UNIVERSIDADE DO ALGARVE – ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIAÁREA DEPARTAMENTAL DE ENGENHARIA CIVIL EXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA (sistemas de equações lineares e outros exercícios) ÁREA DEPARTAMENTAL DE ENGENHARIA CIVIL EXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA 1/22 1. Exercícios sobre sistemas: Exercício1: Uma empresa que presta serviços de engenharia civil tem três tipos de contentores I, II, e III, que carregam cargas, em três tipos de recipientes A, B e C. O número de recipientes por contentor é dado pelo quadro: Tipo de recipiente A B C I 4 3 4 II 4 2 3 III 2 2 2 Quantos contentores 1 2 , x x e 3 x de cada tipo I, II e III, são necessário se a empresa necessita transportar 38 recipientes do tipo A, 24 do tipo B e 32 do tipo C? Resolução: Este problema pode ser resolvido por meio do seguinte sistema de equações lineares 1 2 3 1 2 3 1 2 3 4 4 2 38 3 2 2 24 4 3 2 32 x x x x x x x x x + + = ¦ ¦ + + = ´ ¦ + + = ¹ . Comecemos por classificá-lo, como 4 4 2 3 2 2 | | 2 0 4 3 2 A A ( ( = ¬ = ≠ ( ( ¸ ¸ , o sistema diz-se de Cramer e, como tal, é possível e determinado. Vamos aplicar o método de Gauss para o resolver, a condensação da matriz ampliada pode ser 4 4 2 38 2 4 4 38 1 2 2 19 1 2 2 19 [ | ] 3 2 2 24 2 2 3 24 0 2 1 14 0 1 2 14 [ | ] 4 3 2 32 2 3 4 32 0 1 0 6 0 0 1 6 A B C D ( ( ( ( ( ( ( ( = ↔ ↔ − − − ↔ − − − = ( ( ( ( ( ( ( ( − − − − ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ . Devemos ter em atenção que nesta condensação trocámos algumas colunas, portanto, como cada uma destas corresponde a uma variável, mudámos a posição das mesmas. No primeiro passo, as colunas 1 e 3 trocaram, ou seja, a variável 3 x passou a estar na 1ª coluna e a variável 1 x passou a estar na 3ª coluna; no quarto passo a 2ª coluna trocou com a 3ª passando a variável 1 x para a 2ª coluna e a variável 2 x passou a estar na 3ª coluna. Por isso, quando se utiliza o método de Gauss para a resolução de sistema de equações lineares é mais directo condensar a matriz por linhas. Qualquer troca de colunas deve ser registada porque é uma troca de incógnitas (excepto B); qualquer troca de linhas não altera o sistema pois é uma troca de equações. ÁREA DEPARTAMENTAL DE ENGENHARIA CIVIL EXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA 2/22 Tendo em conta o que foi dito, o sistema original é equivalente a 1 2 3 3 1 2 1 1 2 3 1 2 2 2 3 1 2 3 4 4 2 38 2 2 19 2 3 2 2 24 2 14 6 6 3 4 3 2 32 x x x x x x x x x x x x x x x x x x + + = + + = = ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ + + = ⇔ − − = − ⇔ = ´ ´ ´ ¦ ¦ ¦ − = − = + + = ¹ ¹ ¹ . Resposta: Para que a empresa transporte 38 recipientes do tipo A, 24 do tipo B e 32 do tipo C, são necessários 2 contentores do tipo I, 6 do tipo II e 3 do tipo III. Exercício2: Resolva os sistemas do exercício anterior: 2.1) Condensando a matriz ampliada por linhas. 2.2) Utilizando o método da matriz inversa. 2.3) Utilizando a regra de Cramer. Exercício3: Um biólogo colocou três espécies de bactérias (denotadas por I, II e III) num tubo de ensaio, onde elas serão alimentadas por três fontes diferentes de alimentos (A, B e C). Em cada dia serão colocadas no tubo de ensaio 1500 unidades de A, 3000 unidades de B e 4500 unidades de C. Cada bactéria consome um certo número de unidades de cada alimento por dia, como mostra a tabela. Quantas bactérias podem coexistir no tubo de ensaio de modo a consumir todo o alimento? Tipo de bactéria I II III Alimento A 1 1 1 Alimento B 1 2 3 Alimento C 1 3 5 Resolução: Sejam 1 2 , x x e 3 x os números de bactérias das espécies I, II e III, respectivamente. Como cada umas das bactérias da espécie I consome uma unidade de A por dia, o grupo I consome um total de 1 x por dia. Analogamente, os grupos II e III consomem um total de 2 x e 3 x unidades do alimento A diariamente. Como queremos usar todas as 1500 unidades de A, temos a equação 1 2 3 1500 x x x + + = . De modo análogo, obtemos as equações 1 2 3 2 3 3000 x x x + + = e 1 2 3 3 5 4500 x x x + + = para os alimentos B e C, respectivamente. Assim, resulta um sistema de três equações lineares com três variáveis, 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1500 2 3 3000 3 5 4500 x x x x x x x x x + + = ¦ ¦ + + = ´ ¦ + + = ¹ . ÁREA DEPARTAMENTAL DE ENGENHARIA CIVIL EXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA 3/22 A condensação, por linhas, da matriz ampliada associada ao sistema fornece 1 1 1 1500 1 1 1 1500 1 1 1 1500 1 0 1 0 [ | ] 1 2 3 3000 0 1 2 1500 0 1 2 1500 0 1 2 1500 | ] 1 3 5 4500 0 2 4 3000 0 0 0 0 0 0 0 0 A B C D ( ( ( − ( ( ( ( ( = ↔ ↔ ↔ = ( ( ( ( ( ( ( ( ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ , observa-se que ( ) 2 r A m n = = < , o sistema é possível e indeterminando de grau 3 2 1 d = − = . A linha de zeros da matriz corresponde a uma equação redundante, que, consequentemente, pode ser eliminada do sistema. Neste termos o sistema original é equivalente a 1 2 3 1 3 1 3 1 2 3 2 3 2 3 1 2 3 3 1500 0 2 3 3000 2 1500 1500 2 3 5 4500 0 0 x x x x x x x x x x x x x x x x x x + + = − = = ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ + + = ⇔ + = ⇔ = − ´ ´ ´ ¦ ¦ ¦ + + = = ∈ ¹ ¹ ¹ . Considerámos as variáveis 1 x e 2 x como principais e a variável 3 x como livre. Fazendo 3 x t = ∈, obtemos 1 x t = e 2 1500 2 x t = − . Em qualquer problema aplicado, devemos ser cuidadosos para interpretarmos as soluções adequadamente. Como é óbvio, o número de bactérias não pode ser negativo. Assim, 0 t ≥ e 1500 2 0 750 t t − ≥ ⇔ ≤ , temos, portanto, 0 750 t ≤ ≤ . O número de bactérias deve ser inteiro, logo, há exactamente 751 valores (porquê?) de t que satisfazem a desigualdade. A expressão geral das soluções do problema é da forma 1 2 3 0 1 1500 2 1500 2 0 1 x t x t t t x ( ( ( ( ( ( ( ( = − = + − ( ( ( ( ( ( ( ( ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ , o que fornece uma solução particular para cada valor inteiro de t tal que 0 750 t ≤ ≤ . Assim, embora matematicamente este sistema tenha infinitas soluções, fisicamente há uma quantidade finita. Resposta: Tendo em conta o número de bactérias no tubo de ensaio, teremos uma resposta diferente para o problema. Por exemplo, se existirem 500 bactérias do tipo I, no tubo de ensaio, deverão existir 500 dos tipos II e III (porquê?), de modo a consumir todo o alimento. Repare-se que o número de bactérias dos tipos I e III deverão coexistir em igual número. Por exemplo, se existirem 750 bactérias dos tipos I e III, para o alimento ser todo consumido não deverão existir bactérias do tipo II. Exercício4: A soma das idades da Ana, do José e da Sara é 60 anos. A Ana é mais velha que o José pelo mesmo número de anos que o José é mais velho que a Sara. Quando o José tiver a idade que a Ana tem hoje, a Ana terá três vezes a idade que a Sara tem hoje. Quais são as suas idades? Resposta: Ana: 28; José: 20; Sara: 12. ÁREA DEPARTAMENTAL DE ENGENHARIA CIVIL EXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA 4/22 Exercício5: Um comerciante de café vende três misturas de grãos. Um pacote com a “mistura da casa” contém 300 gramas de café colombiano e 200 gramas de café tostado tipo francês. Um pacote com a “mistura especial” contém 200 gramas de café colombiano, 200 gramas de café queniano e 100 gramas de café tostado tipo francês. Um pacote com “mistura gourmet” contém 100 gramas de café colombiano, 200 gramas de café queniano e 200 gramas de café tostado tipo francês. O comerciante tem 30 quilos de café colombiano, 15 de café queniano e 25 de café tipo francês. Se ele deseja utilizar todos os grãos de café, quantos pacotes de cada mistura deve preparar. Resposta: Mistura da casa: 65; mistura especial: 30; mistura gourmet: 45. Exercício6: Classifique o seguinte sistema em função dos parâmetros reais k e t, 1 ( 1) 2 4 0 x ky z x y k z t x y kz + + = ¦ ¦ + + − = ´ ¦ + + = ¹ . Resolução: Este sistema tem 3 variáveis e 3 equações que dependem do parâmetro k ∈ e um dos termos independentes é t ∈ . Vamos condensar a matriz ampliada 1 1 1 1 1 1 [ | ] 1 1 1 0 1 2 1 [ | ] 2 4 0 0 4 2 2 2 k k A B k t k k t C D k k k ( ( ( ( = − ↔ − − − = ( ( ( ( − − − ¸ ¸ ¸ ¸ . A partir da matriz [ | ] C D vemos que a classificação do sistema depende dos parâmetros k e t. Discussão: • Se 1 k = , obtemos 1 1 1 1 1 1 1 1 [ | ] 0 0 1 1 0 2 1 2 0 2 1 2 0 0 1 1 C D t t ( ( ( ( = − − ↔ − − ( ( ( ( − − − − ¸ ¸ ¸ ¸ , o sistema é possível e determinando, qualquer que seja o t ∈ (porquê?). • Se 1 k ≠ , vem 2 1 2 1 1 1 1 1 ( 2)( 3) ( 1)(2 4) 2(1 ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 [ | ] 0 1 2 1 0 1 0 1 0 4 2 2 2 0 4 2 2 2 0 0 k t k t k k k k k k t k k k k k k k C D k k t k k k k − − − − − − − − − − − − − − − − ( ( ( ( ( ( = − − − ↔ ↔ ( ( ( ( ( ( − − − − − − ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ , para se classificar o sistema temos que ter em conta os valores de 33 ( 2)( 3) 1 k k c k − − = − (porquê?). Tendo em conta que ( 2)( 3) 0 2 3 1 k k k k k − − = ⇔ = = − (porquê?): ÁREA DEPARTAMENTAL DE ENGENHARIA CIVIL EXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA 5/22 i) Se 2 k = , 1 2 1 1 [ | ] 0 1 0 1 0 0 0 2 C D t ( ( = − ( ( − ¸ ¸ , o sistema é impossível qualquer que seja o t ∈ (porquê?). ii) Se 3 k = , 1 1 2 2 1 3 1 1 [ | ] 0 1 0 0 0 1 t C D t − ( ( = − ( ( − − ¸ ¸ , Se 1 t = − , o sistema é possível e indeterminando, de grau 1, qualquer que seja o t ∈ (porquê?); Se 1 t ≠ − , o sistema impossível (porquê?); Se 2 3 k k ≠ ≠ , o sistema é possível e determinado, qualquer que seja o t ∈ (porquê?). Esquematizando: 2, sistema impossível, 1, sistema possível e indeterminado (grau1) 3 se 1, sistema impossível 2 3, sistema possível e determinado, k t t k t k k t = ∀ ¦ ¦ = − ¦ ¦ = ´ ´ ≠ − ¹ ¦ ¦ ≠ ≠ ∀ ¹ . Exercício7: Caso seja possível, resolva o sistema resultante do exercício 3: 7.1) Pelo método de Gauss-Jordan; 7.2) Utilizando o método da matriz inversa; 7.3) Utilizando a regra de Cramer. Exercício8: Uma florista vende três tamanhos de arranjos de flores com rosas, margaridas e cravos. Cada arranjo pequeno contém uma rosa, três margaridas e três cravos. Cada arranjo médio contém duas rosas, quatro margaridas e seis cravos. Cada arranjo grande contém quatro rosas, oito margaridas e seis cravos. Um dia, a florista notou que havia usado um total de 24 rosas, 50 margaridas e 48 cravos ao preparas as encomendas desses três tipos de arranjos. Quanto arranjos de cada tipo fez a florista? Resposta: Pequenos: 2; médios: 3; grandes: 4. ÁREA DEPARTAMENTAL DE ENGENHARIA CIVIL EXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA 6/22 Exercício9: Classifique o sistema o 2 2 2 2 0 3 4 4 2 8 3 3 11 x z t x y t x y z t x y z t x y z t + − = ¦ ¦ − + = ¦ ¦ − + − + = − ´ ¦ + − + = ¦ + − − = ¦ ¹ utilizando o método dos determinantes. Resolução: Relativamente a este sistema, tendo em conta a matriz dos coeficientes, 1 0 2 1 2 1 0 2 1 1 1 1 4 1 4 2 3 1 3 1 A − ( ( − ( ( = − − ( − ( ( − − ¸ ¸ , o maior determinante que se pode extrair é de ordem 4 (porquê?). Se existir um determinante de ordem 4 diferente de zero esse será o determinante principal. Como 4 1 0 2 1 2 1 0 2 34 0 1 1 1 1 4 1 4 2 − − ∆ = = − ≠ − − − , consideramos este como sendo o determinante principal. Tendo em conta 4 ∆ , as 4 primeiras equações do sistema e todas as 4 incógnitas são principais. Como a última equação não é principal, apenas há um determinante característico (porquê?), que corresponde ao determinante da matriz ampliada. Por outro lado, como 1 0 2 1 2 2 1 0 2 0 det[ | ] 0 1 1 1 1 3 4 1 4 2 8 3 1 3 1 11 c A B − − ∆ = = = − − − − − − , o sistema é possível (a característica da matriz ampliada é igual à característica de A, 4 r r ′ = = , porquê?). Uma vez que, todas as incógnitas são principais, o sistema é possível e determinando. Até aqui apenas classificámos o sistema, para a sua resolução deveremos utilizar um dos processo referido, com a “desvantagem” da matriz dos coeficientes estar na sua forma original. Para a resolução do sistema podemos desprezar a 5ª equação, vindo 2, 0, 1 x y z = = = − e 2 t = − . Obs.: Repare-se que, 2 1 0 2 1 1 1 1 0 4 1 4 2 3 1 3 1 − − − ∆ = = − − − , a última linha é uma combinação linear das restantes. Ficando, assim, patente que para se calcular o determinante principal basta que um da mesma ordem seja diferente de zero. Quantos determinantes de ordem 4 poderíamos calcular neste caso?. ÁREA DEPARTAMENTAL DE ENGENHARIA CIVIL EXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA 7/22 Exercício10: Resolva os sistemas que resultam de desprezar cada uma das outras equações do sistema do exercício9, pode começar por resolver todos os determinantes de ordem 4. Exercício11: Classifique e resolva o sistema 4 2 1 3 2 5 4 2 2 2 2 x y z t x y z t x t x y z t + + + = ¦ ¦ − − − = ¦ ´ + = ¦ ¦ − − + = ¹ . Exercício12: Classifique e resolva o sistema 2 1 3 3 2 2 1 2 0 x y z w y z w x z w x y z w + + + = ¦ ¦ + + = ¦ ´ − + + = ¦ ¦ + + − = ¹ . Resolução: Neste sistema temos 4 variáveis , , x y z e w e 4 equações, ou seja, m n = (que tipo de sistema podemos ter?). Vamos utilizar o método de Gauss, que classifica e resolve o sistema. A matriz dos coeficientes é quadrada ( 4 4 × ), após condensação resulta da matriz ampliada 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 0 1 3 3 2 0 1 3 3 2 0 1 3 3 2 [ | ] [ | ] 1 0 1 2 1 0 1 3 3 2 0 0 0 0 0 2 1 1 1 0 0 1 3 3 2 0 0 0 0 0 A B C D ( ( ( ( ( ( ( ( ( = ↔ ↔ = ( ( ( − ( ( ( − − − − − ( ( ( ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ . A matriz [ | ] C D tem duas linhas de zeros (que podem ser eliminadas), as linhas que restam, 2 m = , são linearmente independentes e dão a característica de A, ( ) 2 r A = , que é menor que o número de variáveis, isto é, ( ) 2 4 r A m n = = < = . Portanto, através da condensação da matriz ampliada, vimos que podemos eliminar duas equações do sistema (que se dizem redundantes, uma vez que não vão ter influência na resolução do sistema), portanto, o sistema é possível e indeterminado de grau 2 d n r = − = . O sistema original é equivalente a 2 1 ( 3 3 2) 2 1 2 1 , 3 3 2 3 3 2 3 3 2 x y z w x z w z w x z w z w y z w y z w y z w + + + = = − − − + − − + = + − ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ⇔ ⇔ ∈ ´ ´ ´ ¦ ¦ ¦ + + = = − − + = − − + ¹ ¹ ¹ (livres). O que significa o sistema ser possível e indeterminado? Exercício13: Troque algumas equações do sistema anterior e estude-o. ÁREA DEPARTAMENTAL DE ENGENHARIA CIVIL EXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA 8/22 Exercício14: Classifique o sistema anterior, pela regra de Cramer e pelo método dos determinantes. Resolva-o pela regra de Cramer. Exercício15: Resolva, pela regra de Cramer, o sistema 1 2 3 5 1 3 4 2 3 4 5 2 2 1 1 1 x x x x x x x x x x x + + + = ¦ ¦ + + = ´ ¦ − + − = ¹ . Resolução: O sistema tem mais incógnitas do que equações (há variáveis secundárias), portanto pode ser indeterminado ou impossível. A matriz do sistema é 2 1 1 0 2 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 A ( ( = ( ( − − ¸ ¸ . O maior determinante que se pode extrair é de ordem 3, se existir algum diferente de zero será o determinante principal, 3 2 1 0 1 0 1 3 0 0 1 1 ∆ = = − ≠ . Como não existem determinantes característicos (porquê?) o sistema é possível (teorema Rouché) e por haver variáveis secundárias o sistema é indeterminado. Uma vez que, usámos as colunas 1, 2 e 3 no cálculo de 3 ∆ , as variáveis principais são 1 2 , x x e 3 x (claro que poderiam ser outras, desde que o determinante que envolve os seus coeficientes seja diferente de zero) e as variáveis livres (não principais) são 4 x e 5 x . Na resolução do sistema as primeiras vêm em função das livres. Como queremos resolver o sistema pela regra de Cramer, neste contexto, podemos considerar: • 1 2 1 0 1 0 1 0 1 1 A ( ( = ( ( ¸ ¸ a matriz dos coeficientes das variáveis principais; • 2 1 2 1 0 1 1 A ( ( = ( ( − − ¸ ¸ a matriz dos coeficientes das variáveis não principais; • 1 1 2 4 x X x x ( ( = ( ( ¸ ¸ a matriz das variáveis principais e 3 2 5 x X x ( = ( ¸ ¸ a matriz das variáveis livres. ÁREA DEPARTAMENTAL DE ENGENHARIA CIVIL EXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA 9/22 Como o sistema é possível e indeterminado, para a aplicação da regra de Cramer devemos, passar para o 2º membro as variáveis não principais. Assim, o sistema original é equivalente a 1 2 3 5 1 4 3 2 4 3 5 2 1 2 1 1 x x x x x x x x x x x + = − − ¦ ¦ + = − ´ ¦ + = + + ¹ , e, pela regra de Cramer, tem-se 3 5 3 3 5 1 3 5 1 2 1 0 1 0 1 1 1 1 1 3 3 x x x x x x x x − − − + + = = − − − , 3 5 3 3 5 1 3 2 1 2 0 1 1 1 0 1 1 1 3 3 x x x x x x x − − − + + = = + − e 3 5 3 3 5 1 5 2 1 1 2 1 0 1 0 1 1 2 3 3 x x x x x x x − − − + + = = + − , donde 1 1 3 5 3 1 2 3 3 1 2 3 5 2 1 4 3 4 5 3 2 4 3 5 3 3 3 5 5 5 2 1 2 1 1 ( ) ( ) x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x = − − ¦ ¦ = + + = − − ¦ ¦ ¦ ¦ + = − ⇔ = + ´ ´ ¦ ¦ + = + + = ∈ ¹ ¦ ¦ = ∈ ¹ . Repare-se que 1 3 2 5 4 2 1 0 1 1 2 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 x x AX B x x x ( ( ( ( ( ( ( ( ( = ⇔ = − ( ( ( ( ( ¸ ¸ ( ( ( ( − − ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ , ou seja, 1 1 2 2 AX B A X B A X = ⇔ = − , como as variáveis principais estão em 1 X , resolvemos 1 1 1 1 2 2 1 1 1 2 2 A X B A X X A B A A X − − = − ⇔ = − (porquê?), como 1 1 1 1 1 1 1 2 2 3 1 2 1 A − − ( ( = − ( ( − ¸ ¸ , vem 3 1 1 1 1 1 2 2 5 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 2 1 1 2 2 1 0 3 3 1 2 1 1 1 2 1 1 1 x X A B A A X x − − − − ( ( ( ( ( ( ( ( ( = − = − − − ( ( ( ( ( ¸ ¸ ( ( ( ( − − − − ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ , ou seja 1 3 5 3 5 3 2 3 3 3 5 5 4 5 5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 3 3 3 3 2 0 1 2 2 0 2 0 1 x x x x x x x x x x x x x x x − − − − − − − − ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( = − = − = − + = + + ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ¸ ¸ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ÁREA DEPARTAMENTAL DE ENGENHARIA CIVIL EXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA 10/22 Finalmente 1 2 4 3 5 3 5 1 1 1 1 1 0 1 2 0 1 3 0 1 0 0 0 1 x x x x x x x − − ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( = + + ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ , a expressão geral das soluções sistema. Esta representação indica que as variáveis 1 2 , x x e 3 x são principais e que as variáveis 4 x e 5 x são livres. Exercício16: Resolva o sistema anterior pelo método de Gauss. Exercício17: Considere o seguinte sistema de equações lineares, 1 2 2 3 1 3 1 2 ax bx c bx x x cx + = ¦ ¦ − = ´ ¦ − = ¹ . Determine a relação entre , a b e c de forma que o sistema admita uma única variável livre. Resolução: Para que o sistema proposto contenha apenas uma variável livre é necessário que tenha grau de indeterminação 1 d = . Para isso terá de se verificar ( ) ( | ) 2 3 r A r A B n = = < = (porquê?). Condensando a matriz ampliada do sistema vem 0 1 0 2 [ | ] 0 1 1 0 1 1 1 0 2 0 0 1 2 1 a b c c A B b b c ac a c ( ( ( ( = − ↔ − ( ( ( ( − − + − ¸ ¸ ¸ ¸ . Para que ( | ) 2 r A B = a relação pretendida é 2 1 2 1 0 1 2 1 0 , 2 1 0 1 2 2 1 a ac a a a b a c c c c a = − = = − ¦ ¦ − − + = ¦ ¦ ⇔ ⇔ ∀ ∈ ´ ´ ´ ´ − + − = = − = = + ¹ ¹ ¹ ¹ . Exercício18: Discuta, em função dos parâmetros reais, a, b e c os seguintes sistemas de equações: 18.1) 1 ( 1) ( 1) 3 ( 1) 1 x y z x a y a z x y a z a + + = ¦ ¦ + + + − = ´ ¦ + + − = − ¹ , Solução: 2 a = (SPI); 0 a = (SI); 0 a ≠ e 2 a ≠ (SPD). 