Exercícios TrigonometriaTemas Abordados: Funções Trigonométricas e Equações; Arcos na Circunferência; Redução ao Primeiro Quadrante; Razões Trigonométricas étricas. Sabendo-se se que a altura do teodolito corresponde a 1. (Upe 2014) Um relógio quebrou e está marcando a 130 30 cm, a altura do monumento, em metros, é hora representada a seguir: aproximadamente a) 6,86. b) 6,10. c) 5,24. d) 3,34. 4. (Uel 2014) Analise a figura a seguir. Felizmente os ponteiros ainda giram na mesma direção, mas a velocidade do ponteiro menor equivale 9 a da velocidade do ponteiro maior. Depois de 8 quantas voltas, o ponteiro pequeno vai encontrar o ponteiro grande? a) 3,0 b) 4,0 c) 4,5 d) 6,5 e) 9,5 A questão da acessibilidade nas cidades é um desafio para o poder público. A fim de implementar as políticas inclusivas, 2. (Unicamp 2014) Considere um hexágono, como o a Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT) criou exibido na figura abaixo, com cinco lados com comprimento normas para acessibilidade arquitetônica e urbanística. de 1cm e um lado com comprimento de x cm. Entre elas estão as de construção de rampas de acesso, cuja inclinação com o plano horizontal deve variar de 5% a 8,33%. %. Uma inclinação de 5% significa que, para cada metro percorrido na horizontal, a rampa sobe 0,05 m. Recorrentemente, os acessos por rampas não respeitam essas normas, gerando percursos longos em inclinações exageradas. Conforme a figura, observou-se observou uma rampa de acesso, com altura de 1 metro e comprimento da rampa igual a 2 metros. Se essa rampa fosse construída seguindo as normas da ABNT, com inclinação de 5%, assinale a alternativa que apresenta, corretamente, a diferença de comprimento dessas rampas, em metros. a) 5 b) 20 a) Encontre o valor de x. 1 c) 2 + b) Mostre que a medida do ângulo α é inferior a 150°. 20 d) 401 − 2 3. (Uemg 2014) Em uma de suas viagens para o exterior, 1 Luís Alves e Guiomar observaram um monumento de e) 4,01 + arquitetura asiática. Guiomar, interessada em aplicar seus 20 conhecimentos matemáticos, colocou um teodolito distante 1,20 m da obra e obteve um ângulo de 60°, 5. (Insper 2014) Na figura abaixo, em que o quadrado PQRS conforme mostra a figura: está inscrito na circunferência trigonométrica, os arcos AP e AQ têm medidas iguais a α e β, respectivamente, com 0 < α < β < π. www.soexatas.com Página 1 para os valores de x encontrados. 6. resolver facilmente a equação e) −0. no segundo lance de escada.8. números reais e n é um número natural.25. c) 34. 8. ⋅ cos 268° ⋅ cos 269° Nessas condições. horário mostrado. desenvolvimento da potência (a + b)n . d) 29. primeiro lance e seis. 2. então o valor da expressão sen2p − cos2 q é igual a a) 0. c) −0. (Uece 2014) Se p e q são duas soluções da equação 2sen2 x − 3sen x + 1 = 0 tais que senp ≠ senq. 8. então o produto do maior valor pelo menor valor que f assume é igual a a) 4. em cm. 7. teremos que cosx é igual 6. pode-se concluir que o valor de 4 cos β é 9. 269]. 4 1 e) < P < 1. 