Lista de Exercícios: soluções - Unidade 22.1 Uma lâmina de aço de espessura (ou altura) t = 3 mm, comprimento L = 300 mm, largura b = 20 mm, módulo de elasticidade E = 210 x 10 9 Pa tem a sua face plana paralela ao plano horizontal e é usada como uma mola simplesmente apoiada nas duas extremidades para suportar uma massa na metade de seu comprimento. (a) Determinar a constante de mola para a força e deslocamento na direção vertical, na posição da massa. (b) Quais as modificações que se fariam nas dimensões da viga para duplicar a sua constante de mola? (c) Determinar a constante de mola se duas lâminas são usadas uma em cima da outra com lubrificante entre elas (não há atrito). (d) Encontrar a constante de mola se duas lâminas são usadas uma em cima da outra e soldadas juntas. Dados: t = 3 mm, L = 300 mm, b = 20 mm, E = 210 x 10 9 Pa (a) Viga bi-apoiada sob flexão 3 48 L EI k = com 4 12 3 3 m 10 45 12 003 , 0 02 , 0 12 ÷ × = × = = bt I N/m 10 8 , 16 3 , 0 10 45 10 210 48 48 3 3 12 9 3 × = × × × × = = ÷ L EI k (b) Para duplicar a constante de mola da viga podem ser adotadas as seguintes soluções: 1. Diminuir o comprimento para m 238 , 0 10 8 , 16 2 10 45 10 210 48 2 48 3 3 12 9 3 = × × × × × × = = ÷ k EI L 2. Aumento do momento de inércia (dimensões da seção transversal) 4 11 9 3 3 3 m 10 9 10 210 48 3 , 0 10 8 , 16 2 48 2 ÷ × = × × × × × = = E kl I (c) A configuração proposta consitui-se em uma associação em paralelo, implicando na duplicação da rigidez, de forma que N/m 10 6 , 33 10 8 , 16 2 3 3 × = × × = k (d) Desta forma a espessura da viga é duplicada t = 6 mm 4 12 3 3 m 10 360 12 006 , 0 02 , 0 12 ÷ × = × = = bt I N/m 10 134 3 , 0 10 360 10 210 48 48 3 3 12 9 3 × = × × × × = = ÷ L EI k 2.2 Uma máquina de massa m = 500 kg é montada em uma viga de aço bi-apoiada, de comprimento L = 2 m, que possui uma seção transversal retangular (espessura = 0,1 m, largura = 1,2 m) e E = 210 x 10 9 N/m 2 . Para reduzir a flecha no centro da viga foi colocada uma mola de rigidez k, como mostra a Fig. 2.1. Determinar o valor de k necessário para reduzir a flecha da viga para um terço do seu valor original (sem a mola). Assumir que a massa da viga é desprezível. m k Figura 2.1 Dados: m = 500 kg, L = 2 m, t = 0,1 m, b = 1,2 m e E = 206 x 10 9 N/m 2 . Como o momento de inércia (em relação à linha elástica) de uma viga é 4 4 3 3 m 10 00 , 1 12 1 , 0 2 , 1 12 ÷ × = × = = t b I A rigidez de uma viga bi-apoiada com carga concentrada no centro é N/m 10 126 2 10 00 , 1 10 210 48 48 6 3 4 9 3 × = × × × × = = ÷ L EI k v A mola de rigidez k se associa em paralelo (observar que aumenta a rigidez) com a viga. Para que a flecha seja reduzida para um terço de seu valor inicial tem-se 3 3 v eq viga final k P k P = ÷ = o o De onde N/m 10 252 10 6 , 123 2 2 3 6 6 × = × × = = ÷ = + = v v v eq k k k k k k 2.3 O eixo de um elevador em uma mina está suspenso por dois cabos de comprimento L = 150 m e diâmetro d = 20 mm cada. Os cabos são feitos de aço com módulo de elasticidade E = 210 x 10 9 Pa. (a) Determinar a constante de mola do sistema se for aplicada uma carga vertical na extremidade inferior do eixo para deslocamento na direção vertical. (b) Determinar como a constante de mola irá variar se o número de cabos for aumentado para quatro. (c) Determinar como a constante de mola irá variar se o diâmetro do cabo mudar para 30 mm (com dois cabos). Dados: L = 150 m, d = 20 mm, E = 210 x 10 9 Pa. (a) N/m 10 440 150 4 02 , 0 10 210 4 3 2 9 2 × = × × × × = = = t t L Ed L EA k Com dois cabos em paralelo N/m 10 880 2 3 × = = k k eq (b) N/m 10 76 , 1 4 6 × = = k k eq (c) N/m 10 990 150 4 03 , 0 10 210 4 3 2 9 2 × = × × × × = = = t t L Ed L EA k N/m 10 98 , 1 2 6 × = = k k eq Comparando os resultados dos itens a) e c), ocorreu uma variação de 2,25 vezes na rigidez para uma ampliação de 50% no diâmetro do cabo. 2.4 Um sistema de barra de torção de uma suspensão automotiva possui comprimento L = 1,5 m e diâmetro d = 18 mm. O módulo de elasticidade transversal é G = 85 GPa. (a) Determinar a rigidez torsional da barra para torques aplicados em ambas extremidades. (b) Determinar a rigidez torsional se o material da barra for bronze com G = 41 GPa. Dados: l = 1,5 m, d = 18 mm, G = 85 GPa (a) 4 9 4 4 m 10 3 , 10 32 018 , 0 32 ÷ × = × = = t td J N.m/rad 584 5 , 1 10 3 , 10 10 85 9 9 = × × × = = ÷ L GJ k t (b) Com G = 41 GPa N.m/rad 282 5 , 1 10 3 , 10 10 41 9 9 = × × × = = ÷ L GJ k t 2.5 Uma mola de lâminas múltiplas consiste de três lâminas de aço de comprimento L = 0,3 m, largura b = 0,10 m e espessura t = 0,005 m (Fig. 2.2). Determinar a constante de mola para deflexão vertical se o módulo de elasticidade é E = 210 x 10 9 Pa e o bloco de conexão é rígido. Notar que as extremidades das lâminas permanecem sempre horizontais. Figura 2.2 Dados: L = 0,3 m, b = 0,10 m, t = 0,005 m e E = 210 GPa Uma viga bi-engastada, com carregamento P concentrado no seu centro, possui uma deformação igual a EI PL viga 192 3 = o Cada uma das 3 lâminas é uma viga engastada com a sua extremidade condicionada a uma deformação vertical, sem girar. Desta forma ela pode, em função da simetria, ser considerada como a metade de uma viga bi-engastada com carregamento concentrado no centro. Desta forma pode-se dizer que será necessário o dobro da carga para produzir uma igual deformação em uma viga bi-engastada com o dobro do comprimento de cada lâmina. ( ) EI L F k F 192 2 3 2 3 3 | . | \ | = | . | \ | = o de onde N/m 10 2 , 97 3 , 0 12 005 , 0 1 , 0 10 210 12 12 3 3 3 3 9 3 × = × × × × = = | . | \ | = L EI F k o Como são três lâminas que sofrem a mesma deformação, estão associadas em paralelo de forma que a rigidez equivalente é N/m 10 292 3 3 × = = k k eq 2.6 Uma mola torsional conectando dois eixos, consiste de oito barras de d = 8 mm, conectadas como mostrado, em um círculo de um raio R = 100 mm, na Fig. 2.3. Se o seu comprimento é l = 250 mm e o módulo de elasticidade do material na mola é E = 210 GPa, calcular a constante de mola torsional e notar que cada barra está carregada em flexão com a sua extremidade permanecendo perpendicular aos discos. Figura3 Dados: d = 8 mm, R = 100 mm, l = 250 mm E = 210 GPa, Cada barra se comporta como as lâminas do exercício anterior, submetidas a flexão, de forma que sua rigidez é 3 12 l EI P k barra = = o A rigidez torsional proporcionada por cada barra é determinada por N.m/rad 324 25 , 0 1 , 0 64 008 , 0 10 210 12 12 3 2 4 9 3 2 2 = × × × × × = = = × = = t o u l R EI R k R R P M k barra t t Como são 8 molas combinadas proporcionando um efeito torsional equivalente a uma associação em paralelo (mesma deformação), a rigidez torsional equivalente é N.m/rad 10 59 , 2 324 8 8 3 × = × = = t eq t k k 2.7 Uma barra de torção consiste de três segmentos com diâmetros de 30, 40, e 50 mm e comprimentos de 400, 600, e 500 mm, respectivamente, conectados em série de forma a formar um eixo reto. Se G = 105 GPa, determinar a constante de mola torsional. Dados: d 1 = 30 mm, d 2 = 40 mm, d 3 = 50 mm, l 1 = 400 mm, l 2 = 600 mm, l 3 = 500 mm, G = 105 GPa. N.m/rad 10 9 , 20 4 , 0 32 03 , 0 10 105 32 3 4 9 1 4 1 1 1 1 × = × × × × = = = t t l d G l GI k P t N.m/rad 10 0 , 44 6 , 0 32 04 , 0 10 105 32 3 4 9 2 4 2 2 2 2 × = × × × × = = = t t l d G l GI k P t N.m/rad 10 129 5 , 0 32 05 , 0 10 105 32 3 4 9 3 4 3 3 3 3 × = × × × × = = = t t l d G l GI k P t N.m/rad 10 8 , 12 10 129 1 10 0 , 44 1 10 9 , 20 1 1 1 1 1 1 3 3 3 3 3 2 1 × = × + × + × = + + = t t t eq k k k k 2.8 Uma mola helicoidal usada em uma transmissão de caminhão tem diâmetro do arame d = 10 mm, diâmetro D = 100 mm e tem 15 espiras, módulo de elasticidade transversal G = 81 GPa. (a) Encontrar a constante de mola axial. (b) Encontrar a constante de mola axial se for dobrado o número de espiras. (c) Encontrar a constante de mola se duas molas estão conectadas em paralelo. (d) Encontrar a constante de mola se duas molas são conectadas em série. Dados: d = 10 mm, D = 100 mm, n = 15 espiras e G = 81 GPa. (a) N/m 10 75 , 6 1 , 0 15 8 01 , 0 10 81 8 3 3 4 9 3 4 × = × × × × = = nD Gd k (b) N/m 10 38 , 3 1 , 0 30 8 01 , 0 10 81 8 3 3 4 9 3 4 × = × × × × = = nD Gd k (c) N/m 10 5 , 13 2 3 × = = k k eq (d) N/m 10 38 , 3 2 4 × = = k k eq 2.9 Uma mola de retorno de uma manivela Fig. 2.4 possui seis espiras e é feita de aço com E = 2,1 x 10 11 Pa, d = 3 mm e de D i = 30 mm. Determinar a constante torsional da mola. Dados: E = 210 GPa, d = 3 mm, D i = 30 mm e n = 6. D = D i + d = 3 + 30 = 33 mm N.m/rad 895 033 , 0 6 32 003 , 0 10 210 32 3 9 3 = × × × × = = nD Ed k t Figura 2.4 2.10 Determinar a constante de mola equivalente para o sistema mostrado na Fig. 2.5, na direção de u. Figura 2.5 2 2 1 u eq k U = ( )( ) ( ) ( ) | | 2 3 2 3 2 1 2 1 2 1 2 2 3 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 u u u u u l k l k k k k l k l k k k k U t t t t + + + + = + + + + = ( ) 2 2 3 2 1 2 1 2 1 l k l k k k k k t t eq + + + + = 2.11 Determinar a constante de mola equivalente torsional para o sistema mostrado na Fig. 2.6 Os três segmentos de eixos, com rigidezes k 1 , k 2 e k 3 , estão submetidos à torção estão associados em série, possuindo rigidez equivalente: 3 1 3 2 2 1 3 2 1 3 2 1 1 1 1 1 1 k k k k k k k k k k k k k eq + + = + + = Combinando-se com o quarto segmento de eixo, localizado do outro lado do disco, de rigidez torcional k 4 , ocorre uma associação em