Exercícios Resolvidos de Polinômios, Equações Algébricas eProdutos Notáveis Identificando as Partes de uma Equação Algébrica Vamos analisar a equação algébrica abaixo: Ela possui dois membros. O primeiro membro é o que está à esquerda do sinal de igualdade, ou seja, é 2x + 3. Este membro possui dois termos. São eles 2x e 3. Estes termos são as duas parcelas de uma soma. O primeiro termo do primeiro membro, 2x, é formado pelo coeficiente numérico igual a 2 e pela parte literal x, aincógnita da equação. O segundo termo não possui a parte literal, é formado apenas pelo número real 3. Incógnita ou variável é a grandeza a ser determinada na solução de uma equação. Na página sobre termos algébricos você encontra maiores informações sobre coeficiente numérico e parte literal, dentre outras. O segundo membro está à direita do sinal de igualdade, possui apenas um termo sem a parte literal. É o número real 5. O que Vem a Ser "Solucionar uma Equação Algébrica"? Solucionar uma equação algébrica é identificar o valor numérico da incógnita, que ao ser substituída na equação torna-a verdadeira. Na equação do nosso exemplo, 1 é o valor que substituindo a incógnita x torna a equação verdadeira, logo x é a sua solução. Para solucionarmos uma equação, executamos uma série de operações em ambos os seus membros, para sempre mantermos a condição de igualdade. São estas as operações que tratamos nesta página. Principais Operações Utilizadas na Resolução de Equações Algébricas Nosso objetivo é isolarmos no primeiro membro a incógnita, obtendo assim no segundo membro a solução da equação. Voltando ao nosso exemplo, em busca de nosso objetivo de deixar a incógnita isolada, vamos eliminar o segundo termo do primeiro membro. Como conseguí-lo? Adicionar um Determinado Valor a Ambos os Membros da Equação Como queremos eliminar o termo 3, que está sendo somado ao termo 2x, vamos subtrair 3 de ambos os membros: Como 3 - 3 = 0, eliminamos assim o termo 3. E se o mesmo estivesse sendo subtraído de 2x, em vez de estar sendo somado?. Subtrair um Determinado Valor de Ambos os Membros da Equação Neste caso a nossa equação exemplo seria: Como 3, está membros: sendo subtraído de 2x, precisamos somar 3a ambos os Apenas para ressaltar, a operação precisa ser realizada em ambos os termos da equação para que a condição de igualdade seja mantida. Multiplicar Ambos os Membros da Equação por um Determinado Valor Vejamos a equação abaixo: Como objetivamos isolar no primeiro membro a incógnita x, uma forma de fazêlo é multiplicarmos ambos os membros por 2: Ao realizarmos tal operação podemos simplificar o denominador da fração com o multiplicador 2, realizando assim a eliminação desejada: Escolhemos como multiplicador exatamente o denominador da fração, para podermos realizar a simplificação, eliminando o denominador e isolando a variável x. Dividir Ambos os Membros da Equação por um Determinado Valor Agora vejamos a equação a seguir: O objetivo continua o mesmo, isolarmos a variável x. Sabemos que dividindo qualquer número, diferente de zero, por ele mesmo obteremos a unidade com resultado. Então vamos dividir ambos os membros por 2: Realizando a simplificação temos: Realizar Multiplicação Distributiva A propriedade distributiva da multiplicação é uma ferramenta muito útil na busca do isolamento da incógnita. Vamos estudar a equação abaixo: Qualquer uma das quatro operações estudadas acima, não nos auxilia na resolução desta equação, no entanto podemos distribuir o 2 que está em evidência, como abaixo: Agora podemos utilizar algumas das operações citadas anteriores para concluirmos a resolução. Primeiro vamos subtrair x de ambos os membros da equação: Finalmente subtraímos 2 dos dois lados: Fatoração Em algumas situações ao invés da distribuição, precisamos fazer uma fatoração, colocando um termo comum em evidência. Normalmente temos tal necessidade quando há mais de uma variável na equação. Vejamos neste outro exemplo como isolar a variável x na seguinte equação: Note