TRABAJO COLABORATIVO 2PROBABILIDAD CINDY JOHANNA SUAREZ SERRANO CODIGO: 1096202957 RONALD ADRINA AYASO ESTRADA CÓDIGO: 1140829967 CRIS ALLEN CADENA AGUDELO CODIGO: 1096195416 JEAN PAUL BEARD CÓDIGO: 1121847498 GRUPO: 100404A_220 TUTOR ELKIN ORLANDO VELEZ UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA (UNAD) TUNJA 2015 1 Tabla de contenido Pág. 1. Introducción 3 2. Objetivos 4 3. Cuadro sinóptico 5 4. Resumen y experimentos aleatorios 6 5. Estudio caso 1 7 6. Informe 10 7. Ejercicios Ronald Adrián 17 8. Ejercicios Cindy Johanna 19 9. Ejercicios Cris Allen 21 10. Ejercicios Jean Paul 23 11. Conclusiones 25 12. Referencias bibliográficas 26 2 INTRODUCCIÓN La probabilidad es una disciplina teórico practica que ha estado presente durante muchos años, esto no es ajeno a toda las actividades que realizamos en nuestro diario vivir pues en muchos casos hemos hecho uso de la probabilidad para predecir ciertos acontecimientos, de ahí la importancia del estudio de este curso que nos lleva a conocer sin número de situaciones y a realizar ejercicios prácticos relacionados con la probabilidad. Por medio de esta actividad realizaremos un recorrido por ejemplos prácticos que aplican las temáticas estudiadas en la primera unidad del módulo. Por lo anterior, los conocimientos y competencias que desarrollaremos al final del curso, nos permitirán profundizar, afianzar y complementar conceptos de la Probabilidad, para aplicar en el futuro inmediato en el desarrollo de la vida laboral de nuestra profesión. Este trabajo es también nuestra primera experiencia colaborativa y demuestra lo enriquecedor que puede llegar a ser el trabajar en esta modalidad; nos permite ver, que a pesar de estar separados por grandes distancias, es posible intercambiar ideas y posturas similares o contrarias pero al final constructivas para todo el grupo de trabajo. 3 OBJETIVOS Identificar las distintas variables que nos ofrece cada ejercicio con el fin de poder aplicar la fórmula adecuada. Realizar cada ejercicio indicando los pasos efectuados para el desarrollo de cada uno de ellos. Entender mediante ejercicios prácticos claramente los temas estudiados en las unidades de estudio. Comprender la temática propuesta en el presente curso encausándola hacia las competencias que debemos desarrollar. Afianzar el manejo de las herramientas utilizadas en la educación a distancia. Introducir los conceptos a estudiar en el contexto de nuestra vida laboral. 4 5 Variable aleatoria discreta uniforme Distribución uniforme discreta Toma solo un número fnito de valores posibles n Permite determinar los límites de las probabilidades de variables aleatorias discretas o continuas Teorema de Chébyshev Variable aleatoria discreta x Esperanza matemática y varianza de una variable aleatoria VARIABLES ALEATORIAS Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD Medida de posición para la distribución de X UNIDAD 2 Distribución: f(x): función de densidad de probabilidad Valores contenidos en un intervalo Continua Tipos de variables Discreta El número de valores que puede tomar es fnito Una Función Variables aleatorias Asigna un número real a cada resultado Denotan con una letra mayúscula X CUADRO SINÓPTICO APORTES JEAN PAUL Estudio de caso INFORME A PRESENTAR: Prepare un informe en el que como mínimo, incluya: 1. Por medio de las suposiciones de Seligman, calcule la probabilidad de que la estatura de un solo varón adulto chino escogido al azar sea menor o igual a 154 cm 2. Los resultados de la pregunta 1, ¿concuerdan con las probabilidades de Seligman? 