8.. (Uece 2014) Usando a expressão clássica do a) −0. 4 c) P = 0.5. em graus. d) 0. sen4 x − 4sen3 x + 6sen2 x − 4senx + 1 = 0. 11. no d) 1. do arco b) 0. a) 1. são números inteiros pertencentes ao intervalo [91. com a 40 cm de diâmetro externo. é correto afirmar que 1 a) −1 < P < − . cujos fatores são os cossenos de todos os arcos trigonométricos cujas www. pode-se d) 0. b) 3. onde a e b são b) 0. e) 20. (Uece 2014) Se f : R → R é a função definida por f(x) = 2senx + 1. externo do relógio determinado pelo ângulo central agudo c) 0. 4 1 b) − < P < 0.5.50. a medida. formado pelos ponteiros das horas e dos minutos. c) 1.com Página 2 . 10. 6. (Unesp 2014) A figura mostra um relógio de parede.. 3 b) . (Insper 2014) Considere o produto abaixo. P = cos91° ⋅ cos 92° ⋅ cos93° ⋅ . marcando 1 hora e 54 minutos. vale aproximadamente a) 22. Sabendo que cos α = 0. medidas.soexatas. (Ufrn 2013) A escadaria a seguir tem oito batentes no b) 31. 1 d) 0 < P < . Então. 2 d) 0. Usando a aproximação π = 3. 2 2 c) .0. Para homenagear esse esquadrão foi realizado na EPCAR um concurso em que os alunos teriam que criar um desenho. Uma das regras desse concurso foi: elaborar um desenho usando conhecimentos de matemática. (G1 . respectivamente. AH é perpendicular a BD. (Ufg 2013) Um topógrafo deseja calcular a largura de um rio em um trecho onde suas margens são paralelas e retilíneas. A área do retângulo ABCD. máxima. AD = 3 2 e CF = 14 6. a tangente do ângulo CAD mede: 9 a) 10 14 b) 15 29 c) 30 d) 1 a) 100 3.com Página 3 . (Mackenzie 2013) Em maio de 2012. O aluno vencedor apresentou o desenho em circunferências conforme esquema abaixo. b) 105 3. (G1 . que está na margem oposta. 15. mediu a distância entre B e C. 12.7.epcar (Cpcar) 2013) “NASCIDOS PARA VOAR: 60 c) 30° ≤ α < 40° ANOS DE FUMAÇA JÁ” d) 40° ≤ α < 50° e) 50° ≤ α < 60° Fonte: Jornal EPCARIANO – Ano 1. em centímetros quadrados. ABCD é um retângulo em que BD é uma diagonal. o esquadrão EDA (Esquadrilha da Fumaça) comemorou 60 anos de apresentações. no 01 – p. Usando como referência uma árvore. Dado: 3 ≈ 1. calcule a largura do rio. b) 10 6 c) 12 6 d) 28 e) 14 5 14. Se na figura. (Fgv 2013) Um triângulo isósceles tem os lados congruentes com medida igual a 5. O topógrafo. Podemos afirmar que e) 175 2. ACB então. então a medida de AB é a) 8 6 www. Considerando-se o exposto. obtendo 20 metros. na margem na qual se encontra.soexatas. 4 13. ângulo da base. tais que os ângulos ABCˆ e ˆ medem 135° e 30°. AH = 5 3 cm e θ = 30°. ele identificou dois pontos B e C. Seja α medida do c) 110 3. para a qual a área do referido triângulo é d) 150 2.ifsp 2013) Na figura. A. a) 10° ≤ α < 20° b) 20° ≤ α < 30° 16. é Sabendo que cada batente tem 20 cm de altura e 30 cm de ˆ comprimento (profundidade). o valor da distância D. A partir desses dados. nessa ordem. FK. em quilômetros. A razão entre PS e ST. c) – 3. 40000 km. 20. julgue verdadeira ou falsa cada afirmativa. a mesma longitude. em km. 2 e) é maior que 1000. 