Exercícios TrigonometriaTemas Abordados: Funções Trigonométricas e Equações; Arcos na Circunferência; Redução ao Primeiro Quadrante; Razões Trigonométricas étricas. 1. (Upe 2014) Um relógio quebrou e está marcando a hora representada a seguir: Sabendo-se se que a altura do teodolito corresponde a 130 30 cm, a altura do monumento, em metros, é aproximadamente a) 6,86. b) 6,10. c) 5,24. d) 3,34. 4. (Uel 2014) Analise a figura a seguir. Felizmente os ponteiros ainda giram na mesma direção, mas a velocidade do ponteiro menor equivale 9 a da velocidade do ponteiro maior. Depois de 8 quantas voltas, o ponteiro pequeno vai encontrar o ponteiro grande? a) 3,0 b) 4,0 c) 4,5 d) 6,5 e) 9,5 2. (Unicamp 2014) Considere um hexágono, como o exibido na figura abaixo, com cinco lados com comprimento de 1cm e um lado com comprimento de x cm. a) Encontre o valor de x. b) Mostre que a medida do ângulo α é inferior a 150°. 3. (Uemg 2014) Em uma de suas viagens para o exterior, Luís Alves e Guiomar observaram um monumento de arquitetura asiática. Guiomar, interessada em aplicar seus conhecimentos matemáticos, colocou um teodolito distante 1,20 m da obra e obteve um ângulo de 60°, conforme mostra a figura: A questão da acessibilidade nas cidades é um desafio para o poder público. A fim de implementar as políticas inclusivas, a Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT) criou normas para acessibilidade arquitetônica e urbanística. Entre elas estão as de construção de rampas de acesso, cuja inclinação com o plano horizontal deve variar de 5% a 8,33%. %. Uma inclinação de 5% significa que, para cada metro percorrido na horizontal, a rampa sobe 0,05 m. Recorrentemente, os acessos por rampas não respeitam essas normas, gerando percursos longos em inclinações exageradas. Conforme a figura, observou-se observou uma rampa de acesso, com altura de 1 metro e comprimento da rampa igual a 2 metros. Se essa rampa fosse construída seguindo as normas da ABNT, com inclinação de 5%, assinale a alternativa que apresenta, corretamente, a diferença de comprimento dessas rampas, em metros. a) 5 b) 20 1 c) 2 + 20 d) 401 − 2 e) 4,01 + 1 20 5. (Insper 2014) Na figura abaixo, em que o quadrado PQRS está inscrito na circunferência trigonométrica, os arcos AP e AQ têm medidas iguais a α e β, respectivamente, com 0 < α < β < π. www.soexatas.com Página 1 6. cujos fatores são os cossenos de todos os arcos trigonométricos cujas www. 4 1 e) < P < 1. vale aproximadamente a) 22. P = cos91° ⋅ cos 92° ⋅ cos93° ⋅ . a medida. (Ufrn 2013) A escadaria a seguir tem oito batentes no primeiro lance e seis. em graus. c) 34. valor da expressão sen2p − cos2 q é igual a a) 0. 4 c) P = 0. b) 0. (Uece 2014) Se f : R → R é a função definida por f(x) = 2senx + 1. (Uece 2014) Usando a expressão clássica do desenvolvimento da potência (a + b)n .. 11. (Insper 2014) Considere o produto abaixo. do arco externo do relógio determinado pelo ângulo central agudo formado pelos ponteiros das horas e dos minutos. marcando 1 hora e 54 minutos.5. é correto afirmar que 1 a) −1 < P < − .. com 40 cm de diâmetro externo. são números inteiros pertencentes ao intervalo [91. b) 10. b) 0. no segundo lance de escada. 