.4(a).6. y que las distintas partes del foco (asimilables a diversos focos puntuales) no son coherentes entre sí. Uno de los primeros experimentos que mostró el fenómeno de interferencia con luz es el experimento de la doble rendija de Young mostrado en la Figura 6. si A adquiere su valor máximo (interferencia constructiva) o bien su valor mínimo (interferencia destructiva).76) Teniendo en cuenta (6. de modo que ϕ1 (t) − ϕ2 (t) = f (t) . En este experimento (2n + 1) λ 2 (6. En este experimento la luz (u otra perturbación ondulatoria) proveniente de un foco primario S se hace pasar por una pantalla en la que se han realizado dos ranuras S1 y S2 separadas una distancia d.2 ⇒ E0 = E0. (6. una forma usual de producir focos coherentes es generar dos focos secundarios a partir de la misma fuente primaria. Las rendijas se comportan como dos focos coherentes de luz cuyas ondas interfieren en el semiespacio derecho. Focos coherentes Cuando la frecuencia de los focos es constante y sus fases iniciales están completamente correlacionadas. podemos distinguir dos casos de interés. En el caso de que ∆ϕ = 0.1 + E0.1 − E0. 127 6. λ D (6. 2 d (6. y = yM : k∆r = 2nπ ⇒ 2π yM d = 2nπ .81) de donde se deduce que las franjas y = ym de interferencia destructiva verifican ym = 2n + 1 D λ.78) En consecuencia. Interferencia destructiva.80) siendo la intensidad media de la onda en estas franjas: Imed = 4Imed.79) de donde se deduce que las franjas y = yM de interferencia constructiva verifican yM = n D λ. D (6.4: Experimento de la doble rendija de Young tenemos que la amplitud de las ondas que interfieren es idéntica.4(b). Apuntes de FFI Dpt.128 T EMA 6.1 = E0. y = ym : k∆r = (2n + 1)π ⇒ 2π ym d = (2n + 1)π .82) siendo la intensidad de la onda en estas franjas Imed = 0. Ondas Electromagnéticas Figura 6.1 .2 . encontramos que la diferencia de camino en la coordenada y de la pantalla viene dada por ∆r = d sen θ ≈ d tan θ ≈ d y . esto es. λ D (6. E0. Si además consideramos que la pantalla SD se coloca a una distancia tal que D ≫ d de las rendijas y admitimos que θ es muy pequeño. el patrón de interferencia obtenido en la pantalla SD mostrará franjas de interferencia constructiva o bien destructiva según se cumplan las siguientes condiciones: Interferencia constructiva. d (6. según muestra la Figura 6. entonces. Física Aplicada 1 . Según la teoría expuesta anteriormente. Es interesante notar que en las franjas de interferencia constructiva se ha obtenido que la intensidad media es cuatro veces (y no dos) el valor de la intensidad media proporcionada por cada uno de los focos. d 2 Al despejar en la expresión anterior d encontramos que d< Dλ 3 · 6 ×10−7 = = 1. aunque tal hecho no se produce puesto que la energía de la onda no se distribuye homogéneamente en la pantalla SD sino que. d 2 (6. debido a la interferencia. Interferencia de Ondas 129 Figura 6. la distancia entre máximos y mínimos consecutivos en el experimento de la doble rendija de Young viene dado por ∆y > D λ .7. 2∆y 2 · 5 ×10−3 Dpt. Ejemplo 6. observándose la interferencia de la luz proveniente de estas rendijas en una pantalla situada a una distancia de 3 m.83) Esta expresión nos proporciona adicionalmente un procedimiento muy sencillo para determinar el valor de la longitud de onda a partir de la medida de la distancia entre franjas de interferencia constructiva y destructiva.5: Patrón de interferencia resultante en el experimento de la doble rendija de Young Nótese que la diferencia ∆y entre un máximo y un mínimo consecutivo es ∆y = D λ .4 Un foco de luz amarilla (λ = 600 nm) incide sobre dos rendijas separadas una distancia d.8 ×10−4 m = 180 µm . Obtener la separación d entre las rendijas para que la distancia entre máximos y mínimos consecutivos del patrón de interferencia luminoso sea mayor que 5 mm. existen puntos donde la energía es mayor que la suma de las energías provenientes de los focos pero también existen otros puntos donde la energía es menor (incluso cero) que la proveniente de los focos. Física Aplicada 1 Apuntes de FFI .6. Esto parece violar el principio de conservación de la energía. En este tipo de perturbación ya no podemos decir que la energía viaja de un punto a otro sino que.2 ) cos ωt = 0 . Física Aplicada 1 . de donde se deduce que E0. ésta se refleja de la forma mostrada en la figura adjunta. al llegar al extremo. Ondas Electromagnéticas El resultado anterior nos muestra que la separación entre rendijas debe ser muy pequeña (y aún menor si ∆y se quiere mayor) por lo que en la práctica no es fácil llevar a cabo este experimento. y Al llegar al punto x = 0. 6. t) = E0. Puesto que en el punto x = 0 la amplitud del campo electromagnético debe ser nula para cualquier instante de tiempo (por hipótesis. Como las dos ondas electromagnéticas anteriores coinciden simultáneamente en la misma región del espacio. t) = E0 sen kx sen ωt .2 y −j se ha escrito como e−jπ/2 ).2 cos(ωt − kx)ˆ . t) = E0.1 + E0. (6.2 cos(ωt) = (E0.2 (−ejkx + e−jkx ) ejωt = E0 sen(kx)ej(ωt−π/2) (6.1 = −E0. u1(x.t) onda reflejada Observemos que cuando una perturbación viaja hacia la izquierda por una cuerda. sino que constituye un nuevo tipo de onda conocido como onda estacionaria. tendremos que Ey (0. esta onda estacionaria corresponde a una situación en la que cada punto del espacio está sometido a un Apuntes de FFI Dpt. Este fenómeno ondulatorio también se dará para ondas electromagnéticas cuando dichas ondas son reflejadas por “espejos”.2 . la superposición de ambas (usando notación compleja) dará lugar al siguiente campo eléctrico de la onda electromagnética resultante: (6.85) (donde E0 = 2E0.130 T EMA 6.84) Ey (x.1 cos(ωt + kx)ˆ .8.t) onda incidente Ondas estacionarias u2(x.86) no aparecen explícitamente expresiones del tipo f (ωt ± kx). ésta es la condición de reflexión “ideal” en un espejo). cuya parte real puede finalmente escribirse como Ey (x.1 cos(ωt) + E0. y Dado que las dos ondas viajeras anteriores se encuentran en una misma región del espacio darán lugar a un fenómeno típico de superposición o interferencia. como muestra la figura 6.2 ej(ωt−kx) = E0. t) = E0. Consideremos entonces una onda electromagnética plana armónica viajando hacia la izquierda con un campo eléctrico dado por x= 0 E1 (x. la onda se refleja en un espejo dando lugar a otra onda armónica viajando hacia la derecha cuyo campo eléctrico vendrá dado por E2 (x. lo que indica que esta perturbación no puede identificarse ya simplemente con una onda viajera.2 ej(ωt+kx) + E0. t) = −E0.6.86) Nótese que en la expresión (6. Física Aplicada 1 Apuntes de FFI . Los nodos están separados una distancia λ/2. Si ahora imponemos al problema anterior una segunda condición consistente en colocar un segundo espejo en el punto x = L. . .8.92) Vemos entonces que la imposición de (6.. campo eléctrico caracterizado por una oscilación armónica simple cuya “amplitud” es una función de x. (6.87) E0 (x) = E0 sen kx .. siendo (6.6. t) = 0 . lo cual requiere que sen kL = 0 ⇒ kL = nπ . t) = E0 (x) sen ωt . 