exercícios resolvidos-halliday 2

LISTA 3 - Prof.Jason Gallas, IF–UFRGS 3 de Agosto de 2003, as 10:14 a.m. ` Exerc´cios Resolvidos de Dinˆ mica Cl´ ssica ı a a Jason Alfredo Carlson Gallas, professor titular de f´sica te´ rica, ı o Doutor em F´sica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha ı Universidade Federal do Rio Grande do Sul Instituto de F´sica ı Mat´ ria para a QUARTA prova. Numeracao conforme a quarta edicao do livro e ¸˜ ¸˜ “Fundamentos de F´sica”, Halliday, Resnick e Walker. ı Esta e outras listas encontram-se em: http://www.if.ufrgs.br/ jgallas Conte´ udo 14 Cap´tulo 14 - OSCILACOES ı ¸ ˜ 2 ´ 14.1 QUESTIONARIO . . . . . . . . . . . . 14.2 EXERC´ ICIOS E PROBLEMAS . . . . 14.3 PROBLEMAS ADICIONAIS . . . . . Coment´ rios/Sugest˜ es e Erros: favor enviar para a o jgallas @ if.ufrgs.br (listam3.tex) P´ gina 1 a http://www.if.ufrgs.br/ jgallas   2 2 8   LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 3 de Agosto de 2003, as 10:14 a.m. ` 14 Cap´tulo 14 - OSCILACOES ı ¸ ˜ Para pequenas amplitudes, o pˆ ndulo e is´ crono, e ´ o isto e, o per´odo n˜ o depende da amplitude. Contudo, ´ ı a quando as oscilacoes se d˜ o a angulos maiores, para ¸˜ a ˆ ´ 14.1 QUESTIONARIO os quais a aproximacao ¸˜ j´ n˜ o e v´ lida, o a a ´ a per´odo torna-se uma funcao crescente de , o angulo ı ¸˜ ˆ de m´ ximo afastamento da posicao de equil´brio. Uma a ¸˜ ı 2. Quando a massa e suspensa de uma determina´ a a da mola A e a massa menor e suspensa da mola discuss˜ o interessante a esse respeito est´ feita no volu´ me , cap´tulo do Moys´ s Nussenzveig. ı e B, as molas s˜ o distendidas da mesma distˆ ncia. Se a a os sistemas forem colocados em movimento harmˆ nico o simples vertical com a mesma amplitude, qual deles ter´ 11. Um pˆ ndulo suspenso do teto de uma cabine de a e mais energia? elevador tem um per´odo T quando o elevador est´ ı a parado. Como o per´odo e afetado quando o elevaı ´ Da equacao de equil´brio para um corpo suspenso de dor move-se (a) para cima com velocidade constante, ¸˜ ı uma mola, , concluimos que . A (b) para baixo com velocidade constante, (c) para baienergia do oscilador e ´ , portanto . xo com aceleracao constante para cima, (d) para cima ¸˜ com aceleracao constante para cima, (e) para cima com ¸˜ aceleracao constante para baixo ¸˜ , e (f) para bai4. Suponhamos que um sistema consiste em um bloco xo com aceleracao constante para baixo ¸˜ ? (g) de massa desconhecida e uma mola de constante tamEm qual caso, se ocorre em algum, o pˆ ndulo oscila de e bem desconhecida. Mostre como podemos prever o cabeca para baixo? ¸ per´odo de oscilacao deste sistema bloco-mola simplesı ¸˜ mente medindo a extens˜ o da mola produzida, quando a penduramos o bloco nela. 16. Um cantor, sustentando uma nota de freq¨ encia uˆ No equil´brio temos ı . O per´odo do apropriada, pode quebrar uma taca de cristal, se este for ı ¸ oscilador e ´ , onde a raz˜ o desconhecida a de boa qualidade. Isto n˜ o pode ser feito, se o cristal a for de baixa qualidade. Explique por quˆ , em termos da e pode ser substitu´da pela raz˜ o ı a . constante de amortecimento do vidro. 5. Qualquer mola real tem massa. Se esta massa for O cristal da taca e um sistema oscilante fortemente ¸ ´ levada em conta, explique qualitativamente como isto amortecido. Quando uma forca externa oscilante e re¸ ´ afetar´ o per´odo de oscilacao do sistema mola-massa. a ı ¸˜ movida, as oscilacoes de pequena amplitude no sistema ¸˜ diminuem rapidamente. Para uma forca externa osci¸ lante cuja freq¨ encia coincida com uma das freq¨ encias uˆ uˆ de ressonˆ ncia da taca, a amplitude das oscilacoes e a ¸ ¸˜ ´ 7. Que alteracoes vocˆ pode fazer num oscilador ¸˜ e limitada pelo amortecimento. Mas, quando a amplitude harmˆ nico para dobrar a velocidade m´ xima da maso a m´ xima e atingida, o trabalho efetuado pela forca exa ´ ¸ sa oscilante? terna supera o amortecimento e a taca pode ent˜ o vir a ¸ a romper-se. A velocidade m´ xima do oscilador e a ´ . As possibilidades de duplicar essa velocidade seriam (i) duplicando a amplitude , (ii) trocar a mola de constante por outra de constante , (iii) trocar a massa ´ por outra massa . Claro, h´ in´ meras possibilidades 14.2 EXERCICIOS E PROBLEMAS a u de alterar e tal que . Secao 14-3 Movimento Harmˆ nico Simples: A Lei de ¸˜ o Forca ¸ 10. Tente prever com argumentos qualitativos se o per´odo de um pˆ ndulo ir´ aumentar ou diminuir, quan- 3E. Um bloco de ı e a kg est´ suspenso de uma certa a do sua amplitude for aumentada. mola, estendendo-se a cm al´ m de sua posicao de e ¸˜ repouso. (a) Qual e a constante da mola? (b) O bloco ´ http://www.if.ufrgs.br/ jgallas §  a Y 4V §  a V W V TS XD¨U%R db h eiUg d db fecG ` 1 ¦ ¦ ¦ 7 ¡ 7 FD© 7 B E C ¤   ¢  ¤  ¢    © § )('¨¡   9A @8 ¤ ¥¡ C1 ©I 42QPC G ¡  H £¡ G 7  E %¤$& #!©  "   © § ¨¡ ¢ £¡ 7 642© 0 5 31 ¦ ¦ ¦ ¦ P´ gina 2 a LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 3 de Agosto de 2003, as 10:14 a.m. ` m/s (a) No equil´brio, a forca exercida pela mola e igual (d) ı ¸ ´ ao peso da massa. Ent˜ o a fase N/m (e) Hz (b) O per´odo ser´ ı a (f) s s rad/s N/m (b) (b) Calculada a constante da mola, vamos ao per´odo: ı m (c) Hz 16E. Um corpo oscila com movimento harmˆ nico simo 26P. Um bloco est´ numa superf´cie horizontal (uma a ı ples de acordo com a equacao ¸˜ mesa oscilante), que se agita horizontalmente num mom rad/s rad vimento harmˆ nico simples com a freq¨ encia de o uˆ Hz. O coeficiente de atrito est´ tico entre o bloco e a a Em s, quais s˜ o (a) o deslocamento, (b) a ve- superf´cie e a ı ´ . Qual pode ser a maior amplitude do locidade, (c) a acelera cao e (d) a fase do movimento? MHS, para que o bloco n˜ o deslize sobre a superf´cie? ¸˜ a ı Tamb´ m, quais s˜ o (e) a freq¨ encia e (f) o per´odo do e a uˆ ı movimento? A forca respons´ vel pela oscilacao n˜ o deve exceder ¸ a ¸˜ a m (b) m/s http://www.if.ufrgs.br/ jgallas ¤ ”¤ 3G © 7E §w qxv § v —wx© 7 E ¤ ” ¤ 3 G §w v —xz© 7 E ¤ C § ¡w v E y—x„© 7 ™ (a) a forca m´ xima do atrito est´ tico: ¸ a a P´ gina 3 a d —b 1 dp © rUg 6 b vg € v d d`b 1 ded s †© “i—b txs ffued s E © I ™„s I§ ¡ A´ temos um exerc´cio que e aplicacao direta de ı ı ´ ¸˜ ”f´ rmulas”: o (a) (a) Para calcular a constante da mola usamos a condicao de equil´brio com a segunda massa, res¸˜ ı pons´ vel pela deformacao adicional da mola: a ¸˜ `4uid © fre“bpddd g … 4†© 0 ‰b 1 31  … 31 0 ¡ 64„© pb —id ¦ 10E. Uma massa de g e presa a extremidade infe´ ` rior de uma mola vertical e colocada em vibracao. Se a ¸˜ velocidade m´ xima da massa e a ´ cm/s e o per´odo ı s, ache (a) a constante de elasticidade da mola, (b) a amplitude do movimento e (c) a freq¨ encia de uˆ oscilacao. ¸ˆ 20P. Um bloco de kg est´ suspenso de uma certa a mola. Se suspendermos um corpo de g embaixo do bloco, a mola esticar´ mais a cm. (a) Qual a constante da mola? (b) Se removermos o corpo de ge o bloco for colocado em oscilacao, ache o per´odo do ¸˜ ı movimento. N/m s ¤ dfu` d dd ueb 1 dd uf` dd feb 1 ‚ ˆed © • © 0 ‰ hb ¢ ” pb 3 3 qug © r1` © 41 © 3 C ” ` ` i h 3xg © 3 3 © p h 1 qbiuh rn'© v ` i 3 h s r#qweh s v 3 ` s p© web 2© g s a R d˜v db vd 1 ¤ n 3 ¦ e removido e um corpo com ´ kg e suspenso da ´ mesma mola. Se esta for ent˜ o puxada e solta, qual o a per´odo de oscilacao? ı ¸˜ (c)   x G o© ` i 3 h s UUQf—ih s v 3 ` s '© f—b „© g s B TSR vdb n 3 n vd 1 l‚k db e` © v ` i 3 h s r#mweih s © web 2© g s E Rd˜ v db v d 1 3 € 1 id © uˆG ‡pid … 4†©  6r„© 0 b d pr ‚ 1 3 1 d ¡ … 31 d 1 • eb 2© –0 © ¢ ” g d b fp‰ qgp b g 1 ied © “’i1b d © 7 C B © 7  d x ˆ‰ © wrweid s ufqb 1 g s ‘¡ 6 b v dp db v‰ p © ¤C © ¤ ddpb ‰p fqb 1 g © urqid © 0 C 3 41 3 r1 © ` j3 @hgv H i p 1 v g € ‚wdd d b s  © wG „© Ueb yxUsh ƒguecG t©  6 v § ¨¡ db p eiUg ddpb frqid d 1 eb !© g e Rd˜ db © 3 ` s fr#™v —ih s ¥E db d erp ddpb frqid ¦ ¦ ¦ LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 3 de Agosto de 2003, as 10:14 a.m. ` O sinal negativo indica que a massa est´ abaixo da a posicao de equil´brio, dirigindo-se para a posicao de ¸˜ ı ¸˜ m´ ximo afastamento, do ”lado negativo”. a 30P. Certa mola sem massa est´ suspensa do teto com a ` um pequeno objeto preso a sua extremidade inferior. (c) Para determinar a massa do primeiro objeto ligado a ` mola, usamos a relacao ¸˜ , tomando : O objeto e mantido inicialmente em repouso, numa ´ posicao tal que a mola n˜ o fique esticada. O objeto e ¸˜ a ´ ent˜ o liberado e oscila para cima e para baixo, sendo sua a posicao mais baixa ¸˜ cm de . (a) Qual a freq¨ encia uˆ da oscilacao? (b) Qual a velocidade do objeto quando ¸˜ est´ a cm abaixo da posicao inicial? (c) Um objeto de ¸˜ kg massa de g e ligado ao primeiro objeto; logo ap´ s, ´ o (d) Quando as oscilacoes acontecem com ambos os ob¸˜ o sistema oscila com metade da freq’¨ encia original. uˆ jetos presos a mola, a posicao de equil´brio do sistema ` ¸˜ ı Qual a massa do primeiro objeto? (d) Com relacao a , ¸˜ passa a ser onde e o novo ponto de equil´brio (repouso) com ambos ´ ı os objetos presos a mola? ` cm (a) Os dados do problema sugerem o uso do princ´pio ı m da conservacao da energia. Colocamos o referencial pa¸˜ ra a energia potencial gravitacional na posicao mais bai¸˜ 33P. Duas molas idˆ nticas est˜ o ligadas a um bloco de e a xa: massa e aos dois suportes mostrados na Fig. . Mostre que a freq¨ encia da oscilacao na superf´cie sem uˆ ¸˜ ı atrito e ´ Qualquer deslocamento da massa produz um igual de distencao e compress˜ o das molas, tal que a forca ¸˜ a ¸ (b) Ainda trabalhando com a conservacao da energia, ¸˜ resultante atuando na massa e ´ cm mudamos o referencial agora para a posicao a ¸˜ abaixo de : rad/s m/s m/s http://www.if.ufrgs.br/ jgallas wt4hŒw‹q#ƒ‰{“‡qf © v ¤ g  i ¢ g  s z…E „ Š ˆ w † ©„ † E ©„ ¤ E i ¢ z…E Para a velocidade da massa, ¤ ¢ rad Suponhamos que as molas tem constantes diferentes, e . Qualquer deslocamento da massa produz a deformacao ¸˜ , que tamb´ m podemos escree ver como P´ gina 4 a ¡ ¡ ‚ 41 … rg3 1 ©  ”  Tamb´ m podemos chegar a este resultado pela equacao e ¸˜ de movimento. A amplitude do MHS subseq¨ ente e u ´ m e tomando quando a massa est´ a em , temos a constante de fase : 35P. Duas molas s˜ o ligadas e conectadas a determinada a massa , como mostrado na Fig. . A superf´cie ı e sem atrito. Se ambas as molas tiverem uma constante ´ de forca , mostre que a freq’¨ encia da socilacao de ¸ uˆ ¸˜ e ´ ‰ ‚n %g 1 G 1H C ©I rxPC € n ’g 1 G d 1 id © ¤ G C © II  b § © II  ¤ I C v I ¡ i ¡ s 6§ v I ¡ i ¡ s dgb %%id © G v i s ¡ C I ¡ ¡ © y¡ ¤C v i s ¤ © ¤ I C I ¡ ¡ 6 C ¡ © ¤ y„6 ‚ ¡ … 4g3 1 ©  P1 ” ¡ 41 3  u1 … g © ” ¡  u1 © ¤ C E C ¡ © E  ƒ ¤ ¨¨ƒiu1 ¡ ¡ E ƒ ¦ ¦ { db —i€   h b rp—d n'© wf%g 1 b 1 s UUuwed s ˆ’g s © B v`G TSRv p db v G g C UUR 7 s¥'© g s B TS  C n v `G 1 f%g 1 b „© g C r#˜ Rd g C r#€weid © fed n Rd˜ p db ` db g C r#˜ 7 © g s  Rd  v d © ~d g © hpb rqid © B B C § ¤ © ¤ I  ¤ }n I ˆ“1 1 i B 1 © I ˆy¡ § I ¤ ™ˆ ¤ ¡ G © ’g )C  § … © 41 |)C  ¤ zF“1 C © § 1 © §  sw¨¡ ¤ ˆ { u dgb U’` © 7 E d Ug dd fu` { f p db weid { ©  7  { u db —i€ ¦ na onde e a massa do cilindro. a ı ¸˜ partir do ponto de equil´brio? ı 50P*. 14ı 32). Na posicao de equil´brio. O objeto e deslocado ´ cm horizontalmente e empurrado a uma velocidade inicial de m/s.if.Prof. esteja estendida de m. IF–UFRGS 3 de Agosto de 2003. sobre uma superf´cie horizontal (Fig. com . (c) a energia cin´ tica inicial e (d) a e A energia mecˆ nica total do oscilador e a ´ m. (a) Qual a freq¨ encia do ¸˜ ı uˆ vada da energia mecˆ nica total em relacao ao tempo. (c) ¸˜ o ¸˜ ı Consideracoes Sobre Energia ¸˜ Mostre que nessas condicoes o centro de massa do ci¸˜ lindro executa um movimento harmˆ nico simples com o kg numa superf´ horizon. Jason Gallas.ufrgs.LISTA 3 .per´odo icie 42E. Se o sistema for liberado de uma posicao de repouso em que a mola ¸˜ . obtemos J. Portanto. sem deslizamento. a energia o a mecˆ nica total do oscilador e a ´ acordo com a equacao ¸˜ http://www. vem Hz (b) A energia potencial inicial e ´ Como o cilindro rola sem escorregar. (a) e ¸˜ translacao ¸˜ J J rotacao ¸˜ 46P.) a ¸˜ movimento? Quais s˜ o (b) a energia potencial inicial do a sistema bloco-mola. as 10:14 a. amplitude da oscilacao? ¸˜ Com os dados fornecidos. Um objeto de ı tal sem atrito e ligado a uma mola com constante ´ N/m. a energia total e s´ cin´ tica ¸˜ ı ´ o e (a) A freq¨ encia do movimento e uˆ ´ Considerando as molas iguais. Uma part´cula de ı kg est´ em movimento a a harmˆ nico simples em uma dimens˜ o e move-se de (c) Seguindo a sugest˜ o do enunciado. ache (a) a energia cin´ tica e translacional e (b) a energia cin´ tica rotacional do cie Secao 14-4 Movimento Harmˆ nico Simples: lindro quando ele passa pela posicao de equil´brio.m. Um cilindro s´ lido est´ ligado a uma mola hoo a rizontal sem massa de forma que ele possa rolar. A constante da mola e ´ N/m. ` Para a freq¨ encia teremos ent˜ o uˆ a (a) Em qual valor de a energia potencial da part´cula ı e igual a metade da energia total? (b) Quanto tempo ´ ` leva para que a part´cula mova-se para esta posicao . (Sugest˜ o: Ache a deri´ a direcao do ponto de equil´brio. e a energia cin´ tica rotacional pode ser expressa em termos da e velocidade linear : J (c) A energia cin´ tica inicial e e ´ J (d) Com a conservacao da energia temos ¸˜ A energia cin´ tica de rotacao vale a metade da energia e ¸˜ cin´ tica de translacao.br/ jgallas •‚k m rad/s rad B E 1 i ˜ 1 i —– 1  ¤ ˆ g ¤ C g ¤ g © ‚ ufeid © `` db ’ m m (b) dgb U’id ©   E ¤ ˆ ¢¤ © P´ gina 5 a E v —– g1 s g1 i —– g1 ©  B B ¤ ¤ s v ™ s v – 1 ‚1 i —– 1  B ¤ B ¤ ™ g g ¤ g © B ™PC2© B ˜ ‚ C sg1 i —– g1 ©  B ¤ ¤ b uw1– ` … 4t© 0 31 ‰hdb wu—id © db —i`  p 1 d b E ’ – ¦ ¦ ddd fu%g ¡ 3 r1 41  … g © ”   „© ¤ 2© ¢  i s Ž ¡ v ¤  f%w¢   „rg3 1 © ” ¤¢ db d —iUg G j”n qv H3 g db e` ‰€b w—id © E 7 1 E © 6’ i “ ©    ¤ ™ drp 1„© we%g s f—™p s uqid s v db d v db vpb ¤ B 1 © 6’  ¤ ¡ p 1 g © upqid s ffuUg s wrqid s v b vddd vdpb ¤ 1  E  © € ¤ ‘   db d erp p 1 b „© 41 © 1 3C ” ddb ueip „ ‹ {ˆ‡ ¤¢ u%ˆ tw4hƒwq#gŠ Œ‰“qqw  ¤ i ¢ © ` j3 s fr#™v —™p s †E H e Rd˜ db © © 6’  ©  ¦ . if. temos Na segunda parcela da equacao acima. vem (c) Na equacao para a aceleracao angular. que o movimento oscilat´ rio o forca resultante atuando e ¸ ´ inicia na posicao de m´ ximo deslocamento angular. de ¸˜ a : modo que a constante de fase A segunda na lei na forma angular fornece a forca de ¸ atrito est´ tico a atrito atrito Levamos este resultado para a equacao da velocidade do ¸˜ Levando este resultado para a equacao da forca resultan¸˜ ¸ MHSA: te. suportado num pla52P. as 10:14 a. Usando nas duas parcelas do lado direito da equacao aci.seu deslocamento e de ı ´ truindo” a equacao diferencial que descreve o MHS. levando ao per´odo do ı MHS do cilindro. ` kg. O disco e deslocado de um ´ a ´ de um angulo de ˆ rad. amplitude angular de rad e um per´odo de Ache (a) a velocidade angular m´ xima da roda.m Como a energia mecˆ nica total e constante. Jason Gallas. Um pˆ ndulo f´sico consiste em um disco s´ lido e ı o kg com um raio de cm uniforme (de massa e raio ).ufrgs. quando ¸˜ ¸˜ rad.LISTA 3 . a m rad/s m rad m rad/s m rad/s dpb r—d Ap´ s as devidas simplificacoes. Outra forma de se chegar ao per´odo pedido e ”cons. velocidade e aceleracao ¸˜ ¸˜ ¸˜ do MHS. no vertical por um eixo localizado a uma distˆ ncia do ´ a Um torque de N. Uma esfera s´ lida de o e suspensa de um fio vertical preso ao teto de uma sala.A constante de torcao do fio e ¸˜ ¸˜ ´ ma as relacoes para a posicao. a ´ .m e necess´ rio para girar a esfera centro do disco (Fig. Secao 14-5 Um Oscilador Harmˆ nico Simples Angu.m. A ¸˜ (a) Assumimos. a quantidade ¸˜ multiplicando e igual a ´ . pequeno angulo e liberado.Prof. Qual o per´odo da oscilacao. A roda de balanco de um rel´ gio oscila com uma ¸ o ı s. obtemos N. Ache uma express˜ o para o ı ¸˜ ˆ a http://www. 14-35). (b) a a velocidade angular da roda quando seu deslocamento e ´ de rad e (c) a aceleracao angular da roda.br/ jgallas P´ gina 6 a œ p Gb n pb d TS wei` p© —Q%UR 3 G ')C n © ¤3 g C UUR V }p© ¤v g s C TS ¤C n ` g G 3 © 3 g 3 €r#˜ z© 1 G Rd 3 g C r’˜ V © g s 3 V Rd v (b) ‚ vs © G n g f  ¤ Q3 o© s g C r#˜ V ¨o© g f  Rd v ¤C n ™ – C atrito m´ x. IF–UFRGS 3 de Agosto de 2003.m/rad O per´odo das oscilacoes ent˜ o e ı ¸˜ a ´ s m m m m 54P.Secao 14-6 Pˆ ndulos ¸˜ o ¸˜ e lar 64E. resulta o ¸˜ ¤ x qb †© ˜£ … 4†© 0 p 1 31 G V C ¤ 3 © z© d © ¥ pp€b uf—id © ™ – p © ˜ ¤ 1 `db ¤ © u—™p © V!y£ G j3 H 3 v S g C TUUR E…Cžn s g C Rr#˜ ˆ ieg C r#˜ E žn s g d E v Rd v ¤C g œ œ i g œ —– œB E E ˆ B §!© g s V ¦ v 1H uj3 d © „ qš› š B E 1 i —– ¤ ˆ g ¤ ¦ E 1 i v ™sv – 1s ¤ ˆ g ¤ B ¤ ™ g ¦ p Ug œ œ ¤ g ¡– œ E¤ ¤g œ v ™sv – E¤ g ¤ ™   px ¤C – d ¥E f` i © f1  g œœ v d © E ¨ˆ i ¤E r'– ¤ g œœ n E  n ¤ Ÿ– ” 6ˆ£'© E ¤ – f`  f1 © ¤ C g1 © ”   g1 s © f˜ © G ` ©  B g1 i ¤ —– g1 ©  E œ ¤g œ E ¤ i g1 ¢– s pf—bid € d 1 id b 1` © d ” ™ quando a esfera e liberada desta posicao? ´ ¸˜ O momento de in´ rcia da esfera s´ lida e e o ´ TS E C C UUR …žn s – 1` © d . quando ¸˜ ´ rad. claro. com eixo no ponto na Fig. a ı . devido ao Al´ m da forca gravitacional. este m´nimo e ı ´ s. s. ı 72P. Uma e determinada mola com constante de forca e ligada ¸ ´ horizontalmente entre uma extremidade da haste e uma parede fixa. (a) Repetimos aqui o problema anterior. (a) e ı Deduza uma express˜ o para o per´odo do pˆ ndulo em a ı e termos de e . ` per´odo do movimento harmˆ nico simples resultante. podemos escrever a equacao do MHS ¸˜ do pˆ ndulo f´sico. escre- ¡ P´ gina 7 a . 14-38. ¸˜ efetiva Usamos aqui diretamente a equacao para o per´odo e fazendo ¸˜ ı . o pˆ ndulo est´ sob amortecimento.tos do seu valor inicial. com a aplicacao do teorema dos eixos paralelos para obter o ¸˜ A mola exerce um torque restaurador sobre a barra momento de in´ rcia. vemos a equacao para o MHS da barra ¸˜ ` a ¸˜ obtemos na qual identificamos (c) Aplicando este valor obtido. . quando ı ¸˜ a haste e ligeiramente girada e liberada? ´ V°¨%UR W V TS © † ª œ ª b d © R i ¤g œ B ¤ ™4H § )i ¤ § 5 R ¤ R ³ V V±² ¯%©SUR $ a n T ¡ i ­ q‰ ® ¤ § ¬ ¦ ´¤ © ” ª s © C v ™ B ¤ 4H § )i ¤ § 5 ¤ · dd 1 © feb oD¡ ¡ ¦ ª mE H © ddb u—ug © ª ™ a ª ª x € 1 id )E b © x € 1 id © 1 g g … © ª b E œ i – 1 œ i ˜ ˜ © ¤ ¡ ¤ ™ g © ¤ ¡ E§ w41 g Ž r2© 0 31 E g ¤ r1 „i ¤ ª « ª œ § œ “1 Ž r2© 0 31 ¤ 1 i¤ ™ g G E zi ª ¤ 41 ¤ © ¤ E 1   `pb r—fg B E ¤ E ª `pb u—fg © ¦ d€ © u—b x s§ 0 ¦ ¦ . temos para o per´odo: e ı dado por (b) Precisamos agora derivar a express˜ o do per´odo em Da segunda lei angular. (a) Qual o valor de ? (b) Quanta energia foi ¸˜ http://www. Para pequenas oscilacoes. uma mola ( N/m) e . Um pˆ ndulo simples de comprimento e massa e est´ suspenso em um carro que est´ viajando a uma a a velocidade constante . as 10:14 a. uma forca de amortecimento ¸ ele oscila com uma amplitude de cm. (b) Para qual valor de e o per´odo e m´nimo? (c) Mostre que. em um c´rculo de raio . a distˆ ncia do ponto de suspens˜ o ao a a centro de massa do pˆ ndulo. com relacao a vari´ vel e fazendo a derivada igual a zero. Um oscilador harmˆ nico amortecido consiste em o um bloco ( kg). quando s˜ o completadas quatro ¸˜ ¸ ı a forme.para a varia´ vel e ı a rema dos eixos paralelos para ter o momento de in´ rcia e do eixo de rotacao passando pelo ponto se suspens˜ o do ¸˜ a disco: . a amplitude e reduzida para trˆ s quare ¸ e a ´ e a acao da forca centr´peta do movimento circular uni. atrav´ s do seu centro. Jason Gallas. 14-37.LISTA 3 . Uma haste longa e uniforme de comprimento e massa gira livremente no plano horizontal em torno de um eixo vertical.m. fica paralela a parede. Quando a haste est´ em equil´brio. 75P. se ı ´ ı me m/s .Prof.ufrgs. Uma haste com comprimento oscila como um pˆ ndulo f´sico. mas antes precisamos aplicar o teo. ı o A forca restauradora do MHS e ¸ ´ . Qual o a ı ` per´odo das pequenas oscilacaoes que resultam.if. cm onde A expres˜ o para o per´odo ent˜ o e a ı a ´ nos leva a freq¨ encia ` uˆ . Sua aceleracao efetiva vale ent˜ o efetiva ¸˜ a oscilacoes. como mostra a Fig. e os demais dados na express˜ o do per´odo encontramos o vaa ı lor m´n. qual ser´ a ¸˜ ı a sua freq¨ encia de oscilacao? uˆ ¸˜ Secao 14-8 Movimento Harmˆ nico Simples Amorte¸˜ o cido 83P. IF–UFRGS 3 de Agosto de 2003. do que resulta o per´odo ı db —™p B 1 d b d © · n © —iUg y¶D†  69P. Inicialmente.br/ jgallas ‚  ` 42© 0 ¡ … 31 7© © ¤C œ g G b d © V ª  i V¤ œ ˜ ¤ ¤   r˜ © ¤ $ ¤³ ¢ 7 © ˜ 1 ª fV 1 ª s µo© 1 ª ˆ'© ¤ v  n E n . Se ı o pˆ ndulo executa pequenas oscilacoes numa direcao e ¸˜ ¸˜ radial em torno da sua posicao de equil´brio. teremos a energia perdida pelo amortecimento. Sem os passageiros. (b) a massa do bloco. Um oscilador harmˆ nico simples consiste em um o bloco ligado a uma mola de constante N/m. o . a deformacao e ¸˜ ´ Escrevendo a condicao de equil´brio para cada uma ¸˜ ı das rodas. com ponto de ı equil´brio em ı e amplitude m. 14-42. calculamos pela diferenca ¸ N/m m Convertendo as unidades para confirmar o resultado. temos carro m O quanto a carroceria sobe ap´ s o desembarque dos paso sageiros. (d) a aceleracao ¸˜ (c) o deslocamento do bloco em do bloco em s e (e) a energia cin´ tica m´ xima e a alcancada pelo bloco. a d 1 d b € Gdb wred © ¤ }n ¢   ¡ i d x fg b ¡ „© B d E © ¡ ¡ Como e suposto pequeno. Com os passageiros a bordo. ´ levado a equacao anterior. numa superf´cie sem atrito. a a Quanto sobe a carroceria do carro em sua suspens˜ o a devido ao decr´ scimo de peso? e Vamos resolver o problema em unidades SI. IF–UFRGS 3 de Agosto de 2003.br/ jgallas d ©g dgb %%id © g libras. com saliˆ ncias ¸˜ e separadas de p´ s. passageiros kg m/s. tomamos m m 14. ` ”perdida” durante essas oscilacoes? ¸˜ Considerando obtemos . ¸ kg/s http://www. fornece o valor de ` ¸˜ kg/s. O carro balanca com amplitude e ¸ m´ xima quando sua velocidade e de a ´ milhas/h. O bloco desliza para frente e para tr´ s ao longo de uma a linha reta.m. viaja em uma estrada de terra coberta de pequenas ondulacoes (costelas).Prof. teremos d€ph uuffh p fd x b x © 7 ` b fhed © ¦ ´ 0 € d fGuebd ¤ © ¬ ©¿C · dg ¾ p b © %!„fd x G 6 § vdgb  vg€ vdd f%%id s „© Ueb yxs wurp s h‰gb 44’id © • S  © ¹uG s  v 0 ¼»hº& ­ 0 fG © g © ¤ ˆ ¢¤ ©  E g 1 d%’bd ib · g ©— 1†© 7 s3r2© 0 € 5 1 $ • S E„© E `G ¼»& •º­ ¦ 7 ¸ ¸ ¬ –¹· m m ‰`gb ˆ%%id ·  rp ½d d %g ¼»& º $ • S z© E u—id dpb E   d Ug dd urp ddg © uUug · d 1 fd f1 ` %g d€ f%g · `g `b Ui—id dd ufd 1 ¦ ¦ s que. Considere que vocˆ est´ examinando as carace a A freq¨ encia angular e uˆ ´ rsd/s e a conster´sticas do sistema de suspens˜ o de um autom´ vel de ı a o tante el´ stica do sistema de suspens˜ o e a a ´ total kg.if. a deformacao ¸˜ do autom´ vel inteiro e colocado sobre ela. (b) A energia inicial do oscilador e o ´ J. O P´ gina 8 a g Secao 14-9 Oscilacoes Forcadas e Ressonˆ ncia ¸˜ ¸˜ ¸ a d 1 © ud Ä Tomando o logaritmo natural dos dois lados da equacao ¸˜ chegamos ao valor da constante de amortecimento © ¤C p x g’d © i—b x urwquhbhpp G %g ©  ˆ b g € d €@ ` ¾ 1 § ¡ ©¢ h ‰ G g b g € d € p¾f x ™’%id © eb ux ufFh € fx ©  ru § ¡ © ¤ ¡ © db z6 x —ˆ‰ © © ¤Â¦ 2C b h € € b ‰h G bc uu—id © ™x`G © B © 0 E h x i` © b ‰ˆeG © ÁE Gb B dpb ` vp hb g v i x u—G 1 Ug © uwefi€ s wG s À€ fx © m´ x. Al´ m diso ´ e da suspens˜ o e a ´ so. A massa total e ´ total carro m total o J A amplitude m´ xima ocorre quando a a distˆ ncia entre as costelas temos a podemos calcular o per´odo ı Descontando esse valor da energia inicial. considerando que cada uma suporta kg. a amplitude da oscilacao diminui ¸˜ durante uma oscilacao completa. Um gr´ fico a da velocidade do bloco como uma funcao do tempo ¸˜ e mostrado na Fig. levamos estes resultados para a equacao da posicao do ¸˜ ¸˜ movimento amortecido: Pressupondo um pequeno valor para . Jason Gallas. Agora s . transportando quatro 87P. 85P. Para . Para m. Um carro de pessoas de libras. Quais s˜ o (a) o per´odo do ´ a ı movimento harmˆ nico simples. quando o peso N/m.LISTA 3 . A suspens˜ o ”cede” a cm. Estime os valores de e para o ¸˜ total m sistema de mola e amortecedor em uma roda. as 10:14 a. que e ´ J.3 PROBLEMAS ADICIONAIS 88.ufrgs. da equacao para a posicao ¸˜ ¸˜ carro ent˜ o p´ ra e os quatro passageiros desembarcam. m correspondem as ` polegadas nas resposrad/s e o per´odo ı se tas do livro. ufrgs. Portanto. IF–UFRGS 3 de Agosto de 2003. Ent˜ o.Prof. a ı teremos http://www.m.LISTA 3 . Qual o per´odo de oscilacao com um eixo ı ¸˜ inserido no ponto ? œ ˜ ª 1g ª 1g i ª ` ˜ ¤ ¡ p © ¤ ¡ g ¤ ¡ g © ¤˜ i ¢˜ © ˜ m/s Ä GH ª Ä ¡ ª ¡ b G ª n'© v ª s 41 xwd s ©  1 rH n ¡ i v ¡ x cm ¦ ¤ C ¡ © ¤ y„6 dwb™‰ x g ©¨3 r#mwd 1 d s v 3 f%g s o© w%%id © g s a G Rd˜ v b dd n vdgb ¤ dgb %’d © g d 1 d © z© fd s E b E v d ©g d H3 d 1 d © ¤ u3d d %g © 0 jr1 ‘¡ b 1  © p x i` © B ¡ g1 © ’ b ¤   Ä d b 1 d © 0 ¦ s P´ gina 9 a . ` (a) Basta observar o gr´ fico para obter o per´odo: a ı Precisamos primeiro determinar a posicao do centro ¸˜ s. 14-44. o centro e a a de massa do sistema formado pelas duas hastes est´ a a ` distˆ ncia a abaixo do ponto . O momento de in´ rcia do sistema e a e ´ (e) A energia cin´ tica m´ xima alcancada pelo bloco e e a ¸ ´ m m J Levando os valores de e para a express˜ o do per´odo. A origem do sistema de referˆ ncia est´ colocado no ponto . respectivamente. kg (c) O deslocamento do bloco em m e ´ m (d) Para a aceleracao em ¸˜ s. o comprimento e a a massa de cada uma das hastes.if. Um pˆ ndulo f´sico consiste em duas hastes com um e ı metro de comprimento que s˜ o ligadas como mostra a a Fig. de massa das duas hastes. a´ temos a ı distˆ ncia ”d” do centro de massa do pˆ ndulo ao ponto a e de suspens˜ o.br/ jgallas p 1 ª 31 ‚ x —b 2© § r` p Ž r„© 0 91. Jason Gallas. as 10:14 a. onde e s˜ o. Do cap´tulo sabemos que ı (b) A massa do bloco calculamos pela relacao ¸˜ . . ı 15. .LISTA 3 . . . . . Numeracao conforme a quarta edicao do livro e ¸˜ ¸˜ “Fundamentos de F´sica”. . . . . . . .4 Gravitacao no Interior da Terra .2.br/ jgallas Conte´ udo 15 Gravitacao ¸˜ 15. . .br/ jgallas   3 4 4 7 8 10   . .2.2. .Prof. . . Coment´ rios/Sugest˜ es e Erros: favor enviar para a o jgallas @ if. o 15. ´ 15. . . .2. ` Exerc´cios Resolvidos de Dinˆ mica Cl´ ssica ı a a Jason Alfredo Carlson Gallas.ufrgs.if. IF–UFRGS 8 de Dezembro de 2003. ı 15. .7 Orbitas de Sat´ lites e Energia . . . . . .1 Quest˜ es . .2.2 Problemas e Exerc´cios . . Resnick e Walker. Alemanha ı Universidade Federal do Rio Grande do Sul Instituto de F´sica ı Mat´ ria para a QUARTA prova.6 Planetas e Sat´ lites: Leis de Kee pler . ı Esta e outras listas encontram-se em: http://www. .8 Problemas Adicionais . . . . . . . .2 Gravitacao e o Princ´pio de ¸˜ ı Superposicao . . .2. . .1 A Lei da Gravitacao de Newton ¸˜ 15. .3 Gravitacao Pr´ ximo a Su¸˜ o ` perf´cie da Terra . .2. . ¸˜ 15. Halliday. . professor titular de f´sica te´ rica. . . ¸˜ 2 2 2 2 2 15. . . . .tex) P´ gina 1 de 10 a http://www.5 Energia Potencial Gravitacional 15. as 12:32 p. . . Jason Gallas. .ufrgs.2.br (listam3. ı o Doutor em F´sica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique.ufrgs.if. .m. . e 15. . a e ´ a massa da sonda. antes de ser feita Use . que m & s   ) & r g AYh$ ) "   ) & i g qph$ )  ) ¢ r tg X  ) "  i pg ) ¡ ) 0( ¦¤ §¥£  E c 9 G¦ 9 eAEd ¤      2 5 3 63 42 D E 1   F© ) 0(  ¥© ¥¦      ¤ ¨ ¥¦ ¤ " " S &P & $ " QRQ'IH! ) !  &  '$ & ¢ ¢ " H! 1 " )  G¦ ¡ ¡ ¡ . onde e s˜ o as massas a ¸ do sat´ lite e do meteoro. deve estar uma sonda espacial para que a atracao gravitacional anule a da ¸˜ Terra? No ponto onde as forcas se equilibram temos ¸ E 15-1 (14-1/6 edicao) ¸˜ Qual deve ser a separacao entre uma part´cula de ¸˜ ı kg e outra de kg. Fazemos uma cavidade esf´ rica numa bola e ı de chumbo de raio . temos que e. A massa da esfera. medida ao longo da linha que a une os centros da Terra e do Sol.1 Quest˜ es o Q 15-11 A forca gravitacional exercida pelo Sol sobre a Lua e ¸ ´ quase duas vezes maior que aquela exercida pela Terra. as 12:32 p. era . ipg rtg u ‚ V X ƒ     £ FG0 ( s   9 v aX ) r g 2 " x r g €V i g x x i pg yX "   ) i g 15. a magnitude a da forca que ela exerceria em seria ¸ .ufrgs. ` 15 Gravitacao ¸˜ 15.if. Suponha que um meteoro de kg passe a m da superf´cie do sat´ lite. e Chamando de a distˆ ncia do centro da Terra at´ o cena e tro do Sol.LISTA 3 . segue O problema que segue foi retirado do exame “Ol´mpico” ı de 1946. A distˆ ncia a cavidade. que est´ a uma distˆ ncia do seu ´ e a ı centro. a distˆ ncia do centro da Terra at´ a e a distˆ ncia do centro do Sol at´ a sonda.2. Qual a intensidade da forca gravie a tacional com que a esfera cˆ ncava atrair´ uma pequena o a entre os centros e ´ m. IF–UFRGS 8 de Dezembro de 2003. Portanto tros das esferas e da cavidade? http://www. onde a a e o raio do sat´ lite e a distˆ ncia entre sua superf´cie e esfera de massa .2 Gravitacao e o Princ´pio de Superposicao ¸˜ ı ¸˜ E 15-6 (14-7/6 ) 15. extraindo a raiz quadrada e re-arranjando. com m de diˆ metro e massa igual a ı a kg. Por que a Lua n˜ o escapa da Terra? a A que distˆ ncia da Terra. 