Fase 5. Evaluación Final POA_Grupo_200608_7

FASE 5.EVALUCION FINAL POA FADIE LISET AGUDELO VIANCHA CODIGO: 46378423 GRUPO 200608_7 TUTOR RANDY ZABALETA UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA “UNAD” ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TEGNOLOGIA E INGENIERIA CEAD SOGAMOSO Diciembre 5 de 2017 1  INTRODUCCIÓN En el siguiente trabajo colaborativo, se elaboran ejercicios, se desarrollan por medio de los criterios de decisión necesarios, para aplicar en los métodos de toma de decisiones bajo un entorno de riesgo obteniendo soluciones a problemas presentados en el ámbito profesional. Un sistema que varía su estado a lo largo del tiempo, siendo cada cambio una transición del sistema, la probabilidad que es constante a lo largo del tiempo, eventualmente en una transición, el nuevo estado puede ser el mismo que el anterior y es posible que exista la posibilidad de influir en las probabilidades de transición actuando adecuadamente sobre el sistema. La teoría de las decisiones es una herramienta que se apoya en la probabilidad. Esta determina, a partir de un conjunto de alternativas posibles, cual es la decisión óptima para un conjunto particular de condiciones. Contiene los elementos fundamentales que hacen parte de una decisión, son: A) Las opciones disponibles. B) Los estados de la naturaleza, que no están bajo el control de quien toma la decisión. C) Los pagos. 2  JUSTIFICACION Con el desarrollo del siguiente trabajo colaborativo de la fase final del curso de teoría de las decisiones se quiere resaltar la importancia de la estadística en el manejo de mediciones y procesos inferenciales, la probabilidad en el conocimiento y manejo de los variados valores esperados y desviaciones, y la algebra lineal en el manejo y uso de las matrices necesarias para las decisiones con cadenas de markov y como su aplicabilidad en los ejercicios planteados a través de criterios de decisiones, bajo un entorno de riesgo obteniendo soluciones a problemas que se pueden presentar en el ámbito profesional. Este trabajo lo desarrollo con el objeto de dar cumplimiento a los requerimientos exigidos por el curso y a su vez buscando llevar a la práctica estos conocimientos que me permitan dar soluciones a los diferentes problemas en mi vid profesional. Se empleara la teoría de juegos y decisiones bajo incertidumbre utilizando herramientas tecnológicas para desarrollar una simulación a diversos problemas que se pueden presentar en la ejecución de toma de decisiones para el logro de objetivos propuestos en el ámbito profesional. El trabajo colaborativo se desarrollo tomando los conocimientos aprendidos previamente y las herramientas matemáticas, metodológicas y analíticas vistas en el curso, para poder resolver los problemas planteados que requirieron de la toma de decisiones, bajo un entorno de riesgo. 3  OBJETIVOS GENERAL Realizar un estudio comparativo con el tiempo a través de las decisiones se debe realizar el análisis desarrollando la correspondiente tabla de costos como si fueran dos productos exclusivos y tomar la decisión como una teoría de juegos. ESPECÍFICOS  Analizar la importancia del pensamiento y la toma de decisiones empleando la teoría de juegos y decisiones bajo incertidumbres para llevarlo a la práctica mediante herramientas tecnológicas.  Reconocer las diferentes herramientas que nos muestra el módulo de Teoría de decisiones como son las Cadenas de Markov, Decisión bajo incertidumbre con Costos-ganancias, Inventarios, Pronósticos, teoría de colas y de juegos.  