ProbabilidadFase 6- Distribuciones de probabilidad Edwin Valencia Ahumada Código: 1104707455 Ariel Orlando Feria Varón Código: 93134383 Héctor Fabián Rodríguez Álzate Código: 5828877 Wismar Lozano Barrios Código: 1110496895 Edwin Dorance Garzón Tutor Universidad Nacional Abierta y a Distancia – UNAD Escuela de Ciencias Básicas, Tecnología e Ingeniería Ibagué, 2017 1 Las cuales nos permiten darle solución a cada uno de los casos que ha seleccionado los estudiantes para esta actividad colaborativa. 2 . Introducción En el siguiente trabajo se analizarán las diferencias entre diferentes variables en términos de su función de probabilidad. varianza y desviación estándar. valor esperado. Siendo estos temas fundamentales de la unidad dos en el aprendizaje de la probabilidad. Los resultados son la probabilidad que de valores con la mutuamente excluyentes muestra de tamaño n. 3 . a partir de que asume un posibilidades cumplelas siguientes una frecuencia de número finito condiciones:1) Se toma una ocurrencia media. sin misma probabili reemplazamiento. de ocurra dad La probabilidad esta dada un conjunto finito de N un determinado por: objetos. 𝑝) =𝑛 𝐶𝑥 𝑝 𝑥 𝑞(𝑛−𝑥) K de los N objetos se pueden periodo detiempo clasificar como ‚éxitos y N . dependiendo de si definen probabilidades para variables continuas o discretas.Distribuciones de probabilidad Cuadro sinóptico A continuación. 𝑛. se presenta el cuadro sinóptico de los conceptos que nos ayudaron a dar solución a los casos presentados Distribusiones de probabilidad Son distribuciones de probabilidad continuas o distribuciones de probabilidad discretas.2) número de eventos durante cierto 𝐵(𝑥. Fase 6. Distribusion continua Distribusion discreta son aquellas que presentan Son aquellas en las que la variable pu un numero finito de posibes ede pude tomar un numerero soluciones.K como fracasos. determinado de valores. Poisson Uniforme Binomial Hipergeometroca Es una distribución Es una Una variable tiene distribución de probabilidad distribución de Se toma un valor entero hipergeométrica si procede discreta que probabilidad Hay solo dos de un experimento que expresa. Una tercera característica de una distribución binomial consiste en que la probabilidad de éxito es la misma de un ensayo a otro. para lo cual selecciona una muestra de 10 vehículos.. Esto significa que los dos ocupantes de la parte delantera utilizaban cinturones de seguridad. Una de sus características consiste en que sólo hay dos posibles resultados en un determinado ensayo del experimento y los resultados son mutuamente excluyentes. en el número de vehículos seleccionados 2. ya que en el caso se cuenta el número de pasajeros con cinturón de seguridad.Encuentre el valor esperado del número de vehículos en los que los oupantes de la parte delantera utilizan el cinturón de seguridad? Solución 1..¿Cuál es la probabilidad de que los ocupantes de la parte delantera de máximo 6 de los 12 vehículos utilicen cinturón de seguridad? 