3. Comente acerca de la validez de las suposiciones de Seligman ¿Hay algún error básico en su razonamiento? 4. Con base en los resultados anteriores, argumente si considera o no que Deng Xiaping tomo en cuenta la estatura al elegir a su suceso SOLUCIÓN: 1. Por medio de las suposiciones de Seligman, calcule la probabilidad de que la estatura de un solo varón adulto chino escogido al azar sea menor o igual a 154 cm. u=167.8 cm o=6.8 cm ¿ 0.5−0.4788 ¿ 0.0212 ( P ( x ≤154 )=P Z ≤ 154−167.8 6.8 ) P=( Z ≤−2.03 ) 2. Los resultados de la pregunta 1, ¿concuerdan con las probabilidades de Seligman? 6 La probabilidad dad por Seligman es de 1/40 es decir de 0,025. La probabilidad teórica según la distribución normal es de 0,0212. Un valor muy cercano que concuerda con la premisa de Seligman. 3. Comente acerca de la validez de las suposiciones de Seligman ¿Hay algún error básico en su razonamiento? Existe un error en el razonamiento de Seligman. Relacionar las probabilidades de una decisión (a favor o contra) con las probabilidades de ser más alto o más bajo de un umbral de estatura. 4. Con base en los resultados anteriores, argumente si considera o no que Deng Xiaping tomo en cuenta la estatura al elegir a su sucesor. No se considera un criterio teórico utilizado en el razonamiento de Deng Xiaping, desde el punto de vista estadístico. Esta estimación (medición) obedece a un criterio netamente empírico; aunque los resultados coinciden en parte con la teoría, Deng Xiaping no tomo en cuenta la estatura para elegir a sus sucesor. Capítulo 4 ejercicio 4 Un jugador tiene tres oportunidades de lanzar una moneda para que aparezca una cara, el juego termina en el momento en que cae una cara o después de tres intentos, lo que suceda primero. Si en el primero, segundo o tercer lanzamiento aparece cara el jugador recibe $20000, $40000 o $80000 respectivamente, si no cae cara en ninguno de los tres pierde $200000. Si X representa la ganancia del jugador: a. Encuentre la función de probabilidad f(x) La probabilidad de que aparezca una cara es 1/2, la probabilidad de que aparezca dos caras seguidas es (1/2)(1/2) = (1/4), la probabilidad de que aparezcan tres caras seguidas es (1/2)(1/2)(1/2) = 1/8, que es la misma probabilidad de que no aparezca una sola cara, por tanto la distribución de probabilidad es: 7 f ( x )= b. { 1 x=20000 2 1 x=40000 4 1 x=80000 8 1 x=−200000 8 Encuentre el valor esperado E(x), la varianza V(x) y la desviación estándar S(x). El valor esperado está definido por: E ( x )=∑ f (x) ∙ x ( 12 )+40000∗( 14 )+80000 ( 18 )−200000 ( 18 ) E ( x )=20000∗ E ( x )=10000+10000+10000−25000 E ( x )=5000 La varianza V(x) σ 2 ( x )=V ( x ) =E [ ( x −μ )2 ]=∑ [ ( x−u )2 ∙ f ( x ) ] ( 12 )+( 40000−5000) ∗( 14 )+( 80000−5000 ) ∗( 18 )+(−200000−5000) ∗( 18 ) σ 2 ( x )=( 20000−5000 )2∗ 2 2 2 σ 2 ( x )=112500000+306250000+703125000+5253125000 σ 2 ( x )=6375000000 La desviación estándar σ(x) σ ( x )=√ 6375000000=79844 Capítulo 5 ejercicio 4 Suponga que la probabilidad de que una persona dada crea un rumor acerca de las transgresiones de cierta actriz famosa es de 0,8. ¿Cuál es la probabilidad de que: 8 a. la sexta persona en escuchar este rumor sea la cuarta en creerlo? b. la tercera persona en escuchar este rumor sea la segunda en creerlo? c. a. P= 0,8 N=6 X=4 g(x,0,0,8) x-1 g(x,p)= q .p 3 P( x=4)=g(4;0,0,8) = 0,2 . 