1Professor Mestre Matusalém Vieira Martins Visite o meu site www.professormatusalem.com Resolução dos exercícios do Trabalho Efetivo Discente – TED Lista de exercícios 1. 01) Determine os elementos dos conjuntos: a) A = { x | x 2 = 9 } Solução: x 2 = 9 √ A = {-3, 3} b) B = { x | x é letra da palavra "arara"} B = {a, r} c) C = { x | x e R e x 2 < 0 } C = d) D = { x | x e N e x s3 } D = {0,1,2,3} 02) Descreva por meio de uma propriedade característica de seus elementos os conjuntos: a) A = { a, e, i, o, u } A = { x | x é vogal} b) B = { 2, 4, 6, 8, ....} B= { x | x é natural par} c) C = { r, s, t, u, v, x, z} C = { x | x são as 7 últimas letras do alfabeto} 03) Sejam A= {x, y, z} e B={x}. Escrever com símbolos as seguintes sentenças classificando-as em falsas ou verdadeiras: a) x é elemento de A x A verdadeira b) y não pertence a B y verdadeira c) B é subconjunto de A verdadeira d) B pertence a A Está não é uma relação válida e) B está contido em A verdadeira Lista de exercícios 2. 04) Se A = {a} , B = {a, b} , C = {c, d} , D = { a, b, c} e E = { b, c, d}, determinar quais das seguintes sentenças são verdadeiras, justificando as falsas: a) A c D ( V ) b) B c E ( F ) pois em a D 2 Professor Mestre Matusalém Vieira Martins Visite o meu site www.professormatusalem.com c) D = E ( F ) pois possuem elementos diferentes d) C D ( F ) pois a e b e) B = C ( V ) f) B . D ( F ) pois os elementos de pertencem também a D 05) Dados A= {x e R | 0s xs 4} e B = {xeR | 1s xs 3} determinar A - B. A – B = { x R |0 x 1 e 3 x4} 06) Numa escola com 517 alunos, 290 estudam Matemática, 210 estudam Física e 112 não estudam nem Matemática nem Física. Pede-se: - quantos alunos estudam Matemática ou Física? 405 - quantos alunos estudam Matemática e Física? 95 - quantos alunos estudam Matemática e não estudam Física? 195 Como a escola tem 517 e 112 não estudam nem matemática e nem física, temos: 517 – 112 = 405 Portanto 405 alunos estudam matemática e/ou física. Como 290 estudam matemática e 210 estudam física, temos: 290 + 210 = 500 Mas como vimos temos apenas 405 alunos, logo a diferença são os alunos que estudam as duas matérias. 500- 405 = 95 Veja a representação no diagrama de Venn. Lista de exercícios 3. 07) Dado o conjunto A = {a, c, e, g, i}, indique quais das seguintes sentenças são verdadeiras: a) e eA V b) heA F c) ieA F d) ceA V e) deA V 08) Represente, através da enumeração dos elementos, os seguintes conjuntos: a) O conjunto A, dos números primos menores que 10. A = { 2,3,5,7} b) O conjunto B, dos pólos geográficos. B = {norte, sul, leste, oeste} c) O conjunto C, dos números múltiplos positivos de 3 menores que 15. C = {3,6,9,12} d) O conjunto D, dos divisores positivos de 9. D= {1,3,9} e) O conjunto E, dos números pares maiores que 7. E = {8,10,12,14,...} M F U 195 115 95 112 3 Professor Mestre Matusalém Vieira Martins Visite o meu site www.professormatusalem.com 09) Determine os elementos dos seguintes conjuntos: a) A = {x | x é número de uma das faces do dado} A = {1,2,3,4,5,6} b) B = {x | x é dia da semana cujo nome começa por s} B = { segunda-feira, sexta-feira, sábado} c) C = {x | x é numero ímpar compreendido entre 12 e 18} C = {13,15,17} d) D = {x | x é consoante da palavra conjunto} D = {c,n,j,t} 10) Represente os seguintes conjuntos através de uma propriedade comum a seus elementos: a) A = {1,3,5} A = { x | x é impar e x<7} b) B = {1,2,4,8,16,32} B = { x | x é com x } c) C = {cheia, nova, minguante, quarto crescente} C = { x | x fases da lua} d) D = {trapézio retângulo, trapézio isósceles, trapézio escaleno} D = { x | x tipos de trapézio } 11) Verifique se cada um dos seguintes conjuntos é unitário ou vazio, JUSTIFICANDO SUA RESPOSTA: a) A = {x | x é número natural e x – 2 = 5} É unitário pois só existe um valor para x, x = 7 b) B = {x | x é número par compreendido entre 6 e 8} É vazio pois não existe par entre 6 e 8 c) C = {x | x é número natural primo e par} É unitário pois só existe o número 2 d) D = {x | x é número natural e x . 0 = 2} É vazio pois todo número multiplicado por 0 dá como resultado 0 Lista de exercícios 4. 12) Dados os conjuntos A = {0, 2, 4, 6}, B = {0, 4}, C = {4} e D = {0, 2} assinale as sentenças verdadeiras, JUSTIFICANDO SUA RESPOSTA: a) A C V b) D.B V c) C B F pois em 0C d) A D V 13) Dados os conjuntos A = {1, 3, 5, 7, 9} B = {x | x é número natural e x – 5 = 2} C = {x | x é número inteiro compreendido entre 5 e 8} Assinale as sentenças verdadeiras, JUSTIFICANDO SUA RESPOSTA: a) A C F pois 6 b) Bc A V pois todos elementos de B também são de A 14) Determine o número de elementos de P(A) nos seguintes casos: 4 Professor Mestre Matusalém Vieira Martins Visite o meu site www.professormatusalem.com a) A = {x | x é número primo entre 4 e 8} onde n é o número de elementos do conjunto, Logo como A tem 2 elementos, temos b) B = {x | x é numero natural ímpar menor do que 8} onde n é o número de elementos do conjunto, Logo como A tem 4 elementos, temos 15) Sabendo que o conjunto das partes de um conjunto tem 32 elementos, determine o número de elementos do conjunto A. 16) Dado A ={4, 6}, temos que P(A) = { C, {4}, {6}, A}. Classifique como verdadeira (V) ou falsa (F) cada afirmação, justificando cada afirmação: a) 4eA V b) 4e P(A) F, pois 4 é elemento do conjunto A c) C e P(A) V d) C c A F, pois está contido nas partes de A e) Ac P(A) V Lista de exercícios 5. 17) Hachure nos diagramas a região que representa os seguinte conjuntos: a) A B b) A B C 18) Dados os conjuntos A = {a, e}, B = {b, c, d, f}, C = {a, c, e, g} e D = {b, d, f}, determine: a) A B= {a,b,c,d,e,f} b) A C= {a,c,e,g} c) B D={b,c,d,f} d) (A B) C = {a,b,c,d,e,f,g} 19) Dados os conjuntos A = {1, 3, 5, 7}, B = {2, 4, 6, 8} e C = {3, 4, 5}, obtenha: a) A – B = {1, 3, 5, 7} b) B – C = {2, 6, 8} c) C – B = {3, 5} d) A – C = {1, 7} 20) Indique se é verdadeira (V) ou falsa (F) cada afirmação: a) A – B = B – A F b) (A – B) c (A B) V c) (A – B) c A V 01) Hachure nos diagramas a região que representa os seguinte conjuntos: a) A B b) A B C A B A B 5 Professor Mestre Matusalém Vieira Martins Visite o meu site www.professormatusalem.com 21) Numa comunidade são consumidos três produtos A, B e C. Feita uma pesquisa de mercado sobre o consumo foram obtidos os resultados da tabela abaixo: Produtos A B C A e B B e C A e C A e B e C Nenhum No. Consumidor es 100 150 200 20 40 30 10 130 Determine quantas pessoas: a) foram consultadas. É só somar todos os valores do diagrama 60+10+10+20+100+30+140+130 = 500 b) consomem somente dois produtos. É só somar as interseções entre dois conjuntos 10+20+30=60 c) não consomem o produto B. é só somar os pedaços fora de B 60+20+140+130= 350 d) não consomem A ou não consomem B. É só somar as partes fora de A e de B 140+ 130 = 270 Lista de exercícios 6: 22) Verdadeiro ou falso? a) ( F ) Vetor é uma grandeza escalar. b) ( V ) Norma de um vetor é sinônimo de tamanho de um vetor. c) ( F ) Um vetor é uma flecha. d)( V ) Duas flechas de mesmo comprimento, mesma direção e mesmo sentido são representantes de um mesmo vetor. e) ( V ) A norma de um vetor e a de seu oposto são iguais: // - u // = // u // f ) ( V ) Se // u // = 1 então u é chamado versor. g) ( V ) O único vetor de norma zero é o vetor nulo. h) ( V ) Para todo vetor u tem-se 0 u ± . i ) ( V ) Se u é um vetor qualquer e A um ponto qualquer, tem-se A – A // u . j ) ( V ) A AB ÷ = B A B U 60 100 10 140 10 30 20 130 C 6 Professor Mestre Matusalém Vieira Martins Visite o meu site www.professormatusalem.com Lista de exercícios 7: 23) Decida se é verdadeira ou falsa cada uma das afirmações referentes à Figura 01, justificando sua resposta: FIGURA 01 a) O – F = C – O ( V ) Pois representam o mesmo vetor b) E – O = B – O ( F ) Não pois são vetores opostos c) B – O = C – O ( F ) Não pois são vetores de mesmo tamanho mas sentido e direção diferentes d) D – O = O – A ( V ) Pois representam o mesmo vetor e) A – O = O – D ( V ) Pois representam o mesmo vetor f) E – O = -(O – E) ( V ) Pois representam o mesmo vetor g) C – O = -(F – O) ( V ) Pois representam o mesmo vetor h) C – F = D – E ( F ) Não pois tem tamanho diferentes i) C – B = D – O ( V ) Pois representam o mesmo vetor 24) Na figura 06 estão representados os vetores paralelos u e v e estão indicadas suas normas. Calcule a norma de v u + em cada caso e desenhe uma flecha que representa v u + . 7 Professor Mestre Matusalém Vieira Martins Visite o meu site www.professormatusalem.com FIGURA 06 Lista de exercícios 8: A1) (u + v) + w = u + (v + w) A2) u + v = v + u A3) u + 0 = u A4) u +(-u) = 0 M1) ().u = (.u) M2) ( + ).u = .u + .u M3) (u + v) = .u + .v M4) 1.u = u Nos problemas seguintes, apresenta-se, em cada um deles, um conjunto com as operações de adição e multiplicação por escalar nele definidas. Verificar quais deles são espaços vetoriais. Para aqueles que não são, citar os axiomas que não se verificam. 