ExercíciosCap2

EE-881 – Princípios de Comunicações IEXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1 DECOM-FEEC-UNICAMP EE-881 – Princípios de Comunicações I 1. DECOM-FEEC-UNICAMP Um experimento consiste em observar a soma dos números de 2 dados quando eles são jogados. a)  Descreva o espaço amostral. " $ $ $ $ S =$ $ $ $ $ $ # (1− 6) (1− 5) (1− 4) (1− 3) (1− 2) (1−1) ( 2 − 6) (2 − 5) ( 2 − 4) (2 − 3) ( 2 − 2) (2 −1) (3− 6) (3− 5) (3− 4) (3− 3) (3− 2) (3−1) ( 4 − 6) (4 − 5) ( 4 − 4) (4 − 3) ( 4 − 2) (4 −1) (5 − 6 ) (5 − 5) (5 − 4 ) (5 − 3) (5 − 2 ) (5 −1) ( 6 − 6) (6 − 5) ( 6 − 4) (6 − 3) ( 6 − 2) (6 −1) % ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' & EE-881 – Princípios de Comunicações I DECOM-FEEC-UNICAMP b)  Assumido todos os resultados equiprováveis. encontre a probabilidade da soma ser 7 e a probabilidade da soma ser maior que 10. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P soma = 7 = P 1− 6 + P 2 − 5 + P 3− 4 + P 4 − 3 + P 5 − 2 + P 6 −1 ( = 6× 1 1 = 36 6 ) ( ) ( ) ( ) P soma > 10 = P 5 − 6 + P 6 − 6 + P 6 − 5 = 3× 1 1 = 36 12 . x2 = +1 .0041 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b)  Encontre a probabilidade dos 3 primeiros serem positivos. P !" x1 = +1 . x2 = +1 .32 × 0. a)  Encontre a probabilidade de todos os pulsos serem positivos. DECOM-FEEC-UNICAMP Um experimento consiste em observar 6 pulsos consecutivos em um enlace de comunicações. P "# x1 = +1 . x5 = −1 .EE-881 – Princípios de Comunicações I 2.3 = 0. x4 = +1 . i-ésimo pulso: positivo: {xi = +1} negativo: {xi = -1} ausente: {xi = 0} Assuma que P(xi = +1) = 0.46 = 0. x4 = −1 . x3 = +1 .43 × 0. x5 = +1 . Experimentos individuais que determinam o tipo de pulso são independentes. x6 = 0 $% = ( )( )( ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ) ( ) P x1 = +1 P x2 = +1 P x3 = +1 P x4 = −1 P x5 = −1 P x6 = 0 = 0. Pulso pode ser positivo.0017 .3. os 2 seguintes serem negativos e o último ausente. negativo ou ausente. x6 = +1 #$ = ( )( )( )( )( )( ) P x1 = +1 P x2 = +1 P x3 = +1 P x4 = +1 P x5 = +1 P x6 = +1 = 0.4 e P(xi = -1) = 0. x3 = +1 . DECOM-FEEC-UNICAMP Um submarino atira 3 torpedos contra um porta-aviões.4.4 # & " 3% ( 2 3 ( )( ) ) = 0.4) !3 $ P acertar 2 torpedos = # & 0. qual é a probabilidade de afundar o porta-aviões.064 ) ( ) P afundar o porta-aviões = P acertar 2 torpedos + P acertar 3 torpedos = 0.EE-881 – Princípios de Comunicações I 3.216 # & "0% ( ! 3$ P acertar 1 torpedo = # & 0.4 = 0.4) ! 