2 (6.. entonces ha de verificarse igualmente que Ey (L. Ondas estacionarias 131 Figura 6.. ..90) ha limitado los valores de las Dpt. Estos puntos son aquellos que verifican que E0 (x) es cero. E0 (x).88) Observemos que en la situación anterior podemos encontrar puntos denominados nodos donde el campo eléctrico es nulo para todo instante de tiempo. (6. . es decir.6: Instantánea de la onda estacionaria en t = t0 .90) La condición anterior implica que tanto el número de ondas como la longitud de onda de la onda electromagnética estacionaria resultante sólo pueden tomar ciertos valores discretos (fenómeno conocido como cuantización ) dados por kn λn = = n π 2π 3π π = . L L L L 2L 2L 2L = 2L.89) siendo la distancia entre dos nodos sucesivos una semilongitud de onda (recuérdese que la longitud de onda está determinada por la frecuencia y la velocidad de propagación de la onda: λ = c/f ). pudiéndose escribir entonces que Ey (x.91) (6. n 2 3 (6.. aquellos que satisfacen la siguiente condición: kx = nπ ⇒ xnodo = n λ . n (x. L (6. ∞ Ey (x. t) = n=1 ∞ E0. Apuntes de FFI Dpt. llamado teorema de Fourier. Física Aplicada 1 . Osciloscopio nodos sucesivos es ∆ = λ/2. esto es.0 sen(nk1 x) sen(nω1 t + ϕn ) . que se denominan genéricamente como armónicos. De forma análoga.15 = 0. Teniendo en cuenta que la distancia entre mínimos de amplitud de campo y que la distancia entre dos la longitud de onda será Generador de microondaseléctrico viene determina por la expresión (6.5 En el montaje de la figura se genera una onda estacionaria en la región en- Detector Bocina tre la bocina emisora y la pantalla metálica (espejo). c 3 ×108 Finalmente observemos que en la región limitada por espejos.92).93) En consecuencia podemos concluir que tanto las longitudes de onda como las frecuencias permitidas están cuantizadas y que esta cuantización es fruto de la imposición de condiciones de contorno en las fronteras de cierta región del espacio. Estos armónicos presentan la importante propiedad de que cualquier perturbación electromagnética en dicha región puede expresarse como una superposición de ellos. ω1 = v π L y E0. t) = E0.n sen(kn x) sen(ωn t + ϕn ) En.3 = = 1 GHz .89). tenemos entonces que λ = 2∆ = 2 · 0. que básicamente dice que una función periódica puede expresarse como la suma de senos/cosenos cuyas frecuencias son un número entero de veces la frecuencia original del problema (un tratamiento detallado de este teorema puede encontrarse en cualquier libro de Cálculo). Supuesto que el detector de campo eléctrico nos dice que la distancia mínima entre los mínimos de amplitud de campo están situados a 15 cm. Ejemplo 6.3 m . n=1 = siendo (6. Considerando ahora la relación existente entre la frecuencia y la longitud de onda (λ = cf ) tendremos que la frecuencia emitida es f= λ 0. las frecuencias permitidas serán aquéllas que cumplan ωn = ckn = c nπ . cada una de las ondas electromagnéticas estacionarias permitidas poseen un campo eléctrico que responde a la siguiente expresión: Ey.94) k1 = π L .n la amplitud del n-ésimo armónico (esta amplitud será distinta en cada caso particular). Ondas Electromagnéticas longitudes de onda de la onda electromagnética en la región del espacio limitada por los dos espejos a aquellos valores que cumplan la condición (6. El resultado anterior puede considerarse como una conclusión particular de un teorema más general. determine la frecuencia de la onda emitida por la bocina.n sen(kn x) sen(ωn t + ϕn ) .132 T EMA 6. 7(a) se muestra esta misma sombra cuando no se produce difracción (por ejemplo. Dpt. Por ello consideraremos que la onda incidente es una onda electromagnética plana armónica cuyo campo eléctrico está dirigido en la dirección y (de forma similar a como hemos hecho en apartados anteriores). a) b) Intensidad Intensidad Sombra geométrica Borde Distancia Borde Distancia Figura 6.6. la difracción no se diferencia básicamente de la interferencia puesto que ambos fenómenos son fruto de la superposición de ondas. que se presenta cuando las ondas incidentes pueden considerarse planas y el patrón de difracción es observado a una distancia lo suficientemente lejana como para que solo se reciban los rayos difractados paralelamente. La difracción es. aunque también se llama difracción a la interferencia producida por muchos focos coherentes elementales. 6.9. por ejemplo.7: Sombra producida por una esquina recta iluminada por una fuente de luz cuando: (a) no se produce difracción. (b) sí se produce difracción En el presente estudio de la difracción. cuando la fuente de luz es incoherente). en principio. Este fenómeno se produce cuando una onda es distorsionada en su propagación por un obstáculo. Desde el punto de vista físico. que explica la propagación ondulatoria suponiendo que cada punto de un frente de ondas primario se comporta como un foco de ondas esféricas elementales secundarias que avanzan con una velocidad y frecuencia igual a la onda primaria. Un ejemplo de difracción puede verse en la Figura 6. la causa de la desviación de la luz de una trayectoria recta. La posición del frente de ondas primario al cabo de un cierto tiempo es la envolvente de dichas ondas elementales. no debería alcanzar si su propagación fuese estrictamente rectilínea. explicando así por qué la luz llega a puntos que. Para obtener la perturbación resultante haremos uso del principio de Huygens. (*) Difracción 133 6.7(b) que muestra el patrón de sombras cuando una fuente de luz coherente ilumina una esquina recta. (*) Difracción Uno de los fenómenos ondulatorios más característicos es el conocido como difracción. Física Aplicada 1 Apuntes de FFI .9. En la Fig. consideraremos únicamente la denominada difracción de Fraunhofer. 