PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL FACULDADE DE MATEMÁTICA - DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA 4115N-04 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II _________________________________________________________________________LISTA DE EXERCÍCIOS – SEQÜÊNCIAS E SÉRIES NUMÉRICAS 1) Escreva ao 5 primeiros termos de cada seqüência (an) e determine o limite das que forem convergentes: 1 − n n2 1 b) 3 n a) c) i) 1 (− ) n + 1 2n −1 d) 1 n! e) 2 +( −1) n k) n + ( −1) n n ( ) f) l) 1 n 7 n g) n 2 nπ h) cos 2 1 ( −1) n − n sen n j) n n + 5 n n Respostas: a) 0; b) 0; c) 0; d) 0; e) div.; f) 1; g) 0; h) div.; i) 0; j) 0; k) 1; l) e5 2) Determine uma expressão simples para a soma sn dos n primeiros termos de cada série: 1 1 1 1 1 a) 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 +... + ( n +1)( n +2) +... b) ln + ln + ln + ln + ... + ln c) 1 − + − + 1 2 1 2 2 3 3 4 4 5 n + ... n +1 ( −1) n 1 1 1 1 − +... + +... 4 8 16 32 2n 9 9 9 9 + + ... + + ... d) 100 + 100 2 100 3 100 n e) 1+2+3+4+5+...+n+... Respostas: a) n 1 1 2 1 n 1 − ; b) –ln (n + 1); c) 3 1 − − 2 ; d) 11 100 n 2n + 4 n ( n +1) ; e) . 2 3) Determine, caso exista, a soma de cada uma das séries do exercício anterior. Respostas: a) ½; b) div.; c) 2/3; d) 1/11; e) div. 4) Deixa-se cair uma bola da altura de “a” metros. Cada vez que a bola atinge o solo, após cair de uma altura “h” metros, ela volta a subir “0,75” metros. Determine a distância total percorrida pela bola. Resposta: “7a” metros. 5) Expresse a dízima periódica 1,2373737... como uma série infinita e expresse sua soma como razão p/q: Resposta: 1225/990 y) C. 9) Determine se as séries indicadas são Absolutamente Convergentes. f) D. justificando sua resposta: a) e) (− ) n 5 1 ∑ n cos( nπ) b) f) j) ∑ 1 2n+ 5n c) g) k) o) ∑ln n ∑ n3 n 1 d) h) l) p) ∑ 1 2n ∑ 5 n n i) ∑ 2 e −n ∑ 5 ∑1 + n 10 5 n 2 ∑n +50 ∑ 1 (ln 2) n 1 n +6 ∑ ( n +3)! 3! n!3 n m) q) u) ∑ n n 2 +1 ( n) ∑ 2 −n ) n 3 ∑ 2n +1)! ( s) (− ) n 1 ∑ 1 ( −n ) 3 ∑ 8 n +1 2n r) v) ∑(n +3)! ( n +1)! ∑ 1 n7 n t) ∑ (− ) n 7 1 8n n ∑ 2n )! ( ∑n 1 n x) ∑ (n +1)( n + 2) y) n! n ∑ 3n +1 Respostas: a) C. s) C. se existe lim sn. d) C. A convergência da série ∑a n . então b) ∑ ( −1) n cos n 2 n2 é mostrada com a aplicação do Teste de Leibniz. Respostas: a) V. x) C. n) D. m) C. k) C. c) Toda série alternada é condicionalmente convergente. i) C. g) C. c) F. r) C. c) D. e) C. u) C. p) C. e) Se ∑a 1 n é uma série convergente. h) D.6) Encontre uma expressão simples para a n-ésima soma parcial da série −1 + (−1) 2 n n= 1 ∑(−1) n ∞ Resposta: 7) Diga se as séries indicadas convergem ou não. t) C. b) F. justificando: a) Sendo (sn) a seqüência das soma parciais da série lim an = 0. d) F. 8) Classifique as afirmativas em verdadeiras ou falsas. j) C. justificando: a) ( −1) n (3n −5) b) ∑ n ∑ ( − ) n (1 +n ) 1 n2 c) ∑ n! 2n d) ∑ 1 (− ) n + 2 n +5 n . b) C. o) C. v) C. e) V. então não existe lim an. d) Se ∑a n e ∑b n são séries divergentes. l) C. Condicionalmente Convergentes ou Divergentes. q) D. então ∑(a n + b n ) é divergente. 16 25 Respostas: a) D. i) AC. Encontre a soma das áreas de todos os quadrados. d) AC.. h) D. O quadrado exterior tem uma área de 4m2 e cada um dos outros é obtido ligando-se os pontos médios dos lados do quadrado anterior. c) D. g) D. j) D. l) AC A figura ao lado mostra os quatro primeiros termos de uma série infinita de quadrados.e) ∑ n2 ( 2 / 3) n f) ∑ ( −1) n ln n ln n 2 g) ∑ (−1) n 10 n n 10 ( 2 h) ∑− ) n 1 i) ∑n (2n +1) ( 1 j) ∑ − ) n se n n x 2 1 2 1 2 1 k) − + − + − +. k) D. f) D. e) D.... 1 1 2 2 3 3 l) 1 + + + 1 4 1 9 1 1 + +. b) CC. 10) Resposta: 8m2 .