6. El caso si cumple con los supuestos dado que para este caso solo hay dos posibles sucesos. Solución de los casos de estudio ESTUDIO DE CASO 21 La distribución de probabilidad binomial es una distribución de probabilidad discreta que se presenta con mucha frecuencia... ponerse o no el cinturón de seguridad.2% de quienes ocupaban los asientos delanteros de los vehículos utilizaba cinturón de seguridad.Elabore un diagrama de barras para la distribución de probabilidad binomial que representa esta situación 3.¿Esta situación cumple con los supuestos de la distribución binomial? Identifíquelos 2. también se cumple que la viable aleatoria es el resultado de conteos. Presente un informe en el que como mínimo incluya: 1.¿Cuál es la probabilidad de que los ocupantes de la parte delantera de por lo menos 6 de los 12 vehículos utilicen cinturón de seguridad? 5. por lo cual son mutuamente excluyentes.¿Cuál es la probabilidad de que los ocupantes de la parte delantera en exactamente 6 de los 12 vehículos seleccionados utilicen cinturones de seguridad? 4. se cuenta el número de éxitos en el número total de ensayos.. Diagrama de distribución de probabilidad binomial 4 . Suponga que decide comparar la información con el uso actual que se da al cinturón de seguridad. Un estudio del Departamento de Transporte de Illinois concluyó que 86. Otra característica de la distribución binomial es el hecho de que la variable aleatoria es el resultado de conteos. Es decir. 00% 5. Probabilidad de que los ocupantes de la parte delantera de por lo menos 6 de los 12 vehículos utilicen cinturón de seguridad 5 .00% 25.00% 20. p) =𝑛 𝐶𝑥 𝑝 𝑥 𝑞 (𝑛−𝑥) Donde n es el numero de intentos independientes que se realizan p es la probabilidad de éxito q es la probabilidad de fracaso x es el numero de casos exitosos C es la combinatoria de x en n 𝑛 = 12 𝑝 = 86.862 𝑞 = 1 − 𝑝 = 1 − 0.8626 0.00% 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Ilustración 1: grafico de probabilidad para n igual a 10 3.138 𝑥=3 𝐵 =12 𝐶6 0. Probavilidad de usar el cinturon 40. Probabilidad de que los ocupantes de la parte delantera en exactamente 6 de los 12 vehículos seleccionados utilicen cinturones de seguridad 𝑃(𝑥 = 6) Para calcular la probabilidad se utiliza la siguiente formula 𝐵(𝑥.00% 35.862 = 0. n.138(12−6) = 0.00% 0.261% 4.00% 30.2% = 0.00% 10.00% 15. Probabilidad de que los ocupantes de la parte delantera de máximo 6 de los 12 vehículos utilicen cinturón de seguridad 𝑃(𝑥 ≤ 6) La probabilidad es la suma de las probabilidades independientes iguales o menores que 6 𝐵 = 𝑃(𝑥 = 0) + 𝑃(𝑥 = 1) + 𝑃(𝑥 = 2) + 𝑃(𝑥 = 3) + 𝑃(𝑥 = 4) + 𝑃(𝑥 = 5) + 𝑃(𝑥 = 6) Para este punto se utiliza la tabla anterior 𝐵 = 0.00001228427% 0.00000000477% 0.83730864200% 11 32.00001264661% 3 0.00386315613% 5 0.3016019% 6.70335493230% 8 5.00000000477% 1 0.30160199644% 7 1. 