Exercicios Resolvidos de Teoria Dos Automatos e Linguagens Formais

1Universidade Estadual do Ceará Centro de Ciências e Tecnologia Curso de Ciência da Computação Disciplina: Teoria dos Autômatos e Linguagens Formais Professor: Edson Pessoa Semestre Acadêmico 2009.2 Resolução do 2a NTI Aluno: Neuton de Oliveira Braga E-mail: [email protected] Jr Fortaleza - CE 17 de janeiro de 2010 2 . Resposta: S ⇒ ASB ⇒ aAbSB ⇒ aaAbbSB ⇒ aabbSB ⇒ aabbB ⇒ aabbba por (I) por (II) por (II) por (II) por (I) por (III) b) Dê a derivação mais à direita de abaabbbabbaa. Resposta: S ⇒ ASB ⇒ ASbBa ⇒ ASbbaa ⇒ AASBbbaa ⇒ AASbabbaa ⇒ AAbabbaa ⇒ AaAbbabbaa ⇒ AaaAbbbabbaa ⇒ Aaabbbabbaa ⇒ aAbaabbbabbaa ⇒ abaabbbabbaa por (I) por (III) por (III) por (I) por (III) por (I) por (II) por (II) por (II) por (II) por (II) c) Construa as árvores de derivação dos itens a e b. 3 .Questões e Respostas Questão 1 Seja G a gramática: S → ASB | λ A → aAb | λ B → bBa | ba (I) (II) (III) a) Dê a derivação mais à esquerda de aabbba. Resposta: G : S → aS | aC B → aBb | λ C → B | aCc | λ . Resposta: L(G) = {(ai bi )m (bj aj )n | m. use a notação de conjunto para denir a linguagem gerada pela mesma. Questão 2 Dada gramática G seguinte. j > 0} Por exemplo: (a2 b2 )2 (ab)3 ba ∈ L(G).4 Resposta: Árvore de derivação S ASB aAbba aaAbbba aabbba S ASB aAbASBbBa abaAbbabbaa abaaAbbbabbaa abaabbbabbaa Ordem dos Filhos d) Use a notação de conjunto para denir L(G). c} cuja linguagem é denida como L(G) = {am bn ci | m > n + i}. b. Questão 3 Construa uma gramática G sobre Σ = {a. S → aSbb | A A → cA | c Resposta: L(G) = {am cn b2m | m ≥ 0 e n > 0} Por exemplo: (a20 )c(b)40 ∈ L(G). i ≥ 0 e n. Seja o conjunto de palavras X = {am b2n+1 d2n+1 a2m | m. d}. São elas: 1. depois. Podemos caracterizar as palavras u ∈ X por meio de algumas relações. se w ∈ X então w tem a forma am b2n+1 d2n+1 a2m . n ≥ 0. com n ≥ 0. . o número de b's e d's é ímpar. por conseguinte. nu (b) = nu (d) = 2n + 1. para m. L(G) ⊆ X : Essa prova é feita ao se mostrar que toda palavra w ∈ X é derivável de G. n > 0} sobre o alfabeto Σ = {a. Para provar que L(G) = X . e pode ser obtida usando-se as seguintes derivações: S ⇒ (a)m S(aa)m ⇒ (a)m B(aa)m ⇒ (a)m (bb)n B(dd)n (aa)m ⇒ (a)m (bb)n C(dd)n (aa)m ⇒ (a)m (bb)n bd(dd)n (aa)m ⇒ am b2n+1 d2n+1 a2m P2) L(G) ⊆ X : P1) X ⊆ L(G): Resposta: por (I) aplicada 'm' vezes. sendo (m ≥ 0) por (I) por (II) aplicada 'n' vezes. Quanto ao número de símbolos da palavra u: nu (a) = 3m. Quanto à quantidade mínima de cada símbolo na palavra u. Duas situações: Quando a ocorre: nu (a) ≥ 3 e nu (b) = nu (d) ≥ 1. sendo (n ≥ 0) por (II) por (III) Essa prova é feita ao se mostrar que toda palavra w derivável de G pertence a X . Seja nu (c) o número de vezes que o símbolo c aparece numa palavra u. caracterizaremos uma palavra u ∈ X por meio de algumas relações. inicialmente provaremos que X ⊆ L(G) e. e. b. A idéia é se encontrar um padrão de derivação que se aplique a qualquer palavra w ∈ X . 