FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOSPOROSOS Ing. Karina Mina Octubre 2014 – Marzo 2015 CONTENIDO 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. Clasificación del tipo de fluidos Ecuaciones de flujo Flujo continuo Flujo no continuo o transitorio Flujo semicontinuo Factor de daño Factor de flujo turbulento Principio de Superposición Pruebas transitorias en pozos FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS INTRODUCCION El flujo de fluidos en los yacimientos de petróleo requiere del conocimiento de relaciones basadas en dos conceptos fundamentales: la Ley de Darcy y el Balance de Materiales y sus variaciones dependen de las características del yacimiento, entre las cuales deben considerarse: la configuración geométrica del sistema, la compresibilidad de los fluidos, la invariabilidad de las tasas de flujo y de la presión con el tiempo, o bien el flujo de una o más fases simultáneas. FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS 1. CLASIFICACIÓN DEL FLUJO DE FLUIDOS FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS . 1) (1.1.1 TIPOS DE FLUIDOS Se toma en cuenta el coeficiente de compresibilidad isotérmica.2) FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS . c En términos del volumen de fluido En términos de densidad del fluido (1. 1 TIPOS DE FLUIDOS 1.1.1 FLUIDOS INCOMPRESIBLES Volumen o densidad no cambian con la Presión: FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS .1. 3) FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS .2 FLUIDOS LIGERAMENTE COMPRESIBLES El cambio de volumen o densidad debido a la Presión es bastante reducido. Aplica para sistemas de petróleo crudo y agua. pie (1. Donde : p = presión. lpca Vi = volumen a pi.1. pie pi = presión inicial.1 TIPOS DE FLUIDOS 1.1. lpca V = volumen a presión p. 1.1 TIPOS DE FLUIDOS 1.1.2 FLUIDOS LIGERAMENTE COMPRESIBLES La expresión se representa por la expansión de la serie: (1.4) Considerando x muy pequeño, término , entonces: (1.5) Combinando las ec. 1.3 y 1.5 se obtiene: (1.6) Por analogía para la ec. 1.2 se obtiene: (1.7) FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS 1.1 TIPOS DE FLUIDOS 1.1.3 FLUIDOS COMPRESIBLES Experimentan un gran cambio de volumen debido a la presión. Todos los gases se consideran compresibles. Diferenciando con respecto a la presión y manteniendo T constante: Simplificando: (1.8) FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS 1.1 TIPOS DE FLUIDOS 1.1.3 FLUIDOS COMPRESIBLES Finalmente , al sustituir en la ec. 1.8, resulta: (1.9) Donde es el factor isotérmico de compresibilidad del gas en lpc -1 Para un gas ideal z = 1, dz / dp = 0. Entonces: FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS 1 TIPOS DE FLUIDOS Relación presión – volumen para diferentes tipos de fluidos Densidad del fluido en función de presión diferentes tipos de fluidos FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS .1. 1. FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS .2 REGÍMENES DE FLUJO Existen tres tipos de condiciones o regímenes de flujo en función de la presión y el tiempo. Los yacimiento de gas alcanzan condiciones de estado continuo más rápidamente que los de petróleo. En el caso de yacimientos. debido a que la viscosidad del gas es mucho más baja. El comportamiento del estado continuo es adecuado cuando el tiempo de readaptación es pequeño comparado con el tiempo transcurrido entre variaciones grandes de la tasa de flujo.1. FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS . la densidad es constante en el tiempo. no existen cambios de presión ni de velocidad del fluido con el tiempo. es decir. es adecuado cuando este tiempo es pequeño comparado con la vida productiva del yacimiento. * Tiempo que transcurre desde el momento en que se produce un disturbio de presión hasta que se alcanzan las condiciones de flujo continuo.2.2 REGÍMENES DE FLUJO 1.1 FLUJO CONTINUO Existe cuando en cada sección transversal a la dirección de flujo. compensada por el aumento en la compresibilidad del fluido y la reducción del tiempo de readaptación*. FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS .2. 1.1. La tasa de declinación de la presión es directamente proporcional a la tasa de producción del yacimiento e inversamente proporcional al volumen de drenaje.2. en el cual la presión del yacimiento no cambia linealmente con el tiempo.2 FLUJO NO CONTINUO Es el flujo de la formación al pozo.2 FLUJO SEMICONTINUO Denominado flujo variable. existe cuando la presión declina linealmente con el tiempo en cualquier posición del yacimiento.2 REGÍMENES DE FLUJO 1. 1.2 REGÍMENES DE FLUJO Condiciones o regímenes de flujo FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS . la fuerza de gravedad no será una fuerza de empuje durante el flujo de fluidos. Si en flujo no es horizontal. la gravedad contribuye de manera importante al flujo de fluidos FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS .3 ÁNGULO DE BUZAMIENTO Cuando el ángulo de buzamiento es cero. se debe considerar el gradiente de gravedad. El término gravitacional está relacionado con la densidad del fluido y con el cambio de elevación por la distancia (dz / dx).1. Si el ángulo de buzamiento es mayor de 5 grados. se tiene un flujo horizontal y por lo tanto. 4 GEOMETRÍA DE FLUJO FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS .1. 4. 1. un pozo. Dependiendo del tipo de configuración de la terminación de pozos. Un ejemplo muy común del flujo lineal es el flujo de fluidos en fracturas hidráulicas verticales. Además la sección transversal expuesta al flujo es constante.4. 1.2 FLUJO RADIAL Las líneas de flujo son rectas y convergen en dos dimensiones a un centro común.1.3 FLUJO ESFÉRICO Las líneas de flujo son rectas y convergen en tres dimensiones hacia un centro común. por ejemplo.4.1 FLUJO LINEAL Las líneas de flujo son paralelas y el fluido fluye en una sola dirección.4 GEOMETRÍA DE FLUJO 1. FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS . Un pozo perforado en un pequeño intervalo podría resultar con este flujo en las cercanías de las perforaciones. La sección transversal expuesta al flujo disminuye a medida que se aproxima al centro. es posible tener un flujo esférico o semiesférico cerca de los pozos. 1.4 GEOMETRÍA DE FLUJO FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS . 4 FLUJO SEMIESFÉRICO Un pozo que sólo penetra parte de la zona productiva podría resultar en flujo semiesférico.4 GEOMETRÍA DE FLUJO 1. FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS .4. Esta condición puede ocurrir al formarse un cono de agua (conificación) en la parte inferior del pozo cuando existe un empuje hidráulico.1. 1.5 FASES FLUYENTES EN EL YACIMIENTO FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS . sin embargo. - En el flujo multifásico existen dos simultáneamente en el medio poroso. gas o agua. bien sea petróleo.5 FASES FLUYENTES EN EL YACIMIENTO - El flujo de una sola fase ocurre cuando sólo existe movimiento de un fluido en el medio poroso.1. o más fases fluyendo FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS . puede existir simultánemente una segunda fase inmóvil como agua connata a la saturación de agua irreducible. 2. ECUACIONES DE FLUJO FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS . 1 LEY DE DARCY La Ley Fundamental que rige el flujo de fluidos en el medio poroso es la LEY DE DARCY. Esta expresión matemática establece que la velocidad de un fluido homogéneo en un medio poroso es proporcional al gradiente de presión e inversamente proporcional a la viscosidad del fluido.2. Para un sistema lineal horizontal esta relación es: v= Donde: v = velocidad aparente del fluido a través de la arena (cm/seg) q = tasa de flujo volumétrica (cm3/seg) A = área total transversal de la roca (cm2)= área del material de la roca y de los canales porosos = viscosidad del fluido (centipoise) dp/dx = gradiente de presión (atm/cm) k = constante de proporcionalidad. permeabilidad de la roca (darcy) Signo negativo se debe a que el gradiente de presión es negativo en la dirección del flujo FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS . introducida por primera vez en 1856 por Henry Darcy. 