Exercícios Resolvidos.Distribuição Normal

Exercícios ResolvidosAlexandre Schuler Sétima Edição 2007 i INTRODUÇÃO Este Caderno de Exercícios destina-se a auxiliar o estudante na compreensão do conteúdo teórico explicitado no texto básico elaborado para as seguintes disciplinas: Estatística Aplicada aos Processos Químicos, Controle Estatístico (do curso de Química Industrial) e Controle Estatístico de Qualidade (do curso de Engenharia Química). São quarenta e cinco exercícios, sendo quatro sobre Probabilidade, treze sobre Testes Estatísticos, vinte e quatro sobre Gráficos de Controle e quatro sobre Inspeção de Qualidade. Todos os exercícios estão resolvidos, mas recomenda-se ao Leitor que tente resolvê-los antes de ver a resposta e que ao fazê-lo acompanhe atentamente as explicações. Especial atenção deve ser dada ao último exercício, que é resolvido por tentativas, podendo ter outras soluções. Além disso, recomenda-se fortemente o conhecimento de aplicativos como o Excel e o Origin, que podem facilitar grandemente na solução de problemas estatísticos em geral. O Autor ficará bastante agradecido por qualquer crítica, correção ou sugestão, que o Leitor poderá enviar para o endereço eletrônico [email protected]. i ÍNDICE 1. Probabilidade, 1 2. Testes Estatísticos, 3 3. Gráficos de Controle, 10 4. Inspeção de Qualidade, 24 5. Tabelas Úteis, 29 Obs.: Os Capítulos 1 e 2 são destinados à disciplina Estatística Aplicada aos Processos Químicos. Os Capítulos 3 e 4 são específicos para as disciplinas: Controle Estatístico (Química Industrial) e Controle de Qualidade Industrial (Engenharia Química), a cujos alunos o Autor recomenda rever o assunto dos capítulos anteriores. ii 1. PROBABILIDADE (uso da Tabela1 de Distribuição Normal) Estes quatro exercícios pretendem auxiliar na compreensão dos conceitos relacionados com a curva de distribuição normal. Observem a gradativa mudança no texto, aproximando-se do objetivo final (aplicação em controle industrial). Exercício 1.1. A variável X tem distribuição normal com µ = 150 e σ = 30. Determinar as probabilidades: a) P(X ≤ 202,5); b) P(120 < X < 165); c) P(180 < X < 210). Resposta: Calcular o valor da variável z (= (X - µ)/σ; equação 1.1) e encontrar na Tabela 1 o valor correspondente de A (área sob a curva normal delimitada pelos valores limites de X). a) Para X = 202,5 ⇒ z1 = (202,5 – 150)/30 = 1,75. Na tabela 1 encontra-se A(z=1,75) = 0,4599 ≈ 0,46. Como cada metade da curva vale 0,50 (50%), fica: 0,50 + 0,46 = 0,96 = 96% (figura 1). b) Para X = 120 ⇒ z1 = (120 – 150)/30 = 1 ⇒ A ≈ 0,34 Para X = 165 ⇒ z2 = (165 – 150)/30 = 0,5 ⇒ A ≈ 0,19 TOTAL: 0,34 + 0,19 = 0,53 = 53% (figura 2) c) Para X = 180 ⇒ z1 = (180 – 150)/30 = 1 ⇒ A ≈ 0,34 Para X = 210 ⇒ z2 = (210 – 150)/30 = 2 ⇒ A ≈ 0,48 TOTAL: 0,48 - 0,34 = 0,14 = 14% (figura 3) Exercício 1.2. Para a distribuição normal com µ = 200 e σ = 50, determinar os valores de X tais que se tenha a probabilidade α = P(|x≥X|) = 0,05 (5%). Resposta: Deseja-se, em outras palavras, determinar um par de valores para X, simétricos em relação à média, de modo a se ter P = 1 - α = 0,90 (figura 4). Os dois termos, em módulo, são iguais, cada um, a 0,50 – 0,05 = 0,45. Examinando a Tabela 1, encontra-se, para A = 0,4505 (o valor mais próximo de 0,45), z = 1,65. Como x = µ ± zσ, fica: X = 200 ± 1,65x50 = 200 ± 82,5. Finalmente, X1 = 117,5 e X2 = 282,5. 1 Ver Tabela 1, no Capítulo 5, página i. ii Controle Estatístico - Alexandre R. P. Schuler Exercício 1.3. Verificar se a média amostral X = 5,75 mm, de n = 5 diâmetros de eixos representa diferença estatisticamente significativa em relação à média da população normal, com µ = 5,60 mm e σ = 0,10 mm. Resposta: OBSERVAÇÃO: Em outras palavras, pretende-se verificar se o valor 5,75 pertence à população representada pelo par µ,σ. Agora, a equação 1.1 toma a forma da equação abaixo, por se tratar de uma média. Logo, z = (5,75 – 5,60).√5/0,10 = 3,36 z= (X − µ) n σ (equação 1.2) Como o valor 5,75 está distante de 5,60 em mais de 3σ, conclui-se que a diferença d = 5,75 – 5,60 = 0,15 mm, para n = 5, é estatisticamente significativa. De fato, consultando a Tabela 1, observase que a probabilidade de 5,75 pertencer àquela população é muito baixa (P = 1 – 0,9996 = 0,0004 ou 0,04%). Exercício 1.4. Num processo industrial tem-se µ = 10,00 com σ = 0,02. Qual é a probabilidade de se encontrar, numa amostra retirada aleatoriamente desse processo, um resultado igual ou maior que: a) 10,03 ? b) 10,04 ? Resposta (comparar com a figura 1): a) P(X >10,03) ⇒ z = (10,03 – 10,00)/0,02 = 1,5 ⇒ A = 0,4332 Resultado: 0,50 – 0,4332 = 6,68% b) P(X >10,04) ⇒ z = 2 ⇒ A = 0,4772 Resultado: 0,50 – 0,4772 = 2,28%. Exercício 1.5. Numa panificadora admite-se que um pacote de 1 kg pode ter uma variação de ± 10 g. Qual é a probabilidade de ser encontrado um pacote com: a) 1015 g? b) Mais de 1015 g? Resposta: a) A probabilidade de ocorrência de um pacote com exatamente 1015 g é dada pela equação: 1 f ( x) = e σ 2π Logo, P(X =1015) 1 ⋅e 10 2π − (1015 −1000 ) 2 2 x10 2 −( x−µ )2 2σ 2 −225 = 0,04 × e 200 = 0,04 × e −1,125 = 0,04 × 0,3244 = 0,013 = 1,3% ii iii Controle Estatístico .50 – 0. Schuler b) A probabilidade de se encontrar um pacote com qualquer peso maior que 1015 g é dada pela integral (área sob a curva normal) no intervalo colorido de cinza da figura 1. Nesse caso.x + a a equação da reta de regressão.yn Σ(xi.02E+10 10 1000 228456 2.y1 x2. O cálculo é realizado como segue: P(X >1015) ⇒ z = (1015 – 1000)/10 = 1.6.999.28E+08 1000000 5. (mg/L) 1 1 321 321 1 103041 2 2 643 1286 4 413449 3 5 1597 7985 25 2550409 4 10 3207 32070 100 10284849 5 20 6394 127880 400 40883236 6 50 16054 802700 2500 2. os valores de a e b são dados por: iii .03E+09 8 200 64268 12853600 40000 4.9528E+05 3.58E+08 7 100 32090 3209000 10000 1.4332 Resultado: 0.1662E+08 1.8880E+03 4. preenche-se o quadro abaixo: Ponto no 1 2 ••• ••• ••• N Totais x x1 x2 ••• ••• ••• xn Σxi y y1 y2 ••• ••• ••• yn Σyi x*y x1.y2 ••• ••• ••• xn. Calcular os coeficientes da reta e o coeficiente de correlação do fenômeno abaixo (a correlação entre concentração do analito e o sinal de um instrumento analítico). fica: Sinal x*y x2 y2 Ponto no Conc.yi) x2 x 12 x 22 ••• ••• ••• xn2 Σxi2 y2 y12 y22 ••• ••• ••• yn2 Σy2 Fazendo X = Concentração e Y = Sinal.13E+09 9 500 142250 71125000 250000 2. admitindo que o coeficiente de correlação não pode ser menor que 0. 1 2 5 10 20 50 100 200 500 1000 Sinal 321 643 1597 3207 6394 16054 32090 64268 142250 228456 Resposta: a) Para calcular os coeficientes da reta de regressão e o coeficiente de correlação. Verificar onde termina a linearidade.5 ⇒ A = 0.Alexandre R. # 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 Conc.22E+10 Totais 1. P.7899E+10 Seja y = b.4332 = 6.3030E+6 7.68% Figura 1 Exercício 1. fica: r = [(10 × 3.8x – 12 Coeficiente de correlação: r = 0. fica: Equação da reta: y = 287.iv Controle Estatístico .7 a = (Σy .2311 × 109/2.357 × 102 = 235.888 × 103) × (4.4500 × 105)]/10 a = 0.9528 × 105)]/{[10 × 1.ΣxiΣyi {[nΣxi .1662 × 109)/(3.8880 × 103)2][10 × 7. P.3559 × 102 × 1.999 devemos remover agora o penúltimo ponto (500.888 × 103)]/10 = [(4.2311 × 109/.303 × 106)] b = (9. 142250).3369 × 1011)]1/2 r = 2.9528 × 105)2]}1/2 r = (2.9987.5645 × 106 – 1.303 × 106 – (1.3509 × 108 – 3.2. iv .8880 × 103)2][10 × 7.5028 × 104 = 5028 Equação da reta: y = 235. Como o r ainda ficou menor que 0. fica: Equação da reta: y = 17.4658 × 106 b = 2.bΣx) / n = [(4.1662 × 108) .(9.y)/[(Σx)2 .7x + 5028 O Coeficiente de correlação (r) é calculado com auxílio da equação: r= nΣxi. Schuler b = (Σx.303 × 107) = .3509× 108)]/{[10 × 1.(Σyi) 2 ]}1/ 2 2 Resolvendo.9528 × 105) – (4.0 x + 1325 Coeficiente de correlação: r = 0.(Σxi) 2 ][nΣyi 2 .9927 Removendo o último ponto (1000.(1. Conclusão: a relação somente pode ser considerada linear até a concentração de 200 mg/L.8880 × 103 × 4. 228456) e recalculando tudo.303 × 106 – (1.nΣx. Recalculando mais uma vez.2311 × 109)/[(9.7899 × 1010 – (4.9528 × 105)] – 10 × 3.888 × 103)2 – 10 × 1.1662 × 109) .nΣx2] = {[(1.9999.Σy .9528 × 105)2]}1/2 r = [(3.2476 × 109 r = 0.7899 × 1010 – (4.9.Alexandre R.yi .1662 × 108)}/[(1.9528 × 105) – (2.4655 × 106)(5. 757 e 1.09 0.14)/2 = 7. Exercício 2. 7. não há necessidade de aplicar o teste Q para o valor mais alto. 7.752.12 + 7. Aplicando o Teste Q.08 0.21. 7.08. Antes de realizar um tratamento estatístico de dados experimentais.16.12. Em relação à questão anterior.752 deveria ser descartado. encontrando-se todos os novos valores entre 1.21. 1. 7.13 iii) Primeira estimativa do desvio padrão: Para calcular s é sugerido que se monte o seguinte quadro: xi di d i2 7.760. Conclusão: o dado 1. P.03 0.18.0036 7. Resposta: Ordenando. Como a diferença Xn – Xn – 1 é menor que X2 – X1.761 e 1.0016 s= 7.07.005 = = 0.09. 1. 7.762.752 0.762 (para que R não aumente nem diminua a diferença X2 – X1).752 0.50 1.757.06 0.758. se mais leituras fossem realizadas.045.11. 7. 7.16 0. i) Média: X = 7.11 0. Resposta: Ordenando: 7.07 0.07.12 0. o valor 1.21 0. fica: 1. a mediana.01 0.14 0.12.3. Logo. O dado aparentemente discrepante é o menor (1.1.0182 = 0. tem-se que Qtab = 0. As análises de uma amostra de minério de ferro deram os seguintes resultados (n=10): 7. fica: Q1 = X 2 − X1 X n − X1 Q1 = ⇒ 1. 