2 3 04. AQ = EJ. 4 A soma das alternativas verdadeiras é igual a a) 20 a) 12° 30’. O motorista solicita a um dos passageiros que acesse a Internet em seu celular e obtenha o raio médio da Terra. Considerando-se que a Terra seja aproximadamente 3 esférica. e LM é igual a 6π. 21. Em um dado instante. que é de 6730 km. (Uel 2013) Uma família viaja para Belém (PA) em seu ilustra a figura. a) 2. (G1 . d) 44 d) 120°. GH. PS e GH são congruentes. b) fica entre 700 e 800.soexatas. b) 22 b) 90°. π a) D = 6730 9 π b) D = ( 6730 )2 18 www. corretamente. o GPS do veículo indica que ele se localiza nas seguintes coordenadas: latitude 21°20’ Sul e longitude 48°30’ Oeste. 2 3 3 32. 19. c) 36 c) 102° 30’. supondo que a superfície da Terra é esférica. Goiânia fica a uma inteiro que pertencem ao conjunto imagem da função latitude de 16°40'. ao longo de um meridiano. é . que são latitude 1°20’ Sul e longitude 48°30’ Oeste. Assinale a alternativa que apresenta. d) fica entre 900 e 1000. 3 a) é menor que 700. A menor soma das medidas dos comprimentos dos arcos PS. e as coordenadas geográficas de Belém. como 18. sobre o meridiano 48°30’ Oeste. b) . ST = . 1 16. (Ufg 2013) As cidades de Goiânia e Curitiba têm. 3 08. automóvel. então o ângulo x formado pelos ponteiros é 02. 17. 1 c) fica entre 800 e 900. com a linha do equador medindo. enquanto a latitude de Curitiba é de 2π trigonométrica y = −4 + 2cos x − é 25°25'. a distância entre as duas 1 cidades. o motorista calcula a distância D.cftmg 2013) Se o relógio da figura marca 8 h e 25 min. (Ufpr 2013) O pistão de um motor se movimenta para cima e para baixo dentro de um cilindro. do veículo a Belém. d) − . (Uern 2013) A razão entre o maior e o menor número aproximadamente. aproximadamente.com Página 4 . π c) D = 6730 9 π d) D = 6730 36 2 π e) D = 6730 3 Com base nas informações do desenho. os poluentes emitidos produto das constantes A e B é em excesso pelos veículos causam graves problemas a toda população.com Página 5 . como. março. (Ufsm 2013) Em muitas cidades. . A figura abaixo ilustra o gráfico de f. a) 2 b) 2 www. coincide com o 2 3 gráfico da função g. 26. existe x ∈ . k ∈ . o 2 7π Determine as constantes a e ω e o menor valor valor de f − é: 4 positivo de b. definida por g(x)=sen (x). Suponha que a função π N ( x ) = 180 − 54 cos ( x − 1) 6 represente o número de pessoas com doenças respiratórias registrado num Centro de Saúde. com a.5]. em segundos. quando se estudam fenômenos periódicos. b) 10 maio e julho é igual a c) 12 a) 693. ω e b constantes 23. 0. definida por 1 f ( x ) = sen ( x ) − sen ( 2x ) cos ( x ) . ao mês de fevereiro e assim por diante. favorecendo o surgimento de doenças respiratórias. π 5π intervalo fechado − .Suponha que em um instante t. (Pucrs 2013) A figura a seguir representa um esboço do a) Determine a altura máxima e mínima que o pistão x gráfico de uma função y = A + B sen . equação f(x)=0 tem como conjunto solução π x ∈ | x = k ⋅ . (Uepb 2013) Sendo f(x) = −4 cos − x + 2cos x. 16) Para qualquer a ∈ . .05 25. d) 18 b) 720. tal que tg(x)>a. 4 b) Quantos ciclos completos esse pistão realiza. a poluição demora mais para se dissipar na atmosfera. Durante o inverno. Então. d) 774. por funcionando durante um minuto? exemplo. π e seu conjunto imagem é o intervalo fechado 02) Se f é definida por f ( x ) = sen ( x ) ⋅ cos ( x ) .soexatas. domínio o conjunto dos números reais e é dada por f ( x ) = a ⋅ sen ( ω ⋅ x + b ) . e) 50 c) 747. 