FACULTAD DE INGENIERÍATrabajo Grupal de Matemática Básica I –Cuarta Unidad Asignatura: Matemática Básica I Docente: Hebeth Gabriel Cueva Valladolid Integrantes: - Reque Velásquez, Jorge - Del Pilar Suclupe Vílchez, María - Zapata Miembela, Jose - Silva Alvarez, Jorge - Montenegro, Abigail - Vázquez Mejía, Junior - Chunga Vidarte, Angelo - Julca Elera, José Carlos - Mendoza Suxe, Sally Fecha de entrega de realización de la práctica: 09/010/2017 Fecha de entrega del informe: 015/010/2017 Chiclayo 2017 TRABAJO DE CUARTA PRACTICA DE MATEMÁTICA BÁSICA RECTAS 1. En cada uno de los ejercicios siguientes, hallar la ecuación de la recta con las condiciones dadas: a) Pasa por el punto (-4,-5) con pendiente m = -6. dato : m 6 y mx b 5 6( 4) b 29 b Y 6 x 29 b) Pasa por (-4,-3) y (-5,-7) Y Y1 M ( X X 1 ) Y2 Y1 Y Y1 (X X1) X 2 X1 7 3 Y 3 ( X 4) 5 4 73 Y 3 ( X 4) 54 4 Y 3 ( X 4) 1 Y 3 4 X 16 Y 4 X 16 3 Y 4 X 13 c) Pasa por el origen y de pendiente 3. m 3 PASA POR EL PUNTO C (0,0) Y MX B 0 3(0) B 0 0 B 0B Re mplazando en la ecuacion y mx b y 3x 0 Y 3x d) Corta al eje X en - 6, de pendiente -3. m 3 Y mx b 0 3(6) b 0 18 b 18 b y 3x 18 e) Corta al eje Y en 7 de pendiente -4. m 4 Y MX B 7 4(0) B 7 0 B 7B Re mplazando en la ecuacion Y mx b Y 4 x 7 f) Pasa por (-3,-5) y paralela a la recta -3x+4y = 7. Punto (3,5) paralelo a la recta l : 3 x 4 y 7 3 x 4 ( 4) 7 P(3,4) 3 x 16 7 Y Y1 M ( X X 1 ) Y2 Y1 3 x 7 16 Y Y1 X 2 X1 54 3 x 9 y4 ( x 3) 33 9 9 x y4 ( x 3) 3 6 9 27 x3 y4 x 6 6 9 27 3x 4 y 7 y x 4 6 6 9 51 3(3) 4 y 7 y x 6 6 9 4y 7 4y 7 9 4 y 16 y 16 / 4 y4 g) Pasa por el punto (-3, - 5) y perpendicular a la recta - 7x + 3y = 5. 7x 3y 5 7(3) 3 y 5 21 3 y 5 3 y 5 21 3 y 16 y 16 / 3 Re mplazo en una de ellas 7 X 3(16 / 3) 5 7 X 16 5 7 X 11 7 X (1) 11(1) 7 X 11 X 11 / 7 Ahora en la ecuacion de la pendiente Y Y1 M ( X X 1 ) Y2 Y1 Y 5 (X X1) X 2 X1 16 5 Y 5 3 ( X 3) 11 3 7 31 Y 5 3 ( X 3) 10 7 217 Y 5 ( X 3) 30 217 651 Y 5 X 30 30 217 651 Y X 5 30 30 271 651 Y X 5 30 30 271 801 Y X 30 30 h) Pasa por el punto (12, - 4) y es paralela a la recta que pasa por los puntos (-4, -7) y (- 1, 5). Y2 Y1 M X 2 X1 5 7 12 M 4 1 4 3 M 4 Y mx b 4 4(12) b 4 48 b 52 b Y mx b y 4 x 52 i) Pasa por el punto (0,1) y es perpendicular a la recta que pasa por los puntos (2,-3) y (9,8). Y2 Y1 m X 2 X1 8 3 11 M 92 7 Y MX B Y 77(0) B 1 0 B 1 B M * M 1 1 11 * M 1 1 7 M 1 77 Y 77 X 1 j) Que pasa por (3,2) y paralelo a la recta L: 4(3) 3Y 6 0 12 3Y 6 0 12 3Y 6 3Y 6 12 3Y 6 6 y 3 Y 2 4 X 3(2) 6 4X 6 6 4 X 12 X 12 / 4 X 3 Y2 Y1 22 M 4 X 2 X1 33 M 4 Y mx b 2 4(3) b 2 12 b 2 12 b 14 b Y MX B Y 4 X 14 k) Es perpendicular a la recta 3x-7y=-2 y pasa por el punto (-3,4). 