7. 1.0001 = 7. Exercício 2.761 e 1. 1.759. 7.04 0.762 − 1.v Controle Estatístico .18 e 7.752 é dotado de erro grosseiro ? Resposta: Com n – 1 = 8.762.0009 7. 7.002022 = 0. 9 v . 7.14. 7. determinar a partir de qual valor de n poder-se-ia concluir que 1.390. é necessário ordená-los e aplicar o teste Q para eliminação de eventuais erros grosseiros.752 não pode ser rejeitado. Obs. 1.757 − 1.08 0.08. TESTES ESTATÍSTICOS Exercício 2.0064 Σdi2 0.16. Calcular a média.05 0.0001 7.14 0. 7.752).759.762.757.760. 1. se mais duas leituras fossem efetuadas e seus valores se situassem entre 1.56 (Tabela 2).05 0.18 0. 1. 7. 1.14.758. a primeira estimativa do desvio padrão (s) e a segunda estimativa (sR). 7.757 e 1. 7.0001 7.752.: só os extremos podem estar discrepantes (dotados de erro grosseiro).0025 7.02 0.0004 ∑d 2 i n −1 7.2. 1. Examine o seguinte conjunto de dados: 1.11.01 0.13 ii) Mediana: M = (7. 7.0182 0.010 Para n = 7.14.Alexandre R. 1.09.14.0025 7. Qtab = 0.01 0. Schuler 2. 029142 ⇒ s R2 1 = 0.88 3.06 Analista 2 3.: O valor de ttab é encontrado na Tabela 5.3249 X 0. Conclusão: Os analistas são igualmente exatos.001227 3 = 0.vi Controle Estatístico .182 > 2. foram encontrados os seguintes resultados: Analista 1 3.06 0.000849 + 0.07) = 0. b) Exatidão relativa: t calc = X1 − X 2 2 1 S +S n −1 2 2 = 3.4857 = 0.000849 = 2.85 R2 = 0.02022 ttab = 3.3249 X (7.06 x 0.000409 0.4857 = 0.06 0.86 3.04 Comparar a exatidão e a precisão relativa entre eles (como n = 4 << 10.83 3.: O valor de Ftab é encontrado na Tabela 4.95? Resposta: a) Precisão: sR = Kn.90 3.000849 s R2 = 0. realizada por dois analistas.967 Obs. Conclusão: ambos são igualmente precisos.87 X 2 = 3.85 0.06 = 2.94 X 1 = 3.25 Obs.R.92 3.14 = 0.019428 ⇒ s R2 2 = 0. Schuler iv) Segunda estimativa do desvio padrão (procurar o valor de Kn na Tabela 3): sR = kn.84 3. usar a segunda estimativa do desvio padrão). vi .04549 (comparar com s) Exercício 2.91 R1 = 0.R = 0.25 0.000377 s r21 Fcalc = s 2 R2 = 0.Alexandre R.000377 Ftab = 9.967 0. Numa análise de cádmio. P.04 x 0.21 – 7. Como seria a exatidão absoluta de cada analista se o valor verdadeiro (µ ) fosse 3.000377 3 = 0.4. onde K(n = 4) = 0.4857 s R1 = 0.91 − 3.9 > 2. 6.941 > Qcalc (Q1).3. fica: Q1 = 4.1 Qtab = 0.95 − 3.0. o Analista 2 é inexato. P. ii) do analista 2: t= X2 −µ n sR = (3.95 − 3. 3.9 e 4.019428 Conclusão: Como ttab = 3.Alexandre R. encontrando-se 4.2: Q1 = 3. Em uma amostra contendo cromo foram encontrados os seguintes resultados: 4.1. o valor máximo para Q (Qtab) diminui bastante.0 − 3. vii . 3.2.019428 0.3 b) Aplicando o teste Q para 3. 4. o resultado 3. 4.08 = = = 2.2.2 não pode ser rejeitado. o valor 3. 4.2 1. Qtab = 0. 4.0.2 0. agora é possível verificar que o resultado 3. Exercício 2.727 4. fica: 3.2 pode estar dotado de erro grosseiro.9.019428 0. 4.560 < Qcalc.7 = = 0.10 x 2 0.636 4. 4.5.9 − 3. 4.vii Controle Estatístico .2.182 > tcalc = 2.2 1.0.2 deve ser eliminado.04 x 2 0.182 < tcalc = 10. Aparentemente.2 0. Resposta: a) Ordenação: 3.745 0.294.294 0.3 − 3.1 Pergunta-se: algum desses resultados está dotado de erro grosseiro ? Resposta: a) ordenando. Como conseqüência.029142 Conclusão: Como ttab = 3.1 Conclusão: Agora.0. Aplicar novamente o teste Q. o Analista 1 é exato.029142 0.3. b) Aplicando o teste Q. Schuler c) Exatidão absoluta: i) do analista 1 t= X1 − µ n sR = (3.941 > Qcalc (Q1) Conclusão: Como Qtab = 0.8 = = 0.85) 4 0. 4.91) 4 0.2.2. 3. 4. Apesar de haver diminuído a diferença (X2 – X1) e conseqüentemente também o valor de Q1 (já que a amplitude se manteve constante). Exercício 2.74. 4.3 − 3.1.20 = = = 10.0. Foram realizadas mais três repetições da análise do exercício anterior.029142 0. 182 × 0. X = 8. P.4109 = 9.s n Para n = 4.38) Exercício 2.viii Controle Estatístico . com 95% de probabilidade.27 ± 0. encontrando os resultados abaixo. Calcular os limites de confiança (LC) com 95% de probabilidade para os seguintes resultados experimentais (análise de cobre): n = 4. existe um erro sistemático nessa análise.4109 Resposta: Fcalc = 0. Aplicar o teste t para o exercício anterior. sabendo que µ = 7.27%. s = 0. Resposta: A relação a ser utilizada é LC = X ± t.27 ± 2. viii .27 − 7.7.0441 Analista 2: n2 = 8 e s2 = 0.11 ⇒ (8. Dois analistas analisaram uma mesma amostra diversas vezes.201 x 0. Se houvessem sido realizadas 12 repetições.34 = 0.17 ttab = 2.8.201. LC = 8.17 4 LC = 8. quais seriam os limites de confiança do exercício anterior ? Resposta: Para n = 12.0441 Ftab = 3.9.10.641 ⇒ s2 = 0. Existe uma diferença significativa entre suas precisões? Analista 1: n1 = 9 e s1 = 0. Logo. Exercício 2.008.27 ± 3.5 < 9. Schuler Exercício 2.Alexandre R.27 ± 0.91) 12 = 7.16 – 8.17 12 ou LC = 8.3 0.91.210 ⇒ s1 = 0.54) Exercício 2. ttab =2. LC = 8. Logo.182.17%.3 Conclusão: O analista 1 é mais preciso.27 ⇒ (8. ttab = 3. Resposta: t= tcalc X −µ n s (8.201 Conclusão: com ttab < tcalc. Prosseguindo. encontrando-se os resultados abaixo.83 0.37 8. encontra-se: F= s12 (0.24 = (83. comparando cada um com o valor verdadeiro.83).54 − 83. Exercício 2.11 Sabendo que o valor verdadeiro (µ) é 83.24 2 6 83.13). Schuler Exercício 2.38 8.13 0.571 (n = 6). Comparando esse valor com o tcalculado (2. Uma amostra sintética com µ = 7.11) 2 0.4 a maior probabilidade é de que ambos sejam igualmente precisos.37 8.43 ix . é necessário primeiro responder à pergunta (a): Aplicando o teste F aos dois analistas.40 8. Comparando esse valor com o tcalculado (9. pergunta-se: a) Quem foi mais preciso? b) Quem foi mais exato? Resposta: Como somente pode ser realizada uma comparação em termos de exatidão quando dois conjuntos de dados possuem a mesma precisão.24) 2 0.88 0. Dois analistas foram avaliados durante um procedimento de credenciamento do laboratório. Para o analista 2 o ttabelado é 2. fica: Analista 1: t= XA − µ n s = (83. encontrando-se os seguintes resultados: Analista No de repetições Média desvio-padrão 1 4 83.54%.182.36 8.11.13) 6 = 9.12.35 8.41 8. Que conclusões podem ser tiradas desses resultados ? Equipamento 1 8.ix Controle Estatístico .0576 = = = 4.11 Analista 2: t= XA − µ n s O ttabelado para n = 4 (Analista 1) é 3. P.38 8. conclui-se que o analista 2 é inexato.91 foi analisada por um mesmo analista em dois equipamentos.54) 4 = 2.76 s 22 (0.0121 Como o Ftabelado é 5.13 0. conclui-se que o analista 1 é exato.39 Equipamento 2 8.Alexandre R. aplicando agora o teste t (pergunta b).88 − 83. 40 − 8.61 0.37 X R 0.5 Conclusão: ambos os equipamentos estão descalibrados. P.01720 Obs.044 x .0155 4 Conclusão: Como ttab > tcalc.00029584 Conclusão: Como Ftab > Fcalc.40 0. Um laboratório de perícias criminais recebeu um fragmento de vidro (amostra A) supostamente pertencente a um vaso (amostra B) encontrado quebrado no local de um crime.60 0.0172 )2 + (0.03 = 1.75 0.02579)2 0.81 0. Análise por espectrofotometria de absorção atômica forneceu os seguintes resultados: Elemento As Co La Sb Th A 132 0. (8.25 0.4) 2 ( 0.02579 5 = 59.02579 b) Comparação entre os equipamentos: i) Exatidão relativa (ttab = 2.04 SR 0.00066512 = 2.37 − 7.26 0.02579 ) F= (0. ambos os equipamentos apresentam a mesma precisão. (µg/g) B desvio-padrão 122 2 0.77 0. ii) Precisão (Ftab = 6.01720 Equipamento 2: t 2 = (8.0172)2 = 0.94 0.776).8 = 42.x Controle Estatístico .62 Conc.20 2.37 = (0.: Kn = 0. Exatidão absoluta (ttab = 2. Exercício 2. os dois equipamentos apresentam a mesma exatidão.776) t= 8.01 2. Schuler Resposta: a) Cálculo da média e da dispersão Equipamento 1 8.13.026 3.54 4.91) 0.91) Equipamento 1: t1 = 5 0.Alexandre R.4299 Equipamento 2 8.06 0.40 − 7. 60 ± 4. Outra forma de resolver essa questão é por aplicação do teste t: Aplicando para os elementos As e Co.11
(0. Schuler Realizando as análises em triplicata.303 x 0. Resposta: LC = X ± t.1 – 4. pois dois elementos apresentam-se em A com concentrações estatisticamente diferentes das encontradas em B (padrão). Calcular o número ideal de repetições para a determinação do teor de um agrotóxico numa amostra de água cujo conteúdo esperado (µ) é 1 ppb.61 ± 4.044/1.61 − 0.55 – 0.s/ n . a partir dos seguintes resultados: xi .303 x 2/1.1).303.77 ± 4.2/1.75 ± 4. observa-se que o As e o Co encontram-se fora dos limites.303 x 0. concluiu que as duas amostras diferem em composição.55 Como o ttabelado é 4.75 ± 0.66 Co: t= XA − µ n s == 0. Quais são esses elementos? Dica: Trabalhar com limites de confiança.61 ± 0. Como n = 3.77 ± 0.303 x 0. Co: LC = 0. Sb: LC = 2.14. = 1.42).12 – 3.732 = 0.54 3 0. amostra B).026/1. suas concentrações diferem estatisticamente do padrão. La: LC = 3. chega-se à mesma conclusão acima. Portanto.Alexandre R. o perito encarregado do caso.67). Aplicando à equação acima. Confrontando-se as médias dos elementos na amostra com seus intervalos de confiança.303 (para ambos os elementos).26/1.732 = 3. fica: Calculando para cada elemento: As: LC = 122 ± 4.50
(3.303 x 0.732 = 2.xi Controle Estatístico . n X é o valor verdadeiro. ou seja. encontra-se: As: t= XA − µ n s == 132 − 122 3 2 = 8. do padrão (o vaso. Não esquecer de aplicar corretamente as regras de arredondamento.732 = 122 ± 5