1.8.2) 2 ( 3) 3 1 2 4 3 x a y bz x bz x y bz b − + + − = − ¦ ¦ + = ´ ¦ + + = − ¹ , Solução: 1, 1: (SPI); 1, 1: (SI); 0, 1: (SPI); 0, 1: (SI); 1, 0 : (SPD). a b a b b a b a a b = = − = ≠ − = = − = ≠ − ≠ ≠ 18.3) 1 1 ax by z x aby z b x by az + + = ¦ ¦ + + = ´ ¦ + + = ¹ , Solução: 1: (SPI); 1, 1: (SI); 2 : (SPI); 2, 2 : (SI); 1, 2, 0 : (SI); 1, 2, 0 : (SPD). a b a b a b a b a b a b = = = ≠ = = − = − ≠ − ≠ − = ≠ − ≠ ÁREA DEPARTAMENTAL DE ENGENHARIA CIVIL EXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA 11/22 18.4) 1 1 ( ) 1 x y z y cz ay x ay a c z b + + = ¦ ¦ + = + ´ ¦ + + − = − ¹ , Solução: 1, 1: (SI) ; 1, 0 : (SI); 1, 0 : (SPI); 1: (SPD) , . a b c a b c a b c a b c = ≠ ∀ = = = = = ≠ ≠ ∀ 18.5) 2 4 2 ( 2) 1 2 1 2 x y bz x a y x y az x y c + + = ¦ ¦ + + = ¦ ´ + + = ¦ ¦ + = ¹ , Solução: c b a = = , c b a = ≠ , c a b = ≠ (SPI); a b ≠ , a c ≠ , b c ≠ (SPD). 18.6) 2 3 2 3 2 3 x ay a z a x by b z b x cy c z c ¦ + + = ¦ + + = ´ ¦ + + = ¹ , Solução: c b a = = , c b a = ≠ , c a b = ≠ (SPI); a b ≠ , a c ≠ , b c ≠ (SPD). Exercício19: Considere a função polinomial 3 2 ( ) f x ax bx cx d = + + + . Determine os coeficientes , , a b c e d por forma a que o gráfico da função passe pelos pontos 1 ( 1,1) P = − , 2 (1, 2) P = − , 3 (2, 1) P = − e 4 ( 2, 0) P = − . Resolução: Substituindo os pontos na função, obtemos o seguinte sistema 5 12 23 12 6 12 1 0 2 8 4 2 1 8 4 2 0 a a b c d b a b c d c a b c d a b c d d = ¦ − + − + = ¦ ¦ ¦ = + + + = − ¦ ¦ ⇔ ´ ´ = − + + + = − ¦ ¦ ¦ ¦ − + − + = = − ¹ ¹ . Portanto, o gráfico da função 3 5 23 6 12 12 12 ( ) f x x x = − − passa nos pontos referidos, como se pode verificar na seguinte figura ÁREA DEPARTAMENTAL DE ENGENHARIA CIVIL EXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA 12/22 Exemplo20: Considere o sistema 4 2 1 3 2 5 4 2 2 2 2 x y z t x y z t x t x y z t + + + = ¦ ¦ − − − = ¦ ´ + = ¦ ¦ − − + = ¹ . 20.1) Calcule o determinante principal do sistema. 20.2) Com base na alínea anterior determine a característica da matriz do sistema. 20.3) Calcule, caso exista, os determinantes característicos do sistema. 20.4) Com base nas alíneas anteriores determine a característica da matriz ampliada do sistema. 20.5) Classifique o sistema pelo teorema de Rouché. 20.6) Resolva o sistema. Resolução: 20.1) A matriz dos coeficientes é (4 4) 1 1 1 1 2 1 1 1 3 0 0 2 4 2 2 2 A × ( ( − − − ( = ( ( − − ¸ ¸ . Como (4 4) A × , o maior determinante que se pode extrair é de 4ª ordem, 4 | | A ∆ = . Prova-se que 4 0 ∆ = (verifique!). Passemos, aos determinantes de ordem 3, vamos considerar, por exemplo, o determinante que envolve as incógnitas x, z e t, nas 3 primeiras equações. Como, 3 1 1 1 2 1 1 6 0 3 0 2 ∆ = − − = − ≠ , o determinante principal é de 3ª ordem. Assim, consideramos a 1ª, a 2ª e a 3ª como equações principais e x, z e t como as incógnitas principais (o que significa?). Repare-se que há outros determinantes de 3ª ordem diferentes de zero, e consequentemente, outras equações e incógnitas principais. 20.2) Como (4 4) A × então ( ) 4 r A ≤ . Contudo, 4 0 ( ) 4 r A ∆ = ¬ < , e como o determinante principal é de ordem 3 ( 3 0 ∆ ≠ ) temos ( ) 3 r A = . 20.3) Como 4 0 ∆ = e 3 0 ∆ ≠ , existe um determinante característico de ordem 4 (porquê?), 1 1 1 4 2 1 1 1 0 3 0 2 5 4 2 2 2 c − − ∆ = = − . ÁREA DEPARTAMENTAL DE ENGENHARIA CIVIL EXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA 13/22 20.4) Como (4 4) A × então ( | ) 4 r A B ≤ , uma vez que, 3 0 ∆ ≠ e 0 c ∆ = temos, ( | ) 3 r A B = . 20.5) Como 0 c ∆ = o sistema é possível, por outro lado, existem incógnitas não principais, ( ) ( | ) 3 4 r A r A B n = = < = , donde o sistema é possível e indeterminando. 20.6) A solução do sistema é 5 7 3 3 {( , , , ) ( , , , 0), } S x y z t y y y = = − + ∈ (verifique!). Como considerámos y como a incógnita livre, as outras vêm em função desta. Exercício21: Utilizando o teorema de Rouché verifique se a equação 1 2 3 4 2 3 1 x x x + + = é compatível com o sistema 1 2 3 1 2 3 2 3 2 4 2 2 3 x x x x x x x x + − = ¦ ¦ − + + = ´ ¦ + = ¹ . Resolução: Uma equação é compatível com um sistema se verifica a solução do sistema. Poderíamos resolver o sistema e verificar se a equação verifica a sua solução, que existe (porquê?). Como o sistema é possível, pelo teorema de Rouché, ou não existem determinantes característicos ou, se existem, são nulos. O determinante principal do sistema é de ordem 4 (porquê?), com a equação dada formamos um determinante característico c ∆ . Uma vez que 2 1 1 4 1 1 1 2 40 0 0 1 2 3 4 2 3 1 c − − ∆ = = − ≠ a equação não é compatível com o sistema porque não se verifica o teorema de Rouché. De facto, a solução do sistema é 13 4 1 5 5 5 {( , , )} S = , que não verifica a equação 1 2 3 4 2 3 1 x x x + + = . Considerando esta equação no sistema, o sistema é impossível, ( ) 3 ( | ) 4 r A r A B = < = . Por outro lado, a equação 1 2 3 5 5 5 18 x x x + + = verifica a solução 13 4 1 5 5 5 {( , , )} S = , ou seja, a equação é compatível com o sistema. De facto, 0 c ∆ = (verifique!). Verifique que substituindo qualquer equação do sistema por esta última a sua solução não se altera (porquê?). Portanto, se quisemos resolve o sistema envolvendo as 4 equações, basta utilizar 3 delas (porquê?). ÁREA DEPARTAMENTAL DE ENGENHARIA CIVIL EXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA 14/22 Exercício22: Calcule o núcleo do sistema 1 3 4 2 3 4 1 2 1 x x x AX B x x x − + = ¦ = ⇔ ´ + − = − ¹ . Resolução: Pretendemos calcular 4 ( ) { : 0} N A X AX = ∈ = , ou seja, a solução do sistema 0 AX = associado. Condensando a matriz do sistema, obtemos 1 1 1 0 1 0 1 1 2 1 0 1 0 1 2 1 A − ( ( = ↔ ( ( − ¸ ¸ ¸ ¸ donde 1 3 4 1 3 4 2 3 4 2 3 4 3 4 0 2 0 2 0 x x x x x x x x x AX x x x x x = − ¦ ¦ − + = = − + ¦ ¦ = ⇔ ⇔ ´ ´ + − = ∈ ¹ ¦ ¦ ∈ ¹ . Fazendo 3 x t = ∈ e 4 x s = ∈, vem 1 1 2 2 3 3 4 4 1 1 2 2 2 2 1 0 0 1 0 0 0 1 x t s x t s t s x t s x t s t s AX X t s x t x t t s s x s x = − − − − ¦ ( ( ( ( ( ( ¦ ( ( ( ( ( ( = − + − + − − ¦ ( ( ( ( ( ( = ⇔ ⇔ = = = + = + ´ ( ( ( ( ( ( = ¦ ( ( ( ( ( ( ¦ = ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¹ ¸ ¸ , ou seja, 1 1 2 1 1 0 0 1 X t s − ( ( ( ( − ( ( = + ( ( ( ( ¸ ¸ ¸ ¸ , é a solução geral do sistema homogéneo 0 AX = , constitui, portanto, o núcleo do sistema AX B = . Por exemplo, considerando 1 t s = = , obtemos uma solução particular do sistema homogéneo [ ] 1 0 1 1 1 T X = − (um elemento de ( ) N A ). Observe-se que [ ] [ ] 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 2 1 0 1 T T AX O ( = − = = ( ¸ ¸ . ÁREA DEPARTAMENTAL DE ENGENHARIA CIVIL EXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA 15/22 Exercício23:Resolva o sistema 2 0 2 2 0 0 3 3 0 4 4 2 0 x z t x y t x y z t x y z t x y z t + − = ¦ ¦ − + = ¦ ¦ − + − + = ´ ¦ + − − = ¦ + − + = ¦ ¹ . Resolução: Repare-se que m n > (o número que equações é superior ao nº de variáveis, o que significa?). Tratando-se de um sistema homogéneo é sempre possível, admite pelo menos a solução trivial. Da condensação da matriz ampliada resulta: 4 3 34 3 1 0 2 1 0 1 0 2 1 0 2 1 0 2 0 0 1 4 4 0 [ | ] [ | ]. 1 1 1 1 0 0 0 1 0 3 1 3 1 0 0 0 0 0 4 1 4 2 0 0 0 0 0 0 A B C D ( ( − − ( ( − − − ( ( ( ( = ↔ = − − − ( ( − − − ( ( ( ( − ¸ ¸ ¸ ¸ O sistema é possível determinado, admite a solução trivial, 0, 0, 0 x y z = = = e 0 t = (porquê?). Exercício24: Considere o seguinte sistema de equações lineares, 2 0 0 x ay az ax y z x y az a ¦ + + = ¦ + + = ´ ¦ + + = ¹ . 24.1) Discuta o sistema em função do parâmetro a ∈. 24.2) Considere o sistema homogéneo associado fazendo 1 a = − e determine dois conjuntos fundamentais de soluções. Resolução: 24.1) Condensando a matriz ampliada do sistema vem 2 2 2 2 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 a a a a a a a a a a a ( ( ( ( ↔ − − ( ( ( ( − ¸ ¸ ¸ ¸ Discussão: • Se 1 a = , como ( ) 1 r A = e ( | ) 2 r A B = , o sistema é impossível porque ( | ) ( ) r A B r A > ; • Se 1 a = − , ( | ) ( ) 2 r A B r A = = e o sistema é possível e indeterminado, com grau de indeterminação 1 d n r = − = ; • Para os restantes valores de a, 1 a ≠ ± , tem-se um sistema de Cramer, pois ( | ) ( ) 3 r A B r A = = . O sistema é então possível e determinado. ÁREA DEPARTAMENTAL DE ENGENHARIA CIVIL EXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA 16/22 24.2) Neste caso o sistema homogéneo associado ao sistema dado com 1 a = − é 0 0 0 x y z x y z x y z − − = ¦ ¦ − + + = ´ ¦ + − = ¹ . Para obter um conjunto fundamental de soluções, é necessário resolver o sistema homogéneo 0 , 0 0 2 0 0 0 0 x y z x k k x y z x z x y z z k y y x y z y − − = = ∀ ∈ ¦ ¦ − − = = ¦ ¦ ¦ ¦ − + + = ⇔ ⇔ ⇔ = ´ ´ ´ ´ = = ¹ ¹ ¦ ¦ + − = = ¹ ¹ , resolvendo o sistema deste modo, considerámos as variáveis x e y como principais e a variável z como não principal. O grau de indeterminação é 1 d = e, consequentemente, um conjunto fundamental de soluções é constituído por uma solução. Fazendo 1 x z = = , como 0 y = , obtém-se um conjunto fundamental de soluções [ ] { } 1 0 1 T e qualquer solução do sistema proposto é combinação linear desta solução [ ] [1 0 1] , T T x y z λ λ = ∀ ∈. Fazendo 1 x z = = − , como 0 y = , outro conjunto fundamental de soluções é [ ] { } 1 0 1 T − − e do mesmo modo, qualquer solução do sistema proposto é combinação linear desta solução [ ] [ 1 0 1] , T T x y z α α = − − ∀ ∈. Exercício25: Considere o seguinte sistema de equações lineares 1 2 3 4 1 3 4 2 3 4 2 3 12 2 3 4 4 8 8 x x x x a x x x b x x x c + + − = ¦ ¦ − − + = ´ ¦ + + = ¹ . 