Fenomenos Transporte Ramiro Betancourt Grajales.libro Completo

FENOMENOS DE TRANSPORTEUN CURSO INTRODUCTORIO RAMIRO BETANCOURT GRAJALES ING. QUMCO UTS ESP. PETROLEO IPGG BUCAREST PROFESOR ASOCIADO UN F A C U L T A D DE INGENIERIA Y A R Q U I T E C T U R A UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SECCIONAL MANIZALES © FENOMENOS DE TRANSPORTE Autor: Ramiro Betancourt Grajales Universidad Nacional de Colombia Seccional Manizales 1a. Edición Noviembre de 1991 300 Ejemplares Derechos reservados ISBN Obra Completa 958 - 95323 - 4 - 9 Antanas Mockus Sivickas Rector Carlos Enrique Ruiz Vicerrector Seccional Luz Stella Cortés G. Jefe Centro de Publicaciones Impreso en los talleres del Centro de Publicaciones de la Universidad Nacional Seccional Manizales Fax No. (968) 863220 Apartado Aéreo No. 127 Manizales Colombia. A DON JOAQUIN Y DOÑA CLOTILDEMIS PADRES. TARTA DE CONTENIDOLI STA DK SIMBOLOS PREFACIO PROLOGO. CAPITULO 1. LEYES BASICAS 1.1 1.2 1.3 INTRODUCCION A LA TRANSFERENCIA DE CALOR . . . . LEY DE FOURIER INTRODUCCION AL TRANSPORTE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO Y DINAMICA DE FLUIDOS 1.4 TRANSPORTE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO ENTRE PLACAS. FLUJO DE COUETTE 1.5 1.6 1.7 LEY DE LA VISCOSIDAD DE NEWTON FLUIDOS NO NEWTONIANOS INTRODUCCION A LA TRANSFERENCIA DE MASA 15 16 18 18 19 23 . . 24 26 12 i 1 4 7 7 9 1.8 DEFINICIONES BASICAS 1.9 PRIMERA LEY DE FICK 1.10 ANALOGIAS ENTRE LOS TRES FENOMENOS DE TRANSPORTE CAPITULO 2. PROPIEDADES I» TRANSPORTE 2.1 PROPIEDADES DE TRANSPORTE A PARTIR DE LA TEORIA CINETICA DE LOS GASES SIMPLIFICADA. . . 26 26 2.2 TRANSFERENCIA DE MASA EN GASES A BAJA PRESION. . 2.3 TEORIA RIGUROSA DE CHAH4AN - ENSKOG PARA GASES DILUIDOS 31 43 TRATAMIENTO DE UNA CORRIENTE RESIDUAL 3. . . 73 LA PARED PLANA PARED CON CAPAS MULTIPLES SISTEMAS RADIALES EL TUBO COMPUESTO COEFICIENTES GLOBALES LA ESFERA ESPESOR CRITICO DE AISLAMIENTO SISTEMAS CONDUCCION ..lfl FENOMENOS DE TRANSPORTE ECUACIONES RECOMENDADAS PARA PREDECIR PROPIEDADES DE TRANSPORTE 32 CAPITULO 3.1 APLICACIONES DE LOS BALANCES DIFERENCIALES A LA TRANSFERENCIA DE CALOR POR CONDUCCION .CONVECCION SUPERFICIES ALABEADAS O CON ALETAS EFICIENCIA DE LAS ALETAS ALETAS DE PERFIL TRIANGULAR 73 74 75 77 77 78 79 79 84 86 87 . LEYES I» CONSERVACION.2 MANANTIALES CALORIFICOS ECUACION DE NAVIER STORES ECUACION DIFERENCIAL DE ENERGIA CALORIFICA CONTINUIDAD PARA UNA MEZCIA BINARIA 46 47 50 53 62 69 70 CAPITUL04. .1 CONDUCCION DE CALOR EN ESTADO ESTABLE UNIDIMENSIONAL . ECUACIONES DE BALANCEO. TRANSPORTE DE ENERGIA CON GENERACION INTERNA GEOMETRIA CILINDRICA 3. . 73 4. APLICACIONES DE 1AS ECUACIONES I» VARIACION. . 4. FLUJO DE COUETTE. 4.3.4.4. 98 102 103 103 105 111 113 114 115 115 117 118 120 127 129 131 132 132 . . TRANSPORTE DE CALOR VELOCIDAD NETA DE PERDIDA DE CALOR TRANSPORTE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO CAIDA DE PRESION EN UN ANILLO APENDICE A.POISEUILLE TRANSPORTE EN UN ANILLO CON GENERACION INTERNA .4. . APENDICE A. ÜOEFICIKÜTKS DE TEáMSFEEMCIA Y glSBtfáS MULTXIáSE (DEFICIENTES DE TRANSFERENCIA TRANSFERENCIA DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO : FACTOR DE FRICCION . .1. (»ORDENADAS CURVILINEAS TRANSPORTE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO EN UN ANILLO TRANSPORTE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO CON GENERACION INTERNA ECUACION DE HAGEN .4.2 TRANSFERENCIA DE MASA POR DIFUSION WIDIRECCIONAL 89 ESTACIONARIA 92 TRANSPORTE DE MASA CON GENERACION INTERNA.TABLA DE CONTENIDO III SISTEMAS COK PUENTES DE CALOR 4. DEFINICION DE UN VALOR MEDIO APENDICE A.3 TRANSPORTE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO UNIDIRECCIONAL ESTACIONARIO. .2 APENDICE A. DETERMINACION DE LA TEMPERATURA MEDIA GLOBAL O PROMEDIO DE BLOQUE . CAPITULO 5. FLUCTUACIONES DE LA TEMPERATURA Y CONCENTRACION. . MODELO PELICULAR MODELO DE LAS TRES REGIONES PARA TRANSFERENCIA DE CALOR Y MASA ANALOGIA DE VON KARMAN 174 176 165 165 167 169 170 162 143 147 150 152 154 156 158 137 138 139 141 . .1. . 135 COEFICIENTES I® TRANSFERENCIA DE CALOR Y MASA. PAREDES RUGOSAS. . TEORIA PELICULAR CONDICIONES GENERALES EN UNA INTERFASE OTRAS CONDICIONES LIMITE EN LA INTERFASE . TRANSPORTE TURBULENTO . . . ANALISIS DIMENSIONAL Y SIMILITUD HIDRAULICA METODO DE BUCKINGHAM METODO DE RAYLEIGH ECUACIONES DIFERENCIALES CAPITULO 6. (ECUACION DE CHURCHILL) .5. LONGITUD DE MEZCLA DE PRANDTL MODELO DE LAS TRES REGIONES PARA EL TRANSPORTE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO EN UN TUBO PERFIL UNIVERSAL PARA FLUJO TURBULENTO EN TUBOS LISOS SUPERFICIES RUGOSAS CORRELACIONES PARA EL FACTOR DE FRICCION .lfl FENOMENOS DE TRANSPORTE FLUJO EN CONDUCTOS 134 APLICACIONES A SECCIONES TRANSVERSALES ARBITRARIAS. . . . . APENDICE A. . . ANALISIS EXACTO TRANSFERENCIA DE MASA EN LA CAPA LIMITE TURBULENTA SOBRE UNA PLACA PLANA 180 183 185 188 189 189 193 197 198 198 201 204 205 209 209 216 220 225 228 . . . TRANSFERENCIA DE MASA BN CONVECCION NATURAL TURBULENTA SOBRE UNA PLACA VERTICAL TRANSFERENCIA DE CALOR .1. . FLUJO SOBRE UNA PLACA PLANA CAPA LIMITE TURBULENTA : VELOCIDADES COEFICIENTE DE ARRASTRE COEFICIENTE DE FORMA ECUACIONES PARA EL MOVIMIENTO UNIDIMENSIONAL Di UNA PARTICULA A TRAVES DE UN FLUIDO FLUJO EN LA REGION DE ENTRADA A UN CONDUCTO.FLUJO CONVECTIVO SOBRE UNA PLACA PLANA TRANSFERENCIA DE CALOR EN LA CAPA LIMITE LAMINAR. PROMEDIO CON EL TIEMPO CAPITULO 7. * PBRFIL DE VELOCIDAD EN LA CAPA LIMITE ECUACION INTEGRAL DE VON KARMAN LONGITUD DE ENTRADA EN TUBOS CONVECCION NATURAL. .TABLA DE CONTENIDO III APENDICE A.6. . FLUJO EN CAPA LIMITE ECUACION INTEGRAL DE VON KARMAN FUERZA VISCOSA EN LA SUPERFICIE ANALISIS EXACTO DE LA CAPA LIMITE LAMINAR. VI FENOMENOS DE TRANSPORTE 1. . TRANSPORTE KN ESTADO TRANSITORIO TRANSPORTE DE CALOR EN ESTADO TRANSITORIO EN UNA PLACA PLANA 258 258 . TEORIA DEL TERMOMETRO DE BULBO HUMEDO 247 249 253 257 242 242 235 241 241 233 234 234 233 230 9. . COEFICIENTES DE TRANSFERENCIA Hi CONDICIONES DIVERSAS PERFIL DE VELOCIDAD PARABOLICO CON TEMPERATURA UNIFORME DE PARED PERFIL DE VELOCIDAD PLANO FLUJO UNIFORME DE CALOR TRANSFERENCIA DE MASA CON FLUJO LAMINAR EN TUBOS CIRCULARES.1 1 1 1 • • * • 1 1 1 i ANALISIS APROXIMADO DE LA TRANSFERENCIA DE CALOR EN METALES LIQUIDOS PARA FLUJO LAMINAR SOBRE PLACAS PLANAS CAPITULO 8. SOLUCION DE LEVEQUE APLICACION DE ANALOGIAS ECUACION DE PIERCE TRANSFERENCIA DE MASA EN UNA PELICULA LIQUIDA DESCENDENTE TRANSFERENCIA DE MASA EN UNA PLACA PLANA INCLINADA Y UNA PELICULA DESCENDENTE TRANSFERENCIA DE MASA ENTRE UNA FASE GASEOSA Y UNA PELICULA LIQUIDA DESCENDENTE CORTOS TIEMPOS DE EXPOSICION TRANSFERENCIA SIMULTANEA DE CALOR Y MASA . . . .1. . . CILINDROS Y PLACAS FINITAS TRANSPORTE AL INTERIOR DE UN MEDIO SEMIINFINITO. . . SISTEMAS CON BAJA RESISTENCIA INTERNA Y ALTA RESISTENCIA EXTERNA. CONDICIONES LIMITE EN FUNCION DEL TIEMPO . INTERDI FUS ION DE DOS GASES ESFERA CON TEMPERATURA INICIAL CONSTANTE . . DIFUSION TRANSITORIA EN UNA PLACA 264 265 266 DIFUSION A TRAVES DE UNA SOLA SUPERFICIE DE UNA PLACA. TRANSPORTE INESTABLE CON RESISTENCIA EXTERNA .9. SOLUCION GRAFICA PARA EL TRASNPORTE INESTABLE UNIDIRECCIONAL : GRAFICO DE SCHMIDT CONDUCCION DE CALOR EN ESTADO TRANSITORIO METODOS APROXIMADOS 296 291 279 281 283 287 272 274 277 SOLIDO SEMIINFINITO CON PROPIEDADES FISICAS CONSTANTES 298 SOLIDO SEMIINFINITO CON TEMPERATURA DE SUPERFICIE VARIABLE CON EL TIEMPO SOLIDO SEMIINFINITO CON PERDIDAS CONVECTIVAS DE CALOR EN LA SUPERFICIE APENDICE A. . . . . LA FUNCION ERROR Y OTRAS FUNCIONES RELACIONADAS BIBLIOGRAFIA 303 308 301 299 .TABLA DE CONTENIDO III TRANSPORTE DE MASA Y/O CANTIDAD DE MOVIMIENTO. .272 DIFUSION EN ESTADO TRANSITORIO EN UN CILINDRO. coeficiente de transferencia de calor.usui m A : ATM. base