Felipe Silva Lopes de Souza , Marco Aparecido Queiroz Duarte, Universidade Estadual de Mato Grosso do Sul Unidade de Cassilândia e-mail:
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[email protected] 1.1) EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS Uma Equação Diferencial é uma equação que envolve uma função incógnita e suas derivadas. Exemplo: As seguintes equações são equações diferenciais envolvendo a função incógnita y: EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS E O SISTEMA MASSA MOLA ) 1 . 1 ( 3 5 + = x dx dy ) 2 . 1 ( 1 2 2 2 2 = | . | \ | + dx dy dx y d e y ( ) ) 3 . 1 ( 0 5 4 2 2 3 3 = + + xy dx y d senx dx y d ) 4 . 1 ( 5 3 2 3 7 3 2 2 x dx dy y dx dy y dx y d = | . | \ | + | . | \ | + | | . | \ | ) 5 . 1 ( 0 4 2 2 2 2 = c c ÷ c c x y t y Uma equação diferencial é chamada ordinária (E.D.O) se a função incógnita depende de apenas uma variável independente. Se a função incógnita depende de mais de uma variável independente, temos uma equação diferencial parcial (E.D.P), ou equação de derivadas parciais. Exemplos: A equação (1.1) a (1.4) são exemplos de E.D.O, pois a função incógnita y depende unicamente da variável x. A equação (1.5) é uma E.D.P, pois y depende de duas variáveis independentes t e x. 1.2) ORDEM E GRAU A ordem de uma equação diferencial é a ordem da mais alta derivada que nela comparece. Exemplo: A equação (1.1) é uma E.D.O de primeira ordem , (1.2), (1.4) e (1.5) são equações diferenciais de segunda ordem (nota-se que em (1.4), a ordem da mais alta derivada que aparece é dois). A equação (1.3) é uma e.d.o de terceira ordem. O grau de uma equação diferencial que pode ser escrita como um polinômio na função incógnita e suas derivadas, é a potência a que se acha elevada à derivada de ordem mais alta. Exemplo: A equação (1.4) é uma e.d.o de grau três, pois a derivada mais alta (a segunda no caso) se acha elevada à potência três. As equações (1.1) e (1.2) são exemplos de equações diferenciais de primeiro grau. 1.3) EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES Uma E.D.O de ordem n na função incógnita y e na variável independente x é linear se tem a forma ) 6 . 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0 1 1 1 1 x g y x b dx dy x b dx y d x b dx y d x b n n n n n n = + + + + ÷ ÷ ÷ ( ) n j x b j , , 2 , 1 , 0 ) ( = As funções e g(x) supõem-se conhecidas e dependem apenas da variável x. As equações diferenciais que não podem ser postas sob a forma (1.6) dizem-se não-lineares. 1.4) RAÍZES DA EQUAÇÃO CARACTERÍSTICA rt e y = é solução da equação linear de segunda ordem: ) 7 . 1 ( 0 = + ' + ' ' cy y b y a r e y rt , = tem que ser raiz da equação característica: ) 8 . 1 ( 0 2 = + + c br ar Se as raízes 1 r 1 r e 2 r são reais e distintas, então a solução geral da equação (1.7) é: t r t r e c e c y 2 1 2 1 + = Se as raízes da equação (1.8) são números complexos conjugados , 1 µ ì i r + = , 2 µ ì i r ÷ = então a solução geral da equação (1.7) é: t sen e c t e c y t t µ µ ì ì 2 1 cos + = Se as raízes da equação (1.8) são repetidas, então a solução geral da equação (1.7) é: t r t r te c e c y 2 1 2 1 + = 1.5) SISTEMA MASSA-MOLA Movimento Periódico: Qualquer movimento que se repete a intervalos de tempo iguais. O movimento periódico de uma partícula pode sempre ser expresso em função de seno e cosseno, motivo pelo qual ele é denominado também movimento harmônico. Período (T) de um Movimento Harmônico: É o tempo necessário para que o partícula móvel percorra uma vez a trajetória. Freqüência do Movimento(v): É o número de oscilações, ela é igual ao inverso do período: T v 1 = Posição de Equilíbrio: É a posição da partícula oscilante para a qual é nula a resultante das forças aplicadas. Força Restauradora: Força que atua sempre acelerando a partícula para a posição de equilíbrio. A equação kx F ÷ = Figura 1 – Sistema massa-mola Aplicando a segunda Lei de Newton F=ma, substituindo F por -kx e a aceleração a por 2 2 dx x d obtém-se 2 2 dx x d m kx ma F = ÷ = ) 9 . 1 ( 0 2 2 = + x m k dx x d que é a equação do movimento, e por envolver derivadas, esta equação é denominada diferencial. é conhecida como Lei de Hooke, descoberta por Robert Rooke (1635-1703), que é a força atuante na mola, sendo k denominado constante elástica, onde, de acordo com a Figura (1), essa força é proporcional ao deslocamento e tem sentido oposto ao deste. 1.6) CONCLUSÃO Uma das razões básicas da importância das equações diferenciais é que mesmo as equações mais simples correspondem a modelos físicos úteis, como o crescimento e decaimento exponenciais, os sistemas massa-mola ou os circuitos elétricos. As equações lineares com coeficientes constantes servem como modelos matemáticos de alguns processos físicos importantes, como por exemplo o movimento de uma massa presa em uma mola, que é descrito pela solução de um problema de valor inicial da forma: ) 10 . 1 ( ) 0 ( , ) 0 ( , ) ( 0 0 y y y y t g cy y b y a ' = ' = = + ' + ' ' Muitos problemas físicos têm o mesmo modelo matemático. Assim, uma vez sabendo como resolver o problema de valor inicial (1.10), é necessário apenas, interpretar apropriadamente as constantes a, b e c, e as funções y e g, para obter soluções de problemas físicos diferentes. 1.7 - REFERÊNCIAS [1] BOYCE, W. E. e DIPRIMA, R. C. . “Equações Diferenciais elementares e problemas de valores de contorno“, 7.ed. Rio de Janeiro: LTC, 2001. [2] ZILL, Dennis G. e Cullen, Michael R.. “Equações Diferenciais”, 3.ed. São Paulo: Makron Books, 2001. V. I. [3] MAURER, Willie A. “Curso de Cálculo Diferencial e Integral”, São Paulo: Edgard Blucher Ltda, 1975. [4] SWOKOWSKI, Earl W.. ”Cálculo com Geometria Analítica”, 2. ed. São Paulo: Makron Books,1994. V. II. [5] BRONSON, Richard. . “ Moderna introdução as equações diferenciais”, São Paulo: McGrw-Hill, 1977. [6] RESNICK, R. e HALLIDAY, D. . “Física”, 4. ed. Rio de Janeiro: LTC, 1984. V. II 1.8) AGRADECIMENTOS Ao PIBIC pelas bolsas concedidas, ao orientador pela oportunidade e a todos que colaboraram com o andamento do projeto.