𝑃(𝑥 ≥ 6) La probabilidad es la suma de las probabilidades independientes iguales o mayores que 6 𝐵 = 𝑃(𝑥 = 6) + 𝑃(𝑥 = 7) + 𝑃(𝑥 = 8) + 𝑃(𝑥 = 9) + 𝑃(𝑥 = 10) + 𝑃(𝑥 = 11) + 𝑃(𝑥 = 12) Dado que los cálculos son largos y que ya se utilizar la fórmula para obtener la probabilidad.46916743237% 50.17577807867% 9 15.47242314636% 7.00026842053% 4 0.19236313096% 22.26181232329% 0.00000035757% 0. procedo a utilizar Excel para hacer los cálculos x Probabilidad Probabilidad neta acumulada 0 0.03978967315% 6 0.00359473561% 0.36814120963% 10 28.40175293587% 1.03592651702% 0.00025577392% 0.00000000000% Tabla 1: tabla de distribución Con lo cual se tiene que 𝐵 = 99.96021% 5.83011912256% 100. Valor esperado de vehículos con ocupantes utilizando el cinturón de seguridad 6 .16988087744% 12 16.33257223545% 83.00000036234% 2 0. La muestra que se toma es la de los 6 números La probabilidad que nos da el método Hipergeométrica es la de tener 0 a 6 ganadores.¿Esta situación cumple con los supuestos de la distribución Hipergeométrica? Identifíquelos (Sugerencia: Divida los 45 números en dos grupos: ganadores y no ganadores) RTA/ Si cumple con la distribución Hipergeométrica será de la siguiente manera.862 ∗ 12 = 10.. supervisado por ETESA (Empresa territorial para la salud). Ed. Es un juego que consiste en acertar 6. 2. existe una población se tomará como N.. El premio acumulado se entrega a quien haga coincidir los seis números. 𝑥 𝑝= 𝑛 𝑝𝑛 = 𝑥 𝑥 = 0. es la lotería en línea de Colombia. D = cantidad de elementos x = elementos con propiedad Los elementos que cumplen la propiedad son 6 que ha salido en el sorteo. El jugador señala en un tarjetón los 6 números que escoge. N = son los 45 números. Presente un informe en el que como mínimo incluya: 1. Cada número aparece una sola vez y las balotas ganadoras se seleccionan sin reemplazo. 5. luego debemos extraer una muestra n de la población y a distribución nos dará la probabilidad de lo que estemos buscando. Los números están representados en 45 balotas numeradas del 1 al 45.Usando la distribución de probabilidad Hipergeométrica determinar la probabilidad de que el jugador acierte los 6 números 2 Tomado y adaptado de Lind.3 Con lo anterior se tiene que se esperan unos 10 vehículos ESTUDIO DE CASO 32 El Baloto. Marchall. Mc Graw Hill 7 . Estadística Aplicada a los Negocios y la Economía. están compuesto por unos elementos que cumplen una propiedad la cantidad de dichos elementos se denomina con la letra d. 4 o 3 números en cualquier orden de una matriz del 1 al 45. 000000122773804 8145060 Si. 𝟐𝟐𝟕𝟕𝟑𝟖𝟎𝟒 ∗ 𝟏𝟎−𝟕 = 𝟎. 𝒅 𝟔 𝒅 ( )∗ − 𝑷(𝒙) = 𝒙 𝟔 𝒙 𝑵 𝒏 8 . 𝟒𝟑.. El sorteo también otorga un premio si el jugador hace coincidir 3. coincide con el punto anterior. 4 o 5 de los números ganadores 1 RTA/ 𝑃(6) = = 1. 𝟒𝟐.La empresa encargada del sorteo informa que la probabilidad de que coincidan todos los números es de 1 en 8145060. ¿Qué significa esto en términos de probabilidad? Coincide esto con su respuesta anterior. 𝟒𝟎! 𝟓𝟖𝟔𝟒𝟒𝟒𝟑𝟐𝟎𝟎! 𝟏 𝑷(𝟔) = = 𝟏. 𝟒𝟏. para hacer coincidir 3 de los 6 números ganadores. 𝟒𝟒.22773804 ∗ 10−7 = 0. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟏𝟐𝟐𝟕𝟕𝟑𝟖𝟎𝟒 𝟖𝟏𝟒𝟓𝟎𝟔𝟎 La probabilidad para que el Jugador acierte los 6 cifras o números es de 0.000000122773804 3. ya que dio la misma fracción 4) Calcule la probabilidad.RTA/ Para comprobar dicha probabilidad se debe usar la siguiente formula: 𝒅 𝟔 𝒅 ( )∗ − 𝑷(𝒙) = 𝒙 𝟔 𝒙 𝑵 𝒏 𝟔 𝟒𝟓 𝟔 ( )∗ − 𝑷(𝟔) = 𝟔 𝟔 𝟔 𝟒𝟓 𝟔 𝟑𝟗 (𝟏) ∗ 𝑷(𝟔) 𝟎 𝟒𝟓 𝟔 𝟑𝟗! ∗ 𝟔! 