Desarrollar simulaciones aproximadas que permitan dar solución a diversos problemas del ámbito profesional. 4 Paso 1. Situación Problema - Valor Esperado. La empresa AAA Distribuidor quiere determinar la mejor alternativa para comercializar un producto en el mercado, para ello entre muchas alternativas a escogido tres (Alternativa 1, Alternativa 2 y Alternativa 3), y ha estimado su ganancias de acuerdo a tres estados de la naturaleza (Demanda Baja, Demanda Media y Demanda Alta) Determinar el VEIP, VEIM y la Utilidad Esperada de acuerdo a la siguiente información Proceso de decisión para la comercialización de la bicicleta eléctrica Estados de la naturaleza Cursos de acción (Alternativas de Demanda Baja Demanda Media Demanda Alta decisión) Ganancias ($) Ganancias ($) Ganancias ($) 1. Alternativa 1 86338 71784 53962 2. Alternativa 2 16457 55412 80326 3. Alternativa 3 31547 47215 12427 Probabilidades 0,2678 0,3172 0,4149 ∑=1 Tabla 4 indicadores investigación de mercadeo Indicadores Demanda baja Demanda media Demanda Alta (I1) Reporte favorable 0,9134 0,7858 0,9467 (I2) reporte no favorable 0,0866 0,2142 0,0533 ∑ 1 1 1 Valor esperado de la información perfecta (VEIP) Lo primero que hacemos es calcular la ganancia esperada con información perfecta. La ganancia esperada con información perfecta se toma el valor más grande de cada columna de la tabla de ganancia y se multiplica por los porcentajes estimados. Calculamos la ganancia esperada sin información perfecta. Por ultimo restamos de la ganancia esperada con información perfecta, la ganancia esperada sin información perfecta, quedando así: Valor esperado de la información perfecta (VEIP) = (Ganancia esperada con información perfecta) – (Ganancia esperada sin información perfecta) (0,2678*86338) + (0,3172*71784)+ (0,4149*80326)= (22121, 3164 + 22770,8848 +33327,4586) = 79218, 4586 GECIP 5 Valor Esperado sin la información perfecta (VEsIP): Si existe una estimación de la probabilidad de que una situación ocurra, se puede calcular la ganancia esperada. Como la idea principal es escoger el mayor de los valores, se recomienda escoger el proceso B. Valor esperado: (valor)*(probabilidad) Ganancias de demanda baja * Probabilidad de demanda baja + Ganancias de demanda media * Probabilidad de demanda media + Ganancias de demanda alta * Probabilidad de demanda alta. La misma operación se hace con los procesos B y C. Estados de la naturaleza Demanda Demanda Media Alta Cursos de acción Demanda Baja Ganancias Ganancias Valor Monetario (Alternativas de decisión) Ganancias ($) ($) ($) Esperado VME 1. Alternativa 1 86338 71784 53962 68280,035 2. Alternativa 2 16457 55412 80326 55311,1284 3. Alternativa 3 31547 47215 12427 28580,8469 Probabilidades ∑=1 0,26780 0,31720 0,41490 El valor con la información perfecta (VEcIP): Este valor se haya teniendo en cuenta el mejor valor de cada estado de naturaleza, (Demandas). De esta manera se decide el mejor estado de naturaleza. Resultado Mejor Decisión. Demanda alta 86338 Demanda Media 71784 Demanda baja 80362 El (VEcIP) Se calcula para cada estado de la naturaleza, el producto del máximo beneficio y la probabilidad de la ocurrencia. 