paralelo: 4 1 2 k k k eq eq + = As duas molas de rigidezes k 5 e k 6 estão associadas em paralelo, possuindo rigidez equivalente 6 5 3 k k k eq + = Figura 2.6 As duas molas de rigidezes k 7 e k 8 estão associadas em série, possuindo rigidez equivalente 8 7 8 7 8 7 4 1 1 1 k k k k k k k eq + = + = Os segmentos de eixo estão submetidos à torção u, enquanto que as molas estão submetas a uma deformação linear igual a u R x = A energia potencial total é igual à soma das energias potenciais armazenadas em cada um dos elementos deformados (segmentos de eixos e molas) | | 2 2 4 2 3 2 2 4 2 3 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 u u R k R k k x k x k k U eq eq eq eq eq eq + + = + + = Substituindo os termos das rigidezes 2 2 8 7 8 7 6 5 3 1 3 2 2 1 3 2 1 4 2 1 u ( ( ¸ ( ¸ | | . | \ | + + + + + + + = R k k k k k k k k k k k k k k k k U De forma que a rigidez torcional equivalente é 2 8 7 8 7 6 5 3 1 3 2 2 1 3 2 1 4 R k k k k k k k k k k k k k k k k k eq | | . | \ | + + + + + + + = 2.12 Determinar o comprimento do eixo vazado uniforme de diâmetro interno d e espessura t que possui a mesma constante de mola axial que o eixo sólido cônico mostrado na Fig. 2.7. D d l Figura 2.7 ( ) ( ) | | ( ) 1 2 1 2 2 1 2 2 1 4 4 4 4 2 4 4 l t dt E l d t d E l d d E l EA l EDd k i e + = ÷ + = ÷ = = = t t t t ( ) Dd t d lt l + = 4 1 2.13 Determinar a massa equivalente referente à coordenada x para o balancim mostrado na Fig. 2.8. Figura 2.8 A massa m 2 se movimenta com velocidade x , a o balancim com velocidade angular b x = u e a massa m 1 com velocidade linear x b a a = u . A energia cinética total é igual à soma das energias cinéticas de cada uma das inércias (massas em translação e balancim em rotação), dada por 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 x m x b J x b a m x m J x b a m T O O + | . | \ | + | . | \ | = + + | . | \ | = u 2 2 2 2 1 1 2 1 x m b J b a m T O ( ( ¸ ( ¸ + | . | \ | + | . | \ | = De forma que a massa equivalente é 2 2 2 1 m b J a m m O eq + + = 2.14 Duas massas, com momentos de inércia de massa J 1 e J 2 , são colocadas em eixos rígidos rotativos que são ligados por engrenagens, como mostra a Fig. 2.9. Se o número de dentes nas engrenagens 1 e 2 são n 1 e n 2 , respectivamente, determinar o momento de inércia de massa equivalente correspondente a u 1 . Figura 2.9 Energia cinética 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 u u J J EC + = Relação de transmissão 2 2 1 1 n n u u = Então 2 1 2 2 2 1 1 2 1 2 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 u u u ( ( ¸ ( ¸ | | . | \ | + = | | . | \ | + = J n n J n n J J EC Momento de inércia equivalente 2 2 2 1 1 J n n J J eq | | . | \ | + = 2.15 Determinar o momento de inércia de massa equivalente do trem de engrenagens mostrado na Fig. 2.10, com referência ao eixo de acionamento. Na Fig. 2.10, J i e n i são os momentos de inércia de massa e os números de dentes, respectivamente, das engrenagens i, i=1,2, ... , 2N. Figura 2.10 Energia cinética ¿ = | . | \ | = N i i i J EC 2 1 2 2 1 u Relações de transmissão 1 1 + + = i i i i n n u u ( ) ¿ = ÷ + | | . | \ | + = N i i i i i n n n n n J J EC 0 2 1 2 1 2 4 3 2 1 1 2 2 2 2 1 u Então ( ) 2 1 0 2 1 2 4 3 2 1 1 2 2 2 2 1 u ( ( ¸ ( ¸ | | . | \ | + = ¿ = ÷ + N i i i i i n n n n n J J EC Momento de inércia equivalente ( ) ¿ = ÷ + | | . | \ | + = N i i i i eq i n n n n n J J J 0 2 1 2 4 3 2 1 1 2 2 2 2.16 Um oscilador harmônico possui massa m = 1,2 kg e constante de rigidez k = 8,5 kN/m. Determinar a freqüência natural em rad/s, Hz, cpm (ciclos por minuto). Dados: m = 1,2 kg, k = 8,5 kN/m rad/s 2 , 84 2 , 1 8500 = = = m k n e cpm 804 cpm 60) (13,4 Hz 4 , 13 2 2 , 84 2 = × = = = = t t e f 2.17 Um oscilador harmônico possui massa m = 10 kg e período de vibração natural, medido em um osciloscópio, igual a 35 ms. Determinar a constante de mola. Dados: m = 10 kg, T n = 35 ms. ( ) N/m 10 322 035 , 0 10 4 4 2 3 2 2 2 2 2 2 × = × × = = = = t t t e n n n T m f m m k 2.18 Um automóvel com massa de 2000 kg deforma suas molas da suspensão 0,02 m sob condições estáticas. Determinar a freqüência natural do automóvel na direção vertical assumindo que o amortecimento seja desprezível. Dados: m = 2000 kg, o st = 0,02 m rad/s 1 , 22 02 , 0 81 , 9 = = = = st n g m k o e 2.19 Uma prensa industrial está montada sobre uma camada de borracha para isolá-la de sua base. Se a borracha está comprimida 5 mm pelo peso próprio da prensa, determinar a freqüência natural do sistema. st st g m k k mg o o = ÷ = rad/s 3 , 44 005 , 0 81 , 9 = = = = st n g m k o e Hz 05 , 7 2 3 , 44 2 = = = t t e n n f 2.20 Um sistema massa-mola possui um período natural de 0,21 seg. Qual será o período se a constante de mola é (a) aumentada em 50 % ? (b) reduzida em 50 % ? Dados: T n = 0,21 seg s 21 , 0 2 2 = = = k m T n n t e t (a) Rigidez aumentada em 50 % ? s 171 , 0 21 , 0 5 , 1 1 5 , 1 2 = × = = k m T n t (b) Rigidez reduzida em 50 % ? s 297 , 0 21 , 0 5 , 0 1 5 , 0 2 = × = = k m T n t 2.21 Um sistema massa-mola tem uma freqüência natural de 10 Hz. Quando a constante de mola é reduzida em 800 N/m, a freqüência natural é alterada em 45 % (a diferença). Determinar a massa e a constante de mola do sistema original. Dados: f n = 10 Hz, Ak = 800 N/m. rad/s 20 10 2 2 t t t e = × = = = n n f m k ( ) 2 2 20t e m m k n = = ( ) t t e 20 55 , 0 800 20 800 55 , 0 2 × = ÷ = ÷ = m m m k n Resolvendo ( )( ) kg 291 , 0 20 55 , 0 1 800 2 2 = ÷ = t m ( ) ( ) N/m 10 15 , 1 20 2905 , 0 20 3 2 2 × = × = = t t m k 2.22 Um oscilador harmônico de massa m = 1 kg e rigidez k = 40 kN/m possui uma freqüência natural próxima à freqüência excitadora. Decidiu-se que se deveria mudar a massa ou a rigidez para diminuir a freqüência natural em 30% (a diferença). Determinar as possíveis mudanças requeridas. Dados: m = 1 kg e k = 40 kN/m rad/s 200 1 40000 = = = m k n e rad/s 140 200 7 , 0 7 , 0 1 = × = = n n e e Mantendo a massa kN/m 6 , 19 140 1 2 2 1 1 = × = = n m k e Mantendo a rigidez kg 04 , 2 140 40000 2 2 1 1 = = = n k m e ou uma infinita combinação de parâmetros garantido que rad/s 140 1 = n e 2.23 Uma mola helicoidal, quando fixada em uma extremidade e carregada na outra, requer uma força de 100 N para produzir um alongamento de 10 mm. As extremidades da mola estão agora rigidamente fixadas e uma massa de 10 kg é colocada no ponto médio de seu comprimento. Determinar o tempo necessário para completar um ciclo de vibração quando a massa vibra. Dados: F = 100 N, o = 10 mm e m = 10 kg. kN/m 0 , 10 010 , 0 100 = = = o F k Quando dividida em duas a constante de mola se torna 10000 1 1 1 1 1 1 = = + k k k kN/m 0 , 20 10000 1 2 1 1 = ÷ = k k Na nova configuração, as duas metades estão associadas em paralelo kN/m 0 , 40 20000 2 2 1 = × = = k k eq O tempo para cumprir um ciclo é ms 3 , 99 40000 10 2 2 = = = t t k m T n 2.24 O cilindro de um servo-mecanismo mostrado na Fig. 2.11 possui um pistão com m = 0,3 kg e está suportado por uma mola helicoidal de d = 1 mm, D = 10 mm, 10 espiras e G = 105 GN/m 2 . Determinar a freqüência natural da vibração do pistão se não há óleo no cilindro. Figura 2.11 Dados: m = 0,3 kg, d = 1 mm, D = 10 mm, n = 10 espiras e G = 105 GN/m 2 . kN/m 31 , 1 01 , 0 10 8 001 , 0 10 105 8 3 4 9 3 4 = × × × × = = nD Gd k rad/s 1 , 66 3 , 0 10 31 , 1 3 = × = = m k n e Hz 5 , 10 2 1 , 66 2 = = = t t e n n f 2.25 O cilindro de uma válvula mostrado na Fig. 2.12 tem um pistão com m = 0,2 kg e é suportado por uma mola helicoidal de 6 espiras com d = 2 mm, D = 30 mm, G = 105 GN/m 2 , determinar a freqüência natural de vibração do pistão se não há fluido na válvula. Figura 2.12 Dados: m = 0,2 kg, n = 6 espiras, d = 2 mm, D = 30 mm e G = 105 GN/m 2 . kN/m 30 , 1 03 , 0 6 8 002 , 0 10 105 8 3 4 9 3 4 = × × × × = = nD Gd k rad/s 5 , 80 2 , 0 10 30 , 1 3 = × = = m k n e Hz 8 , 12 2 5 , 80 2 = = = t t e n n f 2.26 Uma unidade de ar-condicionado está ligada ao solo por quatro molas de borracha. A massa da unidade é 300 kg e se deseja que a freqüência natural para vibração vertical esteja entre 32 e 40 Hz. Determinar a faixa permissível da constante de cada mola. Dados: m = 300 kg, f n = entre 32 e 40 Hz. rad/s 80 a 64 2 t t t e = = n n f Rigidez 2 4 n m k e = ( ) MN/m 03 , 3 4 64 300 2 min = × = t k ( ) MN/m 74 , 4 4 80 300 2 max = × = t k 2.27 Um desumidificador de ar está suspenso no teto por 4 barras de meio metro de comprimento, posicionadas fixamente. A massa da unidade é de 200 kg e se deseja que a freqüência natural para vibração vertical seja maior do que 30 Hz e para vibração horizontal esteja entre 10 e 15 Hz. Determinar a faixa permissível para os diâmetros das barras. E = 210 GN/m 2 . Dados: 4 barras, l = 0,5 m, m = 200 kg, f n > 30 Hz (vertical), 10 Hz ≤ f n ≤ 15 Hz (horizontal) e E = 210 GN/m 2 . rad/s 30 2 rad/s 20 2 max max min min t t e t t e = = = = n n n n f f Limites para a rigidez horizontal (flexão) ( ) ( ) MN/m 78 , 1 30 200 kN/m 790 20 200 2 2 max max 2 2 min min = × = = = × = = t e t e n n m k m k Rigidez horizontal – flexão (assumindo viga em balanço) 4 9 3 4 9 3 10 990 5 , 0 64 10 210 3 4 3 4 d d l EI k × = × × × × = | . | \ | = t mm 6 , 36 10 990 10 78 , 1 10 990 mm 9 , 29 10 990 10 790 10 990 4 9 6 4 9 max max 4 9 3 4 9 min min = × × = × = = × × = × = k d k d Rigidez horizontal – flexão (assumindo duplo engaste) 4 12 3 4 9 3 10 96 , 3 5 , 0 64 10 210 12 4 12 4 d d l EI k × = × × × × = | . | \ | = t mm 9 , 25 10 96 , 3 10 78 , 1 10 96 , 3 mm 1 , 21 10 96 , 3 10 790 10 96 , 3 4 12 6 4 12 max max 4 12 3 4 12 min min = × × = × = = × × = × = k d k d Rigidez vertical – tração-compressão rad/s 60 2 min min t t e = = n n f ( ) MN/m 11 , 7 60 200 2 2 min min = × = = t e n m k 2 12 2 9 10 32 , 1 5 , 0 4 10 210 4 4 d d l EA k × = × × × = | . | \ | = t mm 32 , 2 10 32 , 1 10 11 , 7 10 32 , 1 12 6 12 min min = × × = × = k d 2.28 Um coletor de lixo limpo está fixado no solo por 4 colunas de seção tubular retangular de espessura 5 cm e comprimento 0,5 m. A massa da unidade é 500 kg e se deseja que a freqüência natural para vibração horizontal esteja entre 32 e 40 Hz. Determinar a faixa permissível para a largura da sessão tubular. E = 210 GN/m 2 . Dados: 4 colunas de seção retangular, t = 5 cm, l = 0,5 m, m = 500 kg, 32 Hz ≤ fn ≤ 40 Hz (horizontal) e E = 210 GN/m2. rad/s 80 2 rad/s 64 2 max max min min t t e t t e = = = = n n n n f f Limites para a rigidez horizontal (flexão) ( ) ( ) MN/m 6 , 31 80 500 MN/m 2 , 20 64 500 2 2 max max 2 2 min min = × = = = × = = t e t e n n m k m k Rigidez horizontal – flexão (assumindo viga em balanço) b b l bt E k 6 3 3 9 3 3 10 210 5 , 0 05 , 0 10 210 12 3 4 × = × × × = | | | | . | \ | = mm 150 10 210 10 4 , 31 10 210 mm 3 , 96 10 210 10 2 , 20 10 210 6 6 6 max max 6 6 6 min min = × × = × = = × × = × = k b k b Rigidez horizontal – flexão (assumindo duplo engaste) b b l bt E k 6 3 3 9 3 3 10 840 5 , 0 05 , 0 10 210 4 12 12 4 × = × × × × = | | | | . | \ | = mm 6 , 37 10 840 10 4 , 31 10 840 mm 1 , 24 10 840 10 2 , 20 10 840 6 6 6 max max 6 6 6 min min = × × = × = = × × = × = k b k b 2.29 Um purificador de ar está fixado no solo por 6 pilares sólidos de ferro de forma retangular, com 100 mm de largura por 50 mm de espessura, com comprimento 2 m, fixados tanto no solo como na unidade. A massa da unidade é 800 kg. Determinar as freqüências naturais horizontais nas duas direções. E = 210 GN/m 2 . Dados: 6 pilares, b = 100 mm, t = 50 mm, l =2 m, m = 800 kg e E = 210 GN/m2. Rigidez horizontal – primeira direção – flexão (assumindo viga em balanço) kN/m 492 2 12 05 , 0 1 , 0 10 210 3 6 12 3 6 3 3 9 3 3 = × × × × × × = | | | | . | \ | = l bt E k rad/s 8 , 24 800 10 492 3 = × = = m k n e Rigidez horizontal – segunda direção – flexão (assumindo viga em balanço) MN/m 97 , 1 2 12 1 , 0 05 , 0 10 210 3 6 12 3 6 3 3 9 3 3 = × × × × × × = | | | | . | \ | = l tb E k rad/s 6 , 49 800 10 97 , 1 6 = × = = m k n e Rigidez horizontal – primeira direção – flexão (assumindo duplo engaste) MN/m 97 , 1 2 05 , 0 1 , 0 10 210 6 12 12 6 3 3 9 3 3 = × × × × = | | | | . | \ | = l bt E k rad/s 6 , 49 800 10 97 , 1 6 = × = = m k n e Rigidez horizontal – segunda direção – flexão (assumindo duplo engaste) MN/m 88 , 7 2 1 , 0 05 , 0 10 210 6 12 12 6 3 3 9 3 3 = × × × × = | | | | . | \ | = l tb E k rad/s 2 , 99 800 10 88 , 7 6 = × = = m k n e 2.30 Um pequeno compressor está apoiado em quatro molas de borracha que possuem constantes de rigidez 3,0 kN/m cada uma, na direção vertical, e 4,0 kN/m na direção horizontal. A massa da unidade é 30 kg. Determinar as freqüências naturais para vibrações horizontal e vertical. Dados: quatro molas de borracha, kv = 3,0 kN/m, kh = 4,0 kN/m e m = 30 kg. Direção horizontal rad/s 1 , 23 30 4000 4 4 = × = = m k h nh e Hz 68 , 3 2 09 , 23 2 = = = t t e nh nh f Direção vertical rad/s 0 , 20 30 3000 4 4 = × = = m k hv nv e Hz 18 , 3 2 0 , 20 2 = = = t t e nh nh f 2.31 O núcleo móvel de um relé eletromagnético mostrado na Fig. 2.13 possui massa m = 12 gr, e está suportado por uma mola com k = 3,0 kN/m. Quando energizado, fecham-se os contatos, que estão montados em lâminas flexíveis de espessura 0,8 mm e 6 mm de largura. A lâmina móvel possui comprimento de 20 mm e as estacionárias possuem comprimentos de 15 mm cada. Determinar a freqüência natural com o relé aberto e fechado. E = 210 GN/m 2 . Figura 2.13 Dados: m = 12 gr, k = 3,0 kN/m, t = 0,8 mm, b = 6 mm, l1 = 20 mm, l2 = 15 mm e E = 210 GN/m2. Com o relé aberto: rad/s 500 012 , 0 3000 = = = m k n e ou Hz 6 , 79 2 500 2 = = = t t e n n f Com o relé fechado a) lâmina móvel – dupla viga engastada kN/m 161 2 02 , 0 12 0008 , 0 006 , 0 10 210 3 2 3 3 3 9 3 1 1 = | . | \ | × × × × = | . | \ | = l EI k b) lâmina fixa – viga engastada kN/m 8 , 47 015 , 0 12 0008 , 0 006 , 0 10 210 3 3 3 3 9 3 2 2 = × × × × = = l EI k De cada lado ocorre associação em série de k 1 e k 2 kN/m 9 , 36 10 8 , 47 10 161 10 8 , 47 10 161 3 3 3 3 2 1 2 1 1 = × + × × × × = + = k k k k k eq Estes dois conjuntos estão associados em paralelo kN/m 7 , 73 10 9 , 36 2 2 3 1 = × × = = eq eq k k A freqüência natural com relé fechado será rad/s 10 53 , 2 012 , 0 3000 73728 3 × = + = = m k eq n e ou Hz 402 2 10 53 , 2 2 3 = × = = t t e n n f 2.32 Achar a freqüência natural de vibração do sistema massa-mola montado em um plano inclinado, como mostrado na Fig. 2.14. Figura 2.14 x m mg x k x k = + ÷ ÷ o sin 2 1 sendo x 1 medido a partir da posição de equilíbrio estático ( ) ( ) 1 1 2 1 1 sin x m mg x k x k st st = + + ÷ + ÷ o o o ( ) ( ) 0 sin 1 2 1 1 2 1 = + + = + + ÷ x k k x m mg k k st o o pela condição de equilíbrio estático. A freqüência natural é m k k n 2 1 + = e 2.33 Determinar a expressão para a freqüência natural do sistema mostrado na Fig. 2.15, considerando desprezíveis as massas das plataformas. Figura 2.15 Viga engastada 3 1 1 1 1 3 l I E k = Viga bi-apoiada 3 2 2 2 2 48 l I E k = Constante de mola equivalente, associação em paralelo 2 1 k k k eq + = Freqüência natural ( ) | | . | \ | + = + = = 3 2 2 2 3 1 1 1 2 1 48 3 l I E l I E W g W k k g m k eq n e 2.34 Uma mola helicoidal de rigidez k é cortada em duas metades e uma massa m é conectada às duas metades como mostra a Fig. 2.16(a). O período natural deste sistema é 0,5 seg. Se uma mola idêntica é cortada de forma que uma das partes tenha ¼ de seu comprimento enquanto que a outra parte tenha ¾, com a massa sendo conectada às duas partes como mostra a Fig. 2.16(b), qual será o período natural do sistema? Figura 2.16 Uma mola pode ser considerada como duas metades associadas em série, de forma que k k 2 1 = cada metade As duas metades associadas em paralelo, como mostra a Fig. 2.16a, possuem rigidez k k k eq 4 2 1 = = Freqüência natural 5 , 0 2 2 2 4 t t e = = = = n n T m k m k t 2 = m k Para a divisão mostrada na Fig. 2.16b, dividindo a mola em 4 k k 4 2 = Associando 3 em série 3 4 1 1 1 1 2 2 2 3 k k k k k = + + = Associando k 2 e k 3 3 16 3 4 4 3 2 k k k k k k eq = + = + = Freqüência natural ( ) rad/s 5 , 14 2 3 4 3 4 3 16 1 = = = = t e m k m k n Período s 433 , 0 5 , 14 2 2 1 = = = t e t n n T 2.35 Três molas e uma massa estão presas a uma barra rígida PQ, sem peso, como mostra a Fig. 2.17. Achar a freqüência natural de vibração do sistema. Figura 2.17 Do diagrama de corpo livre da barra PQ, considerada como de massa desprezível, a 2ª Lei de Newton para movimentos angulares (Lei de Euler), pode ser escrita para momentos em relação ao ponto P como ( ) 0 3 3 3 2 2 2 2 1 1 = ÷ ÷ ÷ ÷ x l l k l k l k u u u De onde se tem que x l k l k l k l k | | . | \ | + + = 2 3 3 2 2 2 2 1 1 3 3 u Do diagrama de corpo livre da massa m, a 2ª Lei de Newton pode ser escrita para as forças atuantes na massa ( ) x m x l k = ÷ u 3 3 Substituindo a segunda expressão na terceira chega-se à equação do movimento em x ( ) ( ) 0 2 3 3 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 3 = + + + + x l k l k l k m l k l k k x De onde se extrai a freqüência natural como sendo ( ) ( ) 2 3 3 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 3 l k l k l k m l k l k k n + + + = e 2.36 O sistema mostrado na Fig. 2.18 modela o mecanismo de contato de um relé eletro-mecânico. (a) Determinar sua freqüência natural de oscilação em torno do pivô. (b) De determinar o valor da rigidez k que resultará em duas vezes a sua freqüência natural. Figura 2.18 Equação do movimento u u u ( ( ¸ ( ¸ + | . | \ | = = | . | \ | ÷ 2 2 2 2 2 a l g W I l k O 0 2 2 2 2 2 = | . | \ | + ( ( ¸ ( ¸ + | . | \ | u u l k a l g W a) Freqüência natural ( ) 2 2 2 2 2 2 4 4 4 4 a l W g kl a l g W l k n + = ( ¸ ( ¸ + = e b) Como a rigidez é proporcional ao quadrado da freqüência natural, é necessário quadruplicá-la para dobrar a freqüência natural. 