de los logaritaos neperianos. I :Corriente eléctrica. h : Constante de Planck. grano. diferencial. i :Vector másico. b : Constant«. i :Vector unitario en la dirección x. K : Potencial eléctrico. et : Concentración de la especie i. unitario en la dirección y. E(x) : 10« G : Potencial químico. Densidad de flujo difusivo . «specie química. B : Constant«. exp(x) : exponencial de x ( = e> ). a". dir : Operador divergencia. eapeaor. DG : Derivada sustancial de Q. d : Diàmetro . a : Aceleración. J :Densidad de flujo difusivo molar. e:Energia interna. Oto : Difusividad nàsica. Cp : Capacidad calorifica a presión constante. F : fuerza. g : Aceleración de la gravedad. espesor. Dc f iTfwi» Or : Calor especifico a volumen constante. especie química. P :Perímetro. Ni :Densidad de flujo molar de la especie i. caudal molar. t :Tiempo. energía interna. molar de generación de materia por reacción química r : Separación intermolecular. caudal volumétrico. Re :Número de Reynolds. en la dirección z. kf : Coeficiente convectivo de transferencia de masa. grados Kelvin. Q : Flujo de calor ( energía sobre tiempo ). M : Masa m :Masa. conductividad k». presión dinámica. volúmen. q rDensidad de flujo de calor ( flujo de calor sobre área). R :Radio. radio (variable) ri rVelocidad de volúmen. U :Momento dipolar. . parámetro.lfl FENOMENOS DE TRANSPORTE k : Vector unitario térmica. N :Número de Avogadro. constante. I:constante de Boltzman. m :Densidad de flujo másico de la especie i. W rPeso. vi rVelocidad en la dirección i. Ri : Velocidad homogénea. m' :Caudal m&sico. K :Coeficiente de proporcionalidad. V rVelocidad constante. generación másica de la especie i por unidad de Si :Area perpendicular a la dirección i. relación en peso. T :Temperatura. Mi :Peso molecular de la especie i. : Integral de colisión. término de generación o manantial . Coeficiente de expansión volumétrico. € Y :Parámetro de Lennard Jonnes de energía. calor J :Trayectoria libre media latente de vaporización. función adimensional 9 :Angulo. : Productoria.LISTA DE SIMBOLOS iii wt ¡Fracción en peso de la especie i. y : Eje coordenado. caudal másico :Viscosidad cinemática. :Angulo. z : Eje coordenado. a 0 : Angulo. U 0 Q n :Viscosidad. espesor. LETRAS GRIEGAS T OIROS SIMBOLOS. fracción molar. r por unidad de longitud. Difusividad térmica. número pi. x :Eje coordenado. rugoidad relativa. : Angulo. molecular. Coeficiente de proporcionalidad. ó :Derivada parcial. A. rugosidad relativa. : Diferencia finita. coeficiente de actividad. Los vectores se representan en el texto con letras en negrilla. variable adimensional. fracción molar. momento dipolar adimensional. : Cp/Cv 1 :Energía potencial de interacción molecular. . energía potencial. de interacción molecular o :Conductividad eléctrica. [ : Concentración másica volumétrica de la especie i. parámetro l . distancia (Lenard Jonnes). : Esfuerzo cortante.lfl FENOMENOS DE TRANSPORTE f : Resistividad eléctrica. f : Distancia adimensional. densidad. Tensión Superficial. i 2 T : Si amatoria. que a la vez depende de las dimensiones del equipo. Por esto algunos la miran como ciencia más que Ingeniería. Se puede responder en dos formas. etc. enfriadores de aire. fraccionadores y absorbedores). Primero. Por esta razón el curso de fenómenos de transporte podría hacer énfasis solo en la determinación de los coeficientes de transferencia y dejar el procedimiento de diseño a los cursos de operaciones unitarias. propiedades del fluido. es claro que la transferencia de calor. Más bien pertenecería a las ciencias ingenieriles. humidificadores. El método usado en los fenómenos de transferencia es una forma menos costosa y generalmente más confiable de obtener estos coeficientes que consiste en predecirlos a partir de ecuaciones basadas en las leyes de la naturaleza. Desde el punto de vista del diseñador es indiferente como hayan sido obtenidos los coeficientes. Desde otro punto de vista. la pregunta es ¿cuál es el valor práctico de los fenómenos de transporte? . confirmando esta predicción a través de investigación ayudada de computador. Esta velocidad de transferencia depende de un parámetro denominado coeficiente de transferencia. compresores. Estas ecuaciones empíricas proveen resultados sobre un determinado rango. fi Es importante que el Ingeniero comprenda las leyes físicas que gobiernan estos procesos de transporte si desea entender qué ocurre en el equipo y tomar las desiciones adecuadas para su mejor y más económica operación. masa o impulso a transferir. Como es un caso práctico el obtener los parámetros (coeficientes de transferencia) que se usarán en el diseño. secadores. cuando el Ingeniero diseña equipos de procesos debe predecir las cantidades de calor. Adicionalmente existen casos en los cuales el diseñador deberá usar métodos y ecuaciones de Fenómenos de Transporte directamente en el diseño de un equipo.PREFACIO PORQUE ENSEBAR FENOMENOS DE TRANSPORTE. no están basadas en teorías y no pueden usarse confiablemente fuera del rango en el cual se realizó la experimentación. masa e impulso ocurren en muchos tipos de equipos de Ingeniería (intercambiadores de calor. caudal de flujo. el curso de "Fenómenos de Transferencia" puede considerarse tanto un curso en Ingeniería como en ciencia. reactores químicos y nucleares. Desde el punto de vista del ingeniero orientado hacia el diseño económico y operación de plantas y equipos. Un ejemplo puede ser un reactor tubular en el . Esta disciplina se refiere a las leyes naturales. Tradicionalmente estos coeficientes se obtienen luego de mediciones lentas y costosas a nivel de laboratorio o planta piloto y correlacionadas a través de ecuaciones empíricas adimensionales. El fluido entra con cierta concentración de reactivos y deja el tubo con una concentración menor de éstos pero mayor concentración de productos. Intercambiando cantidades análogas ( tales como difusividades ) podemos usar la solución conocida de un problema en transferencia de calor para obtener la solución de un problema en transferencia de masa o al contrario. . 0 sea que tanto temperatura como concentración variarán axial y radialmente. leyes de flujo y condiciones límite ) similares para transferencia de calor y transferencia de masa. un curso en Fenómenos de Transporte deberá en últimas ser el más útil y práctico en una carrera de pregrado. a no ser que se gaste tiempo y dinero construyendo plantas piloto de tamaños crecientes. Es claro que esté problema no se puede manejar empíricamente. Pero para calcular la concentración en cada punto necesitamos conocer la velocidad de reacción en cada punto y para calcular la velocidad de reacción en cada punto es necesario cbnocer tanto la temperatura como la concentración en cada punto. el escalado final es precario e incierto. Como además la velocidad de reacción aumenta con la temperatura. se dice que hay una analogía entre los problemas de calor y masa. Si las características físicas de un problema conducen a relaciones matemáticas ( ecuaciones diferenciales. Lo mismo puede hacerse si hablamos de transporte de impulso y calor o transporte de impulso y masa. determinando las conversiones en cada una. que será mayor en el eje de simetría. Si se les desea dar a los estudiantes de Ingeniería Química. para calcular la temperatura debemos conocer el caudal y la velocidad del fluido en cada punto. para que hagan uso de los métodos de cálculo que aparecen día a día. el calor generado deberá removerse por la pared del tubo y tendremos gradientes radiales de temperatura. Si la reacción es exotérmica. Como esta se obtiene de valores puntuales promediados sobre la sección transversal.lfl FENOMENOS DE TRANSPORTE cual ocurre una reacción química homogénea. Sin embargo. una educación