Copyright c _2013 Mauricio Ramírez HerreraPUBLICADO POR COLEGIO INTERNACIONAL CANADIENSE MATEMATICACIC.WORDPRESS.COM Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicación puede reproducirse, registrarse o transmitirse, por un sistema de recuperación de información, en ninguna forma ni por ningún medio, sea electrónico, mecánico, fotoquimico, magnético o electroóptico, por fotocopia, grabación o cualquier otro, sin permiso previo por escrito del editor. El préstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesión de uso de este ejemplar requerirá también la autorización del editor o de sus representantes. Primera Impresión, Diciembre 2013 Índice general 1 Conocimientos Previos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1 Monomios, binomios, trinomios y polinomios 7 1.2 Términos semejantes 8 1.3 Suma y resta algebraica 9 1.3.1 Multiplicación algebraica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4 Productos notables 14 1.4.1 Primer Producto Notable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4.2 Segundo Producto Notable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.4.3 Tercer Producto Notable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.5 Factorización 19 1.5.1 Factorización por el método de factor común . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.5.2 Factorización por Agrupación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.5.3 Factorización por Fórmulas Notables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.6 Ecuaciones Lineales 30 1.7 Problemas con Ecuaciones Lineales 30 1.7.1 Ejercicios Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2 Ecuaciones Cuadráticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.1 Análisis del Discriminante 33 2.2 Métodos de Solución de Ecuaciones Cuadráticas 36 2.2.1 Fórmula General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.2.2 Ecuaciones Cuadráticas Incompletas y Desordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.2.3 Ecuaciones Fraccionarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.2.4 Ecuaciones con Radicales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.3 Problemas con Ecuaciones Cuadráticas 52 3 Factorización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.1 Factorización por Inspección 60 3.2 Factorización por Fórmulas Notables 64 3.2.1 Diferencia de Cubos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 3.2.2 Suma de Cubos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 3.3 Factorización por Fórmula General 69 3.4 Factorización por combinación de métodos 73 4 Fracciones Algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 4.1 Simplificación de expresiones algebraicas racionales 77 4.2 Operaciones con expresiones algebraicas racionales. 78 4.2.1 Multiplicación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 4.2.2 División . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 4.2.3 Sumas y restas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 4.2.4 Operaciones combinadas con fracciones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . 85 4.2.5 Fracciones Complejas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 5 Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 5.1 Conceptos básicos de relaciones y funciones 93 5.2 Sistema de Ejes Coordenado o Sistema Cartesiano 96 5.3 Distancia entre dos puntos 104 5.4 Funciones 105 5.5 Función Real de Variable Real 107 5.5.1 Conceptos Básicos de Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 5.6 Prueba de la recta vertical para una función 111 5.7 Criterio de una función 114 5.8 Imagen y Preimagen 115 5.9 Interpretación de Imagenes y Preimagenes 116 5.10 Cálculo de Imágenes 117 5.11 Cálculo de Preimágenes 122 5.12 Representación de una Función 126 5.12.1 Gráfico de una función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 5.12.2 Gráfica de una función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 5.12.3 Ámbito o Rango de una función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 5.13 Funciones Simétricas 131 5.13.1 Funciones pares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 5.13.2 Funciones impares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 5.14 Regimen de Variación 134 5.14.1 Función Constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 5.14.2 Función Creciente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 5.14.3 Función Decreciente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 5.14.4 Función Estrictamente Creciente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 5.14.5 Función Estrictamente Decreciente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 5.15 Máximos y mínimos 135 5.16 Los ceros de una función 136 5.17 Análisis de Gráficas 136 5.18 Dominio Máximo 143 5.18.1 Función Racional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 5.18.2 Función Radical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 5.18.3 Combinación de Casos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 5.19 Algunas Funciones últiles 149 5.19.1 Función Constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 5.19.2 Función identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 5.19.3 Función valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 5.19.4 Funciones definidas por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 5.19.5 Función Parte Entera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 5.20 Funciones Polinomiales 151 6 Función Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 6.1 La ecuación cartesiana de una recta 153 6.1.1 Pendiente de una recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 6.2 Theorems 155 6.3 Rectas horizontales y verticales 155 6.3.1 Forma Punto – Pendiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 6.4 Estudio de la función lineal 157 6.4.1 Several equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 6.4.2 Single Line . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 6.5 Definitions 158 6.6 Notations 158 6.7 Remarks 158 6.8 Corollaries 158 6.9 Propositions 159 6.9.1 Several equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 6.9.2 Single Line . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 6.10 Examples 159 6.10.1 Equation and Text . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 6.10.2 Paragraph of Text . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 6.11 Exercises 159 6.12 Problems 159 6.13 Vocabulary 159 7 Presenting Information . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 7.1 Table 161 7.2 Figure 161 Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 Libros 163 Articulos 163 Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 1 — Conocimientos Previos El álgebra es la base de concepto mas avanzados de la matemática como las funciones y las matemáticas superiores (cálculo, álgebra lineal, ecuaciones diferenciales o métodos numéricos). Es por eso que es necesario un manejo adecuado y preciso del álgebra para lograr el manejo adecuado de los contenidos de Décimo y Undécimo. El estudio del álgebra comenzó en octavo y es por eso que es necesario revisar algunos conocimientos previos para luego introducir los conceptos nuevos. 1.1 Monomios, binomios, trinomios y polinomios Recordemos que una expresión algebraica es aquella que esta formada por números, letras y signos de operación y agrupación. Por ejemplo, Ejemplo 1.1 — Expresiones Algebraicas. 3x x −5 √ x +3 5(x 2 −7) son expresiones algebraicas. La más simple de ellas es el monomio, que pasamos a definir ahora. Monomios Los monomios son expresiones algebraicas formadas por letras y números que se están multiplicando. Debemos, aclarar que es necesario que las letras estén todas en el numerador. Los números si pueden aparecer tanto en el numerador como en el denominador. Así, 3x es un monomio, pero 3 x no lo es. De igual forma, 5 2 m 3 n 7 es un monomio, pero 5m 3 2n 7 no lo es. Binomios Los monomios son expresiones algebraicas formadas por dos monomios unidos por la suma o la resta. Por ejemplo, 3x −4y es un binomio. Lo mismo sucede para 5m+7n 2 m 4 . 8 Conocimientos Previos Es importante notar que 7 9 x 7 − 1 6 y 2 es un binomio, pero 7 9 x 7 − 1 6y 2 no lo es. ¿Sabe por qué? 1 Trinomios Es la expresión algebraica formada por tres monomios, unidos por suma o resta. Los trinomios pueden ser de la forma, Ejemplo 1.2 — Trinomios. 2x −4y +7 2+5m−8n 6y +9z +7a 3−8p−10w Polinomios Por definición, los polinomios son cuatro o mas monomios que están unidos por suma o resta. Ejemplos de polinomios son, Ejemplo 1.3 — Polinomios. 3x 2 +5x 3 −6y +7x 9x −4y +7p−5 Por convención de ahora en adelante, cuando se utilice el término polinomios nos referiremos a los monomios, binomios y trinomios también. Ejercicio 1.1 Si la expresión dada es un polinomio, clasifiquela según el número de término que la componen. 1. 5n 2 +n+6 2. −6xy 2 −2x +3xy +1 3. 4x +y 3 4. 4a 2 − b 2 5. 5c −3 +13c 3 +9 6. 11x y 4 8 7. −2 3a −1 +n y 3 +4 8. a √ 9+6b+13ab 9. −7 √ x +a 3 ÷5+11 10. 12 −5 u 2 w 5 11. − x 2 2 −2x 3 + 3 5 +15x +x 5 12. x 3 − √ 7x 4 +2x −1 1.2 Términos semejantes Cuando se solicita encontrar términos semejantes debemos fijarnos en las letras y sus exponentes, deben ser iguales ambos. Por ejemplo, Ejemplo 1.4 — Términos Semejantes. 3m 1 7 m Por otro lado, un par de monomios no semejantes se presentan a continuación. Ejemplo 1.5 — Términos NO semejantes. 12m 14m 3 no son términos semejantes, pues aunque ambos tienen la letra m, los exponentes son diferentes. 1 1 6y 2 no es un monomio, y los binomios son dos monomios unidos por suma o resta. 1.3 Suma y resta algebraica 9 Otro ejemplo de términos semejantes es Ejemplo 1.6 — Términos Semejantes. 5m 2 n 3 2 8 n 3 m 2 aunque el orden de las letras no es el mismo, son las mismas letras y los mismos exponentes. No obstante, debemos tener cuidado con expresiones como Ejemplo 1.7 — Términos NO Semejantes. 4a 7 b 5 9a 5 b 7 por que aunque las letras son las mismas y están en el mismo orden, los exponentes están invertidos. 1.3 Suma y resta algebraica Para sumar o restar expresiones algebraicas debemos tener claro que solo pueden sumarse los términos semejantes. Veamos un ejemplo, Problema 1.1 Realice la operación 2x +5y 2 −3x 2 +6x 3 +12y 2 −9x +−18x 2 +7x 3 Se identifican los términos semejantes y se juntan 2x −9x +5y 2 +12y 2 −3x 2 +−18x 2 +6x 3 +7x 3 Ahora realizamos las operaciones como ya conocemos, respetando las operaciones de signos opuestos −7x +17y 2 −21x 2 +13x 3 Así se termina la operación pues los términos que resultan no son semejantes. Ejercicio 1.2 Realice las siguientes sumas y restas. 1. 4x +5x 2. −11x 2 +7x 2 3. hn−6hn 4. 4y 3 + 17y 3 3 5. 8ab−9ab 6. 4z +12z +7z 7. x 2 −2x − 2x 3 8. 3a+3a 2 +a 2 9. 7ab+3ab−ab 2 +10ab 2 10. 1 2 y − 1 3 x −2y −4x 11. 5a+7a+4a 12. 4x +5x −2x +x 13. −12a−8a+4a+a 14. 9x −8y +5y −2x 15. 14x −x −17y +4x −y +23x −16y 16. 7x +4x 2 +5x +9x 2 17. 2, 5a−0, 4a−3, 6a+4a 18. −a+7, 1a+2a−3, 5a 19. 2 3 a+ 3 4 b−a−b+ 1 6 a− 2 5 b 20. a 3 −a 2 +4a 3 −a 2 +a 2 b−2a 2 b 10 Conocimientos Previos Ejercicio 1.3 — Para la casa. Realice las siguientes sumas y restas. 1. m+2m 2. a+2a+9a 3. m 2 −2m 2 −7m 2 4. 6x 2 y 2 −12x 2 y 2 +x 2 y 2 5. 3a−2b−5b+9a 6. a 2 +b 2 −2b 2 −3a 2 −a 2 +b 2 7. x 2 yz + 3xy 2 z −2xyz 2 −3xy 2 + xyz 2 − x 2 yz 8. 2pq+3p−12q−15q+7pq−13p 9. 2x −6y −3x −3y −5y 10. 15a+13a−12b−11a−4b−b 1.3.1 Multiplicación algebraica Para multiplicar polinomios no es necesario que estos tengan términos semejantes. Es importante recordar una propiedad que se aprendió en octavo. R Multiplicación de potencias de igual base, se conserva la base y se suman los exponentes. Simbólicamente, lo anterior se escribiría a b a c = a b+c Problema 1.2 Multiplique las siguientes potencias 2 3 2 7 = 2 3+7 = 2 10 5 11 5 −4 = 5 11+−4 = 5 7 (−2) 10 (−2) 5 = (−2) 10+5 = (−2) 15 Además de la propiedad es necesario recordar que al multiplicar dos polinomios los números se multiplican entre si y las variables entre si.Un ejemplo nos ayudará a entenderlo, Problema 1.3 Multiplique los siguientes monomios 5x 6m Multiplico coeficientes entre si y variables entre si (5 6)(x m) Escribo el resultado en el orden usual 30mx En este caso las variables son diferentes, ahora veremos un ejemplo donde las variables son las mismas. Problema 1.4 Realice el producto de los siguientes monomios 12m 3 n 2 5a 2 m 7 Multiplico coeficientes entre si y variables entre si (12 5)(m 3 n 2 a 2 m 7 ) Las variables iguales se agrupan para aplicar la propiedad 1.3 Suma y resta algebraica 11 (60)(m 3 m 7 )(a 2 n 2 ) Aplico la propiedad 60a 2 n 2 m 3+7 Escribo el resultado en el orden usual 60a 2 m 10 n 2 Ahora, conforme aumentamos la cantidad de términos que forman uno o ambos polinomios, debemos agregar una propiedad estudiada en octavo llamada la propiedad distributiva, R Toda expresión algebraica frente a un paréntesis lo multiplica y a su vez multiplica cada uno de los términos que se encuentran dentro del paréntesis. a(b+c) a (b+c) a b+a c ab+ac Veamos un ejemplo, Problema 1.5 Desarrolle la expresión 3x(x +5) Reescribo la expresión tomando en cuenta la multiplicación 3x (x +5) Distribuyo el término que esta fuera del paréntesis a cada uno de los términos dentro del mismo 3x x +3x 5 Realizo la multiplicación 3x 2 +15x Otro ejemplo de este tipo de operación es el siguiente, Problema 1.6 Realice el siguiente producto 5a 2 b 3 (4a 5 +6b 5 −10) Distribuyo el término que esta fuera del paréntesis a cada uno de los términos dentro del mismo 5a 2 b 3 4a 5 +5a 2 b 3 6b 5 −5a 2 b 3 10 Realizo la multiplicación 20a 7 b 3 +30a 2 b 8 −50a 2 b 3 En ocasiones los dos polinomios a multiplicar son mas complejas, como lo muestra el ejemplo siguiente. 12 Conocimientos Previos Problema 1.7 Realice el siguiente producto (x +4)(x −3) Usamos la propiedad distributiva (x +4) x −(x +4) 3 x(x +4) −3(x +4) Aplicamos nuevamente la propiedad distributiva, x x +x 4−3 x +−3 4 x 2 +4x −3x −12 Ahora restamos los términos semejantes, x 2 +x −12 Un segundo ejemplo antes de pasar a la práctica, Problema 1.8 Multiplique los polinomios (2x +3)(5x +4) Aplicamos la propiedad distributiva por primer vez, (2x +3) 5x +(2x +3) 4 5x(2x +3) +4(2x +3) Una vez más aplicamos la propiedad distributiva, 5x 2x +5x 3+2x 4+3 4 10x 2 +15x +8x +12 Ahora simplificamos la expresión obtenida, 10x 2 +23x +12 y este es el resultado de la operación. 1.3 Suma y resta algebraica 13 Ejercicio 1.4 Realice las siguientes multiplicaciones. 1. (a−1)(a+7) 2. (2x +4)(5x +3) 3. (6y −5)(2y −3) 4. (5m−4)(5m+4) 5. (3n 2 +7)(3n 2 +7) 6. (−3w 2 −4)(w 2 +1) 7. (4h−p)(2h−5p) 8. (−2a 4 +c)(3a 4 −5c) 9. (5kh 3 −kh)(5h 2 −1) 10. _ k 3 5 − 1 3 __ 3k 3 2 +10 _ 11. _ 2 7 x −2a __ 14x − 1 2 a _ 12. _ x 2 +4n _ _ 4x + 7n 6 _ 13. (a 2 b+5)(a 2 b−10) 14. (3yx −4x 2 )(yx −x 2 ) 15. (8xy 3 +x 4 )(5x 3 y −y 4 ) 16. (x +6)(2x 2 +5x +7) 17. (5a 3 −2a)(5a 2 −4+7a) 18. _ 2x 3 −1 _ _ 2x 2 − x 2 −6 _ 19. _ y + 5x 2 __ 4y − 3x 10 −xy _ 20. (5m 2 +2n)(3m+7n 3 −2) Ejercicio 1.5 — Para la casa. Realice las siguientes multiplicaciones 1. (x 4 −4c 2 )(2x 2 −3−4c) 2. (3p−k)(3p−k +1) 3. (5m 2 +m+6)(2m−3) 4. (5p−3m+1)(2p−3m) 5. (y 2 −5y +25)(y +5) 6. (m 2 +mn+n 2 )(m−n) 7. (q 2 −q+3)(q 2 −3) 8. (5ac 2 +4a+2c)(5ac 2 −1) 9. (w 2 n−6wn−4n)(2w 2 +5) 10. _ −5w− w 2 2 − 9 2 _ _ w 3 −w 2 _ Ejercicio 1.6 — Para la casa. Halle los productos indicados 1. (2m 2 +5m−1)(2m 2 −5m−1) 2. (7h 2 −5h+6)(h 2 +2h−4) 3. (2m 2 n+n−3mn)(4m 2 +1−3m) 4. x 4 (4w 2 +7w+5)(3w−2) 5. −2x(5x 2 −x +3)(2x −3) 6. 2kc(k +3c)(k 2 −c) 7. (a−1)(a+1)(2a−3) 8. (2b−5a)(3a+b)(a−2b) 9. (3k 2 +2)(3k 2 +2)(k −1) 10. (y +1)(y 3 +y 2 −y +1) 14 Conocimientos Previos 1.4 Productos notables También se les conoce como fórmulas notables. Hasta ahora conocemos solo tres. Repa- saremos cada uno de estos productos notables, durante este año aprenderemos cinco fórmulas notables más. 1.4.1 Primer Producto Notable Se identifica por su forma característica (a+b) 2 ó (a+b)(a+b) Para poder desarrollarla debemos aprendernos la siguiente fórmula: R Primer término elevado al cuadrado más dos veces el primer término por el segundo término más el segundo término elevado al cuadrado Simbólicamente, esto se representa de la siguiente forma (a+b) 2 = a 2 +2ab+b 2 Veamos un ejemplo de cómo desarrollar el primer producto notable. Problema 1.9 Desarrolle el siguiente producto notable (x +1) 2 Podemos observar que el primer término es x y el segundo término es 1, sigamos entonces la fórmula Uno Primer término elevado al cuadrado, x 2 Dos más dos veces el primer término por el segundo término, x 2 +2 x 1 Tres más el segundo término elevado al cuadrado, x 2 +2 x 1+1 2 Finalmente el resultado simplificado seria x 2 +2x +1 Antes de pasar a la práctica veamos un segundo ejemplo. Problema 1.10 Desarrolle la expresión (2x +7y) 2 El primer término es 2x y el segundo término es 7y, siguiendo la fórmula tenemos Uno primer término elevado al cuadrado 2 , (2x) 2 Dos más dos veces el primer término por el segundo término, (2x) 2 +2 2x 7y 2 Cuando el término tiene dos elementos debe encerrarse entre paréntesis. 1.4 Productos notables 15 Tres más el segundo término elevado al cuadrado, (2x) 2 +2 2x 7y +(7y) 2 Finalmente el resultado simplificado seria 4x 2 +28xy +49y 2 Ejercicio 1.7 Desarrolle los siguientes productos notables 1. (m+5) 2 2. (2n+3) 2 3. (7+5m 3 ) 2 4. (a 5 +9) 2 5. (8b 2 +6) 2 6. _ 2 5 +12k _ 2 7. _ 2x 2 7 +1 _ 2 8. _ y 3 2 + 4 5 _ 2 Ejercicio 1.8 — Para la casa. Desarrolle los siguientes productos notables 1. (3y 2 +x) 2 2. (z 2 a+2) 2 3. (4q+3h 4 ) 2 4. (3u 3 +t) 2 5. (p 2 +4q) 2 6. _ 1 6 n+ 1 13 k 2 _ 2 7. _ 3m 3 n 2 8 +5m 4 _ 2 1.4.2 Segundo Producto Notable Aunque es muy similar al primer producto notable, éste se identifica por que los términos no están unidos por suma, más bien los une el símbolo de resta (a−b) 2 ó (a−b)(a−b) Para poder desarrollarla debemos aprendernos la siguiente fórmula: R Primer término elevado al cuadrado menos dos veces el primer término por el segundo término más el segundo término elevado al cuadrado Simbólicamente, esto se representa de la siguiente forma (a−b) 2 = a 2 −2ab+b 2 Veamos un ejemplo de cómo desarrollar el primer producto notable. 16 Conocimientos Previos Problema 1.11 Desarrolle el siguiente producto notable (x −5) 2 Observamos que el primer término es x y el segundo término es 5, sigamos entonces la fórmula 3 Uno primer término elevado al cuadrado, x 2 Dos menos dos veces el primer término por el segundo término, x 2 −2 x 5 Tres más el segundo término elevado al cuadrado, x 2 −2 x 5+5 2 Finalmente el resultado simplificado seria x 2 −10x +25 Analicemos otro ejemplo. Problema 1.12 Desarrolle la expresión (3m−4n) 2 El primer término es 3m y el segundo término es 4n, siguiendo la fórmula tenemos Uno primer término elevado al cuadrado 4 , (3m) 2 Dos menos dos veces el primer término por el segundo término, (3m) 2 −2 3m 4n Tres más el segundo término elevado al cuadrado, (3m) 2 −2 3m 4n+(4n) 2 Finalmente el resultado simplificado seria 9m 2 −24mn+16n 2 Ejercicio 1.9 Desarrolle los siguientes productos notables 1. (a−6) 2 2. (x 3 −5) 2 3. (2u−13) 2 4. (k 6 −4) 2 5. (1−9h 4 ) 2 6. _ 4u− 1 3 _ 2 7. _ 5 2 − x 3 _ 2 8. _ 7z 3 − a 2 5 _ 2 3 El segundo término no incluye el (-), solo el 5. 4 Recuerde, cuando el término tiene dos elementos debe encerrarse entre paréntesis. 1.4 Productos notables 17 Ejercicio 1.10 — Para la casa. Desarrolle los siguientes productos notables 1. (3c −y 2 ) 2 2. (m−12y 4 ) 2 3. (h 3 −14) 2 4. (11−np) 2 5. (2xm 2 −5) 2 6. _ 15 4 − y 2 _ 2 7. _ m 2 n 3 3 − 1 5 _ 2 1.4.3 Tercer Producto Notable Es el más fácil de identificar y el más fácil de desarrollar, se identifica por dos binomios encerrados entre paréntesis, en uno de ellos los términos están unidos por el símbolo de suma y en el otro los términos está unidos por el símbolo de resta (a+b)(a−b) tambien puede ser (a−b)(a+b) Para poder desarrollarla debemos aprendernos la siguiente fórmula: R Primer término elevado al cuadrado menos el segundo término elevado al cuadrado Simbólicamente, esto se representa de la siguiente forma (a−b)(a+b) = a 2 −b 2 Veamos un ejemplo de cómo desarrollar el tercer producto notable. Problema 1.13 Desarrolle el producto notable (x −13)(x +13) El primer término es x y el segundo término es 13, sigamos entonces la fórmula, Uno primer término elevado al cuadrado, x 2 Dos menos el segundo término elevado al cuadrado, x 2 −13 2 Finalmente el resultado simplificado seria x 2 −169 Analicemos un segundo ejemplo. 18 Conocimientos Previos Problema 1.14 Desarrolle la fórmula notable (5x +7y)(5x −7y) El primer término es 5x y el segundo término es 7y, siguiendo la fórmula tenemos Uno primer término elevado al cuadrado 5 , (5x) 2 Dos menos el segundo término elevado al cuadrado, (5x) 2 −(7y) 2 Finalmente el resultado simplificado seria 25x 2 −49y 2 Ejercicio 1.11 Desarrolle los siguientes productos notables. 1. (5w+1)(5w−1) 2. (2a+4)(2a−4) 3. (11b−7)(11b+7) 4. (3y 2 +1)(3y 2 −1) 5. (4n+3)(3−4n) 6. (17+y 2 )(y 2 −17) 7. (1−k 4 )(k 4 +1) 8. (−3m+12)(12+3m) 9. (−5n+2)(5n+2) 10. (y 3 −8)(y 3 +8) Ejercicio 1.12 — Para la casa. Desarrolle los siguientes productos notables. 1. (3m 3 −5h)(3m 3 +5h) 2. (4x −10h 2 )(4x +10h 2 ) 3. (2xy 2 +3y 4 )(2xy 2 −3y 4 ) 4. (4z 5 +zp 3 )(4z 5 −zp 3 ) 5. _ w 8 +3b 6 __ w 8 −3b 6 _ 6. _ 1 9 − 6c 3 5 __ 1 9 + 6c 3 5 _ 7. _ a 3 6 −13n __ a 3 6 +13n _ 8. _ 5− 2wx 2 11 __ 5+ 2wx 2 11 _ 5 Recuerde, cuando el término tiene dos elementos debe encerrarse entre paréntesis. 1.5 Factorización 19 1.5 Factorización En noveno se introdujo el tema de factorización de polinomios. Fue en este año que se inicia su estudio, más en décimo continuaremos estudiando otras técnicas de factorización más avanzadas. A continuación repasaremos la factorización por factor común. 1.5.1 Factorización por el método de factor común Como su nombre lo indica debemos encontrar los elementos que tienen en común los términos involucrados en el polinomio. Por ejemplo, Ejemplo 1.8 Polinomio que se puede factorizar por Factor Común 5x −5y En este ejemplo es fácil ver que los dos términos comparten un elemento en común por tanto su “factor común” es el 5. Otro ejemplo, Problema 1.15 Factorizar por factor común 3xy −4xy 2 +5x 2 y el elemento que tienen en común los términos del polinomio no es numérico, más bien es literal 6 , como vemos todos los términos tienen la letra x y la letra y. Hasta ahora no hemos hecho más que reconocer o identificar el “factor común” de los polinomios estudiados, pero no hemos factorizado ninguno de ellos. A continuación detallaremos el método, paso a paso. Encontrar el factor común. Debemos cumplir con dos criterios: Se calcula el MÍNIMO COMÚN DIVISOR de los coeficientes de cada término del polinomio. Se toman las letras que aparecen en todos los términos del polinomio, si tienen exponentes diferentes se debe tomar la letra de menor exponente. Al juntar los resultados anteriores obtenemos nuestro factor común. Dividir el polinomio Se divide el polinomio original entre el factor común obtenido en el paso anterior. Escribir la factorización El resultado de la división se coloca entre paréntesis, y frente a éste el factor común. Veamos algunos ejemplos. Problema 1.16 Factorice 5x 2 y 3 −15m 7 y 6 por el método de factor común. Sigamos uno a uno los pasos del método Encontrar el factor común. Debemos cumplir con dos criterios: Se calcula el mínimo común divisor de los coeficientes de cada término del polinomio. 6 Literal se refiere a las letras o variables que tiene el polinomio. 20 Conocimientos Previos Los coeficientes del polinomio son 5 y 15, encontramos el m.c.d. de la siguiente forma: 5 15 5 1 3 m.c.d. 5 Entonces el m.c.d. de los coeficiente es 5. Ahora, se toman las letras que aparecen en todos los términos del polinomio, si tienen exponentes diferentes se debe tomar la letra de menor exponente. Aunque en el polinomio aparecen tres letras x, y y m, es importante ver que la única que aparece en ambos términos es la y, por tanto para el factor común debe considerarse solo a esta. Ahora en el primer término aparece y 3 y en el segundo término y 6 , ¿Cuál se escoge? El de menor exponente: y 3 Al juntar los resultados anteriores obtenemos nuestro factor común 5y 3 Dividir el polinomio Se divide el polinomio original entre el factor común obtenido. 