2.37 O sistema mostrado na Fig. 2.19 modela o braço de um mecanismo de elevação de peso. Determinar sua freqüência natural de oscilação em torno do ponto A. Figura 2.19 Equações do movimento ( ) ( ) x m L x k x L L k l k = ÷ ÷ = ÷ ÷ ÷ u u u 2 2 2 1 0 Da primeira u L k L k l k x 2 2 2 2 1 + = e u L k L k l k x 2 2 2 2 1 + = substituindo na segunda 0 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 = | | . | \ | ÷ + + | | . | \ | + u u L L k L k l k k L k L k l k m resultando em ( ) ( ) 0 2 1 2 2 2 2 1 = + + u u l k k L k l k m ou então ( ) 0 2 2 2 1 2 2 1 = + + u u L k l k m l k k Freqüência natural ( ) 2 2 2 1 2 2 1 L k l k m l k k n + = e 2.38 Para o pêndulo invertido mostrado na Fig. 2.20 que modela um tipo de sismógrafo: (a) Determinar a freqüência natural. (b) Se a mola k 1 é removida para que o valor da constante de mola k 2 a freqüência natural será zero? Figura 2.20 a) Freqüência natural u u u u 2 2 1 1 2 2 2 mL h k h k mgL = ÷ ÷ ( ) 0 2 2 2 2 1 1 2 = ÷ + + u u mgL h k h k mL 2 2 2 2 2 1 1 mL mgL h k h k n ÷ + = e b) Com k 1 = 0 para fazer com que a freqüência natural se anule é necessário que 2 2 2 2 2 2 h mgL k mgL h k = ÷ = 2.39 Para o pêndulo controlado mostrado na Fig. 2.22 modelando um relógio: (a) Determinar a freqüência natural. (b) Para que valor da massa m 2 a freqüência natural será zero? Figura 2.21 (a) Equação do movimento ( )u u u 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 L m L m gL m gL m + = ÷ ( ) ( ) 0 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 = ÷ + + u u gL m gL m L m L m Freqüência natural ( ) 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 L m L m g L m L m n + ÷ = e (b) ( ) ( ) 0 0 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 = ÷ ÷ = + ÷ = L m L m L m L m g L m L m n e 2 1 1 2 L L m m = 2.40 Uma barra uniforme rígida de massa m e comprimento l está articulada no ponto A e ligada a cinco molas como mostra a Fig. 2.22. Achar a freqüência natural do sistema se k = 2 kN/m, k t = 1 kN.m/rad, m = 10 kg e l = 5 m. Figura 2.22 Dados: k = 2,0 kN/m, k t = 1,0 kN.m/rad, m = 10 kg e l = 5 m. Momento de inércia da barra 12 2 ml I G = em relação a A m l l ml m d I I G A 2 2 2 2 3 2 12 | . | \ | ÷ + = + = 9 36 3 6 12 2 2 2 2 2 ml ml ml m l ml I A = + = | . | \ | + = Equação do movimento u u u u A t I k l k l k = ÷ | . | \ | ÷ | . | \ | ÷ 2 2 3 2 2 3 2 0 9 10 9 2 2 = | | . | \ | + + u u kl k ml t Freqüência natural rad/s 1 , 45 5 10 5 2000 10 1000 9 10 9 2 2 2 2 = × × × + × = + = ml kl k t n e 2.41 Um cilindro de massa m e momento de inércia J 0 rola livremente, sem deslizar, mas tem seu movimento restrito por duas molas de rigidez k 1 e k 2 como mostra a Fig. 2.23. Achar a freqüência natural de vibração e o valor de a que maximiza a freqüência natural. Figura 2.23 Rotação pura em torno do ponto de contato ( ) ( ) ( )u u u 2 2 2 2 1 mR J a R k a R k O + = + ÷ + ÷ ( ) ( )( ) 0 2 2 1 2 = + + + + u u a R k k mR J O Freqüência natural ( )( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 2 2 1 mR J k k a R mR J a R k k O O n + + + = + + + = e Para maximizar a = R 2.42 Achar a equação do movimento da barra rígida uniforme AO, de comprimento l e massa m mostrada na Fig. 2.24. Achar também sua freqüência natural. Figura 2.24 3 2 12 2 2 2 ml l m ml J O = | . | \ | + = u u u u 3 2 2 2 2 1 ml k l k a k t = ÷ ÷ ÷ ( ) 0 3 2 2 2 1 2 = + + + u u t k l k a k ml ( ) 2 2 2 2 1 3 ml k l k a k t n + + = e 2.43 Um disco circular uniforme, de massa m, é pivotado no ponto O como mostra a Fig. 2.25. Achar a freqüência natural do sistema. Momento de inércia em relação ao centro do disco 2 2 ma J C = Figura 2.25 Equação do movimento u u | | . | \ | + = ÷ 2 2 2 mb ma mgb 0 2 2 2 = + | | . | \ | + u u gb b a Freqüência natural 2 2 2 2 b a gb n + = e 2.44 O sistema mostrado na Fig. 2.26 modela o braço de um sismógrafo vertical. (a) Determinar sua freqüência natural de oscilação em torno do pivô. (b) Determinar o valor da rigidez k que resultará no dobro da sua freqüência natural Figura 2.26 Equação do movimento 0 2 2 2 2 = + = ÷ u u u u ka mL mL ka a) Freqüência natural 2 2 mL ka n = e b) Rigidez para dobrar a freqüência natural k k 4 1 = 2.45 Uma massa m é montada na extremidade de uma barra de massa desprezível e pode assumir três diferentes configurações como mostra a Fig. 2.27. Determinar a configuração que proporciona a maior freqüência natural. Figura 2.27 a) l g n = e b) u u u 2 2 ml a k mgl = ÷ ÷ ( ) 0 2 2 = + + u u a k mgl ml 2 2 2 2 ml ka l g ml mgl ka n + = + = e c) u u u 2 2 ml a k mgl = ÷ ( ) 0 2 2 = ÷ + u u mgl a k ml l g ml ka ml mgl ka n ÷ = ÷ = 2 2 2 2 e A configuração que proporciona a maior freqüência natural é a b). 2.46 Para o pêndulo composto mostrado na Fig. 2.28, determinar a freqüência natural de vibração em torno do pivô. O elemento possui espessura unitária e a massa específica do material de que é constituído é µ. Figura 2.28 Momento de inércia do retângulo em relação ao seu centro ( ) 2 2 12 b a m J + = Momento de inércia do quadrado em relação ao seu centro 6 2 1 1 a m J = Massa do quadrado sem o furo – espessura unitária 2 1 a m µ = Momento de inércia do círculo em relação ao centro 8 2 2 1 2 2 2 2 2 D m D m J = | . | \ | = Massa do círculo (a ser retirada) 4 2 2 D m t µ = Massa total | | . | \ | ÷ = ÷ = 4 2 2 2 1 D a m m m t µ Momento de inércia total em relação ao centro ( ) 4 4 2 1 6 1 2 2 2 2 2 1 D D a a J J J O | | . | \ | ÷ = ÷ = µt µ | | . | \ | ÷ = 32 6 4 4 D a J O t µ Momento de inércia em relação ao pivô – Teorema dos eixos paralelos (Steiner) 4 4 32 6 2 2 2 2 4 4 2 D D a D a D m J J O P | | . | \ | ÷ + | | . | \ | ÷ = | . | \ | + = t µ t µ | | . | \ | ÷ + = 32 3 4 6 4 2 2 4 D D a a J P t µ Equação do movimento u u P J D mg = ÷ 2 0 2 4 32 3 4 6 2 2 4 2 2 4 = ( ¸ ( ¸ | | . | \ | ÷ + | | . | \ | ÷ + u t µ u t µ D D a g D D a a Freqüência natural ( ) 4 2 2 4 2 2 9 24 16 4 12 D D a a D a gD n t t e ÷ + ÷ = 2.47 Para o pêndulo composto mostrado na Fig. 2.29, determinar a freqüência natural de vibração em torno do pivô. O elemento possui espessura unitária e a massa específica do material de que é constituído é µ. Figura 2.29 Momento de inércia do círculo externo em relação ao seu centro 8 2 1 1 D m J = Momento de inércia do círculo interno em relação ao seu centro 8 2 2 2 d m J = Massa do círculo externo – espessura unitária 4 2 1 D m t µ = Massa do círculo interno (a ser retirada) 4 2 2 d m t µ = Massa do círculo (a ser retirada) 4 2 2 D m t µ = Massa total ( ) 2 2 2 1 4 d D m m m ÷ = ÷ = tµ Momento de inércia total em relação ao centro ( ) 4 4 2 1 32 1 d D J J J O ÷ = ÷ = µt Momento de inércia em relação ao pivô – Teorema dos eixos paralelos (Steiner) ( ) ( ) 4 4 32 1 2 2 2 2 4 4 2 d d D d D d m J J O P ÷ + ÷ = | . | \ | + = µt µt | | . | \ | ÷ + = 2 3 2 16 4 2 2 4 d d D D J P µt Equação do movimento u u P J d mg = ÷ 2 ( ) 0 2 3 2 2 1 2 2 4 2 2 4 = ÷ + | | . | \ | ÷ + u u d D gd d d D D Freqüência natural ( ) ( ) 4 2 2 4 2 2 3 2 4 d d D D d D gd n ÷ + ÷ = e 2.48 Para o pêndulo composto mostrado na Fig. 2.30, determinar a freqüência natural de vibração em torno do pivô. O elemento possui espessura unitária e a massa específica do material de que é constituído é µ. Figura 2.30 Momento de inércia do círculo externo em relação ao pivô 2 2 1 1 R m J = Momento de inércia do círculo interno em relação ao pivô 2 2 2 2 2 2 2 8 3 4 8 R m R m R m J = + = Massa do círculo externo – espessura unitária 2 1 R m µt = Massa do círculo interno (a ser retirada) 4 2 2 R m t µ = Massa total 4 3 2 2 1 R m m m tµ = ÷ = Novo centróide ¦ ¹ ¦ ´ ¦ = = = ÷ 2 0 2 1 2 2 1 1 R r r mr r m r m c 6 4 3 2 4 2 2 R r r R R R c c = = ÷ tµ tµ Momento de inércia total em relação ao pivô ( ) 32 13 4 8 3 2 4 2 2 2 2 2 1 R R R R R J J J P tµ t µ µt = | | . | \ | ÷ = ÷ = Equação do movimento u u P c J mgr = ÷ 0 6 4 3 32 13 2 4 = + u tµ u tµ R g R R 0 4 13 = + u u g R Freqüência natural R g n 13 4 = e 2.49 Para o pêndulo composto mostrado na Fig. 2.31, determinar a freqüência natural de vibração em torno do pivô. O elemento possui espessura unitária e a massa específica do material de que é constituído é µ. Figura 2.31 Momento de inércia do disco superior em relação ao seu centro 2 1 1 1 2 2 1 | . | \ | = d m J com massa 4 2 1 1 d m t µ = Momento de inércia da barra em relação ao pivô ( ) 2 1 2 2 2 2 2 2 2 12 | . | \ | + + + = d l m b l m J com massa bl m µ = 2 Momento de inércia do disco inferior em relação ao pivô 2 1 2 3 2 2 3 3 2 2 2 2 1 | . | \ | + + + | . | \ | = d l d m d m J com massa 4 2 2 3 d m µt = Massa total ( ) ( ¸ ( ¸ + + = | | . | \ | + + = + + = bl d d d bl d m m m m 2 2 2 1 2 2 2 1 3 2 1 4 4 4 t µ t t µ Novo centróide ¦ ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ¦ ´ ¦ + + = + = = = + + 2 2 2 2 0 2 1 3 1 2 1 3 3 2 2 1 1 d l d r l d r r mr r m r m r m c c r d bl d d l d d l d bl | | . | \ | + + = | . | \ | + + + | . | \ | + 4 4 2 2 4 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 t t µ µt µ ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 2 1 2 2 1 4 2 2 4 d bl d d l d d l d bl r c t t t + + + + + + = Momento de inércia total em relação ao pivô ( ) ( ) ( ) ( ( ¸ ( ¸ + + + | . | \ | + + + + + = + + = 2 1 2 2 2 2 1 2 2 4 2 4 1 3 2 1 2 16 2 2 12 32 d l d d d l bl b l bl d d J J J J P t t µ Equação do movimento ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 4 4 2 2 4 2 16 2 2 12 32 0 2 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 2 4 2 4 1 = ( ¸ ( ¸ + + ( ¸ ( ¸ + + + + + + + ( ( ¸ ( ¸ + + + | . | \ | + + + + + = + u t t t t u t t u u bl d d d bl d d l d d l d bl d l d d d l bl b l bl d d mgr J c P Freqüência natural ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ¸ ( ¸ + + + | . | \ | + + + + + ( ¸ ( ¸ + + ( ¸ ( ¸ + + + + + + = 2 1 2 2 2 2 1 2 2 4 2 4 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 16 2 2 12 32 4 4 2 2 4 d l d d d l bl b l bl d d bl d d d bl d d l d d l d bl n t t t t t t e 2.50 Para o pêndulo composto mostrado na Fig. 2.32, determinar a freqüência natural de vibração em torno do pivô. O elemento possui espessura unitária e a massa específica do material de que é constituído é µ. Figura 2.32 Momento de inércia do quadrado em relação ao seu centro 6 2 1 a m J G = Massa do quadrado – espessura unitária 2 1 a m µ = Momento de inércia em relação ao pivô 3 2 2 6 2 4 4 4 2 1 a a a a m J J G P µ µ µ = + = | | . | \ | + = Equação do movimento 0 2 2 3 2 2 2 2 2 2 4 2 1 = | | . | \ | + + = | | . | \ | ÷ ÷ u µ u µ u u u k a a g a a J a k a g m P Freqüência natural 2 2 2 ) 2 2 ( 3 a k ag n µ µ e + = 2.51 Para o pêndulo composto mostrado na Fig. 2.33, determinar a freqüência natural de vibração em torno do pivô. O elemento possui espessura unitária e as massas das barras vertical e horizontal são iguais a m. Figura 2.33 Momento de inércia da barra vertical em relação à articulação ( ) 2 2 2 1 2 12 | . | \ | + + = L m b L m J Momento de inércia da barra vertical em relação à articulação ( ) 2 2 2 2 12 mL b L m J + + = Momento de inércia da total em relação à articulação ( ) 2 2 2 2 1 4 5 6 mL b L m J J J P + + = + = Novo centróide ¦ ¹ ¦ ´ ¦ = = = + L r L r mr r m r m c 2 1 2 2 1 1 2 L r mr mL L m c c 4 3 2 2 = = + Equação do movimento ( ) 0 4 3 2 4 5 6 0 2 2 2 2 = + ( ¸ ( ¸ + + = + u u u u L mg mL b L m mgr J c P Freqüência natural 2 2 17 2 18 L b gL n + = e 2.52 Para o pêndulo composto mostrado na Fig. 2.35, determinar a freqüência natural de vibração em torno do pivô. O elemento possui espessura unitária e largura desprezível. Figura 2.34 Momento de inércia da barra em relação à articulação 2 2 2 6 5 2 3 12 mL L m mL J = | | . | \ | + = Equação do movimento 0 2 3 6 5 0 2 3 2 = + ( ¸ ( ¸ = + u u u u L mg mL L mgr J Freqüência natural L g n 5 3 3 = e 2.53 A velocidade máxima atingida pela massa de um oscilador harmônico simples é 10 cm/s, e o período de oscilação é 2 s. Se a massa vibra livremente com deslocamento inicial de 2 cm, achar: (a) a velocidade inicial; (b) a amplitude do deslocamento; (c) a aceleração máxima e (d) o ângulo de fase. Dados: v max = 10 cm/s, T n = 2 s, x 0 = 2 cm. (a) rad/s 2 2 2 t t t e = = = n n T t v t x x n n n e e e sin cos 0 0 + = t v t x x n n n e e e cos sin 0 0 + ÷ = ( ) ( ) 2 0 2 max 0 2 0 2 0 max x v v v x v n n e e ÷ = ÷ + = ( ) mm/s 8 , 77 02 , 0 1 , 0 2 2 0 = × ÷ = t v (b) rad/s 2 2 2 t t t e = = = n n T mm 8 , 31 0778 , 0 02 , 0 2 2 2 0 2 0 = | . | \ | + = | | . | \ | + = t e n v x A (c) 2 2 2 2 2 max mm/s 314 0778 , 0 02 , 0 8 , 31 = | . | \ | + = × = = t t e A a n (d) rad 891 , 0 02 , 0 0778 , 0 tan tan 1 0 0 1 = | | . | \ | × = | | . | \ | = ÷ ÷ t e | n x v 2.54 Uma máquina possui massa m = 250 kg e seu suporte tem rigidez k = 130 kN/m. Se a máquina em sua base é modelada como um sistema de um grau de liberdade em vibração vertical, determinar: (a) a freqüência natural e (b) a equação do movimento resultante de um deslocamento inicial de 1 mm na direção vertical. Dados: m = 250 kg, k = 130 kN/m e x 0 = 1 mm. (a) Freqüência natural rad/s 8 , 22 250 130000 = = = m k n e (b) Equação do movimento mm 1 0 = = x A ( )m 8 , 22 cos 001 , 0 t x = 2.55 Uma máquina possui massa m = 250 kg e possui freqüência natural para vibração vertical e n = 5140 rad/s. Se a máquina em sua fundação é modelada como sistema de um grau de liberdade em vibração vertical, determinar: (a) a rigidez k do suporte elástico e (b) a equação do movimento resultante de uma velocidade inicial de 1 mm/s na direção vertical provocada por um impacto. Dados: m = 250 kg, e n = 5140 rad/s e v 0 = 1 mm/s. (a) Rigidez GN/m 60 , 6 5140 250 2 2 = × = = n m k e (b) mm 10 95 , 1 5140 001 , 0 4 0 ÷ × = = = n v A e mm 5140 sin 10 95 , 1 4 t x ÷ × = 2.56 Uma máquina possui uma rigidez dos suportes k = 5,5 x 10 4 N/m e tem freqüência natural de vibração vertical e n = 550 rad/s. Se a máquina em sua fundação é modelada como um sistema de um grau de liberdade em vibração vertical, determinar: (a) a massa da máquina e (b) a equação do movimento resultante de um deslocamento inicial de 1 mm e uma velocidade inicial de 130 mm/s na direção vertical. Dados: k = 5,5 x 10 4 N/m, e n = 550 rad/s, x 0 = 1 mm e v 0 = 130 mm/s. (a) Massa da máquina kg 182 , 0 550 55000 2 2 = = = n k m e (b) Equação do movimento mm 03 , 1 550 130 1 2 2 2 0 2 0 0 = | . | \ | + = | | . | \ | + = n v x X e rad 232 , 0 1 550 130 tan tan 1 0 0 1 = | . | \ | × = | | . | \ | = ÷ ÷ x v n e | ( ) | e + = t X x n cos 0 ( )mm 232 , 0 550 cos 03 , 1 + = t x 2.57 Um instrumento eletrônico tem massa m = 3,4 kg e é suportado por 4 coxins de elastômero com uma rigidez k = 5400 N/m cada. Se o instrumento no seu suporte é modelado como um sistema de um grau de liberdade para vibração vertical, determinar: (a) a freqüência natural e (b) se uma ferramenta pesando 0,5 kgf cai sobre o instrumento medindo-se máxima amplitude de vibração do movimento resultante, igual a 1,7 mm, determinar a velocidade do conjunto imediatamente após o impacto da ferramenta. Dados: 4 coxins, k = 5400 N/m cada, m = 3,4 kg, w 1 = 0,5 kgf, X 0 = 1,7 mm. (a) Freqüência natural rad/s 7 , 79 4 , 3 5400 4 4 = × = = m k n e (b) Velocidade m 0017 , 0 2 1 0 2 0 0 = | | . | \ | + = n v x X e m 10 227 , 0 5400 4 81 , 9 5 , 0 3 1 0 ÷ × = × × ÷ = ÷ = k g m x rad/s 4 , 74 5 , 0 4 , 3 5400 4 4 1 1 = + × = + = m m k n e mm/s 125 4 , 74 227 , 0 70 , 1 2 2 1 2 0 2 0 0 = × ÷ = ÷ = n x X v e 2.58 Um instrumento eletrônico tem massa m = 3,4 kg e é suportado por 4 coxins de elastômero com rigidez desconhecida. O instrumento no seu suporte é modelado como um sistema de um grau de liberdade para vibração vertical. Durante um teste, uma massa m 1 = 0,5 kg cai sobre ele com velocidade desconhecida. O impacto foi plástico e a amplitude de vibração medida foi 2,2 mm com freqüência do movimento vertical resultante igual a 325 rad/s. Determinar: (a) a rigidez de cada um dos quatro coxins elásticos e (b) a velocidade da massa em queda, imediatamente antes do impacto. Dados: 4 coxins, m = 3,4 kg, m 1 = 0,5 kg, X 0 = 2,2 mm e e n1 = 325 rad/s. (a) Rigidez ( ) ( ) kN/m 103 4 325 5 , 0 4 , 3 4 2 2 1 1 = × + = + = n m m k e (b) Velocidade da massa em queda antes do impacto mm 0119 , 0 411900 81 , 9 5 , 0 1 0 ÷ = × ÷ = ÷ = k g m x ( ) mm/s 715 325 10 0119 , 0 0022 , 0 2 3 2 2 0 2 0 0 = × × ÷ ÷ = ÷ = ÷ n x X v e mm/s 5577 715 5 , 0 5 , 0 4 , 3 0 1 1 0 = × + = + = ÷ v m m m v 2.59 A massa m cai, de uma altura h, sobre um anteparo de massa desprezível, como mostra a Fig. 2.35, e a colisão é plástica. Determinar a resposta do sistema. Figura 2.35 k mg x ÷ = 0 gh v 2 0 = m k n = e k mgh k mg m k gh k mg v x X n 2 2 2 2 2 2 0 2 0 0 + | . | \ | ÷ = | | | | | . | \ | + | . | \ | ÷ = | | . | \ | + = e | | . | \ | ÷ = | | | | | . | \ | ÷ = ÷ ÷ mg hk m k k mg gh 2 tan 2 tan 1 1 | Resposta do sistema | | . | \ | | | . | \ | ÷ + + | . | \ | ÷ = ÷ mg hk t m k k mgh k mg x 2 tan cos 2 1 2 2.60 A massa m cai, de uma altura h, sobre uma massa m 1 , como mostra a Fig. 2.36, e a colisão é plástica. Determinar a resposta do sistema. Figura 2.36 Conservação da quantidade de movimento ( ) + ÷ + = 0 1 0 v m m v m gh v 2 0 = ÷ gh m m m v 2 1 0 | | . | \ | + = + Condições iniciais | | . | \ | + = ÷ = 1 0 0 2 m m m gh v k mg x Freqüência natural 1 m m k n + = e Amplitude do movimento ( ) 1 2 2 2 1 1 2 2 0 2 0 0 2 2 m m k ghm k mg k m m m m gh m k mg v x X n + + | . | \ | = ( ( ¸ ( ¸ | | . | \ | + | | . | \ | + + | . | \ | ÷ = | | . | \ | + = e Ângulo de fase ( ) ( ( ¸ ( ¸ + ÷ = ( ( ( ( ( ¸ ( ¸ | . | \ | ÷ + | | . | \ | + = | | . | \ | = ÷ ÷ ÷ 1 1 1 1 1 0 0 1 2 tan 2 tan tan m m g hk k mg m m k m m m gh x v n e | A resposta do sistema será ( ) ( ) | e + = t X t x n cos 0 ( ) ( ) | | . | \ | ( ( ¸ ( ¸ + ÷ + + + + | . | \ | = ÷ 1 1 1 1 2 2 2 tan cos 2 m m g hk t m m k m m k ghm k mg x 2.61 Resolver o problema 2.24 usando o Método de Rayleigh. Dados: m = 0,3 kg, d = 1 mm, D = 10 mm, n = 10 espiras e G = 105 GN/m 2 . kN/m 31 , 1 01 , 0 10 8 001 , 0 10 105 8 3 4 9 3 4 = × × × × = = nD Gd k ( ) ( ) | e e | e + ÷ = + = t X x t X x n n n sin cos 0 0 2 max 2 max max max 2 1 2 1 kx x m U T = = 2 0 2 0 2 2 1 2 1 kX X m n = e rad/s 1 , 66 3 , 0 10 31 , 1 3 = × = = m k n e Hz 5 , 10 2 1 , 66 2 = = = t t e n n f 2.62 Resolver o problema 2.25 usando o Método de Rayleigh. Dados: m = 0,2 kg, n = 6 espiras, d = 2 mm, D = 30 mm e G = 105 GN/m 2 . kN/m 30 , 1 03 , 0 6 8 002 , 0 10 105 8 3 4 9 3 4 = × × × × = = nD Gd k ( ) ( ) | e e | e + ÷ = + = t X x t X x n n n sin cos 0 0 2 max 2 max max max 2 1 2 1 kx x m U T = = 2 0 2 0 2 2 1 2 1 kX X m n = e rad/s 5 , 80 2 , 0 10 30 , 1 3 = × = = m k n e Hz 8 , 12 2 5 , 80 2 = = = t t e n n f 2.63 Resolver o problema 2.38 usando o Método da Energia. a) Freqüência natural utilizando o Princípio da Conservação da Energia ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 1 2 1 cos 2 1 2 1 u u u u L m T L L mg h k h k U = ÷ ÷ + = ( ) 0 sin 2 2 2 2 2 1 1 = + ÷ + = + u u u u u u u u mL mgl h k h k U T dt d u u ~ sin ( ) 0 2 2 2 2 1 1 2 = ÷ + + u u mgL h k h k mL 2 2 2 2 2 1 1 mL mgL h k h k n ÷ + = e b) Com k 1 = 0 para fazer com que a freqüência natural se anule é necessário que 2 2 2 2 2 2 h mgL k mgL h k = ÷ = 2.64 Resolver o problema 2.39 usando o Método da Energia. (a) Freqüência natural ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 1 cos 1 cos 1 u u u u L m L m T gL m gL m U + = ÷ ÷ ÷ = ( ) 0 sin sin 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 = ÷ + + = + u u u u u u u u gL m gL m L m L m U T dt d u u ~ sin ( ) ( ) 0 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 = ÷ + + u u L m L m L m L m ( ) 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 l m l m g l m l m n + ÷ = e (b) ( ) ( ) 0 0 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 = ÷ ÷ = + ÷ = l m l m l m l m g l m l m n e 2 1 1 2 l l m m = 2.65 Resolver o problema 2.40 usando o Método