Factor de Empaquetamiento

Factor de empaquetamiento atómicoEn cristalografía, el factor de empaquetamiento atómico (FEA), en inglés: Atomic packing factor, APF, es la fracción de volumen en una celda unidad que esta ocupada por átomos. Este factor es adimensional y siempre menor que la unidad. Para propósitos prácticos, el FEA de una celda unidad es determinado asumiendo que los átomos son esferas rígidas. Para cristales de un componente (aquellos que contienen un único tipo de átomo), el FEA se representa matemáticamente por donde Nátomos es el numero de átomos en la celda unidad, Vátomo es el volumen de un átomo, y Vcelda unidad es el volumen ocupado por la celda unidad. Matemáticamente puede ser probado que para estructuras de un componente, el arreglo más denso de átomos tiene un FEA alrededor de 0.74. En realidad, este número puede ser mayor debido a factores intermoleculares específicos. Para estructuras de múltiples componentes, el FEA puede exceder el 0.74. Ejemplo Estructura BCC La celda unidad para la estructura cúbica centrada en el cuerpo, en inglés: Body-centered cubic, BCC, contiene dos átomos: un octavo (1/8) de atomo en cada esquina del cubo y un átomo en el centro. Dado que el volumen de cada átomo ubicado en las esquinas es compartido con las celdas adyacentes, cada celda BCC contiene dos átomos. Cada átomo en las esquinas toca el átomo central. Una linea que sea dibujada desde una esquina del cubo a través del centro hacia la otra esquina pasa a lo largo de 4r, donde r es el radio de un átomo. Por geometría, la longitud de la diagonal es a√3. Por lo tanto, la longitud de cada lado de la estructura BCC puede ser relacionada al radio de cada átomo mediante Conociendo esto y la formula para el volumen de una esfera((4 / 3)pi r3), es posible calcular el FEA de la siguiente manera: Para la estructura hexagonal la derivación es similar. La longitud de un lado del hexágono sera denotada por a mientras que la altura del hexágono se denotara como c. Entonces: Arreglo hexagonal tridimensional. a = 2r Entonces es posible calcular el FEA como sigue: FEA de estructuras comunes Mediante procedimientos similares, los factores de empaquetamiento atómico ideales de todas las estructuras cristalinas pueden ser encontrados. Algunos factores comunes se presentan a continuación, redondeados a la centésima mas próxima.    Cúbica simple (CS): 0.52 Cúbica centrada en el cuerpo (BCC): 0.68 Hexagonal compacta (HCP): 0.74   Cúbica centrada en las caras (FCC): 0.34 .74 Cúbica diamante: 0. . . . . si a temperatura ambiente la arista es igual a 0.287 X 10-9 nm ? . Por lo tanto dichas estructuras densamente empaquetadas se encuentran en disposiciones u ordenamientos de energía cada vez más baja y estable.PRINCIPALES ESTRUCTURAS CRISTALINAS METÁLICAS La mayoría de los metales elementales (90%) cristalizan en tres estructuras cristalinas densamente empaquetadas: cúbica centrada en las caras FCC. Ejemplo ¿ Cuántas celdas unidad hay aproximadamente en el Fe puro BCC si las aristas de la celda estuvieran alineadas arista con arista en 1 mm. hexagonal compacta HCP y cúbica centrada en el cuerpo BCC debido a que se libera energía a medida que los átomos se aproximan y se enlazan cada vez más estrechamente entre sí. es decir. En esta celda unidad el átomo central esta rodeado de 8 vecinos más cercanos y se dice que tiene por lo tanto un número de coordinación de 8.74. Los átomos en este tipo de celdas contactan entre sí a través de la diagonal del cubo. y la relación entre la longitud de la cara del cubo a y el radio atómico R es: Si los átomos en la celda BCC se consideran esféricos. Estructura Cristalina Cúbica Centrada en las Caras FCC. el 68% del volumen de la celda esta ocupado por átomos y el 32% restante en espacio vacío. hay un total de 1 (en el centro) + 8 x 1/8 (en los vértices) = 2 átomos por celda unidad. Un octavo de átomo en cada vértice (8 x 1/8=1) y seis medios átomos en el medio (1/2 x 6= 3). Un átomo completo esta localizado en el centro de la celda unidad. el factor de empaquetamiento atómico (APF) puede hallarse empleando la siguiente expresión: El APF de esta celda es 0.68.Estructura Cristalina Cúbica Centrada en el Cuerpo BCC En esta celda unidad las esferas sólidas representan los centros donde los átomos están localizados e indican sus posiciones relativas. El modelo de esferas sólidas indica que los átomos de esta estructura están unidos del modo más compacto posible. En esta celda hay un punto reticular en cada vértice del cubo y otro en el centro de cada cara del cubo. haciendo el equivalente de otro átomo. Molibdeno y Vanadio tienen estructura cristalina BCC. Wolframio. y un octavo de esfera esta localizado en cada vértice de la celda unidad. Hierro. . De este modo. Muchos metales como el Cromo. El APF de esta estructura de empaquetamiento compacto es 0. El cristal BCC no es una estructura totalmente compacta. Cada una de estas celdas unidad tiene el equivalente de 2 átomos por celda unidad. ya que los átomos aún podrían situarse más juntos. Esta celda tiene el equivalente a cuatro átomos por celda unidad. 7 x 10-29 m3 Masa de los átomos de Cu en la celda: .361nm)3 =0.047nm3x(1X10-9m)3 = 4. el Níquel y el Hierro a temperaturas elevadas (912 a 1394°C) cristalizan según la estructura FCC.Los átomos en la celda FCC contactan entre sí a lo largo de la diagonal de la cara del cubo. el Cobre.54 g/mol 1/8 * 8= 1 átomo ½ * 6= 3 átomo a 4 átomos en la celda FCC figura 5 Parámetro de Red: Volumen de la celda: V=a3 = (0. el Plomo. de tal forma que la relación entre la longitud de la cara del cubo y el radio atómico es: Metales como el Aluminio.1278 nm y considerando que los átomos son esferas sólidas que contactan a lo largo de las diagonales de la celdilla unidad FCC. Ejemplo El Cu posee una estructura FCC y un radio atómico de 0. ¿ Cuál es el valor teórico de la densidad del Cu ? Masa atómica del Cu=63. a defectos en la red. haciendo un equivalente a 2 átomos más. Estructura Cristalina Hexagonal Compacta HCP Los metales no cristalizan en la estructura hexagonal sencilla porque el APF es demasiado bajo. . ÍNDICES DE MILLER Celdas Cúbicas.74 ya que los átomos están empaquetados de un modo lo más cercano posible. existen 6*1/6 secciones de átomos localizados en las capas de arriba y de abajo. La celda HCP posee 6 átomos. la diferencia se debe a que los átomos no son esferas perfectas. Magnesio Y Circonio entre otros tienen relaciones c/a menores que la ideal. Berilio. Cada átomo esta rodeado de otros 12 átomos y por tanto su número de coordinación es 12. Los metales Cinc. finalmente existen 2 mitades de átomo en el centro de ambas capas superior e inferior. La relación c/a de una estructura cristalina HCP ideal es de 1. haciendo el equivalente de un átomo más.633 que indica esferas uniformes tan próximas como sea posible. El APF es 0. Por tanto en estos metales los átomos están comprimidos a lo largo de la dirección del eje c.Densidad Volumétrica: El valor tabulado experimentalmente es de 8. lo que indica que los átomos en estas estructuras están ligeramente elongados a lo largo del eje c en la celda unidad HCP. a la ausencia de átomos en las posiciones atómicas. Cadmio poseen una relación c/a más alta que la ideal. tres forman un triángulo en la capa intermedia. etc. Los índices de Miller de un plano cristalino están definidos como los recíprocos de las intersecciones que el plano determina con los ejes x.96 . Los metales como el Titanio. Las aristas de una celda cúbica unitaria representan longitudes unitarias y las intersecciones de los planos de una red se miden en base a estas longitudes unitarias. Estas intersecciones pueden ser fraccionarias. k.0.0) Determinar las intersecciones del plano en base a los ejes x. z cristalográficos para un cubo unitario.y. Estos números enteros son los índices de Miller de un plano cristalográfico y se encierran entre paréntesis sin usar comas. y. El procedimiento para determinar los índices de Miller para un plano de un cristal cúbico es el siguiente: Escoger un plano que no pase por el origen en (0. Construir los recíprocos de las intersecciones. donde h. Despejar fracciones y determinar el conjunto más pequeño de números enteros que estén en la misma razón de las intersecciones. y. y z respectivamente. La notación (hkl) se emplea para indicar los índices de Miller en sentido general. y l son los índices de Miller para un plano de un cristal cúbico de ejes x. Ejemplos . z de los tres lados no paralelos del cubo unitario. 1. z respectivamente. y los recíprocos de estos números son 1. 0. 1. tiene las intersecciones 1. .figura 6 Las intersecciones del primer plano son 1. siendo los índices de Miller (1 1 0). el plano ha de ser desplazado a una posición equivalente en la misma celda unitaria de modo que el plano permanezca paralelo al original. las intersecciones son: 1. Por ejemplo. se llaman familia de planos. Los índices de Miller para este plano son: (1 0 0 ). Si se considera que el plano cristalino pasa por el origen de manera que uno ó más cortes se hacen cero. 0 no involucran fracciones. 1 que nos dan un índice de Miller (1 1 1). 1. Finalmente. a los ejes x. por lo tanto los recíprocos son: 1. Si grupos de planos de redes equivalentes están relacionados por la simetría del sistema cristalino. y. Para la segunda figura. los índices de Miller de los . 0. y los índices de una familia de planos son encerrados entre llaves. Esto es posible porque todos los planos paralelos equidistantes son indicados con los mismos índices de Miller. el tercer plano. Celda HCP. Los recíprocos de las intersecciones que un plano determina con los ejes a1. i. Se identifican empleando cuatro índices en vez de tres. se denominan índices Miller-Bravais.a3 es la distancia entre los átomos. k. i. tres ejes básicos a1. Por ejemplo.a2. La unidad de medida a lo largo del eje c es la altura de la celdilla unidad.planos de la superficie del cubo (100) (010) y (001) se designan colectivamente como una familia con la notación {100}.a3 proporcionan los índices h. la dirección [100] es perpendicular al plano cristalino (100). k. l).a2. el cuarto eje o eje c es el eje vertical y está localizado en el centro de la celdilla unidad (Ver figura). Estos índices hexagonales están basados en un sistema coordenado de cuatro ejes.a3 que forman 120° entre sí.a2. La unidad a de medida a lo largo de los ejes a1. k e i mientras que el reciproco de la intersección con el eje c da el índice l. son representados por las letras h. Una importante relación sólo para el sistema cúbico es que los índices de una dirección perpendicular a un plano de un cristal son los mismos que los índices de Miller para ese plano. l y encerrados entre paréntesis (h. figura 7 . El deslizamiento no se produce sobre un plano solamente.v.a2. a través de algún plano (o planos).t. El Mecanismo de deslizamiento puede definirse como el movimiento paralelo de dos regiones cristalinas adyacentes. por tanto. . h=0. Así. las intersecciones de este plano con estos ejes serán todas de valor infinito. A partir de mediciones sobre especímenes de monocristales de orientaciones conocidas se puede determinar 1) los planos sobre los cuales se produce el deslizamiento y 2) la dirección de deslizamiento dentro de estos planos. Así. ±[110]. una respecto a la otra.a3 . Tales experimentos han revelado que en las estructuras FCC el deslizamiento siempre se produce sobre los planos {111} pero solamente en las direcciones <110>. K=0. es único puesto que el plano basal superior intersecciona con el eje c a una distancia unidad. Son vectores