Exposicion de Grafos

Tema 5: GrafosI.S.C. Jorge Salgado Hernandez 1 Indice 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Tipos de grafos Conceptos Básicos Representación de grafos Subgrafos. Grafos complementarios Caminos y conectividad Grafos Bipartitos Recorridos, eulerianos o hamiltonianos Isomorfismo de grafos I.S.C. Jorge Salgado Hernandez 2 Tipos de Grafos  Un grafo G es un par (V,E) donde:  V ={v1,…,vn} es un conjunto de vértices    E = {e1,…,em} es un conjunto de aristas, con cada ek  {vi, vj}, con vi, vj  V, vi ≠ vj Los vértices se representan como puntos y las aristas como líneas entre vértices Ejemplo:    G = (V,E) V = {a,b,c,d } E = {{a,b}, {b,c}, {a,c}, {a,d}, {d,b} } I.S.C. Jorge Salgado Hernandez 3 Tipos de Grafos  Ejemplo: red de ordenadores I.S.C. Jorge Salgado Hernandez 4 {e. {c.Tipos de grafos   Es importante recordar que un mismo grafo puede tener diferentes representaciones gráficas Ejemplo: Dos representaciones del mismo grafo G = ({a.e.{b.d}.f}.{d. Jorge Salgado Hernandez 5 .{{a.{a.f}.c.e}.b.c}.b}.f}}) I.d.f}{e.C.S.d}.{a. C.a).(b.d).c).b).a). (a.e} A ={(e.b) } I.a). (c. (d.c.b.Tipos de Grafos  Si el orden influye en la aristas se habla de grafos dirigidos:  En este caso a las aristas se les llama arcos y se representan como pares para indicar el orden:   V = { a.d. (c. Jorge Salgado Hernandez 6 . (d.c). (b.S. S. Jorge Salgado Hernandez 7 .C.Tipos de Grafos  Si se permite que haya más de una arista se habla de multigrafos: I. Jorge Salgado Hernandez 8 .C.Tipos de Grafos  Cuando las aristas tienen un valor numérico asociado se llama de grafos valorados:  Al valor numérico asociado se le llama coste de la arista I.S.  En el resto del tema cuando no se diga lo contrario G representará un grafo o multigrafo no dirigido I.C.S. etc.Tipos de Grafos  Los tipos anteriores pueden combinarse. Jorge Salgado Hernandez 9 . dando lugar por ejemplo a multigrafos valorados. o grafos dirigidos valorados. Si hace falta indicar el grafo en el que está v escribiremos gr(G. gr(v) es el número de aristas incidentes en v. se dice que a es incidente con v El grado de un vértice v.Conceptos Básicos     Dos vértices se dicen adyacentes si existe una arista que los une Los vértices que forman una arista son los extremos de la arista Si v es un extremo de una arista a.v) I.C. Jorge Salgado Hernandez 10 .S. C.A) un grafo. Entonces: ∑ gr(v) = 2|A|  v V   Significado: la suma de los grados de todos los vértices es igual a 2 veces el número de aristas Explicación: I.S. Jorge Salgado Hernandez 11 .Conceptos Básicos Teorema (de los “apretones de manos”) Sea G=(V. C. y se representa por Kn. al grafo de n vértices conectados de todas las formas posibles:  Pregunta: ¿Cuántas aristas tiene en general Kn? I.S. Jorge Salgado Hernandez 12 .Conceptos Básicos  Para cada n≥1 se llama grafo completo de orden n. {v2.…. {vn. v3}. a G=({v1. vn}.Conceptos Básicos  Se llama ciclo de grado n. Jorge Salgado Hernandez 13 .C.S.…. {{v1. {vn-1. y se denota Cn.vn}. v2}. v1}} )  Nota: A menudo sólo se consideran ciclos para n≥3 I. Jorge Salgado Hernandez 14 .C. Se pone un 0 para indicar que 2 vértices no son adyacentes. True  hay arista. False no hay arista I.S. y un 1 para indicar que sí lo son: 1 2 3 4 5 6 2 1 3 G  4 5 6 Matriz de Adyacencia de matriz G Para representarla en un ordenador se utilizan de valores lógicos (booleanos).Representación de Grafos   Para representar los grafos a menudo se utiliza la llamada matriz de adyacencia Se construye imaginando que en las filas y las columnas corresponden a los vértices. y la columna el vértice destino del arco I.S.C. No ocurre lo mismo para grafos dirigidos:  Se supone que la fila representa el vértice origen. Jorge Salgado Hernandez 15 .Representación de Grafos  En el caso de un grafo no dirigido la matriz será simétrica. S. a menudo se emplea un valor especial  para indicar que dos vértices no están conectados  I. Jorge Salgado Hernandez 16 .C.Representación de Grafos  La matriz de adyacencia también permite representar grafos valorados  El valor guardado es el coste de la arista/arco En lugar de 0. Representación de Grafos   En informática a menudo en lugar de la matriz se usa la lista de adyacencia A cada vértice le corresponde una lista con sus adyacentes: G Lista de Adyacencia de G I.S. Jorge Salgado Hernandez 17 .C. Jorge Salgado Hernandez 18 . G’=(V’.A).v) I.S.A’) se dice subgrafo de G si: 1.A’) es subgrafo de G. para todo v  G se cumple gr(G’.C. 3. 