que x é um fator comum aos dois termos do primeiro membro. Colocá-lo em evidência significa que vamos reescrever tal equação na forma de um produto, onde x será um dos fatores e o outro fator será formado pela soma dos dois termos divididos por x. Como x dividido por x é igual a 1 e ax dividido por x é igual a a, temos: Permutar um Membro com o Outro A qualquer momento podemos mudar os membros de lado. Como sabemos. você encontra maiores informações. pois tais operações não "desequilibram" a equação. pois iremos isolar cada uma das incógnitas e você verá do que elas se tratam. basta dividirmos os dois termos da equação por (1 + a). que se refere ao capital aplicado ou valor principal. não foi preciso realizarmos a mesma operação em ambos os membros da equação. vamos brincar um pouco de isolar variáveis de algumas fórmulas da matemática financeira envolvendo juros simples. Vamos unir as duas fórmulas em uma única equação e depois isolarmos cada uma das suas variáveis. Na fórmula do montante queremos isolar a variável C. porém. agimos só de um lado. a fórmula do montante em juros simples é: Já a fórmula dos juros simples é: Se você não se lembra a que se referem cada uma das variáveis envolvidas nas fórmulas acima.Agora para encontrarmos o valor de x. Como fazê-lo? . o que não causará desequilíbrio na equação: Isolando Variáveis em Fórmulas de Matemática Financeira Agora para exemplificar a utilização de tais operações em uma situação mais concreta. Na verdade vamos brincar com duas fórmulas. Se. Vejamos outros exemplos de fatoração: Observe que tanto no caso da propriedade distributiva. após a realização de algumas operações chegarmos a algo como: Podemos trocar os membros de lado. por exemplo. você pode acessar a página que trata sobre juros simples. quanto no caso da fatoração. Na referida página. ou então continuar a leitura desta página. a do montante e a dos juros simples. somada a C. Isolando a Variável "j" Esta variável representa os juros da aplicação. Para isto iremos subtrair a mesma incógnita j de ambos os membros: Como j .j na fórmula do juro simples. que ficará como: fórmula omitindo os operadores de Está é a fórmula que usaremos na brincadeira. no segundo membro. temos: Finalmente podemos isolar j dividindo ambos os membros por 1 + in: . para que possamos eliminar o outro fator. isolando j. após a substituição de C: Podemos escrever esta mesma multiplicação. Note que na referida fórmula ela ocorre duas vezes. que estão entre parênteses. pois agora podemos somar jin nos dois lados. então: Agora é só trocarmos os membros de lado: Agora vamos substituir C por M . multiplicando M e j. por in: Tomamos esta medida. fundido as duas fórmulas em uma só: Então.j = 0. Este é o caso mais complexo que iremos tratar aqui. de sorte a eliminarmos jin no segundo membro e de só haver termos com j no primeiro membro: Logo: Vamos agora colocar j em evidência. Como j dividido por j é igual a 1 e jin dividido por j é igual a in.Isolando a Variável "C" na Fórmula do Montante Neste caso precisamos eliminar a variável j. Nossa primeira providência será aplicarmos a propriedade distributiva. o que não resolveria inicialmente. que impede tanto M. o que irá extinguir tal restrição.Simplificando 1 + in do numerador. vamos colocá-lo em evidência dividindo por j.j está sendo multiplicado por in. realizando as operações até este ponto: Vamos inverter os membros da equação para deixar M no primeiro membro: É fácil percebemos que devemos dividir os dois membros por in para isolarmos M: Que simplificando resulta em: . tanto j/in que dá 1/in. quanto j de serem manipulados separadamente. temos: Isolando a Variável "M" Isolar o Montante é bem mais simples. para isolarmos M simplesmente somamos j nos dois lados: Portanto: Podemos inverter os membros da equação: Como j ocorre duas vezes. quanto j que dá 1: Isolando a Variável "M" de Outra Forma Da maneira que fizemos anteriormente é mais simples. vamos dividir os dois lados da equação por in. com 