0,8 = 0,0064 b. P= 0,8 X=2 1 P(x=2) =g(2;0,0,8)=0,2 .0,8 = 0,16 Capítulo 6 ejercicio 6 En una panadería se cortan panecillos con un peso que se ajusta a una distribución normal de media 100 g y desviación típica 9. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un panecillo cuyo peso oscile entre 80 g y la media? = 100 y = 9 P ( 80< x< 100 )=z 1= x−μ 80−100 −20 = = =−2.22 σ 9 9 P ( 80< x< 100 )=z 1= x−μ 100−100 0 = = =0.00 σ 9 9 P (−2.22< z <0.00 )=P ( z <0.00 ) −( 1−P ( z> 2.22 ) )=0.5000−( 1−0.98679 ) =0.5000−0.01321=0.48679 La probabilidad de tener un panecillo con un peso entre 80 g y 100 g es de 0.48679 9 10 APORTES DE RONALD ADRINA AYASO ESTRADA CAPITULO 4: VARIABLES ALEATORIAS Una variable aleatoria es una función que asigna un número real a cada uno de los resultados del espacio muestral de un experimento aleatorio. Ellas se denotan con una letra mayúscula, como X. se define a X como una función porque transforma todos los posibles resultados del espacio muestral en cantidades numéricas reales. EJEMPLO: si lanzamos una moneda el espacio muestral de este experimento nos da dos resultados; cara y sello. Pero si asignamos valores a (cara)X=0 y (sello)X=1 transformamos los dos posibles resultados en cantidades numéricos. -VARIABLE ALEATORIA DISCRETA Una variable aleatoria X es discreta si el número de valores que puede tomar es finito (o infinito contable). La distribución de probabilidad de una variable aleatoria X es una descripción del conjunto de posibles valores de X, junto con la probabilidad asociada con cada uno de estos valores. Esta distribución bien puede ser una gráfica, una tabla o una ecuación que da la probabilidad de cada valor de la variable aleatoria y se Considera como el resumen más útil de un experimento aleatorio. Toda distribución de probabilidad debe satisfacer cada uno de los dos requisitos Siguientes: -VARIABLE ALEATORIA CONTINUA Se dice que una variable aleatoria X es continua si el número de valores que puede tomar están contenidos en un intervalo (finito o infinito) de números reales Dichos valores pueden asociarse a mediciones en una escala continua, de manera que no haya huecos o interrupciones. En algunos casos la variable aleatoria considerada continua en realidad es discreta, pero como el rango de todos los valores posibles es muy grande, entonces es más conveniente utilizar un modelo basado en una variable aleatoria continua VALOR ESPERADO Y VARIANZA DE UNA VARIABLE ALEATORIA El valor esperado (también llamado media o esperanza matemática) de una 11 variable aleatoria discreta X es una medida de posición para la distribución de X. Se simboliza con μ y se calcula al sumar el producto de cada valor de X con su probabilidad correspondiente. La media o valor esperado de una variable aleatoria discreta X es: EJEMPLO 1.6. Tenemos la siguiente distribución de una variable aleatoria X. Varianza de una variable aleatoria es una medida de la dispersión de la distribución de probabilidad de ésta. Se calcula ponderando el cuadrado de cadadesviación con respecto a la media, con la probabilidad asociada con la desviación. la varianza de una variable aleatoria discreta X con media μ X μ y función de probabilidad f(x), es: -TEOREMA DE CHÉBYSHEV Para demostrar cómo la desviación estándar es indicadora de la dispersión de la distribución de una variable aleatoria, el matemático ruso Pafnuty Lvovich Chébyshev desarrolló un teorema en el que ofrece una garantía mínima acerca de la probabilidad de que