2 π 04) A função f(x)=cos(x) é crescente no intervalo 0. x = 2. a altura c) − 2 h(t) do pistão. A função f tem período assinale o que for correto. 2 08) O gráfico da função f. que é muito útil atinge. restrito ao propriedades de funções e equações trigonométricas. possa ser descrita pela d) – 1 expressão: 2 e) 2πt 2 h ( t ) = 4 sen + 4. (Ufpe 2013) Seja f uma função que tem como e) 936. Indique a2 + ω2 + 3b π . (Uem 2013) Com relação aos conceitos e às reais. em centímetros. π 24. A soma do número de pessoas com doenças a) 6 respiratórias registrado nos meses de janeiro. o 22. com x = 1 correspondendo ao mês de janeiro. 6 6 01) A equação tg(x)=sen(x) não tem soluções. então a [ −5. o movimento de uma mola vibrante. 4 30. estão representados o ciclo trigonométrico e um triângulo isósceles OAB. 2 3 4 sua calculadora o número 1. enquanto que a posição do ponteiro maior é 8 igual a β = π + ωt. Artur digitou em d) . 2 π d) B < sen < A.27. função f(x) = cos ⋅ cos que estão contidas no 3 2 3 intervalo [0. Já Bia calculou o seno de 1. 2 π a) sen < A < B. 5π ângulo α mede radianos. (Insper 2012) O professor de Matemática de Artur e Bia 3π 4 π pediu aos alunos que colocassem suas calculadoras c) . 3 3 3π b) . Considerando que vale 2 aproximadamente 1. (Upe 2012) Na figura a seguir. 2x 3x b) 3. em seguida.5708. .cftmg 2013) O conjunto formado pelas raízes da a) 26 3. Logo. científicas no modo “radianos” e calculassem o valor de 4 3 π π 3π sen . π obtendo o valor B. Qual das expressões abaixo corresponde à área do 2 triângulo OAB em função do ângulo α ? π e) B < A < sen . d) . Tomando um valor aproximado. assinale a alternativa que traz a π correta ordenação dos valores A. o resultado pedido é = 4. 8π Portanto.com Página 6 . π . calculou o seu seno. a) tg α ⋅ sen α 2 1 b) ⋅ tgα ⋅ cos α 2 c) sen α ⋅ cos α 1 d) ⋅ tgα ⋅ sen α Solução Trigonometria 2 e) tg α ⋅ cos α Resposta da questão 1: [B] 29. B e sen . 2 π c) A < B < sen . para que o ponteiro menor encontre o ponteiro maior. deve-se ter 9 α =β⇔ ω t = π + ωt 8 ⇔ ωt = 8 π. (G1 .cftmg 2012) A figura abaixo representa uma circunferência trigonométrica em que MN é diâmetro e o Seja ω a velocidade do ponteiro maior.6 e.soexatas. 2 π b) A < sen < B. π . π . π 3 a) . (G1 . 2π A razão entre as medidas dos segmentos AB e AC é Resposta da questão 2: www. 28. π ] é c) 2 . encontrando o valor A.5. 