3 X 7Y 2 3( 3) 7Y 2 9 7Y 2 7Y 2 9 7Y 7 7Y ( 1) 7( 1) 7Y 7 7 Y 7 Y 1 3 X 7( 1) 2 3 X 7 2 3 X 2 7 3 X 9 X 3 1 3 2 M 1 3 1 2 M 1 Y MX B 4 1( 3) B 43 B 43 B 1 B Y X 1 2. Determina las ecuaciones de las ecuaciones de los lados de un cuadrilátero cuyos vértices son: (1,2), (4,1), (5,2) y (2,4) AD A(1,2) D (2,4) Y2 Y1 M X 2 X1 42 Y 2 2 1 Y MX B 2 2(1) B 2 2 B 0b Y MX B Y 2X 2) AB1,2 (4,1) Y2 Y1 M X 2 X1 1 2 1 M 3 4 1 3 M 3 Y MX B 2 3(1) B 2 3 B 23 B 5B Y 3 X 5 3) BC (4,1) (5,2) Y2 Y1 M X 2 X1 2 1 M 2 54 M 2 Y MX B 1 1( 4) B 1 4 B 5B Y MX B Y 2X 5 CD ( 2,4) (5,2) Y2 Y1 M X 2 X1 24 2 M 52 3 2 M 3 Y MX B 2 4 ( 2) B 3 4 4 B 3 4 4 B 3 16 B 3 Y MX B 2 16 Y X 3 3 3. Demuestra que los puntos A (-4,-9), B (2,0) y C son coloniales, mediante la ecuación de la recta que pasa por dos de sus puntos Y Y1 M ( X X 1 ) Y2 Y1 Y 9 ( X 4) X 2 X1 60 Y 9 ( X 4) 62 6 Y 9 ( X 4) 4 6 24 Y 9 X 4 4 6 Y X 15 4 CIRCUNFERENCIA 1. En cada ejercicio hallar la ecuación de la circunferencia que cumple: a. Las coordenadas de su centro son (– 1, 2) y pasa por (2, 6). centro : (1,2) punto : (2,6) x2 y2 R2 ( x a ) 2 ( y b) 2 R 2 Forma general deonde : ( a, b) centro R radio ( x (1))2 ( y 2) 2 R 2 (2 1) 2 (6 2) 2 R 2 9 16 R 2 R 5..........siempre _ positivo ( x 1) 2 ( y 2) 2 5 2 b. Los puntos de coordenadas (3, 2) (– 1, 6), son extremos de uno de sus diámetros. diameto 2 R (3,2) (1,6) 2 R (3 1) 2 (2 6) 2 2R 2 3 R2 5 (1,6) 0 (3,2) 3 1 2 6 0( , ) (2,4) 2 2 ( x a ) 2 ( y b) 2 R 2 ( x 2) 2 ( y 4) 2 5 c. Las coordenadas de su centro son (6, 0) y pasa por el origen de coordenadas. centro : (6,0) (a, b) punto : (0,0) R (6 0) 2 0 2 6 ( x a ) 2 ( y b) 2 R 2 ( x 6) 2 y 2 6 2 d. Pasa por los puntos de coordenadas (6, 0) (0, 8) (0, 0) y 8 2 4 6 8 x ( x a ) 2 ( y b) 2 2 centro : (a, b) (3,4) (6 a ) 2 b 2 2 .......(I ) a 2 b 2 R 2 32 4 2 R 2 a (8 b) ..........( II ) 2 2 2 R6 a 2 b 2 2 .................(III ) ( x a ) 2 ( y b) 2 R 2 ( x 3) 2 ( y 4) 2 5 2 res tan do( I ) y ( II ) (6 a ) 2 a 2 0 6a0 a3 res tan do( II ) y ( III ) (8 b) 2 b 2 0 8bb b4 e. Pasa por los puntos de coordenadas (8,1) (5,10) (– 1,– 2) ( x a ) 2 ( y b) 2 R 2 (8 a) 2 (1 b) 2 R 2 64 16a a 2 1 2b b 2 ......(I ) (5 a) 2 (10 b) 2 R 2 25 10a a 2 100 20b b 2 .....(II ) (1 a) 2 (2 b) 2 R 2 1 2a a 2 4 2b b 2 ........(III ) * res tan do( I ) y ( II ) (64 125) 6a 18b 0 6a 18b 6a 0 a 3b 10 0............(IV ) * res tan do( I ) y ( III ) 65 5 18a 4b 0 9a 2b 3a 0........(V ) 6a 11b 6a 0.......(VI ) * res tan do( II ) y ( III ) 125 5 12a 22b 0 res tan do : (V ) y ( IV ) 120 70 2 120 a 3( ) 10 0 (5 ) (10 ) R2 29b 120 29 29 29 360 2280 70 a R 2 1685.293 29 29 70 2 120 2 (x ) (y ) 1685.293 29 29 2. Determinar los puntos donde la circunferencia cuya ecuación es x 2 y 2 2 x 4 y 1 0 corta a los ejes de coordenadas. Corta a los ejes coordenados: cuando : x 0 0 y 2 2 ( 0) 4 y 4 1 0 y2 4y 4 3 ( y 2) 2 3 y2 3 Punto (0,2 3 ) corta el eje x cuando : y 0 x 2 0 2 x 4(0) 1 0 x 2 2x 1 0 ( x 1) 2 0 x 1 punto : (1,0) corta al eje y. 3. Encontrar