una variable aleatoria asuma un valor dentro de k desviaciones estándar alrededor de la media. Para cualquier variable aleatoria X con media μ y desviación estándar σ , la probabilidad de que X tome un valor contenido en k desviaciones estándar de la media, siendo k una constante positiva cualquiera, es cuando menos 12 Simbólicamente, el teorema se expresa de cualquiera de las siguientes maneras: La desigualdad de Chébyshev es muy importante, ya que permite determinar los límites de las probabilidades de variables aleatorias discretas o continuas sin tener que especificar sus funciones de probabilidad. Este teorema asegura que la probabilidad de que una variable aleatoria se aleje de la media no más de k desviaciones estándar, es menor o igual a 1/k2 para algún valor de k >1.Aunque la garantía no siempre es muy precisa, la ventaja sobre este teorema es su gran generalidad por cuanto es aplicable a cualquier variable aleatoria con cualquier distribución de probabilidad, ya sea discreta o continua. CAPITULO 4 1.- Un embarque de 8 televisores contiene 2 unidades defectuosas. Un hotel realiza una compra al azar de 3 de los televisores. Si X es una variable aleatoria discreta que representa el número de unidades defectuosas que compra el hotel: a.- Encuentre la función de probabilidad f(x) b.- Encuentre el valor esperado E(x), la varianza V(x) y la desviación estándar S(x) SOLUCIÓN LITERAL A: X F(x) 1 0,25 2 0,25 3 0,25 4 0,25 5 0,25 6 0,25 7 0,25 8 0,25 Para que una distribución de probabilidad sea denominada función de probabilidad debe satisfacer las siguientes propiedades: Entonces podemos observar que todos los valores de f(x) son positivos, esto es 0. Además se cumple el segundo requisito: 13 ∑ f ( x ) =0,25+0,25+0,25+ 0,25+ 0,25+0,25+0,25+ 0,25=1 Por lo tanto, la función f(x) es una función de probabilidad. SOLUCIÓN LITERAL B: -Para encontrar el valor esperado E(x) debemos usar la formula Entonces para nuestro caso tenemos lo siguiente: μx =∑ x=[ ( 1× 0,25 ) + ( 2× 0,25 ) + ( 3 ×0,25 )+ ( 4 × 0,25 ) + ( 5× 0,25 ) + ( 6 × 0,25 )+ ( 7 ×0,25 ) + ( 8 × 0,25 ) ] =9 -Para encontrar la varianza debemos usar la fórmula: Entonces tenemos para nuestro caso: 14 σ2 2 4 6 8 (¿¿ 2−0,25) 2 = (¿¿ 2−0,25)+ ( 7 −0,25 ) +¿ =202 (¿¿ 2−0,25)+ ( 5 2−0,25 ) +¿ (¿¿ 2−0,25)+ ( 3 2−0,25 ) +¿ ( 12−0,25 ) +¿ ¿ -para medir la desviación estándar debemos hallar la raíz cuadrada de la varianza, para nuestro caso entonces seria: σ x =√ 2022 =14,21 CAPITULO 5 3) a- ¿Cuál es la probabilidad de que una mesera se rehusé a servir bebidas alcohólicas a dos menores si ella verifica al azar las identificaciones de 5 estudiantes entre 9 estudiantes ,de los cuales 4 no tienen la edad legal para beber?. Solución: se utiliza una distribución hipergeometrica Datos: Total de población N= 9; Muestra. 5=n; k= 4; x=2 N ( n f ( x , N , k , n )= ) −¿ K k −¿ x x n! = ( m! n−m ) ! N n ( ) Remplazamos los datos: 9 ( 5 f ( 2,9,4,5 )= 4! 5! −¿ 4 4 −¿ 2 2 2 !∗2! 3 !∗2! 6∗10 = = =0.476190476 9! 126 9 5 !∗4 ! 5 ) ( )( ) () 0.476190476∗100=47.61 15 RTA: La probabilidad de que la mesera se reúse a servir las bebidas alcohólicas es de 47.61%. b.¿Cuáleslaprobabilidaddequealrevisarlasidentificacionesdelos5estudiantesde lgrupode9, no encuentre ninguna que sea de alguno que no tenga la edad legal para beber? Solución: se utiliza una distribución hipergeometrica Datos: Total de población N= 9; Muestra. 