reticulares en las direcciones a1. El plano basal es. Las direcciones en las celdas unitarias HCP se indican por cuatro índices [u. l=1. deben corresponder a una misma familia de planos (hkl) ocupados del grano particular. Los cristales FCC poseen 12 sistemas de deslizamiento debido a que tienen cuatro grupos {111} y con tres direcciones <110> en cada una. SISTEMAS DE DESLIZAMIENTO Un sistema de deslizamiento es la combinación de un plano y una dirección que se halla sobre el plano a lo largo del cual se produce el deslizamiento. sino sobre pequeñas regiones de planos paralelos llamados bandas de deslizamiento o líneas de deslizamiento. sin embargo. a1 = a2= a3 = . un plano (0001).a2. El eje c. Puesto que todas las líneas de deslizamiento está en grupos paralelos dentro de cada monocristal (cada grano). Tomando los recíprocos de estas intersecciones tenemos los índices de Miller-Bravais para el plano basal HCP. dependiendo de sus espesores. Esto significa que si se produce el deslizamiento sobre el plano (111) será en alguna de las tres direcciones ± [101].w].Los planos basales de la celdilla unidad HCP son muy importantes para esta celdilla.a3 respectivamente y el índice w es un vector reticular en la dirección c. ±[011]. i=0. el plano basal de la parte superior es paralelo a los ejes a1. Na Fe. Pb. Ta Fe. . Para los metales c/a > 1. mientras que para aquellos metales con c/a < 1. mercurio sólido. El deslizamiento ocurre usualmente sobre la mayoría de los planos compactos. W. Ag. Al. Co Ti. W. 2. Las direcciones de deslizamiento siempre son en la dirección de empaquetamiento compacto. En estos cristales el deslizamiento se produce predominantemente en los sistemas {110} <111> y la apariencia ondulada se debe aparentemente a deslizamiento simultáneo sobre los otros dos sistemas de planos {211} y {321} . En los metales BCC las líneas de deslizamiento tienen una apariencia ondulada. Zr. Be Ti.633 hay alguna preferencia para el deslizamiento sobre el plano basal. Estructura FCC BCC BCC BCC HCP HCP HCP Dirección de Deslizamiento <110> <111> <111> <111> <1120> <1120> <1120> Planos de Deslizamiento {111} {110} {210} {321} Ejemplos Cu. Mg (0001) {1010} {1011} Tres observaciones generales son de gran importancia: 1. los sistemas de deslizamiento tienen más variabilidad. 3. Au. El deslizamiento se produce primero sobre el sistema de deslizamiento que tiene el mayor esfuerzo de corte a lo largo de su dirección de deslizamiento. Existen excepciones. K Cd.633 los sistemas de deslizamiento preferidos son los otros dos. Ti. Be. <1120>(0001). Ni. Mo. Fe Fe. En cristales HCP reales. Zn.633 del modelo de esfera dura. Esta observación esta relacionada con el hecho de que los planos empaquetados más densamente también son el grupo de planos (hkl) ocupados que tienen el espaciamiento más amplio. por ejemplo. la relación c/a no es igual al valor ideal de 1.En otras estructuras de cristales metálicos. Nb. Mg. Mg. Latón. Mo. Los radios atómicos del cloro y el sodio son respectivamente 0.99 gramos. Nota: los átomos resultan tangentes en la direcciones tangentes de la diagonal.a) a) Los dos cristalizan en un sistema cúbico centrado en las caras.181 nm + 2 * 0.56 uma / 0.99 uma = 233.321nm)3 = 0. su número de coordinación es 12.097 nm) / sqr3 = 0.321 nm Volumen celdilla = lado3 = (0.PROBLEMAS Junio 97.097 nanómetros y sus masas atómicas 35.033 nm3 En cada celdilla hay: átomos de Cl: 6 * (1/2) + 8 * (1/8) = 4 átomos de Na: 1 + 12 * (1/4) = 4 Masa celdilla = 4 *masa Na + 4 *masa Cl = 4* 35.0973 nm3) / 0. .La red cristalina del cloruro sódico responde a una estructura como la de la figura. Solución Junio 97.56 uma Densidad = 233. Se desea conocer: a) a) El índice de coordinación de los iones cloro y sodio.033 nm3 c) c) factor empaquetamiento = volumen átomos / volumen celdilla factor emp = (4*(4/3*pi)*0.033 nm3 Junio 99. b) b) Por ser tangentes los átomos según la diagonal del cubo se cumple que: Diagonal = sqr3 * lado celdilla Diagonal = 2* radio Cl + 2 * radio Na De las dos igualdades anteriores obtenemos: Lado celdilla = (2*0.. b) b) La densidad volumétrica del cloruro sódico. indicando la estructrura cristalina de cada uno de ellos. c) c) Su factor de empaquetamiento atómico.1813 nm3+ 4*(4/3*pi)*0.181 y 0.4 y 22.El molibdeno posee una estructura cúbica centrada en el cuerpo y una densidad de 10. Se pide: a) a) Calcular el número de coordinación y el número de átomos de cada celdilla elemental b) b) Su radio atómico..4 uma + 4 * 22. por ello.2 gr/cm3. c) c) El factor de empaquetamiento. FCC: BCC: a = 4*R/SQR2 a = 4*R/SQR3 nº atomos celdilla = 4 nº atomos celdilla = 2 Por cada celdilla FCC se formarán 2 celdillas BCC. Factor empaquetamiento = Vátomos / Vceldilla= 2* (4/3* pi* R)/ a3 = 0.293 nm a = (volumen celdilla)1/3= ()1/3 = Junio 01.74 b) b) a = 4* R/ (SQR3) = 4 * 0.94.127 nm.Calcula el cambio teórico de volumen asociado a una transformación alotrópica en un metal puro desde una red FCC a una red BCC.a) a) factor empaquetamiento BCC = 0.94 * 10-23 gr/átomo = nº celdillas = (nº átomos/cm3) / (nº átomos/celdilla) nº celdillas = / 2 = volumen celdilla = 1 cm3 / nº celdillas volumen celdilla = 1 cm3 / volumen celdilla = a3 R = sqr3*a/4 = c) c) el factor de empaquetamiento lo obtenemos dividiendo el volumen de los dos átomos entre el volumen de la celdilla.El peso atómico del molibdeno es de 95.Considerando los átomos como esferas compactas: a) a) Comparar el factor de empaquetamiento de una celda FCC y de una celda BCC. b) b) nº átomos/cm3 = densidad/ peso molecular nº átomos/cm3 = 10.2 gr/cm3 / 95. teniendo en cuenta que los átomos son tangentes según la diagonal del cubo. .68 Septiembre 99. Solución Junio 01. Solución Junio 99.127 nm / (SQR3) =0.a) a) Por ser una estructura cúbica centrada en el cuerpo el número de coordinación es 8 y el número de átomos por celdilla es 2 (el central más 1/8 en cada esquina del cubo). sabiendo que los átomos tienen un radio atómico de 0. b) b) Suponer una estructura BCC y calcular el parámetro de red “a”.. ya que el nº de átomos se conserva. Solución Septiembre 99.68 factor empaquetamiento FCC = 0.. 8% mayor que cuando lo hace en FCC..088 Luego cuando cristaliza en BCC es un 8.24 nm/SQR3=2.25 * 1019 celdillas nº átomos = nº celdilla * nº átomos/celdilla nº átomos = 4.Un metal cristaliza en la red cúbica centrada en el cuerpo.25 * 1019 celdillas * 2átomos/celdilla = 8.24 nanometros.(Volumen BCC/ Volumen FCC) = 2 * volumen celdilla BCC / volumen celdilla FCC (Volumen BCC/ Volumen FCC) = 2 * (4*R/SQR3)3 / (4*R/SQR2)3 = 1.863 * 10-7 cm nº átomos por celdilla = 2 átomos Vceldilla = a3 = (2. a pesar de que la celdilla BCC es más pequeña. Si su radio atómico es 1.483 *10-21cm3 = 4. ¿Cuántos átomos existirán en 1 cm3? Solución Septiembre 02.a= 4*R/SQR3 = 4* 1. Septiembre 02.483 *10-21 cm3 nº celdilla = 1 cm3 /23.5 * 1019 átomos .863 * 10-7 cm)3=23.863 nm = 2. . consideremos la siguiente superficie /plano: . a su vez viene definida por una serie de parámetros (a. Para ilustrar el procedimiento.Índices de Miller Los átomos en un sólido están empaquetados. característica que hace que sólo existan 14 tipos de redes posibles (redes de Bravais).de corto alcance (sólidos moleculares. La orientación de una superficie de un cristal plano se puede definir considerando como el plano corta a los ejes cristalográficos principales del sólido. para direcciones [hkl]).covalentes. un conjunto de números que cuantifican los cortes y que sólo puede usarse para identificar un plano o una superficie.entre moléculas ). Para identificar los diferentes planos y direcciones en un cristal se usan los índices de Miller (para planos (hkl).entre átomos y más débiles– van der Waals. caracterizadas por una celda unitaria cada una.de largo alcance (sólidos cristalinos) En el interior de un sólido cristalino existe una estructura cristalina formada por una red espacial. en cada punto de la cual se sitúan grupos de átomos idénticos en composición y orientación (base). β . con lo que existe un cierto grado de orden: . que. La aplicación de un conjunto de reglas conduce a la asignación de los índices de Miller (hkl). . La geometría de la red espacial debe permitir que se llene todo el espacio de átomos sin dejar huecos. El siguiente procedimiento que permite asignar índices de Miller está simplificado y sólo sirve para el sistema cúbico (con celda unitaria de dimensiones a x a x a ). γ). con enlaces fuertes.b.c y α . ∞. índices de Miller: (1. Los recíprocos de 1 y ∞. han de especificarse sin estar separados por comas. Por tanto el plano del dibujo es el (100) del cristal cúbico.z) en una celda unidad de dimensiones a x b x c. En nuestro caso ( celda cúbica). Por ejemplo un punto (x.La superficie (110) cortes: a. ∞/a. ∞.Paso 1: identificar las intersecciones con los ejes x.1. z/c). En este caso la intersección con el eje x tiene lugar en x=a y la superficie es paralela a los ejes y. ∞. ∞/a.a.∞ . es decir 1. Otros ejemplos: 1. Paso 3: obtener los reciprocos de las coordenadas fraccionarias Este paso final genera los índices de Miller que. las coordenadas fraccionarias serán: a/a. por convención. Las coordenadas se convierten en fraccionarias dividiéndolas por la dimensión de la celda unidad. respectivamente. y/b. z (consideramos que los corta en ∞). Los cortes son a.∞ . y.La superficie (111) .1.0) 2. Los índices se encierran entre paréntesis () cuando se especifica una única superficie como en este ejemplo. lo que nos conduce a (100). ∞. Paso 2: especificar los cortes en coordenadas fraccionarias. cortes fraccionarios: 1. son 1 y 0. tiene las coordenadas fraccionarias (x/a.y.z. cortes fraccionarios: 1/2. el signo negativo debe aparecer en el índice de Miller (ejemplo (00-1) se escribe (001) (iii) en los cristales hexagonales compactos hay cuatro ejes pricipales. (110) y (111) son las llamadas superfícies de índice bajo de un cristal cúbico (el termino bajo hace referencia a que los índices son 0 o 1). cortes fraccionarios: 1.1.∞.cortes: a. a.a.1) Las superficies consideradas hasta ahora (100). pero hay un número infinito de otros planos que pueden definirse usando los índices de Miller. índices de Miller: (1. Esta operación simplemente genera un plano paralelo que está a distancia diferente del origen de la celda particular considerada (ejemplo: (200) se transforma en (100) al dividir por dos) (ii) si algunos cortes tienen valores negativos sobre los ejes.1.∞ . Estas superficies tienen especial importancia. por tanto deben usarse cuatro índices de Miller (ejemplo (0001)) .Las superficies (210) cortes: a/2. índices de Miller: (210) Notas adicionales: (i) en algunos casos los índices de Miller se multiplican o dividen por algún factor común para simplificarlos.a . 3. 1.1 . 1/6. cualquier superficie que pertenezca a este conjunto de superficies de simetría equivalente puede ser descrita por la notación {100}. en la que los índices de Miller de una de las superficies están representados entre llaves. Suponiendo que dicho plano pertenezca a una estructura cristalina cúbica de parámetro de red igual a 3. z de un plano cuyos índices de Miller son (362). por tanto x=2. A partir de los índices de Miller (362) se obtienen los cortes fraccionarios 1/3. En el sistema cúbico el plano (hkl) y el vector [hkl].1/3. y=1. y.En el dibujo las tres superficies están relacionadas por los elementos de simetría del cristal cúbico y son totalmente equivalentes. 