6 A posição do ponteiro menor após t minutos é dada por 9 α = ωt. . com 0 < α < β < 180°. temos: Aplicando o Teorema de Pitágoras nos triângulos ABC. temos 1 5 = ⇒ x = 20m. AD 3 Resposta da questão 5: Do triângulo AEF.04.30 AC = AB + BC = 12 + 12 = 2.20 ⋅ 3 AD = AC + CD = 2 + 12 = 3. x é aproximadamente 1. tem-se Além disso. temos: Do triângulo ADE. sabendo que cos(α + 90°) = − sen α.34m. α = BAC + CAD + DAE + EAF temos < 45° + 45° + 30° + 30° = 150°. Rampa com inclinação de 5% : Do triângulo ACD. tgD AE = ⇔ D AE = arctg = 30°. sen2 α + cos2 α = 1 e cos α = 0. ACD.6. Logo. AC 2 Aplicando o Teorema de Pitágoras.a) Considere a figura.20 2 2 2 x − 1. vem d2 = 12 + 202 ⇒ d = 401 m DE 1 Logo. 2 2 2 AE = AD + DE = 3 + 12 = 4 Resposta da questão 4: e [D] 2 2 2 AF = AE + EF ⇔ x 2 = 4 + 12 ⇔ x = 5 cm. segue [C] EF 1 Seja O a origem do sistema de coordenadas cartesianas. CD 1 x 100 tgCAD = ⇔ CAD = arctg < 45°. Portanto.30+2. [D] www.8. temos: 2 2 2 x − 1. AE 4 Como POQ = β − α = 90°.30 = 1. vem Sendo x a altura do monumento. b) É imediato que BAC = 45°. ou seja.20m seja a distância do teodolito ao eixo vertical do monumento. segue-se que β = α + 90°.soexatas. a diferença pedida é de ( 401 − 2)m. x = 3. = tg60° 1.com Página 7 . tgE AF = ⇔ E AF = arctg < 30°. cos β = cos(α + 90°) = − sen α Resposta da questão 3: = −0. Admitindo que 1. ADE e AEF. Portanto. temos cos120° = cos 240° = − 2 e e cos180° = −1. (269 − 91 + 1) − 3 = 176 fatores restantes é um número real pertencente ao intervalo ] − 1.soexatas. 4 1 com α ∈ ]0. Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo ABC. sen 4 x − 4sen3 x + 6sen 2 x − 4senx + 1 = 0 ⇒ (senx − 1)4 = 0 ⇒ senx − 1 = 0 ⇒ senx = 1 Partindo da ideia que enquanto o ponteiro dos minutos se Utilizando a relação Fundamental. o ponteiro das horas se desloca 30°. Além disso. 1[. o que implica em − < P < 0. o comprimento do arco de 93°. como o produto de um número par de fatores negativos é um número positivo. 2 2 Supondo que A. 0[. o produto pedido será 3 ⋅ = = 4. Calculando. 2 Resposta da questão 11: 3 9 [B] Logo. cosx = 0. 1 BC = 6 ⋅ 30 = 180cm Dentre os fatores de P. β = 27°.Resposta da questão 6: [B] 1 cos 91° ⋅ cos92° ⋅ cos93° ⋅ K ⋅ cos 268° ⋅ cos 269° = − ⋅ α. temos: 2 2 sen x + cos x = 1 60min 30° 2 2 54min β 1 + cos x = 1 2 cos x = 0 Logo. portanto. encontramos Portanto. 4 Resposta da questão 9: [D] o Cada minuto do relógio corresponde a 6 . então f(x) = 21 + 1 = 3 (maior valor).com Página 8 . segue-se que 2 2 2 2 AC = AB + BC ⇔ AC = 2402 + 1802 ⇒ AC = 300 cm.5. cada um dos CD = (8 + 6) ⋅ 20 = 280cm. α = 60° + 6° = 66°. portanto o arco pedido mede 66° + 27° = 93°. em centímetros. π = 3) 2sen2 x − 3sen x + 1 = 0 360° Δ = ( −3)2 − 4 ⋅ 2 ⋅ 1 Resposta da questão 7: Δ =1 [A] −( −3) ± 1 senx = 1 senx = 2⋅2 senx = 1/ 2 Se sen x = 1. −1 3 Se sen x = −1. www. temos: desloca 60min. sen2p − cos2 q = sen2p − (1 − sen2 q) = sen2p + sen2 q − 1 = 12 + (1/ 2)2 − 1 = 1/ 4 = 0. temos [B] AB = 8 ⋅ 30 = 240 cm. temos: Resposta da questão 10: [B] 93° ⋅ 2π ⋅ 20 = 31 cm (considerando.25. então f(x) = 2 + 1 = (menor valor). B e C pertencem a um mesmo plano Resposta da questão 8: horizontal. 3. 2 2 Sabendo que a função sen 2α atinge seu valor máximo para 2α = 90°.soexatas. Logo. temos: AD 5. Como cada ângulo da base mede α. portanto. ou seja. obtemos ⇔ = ⇔ = ⇔ = . 