95) donde rn es la distancia desde el foco secundario n-ésimo hasta el punto P y A0 la amplitud constante de cada onda elemental. .8: (a) Difracción de Fraunhofer de una rendija rectangular. y a efectos de cálculo. en cierto punto P de una pantalla SD (situada a una distancia D ≫ d) será fruto de la interferencia de un gran número de fuentes equiespaciadas de igual amplitud y fase inicial. Física Aplicada 1 . El camo eléctrico de la onda electromagnética resultante. Apuntes de FFI (6. esto es. supondremos que existen N focos puntuales equiespaciados en la rendija. todos los rayos que llegan a P se consideran paralelos. t) = E0 e−jkr + e−jk(r+∆r) + e−jk(r+2∆r) + . rn puede escribirse como rn = r + (n − 1)∆r . .8b). + e−(N −1)jφ e−j(kr−ωt) . . ejωt = E0 1 + e−jφ + e−2jφ + .95) puede entonces expresarse como Ey (P.8.96) Dpt. t) = n=1 E0 e−j(krn −ωt) . cuando un frente de onda alcanza una pantalla en la que existe una rendija de anchura b.134 T EMA 6. N Ey (P. En este sentido. (6. Ondas Electromagnéticas Siguiendo este principio. Si llamamos r a la distancia desde el foco 1 hasta P y ∆r a la diferencia de camino entre la perturbación que llega a P desde un foco y el siguiente. (b) Cada punto de la rendija se comporta como un foco puntual emisor de ondas secundarias. tal y como se muestra en la Figura 6. rendija se convierten en focos emisores secundarios. t). sólo aquellos puntos del frente de ondas coincidentes con la (a) (b) r S1 S2 Px R b SN 1 (N)Dr q Intensidad SD Figura 6. Notemos que. La perturbación en P según (6. . Ey (r. de modo que la perturbación ondulatoria en cualquier punto a la derecha de la rendija puede calcularse como la superposición de las ondas originadas en cada uno de estos focos secundarios (ver Figura 6. bajo la presente aproximación. 6.9. (*) Difracción donde φ = k∆r y pudiéndose identificar la suma entre corchetes como una serie geométrica, Sg , de razón q = e−jφ . Dado que la suma de la siguiente serie geométrica viene dada por 135 1 + q + q 2 + . . . + q N −1 = 1 − qN , 1−q el resultado de la serie geométrica en (6.96) puede expresarse como Sg = = ejN φ/2 e−jN φ/2 − ejN φ/2 1 − ejN φ = jφ/2 1 − ejφ e e−jφ/2 − ejφ/2 sen(N φ/2) j(N −1)φ/2 e , sen(φ/2) por lo que Ey (P, t) = E0 sen(kN ∆r/2) −j[k(r+ N −1 ∆r)−ωt] 2 . e sen(k∆r/2) (6.97) La expresión anterior puede reescribirse como Ey (P, t) = EP e−j(kR−ωt) , donde (6.98) R=r+ N −1 ∆r 2 es la distancia desde el centro de la rendija al punto P y EP = E0 sen(kN ∆r/2) . sen(k∆r/2) (6.99) es la amplitud resultante de la componente y del campo eléctrico en P . Dado que esta amplitud varía en cada punto de la pantalla, también lo hará la intensidad de la onda, formando lo que se conoce como un patrón de difracción: Imed (θ) sen2 (N k∆r/2) = . max Imed sen2 (k∆r/2) (6.100) Claramente existe un mínimo en la intensidad de la perturbación cuando EP → 0, esto es, cuando el numerador de (6.99) sea cero, sen(kN ∆r/2) = 0 , es decir, cuando el argumento verifica que kN ∆r/2 = mπ . Según se puede deducir de la Figura 6.8(b) (si N ≫): (6.101) N ∆r ≈ (N − 1)∆r = b sen θ , por lo que la condición de mínimo (6.101) para EP puede reescribirse como 2π b sen θ = mπ , λ 2 (6.102) o equivalentemente b sen θm = mλ Dpt. Física Aplicada 1 m = 1, 2, . . . . (6.103) Condición de intensidad nula en la difracción por una rendija Apuntes de FFI 136 T EMA 6. Ondas Electromagnéticas El primer mínimo (o mínimo de primer orden) ocurre para m = 1, verificándose entonces que sen θ1 = λ . b (6.104) Puede observarse que si λ ≪ b, θ1 ≈ 0, por lo que apenas se observará patrón de difracción, es decir, la zona de sombra aparece bien definida tal como ocurriría si la onda se propagase en línea recta. A medida que el cociente λ/b crece, el ángulo θ1 aumenta, haciéndose, por tanto, más evidente el fenómeno de difracción. En general, los fenómenos de difracción son más apreciables cuando las dimensiones de la rendija son del orden de la longitud de onda de la perturbación ondulatoria (no obstante, debe tenerse en cuenta que el análisis efectuado para obtener la expresión (6.103) es sólo válido si λ < b, puesto que de otro modo el seno sería mayor que uno para todo valor de m). Ejemplo 6.6 Hallar la anchura de la franja central del patrón de difracción producido en una pantalla situada a una distancia de 5 m de una rendija de anchura 0.3 mm por la que se ha hecho pasar una luz laser de 600 nm. La anchura de la franja central puede obtenerse a partir del ángulo θ1 que nos da el primer mínimo en el patrón de difracción. Según la expresión (6.104), este ángulo viene dado por sen θ1 = 6 ×10−7 m λ = = 2 ×10−3 . b 3 ×10−4 m sen θ1 ≈ tan θ1 Dado que sen θ1 ≪, tenemos que y, por tanto, la anchura de la franja central será 2a = 2D tan θ1 ≈ 2 · 5 · 2 ×10−3 = 20 mm . 6.10. Espectro electromagnético Uno de los aspectos más interesantes de las ondas electromagnéticas es que distintos fenómenos ondulatorios aparentemente inconexos como la luz, las ondas de radio, las microondas, los rayos X, los rayos gamma, etc, son todos ellos ondas electromagnéticas que se diferencian simplemente por su distinta frecuencia y longitud de onda. Todos los fenómenos anteriores son básicamente campos eléctricos y magnéticos oscilantes a determinada frecuencia. En el espacio libre, la relación entre la frecuencia f y la longitud de onda λ viene dada por λ= c . f (6.105) El conjunto de todas las radiaciones electromagnéticas se conoce espectro electromagnético, distinguiéndose en él las distintas denominaciones que toman las ondas electromagnéticas en función de la frecuencia, tal como se muestra en la Fig. 6.9. Apuntes de FFI Dpt. Física Aplicada 1 6.11. Fuentes de las Ondas Electromagnéticas Frecuencia ( Hz) 10 21 137 Longitud de onda (m) Rayos Gamma 10 -12 10 18 Rayos X Ultravioleta -1A -9 10 - 1 nm 10 15 Visible 10-6 - 