1/2 y se reducen a fracciones equivalentes con los números enteros menores posibles (aplicando el mcm= 6).5 A. obteniéndose 1/2.1. La distancia entre estos planos se obtiene a partir de: . z=3. calcular la distancia interplanar. Los cortes con los ejes serán. La distancia entre planos en el sistema cúbico viene dada por: Ejemplo MIL1 Determinar los valores de la intersección con los ejes x. Esta característica es única del sistema cúbico y no se puede aplicar a sistemas de simetría inferior. definido con respecto al origen. De hecho hay un total de 6 caras relacionadas por elementos de simetría y equivalentes a la superficie (100). son perpendiculares. REDES CRISTALINAS Para una apropiada asimilación de lo que significa el orden interno cristalino, se ha de comenzar por la visualización y definición, a través de vectores traslación, del orden interno monodimensional , constituido por las diferentes direcciones de la red que definen, por su periodicidad, filas reticulares donde los nudos están alineados y equidistantes entre sí. Fila reticular Se trata de una fila de nudos obtenida por aplicación sucesiva de una traslación definida. El símbolo de las filas reticulares se denomina como los índices [uvw] que son los componentes del vector traslación que une dos nudos adyacentes de la fila considerada expresados en función de un par primitivo cuyo origen se sitúa sobre uno de estos dos nudos. Por ejemplo, para las filas fundamentales: Para otras filas reticulares: Plano reticular Un plano reticular queda definido por dos filas reticulares conjugadas. Todo plano reticular puede definirse por sus intersecciones (Ha, Kb, Lc) con los tres ejes fundamentales del cristal. Las dimensiones de estas intersecciones (HKL), medidas desde un nudo tomado como origen son los parámetros del plano reticular correspondiente. Sin embargo, la denominación habitual de un plano reticular son los índices de Miller. Índices de Miller Se obtienen calculando las intersecciones (H, K, L), o número de traslaciones, con los tres ejes fundamentales del cristal. Posteriormente se invierten y se eliminan denominadores, o bien, se calculan los cocientes entre el producto de las tres intersecciones dividido entre cada una de las intersecciones: (H*K*L= N, N/H= h, N/K=k, N/L=l) 1/1=1. K=æ. contar el número de traslaciones t1. b y c. Invertimos: 1/æ=0. b y c. 1/æ=0. El plano ABD ocupa: . Deducir las intersecciones de cada plano con los ejes cristalográficos a. L=1. t2 y t3 que ocupa el plano sobre los ejes a. no existen denominadores Índices de Miller: (001) 1º. Es decir.Intersecciones: H=æ. 1/2. 1/4. sin denominadores queda 121 Índices de Miller: (121) * Este símbolo entre paréntesis (hkl) nombra el plano dado. 1/4. quitando denominadores: 1/4. 2/4. Su inversión es: 1/2. 1/4. Reducimos fracciones. Celda unidad . a partir de estas intersecciones. se reducen las fracciones El plano ABD corta a los ejes en 2. Reducimos fracciones. Para calcular los índices de Miller de cada plano. Su inversión es: 1/4. 1/4. y 4t3 en el eje c 2º. se invierten los valores y.2t1 en el eje a. 2 y 4. 2/4. 2t2 en el eje b. 1/2. si es necesario. 2 y 4. 2t2 en el eje b. Sin denominadores queda 221 Índices de Miller: (221) El plano EBD corta a los ejes en 4. y 4t3 en el eje c El plano EBD ocupa: 4t1 en el eje a. mientras que entre corchetes {hkl} indica todos los planos homólogos que resultan de aplicar los elementos de simetría del cristal al plano (hkl). quitando denominadores: 2/4. ¼ * 4 = 1) . La porción del espacio cristalino limitado por estas traslaciones constituye la celda fundamental del cristal y es característica del mismo.En una red cristalina existen siempre tres traslaciones no coplanarias que tienen las dimensiones mínimas entre todas las traslaciones posibles de la red: son las traslaciones fundamentales o constantes reticulares. de dimensiones submicroscópicas. Se llama multiplicidad al número de nudos que hay por celda elemental (todas las celdas primitivas de una red tienen multiplicidad 1 . Se denomina celda primitiva aquella que no tiene nudos en su interior y celda múltiple a la que si los tiene y está definida por vectores múltiples que son múltiplos enteros del vector traslación unitario de igual dirección. Las partículas de los cuerpos sólidos. . respectivamente. que da a los sólidos su consistencia y la mayor parte de sus propiedades. Esta ordenación. Los sólidos cristalinos tienden a adoptar estructuras internas geométricas basadas en líneas rectas y planos paralelos. Los componentes de los sólidos pueden ser de cuatro tipos:   Átomos: partículas elementales de materia con carga eléctrica neutra. salvo excepciones. constituye el campo de estudio de la cristalografía. La mayoría de los minerales adoptan formas cristalinas cuando se forman en condiciones favorables. también llamadas cristalinas. Iones: átomos con carga eléctrica negativa (aniones) o positiva (cationes) debidos a la transferencia o recepción. de uno o más electrones. se ordenan en el espacio de acuerdo a determinados tipos de redes geométricas.CRISTALOGRAFÍA Ciencia que se dedica al estudio y resolución de estructuras cristalinas. La cristalografía es el estudio del crecimiento. la forma y la geometría de estos cristales. GEOMETRÍA DE LAS REDES DE BRAVAIS Estructura algebraica conocida por grupos que tiene una secuencia ordenada.  Grupos iónicos: agrupación de varios iones de los mismos o diferentes elementos químicos. por esto se dice que los puntos de una red son equivalentes. Estas hacen que desde todos los nodos de una red de bravais tengan la misma perspectiva de red. Redes Unidimensionales: La red unidimensional es elemental siendo ésta una simple secuencia de nodos equidistantes entre sí. Profesor de física y de astronomía Auguste Bravais que estableció la teoría reticular. .1 REDES DE BRAVAIS El nombre de bravais viene del Físico y mineralogista francés. 5 redes bidimensionales paralelogramos (2D) y 14 modelos distintos de redes tridimensionales paralelepípedo (3D). sus propiedades y sus aplicaciones. Esta teoría. en la mayoría de casos no se dan cambios bajo rotaciones o simetría rotacional. sus objetivos son entre otros la clasificación de los grupos. Las redes de bravais son una disposición infinita de puntos conformando una estructura bajo cierto grupo de traslaciones. 3. Moléculas: agrupación de varios átomos del mismo o de diferentes elementos. Por la teoría de grupos se ha demostrado que solo existe una única red de bravais unidimensional (simple secuencia de nodos equidistantes entre sí). fue posteriormente demostrada gracias a la difracción por rayos X. que explica los fenómenos de simetría y anisotropía de las sustancias cristalinas. según la cual las moléculas de los cristales están dispuestas en redes tridimensionales. varios grupos espaciales comportan el mismo grupo puntual. β : es el ángulo que forman entre sí los vectores a y c. De acuerdo con Bravais. siendo a y b las traslaciones de la red plana.Redes bidimensionales: Según los ángulos y la distancia entre los nodos se distinguen 5 redes distintas. Estas celdas vienen definidas por tres traslaciones: a. de las más conocidas son: . Redes tridimensionales: Para las redes de Bravais tridimensionales existen solamente siete grupos puntuales posibles y 14 grupos espaciales. existen 14 tipos distintos de redes tridimensionales. Esto permite clasificar todos los cristales en siete sistemas cristalinos (según el grupo puntual) y en 14 redes de Bravais (según el grupo espacial). γ : es el ángulo que forman entre sí los vectores a y b (los de la red plana). vienen definidos tres ángulos: α : es el ángulo que forman entre sí los vectores b y c. un caso ejemplar sería el grafito cuya estructura sigue un patrón de red en panal. y c la traslación de dicha red plana en una dirección diferente (generalmente correspondiente al plano vertical). Obviamente. b y c. Las redes tridimensionales están formadas por la repetición de celdas unidad tridimensionales. Además. (Autor).pdf http://es.3 FACTOR DE EMPAQUETAMIENTO INTRODUCCIÓN El estudio de las siguientes estructuras cristalinas las cuales pertenecen en gran proporción a los metales puros solidifican en tres estructuras cristalinas compactas BCC. HCP. FCC.wordpress.files.qi.com/2008/09/estructura11. Nuria (Traductor). 3. .pdf http://www. Hashemi.BIBLIOGRAFIA:    http://elcrisoluspt. éstas estructuras son estudiadas a partir de una pequeña porción que contenga el patrón de ordenamiento. Martin.ar/materias/qi2/_teoricas/solidos_primera_parte.uba.wikipedia.2 SISTEMA CÚBICO Y HEXAGONAL. a continuación se estudiarán dichas estructuras. CRISTALES BCC. Smith. circuitos integrados y otros sistemas modernos.org/wiki/Redes_de_Bravais Introducción a la ciencia de materiales para ingenieros: Shackerlford. las cuales tienen un arreglo asignado debido a su distribución atómica y que tienen un gran uso en la actualidad para semiconductores. William F.fcen. James F. Javad (Autor) 3. FCC y HCP. (Autor). . ¿cuantos átomos contiene la estructura cristalina BCC en cada celda unitaria? (a) (b) figura 3.ESTRUCTURA CÚBICA DE CUERPO CENTRADO Se denomina estructura de cuerpo centrado (body centred cubic) porque uno de los átomos se encuentra contenido justo en el centro del cubo o celda unitaria. se dice por lo tanto que tiene un número de coordinacion (NC) de 8. modelos esquemáticos de la estructura BCC: (a)arreglo abierto. en la figura 4. por lo tanto tenemos : Esquinas: (1/8) × 8 átomos = 1 átomo.2-1. Centro: 1 átomos = 1 átomo.2-1 se puede observar dicha estructura. Ahora . además está contenido un átomo en su totalidad en el centro. (b) átomos que se aproxíman entre sí McMaster_BCC_Unit_Cells_(C)_2007_Ehsan_Shojaei De la estructura cristalina BCC los átomos que cortan las esquinas son octavos de dichos vecinos próximos. es decir que 8 es el indice de la eficiencia de la condensación átomica . y es equidistante de los ocho átomos de las esquinas. donde los elementos cumplen las operaciones de simetría de una estructura. por que la relacipon entre la arista del cubo a y el radio atómico R es √3 a=4R o a=4R/√3 (4. como se muestra en la figura 4.1 se hace simple y por trigonometria.2-2estructura cristalina BCC donde se muestra la relación entra la constante de red a y el radio atómico R En la celda unidad BCC los átomos de cada vértice contactan entre sí a través de la diagonal del cubo. se define un factor de condensación atómica o factor de empaquetamiento.Total = 2 átomos/ celda unidad. Otro factor importante a calcular es el volúmen de la celda unidad BCC y de cualquier celda que está ocupada por átomos .1) 4R es el número de radios que atraviesa la diagonal de las esquinas opuestas La demostración de 4. y determinados el parámetro de látice (a) y el radio atómico (R). lo que significa que el látice que conforma el conjunto parcialmente ordenado que consta de dos elementos (en este caso átomos) tiene una mínima cota superior y una máxima cota inferior. ¿Se puede afirmar esto sin temor a alguna equivocación? la respuesta es acertada pues se debe recordar que cada átomo de cristal está rodeado por un arreglo idéntico de átomos en el látice espacial repetitivo.2-2. y está dotado de una ley de composición interna de aplicación sucesiva que se puede modelar matemáticamente. figura 3. para esto se asume que las esferas son rígidas. . para este ultimo se realiza la convención de:  Generalmente sólo está presente un elemento.    