𝟔! 𝟕𝟐𝟎 𝑷(𝟔) = = 𝟒𝟓! 𝟒𝟓. mayor será la probabilidad. 𝟒𝟒. 𝟗𝟏𝟑𝟗 𝟏𝟖𝟐𝟕𝟖𝟎 𝑷(𝟔) 𝟑! = = = 𝟎. Esta distribución posee diversas aplicaciones. 𝟔 𝟒𝟓 𝟔 𝟔. 𝟒 𝟑𝟗 ( )∗ − ( ) 𝑷(𝟔) = 𝟑 𝟔 𝟑 = 𝟑 𝟑 𝟒𝟓 𝟒𝟓 𝟔 𝟔 𝟑𝟗. El primero consiste en que la probabilidad es proporcional a la longitud del intervalo. 𝟎𝟐𝟐𝟒𝟒𝟎𝟓𝟗𝟓𝟖𝟗 5) Calcule la probabilidad de que coincidan 4 de los 6 números ganadores 6) Calcule la probabilidad de que coincidan 5 de los 6 números ganadores 7) Con base en los resultados obtenidos. 𝟒𝟐. además. ¿usted invertiría dinero en el BALOTO? ESTUDIO DE CASO 43 La distribución de probabilidad de Poisson describe el número de veces que se presenta un evento durante un intervalo específico. 9 . distancia. 𝟓. el número de rayones y otras imperfecciones en las cabinas de automóviles recién pintados. 𝟎𝟐𝟐𝟒𝟒𝟎𝟓𝟗𝟓𝟖𝟗 𝟒𝟓. cuanto más grande sea el intervalo. La distribución se basa en dos supuestos. 𝟑𝟖 (𝟐𝟎) ∗ 𝟐𝟎. El segundo supuesto consiste en que los intervalos son independientes. el número de accidentes en una carretera en un periodo determinado. En otras palabras. 𝟑𝟗. El intervalo puede ser de tiempo. 𝟒𝟑. 𝟒𝟎 𝟖𝟏𝟒𝟓𝟓𝟎𝟔𝟎 𝟖𝟏𝟒𝟓𝟓𝟎𝟔𝟎 𝟔! La probabilidad para que el Jugador acierte los 3 cifras o números es de 𝟎. 𝟒𝟏. el número de veces que se presenta un evento en un intervalo no influye en los demás intervalos. el número de partes defectuosas en envíos. Se le utiliza como modelo para describir la distribución de errores en una entrada de datos. área o volumen. el número de clientes que esperan mesa en un restaurante. k! es el factorial de k λ es un número real positivo. (𝒆−𝟎. ya que es una muestra aleatoria y los intervalos son independientes. En la mayoría de los vuelos no se pierden maletas.Determine cuál es la probabilidad de que en un vuelo se pierdan entre dos y cuatro maletas 10 .2% 4. es decir que existe un promedio de 0. Si cumple con el segundo supuesto. pocas veces se pierden tres. en algunos se pierde una.. 𝟐𝟐𝟐 𝟏! En base al resultado obtenido se puede decir que la probabilidad de que se pierda solo una maleta es del 22. 𝟑)𝟎 . etc. Prepare un informe en el que como mínimo.. es decir si es más grande el intervalo tendrá mayor probabilidad.4. el número promedio de maletas perdidas por vuelo es de 0.71828. 𝒆−𝝀 𝒇(𝒙. 𝟕𝟒𝟎𝟖 𝟎! Teniendo en cuenta lo anterior podemos decir que hay un 74% de probabilidad de que ninguna maleta se pierda. Suponga que una muestra aleatoria de 1 000 vuelos arroja un total de 400 maletas perdidas. la probabilidad de que viene dada por la función. (𝟎. en unos cuantos se pierden dos.. incluya: 1.La compañía de aviación Delta Airlines. debido a que el número de veces que se presenta un evento en un intervalo si influye en los demás intervalos.𝟑 ) 𝑷(𝟏) = = 𝟎. en este caso de 1000 vuelos se pierden 300 maletas.Determine cuál es la probabilidad de que en un vuelo no se pierda ninguna maleta ∑𝒏𝒊=𝟏 𝑿𝒊 𝝀= 𝒏 𝝀𝒙 .