40° ≤ α < 50°. ST 3 ST PS 2 PS 2 3 Do triângulo AHC. α = 45°. segue que o ângulo do vértice é igual a (180° − 2α ). do triângulo retângulo ACD. Os triângulos EGH e APS são congruentes pelo caso L. segue que ABH $ = 180° − ABC$ = 45° 02) Falsa. em que H é o pé da perpendicular [D] suur baixada de A sobre a reta BC.10 = 100 3 Resposta da questão 14: Resposta da questão 16: Considere a figura. 04) Verdadeira. Portanto. 16) Falsa. o triângulo ABH é retângulo isósceles. No triângulo ANQ. AB = DE = 14 6 − 6 − 6 = 12 6.. + + + π = 2⋅π 3 3 3 e. Logo. vem tg ACB = ⇔ tg30° = HB + BC AH + 20 3 AH CD 280 14 ⇔ = tgCAD = = = . No triângulo PTS. Resposta da questão 13: [C] Considerando que o quadrilátero ABCF é um trapézio 5. π π π Como ABC $ = 135°. 3 No triângulo ACD: no ΔAHB ⇒ cos30o = ⇒ AB = 10 AB 3 2 3 2 tg60° = ⇒ 3= ⇒ CD = 6 e EF = 6. 3 AH + 20 AC 300 15 20 3 ⇔ AH = Resposta da questão 12: 3− 3 [D] ⇔ AH = 10( 3 + 1) ⇒ AH ≅ 27 m. PS 2 PS ST 3 ST 3 08) Verdadeira.L.com Página 9 . AH AH Portanto. A = 10. as cordas PS e GH são congruentes. CD CD Portanto a área do retângulo ABCD será dada por: Logo. temos AQ 3 3 tg30° = ⇔ AQ = AN ⋅ ⇔ AQ = ⋅ EJ.A. a área do triângulo Resposta da questão 15: pode ser obtida por meio da expressão [A] 1 2 25 ⋅ 5 ⋅ sen(180° − 2α ) = ⋅ sen2α. temos: sen60°= AH = HB. 3 isósceles. portanto. AN 3 3 www. 3 no ΔAHD ⇒ sen30o = ⇒ AD = 10. temos: x = 972. π ⇔ x = k ⋅ . x = 0 é solução.05 = 1200 8.75° ______ x ciclos completos Resolvendo a proporção. − 4 + 2 ⋅ 1] = [ −6. temos: PS = 1. 0. o 9 contradomínio e a lei de associação. 2π α = 25°25'− 16°40 ' = 8°45 ' = 8. [C] 1 O deslocamento do ponteiro das horas. Im = [ −4 + 2 ⋅ ( −1).2km.k∈ . Portanto. em 60s teremos 60/0. No triângulo PTS. 21°20 '− 1°20 ' = 20° ⋅ rad 180° π = rad. sen = 1. temos: 4 + 8 + 32 = 44. Resposta da questão 22: [B] Resposta da questão 18: [A] Sabendo-se que ângulos suplementares têm cossenos simétricos. Resposta da questão 17: [D] −2 1 Portanto. segue-se que a sua imagem é Somando as afirmações corretas. −6 3 Resposta da questão 21: a) A altura máxima ocorre quando o valor do seno é 2πt máximo.05s. como o ângulo entre as ⇔ sen(2x) = sen0 2 posições 5 e 8 mede 3 ⋅ 30° = 90°. é sen(x) ⋅ cos(x) = 0 ⇔ sen(2x) = 0 2 25 igual a = 12°30'. vem [01] Incorreto. em 25 minutos.5 4 em . 9 Resposta da questão 23: 02 + 08 + 16 = 26.05 hmáxima = 5 cm b) Determinando o período P da função. Resposta da questão 19: Logo.com Página 10 .5 e sen60° [B] ST 3 ST 3 3 = ⇔ = ⇔ ST = .soexatas. Lembrando que uma função está bem D= ⋅ 6730km.32) Verdadeira. − 2]. Logo. concluímos que: O arco percorrido pelo automóvel corresponde a um ângulo central cuja medida é π 2π f(1) + f(3) + f(5) + f(7) = 4 ⋅ 180 − 54 ⋅ cos0 + cos + cos + cos π 3 3 π = 720. iremos supor que o domínio de f seja o conjunto dos números reais.730 km.75° 0. Supondo que a função esteja definida de PS 2 1. π [02] Correto. o resultado é igual a = . definida apenas quando se conhece o domínio. 