da Energia. Dados: k = 2,0 kN/m, k t = 1,0 kN.m/rad, m = 10 kg e l = 5 m. Momento de inércia da barra 12 2 ml I G = em relação a A m l l ml m d I I G A 2 2 2 2 3 2 12 | . | \ | ÷ + = + = 9 36 3 6 12 2 2 2 2 2 ml ml ml m l ml I A = + = | . | \ | + = Equação do movimento ( ) 0 9 10 9 2 2 = | | . | \ | + + = + u u u u t k kl ml U T dt d ( ) 0 9 10 2 2 = + + u u t k kl ml Freqüência natural rad/s 1 , 45 5 10 5 2000 10 1000 9 10 9 2 2 2 2 = × × × + × = + = ml kl k t n e 2.66 Resolver o problema 2.41 usando o Método da Energia. Energia cinética ( ) 2 2 2 1 u mR J T O + = Energia potencial ( ) ( ) | | 2 1 1 2 1 u a R k k U + + = ( ) ( ) ( )( ) 0 2 1 1 2 = + + + + = + u u u u a R k k mR J U T dt d O ( ) ( )( ) 0 2 2 1 2 = + + + + u u a R k k mR J O Freqüência natural ( )( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 2 2 1 mR J k k a R mR J a R k k O O n + + + = + + + = e Para maximizar a = R 2.67 Um cilindro circular de massa m e raio r é ligado a uma mola de módulo k, como mostra a Fig. 2.37. Utilizando o Método da Energia, achar a freqüência do movimento, quando o cilindro rola sem deslizar em uma superfície áspera. Energia cinética 2 2 2 2 1 2 1 u | . | \ | + = mr mr T 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 3 2 2 1 3 2 1 2 u u u u A t I T k l k l k U = + ( ( ¸ ( ¸ | . | \ | + | . | \ | = ( ) 0 2 1 2 9 10 2 2 2 = + ( ( ¸ ( ¸ | | . | \ | + | | . | \ | + = + u u u u u u t A k l k l k l I U T dt d Figura 2.37 Energia cinética 2 2 2 2 1 2 1 u | . | \ | + = mr mr T Energia potencial ( ) 2 2 1 u r k U = ( ) 0 2 3 2 2 = + = + u u u u kr mr U T dt d 0 2 3 = + u u k m Freqüência natural m k n 3 2 = e 2.68 No sistema massa-mola mostrado na Fig. 2.38, a corda pode ser considerada como inextensível. Achar a freqüência natural de vibração, utilizando o Método da Energia. Figura 2.38 Energia cinética 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 u J x M x m T + + = com 2 , , 2 2 1 2 1 u u r x r x x x = = = e 2 2 1 Mr J = ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 3 4 2 1 2 4 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 u u u u u | | . | \ | + = | | . | \ | + + = | | . | \ | + | | . | \ | + = Mr mr Mr Mr mr Mr r M r m T Energia potencial 2 2 2 2 2 4 2 1 2 2 1 2 1 u u | | . | \ | = | . | \ | = = kr r k kx U Conservação da energia ( ) 0 4 4 3 4 2 2 2 = | | . | \ | + | | . | \ | + = + u u u u kr Mr mr U T dt d Equação do movimento ( ) 0 3 4 = + + u u k M m Freqüência natural M m k n 3 4 + = e 2.69 O cilindro de massa m e raio r rola sem deslizar em uma superfície de raio R, como mostra a Fig. 2.39. Determinar a freqüência de oscilação quando o cilindro é ligeiramente deslocado da sua posição de equilíbrio. Use o Método da Energia. Figura 2.39 Energia cinética – rotação pura em relação ao ponto de contato 2 2 2 2 2 1 u | | . | \ | + = mr mr T Energia potencial ( )( ) | cos 1÷ ÷ = = r R mg mgh U condição de rolamento puro ( ) ( ) ( ) u | u | u | r r R r r R r r R = ÷ ÷ = ÷ ÷ = ÷ Conservação da energia ( ) ( ) 0 sin 2 3 2 = ÷ + = + | | u u r R mg mr U T dt d Linearizando e substituindo os ângulos ( ) 0 2 3 2 = | | . | \ | ÷ | . | \ | ÷ ÷ + r R r r R r r R mg mr u u u u 0 2 3 = | . | \ | ÷ + u u r R g Freqüência natural ( ) r R g n ÷ = 3 2 e 2.70 Uma locomotiva de massa 60000 kg trafegando a uma velocidade de 20 m/s é parada no final dos trilhos por uma sistema massa-mola-amortecedor. Se a rigidez da mola é 40 kN/mm e a constante de amortecimento é 20 kN.s/m determinar: (a) o deslocamento máximo da locomotiva após atingir o sistema e (b) o tempo gasto para atingir o seu deslocamento máximo. Dados: m = 60 × 10 3 kg, v = 20 m/s, k = 40 kN/mm e c = 20 kN.s/m. (a) deslocamento máximo rad/s 8 , 25 10 60 10 40 3 6 = × × = = m k n e 00645 , 0 8 , 25 10 60 2 10 20 2 3 3 = × × × × = = n m c e , rad/s 8 , 25 8 , 25 00645 , 0 1 1 2 2 = × ÷ = ÷ = n d e , e Com x 0 = 0 e v 0 = 20 m/s m 775 , 0 8 , 25 20 0 2 0 2 0 0 = = = + | | . | \ | + = d d n v x x v X e e ,e ( ) rad 2 tan tan 1 0 0 0 1 t e ,e | = · = | | . | \ | + = ÷ ÷ d n x x v ( ) ( ) m 2 8 , 25 cos 775 , 0 cos 167 , 0 | . | \ | ÷ = ÷ = ÷ ÷ t | e ,e t e t Xe t x t d t n ( ) ( ) ( ) | | | e e | e ,e ,e ,e ÷ ÷ ÷ ÷ = ÷ ÷ t e t e X t x d t d d t n n n sin cos ( ) 0 0 = ÷ t x x máx ( ) ( ) 0 sin cos 0 0 = ÷ ÷ ÷ ÷ | e e | e ,e t t d d d n ( ) ( ) ( ) 2 2 0 0 0 1 1 tan cos sin , , e , ,e e ,e | e | e | e ÷ ÷ = ÷ ÷ = ÷ = ÷ = ÷ ÷ n n d n d d d t t t s 0606 , 0 2 00645 , 0 1 00645 , 0 tan 8 , 25 1 1 tan 1 2 1 2 1 0 = ( ( ¸ ( ¸ + | | . | \ | ÷ ÷ = ( ( ¸ ( ¸ + | | . | \ | ÷ ÷ = ÷ ÷ t | , , e d t ( ) m 767 , 0 2 0606 , 0 8 , 25 cos 775 , 0 0606 , 0 167 , 0 0 = | . | \ | ÷ × = × ÷ t e t x (b) tempo s 0606 , 0 0 = t 2.71 Um oscilador harmônico possui massa m = 1,2 kg, constante de amortecimento c = 12 N.s/m e constante de mola k = 0,5 kN/m. Determinar: (a) A freqüência natural amortecida. (b) O fator de amortecimento e o decremento logarítmico. Dados: m = 1,2 kg, c = 12 N.s/m e k = 0,5 kN/m.. (a) Freqüência natural amortecida rad/s 4 , 20 2 , 1 500 = = = m k n e 245 , 0 4 , 20 2 , 1 2 12 2 = × × = = n m c e , rad/s 8 , 19 4 , 20 245 , 0 1 1 2 2 = × ÷ = ÷ = n d e , e (b) Fator de amortecimento e decremento logaritmico 245 , 0 = , 59 , 1 245 , 0 1 245 , 0 2 1 2 2 2 = ÷ × = ÷ = t , t, o 2.72 A razão entre duas amplitudes sucessivas de um sistema de um grau de liberdade amortecido é 18:1. Determinar a mesma relação de amplitudes se a quantidade de amortecimento é (a) dobrada, ou (b) reduzida para a metade. Dados: razão entre amplitudes sucessivas = 18:1. 89 , 2 18 ln ln 2 1 = = = x x o Fator de amortecimento ( ) ( ) 418 , 0 89 , 2 2 89 , 2 2 2 2 2 2 = + = + = t o t o , Constante de amortecimento n m c e , 2 = (a) Dobrando c dobra , ( ) ( ) 57 , 9 418 , 0 2 1 418 , 0 2 2 1 2 2 2 = × ÷ × × = ÷ = t , t, o 3 57 , 9 2 1 10 3 , 14 × = = = e e x x o (b) Reduzindo , pela metade 34 , 1 2 418 , 0 1 2 418 , 0 2 1 2 2 2 = | . | \ | ÷ | . | \ | × = ÷ = t , t, o 83 , 3 34 , 1 2 1 = = = e e x x o 2.73 Um corpo vibrando com amortecimento viscoso completa 5 oscilações por segundo e em 50 ciclos sua amplitude diminui para 10 % de seu valor inicial. Determinar o decremento logarítmico e o fator de amortecimento. Qual será o percentual de diminuição do período de oscilação se o amortecimento for removido? Dados: f = 5 Hz, 50 ciclos amplitude cai para 10% da inicial. 0461 , 0 1 , 0 ln 50 1 ln 1 1 1 1 1 = | | . | \ | = | | . | \ | = + x x x x m m o ( ) ( ) 00733 , 0 0461 , 0 2 0461 , 0 2 2 2 2 2 = + = + = t o t o , s 2 , 0 5 1 = = d T Sem amortecimento s 199995 , 0 5 00733 , 0 1 1 1 2 2 = ÷ = ÷ = = d n n f f T , O percentual de redução é de 0,00269 %. 2.74 Um sistema viscosamente amortecido tem uma rigidez de 5000 N/m, constante de amortecimento crítico de 20 N.s/m, e um decremento logarítmico de 2,0. Se o sistema recebe uma velocidade inicial de 1 m/s, determinar o deslocamento máximo do mesmo. Dados: k = 5000 N/m, c c = 20 N.s/m, o = 2,0 e v 0 = 1 m/s. Fator de amortecimento ( ) ( ) 303 , 0 0 , 2 2 0 , 2 2 2 2 2 2 = + = + = t o t o , A constante de amortecimento crítico permite determinar a massa do sistema kg 02 , 0 5000 4 20 4 2 2 2 2 = × = = ÷ = ÷ = k c m m c m k m c c c n c e Então rad/s 500 02 , 0 2 20 = × = n e e rad/s 476 500 303 , 0 1 1 2 2 = × ÷ = ÷ = n d e , e A expressão para o movimento é ( ) ( ) | e ,e ÷ = ÷ t Xe t x d t n cos com m 00210 , 0 4 , 476 1 0 = = = d v X e e rad 2 0 1 tan tan 1 0 0 1 t e | = | . | \ | = | | . | \ | = ÷ ÷ n x v O deslocamento máximo ocorre quando a velocidade se anula ( ) ( ) ( ) 0 sin cos 1 1 1 1 1 = ÷ ÷ ÷ ÷ = ÷ ÷ | e e | e ,e ,e ,e t Xe t Xe t x d t c d t n n n ( ) ( ) s 00265 , 0 1 tan 2 1 sin cos 0 2 1 1 1 1 = ( ( ¸ ( ¸ | | . | \ | ÷ ÷ + = ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ = ÷ , , t e | e e | e ,e d d c d n t t t O deslocamento máximo será o deslocamento no tempo t 1 ( ) m 00134 , 0 2 00265 , 0 476 cos 00210 , 0 00265 , 0 500 303 , 0 = ( ¸ ( ¸ ÷ × = × × ÷ t e x máx 2.75 Um oscilador harmônico possui massa m = 30 kg e constante de rigidez k = 100 kN/m. Determinar: (a) A constante de amortecimento para um fator de amortecimento , = 0,1. (b) O decremento logarítmico e a freqüência natural amortecida. Dados: m = 30 kg, k = 100 kN/m e , = 0,1. (a) Constante de amortecimento N.s/m 346 100000 30 1 , 0 2 2 2 2 = × × × = = = = mk m k m m c n , , e , (b) Decremento logarítmico e freqüência natural amortecida 631 , 0 1 , 0 1 1 , 0 2 1 2 2 2 = ÷ × = ÷ = t , t, o rad/s 4 , 57 500 1 , 0 1 1 rad/s 7 , 57 30 100000 2 2 = × ÷ = ÷ = = = = n d n m k e , e e 2.76 Um oscilador harmônico amortecido possui massa m = 45 gr, constante de amortecimento c = 3,8 N.s/m, e constante de rigidez k = 1500 N/m. Determinar: (a) O fator de amortecimento, o decremento logarítmico, e a freqüência natural amortecida. (b) A resposta a um deslocamento inicial de 1 mm. Dados: m = 45 gr, c = 3,8 N.s/m, k = 1500 N/m e x 0 = 1 mm. (a) fator de amortecimento, o decremento logarítmico, e a freqüência natural amortecida: rad/s 183 045 , 0 1500 = = = m k n e 231 , 0 183 045 , 0 2 8 , 3 2 = × × = = n m c e , 49 , 1 231 , 0 1 231 , 0 2 1 2 2 2 = ÷ × = ÷ = t , t, o rad/s 178 183 231 , 0 1 1 2 2 = × ÷ = ÷ = n d e , e (b) resposta a um deslocamento inicial de 1 mm. 2 0 2 0 0 x x v X d n + | | . | \ | + = e ,e com v 0 = 0 e x 0 = 1 mm. m 10 03 , 1 001 , 0 178 001 , 0 183 231 , 0 3 2 2 ÷ × = + | . | \ | × × = X