5x 2 y 3 5y 3 − 15m 7 y 6 5y 3 x 2 −3m 7 y 3 Escribir los factores El resultado de la división se coloca entre paréntesis, y frente a éste el factor común. (x 2 −3m 7 y 3 ) y frente a éste el factor común. 5y 3 (x 2 −3m 7 y 3 ) Problema 1.17 Factorice 12a 2 b 7 −18a 8 b 5 +24a 3 b 10 por el método de factor común. Reto- mamos los pasos del método Encontrar el factor común. Debemos cumplir con dos criterios: Se calcula el MÍNIMO COMÚN DIVISOR de los coeficientes de cada término del polinomio. Esta vez los coeficientes del polinomio son 12, 18 y 24, encontramos el m.c.d. de la siguiente forma: 12 18 24 2 6 9 12 3 2 3 4 m. c. d. 2 3 = 6 Entonces el m.c.d. de los coeficiente es 6. Ahora, se toman las letras que aparecen en todos los términos del polinomio, si tienen exponentes diferentes se debe tomar la letra de menor exponente. En este polinomio aparecen las letras a y b, en ambos términos, pero con diferentes exponentes, para el factor común debe considerarse solo los de menor exponente: a 2 b 5 Al juntar los resultados anteriores obtenemos nuestro factor común 6a 2 b 5 1.5 Factorización 21 Dividir el polinomio Se divide el polinomio original entre el factor común obtenido. 12a 2 b 7 6a 2 b 5 − 18a 8 b 5 6a 2 b 5 + 24a 3 b 10 6a 2 b 5 2b 2 −3a 6 +4ab 5 Escribir los factores El resultado de la división se coloca entre paréntesis, (2b 2 −3a 6 +4ab 5 ) y frente a éste el factor común. 6a 2 b 5 (2b 2 −3a 6 +4ab 5 ) Para pasar a la práctica, factoricemos un último polinomio Problema 1.18 Factorice el polinomio 14 5 ab 5 + 21 5 a 2 b 2 por el método de factor común Encontrar el factor común En principio se calcula el MÍNIMO COMÚN DIVISOR de los coefi- cientes de cada término del polinomio. Los coeficientes del polinomio son 14 5 y 21 5 . Al ser fracciones encontraremos el m.c.d. para el denominador y el numerador de cada fracción por separado, así: 14 21 7 2 3 m.c.d. 7 5 5 5 1 1 m.c.d. 5 Entonces el m.c.d. de los coeficiente es 7 5 . Ahora, tomamos las letras que aparecen en todos los términos del polinomio, si tienen exponentes diferentes se debe tomar la letra de menor exponente. En el polinomio aparecen las letras a y b, en ambos términos, por tanto para el factor común se consideran las dos letras, con el menor exponente: ab 2 Al juntar los resultados obtenemos nuestro factor común 7 5 ab 2 Dividir el polinomio Se divide el polinomio original entre el factor común obtenido. 14 5 ab 5 7 5 ab 2 + 21 5 a 2 b 2 7 5 ab 2 14 5ab 5 5 7ab 2 + 21 5a 2 b 2 5 7ab 2 70ab 5 35ab 2 + 105a 2 b 2 35ab 2 2b 3 +3a 22 Conocimientos Previos Escribir los factores El resultado de la división se coloca entre paréntesis, (2b 3 +3a) y frente a éste el factor común. 7 5 ab 2 (2b 3 +3a) Ejercicio 1.13 Realice las siguientes factorizaciones. 1. 24xy 2 −27x 2 y 3xy(8y −9x) 2. 5 n −10 n 5 n (1−2 n ) 3. 4x 3 +20x 4 4x 3 (1+5x) 4. 10 n −15 n −20 n 5 n (2 n −3 n −4 n ) 5. 50xy 3 +10x 2 y 3 −100x 3 y 5 10xy 3 (5+x −10x 2 y 2 ) 6. 6 n+1 −15 n−1 3 n−1 (9 2 n+1 −5 n−1 ) 7. 343a 5 bc 10 −49a 10 b 5 49a 5 b(7c 10 −a 5 b 4 ) 8. 3y 3 −6y 2 +9y 3y(y 2 −2y +3) 9. 13x 2 y 2 −9xy 3 +30x 3 y −16x 2 y 2 z xy(13xy −9y 2 +30x 2 −16xyz) 10. 2x 2 −x 3 +2x 4 −x 5 x 2 (2−x)(1+x 2 ) 11. 28x 3 +35x 2 7x 2 (4x +5) 12. a m+2 −a m−1 a m−1 (a 3 −1) 13. 2a− 12 5 a 2 b 3 − ab 4 3 −a 3 b 3 a 15 (30−36ab 3 −5b 4 −15a 2 b 3 ) 14. − a 3 b 2 2 − ab 4 − a 3 b 3 8 ab 8 _ −4a 2 b−2−a 2 b 2 _ 15. 5x 13 y 2 z 28 − 5 14 x 4 y 4 + 4 7 x 3 3y 4 x 4 y 2 28 (5x 9 z −10y 2 +16x 2 9y 2 ) 16. 12ab 2 5 + 9 4 ab 4 +3a 3 b 3 3ab 2 20 (16+15b 2 +20a 2 b) 1.5 Factorización 23 Ejercicio 1.14 — Para la casa. Realice las siguientes factorizaciones. 1. 4x +4y 2. 11c 2 −4c 5 3. 10a+35b 3 4. 2n−10m 4 5. 3z 2 +6z 3 6. 24m 3 +12m 7. 24xy 2 −27x 2 y 8. 14u 3 +27u 3 n 9. 35xz −50xz 2 10. −48kh 3 7 − 32k 3 h 21 11. 2x 3 −4x 2 −5x 12. n 2 +4n−16n 4 13. 6z 3 +12z 2 +15 14. −33m+121n+66n 2 15. 15x 2 −45xy +65y 2 16. 3y 3 −6y 2 +9y 17. 4w 3 z −2w 2 z −14w 2 z 3 18. 25a 2 b 3 +5a 2 b−30a 3 b 2 19. 5m 3 c 4 −55m 3 c 3 −10mc 20. 1 66 a 5 − 4 21 a 2 b 2 + 7 9 a 5 b 2 21. 0, 9u 3 k 2 + 2u 2 k 2 10 +0, 3uk 3 Otro tipo de presentación de factorización por factor común, se da cuando el factor común es un polinomio. Problema 1.19 Factorice: a 2 (x −2) −a(x −2) +(x −2) Obtenemos el factor común, que para este tipo de factorización es mucho mas simple, pues consiste en tomar la expresión que se encuentra entre paréntesis, la de menor exponente. En otras palabras el factor común es (x −2). Dividimos el polinomio original por el factor común, a 2 (x −2) (x −2) − a(x −2) (x −2) + (x −2) (x −2) a 2 −a+1 Escribimos la respuesta final como lo hacemos comúnmente (x −2)(a 2 −a+1) Ejercicio 1.15 Factorice cada uno de los siguientes polinomios. 1. (2x +1) −3x(2x +1) (1−3x)(2x +1) 2. 6(x −4) −a(x −4) (x −4)(6−a) 3. x 2 (4−x) +3x(4−x) +(x −4) (4−x)(x 2 +3x −1) 4. 2x(x −6) −5(x −6) (x −6)(2x −5) 5. −6x(7x −1) +2(1−7x) (1−7x)(6x +2) 6. p 3 (q−3) −(q−3) + p(3−q) (q−3)(p 3 −p−1) 7. 2b(x −y) −x +y (x −y)(2b+1) 24 Conocimientos Previos 8. 3b(x −3y) −2m(3y −x) (x −3y)(3b+2m) 9. 3p(m−2p) −2mp 2 +4p 3 (m−2p)(3p−2p 2 ) 10. (3x +2)(x +y −z) −(3x +2) −(x +y −1)(3x +2) −(3x +2)z 11. (a+b−c)(x −3) −(b−c −a)(x −3) 2a(x −3)z 12. a(n+1) −b(n+1) −n−1 (n+1)(a−b−1)z 13. a 5 (x −y) 3 −a 4 (x −y) 4 a 4 (x −y) 3 (a−x +y) 14. (x −a) 2 (x −y) +(x −a)(x −y) 2 (x −a)(x −y)(2x −a−y) 15. x(a+2) −a−2+3(a+2) (x +2)(a+2) 16. (a+b)(a−b) −(a−b)(a−b) 2b(a−b) 17. p(x −3y) −(x −p)(3y −x) x(x −3y) 18. 2b(x −y) −x +y (2b−1)(x −y) 19. 5x(3x −5) +6(5−3x) (3x −5)(5x −6) 20. (a+b−1)(a 2 +1) −a 2 −1 (a+b−2)(a 2 +1) 1.5.2 Factorización por Agrupación Este método en realidad es caso especial del método anterior, pues en algunas ocasiones no encontramos un factor común en todos los términos por lo que es conveniente agrupar aquellos que si los tengan. Problema 1.20 Factorice por agrupación el polinomio am+bm+ap+bp Agrupamos buscando dejar los elementos que tenga alguna característica en común (letra o número) am+bm . ¸¸ . primer grupo + ap+bp . ¸¸ . segundo grupo Factorizamos por factor común cada grupo m(a+b) + p(a+b) Factorizamos por segunda vez, aplicando factorización por factor común (a+b)(m+ p) Problema 1.21 Factorice por agrupación el polinomio x 3 +x 2 y −xy −y 2 Ordenamos los términos para formar los grupos x 3 +x 2 y −xy −y 2 x 3 −xy +x 2 y −y 2 Agrupamos buscando dejar los elementos que tenga alguna característica en común (letra o número) x 3 −xy . ¸¸ . primer grupo + x 2 y −y 2 . ¸¸ . segundo grupo 1.5 Factorización 25 Factorizamos por factor común cada grupo x(x 2 −y) +y(x 2 −y) Factorizamos por segunda vez, aplicando factorización por factor común (x 2 −y)(x +y) Para este método hay algunas condiciones importantes que debemos recordar, y se presentan en las siguientes notas Nota 1 la escogencia de la agrupación no es única, se puede realizar de diferentes formas y obtener el mismo resultado correcto final. Nota 2 es muy importante la escogencia del signo del factor común de los grupos que escogemos. Nota 3 recuerde: (a−b) n = (b−a) n con n par. (a−b) n =−(b−a) n con n impar. Ejercicio 1.16 Factorice cada uno de los siguientes polinomios. 1. 3x −2ab−nx −2bx −an+3a (x +a)(3−n−2b) 2. 12ax −9ay15by −20bx (4x −3y)(3a−5b) 3. x 3 +2x 2 −x −2 (x +2)(x −1)(x +1) 4. 15x −10a−18xb+12ab (5−6b)(3x −2a) 5. 4a 3 −1−a 2 +4a (a 2 +1)(4a−1) 6. 2 3 x − 2 3 −xy +y 1 3 (x −1)(2−3y) 7. a(x −p) −b(p−x) (x −p)(a+b) 8. x 2 −y 2 −x +y (x −y)(x +y −1) 9. (x −b) 2 −2x +2b (x −b)(x −b−2) 10. (a−2b) 3 −a(2b−a) 2 −2b(a−2b) 2 (3a−5b) 11. 6m−9n+21nx −14mx (2m−3n)(3−7x) 12. a 3 +a 2 +a+1 (a+1)(a 2 +1) 13. x 2 −xy +xz −x +y −z (x −y +z)(x −1) 14. a 3 +a 2 y −y 3 −ay 2 (a+y)(a−y)(a+y) 15. a 2 b 3 −n 4 +a 2 b 3 x 2 −n 4 x 2 −3a 2 b 3 x +3n 4 x (a 2 b 3 −n 4 )(1−3x +x 2 ) 16. a 2m +ia m −yx +ay (a m +i)(a m +b) 17. h 2 −hb−hc +h−b−c (h−b−c)(h+1) 18. x m+1 −ax m −yx +ay (x −a)(x m −y) 1.5.3 Factorización por Fórmulas Notables Existen polinomios que son el resultado de multiplicaciones ya conocidas y se les conoce como fórmulas notables. Revisaremos algunos de esos tipos de factorización. 26 Conocimientos Previos Trinomios cuadrados perfectos Un trinomio cuadrado perfecto es aquel de la forma a 2 +2ab+b 2 = (a+b) 2 ó a 2 −2ab+b 2 = (a−b) 2 Para factorizar un trinomio por estas fórmulas notables se siguen los siguientes pasos: i. Se buscan dos términos del polinomio que sean cuadrados perfectos (en el caso de los factores numéricos deben tener raíz cuadrada exacta y en el caso de los factores literales los exponentes deben ser pares). ii. Se obtienen las raíces de ambos términos. iii. Verificar que la doble multiplicación de las raíces extraídas en el paso anterior coincida con el término al que no se extrajo raíz. iv. Se escribe la respuesta de la forma (a+b) 2 Problema 1.22 Factorice 4a 2 −28ab+49b 2 Calculamos la raíz cuadrada de 4a 2 y 49b 4 √ 4a 2 = 2a √ 49b 4 = 7b 2 Verificamos que el doble de los resultados obtenidos sea igual al término que no extrajo raíz cuadrada 2 2a 7b 2 = 28ab 2 Escribimos la respuesta de la forma (a−b) 2 4a 2 −28ab+49b 2 = (2a−7b 2 ) 2 Problema 1.23 Factorice x 2 +6xy +9y 2 Calculamos la raíz cuadrada de x 2 y 9y 2 √ x 2 = x _ 9y 2 = 3y Verificamos que el doble de los resultados obtenidos sea igual al término que no extrajo raíz cuadrada 2 x 3y = 6xy Escribimos la respuesta de la forma (a+b) 2 x 2 +6xy +9y 2 = (x +3y) 2 Ejercicio 1.17 Factorice cada uno de los siguientes polinomios 1. 16x 2 +56xy +49y 2 (4x +7y) 2 2. z 2 +16az +64a 2 (z +8a) 2 3. x 2 4 +xy +y 2 _ x 2 +y _ 2 4. x 2 y 4 +2x 3 y 2 +x 4 z 2 (xy 2 +x 2 z) 2 5. a 8 +18a 4 +81 (a 4 +9) 2 6. a 2 +2a(a−b) +(a−b) 2 (2a−b) 2 1.5 Factorización 27 7. n 2 9 +2mn+9m 2 _ n 3 +3m _ 2 8. a 10 −2a 5 +1 (a 5 −1) 2 9. x 2 y 4 −2x 3 y 2 +x 4 z 2 (xy 2 −x 2 z) 2 10. 9−6x +x 2 (x −3) 2 11. x 4 4 −x 2 a 2 +a 4 _ x 2 −a 2 _ 2 12. a 2 4 −ab+b 2 _ a 2 −b _ 2 13. 16x 2 −56xy +49y 2 (4x −7y) 2 14. (m+n) 2 −2(a−m)(m+n) +(a+x) 2 (2m+n−a) 2 15. (x +y) 2 −2(x +y)(a+x) +(a+x) 2 (y −a) 2 16. 4m 2 −4m(n−m) +(m−n) 2 (m+n) 2 17. a 4 −a 2 b 2 + b 4 4 _ a 2 − b 2 2 _ 2 Diferencia de Cuadrados Un polinomio que se factoriza por este método, es aquel de la forma a 2 −b 2 = (a−b)(a+b) Para la factorizacion de un polinomio de este tipo el procedimiento es similar a los anteriores y se deben reconocer ciertas características: i. Que sean dos términos con diferente signo, sin importar el orden. ii. Por lo general ambos deben ser cuadrados perfectos. iii. Opcionalmente se aconseja acomodarlos de tal manera que se proponga siempre como una resta, pues aunque el orden en el binomio no es importante, en los factores resultantes si lo es, pues la expresión que resulta de la raíz del sustraendo es la debe sustraer en uno de los factores. Problema 1.24 Factorice x 2 −25 Calculamos la raíz cuadrada de x 2 y 25 √ x 2 = x √ 25 = 5 Escribimos la respuesta de la forma (a−b)(a+b) x 2 −25 = (x −5)(x +5) 28 Conocimientos Previos Problema 1.25 Factorice a 2n −9b 4m Calculamos la raíz cuadrada de a 2n y 9b 4m √ a 2n = a n √ 9b 4m = 3b 2m Escribimos la respuesta de la forma (a−b)(a+b) a 2n −9b 4m = (a n −3b 2m )(a n +3b 2m ) Problema 1.26 Factorice 9−(a+1) 2 Calculamos la raíz cuadrada de 9 y (a+1) 2 √ 9 = 3 _ (a+1) 2 = (a+1) Escribimos la respuesta de la forma (a−b)(a+b) 9−(a+1) 2 = (3−(a+1))(3+(a+1)) Problema 1.27 Factorice a 2 4 − b 4 9 Calculamos la raíz cuadrada de a 2 4 y b 4 9 _ a 2 4 = a 2 _ b 4 9 = b 2 3 Escribimos la respuesta de la forma (a−b)(a+b) a 2 4 − b 4 9 = _ a 2 − b 2 3 __ a 2 + b 2 3 _ Ejercicio 1.18 Factorice cada uno de los siguientes polinomios 1. 1−9a 2 b 4 d 8 (1−3ab 2 d 4 )(1+3ab 2 d 4 ) 2. 1 16 −4x 2 _ 1 4 −2x __ 1 4 +2x _ 3. (a+b) 2 −(a−c) 2 (2a+b−c)(b+c) 4. 16x 6m − y 2n 49 (4x 3m − y n 7 )(4x 3m + y n 7 ) 5. a 2n −b 2n (a n −b n )(a n +b n ) 6. (a+2b) 2 −1 (a+2b−1)(a+2b+1) 7. (a−b) 2 −(c −d) 2 (a−b−c +d)(a−b+c −d) 8. 36(m+n) 2 −121(m−n) 2 (17m−5n)(17n−5m) 9. a 10 −49b 12 (a 5 −7b 6 )(a 5 +7b 6 ) 10. 100−x 2 y 6 (10−xy 3 )(10+xy 3 ) 1.5 Factorización 29 11. a 4 −1 (a 2 +1)(a+1)(a−1) 12. a 2 36 − x 6 25 _ a 6 − x 3 5 __ a 6 + x 3 5 _ 13. 100m 2 n 4 −169y 6 (10mn 2 −13y 3 )(10mn 2 +13y 3 ) 14. 4x 2n − 1 9 _ 2x n + 1 3 __ 2x n − 1 3 _ 15. (x +y) 2 −a 2 (x +y +a)(x +y −a) 16. (x +1) 2 −16x 2 (5x +1)(1−3x) 17. 25(x −y) 2 −4(x +y) 2 (7x −3y)(3x −7y) 18. x 2 100 − y 2 z 4 121 _ x 10 − yz 2 11 __ x 10 + yz 2 11 _ 19. (2a+b−c) 2 −(a+b) 2 (3a+2b−c)(a−c) 20. b 2n−6 −4x 4m (b n−3 −2x 2m )(b n−3+2x 2m ) 21. x 8 −1 (x 4 +1)(x 2 +1)(x +1)(x −1) 22. 9x 2 −4(x −3) 2 (5x −6)(x +6) 30 Conocimientos Previos 1.6 Ecuaciones Lineales Antes de comenzar a estudiar la forma de resolver problemas con ecuaciones, es importante analizar algunas frases para “traducir”, del vocabulario coloquial, al lenguaje matemático. Para esto se analizarán los siguientes ejemplos. Ejemplo 1.9 Conversión de frases mas utilizadas en resolución de problemas. 1. El doble de un número x se representa por : 2x 2. El número x aumentado en 3 se representa por : x +3 3. El número x disminuido en 4 se representa por : x −4 4. El número x disminuido de 4 se representa por : 4−x 5. La mitad de un número x se representa por: x 2 ó 1 2 x 6. El cuadrado de un número x se representa por: x 2 7. El cubo de un número x se representa por: x 3 8. Si una persona tiene z años, su edad dentro de 5 años se representa: z +5 9. Si una persona tiene m años, su edad hace 2 años se representa : m−2 10. El cuádruple de un número y se representa: 4y 11. El quíntuplo de un número w aumentado en un medio se representa: 5x + 1 2 12. Números enteros consecutivos se representan: x, x +1, x +2, x +3. . . 13. El recíproco de un número x se representa por: 1 x 14. El opuesto de un número x se representa por: −x 15. Una suma de cuadrados se representa por: x 2 +y 2 x ∈ R, y ∈ R 16. El cuadrado de una suma se representa por: (x +y) 2 x ∈ R, y ∈ R 17. La diferencia de dos números se representa por: x −y x ∈ R, y ∈ R 18. Un número impar se representa por: 2x +1 ó 2x −1 19. Un número par se representa por: 2x, x ∈ R 20. Números pares consecutivos se representan: x, x +2, x +4 con x par 21. Números impares consecutivos se representan: x, x +2, x +4. . . con x impar 1.7 Problemas con Ecuaciones Lineales Para resolver problemas habituales mediante el uso de ecuaciones se hace énfasis en los siguientes pasos: Paso 1 Datos. Paso 2 Planteo de la ecuación. Paso 3 Resolución de la ecuación. Paso 4 Respuesta al problema planteado. 1.7 Problemas con Ecuaciones Lineales 31 1.7.1 Ejercicios Resueltos Problema 1.28 El doble de un número, más el triple de él mismo es igual a 20. Hallar ese número. i. DATOS ii. PLANTEO Número Buscado = x El doble del número = 2x El triple del número = 3x 2x +3x = 20 El doble más el triple del número = 20 iii. RESOLUCIÓN iv. RESPUESTA 2x +3x = 20 El número buscado es 4 5x = 20 x = 4 Prueba: 2 4+3 4 = 20 Problema 1.29 La tercera parte de un número, aumentado en la cuarta parte del mismo número, equivale al doble de ese mismo número disminuido en 17. Hallar el número. i. DATOS ii. PLANTEO Número Buscado = x La tercera parte del número = x 3 La cuarta parte del número = x 4 x 3 + x 4 = 2x −17 El doble disminuido en 17 del número = 2x −17 iii. RESOLUCIÓN iv. RESPUESTA x 3 + x 4 = 2x −17 El número buscado es 12 x 3 + x 4 −2x =−17 Prueba: 12 3 + 12 4 = 2 12−17 −17x 12 =−17 4+3 = 24−17 x = 12 7 = 7 Ejercicio 1.19 Resuelva los siguientes problemas. 1. Si pagué $900 por un lapicero, un borrador y un tajador. El tajador costó $200 más que el lapicero y $50 menos que el borrador, entonces ¿Cuánto costó cada artículo? R/ tajador $350, lapicero $150, borrador $400. 2. La suma de tres números consecutivos es 183 ¿Cuál es el número mayor? R/ el número mayor es 62. 3. La edad de Luis más la edad de Allan suman 31 años. Si Luis es 5 años menor que Allan. ¿Cuántos años tiene cada uno? R/ 18 años y 13 años. 4. El quíntuplo de un número, más el mismo es 48. ¿Cuál es el número? R/ 8. 5. La suma de las edades de dos hermanos es 32 años, cuando el hermano menor nació, el otro tenía 18 años ¿Cuántos años tiene cada uno actualmente? R/ 25 años y 7 años. 32 Conocimientos Previos 6. Se ha comprado un traje, un bastón y un sombrero por $259. El traje costó 8 veces lo que el sombrero y el bastón $30 menos que el traje. Hallar los precios respectivos. R/ sombrero $17, traje $136, bastón $106. 7. Un padre le dice a su hijo: ¿Quieres saber cuántas vacas y gallinas tengo? Adivínalo: si son 180 patas y 70 cabezas. ¿Cuántas vacas tiene el padre? R/ 50 gallinas, 20 vacas. 8. Un alumno le dice a otro: si compro 15 chocolates, me faltan $500, pero comprando tan solo 11, me sobran $700. ¿Qué cantidad de dinero tenía el alumno? R/ $4000 9. Una varilla de 84 cm de longitud está pintada una parte negra y otra parte blanca. La parte blanca es 4 cm menor que la parte pintada de negro. Halle la longitud de cada parte. R/ 44 cm la parte negra, 40 cm la parte blanca. 10. Hallar tres números consecutivos, tales que el duplo del menor más el triple del mediano más el cuádruple del mayor sea 740. R/81, 82, 83. 11. La suma de dos números enteros pares consecutivos es 166. Hallar esos números. R/ 82 y 84. 12. Un cable de 42 cm de longitud es dividido en dos partes, de modo que una parte es dos veces la longitud de la otra. Halle la longitud de cada parte. R/ 14 cm y 28 cm. 13. En un baile se cobró en la entrada $600 a los hombres y $300 a las mujeres. Si asisten 700 personas entre hombres y mujeres y se recaudan $330000 ¿Cuántos hombres y cuantas mujeres asistieron? R/300 mujeres y 400 hombres. 2 — Ecuaciones Cuadráticas En octavo año se estudiaron por primera vez las ecuaciones, en ese momento nos interesaron las ecuaciones lineales. Ejemplos de estas ecuaciones son Ejemplo 2.1 — Ecuaciones lineales o de primer grado. 2x −5 = 7 3x = 10 2x x −3 = 5 Este año nos interesará estudiar las ecuaciones cuadráticas. A continuación veremos la definición de las mismas. Definición 2.1 — Ecuación Cuadrática. Sean a, b y c ∈ R, donde a ,= 0. Entonces se define una ecuación cuadrática como la ecuación ax 2 +bx +c = 0 Antes de considerar los métodos de resolución de ecuaciones cuadráticas es necesario introducir el concepto de discriminante. 2.1 Análisis del Discriminante En toda ecuación cuadrática es posible identificar tres coeficientes: a, b y c. El coeficiente a es el que se encuentra frente a x 2 , el coeficiente b esta frente a la x y el coeficiente c es el que no tiene factor literal. Utilizando dichos coeficientes se calcula el coeficiente, mediante la siguiente fórmula Definición 2.2 — Discriminante. Sean a, b y c ∈ R, los coeficientes de una ecuación cuadrática. Entonces se define el discriminante como ∆ = b 2 −4ac Veamos algunos ejemplos del cálculo del discriminante. 34 Ecuaciones Cuadráticas Problema 2.1 Calcule el discriminante de la ecuación 6x 2 +x −12 = 0. Primero es necesario identificar los coeficientes a = 6, b = 1 y c =−12. Ahora aplicamos la fórmula ∆ = b 2 −4ac ∆ = 1 2 −4 6 −12 ∆ = 1−−288 ∆ = 1+288 ∆ = 289 Entonces el discriminante de la ecuación 6x 2 +x −12 = 0 es ∆ = 289. Otro ejemplo. Problema 2.2 Calcule el discriminante de la ecuación x 2 −6x +9 = 0 Identificamos los coeficientes a = 1, b =−6 y c = 9. Usando la fórmula del discriminante tenemos ∆ = b 2 −4ac ∆ = (−6) 2 −4 1 9 ∆ = 36−36 ∆ = 0 Entonces el discriminante de la ecuación x 2 −6x +9 = 0 es ∆ = 0. Analicemos un último ejemplo. Problema 2.3 Calculando el discriminante de la ecuación x 2 +x +2 = 0 Identificamos los coeficientes a = 1, b = 1 y c = 2. Usando la fórmula del discriminante tenemos ∆ = b 2 −4ac ∆ = 1 2 −4 1 2 ∆ = 1−8 ∆ =−7 Entonces el discriminante de la ecuación x 2 +x +2 = 0 es ∆ =−7. Si bien es cierto, el cálculo del discriminante es muy sencillo, su utilidad y aplicación a lo largo no solo de este tema sino de todo el curso lectivo será fundamental. Como notamos en cada uno de los ejemplos anteriores, el discriminante puede tomar tres valores: positivo, negativo o cero. ¿Pero qué significado tiene para nosotros esto? A continuación se explica. 2.1 Análisis del Discriminante 35 Primero, el discriminante nos permite saber de antemano y sin resolver la ecuación cuantas soluciones o raíces tiene una ecuación. Segundo, nos permite determinar la naturaleza de las raíces, es decir si las soluciones son reales o imaginarias. Lo anterior se logra mediante el siguiente criterio: Proposición 2.1 Si ∆ > 0 entonces la ecuación tiene dos raíces o soluciones reales diferentes. Proposición 2.2 Si ∆ < 0 entonces la ecuación no tiene raíces o soluciones reales. En este caso las raíces son imaginarias, y son dos. Proposición 2.3 Si ∆ = 0 entonces la ecuación tiene dos raíces o soluciones reales iguales. Ejercicio 2.1 Determine cuantas raíces tiene cada ecuación que se presenta a continuación. Además indique si son reales o imaginarias. 1. 15x 2 −12 =−8x 2. 4x 2 +x −14 = 0 3. 15x 2 −14 = 29x 4. 8x 2 +30x −27 = 0 5. x 2 −7x +9 = 0 6. 5x 2 −x +1 = 0 7. 7−3x −x 2 = 0 8. 6x 2 −7x −3 = 0 9. −x 2 +x −1 = 0 10. 2x −4x 2 +6 = 0 11. 6+x 2 −x = 0 12. 12−15x −x 2 = 0 Ejercicio 2.2 — Para la casa. Determine cuantas raíces tiene cada ecuación que se presenta a continuación. Además indique si son reales o imaginarias. 1. 6x 2 −7x −3 = 0 2. 5x 2 +3x −1 = 0 3. x 2 −x +1 = 0 4. −x 2 +2x −3 = 0 5. −x 2 +6x −9 = 0 6. x 2 −4x −5 = 0 7. 3x 2 −x −2 = 0 8. 10x 2 −3x −15 = 0 9. 25x 2 −10x +1 = 0 10. −x 2 +3x +2 = 0 36 Ecuaciones Cuadráticas 2.2 Métodos de Solución de Ecuaciones Cuadráticas Vamos a estudiar algunos métodos de resolución de ecuaciones cuadráticas. Al final es el estudiante quien decide cuál método utiliza. No obstante vamos a tomar el tiempo para explicarlos todos por igual. 2.2.1 Fórmula General La fórmula general es un método que puede ser usado en todas las ecuaciones cuadráticas, además de tener la ventaja de que nos dará la respuesta en forma exacta siempre. Como su nombre lo indica existe una fórmula para obtener las soluciones a la ecuación cuadrática, a saber Definición 2.3 — Fórmula General. Sea una ecuación cuadrática de la forma ax 2 +bx +c = 0, entonces se define la fórmula general, para el cálculo de las raíces, de la siguiente forma x 1 = −b+ √ ∆ 2 a para la primera solución (2.1) x 2 = −b− √ ∆ 2 a para la segunda solución (2.2) Veamos un ejemplo del empleo del método. Problema 2.4 Resuelva la ecuación x 2 +3x −4 = 0. Primero calculamos el discriminante: ∆ = 3 2 −4 1 −4 ∆ = 9−−16 ∆ = 9+16 ∆ = 25 Analizamos el resultado del discriminante, lo que nos permite concluir que la ecuación que vamos a resolver tiene dos raíces o soluciones, y que estas son reales. Aplicamos la fórmula general. Vamos a encontrar esas soluciones, usamos la fórmula para la primera raíz: x 1 = −b+ √ ∆ 2a x 1 = −3+ √ 25 2 1 x 1 = −3+5 2 x 1 = 2 2 x 1 = 1 2.2 Métodos de Solución de Ecuaciones Cuadráticas 37 Luego para la segunda raíz, usamos la segunda fórmula: x 1 = −b− √ ∆ 2a x 1 = −3− √ 25 2 1 x 1 = −3−5 2 x 1 = −8 2 x 1 =−4 Escribimos el conjunto solución teniendo las dos soluciones escribimos el conjunto solución S =¦−4, 1¦ 1 Resolvamos otra variante de ecuación cuadrática. Problema 2.5 Encuentre el conjunto solución de la ecuación x 2 −4x +4 = 0. Calculemos primero el discriminante: ∆ = (−4) 2 −4 1 4 ∆ = 16−16 ∆ = 0 Analizamos este resultado, logramos concluir que la ecuación que vamos a resolver tiene una única raíz o solución, y que estas son reales. Ahora vamos a encontrarla, usamos la fórmula para la primera raíz 2 : x 1 = −b+ √ ∆ 2a x 1 = −−4+ √ 0 2 1 x 1 = 4+0 2 x 1 = 4 2 x 1 = 2 Escribimos la solución teniendo este resultado escribimos el conjunto solución S =¦2¦ Como hemos visto el proceso es hasta cierto punto mecánico, para ponerlo de alguna forma, donde hay que prestar atención a los detalles. 