Entonces.2 a Calcule el factor de empaquetamiento atómico para la celda unidad BCC. la nube electrónica cubre a los núcleos. V_átomos= (2)(4/3 Π R^3) El volumen de la celda unidad es: .FACTOR DE EMPAQUETAMIENTO (APF) Generalmente se acepta que la naturaleza favorece los arreglos y estados de la materia que tienden a minimizar los niveles de energía (energía potencial).2). considerando los átomos como esferas rígidas solución: APF=Volumen de los átomos en la celda unidad BCC / Volumen de la celda unidad BCC Puesto que tenemos dos átomos por celda unidad BCC. Para evaluar la eficiencia de la estructura cristalina o cuán eficiente estan arreglados los átomos se calculará el volúmen atómico contenido en la celda unitaria en relación con el volúmen total de la celda unitaria como sigue: APF= volúmen de átomos en una celda unidad/ volúmen de la celda unidad (3. Ejemplo 3. el volumen de los átomos de radio R en una celda unidad es. por ello podemos preguntarnos qué tan eficiente es en verdad el arreglo de un cristal y si es razonable asumir un empaquetamiento denso. La distancia a los primeros vecinos tienden a ser cortas para disminuir la energía de enlace. El enlace metálico no es direccional. por lo que todos los radios atómicos son iguales. Constante de red a metal (nm) radio atómico R (nm) Cromo 0.315 0. se establecerán las siguientes realciones de constante de red a y radio atómico para materiales que tienen estructura cirstalina BCC a temperatura ambiente de (20°C). así. V_celda unidad= a^3=12.289 0.2-2.533 0.143 . √3 a=4R Así. La relación entre a y R se obtiene a partir de la figura 3.231 Sodio 0. que muestra cómo los átomos de la celda unidad contactan a través de la diagonal del cubo.68 Ahora.429 0.136 Potasio 0.32R^3 = 0.330 0.373 R^3 / 12.V_celda unidad= a^3 Donde a es la constante de red.186 Tántalo 0.125 Hierro 0.287 0.124 Molibdeno 0. APF= (V_átomos/celda unidad) / V_celda unidad = 8.32 R^3 El factor de empaquetamiento atómico para la celda unidad BCC resulta ser. 304 0.132 Ejemplo 3.330nm ESTRUCTURA CÙBICA CENTRADA EN LAS CARAS .Así . Calcule la constante de celda a para la arista del cubo de la celda unidad del tántalo Solución: en la figura 3. entonces: a= (4(0.137 Vanadio 0. si a es la arista del cubo.143nm.143nm))/√3 = 0.316 0.2-2 se ve que los átomos de tántalo en la celda unidad BCC se tocan a través de la diagonal del cubo.2-b El tántalo a 20°C es BCC con átomos de radio atómico 0. tenemos: √3 a=4R Donde R es el radio atómico del tántalo.Volframio 0. la forma mas sencilla de comprender esto. examinando el cristal. De nuevo se separó mucho el arreglo de la celda (fig. existen seis átomos centrados en las caras que se comporten entre esta celda y sus vecinas inmediatas. además de los ocho átomos de esquina. en las posiciones de los nudos de la red de Bravais del mismo nombre (figura 4.3-2) con la intención de que la localizacion de los átomos sea clara. su diferencia entre las estructuras cristalinas difiere porque en cada faz (cara) existe un átomo colocado en ella y en los vértices de las celdilla unidad. por lo tanto.4.2-3 estructura cristalina FCC Otro tipo de arreglo cristalino cùbico es el FCC (face centred cubic). La mitad de cuaquier átomo se la faz se encuentra en una celda unitaria y la otra mitad está en la celda adyacente.3-1). se puede determinar la cantida de átomos asociados con la celda unitaria de esta estructura como sigue: . o sea. es situandose mentalmente en el àtomo del centro de una de las caras y contar todos los átomos en contacto con él.figura 3. El nùmero de coordinacion la estructura FCC es de 12. con seguridad.3-3.3) El APF para la estructura cristalina FCC es de 0.74. Metales que tienen estructura cristalina FCC a temperatura ambiente (20°C) y su constante de red y radio atómico. Muchos metales como el aluminio. por lo que la relación entre la arista del cubo a y el radio atómico R es: √2 a =4R o a= 4R/ √2 (4.2-4.394 °C) cristalizan en la estructura FCC. éste es el indicio de una condensación atómica mas eficiente en el látice. Un APF de 0. cobre. Celda unidad FCC con su respectivo arreglo atómico McMaster_FCC_Unit_Cells_(C)_2007_Ehsan_Shojaei Esquinas: 8 × 1/8 = 1 àtomo Caras: 6 × 1/2 = 3 àtomos Total = 4 àtomos /celda unitaria Nótese que la cantidad de átomos por celda unitaria se duplicaron con relación a la del sistema BCC.74 es el máximo de compacto posible para átomos esféricos. En la celda FCC los átomos contactan en la diagonal de la cara del cubo como se indica en la figura 4.68 de la estructura BCC. que es mayor que el factor 0. . plomo. que contiene el equivalente de dos átomos por celda unidad. níquel y hierro a termperatura elevada ( de 912 a 1.figura 3. 352 0.3615 0.144 Plomo 0.408 0.495 0. presenta un arreglo de alta densiad en sus átomos.128 Oro 0.2-3.125 Platino 0.143 Cobre 0.405 0.metal Constante de red a (nm) radio atòmico r (nm) Aluminio 0.139 Plata 0. los cuales en su tercer capa o plano se encuentran directamente por encima de los átomos del primer plano como indica en a figura 3. (a) .409 0.393 0.175 Níquel 0.144 ESTRUCTURA HEXAGONAL DE EMPAQUETAMIENTO CERRADO El tercer tipo principal de estructura cristalina es HCP. Los metales como el magnesio. generalmente se conocen las estructuras FCC y HCP como empaquetamiento cerrado por que son las dos formas de arreglar esferas idéntica con la densidad mas grande posible y que aún exhiben periocidad. considerando el átomo central en un plano base. Finalmente. tiene una relación c/a superior a la ideal lo que indica que los átomos en estas estructuras están ligeramente elongados a lo largo del eje c en la celdilla unidad HCP. Una celda HCP tiene un equivalente a seis átomos por celda unidad: Tres átomos forman un triángulo en la capa intermedia como queda reflejado por las posiciones atómicas en la figura 4. entre otros. este átomo está rodeado por tres átomos en su propio plano base. Hay seis × 1/6 secciones de átomos en las capas superior e inferior. celda unidad HCP. El factor de condensaciòn atómica es e mismo que el de FCC e igual a 0. . más tres átomos que se localizan cada uno en el plano adyacente paralelo. McMaster_HCPs_Unit_Cells_(C)_2007_Ehsan_Shojaei El número de coordinación de los cristales HCP es el mismo que para los FCC e igual a 12. contribuyendo con un equivalente de dos átomos mas por celdilla ( 2 × 6 × 1/6 =2). b) de posiciones atómicas.(b) figura 4. lo que hace un total de 12 átomos vecinos más próximos. Se puede verificar esta cantidad con los átomos vecinos más próximos. el número toral de átomos por celdilla unidad en la estructura HCP es de 3 + 2+1 = 6.4-1. hay medio átomo más por celdilla. a) de esferas rígidas.2-2 b. De entre los metales cinc. cadmio.74. Así. La relación entre la altura c del prisma hexagonal de la estructura y el lado a de su base se llama relación c/a para algunos metales HCP. cobalto, circonio, titanio y berilio tienen una relacion c/A menor que la ideal, por tanto, en estos metales los átomos están ligeramente comprimidos en la dirección del eje c. Así, estos metales presentan ciertas desviaciones del modelo ideal de esferas rígidas. A continuación se hará la comprobación del valor del factor de empaquetamiento en una estructura cristalina HCP figura 4.4-2 diagramas para calcular el volumen de la celda unidad HCP Ejemplo 4.4-A Calcular el volumen de la celdilla unidad de la estructura cristalina del cinc a partir de los siguientes datos: el cinc puro tiene una estructura cristalina HCP con constantes de red a=0,2665 nm y c= 0,4947 nm. solucion: El volumen de la celdilla unidad HCP puede obtenerse determinando el área de la base de la celdilla unidad y multiplicando ésta por la altura figura 4.4-2. El área de la base de la celdilla unidad es el área de la parte inferior del hexagono, de forma que el área total es la suma e las áreas de los seís triángulos equiláteros de área, a partir de la figura 4.4-2 podemos deducir lo siguiente: 4947 0.133 1.2973 0.4-2b.3209 0.4-2a.160 1.Área del trinángulo ( figura 4.856 +13.2665 0.7 Cinc 0.4947 nm) = 0.6 HCP ideal 1.5209 0. su radio atómico y su relación c/a Constante de red a ( nm ) % desviación de la Metal a c Radio atómico r Relación (c/a) relación ideal Cadmio 0.149 1.5618 0.8660) (0.800 +15.4-2 b)= 1/2 (base)(altura) = 1/2 (a)(asen 60°) = 1/2 a^2 sen60° A partir de la figura 4.66 . Volumen de la celdilla unidad del cinc HCP = (3a^2 sen 60°)(c) = (3)(0.2665 nm)^2 (0.0913 nm^3 Materiales con estructura cristalina HCP a temperatura ambiente (20°C) y sus constantes reticulares.633 0 Magnesio 0. Área toal de la base HCP = (6)(1/2 a^2 sen60°) = 3 a^2 sen 60° A partir de la figura 4.623 -0. 125 1.98 3.2950 0.4683 0.5148 0.3584 0.160 1.568 -3.2286 0.113 1.45 Titanio 0.4069 0.66 Circonio 0. un valor de radio atómico del metal obtenido por análisis de difracción de rayos X y utilizando la siguiente ecuación obtenemos la densidad volumétrica de un metal: Densidad volumétrica de un metal = ρv = (Masa Celda unidad) / (Volumen celda unidad) Para aplicar la fórmula mencionada debemos recordar los parámetros de red de las estructuras cristalinas presentes en los metales (BCC.593 -2.4 DENSIDAD VOLUMÉTRICA Utilizando el modelo de esferas rígidas para la estructura cristalina de la celda unidad de un metal. FCC.623 -0. .147 1.2507 0.3231 0.587 -2.81 Berilio 0. HCP).Cobalto 0. BCC: a = 4r/√3 volumen: a³ FCC: a = 4r/√2 volumen: a³ HCP: a = 2r c = [√ (2/3)]*4r volumen: (3/2)*√3*a²*c . También podemos expresar esta ecuación de forma más general teniendo en cuenta que la masa celda unidad es: (Número de átomos celda unidad) * (Peso molecular de los átomos) Y volumen celda unidad es: (Volumen celda unidad)*(Número de avogadro) Número de avogadro = 6. . lo cual debe atribuirse a la ausencia de algunas posiciones atómicas.02×1023 átomos/mol Obteniendo: ρv = [número de átomos por celda * peso molecular de los átomos] / [volumen de la celda unitaria * número de avogadro] El valor obtenido mediante ésta ecuación puede variar ligeramente del valor experimental consignado en tablas. 4.361 nm Densidad volumétrica de un metal = ρv = (Masa Celda unidad) / (Volumen celda unidad) En la celda unitaria FCC hay cuatro átomos/celda unitaria.02×10²³ átomos/mol)] * (10*10-6 Mg)/g m = 4.54 g/mol. Solución Para la celda unitaria FCC. donde a es la constante de red en la celda unitaria y R es el radio del átomo de cobre.54 g/mol)/(6.02×1023 átomos/mol). y uniones defectuosas entre los granos (limites de grano).361 nm * (10 -9 m)/nm]³ V = 4. Considerando a los átomos como esferas rígidas que se colocan entre sí a lo largo de la diagonal de la celda unitaria FCC. la masa m de los átomos de Cu en la celda unitaria es: m = [(4 átomos)*(63.defectos de línea. La masa atómica del cobre es de 63.1278 nm)/√2 = 0. Cada átomo de cobre tiene una masa de (53. √2a =4R.70 * 10 -29 m³ Así la densidad del cobre es: .22 * 10 -28 Mg El volumen V de la celda unitaria del Cu es: V = a³ = [0. Así: a = 4R/√2 = (4*0.1: El cobre tiene una estructura cristalina FCC y un radio atómico de 0. calcule el valor teórico de la densidad del cobre en mega metros por metro cubico.1278 nm. Así.54 g/mol)*(6. Otra causa de esta situación puede deberse también a que los átomos no son esferas perfectas. EJEMPLOS Ejemplo 3. 4.98 Mg/m³ Ejemplo 3.70 * 10 -29) = 8.882 g/cm³ La densidad medida es 7.2866 nm. La pequeña discrepancia entre las densidades teórica y medida es una consecuencia de los defectos en el material. cuyo parámetro de red es 0.3: . Átomos por celda = 2 a = 0.4.02 * 10 ²³) = 7.847 g/mol Volumen de la celda unitaria = a³ = (2.54 * 10 -24 cm³/celda Número de avogadro = Na = 6.870 g/cm³.2: Determine la densidad del hierro BCC.882 g/cm³ Respuesta: ρv (hierro) = 7.847) / (23.2866 nm Masa atómica = 55.02 * 10 ²³ átomos/mol ρv = [numero de átomos por celda * peso molecular de los átomos]/ [volumen de la celda unitaria * numero de avogadro] ρv = (2*55.54* 10 -24 * 6. Solución Para una celda BCC. Como se dijo antes el término “defecto” en este contexto. significa imperfecciones respecto al arreglo atómico.