UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICOFACULTAD DE ESTUDIOS SUPERIORES CUAUTITLÁN 2018 ASIGNATURA: II ACTIVIDAD: Sistemas Lineales #03 ALUMNO: ENTREGA: 2018-02-12 23:55 pm Objetivo: Lograr profundizar: en los sistemas lineales principalmente los que ocuparemos en la materia, ¿Qué son? Y algunas de sus características más destacadas. Desarrollo: Sistemas lineales Un sistema compuesto por una: Señal de entrada -------X(t) Señal de salida ----------Y(t) La Invariancia en el tiempo Cumple con dos condiciones *Comportamiento *Características Son características que permanecerán fijas en el tiempo sistemas llamados S.L.I.T Propiedades de los sistemas S. L.I.T Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo Para comenzar a estudiar los sistemas, debemos primero considerar el concepto de señal. Si bien es un término de muy amplio alcance, en el contexto que nos atañe consideramos como señal a toda variación de una cantidad física (por lo general con el tiempo) susceptible de ser representada matemáticamente y de la cual podemos obtener alguna información o realizar algún cambio. Para comenzar a estudiar los sistemas, debemos primero considerar el concepto de señal. Si bien es un término de muy amplio alcance, en el contexto que nos atañe consideramos como señal a toda variación de una cantidad física (por lo general con el tiempo) susceptible de ser representada matemáticamente y de la cual podemos obtener alguna información o realizar algún cambio. UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO FACULTAD DE ESTUDIOS SUPERIORES CUAUTITLÁN 2018 ASIGNATURA: II ACTIVIDAD: Sistemas Lineales #03 ALUMNO: ENTREGA: 2018-02-12 23:55 pm Según su naturaleza podemos clasificar a las señales en dos grupos, a saber: las que pueden definirse en cada instante de un determinado intervalo, llamadas señales de tiempo continuo, y aquéllas que pueden representarse como una sucesión de valores ordenados mediante un índice entero, llamadas señales de tiempo discreto. (El uso de la palabra "Tiempo" establecida por el uso alude a que la mayoría de las señales procesadas dependen del tiempo, sin ser éste el caso general). Con esto, definiremos como sistema a cualquier ente físico o proceso capaz de recibir una señal, denominada de entrada, o excitación (x(t)), y transformarla en otra señal que denominaremos de salida o respuesta. (y(t)) Según la naturaleza de las señales que los sistemas procesan, usualmente se los clasifica también como "de tiempo continuo" o "de tiempo discreto". En este trabajo centraremos nuestra atención en un tipo particular de sistemas, denominados “Sistemas Lineales e Invariantes en el Tiempo” o “SLTI”, Nota: Si bien este trabajo está desarrollado en tiempo continuo, pueden hallarse relaciones totalmente análogas para los sistemas de tiempo discreto Linealidad Se dice que un sistema es lineal si cumple con el llamado principio de superposición, el cual a su vez se compone de dos partes: si x (t ) y (t ) kx (t ) ky (t ) 1. Homogeneidad: (1) si x1(t ) y1(t ) x 2 (t ) y 2 (t ) x 1(t ) x 2 (t ) y1(t ) y 2(t ) 2. Aditividad: (2) Combinando la (1) y la (2): k1 x1 (t ) k 2 x2 (t ) k1 y1 (t ) k 2 y2 (t ) (superposición) Evidentemente, esto se cumplirá si el sistema, para obtener la salida, efectúa sobre la señal de entrada operaciones que son matemáticamente lineales, como ser: suma, multiplicación por una constante, diferenciación e integración. Invariabilidad Temporal UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO FACULTAD DE ESTUDIOS SUPERIORES CUAUTITLÁN 2018 ASIGNATURA: II ACTIVIDAD: Sistemas Lineales #03 ALUMNO: ENTREGA: 2018-02-12 23:55 pm Decimos que un sistema es invariante en el tiempo, si la respuesta del mismo no depende del