rad 233 , 0 231 , 0 1 231 , 0 tan 1 tan 2 1 2 1 = | | . | \ | ÷ = | | . | \ | ÷ = ÷ ÷ , , | ( )mm 233 , 0 178 cos 03 , 1 2 , 42 ÷ = ÷ t e x t 2.77 Um oscilador harmônico amortecido possui massa m = 3 kg e constante de rigidez k = 500 N/m. O decremento logarítmico medido foi 2,5. Determinar: (a) O fator de amortecimento. (b) A freqüência natural amortecida. Dados: m = 3 kg, k = 500 N/m e o = 2,5. (a) O fator de amortecimento. ( ) ( ) 370 , 0 5 , 2 2 5 , 2 2 2 2 2 2 = + = + = t o t o , (b) A freqüência natural amortecida. rad/s 9 , 12 3 500 = = = m k n e rad/s 0 , 12 9 , 12 370 , 0 1 1 2 2 = × ÷ = ÷ = n d e , e 2.78 Um oscilador harmônico amortecido possui massa m = 8 kg e constante de rigidez k = 1,2 MN/m. Determinar: (a) O fator de amortecimento e a freqüência natural amortecida para um decremento logarítmico 0,05. (b) A constante de amortecimento. Dados: m = 8 kg, k = 1,2 MN/m e o = 0,05. (a) O fator de amortecimento e a freqüência natural amortecida ( ) ( ) 3 2 2 2 2 10 96 , 7 05 , 0 2 05 , 0 2 ÷ × = + = + = t o t o , rad/s 387 8 10 2 , 1 6 = × = = m k n e rad/s 387 387 00796 , 0 1 1 2 2 = × ÷ = ÷ = n d e , e (b) A constante de amortecimento N.s/m 3 , 49 387 8 00796 , 0 2 2 = × × × = = n m c e , 2.79 Uma máquina possui massa m = 250 kg e seu suporte tem constante de amortecimento c = 1,45 kN.s/m e rigidez k = 130 kN/m. Se a máquina e sua base é modelada para vibração vertical como um sistema de um grau de liberdade, determinar: (a) A freqüência natural amortecida. (b) A expressão para o movimento resultante de um deslocamento inicial de 1 mm na direção vertical. Dados: m = 250 kg, c = 1,45 kN.s/m, k = 130 kN/m e x 0 = 1mm. (a) A freqüência natural amortecida. rad/s 8 , 22 250 130000 = = = m k n e 127 , 0 8 , 22 250 2 1450 2 = × × = = n m c e , rad/s 6 , 22 8 , 22 127 , 0 1 1 2 2 = × ÷ = ÷ = n d e , e (b) A expressão para o movimento resultante 2 0 2 0 0 x x v X d n + | | . | \ | + = e ,e com v 0 = 0 e x 0 = 1 mm. m 10 01 , 1 001 , 0 6 , 22 001 , 0 8 , 22 127 , 0 3 2 2 ÷ × = + | | . | \ | × × = X rad 128 , 0 127 , 0 1 127 , 0 tan 1 tan 2 1 2 1 = | | . | \ | ÷ = | | . | \ | ÷ = ÷ ÷ , , | ( )mm 128 , 0 6 , 22 cos 01 , 1 90 , 2 ÷ = ÷ t e x t 2.80 Uma máquina possui massa m = 250 kg e freqüência natural amortecida para vibração vertical e d = 5140 rad/s. Através da medição do decremento logarítmico achou-se um fator de amortecimento , = 0,12. Se a máquina e sua base é modelada como um sistema de um grau de liberdade para vibração vertical, determinar: (a) A rigidez k do suporte elástico. (b) O movimento resultante de uma velocidade inicial de 1 mm/s na direção vertical, imposta por um impacto. Dados: m = 250 kg, e d = 5140 rad/s, , = 0,12 e v 0 = 1mm/s. (a) A rigidez k do suporte elástico. GN/m 70 , 6 12 , 0 1 5140 250 1 2 2 2 2 = ÷ × = ÷ = , e d m k (b) O movimento resultante de uma velocidade inicial de 1 mm/s na direção vertical, imposta por um impacto. rad/s 5177 250 10 701 , 6 9 = × = = m k n e v 0 = 1mm/s m 10 195 5140 001 , 0 9 0 2 0 2 0 0 ÷ × = = = + | | . | \ | + = d d n v x x v X e e ,e 2 t | = m 2 5140 cos 10 195 621 9 | . | \ | ÷ × = ÷ ÷ t t e x t 2.81 Uma máquina possui uma base com rigidez k = 55 kN/m e uma freqüência natural de vibração vertical amortecida e d = 255 rad/s. Medindo-se o decremento logarítmico, determinou-se um fator de amortecimento , = 0,18. Se a máquina e sua base são modeladas como um sistema de um grau de liberdade em vibração vertical, determinar: (a) A massa da máquina. (b) O movimento resultante de um deslocamento inicial de 1 mm e uma velocidade inicial de 130 mm/s na direção vertical. Dados: k = 55 kN/m, e d = 255 rad/s, , = 0,18, x 0 = 1mm e v 0 = 130mm/s. (a) A massa da máquina. ( ) ( ) kg 818 , 0 255 18 , 0 1 55000 1 2 2 2 2 = ÷ × == ÷ = d k m e , (b) O movimento resultante de um deslocamento inicial de 1 mm e uma velocidade inicial de 130 mm/s na direção vertical. rad/s 2 , 259 8184 , 0 55000 = = = m k n e mm 22 , 1 001 , 0 255 001 , 0 259 18 , 0 13 , 0 2 2 0 2 0 0 = + | . | \ | × × + = + | | . | \ | + = x x v X d n e ,e rad 606 , 0 255 001 , 0 001 , 0 259 18 , 0 13 , 0 tan tan 1 0 0 0 1 = | | . | \ | × × × + = | | . | \ | + = ÷ ÷ d n x x v e ,e | ( )mm 606 , 0 255 cos 22 , 1 7 , 46 ÷ = ÷ t e x t 2.82 Um instrumento eletrônico possui massa m = 3,4 kg e está apoiada em quatro coxins de elastômero com rigidez k = 5400 N/m cada um. O fator de amortecimento, medido a partir do decremento logarítmico, é , = 0,20. Se o instrumento e seus apoios é modelado como um sistema de um grau de liberdade em vibração vertical, determinar: (a) A freqüência natural. (b) Uma ferramenta pesando 0,5 kg cai sobre o instrumento resultando em uma amplitude de vibração de 1,7 mm. Determinar a velocidade inicial devido ao impacto da ferramenta. Dados: m = 3,4 kg, k = 5400 N/m cada um dos 4 coxins, , = 0,20, m 1 = 0,5 kg e X = 1,7 mm. (a) Freqüência natural rad/s 7 , 79 4 , 3 5400 4 = × = = m k n e (b) Velocidade inicial devido ao impacto da ferramenta X v x x n n = + ÷ | \ | . | | + 0 0 2 2 0 2 1 ,e , e Explicitando para v 0 0 2 0 2 0 x x X v n d ,e e ÷ ÷ = Com mm 227 , 0 5400 4 81 , 9 5 , 0 1 0 ÷ = × × = ÷ = k g m x e a nova freqüência natural igual a rad/s 4 , 74 5 , 0 4 , 3 5400 4 = + × = n e e rad/s 9 , 72 4 , 74 2 , 0 1 2 = × ÷ = d e a velocidade inicial resulta ( ) ( ) mm/s 126 000227 , 0 4 , 74 2 , 0 000227 , 0 0017 , 0 9 , 72 2 2 0 = ÷ × × ÷ ÷ = v 2.83 Um voltímetro mostrado na Fig. 2.40 possui um ponteiro de alumínio (µ = 2700 kg/m 3 ) de comprimento l = 50 mm, largura 3 mm, e espessura 1 mm. A mola restauradora tem uma constante de mola rotacional k = 100 N.mm/rad. Um amortecedor para amortecimento crítico é posicionado a um raio r = 8 mm. Durante uma medida o instrumento mostra 80 volts. Quando a voltagem é desligada, determinar o tempo requerido para o ponteiro retornar à indicação de 1 volt. Figura 2.40 Dados: µ = 2700 kg/m 3 , l = 50 mm, b = 3 mm, t = 1 mm, k = 100 N.mm/rad, r = 8 mm, X 1 = 80 volts e X 2 = 1 volt. Massa kg 10 405 , 0 05 , 0 001 , 0 003 , 0 2700 3 ÷ × = × × × = = btL m µ Equação do movimento 0 3 3 0 3 2 2 2 2 2 = + + = + + = ÷ ÷ u u u u u u u u u mL k L m r c k cr mL J r cr k t t t Freqüência natural rad/s 3 , 544 05 , 0 10 05 , 4 1 , 0 3 3 2 4 2 = × × × = = ÷ mL k t n e Equação do movimento com amortecimento crítico ( ) ( ) | | t n n e t t e u e u u u ÷ + + = 0 0 0 Com rad 80 0 K = u e 0 0 = u ( ) | | t n n e t K t e e u ÷ + = 1 80 Para ( ) rad 1 1 K t = u ( ) | | 1 1 1 1 80 1 t n n e t K K t e e u ÷ + = = De onde s 01172 , 0 1 = t 2.84 Um medidor de nível de água mostrado na Fig. 2.41 possui uma bóia cilíndrica de 100 mm de diâmetro (massa desprezível), uma barra com massa 0,5 kg, l = 70 mm e L = 420 mm. Determinar a constante de amortecimento requerida para produzir amortecimento crítico. Figura 2.41 Dados: d = 100 mm, m = 0,5 kg, l = 70 mm e L = 420 mm. Equação do movimento ( ) 0 4 3 3 3 4 2 2 2 2 2 = + + = ÷ ÷ u t µ u u u t u µ u m d g L m l c L m L g d L l l c Freqüência natural rad/s 5 , 21 5 , 0 4 1 , 0 81 , 9 1000 3 4 3 2 2 = × × × × × = = t t µ e m d g n Amortecimento crítico 2 2 2 2 3 2 2 3 l L m c L m l c n c n e e , = ÷ = N.s/m 258 07 , 0 3 5 , 21 42 , 0 5 , 0 2 2 2 = × × × × = c c 2.85 Uma massa de 10 kg oscila deslizando em uma superfície seca sob a ação de uma mola de rigidez 10 N/mm. Após quatro ciclos completos a amplitude é 100 mm. Qual é o coeficiente de atrito médio entre as duas superfícies se a amplitude original era 150 mm? Em quanto tempo a massa executou os quatro ciclos? Dados: m = 10 kg, k = 10 N/mm, 4 ciclos completos, X 4 = 100 mm, X 0 = 150 mm. Queda de amplitude: k N µ 2 a cada meio ciclo 4 ciclos ( ) | . | \ | × × = × ÷ ÷ k N µ 2 2 4 10 100 150 3 Como kg 1 , 98 81 , 9 10 = × = = mg N Então 0,319 98,1 16 10000 10 50 3 = × × × = ÷ µ O movimento cessará após r meio ciclos ciclos meio 24 5 , 23 10000 1 , 98 3186 , 0 2 10000 1 , 98 3186 , 0 15 , 0 2 0 ÷ = | | | | . | \ | × × × ÷ = | | | | . | \ | ÷ > k N k N x r µ µ O tempo para que se execute 4 ciclos é s 795 , 0 10000 10 2 4 2 4 2 4 4 = × = | | . | \ | = | | . | \ | = t t e t k m t n ciclos Tempo de parada s 38 , 2 2 199 , 0 24 2 = | . | \ | × = | . | \ | = T r t f 2.86 Uma massa de 20 kg está suspensa por uma mola de rigidez 10000 N/m. O movimento vertical da massa está sujeito a uma força de atrito de Coulomb de magnitude 50 N. Se a mola é inicialmente deslocada de 5,5 cm para baixo de sua posição de equilíbrio estático determinar: (a) o número de meio ciclos transcorridos até que atinja o repouso; (b) o tempo transcorrido antes da massa atingir o repouso e (c) o alongamento final da mola. Dados: m = 20 kg, k = 10000 N/m, F a = 50 N e x 0 = 5 cm. (a) Número de meio-ciclos até o repouso ciclos meio 5 10000 50 2 10000 50 055 , 0 2 0 = | | | | . | \ | × ÷ = | | | | . | \ | ÷ > k N k N x r µ µ (b) Tempo transcorrido até atingir o repouso s 281 , 0 10000 20 2 2 2 = = = = t t e t k m T n s 702 , 0 2 281 , 0 5 2 = | . | \ | × = | . | \ | = T r t f (c) Posição em que ocorrerá a parada ( ) m 005 , 0 10000 50 2 5 055 , 0 2 0 = | . | \ | × × ÷ = | . | \ | ÷ = k N r x t x f µ 2.87 A massa m = 2 kg de um oscilador harmônico linear com k = 500 N/m desliza em uma superfície horizontal com coeficiente de atrito estático µ s = 0,2 e cinético µ = 0,08. (a) Determinar o máximo valor do deslocamento inicial que não resultará em qualquer