25.1) Classifique o sistema tendo em conta os valores dos parâmetros a, b e c. 25.2) Determine a solução geral do sistema indicado, sabendo que uma solução particular é 1 2 3 1, 1/ 3, 0 x x x = = − = e 4 0 x = . Resolução: 25.1) A matriz ampliada do sistema é 8 4 3 3 2 3 12 2 1 0 3 4 [ | ] 1 0 3 4 0 3 6 6 2 0 4 8 8 0 0 0 0 a b A B b b a c a b c − ( − − ( ( ( = − − ↔ + ( ( ( ( − − + ¸ ¸ ¸ ¸ . ÁREA DEPARTAMENTAL DE ENGENHARIA CIVIL EXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA 17/22 Discussão: • Se 8 4 3 3 0 a b c − − + = , o sistema é possível ( ) ( | ) r A r A B = , mas é indeterminado, porquê?. • Se 8 4 3 3 0 a b c − − + ≠ , o sistema é impossível, porquê?. Obs.: Um sistema de equações com mais incógnitas do que equações ou é indeterminado ou é impossível. 25.2) Determine a solução geral do sistema indicado, sabendo que uma solução particular é 1 2 3 1, 1/ 3, 0 x x x = = − = e 4 0 x = . Sabe-se que todas as soluções do sistema AX B = podem obter-se somando uma solução particular deste sistema com cada solução do sistema homogéneo associado. Como 1 2 3 1, 1/ 3, 0 x x x = = − = e 4 0 x = é uma solução particular do sistema AX B = , vamos resolver AX O = . Condensando a matriz ampliada resulta 2 3 12 2 0 1 0 3 4 0 [ | ] 1 0 3 4 0 0 1 2 2 0 [ | ] 0 4 8 8 0 0 0 0 0 0 A O C O − ( − − ( ( ( = − − ↔ = ( ( ( ( ¸ ¸ ¸ ¸ , portanto ( ) ( | ) 2 r A r A O = = . Daqui sai que a 3ª equação é redundante, as incógnitas 3 x e 4 x são livres, ou seja, o sistema homogéneo original é equivalente a 1 2 3 4 2 3 4 1 3 4 1 3 4 1 3 4 2 3 4 2 3 4 2 3 12 2 0 2 2 0 3 4 3 4 0 3 4 0 2 2 4 8 8 0 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x + + − = ¦ + + = = − + ¦ ¦ ¦ − − + = ⇔ ⇔ ´ ´ ´ − − + = = − − ¹ ¹ ¦ + + = ¹ . Fazendo 3 4 1, 0 x x = = e 3 4 0, 1 x x = = , obtém-se o seguinte conjunto fundamental de soluções 1 2 3 4 3, 2, 1, 0 x x x x = − = − = = e 1 2 3 4 4, 2, 0, 1 x x x x = = − = = . A solução do sistema é 1 1 2 3 1 2 3 4 1 3 4 - 2 2 1 0 0 0 1 0 x x x x λ λ − ( ( ( ( ( ( ( ( − − ( ( ( ( = + + ( ( ( ( ( ( ( ( ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ , com 1 2 , λ λ ∈. ÁREA DEPARTAMENTAL DE ENGENHARIA CIVIL EXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA 18/22 2. Outros Exercícios: (Alguns exercícios poderão ser de difícil ou trabalhosa resolução!) Exercício1: Considere as matrizes 0 2 0 0 0 2 1 2 2 4 2 3 a b a A a a a a a a a − ( ( ( = ( − ( − − + − + ¸ ¸ e 1 0 2 1 2 3 B a b a − ( ( ( = ( − ( − − ¸ ¸ , , a b∈ . 1.1) Discuta o sistema associado à equação matricial AX B = , em função dos parâmetros a e b. 1.2) Determine o conjunto solução do sistema AX B = , em que [ ] 1 0 1 2 T B = − − , a ∀ ∈. Exercício2: Considere a matriz 1 1 1 1 1 3 2 2 2 2 2 3 1 3 2 3 2 1 a A a a a a a ( ( − ( = ( − − − − ( + − + ¸ ¸ , a∈ . Determine o conjunto solução do sistema AX B = , em que [ ] 4 3 1 6 T B = , para todos os valores de a. Exercício3: Considere o sistema x y az x ay z a ax y z a + + = + + = + + = ¦ ´ ¦ ¹ ¦ 1 2 , a∈ . 3.1) Estude a característica da matriz do sistema em função do parâmetro a. 3.2) Indique para que valor do parâmetro, a∈ , a matriz do sistema é invertível. 3.3) Resolva o sistema, pelo método da matriz inversa, para 0 a = . Exercício4: Considere o sistema de equações lineares 3 2 3 1 2 2 x y z b x y z ax y + − = ¦ ¦ − + = ´ ¦ + = ¹ , , a b∈ . 4.1) Discuta o sistema em função dos parâmetros a e b. 4.2) Resolva-o, pelo método de Cramer, para 4 a = − e 0 b = , calculando a inversa da matriz do sistema pelo método da matriz adjunta. Exercício5: Considere a seguinte matriz ( ( ( ¸ ( ¸ − − + − = 1 1 1 3 2 0 0 a a a A , a ∈. 5.1) Determine os valores de a, para os quais a matriz A admite inversa. 5.2) Considere 1 a = − e sejam [ ] 1 10 2 T B = e [ ] T z y x W = , com , , x y z ∈, resolva o sistema de equações lineares, AW AB = . ÁREA DEPARTAMENTAL DE ENGENHARIA CIVIL EXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA 19/22 Exercício6: Considere o sistema 1 0 x z x y z y z β β β + = ¦ ¦ − + = ´ ¦ + = ¹ , β ∈ . 6.1) Em função de β , determine o determinante da matriz do sistema. 6.2) Em função de β , determine a característica das matrizes do sistema e ampliada. 6.3) Discuta o sistema, em função dos valores reais do parâmetro β . 6.4) Para 1 β = , calcule a inversa da matriz do sistema. 6.5) Resolva o sistema , pelo método de explicitação e pelo o método de Jordan para 1 β = . Exercícios7: Considere os sistema lineares 2 1 2 2 = 3 x z ax z b x y bz − = ¦ ¦ − = ´ ¦ + − ¹ e ¦ ¹ ¦ ´ ¦ = − = − = − + 1 2 2 3 2 z y b z ay bz y x , , a b∈ . 7.1) Indique para que valores dos parâmetros a e b as matrizes dos sistemas são invertíveis. 7.2) Discuta os sistemas, em função dos valores dos parâmetros a e b. 7.3) Se possível, para 1 a = − e 0 b = , resolva os sistemas usando os métodos: de Gauss; de Gauss- Jordan; da explicitação; Regra de Cramer. Exercício8: Considere as matrizes 0 1 1 0 1 1 0 0 2 2 0 1 a a M a a ( ( − ( = ( − ( − ¸ ¸ e 1 1 0 B b ( ( ( = ( ( ¸ ¸ , , a b∈ . 8.1) Usando o teorema de Laplace calcule o determinante da matriz M, para 2 a = . 8.2) Tendo em conta o parâmetro a∈ , indique a característica da matriz M. 8.3) Discuta o sistema correspondente à equação matricial MX B = . 8.4) Para 2 a = , determine b∈ tal que [ ] 1 1 2 2 0 0 T seja solução do sistema MX B = . Exercício9: Considere ( ( ( ( ¸ ( ¸ − − − − − = a a a a a a a A 2 3 0 0 1 0 0 2 3 0 2 5 3 3 , 3 0 1 0 B ( ( ( = ( ( ¸ ¸ e ( ( ( ( ¸ ( ¸ − − − − = 1 3 2 1 0 2 1 0 0 1 1 0 2 5 3 1 C . 9.1) Usando o teorema de Laplace calcule o determinante da matriz C. 9.2) Utilizando a matriz ampliada [ | ] C I determine a inversa da matriz C. 9.3) Tendo em conta o parâmetroa∈ , calcule a característica da matriz A. 9.4) Classifique o sistema correspondente à equação matricial AX B = . ÁREA DEPARTAMENTAL DE ENGENHARIA CIVIL EXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA 20/22 Exercício10: Considere as matrizes 3 0 0 0 0 2 0 0 8 2 8 9 2 2 5 2 a a A a a b b b a b a b ( ( − ( = ( − − − − ( − − − − − ¸ ¸ e 6 3 1 a b b B a + ( ( ( = ( ( ¸ ¸ . 10.1) Tendo em conta os parâmetros , a b∈, calcule a característica da matriz A. 10.2) Classifique em função dos parâmetros , a b∈ , o sistema AX B = . 10.3) Calcule o determinante da matriz A para 1 a = e 2 b = , o que pode concluir quanto à classificação do sistema AX B = . 10.4) Determine a inversa da matriz A para 1 a = e 2 b = . 10.5) Resolva o sistema AX B = fazendo 1 a = e 2 b = . Exercício11: Considere as matrizes ( ( ( ( ¸ ( ¸ − = 1 0 1 1 1 0 1 1 1 2 2 0 a a a a a A , ( ( ( ( ¸ ( ¸ = b B 1 0 1 e ( ( ( ( ¸ ( ¸ − − − = 1 2 2 0 2 2 0 0 1 1 2 0 1 1 0 2 C . 11.1) Usando o teorema de Laplace calcule o determinante da matriz C. 11.2) Calcule a característica da matriz A em função do parâmetro a∈ . 11.3) Classifique o sistema AX CB = em função dos parâmetros , a b ∈? 11.4) Se 2 a = , determine o valor de b∈ tal que 3 1 1 4 4 4 , , , 0 T − ( ¸ ¸ seja solução do sistema AX B = . Exercício12. Considere as matrizes ( ( ( ¸ ( ¸ = 1 1 1 1 1 1 a a a A e ( ( ( ¸ ( ¸ = b b b B , , a b∈ . 12.1) Tendo em conta o parâmetro a∈ , determine a característica da matriz A. 12.2) Discuta o sistema de equações correspondente à equação matricial AX B = , tendo em conta os parâmetros reais a e b. 12.3) Para 0 a = , determine o valor de b tal que [ 1 1 1] T − − − seja solução do sistema AX B = . Exercício13: Para ( ( ( ( ¸ ( ¸ + − − − − − − + − = 3 2 2 0 1 0 1 1 2 1 2 2 2 1 1 a a a b a b a a A , ( ( ( ( ¸ ( ¸ − − = b a b a B 2 2 2 e ( ( ( ( ( ¸ ( ¸ − − − − − = 8 0 2 0 1 0 1 1 2 0 0 1 1 0 2 1 2 1 M . 13.1) Discuta o sistema correspondente à equação matricial AX B = , em função de , a b∈ . 13.2) Faça 0 a = e 2 b = em A, e determine, utilizando o teorema de Laplace, o seu determinante. 13.3) Considere a matriz C obtida de M por eliminação da 1ª linha e da 3ª coluna. Determine a sua inversa, utilizando o método da matriz adjunta. ÁREA DEPARTAMENTAL DE ENGENHARIA CIVIL EXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA 21/22 Exercício14: Considere as seguintes matrizes ( ( ( ( ¸ ( ¸ − − − − − + = b a b a b b b a a b A 0 0 2 0 2 2 1 0 1 0 0 e ( ( ( ( ¸ ( ¸ + = 1 2 1 1 0 a B . 14.1) Tendo em conta os parâmetros a e b, indique o determinante da matriz A 14.2) Tendo em conta a alínea anterior, indique a característica da matriz A . 14.3) Tendo em conta os parâmetros a e b, indique a característica da matriz ampliada do sistema. 14.4) Discuta o sistema AX B = , de acordo com os parâmetros , a b∈ . 14.5) Para 0 a = e 1 b = , calcule o determinante da matriz A. 14.6) Para 0 a = e 1 b = , calcule a inversa da matriz A, pelo método da matriz ampliada. Exercício15: Considere as seguintes matrizes ( ( ( ( ¸ ( ¸ − − − − + − − = 2 2 0 1 2 1 2 5 3 1 1 2 2 1 0 a a a a a a a a A e ( ( ( ( ¸ ( ¸ + − + − − = b a a a B 1 2 1 1 0 . 15.1) Calcule o valor do determinante de A em função de a ∈. 15.2) Tendo em conta a alínea anterior determine a característica de A. 15.3) Determine a característica da matriz ampliada em função de , a b∈ . 15.4) Utilizando o teorema de Rouché, discuta o sistema AX B = , em função de , a b∈ . 15.5) Para 0 a = , calcule determinante da matriz A e a sua característica. 15.6) Para 0 a = e 0 b = , calcule a característica da matriz ampliada do sistema. 15.7) Para 0 a = e 0 b = , resolva, se possível o sistema AX B = pela regra Cramer. Exercícios16: Considere as matrizes ( ( ( ( ¸ ( ¸ − − − − − = 0 1 1 1 2 2 1 0 1 0 1 0 2 2 a a a a a b A e ( ( ( ( ¸ ( ¸ + − = 1 2 1 0 b B . 16.1) Discuta o sistema correspondente à equação matricial AX B = , em função de , a b∈ . 16.2) Para 2 a = e 1 b = , usando o teorema de Laplace calcule o determinante da matriz A. Exercícios17: Considere as seguintes matrizes 1 1 0 2 2 1 3 2 2 1 0 2 0 2 a a a b A a a ( ( + ( = ( − ( ¸ ¸ e 2 1 0 2 a B b ( ( ( = ( ( ¸ ¸ . 17.1) Indique a característica da matriz A, em função dos valores de a e b. 17.2) Discuta o sistema correspondente à equação matricial AX B = em função de , a b∈ . 