3$ P acertar 3 torpedos = # & 0.4 # & "1 % ( ) ) ( )( 1 2 ( ) (1− 0. O porta-aviões só será afundado de 2 ou mais torpedos o atingirem.352 .288 0 1− 0.432 1 ( ) (1− 0.4 1− 0. Sabendo que a probabilidade de um torpedo acertar o porta-aviões é de 0.4 = 0.4 # & " 2% ( ) ( ) ) ( = 0. !3$ 0 3 # & P não acertar nenhum torpedo = 0. EE-881 – Princípios de Comunicações I 4.α a)  Média: ( ) mX = E !" X #$ = 0 ⋅ α +1⋅ 1− α = 1− α b)  Variância: σ X2 = E !" X 2 #$ − mX2 E !" X 2 #$ = 02 ⋅ α +12 ⋅ 1− α = 1− α ( 2 ) σ X2 = (1− α ) − (1− α ) = (1− α ) α . Variável aleatória X: DECOM-FEEC-UNICAMP 0 ⇒ P(0) = α 1 ⇒ P(1) = 1 . A PDF de uma variável aleatória X é dada por: fX "$ k x =# $%0 a≤ x≤b () fora a)  Determine k.EE-881 – Princípios de Comunicações I DECOM-FEEC-UNICAMP 5. ∫ ∞ −∞ () f X x dx = 1 ⇒ ∫ b a k dx = 1 ⇒ k = 1 b−a b)  Seja a = -1 e b = 2. Calcule P(|X| ≤ 1/2). fX #1 % x = $3 % &0 () ) 1/3 −1 ≤ x ≤ 2 fora # 1 1& P X ≤ 1 2 = P %− ≤ X ≤ ( = 2' $ 2 ( fX(x) -1 -1/2 ∫ 12 −1 2 () f X x dx = ∫ 0 1 1 dx = −1 2 3 3 12 1/2 2 x . ( ) ( = 1 1 − erf 2 2 = 0.EE-881 – Princípios de Comunicações I DECOM-FEEC-UNICAMP 6. Qual a probabilidade das nuvens estarem acima de 2750 m? FX ' ! x − m $* 1) x &. x = P X ≤ x = 1+ erf # # 2σ &. Assuma que a altura das nuvens é uma variável aleatória gaussiana X com média 1830 m e desvio padrão de 460 m.954 2 2 . 2 )( " %+ () ( ) X " 2750 −1830 %+ 1( P X > 2750 = 1− P X ≤ 2750 = 1− *1+ erf $ '2) # 2460 &.023 ) ( ) 2 = 1 1 − ⋅ 0. Cov !" XY #$ = E !" XY #$ − mX mY = E !" X #$ E !"Y #$ − mX mY = mX mY − mX mY = 0 b)  X e Y relacionados por Y = aX + b. Encontre a covariância de X e Y para a)  X e Y independentes. Cov !" XY #$ = E !" XY #$ − mX mY = E !" X aX + b #$ − mX mY ( ) E !" XY #$ = E !" X aX + b #$ = E !"aX 2 + bX #$ = aE !" X 2 #$ + bE !" X #$ = aE !" X 2 #$ + bmX ( ) mY = E !"aX + b#$ = a mX + b Cov !" XY #$ = aE !" X 2 #$ + bmX − mX a mX + b = aE !" X 2 #$ − a mX2 = aσ X2 ( ) .EE-881 – Princípios de Comunicações I DECOM-FEEC-UNICAMP 7. mX t = E !" Acos ω t + Bsen ω t #$ = E !" A#$ cos ω t + E !" B#$sen ω t () ( ) ( ) ( ) ( ) Para X(t) ser estacionário. ou seja. mX(t) tem que ser independente de de t. Considere um processo aleatório X(t) = Acos(ωt) + Bsen(ωt) onde ω é uma constante e A e B são variáveis aleatórias a)  Mostre que a condição E[A] =E[B] = 0 é necessária para X(t) ser estacionário. E[AB] = 0 e E[A2] = E[B2] =σ2 .EE-881 – Princípios de Comunicações I