1 Se deben poner en orden, primero el número menor y luego el mayor. 2 Obtendremos el mismo resultado si se utiliza esta fórmula o la de la segunda raíz... ¡compruebalo! 38 Ecuaciones Cuadráticas Problema 2.6 Resuelva la ecuación x 2 +x +2. Cálculo de discriminante Como ya vimos calculamos primero el discriminante: ∆ = 1 2 −4 1 2 ∆ = 1−8 ∆ =−7 Analizamos el discriminante Con este resultado podemos concluir que la ecuación que vamos a resolver no tiene soluciones reales, estas son imaginarias. Teniendo este resultado, no procede el uso de la fórmula general, sino escribir el conjunto solución Escribimos la solución S =¦¦ 3 Antes de pasar a la práctica, es importante mencionar que los ejemplos desarrollados hasta el momento se presentan ordenados para su resolución. Sin embargo, en ocasiones las ecuaciones cuadráticas pueden plantearse desordenadas o incompletas, como veremos a continuación. Ejercicio 2.3 Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas utilizando el método de la fórmula general. 1. 15x 2 +8x −12 = 0 2. 4x 2 +x −14 = 0 3. 15x 2 −29x −14 = 4. 8x 2 +30x −27 = 0 5. x 2 −7x +9 = 0 6. 5x 2 −x +1 = 0 7. −x 2 −3x +7 = 0 8. 6x 2 −7x −3 = 0 9. −x 2 +x −1 = 0 10. −4x 2 +2x +6 = 0 11. x 2 −x +6 = 0 12. −x 2 −15x +12 = 0 Ejercicio 2.4 — Para la casa. Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas utilizando el método de la fórmula general. 1. 6x 2 −7x −3 = 0 2. 5x 2 +3x −1 = 0 3. x 2 −x +1 = 0 4. −x 2 +2x −3 = 0 5. −x 2 +6x −9 = 0 6. x 2 −4x −5 = 0 7. 3x 2 −x −2 = 0 8. 10x 2 −3x −15 = 0 9. 25x 2 −10x +1 = 0 10. −x 2 +3x +2 = 0 3 Otra forma de denotar el conjunto vacío es S = φ, JAMAS se denota S =¦φ¦. 2.2 Métodos de Solución de Ecuaciones Cuadráticas 39 2.2.2 Ecuaciones Cuadráticas Incompletas y Desordenadas Problema 2.7 — Ecuación Cuadrática Incompleta. Para la ecuación 3x 2 +4x = 0 determine el conjunto solución Calculamos el discriminante. Es importante notar que el coeficiente a = 3, el b = 4 pero el coeficiente c no está presente en la ecuación. Esto no significa que no se puede realizar, por el contrario esto significa que como ese valor no aparece debemos presumir que el coeficiente tiene un valor de 0. ∆ = 4 2 −4 3 0 ∆ = 16−0 ∆ = 16 Analizamos el resultado y concluimos que tendremos dos soluciones, reales. La primera solu- ción es Aplicamos la fórmula general x 1 = −4+ √ 16 2 3 x 1 = −4+4 6 x 1 = 0 La segunda solución es x 1 = −4− √ 16 2 3 x 1 = −4−4 6 x 1 = −8 6 x 1 = −4 3 Escribimos el conjunto solución S = _ −4 3 , 0 _ Como quedó claro en el ejemplo anterior cuando un coeficiente no aparece debemos “enten- der” que su valor es cero. A continuación analizaremos otro ejemplo donde esto se puede confirmar. Problema 2.8 Obtenga el conjunto solución de la ecuación x 2 −7 = 0 Calculamos el discriminante. Una vez mas notamos que un coeficiente no está presente en la ecuación. En este caso es el coeficiente b, de forma similar al ejemplo anterior, como este valor no aparece debemos presumir que el coeficiente b tiene un valor de 0. ∆ = 0 2 −4 1 −7 ∆ = 0−−28 ∆ = 0+28 ∆ = 28 40 Ecuaciones Cuadráticas Analizando el resultado anterior concluimos que tendremos dos soluciones, reales. Cálculamos La primera solución es x 1 = −0+ √ 28 2 1 x 1 = 0+2 √ 7 2 x 1 = 2 √ 7 2 x 1 = √ 7 La segunda solución es x 1 = −0− √ 28 2 1 x 1 = 0−2 √ 7 2 x 1 = −2 √ 7 2 x 1 =− √ 7 Escribimos el conjunto solución S =¦− √ 7, √ 7¦ El método del despeje El método del despeje se aplica únicamente cuando la ecuación cuadrática no está completa y tiene la forma ax 2 +c = 0. Debemos recordar que la operación contraria a la potencia es el radical de índice igual al exponente. Por ejemplo, Ejemplo 2.2 — Inversa de una potencia. la inversa de x 2 es √ x (2.3) la inversa de x 5 es 5 √ x (2.4) En el concepto mostrado anteriormente se basa el método que vamos a estudiar. Veamos un ejemplo a continuación, Problema 2.9 Resuelva la ecuación x 2 −9 = 0 Despejamos la incógnita x 2 = 9 Aplicamos raíz cuadrada a ambos lados √ x 2 = √ 9 2.2 Métodos de Solución de Ecuaciones Cuadráticas 41 Desarrollamos para ambos valores de la raíz (el positivo y el negativo) x =− √ 9 x =− √ 9 x =−3 x = 3 Escribimos el conjunto solución S =¦−3, 3¦ Quizá la pregunta que surge a continuación es: ¿Por qué llegamos a un punto en la operación anterior donde separamos la operación en una raíz de valor positivo y otra de valor negativo si solo contábamos con una raíz al principio? ¿A qué se refiere cuando decimos “desarrollar para ambos valores de la raíz”? Es importante entender que sucede cuando elevamos un número real a un exponente par, mas específicamente cuando elevamos al cuadrado. R Al elevar un número real cualquiera, positivo o negativo, a un exponente par – como es el caso de elevar al cuadrado – el resultado siempre es positivo. De manera simbólica, Proposición 2.4 — Signo de Potencia de Índice Par. Sea a ∈ R, entonces a 2 ≥0 Consideremos la proposición anterior un momento. Al desarrollar 3 2 y (−7) 2 la proposición anterior nos asegura que el valor que obtendremos es positivo. Ejemplo 2.3 Desarrollando la potencia 3 2 =9, podemos constatar que el resultado es positivo. De la misma manera, (−7) 2 = 49 el resultado es positivo. Como dijimos al inicio de la sección, las potencias y los radicales son operaciones inversas. Por lo tanto cuando estamos resolviendo una ecuación y la incógnita tiene exponente par debemos pasar ese exponente al otro lado como raíz cuadrada. De acuerdo a la proposición 2.4, el número al que esta igualada la incognita puede ser positivo o bien negativo. Por eso es que se establece que al pasar el exponente al otro lado del igual se analicen “los dos valores” de la raíz. Esto se debe a que no podemos afirmar con seguridad si el número que estaba elevado al cuadrado era originalmente positivo o negativo. De esta manera, Ejemplo 2.4 — Despeje de incógnita elevada al cuadrado. Si se nos pide despejar x 2 = 16, debemos tener en consideración que no sabemos si el número original, el que se elevó al cuadrado, es positivo o negativo. Por tanto, al hacer el despeje, presumimos que las dos opciones se pueden presentar x 2 = 16 pasamos el exponente como raíz, al otro lado del igual, y separamos la ecuación en dos, una negativa y la otra positiva x =− √ 16 x = √ 16 x =−4 x = 4 42 Ecuaciones Cuadráticas Analizando, y confrontando con la proposición 2.4, vemos que tanto 4 2 = 16 como (−4) 2 = 16. Es por eso que debemos “desarrollar para ambos lados de la raíz”. Aclarado este punto, veamos un segundo ejemplo. Problema 2.10 Resuelva la ecuación 4x 2 −100 = 0. Despejamos la incógnita, dejando el x 2 sólo del lado izquierdo 4x 2 −100 = 0 4x 2 = 100 x 2 = 100 4 x 2 = 25 Aplicamos raíz cuadrada a ambos lados √ x 2 = √ 25 Desarrollamos para ambos valores de la raíz x =− √ 25 x = √ 25 x =−5 x = 5 Escribimos el conjunto solución S =¦−5, 5¦ En ocasiones el método puede presentar un desafío mayor, una trampa, y debemos estar mas atentos de lo normal. Problema 2.11 Resuelva la ecuación x 2 +13 = 0. Despejamos la incógnita, x 2 +13 = 0 x 2 =−13 Aplicamos la raíz cuadrada a ambos lados √ x 2 = √ −13 Desarrollamos para ambos valores de la raíz x =− √ −13 x = √ −13 al usar la calculadora para obtener los valores de la raíz obtenemos como resultado MATH ERROR. Esto nos indica que no existe solución pues como recordamos cuando el índice es par el subradical debe ser siempre positivo y en este caso es negativo. De esta forma S =¦¦. 2.2 Métodos de Solución de Ecuaciones Cuadráticas 43 Ejercicio 2.5 Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas utilizando el método del despeje. 1. x 2 = 16 2. x 2 = 25 3. x 2 −169 = 0 4. x 2 −361 = 0 5. 25x 2 = 9 6. 16x 2 = 49 Ejercicio 2.6 — Para la casa. Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas utilizando el método de la fórmula general. 1. 6x 2 −3 = 0 2. 5x 2 −1 = 0 3. x 2 +1 = 0 4. −x 2 +3 = 0 5. −x 2 −9 = 0 6. x 2 −5 = 0 7. 3x 2 −2 = 0 8. 10x 2 −15 = 0 Problema 2.12 — Ecuación Cuadrática Desordenada. Resuelva la ecuación 5x−3x 2 =7 En ocasiones las ecuaciones desordenadas simplemente requieren ordenarse para poder resolver- las. En el caso presentado arriba procederíamos a ordenar los términos y luego realizaríamos el proceso descrito ya para la resolución de ecuaciones cuadráticas. Ordenamos los términos de acuerdo a la forma clásica de una ecuación cuadrática, a saber ax 2 +bx +c = 0 Invertimos el orden de los términos a la izquierda del igual −3x 2 +5x = 7 Pasamos el número que está a la derecha del igual hacia el lado izquierdo −3x 2 +5x −7 = 0 Calculamos el valor del discriminante ∆ = 5 2 −4 −3 −7 ∆ = 25−84 ∆ =−59 Analizamos el valor del discriminante y sabemos que como es negativo entonces no existen soluciones para esta ecuación. Escribimos la solución S =¦¦ No todas las ecuaciones desordenadas son así de simples. Veamos el ejemplo siguiente. 44 Ecuaciones Cuadráticas Problema 2.13 Resuelva la ecuación 3(x +2) 2 +11x +24 = (x −2)(2x +5) −3x Iniciamos desarrollando las operaciones planteadas, respetando el orden 4 3(x 2 +4x +4) +11x +24 = 2x 2 +5x −4x −10−3x 3x 2 +12x +12+11x +24 = 2x 2 +5x −4x −10−3x 3x 2 −2x 2 +12x +11x +4x −5x +3x +12+24+10 = 0 x 2 +25x +46 = 0 Calculamos el valor del discriminante ∆ = 25 2 −4 1 46 ∆ = 625−184 ∆ = 441 Analizando el resultado anterior concluimos que tendremos dos soluciones reales. Calculamos La primera solución es x 1 = −25+ √ 441 2 1 x 1 = −25+21 2 x 1 = −4 2 x 1 =−2 La segunda solución es x 1 = −25− √ 441 2 1 x 1 = −25−21 2 x 1 = −46 2 x 1 =−23 Escribimos el conjunto solución S =¦−23, −4¦ 4 1. Potencias, 2. Paréntesis, 3. Multiplicación y división, 4. Suma y resta. 2.2 Métodos de Solución de Ecuaciones Cuadráticas 45 Ejercicio 2.7 Encuentre el conjunto solución en R de las siguientes ecuaciones. 1. 3x = 7−5x 2 S = _ −3− √ 149 10 , −3+ √ 149 10 _ 2. x 2 −5+3x = 0 S = 3. 3x(x −2) −(x −6) = 23(x −3) S =¦5¦ 4. 2x 2 −4x +3 = 0 S =¦¦ 5. 25(x +2) 2 = (x −7) 2 −81 S = 6. x 2 −8x =−5 S = _ 4− √ 11, 4+ √ 11 _ 7. 3(x −1)(x +2) −2(2x −3)(x +4) = 0 S =¦−9, 2¦ 8. 1+ _ 1 2 −x _ = 5 4 S =¦0, 1¦ 9. (x −2) 2 = 1 3 (6x −24) S =¦¦ 10. x 2 −4 = 16 S = _ −2 √ 5, 2 √ 5 _ 11. 4x −2(1+x) 2 −2 = 3(x 2 −2) −1 S = _ − √ 15 5 , √ 15 5 _ 12. 1 2 +3 _ x 2 + x 6 _ = 3 2 S = _ −2 3 , 1 2 _ 13. (3x −5) 2 = 50 S = _ 5−5 √ 2 3 , 5+5 √ 2 3 _ 14. −(x +1) 2 +3(x −6) =−18−x 2 S =¦1¦ 15. 3x 2 −4x +7 = 0 S =¦¦ 16. −(x 2 −3) = _ x − 1 2 _ S = _ 1− √ 23 4 , 1+ √ 23 4 _ 17. 4x 2 −24x =−36 S =¦3¦ 18. 7(x −3) −5(x 2 −1) = x 2 −5(x +2) S =¦1¦ 19. 1 3 (3+2x) 2 = 0 S = _ − 3 2 _ 20. (5x −2) 2 −(3x +1) 2 −x 2 −60 = 0 S = _ − 19 15 , 3 _ 21. (x −3) 2 = 12 S = _ 3−2 √ 3, 3+2 √ 3 _ 22. (x −5) 2 −(x −6) 2 = (2x −3) 2 −118 S = _ − 7 2 , 7 _ 46 Ecuaciones Cuadráticas Ejercicio 2.8 — Para la casa. Encuentre el conjunto solución de las siguientes ecuaciones. 1. x 2 = 15 S = _ − √ 15, √ 15 _ 2. y 2 +64 = 0 S =¦¦ 3. x 2 −15 = 9 S = _ −2 √ 6, 2 √ 6 _ 4. −x 2 −5 =−10 S = _ − √ 5, √ 5 _ 5. 3x 2 −18 = 36 S = _ −3 √ 2, 3 √ 2 _ 6. 2x 2 −5 = 95 S = _ −5 √ 2, 5 √ 2 _ 2.2.3 Ecuaciones Fraccionarias Antes de iniciar el procedimiento con el cual se resolverá el particular caso de las ecuaciones fraccionarias, es necesario aclarar ciertos conceptos. La definición de “dividir por cero”, para este curso no la abarcaremos de forma completa, pues más que un valor es todo un concepto, que involucra otro tipo de nociones; por el momento nos limitaremos a asumir que la división entre cero es no calculable o simplemente indefinida. De lo anterior, será necesario que siempre que se trabaje con fracciones algebraicas, sepamos de antemano los números que hacen el valor numérico del denominador o de los denominadores igual a cero, para descartarlos de nuestro conjunto de trabajo o conjunto referencial, que por lo general son los números reales (R). A estos valores que descartamos se les denomina restricciones de la operación. Problema 2.14 Resuelva la ecuación 3 x 2 +2x −8 = −2 x 2 −4 Determino las restricciones, igualando los denominadores a cero x 2 +2x −8 = 0 x 2 −4 = 0 utilizamos la calculadora, específicamente Mode 5 – 3 y obtenemos x 2 +2x −8 = 0 →x 1 =−4 y x 2 = 2 x 2 −4 = 0 →x 1 =−2 y x 2 = 2 de esta forma las restricciones de esta ecuación es el conjunto ¦−4, −2, 2¦, por lo que estos números no podrán formar parte de la solución de la ecuación. Iniciamos el proceso de despeje de la incógnita “x”, 3 x 2 +2x −8 = −2 x 2 −4 3(x 2 −4) =−2(x 2 +2x −8) 3x 2 −12 =−2x 2 −4x +16 3x 2 −12+2x 2 +4x −16 = 0 5x 2 +4x −28 = 0 2.2 Métodos de Solución de Ecuaciones Cuadráticas 47 Utilizamos la calculadora, Mode 5 – 3, y obtenemos x 1 =− 14 5 y x 2 = 2 Analizamos si alguna de las soluciones se encuentra dentro del conjunto de las restricciones, como la x 2 es parte de las restricciones, entonces debemos excluirla del conjunto solución Escribimos el conjunto solución S = _ − 14 5 _ Problema 2.15 Resuelva la ecuación 3 x −4 − 2 x −3 = 6 x 2 −7x +12 Determino las restricciones, igualando los denominadores a cero x −4 = 0 x −3 = 0 x 2 −7x +12 = 0 utilizamos la calculadora, específicamente Mode 5 – 3 y obtenemos x −4 = 0 →x = 4 x −3 = 0 →x = 3 x 2 −7x +12 = 0 →x 1 = 3 y x 2 = 4 de esta forma las restricciones de esta ecuación es el conjunto ¦3, 4¦, por lo que estos números no podrán formar parte de la solución de la ecuación. Iniciamos el proceso de despeje de la incógnita “x”, 3 x −4 − 2 x −3 − 6 x 2 −7x +12 = 0 Calculamos el denominador común 3 x −4 − 2 x −3 − 6 (x −3)(x −4) = 0 3(x −3) −2(x −4) −6 (x −4)(x −3) = 0 3x −9−2x +8−6 (x −4)(x −3) = 0 x −7 (x −4)(x −3) = 0 x −7 = 0(x −4)(x −3) x −7 = 0 Despejamos la incógnita y obtenemos x = 7 Analizamos si alguna de las soluciones se encuentra dentro del conjunto de las restricciones, este no es el caso Escribimos el conjunto solución S =¦7¦ 48 Ecuaciones Cuadráticas Problema 2.16 Resuelva la ecuación 4x 2 x −1 − 1−3x 4 = 20x 3 Determino las restricciones, igualando los denominadores a cero x −1 = 0 utilizamos la calculadora, específicamente Mode 5 – 3 y obtenemos x −1 = 0 →x = 1 de esta forma las restricciones de esta ecuación es el conjunto ¦1¦, por lo que estos números no podrán formar parte de la solución de la ecuación. Iniciamos el proceso de despeje de la incógnita “x”, 4x 2 x −1 − 1−3x 4 − 20x 3 = 0 Calculamos el denominador común 4x 2 x −1 − 1−3x 4 − 20x 3 = 0 12 4x 2 −3(x −1)(1−3x) −4(x −1) 20x 12(x −1) = 0 48x 2 −3(x −3x 2 −1+3x) −4(20x 2 −20x) 12(x −1) = 0 48x 2 −3x +9x 2 +3−9x −80x 2 +80x 12(x −1) = 0 −23x 2 +68x +3 = 0 12(x −1) −23x 2 +68x +3 = 0 Utilizamos la calculadora, Mode 5 – 3 y obtenemos x 1 = 3 x 2 =− 1 23 Analizamos si alguna de las soluciones se encuentra dentro del conjunto de las restricciones, este no es el caso Escribimos el conjunto solución S = _ − 1 23 , 3 _ Ejercicio 2.9 Encuentre el conjunto solución, en los números reales de las siguientes ecuaciones. 1. 1 a−1 = 2 3 S = _ 5 2 _ 2. a+2 a−2 = a+4 a−1 S =¦6¦ 3. 4 x +4 + 6 2x +3 = −6 2x 2 +11x +12 S =¦−3¦ 4. 3 4a = 1 12a + 2 5a+2 S =¦−1¦ 2.2 Métodos de Solución de Ecuaciones Cuadráticas 49 5. 3 a+3 − 2 2a−5 = 6 3a−13 S =¦3¦ 6. 1 a+2 = 2 a−1 − 1 a−2 S =¦4¦ 7. 5 2x −2 = 3 2x −1 + 1 x −2 S =¦−4¦ 8. 2a−6 3a−1 − 5a−3 4a+3 = −7 12 S =¦−21¦ 9. 2x +1 x −2 − x −1 x +2 = x 2 +x +7 x 2 −4 S =¦1¦ 10. 3x +4 2x +5 − 5x 2 +2x −4 6x 2 +13x −5 = 2x −3 3x −1 S =¦−5¦ 11. 3a−2 4a+3 + 5a−3 2a−2 = 13 4 S =¦29¦ 12. 3a+2 2a−1 − 3a−1 2a+1 = 5a+15 4a 2 −1 S =¦2¦ 13. h+8 (2h−1)(h+2) + 4h+13 h+3 = 8h−1 2h−1 S =¦4¦ 14. 3a+2 a 2 −1 − a+1 a−1 − 2a−1 a+1 = 0 S = _ 0, 4 3 _ 15. a a−1 + a−1 a−2 − 2a−4 a−3 = 0 S = _ 5 3 _ 16. a+6 a+5 − 2a−1 a−4 + a+4 a−2 = 0 S =¦−2¦ 17. x +7 2x 2 −x −3 = 8x −9 2x −3 − 4x +9 x +2 S =¦5¦ 18. (5x −2)(7x +3) 7x(5x −1) −1 = 0 S = _ 3 4 _ 19. 1+2x 1+3x − 1−2x 1−3x = 3x −14 1−9x 2 S =¦14¦ 20. 1 (x −1) 2 − 3 2x −2 =− 3 2x +2 S =¦2¦ 21. 10x −7 15x +3 = 3x +8 12 − 5x 2 −4 20x +4 S =¦−16¦ 22. 2 3 − 6x 2 9x 2 −1 = 2 3x −1 S = _ − 9 4 _ 23. _ 4 x +3 −1 __ 1+ 3 x +4 _ = 0 S =¦−7, 1¦ 50 Ecuaciones Cuadráticas 2.2.4 Ecuaciones con Radicales Una ecuación recibe el nombre de ecuación con radical si al menos una variable forma parte del subradical de una expresión de una radical, en una o en ambos miembros de la ecuación. Procedimiento para resolver ecuaciones con radicales Paso 1 Despejamos el radical, en el cual se encuentra la variable que estamos buscando su valor. Paso 2 Elevamos ambos miembros de la ecuación a la potencia que indica el índice del radical. Paso 3 Resolvemos las potencias respectivas. Paso 4 Si se conservan expresiones radicales se repiten los pasos a, b y c. Paso 5 Se resuelve la ecuación resultante. Paso 6 Se verifican las soluciones encontradas en la ecuación original. Paso 7 Se determina el conjunto solución. Problema 2.17 Resuelva en R la ecuación que se presenta a continuación 3 √ x −1+x = 5 Despejamos el radical, dejandolo solo de un lado del igual 3 √ x −1+x = 5 3 √ x −1 = 5−x Elevamos ambos lados del igual (3 √ x −1) 2 = (5−x) 2 Desarrollamos las potencias respectivas 9(x −1) = 25−10x +x 2 9x −9 = 25−10x +x 2 −x 2 +19x −34 = 0 Resolvemos la ecuación resultante −x 2 +19x −34 = 0 x 1 = 17 x 2 = 2 Verificamos las soluciones x = 17 3 √ 17−1+17 = 5 3 √ 16+17 = 5 3 4+17 = 5 12+17 = 5 29 = 5 →Incorrecto x = 2 3 √ 2−1+2 = 5 3 √ 1+2 = 5 3 1+2 = 5 3+2 = 5 5 = 5 →Correcto Escribimos el conjunto solución S =¦2¦ Problema 2.18 Resuelva en Rla ecuación que se presenta a continuación √ 1+4x−1− √ 2x = 0 2.2 Métodos de Solución de Ecuaciones Cuadráticas 51 Despejamos el radical, dejándolo solo de un lado del igual √ 1+4x −1− √ 2x = 0 √ 1+4x = 1+ √ 2x Elevamos ambos lados del igual ( √ 1+4x) 2 = (1+ √ 2x) 2 Desarrollamos las potencias respectivas 1+4x = 1 2 +2 1 √ 2x +2x 1+4x = 1+2 √ 2x +2x Se conservan expresiones con radicales, reinicio el procedimiento Despejamos el radical, dejándolo solo de un lado del igual 1+4x = 1+2 √ 2x +2x 1+4x −1−2x = 2 √ 2x 2x = 2 √ 2x Elevamos ambos lados del igual (2x) 2 = (2 √ 2x) 2 Desarrollamos las potencias respectivas 4x 2 = 4(2x) 4x 2 −8x = 0 Resolvemos la ecuación resultante 4x 2 −8x = 0 x 1 = 0 x 2 = 2 Verificamos las soluciones x = 0 √ 1+4 0−1− √ 2 0 = 0 √ 1+0−1− √ 0 = 0 √ 1−1−0 = 0 1−1 = 0 0 = 0 →Correcto x = 2 √ 1+4 2−1− √ 2 2 = 0 √ 1+8−1− √ 4 = 0 √ 9−1−2 = 0 3−1−2 = 0 0 = 0 →Correcto Escribimos el conjunto solución S =¦0, 2¦ 52 Ecuaciones Cuadráticas Ejercicio 2.10 Encuentre el conjunto solución, en los números reales, de las siguientes ecuaciones. 1. √ x +13+ √ x −2 = 3 R/ S =¦ ¦ 2. √ x +6 = √ 4x −3 R/ S =¦3¦ 3. √ x +11− √ 2x −3 = 0 R/ S =¦14¦ 4. 3x −1−3 √ 3x −1+2 = 0 R/ S = _ 2 3 , 5 3 _ 5. √ x 2 −3x +5 = √ 2x −1 R/ S =¦2, 3¦ 6. √ x 2 −5x +1− √ 1−8x = 0 R/ S =¦−3, 0¦ 7. √ 7x +8 = √ 3x +1+ √ x +1 R/ S =¦8¦ 8. √ 10x −4− √ 3x −3 = √ 2x +1 R/ S =¦4¦ 9. 2x +3−4 √ 2x +3+3 = 0 R/ S =¦−1, 3¦ 10. √ 6−x + √ x +2 = 0 R/ S =¦ ¦ 11. √ 5x +1− √ x −2 = √ x +6 R/ S =¦3, 19 5 ¦ 12. 3x = √ 10−2x +7 R/ S =¦3¦ 13. √ 5x +1− √ 3x −5 = √ x +1 R/ S =¦3¦ 14. √ 2x −3−2 √ 3x −2−3 = 1 R/ S =¦2, 6¦ 2.3 Problemas con Ecuaciones Cuadráticas Una vez que hemos estudiado las ecuaciones cuadráticas, podemos aplicarlas en la resolución de problemas de aplicación. Veamos algunos ejemplos: Problema 2.19 Resuelva el siguiente problema con ecuaciones cuadráticas. A es dos años mayor que B y la suma de los cuadrados de ambas edades es 130 años. Hallar ambas edades. i. DATOS ii. PLANTEO Edad de B = x A es dos años mayor que B = x +2 Cuadrado de la edad de B = x 2 x 2 +(x +2) 2 = 130 Cuadrado de la edad de A = (x +2) 2 iii. RESOLUCIÓN iv. RESPUESTA x 2 +(x +2) 2 = 130 La edad de B es 7 x 2 +x 2 +4x +4 = 130 La edad de A es 9 2x 2 +4x +4−130 = 0 Resp/ Las edades son 7 y 9 años. 2x 2 +4x −126 = 0 Se resuelve usando MODE 5 – 3 en la calculadora Prueba: 7 2 +(7+2) 2 = 130 La calculadora da como resultado x =−9 y x = 7 Prueba: 49+81 = 130 Utilizamos la respuesta positiva x = 7 130 = 130 2.3 Problemas con Ecuaciones Cuadráticas 53 Problema 2.20 Resuelva el siguiente problema. Carlos y Juan reciben su estado de cuenta bancaria en dólares, ambas poseen dinero. Si la cuenta de Juan tiene el doble de la cuenta de Carlos y el cuadrado de la cantidad de dinero de Juan es doce veces la cantidad de dinero de Carlos. ¿Cuánto dinero tiene cada uno en su cuenta? i. DATOS ii. PLANTEO Dinero de Carlos = x Dinero de Juan = 2x Cuadrado del dinero de Juan = (2x) 2 12x = (2x) 2 Dos veces el dinero de Carlos = 12x iii. RESOLUCIÓN iv. RESPUESTA 12x = (2x) 2 Aunque a la solución de la ecuación 12x = 4x 2 pertenecen los números 0 y 3 nuestro −4x 2 +12x = 0 problema excluye al numero 0. Se resuelve usando MODE 5 – 3 en la calculadora Por lo tanto Carlos tiene $3 y Juan $6 La calculadora da como resultado x = 0 y x = 3 Problema 2.21 El producto de dos números enteros consecutivos positivos es 210. ¿Cuáles son esos números? i. DATOS ii. PLANTEO Número menor = x Número mayo = x +1 Producto de ambos números = x(x +1) x(x +1) = 210 iii. RESOLUCIÓN iv. RESPUESTA x(x +1) = 210 Notemos que la solución de la ecuación está conformada por un número x 2 +x = 210 positivo y otro negativo, por lo que excluimos al negativo, ya que el x 2 +x −210 = 0 ya que el enunciado así lo propone. Tomamos el número menor (x) como 14 y por ende su consecutivo 15. Se resuelve usando MODE 5 – 3 en la calculadora. Por lo tanto los numeros La calculadora da como resultado buscados son 14 y 15. x =−15 y x = 14 54 Ecuaciones Cuadráticas Ejercicio 2.11 Resuelva los siguientes problemas. 1. La suma de dos números es 9 y la suma de sus cuadrados es 53. Hallar los números. R/ 7 y 2. 2. Encuentre dos números tales que su suma sea 21 y su producto 104. R/ 13 y 8. 3. Encuentre dos números consecutivos positivos enteros pares cuyo producto es 168. R/ 12 y 14. 4. La suma de un número y su recíproco es 10 3 Encuentre el número. R/ 3. 5. Un número positivo es los 3 5 de otro y su producto es 2160. Hallar los números. R/ 60 y 36. 6. A tiene 3 años más que B y el cuadrado de la edad de A aumentado en el cuadrado de la edad de B equivale a 317 años. Hallar ambas edades. R/ 14 y 11. 7. Un número es el triplo de otro y la diferencia de sus cuadrados es 1800. Hallar los números. R/ 45 y 15. 8. El cuadrado de un número disminuido en 9 equivale a 8 veces, el número menos 2. Hallar el número. R/ 7 y 1. 9. Hallar dos números consecutivos tales que el cuadrado del mayor excede en 57 al triplo del menor. R/ 8 y 9 ó -7 y -6. 10. La diferencia de dos números es 7 y su suma multiplicada por el número menor equivale a 184. Hallar los números. R/ 15 y 8. Ejercicio 2.12 — Para la casa. Resuelva los siguientes problemas con ecuaciones cuadrá- ticas. 1. La suma de las edades de A y B es 23 años y su producto 102. Hallar ambas edades. R/ 17 y 6. 2. Hallar tres números consecutivos tales que el cociente del mayor entre el menor equivale a los 3 10 del número intermedio. R/ 4, 5 y 6. 3. El producto de dos números es 180 y su cociente es 1,25. Hallar los números. R/ 12 y 15. 4. El producto de dos números es 352, y si el mayor se divide por el menor el cociente es 2 y el residuo es 10. Hallar los números. R/ 11 y 32. 5. La edad de A hace 6 años era la raíz cuadrada de la edad que tendrá dentro de 6 años. Hallar la edad. R/ 10. 2.3 Problemas con Ecuaciones Cuadráticas 55 Ejercicio 2.13 — Práctica Adicional. Resuelva los siguientes problemas con ecuaciones cuadráticas. 1. Un comerciante compró cierto número de sacos de azúcar por $1000. Si hubiera comprado 10 sacos más por el mismo dinero, cada saco le habría costado $5 menos. ¿Cuántos sacos compró y cuántos le costo cada uno? R/ 40 y 25. 2. Un caballo costó 4 veces lo que su arreos y la suma de los cuadrados del precio del caballo y el precio de los arreos es 860625 colones. ¿Cuánto costó el caballo y cuánto los arreos? R/ 225 y 900. 3. Una persona compró cierto número de libros por $180. Si hubiera comprado 6 libros menos por el mismo dinero, cada libro le habría costado $1 más. ¿Cuántos libros compró y cuánto le costo cada uno? R/ 36 y 5. 