2.1 LEY DE DARCY Si el flujo no es horizontal. = buzamiento abajo) = gradiente de gravedad en la dirección del flujo (atm/cm) FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS . se tiene una forma más generalizada de la Ecuación de Darcy: v= = Donde: v = velocidad aparente del fluido a través de la arena (cm/seg) dp/dx = gradiente de presión en la dirección x (atm/cm) = densidad del fluido (g/cm3) = ángulo de buzamiento desde la horizontal (= buzamiento arriba. viene dada por FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS . el gradiente de presión es positivo y la ecuación de Darcy se puede expresar así: v= Donde: q = tasa de flujo volumétrica en el radio r = área de la sección transversal de flujo en el radio r dp/dr = gradiente de presión al radio r v = velocidad aparente del fluido al radio r El área de la sección transversal al flujo a un radio r es el área de un cilindro y para un pozo totalmente penetrado con un espesor neto h.2.1 LEY DE DARCY Para un sistema radial horizontal. 2.1 LEY DE DARCY FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS . 3. FLUJO CONTINUO Representa la condición que existe cuando la presión a través de todo el yacimiento no cambia con el tiempo. FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS . 3. se supone que el flujo ocurre a través de un área A seccional constante.1 FLUJO LINEAL DE FLUIDOS INCOMPRESIBLES Si el medio poroso es un sistema lineal horizontal. FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS . de tal forma que los extremos del sistema sean planos paralelos abiertos al flujo y que la presión en cada extremo del sistema sea constante sobre la superficie. q = tasa de flujo. cp L = distancia.1 FLUJO LINEAL DE FLUIDOS INCOMPRESIBLES Si un fluido incompresible fluye a través del elemento dx. pies A = área seccional. BY/día md p = presión.3. entonces la velocidad del fluido v y la tasa de flujo q son constantes en todos los puntos: Resolviendo la integral se obtiene: En unidades de campo: Donde: k = permeabilidad absoluta. lpca = viscosidad. pie2 FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS . pies………………………………………….....3. md……………………………………100 Porosidad..2000 Presión a la salida del sistema.....………...……......1990 Calcule: a) Tasa de flujo en BY/día b) Velocidad aparente del fluido en pie/día c) Velocidad real del fluido en pie/día FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS ...... lpc…....1 FLUJO LINEAL DE FLUIDOS INCOMPRESIBLES EJERCICIO 1: Un fluido incompresible de 2 cp está fluyendo en un medio poroso que tiene las siguientes características: Longitud..........15 Presión a la entrada del sistema. pies………………………………………………300 Permeabilidad. %..2000 Espesor...... lpc….......…20 Ancho. pies………………………………………….... lb/pie3 = densidad del fluido. cm = densidad del fluido. lpc = presión en el punto i. puesto que la fuerza que ejerce el gradiente líquido siempre está dirigida verticalmente hacia abajo.1 FLUJO LINEAL DE FLUIDOS INCOMPRESIBLES La diferencia en la presión (P1-P2) no es la única fuerza de empuje en el yacimiento.3. También existe la gravitacional. mientras que los resultados de la que se genera debido a una caída de presión pueden ser en cualquier dirección. que debe tomarse en cuenta para determinar la dirección y la tasa de flujo. g/cm3 FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS . punto del yacimiento se define como la presión en ese punto menos la presión que podría ejercer una columna líquida extendida hasta un datum arbitrario: Donde: = potencial del fluido en el punto i. en cualquier dospotencial vectores. lpc = distancia vertical desde el punto i hasta el nivel de datum seleccionado. La fuerza que causa el flujo sería entonces la suma de estos El de un fluido (). en dimensiones de presión. 1.3.15 queda de esta forma Conclusión: La caída de potencial es igual a la caída de presión sólo cuando el sistema de flujo es horizontal. • Cuando el punto i está por encima del nivel de referencia • Cuando el punto i está por debajo del nivel de referencia De forma general.1 FLUJO LINEAL DE FLUIDOS INCOMPRESIBLES El datum suele seleccionarse en el contacto agua – petróleo o en el punto más alto de la formación. la distancia vertical se asigna como un valor positivo cuando el punto i está por debajo del nivel de referencia. en función de potenciales la ec. FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS . Para calcular el potencial de líquidos en el punto i. y como negativo cuando está por encima del nivel de referencia. 3. suponiendo que el medio poroso se inclina con un ángulo de buzamiento de 5° y que el fluido incompresible tiene una densidad de 42 lb/pie3: FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS .1 FLUJO LINEAL DE FLUIDOS INCOMPRESIBLES EJERCICIO 2: Resuelva nuevamente el ejercicio anterior. 6 describe la relación que existe entre la presión y el volumen para fluidos ligeramente compresibles.3. 1. En términos de tasa de flujo: Donde es la tasa de flujo a una presión de referencia Separando variables se tiene: FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS .2 FLUJO LINEAL DE FLUIDOS LIGERAMENTE COMPRESIBLES La Ec. queda: Si se selecciona la presión de entrada P2 como la presión de referencia y se sustituye en la ecuación anterior.2 FLUJO LINEAL DE FLUIDOS LIGERAMENTE COMPRESIBLES Integrando resulta: Si se selecciona la presión de entrada P1 como la presión de referencia y se sustituye en la ecuación anterior. queda: FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS .3. 2 FLUJO LINEAL DE FLUIDOS INCOMPRESIBLES EJERCICIO 3: Resuelva nuevamente el ejercicio anterior. suponiendo que el medio poroso se inclina con un ángulo de buzamiento de 5° y que el fluido incompresible tiene una densidad de 42 lb/pie3: FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS .3. 3.3 FLUJO LINEAL DE FLUIDOS COMPRESIBLES En un flujo laminar de un gas en un sistema homogéneo lineal. temperatura T y volumen V: En condiciones normales. se aplica la ecuación de estado correspondiente a un gas real para calcular el número de n moles de gas a una presión p. el volumen ocupado por estos n moles es: Combinando estas dos expresiones y suponiendo =1. se obtiene: En términos de tasa de flujo se obtiene: FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS . respectivamente Reemplazando la tasa de flujo de gas q por la Ley de Darcy. °R y lpca. se obtiene la ecuación: -0.3 FLUJO LINEAL DE FLUIDOS COMPRESIBLES Arreglando esta ecuación. PCN/dia z = factor de compresibilidad del gas = temperatura y presión en condiciones normales.001127 FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS .3. BY/dia = tasa de flujo del gas en condiciones normales. se obtiene finalmente: Donde: q = tasa de flujo del gas a la presión p . PCN/dia k = permeabilidad absoluta.3 FLUJO LINEAL DE FLUIDOS COMPRESIBLES Separando variables e integrando entre P1 y P2 y suponiendo que z y son constantes en este intervalo de presiones. pies2 L = longitud del sistema lineal. md = viscosidad del gas. resulta: Donde: = tasa de flujo del gas en condiciones normales. pies Si lpca y = 520°R. la expresión anterior se convierte en: FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS . cp T = temperatura. °R A = área transversal.3. 3.3 FLUJO LINEAL DE FLUIDOS COMPRESIBLES La ecuación anterior es válida para aplicaciones donde la presión es menor de 2000 lpc. Las propiedades del gas deben ser evaluadas a una presión promedio definida por: FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS . Calcule la tasa de flujo del gas en PCN/dia. respectivamente.73 lpc.72 fluye en un medio poroso lineal con una permebilidad absoluta de 60 md y a una temperatura de 140°F.3 FLUJO LINEAL DE FLUIDOS INCOMPRESIBLES EJERCICIO 4: Un gas cuya gravedad específica es de 0.3. la longitu total es 2500 pie. Se conoce además que lpca y FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS . las corrientes de presión a la entrada y salida del sistema son 2100 lpc y 1894. El área seccional transversal es 4500 pie2. los fluidos se mueven hacia el pozo productor en todas las direcciones. existe una diferencia de presión y. por lo tanto. si un pozo es productor de petróleo.4 FLUJO RADIAL DE FLUIDOS INCOMPRESIBLES En un sistema radial. respectivamente. el flujo de los fluidos ocurre de la formación hacia la boca del pozo. Considérese un pozo tal como se muestra en la Figura. Antes de que el flujo tenga lugar. Pwf. El pozo tiene un radio rw y las presiones en el pozo y en el radio exterior son Pwf y Pe.3. La presión de la formación en el hoyo del pozo productor se conoce como presión de fondo fluyente. situado en una formación cilíndrica horizontal de radio exterior re y espesor h. de Darcy: FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS . Para la aplicación de la ecuación que rige este flujo se parte de la ec. donde la presión debe ser menor que la existente en un punto de la formación situado a cierta distancia del pozo. 3. en BN. esto es. de Darcy: Donde: v = velocidad aparente del fluido. Usando el símbolo Qo para representar al flujo de petróleo en BN/día. BY/dia-pie2 Haciendo en este ecuación x = r y A = 2 y tomando en cuenta que para un sistema radial. no se requiere el signo menos. resulta: La tasa de flujo para un sistema de petróleo crudo se expresa generalmente en unidades de superficie.4 FLUJO RADIAL DE FLUIDOS INCOMPRESIBLES Para la aplicación de la ecuación que rige este flujo se parte de la ec. tenemos: Donde: Bo = factor volumétrico de petróleo en la formación en BY/BN FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS . r aumenta en la misma dirección que la presión p. lo que implica que es positivo y por lo tanto. uo constantes. Anterior se simplifica: FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS .4 FLUJO RADIAL DE FLUIDOS INCOMPRESIBLES La tasa de flujo en la ecuación de Darcy se puede expresar así: Separando variables y considerando k. se puede integrar la ec anterior entre los radios r1 y r2 cuando las presiones son p1 y p2: Para un sistema incompresible en una formación homogénea.3. h. la ec. BY/BN y = radios del pozo y de drenaje. respectivamente.4 FLUJO RADIAL DE FLUIDOS INCOMPRESIBLES Resolviendo la integral: Frecuentemente. BN/día = presión en el radio de drenaje. Asi se tiene: Donde: = tasa de flujo de petróleo. los dos radios de interés son el radio del pozo rw y el radio de drenaje re. pies = factor volumétrico del petróleo en la formación. md = viscosidad del petróleo. cp h = espesor. lpc k = permeabilidad absoluta. lpc = presión de fondo fluyente.3. pies FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS . re.3. se tiene: = Donde: A = espaciamiento entre pozos. se determina usualmente a partir del área de espaciamiento entre los pozos. que ésta es un círculo. acres La ecuación de caudal se puede arreglar para calcular la presión p a cualquier radio r.4 FLUJO RADIAL DE FLUIDOS INCOMPRESIBLES El radio de drenaje o radio exterior. Si se considera. entonces se tiene: FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS . por ejemplo. 4 hasta 5 pies. El pozo está desarrollado en el centro de un cuadrado cuya área es 40 acres.1.5 Radio del pozo...…0. cp………………………………………………………………2.3. FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS . pies…………………………. 99 hasta 100 pies y 744 hasta 745 pies.25 pies.25 Viscosidad del petróleo. ………………………………………….4 FLUJO RADIAL DE FLUIDOS INCOMPRESIBLES EJERCICIO 5: Un pozo de petróleo está produciendo a una tasa de flujo de 600 BN/día y a una presión de flujo estabilizada de 1800 lpc. El análisis de los datos de una prueba de restauración de presión indica que la zona productora tiene una permeabilidad de 120 md y un espesor uniforme de 25 pies.25 Calcule el perfil de presión y liste las caídas de presión en intervalos de 1 pie desde rw hasta 1. Con los siguiente datos adicionales: Factor volumétrico del petróleo. BY/BN…………………………………………. 19 hasta 20 pies. 3. si se mantienen condiciones de flujo continuo. Así en la ecuación de Pwf se sustituye r por 0. se mantiene cercana a la presión inicial del yacimiento. no puede ser medida fácilmente.61 y se obtiene: En términos de tasa de flujo: Como : FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS . pe.4 FLUJO RADIAL DE FLUIDOS INCOMPRESIBLES La presión en el radio de drenaje. pero en caso de estar presente un acuífero fuerte y activo. Craft y Hawkins demostraron que la presión promedio del yacimiento está localizada a una distancia cercana al 61% del radio de drenaje. 3.5 FLUJO RADIAL DE FLUIDOS LIGERAMENTE COMPRESIBLES Craft utilizó la ecuación de la relación de volumen y presión para expresar la dependencia de la tasa de flujo con presión para fluidos ligeramente compresibles. resulta: FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS . se obtiene la siguiente expresión: Despejando qref. entonces: Separando variables e integrando. Si esta ecuación se sustituye en la forma radial de la Ley de Darcy. lpc = presión de fondo fluyente. md FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS . lpc-1 k = permeabilidad absoluta. lpc = coeficiente isotérmico de compresibilidad del petróleo. BN/día = presión en el radio de drenaje.5 FLUJO RADIAL DE FLUIDOS LIGERAMENTE COMPRESIBLES Seleccionando la presión de fondo fluyente Pwf como la presión de referencia y expresando la tasa de flujo en BN/día.3. se obtiene finalmente: Donde: = tasa de flujo de petróleo. La viscosidad del petróleo es 2.12 darcy. radio de drenaje. presión de fondo fluyente. 1800 lpc. Compare los resultados si se considera que le fluido es incompresible. estime la tasa de flujo. 745 pies. Suponiendo que le fluido es ligeramente compresible y que le coeficiente de compresibilidad es 25*10-6 lpc-1.25 BY/BN. 1. permeabilidad.25 pies.5 cp y el factor volumétrico. 0. 0. FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS . presión del yacimiento.3.5 FLUJO RADIAL DE FLUIDOS LIGERAMENTE COMPRESIBLES EJERCICIO 6: Una formación productora tiene las siguientes característica: un espesor de 25 pies. 2506 lpc. radio del pozo. la forma de ecuación de Darcy es: Donde: = tasa de flujo de gas a un radio r. pies 0. pies h = espesor de la zona.6 FLUJO RADIAL DE FLUIDOS COMPRESIBLES La ecuación básica de la Ley de Darcy en su forma diferencial para flujo horizontal laminar es válida para describir el flujo de ambos sistemas líquidos y gases. Para flujo radial de un gas.001127 = constante de conversión para llevar de unidades darcy a unidades de campo FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS .3. BY/día r = distancia radial. Para flujo radial de un gas. BY/día r = distancia radial.001127 = constante de conversión para llevar de unidades darcy a unidades de campo La tasa de flujo de gas se expresa generalmente en PCN/día.3. Designando la tasa de flujo de gas en condiciones normales como Qg. pies h = espesor de la zona. la forma de ecuación de Darcy es: Donde: = tasa de flujo de gas a un radio r.6 FLUJO RADIAL DE FLUIDOS COMPRESIBLES La ecuación básica de la Ley de Darcy en su forma diferencial para flujo horizontal laminar es válida para describir el flujo de ambos sistemas líquidos y gases. la tasa de flujo qg a una determinada presión y temperatura se puede convertir a la condiciones normales aplicanso la ecuación de estado para un gas real para ambas condiciones. Entonces: FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS . pies 0. 6 FLUJO RADIAL DE FLUIDOS COMPRESIBLES Despejando qg resulta: Donde: = presión y temperatura en condiciones normales. °R z = factor de compresibilidad del gas a p y T = factor de compresibilidad del gas en condiciones normales Combinando las ecuaciones de qg. pies p = presión a un radio r. lpca y °R. PCN/dia = tasa de flujo del gas en el radio r. lpca T = temperatura del yacimiento.3. BY/dia r = distancia radial. se obtiene: = FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS . respectivamente = tasa de flujo del gas en condiciones normales. 6 FLUJO RADIAL DE FLUIDOS COMPRESIBLES Suponiendo que y Integrando la ecuación desde las condiciones en el pozo (rw. Pwf) hasta cualquier punto en el yacimiento (r.3. resulta: Si a esta ecuación se le imponen las condiciones de la Ley de Darcy. esto es: • Flujo continuo. se tiene FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS . lo cual requiere que Qg sea constante para cualquier radio • Formación homogénea. qu eimplica que k y h son constantes. p). 6 FLUJO RADIAL DE FLUIDOS COMPRESIBLES El término puede expandirse para dar: Combinando las dos expresiones. resulta: La integral se denomina potencial de un gas real o seudopresión de un gas real y generalmente se representa por m(p) o Esta ecuación fue introducida por Al – Hussainy con el fin de linealizar la ecuación que describe el flujo de un gas real. FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS .3. GRAFICO FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS .6 FLUJO RADIAL DE FLUIDOS COMPRESIBLES En términos del potencial de un gas real se obtiene la ecuación: O bien: La ecuación anterior indica que un gráfico de vs. da una línea recta de pendiente e intercepto .3. 3. md = radio de drenaje.6 FLUJO RADIAL DE FLUIDOS COMPRESIBLES La tasa de flujo viene dada por: En el caso de que r = re. pies FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS . entonces: Donde: = tasa de flujo del gas en condiciones normales. lpc2/cp k = permeabilidad absoluta. pies h = espesor. pies = radio del pozo. PCN/dia = potencial de un gas real evaluado desde 0 hasta . 3. FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS . Entonces versus p se representa en un papel de escala cartesiana y el área bajo la curva se calcula en forma numérica o gráfica. los valores de se calculan para varios valores de p.6 FLUJO RADIAL DE FLUIDOS COMPRESIBLES Como la tasa de flujo de gas se expresa comúnmente en MPCN/día. Esta área desde p = 0 hasta cualquier punto p representa el valor de correspondiente a p. se tiene: La ecuación anterior se puede expresar en términos de la presión promedio del yacimiento en lugar de la presión inicial del yacimiento : Para calcular la integral de la ecuación de potencial de un gas real. Las propiedades del gas en función de presión se presentan a continuación: Se conoce además que la presión inicial del yacimiento (presión de cierre) es 4400 lpc a 140°F. FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS . Calcule la tasa de flujo del gas en MPCN/día.3 pies t re es de 1000 pies.3 pies está produciendo a una presión constante de flujo de fondo de 3600 lpc. El radio del pozo es de 0.3.6 FLUJO RADIAL DE FLUIDOS COMPRESIBLES EJERCICIO 7: Un pozo de gas con un radio de 0. La formación tiene una permeabilidad de 65 md y un espesor de 15 pies. 3.6. Luego. Es importante señalar que se considera constante sólo para presiones menores a los 2000 lpc.1 APROXIMACIÓN DE LA TASA DE FLUJO DE GAS Los valores exactos de la tasa de flujo de gas que se pueden estimar usando las diferentes expresiones de la Ley de Darcy pueden aproximarse sacando el término de la integral como una constante.6 FLUJO RADIAL DE FLUIDOS COMPRESIBLES 3. la ecuación de la tasa de flujo puede reescribirse así: Sacando el término e integrando: FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS . FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS .6 FLUJO RADIAL DE FLUIDOS COMPRESIBLES 3.1 APROXIMACIÓN DE LA TASA DE FLUJO DE GAS El término se evalúa a una presión promedio de finida por: El método de aproximación anterior se conoce como método de las presiones al cuadrado y está limitado a cálculos de flujo cuando la presión del yacimiento es menor de 2000 lpc.3.6. FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS .3.6 FLUJO RADIAL DE FLUIDOS COMPRESIBLES EJERCICIO 8: Usando los datos del ejercicio anterior. calcule nuevamente la tasa de flujo del gas mediante el método de las presiones al cuadrado y compare con el método exacto. la forma generalizada de la Ley de Darcy aplicada a cada fase es: Donde: = permeabilidades efectivas al petróleo. agua y gas. BY/día FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS . Para un sistema radial. respectivamente. = tasas de flujo del petróleo. respectivamente. se debe utilizar en la ecuaciones de Darcy el concepto de permeabilidades efectivas para cada fase y las propiedades físicas asociadas con cada una de ellas. agua y gas. respectivamente.3.7 FLUJO HORIZONTAL EN UN SISTEMA MULTIFÁSICO Cuando varias fases de fluidos están fluyendo en un medio poroso horizontal. cp . = viscosidades del petróleo. md . agua y gas. md FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS . md Usando este concepto en las ecuaciones de Darcy para cada fase y expresando las tasas de flujo en condiciones normales. finalmente: Donde: = tasas de flujo de petróleo y agua.7 FLUJO HORIZONTAL EN UN SISTEMA MULTIFÁSICO Las permeabilidades efectivas pueden expresarse en términos de las permeabilidades relativas y de la permeabilidad absoluta. BY/PCN k = permeabilidad absoluta.3. BY/BN =factor volumétrico del gas en la formación. así:: Donde: k = permeabilidad absoluta. PCN/día = factores volumétricos del petróleo y del agua en la formación. se obtiene. BY/día = tasa de flujo de gas. MPCN/día k = permeabilidad absoluta. °R FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS . md T = temperatura. resulta finalmente: Fase petróleo: Fase agua: Fase gas: En términos de potencial de un gas real: En términos de presiones al cuadrado: Donde: = tasa de flujo de gas.3.7 FLUJO HORIZONTAL EN UN SISTEMA MULTIFÁSICO Integrando las ecuaciones anteriores. ambas expresadas en BN/día. La forma generalizada de la ecuación de Darcy se puede utilizar para determinar ambas relaciones de flujo.3. es conveniente expresar la tasa de flujo de cualquier fase como una relación de las otra fases fluyentes. Dos relaciones importantes son: la relación agua – petróleo instantánea (RAP o WOR) y la relación gas – petróleo instantánea (RGP o GOR).7 FLUJO HORIZONTAL EN UN SISTEMA MULTIFÁSICO Generalmente. esto es: Reemplazando y queda: Donde: RAP = relación agua – petróleo en BN/BN FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS . La relación agua – petróleo es define como la relación entre la tasa de flujo de agua y la tasa de flujo de petróleo. PCN/día = tasa de flujo de petróleo.7 FLUJO HORIZONTAL EN UN SISTEMA MULTIFÁSICO La relación gas – petróleo instantánea. PCN/BN = solubilidad del gas en PCN/BN = tasa de flujo de gas libre. BY/PCN RGP = relación gas – petróleo instantánea. esto es. RGP o GOR. expresada en PCN/BN. gas libre más gas en solución dividido entre la tasa de flujo de petróleo: O también: Sustituyendo y : Donde: factor volumétrico del gas en la formación. BN/día FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS . se define con tasa de flujo total de gas.3. FLUJO CONTINUO (RESUMEN ECUACIONES) FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS .3. El disturbio de la presión se moverá desde el pozo a una tasa que estará determinada por la permeabilidad. comúnmente como radios de investigación y se denotan por rinv. esto es. Si luego se permite que el pozo fluya a una tasa constante q. llamado así porque el radio de drenaje matemáticamente es infinito. ocurre un disturbio de presión en la formación. Los radios de tales cambios están aumentando continuamente con el tiempo. Las condiciones iniciales del yacimiento representan el tiempo de producción cero. FLUJO NO CONTINUO O TRANSITORIO Considerando la sección A de la Figura.4. la cual muestra un pozo cerrado que está centrado en un yacimiento circular homogéneo de radio re y con una presión uniforme pi a través del yacimiento. La presión en el pozo. la porosidad. re. pwf. éste estará actuando como un yacimiento de tamaño infinito. la viscosidad del fluido y las compresibilidades de la roca y de los fluidos. Es importante señalar también que a medida que el radio de investigación no alcanza el límite del yacimiento. Estos radios. los disturbios o cambios de presión se han movido a una distancia r1 dentro del yacimiento. FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS . La sección B de la Figura muestra que a un tiempo t1. caerá instantáneamente al abrirlo. el cual se comportará como uno de tamaño infinito.4. FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS . Basados en el análisis anterior. FLUJO NO CONTINUO O TRANSITORIO Un análisis similar al señalado puede utilizarse para describir un pozo que está produciendo a una presión de fondo constante. los disturbios de presión alcanzan el límite. Esto causa que el comportamiento de presión cambie. el flujo transitorio es definido como el período durante el cual el límite del yacimiento no tiene efecto sobre su comportamiento de presión. esto es rinv = re. A un tiempo t4. La sección C en la Figura muestra esquemáticamente la propagación de los radios de investigación con respecto al tiempo. La sección B de la Figura muestra que el período de flujo transitorio ocurre durante el intervalo de tiempo 0 < t < t1 para el caso de una tasa de flujo constante y durante el intervalo de tiempo 0 < t < t4 cuando existe producción a una presión de fondo pwf constante. la porosidad. en condiciones de flujo transitorio. la tasa de flujo que entra a un elemento de volumen del medio poroso no es la misma que sale de él. adicionales a las consideradas en flujo continuo son: el tiempo. FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS . y la compresibilidad total. ct. Por el contrario. La formulación matemática de las ecuaciones de flujo transitorio se basa en la combinación de tres ecuaciones independientes y en unas condiciones específicas iniciales y de contorno que las constituyen .1 ECUACIONES BÁSICAS En condiciones de flujo continuo. De acuerdo con esto. Las variables en flujo transitorio. la cantidad de fluido que entra al sistema de flujo es igual a la que sale. el contenido de fluidos en el medio poroso cambia con el tiempo.4. t. 1 ECUACIONES BÁSICAS FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS .4. FLUJO NO CONTINUO O TRANSITORIO FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS .4. Aplicando el concepto de balance de materiales. FLUJO NO