momento en que es excitado, formalmente: si x (t ) y(t ) x (t t 0 ) y(t t 0 ) (3) Esta es una propiedad importante del sistema, puesto que lo hace más predecible y posibilita su análisis por medio de los métodos que estudiaremos más adelante. Físicamente, la invariabilidad temporal implica que los constituyentes de nuestro sistema, no se alterarán y conservarán sus propiedades con el paso del tiempo: "sus parámetros son constantes" Por ejemplo, un circuito electrónico no sería invariante en el tiempo si sus componentes (resistencias, inductores, condensadores, etc...) cambiasen de valor, como sucede por degradación de los materiales que los componen, lo cual en general es un proceso lento. Es importante señalar que la invariabilidad temporal del sistema establece que la ecuación diferencial lineal que lo define sea a coeficientes constantes, pues dichos coeficientes están definidos por los componentes físicos del sistema (resistencias, inductores, masas, resortes, amortiguadores, etc.) Sistemas lineales invariantes en el tiempo en Serie y Paralelo • Serie Si dos o más sistemas están en serie uno con otro, el orden puede ser intercambiado sin que se vea afectada la salida del sistema. Los sistemas en serie también son llamados como sistemas en cascada. Un sistema equivalente es aquel que está definido como la convolución de los sistemas individuales. Paralelo Si dos o más sistemas LTI están en paralelo con otro, un sistema equivalente es aquel que está definido como la suma de estos sistemas individuales. Sistemas Lineales invariantes en el tiempo Algunos sistemas lineales invariantes en el tiempo podrían ser: • La relación de el estiramiento de un resorte en relación con el peso al que es sometido. • Sistemas RLC. • Ondas electromagnéticas • Fuentes de voltaje. ¿La convolución como se relaciona con los sistemas lineales invariantes en el tiempo? UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO FACULTAD DE ESTUDIOS SUPERIORES CUAUTITLÁN 2018 ASIGNATURA: II ACTIVIDAD: Sistemas Lineales #03 ALUMNO: ENTREGA: 2018-02-12 23:55 pm La convolución nos ayuda a determinar el efecto que tiene el sistema en la señal de entrada. Estos sistemas son característicos por su respuesta al impulso, es decir, una señal puede ser descompuesta por una suma finita de impulsos escalados y desplazados. La convolucion determina la salida del sistema por medio del conocimiento de la entrada y la respuesta al impulso del sistema. Ahora profundizaremos sobre el primero de los métodos de análisis de SLTI antes mencionados. El método de convolución sirve para hallar la respuesta del sistema a una entrada arbitraria, conociendo previamente la respuesta impulsiva del mismo. Llamamos repuesta impulsiva, h(t), a la respuesta del sistema cuando es excitado con la señal delta de Dirac o simplemente, impulso δ (t) (nos referiremos al impulso unitario, o sea de área = 1). Ésta es una señal que posee amplitud infinita, duración infinitesimal y área finita. Como puede deducirse de sus características, δ (t) es una señal meramente teórica y no reproducible en la práctica. Por lo tanto, debemos conformarnos con aproximarla mediante un pulso de una amplitud y duración determinados de manera tal que el error cometido esté dentro los márgenes aceptables para el caso. Una de las propiedades más importantes del impulso es, como sabemos, la de muestreo de una señal, o selección del impulso. Esto es: x(t ) ( t ) x( ).d Propiedad que puede verificarse fácilmente. Este tipo de integrales no se evalúa analíticamente por los métodos clásicos. Hay que ver que el producto en el integrando es, en definitiva, la δ (-t) con área (coeficiente) = x(t) ubicada en = t. Podemos sacar x(t) que actúa como coeficiente, de la