¿Esta situación cumple con los supuestos de la distribución Poisson? Identifíquelos Cumple con el primer supuesto. por lo que pocas veces se pierde equipaje. k es el número de ocurrencias de un evento. De esta manera. se caracteriza por su responsabilidad y cuidado con el equipaje de sus pasajeros. igual que el número esperado de ocurrencias durante el intervalo dado. 3.3 maletas perdidas por vuelo. 2. (𝒆−𝟎.Determine cuál es la probabilidad de que en un vuelo se pierda exactamente una maleta (𝟎. 𝝀) = 𝒙! e: es la base del logaritmo natural igual a 2. 𝟑)𝟏 . que dice que la probabilidad es proporcional a la longitud del intervalo.. Los eventos ocurren en promedio 300 maletas pérdidas por 1000 vuelos.𝟑 ) 𝑷(𝟎) = = 𝟎. que el 0. (𝒆−𝟎.𝟑 ) 𝑷(𝟒) = = 𝟎. pierde dos maletas. 𝟎𝟑𝟑 𝟐! (𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟐𝟓 𝟒! La probabilidad de que pierda cuatro maletas es de 0.¿En qué momento debe sospechar el supervisor de la Aerolínea que en un vuelo se están perdiendo demasiadas maletas? De acuerdo a los resultados obtenidos. el 0.. 11 . (𝟎.Podría establecer cuál es la probabilidad de que se pierdan en un vuelo más de cuatro maletas. (𝒆−𝟎. se puede evidenciar que el momento en el cual se pierden mayor cantidad de maletas es en el 1.025% 6.𝟑 ) 𝑷(𝟐) = = 𝟎.025% pierde cuatro maletas.3% pierde tres maletas. (𝒆−𝟎. es decir que se debe cuidar al momento de recoger las maletas para ser trasladadas al avión. (𝟎.𝟑 ) 𝑷(𝟑) = = 𝟎. 5. 𝟑)𝟒 . 𝟎𝟎𝟑𝟑𝟑 𝟑! De acuerdo a los resultados obtenidos se puede decir que el 3.. 𝟑)𝟐 . 𝟑)𝟑 .33 %. Las personas sin hogar con puntación en el 25% más bajo.5 0 .059 4 Tomado y adaptado de Ritchey F. La probabilidad de que una persona que llegue al refugio sea enviada a ver al doctor.5 z 8 . incluya: 1. la distribución es normal. se le envía a un servicio de orientación laboral para mejorar sus recursos. La probabilidad de que una persona que llegue al refugio sea enviada a ver al doctor 2. ESTUDIO DE CASO 5 4 Para una población grande de personas sin hogar. Wong y Piliavin (2001) examinaron factores de estrés. INFORME A PRESENTAR: Prepare un informe en el que como mínimo. La probabilidad de que una persona que llegue al refugio tenga una puntación de 10 o menos puntos 3. un cuestionario de evaluación comunitario. usted es el encargado de aplicar el CESD y debe evaluar los resultados para las nuevas personas que lleguen al centro.0588 0.5 con una desviación estándar de 8. 2014 12 . ¿Qué puntuación hace calificar a una persona que llega al refugio para este servicio? 5.5 z 8. ¿Qué puntuación permite calificar a una persona para acceder a este servicio? SOLUCIÓN 1. Como trabajador en el área de admisiones en un refugio para personas sin hogar. Dentro de las políticas del refugio se encuentra que cualquier persona cuya puntuación sea de 21 o más puntos en el CESD debe enviarse a ver a un doctor. Entre las personas sin hogar.. Si las personas sin hogar con puntuación en el 15% más alto deben ser enviadas a los servicios de prevención de suicidios. La probabilidad de que una persona que llegue al refugio tenga una puntuación entre 16 y 20 puntos 4.5 z 0. Mc Graw Hill.5 y se considera que para la Variable X = puntuación del CESD. recursos y agotamiento psicológico empleando la Escala de Depresión del Centro de Estudios Epidemiológicos (CESD). Estadística para las Ciencias sociales. la puntuación media del cuestionario CESD es 20. x z 21 20. 