1 + in do denominador no primeiro membro. Como M . mas também podemos proceder como se fossemos isolar j. já que in será eliminado do segundo membro: Simplificando temos: Agora não tem mais segredo. é muito provável que você já saiba como isolar a taxa de juros.j)n: Que após a simplificação fica igual a: Isolando a Variável "n" O período de tempo da aplicação é isolado de forma análoga ao isolamento da taxa de juros. Iniciamos invertendo os membros da equação: Dividimos os dois membros por (M . .j)i para eliminarmos tais fatores do primeiro membro: Simplificando finalmente temos: Produtos Notáveis Em muitas expressões matemáticas é comum chegarmos a algo como (x + 3)2 e então precisarmos calcular o produto (x + 3) . (x + 3). Inicialmente vamos inverter os membros de lado: Como no primeiro membro temos uma multiplicação com três fatores. podemos realizar uma simplificação se separarmos as duas parcelas da adição: Simplificando fica: Então colocamos j em evidência exatamente como fizemos anteriormente pela outra forma de isolarmos M: Isolando a Variável "i" Se você conseguiu assimilar a maior parte do que foi explicado até aqui. ou seja. basta dividirmos os dois lados por todos os fatores que pretendemos eliminar no primeiro membro.Como in ocorre no numerador e no denominador. temos que dividir os dois membros por (M . Assim como no caso das tabuadas. mais o quadrado do segundo termo: Exemplos Produto da Soma pela Diferença de Dois Termos O produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo termo: . menos duas vezes o produto do primeiro pelo segundo termo. mais o quadrado do segundo termo: Exemplos Quadrado da Diferença de Dois Termos O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo. Produtos como este são denominados produtos notáveis. pois podemos obter o resultado final sem precisarmos desenvolver o cálculo todo como realizado acima. Quadrado da Soma de Dois Termos O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo. mais duas vezes o produto do primeiro pelo segundo termo.O desenvolvimento deste produto seria: Realizamos tal produto multiplicando cada um dos termos do primeiro polinômio por cada termo do segundo polinômio. no caso dos produtos notáveis também seremos beneficiados se os soubermos de cor. que as memorizamos a fim de ganharmos agilidade na realização dos cálculos. mais duas vezes o produto do primeiro pelo segundo termo. menos três vezes o produto do quadrado do primeiro termo multiplicado pelo segundo termo. mais o duas vezes o . mais três vezes o produto do quadrado do primeiro termo multiplicado pelo segundo termo.Exemplos Cubo da Soma de Dois Termos O cubo da soma de dois termos é igual ao cubo do primeiro termo. mais três vezes o produto do primeiro termo multiplicado pelo quadrado do segundo termo. mais o quadrado do terceiro termo. mais o cubo do segundo termo: Exemplos Cubo da Diferença de Dois Termos O cubo da diferença de dois termos é igual ao cubo do primeiro termo. mais três vezes o produto do primeiro termo multiplicado pelo quadrado do segundo termo. mais o quadrado do segundo termo. menos o cubo do segundo termo: Exemplos Quadrado da Soma de Três Termos O quadrado da soma de três termos é igual ao quadrado do primeiro termo. pois o seu termo de maior grau é o segundo. pois ambos os termos do polinômio são deste grau. . O polinômio -5x4 + 14x5y2 .7x3y2 é do grau 5. O segundo exemplo é um polinômio de dois termos: 3x3y e 2xy2. que é o segundo termo. que é do grau 7. é o grau do seu termo de maior grau. quanto no terceiro termo o grau nesta variável é dois. Os demais possuem vários monômios. O polinômio 4a2b3 + 5a5 é do grau 5. mais o duas vezes o produto do segundo pelo terceiro termo: Exemplos página sobre termos algébricos explicamos o que são monômios semelhantes e em seguida tratamos a sua soma e subtração. estes monômios são denominados termos do polinômio. O polinômio 4a2b3 + 5a5 é do grau 5 na variável a e do grau 3 em relação à variável b. ele é do grau 2.produto