los puntos de intersección de las circunferencias representadas por las ecuaciones: x 2 y 2 2x 4 y 0 x 2 y 2 2x 6 y 0 C1 x 2 y 2 2 x 4 y 0 C2 x 2 y 2 2x 6 y 0 4x 2 y 0 2x y 0 y 2 x En C1 : (2 x) 2 y 2 y 4 y 0 5y2 5y 0 5 y ( y 6) 0 y0 y 1 Punto de intersección: P1 (0,0) P2 (1 / 2,1) 4. La ecuación de una circunferencia es: x 2 y 2 Dx Ey F 0 . Determinar la ecuación para el caso particular en que la circunferencia pasa por los puntos P (-4,0), Q (0,2) y R(-2,-2). ( I ) (4) 2 (0) 2 D(4) E (0) F 0 4 D F 16 0 ( II ) 0 2 2 2 D(0) E (2) F 0 2 E F 4 0 ( III ) (2) 2 2 2 D(2) E (2) F 0 2 D 2 E F 8 0 res tan do( II ) y ( III ) 2 D 4 0 D 2 • 4 D F 16 0 • 2E F 4 0 8 F 16 0 2E 8 4 0 F 8 E2 C : x 2 y 2 2x 2 y 8 0 ( x 1) 2 ( y 1) 2 10 5. Probar que el punto P (4,2) pertenece a la circunferencia x 2 y 2 2 x 4 y 20 y obtener la ecuación de la tangente a la circunferencia en ese punto. Solución: P (4,2) Circunferencia x 2 y 2 2 x 4 y 20 sustituyen las coordenadas de P 16 + 4 − 8 + 8 = 20 20 = 20 P pertenece a la circunferencia 𝑥 2 + 𝑦 2 − 2𝑥 + 4 = 20 𝑥 2 − 2𝑥 + 1 + 𝑦 2 + 4𝑦 + 22 = 20 + 1 + 4 (𝑥 − 1)2 + (𝑦 + 2)2 = 25 𝐶(1, −2) 𝑟 = 5 Pendiente 𝑃𝐶 𝑃(4,2) C (1,-2) 𝑦 −𝑦 2+2 4 𝑚𝑃𝐶 = 𝑥2 −𝑥1 = 4−1 = 3 2 1 Pendiente de la tangente 𝑚𝑃𝐶 ∗ 𝑚 𝑇𝑎𝑛𝑔 = −1 La tangente es perpendicular al radio. −1 3 𝑚 𝑇𝑎𝑛𝑔 = 4 = −4 3 Ecuación punto pendiente 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1 ) 3 𝑦 − 2 = − 4 (𝑥 − 4) 4𝑦 − 8 = −3𝑥 + 12 −3𝑥+12+8 𝑦= 4 𝟑 𝒚 = − 𝒙 + 𝟓 Recta de la tangente a la circunferencia en el punto P 𝟒 6. Una circunferencia es tangente al eje de las x, pasa por el punto A (1,1) y tiene su centro sobre la recta y = x − 1. Obtener la ecuación de la circunferencia. Solución: y x 1 ( p, q ) Ax2 By2 Cx Cy D 0 P Ax2 Cx D ( y q) 2 (1,1) ( p,0) C : ( x a ) 2 ( y b) 2 R 2 ( p 1) 2 (q 1) 2 R ( p p) 2 (q 0) 2 R q 2 q 2 2q 1 R 2 q R 2 2 (q 1) 0 2 q2 R2 q 1 q p 1 1 R 1 p2 centro : ( p, q) (2,1) radio : R 1 C : ( x p) 2 ( y q) 2 ( x 2) 2 ( y 1) 2 1 7. El servicio sismológico de Chiclayo detectó un sismo con origen en la ciudad de Lambayeque a 5 km este y 3 km sur del centro de la cuidad con un radio de 4 km a la redonda. ¿Cuál es la ecuación de la circunferencia del área afectada? Utilizando esta ecuación, indica si afectó al centro de la ciudad de Lambayeque. Solución: C : ( x a ) 2 ( y b) 2 R 2 C : ( x 5) 2 ( y 3) 2 42 (respuesta) Centro de Lambayeque (0,0) reemplazando en c (0 5) 2 (0 3) 2 4 2 5 2 32 4 2 34 16 8. Determinar si la gráfica de la ecuación dada es una circunferencia, un punto o el conjunto vacío. Si la gráfica es una circunferencia, determine su centro y su radio. 