25) {(x, 2x, 3x); x e }: com as operações usuais u = (x 1 , 2x 1 , 3x 1 ), v = (x 2 , 2x 2 , 3x 2 ) e w = (x 3 , 2x 3 , 3x 3 ), A1) (u + v) + w = u + (v + w) [(x 1 , 2x 1 , 3x 1 )+ (x 2 , 2x 2 , 3x 2 )] + (x 3 , 2x 3 , 3x 3 ) = (x 1 , 2x 1 , 3x 1 ) + [(x 2 , 2x 2 , 3x 2 ) + (x 3 , 2x 3 , 3x 3 )] [(x 1 +x 2 , 2x 1 +2x 2 , 3x 1 +3x 2 )] + (x 3 , 2x 3 , 3x 3 ) = (x 1 , 2x 1 , 3x 1 ) + [(x 2 +x 3 , 2x 2 +2x 3 , 3x 2 +3x 3 )] (x 1 +x 2 +x 3 , 2x 1 +2x 2 +2x 3 , 3x 1 +3x 2 +3x 3 ) = (x 1 +x 2 +x 3 , 2x 1 +2x 2 +2x 3 , 3x 1 +3x 2 +3x 3 ) (x 1 +x 2 +x 3 , 2(x 1 +x 2 +x 3 ), 3(x 1 +x 2 +x 3 )) = (x 1 +x 2 +x 3 , 2(x 1 +x 2 +x 3 ), 3(x 1 +x 2 +x 3 )) Este axioma se verifica A2) u + v = v + u (x 1 , 2x 1 , 3x 1 )+ (x 2 , 2x 2 , 3x 2 ) = (x 2 , 2x 2 , 3x 2 ) + (x 1 , 2x 1 , 3x 1 ) (x 1 +x 2 , 2x 1 +2x 2 , 3x 1 +3x 2 ) = (x 2 +x 1 , 2x 2 +2x 1 , 3x 2 +3x 1 ) (x 1 +x 2 , 2(x 1 +x 2 ), 3(x 1 +x 2 )) = (x 2 +x 1 , 2(x 2 +2x 1 ), 3(x 2 +x 1 )) Este axioma se verifica A3) u + 0 = u (x 1 , 2x 1 , 3x 1 ) + (0,0,0) = (x 1 , 2x 1 , 3x 1 ) (x 1 , 2x 1 , 3x 1 ) = (x 1 , 2x 1 , 3x 1 ) Este axioma se verifica A4) u +(-u) = 0 (x 1 , 2x 1 , 3x 1 ) + (-x 1 , -2x 1 , -3x 1 ) = (0,0,0) (0,0,0) = (0,0,0) Este axioma se verifica u + v = 0 u + v = 10 u + v = 4 8 Professor Mestre Matusalém Vieira Martins Visite o meu site www.professormatusalem.com M1) ().u = (.u) (). (x 1 , 2x 1 , 3x 1 ) = (. (x 1 , 2x 1 , 3x 1 )) ( x 1 , 2 x 1 , 3 x 1 ) = ( x 1 , 2 x 1 , 3 x 1 ) ( x 1 , 2 x 1 , 3 x 1 ) = ( x 1 , 2 x 1 , 3 x 1 ) Este axioma se verifica M2) ( + ).u = .u + .u ( + ). (x 1 , 2x 1 , 3x 1 ) = . (x 1 , 2x 1 , 3x 1 ) + . (x 1 , 2x 1 , 3x 1 ) (( + )x 1 , ( + )2x 1 , ( + ) 3x 1 ) = ( x 1 , 2x 1 , 3x 1 ) + ( x 1 , 2x 1 , 3x 1 ) ( x 1 + x 1 , 2x 1 + 2x 1 , 3x 1 + 3x 1 ) = ( x 1 + x 1 , 2x 1 + 2x 1 , 3x 1 + 3x 1 ) Este axioma se verifica M3) (u + v) = .u + .v [(x 1 , 2x 1 , 3x 1 ) + (x 2 , 2x 2 , 3x 2 )] = . (x 1 , 2x 1 , 3x 1 ) + . (x 2 , 2x 2 , 3x 2 ) [(x 1 +x 2 , 2x 1 +2x 2 , 3x 1 +3x 2 )] = ( x 1 , 2x 1 , 3 x 1 ) + ( x 2 , 2 x 2 , 3 x 2 ) [(x 1 +x 2 , 2(x 1 +x 2 ), 3(x 1 +x 2 ))] = ( x 1 + x 2 , 2x 1 +2 x 2 , 3 x 1 +3 x 2 ) ( (x 1 +x 2 ), 2 (x 1 +x 2 ), 3 (x 1 +x 2 )) = ( (x 1 +x 2 ), 2 (x 1 +x 2 ), 3 (x 1 +x 2 )) Este axioma se verifica M4) 1.u = u 1. (x 1 , 2x 1 , 3x 1 ) = (x 1 , 2x 1 , 3x 1 ) (x 1 , 2x 1 , 3x 1 ) = (x 1 , 2x 1 , 3x 1 ) Este axioma se verifica Como todos os 8 axiomas foram verificados positivamente, logo este é um espaço vetorial. 26) 2 , com as operações: (a, b) + (c, d) = (a, b) o (a, b) = (o a, o b) u = (a,b), v = (c,d) e w=(e,f) A1) (u + v) + w = u + (v + w) [(a,b) + (c,d)] + (e,f) = (a,b) + [(c,d) + (e,f)] [(a,b))] + (e,f) = (a,b) + [(c,d)] (a,b) = (a,b) Este axioma se verifica A2) u + v = v + u (a,b) + (c,d) = (c,d) + (a,b) (a,b) (c,d) Este axioma não se verifica A3) u + 0 = u (a,b) + (0,0) = (a,b) (a,b) = (a,b) Este axioma se verifica A4) u +(-u) = 0 (a,b)+ (-a,-b) = (0,0) (a,b) (0,0) Este axioma não se verifica M1) ().u = (.u) ().(a,b) = (. (a,b)) ( a, b) = ( a, b) ( a, b) = ( a, b) Este axioma se verifica 9 Professor Mestre Matusalém Vieira Martins Visite o meu site www.professormatusalem.com M2) ( + ).u = .u + .u ( + ).(a,b) = . (a,b) + . (a,b) (( + )a, ( + )b) = ( a, b) + ( a , b) ( a+ a, b + b) = ( a+ a, b+ b) Este axioma se verifica M3) (u + v) = .u + .v (a,b) + (c,d)] = .(a,b) + .(c,d) (a,b) + (c,d) =. ( a, b) +( c, d ) ( a, b)+( c,d ) = ( a+ c , b+ d ) ( a+ c , b+ d ) = ( a+ c , b+ d ) Este axioma se verifica M4) 1.u = u 1.(a,b) = (a,b) (a,b) = (a,b) Este axioma se verifica Como pelo menos um axioma não foi verificado positivamente, logo este não é um espaço vetorial. 27) A = {(x, y) e 2 | y = 5x}: com as operações usuais u = (x 1 ,5x 1 ) , v = (x 2 , 5x 2 ) e w = (x 3 ,5x 3 ) A1) (u + v) + w = u + (v + w) [(x 1 ,5x 1 ) + (x 2 , 5x 2 )] + (x 3 ,5x 3 ) = (x 1 ,5x 1 ) + [(x 2 , 5x 2 ) + (x 3 ,5x 3 )] [(x 1 + x 2 ,5x 1 +5x 2 )] + (x 3 ,5x 3 ) = (x 1 ,5x 1 ) + [(x 2 + x 3 , 5x 2 +5x 3 )] (x 1 + x 2 + x 3 ,5x 1 +5x 2 +5x 3 ) = (x 1 + x 2 + x 3 ,5x 1 +5x 2 +5x 3 ) Este axioma se verifica A2) u + v = v + u (x 1 ,5x 1 ) + (x 2 , 5x 2 ) = (x 2 , 5x 2 ) + (x 1 ,5x 1 ) (x 1 + x 2 ,5x 1 +5x 2 ) = [(x 2 + x 1 ,5x 2 +5x 1 ) Este axioma se verifica A3) u + 0 = u (x 1 ,5x 1 ) + (0,0) = (x 1 ,5x 1 ) (x 1 ,5x 1 ) = (x 1 ,5x 1 ) Este axioma se verifica A4) u +(-u) = 0 (x 1 ,5x 1 ) + (-x 1 ,-5x 1 ) = (0,0) (0,0) = (0,0) Este axioma se verifica M1) ().u = (.u) (). (x 1 ,5x 1 ) = (. (x 1 ,5x 1 )) ( x 1 ,5 x 1 ) = (. x 1 ,5 .x 1 )) ( x 1 ,5 x 1 ) = ( x 1 ,5 x 1 ) Este axioma se verifica M2) ( + ).u = .u + .u ( + ). (x 1 ,5x 1 ) = . (x 1 ,5x 1 ) + . (x 1 ,5x 1 ) (( + ). x 1 , ( + ). 5x 1 ) = (.x 1 ,5 .x 1 ) + (.x 1 ,5 .x 1 ) ( x 1 + x 1 , 5x 1 + . 5x 1 ) = ( x 1 + x 1 , 5x 1 + . 5x 1 ) ( x 1 + x 1 , 5.( x 1 + . x 1 )) = ( x 1 + x 1 , 5.( x 1 + . x 1 )) Este axioma se verifica 10 Professor Mestre Matusalém Vieira Martins Visite o meu site www.professormatusalem.com M3) (u + v) = .u + .v ((x 1 ,5x 1 ) + (x 2 , 5x 2 )) = .( x 1 ,5x 1 ) + . (x 2 , 5x 2 ) (x 1 + x 2 ,5x 1 +5x 2 ) = (. x 1 ,5 .x 1 ) + (.x 2 , 5 .x 2 ) ( (x 1 + x 2 ), (5x 1 +5x 2 )) = (. x 1 + .x 2 , 5 .x 1 +5 .x 2 ) (. x 1 + .x 2 , 5 .x 1 +5 .x 2 ) = (. x 1 + .x 2 , 5(.x 1 + .x 2 )) (. x 1 + .x 2 , 5(.x 1 + .x 2 )) = (. x 1 + .x 2 , 5(.x 1 + .x 2 )) Este axioma se verifica M4) 1.u = u 1. (x 1 ,5x 1 ) = (x 1 ,5x 1 ) (x 1 ,5x 1 ) = (x 1 ,5x 1 ) Este axioma se verifica Como todos os 8 axiomas foram verificados positivamente, logo este é um espaço vetorial. 28) 2 , com as operações: (x, y) + (x', y') = (x + x', y + y') o (x, y) = (o x,0) u =(x, y), v =(x', y') e w =(x”,y”) A1) (u + v) + w = u + (v + w) [(x, y) + (x', y')] + (x”,y”) = (x, y) + [(x', y') + (x”,y”)] (x+ x', y+ y') + (x”,y”) = (x, y) + (x'+ x”, y'+ y”) (x+ x'+ x”, y+ y'+ y”) = (x+ x'+ x”, y+ y'+ y”) Este axioma se verifica A2) u + v = v + u (x, y) + (x', y') = (x', y') + (x, y) (x+ x', y+ y') = (x'+x, y'+y) Este axioma se verifica A3) u + 0 = u (x, y) + (0,0) = (x,y) (x,y) = (x,y) Este axioma se verifica A4) u +(-u) = 0 (x,y) + (-x,-y) = (0,0) (0,0) = (0,0) Este axioma se verifica M1) ().u = (.u) ().(x,y) = (.(x,y)) ( x,0) = (.x,0)) ( x,0) = ( x,0) Este axioma se verifica M2) ( + ).u = .u + .u ( + ).(x,y) = .(x,y) + .(x,y) (( + ).x,0) = ( .x,0) + (.x,0) ( x+ .x,0) = ( x+ .x,0) Este axioma se verifica M3) (u + v) = .u + .v [(x, y) + (x', y')] = .(x,y) + .( x', y') (x+ x', y+ y') = (.x,0) + . x', 0) ( (x+ x'), (y+ y')) = (.x+ . x',0) ( x+ x'), y+ y')) (.x+ . x',0) Este axioma não se verifica 11 Professor Mestre Matusalém Vieira Martins Visite o meu site www.professormatusalem.com M4) 1.u = u 1. (x, y) = (x, y) (x, 0) (x, y) Este axioma não se verifica Como pelo menos um axioma não foi verificado positivamente, logo este não é um espaço vetorial. Lista de exercícios 9: 29) Abaixo são apresentados subconjuntos de ². Verifique quais deles são subespaços vetoriais do ² relativamente as operações de adição e multiplicação por escalar: a) S = {(y ,y ); y } u = (y 1 , y 1 ) e v = (y 2 , y 2 ) u+v = (y 1 , y 1 ) + (y 2 , y 2 ) (y 1 + y 2 , y 1 + y 2 ) u = (y 1 , y 1 ) ( y 1 , y 1 ) Logo é um subespaço vetorial b) b) S = {(x , y) | x = 0} u = (0, y 1 ) e v = (0, y 2 ) u+v = (0, y 1 ) + (, y 2 ) (0 , y 1 + y 2 ) u = (0, y 1 ) (0, y 1 ) Logo é um subespaço vetorial 30) Agora são apresentados subconjuntos do ³, verifique quais são subespaços do ³. a) S = {(x, y, z)| x = 4y e z = 0} u = (4y 1 , y 1 ,0) e v = (4y 2 , y 2 ,0) u+v = (4y 1 , y 1 ,0) + (4y 2 , y 2 ,0) (4y 1 +4y 2 , y 1 + y 2 , 0) (4(y 1 +y 2 ), y 1 + y 2 , 0) u = (4y 1 , y 1 ,0) (4 y 1 , y 1 ,0) Logo é um subespaço vetorial b) S = {(x, y, z)| z = 2x –y} u = (x 1 , y 1 , 2x 1 – y 1 ) e v = (x 2 , y 2 , 2x 2 – y 2 ) u+v = (x 1 , y 1 , 2x 1 – y 1 ) + (x 2 , y 2 , 2x 2 – y 2 ) (x 1 + x 2 , y 1 + y 2 , 2x 1 – y 1 +2x 2 – y 2 ) (x 1 + x 2 , y 1 + y 2 , 2x 1 +2x 2 – y 1 – y 2 ) (x 1 + x 2 , y 1 + y 2 , 2(x 1 + x 2 )– (y 1 + y 2 )) u = (x 1 , y 1 , 2x 1 – y 1 ) 12 Professor Mestre Matusalém Vieira Martins Visite o meu site www.professormatusalem.com ( x 1 , y 1 , (2x 1 – y 1 )) ( x 1 , y 1 , 2 x 1 – y 1 )) Logo é um subespaço vetorial Lista de exercícios 10. 