4. Una compañia de 180 soldados está formada en filas. El número de soldados de cada fila es 8 más que el número de filas que hay. ¿Cuántas filas y cuántos soldados en cada una? R/ 10 y 18. 5. Entre cierto número de personas compran un auto que vale $1200. El dinero que paga cada persona excede en 194 al número de personas. ¿Cuántas personas compraron el auto? R/ 6. 6. Compré cierto número de relojes por $192. Si el precio de cada reloj es los 3 4 del número de relojes, ¿cuántos relojes compré y cuánto pagué por cada uno? R/ 16 y 12. 7. Se ha comprado cierto número de libros por $150. Si cada libro hubiera costado $1 más, se habrían comprado 5 libros menos con los $150. ¿Cuántos libros se compraron y cuánto costo cada uno? R/ 30 y 5. 8. Por $200 compré cierto números de libros. Si cada libro me hubiera costado $10 menos, el precio de cada libro hubiera sido igual al número de libros que compré. ¿Cuántos libros compré? R/ 10. 9. Compre cierto número de lapiceros por $24. Si cada lapicero me hubiera costado $1 menos, podría haber comprado 4 lapiceros más por el mismo dinero. ¿Cuántos lapiceros compré y a qué precio? R/ 8 y 3. 10. Los gastos de una excursión son $90. Si desisten de ir 3 personas, cada una de las restantes tendrııa que pagar $1 más. ¿Cuántas personas van en la excursión y cuánto paga cada una? R/ 18 y 5. 11. Un tren emplea cierto tiempo en recorrer 240km. Si la velocidad hubiera sido 20km por hora más que la que llevaba hubiera tardado 2 horas menos en recorrer dicha distancia. ¿En que tiempo recorrió los 240km? R/ 6. 12. Un tren ha recorrido 200km en cierto tiempo. Para haber recorrido esa distancia en 1 hora menos, la velocidad debía haber sido 10km por hora más. Hallar el tiempo empleado y la velocidad del tren. R/ 5 y 40. Ejercicio 2.14 — Práctica Adicional para la casa. Resuelva los siguientes problemas. 1. Carlos es 2 años mayor que Pedro, la suma de los cuadrados de ambas edades es 130 ¿Cuál es la edad de cada uno? R/ Pedro tiene 7 años y Carlos 9 años. 2. La altura h, en metros, sobre el piso, que alcanza una bola a los t segundos de haber sido lanzada está dada por la formula h =t 2 +8t ¿Cuánto dura, aproximadamente, esta bola en llegar a los 16m de de altura sobre el piso? R/ Aproximadamente 1, 65 56 Ecuaciones Cuadráticas segundos. 3. Entre cierto número de personas pagan un viaje que vale $1200. El dinero que pagó cada persona excede en 194 al número de personas. ¿Cuántas personas pagaron el viaje? R/6 personas. 4. Un jardín rectangular es 10 metros más largo que ancho. Si su área es 875 metros cuadrados ¿Cuáles son las dimensiones del jardín? R/ 25 metros por 35 metros. 5. Un terreno rectangular tiene 6 metros más de largo que de ancho. Si cada diagonal del terreno mide 174 m de largo. ¿Cuáles son las dimensiones de este terreno? R/ 120 metros por 126 metros. 6. La longitud de un terreno rectangular es el doble del ancho. Si la longitud se aumenta en 40 metros y el ancho en 6 metros el área se hace el doble. Encuentre las dimensiones originales del terreno. R/ 30 metros de ancho y 60 metros de largo. 7. Un jardín cuadrado se va a cercar, si la cerca cuesta $1 por metro y el costo de preparar el terreno es $ 0,5 por metro cuadrado. Calcule el tamaño del terreno que se puede cercar con $ 120. R/ Se puede cercar un terreno cuadrado de 12 metros de lado. 8. Se desea construir una caja de base cuadrada y sin tapa, cortando un cuadro de 2 cm de lado en cada esquina de una lámina cuadrada de cartón y doblando los lados hacia arriba. Si la caja es para una capacidad de 338 cm 3 ¿Cuáles deben ser las dimensiones de la lámina de cartón que se ocupa? R/ una lámina de 17 cm de lado. 2.3 Problemas con Ecuaciones Cuadráticas 57 Ejercicio 2.15 — Trabajo extraclase. Realice los siguientes problemas con ecuaciones cuadráticas. 1. La suma de dos números naturales es 26 y la diferencia de sus cuadrados supera en 55 al producto de esos dos números encuentre esos números. 2. La base de un rectángulo es 5 cm más que su altura y el área de este es de 104 cm 2 . ¿Cuál es el perímetro de ese rectángulo? 3. Un cierto número de personas, hicieron una excursión por la cual pagaron un total de $ 120. Si hubieran ido 3 personas más, el costo por persona habría sido de $ 2 menos. ¿Cuántas personas hicieron la excursión y cuánto pagó cada una? 4. Pedro tiene 2 años más que Beto y este 2 años más que Carlos. Si los números correspondientes a las edades de Pedro y Carlos se multiplican, este producto excede en 16 al producto de los números correspondientes a las edades de Beto y Carlos. ¿Cuál es la edad de cada uno de ellos? 5. El numerador de una fracción excede al denominador en 2. Si el numerador se multiplica por el denominador y al denominador se le suma el numerador, el valor de la fracción es 6. ¿Cuál es la fracción original? 6. Una bola de béisbol es lanzada verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 64 metros por segundo. El número de metros m sobre el suelo después de t segundos está dado por la ecuación m =−16t 2 +64t. a) ¿En cuánto tiempo alcanza la pelota una altura de 48m? b) ¿Cuánto tarda en regresar al suelo? 7. La altura h, en metros, sobre el piso, que alcanza una bola a los t segundos de haber sido lanzada hacia arriba está dada por. la formula h = −16t 2 +40t ¿Cuánto dura exactamente, esta bola en llegar a los 20m de de altura sobre el piso? 8. El recíproco de un número entero aumentado en el triple del número es igual a 75 6 , ¿Cuál es ese número? 9. El área de un triángulo rectángulo es 8 cm 2 y el cateto mayor es igual al menor aumentado en tres unidades ¿Cuál es la medida de cada cateto?. 3 — Factorización Este año continuaremos con el tema de factorización que iniciamos el año anterior, esta vez estudiaremos tres métodos de factorización: Inspección Fórmulas o Productos Notables Fórmula General (o Calculadora) Una multiplicación es una operación que se define como una suma sucesiva de un mismo elemento una cierta cantidad de veces Ejemplo 3.1 Notación de una multiplicación como una suma sucesiva. 2 5 = 2+2+2+2+2 = 10 2 5 = 5+5 = 10 El elemento que se suma sucesivamente y la cierta cantidad de veces que lo hace reciben el nombre de factores. Factorizar es un proceso inverso al de multiplicar, es decir, el objetivo ya no es encontrar un resultado, más bien nuestro propósito es: dada una cifra, expresarla como la multiplicación de factores. Ejemplo 3.2 Algunas factorizaciones del número 10 pueden ser 10 = 2 5 10 = 1 10 10 =−1 −10 10 =−5 −2 Recordemos que las partes de la multiplicación son: factor y producto (de ahí el nombre de factorización). 60 Factorización Por lo tanto en el ejemplo anterior 10 .¸¸. producto = factor ¸..¸ 2 5 .¸¸. factor podremos decir que 2 y 5 son factores de 10, pues, al realizar la multiplicación de los factores llegamos a la expresión propuesta. Lo mismo podemos decir de -2, -5 al igual que -10, -1 y también 1, 10. Recordemos que un polinomio es una expresión algebraica que representa un número desconocido. Entonces, es posible factorizar un polinomio. Ejemplo 3.3 Factorización de un polinomio Si la multiplicación x(2x+1) = 2x 2 +x, entonces se puede afirmar que, x y (2x+1) son factores de 2x 2 +x y que una de sus factorizaciones es: 2x 2 +x = x(2x +1) . Ejemplo 3.4 Factorización de un polinomio Si la multiplicación (2x −1)(2x +1) = 4x 2 −1, entonces puedo decir que (2x −1) y (2x +1) son factores de 4x 2 −1 y una de sus factorizaciones es 4x 2 −1 = (2x −1)(2x +1) Existen varios métodos de factorización, algunos de ellos son los que aquí se describen. 3.1 Factorización por Inspección El método de factorización por inspección también recibe el nombre de prueba y error, pues para llegar al resultado debemos hacer justamente eso, probar una y otra vez hasta que lleguemos al resultado correcto. Si en el polinomio ax 2 +bx +c los términos “ax 2 ” y “c” se pueden descomponer en factores de modo que (a 1 x)(a 2 x) = ax 2 ; c 1 −c 2 = c y además se cumple que a 1 x c 2 +a 2 x c 1 = bx “producto en equis”, entonces el trinomio ax 2 +bx +c es factorizable como multiplicación de dos expresiones, de la siguiente forma: ax 2 +bx +c = (a 1 x +c 1 )(a 2 x +c 2 ) A continuación analizamos el método con algunos ejemplos: Se nos pide factorizar el polinomio x 2 +3x +2, entonces debido a las características del polinomio podemos usar el método de inspección. Es importante notar que para poder factorizar un polinomio por el método de inspección este debe ser un trinomio. El método consiste en encontrar dos números que multiplicados den como resultado el primer término, luego encontrar dos números que multiplicados den como resultado el último término. Por último, para saber si los números escogidos en los dos pasos anteriores son los correctos, la combinación de ellos debe dar como resultado el término del centro. Continuemos con el ejemplo, Problema 3.1 Factorice x 2 +3x +2 Buscamos dos números que multiplicados den como resultado x 2 son sin duda, x y x x 2 +3x +2 x x Ahora buscamos dos números que multiplicados den como resultado 2, no necesariamente deben ser iguales, es fácil ver que son 1 y 2, positivos. 3.1 Factorización por Inspección 61 x 2 +3x +2 x +1 x +2 Multiplicamos en equis , para poder asegurarnos si los números escogidos son los correctos, y luego los sumamos. x 2 +3x +2 x +1 x +2 x 2+x 1 = 2x +1x = 3x Comparamos el resultado con el término del centro entonces los números escogidos son los correctos 3x es igual al término del centro del polinomio x 2 +3x +2 Escribimos la respuesta formando los factores con los números en línea recta, de la siguiente forma x 2 +3x +2 x +1 →(x +1) x +2 →(x +2) Por tanto la factorización del polinomio x 2 +3x +2 = (x +1)(x +2) El ejemplo anterior es muy sencillo, veamos otro de mayor nivel. Problema 3.2 Factorice el polinomio x 2 −x −12 Comenzamos con la búsqueda de dos n meros que multiplicados den como resultado x 2 , x 2 −x −12 x x ahora buscamos dos números que multiplicados den como resultado −12, empecemos por los más lógicos 2 y 6. Uno de ellos debe ser negativo, como el término del centro es negativo entonces el mas grande de ellos debe ser el negativo x 2 −x −12 x +2 x −6 para asegurarnos de que los números escogidos son los correctos, multiplicamos en equis y luego los sumamos x 2 −x −12 x +2 x −6 −6 x +2 x =−6x +2x =−4x el resultado no es igual que el término del centro, por tanto lo n meros escogidos no son los correctos, as volvemos al segundo paso (prueba y error). Pensando un poco más vemos que otros dos n meros que multiplicados den como resultado −12 son 3 y 4, el 4 debe ser negativo, pues el término del centro es negativo. 62 Factorización x 2 −x −12 x +3 x −4 multiplicamos en equis y luego los sumamos x 2 −x −12 x +3 x −4 −4 x +3 x =−4x +3x =−1x el resultado es igual al término del centro, por tanto los números escogidos son los correctos, escribimos la respuesta de la factorización x 2 −x −12 = (x +3)(x −4) Por último, vamos a examinar un ejemplo de mayor nivel que los anteriores. Problema 3.3 Factoricemos el polinomio 6x 2 −31xy +18y 2 . Comenzamos buscando dos números que multiplicados den como resultado 6x 2 . Existen varios casos, 3x y 2x es uno de ellos, pero también podríamos usar 6x y 1x. Usemos 3x y 2x. 6x 2 −31xy +18y 2 3x 2x ahora buscamos dos números que multiplicados den como resultado 18y 2 , existen varias opciones: 2y y 9y, 3y y 6y 1y y 18y. Usaremos la primera opción. Aquí debemos notar que como el término del centro es negativo, y el último es positivo entonces los n meros deben llevar signo negativo, como se ve a continuación 6x 2 −31xy +18y 2 3x −9y 2x −2y multiplicamos en equis y sumamos 6x 2 −31xy +18y 2 3x −9y 2x −2y 3x −2y +2x −9y =−6xy +−18xy =−24xy el resultado es diferente, por tanto la escogencia no es la correcta. Antes de volver al paso dos y probar otras opciones, invirtamos el orden de uno de los pares de números, 6x 2 −31xy +18y 2 3x −2y 2x −9y 3x −9y +2x −2y =−27xy +−4xy =−31xy en este caso dio resultado, y ya estamos listos para poder dar una respuesta 6x 2 −31xy +18y 2 = (3x −2y)(2x −9y) Para entender mejor el método debemos practicar. A continuación. 3.1 Factorización por Inspección 63 Ejercicio 3.1 Factorice cada uno de los siguientes polinomios. 1. 28+a 2 −11 (a−4)(a−7) 2. 13m+m 2 −30 (m+15)(m−2) 3. −35−2a+a 2 (a+5)(a−7) 4. m−6+15m 2 (5m−3)(3m+2) 5. 6x 2 +7x +2 (2x +1)(3x +2) 6. 12x 2 −x −6 (4x −3)(3x +2) 7. x 2 +4x +3 (x +3)(3x +2) 8. 21x 2 +11x −2 (3x +2)(7x −1) 9. 16m+15m 2 −15 (3m+5)(5m−3) 10. m 2 −8m−1008 (m+28)(m−36) 11. 12m 2 −13m−35 (3m−7)(4m+5) 12. 44n+20n 2 −10 (10n−3)(2n+5) 13. 30x 2 +13x −10 (5x −2)(6x +5) 14. 3x 2 −5x −8 (3x −8)(x +1) Ejercicio 3.2 — Para la casa. Factorice cada uno de los siguientes polinomios. 1. x 4 y 4 +x 2 y 2 −132 (x 2 y 2 +12)(x 2 y 2 −11) 2. 14x 4 −45x 2 −14 (2x 2 −7)(7x 2 +2) 3. 27ab−9b 2 −20a 2 (5a−3b)(3b−4a) 4. 18a 2 +17ay −15y 2 (9a−5y)(2a+3y) 5. 6x 2 −11ax −10a 2 (2x −5a)(3x +2a) 6. (x −y) 2 +2(x −y) −24 (x −y +6)(x −y −4) 7. 20x 2 y 2 +9xy −20 (4xy +5)(5xy −4) 8. 4x 2 +7mnx −15m 2 n 2 (4x −5mn)(x +3mn) 9. 5+7x 4 −6x 8 (2x 4 +1)(5−3x 4 ) 10. (m−n) 2 +5(m−n) −24 (m−n+8)(m−n−3) Ejercicio 3.3 Factorice los siguientes polinomios por inspección. 1. x 2 +7x +10 2. x 2 −5x +6 3. a 2 +4a+3 4. y 2 −9y +20 5. x 2 −6−x 6. x 2 −9x +8 7. c 2 +5c −25 8. a 2 +7a+6 9. 12−8n+n 2 10. a 2 +10x +21 11. y 2 −12y +11 12. x 2 −7x −30 13. n 2 +6n−16 14. 20+a 2 −21a 15. −30+y +y 2 16. 28+a 2 −11a 17. n 2 −6n−40 18. x 2 −5x −36 19. a 2 −2a−35 20. x 2 +15x +56 64 Factorización Ejercicio 3.4 — Para la casa. Factorice los siguientes polinomios por inspección. 1. a 2 +33−14a 2. c 2 −13c −14 3. x 2 −15x +54 4. a 2 +7a−60 5. x 2 −17x −60 6. x 2 +8x −180 7. m 2 −20m−300 8. x 2 +x −132 9. m 2 −2m−168 10. c 2 +24c +135 11. m 2 −41m+400 12. a 2 +a−380 13. x 2 +12x −364 14. a 2 +42a+432 15. m 2 −30m−675 16. y 2 +50y +336 17. x 2 −2x −528 18. n 2 +43n+432 19. c 2 −4c −320 20. m 2 −8m−1008 3.2 Factorización por Fórmulas Notables Hasta el momento conocemos tres fórmulas notables Ejemplo 3.5 — Fórmulas Notables. estudiadas hasta el momento. (a+b) 2 = a 2 +2ab+b 2 (a−b) 2 = a 2 −2ab+b 2 (a+b)(a−b) = a 2 −b 2 Este año vamos a analizar dos nuevas fórmulas notables, la Diferencia de Cubos y la Suma de Cubos. 3.2.1 Diferencia de Cubos Cuando escuchamos la palabra cubo relacionamos con la potencia tres (3). Por tanto, la diferencia de cubos se reconoce por tener la siguiente forma a 3 −b 3 esta se descompone en factores de la siguiente manera a 3 −b 3 = (a−b) . ¸¸ . primer paréntesis (a 2 +ab+b 2 ) . ¸¸ . segundo paréntesis Para factorizar se siguen los siguientes pasos Paso 1 Se calcula la raíz cúbica del primer y último término. Paso 2 En el primer paréntesis se escribe la raíz cúbica del primer término menos la raíz cúbica del segundo término. Paso 3 El segundo paréntesis se escribe la raíz cúbica del primer término, al cuadrado mas la raíz cúbica del primer término por la raíz cúbica del segundo término mas la raíz cúbica del segundo término al cuadrado. Veamos un ejemplo para aplicar el proceso anterior. 3.2 Factorización por Fórmulas Notables 65 Problema 3.4 Factorice la diferencia de cubos y 3 −27 Calculamos la raíz cúbica del primer y último término, es decir, y 3 y 27 respectivamente 3 _ y 3 = y 3 3 = y 3 √ 27 = 3 Escribimos el primer paréntesis, con los resultados de las raíces cúbicas calculadas unidas por un signo de resta (y −3) Escribimos el segundo paréntesis siguiendo el orden establecido, la raíz cúbica del primer término al cuadrado y 2 a lo anterior agregamos la multiplicación de la raíz cúbica del primer término por la raíz cúbica del segundo término y 2 +y 3 y para finalizar agregamos la raíz del segundo término al cuadrado. Escribimos el segundo paréntesis siguiendo el orden establecido, la raíz cúbica del primer término al cuadrado y 2 +y 3+3 2 Simplificando, el segundo paréntesis quedaría (y 2 +3y +9) Escribimos la factorización del polinomio, de la siguiente forma y 3 −27 = (y −3)(y 2 +3y +9) Problema 3.5 Factorice el polinomio (2a−b) 3 −8 Calculamos la raíz cúbica del primer y último término, es decir, (2a−b) 3 y 8 respectivamente 3 _ (2a−b) 3 = (2a−b) 3 √ 8 = 2 Escribimos el primer paréntesis, con los resultados de las raíces cúbicas calculadas unidas por un signo de resta ((2a−b) −2) simplificamos (2a−b−2) Escribimos el segundo paréntesis siguiendo el orden establecido, la raíz cúbica del primer término al cuadrado (2a−b) 2 a lo anterior agregamos la multiplicación de la raíz cúbica del primer término por la raíz cúbica del segundo término (2a−b) 2 +(2a−b) 2 66 Factorización y para finalizar agregamos la raíz del segundo término al cuadrado. Escribimos el segundo paréntesis siguiendo el orden establecido, la raíz cúbica del primer término al cuadrado (2a−b) 2 +(2a−b) 2+2 2 Simplificando, el segundo paréntesis quedaría (2a−b) 2 +(2a−b) 2+2 2 al simplificar el primer término descubrimos que es la segunda fórmula notable (2a) 2 −2 2a b+b 2 +(2a−b) 2+2 2 4a 2 −4ab+b 2 +(2a−b) 2+2 2 al simplificar el segundo término debemos aplicar la propiedad distributiva 4a 2 −4ab+b 2 +2 2a−2 b+2 2 4a 2 −4ab+b 2 +4a−2b+2 2 por último desarrollamos la última potencia 4a 2 −4ab+b 2 +4a−2b+4 Escribimos la factorización del polinomio, de la siguiente forma (2a−b) 3 −8 = (2a−b−2)(4a 2 −4ab+b 2 +4a−2b+4) Ejercicio 3.5 Factorice cada uno de los siguientes polinomios. 1. a 3 −1 (a−1)(a 2 +a+1) 2. 8x 3 −y 3 (2x −y)(4x 2 +2xy +y 2 ) 3. (a+b) 3 −125 (a+b−5)(a 2 +2ab+b 2 +5a+5b+25) 4. 1000x 3 −27 (10x −3)(100x 2 +30x +9) 5. (x −y) 3 −1 (x −y −1)(x 2 −2xy +y 2 +x −y +1) 6. 216−b 3 (6−b)(b 2 +6b+36) 3.2.2 Suma de Cubos Como vimos anteriormente, al referirnos al cubo nos referimos a la potencia o exponente tres (3), por eso la suma de cubos se reconoce por tener la siguiente forma a 3 +b 3 esta se descompone en factores de la siguiente manera a 3 +b 3 = (a+b) . ¸¸ . primer paréntesis (a 2 −ab+b 2 ) . ¸¸ . segundo paréntesis 3.2 Factorización por Fórmulas Notables 67 Para factorizar se siguen los siguientes pasos Paso 1 Se calcula la raíz cúbica del primer y último término. Paso 2 En el primer paréntesis se escribe la raíz cúbica del primer término más la raíz cúbica del segundo término. Paso 3 El segundo paréntesis se escribe la raíz cúbica del primer término, al cuadrado menos la raíz cúbica del primer término por la raíz cúbica del segundo término mas la raíz cúbica del segundo término al cuadrado. Veamos un ejemplo para aplicar el proceso anterior. Problema 3.6 Factorice la suma de cubos 1+729x 3 Calculamos la raíz cúbica del primer y último término, es decir, 1 y 729x 3 respectivamente 3 √ 1 = 1 3 √ 729x 3 = 9x Escribimos el primer paréntesis, con los resultados de las raíces cúbicas calculadas unidas por un signo de suma (1+9x) Escribimos el segundo paréntesis siguiendo el orden establecido, la raíz cúbica del primer término al cuadrado 1 2 a lo anterior agregamos la multiplicación de la raíz cúbica del primer término por la raíz cúbica del segundo término, con un signo de resta al frente 1 2 −1 9x y para finalizar agregamos la raíz del segundo término al cuadrado. Escribimos el segundo paréntesis siguiendo el orden establecido, la raíz cúbica del primer término al cuadrado 1 2 −1 9x +(9x) 2 Simplificando, el segundo paréntesis quedaría (1−9x +81x 2 ) Escribimos la factorización del polinomio, de la siguiente forma 1+729x 3 = (1+9x)(1−9x +81x 2 ) Problema 3.7 Factorice la suma de cubos 27x 3 +(x +y) 3 Calculamos la raíz cúbica del primer y último término, es decir, 27x 3 y (x+y) 3 respectivamente 3 √ 27x 3 = 3x 3 _ (x +y) 3 = (x +y) Escribimos el primer paréntesis, con los resultados de las raíces cúbicas calculadas unidas por un signo de suma (3x +(x +y)) 68 Factorización simplificamos este primer parentesis (3x +x +y) (4x +y) Escribimos el segundo paréntesis siguiendo el orden establecido, la raíz cúbica del primer término al cuadrado (3x) 2 a lo anterior agregamos la multiplicación de la raíz cúbica del primer término por la raíz cúbica del segundo término, con un signo de resta al frente (3x) 2 −3x (x +y) y para finalizar agregamos la raíz del segundo término al cuadrado. Escribimos el segundo paréntesis siguiendo el orden establecido, la raíz cúbica del primer término al cuadrado (3x) 2 −3x (x +y) +(x +y) 2 Simplificando, el segundo paréntesis quedaría 9x 2 −3x (x +y) +(x +y) 2 ahora aplicamos la propiedad distributiva 9x 2 −3x x +−3x y +(x +y) 2 9x 2 −3x 2 −3xy +(x +y) 2 el último término es la primera fórmula notable, la desarrollamos 9x 2 −3x x +−3x y +x 2 +2 x y +y 2 9x 2 −3x 2 −3xy +x 2 +2xy +y 2 7x 2 −xy +y 2 Escribimos la factorización del polinomio, de la siguiente forma 27x 3 +(x +y) 3 = (4x +y)(7x 2 −xy +y 2 ) Ejercicio 3.6 Factorice cada uno de los siguientes polinomios. 1. 27m 3 +64n 3 (3m+4n)(9m 2 −12mn+16n 2 ) 2. 8x 3 +y 3 (2x +y)(4x 2 −2xy +y 2 ) 3. 343x 3 +512y 3 (7x +y)(49x 2 −56xy +64y 2 ) 4. (a−b) 3 +(a+2) 3 (2a−b+2)(a 2 −ab+b 2 +2a+2b+4) 5. 64(m+2) 3 +125 (4m+13)(16m 2 +44m+49) 6. b 3 +8(2+b) 3 (3b+4)(3b 2 +12b+16) 3.3 Factorización por Fórmula General 69 Ejercicio 3.7 — Para la casa. Factorice cada uno de los siguientes polinomios. 1. (a−b) 3 −(a+b) 3 −2b(3a 2 +b 2 ) 2. 8x 6 +729 (2x 2 +9)(4x 4 −18x 2 +81) 3. x 12 +y 12 (x 4 +y 4 )(x 8 −x 4 y 4 +y 8 ) 4. 1000x 3 −1 (10x −1)(100x 2 +10x +1) 5. x 3 y 6 −216y 9 y 6 (x −6y)(x 2 +6xy +36y 2 ) 6. a 3 −125 (a−5)(a 2 +5a+25) 3.3 Factorización por Fórmula General Sea P(x) un polinomio tal que P(x) = ax 2 +bx +c, con a ,= 0 y ∆ = b 2 −4ac, entonces su factorización viene dada de la siguiente forma: ax 2 +bx +c = a(x −x 1 )(x −x 2 ) donde x 1 = −b+ √ ∆ 2a y x 2 = −b− √ ∆ 2a Al igual que con las ecuaciones cuadráticas, el discriminante se debe analizar, mediante los siguientes criterios. Para cualquier trinomio de segundo grado que tenga la forma P(x) = ax 2 +bx +c, con a ,= 0 Si ∆ = 0 se puede factorizar en el conjunto de los números reales y los dos factores son iguales. Si ∆ > 0 se puede factorizar el conjunto de los números reales y los dos factores son diferentes. Si ∆ < 0 el polinomio no es factorizable en el conjunto de los números reales. Problema 3.8 — Factorice por Fórmula General. Factorice x 2 +4x +3 Identificamos los valores de los coeficientes a = 1, b = 4 y c = 3. Calculamos el discriminante ∆ = b 2 −4ac ∆ = 4 2 −4 1 3 ∆ = 4 Analizamos el ∆, como es positivo tiene dos factores x 1 = −b+ √ ∆ 2a x 1 = −4+ √ 4 2 1 x 1 = −4+2 2 x 1 =−1 x 2 = −b− √ ∆ 2a x 2 = −4− √ 4 2 1 x 1 = −4−2 2 x 2 =−3 70 Factorización Escribimos ahora los factores de acuerdo a la forma vista al inicio ax 2 +bx +c = a(x −x 1 )(x −x 2 ) x 2 +4x +3 = 1(x −−1)(x −−3) x 2 +4x +3 = (x +1)(x +3) Problema 3.9 Factorice el polinomio 2x 2 +7x −15 Identificamos los coeficientes a = 2, b = 7 y c =−15. Calculamos el discriminante ∆ = b 2 −4ac ∆ = 7 2 −4 2 −15 ∆ = 169 Analizamos el ∆, como es positivo tiene dos factores x 1 = −b+ √ ∆ 2a x 1 = −7+ √ 169 2 2 x 1 = −7+13 4 x 1 = 3 2 x 2 = −b− √ ∆ 2a x 2 = −7− √ 169 2 2 x 1 = −7−13 4 x 2 =−5 Escribimos ahora los factores de acuerdo a la forma vista al inicio ax 2 +bx +c = a(x −x 1 )(x −x 2 ) 2x 2 +7x −15 = 2 _ x − 3 2 _ (x −−5) 2x 2 +7x −15 = 2 _ 2x −3 2 _ (x +5) 2x 2 +7x −15 = 2 (2x −3) 2 (x +5) 2x 2 +7x −15 =,2 (2x −3) ,2 (x +5) 2x 2 +7x −15 = (2x −3)(x +5) Problema 3.10 Factorice 3x 2 −9x −12 Identificamos los coeficientes a = 3, b =−9 y c =−12. Calculamos el discriminante ∆ = b 2 −4ac ∆ = (−9) 2 −4 3 −12 ∆ = 225 3.3 Factorización por Fórmula General 71 Analizamos el ∆, como es positivo tiene dos factores x 1 = −b+ √ ∆ 2a x 1 = −9+ √ 225 2 3 x 1 = −9+15 6 x 1 = 1 x 2 = −b− √ ∆ 2a x 2 = −9− √ 225 2 3 x 1 = −9−15 6 x 2 =−4 Escribimos ahora los factores de acuerdo a la forma vista al inicio ax 2 +bx +c = a(x −x 1 )(x −x 2 ) 3x 2 −9x −12 = 3(x −1)(x −−4) 3x 2 −9x −12 = 3(x −1)(x +4) Problema 3.11 Factorice 15m 2 +16m−15 Identificamos los coeficientes a = 15, b = 16 y c =−15. Calculamos el discriminante ∆ = b 2 −4ac ∆ = 16 2 −4 15 −15 ∆ = 1156 Analizamos el ∆, como es positivo tiene dos factores x 1 = −b+ √ ∆ 2a x 1 = −16+ √ 1156 2 15 x 1 = −16+34 30 x 1 = 3 5 x 2 = −b− √ ∆ 2a x 2 = −16− √ 1156 2 15 x 1 = −16−34 30 x 2 = −5 3 Escribimos ahora los factores de acuerdo a la forma vista al inicio ax 2 +bx +c = a(x −x 1 )(x −x 2 ) 15m 2 +16m−15 = 15 _ m− 3 5 __ m−− 5 3 _ 15m 2 +16m−15 = 15 _ m− 3 5 __ m+ 5 3 _ 15m 2 +16m−15 = 15 _ 5m−3 5 __ 3m+5 3 _ 15m 2 +16m−15 = 15 (5m−3) 5 (3m+5) 3 72 Factorización 15m 2 +16m−15 = 15 (2x −3)(x +5) 3 5 15m 2 +16m−15 = 15 (2x −3)(x +5) 15 15m 2 +16m−15 =,15 (2x −3)(x +5) ,15 15m 2 +16m−15 = (2x −3)(x +5) Ejercicio 3.8 Factorice cada uno de los siguientes polinomios. 