4x2 + 4y2 – 12x + 8y +77 = 0 Solución: C : 4 x 2 4 y 2 12 x 8 y 77 0 9 9 4( x 2 3x ) 4( y 2 2 y 4 4) 77 0 4 4 3 4((x ) 2 9 4( y 2) 2 16 77 0 2 3 4( x ) 2 4( y 2) 2 102 2 3 centro : ( ;2) 2 102 51 radio : 4 2 9.El punto medio de una cuerda de la circunferencia x2 + y+ – 12x – 4y – 60 = 0 es M (5, -1). Determinar la ecuación de la recta que contiene a dicha cuerda. Solución: C : x w y 2 12 x 4 y 60 0 ( x 6) 2 ( y 4) 2 36 4 60 0 ( x 6) 2 ( y 4) 2 102 centro : (6,4) 10. Se requiere remodelar parte de la cúpula de una iglesia, cuya vista superior se muestra con el área sombreada en la figura. Calcula el área que se remodelará Solución: AC1 AC2 área remodelada 2 2 R 2 r 2 32 (R2 r 2 ) (92 7 2 ) 16 2 2 2 2 2 área remodelada 16 50.27m2 11.En una competencia, un lanzador de martillo describe en su ejecución un movimiento circular, como se indica en la figura. Se sabe que la bola del martillo es de metal y tiene un diámetro de 13 cm; el acero que une al martillo con la empuñadura mide 120 cm de longitud. a) ¿Cuál es el perímetro de la circunferencia descrita? Supongamos que la distancia del centro del lanzador a la empuñadura con los brazos extendidos es de 60 cm. b) ¿A qué velocidad es lanzado el martillo después de la novena vuelta, si se sabe que éste cayó a una distancia de 80 metros en un tiempo de 4 segundos? Solución: a) R 60 120 13 193 perimetro : 2R 2R(193) 826.66m b) 1 0 Vyt at 2 2 d Vxt 0 Vy(4) 5(16) 80 Vx4 Vy 20m / s Vx 20m / v 2 Vx2 Vy 2 y 20 2 20 2 y 20 2 12. Se quiere construir una muralla circular que abarque todo un poblado. La única iglesia está ubicada en las coordenadas (2,3) y la construcción más alejada de ella está a 4.9 km de distancia. Escribe la ecuación que representa a la muralla, considerando a la iglesia como centro y teniendo en cuenta que la muralla debe estar a 100 m de la construcción más lejana a ella. Solución: 13.La figura muestra la posición de tres extractores de aire idénticos en una fábrica. El eje de las aspas del extractor central (2) se encuentra ubicado en las coordenadas (0,0). Se sabe que la distancia entre los extractores es de 15 metros y las coordenadas de 1 2 determinado punto sobre la circunferencia que describe el extractor central son , 2 3 .Escribe las ecuaciones que describen el movimiento de los tres extractores. 1 2 1 2 d ( x2 x1 ) 2 ( y2 y1 ) 2 (0 0) 2 ( ) 2 d (0 )(0 ) r 2 3 2 3 3 4 0 6 7 d 0 6 7 d 6 d 1.16 14.Determinar la ecuación de la circunferencia cuyo diámetro es la cuerda común a las circunferencias: C1: x2 + y2 – 18x – 16y + 45 = 0 y C2: x2 + y2 + 6x – 4y – 27 = 0. C1 : x 2 y 2 18 x 16 y 45 0 x 18 x 92 92 y 2 16 y 82 82 45 x 2 4 x 92 y 2 16 y 82 45 9 8 ( x 9) 2 ( y 8) 2 0 C 2 : x2 + y 2 + 6x - 4y - 27 = 0 x 2 16 x 32 32 y 2 4 y 22 22 27 x 2 16 x 32 y 2 4 y 22 27 9 4 ( x 3) 2 ( y 2) 2 40 15.La ecuación de una circunferencia es C: 4x2 + 4y2 – 16x + 25 = 0. Determinar la ecuación de la circunferencia C1 concéntrica a C y que sea tangente a la recta £: 5x – 12y – 1 = 0. (4 x 16 x 4 y 2 25 0 (2 x 4 x) 2 4 y 2 25 0 