5=n; k= 4; x=0 N ( n f ( x , N , k , n )= ) −¿ K k −¿ x x n! = m! ( n−m ) ! N n ( ) Remplazamos los datos: 9 ( 5 f ( 2,9,4,5 )= 4! 5! −¿ 4 4 −¿ 0 0 0 !∗4 ! 5 !∗0 ! 1∗1 = = =0.00793650793 9! 126 9 5 !∗4 ! 5 ) ( )( ) () 0.00793650793∗100=0.79 RTA la probabilidad de que no tenga la edad para beber es de 70% CAPITULO 6 6.- En una panadería se cortan panecillos con un peso que se ajusta a una distribución normal de media 100 g y desviación típica 9. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un panecillo cuyo peso oscile entre 80 g y la media? SOLUCIÓN. Sea X la variable aleatoria continua que representa el peso de cada panecillo. Esta variable sigue una distribución normal N (100 g, 9 g). el porcentaje de panecillos con peso entre 80 y 100 gramos implica calcular la probabilidad P(80 X 100). μ =100 y σ =9 p (80 < x < 100)= y₁ = ( X −μ) 80−100 −20 = = =−2.22 σ 9 9 16 p (80 < x < 100)= y₁ = ( X −μ) 100−100 O = = =0 σ 9 9 p (-2.22< y < 0)= p (y < 0) - [-1 – p (y > -2.22) ] = 0.5 – (1 – 0.98679) = 0.50 – 0.01321 = 0.48679 La probabilidad de tener un panecillo con un peso entre 80g y 100g es de 48.67% 17 APORTES DE CINDY JOHANNA SUAREZ RESUMEN DEL CAPITULO 6 DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE PROBABILIDAD Una distribución de probabilidad es continua cuando los resultados posibles del experimento son obtenidos de variables aleatorias continuas, es decir, de variables cuantitativas que pueden tomar cualquier valor, y que resultan principalmente del proceso de medición. Ejemplos de variables aleatorias continuas son: La estatura de un grupo de personas El tiempo dedicado a estudiar La temperatura en una ciudad Ejemplos: x Variable que nos define el número de burbujas por envase de vidrio que son generadas en un proceso dado. x0, 1, 2, 3, 4, 5, etc., etc. burbujas por envase xVariable que nos define el número de productos defectuosos en un lote de 25 productos. x0, 1, 2, 3,....,25 productos defectuosos en el lote xVariable que nos define el número de alumnos aprobados en la materia de probabilidad en un grupo de 40 alumnos. x0, 1, 2, 3, 4, 5,....,40 alumnos aprobados en probabilidad DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL La distribución de Poisson calcula el número de eventos sobre alguna área de oportunidad (intervalo de tiempo o espacio), la distribución exponencial mide el paso del tiempo entre tales eventos. Si el número de eventos tiene una distribución de Poisson, el lapso entre los eventos estará distribuido exponencialmente. La probabilidad de que el lapso de tiempo sea menor que o igual a cierta cantidad x es: p ( x ≤ x )=1−e λ .t t= Lapso de tiempo 18 e= Base del logaritmo natural aproximadamente igual a 2,718281828 λ= Tasa promedio de ocurrencia DISTRIBUCIÓN UNIFORME Es una distribución en el intervalo [a, b] en la cual las probabilidades son las mismas para todos los posibles resultados, desde el mínimo de a hasta el máximo de b. El experimento de lanzar un dado es un ejemplo que cumple la distribución uniforme, ya que todos los 6 resultados posibles tienen 1/6 de probabilidad de ocurrencia. Función de densidad de una distribución uniforme (altura de cada rectángulo en la gráfica anterior) es: f ( x )= Altura= 1 a−b a= Mínimo valor de la distribución b = Máximo valor de la distribución b - a = Rango de la distribución La media, valor medio esperado o esperanza matemática de una distribución uniforme se calcula empleando la siguiente fórmula: E ( x )=μ= a+ b 2 La varianza de una distribución uniforme se calcula empleando la siguiente fórmula: σ 2= ( b−a ) 2 12 donde la desviacion estardar es σ= √σ 2 La probabilidad de que una observación caiga entre dos valores se calcula de la siguiente manera: p ( x1 ≤ x ≤ x 2 )= x 2−x 1 b−a CAPITULO 4 19 7.