DECOM-FEEC-UNICAMP 8. então E !" A#$ = E !" B#$ = 0 b)  Mostre que X(t) é estacionário no sentido amplo (WSS) se e somente se as variáveis A e B forem descorrelacionadas com igual variância. EE-881 – Princípios de Comunicações I DECOM-FEEC-UNICAMP Se X(t) é estacionário no sentido amplo. então ' 2 ! π $* 2 ! # E " X 0 $ = E ) X # &.t + τ = E !" X t X t + τ #$ = E !" Acos ω t + Bsen ω t ( ) () ( ) ( ( ) ( )) ( Acos (ωt + τ ) + Bsen (ωt + τ ))#$ = E !" A2 cos ω t cos ω t + τ #$ + E !" AB cos ω t sen ω t + τ #$ + ( ) ( ) ( ) ( ) E !" ABsen ω t cos ω t + τ #$ + E !" B 2 sen ω t sen ω t + τ #$ = ( ) ( ) ( ) ( 1 ! 2# E " A $ + E !" B 2 #$ cos ωτ + E !" AB#$ cos ω 2t + τ 2 { } ( ) ( ) ) . = RX 0 = σ X2 ( " 2ω %+ () () ! π $ mas X 0 = A e X # & = B " 2ω % () Então. E !" A2 #$ = E !" B 2 #$ = σ X2 = σ 2 RX t. Assim. t+τ) será função apenas de τ se E[AB]=0. t+τ) = σ2cosωτ = RX(τ) logo X(t) é WSS!!! ) . se E[AB]=0 e E[A2] = E[B2] = σ2 .EE-881 – Princípios de Comunicações I ( ) RX t. RX t. então temos: mX(t) = 0 RX(t.t + τ = σ 2 cos ωτ + E !" AB#$ cos ω 2t + τ ( ) ( ) ( ) Note que RX(t.t + τ = DECOM-FEEC-UNICAMP 1 ! 2# E " A $ + E !" B 2 #$ cos ωτ + E !" AB#$ cos ω 2t + τ 2 { } ( ) ( mas E !" A2 #$ = E !" B 2 #$ = σ 2 Então. então. 2$ " E &"# X t + τ − X t $% ' = E "# X 2 t + τ − 2 X t + τ X t + X 2 t $% = # % ( ) () ( ) ( ) () () E "# X 2 t + τ $% − 2E "# X t + τ X t $% + E "# X 2 t $% = ( () ) ( () () RX 0 − 2RX τ + RX 0 = 2"# RX 0 − RX τ $% () () ) () () .X(t) ]2] = 2[RX(0) .RX(τ)] onde RX(τ) é a autocorrelação de X(t). Mostre que se X(t) é WSS.EE-881 – Princípios de Comunicações I DECOM-FEEC-UNICAMP 9. E[[X(t + τ) . 2π}. An e Θn são estatisticamente independentes. Encontre a autocorrelação de X(t). RX τ = E !" X * t X * t + τ #$ () () ( ) !N = E (∑ An exp − j2π f 0t − jΘn " n=1 ( N ( = exp j2π f 0τ # ∑ Am exp j2π f 0 t + τ + jΘm ) $ m=1 N ) ( ( N ) ∑∑ E !" A A #$ E !"exp { j (Θ n m n=1 m=1 Pois An e Θn são estatisticamente independentes. m ) − Θn #$ )} ) . Um processo aleatório X(t) é dado pela soma de N sinais complexos: N () ( X t = ∑ An exp j2π f 0t + jΘn n=1 ) onde An é uma variável aleatória representando a amplitude do n-ésimo sinal.EE-881 – Princípios de Comunicações I DECOM-FEEC-UNICAMP 10. A variável aleatória Θn é uniformemente distribuída no intervalo {0. +0 ( ) ( para m ≠ n para m = n Logo. N () ) ( RX τ = exp j2π f 0τ ) ∑ E !" A #$ 2 n n=1 ) . E #$exp j Θm − Θn %& = E #$cos Θm − Θn %& + jE #$sen