15 x2 y 2 4x 0 4 15 ( x 2) 2 y 2 0 4 5 x 12 y 1 0 15 5 2 12 1 0 4 16.Por el punto (-5, 4), se trazan dos tangentes a la circunferencia: C: x2 + y2 –10𝑥+7 = 0 Calcular el ángulo agudo que forman estas tangentes. C : x 2 y 2 10 x 7 0 y 2 10 x x 2 7 y 2 ( x 5) 18 y 18 ( x.5) 2 2( x 6) 5 x y m1 2 18 ( x 5) 2 18 ( x 5) 2 m .m arctg ( 2 1 ) 1 m2 m1 5 x 5 x ( )( ) 18 ( x 5) 2 18 ( x 5) 2 arctg[ ] 1 m2 .m1 m1 2 arctg[ ] 1 m1 2 46.169 17. Reduce las siguientes ecuaciones de la circunferencia a la forma ordinaria a) x 2 y 2 4 x 6 y 36 0 2 b) x 2 y 2 2 2 x 2 3 y 5 0 x2 2 2x 2 2 y 2 2 3 y 3 3 5 0 2 ( x 2 ) 2 ( y 3 ) 2 10 c) x 2 y 2 7 x 4 y 0 7 7 x2 7 y ( )2 ( )2 y 2 4 y 4 4 0 2 2 7 65 2 ( x ) 2 ( y 2) 2 ( ) 2 4 d ) 2 x 2 2 y 2 6 x 10 y 7 0 7 x 2 y 2 3x 5 y 0 2 3 5 9 25 14 ( x )2 ( y )2 0 2 2 4 4 4 3 5 2 ( x )2 ( y )2 5 2 2 e)4 x 2 4 y 2 40 x 8 y 79 0 79 x 2 y 2 10 x 2 y 0 24 79 x 2 10 x 25 25 y 2 2 y 1 1 0 4 183 ( x 5) 2 ( y 1) 2 ( y 1) 2 4 f ) 3x 2 3 y 2 20 x 10 y 25 0 10 2 10 5 5 3x 2 20 x () ( ) 2 3 y 2 10 y ( ) 2 25 ( ) 2 0 3 3 3 3 10 2 10 2 100 25 ( 3x ) ( 3y ) 25 0 3 3 3 3 10 2 10 2 50 ( 3x ) ( 3y ) 3 3 3 LUGAR GEOMÉTRICO 1.- D1 = √[ (x - 3)² + (y - 0)² ] D1 = √[ (x - 3)² + y² ] D2 = √{ [ x - (-3) ]² + (y - 0)² } D2 = √[ (x + 3)² + y² ] D1 + D2 = 8 √[ (x - 3)² + y² ] + √[ (x + 3)² + y² ] = 8 √[ (x - 3)² + y² ] = 8 - √[ (x + 3)² + y² ] { √[ (x - 3)² + y² ] }² = { 8 - √[ (x + 3)² + y² ] }² (x - 3)² + y² = 64 - 16√[ (x + 3)² + y² ] + (x + 3)² + y² x² - 6x + 9 + y² = 64 - 16√[ (x + 3)² + y² ] + x² + 6x + 9 + y² - 6x = 64 - 16√[ (x + 3)² + y² ] + 6x 16√[ (x + 3)² + y² ] = 64 + 12x √[ (x + 3)² + y² ] = (64 + 12x) / 16 √[ (x + 3)² + y² ] = 4 + ¾.x { √[ (x + 3)² + y² ] }² = (4 + ¾.x)² (x + 3)² + y² = 16 + 6x + (9/16).x² x² + 6x + 9 + y² = 16 + 6x + (9/16).x² (7/16).x² + y² - 7 = 0 (7/16).x² + y² = 7 [ (7/16) / 7 ].x² + (y² / 7) = 7 / 7 (x² / 16) + (y² / 7) = 1 3d 4.- P(x,y) d x+2= x+0y-2=0 𝑥−2 = 3√(𝑥 + 1)2 + 𝑦 2 √02 + 12 (𝑥 − 2)2 = 9((𝑥 − 1)2 + 𝑦 2 𝑥 2 − 4𝑥 + 4 = 9(𝑥 2 -2x+1+y) 8𝑥 2 + 14𝑥 + 5 + 𝑦 2 5.- P(x,y) A(2,0) B(-1,0) 2√(𝑥 + 2)2 + 𝑦 2 = √(𝑥 + 1)2 + 𝑦 2 4𝑦 2 + 4𝑥 2 − 16𝑥 + 16 = 4𝑦 2 + 4𝑥 2 + 8𝑥 + 4 24𝑥 = 12 𝑥= 1/2 𝑦 2 + (𝑥 + 5)(𝑥 + 1) = 0 𝑦=0 6.- P(x,y) B(-6,1) A(2,1) (2 + 6)2 + (1 − 1)2 = (𝑥 − 2)2 + (𝑦 − 1)2 + (𝑥 + 6)2 + (𝑦 − 1)2 32 = 𝑥 2 + 4𝑥 + 4 + 6 + 𝑦 2 − 2𝑦 + 1 16(𝑥 + 2)2 + (𝑦 − 1)2 7.- P(x,y) A(-4,0) B(4,0) √42 + 𝑦 2 + √−42 + 𝑦 2 =40 16 + 𝑦 2 + 16 + 𝑦 2 = 20 ∗ 40 16 + 𝑦 2 = 10 ∗ 40 𝑦= 8√6 PARÁBOLA 1.