31) Escreva o vetor v = (1, -2, 5) como combinação linear dos vetores e 1 =(1, 1, 1) , e 2 =(1, 2, 3) e e 3 =(2,-1,1). (1, -2, 5) = a(1, 1, 1) + b(1, 2, 3)+ c(2,-1,1) (1, -2, 5) = (a,a,a) + (b, 2b, 3b)+ (2c,-c,c) (1, -2, 5) = (a+b+2c, a+2b-c, a+3b+c) Agora montamos o sistema: { por escalonamento temos: | | { | { Com isso temos b = 3, c = 2 e a = -6 Então o vetor v pode ser escrito como: 32) Para qual valor de K o vetor u = (1, -2, K) em ³ é uma combinação linear dos vetores v = (3, 0, -2) e w = (2, -1, -5)? (1, -2, K) = a. (3, 0, -2) + b. (2, -1, -5) (1, -2, K) = (3a, 0, -2a) + (2b, -b, -5b) (1, -2, K) = (3a+2b, -b, -2a-5b) { Se b = 2 a = -1 logo temos: 2 – 10 = k K = -8 33) Mostre que os vetores u = (1, 2, 3), v = (0, 1, 2) e w = (0, 0, 1) geram o ³. (x,y,z) = a. (1, 2, 3) + b(0, 1, 2) + c. (0, 0, 1) 13 Professor Mestre Matusalém Vieira Martins Visite o meu site www.professormatusalem.com (x,y,z) = (a, 2a, 3a) + (0, b, 2b) + (0, 0, c) (x,y,z) = (a, 2a+b, 3a+2b+c) { Como a = x, temos: 2x + b = y b = -2x + y e para z temos: 3x+2(-2x+y) + c = z 3x -4x +2y + c = z c = x -2y + z ) ) ) Logo os vetores geram o ³. 34) Sendo os vetores u = (-3, 2 , 1) e v = (0, 5, 4), escrever o vetor w = (15, 0 ,3) como combinação linear de u e v. (15, 0 ,3) = a. (-3, 2 , 1) + b (0, 5, 4) (15, 0 ,3) = (-3a, 2a , a) + (0, 5b, 4b) (15, 0 ,3) = (-3a, 2a +5b , a +4b) { Sendo a = -5 Temos : -10 + 5b = 0 5b = 10 b =2 Substituindo a e b na última equação para verificar igualdade, temos: -5 + 8 = 3 3 = 3 Portanto w é uma combinação linear u e v 35) Dados os vetores v 1 = (0 ,1 ,2) e v 2 = (3 ,-5 ,7), para que valor de K o vetor v = (6 ,K ,8) é combinação linear de v 1 e v 2 ? (6 ,K ,8) = a(0 ,1 ,2) + b(3 ,-5 ,7) (6 ,K ,8) = (0 ,a ,2a) + (3b ,-5b ,7b) (6 ,K ,8) = (3b , a -5b, 2a +7b) { Sendo b = 2, temos: 2a + 14 = 8 2a =6 a = 3 assim substituindo na segunda equação temos o valor de k: 3 – 10 = k K = -7 14 Professor Mestre Matusalém Vieira Martins Visite o meu site www.professormatusalem.com Lista de exercícios 11. 36) Determine os subespaços do ³ gerados pelos seguintes conjuntos: a) A = {(2, -1,3)} ) ) ) ) { ) { ) { ) | )} b) A = {(-1, 3, 2), (2, -2,1)} ) ) ) ) ) ) ) ) { { ) ) ) ⁄ Voltando e substituindo: ( ) { ) | } 15 Professor Mestre Matusalém Vieira Martins Visite o meu site www.professormatusalem.com c) A = {(1, 0, 1), (0, 1, 1), (-1, 1,0)} ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) { | ) | { ) | } 37) Verificar se os vetores v = (2 ,2) e u = (-3 ,2) geram o 2 : ) ) ) ) ) ) ) ) { ) ( ) 16 Professor Mestre Matusalém Vieira Martins Visite o meu site www.professormatusalem.com Logo ( ) ( ) Portanto gera . . 38) mostrar que os vetores u = (2, 1) e v = (1, 1) geram o 2 . ) ) ) ) ) ) ) ) { ) | ) ) Logo gera 2 . 39) Dado o conjunto A = {v 1 = (-1,3,-1), v 2 = (1,2,4)} c IR 3 , determinar o subespaço G(A). ) ) ) ) ) ) ) ) { ) | ( ) ) 17 Professor Mestre Matusalém Vieira Martins Visite o meu site www.professormatusalem.com Substituindo na 3° equação: ( ) ( ) { ) | } 40) Determinar o subespaço G(A) para A = {(1, -2), (-2, 4)} c 2 e dizer o que representa geometricamente esse subespaço. ) ) ) ) ) ) ) ) { ) ) (É uma reta). { ) | } 41) Mostrar que os vetores v 1 = (1, 1, 1), v 2 = (0, 1, 1) e v 3 = (0, 0,1) geram o 3 . ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) { 18 Professor Mestre Matusalém Vieira Martins Visite o meu site www.professormatusalem.com ) ) Logo gera 3 . Lista de exercícios 12. 42) Classificar os seguintes subconjuntos do 2 e 3 em LI ou LD, justificando sua resposta: a) A = {(2 ,3 ,5)} R:Único vetor e não nulo, logo é LI. b) B= {(-6 ,4), (9 ,-6)} Se e , logo um vetor é múltiplo do outro, então é LD. c) C = {(1 ,0 ,0), (2 ,3 ,0), (5 ,1 ,1)} ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) { Logo se é LI. d) D = {(2 ,3) , (5 ,4), (1 ,1)} Como estamos no 2 e a dimensão é 2 e temos 3 vetores, logo é LD. e) E = {(0 ,1 ,2), (0 ,0 ,0), (2, 3, 5)} Como é vetor nulo pertence a E, logo é LD. 43) Classificar os seguintes conjuntos em LI ou LD, justificando sua resposta: 19 Professor Mestre Matusalém Vieira Martins Visite o meu site www.professormatusalem.com a) A={(2, -5, 3)} LI – Único vetor e não nulo. b) B={(1, -1, -2), (2, 1, 1), (-1, 0, 3)} ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) { – | | ) | { ) ) Como a=b=c=0 logo é LI. c) {(2, -1), (3, 5)} , Como temos dois vetores e lês não são múltiplos, logo é LI. d) {(1, 0), (-1, 1), (3, 5)} Como são vetores do 2 , a dimensão é 2 e temos 3 vetores, logo é LD. 44) Determine k para que a* + * + * + * + * + * + * + * + * + * + { | ) 20 Professor Mestre Matusalém Vieira Martins Visite o meu site www.professormatusalem.com | { Temos: ) Se k = 1, c será cancelado logo LD Lista de exercícios 13. 45) Verificar se o conjunto A = {v 1 =(4, 5), v 2 =(-2, 3)} forma uma base do 2 : ) ) I – verificar se é LI ) ) ) ) ) ) ) ) { ) ) , Se a = b = 0, logo LI II- Verificar se gera 2 . ) ) ) ) ) ) ) ) { ) ) { 21 Professor Mestre Matusalém Vieira Martins Visite o meu site www.professormatusalem.com ( ) ( ) ) Logo: ( ) ( ) e gera 2 , então é uma Base. 46) Verificar quais dos conjuntos formam uma base do 2 : a) {(1, 2), (-1, 3)} I – verificar se é LI: Como são dois vetores e um não é múltiplo do outro logo é LI. II – Verificar se gera : ) ) ) ) ) ) ) ) { ) { ( ) ( ) , logo gera e então é Base. b) {(0, 0), (2, 3)} I- Verificar se é LI: 22 Professor Mestre Matusalém Vieira Martins Visite o meu site www.professormatusalem.com Como possui o vetor nulo é LD, Logo não é base. 47) Verificar se o conjunto A = {v 1 =(1, 4, 5), v 2 =(0, -2, 3), v 3 =(0, 0, 1)} forma uma base do 3 : I- Verificar se é LI: ) ) ) ) ) ) ) ) { ) ) ) Logo é LI II- Verificar se gera o espaço: ) ) ) ) ) ) ) ) { ( ) Logo: ) ( ) ( ) , GERA 3 . Por fim, se é LI e gera 3 , então é BASE. 48) Verificar quais dos conjuntos formam uma base do 2 : a) {(1, 2, 3), (0, -1, 3), (1, 1, 1)} I- Ver se é LI ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) { 23 Professor Mestre Matusalém Vieira Martins Visite o meu site www.professormatusalem.com | ) | ) | ) { Se a=b=c=0 logo é LI II- Verificar se gera 3 . ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) { | ) | ) | ) Logo ( ) ( ) ( ) Gera o 3 e portanto é Base. b) {(1, 3, -1), (2, 3, 2), (3, 6, 1)} ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) 24 Professor Mestre Matusalém Vieira Martins Visite o meu site www.professormatusalem.com { | ) | | ) ) , , Como temos uma variável livre é LD, Logo não é Base. Lista de exercícios 14. Os 3 problemas seguintes se referem às bases do 2 : A = {(2,-1), (-1,1)}, B = {(1,0), (2,1)}, D = {(1,1), (1,-1)} e G = {(-1,-3), (3,5)} 49) Calcular v B sabendo que v A = (4,3) ) | | | | ) | | | | | | | | | | | | =| | ) 50) Calcular v A sabendo que v B = (7,-1) ) | | | | ) 25 Professor Mestre Matusalém Vieira Martins Visite o meu site www.professormatusalem.com | | | | | | | | | | | | = | | ) 51) Calcular v G sabendo que v D = (2,3) ) | | | | ) | | | ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ | | | | ⁄ ⁄ | | ⁄ ⁄ | | ⁄ ⁄ | | | | | ) 52) Sabendo que A = {(1,3), (2,-4)} é base do 2 e que a matriz M de mudança de base de A para B é: M = ( ¸ ( ¸ ÷ ÷ 8 11 6 7 determinar a base B. | | | | 26 Professor Mestre Matusalém Vieira Martins Visite o meu site www.professormatusalem.com ) | ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ | | ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ | | ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ | | | | | | | ) | ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ | | | | | 53) Considerar, no 3 , as bases A = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} e B = {(1, 0, -1), (0,1,-1), (-1, 1, 1)}. a) Determinar a matriz M de mudança de base de A para B; como , Temos ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) 1° Linha 2° Linha 3° Linha | | | | | | b) Calcular v B sabendo que v A = (1,2,3) | | | | | | ) 27 Professor Mestre Matusalém Vieira Martins Visite o meu site www.professormatusalem.com c) Calcular v A sabendo que v B = (7,-4,6) , temos | | Logo, | | | | | | ) Lista TED 15: Nos 12 problemas seguintes, dentre as funções (transformações) dadas, verificar quais delas são lineares. 54) ) ) I) ) ) ) 2 1 1 ) 2, y 2 ) 1 2 1 2 ) 1 , 1 ) 1 2 1 2 ) 1 2 ) 1 2 ) 1 2 ) 1 2 )) 1 2 1 2 ) 1 2 1 2 ) 1 1 ) + 2, y 2 ) 1 1 1 1 ) 2 2 2 2 ) ) OK II) ) ) ) ) ) ) É UMA TRASNFORMAÇÃO LINEAR. 55) ) ) 28 Professor Mestre Matusalém Vieira Martins Visite o meu site www.professormatusalem.com I) ) ) ) 1 1 ) 2, y 2 ) 1 2 1 2 ) 1 , 1 ) ) ) , ) ) 1 1 ) + 2, y 2 ) ) ) ) NÃO É UMA TRASNFORMAÇÃO LINEAR. 56) ) ) 1 1 ) 2, y 2 ) 1 2 1 2 ) 1 , 1 ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) NÃO É UMA TRASNFORMAÇÃO LINEAR. 57) ) ) 1 1 ) 2, y 2 ) 1 2 1 2 ) 1 , 1 ) I) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) 29 Professor Mestre Matusalém Vieira Martins Visite o meu site www.professormatusalem.com II) ) ) ) ) ) ) ) É UMA TRASNFORMAÇÃO LINEAR. 58) ) ) 1 1 ) 2, y 2 ) 1 2 1 2 ) 1 , 1 ) I) ) ) ) ) )) ) ) ) ) ) ) COMO ) NÃO É UMA TRASNFORMAÇÃO LINEAR. 59) ) 2 -> 1 1 ) 2, y 2 ) 1 2 1 2 ) 1 , 1 ) I) ) ) ) ) ) ) ) ) 30 Professor Mestre Matusalém Vieira Martins Visite o meu site www.professormatusalem.com NÃO É UMA TRASNFORMAÇÃO LINEAR. 60) ) ) 1 1 ) 2, y 2 ) 1 2 1 2 ) 1 , 1 ) I) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) II) ) ) ) ) ) ) ) É UMA TRASNFORMAÇÃO LINEAR. 61) ) ) ) 1 1 ) 2, y 2 ) 1 2 1 2 ) 1 , 1 ) I) ) ) ) ) ) ) ) ) )) ) ) ) ) ) 31 Professor Mestre Matusalém Vieira Martins Visite o meu site www.professormatusalem.com ) II) ) ) ) ) ) – ) ) É UMA TRASNFORMAÇÃO LINEAR. 62) ) ) 1 1 ) 2, y 2 ) 1 2 1 2 ) 1 , 1 ) I) ) ) ) ) ) ) ) ) ) = ) NÃO É UMA TRASNFORMAÇÃO LINEAR. 