2. Assim. n ≥ 0} b) Prove que L(G) é o conjunto do item a). Para isso. Quando a não ocorre: nu (b) = nu (d) ≥ 1. ou seja. com m ≥ 0. mostraremos que toda sentença obtida de G também satisfaz essas relações.5 Questão 4 Seja G a gramática: S → aSaa | B B → bbBdd | C C → bd (I) (II) (III) a) Qual a linguagem gerada por G? Resposta: L(G) = {am b2n+1 d2n+1 a2m | m. Assim. considere nu (c) o número de vezes que o símbolo c aparece explicitamente na forma sentencial u antes da derivação. B) + 2 nu (b) + nu (b. nu (c. 2 e 3 se mantém para as sentenças obtidas por derivações a partir de S. nu (c) o número de vezes que o símbolo c aparece na forma sentencial u depois de aplicada a regra de derivação. precedem uma quantidade de a's correspondente ao dobro da quantidade do mesmo símbolo no início da palavra. B) nu (a) + nu (a. também podemos caracterizar. S) S→B B → bbBdd B→C C → bd nu (a) + nu (a. Para tanto. B) + 2 nu (d) + nu (d. que precedem d's e que. sendo na análise de uma forma sentencial especíca sempre será considerada a sentença mais próxima a ela obtida pela derivação das variáveis da forma sentencial. é colocado dois a's no nal Mesma precedência da variável B Os b's precedem o B . para obter apenas símbolos terminais. temos: Variável Sentença mais próxima C B S C B S ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ bd C bd B C bd nu (a) 0 0 0 nu (b) 1 1 1 nu (d) 1 1 1 Desse modo. e. uma forma sentencial qualquer. C) nu (a) nu (b) + nu (b. S) nu (d) nu (d) + nu (d. a indução é feita da seguinte forma: Base: Para uma única derivação. Essa prova se dará por indução sobre o número de derivações partindo de S. Quanto à precedência. E. provaremos que as relações 1. B) nu (a) + nu (a. por sua vez. as relações 1. um número mínimo de vezes. C) o número de vezes que o símbolo c aparece por meio da variável C na forma sentencial u antes da derivação. B) nu (d) + nu (d. 2 e 3 são válidas para a base. C) nu (b) + 1 nu (d) + nu (d. B) nu (b) + nu (b. temos dois casos: S → aSaa S→B Regra nu (a) 0+0+3=3 0+0=0 nu (b) 0+1=1 0+1=1 nu (d) 0+1=1 0+1=1 Sentença mais próxima abdaa bd Assim: Relações 1 2 3 S → aSaa u = abdaa Regras nu (a) = 3 = 3 ∗ 1 nu (b) = nu (d) = 1 = 2 ∗ 0 + 1 nu (a) = 3 ≥ 3 nu (b) = nu (d) = 1 ≥ 1 a precede b que precede d que precede dois a's S→B u = bd nu (a) = 0 = 3 ∗ 0 nu (b) = nu (d) = 1 = 2 ∗ 0 + 1 nu (b) = nu (d) = 1 ≥ 1 b precede d Logo. que precede os d's Mesma precedência da variável C b precede d Precedência Diante disso. as ocorrências de a's precedem b's.6 3. após aplicar cada uma das regras de derivação (tabela abaixo). S → aSaa Regra nu (a) nu (a) + nu (a. C) nu (d) + 1 A cada um a colocado no início S . . S) + 3 nu (b) nu (b) + nu (b. quanto à quantidade de cada símbolo e quanto à precedência dos símbolos. C) = nu (b) + iu + ju + ku = 2y + 1. B) + ku . Questão 5 Seja M o autômato nito determinístico abaixo: M > < δ q0 q1 q2 a q0 q2 q2 b q1 q1 q0 a) Dê o diagrama do estado de M. n e (n + 1) passos: S ⇒ w S⇒u⇒w n n+1 Devemos provar que as relações 1. respectivamente.nu (a. por P1) e P2). B) + ku . com x ≥ 0 nu (b) = nu (b) + iu . com y ≥ 0 nu (d) = nu (d) + iu .nu (a. especialmente nw (a). Resposta .nu (d. C) = nu (a) = 3x. aparecem em u.nu (d. nw (b) e nw (d) encontrados satisfazem a relação 1.7 Suponha que as relações 1. percebe-se que todos os valores nw (a). seja iu .nu (b. Partindo da hipótese de indução. B) + ku . respectivamente. 