2.  V’  V A’  A (V’.Subgrafos  Sea G=(V.A’) es un grafo Resultado fácil de comprobar:  Si G’=(V’.v)≤ gr(G. S.C.Subgrafos  Ejemplo:  G1 y G2 son subgrafos de G I. Jorge Salgado Hernandez 19 . Jorge Salgado Hernandez 20 .C.S.Subgrafos   Un grafo se dice cíclico cuando contiene algún ciclo como subgrafo Ejemplo: I. v}  G  I. entonces {u. entonces {u.v}  G.v}  G.v}  G’   Una forma de construirlo: Dibujar el corresp. Jorge Salgado Hernandez 21 . con n=|V|  Eliminar de Kn las aristas {u.Grafo Complementario  El complementario G’ de un grafo G=(V.v}  G’  Si {u.C.S. grafo completo Kn.A) tiene: Los mismos vértices que G  Si {u. Grafo complementario  Ejemplo : Complementario de 1º Representar K6 2º Marcar las aristas de G I. Jorge Salgado Hernandez 3º Eliminarlas 22 .C.S. ….Caminos y conectividad    Un recorrido en un grafo G = (V.c.C.f. Jorge Salgado Hernandez f. v1.e. vk es k Ejemplo: G I.b. vk tal que {vi. ….A) es una sucesión de vértices v0.S.d es un recorrido de longitud 5 sobre G 23 . v1.vi+1} A para todo 0 ≤i <k La longitud de un recorrido v0. v1.j ≤ k. y puede comenzar y acabar en vértices diferentes Un camino es un recorrido v0. excepto quizás el primero y el último I.S. ….C. vk en el que vi ≠ vj para 0 ≤i. con i ≠0 o j ≠k Es decir en un camino todos los vértices son distintos entre sí. Jorge Salgado Hernandez 24 .Caminos y conectividad    Observación: Un recorrido puede repetir vértices. Jorge Salgado Hernandez 25 .C.c.e.Caminos y conectividad  Ejemplo: G a.d es un camino I.b.S. S.A) un grafo. Jorge Salgado Hernandez 26 .C. La relación xRy  x e y están conectados es de equivalencia (R  ___) Si para todo par de vértices de un grafo están conectados se dice que el grafo es conexo g Las componentes conexas de un grafo G son los mayores subgrafos conexos de G I.Caminos y conectividad     Si existe un camino entre dos vértices se dice que están conectados Sea G=(V. C.d} [d]={b.e} [e]={a.S.d} G/R = {[a].e} [c] = {a. [a] = {a.c.e} [b]={b.c. Consideramos el grafo:  Se tiene que:     G no es conexo: no hay camino entre a y b. por ejemplo. Jorge Salgado Hernandez 27 .c.[b]} G tiene dos componentes conexas: I.Caminos y conectividad  Ejemplo. f es un ciclo 28 . v1.f.e. …. Jorge Salgado Hernandez f.f.b.vk tal que v0 = vk es un circuito Un camino v0.e.c.Caminos y conectividad   Un recorrido v0.C.a es un circuito I. vk tal que v0 = vk es un ciclo G a.b. ….S.c. v1. S. Jorge Salgado Hernandez 29 .Grafos Bipartitos Un problema interesante en un grafo es determinar su número cromático: ¿Cuántos colores son necesarios para pintar los vértices de forma que cada arista una siempre colores distintos?  Ejemplo: Grafo con número cromático 4  I.C. S.C.Grafos Bipartitos   Aplicación: coloreado de mapas ¿Cuántos colores se necesitan para colorear un mapa de forma que no haya dos regiones con frontera con el mismo color? I. Jorge Salgado Hernandez 30 . C. Jorge Salgado Hernandez ¿número cromático 31 .Grafos Bipartitos  Idea: Transformar el mapa en un grafo.S. donde cada vértice representa una región y cada arista un límite entre regiones: ¿Cuántos colores se necesitan? de este grafo?  