79218,4586 6 El valor esperado de la información perfecta (VEIP): Se calcula como la diferencia entre el valor esperado con la información perfecta (VEcIP) menos el valor esperado sin la información perfecta (VEsIP) 68280,035 =10938,4236 El valor esperado de la información perfecta es de 10938,4236 millones, VEIP: $10938,4236 [Escriba una cita del documento o el resumen de un punto interesante. Puede situar el cuadro de texto en cualquier lugar del documento. Use la ficha Herramientas de dibujo para cambiar el formato del cuadro de texto de la cita.] [Escriba una cita del documento o el resumen de un punto interesante. Puede situar el cuadro de texto en cualquier lugar del documento. Use la ficha Herramientas de dibujo para cambiar el formato del cuadro de texto de la cita.] 7  1. El grupo de trabajo determinará el Valor esperado de la información de la muestra (VEIM).  Estimar las probabilidades para los indicadores de confiabilidad de la Investigación de mercados para el producto a comercializar mediante la siguiente Generación de números aleatorios (descargue aquí), información que debe consignarse en la Tabla 2 Indicadores Investigación de Mercados: Tabla 4 indicadores investigación de mercadeo Indicadores Demanda baja Demanda media Demanda Alta (I1) Reporte favorable 0,9134 0,7858 0,9467 (I2) reporte no favorable 0,0866 0,2142 0,0533 ∑ 1 1 1 Tabla 3 Proceso de decisión para la comercialización de BIC Estados de la naturaleza Demanda Demanda Cursos de Demanda Media Alta acción Baja VME dado VME dado (Alternativas Ganancias Ganancias Ganancias Reporte reporte de decisión) ($) ($) ($) Favorable desfavorable Proceso A 86338 71784 53962 186354,8218 25729,1782 Proceso B 16457 55412 80326 134619,1976 17575,8024 Proceso C 31547 47215 12427 77681,2177 13507,7823 8 Se puede evidenciar que en el tercero (exportar el producto) es en el que más ganancia nos deja, por tal razón este será el valor que escojamos. Calculamos el valor esperado de la información perfecta de la siguiente manera. Valor esperado de la información perfecta (VEIP) = (Ganancia esperada con información perfecta) – (Ganancia esperada sin información perfecta). (VEIP)= 79218, 45 – 49377,23 = 2984.1 Se puede concluir que conocer la información perfecta aumenta la ganancia esperada para la comercialización de bicicletas eléctricas, de $ 49377,23 a $ 79218,45 Es decir que aumenta en $ 2984.1 Siendo este valor lo máximo que se podría pagar por la investigación de mercado. El estudiante con su grupo de trabajo presentara los cálculos manuales y la comprobación por. Valor esperado de la información muestra (VEIM) Ganancia esperada con información de muestra = Ganancia esperada cuando el indicador es L1 * P (1) + Ganancia esperada cuando el indicador es L2 * P (2); Entonces encontramos el valor de cada componente Probabilidad Conjuntas y Marginales Indicador Fracasos (F) Éxito (S) Gran Éxito (G) P. Marginal L1 P(DB)XI1/DB) P(DM)XP(I1/DM) P(DA)XPI1/DA) P(I1) L2 P(DB)XI2/DB) P(DM)XP(I2/DM) P(DA)XPI2/DA) P(I2) 9  PROBABILIDADES CONJUNTAS Y MARGINALES INDICADO FRACASO (F) ÉXITO (S) GRAN ÉXITO P.MARGINA R (G) L I1 =(0,2418*0,7194) =(0,2551*0,7803) =(0,5031*0,4098) P(I1)=0,579174 = 0,173950 =0,199054 =0,206170 I2 =(0,2418*0,2806) =(0,2551*0,2197) =(0,5031*0,5902) = 0,067849 =0,056045 =0,296929 P(I2)=0,420823 PROBABILIDADES POSTERIORES Indicador Fracasos (F) Éxito (S) Gran Éxito (G) L1 P(DB/L1)=P(DB*L1)/P(L1) P(DM/L1)=P(DM*L1)/P(L1) P(DA/L1)=P(DA*L1)/P(L1) L2 P(DB/L2)=P(DB*L1)/P(L1) P(DM/L2)=P(DM*L1)/P(L1) P(DA/L2)=P(DA*L1)/P(L1) PROBABILIDADES POSTERIORES INDICADO FRACASO (F) ÉXITO (S) GRAN ÉXITO (G) R I1 =(0,173950/0,579174) =(0,199054/0,579174) =(0,206170/0,579174) =0,30034152 =0,3436860 =0,355972 I2 =(0, 067849/0,420823) =(0,056045/0,420823) =(0,296929/0,420823) =0,1612293 =0,1331795 =0,705591 INDICADOR DECISIÓN OPTIMA GANANCIA ESPERADA I1 MODERADA 47895,4214 I2 