1 mm Infrarrojo 1 THz - 1012 Microondas 1 GHz - 10 9 10 -3 - 1 cm 100 - 1 m TV, FM 1 MHz - 106 Ondas de Radio Radiofrecuencia 10 3 - 1 km 1 kHz - 10 3 Figura 6.9: Espectro electromagnético A lo largo de este tema hemos visto cómo la longitud de onda y la frecuencia determinan fundamentalmente las propiedades de la onda. En este sentido se vio en el Apartado 6.9 que los fenómenos de difracción dependían básicamente de la relación entre la longitud de onda y el tamaño físico de los objetos donde se producía la difracción. Esto justificaba que los efectos de difracción de la luz sean apenas perceptibles debido a la corta longitud de onda de la luz visible (400 λ(nm) 700) y que, por tanto, la luz pueda ser considerada en muchas situaciones prácticas como un rayo. La misma explicación sirve para entender por qué grandes obstáculos como edificios o montes no afectan drásticamente a la propagación de ondas de radio largas (107 λ(m) 102 ). La interacción de la onda electromagnética con la materia también depende básicamente de la longitud de la onda y así, la pequeña longitud de onda de los rayos X (10−12 λ(m) 10−8 ) es la que explica por qué estos rayos pueden atravesar fácilmente muchos materiales que son opacos para radiaciones de mayor longitud de onda. Igualmente, al coincidir la longitud de onda de las ondas generadas en los hornos de microondas (λ ∼ 15cm) con el espectro de absorción de las moléculas de agua se explica que esta radiación sea considerablemente absorbida por las moléculas de agua que contienen los alimentos y, consecuentemente, se calienten. 6.11. Fuentes de las Ondas Electromagnéticas Hasta ahora hemos estado estudiando algunas de las características de las ondas electromagnéticas pero todavía no sabemos dónde y cómo se originan estas ondas. Dado que las ondas electromagnéticas son simplemente campos eléctricos y magnéticos oscilantes y las fuentes de estos Dpt. Física Aplicada 1 Apuntes de FFI sólo que cierto intervalo de tiempo después. el movimiento de estas cargas. Ahora bien. produce una corriente eléctrica oscilante que puede ser detectada por algún dispositivo adecuado. éstos debían ser campos variables en el tiempo por lo que ni cargas estáticas ni las cargas en movimiento uniforme de una corriente estacionaria puede producir ondas electromagnéticas 4 . De esta manera el patrón de variación temporal que se produjo en el generador de la antena emisora es ahora “recogido” en el detector de la antena receptora. Las ondas de la luz visible que oscilan a una f ∼ 1015 Hz son originadas por el movimiento oscilatorio de las cargas atómicas y las radiaciones de mayor frecuencia por rápidas oscilaciones electrónicas y nucleares. Normalmente la oscilación de una única carga produce una onda cuya intensidad es prácticamente indetectable. más que dos varillas conductoras alimentadas mediante un generador de corriente alterna. Los campos eléctricos que llegan a la antena ejercen una fuerza sobre las cargas móviles del conductor (electrones) que las hacen oscilar a la misma frecuencia que la onda electromagnética incidente. que simplemente sigue el patrón de la radiación incidente. forman una antena emisora. que no son. Este tipo de antenas es el comúnmente usado para generar ondas de radio y TV (MHz f GHz). para que los campos primarios generen otros campos. Cargas eléctricas oscilando a una determinada frecuencia ω serán los focos de ondas electromagnéticas de esa misma frecuencia y con una longitud de onda en el espacio libre dada por: λ = 2πc/ω . (Los electrones de la antena receptora se mueven tal como lo hacían los electrones de la antena emisora. en las antenas. como se ha discutido anteriormente. Física Aplicada 1 . son precisamente los propios campos los responsables de la generación de los subsiguientes campos. por tanto. por ello las ondas electromagnéticas suelen originarse en la práctica cuando un número importante de cargas están oscilando conjuntamente. las corrientes eléctricas continuas) son las fuentes de los campos magnéticos estáticos. debemos notar que estamos hablando de las fuentes de los campos “primarios” puesto que. El mismo mecanismo que justifica que los electrones en movimiento en un conductor originan ondas electromagnéticas. Consecuentemente las cargas eléctricas aceleradas (único estado de movimiento no considerado hasta ahora) sí que originen estos campos primarios y. justamente el necesario para que la onda reRecordemos que las cargas estáticas son las fuentes de campos eléctricos estáticos y las cargas en movimiento uniforme en un conductor (esto es. 4 V Apuntes de FFI Dpt. esto es. No obstante. Claramente.138 T EMA 6. es razonable suponer que estas cargas serán las fuentes de las ondas electromagnéticas. en su forma básica. una vez que se han generado estos campos primarios. Este hecho se produce. podemos concluir que las cargas eléctricas aceleradas son fuentes de las ondas electromagnéticas. también explica por qué este mismo dispositivo (sin el generador) sería una antena receptora. El generador de corriente alterna provoca que los electrones de las varillas conductoras viajen desde un extremo a otro de las varillas realizando un movimiento oscilatorio que viene determinado por la frecuencia del generador. por ejemplo. Ondas Electromagnéticas campos son las cargas eléctricas estáticas y/o en movimiento. Sol. 6.6. determínense las amplitudes de los campos eléctrico y magnético de la onda sintonizada. b) la intensidad de onda (potencia media por unidad de área).9: El campo eléctrico de una onda electromagnética oscila en la dirección z .: E(x. transportando una potencia media por unidad de área de 6 µW/m2 . 139 6.12.3: Una onda electromagnética (OEM) plana se propaga en el vacío.2: Hallar la longitud de onda de a) una onda de radio de AM típica con una frecuencia de 100 kHz. c) E0 = 3. 