15-31). devida ao sat´ lite.Prof.m. para que sua forca de atracao gravita¸ ¸˜ cional seja N? donde. Jason Gallas.2 Problemas e Exerc´cios ı onde e s˜ o as massas da Terra e do Sol.2. passando tamb´ m e pelo seu centro. da Universidade Estatal de Moscou (veja Fig. a e a sonda.br/ jgallas P´ gina 2 de 10 a  –X ( & g $ —h%"  ! & ¤ N Se a esfera de chumbo n˜ o fosse oca. respectivamente. medida ao longo da linha que passa pelos ceno centro do meteoro. de tal modo que sua superf´cie toca o exterior da esfera de chumbo. e P 15-15 (14-13/6 ) •”‰ † “ 4eCˆ‡e …ƒ ‘‰ † ƒ … „ V feCˆ‡eƒ R’ u ¤    £ D £¤ “ Eda–G§¥¦ " "      ¤ C7 B© ¥¦ 9 ¨ A¦ 9 ¦ A£ @87  ¤ ¤ ¤ 9   2 2 5 3 63 42  &  '%#! & $ " O m´ dulo da forca gravitacional e o ¸ ´ donde tiramos que . Parte desta forca e devida ao material que e removido. ¸ ´ ´ X U Um dos sat´ lites Echo consistia em um bal˜ o esf´ rico de e a e alum´nio inflado. portanto. Qual a forca gravitacional sobre o ı e ¸ meteoro.1 A Lei da Gravitacao de Newton ¸˜  v X wu"  15. nesse instante? e ¢ E 15-4 (14-3/6 ) & g ¡ U ©     ¤ ¦ 87 EdD AI" X c  " © V £  " X V U EbaY`#YWI" S Q& 5   P T& 9 5 f2 ¤ m Perceba qu˜ o util foi realizar a simplificacao algebricaa ´ ¸˜ mente antes de substituir os valores num´ ricos. obtemos esta equacao para e usando os valores num´ ricos for¸˜ e necidos no Apˆ ndice C. A leitura da balanca fornece o valor de ı e ´ ¸ regado de um lugar para outro.3 Gravitacao Pr´ ximo a Superf´cie da Terra ¸˜ o ı http://www. a ı o repouso.a forca da gravidade. o a . perceba que ¸ . Subse ¸˜ tituindo . ` A que altura. ra e ı e ´ e a leitura da balanca quando o navio est´ em ´ ¸ a qual ser´ seu per´odo no p´ lo sul? Utilize a Fig. para baixo. para ´ e ¸ ¸ mo e diferente em lugares diferentes da superf´cie da cima. ¸ o A cavidade tem raio . j´ cancelando-se o fator comum o a . com . e subtraia-a da ¸˜ forca feita pela esfera s´ lida. onde e a velocidade angular da Ter´ Se o per´odo de um pˆ ndulo e exatamente s no equador. de modo que a forca que a ca¸ vidade exerce sobre e ´ )  gh$˜" )0( { ¦ c AIwD ˆ¨ ¤ D " ¤ ( €  9 I—U € V  D ˆ¨ ¤ 2 (U g $ h" €{ V U Im" ¢ € ) g ¡ Calcule a forca exercida sobre por uma esfera que en¸ cha a cavidade. temos e P 15-29 (14-??/6 ) Um corpo est´ suspenso numa balanca de mola num naa ¸ vio que viaja ao longo do equador com velocidade . O per´odo de um pˆ ndulo simples e dado por ı e ´ (a) As forcas que atuam num objeto sendo pesado s˜ o ¸ a .2.pectivamente. possui uma aceleracao centr´peta. cujas magnitudes chamaremos de ´ ı e .Prof. 15-7. temos E 15-18 (14-15/6 ) ¡ † U © " " fx ¤ ( oAwv9 F¦ u X ™ F¨ ) o y 9 ¦ v X z ( 2 ( D ¤  FD AI" 9 ¤ ¦  X UlwX c v v n & g m—h$ 2   ( U v q ltsrc c  g U˜" d tg ) " g jie c  9 ¦ lhX U v ¤ ( & 9 c g $2 ( 2   £ © ¤ ––c ˆD   ¤ 2 Fc ˆD 1 5 v p n ( e & | ~ ‚ { 0( { U e U ¦  X & g —h$ ( U " g hge ( U ˜" g f" "  ! " ~ x s & ) & " ~ x | x ( e ‡) | ¢ z " " } ™ ¦ " | { y‡Iwrx U z ~ | " d g { { 1  pv  um! ! ! " " | x { 0( ¦ ( z { y‡¦ ‚ ™ U v WkX ¡ e ) 0‡( d Yg . IF–UFRGS 8 de Dezembro de 2003. Jason Gallas.m. onde e a massa da Terra e e a distˆ ncia do centro ´ ´ a da Terra at´ o ponto onde se mede a aceleracao. (b) explique o sinal de mais ou menos.br/ jgallas P´ gina 3 de 10 a … … ‡ U Š %HŽf" V  &  cuja raz˜ o e a ´ obtemos . (a) Mostre que a leitura da balanca ser´ muito pr´ xima de ¸ a o E 15-16 (14-??/6 ) . Resolvendo-se altitude. Desta ultima express˜ o onde e a velocidade do objeto medida num referencial ´ a ´ inercial e e a massa do objeto. onde A relacao entre as velocidades e ¸˜ ´ s s e a velocidade angular da Terra quando gira. Portanto.if. medida a partir da superf´cie da Terra. O material que preenchea tem a mesma densidade (= massa/volume) que a esfera s´ lida. Como o objeto est´ viajando num c´rculo de raio a ı p´ lo sul e no equador s˜ o. respectivamente. onde e a massa que ´ preenche a cavidade. A segunda lei de ¸˜ ı Newton fornece-nos ` 15. onde e o comprimento do pˆ ndulo. e a forca da mola. temos que .ufrgs. as 12:32 p. 15-7. e e a ´ ´ velocidade do navio em relacao a Terra. resTerra. na posicao da cavidade. Ou seja. o per´odo de um pˆ ndulo varia quando ele e car. e porcao de agua sob ele (de oeste para leste) e negativa se ¸˜ ´ s  U  & Wu" † v ‹ ! Š s s ~ 5 ™ ¦ " ~ { } ‡It7x e … † ‹ Œ! Š ¤ m „   –Ed 5 ©¤ 3 D ˆ¨ ¤ v ƒ    c ¤    9 8 EdFD ¥£ 9 e Ed ¤ 2 5 3 63 ‚2 ¢ „ Ed ¥¦   ¤ 3 9 { ( ‰ … Š ¦ ‡ y0‰ˆ† ‰ 2 † 1 A magnitude da forca exercida pela esfera furada e ¸ ´ U lv } { g h$ U dv ) " " " " € O centro da cavidade est´ a uma distˆ ncia a a da massa . onde e o raio da Terra e e a ´ ´ . A aceleracao devida gravidade e dada por ¸˜ ´ . O sinal e usa¸˜ ` ´ do se o navio estiver navegando no mesmo sentido que a onde os valores num´ ricos foram tirados da Fig. a ı aceleracao da gravidade ser´ ¸˜ a m/s ? Para comecar. Portanto.LISTA 3 . os per´odos no ı . ´ . Co. est˜ o com seus centros alia cm e cm. as 12:32 p. ` (c) Um ponto a km abaixo da superf´cie est´ na interı a face manto-n´ cleo. onde a primeira parcela e a massa do n´ cleo e a se´ u gunda a do manto. onde e a massa conjunta ´ do n´ cleo mais o manto e e o raio externo do manto. (b) Suponha que um poco (o Moho) e ı ¸ ´ escavado desde a superf´cie at´ a regi˜ o que separa a ı e a crosta do manto. Portanto.if. A massa total da Terra e ´ kg e seu raio e 6370 km.Prof. que ƒ 8 Ea¨FD ¤A£I" ƒ  EhœA ¤ˆ¨BV 8 EaŽ©–D ¤–m"jg ƒ „ E›`6F© ¤    £ ¨ { " —U  & g g 3 de modo que (b) Agora . Substituindo agora por obtemos. Como a massa e suposta uniforme´ leste. em corte. a km de profundidade. bem como as maso o sas contidas em cada uma. A massa em quest˜ o e a ´ kg.br/ jgallas   c FF#"  & ¤ G m/s ¤ kg ¤ G o ©¤ n ¤ ƒ 8 Ed'AD ¤¥£%" 9 8 cFD ¥£ ƒ £5 3 2 6¨G© ¤ o U3 ež n U e     £ ¨ C9 „ Ed6G© ¤ D ¤ˆD˜" 3 9 ƒ –EdwAD ¥£ 9 e¥ ¤      ¤      42 2 5 3 y3 ‚2 C9 „ Ed£6G© ¤  ¨ ¨Fc ¤ˆD˜" 3 42 9 ƒ –Ed›¨GD ¤¥£ 9 e¥ ¤   5 3 y3 ‚2 5 ¨ " ˜X i pg ¦  " 0Htz   ¦ –GŸ" e & 2 i pg „   ¢ i tg 9 ž U U e e 2 ( ¨ " ¡ X £ F¦ „ EQ6F© ¤    £ ¨    –E"  &  & " " i U " " e & 3 " { Com o navio parado. 15-35. sobre .4 Gravitacao no Interior da Terra ¸˜ antem˜ o um fator a comum a ambos os raio.)(Medidas preı cisas de funcionam como sondas bastantes sens´veis ı para estudar a estrutura do interior da Terra. u ´ m.2. a segunda lei de Newton fica A aceleracao devida a gravidade e ¸˜ ` ´ e o raio da Terra.m. a a a Terra est´ dividida em trˆ s regi˜ es: uma crosta extea e o rior. .5 Energia Potencial Gravitacional P 15-46 (14-31/6 ) As trˆ s esferas da Fig.LISTA 3 . Portanto g ¤ G U  'U © ¤ –c ˆD ( g $ hš" " Ao expandir o parentesis podemos desprezar o termo pois a magnitude de e muito menor que ´ . 15-35 mostra. embora os resultados possam ser mascarados por variacoes de den¸˜ sidade locais. portanto. o interior da Terra (a figura n˜ o est´ em escala). a leitura e ´ e. Jason Gallas. A figura mostra u as dimens˜ es radiais destas regi˜ es. ge g. ´ " " { ! & " g {  6… {  U v ‹ ! BŒf" ‰ ( U ŽŠ s † & g $ " —hšf! ¤ … Š & ¦ ’ ”y“GYWU  k‘qIH! Š & v ‹ ! " U & u" … U Š ¦ ‡  U  Ž‡YŽ'ŽŠ U ¤  9 pWŽŠ … ‡ U … Š & ¦ yk‡m’ ‰ ¤ •{ ˜ … Š y0¦ {   ’ –  —‰ 2 V & W" † … † " † " •˜… † £ F¦ " ¢ † v ‹ Œ! { 0( † v ‹ ! ‰ † v    c ¤ ƒ  EW™FD ¥£ £{ F¦ & U  Š Žk& { ¡ & m/s .2. Longe de ser uniforme. enquanto que o sinal e usado quando navegar mente distribuida. o manto e um n´ cleo interior. de acordo com a Fig. qual o valor de no fundo deste poco? (c) Considerando que a Terra ¸ e uma esfera uniforme com massa e raios iguais aos da ´ verdadeira Terra. Qual o trabalho realizado sobre (a) A magnitude da forca numa part´cula com massa ¸ ı (a) por vocˆ e (b) pela forca gravitacional resultante e ¸ na superf´cie da Terra e dada por ı ´ .) A aceleracao da gravidade e ¸˜ ´ 15. pode ser encontrada multiplicando-se ´ em direcao ao oeste. IF–UFRGS 8 de Dezembro de 2003.ufrgs. qual seria o valor de a uma profundidade de km? (Veja o Exerc´cio 15-33. finalmente. temos P 15-34 (14-25/6 ) A Fig. simplificando de ´ 15. (a) calcule ´ e ¸˜ na superf´cie. na superf´cie de uma esfera de raio u ı (b) O sinal e usado se o navio navegar em direcao ao ´ ¸˜ m. Portanto  9 „ Ed © ¤  5 9 ƒ8Fc–D ¤A£ 9 87¥E‚2  ¤ 3 l 2 563  42 3U g h$ m/s U navegar no sentido contr´ rio (de leste para oeste). com massas e g. 15-38. devido as outras esferas? ` P´ gina 4 de 10 a http://www. ¸˜ a massa por unidade de volume pelo volume da esfera: . sendo a esfera do meio at´ que a sua distˆ ncia centro a centro e a de seja cm. Vocˆ movimenta e nhados. onde e a massa total da Ter´ ra e e o raio da Terra. Supondo que a ´ Terra e esf´ rica e ignorando sua rotacao. Com onde a e a massa total da Terra e ´ isto tudo. . se cair de uma distˆ ncia de e a o a ticular. e e a ´ o ´ ´ massa da part´cula ejetada. onde e a aceleracao da ´ ¸˜ (b) Inicialmente a part´cula est´ na superf´cie. Jason Gallas. ´ Como o resultado e positivo. e n˜ o importando qu˜ o longe da Terra o foguete ande.LISTA 3 . a a gravidade na superf´cie. Considere a energia cin´ tica ı e . A enerı a ı gia potencial e ´ e a energia cin´ tica e e ´ . portanto.Prof.if. ent˜ o. portanto. Substituindo por .seja ´ ` ¸˜ a energia cin´ tica final. Inicialmente a part´cula est´ na superf´cie do ası a ı ter´ ide e tem uma energia potencial o . e resolvendo para ı mos que encontra- U ( & & g $ v —h`Ÿ" i U { { ¦ ¤  A˜"  ™& …  & ¦ GYV i U £ ¢ £ ¤ i U ¬ YV ¤ i U ¦ ‚ { ¦ 6™i"  … & ¬ £ ( { U { & pv £ ¤¢ V & U U h$ g { ( U v m" tV ¬ & g —h$ £ £ y¢ " " " ¦ 6™&  … ( ¥ " ° ¯ ® ¥‰V u" ¬ ¬ ¥ ¥ ´ ¥ ³ ²¢ ‰ @0± ¥    FF …  ¢ i U © {   FF£ & " ˜w¦ y™&  … ( ¥ g    –F ¡ " ª… i ‘U ˜ £ ¢ ˜ { i U ¤ s ¤ ¥ ¬ i‘U G­Y¦ 6™f" & ¦ "  … & ¬ £ g $ i U { hu" ( ( { X v llz X ¦ & v – e dv  & r '$ &   § c ¤ – ˆ ¨ ¤ F ˆ – v  ¤  v  ¤ ¦ § F¦ ˆdFc A   & v " i p«‘U X z X v dlz v v   v m"  &  & & '$ & ¥ Ž¢ e & '$ e & '$ X v dlz z X v v   v H"  &  & & '$ & £ ¤¢ e & '$ e & '$  9 E¨A 9 e Ed ¤  ¤    2 5 3 y3 ‚2     ¤ £ v e Ed ¥©#" 9 ¤ (     ¤ £ e  ¥'V & & g $ v —h`«"   £ ¢ £ ¤¢ v ¥ y¢ 2 ¢ " " " v #" £ ¢ ¡ " i U ¦ x B… { i U v † ¥ y¢  & { v i U x IB… ¦ " g " { i U ¥ ¢ x ¦ † ¡ . as 12:32 p. J onde e a massa do aster´ ide. quando estiver muito distante da Terra. orientado para cima. Suponha a part´cula a uma distˆ ncia ı a acima da superf´cie quando ela atinge momentaneaı mente o repouso. Usamos o fato que ´ . o Um foguete e acelerado at´ uma velocidade ´ e As energias cin´ tica e potencial s˜ o nulas. ´ a massa do foguete. A energia potencial inicial e e ´ enquanto que a energia potencial final e ´ O trabalho e. ` (a) O trabalho feito por vocˆ ao mover a esfera de Considere a energia potencial final como sendo zero e e massa e igual a variacao da energia potencial do sis. A energia potencial final e ´ P´ gina 5 de 10 a http://www. Para o foguete conseguir escapar. (b) Mostre que a sua vea locidade. A energia cin´ tica inicial e e ´ onde. usamos . (b) Chamemos de a energia cin´ tica final. (a) Usamos aqui o princ´pio da conservacao da enerı ¸˜ (b) O trabalho feito pela forca gravitacional e ¸ ´ gia. Inicialmente o foguete est´ na superf´cie da Terra a ı e a energia potencial e ´ . ser´ a . e e o raio da Terra. a conservacao da ener¸˜ gia deve fornecer uma energia cin´ tica final positiva.objeto atingir´ o aster´ ide. onde e a massa da Terra. Ent˜ o e a tema das trˆ s esferas. P 15-48 (14-35/6 ) (a) Qual e a velocidade de escape num aster´ ide cujo ´ o raio tem km e cuja aceleracao gravitacional na su¸˜ J perf´cie e de m/s ? (b) A que distˆ ncia da superf´cie ı ´ a ı ir´ uma part´cula que deixe o aster´ ide com uma veloa ı o Perceba qu˜ o util foi realizar a simplificacao algebrica. o foguete tem energia ´ cin´ tica suficiente para escapar do campo gravitacional e terrestre. existe um termo em ambas express˜ es de o e km sobre a superf´cie? ı que se cancelam ao considerarmos o trabalho. a e a pr´ ximo a superf´cie da Terra (aqui o ` ı e o ´ conservacao da energia nos diz que ¸˜ raio da Terra) e. e o seu raio. Em par.m. A part´cula conı inicial como sendo P 15-47 (14-33/6 ) segue apenas escapar se sua energia cin´ tica for zero e quando ela estiver infinitamente afastada do aster´ ide.cidade radial de a ´ ¸˜ m/s? (c) Com que velocidade um mente antes de substituir os valores num´ ricos.ufrgs. IF–UFRGS 8 de Dezembro de 2003. Ent˜ o e a e. (a) Mosa tre que ele escapar´ da Terra.br/ jgallas " ¥ Ž¢ ¤   Ed F ¤ e 5 9 FF£ 9 © ¦ ‚      e 2 2 m/s … U ( & g $ —h•" " " U ¦ ‚ { £ ¢ ¦ 6™µ"  … & ( " ›… £ € ¬ (a) Basta usar-se o princ´pio da conservacao da enerı ¸˜ gia. Portanto. de acordo com os dados do problema. Com isto tudo. Duas estrelas de nˆ utrons est˜ o separadas por uma e a distˆ ncia de a m. a conservacao da energia e ¸˜ Portanto nos diz que de onde obtemos que P 15-51 (14-37/6 ) http://www. a conservacao da energia nos fornece que ¸˜ .m. A energia cin´ tica final do sistee .LISTA 3 . Usamos o princ´pio da conservacao e a ı ¸˜ donde tiramos que da energia. Jason Gallas. pois as estrelas est˜ o em repouso. onde e o raio de ´ qualquer uma das estrelas. A energia cin´ tica inicial e zee ´ ro. Esta pr´ tica e salutar!!! :-)) a ´ ˜  Ed¦  – ‰ Ce Ed ¤ º   v ’  e 5 63 3 »    ¤ –Edc – 1 m/s s … g  —YV ¥ ) g $  hF¦ – v ˜ £ )  ¥ )  ¥ 0( ) v #"  g $ v mh`¡"  £ ) g  h$ g h$ } v ¥ y¢ " " " …  9 –F˜`FF£      V   e  9 –G£ 9 © ¦ 2      e 2 2 e    ¦ x "   e ¤    ¨  ¤ r¨ – e   Ed 9 F–E€FF–© ‚     v    2 v 9 Ed–G£ 9 © ¦ }      e 2 2 €‰€U V v ˜U ¦  U ¦ { { 1 … Resolvendo ent˜ o para a encontramos (b) Imediatamente antes de colidirem a separacao dos ¸˜ centros e ´ m. A energia potencial inicial e ´ . A energia potencial final e ´ dada por e a equacao da conservacao ¸˜ ¸˜ da energia fica agora sendo ¤ U ’    ¦ " U ¦ ‰™·šG·" ¥ ) "  'U ¤  … g h$  ¦ V ‰U { €YWU V v#" v  'U { ¢ & Cancelando-se mos e substitutindo-se por obte- m/s g ‰ E  e ‰ C  ƒ Ed¦ ¤ˆcu" 9  0‰ E 9@e  ¤  e 2 5y3 ‚2 1 3 £ ) g h$ £ ‡( ) ¤  —YV … g  £ g $ v m) h`¡" £ ‡( ) … g ¬  …—g—"¦  …—g‰V©¦  —m" ¥ ¦ ( (£ )  g $ ¦ v mhG©" £ )  g $ mhF¦ £ ¢ ( v #" ¥ ¢ £ )  g mh$ ‰  C6 ’ v   1  ¹" " £ ¢ … ¡  «" e e a energia cin´ tica final e e ´ Com isto. e co´ mo elas tem a mesma massa. . as 12:32 p. em repouso. IF–UFRGS 8 de Dezembro de 2003. Imediatamente antes de atingir o aster´ ide o a energia potencial e ´ . ma e ´ (c) Inicialmente a part´cula est´ a uma distˆ ncia aciı a a a conservacao da energia nos diz que ¸˜ ma da superf´cie.if.Prof. onde e massa de qualquer uma das estrelas e sua separacao ´ ¸˜ inicial centro a centro. quando sua separacao tiver diminu´do para a ¸˜ ı metade do valor inicial? (b) Qual a velocidade das duas obtemos estrelas. Ambas possuem massa de kg e raio de m. A enera gia potencial final e ´ . suas velocidades e energias cin´ ticas s˜ o iguais.br/ jgallas ¤ m/s P´ gina 6 de 10 a ‰  C  Observe que se pode simplificar “de cabeca” o que esta ¸ dentro do radical. Sua energia potencial e ı ´ e sua energia cin´ tica inicial e e ´ . Escrevendo para energia cin´ tica. imediatamente antes de colidirem?      £ –Gpv € ¥ ¬ { s € V YWU ¦ v H"  … V ‰U v   U { { &  U g h$ { €€€U V ¦ U v m"  ™& … V v & g —h$  & g —h$ ¤ ¤  ™& … U (  9 –FE 92  ¦ & g $ v —h`¸" V U v m" & g —h$ e U dv 9 —mU € V ¥ y¢ € V ‰€U v & g —h$ 2 ( ¤    ¤ Ed£ A¦ ’ v 9 FF£ 9 © ¦   e EdFF£ 9 © ¦ 2 2  2  …d˜U ¦ 2 v {  U ¦ { 9 ˜uU € V  ·" ¬ & g $ v —h`¶£ " 2 ( " " " & g $ —h`v " " " " € … ¦ 6™&  … ( £ ¢ . uma vez que a m separacao final e ¸˜ ´ . ` Substituindo-se por e cancelando (a) O momento das duas estrelas e conservado.ufrgs. Se estiverem inicialmente em repouso uma em relacao a outra: (a) com que rapidez estar˜ o se ¸˜ ` a movendo. o raio da orbita e ´ ´ kg m.. A massa total Um sat´ lite da Terra est´ numa orbita el´ptica com apoa geu de km e perigeu de km. faca uma a ı ¸ estimativa grosseira do n´ mero de estrelas na Gal´ xia. distribu´das de maneira uniforme num volume esf´ rico ou. o m e o raio da Terra. . de u a e a ´ ı a massa do Sol. al´ m disto. Fobos. s com per´odo de ı anos. ´ O Apˆ ndice C informa que a massa e de Marte e a velocidade e dada por ´ igual a vezes a massa da Terra.) o centro da Gal´ xia. n˜ o?. (Sugest˜ o: ¸ Veja o exemplo 15-10. (a) Chamando de o raio da orbita. e o raio de Gal´ xia. o per´odo e ı ´ O Sol. Jason Gallas. que tude da forca gravitacional que atua no sat´ lite e dada ´ ı ´ ¸ e ´ perfaz s. ` 15. A forca aponta para eixo maior e (b) a excentricidade da orbita. A magnitude da aceleracao do sat´ lite e e ¸˜ e ´ dada por .e. equivalentemente. Como o raio da Terra e ´ m. Supondo que todas as estrelas da Gal´ xia tˆ m massa igual a do Sol e que est˜ o a e ` a minutos. claro. A segunda m. orbita em torno da Via L´ ctea. u ´ ambas express˜ es. A menor distˆ ncia (o perigeu) e a ´ lei de Newton fornece-nos . Em O n´ mero desejado e. u a E 15-62 (14-47/6 ) Chamemos de o n´ mero de estrelas na Gal´ xia.. temos „ Y © ¤   „ EWkF§¤    £ £ " ‰™Fb3 V „ EW © ¤     c5    " | d`U e 3 „ E‰k© 5 ¤ 3 "      e 5 3   #V „ E— © ¤ ©   " ¢ U 3 5 3 m s e ¦ „ Ed¨ ¤ " „ Ed 9 £F§¤ ©© ¤ £ V 3 3 3 3 ¦ 5 42 U | tV ¢ U ¤¨ c 5    ¦ Ed–c ¤ e £F§¤¥£%" ¦ 9 „ EdG§¤ 5 G¦    © £ ™ 3 ‚2 ) E 15-58 (14-43/6 ) ™ G¦  c –E ¢ " ) … ™ ‡¦ " " uma boa concordˆ ncia. Portanto (b) Como a circunferˆ ncia da orbita e e ´ ´ . ´ u a E 15-60 (14-45/6 ) Um dos sat´ lites de Marte.LISTA 3 .. que o Sol a e est´ praticamente na superf´cie desta esfera. 15-16 vemos que o semi-eixo maior e ´ http://www.if. onde e a sua velocidade. e ´ Gal´ xia.Prof. onde e a massa da Terra e e a mas´ ´ sa do sat´ lite. as 12:32 p. Da ´ Fig. onde e a sua velocidade. m. Portanto. IF–UFRGS 8 de Dezembro de 2003.2. Calcule (a) o semie a magnitude da forca gravitacional ¸ da Gal´ xia e a ´ ´ a atuante no Sol e ´ . cuja massa vale kg. A segunda ´ lei de Newton fornece-nos . ent˜ o a a e . ı e em torno do centro da Gal´ xia e.. que est´ a uma distˆ ncia de a a a m. calcule a massa de Marte. A magnitude da aceleracao do Sol a ¸˜ e ´ . o apogeu).br/ jgallas P´ gina 7 de 10 a ¤ " " À Como anos s˜ o a segundos. Chamando de ´ (a) A maior distˆ ncia entre o sat´ lite e o centro da a e o per´odo do movimento do Sol em torno do centro da ı Terra (i.6 Planetas e Sat´ lites: Leis de Kepler e P 15-56 (14-41/6 ) o que e um n´ mero e tanto de estrelas.ufrgs.m. ent˜ o a magni´ a onde e a massa de Marte. O per´odo e 7h 39m. km? (b) Qual o per´odo de revolucao desse sat´ lite? ı ¸˜ e O per´odo e o raio da orbita est˜ o relacionados peı ´ a la lei dos per´odos (de Kepler): ı . Portanto por . N˜ o seria de se esperar que o a a autor do livro deixasse de verificar isto ao escolher os dados do problema. est´ numa orbita cire a ´ e cular de raio m com um per´odo de 7 h e 39 (a) Qual a velocidade linear que um sat´ lite da Terra deı ve ter para ficar em orbita circular a uma altitude de ´ m. A partir destes dados. portanto.-) "  © 3 " ux … kg m/s   3 ) 0(    ¦ –c ¤ ¤ e 5 „ EdG§¤  © £ 98 c–D ¤A£ Ã87 Ed ¤ ƒ 9  3 2 5 3 63 42 1 ) g h$  … & " ykÂÁ & „ ™'©F£ ¤ " EQ' tV „ EQ © ¤ "       ) 5 3 „ 3 E€ e © ¤ 3   & g —h$ 5 3  y… ) 0( … ) g ¢ 1 ) 0(  ) 0( & g —h$ ¡ ¡ s ‘x UmgE7™–˜`'U mÁw$ ¨ "   g ¿ ( ™( ¨ " U ™ ¦ "  x U  –˜BÀ x 7GIB… ( ( e ‡) ‰ R‰ Ce Ed 9 ¦ C9 –c ¤ 9 ¤ º º    c  ‰ C Edw¨¤¥£u" e e 9 8FEd¦ 2A¦ 7F¨ f2 63 42 ‰    ¤  ™ 5 5 3 e 2 6–c ¤ c “    £¤ F§¥¦ ’ 5 g  '$ x " ·¿ U  ™ 7–¨    ¦¤ ‰  E‰g§¥¦ u ¼9  ¨ C9 –‡£ ¦ @e Ed ¤ 9     '$ x " " jg 9 5 „ 2 B¨ ¤AD 7Fy3 ‚2  ™ 7–¨   ™ 5¨ 3 e ‡) e 2  ¨ ¦ " –G£ %h  9 –t`  D © V 5 3 3 5 f2 g g h$ s 2 ( e  ™ q "  7F¨ Ÿw©x    Ed ½ tg ¤ 3 e   ¤    £  §¤ c D F–© ¤  'U mwu#!  g ¿ $ " ( e ‰ EpB¦    e 3 " i g E¨Au¾tg  ¤  " ½ “    £¤ Ft›§¥¦ 3 ) „ Etk¨ ˆD    ¤ U 5 " … ¢ ¿ ¢ g ¿ x 5 ¿  ¤ E¨A U 6b À  … " ( " š¿ ¡ ¡ g x .. ou seja. IF–UFRGS 8 de Dezembro de 2003. das com o semi-eixo maior e a excentricidade atrav´ s e e . est´ numa orbita circular em torno do Sol. de massa . a ` a . que coincide com o centro do triˆ ngulo e o centro do a c´rculo.onde ´ kg e a massa do Sol e e o raio ´ ´ rem apropriadas para manter a configuracao. ` e com o eixo vertical passando por esta mesma estrela. dividindo a equacao acima por ¸˜ .portanto.m. a segunda lei de Newton da Terra. com a origem situada na estrela a esquerda. para o centro de massa do a sitema).Prof. as estrela est˜ o localizadas nos pontos a a .e.if. Qual deve ser a a sua velocidade.br/ jgallas P´ gina 8 de 10 a ¤ c AI" ¤ ¦ 9  9  9 ‡¦ 9 £ © ¨ 3   42 ‚2 » Ed D2 Ac 3 2 3 ¤ As estrelas orbitam em torno do seu centro de massa.LISTA 3 . A forca resultante em ¸ Qual a raz˜ o entre a energia cin´ tica do aster´ ide e a da a e o cada estrela tem magnitude e aponta Terra? para o centro do triˆ ngulo (i. s anos e ‡) 9 g h$ ) –¨ ™ ( 2 ¤ »  D ˆc   ¤ 3    9 ‰ EdBFD F 9 e  ¤ D ¤ e } 9      Eƒ 2 –F©  F¨ y3 ‚2 ™ 5 3 2 9 FEdG0 %" i I" ƒ     £ ¦ ¦ ) ) e "  Á©x ƒ     ”¥EWQ¦ ¤ 2 e ) " B…    D ¤  " ‰ ÁFD F#Îg e g h$  F¨ ™ 3 ¢ 1 " " " x ¡ ( © x z É  È Ç Æ g  z ––© –7 h$ (  z mh$  g „   Observe que j´ simplificamos o fator a no numerador e denominador acima. (b) ı o linha que une cada par de estrelas.2. P 15-74 (14-55/6 ) ´ e Trˆ s estrelas idˆ nticas. as 12:32 p. com massa o vezes a massa da posicoes relativas nos v´ rtices do triˆ ngulo? ¸˜ e a Terra. Tal forca e uma forca centr´peta e mant´ m as ¸ ´ ¸ ı e (a) Usamos a lei dos per´odos ı . A coordenada do centro das f´ rmulas o de massa e ´ enquanto que e . ´ m. ` a (b) As distˆ ncias do perigeu e apogeu est˜ o relaciona. ao longo a duas por uma forca de magnitude ¸ (a) Calcule o per´odo orbital do aster´ ide em anos. O raio da orbita e duas vezes o raio da orbita ¸˜ ´ ´ ´ ´ de o raio da orbita circular.7 Orbitas de Sat´ lites e Energia e e a e de um triˆ ngulo equil´ tero de lado . est˜ o nos v´ rtices 15. Jason Gallas. se elas se movem numa orbita circular ´ que circunscreve o triˆ ngulo. a uma a ´ Cada estrela e atraida em direcao a cada uma as outras ´ ¸˜ distˆ ncia igual a duas vezes a distˆ ncia da Terra ao Sol. que aparece ¤ z  … g y—h© x z g h$ g I" 1 z yW©z h$ … "  g ( ¦ © x ( " É –© –Æ  È Ç (  z É F© –ÃÆ mh$  È Ç  g Portanto g ¤ £ –£ ¤ `© V ¤ ©A ¤Au" £–£ ¤ 3 © v 3 |3 U `tV U | dv Ê ( ¤ " Ä isto e ´ U Substituindo-se este valor de obtemos da lei de Newton acima. ou seja. Chamando da orbita. Suponha que o triˆ ngulo tenha um de seus laı a dos alinhados com a horizontal e escolha um sistema de coordenadas com o eixo horizontal passando por Este valor equivale a este lado. sob a influˆ ncia somente E 15-76 (14-57/6 ) a e de sua interacao gravitacional m´ tua e mantendo suas ¸˜ u Um aster´ ide. A altitude de um triˆ ngulo equil´ tero e a a ´ e. Portanto fornece-nos http://www. ¤ © x z ¦  "  z ¨ V  z " d tV d Ê ‚ Ë " —U ¤ À G¦ U | lv ¢ U " BÀ isto e ´ 9 © x ¦ V g Í6 2 " 9 –© g2 2 s 9   2 z " I'© 9 ¦ © x z " 9 –© 9 6w¥¦ © x mg g g  V z ( 2 " d Ë ( ( ¦ ªš© 9 ¹™¦ z z2 ( " z ( V s( 2 9 ˆbk¦ ¡Ì6( g z V g z V g " sd Ê ( ( d Ê ( 9 ¦ 2 © x z ¦ z 9  z ( ( 2 2 1 ¤ 9 l` u" | U Ä v À 2 ¦ | U `tV ¢ U U  6… z   g g %" ¤ 5¤ 3 5¢ U3 ¢ U  z É F© –ÃÆ mh$  È Ç  g Ë " " s ¢ s Ä À ¦ " | U yGIh`dv ¢ U À ¦ " | U G%wpYV ¢ U À F¦ U | lv ¢ U " 'Ä U Å ¡ s 9 Y ˜" ¢ U Ä V À 2 .A distˆ ncia de uma estrela qualquer at´ o centro de massa a e Somando obtemos e ´ Subtraindo obtemos Como obtemos .ufrgs. estrelas na mesma orbita circular se suas velocidades fo. e e o A energia ap´ s ´ ´ semi-eixo maior da orbita. (b) O per´odo e ´ ` A raz˜ o entre a energia cin´ tica do aster´ ide e a energia a e o cin´ tica da Terra e e ´ " ux " " " В … ™ G¦ " " v    ¤ Eu¨ – … i ) Ï ) " ux ) " “€ „ EhœA ¤ " h–¨ V „ Ea © ¤ "        e ) 5 3 5 3 g h$ #B… ‚ "  … & " y™W‘ & g —h$ ) ‡( ) 0( ) ) ‡( " & ¤ r Edwm" ƒ     … À ¬ 9 F¦ À „ 'A ¤       5  9 ƒ  Ed–D A£ 9 e  ¤    c ¤ 2 5 3 y3 ‚2 2 ( ) 0(  6… & g $ v " —h`¡¹Ï  6¨ i ¤ ˜ i ) ) 3 ) m/s ¦ i & i &ƒ     QÃrAEd¦    À v ) – ¦ & g $ hu"  … … g & ¢ ¢ ’ " g    ¤ ›¨ F 1 i ) ) i & & 9 ¦ & g —h$ ) 2 ( "    £ –G ) 0( … " & g —h$  ¦ G–¦ i ¬ ¬ ¡ ¡ g ) ) . donde tiramos que .br/ jgallas P´ gina 9 de 10 a s ¤ „ Edc ¤  5 3 ƒ Ed ¤¨ v  v 9 G¦F¦ 9 ƒ8FB–D A£ 5 9 83 7¥ ¤ c ¤ 5 3 63 42   £ FF ’    ¤ ¨ '¨ˆu" „ Ed 9 © ¤   s ¤    ¤ e 5 63 5 „ Edc ¤  98 c–D ¤A£ Ã875  Ed ¤ ƒ 9  3 2 5 3 63 42 1 ) g h$ 1 2 Calcule (a) a velocidade e (b) o per´odo de um sat´ lite ı e J de kg numa orbita. ´ ´ agora. ´ (a) A forca que atua no sat´ lite tem magnitude igual (d) A velocidade e ¸ e ´ a . 15-47.Prof. a uma altitude de km. para este sat´ lite. Portanto e    ¤ e Ed ¤¥£u" 9 „ c y3 5 ‡¦    5¤ ™ 5 42 3 3 2 5 3 vc ¤ 5 42 3 " i " " " " ) ) " P 15-84 (14-63/6 )  ¤ ƒ Ed ¨ ¤ v 5 3 9 B¨ F 9 –G0 v ƒ Ed §¤ v ¤  £ ¦ ’ 2 2 3 3 Ñ Ð v q—Ï   £  " FFHTÐ A energia total e dada por ´ . ` que equivalem a minutos. ´ J orbitas e ´ ´ m " " ¸Ï ¤ ƒ Ed ¦ ¤ v  " 3 3 9 „ Ed'A ¤ ¦   v " ‰ Ï 9 GF¦ 9 ƒ –Ed–D ¤A£ 9 e¼2 ¥ ¤ ¦ c  5   2 2 563 42 3 9 G¦ Ï &—gh$`m" v 9 ¦ ) —h`v & g $ ) 2 ( Ñ Ñ Ð q¹v ‰ Ï " Ï ‰ Ï © ¤ I 6GF£ D "  ¨ c s 5 3 (    ¨ ¤ EdBGc ¥£ " e    ¨ £ B‡§¤ … e " 9 „ 'A ¤ 5 ‡¦     ™ ™ G¦ ) 5 ¼2 Ð ¤ s e    ¨ £ B‡§¤ 2 ( 5 (b) A energia cin´ tica de qualquer aster´ ide ou plae o neta numa orbita circular de raio e dada por ´ ´ . O raio ap´ s o orbitas e.ufrgs. por examplo). Numa orbita circular. ´ o e a massa do objeto (um planeta. A forca aponta para o centro da ´ ´ ¸ orbita. onde e a massa do corpo atraente cen´ tral (o Sol. ent˜ o a enera P 15-79 (14-59/6 ) gia ap´ s o orbitas e ´ ´ . (f) Qual o m´ dulo da forca resistente A altitude desejada e o ¸ m´ dia sobre o sat´ liet? (g) O momento angular deste e e sistema em torno do centro do centro da Terra e conser´ vado? onde e o raio da Terra. onde e a massa do corpo central (o Sol. ´ (e) O per´odo e ı ´ m. a e (d) a velocidde e (e) o per´odo. e ´ e e o raio da orbita. de modo que o raio ap´ s orbitas e dao ´ ´ planeta de massa .m. por exemplo). para um objeto em orbita el´ptica em torno de um o raio da orbita est˜ o relacionados pela f´ rmula ´ ı .LISTA 3 . e a massa do sat´ lite. mostre ¸˜ ´ a o que. onde e ´ a velocidade. m/s O raio da orbita e a soma do raio Terra com a altitude da ´ ´ orbita. a do por . em ´ torno da Terra. ´ o ı ´ Tal energia e proporcional a massa e inversamente a . quando o sat´ lite comı e ´ pletar voltas. por exemplo). a segunda lei de Newton fornece-nos que . ou seja. A energia inicial e ´ . (c) Chamando-se de a energia inicial. e sua velocidade est˜ o relacionadas por a s http://www. aproximadamente circular. determine s˜ o. em cada volta completa em torno da Terra. a energia e ´ Usando a conservacao da energia e a Eq. onde e a massa do aster´ ide ou planeta. portanto. as 12:32 p. onde J/orbita. sua distˆ ncia ao centro do planeta. (c) a altitude. Como a aceleracao do sat´ lite e ´ ¸˜ e ´ . Tomando como aproximacao razo´ vel que a ¸˜ a orbita passe a ser um “c´rculo cujo raio diminui lenta´ ı m mente”. Jason Gallas.if. Suponha. IF–UFRGS 8 de Dezembro de 2003. que o sat´ lite est´ perdendo energia a uma taxa e a m´ dia de e J. Portanto N Ò Ò ( Ï Ó v " ©Ô¶! s » Ed–¨ ˆu" 9 „ d'ˆ ¤     ¤ ¨     © ˆFI‘ ¤ © D " Ò ! v " Ï h`¶ÔÓ Ò ! v h`š" † 5 f2 ’ ™ ¦ ‡I" ) 3 ( !  F £ 3 (g) A forca resistiva exerce um torque no sat´ lite.LISTA 3 .br/ jgallas ¢ ¤ e    ¤ ©  Ed© AI"   ’ » EdB¨ r¨    ¤    ¤  B¨ Fwv Ò vH" v " Hm! Ï Ó    ¤  v " Ï B¨ Fw##Ó e J. Observe a ´ que como o sistema Terra-sat´ lite e quase isolado. donde obtemos . Jason Gallas. seu e momento angular conserva-se com boa aproximacao.Prof.m.2. ` o que equivale a minutos. de mo¸ e do que o momento angular n˜ o e conservado.ufrgs. Calculemos esta express˜ o para a primeira orbita. (f) Chamando de a magnitude da forca m´ dia e de ¸ e a distˆ ncia viajada pelo sat´ lite. as 12:32 p. Este trabalho e a varaicao da ´ ¸˜ energia: .if. Para a ´ uma orbita completa temos ´ m http://www. IF–UFRGS 8 de Dezembro de 2003. ¸˜ 15.8 Problemas Adicionais ™ ¦ " GIÒ E 15-?? (15-??/6 ) P´ gina 10 de 10 a . ent˜ o o trabalho feito a e a pela forca e ¸ ´ . . . 16. Numeracao conforme a quarta edicao do livro e ¸˜ ¸˜ “Fundamentos de F´sica”.br (listam3. . .2 Fluidos em Repouso . . . as 10:50 a. Jason Gallas.2. . .4 Linhas de Corrente e a Equacao ¸˜ da Continuidade . .2. .if. 16. .LISTA 3 . 2 2 2 2 3 16. .if. . . . .Prof. . . ı Esta e outras listas encontram-se em: http://www. Resnick e Walker. . .2.2.tex) P´ gina 1 de 7 a http://www. . . .2 Problemas e Exerc´cios . Coment´ rios/Sugest˜ es e Erros: favor enviar para a o jgallas @ if.1 Densidade e Press˜ o a 16. . . . ` Exerc´cios Resolvidos de Dinˆ mica Cl´ ssica ı a a Jason Alfredo Carlson Gallas. . . o 16. Halliday.2.ufrgs. . . . . . . . IF–UFRGS 2 de Janeiro de 2004. . ı o Doutor em F´sica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique. . . .1 Quest˜ es . .3 O Princ´pio de Arquimedes . . .br/ jgallas Conte´ udo 16 Fluidos 16. ı 16. professor titular de f´sica te´ rica. ı 16.5 Aplicacoes da Equacao de Ber¸˜ ¸˜ noulli . .br/ jgallas   4 5 6 7   .ufrgs. . . .2. . Alemanha ı Universidade Federal do Rio Grande do Sul Instituto de F´sica ı Mat´ ria para a QUARTA prova.6 Problemas Adicionais . .m. . . . . . .ufrgs. . . . . . . . Analogamente. isto e. onde e a press˜ o dentro do es´ a Em cada ponto sobre a superf´cie dos hemisf´ rios ı e crit´ rio e e a area da janela. Qual o valor da forca que ¸ puxa a janela para fora? O ar de dentro empurra a janela para fora com uma forca dada por ¸ . ´ ´ . ¸ ı ´ cada conjunto de cavalos precisa exercer uma forca que ¸ tenha uma componente horizontal pelo menos igual a ` soma das componentes horizontais de todas as forcas ¸ que atuam sobre o hemisf´ rio que puxam. onde e a diferenca entre as press˜ es ´ ¸ o interna e externa na esfera. Portanto a demonstracao p´ blica para provar sua tese de que dois ¸˜ u E 16-5 (15-3/6 edicao) ¸˜ A janela de um escrit´ rio tem dimens˜ es de o o m por m. e (c) Por que foram usados dois grupos de cavalos? Apenas um grupo n˜ o provaria a tese da mesma forma? a ¢ ( E 16-3 (15-1/6 edicao) ¸˜ § ( lb/pol  onde e a press˜ o fora.if. devida a diferenca de press˜ o entre o ar dentro ´ a e fora da esfera.2 Problemas e Exerc´cios ı 16. e obvio. a seringa quando uma enfermeira aplica uma forca de ¸ N ao embolo da seringa.LISTA 3 . e a press˜ o interna. P 16-8 (15-7/6 edicao) ¸˜ O aumento de press˜ o e a forca aplicada dividida pela Em 1654. qual e a press˜ o ´ a do ar na caixa? A magnitude da forca necess´ ria para tirar a tampa e ¸ a ´ 16.m. Realmente. de raio ˆ cm. A a a ´´ a a Encontre o aumento de press˜ o de um fluido em uma resposta final. dentro dos quais se fez e a v´ cuo. encontre a forca que ¸ os cavalos teriam de exercer para separar os hemisf´ rios. IF–UFRGS 2 de Janeiro de 2004. os cavalos n˜ o conseguiram sepaa a rar os hemisf´ rios. Se uma forca de ´ ¸ libras e necess´ ria para tirar a tampa da caixa e a press˜ o at´ a a mosf´ rica do exterior e de e ´ lib/pol . deu uma ´ a pist˜ o da seringa. A magnitude da perf´cie. e ´ a ´ a area da tampa. ` 16 Fluidos P 16-7 (15-??