1. x 2 +6x −216 (x +18)(x −12) 2. n 2 +28n−29 (n−1)(n+29) 3. x 2 +7x +10 (x +2)(x +5) 4. 28+a 2 −11a (a−4)(a−7) 5. 13m+m 2 −30 (m+15)(m−2) 6. −35−2a+a 2 (a+5)(a−7) 7. 3x 2 −5x −2 (x −2)(3x +1) 8. 3+11a+10a 2 (2a+1)(5a+3) 9. −12+15a 2 −8a (3a+2)(5a−6) 10. 21x 2 +11x −2 (3x +2)(7x −1) 11. x 2 +x −132 (x −11)(x +12) 12. m 2 −8m−1008 (m+28)(m−36) Ejercicio 3.9 — Para la casa. Factorice los siguientes polinomios por el método de fórmula general. 1. x 2 +5x +4 2. x 2 −6x −7 3. a 2 −2a−80 4. x 2 +x −12 5. 16x 2 −8x −15 6. 25x 2 −65x +42 7. c 2 +c −15 8. a 2 −4a−21 9. 5+4x −x 2 10. x 2 +x −20 11. y 2 +y −56 12. x 2 +7x −60 13. 4n 2 −8n+3 14. a 2 +a−240 15. x 2 +x −99 16. 15+2y −y 2 17. c 2 +11c +28 18. 25x 2 −25x −84 19. a 2 −21a+98 20. x 2 +x −132 3.4 Factorización por combinación de métodos 73 Ejercicio 3.10 — Para la casa. Factorice los siguientes polinomios por fórmula general. 1. 48+2x −x 2 2. 1+2x −440x 2 3. m 2 −21m+104 4. 15+5n−n 2 5. b 2 +b−930 6. 16x 2 −32x −105 7. x 2 +5x −36 8. a 2 −a−156 9. 21a 2 +4a−1 10. x 2 −15x −100 11. m 2 +m−56 12. 49x 2 +188x +128 13. 20y 2 +y −1 14. 12c 2 −13c −35 15. 3+11a+10a 2 16. 8a 2 −14a−15 17. 7x 2 −44x −35 18. 16m+15m 2 −15 19. 2a 2 +5a+2 20. 12x 2 −7x −12 3.4 Factorización por combinación de métodos Como ya lo habíamos especificado un polinomio puede tener varias factorizaciones (así como la factorizacion de un número no es única), pero debemos recordar que llamamos factorizacion completa a aquella cuyos factores son a su vez es imposibles de factorizar de nuevo. Nota: Usualmente se comienza con el método de factor común y luego se aplican los demás métodos según se necesite. En las factorizaciones completas, es de suma importancia un análisis de cada uno de los factores obtenidos en cada paso para asegurarse que no se pueden volver a factorizar. El utilizar un método en específico no excluye la posibilidad de utilizarlo nuevamente en pasos posteriores. Problema 3.12 Factorice 2x 3 −6x 2 −20x Factor Común. Probamos factorizar por factor común, y obtenemos 2x(x 2 −3x −10) . ¸¸ . Fact. Inspección Fórmula Notable. Probamos factorizar por fórmula notable, pero no es posible, pues √ 10 no es una raíz exacta. Inspección. Factorizamos por inspección y obtenemos (x 2 −3x −10) = 2x(x −5)(x +2) Escribimos la factorización 2x 3 −6x 2 −20x = 2x(x −5)(x +2) 74 Factorización Problema 3.13 Factorice 1−18x 2 +81x 4 Factor Común. Probamos factorizar por factor común, pero no existen elementos en común entre los elementos. Fórmula Notable. Probamos factorizar por fórmula notable, y obtenemos 1−18x 2 +81x 4 = (1−9x 2 )(1−9x 2 ) = (1−9x) 2 prestamos atención a la expresión dentro del paréntesis y observamos que se parece a la tercera fórmula notable, Fórmula Notable. Por segunda vez aplicamos fórmula notable y obtenemos (1−9x 2 ) 2 = ((1−3x)(1+3x)) 2 (1−9x 2 ) 2 = (1−3x) 2 (1+3x) 2 Escribimos la factorización 1−18x 2 +81x 4 = (1−3x) 2 (1+3x) 2 Problema 3.14 Factorice a 3 +a 2 y −y 3 −ay 2 Factor Común. Probamos factorizar por factor común por agrupación, a 3 +a 2 y −y 3 −ay 2 = (a 3 +a 2 y) −(y 3 +ay 2 ) a 3 +a 2 y −y 3 −ay 2 = (a 2 −y 2 )(a+y) la expresión (a 2 −y 2 ) puede seguirse factorizando Fórmula Notable. Probamos factorizar por fórmula notable, y obtenemos √ a 2 = a _ y 2 = y a 2 −y 2 = (a−y)(a+y) Escribimos la factorización a 3 +a 2 y −y 3 −ay 2 = (a−y)(a+y)(a+y) Problema 3.15 Factorice 4x +y 2 −x 2 −4 Factor Común. Probamos factorizar por factor común por agrupación, 4x +y 2 −x 2 −4 = y 2 −x 2 +4x −4 4x +y 2 −x 2 −4 = y 2 −(x 2 −4x +4) la expresión (x 2 −4x +4) puede factorizarse por fórmula notable Fórmula Notable. Probamos factorizar por fórmula notable, y obtenemos √ x 2 = x √ 4 = 2 x 2 −4x +4 = (x −2)(x −2) = (x −2) 2 obtenemos entonces la expresión y 2 −(x −2) 2 Fórmula Notable. Por segunda vez aplicamos fórmula notable y obtenemos y 2 −(x −2) 2 = [y −(x −2)][y +(x −2)] y 2 −(x −2) 2 = (y −x +2)(y +x −2) Escribimos la factorización 4x +y 2 −x 2 −4 = (y −x +2)(y +x −2) 3.4 Factorización por combinación de métodos 75 Ejercicio 3.11 Factorice cada uno de los siguientes polinomios. 1. 45x 3 +150x 2 +125x R/ 5x(3x +5) 2 2. x 4 −25x 3 −54x 2 R/ x 2 (x +2)(x −27) 3. 16x 6 −x 2 R/ x 2 (2x +1)(2x −1)(4x 2 +1) 4. 6ax 2 +12ax −90a R/ 6a(x −3)(x +5) 5. 75x 6 y −270x 5 y +243x 4 y R/ 3x 4 y(5x −9) 2 6. x 5 y 3 −xy 3 R/ xy 3 (x +1)(x −1)(x 2 +1) 7. 3ax 2 −3a R/ 3a(x −1)(x +1) 8. 1−a 8 R/ (1+a 4 )(1+a 2 )(1+a)(1−a) 9. x 3 −4x +x 4 −4 R/ (x +1)(x +2)(x −2) 10. a 2 x 3 +2ax 3 −8a 2 −16a R/ a(a+2)(x −2)(x 2 +2x +4) 11. x 3 −6x 2 y +12xy 2 −8y 3 R/ (x −2y) 3 12. x 8 +x 4 −2 R/ (x 4 +2)(x 2 +1)(x +1)(x −1) 13. 3abm 2 −3ab R/ 3ab(m+1)(m−1) 14. 3abx 2 −12ab+3bx 2 −12b R/ 3b(a+1)(x +2)(x −2) 15. a 4 −a 3 +a−1 R/ (a+1)(a−1)(a 2 −a+1) 16. x 9 −xy 8 R/ x(x 4 +y 4 )(x 2 +y 2 )(x +y)(x −y) 17. (x +y) 4 −1 R/ (x 2 +2xy +y 2 +1)(x +y −1)(x +y +1) 18. x 7 +x 4 −81x 3 −81 R/ (x 2 +9)(x +3)(x −3)(x +1)(x 2 −x +1) 19. 9(x −y) 3 −(x −y) R/ (x −y)(3x −3y +1)(3x −3y −1) 20. (a 2 −ax)(x 4 −82x 2 +81) R/ a(x +1)(1−x)(x +9)(x −9)(x −a) 21. am 3 −7am 2 +12am R/ am(m−4)(m−3) 22. a 6 x 2 −x 2 +a 6 x −x R/ x(a+1)(a−1)(a 2 +a+1)(a 2 −a+1)(x +1) 4 — Fracciones Algebraicas Una expresión algebraica fraccionaría, es el cociente de la forma A B , donde A y B son a su vez expresiones algebraicas, tales que B ,= O. Si A y B tienen la particularidad de ser polinomios entonces se le denomina expresión algebraica racional. Ejemplo 4.1 Ejemplos de Fracciones Algebraicas. 3 2x +3y x x+1 +x x x 2 −y 2 x 2 +2xy +y 2 expresión algebraica expresión algebraica expresión algebraica racional fraccionaria racional El estudio de las fracciones algebraicas, es muy semejante al trabajo que se realiza con los números racionales. numerador denominador 4.1 Simplificación de expresiones algebraicas racionales Una fracción algebraica puede ser simplificada, si tanto el numerador como el denominador son divisibles por una misma expresión (excepto 1 y -1). Es decir, para simplificar expresiones algebraicas, se factoriza al máximo tanto el numerador como el denominador y se suprimen los factores que tengan en común. Cuando el numerador y el denominador de una expresión racional no tienen factores en común (excepto 1 y -1) decimos que es irreducible. Problema 4.1 — Simplifique. la fracción x 2 −1 x 2 −6x +5 Factorizo numerador y denominador de la fracción x 2 −1 x 2 −6x +5 = (x −1)(x +1) (x −5)(x −1) 78 Fracciones Algebraicas Elimino los paréntesis en común (x −1)(x +1) (x −5)(x −1) = (x +1) (x −5) Por tanto la simplificación de x 2 −1 x 2 −6x +5 es (x +1) (x −5) . Ejercicio 4.1 x 2 −2x −3 x −3 R/x +1 2x 2 −9x −5 10+3x −x 2 R/− 2x +1 x +2 a 3 +1 a 4 −a 3 +a−1 R/ 1 a+1 a 2 −b 2 b 3 −a 3 R/− a+b a 2 +ab+b 2 m 2 n 2 +3mn−10 4−4mn+m 2 n 2 R/ mn+5 mn−2 13x −6−6x 2 6x 2 −13x +6 R/−1 m−am+n−an 1−3a+3a 2 −a 3 R/ m+n a 2 −2a+1 4x 2 −(y −x) 2 (3x +y) 2 −4y 2 R/ 1 3 x 3 −6x 2 x 2 −12x +36 R/ x 2 x −6 15x 3 −7x − 2x 2x −3x 2 R/−5x −1 4.2 Operaciones con expresiones algebraicas racionales. Analizaremos las cuatro operaciones fundamentales con expresiones algebraicas racionales. 4.2.1 Multiplicación Para realizar multiplicaciones debemos seguir el siguiente procedimiento Paso 1 Factorizar al máximo todos los numeradores y denominadores. Paso 2 Multiplicar numeradores con numeradores y denominadores con denominadores. Paso 3 Simplificar si es posible. Paso 4 Efectuar la operación resultante ya sea en el numerador o el denominador o en ambos. 4.2 Operaciones con expresiones algebraicas racionales. 79 Problema 4.2 Resuelva la siguiente operación x 2 −9 x 2 −2x −3 1 x 2 +6x +9 Factorizo al máximo numerador y denominador (x −3)(x +3) (x +1)(x −3) 1 (x +3)(x +3) Multiplicar las fracciones (x −3)(x +3) (x +1)(x −3)(x +3)(x +3) Simplificar si es posible 1 (x +1)(x +3) Efectuar la operación resultante 1 x 2 +4x +3 Por tanto, x 2 −9 x 2 −2x −3 1 x 2 +6x +9 = 1 x 2 +4x +3 Problema 4.3 Multiplicar 1−x a+1 a 2 +a x 2 −x Factorizo al máximo numerador y denominador (1−x) (a+1) a(a+1) x(x −1) Multiplicar las fracciones a(1−x)(a+1) x(a+1)(x −1) Acomodo, trabajando signos −a(x −1)(a+1) x(a+1)(x −1) Simplificar si es posible −a x Por tanto, 1−x a+1 a 2 +a x 2 −x = −a x Problema 4.4 Multiplicar a 2 −ab+a−b a 2 +2a+1 3 6a 2 −6ab Factorizo al máximo numerador y denominador (a−b)(a+1) (a+1)(a+1) 3 6a(a−b) 80 Fracciones Algebraicas Multiplicar las fracciones 3(a−b)(a+1) 6a(a+1)(a+1)(a−b) Simplificar si es posible 1 2a(a+1) Efectuar la operación resultante 1 2a 2 +2a Por tanto, a 2 −ab+a−b a 2 +2a+1 3 6a 2 −6ab = 1 2a 2 +2a Ejercicio 4.2 Multiplique las siguientes expresiones 1. 2x 2 −3x −2 6x +3 3x +6 x 2 −4 R/1 2. x 3 −27 a 3 −1 a 2 +a+1 x 2 +3x +9 R/ x −3 a−1 3. (x −y) 3 x 3 −1 x 2 +x +1 (x −y) 3 R/ 1 x −1 4. (m+n) 2 −x 2 (m+x) 2 −n 2 (m−n) 2 −x 2 m 2 +mn−mx R/− x −m+n m 5. xy −2y 2 x 2 +xy x 2 +2xy +y 2 x 2 −2xy R/ xy +y 2 x 2 6. a 2 +4ab+4b 2 3 2a+4b (a+2b) 3 R/ 2 3 7. x 2 −3xy −10y 2 x 2 −2xy −8y 2 x 2 −16y 2 x 2 +4xy x 2 −6xy x +2y R/ (x −5y)(x −6y) x +2y 8. a 2 −5a+6 3a+15 6a a 2 −a−30 a 2 −25 2a−4 R/ a(a−3)(a−5) (a+5)(a−6) 9. a 2 +7a+10 a 2 −6a−7 a 2 −3a−4 a 2 +2a−15 a 3 −2a 2 −3a a 2 −2a−8 R/ a(a+1) a−7 4.2 Operaciones con expresiones algebraicas racionales. 81 4.2.2 División Para realizar divisiones seguiremos el siguiente procedimiento Paso 1 Factorizar al máximo todos los numeradores y denominadores si es posible. Paso 2 El numerador del resultado, es la multiplicación del numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda y el denominador del resultado, es la multiplicación del denominador de la primera fracción por el numerador de la segunda. Paso 3 Simplificar si es posible. Paso 4 Efectuar la operación resultante ya sea en el numerador o el denominador o en ambos. Problema 4.5 Resolver la siguiente operación 2x −2 x 2 +2x +1 ÷ x −1 x +1 Factorizo al máximo numerador y denominador 2(x −1) (x +1)(x +1) ÷ x −1 x +1 Dividir las fracciones 2(x −1)(x +1) (x +1)(x +1)(x −1) Simplificar si es posible 2 (x +1) Por tanto 2x −2 x 2 +2x +1 ÷ x −1 x +1 = 2 (x +1) Problema 4.6 Multiplicar a 2 +a 3 a 2 −6a ÷ a 2 +9a a 2 +3a−54 Factorizo al máximo numerador y denominador a 2 (1+a) a(a−6) ÷ a(a+9) (a+9)(a−6) Dividir las fracciones a 2 (1+a)(a+9)(a−6) a 2 (a−6)(a+9) Simplificar si es posible (1+a) 1 Por tanto, a 2 (1+a) a(a−6) ÷ a(a+9) (a+9)(a−6) = (1+a) 1 Problema 4.7 Multiplicar 15x 2 +7x −2 25x 3 −x ÷ 6x 2 +13x +6 25x 2 +10x +1 Factorizo al máximo numerador y denominador (3x +2)(5x −1) x(5x −1)(5x +1) ÷ (3x +2)(2x +3) (5x +1)(5x +1) 82 Fracciones Algebraicas Dividir las fracciones (3x +2)(5x −1)(5x +1)(5x +1) x(5x −1)(5x +1)(3x +2)(2x +3) Simplificar si es posible (5x +1) x(2x +3) Efectuar la operación resultante 5x +1 2x 2 +3x Por tanto, 15x 2 +7x −2 25x 3 −x ÷ 6x 2 +13x +6 25x 2 +10x +1 = 5x +1 2x 2 +3x Ejercicio 4.3 Resuelva las siguientes operaciones. 1. x 3 +125 x 2 −64 ÷ x 3 −5x 2 +25x x 2 +x −56 R/ (x +5)(x −7) x(x −8) 2. a 4 −1 a 3 +a 2 ÷ a 4 +4a 2 +3 3a 3 +9a R/ 3(a−1) a 3. 20x 2 −30x 15x 3 +15x 2 ÷ 4x −6 x +1 R/ 1 3x 4. a 3 −121a a 2 −49 ÷ a 2 −11a a+7 R/ a+11 a−7 4.2 Operaciones con expresiones algebraicas racionales. 83 4.2.3 Sumas y restas Al igual que las operaciones de números racionales, las sumas y restas de fracciones distingue su procedimiento para fracciones homogéneas (igual denominador) y fracciones heterogéneas (diferente denominador). Fracciones homogéneas El resultado de la suma y/o resta de fracciones homogéneas, será otra fracción que tendrá como denominador el mismo que poseen las fracciones de la operación y como numerador la suma y/o resta de los numeradores, depende de la operación que se realice. Recuerde que el resultado siempre será simplificado. Problema 4.8 Resuelva la siguiente operación a 2 +a a 2 −1 + 3a+4 a 2 −1 − 3+2a a 2 −1 Fracción Homogénea al ser una fracción con los denominadores iguales procedemos Se escribe una sola línea fraccionaria, con el denominador escrito solo una única vez (a 2 +a) +(3a+4) −(3+2a) a 2 −1 Realizo las operaciones indicadas en el numerador a 2 +a+3a+4−3−2a a 2 −1 a 2 +2a+1 a 2 −1 Factorizo numerador y denominador a 2 +2a+1 a 2 −1 = (a+1)(a+1) (a+1)(a−1) Simplifico si se puede (a+1)(a+1) (a+1)(a−1) = a+1 a−1 Por tanto, a 2 +a a 2 −1 + 3a+4 a 2 −1 − 3+2a a 2 −1 = a+1 a−1 Fracciones heterogéneas Al igual que con las fracciones heterogéneas que se trabajan en los números racionales, la suma y resta de las fracciones algebraicas heterogéneas tiene como primer paso en encontrar el mínimo común denominador. Para encontrar el mínimo común denominador seguiremos el siguiente proceso: Luego de factorizar al máximo, en lo posible, todos los denominadores de las fracciones que componen la operación, el mínimo común denominador será el producto de los factores de los denominadores de las fracciones, utilizando el mayor exponente que aparezca si existen factores que se repiten. 84 Fracciones Algebraicas Problema 4.9 Resuelva la siguiente operación 2 y 2 +10y +25 + 4 y 2 −25 Factorizo los denominadores 2 y 2 +10y +25 + 4 y 2 −25 = 2 (y +5) 2 + 4 (y −5)(y +5) Calculo el mínimo común denominador, que en este caso es (y +5) 2 (y −5) Escribo una única línea fraccionaria y debajo de ella escribo el denominador común (y +5) 2 (y −5) Divido el denominador común entre cada denominador, y el resultado lo multiplico por el respectivo numerador 2(y −5) +4(y +5) (y +5) 2 (y −5) Desarrollo las operaciones indicadas en el numerador 2y −10+4y +20 (y +5) 2 (y −5) 6y +10 (y +5) 2 (y −5) Por tanto, 2 y 2 +10y +25 + 4 y 2 −25 = 6y +10 (y +5) 2 (y −5) Problema 4.10 Resuelva la siguiente operación 1 a−3 − a−4 a 2 −5a+6 + 2 a−2 Factorizo los denominadores 1 a−3 − a−4 (a−2)(a−3) + 2 a−2 Calculo el mínimo común denominador, que en este caso es (a−2)(a−3) Escribo una única línea fraccionaria y debajo de ella escribo el denominador común (a−2)(a−3) Divido el denominador común entre cada denominador, y el resultado lo multiplico por el respectivo numerador 1 (a−2) −(a−4) 1+2 (a−3) (a−2)(a−3) Desarrollo las operaciones indicadas en el numerador a−2−a+4+2a−6 (a−2)(a−3) 2a−4 (a−2)(a−3) 4.2 Operaciones con expresiones algebraicas racionales. 85 Simplifico si se puede 2(a−2) (a−2)(a−3) 2 (a−3) Por tanto, 1 a−3 − a−4 a 2 −5a+6 + 2 a−2 = 2 (a−3) Ejercicio 4.4 Resuelva las siguientes operaciones. 1. 2 x −3 + 3 x +2 − 4x −7 x − x −6 R/ 1 x −3 2. x +1 x 2 −x −20 − x +4 x 2 −4x −5 + x +5 x 2 +5x +4 R/ x −10 x 2 −4x −5 3. a+3 a 2 −1 + a−1 2a+2 + a−4 4a−4 R/ 3a 2 −3a+10 4(a+1)(a−1) 4. a−b a+b − a+b a−b + 4a 2 a 2 −b 2 R/ 4a a+b 5. 2 x −2 + 2x +3 x 2 +2x +4 − 6x +12 x 3 −8 R/ 4x +5 x 2 +2x +4 6. x −y x 2 + x +2y x 2 −xy + 1 y −x R/ x 2 +y 2 x 2 (x −y) 4.2.4 Operaciones combinadas con fracciones algebraicas Al igual que cualquier secuencia de operaciones, ya sea con números enteros o números racionales, se debe respetar la prioridad de operaciones y la secuencias en el trabajo con los signos de agrupación: Primero Paréntesis Segundo Potencias Tercero Multiplicaciones y divisiones Cuarto Sumas y Restas Cuando aparecen dos o mas operaciones del mismo nivel de prioridad, estan se desarrollan de izquierda a derecha, en el orden que aparezcan. Problema 4.11 Resuelva la siguiente operación _ a+ a b _ _ a− a b+1 _ Desarrollo los paréntesis, realizando las operaciones que estan dentro de estos _ ab+a b __ a(b+1) −a b+1 _ _ ab+a b __ ab+a−a b+1 _ _ ab+a b __ ab b+1 _ 86 Fracciones Algebraicas Multiplico las dos fracciones resultantes ab+a b a(b+1) −a b+1 a(b+1) b a(b+1) −a b+1 a(b+1)ab b(b+1) Simplifico si se puede a 2 1 Por tanto, _ a+ a b _ _ a− a b+1 _ = a 2 Problema 4.12 Resuelva la siguiente operación _ x 2 +6x +9 x _ ÷ _ 3 x −x _ Desarrollo los paréntesis, realizando las operaciones que estan dentro de estos _ x 2 +6x +9 x _ ÷ _ 3−x 2 x _ Divido las dos fracciones resultantes _ (x +3) 2 x _ ÷ _ 3−x 2 x _ _ (x +3)(x +3) x _ ÷ _ 3−x 2 x _ _ x(x +3)(x +3) x(3−x 2 ) _ Simplifico si se puede (x +3)(x +3) 3−x 2 Desarrollo el numerador x 2 +6x +9 3−x 2 Por tanto, _ x 2 +6x +9 x _ ÷ _ 3 x −x _ = x 2 +6x +9 3−x 2 4.2 Operaciones con expresiones algebraicas racionales. 87 Problema 4.13 Resuelva la siguiente operación _ 2a a−1 −a __ 1 a−3 + 1 3a−a 2 _ Desarrollo los paréntesis, realizando las operaciones que estan dentro de estos _ 2a−a(a−1) a−1 __ 1 a−3 + 1 a(3−a) _ _ 2a−a 2 +a) a−1 __ 1 a−3 + 1 −a(a−3) _ _ 3a−a 2 a−1 __ 1 a−3 − 1 a(a−3) _ _ 3a−a 2 a−1 __ a 1−1 1 a(a−3) _ _ 3a−a 2 a−1 __ a−1 a(a−3) _ Multiplico las dos fracciones resultantes _ a(3−a) a−1 __ a−1 a(a−3) _ _ a(3−a)(a−1) a(a−1)(a−3) _ _ −a(a−3)(a−1) a(a−1)(a−3) _ −1 Por tanto, _ 2a a−1 −a __ 1 a−3 + 1 3a−a 2 _ =−1 88 Fracciones Algebraicas Ejercicio 4.5 Resuelva las siguiente operaciones 1. x x −y − _ x x −y _ 2 R/ −xy (x −y) 2 2. _ x + x y __ x − x y +1 _ R/ x 2 3. (2−x −1 ) ÷(4−x −2 ) R/ x 2x +1 4. _ x − 3 x +2 __ x + 2 x +3 _ R/ x 2 −1 5. _ x − 3 x +2 __ x + 2 x +3 __ 1 x 2 −1 _ R/ 1 6. _ 2+ 2x 2−x __ 1− x 2 4 _ R /x +2 7. _ x +2y − 14y 2 2x +y __ x −y + x 2 +5y 2 x +4y _ R/ (x +y)(2x −3y) 4.2.5 Fracciones Complejas Son aquellas fracciones tales que en el numerador o el denominador, o en ambos, se encuentra una expresión algebraica que se puede reducir a una expresión algebraica fraccionaria. Para simplificar fracciones complejas, se efectúan las operaciones planteadas en el numerador y en el denominador Luego se divide la expresión resultante en el numerador entre la expresión resultante en el denominador. Problema 4.14 Simplifique la siguiente expresión 1+ 1 x −1 1+ 1 x 2 −1 Resuelvo la operación del numerador 1+ 1 x −1 x −1+1 x −1 x x −1 Resuelvo la operación del denominador 1+ 1 x 2 −1 x 2 −1+1 x 2 −1 x 2 x 2 −1 4.2 Operaciones con expresiones algebraicas racionales. 89 Reescribo la expresión original 1+ 1 x −1 1+ 1 x 2 −1 = x x −1 x 2 x 2 −1 Divido la expresión resultante x x −1 x 2 x 2 −1 = x x −1 x 2 (x −1)(x +1) = x(x −1)(x +1) x 2 (x −1) Simplifico la expresión x +1 x Por tanto, 1+ 1 x −1 1+ 1 x 2 −1 = x +1 x Problema 4.15 Simplifique la siguiente expresión x y + y x x 2 y 2 − y 2 x 2 Resuelvo la operación del numerador x y + y x x x +y y x y x 2 +y 2 xy Resuelvo la operación del denominador x 2 y 2 − y 2 x 2 x 2 x 2 −y 2 y 2 x 2 y 2 x 4 −y 4 x 2 y 2 90 Fracciones Algebraicas Reescribo la expresión original x y + y x x 2 y 2 − y 2 x 2 = x 2 +y 2 xy x 4 −y 4 x 2 y 2 Divido la expresión resultante x 2 +y 2 xy x 4 −y 4 x 2 y 2 = x 2 +y 2 xy (x 2 −y 2 )(x 2 +y 2 ) x 2 y 2 = x 2 +y 2 xy (x −y)(x +y)(x 2 +y 2 ) x 2 y 2 x 2 y 2 (x 2 +y 2 ) xy(x −y)(x +y)(x 2 +y 2 ) Simplifico la expresión xy (x −y)(x +y) Por tanto, x y + y x x 2 y 2 − y 2 x 2 = xy (x −y)(x +y) Ejercicio 4.6 Simplifique las siguientes expresiones 1. x − x y 1− 1 y R/ x 2. b 2 − b a a 2 − a b R/ b 2 a 2 3. x +y x −y − x −y x +y x +y x − x +2y x +y R/ 4x 2 y(x −y) 4. 3+ 4a 7b a+ 21b 4 R/ 4 7b 5. 2− 2 x 2x −1 R/ 4(x −1) x 6. 1− 7 x + 12 x 2 1− 16 x R/ x +2 4.2 Operaciones con expresiones algebraicas racionales. 91 7. 1 x − x x − x 2 x +1 R/ −1 5 — Funciones 5.1 Conceptos básicos de relaciones y funciones Variable El primer concepto que analizaremos es el de Variable. Dentro del proceso de solución de un ejercicio, problema o exposición de una teoría, un símbolo que se utiliza para representar un número real arbitrario se le llama variable, estos símbolos generalmente son las letras de nuestro alfabeto: a, b, c, . . . , x, y, z Constante Dentro del proceso de solución de un ejercicio o problema, un símbolo que se utiliza para representar un número real fijo se llama constante. Estos símbolos son muy conocidos, entre otros están: 1, −8, √ 2, 4 5 , ... Relaciones Según el diccionario de Encarta 2010, la palabra “relación” se define como: “Conexión, correspondencia de algo con otra cosa. Conexión, correspondencia, trato, comunicación de alguien con otra persona”. Dados dos conjuntos A y B, se llama una relación R binaria de A en B a la unión de las siguientes tres partes: A : conjunto de salida de la relación R. B : conjunto de llegada de la relación R. G : conjunto de pares ordenados de la forma (a, b), donde a ∈ A y b ∈ B están condiciona- dos por el criterio de la relación. A este conjunto se le llama gráfico de la relación. Así para ilustrar tenemos: Una relación binaria la cual asocia a un libro con su respectivo número de páginas, se puede escribir como un conjunto que contiene las siguientes relaciones: (libro de español, 300 páginas), (libro de matemática, 138 páginas), (libro de física, 240 páginas). Frecuentemente nos encontramos en la vida con la noción de relación o correspondencia. 94 Funciones Problema 5.1 — Ejemplo de relaciones matemáticas. A cada libro le corresponde un número específico de páginas En este caso A representa al conjunto que con- tiene tres libros y B representa al conjunto que contiene el correspondiente número de páginas de cada uno de los libros Problema 5.2 — Ejemplo de relaciones matemáticas. A cada persona le corresponde una fecha de cumpleaños A representa al conjunto que contiene cuatro personas y B representa al conjunto que con- tiene las cuatro correspondientes fechas de cumpleaños. También es posible que dos perso- nas tengan la misma fecha de cumpleaños. Problema 5.3 — Ejemplo de relaciones matemáticas. A cada estudiante le corresponde una calificación en la clase de Matemática A representa el conjunto que contiene a cuatro de los estudiantes de un curso de matemática y B representa al conjunto que contiene a sus respectivas calificaciones. Note que Luís y Laura tienen la misma califica- ción Para el ejemplo 2 La relación binaria se puede escribir como un conjunto que contiene las siguientes relaciones (Juan, 30 de abril) (Pedro, 28 de febrero) (Ana, 1 de agosto) (María, 12 de mayo) 5.1 Conceptos básicos de relaciones y funciones 95 Para el ejemplo 3 La relación binaria se puede escribir como un conjunto que contiene las siguientes relaciones (Rosa, 30%) (Luís, 50%) (Laura, 50%) (José, 100%) Par Ordenado Un par ordenado es una representación específica que indica la relación de un elemento del conjunto de salida con un elemento del conjunto de llegada, teniendo presente el respectivo el orden. Ahora se usaran (a, b) o bien (x, y) como las coordenadas de un punto en el plano. Incluso en el lenguaje matemático la representación (a, b) expresa un intervalo abierto en la recta numérica real. Estos conceptos no son los mismos, se debe siempre interpretar al símbolo (a, b) en términos del contexto en el que se esta usando. Se le llama par pues son dos elementos claro está y ordenado pues tiene un orden estricto, primero el elemento del conjunto de salida A y luego el elemento del conjunto de llegada B Se han escrito ya varios pares ordenados para los ejemplos 1, 2 y 3. El par ordenado (libro de física, 240 páginas) indica claramente que el libro de física tiene un total de 240 páginas. El par ordenado (Pedro, 28 de febrero) relaciona directamente a Pedro con su fecha de cum- pleaños. El par ordenado (José, 100%) nos dice que José logro un 100% en la clase de matemática. Dominio de la Relación El conjunto de las primeras componentes o conjunto de partida, al cual hemos llamado A se le llama Dominio de la Relación. 