ρv = m/v = (4. Ejemplo 3.98 Mg/m³ Respuesta: ρv (cobre) = 8.866 * 10 -8 cm)³ = 23.22 * 10 -28 Mg)/(4. b) El radio atómico del torio.167 * 10-²² g Volumen para una celda BCC = a³ donde a =4r/√2 Entonces tenemos: Volumen en cm³ = [((4 * 0.87 g/mol Masa = [(4 átomos * 107. .4.144 nm.02 * 10²³ átomos/mol)] Masa = 7.167 * 10-²² g / 6. Solución: Masa atómica (Ag) = 107.4: La densidad del torio que tiene una estructura FCC es de 11. Calcule el valor teórico de la densidad de la plata en g/cm³. Solución.72 g/cm³.608 g/cm³ Ejemplo 3.87 g/mol) / (6.756 * 10-²³ cm³ Respuesta: ρv (plata) = 10.144*10-9 m) / √2)*(100 cm / 1 m)]³ Volumen = 6. Calcule: a) El parámetro de red.La plata tiene una estructura cristalina FCC con un radio atómico de 0.756 * 10-²³ cm³ Así la densidad teórica de la plata es: ρv = m/v = 7. El peso atómico del torio es de 232 g/mol. 98 g/mol.799*10-8 cm b) Usando a = 4r/√2 tenemos: a = (4 * 1.82*10-²³ cm³ / 11.808 g/cm³ y el peso atómico es de 208.5: El bismuto tiene una estructura hexagonal.4546 nm y c = 1.088*10-8 cm Ejemplo 3.02*10²³ átomos/mol] Despejando r: r³ * 11.72 Respuesta: r = 1. Determine: a) El volumen de la celda unitaria. b) Cuantos átomos Existen en cada Celda unitaria.72 g/cm³ = (4 átomos * 232 g/mol) / [(4r/√2)³ * 6.a) Como es una es una estructura FCC el parámetro de red a = 4r/√2 y el volumen de la celda es a³.4. .799*10-8 cm) / √2 Respuesta: a = 5. con a = 0. Utilizando ρv = [número de átomos por celda * peso molecular de los átomos] / [volumen de la celda unitaria * número de avogadro] Tenemos: 11.72 /cm³ = 928 / 1. Solución.36*10 25 r³ = 6.186 nm. La densidad es 9. 855 g/cm³.637 nm³ = 0. que tiene una estructura BCC es 0.98 g/mol) / (0. b) El radio atómico del potasio.4.4546 nm)² *9. podemos llegar a la conclusión de que el volumen de la celda es: V = (3/2)*√3*a²*c Reemplazando tenemos: V = (3/2) * √3 * (0.a) Mirando la figura de la celda hexagonal compacta y teniendo en cuenta que el volumen es la base multiplicada por la altura (c) y además descomponiendo esta base en 6 triángulos equiláteros.637*10-²¹ cm³ Reemplazando todos los datos en ρv = [número de átomos por celda * peso molecular de los átomos] / [volumen de la celda unitaria * número de avogadro] Y tomando como N = numero de átomos tenemos: 9.09 g/mol.02*10²³ átomos/mol) Despejando N Respuesta: N = 18 átomos Ejemplo 3.808 g/cm³ = (N * 208.6: La densidad del potasio.637 nm³ b) V = 0. El peso atómico del potasio es 39. . Calcule: a) El parámetro de red.808 nm Respuesta: V= 0.637*10-²¹ cm³ * 6. Solución a) Sabemos que al ser una celda BCC tiene 2 átomos en su interior.336*10-8 cm) √3] / 4 Respuesta: r = 2.31*10-8 cm 3. Para poder identificar unívocamente un sistema de planos cristalográficos se les asigna un juego de tres números que reciben el nombre de índices de Miller.09 g/mol) / (a³ * 6.02*10²³ átomos/mol)] Despejando a: a³ = 1. Los índices de un sistema de planos se indican genéricamente con las letras (h k l) .336*10-8 cm b) a = 4r/√3 Despejando r: r = [(5.5 INDICES DE MILLER Estos se utilizan para identificar los planos cristalinos por donde es susceptible de deslizar unos átomos sobre otros átomos en la celda cristalina. Reemplazando todos los datos otorgados en ρv = [número de átomos por celda * peso molecular de los átomos] / [volumen de la celda unitaria * número de avogadro] Tenemos: 0.519*10-²² cm³ Respuesta: a = 5.855 g/cm³ = [(2 átomos * 39. que pueden ser negativos o positivos. como planos. Z. y son primos entre sí. Generalmente se asume un origen. el cual está ubicado en la arista inferior izquierda posterior. en sentidos opuestos se encuentran sus respectivas zonas y cuadrantes negativos Se utilizan celdas unitarias para situar tanto puntos. Y. el eje X positivo se usa saliendo del papel. el eje Y positivo hacia la derecha y finalmente el eje Z positivo hacia la parte superior. El signo negativo de un índice de Miller debe ser colocado sobre dicho número. Ejes y celdas unitarias: Se utilizan los tres ejes conocidos normalmente. Dichas celdas unitarias son cubos los cuales se encuentran situados sobre el sistema de coordenadas X.Los índices de Miller son números enteros. . si el resultado es en cualquier eje (X. usar un sistema de ejes coordenados completamente definidos (zonas positivas y zonas negativas). Dirección A . Eliminar o reducir de la resta de puntos las fracciones hasta su mínima expresión 4. B y C. o números. generando de esta manera el vector dirección y la cantidad de parámetros de red recorridos 3. Ejemplo 3. Y.5. Restar las coordenadas de los puntos a direccionar (cabeza menos cola). dichas direcciones son los denominados Índices De Miller y son particularmente las posiciones o lugares por donde es más susceptible un elemento en sufrir dislocaciones y movimientos en su interior cristalino. Z) debe situarse una barra o raya encima Determinar los índices de Miller de las direcciones A.1 .Direcciones en la celda unitaria: Existen direcciones y posiciones en una celda unitaria de gran interés. sin comas. Para hallar los Índices De Miller de las direcciones se procede de la siguiente manera: 1. Encerrar los números resultantes entre corchetes negativo de dicho numero. 2. ½.0 1. 1)=-1.1 . una dirección y sus múltiplos son idénticos solo que estos aun no han sido reducidos.-1.1. y se denota entre paréntesis especiales <>.1. las direcciones de Miller son vectores.0.½.0. Se procede de igual manera. [ 111 ] Dirección C 1. 1.1 y ½. Aspectos importantes en el análisis y creación de las direcciones en los Índices De Miller: 1.1 .0 3. se sitúan con una barra en la parte superior los valores para dichos ejes.0. ciertos grupos de direcciones poseen equivalentes.0. 3. ya que es posible redefinir el sistema coordenado para una misma combinación de coordenadas. y con ello poseer la misma línea de acción pero diferente sentido. Dos puntos son: 1.0 2.0 = 1. 6.0 – 0.0. 2(. 0.1.1.1 y 0. Estos grupos reciben el nombre de direcciones de una forma o familia. Dos puntos son: 0.-1. Esta vez el resultado debemos llevarlo a una conversión de enteros. No existen fracciones que eliminar ni enteros que reducir . 2. No existen fracciones que eliminar ni enteros que reducir 2.1 1. Como el resultado es negativo en las direcciones de los ejes X y Y.½. se restan ambos puntos 3. Es importante resaltar que un material posee las mismas propiedades en todas y cada una de las diferentes direcciones de una familia.0 = 1.-1.0 2. [ 100 ] Dirección B Dos puntos son: 1. Se restan ambos puntos.0 = . Se procede de igual manera.0. situando en primer lugar el punto que se desea tener como dirección y sentido (cabeza del vector) 4.0 y 0. esto en un sistema cubico es ocasionado por el orden y el sentido de los vectores. por ende este puede ser positivo o negativo.0. se restan ambos puntos 4. 1 3.0.2 5.0.0.-1.-2. para así almacenar de manera segura y duradera la información. En la industria esto es de vital importancia para el uso. Es importante resaltar la orientación y forma en la que puede crecer el cristal. En general es necesario encontrar o tener en cuenta la posición y dirección cristalográfica de los elementos ya que así podrá aprovecharse al máximo sus propiedades mecánicas.Tabla 3. deformación y construcción de nuevos elementos y materiales. Como se mencionó anteriormente los metales se deforman con mayor facilidad a lo largo de los planos en los cuales los átomos están compactados de manera más estrecha o cercana en la celda unitaria. en los metales por ejemplo es más fácil deformarlos en la dirección a lo largo de la cual los átomos están en mayor contacto. dichos lugares o planos son en donde existe la mayor posibilidad de que el elemento sufra una dislocación. para ello es necesario analizar las tensiones superficiales producidas en los principales planos de una celda unitaria. En muchas ocasiones es necesario describir dichas orientaciones. Caso ejemplar es el de los elementos magnéticos los cuales funcionan como medios de grabación con mejor y mayor eficiencia si se encuentran alineados en cierta dirección cristalográfica.a Direcciones de la familia <110> en el sistema cubico Importancia de las direcciones cristalográficas: Es necesario conocer las direcciones cristalográficas para así asegurar la orientación de un solo cristal o de un material poli cristalino.5. Planos en la celda unitaria: Los planos cristalinos son con mayor precisión los lugares por donde un material facilita su deslizamiento y transformación física. Igualmente para una mejor orientación en los planos de un . l) respectivamente. identificar los puntos donde cruza al plano de coordenadas X. Los Índices de Miller para planos se representan equivalentemente al sistema cartesiano (X.material podrá existir un mejor rendimiento y aprovechamiento en las propiedades y usos mecánicos. Z) = (h.Y.8 Determine los índices de Miller de los planos A. la cantidad obtenida siempre es menor a la unidad. 2. los Índices de Miller para los planos cristalinos son el inverso a los puntos de un plano cartesiano.5. caso que no ocurre en el estudio de las direcciones de los Índices de Miller. se calculan los recíprocos o inversos de los puntos o intersecciones. 3. esto significara en el plano que para este eje el plano quedara paralelo a él sin tocarlo. 5. donde N es cualquier numero entero real. k. Ejemplo 3.B y C Plano A . Para identificar los planos de importancia se procede de la siguiente manera: 1. si el reciproco es N/∞. 4.Z en función de los parámetros de red (si el plano pasa por el origen se debe trasladar el origen del sistema de coordenadas). Y. 1/z= 0 4. Debe aclararse el plano no cruza al eje z. y= 2. 1/x=1 . 1/z=1 3. Con el nuevo origen se tiene: x=∞. y=-1. 2(1. Es necesario cambiar el origen. ubicaremos el nuevo origen a la derecha del inicial. Debemos eliminar las fracciones. X=1 . ½.1. esto es debido al cociente entre 1/∞ lo cual con su respectivo limite tiende a ser cero (0) 2. z=∞ 3. (111) Plano B 1. z=∞ . moviéndolo en dirección del eje Y positivo 2. (210) Plano C 1.0) 5. x=1 y=1 z=1 2. 1/y=1/2. ya que el plano pasa por el origen. No existen fracciones que eliminar 4. 1/y=1. 1/x=1. aunque es de tenerse en cuenta que el eje a3 es redundante. Esto se demuestra por medio de la densidad planar y el factor de empaquetamiento. aunque para el cálculo de las direcciones existen los métodos para tres ejes o el de cuatro ejes.3 Familia de planos {110} en los sistemas cúbicos Estos planos son inversos en muchos aspectos de estudio. Se representan con llaves {} 4.5. debido a la simetría de la estructura. 1/x=0. Aspectos importantes para los planos en los Índices de Miller: 1. Índices de Miller para celdas hexagonales Para este tipo de estructura se ha desarrollado un especial conjunto de índices de MillerBravais. 1/z=0 4.3. siendo este último algo más tedioso. en los sistemas cúbicos. El procedimiento para la obtención de planos y direcciones es el ya estudiado. una dirección es perpendicular a un plano si tiene los mismos Índices de Miller que dicho plano. Ejemplo 3. los planos de forma o familia de planos son equivalentes. . 2. análisis y construcción. En este se usan ya cuatro ejes. 1/y=-1. No existen fracciones que eliminar 5. los planos positivos y negativos son idénticos. los planos y sus múltiplos no son idénticos. 