17.3) Resolva o sistema para 1 a = e 0 b = , pelo método de explicitação e pelo método de Jordan. ÁREA DEPARTAMENTAL DE ENGENHARIA CIVIL EXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA 22/22 Exercício18: Considere as seguintes matrizes 0 2 1 2 2 2 1 3 2 2 1 1 1 0 a a a a A a a − ( ( ( = ( − ( − ¸ ¸ e 2 1 0 b B a ( ( ( = ( ( ¸ ¸ , , a b∈ . 18.1) Indique a característica da matriz A e de [ | ] A B , em função dos valores de a e b. 18.2) Discuta o sistema correspondente à equação matricial AX B = em função de , a b∈ . 18.3) Resolva o sistema, AX B = , para 1 a = e 1 b = − , pelo método de Gauss-Jordan. 18.4) Discuta em função de a ∈ o sistema homogéneo associado. 18.5) Calcule o núcleo do sistema AX B = em função de a ∈. 18.6) Para 0 a = , determine na matriz A os valores λ ∈ tais que 0 X ≠ que satisfaz AX X λ = . 18.7) Para cada valor de λ ∈ encontrados na alínea anterior, encontre a solução geral do sistema AX X λ = . Exercício19: Para as matrizes 2 2 2 1 1 2 1 1 1 3 0 1 1 2 ( 1) 1 0 a a a A a a a a − ( ( − + − ( = ( − − ( − ¸ ¸ , 0 1 2 B a b ( ( ( = ( ( + ¸ ¸ e 2 1 1 0 1 1 1 2 4 C − ( ( = − ( ( ¸ ¸ . 19.1) Indique a característica da matriz A e da matriz ampliada em função dos valores de a e b. 19.2) Discuta o sistema AX B = em função dos valores de , a b∈ . 19.3) Considere a matriz D, obtida de B, por eliminação da quarta linha. Classifique e resolva o sistema correspondente à equação matricial CX D = , utilizando a regra de Cramer. 19.4) Discuta em função de a ∈ o sistema homogéneo associado. 19.5) Calcule o núcleo do sistema AX B = em função de a ∈. 19.6) Determine na matriz C os valores λ ∈ tais que 0 X ≠ que satisfaz AX X λ = . 19.7) Para cada valor de λ ∈ encontrados na alínea anterior, encontre a solução geral do sistema AX X λ = . 19.8) Para 1 a = , determine na matriz A os valores λ ∈ tais que 0 X ≠ que satisfaz AX X λ = . 19.9) Para cada valor de λ ∈ encontrados na alínea anterior, encontre a solução geral do sistema AX X λ = . ÁREA DEPARTAMENTAL DE ENGENHARIA CIVIL 1. Exercícios sobre sistemas: Exercício1: Uma empresa que presta serviços de engenharia civil tem três tipos de contentores I, II, e III, que carregam cargas, em três tipos de recipientes A, B e C. O número de recipientes por contentor é dado pelo quadro: Tipo de recipiente I II III A 4 4 2 B 3 2 2 C 4 3 2 Quantos contentores x1 , x2 e x3 de cada tipo I, II e III, são necessário se a empresa necessita transportar 38 recipientes do tipo A, 24 do tipo B e 32 do tipo C? Resolução: Este problema pode ser resolvido por meio do seguinte sistema de equações lineares 4 x1 + 4 x2 + 2 x3 = 38 3 x1 + 2 x2 + 2 x3 = 24 . 4 x1 + 3 x2 + 2 x3 = 32 Comecemos por classificá-lo, como 4 4 2 A= 3 2 2 4 3 2 | A |= 2 ≠ 0 , o sistema diz-se de Cramer e, como tal, é possível e determinado. Vamos aplicar o método de Gauss para o resolver, a condensação da matriz ampliada pode ser 4 4 2 38 2 4 4 38 1 2 2 19 1 2 2 19 [ A | B] = 3 2 2 24 ↔ 2 2 3 24 ↔ 0 −2 −1 −14 ↔ 0 −1 −2 −14 = [C | D ] . 4 3 2 32 2 3 4 32 0 −1 0 −6 0 0 −1 −6 Devemos ter em atenção que nesta condensação trocámos algumas colunas, portanto, como cada uma destas corresponde a uma variável, mudámos a posição das mesmas. No primeiro passo, as colunas 1 e 3 trocaram, ou seja, a variável x3 passou a estar na 1ª coluna e a variável x1 passou a estar na 3ª coluna; no quarto passo a 2ª coluna trocou com a 3ª passando a variável x1 para a 2ª coluna e a variável x2 passou a estar na 3ª coluna. Por isso, quando se utiliza o método de Gauss para a resolução de sistema de equações lineares é mais directo condensar a matriz por linhas. Qualquer troca de colunas deve ser registada porque é uma troca de incógnitas (excepto B); qualquer troca de linhas não altera o sistema pois é uma troca de equações. EXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA 1/22 2) Utilizando o método da matriz inversa. respectivamente. x3 = 3 3 x1 + 2 x2 + 2 x3 = 24 ⇔ − x1 − 2 x2 = −14 Resposta: Para que a empresa transporte 38 recipientes do tipo A. 6 do tipo II e 3 do tipo III.1) Condensando a matriz ampliada por linhas. o sistema original é equivalente a 4 x1 + 4 x2 + 2 x3 = 38 4 x1 + 3 x2 + 2 x3 = 32 x3 + 2 x1 + 2 x2 = 19 − x2 = −6 x1 = 2 ⇔ x2 = 6 . x2 e x3 os números de bactérias das espécies I.3) Utilizando a regra de Cramer. respectivamente. Cada bactéria consome um certo número de unidades de cada alimento por dia. Exercício3: Um biólogo colocou três espécies de bactérias (denotadas por I. De modo análogo. Quantas bactérias podem coexistir no tubo de ensaio de modo a consumir todo o alimento? Tipo de bactéria Alimento A Alimento B Alimento C I 1 1 1 II 1 2 3 III 1 3 5 Resolução: Sejam x1 . B e C). 2. 2. Analogamente. onde elas serão alimentadas por três fontes diferentes de alimentos (A. resulta um sistema de três equações lineares com três variáveis. os grupos II e III consomem um total de x2 e x3 unidades do alimento A diariamente. o grupo I consome um total de x1 por dia. 3000 unidades de B e 4500 unidades de C. II e III) num tubo de ensaio. II e III. Como queremos usar todas as 1500 unidades de A. temos a equação x1 + x2 + x3 = 1500 . x1 + 3 x2 + 5 x3 = 4500 2/22 EXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA . como mostra a tabela. x1 + x2 + x3 = 1500 x1 + 2 x2 + 3x3 = 3000 .ÁREA DEPARTAMENTAL DE ENGENHARIA CIVIL Tendo em conta o que foi dito. Assim. Como cada umas das bactérias da espécie I consome uma unidade de A por dia. obtemos as equações x1 + 2 x2 + 3 x3 = 3000 e x1 + 3 x2 + 5 x3 = 4500 para os alimentos B e C. 24 do tipo B e 32 do tipo C. Em cada dia serão colocadas no tubo de ensaio 1500 unidades de A. são necessários 2 contentores do tipo I. Exercício2: Resolva os sistemas do exercício anterior: 2. A linha de zeros da matriz corresponde a uma equação redundante. Assim. O número de bactérias deve ser inteiro. por linhas. logo. Assim. Fazendo x3 = t ∈ obtemos x1 = t e x2 = 1500 − 2t . portanto. Quando o José tiver a idade que a Ana tem hoje. Por exemplo. 0 ≤ t ≤ 750 . Resposta: Tendo em conta o número de bactérias no tubo de ensaio. Considerámos as variáveis x1 e x2 como principais e a variável x3 como livre. teremos uma resposta diferente para o problema. devemos ser cuidadosos para interpretarmos as soluções adequadamente. pode ser eliminada do sistema.ÁREA DEPARTAMENTAL DE ENGENHARIA CIVIL A condensação. consequentemente. do José e da Sara é 60 anos. há exactamente 751 valores (porquê?) de t que satisfazem a desigualdade. de modo a consumir todo o alimento. A Ana é mais velha que o José pelo mesmo número de anos que o José é mais velho que a Sara. t ≥ 0 e 1500 − 2t ≥ 0 ⇔ t ≤ 750 . se existirem 750 bactérias dos tipos I e III. x1 + 2 x2 + 3 x3 = 3000 ⇔ x2 + 2 x3 = 1500 ⇔ x2 = 1500 − 2 x3 . Por exemplo. temos. 0 0 observa-se que r ( A) = 2 = m < n . que. Quais são as suas idades? Resposta: Ana: 28. Sara: 12. se existirem 500 bactérias do tipo I. Como é óbvio. EXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA 3/22 . Exercício4: A soma das idades da Ana. a Ana terá três vezes a idade que a Sara tem hoje. deverão existir 500 dos tipos II e III (porquê?). no tubo de ensaio. embora matematicamente este sistema tenha infinitas soluções. A expressão geral das soluções do problema é da forma x1 x2 x3 0 1 t = 1500 − 2t = 1500 + t −2 . o sistema é possível e indeterminando de grau d = 3 − 2 = 1 . t 0 1 o que fornece uma solução particular para cada valor inteiro de t tal que 0 ≤ t ≤ 750 . da matriz ampliada associada ao sistema fornece 1 1 1 1500 1 1 1 1500 1 1 1 1500 1 0 −1 0 [ A | B] = 1 2 3 3000 ↔ 0 1 2 1500 ↔ 0 1 2 1500 ↔ 0 1 1 3 5 4500 0 2 4 3000 0 0 0 0 0 0 2 1500 = C | D] . Neste termos o sistema original é equivalente a x1 + x2 + x3 = 1500 x1 + 3 x2 + 5 x3 = 4500 x1 − x3 = 0 0=0 x1 = x3 x3 ∈ . para o alimento ser todo consumido não deverão existir bactérias do tipo II. Em qualquer problema aplicado. o número de bactérias não pode ser negativo. fisicamente há uma quantidade finita. Repare-se que o número de bactérias dos tipos I e III deverão coexistir em igual número. José: 20. 200 gramas de café queniano e 100 gramas de café tostado tipo francês. Tendo em conta que (k − 2)(k − 3) 1− k (k − 2)(k − 3) = 0 ⇔ k = 2 k = 3 (porquê?): 1− k 4/22 EXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA . qualquer que seja o t ∈ • Se k ≠ 1 . quantos pacotes de cada mistura deve preparar. mistura gourmet: 45. O comerciante tem 30 quilos de café colombiano. 0 2 −1 −2 0 0 −1 t − 1 o sistema é possível e determinando. Discussão: • Se k = 1 . 15 de café queniano e 25 de café tipo francês. 1 k ↔ 0 1 k − 2 −2 0 0 k −2 1− k t −1 1− k 1 1 1 k −2 1− k ( k − 2)( k − 3) 1− k 1 t −1 1− k ( t −1)(2 k − 4) − 2(1− k ) 1− k . 2 x + 4 y + kz = 0 Resolução: Este sistema tem 3 variáveis e 3 equações que dependem do parâmetro k ∈ e um dos termos independentes é t ∈ . k − 2 −2 A partir da matriz [C | D] vemos que a classificação do sistema depende dos parâmetros k e t. para se classificar o sistema temos que ter em conta os valores de c33 = (porquê?). vem 1 k [C | D ] = 0 1 − k 0 4 − 2k 1 1 1 k k − 2 t −1 ↔ 0 1 k − 2 −2 0 4 − 2k (porquê?). 200 gramas de café queniano e 200 gramas de café tostado tipo francês. Se ele deseja utilizar todos os grãos de café. Um pacote com a “mistura da casa” contém 300 gramas de café colombiano e 200 gramas de café tostado tipo francês. Vamos condensar a matriz ampliada 1 k 1 1 1 k 1 1 [ A | B] = 1 1 k − 1 t ↔ 0 1 − k 2 4 k 0 0 4 − 2k k − 2 t − 1 = [C | D ] . Um pacote com “mistura gourmet” contém 100 gramas de café colombiano. Resposta: Mistura da casa: 65. Um pacote com a “mistura especial” contém 200 gramas de café colombiano. mistura especial: 30. x + ky + z = 1 x + y + (k − 1) z = t . obtemos 1 1 1 1 1 1 1 1 [C | D] = 0 0 −1 t − 1 ↔ 0 2 −1 −2 .