MODERADA 51414,2448 Ganancia esperada con información de muestra. (47895,4214*0,579174)+( 51414,2448*0,420823)=(27739,7828+21636,2967)=49376,0795 Valor esperado de la información (49376,0795-47895,4214)= 1480.6581 Paso 2: Situación Problema Costos Unitarios La empresa AAA Distribuidor quiere determinar los costos unitarios para comercializar un producto en el mercado, para ello cuanta con la siguiente información 10  Tabla 1 Matriz de COSTOS o PAGOS ESTADOS DE LA NATURALEZA CURSOS DE ϴ 1 Demanda Baja Costo unitario ($) ϴ 2 Demanda Media Costo ϴ 3 Demanda Alta Costo unitario ACCION 1. A1 10872 34526 91280 2. A2 22145 10879 149975 3. A3 79608 105909 147638 Tabla 1 Matriz de COSTOS o PAGOS ESTADOS DE LA NATURALEZA ϴ 2 Demanda Media Costo ϴ 3 Demanda Alta Costo unitario CURSOS DE ϴ 1 Demanda Baja Costo unitario ($) suma de lostres p omed io=total/3 ACCION estados unitario ($) ($) a1 10872 34526 91280 136678 45559,33333 a2 22145 10879 149975 182999 60999,66667 a3 79608 105909 147638 333155 111051,6667 menor costo 45559,33333 Tabla 1 Matriz de COSTOS o PAGOS ESTADOS DE LA NATURALEZA Criterio de Wald ϴ 2 Demanda Media Costo ϴ 3 Demanda Alta Costo unitario ϴ 1 Demanda Baja Costo unitario ($) CURSOS DE costos maximos ACCION unitario ($) ($) a1 10872 34526 91280 91280 a2 22145 10879 149975 149975 a3 79608 105909 147638 147638 menor costo 91280 11  CRITERIO α(costo Tabla 1 Matriz de COSTOS o PAGOS HURWICZ ESTADOS DE LA NATURALEZA con α =0,5 ϴ 2 Demanda Media Costo ϴ 3 Demanda Alta Costo unitario CURSOS DE ϴ 1 Demanda Baja Costo unitario ($) max)+(1 - ACCION unitario ($) ($) α)(costo min ) a1 10872 34526 91280 51076 a2 22145 10879 149975 80427 a3 79608 105909 147638 113623 menor costo 51076 Tabla 1 Matriz de COSTOS o PAGOS Criterio de Savage ESTADOS DE LA NATURALEZA d em=costos ϴ 2 Demanda Media Costo ϴ 3 Demanda Alta Costo unitario CURSOS DE ϴ 1 Demanda Baja Costo unitario ($) (maximo- ACCION unitario ($) ($) min imo) a1 10872 34526 91280 80408 a2 22145 10879 149975 139096 a3 79608 105909 147638 68030 menor costo 68030 Paso 3: Situación Problema Pagos Esperados. La empresa AAA Distribuidor quiere determinar los Pagos Esperados para comercializar un producto en el mercado y ha determinado un posible competidor el cual tiene un Producto B que tiene unas características simulares al Producto A que pretende comercializar la empresa AAA Distribuidor. 12  Matriz de Pagos (3*3): Producto B Producto A 1 2 3 1 89304 124444 73924 2 55642 70057 110101 3 136727 119930 113113 El estudiante con su grupo de trabajo presentara los cálculos manuales del juego de dos personas y suma cero, adicional deben realizar la comprobación por software y presentar los resultados obtenidos Al tomar estos dos criterios el juego no es equilibrado ya que tiene una ganancia en la estrategia 2 para el jugador 1 (94955) y al cual se le debe sumar (132185) del pago correspondiente del jugador 2, ósea que el valor del juego es de 94955+132185 = 227.140. Para el jugador A. * La estrategia 3 está dominada por la estrategia 1. Ya que tiene pagos más altos. 138348>107558; 110341>34526; 49736<132185 Para el jugador B. *La estrategia 1está dominada por la estrategia 2. Ya que tiene costos más bajos. 49736<138348; 94955<115653; 132185>107558 Tabla 3 Matriz de Pagos (3*3)Tabla 4 Matriz Producto B Producto A 134009 94955 34526 132185 . 13  Tabla 3 Matriz de Pagos (3*3)Tabla 4 Matriz Producto B Producto A 99480 50545 142514 132460 . . 