CONTINUO O TRANSITORIO Considerando el elemento de flujo de la Figura. o sea: FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS .4. ésta tiene un ancho dr y está localizado a una distancia r del centro del pozo. la tasa másica de flujo que entra al elemento menos la tasa másica de flujo que sale de él durante un tiempo diferencial Δt debe ser igual a la acumulación durante este intervalo de tiempo. El elemento poroso tiene un volumen diferencial dV. pie/día = densidad del fluido a (r+dr). días El área del elemento a la entrada es: Combinando las dos ecuaciones se tiene: FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS .4. FLUJO NO CONTINUO O TRANSITORIO Primer término: Masa que entra al elemento de volumen durante un intervalo de tiempo Δt Donde: vvelocidad del fluido fluyendo. pie2 = intervalo de tiempo. lb/pie3 A = área a (r+dr). FLUJO NO CONTINUO O TRANSITORIO Segundo término: Masa que sale del elemento de volumen durante un intervalo de tiempo Δt Adoptando el mismo criterio: Donde: vvelocidad del fluido fluyendo. lb/pie3 A = área a (r+dr). pie/día = densidad del fluido a (r+dr). pie2 = intervalo de tiempo.4. días El área del elemento a la salida es: Combinando las dos ecuaciones se tiene: FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS . El volumen total de un elemento de radio r viene dado por: Diferenciando la ecuación anterior con respecto a r resulta: O también: Luego: Sustituyendo por dV: FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS .4. FLUJO NO CONTINUO O TRANSITORIO Tercer término: Masa total acumulada en el elemento de volumen durante un intervalo de tiempo Δt. fracción v velocidad del fluido fluyendo. FLUJO NO CONTINUO O TRANSITORIO Reemplazando los términos obtenidos en la ecuación de balance de materiales queda así: Dividiendo la ecuación anterior por y simplificando resulta: O también: Donde: = porosidad. FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS . lb/pie3 Este ecuación se conoce como Ecuación de Continuidad y muestra el Principio de la Conservación de la masa en coordenadas radiales.4. pie/día = densidad del fluido. debe introducirse la ecuación de transporte en la ecuación de continuidad. De la ecuación de Darcy para flujo radial: Donde: = permeabilidad. md v velocidad del fluido.4. pie/día FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS . la cual establece que la velocidad v es proporcional al gradiente de presión . La ecuación de Darcy es esencialmente la ecuación básica de movimiento. FLUJO NO CONTINUO O TRANSITORIO Para relacionar la velocidad de flujo con el gradiente de presión dentro de un volumen dV. lb/pie3 Este ecuación se conoce como ECUACIÓN DE CONTINUIDAD y muestra el Principio de la Conservación de la masa en coordenadas radiales. pie/día = densidad del fluido.4. FLUJO NO CONTINUO O TRANSITORIO Reemplazando los términos obtenidos en la ecuación de balance de materiales queda así: Dividiendo la ecuación anterior por y simplificando resulta: O también: Donde: = porosidad. FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS . fracción v velocidad del fluido fluyendo. debe introducirse la ecuación de transporte en la ecuación de continuidad.4. la cual establece que la velocidad v es proporcional al gradiente de presión . De la ecuación de Darcy para flujo radial: Donde: = permeabilidad. La ecuación de Darcy es esencialmente la ecuación básica de movimiento. pie/día FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS . md v velocidad del fluido. FLUJO NO CONTINUO O TRANSITORIO Para relacionar la velocidad de flujo con el gradiente de presión dentro de un volumen dV. 4. FLUJO NO CONTINUO O TRANSITORIO Combinando la ecuación anterior y la ecuación de continuidad, resulta: Expandiendo la parte derecha de la ecuación anterior, se obtiene: Como la porosidad se relaciona con la compresibilidad de la formación por medio de: Al aplicar la regla de la cadena de la diferenciación a , resulta: FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS 4. FLUJO NO CONTINUO O TRANSITORIO Sustituyendo la ecuación anterior en la ecuación de cf, se tiene: Finalmente, sustituyendo esta expresión en las dos primeras ecuaciones se tiene: FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS 4.1 FLUJO RADIAL DE FLUIDOS LIGERAMENTE COMPRESIBLES Para simplificar la ecuación anterior, se supone que la permeabilidad y la viscosidad son constantes en el rango de presión, tiempo y distancia, lo que lleva a: Expandiendo la ecuación anterior: Usando la regla de la cadena en las expresiones anteriores: Dividiendo la expresión anterior para la densidad del fluido , se obtiene: FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS . particularmente en el análisis de datos de pruebas de pozos donde el tiempo t se expresa comúnmente en horas. md r = distancia radial . pies p = presión.1 FLUJO RADIAL DE FLUIDOS LIGERAMENTE COMPRESIBLES La ecuación anterior se denomina ECUACIÓN DE DIFUSIVIDAD y es usada. De esta forma esta ecuación queda así: Donde: k = permeabilidad. cp FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS . fracción = viscosidad. horas = porosidad. lpc-1 t = tiempo.4. lpca = compresibilidad total. agua y gas = saturaciones del petróleo.1 FLUJO RADIAL DE FLUIDOS LIGERAMENTE COMPRESIBLES Cuando el yacimiento contiene más de un fluido. FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS . la compresibilidad total puede calcularse por: Donde: = compresibilidades del petróleo.4. el uso de ct. es decir: � Así le ecuación de difusividad queda así: Se usa para estimar la presión en función del tiempo t y de la posición r. simplemente toma en cuenta la compresibilidad de cualquier fluido inmóvil que puede estar en el yacimiento con el fluido que está fluyendo. se denomina constante de difusividad y se denota por el símbolo �. El término de la ecuación de difusividad. agua y gas La introducción de ct en la ecuación de difusividad no hace que la misma sea aplicable a flujo multifásico. definida en la ecuación anterior. 4.1 FLUJO RADIAL DE FLUIDOS LIGERAMENTE COMPRESIBLES FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS . esto es = 0. Po lo tanto. la presión en cualquier punto del yacimiento es constante y no cambia con el tiempo.1 FLUJO RADIAL DE FLUIDOS LIGERAMENTE COMPRESIBLES Para condiciones de flujo continuo. la ecuación de difusividad se reduce a la ecuación presentada a continuación. FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS . la cual se conoce ECUACIÓN DE LAPLACE para flujo continuo : EJERCICIO 9: Muestre que la ecuación de Darcy en forma radial es la solución de la ecuación de Laplace.4. La condición inicial establece que el yacimiento se encuentra a una presión constante pi cuando comienza la producción. Las dos condiciones de límite requieren que el pozo esté produciendo a una tasa constante y que el yacimiento se comporte como un yacimiento infinito. re = ∞.4. De acuerdo a estas dos condiciones impuestas. es necesario especificar una condición inicial e imponer dos condiciones de contorno o de límite. A tasa terminal constante.1 FLUJO RADIAL DE FLUIDOS LIGERAMENTE COMPRESIBLES Para obtener una solución de la ecuación de difusividad. la ecuación tiene dos soluciones generalizadas: - A presión terminal constante. FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS . usualmente en el radio del pozo.t). La mayoría de estas pruebas se realizan con el pozo produciendo a una tasa de flujo constante y registrando la presión fluyente en función del tiempo. y el perfil de presión alrededor del pozo se determina en función del tiempo y de posición. y donde el perfil de presión en este radio se determina en función de tiempo y distancia. Ei. donde la tasa de flujo se considera constante a cierto radio. p(rw. La solución a tasa terminal constante forma parte integral de los análisis de pruebas de caídas de presión (drawdown tests) y de restauración de presión (buildup analyses). En esta solución.1 FLUJO RADIAL DE FLUIDOS LIGERAMENTE COMPRESIBLES La solución a presión terminal constante de la ecuación de difusividad está diseñada para calcular el flujo acumulado a cualquier tiempo para un yacimiento en el cual la presión en uno de los límites se mantiene constante. La solución de la presión adimensional. La solución a tasa terminal constante de la ecuación de difusividad para un sistema radial toma en cuenta los cambios de presión a través del sistema. En este caso como la presión es constante a un radio en particular. Esta solución se utiliza comúnmente en los cálculos de intrusión de agua en yacimientos de petróleo y de gas. FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS . pD. Existen dos formas comunmente usadas en esta solución: • • La solución de la función.4. la solución permite conocer el movimiento acumulado del fluido para este radio. la tasa de flujo se considera constante a determinado radio. usualmente el radio del pozo. esto es. 1.1 SOLUCIÓN DE LA FUNCIÓN Ei Matthews y Rusell propusieron una solución para la ecuación de difusividad basada en las siguientes suposiciones: FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS .4. 