que no sea obsolescente. los productos de la reacción tenderán a acumularse en esta linea central mientras los reactivos lo harán hacia la pared del reactor. no todos los problemas actuales pueden resolverse por los métodos de los fenómenos de transporte. Tanto por su uso potencial como por su utilidad actual. Obviamente. y que son esenciales los procedimientos matemáticos y la teoría de fenómenos de transferencia. debemos conocer la concentración en cualquier punto del reactor ( axial y radial ). debemos prepararlos con la comprensión de los métodos de los fenómenos de transporte. más y más podrán resolverse. Tenemos así un sistema complicado de ecuaciones diferenciales parciales que se resolverán por métodos sofisticados de cálculo y equipos de alta velocidad ( computador ). con el desarrollo del computador. para cualquier longitud la concentración promedia en productos. Aún así. Además. Para diseñar un reactor de estos necesitamos conocer. PREFACIO El uso de analogías hace el proceso de aprendizaje más sencillo y debido a estas similitudes podemos estudiar tres temas (transferencia de calor y de masa y dinámica de fluidos) como si fuesen uno. . Manizalea. 1987. Ramiro Betancourt Grajales. En la práctica posibilita tomar medidas experimentales en un sistema (digamos calor) para obtener información sobre otro (masa o impulso). o Dinámica de Fluidos. Cuando se comprendieron mejor las operaciones unitarias. Es más. humidificación. De esta manera la evaporación se convirtió en una de las primeras operaciones unitarias en reconocerse.PROLOGO. transferencia de calor. y las personas que realizaban el trabajo que hoy hace el Ingeniero Químico eran entrenadas como Químicos. la comprensión de un proceso de transferencia puede facilitar la comprensión de otros procesos. Estos cursos se modificaron rápidamente con la introducción del concepto de Operación Unitaria. Muchas otras etapas alcanzaron el grado de operación unitaria. y 3) Transporte de Cantidad de Movimiento o Impulso (Momentum en Ingles). filtración. Estos surgieron de la observación de la similitud en los cambios físicos que ocurrían en industrias químicas. Las Industrias Químicas existían mucho antes de que la profesión de Ingeniero Químico fuera reconocida. Estas analogías. se evidenció que no eran entes diferentes. Se puede entonces considerar las operaciones unitarias como casos especiales o combinaciones de transferencia de calor. mezclado. La tecnología de cada industria se miraba como una rama especial del conocimiento. transferencia de masa y flujo de fluidos. si las ecuaciones diferenciales y las condiciones límites son las mismas. bastante diferentes. También se diferencia de la mecánica de fluidos en que el estudio de fenómenos de transporte utiliza las similitudes entre las ecuaciones usadas para describir el proceso de transferencia de calor. etc. secado. La filtración era claramente un caso de flujo de fluidos. pueden ser relativas a similitudes en los mecanismos físicos gracias a los cuales el transporte se verifica. absorción gaseosa. Ingenieros Mecánicos y Técnicos. destilación. masa e impulso. es pues el nombre colectivo que se da al estudio sistemático e integrado de tres áreas clásicas de la ciencia de la Ingeniería : 1) Transporte de Energía o Calor. cristalización. molienda y tamizado. la evaporación una forma de transferencia de calor. algunos planes de estudio incluyen estos procesos en su tratamiento de la mecánica de fluidos. Los ingenieros se refieren a estos tres últimos eventos como Fenómenos de Transporte y son la base de las operaciones unitarias. tales fueron: flujo de fluidos. Fenósanoe de transporte. El secado y la destilación se reconocieron como operaciones en las cuales. Debido a que con frecuencia el transporte de masa y de calor ocurren en un fluido. Pero el tema es de un mayor alcance dado que también hay conducción y difusión en sólidos. Cano consecuencia. como suelen llamarse. Los primeros cursos de Ingeniería Química se orientaron al estudio de la tecnología industrial. la extracción y la absorción gaseosa involucraban transferencia de masa. extracción. es necesario obtener la solución para uno . Así. 2) Transporte de Masa o Difusión. se reconoció que la evaporación de un líquido desde una solución seguía los mismos principios independientemente de si el proceso era fabricar azúcar o un fertilizante. tanto la transferencia de masa como la de calor presentaban importancia. 6) La simplificación de las ecuaciones multidimensionales puede verificarse así para casos específicos con una completa apreciación de su significado. Para cada proceso de transporte. 2) Las limitaciones de. tales como transporte unidimensional. Se derivan entonces las ecuaciones diferenciales generalizadas del cambio. Asi pues. y finalmente el transporte de masa. luego el transporte de energía. sin la complicación de ecuaciones generalizadas. Debe enfatizarse sin embargo. y las excepciones a. se demuestra la relación entre flujo de cantidad de movimiento y esfuerzo viscoso y se discute el significado físico del mismo. se puede obtener la solución para cualquiera de los otros procesos de transporte. especialmente entre el transporte de impulso ( un vector ) y el de calor o masa ( escalares ). las analogías. en lugar del transporte de impulso primero. que aunque existen similitudes en los procesos de transferencia. 5) Las ecuaciones multidimensionales generalizadas pueden derivarse como una extensión lógica del transporte unidimensional y como la incorporación en forma general de los términos previamente ilustrados. Como consecuencia de este orden. De esta forma el transporte molecular unidimensional de la cantidad de movimiento en el flujo de Couette se demuestra como análogo a la conducción de calor unidimensional. El estudio de los fenómenos de transporte se ha realizado tradicionalmente comenzando por el transporte de cantidad de movimiento. existen otras razones pedagógicas para no usar el estudio en serie . 3) los tópicos más elementales. De todas formas. Luego el estudiante aprende como simplificar estas ecuaciones para casos físicos específicos. facilita identificar y entender las diferencias entre ellos. convección. Una organización alternativa es tomar los tópicos similares para los tres fenómenos en forma simultánea. un estudio sistemático de las similitudes entre los procesos de transferencia. 4) El significado físico de términos tales como difusión. Luego a través de la ley de Newton del movimiento. también hay diferencias importantes. luego el transporte de energía y finalmente el transporte de masa. generación y acumulación en las ecuaciones de los balances generales pueden ilustrarse inicialmente por medio de ejemplos físicos simples. el difícil tema de transporte laminar de cantidad de movimiento puede tratarse después del más familiar e intuitivo ( para el estudiante ) de la conducción de calor. Esta alternativa presenta las siguientes ventajas: 1) Las analogías Be pueden explotar completamente reduciendo la repetición.PROLOGO 5 solo de los procesos pues al cambiar la nomenclatura de esa solución. Colateral a mejorar la comprensión. para demostrar las analogías entre los procesos de transporte. tópicos como el transporte molecular. se propone estudiar cada proceso en paralelo. generalmente expresadas en notación vector-tensorial. pueden abordarse inicialmente. los balances en límites planos o curvos y el transporte multidimensional se discuten en forma tal que las similitudes y analogías entre los procesos de transporte pueden inferirse. pueden relievarse. Además. . en el método en serie se fuerza a tomar el tema más difícil ( transporte de impulso ) primero. el transporte de cantidad de movimiento se hace más