Θm − Θn %& {( )} ( = ) 2π 2π 0 0 ∫ ∫ ( #cos θ − θ + jsen θ − θ %dθ dθ m n m n & m n $ )+1 =* .EE-881 – Princípios de Comunicações I DECOM-FEEC-UNICAMP Entretanto. EE-881 – Princípios de Comunicações I DECOM-FEEC-UNICAMP 11. Encontre o espectro de potência deste processo. Um processo aleatório X(t) estacionário no sentido amplo possui função de autocorrelação: ( () RX τ = Aexp −3 τ ) onde A é uma constante. ( ) ∫ S f = = ∫ ∞ −∞ ∞ −∞ () ( ) RX τ exp − j2π f τ d τ ( ) ( ) Aexp −3 τ exp − j2π f τ d τ ∞ 0 = A ∫ exp $%− 3+ j2π f τ &' d τ + P ∫ exp $% 3− j2π f τ &' d τ 0 −∞ ( = A A + 3+ j2π f 3− j2π f = 6A 9 + 4π 2 f 2 ) ( ) . EE-881 – Princípios de Comunicações I DECOM-FEEC-UNICAMP 12. média: mY = E !"Y t #$ = E !" X 2 t #$ () () () () = RX 0 = exp 0 =1 . A relação entre a entrada e a saída de um diodo é: Y t = X2 t () () Seja X(t) um processo aleatório gaussiano com média zero e autocorrelação dada por: RX τ = exp −α τ α >0 () ( ) Encontre a média. a autocorrelação e a densidade espectral de potência de Y(t). EE-881 – Princípios de Comunicações I DECOM-FEEC-UNICAMP Autocorrelação: RY τ = E "#Y t Y t − τ $% = E "# X 2 t X 2 t − τ $% () () ( ) () ( ) mas X(t) e X(t – τ) são variáveis aleatórias gaussianas com média zero. então: { () ( ) () ( ) { () ( () () ( ) 2 = RX 0 RX 0 + 2!" RX τ #$ () () ( = 1+ 2exp −2α τ () ) α >0 () ( 2 )} RY τ = E !" X 2 t #$ E "# X 2 t − τ $% + 2 E "# X t X t − τ $% 2 )} E !" X 2 t X 2 t − τ #$ = E !" X 2 t #$ E !" X 2 t − τ #$ + 2 E !" X t X t − τ #$ (provar) . EE-881 – Princípios de Comunicações I DECOM-FEEC-UNICAMP Densidade espectral de potência: ( ) ∫ SY f = = = ∞ −∞ () ( ) RY τ exp − j2π f τ d τ ∞ ∫ $1+ 2exp −2α τ & exp − j2π f τ d τ ' −∞ % ∫ ∞ −∞ ( ( ) ) ( ∞ ) ( ) exp − j2π f τ d τ + 2 ∫ exp − j2π f τ − 2α τ d τ ( ) =δ f + 2α π 2 f 2 +α2 −∞ . EE-881 – Princípios de Comunicações I DECOM-FEEC-UNICAMP 13. Encontre a densidade espectral de potência do processo Y(t) de saída. Suponha que um processo aleatório X(t) estacionário no sentido amplo com densidade espectral de potência SX(t) é a entrada de um filtro como mostrado abaixo. X(t) + Y(t) Σ - Atraso T () () ( Y t = X t − X t −T () () ( Resposta ao impulso do filtro: h t = δ t − δ t − T ( ) ( ) ) H f = 1− exp − j2π fT ) . ( ) ( ) SY f = H f 2 ( ) SX f = 1− exp − j2π fT ( ) ! = # 1− cos 2π fT " 2 2 ( ) SX f $ + sen 2 2π fT & S X f % ( ( )) ( ( )) ( ) = 2 1− cos 2π fT S X f ( ) exp ± jθ = cosθ ± jsenθ ( ) ( ) .EE-881 – Princípios