- 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜𝑌 = −15 , 𝑥 = 𝑡25 𝑦 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒 (0.0) −15 = −𝑎(25)2 + 0 15 𝑎 = 625 −3 𝑦 = 125 𝑥 2 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜𝑌 = −10 , 𝑥 = 𝑡15 𝑦 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒 (0.0) −15 = −𝑎(15)^2 + 0 2 𝑎 = 45 2𝑥 2 𝑦=− 45 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜𝑌 = −5 , 𝑥 = 𝑡10 𝑦 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒 (0.0) −5 = 𝑎(10)2 + 0 1 𝑎 = 20 1 𝑦 = − 20 𝑥 2 2.La figura muestra un puente colgante, cuyos extremos están unidos por una cuerda de arco. Con los datos que se indican, determina la ecuación correspondiente a la parábola descrita por la cuerda Y=10→ 𝑥 = ±50, 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒 (0,0) → 𝑦 = −𝑎𝑥 2 + 𝑘 10 = 𝑎2500 + 0 1 𝑎= 250 1 2 𝑦= 𝑥 250 3.El haz de luz emitido por una linterna describe una parábola que se ilustra en la siguiente figura. Con los datos indicados en la figura, determina la ecuación de la parábola 1 𝑥 = 𝑎(𝑦 + 𝑘)2 + ℎ → 𝐹 = (ℎ + 𝑘) 400 1 𝑘 =0 ℎ+ =3 4𝑎 1 𝑥 = 𝑎𝑦 2 + 3 − 4𝑎 4.Una rana da un salto que mide 30 cm de largo y con una altura de 10 cm.Determina la ecuación de la parábola descrita por el salto, considerando los ejes coordenados que se muestran en la figura 𝑦= −10 → 𝑥 = ±15, 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒(0,0) 𝑦= −𝑎(𝑥 − ℎ)2 + 𝑘 −10 = −𝑎(15)2 − 0 2 −2 𝑎= 𝑦= 𝑥2 45 45 5.Determina la ecuación de la familia de parábolas que tienen como foco común (2,5) y el eje común paralelo al eje de coordenadas 1 𝑦 = 𝑎(𝑥 − ℎ)2 + 𝑘 ; 𝐹 = (ℎ, 𝑘 + ) → ℎ = 2∇5 = 4𝑎 1 𝑘 + 4𝑎 1 𝑦 = 𝑎(𝑥 − 2)2 + 5 − 4 𝐹 = (2,5) 6.La ecuación de una familia de parábolas es y ax 2 bx .determina la ecuación del elemento de la familia que pasa por los puntos (1,-3) y (3,3) 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑏𝑜𝑙𝑎: 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 (𝑎, −3)𝑦 (3,3) 𝑦 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 → 3 = 𝑎 + 𝑏 → −3 = 𝑎 + 𝑏 ∴ 𝑎 + 𝑏 = −3 2 −3 = 𝑎(6) + 𝑏(1) → 3 = 9𝑎 + 3𝑏 → 1 = 3𝑎 + 𝑏 2 + 𝑏 = −3 3 = 𝑎(3)2 + 𝑏(3) − 4 = 2𝑎 𝑏 = −5 𝑎=2 7.Encuentra la ecuación de la parábola con vértice en la recta x 3 y 4 0 y que pasa por los puntos (-1,0) y (-1,-3) 𝑥= 𝑎(𝑦 + 𝑘)2 + ℎ → 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒 (ℎ, 𝑘) −1 = 𝑎(0 + 𝑘)2 + ℎ −1 = 𝑎𝑘 2 − 𝑎(𝑘 − 3)2 0 = (𝑘 − 3)2 𝑘 2 = (𝑘 − 3)2 𝑘 = ±(𝑘 − 3) 3 𝑘= 2 → −1 = 𝑎𝑘 2 + ℎ 9 1 −1 = 𝑎 ( ) + ( ) 4 2 −2 𝑎= 3 → ℎ − 3𝑘 + 4 = 0 3 ℎ = −4 + 3( ) 2 ℎ = −1/2 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑏𝑜𝑙𝑎 𝑥 = 𝑎(𝑦 + 𝑘)2 + ℎ −2 3 1 𝑥= (𝑦 + )2 + 3 2 2 8.Encuentra la ecuación de la parábola que pasa por los puntos (-7,-3) ,(-2,19/2) y (5,- 10) y cuyos eje es paralelo al eje Y. 𝑦 = 𝑎 − 3 = 𝑎(−7 − ℎ)2 + 𝑘 … … (𝐼) 19 12 = 𝑎(−2 − ℎ)2 + 𝑘 … … (𝐼𝐼) −10 = 𝑎(5 − ℎ) + 𝑘 … … … … (𝐼𝐼𝐼) 𝐼𝑌 𝐼𝐼𝐼 7 = 𝑎[(7 + ℎ)2 − (5 − ℎ)2 ] … … . (𝐼𝑉) 𝐼𝑌 𝐼𝐼 −25 = 𝑎[(7 + ℎ)2 − (2 + ℎ)2 ] … . . (𝑉) 2 7 𝑎= 49 24(46) 𝑎 = 0.14 23 3 → −10 = (5 − )2 + 𝑘 168 46 𝑘 = −13.33 10.Un jugador de béisbol lanza, desde el origen de coordenadas, una pelota siguiendo una trayectoria descrita por la parábola P : 3x2 - 240x+160y = 0 . Si las unidades son metros, ¿cuál es la altura máxima alcanzada por la pelota y a qué distancia del jugador cae la pelota? 