2.com Página 2 . 7. Então. em cm. teremos que cosx é igual a a) 1.25. então o Usando a aproximação π = 3. (Unesp 2014) A figura mostra um relógio de parede. 269].50. c) 0.soexatas. 6. b) 3. e) 20. onde a e b são números reais e n é um número natural. c) −0. b) 31. 2 d) 0. 8. d) 29. 3 . Nessas condições. 4 9.medidas. 1 d) 0 < P < . d) 0.0. (Uece 2014) Se p e q são duas soluções da equação 2sen2 x − 3sen x + 1 = 0 tais que senp ≠ senq. pode-se concluir que o valor de cos β é a) −0. pode-se resolver facilmente a equação sen4 x − 4sen3 x + 6sen2 x − 4senx + 1 = 0. no horário mostrado. 6. e) −0. ⋅ cos 268° ⋅ cos 269° Sabendo que cos α = 0. 8. 4 1 b) − < P < 0.8. então o produto do maior valor pelo menor valor que f assume é igual a a) 4.5. para os valores de x encontrados. d) 0. 8. 2 2 c) . d) 1. c) 1. c) 110 3. O aluno vencedor apresentou o desenho em circunferências conforme esquema abaixo. Sabendo que cada batente tem 20 cm de altura e 30 cm de ˆ comprimento (profundidade). o esquadrão EDA (Esquadrilha da Fumaça) comemorou 60 anos de apresentações. a tangente do ângulo CAD mede: 9 a) 10 14 b) 15 29 c) 30 d) 1 12.com Página 3 . ABCD é um retângulo em que BD é uma diagonal. em centímetros quadrados. d) 150 2. A área do retângulo ABCD. b) 105 3.ifsp 2013) Na figura. Usando como referência uma árvore.b) 10 6 c) 12 6 d) 28 e) 14 5 14. para a qual a área do referido triângulo é máxima. Dado: 3 ≈ 1. ACB então. ele identificou dois pontos B e C. Uma das regras desse concurso foi: elaborar um desenho usando conhecimentos de matemática.epcar (Cpcar) 2013) “NASCIDOS PARA VOAR: 60 ANOS DE FUMAÇA JÁ” Fonte: Jornal EPCARIANO – Ano 1. (Mackenzie 2013) AH = 5 3 cm e θ = 30°. e) 175 2. respectivamente. Seja α medida do ângulo da base. calcule a largura do rio. 4 Em maio de 2012. no 01 – p. obtendo 20 metros. (Fgv 2013) Um triângulo isósceles tem os lados congruentes com medida igual a 5. Considerando-se o exposto. Para homenagear esse esquadrão foi realizado na EPCAR um concurso em que os alunos teriam que criar um desenho. na ˆ e margem na qual se encontra. (G1 . AD = 3 2 e CF = 14 6. A. AH é perpendicular a BD. 15. é a) 100 3. 16. (Ufg 2013) Um topógrafo deseja calcular a largura de um rio em um trecho onde suas margens são paralelas e retilíneas. mediu a distância entre B e C. tais que os ângulos ABC ˆ medem 135° e 30°. então a medida de AB é a) 8 6 www. Se na figura. (G1 .soexatas. O topógrafo. Podemos afirmar que a) 10° ≤ α < 20° b) 20° ≤ α < 30° c) 30° ≤ α < 40° d) 40° ≤ α < 50° e) 50° ≤ α < 60° 13.7. que está na margem oposta. aproximadamente. 1 b) . 40000 km. a mesma longitude. 3 c) – 3. o motorista calcula a distância D. 1 d) − . do veículo a Belém. julgue verdadeira ou falsa cada afirmativa. 2 21. é 2 3 . em quilômetros. que são latitude 1°20’ Sul e longitude 48°30’ Oeste. nessa ordem.soexatas. e LM é igual a 6π. d) 120°. ao longo de um meridiano. 