ÁREA DEPARTAMENTAL DE ENGENHARIA CIVIL Exercício5: Um comerciante de café vende três misturas de grãos. Exercício6: Classifique o seguinte sistema em função dos parâmetros reais k e t. Se t ≠ −1 .2) Utilizando o método da matriz inversa. 7. 1 3 1 1 (porquê?). sistema impossível . EXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA 5/22 . 1 2 1 1 [C | D] = 0 1 0 1 − t . 50 margaridas e 48 cravos ao preparas as encomendas desses três tipos de arranjos. 7. Esquematizando: k = 2. quatro margaridas e seis cravos. ∀t k = 3 se t = −1. [C | D ] = 0 1 − 1 1−t . Quanto arranjos de cada tipo fez a florista? Resposta: Pequenos: 2. 2 2 0 0 0 −t − 1 Se t = −1 . Um dia. grandes: 4. a florista notou que havia usado um total de 24 rosas. k ≠ 2 k ≠ 3. 0 0 0 −2 o sistema é impossível qualquer que seja o t ∈ ii) Se k = 3 . três margaridas e três cravos. de grau 1. Cada arranjo médio contém duas rosas.1) Pelo método de Gauss-Jordan. o sistema é possível e determinado. médios: 3. margaridas e cravos. resolva o sistema resultante do exercício 3: 7. Cada arranjo grande contém quatro rosas. Se k ≠ 2 k ≠ 3 . Cada arranjo pequeno contém uma rosa. Exercício8: Uma florista vende três tamanhos de arranjos de flores com rosas. ∀t Exercício7: Caso seja possível. o sistema é possível e indeterminando.ÁREA DEPARTAMENTAL DE ENGENHARIA CIVIL i) Se k = 2 . sistema impossível. oito margaridas e seis cravos. qualquer que seja o t∈ (porquê?). sistema possível e indeterminado (grau1) t ≠ −1. qualquer que seja o t ∈ (porquê?). sistema possível e determinado. o sistema impossível (porquê?).3) Utilizando a regra de Cramer. Até aqui apenas classificámos o sistema. para a sua resolução deveremos utilizar um dos processo referido. 4 x + y − 4 z + 2t = 8 3 x + y − 3 z − t = 11 Resolução: Relativamente a este sistema. EXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA 6/22 .: Repare-se que. z = −1 e t = −2 . tendo em conta a matriz dos coeficientes. ∆ = = 0 . patente que para se calcular o determinante principal basta que um da mesma ordem seja diferente de zero. as 4 primeiras equações do sistema e todas as 4 incógnitas são principais. y = 0. −1 1 −1 1 4 1 −4 2 Tendo em conta ∆ 4 . Como a última equação não é principal.ÁREA DEPARTAMENTAL DE ENGENHARIA CIVIL x + 2z − t = 2 2 x − y + 2t = 0 Exercício9: Classifique o sistema o − x + y − z + t = −3 utilizando o método dos determinantes. 1 0 2 −1 2 A = −1 4 3 o maior determinante que se pode extrair é de −1 0 1 −1 1 −4 1 −3 ordem 4 2 1 . todas as incógnitas são principais. Como 1 0 2 −1 2 −1 0 2 ∆4 = = −34 ≠ 0 . com a “desvantagem” da matriz dos coeficientes estar na sua forma original. r ′ = r = 4 . 8 11 o sistema é possível (a característica da matriz ampliada é igual à característica de A. 2 −1 (porquê?). assim. vindo x = 2. Ficando. o sistema é possível e determinando. 2 −1 0 2 −1 1 −1 1 Obs. que corresponde ao determinante da matriz ampliada. porquê?). Por outro lado. Quantos determinantes de ordem 4 poderíamos calcular neste caso?. consideramos este como sendo o determinante principal. a última linha é uma combinação linear das 4 1 −4 2 3 1 −3 −1 restantes. Se existir um determinante de ordem 4 diferente de zero esse será o determinante principal. Uma vez que. apenas há um determinante característico (porquê?). Para a resolução do sistema podemos desprezar a 5ª equação. como 1 0 2 −1 2 −1 0 2 ∆ c = det[ A | B] = −1 1 −1 1 4 1 −4 2 3 1 −3 −1 2 0 −3 = 0 . O que significa o sistema ser possível e indeterminado? Exercício13: Troque algumas equações do sistema anterior e estude-o. ou seja. − x + z + 2w = 1 2x + y + z − w = 0 Resolução: Neste sistema temos 4 variáveis x. uma vez que não vão ter influência na resolução do sistema). as linhas que restam. através da condensação da matriz ampliada. m = 2 . portanto. isto é. x+ y+ z+t = 4 2x − y − z − t = 1 Exercício11: Classifique e resolva o sistema . O sistema original é equivalente a x + y + 2z + w = 1 ⇔ y + 3 z + 3w = 2 y = −3 z − 3w + 2 x = −(−3 z − 3w + 2) − 2 z − w + 1 ⇔ y = −3z − 3w + 2 x = z + 2w − 1 z. que é menor que o número de variáveis. Portanto. z e w e 4 equações. após condensação resulta da matriz ampliada 1 0 1 2 1 3 1 1 3 2 1 0 1 1 2 3 1 1 3 2 1 1 2 1 1 0 1 3 3 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 [ A | B] = −1 0 1 2 1 2 1 1 −1 0 ↔ 0 1 3 3 2 0 −1 −3 −3 −2 ↔ = [C | D ] . A matriz dos coeficientes é quadrada ( 4 × 4 ). m = n (que tipo de sistema podemos ter?). vimos que podemos eliminar duas equações do sistema (que se dizem redundantes. w ∈ (livres). são linearmente independentes e dão a característica de A.ÁREA DEPARTAMENTAL DE ENGENHARIA CIVIL Exercício10: Resolva os sistemas que resultam de desprezar cada uma das outras equações do sistema do exercício9. o sistema é possível e indeterminado de grau d = n − r = 2. A matriz [C | D] tem duas linhas de zeros (que podem ser eliminadas). 3 x + 2t = 5 4 x − 2 y − 2 z + 2t = 2 x + y + 2z + w = 1 y + 3 z + 3w = 2 Exercício12: Classifique e resolva o sistema . EXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA 7/22 . pode começar por resolver todos os determinantes de ordem 4. que classifica e resolve o sistema. y. r ( A) = m = 2 < n = 4 . Vamos utilizar o método de Gauss. r ( A) = 2 . Na resolução do sistema as primeiras vêm em função das livres. pela regra de Cramer e pelo método dos determinantes. Resolva-o pela regra de Cramer. usámos as colunas 1. A matriz do sistema é 2 1 1 0 2 A= 1 0 1 1 0 . podemos considerar: 2 1 0 A1 = 1 0 1 a matriz dos coeficientes das variáveis principais. 2 1 0 ∆ 3 = 1 0 1 = −3 ≠ 0 . x2 e x3 (claro que poderiam ser outras. se existir algum diferente de zero será o determinante principal. 0 1 −1 1 −1 O maior determinante que se pode extrair é de ordem 3. o sistema x1 + x3 + x4 = 1 . Uma vez que. portanto pode ser indeterminado ou impossível. • a matriz das variáveis principais e X 2 = x3 x5 a matriz das variáveis livres. pela regra de Cramer. 0 1 1 1 2 A2 = 1 0 −1 −1 x1 X 1 = x2 x4 • • a matriz dos coeficientes das variáveis não principais. 2 x1 + x2 + x3 + 2 x5 = 1 Exercício15: Resolva. desde que o determinante que envolve os seus coeficientes seja diferente de zero) e as variáveis livres (não principais) são x4 e x5 . x2 − x3 + x4 − x5 = 1 Resolução: O sistema tem mais incógnitas do que equações (há variáveis secundárias). EXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA 8/22 . 0 1 1 Como não existem determinantes característicos (porquê?) o sistema é possível (teorema Rouché) e por haver variáveis secundárias o sistema é indeterminado. Como queremos resolver o sistema pela regra de Cramer. neste contexto. as variáveis principais são x1 .ÁREA DEPARTAMENTAL DE ENGENHARIA CIVIL Exercício14: Classifique o sistema anterior. 2 e 3 no cálculo de ∆ 3 . o sistema original é equivalente a 2 x1 + x2 = 1 − x3 − 2 x5 x1 + x4 = 1 − x3 x2 + x4 = 1 + x3 + x5 . como 1 A = 3 −1 1 1 1 −1 1 −2 2 . Repare-se que 2 1 0 AX = B ⇔ 1 0 1 0 1 1 x1 1 1 2 x2 = 1 − 1 0 1 x4 −1 −1 x3 x5 . resolvemos A1 X 1 = B − A2 X 2 ⇔ X 1 = A1−1 B − A1−1 A2 X 2 (porquê?). AX = B ⇔ A1 X 1 = B − A2 X 2 . Assim. para a aplicação da regra de Cramer devemos. e. como as variáveis principais estão em X 1 . ou seja x1 1 −1 −1 1 − x3 − x5 1 − x3 − x5 1 −1 −1 x3 1 1 1 1 x2 = 1 − 1 0 x3 = 1 − = 1 − x3 + 0 = 1 + x3 1 + x5 0 x5 3 3 3 3 x4 2 0 1 2 x5 2 0 x5 2 0 1 9/22 EXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA . 3 donde x1 = 1 − x3 − x5 3 2 x1 + x2 = 1 − x3 − 2 x5 x1 + x4 = 1 − x3 x2 + x4 = 1 + x3 + x5 x2 = 1 + x3 3 ⇔ x4 = 2 + x5 3 x3 = x3 ( x3 ∈ ) x5 = x5 ( x5 ∈ ) . x1 = 3 2 1 − x3 − 2 x5 1 0 1 − x3 1 + x3 + x5 −3 0 1 1 = 1 + x3 e x1 = 3 2 1 1 − x3 − 2 x5 1 0 0 1 1 − x3 1 + x3 + x5 −3 = 2 + x5 .ÁREA DEPARTAMENTAL DE ENGENHARIA CIVIL Como o sistema é possível e indeterminado. passar para o 2º membro as variáveis não principais. −1 2 1 vem 1 X 1 = A B − A A2 X 2 = 3 −1 1 −1 1 1 1 −1 1 1 1 −1 1 2 1 1 −2 2 1 − 1 −2 2 1 0 3 −1 2 1 1 −1 2 1 −1 −1 x3 x5 . tem-se 1 − x3 − 2 x5 1 − x3 x1 = 1 + x3 + x5 −3 1 0 0 1 1 1 = 1 − x3 − x5 . ou seja. pela regra de Cramer. Condensando a matriz ampliada do sistema vem a b 1 0 0 c 1 0 c 2 [ A | B ] = 0 b −1 1 ↔ 0 b c 2 −1 1 . Solução: b = 0. ax1 + bx2 = c Exercício17: Considere o seguinte sistema de equações lineares. −2.1) x + (a + 1) y + (a − 1) z = 3 . Determine a x1 − cx3 = 2 relação entre a. b e c de forma que o sistema admita uma única variável livre. b ≠ 0 : (SPD). em função dos parâmetros reais. a ≠ −1: (SI).3) x + aby + z = b . b ≠ −1: (SI). a ≠ 1. b = −1: (SPI). Para isso terá de se verificar r ( A) = r ( A | B ) = 2 < n = 3 (porquê?).2) x + bz = 1 . ax + by + z = 1 a = b = 1: (SPI). b ≠ −2 : (SI). Resolução: Para que o sistema proposto contenha apenas uma variável livre é necessário que tenha grau de indeterminação d = 1 . Exercício18: Discuta. b ≠ 0 : (SPD).8. a = −1: (SPI). a ≠ 0 e a ≠ 2 (SPD). bx2 − x3 = 1 . x + y + (a − 1) z = a − 1 −2 x + (a + 3) y − bz = −3 a = 1. ∀b ∈ . Exercício16: Resolva o sistema anterior pelo método de Gauss. Solução: a = 2 (SPI). a = 0 (SI). b = 0 : (SI). 0 0 1 − ac −2a + c − 1 Para que r ( A | B ) = 2 a relação pretendida é 1 − ac = 0 −2 a + c − 1 = 0 ⇔ a = −1 −2a 2 − a + 1 = 0 ⇔ c = −1 c = 2a + 1 a= 1 2 c=2 . −2. x + by + az = 1 a ≠ 1.ÁREA DEPARTAMENTAL DE ENGENHARIA CIVIL Finalmente x1 x2 x4 = x3 x5 1 1 −1 1 1 0 −1 0 1 2 3 0 0 + x3 0 + x5 1 0 1 . EXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA 10/22 . Esta representação indica que as variáveis x1 . a expressão geral das soluções sistema. a = −2. b = 0. a = 1. 