do primeiro pelo terceiro termo. Grau de um Polinômio em Relação a uma Certa Incógnita Em relação à variável x o polinômio -5x4 + 14x5y2 . A adição ou subtração algébrica de monômios é denominada polinômio. não nulo. Analisando o mesmo polinômio em relação à variável y.7x3y2 é do grau 7. Grau de um Polinômio O grau de um polinômio reduzido. pois o termo de maior grau nesta variável é do grau 5. já que tanto no segundo. Vejamos alguns exemplos de polinômios: No primeiro exemplo temos um polinômio de apenas um monômio. por cada um dos termos do segundo polinômio e depois realizamos a redução do polinômio resultante. Polinômios reduzidos de dois termos também são denominados binômios. Caso você ainda tenha dúvidas sobre como realizar a multiplicação de monômios. e do segundo com o quarto termo. reduzindo um polinômio de quatro termos a um outro de apenas dois. Vejamos a multiplicação abaixo: Repare que multiplicamos 7xy2 por ambos os termos do polinômio. aplicamos a propriedade distributiva da multiplicação. No exemplo abaixo realizamos a soma algébrica do primeiro com o terceiro termo. também são denominados trinômios. Veja abaixo alguns exemplos de redução de polinômios através da soma ou subtração de termos semelhantes: Multiplicação de Polinômios Temos tanto o caso da multiplicação de um monômio por um polinômio. também podemos fazer a redução de polinômios através da adição algébrica dos seus termos semelhantes. Polinômios reduzidos de três termos. Vamos analisar a multiplicação abaixo a qual separamos em três linhas para podermos observála mais facilmente: . Veja mais alguns exemplos: Multiplicação de um Polinômio por um Polinômio No caso da multiplicação de polinômio por polinômio efetuamos a multiplicação de cada um dos termos do primeiro polinômio. quanto o caso da multiplicação de um polinômio por um polinômio. faça um revisão antes de prosseguir neste tema.Redução de Termos Semelhantes Assim como fizemos no caso dos monômios. Multiplicação de um Polinômio por um Monômio No primeiro caso a multiplicação é realizada multiplicando-se o monômio por cada um dos termos do polinômio. pelo monômio em questão. quanto 7xy3. Divisão de um Polinômio por um Monômio Este é o caso mais simples. Observe mais estes exemplos: . Os dois últimos produtos na segunda linha foram obtidos multiplicando-se agora o segundo termo do primeiro polinômio. 2a e 7a2b3. quanto a divisão de um polinômio por um polinômio. Vamos tratar cada um dos casos individualmente. é o resultado após a multiplicação dos monômios entre parênteses na linha anterior. A terceira linha que é o resultado final. temos tanto a divisão de um polinômio por um monômio. então multiplique por . Vamos analisar a divisão do polinômio abaixo: Note que desmembramos o polinômio em duas partes. também por cada um dos dois termos do segundo. Em caso de dúvida consulte a divisão de monômios. já que não há termos semelhantes a reduzir. primeiro multiplique . Para a multiplicar .Na primeira linha temos os dois polinômios a serem multiplicados. depois multiplique o polinômio obtido pelo terceiro e assim por diante até multiplicar por todos. comece multiplicando os dois primeiros. Os dois primeiros produtos na segunda linha foram obtidos da multiplicação de 3a2b por cada um dos dois termos do segundo polinômio. pois podemos fazê-lo dividindo cada um dos monômios que formam o polinômio. dividindo tanto 14x3y2 por 7xy2. por exemplo. Divisão de Polinômios Como no caso da multiplicação. que foi explicada em detalhes na página sobre este tema. que como vimos acima é igual a . Analise estes outros exemplos para uma melhor assimilação: Para multiplicar mais de dois polinômios. 