4. md = tasa de flujo. horas = porosidad = viscosidad. la solución presentada por Matthews y Rusell tiene la siguiente forma: Donde: p(r. BN/día La función matemática Ei.t) = presión a un radio r del pozo después de t horas t = tiempo. cp k = permeabilidad.1 SOLUCIÓN DE LA FUNCIÓN Ei Utilizando las condiciones anteriores. se denomina integral exponencial y se define por: FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS .1. respectivamente: FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS .4.1 SOLUCIÓN DE LA FUNCIÓN Ei Craft presenta los valores de la función Ei (x) en forma gráfica y tabulada como se muestra e la gráfica y en la Tabla.1. 25%.1.4.1 SOLUCIÓN DE LA FUNCIÓN Ei La solución Ei expresada en la última ecuación se conoce como la solución de línea fuente. FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS . La integral exponencial Ei puede aproximarse por las siguientes ecuaciones cuando el argumento x es menor que 0.01: Donde el argumento x es expresado en este caso por: La ecuación anterior aproxima la función Ei con un error menor del 0. 6709776(10-4) La expresión anterior aproxima la función Ei con un error promedio de 0.9449819(10-3) =0.01<x<3 está dada por: Con los coeficientes hasta definidos por: =-0.33153973 =-0. Es importante señalar que para valores de x>10 la función Ei (-x) puede considerarse cero para propósitos prácticos de ingeniería de yacimientos.662318450 =-0.12333524 =1.1 SOLUCIÓN DE LA FUNCIÓN Ei Otra expresión que también puede utilizarse para aproximar la función Ei en el rango 0.22123384(10-2) =5.5%.1. FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS .81512322 =5.4.0832566(10-2) =8. ..................1.4000 Radio del pozo........15 Presión inicial del yacimiento.........5 Espesor....................25 Compresibilidad total de la formación. %....... md………………………………………………………………….. pies………………………………………………………………………………………… …….. El yacimiento tiene las siguientes propiedades de roca y fluidos: Factor volumétrico de petróleo....1........ lpc1……………………………………………….....1.60 Viscosidad del petróleo.15 Porosidad..12x10-6FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS .... ..... lpc…………………………………………………………………. BY/BN………………………………………………………............1 SOLUCIÓN DE LA FUNCIÓN Ei EJERCICIO 10: Un pozo de petróleo está produciendo a una tasa constante de 300 BN/dia bajo condiciones de flujo transitorio... pies………………………………………………………………………………………... 0..25 Permeabilidad al petróleo.......... cp…………………………………………………………………………..4.. cuando r = rw. esto es.t) para dar: En la mayoría de los cálculos de flujo transitorio. el principal interés se centra en el comportamiento de la presión de fondo fluyendo en el pozo. la aproximación logarítmica expresada por la ecuación que toma en cuenta Ln puede sustituirse en la ecuación de p(r.4.1.1 SOLUCIÓN DE LA FUNCIÓN Ei Cuando el parámetros x de la función Ei es menor de 0. Entonces. la ecuación anterior se puede expresar así: Donde: k = permeabilidad.01. lpc-1 FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS . horas Ct = compresibilidad total. md t = tiempo. 1 SOLUCIÓN DE LA FUNCIÓN Ei Es importante observar que las ecuaciones anteriores no pueden utilizarse hasta que el tiempo de flujo t exceda el límite impuesto por la siguiente restricción: Donde: k = permeabilidad.4. horas FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS . md t = tiempo.1. estime la presión de flujo de fondo después de 10 horas de producción.1 SOLUCIÓN DE LA FUNCIÓN Ei EJERCICIO 11: Usando los datos del ejercicio anterior.4. FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS .1. 4. es debe considerar por ejemplo.1. la ecuación de Darcy en su forma radial dada previamente por la siguiente ecuación: Rearreglando la ecuación se tiene: FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS . Para introducir el concepto de la solución de la presión adimensional.. porosidad. pD. La importancia de estas variables es que simplifican la ecuación de difusividad y su solución por la combinación de parámetros del yacimiento como permeabilidad.2 SOLUCIÓN DE LA PRESIÓN ADIMENSIONAL. etc. pD Los análisis de pruebas de pozos hacen el uso del concepto de variables adimensionales al resolver la ecuación de flujo transitorio. y por lo tanto reducen el número de incógnitas. 4. pD Se observa que parte derecha de la ecuación anterior no tiene unidades. o sea.2 DE LA PRESIÓN ADIMENSIONAL. Como tiene las unidades de lpc. cualquier diferencia de presión dividida por el término es una presión adimensional. la ecuación anterior puede escribirse en forma adimensional de la siguiente manera: Donde: FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS . que es adimensional y. De hecho. de acuerdo con esto. por lo tanto. la parte izquierda de la ecuación debe ser también adimensional. es lógico que el término también tenga como unidades la presión.1. 2 DE LA PRESIÓN ADIMENSIONAL. tD.4. pD Este concepto puede extenderse para considerar las ecuaciones de flujo transitorio donde el tiempo es una variable. En el análisis de flujo transitorio. Otra definición comúnmente utilizada es la de tDA.1. La presión adimensional. conocida como el tiempo adimensional basado en el área total de drenaje. y ambos conceptos están definidos por las siguientes expresiones: La expresión anterior es sólo una de las formas que existen para expresar el tiempo adimensional. Así se tiene: Donde: A = área total de drenaje = radio de drenaje. es siempre una función de un tiempo adimensional. pies = radio del pozo. pD. pies FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS . y .t) = presión a un radio r y tiempo t k = permeabilidad. pD La presión adimensional pD también varía con la localización en el yacimiento y está representada por las distancias radiales adimensionales.2 DE LA PRESIÓN ADIMENSIONAL.1. esto es pueden introducirse en la ecuación de difusividad para transformarla en la siguiente forma adimensional: FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS . definidas por: Donde: = caída de presión adimensional = radio exterior adimensional = tiempo adimensional = radio adimensional t = tiempo. md = viscosidad. cp Los grupos adimensionales definidos anteriormente.4. horas p(r. No existe flujo en el radio exterior. Antes de la producción. Chatas y Lee tabularon en forma conveniente estas soluciones para los siguientes casos: • • Yacimiento con comportamiento infinito Yacimiento radial finito FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS . pD van Everdingen y Hurst propusieron una solución analítica para la ecuación anterior suponiendo: • • • • Sistema radial perfecto El pozo productor se encuentra en el centro y produce a una tasa constante Q. re Estos autores presentaron la solución de la ecuación anterior en forma de series infinitas con términos exponenciales y funciones de Bessel y evaluaron estas series para diferentes valores de en un amplio rango de .2 SOLUCIÓN DE LA PRESIÓN ADIMENSIONAL.4. la presión del yacimiento es uniforme e igual a Pi.1. 1 YACIMIENTO CON COMPORTAMIENTO INFINITO Cuando un pozo se abre a producción a una tasa constante de flujo después de un período de cierre. esto es: .1. Para un yacimiento con un comportamiento infinito.2 SOLUCIÓN DE LA PRESIÓN ADIMENSIONAL. tales como: porosidad. Durante este período.2. es estrictamente una función adimensional del tiempo . este comportamiento no se afecta por los límites del yacimiento y la forma del área de drenaje.4. la presión en el pozo comienza a caer y causa un disturbio en la presión que se esparce en el yacimiento. razón por la cual el flujo transitorio también se denomina estado de comportamiento infinito. compresibilidad total y viscosidad. Ahora bien. pD 4. o sea: Chatas y Lee presentan en forma tabulada los valores de pD para un yacimiento con un comportamiento infinito tal como se muestra en la siguiente Tabla: FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS . la función de caída de presión adimensional . permeabilidad.1. la tasa de declinación de la presión en el pozo y la forma como el disturbio de presión se irradia. dependen de características de los fluidos y del yacimiento. 