/6 edicao) ¸˜ Uma caixa vedada com uma tampa de pol de area ´ e parcialmente evacuada. ¸ ˆ N Sua componente horizontal e ´ . mas a press˜ o de a dentro permanece de atm. (b) Fazendo igual a cm e a press˜ o interna como a atm. onde e ´ onde usamos o fato que atm Pa. um elemento infinitesimal de area no ponto onde a forca ´ ¸ http://www. as 10:50 a. Para poder separar os dois hemisf´ rios e forca l´quida e. Otto von Guericke.ufrgs. n˜ o est´ no SI. burgomestre (prefeito) a ´ ¸ area. e Considere uma forca que atua no hemisf´ rio puxado pa¸ e ra a direita e que faca um angulo com a horizontal.Prof. 16-34 possa ser considerado o raio interno e externo. portanto. n˜ o foi necess´ rio converter-se unidades.1 Densidade e Press˜ o a Observe que como foi dada em lb/pol e e dada ´ em pol .2. mostre que a forca necess´ ria para separar os hemisf´ rios ¸ a e e ´ .br/ jgallas P´ gina 2 de 7 a  Yƒ 3 6B  ƒ y ‚  €  Y¨¥6T y u u 3 ¦§ 7xC3     ( u $  W9wvc ¡ 0 ¦§ ¤" 0 § B 7©#XTY£ 5X" 0 A WVU753 ¨RT66D C3 Q S" 3 ¦ 8 B ¦ § ¦" 0 E § ¦ £ CB § A WVdWC3 6c 3 ¦ 8 B ¦ § ¦ § Pa grupos de oito cavalos n˜ o seriam capazes de separar a dois hemisf´ rios de lat˜ o unidos. Como resultado de uma tempestade. normal a su¸ ı ` lado de fora empurra para dentro com uma forca dada ¸ ı ` ¸ a por . (a) Pressupondo que os hemisf´ rios e e tenham paredes finas. onde e a press˜ o fora. Isto fornece-nos ´ f 3 6W¦ (  ( ¤ e¦ E t ( b 0i rRqp Q IP!h H "  ¤ 7¦ f 3 ¨W¦ g 7¦ g ¦ Q 7! i I H G   ¢  Q H s i  H I ¡ ¤ ¥£ & A 3 ¦ 8 ¦§ ¦ ¨7@9©¨! 0 ( & $"        ))'%#!    ¦§ ©¨¦ E § 6D C3 F G b ( 07¦6¦53 542$ § 3" ¤ ¥£ 0 H Q  R¨G F P" ¦ a 3 ¦ 8 § ¨WV`D 5¤ ¦  F 7G H G ¢ ¢   1      H ¨I  ¡ ¡ ¡ ea ´ ¦§ ©#¤ . o ar do o ´ ´ existe uma forca l´quida para dentro. a press˜ o do a ar do lado de fora cai para atm. onde e o raio do de Magdeburg e inventor da bomba de v´ cuo. Jason Gallas. de forma que na Fig.1 Quest˜ es o Q 16-?? 16. mas em um dos vasos a altura do ´ l´quido e e no outro e .if. as 10:50 a. A situacao final po´ ¸˜ de ser atingida tomando-se um porcao de l´quido com ¸˜ ı volume e massa . encontre a diferenca de press˜ o m´nima que deve ¸ a ı ser criada pela bomba de recalque para puxar esgoto de densidade m´ dia e kg/m . Se for ´ ´ ¸˜ a press˜ o no cano. a e . temos atmosf´ rica. A forca m´nima da bomba e aquela que ser¸ ı ´ ve para equilibrar a forca da gravidade no esgoto com a ¸ forca da bomba no cano. ` est´ aplicada. Encontre o trabalho realizaı ´ ´ do pela forca gravitacional ao igualar os n´veis.br/ jgallas P´ gina 3 de 7 a § A 7@™g¥t66E C4" 6¤ 6RT6¨7RT6f 54T¨66WS" 3 ¦ 8 ¤§ f  0 3 § 3 0 § ¦ " 0 3 3 ¦ " 0 § D " 0 g ¤ 3 ¦ i ( u Q u 0 pu Q Iwr¥i v u"  ¤  †}0 ( u s v w!|u u"  § {0 ( u Q X'qIu zv wr¥v u" j0 Q u"  i £ § ( 0 ( u Q GX™¥6i v u"  j ¦ ( u ( u ( u v u  ¢ 0 pu Q Iwr v u" v u ¤  ¨x0 ( u s v w!1u u"  y y v Gu   16.m.ufrgs. Com isto. a Quando os n´veis s˜ o os mesmos a altura do l´quido e ı a ı ´ . O raio do anel e que a diferenca de press˜ o que deve ser mantida pela ı ´ ¸ a sen . Que forca ı ¸ sen eles tˆ m de aplicar no alcap˜ o.Prof. a ¸ ´ A forca l´quida no esgoto e dada por ¸ ı ´ P 16-18 (15-15/6 ) Dois vasos cil´ndricos idˆ nticos. quando ¸ ı os dois vasos s˜ o conectados. A forca m´nima que de¸ ı (c) Um conjunto de cavalos teria sido suficiente se um ve ser aplicada pela tripulacao para abrir o alcap˜ o tem ¸˜ ¸ a dos hemisf´ rios tivesse sido amarrado a uma arvore e ´ magnitude dada por grande ou a um pr´ dio. Se o ar no ´ ´ ¸ a N submarino estiver na press˜ o atmosf´ rica. A area da ı e ı ´ base e para ambos. onde e o raio da esfera. m abaixo da superf´cie.2. Se ı em uma ladeira est˜ o a o cano de esgoto se encontra a m abaixo do n´vel da ı rua. onde e a sua ´ A forca da gravidade no esgoto e ¸ ´ densidade. Sob tal forca m´nima o esgoto ¸ ¸ ı ser´ empurrado sem mudar sua energia cin´ tica. ent˜ o sua largura e ´ a ´ e sua Pa area e ´ ´ sen . Portanto. A forca para baixo da agua no alcap˜ o e e ¸ ´ ¸ a ´ . ve-se a ´ ´ a ı anel com constante na superf´cie. O trabalho feito pela forca da gravidade e ¸ ´ Substituindo-se mos o resultado pedido: nesta express˜ o achaa http://www. e baixando-a por uma distˆ ncia a . com suas bases ao mesı e mo n´vel. em radianos. ( m) e o comprimento ´ do cano. para empurr´ -lo para fora? Considere a densidade da agua a ´ Esta e a forca m´nima que deve ser exercida por ca. ent˜ o exera e a cer´ uma forca a ¸ para cima. ent˜ o a a e a forca que empurra o ´ ¸ esgoto para baixo no cano. Se a largura angular bomba e ´ ´ do anel e . Dois conjuntos de cavalos foram e provavelmente usados para aumentar o efeito dram´ tico a da demonstracao.2 Fluidos em Repouso ƒ¥j6i I”  s § a 3 ¦ 8 § g  0 ¦§ E 0 § D 0 3 3 D"  k j i ¨WVr£ 5tq7©5X" Yf C4" Y¨64hp66t ”  Q  3 § 6E C3 ”  ¤ 6¦ § ƒ  ”  Q R¥#¨i s ” P" 0 ƒ j  h  ¢  ”  3 3 ¨7¦ g ¤ 3 ¨67¦  ƒ j Y¥6i  0 ƒ j R¥#¨i s ” P"  i     ¡ ¡ § ”  h 3 ¦ 8 f f§ g ¤  0 A 3 ¦ 8 B ¦ § ¦ " 0 3 § 3 0 § 3 " $  ˆ 6WVU6g5¨e2T¨7@™WC3 6RT6¨D 5X" ( 6B 5X2d™‰  I y ƒ 69u i – – ” wy ( §  — ( wv u $ – ( “ ¨‘ y ƒ y ‚  € 6•#6T2y A 7˜r753 ¨! 3 ¦ 8 B ¦ § ¦  k j TY6i  k j TY¨i Q R0 ”  Q o"     ¦§ ©#¤ ¦§ E  ¦§ ©5nm©#¤ Q g5l ¤§ f (  “ ‘ ¨’ ”  ”  y ƒ ¨‡y h   ( w)¤ u $ ¤§ g5f   ( w$ u ¦ 3 3 ¨6D (9uw$†¤…„Yƒ  y 6ƒ ¢   k  ˆ ‰ u y y ¡ u N . ¸˜ E 16-11 (15-9/6 ) As saidas dos canos de esgotos de uma casa constru´da ı m abaixo do n´vel da rua. misf´ rios. e e a area da seccao reta do cano. a Suponha que e maior do que . e onde e a densidade da agua do oceano e e a press˜ o ´ ´ ´ a (b) Lembrando que atm Pa.do oceano ´ ¸ ı kg/m . Tomamos tal area como sendo a area do e ser´ m´nima quando ela anular-se. Se for a press˜ o exercida a pela bomba. IF–UFRGS 2 de Janeiro de 2004. contˆ m um l´quido de densidade . onde e a area do alcap˜ o.LISTA 3 . Jason Gallas. de e ¸ a m por m. no primeiro vaso. onde e s˜ o as alturas originais. da conjunto de cavalos para conseguir separar os heA press˜ o na profundidade do alcap˜ o e a ¸ a ´ . ent˜ o a forca da bomba no esgoto e . Considere o bombeamento no cano num instante qualquer. a componente horizontal l´quida a forca do ar e dada por ı ¸ ´ E 16-16 (15-13/6 ) sen Membros da tripulacao tentam escapar de um submari¸˜ no danificado. Para pontos no lado direito da figura.do ferro. 16-38. Jason Gallas. Pora Igualando estas duas express˜ es para e cancelando o tanto obtemos que Uma ancora de ferro. estas forcas balanceiam-se de modo que ı ¸ e a densidade do manto e ´ e a espessura do manto ´ (at´ uma profundidade de e km). o oceano est´ a ponto de invadir o contia nente.ufrgs. as 10:50 a. bo e ´ pontos no lado esquerdo da figura tal pres˜ o e dada por a ´ Seja a massa da lata e a massa do chumbo. ´ ´ e de agua deslocada.if. Seu peso no ar e ¸˜ ¸ ca. onde e a densidade da agua e e o volume da ancora. (a) Qual e o volume ´ da ancora? (b) Qual e o peso no ar? A densidade do ˆ ´ ferro e ´ kg/m . Portanto ´ b Š 25j ¢ i Q t‰… …  Ž Š   Š j i  j ‡  #6vd1tc… j ¢ i Ž … Q …  !Š … ¢ i …   § km Š 5j ¢ i ¢ de onde tiramos E 16-34 (15-25/6 ) h  3 ¦ 8 3 3 ¤ ¦ IŒ WVr6†eh h h 3 3 ¤ ¨†e¦ 3 f f )Y†f 3 3 ¨¨¤ ¡ b € ƒ  WY„¥i Q 9¥i Q ¥i s Y}#i s u ” d™}#i u  ƒ  € ƒ€ i  ƒ€ 3 ¨¦ Q B CB § § 0 ¤ 67¦ Q †w" 6f #¤ Q B C4" 3 ¤ 0 § § B  ” i Q ¥i 0 € ƒ Q X" 0 € i Q  %" ƒ i  ” i Q ¥i € ƒ  ¥¥i Q ¥i s }¥i Q ¥x¥i ƒ  ƒ€ € ƒ€ € ¥ƒ Q u Q ƒeYƒ ƒ   Substituindo . Uma lata tem volume de cm e massa de g. ` P 16-22 (15-17/6 ) 16. Para gar. (c) Encontre o braco de alavan. Ela aparenta ser mais leve porque a agua ´ ´ empurra-a para cima com um empuxo de . A forca da gravidade sobre o sistema ‘lata + chumbo’ e ¸ ´ e a forca de empuxo da agua e ¸ ´ ´ . sem que afundasse na agua? A densidade do chumı g/cm . onde onde e a press˜ o atmosf´ rica.Prof. quando totalmente imersa na agua. ´ a e e a densidade da ´ kg/m ) e a densidade da agua e e o volume ´ ´ ´ agua do oceano e e a profundidade do oceano. (a) O problema diz que a ancora est´ totalmente deˆ a baixo da agua. Quantas gramas de balas de chumbo ela poderia carreSuponha que a press˜ o e a mesma em todos pontos a ´ ´ a uma distˆ ncia a km abaixo da superf´cie. ¸˜ a P 16-23 (15-19/6 ) . n˜ o m. ´ ´ a densidade da crosta e a espessura da crosta. onde e o seu peso verdadeiro (forca da gravidade fora ´ ¸ da agua). tem-se que Perceba que cm 3 B ¦§ ¨7xC3 Q TI5WVr6†7S" Y¨¨X" 0  Œ 3 ¦ 8 3 3 ¤ ¦ 0 f D D § kg m . Encontre a profundidade do oceano. usando o E 16-31 (15-??/6 ) m´ todo do n´vel de compensacao mostrado no Problema e ı ¸˜ 21. Seu ´ ´ ´ ˆ peso efetivo dentro da agua e ´ ´ Observe que na equacao acima substituimos km. em relacao ao ponto . 16-39. da forca horizontal resultante ¸˜ ¸ sobre o dique.2.m. como ilustra a Fig. (a) Encontre a forca horizontal ¸ resultante exercida no dique pela press˜ o manom´ trica a e ˆ ´ da agua e (b) o torque resultante devido a esta press˜ o (b) A massa da ancora e ´ a ´ em relacao ao ponto . ˆ ´ parece N mais leve que no ar.LISTA 3 .3 O Princ´pio de Arquimedes ı Na Fig. m 3 B 6W¦ Š j 56i Š § Š j i  j ‹#6drq0 € ‡ s ˆ %" ‡ h € ‰‡ 3 3 ¤ 6†7¦ f § ¥3 6¦   ¢ ˆ ‡ Q h h f D D " ¨6tqri j q0 € ‡ s ˆ 4" ‡ ˆ 1‡ Š i ¥v € ‡ £ ¨¨¦ § ¦ ¡ j Yi € #i b  ƒ j  rY¥¥i s YY}¥i s 5j ” i s ” ˜1 € ƒ ƒ€ u   §  ƒ  ™Y¥i s ¥}¥i s u ” t™}¥i € ƒ€ i  ƒ€  ” i § ƒ j€ C#S¥i s ” ‚1   u 3 †¤  Yƒ € ¥ƒ † 3 ¤  †~ƒ † f§ o¨¦ u ¢ ¢      u ”  ¡ y .br/ jgallas 0 ( Œ WV•¥†3 #w" 6f 5X" Y)Y†w" 3 ¦ 8 g £ § ¤ 0 § D 0 3 f f f P´ gina 4 de 7 a § h 3 ¦ 8 g £ § ¤ ( Œ WV™Y†3 #ƒ i Š i  ¥t‘‡ 0 § D" 0 f D D 6f 54T66¨4" 3 3 ¨¨¤ A agua se encontra a uma profundidade abaixo da fa´ ce vertical de um dique. Seja a largura do dique. e No equil´brio. e dada por ´ A lata ir´ conter a maior massa de chumbo quando esa tiver quase por afundar de modo que o volume da agua ´ deslocada coincide ent˜ o como o volume da lata. onde e a densidade ´ http://www. IF–UFRGS 2 de Janeiro de 2004. br/ jgallas P´ gina 5 de 7 a § f § ¦  0 g" 0 3 ¦ 8 £ ¦§ B 0 f D D"  •  Yg 6c‹6XTWa Œ WV™WxC4" Y¨64š`p¥i Uma mangueira de jardim. Seja a velocidade ¸˜ da agua na mangueira e ´ sua velocidade quando ela deixa um dos furos. de diˆ metro interno a pol. A bomba aumenta a energia potencial da agua por ´ . Ele e menor do que ´ Portanto pois a agua empurra a matriz fundidora com uma forca ´ ¸ . Assim ´ temos o peso efetivo dado por e o raio de um furo. com que ´ e velocidade ela sair´ dos buracos do esguicho? a §  i dCŠ ¢ ¥j Q t Ž … … h 7@d†g¨¦ 3 ¦ 8 f g§ b ¢ ¥j i Ž … Q … 3 3 3 ¨6¨E h  § ’ Š Q  ƒ € Š Š h Y7©53 f ¤ ¦§ 0 h 3WV™¨¨D 5X" Yf C4" ¦ 8 f D § 3 0 § D Q 3¨366£ Q ¨¨6E 3 3 3 3 ¢ ¥j ’ i¥j i Q … Ž … Q …  3 h GŒ W¦ h Œ 7@rYf ¥f 3 ¦ 8 f § f § ¥f #f  Š  ¢ Ž ‰… ¢ i € pŠ  € ”IŠ    pŠ £ )¤  Š ¢ ¥j i f § Yf ¥f ’ pŠ ¡ p´ s/s e .A taxa de fluxo de massa e ¸˜ ´ . Com isto. Qual e o volume das cavidades da fundidora? A a agua na mangueira como formando tubos de fluxo. isto e. O trabalho que ´ a bomba faz e ´ 16.LISTA 3 .m. ´ b v • ( 1– & ( „u ( 0¨663 5Xp)¤ g ¤ § 3" £ (0 g f § 3 R6†¥B C4"  v • ( w–  v  ¢  ( •  v p6• — ™ ( ‡– & ( 9u  ( • u ¡ … 0 h WVrYf ¥wT6f 5X" 3 ¦ 8 f § f" 0 § D 3 3 3 6¨6E … ’ Yi 0 ’ i j"  …  ’ ‰¥¥“#ƒ‚CŠ O volume do ferro e dado por ´ o peso da matriz fundidora e . A area de e ´ densidade do ferro e ´ g/cm . Se a kg/s § ¨( a Œ WV`T©5ƒ ( 6753 5X2v ( 'tƒ 3 ¦ 8 £ ¦§ B 0 3 ¦ § 3" $ & $  E 16-55 (15-39/6 ) m i § 7( • ™ •  i  —   ‡ p¥e‹r¨™ ¦ ¤ u s 5j ˜ — ‡™ ‡ ™   — ™ y m   c… § h g f§ ¨gC3 h 7@rYf ¥e 3 ¦ 8 f § f   3 g § †Y3 C3 ¢  h g/cm kg kg/m e sua potˆ ncia e. temos e conectada a um esguicho que consiste em um cano ´ com furos. pesa u N no ar e N na ´ agua. Qual e a potˆ ncia da bomba? ´ e Suponha que uma massa de agua e bombeada ´ ´ num tempo . podemos imaginar n´ mero de cavidades. onde e ´ e a densidade do Ferro. consequentemente. cada tubo de fluxo e ´ . onde representa a densidade da agua.4 Linhas de Corrente e a Equacao da Conti. ` Use a equacao da continuidade. e aumenta sua energia cin´ tica de ´ ´ e .ufrgs. e ´ b ( ‡™ • ‡ ¦ ¤ u j ‡  s 5m™t y  ´ E imprescind´vel saber fazer corretamente as convers˜ es ı o de unidades: • ¤  ( • ‡ †eY‡™ m u ‡ ™ u j ‡ 51r B de onde tiramos que § f ¤  0 § B ¨ƒ2Y3 C4" g ¦ & O peso efetivo na agua pode ser usado para encontrar ´ onde e o raio da mangueira e ´ o volume da matriz fundidora.Prof. onde e a ´ nuidade densidade da agua e e a area da seccao transversal da ´ ´ ´ ¸˜ mangueira. ´ http://www. as 10:50 a. onde e sua velocidade final. a uma velocidade de m/s.2. IF–UFRGS 2 de Janeiro de 2004. Seja a area da seccao reta da ´ ¸˜ Uma matriz fundidora de ferro. Jason Gallas. A mangueira ı ´ passa por uma janela m acima do n´vel da agua. Se for a area de um furo. ´ – – § (  ( •t v • v „ (  – v 9 ( • P 16-43 (15-33/6 ) v • B – ) v  ¡ 3 3 3 ¨66£ § N a agua na mangueira tiver velocidade de p´ s. ´ O volume das cavidades e a diferenca entre o vo. ´ ´ cada um indo sair atrav´ s de um dos furos. contendo um certo mangueira.if. cada um com pol de diˆ metro.a equacao da continuidade fica sendo dada por ´ ¸ ¸˜ lume da matriz fundidora como um todo e o volume do ferro contido na matriz fundidora: Desta express˜ o tiramos que a Portanto P 16-56 (15-42/6 ) A agua e bombeada continuamente para fora de um ´ ´ por˜ o inundado. onde e a distˆ ncia vertical ´ a que a agua e elevada. atrav´ s de a e uma mangueira uniforme de raio cm. Como existem furos. LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 2 de Janeiro de 2004, as 10:50 a.m. ` Portanto Use a equacao de Bernoulli desprezando os termos ¸˜ de energia potencial, pois os dois tubos de fluxo est˜ o a essencialmente na mesma altitude: 16.2.5 Aplicacoes da Equacao de Bernoulli ¸˜ ¸˜ E 16-58 (15-43/6 ) onde e a press˜ o na superf´cie de baixo, ´ a ı a press˜ o a em superf´cie de cima, ı a velocidade do ar na superf´cie de baixo, ı a velocidade do ar na superf´cie ı de cima, e a densidade do ar. Desejamos encontrar de modo que Pa, ou seja, A agua se move com uma velocidade de m/s atrav´ s de ´ e um cano com uma area de secao transversal de cm . ´ ¸˜ A agua desce ´ m gradualmente, enquanto a area do ´ cano aumenta para cm . (a) Qual e a velocidade do ´ escoamento no n´vel mais baixo? (b) Se a press˜ o no ı a m/s Pa, qual ser´ a press˜ o no a a n´vel mais alto for ı n´vel mais baixo? ı Observe que e imprescind´vel usar as unidades corretas ´ ı de : (a) Use a equacao da continuidade: ¸˜ , e a area do cano no topo e ´ ´ a velocidade da onde g kg agua no local, ´ e a area do cano no fundo e ´ ´ ea ´ cm m velocidade da agua no fundo. Portanto, ´ kg m m/s que foi o n´ mero usado para obter . u (b) Use a equacao de Bernoulli: ¸˜ P 16-73 (15-??/6 ) As janelas de um pr´ dio de escrit´ rios tˆ m dimens˜ es e o e o de m por m. Em um dia tempestuoso, o ar passa pela janela do 53 andar, paralelo a janela, com uma veloci` dade de m/s. Calcule a forca resultante aplicada na ¸ janela. A densidade do ar e ´ kg/m . Chamando-se de a press˜ o interna da sala e de a a press˜ o de fora da janela, temos que a forca l´quida a ¸ ı na janela e ´ , onde e a area da janela. A ´ ´ diferenca de press˜ o pode ser encontrada usando-se a ¸ a equacao de Bernoulli: ¸˜ , onde e a velo´ cidade do ar fora e e a densidade do ar. Supomos que o ´ ar dentro da sala est´ parado. Portanto, a sendo a forca e dada por ¸ ´ Se a velocidade de escoamento, passando por debaixo m/s, que velocidade de escoamento de uma asa, e ´ na parte de cima criar´ uma diferenca de press˜ o de a ¸ a P 16-76 (15-??/6 ) Pa entre as superf´cies de cima e de baixo? Considere a ı densidade do ar g/cm . (Ver exerc´cio Uma placa de ı cm e g de massa e presa por ´ 15-66.) dobradicas em um de seus lados. Se houver ar soprando ¸ http://www.if.ufrgs.br/ jgallas P´ gina 6 de 7 a § a 3 ¦ 8 ¦ ¦§ ¦  0 B 0 £ 0 3 B 0 B ¤§ ¦ †7@96x6h2Y4" ¥%" ( 664" Y†g¨S" 3 3 ¨†g ( ¢ ¤ 3 ¨f  ( 6i • ¤ h E 16-67 (15-49/6 ) ¤  ( • i ¨e¥6v ¥  Q p i ¦ ¦ 3 3 6¨D h   h Œ 7srB ¨‡i 3 ¦ 8 § ¦  § Pa N ¥  • h i   ¤  ( • p‚•†eYYi s ”  B § ¨¤ 6¦  R0 ¥  Q Io" i  i  i ¥ 3 ¨B ¡ ( u 0 3 ¦ 0 § D 6WS" Yf C4" 0 h WVd¨6D C4" s 3 ¦ 8 f D § 3 ¤ gŸ 0 h 3 ¦ 8 f D § 3 A 3 ¦ 8 g§ 6WVrg¨¦   ¡( 06g §5¤X" Q ( x#T¨7@d6¨D 54" ¦ s ¤ ( 0 ( u žv wG6i s 0 ( • Q (v 4Ii •" Q u" j v  ¦ s v Iu onde e a densidade da agua, ´ ´ sua altura final. Portanto, sua altura inicial e 3 3 D  ¢ 6¨‘’p Q 5 ˆ h h 0 ( Œ WS" 3 ¦ h Œ 7@dB ¨¦ 3 ¦ 8 § h Œ W¦ 3 § ¢  B 6¦ § E ¦ ¦ W6c ( YW¨S" s 0 3 ¦ ¦ 0 3 3 D" Y¨¨X5¤ b ¢ • h ¤ i (ˆ • s 0 ¢ ¥p Q 5P5¤ ˆ " B ¨¦ § ˆ e•   ¢ †• h ¤ ¢ †• ¢ h Œ WV`B 6cdi 3 ¦ 8 § ¦  £ ¤   i g ¢ • ˆ  i £ ( ( • (  v • v   ( • § W b (¢ Yi • ¦ ¢  • s I˜ ( ˆ 6i ¦ ˆ s C ¡ £ ¤ ( b ( #6i s ( Yi u j • ¦ E E 6t § g œ ™¤ ( g v • g§ ¤  0 g g#e2¨w" 0 § B 0 § D " › 0 f g§ ¦ s 63 5X" Yf C4q5¨6g¨R" s ¤ ( s v 56i  u j s (v Yi • ¦ A W˜`g¨¦ 3 ¦ 8 g§ f £ (  v 6• f A WV™E #¤ 3 ¦ 8 § v  (  ¢ ¢ 3 ¦ W6¦ (  3 W¦  ( •  ™ ( • ¦ ¤ u s 5j ˜ ™ — ‡ r  s v  v     … i (  ¡ LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 2 de Janeiro de 2004, as 10:50 a.m. ` apenas sobre a sua superf´cie superior, que velocidade P 16-81 (15-25/6 ) ı dever´ ter o ar para sustentar a placa na posicao horia ¸˜ Aplicando a equacao de Bernoulli e a equacao da con¸˜ ¸˜ zontal? tinuidade aos pontos e da Fig. 16-22, mostre que a Este exerc´cio considera uma situacao an´ loga aquela velocidade do escoamento na entrada (ponto ) e ı ¸˜ a ´ mostrada na Fig. 16-26, da moca soprando sobre uma ¸ folha de papel. Como a press˜ o e uniforme sobre superf´cie o torque a ´ ı que ela exerce pode ser calculado como se o ar atuasse no centro de massa, o mesmo valendo para a forca da ¸ Ambos pontos est˜ o na mesma altitude, de modo que a gravidade. ¸˜ ´ O torque l´quido anula-se quando a forca do ar iguala a a equacao de Bernoulli e ı ¸ forca da gravidade. Seja ¸ a press˜ o na superf´cie de a ı baixo, a press˜ o na superf´cie de cima, a velocidaa ı de do ar sobre a superf´cie superior, e a densidade do ı ar. De acordo com a equacao de Bernoulli, ¸˜ A euqacao da continuidade e ¸˜ ´ , de modo que Substituindo esta express˜ o na equacao de a ¸˜ ou seja Bernoulli obtemos Resolvendo-a, temos que de onde obtemos http://www.if.ufrgs.br/ jgallas § m/s 16.2.6 Problemas Adicionais (  Q G˜1 v  ©  onde usamos . 0 ( ¨ Q ( 4Gi " £ b   ( †¤ ¨ ¨ ˜ ¤ § (v • ™ i (  ¦ 0 ( ¨ Q ( XIi "  ( R0 (  žv P5¤ ¨ Q " s ( ‚ v Yi ¤  ( • ¦ s v  £ v 6•  ‡ ¤ B Yt j ‡  1§l  S0 ¢  Q ˆ o§š "  A magnitude da forca do ar e ¸ ´ e a area da placa. No equil´brio, ´ ´ ı massa da placa. Portanto , onde , onde e a ´ P´ gina 7 de 7 a ¦ ¤ ( § ( Yi • ( Yh v  • ¨ • § 0 ( ¨ Q ( XIi " £   ( ¨¤ ¨ ¦ s ( ‚ v Yi ¤  ( • ¤ ¦ ¦ d• ¢ s v  § ¨ •  I) v pƒ ( • ¡ § ( 6i • ¦ ¤ • ¢ ™I Q C ˆ 0 a Œ WVr64" Y†g¨S" 3 ¦ 8 3 f 0 B ¤§ ¦ 0 § D 0 § 3" Yf C4" 6g C4C¤ i b j ‡  I1vƒ ( 6i •   ˆ C b ( Yi • ¦ ¤ £ ¦  ¤ ¥i j ‡ m†¤ ¢   ˆ s p‚¦5 ¢ p ¤ v • ¡ LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 19 de Setembro de 2003, as 10:21 a.m. ` Exerc´cios Resolvidos de Dinˆ mica Cl´ ssica ı a a Jason Alfredo Carlson Gallas, professor titular de f´sica te´ rica, ı o Doutor em F´sica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha ı Universidade Federal do Rio Grande do Sul Instituto de F´sica ı Mat´ ria para a QUARTA prova. Numeracao conforme a quarta edicao do livro e ¸˜ ¸˜ “Fundamentos de F´sica”, Halliday, Resnick e Walker. ı Esta e outras listas encontram-se em: http://www.if.ufrgs.br/ jgallas   Conte´ udo 17 ´ MOVIMENTO ONDULATORIO 2 17.1 Question´ rio . . . . . . . . . . . . . . . a 17.2 Exerc´cios e Problemas . . . . . . . . . ı 17.3 Problemas Adicionais . . . . . . . . . . 2 3 9 Coment´ rios/Sugest˜ es e Erros: favor enviar para a o jgallas @ if.ufrgs.br (listam3.tex) P´ gina 1 a http://www.if.ufrgs.br/ jgallas   LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 19 de Setembro de 2003, as 10:21 a.m. ` ´ 17 MOVIMENTO ONDULATORIO 17.1 Question´ rio a redistribuicao apropriada da sua energia, ou forman¸˜ do uma onda estacion´ ria, com outra redistribuicao de a ¸˜ energia. 17-9. Quando duas ondas interferem, existe perda de 17-2. Energia pode ser transferida por part´culas bem energia? Justifique sua resposta. ı como por ondas. Como podemos distinguir experimentalmente esses m´ todos de transferˆ ncia de energia? e e N˜ o. Existe uma redistribuicao da energia. Nos a ¸˜ pontos de inter ferˆ ncia destrutiva, a energia e nula, e ´ A energia e transferida entre part´culas nos eventos mas, conseq¨ entemente ser´ maior nos pontos de inter´ ı u a de colis˜ o, como acontece, por exemplo, num jogo com ferˆ ncia construtiva. a e bolas de bilhar. Quando a energia e tranferida por onda, ´ tamb´ m se d´ pelas colis˜ es das part´culas do meio, no e a o ı caso das ondas mecˆ nicas, mas as part´culas movem-se 17-11. Se duas ondas diferem somente em amplitude e a ı e localizadamente, enquanto a onda se propaga por uma se propagam em sentidos opostos atrav´ s de um meio, a a a extens˜ o muito maior. Um exemplo not´ rio e o das on- produzir˜ o elas ondas estacion´ rias? Existir´ energia a o ´ transportada? Existir˜ o n´ s? a o das sonoras. N˜ o. a 17-6. Compare o comportamento de (a) um sistema massa-mola oscilando num movimento harmˆ nico simo ples e (b) um elemento de uma corda esticada onde uma 17-13. Uma onda transmite energia. Ela tamb´ m transe onda senoidal se propaga. Discuta do ponto de vista do fere momento linear. Ser´ poss´vel transferir momento a ı deslocamento, velocidade vetorial, aceleracao e trans- angular? ¸˜ ferˆ ncias de energia. e (a) No sistema massa-mola, a energia e localizada, ´ isto e, a massa det´ m a energia cin´ tica e a mola, supos´ e e ta sem massa, det´ m a energia potencial. Se a energia e total e constante, em algum instante ela e toda da massa, ´ ´ quando esta passa pela posicao de equil´brio e em outro ¸˜ ı instante ser´ toda potencial, quando a mola estiver na a sua m´ xima deformacao. Sendo o deslocamento mea ¸˜ dido em relacao a posicao de equil´brio, a velocidade ¸˜ ` ¸˜ ı nessa posicao e m´ xima, enquanto a aceleracao e nula. ¸˜ ´ a ¸˜ ´ Nos pontos de m´ ximo deslocamento, a velocidade e a ´ nula e a aceleracao e m´ xima. ¸˜ ´ a (b) Para o elemento da corda esticada, a energia est´ disa tribu´ em vez de localizada, porque todas as part´culas ida ı do elemento se movem e sofrem a acao da tens˜ o de ¸˜ a deformacao. O elemento est´ sob a m´ xima deformacao ¸˜ a a ¸˜ quando est´ na posicao de equil´brio do MHS executado a ¸˜ ı pelas part´culas e e tamb´ m nessa posicao que a veloı ´ e ¸˜ cidade transversal atinge o seu m´ ximo. Nos pontos de a maior deslocamento das part´culas em relaca a posicao ı ¸˜ ` ¸˜ de equil´brio, elas tem velocidade e aceleracao nulas. ı ¸˜ 17-15. Uma corda e esticada entre dois suportes fixos ´ separados de uma distˆ ncia . (a) Para quais harmˆ nicos a o existir´ um n´ no ponto que dista a o de um dos suportes? Existir´ um n´ , um antin´ ou uma condicao a o o ¸˜ intermedi´ ria num ponto que dista a de um dos suportes, se (b) o quinto harmˆ nico foi gerado? (c) o o d´ cimo harmˆ nico foi gerado? e o (a) Se o n´ dista o de um dos suportes, a corda est´ a vibrando na forma de meios comprimentos de onda. Ent˜ o trata-se do terceiro harmˆ nico. a o (b) No ponto que dista de um dos suportes, existir´ um n´ tanto para o quinto quanto para o d´ cimo a o e harmˆ nicos. o © £ ¢ ¨¤¦§ ¥ ¥ £ ¤¢ © £ ¢ ¦¤¨§ ¥ £ ¦¤¢ ¢ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ 17-17. Violonistas sabem que, antes de um concerto, deve-se tocar um pouco o viol˜ o e ajustar suas cordas a porque, ap´ s alguns minutos de execucao, as cordas se o ¸˜ aquecem e cedem ligeiramente. Como esse pequeno afrouxamento afeta as freq¨ encias de ressonˆ ncia das uˆ a 17-8. Quando duas ondas interferem, uma atrapalha a cordas? propagacao da outra? Explique. ¸˜ O afrouxamento das cordas tem como conseq¨ encia uˆ N˜ o. As ondas se combinam pelo prin´pio de a diminuicao da velocidade de propagacao das ona ı ¸˜ ¸˜ superposicao formando uma onda progressiva com uma das na corda ( ¸˜ ), alterando o conjunto das http://www.if.ufrgs.br/ jgallas    £     P´ gina 2 a ` Ent˜ o. as 10:21 a. Quais s˜ o (a) o per´odo.Prof. 17-4a. Jason Gallas. (c) o comprimento de onda e (d) a amplitude desta onda? rad/cm Inicialmente. a doze metros de montar a equacao da onda: ` distˆ ncia. em a s. a m (d) G © # ! SR1Q P m 17-6E. Balancando um barco.ufrgs. no senti¸˜ ¸˜ uma Onda do com um comprimento de onda de cm. Ele obser.2 Exerc´cios e Problemas ı 17-14P.Qual e a velocidade escalar m´ xima de um ponto da ı e a ´ va que o barco realiza oscilacoes em ¸˜ s. num deter¸ minado ponto. (b) 17-3E.LISTA 3 .m. o viol˜ o fica “desafiuˆ a ´ a nado”. que e uˆ ´ Hz. Escreva a equacao para uma onda se propagando ¸˜ no sentido negativo do eixo e que tenha uma ampli(a) Consideremos a funcao ¸˜ da Fig. As grandezas pedidas s˜ o a aplicacoes diretas de “f´ rmulas”: ¸˜ o 3 c ! # %1§ ` ! S # e ! § # ! ¦¨21I ! R e ¦§  H e § ! ! ¨ig  ` B ra ¡ ! ¦§ ©  §  ! # %$" ¡ & rad/s e U VC s (b) " § ! © ¨(¨I e ! ! ¦(¨s ! # 2F§  c  m´ x. um menino produz ondas freq¨ encia de ¸ ´ a na superf´cie de um lago at´ ent˜ o quieto. Observa ainda que uma deter¸˜ minada crista de onda chega a terra.if. IF–UFRGS 19 de Setembro de 2003. (a) Qu˜ o afastados est˜ o dois pontos a a que tem uma diferenca de fase de ¸ rad? (b) Qual e a ´ diferenca de fase entre dois deslocamentos. uma uˆ Hz e uma amplitude de cm. Uma onda de freq¨ encia uˆ Hz tem uma velocidade de m/s. iguais:  a x ‚€yB `  6 B ` A forma da onda progressiva e ´ G c a dbB Y X SRW m http://www. As tude de m.br/ jgallas   P´ gina 3 a G 9 ¨R1Q # ! U ! ! ¨¨© T U e § T  &  e §   e §  x „u B 6 B rad/m U ¥ £ 5e T U  ! © ¨(¥  T x B ƒu B Precisamos calcular o n´ mero de onda angular u freq¨ encia angular : uˆ 9 g # ! @V$Rf U ! © ¦(© T U e § T  c & e ¦§  H e §  ` e a H ! ! # (%( ¥ £ 5e m U ! ! ¨¨© ! 2# B T 7P U 6  T 7` ! © ¨(¥ ¡ ` ! © ¨¨© U VC G m 17-16P. a onda em quest˜ o e a a ´ a qB B 17. calculamos a freq¨ encia. uma freq¨ encia de uˆ Hz e uma fases da onda nesses dois pontos defasados devem ser velocidade de m/s. (a) Escreva uma express˜ o que descreva uma a Secao 17-5 A Velocidade Escalar de Propagacao de onda transversal se propagando numa corda. em tempos separados de ms? G ! ! ! g (¨iw ! ! ((g ! S T   A (c) ¥ ¥ # ¥ ¨21I ! # 2F§   &  H U T U & H G m/s (c) cm/s U T U T P v (b) ! # § 2FE §   B DC )A  cm/s G e ! ! ¦(¨s u bB e ! § # ¨¦t1! Y X SSW ! # %1§  # (a) cm U VC © © g ¨@¦¥ © © g ¥ (i¦Q e ! ! s ¨¨¨Q 9 g # ! @%1R ! ¥ ¨(¥ T U T ! ! ((g Y X SRW 9 g # ! @%1R T U ! ! # ! R$%$I e § ¦Q  h & T e § E U VC # U VC  c c freq¨ encias de ressonˆ ncia. (b) a vea ı locidade escalar. isto e. U T U T ` rad/s T pP B T 7P 9 " # @%(8 ` ¤T ! ¥ (¨¥ B " # 21! ! # %1" 6 4 75& P   " # ! 210)¨¦('  ! § £ § U VC  # ! ¥ (¨¥ B T 7P ! ! # R121! ¡ m . cada corda? (c) Qual e a velocidade escalar da onda? oscilacao produzindo uma crista de onda ¸˜ cm acima (a) Comecamos calculando as quantidades e para ¸ da superf´ icie do lago. ` 17-31P. a (b) O tempo necess´ rio para o pulso transversal percora rer o comprimento do el´ stico e a ´ U T ‡ 7` a   f ¢ ‡ –    ¢ o fh   C  ‚‰ “ ’ e £  ”x 7‘Ib‰  G x x x ’   6  x6 ’ x 75 ’ e £  ¢ e ‡ f £ ¨ U ¢ ¢ U ¢ ‡ ‡ ‡ ` ¢ a ¢ j j ‚ik¢ T ¢ nm— £   T  le ¢ ‡ `  ‡ ` e ¢ ¢ g g ‚ih¢ ¢ ¢ ¡ ‡ ‡ ‡ ! # %$¥ G e w U $¨21! ! ! #  †a  T U x  C ! ! (¦© U c …u 6 C T U u  e § x 6 C T T C c …u c  C ‡ b& e § E  ˆ # 2F§ ¡ 17-25P. (a) Consideremos o eixo ao longo da corda. escrevemos . e e dada a e ´ por .if. Uma onda senoidal nessa corda tem uma amplitude Se . caso em que a express˜ o a de mm e uma freq¨ encia de uˆ Hz e se propaga para reduz-se a no sentido de decrescente. Como as cordas s˜ o feitas do mesmo material. tem densidades lineares de g/m (a) Com a forca aplicada ¸ e a densidade e g/m. com origem na extremidade inferior da mesma. o tempo e proporcional a ´ . Em termos da densidade linear dada. Uma corda uniforme de massa e comprimento est´ pendurada no teto. Jason Gallas. ´ e a constante el´ stica ) das ondas transversais neste a el´ stico? (b) Usando sua resposta em (a). respectivamente mais leve e mais pesada. e desprez´vel e a express˜ o para ´ ı a P´ gina 4 a C x ¢ a ¢ ¢   U ‡ T ‡ Substituindo os dados fornecidos. O tipo de el´ stico usado no interior de algumas a bolas de beisebol e de golfe obedece a lei de Hoo` ke para uma larga faixa de alongamento do el´ stico. calculamos inicialmente as grandezas . N. ent˜ o a . Com os dados fornecidos. (a) Mostre que a a velocidade de uma onda transversal na corda e funcao ´ ¸˜ de . calculamos a das. Para um elemento infinitesimal da massa da corda localizado em a partir da origem.m.Prof. a Um segmento deste material tem um comprimento (n˜ o a esticado) e uma massa . temos P • s I  s U  (• T  ¨•   v¨• P  P s u¢ £  § tQ P s C ¢ f  d P ¡ m Como a onda se propaga no sentido negativo do eixo . supondo que s˜ o a velocidade escalar: feitas do mesmo material? A densidade volum´ trica das cordas e e ´ . (a) Qual e a velocidade escalar (em termos de . Qual e a relacao dos diˆ metros dessas cor´ ¸˜ a do el´ stico dada por a . chegamos a relacao ` ¸˜ entre os diˆ metros e : a G x • 9 $%(f ! # x • 6 • 6 • ` § ¥ # s § " i%$¦(Q ! © # ! g ¨2$(”f # 1! (b) Agora consideramos a funcao ¸˜ U VC T pP da Fig. Uma corda esticada tem uma massa por unidade de comprimento de g/cm e uma tens˜ o de a ou seja. IF–UFRGS 19 de Setembro de 2003. 17-18E. Escreva uma equacao para ¸˜ essa onda. o el´ stico estica de um comprimento adicional a rad . 