2ab -15b2 por2a . dizemos que um polinômio está ordenado em relação à determinada variável. o valor oposto do quociente. Para explicar o procedimento da divisão de polinômios pelo método das chaves.2: Dividimos o monômio 2x4 pelo monômio x. estão ordenados de forma crescente ou decrescente.3b e colocar o resultado embaixo do dividendo: Executamos então a soma dos monômios: Continuamos a divisão baixando o terceiro monômio do dividendo: Agora dividimos 10ab por 2a. Se for menor o quociente será zero e o resto será o próprio dividendo. cada um dos monômios do divisor 2a .3b. Observe que os expoentes desta incógnita decrescem de 5 a 3. só que desta vez veremos uma divisão com um resto diferente de zero. não está ordenado em relação a variável x. Repare que ambos os polinômios estão ordenados de forma decrescente em relação à incógnita a: A divisão de polinômios é muito semelhante à divisão de números naturais. Para fechar o tema vamos a um outro exemplo.3b e colocamos o resultado embaixo do primeiro resto parcial: Por fim executamos a soma que resultará em zero. que vai dar 5b e também o colocamos abaixo da chave: Multiplicamos por -5b.7x3 está ordenado de forma decrescente em relação a esta variável.7x3. O conceito da redução de termos semelhantes foi visto acima. cada um dos monômios do divisor 2a . indicando uma divisão exata: Como pudemos ver o procedimento da divisão de polinômios e bastante simples e semelhante à divisão de números naturais. Vamos começar dividindo o monômio8a2 pelo monômio 2a e colocar o quociente 4a abaixo da chave: Agora vamos multiplicar por -4a.7x3 + 3x2 por x . o valor oposto de 5b. vamos dividir 8a2 . O polinômio -5x4 + 6x5 . quando o grau de todos os monômios que os compõe. A primeira coisa a verificar é se o grau do dividendo é maior ou igual ao grau do divisor. Vamos dividir 2x4 .Divisão de um Polinômio por um Polinômio Para realizarmos a divisão de polinômios é preciso que eles estejam reduzidos e ordenados. quanto à ordenação de polinômios. que resulta em 2x3 e o colocamos abaixo da chave: . em relação a esta variável. já o polinômio 6x5 5x4 . 3x . portanto. que é o simétrico de -6. efetuamos a soma dos monômios: Note que o resto -3x2 é um polinômio de grau 2.2 irá obter 2x4 7x3 + 3x2 + 12 que somado a -12 resultará em 2x4 . então devemos continuar a divisão.6 por x .2 e colocar o resultado embaixo do dividendo: Executamos a soma dos monômios: Continuamos a divisão baixando o último monômio do dividendo: Dividimos então -3x3 por x. que vai dar -6 e também o inserimos abaixo da chave: Multiplicamos por 6.7x3 + 3x2.2 são de grau 1. que é o simétrico de -3x. devemos continuar a divisão: Dividimos então -6x por x. cada um dos monômios do divisor x 2 e colocamos o resultado embaixo do primeiro resto parcial: Como anteriormente. que é o valor oposto de -3x2. que é um polinômio de grau 1. cada um dos monômios do divisor x . novamente cada um dos monômios do divisor x 2 e botamos o resultado embaixo do terceiro resto parcial: Somamos mais uma vez os monômios: Agora o grau do resto -12 é igual a 0 e. exatamente o dividendo original.3x2 . cada um dos monômios do divisor x . Se você realizar a multiplicação do quociente 2x3 . Também seria muito bom se você tentasse resolver novamente todos os exemplos resolvidos nesta página. que não é de grau inferior ao grau do divisor. que vai dar -3x2 e o colocamos também abaixo da chave: Então Multiplicamos por 3x2. então terminamos a divisão por aqui. inferior ao grau do divisor que é 1. é desejável que você realize a multiplicação e a soma acima. para ver se consegue chegar ao mesmo resultado final. Dividimos -3x2 por x e colocamos o resultado -3x abaixo da chave: Multiplicamos por 3x.2 e botamos o resultado embaixo do segundo resto parcial: Somamos então os monômios: Como tanto -6x. o valor oposto do quociente. quanto x . .Agora vamos multiplicar por -2x3. Para verificar se você compreendeu bem o conteúdo explicado. (UESB) Se P(x) = xn . (UBERL) Se P(x) é um polinômio tal que 2P(x) + x2 P(x . RESOLUÇÃO: P(2) = -18 02.xn-1 + xn-2 .1) ≡ x3 + 2x + 2.Polinômios Polinômios . Determinar os valores reais de a e b para que o polinômio x3 + 6x2 + ax + b seja um cubo perfeito.. RESOLUÇÃO: a = 12 e b = 8 03.4 para x = 2. + x2 .. então P(1) é igual a: . Calcular o valor numérico do polinômio P(x) = x3 .. então n é igual a: a) 10 b) 12s c) 14 d) 16 e) 18 RESPOSTA: E 04.Exercícios resolvidos 01.7x2 + 3x .x + 1 e P(-1) = 19. 