Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BAExercícios Resolvidos: Integração por Parte Contato: [email protected] Escrito por Diego Oliveira - Escrito em 30/03/2016 e Atualizado em 24/11/2017 Quando se usa? Z O objetivo da integração por partes é resolver integrais do tipo: h() d (quando h(x) pode ser escrita como produto de duas outras funções). Como se usa? Devemos encontrar um valor e um d e aplicar a equação: Z Z d = − d Dica: Existe um método (não muito confiável), para escolher e d e a memorização do acrônimo LIATE, que significa: Logarítmica, Inversa, Algébrica, Trigonométrica e Exponencial o ajudará a lembra-lo. Nesse caso, costumamos ter sucesso tomando como a função mais à esquerda da lista acima e d como o resto do integrando. Z Exemplo 1: Calcule e3 d Solução: Observando a dica dada, funções algébricas são melhores candidatos a do que funções exponenciais. Fazendo então = e d = e3 d então: d d = ⇒ d = 1d d d e também 1 Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA Z d = e3 d ⇒= e3 d 1 e3 Z e como e3 d = e3 então = (sem constante mesmo). 3 3 Assim: Z Z d = − d e3 1 Z Z 3 ⇒ e d = − e3 d 3 3 e3 1 Z ⇒ e3 d = − e3 + k, onde k ∈ R 3 9 Z Exemplo 2: Calcule · sn(5)d Solução: 1 Fazendo = e d = sn(5)d então d = d e = − cos(5). 5 Assim, Z Z d = − d 1 Z Z ⇒ · sn(5)d = − cos(5) − − cos(5)d 5 5 1 Z = − cos(5) + cos(5)d 5 5 1 = − cos(5) + sn(5) + k onde k ∈ R. 5 25 Em alguns casos é necessário aplicar a integração por partes mais de uma vez além de utilizar de certa álgebra para chegarmos ao resultado. 2 Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA Z Exemplo 3: Encontre e cos()d Solução: Fazendo = e e d = cos()d então: d d = e ⇒ d = e d d d e também = sen(). Sendo assim: Z Z e cos()d = − d Z = e sen() − sen() · e d Para resolver esta segunda integral recorremos, novamente, a integração por parte. Fazendo = e e d = sen()d, então d = e d e = −cos() então: Z Z e cos()d = e sen() − sen()e d Z Z ⇒ e cos()d = e sen() − −e cos() + e cos()d Z Z ⇒ e cos()d = e sen() + e cos() − e cos()d Observe que voltamos a integral inicial. Mas, agora podemos operar algebrica- mente com ela. Z Z e cos()d + e cos()d = e sen() + e cos() Z ⇒2 e cos()d = e sen() + e cos() e Z ⇒ e cos()d = (sen() + cos()) 2 3 Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA E por fim acrescentamos a contante k. e Z e cos()d = (sen() + cos()) + k 2 OBS.: A constante de integração na integração por parte é inserida SEMPRE no final do processo, então nunca se esqueça disso. Z Exemplo 4: Calcule sn5 ()d Solução: Essa integral poderia ser calculada muito mais facilmente usando a técnica de substituição por . Mas, vamos usar a integração por partes. Fazendo = sn4 () e d = sn()d então d = 4sn3 ()cos()d e = −cos(). Assim: Z Z 5 4 sn ()d = −sn ()cos() + 4 cos2 ()sn3 ()d Z = −sn4 ()cos() + 4 (1 − sen2 ())sn3 ()d Z = −sn4 ()cos() + 4 (sn3 () − sen5 ())d Z Z 3 = −sn4 ()cos() + 4 sn ()d − 4 sen5 ()d Z Z Z =4 sen5 ()d + sn5 ()d = −sn4 ()cos() + 4 sn3 ()d Z Z 5 4 =5 sen ()d = −sn ()cos() + 4 sn3 ()d (1) Z Podemos calcular sn3 ()d usando novamente a integração por partes fazendo = sen2 () e d = sen()d. Outra possibilidade é fazer a substituição por . Veja: Z sn2 ()sn()d 4 Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA Z = (1 − cos2 ())sn()d chamando de cos() então: 1 Z (2 − 1)d = 3 − + c 3 1 Z = sn2 ()sn()d = cos3 () − cos() + c (2) 3 Substituindo (2) em (1) chegamos a solução: 1 Z 5 sen5 ()d = −sn4 ()cos() + 4 cos3 () − cos() + c 3 4 Z =5 sen5 ()d = −sn4 ()cos() + cos3 () − 4cos() + 4c 3 sn4 ()cos() 4 4 Z = sen5 ()d = − + cos3 () − cos() + k 5 15 5 4 Onde k = c e c ∈ R. 5 5 Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA Este trabalho está licenciado com uma Licença Creative Commons - Atribuição-NãoComercial- CompartilhaIgual 4.0 Internacional. Esse documento está sujeito a constante atualização ou mesmo correções, por isso, certifique se que o que você têm em mãos é de fato a última versão do mesmo. Para saber, bem como ter acesso a vários outros exercícios resolvidos de matemática, acesse: www.number.890m.com E se alguma passagem ficou obscura ou se algum erro foi cometido por favor entre em contato para que possa ser feito a devida correção. .ƒ cebook.com/ theNmberType nbbedego@gm.com .nmber.890m.com 6
Report "Exercícios Resolvidos - Integração por Partes"