comprensible haciendo referencia al tema más familiar de transferencia de calor. De otra parte. el concepto y las ecuaciones involucradas en el estudio del transporte de cantidad de movimiento son las más difíciles de entender y usar por parte del principiante. si los temas se estudian en paralelo. Debido a que es imposible cubrir completamente el transporte de calor y masa sin un previo conocimiento del transporte de impulso. el tratamiento en paralelo permite estudiar los conceptos más sencillos primero y avanzar más tarde a las ideas más difíciles y abstractas.lfl FENOMENOS DE TRANSPORTE tradicional: de loo tres procesos. y "Flujo de Calor" es la velocidad de transferencia de calor por unidad de área. La "Velocidad de Transferencia de Calor" es la expresión de la energía térmica transportada por unidad de tiempo. por el que el calor distantes del cuerpo se transfiere por radiación En gases y líquidos la convección y la radiación tienen importancia destacada. De otra parte debemos recordar que el calor es solo una de las formas de la energía y que es esta y no el calor la que se conserva de acuerdo a la primera ley de la termodinámica. en el que el calor pasa a través de la substancia misma del cuerpo. La energía como propiedad se utiliza en termodinámica para ayudar a especificar el estado de un sistema. En cualquier caso necesitamos hallar la velocidad a la cual ocurre la transferencia de calor para calcular el tamaño del equipo requerido o pera mejorar el ya existente. en el cual el calor es transferido por el movimiento relativo de partes del cuerpo calentado. 1. el transporte de calor es probablemente el más familiar dado que ee parte de nuestra experiencia diaria. De loe tres procesos de transporte a estudiar. Transferencia de calor es la expresión usada pera indicar el transporte de energía originado en una diferencia de temperatura. El cálculo de las velocidades locales de transferencia de calor requieren conocer las distribuciones locales de temperatura. De otra parte la energía se transfiere a través de los límites de un sistema termodinàmico en forma de trabajo o de calor. Existen tres mecanismos diferentes por los cuales ocurre esta transferencia de calor: i) Conducción. por ejemplo cuando se noe enfria la sopa o el café. Procesos que emplean transporte de oalor aparecen frecuentemente en la industria química: Calentamiento del petróleo crudo (u otra mezcla liquida) hasta su punto de ebullición para separarlo en fracciones en una columna de destilación o la remoción del calor generado en una reacción química.1 INTRODUCCION A LA TRANSFERENCIA DE CALOR. y iii) Radiación. pero en los sólidos la convección puede considerarse ausente y la radiación generalmente es despreciable.CAPITULO 1. LKYES BASICAS. mecanismo directamente entre partes electromagnética. las cuales proveen el potencial para la transferencia de calor. ii) Convección. TRANSFERENCIA DE CALOR POR CONDUCCION. L? teoría matemática de la conducción del calor puede basarse en una hipótesis sugerida por el siguiente experimento: . el cual puede resolverse en componentes a lo largo de los tres ejes coordenados. especialmente cerca al estado critico.lfl FENOMENOS DE TRANSPORTE Tomemos una placa de algún sólido limitada por dos superficies planas paralelas de una extensión tal que. desde el punto de vista de los puntos entre los dos planos. En la práctica esta condición puede acercarse usando una placa plana de dimensiones finitas donde sus caras menores han sido aisladas térmicamente de forma tal que solo existan gradientes de temperatura en la dirección perpendicular a las caras mayores.La placa tiene un espesor b. Estrictamente hablando la conductividad térmica no es una constante sino que. De esta forma q* y qy son cero. Esta es una de las Propiedades de Transporte de los materiales. . la inferior se mantiene a la temperatura de una corriente de agua caliente que fluye constantemente por allí.1) Supongamos que la temperatura de la superficieinferior es Ti y la de la superficie superior es T2 (Ti > T2). las temperaturas de los diferentes puntos del sólido alcanzaran valores estables. Podemos ignorar la naturaleza vectorial de q y considerar solo su componente escalar z para un simple caso de conducción unidimensional de calor. El hecho de que la placa es muy delgada en la dirección z y muy ancha en las direcciones x e y indica que hay pérdidas despreciables en los extremos perpendiculares a los ejes «X e y. Después de mantener estas condiciones durante suficiente tiempo. En este caso la diferencia de temperatura ocurre entre planos perpendiculares al eje z causando transporte en la dirección z. la cantidad de calor que fluye a través de la placa en un tiempo t a través de un área S es igual a: b ( 1. La conductividad térmica en la madera y cristales varía también en forma ostensible con la dirección. de hecho.1) La constante de proporcionalidad k es la conductividad térmica. Los resultados de los experimentos sugieren que. la temperatura siendo igual para planos paralelos a la superficie de la placa (despreciando los efectos terminales). En general la velocidad de conducción de calor en cualquier punto en un material se caracteriza por un vector de flujo de calor q. Por ejemplo. mientras la superficie superior se mantiene a la temperatura de una mezcla hielo agua. y consideremos que el sólido está inicialmente a temperatura uniforme Tz. Los dos planos se mantienen a temperaturas diferentes sin que esta diferencia de temperaturas sea tan grande como para causar un cambio sensible en las propiedades del sólido.(ver figura 1. cuando se ha alcanzado el estado estable. puedan suponerse infinitos. es una función de la temperatura para todas las fases y en líquidos y gases depende también de la presión. CAPITULO 1. La figura 1. Se resalta el que el gradiente de temperatura seré lineal solo cuando la conductividad térmica es constante. La ecuación ( 1.1 «•» La dependencia de la conductividad térmica con la temperatura para rangos de temperatura pequeños puede expresarse en forma aceptable como k = ko(l + ¿ff).2 muestra el efecto en el gradiente de temperatura (para estado estable) en una placa plana como resultado de que sea positivo o negativo. Tampoco puede usarse para predecir la variación de la temperatura con la posición dentro del medio. Por esta razón es necesario desarrollar una ecuación más general que sea aplicable en cualquier punto. Con este propósito retomamos del gráfico 1.to FIGURA 1. donde ko es el valor de la conductividad térmica en alguna condición de referencia y a es el coeficiente de la temperatura que es positivo o negativo dependiendo del material en cuestión. . en cualquier geometría y para condiciones estables o inestables (cuando el estado físico de un sistema no cambia con el tiempo. se dice que el sistema se encuentra en estado estable).1b una línea de temperatura contra posición en cualquier momento arbitrario (ver figura 1. LEYES BASICAS 9 figura l.3). En la sección anterior se considera el caso especial de conducción de calor unidimensional en estado estable en una geometría rectangular.1 ) es válida sólo para este caso especial y no puede usarse en otraB situaciones tales como geometrías cilindricas o estado transitorio.2 LEY DE FOURIER. 1. 