de Comunicações I DECOM-FEEC-UNICAMP Então. b) Qual é a função densidade de probabilidade de Y? . h(t ) 1 T 0 T t a) Determine a média e a variância de Y.EE-881 – Princípios de Comunicações I DECOM-FEEC-UNICAMP 14. Uma amostra Y do processo aleatório é tomada na saída do filtro no tempo T. Um processo gaussiano estacionário X(t) com média zero e densidade espectral de potência SX(f) é aplicado em um filtro linear cuja resposta ao impulso h(t) é mostrada abaixo. então.EE-881 – Princípios de Comunicações I DECOM-FEEC-UNICAMP a)  Saída do filtro h(t ) ∞ ( ) ∫ h (τ ) X (t − τ ) d τ Y t = = 1 T −∞ 1 T ∫ T 0 ( ) X t − τ dτ 0 T Fazendo T – τ = u. o valor da amostra de Y(t) em t = T é igual a Y= 1 T ∫ T 0 () X u du A média de Y é portanto. 1 " T % 1 E !"Y #$ = E $ ∫ X u du' = & T T # 0 () ∫ T 0 E !" X u #$ du = 0 () t . σ Y2 = ∫ ∞ −∞ ( ) SY f df = ∫ ∞ −∞ S X f sinc 2 f T df ( ) ( ) ) ) T 0 .EE-881 – Princípios de Comunicações I DECOM-FEEC-UNICAMP e a variância de Y é 2 σ Y2 = E !"Y 2 #$ − E !"Y #$ = E !"Y 2 #$ = RY (0) 2 Y σ = ∫ ∞ −∞ ( ) SY f df = ∫ ∞ −∞ ( ) ( ) SX f H f 2 df mas ( ∞ 1 T 1 exp − j2π f t H f = ∫ h t exp − j2π f t dt = ∫ exp − j2π f t dt = −∞ T 0 T − j2π f ( ) () ( = ) ( ) 1 ! 1− exp − j2π f T #$ = sinc f T exp − jπ f T " 2π f T ( ) ( ) ( então. segue que a saída do filtro também é gaussiana.EE-881 – Princípios de Comunicações I b) DECOM-FEEC-UNICAMP Como a entrada do filtro é gaussiana. a função densidade de probabilidade de Y é dada por: fY " y2 % y = exp $$ − 2 '' 2πσ Y # 2σ Y & () 1 . Então. RXY t1 . Encontre a correlação cruzada de X(t) e Y(t). Seja X(t) e Y(t) definidos por X(t) = Acos(ωt) + Bsen(ωt) Y(t) = Bcos(ωt) .EE-881 – Princípios de Comunicações I DECOM-FEEC-UNICAMP 15.Asen(ωt) onde ω é uma constante e A e B são variáveis aleatórias independentes possuindo média nula e variância σ2.t2 = E !" X t1 Y t2 #$ ( ) () ( ) = E !" Acos ω t1 + Bsen ω t1 ( ( )) ( B cos (ωt ) − Asen (ωt ))#$ ( ) ( ( ) ( ) −E !" A #$(cos (ω t ) sen (ω t )) −E !" B #$(sen (ω t ) cos (ω t )) 2 ( ) ( )) = E !" AB#$ cos ω t1 cos ω t2 − sen ω t1 sen ω t2 2 1 2 1 2 2 2 . EE-881 – Princípios de Comunicações I DECOM-FEEC-UNICAMP Como E !" AB#$ = E !" A#$ E !" B#$ = 0 E !" A2 #$ = E !" B 2 #$ = σ 2 Então. ( ( ) ( )) +E !" B #$(sen (ω t ) cos (ω t )) = σ (sen (ω t ) cos (ω t ) − cos (ω t ) sen (ω t )) RXY t1 .t2 = −E !" A2 #$ cos ω t1 sen ω t2 ( ) 2 1 2 2 1 = σ 2 sen ω t1 − t2 ( 2 1 ) RXY τ = σ 2 sen ωτ () ( ) 2 .