96 Funciones Codominio de la Relación El conjunto de las segundas componentes o conjunto de llegada, al cual hemos llamado B se le llama Codominio de la Relación. Preimagen de la Relación Se le llama preimagen a cada uno de los elementos contenidos en el dominio de la relación y que se relaciona con algún elemento del codominio. Es también llamada variable independiente. Imagen de la Relación Se le llama imagen a cada elemento contenido en el codominio de la relación y que se relaciona con algún elemento del dominio. Es también llamada variable dependiente 5.2 Sistema de Ejes Coordenado o Sistema Cartesiano Descartes tiene fama de filósofo y el inte- lecto más grande de los que contribuyeron a crear la llamada “Edad de la Razón”. Lo inquietaron los métodos de los geóme- tras griegos para llegar a sus ingeniosas pruebas sin un sistema fundamental de ataque y se pro- puso corregirlos mediante el manejo de líneas y figuras tridimensionales en una gráfica. El 8 de Junio de 1637 Descartes dio al mundo su geometría analítica como un apéndice modesto de su obra maestra Discurso del método. Descartes en 1650 enfermó y murió de una grave enfermedad respiratoria, que pro- bablemente fue pulmonía. Diecisiete años más tarde, su cadáver volvió a París, donde fue sepultado en lo que hoy es el panteón. De igual manera que para una recta numérica real se forma al establecer una correspondencia uno a uno entre los puntos sobre la recta y los elementos en el conjunto de los números reales, se puede formar un plano real al establecer una correspondencia uno a uno entre los elementos en el conjunto de todos los pares ordenados de los números reales. Esto se puede hacer mediante un sistema coordenado cartesiano o rectangular, (En honor del matemático y filósofo francés Rene Descartes (1596-1650) quien fue uno de los primeros en emplear este concepto.) 5.2 Sistema de Ejes Coordenado o Sistema Cartesiano 97 Este se forma seleccionando dos rectas nu- méricas reales, una horizontal y una vertical, que se crucen en sus orígenes el. Hacia arriba y a la derecha están las direcciones que usual- mente se definen como positivas. Estas dos rectas numéricas se llaman eje ho- rizontal o eje de las abscisas, y eje vertical o eje de las ordenadas, o, ambas ejes coordenados. Los ejes coordenados dividen al plano en cuatro partes llamadas cuadrantes que se enumeran en sentido contrario al de las manecillas del reloj. Estas se intersecan en un punto correspondien- te al cero; a este punto le llamaremos origen. Para identificar un punto P del plano, tazamos una recta l 1 por P perpendicular al eje x y una recta l 2 por P perpendicular al eje y. Llamemos x 0 al punto donde l 1 interseca al eje x y con y 0 al punto donde l 2 interseca al eje y. La distancia dirigida entre x 0 y el origen se llama coordenada x o abscisa. La distancia dirigida entre y 0 y el origen se llama coordenada y u ordenada. De esta forma un punto del plano se localiza con respecto al origen por medio de los valores de x 0 y y 0 . Considere el punto P como el correspon- diente al par ordenado de números (x 0 , y 0 ) en la que el primer número será la coordenada x y el segundo será la coordenada y. De esta manera podemos establecer una co- rrespondencia uno a uno (biunívoca) entre el conjunto de puntos del plano y el conjunto de pares ordenados de números reales, de modo que a cada punto le asignamos una pareja de números reales y viceversa. Graficar un punto P(x 0 , y 0 ) significa loca- lizar sobre un sistema de coordenadas rectan- gulares, el punto P con coordenadas (x 0 , y 0 ) 98 Funciones Problema 5.4 Grafique en el plano cartesiano la siguiente relación. Sea A = ¦−1, 0, 1, 2, 3¦ y B al conjunto que contiene a los cuadrados disminuidos en 3, respectivos a cada elemento de A, tal que y = x 2 −3. DETERMINE EL GRÁFICO RESPECTIVO, ASÍ COMO LA REPRESENTACIÓN EN EL PLANO CARTESIANO. Desarrollando la función obtenemos x 1 =−1 →y 1 = (−1) 2 −3 = 1−3 =−2 x 2 = 0 →y 2 = (0) 2 −3 = 0−3 =−3 x 3 = 1 →y 3 = (1) 2 −3 = 1−3 =−2 x 4 = 2 →y 4 = (2) 2 −3 = 4−3 = 1 x 5 = 3 →y 5 = (3) 2 −3 = 9−3 = 6 por tanto el gráfico es G f =¦(−1, −2), (0, −3), (1, −2), (2, 1), (3, 6)¦ Ejercicio 5.1 Represente las siguientes interpretaciones en un plano cartesiano diferente cada una. 1. f : A →Z con f (x) = 3x A =¦2, 5, 7, 8¦ 5.2 Sistema de Ejes Coordenado o Sistema Cartesiano 99 2. f : A →Z con f (x) = x +1 A =¦−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3¦ 3. f : A →Z con f (x) = 2 x A =¦0, 1, 2, 3, 4¦ 100 Funciones 4. f : A →Z con f (x) =−3x +2 A =¦2, 5, 7, 8¦ Teorema 5.1 — Teorema Fundamental de la Geometría Analítica. Hay una correspon- dencia uno a uno entre los puntos de un plano y los elementos en el conjunto de todos los pares ordenados de números reales. Este teorema permite que las formas algebraicas se vean de manera geométrica y las formas geométricas de manera algebraica Problema 5.5 — Gráfica de una ecuación mediante graficación punto por punto.. Trace la gráfica de y = x 2 −4 Construiremos una tabla de valores con los pares ordenados de números reales que satisfagan la ecuación dada. Primero definiremos nosotros mismos los valores que vamos a usar para las preimagenes, para este ejercicio especificamente {-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4}. Los valores se escogen arbitra- riamente, pero siempre es aconsejable considerar valores o números positivos, negativos y al cero. x 1 =−4 →y 1 = (−4) 2 −4 = 16−4 = 12 x 2 =−4 →y 2 = (−3) 2 −4 = 9−4 = 5 x 3 =−4 →y 3 = (−2) 2 −4 = 4−4 = 0 x 4 =−4 →y 4 = (−1) 2 −4 = 1−4 =−3 x 5 =−4 →y 5 = (0) 2 −4 = 0−4 =−4 5.2 Sistema de Ejes Coordenado o Sistema Cartesiano 101 x 6 =−4 →y 6 = (1) 2 −4 = 1−4 =−3 x 7 =−4 →y 7 = (2) 2 −4 = 4−4 = 0 x 8 =−4 →y 8 = (3) 2 −4 = 9−4 = 5 x 9 =−4 →y 9 = (4) 2 −4 = 16−4 = 12 x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x 12 5 0 -3 -4 -3 0 5 12 Después de graficar estas soluciones, si algunas partes de la gráfica no están claras, se trazan mas puntos hasta completar la forma de la gráfica, después se “unen” todos estos puntos con una curva suave. La figura resultante se denomina parábola, mas adelante se ahondará en el tema de las parábolas. Ejercicio 5.2 Responda cada una de las preguntas que se plantean en cada ejercicio. 1. Niveles de Ozono El nivel de ozono se mide en partes por mil millones (ppmm). El nivel de ozono duran- te un periodo de 12 horas en un suburbio de Costa Rica, en un día de verano en par- ticular, esta dado según la figura adjunta. Calcule a) El nivel de ozono a las 6 PM b) El nivel de ozono más alto y el tiem- po al que este ocurre. c) La(s) hora(s) en que el nivel de ozono es de 90 ppmm. Respuestas a) 97 ppmm b) Es de 109 ppmm a las 3 pm c) 12:30 pm y nuevamente a las 10 pm. 102 Funciones 2. Precio y Demanda La cantidad de un producto que los consu- midores están deseando comprar durante algún periodo depende de su precio. El pre- cio p en miles y la correspondiente deman- da semanal q para una marca particular de refresco de dieta en una ciudad se muestra en la figura adjunta. Use esta gráfica para aproximar las siguientes demandas a) ¿Cuál es la demanda cuando el pre- cio es de 6 colones por lata? b) ¿La demanda aumenta o disminuye si el precio aumenta de 6 colones a 6,30 colones por lata? ¿En qué canti- dad? c) La demanda aumenta o disminuye si el precio disminuye de 6 colones a 5,70 colones por lata? ¿En qué canti- dad? Respuestas a) 3000 b) Disminuye en 400 c) Aumenta en 600 3. Física La velocidad (en metros por segundo) de una pelota oscilando en el extremo de un péndulo esta dado por v = 0,5 √ 2−x, donde x es el desplazamiento vertical (en centímetros) de la pelota desde su posición de reposo. Grafique v para 0 < x < 2 Respuestas Se genera la tabla x 1 = 0 →y 1 = 0, 5 √ 2−0 = 0, 5 √ 2 = 0, 707 x 2 = 1 2 →y 2 = 0, 5 _ 2− 1 2 = 0, 612 x 3 = 1 →y 3 = 0, 5 √ 2−1 = 0, 5 √ 1 = 0, 5 x 4 = 3 2 →y 4 = 0, 5 _ 2− 3 2 = 0, 353 x 5 = 2 →y 5 = 0, 5 √ 2−2 = 0, 5 √ 0 = 0 x 0 1 2 1 3 2 2 y 0,707 0,612 0,5 0,353 0 5.2 Sistema de Ejes Coordenado o Sistema Cartesiano 103 4. Punto de ebullición del agua A nivel del mar, el agua hierve cuando alcanza una temperatura de 212 o F. A altitudes mayores, la presión atmosférica es mas baja y también la temperatura a la cual hierve el agua. El punto de ebullición B en grados Fahrenheit a una altitud de x pies esta dado de manera aproximada por B = 212−0, 0018x a) Complete la siguiente tabla x 0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 B b) Con base en la información de la tabla, escriba una descripción verbal breve de la relación entre la altitud y el punto de ebullición del agua. Respuestas a) Se genera la tabla x 1 = 0 →B 1 = 212−0, 0018 0 = 212 x 2 = 5000 →B 2 = 212−0, 0018 5000 = 203 x 3 = 10000 →B 3 = 212−0, 0018 10000 = 194 x 4 = 15000 →B 4 = 212−0, 0018 15000 = 185 x 5 = 20000 →B 5 = 212−0, 0018 20000 = 176 x 6 = 25000 →B 6 = 212−0, 0018 25000 = 167 x 7 = 30000 →B 7 = 212−0, 0018 30000 = 158 x 0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 B 212 203 194 185 176 167 158 b) El punto de ebullición disminuye 9 o F cada 5000 pies de aumento de altitud. 104 Funciones 5.3 Distancia entre dos puntos Distancia entre P 1 (x 0 , y 0 ) y P 2 (x 1 , y 1 ) d(P 1 , P 2 ) = _ (x 1 −x 0 ) 2 +(y 1 −y 0 ) 2 Punto Medio entre P 1 (x 0 , y 0 ) y P 2 (x 1 , y 1 ) Punto Medio = _ x 0 +x 1 2 , y 0 +y 1 2 _ Problema 5.6 Encuentre la distancia entre los puntos (−3, 5) y (−2, −8) Sea (x 0 , y 0 ) = (−3, 5) y (x 1 , y 1 ) = (−2, −8), entonces d(P 1 , P 2 ) = _ (−2−−3) 2 +(−8−5) 2 d(P 1 , P 2 ) = _ (−2+3) 2 +(−8−5) 2 d(P 1 , P 2 ) = _ (1) 2 +(−13) 2 d(P 1 , P 2 ) = √ 1+169 = √ 170 = 13, 0384. . . Por tanto, la distancia entre los puntos (−3, 5) y (−2, −8) es aproximadamente 13, 0384. . . Ejercicio 5.3 Determine lo que se solicita en cada caso. 1. Encuentre la distancia entre los puntos (−6, −4) y (3, 4) R/ √ 145 2. Encuentre la distancia entre los puntos (4, −2) y (6, 6) R/ √ 68 3. Determine si los puntos (−3, 2), (1, −2) y (8, 5), son vértices de un triangulo rectángulo. (Recuerde, un triángulo es un triángulo rectángulo si y solo si el cuadrado del lado mas largo es igual a la suma de los cuadrados de los lados mas cortos.) R/ Si es rectángulo 5.4 Funciones 105 5.4 Funciones Una función, en matemática, es el término usado para indicar la relación o corresponden- cia entre dos o más cantidades. El término fun- ción fue usado por primera vez en 1637 por el matemático francés René Descartes para desig- nar una potencia x n de la variable x. En 1694 el matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz utilizó el término para referirse a varios aspec- tos de una curva, como su pendiente. En 1718, Johann Bernoulli considero a una función como cualquier expresión hecha de constantes y variables. Posteriormente en el mismo siglo, Euler considero a una función como cualquier ecuación hecha de constantes y variables. Euler extendió el uso de la muy importante notación f (x), aunque su origen por lo general se le atribuye a Clairaut (1734). Hasta recientemente, su uso más generalizado ha sido el definido en 1829 por el matemático alemán, J.P.G. Lejeune-Dirichlet (1805-1859), quien escribió: “Una variable es un símbolo que representa un número dentro de un conjunto de ello. Dos variables x y y están asociadas de tal forma que al asignar un valor a x entonces, por alguna regla o correspondencia, se asigna automáticamente un valor a y, se dice que y es una función (unívoca) de x. La variable x, a la que se asignan libremente valores, se llama variable independiente, mientras que la variable y, cuyos valores dependen de la x, se llama variables dependientes. Los valores permitidos de x constituyen el dominio de definición de la función y los valores que toma y constituye su recorrido”. Las funciones están presentes en la vida cotidiana: “espacio que recorre un móvil en función del combustible”, “crecimiento de una planta en función del tiempo”, “coste de cierto papel en función de la cantidad”, “aumento o disminución de la presión del agua en función de altura”. La idea de la correspondencia desempeña un papel central en la formulación del concepto de función. En la vida cotidiana A cada persona le corresponde una edad. A cada automóvil le corresponde un número de placa. Una vez que se conoce una correspondencia, se pueden hacer predicciones. Un químico puede usar la ley de los gases para predecir la presión de un gas, dada su temperatura. Un ingeniero puede usar una formula para predecir las desviaciones de una viga sujeta a diferentes cargas. Un científico de la computación puede usar formulas para comparar la eficiencia de los algoritmos, o para ordenar datos almacenados en una computadora. Un economista podría predecir las tasas de interés, dada la tasa de cambio de la oferta de la moneda. Y así sucesivamente. 106 Funciones Definición 5.1 — Función. Una función f de A en B, es una relación tal que cada elemento de A se relaciona con uno y solo un elemento de B. Es necesario que el elemento asignado sea único. De la definición anterior se establecen dos condiciones que deben cumplir las relaciones para que sean funciones. No queda elemento del conjunto de partida sin relacionarse con el conjunto de llegada. Cada elemento del conjunto de salida se relaciona con un único elemento del conjunto de llegada. Proposición 5.1 De acuerdo con la definición, es claro que: Toda función es una relación pero no toda relación es función. Simbólicamente se representa por f : A →B, la cual indica que la correspondencia o ley va de A hacia B Notación de función Se usará una notación muy importante y conveniente para definir funciones. Por ejemplo, si f es el nombre de la función definida por la ecuación y = 2x +1, entonces, en lugar de las representaciones más formales 1. f : y = 2x +1 Regla de la correspondencia 2. f : ¦(x, y)[y = 2x +1 Conjunto de pares ordenados 3. f (x) = 2x +1 Notación de función, la cual es la más usual. El símbolo f (x) se lee “ f de x”, “ f en x” o “el valor de f de x” y representa un número en el rango de la función f para la cual los valores del domino x están relacionados. El símbolo de f (x) representa al número real en el rango de la función f correspondiente al valor de dominio x. Simbólicamente, f : x → f (x). El par ordenado (x, f (x)) pertenece a la función f . Si x es un número real que no esta en el dominio de f , entonces f no esta definida en x y f (x) no existe. Problema 5.7 Considere un cuadrado de lado x, note que el área de dicho cuadrado depende de la dimensión del lado, es decir el área está en función del lado. Así escribimos A(x) = x 2 En este caso la magnitud del área depende directamente de la magnitud del lado, y está dada según un criterio específico A(x) = x 2 . Así obtenemos el siguiente diagrama de conjuntos que nos ilustra la relación entre la dimensión del lado y la dimensión del área de un cuadrado. 5.5 Función Real de Variable Real 107 5.5 Función Real de Variable Real Se llama función real de variable real a toda función definida de un subconjunto A de los números reales, en el conjunto R de los números reales, tal que a cada elemento x de A le corresponde uno y sólo un elemento y de R . Para que una función quede correctamente definida es necesario determinar: El conjunto inicial o dominio de la función. El conjunto final o codominio de la función. La regla por la cual se asigna a cada elemento del conjunto origen un solo elemento del conjunto imagen. 5.5.1 Conceptos Básicos de Funciones Dominio El conjunto A recibe indistintamente los nombres de conjunto origen, conjunto inicial, dominio de la función, o campo de existencia de la función, conjunto de salida o bien conjunto de preimágenes y se representa por Dom f Codominio El conjunto B es el conjunto final y solamente los elementos que son imagen de algún elemento de A forman el subconjunto de B que llamaremos Rango (R f ), Ámbito (A f ) o recorrido de la función f . Así podemos emplear la simbología A f ⊆B. De acuerdo con la figura se muestra una función f donde: A : ¦x 1 , x 2 , x 3 ¦ dominio de f B : ¦y 1 , y 2 , y 3 , y 4 , y 5 ¦ codominio de f A f : ¦y 1 , y 2 , y 3 ¦ ámbito de f Note que A f ⊆B, además f : ¦(x 1 , y 1 ), (x 2 , y 2 ), (x 3 , y 3 )¦ 108 Funciones Es importante notar que los valores y 4 y y 5 son elementos del codominio, pero no del ámbito. Así, por ejemplo, la función definida por: f : R →R la definimos f : x →x 2 asigna a cada número real su cuadrado. Tiene por conjunto origen o campo de existencia todos los números reales, pues dado cualquier número real x, siempre es posible calcular su cuadrado, siendo el resultado otro número real. Tiene por conjunto imagen todos los números reales positivos o cero, puesto que el cuadrado de un número siempre es positivo. Así A f ó R f =R + ∪¦0¦ La regla de asignación es “dado cualquier número real x, calcular su cuadrado para obtener la imagen”. Variable dependiente e independiente Un elemento cualquiera del conjunto A se representa por la letra x, es llamado la variable independiente. Cada elemento x de A tiene por imagen, mediante la función f , un elemento de B que se representa por y, el cual es denominado variable dependiente. Esto se expresa escribiendo y = f (x). Proposición 5.2 — Condiciones necesarias para la existencia de una función. Para que una relación de un conjunto A en otro B sea función, debe cumplir 2 condiciones, a saber: 1. Todo elemento del conjunto de partida A debe tener imagen. 2. La imagen de cada elemento x ∈ A debe ser única. Es decir, ningún elemento del dominio puede tener más de una imagen. En una función f : A →B, todo elemento x ∈ A, tiene una y solo una imagen y ∈ B. En cambio un elemento y ∈ B puede: Primero No ser imagen de ningún elemento x ∈ A. Segundo Ser imagen de un elemento x ∈ A. Tercero Ser imagen de varios elementos x ∈ A. Problema 5.8 Determine si el siguiente diagrama de Venn representa una función o no. f es una función de A en B pues cumple con los dos requisitos, a saber, todos los elementos del dominio tienen imagen y estos tienen una imagen única. 5.5 Función Real de Variable Real 109 Problema 5.9 Determine utilizando la información brindada en el diagrama define una función o no. g es una función de A en B pues cumple con los dos requisitos, a saber, todos los elementos del dominio tienen imagen y estos tienen una imagen única. Problema 5.10 Determine utilizando la información brindada en el diagrama define una función o no. k NO es una función de A en B pues no cumple con los dos requisitos; pues no todos los elementos del dominio tienen imagen. Problema 5.11 Determine si el siguiente diagrama de Venn representa una función o no. h NO es una función de A en B pues no cumple con los dos requisitos; los elementos del dominio tienen imagen pero no son únicas. 110 Funciones Ejercicio 5.4 1. Identifique cuales de las siguientes relaciones corresponden a funciones. En caso de no ser funciones indique la razón de por que no lo es. a) b) c) 5.6 Prueba de la recta vertical para una función 111 d) Respuestas 1. No 2. Si 3. No 4. Si 2. Indique si cada uno de los conjuntos definen a una función. Encuentre el dominio y el rango de cada función. a) G f =¦(2, 4), (3, 6), (4, 8), (5, 10)¦ R/ D f =¦2, 3, 4, 5¦ A f =¦4, 6, 8, 10¦ b) G f =¦(−1, 4), (0, 3), (1, 2), (2, 1)¦ R/ D f =¦−1, 0, 1, 2¦ A f =¦1, 2, 3, 4¦ c) G f =¦(10, −10), (5, −5), (0, 0), (5, 5), (10, 10)¦ R/ No es función d) G f =¦(−10, 10), (−5, 5), (0, 0), (5, 5), (10, 10)¦ R/ D f =¦−10, −5, 0, 5, 10¦ A f =¦0, 5, 10¦ e) G f =¦(1, 1), (2, 1), (3, 1), (1, 2), (2, 2), (3, 2)¦ R/ No es función 5.6 Prueba de la recta vertical para una función Una ecuación define a una función si cada recta vertical en el sistema coordenado rectangular pasa a lo más por un punto de la gráfica de la ecuación. Si una recta vertical pasa por dos o más puntos de la gráfica de una ecuación, entonces la ecuación no define a una función. 1. y = 3 √ x +1 2. y 2 −x 2 = 9 112 Funciones En la figura 1, cada recta vertical interseca la gráfica de la ecuación y = 3 √ x +1 en exacta- mente un punto. Esto demuestra que a cada valor de la variable independiente x le corresponde exactamente un valor de la variable dependiente y, y confirma nuestra conclusión de que esta ecuación define a una función. Por otra parte la gráfica de y 2 −x 2 = 9, en la figura 2, es in- tersecada en dos puntos por una de esas rectas. Esto indica que existen valores de la variable independiente x que corresponden a dos diferentes valores de la variable dependiente y, lo cual confirma nuestra conclusión de que esta ecuación no define a una función. Ejercicio 5.5 Indique si cada una de las siguientes gráficas corresponden a la gráfica de una función. 1. Gráfica 1 2. Gráfica 2 3. Gráfica 3 5.6 Prueba de la recta vertical para una función 113 4. Gráfica 4 5. Gráfica 5 6. Gráfica 6 Respuestas 1. Si 2. Si 3. No 4. Si 5. No 6. No 114 Funciones 5.7 Criterio de una función Tratemos de inferir el concepto de criterio de una función con tres ejemplos. Problema 5.12 Observe el diagrama que representa la siguiente función. En la figura de la izquierda se muestra una función f definida por el siguiente gráfico. f : ¦(2, 4), (5, 10), (8, 16), (13, 26)¦ ¿Podría usted identificar el criterio de f? Es claro que la correspondencia entre las preimágenes y su respectiva imagen es del doble. Ahora, si “x” representa a las preimágenes, entonces “2x” representa a las imágenes “y”. Luego como y = f(x), el criterio que describe la correspondencia entre las componentes es f (x) = 2x Para D f =¦2, 5, 8, 13¦ y A f =¦4, 10, 16, 26¦ Así f (2) = 2 2 = 4 f (5) = 2 5 = 10 f (8) = 2 8 = 16 f (13) = 2 13 = 26 Problema 5.13 A continuación se muestra una tabla que describe una función f donde x representa a los valores de las preimágenes y y representa a las imágenes. x y 1 3 2 4 3 5 4 6 Así f : ¦(1, 3)(2, 4)(3, 5)(4, 6)¦ ¿Podría usted identificar el criterio de f ? Es claro que las imágenes son dos unidades mayores que su respectiva preimagen. De esta forma, si “x” representa a las preimágenes, entonces “x + 2” representa a las imágenes. Por tanto el criterio de f es f (x) = x +2 Para D f =¦1, 2, 3, 4¦ y A f =¦3, 4, 5, 6¦ Así f (1) = 1+2 = 3 f (2) = 2+2 = 4 f (3) = 3+2 = 5 f (4) = 4+2 = 6 5.8 Imagen y Preimagen 115 Problema 5.14 Observe el siguiente ejemplo. ¿Cuál es la condición para relacionar un ele- mento de A (dominio) con un elemento de B (codominio)? Si designamos con x un elemento arbitrario del domino de la función su respectiva imagen en el codominio sería x +3. Definición 5.2 — Criterio de una función. La condición que señala como asociar ele- mentos del dominio con elementos del codominio se denomina criterio de la función. Ejercicio 5.6 Halle el criterio de cada una de las siguientes funciones, representadas por las siguientes tablas de datos. 1. Para la función f x y 25 5 49 7 100 10 225 15 2. Para la función g x y 1 3 2 6 3 9 4 12 3. Para la función h x y -2 4 -1 1 0 0 1 1 4. Para la función s x y -1 -2 1 0 3 2 5 4 5. Para la función t x y -1 4 0 5 1 6 2 7 6. Para la función w x y -2 -1 0 0 2 1 4 2 Respuestas 1. f (x) = √ x 2. g(x) = 3x 3. h(x) = x 2 4. s(x) = x −1 5. t(x) = x +5 6. w(x) = x 2 5.8 Imagen y Preimagen Si en una función, un elemento a del conjunto de partida se relaciona con algún elemento b del conjunto de llegada, se dice que a es preimagen de b y que b es imagen de a. Así en el ejemplo siguiente 116 Funciones Podemos decir que: 1 es preimagen de 5. 2 es preimagen de 7. 3 es preimagen de 6. Y también decir que: 5 es imagen de 1. 6 es imagen de 3. 7 es imagen de 2. 5.9 Interpretación de Imagenes y Preimagenes Para cada par ordenado (x, f (x)), interpretado en una gráfica de una función f , debemos entender que x esta sobre el eje de las abscisas y la f (x) = y sobre el eje de las ordenadas Problema 5.15 — Lectura de preimagenes. Para la gráfica de la función que se presenta a continuación -2 es la preimagen de 0 -1 es la preimagen de -2 0 es la preimagen de -1 2 es la preimagen de 0 4 es la preimagen de 2 6 es la preimagen de 0 Problema 5.16 — Lectura de imagenes. En una gráfica de una función 3 es la imagen de -3 2 es la imagen de 0 0 es la imagen de -5, 3 y 6 -2 es la imagen de -6 y 5 5.10 Cálculo de Imágenes 117 Ejercicio 5.7 Complete los espacios dados con la información que se solicita, utilizando las gráficas suministradas. 