1) como : (Qz/S) = (k/b)(Ti-Ta) = q» Si aplicamos (1.3 Podemos relacionar la velocidad de flujo de calor Q* en cualquier posición arbitraria z al flujo de calor en la misma posición usando la definición Q* = q«S*. Comencemos por reconocer que la velocidad de flujo de calor puede escribirse a partir de la ecuación (1.2) a un pequeño (1.2 FIGURA 1. b será reemplazado .2) incremento /\z.lfl FENOMENOS DE TRANSPORTE FIGURA 1. k(6T/6z) ( 1. donde hay flujo de calor en las tres direcciones coordenadas.3 ) La cual es llamada ley de Fourier para conducción de calor en una dimensión. En el limite cuando /\z tiende a cero.El signo menos es necesario de acuerdo a la definición del operador diferencia : AI = ) . Es interesante hacer notar que la ecuación de Fourier para conducción unidireccional de calor es exactamente análoga a la ley de Ohm para . para estado transitorio. o independientemente de la calor solo se transfiere temperatura. en honor al matemático francés Jean Baptiste Fourier a quien se le atribuye.T» Entonces el flujo promedio de calor a través de una distancia A z es: AT T(z+Az..t) -T(z. = -k(ÓT/6z) serán las componentes del vector flujo de calor. En el caso de tratarse de estado estable en una dimensión. podemos escribir en cualquier localización: q» = . «X = iq* + jqy + kqy que puede escribirse en forma de operador con notación abreviada: q = -kdlv(T) divergencia.A I . Es válida para cualquier sea que la conductividad es la misma dirección..3 se observa que A X / A z representa la pendiente promedio sobre la región A z de la curva T vs z.CAPITULO 1. En el caso general. Asi. El signo menos indica que el en la dirección en la que decrece la La ecuación (1.4 ) definido en coordenadas Donde div es el operador cartesianas como : div = i (6 /6x) + j (Ó /Óy) + k (Ó /óz) una ecuación para la ley de Fourier en o forma vectorial.4 ) es notación vectorial Gibbs sistema iaotrópico. T seria solo función de z y la derivada sería total. qy = -k(6T/6y) . ( 1. LEYES BASICAS 11 por A z y (T1-T2) por .t) Az Az De la figura 1. También observamos que si hacemos A z cada vez más pequeño obtenemos una mejor aproximación de la pendiente en z. q. T es función de más de una variable independiente y : qx = -k(6T/óx) .obtenemos la derivada parcial de T respecto a z según el teorema fundamental del cálculo. 6 ) .3) y (1. se puede pensar que la velocidad de un fluido en un punto dado como su impulso por unidad de masa.1 SEGUNDA LEY DEL MOVIMIENTO DE NEWTON. Las unidades de masa son arbitrarias. los cambios en la velocidad de un fluido pueden originar transporte de cantidad de movimiento. donde f es la resistividad eléctrica) corresponde a la conductividad térmica k. se define como el producto de su masa y velocidad. así como los cambios de temperatura originan transporte de calor. 1. ( 1. Esta analogía nos capacita para estudiar problemas de conducción de calor en detalle a través de modelos eléctricos similares. el potencial eléctrico E corresponde al potencial térmico T. debemos revisar algunas definiciones básicas. el campo de temperatura dentro del cuerpo calentado. Como el concepto de transporte de cantidad de movimiento generalmente no se enfatiza.5) tienen la misma forma. La segunda ley del movimiento de Newton establece que la fuerza F actuando sobre un cuerpo de masa m es proporcional a la velocidad de cambio de su cantidad de movimiento asi: d(mv) F = K dt Donde a = dv/dt es la aceleración del cuerpo y K es una constante de proporcionalidad que se determina según las unidades que se usen. y la conductividad eléctrica a (o =l/f.lfl FENOMENOS DE TRANSPORTE un conductor eléctrico.3 INTBODUCCION DE FLUIDOS AL TRANSPORTE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO Y DINAMICA Ahora que se han visto algunos ejemplos elementales de transporte de calor nos encontramos en mejores condiciones para comprender el tema de transporte de impulso.5 ) 1. y el campo de potencial eléctrico en un cuerpo de la misma forma. 0 sea que.3.oS ón En esta ecuación la corriente eléctrica I corresponde al flujo de calor Q. Como las ecuaciones (1. Dado que el impulso o la ^cantidad de movimiento de un cuerpo. por ejemplo la masa puede delinirse en relación a una pieza estándar de una aleación de platino = K (ma) ( 1. [ a descripción j matemática de este transporte forma una parte importante de la ciencia de la mecánica de fluidos. la cual puede expresarse como : ÓE I = . corresponden uno al otro siempre que la distribución de temperatura en la superficie corresponda a la distribución superficial del potencial eléctrico. 2pie/s2) para W = m. podemos hallar la magnitud de la constante K permitiendo que el peso en libras fuerza y la masa en libras masa tengan el mismo valor numérico.m/s2 Ib. Así F = W ( el peso ) y a = g = 32. En el alterna gravitacional inglés.6) son como se muestran en la tabla 1.1 En un sistema absoluto de unidades la unidad de fuerza se define específicamente en términos de las unidades de masa y aceleración.la aceleración de la gravedad varía con la distancia desde la tierra.pie/s2 También se conoce un sistema absoluto de unidades en el cual la . llamada la libra fuerza (lbf). Luego la masa de un segundo cuerpo puede ser determinada por comparación.2 pie/s® y la ecuación (1.la unidad de masa es la libra masa (lbm) y la unidad de fuerza. LEYES BASICAS 13 e iridio a la que se le asigna la masa de 1 Kg.pie/s2)/lbf.CAPITULO 1. 1 N=10® dinas = 1 Kg.cm/s2 Kg.2 Ib pie/s} 1 go donde go es un factor de conversión igual a 32.2 pie/s2. se define en forma tal que el peso en libras fuerza de un objeto al nivel del mar sea numéricamente igual a su masa en libras masa.m/s2. el sistema internacional de unidades (SI) y el sistema inglés (libra poundal pie segundo). Existen diferentes sistemas de unidades asi: los alaternas gravitad anal es de unidades son aquellos en los cuales las unidades de fuerza y de masa se definen en forma tal que el peso de un cuerpo al nivel del mar es numéricamente igual a la masa del cuerpo. 1Poundal = 1 Ib. Debemos ser claros en que aunque go tiene la magnitud de g al nivel del mar. Es simplemente un factor de conversión requerido por la selección de unidades. g. sus unidades no son las mismas y no es la aceleración debida a la gravedad ni ninguna aceleración.cm/s2. Mientras que go es una constante.1 Sistema CGS SI Inglés Fuerza Dina(din) Newton(N) Poundal Masa x Aceleración. Como la aceleración de la gravedad al nivel del mar se toma como g=32. esto implica 1 lbf 32.0 y es adimensional. asi: 1 dina = 1 g. Como ejemplo tenemos el sistema CGS (centímetro gramo segundo).6) se transforma: W = K (mg) o W lbf = K (m lb)(32.pie/s2 Un alaterna absoluto de unidades es un sistema en el cual go vale 1.2(Ib. TABLA 1. En estos sistemas las unidades para la ecuación (1. m / s 2 ) / Aquí goL es la constante gravitacional lunar.80171 9.1873 32.82608 9. i) Sistema Gravitacional.lfl FENOMENOS DE TRANSPORTE unidad de fuerza se toma como 1 lbf y la unidad de masa se define como 1 lbf/(pie/s2) denominada slug. 6 3 m/s2 KL = ( 1 k g f L ) / ( k g ) ( 1 .1076 32.78641 9.0878 32.79329 9. la aceleración gravitacional de la luna es 9 .81071 9.2151 32. goL = 1 .81918 9.83217 Es conveniente tener presente que la aceleración de la gravedad terrestre al nivel del mar varía con la latitud debido a que la tierra no es completamente esférica sino elipsoidal.6) se transforma en F kgft.2377 32. .78039 9. TABLA 1. Desean adoptar un sistema gravitacional lunar de unidades. ii) El sistema absoluto serla el mismo de la tierra.1578 32.2525 32. Primero definamos una nueva unidad.0929 32.2577 m/s2 9. Como a.1302 32. 8 0 / 6 = 1 .781915 9.83059 9. y también gracias a la rotación sobre si misma. 6 3 ( k g . Latitud 0O 10» 20° 30* 40* 50° 60° 70° 80° 90® pie/s2 32. 