1.1 é divisível por x2 + x .24 por x2 . então m é igual a: a) -3 b) -2 c) -1 d) 1 .a) 0 b) -1 c) 1 d) -2 e) 2 RESPOSTA: E 05. em que Q(x) é o quociente do polinômio x4 10x3 + 24x2 + 10x . são: a) -1 e 5 b) -1 e -5 c) 1 e -5 d) 1 e 5 e) 0 e 1 RESPOSTA: A 06. (UESP) Se o polinômio P(x) = x3 + mx2 . As soluções da equação Q(x) = 0.6x + 5. e) x3 .3x + 1com resto 2.x2 .2x2 .e) 2 RESPOSTA: E 07. d) x3 . c) x3 .4x3 . (UEL) Se o resto da divisão do polinômio p = x4 .21 por x + 3. o valor de k é: a) -5 b) -4 c) 5 d) 6 e) RESPOSTA: E 09.x2 + x -7 e resto nulo.2x2 + 3 com resto 16. (UEL) Dividindo-se o polinômio x4 + 2x3 . b) x3 .x2 -13x + 35 e resto 84.12x3 + 47x2 + .5) é 10. obtêm-se: a) x3 .75 por (x . RESPOSTA: E 08. Sejam m e n determinados de tal modo que o polinômio x4 .kx .2x2 + x -12 com resto nulo.4x . 2. Para que o polinômio 2x4 .x3 + mx2 . Então m + n é igual a: a) 72 b) 0 c) -36 d) 36 e) 58 RESPOSTA: C 10.nx + 2 seja divisível por x2 .x .mx + n seja divisível por x2 .7x + 6. devemos ter: a) m = 1 e n = 6 b) m = -6 e n = -1 c) m = 6 e n = 1 d) m = -6 e n = 1 e) m = 6 e n = -1 RESPOSTA: D . Solução: a 1 ⇒ Temos: b 4m c 5m 2 x 4m 2 4.Equações Literais do Segundo Grau 1. Vejamos o exemplo.1 4m 16m 20m 2 4m 36m 2 x 2 2 4m 6m 10m x1 5m 4m 6m 2 2 x 2 x 4m 6m 2m m 2 2 2 2 Logo : S 5m. DEFINIÇÃO: ⇒ Se uma equação de 2º grau na variável x apresentar um ou mais coeficientes indicados por letras. a equação é chamada equação literal.m EXERCÍCIOS PROPOSTOS . sendo x 1 . 5m2 4m 2. Exemplo: Resolver a equação x 2 4mx 5m2 0 .1. a e) ax 2 2bx 0 Resp: S 0. g) x 2 2mx m2 n2 0 h) x a bx ab 0 2 6 2 a a Resp: S m n. m n Resp: S b.2m c) x 2 7mx 10m2 0 Resp: S 5m.2m 3 2 2b a d) 2 x 2 ax 3a 2 Resp: S a.1.x a 2 0 b) x 2 2mx 8m2 0 Resp: S a Resp: S 4m. (FRANCO) Resolva as equações literais: a) x 2 2. a TESTES .a. f) a 2 x 2 12 8ax Resp: S . 4 3.4 c) 1 4 x 2 2 x 1 5x 2 : 3x 2 6 d) 1. .4 b) c) 3. em R. (FRANCO) O conjunto solução em R* da equação x a) 3. se x 2 for igual a: 2 x c) 4 d) 1 ou 4 2 4 4 vale: 2 0 . (FRANCO) Resolva a equação a) d) 1. (FRANCO) A equação a) 0 b) 1 3. (FRANCO) Se 1 a) 1 b) 1.1.6 c) 1. (FRANCO) O conjunto solução da equação a) 12 1 é: x 2.4 x3 1 3 .3 5.3 b) 3.3 1 1 3 é: x x 1 2 1 3 d) 2.4 d) 2 b) 1. então x x x 1 2 c) 2 4. é verdadeira.4 2. (FRANCO) A equação x a) uma única raiz. 2 c) 2 d) 8.6. b) tem duas raízes reais. 9. c) tem apenas uma raiz real. (FRANCO) Quais valores de x satisfazem à equação: a) 1. (FRANCO) Se 1 x x então : x 1 x a) x 2 b) x c) x 3 d) x 1 2 1 2 7.2 2 . (FRANCO) A equação 2 1 1 x 1 x 1 2 a) não tem raiz real. 5 5 tem 5 x5 x5 2 1 1 1 x 1 x 2 . 2 b) 1. d) admite 10 como raiz. B 7. B 4. A 6. (FRANCO) O conjunto solução da equação m2 x 2 2mnx 3n2 0 é: a) n 3n . D .n b) n n . C 2. C 3. d) conjunto solução vazio. D 8. D 5. m m 3n. m m d) n 3n .b) infinitas raízes c) exatamente duas raízes. D 10. m m c) GABARITO 1. D 9. 10. Exemplos 1) ax + b = 0 2) 2x – a = 5b 3) 6x + 5ª = a -3 4) 7x – a = m – x Nessas equações. existem outras letras ( a.m) que são chamadas de parâmetros. RESOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO LITERAL As equações literais com uma incógnita são resolvidas do mesmo modo que as outras equações do 1º grau estudadas anteriormente Exemplo 1 Resolver a equação: 2a + 5x = 3b – 2x .b.EQUAÇÕES LITERAIS DO 1º GRAU CONCEITO Dizemos que uma equação é literal quando apresenta pelo menos uma letra que não seja incógnita. alem da incógnita x. 5x + 2x = 3b – 2a 7x = 3b – 2a X = (3b-2a) / 7 Exemplo 2 Resolver a equação : cx – 5 = 3x + 4ª Cx .3x = 4a + 5 X(c-3)= 4a + 5 X = (4a + 5) / (c -3) EXERCÍCIOS 1) Resolva as seguintes equações literais (x é a incógnita) a) b) c) d) e) f) g) h) 5x + m = 4m (R: x = 3m/5) 3x – a = 7 (R: x = (7 + a) / 3) 3ax + 4a = 6a (R: x = 2/3) 4x – a = -x + c (R: x= (c + a)/5) Mx = 3m + 2 + x 4a + 3x = 12a + x 4x – ax + 3 = 