6.5: Cierto pulso de campo electromagnético puede asimilarse a una onda plana cuyos cam- ˆ pos son E(x. Física Aplicada 1 Apuntes de FFI . B0 = 1. Demostrar que ambos z campos verifican la ecuación de onda y obtener la relación entre E0 y B0 sabiendo que de acuerdo con la ley de Faraday debe cumplirse que ∂Ey (x. Sol. La duración del pulso es de 10 ns y la densidad de energía es constante dentro del pulso.31 ×105 J/m3 . Sabiendo que su frecuencia es de 98.75 kW/m2 . Se desea diseñar un sistema de conversión de energía solar a eléctrica para que proporcione una potencia eléctrica de 25 kW que permita cubrir las necesidades de una casa. satisface la ecuación (6. t)/∂x = −∂Bz (x.12. t) = 22. donde c = ω/k . Be = 0.46 ×108 V/m.4 MHz y su amplitud de campo eléctrico es de 20 mV/m. Problemas propuestos 6.26×10−3 cos(2π×1010 t − 200πx/3 + φ) y V/m. así como la potencia media por unidad de área transportada por la onda.66×10−10 T. .1: Demostrar por sustitución directa que la siguiente expresión: Ey (x.6: La antena de un receptor radioeléctrico es equivalente a una barra conductora de 2 m de altura y está orientada paralelamente al campo eléctrico de la OEM que se desea sintonizar. a) ¿Cuál es la longitud espacial del pulso? b) ¿Cuál es la densidad de energía dentro del mismo? c) Hallar los valores de la amplitud de los campos eléctrico y magnético. a) λ = 300 m . Sol. b) λ = 300 m .8: Un pulso de láser tiene una energía de 20 J y un radio de haz de 2 mm. b) 5. Sol. t)/∂t.7: En la superficie de la Tierra. 6.4: Una OEM plana se propaga a lo largo del eje X con una longitud de onda de 3 cm. 6. t) = −100 cos2 [10x + (3 ×109 )t] x W/m2 Dpt.666×10−11 T. Si el sistema tiene una eficacia del 30 %. Problemas propuestos corra la distancia entre las dos antenas). t) = B0 e−(x−ct) ˆ (T). 6. calcúlese: a) la amplitud del campo magnético. b) I = 0.53 µW/m2 . d) f = 3 ×1018 Hz. Determínense las expresiones completas de los campos E y B sabiendo que el campo eléctrico está dirigido según el eje Y . 6. viniendo su vector de Poynting dado por 2 2 ˆ S(x. Sol. 6. t) = 67.: Ee = 2×10−3 V/m. 111 m2 . b) una onda de radio de FM típica de 100 MHz. Si la tensión eficaz entre los extremos de la antena al recibir la onda es de 4 mV. ¿cuál será el área necesaria de los colectores solares. Esta manera de transmitir información es muy eficaz ya que pone en juego muy poca energía y permite transmitir información entre puntos muy lejanos entre sí (incluyendo comunicaciones con satélites y vehículos espaciales).15 T.: E0 = cB0 . t) = E0 e−(x−ct) y (V/m) y B(x. supuestos que son absorbentes perfectos?.: a) 3 m.el flujo solar medio aproximado es de 0. De esta manera se ha transmitido información desde un sitio a otro del espacio usando como intermediario a la onda electromagnética. t) = E0 sen(kx − ωt) = E0 sen k(x − ct) .1 nm.: a) B0 = 0. c) f = 10 GHz. c) la frecuencia de una microonda de 3 cm y d) la frecuencia de unos rayos X con una longitud de onda de 0. ˆ Sol.42×10−11 cos(2π×1010 t − 200πx/3 + φ) z T. 6. Sol. I = 10−8 W/m2 . ˆ B(x.42). t) = 0. b) B(z. b) el campo magnético. B . µ0 = 4π×10−7 H/m.b) λ = 0.140 T EMA 6. c) Hallar los campos eléctrico y magnético.: a) k = π/3 m−1 . y periodo y número de onda. B = 0. 6. a) ¿En qué dirección se propaga la onda? b) Calcular la longitud de onda y la frecuencia. k = 2π/3 m−1 .11: Una OEM armónica plana de longitud de onda λ = 6 m se propaga en el sentido negativo del eje de las X siendo su campo magnético B(x. E .620 m.77 ×108 Hz . T=10 ns. y Determínese: a) el número de ondas. Sol. I = S = 15/π µW/m2 . así como la intensidad de onda.01 cos(2πz/3 − 2π×108 t)ˆ nT. f = 4. Física Aplicada 1 . ǫ0 = 8. y del vector de Poynting. I . y la intensidad de onda.01195 µW/m2 . así como el vector de Poynting. Sol. x Constantes: c = 3×108 m/s. b) E(x. I = S = 0. z S(x. f=100 MHz. Sol.0239 cos2 (2πz/3 − 2π×108 t)ˆ µW/m2 .854×10−12 F/m. f = 50 MHz. t) = 2×10−10 cos(ωt+kx+π/4)ˆ T. S .10: El campo eléctrico de una onda electromagnética armónica plana tiene la expresión E(z. c) E = 194 cos[10x + (3 ×109 )t]ˆ V/m.: a) sentido negativo de x . x z S(z. t) = −(30/π) cos2 (π×108 t + kx + π/4)ˆ µW/m2 . z y 6. S . Ondas Electromagnéticas donde x está en metros y t en segundos. Apuntes de FFI Dpt. I . t) = −0.: a) λ = 3 m. t) = 3×10−3 cos(kz − 2π×108 t)ˆ (V/m). la frecuencia y el periodo de la onda. Determínese: a) la longitud de onda.647 ×10−6 cos[10x + (3 ×109 )t]ˆ T. b) las expresiones del campo eléctrico. frecuencia. t) = 60×10−3 cos(π×108 t + kx + π/4)ˆ V/m. T = 20 ns. En las figuras aparecerán sin embargo los vectores denotados en tipo negrita. Para especificar los vectores se usan frecuentemente varios tipos de notación. V .1. v. Mediante una terna de números que son las componentes del vector en los ejes cartesianos x. Ejemplos de estas magnitudes son la masa. la temperatura. la distancia. No obstante en el texto de estos apuntes y con la idea de evidenciar más si cabe el caracter vectorial de las magnitudes usaremos la notación con una flechita encima de las variables. existen otras magnitudes que además de su valor y unidades están “dotadas” de una propiedad adicional: su dirección.1. Para expresar las magnitudes vectoriales se hace uso de los vectores y por tanto se hace imprescindible el álgebra de vectores. El vector v puede también expresarse en función de su módulo y de su vector unitario. De forma genérica puede decirse que estas magnitudes son escalares. Este tipo de magnitudes se conocen con el nombre de magnitudes vectoriales e incluyen a magnitudes tales como la posición. El módulo del vector u suele denotarse como v 1 . (A. vz ) . etc. y. vy . A. z .Apéndice A Análisis vectorial A. etc.1) Geométricamente. Notación vectorial Usualmente las magnitudes vectoriales suelen denotarse en los textos impresos mediante letras minúsculas o mayúsculas en tipo negrita. V . para la escritura manual de los mismos. las componentes del vector son las proyecciones de este vector en los ejes cartesianos. el campo eléctrico. vz z v vy vx x y v = (vx . dejándose usualmente la notación con una flecha/raya encima de dichas letras. v.1. Vectores En la naturaleza existen magnitudes físicas que están completamente determinadas por su valor y sus unidades. la velocidad. Por el contrario. la fuerza. z se denotaran como x. ez . (A. ˆ a · x = ax . De este modo si ˆ ˆ ˆ a = ax x + ay y + az z ˆ ˆ z b = bx x + by y + bz ˆ . esto es.1.2. j. Este hecho se manifiesta claramente en el producto escalar de a por uno de los vectores