48935PB+50545=10054PB+132460 48935PB-10054PB=132460-50545 14 38881PB=81915 Tabla 3 Matriz de Pagos (3*3)Tabla 4 Matriz Producto B Producto A 99480 50545 142514 132460 Tabla 3 Matriz de Pagos (3*3)Tabla 4 Matriz Producto B Producto A 99480 50545 142514 132460 15 El resultado indica la cantidad a la que tendería el pago promedio si el juego se efectuara muchas veces. Paso 4. Patrones de Consumo La empresa AAA Distribuidor quiere determinar los Patrones de consumo de 4 marcas del producto que quiere comercializar. Para se pretende encontrará las probabilidades de transición hasta el periodo 5 y las probabilidades de estado estable mediante la aplicación del Proceso de Decisión de Markov de etapa finita. Tabla 6 Patrones de consumo del producto Probabilidades de Probabilidades Marca A Marca B Marca C Marca D transacción iniciales Marca A 0,3664 0,1780 0,2648 0,3219 0,8908 Marca B 0,2008 0,1776 0,1569 0,2284 0,0208 Marca C 0,3379 0,3135 0,2587 0,3566 0,0700 Marca D 0,0949 0,3309 0,3196 0,0931 0,0185 Σ 1 1 1 1 1 P=1 0,2630 * 0,2996 0,07879835 0,1611 * 0,3533 0,05691002 0,6022 * 0,1288 0,07758627 0,0821 * 0,2183 0,0179339 0,23122855 0,2459 * 0,2996 0,07367243 0,0404 * 0,3533 0,01428953 0,0054 * 0,1288 0,00070148 0,3737 * 0,2183 0,08158524 0,17024868 0,1784 * 0,2996 0,05343068 0,3799 * 0,3533 0,13419857 0,1673 * 0,1288 0,0215602 16  0,1169 * 0,2183 0,02552036 0,2347098 0,3127 * 0,2996 0,09366657 0,4186 * 0,3533 0,14788882 0,2250 * 0,1288 0,02898902 0,4272 * 0,2183 0,09326856 0,36381297 Tabla 6 Patrones de consumo del producto Probabilidades Marca A Marca B Marca C Marca D de transición SECUNDARIAS Marca A 0,2630 0,1611 0,6022 0,0821 0,2312 Marca B 0,2459 0,0404 0,0054 0,3737 0,1702 Marca C 0,1784 0,3799 0,1673 0,1169 0,2347 Marca D 0,3127 0,4186 0,2250 0,4272 0,3638 ∑ 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 P=2 0,2630 * 0,2312 0,06082234 0,1611 * 0,1702 0,02742489 0,6022 * 0,2347 0,14134342 0,0821 * 0,3638 0,02988706 0,25947772 0,2459 * 0,2312 0,05686578 0,0404 * 0,1702 0,00688611 0,0054 * 0,2347 0,00127792 0,3737 * 0,3638 0,13596277 0,20099259 0,1784 * 0,2312 0,04124171 0,3799 * 0,1702 0,06467018 0,1673 * 0,2347 0,03927747 0,1169 * 0,3638 0,04252998 0,18771934 0,3127 * 0,2312 0,07229872 17  0,4186 * 0,1702 0,0712675 0,2250 * 0,2347 0,05281099 0,4272 * 0,3638 0,15543316 0,35181036 Tabla 6 Patrones de consumo del producto Probabilidades Marca A Marca B Marca C Marca D de transición TERCERAS Marca A 0,2630 0,1611 0,6022 0,0821 0,2595 Marca B 0,2459 0,0404 0,0054 0,3737 0,2010 Marca C 0,1784 0,3799 0,1673 0,1169 0,1877 Marca D 0,3127 0,4186 0,2250 0,4272 0,3518 ∑ 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 P=3 0,2630 * 0,2595 0,068253 0,1611 * 0,2010 0,03237734 0,6022 * 0,1877 0,11304553 0,0821 * 0,3518 0,02890105 0,24257692 0,2459 * 0,2595 0,06381306 0,0404 * 0,2010 0,00812962 0,0054 * 0,1877 0,00102208 0,3737 * 0,3518 0,1314772 0,20444197 0,1784 * 0,2595 0,04628021 0,3799 * 0,2010 0,07634847 0,1673 * 0,1877 0,03141386 0,1169 * 0,3518 0,04112687 0,1951694 0,3127 * 0,2595 0,08113144 0,4186 * 0,2010 0,08413715 0,2250 * 0,1877 0,04223788 0,4272 * 0,3518 0,15030524 0,35781171 18  Tabla 6 Patrones de consumo del producto Probabilidades Marca A Marca B Marca C Marca D de transición CUARTAS Marca A 0,2630 0,1611 0,6022 0,0821 0,2426 Marca B 0,2459 0,0404 0,0054 0,3737 0,2044 Marca C 0,1784 0,3799 0,1673 0,1169 0,1952 Marca D 0,3127 0,4186 0,2250 0,4272 0,3578 ∑ 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 P=4 0,2630 * 0,2426 0,06380742 0,1611 * 0,2044 0,032933 0,6022 * 0,1952 0,11753199 0,0821 * 0,3578 0,02939406 0,24366647 0,2459 * 0,2426 