1. a) -5 es la preimagen de b) -3 es una preimagen de c) -1 es una preimagen de d) -7 es una preimagen de e) 2 es una preimagen de f ) 5 es una preimagen de g) [-1,2] es el conjunto de preimágenes de 2. Para los siguientes ejercicios tome en cuenta la información suministrada en la siguiente gráfica Valore las siguientes proposiciones como Falsas o Verdaderas a) ( ) f (4) < f (−5) b) ( ) f (−6) < f (6) c) ( ) 2 < f (0) < 4 d) ( ) f (−5) = f (3) Determine el o los valores de k, para los cuales la expresión es verdadera a) f (−6) > f (k) b) f (−5) > f (k) c) f (−5) < f (k) < f (3) d) f (3) < f (k) e) 2 < f (k) < 4 Respuestas Ejercicio 1. a) −3 b) −3 c) −3 d) −3 e) −3 f) −3 g) −3 Ejercicio 2. Falso/Verdadero a) v b) f c) v d) f Ejercicio 2. Valor de k a) [−5, +∞[ b) ]−5, +∞[ c) ]−5, 3[ d) ]−∞, 3[ e) ]−5, 3[ 5.10 Cálculo de Imágenes En una función, para calcular la imagen de un elemento del dominio se sustituye este elemento por la variable independiente. Luego, se efectúan las operaciones establecidas al hacer 118 Funciones la sustitución hasta obtener la imagen en forma simplificada. Problema 5.17 — Cálculo de la imagen, para un valor numérico. Calcule la imagen de -8 en la función definida por el criterio f (x) = 2x +1 Sustituyo el valor dado −8 por la “x” f (−8) = 2 8+1 Efectúo las operaciones f (−8) = 16+1 f (−8) = 17 Por tanto, la imagen de −8 en la función f (x) = 2x +1 es 17. Problema 5.18 — Cálculo de la imagen, para un valor numérico. Calcule la imagen de -4 en la función definida por el criterio g(x) = x 2 −5x −9 Sustituyo el valor dado −4 por la “x” g(−4) = (−4) 2 −5 −4−9 Efectúo las operaciones g(−4) = (−4) 2 −5 −4−9 g(−4) = 16+20−9 g(−4) = 27 Por tanto, la imagen de −4 en la función f (x) = x 2 −5x −9 es 27. Problema 5.19 — Cálculo de la imagen, para un valor numérico. Calcule h(3) en la función definida por el criterio h(x) = 3x −4 Aquí intuimos que la operación que se nos propone es encontrar la imagen de 3 en la función h. ¿Por qué? Como vemos en vez de aparecer una “x” entre el paréntesis de la función aparece un número, el 3. De ahí intuimos que debemos sustituir la “x” por ese valor y ese es exactamente el primer paso para calcular la imagen. Sustituyo el valor dado 3 por la “x” h(3) = 3 3−4 Efectúo las operaciones h(3) = 9−4 h(3) = 5 Por tanto, el valor de h(3) en la función h(x) = 3x −4 es 5. 5.10 Cálculo de Imágenes 119 Problema 5.20 — Cálculo de la imagen, para un valor algebraico. Calcule f (a+b) en la función definida por el criterio f (x) = 3x +5 Como vemos en vez de aparecer una “x” entre el paréntesis de la función aparece una expresión algebraica, a saber a+b. De ahí intuimos que debemos sustituir la “x” por ese valor y ese es exactamente el primer paso para calcular la imagen. Sustituyo el valor dado a+b por la “x” f (a+b) = 3 (a+b) +5 Efectúo las operaciones f (a+b) = 3 (a+b) +5 f (a+b) = 3 a+3 b+5 f (a+b) = 3a+3b+5 Por tanto, el valor de f (a+b) en la función f (x) = 3x +5 es 3a+3b+5. Problema 5.21 — Cálculo de la imagen, para un valor algebraico. Calcule f (a−3) en la función definida por el criterio f (x) = x 2 +4x +5 Como vemos en vez de aparecer una “x” entre el paréntesis de la función aparece una expresión algebraica, a saber a−3. De ahí intuimos que debemos sustituir la “x” por ese valor y ese es exactamente el primer paso para calcular la imagen. Sustituyo el valor dado a−3 por la “x” f (a−3) = (a−3) 2 +4 (a−3) +5 Efectúo las operaciones f (a−3) = (a−3) 2 +4 (a−3) +5 f (a−3) = a 2 −2 a 3+3 2 +4 a−4 3+5 f (a−3) = a 2 −6a+9+4a−12+5 f (a−3) = a 2 −2a+2 Por tanto, el valor de f (a−3) en la función f (x) = x 2 +4x +5 es a 2 −2a+2. Problema 5.22 —Cálculo de la imagen, para un valor algebraico. Calcule las siguientes imágenes Sea f (x) = x 2 +4x +5, encuentre a) f (x +h) b) f (x +h) − f (x) h , con h ,= 0 Resolvamos f (x +h) Sustituyo el valor dado x +h por la “x” f (x +h) = (x +h) 2 +4 (x +h) +5 120 Funciones Efectúo las operaciones f (x +h) = (x +h) 2 +4 (x +h) +5 f (x +h) = x 2 +2 x h+h 2 +4 x +4 h+5 f (x +h) = x 2 +2xh+h 2 +4x +4h+5 Por tanto, el valor de f (x +h) en la función f (x) = x 2 +4x +5 es x 2 +2xh+h 2 +4x +4h+5. Ahora resolvamos f (x +h) − f (x) h Utilizamos el resultado del punto a), procedemos f (x +h) − f (x) h = x 2 +2xh+h 2 +4x +4h+5−(x 2 +4x +5) h f (x +h) − f (x) h = x 2 +2xh+h 2 +4x +4h+5−x 2 −4x −5) h f (x +h) − f (x) h = 2xh+h 2 +4h h f (x +h) − f (x) h = h(2x +h+4) h f (x +h) − f (x) h = 2x +h+4 5.10 Cálculo de Imágenes 121 Ejercicio 5.8 En cada caso calcule las imágenes que se solicitan. 1. Para f (x) = 7−9x 6x −9 calcule f _ − 2 3 _ R/ −1 2. Para f (x) =−(5−x) 2 −(x −7) calcule la imagen de 7 R/ −4 3. Para f (x) = _ 3−x, si x ,= 2 x −4, si x = 2 calcule f (−2) + f (2) R/ 3 4. Para f (x) = 5− x −4 1−x calcule f (−2) R/ 7 5. Para f (x) = 3 1−x + √ 3 calcule f _ 1 2 _ R/ 2 √ 3 6. Para f (x) = 7−4x calcule f (x) − f (−2) x +2 R/ −4 7. Para f (x) =−3−x 2 calcule f (x) − f (−2) x +2 R/ 2−x 8. Para f (x) = 5x 2 −243 y g(x) = 4−x calcule f (g(−3)) R/ 2 9. Para f (x) = g(x) −3 y g(x) = 5−2x calcule f (g(2)) R/ 0 10. En f (x) = x 2 +3x +7 encuentre y simplifique a. f (x +h) b. f (x +h) − f (x) h , con h ,= 0 R/ a) x 2 +2xh+h 2 +3x +3h+7 b) 2x +h+3 11. Evalué las siguientes expresiones f (x) = 3x −5 g(x) = 4−x d(x) = 3x 2 +2x −4 p(x) = x −x 2 a) f (−1) R/ −8 b) p(−2) R/ −6 c) d(−1) + f (3) R/ 1 d) 2 d(−2) −p(−1) R/ 10 e) f (0) g(−2) d(−3) R/ − 30 17 12. Determine los valores indicados a) Si f (x) = 3x +15, encuentre f (2+h) − f (2) h , con h ,= 0 R/ 3 b) Si p(x) = 2−x 2 , encuentre p(3+h) −p(3) h , con h ,= 0 R/ −6−h c) Si t(x) =−1−2x 2 +3x, encuentre t(−2+h) −t(−2) h , con h ,= 0 R/ 11−2h 122 Funciones Ejercicio 5.9 — Para la casa. Calcule las imágenes, realice el diagrama de Venn y escriba el gráfico de las siguientes funciones, dependiendo del criterio dado en cada caso. 1. f : A →B, f (x) = 3x con A =¦2, 5, 7, 8¦ y B =¦1, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24¦ 2. f : A →B, f (x) = x −5 con A =¦2, 5, 7, 8¦ y B =¦−5, −3, 0, 1, 2, 3, 5¦ 3. f : A →B, f (x) = 2 x con A =¦0, 1, 2, 3, 4¦ y B =¦1, 2, 3, 4, 8, 15, 16¦ 4. f : A →B, f (x) = x 2 −3 con A =¦−1, 0, 1, 2, 3¦ y B =¦−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 6¦ 5.11 Cálculo de Preimágenes Para determinar una preimagen basta con igualar el valor al que se le desea encontrar la preimagen al criterio dado, para así luego resolver la ecuación resultante, la solución es aquel o aquellos valores que pertenezcan al dominio de la función encontrada. Problema 5.23 — Cálculo de una preimagen, para un valor numérico. Para la función f definida por f (x) = x −3 1−2x , halle la preimagen de − 2 3 Igualamos el criterio con el valor de la imagen dada x −3 1−2x =− 2 3 Resolvemos la ecuación resultante 3(x −3) =−2(1−2x) 3x −9 =−2+4x 3x −4x =−2+9 −x = 7 x =−7 Por tanto la preimagen de − 2 3 es −7. Problema 5.24 — Cálculo de una preimagen, para un valor numérico. Halle la preima- gen de 3 4 para la función f dada por el criterio 2 3 − 1−x 2 Igualamos el criterio con el valor de la imagen dada 2 3 − 1−x 2 =− 3 4 Resolvemos la ecuación resultante 4 2−6 (1−x) 12 = 3 3 12 8−6+6x 12 = 9 12 8−6+6x = 9 5.11 Cálculo de Preimágenes 123 6x = 9−8+6 6x = 7 x = 7 6 Por tanto la preimagen de 3 4 es 7 6 . Problema 5.25 — Cálculo de una preimagen, para un valor numérico. Si f : R + →R + ; f (x) = x 2 −x −5, halle la preimagen de 1. Igualamos el criterio con el valor de la imagen dada x 2 −x −5 = 1 Resolvemos la ecuación resultante x 2 −x −5−1 = 0 x 2 −x −6 = 0 Utilizamos la calculadora, MODE, 5 – 3, obteniendo los resultados x = 3 y x =−2 Por tanto la preimagen de 1 es 3. En el ejemplo anterior se omitio la solución negativa ya que el dominio de esta función está definido por el conjunto de los números reales positivos, esto hace que se excluya el elemento x =−2 del cuadro de soluciones posibles a definir como preimágenes. Problema 5.26 — Cálculo de una preimagen, para un valor algebraico. Si (4, −3) es un elemento del gráfico de la función f definida po f (x) =−2kx −7k +1, halle el valor de k. Como (4, −3) pertenece al gráfico de la función, sustituimos x por 4 y f (x) por -3. f (x) =−2kx −7k +1 −3 =−2k 4−7k +1 Resolvemos la ecuación resultante −3 =−8k −7k +1 −3−1 =−15k −4 =−15k k = 4 15 Por tanto el valor de k es 4 15 . 124 Funciones Problema 5.27 — Cálculo de una preimagen, para un valor algebraico. Si (3, 2k −1) es un elemento del gráfico de la función f definida po f (x) = 2x −3kx +5, halle el valor de k. Como (3, 2k −1) pertenece al gráfico de la función, sustituimos x por 3 y f (x) por 2k −1. f (x) = 2x −3kx +5 2k −1 = 2 3−3k 3+5 Resolvemos la ecuación resultante 2k −1 = 6−9k +5 2k +9k = 6+5+1 11k = 12 k = 12 11 Por tanto el valor de k es 12 11 . Problema 5.28 — Cálculo de una preimagen, para un valor algebraico. Si f (x) = 2x 2 −kx +5 y f (2) = 7, halle el valor de k. Como f (2) = 7, sustituimos x por 2 y f (x) por 7. f (x) = 2x 2 −kx +5 7 = 2 (2) 2 −k 2+5 Resolvemos la ecuación resultante 7 = 2 4−2k +5 7 = 8−2k +5 2k = 8+5−7 2k = 6 k = 3 Por tanto el valor de k es 3. Ejercicio 5.10 Determine las preimágenes correspondientes a cada ejercicio. 1. Para f (x) = 2− 7−2x 5 calcule la preimagen de 1 R/ 1 2. Para f (x) = 7−9x 6x −9 calcule la preimagen de 3 R/ 34 27 3. Para f (x) = √ 3x −5 calcule la preimagen de 2 R/ 3 4. Para f : R − →R; f (x) = √ 2x 2 −9 halle la preimagen de 3 R/ −3 5. Para f (x) = x 2 −3 2x +1 halle una de las preimagenes de 6 7 R/ 3 ó − 9 7 6. Para f : ]−1, +∞[ →R; f (x) = 2x 2 +x+1, entonces ¿ Cuál es la preimagen de 4? R/ 1 7. Para f (x) = 8−2x 2 +2a 2 ¿Cuál es la preimagen de 8a? R/ a−2 ó −a+2 8. Para f (x) = 3−x y f (k −1) = 2 ¿Cuál es el valor de k? R/ 2 5.11 Cálculo de Preimágenes 125 9. Para f (x) = x 2 +2ax +a 2 ¿Cuál es la preimagen de b 2 ? R/ b−a 10. Si (2, k) pertenece al gráfico de f (x) = x 2 +kx −3, entonces ¿Cuál es el valor de k? R/ −1 11. Si f (x) = 4x 2 +kx +1 y f _ 1 2 _ = 0, ¿Cuál es el valor de k? R/ −4 Ejercicio 5.11 — Para la casa. Encuentre en cada caso la preimagen que se le solicita 1. Si f es una función dada por f (x) = 3− 2−3x x −3 , halle la preimagen de −1 R/ 2 2. Si f es una función dada por f (x) = (x −3) 2 +36, halle la preimagen de 4 R/ 2 3. Si f es una función dada por f (x) = (5x −1) 3 4 +1, halle la preimagen de 9 R/ 2 4. Si f es una función dada por f (x) = 9x 2 , halle la preimagen de 81 R/ 3 5. Si f es una función dada por f (x) = 25x 2 −3, halle la preimagen de 33 R/ 6 5 126 Funciones 5.12 Representación de una Función La representación gráfica de una función permite visualizar de un modo claro y preciso su comportamiento. Una función f asigna a cada número x del conjunto origen, un número y = f (x) del conjunto imagen. 5.12.1 Gráfico de una función El conjunto de los pares de números (x, y) determinados por la función recibe el nombre de gráfico de la función, y se denota por: f : A →B, genera el gráfico, por compresión lo definimos asi: G f =¦(x 1 , y 1 ), (x 2 , y 2 ), . . . , (x n , y n )¦, donde ¦x 1 , x 2 , . . . , x n ¦ ∈ A y ¦y 1 , y 2 , . . . , y n ¦ ∈ B G f =¦(x, f (x))/x ∈ D f y f (x) ∈C f ¦ Recordemos R Para obtener los pares basta con dar valores a la variable independiente x que pertenezcan al dominio máximo real, y obtener los correspondientes de la variable dependiente y, formando así una tabla de valores de la función. Una vez obtenidos los pares de números, se representan en un sistema de ejes cartesianos o plano cartesiano de conformado como corresponde la definición. Un plano cartesiano consiste en dos ejes perpendiculares que se cortan en un punto, llamado origen de coordenadas, y representado por O; el eje horizontal recibe el nombre de eje de abscisas, y en él se representan los valores de la variable independiente x; el eje vertical recibe el nombre de eje de ordenadas, y en él se representan los valores de la variable dependiente y. 5.12.2 Gráfica de una función Cada par de números corresponde a un punto del plano. Uniendo todos los puntos, se obtiene la gráfica de la función. Es decir una vez representado el gráfico en un plano cartesiano y trazando la unión de los puntos de acuerdo a la representación de la función obtenemos la gráfica de la misma, que tienen coordenadas (x, f (x)) donde x ∈ A . Las gráficas desempeñan un papel muy importante en matemática, pues permiten visualizar muchas situaciones. A menudo es útil graficar una función como ayuda para plantear la situación concreta. Problema 5.29 — Gráfica de una función. Análisis matemático de la gráfica de una función. 5.12 Representación de una Función 127 La figura anterior muestra siete puntos de una función f marcados en un plano cartesiano. Estos puntos se detallan en la siguiente tabla x -3 -2 -1 0 1 2 3 y -6 -4 -2 0 2 4 6 Para esta función: D f =¦−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3¦ y A f =¦−6, −4, −2, 0, 2, 4, 6¦ Es claro que el criterio de f es f (x) = 2x Considere la gráfica, pareciera que los puntos son colineales. Si ampliamos el dominio de f es más clara la regla definida por el criterio. Considere la siguiente tabla donde D f =¦−3, −2,5, −2, −1,5, −1, −0,5, 0, 0,5, 1, 1,5, 2, 2,5, 3¦ A f =¦−6, −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6¦ x -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 y -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 En la figura se muestran los nuevos pares ordenados colocados en el plano xy. De esta forma es evidente que los puntos siguen el comportamiento de una linea recta. 128 Funciones Si aumentamos aún más los números en el dominio de forma que sea más fino el punteo, es más clara la línea recta. Pero si en lugar de colocar puntos aislados, basados en un dominio finito, tomamos D f =R, consecuentemente con su propiedad de densidad, los puntos colocados en el plano estarán tan juntos que se mostrará una recta perfecta que contendrá a todos los pares ordenados que genera la función f (x) = 2x. Para esta función en particular, si D f =R entonces A f =R, esto quiere decir que se generan infinitos pares ordenados, es claro que no es posible colocar todos estos puntos. Por tanto la técnica para granear una función cualesquiera es colocar algunos pares ordenados, que pertenezcan a la función, sobre el plano de coordenadas; cuantos sean necesarios para visualizar y tener una idea precisa del comportamiento de la curva de la función. 5.12 Representación de una Función 129 Problema 5.30 Trace la gráfica de la función f (x) = √ x Recuerde: la raíz cuadrada de está definida solo para R + , no existe en los números reales la raíz cuadrada de un número negativo. Si D f =¦0, 1, 4, 9, 16¦ entonces A f =¦0, 1, 2, 3, 4¦ Véase la tabla x 0 1 4 9 16 y 0 1 2 3 4 Punteando los cinco pares ordenados en el plano cartesiano, se obtiene la gráfica, anterior. Pero colocando más pares ordenados pertenecientes a f permite tener una idea clara de la curva de la que define a la función. Véase la gráfica de abajo. Es claro que los puntos no son colineales, más bien crean una ligera curva. Tomando D f =R + la curva queda totalmente trazada. 130 Funciones Problema 5.31 Grafique en el plano cartesiano la función f f : A→R; f (x) =x 2 −3. Sabiendo que A =¦−1, 0, 1, 3¦ Algunas de las funciones numéricas hasta ahora estudiadas han sido definidas en subconjunto de R (números enteros, conjuntos escogidos bajo algún criterio, etc.). Como consecuencia el dibujo del gráfico en el plano cartesiano da origen a una serie de puntos aislados (separados unos de otros). Por el contrario, si se define una función es un intervalo de R, el gráfico que se obtiene da origen a un trazo en el plano; es decir; no es necesario separar el lápiz del papel para representar el gráfico. En adelante cuando no se hace referencia al dominio o al codominio se asume que se refiere a R. 5.12.3 Ámbito o Rango de una función En una función f de A en B, el ámbito lo podemos definir como aquel conjunto A f tal que es el conjunto de todos aquellos ¦y 1 , y 2 , , y n ¦ a los cuales corresponde uno y solo un elemento en el dominio. Problema 5.32 Considere la función f : [−5, 5] →R; f (x) = x +1 5.13 Funciones Simétricas 131 Note que en este caso el gráfico contiene una cantidad infinita de puntos en el intervalo del dominio dado por [−5, 5] que se representa en la gráfica. ¿Cuál es el ámbito de esta función? El ámbito es el conjunto formado por las imágenes que si están asignadas o tienen correspon- dencia con una preimagen y estan relacionadas con los valores de y. Por tanto viendo la figura, el ámbito es el conjunto de los valores [−4, 6]. Problema 5.33 La gráfica adjunta representa la función f (x) = √ 16−x 2 ¿Cuál conjunto representa el dominio en esta gráfica? Sabemos que el dominio es el conjunto de los valores de las preimagenes y está relacionado con el eje x. Por tanto, el dominio de la función representado en la gráfica es [−4, 4] ¿Cuál conjunto representa el ámbito en ésta gráfica? Como explicamos anteriormente, el ámbito está relacionado con el eje y. Por tanto, el ámbito de la función representado en la gráfica es [0, 4] 5.13 Funciones Simétricas 5.13.1 Funciones pares Una función f (x) es par cuando se cumple la condición f (x) = f (−x). Es decir, las imágenes de valores opuestos coinciden. Así dada la función f tenemos 132 Funciones f (2) = f (−2), f _ 3 4 _ = f _ − 3 4 _ , f (5) = f (−5) entre otros. Por coincidir las imágenes de valores opuestos, la gráfica de una función par es simétrica respecto del eje y. 5.13.2 Funciones impares Una función f (x) es impar si cumple f (−x) =−f (x). A valores opuestos de x corresponden imágenes opuestas. (La imagen de 2 es la opuesta de la imagen de -2; la imagen de -1 es la opuesta de la imagen de 1. . . ). Por corresponder a valores opuestos de x, imágenes opuestas, la gráfica de una función impar es simétrica respecto al origen de coordenadas. Problema 5.34 — Ejemplo de función par. Determine si la función f (x) = x 2 es par. Sustituimos la x por −x f (x) = x 2 f (−x) = (−x) 2 f (−x) = (−1 x) 2 f (−x) = (−1) 2 (x) 2 f (−x) = 1 x 2 f (−x) = x 2 Por tanto, cómo f (x) = f (−x) concluimos que f es par. Problema 5.35 — Ejemplo de función par. Determine si la función g(x) = 3x +2 es par. Sustituimos la x por −x g(x) = 3x +2 g(−x) = 3(−x) +2 g(−x) =−3x +2 g(−x) =−3x +2 Por tanto, cómo g(x) ,= g(−x) concluimos que g no es par. Problema 5.36 — Ejemplo de función par. Determine si la función k(x) =[x[ es par. Sustituimos la x por −x k(x) =[x[ k(−x) =[ −x[ k(−x) =[ −1 x[ k(−x) =[ −1[ [x[ k(−x) = 1 [x[ k(−x) =[x[ 5.13 Funciones Simétricas 133 Por tanto, cómo k(x) = k(−x) concluimos que k es par. Problema 5.37 — Ejemplo de función impar. Determine si la función f (x) = x es par. Sustituimos la x por −x f (x) = x −f (x) =−x f (−x) = (−x) f (−x) =−x f (−x) =−f (x) Por tanto, cómo f (x) =−f (x) concluimos que f es impar. Problema 5.38 — Ejemplo de función impar. Determine si la función g(x) = x 3 es par. Sustituimos la x por −x g(x) = x 3 −g(x) =−x 3 g(−x) = (−x) 3 g(−x) =−x 3 g(−x) =−g(x) Por tanto, cómo g(−x) =−g(x) concluimos que g es impar. Problema 5.39 — Ejemplo de función impar. Determine si la función h(x) = x +1 es par. Sustituimos la x por −x h(x) = x +1 −h(x) =−(x +1) =−x −1 h(−x) = (−x) +1 h(−x) =−x +1 h(x) ,= h(x) Por tanto, cómo h(−x) ,=−h(x) concluimos que h no es impar. 134 Funciones 5.14 Regimen de Variación Sea I un intervalo en el dominio de una función f determinado por ]a, b[. Entonces: 5.14.1 Función Constante Una función f , se dice constante en un intervalo I, si ∀ x 1 y x 2 ∈ I, I ∈ D f se cumple la condición x 1 < x 2 =⇒ f (x 1 ) = f (x 2 ) 5.14.2 Función Creciente Una función f , se dice creciente en un intervalo I, si ∀ x 1 y x 2 ∈ I, I ∈ D f se cumple la condición x 1 < x 2 =⇒ f (x 1 ) ≤ f (x 2 ) 5.14.3 Función Decreciente Una función f , se dice decreciente en un intervalo I, si ∀ x 1 y x 2 ∈ I, I ∈ D f se cumple la condición x 1 < x 2 =⇒ f (x 1 ) ≥ f (x 2 ) Nota: Como podemos observar en la función creciente tanto como decreciente se considera en ambos casos incluso los trazos que son constantes. Es decir estos situaciones pueden ascender o descender así como ser constantes. 5.15 Máximos y mínimos 135 5.14.4 Función Estrictamente Creciente Una función f , se dice creciente en un intervalo I, si ∀ x 1 y x 2 ∈ I, I ∈ D f se cumple la condición x 1 < x 2 =⇒ f (x 1 ) < f (x 2 ) 5.14.5 Función Estrictamente Decreciente Una función f , se dice creciente en un intervalo I, si ∀ x 1 y x 2 ∈ I, I ∈ D f se cumple la condición x 1 < x 2 =⇒ f (x 1 ) > f (x 2 ) Nota: Como podemos observar en las funciones estrictamente creciente o decreciente NO se consideran los trazos que son constantes, por el comportamiento estricto. 5.15 Máximos y mínimos Una función y = f (x) tiene un máximo en un punto x = x 0 si, en valores próximos a él, a la izquierda de ese punto la función es creciente y a la derecha de ese punto la función es decreciente; esto es, si los valores próximos a este punto que toma la función son menores. 136 Funciones Una función y = f (x) tiene un mínimo en un punto x = x 0 si, en valores próximos a él, a la izquierda de ese punto la función es decreciente y a la derecha de ese punto la función es creciente; esto es, si los valores próximos a este punto que toma la función son mayores. No obstante, una función puede presentar varios máximos y minimos. Para distinguirlos, defini- mos los siguientes conceptos asociados. Una función y = f (x) tiene un máximo (mínimo) absoluto en un punto x =x 0 si los valores que toma la función son todos menores (mayores) que su imagen f (x 0 ). Una función y = f (x) tiene un máximo (mínimo) relativo en un punto x = x 0 si los valores próximos a él que toma la función son todos menores (mayores) que su imagen f (x 0 ). 5.16 Los ceros de una función Un cero de una función es la solución de una ecuación f (x) = 0. Los ceros de una función corresponden a los puntos en los cuales la gráfica de la función atraviesa el eje de x. Estos puntos son llamados Intersecciones en x. 5.17 Análisis de Gráficas Vamos a poner en práctica los conceptos relacionados con gráficas y funciones que hemos considerado hasta el momento, para realizar un análisis de aspectos fundamentales de las funciones. 5.17 Análisis de Gráficas 137 Ejercicio 5.12 Para las gráficas que se presentan a continuación determine lo que se solicita. 1. La gráfica siguiente expresa la evolución del número de nacimientos en una ciudad de España. a) Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento del Índice de natalidad. b) ¿En qué período de tiempo permanece constante la natalidad? c) ¿En qué años se ha conseguido el mayor número de nacimientos? Indica los máximos y mínimos de esta función. 2. La gráfica siguiente muestra como varia la profundidad del agua en un puerto durante un día cualquiera. a) ¿A qué horas aumenta la profundidad? ¿Y a qué horas disminuye? b) ¿A qué hora se produce la profundidad máxima? ¿Y la mínima? c) Observa que de 13 a 20 horas la profundidad aumenta (crece la marea). ¿Aumenta igual de rápido durante todo ese periodo de tiempo? 138 Funciones 3. Dibuje la gráfica de la función y = x 2 . A partir de ella, indique su dominio e imagen, los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los puntos en los que hay máximos o mínimos. Problema 5.40 Determine los elementos que se solicitan en cada caso, para cada una de las gráficas que se presentan a continuación. 