2 e 3 se aplicam a w.nu (b. nu (b) e nu (d) são dados por: Hipótese: nu (a) = nu (a) + iu . As relações 2 e 3 podem ser também facilmente vericadas. Assim. Assim. então nu (a). podemos encontrar a seguinte tabela com valores importantes relacionados com a palavra w. S) + ju . nw (b) e nw (d): Regra S → aSaa S→B B → bbBdd B→C C → bd nw (a) nu (a) + 3 nu (a) nu (a) nu (a) nu (a) nw (b) nu (b) nu (b) nu (b) + 2 nu (b) nu (b) + 1 nw (d) nu (d) nu (d) nu (d) + 2 nu (d) nu (d) + 1 iw iu iu − 1 iu iu iu jw ju ju + 1 ju ju − 1 ju kw ku ku ku ku + 1 ku − 1 nw (a) nu (a) + 3 nu (a) nu (a) nu (a) nu (a) nw (b) nu (b) nu (b) nu (b) + 2 nu (b) nu (b) nw (d) nu (d) nu (d) nu (d) + 2 nu (d) nu (d) Com isso.nu (d. L(G) ⊆ X . S) + ju . Logo. 2 e 3 são válidas na análise para todas as formas sentenciais u obtidas da derivação em n > 0 passos.nu (a. C) = nu (d) + iu + ju + ku = 2y + 1. S) + ju . ju e ku o número de vezes que as variáveis S . B e C . temos que L(G) = X .nu (b. com y ≥ 0 Indução: Seja u e w formas sentenciais derivadas após. ba] [q1 . baa] [q1 . ababa] [q2 . abaa] [q0 .8 b) Exiba as computações de M para as palavras abaa. d) Dê a expressão regular de L(M) Resposta ER = a∗ bb∗ aa∗ (ba∗ bb∗ aa∗ )∗ Questão 6 Seja M um DAF cujo diagrama de estados é dado por: . bb] [q0 . bbbabb] [q0 . λ] [q0 . Resposta [q0 . baba] [q0 . abb] [q2 . aba] [q0 . bbaa] [q1 . bababa e bbbaa. a] [q2 . bbabb] [q1 . bababa e bbbaa. λ] [q0 . aa] [q2 . a] [q2 . baa] [q1 . aa] [q2 . bbbabb. babb] [q1 . bababa] [q1 . λ] c) Quais as palavras do item b que são aceitas por M? Resposta Somente as palavras abaa. bbbaa] [q1 . b] [q1 . a] [q2 . λ] [q1 . baab.9 a) Construa a tabela de transição para M. λ] [q0 . λ] [q1 . aab] [q1 . abab] [q0 . dentre as palavras baba. Resposta: M > < δ q0 q1 qa a q1 q1 q0 b q0 qa q1 b) Quais. a] [q0 . Resposta: ER = b∗ aa∗ b((ba∗ b)∗ + (ab∗ aa∗ b)∗ )∗ Questão 7 Dê um diagrama de estados para o DAF que aceita as seguintes linguagens. abab e abaaab não são aceitas por M? Resposta: [q0 . ba] [qa . ab] [q1 . a) (ab)∗ ba Resposta: b) (ab∗ a)∗ . aab] [q1 . aba] [q1 . ab] [q0 . ab] [q1 . c) Dê a ER para L(M). b] [qa . baba] [q0 . baab] [q0 . λ] Apenas as palavras baba e abab não são aceitas por M. aaab] [q0 . bab] [qa . b] [q0 . λ] [q1 . b] [qa . abaaab] [q0 . baaab] [qa . 10 Resposta: . Documents Similar To Exercicios Resolvidos de Teoria Dos Automatos e Linguagens FormaisSkip carouselcarousel previouscarousel nextTeoria da computação autômatos 2Autômatos finitos e expressões regularesImplementação de Linguagens de Programação - Compiladores. 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