19. GH. Goiânia fica a uma latitude de 16°40'. (G1 . supondo que a superfície da Terra é esférica. 32. (Uern 2013) A razão entre o maior e o menor número inteiro que pertencem ao conjunto imagem da função 2π trigonométrica y = −4 + 2cos x − é 3 a) 2. o GPS do veículo indica que ele se localiza nas seguintes coordenadas: latitude 21°20’ Sul e longitude 48°30’ Oeste. Considerando-se que a Terra seja aproximadamente esférica. Assinale a alternativa que apresenta. Página 4 . O motorista solicita a um dos passageiros que acesse a Internet em seu celular e obtenha o raio médio da Terra. Em um dado instante. b) 90°. A partir desses dados. π a) D = 6730 9 π b) D = ( 6730 )2 18 www. que é de 6730 km. 3 08. AQ = EJ. (Ufpr 2013) O pistão de um motor se movimenta para cima e para baixo dentro de um cilindro. PS e GH são congruentes. 2 3 3 . 04. aproximadamente. A razão entre PS e ST. FK.cftmg 2013) Se o relógio da figura marca 8 h e 25 min. então o ângulo x formado pelos ponteiros é 02.π 6730 9 π d) D = 6730 36 c) D = 2 π e) D = 6730 3 Com base nas informações do desenho. c) fica entre 800 e 900. d) fica entre 900 e 1000. em km. 1 16. ST = 4 A soma das alternativas verdadeiras é igual a a) 20 b) 22 c) 36 d) 44 17. o valor da distância D. corretamente. e as coordenadas geográficas de Belém. a distância entre as duas cidades. sobre o meridiano 48°30’ Oeste. 18. 20. (Ufg 2013) As cidades de Goiânia e Curitiba têm. c) 102° 30’. (Uel 2013) Uma família viaja para Belém (PA) em seu automóvel. enquanto a latitude de Curitiba é de 25°25'. A menor soma das medidas dos comprimentos dos arcos PS. a) é menor que 700.com a) 12° 30’. com a linha do equador medindo. como ilustra a figura. e) é maior que 1000. b) fica entre 700 e 800. a poluição demora mais para se dissipar na atmosfera. 0. d) 774. que é muito útil 4 quando se estudam fenômenos periódicos. 02) Se f é definida por f ( x ) = sen ( x ) ⋅ cos ( x ) . A função f tem período 6 6 π e seu conjunto imagem é o intervalo fechado [ −5. favorecendo o surgimento de doenças respiratórias. em segundos. por exemplo. com a. c) 747. com x = 1 correspondendo ao mês de janeiro. b) 720. 2 π 04) A função f(x)=cos(x) é crescente no intervalo 0. e) 936. Determine as constantes a e ω e o menor valor positivo de b.05 a) Determine a altura máxima e mínima que o pistão atinge. os poluentes emitidos em excesso pelos veículos causam graves problemas a toda população.Suponha que em um instante t. a altura h(t) do pistão. o movimento de uma mola vibrante. 2 08) O gráfico da função f. 23. possa ser descrita pela expressão: c) − 2 d) – 1 e) 2πt h ( t ) = 4 sen + 4.5]. k ∈ . π 24. existe x ∈ . definida por 1 f ( x ) = sen ( x ) − sen ( 2x ) cos ( x ) . maio e julho é igual a a) 693. Então. definida por g(x)=sen (x). Suponha que a função 2 2 25. como. ao mês de fevereiro e assim por diante. março. b) Quantos ciclos completos esse pistão realiza. Durante o inverno. coincide com o 2 3 gráfico da função g. A soma do número