3. c=l). a3=i.5. k. teniendo en cuenta que para el eje a3 su existencia radicara en la relación h + k = -i. y la descomposición en cuatro vectores (creación de direcciones en cuatro ejes a partir de los índices en los tres ejes) Relaciones: H= 1/3(2h – k) K=1/3(2k – h) I=-1/3(h + k) L=l Ejemplo 3. l). para los cuales se asignara un eje respectivo (a1=h.6 Determine los índices de Miller-Bravais para los planos A y B y par las direcciones C y D.En esta nueva estructura se tomaran los índices (h. i. Plano A . a2=k. La resta genera el vector: 0. (0001) Plano B 1. 1/a1=1/a2=1/a3=0. c=1 2.1.1.0. Realizando la resta y tomando al punto 0. c=1 2.0. Dirección D 1.0 – 1. A1=1. 1/c=1 3.0 = -1.0. No existen fracciones que eliminar o enteros que reducir 4. Los puntos son: 0.1.0 = -1.0 y 1.0. No existen fracciones que simplificar 4.0 3. a1=a2=a3=∞. No existen fracciones que eliminar ni enteros que reducir 4.1 y 1. 1/c=1 3.0 2. a2=1. 1/a2=1.1 – 1.0.1.0 2. 1/a3=-2. se tiene: 0. No hay fracciones que simplificar 4. 1/a1=1.0. .0.1 3.1 como cabeza del vector. Dirección C 1. a3=-1/2.0. Dos puntos: 0. Si sus propiedades son idénticas en cualquier dirección el material se conoce cristalográficamente como isotrópico. En genera los materiales policristalino as muestran propiedades isotrópicas. pero si se presenta en forma policristalina se puede asumir o comportar como anisotropico. Ejemplo de ello tenernos el aluminio. Puede suceder que un material pase de ser anisotropico a isotrópico si sus arreglos son aleatorios en forma policristalina. 3.Comportamiento isotrópico y anisotrópico: A causa de los arreglos en los diferentes planos y direcciones cristalográficas los materiales presentan comportamientos y desempeños diversos en sus propiedades mecánicas. Se dice que un material es cristalográficamente anisotropico si sus propiedades dependen de la dirección cristalográfica en la cual se mide la propiedad. el cual si posee idénticas propiedades en todas las direcciones diremos que es un elemento cristalográficamente isotrópico.6 PLANOS CRISTALINOS Dirección en la celda . sin embargo. H =0 K=0 I = 0 y L=1. Los recíprocos de las intersecciones que un plano cristalino determina con los ejes. a2 = ” a3 = ” El eje c. es necesario referirnos a posiciones específicas en las redes cristalinas. Para indicar en un diagrama la dirección en una celda cúbica unitaria dibujamos un vector de dirección desde el origen (que es normalmente una esquina de la celda cúbica) hasta que sale la superficie del cubo. La unidad a de medida a lo largo de los ejes a1 a2 a3 es la distancia entre los átomos a lo largo de estos ejes. l y encerrados entre parentesis ( hkil ). Esto es especialmente importante para metales y aleaciones con propiedades que varían con la orientación cristalográfica. son designados por las letras h. Tomando los recíprocos de estas intersecciones tenemos los indices de Miller-Bravais para el plano Basal HCP. a3 proporciona los indices h. Notación para planos Los planos basales de la celdilla unidad HCP son muy importantes para esta celdilla unidad puesto que el plano basal de la celdilla HCP es pralelo a los ejes. k. a2. estos indices hexagonales de 4indices estan basados en un sistema coordenado de 4 ejes. que forman 1200 entre si. a2. k e i mientras el recíproco de la intersección con el eje c da el índice l. Existen 3 ejes básicos. Planos en una celda unitaria Las superficise cristalinas en celdillas unidad HCP pueden ser identificadas comúnmente utilizando cuatro indices en lugar de tres. La unidad de medida a lo largo del eje es la altura de la celdilla unidad. a1. Para cristales cúbicos los indices de las direcciones cristalográficas son los componentes vectoriales de las direcciones resueltos a lo largo de cada eje coordenado y reducido a los enteros mas pequeños. Los indices para los planos cristalinos HCP . a1. El plano basal es. Las coordenadas de posición de la celda unidad donde el vector de posición sale de la superficie del cubo después de ser convertidas a enteros son los indices de dirección. por tanto un plano cero-cero-cero-uno o plano (0001) . Los indices de dirección se encierran entre corchetes sin separación por comas. es único puesto que el plano basal superior intersecciona con el eje c a una distancia unidad. El cuarto eje o eje c es el eje vertical y esta localizado en el centro de la celdilla unidad. a3. Así. Así . a2. a3 las intersecciones de este plano con estos ejes serán todas de valor infinito. a1. a1 = ” . i. .A menudo.llamados indices Miller-Bravais. com/principios-fundamentales-de-la-estructura-cristalinade-los-materiales.7 DENSIDAD PLANAR DE FAMILIAS 100. El área planar seleccionada debe ser representativa de los grupos de átomos repetitivos dentro del plano. son los planos de mayor compacidad en la estructura cristalina. y es a través de estos sistemas por donde se produce la deformación de los materiales. es a lo que se le denomina sistema de deslizamiento.rincondelvago. Pues bien los planos de deslizamiento son los que poseen la fracción atómica planar (FAP) más grande o lo que es lo mismo. Pero una definición más formal la densidad planar es el número de átomos que tienen sus centros localizados dentro de un área dada sobre un plano.esi2. PROTECCIÓN DESCRIPTIVA DE PLANOS Y CORTE DE ÁTOMOS. Se define la fracción (1) atómica planar como:  ∂= #ATOMOS INTERSECTADOS/AREA DEL PLANO . A la combinación de un plano de deslizamiento con una dirección.html http://www. 110 Y 111.html 3. INTRODUCCIÓN Inicialmente podemos definir la densidad planar. La densidad planar en cristalografía nos muestra que tan lleno de átomos esta un plano lo cual es muy importante porque podemos conocer como se van a deslizar estos planos unos con respecto a otros. Para poder determinar cuáles son sistemas existentes. primero tenemos que ver cuáles son los planos y direcciones preferentes. con su respectiva dirección de deslizamiento ( densidad lineal) . de tal forma que cuanto mayor es el número de ellos mayor será la capacidad de deformación de éstos.es/IMM2/estructuras_cristalinas/planos.BIBLIOGRAFÍA:   http://html. Cuando ocurre deslizamiento bajo esfuerzo (deformación plástica). la combinación de estos dos densidad planar y lineal me dan a conocer la deformación del material. éste ocurre en los planos sobre los cuales los átomos están más densamente empacados.us. coma la cantidad de átomos que hay en un determinado plano ejemplo: familia de planos (100). El parámetro reticular es a. Sí se coloca un átomo en cada punto de la red de Bravais cúbica centrada en cuerpo. Estructura cúbica centrada en caras FCC .REDES CRISTALINAS BCC Y FCC Estructura cúbica centrada en cuerpo (BCC) Esta estructura recibe la designación de I y en ella todos los ejes son iguales a = b = c y sus ángulos son de 90º. tengo 8 átomos en los vértices y uno en el interior. Luego en esta estructura NC = 8. El átomo central toca a todos los átomos de los vértices a través de la diagonal del cubo. Éste nº de átomos que tocan al átomo central son los vecinos inmediatos y es lo que se denomina nº de coordinación. La densidad planar o del plano es 2/a2. Entonces. Todos los ejes unitarios son iguales y sus ángulos son de 90º. Si colocamos un átomo en cada punto de la red de Bravais cúbica centrada en caras. CALCULO DE LA DENSIDAD PLANAR Para calcular la densidad planar usamos la siguiente convención. tal como la del átomo localizado en el centro de una cara en una estructura FCC. tendremos 6 átomos en los seis centros de caras. notamos que la huella de la intersección del átomo sobre el plano es un círculo. dentro del área contamos un átomo en el centro y un cuarto de átomo en cada una de las esquinas. Si un átomo pertenece totalmente a un área dada. siendo el parámetro reticular a. ya que cada uno intercepta solamente un cuarto de círculo en el área.Se designa con la letra FCC. Debemos agregar que en estos cálculos de . además de los 8 de los vértices. (110). mientras que para la estructura BCC.Luego los planos pertenecientes a estas familias constituyen los planos de deslizamientos de sus estructuras cristalinas correspondientes. Por lo que ya solo necesitamos conocer. A continuación veremos el cálculo de la densidad atómica planar de la familia de planos (100). Si determinamos la densidad planar de las distintas familias de planos de las diferentes estructuras. la familia de planos de mayor densidad planar es la {111}. una de las reglas básicas es que un plano o una línea debe pasar a través del centro de un átomo no se cuenta el átomo en los cálculos. veremos que para el caso de la FCC. es la {110}.la densidad. cuales son las direcciones de deslizamientos. Para poder determinar los sistemas. (111): . Con los resultados anteriores.5% y para BCC es igual a 58. . y después de hallar la densidad planar para diferentes planos de la familia (100) se llega a la conclusión que para FCC es igual a 78.9%. para calcular la densidad planar en una red cristalina BCC debemos garantizar que el plano no intercepte el átomo central. por eso. sin tenerlo en cuenta. A continuación se mostrará el desarrollo de lo anteriormente mencionado: . después de esto se pasa a hacer un cálculo de la densidad planar.Como ya quedó dicho en la introducción. Aquello es posible saberlo haciendo proyección del área y del plano. utilizando geometría analítica. para poder tener en cuenta a éste como un átomo representativo. el área del plano debe pasar por el centro del átomo. para calcular la densidad planar. Para el plano (111) BCC se ha hecho con anterioridad una proyección y se ha deducido que el átomo central no corta lo suficiente al área del plano como para tomarse como un átomo representativo. F WILLIAM.aranda/apuntesciemat/TEMA%201funcmat.3%.53% y para BCC es igual a 83.es/beatriz.Con los resultados anteriores. Fundamentos de la ciencia e ingeniería de materiales . BIBLIOGRAFIA:   http://www.7% y para BCC es igual a 34%.uhu. Con los resultados anteriores.pdf (1) SMITH. y después de hallar la densidad planar para diferentes planos de la familia (111) se llega a la conclusión que para FCC es igual a 90. y después de hallar la densidad planar para diferentes planos de la familia (110) se llega a la conclusión que para FCC es igual a 55. más difícil será detectar la difracción. salvo en situaciones muy particulares. con alto costo y baja resolución (no se puede hacer microscopía a nivel atómico en forma rutinaria).3. Resolver algunos ejemplos sobre la aplicación de difracción de rayos x en la cristalografía. Entre mayor sea el tamaño del objeto en comparación con la longitud de onda. OBJETIVOS ESPECÍFICOS  Deducir la fórmula que relaciona la longitud de onda (λ). El haz se dispersa en varias .   