1 Se establece una colonia en la luna donde la aceleración gravitacional es la sexta parte de la de la tierra.2 VARIACION DE g CON LA LATITUD AL NIVEL DEL MAR. 6 3 m / s * ) = 1 / GOL kgfL lunar" kgfL. el "kilogramo fuerza La ecuación (1. = (Kl m kg)(a m/s 2 ) para que el peso y la masa sean numéricamente iguales al nivel de la superficie lunar requerimos que F = W = m. Cuál será? Cuál seria un sistema absoluto allí? Use unidades estandar terrestres para la masa en kilogramos. debido a que sus unidades son independientes del campo gravitacional. EJEMPLO 1 . Paó «pro M a o r a lc uotr t d M t Z b Z X Poo Mro M nwt cn it olf o « o W d V dbd o l fimo F «ea eio o i FIGURA 1. desde cero hasta algún valor positivo. En el tiempo t=0 la placa inferior se pone en movimiento con velocidad constante v*i=V aplicando una fuerza F en la dirección x mientras la placa superior se deja estacionaria (vx=0). La distancia entre las placas es b. De esta manera el movimiento de la placa inferior hace aparecer un campo de velocidades en el liquido. Pero la capa de fluido vecina a la placa respecto a la capa de fluido inmediatamente inferior se mueve con superior que inicialmente se encontraba en reposo y a su vez le imprime movimiento. habrá un correspondiente aumento en la cantidad de movimiento x. 1.4 a ). cantidad de movierato x se transporta en la dirección z desde la placa hasta el fluido y allí desde una capa de fluido a la siguiente. LEYES BASICAS 29 Observamos pues que el valor generalmente usado en los textos para la aceleración de la gravedad corresponde a una latitud bastante diferente de la nuestra. En otras palabras. Al moverse la placa inferior arrastra consigo la capa de fluido inmediatamente adyacente.4 TRABSPGKFE DB CASTIDAD DB K O T M I E m O ENTRE FLACAS PARALKIAS. la velocidad del fluido en la dirección x. Como la placa superior está estacionaria.4 a FIGURA I 4b T V FIGURA 1. Consideremos un fluido contenido entre dos grandes placas paralelas (figura 1. la que se mueve a la misma velocidad de la superficie.4 . Esta es la condición de frontera denominada de no deslizamiento fundamentada experimental y teóricamente. FLUJO CB OOUETTX. Cono la cantidad de movimiento es proporcional a la velocidad. con la velocidad decreciendo continuamente desde V en la placa inferior hasta cero en la placa superior. El movimiento de la placa inferior por tanto causa un aumento en v x .CAPITULO 1. que es pequeña comparada con las otras dimensiones de las placas. la velocidad del fluido allí es cero. FIGURA 1. En t=t2.4b).u (b .0 ) la de ( 0 . Continuemos considerando el flujo entre dos placas. En t=tila velocidad aumentó cerca del plano inferior. Para fluidos muy viscosos se puede requerir solo una fracción de segundo para alcanzar el 99 % de la condición de estado estable. Una vez alcanzado dicho estado estacionario de movimiento es preciso aplicar una fuerza ¥ x constante para conservar el movimiento de la lámina inferior.5 LEY DE LA VISCOSIDAD DE NEWTON. El concepto de tiempo infinito es claramente una abstracción matemática.6 Q^/iz) .lfl FENOMENOS DE TRANSPORTE En la figura 1. La constante proporcionalidad m se denomina viscosidad del fluido.V ) ( 1. pero el impulso todavía no ha penetrado en el fluido cercano al plano superior. que la fuerza por unidad de área es proporcional a disminución de la velocidad con la distancia z. la placa superior comienza a percibir el movimiento de la placa inferior.5 FIGURA 1. Finalmente en t=® se obtiene estado estable en el cual la velocidad no vuelve a cambiar con el tiempo. Esta fuerza claramente depende de la velocidad V. Para este caso especial viene dada por: Fx = S u . Para t=0 hay un cambio brusco en z=0 desde vx=V hasta v*=0. de la distancia b entre las placas y del área de contacto S de las mismas con el liquido. de la naturaleza del fluido.b V = . 1.7 ) Es decir.4 b se grafican los perfiles de velocidad para varios tiempos. Luego de un cierto periodo de tiempo el perfil alcanza su estado final estacionario (figura 1. 4 b antes de alcanzar el estado estacionario y la grafleamos como v x contra z a t constante (figura 1. Examinando la ecuación también vemos que u tiene las dimensiones de masa por unidad de longitud y unidad de tiempo. o poise (P).-t) Vx(».t) Una ecuación consistènte con la ( 1.5). Todos los gases y la mayoría de los líquidos simples. la que está dada por la derivada parcial 6v /5z. tal cono ocurre con la densidad de flujo de calor que ee proporcional al gradiente negativo de temperatura.m ( © W Ó z ) (1. la dirección de velocidad decreciente.x = .8) Llamada ley de Newton de la viscosidad en una dimensión. Muchos fluidos de importancia industrial y biológica no obedecen esta ley y se llaman no newtonianos.CAPITULO 1.Al tomar el limité cuando A z tiende a 0 nos aproximamos a la verdadera pendiente en ». Los fluidos que obedecen la ecuación (1. LEYES BASICAS 17 Para desarrollar una expresión más general consideremos una de las curvas de la figura 1. es decir.s) donde 1 Pa. Anteriormente se expresó en g/cm. La ecuación bésicax resultante para el transporte de impulso unidireccional inestable es: t. Según las consideraciones del numeral anterior T« puede interpretarse también como la densidad de flujo viscoso de cantidad de movimiento x (densidad de flujo es velocidad de flujo por unidad de área. o sea que son unidades de cantidad de movimiento por unidad de tiempo y unidad de área) en la dirección z.s . En el sistema internacional ds unidades (SI) la viscosidad está dada en pascalsegundo (Pa. por el fluido existente en la región donde z es menor.01P. Considerando una región de espesor A z en la cual la velocidad cambia ea una cantidad Ay*» la cual. Algunos ds ellos son la pasta dental plásticos fundidos y soluciones poliméricas. Según la ecuación (1. conocidas como centipoises (cP). usando la definición del operador diferencia se escribe como: V * • VX(«-*V¿XB.8) se denominan newtonianos. o en unidades de 0.7 ) seré: Fx S M Ay* Az * Donde la pendiente de la curva v x contra z es A y * / A z .s = 10 P = 10® cP = 1 Kg/m.7) se deduce que la densidad de flujo viscoso de cantidad de movimiento sigue la dirección del gradiente negativo de velocidad.s. entre ellos el aire y el agua son fluidos newtonianos. t«x es el esfuerzo cortante que se ejerce en la dirección x sobre la superficie de un fluido situada a una distancia z. Este tipo de difusión se debe al movimiento errático de las moléculas y se denomina difusión molecular.6 FLUIDOS NO NEWTONIANOS. Un fluido newtoniano se describió como uno en el cual el esfuerzo cortante es directamente proporcional a la velocidad de deformación. n>l para un fluido dilatante o que aumenta la viscosidad con el esfuerzo.gas carbónco en los pulmones. . o sea la viscosidad es constante e independiente de la velocidad de deformación. el transporte convectivo de masa consiste de dos tipos: convección forzada. De nuevo. Existen numerosos ejemplos cotidianos de transporte de materia: la difusión de humo y otros contaminantes en la atmósera. Las moléculas disueltas del cristal difunden lentamente desde la región de alta concentración en el fondo. T«X . Para estos casos se usa frecuentemente la ecuación de la ley de la potencia n. y n<l para fluidos pseudoplásticos o sea que el coeficiente disminuye al aumentar el gradiente.el himo se dispersa en la atmósfera debido a las fluctuaciones de velocidad y dirección del viento: se llama Dispersión o Difusión Turbulenta. un extractor o en una torre de enfriamiento. 