17-4b: U © # 21! ! ! (R § ¥ # s § i%$¦(" 9 g # @%$g T U e § T    &  c — e § E ` c . As cordas de um violino. e necess´ rias para explicitar a onda: a 9 g # g @%$I ! S –  `  – b  c  ¢ ‡ f £ ¨ G ¢ `   £ ¤¢ – p qC ‡  C ¢ Ii€¢ j j C ‡ ! S ! ! (R ! # %F© B § # SR1! ¡ m/s rad/s 6 74 17-32P*.ufrgs. temos G B U VC § ¥ # s § (%$¦i" T a bB ! © # ! g ¨2$(” T Y X SRW U 4 d ! Rƒ™t¨ ˜ § # T  U VC # B T 7P http://www. a distˆ ncia at´ a extremidade mais baixa. as 10:21 a. da mais pesada para a mais leve. Quando uma forca ¸ e ´ aplicada. mostre que a Secao 17-6 Velocidade Escalar da Onda numa Corda o tempo necess´ rio para um pulso transversal percorrer ¸˜ a Esticada se o comprimento do el´ stico e proporcional a a ´ e e constante se ´ . (b) Mostre que o tempo que uma onda transversal leva para percorrer o comprimento da corda e dado por ´ .LISTA 3 .br/ jgallas   # ‡ `  r¢ – p qC x ¢ ¢ )ii¢ g g Se reduz-se a . as 10:21 a. Qual e a a ´ potˆ ncia transmitida e em termos de (a) se a tens˜ o a na corda for aumentada para e (b) se. a m´ x. m´ x.br/ jgallas v 17-35P. Ache (a) o valor m´ ximo da a velocidade transversal e (b) o valor m´ ximo da coma ponente transversal da tens˜ o.ufrgs. ¸˜ maximiza ambas as granEnt˜ o. fornece G P s r  P s ! § ¨S ~   f z FP P  ¢ s • s  s f  T § o  y x w †E C f P o 6 ƒ • • x C    ƒ z C P U rT 6 x  m/s (c) Tanto a velocidade transversal como a tens˜ o transa versal transv. a obte- # U VC ! § ¦ u AB s ¥ # ¨%g ¥ § # ! ¦t1Q T e ¦§ ! § # ¦”$! Y X SSW ˆ ¥ # 9 (%F(§ ! § ¨S U p4 … ! S„h2F© ˜ ! #  C  & P   T H  U VC # B T 7P ¡ G • x  6 %i4 U P  y ‚x G  %6 P s P U rT € ƒs y ~ }w § Q   C P U {T • y | }w  m/s m . tem as suas fases sob a funcao cosseno. Uma onda senoidal transversal e gerada numa ´ extremidade de uma longa corda horizontal. (c) Mostre que os dois a valores m´ ximos. Sendo a ¸˜ transv.Prof. integrando ao longo da corda. potˆ ncia m´ dia transmitida por uma onda dada por e e ¸˜ m . ao inv´ s. mas se esse par maximiza a funcao cosseno. a a velocidade de porpagacao fica duplicada. P´ gina 5 a ! ˆ C c 8‚B u ` U VC # B T  http://www. ima e ¸˜ plicar´ na reducao da potˆ ncia a um quarto do seu valor a ¸˜ e inicial. O movimento e cont´nuo e ´ ı repetido regularmente vezes por segundo. e a freq¨ encia for diminu´da para uˆ ı ? 6  x §¦£ 6  & &  g 6 ¨I 6 ƒ x & m´ x. ` sob uma tens˜ o de a N. por uma barra que se move para cima e para baixo entre extremos que distam cm. A potˆ ncia e e transmitida por uma onda ´ de freq¨ encia uˆ numa corda sob tens˜ o . se ¸˜ .LISTA 3 . (a) A velocidade transversal escalar m´ xima a mos de Secao 17-8 Energia e Potˆ ncia numa Onda Progres¸˜ e siva P  U C P † RT  v B m´ x. ! S„b2F© ˜ ! # T U # e § U P T U B † T † s ¥ # (%g  r s ¥ # § ¨2F T U P F` ! ¨ˆ     U  T P x c  7 6 x  „ƒ ¡ U y4 … ! Rƒ‡2F© ˜ ! # c T U ! § ¨S T U 9 9 # ¨t$¥ e § † T   17-33E. ¸˜ ele anula a funcao seno. ocorrem para os a ´ Levando este resultado para a relacao da velocidade. IF–UFRGS 19 de Setembro de 2003. ¸˜ e (b) Como a freq¨ encia aparece ao quadrado na exuˆ transv. transferˆ ncia m´nima de potˆ ncia ocorre? e ı e Comecemos por construir a equacao da propagacao ¸˜ ¸˜ da onda na corda: ˆ ¥ # 9 § (%@iQ ! (ˆ –   –  h P P P v ! (ˆ T  que. a m v sendo em metros e em segundos. A corda tem uma densidade linear de g/m e e mantida ´ ! § ¨S ! ! # (%( G N U y4 … (b) A componente transversal da tens˜ o e a ´ (a) Se a ten˜ o na corda for quadruplicada. a duplicacao da velocidade implica e o valor m´ ximo da componente transversal e a ´ na duplicacao da potˆ ncia transmitida. Qual e o desloca¸˜ mento transversal da corda nessas fases? (d) Qual e ´ temos a m´ xima potˆ ncia transferida ao longo da corda? (e) a e Qual e o deslocamento transversal quando esta trans´ ferˆ ncia m´ xima de potˆ ncia acontece? (f) Qual e a e a e ´ transferˆ ncia m´nima de potˆ ncia ao longo da corda? e ı e (g) Qual e o deslocamento transversal quando esta ´ (b) Usando o resultado de (a).mesmos valores de fase da onda. o mesmo par a dezas. sua diminuicao pela metade.m. a m press˜ o da potˆ ncia. calculados acima. ou seja. ob. Jason Gallas.if. vem ¥ ¥ # ¨%(f   s C P # § F¦£ x U § £ ¦F• H T  ’ 6 § a x U ’ ‚a u “x ’ § ‘ T  ” x ’ http://www. at´ estarem exatae . e ı ´ soma com : (g) A m´nima potˆ ncia transmitida acontece para ı e que anula o cosseno e aquele ´ a m . mente fora de fase para uma altura da camada Expresse em termos de . Combinando as formas da funcao .LISTA 3 . j´ que o par que maximiza o seno. Determine a amplitude da onda resultante da combinacao de duas ondas senoidais que se propagam ¸˜ no mesmo sentido. que escrevemos genericamente como Y X SSW m e. Jason Gallas. obtemos e Y X SSW ‹ W ŒŠ ‹ W ŒŠ Y X SSW m onde e a diferenca de fase de em relacao a .if. numa certa a camada da atmosfera. Com´ ¸ ¸˜ parando as duas formas que temos para . na onda onda . tem uˆ amplitudes de cm e cm e diferenca de fase de ¸ rad. usando a relacao trigonom´ trica ¸˜ e no.m.  U – ‚a • rT Y X SSW C G U x § £ ¨5e P ! # 2$g a x P C c a T C 6 P Y X SRW  ! # g 2$r – P Y X RSW ! # ¥ 21Q • x ‹ W ŒŠ P P 6 aP —– ‹ W ŒŠ • Y X SSW U VC # B T ! Ž U VC P # B T P  P A superpsicao dessas ondas produz uma onda da mesma ¸˜ forma de cada uma delas. ` A medida que a camada sobe. as 10:21 a. Dividindo as duas relacoes acima ¸˜ ¸˜ duas equacoes para as interferˆ ncias construtiva e des¸˜ e obtemos a constante de fase : trutiva. (d) A potˆ ncia transmitida ao longo da e corda e dada por ´ m m (e) O deslocamento correspondente a m´ xima ` a potˆ ncia transmitida e e ´ . as duas ondas chegam em exatamente em fase. as ondas chegam em U G  C c ‹ W ”Š C # U  †a ¥ ¥ # (%¨ C c T a C c Y X SSW C P €  ! # ¥ 21I P T P P 17-38P. 17-26). possuem mesma freq¨ encia. usando a mesma identidade trigonom´ trica.br/ jgallas   G # (8 ¥ ˆ # ! ¨21r  ‹ W ŒŠ  •  • G  x U § £ ¦F• T a x ‘  # § F¨£ u ’ Ia sendo . Ap´ s a reflex˜ o na altura o a em oposicao de fase: ¸˜  ‡• x ‘ § £ ¦F• u “x ’ ¦§ a x ‘   6 ’  .Prof. as ondas chegam em H rad 6 P #  c P a b c  # ! 1Q‡•  x U § £ ¨@• ‘ Ap´ s a reflex˜ o na altura o a em fase: u ’ 6 ¦§ . pelo caminho direto ou por reflex˜ o. gradualmente. Quando a camada est´ numa altua ra . e a a P c `   ƒ Consideremos as duas ondas senoidais na posicao ¸˜ : e ! # 2$g ! # %$¥ ¡ U VC c u „B ` ¤T ‹ x W ŒŠ x P c `  r U C P † † RT U T U ’ ‚a P B ! ¨ˆ 9 Fg † † T ‘  T ! ‰ u    T € g w  8ƒ U P # H B T 7P 17-41P*. a diferenca de fase entre ¸ as duas ondas muda. e . P´ gina 6 a . • ’ Ia  ‘ H  ‘ ’ •  H ‘  ¡  c a c Seccao 17-11 Interferˆ ncia de Ondas ¸˜ e ‹ W ŒŠ c Y X SRW P U T P a T x U G W C Y X SSW ! # ¥ %$I 6 P ! Q B x U y4 … ! Rƒ™2F© ˜ ! # T U e ! g ¦i§ T U s ¥ # (%$g T U e ¦§ x m´ x. IF–UFRGS 19 de Setembro de 2003. efetuamos sua (f) A potˆ ncia m´nima transmitida e nula. Ondas de r´ dio de comprimento chegam a a . Uma fonte e um detector de ondas de r´ dio a est˜ o localizados ao n´vel do solo a uma distˆ ncia a ı a (Fig.ufrgs. escrevemos P X ¥ ¥ # ¨2¨ Y X SRW •  onde e um fator de proporcionalidade entre as duas ´ sendo . a § £ ¨5e Para a potˆ ncia m´ xima transmitida temos ent˜ o. j´ que o par a que maximiza a funcao cosseno e o que anula a funcao se¸˜ ´ ¸˜ Agora. ` . Jason Gallas. e as ondas na corda o uˆ tem comprimento de onda .Prof. Se a tens˜ o for aumentaa da para f i e a corda novamente levada a oscilar no terceiro harmˆ nico. as 10:21 a. Os suportes fixos est˜ o distanciados a cm.if. e anal´tico. ou seja. A outra ponta e presa a um anel sem peso que ´ ou seja. Com a escolha de uma escala adequada. Os trˆ s e da estacion´ ria mostrado na Fig. com se a corda est´ fixa nas duas extremidaa des. obtemos com a tens˜ o fia i . a variacao na tens˜ o da corda duplica a veloci. ı  § T  H   … & H © ! # ! (21Ž‚(%1}n¨¨2¨˜  ¥ ! # ! ˜ g " " # n # ¢ ¨§  H GG G # ¥ # § # œ›”$%Ft¨š Y x a # U ¥ ˆ # (%1!  Agora podemos explicitar a funcao ¸˜ a C c T … Y X SRW © ! # ! i%1Q U T VC 7P  g t™ … H  P ! © ¨S ¡ : (b) Para o comprimento de onda. a amplitude e a constante de fase s˜ o diretamente medidas a com r´ gua e transferidor. IF–UFRGS 19 de Setembro de 2003. Os trˆ s maiores comprimentos de onda ser˜ o ent˜ o. de. Refaca o problema usando os e ¸ uˆ fasores para confirmar o resultado obtido pelo m´ todo (c) E para a freq¨ encia. e a a # Y u¦8 £ ¢ § H ! § ¨S i 3f i 3i 17-52E.LISTA 3 .m. tem uma dena a sidade linear de g/m e est´ sob uma tens˜ o igual a a Quando a corda est´ presa em s´ em uma extremidaa o N.forme mostrado na Fig.br/ jgallas   G GG # 9 # © # ¥ # ›œR@t12$%¨  ! § ¨S 3f 3i G # ! s # ! (%1Qž¢  ! s # g  ¢ g (%$r(I Y ¥ Y ¤iŸ £ ¢ g  (b) Para o comprimento de onda. (b) o comprimento de onda e (c) a freq¨ encia das ondas cuja superposicao origina esta uˆ ¸˜ m 3i i http://www. para o “novo” terceiro a m me m G Hz G ! " # ! ¨21r ! g § iE Y U ! " # (%$! g g (” ! ˆ # ¨%$! ¥ T U onde m m. ¸˜ temos o fator : A onda estacion´ ria indicada est´ vibrando no terceia a ro harmˆ nico. Quais s˜ o os trˆ s comprimentos a e de onda mais longos poss´veis para ondas estacion´ rias ı a nessa corda? Esboce as ondas estacion´ rias correspona dentes. Quais s˜ o os trˆ s mais uˆ longos comprimentos de onda poss´veis para ondas esı to de onda. O comprimento de onda e dado por n ´ . tacion´ rias nessa corda? Esboce as ondas estacion´ rias a a correspondentes. Uma corda sob tens˜ o i oscila no terceiro a harmˆ nico com uma freq¨ encia .ufrgs. ! S„‡t@9 ˜ § #  P 6 P P m H … &  § # t@9 P´ gina 7 a . Uma corda de viol˜ o. qual ser´ (a) a freq¨ encia de o a uˆ oscilacao em termos de e (b) o comprimento de onda ¸˜ em termos de ?  £     … & 17-48E. Este problema tamb´ m pode ser facilmente resolvido pelo m´ todo dos e e fasores.pela relacao n a a ¸˜ . 17-28. 17-27. Uma corda de cm de comprimento e estica´ da entre suportes fixos. Uma ponta de uma corda de cm e mantida ´ fixa. com .onda estacion´ ria. o . teremos # H  &  §  H ! g # § iVFQ¦E  ¢ § ! § # ¦t¨8žI  ¢ § x 6 6 … H H H H H ! (ˆ G & § E U  § T § ¢ ¦§ ¥  § 8 (a) Da relacao i ¸˜ nal f i que f harmˆ nico teremos o  &   g ¨E  . 17-46E. (a) Para a velocidade temos G g g (” … y4 ! © ¨S ¥ Q Y –   –  b ¡ ¡ ¡ # ˆ s " 9 # § 1¨(‚FE G g " " # ¦¨2¨ U  ‹ x W ”Š a h • Y X x SRW T • x • m/s Secao 17 -13 Ondas Estacion´ rias e Ressonˆ ncia ¸˜ a a 17-42E. os comprimentos de onda poss´veis s˜ o fornecidos a ı a A corda est´ oscilando de acordo com o padr˜ o de on. de n´ ilon. Calcule (a) maiores comprimentos de onda ser˜ o a a a velocidade escalar. ` a Elevando as relacoes acima ao quadrado e somando. mantendo inalterado o comprimen. con¸˜ a a e dade e a freq¨ encia. ob.pode deslizar ao longo de uma haste sem atrito. Ent˜ o. (b) A velocidade da onda e tos onde n˜ o existe movimento (os n´ s). Uma corda est´ esticada entre suportes fixos a separados por cm. condicao satis¸˜ e http://www. Duas ondas est˜ o se propagando na mesma cora da. Uma corda de o lando na forma de uma onda estacion´ ria de trˆ s meios a e observar as quantidades fornecidas nas duas ondas dacomprimentos de onda. escrevemos # © 1¥  ! § ¨ig Y n m de comprimento est´ oscia (a) Para obter as grandezas pedidas s´ precisamos 17-60P. (a) a ! © ¦E ! 1Q G §  H  & a ´ cm. ` me baixa dessa corda? (b) Qual e a velocidade de onda para ´ essa corda? Para uma corda fixa nas duas extremidades. cujas posicoes s˜ o ¸˜ a ! (f G B ¥ 17-63P. Mostre que a energia cin´ tica m´ xima em cada e a meio comprimento de onda dessa onda estacion´ ria e a ´ . (a) Para a freq¨ encia fundamental temos uˆ  Y Y Y Y 17-54P. a ` uˆ e b .if.m. Um vibrador no extremo esquerdo da corda gera uma onda dada por C 6 4 T 6 U 74 T e U ! # %$" T  P G G G # ¥ # § # ››”12Ft¨Ÿ  Y  & ¢ ¨§ G m ¡ " ˆ # !  ¨%$rž¢ ! " # ¨2¨¢  © g ¥ g   ¡ $H … H H T & H ¢  A a b P´ gina 8 a . resultem nessa onda estacion´ ria. a H me A corda est´ vibrando no terceiro harmˆ nico. temos . Jason Gallas. muito comprida. com Para as duas freq¨ encias uˆ dadas. cuja amplitude e ´ cm. (c) Em quais a o pontos o movimento da corda e m´ ximo? ´ a ! # %1¥ 6 & ¢ § ¦Eb  ¡ m/s G © ! iR ! § ¨ig g  6 & ¡ G  ! # %1s # C # ‹ e (g W ”Š u vB ! # g %$I ! # § %1Q ! # § 2FE B U ‹ e W ŒŠ ! # 2F§ ! # %1§ © (”£ G e § e ¨g e § T U e ! # 2F§ € P § Q   § T e ¦§ c „ ` e § ‹ W ŒŠ  U VC # &  B  cm m s Hz Y Y enquanto um outro no extremo direito gera a onda C 6 pU 4 T 6 U 4 T e U ! # 21" T  P ¥ Q g I a Y Y Y #  ! # 21s a bB ! # %1§ € § ‹ W ŒŠ  cm m s ) onde a e b s˜ o valores consecutivos dos harmˆ nicos a o . m a hB Y X SSW x G G G ››”£ ©G § ¤Ft£ m m ©G ¤1! !( G e ¦ G U VC U VC ! ! ¨R H e ! ! ¨¨R £ e § 5Ž T T & e ` e § I U U ©G ¤1! c T T  6 P P G m/s Hz ! # 2¨ G ! ! ¨S ©G 9 © ¤@iS (a) Calcule a freq¨ encia. m ! ! (R u B e Y X SSW © $! G  ! Ÿ B ‹ e W ŒŠ cujos n´ s obtemos fazendo o feita para m ! G ! ¨© $I B .LISTA 3 . A das: velocidade escalar da onda e de ´ m/s. Ent˜ o. uˆ ¸˜ Hz combinadas. (b) Determine os pon. O cion´ ria a n´ mero de onda angular e u ´ rad/m e a freq¨ encia angular e uˆ ´ rad/s. a am(b) A superposicao das ondas dadas produz a onda esta.br/ jgallas   c Y X SRW B Y X RSW m # C ` P § u  §C P † †  v ¡ 17-56P. Substituindo essa condicao na ¸˜ b igualdade acima. (a) Qual e a ´ freq¨ encia? (b) Escreva equacoes para duas ondas que. IF–UFRGS 19 de Setembro de 2003. tal que a . o comprimento de onda e a uˆ ´ velocidade escalar de cada onda.ufrgs. Portanto. com a o comprimento de onda m. Observou-se que tem freq¨ encias uˆ ressonantes em e Hz e nenhuma outra neste intervalo.(b) Se a amplitude da onda estacion´ ria e ¸˜ plitude de cada uma das ondas combinadas e ´ cm. (a) Qual e a freq¨ encia de ressonˆ ncia mais ´ uˆ a © 1¥ ! § ¦@g © ¨9 A velocidade transversal de um elemento do meio e ´  & x P  x ¦§ e GG G œ›”£ ! 12£ G ¥ ! F2£ G § m m m  B ‹ e W ŒŠ (c) Os antin´ s devem satisfazer a condicao o ¸˜ . as 10:21 a. encontramos os harmˆ nicos que coro respondem as freq¨ encias dadas.Prof. Considere uma onda estacion´ ria que e a soa ´ ma de duas ondas idˆ nticas se propagando em sentidos e opostos. (b) a velocidade escalar das ondas na corda e O fio composto est´ submetido a tens˜ o a ` a a N e.LISTA 3 . resulta que A tens˜ o no fio e a ´ e lembrando que . de densidade ¸ g/cm e mesma area de secao ´ ¸˜ transversal. (b) Quantos n´ s s˜ o observados nessa ¸˜ o a freq¨ encia? uˆ x ! S}(%( ˜ ! ! # 4 ! # ! " 21(™€¢  … … x ¢ ! s # ¨%F9 ! " # ¨%1§ ! # ! %$R¯  " # " 21¨s x 17. as 10:21 a. (a) Ache a mais baixa freq¨ encia de vibracao a uˆ ¸˜ que dar´ origem a uma onda estacion´ ria com n´ no a a o ponto de juncao. a o de cada parte. Ent˜ o. Um fio de alum´nio de comprimento ı cm com area de secao transversal igual a ´ ¸˜ cm e densidade g/cm e conectado a um fio de ´ aco. obtemos a mais baixa freq¨ encia de vibracao do sistema. Uma corda. o fio composto ¸˜ a tem um total de n´ s nesse modo vibrante. oscila no segundo harmˆ nico de uma onda estacion´ ria. temos (b) A velocidade das ondas na corda obtemos de g § Q `c  h x § £ e ¦5° B ` G  G g ƒ¦! $I H  ¢ ! $³ G g § E Y C ! ‰ ` £ e § 5š B ¡ H  s  ° 3 G x & … y4 … p4 & x ¢ ± £  —Œn }‰  x H ! Rƒ‡s @°Q± ˜ G 9  H x ! Rƒb" 1QQ± 6 I ˜ G §  ‰  Ÿ   x 7Ÿ   x & 6x x H 6  3I ‰ x 6   § ¦£ H Y  ž¢ s ¨ˆ ¡ m/s que nos fornece x  f x ¢  6 Y x Y (c) Com a tens˜ o aplicada e a velocidade do ´tem (b). evidentemente. O como ¸˜ primento acomoda comprimentos . com n´ s. Jason Gallas. Ondas transversais s˜ o estabelea cidas no fio usando-se uma fonte externa de freq¨ encia uˆ vari´ vel. conforme a Fig. a densidade linear (c) a massa da corda? (d) Se a corda oscilar num padr˜ o de onda estacion´ ria referente ao terceiro harmˆ nico.br/ jgallas   # e §  Y X SSW § ¨£ B e Y X SRW m ! ! ¨¦§ C U T U ! # RR1!  ‘ T  P 17-64P. de forma que a distˆ ncia entre a juncao e a roldana de a ¸˜ suporte seja cm. respectivamente.Prof. O a o comprimento acomoda um comprimento . ` me m A energia cin´ tica m´ xima do elemento e e a ´ x Y m : onde numa das pontas da corda. Quais s˜ o (a) o comprimento a da corda. uˆ ¸˜ (a) Hz (b) As extremidades fixas s˜ o n´ s. a ı temos 9 g G ! @¨¥ $r x   kg/m P´ gina 9 a http://www. o incluindo o do ponto de juncao. ` ¸˜ a . o . e. integramos desde Voltando a relacao da tens˜ o. O fio composto e conectado a um bloco ´ de massa kg. inclusive o do ponto de juncao dos fios. e dado em ´ metros e em segundos.3 Problemas Adicionais 17-65. lembrando que .m. temos rad/m e m.if. o & H x B Y X x SSW x c x m G m  6 Y 3 © G ! (¥ 1Q ! G ! (" $I x ¢ 6 ¨§ 6 Y ¢ ¦§   6 H H Y tal que sua energia cin´ tica e dada por e ´ x G C c Y X x SRW G ` B ` Y X x SSW x P c x B v P & B  ¨• §  ¦§  ¦§   ¨ i•   ¨ (• Os valores de que satisfazem a raz˜ o acima s˜ o a a e . O deslocamento o a da corda e dado por ´ " x ©G ¤F§ s x ¢ ` g x x Y x # x  x ig ¢ ©G § ¤FE u § « 6   G y f ¢ 6 y m ¥ 6 H m H 6 ¢ ª t y ­1¬ B ` Y X § SRW B B Y X x SSW B ª 2 © w & x6 (g ¢ 6x Y x x x® P c c 6  x 7¦§ e  x m x 6x m  6 ² G g § ¥ ¦(Q & ! I B ¨ (• • ª 2 y © }w e § I x ` P P £ e  § 5rq¦£ c H Lembrando que at´ e   ¨ B . de alum´nio e aco. 17-30. com n´ s. IF–UFRGS 19 de Setembro de 2003. ı ¸ ´ qual ser´ o per´odo de oscilacao? a ı ¸˜ kg/m e (a) Da forma da onda dada. submetida a uma tens˜ o de a N e presa em ambas as extremidades. Como a corda vibra no segundo kg/m harmˆ nico.ufrgs. do que obtemos © Q x Y § •  § E •  § . IF–UFRGS 19 de Setembro de 2003. a (a) Qual e o menor valor positivo de ´ que corres. se s. e est˜ o em metros e em segundos. ©G ! ¤1Q C © §G ! ¨¤1I C ! r C G GG # § # # ! ›œRFt¨”$f Y http://www. Dentro do intervalo em quest˜ o. Portanto.br/ jgallas   # e Y g Y   C e ¨g (a) Usando a identidade trigonom´ trica. devemos ter o .Prof. ` ¢ 17-67.LISTA 3 .if.Em ponde a um n´ ? (b) Em quais instantes no intervalo o s a part´cula em ı ter´ velocidade a zero? B ! ¶ B x ! © # ! ¦2$™µ B C µ d! ¡ . e # U • rT ‹ W ŒŠ U • ·T ‹ § W ŒŠ I ‹ W ŒŠ • ‹ W ŒŠ !  C C Y X e ¨g SSW ! I B onde . Uma onda estacion´ ria resulta da soma de duas a ondas transversais progressivas dadas por (b) A velocidade para qualquer part´cula da corda osciı lante e ´ C U T U T ¢ † U VC T kv # # U VC U VC e ¨g e ¨g u B e e T T ‹ W ŒŠ ! © ! # ! ¨(%$r ! © ! # ! ¨(%$r 6 P P chegamos a forma da onda estacion´ ria resultante: ` a G C ‹ e (g W ŒŠ B ‹ e W ŒŠ ! G ! R›1Q U VC # B T ¢ onde . as 10:21 a.ufrgs. Jason Gallas.m. a a velocidade e nula para ´ s. a freq¨ encia o uˆ Hz e o per´odo de oscilacao e ı ¸˜ ´ e ´ s. a part´cula tem velocidade nula quando ı P´ gina 10 a G Y X e ¨g SSW B ‹ e W ŒŠ © $! G ! G Sœ$! § e   e (g B B B u e (d) Se a corda vibra no terceiro harmˆ nico. m . ! 1„‘¦¨F Y G ˆ  ¢ § £ (œ$I G ! 6 4 &   & 3 !  ‹ e W ŒŠ  C †  # B – „u § C G kg ! Q A massa da corda ent˜ o e a ´ ˆ G ¨¥ ¨žw´  ¢   a bB – }a ‹ W ŒŠ § – P x 6 P a A cada n´ . .br/ jgallas   . . Numeracao conforme a quarta edicao do livro e ¸˜ ¸˜ “Fundamentos de F´sica”. Resnick e Walker.m. . .tex) P´ gina 1 de 12 a http://www. Halliday.if. . . .br/ jgallas   Conte´ udo 18 18.if. . as 10:57 a. . Alemanha ı Universidade Federal do Rio Grande do Sul Instituto de F´sica ı Mat´ ria para a QUARTA prova.1 Question´ rio . .2 Exerc´cios e Problemas .II 2 18.Prof. . . . . ı Coment´ rios/Sugest˜ es e Erros: favor enviar para a o jgallas @ if. . ı Esta e outras listas encontram-se em: http://www. .ufrgs. . ` Exerc´cios Resolvidos de Dinˆ mica Cl´ ssica ı a a Jason Alfredo Carlson Gallas.br (listam3.LISTA 3 . . a 2 3 ONDAS .ufrgs. Jason Gallas. professor titular de f´sica te´ rica. . . IF–UFRGS 30 de Novembro de 2003. . ı o Doutor em F´sica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique.ufrgs. . A e acontece? E como pode o segundo dente oscilar.ufrgs. do freq¨ encia refletida ser´ maior ou menor que a emitida. Como essa energia se transforma o a ar fosse um meio dispersivo. 17-19 mostra alguns modos de vibracao da mem¸˜ brana de um tambor. no efeito Doppler para o som. Como podemos localizar. Haver´ mudancas no a ¸ 18-11.LISTA 3 . Suponhamos que. De que modo o efeito Doppler pode ser usado em um instrumento para detectar a batida do coracao de ¸˜ um feto? (Este procedimento e rotineiro em medicina. mesmo que a exa e estruturas de diferentes densidades presentes no sangue tremidade inferior do diapas˜ o esteja fixa. as 10:57 a.Prof. 18-29 e descrito no exerc´cio 18-49E. Explique o som aud´vel produzido ao passar o ı dedo umido pela boca de um c´ lice de vinho.1 Question´ rio a O interior do c´ lice e como uma coluna de ar e uma a ´ ressoˆ ncia acontece para uma dada freq¨ encia do moa uˆ vimento do dedo. Se o de nossa vida di´ ria. numa experiˆ ncia. ı ı podemos espalhar algum p´ bem vis´vel e observar onde o ı ele se acumula para diferentes freq¨ encias de oscilacao. mas o ar est´ se movene a do levando em conta esse ponto. ¸˜ ¡ http://www.) ´ O movimento do m´ sculo card´aco altera a u ı freq¨ encia das ondas ultra-sˆ nicas na reflex˜ o.e com a mesma a freq¨ encia . As v´ lvulas do pistom e a vara do trombone tem a a funcao de alterar o comprimento da coluna de ar no in¸˜ terior destes instrumentos. e 18-9. o som refletido no eco n˜ o no som do trov˜ o? a a reproduziria o som emitido. ı a muda a altura da coluna de ar e a ressonˆ ncia vai acona tecendo para outras freq¨ encias. uˆ ¸˜ A Fig. a algum ponto de referˆ ncia. os n´ s e ventres podem ser o determinados pelo dispositivo ilustrado na Fig. ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ 18-20. uˆ a mesmo modo que o primeiro (` mesma freq¨ encia)? a uˆ em funcao do movimento. Deve haver um movimento relativo entre fonte a As posicoes dos n´ s e ventres em uma corda s˜ o ¸˜ o a facilmente visualizados. proa 18-6. Qual e a funcao comum das v´ lvulas de um pis´ ¸˜ a duzindo a propagacao de uma onda sonora de grande ¸˜ tom e da vara do trombone? amplitude.porque uma onda se propaga tamb´ m no uˆ e interior da estrutura cristalina do metal de que e feito o 18-18. Ondas sonoras podem ser usadas para medir uˆ correspondentes as notas musicais. uˆ 18-3. no ar. Jason Gallas. para produzir as freq¨ encias 18-16. as comprimento de onda (ou freq¨ encia) recebido? e uˆ posicoes dos n´ s e ventres em uma corda. Na coluna de ar.m. se a freq¨ encia n˜ o for muito uˆ a grande. Numa superf´cie vibrante. ´ a e receptor para observarmos mudancas no comprimento ¸ de onda. permiuˆ o a tindo assim a deteccao das suas batidas.II   P´ gina 2 de 12 a . A corrente el´ trica no relˆ mpago produz um aquee a cimento do ar. em uma co¸˜ o luna de ar e em uma superf´cie vibrante? ı N˜ o. ` 18. que sofre uma brusca expans˜ o. Um relˆ mpago dissipa uma quantidade enorme a de energia e e essencilamente instantˆ neo pelos padr˜ es ´ a o O fenˆ meno do eco evidencia bem este fato. 18-14. Que evidˆ ncia experimental existe para afirmare mos que a velocidade do som.br/ jgallas ¡ 18 ONDAS . Quando vocˆ bate em um dos dentes de um diae Ondas ultra-sˆ nicas atingem e s˜ o refletidas pelas o a pas˜ o. ` a velocidade com que o sangue passa pelas veias e art´ rias. o outro dente tamb´ m oscila. Como isto a e movendo-se com ele ao longo das veias e art´ rias. ¸˜ O segundo dente do diapas˜ o oscila . Mudando o n´vel do vinho no c´ lice. ´ a fonte e o receptor est˜ o em repouso em relacao a a ¸˜ diapas˜ o. Explique como. IF–UFRGS 30 de Novembro de 2003.if. e a mesma para ´ qualquer comprimento de onda? 18-15. Prof. (a) ´ Se e a velocidade do som no ar. ent˜ o o comprimento de onda no a mm D 18-5E. de comprimento . ´ ¸ tecido e ´ m/s. Jason Gallas. Um ouvinte do outro lado do tubo ouve dois sons. e de ´ km/s. Mas tamb´ m ´ e . ¸ ´ Pa. (a) Qual o comprimento de onda no ar dessas ondas sonoras? (b) m/s. e de ı ´ g/cm . ´ s m Igualando as equacoes para a profundidade .m. A densidade m´ dia da crosta terrestre.LISTA 3 .ufrgs. Observa-se que os soldados atr´ s da coluna (b) Tomando a a mos m. Qual o tamanho da colu¸ na.2 Exerc´cios e Problemas ı (a) O tempo que a onda que se propaga pelo ar leva para percorrer e ´ e o tempo para a que se propaga no metal e ´ . encontre o comprimento . IF–UFRGS 30 de Novembro de 2003. obtepelot˜ o. A soma desses tempos e o intervalo ¸ ´ medido: Portanto. cuja raiz ¸˜ v´ lida. Ultra-som a freq¨ encia de ` uˆ MHz e usado ´ para examinar tumores nos tecidos internos. Use esta informacao para achar o m´ dulo de elasticidade vo¸˜ o lum´ trica da crosta terrestre a essa profundidade. aproximadamente. a densidade do meio e o m´ dulo de ¸˜ o elasticidade: (a) O comprimento de onda e dado por ´  p % q¦ h i  ¨ gf§  Pa m Encontre (a) a amplitude de press˜ o. marchando a passos por minuto. Uma pedra e jogada num poco. o tamanho da coluna e. Para e comparacao. Secao 18-3 Propagacao de Ondas Sonoras ¸˜ ¸˜ ¥   e$ X   £ ¨ X ¥ e$  ¢ D ¨ U 18-14E. vindas de terremotos distantes. a uˆ (c) o comprimento de onda e (d) a velocidade da onda. ` 18-2E. ¸˜ X D U £ ¦E X6 c dX6 D W¨ V ¥ ¥  D V ¢ B   G S ¥ R¥  £ U ¨ S !¨ Y D C P X D 6 ¥ ¥ Q R¦ G a bX G H) ¥ ¥  D SI ¨ Y `D  B $ ¦% S T¨ Y `D C  ¨ ¡ U ¥ £ ¦¤¢    ¢  ¢ £   !¨ ¨   ¨ ©§ £ § ¡ teremos uma equacao do segundo grau para . o m´ dulo de elasticidade volum´ trica do ¸˜ o e aco e. ¥ ¤¢ $   # 1 ) ¥ ¢ & % 20¤('¤¢  "£ ¡ ¥ ¥  ¤¢ P 7 B I Secao 18-2 A Velocidade do Som ¸˜ B E FC E  FC ¨ D ¨ 6 ¨ ) D D 18. D ¨ D C ¡ ¡  1 ¥ ¢ & A) @98    ¨ 6 7 4 5¨ 3 . enquanto os m´ sicos da ¸ e u banda avancam com o direito. A velocidade das ondas longitudinais s´smicas a essa profundidade. que intervalo de tempo ocorre entre os dois sons? (b) Supondo que s e que o metal e o ferro. avancam com o p´ esquerdo. segue a m´ sica da banda a frente do u ` m/s. qual o Se a velocidade do som no tecido e de ´ Aplicamos diretamente a relacao entre a velocida¸˜ comprimento de onda das ondas no tecido? de de propagacao. aproximadamente. A velocidade do som em um certo metal e .br/ jgallas P´ gina 3 de 12 a  P ) … ¥ G † AP ) … Pa m s ‡ ˆD S RS I ¥  „ ‚  € x R¥ R¢ sƒ¤¤yP I  R¢  I ¨ wu v 18-8P. um da onda que se propaga pelo tubo e outro da que se propaga pelo ar. O som da pedra ´ ¸ se chocando com a agua e ouvido ´ ´ s depois.if. enı contrada a partir da medida do tempo em que chegam. as 10:57 a. ´ Em uma extremidade de um longo tubo deste metal. aproximadamente. sendo o tempo que o som leva para alcancar ¸ m a borda do poco. ´ B ¥  ¥ ¢ C ¨ D C  D 18-18P. aproximadamente? 18-11P. http://www. Portanto. fornece a profundidade do poco ¸ m. Uma coluna de soldados. (b) a freq¨ encia. a s. se produz um som. Qual a A freq¨ encia da marcha e de passos por segundo e profundidade do poco? uˆ ´ ¸ as passadas dos m´ sicos e dos soldados atr´ s da coluna u a est˜ o defasadas de meio comprimento de onda: a A profundidade do poco e ¸ ´ . A press˜ o em uma onda sonora progressiva e a ´ dada pela equacao ¸˜  S S  t¥  r ¨ r s¨ §  ¥ ¥  R¦¢ ¨ r d O m´ dulo de elasticidade da crosta a profundidade dada (b) Se o ` e a metade do do aco. e km abaixo da superf´cie. onde e o ´ tempo que a pedra leva para atingir a agua. Jason Gallas. que est´ a ¸˜ a m diretamente a frente de um dos alto-falantes.Prof. uma fonte pontual de ondas sonoras est´ pr´ xima a um muro refletor a o .A distˆ ncia . a menor minar : freq¨ encia no intervalo aud´vel. Encontre as duas freq¨ encias a uˆ ˆ para as quais existe interferˆ ncia construtiva entre e e em . Um detector intercepta o raio sonoro . Uma onda sonora de comprimento de onda de cm entra no tubo mostrado na Fig. de at´ o ponto do muro de onde ¸ u a e e ´ primentos de onda refletido. menor e a maior freq¨ encias no intervalo aud´vel. Da semelhanca ` a ¸ dos triˆ ngulos estabelecemos a e g ) g i dh 3 d 6 e g ) 3 g j dh f f d 6 g 18-21P. dois alto-falantes. ` (a) Da equacao da onda temos diretamente que a aml. que foi ree fletido pelo muro com um angulo de incidˆ ncia igual e ˆ ao angulo de reflex˜ o . e ´  ft http://www. Tamb´ m intercepta o raio sonoro . a diferenca de percurso ser´ ı ¸ a c ¨ ™ d£ ™ ‚  m (d) A velocidade de propagacao da onda e dada por ¸˜ ´  ¥ S S !¨ ‰ ¨  !¨ § de modo que obtemos para o raio  £   R ¢ ¨ § I ¨ (a) A condicao para a ocorrˆ ncia dos m´nimos e que ¸˜ e ı ´ a diferenca de percurso entre as fontes e o ouvinte seja ¸ Observando a geometria da Fig. Qual Hz deve ser o menor raio . temos para o um n´ mero inteiro de meios comprimentos de onda: raio : u  $ kQ  $ S ¨ 6  ¥ a 6 ¥ “ ¨ ) g ) g ¡  § P ¢ £ a ’ I ¨ 6 x G F) x ¨ x u ’ ft que nos fornece o valor ft. ft. de modo aproximado. a mesma na posicao do ouvinte. as 10:57 a. Ent˜ o a a freq¨ encia das oscilacoes e uˆ ¸˜ ´ 18-24P. (b) A condicao para a ocorrˆ ncia dos m´ ximos e que a ¸˜ e a ´ diferenca de percurso seja um n´ mero inteiro de com. separados por uma distˆ ncia de a m. (a) Para ` quais freq¨ encias aud´veis ( uˆ ı Hz) existe um sinal m´nimo? (b) Para quais freq¨ encias o som fica ao ı uˆ m´ ximo? a   ¦" S ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ R¦£ £ ¥  R¥ t£ ¡ 18-25P. 18-25. sendo Hz. Reescrevemos a equacao dos m´nimos para as ¸˜ ı freq¨ encias: uˆ O raio e refletido pelo muro ´ num ponto que est´ a a distˆ ncia verticalmente abaixo de . IF–UFRGS 30 de Novembro de 2003. Agora podemos deterda qual obtemos. 18-26. uˆ ı (b) A freq¨ encia angular e uˆ ´ rad/s.if. nos P´ gina 4 de 12 a 6 o ƒu g £  ¥ ¥ 0% k@¢ d ¢ ¢ n¢ c l ¨ ¥Q G ¨ 6 RQ ¥ 6 ¤¢ ¥ ¥   ¨  a 6 0$ ¨ l a 6  ¥¤¢ l “ “ d ¨ ¨ m 6 m g l 6 6 g 6 x ¢   Q t0@¢   R£ e$ ¨ S $ • –6 S s¨  c   ’  ¨ g—§ x    u P 1 6 P ¥ £ ¥   x ¢ ¥ £ £ a ¨ ¨   a 6 P ¦" ’ ¨ ’ I x ’ ¨  u ) x onde   ¦" S m e m. est˜ o em fase.LISTA 3 . para .br/ jgallas %   R$ 7d¢ ¨ ) g G 6 f g 6 a m g ¨ pu o ) g Explicitando a freq¨ encia. Na Fig. (A reflex˜ o do som no muro n˜ o altera a fase a a da onda sonora. temos uˆ c  u ’ ¨  Agora podemos calcular a diferenca de percurso ¸ caminhos de e at´ : e ft. Na Fig. Supondo que a a amplitude dos sons dos dois seja. vindo diretamente de .) P £ G ‚ £ ™ m/s cm $ ¦Q Q ¤¢ ¨ £ ˜ –6 §  G ™ % % ¨ )  ¥ t0$  ¥ ¡ ¨ ‚ ¥ ‚  S S R¨ ¨ ¨ ‘ ¥ £   % R@¢ ‰ ¨ ¨ ‘ I ‘ ‚ £ ‚ £ ‰ ¨ ©§ ¨  SI   ¢ “ ”¨ ¡ .que fornece ¸˜ Hz e Hz para a pitude e de ´ Pa. de modo que um m´nimo seja ı registrado pelo detector? (c) O n´ mero de onda angular e u ´ rad/m.m. A maior freq¨ encia no uˆ ı uˆ intervalo ocorre para .ufrgs. 18-27. Ent˜ o o a comprimento de onda e ´ Para um m´nimo. 18-27. Hz. (b) Com os dados fornecidos. (b) Ondas de r´ dio viajam a velociSecao 18-4 Intensidade e N´vel do Som ¸˜ ı dade de m/s. calculamos a intensidade por e  6 ¥ ¢ & ˜ … ¤('$  !