(117 – 127). Exercício 2.026 = 1.06
(0. Th: LC = 0.732 = 0.65
(2. trabalhando com um nível de confiança de 95% como critério de dúvida.732 e t = 4. P.86).64 – 0.60 ± 0. 0100 ∑ di2 = 0.1010 0.0001 0.0854 0.95 1.450 2.1 17. o ideal seria efetuar 5 repetições.0036 0. erro relativo percentual (coeficiente de variação) = L = 100∆ µ b) Cálculo (montagem do quadro com a memória de cálculo): n 2 3 4 5 6 7 n 1.0100 0.706 4.0000 0.p.01 Conclusão: A 3a repetição diminui o erro em 52. Um analista coletou duas amostras de minério de ferro.07 0.0049 0.xii Controle Estatístico .12 0.85 p.0596 Resposta: ∑d a) s = 2 i n −1 ⇒s= 0. P.10 di 2 0..91 pontos percentuais.6 18.10 0.2022 0. Kn = 0. a 4a repetição diminui em 7. 1 17.0036 0. chega-se à conclusão que 3 repetições são suficientes.08 0.09 0.0049 0.1295 0.53 — 52.0144 0.9 18. em teor.0753 L Dif.54 7. Um outro critério a se adotar seria o de estabelecer um erro máximo (por exemplo 10%).1 xii .91 7.447 ∆ 0.01 di 0.182 2.10 8.7313 0. 73.303 3.8 Am.6 17.27 2.94 1.414 1.89 0.6 18.0596 = 0.3 18. Schuler Xi 0.07 0. encontrando os resultados abaixo (5 leituras de cada amostra.01 0.11 X = 1.08138 9 Fórmulas a empregar: erro absoluto = ∆ = t ⋅ s n . Exercício 2. Dizer se as duas amostras são estatisticamente iguais. 2 18. Leitura 1 2 3 4 5 Am.776 2.43). enquanto que a 5a repetição diminui em apenas 2.95 10. Usando esse raciocínio.7 17. Nesse caso.85 1.11 1.3 18.92 1.571 2.07 0.0081 0.00 0.27 p.Alexandre R.02 1.06 0.56 1.22 12.15.732 2.646 t 12.13 20.01 1.p.000 2.06 0.236 2. 344)2 Am.344 0.5 0. Schuler Resposta: Leitura X R SR t= 18. deve-se concluir que a homogeneização não foi bem feita.29 > ttab = 2. 1 17.7 0.8 = 3.8 0.7 (0.Alexandre R.8 0. para haver uma maior representatividade.2432 4 Conclusão: as duas amostras são estatisticamente diferentes. é necessário extrair-se um número maior de sub-amostras e calcular a média aritmética dos teores encontrados nas n sub-amostras. 2 18.xiii Controle Estatístico .5 − 17. Como achar o número ideal de sub-amostras? Solução: Aplicar o raciocínio empregado no exercício anterior.776 0. se ambas as amostras são provenientes de um mesmo lote (sub-amostras).344)2 + (0. xiii .344 = Am. Entretanto. Nesse caso. P. em teor de ferro. 25 39.40 ± 3. LSC = 44.00 46. sistema americano).00 38.75 40.00 39.70 LIC = 37. 5. A2 = 0.75 40.Alexandre R.75 41. LSC = 45.50 39.50 40. Eliminando-as.50 45.40 ± 0. Os valores de x observados em amostras de n = 4 itens constam do quadro abaixo. P.08.55 ± 0. 17 e 22.50 40.40.1.55 ± 3. fica (vide quadro na página seguinte): Resposta final: LM = X = 40. observam-se 4 amostras com média fora dos limites (no caso.40 6 5 5 7 2 12 8 6 6 5 10 3 5 6 4 2 1 4 4 4 1 4 7 6 4 5.75 43. n = 4 LC = LM ± A2 R.75 41. para n = 4) LC = 41.00 40.729 x 5.50 43.96 LIC = 36. Schuler 3 – GRÁFICOS DE CONTROLE Exercício 3. Construir o gráfico da média X (GC-X).729 x 5.50 45.59.55.75 40. n = 4 LC = LM ± A2 R.25 39.08 Resposta: LM = X = 41.50 39.25 38.51 xiv . A2 = 0. R = 5.75 39.729 (procurar na Tabela 6.00 42. AMOSTRA 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 x1 40 49 39 41 47 48 45 42 40 42 35 39 41 40 40 39 46 44 43 38 40 45 40 42 42 MEDIDAS INDIVIDUAIS x2 x3 44 46 41 42 45 43 42 42 42 39 45 40 45 44 36 41 46 45 45 44 39 44 40 36 39 39 48 39 43 46 44 37 36 40 41 39 41 42 38 37 42 46 41 41 38 39 48 35 39 40 x4 X R 45 44 44 36 46 36 40 37 36 37 38 38 46 38 39 40 45 43 42 42 40 46 42 37 42 MÉDIAS 42.75 39.50 46.729 (procurar na Tabela 6.xiv Controle Estatístico . R = 5.70. acima do LSC): 2. para n = 4) LC = 40.46 = 40.25 42.08 = 41. empregando a amplitude R para o cálculo dos limites de controle (norma desconhecida.10 Analisando os valores individuais X .46. Logo: LIC = 0.7 248.50 40.7 2.8 xv .6 251.9 251. como este GC trabalha em conjunto com o GC-X.2.xv Controle Estatístico .282 tirados da Tabela 8 para n = 4). Construir os GC’s da média e da amplitude a partir das seguintes informações: X1 X2 X3 X4 X5 250.2 250.50 39.7 250.3 251. Resposta: Como foram eliminados quatro pontos no exercício anterior. P.5 249.25 38.50 42. o mesmo também deveria ser alterado.46 Exercício 3.000 e D4 = 2.4 249.50 39.8 2.00 39.3 248.9 2.8 249.1 249.75 40. LIC = 5.4 248.75 39.8 2.75 41.55 6 5 7 12 8 6 6 5 10 3 5 6 4 2 4 4 4 1 7 6 4 5.25 39. Com os valores do exercício anterior.7 249.0 e LSC = 12.50 40.46 Como o maior valor de R é 12. Exercício 3.D3 e LSC = 5.2 249.3 250. Em caso contrário.1 249.46.2 249.75 40.Alexandre R. tem-se: LM = 5.25 39.6 249. deve-se começar com os vinte e um restantes.25 42. Schuler AMOSTRA x1 1 3 4 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 20 21 23 24 25 MEDIDAS INDIVIDUAIS x2 x3 40 39 41 48 45 42 40 42 35 39 41 40 40 39 44 43 38 40 40 42 42 44 41 42 43 42 42 42 39 45 40 45 44 36 41 45 45 44 39 40 36 39 39 39 43 44 37 36 40 41 39 41 42 38 37 42 41 41 38 39 35 39 40 x4 X R 45 44 36 36 40 37 36 37 38 38 46 38 39 40 43 42 42 40 42 37 42 MÉDIAS 42.3 249.7 248.50 39.46.2 249. construir o gráfico da amplitude (GC-R).00 38.50 43.3.8 2.46. Nesse caso.75 40.8 249.5 248.D4 (valores de D3 = 0.6 251.6 ∑ R 249.50 43.00 40. todos os pontos devem ser mantidos.3 250.00 40.8 251.0 249.6 2.2 248.9 249. 108 ± 3 [0.2 e LSC = 251. logo.09 0.10 0. xvi . devem ser removidos.09 Resposta: Como n = 100 e N = Σn = n × k Σn = n × k = 100 X 25 lotes = 2500 itens. fica: LM = (270-43)/(2500-200) = 0.099 X 0.15 0. LC = ± A2 (A2 = 0. LIC = 0 e LSC = 2.8 = 249.18 0.9 Conclusão: o processo está sob controle.108 ± 0. Exercício 3.8 ± 0.099.11 0.02 0.07 0. Schuler Resposta: Como n=5.892/100)1/2 LC = 0. LC = 0.577 X 2.201 Na Figura 5 verificamos que os pontos 5 e 20 estão acima do LSC.)/n]1/2 LC = 0.115 X 2. temos: Equações: Média: LM = .099 ± 3 X 0.2.06 0.015.6 ⇒ LIC = 248.009. LSC = 0.1 ⇒ empregar a fórmula geral2: LC = ± 3 [ (1.099 (1-0.901/100)1/2 LC = 0.099)/100]1/2 LC = 0.8.108 X 0.0299 LC = 0.11 0.09 0.xvi Controle Estatístico .Alexandre R.22 0.14 0.11 0.10 0.21 0.07 0. LSC = 0.14 0.08 0. P.a do Livro Controle Estatístico.108)/100]1/2 LC = 0. Recalculando.04 0.099 ± 3 [0.099 ± 3 (0.577) Amplitude: LM = . LC = 249.11 0. Equações: LM = = ∑d/∑n LM = 270/2500 = 0.06 0. Construir o GC da fração defeituosa de um processo que forneceu os seguintes resultados.099 ± 0.4 Amplitude: LM = 2. tendo sido examinados n = 100 itens em cada lote (amostra): Lote 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 ∑d d 11 9 15 11 22 14 7 10 6 2 11 6 9 18 7 10 8 11 14 21 16 4 11 8 9 270 d/n 0.11 0.108 (1-0.108 ± 3 X 0.8.189 2 Ver Seção 4.8 ± 1.108 ± 3 (0. LIC = D3 e LSC = D4 (D3 = 0 e D4 = 2.0897 ⇒ LIC = 0.115) Cálculos: Média: LM = 249.7.8 = 5.108 Como LM > 0.16 0.093 LIC = 0.031 LC = 0. do mesmo autor.08 0.4. 8 (1-0.9 LIC = 0. Equações: LM = n = n ∑d/∑n LC = n ± 3 [n (1.5. Resposta: No sistema inglês.8 LC = 9.6. Como LC2 > LC (sistema americano).098 = 9. Schuler A Figura 6 mostra que agora todos os pontos encontram-se dentro dos novos limites.098 ⇒ LM = 100 X 0. ∑n = 100 X 10 amostras = 1000.8 ± 3 (9. P.8 ± 3 [9. temos dois limites: LC1 (±1. LSC = 18.)]1/2 Cálculos: = 98/1000 = 0.Alexandre R.098)]1/2 LC = 9.96 σ) e LC2 (±3. Aplicar o sistema inglês ao exercício anterior.8396)1/2 LC = 9. os limites devem ser números inteiros. basta examinar a região de advertência: xvii .973 LC ≅ 9.8 ± 3 X 2.10 LM 0.15 0. LIC = 1 e LSC = 19. Construir o GC de defeituosos de um processo que forneceu os seguintes dados (tamanho da amostra = n = 100): Amostra 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ∑ d 8 7 12 5 18 2 10 16 14 6 98 Resposta: Como n = 100.20 0.9. Conclusão: o processo está sob controle.8 ± 8.7.8 X 0.10 Leitura Leitura 0. Como d = número de defeituosos. Exercício 3.20 LSC 0. Logo.05 LIC 0. Gráfico de Controle da Fração Defeituosa Gráfico de Controle da Fração Defeituosa 0.09 σ).25 0.902)1/2 LC = 9.00 0 5 10 15 20 25 0 Número da amostra 5 10 15 20 25 Número da amostra Figura 5 Figura 6 Exercício 3.00 LIC 0.8 ± 3 (8.05 0.25 pontos fora de controle LSC 0.15 LM 0.xvii Controle Estatístico . ou seja.00 20 1 0. Logo.00 = ∑d/∑n = ∑d/n. Logo.k = 34/50 X 25 LM = 0.04 3 5 0. 5. 1. P.00 12 1 0. LM = 25 0 0.00 14 1 0. 6 e 8) estão na região de advertência.02 22 0 0. Exercício 3. 0.627 ≅ 16.02 21 1 0. basta constatar que isso corresponde a 2.827. emprega-se a relação simplificada3: LIC = p − 3 p / n e LSC = p + 3 p / n 1/2 LIC = 0.00 11 0 0.016.12 5 3 0. a produção diária é de n = 2800 peças.8. 0. 4 e 6).02 2 2 0. 3.02 10 0 0. ficamos com uma fração defeituosa de (34 – 16)/(1250 – 150) = 18/1100 = 0.0971 Conclusões: a) As amostras 3. temos uma distribuição normal. 1. Resposta: x d d/n 1 1 0.04 17 1 0. 4 e 6 estão acima do LSC.5% de defeituosos e o número total de defeituosos em 1250 itens foi 34. que é maior que 2. b) Se o consumidor aceita partidas com até 2. Numa fábrica de sabonetes foram colhidas do processo k = 25 amostras com n = 50 itens. Logo: LIC = 3. 1. eliminando as amostras 3. 0.10 7 2 0. se a fração defeituosa é 0.00 16 2 0.a do Livro Controle Estatístico. Dizer se o processo está sob controle. xviii .02 18 0 0. 5.02 O total de defeituosos nas 25 amostras é 34.96 X 2. Entretanto.5%.0272 – 3 (0. 1. Examinando a distribuição normal. 