𝑝 = 160 𝑦 − 3𝑥 2 + 240𝑦 3 𝑦=− (𝑥 2 − 80𝑦 + 402 − 402 160 −3 𝑦= (𝑥 − 40)2 + 30 160 → 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒 (40,30) 𝐻 = 𝑦 = 30 𝑎 𝑎 𝐷 = + = 40 + 40 = 80 2 2 11) h t = - 4t 2 +16 t H (t)=-4(t2 -4(14-4)) H (t)=-4(t-2)2+16 Vértice : (2;16) • Hmax,h(t)=16 m/s • T=t/2+t/2=2+2=4 seg 12) • Vértice:(4,4) • Parábola: y=-a(x-4)2+4 Cuando: x=0 y=0 0=a(0-4)2+4 A=1/4 • Parábola: y=-1/4(x-4)2+4 Cuado y=2.5 2.5=-1/4(x-4)2 =4(1.5) x-4=+-√6 x=4+-√6 ✓ X=4+√6 ✓ X=4-√6 • L=x1-x1 4+√6-(4-√6) L= 2√6 13) P(x)=x2+60x : (x2-60x+302-302) • P(x-30)2+900 • Vértice30,900) • N° de unidades :2x=2(30)=60 • Utilidad max:900 14) • Y=0(x-k)2+h Y=ax2 • F=(k+1/4a)+h)=(4,0) K+1/4a=4 0+1/4a=4 A=1/16 • Y=1/16(x-k)2+h Y=x2/16 15) P= ¿? Vértice:(-2,1) x=-2 Foco: (-2,5) Parábola=a (y-k)2+k Foco: F= (k, h+1/4a (-2,5)= (-2,1+1/4a) 5=1+1/4a a=1/16 Parábola: x=a (y-k)2+h X=1/16(y-6)2-2 16) • Vértice: (2,-7)=(h,k) • Foco: F • Directriz : (0,-3) Parábola: y=-a(x-h)2+k y=-a(x-2)2-7 Foco: (h, k+1/4a) P= √(-2+2)2+(-3+7)2= √(-2+2),_7+1/4a+7)2 16=(1/4a)2 1/4ª=0+-4 a=0 a=1/16 • Parábola : Y=-1/16(x-2)2-7 17) • Vértice : (0.hmax)=(0,18) Cuando y=0 x=t24/2=+-12 • Parábola : y=a(x-h)2+k 0=-a (13+0)2+18 • A=18/122=1/8 Y=-1/8(x)2+18 Cuando x=8, Y=-1/8(8)2+18 Y=10m 18) Vértice : (0,0) Parábola : y= a(x-h)2+k Y=ax Cuando :y=30 30=x2 X=+-√30 L=√30-(-√30)= 2√30 19) • Y=(x-h)2+k Y=ax2 • Cuando : y=20 20=ax2 X+-√20/a • 2√20/a=100 20/a=502 A=1/12 • Y=1/125(x)2 Foco: (h,k+1/4a) =(0,0+1/4(1/125)) Foco: (0,125/4) 20. Determina la ecuación general de la recta L, la cual pasa por el foco de la parábola: 2 x 2 8 x 3 y 4 0 ; si la pendiente de la recta L es igual a cuatro veces la longitud del lado recto de la parábola. 2 x 2 8x 3 y 4 0 2 x 2 8x 3 y 4 0 2 2 2 2 3y x 2 4x 20 2 3y ( x 4) 20 2 3y ( x 2) 2 4 20 2 m 4 3y ( x 2) 60 y mx 10 2 y 4 x 10 3 ( x 2) ( y 2) 2 y mx b 2 4(2) b 2 8 b 10 b 21. Si las torres de un puente colgante tienen una separación de 400 meros y los cables esán atados a ellas a 200 metros arriba del piso del puente, ¿Cuál es la longitud que debe tener el puntal que está a 50 metros de la torre? Suponga que el cable toca el piso en el punto medio V del puente. ( x h) 2 4 p ( y k ) x 2 20 y p x 2 4 py 150 2 200a 2002 4 p 50 4 py 112,5 a 50 p p 12,5 22. Una antena parabólica para televisión tiene un metro de diámetro y su receptor está colocado 25 cm arriba de su vértice. ¿Cuál es la profundidad de la antena? Foco(25,0) Vértice(0,0) Directriz x 25 1m 100cm (50,25) y (50,25) x 50, y 25 Re mplazandola : (50) 2 4 p (25) 2500 100 p p 2500 100 p 25 23. Un cañón lanza proyectil, el cual es lanzado desde el nivel del terreno siguiendo la trayectoria parabólica x 2 y 6 x 18 0 en la cual las unidades están medidas