de pessoas com doenças respiratórias registrado nos meses de janeiro. Indique a2 + ω2 + 3b π . restrito ao π 5π intervalo fechado − . (Uem 2013) Com relação aos conceitos e às propriedades de funções e equações trigonométricas. o produto das constantes A e B é π N ( x ) = 180 − 54 cos ( x − 1) 6 represente o número de pessoas com doenças respiratórias registrado num Centro de Saúde. então a equação f(x)=0 tem como conjunto solução π x ∈ | x = k ⋅ . x = 2.com Página 5 . . 16) Para qualquer a ∈ . (Ufpe 2013) Seja f uma função que tem como domínio o conjunto dos números reais e é dada por f ( x ) = a ⋅ sen ( ω ⋅ x + b ) . A figura abaixo ilustra o gráfico de f. tal que tg(x)>a. . o 2 7π valor de f − é: 4 a) 6 b) 10 c) 12 d) 18 e) 50 26.soexatas. (Uepb 2013) Sendo f(x) = −4 cos − x + 2cos x. ω e b constantes reais. assinale o que for correto. em centímetros. (Ufsm 2013) Em muitas cidades. (Pucrs 2013) A figura a seguir representa um esboço do x gráfico de uma função y = A + B sen . a) 2 b) 2 www. 01) A equação tg(x)=sen(x) não tem soluções. funcionando durante um minuto? 22. 2 π a) sen < A < B.cftmg 2013) O conjunto formado pelas raízes da 2x 3x função f(x) = cos ⋅ cos que estão contidas no 3 2 intervalo [0. Logo. Artur digitou em 2 sua calculadora o número 1. π . o resultado pedido é A razão entre as medidas dos segmentos AB e AC é www. para que o ponteiro menor encontre o ponteiro maior. (Upe 2012) Na figura a seguir. π . (Insper 2012) O professor de Matemática de Artur e Bia pediu aos alunos que colocassem suas calculadoras científicas no modo “radianos” e calculassem o valor de π sen . assinale a alternativa que traz a b) 29. encontrando o valor A.5708. 2 π b) A < sen < B.5. π . (G1 . 28.cftmg 2012) A figura abaixo representa uma circunferência trigonométrica em que MN é diâmetro e o 5π ângulo α mede radianos.soexatas. 4 3π 4 π c) .27. estão representados o ciclo trigonométrico e um triângulo isósceles OAB. 2 3 d) . 2π Resposta da questão 2: Página 6 . obtendo o valor B. 3 4 a) 26 3. . b) 3. α =β⇔ Portanto. 2 π c) A < B < sen . A posição do ponteiro menor após t minutos é dada por 9 α = ωt. 2 1 ⋅ tgα ⋅ cos α 2 c) sen α ⋅ cos α 1 d) ⋅ tgα ⋅ sen α 2 e) tg α ⋅ cos α π vale 2 aproximadamente 1. enquanto que a posição do ponteiro maior é 8 igual a β = π + ωt. 4 3 π 3π d) . 3 c) 30. Tomando um valor aproximado.com 8π = 4. Considerando que Qual das expressões abaixo corresponde à área do triângulo OAB em função do ângulo α ? a) tg α ⋅ sen α π correta ordenação dos valores A.6 e. em seguida. B e sen . 2 π e) B < A < sen . 6 Solução Trigonometria Resposta da questão 1: [B] Seja ω a velocidade do ponteiro maior. deve-se ter 9 ω t = π + ωt 8 ⇔ ωt = 8 π. 2 π d) B < sen < A. 3 . . (G1 . Já Bia calculou o seno de 1. 