36 5x – a = 2ax + 7 2) Resolva as seguintes equações literais (x é a incógnita) a) b) c) d) e) f) g) 5( x –a) = 2x + c) 3( 2a + x) = 9a x( a + 4) = 3( x-1) 3(x -2b) – 9a – 15b = 0 3( ax – 4) = 2( x –a) – 5 a( x –a) –b( x-1) = b – a 2( 2a + 3x) – 3( 3a + x) = 4a . Exemplo 3 Resolver a equação : x /a + x / m = 5 Solução mmc = am (xm/am) + (xa / am) = (5am/am) xm + xa = 5am x(m + a) = 5am x = 5am/(m + a) Exercícios 1) Resolva as seguintes equações literais (x é a incógnita) a) b) c) d) e) f) g) x/m + 3m = 4m 3x/ a – 4/a = 2 x/a = 4 -2/3a (4a – x) / 3 = (x – 4a) / 2 Ax + m/a = mx + 1 ( x – 8a)/ 2 = 3 (3a – 2x) (x + a) /b = ((x –b) /a) + 2 Exercícios complementares 1) a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) Resolva as seguintes equações literais (x é a incógnita) 3x + a = 9a 2x – m = 5m – x 2x + 3c = x + 5c 3ax – 8 = ax 3ax + 5a = 7a nx – 3 = 2n + 2 ax – bx = a² .b² 2( x + m ) = x – m a ( x -1) = c (1 – x) 2 ( 2x – a) = 2c/3 . 2aby=0. b. sendo x a variável.2ab = 0 my = 2ab y= 0. . duas soluções: y=0 ou my . As letras que aparecem numa equação literal.com m Solução my2 . c ax2 .12m2=0. sendo y a variável. portanto. são denominadas parâmetros. excluindo a incógnita. temos: Resolva a equação literal incompleta my2.12m2 = 0 3x2 = 12m2 x2 = 4m2 x= Logo.2aby = 0 y(my .(2a + 1) x + 5 = 0 incógnita: x parâmetro: a Equações literais incompletas A resolução de equações literais incompletas segue o mesmo processo das equações numéricas. Solução 3x2 . Exemplos: ax2+ bx + c = 0 incógnita: x parâmetro: a. Observe os exemplos: Resolva a equação literal incompleta 3x2 .2) Resolva as seguintes equações literais ( x é a incógnita): a) b) c) d) ( x + 1) / 2 = (c + x)/4 (x – n)/ 2 = (x + n)/3 (x – 4a)/2 = (4a – x)/3 x/2 – a/2 = x/3 + a EQUAÇÕES LITERAIS As equações do 2º grau na variável x que possuem alguns coeficientes ou alguns termos independentes indicados por outras letras são denominadas equações literais.2ab)=0 Temos. evitando desta maneira a divisão por zero. Equações Literais Incompletas a) rx²-s=0 rx²=s x²=sr x=√s/r b) rx²-sx=0 rx²-sx=0 (rx²)/x=s rx=s x=s/r c) -mx²+5x=0 (-1) mx²-5x=0 x(mx-5)=0 x'=0 mx-5=0 mx=5 x=5/m d) rx²=0 x(rx)=0 x'=0 e) rx²+rx=0 x(rx+r)=0 x=0 . Esta é uma boa razão para termos muito cuidado com os cancelamentos. obteríamos apenas a solução . teríamos cometido um erro grave se tivéssemos assim resolvido: my2 .2aby= 0 my2 = 2aby my = 2ab Desta maneira. O zero da outra solução foi "perdido" quando dividimos ambos os termos por y.Assim: Na solução do último exemplo. que é um absurdo. 0} f) 9x²-k+1=0 9x²=k-1 x²=(k-1)/9 x=√(k-1)/√9 x=√(k-1)/3 Produtos Notáveis Produtos notáveis Exemplos (a+b)2 = a2+2ab+b2 (x+3)2 = x2+6x+9 (a-b)2 = a2-2ab+b2 (x-3)2 = x2-6x+9 (a+b)(a-b) = a2-b2 (x+3)(x-3) = x2-9 (x+a)(x+b) = x2+(a+b)x+ab (x+2)(x+3) = x2+5x+6 (a+b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3 (x+2)3 = x3+6x2+12x+8 (a-b)3 = a3-3a2b+3ab2-b3 (x-2)3 = x3-6x2+12x-8 (a+b)(a2-ab+b2) = a3+b3 (x+2)(x2-2x+4) = x3+8 (a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3 (x-2)(x2+2x+4) = x3-8 1. Quadrado da diferença de dois termos . temos que: x+1=0 x=-1 S={-1. Quadrado da soma de dois termos (a+b)² = a² + b² + 2ab Exemplo: (3+4)²=3²+4²+2×3×4 2.rx+r=0 r(x+1)=0 Como r é diferente de 0. Cubo da soma de dois termos na forma simplificada (a+b)³ = a(a-3b)² + b(b-3a)² Exemplo: (4+5)³=4(4-3×5)²+5(5-3×4)² 6.2ab Exemplo: (7-5)²=7²+5²-2×7×5 3. Cubo da soma de dois termos (a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ Exemplo: (4+5)³=4³+3×4²×5+3×4×5²+5³ 5.b³ Exemplo: (4-5)³=4³-3×4²×5+3×4×5²-5³ 7. Cubo da diferença de dois termos (a-b)³ = a³ . Identidade de Platão (a²+b²)² = (a²-b²)²+(2ab)² Exemplo: (3²+8²)²=(3²-8²)²+(2×3×8)² .b² = (a+b)(a-b) Exemplo: 7²-5²=(7+5)(7-5) 4.3a²b + 3ab² .(a-b)² = a² + b² . Identidade de Fibonacci (a²+b²)(p²+q²) = (ap-bq)²+(aq+bp)² Exemplo: (1²+3²)(5²+7²)=(1×5-3×7)²+(1×7+3×5)² 8. Diferença de potências (ordem 2) a² . b5 = 5ab(a+b)(a²+ab+b²) Exemplo: (1+2)5-15-25=5×1×2×(1+2)(1²+1×2+2²) 13. Quadrado da soma de n termos sendo que i<j.a5 . Identidade de Lagrange (6 termos) (a²+b²+c²)(p²+q²+r²) . Identidade de Cauchy (n=5) (a+b)5 .9.a³ .