2 Resposta da questão 20: www.05. sabendo que o raio da Terra mede 6. ou seja. segue que 2x = k ⋅ 2π ⇔ 2x = π + k ⋅ 2π x = 90° + 12°30' = 102°30'.05 360° _______ 40 000km 1 ciclo se realiza em 0. temos: 2π P= = 0. 1] ⇒ a = 5 (supondo senb > 0). 5]. π π 3 Resposta da questão 24: Resposta da questão 27: [C] [D] Sabendo que cos( − x) = cos x. Desse modo. 5]. para todo x pertencente ao domínio de ambas. segue-se que para 3b 3 π todo a ∈ existe um real x. donde concluímos que o menor valor positivo de b que satisfaz a igualdade é b = π . 1]. temos x = (maior que π ) dos números reais. 5] = a ⋅ [ −1. é Portanto. com 3 kπ D = x ∈ | x ≠ . Por conseguinte. A + B] = [ −1. 3 2 3 Os únicos valores de A e de B que satisfazem a igualdade são A = 2 e B = 3. temos x = 3 Lembrando que uma função está bem definida apenas para k = 1. Portanto. e a imagem de f é o intervalo [ −5. Temos 0 < e f(0) = 1 > = f .k∈ Resposta da questão 25: 2 2 2 3 3 [A] π para k = 0. temos Sabendo que o período fundamental da função seno é 2π. temos π = 2π ⇔ | ω | = 2. [08] Correto. o contradomínio e a lei 5π de associação. vamos supor que o domínio seja o conjunto para k = 2. deve-se ter 2 A + B[ −1. temos x = (maior que π ) = − 2. www. 6 3 segue-se que f e g são iguais e.k ∈ = −4 sen + 2cos 3 3 2 4 2 4 4 3π π para k = 0. k ∈ .com Página 11 . [16] Correto. Sabendo que a função f : D → . temos x = π quando são fornecidos o domínio.soexatas. temos: 6 = g(x). k ∈ . e que o contradomínio seja o intervalo 3 [ −1. 1] = [ −1. temos 2x 3x 2x 3x cos ⋅ cos = 0 ⇒ cos = 0 ou cos 3 2 3 2 7π 9π 7π f − = −4 sen 4 + 2cos − 4 4 2x 2x π 3π 3π π π cos = 0 ⇒ = + k ⋅ π. portanto. temos x = = −2 sen 4 4 9π para k = 1. 5]. o conjunto solução da equação f(x) = 0 é Desse modo.k ∈ ⇒ x = +k⋅ . π 1 π [04] Incorreto. 2 uma função ilimitada superiormente. temos = sen(x) − sen(x)cos2 (x) [ −5. tal que tg(x) > a. como os valores de f e g são iguais π π 0 = 5 ⋅ sen 2 ⋅ − + b ⇔ sen − + b = sen0. definida por f(x) = tgx. 5] ⇒ [A − B. como f − π = 0. a2 + ω2 + = 52 + 22 + ⋅ = 30. De acordo com o comentário do item (02). A ⋅ B = 2 ⋅ 3 = 6. como a imagem da função seno π x ∈ | x = k ⋅ . iremos supor que o domínio e o contradomínio de f e Resposta da questão 26: g sejam iguais. 1]. 4 3x 3x π π 2π cos = 0 ⇒ = + k ⋅ π. k ∈ ⇒ x = + k ⋅ . e que o período de f é π. Por conseguinte. seus gráficos coincidem. 2 = sen(x) − sen(x)(1 − sen (x)) = sen3 (x) Finalmente. como a imagem da função seno é o intervalo = sen(x) − ⋅ 2sen(x)cos(x)cosx 2 [ −1. é o intervalo [ −1. 1 |ω| f(x) = sen(x) − sen(2x)cos(x) 2 1 Além disso. o conjunto solução da equação será .6 < 1.soexatas. π B < A < sen . Resposta da questão 28: 2 [C] base × altura 2senα × cos α A triângulo = ⇒ A triângulo = ⇒ A triângulo = senα × cos α 2 2 . AC 1 2 Resposta da questão 30: [E] De acordo com a figura a seguir. π . Resposta da questão 29: [B] 5π 3 AB = − cos =− 6 2 5π 1 AC = sen = 6 2 Portanto: 3 AB 2 = = 3. . 3 4 Logo.5 < sen1. π 3π Logo. sen1. concluímos que: Circunferência trigonométrica www.com Página 12 .