¨  ¨ que fornece para a raz˜ o entre as amplitudes de press˜ o a a  ¥ kd ¨ 6 v ‡ ˆ¨ 6 |}@x ‰ s | }s x ‰ ¨ v 6 }u v }u http://www. Uma nota de freq¨ encia uˆ Hz tem uma inten.m. considerando as ondas esf´ ricas.  6 … ¥ ¢ • ¤(& S  "¢ ¨ 6 ™ ‚ $   ¨ v 18-30E. Encontre as raz˜ es das (a) intensidades. temos ¸˜ uˆ  e¦%  $ ¨ %   R$ 7d¢  £ ¢ R¤R¢ ¨ o ƒu  r¨  P dB v V {o y ¥ ¤¢ ¥ ¤¢ ¥ ¤¢ I I I ¥ $ • @„—¥  ¥ ¢ & ¥ S  ¨ ¨ ‚ ¡  nq c £ c ¢ c ¥ Q £ ¤¢ ¥ R¥    S ) ¨  ¢ Rqk¥ v % £ H¦¢ ¨ %   R$ 7d¢ ¥  £ R£ ) ¨ ’ v com c ¨ 6 dB 1 v Para os m´ ximos de interferˆ ncia devemos ter a e ¨ § 6 v o ƒu  £ ) ’ 6 ™ ‚ $ ¥ @¢ ¨ ¨ pu o I p ¥  F¥ ¢ 6 s ¤x )  v ¥ ¥  S p ¥  €¥ ¢ ¡ ¡ (b) O n´vel sonoro para a distˆ ncia pedida. Uma fonte de ondas sonoras tem uma potˆ ncia (b) Explicitando a raz˜ o entre as intensidades.Prof. ent˜ o a c J/m (a) Ent˜ o o fator entre as intensidades e a ´ S T¨ v V zo y ¡ (a) Para a raz˜ o entre as intensidades.if.br/ jgallas ) v W/m ) | }6s x 6 ‰ c 6 | }6s x 6 ‰  £ ¢ ¥ t¦ ) ) ¨ v (b) E o fator entre as amplitudes e ´  £ ¢ qR¢ ¨ %  £ R¢ ~ ¨ 6 |}@x s | s }@x P´ gina 5 de 12 a  S ¨ ) 6 v v ) 6 v v ) ¥ ¢  dB dB 18-39P. calculamos a intensidade: v ƒ £ ¦E 6s x 6 ‰ 4 W/m ¥ ¥ ¥ ¥ R  kQ   P 0Q  P S T¨ SI 6 ) … @9'¥ R¢ ¥ ¢ &  P ˜ … ¤('$  ¥ ¢ & V {o y 1 ƒ v Explicitando essa relacao para a freq¨ encia. o fator relacao da intensidade. ser´ a 6 6 ) … ¤¢ ¥ ¨ v V zo y ) 6 v ¨ v V {o y . portanto. Encontre para uma onda de 18-29E. Por que n´ mero ficam multiplicadas (a) sua intensidade e u (b) sua amplitude? ¥  R¥ R¢  ƒ ¨ nm (a) Podemos recorrer a an´ lise dimensional.ufrgs. causadas por este som? £ E 6s x 6 ‰  4 ¨ v s ¤x Tirando da relacao da intensidade. temos e de W. ` Hz e ¨ dB dB Hz. ¸˜ tem dimens˜ o de energia por unidade de voa lume (verifique!). Qual a amplitude das oscilacoes W. Dois sons diferem em n´vel por ı dB. vem ¸˜   k% S T¨ 6 –) x wk6 ‰  4 v £ u¨ t E com a relacao do ´tem (a). podemos expressar a intensidade em termos de como . IF–UFRGS 30 de Novembro de 2003.r´ dio distando a km de uma fonte de potˆ ncia e sidade de W/m . ƒ v 18. com ı a W/m . obtemos ¸˜ ı  ¦# † … ¥ ¢ &   2) @9…" ¨ v ¨ ƒ ¥  R¥ R¢ ¡ Se a diferenca em n´vel e de ¸ ı ´ 6 P dB. Jason Gallas. as 10:57 a. Na ` a . (b) amo plitudes de press˜ o e (c) amplitudes de deslocamentos a de part´culas para dois sons cujos n´veis diferem por ı ı dB. temos a  " 6 a 18-34E. ¸˜ e do ar.36P (a) Mostre que a intensidade de uma onda e o ´ produto da energia da onda por unidade de volume e a ` sua velocidade .LISTA 3 . Se for uma fonte pontual (a) qual a intensidade a m de distˆ ncia e (b) qual o n´vel do som em a ı decib´ is a essa distˆ ncia? e a (a) Dada a potˆ ncia. LISTA 3 . ¸˜ a a . Esse n´vel sonoro corresponde a Portanto. (a) Como as fases das duas ondas passando por se realcionam? (b) Qual a intensidade do som em P com e ligadas? (c) Qual a intensidade do som em P.if. A Fig. Seja um ponto P. que est´ a m de e m de . Como o percurso e diferente ´ para as duas ondas que se encontram em . A uma distˆ ncia de a km.m. as 10:57 a. relacionamos as in- (c) O atrito entre o ar e as paredes do tubo reduz a energia das ondas no percurso. de acordo com a Tabela 18-3. considerado como uma fonte pontual. ¸˜ at´ um valor m´ ximo de e a unidades quando e des´ locado de cm. Calcule a que nos leva ao resultado distˆ ncia . usado para demonstrar a interu ferˆ ncia de ondas sonoras. cuja raiz v´ lida fornece a m. A intensidade do som em tem um valor m´nimo de ı unidades em ı uma certa posicao de e cresce. a v 6 ) ¤¢ ¥ ¨ v ¨ f ¡ f . a  t£ 3 Com a equacao ¸˜ tensidades nas duas distˆ ncias. IF–UFRGS 30 de Novembro de 2003. Encontre (a) a freq¨ encia do som uˆ emitido pela fonte e (b) a raz˜ o que a amplitude da onda a de tem com a amplitude da onda de em .br/ jgallas f f 3 f 3 d ¥ ¥ ¤¢ f e }Šd   d ¥ ¥ RQ f 3 3 d f e wŠd   0% R¢ f f f e wŠd 3 d 18-46P*. e ouvido meio comprimento de onda para um comprimento de ´ muito baixo. e um e ´ ´ detector de som. se ( ligado)? (a) A distˆ ncia de a a e ´ m e a distˆ ncia a a e ´ m. Em . a ¸ a ´ ouvidos? cm O limiar da audicao dolorosa e de ¸˜ ´ dB. Vocˆ est´ parado a uma distˆ ncia D de uma fone a a te que emite ondas sonoras. enquanto o comprimento e fixo. ¸˜ emite a uma potˆ ncia de e We a W. a a (a) Do m´nimo para o m´ ximo. em todas as direcoes. A intensidade e proporcional a ´ ` amplitude ao quadrado. isto e. a Tomando a raz˜ o das intensidades. ı  ¥ ¥ tR@¢ ¨ 6 2P 3 3 3 e e G a I ‘ e e I I ¨ v c 6 P  ¥ ¢  7d¢ 6 P ™ ‚ $ v I ¨ f ¥ t¦  ¥ ¨ 6 … ¤¢ ¥ ™ que fornece m. c Q ¥ ¥ ¨ 6 2P 3 a e I ‘ ¨ v ‰ ¥ ¦¤¢ 1 ™ Para as distˆ ncias em quest˜ o. suas ampliobtendo uma equacao do segundo grau para a vari´ vel tudes s˜ o diferentes. cada um emitindo som na freq¨ encia de uˆ Hz. http://www. em todas as direcoes.Prof. Dois alto-falantes. a f ¦£ v I ¨ f 6 0v  . ı ` cm e a freq¨ encia do som emitido uˆ intensidade pela fonte e ent˜ o ´ a   Q ¢ 7@t    ¢ & R% 9ƒ£ ¨ %%R¥ k¥  $ S S ¨ £ §  ¨  % k%  ¨ ‹§ ¥ £ ¤¢ c ¢ £ ¨ v v V {o y ¡ ¨ § 3 f Šd ¥ @¢ f G ¥ ¥ R@¢ d ¡ ¡ Hz m´ x. com a a c 6 v ™ ¨ 1 1 6 ™ v m. e . est˜ o a a m um do outro e oscilam em fase. o deslocamento de ı a 18-40P.ufrgs. ` (c) A raz˜ o entre as amplitudes de deslocamento e a (c) Como podem essas ondas terem diferentes amplitua ´ des. como o nosso ouvido ou um microfone. um berrante de e tal que faz crescer a diferenca de percurso de ´ ¸ Hz. de forma igual. O comprimento pode ser variado. e um diafragma. tal que a diferenca de percurso ¸ ¥ k$  ) ™  ) d ¥ S !¨ 6 ™  6 d ¥ e$  # … @Œ¢ ¥ ¢ & £ ¥ 7  6 d 6 d 6 d ¨ ) d 6 d ) d ) d  6 ) d ¥ d 6 S # … @5& ¢ ¥ ¢  d ) d ¥ ¥ ¦£ ) d de P´ gina 6 de 12 a f c Q ¨ 6 P 6 P ¨ G m´n. Caminha ¸˜ m em direcao a fonte e obser¸˜ ` va que a intensidade das ondas foi dobrada. 18-45P. temos a 18-41P. 18-28 mostra um interferˆ metro o ac´ stico. se foram originadas pela mesma fonte ? mesma raz˜ o entre as amplitudes de press˜ o. Jason Gallas. se est´ desligado ( ligado)? (d) a est´ desligado a Qual a intensidade do som em P. Ent˜ o. de maneira cont´nua. temos f d 3 f e }Šd f  6 W/m ¨ 3 e ¥ ¢  ¨ 1 1 (b) Chamemos de a amplitude da onda que chega em vindo por e a amplitude da onda que vem pelo caminho . a onda sonora vinda ´ de interfere com a vinda de . A que distˆ ncia comecar´ a causar dor nos onda inteiro. de modo uniforme. cheio de ar. Usando a a Para um tubo com as duas extremidades abertas. Uma certa corda de violino tem cm de comprimento.if. um disco . tem uma freq¨ encia fundamental de uˆ e c P  a §  !¨ ¨ f§ m ¡    0¥ S ‘¨  0¥ ¢ G Ž ¨  Hz. ´ ¸˜ o a ent˜ o a e a velocidade da onda sendo . um bast˜ o est´ fixado pelo a seu centro. longitudinalmente. se e a ´ m   g    f $ t¥  C que nos fornece o comprimento S ¨ ™ Secao 18-5 Fontes Sonoras Musicais ¸˜ c ˜  C ¨ ™  C 0$ S m 6 # (b) Sabemos que P ‚ ˜ ¦ ) ¨ £ ™ d C  € ¤¤x D ‰ x y ’ a P ‚ ‚ x ’ y 2D a D ‰ ‰ @¤x  € I  € ¤¤x I — — ¨ ¨ U U A onda tem a forma geral da onda progressiva m . os pedacos de cortica ¸ ¸ se acumulam nas regi˜ es correspondentes aos n´ s das o o ondas produzidas naquele interior. Suponhamos que em temos a . O terceiro harmˆ nico de um org˜ o . dentro do tubo. Ent˜ o a diferenca de fase entre as ondas distˆ ncia m´ dia entre os pontos de acumulacao. ` Este e o m´ todo de Kundt para determinar a velocidade ´ e Lembrando que as ondas que se combinam em viajam do som nos gases. Um tubo de um org˜ o . Como essas ondas ¸˜ fazem percursos diferentes. a diferenca de fase e de fato ¸ ´ Se e a separacao entre os n´ s da onda estacion´ ria. teidentidade trigonom´ trica e mos as freq¨ encias de ressonˆ ncia dadas por uˆ a  qn c c £ c ¢  com chegamos a express˜ o ` a P D ‰ x y ’  t¥ a D ‰ ¤¤x  t¥   € I 3 a D ‰ ¤¤x e  € ¨ U Para um tubo com uma extremidade aberta. Mostre que.m. preso a um extremo do bast˜ o. Um embolo e co¸ ˆ ´ locado no outro extremo. gadas depende da amplitude da onda que resulta da superposicao das ondas no ponto . e o embolo e ajustado at´ ˆ que uma onda estacion´ ria seja conseguida no interior a do tubo. quando e tocada uma nota e ´ P´ gina 7 de 12 a e e ¥ $ 0$ e ¥ š ¥ t£  S £  š http://www. em sentidos opostos. a veloa ¸ cidade do som no g´ s. 18-29. IF–UFRGS 30 de Novembro de 2003. est´ fixa nas suas duas extremidades e tem a massa de g. com o ´ a uma extremidade aberta. as amplitudes em tamb´ m e s˜ o diferentes. quando tocada sem se colocar o dedo. A corda emite uma nota ( hz). ou seja. a freq¨ encia para produzir on` uˆ ´ e das sonoras dentro do tubo.br/ jgallas S a 18-49E.Prof.ufrgs. com as duas extre´ a ondas que vamos somar s˜ o ent˜ o a a midades abertas. tem a mesma freq¨ encia que o uˆ segundo harmˆ nico do . m. Na Fig. As 18-54E. a est´ dentro de um tubo de vidro que tem pedacos de a ¸ cortica enfileirados no seu interior. Jason Gallas. 3  S S ¨ ¨ e  em ™ ˜   m ¦£ £ ¨ c ™ c ˜     C R$ C ¦£ ˜ ™   ¨ ¨ m ¦£ ˜ ¦ ™ d S – ˆD  R¥ ¥ ‰ x S ¨ y ’  € ¤¤x †  3 D  ¥ ¢ R¤£ rad  ¨  D  k¥ a   t¥ ‰ x 3 ‰ x y ’ y ’ 3 ¨   a 0¥ e  t¥  D a S D ‰ @¤x  €  ¢ ‚ n¢ x D a ‰ ’ y 2D I D ‰ @¤•”P  € x“  € ¤¤x ‰ ¤@–P  € x ‰ ¤¤x  € e ¨ ¨ 3 m ) 3 3 ¨ U u ¨ § 6  t¥   t¥  ‚ £  P R¥ U S ¨ a a a Ž e e 3 e ´ ¥ ¢  I I D ‰ I  € ¤¤x e ¨ ¨ m  e ´ em ¨ u a e ¸˜ m. (a) Onde se deve colocar o dedo para que a corda passe a emitir uma nota ( Hz)? (b) Qual a raz˜ o entre os comprimentos a de onda da onda da corda necess´ rio para uma nota a e para uma ? (c) Qual a raz˜ o entre o comprimento a de onda da onda sonora. nos (b) A intensidade do som com ambas as fontes li.leva diretamente ao resultado pedido. as 10:57 a. as freq¨ encias s˜ o uˆ a  nn c  c c ¢  com (a) A freq¨ encia fundamental fornecida leva diretamenuˆ te ao comprimento :    0 k¥ ¨ ¥¥R% $ S S ¨ ˜ d  ˜ C ¨ ˜ m 18-56P. Quando isto acontece. e dada por a ´ . Fazemos ent˜ o o bast˜ o oscia a lar. Qual o comprimento (a) do o tubo do org˜ o e (b) do ? ´ a 3 e e ¥ ¥ ¡ onde e s˜ o as amplitudes das ondas.LISTA 3 . uˆ Hz. a menor freq¨ encia ( a uˆ ) qual comprimento precisa a corda ser diminu´da com dos pulsos refletidos ser´ ı a o dedo. com m e a velocidade e ´ (c) Para a freq¨ encia . Descobre-se ´ uˆ a que a corda oscila somente nas freq¨ encias uˆ Hz e Se e a freq¨ encia fundamental. um e o de cada degrau.m. a freq¨ encia percebida seria maior uˆ (b) A raz˜ o entre os comprimentos de onda na corda e a ´ ou menor? (a) Para interferir construtivamente. os pulsos soam juntos como uma nota. tomamos a raz˜ o entre os a harmˆ nicos: o 6  )   ¢ ¥  ¥ ¨ £ ¢ S C £  ¦E £ ¨ 6   ¨   P ¢ ¨ ¥    Q £ ¦R£ ¥   ¦0% k¥ ¥ t¥  S ¨   P k¥ P £ S $ I S I ¨ C E ¦¢ C ¦£  C £ ¨  ¢ ( ¨ 5§ ¥ ¥  ¤¢ ¢ ¥ £ ¨ C ¥ ¥  ¢ S ¡ ’  ™  E ¦0% ™ G   P o C £ ¦E   ¨  nn c ™ S c £ c ¢ ¨ C ¦E  £ I ¥ t¥   c o ¨ ¨  ¨ C  C ™ ¨ c  ™ o o C ¦£  Ÿ¨   E 0% ¨ ™  C C C¦£ m ¨ u  nq c £ c ¢ c ¥   k¥ ¨ ¨ C ’ c § ’ ¨ m u ¡  Q ¢ t¤qR¢  m que nos fornece ¢ I C ¨ o http://www. vamos ter E 18-60 ( na 6 edicao) ¸˜ P´ gina 8 de 12 a  $ ¢ @qk¥ ¨ o  C ¦£  % ¨ G P ¨ ¢ S R C ¨ˆ§  k¥ ™ ¨ (a) Quando tocada sem colocar o dedo. Uma corda de violino de cm de compriextremidades s˜ o a mento com densidade linear de g/m e colocada ´ pr´ xima de um alto-falante. para o qual a freq¨ encia fundamental e . IF–UFRGS 30 de Novembro de 2003. temos ¨  G  žC  ¢ § § I  t¥ ¨ o  C q¦£ ¨ ¦E7%  § ¨  ™ ™  žC $ % ¦£ ¨ ˜  ˜ §›¨ ¥R$R$ ¨  ¥  0¦t¥  ˜  ¨ 5œ  c   C q¦£ E  ¨ œ „e§ ¨ œ ie§ ¥  % t¥ ¨ C ¦£ ¨ ˜ § ¨ š ? (b) Com os dados fornecidos e o resultado do ´tem (a). As freq¨ encias de ressoˆ ncia da corda fixa nas duas uˆ a 18-63P.br/ jgallas ) ¡   ¥      £ t¥ ¢ ™ ¨ ¨ G G  C  ¥ t ¥ % ¨ C G œ § £ C ¨ ¨ ¨  C ˜ § œ § C u ¢  e. que est´ conectado a um o a com oscilador de audio de freq¨ encia vari´ vel. sonoras e a mesma do ´tem (b). Mas. A nova Hz. (a) De uˆ ´ . O som rePortanto. para . qual a raz˜ o entre o comprimento de ona da da nova onda sonora emitida pela corda e a emitida antes da colocacao do dedo? ¸˜ (b) Como .Prof. ou se¸ (c) A raz˜ o entre os comprimentos de onda das ondas a ja. quando a freq¨ encia do oscilador varia entre uˆ freq¨ encia fundamental e uˆ ´ . Ent˜ o. degraus fosse menor. as 10:57 a. com n´ meros o u e . uˆ m/s. temos As freq¨ encias dadas correspondem a dois uˆ harmˆ nicos da corda. Jason Gallas. a freq¨ encia percebida seria maior uˆ se fosse menor. a corda vibra na sua freq¨ encia fundamental. o novo comprimento da corda. ´ uˆ . e Hz. Sendo . Uma corda de um violoncelo tem comprimento Para dois degraus consecutivos. na corda passa a ser m.ufrgs. o dedo deve ser posicionado a torna ao palco como uma s´ rie de pulsos peri´ dicos. cm (a) A que freq¨ encia os pulsos retornar˜ o (isto e. . Com o dedo posicionado.if. para a C E ¦™ Uma palma no palco de um anfiteatro (Fig. Qual a tens˜ o na corda? a (a) Tomando a raz˜ o entre as freq¨ encias a uˆ e . as ondas refletidas pelos degraus devem conter um n´ mero inteiro de u comprimentos de onda na diferenca de percurso. para mudar a freq¨ encia fundamental para ? uˆ (b) Qual o valor de para me ? (c) Hz Para . e. qual uˆ a ´ a freq¨ encia da nota percebida)? (b) Se a largura dos uˆ da extremidade da corda.LISTA 3 . Com . respectivamente. ´ ı com 18-57P. se . o comprimento de onda . 18-31) produz ondas sonoras que se dispersam em uma arquibancada com degraus de largura m. ı vem m . . Ent˜ o. ` uma ¡ ¡ e para a freq¨ encia uˆ . decide usar o efeito Doppler para descobrir ms se o apito funciona de maneira adequada. as tens˜ es ser˜ o o a . porque carros n˜ o s˜ o t˜ o a ´ a a a a os demais batimentos (em Hz): velozes. que corresponde as mi/h. o carro ¸˜ uˆ procuradas de . Fazendo-se osci. em o ¸ uˆ freq¨ encias de batimento: uˆ e Hz. (a) E 18-66 ( na 6 edicao) ¸˜ Qual precisa ser a velocidade do carro e qual a direcao ¸˜ S˜ o-lhe dados quatro diapas˜ es. Quatro a a batimentos por segundo s˜ o ouvidos. entretanto. . A velocidade da onda na corda. O As combinacoes poss´veis dessas freq¨ encias produzem ¸˜ ı uˆ experimento n˜ o e realiz´ vel. Uma ambulˆ ncia tocando sua sirene a a ` e a Hz quando as cordas oscilarem juntas? ultrapassa um ciclista. para  $ % ¦£ ¨ P ¥ I  P ¥ k¥ S I ¨  ¨  ) ¨ ¨ ¡  ) ) 6   C £ ¨  S T¨ 6  e . quando colocadas freq¨ encia fundamental de uˆ sob a mesma tens˜ o. O a uˆ dono do c˜ o. enquanto ele permanece parado ouvindo. a freq¨ encia 18-71E. O c˜ o. O diapas˜ o com a para que o dono escute o apito a a o a kHz (se ele estiver freq¨ encia mais baixa oscila a uˆ Hz.br/ jgallas P´ gina 9 de 12 a £ R£ ¥ ¥  ¥ ¥ % ¤¢ ¨    S £ ¤¢ ¨ ©  $ 7dt%   ¢ ©  ¥ S    S T¨ 6  G €‰ %    6 c £ ¥ ¥ % ¨ 6  G €#  ) c ¢ G 6 ¨ #  G €‰   Hz £ £ c ¥ ¦£ ©  S G $  S S $ S ¨  ¨  ‘0¥ S ‘ ¥ 0¦£  ¥ Com bat. cuja freq¨ encia correspon.deve afastar-se do dono: uˆ mentos ouvidas. Duas cordas de piano idˆ nticas tem uma ser realizado.m. A raz˜ o entre as tens˜ es e a o ´ bat. as 10:57 a.Prof. Um apito usado para chamar c˜ es tem uma uˆ a Hz. quando a corda e Portanto. poss´veis freq¨ encias dos outros dois diapas˜ es? ı uˆ o Chamemos Hz e as demais freq¨ encias uˆ (a) Para termos essa redcao na freq¨ encia. Potanto.e ´ A corda mais tensionada vibrar´ a a Hz.e de vibracao da corda e ¸˜ ´ das vibracoes da corda e ¸˜ ´ ¨ ) … ) 6  ¨ G }) ¦ ¨ 0£ £  0¥ R¢ ¨ Secao 18-6 Batimentos ¸˜ e ¨ ¥ S ¥ ¦£ ¡  N w R% ¥ ¥ ¥ 6 %R% t w 6 )  t ¨ ) E. o ciclista escuta a a a http://www. a tens˜ o de uma a ´ . o ignora.if. Com as freq¨ encias de bati.lo. uˆ Com . o per´odo freq¨ encia de ı kHz. e  ¥ 0  ¥ 0¦   c  c ¨ ¨ ¨ #  £ £   ¥ ¥ ¦  S ¨ c £ c ¢  ¨ c ‰  ¥ ¥ ¦  T¨  # ¥ $ RR$     ¨ G ‰ G H#   e     ¡ ¡ . que estava pedalando a ft/s.das cordas deve ser incrementada em a uˆ de a nota ( ` hz). A corda de um violino est´ frouxa. 18-73E. vamos encontrar km/h. Depois da ambulˆ ncia ultrapass´ . Jason Gallas. (b) Refazendo os c´ lculos para a freq¨ encia a uˆ kHz.funcionando)? O experimento em quest˜ o e pr´ tico? (b) a ´ a lar dois diapa˜ es simultaneamente ouvem-se as seguinte Refaca para uma freq¨ encia do apito igual a kHz. Qual o per´odo da oscilacao da ı ¸˜ corda do violino? Secao 18-7 O Efeito Doppler ¸˜ Hz.ufrgs. IF–UFRGS 30 de Novembro de 2003. e Hz. S   t0$ ¨ $ % ¥ ¢ &   6 P ¦£ P # … @¥pR% t¥ I I ¨ 6  p ¨ ¤ 6  6 ¤ ¤ 6 6 6 yR$ C p 6  m/s 6  p  ¨ ¤ ¨ % ¥ R%¤ £ £ ¨ ) )  Os valores que satisfazem esta raz˜ o s˜ o a a . que n˜ o pode escutar freq¨ encias acima a a uˆ de kHz. e . Quais as vez de kHz.LISTA 3 . chegamos as procuradas: ` ©  a  ¥  ‰ c S ¥ $ RR$ $$R$ 6 Hz Hz Hz c  Hz Hz ¨ que fornece km/h! Essa velocidade corresponde as ` mi/h apresentada na resposta do livro. tocada junto a um diapas˜ o. ` 18-65E. Que aumento fracion´ rio na tens˜ o a a a de uma corda ir´ levar a ocorrˆ ncia de batimentos. Para a freq¨ encia fundamental. para produzir os batimentos. finalmente. Pede a um amigo que sopre o apito no interior de um carro em movimento. Com essa velocidade o experimento pode ` 18-67P. ¨ ) ) 6 6 y$ C p ¨  C £  ¨  §¨ ) ¤ §  6 a   ¨  ¡ ¨ . Prof. Hz. (b) Em muitas ´ situacoes pr´ ticas.ufrgs. se relaciona com a freq¨ encia emitida por uˆ Y  c ƒ   a °t j  Y  ƒ ¨ j  ¡   Hz. Y   ± ± Šƒ Hz. o detetor move-se em direcao a fonte: ¸˜ `   ¨  «¦ ª ¦ a  a   ¨   Hz. das ondas refletidas ao uˆ receptor. (b) Agora e o detetor que se aproxima de uma fonte e se ´ afasta da outra: aprox. bat. tan tan P´ gina 10 de 12 a S RS S T¨ ­ . o m. ap´ s a ultraa o passagem. Ap´ s 1 minuto. afast. aprox. Calcule a freq¨ encia de m/s. as 10:57 a. afast. %    Portanto.  £ ¢ $ E R c ¨ ¡ «  ¥ R¥   £ ¢ a ¢  £ ¢ a ¢  £ ¢ ¢ ¥ ¥ % R¤¢ ¥ Q  ¨ R¦¢  Trabalhando com ft/s. mostre que a equacao acima se torna ¸˜   w ƒ G † ­ Hz. Os batimentos resultam da diferenca entre ¸ as freq¨ encias ouvidas devido ao movimentos dos diauˆ donde obtemos pas˜ es: o £ £ $ G ¥ $ ¥ $ S S S 0$ $ S S G  «    ¨  do avi˜ o e tal que a ´ km  £ ¢ ¤e$ 18-79P. Ele e usado ´ ´ para medir a velocidade de um objeto (idealizado por uma lˆ mina lisa) que se move diretamente na direcao a ¸˜ do instrumento.  R Assim.   Rt0$  ¢ ¥ Fonte e detetor est˜ o em movimento e. P 18-82 ( na 6 edicao) ¸˜ A Fig. analisando as ondas refletidas no alvo. Jason Gallas. ¥ $ SG S $ ¥ $ RR$ ¨ ¨ ¨ ¨ ¥ Q  R¦¢  sirene a ¡ Hz. o avi˜ o percorreu a distˆ ncia o uˆ o a a batimentos captada por esse indiv´duo se (a) permanece ı parado e os diapas˜ es se movem para a direita a m/s.LISTA 3 . Dois diapas˜ es idˆ nticos podem oscilar a o e Hz. (a) Mostre que a freq¨ encia . 18-33 mostra um transmissor e um receptor de ondas contidos em um unico instrumento. A explos˜ o sˆ nica alcanca um homem no solo exatamena o ¸ te l min depois do avi˜ o ter passado sobre sua cabeca. Um avi˜ o voa a a da velocidade do som. Hz. http://www. ` aprox. a ¸ Qual a altitude do avi˜ o? Considere a velocidade do a som como m/s. ¸˜ a . aprox. e (b) os diapas˜ es estiverem parados e o indiv´duo se o ı movendo para a direita a m/s.if. O angulo do cone de Mach e dado por ˆ ´ ¨ P ¥ S S I ¥   $ ¦7¦£   P R£ R¢ I ¨  t¤e$ £ ¢ ¥ S S ¥  £ ¢ P R% P  t¤e$ I I ¨ ˜  ¨ D ˜  ¨ † ¡ ¥ $ 0$ ¥ S ¥ S ¡ ¨ ¥ S RS ¨ ¥ ¥ a $ ¥ $ S S S 0$ $ S S «  a    S S a $   ª ¦ S S $   S   a   % kR$  $ ¥ G ¥ $ 0$ ¨  ¬  7$  ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¢  n¢ ¨ ¨ ¨ ¨ G     ¨ «  que fornece ft/s. ª  onde e a velocidade das ondas. IF–UFRGS 30 de Novembro de 2003. Uma pessoa est´ localizada em algum lugar na lia A velocidade do avi˜ o e a ´ nha entre os dois diapas˜ es. A altitude c h  ® 2D ¨  c ¥ k¥  ¨ S ¨ ˜  ­ †  S  ¨ ¨ I h @¤x  € h (a) Um diapas˜ o aproxima-se do detetor e o outro a afasta-se. fornecendo  ¯ $ Š$ £ 1  ¥   $ P ¦d£ h afast. Qual a velocidade da ambulˆ ncia? a S S S ¨ .br/ jgallas   ƒ d£ h Y G j afast. Neste caso. obtemos P 18-80 (18-60/6 edicao) ¸˜ G bat.m. ¥ $  0d¤¢ ¨  # … @¢ ¥ ƒ P 18-84 (18-53/6 edicao) ¸˜ Um alarme ac´ stico contra roubos consiste em uma fonu te que emite ondas a freq¨ encia de ` uˆ kHz. Que freq¨ encia o oficial ¸˜ ` uˆ ir´ ouvir. novamente. a Quando o vento sopra da fonte para o observador com uma velocidade . independentemente de existir ou n˜ o vento presente. no novo sistema de referˆ ncia e ƒ Y ƒ ¥ ¥ ¥ R£ ¼ ¨  ¨   ½ƒ ¨ ¨ Y ¼  ½ƒ a  a     a  Y  ¨ ½ƒ a   ¼ ¨   Y  ¾ƒ ¥ ¥ ¥ R£ £ ¤¢ e chegar ao resultado pedido. se o vento estiver soprando a a m/s (a) da fonte para o oficial e (b) do oficial para a fonte? ¥ ¥ ¥ R£ ¡   ½ƒ ¨  ¨ ¼ ¼ ¼ G   ¬   Y  ¨ ½ƒ ¡ G   ¿ ¨   $ c ´ b ƒ  a ¢ ³ ´ ž  ¦£ ¥ µ  ¸R¶ƒ µ µ · µ ƒ a ¢ ³ $ £ S S   I P RQ t¥ £ I  Y  ¶ƒ k£ µ µ h ) … ´ ž ƒ G ¢ ³ ´ b Y  ƒ    0Q k¥ a ¢ ± ± Š²ƒ (b) Se  . Em uma discuss˜ o sobre deslocamentos Dop.84P. obtemos ¸˜ ƒ a  Y  ¨ j  Com m/s.Prof. aproximadamente. basta trocar o sinal de e . ena o quanto o detetor. usamos a expans˜ o binomial para obter a P 18-92 (18-56/6 edicao) ¸˜ » ¥ R@¢  ¥ ¢  S ¨   u Na reflex˜ o.ufrgs. ¸˜ a sem vento).101P s˜ o aplicacoes deste resultado. usados em diagn´ sticos o o m´ dicos. a G G   ¤¢ ¨ ¥ ¢ P # @9& ¹ G bat P´ gina 11 de 12 a  Veremos mais a frente que os problemas 18. IF–UFRGS 30 de Novembro de 2003.   ƒ ¦£ h Y  Y G j  Uma sirene de Hz e um oficial da defesa civil est˜ o a em repouso em relacao a Terra. O resulPortanto.1). recebe a freq¨ encia a uˆ      ¨ j  A variacao fracional da freq¨ encia das ondas e ¸˜ uˆ ´ ¥ R¢  S (a) A alteracao na freq¨ encia devida a aproximacao ¸˜ uˆ ` ¸˜ do objeto e ´  ƒ a  Y  ¨   ¨ ¡ ƒ G  ƒ ƒ ƒ  G  G  a  Y  ¨ j µ  Y  ³ ¨ j G ¨ ƒ  ¡ das ondas ultra-sˆ nicas incidentes sofre uma variacao o ¸˜ de. temos no novo referencial que se move junto com o vento. o objeto passa a ser uma fonte m´ vel. a ¸˜ (a) A f´ rmula do deslocamento Doppler e v´ lida apeo ´ a nas quando as velocidades da sirene e do oficial.89P ` e 18. Para modificar a f´ rmula de modo a levar o o vento em consideracao basta mudar para um novo refe¸˜ rencial no qual n˜ o exista vento. 18.if. usando o resultado no item (b) do problema tado e que. a freq¨ encia de um trem. encontramos que ¹ ºµ Hz. o autor comenta: “Para cada mil´metro por se. temos. estacion´ rio. n˜ o ha deslocamento Doppler: ´ a 18-82 acima. a partir o e dessa afirmativa? . nunca existir´ deslocamento Doppler quando a n˜ o houver movimento relativo entre observador e fona te. forem medidas em relacao a um meio estacion´ rio (i. que est´ se movendo a uma velocidade de uˆ a http://www.P 18-94 (18-55/6 edicao) a ¸˜ pler de ondas ultra-sˆ nicas. na direcao ¸˜ oposta ao alarme? S S T¨ ¥   ¦RQ t¥ £ ¨ ¡ ¡ Aqui o intruso afasta-se da fonte com uma velocidaHz. onde de m/s e a velocidade do som no ar a ´ (veja Tabela 18.e. m/s que satisfaz .m. Qual ser´ a a freq¨ encia dos batimentos refletidos por um intruso anuˆ dando a uma velocidade m´ dia de e m/s. (b) Neste caso. chegamos a velocidade das ondas ` ultra-sˆ nicas nos tecidos. Hz/MHz.br/ jgallas ¡    Hz Em geral. as 10:57 a.Uma menina est´ sentada pr´ xima a uma janela aberta e ı a o gundo que uma estrutura do corpo se move. o m/s.82P obtivemos   ƒ d£ h   u  Combinando estas equacoes.LISTA 3 . Como neste referencial o observador aproxima-se da fonte enquanto que a fonte dele se afasta. ` No problema 18. 18-89P..” Que velocidade de ondas ultra-sˆ nicas em tecidos vocˆ deduz. Jason Gallas. e . v´ cuo. A tia da menina est´ pr´ xima aos a o trilhos. ` s˜ o refletidas por um avi˜ o distante. (c) Com o vento soprando para oeste.Prof. mando da fonte.m. onde substituimos por . A freq¨ encia das microondas e uˆ ´ maiores do que a luz correspondente de fontes s˜ o a Hz. que viajam a velocidade da luz. m/s. qual a velocidade aproximada do avi˜ o? a Este problema e uma aplicacao do resultado do ´ ¸˜ problema 18. teremos as velocidades relativas ar m/s e m/s. a velo18-96E. temos $ ¥ ¦£ ¥ ¨ @¢ a a S S $ S ¥ ¥ S R¦ ¨ | ¦ a  « | ª H¦ a   ¨   Secao 18-8 O Efeito Doppler para a Luz ¸˜ Aplicando a equacao (18-55). ` O per´odo dado corresponde a ı s . ¥ ¥ ¢ @nt¥  » t@9… t% … ¥ ¢ &   À ¥ ¢ & ¥  ¤„Œ¥ 7 pm S c  ’ ƒ ¦£ a  ¨ h  § § u ˜ ¥¤¢('¥  & E S ¨ !—§ ’ • ¤Â©¥  ¥ ¢ & S  ¨ ¥   ’  ¨  ¥ Q Q  c d£ $  ¨  ¡ m/s para o leste. a ¸˜ a m/s. Sabe-se que. Jason Gallas. afastando-se. Se as microondas tem m de compripela menina e ´ Hz. Certos comprimentos de onda. observando o trem partir. ’  kR$  Q £  ¥ Q RQ h h ¥ Q RQ ƒ  sendo Hz. mento de onda. A velocidade de qualquer ponto equatorial da superf´cie do ı Sol e ´ m/s. IF–UFRGS 30 de Novembro de 2003. m/s. O deslocamento Doppler e ent˜ o ´ a   " S Á ¨ f§ u ar 18-101P.82P.LISTA 3 . N˜ o h´ vena a tos. que est´ se aproxia a a ar Hz. Que deslocamento Doppler no comprimento de onda e esperado ´ nm.br/ jgallas   ¥ ¢ &  » @9ƒ£ R¢ $ ¥  ¦R¥ k¥ ƒ Portanto. Escrevemos terrestres. quando as ondas refletidas ar se cruzam com as emitidas. a temos   $ ¨ ¥ tR¦  ¥ ¥ ¥ ¤¢ S a $ S S $ ¥ ¥ S ¦ ¥  ¥ ¥ t@¢ ¨ « ¦  a   ¨   ¥  ¥ R¥ k@¢ ¡ ¡ 18-99P. a freq¨ encia dos batimentos uˆ (d) Pela mesma raz˜ o do ´tem (b).if. Microondas. O apito da locomotiva emite um som a freq¨ encia de ` uˆ Hz. Qual a velocidade radial dessa gal´ xia com a respeito a Terra? Ela est´ se aproximando ou se afastan` a do? G ’ Como a fonte se afasta da observadora.ufrgs. O per´odo de rotacao do Sol no seu equador e ı ¸˜ ´ de d e o seu raio e de ´ km. emitida da superf´cie do Sol? ı para a luz de ¡ £ k%  $ ¥ ¦£ ¥ @¢ ¨ ¨ | ¦ « | €ª  ¨ ’ ¥ ¥  ¨  ¨ ¨  7$ t¥ ¥ ¥ R¦ P´ gina 12 de 12 a . ¨  (b) Como n˜ o h´ movimento relativo entre a fonte e o que vem a ser a velocidade da fonte. a freq¨ encia ouvida e de a ı uˆ ´ Hz. que freq¨ encia a tia da uˆ menina ir´ ouvir? (d) E a menina? a (a) Como o trem est´ se afastando da observadora. temos ¸˜ $ ¥  ¦¥ t¥ ¨ ’ ƒ ¨ § § u http://www. Com a equacao a a ¸˜ observador. ¥ ¢ & » ¤('$ ¥ ¢ & £ %  # @9…R¥ £ ¢ qt£ ¦ ¨ ™ ‚ £ ¨  Hz. uˆ (18-55) vem Hz. a menina ouve a freq¨ encia emitida. as 10:57 a. caracter´sticos cidade de propagacao das ondas eletromagn´ ticas no ı ¸˜ e na luz vinda de uma gal´ xia na constelacao de Virgem. (a) Que freq¨ encia a tia da menina ir´ ouvir? (b) uˆ a Que freq¨ encia a menina ir´ ouvir? (c) Com um vento uˆ a soprando para oeste a m/s. Portanto. Jason Gallas. ı Esta e outras listas encontram-se em: http://www. . . .2. ı o Doutor em F´sica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique.2.1 Medindo temperatura . . . . 19.tex) P´ gina 1 de 7 a http://www. .if. . . . as 4:48 a. IF–UFRGS 25 de Fevereiro de 2004.br (lista4. . . .1 Quest˜ es . .if. . o 2 2 19.2 As escalas Celsius e Fahrenheit 19. professor titular de f´sica te´ rica.3 Expans˜ o t´ rmica . Alemanha ı Universidade Federal do Rio Grande do Sul Instituto de F´sica ı Mat´ ria para a QUARTA prova.2 Exerc´cios e Problemas . . . . . . ` Exerc´cios Resolvidos de Termodinˆ mica ı a Jason Alfredo Carlson Gallas. Resnick e Walker. . . . . . .Prof.br/ jgallas Conte´ udo 19 Temperatura 19.2.m.LISTA 4 . a e Coment´ rios/Sugest˜ es e Erros: favor enviar para a o jgallas @ if. Halliday. .ufrgs. .ufrgs.ufrgs. . . . . . Numeracao conforme a quarta edicao do livro e ¸˜ ¸˜ “Fundamentos de F´sica”. . . .br/ jgallas   2 2 3 3   . ı 19. Prof. no interior da curva? Porque o zinco tem coeficiente linear de expans˜ o a t´ rmica maior que o ferro. a dilatacao do ¸˜ ¸˜ merc´ rio e mais not´ vel. A tentativa de reduzir os limites ı ra ambos termˆ metros. As foro ¸˜ mas de tranferˆ ncia de calor ser˜ o estudadas no cap´tulo pande. ` 19 Temperatura 19. Por que a parte de ferro fica sempre ´ http://www. Q 19-7. ¸ o a colocados num recipiente hermeticamente fechado.if.1 Quest˜ es o Q 19-3.br/ jgallas P´ gina 2 de 7 a  % ¢ 9¢ £ £ 7 ¦¢  ) §£ 8 ¢ C¤¥2#  0 3 % #  5 B&$£ §   0) ( % # &$£ A ¨ % # 21£   0) Porque o vidro que cont´ m o merc´ rio inicia seu e u processo de dilatacao primeiro. e a ı 20. que n˜ o ficam em contato. A press˜ o do g´ s em ambos os bulbos e = mm de Hg.m. A press˜ o no termˆ metro de nitrogˆ nio e maior que a a o e ´ Duas lˆ minas.2 Exerc´cios e Problemas ı Embora pareca imposs´vel atingir o zero absolu¸ ı to de temperatura.termˆ metros. Procure tais valores em algue ma Tabela. © ¨  @ ¦¥ £ 8 ¢ 9¥&#  0 5 3 % #  6421£ §     0) ( £    ¦  £ ¢  '¨ &$£ © % #  © ¨ " § !¨  ¢  ¡ ¡ ¡   § ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ £ ¦¦¥¥¦¥¦¥¢ ¤¢ ¡ ¡ ¡ . a a os f´sicos deveriam (como realmente fazem) tentar obter ı Dois termˆ metros de g´ s a volume constante s˜ o usao a a temperaturas ainda mais baixas? dos em conjunto. Jason Gallas. A motivacao para esse tipo de pesquisa est´ na pos¸˜ a sibilidade de encontrar novos fenˆ menos e propriedades o Tomamos como sendo mm de merc´ rio pau f´sicas dos materiais.1 Medindo temperatura a K foram alcancadas em laborat´ rios. press˜ o: a mm de merc´ rio u mm de merc´ rio u Q 19-18. porque este tem um coeficiente u ´ a de dilatacao maior do que o do vidro. 19-6.hidrogˆ nio. o termˆ metro de hidrogˆ nio fornece o e para o ponto de ebulicao da agua e ¸˜ ´ £   Explique por que. Por que a leitura do num tubo de vidro.2.ufrgs. as 4:48 a. uma de ferro e outra de zinco. O gelo e o termˆ metro est˜ o suspensos de tal Explique por que a dilatacao aparente de um l´quido a o a a maneira. a coluna de merc´ rio desce u u um pouco. quando aquecido. formando uma barra que se encurva merc´ rio. 19-5 para determinar a ¸˜ ´ usados em outros campos. se colocarmos ambos em agua fervendo? ´ Em qual dos termˆ metros a press˜ o ser´ mais alta? o a a des. temperaturas t˜ o baixas quanto 19. Qual e a diferenca de press˜ o nos dois ´ ¸ a bem propriedades n˜ o observadas a temperaturas usuais. Depois. ` a ı termˆ metro diminui. ap´ s algum tempo? o o Porque o vidro que cont´ m o l´quido tamb´ m se exe ı e O termˆ metro transfere calor por irradiacao. ¸ 7 ¢ Q 19-14. e e a a ´ Porque a muito baixas temperaturas os materiais exi. De acordo com a Fig. Usamos a Eq. no ¸˜ ı v´ cuo. o o f´sicos induz o desenvolvimento de instrumentos de meı o K para o ponto de dida mais e mais sofisticados. que s˜ o posteriormente termˆ metro de N fornece a ebulicao da agua. n˜ o corresponde a a verdadeira expans˜ o do l´quido. 