1. Analice la siguiente gráfica Determine 2 f (2) f (1) 5+ f (−4) D f = A f = f (x) > 0 = f (x) < 0 = f (x) = 0 = Decre ¸= Estric ¸= Crec ¸= Estric ¸= Const →= 2. Analice la siguiente gráfica Determine [ f (2)] 2 f (−2) 1+ f (0) D f = A f = f (x) > 0 = f (x) < 0 = f (x) = 0 = Decre ¸= Estric ¸= Crec ¸= Estric ¸= Const →= 5.17 Análisis de Gráficas 139 Ejercicio 5.13 Realice el análisis de los aspectos que se solicitan en cada una de las gráficas que se presentan a continuación. Los elementos son: 1. Dominio Máximo 2. Rango o Ámbito 3. Intersección en y 4. Intersección en x 5. Intervalos donde la función es positiva 6. Intervalos donde la función es negativa 7. Intervalos donde la función es estrictamen- te creciente 8. Intervalos donde la función es estrictamen- te decreciente 9. Intervalos donde la función es constante 1. Analice la siguiente gráfica Determine 1+ [ f (−4)] 2 2 + f (−2) D f = A f = I x = I y = f (x) > 0 = f (x) < 0 = f (x) = 0 = Decre ¸= Estric ¸= Crec ¸= Estric ¸= Const →= 2. Analice la siguiente gráfica Determine 1+ [ f (3)] −1 + f (−1) 2 D f = A f = I x = I y = f (x) > 0 = f (x) < 0 = f (x) = 0 = Decre ¸= Estric ¸= Crec ¸= Estric ¸= Const →= 140 Funciones 3. Analice la siguiente gráfica D f = A f = I x = I y = f (x) > 0 = f (x) < 0 = f (x) = 0 = Decre ¸= Estric ¸= Crec ¸= Estric ¸= Const →= 4. Analice la siguiente gráfica D f = A f = I x = I y = f (x) > 0 = f (x) < 0 = f (x) = 0 = Decre ¸= Estric ¸= Crec ¸= Estric ¸= Const →= 5. Analice la siguiente gráfica D f = A f = I x = I y = f (x) > 0 = f (x) < 0 = f (x) = 0 = Decre ¸= Estric ¸= Crec ¸= Estric ¸= Const →= 5.17 Análisis de Gráficas 141 6. Analice la siguiente gráfica D f = A f = I x = I y = f (x) > 0 = f (x) < 0 = f (x) = 0 = Decre ¸= Estric ¸= Crec ¸= Estric ¸= Const →= 7. Analice la siguiente gráfica D f = A f = I x = I y = f (x) > 0 = f (x) < 0 = f (x) = 0 = Decre ¸= Estric ¸= Crec ¸= Estric ¸= Const →= 8. Analice la siguiente gráfica D f = A f = I x = I y = f (x) > 0 = f (x) < 0 = f (x) = 0 = Decre ¸= Estric ¸= Crec ¸= Estric ¸= Const →= 142 Funciones 9. Analice la siguiente gráfica D f = A f = I x = I y = f (x) > 0 = f (x) < 0 = f (x) = 0 = Decre ¸= Estric ¸= Crec ¸= Estric ¸= Const →= 10. Analice la siguiente gráfica D f = A f = I x = I y = f (x) > 0 = f (x) < 0 = f (x) = 0 = Decre ¸= Estric ¸= Crec ¸= Estric ¸= Const →= 11. Analice la siguiente gráfica D f = A f = I x = I y = f (x) > 0 = f (x) < 0 = f (x) = 0 = Decre ¸= Estric ¸= Crec ¸= Estric ¸= Const →= 5.18 Dominio Máximo 143 5.18 Dominio Máximo Existen funciones cuyo criterio tiene algunos “inconvenientes” al evaluar números reales, lo que hace al conjunto correspondiente al dominio tener ciertas “restricciones” para que la relación pueda ser bien definida como función, Note los siguientes ejemplos Problema 5.41 Sea f una función tal que f (x) = 1 x , encuentre las imágenes de algunos números que estén en el conjunto [−2, 2], por ejemplo f (−2) = 1 −2 =− 1 2 f (1) = 1 1 = 1 f (0) = 1 0 = Matematicamente Incorrecto f (−1) = 1 −1 =−1 ¿Tiene imagen la preimagen “cero”? ¿La anterior es función teniendo todo el conjunto de los números reales como dominio? ¿Por qué? ¿Una posible solución? Proposición 5.3 Siempre que en el criterio de una función existan expresiones fraccionarias algebraicas, debemos averiguar que número o números evaluados en ese criterio hace cero al denominador y sustraérselos al conjunto de salida propuesto. Nota: Recuerde que cuando no se hace mención del conjunto de salida se entiende R. Cuando hemos averiguado los números que indefinen la función y se los hemos restado al conjunto propuesto de salida decimos que hemos encontrado el dominio máximo de la función. En nuestro ejemplo se como dominio máximo: D max =R−¦0¦ . 5.18.1 Función Racional Al definir una función de la forma f (x) = N(x) D(x) , bien sabemos definir la expresión D(x) ,= 0, es por eso que la simbología que define al dominio máximo se expresa por D max =R−¦ceros de D(x)¦. Así D max =R−¦x/x ∈ R; D(x) = 0¦ Problema 5.42 —Cálculo de dominio máximo de una función. Halle el dominio máximo de la función f definida por f (x) = 1 x −2 La función anterior asigna a cada número x, el valor de 1 x −2 . El dominio máximo está formado por todos los números reales x, para los que su imagen está definida mediante la función f . La expresión 1 x −2 está definida para todos los números reales, salvo para aquellos que hacen cero al denominador, puesto que la expresión 1 0 no es un número real. El denominador x −2 se anula cuando x = 2. Por tanto, el dominio máximo esta definido por D f =R−¦2¦. Su representación mediante intervalos también se puede expresar por D f = ]−∞, 2[ ]2, +∞[ 144 Funciones Problema 5.43 — Cálculo de dominio máximo de una función. Hallar el dominio máxi- mo de la función definida por el criterio h(x) = 1 x 2 −x −6 La expresión 1 x 2 −x −6 , está definida cuando el denominador no se anula. Es decir x 2 −x − 6 = 0, para esto resolvemos x 2 −x −6 = 0 x = −b± √ ∆ 2a , donde ∆ = b 2 −4ac x = 1± √ 25 2 , x 1 = 3 y x 2 =−2 por tanto D h =R−¦−2, 3¦ D h = ]−∞, −2[ ]−2, 3[ ]3, +∞[ Ejercicio 5.14 Encuentre el dominio máximo de las siguientes funciones 1. f (x) = 3x +8 x −2 R/ R−¦2¦ 2. g(x) = 1 x 2 −x −6 R/ R−¦−2, 3¦ 3. m(x) = x 2x +8 R/ R−¦−4¦ 4. h(x) = x −7 15x 2 +23x +4 R/ R− _ − 1 5 , − 4 3 _ 5.18.2 Función Radical Sea f una función tal que f (x) = √ x , encuentre las imágenes de algunos números que estén en el conjunto [−4, 9], por ejemplo f (9) = √ 9 = 3 f (4) = f (−1) = f (1) = f (0) = f (−4) = ¿Tienen imagen los números negativos? ¿La anterior es función teniendo todo el conjunto de los números reales como dominio? ¿Por qué? ¿Una posible solución? Proposición 5.4 Siempre que en el criterio de una función existan expresiones radicales con índice par, debemos averiguar el conjunto de números que evaluados en ese criterio hace del subradical números mayores o iguales a cero y a este conjunto se le denominará el dominio máximo de la función. Nota: Recuerde que cuando no se hace mención del conjunto de salida se entiende R. En nuestro ejemplo f (x) = √ x la condición que se debe cumplir es que x ≥0 o sea el dominio máximo de f se define por D max = [0, +∞[. 5.18 Dominio Máximo 145 Proposición 5.5 Al definir una función de la forma f (x) = k _ P(x) , debemos considerar los dos casos, que implica la expresión k es par D max = P(x) ≥0 k es impar D max =R Problema 5.44 Hallar el dominio máximo de la función g(x) = √ x 2 −9 La expresión √ x 2 −9 está definida cuando el radicando o bien el subradical es mayor o igual que cero, puesto que las raíces cuadradas de los números negativos no tienen sentido en el conjunto de los números reales. Por tanto, se trata de hallar qué valores de x hacen que x 2 −9 ≥0. Es así como procedemos Factorizamos x 2 −9, por fórmula notable x 2 −9 = (x −3)(x +3) Construimos un cuadro de variación con los factores −∞ −3 3 +∞ x −3 – – + x −3 – + + x 2 −9 + – + Determinamos los intervalos donde x 2 −9 ≥0, es decir donde es positivo o igual a cero Escribimos el dominio máximo D g = ]−∞, −3] [3, +∞[ Problema 5.45 Dada la función f , definida por el criterio f (x) = 1 √ x 2 +2 , hallar la imagen de los números −3, 0, 3 y 5. ¿Cuál es su dominio máximo de definición? ¿Hay algún número que se transforme en el 0? Recordemos que basta con sustituir los números dados en el criterio de la función así: f (−3) = 1 _ (−3) 2 +2 = 1 √ 9+2 = 1 √ 11 f (3) = 1 _ (3) 2 +2 = 1 √ 9+2 = 1 √ 11 f (0) = 1 _ (0) 2 +2 = 1 √ 0+2 = 1 √ 2 f (5) = 1 _ (5) 2 +2 = 1 √ 25+2 = 1 √ 27 ¿Que pasa con su dominio máximo? El denominador nunca se hace cero, ya que x 2 +2 > 0 para cualquier x. Si x 2 +2 < 0 , √ x 2 +2 no definiría un número real y por lo tanto la función no estaría definida en esos puntos. Por lo tanto, el dominio máximo de esta función es toda la recta real R, así podemos expresar max =R Para responder a la pregunta siguiente, hay que estudiar si existe algún número x, tal que f (x) = 0. Si 1 √ x 2 +2 = 0, tendríamos la situación 1 = 0. Absurdo. Así pues el 0 no es imagen de ningún número. 146 Funciones Problema 5.46 Determine el dominio máximo de la función definida por el criterio f (x) = √ x +2 x −1 1. Debe cumplirse en el denominador x +2 ≥0 =⇒x ≥−2 =⇒x ∈ [−2, +∞[ 2. Consideraremos la restricción x −1 ,= 0 =⇒x ,= 1 Por tanto, D max = [−2, +∞[ −¦1¦ 5.18.3 Combinación de Casos Caso I: Expresión Racional con Radical en el denominador 1. Si la expresión es de la forma f (x) = Q(x) k _ P(x) , con k par, su dominio máximo se determina por D max = P(x) > 0 Debido a que k _ P(x) ,= 0 y P(x) ≥0 =⇒P(x) > 0, cumpliendo así las dos condiciones. 2. Si la expresión es de la forma f (x) = Q(x) k _ P(x) , con k impar, su dominio máximo se determina por D max =R−¦ceros de P(x)¦ Debido a que k _ P(x) ,= 0, cumpliendo así la condición. Caso II: Expresión Racional con Radical en el numerador 1. Si la expresión es de la forma f (x) = k _ Q(x) P(x) , con k par, su dominio máximo se determina por D max = Q(x) ≥0−¦ceros de P(x)¦ Debido a que P(x) = 0 indefiniría el denominador, siempre y cuando pertenezcan al intervalo cumpliendo así las dos condiciones. 2. Si la expresión es de la forma f (x) = k _ Q(x) P(x) , con k impar, su dominio máximo se determina por D max =R−¦ceros de P(x)¦ Caso III: Expresión Radical con Subradical Racional 1. Si la expresión es de la forma f (x) = √ k Q(x) P(x) , con k impar, su dominio máximo se determina por D max =R−¦ceros de P(x)¦ 5.18 Dominio Máximo 147 2. Si la expresión es de la forma f (x) = k ¸ Q(x) P(x) , con k par, su dominio máximo se determina por D max = Q(x) P(x) ≥0−¦ceros de P(x)¦ Nota: Recordemos que para el trabajo de inecuaciones con expresiones de la forma P(x) y Q(x) P(x) de grado mayor que uno, se pueden resolver con un cuadro de variación Problema 5.47 Determine el dominio máximo de la función f (x) = _ x −1 (x +1)(x −2) Como sabemos debe cumplirse la condición x −1 (x +1)(x +2) ≥0, así como (x+1)(x−2) ,= 0, Construimos un cuadro de variación con los factores −∞ −1 1 2 +∞ x −1 – – + + x +1 – + + + x −2 – – – + x −1 (x +1)(x +2) – + – + Determinamos los intervalos donde x −1 (x +1)(x −2) ≥ 0, es decir donde es positivo o igual a cero Escribimos el dominio máximo D f = ]−1, 1] ]2, +∞[ Ejercicio 5.15 Encuentre el dominio máximo de las siguientes funciones 1. f (x) = √ 2x −6 R/ [3, +∞[ 2. f (x) = √ 5x −5− 4 √ 6x −3 R/ [1, +∞[ 3. f (x) = 6 √ 6−2x − 4 √ x −5 R/ φ 4. f (x) = 3x +1 √ 2x +4 − 2 3x +3 R/ ]−2, +∞[ −¦−1¦ 5. g(x) = _ x +2 1−x R/ [−2, 1[ 6. h(x) = _ 3 x −1 R/ ]1, +∞[ 7. f (x) = 8 √ 8−2x + 4x x +5 R/ ]−∞, 4] −¦−5¦ 8. h(x) = 2x +5 √ 3x +9 − 5 √ 2x −4 R/ ]2, +∞[ 9. p(x) = 2x +5 6 √ 1+2x + √ 3x +9 R/ _ − 1 2 , +∞ _ 10. f (x) = √ 4−2x − 6 √ 5−x R/ ]−∞, 2[ 148 Funciones Ejercicio 5.16 Determine el dominio máximo de los siguientes criterios para que definan una función real. 1. p(x) = _ 5−x x −2 R/ ]2, 5] 2. f (x) = 2+3x 4−x R/ R−¦4¦ 3. h(x) = _ x −2 x +3 R/ ]−∞, −3[ [2, +∞[ 4. h(x) = 3x +8 R/ R 5. f (x) = 16+3x −x 2 R/ R 6. h(x) = x 2 +5x −2 R/ R 7. h(x) = √ 2+x R/ [−2, +∞[ 8. f (x) = √ 25−x 2 R/ [−5, 5] 9. h(x) = √ −3x −4+x 2 R/ ]−∞, −1] [4, +∞[ 10. f (x) = √ 4−x 2 R/ [−2, 2] 11. h(x) = 15 x −3 R/ R−¦3¦ 12. g(x) = 9−2x +x 2 −8−2x +x 2 R/ R−¦−2, 4¦ Ejercicio 5.17 — Para la casa. Determine el dominio máximo de los siguientes criterios para que definan una función real. 1. f (x) = 2x −1 x +3 R/ R−¦−3¦ 2. f (x) = x x 2 +3 R/ R 3. p(x) = 4x −1 x 2 −1 R/ R−¦−1, 1¦ 4. h(x) = 3 _ 2 −x +1 R/ R−¦1¦ 5. f (x) = _ (x +1)(x −3) R/ ]−∞, −1] [3, +∞[ 6. h(x) = √ x −x 2 R/ [0, 1] 7. h(x) = _ −x +2 x R/ [0, 2] 8. f (x) = _ x 2 +2x x 2 −1 R/ ]−∞, −2] ]−1, 0] ]1, +∞[ 5.19 Algunas Funciones últiles 149 9. h(x) = √ x +3+ 1 x −5 R/ [−3, +∞[ −¦5¦ 10. f (x) = _ 3 x +6 −1 R/ ]−6, −3] 11. h(x) = √ x 3 −25x R/ [−5, 0] [5, +∞[ 12. g(x) = 5x −1 √ x 2 +5x +4 R/ ]−∞, −4[ ]−1, +∞[ 13. f (x) = √ x +3 3 √ 4x −8 R/ [−3, +∞[ −¦2¦ 14. h(x) = x −1 +x −2 R/ R−¦0¦ 15. g(x) = _ 2x 2 +x −3+ 2x √ 9x −x 3 R/ _ −∞, − 3 2 _ _ [1, +∞[ −¦−3, 3¦ 5.19 Algunas Funciones últiles 5.19.1 Función Constante Se define por el f : R →R, tal que f (x) = c; donde c ∈ R ∀x ∈ D max de f . Observación: Las gráficas de una función constante son rectas paralelas al eje de las x o abscisas, por lo tanto solo se necesita un punto para visualizarlo. 5.19.2 Función identidad Se define por el f : R→R, tal que f (x) =x donde x ∈ R ∀x ∈ D max de f . Cada número del dominio se relaciona con el mismo en el codo- minio. Nota: La gráfica de una función identidad es la bisectriz del primer y tercer cuadrante 150 Funciones 5.19.3 Función valor absoluto Se define por el f : R →R, tal que f (x) =[x[; donde x ∈ R ∀x ∈ D max de f , la cual podemos definir de la siguiente manera: f (x) =[x[ = _ x, si x ≥0 −x, si x < 0 Nota: La gráfica en valor absoluto estándar no puede ir por debajo del eje de las x o abscisas. La gráfica de la función valor absoluto se obtiene a partir de la función identidad subiendo la parte que se encuentra por debajo del eje de las x haciéndolo simétrico a la parte que se encuentra por encima del eje x. 5.19.4 Funciones definidas por partes Las funciones cuyas definiciones implican mas de una fórmula se llaman funciones definidas en partes o bien por partes. Las mismas ocurren de manera natural en muchas aplicaciones. Problema 5.48 — Cargos por alquiler.. Una agencia de alquiler de autos cobra $ 0.25 por milla si el total de millas recorridas no excede de 100. Si el total de millas recorridas excede a 100, la agencia carga $ 0.25 por milla para las primeras 100 millas más $ 0.15 por cada milla adicional recorrida. Si x representa el numero de millas recorrido por un vehiculo rentado, exprese el cargo por millas recorridas C(x) como una función de x. Encuentre C(50) y C (150) , grafique a C. Analizamos los datos del problema, deduciendo los criterios de la función Si 0 ≤x ≤100, entonces: C(x) = 0,25x Si x > 100, entonces: C(x) = 0,25(100) +0,15(x −100) = 25+0,15x −15 = 10+0,15x Así podemos visualizar el comportamiento de los cargos por alquiler, C(x) = _ 0,25x, si 0 ≤x ≤100 10+0,15x, si x > 100 Las funciones definidas en partes se evalúan determinando primero cual regla se va a aplicar y después usando la regla apropiada para encontrar el valor de la función. 5.20 Funciones Polinomiales 151 Su gráfica corresponde a Por ejemplo, para evaluar C(50), se usa la primera regla y se obtiene C(50) = 0,25 50 = $12,50, pues x = 50, satisface 0 ≤x ≤100 Para evaluar C(150), se usa la segunda regla y se obtiene C(150) = 10+0,15 (150) = $32,50 pues x = 150, satisface x > 100 5.19.5 Función Parte Entera La parte de entera de un numero real x se define por ¸x|, es el entero n tal que n ≤x < n+1; es decir, ¸x| es el entero más grande menor o igual que x. Ejemplo 5.1 — La función parte entera f se define por el criterio, f (x) =¸x|. ¸3,45| = 3 ¸−2,13| =−3 ¸7| = 7 ¸−8| =−8 ¸0| = 0 5.20 Funciones Polinomiales La función P(x) = a n x n +a n−1 x n−1 + +a 1 x 1 +a 0 ; a ,= 0, se conoce como función poli- nomial de n-esimo grado. Los números a n , a n−1 , , a 1 , a 0 ; a n ,= 0 se llaman coeficientes de la función. Se dice que el número r que es una raíz de la función P, o una raíz del polinomio P(x), o una solución o raíz de la ecuación P(x) = 0, si P(r) = 0 Proposición 5.6 Una función polinomial de grado n tiene a lo sumo n ceros reales. Ejercicio 5.18 Encuentre los valores de la función que se solicitan en cada caso. 1. Refiriéndose al ejercicio anterior, determine C(x) si la agencia carga $0.30 por milla cuando el total de millas recorridas no excede a 75, y $0.30 por milla para las primeras 75 millas, más $0.20 por cada milla adicional recorrida cuando el total de millas recorridas excede a 75. Encuentre C(50) y C(100), grafique C. 152 Funciones 2. Grafique, determine el dominio y rango de la siguiente función por partes definidas por a) f (x) = _ 2−x, si −1 ≤x < 0 x 2 , si 0 ≤x ≤1 b) f (x) = _ ¸ ¸ ¸ ¸ _ ¸ ¸ ¸ ¸ _ x, si x < 1 1, si 1 ≤x ≤2 2x −3, si 2 < x < 3 3, si x ≥3 c) g(x) = _ ¸ _ ¸ _ [x[, si x <−1 x 2 , si −1 ≤x ≤1 [x[, si x > 1 3. Para la función definida por f (x) = ¸10x +0,5| 10 , determine a. f (6) b. f (1,8) c. f (3,29) d. f (4,582) e. f (−2,68) Respuestas 1. f (x) = _ 0,3x, si 0 ≤x < 75 7,5+0,2x, si x > 75 C(50) = $15;C(100) = $27,50 2.a Dominio = [−1, 1] Rango = [0, 1] ]2, 3] 3.a)6 b)1,8 c)3,3 d)4,6 e) −2,7 6 — Función Lineal 6.1 La ecuación cartesiana de una recta Si A, B y C son constantes, con A ,= 0 y B ,= 0; x y yson variables, entonces la gráfica de la ecuación Ax +By +C = 0, es la forma estándar para una linea recta. También, la gráfica de cualquier ecuación de la forma y =mx+b, donde m y b son constantes, es una línea recta. La relación entre la forma estándar y la ecuación de la recta es la siguiente Ax +By +C = 0 =⇒m = −A B y b = −C B Para granearlas, se representan dos puntos cualesquiera de su conjunto solución y se usa un segmento de recta para dibujar una línea recta que pase por estos puntos. Intersección con el eje y Es la ordenada del punto donde la gráfica cruza al eje y, hace que x = 0 y se despeja y. Intersección con el ejex Es la abscisa del punto donde la gráfica cruza al eje x, hace que y = 0 y se despeja x. 6.1.1 Pendiente de una recta Si se consideran dos puntos P 1 (x 1 , y 1 ) y P 2 (x 2 , y 2 ), sobre una recta, entonces la razón de cambio en y con respecto al cambio en x, como cuando se hace un movimiento del punto P 1 al punto P 2 se llama pendiente de la recta. En un lenguaje simple, la pendiente es una medida de la elevación de una recta. 154 Función Lineal Definición 6.1 Si una recta pasa por dos puntos distintos P 1 (x 1 , y 1 ) y P 2 (x 2 , y 2 ), entonces su pendiente m esta dada por la fórmula m = y 2 −y 1 x 2 −x 1 , x 2 ,= x 1 Para una recta horizontal, y no cambia conforme cambia x por lo tanto, su pendiente es 0. Por otra parte, para recta vertical, x no cambia cuando cambia y; por lo tanto, x 2 = x 1 y su pendiente no esta definida: m = y 2 −y 1 x 2 −x 1 = y 2 −y 1 0 , x 2 = x 1 Para una recta vertical, la pendiente no esta definida ¿Qué relación encuentra entre el valor de m y la inclinación de la recta con respecto al eje x?. Comportamiento de la pendiente Se eleva conforme x se mueve de izquierda a derecha Positiva m > 0 Disminuye conforme x se mueve de izquierda a derecha Negativa m < 0 6.2 Theorems 155 Horizontal Cero m = 0 Vertical No esta definida 6.2 Theorems 6.3 Rectas horizontales y verticales Para la ecuación x =a (versión simple de la expresión x +0y −a = 0), es una recta vertical que pasa por (a, 0) cuya pendiente esta indefinida. Para la ecuación y =b (versión simple de la expresión 0x +y −b = 0), es una recta horizontal que pasa por (0, b) cuya pendiente es 0. Definición 6.2 Una función f es una función lineal si f (x) = mx +b, con m y b ∈ R ¿Qué sucede si m = 0? 156 Función Lineal Para el caso f (x) = b, m = 0 con b ∈ R, se define como función constante. Es decir todos los elementos del dominio se relacionan con el mismo numero. 6.3.1 Forma Punto – Pendiente Una ecuación de una recta que pasa por un punto P 1 (x 1 , y 1 ) con pendiente m es (x −x 1 )m = y −y 1 Uso de la forma punto - pendiente Problema 6.1 Encuentre una ecuación para la recta que tenga pendiente 2 3 y pase por el punto (−2, 1). Escriba la respuesta final en la forma estándar Ax +By +C = 0 Identificamos los datos que se nos presentan m = 2 3 y (x 1 , y 1 ) = (−2, 1) Sustituimos los valores en la respectiva ecuación (x −x 1 )m = y −y 1 m(x −x 1 ) = y −y 1 2 3 [x −(−2)] = y −1 2 3 [x +2] = y −1 2 3 x + 4 3 = y −1 2 3 x + 4 3 +1 = y 2 3 x + 7 3 = y 2x +7 3 = y 2x +7 = 3y 2x −3y +7 = 0 Problema 6.2 Encuentre la ecuación de la recta que pasa por los puntos (4, −1) y (−8, 5). Escriba la respuesta final en la forma y = mx +b Encontraremos primero la pendiente de la recta usando la formula de la pendiente m = y 2 −y 1 x 2 −x 1 = 5−(−1) −8−4 = 6 −12 =− 1 2 Ahora tomemos arbitrariamente (x 1 , y 1 ) = (4, −1) (x −x 1 )m = y −y 1 m(x −x 1 ) = y −y 1 − 1 2 (x −4) = y −(−1) − 1 2 x +2 = y +1 − 1 2 x +2−1 = y − 1 2 x +1 = y 6.4 Estudio de la función lineal 157 Se puede verificar que tomando el punto (−8, 5) , el otro punto dado, se produce la misma ecuación. 6.4 Estudio de la función lineal Intersección con el eje y I y ¿Qué relación encuentra entre el valor de b y la intersección de la gráfica con el eje y? En la función f (x) = mx+b, el valor de la b representa la intersección que tiene la gráfica de la función con el eje y. Es decir el punto de intersección de la gráfica con el eje de las ordenadas es (0, b), y corresponde a evaluar la función en x = 0, así f (0) = m 0+b = 0+b = b =⇒(0, b) b = y 0 −m x 0 con (x 0 , y 0 ) ∈ G f Intersección con el x I x En la función f (x) = mx +b, la intersección que tiene la gráfica de la función con el eje x y esta dada por x = −b m . Es decir el punto de intersección de la gráfica con el eje de las abscisas es _ −b m , 0 _ y corresponde al igualar f (x) = 0, así 0 = mx +b −b = mx −b m = x _ −b m , 0 _ 158 Función Lineal This is an example of theorems. 6.4.1 Several equations Teorema 6.1 In E =R n all norms are equivalent. It has the properties: ¸ ¸ [[x[[ −[[y[[ ¸ ¸ ≤[[x−y[[ (6.1) [[ n ∑ i=1 x i [[ ≤ n ∑ i=1 [[x i [[ where n is a finite integer (6.2) 6.4.2 Single Line Teorema 6.2 A set D(G) in dense in L 2 (G), [ [ 0 . 6.5 Definitions This is an example of a definition. A definition could be mathematical or it could define a concept. Definición 6.3 — Definition name. Given a vector space E, a norm on E is an application, denoted [[ [[, E in R + = [0, +∞[ such that: [[x[[ = 0 ⇒ x = 0 (6.3) [[λx[[ =[λ[ [[x[[ (6.4) [[x+y[[ ≤[[x[[ +[[y[[ (6.5) 6.6 Notations Notation 6.1. Given an open subset G of R n , the set of functions ϕ are: 1. Bounded support G; 2. Infinitely differentiable; a vector space is denoted by D(G). 6.7 Remarks This is an example of a remark. R The concepts presented here are now in conventional employment in mathematics. Vector spaces are taken over the field K=R, however, established properties are easily extended to K=C. 6.8 Corollaries This is an example of a corollary. Corolario 6.1 — Corollary name. The concepts presented here are now in conventio- nal employment in mathematics. Vector spaces are taken over the field K = R, however, established properties are easily extended to K=C. 6.9 Propositions 159 6.9 Propositions This is an example of propositions. 6.9.1 Several equations Proposición 6.1 — Proposition name. It has the properties: ¸ ¸ [[x[[ −[[y[[ ¸ ¸ ≤[[x−y[[ (6.6) [[ n ∑ i=1 x i [[ ≤ n ∑ i=1 [[x i [[ where n is a finite integer (6.7) 6.9.2 Single Line Proposición 6.2 Let f , g ∈ L 2 (G); if ∀ϕ ∈ D(G), ( f , ϕ) 0 = (g, ϕ) 0 then f = g. 6.10 Examples This is an example of examples. 6.10.1 Equation and Text Ejemplo 6.1 Let G =¦x ∈ R 2 : [x[ < 3¦ and denoted by: x 0 = (1, 1); consider the function: f (x) = _ e [x[ si [x −x 0 [ ≤1/2 0 si [x −x 0 [ > 1/2 (6.8) The function f has bounded support, we can take A = ¦x ∈ R 2 : [x −x 0 [ ≤ 1/2 +ε¦ for all ε ∈ ]0; 5/2− √ 2[. 6.10.2 Paragraph of Text Ejemplo 6.2 — Example name. hola 6.11 Exercises This is an example of an exercise. Ejercicio 6.1 This is a good place to ask a question to test learning progress or further cement ideas into students’ minds. 6.12 Problems Problema 6.3 What is the average airspeed velocity of an unladen swallow? 6.13 Vocabulary Define a word to improve a students’ vocabulary. Vocabulario 6.1 — Word. Definition of word. 7 — Presenting Information 7.1 Table Treatments Response 1 Response 2 Treatment 1 0.0003262 0.562 Treatment 2 0.0015681 0.910 Treatment 3 0.0009271 0.296 Cuadro 7.1: Table caption 7.2 Figure Figura 7.1: Figure caption Bibliografía Libros Articulos Índice alfabético Conocimientos Previos, 7 Lenguaje Matemático, 30 Corollaries, 158 Definitions, 158 Ecuaciones Lineales Problemas, 30 Examples, 159 Equation and Text, 159 Paragraph of Text, 159 Exercises, 159 Expresiones Algebraicas, 7 Binomios, 7 Monomios, 7 Polinomios, 8 Suma y Resta algebraica, 9 Términos Semejantes, 8 Trinomios, 8 Factorización, 19 Figure, 161 Notations, 158 Problems, 159 Productos Notables, 14 Primer Producto Notable, 14 Segundo Producto Notable, 15 Tercer Producto Notable, 17 Propositions, 159 Several Equations, 159 Single Line, 159 Remarks, 158 Table, 161 Theorems, 155 Several Equations, 158 Single Line, 158 Vocabulary, 159