63) ) 1 1 ) 2, y 2 ) 1 2 1 2 ) 1 , 1 ) I) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) II) ) ) ) ) ) ) 32 Professor Mestre Matusalém Vieira Martins Visite o meu site www.professormatusalem.com É UMA TRASNFORMAÇÃO LINEAR. 64) ) 1 1 ) 2, y 2 ) 1 2 1 2 ) 1 , 1 ) I) ) ) ) ) ) ) II) ) ) ) ) É UMA TRASNFORMAÇÃO LINEAR. 65) 2 -> 4 ) ) 1 1 ) 2, y 2 ) 1 2 1 2 ) 1 , 1 ) I) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) II) ) ) ) ) ) ) ) É UMA TRASNFORMAÇÃO LINEAR. 33 Professor Mestre Matusalém Vieira Martins Visite o meu site www.professormatusalem.com Lista TED 16: Nos 6 problemas seguintes, dada a transformação linear f : 2 ÷ 2 , definida em cada um deles, a) fazer um gráfico de um vetor genérico v = (x, y) e de sua imagem f(v ); b) dizer que transformação linear plana os gráficos representam. 66) f (x, y ) = (2x, 0) 2 2 ) ) ) ) ) 67) f (x, y ) = (-2x, 2y) ) ) ) ) ) 68) f (x, y ) = (-y, x) ) ) ) 69) f (x, y ) = (2x, y) ) ) ) 70) f (x, y ) = (3x, -2y) ) ) ) 18) f (x, y ) = -2 (x, y), ) ) ) b) R: Para todos. Uma reta que passa pela origem. 71) Seja f: 3 ÷W a projeção ortogonal do 3 sobre o plano y0z, indicado por W. 3 3 a) Determine a lei que define f; ) ) ) ) b) Calcular f (3, -4, 5). ) ) 34 Professor Mestre Matusalém Vieira Martins Visite o meu site www.professormatusalem.com 72) Dada a transformação linear f: 3 ÷ 2 tal que f(1, 0, 0) = (2, 1), f(0, 1, 0) = (-1, 0) e f(0, 0, 1) = (1, -2) 3 2 ) ) ) ) ) ) a) determinar a matriz canônica de f; ) ) ) b) calcular f(3, 4, 5); ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) c) calcular f(x, y, z). ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) Lista TED 17: 73) Uma transformação linear f: 2 ÷ 3 é tal que f(-1, 1) = (3, 2, 1) e f(0, 1) = (1, 1, 0) Determinar: a) f(2, 3) ) ) ) ) ) ) ) ) ) , ) ) ) ) ) ) ) 35 Professor Mestre Matusalém Vieira Martins Visite o meu site www.professormatusalem.com ) b) f(x, y) ) ) ) ) ) ) ) ) , ) )) )) ) ) ) ) ) ) ) ) c) e v 2 tal que f (v ) = (-2, 1, -3) ) ) ) ) ) ) { ) 74) Seja ƒ: ³ → ² a transformação linear definida por ƒ (1,1,1) = (1,2), ƒ (1,1,0) = (2,3) e ƒ (1,0,0) = (3,4). Determinar: a) ƒ (x,y,z); ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) { ) ()) ()) )) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) b) υ 1 e ³ tal que ƒ (υ 1 ) = (-3,-2); ) ) ) ) 36 Professor Mestre Matusalém Vieira Martins Visite o meu site www.professormatusalem.com ) ) { ) ) { { { ) ) c) υ 2 e ³ tal que ƒ (υ 2 ) = (0,0). ) ) ) ) ) ) { { ) ) { ) 75) Dado o operador linear ƒ : ², ƒ (x,y) = (2x + y, 4x + 2y), dizer quais dos seguintes vetores pertencem a N (ƒ): 2 ÷ 2 ) ) ) ) { 2x=y logo y=-2x ) ) a) υ 1 = (1,-2) ) Sim, pois se x=1 então y=-2. b) υ 2 = (2, -3) ) Não, pois se x=2 então y= -4. c) υ 3 = (-3,6) ) Sim, pois se x=-3 então y= 6. 37 Professor Mestre Matusalém Vieira Martins Visite o meu site www.professormatusalem.com Lista TED 18: 76) Para o mesmo operador linear do problema anterior, verificar quais dos seguintes vetores pertencem à Im (ƒ): ) ) ) ) ) { ) { ) ) ²| a) µ 1 = (2,4) ) ) Ok. b) µ 2 = (- 2 1 , -1) ( ) ) Ok. c) µ 3 = (-1,3) ) Não é. Nos 4 problemas seguintes são apresentadas transformações lineares. Para cada uma delas determinar: a) o núcleo, uma base desse subespaço e sua dimensão; b) a imagem, uma base desse subespaço e sua dimensão. Verificar ainda, em cada caso, a propriedade 3, item 3.5, relativa à dimensão. 77) ƒ: ² → ², ƒ (x,y) = (3x-y, –3x + y) a) T: ² → ² ) ) ) ) , ) ) ) ) b) ) ) { ) ) 38 Professor Mestre Matusalém Vieira Martins Visite o meu site www.professormatusalem.com ) ) 78) ƒ: ² → ³, ƒ (x,y) = ( x + y, x, 2y) a) ) ) { ) ) ) b) ) ) { ) ³ | )) ) ) 79) ƒ: ² → ², ƒ (x,y) = (x – 2y, x + y) a) ) ) { ) { ) ) ) b) ) ) { ) { ) ( ) 39 Professor Mestre Matusalém Vieira Martins Visite o meu site www.professormatusalem.com ) ) )) ) ) 80) ƒ: ³ → 2 , ƒ (x,y,z) = (x + 2y –z, 2x –y +z) a) ) ) { ) { , ) ,( ) - ) ( ) b) ) ) { E x e y logo a+b ) ) (Pela propriedade) ) ) 40 Professor Mestre Matusalém Vieira Martins Visite o meu site www.professormatusalem.com Lista TED 22: Conjuntos 103) Numa escola com 557 alunos, 295 estudam Matemática, 205 estudam Física e 120 não estudam nem Matemática nem Física. Pede-se: a) quantos alunos estudam Matemática ou Física? 437 alunos b) quantos alunos estudam Matemática e Física? 63 alunos 104) Numa escola foi feita uma pesquisa com todos os alunos sobre os times de futebol para os quais os eles torcem e tiveram o seguinte resultado: 130 estudantes torcem pelo Flamengo, 105 torcem pelo Corinthians e 50 torcem pelo Atlético Mineiro. Foi verificado também que 50 torcem simultaneamente para Flamengo e Corinthians, 30 torce simultaneamente para Flamengo e Atlético e 25 torcem simultaneamente para Corinthians e Atlético. Lembramos ainda que 20 torcem pelos três times e 80 não torcem para ninguém. Pede-se: a) Quantos alunos estudam na escola? 200 b) Quantos alunos torcem para dois times? 45 c) Quantos alunos não torcem pelo Flamengo?70 d) Quantos torcem exclusivamente para o Flamengo?70 105)Em uma pesquisa eleitoral, o candidato D deve 350 votos, o candidato S deve 139. Além disso também foram apurados que 200 pessoas não querem votar em nenhum deles. Se ao todo foram entrevistados 650 pessoas, pergunta-se. a) Quantas pessoas estão indecisas entre os dois candidatos? b) Quantas pessoas só vão votar no candidato D? c) Quantas pessoas só vão votar no candidato S? 557 120 500 437 205 295 -500 -57 -63 -295 -142 -63 57 63 437 142 63 232 U=557 Mat. Fis. NEstuda. 120 142 232 63 41 Professor Mestre Matusalém Vieira Martins Visite o meu site www.professormatusalem.com T=650 N/V=200 T-N/V=450 D= 350 S=139 D+S= 489 489-450=39 D= 450-139= 311 S= 450-350= 100 A) 39 B) 311 C) 100 106)Numa comunidade são consumidos três produtos A, B e C. Feita uma pesquisa de mercado sobre o consumo foram obtidos os resultados da tabela abaixo: Produtos A B C A e B B e C A e C A e B e C Nenhu m No. Consumidores 10 0 15 0 20 0 20 40 30 10 130 Determine quantas pessoas: a) foram consultadas. 370 ssoas. b) consomem somente dois produtos. 42 Professor Mestre Matusalém Vieira Martins Visite o meu site www.professormatusalem.com 60 essoas. c) não consomem o produto B. 350 ssoas. d) Não consomem A ou não consomem B. 270 pessoas. 107)Uma fabrica pretende produzir motos de três cores (amarela, vermelha e preta). Desejando saber a preferência dos consumidores encomendou uma pesquisa sobre as cores e obteve o seguinte resultado: Cores A V P A e V A e P V e P A e V e P Nenhu m Votos 209 25 5 178 90 64 77 57 29 a) Quantos gostam só de moto amarela? 112 b) Quantos gostam só de moto vermelha? 145 c) Quantos gostam só de moto preta? 94 d) Quantos foram entrevistados? 497 108)Para determinar em qual veículo de comunicação uma empresa iria investir a propaganda de seu novo produto foi feita uma pesquisa que obteve o seguinte resultado: Veículo Rádi o TV Jorn a l Rádio e TV Rádio e Jornal TV e Jorn al Rádio/Jornal /TV Nenhu m Pessoas 380 19 0 120 60 45 30 22 432 Pergunta-se: a) Quantas pessoas ouvem só rádio? 297 432 u 43 Professor Mestre Matusalém Vieira Martins Visite o meu site www.professormatusalem.com b) Quantas pessoas leem só jornal? 67 c) Quantas pessoas foram entrevistadas ao todo? 1009 109)No concurso para o CPCAR foram entrevistados 979 candidatos, dos quais 527 falam a língua inglesa, 251 a língua francesa e 321 não falam nenhum desses idiomas. Qual é o número de candidatos que falam as línguas inglesa e francesa? R: O número de candidatos que falam a língua inglesa e francesa é 120 Lista TED 23: Sistemas lineares 110)Resolva o seguinte sistema, pelos três métodos de resolução (escalonamento, cramer da matriz inversa): Método de Escalonamento ¦ ¹ ¦ ´ ¦ = + + = + ÷ = + ÷ 3 1 6 4 2 0 z y x z y x z y x ¦ ¹ ¦ ´ ¦ = + + = + ÷ = + ÷ 3 1 4 2 0 z y x z y z y x ¦ ¹ ¦ ´ ¦ = = + ÷ = + ÷ 2 / 3 1 4 2 0 y z y z y x ( ⁄ ) ( ⁄ ) ⁄ LI LF U 407 131 120 321 44 Professor Mestre Matusalém Vieira Martins Visite o meu site www.professormatusalem.com ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ) Método de Cramer ¦ ¹ ¦ ´ ¦ = + + = + ÷ = + ÷ 3 1 6 4 2 0 z y x z y x z y x ) ) )— ) )— ) )— ) ⁄ ⁄ ) Método de Matriz Inversa ¦ ¹ ¦ ´ ¦ = + + = + ÷ = + ÷ 3 1 6 4 2 0 z y x z y x z y x ) ) 1ª Linha 2ª Linha 3ª Linha ) ) ) ) ) ) ) ) ) | | | | | | | | | | | | | | | | | | 45 Professor Mestre Matusalém Vieira Martins Visite o meu site www.professormatusalem.com | | | | | | | | | | | | | | | | | | ⁄ ⁄ ) 111)Resolva o seguinte sistema, pelos três métodos de resolução (escalonamento, cramer e da matriz inversa): Cramer: ¦ ¹ ¦ ´ ¦ = + ÷ = + = ÷ 1 2 3 1 2 z x z y y x | | = 2+2= 4 | | = 2-2+12=12 x= 3 | | = 6-1-1=4 y=1 | | = 1+6+1=8 z= 2 ) Matriz inversa: ¦ ¹ ¦ ´ ¦ = + ÷ = + = ÷ 1 2 3 1 2 z x z y y x | | det A = (2+2)-0 = 4 | | 46 Professor Mestre Matusalém Vieira Martins Visite o meu site www.professormatusalem.com | | | | | | | | | | | | | | . | | = | | | | = | | S = (3,1,2) Escalonamento: { - y - z - -x z -x – y - { { S = (3,1,2) 112)Resolva o seguinte sistema, pelos três métodos de resolução (escalonamento, cramer e da matriz inversa): Escalonamento: ¦ ¹ ¦ ´ ¦ = ÷ = + ÷ = + + 0 0 0 3 2 z y y x z y x ¦ ¹ ¦ ´ ¦ = = + ÷ = + + z y y x z y x / 0 0 3 2 ¦ ¹ ¦ ´ ¦ = = = + + z y y z y x 0 0 3 2 X+2.