19. a o ´ A supercondutividade e um exemplo dessas proprieda. u quando e aquecida. Isto ¸ o n˜ o seria suficiente para todos os fins pr´ ticos? Por que P 19-6. Um pedaco de gelo e um termˆ metro mais quente s˜ o Q 19-22. IF–UFRGS 25 de Fevereiro de 2004. antes de comecar a subir. s˜ o rebitaa a press˜ o no termˆ metro de hidrogˆ nio por a o e mm de das uma na outra.LISTA 4 . Um deles usa nitrogˆ nio e o outro. quando colocamos um termˆ metro o de merc´ rio numa chama. ¸˜ Analogamente. as 4:48 a. Claramente ı e e depende da condicao da superf´cie do objeto e da capa¸˜ ı cidade do ambiente de conduzir ou convectar energia do e para o objeto. Dizer que a leitura de ambas escalas e a mesma significa dizer que ´ . partindo-se dos cm a C. ` 19.if. Se a diferenca de temperatura ¸ entre o objeto e ı cm o ambiente n˜ o for muito grande. (a) ¸˜ ´ ou aquecimento ser´ proporcional a diferenca de tempea ` ¸ Qual o seu comprimento no ponto de congelamento da ratura. a condicao para as escalas Fahre¸˜ nheit e Kelvin e ´ . conducao e conveccao. se negativo. permite calcular o coeficiente de expans˜ o lia near da barra: = . ´ agua? (b) Qual a sua temperatura. Esta e a lei de Newton do resfriamento. (b) Fahrenheit e Kelvin e (c) Celsius e Kelvin? (a) As temperaturas Fahrenheit e Celsius est˜ o relaa cionadas pela f´ rmula o . O valor de pode ser ¸˜ ¸˜ ¸˜ reduzido isolando os objetos atrav´ s de uma camada de e v´ cuo. vemos que n˜ o existe nenhuma que reescrita de modo equivalente fornece o resultado a temperatura para a qual essas duas escalas possam for. ¸˜ ¸˜ . http://www. 19.desejado: necer a mesma leitura. tem dimens˜ o de (tempo) . A que temperatura os seguintes pares de escalas d˜ o a a mesma leitura: (a) Fahrenheit e Celsius (veja Tabela 19-2). O sinal menos aparece porque ´ diminui com o tempo. Isto reduz conducao e conveccao.LISTA 4 .3 Expans˜ o t´ rmica a e Observamos.2.ufrgs. Como podemos reconhecer da equacao ¸˜ a diferencial acima. esfriam ou aquecem at´ adquirir a temperatura ambien. e aumenta. f ¦e f h q S w  7 " d ! f gf d5 e temos d " " d # d 2†ƒ ‡ …  # £ ¢ ¤¢ ¤2# • … ƒ †„ d (b) Analogamente. isto e.2. (b) Rearranjando a equacao diferencial dada obtemos ¸˜ Integrando-a em relacao a e observando que ¸˜ K (c) Como as escala Celsius e Kelvin est˜ o relacionadas a por . Jason Gallas.m. que objetos. Substituindo esta condicao na express˜ o aci¸˜ a de onde tiramos ma temos C (a) Mudancas na temperaturam ocorrem atrav´ s de ¸ e radiacao. vemos que ao baixarmos a temperatura at´ o ponto de congelamento e da agua a barra sofre uma variacao de comprimento da´ ¸˜ da por num instante posterior t. mostre que (a) A relacao para a variacao do comprimento. Portanto. e te. fornecendo h y 4t V ‚7 " h d5 e £ " # h S x€  f d f " ¦e f ¥e e f " ¦e " # d d e h " #  “ ”d 8 ¢ £ ¢ ¥¦¢ 9&# " U ¥§ ¢ d • 6–“ ¡ ¡ q B" d £ £ § V W§    c  H PI U ¢  RH " V p7 " @ S QT w u t r xv¦sq " d   F E G4" 8 a b§  0 S 5  7 1£ § # " d 5 ig h S 7 ¥§  X Y@ `S  0 5 5   7 1£ § 8 # 7 § 5  H RQ d c  @ D B" " S  f " ¦e F E " 8 " # $£  8 d d  0 e D 4" ¢ § " E " S f E " " E " " E " " D " d ¡ .Prof. (a) De ´ que fatores depende A? Qual a sua dimens˜ o? (b) Se a no instante a diferenca de temperatura for ¸ . a ¸˜ ¸˜ Absorcao de radiacao pode ser reduzida polindo-se a su¸˜ ¸˜ perf´cie at´ ter a aparˆ ncia de um espelho.br/ jgallas cm P´ gina 3 de 7 a R”d “ ¢ &# 7 ¢ ¦¥§   S £ ¢ £ ¦¢ 9¢ 5 S 5 —   ˜) 5 ¢ 7 Bt 2# £ 7 ¢ ¦# ¦&# ™ ¢ S 5 e“ • V f U § ¢ ¢ —   2# ˜¥ y t d U ™ ¢ 4˜&Qt 2# £ ¥# h xS h xS £w u r ’QQt xq " 7 h if d q " d 1ˆ ‰ " ‡b…†ƒ  d  ‰ …  †ƒ ‘" $ˆ ou seja. a taxa de esfriamento Uma barra feita com uma liga de alum´nio mede a a Ce cm no ponto de ebulicao da agua. no dia-a-dia. se o seu comprimento ´ e ´ cm? onde A e uma constante. por exemplo.2 As escalas Celsius e Fahrenheit E 19-14.E 19-24. IF–UFRGS 25 de Fevereiro de 2004. quentes ou frios. se for positivo. P 19-17. pag. e a e a mudanca da temperatura. Jason Gallas. percebemos logo que para chegar a cm a temperatura ter´ que aumentar. onde a s˜ o os a percentual. Explia ´ ¸˜ e de sua area. .LISTA 4 . (b) na espessura. IF–UFRGS 25 de Fevereiro de 2004. ´ a http://www.if. a a s˜ o os coeficientes lineares a area. com coeficiente de dilatacao ¸˜ lat˜ o a cm Comparando as duas extremidades obtemos que Quando e positivo.ufrgs. Ap´ s a mudanca de temperatura o diˆ metro da barra o ¸ a A temperatura de uma moeda de cobre aumenta de de aco e ¸ ´ a o diˆ metro do anel de a e seu diˆ metro cresce a .m. ou seja.a variacao da densidade ser´ ¸˜ a Um cubo de lat˜ o tem aresta de cm. as 4:48 a. ´ ¸ da moeda. Como . Um volume diminui e a densidade aumenta. positivo. os seja quando (a) Como sabemos que o coeficiente de expans˜ o sua perficial e o dobro do coeficiente de expans˜ o linear. a Portanto. com dois algarismos significativos. Se ´ e negativo.Prof. (e) Qual o coeficiente de dilatacao linear da ¸˜ A barra se ajustar´ exatamente a barra quando tivermos a ` moeda? . e negativo. isto e. o volume aumenta e a densidade ´ diminui. que obtemos " C   ¥ £ U 5 S 5 5 5 — — v ¢ 7 7 vBt ¢2# # ¦# 7 § 8 £ ¦¦¦8 ¤§ 7 t 2# 8 2# S € § 8 £ ¦¥8 W§ C d £ ¢ U ¥% V "  l¥„v    H " q " d … ƒd § " „ d ¢ ¢ ‚U ¥2# d ¡ ¡ d xU  cm • z y z `S } y } • q y } S z y q q d Portanto o comprimento procurado e ´ de onde obtemos " : "  t¦RH  @ ¢ § £ U % 5 —   t¥ 5 7 ™t ¢&# £ 7 ¢ ¥# ¦2# H S ¢ § ¢ 2# 8 ¢ £ ¢ ¥¦¢ 9&# £ § U q 7   V " } ˜y h if  S U § ¢ £  ¥ 5 —˜¥ 7 7&vBtW¢2# d % 8 £ ¥¦8 98 § 8 £ ¦¦8 ¤§ f gf q z {y ¢ ¥§ V 4t d wt &# y U v ¢ d } y } „H } c • y d z y z „H z y • q q " q q 5 el • “ 8 ¢ £ ¢ ¦¥¢ ¤2# ¢ &#   ¢ V "   f o  ¢ £ ¦¢ 9¢ " 7 q “ S —   n¦r } • z • d ˜~qRH } y} • " d {26YH zq y z • d • “ s`l„`S “  ¦ # ¦# £ 5 5 7¦¦¥8 ¢ ¢ • 5 h § d pU ¢ 2# p qh  § “ R”nmlk“ “ d H “ j • e“ H “ `S “ q " } y ˜!v˜y } zq y {c|{y z • u— f • d “ r„”d “ f h ”d § y } c z y h if f gf ¡ ¡ . o ´ Uma barra de aco a ¸ tem cm de diˆ metro. (c) no volume e (d) na massa ´ de expans˜ o. da relacao ¸˜ Portanto a temperatura procurada e ´ C obtemos facilmente a temperatura procurada: P 19-39.br/ jgallas P´ gina 4 de 7 a ‚ „d " P 19-36. Aqui consideramos a equacao da expans˜ o superfi¸˜ a cial. ou seja. se a temperatura subir de para ´ C? que o sinal negativo. Dˆ o aumento e lat˜ o e a ´ . £ „ ‚ S Q€m„ … „ …  † d ‡ k … † £ " #£ 19¢ S S d ‚ „ S vu€ƒ˜d ‚ " d  … … ”d † ‚ Rd S T " " ‚ ˜d d d onde tiramos o lat˜ o da Tabela 19-3. Densidade e massa dividida por volume. (a) na diˆ metros originais. a densidade tamb´ m dee pende. Qual o aumento onde e o coeficiente de dilatacao volum´ trica. 176. a ´ e ´ anel de lat˜ o tem diˆ metro interior de a a cm a . A matem´ tica nos fornece sempre o a a sinal correto. se a temperatura variar de . Como o vo´ lume depende da temperatura. A que temperatura comum o anel se ajustar´ exatamente a a barra? ` P 19-42. ` (b) Partindo-se novamente dos cm a C. … † l”‚ Da definicao de densidade ¸˜ F £ „ … c d „ … 6!T”d … Sabemos que d ‚ „ S vu€ƒ˜d ‚ E 19-30. Mostre que. sua variacao percentual coincide com a do item ¸˜ anterior: "  • y • Œ £ •`S y • • • § S y Œ Œ " V “ “ U  `S gy r U ”d U “ " d § £ £ ‡  % ¤¢ £ ‡ @ ‰0  V 9¥¢ ¤¢ # ¢ £ £ ‡ k £ ¤¢ V #£ 19¢ £ wt d –Bt &# y U v ¢ 5 5  7 9¥¢ ¤¢ ¥§ # ¢ £ 7 " 5 5  7 9¥¢ ¤¢ 7 # ¢ £ d     ¢ 9¢ £ 7 ¢ ¢ ¥2#  # ¢ £ 9¥¢ ¤¢ # ¢ £ 9¥¢ ¤¢ 5 r • — ” " " " • " y • Œ  ‹y “ U " # d " d m• d • ”r d • 6c d m• d •  s¥c Š• Œ ˆ § • U ¢ H y • Œ Ž y “ ˆ ˆ ƒd e ‡  % ¤¢ £ e d • … … ƒd “ “ ”d h h ”d Œ ¡ . Esta e a raz˜ o do livro pedir a ´ a para determinar apenas ao final do exerc´cio. Mais formalmente. ´ ligada a outra de material e comprimento ` (Fig. tem-se: http://www. a todas as temperaturas.Prof. a qualquer temperatura. as 4:48 a. ` podemos afirmar imediatamente que o aumento percen.if. a a ¸˜ (e) Qualquer das relacoes acima pode ser usada para de¸˜ e terminar . a diferenca em comprimento en¸ tre elas ser´ a mesma. ´ Quando a temperatura varia de um . Jason Gallas. de comprimento . a mes¸˜ ` ma temperatura inicial. (b) Quais a devem ser os comprimentos de uma barra de aco e ou¸ tra de lat˜ o a C. dimensione uma barra compos¸ a ta de cm e o coeficiente de dilatacao linear efetivo ¸˜ .ufrgs. Por exemplo. e feita de uma barra de material e comprimento . Uma barra composta. (a) Mostre que o coeficiente de dilatacao efetivo ¸˜ para esta barra e ´ onde e a constante de proporcionalidade. portanto. ı  £ ¢ ¤¢ V — v ¢ Bt 2# # ¥#   §2# ¤¢ V — @ ƒ¥  v ¢ t 2# V — v ¢ Bt 2# 8 &#  @ §2# ¤¢ V — @ ƒ¥  v ¢ t 2# V — @ ƒ¥  V v ¢ t 2# — Œ y 4t ¢ 8 ¢V ¦‹¤§ q &# — S 5 v ¢ Bt 2# b¥# 7 # 8 &# donde tiramos que m V 4t d wt &# y U v ¢ — — 8 2# U ”w z • “z ’ • (d) N˜ o h´ variacao na massa da moeda. tais que. a a diferenca de comprimento seja ¸ m? ` (a) A temperatura inicial. “ £  “  RH y “ y • 5 • 7 `• y t d U v ¢ 4˜&wt 2# @  £ W§ # "  • Œ  U G“  e  k“ y “  “ GcH y •“ “ # § “ U ”d (a) Mostre que. podemos ver isto comparando as f´ rmulas o A diferenca entre os comprimentos das barras quando a ¸ temperatura variou de e: ´ (b) Sendo m e os valores dos coeficientes de expans˜ o do aco e do lat˜ o dados por a ¸ a aco ¸ P 19-50.LISTA 4 . usando a do item (a) temos: y 4t d wt &# U v ¢ # ¦#  ¢ ¤¢ V (c) A variacao no volume e: ¸˜ ´ m m P´ gina 5 de 7 a d Œ S 6• Œ ‘S d Œ H y • Œ “ U ˜d  6• y • Œ  `S y • • “ `S y “ €”d “  ¢ 9¢ V “ ”d “ ”d “ ”d (b) A espessura da moeda varia linearmente e.m. IF–UFRGS 25 de Fevereiro de 2004. considere-se os comprimentos das duas barras dados por: U “ P-46.br/ jgallas — ” d Œ H  • Œ IG“  e (b) Usando aco e lat˜ o. U gy “ Œ Perceba que para responder aos itens (a)-(d) n˜ o e nea ´ cess´ rio conhecer-se .A diferenca entre os comprimentos iniciais das barras e: ¸ ´ tual na area ser´ o dobro do aumento percentual linear. 1918). se os comprimentos de duas barras de materiais diferentes s˜ o inversamente proporcionais aos a seus respectivos coeficientes de dilatacao linear. ´ a ou seja . temos que . Substituindo-se e nesta express˜ o oba temos Por outro lado. portanto. de ¸˜ ´ ´ a dada por modo que fornece o volume do merc´ rio deslocado. onde press˜ o acima para : a representa o coeficiente de expans˜ o volum´ trica do a e merc´ rio. sendo a variacao da densidade dada por ¸˜ que nos da. Portanto u A forca da gravidade no cubo e ¸ ´ . e a area de uma das u ´ ´ http://www. de modo an´ logo. todas as trˆ s quantidades e que aparecem em tamb´ m mudam. de modo que a magnitua ı de das duas forcas e o mesmo: ¸ ´ . independentemente. que (b) Reescrevendo a express˜ o acima e usando o fato que a . tamb´ m temos que e Quando a temperatura muda. Como sabemos que cm onde representa o coeficiente de expans˜ o linear do a onde j´ simplificamos o fator comum a que aparece alum´nio.LISTA 4 . consideremos a mudanca da densidade do ¸ alum´nio. ` (a) A variacao no comprimento da barra composta e faces do cubo. IF–UFRGS 25 de Fevereiro de 2004. ou seja. ı no numerador e denominador da fracao.Prof. Quanto afundar´ o cubo. Substituindo estes trˆ s resultados na express˜ o para e a acima obtemos: 7 " " d š … „ i¤£ƒd š … £ " š … ƒd š )‚ d “ k6• 5 H 7 " u ‚ š  ‚ S d q¦xS 5 ‚ •  “ u ‚ 7 " u d “ • k6c„˜d “ " d š ‚ „ S –WwQT¥W˜d š ‚ S €¡)˜d š ‚ cm › xh ™ )œ… u ‚ š ‚ ™ . se a temperatura u a subir de para K? O coeficiente de dilatacao do ¸˜ merc´ rio e u ´ .de um s´ lido como acima. Jason Gallas. onde e o vo´ lume do cubo e e a densidade de massa do alum´nio. como tratamos com um l´quido e n˜ o e e ı a na ex. onde ea ´ densidade de massa do merc´ rio. Finalmente. . as 4:48 a.if. A densidade sera. sendo tal mudanca e ¸ dada por Igualando-se as duas express˜ es para o obtemos que .ufrgs. para o merc´ rio temos a u ´ E claro que este valor tamb´ m poderia ter sido obtido Agora por´ m. encontramos u … … ”d £ u u ‚ š ‚ š ‚ š ‚ “”d H š ‚ žWYd  S u ˜d ‚ £ “ u ‚ “ u ‚ Ÿ Ÿ Ÿ š ‚ “ u ‚ Ÿ H š ‚ ¡ )˜d Ÿ H u Yd ‚ Ÿ “ ”d › ¢ d u q¦x€ u ˜d ‚ •  S ‚ V " d u …s•¥c u ”d … " u … u … ST u …ƒd  ‚ ST u …ƒd u ˜d ¢ u ‚ e ¢ eu … F c u ‚ £ “  gTh £ “ › š … š W‚ š )‚ u ‚ ƒ› “ © gž… u … › › › › Ih š ‚ “ › ˜d • „ v ¢ t 2# @  l V @  5 5 £ ¤8 7 § ¤¢ 7 £  S y • S • 8 # ¦# @  5 2# “ 7 § ¤¢ £ S €  • S 6m• 8 2# #  • — — y • v ¢ Bt 2# v ¢ t 2# 8 &# # ¦#  • y ``“ 5 H y • y rŠk“ “ S “ • 7 @  £ # $£ # @  § 9¢ £ S # ¦# @  5 82# 7 § £¤¢  S # # ¦#  –uc y “ “ S “ £ £ " "  t €@ ! y ``r  “  S  “ S “ # 1£ # £ ¤8 £ W§ d ˜•  „H y “ 5 “ 7 V d 64G„H y • y “ 5  •  “ " 7 dq6•wG“„H  d y • y “ "  “ d G”nH y ”d “ “ ˜d “ £ 4kRH y • y “  •  “ " “ •  RH y “ 5 “ 7 d • “ Y‘c„”d “  S y • • • eS y • • `•  •  „H y • y “ “ “ ”d “ S “  y ``cIG“ IG“  y “ ¡ ¡ .br/ jgallas —  t ¢&# V % % §£ ¦C¤¢ % £ ¥% W§ X  5G £% # 5 —” 5 5 S —ƒ 7 ¢ a 7 vBt ¢&# § 7¥§ £¥# 7§  ¢ ˜t ¢2# £¤§ š ‚ d26• Si¨§Y“ © „ u ‚ cm " § Um cubo de alum´nio de aresta ı cm flutua em merc´ rio. com e . e e a profundidade de submers˜ o. ¸˜ Segundo. obtemos Primeiro. ´ ı O empuxo do merc´ rio no cubo e u ´ . u O cubo est´ em equil´brio. subsituindo-se o . mm d š ‚ „ ¦WwQS 5 › ˜d š )‚ … ›Ih ™ W‚ š ¢ ¥§ … u ‚ ™   h d U F t 2# ˜ ¢  ¢ § u ‚ — ƒ £ ¥#  ¢ § — P 19-54 P´ gina 6 de 7 a › ˜d cm Terceiro. Suponhamos que uma massa ı de alum´nio ı ocupe um volume .m. Mas todas a as quantidades envolvidas na equacao (1) variam com a ¸˜ temperatura: ˜ &# ¢ £ ¥# ¢ § @ R› ck¤¢ ‚ © ­ ¢ £ A — ® ± ¯ ¢ £ ¤§ ²bF °© 2# ­ A G)‚ {› ’ u ‚ £ “ › sk‚ “ ­ A V ™  “ ­ A ‚ ™ ›  †G)¬«ª “ ™ © ’ u ‚ ™ ’ u †  ¢ §  l ou seja.if. (3) — ƒ˜d › ¢ “ ‚ d 0’ u Y®S © u’ u ‚s“”d “  “ ‚  sRH © ’ u ˜d “ 0’ u ‚ V © ’ {”„m’ u ˜d ‚ “ d H “ ‚ £ u — m http://www. pelo Princ´pio de Arquimedes. ` m P´ gina 7 de 7 a mm   “ d ”w’ u oiS ‚  ´’ u ˜–“ ‚ d ´’ u {”d  s ‚ “ “ ³’ u ˜d † ³’ u † ­ A ‚ › d H › ­ A ‚ G)G˜n€sG)˜d © ² )¯ ± –’ u ‚ 0F ¡ . temı se: ’ u {”d S ‚ “ § d ­ A ‚ „ †G)¦S " ’ u {”d S ‚ “ § ’ u {”nH ’ u {”GiS ‚ “ d ‚ “ d  ­ A ‚ › d H G)k˜n€› d ­ A ‚ „ sk)uS " ­G)˜d A ‚ ­G)k˜n€6G)˜d A ‚ › d H › ­ A ‚ ­ ‚ › d H ­ ‚ GA k˜n€› GA ˜d e . e Trazendo o resultado da Eq. a equacao (1) fornece ¸˜ m.m.Prof. as 4:48 a. (1) para y: Substituindo a Eq.£ % % §£ ¥C¤¢ ˜ ¢ t 2# % £ ¦% ¤§ ’ u ‚ " ­ A k)‚ d 3 ’ u • i„ “ S § " ( ’ u ‚ ­ A k)‚ d ’ u k“ S • d ’ u s„ ‚ “ § " › ˜d ’ u {”d S ‚ “ § ­ GA ‚ 3 0k)wŠS d ­ A ‚ „ ’ u ‚ ( " ( ¢  S  l d ¢ § ¢ ¥§ " onde usamos o fato que LISTA 4 .ufrgs.br/ jgallas (2) (1) Introduzindo os valores das quantidades na equacao aci¸˜ ma. o cubo est´ com % da sua aresta submersa. Para ­ A ‚ › d kkYnH 3 “ ´ E claro que a massa do cubo n˜ o varia com a temperaa tura: › ˜d K. ou seja. finalmente. IF–UFRGS Solucao alternativa: Para o bloco flutuando no ¸˜ merc´ rio a u K. Jason Gallas. (2) temos: 25 de Fevereiro de 2004. (3) na Eq. obt´ m-se. e 20.2.2 Exerc´cios e Problemas . a 20. . .3 A transferˆ ncia de calor . Jason Gallas.4 Problemas Adicionais . ı o Doutor em F´sica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique.1 A absorcao de calor por s´ lidos ¸˜ o e l´quidos .2.Prof. ı 20. . Resnick e Walker.LISTA 4 . ı Esta e outras listas encontram-se em: http://www. . . . .ufrgs. . . IF–UFRGS 25 de Fevereiro de 2004.2 Alguns casos especiais da primeira lei da termodinˆ mica . . . . o 20. .2. Numeracao conforme a quarta edicao do livro e ¸˜ ¸˜ “Fundamentos de F´sica”. . professor titular de f´sica te´ rica. ` Exerc´cios Resolvidos de Termodinˆ mica ı a Jason Alfredo Carlson Gallas.if. . as 4:43 a.br/ jgallas   2 4 5 6   ¡ . . ı 20. . . .1 Quest˜ es .2. . . . .ufrgs.br (lista4. . Alemanha ı Universidade Federal do Rio Grande do Sul Instituto de F´sica ı Mat´ ria para a QUARTA prova.ufrgs. . . . . .m.if. . . . . . . . Coment´ rios/Sugest˜ es e Erros: favor enviar para a o jgallas @ if. .tex) P´ gina 1 de 7 a http://www. . . . . Halliday.br/ jgallas Conte´ udo 20 Calor e a Lei da Termodinˆ mica a 2 2 2 20. . . . com o ar mais quente subindo. que favorecem a conveccao do ar. ¸˜ ¸˜ ventilando o corpo. ´ E necess´ rio extrair a J g P´ gina 2 de 7 a ¦ ¤ §¥£  ©   ¦ ¤ 21© 0¥£ 76 4 8&53 % &! '(&! # !  % © $" ¦    © 49 @@7  © ¨ ¢ # )! ¢   ¡ a Lei da Termodinˆ mica a Discuta o processo pelo o qual a agua congela.Quanta agua permanece l´quida ap´ s a` a serem extra´dos de ı g de agua. sendo o trabalho positivo. para os dois extremos. operam dentro de uma faixa limitada de temperatura externa.if. mas n˜ o quie. N˜ o. Um sistema pode absorver calor e utilizar es.m. Ent˜ o.LISTA 4 . por ı exemplo. o ar ´ ı o kJ de calor em torno dela est´ a mesma temperatura. conservacao da energia.ufrgs. devido a uma diferenca de temperatura? e ¸ variacao da energia interna e ¸˜ ´ . e.portanto.2. por meio de uma engrenagem mecˆ nica. O calor Q e removido da agua. Esta afirmacao contradiz ¸˜ do por . Porque o cobre e o alum´nio conduzem mais eficienı Um ventilador n˜ o esfria o ar que circula. usam-se roupas claras. Por quˆ ? e de congelamento? para solidificar toda a massa de agua. e o a uma forma e queima seus dedos nela. Como pode.Prof. Com os ´ ı o´ ı ´ Os mecanismos fisiol´ gicos. e o ar mais ¸˜ frio ocupando-lhe o lugar.2 Exerc´cios e Problemas ı 20. Q-20. 20. ¸˜ Por que as panelas de aco freq¨ entemente possuem uma ¸ u placa de cobre ou alum´nio no fundo? ı Q-7. s´ e poss´vel solidificar parte da agua: o e interna de um ser humano. o calor de fus˜ o do gelo. ` 20 Calor e 20. refrescando o ambiente. Com as roupas mais grossas de permanecem no estado l´quido. negativa. http://www. as 4:43 a. tem-se para o processo . Pela primeira lei. e soltas. sendo. mas o esquena temente o calor do que o aco. do ponto ´ de vista da primeira lei da termodinˆ mica. portanto. O trabalho e daa ´ esta mude sua temperatura.br/ jgallas 46 4 8I@3 Q-27. ¸ ta levemente. feita de metal como o alum´nio. ent˜ o. funciona como isolante t´ rmico. lhe refrescar? a O movimento do ar estabelece uma corrente de conveccao. com o uso de roupas.1 A absorcao de calor por s´ lidos e l´quidos ¸˜ o ı Q-14. que mant´ m a temperatura J extra´dos. Entretanto. conduz muito melhor o calor do que o ar. IF–UFRGS 25 de Fevereiro de 2004. a ´ a transferˆ ncia. Um objeto de massa de kg cai de uma altura de m e. que refletem a a radiacao. ´ ¢ ¢ ¢ ¢ . ´ ´ O calor pode ser absorvido por uma substˆ ncia sem que a igual a . sendo p a press˜ o atmosf´ rica. ¸˜ e E-13. Jason Gallas. Explique como essa kg faixa pode ser aumentada. a camada de ar junto da pele. Lembre-se a que o gelo ocupa um volume maior do que a mesma massa de agua. gira a X bUaS`7YRI3 4 46 X4U S 9 96 Q ¦ ' H G G ' 4 976  @WVTER&BPIEE@DGFEE58&D4C¦   B¦ ¨ A 4UU ¦ 43 497 ¦c b@rq5bU © @@B)dA © piT£ A ¦ A 4U S G 4 3 U 6 4 gX 4bU2Sf7@G86e 5hFI¦ @b2TE8I3G ¦ c   )dA ¦c 46 ¨ 4 46 ER&9 ¢ Porque a forma. ı inverno. Vocˆ p˜ e a m˜ o dentro de um forno quente para tirar E-6. a sa energia na realizacao de um trabalho. a temperatura ¸˜ do sistema n˜ o muda e n˜ o e violado o princ´pio da a a ´ ı Q-31. a e o conceito do calor como uma energia no processo de e maior que .1 Quest˜ es o Q-4. No ver˜ o. Portanto. aquecida por irradiacao do corpo. inicialmente no ponto ´ ma seus dedos. em seu ponto de fus˜ o e com massa a A energia potencial gravitacional perdida pelo objeto inicial de kg. Calcule a massa de gelo derretido como resultado do atrito entre o bloco ı que correspondem a cal. qual a temperatura final do sistema? Ignore a capacidade t´ rmica do vidro.m.) temperatura produzido na agua ser´ de: ´ a A desaceleracao do bloco e dada por: ¸˜ ´ O calor produzido pelo atrito e dado por: ´ P-18. vem: Para o gelo chegar a ¦ metal . Jason Gallas. depois de percorrer m. Se a agua estava inicialmente ´ ´ a temperatura de ` e se o gelo veio diretamente O recipiente feito do metal absorve outra parte do calor do freezer a . ¦ uDsrpm¨ t qo n ¦ `‰ # ¦ehW@U …U6 ¦ ‘ˆ ƒG6 74 ’YF58eE5… ¦ ¦ ¦ ¨ A w¦ ¨ 96 R&G ¨ ¢ ¢ . IF–UFRGS 25 de Fevereiro de 2004. desliza sobre uma superf´cie horizonı na queda e: ´ tal. Qual o aumento m´ ximo da tema peratura da agua? ´ Um bloco de gelo. comecando a velocidade de ¸ ` m/s e finalmente parando. e colocada den´ tro da agua.ufrgs. necessita-se: ‘ˆ 444 •yg@E53 ˜– ' 3  ‘ F  4 6 U  ' v 4 4 m˜ – @7F' •yˆ v 8@jyIi@@7 us b“4 (a)Se a agua resfriar at´ ´ e ela ser´ de a 4 53 ¦ us 3 imbU us 3 P„@7 © ‰ T£ ˆ ¦ ¦ – (um¨ to… ¦ ¦ A A agua absorve parte do calor cedido pela peca: ´ ¸ f vH 7446 )YE@8I4 v•5{$„ g bU2f@8IG H 4 S GG6 „“UI86I57@… 9 G   A Calcule o calor espec´fico de um metal a partir dos seı guintes dados. ` uma roda que desloca kg de agua. o calor fornecido por P´ gina 3 de 7 a .br/ jgallas ‘ˆ 3€ •ygE5… ˜– ' U  ‘ Wl G 3 6  ' v 4 4 U m˜ – 3bjy' •yˆ v 58&D4FeiEWj ‰T£ – roy… ˆ – try… A t o ˜– 4 Reunindo as quantidades calculadas. e O calor cedido pela peca e igual a: ¸ ´ peca ¸ peca ¸ metal metal agua ´ agua ´ agua ´ agua ´ metal peca ¸ metal metal metal http://www. „hIR&5@… U 96 G7 'ƒA”4@R6&Q5"y' € U 3 ' v 6 4 3 G 7 } @{A‚@Uev6I4yIYH4R&5" ~  A f } 5{1AUEevIp¦ Y@RE&5R"ey"@'367GQ " f € U 3 6 4 ' 4 G' 6 E 7 ¦ } Q ~  }– } ”7 © •| ¦ Y| G6 Q 8I57 Q G6 ERe3 ¦ ¦ ¨ A ¦ ¦ ¦ 46 4 RI@3 44 E57 ¨ ¦  A p¦ ¨ ¢ ¢ Q6 8@U us Q ‡bU f …U69 g˜ – ‡FIbU 3 # – bU `‰ ˜ `–—v © ' – hU 3  4 'v 44 © #`d‰™' ‘•yˆ”86@U Fe“@@9 ‰ £ ˆc T`WdA ˆ 449U€ ”E@bI57 ˆ ' 7 9U' v 4 4 QU Im˜ – YWjyIi@EWk ƒG6 74… 58eY‡†¦  6 „ 4 ƒ€7 ' 4 ' 4Q6 ' 4 46  ¦ w v A IIE@5‚¦ E@3FE@8I€yEER&D9Cxetp¦  f g˜ {  ˆ Q € 4 6 – vbr‘YF”@ERI4 ˆ”EEE557 44ƒƒQ ˆ 449U€ ”E@bI57 ‘ˆ 444Q •y”@E@@7 ' 4 7 ˜ – m˜ – R6e"y' `lv ‘•yˆ 86@kFe“@@YFj  4 U' v 4 4 4 ƒU ‰ T£ ˆ A t qo ˆ 4 4 7 uDsrpn ”@@5… t q ˆ 46 ' v 449 vsDropn k'm˜ – 8e7Fe“@@EDG ‰ t qo t qo T£ vDsrpn ˆ uDsrpn A u s 4Q ih@bU   ¨ 44 96 @ER&4 ¦ ¦ ¦ ¦ q ˆ ¦zv4t EDs@op57 4 r 4EQ n ¦ ˆ”@@5… y E@@@7 447 444Q y ¨ ¨ ƒ WU ‰ x£ us 9 ibU us 3 PthU ¦ ¦ ¦ ˆ P-24. O aumento de e a superf´cie. inicialmente a . (a) Dois cubos de gelo de g s˜ o colocados num vidro a contendo g de agua. A agua est´ ´ ´ a inicialmente a . Um recipiente feito do metal tem massa de kg e cont´ m e kg de agua. (Suponha que todo o calor produzido pelo atrito seja absorvido pelo bloco de gelo.if. as 4:43 a. agua ´ agua ´ agua ´ P-30. qual ser´ a temperatura final do a cedido pela peca: ¸ sistema quando a agua e o gelo atingirem a mesma tem´ peratura? (b) Supondo que somente um cubo de gelo foi usado em (a). Uma peca de ´ ¸ A massa de gelo derretido e: ´ kg deste metal.LISTA 4 . O recipiente e a agua tinham inicialmente ´ ´ a temperatura de e a final do sistema foi de .Prof. A temperatura final do sistema estar´ algo acima da temperatura de fus˜ o: a a Equacionando os calores.br/ jgallas (a) Da primeira lei tem-se ‘ˆ 4G ¦ 4 43 YFgEpx@7 © 5‚¦ q ©¨% T£ § §  © ‚¨ ¦ q ª¨% f£ ¢ 9U6G ¦ • WWI–ƒ1A   46 …U – Reh—¦ % ‰ ”“&5G fƒ P- Quando um sistema passa de um estado i para f pelo caminho iaf na Fig. ` quatro vezes maior do que o segundo bloco. Para fundir o gelo seriam necess´ rias: a Com essa quantidade de calor.2 Alguns casos especiais da primeira lei da termodinˆ mica a P-42.Prof.ufrgs. Este est´ a a temperatura ` C e seu coeficiente de dilatacao ¸˜ linear e ´ . qual e Q para esse caminho? (c) Seja ´ cal. ter-se-´ uma mistura de agua e gelo a a ´ .m. vem: Fus˜ o a f agua ´ agua ´ 20. pode-se fundir O calor cedido pelo segundo bloco e: ´ Portanto. Qual e ´ ? (d) Se cal. cal.2. (a) Qual o trabalho W para o caminho ibf? (b) Se cal para o caminho curvo de retorno fi. que tem massa kg e temperatura inicial C.if. cal. quais os valores de Q para os processos ib e bf? 77 @‚¦ ¦« q ª¨% f£ § 4 U ¦ ¦¥ £ ¡ b‡†£ "h”¤¢£ P´ gina 4 de 7 a 4 4 ¦ f vH Q76 37 )YŸ5veEB¦ } A 76 G9 vIEp¦ } “8e7 A 36 ¦ž'E5" W”WWIG y Ebk • ƒ ˆ } A © 47 •ˆ 9U6 '4U ‹ Ž  ‹Š ‰ ”v`‚Œ Ei™ˆ ¨ y ”v” ‘ m¨ ‹ Ž  agua ´ ' – hU © # d‰PWˆ9WF6&Gp¦' % ‰ © # d‰“Wˆ›•1Aw¦ ‹”vŽ‚‚Œ‚‹YŠP‰™ˆq¨ … • U •  ¢ O calor absorvido pelo primeiro bloco e: ´ : 44G46 @E@8I4 ' – eƒ © # D‰ Wƒ• ˆ } w %' ‰ © # D‰ Wƒ• ˆ } B¦ ”v” ‚ ¨ … A ¦ A ‹ Ž ‘ GE@ERI4 44 46 G 44 46 E@ERI4 ©© œ GE@4E4RI4 © ' – eƒ © # D‰x“‚¦ } } f£ 4 6 ¦ …  7 œ ' – •ƒ © # d‰„”7 } ¦ } f£ …   œ œ 4U 4 ˜ – Yp¦ ››™ b2ŸfW@U x`‰ … G   š e4 UWVS @U@6 G ¦ # ™ S U ¦ )™ b2Ÿ$j@U # ‰ )™ WVf@G   4U S U ƒ6 š 4U S 4 ¦ … ž' – eƒ © # d‰y' )™ © b2f8ebjyE7  š 4U S 46 3U' 43 5‚¦ ¨ 57 © 57 G 4 ˜ – W)IW˜t8ehU {š ™ 4U S 46 3 …ƒ – •‚¦ } ‰ § ¦# q ©¨% f£ G bU © ¦  @G¦ 9 ¨ ‘ˆ 36…€ YFhv••@G '' 3 j@hU ©  © D4yY5vID4FE@3 'G36 '4 ' – 3@7 © # d‰F' ‘•yˆ v REkFeiE5"  ˜ – 4 6 U  ' v 4 4 7 ‰ T£ ˆ A ‰ 4 436 7…G ”53 y @8e@YYƒ – y y – t(u… c ¨ o ¨ # (um3¨ t o“… @ ‰4 ˜– 46 U' v 43 ' – 4 © # d‰F' ‘•yˆ v 8@jyIi5" ‰ T£ ˆ – ry… A to ˜– 4 ‘ ˆ 4 3 € … ¦ ' v {‘ ˆ 36 € …' v 4 4 U  to A ¦ •yg5E5‚Ibr•y“8&‡ryIi@bkC¦  – ry… p)c ¨ 4 4 f‘ ˆ 4 36 7 … G ƒ k•y†@8I5YYp¦ ¨ y – ry… ¨ to ‘ˆ 3…€ •yh5YEG ¦ ' v {‘ ˆ 36 € …' v 4 3 eh"•y“vI‡ryIi5" ¦  – ry… p¦ to A f U 36 7 g˜ – I8e‚¦ # ‰ 436 7…9 ‰43 5ve5•B¦ # 5@@7 ¦’4@E53 © ™”@57 y `“53 y @8I5YYƒ 44 # ‰ 44 # ‰ 4 436 7… G y ‹ Ž ‘  ”v” ‚m¨ ”v`‚Œ YP™ˆ ¨ ‹ Ž  ‹Š ‰ ¦ …ƒ ¦ G 44 e‡253 © EWU 3 v G 3 386 5€• h5‚¦ Y&‡… ƒ ¦   ¦ – ry… A 47 ¨ to ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ – (u… c ¨ to ¦ ¦ ¦ ¦ ‘ˆ 347ƒ ¦ 3€ 444 YF†Y5YpmE‡… © @E53 ‹ Ž  ”v” ‘ m¨ ¨ ‰ to to A to T£ – (u… ˆ – ry… p¦ – ry… ¨ ‹ Ž  Œ ‹Š ‰ ˆ ”v‚‚‚YP™q¨ . IF–UFRGS 25 de Fevereiro de 2004.LISTA 4 . Dois blocos de metal s˜ o isolados de seu ambiente. Pelo caminho ibf. restando g de gelo. a ¸ ı e Ent˜ o o calor fornecido derreter´ s´ parte do gelo. tem um calor espec´fico ı http://www. (b) Se apenas um cubo de gelo for adicionado a agua: ´´ A variacao na area de uma das faces do segundo bloco e ¸˜ ´ ´ expressa por: Fus˜ o a Fus˜ o a Agora o calor fornecido pela agua ser´ suficiente para ´ a derreter todo o gelo. as 4:43 a. O a primeiro bloco. Jason Gallas. Encontre a massa deste bloco. O a a o area de uma face do segundo bloco diminui em ´ calor dispon´vel ser´ : ı a %. . Quando os dois blocos s˜ o a colocados juntos e alcancam seu equil´brio t´ rmico. cedido e absorvido. 3 A transferˆ ncia de calor e suas paredes. para evitar ´ da cˆ mara? a perda de calor pela sua superf´cie. Reunindo esses resultados na primeira lei.2.mantidos a diferenca de temperatura de colocado em uma mistura agua-gelo e o outro em agua ´ ´ sidade e do volume ocupado. portanto. ´ sendo. tem-se: http://www. (b) Ache a taxa em que o e a gelo derrete no extremo frio. sendo ent˜ o negativa. (a) Ache a taxa em que o calor e ´ conduzido atrav´ s do bast˜ o. um (a) Expressando a massa de vapor em termos da den.Prof. E-48. e . Os extremos s˜ o ı a ` ¸ . mais o valor da condutividade t´ rmica do cobre. algum vapor se condensa na cˆ mara. pois o calor escapa do cilindro pelas 20. (a) Calcule a taxa de condensacao do vapor. o trabalho por unidade de tempo e realizado sobre o sistema.m.if. ` (c) Dado o valor do ´tem (a). 20-24). a taxa calculada e a do calor que deiı ´ xa a cˆ mara.br/ jgallas 46 9 R&WU A 76 i8EU 'VÀ”4@4bkF' } A X ™ b2TR$dƒF2‚‡{  IYdƒ U 4U S Q6 ' À A U 4 J/s P´ gina 5 de 7 a 76 v@U u s EWU 44 ¾ ƒh”&EB¥H f ²{ ½ U4ƒ ¦ ²± Q6 } y¥8&ƒ ¦ ¦ ¦ ¿ ¢ €{ A 9G 4 ¦ €{ v ¹ 4U S 96 @Ivth@R6&Bh5&YH )™ b2f8IG '€   4 S 46 h5{1A )™ bU2¢8IG Sp' } ™X ™ bU2¢86e7"y'   h&YmR&D4 A 4 S 4  A{ v H 96 ¸¶ · œ Œ `™` µ · ‹´ˆ 6¶ £ ‹´ µ ¦ ! ‹´ µ ›x2œ Œ `™ˆ  prf£ Œ `™ˆ  p¦ Œ `™ˆ  A ‹´ ²± 46 } y¥8e7     ²± ³ ™ 4U S 46 ¥y‡{ “X IWdŸR&9 ¦ ¦ ¦ ¸ ”· Œ `™` ‹´ˆ ¸ ”· Œ `™` ‹´ˆ ¸ ”· Œ `™` A · ‹´ˆ 4G6 @8I4 ”“IEƒ fG P- fE5{$„q5…uI4 © ¦“'E9E4R&4 ©  © IR&4 © € 3 6 6 U Q6 ¸ · © ”· ¸  · ¨ · ¦ · ¸ q ª¨% § · ¸ · q ª¨% § · ¦ (d) Dado o valor tem-se: . Tamb´ m no ´ ¸˜ e item (c). com o valor (c) A taxa de realizacao de trabalho e: ¸˜ ´ E para o processo bf tem-se: No ´tem (b). de acordo com a a a convencao de sinais adotada. de a e atm. IF–UFRGS 25 de Fevereiro de 2004. a taxa de condensacao de vapor ser´ : ¸˜ a (a) Com os dados fornecidos. O cilindro cont´ m agua e vapor a temperatura e ´ ` constante. de comprimento ¸˜ ´ e area de secao reta de ´ ¸˜ e isolado. negativo. Observa-se que o pist˜ o desce lentamente. cuja area da secao reta e de ´ ¸˜ ´ (Fig. A densidade do vapor dentro a dela e de ´ e a press˜ o atmosf´ rica. vem ı . ¸˜ (b) A que raz˜ o o calor deixa a cˆ mara? (c) Qual a taxa a a a ı m de variacao da energia interna do vapor e da agua dentro Um bast˜ o cil´ndrico de cobre.LISTA 4 . chega-se a taxa de variacao da energia in` ¸˜ terna na cˆ mara: a Um cilindro possui um pist˜ o de metal bem ajustado a de kg. vem f‘ ˆ QU # § £ # k•yŸWr¦ r ¦« q ª¨% fB¦ r« ¨ ­ &B¦ "«  64 # ‘ˆ QU ¦ 7 4G •yŸW0mhU © EB¦ ª« ¦% q ª¨% f£ Pq ©¨% f‚¦ r ¦« q ª¨% f£ § © § £ # § ‘ ˆ 46 9 •yŸRI¦ ®«%  ­ ‘ˆ Q ¦ •yŸbU °®«% ¨ 46 R&9 ª«% ¦ 7 ’bU § ª«% © ¨  © ª«% ¨ ¦ q ª¨% f£ ‘YFhh¯qbU © @‚¦ ®« ¦% q ª¨% f£ ˆ 7U ¦ 4 77 § ‘ˆ 77 •yf@C¦ ¦« ª¨% f£ § ‘ˆ 4 ¦ •yŸEƒBx ¦# q % § q ª¨af£ ‘•yŸ@GP ¦% % § ˆ 4 ¦ % § q ª¨af£ © ¦# q ª¨af£ ‘ˆ 4G •yŸ@p¦ ‘•y—4WU ¦ ¦% ª¨% f£ ˆ § ‘ G •yˆgEƒ q % © ¦ b# ¨ 'YWU G ¦ 4 ©  © %b# ¨ m@G © ‘ˆ 4 YFgEG ¦ b ¦# % ‘•yŸWU © ¦ b©% #  ˆ G ª«% ¬© EBqEG  9G ¦ 4 (b) O calor deixa a cˆ mara a raz˜ o de: a ` a § q ª¨% f£ § q ª¨% f£ 46 RI7 A· A· 46 8@U ¢ . para o processo ib €{ „ U Q6 @&hI8I4 'h5{&YH )™ bU2f8IDGFe•5$)Ÿ@5E7 € v ¹ 4 S 96 ' v H{ „ H 497 ¸ · Œ‹´ˆ Œ‹´ ‚`™ˆ  A · ‚`™‚— ¦ ¦ ¦ €{ „ 946 5$T@8I4 ' {   4 4 b€@A ›™ WUVS¢R6&DGF' } 5{1AgQRI€yIYmRI7 € 6 ' v H 46 – º ¶¸· · v "s¼ q ®»% „A ¸ · Œ `™‚x¨ · ‹´ˆ ¸ · Œ `™‚ ¨ · ‹´ˆ ¦ ¦ ¸”·  · ¸”·  · ¸”·  · (b) Dado e sabendo-se do ´tem (a) que ı . Enquanto o processo ocorre. as 4:43 a. Jason Gallas.ufrgs. fervendo e vapor. a a ` taxa de cm/s. em temperatura de fus˜ o e: ı a ´ C. da chapa do fundo. deve-se acrescubos de gelo.Prof. Jason Gallas. a´ gua ´ ´ e g´ s embaixo mant´ m a diferenca de temperatura entre a e ¸ . as 4:43 a. respectivamente. a temperatura na interface. Para fundir o gelo: A area da chapa e ´ ´ m . J Formou-se gelo em um chafariz e foi alcancado o estado ¸ estacion´ rio. para que a mistura final tenha a temperatura de C? Suponha que todo o gelo estar´ derretido na mistura final e que o a calor espec´ ifico do ch´ seja o mesmo da agua. precisam ser colocados em L de ch´ a quente. qual a espessura do gelo? Suponha que as condutividades t´ rmicas do gelo e da agua sejam e ´ e . a press˜ o e o voa a lume s˜ o obtidos pela equacao a ¸˜ .LISTA 4 . Quando a agua esquenta. a ´ P-55 Um grande tanque cil´ndrico de agua com fundo de ı ´ m de diˆ metro e feito de ferro galvanizado de a ´ mm Considerando os valores para os calores espec´ficos ı de espessura.if. as taxas de conducao do caa ¸˜ lor atrav´ s do gelo e da agua igualam-se: e ´ agua ´ agua ´ Como cada cubo tem centar ao ch´ a http://www.4 Problemas Adicionais P-62. Quanto calor e conduzido atrav´ s dessa placa ´ e em minutos? O ferro tem condutividade t´ rmica e igual a . Se a profundidade total do gelo + agua for ´ m. Determine o trabalho realizado pelo g´ s durante a f @5EEEG 4473G 'VÀ”@Q  ' À v H { „ 4 € U  ' v H 4 6 U © 4 © yVY5$x@b&dƒ£Fe•Ÿ8@j A ‰ x ˆ 7 Ð X ÎÎ ¦ •ƒ ÑÎR}X Î ¦ ÌiÍ 4746 4 5E8I̦ … A ¦Ï f v H ƒ ƒQ6 4 )•ŸE5R&’¦ … A 4473GG @5EEE’¦ … “@E‡YEG A 444…€ 4E57E3E@G˦ … •EE@W$ƒ y @E@@EG y E5@E7 4 G A'44€U 444GG 4477 4B¦ X ¬©   ¨ y } ¨ y • ¨ ¨ ¦ ¦ ¦ X ¨ ¦ ¦ f A GU6 2hWW@U ¦ – ' 46 4 ƒ6 E8e"ryyE…'ot3 Y j&D4 ¦ – 4 – – H to… È '  ‰ ry” ™d‰ œ ry… ‚¦ to © 7 4 86I@7’¦ ¹ WVTERI7 4U S 7 46 ' 4  U…7… h€@4EDGF'  •Y5Y9 46 RI3 O calor conduzido no intervalo de minutos ser´ : a ' „ A 4 4 7 7 7 ¦ ' 4U' 4 7 7 A ¦ ‰ ‚( … “@@@@’VEbkyY5E@7 … ÁÁT£ … ˆ … p¦ • ¨ A Ca C: agua ´ agua ´ agua ´ kg. No regime estacion´ rio. ` (b) Da equacao para a conducao do calor vem: ¸˜ ¸˜ 20. A taxa de conducao do calor e ¸˜ ´ Para aquecer o gelo derretido de J MJ O calor removido do ch´ e: a´ P-58. o calor extra´do do gelo para trazˆ -lo a ı e ´ as superf´cies superior e inferior.2. cuja temperatura inicial e ´ C. Quantos cubos de gelo de g. o aquecedor a da agua e do gelo. onde . e ´ C: P-63. Durante a expans˜ o. Uma amostra de g´ s se expande a partir de uma press˜ o a a e um volume iniciais de Pa e para um volume final de . vem: do chafariz a C. com ar acima do gelo a a C e o fundo Reunindo todos os valores calculados acima. IF–UFRGS 25 de Fevereiro de 2004.br/ jgallas P´ gina 6 de 7 a 4U ¦ bt  ¦ } !lrà   ² 46 ¢—8@U 4 WU   ² 46 ¢g8e7 ² Ï h{ Ò   – to – ry…  ƒ 6  ' j@U '  7 © U 6 YrRy&…6o4t DƒyEbF&D4 È ™‰ Mas . ¦ – (u… ˆ to f' „ u‚( – o “E@W$ƒ A 44€U 'V”WjyVY5$(x… @b&dƒ A À 4 U  ' À v H { t „u 4 € U ‰ T£ ˆ …… A 4 – WU – 4 Ê „ A 444GGG u'‚k … “@E@E@’¦   … 46 8@U 4 – WU 4 – @€ À vH{„ 4€Uƒ •5$@b&ɦ 46 4 R&57 ˆ Ap¦ } ¨ ¦   ÀvY@{&„V4@@7E7 H 7 76 ¢ u@U ve3 …6 ¨ 4 – bU © H { )H G G „ fE@{Iv†QEƒ@R6I4Á¦ vY€55$$l8@@G ¦   € 4 { „ 4 IbU 69 ¿ ¸ – E· A   ¦ ¿ to ry… · …76 7 ¦ ƒ  ¦ } Y8e‚Th{ } · p‚œ 46 – RI3 © ¦ 46 – R$ƒ 6 U … 7 … 9 ' G 6 7  E'7 E…3 E74 R64 I4 ' … ‰ £ œ  eE@Y¦ YRe"y@E8I7F5Y9 ¦ TÃlH ¦ ¿ 'È E™‰ ©  ™d‰ œ H Ç ¢ Æths˜²hd{Å5W±pbWI4 ERI4 u Ä 7U6 4 ƒ6 ƒ6 jEU ¦ ¸ £ ¿ ¦ ¨ ¾ ²{ ½ … whpY9 ¦ – E· A ¸ to ry… · ¦ ¸@· ¨· 46 8e3 G6 – 8e7 ¢ . com temperatura inicial de C.m.ufrgs. Jason Gallas.Prof.m.br/ jgallas P´ gina 7 de 7 a #! f „ G G6 G IqERI@7 ' bÜdAD Ù UG © QG &' Ï hx”Wj Ø A{ Û 4U ÙÚG G Ù ÚG Ø %  m! ©  x! Ød’¦ ×  q! l   # Ö b × ! · } ! W Õ  Ö h ¦ ¦ %! a expans˜ o.LISTA 4 . a Integrando do volume inicial at´ o volume final e : ¦ ¦     ! · } —ËÔ! · Ó¦  · !  ¦    ¢ . IF–UFRGS 25 de Fevereiro de 2004.ufrgs.if. ` O trabalho realizado pela g´ s na expans˜ o e dado por a a ´ http://www. as 4:43 a. . .Prof.3 Problemas Adicionais . . ı o Doutor em F´sica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique. .br/ jgallas   2 3 9   . .ufrgs. Numeracao conforme a quarta edicao do livro e ¸˜ ¸˜ “Fundamentos de F´sica”. ı Esta e outras listas encontram-se em: http://www.br (lista4. o 21. .tex) P´ gina 1 de 10 a http://www. . . .ufrgs. . ` Exerc´cios Resolvidos de Termodinˆ mica ı a Jason Alfredo Carlson Gallas. . . as 4:48 a.if. Resnick e Walker. Jason Gallas.if. . . . ı 21. .m.br/ jgallas Conte´ udo 21 A Teoria Cin´ tica dos Gases e 2 21. . . . Alemanha ı Universidade Federal do Rio Grande do Sul Instituto de F´sica ı Mat´ ria para a QUARTA prova. . . . . Coment´ rios/Sugest˜ es e Erros: favor enviar para a o jgallas @ if. Halliday. . . . . . . . .2 Exerc´cios e Problemas .1 Quest˜ es . IF–UFRGS 25 de Fevereiro de 2004.ufrgs. professor titular de f´sica te´ rica.LISTA 4 . . . Uma energia cin´ tica maior das mol´ culas e e significa uma temperatura maior.Prof. Quando Um fenˆ meno que fornece boa evidˆ ncia de que as o e sentimos o vento no rosto ou o interceptamos com a mol´ culas n˜ o se movem a mesma velocidade a uma e a ` palma da m˜ o.quente expande-se. se a press˜ o e a mesma nas duas salas. Jason Gallas. Q-28. on. precisam deste tempo para atravessar uma sao porta aberta. no topo das montanhas.LISTA 4 . sabemos que se trata de um g´ s. As mol´ culas de amˆ nia difundem-se no e o ar. o mecanismo de e Q-12. a e ´ ´ ¸˜ C. tem-se .mais facilmente escapam da sua superf´cie. Em qual sala correntes de convecao do ar. ´ mantidas a diferentes temperaturas. as 4:48 a. Que evidˆ ncia direta temos para a existˆ ncia dos Que tipo de observacao forneceria boa evidˆ ncia de que e e ¸˜ e atomos? E indireta? ´ nem todas as mol´ culas de um corpo est˜ o se movendo e a com a mesma velocidade a uma dada temperatura? N˜ o percebemos diretamente a existˆ ncia dos atomos. ao n´vel do mar. O ar entre os vidros de uma janela contra tempestade e um bom exemplo. cu. quando mantenha constante durante o processo. ¸˜ e a Por que a temperatura de ebulicao de um l´quido au¸˜ ı O calor e transferido no g´ s por um mecanismo com´ a menta com a press˜ o? a binado de conducao e conveccao. tendo sua densidade diminu´da. quente. ´ ¡ ¡ ¡ ¡ O tempo t´pico para se sentir o cheiro e de cerca de ı ´ um minuto. a agua. ı o ı mo o movimento Browniano ou o efeito fotoel´ trico e tamb´ m indicam claramente que todas as substˆ ncias e a s˜ o formadas por estas min´ sculas part´culas. O movimento das mol´ culas tamb´ m e afetado pelas e e e ´ duas salas e mantida a valores diferentes. Se . as variacoes nas o ¸˜ http://www. em termos de teoria cin´ tica. chama-se isot´ rmico. estabelecendo-se uma corrente de convecao enpode ferver a uns tre as paredes.if. Q-32. ´ Descreva. por exemplo. IF–UFRGS 25 de Fevereiro de 2004. e o processo de evaporacao de um a a ´ ¸˜ jas part´culas em movimento. a e ´ mas indiretamente sim. exercem forca sobre a l´quido. As mol´ culas de ar ¸˜ ¸˜ e pr´ ximas da parede mais quente tem energia maior que o Com a press˜ o externa maior aplicada sobre o l´quido.dada temperatura. Dˆ uma explicacao qualitativa da conex˜ o entre o livre e ¸˜ a O processo no qual a temperatura mant´ m-se conse caminho m´ dio das mol´ culas de amˆ nia no ar e o tem. Entretanto. ¡ 1 ) # 20¤' 3 # (¤' ¦ ¥ £ ¤¢ ¡ ¡ Q-19. sofrendo da ordem de colis˜ es por segundo. que est˜ o mais e a para vencer as forcas (fracas) que as unem e ”escapar” ¸ pr´ ximas da parede mais fria. Mas h´ tamb´ m um transo a e ou evaporar. conducao do calor atrav´ s do g´ s. a ı e o as mol´ culas precisam ter uma energia cin´ tica maior a energia m´ dia e perdem energia nas colis˜ es com as e e mol´ culas que tem energia mais baixa. a P´ gina 2 de 10 a .br/ jgallas      § % # # &(¤' ¨  ¨ ¦ ©§ ¨ § ©!§  % # &$" ¨     Explique como podemos manter um g´ s a uma tempea ratura constante. e de muitas formas. Pela equacao do g´ s ideal ¸˜ a constante. A grandes altitudes porte de massa no processo. a m´ dia de temperatura nas la. ou seja. Fenˆ menos observados co. ` 21 A Teoria Cin´ tica dos Gases e 21. as mol´ culas movem-se em todas as direcoes devido as e ¸˜ ` Duas salas de mesmo tamanho se comunicam por uma colis˜ es. Ent˜ o a ´ a . em que as mol´ culas mais r´ pidas s˜ o as que ı ¸ ı e a a superf´cie em que incidem. h´ mais ar na a As duas paredes opostas de um recipiente de g´ s s˜ o a a sala cuja temperatura e mais baixa. durante um processo termodinˆ mico.ufrgs.m.tante. Como o Q-5. em geral presentes numa ´ ¸˜ h´ mais ar? a sala. tendo um livre caminho m´ dio da ordem de e m. porque o ar junto da parede ı acima do n´vel do mar. Q-25. O ı ar mais frio vai ocupando o lugar deixado pelo ar mais de a press˜ o atmosf´ rica e menor. a u ı Q-37. Para que a temperatura se e e o e po que se leva para sentir o cheiro da amˆ nia. ferve a ı C.1 Quest˜ es o um vidro e aberto do outro lado de uma sala. Prof. P´ gina 3 de 10 a http://www. W e a a int n˜ o s˜ o mol´ culas/m e nulas nos processos termodinˆ micos. moles moles. u # ' U ' # @ $Bt6CA$' # @ A$' % # &(T Para o processo isob´ rico. se expande isotermicamente e a e ´ a ` Se as mol´ culas de agua em e ´ g de agua fossem at´ atingir a press˜ o atmosf´ rica e e ent˜ o resfriada.LISTA 4 .if. e De um modo geral. volume) devem ser efetuadas a muito lentamente e deve haver transferˆ ncia de calor. o que corresa ponde a uma diminuicao da temperatura do g´ s. a uma expans˜ o adiab´ tica. a ´ press˜ o constante.ufrgs. ı ı cm da superf´cie? Calcule o trabalho realizado pelo ar. int e nula e g/mol. As g g ¦ ˆ ‰ pH P X A # ' @ u BbU g „T X  P Y (T s' Y „" … P @ I I # ' U T # BbV$A@ B(¤WqCA(' P u # ' U ' # @ R ƒI I # A@ R ' ¦ ˆ † (‡H y €x ¦ ¦  f I E x ¦ ¦ ¦ ¦ 8 y E # D@ ` ' ¦ – y 8 ¡ 8 g T 1 BpVi@ h¦ # ' U ' g f e ` ¨  $d¦ # ' BbU (aY @ Y ` ` A "¤' P #¤'WUVTQ#A@ Q(A$' P # # @ X D RSI I # # @ (D('  5 64 E  # @ " ACB' # # @ (A$'   # # @ $A$' 8 9¦ X 7 # @ D(' ¦ ¦ E 5 64 FH G¦  w E c g ¡ ¡ v . a ´ Portanto. a P” y k l– y I x ¦ 8 J (a) Da equacao do g´ s ideal: ¸˜ a E E § @ ¦ ‚ f § ¦ y €x T J A P-20.m. e  r d ¤W6(D(' # ' U " … @ " T @ (D„# r R R (R X T $# ¦ R P # P ' ' @ Y ` Q’¦ $A@ ` ' ¤$i$' Y # ' ¤WU ” y gf f § ¦ §e 8 – y d # ' (BbU g A„T ¦  f § ¦ •S€x " @ ” y” R u Bbq„D(' # ' U ' # @ – P ` i„# ' @ ¦ ¦ €x ” y u # ' U (¤W™P Y A$‘˜„D(' # @ ' — ' # @ I ” x I ' @ # ¦ P$#D@ ' P Y „B' R I v I k v @ n¦ (Bb&s' ` (' d # ' U P @ g ¦ P " T @ ' @ # ' U ' # @ ¦ QaDC# k ` B„# P u ¤m2„D(' I I @ T @ ¦ " ` (' ` U g DC# § j ' @ ` i„# h §e iƒ0P d ¤WU # ' " T @ (D„# ¦ I Explique por que a temperatura de um g´ s diminui em Para os percentuais indicados. at´ que retorne ao seu volume inicial. a e distribu´das uniformemente pela superf´cie da Terra. ¸˜ a A massa total de g´ s e T a ´ I ¦ ¦ F ˆ ‰ H ˆ pi‰ † ˆ pH ˆ † ¦ ˆ ‰ § § § ¦ ¦ ˆ † ˆ ‰ F F ' ' @ (B(' Y ¡ @ # Y „B' v @ @ ¦ " ` $' ` U g C# v ˆ $† " ` (' ‘¦ @ `  f " … @ k (A$' I ¦ R " @ g A„T § Q-40. que e positivo. a a moles e massas dos gases ser˜ o: a N˜ o havendo qualquer troca de calor. as grandezas Q. que ocupa m a press˜ o ma` a nom´ trica de e Pa. O n´ mero total de moles na amostra de g´ s u a e: ´ T g. X ' @ ` B„# u # ' (¤“U Y D(' # @ Uma amostra de ar. Jason Gallas. O n´ mero u N de mol´ culas na massa de e g e dado por: ´ A Comecando pelo expans˜ o isot´ rmica: ¸ a e @ •Q€x – y – ¦ •S•x ” y” m mol´ culas e  A area A da Terra e ´ ´ cm . P-15. ´ constante. ı quantas mol´ culas haveria em e A massa molar M da agua e de ´ ´ g/mol. a variacao da energia interna e a ¸˜ ´ igual ao trabalho realizado na expans˜ o.2 Exerc´cios e Problemas ı P-3. as 4:48 a. 21. IF–UFRGS 25 de Fevereiro de 2004. Para o g´ s ideal a a a energia interna s´ depende da temperatura. a energia interna do g´ s diminui. ` A outras grandezas (press˜ o.br/ jgallas r d # ' U (Bi€' ` $' @ isob´ rico a (a) Qual o n´ mero de mol´ culas por metro c´ bico no u e u ar a C e a press˜ o de ` a atm (= Pa)? isob´ rico a (b) Qual a massa de m desse ar? Suponha que % das mol´ culas sejam de nitrogˆ nio ( ) e % de O trabalho total realizado pelo ar e ent˜ o: e e ´ a oxigˆ nio ( ). se esta e (b) As massas molares s˜ o o ´ a g/mol e . O n´ mero de mol´ culas por unidade de area e ent˜ o: u e ´ ´ a mol´ culas/cm e r s " (g g R ¦  D 1 # ' U ' ¨ ¤WqB@ g # ' BbU ((Y @ Y ` ` c ¦ E J isot´ rmico e isot´ rmico e J P-13. pela primeira a lei da termodinˆ mica. as 4:48 a. . at´ ´ ´ e que a agua preencha metade do tubo. como mostrado na ´ Fig. (a) Encontre a velocidade quadr´ tica m´ dia de uma a e mol´ cula de nitrogˆ nio a e e C. O recipiente A. finalmente. y €x # A@ g T T ¦ o R ' k ' „T ¡ ser´ indicada por p. enquanto a temperatura a de cada recipiente e mantida constante. ` A A A moles fundo B moles fundo A B moles § A B A B B B Igualando as duas equacoes para ¸˜ x ¦ o r q $s— x T fundo . cont´ m um g´ s ideal a e a ` press˜ o de a Pa e a temperatura de ` K. . em seu valor ´ inicial. A press˜ o do ar. Qual a profundidade h da parte submersa do tubo? Considere a temperatura como sendo a mesma em todo o lugar e constante.Prof. IF–UFRGS 25 de Fevereiro de 2004. A v´ lvula de conex˜ o e aberta e o equil´brio e a a ´ ı ´ atingido a uma press˜ o comum. ent˜ o ´ a Para um volume unit´ rio: a constante. (b) A que temperaturas a velocidade quadr´ tica m´ dia ser´ a metade e o dobro a e a desse valor? # @ " D„aT ¦  % # &(T (a) A massa molar da mol´ cula de e g/mol: € e ' C# Y P I €r }C†aQAC# r " T # @ ~ F e } { •|' Y C" P Y @ I I rms P´ gina 4 de 10 a # ' U … … @ u ¤m‚(D(' e ´ " @ R v H ' ¦ g # ' U # ¦ P u Bi‚A@ g E P ~ F ¦ rx A I @ # # j g C((T h R T T @ # („(" § x § m ¦ x x § Y Y @ ((Y (' " @C# ` T ¦ ¦ # … @ # $ACaT Y R x § p— § ($Y C# x Y Y @ ¦ T T @ # („$"  ` B A x Y Y @ § ((Y „# ¦ B ¦  x § ¦ x § ¦ x § x § „ …¦ ¡ # 0(T @ T R t r q 0$p— P ¦ T o P$AC… $($B' " @ P # # # I I u # ' U ' # @ (¤WqCA(' x % r $q % x r k t I &q v — % fundo A A ¦ x `  § x x ` ¦ x  § x ¦ A A A A B B moles x `  § x  § x  § x  x § A mesma press˜ o a do lago e dada por ´ fundo . que a tem quatro vezes o volume de A. Com os dados fornecidos. calculaa se o n´ mero de moles A e B de g´ s em cada recipiente u a antes da abertura da v´ lvula. a press˜ o de a ` a Pa e a temperatura de ` K. Jason Gallas. vem: A B B B A moles E. Depois.if.br/ jgallas ƒ   # (# Y u # ' U # @ $BvwA$' ' u # ' U # (BvuD@ g # $# ` ¡ E-28. O B cont´ m o mesmo e g´ s ideal. Qual a press˜ o final do sistema? a As temperaturas nos dois recipientes n˜ o se alteram a com a abertura da v´ lvula.ufrgs. calculada a partir da superf´cie ı x ¦ x § s— x § T t r q 0$p— % fundo B B B P # … @ # Y (ACaT ¦ § p— ¦ §  f A press˜ o a do lago e dada por: ´ o r q (p— x ¦ x B ¦ B P € ` @ # T aY „(¤' ~F # $# ` P e }•{|' Y C" @ € I €r I P 0zlyu(#¤'Ww#D@(' P ` U I @ # # g C((T ~ F R # (# Y P e } { •|' Y „" @ I €r I z y u # ' U # l(¤WwD@ g Se a temperatura e constante. obtem-se a press˜ o: a A A A P-23.LISTA 4 . e dada por ´ A ¦ ¦  f x ¦ § ¦  f § ¦ – y – x ¦ ” y” x ¦ I x ¦ A A x x § § § §  f y x ` ¦ x § § x § Um tubo de comprimento m. ocupando agora a metade do a A volume do tubo.m. na Fig. aberto em uma das extremidades cont´ m ar a press˜ o atmosf´ rica. Ele est´ conectado por um fino tubo ao recipiente B. esses n´ meros s˜ o a u a u A e B e o n´ mero total de moles nos dois recipientes e n: ´ A % x T ¦ x o r q $s— p x T ' k 0T T o T ¦ c ¦ ¦ T ¦ t o x % x x x % ¦ — g „¤' @ T x c ™o % ¦ t x x Pa m/s . A press˜ o final de equil´brio a a ı http://www. Ele e ` a e e colocado verticalmente em um lago de agua doce. a massa molar. Apˆ ndice D. (b) a . LemA . A @ •q ¦ yF @ y H “¦ x F  f R P T g D@ g ¦ rms K C ‘ ’¦ § " @ ` D„" g T ı ´ (b) A metade da rms do ´tem (a) e igual a temperatura correspondente ser´ : a ‡ ˆI v  ƒ H f (Y v H T # @ $D„# ƒ x ¦  „ ¦ ¦ ¦ ƒ y €x m/s. # A@ Y T Em um certo acelerador de part´culas. (a) Escrevendo a equacao do g´ s ideal em termos da ¸˜ a massa da amostra e da massa molar M do g´ s. IF–UFRGS 25 de Fevereiro de 2004.if. (b) Qual a ı u a o livre caminho m´ dio das mol´ culas de g´ s sob estas e e a condicoes. Jason Gallas. Expressando o n´ mero de moles em termos do n´ mero de part´culas. da equacao do g´ s ideal vem: ¸˜ a A A mol´ culas/cm e kg/mol … (b) Com o diˆ metro molecular dado. a esta press˜ o. sendo a densidade deste ultimo de ´ atomos/cm . a e q  ¥  ‹ ¦ x   E ¦ Certa mol´ cula de hidrogˆ nio (diˆ metro de e e a cm) escapa de um forno ( K) com velocidade quadr´ tica m´ dia e entra em uma cˆ mara contena e a do atomos de argˆ nio frio (diˆ metro de ´ o a cm).m. Mostre que a equacao do g´ s ideal (Eq. onde m e a massa da ´ amostra de g´ s e M. tem-se: a r q ¦ yF @ y F H ¦  f x ƒ ) # ' U # # @ 0Bq$A(' Y T X u ) # ' 20¤ŠU ` (' T @ ¡ P-43. se o diˆ metro molecular for de ¸˜ a A massa molar e ´ e a velocidade quadr´ tica a cm? m´ dia pode ent˜ o ser expressa por rms e a e obtida com os dados fornecidos acima: (a) Em unidades do Sistema Internacional. ` A densidade de um g´ s a a Ke atm e de ´ g/cm .ufrgs. e encontramos a massa molar do nitrogˆ nio. o livre caminho a m´ dio e obtido diretamente por: e ´ cm ' r R T v ' Y ' v ‡ ˜ P y } š e T EI  ™ ¦ ' ¦ ˜ ou m P-54. na fore ma molecular. (a) Encontre a velocidade rms para as mol´ culas do g´ s. A (a) Na equacao do g´ s ideal. (a) Calcule o n´ mero de mol´ culas u e onde de g´ s por cent´metro c´ bico. a press˜ o a dada e igual a ´ Pa. a sua massa molar: a onde ¡ " … % $B' k f $Y ƒ . (b) Ache a massa molar do g´ s e e a a identifique-o. as 4:48 a. o n´ mero total de u part´culas e o n´ mero de Avogadro: ı u .Prof. o n´ mero n de moles ¸˜ a u pode ser expresso por .  v ” ” ¦ § ¥ … g aT x ¦ 6 E x ” ” y E ¦ § ¡ P T P € Y v I r ‹ ¢X P F }  T ' # @ X Cr ™` s„D„# T Y @ ` … `¦ P z 0ly X ¤Wq„D(' P Y # ' U ' # @ I I €r Ž h¦ % ' Y … e # ' U ' # @ ¤WqCA(' ~FX F } { •|' Y „" P @ I X ƒ   # T ` as' ¢ Œ¦ ‹  ¥ ¦ rms K C (b) O n´ mero de moles da amostra de g´ s tamb´ m pou a e de ser expressa em termos de N. tem massa g/mol. que. P-36. u u ı m/s rms . # @ " D„(T ¦ H P P … aT P € g I # ' U T # ¤WVQA@ r sX # ' ¤WU @ n¦ y T Y – —¨ R E ~ F e } { •|' @  f Y „" €r I ¦ P z 0ly d „BbU (Y $' ) # ' Y @ ¦ (b) A massa molar M vale: }„r ™` Ts'„#AC# @ I x  f q ¦ H 1 ) # ' U # # @ 20Bbw(D0T X D • ) # ' U # # @ €„Bl˜$A$' R SI d 0¤U $Y (' ) # ' Y @ r   E ¦ y 2x I ¦ ” P-30. vem brando que A r H r  f q ¦ x Y @ $Y ¤' g # O dobro da rms do ´tem (a) e igual a ı ´ nova temperatura ser´ : a ‡ ˆI  ƒ H xx ¦ ‰ m/s. onde N e o n´ mero de part´culas do g´ s ´ u ı a (´ tomos ou mol´ culas). os pr´ tons perı o correm um caminho circular de diˆ metro de a m em uma cˆ mara onde a press˜ o e a a ´ mm de Hg e a temperatura e ´ K. 21-4) pode ser ¸˜ a .br/ jgallas r Na tabela de Propriedades dos Elementos.LISTA 4 . (a) Qual a velocidade da mol´ cula de hi´ e drogˆ nio? (b) Se a mol´ cula de hidrogˆ nio e um atomo e e e ´ P´ gina 5 de 10 a 1 ) # ' U # @ 20BvwD(' 3 ¤œpD@ ` # ' U # ¨ 1 ) # ' U # 20B…pA@ Y # # ` ($# ›¦  X http://www. onde e ´ escrita nas formas alternativas: (a) a densidade de massa do g´ s e M. encontre (b) A variacao da temperatura no processo pode ser calculada a partir do trabalho: (a) uma express˜ o para C em termos de N e .ufrgs. ` de argˆ nio colidirem.br/ jgallas P´ gina 6 de 10 a r P (b) A velocidade m´ dia e obtida por: e ´ ƒ š P ƒI y ¦ ' E ¦ ©ƒ # @ D(' P €r X # @ AC# g cm ) # ' U # # @ 0¤¬«(D0T # ˆe P € ` YI v # A@ Y @ aY ` r R ~ŸF ) # ' U # @ X Bb6A„T I { … @ # ¯ACaT @  V4 f § R T @ ¦ ' Y „" ¦ r ` Y ¦ k R Y @ an°f y 4 x # g A@ g ¦ ®8 ¦ ¦ ¦  4 V§ 7 ‡ k f § £ ¦ X ¦ £ … @ # D„(T £ # # (¤' ¡  w (b) A distˆ ncias entre os centros da mol´ cula de a e atomo de Ar e igual a soma dos seus raios. Jason Gallas. % rms r ƒ g v (v @ C# % g ¦ ƒ Y ž ¦ ƒ ¦  ƒ © ª rms – (a) A massa molar da mol´ cula de e e ´ g/mol e sua a velocidade quadr´ tica m´ dia e: a e ´   „ ¦ H  $Y f ž d¦ ƒ d ƒ š ƒ ƒ š  ƒP ƒI y ¨ § % ¦ g ƒ Y ' ¦  ƒ © % j X ƒ h Y ¦ E ' E ¦  ƒ © ¦  ƒ © P € r R ~ ŸF e } „r  $($(D„# T # T # # @ ~ F # # ((# ` P e } { •|' Y „" P Y @ I €r I I % r ƒ H % T 1 # ' €) ¤WU g D@ ƒ  ƒ ƒ š X ƒ r % @ ƒ g „#   ¨ § r v – R # ¦ % X ƒ E ¦ ¦ P ƒ y I Y ' E ` ¦ % ¦ ©ƒ ƒ Y % j X ƒ h ¦ ƒ © Y P š y } E I  e T ™ ' ¦ F T $# E £ v % – ƒ ¤ t¥ƒ ¦ 6# ¦ ˜  ƒ £ ¡ ¡ . (a) Qual a variacao na energia interna do g´ s? (b) e ´ ¸˜ a condicoes dadas e ¸˜ ´ Se a quantidade de g´ s presente for de a mol. ı ` # Y r ~ŸF ~ F ) e }C{˜' Y @C" Se P # ' U # @ X ¤WwD0T I I { g A@ g # ¦ 8 ¦ (a) Para o c´ lculo de C.m. as 4:48 a. e dado por u o ´ colis˜ es/s o r ¨ D¨ # ' U T ' @ ¤WVsi(' ¦ 12) #BbU g @ ' T R F T Q# v R ¢ a} ¦ ƒ ˜ ¦ ¡ (a) O trabalho realizado na expans˜ o do g´ s e a a ´ P X F P z # ' U ' # @ • # ' U €) Bbw# g 0ly u Bbq„D(' I I ¦ y 4 x ¦ ­8 J P-56. (b) a a velocidade m´ dia das part´culas e (c) a velocidade rms e ı das part´culas.LISTA 4 . ´ ´ ´ r 1 # ' U # @ 2) Bb6A„T ¦ ˆ   —   ¦ Vš eo P-61. qual a menor distˆ ncia entre seus (c) A velocidade quadr´ tica m´ dia calcula-se por: o a a e centros. a a Como resultado. ı Ar H Ar O n´ mero de colis˜ es por segundo. mostrada na Fig. isto e. (c) ı ` a m Calcule o calor espec´fico molar a volume constante. seu volume aumenta de para cm . enquanto a press˜ o permanece constante ( a (c) O livre caminho m´ dio dos atomos de Ar nas atm). ¦ P ƒ y I E a variacao da energia interna e ¸˜ ´ r " g D@ g ' ¦ # lg D@ g @ # k R „(T ¦ 5 V4 J Para a distribuicao hipot´ tica de velocidades das N ¸˜ e int part´culas de um g´ s. considerando ambos como esferas r´gidas? (c) ı Qual o n´ mero inicial de colis˜ es por segundo sofridas u o pela mol´ cula de hidrogˆ nio? e e E T # @ QA„T ¦ m/s J de calor s˜ o adicionados a um certo g´ s ideal. f.K (c) O calor espec´fico molar a volume constante e obtido ı ´ diretamente do resultado do ´tem anterior: ı V P J/mol.if. tem-se: a  ¬4 @ E ¦ ƒ š  ƒ £ ¨ § D‡¦ K E para o calor espec´fico molar a press˜ o constante vem: ı ` a P J/mol. calcule o calor espec´fico molar a press˜ o constante. 21-19 [ ı a ¸˜ para .K http://www. IF–UFRGS 25 de Fevereiro de 2004.Prof. para ]. e dada por ´ : int V atm. Com os dados dispon´veis. o comprimento cm e a velocidade m P´ gina 7 de 10 a # # @ $A(' @ $' r ` P P z 0ly u ¤W´„D(' # ' U ' # @ I ~ F P e } { •|' Y „" @ € Y R k I €r P X P ¦ P Se ¢ ‹ g ` # @ (` A„# r ~ ŸF } { C˜' Y C" @ Y T P €r e v I I ' # # @ P z y u # ' U ' # @ C(D„# 0l(Bbq„D(' I I ³ Y ~ F P # $# ` P e } { •|' Y „" @ I €r I ~ F € F } Cr sW6T sa} T ' U P ¢ ` @ $Y ' g v I  I v r Ž r T ¦ ƒ ± r x @ ` „T ` @ QY ' g @ Y $' ¦   ¥ ¦ ³ y š x š ¦ I P ¦ r aX @ ` 0T R F I ~ P Se ¦ ± y ‹ ¥ ± ¢  ³ k R # @ g`(` D„# I x  V4 f § ± ¦ ¦ P-68. O g´ s e subitamente (adiabaticamente) compria ´ mido at´ a metade do seu volume inicial. e . (b) O g´ s e ent˜ o resfriado a a ´ a at´ e K.ufrgs. (a) Quanto calor foi transferido para o g´ s? a (b) Em quanto aumentou a energia interna do g´ s? (c) a ¸˜ ´ a e. Qual o seu volume final? ` a J (c) O trabalho realizado pelo g´ s e a ´  V4 f § ¦ y 4 % x (a) Para o processo adiab´ tico. (b) A variacao da energia interna. a press˜ o constante. finalmente. as 4:48 a.LISTA 4 .br/ jgallas #B'i@C# k ‡ ` ag @ Y ' Se a distˆ ncia entre n´ s e a o ´ de onda e ´ ¦ v (v @ R U ŸT ¦ ˜ cm. ´ (a) O calor transferido para o g´ s a press˜ o constante pode-se agora obter : a ` a foi: P Dobrou-se a massa molar no c´ lculo para obter a . IF–UFRGS 25 de Fevereiro de 2004.Prof. O g´ s de iodo e monoatˆ mico ou a ´ o freq¨ encia e uˆ ´ diatˆ mico? o @ # (# ` v T ¤' E a variacao produzida no volume e ent˜ o ¸˜ ´ a @  m¬4 f § ¦ y 4 x http://www.. ` de propagacao e ¸˜ ´ m/s. Assim. como Quanto trabalho foi realizado pelo g´ s? (d) Qual foi o A velocidade de propagacao e ent˜ o a aumento na energia interna translacional das mol´ culas foi mostrado no P. Uma onda estacion´ ria em um tubo cheio de g´ s de iodo a a a K tem os seus n´ s o cm distantes um do outro.if.m. ı e. a a o @ ` (' ¦ ± P J E-71. para qualquer proces¸˜ (a) Um litro de g´ s com a est´ a a Ke so. soe ¸˜ frem um aumento de temperatura de K a press˜ o ` a constante. ¡ ˜ Ž Y ƒ ² ¦ ¦ ƒ ”  f ” y” •ˆ€x ¦ H  ƒ  f ¦ ¦ Y v y 4 T ¦ ± ¡ P P P € € # @ D„# # @ D„# € # @ D„# # @ AC# R ƒI R ƒI R ƒI P P P P # @ D„# €r €r e e €r ~ ŸF e e R ~ ŸF ~ F " … ` r R T ~ F } { •|' Y „" P @ P Se # A@ ` I g I I T … … $$aT r T ~ F } { •|' Y „" P @ P Se # A@ ` I Y I I   } { C˜' Y C" Se @ P I } { •|' Y „" P @ I v (v R  V4 £ v T … … $B' r ` ~ F # A@ ` I § I P Se ¦ r ~ F  V4 # A@ ` v (v #$#(#¤' @ 5 64 # " $(… # D@ ` £ R I R § ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ 5 64 5 64 7 ¡ ¡ . Calcule suas e int temperatura e press˜ o finais. a velocidade do g´ s? a . a energia interna correspondente e ser´ : a (b) O n´ mero de moles de g´ s na amostra e u a ´ F€ ¦ ¦ § ~ ŸF int J mol P-69. O m´ dulo de o elasticidade volum´ trica pode ser expresso em termos e Suponha que moles de um g´ s ideal diatˆ mico. Jason Gallas. A massa molar do iodo e de ´ g/mol. s˜ o v´ lidas as a a a relacoes: ¸˜ j Y$Y¦ ) ³ – y h ”  ¦ –  R ¨ ” y  ¦ ) ³” y ”  ) ³ ¨ – y – ¨ j – y h •x ¦ €x ” – ” Cy R ³– y – x ¦ ³” y ” x € R SI €r atm J (d) Levando em conta s´ os graus de liberdade translao K cionais das mol´ culas. quando a Hz. o valor da constante adiab´ tica de um g´ s diatˆ mico. a o da constante adiab´ tica e da press˜ o: a a cujas mol´ culas estejam em rotacao sem oscilar. O processo acontece a volume constante. J. o e 21-21.br/ jgallas P´ gina 8 de 10 a r T Y ¤' … k P # … T ¦ $((¤' k I T T k $(T Y k ¹ ¦ º 5 64 # # (¤' ¦   ¦ rms. para cada um dos trˆ s processos e para o ciclo como um todo. o e adiab´ tico e o ´ a acontece a press˜ o ` a constante. antes e depois ¦ # P @ P # @ k $# Y I ¤' Y „" I QA(' I  ¬4 f § ¦ y 4 x ¦ ¨ ¸ ¬DX ¶ 8 J @ e depois da compress˜ o e: a ´ r ƒ T # (# Y # (¦ –  f ` Y Y ¦ – € J P (` g g T T ($T Y k ¦ ¦ r @ J # @ @ P # @ k (# Y I P ` ' Y „" I P g 0T I QA(' I  ¬4 £ § ¦ ¨ ¸ X ¬l7 (d) A energia cin´ tica translacional por mol. e atm. C para atm.K. tem-se outra relacao ¸˜ para os processos adiab´ ticos: a ¨ ) ³ – (–  y ¦ ¨ ) ³ ” S”  y O trabalho e nulo neste processo e. ´ P$#$# Y Y T # # @ $A$' # P @ @ P # @ k (# ƒI ¤' Y „" I P g (' I $D(' I R @ ` ' Y C" # # @ $A(' ' ' ¦ µf · Y r  V4 T · ›q' u # ' (¤WU Y „A$' ' # @ # ` £ v Y § ¦ ¦ ¦ ¦ 5 64 ¶  ¸ ¨ lA¬7 ¦ ˆ Y · tT # # @ $A$' ¡ r #$# Y P T @ ` „# ¦ g Y # ³ P •y ) B' €x u ¤' ” X # I ” ¦ @ # — ' @ lg „‡&iC# k P ¦ ± X # ¤' P I @ ³– y – x p T € Y v I @ C# ¦ ³” y ” x ¦ ” y ¦ ¦ ± Y ¨ ) ³ ¦ § — ¦ ³ ” ˆ€x y” k g j – y h ”  ” y §  ƒ y 4 ¦ – y ¦ –  P-83.ufrgs. Para o processo a press˜ o constante tem-se: ` a P # Q(# R @ @ P # @ g g k $Q` I P ` ' Y „" I P g (' I $D(' I r " # " $(¤' k ¦ ¦ º int. J e da primeira lei tem-se: r # ` v Y ¦ ˆ £ 5 64 Portanto. portanto. V  V4 § 5 64 (c) O n´ mero de moles presentes e calculado da equacao u ´ ¸˜ de estado do g´ s ideal: a P X T @ # g ` DCaT Q(` r ~ ŸF R T P e } { •|' Y „" @ € Y I F v I €r # P z y u # ' U ' # @ B' 0l(Bbq„D(' X I I ¦ ”  f ” y” •ˆ€x ¦ § º int. J http://www. litros.Prof. a variacao da ener¸˜ gia interna int e o trabalho realizado W. a ˆ 5 64 r v ˆ¶ @ º 0¹ int. Certa m´ quina t´ rmica processa a e mol de um g´ s a ideal monoatˆ mico atrav´ s do ciclo mostrado na Fig. @ 8 k # ¦ ¶ ¦ 7 No processo adiab´ tico. IF–UFRGS 25 de Fevereiro de 2004.m. (a) Calcule o calor Q. a o (b) Para achar a temperatura final. antes e depois da compress˜ o? (e) a Qual a raz˜ o entre os quadrados das velocidades rms de a suas mol´ culas. antes e depois da compress˜ o? e a (a) Para os processos adiab´ ticos vale a relacao: a ¸˜ % # @ $AC# ¦  X #¤'WUu#D(' ¦ y @ • # ' U # @ $BµvA$' ¦ u$#B'vUw#A@$' ¦ x # @ A(' ¦ y ¡ x (a) Comecando com o processo a volume constante. ¸ V J K J P rms rms. Jason Gallas. diatˆ mico ou poliatˆ mico? (b) a ´ o o o Qual a sua temperatura final? (c) Quantos moles do g´ s a est˜ o presentes? (d) Qual a energia cin´ tica translacioa e nal total por mole. e: a ´ Y T v # (# Y T v  ¦ ” –   ƒ .i int. litros. Um g´ s ideal sofre uma compress˜ o adiab´ tica de a a a atm. a variacao ´ ¸˜ da energia interna e igual ao calor absorvido.f @ J P $Q` g g # … T ((¤' k ¦ (e) A raz˜ o entre os quadrados das a da compress˜ o. . (a) Este g´ s e monoatˆ mico. ` litro P-80.LISTA 4 . as 4:48 a. trata-se de um g´ s monoatˆ mico.if. en(b) Se a press˜ o inicial no ponto for a contre a press˜ o e o volume nos pontos e . ou seja. antes da e compress˜ o e: a ´ T Y # an¦ ”  f ` Y Y ¦ ” € " # " ($B' X ¸ ¦ l 8 moles Portanto. Use a atm Pa e J/mol. br/ jgallas P´ gina 9 de 10 a 8 °¦ 7 # ¦ 5 64 atm (a) Se a expans˜ o e isot´ rmica. Uma amostra de g´ s ideal se expande de press˜ o e a a volume iniciais correspondentes a atm e litro. a ´ e A press˜ o no estado final ser´ : a a @ – y – x ¦ ” y” x ¡ r # @ D(' ` (Y @ e litros e # @ A(' # A@ ` # (# Y T Y # # ($# g # # $(# g m litros (d) O trabalho realizado pelo g´ s no ciclo e igual a area a ´ `´ do triˆ ngulo abc e vale a J.if. obt´ m-se a e ¨ ¸ ¬X " B' g r T T $(T Y k ‡“# ` Y # — v ¨ ¸ X 7 — X ¸  7 —  ¸ ¨ ¬l¼&ll‡«l»V7 8 " ¤' g r # … T ((¤' k $(¤‘m# " # " ' — — X ¸ ™½D 8 ¯lA¨ 8 —  ¸ k ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ À ¦ A• X y ¿ B– ¨ ) ³X y  y X x ¦  y X y ¦ X x 7 8 J mol . (a) Quantos moles do g´ s a existem na amostra? Quais s˜ o (b) a temperatura do g´ s a a no ponto b. € r # # " ($B' # (# R ¦ c c P X I ¦ y x y x  ¦  O volume g´ s ideal: a e calculado com a equacao de estado do ´ ¸˜ T @ ` T r T ` QA„# TR # @ X R u BbU Y „D(' # ' ' # @ P # Q(# Y s' Y „" $D(' P @ P # @ I I I F P X # A@ Y 0ly X ¤WU g @ P z # ' vI P I F # A@ Y 0ly ¤WU g „T P z # ' @ X I I P r # # " $(¤' ¦ Para obter . as 4:48 a. se esta for (a) a a isot´ rmica. ` O calor efetivo transferido no ciclo e: ´ Total 21. a ´ J.3 Problemas Adicionais P-85.ufrgs. . Quais ser˜ o a a press˜ o e temperatura finais desse g´ s e quanto traa a balho ele realizar´ durante a expans˜ o. e (c) e a a o adiab´ tica e o g´ s diatˆ mico? a a o int http://www.m. para um volume final de litros. Como e nula a variacao ´ ¸˜ da energia interna no ciclo. A temperatura do g´ s no ponto a e a ´ K.Prof. o calor total adicionado ao g´ s e igual ao trabalho. respectivamente.LISTA 4 . IF–UFRGS 25 de Fevereiro de 2004. (c) a temperatura do g´ s no ponto c e (d) o a calor total adicionado ao g´ s durante o ciclo? a (a) O n´ mero de moles na amostra e: u ´ @ g (' ¦ P X ~ ŸF #(#aT P e } C{ ` ' Y „" @ € I F I €r # @ P z D(' 0ly ¤WU g „T # ' @ X I I ¦ y €x T (T k ' 0T # # ((T ¡ O trabalho total realizado no ciclo e: ´ Total J int Total Total a (b) Para a temperatura no ponto b tem-se: @ ¦ a a a donde tiramos facilemente atm r # @ A„T ¦ F j #(# Y ¾ z # @ h P Q˜D(' # (# I R ¦ ¨  ¨   x ¦  x b b b a a K (c) E para a temperatura no ponto c tem-se: c b b b K O volume obt´ m-se da relacao: e ¸˜ @ ¨ ) ³X y X  ¦ ¨ ) ³ y   P-88. Jason Gallas. ou seja. a . A temperatura inicial do g´ s era de a K.V da Fig. usa-se a relacao entre a press˜ o e o volu¸˜ a me v´ lida para os processos adiab´ ticos: a a @ ³X y X x ¦ ³ y  x b a XF P € # # $aT ¦ b b P X F # @ A$' P ¤WU g 0T # ' @ I X I # A@ Y 0ly BbU g @ P z # ' X I P y x vI  y x  I y x y x  f  ¦ § ¦  r g(Q` g @ À A• P @ ` T ¿ B– R # (# I R # Y (# 9¦ ¦ A• À v Y ‘¦ X y   ³ ¿ Á¨ j X y h  x  y jaY @ Y ` F h ¾ z # @ v $P Q˜A„T T @ ` T I R   x ¨  atm e ¨ ¦ ¨ x # ¦ 8 ¦ X2 ) ³ y   ¨ ¦ ¦ ¦ 7 ¦ X x v ¦ T @ ' D$('  x   f § # @ D(' 5 64 E para o ciclo. K. (b) Dada press˜ o : a ¦ ¨ x  x . Uma amostra de g´ s ideal passa pelo processo c´clico a ı ilustrado no gr´ fico p . (b) adiab´ tica e o g´ s monoatˆ mico. J. ` V J/K J . A variacao da energia ¸˜ P´ gina 10 de 10 a   ) ³– y –  ) ³” y ”  ¦ ³ j €y – h ” x ” y ¦ – x f u ¦ £ # ¦ 7 F R § P Y @ $’¦ P ` ge ˆe r ` ` I à B£  s£ ¦  f § ¦ ¾ z Q|T Y I à B£  s£ ¦ ®8 ¦ ­8 ¦ y š x j €y – h ” x ” y ¦ – x . # Y „# ` aT @ … ¦ ®8 http://www.br/ jgallas @ " ' g „¤(' ¦ ¦ I ¦ ¨ ¨ ) ³ j – y h ”  ” y ¦ –  € @ ¨ # (# Y r # j e&A@ ` h $P e # @ &A(' K Para o estado inicial. Jason Gallas.ufrgs. P e . P e .m. (c) Se a expans˜ o e adiab´ tica e o g´ s e diatˆ mico. V . tema ´ a a ´ o . V .Prof. IF–UFRGS Da primeira lei. obt´ ma ı e se atm. Ke J. int interna e calculada por: ´ ¦ 5 64 r E o trabalho no processo isot´ rmico e dado por: e ´ T @ " ' „¤(' f § k g I Y ¦  V4 £ § ¦ 5 64 ” y g f § §e – €y ¦ # @ AC" ¦ atm. as 4:48 a.l atm J P X F X " @ # D„¤' r # $# Y € F # P z # ' U ' # @ ¾ z ) ¤' 0ly u BbiCA(' P Q|T Y I I I  ” ” y” •S€x ¦ °f § (b) Para a expans˜ o adiab´ tica de um g´ s monoatˆ mico a a a o tem-se . portanto.A press˜ o final e: a ´ v R @ (' ¦ uX ¦ ± ` … (›¦ ` ` y y š e # ˜A@ ` F P $˜T Y ¾ z e # @ ˜A$' I ¦ E a temperatura final e obtida por: ´ atm E. se Repetindo os mesmos c´ lculos do ´tem anterior. obt´ m-se: e int int 25 de Fevereiro de 2004.if.