- Un piloto privado desea asegurar su avión por 50.000 dólares. La compañía de seguros estima que puede ocurrir una pérdida total con probabilidad de 0.002, una pérdida de 50% con una probabilidad de 0.01 y una de 25% con una probabilidad de 0.1. Si se ignoran todas las otras pérdidas parciales, ¿que prima debe cargar cada año la compañía de seguros para obtener una utilidad media de US $5000 ux=e ( x )=Ʃ ( x . f ( x ) ) x+ 0.002+ ( x∗0.01 ) +( x∗0.1) u x =E ( x )=¿ u x =E ( x ) =0.002x +0.01 x +0.1 x 500=0.112 x 500 0.112 x x=4464.28 El valor de la prima de la compañía debe cada año 446.28 CAPITULO 5 2.- Un estudio examinó las actitudes nacionales acerca de los antidepresivos. El estudio reveló que 70% cree que “los antidepresivos en realidad no curan nada, sólo disfrazan el problema real”. De acuerdo con este estudio, de las siguientes 5 personas seleccionadas al azar: a.- ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 3 tengan esta opinión? Solución: Aplicamos la distribución binominal X =3,4,5 n= 5 p= 0.7 q= 0.3 Utilizamos la fórmula: 20 ( nx ) . p ∗q x f ( x ; p , n) = n−x Reemplazamos px ≥ 3= ( 53 ). ( 0. 7 ) . (0. 3 )+( 54 ) . ( 0. 7 ) . (0. 3 )+( 55 ). (0. 7 ) . ( 0.3) 3 2 4 1 5 px ≥ 3=0.03087+ 0.36015+0.16807=0.83692 La probabilidad de que al menos 3 tenga esa opinión es de 83.6% b.- ¿Cuál e la probabilidad de que máximo 3 tengan esta opinión? X= 0,1, 2, 3 n= 5 p= 0.7 q= 0.3 Se utiliza la fórmula: ( nx ) . p . q x f ( x ; p , n) = n−x Reemplazamos: 5 3 px ≤ 3= ( 50 ) .( 0.7 ). (0. 3 )+( 51 ). (0. 7 ) . (0. 3 )+( 52 ) .( 0.7 ) . (0. 3 )+¿ 0 5 1 4 2 3 ). ( 0. 73 ) . ( 0.3 2 ) px ≤ 3=0.00243+ 0.02835+ 0.3087=0.47178 21 La probabilidad máximo 3 tenga esa opinión es de 4701% c.- De cuantas personas se esperaría que tuvieran esta opinión. Ux = E(x) = np Ux = np = 5x 0.7 = 3.5 Se espera que 3.5 personas tengan esa opinión CAPITULO 6 5.- El Departamento de Talento Humano de una universidad ha hecho un estudio sobre la distribución de las edades del profesorado y ha observado que se distribuyen normalmente con una media de 27 años y una desviación típica de 2,5 años. De un total de 400 profesores hallar: a) ¿Cuántos profesores hay con edad menor o igual a 30 años? P ( X ≤ 30 ) Z= Z= X−μ 6 √N 30−27 =1.2 2.5 Z =1.2 A=0.3849 22 P ( X ≤ 30 ) =0.5+0.3849=0.8849 Por lo tanto hay 0.8849 (400) profesores con edad menor o igual a 30años # de profesores = 354 b) ¿Cuántos de 40 años o más? P ( X ≥ 40 ) Z= X−μ 6 Z= 40−27 =5.2 2.5 Z =5.2 A=0.4990 P ( X ≥ 40 )=0.5−0.4990=0.0013=0.1 # de profesores de 40 o más años son 0.0013(400) = 1 23 APORTES DE CRIS ALLEN CADENA CAPITULO 4 3.- Una empresa ha medido el número de errores que cometen las secretarias recién contratadas a lo largo de los últimos tres años (X), encontrando que éstas cometen hasta cinco errores en una página de 20 líneas y que esta variable aleatoria representa la siguiente función de probabilidad. Si se escoge una secretaria al azar, cual es la probabilidad de que cometa máximo 2 errores? Cuál es la probabilidad de que cometa exactamente 2 errores? X f X) 0 0,5 0 1 0,2 8 2 0,0 7 3 0,0 6 4 5 0,0 0,0 5 4 La probabilidad de que comenta máximo 2 errores es de F: (0) + (2)= 0.5+0.28+0,07= 0,85 La probabilidad de que comenta exactamente 2 errores es de F: (2)= 0.07 CAPITULO 5 5.