3 3π b) . π ] é π a) . calculou o seu seno. ACD. Logo. Além disso.20 ⋅ 3 AD = AC + CD = 2 + 12 = 3. temos: Aplicando o Teorema de Pitágoras nos triângulos ABC. segue tgE AF = 1 5 = ⇒ x = 20m. Rampa com inclinação de 5% : Do triângulo ACD. b) É imediato que BAC = 45°. ou seja. AE = AD + DE = 3 + 12 = 4 Resposta da questão 4: [D] e 2 2 2 AF = AE + EF ⇔ x 2 = 4 + 12 ⇔ x = 5 cm. Seja O a origem do sistema de coordenadas cartesianas.com cos β = cos(α + 90°) = − sen α = −0. x = 3.20 AC = AB + BC = 12 + 12 = 2. com 0 < α < β < 180°.30 = 1. segue-se que β = α + 90°. temos < 45° + 45° + 30° + 30° = 150°. ADE e AEF.30+2. Como POQ = β − α = 90°. vem 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Sendo x a altura do monumento.a) Considere a figura.6. Resposta da questão 5: [C] Do triângulo AEF.04. EF AE ⇔ E AF = arctg Portanto. x − 1.soexatas.30 = tg60° 1. x é aproximadamente 1. vem tgD AE = DE AD ⇔ D AE = arctg d2 = 12 + 202 ⇒ d = 401 m 1 3 = 30°.20m seja a distância do teodolito ao eixo vertical do monumento. temos: Do triângulo ADE.34m. temos: x − 1. temos tgCAD = CD AC ⇔ CAD = arctg 1 2 < 45°. tem-se α = BAC + CAD + DAE + EAF Logo. Resposta da questão 3: [D] www. Admitindo que 1. a diferença pedida é de ( 401 − 2)m. sabendo que cos(α + 90°) = − sen α. x 100 1 4 < 30°.8. Aplicando o Teorema de Pitágoras. sen2 α + cos2 α = 1 e cos α = 0. Página 7 . o que implica em − o Cada minuto do relógio corresponde a 6 . então f(x) = 2 −1 3 + 1 = (menor valor). 4 Resposta da questão 9: [D] sen 4 x − 4sen3 x + 6sen 2 x − 4senx + 1 = 0 ⇒ (senx − 1)4 = 0 ⇒ senx − 1 = 0 ⇒ senx = 1 Utilizando a relação Fundamental. 1[. temos: 1 ⋅ α. Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo ABC. 4 1 < P < 0. real pertencente ao intervalo ] − 1. encontramos Portanto. como o produto de um número par de fatores negativos é um número positivo. portanto. temos: 93° ⋅ 2π ⋅ 20 = 31 cm (considerando. o comprimento do arco de 93°. Além disso. α = 60° + 6° = 66°. π = 3) 360° 2 cos x = 0 Portanto. 1 Dentre os fatores de P. 0[. Resposta da questão 10: [B] 2sen2 x − 3sen x + 1 = 0 Δ = ( −3)2 − 4 ⋅ 2 ⋅ 1 Δ =1 Resposta da questão 7: [A] senx = Se sen x = 1. 2 3 9 Logo.soexatas.Resposta da questão 6: [B] cos 91° ⋅ cos92° ⋅ cos93° ⋅ K ⋅ cos 268° ⋅ cos 269° = − com α ∈ ]0. www. temos AB = 8 ⋅ 30 = 240 cm. B e C pertencem a um mesmo plano horizontal. o produto pedido será 3 ⋅ = = 4. β = 27°.25. 2 2 Resposta da questão 8: [B] Resposta da questão 11: [B] Supondo que A. então f(x) = 21 + 1 = 3 (maior valor).5. temos cos120° = cos 240° = − 2 e cos180° = −1. em centímetros. cada um dos (269 − 91 + 1) − 3 = 176 fatores restantes é um número BC = 6 ⋅ 30 = 180cm e CD = (8 + 6) ⋅ 20 = 280cm.com Página 8 . Calculando. cosx = 0. o ponteiro das horas se desloca 30°. −( −3) ± 1 senx = 1 2⋅2 senx = 1/ 2 sen2p − cos2 q = sen2p − (1 − sen2 q) = sen2p + sen2 q − 1 = 12 + (1/ 2)2 − 1 = 1/ 4 = 0. portanto o arco pedido mede 66° + 27° = 93°. Se sen x = −1. Partindo da ideia que enquanto o ponteiro dos minutos se desloca 60min. segue-se que 2 2 2 2 AC = AB + BC ⇔ AC = 2402 + 1802 ⇒ AC = 300 cm. temos: 2 2 sen x + cos x = 1 60min 54min 30° β 2 2 1 + cos x = 1 Logo. Os triângulos EGH e APS são congruentes pelo caso L. portanto. o triângulo ABH é retângulo isósceles. temos: sen60°= ST 3 ST PS 2 PS 2 3 ⇔ = ⇔ = ⇔ = . No triângulo ANQ. AH = HB. AB = DE = 14 6 − 6 − 6 = 12 6.Portanto. portanto. Portanto. Resposta da questão 15: [A] 1 2 25 ⋅ 5 ⋅ sen(180° − 2α ) = ⋅ sen2α. Resposta da questão 13: [C] Considerando que o quadrilátero ABCF é um trapézio isósceles. 