2 SOLUCIÓN DE LA PRESIÓN ADIMENSIONAL.1.4. pD FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS . 1240532(10-7) =-2.5264177(10-2) =-1.4036304(10-3) =-4.3033017(10-10) =-2.29302022 =3.4.1.02< tD < 1000: Con los coeficientes hasta definidos por: =0.6723117(10-3) FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS .8085064 =0.2.7722225(10-4) =5.01: • Para tD > 100: • Para 0.1 YACIMIENTO CON COMPORTAMIENTO INFINITO • Para tD < 0. pD 4.1.2 SOLUCIÓN DE LA PRESIÓN ADIMENSIONAL. De hecho. FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS . existe un período corto que separa las dos etapas. Debido a su complejidad y corta duración. este flujo de esta etapa no se utiliza en los análisis de presión. Para un sistema radial finito.2. es decir: Donde: La Tabla siguiente presenta valores de en función de para 1.1. no se puede esperar que el cambio de flujo transitorio a flujo semicontinuo en este sistema finito ocurra instantáneamente. denominado última etapa de transición.2 SOLUCIÓN DE LA PRESIÓN ADIMENSIONAL.1. así como en el comportamiento de la distribución de presión a través del yacimiento. los límites del yacimiento y la forma del área de drenaje influyen en la respuesta de presión del pozo.1 YACIMIENTO RADIAL FINITO La llegada del disturbio de presión al límite de drenaje del pozo marca el final del flujo transitorio y el comienzo de la etapa de flujo semicontinuo.4. pD 4.5 < < 10. la función es una función que depende adimensionalmente del tiempo y del radio. Intuitivamente. Durante esta etapa. por lo tanto debe buscarse en otra tabla. pD 4.2.4.1. FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS .1 YACIMIENTO RADIAL FINITO Para un dado. los valores de menores a los listados en esta tabla indican que el yacimiento se comporta como infinito.1.2 SOLUCIÓN DE LA PRESIÓN ADIMENSIONAL. pD 4.2. considerando como radio del pozo el radio exterior del yacimiento.1 YACIMIENTO RADIAL FINITO van Everdingen y Hurst aplicaron esta solución para modelar el comportamiento de la intrusión de agua hacia el yacimiento.25 < tD : • Un caso especial de la ecuación anterior se alcanza cuando >>1.1. por lo tanto. el rango de valores de en la tabla anterior es adecuado para esta aplicación. y éste como radio exterior del acuífero.2 SOLUCIÓN DE LA PRESIÓN ADIMENSIONAL. entonces : FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS .4. Chatas propuso la siguiente expresión matemática para calcular pD: • Para 25 < tD y 0.1. Paso 3: Determinar la función correspondiente por medio de la tabla o ecuación apropiada. Paso 4: Calcular la presión al radio deseado.2 SOLUCIÓN DE LA PRESIÓN ADIMENSIONAL.4.1. usando los valores calculados de y . pD A continuación se resume el procedimiento de cálculo al usar para determinar la presión de fondo fluyente cuando está cambiando el período de flujo transitorio: Paso 1: Calcular el tiempo adimensional . Paso 2: Calcular el radio adimensional . esto es aplicando esta ecuación: FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS . ... lpc…………………………………………………..1....15 Viscosidad del petróleo.4000 Espesor.......4..25 Si el yacimiento tiene un comportamiento infinito...12*10-6 Daño en el pozo……………………………………………………. md………………………………………………....2 SOLUCIÓN DE LA PRESIÓN ADIMENSIONAL.1.25 Presión inicial........... BY/BN………………...... Radio del pozo..... pies………………………………………………………….. %..0 Factor volumétrico de petróleo.... pies………………………………………………. lpc-1………………………………….. se desea estimar la presión de fondo fluyente después de una hora de producción usando la aproximación de la presión adimensional..1... FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS . cp…………………………………….... PD EJERCICIO 12: Un pozo de petróleo está produciendo a una tasa constante de 300 BN/día bajo condiciones de flujo transitorio...60 Porosidad...15 Compresibilidad total.....0......5 Permeabilidad. El yacimiento tiene las siguientes propiedades de la roca y los fluidos......... 4. la función Ei se utiliza para calcular la presión a cualquier radio utilizando la tasa de flujo del pozo Q. La principal diferencia entre estas dos aproximaciones es que la función sólo se usa para calcular la presión a un radio r cuando la tasa de flujo Q es constante y conocida. la función se relaciona con Ei por la siguiente expresión: ) FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS . por otra parte. Cuando un yacimiento tiene un comportamiento infinito con .2 SOLUCIÓN DE LA PRESIÓN ADIMENSIONAL. En este caso la aplicación de la función esta restringida al radio del pozo debido a que se conoce Q. pD El ejemplo anterior muestra que la solución dada por es idéntica a la solución dada por la función Ei.1. 4. las suposiciones de la ecuación de difusividad no satisfacen los sistemas de gas. deben considerarse las siguientes ecuaciones para gases reales: • Ecuación de densidad: • Ecuación de compresibilidad del gas: Combinando estas dos ecuaciones básicas con resulta lo siguiente: FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS . esto es. de los fluidos compresibles. y por lo tanto.2 FLUJO RADIAL DE FLUIDOS COMPRESIBLES La viscosidad y la densidad de un gas varían significativamente con la presión. Para poder desarrollar una función matemática que describa el flujo de fluidos compresibles en el yacimiento. 4.2 FLUJO RADIAL DE FLUIDOS COMPRESIBLES Al – Hussainy. Así se tiene: Diferenciando la ecuación anterior con respecto a p. Ramey y Crawford linealizaron la ecuación anterior introduciendo la definición de potencial para un gas real m(p). resulta: De donde se obtienen las siguientes relaciones aplicando la regla de la cadena: FLUJO DE FLU . la cual relaciona el potencial de un gas real con el tiempo t y el radio r: FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS .2 FLUJO RADIAL DE FLUIDOS COMPRESIBLES Sustituyendo la antepenúltima ecuación en las dos anteriores se tiene: Combinando estas dos ecuaciones para la ecuación de difusividad para los gases se tiene: Esta última ecuación es la ECUACIÓN DE DIFUSIVIDAD PARA FLUIDOS COMPRESIBLES.4. 4.2 FLUJO RADIAL DE FLUIDOS COMPRESIBLES Al Hussainy señala que, en un análisis de pruebas de pozos para un pozo de gas, la solución de tasa constante tiene más aplicaciones prácticas que la solución de presión constante. El autor encontró la solución exacta de la ecuación de difusividad para fluidos compresibles comúnmente conocida como método de la solución m(p). Existen otras dos soluciones que se aproximan a la solución exacta, denominadas: método de las presiones al cuadrado y método aproximado de presión.. En síntesis, existen, pues tres formas de la solución matemática de la ecuación de difusividad: • • • El método de la solución m(p) o solución exacta El método de las presiones al cuadrado El método aproximados de presión FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS 4.2 FLUJO RADIAL DE FLUIDOS COMPRESIBLES Al Hussainy señala que, en un análisis de pruebas de pozos para un pozo de gas, la solución de tasa constante tiene más aplicaciones prácticas que la solución de presión constante. El autor encontró la solución exacta de la ecuación de difusividad para fluidos compresibles comúnmente conocida como método de la solución m(p). Existen otras dos soluciones que se aproximan a la solución exacta, denominadas: método de las presiones al cuadrado y método aproximado de presión.. En síntesis, existen, pues tres formas de la solución matemática de la ecuación de difusividad: • • • El método de la solución m(p) o solución exacta El método de las presiones al cuadrado El método aproximados de presión FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS 4.2.1 MÉTODO DE LA SOLUCIÓN m(p) O SOLUCIÓN EXACTA A la ecuación de difusividad para fluidos compresibles se le impone la condición de tasa constante como una de las condiciones de borde para resolverla. Así, Al – Hussainy propone la siguiente solución exacta: Donde: = presión inicial del yacimiento, lpc = presión de flujo fluyendo, lpc = tasa de flujo del gas, MPCN/día t = tiempo, horas k = permeabilidad, md = compresibilidad isotérmica total a pi, lpc-1 = viscosidad del gas a la presión inicial, cp = presión en condiciones normales, lpca = temperatura en condiciones normales, °R = radio del pozo, pies h = espesor, pies = porosidad FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS 4. MPCN/día. El tiempo adimensional fue definido previamente como: El parámetro γ se denomina Constante de Euler y está dado por: γ= FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS . quedaría asi: Donde Qg es la tasa de flujo de gas.2.1 MÉTODO DE LA SOLUCIÓN m(p) O SOLUCIÓN EXACTA Cuando =14.7 psi y =520 R. la ecuación anterior se simplifica asi: Esta ecuación en términos adimensionales. Para el caso de flujo radial de un gas real.1 MÉTODO DE LA SOLUCIÓN m(p) O SOLUCIÓN EXACTA La solución de la ecuación de difusividad dada por la ecuaciones anteriores expresa la seudopresión de flujo de fondo de un gas real como una función del tiempo t del flujo transitorio.4. puede calcularse aplicando la ecuación: FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS . La solución expresada en términos de m(p) es la expresión matemática recomendada para realizar el análisis de presión en pozos de gas. debido a su aplicabilidad en un amplio rango de presiones. md La caída de seudopresión adimensional puede determinarse en función de usando la expresión apropiada desde ecuaciones anteriores.2. Cuando . la ecuación de difusividad puede expresarse en términos adimensionales de la caída de seudopresión de un gas real utlizando la siguiente relación: Donde: = tasa de flujo del gas. MPCN/día k = permeabilidad. FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS .2.4.1 MÉTODO DE LA SOLUCIÓN m(p) O SOLUCIÓN EXACTA EJERCICIO 13: Un pozo de gas con un radio de 0. Las propiedades del gas en función de presión se presentan a continuación: Suponiendo que la compresibilidad total inicial es de 3 * 10-4 lpc-1. La presión inicial del yacimiento (presión de cierre) es 4400 lpc a 140°F.3 pies está produciendo a una tasa constante de 2000 MPCN/día bajo condiciones de flujo transitorio. La formación tiene una permeabilidad de 65 md y un espesor de 15 pies. La porosidad es de un 15%.5 horas. se desa calcular la presión de flujo en el fondo después de 1. 2. para dar: de la integral que definen O bien. Donde los valores de viscosidad y del factor de desviación del gas se evalúan a la presión promedio .4.2 MÉTODO APROXIMADO DE LAS PRESIONES AL CUADRADO En este método. la cual viene dada por: FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS . la primera aproximación a la solución exacta se realiza sacando el término que depende de presión m(pwf) y m(pi). 2 MÉTODO APROXIMADO DE LAS PRESIONES AL CUADRADO Combinando la ecuación anterior con las ecuaciones para obtener Pwf se tiene: O bien.2. O la expresión equivalente: Las formas anteriores de la solución aproximada indican que el producto se asume constante a la presión promedio . Esto limita la aplicabilidad del método de las presiones al cuadrado a presiones de yacimiento menores de 2000.4. FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS . La formación tiene una permeabilidad de 50 md y un espesor de 10 pies. La presión inicial del yacimiento es 1600 lpc a 140°F.2 MÉTODO APROXIMADO DE LAS PRESIONES AL CUADRADO EJERCICIO 14: Un pozo de gas con un radio de 0. Las propiedades del gas en función de presión se presentan a continuación: Suponiendo que la compresibilidad total inicial es de 6.4.25 * 104 lpc-1.2 MPCN/día bajo condiciones de flujo transitorio.2. calcule la presión de flujo en el fondo después de 4 horas usando: a) El método m(p) b) El método de las presiones al cuadrado FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS .3 pies está produciendo a una tasa constante de 7454. La porosidad es de un 20%. 3 MÉTODO APROXIMADO DE PRESIÓN El segundo método de aproximación a la solución exacta del flujo radial de gases consiste en tratar el gas como un seudolíquido. Recordemos que el factor volumétrico del gas en la formación expresado en BY/PCN está dado por: Resolviendo la expresión anterior para p/z.2. se tiene: La diferencia en la seudopresión de un gas real viene dada por: FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS .4. es casi constante como se muestra en la figura: FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS .2. resulta: Fetkovich señaló que a presiones elevadas (p>3000).3 MÉTODO APROXIMADO DE PRESIÓN Combinando las dos expresiones anteriores.4. en términos de la caída de presión adimensional: FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS .4.2.3 MÉTODO APROXIMADO DE PRESIÓN Imponiendo esta condición a la ecuación anterior e integrando se obtiene: Combinando las ecuaciones anteriores se obtiene: O bien: O equivalentemente. horas k = permeabilidad.2. Cuando se resuelve para pwf. lpc = tasa de flujo del gas. esta fórmula está limitada para presiones mayores de 3000 lpc. FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS . md = tiempo adimensional = factor volumétrico promedio del formación.4.3 MÉTODO APROXIMADO DE PRESIÓN Donde: = presión inicial del yacimiento. es suficiente evaluar las propiedades del gas a pi. BY/PCN = caída de presión adimensional gas en la Es importante observar que las propiedades del gas están evaluadas a la presión promedio definida así: De nuevo. MPCN/día = tiempo. 4.3 MÉTODO APROXIMADO DE PRESIÓN EJERCICIO 15: Repita el ejercicio 13 usando el método de aproximación de presión y compare los resultados con la solución exacta.2. FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS . 5. FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS . en el cual es necesario imponer a la ecuación de difusividad diferentes condiciones de límites a fin de obtener la solución apropiada. Tan pronto como el disturbio de presión alcanza los límites de drenaje. el período donde esta suposición puede ser impuesta es. Tal como se señaló anteriormente. finaliza el régimen de flujo transitorio y comienza un régimen de flujo diferente conocido como FLUJO SEMICONTINUO. se ha supuesto que un pozo está localizado en un yacimiento infinito y produciendo a una tasa de flujo constante. la cual crea un disturbio de presión que viaja a través del yacimiento. Obviamente. muy corto en longitud. a menudo. FLUJO SEMICONTINUO En el flujo transitorio discutido previamente. los límites del yacimiento no tienen efecto sobre el comportamiento de presión del pozo. durante este período de flujo transitorio. 5. FLUJO SEMICONTINUO En la Figura se muestra un pozo en un sistema radial que está produciendo a una tasa constante por un período lo suficientemente largo para afectar el área total de drenaje. FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS . se obtiene: FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS . esta condición tan importante puede expresarse por: La constante referida en la expresión anterior puede obtenerse de un simple balance de materiales usando la definición de compresibilidad.5. esto es: Arreglando esta ecuación. Matemáticamente. La sección (A) en la Figura muestra que la distribución de presión se hace paralela en los períodos sucesivos. resulta: Diferenciando respecto al tiempo t. el cambio en presión con tiempo es el mismo a través del área de drenaje. FLUJO SEMICONTINUO Durante este período de flujo semicontinuo. se obtiene: Donde: A = área de drenaje. lpc/hr V = Vp = volumen poroso. horas q = tasa de flujo. BY/día dp/dt = tasa de declinación de la presión. BY Para un sistema radial de drenaje.5. FLUJO SEMICONTINUO Si en la relación anterior se expresa la tasa de declinación de presión en lpc/hr. el volumen poroso viene dado por: Combinando las ecuaciones anteriores. pie2 FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS . BN/día = tiempo. resulta: Donde: = tasa de flujo de petróleo. FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS . Esto es: • • • La presión del yacimiento declina más rápidamente con un aumento de la tasa de producción de los fluidos. dp/dt. La presión del yacimiento declina más lentamente en yacimientos con mayores coeficientes de compresibilidad total. durante la etapa de flujo semicontinuo. FLUJO SEMICONTINUO Examinando la expresión anterior encontramos las siguientes características del comportamiento de la tasa de declinación de presión.5. La presión del yacimiento declina más lentamente en yacimiento con mayores volúmenes porosos. 655 lpc/hr.......15 Compresibilidad total. Se tienen los siguientes datos adicionales: Factor volumétrico del petróleo... lpc1……………………………………………...1.......25 Calcule el radio de drenaje del pozo............. %. pies……………………………………………………………………...........3 Porosidad... Los datos de presión del pozo muestran una declinación de la presión a una tasa constante de 4.......... BY/BN………………………….... FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS .... FLUJO SEMICONTINUO EJERCICIO 16: Un pozo de petróleo está produciendo a una tasa constante de 1200 BN/día bajo condiciones de flujo semicontinuo........12*10-6 Espesor...5........