0,05965667 0,0404 * 0,2044 0,00826914 0,0054 * 0,1952 0,00106264 0,3737 * 0,3578 0,13372 0,20270845 0,1784 * 0,2426 0,0432658 0,3799 * 0,2044 0,07765874 0,1673 * 0,1952 0,03266059 0,1169 * 0,3578 0,04182843 0,19541355 0,3127 * 0,2426 0,07584704 0,4186 * 0,2044 0,08558109 0,2250 * 0,1952 0,04391418 0,4272 * 0,3578 0,15286922 0,35821153 19  Tabla 6 Patrones de consumo del producto Probabilidades Marca A Marca B Marca C Marca D de transición QUINTAS Marca A 0,2630 0,1611 0,6022 0,0821 0,2437 Marca B 0,2459 0,0404 0,0054 0,3737 0,2027 Marca C 0,1784 0,3799 0,1673 0,1169 0,1954 Marca D 0,3127 0,4186 0,2250 0,4272 0,3582 ∑ 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 P=5 0,2630 * 0,2437 0,06409401 0,1611 * 0,2027 0,03265375 0,6022 * 0,1954 0,11767902 0,0821 * 0,3582 0,0294269 0,24385369 1. Se logró trabajar las diferentes herramientas para la toma de decisiones en donde se mostró que el producto tiene viabilidad y que podemos lograr que él se comercialice en el mercado y entre a competir hasta con las marcas más reconocidas. 2. Vimos que dejando el precio del producto más cómodo podemos lograr llamar la atención de muchos clientes y que así se genera más dificultad. 3. Las herramientas que nos facilitó el curso para el análisis son de mucha importancia ya que con esto logramos encontrar la decisión más factible. 20  CONCLUSIONES Como Ingenieros en formación poseemos la habilidad de dar la solución a problemáticas que se presenten. Poder tener más herramientas y conocimientos para poder en un futuro tener poder decisión ante situaciones complejas de los temas que se llegasen a presentar en nuestro campo profesional. El desarrollo de la actividad nos permitió investigar sobre las herramientas utilizadas para la toma de decisiones, y aplicar lo propuesto en los ejercicios de estudio, se pudo apreciar la importancia de cada uno de los temas vistos en las diferentes unidades del curso de teoría de las decisiones. 21  BIBLIOGRAFIA MARTHUR Y SOLOW.(2003). Investigación de Operaciones. Bogotá d.c. Editorial Prentice Hall. SASIENI, Yaspan. (2001). Investigación de operaciones. México. Limusa. TAHA, Hamdy A. (1995). Investigación de operaciones. México. Editorial Alfaomega. 5 ediciones. EPPEN, Gould y Schimidt. (1999). Investigación de operaciones en las Ciencias de Ingeniería. Bogotá d.c. Editorial Prentice may. 3 ediciones KAUFMANN, A. Faure R. (2005).Invitación a la investigación de operaciones. México. CECSA. 7 edición. Módulo Teoría de las Decisiones, Universidad Nacional abierta y a distancia UNAD. Aula Virtual, Campus 10, Teoría de las Decisiones. Begoña, Vitoriano ().Teoría de Juegos o Estrategia de juegos. TEORÍA DE LA DECISIÓN. Consultado en Octubre 2 , 2015 . Recuperado de: http://hdl.handle.net/10596/5052 Hillier, F., & Lieberman, G. (2010).Analisis de Decisión, Arboles de Decisión, Teoría de la Utilidad. En Introducción a la investigación de operaciones (9a ed.). México, D. F.: McGraw- Hill. Recuperado de: http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2053/book.aspx?i=386&opensearch=investigaci%C3%B3n %20de%20operaciones&editoriales=&edicion=&anio=%20 Mosquera, W. E. (2010). Criterios de Decisión, Decisiones Bajo Riesgo . 200608 - Teoría de las decisiones. Consultado en Diciembre 12, 2015. Recuperado de: http://hdl.handle.net/10596/4891 Referencias bibliográficas complementarias Hillier, F., & Lieberman, G. (2010). Introducción a la investigación de operaciones (9a ed.). México, D. F.: McGraw-Hill. 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