unitarios según los ejes coordenados. Usando esta notación. Los vectoˆ ˆ ˆ res unitarios a lo largo de los ejes x.2) El vector unitario asociado con el vector v se define como aquel vector de módulo unidad que tiene la misma dirección y sentido que ˆ v .3) Obviamente el vector v puede escribirse como: v = vˆ . Física Aplicada 1 .5) A.6) (A. Producto escalar El producto escalar de dos vectores a y b. Dicho vector se denotará de forma genérica como v o bien como ˆ v . y. ey . z respectivamente. El producto escalar a· b puede interpretarse geométricamente como la proyección de uno de los vectores sobre el otro (salvo factores numéricos).4) b c a A. (A. pudiéndose expresar como z Vector unitario de v ˆ v= v = v (vx . k o bien ex . v v y x Expresando el vector como suma de las componentes del vector por los vectores unitarios a lo largo de los ejes coordenados.2 Apéndice A. x y z (A. el vector c suma de los dos anteriores será por tanto: c=a+b = (ax + bx )ˆ + (ay + by )ˆ + (az + bz )ˆ . Otras notaciones frecuentes para estos vectores unitarios son i.7) siendo α el ángulo formado por los dos vectores (es independiente si este ángulo se mide en dirección horaria o antihoraria ya que cos(π − α) = cos α). Análisis vectorial v o bien |v| y viene dado según el teorema de Pitágoras por ^ v |v| ≡ v = Módulo del vector v 2 2 2 vx + vy + vz . Suma de vectores La suma de vectores se realiza sumando sus componentes. denotado como a · b es un escalar fruto de la siguiente operación: a·b = ax b x + ay b y + az b z = ab cos α .3. Apuntes de FFI Dpt. (A. vy . el vector v se escribirá como: ˆ ˆ ˆ v = vx x + vy y + vz z .1. y. vz ) 2 2 2 vx + vy + vz . (A. (A.13) El producto vectorial es distributivo respecto a la suma de vectores: a × (b + c) = a × b + a × c . el módulo del producto vectorial. (A. es un vector definido como ˆ a × b = ab sen α n .1. Dpt. Puesto que el plano tiene dos normales (cada una con distinto sentido).4. Física Aplicada 1 Apuntes de FFI . (A.15) Esta regla también se conoce a veces como regla del tornillo cuando dice que considerando el giro que va desde a hasta b por el camino más corto. el sentido de avance o retroceso del tornillo indica hacia donde se dirige la normal. el vector ˆ n que aparece en (A. Esta regla dice que usando la mano derecha y apuntando el dedo índice en la dirección de a y el dedo corazón en la de ˆ b.1. (A. A partir de la definición del producto vectorial (A.12) ˆ siendo α el ángulo más pequeño formado por los dos vectores y n el vector unitario normal exterior al plano que contiene a los vectores a y b. (A. si este giro se aplica a un tornillo. El producto escalar de dos vectores perpendiculares es nulo: (A. Algunas de las propiedades del producto escalar son: El producto escalar es conmutativo: a·b = b·a. Producto vectorial El producto vectorial de dos vectores a y b. el dedo pulgar indicará la dirección de n1 .11) A. denotado como a × b.9) a·b=0 ⇒ a⊥b. es igual al área del paralelogramo generado por los vectores a y b.10) El producto escalar de un vector por sí mismo es igual al cuadrado del módulo de dicho vector: a · a = a2 .12) siempre se refiere a la normal que apunta según la regla de la mano derecha.A. (A.12) pueden deducirse las siguientes propiedades: El producto vectorial es anticonmutativo: a × b = −b × a . El producto vectorial de dos vectores paralelos es nulo: (A.8) El producto escalar es distributivo respecto a la suma de vectores: a · (b + c) = a · b + a · c . |a × b|. Vectores 3 ˆ donde se ve claramente que a · x es justamente la proyección del vector a sobre el eje x.14) a×b=0 ⇒ a 1 b. Geométricamente. (A.12) y las propiedades (A. Desde un punto de vista geométrico.17) Usando la definición del determinante.21). (A. la expresión anterior puede escribirse como a×b= ˆ x ax bx ˆ y ay by ˆ z az bz .1. Usando esta interpretación geométrica es fácil deducir que c a b a · (b × c) = b · (c × a) = c · (a × b) . el producto vectorial de a por b puede obtenerse como ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ z a × b = (ax x + ay y + az ˆ) × (bx x + by y + bz z) = x y z = (ay bz − az by )ˆ + (az bx − ax bz )ˆ + (ax by − ay bx )ˆ . Física Aplicada 1 . (A. Producto triple escalar: a · (b × c).4 Multiplicación por un escalar α: Apéndice A.18) A.16) Teniendo en cuenta la definición (A. El productor triple escalar puede también obtenerse a partir del siguiente determinante: a · (b × c) = ax bx cx ay by cy az bz cz .15). este vector puede a su vez multiplicarse escalar o vectorialmente para formar lo que se conoce como productos triples. Análisis vectorial α(a × b) = αa × b = a × αb . (A. Productos triples Dado que el producto vectorial de dos vectores es otro vector. Nótese que el vector (A. este producto triple escalar puede interpretarse como el volumen del paralelepípedo generado por los tres vectores a.13)–(A. Este producto triple vectorial puede también obtenerse como a × (b × c) = b(a · c) − c(a · b) .5.21) (a × b) × c = −c × (a × b) = −a(b · c) + b(a · c) (A.20) Producto triple vectorial: a × (b × c). Apuntes de FFI Dpt. b y c dado que según la figura adjunta |b × c| es el área de la base y |a cos α| es la altura (α es el ángulo entre a y b × c).19) Es interesante notar que en la expresión anterior se ha preservado el “orden alfabético”.22) es un vector completamente diferente al definido en la expresión (A. (A. expresa la variación infinitesimal de la función f (x) entre x y x + dx. esto es. esto es.2. así la temperatura de una habitación depende de la posición del punto donde se mide. se define la derivada de la función f (x) con respecto a x como df (x) f (x + ∆x) − f (x) ∆f = l´ ım = l´ ım ∆x→0 ∆x→0 ∆x dx ∆x (A.A.24) Desde un punto de vista matemático.23) y expresa geométricamente el valor de la pendiente de la tangente a la curva f (x) en el punto x. A. Similarmente al concepto de derivada introducido en la sección anterior para funciones de una sola variable. Física Aplicada 1 Apuntes de FFI .25) Debe notarse que df /dx no expresa un cociente entre df y dx sino que por el contrario debe entenderse como la acción del operador d/dx sobre la función f (x).27) A. (A. Esta derivada hace referencia a la variación de