- En el metro de la ciudad de Medellín, los trenes deben detenerse solo unos cuantos segundos en cada estación, pero por razones no explicadas, a menudo se detienen por intervalos de varios minutos. La probabilidad de que el metro se detenga en una estación más de tres minutos es de 0,20. a.- Halle la probabilidad de que se detenga más de tres minutos por primera vez, en la cuarta estación desde que un usuario lo abordo? Probabilidad que se detenga = 0.20 Probabilidad que no se detenga= 0.80 La probabilidad de que se detenga en la cuarta estación. 24 0.80x0.80x0.80x0.20= 0.1024 Rta: 10,24% b.- Halle la probabilidad de que se detenga más de tres minutos por primera vez antes de la cuarta estación desde que un usuario lo abordo? Probabilidad que se detenga = 0.20 Probabilidad que no se detenga= 0.80 Probabilidad que se detenga antes de la segunda estación es de. 0.80x0.20=0.16 La probabilidad de que se detenga antes de la tercera estación 0.20+0,16+0.128=0.488 Rta: la probabilidad que se detenga más de 3 minutos por primera vez antes de la cuarta estación es de 48.8% CAPITULO 6 1.- Los coeficientes intelectuales de 600 aspirantes de cierta universidad se distribuyen aproximadamente normal con una media de 115 y una desviación estándar de 12. Si la universidad requiere de un coeficiente intelectual de al menos 95. a.- ¿cuántos de estos estudiantes serán rechazados sobre esta base sin importar sus otras calificaciones? Z= X−N 0 Reemplazamos Z= 95−115 = 1.6666= O.0485 12 P (X≥95)= 1-0.0485 P (X≥95)= 0.9515= 95.15% P (X≤95)= 4.85%= 600= 2.910 25 Serán rechazados 29 personas b.- si se considera que un coeficiente intelectual mayor a 125 es muy superior ¿cuántos de estos estudiantes tendrían un coeficiente intelectual muy superior al del grupo Desviación de estándar: 12 Media de consciente intelectual: 115 Formula: Z = X−N 0 Se reemplaza Z= 125−115 12 = - 0,833= 0,2033 P(X≥125) = 1-0.2033 P(X≤125) =0.7967= 79.67% P(X≥125)= 20.33% * 600= 121.98 Serán aproximadamente 122 personas que tiene un cociente intelectual superior. 26 CONCLUSIONES Entendimos mediante ejercicios prácticos claramente los temas estudiados en las unidades de estudio. De igual forma comprendimos algunas relevancias de la temática propuesta en el presente curso encausándola hacia las competencias que debemos desarrollar. Comprendimos que el uso de herramientas en línea nos permiten comunicarnos con nuestros compañeros de manera fácil y hacer un trabajo en donde todos aportemos un aporte significativo para poder realizar un análisis, depuración y consolidado de trabajo. El desarrollo del trabajo, permitió medir los conocimientos adquiridos frente a la solución de problemas. Consideramos que la aplicación de las Probabilidades puede ser de uso cotidiano y va a permitir la medición de riesgos y ventajas que se pueden presentar en diversas situaciones. Gracias al desarrollo de este taller me he dado cuenta que las variables aleatorias y las distribuciones de probabilidad son de gran utilidad ya que dando un buen uso de las fórmulas que estas nos ofrecen podemos dar solución rápida a problemas que se nos pueden presentar en cualquier parte de nuestro trabajo, ya sea en investigación o en la vida cotidiana. 27 REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS Robayo.Adriana.2007.Modulo de probabilidad. UNAD. Bogotá. D.C. Canavos. George 1988. Probabilidad y estadística. McGraw Hill. México. 28