1.5% de defeituosos. 6.973 = 9.00 23 0 0. Examinando os dados. 2. ao colocarmos o processo sob controle (por exemplo. Logo. 0. 0.0699 LIC = 0 LSC = 0.02 9 1 0.0699 LSC = 0. do mesmo autor.02 15 0 0.0272/50) = 0.1.xviii Controle Estatístico . 1. usando o gráfico da fração defeituosa: a) o processo está sob controle? b) se o comprador aceitar partidas com no máximo 2.0272. 0. 2. Exercício 3.00 24 1 0. o processo atual não permite atender a essa exigência. 2.06 6 5 0. 0. vemos que exatamente 3 pontos (amostras 5.00 19 0 0. o processo atende a isso? Dados: nas 25 amostras foram encontrados os seguintes números de defeituosos: 1.6%.10 4 6 0. que corresponde a 1.0272 – 0. 0.72%. Schuler LC1 = 9. Dizer.02 x d d/n 13 0 0.0272 < 0. 1.0233 LIC = 0.7.0272 + 0.0272 – 3 X 0. Logo. Logo.973 ≅ 4 e LSC = 15.04 8 1 0.Alexandre R. vemos que 34% dos 10 pontos (3 pontos) podem estar entre LC1 e LC2.7. 3 Ver Seção 4. o processo está fora de controle.2.8 ± 1.8 ± 5. 0. Numa fábrica de transistores. Controle exaustivo realizado durante oito dias revelou a existência do seguinte número de defeituosos. 1. 66 6 5.2 = 15.52 9 5. LC = ± A2 (A2 = 0.51 9 5.9587)1/2 = 115.38 LIC2 = 1.62.62 ± 4. Schuler dia defeituosos Resposta: 1 110 Equações: 2 117 3 112 LM = n = n ∑d/∑n = n ∑d/(nk) 4 105 LC = n ± 3 [n (1.xix Controle Estatístico .65 8 5.67 8 5.66 5 5.62 LC2 = 5.577 X 7.60 1 Equações: Média: LM = .59 7 5.577) Amplitude: LM = LIC = D3 e LSC = D4 (D3 = 0 e D4 = 2.115) Cálculos: Média: LM1 = 5.63 LC1 = 5.55 8 5.75 ± 3 [115.75 ± 3 (115.15 LIC1 = 1.58 8 5.2 xix .)]1/2 5 130 6 120 Cálculos: 7 119 8 113 LM = n = 2800 X 926/(2800 X 8) = 926/8 = 115.20 = 5. Numa determinada indústria existem duas linhas de produção. Logo. LIC = 0 e LSC = 2.75⇒ = 115. observamos que todos estão abaixo do Limite Superior de Controle.63.60 6 5.75 (1-0.24 LSC2 = 10.75 ± 31.577 X 7.115 X 7.75/2800 926 ∑ LM = 0.48 LSC1 = 9.00 Amplitude: LM1 = 7.60 = 5.68 7 5.34 Conclusão: examinando os dados.67 8 5. 1 = 7.61 14 5.62 ± 0.0413)]1/2 = 115.Alexandre R.64 6 Resposta: = 5.79 7 5.39 8 5.59 LIC = 84.75 X 0.50 3 5.90 7 5. Após análise com 5 repetições de um total de 10 amostras de cada linha. 2 = 5. Exercício 3.75 ± 3 X 10.76 9 5.9.53 LC = 115. Interprete-os.63 ± 4.2.20 2 = 7.0413 LC = 115. foram obtidos os seguintes resultados.51 5 5.16 LSC = 147. o processo está sob controle. AMOSTRA 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 LINHA 1 LINHA 2 LEITURA R LEITURA R 5.78 LM2 = 5. P.63 ± 0. Se os limites de especificação para o processo do exercício anterior fossem dados por 14.11.2 X 0.50 e Σ R = 9.4299 = 3.62)/[(10.228 Exercício 3.A2.39 LC = 14.6 X 0.56 b) GC-R: LM = R = 9.12 = 0.095)2 = 10. A2 = 0.45. Observe-se que aplicação dos testes t e F mostra que suas diferenças (média e desvio-padrão) são estatisticamente insignificantes: sR1 = 7. para o GC-X? xx .Alexandre R.12 e LSC = 14.115 x 0. Calcular os limites de controle para GC-X e GC-R.10.39 = 0. Schuler xx LM2 = 7.6 = 16.63 – 5. Amostras de 5 itens foram analisadas e os valores de X e R foram calculados para cada amostra.Controle Estatístico .34 e R = 9.58)/9] = 0. Para as 25 primeiras amostras foram encontrados Σ X = 358.577 LC = 14. Numa fábrica de lâmpadas foi examinado um grande lote. que conclusões poderiam ser tiradas dos dados.39.6. σ = 230 LC = 1627 ± 3 X 230/41/2 = 1627 ± 345 LIC = 1282 e LSC = 1972 Exercício 3.40 ± 0.58 = 1. sR1 = 7.4299 = 3.115 X 7.267)2/(3.80/25 = 0.267 F = (3.82 Exercício 3. encontrando-se uma vida média de 1627 horas.67+9.12. com um desvio padrão de 230 horas. Resposta: a) GC-X: LM = 358.08 < ttabelado = 2. Resposta: LC = LM ± 3 σ / n½ LM = 1627.095.50/25 = 14. calcular os limites de controle.80/25 = 0.1 Conclusões: Média e Amplitude: Ambos estão sob controle e ambos os conjuntos de dados também estariam sob controle se usados os limites de controle trocados. Sabendo que a partir de então o processo vai ser controlado por exame de amostras com n = 4 lâmpadas.0 t = (5.11 < Ftabelado = 3.34 ± 0.80. LIC = 0 e LSC = 2. P.34 ± 0.67/9.01/0.22 LIC = 14.39 LIC = 0 e LSC = 2. 945/30 = 71 (B3 e B4. b) a probabilidade de serem produzidas resistências dentro da especificação 430 ± 30.: confrontar com o exercício 1.7 = 22/ 19. enquanto sob controle. LIC = 363 e LSC = 481 (A1 = 1. Para um total de 20 amostras foram encontrados Σ X = 8620 e Σ R = 910. Respostas: a) Limites de controle: No GC-X: LC = 431 ± 45.56 LIE = 13. Como é pedido o percentual que fica abaixo de 400.1357 ou ≅ 13.5 e LSC = 477.5 x 1.5 LIC = 384.12 Na tabela de distribuição normal (Tabela 1).88. P.85 > LSC = 14. Supor o processo sob controle.3643 = 0. o processo.7 ii) Cálculo de P(x>400): z = (422-400)/ 19. São usados gráficos de controle em uma fábrica de resistências elétricas. se LIE for igual a 400.023 = 431 ± 46.1. Da inspeção de 30 amostras com n = 4 obtiveram-se Σ X = 12660 e Σs = 945.13. i) Cálculo do σ: z = ( X -xi)/ σ = (422-363)/ σ = 3 ⇒ σ = 59/3 = 19. Schuler xxi Resposta: LSE = 14. Tabela 6). encontra-se A = 0. resulta: A = 0. a estimativa do desvio-padrão do processo.6% Exercício 3.10.7 = 1. Respostas: a) b) c) d) LC = 12660/30 ± 1. Os valores X (Ohm) e R são calculados a partir de amostras com 3 itens.95 < LIC = 14. os limites do GC-s. atende à especificação (seus limites ficam dentro dos limites de especificação).266. a porcentagem das amostras que ficarão fora da especificação.14.5 xxi .Controle Estatístico .50 –0. para z = 1.Alexandre R.7979 = 39. Pede-se: a) b) c) d) os limites do GC-X.3643.5 Obs. Tabela 7) s = c2.88. Exercício 3. Calcular: a) os limites de controle de GC-X e GC-R.12 Logo.945/30 = 422 ± 59.σ (ver Tabela 7) ⇒ σ = s/c2 = 31. LIC = 0 e LSC = 2.5/0. 16. Uma fábrica tem 6 linhas de produção.11 0.25 2.09 0.424264 LC = 2. em termos de exatidão (com auxílio do GC-X) e de precisão (GC-s). Conseqüentemente.5 LIE = 400.345 = 0.294 e LSC = 2.22% = 5.345 ± 0.051 LIC = 2.37 s 0. LSE = 460 z1 = (431-400)/15. para amostras com 5 itens. Análise das mesmas forneceu os seguintes resultados (n = 50): LINHA 1 2 3 4 5 6 X 2. Construir. P.72 = 2.345 ± A1. P2 = 50 – 46.396 b) GC-s: LM = 0.σ = 0 LSC = B2.34 2.345 LC = 2. o GC-s de um processo com µ = 5.34 2.424264 LC = 2.089 Exercício 3.18 0.16 0. c2 ≅ 1 A1 = 3/ n = 3/ 50 = 3/7. há uma probabilidade de 2.72% Logo.12 xxii .78 = 3.05 = 0.38 2.15.8407 x 0.Alexandre R.60 e σ = 0.28% de probabilidade de sair abaixo do LIE. A1 = 3/c2.345 ± 0.xxii Controle Estatístico .σ = 0.11 0.39 2.5 = 2 ⇒ 47.12 Comparar as linhas. z2 = (460-431)/15. n (Obs.: não podem ser usadas as tabelas porque n é maior que 10) Como n é muito grande.08 X s = 2.5% de saírem produtos fora da especificação. P1 = 50 – 47.22% de probabilidade de sair acima do LSE.5 = 1.5)/3 = 15.042 LIC = B1.05 = 0. Exercício 3. Resposta: LM = µs = c2.87 ⇒ 46.12 x 0.σ = 1. s . Resposta: a) GC-X: LM = 2.05. Schuler No GC-R: LIC = 0 e LSC = 117.2 b) σ = (431-384.071 = 0.745 x 0.78% Logo.28% + 3. por exemplo.7 B4 = 1 + 3/ 2n = 1 + 3/ 100 = 1 + 0.59 x 2. trata-se do teor de uma impureza em um dado produto.19.6 e um LIC = 0.156 Comparando os dados com os limites de controle: a) do GC-X: A linha 3 está produzindo com um valor médio inferior a LIC.53. O que está ocorrendo? Resposta: Como o ponto 4 está fora de controle (abaixo de LIC).3 = 1.729 x 1.80 ± 0. Se. Exercício 3.59 x 0 = 0. P.282 = 3. sugerindo que o valor médio do característico em análise diminuiu estatisticamente. também com diminuição da linha média. LSC = 2.Alexandre R. LSC = B4.3 x 0.80 ± 1. encontram-se os pontos 4 e 12 fora dos limites. em que a linha média caiu.12 = 0.63 Como agora o processo está sob controle. Sabe-se que um GC(X) tem um LSC = 3.12 = 0. Schuler xxiii LIC = B3. indica que houve uma melhora na variabilidade do processo. No controle posterior do processo. b) do GC-s: As linhas 2 e 3 estão com uma variabilidade muito grande.72 ± 1.91 Na nova situação. xxiii .17. b) Por outro lado. o GC-R. obtiveram-se os resultados abaixo: Localizar esses valores no GC-X e no GC-R. Eliminando-os.: não podem ser usadas as tabelas porque n é maior que 10) B3 = 1 . é possível analisar a situação: a) Existe um grande percentual de valores de xi abaixo da linha média anterior (2).72 e R = 1.64.4 e um LIC = 0.7 x 0. s (Obs. isso é bom.59 LC = 1.16. é preciso recalcular os limites.96 b) GC-R: LIC = 1. LIC = 0. LSC = 1. Mas pode ser o contrário. fica (ver quadro na página seguinte): X = 1.3/ 100 = 1 – 0.084 LSC = 1.63 LC = 1.3 LIC = 0.72 ± 0.59 LC = 1.6 e que um GC(R) tem um LSC = 4.3 = 0.729 x 1.3/ 2n = 1 . Os novos valores são: a) GC-X: LC = 1. LSC = 2. LIC = 0. s . As respectivas linhas médias valem X = 2 e R = 2 e os referidos gráficos servem para o controle de um processo no qual se tiram amostras de tamanho 4.Controle Estatístico . 