cierta Dpt. este diferencial viene dado por el siguiente producto: df (x) = df dx dx . denotado genéricamente como df . Este hecho se manifiesta matemáticamente diciendo que la temperatura es función de x. Teorema fundamental del cálculo El teorema fundamental del cálculo establece la siguiente relación entre las operaciones de integración y diferenciación de la función f (x): b a df dx dx = f (b) − f (a) . Este hecho se pone de manifiesto con otras notaciones que prefieren expresar la derivada de la función f (x) con respecto a x como Dx f (x). El concepto de diferencial de f (x). donde Dx ≡ d/dx es precisamente el operador derivada.2. de las tres coordenadas espaciales del punto. Diferencial y derivada de funciones de una sola variable 5 A. Diferencial y derivada parcial de funciones de varias variables Es muy frecuente que en la naturaleza las magnitudes dependan de más de una variable. y y z y se denota como T = T (x. puede ahora definirse el concepto de derivada parcial. (A. z). y. (A.3.2.1. Diferencial y derivada de funciones de una sola variable Dada una función de una sola variable f = f (x).26) Es posible “deducir” la expresión anterior teniendo en cuenta que df (x) = df dx dx y por tanto b a df (x) = f (b) − f (a) . df (x) = f (x + dx) − f (x) . (A. Física Aplicada 1 . ∇f . (A. z) se obtiene el gradiente de f . puede expresarse como el siguiente producto escalar: df = ∂f ∂f ∂f . puede deducirse que una variación infinitesimal de la función f (x. y. df . .36) Usando la definición de producto escalar.34) (A.33) al aplicarlo a la función f (x. y. z) = = ∂f ∂f ∂f . z) cuando dicha función varía entre los puntos x y x + dx podrá expresarse como: df |x = ∂f ∂x dx . dz) . Operador gradiente Es interesante notar en la expresión (A. Así. z) − f (x. . puede escribirse que df = ∂f ∂x dx + ∂f ∂y dy + ∂f ∂z dz . ∂x ∂y ∂z ∂ ∂ ∂ ˆ ˆ x +y +ˆ z .30) A. df también puede escribirse como Apuntes de FFI Dpt. y. por tanto.30) que el diferencial de la función f (x. y. z + dz) podría obtenerse.35) Esta definición permite escribir el diferencial de la función f como el siguiente producto escalar: df = ∇f · dr . y. y. se define la derivada parcial de la función f (x. ∂x ∂y ∂z (A. sumando las variaciones parciales a lo largo de cada una de las coordenadas. Análisis vectorial función con respecto a una sola de las variables cuando las demás permanecen constantes. donde dr = (dx. z) y (x + dx.29) La variación infinitesimal de la función f (x. y. (A.6 Apéndice A. y + dy.1.31) Definiendo el operador vectorial ∇ como Operador ∇ ∇ ≡ ≡ ∂ ∂ ∂ .3. ∂x ∂y ∂z (A. que es evidentemente una magnitud vectorial : Definición de gradiente de f ∇f (x. (A. z). dz). . A partir del concepto de derivada parcial. z) = l´ ım ∆x→0 ∂x ∆x (A.32) (A. y. ∂x ∂y ∂z ∂f ∂f ∂f ˆ ˆ ˆ x+ y+ z. De este modo. z) cuando ésta varía entre los puntos (x. z) con respecto a x como ∂f f (x + ∆x. dy. (A. ∂x ∂y ∂z · (dx. y. dy.28) y análogamente para las restantes variables. Algunas de las propiedades más importantes de las integrales de camino son: B A. la integral en (A. y.36).Γ F · dl i = Pi+1 →Pi (Γ) l´ ım F (Pi ) · Pi Pi+1 . se tiene que B A. La expresión (A. el trabajo que realiza cierta fuerza entre dos puntos a través de cierta trayectoria. En general.Γ A dl F B A F · dl = − B. df = |∇f | |dr| cos α .26). y esto es precisamente f (B) − f (A).Γ A′ F · dl . la integral de camino de F entre dos puntos A y B a lo largo de la curva Γ se define como la siguiente integral: B CA = B A.4.A. la dirección del vector ∇f marca la dirección de máxima variación de la función en el punto (x. esto es. (A.39) puede verse como una superposición infinitesimal de las variaciones de la función entre los puntos A y B . se verifica que B A ∇f · dl = f (B) − f (A) . A. (A. la integral de camino depende del camino que se elija para ir desde A hasta B.Γ F · dl = A.39) puede “justificarse” considerando la definición del diferencial de f dada por (A. Integral de camino Dado un campo vectorial F (esto es. una magnitud vectorial cuyas componentes dependen de la posición espacial). Dpt. definiendo. Integral de camino 7 lo que permite deducir que la máxima variación de la función f (x.Γ F · dl + dl A′ .37) A.Γ F · dl . z). cuando dr es paralelo al gradiente de f .38) La integral anterior puede interpretarse como la superposición infinitesimal del producto escalar F · dl para cada elemento diferencial de la curva Γ entre los puntos A y B (El vector dl es un vector que tiene por módulo la longitud de un elemento diferencial de la curva y por dirección la de la tangente a la curva en dicho punto). Teorema fundamental del gradiente De forma similar a como se hizo para funciones de una sola variable en (A.39) donde la integral en la expresión anterior es una integral de camino. (A. Las integrales de camino son muy usuales en Física. B Si A′ es un punto intermedio de la curva Γ entre A y B . Física Aplicada 1 Apuntes de FFI . ∇f .1. z) se produce cuando α = 0.4.4. Consecuentemente. por ejemplo. y. A partir de esta definición. 6. es nula. z A. A ∇f · dl es independiente del camino tomado entre los puntos A y B . 2). El flujo de un campo vectorial A a través de una superficie S se define como la siguiente integral de superficie: Φ= S A · dS . 2.Γ F · dl sí depende del camino (considérese.: n=(3/7. 5. 6. Por ejemplo. 0. Física Aplicada 1 . 8. 0) y (6. en general.41) La integral de camino anterior a través de cualquier curva cerrada. 1) y (1. A.: (9. Problemas propuestos 1. 3. Debe notarse que.43) que tiene por módulo el área del elemento diferencial y por dirección ˆ y sentido el del vector unitario normal exterior a la superficie. −3)/ 122 4. (4.8 Apéndice A. ˆ Sol. para el caso del plano z = Cte. 2. (A. 8) como combinación lineal de los vectores (3. Calcular el vector unitario perpendicular al plano determinado por los puntos (0. definido como ˆ dS = dS n . (A.√ Sol. 3) y (3.003o . 1)+ 3(1. n. determinar el área del triángulo cuyos vértices son√ puntos de coordenadas (1. 6/7. 0). Encontrar el ángulo formado por los vectores (3. 2) y (8. 2) y (3. Expresar el vector (9. Apuntes de FFI Dpt. el trabajo realizado por un coche para desplazarse entre dos puntos siguiendo distintas carreteras).