(0)+3.(0)=0 X=0 -2x = -6 .(-1) x = 6/2 = 3 -3 + 2z = 1 2z = 1+3 z = 4/2 = 2 -3 + 2y = -5 -2y = -5+3 -2y = -2 .(-1) y = 2/2 = 1 47 Professor Mestre Matusalém Vieira Martins Visite o meu site www.professormatusalem.com S=(0,0,0) Cramer: | | -1+0-3 –(2+0+0) -4-2 -6 | | 0+0+0-(0+0+0) 0 | | 0+0+0-(0+0+0) 0 | | 0+0+0-(0+0+0) 0 S=(0,0,0) Matriz inversa: | | -1+0-3 –(2+0+0) -4-2 -6 1ºlinha 2ºlinha 3ºlinha (-1)-(0)=-1 (-2)-(3)=-5 (3)-(0)=3 (0)-(1)=-1 -1(-0)=-1 (-3)-(0)=-3 0-(-1)=1 0-(1)=-1 (1)-(-2)=2 | | | | | | | | 48 Professor Mestre Matusalém Vieira Martins Visite o meu site www.professormatusalem.com | | | | | | | | | | | | S=(0,0,0) 113)Resolva o seguinte sistema, pelos três métodos de resolução (escalonamento, cramer e da matriz inversa). Solução pelo método do escalonamento: { { = { ) { = = ) Solução pelo método de Cramer: { Det = | | = (4 + 1) ( ) | | ) ) | | ) ) | | ) ) 49 Professor Mestre Matusalém Vieira Martins Visite o meu site www.professormatusalem.com Solução pelo método Matriz Inversa | | ) ) Rascunho 1ª linha 2ª linha 3ª linha ) ) ) — ) ) ) — ) | | | | | | ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ | | | | ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ | | | | | | | | | | ⁄ ⁄ ⁄ | | | | 114)Resolva o seguinte sistema, pelos três métodos de resolução (escalonamento, cramer e da matriz inversa): ¦ ¹ ¦ ´ ¦ ÷ = ÷ ÷ = ÷ + = + ÷ 3 2 3 2 2 0 z y x z y x z y x Cramer ¦ ¹ ¦ ´ ¦ ÷ = ÷ ÷ = ÷ + = + ÷ 3 2 3 2 2 0 z y x z y x z y x 1 2 2 1 1 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ 2)) 2 (1 -1) -2 (1 -1) 1 ((-1 - -1)) 1 (1 2) -2 (-1 -1) 2 ((1 × × + × × + × × × × + × × + × × = -6 = (3) - (-3) = A 50 Professor Mestre Matusalém Vieira Martins Visite o meu site www.professormatusalem.com -6 = (-3) - (-9) = -3)) 2 (1 + -1) -2 (0 + -1) 3 ((-1 - -1)) 3 (1 + -3) -2 (-1 + -1) 2 ((0 = AX × × × × × × × × × × × × -18 = (12) - (-6) = -2)) 3 (1 + -3) -2 (1 + -1) 1 ((0 - -3)) 1 (1 + -2) -2 (0 + -1) 3 ((1 = AY × × × × × × × × × × × × -12 = (0) - (-12) = 2)) 2 (0 + -1) 3 (1 + -3) 1 ((-1 - -1)) 1 (0 + 2) 3 (-1 + -3) 2 ((1 = AZ × × × × × × × × × × × × 2 = 16 - 12 - = = 3 = 6 - 18 - = = 1 = 6 - 6 - = = A AZ Z A AY Y A AX X s={1,3,2} Matriz inversa 1 2 2 1 1 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ 2)) 2 (1 -1) -2 (1 -1) 1 ((-1 - -1)) 1 (1 2) -2 (-1 -1) 2 ((1 × × + × × + × × × × + × × + × × = -6 = . det (3) - (-3) = A 1°ordem 2°ordem 3°ordem -2-(2)=-4 1-(-1)=2 2-(2)=0 -1-(-4)=3 -1-(2)=-3 -2-(1)=-3 -1-(4)=-5 -1-(-2)=1 2-(-1)=3 3 3 0 1 3 2 5 3 4 , ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ A cof 1 3 2 3 1 0 1 1 3 2 2 3 1 1 0 ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ 3 2 3 1 0 1 1 3 2 2 3 1 1 0 1 ÷ ÷ ÷ ÷ 1 2 2 1 1 1 3 1 2 3 2 1 0 1 1 ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ 51 Professor Mestre Matusalém Vieira Martins Visite o meu site www.professormatusalem.com 3 1 5 3 3 3 0 2 4 , 1 ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ A ÷ cof 2 3 1 6 12 6 18 6 6 6 9 6 3 0 6 9 6 9 0 0 6 6 0 3 3 0 6 3 6 1 6 5 6 3 6 3 6 3 6 0 6 2 6 4 6 3 6 1 6 5 6 3 6 3 6 3 6 0 6 2 6 4 1 = = + + + + + + = ÷ × ÷ ÷ ÷ = ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ A ÷ S{1,3,2} Escalonamento ¦ ¹ ¦ ´ ¦ ÷ = ÷ ÷ × ( ¸ ( = ÷ + = + ÷ 3 2 2 3 2 2 0 z y x z y x z y x ( ) ( ) ( ) 2 0 2 0 3 1 0 3 2 6 6 2 3 3 2 3 2 3 3 2 1 3 3 2 3 3 2 0 3 2 0 1 3 3 3 2 2 0 2 2 2 = = + ÷ = + ÷ = + ÷ = ÷ ÷ = ÷ = ÷ ÷ ÷ = ÷ ÷ = ÷ ÷ = ÷ ÷ = ÷ ÷ = ÷ ÷ = + ÷ + ¦ ¹ ¦ ´ ¦ ( ( ( ¸ ( ÷ = ÷ ÷ = + ÷ = = = ÷ + = + ÷ z z z z y x y y y y y y y x z y x z y x z y x z y x x x z y x z y x S{1,3,2} 52 Professor Mestre Matusalém Vieira Martins Visite o meu site www.professormatusalem.com 115)Resolva o seguinte sistema, pelos três métodos de resolução (escalonamento, cramer e da matriz inversa): ¦ ¹ ¦ ´ ¦ ÷ = ÷ + ÷ ÷ = ÷ + ÷ = + ÷ 5 2 8 3 2 3 3 z y x z y x z y x Método do Escalonamento: { { ) S= (5,2,4) Método de Cramer: [ ] [ ] ) ) [ ] [ ] ) ) [ ] [ ] ) ) [ ] [ ] )— 53 Professor Mestre Matusalém Vieira Martins Visite o meu site www.professormatusalem.com S= (5,2,4) Método da Matriz Inversa: { [ ] [ ] [ ] ) ) [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ) ) ) ) ) ) ) ) ) 54 Professor Mestre Matusalém Vieira Martins Visite o meu site www.professormatusalem.com S= (5,2,4) Lista TED 24: Espaço vetorial 116)Abaixo é dado um conjunto com as operações de adição e multiplicação por escalar nele definidas, verificar se ele é ou não espaço vetorial, se acaso não for, citar os axiomas que não se verificam. - 2 - (x 1 , y 1 ) + (x 2 , y 2 ) = (x 1 , y 1 ) - o (x 1 , y 1 ) = (o x 1 , y 1 ) u = (x 1 , y 1 ) v = (x 2 , y 2 ) w = (x 3 , y 3 ) A1) (u + v) + w = u + (v + w) [(x 1 , y 1 )+ (x 2 , y 2 )] + (x 3 , y 3 ) = (x 1 , y 1 ) + [(x 2 , y 2 ) + (x 3 , y 3 )] (x 1+ y 1 ) + (x 3 , y 3 ) = (x 1 , y 1 ) + (x 2+ x 3 , y 2+ y 3 ) (x 1+ x 3 , y 1+ y 3 ) = (x 1+ x 3 , y 1+ y 3 ) Este axioma se verifica A2) u + v = v + u (x 1 , y 1 ) + (x 2 , y 2 ) = (x 2 , y 2 ) + (x 1 , y 1 ) (x 1 , y 1 ) = (x 1 , y 1 ) Este axioma se verifica A3) u + 0 = u (x 1 , y 1 ) + (0,0) = (x 1 , y 1 ) (x 1 , y 1 ) = (x 1 , y 1 ) Este axioma se verifica A4) u +(-u) = 0 (x 1 , y 1 ) + (-(x 1 , y 1 )) = (0,0) (x 1 , y 1 ) - (x 1 , y 1 ) = (0,0) (0,0) = (0,0) Este axioma se verifica M1) ().u = (.u) ().(x 1 , y 1 ) = (.(x 1 , y 1 )) (x 1 , 1 )= ( x 1 , 1 ) (x 1 , 1 )= ( x 1 , 1 ) Este axioma se verifica M2) ( + ).u = .u + .u ( + ).(x 1 , y 1 ) = .(x 1 , y 1 ) + .(x 1 , y 1 ) ((+ )x 1 , ( + )yx 1 = ( x 1 , y 1 ) + ( x 1 , y 1 ) (x 1 + x 1 , y 1 ) = (x 1 + x 1 , y 1 ) 55 Professor Mestre Matusalém Vieira Martins Visite o meu site www.professormatusalem.com Este axioma se verifica M3) (u + v) = .u + .v [(x 1 , -2x 1 , -x 1 ) + (x 2 , -2x 2 , -x 2 )] = .(x 1 , -2x 1 , -x 1 ) + .(x 2 , -2x 2 , -x 2 ) [(x 1 +x 2 , -2x 1 -2x 2 , -x 1 -x 2 )] = ( x 1 , - 2x 1 , - x 1 ) +( x 2 , -2 x 2 , - x 2 ) [(x 1 +x 2 , -2(x 1 +x 2 ), -(x 1 +x 2 ))] = ( x 1 + x 2 ,- 2x 1 -2 x 2 , - x 1 - x 2 ) ( (x 1 +x 2 ), -2 (x 1 +x 2 ), - (x 1 +x 2 )) = ( (x 1 +x 2 ), -2 (x 1 +x 2 ), - (x 1 +x 2 )) Este axioma se verifica M4) 1.u = u 1.(x 1 , -2x 1 , -x 1 ) = (x 1 , -2x 1 , -x 1 ) (x 1 , -2x 1 , -x 1 ) = (x 1 , -2x 1 , -x 1 ) Este axioma se verifica Como todos os 8 axiomas foram verificados positivamente, logo este é um espaço vetorial. 117)Abaixo é dado um conjunto com as operações de adição e multiplicação por escalar nele definidas, verificar se ele é ou não espaço vetorial, se acaso não for, citar os axiomas que não se verificam. - 2 - (x 1 , y 1 ) + (x 2 , y 2 ) = (x 1 + x 2 , y 1 + y 2 ) - o (x 1 , y 1 ) = (o x 1 ,o y 1 ) u + v = v + u (x 1 , y 1 )+(x 2 , y 2 ) = (x 2 , y 2 )+(x 1 , y 1 ) (x 1 +x 2 , y 1 +y 2 ) = (x 2 +x 1 , y 2 +y 1 ) Este axioma se verifica logo u + (v + w) = (u + v) + w (x 1 , y 1 )+[(x 2 , y 2 ) + (x 3 , y 3 )]=[(x 1 , y 1 )+(x 2 , y 2 )]+(x 3 +y 3 ) (x 1 , y 1 )+(x 2 +x 3 , y 2 )=(x 1 +x 2 ,y 1 )+(x 1 +x 2 ,y 1 )+(x 3 ,y 3 ) (x 1 +x 2 +x 3 ,y 1 +y 2 +y 3 ) = (x 1 +x 2 +x 3 ,y 1 +y 2 +y 3 ) Este axioma se verifica u + 0 = u (x 1 , y 1 )+ (0, 0) = (x 1 , y 1 ) (x 1 , y 1 )= (x 1 , y 1 ) Este axioma se verifica u+(-u) = 0 x 1 , y 1 )+ (-x 1 , -y 1 ) = (0, 0) (0,0) = (0,0) Este axioma se verifica ) ) (.(x 1 ,y 1 ) =.(x 1 ,y 1 ) (x 1 ,y 1 ) = (x 1 ,y 1 ) (x 1 ,y 1 =x 1 , y 1 ) Este axioma se verifica 56 Professor Mestre Matusalém Vieira Martins Visite o meu site www.professormatusalem.com (+).u = u + u (+)(x 1 , y 1 ) = (x 1 , y 1 ) + (x 1 , y 1 ) (+x 1 ,+y 1 = +x 1 , +y 1 ) Este axioma se verifica (u+v) = u + v (x 1 , y 1 ) + (x 2 , y 2 ) = (x 1 , y 1 ) + (x 2 , y 2 ) (x 1 +x 2 , y 1 +y 2 ) (αx 1 , y 1 ) + (x 2 , y 2 ) (x 1 +x 2 ), (y 1 +y 2 ) = (x 1 αx 2 , y 1 +y 2 ) (x 1 +x 2 , y 1 +y 2 = x 1 +x 2 , y 1 +y 2 ) Este axioma se verifica 1. u=u 1(x 1 , y 1 ) = (x 1 , y 1 ) (x 1 , y 1 ) = (x 1 , y 1 ) Este axioma se verifica Como todos os 8 axiomas foram verificados positivamente, logo este é um espaço vetorial. 