02 LC = 0.8 2. De um processo foram colhidas 25 amostras de tamanho 50.68 2 1.6 2.1 2.8 2.06 0.9 1.18 2.6 2.10 0.02 0. Calcular os limites de controle para o GC-p.3 1.9 1.5 3.9 1. P.0 1.08 0.78 1.5 1.6 1.93 1 1.7 0.1 2.1 1.3 2.75 1.6 2.3 0.0 1.06 0.5 1.0 1.0 1.2 2.05 1.04 0.00 0.25 1.6 2.2 0.04 0.064 25 x50 1250 AMOSTRA 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 d 1 2 3 3 5 4 4 4 2 2 3 3 3 p 0.6 3.064 ± 0.5 0.0 1.2 MÉDIAS 1.08 0.08 0.8 0.04 0.8 1.0 0.4 1.0 1. encontrando-se os resultados abaixo.04 0.0 0.63 Exercício 3.08 0.8 1.3 1.1 1. Schuler HORA x1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1.6 2.9 1.7 MEDIDAS INDIVIDUAIS x2 x3 2.08 0.6 0.1 1.8 3.2 2.7 1.4 0.06 AMOSTRA 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 TOTAL d 5 4 4 5 1 5 2 0 5 3 3 1 80 p 0.6 0.5 3.10 0.1 2.6 0.2 1.Alexandre R.53 2.1 3.8 1.7 1.4 1.9 1.6 2.4 1.8 1.0 1.53 1. LSC = 0.064(1 − 0.104 LIC = 0.06 0.8 0.0 0.6 1.33 1.7 0.06 0.9 1.6 2.7 0.2 2.5 2.4 3.5 x4 X R 1.3 2.4 2.5 1.7 1.3 1.064) / 50 = 0.10 0.7 4.064 ± 3 0.6 2.9 2.1 1.3 0.18 0.2 1.9 2.7 1.1 1.5 3.2 1.3 2.10 0.8 2.10.2 2. Resposta: 80 80 p= = = 0.7 1.35 1.4 1.06 0.72 1.5 3.0 1.02 0.0 1.7 2.06 0. xxiv .0 1.8 1.9 1.9 0. o processo está sob controle.3 1.10 0.168 Como o maior valor de p é 0.73 2.xxiv Controle Estatístico .18.6 1.4 -0. Calcular os limites de controle do GC-u (n = 1).2 x0.12 O veículo 20. Schuler Exercício 3.12 ± 3 11. deve voltar à linha de montagem. Calcular os limites de controle para o GC-np com os mesmos dados acima.16 Agora.46 .49 ≅ 19 VEÍCULO 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 c 7 14 13 17 7 11 6 11 16 13 17 10 7 VEÍCULO 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 TOTAL c 8 21 12 8 9 5 27 9 15 3 7 5 278 Exercício 3.2 ± 5.12 .49 23 LIC = 0.76 e LSC = 20. Foram examinadas 20 peças.70 ± 3 6.70 24 LIC = 0. com 27 defeitos.12 ± 10. LC = 6. também deve voltar à linha de montagem.2 LIC = 0 e LSC = 8. P. Os dados encontram-se na página seguinte.20.46 ± 3 10.00 25 LIC = 1.76.936 = 3. LM = 11.46 e LC = 10.4 e o processo está sob controle.46 Resposta: c = Eliminando o item 2.21.064 ± 3 3.Alexandre R. PEÇA 1 2 3 4 5 6 7 c PEÇA c PEÇA 7 8 0 15 15 9 11 16 9 10 13 17 5 11 0 19 0 12 5 19 4 13 8 20 11 14 6 TOTAL c 4 11 0 12 3 10 134 134 = 6.00 ± 9. onde se faz um inventário do número de falhas na película do esmalte isolante em peças com 30 metros de comprimento. fica: xxv .xxv Controle Estatístico .00 ± 3 10. LIC = 20 0 e LSC = 14. Recalculando os limites: u= 251 = 10.12 e LC = 11.46 ± 9.70 ± 7.46 = 10.70 = 6. Resposta: u= 278 = 11.12 e LSC = 21. Na inspeção de 25 veículos foram encontrados os defeitos tabelados abaixo. LC = n p ± 3 n p (1 − p ) = 50 x 0.00 e LC = 10.12 = 11. com 21 defeitos. LM = 10. o veículo 15.70 .51 ≅ 0 e LSC = 19. Exercício 3. Construir o GC-c com os dados obtidos de uma fábrica de fio de cobre.00 = 10. Recalculando mais uma vez os limites: u= 230 = 10.19.00 . Resposta: LM = n p . LM = 10. 5. por exemplo. o item 2 passaria pelo teste! 1 17 0 4 19 4 0 19 1 4 20 3 4 TOTAL 45 0 Exercício 3. LC = 2. Schuler c= 119 = 6.25 . máxima.26 ± 7. Pt 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 Pu 0 2 5 15 30 45 50 55 60 58 55 50 45 Ref 0 8 12 15 10 5 10 15 20 32 45 60 75 Ref% 0 80 60 50 25 10 17 21 25 36 45 55 63 Pu/Ref 0 0.25 = 2.25 ± 3 2. houvessem sido examinados 20 peças de fio com apenas 10 metros de comprimento. Uma fábrica começou com uma produção muito baixa.00 3.00 1.xxvi Controle Estatístico .50. LIC = 0 e LSC = 5 13 3 20 3 14 2 6. Se.60 O gráfico abaixo (Figura 7) mostra que a produção ótima se dá com Pt = 50 .00 9.81 1.67 3.26 ± 3 6.83 0. Pmin = prod. xxvi . É muito importante a definição da dimensão da amostra (não confundir com tamanho. LIC = 0 e LSC = 13. mínima.23.76 19 Exercício 3. poderiam ter sido encontrados os seguintes resultados: PEÇA 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 c PEÇA c 45 2 12 2 Resposta: c = = 2.25 ± 4.42 1.00 5. Interpretar os resultados. ótima e Pmax = prod.22. aumentando-a com o tempo. P. O Controle de Qualidade registrou o tamanho do refugo ao longo de todo esse tempo (Quadro abaixo). n).75 2 15 1 0 16 4 Nesse caso. Notação: Pt = prod.26 = 6.25 0.00 3. LC = 6. Po = prod. útil. que a partir de Pt = 80 a produção útil começa a cair em termos absolutos.Alexandre R.22 0. que a fábrica só tem rentabilidade na faixa compreendida entre Pmin e Pmax e que abaixo de Pmin o custo de produção é exageradamente alto. Pu = prod. Ref = refugo. total.26 . Alexandre R. Schuler Figura 7 xxvii .xxvii Controle Estatístico . P. com D = 2. Cálculos: Como N = 50. Schuler 4.1). P. doravante serão omitidos os símbolos acima e abaixo do sinal de somatório. inspecionando-se uma amostra com n = 10 e a = 1 ?: Resposta: A equação pode ser escrita como abaixo: que pode ainda ser escrita como: onde as letras maiúsculas indicam valores do lote e as letras minúsculas indicam valores da amostra.xxviii Controle Estatístico . a hipergeométrica.Alexandre R. qual a probabilidade de aceitação (PA) e a probabilidade de rejeição (PR).2 > 0.1. temos: Para a = 0: f(d) = [2!/0!(2 – 0)!] X {(50 – 2)!/[10![(50 – 2) – (10 – 0)!]} X [10!(50 – 10)!/50!] f(d) = 1 X [48!/10!(48 – 10)!] X 10!40!/50! f(d) = (48!/10!38!) X (10!40!/50!) com outra apresentação: xxviii . A probabilidade de aceitação (PA) é dada pela relação: F (a) = P (0 ≤ d ≤ a) e a probabilidade de rejeição (PR) é dada pela relação: 1 – F(a) = P (d > a) Para calcular F(a) para um dado valor de a deve ser efetuado o somatório: onde f(d) representa o modelo de distribuição escolhido (no caso. INSPEÇÃO DE QUALIDADE Exercício 4. Numa partida de N = 50. Para efeito de simplificação. pois n/N = 0. D = 2 e n = 10. 270 + 0. PR = 1 – 0.135/2! = 0.2. PR = 0. cuja fração defeituosa conhecida é P = 0.270 Para d = 2: f(d) = 0. Finalmente.135/3! = 0.140 Para a = 6: PA = 0.180 Para d = 4: f(d) = 24 x 0.676.994 Logo.3.3%.130 Para d = 1: f(d) = 0.96)50 = 0.860 Para a = 6: F (a) = 0. Exercício 4. fica f (d) = 0. considerando que PA = F (a) e PR = 1 – F (a).034 Para d = 6: f(d) = 0.135 Para d = 0: f(d) = 20 x 0.270 Para d = 2: f(d) = 22 x 0.7%. Resposta: equações: m = n.270 Para d = 3: f(d) = 23 x 0. Resposta: equações: F(d) = ∑ n!/d!(n-d)! x Pd x Q(n-d).034 + 0.676 + 0.04)(50 – 0) = 1 x 1 x (0. Logo. Usar a distribuição binomial.010 = 0.135/1! = 0.04)0 x (1 – 0.860 + 0. onde Q = 1 – P Cálculos: Para d = 0: f(d) = 50!/0!(50-0)! x (0. Calcular PA e PR para a = 2.006 Exercício 4. P.P F (a) = ∑ md/(em.326.090 xxix .676 Para a = 3: F (a) = 0.037 ou 3. usando a distribuição de Poisson.324 Para a = 3: PA = 0.04. Schuler xxix Refazendo o cálculo para a = 1. fica: Para a = 2: F (a) = 0.184 = 0.3984 = 0.d!) Cálculos: m = 50 X 0.07344 ⇒ 1/e2 = 1/7.130 + 0.963 ou 96.184 Para d = 4: f(d) = 0.135/0! = 0. a = 3 e a = 6.010 Fazendo o somatório. PR = 0.963 = 0.135/4! = 0. temos: Para a = 2: PA = 0.326 = 0. PA = 0.04 = 2 em = e2 = (2.090 Para d = 5: f(d) = 0.860.Controle Estatístico . Foram extraídas 50 amostras de um lote de tamanho 1000.090 + 0.994. Recalcular o exercício anterior.135 Para d = 1: f(d) = 21 x 0.637 + 0.276 = 0.276 Para d = 3: f(d) = 0. PR = 0.72)2 = 0.Alexandre R. 180= 0.01)2/e(80 x 0.08)2/e(80 x 0.00835 + 0.82 x 1/e0.5 = 4.7% < 10%. por exemplo.5498 + 0. P.4 x 0.001694 + 0. Em seguida.5% > 10%.6 x 1/e0.4504 + 0.4504 x1/2 = 0.1% < 5% Para o comprador: PA = {[(60 x 0.04008 + 0.4 x 1/e6.01)2/e(60 x 0.5498 + 0.036+0.145 Para a = 6: PA = 0.8 + 4.1446 = 14.855+0.96 x 0.8 x 1/e4.675.5% ⇒ β = 14. xxx .007 Sugestão: comparar estes resultados com os anteriores.3299 + 0.08)0/e(60 x 0.8 x 0.Alexandre R. fica: Para o fabricante: PA = {[(60 x 0.08)1/e(60 x 0.8 x ½ PA = 0.855.135/6! = 0.8 x ½! PA = 0.4 x ½ = 0. PR = 0.5498 + 0.01)1/e(60 x 0. Tentativa 2 Se diminuirmos o valor de n para 60.3603 + 0. São dados: N = 5000 P1 = NQA = 1% P2 = NQI = 8% α = 5% β = 10% O Plano empregado é o de inspeção simples.675+0.6 + 0.01084 + 0.08)] x 1/2!} = 1/e4.08)] x 1/1!} + {[(60 x 0.6 x ½! PA = 0.6 x 0.4504 + 0.01)0/e(80 x 0.270+0.6 + 0.8 + 0.09896 = 0.5% < 5% Para o comprador: PA = {[(80 x 0.8 + 0.42 x 1/e-6.001694 + 40.01)] x 1/1!} + {[(80 x 0. Schuler xxx Para d = 5: f(d) = 25 x 0.03469 = 0.01)] x 1/2!}= 1/e0.01)] x 1/0!} + {[(60 x 0.4 + 6. Determinar n e a. empregando a distribuição de Poisson.325 Para a = 3: PA = 0.4.64 x 0.08)] x 1/0!} + {[(80 x 0.5498/2 = 0. na Tabela 10: n = 80 e a = 2.001694/2 PA = 0.08)] x 1/2!} = 1/e6.001694 + 6.012 Somatórios: Para a = 2: PA = 0.8 x 1/e0.01)0/e(60 x 0.9787 = 97.08)2/e(60 x 0. com Nível de Inspeção I.01)] x 1/2!} = 1/e0.036 Para d = 6: f(d) = 26 x 0.5% ⇒ α = 100 – 95. PR = 0.135/5! = 0.047 = 4. PR = 0.8 + 23.1441 = 0.4 + 6.9% ⇒ α = 100 – 97.090+0.36 x 0. Exercício 4.36 x 1/e0.9 = 2. Recalculando: Tentativa 1 Para o fabricante: PA = {[(80 x 0.7% ⇒ β = 4.Controle Estatístico .012= 0.08)1/e(80 x 0.9548 = 95.08)0/e(80 x 0.01)] x 1/1!} + {[(60 x 0.993. Resposta: a) Na Tabela 9 encontra-se a Letra J.04 x 1/e4.4504 + 0.01)] x 1/0!} + {[(80 x 0.270 = 0.0962 = 0.08)] x 1/1!} + {[(80 x 0.01)1/e(80 x 0.08)] x 1/0!} + {[(60 x 0.135+0. recalcular o plano. 7 + 0.4%.5 4. com um tamanho de amostra igual a 80.4976 + 0. α = 3.2% < 5% Para o comprador: PA = {[(70 x 0.7 x 0.8 = 3. Além disso. Admite-se que NQ pode variar entre 0% e 20%.4976 + 0.01)] x 1/2!} PA = 1/e0.08)] x 1/2!} PA = 1/e5. Calcular e construir a CCO para a = 10.7 tentativa 2 2 60 2.4976 + 0. levando-nos a tentar trabalhar com um valor de n intermediário (70). P1 = 1%. Dica: quanto mais pontos.6 x ½ PA = 0. Infelizmente.2% e β = 8. empregando a equação de Poisson.01)1/e(70 x 0. o que deveria agradar ao comprador.08)] x 1/0!