1. De otra parte. Para otros modelos ver el texto "Fenómenos de Transporte" de Bird. en la que el movimiento es generado por una fuerza externa.6). Stewart y Lighfoot. esta última representa el transporte de masa que resulta del movimiento global del fluido y la primera el transporte debido a gradientes de concentración. el transporte de masa puede ocurrir tanto por difusión como por convección.a |óvx/óz|i(dvx/6z) Esta ecuación es llamada también modelo de Ostwald de Waele. el secado de la ropa (difusión del vapor de agua en el aire).ll f FENOMENOS DE TRANSPORTE 1. y conveción libre. la transferencia de soluto entre las fases de un absorbedor de gas.. Supongamos un cristal de permanganato de potasio en un vaso con agua. la corriente de humo que sale desde una chimenea en un dia con macho viento. el intercambio de oxigeno . como en transporte de calor. tendiendo a convertir uniforme la concentración (Proporcional a la intensidad del color) con el tiempo. asi como en el transporte de calor. Una gráfica de T«X contra -óv^/óz nos dará una linea recta para un fluido newtoniano pero se desviará de la línea recta para un fluido no newtoniano (figura 1. un efecto de flotación en el cual el movimiento global se desarrolla naturalmente costo consecuencia de cambios de densidad originados en las diferencias de concentración del medio.7 INTRODUCCION A IA TRANSFERENCIA DI MASA. la mezcla del azúcar en un pocilio de tinto. donde n=l para fluidos newtonianos. Ahora. LEYES BASICAS 19 1. 3. Por lo tanto debemos estudiar con detalle las definiciones de concentraciones. Las formulas cuya validez se limita a sistemas binarios se identifican fácilmente porque intervienen los subíndices A y B.8 DEFINICIONES BASICAS. j.CAPITULO 1. En sistemas de varios componentes se especifican las especies 1. La difusión es más compleja que el flujo viscoso o la transmisión de calor debido a la inovación de tener que operar con mezclas. es la masa de la especie i Concentración molar ci=pi/Mi (densidad molar) que es el moles de la especie i por unidad de volumen de solución. Frecuentemente usaremos yi en el caso de gases.MA cm® de solución . liquida o sólida que forma una sola fase. número de Fracción másica w i = P i / t es la concentración de masa de la especie dividida por la densidad total de la solución. o bien en las discusiones generales se utiliza un subíndice supuesto tal como i. etc. 2. Mediante la palabra solución se designa una mezcla gaseosa. Adoptamos una regla de notación: cuando se consideran sistemas de dos componentes se especifican las especies A y B. En una mezcla que difunde las velocidades de los componentes individuales son distintas y existen varios métodos adecuados para promediar las velocidades de los componentes con el fin de obtener la velocidad local de la mezcla. CONCENTRACIONES La concentración de las especies en un sitema de varios componentes puede expresarse de diversas formas pero nosotros consideramos sólo las cuatro sguientes: Concentración de masa (densidad) pi que por i unidad de volumen de solución. La elección de esta velocidad local es necesaria para poder definir las velocidades de difusión. velocidades y densidades de flujo ( no se exponen conceptos físicos nuevos pero se trata de familiarizarnos con estas definiciones).. i Fracción molar xi=ci/c que es la concentración molar de la especie i dividida por la concentración molar de la solución. Para el caso de sistemas binarios la mutua relación de estas unidades de concentración es p=pA+pB= densidad de la solución (g/cm3) g de A PA=CA. k para referir las diferentes especies. La velocidad de un conjunto de partículas que se mueven pero mantiene la misma posición relativa entre ellas es la misma de cualquier partícula individual.área] Si pensamos ahora que el fluido está constituido por dos especies A y B. Podemos definir entonces la densidad de flujo másico referida a ejes estacionarios como : n = m/A = fv [masa/tiempo.El caudal másico se expresa como m'= fQ con dimensiones de masa por unidad de tiempo. donde v es la velocidad m&sica > promedio y A es el área seccional del conducto. Pero la velocidad de este conjunto se vuelve confusa si las partículas se mueven con velocidades diferentes . Supongamos un fluido puro que es transportado por un conducto . dividido por el número de dichas moléculas). Su caudal puede expresarse como Q = vA en unidades de a al cubo por unidad de tiempo. la densidad de flujo másico de la mezcla podría definirse simplememte como n = HA + nB . .circular. que es lo que ocurre en una mezcla que presenta gradientes de concentración o sea que difunde. La velocidad de un objeto único es intuitivamente clara.lfl FENOMENOS DE TRANSPORTE WA= fA P = fracción de masa de A. C=CA+CB CA= PA/MA XA=CA/C= (A/MAC M = p/c XA+ XB = 1 peso molecular medio de la mezcla WA+ WB = 1 XAMA + XBMB = M = (CA+CB)/p = C/F WA/MA + WB/MB = 1 / M = ( p A / p M A ) + ( p B / p M B ) XA » (WA/MA)/(WA/MA+WB/MB) dWdwA =(MAMB(WA/MA+WBMB)2)_1 WA = (XAMA)/(XAMA+XBMB) d w A / d x A = MAMB (XAMA+XBMB)~ 2 DENSIDADES DE FLUJO. Por lo tanto. la velocidad méaica media para una especie de la mezcla de dos componentes podría definirse como: VA = NA / [ A = NA / CA donde NA = NA / M es la densidad A de flujo molar de la especie A. Si llamamos v a la velocidad de la especie A con respecto a ejes coordenados estacionarios (la palabra velocidad no expresa aquí la velocidad de una molécula individual de la especie A sino la suma de las velocidades de las moléculas de esta especie comprendidas en un pequeño elemento de volumen. muy usada en conocida como la densidad de flujo de masa del componente A con respecto a unos ejes que se mueven a la velocidad v. También podemos definir J A ' = JaMa o densidad de flujo másico referida a la v*. El movimiento puede estar referido a unas coordenadas estacionarias. y JA' = J A /MA denominada densidad de flujo molar referido a la v. pero también puede estar referido a un plano que avance a la velocidad media local molar v* o másica v.v ) a la v». y JA = molar relativa ("A(VA .CAPITULO 1.v ) + XB(VB .v * ) = WA(VA (v* V) v * ) + WB(VB v*) = XA(VA . EJEMPLQ1.2 Cómo están relacionados JA y NA ? NA = CAVA J A = CAVA J A = CA(VA V*) V * = XA VA+ XB VB XA(NA + N B ) ( C A / C ) ( C A V A + CBVB) = NA - . Estas últimas pueden definirse como densidades de flujo superpuestas al flujo global o densidades de flujo difusionales: J A = CA (VA V*) que es la densidad de flujo difusión ordinaria.v ) Observamos pues que las densidades de flujo son magnitudes vectoriales que representan la masa (o los moles) de una especie que cruzan la unidad de área por unidad de tiempo. LEYES BASICAS En resumen: n = nA +NA = fAVA + (BVB = fv y también: v = n/f = (nA + n B ) / ( F A + fe) = (fAV + fnv)/f = WAVA + WBVB 21 Si consideraros el flujo de las moles más bien que el de la masa podemos definir similamiente vina velocidad molar media para la mezcla: V * = N/c = (NA + N B ) / ( C A + C B ) = (CAV A + CBV<)/C = XAVA + XBVB otras lalaciones son: (v . muy usado en la difusión térmica. Podemos observar también que : Ja = Na .15)/5 =57/5 = 11 2/5 (VB .3 Estudiemos un comportamiento velocidades: sifcema concreto para asi comprender siguiendo gráficamente su mejor las distintas clases de Un liquido A se evapora y difunde hacia arriba a través de un tubo largo que inicialmente está lleno de vapor B. (VA-V) y (VB-V) Solución: al evaporarse A. Z Ji = 0 .xaN.calcular VA. v*=12.v*) = 3 va = 15 VB = (12 .3/5 .ni . V . JB = NB .wiEnu Ji = Ni . en un punto cualquiera del tubo. empuja el vapor B hacia arriba.XBN Ja + Jb = N . E Ni = cv* = N . (VA-V*)=3. sino que el desplazamiento del vapor B va acompañado de una mezcla mutua de los dos vapores. (VB-V*). En general: £ ni = fv = n .JB lo que nos indica que la suma de las densidades molares de difusión relativas a la velocidad media molar en cualquier mezcla es cero. A se mueve hacia arriba más rápidamente de lo que corresponde al movimiento medio global.12 = . ji . y en cambio B se mueve más lentamente. MA=6MB. XA=1/6 (VA XB=5/6 v * = (CAVA + CBVB)/C = XAVA + XBVB = 12 . Por tanto debido a la difusión.v*) = 11 2/5 .lfl FENOMENOS DE TRANSPORTE O sea : NA = J A + XAN Esto implica que el flujo molar de A con respecto a los ejes fijos es el flujo con respecto a la velocidad molar promedio m&s el flujo de A causado por el flujo global relacionado a v* o sea N. no existe una linea recta de separación de los dos vapores.15/6)(6/5) = (72 . VB.