(ap+bq+cr)² = (aq-bp)² + (ar-cp)² + (br-cq)² Exemplo: (1²+3²+5²)(7²+8²+9²)-(1×7+3×8+5×9)² =(1×8-3×7)²+(1×9-5×7)²+(3×9-5×8)² 11.b³ = 3ab(a+b) Exemplo: (2+7)³-2³-7³=3×2×7×(2+7) 12. Identidade de Cauchy (n=3) (a+b)³ . Identidade de Lagrange (4 termos) (a²+b²)(p²+q²)-(ap+bq)² = (aq-bp)² Exemplo: (9²+7²)(5²+3²)-(9×5+7×3)²=(9×3-7×5)² 10. Exemplos: (a+b)²=a²+b²+2(ab) (a+b+c)²=a²+b²+c²+2(ab+ac+bc) . 3ab(a+b) Exemplo: 2³+4³=(2+4)³-3×2×4×(2+4) 18. Soma dos quadrados da soma e da diferença (a+b)² + (a-b)² = 2(a²+b²) Exemplo: (3+5)²+(3-5)²=2(3²+5²) 17.(a-b)² = 4ab Exemplo: (7+9)²-(7-9)²=4×7×9 16. Soma de dois cubos na forma fatorada a³+b³ = (a+b)(a²-ab+b²) Exemplo: 5³+7³=(5+7) (5²-5×7+7²) 19. 15. Soma de dois cubos a³+b³ = (a+b)³ . Diferença entre os quadrados da soma e diferença (a+b)² . Transformação do produto na diferença de quadrados ab = [½(a+b)]² . Cubo da soma de n termos sendo que i<j e i<j<k.[½(a-b)]² Exemplo: 3×5=[½(3+5)]²-[½(3-5)]² .(a+b+c+d)²=a²+b²+c²+d²+2(ab+ac+ad+bc+bd+cd) 14. Diferença de potências (ordem 4) a4-b4 = (a-b)(a+b)(a²+b²) Exemplo: 54-14=(5-1)(5+1)(5²+1²) 21.b8 = (a-b)(a+b)(a²+b²)(a4+b4) Exemplo: 58-18=(5-1)(5+1)(5²+1²)(54+14) 23. Soma de cubos das diferenças de três termos (a-b)³ + (b-c)³ + (c-a)³ = 3(a-b)(b-c)(c-a) Exemplo: (1-3)³+(3-5)³+(5-1)³=3(1-3)(3-5)(5-1) 26. Diferença de potências (ordem 6) a6-b6 = (a-b)(a+b)(a²+ab+b²)(a²-ab+b²) Exemplo: 56-16=(5-1)(5+1) (5²+5×1+1²)(5²-5×1+1²) 22. Produto de três diferenças (a-b)(a-c)(b-c) = ab(a-c) + bc(b-c) + ca(c-a) Exemplo: (1-3)(1-5)(3-5)=1×3×(1-5)+3×5×(3-5)+5×1×(5-1) 24.20. Diferença de potências (ordem 8) a8 . Cubo da soma de três termos (a+b+c)³ = (a+b-c)³ + (b+c-a)³ + (a+c-b)³ + 24abc . Produto de três somas (a+b)(b+c)(c+a) = (a+b+c)(ab+bc+ac) .abc Exemplo: (1+3)(3+5)(5+1)=(1+3+5)(1×3+3×5+1×5)-1×3×5 25. Produto de dois fatores homogêneos de grau dois (a²+ab+b²) (a²-ab+b²)=a4+a² b²+b4 Exemplo: (5²+5×7+7²)(5²-5×7+7²)=54+5² 7²+74 30. Soma de quadrados de express. homogêneas de grau 1 (a+b+c)²+(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²=3(a²+b²+c²) Exemplo: (7+8+9)²+(7-8)²+(8-9)²+(9-7)²=3(7²+8²+9²) .9(7-8)(8-9)(7-9) 29.7. Soma de produtos de cubos com diferenças a³(b-c)³ + b³(c-a)³ + c³(a-b)³ = 3abc(a-b)(b-c)(a-c) Exemplo: 7³(8-9)³+8³(9-7)³+9³(7-8)³=3.8. Soma nula de produtos de cubos por diferenças a³(b-c)+b³(c-a)+c³(a-b)+(a+b+c)(a-b)(b-c)(a-c)=0 Exemplo: 2³(4-6)+4³(6-2)+6³(2-4)+(2+4+6)(2-4)(4-6)(2-6)=0 28.Exemplo: (7+8+9)³=(7+8-9)³+(8+9-7)³+(7+9-8)³+24×7×8×9 27. Produto de quadrados de fatores especiais (a-b)² (a+b)² (a²+b²)²=(a4-b4)² Exemplo: (7-3)² (7+3)² (7²+3²)²=(74-34)² 32. Soma de quadrados de somas de dois termos (a+b)²+(b+c)²+(a+c)²=(a+b+c)²+a²+b²+c² Exemplo: (1+3)²+(3+5)²+(1+5)²=(1+3+5)²+1²+3²+5² 31. Identidade de interpolação Exemplo: Com a=1.4y3+(4y3)2= (4/9)x2-(16/3)xy3+16y6 d) (2x+3y)3 (2x+3y)3 = (2x)3+3.2x.(x4)2. b=2 e c=3 na identidade.33.(1/2).3x.(1/x2)2+(1/x2)3 = x12+3x6+3+(1/x6) f) ((2x/3)+(4y/5)).y+y2 = 9x2+6xy+y2 b) ((1/2)+x2)2 ((1/2)+x2)2 = (1/2)2+2.(1/x2)+3. obtemos: Exercícios resolvidos: 1) Desenvolva: a) (3x+y)2 (3x+y)2 = (3x)2+2.(2x)2.x2+(x2)2 = (1/4) +x2+x4 c) ((2x/3)+4y3)2 ((2x/3)+4y3)2 = (2x/3)2-2.(3y)2+(3y)3 = 8x3+36x2y+54xy2+27y3 e) (x4+(1/x2))3 (x4+(1/x2))3 = (x4)3+3.3y+3.(2x/3).((2x/3)-(4y/5) .x4. 2x.((2x/3)-(4y/5)) (2x/3)2-(4y/5)2 = (4/9)x2-(16/25)y2 = 2) Efetue as multiplicações: a) (x-2)(x-3) (x-2)(x-3) = x2+((-2)+(-3))x+(-2).(-4) 3) Simplifique as expressões: a) (x+y)2–x2-y2 (x+y)2–x2-y2 = x2+2xy+y2–x2-y2 = 2xy b) (x+2)(x-7)+(x-5)(x+3) (x+2)(x-7)+(x-5)(x+3) = x2+(2+(-7))x+2.(-7) + x2+(-5+3)x+3.(-3) = x2-5x+6 b) (x+5)(x-4) (x+5)(x-4) = x2+(5+(-4))x+5.y+y2-4x2+4xy = 4x2-4xy+y2-4x2+4xy = y2 = x2+x-20 .(2x/3)+(4y/5)).(-5) = x2-5x-14+ x2-2x-15 = 2x2-7x-29 c) (2x-y)2-4x(x-y) (2x-y)2-4x(x-y) = (2x)2-2.
Report "Exercícios Resolvidos - Polinômios e Produtos Notáveis.pdf"