53 pz 0.5 z 0.32 % p z 1.3 0.5239 52.3 0.5 0.5 4.059 0.059 0.3 pz 1.0239 2.5 z 8.5 z 1.4032 0. La probabilidad de que una persona que llegue al refugio tenga una puntación de 10 o menos puntos x z 10 20.5 10.5 z 8.68 % Rta: La probabilidad de que una persona que llegue al refugio tenga una puntación de 10 o menos puntos es del 9.53 0.5294 0.0239 0.39 % z p z 0. La probabilidad de que una persona que llegue al refugio tenga una puntuación entre 16 y 20 puntos x z Para 16 se tiene que: 16 20.4032 40.19 % Para 20 se tiene que: 13 .2019 20.5 z 8.5 z 8 .5 0.2352 1.z pz 0.39 % 2.0968 9.68 % 3.39 % Rta: La probabilidad de que una persona que llegue al refugio sea enviada a ver al doctor es del 52. 6925 20.5 20.0238 2. Si las personas sin hogar con puntuación en el 15% más alto deben ser enviadas a los servicios de prevención de suicidios.38 % 4.2257 22. A este valor de área se le halla se le halla el valor de Z asociado = 1.5 x 5. ¿Qué puntuación permite calificar a una persona para acceder a este servicio? z 0.5 x 0.57 % pz 2 < z < z1 0.2257 0.5 26.2019 0.035 8.5 z 0.1925 Aproximado a 26 5.38 % Rta: La probabilidad de que una persona que llegue al refugio tenga una puntuación entre 16 y 20 puntos es del 2.15 como valor del área.60 0.5 14.060 pz 2 0.0588 8.78 20.67 x 20.5 20.059 0.5 Luego el valor de x que cumple estas condiciones x 1.5 z 8.68 * 8.035 x x 20. Las personas sin hogar con puntación en el 25% más bajo.5 0. se le envía a un servicio de orientación laboral para mejorar sus recursos.5 Implica que: z > 1.035 8. 0.5 z 2 0. 20 20.72 Para que una persona califique para acceder al servicio de orientación laboral para mejorar sus recursos debe tener una puntuación de Aproximado el 15% 14 . ¿Qué puntuación hace calificar a una persona que llega al refugio para este servicio? Rta: Vamos a la tabla y consultamos el 15% ósea e.5 0.5 5.67 8. Recuperado de:http://bibliotecavirtual. Estadística para administración. 2nd ed. vii- viii.action?docID=104366 04&ppg=128 Martín. J Salagre. F. L. Recuperado de:http://bibliotecavirtual. Madrid: Paraninfo. M. J. Estadística Descriptiva. Ejercicios de estadística teórica: Probabilidad e inferencia..edu.edu. & Pierdant.co:2077/lib/unadsp/reader. Editorial: Instituto Técnico Nacional. Referencias bibliográficas Rodríguez. S.edu. (2014). Recuperado de: http://bibliotecavirtual. Estadística I: Probabilidad. Gonzales.unad. (2014). (2008). (2004). M.unad. Recuperado de:http://bibliotecavirtual.edu. y Ruiz.unad.do?rcDocId=GALE%7CCX405240 0005&inPS=true&prodId=GVRL&userGroupName=unad&resultClickType=AboutThisPub lication &contentModuleId=GVRL&searchType=BasicSearchForm&docId=GALE%7C3BDC Gil.co:2077/lib/unadsp/reader. A.co:2077/lib/unadsp/reader. A.action?ppg=194&docI D=11013767&tm=1489690058527 Monroy.action?docID=109956 69&ppg=19 .co:2081/ps/eToc.unad.