movimento devido à força de atrito. (b) Determinar o número de ciclos para a vibração iniciada por um deslocamento inicial de 25 mm até parar completamente. Dados: m = 2 kg, k = 500 N/m, µ s = 0,2 e µ c = 0,08. (a) Deslocamento inicial máximo ( ) mm 85 , 7 500 81 , 9 2 2 , 0 max 0 = × × = = k N x s µ (b) Número de ciclos até a parada ciclos 2 ciclos meio 4 48 , 3 500 81 , 9 2 08 , 0 2 500 81 , 9 2 08 , 0 025 , 0 2 0 ÷ ÷ = | | | | . | \ | × × × × × ÷ = | | | | . | \ | ÷ > k N k N x r µ µ 2.88 Um painel construído por uma fibra composta especial reforçada se comporta como um sistema de um grau de liberdade com massa de 1 kg e rigidez de 2 N/m. A relação entre amplitudes sucessivas é 1,1. Determinar o valor da constante de amortecimento histerético |, da constante de amortecimento viscoso equivalente c eq e a energia perdida por ciclo para uma amplitude de 10 mm. Dados: m = 1 kg, k = 2 N/m, relação entre amplitudes sucessivas = 1,1 e X = 10 mm. Decremento logarítmico ( ) 0953 , 0 1 , 1 ln = = o Fator de amortecimento viscoso equivalente ( ) ( ) 0152 , 0 0953 , 0 2 0953 , 0 2 2 2 2 2 = + = + = t o t o , Freqüência natural rad/s 41 , 1 1 2 = = = m k n e Freqüência do movimento amortecido rad/s 41 , 1 41 , 1 0152 , 0 1 1 2 2 = × ÷ = ÷ = n d e , e Constante de amortecimento viscoso equivalente s/m N 0429 , 0 41 , 1 1 0152 , 0 2 2 · = × × × = = n eq m c e , Coeficiente de amortecimento histerético 03033 , 0 2 414 , 1 04290 , 0 = × = = k c d eq e | Energia dissipada por ciclo ( ) ) (N.m J 10 1 , 19 01 , 0 41 , 1 0429 , 0 6 2 2 ÷ × = × × × ÷ = ÷ = A t e t X c W d eq 2.89 Uma viga engastada com rigidez à flexão de 200 N/m suporta uma massa de 2 kg na sua extremidade livre. A massa é deslocada inicialmente de 30 mm e abandonada a mover-se livremente. Se a amplitude após 100 ciclos do movimento é 20 mm estimar a constante de amortecimento histerético | da viga. Dados: k = 200 N/m, m = 2 kg, x 0 = 30 mm e x 100 = 20 mm. Decremento logarítmico 00405 , 0 02 , 0 03 , 0 ln 100 1 ln 1 1 1 = | | . | \ | = | | . | \ | = + m x x m o Fator de amortecimento viscoso equivalente ( ) ( ) 000645 , 0 00405 , 0 2 00405 , 0 2 2 2 2 2 = + = + = t o t o , Freqüência natural rad/s 0 , 10 2 200 = = = m k n e Freqüência do movimento amortecido ( ) rad/s 0 , 10 10 000645 , 0 1 1 2 2 = × ÷ = ÷ = n d e , e Constante de amortecimento viscoso equivalente s/m N 0258 , 0 10 2 000645 , 0 2 2 · = × × × = = n eq m c e , Coeficiente de amortecimento histerético 00129 , 0 200 10 0258 , 0 = × = = k c d eq e | 2.90 Um oscilador harmônico torsional possui momento de inércia de massa em relação ao seu centro de rotação J = 1,2 kg.m 2 e rigidez torsional k t = 8500 N.m/rad. Determinar a freqüência natural torsional em rad/seg, Hz, e CPM (ciclos por minuto). Dados: J = 1,2 kg.m 2 e k t = 8500 N.m/rad. rad/s 2 , 84 2 , 1 8500 = = = J k t n e cpm 804 Hz 4 , 13 2 2 , 84 2 = = = = t t e n n f 2.91 Um oscilador harmônico torsional possui momento de inércia de massa em relação ao seu centro de rotação J = 10 kg.m 2 e seu período natural de vibração foi medido em um osciloscópio, sendo igual a 35 ms. Determinar a sua rigidez torsional. Dados: J = 10 kg.m 2 e T n = 35 ms. rad/s 180 035 , 0 2 2 = = = t t e n n T kN/m 322 180 10 2 2 = × = = n t J k e 2.92 Um oscilador harmônico torsional com momento de inércia de massa em relação ao seu centro de rotação J = 1 kg.m 2 e rigidez torsional k t = 40000 N.m/rad possui uma freqüência natural muito próxima à freqüência excitadora. Decidiu-se que o momento de inércia ou a rigidez deveriam mudar para diminuir a freqüência natural em 30%. Determinar a mudança requerida em cada opção. Dados: J = 1 kg.m 2 , k t = 40000 N.m/rad. Freqüência natural rad/s 200 0 , 1 40000 = = = J k t n e Redução de 30% rad/s 140 1 = n e Alteração no momento de inércia 2 2 1 1 kg.m 04 , 2 = = n t k J e Alteração na rigidez rad m N 19600 2 1 1 · = = n t J k e 2.93 O rotor P de uma bomba centrífuga (Fig. 2.42) está conectada a um motor que gira com velocidade angular constante e, através de um acoplamento flexível com constante de rigidez torsional K T e um par de engrenagens com raios r 1 e r 2 e momentos de inércia de massa polares J 1 e J 2 , respectivamente. O rotor da bomba possui momento de inércia de massa polar J P . Determinar a freqüência natural da oscilação torsional, assumindo que os eixos de conexão são rígidos. Figura 2.42 Energia cinética 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 e e e P J J J T + + = Relação de transmissão 1 2 1 2 2 2 1 1 e e e e r r r r = ÷ = Resultando em uma energia cinética ( ) 2 1 2 2 2 2 1 1 2 1 e | | . | \ | + + = P J J r r J T Momento de inércia equivalente ( ) 2 2 2 1 2 2 2 1 r r J J r J J P eq + + = Freqüência natural ( ) 2 1 2 2 2 1 2 2 r J J r J r k J k P T eq T n + + = = e 2.94 Determinar a freqüência natural de oscilação do pêndulo duplo composto mostrado na Fig. 2.43 para pequenas oscilações em torno da posição de equilíbrio. Figura 2.43 Equações do movimento ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 sin sin u u u u J L m Fr gL m J L m Fr gL m + = + ÷ + = ÷ ÷ Relação de transmissão 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 u u u u u u r r r r r r = ÷ = ÷ = Da segunda das equações do movimento, linearizando ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 r gL m L m J F u u + + = Substituindo F e as relações da transmissão na primeira das equações do movimento chega-se a ( ) ( ) 0 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 = ( ( ¸ ( ¸ | | . | \ | + + ( ( ¸ ( ¸ + | | . | \ | + + u u gL m r r gL m L m J r r L m J Cuja freqüência natural é ( ) 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 L m J r r L m J gL m r r gL m n + | | . | \ | + + | | . | \ | + = e 2.95 Um oscilador harmônico torsional com momento de inércia de massa em relação ao seu centro de rotação J = 1 kg.m 2 e rigidez torsional k t = 10000 N.m/rad possui uma freqüência de oscilação torsional igual a 96 rad/seg, ao invés dos 100 rad/seg esperados. Suspeitou-se que alguma forma de amortecimento foi introduzida no sistema diminuindo a freqüência de oscilação. Determinar o fator de amortecimento. Dados: J = 1 kg.m 2 , k t = 10000 N.m/rad, e n = 100 rad/s, e d = 96 rad/s, Freqüências natural e do movimento amortecido n 2 1 e , e ÷ = d De onde o fator de amortecimento pode ser obtido 280 , 0 100 96 1 1 2 2 = | . | \ | ÷ = | | . | \ | ÷ = n d e e , 2.96 O rotor de um indicador de sintonia de radio (dial) está conectado a uma mola e a um amortecedor torcionais formando um sistema de um grau de liberdade. A escala é graduada em divisões iguais e a posição de equilíbrio do rotor corresponde ao zero da escala. Quando um torque de 2x10 -3 N.m é aplicado estaticamente, o deslocamento angular do rotor é 50 o com o ponteiro mostrando 80 divisões da escala. Quando o rotor é liberado de sua posição, o ponteiro balança primeiro para -20 divisões em um segundo e depois para 5 divisões no outro segundo. Achar: (a) A constante de mola torsional; (b) O período natural não amortecido do rotor; (c) O momento de inércia de massa do rotor, (d) A constante de amortecimento torsional. Dados: M t = 2×10 -3 N.m, u 0 = 50 o 80 divisões da escala, u 0,5 -20 divisões e u 1 5 divisões (a) Constante de mola torsional m/rad N 10 29 , 2 180 50 10 2 3 3 · × = × × = = ÷ ÷ t u t t M k (b) Período natural não amortecido O período amortecido é 2 s. Para determinar o período não amortecido é necessário calcular o fator de amortecimento, que exige o conhecimento do decremento logarítmico. 77 , 2 5 80 ln ln 1 0 = | . | \ | = | | . | \ | = K K u u o O fator de amortecimento é ( ) 404 , 0 2 2 2 = + = o t o , A relação entre os períodos é ( ) s 83 , 1 2 404 , 0 1 1 2 2 = × ÷ = ÷ = d n T T , (c) Momento de inércia do rotor É necessário conhecer a freqüência natural que é rad/s 43 , 3 83 , 1 2 2 = = = t t e n n T De forma que o momento de inércia é 2 6 2 m kg 10 194 × × = = ÷ n t O k J e (d) Constante de amortecimento torsional s/rad m N 10 539 2 6 · · × = = ÷ n O t J c e , 2.97 Um pêndulo torsional tem uma freqüência natural de 200 cpm quando vibrando no vácuo. O momento de inércia de massa do disco é 0,2 kg.m 2 . Quando está imerso em óleo sua freqüência natural é 180 cpm. Determinar a constante de amortecimento. Se o disco, quando imerso no óleo, sofre um deslocamento inicial de 2 o , achar seu deslocamento no final do primeiro ciclo. Dados: f n = 200 com, J = 0,2 kg.m 2 , f d = 180 com e u 0 = 2 o . Fator de amortecimento 436 , 0 200 180 1 1 2 2 = | . | \ | ÷ = | | . | \ | ÷ = n d f f , Constante de amortecimento torsional s/rad m N 3,65 60 2 200 2 , 0 436 , 0 2 2 · · = × × × × = = t e , n O t J c Amplitude angular rad 0388 , 0 180 2 60 2 180 180 2 60 2 200 436 , 0 0 2 2 2 0 2 0 0 = | . | \ | × + | | | | | . | \ | | . | \ | × | . | \ | × × | . | \ | × × + = + | | . | \ | + = O t t t t u e u ,e u d n Ângulo de fase rad 451 , 0 180 200 436 , 0 tan 60 2 180 180 2 180 2 60 2 200 436 , 0 0 tan tan 1 1 0 0 0 1 = | . | \ | × = | | | | | . | \ | | . | \ | × × | . | \ | × | . | \ | × × | . | \ | × × + = | | . | \ | + = ÷ ÷ ÷ | t t t t e u u ,e u | d n Período da oscilação amortecida s 333 , 0 60 2 180 2 2 = | . | \ | × = = t t e t d d T Posição angular após o primeiro ciclo (transcorrido um período de oscilação) ( ) ( ) rad 10 66 , 1 cos 3 ÷ ÷ × = ÷ O = | e u ,e d d T d T e T d n