} + {[(70 x 0. Entretanto. PA = ∑ md/(em.0838 = 8. P. Por isso foi feita a tentativa 2.5 A tentativa 1 forneceu um valor para α muito próximo do desejado.00376 + 0. o custo poderá ficar muito alto.49 x 1/e0.08)1/e(70 x 0.05896 = 0.7 + 0.4% ⇒ β = 8. A CCO é construída colocando-se P na abcissa e PA na ordenada.08)] x 1/1!} + {[(70 x 0. ela elevou o valor de β consideravelmente.Alexandre R. Resposta: Atribuir vários valores para P (porcentagem de defeituosos).7 x 1/e0.4% < 10%.1 14. Plano: N = 5000.P. Equações: m = n.6 + 31. entre 0.08)0/e(70 x 0.1219 = 96.7 x ½ PA = 0. n = 70.Controle Estatístico . Schuler xxxi Comparemos os resultados encontrados até agora com os valores desejados: Situação Valor de a Valor de n Valor de α Valor de β esperada 2 80 5 10 tentativa 1 2 80 4. 1) P = 0% = 0 m = 100 x 0 = 0 PA = (00/e0) x 1/0! + (01/e0) x 1/1! + (02/e0) x 1/2! + (03/e0) x 1/3! + (04/e0) x 1/4! + (05/e0) x 1/5! + (06/e0) x 1/6! + (07/e0) x 1/7! + (08/e0) x 1/8! + (09/e0) x 1/9! + (010/e0) x 1/10! PA = (1/1) x 1/1 + (0/1) x 1/1 + (0/1) x 1/2 + (0/1) x 1/6 + (0/1) x 1/24 + (0/1) x 1/120 + (0/1) x 1/720 + (0/1) x 1/5040 + (0/1) x 1/40320 + (0/1) x 1/362880 + (0/1) x 1/3628800 PA = 1 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 PA = 1 = 100% xxxi . a = 2.01)] x 1/1!} + {[(70 x 0.d!) Desenvolvimento: calcular m e PA para cada valor de P.01)] x 1/0!} + {[(70 x 0. mais bem definida fica a curva. P2 = 8%. Para o fabricante: PA = {[(70 x 0. Exercício 4.5.0 e 0.021056 + 0.49 x 0. Uma amostra de tamanho n = 100 é retirada da produção.36 x 1/e5.08)2/e(70 x 0.01)0/e(70 x 0.6 x 1/e5.01)2/e(70 x 0.3483 + 0. forneceu um valor de β muito menor.8% ⇒ α = 100 – 96.4976/2 = 0.6 + 5.2 (0% e 20%) e calcular o correspondente valor de PA. 0000002756 PA = 0.18382 + 0.00390625/1.5 + 0.510/e0.56/e0.001184375 x 0.0047375 x 0.649) x 1/2 + (0.003064 + 0.649) x 1/24 + (0.0000000001632 PA = 1.01264 + 0.: Como o leitor deve ter observado.5) x 1/0! + (0. verdadeiramente exaustivo.0000001013 PA = 0.01532 + 0.008333 + 0.0005106 + 0. P.5) x 1/8! + (0.5) x 1/1! + (0.Controle Estatístico . Este gráfico pode.52/e0. os mesmos são colocados num gráfico (na ordenada) e correlacionados com os correspondentes valores de P (na abcissa).5/1. por exemplo.36765 + 0.5) x 1/10! PA = (1/1.6064 x 1 + 0.649) x 1/5040 + (0.01 m = 100 x 0.72) x 1/720 + (1/2.72) x 1/24 + (1/2.001579 + 0.6064 + 0. é importante o conhecimento de aplicativos (programas computacionais) que façam esse trabalho braçal por nós.00000005875 + 0.0758 x 0.5) x 1/5! + (0.0001579 + 0.50/e0.72) x 1/5040 + (1/2.00% 3) P = 1% = 0.72) x 1/1 + (1/2.0000009399 + 0. ser construído manualmente. xxxii .1667 + 0.72) x 1/120 + (1/2.000009118 + 0.00390625/1.72) x 1/3628800 PA = 0.005 m = 100 x 0.649) x 1/1 + (0.649) x 1/1 + (0.36765 + 0.0078125/1.94% Obs.001389 + 0.55/e0.649) x 1/3628800 PA = 0.649) x 1/362880 + (0.125/1.000001013 + 0.0758 + 0.5) x 1/6! + (0.Alexandre R.0625/1.00001316 + 0. entre outros tantos disponíveis no mercado especializado).59/e0.649) x 1/6 + (0.25/1.649) x 1/720 + (0.5 PA = (0.5) x 1/4! + (0.57/e0.72) x 1/362880 + (1/2.03125/1.5) x 1/2! + (0.0005921875 x 0.01 = 1 PA = (10/e1) x 1/0! + (11/e1) x 1/1! + (12/e1) x 1/2! + (13/e1) x 1/3! + (14/e1) x 1/4! + (15/e1) x 1/5! + (16/e1) x 1/6! + (17/e1) x 1/7! + (18/e1) x 1/8! + (19/e1) x 1/9! + (110/e1) x 1/10! PA = (1/2.015625/1.005 = 0.649) x 1/40720 + (0. o cálculo manual é bastante trabalhoso.72) x 1/2 + (1/2.001953125/1. Uma vez calculados vários valores de PA.000002756 + 0. em papel milimetrado.5) x 1/7! + (0.00007294 + 0.0379 x 0.54/e0.5) x 1/9! + (0.58/e0.649) x 1/120 + (0.04167 + 0.1516 x 0.5% = 0.51/e0.9994 = 99.72) x 1/40320 + (1/2.72) x 1/6 + (1/2.72) x 1/1 + (1/2.5) x 1/3! + (0.649) x 1/40320+ 0.3032 x 1 + 0. Para facilitar.00 = 100.0001984 + + (0.009475 x 0.01895 x 0. Schuler xxxii 2) P = 0.3032 + 0.000000003264+ 0.061274 + 0.53/e0. mas também com auxílio de algum aplicativo (o próprio Excel ou o Origin.0009765625/1. Controle Estatístico .Alexandre R. TABELAS ÚTEIS As tabelas apresentadas a seguir deverão ser utilizadas para a melhor compreensão dos exercícios. bem como a resolução de exercícios equivalentes. Schuler xxxiii 5. P. xxxiii . 91 1.4946 0.30 1.25 3.27 2.28 0.3944 0.96 1.33 1.64 2.4857 0.4991 0.4953 0.4535 0.05 3.4998 0.13 2.06 2.4984 0.00 2.04 0.4066 0.4803 0.0478 0.05 2.4608 0.4846 0.46 3.4997 0.71 1.48 1.90 0.3925 0.85 1.61 2.4162 0.4738 0.4951 0.4893 0.43 1.4916 2.68 2.42 3.4983 0.1808 0.89 1.23 2.45 2.79 0.4861 0.20 2.4713 0.4554 0.2764 0.60 1.2967 0.48 2.24 1.0199 0.15 2.10 1.39 1.4995 0.3621 0.4693 0.24 3.4990 0.1406 0.78 0.57 1.73 0.12 0.3508 0.4778 0.4582 0.59 0.15 1.78 3.3997 0.53 0.98 1.2088 0.4826 0.26 3.38 2.27 0.4943 0.11 2.35 3.25 0.4965 0.4991 0.4761 0.93 0.12 1.4995 0.63 0.4977 0.19 2.61 0.95 0.1103 0.65 0. Schuler TABELA 1 (Capítulo 1) ÁREAS 4 A(zo) = P (0 ≤ z ≤ zo) para zo = (x .2357 0.4985 0.73 1.3340 0.23 0.4664 0.4545 0.21 3.4981 0.4878 0.4573 0.0596 0.19 0.94 2.35 1.30 2.4992 0.4999 0.38 1.4656 0.3749 0.22 3.40 2.91 0.51 0.96 0.16 0.4948 0.08 1.02 1.2642 0.4564 0.05 1.2019 0.4994 0.56 1.54 1.54 3.4967 0.0793 0.4793 0.70 0.4616 0.69 0.3212 0.3413 0.3315 0.4932 0.81 2.4996 0.2704 0.99 2.4991 0.74 3.07 1.31 0.34 2.4929 0.87 0.3531 0.4370 0.70 3.3438 0.76 0.11 1.96 2.4986 3.71 2.0359 0.86 2.72 0.82 2.95 2.13 1.09 2.1064 0.2995 0.51 1.4999 0.06 3.66 1.34 0.44 2.0279 0.4996 0.68 0.0948 0.44 1.4357 0.07 0.24 0.0987 0.4525 0.3849 0.3238 0.3289 0.2257 0.47 1.82 1.15 3.54 2.99 1.71 0.04 2.32 2.0000 0.42 0.1554 0.3264 0.4997 0.80 0.81 0.4726 0.35 0.16 1.2734 0.1772 0.4996 0.01 2.4922 0.05 0.4990 0.1700 0.4961 0.10 2.4177 0.97 1.2517 0.4978 0.07 3.75 0.4406 0.4927 0.4975 0.00 0.87 2.40 1.4767 0.49 0.4345 0.29 1.4719 0.3708 0.17 0.3577 0.90 0.50 1.2486 0.µ)/σ (ramo positivo da curva)4 zo A zo A zo A zo A zo A zo A 0.27 1.3980 0.4974 0.89 0.69 1.4222 0.4382 0.65 2.4649 0.0239 0.1141 0.4968 0.2852 0.81 1.1179 0.4842 0.37 0.4279 0.4633 1.34 1.21 0.4964 0.4484 0.78 2.4938 0.3962 0.46 0.39 3.1026 0.4970 0.58 2.4474 0.17 1.0753 0.2224 0.10 0.4898 0.59 2.4987 0.4999 0.0832 0.4999 0.3051 0.4998 0.3686 0.78 1.4936 0.0636 0.29 0.0871 0.4941 0.4992 0.66 2.2389 0.43 2.44 0.4974 0.88 1.3023 0.01 0.4918 0.91 2.45 0.14 0.68 1.4463 0.4812 0.36 3.21 2.4988 0.4997 0.3159 0.4955 0.08 2.14 1.84 2.4452 0.06 0.4192 0.57 2.4808 0.4960 0.0319 0.37 3.4981 0.2910 0.4966 0.86 0.47 2.4987 0.4998 0.4032 0.11 3.4999 0.22 1.3554 0.30 0.53 1.09 3.06 1.4319 0.33 0.28 2.65 1.4756 0.1985 0.2123 0.4834 0.4996 0.3665 0.80 2.3907 0.74 1.4980 0.4854 0.2324 0.1950 0.4997 0.0557 0.55 1.12 3.4896 0.1915 0.36 1.75 1.4993 0.85 2.93 1.4913 0.32 3.67 0.4993 0.4265 0.4887 0.37 2.83 2.0517 0.0398 0.37 1.4971 0.84 0.50 2.52 1.41 2.4744 0.40 0. xxxiv .36 2.4959 0.58 0.5000 Ver figura na próxima página.4996 0.3106 0.0120 0.23 1.4788 0.36 0.2454 0.4984 0.4505 0.4850 0.1628 0.4750 0.44 3.84 1.3078 0.4997 0.4147 0.4945 0.4015 0.66 0.28 3.4671 0.63 1.50 0.92 1.4906 0.4962 0.89 2.83 0.21 1.4994 0.Alexandre R.4989 0.4986 0.4798 0.3790 0.4864 0.22 2.43 0.93 2.52 2.4236 0.3729 0.34 3.90 2.4940 0.1480 0.3133 0.4993 0.4418 0.74 0.2054 0.25 2.4678 0.3461 0.54 0.4686 0.0160 0.48 0.4904 0.4999 0.4332 0.4641 0.4890 0.64 0.2673 0.4868 0.49 1.4972 0.0438 0.26 1.30 3.25 1.19 0.4994 0.0040 0.86 3.31 1.69 2.4706 0.58 1.3643 0.4985 0.70 1.10 3.75 2.74 2.3599 0.94 1.56 0.0080 0.41 0.79 0.4875 0.4956 0.14 3.3810 0.4115 0.29 3.63 2.82 3.1217 0.4934 0.79 2.4099 0.1736 0.1255 0.02 3.48 3.66 3.4999 0.4049 0.4949 0.4783 0.39 0.18 3.4884 0.23 3.4599 0.39 0.80 1.88 2.11 0.4591 0.4909 0.82 0.31 3.51 2.4995 0.4772 0.20 0.4995 0.0714 0.03 1.76 2.4997 0.1517 0.4394 0.2611 0.4495 0.92 2.20 3.12 2.4131 0.13 3.4901 0.3365 0.72 1.1664 0.26 2.98 0.2794 0.67 1.64 1.4995 0.61 1.4988 0.4515 0.62 1.4992 0.32 0.16 3.00 3.4925 0.26 0.16 2.73 2.33 2.4952 0.13 0.46 2.4977 0.0910 0.4973 0.4994 0.86 1.24 2.42 2.72 2.4992 0.4441 0.08 0.14 2.53 2.52 0.3186 0.4251 0.38 3.3770 0.70 2.4830 0.07 2.4957 0.42 1.77 1.49 2.09 0.29 2.4821 0.4994 0.2939 0.4995 0.67 2.45 1.4429 0.83 1.31 2.50 3.4881 0.77 2.17 2.1879 0.92 0.4976 0.38 0.97 2.46 1.3389 0.0675 0.3485 0.3888 0.55 2.4996 0.xxxiv Controle Estatístico .4920 0.3830 1.4989 0.04 1.60 2.47 0.17 3.28 1.4969 0.4931 0.4292 0.4817 0.76 1.22 0.4306 0.1368 0.4625 0.2157 0.4207 0.2422 0.08 3.62 2.15 0.32 1.60 0.2291 0.00 1.4982 0.01 1.56 2.87 1.98 2.02 2.99 0.1443 0.4963 0.97 0.27 3.4082 0.57 0.2580 0.20 1.62 0.1331 0.85 0.88 0.02 0.4993 0.4979 0.77 0.09 1.4871 0.94 0.1591 0.01 3.59 1.4699 0.4989 0.03 2.04 3.33 3.35 2.3869 0.18 1.4838 0.2823 0.2190 0.2881 0.41 1.55 0.4979 0.90 1.4732 0.62 3.4990 0.58 3.2549 0.03 0.1844 0. P.18 0.4987 0.4911 0.03 3.18 2.40 3.1293 0.4982 0.19 3.95 1. Schuler xxxv xxxv .Alexandre R. P.Controle Estatístico . 889 5 0.886 0.xxxvi Controle Estatístico .988 4 0. P.507 0.642 0.330 0.637 8 0.679 0.320 0. Schuler TABELA 2 (Capítulo 2) Valores Críticos de Q para Eliminação de Erros Grosseiros P(%) n–1 90 95 99 3 0.434 0.275 0.760 6 0.550 9 0.557 0.390 0.941 0.698 7 0.482 0.230 0.490 10 0.560 0.435 xxxvi .Alexandre R.765 0.270 0. 