(xa + xb)N = 0 es decir JA = . Analicemos los distintos vectores velocidad para un punto en el cual XA=1/6.xi£Nk EJEMPLO 1. 2 ji = 0 . Sin embargo. A medida que transcurre el tiempo la humedad penetra en la película gaseosa hasta que alcanza la placa superior y eventualmente pasado un espacio de tiempo suficientemente grande alcanza el estado estacionario donde el perfil de concentraciones no cambiará más con el tiempo (ver figura 1.b FIGURA 1. LEYES BASICAS MA=5Mb: WB = 1/2. IVA-V! = 15 13 1/5 T 23 WA= xaMa/(XAMa + xbME< .WAVA+ WBVB = 1/2(15+11 2/5) . Sabemos que la densidad de flujo molar es la velocidad de flujo dividida por el área perpendicular a la dirección del transporte. . pequeña en comparación con las :>tras dimensiones de la placa El aire entre ambas está inicialmente seco y permanece libre de corrientes.7a FIGURA 1 7 . y alguna otra variable. Superficie d*Mconte t=00 estado estable -a2 Superficie húmeda FIGURA 1.9 PRIMERA LEY DE FIOK Para definir algunos de ios términos usados en ei estudio de la difusión consideremos un ejemplo simple y de geometría similar al usado en las otras formas de transporte Dos placas grandes se colocan a una distancia b. La placa superior está constituida de un material fuerte mente adsorbente (sílica-gel si el vapor es de agua ) que garantice que la película de fluido vecina a la placa superior permanece a concentración cero.13 1/5 1 4/5 IVB-Vl : 11 2/5 13 1/5 = 1 4/5 1. A nosotros nos interesaría saber cuanta substancia se transporta entre las dos superficies en un cierto tiempo* Para hacer tal cálculo necesitamos una expresión que relacione la velocidad de difusión con las concentraciones y la distancia entre las placas.C5/6)MB/(5/6MB + 5/6Mb) .i/2 v .CAPITULO 1. En el momento t = 0 la placa inferior se humedece completamente en un líquido (digamos agua) y así se mantiene para asegurar que la película de fluido adyacente a la misma conserve una concentración uniforme de vapor el líquido e igual al de saturación a la temperatura y presión ambientes.7.7). D A B ( Ó C A / Ó Z ) . DAB y u se llaman las propiedades de transporte moleculares.M (ÓV* / ÓZ) Ley de Newton de la viscocidad. masa y cantidad de movimiento: Energía Materia Cantidad de movimiento unidireccional q* = . = a = k/ fCp donde Cp es capacidad calorífica a . 0 sea que la densidad de flujo total es la suma del flujo difusivo y el convectivo. CA y v* son los potenciales.lfl FENOMENOS DE TRANSPORTE COBO ya especificamos.10 ANALOGIAS ENTRE LOS TRES FENOMENOS DE TRANSPORTE. Aunque estas ecuaciones son similares ellas no son completamente análogas debido a que las propiedades de transporte tienen unidades diferentes. En cada caso las ecuaciones toman la forma : Densidad de Flujo=(Propiedad de Transporte)x(Gradiente de Potencial) Donde k. 1. Sin embargo se acostumbra asumir para mezclas multicomponentes que la especie B representa todos los componentes diferentes de A.DAB (ÓCA / óz) Ley de Fourier. y T. deben incluirse los gradientes de las otras especies en la ecuación. en general. B1 flujo convectivo está dado por C A V » S donde v« es la velocidad de la corriente en la dirección z. En el experimento que nos ocupa para la película gaseosa completamente estancada se ha encontrado que J A » • . podemos definir difusividades para calor y cantidad de movimiento como Difusividad Térmica presión constante. Aquí DAB. Esta ecuación es una forma simplificada de la primera ley de Fick de la difusión. el transporte de la especia A puede ocurrir por difusión y convección. la propiedad de transporte es la difusividad másica de la especie A a través de la especie B. Ley de Fick T«X = . que mantiene su validsz para soIliciones binarias diluidas de densidad constante. Notando que las dimensiones de la difusividad másica son [longitud al cuadrado / tiempo]. La densidad de flujo molar total seria NA«=JAJB+CAV* donde JA« ea la densidad de flujo molar difusivo de A . Un análisis riguroso basado en la termodinámica de los procesos irreversibles muestra que el gradiente de potencial correcto no es el gradiente de concentraciones sino el gradiente de potencial químico y que. Hasta ahora se han usado los mismos modelos básicos para desarrollar las siguientes leyes de flujo (ecuaciones constitutivas o expresiones fenomenológicas) para el transporte de energía. para mezclas multicomponentes.k (ÓT/ óz) JA« = . DAB — 6z 8(fvx) T. .CAPITULO 1.T 6z Cantidad de Movimiento Notemos que fCpT tiene unidades de energía por unidad de volumen o concentración de energía por analogía con c (moles por unidad de volumen). Aguí las leyes de flujo están escritas en la forma difusional: Flujo = . Suponiendo que como: movimiento = r = u/f llamada 25 también Cp y f eon constantes reescribimos las leyes de flujo ô(fCpT) Energía : q« = .Difuaividad x Gradiente de Concentración. Además fv tiene dimensiones de cantidad de movimiento por unidad de volumen y puede interpretarse como concentración de cantidad de movimiento. LEYES BASICAS Difusividad da cantidad de viecocidad cinemática.a 6z 6CA Masa : JA« = . masa e impulso.X = . Como las difusividades poseen las miamas dimensiones. su relación nos dará cantidades adimensionales: Número de Prandtl : Número de Schmidt : Número de Lewis : Pr = T/a Sc = F / D A B Le = O/DAB Estas cantidades aparecen en situaciones donde hay transporte simultáneo de calor e impulso. o calor y masa respectivamente. DAB. es decir. Habrá una distribución de velocidades que oscilará entre 0 y 1.CAPITULO 2. o sea que dcA/dy es negativa. y puede atravesar una cierta distancia antes de chocar con otra. y dado que todas las direcciones son posibles para el movimiento molecular V será el mismo para todas las direcciones y orientaciones de los ejes coordenados. A PARTIR DE IA TEORIA CINETICA DE LOS Las teorías moleculares son útiles para mejorar la comprensión de los varios procesos de transporte. Sin embargo.1 PROPIEDADES DE TRANSPORTE GASES SIMPLIFICADA. No habrá un flujo neto o difusión molecular de A en la dirección y. es un escalar. V y no variarán con la posición. 2. Según la teoría cinética las moléculas estarán en movimiento caótico colisionando unas con otras a razón de aproximadamente 10 21 choques por segundo. PROPIEDADES DK TRANSPORTE. el número de moléculas que lo atraviesan en la unidad de tiempo y que se originan por debajo del plano. presión y concentración uniformes. consideremos una mezcla de los gases A y B en equilibrio. n. . En un momento y lugar dado cada molécula tendrá su propia velocidad. 2. será igual al que lo atraviesa teniendo origen por encima del mismo. una teoría molecular permitiría predecir estos coeficientes para una substancia dada sin necesidad de recurrir a mediciones experimentales. y K de la temperatura y la presión. -. Para obtener una visión simplificada del mecanismo de transporte difusional en gases. habrá más moléculas de A que atraviesan el plano desde abajo que desde arriba simplemente porque hay más moléculas de A por unidad de volumen en la región inferior. o sea. a temperatura. este objetivo solo se ha logrado para los gases. También pueden 3er útiles para predecir cualitativa y/o cuantitativamente la dependencia de los coeficientes de transporte. dcA/dy o dxA/dy. llamada la "Trayectoria libre media" Como las condiciones son uniformes dentro del gas. Supongamos ahora que XA es la fracción molar de A en la mésela y que existe un gradiente de A en la dirección y. Conociendo esta distribución podemos calcular una 1 velocidad promedio V y una distancia media entre colisiones.2 TRANSPORTE DE MASA EN GASES A BAJA PRESION. Considerando un plano arbitrario en y = y. pero no en la dirección x o z? Si la concentración de A es mayor a menores valores de y. Idealmente.