2 x + 4 y + 3bz = −b a ≠ 1. x2 e x3 são principais e que as variáveis x4 e x5 são livres. a = 1. b e c os seguintes sistemas de equações: x + y + z =1 18. a. Solução: a = b = −2 : (SPI). 1. 18. b ≠ 1: (SI). ÁREA DEPARTAMENTAL DE ENGENHARIA CIVIL x + y + z =1 a = 1. c e d por forma a que o gráfico da função passe pelos pontos P = (−1. 2 x + 4 y + bz = 2 x + (a + 2) y = 1 18. b. b ≠ 1: (SI)∀c. obtemos o seguinte sistema −a + b − c + d = 1 a + b + c + d = −2 8a + 4b + 2c + d = −1 −8a + 4b − 2c + d = 0 ⇔ 5 a = 12 b=0 23 c = − 12 6 d = − 12 .1) . c = b ≠ a . o gráfico da função f ( x) = 12 x3 − 12 x − 12 passa nos pontos referidos. a ≠ 1: (SPD)∀b.4) y + cz = 1 + ay . a ≠ b . Resolução: Substituindo os pontos na função. c = a ≠ b (SPI). c = b ≠ a . c. 18. 0) . a ≠ b .6) x + by + b2 z = b3 . c ≠ 0 : (SPI). como se pode verificar na seguinte figura EXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA 11/22 .5) . P2 = (1. x + 2 y + az = 1 x + 2y = c x + ay + a 2 z = a 3 18. Solução: a = b = 1. Determine os coeficientes a. −1) e P4 = (−2. Solução: c = b = a . 1 P3 = (2. a ≠ c . b ≠ c (SPD). 5 23 6 Portanto. x + ay + (a − c) z = b − 1 a = b = 1. a ≠ c . c = 0 : (SI). x + cy + c 2 z = c 3 Exercício19: Considere a função polinomial f ( x) = ax3 + bx 2 + cx + d . b ≠ c (SPD). Solução: c = b = a . −2) . c = a ≠ b (SPI). 20.1) A matriz dos coeficientes é 1 1 1 1 2 −1 −1 −1 A= 3 0 0 2 4 −2 −2 2 . Assim. Resolução: 20. Contudo. ∆ 4 =| A | . Exemplo20: Considere o sistema 3 x + 2t = 5 4 x − 2 y − 2 z + 2t = 2 20. 20.ÁREA DEPARTAMENTAL DE ENGENHARIA CIVIL x+ y+ z+t = 4 2x − y − z − t = 1 .4) Com base nas alíneas anteriores determine a característica da matriz ampliada do sistema. consideramos a 1ª. Repare-se que há outros determinantes de 3ª ordem diferentes de zero.2) Com base na alínea anterior determine a característica da matriz do sistema. por exemplo. Passemos. 5 2 12/22 r ( A) < 4 . nas 3 primeiras equações. ∆ 4 = 0 de ordem 3 ( ∆ 3 ≠ 0 ) temos r ( A) = 3 . outras equações e incógnitas principais.5) Classifique o sistema pelo teorema de Rouché. a 2ª e a 3ª como equações principais e x. os determinantes característicos do sistema.1) Calcule o determinante principal do sistema. z e t. 20. e consequentemente. 1 1 1 2 −1 −1 ∆c = 3 0 2 4 −2 2 4 1 =0 . aos determinantes de ordem 3.3) Como ∆ 4 = 0 e ∆ 3 ≠ 0 . existe um determinante característico de ordem 4 (porquê?).3) Calcule. o maior determinante que se pode extrair é de 4ª ordem. 20. o determinante que envolve as incógnitas x. 20. vamos considerar. Prova-se que ∆ 4 = 0 (verifique!). z e t como as incógnitas principais (o que significa?). 1 1 1 ∆ 3 = 2 −1 −1 = −6 ≠ 0 . 20. caso exista. (4× 4) Como A(4×4) . Como. 3 0 2 o determinante principal é de 3ª ordem.2) Como A(4×4) então r ( A) ≤ 4 . e como o determinante principal é EXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA .6) Resolva o sistema. 20. r ( A | B ) = 3 . y. De facto. 13 . − y + 7 . a equação 5 5 5 é compatível com o sistema. Exercício21: Utilizando o teorema de Rouché verifique se a equação 4 x1 + 2 x2 + 3 x3 = 1 é 2 x1 + x2 − x3 = 4 compatível com o sistema − x1 + x2 + x3 = 2 . Considerando 5 5 5 esta equação no sistema. 13 . ∆ c = 0 (verifique!). existem incógnitas não principais. Como 3 3 considerámos y como a incógnita livre. que existe (porquê?). donde o sistema é possível e indeterminando. basta utilizar 3 delas (porquê?). Por outro lado. são nulos. EXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA 13/22 . O determinante principal do sistema é de ordem 4 (porquê?). x2 + 2 x3 = 3 Resolução: Uma equação é compatível com um sistema se verifica a solução do sistema. t ) = ( 5 .6) A solução do sistema é S = {( x. Poderíamos resolver o sistema e verificar se a equação verifica a sua solução. as outras vêm em função desta.5) Como ∆ c = 0 o sistema é possível. y ∈ } (verifique!). z. Uma vez que 2 1 −1 4 −1 1 1 2 0 4 1 2 2 3 3 1 ∆c = = −40 ≠ 0 a equação não é compatível com o sistema porque não se verifica o teorema de Rouché. ou não existem determinantes característicos ou. 1 )} . 0). 1 )} . 20. y. se quisemos resolve o sistema envolvendo as 4 equações. r ( A) = 3 < r ( A | B) = 4 . a equação 5 x1 + 5 x2 + 5 x3 = 18 verifica a solução S = {( 4 .ÁREA DEPARTAMENTAL DE ENGENHARIA CIVIL 20. que não verifica a equação 4 x1 + 2 x2 + 3 x3 = 1 . ∆ 3 ≠ 0 e ∆ c = 0 temos. Como o sistema é possível. 20. Portanto.4) Como A(4×4) então r ( A | B) ≤ 4 . pelo teorema de Rouché. a solução do sistema é S = {( 4 . por outro lado. com a equação dada formamos um determinante característico ∆ c . De facto. r ( A) = r ( A | B) = 3 < n = 4 . uma vez que. ou seja. se existem. Verifique que substituindo qualquer equação do sistema por esta última a sua solução não se altera (porquê?). o sistema é impossível. : AX = 0} . Por exemplo. Fazendo x3 = t ∈ e x4 = s ∈ x1 = t − s . obtemos uma solução particular do sistema homogéneo X 1 = [ 0 −1 1 1] (um elemento de N ( A) ). 2 1 0 1 EXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA 14/22 . 1 0 0 1 é a solução geral do sistema homogéneo AX = 0 .ÁREA DEPARTAMENTAL DE ENGENHARIA CIVIL Exercício22: Calcule o núcleo do sistema AX = B ⇔ Resolução: Pretendemos calcular N ( A) = { X ∈ 4 x1 − x3 + x4 = 1 x2 + 2 x3 − x4 = −1 . 1 −1 −2 1 X =t +s . considerando t = s = 1 . ou seja. vem x1 ⇔X = x2 x3 x4 = t−s −2t + s t s t −2t t 0 −s s 0 s 1 −2 1 0 −1 1 0 1 AX = 0 ⇔ x2 = −2t + s x3 = t x4 = s = + =t +s . Observe-se que T AX 1 = 1 1 1 0 T T [ 0 −1 1 1] = [ 0 0] = O . constitui. ou seja. Condensando a matriz do sistema. portanto. obtemos A= donde 1 1 1 0 1 0 −1 1 ↔ 2 1 0 1 0 1 2 −1 x1 = x3 − x4 AX = 0 ⇔ x1 − x3 + x4 = 0 x2 + 2 x3 − x4 = 0 ⇔ x2 = −2 x3 + x4 x3 ∈ x4 ∈ . a solução do sistema AX = 0 associado. o núcleo do sistema AX = B . o que significa?). EXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA 15/22 . Resolução: . z = 0 e t = 0 (porquê?).1) Discuta o sistema em função do parâmetro a ∈ fundamentais de soluções. Se a = −1 . 3x + y − 3z − t = 0 4 x + y − 4 z + 2t = 0 Resolução: Repare-se que m > n (o número que equações é superior ao nº de variáveis. o sistema é impossível porque r ( A | B) > r ( A) . x + ay + az = 0 Exercício24: Considere o seguinte sistema de equações lineares. tem-se um sistema de Cramer. 3 0 − 34 0 3 0 0 0 O sistema é possível determinado. admite pelo menos a solução trivial. como r ( A) = 1 e r ( A | B) = 2 . O sistema é então possível e determinado.1) Condensando a matriz ampliada do sistema vem 1 a a 0 1 a 2 a 2 0 a 1 1 0 ↔ 0 1− a 1 1 a a2 0 0 1− a 0 a − 1 a2 Discussão: • • • Se a = 1 . Tratando-se de um sistema homogéneo é sempre possível. x = 0. ax + y + z = 0 . x + y + az = a 2 24. 24. pois r ( A | B) = r ( A) = 3 . Para os restantes valores de a.2) Considere o sistema homogéneo associado fazendo a = −1 e determine dois conjuntos 24. admite a solução trivial. y = 0. r ( A | B) = r ( A) = 2 e o sistema é possível e indeterminado. Da condensação da matriz ampliada resulta: 1 2 [ A | B] = −1 3 4 0 −1 1 1 1 2 0 −1 0 2 0 1 0 2 0 −1 −4 0 0 0 −1 0 4 0 −1 1 0 ↔ 0 0 −3 −1 0 0 −4 2 0 −1 4 0 = [C | D].ÁREA DEPARTAMENTAL DE ENGENHARIA CIVIL Exercício23:Resolva o sistema x + 2z − t = 0 2 x − y + 2t = 0 −x + y − z + t = 0 . com grau de indeterminação d = n − r = 1 . a ≠ ±1 . ∀λ ∈ . é necessário resolver o sistema homogéneo x− y−z =0 x = k . ∀k ∈ x− y−z =0 x=z −x + y + z = 0 ⇔ ⇔ ⇔ z=k 2y = 0 y=0 x+ y−z =0 y=0 . x3 = 0 e x4 = 0 . x+ y−z =0 Para obter um conjunto fundamental de soluções. O grau de indeterminação é d = 1 e. 4 x2 + 8 x3 + 8 x4 = c 25. outro conjunto fundamental de soluções é {[−1 0 −1] T } e do mesmo modo. qualquer solução do sistema proposto é combinação linear desta solução [x y z ]T = α [−1 0 −1]T . Fazendo x = z = 1 . b e c. considerámos as variáveis x e y como principais e a variável z como não principal.2) Determine a solução geral do sistema indicado. um conjunto fundamental de soluções é constituído por uma solução. como y = 0 . como y = 0 . sabendo que uma solução particular é x1 = 1. {[1 0 1] T }e Fazendo x = z = −1 . resolvendo o sistema deste modo. 6 2b + a 8 4 0 −3a− 3b+c EXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA 16/22 . obtém-se um conjunto fundamental de soluções qualquer solução do sistema proposto é combinação linear desta solução [x y z ]T = λ[1 0 1]T .1) Classifique o sistema tendo em conta os valores dos parâmetros a. Resolução: 25. 2 x1 + 3 x2 + 12 x3 − 2 x4 = a Exercício25: Considere o seguinte sistema de equações lineares − x1 − 3 x3 + 4 x4 = b .1) A matriz ampliada do sistema é 2 3 12 −2 a −1 0 −3 4 3 0 6 0 b [ A | B] = −1 0 −3 0 4 8 4 b ↔ 0 8 c 0 .2) Neste caso o sistema homogéneo associado ao sistema dado com a = −1 é − x + y + z = 0 . ∀α ∈ . x2 = −1/ 3. consequentemente. 25.ÁREA DEPARTAMENTAL DE ENGENHARIA CIVIL x− y−z =0 24. Condensando a matriz ampliada resulta 2 3 12 −2 0 −1 0 −3 4 0 1 0 2 0 2 0 = [C | O] . porquê?. x3 = 0. Fazendo x3 = 1. x4 = 0 e x1 = 4. Sabe-se que todas as soluções do sistema AX = B podem obter-se somando uma solução particular deste sistema com cada solução do sistema homogéneo associado. x3 = 0 e x4 = 0 . com λ1 . Obs. x2 = −1/ 3. A solução do sistema é x1 x2 x3 x4 1 = - 1 3 0 0 + λ1 −3 −2 1 0 + λ2 4 −2 0 1 .: Um sistema de equações com mais incógnitas do que equações ou é indeterminado ou é impossível. o sistema é impossível. x2 = −2. 25. obtém-se o seguinte conjunto fundamental de soluções x1 = −3. x4 = 1 . x4 = 0 e x3 = 0. sabendo que uma solução particular é x1 = 1. 3 3 8 4 Se − 3 a − 3 b + c ≠ 0 . vamos resolver AX = O . ou seja. λ2 ∈ . Daqui sai que a 3ª equação é redundante. porquê?. as incógnitas x3 e x4 são livres.