en kilómetros. ¿Cuál será la altura máxima alcanzada por el proyectil? ¿a qué distancia del cañón caerá? x 2 y 6 x 18 0 x 2 6 x y 18 0 v(3,9) (h, k ) ( x 6 x) y 18 2 k 9 ( x 2 6 x 9) y 18 9 Máx. Altura 9km ( x 3) 2 y 9 24. Un arquero lanza una flecha que describe una trayectoria parabólica, la cual alcanza una altura máxima de 8 metros, y al caer impaca en el blanco ubicado a 6 metros de altura que coincide con uno de los extremos del lado recto de la parábola. Determina la distancia “d” que se muestra en la grafica = ( x h) 2 4 p ( y k ) ( x 0) 2 4( 2)( y 8) x 2 8( y 8) (a,6) P (b,0) P a 2 8(6 8) b 2 8(0 8) d (8 4) 2 (0 6) 2 .) a 8(2) 2 .) .) b 2 64 d 144 36 180 6 5 a 16 2 b 8 a4 25. Una piedra se lanza en forma horizontal desde lo alto de una torre de 125 pies de altura. La piedra cae al piso en el punto “A” como indica la figura. En su trayectoria la piedra roza la copa de un árbol que está ubicado a 24 pies del punto en el cual la piedra toca el piso. Determina la altura del árbol. ( x h) 2 4 p ( y k ) v (0,125) ( x 0) 2 4 p ( y 125)....(1) P (24,0) 24 2 4 p (0 24) 576 96 p 149 p 24 Sustituyendo...(1) P (24,0) 149 x 2 4( )( y 125) 4 Dis tan cia (d ,0) 149 d2 (0 125) 24 18625 d2 24 d 27,857 26. Se lanza una piedra, siendo su trayectoria una parábola. La máxima altura que alcanza la piedra es de 8 metros y cae 32 metros más allá del punto de lanzamiento de la piedra. Determina la altura que alcanzó la piedra 24 metros más allá del punto en que fue lanzada. ( x h) 2 4 p ( y k ) ( x 0) 2 4 p ( y 8) x 2 4 p ((0 8) 16 2 32 p 8 p x 2 32( y 8) p (8, h) 8 2 32( y 8) .) 64 32 y 256 32 y 256 64 192 y 32 y6 27. Un lanzador de dardos suelta un dardo a 5 pies sobre el suelo. El dardo se arroja horizontalmente y describe una trayectoria parabólica. Llega al suelo los 10 10 pies del lanzador. A una distancia de 10 pies del lanzador. ¿a qué altura debe colocarse el tablero para que el dardo le acierte? x 10 10 y0 Tenemos 0 4 p (10 10 ) 5 p5 (0,5) (h, k ) ( x h) 2 4 p ( y k ) ( x o) 2 4(5)( y 5) (10 10 ) 2 20( y 5) 1000 20( y 5) 1000 y 5 20 50 y 5 55 y 28. En la siguiente figura, suponga que el agua sale que sale del final del tubo horizontal que está ubicado a 25 metros del piso , describe una curva parabólica. El vértice “V” de la parábola está en el final del tubo . Si en un punto, que se encuentra a 8 metros bajos la línea del tubo, el flujo del agua se ha curvado hacia afuera 10 metros más allá de un recta vertical que pasa por el final del tubo. ¿Qué tan alejada de esta vertical, el agua tocará el suelo? v (0,25) Ecuación : ( x h) 2 4 p ( y k ) Re emplazamos : ( x 0) 2 4 p ( y 25).........(1) P(10,8) (10) 2 4 p (8 25) 100 68 p 25 p 17 Sustituyendo...........(1) : 25 x 2 4( )( y 25)...........(2) 17 Dis tan cia : (d ,0)......en(2) 100 d2 (0 25) 17 2500 d 17 d 147,058m