96 0.xxxvii Controle Estatístico .3698 0. Schuler TABELA 3 (Capítulo 2) Valores de Kn para Cálculo da Segunda Estimativa do Desvio Padrão (sR) n 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Kn eficiência* 0.00 0.85 (*) Eficiência com que Kn estima o desvio padrão.3946 0.99 0.93 0.Alexandre R.4299 0.3367 0.89 0. xxxvii .4857 0.3512 0.87 0.8862 1. P.5908 0.98 0.3249 0.91 0. 8 5.2 3.0 10 242 19.5 4.8 6.6 3.8 4.7 3.2 3.1 6.3 4.8 8.1 3.xxxviii Controle Estatístico .4 4.6 3.4 9.9 9.6 6.8 3.7 6.0 8.2 5.2 19.8 4.6 5. Schuler TABELA 4 (Capítulo 2) Valores de F para Avaliação da Precisão Relativa de Dois Conjuntos de Dados (n -1) de B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 161 18.4 3.3 19.9 5.1 3.1 9.5 4.3 3.6 6.0 2 200 19 8.0 4.6 3.6 3.5 3.1 3.8 4.1 7.3 3.3 6.5 3.7 3.3 5.4 8.4 8.6 6.3 4.5 3.1 4.9 3.7 4.3 3.1 3.8 6.7 4.1 9 241 19.4 19.2 19.4 4.1 4.9 8.0 4.4 6.9 4.1 5.0 3.6 3.0 4.1 5.1 3.9 3.3 19.4 3.8 6.2 4.1 (n .2 6.5 10.0 5.1) PARA O MÉTODO A 3 4 5 6 7 8 216 225 230 234 237 239 19.4 5.0 xxxviii .8 4.1 5.Alexandre R.3 3.1 3.2 4. P. 750 2.110 2.Alexandre R.645 12.657 9.725 1.086 2.761 1.861 2.012 2.833 1.132 2. Schuler TABELA 5 (Capítulo 2) Valores de t para Avaliação da Exatidão n-1 90 P(%) 95 99 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 25 30 ∞ 6.925 5.106 3.771 1.303 3.093 2.365 2.228 2.032 3.796 1.499 3. P.131 2.729 1.734 1.179 2.841 4.921 2.860 1.262 2.571 2.201 2.947 2.706 4.845 2.812 1.447 2.920 2.xxxix Controle Estatístico .160 2.740 1.707 3.782 1.169 3.120 2.353 2.250 3.355 3.055 3.753 1.042 1.891 2.314 2.960 63.608 4.943 1.776 2.015 1.576 xxxix .060 2.306 2.182 2.895 1.697 1.746 1.787 2.977 2.145 2.101 2.878 2.708 1. 000 0.000 0. Schuler TABELA 6 (Capítulo 3) Valores para Cálculo dos Limites de Controle em GC da Média n 2 3 4 5 6 7 8 A 2.9027 0. s LSC = B4.118 0.089 1.410 1.R ou TABELA 7 (Capítulo 3) Valores para Cálculo dos Limites de Controle em GC do Desvio Padrão n 2 3 4 5 6 7 8 9 10 c2 0.094 1.732 1.8686 0.000 0.121 1.000 0.5642 0.880 1.970 1.760 2.225 1.σ LSC = B2.609 1.672 1.219 0.716 Fórmulas: a) Norma conhecida: LM = s = c2.483 0.266 2.000 0.596 1.σ b) Norma desconhecida LM = s LIC = B3.949 1.711 1.568 2.394 1.815 1.858 1.Alexandre R.262 B2 1.267 2.584 B3 0.σ LIC = B1.7236 0. P.239 0.000 0.500 1.880 1.000 0.7979 0.185 0.8407 0.373 9 10 1.061 A1 3.284 B4 3.000 0.337 0. s xl .xl Controle Estatístico .808 1.028 0.342 1.9227 B1 0.167 0.761 1.030 0. s LC = LM + A2.023 0.843 1.026 0.882 1.134 1.9139 0.000 0.577 0.638 1.105 0.277 1.419 0.745 1.308 Fórmulas: a) Norma conhecida: LM = µ LC = LM + Aσ b) Norma desconhecida: LM = X LC = LM + A1.175 A2 1.8882 0.729 0. 000 0.004 1.000 0.Alexandre R.307 5.918 5. P.777 Fórmulas: a) Norma conhecida: LM = d2.076 0. LSC = D2.924 1.078 D1 0.394 5.000 0.000 0.575 2.387 0.534 2.000 0.282 2.000 0.000 0.078 5.000 0.000 0.546 0.128 1.σ.686 4.693 2. R xli .σ b) Norma desconhecida: LM = R.184 0.115 2. LIC = D3.970 3. Schuler TABELA 8 (Capítulo 3) Valores para Cálculo dos Limites de Controle em GC da Amplitude n 2 3 4 5 6 7 8 9 10 d2 1. LSC = D4.687 D2 3.847 2.σ.xli Controle Estatístico .358 4.698 4. R .000 0.704 2.816 1.203 5.864 1.469 D3 0.223 D4 3.267 2.326 2.059 2. LIC = D1.136 0.205 0. 501 a 001.001 a 500.c.101 a 000.000 500.Alexandre R.002 a 000.016 a 000.000 010. para uso das Tabelas 9.008 000.051 a 000.xlii Controle Estatístico .001 a 003.500 000.001 a 035.150 000. P.b.000 035.025 000.000 001.301 a 000.001 acima I B B B C C D E F G H J K L M N Níveis de Inspeção II III S-1 S-2 S-3 B B B B B B C B B B C D B B B D E B B B E F B B C F G B B C G H B C D H J B C D J K C C E K L C D E L M C D F M N C D F N P D E G P Q D E G Q R D E H S-4 B B B C C D E E F G G H J J K xlii . Tamanho do lote (N) 000. 10 e 11.300 000.100 000.000 003.001 a 150.015 000.001 a 010.050 000.000 150.151 a 000. Schuler TABELA 9 (Capítulo 4) Código de letras dos níveis de inspeção.a.009 a 000.026 a 000. Alexandre R.0 ⇑ || || || || || || || || || || 150.0 25. Letra de código Tamanho da amostra A B C D E F G H J K L M N P Q R 2 3 5 8 13 20 32 50 80 125 200 315 500 800 1250 2000 0.0 15.65 || || || || || ⇓ ⇑ ⇓ 1 2 3 5 7 r 0.xliii Controle Estatístico .15 a || || || || || || || || 1 2 3 4 6 a 0 1 2 3 4 6 8 a 1 ⇓ 0 2 3 4 6 8 11 1 ⇑ ⇓ 1 2 3 5 7 10 14 r || || || || ⇓ 0 ⇑ ⇓ 1 2 3 5 7 10 r 0. ⇑ = Empregue o primeiro plano acima da seta.0 100.5 2.0 a r a r a r 7 10 14 21 30 8 11 15 22 31 10 14 21 30 44 11 15 22 31 45 14 21 30 44 15 22 31 45 ⇑ ⇑ || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || ⇑ || || || || || || || || || || || 650.0 A a r a r a r a r a r a r a r a r a r a r r 0 1 1 2 2 3 3 4 5 6 || || || ⇓ || ⇓ 0 1 1 2 2 3 3 4 5 6 7 8 || || ⇓ ⇑ ⇓ 0 1 1 2 3 3 4 5 6 7 8 10 11 || ⇓ ⇑ ⇓ 0 1 1 2 2 3 4 5 6 7 8 10 11 14 15 ⇓ ⇑ ⇓ 0 1 1 2 2 3 3 5 6 7 8 10 11 14 15 21 22 ⇑ ⇓ 1 2 2 3 3 4 5 7 8 10 11 14 15 21 22 ⇑ ⇓ ⇑ 1 2 2 3 3 4 5 6 7 10 11 14 15 21 22 ⇓ ⇑ || 1 2 2 3 3 4 5 6 7 8 10 14 15 21 22 || ⇑ || 2 3 3 4 5 6 7 8 10 11 14 21 22 ⇑ || || || 3 4 5 6 7 8 10 11 14 15 21 ⇑ || || || || 5 6 7 8 10 11 14 15 21 22 ⇑ || || || || || 7 8 10 11 14 15 21 22 ⇑ || || || || || || 10 11 14 15 21 22 ⇑ || || || || || || || 14 15 21 22 ⇑ || || || || || || || || 21 22 ⇑ || || || || || || || || || 1.5 4. P. Quando o tamanho da amostra (n) for igual ou maior do que o tamanho da partida (N).5 10.0 6.0 250. r = Número de Rejeição.0 a r 1000.0 400.40 || || || || || || ⇓ 0 ⇑ ⇓ 1 2 3 5 a || || || || || || || ⇓ 0 r 0. realize inspeção completa. a = Número de Aceitação.10 a r 0.0 a r 21 22 30 31 44 45 30 31 44 45 ⇑ || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || ⇑ ⇓ = Empregue o primeiro plano abaixo da seta. Schuler TABELA 10 (Capítulo 4) Planos de Inspeção com Amostragem Simples. NQA (% defeituosos ou defeitos por 100 unidades) 1.0 40.25 2 3 4 6 8 11 15 1 ⇑ ⇓ 1 2 3 5 7 10 14 21 2 3 4 6 8 11 15 22 Nível de qualidade aceitável.0 65. xliii . 0 65. r = Número de Rejeição. realize inspeção completa. ou o plano duplo imediatamente abaixo.5 4.0 a r * * * * * * * * * || ⇓ || || || ⇓ ⇓ || || ⇑ || || || * || ⇑ ⇑ ⇑ ⇑ ⇑ * * * || * ⇓ || || || || || 150.0 a r 0 1 0 1 ⇓ ⇓ 250.Alexandre R. Schuler TABELA 11 (Capítulo 4) Planos de Inspeção com Amostragem Dupla. Quando o tamanho da amostra (n) for igual ou maior do que o tamanho da partida (N). 0. Letra Ordem Tamanho de da da amostra código Amostra simples acumul.0 40. P.0 6.0 Nível de qualidade aceitável.0 15.40 a r 0.65 a r || || || || || || || || || || || || || || || || || ⇓ * || * ⇑ ⇓ A 1. a = Número de Aceitação.xliv Controle Estatístico . ⇑ = Empregue o primeiro plano acima da seta.0 a r 2 2 2 2 1250 1250 2 1250 2500 6 400.0 25. NQA (% defeituosos ou defeitos por 100 unidades) 1.0 a r 0 3 0 3 5 7 650. xliv .5 2.5 10. * = Empregue o correspondente plano de amostragem simples.15 a r 0.0 100.0 r a r a r a r a r a r a r a r a r a r a r 0.0 a r || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || ⇓ = Empregue o primeiro plano abaixo da seta. se existir.10 a r a B 1 2a 2 2 2 4 || || || || || || || || || || || || || || C 1a 2a 3 3 3 6 || || || || || || || || || || || || ⇓ D 1a 2a 5 5 5 10 || || || || || || || || || || || E 1a 2a 8 8 8 16 || || || || || || || || ⇓ F 1a 2a 13 13 13 26 || || || || || || ⇓ G 1a 2a 20 20 20 40 || || || || ⇓ H 1a 2a 32 32 32 64 || || ⇓ J 1a 2a 50 50 50 100 ⇓ K 1a 2a 80 80 80 160 * L 1a 2a 125 125 125 250 ⇑ M 1a 2a 200 200 200 400 N 1a 2a 315 315 315 0 630 1 P 1a 2a Q 1a 2a R a a 1 2a * || * || ⇓ || || || ⇓ || || ⇓ ⇓ || || ⇑ || || || ⇓ ⇑ || || ⇓ ⇓ 0 3 3 4 1 4 4 5 2 6 5 7 3 8 7 9 5 9 12 13 7 11 18 19 11 16 26 27 17 22 37 38 25 31 56 57 0 1 2 2 0 3 3 4 1 4 4 5 2 6 5 7 3 8 7 9 5 9 12 13 7 11 18 19 11 16 26 27 17 22 37 38 25 31 56 57 ⇑ 2 2 0 3 3 4 1 4 4 5 2 6 5 7 3 8 7 9 5 9 12 13 7 11 18 19 11 16 26 27 17 22 37 38 25 31 56 57 ⇑ || || || 4 5 2 6 5 7 3 8 7 9 5 9 12 13 7 11 18 19 11 16 26 27 17 22 37 38 25 31 56 57 ⇑ || || || || || 0 1 2 2 0 3 3 4 1 4 4 5 2 6 5 7 3 8 7 9 5 9 12 13 7 11 18 19 11 16 26 27 ⇑ ⇑ ⇑ || || || || || || || || || 0 1 2 2 0 3 3 4 1 4 4 5 2 6 5 7 3 8 7 9 5 9 12 13 7 11 18 19 11 16 26 27 ⇑ || || || || || || || || || || || || || 0 1 2 2 0 3 3 4 1 4 4 5 2 6 5 7 3 8 7 9 5 9 12 13 7 11 18 19 11 16 26 27 ⇑ || || || || || || || || || || || || || || || 0 1 2 2 0 3 3 4 1 4 4 5 2 6 5 7 3 8 7 9 5 9 12 13 7 11 18 19 11 16 26 27 ⇑ || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || 0 1 2 2 0 3 3 4 1 4 4 5 2 6 5 7 3 8 7 9 5 9 12 13 7 11 18 19 11 16 26 27 ⇑ || ⇑ || || || || || || || || || || || || 2 2 0 3 3 4 1 4 4 5 2 6 5 7 3 8 7 9 5 9 12 13 7 11 18 19 11 16 26 27 ⇑ 4 5 2 6 5 7 3 8 7 9 5 9 12 13 7 11 18 19 11 16 26 27 2 2 0 3 3 4 1 4 4 5 2 6 5 7 3 8 7 9 5 9 12 13 7 11 18 19 11 16 26 27 ⇑ 500 500 0 500 1000 3 3 4 1 4 4 5 2 6 5 7 3 8 7 9 5 9 12 13 7 11 18 19 11 16 26 27 ⇑ 800 800 1 800 1600 4 4 5 2 6 5 7 3 8 7 9 5 9 12 13 7 11 18 19 11 16 26 27 ⇑ 11 16 26 27 ⇑ 7 11 18 19 || 0 1 0 1 5 9 12 13 2 2 1 4 1 4 7 9 0 1 3 4 3 4 3 8 1000.25 a r 0. 