CRISTALOGRAFÍA DE RAYOS X La cristalografía de rayos x es una técnica que consiste en hacer pasar un haz de luz a través de un cristal de la sustancia o el material en estudio. Conocer algunos equipos que intervienen en el uso de rayos x para el estudio de la cristalografía. el parámetro de red (a) y el ángulo de incidencia de los rayos x (θ). En el espectro electromagnético. OBJETIVO GENERAL  Comprender la aplicación de la difracción de rayos x en la cristalografía. es un proceso que ocurre en todo tipo de ondas cuando éstas se esparcen o se curvan frente a la presencia de un obstáculo u orificio. Las técnicas habituales para estudiar las estructuras cristalinas se basan en el fenómeno de difracción. La difracción hablando en términos físicos. la distancia entre planos cristalinos (d). Dicho fenómeno se da cuando la longitud de onda es mucho mayor que las dimensiones del obstáculo.8 DIFRACCIÓN DE RAYOS X INTRODUCCIÓN No es posible visualizar directamente los átomos. los rayos x tienen longitudes de onda cercanos a las distancias interatómicas de la materia. a esto se debe su utilidad en el estudio de las estructuras cristalinas. haciendo uso de la LEY DE BRAGG. disoluciones. Bragg fue pionero en el tema y desarrolló una sencilla teoría. se puede observar un patrón de intensidades que se interpreta según la ubicación de los átomos. Esta condición se expresa en la ley de Bragg: Donde:     n es un número entero. equiespaciados y semitransparentes a la radiación.direcciones debido al orden de los átomos en el cristal y. La interferencia es constructiva cuando la diferencia de fase entre la radiación emitida por diferentes átomos es proporcional a 2π. por lo tanto. d es la distancia entre los planos de la red cristalina y. Una de las limitaciones de esta técnica es que solo se puede usar en materiales cristalinos. no puede ser usada en sustancias como gases. W. Para efectos de la reflexión se aplica que el ángulo de incidencia es igual al de reflexión. entre otros. a sistemas amorfos. θ es el ángulo entre los rayos incidentes y los planos de dispersión. por difracción. . LEY DE BRAGG Para interpretar los diagramas de difracción se requiere una teoría. que es la que veremos. En este modelo se analiza la interacción de un haz de radiación sobre un conjunto de planos paralelos. λ es la longitud de onda de los rayos X. Para el primer plano. DEDUCCIÓN LEY DE BRAGG Consideramos la figura de abajo conformada por planos de átomos distanciados a una longitud d. Estos rayos son dispersados por los átomos K y L. DEDUCCIÓN DE LA LEY DE BRAGG POR DIFERENCIA DE CAMINO ÓPTICO Para analizar los rayos dispersados por átomos en diferentes planos se toma los rayos 1 y 2 de la figura de arriba. pero para cierta dirección. estos rayos (1’ y 1a’) se encuentran en fase y por lo tanto se cumple que: QK − PR = PKcosθ − PKcosθ = 0 Esta condición se cumple para cada plano. el cambio de fase de las ondas produce interferencia constructiva (figura izquierda) o destructiva (figura derecha). las rayos 1 y 1a golpean los átomos K y P los cuales son dispersados en todas la direcciones.De acuerdo al ángulo de desviación (2θ). la diferencia en sus caminos ópticos es: ML + LN = dsenθ + dsenθ . ambos valores incluidos. no habrá ni siquiera solución para n=1. en tal caso el problema no tiene soluciones. Si siguiendo este procedimiento. Se observará que no siempre hay solución. Aquí se trata de buscar las parejas (n. Primero verificamos si λ puede caber al menos justo una vez en la diferencia de camino óptico. θ) que son soluciones de la ecuación. ¿Cómo se interpreta el número n? Revisando la deducción de esa ley. y probando con n crecientes y sin saltarse ninguno. Nótese que si los datos iniciales son tales que λ es mayor que 2d. se encuentra que una solución de orden n´ (por ejemplo.Así estos rayos estarán completamente en fase si su diferencia de caminos es igual a un número entero (n) de longitudes de onda λ.  Suponiendo que λ. La ecuación de Bragg da la relación entre las posiciones angulares de los haces difractados reforzados en función de la longitud de onda (λ) de la radiación de rayos x incidente y del espaciado interplanar dhkl de los planos . n´=5) por primera vez no es posible. tenemos que n es el número entero de veces que λ cabe en la diferencia de camino óptico de dos planos sucesivos de la familia de planos paralelos considerada. y buscamos el ángulo apropiado. Para que los haces emergentes estén en fase. entonces sólo habrá soluciones entre 1 y n´-1. Si hay solución en θ para n=1. n tiene que ser un entero. de tal manera que se cumple que: INTERPRETACIONES Y SOLUCIONES DE LA LEY DE BRAGG La Ley de Bragg establece que nλ=2dsinθ. podemos seguir buscando las soluciones de orden superior (para n mayores). d y θ son dados: Sabemos que n es un número entero mayor o igual a la unidad.  Analicemos ahora las soluciones de Bragg en que solo λ y d son datos fijos: Nos quedan como variables n y θ. en tal caso no habrá reflexiones. donde n=1. k.cristalinos. k y l son los índices de Miller de los planos. donde h. y en este caso la ley de Bragg resulta: ACERCA DE LA DISTANCIA INTERPLANAR (d) Y EL PARÁMETRO DE RED (a) En las estructuras cristalinas cúbicas. k y l. Este espaciado representa la distancia desde un origen elegido que contiene a un plano a otro paralelo con los mismos índices que sea cercano al primero. h. a = constante de red (arista del cubo unidad). l = índices de Miller de los planos cúbicos considerados. se puede demostrar que para las estructuras cristalinas cúbicas: Donde: dhkl = espaciado interplanar entre planos paralelos contiguos con índices de Miller h. Por simple geometría. En muchos casos se utiliza el primer orden de difracción. el espaciado interplanar entre dos planos paralelos con los paralelos con los mismos índices de Miller se indica como dhkl. ANÁLISIS POR DIFRACCIÓN DE RAYOS X DE LAS ESTRUCTURAS CRISTALINAS MÉTODO DE ANÁLISIS DE POLVO POR DIFRACCIÓN DE RAYOS X: . La técnica comúnmente utilizada en difracción de rayos x es el método de polvo. En ésta técnica se utiliza una muestra pulverizada de muchos cristales para que tenga lugar una orientación al azar y asegurar que algunas partículas estarán orientadas en el haz de rayos x para que cumplan las condiciones de difracción de la ley de Bragg. todos los planos (hkl) son planos de reflexión. Para la estructura BCC la difracción solo se da en los planos cuyos índices de Miller sumados (h+k+l) dan un número par. En la estructura FCC los principales planos de difracción son los que sus índices son todos pares o todos impares (el cero se considera par). Para esto debe conocerse cuáles planos cristalinos son planos de difracción para cada tipo de estructura cristalina:   Para la red cúbica sencilla. Los datos de los análisis de rayos x por difracción de las celdas unitarias pueden simplificarse expresando la longitud de onda así: Finalmente: Empleando la anterior ecuación junto con los datos de difracción de rayos x podemos determinar si una estructura es cúbica centrada en el cuerpo (BCC) o cúbica centrada en las caras (FCC).  Reglas para determinar los planos de difracción {hkl} en los cristales cúbicos: Índices de Miller de los planos de difracción para las redes BCC y FCC: . . Como y se pueden eliminar estos valores con la relación de dos valores de sin2θ.Un caso sencillo que permite ilustrar cómo se puede emplear este análisis es diferenciar entre las estructuras cristalinas BCC y FCC de un metal cúbico. θA y θB: son los dos ángulos de difracción asociados a los planos principales escogidos. Despejando y elevando al cuadrado ambos lados se tiene: A partir de los resultados experimentales de difracción de rayos x se pueden obtener los valores de 2θ para una serie de planos principales de difracción {hkl}. Supóngase que se tiene un metal con una estructura cristalina BCC o FCC y que se pueden identificar los planos de difracción principales y los valores de 2θ correspondientes. Sustituyendo h.5. Para la estructura cristalina FCC los dos primeros planos principales son {1 1 1} y {2 0 0}. EL DIFRACTÓMETRO .Para la estructura cristalina BCC los dos primeros planos principales son {1 1 0} y {2 0 0}. Sustituyendo h.75. k y l en la ecuación anterior se tiene: Del resultado anterior podemos concluir que un metal es FCC si la relación de de los planos primeros planos principales de difracción es 0. k y l en la ecuación anterior se tiene: Del resultado anterior podemos concluir que un metal es BCC si la relación de de los planos primeros planos principales de difracción es 0. EJEMPLOS DE APLICACIÓN 1. Una muestra de hierro BCC se coloca en un difractómetro de rayos X utilizando rayos X incidentes de longitud de onda λ = 0.El difractómetro de rayos X es capaz de detectar la radiación que emana una muestra determinada al ser excitada por una fuente de energía. Calcule el valor de la constante de red a para el hierro BCC. De este modo la estructura atómica de la muestra quedará registrada en un difractograma. La respuesta generada depende del ordenamiento interno de sus átomos. suponga un orden de difracción de n = 1. El difractómetro está compuesto de un portamuestras móvil que irá moviendo el objeto estudiado con el fin de variar el ángulo de incidencia de los rayos X.1541 nm. La difracción a partir de los planos {1 1 0} se obtiene a 2θ = 44.704 º. Solución: . 7. 58. El difractograma de un elemento que tiene estructura cúbica BCC o FCC presenta picos de difracción en los ángulos 2θ siguientes: 40. . 100. Solución: a) Determinación de la estructura cristalina del elemento. La longitud de onda de los rayos X incidentes utilizados es de 0. 154 nm. 86.4 y 114. Primero se calculan los valores de sin2θ a partir de los valores de 2θ de los ángulos de difracción.c)Identifique al elemento.2. b)Determine la constante de red del elemento. 73. a) Determine la estructura cúbica del elemento.8. 117.A continuación se calcula la relación entre los valores de sin2θ de los ángulos primero y segundo: La estructura cristalina es BCC ya que la relación es de ≈ 0. de volumen e influencia de las dislocaciones en las propiedades mecánicas de los materiales. Sustituyendo h = 1. Como se mencionó antes. En el arreglo de los átomos o iones de los materiales diseñados existen imperfecciones o defectos. Si la relación hubiera sido ≈ 0. En esta parte hablaremos de los defectos superficiales. El elemento es el volframio. estas imperfecciones pueden darse en 3 tipos: . 3. b) Determinación de la constante de red.75. que son planos {1 1 0}.9 Imperfecciones cristalinas. estos defectos tienen un impacto directo sobre las propiedades de los materiales. dado que el elemento tiene una constante de red de 0.5.154 nm.316 nm y es BCC. k y l de la primera serie de planos principales de difracción para la estructura BCC. y para una radiación incidente de λ. k = 1 y l = 0 en la ecuación anterior para los índices de Miller h. Con frecuencia. se obtiene: c) Identificación del elemento. la estructura seria FCC. el valor correspondiente a sin2θ es 0. 0. 1. Un “punto” importante acerca de los defectos es que.9. como dislocaciones.blogspot.com/2009_02_01_archive. 3. límites de grano. aunque se presentan en uno o dos sitios.html 3.1 Átomos intersticiales: Se forman cuando se inserta un átomo o ion adicional en la estructura cristalina en una posición normalmente desocupada. Lineales y superficiales. http://nelyestradad. c) Átomos sustitucionales. etc. b) Vacancias. . Son de 3 tipos: a) Átomos intersticiales. De volumen. su presencia es en distancias muchos mayores en el material cristalino.1) 2) 3) Puntuales. en consecuencia es distinto de los defectos extendidos.1 Imperfecciones puntuales: Un defecto puntual implica en general a uno o un par de átomos o iones y.9. son mayores que los sitios intersticiales que ocupan. Los átomos intersticiales como los de hidrogeno están presentes. además es un hueco creado por la pérdida de un átomo.2 Vacancias: constituye el defecto puntual más simple. los átomos de carbono ocupan sitios intersticiales en la estructura cristalina del hierro e introducen un esfuerzo en la región del cristal en su cercanía.uc3m.Los átomos o los iones intersticiales.1. Esta es una forma importante de aumentar la resistencia de los materiales metálicos. la cantidad de átomos o iones intersticiales en la estructura permanece casi constante. http://ocw. con frecuencia. la región cristalina vecina esta comprimida y distorsionada. se encuentran con resistencia a su movimiento. A diferencia de las vacancias. mientras que los átomos de carbono se agregan en forma intersticial al hierro para producir acero. Puede producirse durante la solidificación por perturbaciones locales durante el crecimiento de los cristales. como impurezas. . aunque son mucho menores que los átomos o los iones que están en los puntos de red. en consecuencia. Para concentraciones pequeñas. Si hay dislocaciones en los cristales al tratar de mover esos tipos de defectos.htm 3.es/ciencia-e-oin/quimica-de-losmateriales/Material%20de%20clase/tema6a. aun cuando se cambie la temperatura. con lo que se vuelve difícil crear deformación permanente en metales y aleaciones.9. una vez introducidos. Las dislocaciones son defectos de línea que se mueven al aplicar una fuerza al material haciendo que se deforme.1. En los cristales metálicos. Estos aun teniendo también estructura cristalina no permiten los procesos de plastificación. El esfuerzo cortante resultante crítico es el esfuerzo requerido para que se mueva la dislocación.es/~avicente/curso/unidad3/defectos.upv. la existencia de dislocaciones en los materiales metálicos justifica la plasticidad y fluencia que los caracterizan y diferencian frente a los cerámicos. el número y tipo de direcciones de deslizamiento y planos de deslizamiento influye en las propiedades del metal. Se debe tomar en cuenta que el radio del átomo no debe ser diferente de un 15% ya sea en mayor o menor proporción ya que podrían ocurrir perturbaciones en el material. En el caso de los metales BCC. no hay planos compactos disponibles y el esfuerzo cortante resultante crítico . en consecuencia.9. 