ÁREA DEPARTAMENTAL DE ENGENHARIA CIVIL Discussão: • • Se − 4 a − 8 b + c = 0 . x3 = 0 e x4 = 0 é uma solução particular do sistema AX = B . o sistema homogéneo original é equivalente a 2 x1 + 3 x2 + 12 x3 − 2 x4 = 0 x2 + 2 x3 + 2 x4 = 0 x1 = −3 x3 + 4 x4 x2 = −2 x3 − 2 x4 − x1 − 3 x3 + 4 x4 = 0 4 x2 + 8 x3 + 8 x4 = 0 ⇔ − x1 − 3 x3 + 4 x4 = 0 ⇔ . x2 = −1/ 3. o sistema é possível r ( A) = r ( A | B ) .2) Determine a solução geral do sistema indicado. Como x1 = 1. x3 = 1. x4 = 1 . x2 = −2. 0 0 [ A | O ] = −1 0 −3 0 4 8 4 0 ↔ 0 8 0 0 portanto r ( A) = r ( A | O ) = 2 . mas é indeterminado. EXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA 17/22 . y z ] . a∈ 2 2a − 2 −a − 2 3a − 1 3 a+2 −3 2a + 1 T . 1. com x. 3x + y − z = b Exercício4: Considere o sistema de equações lineares 2 x − 3 y + z = 1 . a ∈ . pelo método de Cramer. Outros Exercícios: (Alguns exercícios poderão ser de difícil ou trabalhosa resolução!) 0 −2 a 0 −1 b a 0 0 0 Exercício1: Considere as matrizes A = e B= . 4. Determine o conjunto solução do sistema AX = B . . para todos os valores de a. calculando a inversa da matriz do sistema pelo método da matriz adjunta. em função dos parâmetros a e b. a ∈ ax + y + z = a 2 . a.1) Determine os valores de a. 5. resolva o sistema de equações lineares. . z ∈ T . para os quais a matriz A admite inversa. x + y + az = 1 Exercício3: Considere o sistema x + ay + z = a .2) Determine o conjunto solução do sistema AX = B . 0 0 a 3 a +1 . EXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA 18/22 .1) Discuta o sistema associado à equação matricial AX = B . pelo método da matriz inversa. a matriz do sistema é invertível. b ∈ 1 2a − 1 a a−2 a −2a −2a + 4 −2a a + 3 2 − b − 3a 1. a. a ∈ Exercício5: Considere a seguinte matriz A = − 2 1 −a −1 5. 3. em que B = [ −1 0 1 −2] . b ∈ ax + 2 y = 2 4. para a = −4 e b = 0 . y.1) Discuta o sistema em função dos parâmetros a e b.2) Resolva-o. 3.3) Resolva o sistema. ∀a ∈ T .1) Estude a característica da matriz do sistema em função do parâmetro a. em que B = [ 4 3 1 6] .2) Considere a = −1 e sejam B = [1 10 2] e W = [x T . para a = 0 . AW = AB .2) Indique para que valor do parâmetro.ÁREA DEPARTAMENTAL DE ENGENHARIA CIVIL 2. 1 1 1 1 1 3 −2 a Exercício2: Considere a matriz A = . 3. 7. 6.1) Usando o teorema de Laplace calcule o determinante da matriz C. da explicitação. T 3 −3 −5 −2 0 3a − 2a 0 Exercício9: Considere A = .5) Resolva o sistema .2) Tendo em conta o parâmetro a ∈ 8. determine a característica das matrizes do sistema e ampliada.2) Discuta os sistemas. em função dos valores reais do parâmetro β . pelo método de explicitação e pelo o método de Jordan para β = 1 .4) Para β = 1 . calcule a inversa da matriz do sistema.2) Utilizando a matriz ampliada [C | I ] determine a inversa da matriz C. determine o determinante da matriz do sistema. de GaussJordan.2) Em função de β .3) Discuta o sistema correspondente à equação matricial MX = B . Regra de Cramer. 6.1) Indique para que valores dos parâmetros a e b as matrizes dos sistemas são invertíveis. EXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA 19/22 . 6. 8.1) Em função de β . 9. b ∈ 2 x + y − bz = 3 y − 2z = 1 .3) Se possível. b ∈ 0 b . 6. determine b ∈ 0 1 1 a 1 −1 e B= 0 2 −2 a a −1 1 1 . indique a característica da matriz M. a. .1) Usando o teorema de Laplace calcule o determinante da matriz M. 9.4) Para a = 2 . tal que [1 2 1 2 0 0] seja solução do sistema MX = B .4) Classifique o sistema correspondente à equação matricial AX = B . 7. 6. calcule a característica da matriz A. para a = −1 e b = 0 . a 0 Exercício8: Considere as matrizes M = 0 0 8. B= 0 1 0 0 a a 3a a 2 − a 3 −1 3 5 0 0 1 1 eC= 1 0 −1 − 2 0 −1 2 3 2 0 . a. 9.ÁREA DEPARTAMENTAL DE ENGENHARIA CIVIL β x+β z = 1 Exercício6: Considere o sistema x − y + z = 0 .3) Discuta o sistema. resolva os sistemas usando os métodos: de Gauss. em função dos valores dos parâmetros a e b. x − 2z = 1 x + 2 y − bz = 3 Exercícios7: Considere os sistema lineares ax − z = 2b e ay − z = 2b . β ∈ y+z = β . 8.3) Tendo em conta o parâmetro a ∈ . para a = 2 . 7. 0 1 9. o que pode concluir quanto à 11. b ∈ classificação do sistema AX = B .1) Discuta o sistema correspondente à equação matricial AX = B .5) Resolva o sistema AX = B fazendo a = 1 e b = 2 . . determine o valor de b ∈ tal que − 1 . 11. Considere as matrizes A = 1 a 1 e B = b . 10. 0 −1 0 −8 13. b ∈ a 1 1 b 12. o seu determinante.1) Usando o teorema de Laplace calcule o determinante da matriz C. Determine a sua inversa.1) Tendo em conta os parâmetros a.4) Determine a inversa da matriz A para a = 1 e b = 2 .B = e M = −1 1− a 0 −1 − 2a −1 1 0 2 − 2a 2b a+3 0 2 0 1 0 −2 . 10. b ∈ 11. 12. 0 4 4 4 T . determine o valor de b tal que [−1 −1 −1]T seja solução do sistema AX = B . 1 1 a b Exercício12. 1 . e determine. utilizando o método da matriz adjunta.ÁREA DEPARTAMENTAL DE ENGENHARIA CIVIL 3a 0 0 0 6a + 3b 0 −2a 0 0 b e B= . b ∈ . 1 0 0 2 −2 b 0 2 2 −1 10. 10.3) Considere a matriz C obtida de M por eliminação da 1ª linha e da 3ª coluna. . b ∈ . utilizando o teorema de Laplace.3) Calcule o determinante da matriz A para a = 1 e b = 2 . a 0 a −2 2a 1 1 1 Exercício11: Considere as matrizes A = . a.3) Classifique o sistema AX = CB em função dos parâmetros a. ? seja solução do sistema AX = B .4) Se a = 2 .1) Tendo em conta o parâmetro a ∈ os parâmetros reais a e b. 13. tendo em conta 12. 3 . o sistema AX = B . 13. EXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA 20/22 . em função de a.2) Faça a = 0 e b = 2 em A. B= 0 1 1 1 0 a a 1 1 1 2 0 1 0 0 2 1 −1 eC= . .3) Para a = 0 . determine a característica da matriz A.2) Calcule a característica da matriz A em função do parâmetro a ∈ 11. 1 1 1 a − 1 2a + 2b − 2 2a − 2 2 1 a b −2 −b 1 0 Exercício13: Para A = . calcule a característica da matriz A.2) Classifique em função dos parâmetros a. Exercício10: Considere as matrizes A = −8a −2a −b −b a −8b −9 −2a − 2b 5a − 2b 1 10.2) Discuta o sistema de equações correspondente à equação matricial AX = B . a 1 1 0 2a 2 a + b 1 Exercícios17: Considere as seguintes matrizes A = e B= 3a 2 2 −1 0 2a 0 2 17. 0 −1 2 a − 2a a + 1 − 1 3 Exercício15: Considere as seguintes matrizes A = 5a − 2 − a 1 a 2 − 2a 1 0 a2 15. . pelo método da matriz ampliada.4) Utilizando o teorema de Rouché. discuta o sistema AX = B . calcule a inversa da matriz A.3) Determine a característica da matriz ampliada em função de a.3) Tendo em conta os parâmetros a e b. de acordo com os parâmetros a. 16. b ∈ 14.2) Tendo em conta a alínea anterior. −2 0 b 0 a 1 Exercícios16: Considere as matrizes A = − 1 − 2a a − 2 2 a −1 a 1 16. calcule o determinante da matriz A.5) Para a = 0 .ÁREA DEPARTAMENTAL DE ENGENHARIA CIVIL 0 0 1 0 0 1 + 2b a 2a − b 1 Exercício14: Considere as seguintes matrizes A = e B= . . usando o teorema de Laplace calcule o determinante da matriz A. 15. 14.1) Tendo em conta os parâmetros a e b.6) Para a = 0 e b = 1 . 15. pelo método de explicitação e pelo método de Jordan. EXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA . 15.1) Indique a característica da matriz A.3) Resolva o sistema para a = 1 e b = 0 . calcule a característica da matriz ampliada do sistema.6) Para a = 0 e b = 0 . − 1 + 2a 1− a + b . indique o determinante da matriz A 14. se possível o sistema AX = B pela regra Cramer.2) Tendo em conta a alínea anterior determine a característica de A.2) Para a = 2 e b = 1 . em função dos valores de a e b. indique a característica da matriz ampliada do sistema. 1 −2 0 b +1 = B . 0 − b 2b 0 1 −a −b −a 0 b 2a + 1 14.1) Discuta o sistema correspondente à equação matricial AX 1 0 0 1 e B= . 14.5) Para a = 0 e b = 1 . 21/22 2a 1 . indique a característica da matriz A . em função de a. em função de a.4) Discuta o sistema AX = B . 17. resolva. 15. b ∈ 15. 14.1) Calcule o valor do determinante de A em função de a ∈ . 0 2b 17. b ∈ 15. b ∈ .7) Para a = 0 e b = 0 .2) Discuta o sistema correspondente à equação matricial AX = B em função de a. 0 1− a e B= . b ∈ . calcule determinante da matriz A e a sua característica. a. pelo método de Gauss-Jordan. por eliminação da quarta linha. obtida de B. . b ∈ . encontre a solução geral do sistema EXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA 22/22 . determine na matriz A os valores λ ∈ 19.4) Discuta em função de a ∈ o sistema homogéneo associado.ÁREA DEPARTAMENTAL DE ENGENHARIA CIVIL 0 2a a − 1 2 a 2a 2 1 Exercício18: Considere as seguintes matrizes A = e B= 3a 2 2 −1 a 1 −1 0 2b 1 . encontrados na alínea anterior. 19. determine na matriz A os valores λ ∈ 18. em função dos valores de a e b. .1) Indique a característica da matriz A e de [ A | B] . tais que X ≠ 0 que satisfaz AX = λ X . b ∈ 18. −1 − a 1 2a 2 2 1 2 4 1 0 a2 a+b 19.1) Indique a característica da matriz A e da matriz ampliada em função dos valores de a e b.B = e C = 0 −1 1 .4) Discuta em função de a ∈ o sistema homogéneo associado. 19.3) Resolva o sistema.9) Para cada valor de λ ∈ AX = λ X . Classifique e resolva o sistema correspondente à equação matricial CX = D .8) Para a = 1 .7) Para cada valor de λ ∈ AX = λ X . 18. 18. para a = 1 e b = −1 .2) Discuta o sistema correspondente à equação matricial AX = B em função de a. encontre a solução geral do sistema 1 a −1 Exercício19: Para as matrizes A = 0 (a − 1)2 a −1 2 0 2 1 −1 a + 1 −1 3 1 .2) Discuta o sistema AX = B em função dos valores de a. b ∈ a 0 . 19. tais que X ≠ 0 que satisfaz AX = λ X .6) Determine na matriz C os valores λ ∈ 19. encontrados na alínea anterior.6) Para a = 0 . 18. utilizando a regra de Cramer.5) Calcule o núcleo do sistema AX = B em função de a ∈ 18. 19. encontre a solução geral do sistema tais que X ≠ 0 que satisfaz AX = λ X . 18. AX = B .3) Considere a matriz D. 19.5) Calcule o núcleo do sistema AX = B em função de a ∈ 19.7) Para cada valor de λ ∈ AX = λ X . . encontrados na alínea anterior.