integral que procede ( se evalúa) por . Así: x(t) = x(t) δ (-t) d = x(t) dado que el área de δ (-t) =1 - UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO FACULTAD DE ESTUDIOS SUPERIORES CUAUTITLÁN 2018 ASIGNATURA: II ACTIVIDAD: Sistemas Lineales #03 ALUMNO: ENTREGA: 2018-02-12 23:55 pm Aquí podemos ver cómo una señal cualquiera puede ser representada como una “suma” (considerando a la integral como el límite de una suma) de impulsos desplazados en el tiempo y ponderados por el valor de la señal en ese instante. Esto puede verse de una manera más gráfica en tiempo discreto, o bien, si lo consideramos como el límite de la aproximación de la señal por medio de pulsos rectangulares tomando en el intervalo una mayor cantidad de pulsos de menor duración. Aquí está la clave del método de convolución, a saber: a. Ya que podemos representar cualquier señal como una “suma” de impulsos ponderados; si excitamos un SLTI con una señal arbitraria x(t) es posible, gracias al principio de aditividad, determinar la salida analizando únicamente las respuestas a cada uno de los impulsos que la componen y luego sumarlas. b. Si bien es cierto que el proceso de encontrar las respuestas a todos los impulsos que componen x(t) podría parecer en principio un trabajo tedioso y quizás imposible (pues en tiempo continuo la señal está compuesta por infinitos impulsos) , puede solucionarse esto considerando que los impulsos que componen la señal difieren unos de otros únicamente en su posición temporal y su “ponderación” (determinada por la constante que los multiplica); así, podremos representarlos genéricamente como K δ (t-to) y ver que, haciendo uso de otras dos propiedades de los SLTI, la homogeneidad e invariancia en el tiempo, la respuesta a este impulso genérico será K h(t-to), donde h(t) es la respuesta al impulso unitario ubicado en el origen y constituye la incógnita real del problema, ya que K y to dependen de la señal de entrada. En síntesis, si conocemos h(t) podremos obtener las respuestas de todos los impulsos que conforman x(t) y luego sumando dichas respuestas obtener la respuesta “completa” del sistema a x(t), o sea y(t). Todo este proceso expresado matemáticamente nos permite llegar a la expresión general para obtener la respuesta y(t) de un SLTI, caracterizado por su respuesta impulsiva h(t), a una entrada x(t) dada. Esta expresión es conocida como integral de convolución: y (t ) x ( )h(t )d x (t ) h(t ) (4) Ejemplo 1. Dado el siguiente circuito: R + + UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO FACULTAD DE ESTUDIOS SUPERIORES CUAUTITLÁN 2018 ASIGNATURA: II ACTIVIDAD: Sistemas Lineales #03 ALUMNO: ENTREGA: 2018-02-12 23:55 pm Con: R= 1 [MΩ] y C= 1 [μf] x(t) i(t) C y(t) - - a. Hallar la ecuación diferencial que establece la relación entrada salida. Las relaciones volt-ampere (ley de Ohm) de los componentes del circuito son: dvC (t ) Resistor: vR (t) R i R (t) (5) ; Capacitor: iC (t ) C (6) dt Utilizando la ley de las tensiones de Kirchhoff, podemos escribir: x (t) vR (t ) y(t ) Utilizando (5): x (t ) R i(t ) y (t ) R ic (t ) y (t ) dvC (t ) Utilizando (6): x (t ) R C y (t ) (7) dt dy (t ) dy (t ) Reemplazando valores: x (t ) R C y (t ) y (t ) (8) dt dt Que es la relación entrada-salida que define el sistema en cuestión. a. Verificar si el sistema determinado por el circuito es lineal e invariante en el tiempo. Para que el sistema sea lineal debemos verificar: I) Homogeneidad: Si multiplicamos ambos miembros de (8) por una constante arbitraria K obtenemos dy (t ) Kx(t ) K R C y (t ) dt Luego distribuyendo la K en el segundo miembro d Ky (t ) Kx(t ) R C Ky (t ) dt Aquí puede apreciarse como a la entrada Kx(t) le corresponde la salida Ky(t), ósea se cumple la (1) y el sistema es homogéneo. II) Aditividad: Según (8) es posible escribir para dos entradas x1 (t) y x2 (t) cualesquiera: UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO FACULTAD DE ESTUDIOS SUPERIORES CUAUTITLÁN 2018 ASIGNATURA: II ACTIVIDAD: Sistemas Lineales #03 ALUMNO: ENTREGA: 2018-02-12 23:55 pm dy1 (t ) x 1(t) R C y1 (t ) dt dy (t ) x 2(t) R C 2 y2 (t ) dt Sumando estas dos expresiones miembro a miembro, obtenemos. dy1 (t ) dy (t ) x 1(t) x 2(t) R C y1 (t ) R C 2 y2 (t ) dt dt Reordenando. d y 1(t ) y 2 (t ) x 1(t ) x 2 (t ) R C y 1(t ) y 2 (t ) dt Aquí puede apreciarse como a la entrada x1 (t) + x2 (t) le corresponde la salida y1 (t) + y2 (t), o sea, se cumple la (2) y el sistema es aditivo. Con esto se concluye en que el sistema es Lineal. Esto podría haberse deducido con el solo hecho de analizar la ED que define el sistema, la (7), ya que como dijimos, si un sistema sólo realiza operaciones matemáticamente lineales para obtener la salida, evidentemente nuestro sistema será “lineal”. Esto se refleja al ver cómo las verificaciones de la homogeneidad y aditividad del sistema se lograron gracias a que las operaciones matemáticas que intervienen (diferenciación, suma y multiplicación por una constante) poseen estas mismas propiedades. Respecto a la invariabilidad en el tiempo del sistema, podemos ver como ésta se cumple considerando que los coeficientes de la (8), a saber, los valores de R y C, se mantienen constantes en el tiempo (idealmente). Así si excitamos el circuito en diferentes momentos con una misma señal obtendremos la misma respuesta en los respectivos distintos momentos (aquí tomamos al circuito descargado, o sea que en el capacitor no hay energía almacenada al momento de excitarlo), pues si los componentes (y su interconexión) no varían sus características, el sistema que conforman es el mismo. (Recordemos también que la determinación de h (t) supone el sistema sin energía inicial = en reposo) Es importante recordar que todo sistema está definido totalmente por la ED que establece la relación entre su entrada y su salida, y a su vez toda ED lineal de un orden determinado se define totalmente por los coeficientes que en ella intervienen. Conclusión: UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO FACULTAD DE ESTUDIOS SUPERIORES CUAUTITLÁN 2018 ASIGNATURA: II ACTIVIDAD: Sistemas Lineales #03 ALUMNO: ENTREGA: 2018-02-12 23:55 pm Podemos concluir que logramos indagar a profundidad sobre los S.L.I.T ¿porque nos centramos en este tipo de sistemas? Bueno porque son aquellos a los que les daremos mayor importancia a largo de este semestre en la materia y a los cuales como vimos tienen sus respectivas características que deben cumplir para que sea un sistema de este tipo, además tienen sus métodos para poder ser resueltos; estos tipos de sistemas cuentan con criterios los cuales tienen su clasificación, estos sistemas ya los hemos visto anteriormente además ya hemos investigado lo que implica un sistema le hemos dado su respectiva definición, sabemos que cuenta con una entrada y una salida , dejando a un segundo término su composición nos centramos más en su comportamiento , la excitación exterior que ha recibido el sistema y por ende lo que sucede con el mismo analizándolo de una forma pertinente. CIBERGRAFIA: Ortega, José “Sistemas Lineales invariantes en el tiempo” file:///C:/Users/usuario/Downloads/sistemaslinealesinvarianteseneltiempo- 151202081556-lva1-app6892.pdf Departamento de Control, División de Ingeniería Eléctrica Facultad de Ingeniería UNAM 21-11- 2006 http://verona.fi-p.unam.mx/~lfridman/clases/control/Clase16.pp U. T. N. “Análisis de Señales y Sistemas” 2007 http://www1.frm.utn.edu.ar/analisisdsys/MATERIAL/SistemasLTI.doc