3 AD 5. temos: No triângulo ACD: tg60° = 3 2 3 2 ⇒ 3= ⇒ CD = 6 e EF = 6. π π π + + + π = 2⋅π 3 3 3 04) Verdadeira. AN 3 3 Página 9 . do triângulo retângulo ACD. temos tg30° = www. 16) Falsa. 2 2 Sabendo que a função sen 2α atinge seu valor máximo para 2α = 90°. em que H é o pé da perpendicular suur baixada de A sobre a reta BC. Logo. ou seja. AC 300 15 Como cada ângulo da base mede α.L. 40° ≤ α < 50°. 3. a área do triângulo pode ser obtida por meio da expressão AH + 20 3 AH = 3 AH + 20 ⇔ AH = Resposta da questão 12: [D] AH 20 3 3− 3 ⇔ AH = 10( 3 + 1) ⇒ AH ≅ 27 m. No triângulo PTS.10 = 100 3 Resposta da questão 14: Considere a figura. as cordas PS e GH são congruentes. PS 2 PS ST ST 3 3 08) Verdadeira.A. A = 10. Logo.soexatas.com AQ 3 3 ⇔ AQ = AN ⋅ ⇔ AQ = ⋅ EJ.. segue que ABH $ = 180° − ABC $ = 45° Como ABC e. 3 ⇒ AD = 10. Do triângulo AHC. Resposta da questão 16: [D] $ = 135°. 3 no ΔAHB ⇒ cos30o = ⇒ AB = 10 AB no ΔAHD ⇒ sen30o = Portanto a área do retângulo ABCD será dada por: Logo. obtemos 02) Falsa. α = 45°. segue que o ângulo do vértice é igual a (180° − 2α ). vem tg ACB = AH HB + BC ⇔ tg30° = ⇔ CD 280 14 tgCAD = = = . CD CD 5. Logo. − 2]. − 4 + 2 ⋅ 1] = [ −6. sen = 1. 2π = 0. Logo.5 e sen60° = ST 3 ST 3 3 ⇔ = ⇔ ST = . 9 Portanto. Portanto. o resultado é igual a −2 1 = . concluímos que: π 2π f(1) + f(3) + f(5) + f(7) = 4 ⋅ 180 − 54 ⋅ cos0 + cos + cos + cos π 3 3 = 720.75° ______ x Resolvendo a proporção. 9 Resposta da questão 19: [C] O deslocamento do ponteiro das horas. sabendo que o raio da Terra mede 6. Resposta da questão 17: [D] [B] Supondo que a função esteja definida de em . é 25 = 12°30'. como o ângulo entre as igual a 2 posições 5 e 8 mede 3 ⋅ 30° = 90°.75° 360° _______ 40 000km 8.05s. iremos supor que o domínio de f seja o conjunto dos números reais.730 km. vem D= π ⋅ 6730km. em 25 minutos. em 60s teremos 60/0.2km. Resposta da questão 23: 02 + 08 + 16 = 26.05.com Página 10 . temos: P= α = 25°25'− 16°40 ' = 8°45 ' = 8. ou seja.32) Verdadeira. 1 sen(2x) = 0 2 ⇔ sen(2x) = sen0 sen(x) ⋅ cos(x) = 0 ⇔ ⇔ 2x = k ⋅ 2π 2x = π + k ⋅ 2π π ⇔ x = k ⋅ . o contradomínio e a lei de associação. [01] Incorreto.k∈ . temos: 4 + 8 + 32 = 44. segue-se que a sua imagem é Im = [ −4 + 2 ⋅ ( −1). [02] Correto.05 = 1200 ciclos completos Resposta da questão 22: [B] Sabendo-se que ângulos suplementares têm cossenos simétricos. No triângulo PTS. 2 Resposta da questão 20: www.soexatas. Resposta da questão 18: [A] O arco percorrido pelo automóvel corresponde a um ângulo central cuja medida é 21°20 '− 1°20 ' = 20° ⋅ = π rad 180° π rad. segue que x = 90° + 12°30' = 102°30'. −6 3 Resposta da questão 21: a) A altura máxima ocorre quando o valor do seno é 2πt máximo. x = 0 é solução. 