5 4. * = Empregue o correspondente plano de amostragem simples.0 a r * * * * * * * * * * * * * * 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 5 5 5 5 5 5 5 8 8 8 8 8 8 8 2 4 6 8 10 12 14 3 6 9 12 15 18 21 5 10 15 20 25 30 35 8 16 24 32 40 48 56 || || || || || || || || || || || || || || || || || || || ⇓ || || || || || || || || || || || || || || || || || || || ⇓ || || || || || || || || || || || || || || || || || || || ⇓ || || || || || || || || || || || || || || ⇓ * || || || || || || || || || ⇓ * ⇑ || || || || || || || || ⇓ * ⇑ || || || || || || || || ⇓ * ⇑ || || || || || || || || ⇓ # # 0 0 1 1 2 || || || || ⇓ ⇑ || || || || || || || || ⇓ 2 2 2 3 3 3 3 # # 0 0 1 1 2 # 0 0 1 2 3 4 2 2 2 3 3 3 3 2 3 3 4 4 5 5 # # 0 0 1 1 2 # 0 0 1 2 3 4 # 0 1 2 3 4 6 2 2 2 3 3 3 3 2 3 3 4 4 5 5 3 3 4 5 6 6 7 # 2 # 2 0 2 0 3 1 3 1 3 2 3 # 2 0 3 0 3 1 4 2 4 3 5 4 5 # 3 0 3 1 4 2 5 3 6 4 6 6 7 # 4 1 5 2 6 3 7 5 8 7 9 9 10 # 0 0 1 2 3 4 # 0 1 2 3 4 6 # 1 2 3 5 7 9 0 1 3 5 7 10 13 2 3 3 4 4 5 5 3 3 4 5 6 6 7 4 5 6 7 8 9 10 4 6 8 10 11 12 14 # 0 1 2 3 4 6 # 1 2 3 5 7 9 0 1 3 5 7 10 13 0 3 6 8 11 14 18 3 3 4 5 6 6 7 4 5 6 7 8 9 10 4 6 8 10 11 12 14 5 8 10 13 15 17 19 # 1 2 3 5 7 9 0 1 3 5 7 10 13 0 3 6 8 11 14 18 1 4 8 12 17 21 25 4 5 6 7 8 9 10 4 6 8 10 11 12 14 5 8 10 13 15 17 19 7 10 13 17 20 23 26 0 1 3 5 7 10 13 0 3 6 8 11 14 18 1 4 8 12 17 21 25 2 7 13 19 25 31 37 4 6 8 10 11 12 14 5 8 10 13 15 17 19 7 10 13 17 20 23 26 9 14 19 25 29 33 38 0 3 6 8 11 14 18 1 4 8 12 17 21 25 2 7 13 19 25 31 37 5 8 10 13 15 17 19 7 10 13 17 20 23 26 9 14 19 25 29 33 38 ⇑ || || || || 1 4 8 12 17 21 25 2 7 13 19 25 31 37 7 10 13 17 20 23 26 9 14 19 25 29 33 38 ⇑ || || || || || || || || || 2 7 13 19 25 31 37 4 11 19 27 36 45 53 9 14 19 25 29 33 38 12 19 27 34 40 47 54 ⇑ || || || || || || || || || 4 11 19 27 36 45 53 6 17 29 40 53 65 77 12 19 27 34 40 47 54 16 27 39 49 58 68 78 ⇑ || || || || || || || || || 6 17 29 40 53 63 77 12 27 39 49 58 68 78 ⇑ || || || || || || || || || || || || || || ⇑ || || || || || || || || || || || || || || || || || || || ⇑ || || || || || || || || || || || || || || || || || || || ⇓ = Empregue o primeiro plano abaixo da seta.0 6. Quando o tamanho da amostra (n) for igual ou maior do que o tamanho da partida (N). se existir.10 a r 0.0 a r 400.xlv Controle Estatístico .0 a r 250. ⇑ = Empregue o primeiro plano acima da seta. a = Número de Aceitação.0 a Nível de qualidade aceitável.0 15.Alexandre R.40 a r 0.0 a r 650. ou o plano de amostragem múltipla imediatamente abaixo.65 a r 1.15 a r 0.0 65.0 25. # = Aceitação não é permitida com este tamanho de amostra. xlv .5 2.0 40.25 a r 0.5 10.0 100. Schuler TABELA 12 (Capítulo 4) Planos de Inspeção com Amostragem Múltipla (Códigos de Tamanho do Lote de A a G) Letra Ordem Tamanho Tamanho de da da da amostra código amostra amostra acumulada 0. NQA (% defeituosos ou defeitos por 100 unidades) 1. r = Número de Rejeição. realize inspeção completa. P.0 r a r a r a r a r a r a r a r a r a r a r A B C D E F G 150.0 a r 1000. # = Aceitação não é permitida com este tamanho de amostra. Quando o tamanho da amostra (n) for igual ou maior do que o tamanho da partida (N).5 4. P.0 a r 250.0 r a r a r a r a r a r a r a r a r a r a r 2 # 2 # 3 # 4 0 4 0 5 1 7 2 9 ⇑ ⇑ ⇑ 2 0 3 0 3 1 5 1 6 3 8 4 10 7 14 || || || 2 0 3 1 4 2 6 3 8 6 10 8 13 13 19 3 1 4 2 5 3 7 5 10 8 13 12 17 19 25 || || || 3 2 4 3 6 5 8 7 11 11 15 17 20 25 29 | | | | || 3 3 5 4 6 7 9 10 12 14 17 21 23 31 33 || || || 3 4 5 6 7 9 10 13 14 18 19 25 26 37 38 2 # 3 # 4 0 4 0 5 1 7 2 9 || || || ⇑ 3 0 3 1 5 1 6 3 8 4 10 7 14 || || || || 3 1 4 2 6 3 8 6 10 8 13 13 19 4 2 5 3 7 5 10 8 13 12 17 19 25 || || || || 4 3 6 5 8 7 11 11 15 17 20 25 29 | | | | || | | 5 4 6 7 9 10 12 14 17 21 23 31 33 | | | | || | | 5 6 7 9 10 13 14 18 19 25 26 37 38 3 # 4 0 4 0 5 1 7 2 9 || || || || ⇑ 3 1 5 1 6 3 8 4 10 7 14 | | | | | | || | | 4 2 6 3 8 6 10 8 13 13 19 5 3 7 5 10 8 13 12 17 19 25 || || || || || 6 5 8 7 11 11 15 17 20 25 29 | | | | | | || || 6 7 9 10 12 14 17 21 23 31 33 | | | | | | || || 7 9 10 13 14 18 19 25 26 37 38 4 0 4 0 5 1 7 2 9 || || || || || ⇑ 5 1 6 3 8 4 10 7 14 | | | | | | | | || | | 6 3 8 6 10 8 13 13 19 7 5 10 8 13 12 17 19 25 | | | | | | | | || || 8 7 11 11 15 17 20 25 29 || || || || || || 9 10 12 14 17 21 23 31 33 || || || || || || 10 13 14 18 19 25 26 37 38 1.25 a r 0.0 a r 400.5 10.0 a r 650.xlvi Controle Estatístico .Alexandre R. ou o plano de amostragem múltipla imediatamente abaixo.0 a r 1000. NQA (% defeituosos ou defeitos por 100 unidades) 1.0 a r ⇑ || || || || || || || || || || || || || || || || || || || ⇑ || || || || || || || || || || || || || || || || || || || ⇑ || || || || || || || || || || || || || || || || || || || ⇑ || || || || || || || || || || || || || || || || || || || ⇑ || || || || || || || || || || || || || || || || || || || ⇓ ⇑ a r = Empregue o primeiro plano abaixo da seta.0 40.0 65.0 15.65 a r ⇑ || || || || || || || || ⇓ || || || || ⇓ * ⇑ || || || || || || || || ⇓ * ⇑ || || || || || || || || ⇓ 0. * = Empregue o correspondente plano de amostragem simples. = Número de Aceitação.0 6. realize inspeção completa. = Número de Rejeição. = Empregue o primeiro plano acima da seta. Schuler TABELA 12 (Capítulo 4) Planos de Inspeção com Amostragem Múltipla (Códigos de Tamanho do Lote de H a L) Letra Ordem Tamanho Tamanho de da da da amostra código amostra amostra acumulada 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 13 13 13 13 13 13 13 20 20 20 20 20 20 20 32 32 32 32 32 32 32 50 50 50 50 50 50 50 H J K L 13 26 39 52 65 78 91 20 40 60 80 100 120 140 32 64 96 128 150 192 224 50 100 150 200 250 300 350 0. xlvi .5 2.10 a r 0.40 a r # # 0 0 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 # # 0 0 1 1 2 # 0 0 1 2 3 4 2 2 2 3 3 3 3 2 3 3 4 4 5 5 # # 0 0 1 1 2 # 0 0 1 2 3 4 # 0 1 2 3 4 6 2 2 2 3 3 3 3 2 3 3 4 4 5 5 3 3 4 5 6 6 7 Nível de qualidade aceitável. se existir.0 a # # 0 0 1 1 2 # 0 0 1 2 3 4 # 0 1 2 3 4 6 # 1 2 3 5 7 9 150.15 a r || || || || || || || || || ⇓ || || || || ⇓ * ⇑ || || || || 0.0 25.0 100. 0 100.0 1. 0.0 a r ⇑ || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || ⇑ || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || ⇑ || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || ⇑ || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || xlvii .Alexandre R.xlvii Controle Estatístico .0 a r 400.0 6.25 0.0 40.0 a r 1000. NQA (% defeituosos ou defeitos por 100 unidades) 0.40 0.10 a r 250.0 65.5 2.0 15. ⇑ = Empregue o primeiro plano acima da seta.5 10.15 0. r = Número de Rejeição.65 1.0 amostra acumulada a r a r a r a r a r a r a r a r a r a r a r a r a r a r a r a r 80 80 || # 2 # 2 # 3 # 4 0 4 0 5 1 7 2 9 ⇑ ⇑ ⇑ ⇑ ⇑ ⇑ ⇑ ⇑ 80 160 # 2 0 3 0 3 1 5 1 6 3 8 4 10 7 14 | | 0 2 0 3 1 4 2 6 3 8 6 10 8 13 13 19 | | || || || || || || || 240 80 320 80 | | 0 3 1 4 2 5 3 7 5 10 8 13 12 17 19 25 | | || || || || || || || 400 80 1 3 2 4 3 6 5 8 7 11 11 15 17 20 25 29 | | | | | | | | | | | | | | | | || 480 80 1 3 3 5 4 6 7 9 10 12 14 17 21 23 31 33 || || || || || || || ⇓ 2 3 4 5 6 7 9 10 13 14 18 19 25 26 37 38 | | 80 560 125 125 # 2 # 2 # 3 # 4 0 4 0 5 1 7 2 9 || || || || || || || || ⇑ 125 250 # 2 0 3 0 3 1 5 1 6 3 8 4 10 7 14 || || || || || || || || || 125 375 0 2 0 3 1 4 2 6 3 8 6 10 8 13 13 19 125 500 0 3 1 4 2 5 3 7 5 10 8 13 12 17 19 25 || || || || || || || || || 125 625 1 3 2 4 3 6 5 8 7 11 11 15 17 20 25 29 | | | | | | | | | | | | | | || | | 125 750 1 3 3 5 4 6 7 9 10 12 14 17 21 23 31 33 | | | | | | | | | | | | | | || | | 125 875 2 3 4 5 6 7 9 10 13 14 18 19 25 26 37 38 200 # 2 # 3 # 4 0 4 0 5 1 7 2 9 200 || || || || || || || || || ⇑ 400 0 3 0 3 1 5 1 6 3 8 4 10 7 14 200 | | | | | | | | | | | | | | | | || | | 200 600 0 3 1 4 2 6 3 8 6 10 8 13 13 19 200 800 1 4 2 5 3 7 5 10 8 13 12 17 19 25 || || || || || || || || || || 200 1000 2 4 3 6 5 8 7 11 11 15 17 20 25 29 | | | | | | | | | | | | | | | | || || 200 1200 3 5 4 6 7 9 10 12 14 17 21 23 31 33 | | | | | | | | | | | | | | | | || || 4 5 6 7 9 10 13 14 18 19 25 26 37 38 200 1400 315 315 # 3 # 4 0 4 0 5 1 7 2 9 || || || || || || || || || || ⇑ 315 630 0 3 1 5 1 6 3 8 4 10 7 14 | | | | | | | | | | | | | | | | | | || | | 315 945 1 4 2 6 3 8 6 10 8 13 13 19 315 1260 2 5 3 7 5 10 8 13 12 17 19 25 | | | | | | | | | | | | | | | | | | || || 315 1575 3 6 5 8 7 11 11 15 17 20 25 29 || || || || || || || || || || || 315 1890 4 6 7 9 10 12 14 17 21 23 31 33 || || || || || || || || || || || 315 2205 6 7 9 10 13 14 18 19 25 26 37 38 # 4 0 4 0 5 1 7 2 9 500 500 | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | || ⇑ 1000 1 5 1 6 3 8 4 10 7 14 500 || || || || || || || || || || || || 1500 2 6 3 8 6 10 8 13 13 19 500 500 2000 3 7 5 10 8 13 12 17 19 25 || || || || || || || || || || || || 500 2500 5 8 7 11 11 15 17 20 25 29 | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | || | | 7 9 10 12 14 17 21 23 31 33 500 3000 | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | || | | 3500 9 10 13 14 18 19 25 26 37 38 500 ⇓ = Empregue o primeiro plano abaixo da seta.0 25. realize inspeção completa.0 150. Quando o tamanho da amostra (n) for igual ou maior do que o tamanho da partida (N).0 a r 650. Schuler TABELA 13 (Capítulo 4) Planos de Inspeção com Amostragem Múltipla (Códigos de Tamanho do Lote de M a R) Letra Ordem de da código amostra M N P Q R 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 Tamanho Tamanho da da amostra Nível de qualidade aceitável. a = Número de Aceitação.5 4. P. # = Aceitação não é permitida com este tamanho de amostra.