I. Appel y W. Jorge Salgado Hernandez 32 .Grafos Bipartitos   Resultado: Todos los mapas se pueden colorear con un máximo de 4 colores Solución propuesta en 1879. probada en 1976 por K. I.C.S. Haken con la ayuda de un ordenador. Para toda {vi.S. Se dice que G es bipartito si existen V1. vj  V2 1.A). V2 tales que: 2.Grafos Bipartitos   Nosotros vamos a interesarnos en un caso particular: aquellos grafos que se pueden colorear en dos colores grafos bipartitos Definición: Sea G=(V. Jorge Salgado Hernandez 33 .C. I.vj} A se cumple vi  V1. V1  V2= V V1 ∩ V2= Ø 3. V2={0.4.5}. Jorge Salgado Hernandez 34 .Grafos Bipartitos  Ejemplos: ¿Es bipartito ? Sí.1.C. V1 = {2.6.3.7} I.S. S. de color C1  Dibujar todos los adyacentes de color C2 Parece que  Seguir este proceso hasta haber No es bipartito. Jorge Salgado Hernandez 35 . terminado  pero … ¿cómo estar seguros? I.Grafos Bipartitos  Idea de cómo pintarlo: Empezar por un vértice cualquiera.C. S.Grafos Bipartitos  Teorema: Una grafo es bipartito si y sólo si no tiene ciclos de longitud impar  Ejemplo anterior: No bipartito. 3) I.C. Jorge Salgado Hernandez 36 . contiene ciclos de longitud impar (en la figura aparece marcado uno de long. Recorridos eulerianos  Ciudad de Könisberg. en XVIII:  Pregunta: ¿sería posible dar un paseo pasando por cada uno de los siete puentes. sin repetir ninguno. Jorge Salgado Hernandez 37 . comenzando y acabando en el mismo punto? I.C.S. Recorridos eulerianos  Representación propuesta por Leonard Euler en 1736:  ¿Existe un circuito que pase por todas las aristas una sola vez? I. Jorge Salgado Hernandez 38 .S.C. C. empezando y terminando en el mismo vértice. Jorge Salgado Hernandez 39 .Recorridos eulerianos   A estos circuitos se les llama circuitos eulerianos.S. y a los grafos que los contienen grafos eulerianos Grafo o multigrafo euleriano: admite un recorrido que pasa por todas las aristas una sola vez. Los vértices sí se pueden repetir I. f.d.Recorridos eulerianos  Ejemplo: Grafo euleriano.b.C.a  Ejemplo: El siguiente grafo es euleriano Encuentra un circuito euleriano: I. Circuito euleariano: a.e.a.c.S.b.e.d.c.f. Jorge Salgado Hernandez 40 . Recorridos eulerianos    ¿Cómo saber si un grafo (o multigrafo) es euleriano? Teorema de Euler: Un grafo conexo es euleriano  no tiene vértices de grado impar Ejemplo: A tiene grado 3el grafo de los puentes no es euleriano.S. Jorge Salgado Hernandez 41 . I.C. C.S.Recorridos eulerianos  Si el grafo/multigrafo tiene sólo dos vértices de grado impar se llama semi-euleriano. Jorge Salgado Hernandez 42 . Se puede convertir en euleriano añadiéndole una arista: Semi-euleriano Euleriano I. Al ciclo se le llama ciclo hamiltoniano Ejemplos: I. Jorge Salgado Hernandez 43 .S.C.Recorridos hamiltonianos   Un grafo se dice hamiltoniano si existe un ciclo que recorre todos sus vértices. .Recorridos hamiltonianos  No existe un método sencillo para saber si un grafo es no hamiltoniano  problema muy complejo Ejemplo: Este grafo es hamiltoniano  ..S.pero este no ¡difícil de probar!  I.C. Jorge Salgado Hernandez 44 . S. G’=(V’. Jorge Salgado Hernandez 45 .C.b} A  {f(a).f(b)} A’ I.Isomorfismo de grafos  Idea: En ocasiones dos grafos con diferentes vértices presentan la misma estructura: ¿Cómo probarlo? Buscando una función biyectiva que convierta los vértices de uno en otro.A’) son isomorfos si existe una función biyectiva f:V V’ tal que {a.A). preservando la estructura de las aristas  Definición: Dos grafos G=(V. d} {3.5} f {h.7} f {c.Isomorfismo de grafos  Ejemplo: f(1) = a f(2) = f f(6) = b f(4) = h f(5) = d f(3) = g f(7) = e f(8) = c Los dos grafos son isomorfos.7} f {d.e} {4.3} f {f.d} {8.8} f {f.8} f {b.2} f {a.g} {1. Demostración: Construimos f como se indica al lado de la figura.c} {4.5} f {b. Se tiene que: {1.e} {6.4} f {a.h} {2.6} f {a. Jorge Salgado Hernandez 46 .7} f {g.e} I.3} f {h.c} {1.C.S.g} {5.b} {2.f} {6. C.Isomorfismo de grafos   ¿Y como saber si dos grafos no son isomorfos? Hay que buscar alguna característica que diferencie la estructura de los dos grafos. Jorge Salgado Hernandez 47 . como por ejemplo: Distinto número de vértices o de aristas  Distinto número de ciclos de una longitud dada  Distinto número de vértices con un mismo grado n  Aristas conectando vértices con dos grados tales que no existan aristas de las mismas características en el otro grafo  I.S. Isomorfismo de grafos  Ejemplo: ¿son isomorfos estos dos grafos?  Respuesta: no.C. G’ tiene un ciclo de longitud 3 (b.c.S. Jorge Salgado Hernandez 48 .b) y G no tiene ninguno de longitud 3 I.d. 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