@ ` (' ¦ u À R g ` Y ¦ Q(®8 ± f À T v ' ¦ –  f u R @ ¦ – y ` # ¦ 7 ¦ ¦ £ ¦ À D• ¿ i– £ r P € # $# Y k @ " ' „B$' P € g I # Y „# ` aT k @ … ¦ T I Y ¦ ¦ € } { " @ # •¯D„¤' ¦ 5 64 r R ' Y B@ ‘¦ À D• ¿ Á¨ # j e˜A@ ` F ¾ z h P Q|T Y e # @ ˜A$' I @ ³– y x – ¦ ³” y ” x £ f X ¦ r @ P # ÁQ(# Y 8 k LISTA 4 . 3 Problemas Adicionais . . Alemanha ı Universidade Federal do Rio Grande do Sul Instituto de F´sica ı Mat´ ria para a QUARTA prova. . .ufrgs. . ı Esta e outras listas encontram-se em: http://www. ı o Doutor em F´sica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique. . . . . .if. . . as 4:49 a. o 22. professor titular de f´sica te´ rica. . 2 4 12 ENTROPIA E A II LEI DA TERMOˆ DINAMICA 2 Coment´ rios/Sugest˜ es e Erros: favor enviar para a o jgallas @ if.ufrgs. . . . ı 22. .tex) P´ gina 1 de 14 a http://www. .ufrgs. ` Exerc´cios Resolvidos de Termodinˆ mica ı a Jason Alfredo Carlson Gallas.LISTA 4 . . IF–UFRGS 25 de Fevereiro de 2004. .if.Prof. . .br/ jgallas   Conte´ udo 22 22. .1 Quest˜ es . . Resnick e Walker. Halliday. . Numeracao conforme a quarta edicao do livro e ¸˜ ¸˜ “Fundamentos de F´sica”. .m. . Jason Gallas. . . .br (lista4. . . .br/ jgallas   . .2 Exerc´cios e Problemas . ¦ £ £ §¥¤¢ H Sob que condicoes uma m´ quina t´ rmica ideal seria ¸˜ a e eficiente? A eficiˆ ncia de uma m´ quina t´ rmica pode ser expressa por e a e  %  £ ¤¢ £ © # $!  C C Para o rendimento ser de .ufrgs.LISTA 4 . do autor H. ı a ¸˜ e e Com o movimento relativo.Prof. ı ¡ ¡ ¡ ¡ Q-7. ocorrem interacoes de natureza el´ trica entre as suas mol´ culas. de acordo com a segunda lei. Por que o processo inverso n˜ o ocorre? ı a Quando duas superf´cies est˜ o em contato. por exemplo.1 Quest˜ es o Q-6. mas essa seria ent˜ o uma m´ quina perfeita a a que. No processo inverso. essas interacoes s˜ o rompidas. o calor liberado. a temperatura da fonte fria teria de ser K.m. conforme a see a a gunda lei da termodinˆ mica. Considerando a eficiˆ ncia expressa em termos das temperaturas a e extremas. porque a press˜ o do sistema a a ´ a n˜ o e definida num processo irrevers´vel. Por que este processo n˜ o ` ¸˜ a e termicamente revers´ ´ ivel? Porque a energia t´ rmica produzida no atrito. IF–UFRGS 25 de Fevereiro de 2004.sobre o sistema ou pelo sistema sobre o seu ambiente ı a ¸˜ mas este trabalho n˜ o pode ser obtido pelo c´ lculo de uma area no diagrama p .br/ jgallas      H     ¨  © P´ gina 2 de 14 a . na sec˜ o a a a do segundo volume do Curso de F´sica B´ sica. teria que ser nulo. n˜ o pode ser reconvertida em energia mecˆ nica. ı a ¦ £ £ ¤¢ http://www. n˜ o existe.V. Podemos calcular o trabalho realizado durante um processo irrevers´ vel em termos de uma area num diagrama p ı ´ V? Algum trabalho e realizado? ´ Nos processos irrevers´veis h´ realizacao de trabalho . a ´ ı Q-14. o que estaria em desacordo com a terceira lei da termodinˆ mica (ver discuss˜ o sobre o zero absoluto. Moyses Nussenzveig). a energia cin´ tica das mol´ culas aumenta. C . ` ˆ 22 ENTROPIA E A II LEI DA TERMODINAMICA 22. a Q-10. a energia t´ rmica dificultaria a interacao entre ı e ¸˜ as mol´ culas e as for´ as envolvidas seriam localizadas e insuficientes para produzir movimento relativo das sue c perf´cies.if. " ! !  ¢ © ¨   ¦ £ £ ¤¢ H para um rendimento de . as 4:49 a. depois de se mover dissipando energia por atrito. Um bloco volta a sua posicao inicial. Jason Gallas. acarretando ¸˜ a e e um aumento da temperatura das superf´cies. Explique qualitativamente como as forcas de atrito entre duas superf´cies aumentam a temperatura destas su¸ ı perf´cies. Assim. e explique por que a segunda lei da termoe dinˆ mica n˜ o e violada. tal que a entropia do sistema + ´ ´ ¸˜ ambiente aumenta. Por que um carro faz menos quilˆ metros por litro de gasolina no inverno do que no ver˜ o? o a As m´ quinas t´ rmicas reais n˜ o operam ciclos exatamente revers´veis e quanto maior for a difernca de temperaa e a ı ¸ tura entre a fonte quente e a fonte fria. Ocorre variacao da entropia em movimentos puramente mecˆ nicos? ¸˜ a Sim. um motor de autom´ vel tem a sua eficiˆ ncia diminu´da. por causa da energia t´ rmica produzida pelo atrito. A segunda lei da termodinˆ mica n˜ o e violada porque a entropia do meio. maior e a quantidade de energia que n˜ o se aproveita.br/ jgallas  9   ) B C © A9 E G! DB @ " 2 & C B & B F! D© A9 E @ e nulo neste caso.if. ´ " 3  3 2 8) 7 ) 1 & 5 61 3 21 © 4& 2 © 1 No processo adiab´ tico. Dˆ exemplos de processos em que a entropia de um sistema diminui. Q-23. IF–UFRGS 25 de Fevereiro de 2004. Este aumento e maior do que a diminuicao. nos dias mais ´ a frios. Em qual dos casos a press˜ o final e maior? A entropia a ´ do g´ s varia durante qualquer um dos processos? a 1 1 ¡ ¡ ¡ ¡ No processo isot´ rmico a press˜ o final e: e a ´ A press˜ o final e maior no processo adiab´ tico. porque a agua precisa ´ ´ perder calor para congelar. o e ı Q-21. ` Q-18. aumenta. Jason Gallas.Prof. uma isotermicamente e a outra adiabaticamente. Mostre que a entropia do sistema Terra-Sol aumenta durante o processo. a ´ a A variacao da entropia no processo isot´ rmico e dada por: ¸˜ e ´ No processo adiab´ tico. a a ´ No processo de congelamento de uma amostra de agua. a press˜ o final e: a a ´ " )  & 2 1 ) © 1 © 2 & 2   ) ' 0(& P´ gina 3 de 14 a .LISTA 4 . e Q-28. Calor e transferido do Sol para a Terra. que recebe a a ´ o calor cedido pela agua. s˜ o comprimidas de volume V para o voa ` a a lume .ufrgs. ´ http://www. a entropia deste sistema diminui. as 4:49 a. Duas amostras de um g´ s.m. a entropia n˜ o varia. uma vez que a a Q-25. inicialmente a mesma temperatura e press˜ o. J´ a Terra absorve o calor a temperatura ` ı a ` bem mais baixa. J.LISTA 4 . J. m . ¸˜ ´ 22. (b) o a calor cedido pelo g´ s.if. a (a) absorvido ab (b) cedido ca (c) efetivo bc (d) absorvido © o¨ ˜  J. O processo bc e uma expans˜ o a o ´ a adiab´ tica. finalmente. a atm. Comecando com o processo adiab´ tico que liga os estados b e c.2 Exerc´cios e Problemas ı P-4. ´ ¸˜ tal que a variacao da entropia do sistema Terra-Sol e positiva.br/ jgallas g n ) j© 0) £ )   v r x¥vY" v  p rp £ © u s wt© p Fq p  T€¢¥¢ m g y © ˜ ˜ © y © © % %  y g y 8§¤¢ © © Ent˜ o. ` O Sol libera calor a alta temperatura e tem a sua entropia diminu´da. tem-se a a K As transferˆ ncias de calor e o trabalho realizado em cada processo s˜ o calculados com a primeira lei: e a ab ab J ca J ca J ca . http://www. (c) o trabalho realizado pelo g´ s e (d) a eficiˆ ncia do ciclo. 22-18. a a e Para chegar aos resultados pedidos. Calcule: (a) o calor adicionado ao g´ s. tem-se: ¸ a " 3V & 4YV 1 © 3 & H I1 H H & £ ¥£ " V W X© I& U U S £ ¢ Q £ ITPRA¥£ " ¢ © & £ " £ P¢ © ¡ H H H I1 As temperaturas nos estados b e c s˜ o: a H H `1 H ! K  K Na compress˜ o isob´ rica. A entropia da Terra aumenta no processo e este aumento e maior do que a diminuicao da do Sol.   bc int     x " px x Y" " )   y i £ ‰F'”“y¤¢ g † i © W b i W ’b i b £ ¢ l© ! b % % E %  " " " ˆx £0)  © U g `S £P¢‚Q(i£ W  £ ¢ b §d4„  ¤qA€¢ –© i V & ) i £ ¢ Q y U b   x xY" " )  )¥P¢ i x i g§y¤¥¢ © ¢ i£ ) b ‰Gg8'ˆ†‡€¢ y W …b i b £ ¢ c© ! 9 “eB b f d E   "px  xY" " ) x £ ¢ i b –© ! W ’b i b  £ ¢ Q y 0¤qA€¢ atm ¢ y g y 8§¤¢ "   " ˆx x a —£ W & V I& V i £ –© W © b & ! © • ! & H • 5 V ”& H " & • © V • D! !  x Y" "  x i ‰ g ' † y F”“¤¢ W i ’b £ ¢ b ˆx C DB " " £ E © V ! © ¤F`Ip¤qA£ © IYV  £ ¢ Q y i U g U S £ ¢ Q V & W i d ’b T4„ ¤q‘¤¢ b  x Y" " 1 i ‰ g ' † y G8ˆ‡€¢ W i …b £ ¢ b " C DB ))P¢ © E " © i U g U S £ ¢ Q ¤F`ITP‚A£ ¢ b T4$¥P‚p£ ¢ b P¢ b © i d „ ƒ £ ¢ Q ¢ i £ & © " px i W ©  P¢ i ) ) b x Y" £ © vwu strDa UIS £¤qA£ ¢ Q U S £ Ip¤¢ E ‰ g ' † y F”“¤¢ " £ © ˜ " W 5 iFghfdeP¢ c© £ b 3 f d B 9 “e™© k d B 9 (ej©  & © • b • 1  h i9 a §V & © & 5 `1 H   © V © ˜ 1 ˜ ¡ Pa J P´ gina 4 de 14 a .e .ufrgs. antes e necess´ rio obter o valor da temperatura e da press˜ o no final de cada ´ a a um dos processos do ciclo. as 4:49 a.Prof. Jason Gallas. Um mol de um g´ ideal monoatˆ mico passa pelo ciclo mostrado na Fig. IF–UFRGS 25 de Fevereiro de 2004.m. Portanto. int e int P´ gina 5 de 14 a © h ‘9 ˜ © h ‘9 ! !  V H C "  int V V C H £ i ! i !b O processo bc e a expans˜ o adiab´ tica. A que taxa devemos realizar trabalho para manter a bomba operando?  W " ¢ W " px 2 ) ¥) 2 e% http://www. a expans˜ o isot´ rmica de um g´ s ideal acontece a a e a K e a compress˜ o isot´ rmica a a e K. Portanto.  g x w" n y "  d x w i ) © E yTw¥y  H C kcal  g x Y" g © C E E o trabalho externo necess´ rio e: a ´ © ˜ kcal 2 ) ¢  2 v )    m   " ˜ © g % d x w ) yT—y ©    ˜   ©  m g x Y" g –©  b  ) §y g " % © © © ˜ ˜ ¡ ¡ ¡ ) J. . a cal de calor s˜ o transferidas pelo g´ s. mostre que o trabalho realizado pelo g´ s durante o processo bc (passo a ) tem o mesmo valor absoluto que o realizado durante o processo da (passo ). O trabalho e V H C .m. bc ˜  i !  !b d eB  © ˜ i !  !b d eB C e a final e ´ da .if. . int ! d B ej© !b d eB ! 9 d B e© © ˜ h ‘9 ˜  © h ‘9 e a final e ´ e © ! y ! m   £ 8g ¢ g x   (c) cal J. Uma bomba t´ rmica e usada para aquecer um edif´cio. (a) Quanto calor.Prof. Para o ciclo de Carnot ilustrado na Fig. e rejeitado para o ´ ambiente? (b) Qual a quantidade de trabalho por ciclo necess´ ria para manter o freezer em funcionamento? a (a) A performance do freezer e dada por: ´    C H E-10. IF–UFRGS 25 de Fevereiro de 2004. a a e £ ¥£  ˜ £ £ £ x £ £ y £ £ % E-15. a temperatura inicial e ´ a a ´ ´ V H C . por ciclo. pela primeira a .  H C P-20. A temperatura do ambiente e ´ C.ufrgs. Ent˜ o. a temperatura inicial e ´ a a ´ lei. 22-9. ` E.LISTA 4 . Num ciclo de Carnot. H . Do lado de fora a temperatura e e ´ ı ´ C e dentro do edif´cio ı deve ser mantida a C. Jason Gallas. a e int (b) Na compress˜ o isot´ rmica tamb´ m a e e ©  e .7 Para fazer gelo.br/ jgallas   ˜  ©  O processo da e a compress˜ o adiab´ tica. (b) o calor rejeitado pelo g´ s durante a compress˜ o isot´ rmica e (c) o trabalho realizado pelo a e a a e g´ s durante a compress˜ o isot´ rmica.  x H    C H £ 0g ¢ cal © g © C J x % % £ £ ¥y x £ © ¥£ % ¥£ £ © ! !  (a) Na expans˜ o isot´ rmica. um freezer extrai kcal de calor de um reserva´ rio a o C em cada ciclo. cal . as 4:49 a. Durante a expans˜ o. mas o calor e liberado: ´ £ n ¥) © % © ˜ © ˜ © h ‘9 ¢ x % © g % x w" g (b) kcal kJ. O coeficiente de performance e ´ e a bomba injeta Mcal de calor no edif´cio por ı hora. O coeficiente de performance do freezer e ´ . Calcule (a) o trabalho realizado pelo g´ s durante a a a a expans˜ o t´ rmica. o trabalho realizado pelo sistema e: ´  8    ©  ˜ H P-25. Jason Gallas. (a) Os dois processos isot´ rmicos do ciclo de Carnot v˜ o produzir dois segmentos de reta. quando um ciclo de Carnot e tracado num diagrama temperatura (Kelvin) versus entropia (T . Para o primeiro est´ gio da m´ quina pode-se escrever.if. produzindo dois segmentos a perpendiculares ao eixo S. de acordo com a equacao (22-11). fornece C : ´ H J J   E. Para o ciclo de Carnot mostrado na Fig. IF–UFRGS 25 de Fevereiro de 2004. as 4:49 a. O segundo est´ gio absorve a a o calor rejeitado pelo primeiro.m. a area sob o segmento de reta ab fornece H e sob o segmento cd. igualmente. e rejeita uma quantidade de calor a temperatura . Numa m´ quina de Carnot de dois est´ gios.Prof.br/ jgallas "  r u  ! U ! u ! !  u  r ©  U   U   r  Essas relacoes permitem vincular ¸˜ e atrav´ s de e  u r U ! ! Para o segundo est´ gio. a ©  u  U  :  "  C % g  C % ) P¢ ) © % P¢ ©  ' † ˆti  ¥0) £ £ v Y" £ ©  ¢ " £b i  £ )b % l©      (c) Calculando C : J   £ £ ¥¥) ¢    ©  ˜  }©    ' † i £ ”~¤¢  ¢ m x W £ n ¥) "    ˜  H H  x v ˜ £ " ˆx "  £ { £ |¥£ u  ¢ m f © '   ©    f ˜ v Y"  ©   v x £b i   " H £ n ¥) © z† i W ¢ yb i £ ¢ ¤qQ W £ £ b ¥y l©  ˜  ©  ¢ b ©    ¡ ¡ O calor injetado. 22-19. (a) Mostre que.S.S). realiza um trabalho . ` Prove que a eficiˆ ncia desta combinacao e e ¸˜ ´ . e os dois processos adiab´ ticos ocorrem sem trocas de calor. e: ´ J/s P´ gina 6 de 14 a . o ´ ¸ resultado e um retˆ ngulo. expresso em J/s. calcule (b) o calor ganho e (c) o trabalho ´ a realizado pelo sistema. uma quantidade a a de calor e absorvida a temperatura .ufrgs.LISTA 4 . ` O coeficiente de performance da bomba e dada por: ´ C A taxa de realizacao de trabalho necess´ ria para operar a bomba vai ser ent˜ o ¸˜ a a y © H W  v ¥x P-24. finalmente. o trabalho ´ ` e feito e uma quantidade ´ e rejeitada a temperatura ´ ` pelo primeiro est´ gio.S). (b) No diagrama T . perpendiculares ao e a eixo T no diagrama (T . a a ¸˜ u ! ! ©   ru    U ! r U  r u ! u ˜ ‚ € „ ƒ …€ S 0 ‚ € u  r ¡ ˜ ! http://www. V da fig.br/ jgallas  " C g £ © ) x " wpx £ P¢  ¢ © H %  " H  y % ¢ £ © g ) % ¢Tg¥§¤¢ g y " ) g ) ¥) " x ! !  ¢  © m  H ab bc J  £ x Y" ) v ¥x ¢ ¢ © ¢Tg¥T€¢ g y  i 0g v " wˆv xY" vx ) ¢ ¢ © £ x " wpx y %   ) x " wˆx b ) £ n P¢ £ n P¢ b i m 8g £ © c "  bc P c b K J  " x  wˆx x x "   g i x x " wˆx v " Ypv ! v " wpv y y b i % g ) % !b C DB © 2 & 2 ) C DB 1 © 2 & 2 d B 4j©  £ W y  E & ‰ g ' † y F”“¤¢ & E ‰ g ' † y G8”“€¢ ! © © © ©  ! ! ! xY" " ) x ‰ g W ’b i b i E F†£ ¢ –© b x w" W …b i ¨ % ) ‰ g b i E F†£   ©   £ (b) No processo ab. s˜ o: a e int V . as 4:49 a.if. Jason Gallas. o rendimento da m´ quina e funcao das temperaturas extremas entre as quais opera o ciclo. (b) o calor adicionado por ciclo durante o trecho de expans˜ o abc. Pa. 22-21. e (c) a eficiˆ ncia da a e m´ quina.LISTA 4 . (d) Qual a eficiˆ ncia de Carnot de uma m´ quina operando entre as temperaturas mais alta e mais baixa a e a que ocorrem neste ciclo? Compare esta eficiˆ ncia com aquela calculada em (c).Prof. e m . As temperaturas nos estados inicial e final deste processo K   "   da J J U % ) ) ¥£ " £ © 2 & % " ) g ) 0¥) " ƒ £ ¢ ¥PqQ ˆ£ ¢ ¢ % y % y )¥g)) © % © 2 & 2 © 2 & 2 " 1 © 2 r ) U ! 1 d B ! 9 ec© " )¥g))  y y © % %  2 & 2 & © i 2 ¥) b ! que e equivalente a ´  ¢ © o¨ "    U  1 © i 2 & r O rendimento da m´ quina e ent˜ o expresso por a ´ a  ¢ © ¨   r  U ! ! © & 2 )  U   2 ¥) 2 & b © & 2 1 1 ) ) © © h ‘9 ˜ 1 © ˜ © ˜ " ¢ –© b © ˜   ¡ P´ gina 7 de 14 a .ufrgs. Calculando os trabalhos ı ´ `´ correspondentes a expans˜ o e a compress˜ o. ` ou seja. vem ` a ` a 1 1 bc J  % ciclo J a b K £ 0g £ W y © i g )  g ab c b bc (c) A eficiˆ ncia da m´ quina pode ser calculada por e a  ©  ˜   © ‡¨ (d) A eficiˆ ncia da m´ quina ideal de Carnot operando entre as mesmas temperaturas extremas seria: e a x x " wˆx n Carnot http://www. a ´ ¸˜ r P-30. . IF–UFRGS 25 de Fevereiro de 2004. 22-21. e (a) O trabalho l´quido produzido por ciclo e igual a area do diagrama p . Suponha que .m. Um mol de um g´ s ideal monoatˆ mico e usado para realizar trabalho em uma m´ quina que opera seguindo o ciclo a o ´ a mostrado na Fig. Calcule (a) o trabalho realizado por ciclo. a H http://www. C J. m´ quina (c). m´ quina (b).ufrgs. J. a segunda lei n˜ o est´ violada. J. est´ violada a primeira lei. e a J "  H W ©  ˜   ‡© ¨ ¨ ‰ int £ Como . Um inventor afirma ter criado quatro m´ quinas. a a H J J " H ) £ © © H C % " H  % ) ) ¢  © y  ) © £ % % h i9  ¥0)        g £ £ © % ¢ © "  ˆ int J Carnot . H a J. tem-se a a % £ ¥) " " © £ £ £ ¥£ £ £ £ £ £  x " © ©  © £ £ © ¤¢ ˜ © ©  © £ ¥£ % £ £ ¥y £¥0) £ £ y £¥¤¢ £ £ ¤¢  C P-36. a int m´ q. a Carnot . mas viola a segunda. C J. As caracter´sticas de cada ı m´ quina. H a J. a e  £ £ ¥P¢  £ £ © ¥y  8    £ £ x  © ©  h ‘9 © Š Como (b) m´ q. Usando a primeira e a segunda leis da termodinˆ mica. J.if. tamb´ m est´ violada a segunda lei. J. as 4:49 a. a Carnot int m´ q. calcula-se o rendimento da m´ quina para a a int ser comparado ao rendimento da m´ quina ideal de Carnot operando entre as mesmas temperaturas: a m´ q. verifique para cada m´ quina se a a C alguma destas leis est´ violada. P´ gina 8 de 14 a £ £ ¥¤¢ ©   £ £ ¥y © £ £ 0) £¥£y x  y £ £  ©  © £ ¥£ ˜ ! !   ‡© v  © !  ¨ © ¦ §£  ¨ " £ 0) O rendimento da m´ quina e de a ´ do da m´ quina ideal. por ciclo. a  Carnot y % % g ¢ " " £ £ © ¨ ¨ % £ £ ¥y £ P¢ © © ˜ £ ˜ £ £ ¥¥) ¨ ‰ © £ n   ¨ h ‘9 h i9 ¨ © ©  ¡  . esta m´ quina tamb´ m viola a primeira lei.LISTA 4 . J. m´ quina (d). a ¨ ¨ £ P¢ v w" H  g " v £ ¥£ © ¥y £ £  ©   ©  ˜   Œ©   Œ© © h i9  8     H C £ £ ¥y  ¥y £ £ £ £ £ © ¥y v  ¥£  £ £ £ © ¥0) © ¨ ¨ ©    ‹ Sendo (c) m´ q.m.br/ jgallas ‹ Esta m´ quina est´ de acordo com a primeira lei. Jason Gallas.Prof. C J. a h ‘9 £ £ % © £ y © x ˜ £ ¥£ % ˜ g ¢  £ £ y £ £ ¥0) © (a) Primeira lei da termodinˆ mica: a © H C int J  Como . s˜ o as seguintes: m´ quina (a). Para verificar a segunda lei. ` Comparado o rendimento da m´ quina com o da m´ quina ideal. H a a a J. a int m´ q. a Carnot . H a J. todas operando entre a Ke K. IF–UFRGS 25 de Fevereiro de 2004. uma vez que a a (d) J H C £ ¤¢ © £ n  ¤¢ £ £  ¤¢ £ ©  © h ‘9  ™0     ˜ ©  m´ q. Nessa transferˆ ncia de calor. ¸˜ H H H C C C C P-44. por exemplo. Jason Gallas.ufrgs. O gelo vai absorver calor para derreter e ter sua a C. Um cubo de gelo de ga C e colocado num lago que est´ a ´ a C. as 4:49 a. Calcule a variacao de entropia em cada caso.LISTA 4 .if. C.m. J/K v x £ £ x £ £ 0) £ £ ¥P¢ © v ¥x ! x © © © ! ! ! £ £ y ¡ ¡ . ` Esta m´ quina est´ de acordo com a primeira e a segunda leis. a variacao de entropia do lago ser´ negativa e a e ¸˜ a temperatura final elevada at´ e do gelo. Calcule a variacao de entropia do ¸˜ sistema quando o cubo de gelo atingir o equil´brio t´ rmico com o lago. K para outro a (a) K.br/ jgallas  " px  lago cal/K P´ gina 9 de 14 a  £ £ £ ¥¤¢  š © hi y  % " ¢ i % b  £ x g ) © B W ¥W ) E x "  • d x P' ye£ E n F cal/K cal/K cal 2 £ % " £ n ¢ " £ © x¥v ) x i g ) B E 2 e%  ¢ )  " i • d x P' ye£ ¢ b T˜P¢ –© i • £ b E  x g ) © pP' ye£ p˜¤¢ i • d x …b i • £ b © W g £ " g Ty  ¢ b " • d x P' €e£ % E " C £ m P' y—£ • d x W E E " v w" ) £ m £  © 0g ¥x v % E v c ) 0g £ " W W ) d x £ £ £  ye¥P¢ Ž© £ b T†¤¢ –© i • £ b  © c © £ ) m i ! ©   £ P¢ b i ! ! – —g © “ ”€ ’ © ! @ A9 “ ! ! @ A9 ‘ €  @ A9 ’ € ‘ 0€ • d x P' ye£ % E   x eg 2   @ A9 £ ¤¢ x ˆg 2 e% " ¢  £ b €T˜P¢ l© ™ i • £ b © © @ A9 £ P¢ @ A9  £ (d) K J/K J/K  ) ¥) " " c £ © g W £ ¥£ v C g W £ £ x m © C ) % v w" ! ©  £  © @ A9 @ A9 £ £ (c) K % v w" x w" C £ © £ £ £ ¥0) v C £ ¢ ¢ m © C ) % v w" ! ©  £  © @ A9 @ ‘9 £ £ 0) (b) K J/K J/K J/K J/K  " v Y" m m H c % n  ¢ © v w" C ) ) £  © C J/K J/K  % v Y" £  © £ £ £ ¥P¢ v £ ) £ £ ¥y v  ) Ž© © ! @ A9 ! ©  © @ A9 @ ‘9 @ A9 © @ A9 £ £ ¥¤¢ (a) Se K. O calor espec´fico do gelo e ı e ı ´ cal/g. e transferida por conducao de um reservat´ rio a ´ ¸˜ o K.Prof. ( Sugest˜ o: O cubo de gelo afetar´ a temperatura do lago?) a a ´ E claro que o cubo de gelo n˜ o afeta a temperatura do lago. a a E-41. positiva. IF–UFRGS 25 de Fevereiro de 2004. Comecando a calcular as variacoes de entropia do gelo. £ © © © % v£ © £ £ ) v w" x w" £ " Suponha que a mesma quantidade de calor. (b) K. (c) K e (d) C J. tem-se: ¸ ¸˜ gelo cal/K  gelo agua ´ agua ´ O calor cedido pelo lago para levar o gelo ao seu estado final de equil´brio e: ı ´ lago A variacao de entropia do lago vai ser: ¸˜ http://www. LISTA 4 .m. IF–UFRGS 25 de Fevereiro de 2004.iaf af & 1 n (c) h ‘9  & ! 1 y ) n  af V f a a i ! © © 1 ) x b ! AC & C 1 y & C P¢ i © © © 1 )  y x b AC ! © ! 9 ¢ ŽC & € 1 d ¡©  © © © d ˆ© @ A9   !  © @ A9 ©   @ A9 h ‘9 £ Processo isoc´ rico: o e int .  @ n ¢  " £ @ © v v " wˆx m x " m sistema © y % £ n ) ¨ f P¨ ~žd B ›  g " " px ˜  © © @ A9 n ¢ £ © m Gg ¤œ€{ d ¨ f { › © © h ‘9 h ‘9 @ ‘9 © & ¥) h ˜  h 1 ) ¡ cal/K P´ gina 10 de 14 a .  x ˜ m (I) ia af ) B E C y C i m ¢ b l© @ “ A9€ a  © ) BE x ) x af V ) B E C © y BE f  C © ! ! © ia ) B E ! C¡© ) BE & (d) ! ©  @ A9 )  int.ufrgs. em funcao de p e de V: (a) o calor absorvido pelo g´ s ¸˜ a em cada parte do processo. Um mol de um g´ s ideal monoatˆ mico evolui de um estado inicial a press˜ o p e volume V at´ um estado final a a o ` a e ` press˜ o a e volume .i e (d) a variacao de entropia do g´ s. ent˜ o. Jason Gallas. (c) a variacao da energia a ¸˜ interna do g´ s.br/ jgallas  " b f " ! y  bf P f b i ! © b ! AC ! % Expans˜ o isob´ rica: a a ) © 1 ! 9 d j© f 1  " ) & ©   ) B & © E ˜ © " 1& C & B G! ¡© E & & ¥) ! ) © i u ! ) b ˜  ©  int  £ (II) Compress˜ o isot´ rmica: a e (a) e (b) e .f a ¸˜ a f int. Mostre a trajet´ ria de cada e a a e o processo num diagrama p-V. Para cada processo calcule. sua press˜ o aumenta a volume constante at´ o estado final. ¸˜ ´ a v v " ¥Ypx " b J´ a variacao de entropia do a ¸˜ e: ´ m §y g cal/K  P-48. as 4:49 a. (II) Ele e comprimido isotermicamente a a e ´ at´ duplicar a press˜ o e. ent˜ o. seu volume aumenta isobaricamente at´ o estado final.Prof. i. ) B E & 1 ©   ˆ& C Ÿ I& B ž! j© E ˜ ©  £ (I) Expans˜ o isot´ rmica: a e (a) e (b) e . ent˜ o. ` A variacao de entropia do sistema e. atrav´ s de dois diferentes processos.  int ia ia a f af ia ib ib b ib ib f b http://www. (b) o trabalho realizado pelo g´ s em cada parte do processo. int.if. (I) Ele expande isotermicamente at´ dobrar o voe e lume e. (II) . s˜ o: o a a b a a c a Para a variacao da energia interna vem. inicial e final. confirma-se que a P-53. . (a) No caminho abc s´ h´ realizacao de trabalho no processo isob´ rico ab. Jason Gallas.m. Um mol de um g´ s monoatˆ mico passa pelo ciclo mostrado na Fig.ufrgs. ¸˜  int.bf bf bf & 1 n © & 1 % ¢ 5 (c) © ˜ © h ‘9  x "  bf & 1  bf & i © £& % ) ¢ © £ & C ¢ i & ) b ) © & 9 ) 1 1 y AC b © % ! 9 d j© d B e© @ ‘9 ©  @ A9 © ˜ d B e© d B e©   @ ‘9 h i9 h ‘9 h ‘9 2 ! 2 & 2 ¡ 1 e igual a area do gr´ fico sob o ´ `´ a P´ gina 11 de 14 a . ` bf P Sendo a entropia uma vari´ vel de estado. tem-se ¸˜ bc V V (c) A variacao da energia interna no ciclo deve ser nula. 22-24. as temperaturas.ab V http://www. Pode-se confirmar isso calculando-se as variacoes asso¸˜ ¸˜ ciadas aos processos ab e ca e somando-as ao j´ conhecido valor da variacao no processo bc: a ¸˜ int.br/ jgallas  )  int.if. IF–UFRGS 1 % 1 (I) a 25 de Fevereiro de 2004. as 4:49 a. o a ¸˜ a segmento de reta ab: ab ab (b) No processo isoc´ rico bc.LISTA 4 .bc V a a E para a variacao de entropia.Prof. (a) Quanto trabalho e realizado quando a o ´ o g´ s se expande de a at´ c pelo caminho abc? (b) Quais as variacoes de energia interna e entropia de b at´ c? (c) a e ¸˜ e Quais as variacoes de energia interna e entropia num ciclo completo? Expresse todas as respostas em termos de ¸˜ .ca V 2 & 2  2 & 2 1 ¢ T) 1 ) n C © 2 & 2 C © 2 & 2 1 1 i ¢ i W  " )  y i x i b C b £ ¢ –© b " )  ¢ i x i b C b £ ¢ –© b ) x bc ) B E C “ b " ! B E c c b   ! C ˜ v © ! ! i §y   d B 4j© 2 & 2 2 ! Wj© i 2 ) b i 1 y b !  12 & © 2 §y ! © & " ) x i W …b i C b £ ¢ –© b ! y 1 " x C 2 & 2 ! © ! 1 & € © © 9 € 1  ! @ A9 © d B 4j© © ! 9 ! ˜ ! 9 m (II) ib bf ) B E C y @ A9 © © ) BE C i % @A9 m ¢  b c© “ b  ) B E C % f © y BE  C % )  ib ) B E C © © ! ! @ A9 (d) @ ‘9  ) a z) v  ) @ € A9 €   !  int.Re . portanto.ca £ ) „ © 2 & 2 …i T) ¢ n b l© h ‘9 h ‘9 @ A9 d B 4j© d B e© d B e© h ‘9   © @ A9 @ A9 @ A9 @ A9 © h ‘9 2 & @ A9 & 2 §y P´ gina 12 de 14 a . que leve o sistema do estado intermedi´ rio d ao estado a: a x  da V E.m. no qual o volume seja reduzido de a : " c d cd P Agora. (a) O g´ s e monoatˆ mico. Jason Gallas. as 4:49 a. IF–UFRGS 25 de Fevereiro de 2004. finalmente. monoatˆ mico. faz-se ¸˜ A http://www. e preciso calcular o calor absorvido e o calor liberado.if. usam-se dois outros processos que levem o a ´ a sistema do estado c ao estado a. tamb´ m se precisa calcular a variacao correspondente aos processos ¸˜ e ¸˜ ab e ca e somar os resultados ao valor j´ obtido para o processo bc. ` Para calcular a variacao de entropia no ciclo.br/ jgallas   )  x " x m ! 9 " C 2 & 2 d B e© 1 © m bc cd da £ © ) BE ) x C i % b % l© @ A9 !  @ A9 “ d  ) B E C ) © ¢ ) " ) x £ ¢ i b c© BE i C b a ! ! “ c  ) B C  E % d " y ) i © ¢ B E i C b £ ¢ c© b %  C & 2 §y C d 2 & 2 1 ) © & 2 & © c d 2 1 ) ! 2 & 2 & ! 1 ! “ a  ) B E C % © y BE i C b   v m ) % ) i b £ " ¢ –© b m ! ! ! W € © € € € € €  !  m  int. Considere-se primeiro um processo a press˜ o constante.ciclo int.ab int. No processo AB tem-se: e ´ AB P Para obter a variacao da temperatura neste processo. a ´ o (b) Para obter a eficiˆ ncia do ciclo.bc int. 22-26. Comecando pelo processo isob´ rico ab: a ¸ a ab P Como o processo ca n˜ o e nem a press˜ o. vem a ¦ ¦ y ¦ §m © © % % " 3Y8) © „ 3 wƒ  ) ¥ " v x 3e&3 ¢ 32 & Q 3 ) Q 2 © x eF¤8ž£) ) " 3 i 2 & v ¢ b 2 1 © 3 i 2 ¥) 2 & b 1 ¡ e O g´ s e. diatˆ mico ou poliatˆ mico? (b) Qual a eficiˆ ncia da m´ quina? a ı a ´ o o o e a (a) Considerando o processo adiab´ tico BC e tomando os valores inicial e final para a press˜ o e o volume do a a gr´ fico.ufrgs.Prof. considere-se um processo a volume constante. Um mol de um g´ s ideal e usado em uma m´ quina que opera seguindo o ciclo da Fig. BC e DA s˜ o procesa ´ a a sos adiab´ ticos revers´veis. nem a volume constante. a variacao de entropia no ciclo e: ¸˜ ´ m m ciclo ab 22. ` a .3 Problemas Adicionais P-56.LISTA 4 . m.) a a ı ¸˜ (a) Simplesmente substituindo os dados fornecidos na relacao dada para a press˜ o em termos do volume.Prof.LISTA 4 . vem ¸˜ a N/m u £ ¢ Q U P‚‘y W " ¢ 1 © Y© s 1 w© tr © s " " "  i U ¤qA£ £ ¢ „ i U e£ ) g © £ T' ¨ £ ¢ Q b u S % –© © &b 1 U £ ¥£ " ¢ U Ÿ &   & ¡ (b) Para a temperatura final tem-se: K  http://www. Um mol de um g´ s ideal monoatˆ mico. inicialmente a press˜ o de a o ` a kN/m e temperatura de K expande a partir de um volume inicial m at´ e m .if. a press˜ o p e o volume do g´ s a a a est˜ o relacionados por a £ ¥£ v " £ £ • ¨ ’„ " f £ ¢ Q £ S ’  ¨ i U P‚‘£ f U £ ¥£ " ) © " Ÿ & b % c© 1 U " £ £ ¢ ©   & u % onde p est´ em kN/m . IF–UFRGS " ) C ‰ g © i 2 & 2 b i C b i E F†£ ¢ –© b %  C ) ©1 © ! i 2 ) 2 ! ! b 1 B A CD P B B C C c C D C C 25 de Fevereiro de 2004. Durante a expans˜ o.ufrgs. vem a C A eficiˆ ncia do ciclo e dada por: e ´ P-57.br/ jgallas  ) y y ©  £ £  % " v i U †£ g £ " i U g £ €F†£ £ " Ÿ ! Ÿ & Ÿ ©  AB   8   AB CD  y  CD 2 & 2 © D % 1 C y 2 & 2 " ) C )  ‰ g © i 2 & 2 b i C b i E Ge£ ¢ c© b % v & 2 & 1¢ C ) © & ! © ! 2 & W 2 & 2 " D 1 y 8' ! " " %  ) 0' " ¢ b T4„ U P‚‘£ b i d £ ¢ Q £ " % ) b T4$¥P‚Ay W ¢ b i d „ U £ ¢ Q   ©   &  ! © C D " r 3 S œi 2 & " r " v  ¢ b ! 9 No processo CD tem-se:  2 & 2 ) 1 % C 2 & 2 ! & d B e™© 1 © ¢ ) r 1 r © %  0' ) C 3 & S hi 2 ¥) b 2 & 2 )  & ! % ! © o¨  © d © ¨   ©  Ÿ ! u  P´ gina 13 de 14 a . ` AB Calculando as variacoes de temperatura necess´ rias. Jason Gallas. e a est˜ o em m e a m . ¸˜ a S 3 & ! © S 3 & ! 1 No processo isob´ rico CD. Quais s˜ o: (a) a press˜ o final e (b) a temperatura final a a do g´ s? (c) Qual o trabalho realizado pelo g´ s durante a expans˜ o? (d) Qual a variacao de entropia do g´ s durante a a a ¸˜ a a expans˜ o? (Sugest˜ o: use dois processos revers´veis simples para achar a variacao de entropia. as 4:49 a. Jason Gallas. no qual e .m. no qual a press˜ o e a temperatura chegam aos valores finais: o a e £ V V J/K  A variacao de entropia e ent˜ o ¸˜ ´ a © @ A9 J/K  http://www. vem: a & 1  r ‰ g ' † y F”“¤¢ d B zj©  g S’  r f i £ ¨ £ “ f ¨ v % f S ¨ S ¨ g  " ¨ © "  ª ˜• ’ %   ! f ª © ª • !©  ¨ ’’ f —   x w" ¨ ’’ f ‘ 0€ ¨ ˜ V kJ ˜ © © h ‘9  v ¢ (d) Para calcular a variacao de entropia. as 4:49 a.LISTA 4 .Prof.br/ jgallas x ¢ W " px « r  % n S ¨ " « • " v " £ £ )   x i G†£ ¢ i ‰ g b c© Ÿ ! B E © §¥y B E C b E ) y ! “ ”€ ’ “ ­P€ ’ ! " px ¨ …’ ¢ ! m S u ¨ ’ f « f P• “ f " © ¢ W ‘ 0€ & S ¨ © ! 9 ¨ «  ¢ f m  • " px ¨ ’„  ª • m & S (d d B z™© v " ¢ b i U P‚‘¥£ £ ¢ Q £ © ~¬ A9 ¬ @ i U ¤qi£ £ ¢ Q £ f   1 ¬ @ $A9   ¨ d 1  © © m 1 ˜ © ˜ © ~$A9 ¬ ¬ @ " " @ ¬ ‘9 ˜ " © b % c© b % c©   ˜ d B z© ~$A9 ¬ ¬ @ ˜ ˜ P´ gina 14 de 14 a . Comecando por um processo isot´ rmico a ¸ e K. consideram-se dois processos sucessivos pelos quais o sistema passa do ¸˜ estado inicial ao final. IF–UFRGS 25 de Fevereiro de 2004. ` Para calcular o trabalho realizado pelo g´ s. tem-se int J   £ W % y " £ ¥£ ¢ " © ¥£ ) B E i £  v £ £ b i £ ¥£ v © ! E ‰ g W ’b i E F†£ ¢ –© b   & C B Ÿ ”& B F! D© E  J/K  Considere-se agora um processo isoc´ rico.ufrgs.if.