118)A seguir apresenta-se um conjunto com as operações de adição e multiplicação por escalar nele definidas. Verificar se é um espaços vetorial. Se não for espaço, citar os axiomas que não se verificam. {(x, 2x, 3x); x e IR} com as operações usuais u = (x 1 , 2x 1 , 3x 1 ), v = (x 2 , 2x 2 , 3x 2 ) e w = (x 3 , 2x 3 , 3x 3 ), A1) (u + v) + w = u + (v + w) [(x 1 , 2x 1 , 3x 1 )+(x 2 , 2x 2 , 3x 2 )]+(x 3 , 2x 3 , 3x 3 ) = (x 1 ,2x 1 ,3x 1 )+[(x 2 , 2x 2 , 3x 2 ) + (x 3 , 2x 3 , 3x 3 )] [(x 1 +x 2 , 2x 1 +2x 2 , 3x 1 +3x 2 )] + (x 3 , 2x 3 , 3x 3 ) = (x 1 , 2x 1 , 3x 1 ) + [(x 2 +x 3 , 2x 2 +2x 3 , 3x 2 + 3x 3 )] (x 1 +x 2 +x 3 , 2x 1+ 2x 2 +2x 3 , 3x 1 3x 2 -3x 3 ) = (x 1 +x 2 +x 3 , 2x 1 +2x 2 +2x 3 , 3x 1 +3x 2 +3x 3 ) (x 1 +x 2 +x 3 , 2(x 1 +x 2 +x 3 ), 3(x 1 +x 2 +x 3 )) = (x 1 +x 2 +x 3 , 2(x 1 +x 2 +x 3 ), 3(x 1 +x 2 +x 3 )) Este axioma se verifica A2) u + v = v + u (x 1 , 2x 1 , 3x 1 )+ (x 2 , 2x 2 , 3x 2 ) = (x 2 , 2x 2 , 3x 2 ) + (x 1 , 2x 1 , 3x 1 ) (x 1 +x 2 , 2x 1 +2x 2 , 3x 1+ 3x 2 ) = (x 2 +x 1 , 2x 2 +2x 1 , 3x 2 +3x 1 ) (x 1 +x 2 , 2(x 1 +x 2 ), 3(x 1 +x 2 )) = (x 2 +x 1 , 2(x 2 +x 1 ), 3(x 2 +x 1 )) Este axioma se verifica A3) u + 0 = u (x 1 , 2x 1 , 3x 1 ) + (0,0,0) = (x 1 , 2x 1 , 3x 1 ) (x 1 , 2x 1 , 3x 1 ) = (x 1 , 2x 1 , 3x 1 ) Este axioma se verifica A4) u +(-u) = 0 57 Professor Mestre Matusalém Vieira Martins Visite o meu site www.professormatusalem.com (x 1 , 2x 1 , 3x 1 ) + (-x 1 , -2x 1 ,-3x 1 ) = (0,0,0) (0,0,0) = (0,0,0) Este axioma se verifica M1) ().u = (.u) (). (x 1 , 2x 1 , 3x 1 ) = (. (x 1 , 2x 1 , 3x 1 )) ( x 1 , 2 x 1 , 3 x 1 ) = ( x 1 , 2 x 1 , 3 x 1 ) ( x 1 , 2 x 1 , 3 x 1 ) = ( x 1 , 2 x 1 , 3 x 1 ) Este axioma se verifica M2) ( + ).u = .u + .u ( + ). (x 1 , 2x 1 , 3x 1 ) = . (x 1 , 2x 1 , 3x 1 ) + . (x 1 , 2x 1 , 3x 1 ) (( + )x 1 , ( + )2x 1 , ( + ) 3x 1 ) = ( x 1 , 2x 1 , 3 x 1 ) + ( x 1 , 2x 1 , 3 x 1 ) ( x 1 + x 1 , 2x 1 + 2x 1 , 3 x 1 + 3 x 1 ) = ( x 1 + x 1 , 2x 1 + 2x 1 , 3 x 1 + x 1 ) Este axioma se verifica M3) (u + v) = .u + .v [(x 1 , 2x 1 , 3x 1 ) + (x 2 , 2x 2 , 3x 2 )] = . (x 1 , 2x 1 , 3x 1 ) + . (x 2 , 2x 2 , 3x 2 ) [(x 1 +x 2 , 2x 1 +2x 2 , 3x 1+ 3x 2 )] = ( x 1 , 2x 1 , 3 x 1 ) + ( x 2 , 2 x 2 , 3 x 2 ) [(x 1 +x 2 , 2(x 1 +x 2 ), 3(x 1 +x 2 ))] = ( x 1 + x 2 , 2x 1 +2 x 2 , 3 x 1 +3 x 2 ) ( (x 1 +x 2 ), 2 (x 1 +x 2 ), 3 (x 1 +x 2 )) = ( (x 1 +x 2 ), 2 (x 1 +x 2 ), 3 (x 1 +x 2 )) Este axioma se verifica M4) 1.u = u 1. (x 1 , 2x 1 , 3x 1 ) = (x 1 , 2x 1 , 3x 1 ) (x 1 , 2x 1 , 3x 1 ) = (x 1 , 2x 1 , 3x 1 ) Este axioma se verifica 119)A seguir apresenta-se um conjunto com as operações de adição e multiplicação por escalar nele definidas. Verificar se é um espaços vetorial. Se não for espaço, citar os axiomas que não se verificam. - - com as operações: (a, b) + (c, d) = (a, b) - o (a, b) = (o a, o b) A1) ) ) ) ) ) ) NÃO A2) ) ) ) ) )] ) )] ) ) ) ) ) ) ) OK 58 Professor Mestre Matusalém Vieira Martins Visite o meu site www.professormatusalem.com A3) ) ) ) ) ) OK A4) ) ) ) ) ) ) NÃO M1) ) ) )] ) ) ) ) ) ) OK M2) ) ) ) ) ) [ ) ) ] ) ) ) ) OK M3) ) ) )] ) ) ) ) ) [ ) ) ] ) ) ) OK M4) ) ) ) ) OK NÃO É ESPAÇO VETORIAL, NAO VERIFICANDO NOS AXIOMAS A1 E A4. 120)A seguir apresenta-se um conjunto com as operações de adição e multiplicação por escalar nele definidas. Verificar se é um espaços vetorial. Se não for espaço, citar os axiomas que não se verificam. - 2 - com as operações (x, y) + (x', y') = (x + x', y + y') - o (x, y) = (o x,0) u =(x, y), v (x', y') e w (x”,y”) A1) (u + v) + w = u + (v + w) [(x, y) (x', y')] (x”,y”) = (x, y) [(x', y') (x”,y”)] (x x', y y') (x”,y”) = (x, y) (x' x”, y' y”) (x x' x”, y y' y”) = (x x' x”, y y' y”) ok A2) u + v = v + u (x, y) + (x', y') = (x', y') + (x, y) (x+ x', y+ y') = (x'+x, y'+y) ok 59 Professor Mestre Matusalém Vieira Martins Visite o meu site www.professormatusalem.com A3) u + 0 = u (x, y) + (0,0) = (x,y) (x,y) = (x,y) ok A4) u +(-u) = 0 (x,y) + (-x,-y) = (0,0) (0,0) = (0,0) ok M1) ().u = (.u) ().(x,y) = (.(x,y)) ( x,0) = (.x,0)) ( x,0) = ( x,0) ok M2) ( + ).u = .u + .u ( + ).(x,y) = .(x,y) + .(x,y) (( + ).x,0) = ( .x,0) + (.x,0) ( x+ .x,0) = ( x+ .x,0) ok M3) (u + v) = .u + .v [(x, y) + (x', y')] = .(x,y) + .( x', y') (x+ x', y+ y') = (.x,0) + . x', 0) ( (x+ x'), (y+ y')) = (.x+ . x',0) ( x+ x'), y+ y')) (.x+ . x',0) Este não se verifica M4) 1.u = u 1. (x, y) = (x, y) (x, 0) (x, y) Este não se verifica Como pelo menos um axioma não foi verificado, logo este não é um espaço vetorial. 121)A seguir apresenta-se um conjunto com as operações de adição e multiplicação por escalar nele definidas. Verificar se é um espaços vetorial. Se não for espaço, citar os axiomas que não se verificam. ) e Com as operações usuais ) ) A1) ) ) ) ) ) ) A2) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) 60 Professor Mestre Matusalém Vieira Martins Visite o meu site www.professormatusalem.com ) ) A3) ) ) ) ) ) A4) ) ) ) ) ) ) M1) ) ) ) ) ) ) ) ) ) M2) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) M3) ) ( ) )) ( ) )) ( )) ) ) ) ) M4) ) ) ) ) 122)A seguir apresenta-se um conjunto com as operações de adição e multiplicação por escalar nele definidas. Verificar se é um espaços vetorial. Se não for espaço, citar os axiomas que não se verificam. A = {(x, y,z) e 3 | y = 5x e z = 0} com as operações usuais ), ) e ) Adição I) ) ) ) ) ) ) ) ] ) ] //ok II) ) ) ) ) )] ) )] ) ) ) ) ) ) ) )] )] //ok 61 Professor Mestre Matusalém Vieira Martins Visite o meu site www.professormatusalem.com III) ) ) ) ) ) //ok IV) ) ) ) ) ) ) ) ) ) //ok Multiplicação I)) ) ) ) ) )] ) ) ) ) //ok II) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ] ) ] //ok III) ) ) )] ) ) ) ) ) ) ) ) ] )] //ok IV) ) ) ) ) //ok Logo A é Espaço Vetorial Lista TED 25: Subespaço vetorial 123)Agora é apresentado um subconjunto, verifique se ele é subespaço. S = {(x, y, z)| x = 4y e z = 0} u = (4y, y, 0) v = (4y 1 , y 1 , 0) u + v=(4y, y, 0) + (4y 1 , y 1 , 0) =(4y +4y 1 , y+y 1 , 0+0) ok (u)=(4y, y, 0) = (4y, y, 0) ok Logo é subespaço vetorial 124)Agora é apresentado um subconjunto, verifique se ele é subespaço. 62 Professor Mestre Matusalém Vieira Martins Visite o meu site www.professormatusalem.com S = {(x, y, z)|x = z²} u = ( , , ) e v = ( , , ) u+v (z² 1 , y 1 , z 1 ) + (z² 2 , y 2 , z 2 ) ( + , y 1 + y 2 , z 1 + z 2 ) não pois + ) .u ( ,y 1 , z 1 ) ( , y 1 , z 1 ) não pois ) S não é um subespaço de V 125)Agora é apresentado um subconjunto, verifique se ele é subespaço. S = {(x, y, z)| z= 2x - y} u = (x 1 ,y 1 , 2x 1 – y 1 ) v = ( x 2 , y 2 , 2x 2 – y 2 ) u + v = (x 1 +x 2 , y 1 +y 2 + 2x 1 -y 1 +2x 2 -y 2 ) (x 1 +x 2 , y 1 +y 2 + 2(x 1 + x 2 -y 1 -y 2 ) ) ) Logo S é um subespaço de 3 126)Agora é apresentado um subconjunto, verifique se ele é subespaço. S = 1) [ ] [ ] [ ] 2) [ ] [ ] 127)Agora é apresentado um subconjunto, verifique se ele é subespaço. S = {(x, 2x ); x e } u(x, x) v(x’, x’) u+v ) ` ¹ ¹ ´ ¦ = + = ( ¸ ( ¸ 0 ; d e b a c d c b a 63 Professor Mestre Matusalém Vieira Martins Visite o meu site www.professormatusalem.com ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' 2 , ' ' 2 2 ´, ' 2 , ' 2 , x x x x x x x x x x x x + + + + + ok o .u ( ) ( ) ( ) x x x x x x o o o o 2 , 2 , 2 , ok é um subespaço 128)Agora é apresentado um subconjunto, verifique se ele é subespaço. S = ) ` ¹ ¹ ´ ¦ e ( ¸ ( ¸ R , , ; 0 c b a c b a S ,* + - * + * + * + * + * + * + * + Logo é um subespaço. 129)Agora é apresentado um subconjunto, verifique se ele é subespaço. S = {(x, y) | x = 0} ) ) ) //ok ) ) //ok Logo S é subespaço Lista TED 26: Combinação linear 130)Sejam os vetores u = (2, -3, 2) e v = (-1, 2, 4) em 3 . a) Escrever o vetor w = (5, -7, 10) como combinação linear de u e v. (5, -7, 10) = a . (2, -3, 2) + b . (-1, 2, 4) (5, -7, 10) = (2a, -3a, 2a) + (-b, 2b, 4b) (5, -7, 10) = (2a-b , -3a+2b, 2a+4b) 64 Professor Mestre Matusalém Vieira Martins Visite o meu site www.professormatusalem.com { 8a - 4b = 20 2(3) - b = 5 -3a + 2b = -7 2a + 4b = 10 6 - b = 5 -3(3) + 2(1) = -7 10a = 30 -b = 5 - 6 -9 + 2= -7 a = ⁄ = 3 b = 1 -7 = -7 Logo b) Para que valores de k o vetor (-8, k, 12) é uma combinação linear de u e v? (-8, k, 12) = a .(2, -3, 2) + b . (-1, 2, 4) (-8, k, 12) =(2a, -3a, 2a) + (-b, 2b, 4b) (-8, k, 12) =(2a-b , -3a+2b, 2a+4b) { 8a – 4b = –322 (–2) – b = 5 –3a + 2b = k 2a + 4b = 12 – 4 – b = 5 –3 (–2) + 2 (–9) = k 10a = –20 –b = 5 +4 6 –18 = k a = –20/10 = –2 –b = 9 –12 = k b = -9 k = –12 k = -12 131)Para qual valor de K o vetor u = (1, k, 2) em ³ é uma combinação linear dos vetores v = (3, 0, -2) e w = (2, -1, -5)? (1, k, 2) = a(3,0,-2) + b(2,-1,-5) (1, k, 2) = (3a,0,-2a) + (2b,-b,-5b) (1, k, 2) = (3a + 2b, -b, -2a - 5b) { ) b = -k 3a + 2.(-k) = 1 3a = 2k+1 -2 .( ) - 5.(-k) = 2 ( ) + 5k = 2 11k = 6+2 k = 65 Professor Mestre Matusalém Vieira Martins Visite o meu site www.professormatusalem.com S = ( ) 132)Sejam os vetores u = (1, 2, 1) e v = (-1, 0, 2) em 3 . Escrever o vetor w = (7, 10, 1) como combinação linear de u e v. Para que valores de k o vetor (4, 6, k) é uma combinação linear de u e v? W= a.u + b.v (7, 10, 1) = a . (1, 2, 1) + b . (-1, 0, 2) (7, 10, 1) = (a, 2a, a) + (-b, 0, 2b) (7, 10, 1) = (a – b ,2a,a + 2b) { ) 1=1 Logo (4, 6, k) = a . (1, 2, 1) + b . (-1, 0, 2) (4, 6, k) = (a, 2a, a) + (-b, 0, 2b) (4, 6, k) = (a – b ,2a,a + 2b) (4, 6, k) = (a-b,2a ,a+2b) { ) ) 133)Sendo os vetores u = (0, 1, 2) e v = (3, -5, 7), escrever o vetor w = (6, -13, 8) como combinação linear de u e v. 66 Professor Mestre Matusalém Vieira Martins Visite o meu site www.professormatusalem.com ) ) ) ) ) ) ) ) { ) w = -3 u + 2 v 134)Os dois problemas a seguir se referem aos vetores u = (2,-3,2) e v = (-1,2,4) do 3 . a) Escrever o vetor a = (7,-11, 2) como combinação linear de u e v. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b b b a a a b a 4 , 2 , 2 , 11 , 7 2 , 11 , 7 4 , 2 , 1 2 , 11 , 7 2 , 11 , 7 ÷ + ÷ = ÷ ÷ + ÷ = ÷ ¦ ¹ ¦ ´ ¦ = + × ( ¸ ( ÷ = + ÷ = ÷ 2 4 2 2 11 2 11 7 7 b a b a b a 1 3 3 11 11 14 2 14 = = ÷ = + ÷ = ÷ a a b a b a ( ) 0 7 7 7 7 7 1 7 = ÷ = ÷ = ÷ = ÷ b b b b Logo a = 1.u+0.v b) Para que valor de k o vetor w = (-8, 14, K) é combinação linear de u e v? ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b b b a a a k b a k 4 , 2 , 2 , 3 , 2 , 14 , 8 4 , 2 , 1 2 , 3 , 2 , 14 , 8 ÷ + ÷ = ÷ ÷ + ÷ = ÷ ¦ ¹ ¦ ´ ¦ = + = + ÷ ÷ = ÷ k b a b a b a 4 2 14 2 3 8 2 67 Professor Mestre Matusalém Vieira Martins Visite o meu site www.professormatusalem.com ( ) 2 14 16 14 14 16 3 14 2 8 2 3 2 8 2 8 ÷ = + ÷ = = + + ÷ = + + ÷ + = ÷ ÷ = ÷ a a a a a a a b a b ( ) 4 8 2 14 2 6 14 2 2 3 = = = + = + ÷ ÷ b b b b ( ) ( ) 12 12 16 4 4 4 2 2 = = = + ÷ = + ÷ k k k k 135)Dados os vetores v 1 ) ), para que valor de o vetor ) é combinação linear de v 1 e v 2 ? ) ) ) ) ) ) ) ) { ) ( ) Os dois problemas a seguir se referem aos vetores v 1 = (-1,2,1), v 2 = (1,0,2) e v 3 = (-2,-1, 0) do 3 . 136)Expressar o vetor w = (-8,4,1) como combinação linear dos vetores v 1 , v 2 e v 3 . 68 Professor Mestre Matusalém Vieira Martins Visite o meu site www.professormatusalem.com [ ] [ ] ) ) [ ] [ ] ) ) [ ] [ ] ) ) [ ] [ ] ) ) ) ) ) ) 137)Expressar o vetor v = (0,2,3) como combinação linear de v 1 , v 2 e v 3 . [ ] [ ] ) ) [ ] [ ] ) ) [ ] [ ] ) ) [ ] [ ] ) ) 69 Professor Mestre Matusalém Vieira Martins Visite o meu site www.professormatusalem.com ) ) ) Lista TED 27: Transformações lineares 138)Verificar se a função (transformação) é linear. f: R² ÷ R², f(x, y) = (x², y²) Definição: Sejam U e V espaços vetoriais. Diz-se que T: U ÷ V é uma transformação linear se satisfaz às duas seguintes propriedades: 1. Para qualquer u e v de R²: T(u+v) = T(u) + T(v). 2. Para qualquer k real e qualquer v de V: T(kv)=k.T(v). Então, você escreve dois vetores u(u 1 , u 2 ) e v(v 1 , v 2 ), por exemplo. Daí verifica se as duas propriedades são satisfeitas. T(u + v) = T((u 1 , u 2 ) + (v 1 , v 2 )) = T(u 1 +v 1 , u 2 , v 2 ) = [(u 1 + v 1 )², (u 2 + v 2 )²] T(u) = T(u 1 , u 2 ) = (u 1 ², u 2 ²) T(v) = T(v 1 , v 2 ) = (v 1 ², v 2 ²) T(u) + T(v) = (u 1 ², u 2 ²) + (v 1 ², v 2 ²) = [(u 1 ²+v 1 ²), (u 2 ², v 2 ²)] Veja que [(u 1 + v 1 )², (u 2 + v 2 )²] não é igual a [(u 1 ²+v 1 ²), (u 2 ², v 2 ²)], logo, a transformação não é linear. 139)Verificar se a função (transformação) é linear. f : 2 ÷ 2 , f(x,y) = (2x – y, 3x + 5y) ) ) 5 5 3 3 ( ), 2 2 ( ( ) ) ( 5 ) ( 3 , ) ( ) ( 2 ( ) , ( ) v ( ) ( ) ( ) v ( 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 , 2 1 , 1 y y x x y y x x f y y x x y y x x f y y x x f u f y x f y x f u f + + + ÷ ÷ + + + + + ÷ + + + = + + = + ) ) 5 3 5 3 ( ), 2 2 ( ( ) v ( ) ( ) 5 3 , 2 ( ) 5 3 , 2 ( ) v ( ) ( 2 , 2 1 1 2 , 2 1 1 2 , 2 2 , 2 1 1 1 , 1 y x y x y x y x f f u f y x y x f y x y x f f u f + + + ÷ + ÷ = + + ÷ + + ÷ = + ) ) 5 3 5 3 ( ), 2 2 ( ( ) ) 5 5 3 3 ( ), 2 2 ( ( ) v ( ) ( ) ( 2 , 2 1 1 2 , 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 y x y x y x y x f y y x x y y x x f f u f v u f + + + ÷ + ÷ = + + + ÷ ÷ + + = + Logo a função (transformação) é linear. 140)Dada a transformação linear f: 3 ÷ 2 tal que: f(1, 0, 0) = (2, 1), f(0, 1, 0) = (-1, 0) e f(0, 0, 1) = (1, -2) i. Determinar a matriz canônica de f; 70 Professor Mestre Matusalém Vieira Martins Visite o meu site www.professormatusalem.com 1 0 0 1 0 0 0 0 1 ( ( ( ¸ ( ¸ ii. Calcular f(3, 4, 5); Expressando o vetor ) 5 , 4 , 3 ( como combinação linear dos vetores da base, vem: ) 1 , 0 , 0 ( ) 0 , 1 , 0 ( ) 0 , 0 , 1 ( ) 5 , 4 , 3 ( c b a + + = ) c , 0 , 0 ( ) 0 , b , 0 ( ) 0 , 0 , ( ) 5 , 4 , 3 ( + + = a ) c , b , ( ) 5 , 4 , 3 ( a = ¦ ¹ ¦ ´ ¦ = = = 5 4 3 c b a Sistema cuja solução é: 5 c e 4 b , 3 = = = a . Então, 3 2 1 5 4 3 ) 5 , 4 , 3 ( u u u + + = Aplicando f , vem: 7) - (9, 10) - 5, ( 0) (-2, 3) (6, 2) - (1, 5 0) (-1, 2 1) (2, 3 ) ( 5 ) ( 4 ) ( 3 ) 5 , 4 , 3 ( 3 2 1 = + + = + + = + + = u u u f f f f iii. Calcular f(x, y, z). Procedendo do mesmo modo com o vetor genérico (x, y, z) tem-se: ¦ ¹ ¦ ´ ¦ = = = z y x c b a Sistema cuja solução é: z y x a = = = c e b , . Então, 3 2 1 ) z , y , ( u u u z y x x + + = Aplicando f , vem: 2z) - x z, y - (2x 2z) - z, ( 0) (-y, x) (2x, 2) - z(1, 0) (-1, y 1) (2, x ) ( z ) ( ) ( x ) z , y , ( 3 2 1 + = + + = + + = + + = u u u f f y f x f 141)Uma transformação linear f: 2 ÷ 3 é tal que f(-1, 1) = (3, 2, 1) e f(0, 1) =(1, 1, 0) Determinar: i. f(2, 3) Expressando o vetor ) 3 , 2 ( como combinação linear dos vetores da base, vem: ) 1 , 0 ( ) 1 , 1 ( ) 3 , 2 ( b a + ÷ = ) , 0 ( ) , ( ) 3 , 2 ( b a a + ÷ = ) b a , ( ) 3 , 2 ( + ÷ = a ¹ ´ ¦ = + = + ÷ 3 b a 2 0 a Sistema cuja solução é: 5 b , 2 = ÷ = a . Então, 2 1 5 2 ) 3 , 2 ( u u + ÷ = 71 Professor Mestre Matusalém Vieira Martins Visite o meu site www.professormatusalem.com Aplicando f , vem: 2) - 1, (-1, 0) 5, (5, 2) - 4, - (-6, 0) 1, (1, 5 1) 2, (3, 2 - ) ( 5 ) ( 2 - ) 3 , 2 ( 2 1 = + = + = + = u u f f f ii. f(x, y) Procedendo do mesmo modo com o vetor genérico (x, y) tem-se: ¹ ´ ¦ = + = + ÷ y b a x 0 a Sistema cuja solução é: y x x a + = ÷ = b , . Então, ) )( ( ) ( ) y , ( 2 1 u u y x x x + + ÷ = aplicando f , vem: x) y, 3x y, (4x 0) y, x y, (x x) 2x, (3x, 0) 1, (1, ) ( 1) 2, (3, x ) ( ) ( ) ( x ) y , ( 2 1 + + = + + + = + + = + + = y x f y x f x f u u 142)Dada a transformação linear T: R³ ÷ R² tal que: T(1, 0, 0) = (2, -1), T(0, 1, 0) = (-1, 1) e T(0, 0, 1) = (1, -2) a) determinar a matriz canônica de T; b) calcular T(3, 4, 2); c) calcular T(x, y, z). i. Sabemos que: T(x,y,z) = T[x(1,0,0) + y(0,1,0) + z(0,0,1)] ( fácil a observação ) Mas, foi dito que a transformação é linear, então ela obedece as duas propriedades, ou seja, T(x, y, z) = T[x(1, 0, 0)] + T[y(0, 1, 0)] + T[z(0, 0, 1)] (primeira propriedade) T(x, y, z) = x.T(1, 0, 0) + y.T(0, 1, 0) + z.T(0, 0, 1) ( segunda propriedade ) T(x, y, z) = x(2, -1) + y(-1, 1) + z(1, -2) ----> (substitui os dados do problema ) T(x, y, z) = (2x, -x) + (-y, y) + (z, -2z) T(x, y, z) = (2x-y+z , -x+y-2z) ÷ (Letra c ) T(3,4,2) = (2.3-4+2 , -3+4-2.2) = (4 , -3) ÷ (Letra b) A matriz canônica é: * + ii. Uma transformação linear T: R² ÷ R³ é tal que T(-1, 1) = (3, 2, 0) e T(0, 1) = (1, 1, -1) Determinar: a) T(2, 4) T(x, y) T(x, y) = T[x(1, 0) + y(0, 1)] T(-1, 1) = T[-1(1, 0) + 1(0,1)] = -1.T(1, 0) + 1.T(0, 1) (3, 2, 0) = -1.T(1, 0) + (1, 1, -1) (3, 2, 0) - (1, 1, -1) = -1.T(1, 0) (2, 1, 1) = -1.T(1, 0) 72 Professor Mestre Matusalém Vieira Martins Visite o meu site www.professormatusalem.com T(1, 0) = (-2, -1, -1) Daí, T(x, y) = T[x(1, 0) + y(0, 1)] = x.T(1, 0) + y.T(0, 1) = x(-2, -1, -1) + y(1, 1, - 1) T(x, y) = (-2x, -x, -x) + (y, y, -y) T(x, y) = (-2x+y, -x+y, -x-y) ---> (letra b ) T(2, 4) = (-2.2+4, -2+4, -2-4) T(2, 4) = (0, 2, -6) ----> (letra a) 143)Verificar se a função (transformação) é linear. f : R 2 ÷R 2 , f(x,y) = (x + 1 , y) Resposta: (x,y) = a.(x+1,y) + b.(x+1,y) (x,y) = (ax+a,ay) + (bx+b,by) (x,y) = (ax+a +bx+b,ay+by) { = 2ax + 2bx = x (y) = 2ayx+2ayx = xy ay + by = y (2x) -2ayx-2byx = -2xy 4ayx = xy = 4ayx = xy = - 4byx= -3xy (÷xy) -2ayx – 2byx =-2xy (2) - 4axy – 4byx = -4xy - 4b = -3 ay + by =y 4ay= 4y+3y ay + .y) = y 4ay = 7y (÷y) ay - 4a=7 a= S= { } Logo a função é linear… 144)Dada a transformação linear f: R 3 ÷R 2 tal que: f(1, 0, 0) = (2, 0), f(0, 1, 0) = (0, 1) e f(0, 0, 1) = (2, -2) i. determinar a matriz canônica de f; ) 2 , 3 ( ) , , ( z y x z y x z y x f + ÷ + + = 73 Professor Mestre Matusalém Vieira Martins Visite o meu site www.professormatusalem.com 2 2 1 0 0 2 ) 2 , 2 ( ) 1 , 0 , 0 ( ) 1 ), 0 ( 2 0 , 1 ) 0 ( 3 0 ( ) 1 , 0 , 0 ( ) 1 , 0 ( ) 0 , 1 , 0 ( ) 0 ) 1 ( 2 0 , 0 ) 1 ( 3 0 ( ) 0 , 1 , 0 ( ) 0 , 2 ( ) 0 , 0 , 1 ( ) 0 ) 0 ( 2 1 , 0 ) 0 ( 3 1 ( ) 0 , 0 , 1 ( ÷ ÷ = ÷ + + = = + ÷ + + = = + ÷ + + = f f f f f f ii. calcular f(1, 4, 2); 3 . 2 2 . 4 1 . 1 3 . 2 . 1 . ) 2 , 4 , 1 ( ) 2 , 4 , 1 ( v v v w v c v b v a w w f + + = + + = = ) , 0 , 0 ( ) 0 , , 0 ( ) 0 , 0 , ( ) 2 , 4 , 1 ( ) 1 , 0 , 0 ( ) 0 , 1 , 0 ( ) 0 , 0 , 1 ( ) 2 , 4 , 1 ( c b a c b a + + = + + = ) 0 , 6 ( ) 2 , 4 , 1 ( ) 4 , 4 ( ) 4 , 0 ( ) 0 , 2 ( ) 2 , 4 , 1 ( ) 2 , 2 ( 2 ) 1 , 0 ( 4 ) 0 , 2 ( 1 ) 2 , 4 , 1 ( 2 4 1 = ÷ + + = ÷ + + = ¦ ¹ ¦ ´ ¦ = = = f f f c b a iii. calcular f(x, y, z). 74 Professor Mestre Matusalém Vieira Martins Visite o meu site www.professormatusalem.com ) 2 , 2 2 ( ) , , ( ) 2 , 2 ( ) , 0 ( ) 0 , 2 ( ) , , ( ) 2 , 2 ( ) 1 , 0 ( ) 0 , 2 ( ) , , ( ) , 0 , 0 ( ) 0 , , 0 ( ) 0 , 0 , ( ) , , ( ) 1 , 0 , 0 ( ) 0 , 1 , 0 ( ) 0 , 0 , 1 ( ) , , ( ) 3 ( ) 2 ( ) 1 ( ) 3 ( ) 2 ( ) 1 ( ) , , ( ) , , ( z y z x z y x f z z y x z y x f z y x z y x f c z b y a x c b a z y x c b a z y x v z v y v x w v c v b v a w z y x w z y x f ÷ + = ÷ + + = ÷ + + = ¦ ¹ ¦ ´ ¦ = = = + + = + + = + + = + + = = 145)Uma transformação linear f: R 2 ÷R 3 é tal que f(-1, 1) = (3, 1, 0) e f(0, 1) = (1, -2, -1) Determinar: i. f(-2, 4) (-2,4) = -2 (-1,1) + [4 (0,1)] f(-2,4) = -2f(-1,1)+ [4f(0,1)] = -2.