2π 0.5 4 Somando as afirmações corretas.05 hmáxima = 5 cm b) Determinando o período P da função. temos: x = 972. temos: PS = 1. PS 2 1.05 1 ciclo se realiza em 0. 0. Lembrando que uma função está bem definida apenas quando se conhece o domínio. Os únicos valores de A e de B que satisfazem a igualdade são A = 2 e B = 3. 5]. 1] = [ −1. 5]. como f − π = 0. www. temos x = 3 para k = 1. [16] Correto. como os valores de f e g são iguais para todo x pertencente ao domínio de ambas. com kπ D = x ∈ | x ≠ .Portanto. temos 1 f(x) = sen(x) − sen(2x)cos(x) 2 1 = sen(x) − ⋅ 2sen(x)cos(x)cosx 2 = sen(x) − sen(x)cos2 (x) A + B[ −1. temos: 6 π π 0 = 5 ⋅ sen 2 ⋅ − + b ⇔ sen − + b = sen0. 3 2 3 [08] Correto. temos 7π 9π 7π f − = −4 sen 4 + 2cos − 4 4 π π = −4 sen + 2cos 4 4 π = −2 sen 4 = − 2. k ∈ . como a imagem da função seno é o intervalo [ −1. Desse modo. é 2 uma função ilimitada superiormente. 5] = a ⋅ [ −1. Resposta da questão 24: [C] Sabendo que cos( − x) = cos x. 6 3 donde concluímos que o menor valor positivo de b que satisfaz a igualdade é b = π . vamos supor que o domínio seja o conjunto dos números reais. De acordo com o comentário do item (02). temos x = π 5π para k = 2.soexatas. seus gráficos coincidem. k ∈ . 3 Portanto. temos x = (maior que π ) 3 Página 11 . 1] ⇒ a = 5 (supondo senb > 0). 1].k∈ 2 2 3 3 2 π para k = 0. tal que tg(x) > a. definida por f(x) = tgx. A ⋅ B = 2 ⋅ 3 = 6. Sabendo que a função f : D → . Temos 0 < e f(0) = 1 > = f . 2 π π 1 [04] Incorreto. Por conseguinte. Resposta da questão 26: Sabendo que o período fundamental da função seno é 2π. 5]. temos [ −5. portanto.k ∈ = + k ⋅ π. e a imagem de f é o intervalo [ −5. |ω| Além disso. o conjunto solução da equação f(x) = 0 é x ∈ Desse modo. temos π = 2π ⇔ | ω | = 2. 2 = sen(x) − sen(x)(1 − sen (x)) = sen3 (x) = g(x). e que o período de f é π. e que o contradomínio seja o intervalo [ −1.k ∈ ⇒ x = +k⋅ 3 2 4 2 3 3π para k = 0. como a imagem da função seno é o intervalo [ −1. a2 + ω2 + 3b 3 π = 52 + 22 + ⋅ = 30. o contradomínio e a lei de associação. segue-se que f e g são iguais e. Resposta da questão 25: [A] Lembrando que uma função está bem definida apenas quando são fornecidos o domínio. A + B] = [ −1. π π 3 Resposta da questão 27: [D] 2x 3x 2x 3x cos ⋅ cos = 0 ⇒ cos = 0 ou cos 3 2 3 2 2x π 3π 3π 2x cos = 0 ⇒ . segue-se que para todo a ∈ existe um real x. temos x = (maior que π ) 4 3x π π 2π 3x cos = 0 ⇒ = + k ⋅ π. iremos supor que o domínio e o contradomínio de f e g sejam iguais. 5] ⇒ [A − B. temos x = 4 9π para k = 1.com Finalmente. k ∈ ⇒ x = + k ⋅ . Por conseguinte. deve-se ter π | x = k ⋅ . 1]. π 3π Logo. 2 base × altura 2senα × cos α ⇒ A triângulo = ⇒ A triângulo = senα × cos α 2 2 .sen1. o conjunto solução da equação será . concluímos que: Circunferência trigonométrica www. 1 AC 2 Resposta da questão 30: [E] De acordo com a figura a seguir. 3 4 Resposta da questão 28: [C] A triângulo = Logo. . Resposta da questão 29: [B] AB = − cos AC = sen 5π 3 =− 6 2 5π 1 = 6 2 Portanto: 3 AB 2 = = 3.com Página 12 . π B < A < sen .6 < 1.soexatas. π .5 < sen1.