3. típicamente es una dirección compacta. y un átomo sustituido de menor radio hará que los átomos vecinos sufran una tensión. El plano de deslizamiento normalmente también es compacto o casi compacto. La dirección de deslizamiento. los metales FCC tienden a ser dúctiles.html 3. La dislocación se mueve en un sistema de deslizamiento. Un átomo de mayor radio hará que los átomos vecinos sufran una compresión. el esfuerzo cortante resultante crítico es bajo y existe un número óptimo de planos de deslizamiento.3 Átomos sustitucionales: en este defecto se sustituye un átomo de la estructura cristalina por otro. formado por un plano de deslizamiento y una dirección de deslizamiento.9.2 Lineales y superficiales: Se dan en dirección de los planos de Miller. debido a la ausencia conjunta de átomos alineados en súplanos. En los metales de estructura cristalina FCC.http://personales. átomos intersticiales y átomos sustitucionales. los átomos intersticiales (localizados en sitios intersticiales entre átomos normales) y los átomos sustitucionales (que remplazan al átomo normal en puntos de la red) a menudo se introducen de manera deliberada y generalmente su número no se altera por los cambios de temperatura del material. En este caso. las dislocaciones no pueden deslizarse en las cercanías de defectos puntuales. La parte superior de la región frontal del cristal desliza una unidad atómica a la derecha respecto a la parte inferior. Los defectos puntuales.2. haciendo que estos metales se comporten de manera frágil. introducen campos de esfuerzos de compresión o de tensión que alteran la red adyacente. Como resultado. 3.2. Dislocaciones helicoidales. que incluyen vacancias. El número de sistemas de deslizamiento en los metales HCP es limitado. El número de vacancias. depende de la temperatura del material.9.9.1 Dislocaciones simples: Deslizamiento de los planos cristalinos por acción de una fuerza. 3.es alto. incrementándose la resistencia del material. por lo que los metales BCC tienden a ser resistentes. Se agrupan en: a) b) Dislocaciones simples. o de puntos de red vacíos.2 Dislocaciones helicoidales o de tornillo: Se llama así debido a la superficie espiral formada por los planos atómicos alrededor de la línea de dislocación y se forman al aplicar un esfuerzo cizallante. el vector de Burgers es paralelo al plano que contiene la dislocación y perpendicular al plano de deslizamiento . 9. Este tipo de defectos son los que confieren movilidad iónica al sólido. En el caso de un cristal iónico. ocurre cuando un ion salta de un punto normal dentro de la red a uno intersticial dejando entonces una vacancia. Este defecto es ilustrado con un ejemplo de cloruro de sodio. es el conjunto formado por un átomo intersticial y el hueco que ha dejado tras el salto. son predominantes los defectos Frenkel de los cationes. los cationes son más pequeños que los aniones.com/2010/05/defects-in-solidsdislocaciones.3 Otros tipos de dislocaciones: a) Defecto frenkel: es una imperfección cristalina combinada de la vacancia y de la intersticial.http://conocimientosdefectsinsolids.blogspot. los diagramas son una representación en 2 dimensiones de lo que ocurre realmente en 3: .html 3. Cada vacante es un defecto de Schottky por separado. En el Zr+4 faltante.com/2009_02_01_archive. Una dislocación de borde se puede ilustrar haciendo un corte parcial en un cristal perfecto.wikipedia. Ejemplo: http://es. . El defecto es típico de los materiales cerámicos. Para mantener la neutralidad deben perderse de la red tanto un catión como un anión. Es exclusivo de los materiales iónicos y suele encontrarse en muchos materiales cerámicos. Se generan vacantes de iones de signo contrario para anularse de forma estequiométrica. pues es un defecto que aparece para mantener la electro neutralidad del material. las vacancias se presentan en un material con enlaces iónicos.blogspot.7val. habrá 2 iones O-2 faltantes.com/wiki/Defecto_Schottky c) Dislocaciones de borde: resultan cuando las dos nuevas superficies son desplazadas transnacionalmente en dirección normal a la línea de dislocación. donde debe faltar un número estequiométrico de aniones y cationes en el cristal si se quiere conservar en el la neutralidad eléctrica.html b) Defecto schottky: es una par de vacancias en un material con enlaces iónicos.http://nelyestradad. con el fin de mantener una carga total neutra. abriendo el cristal y llenando en parte el corte con un plano adicional de átomos. un Mg+2 y un O-2 iones faltantes en Mg constituyen un par de Schottky. La orilla inferior de este plano insertado representa la dislocación de borde. En este defecto. Por ejemplo. html d) Dislocaciones mixtas: Con frecuencia los cristales exhiben mezcla de las dislocaciones anteriores. Levanta alguna de sus patas en determinado momento. La estructura atómica local en torno a la dislocación mixta es difícil de visualizar.upv. pero el vector de Burgers proporciona una descripción conveniente y sencilla. con una región de transición entre ellas.http://personales. Otra analogía es el movimiento de avance de una oruga. rompiendo los enlaces de los átomos en un plano. esta se puede mover. El desplazamiento hace que la dislocación se mueva una distancia atómica hacia el lado. el cristal se ha deformado plásticamente. . y usa el movimiento para ir de un lado a otro. Sin embargo. Si continua este proceso. El plano de corte se desplaza un poco para establecer enlaces con el plano parcial de átomos originales. el vector de burgers queda igual para todas las porciones de la dislocación mixta. sin levantar todas las patas al mismo tiempo.es/~avicente/curso/unidad3/defectos. Cuando se aplica una fuerza cortante en la dirección del vector de burgers a un cristal que contenga una dislocación. Las dislocaciones mixtas tienen componentes de borde y tornillo. Una gran diferencia entre el movimiento de una oruga y el de una dislocación es la velocidad con que se mueven. La velocidad con la que se propagan las dislocaciones en los materiales es cercana o mayor que la velocidad del sonido. la dislocación se mueve a través del cristal hasta que se produce un escalón en el exterior del mismo. Su vector de Burgers no es ni perpendicular ni paralelo a la línea de dislocación. pero mantiene una orientación fija en el espacio. Esto es un factor muy importante en la fabricación de dispositivos micro electrónico a base de sí. contener muescas diminutas y ser mucho más reactiva en el interior del material.htm  Límites de grano de ángulo pequeño: Un límite de grano de ángulo pequeño es un conjunto de dislocaciones que produce una pequeña desorientación entre cristales vecinos.  Límites de grano La estructura de muchos materiales cerámicos y metálicos consiste en muchos granos. .4 De volumen: para comenzar a hablar de este tipo de imperfección se aclararan los siguientes temas:  Superficie del material: Las dimensiones exteriores del material representan superficies en donde termina el cristal en forma súbita. si se pudieran introducir dislocaciones en forma continua en un lado del cristal. la orientación del arreglo de átomos. es distinta en cada grano vecino. Cada átomo en la superficie ya no tiene el número adecuado de coordinación y se interrumpe en enlazamiento atómico. Los límites de grano con tamaño pequeño que se forman por dislocaciones de borde se llaman límites inclinados los que se forman por dislocaciones de tornillo (véase defectos lineales) se llaman límites de giro. Como la superficie de la energía es menor que la de un límite de grano normal. La superficie exterior también puede ser muy áspera. los límites de grano con ángulo pequeño no son tan eficientes para bloquear los deslizamientos. 3. Un grano es una porción del material dentro de la cual el arreglo de los átomos es casi idéntico. Sin embargo.9. http://members.Otra forma de visualizar esto es imaginar cómo se movería una onda en una alfombra si tratáramos de eliminarla aplanándola en lugar de levantar la alfombra. el cristal terminaría por quedar cortado a la mitad. moviéndose a través del cristal por la misma trayectoria.fortunecity.com/ginermendocilla/Fun. o estructura cristalina. El maclado sucede durante la deformación o el tratamiento térmico de ciertos metales. que hace que los átomos se desplace de su posición. La presencia de dominios influye sobre las propiedades dieléctricas y magnéticas de muchos materiales electrónicos y magnéticos. Las maclas pueden producirse cuando una fuerza cortante. Estos materiales electrónicos y magnéticos contienen dominios. un grupo de átomos de alguna impureza puede unirse para formar un precipitado tridimensional. En la figura se muestra un ejemplo de dominios en el titanio de bario tetragonal forro eléctrico. Los defectos volumétricos se forman cuando un grupo de átomos o de defectos puntuales se unen para formar un vacío tridimensional o poro. Finalmente el concepto de un defecto tridimensional o volumétrico puede ampliarse a una región amorfa dentro de un material poli cristalino. Límites de macla: Un límite de macla (o de gemelación) es un plano a través del cual hay una desorientación especial de imagen especular de la estructura cristalina. puede ser mayor. .  Límites de dominio: los materiales ferro eléctricos son los que desarrollan polarización dieléctrica espontánea y reversible. En esos materiales se forman muchos dominios pequeños de tal manera que se minimiza la energía libre total del material. Los límites de macla interfieren con el proceso de deslizamiento y aumentan la resistencia del metal. El movimiento de los límites de macla también puede causar la deformación del metal. Los defectos tienen un efecto o influencia considerable en el comportamiento y desempeño de un material. El tamaño de un defecto volumétrico puede variar desde unos cuantos nanómetros hasta centímetros o. que actúa a lo largo de límite de macla. Un dominio es una pequeña región del material cuya dirección de magnetización o polarización dieléctrica permanece igual. A los materiales que desarrollan una magnetización en forma parecida se les llama ferromagnéticos o ferromagnéticos. De manera inversa. en ocasiones.