(3,1,0) + [ 4(1,-2,-1)] = (-6,-2,0) + (4,8,4) = (-2,6,4) ii. f(x, y) (x,y) = x(-1,1) + y (0,1) F(x,y) = xf(-1,1) + yf(0,1) = x(3,1,0) + y(1,-2,-1) = (3x,x,0) + (y,-2y,-y) = (3xy,-2xy,-y) 146)Verificar se a função (transformação) é linear. f : R 2 ÷R 2 , f(x, y) = (x + 1 , y) Resposta: (x, y) = a.(x+1,y) + b.(x+1,y) (x, y) = (ax+a, ay) + (bx+b, by) (x, y) = (ax+a +bx+b, ay+by) { = 2ax + 2bx = x (y) = 2ayx+2ayx = xy ay + by = y (2x) -2ayx-2byx = -2xy 4ayx = xy = 4ayx = xy = - 4byx= -3xy (÷xy) -2ayx – 2byx =-2xy (2) - 4axy – 4byx = -4xy - 4b = -3 ay + by =y 4ay= 4y+3y ay + .y) = y 4ay = 7y (÷y) 75 Professor Mestre Matusalém Vieira Martins Visite o meu site www.professormatusalem.com ay - 4a=7 a= S= { } Logo a função é linear… 147)Dada a transformação linear f: R 3 ÷R 2 tal que: f(1, 0, 0) = (2, 0), f(0, 1, 0) = (0, 1) e f(0, 0, 1) = (2, -2) i. determinar a matriz canônica de f; ) 2 , 3 ( ) , , ( z y x z y x z y x f + ÷ + + = 2 2 1 0 0 2 ) 2 , 2 ( ) 1 , 0 , 0 ( ) 1 ), 0 ( 2 0 , 1 ) 0 ( 3 0 ( ) 1 , 0 , 0 ( ) 1 , 0 ( ) 0 , 1 , 0 ( ) 0 ) 1 ( 2 0 , 0 ) 1 ( 3 0 ( ) 0 , 1 , 0 ( ) 0 , 2 ( ) 0 , 0 , 1 ( ) 0 ) 0 ( 2 1 , 0 ) 0 ( 3 1 ( ) 0 , 0 , 1 ( ÷ ÷ = ÷ + + = = + ÷ + + = = + ÷ + + = f f f f f f ii. calcular f(1, 4, 2); 3 . 2 2 . 4 1 . 1 3 . 2 . 1 . ) 2 , 4 , 1 ( ) 2 , 4 , 1 ( v v v w v c v b v a w w f + + = + + = = ) , 0 , 0 ( ) 0 , , 0 ( ) 0 , 0 , ( ) 2 , 4 , 1 ( ) 1 , 0 , 0 ( ) 0 , 1 , 0 ( ) 0 , 0 , 1 ( ) 2 , 4 , 1 ( c b a c b a + + = + + = ) 0 , 6 ( ) 2 , 4 , 1 ( ) 4 , 4 ( ) 4 , 0 ( ) 0 , 2 ( ) 2 , 4 , 1 ( ) 2 , 2 ( 2 ) 1 , 0 ( 4 ) 0 , 2 ( 1 ) 2 , 4 , 1 ( 2 4 1 = ÷ + + = ÷ + + = ¦ ¹ ¦ ´ ¦ = = = f f f c b a iii. calcular f(x, y, z). 76 Professor Mestre Matusalém Vieira Martins Visite o meu site www.professormatusalem.com ¦ ¹ ¦ ´ ¦ = = = + + = + + = + + = + + = = c z b y a x c b a z y x c b a z y x v z v y v x w v c v b v a w z y x w z y x f ) , 0 , 0 ( ) 0 , , 0 ( ) 0 , 0 , ( ) , , ( ) 1 , 0 , 0 ( ) 0 , 1 , 0 ( ) 0 , 0 , 1 ( ) , , ( ) 3 ( ) 2 ( ) 1 ( ) 3 ( ) 2 ( ) 1 ( ) , , ( ) , , ( 148)Uma transformação linear f: R 2 R 3 é tal que f(-1, 1) = (3, 1, 0) e f(0, 1) = (1, -2, -1) Determinar: i. f(-2, 4) (-2,4) = -2 (-1,1) + [4 (0,1)] f(-2,4) = -2f(-1,1)+ [4f(0,1)] = -2.(3,1,0) + [ 4(1,-2,-1)] = (-6,-2,0) + (4,8,4) = (-2,6,4) ii. f(x, y) (x,y) = x(-1,1) + y (0,1) F(x,y) = xf(-1,1) + yf(0,1) = x(3,1,0) + y(1,-2,-1) = (3x,x,0) + (y,-2y,-y) = (3xy,-2xy,-y) 149)Verificar se a função (transformação) é linear. f : 2 ÷ 2 , f(x,y) = (y – x, 0) ) ) ) ) ) ) ) )] ) ) ) ) ) ) ) ) )) ) ) ) ) 150)Dada a transformação linear f: 3 ÷ 2 tal que: f(1, 0, 0) = (2, 2), f(0, 1, 0) = (3, 1) e f(0, 0, 1) = (2, 0) i. calcular f(1, 1, 2); 77 Professor Mestre Matusalém Vieira Martins Visite o meu site www.professormatusalem.com ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) { ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ii. calcular f(x, y, z). ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) { ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) 151)Uma transformação linear f: 2 ÷ 3 é tal que f(-1, 1) = (-1, 1, 0) e f(0, 1) = (-1, -2, -1) Determinar: i. f(-2, -1) ) ) )) ) ) ) ) ) ) ii. f(x, y) ) ) ) ) ) ) ) ) 152)Verificar se a função (transformação) é linear. f : 2 ÷ 2 , f(x,y) = x y 78 Professor Mestre Matusalém Vieira Martins Visite o meu site www.professormatusalem.com ¦ ¹ ¦ ´ ¦ = + = + + = + = y y xy x yx x y yx xy x y x xy y xy x y x 2 2 2 2 , , ) , ( ) ( ) ( ) , ( Não é uma transformação linear 153)Dada a transformação linear f: 3 ÷ 2 tal que: f(1, 0, 0) = (1, 1), f(0, 1, 0) = (3, -2) e f(0, 0, 1) = (1,1) i. determinar a matriz canônica de f; ) 2 , 3 ( ) , , ( z y x z y x z y x f + ÷ + + = ) 1 , 1 ( ) 0 , 0 , 1 ( ) 0 ) 0 ( 2 1 , 0 ) 0 ( 3 1 ( ) 0 , 0 , 1 ( = + ÷ + + = f f ) 2 , 3 ( ) 0 , 1 , 0 ( ) 0 ) 1 ( 2 0 , 0 ) 1 ( 3 0 ( ) 0 , 1 , 0 ( ÷ = + ÷ + + = f f ) 1 , 1 ( ) 1 , 00 ( ) 1 ), 0 ( 2 0 , 1 ) 0 ( 3 0 ( ) 1 , 0 , 0 ( = ÷ + + = f f 1 1 2 1 3 1 ÷ ) 2 , 2 2 ( ) , , ( ) 2 , 2 ( ) , 0 ( ) 0 , 2 ( ) , , ( ) 2 , 2 ( ) 1 , 0 ( ) 0 , 2 ( ) , , ( z y z x z y x f z z y x z y x f z y x z y x f ÷ + = ÷ + + = ÷ + + = ii. calcular f(1, 1, 0); ) 1 , 4 ( ) 0 , 1 , 1 ( ) 0 , 0 ( ) 2 , 3 ( ) 1 , 1 ( ) 0 , 1 , 1 ( ) 1 , 1 ( 0 ) 2 , 3 ( 1 ) 1 , 1 ( 1 ) 0 , 1 , 1 ( 0 1 1 ) , 0 , 0 ( ) 0 , , 0 ( ) 0 , 0 , ( ) 0 , 1 , 1 ( ) 1 , 0 , 0 ( ) 0 , 1 , 0 ( ) 0 , 0 , 1 ( ) 0 , 1 , 1 ( 3 . 0 2 . 1 1 . 1 3 . 2 . 1 . ) 0 , 1 , 1 ( ) 0 , 1 , 1 ( ÷ = + ÷ + = + ÷ + = ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ´ ¦ = = = + + = + + = + + = + + = = f f f c b a c b a c b a v v v w v c v b v a w w f iii. calcular f(x, y, z). 79 Professor Mestre Matusalém Vieira Martins Visite o meu site www.professormatusalem.com ) 2 , 3 ( ) , , ( ) , ( ) 2 , 3 ( ) , ( ) , , ( ) 1 , 1 ( ) 2 , 3 ( ) 1 , 1 ( ) , , ( ) , 0 , 0 ( ) 0 , , 0 ( ) 0 , 0 , ( ) , , ( ) 1 , 0 , 0 ( ) 0 , 1 , 0 ( ) 0 , 0 , 1 ( ) , , ( ) 3 ( ) 2 ( ) 1 ( ) 3 ( ) 2 ( ) 1 ( ) , , ( ) , , ( z y x z y x z y x f z z y y x x z y x f z y x z y x f c z b y a x c b a z y x c b a z y x v z v y v x w v c v b v a w z y x w z y x f + ÷ + + = + ÷ + = + ÷ + = ¦ ¹ ¦ ´ ¦ = = = + + = + + = + + = + + = = 154)Uma transformação linear f: 2 ÷ 3 é tal que f(-1, 1) = (0, 1, 0) e f(0, 1) = (-3, 0, -2) Determinar: i. f(-4, -3) (-4, -3)= )] 1 , 0 ( 3 [ ) 1 , 1 ( 4 ÷ + ÷ ÷ f(-4, -3)= )] 1 , 0 ( 3 [ ) 1 , 1 ( 4 f f ÷ + ÷ ÷ = )] 2 , 0 , 3 ( 3 [ ) 0 , 1 , 0 ( 4 ÷ ÷ ÷ + ÷ = ) 6 , 0 , 9 ( ) 0 , 4 , 0 ( + ÷ = ) 6 , 4 , 9 ( ÷ ii. (x, y)= ) 1 , 0 ( ) 1 , 1 ( y x + ÷ f(x, y)= ) 1 , 0 ( ) 1 , 1 ( yf xf + ÷ = ) 2 , 0 , 3 ( ) 0 , 1 , 0 ( ÷ ÷ + y x = ) 2 , 0 , 3 ( ) 0 , , 0 ( y y x ÷ ÷ + = ) 2 , , 3 ( y x y ÷ ÷ 155)Verificar se a função (transformação) é linear. f : 2 ÷ 2 , f(x,y) = x y ¦ ¹ ¦ ´ ¦ = + = + + = + = y y xy x yx x y yx xy x y x xy y xy x y x 2 2 2 2 , , ) , ( ) ( ) ( ) , ( Não é uma transformação linear 156)Dada a transformação linear f: 3 ÷ 2 tal que: f(1, 0, 0) = (1, 1), f(0, 1, 0) = (3, -2) e f(0, 0, 1) = (1,1) i. determinar a matriz canônica de f; 80 Professor Mestre Matusalém Vieira Martins Visite o meu site www.professormatusalem.com ) 2 , 3 ( ) , , ( z y x z y x z y x f + ÷ + + = 1 1 2 1 3 1 ) 1 , 1 ( ) 1 , 0 , 0 ( ) 1 ), 0 ( 2 0 , 1 ) 0 ( 3 0 ( ) 1 , 0 , 0 ( ) 2 , 3 ( ) 0 , 1 , 0 ( ) 0 ) 1 ( 2 0 , 0 ) 1 ( 3 0 ( ) 0 , 1 , 0 ( ) 1 , 1 ( ) 0 , 0 , 1 ( ) 0 ) 0 ( 2 1 , 0 ) 0 ( 3 1 ( ) 0 , 0 , 1 ( ÷ = ÷ + + = ÷ = + ÷ + + = = + ÷ + + = f f f f f f ii. calcular f(1, 1, 0); ) 1 , 4 ( ) 0 , 1 , 1 ( ) 0 , 0 ( ) 2 , 3 ( ) 1 , 1 ( ) 0 , 1 , 1 ( ) 1 , 1 ( 0 ) 2 , 3 ( 1 ) 1 , 1 ( 1 ) 0 , 1 , 1 ( 0 1 1 ) , 0 , 0 ( ) 0 , , 0 ( ) 0 , 0 , ( ) 0 , 1 , 1 ( ) 1 , 0 , 0 ( ) 0 , 1 , 0 ( ) 0 , 0 , 1 ( ) 0 , 1 , 1 ( 3 . 0 2 . 1 1 . 1 3 . 2 . 1 . ) 0 , 1 , 1 ( ) 0 , 1 , 1 ( ÷ = + ÷ + = + ÷ + = ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ´ ¦ = = = + + = + + = + + = + + = = f f f c b a c b a c b a v v v w v c v b v a w w f iii. calcular f(x, y, z). 81 Professor Mestre Matusalém Vieira Martins Visite o meu site www.professormatusalem.com ) 2 , 3 ( ) , , ( ) , ( ) 2 , 3 ( ) , ( ) , , ( ) 1 , 1 ( ) 2 , 3 ( ) 1 , 1 ( ) , , ( ) , 0 , 0 ( ) 0 , , 0 ( ) 0 , 0 , ( ) , , ( ) 1 , 0 , 0 ( ) 0 , 1 , 0 ( ) 0 , 0 , 1 ( ) , , ( ) 3 ( ) 2 ( ) 1 ( ) 3 ( ) 2 ( ) 1 ( ) , , ( ) , , ( z y x z y x z y x f z z y y x x z y x f z y x z y x f c z b y a x c b a z y x c b a z y x v z v y v x w v c v b v a w z y x w z y x f + ÷ + + = + ÷ + = + ÷ + = ¦ ¹ ¦ ´ ¦ = = = + + = + + = + + = + + = = 157)Uma transformação linear f: 2 ÷ 3 é tal que f(-1, 1) = (0, 1, 0) e f(0, 1) = (-3, 0, -2) Determinar: a) f(-4, -3) f(-4, -3)= )] 1 , 0 ( 3 [ ) 1 , 1 ( 4 ÷ + ÷ ÷ f(-4, -3)= )] 1 , 0 ( 3 [ ) 1 , 1 ( 4 f f ÷ + ÷ ÷ = )] 2 , 0 , 3 ( 3 [ ) 0 , 1 , 0 ( 4 ÷ ÷ ÷ + ÷ = ) 6 , 0 , 9 ( ) 0 , 4 , 0 ( + ÷ = ) 6 , 4 , 9 ( ÷ b) f(x, y)= ) 1 , 0 ( ) 1 , 1 ( y x + ÷ f(x, y)= ) 1 , 0 ( ) 1 , 1 ( yf xf + ÷ = ) 2 , 0 , 3 ( ) 0 , 1 , 0 ( ÷ ÷ + y x = ) 2 , 0 , 3 ( ) 0 , , 0 ( y y x ÷ ÷ + = ) 2 , , 3 ( y x y ÷ ÷ a. Verificar se a função (transformação) é linear. f : 2 ÷ 2 , f(x,y) = (3y, -2x, 0) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) 82 Professor Mestre Matusalém Vieira Martins Visite o meu site www.professormatusalem.com R: Sim, a função é linear. 158)Dada a transformação linear f: 3 ÷ 2 tal que: f(1, 0, 0) = (-5, 4), f(0, 1, 0) = (-3, 2) e f(0, 0, 1) = (0,1) i. Determinar a matriz canônica de f; [ ] [ ] ii. Calcular f(-1, 1, -4); ) ) ) ) { ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) iii. Calcular f(x, y, z). ) ) ) ) { ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) b. Uma transformação linear f: 2 ÷ 3 é tal que f(-1, 1) = (0, 1, -2) e f(0, 1) = (-3, 0, 1) Determinar: i. f(2, -3) ) ) ) ) ) ) , ) ) ) ) ) ) 83 Professor Mestre Matusalém Vieira Martins Visite o meu site www.professormatusalem.com ) ) ) ) ) ii. f(x, y) ) ) ) ) ) ) , ) ) ) ) ) ) )) ) ) ) ) )