Γ B B ∇f · dl = A. Sol. Utilizando el concepto de producto vectorial. el diferencial de superficie será dS = dxdyˆ. Sol. 1). 2).39) B A. Encontrar el unitario en la dirección dada por los puntos de coordenadas (3. 3.γ ∇f · dl . 2/7). 1. (A.42) donde S es una superficie arbitraria y dS es el vector diferencial de superficie. 5. los Sol. 2. 6.: (−7. Γ. 8)=2(3. Γ ∇f · dl = 0 .5. 0. (A. 8. 0) utilizando dos técnicas diferentes (producto escalar y vectorial). por ejemplo.40) esto es. (1.: α = 31.: Área= 117/2. Análisis vectorial Dos importantes corolarios se pueden extraer de la expresión (A. 0). Integral de flujo Una integral muy útil que aparece en Física es la integral de flujo. 2). la integral de camino B B CA = A. 2) y representar gráficamente el resultado. 2) en la dirección dada por la recta que une los puntos (5. Sol. Indicar cuales de las siguientes expresiones tienen sentido y cuales no: a) (a · b) · c.: correctas: b). (y − 2)/R).: (6. Determinar: a) la velocidad y aceleración de la partícula. b) F = (0. t3 ) m (t en segundos). 0. 3/5. 4/5). Física Aplicada 1 Apuntes de FFI . 4/5.: A = A + A⊥ . Dpt. y/R). Encontrar los vectores unitarios radial (ˆ) y tangente (ˆ) en los puntos (x. 2). 12. r t 7.6. x/R). siendo r = ˆ ˜ Sol. Calcule el gradiente de la función φ(x. 21/5. 3) y (2. 12) N. Sol. demostrar que q |a + b| = |a|2 + |b|2 + 2a · b . 3t2 ) m/s. F⊥ = (−6. 2t. Sol. Utilizando el hecho de que |a| = a · a. -3/5). 6) N. Repetir lo anterior suponiendo ahora que la circunferencia tiene su centro en el punto (3. 5. c) a(b · c). 9 8.: a) v(t) = (3. a(t) = (0. b) a · (b × c). 6t) m/s2 . t2 . 2). Sol. 5) en sus componentes paralela y perpendicular a ˆ la dirección dada por el unitario n=(0.A. 11.: centro en (0. así como las componentes de dicha fuerza en la dirección perpendicular y tangente a la trayectoria. Problemas propuestos 6. 10. Encontrar la componente del vector (7. incorrectas: a) y d) . Las coordenadas de una partícula móvil de masa m = 2 kg en función del tiempo son r(t) = (3t. 6) N. Descomponer el vector A = (1. 4. b) la fuerza que actúa sobre la misma en el instante t = 1 s. ˆ = (−(y − 2)/R. d) (a · b) × c. 1. √ 9. 6. y F = (6. siendo A =(0. 0): ˆ = (x/R. 28/5) y A⊥ =(1. ∇φ = r −3 2y(r 2 − x2 )ˆ + 2x(r 2 − y 2 )ˆ − 2xyzˆ x y z p x2 + y 2 + z 2 . Sol. ˆ = (−y/R. r t centro en (3. c). 5. 2): ˆ = ((x − 3)/R. 4. (x − 3)/R). 4. y) de una r t circunferencia de radio R que se halla en el plano XY y tiene su centro en el origen de coordenadas. y. 2. z) = 2xy/r . 2). . ω la frecuencia angular y ϕ el desfase. T (B. esto es. (B.3) (B. Funciones Armónicas Una función armónica f (t) es aquella que varía en el tiempo de la forma genérica: f (t) = A cos(ωt + ϕ) . esto es. 11 .2) donde T el periodo de la señal.2. por ejemplo. sen a cos b ± cos a sen b (B. Análisis fasorial En la resolución de ecuaciones de segundo grado. aquel valor tal que f (t) = f (t+T ). cuál es el valor de la función en el instante t = 0: f (0) = A cos ϕ . determina el rango de variación de la señal. a saber: sen(a ± b) = cos(a ± b) = cos a cos b ∓ sen a sen b . es frecuente encontrarse con soluciones que implican tomar la raíz cuadrada de un negativo. que cos(ωt + ϕ − π/2) = sen(ωt + ϕ) .5) B. A. La amplitud. El desfase ϕ determina el origen del tiempo. (B. esto es −A ≤ f (t) ≤ A .4) de donde puede deducirse.1.Apéndice B Funciones armónicas y Análisis fasorial B.1) donde A es la amplitud. Es interesante recordar algunas relaciones trigonométricas de las funciones seno o coseno. La frecuencia angular está relacionada con la frecuencia f a través de ω = 2πf = 2π . 12 Apéndice B.13) ˜ f (t) = Re f ejωt Apuntes de FFI . se tiene que el número complejo z puede reescribirse como (B. (B. Usualmente los números complejos se representan en un plano de modo que sobre el eje vertical se sitúa el eje imaginario y sobre el eje horizontal el eje real. b a .14) Dpt. y dado que la identidad de Euler dice que ejϕ = cos ϕ + j sen ϕ . de la función f (t) como ˜ f = Aejϕ . Física Aplicada 1 . (B. (B. es fácil notar que no existe ningún número real (esto es. De este modo.8) que se conoce como módulo de z .12) (B. se tiene que (B. (B. Funciones armónicas y Análisis fasorial por ejemplo −9. que pertenezca al conjunto R) tal que su cuadrado sea −9. f . ˜ Si ahora definimos el fasor.7) donde a = Re (z) se dice que es la parte real de z y b = Im (z) la parte imaginaria de z . Para solucionar esta cuestión se introducen los números imaginarios. (B.6) Los números que tienen tanto parte real como imaginaria se conocen como números complejos y pueden definirse como √ √ √ √ −9 = −1 × 9 = −1 × 9 = j3 . No obstante.10) z = |z|ejϕ .11) Teniendo en cuenta la identidad (B. el número z queda caracterizado por un punto (como se muestra en la figura adjunta) que está a una distancia |z| dada por |z| = a2 + b2 .9) Es fácil observar en la figura que z puede escribirse como z = |z|(cos ϕ + j sen ϕ) . j: √ j= de modo que √ −1 .10). z = a + jb . y con un ángulo ϕ medido en sentido antihorario a partir del eje real dado por ϕ = arctan que se denomina argumento de z . (B. que pueden formarse a partir de la definición de la unidad imaginaria. es fácil notar que la función armónica f (t) = A cos(ωt + ϕ) puede escribirse como f (t) = Re Aej(ωt+ϕ) = Re Aejϕ ejωt . B. ˜ de donde se deduce que el fasor asociado a df /dt es precisamente jω f .15) Siguiendo las propiedades más elementales del cálculo de números complejos pueden demostrarse fácilmente las siguientes propiedades: f1 (t) + f2 (t) αf (t) ˜ ˜ ↔ f1 + f2 ˜ ↔ αf . Dpt.2. (B. Una propiedad adicional de fundamental importancia práctica es df (t) ˜ ↔ jω f . esto es. (B. Análisis fasorial La identidad (B. Física Aplicada 1 Apuntes de FFI .14) permite establecer una relación biunívoca entre las funciones armónicas y sus fasores asociados.18) df (t) = − ωA sen(ωt + ϕ) = −ωA cos(ωt + ϕ − π/2) dt =Re −ωAej(ωt+ϕ−π/2) = Re −ωAejϕe−jπ/2 ejωt ˜ =Re jωAejϕ ejωt = Re jω f ejωt .16) (B.17) siendo fi (t) = Ai cos(ωt + ϕi ) y α un número real. dt Esta última propiedad puede deducirse como sigue: (B. 13 ˜ f (t) ↔ f . de modo que a toda función armónica se le puede asociar un fasor.