UNIVERSIDADE DE PERNAMBUCOCAMPUS PETROLINA DISCIPLINA: Princípios de Contagem EXERCÍCIOS – PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO 01. Uma bandeira é formada por 7 listras que devem ser coloridas usando apenas as cores, verde, azul e cinza. Se cada listra deve ter apenas uma cor e não pode usar cores iguais em listras adjacentes, de quantos modos se pode colorir a bandeira? RESOLUÇÃO Para a escolha da 1ª listra temos 3 opções, para as demais escolhas 2 opções. 3.2.2.2.2.2.2 = 192 02. Quantos sãos os números de três algarismos distintos? RESOLUÇÃO 9.9.8 = 648 03. Quantos são os gabaritos possíveis de um teste de 10 questões de múltipla-escolha, com 5 alternativas por questões? RESOLUÇÃO Como para cada questão temos 5 possibilidades de respostas, temos 5.5.5.5.5.5.5.5.5.5= 510 possibilidades 04. Quantos subconjuntos possui um conjunto que tem n elementos? RESOLUÇÃO 2n 05. De quantos modos 3 pessoas podem se sentar em 5 cadeiras em fila? RESOLUÇÃO Para a 1ª pessoa temos 5 cadeiras de possibilidades, para a 2ª 4 cadeiras e para 3ª 3 cadeiras. Logo, 5.4.3 = 60 modos 4). e assim para os demais bancos. no 2º grupo temos 24 possibilidades para o rei negro e 58 para o rei branco. Então. Então o número de possibilidades é 5. 7 elementos.60 + 24.5.1. para o 2º elemento 7 possibilidades e assim por diante.7 = 2401 funções. excluindo as 4 dos vértices (2º grupo) e ainda sobram 36 casas (3º grupo).4 = 840 funções.06. Então. para o 2º banco temos 4 opções para escolher o homem e 4 possibilidades de escolher a mulher (4. Quantas funções existem? Quantas delas são injetoras? RESOLUÇÃO Para construir uma função. O conjunto A possui 4 elementos e o conjunto B.7. Logo. que é a metade da anterior. se em cada banco deve haver um homem e uma mulher? RESOLUÇÃO Para o 1º banco de 2 lugares temos 5 opções para escolher o homem e 5 possibilidades de escolher a mulher (5. 08.2. para o 2º 6 possibilidades e assim por diante. Logo as possibilidades são 4. para o 1º elemento temos 7 possibilidades.55 = 3612 Se os reis forem iguais a resposta é 1 806.1. De quantos modos podemos colocar dois reis diferentes em casas não-adjacentes de um tabuleiro 8 x 8? E se os reis fossem iguais? RESOLUÇÃO Dividindo as 64 casas em três grupos.58 + 36. temos: 4 casas nos vértices do tabuleiro (1º grupo). .5. De quantos modos 5 homens e 5 mulheres podem se sentar em 5 bancos de 2 lugares. no 1º grupo temos 4 possibilidades para o rei negro e 60 para o rei branco.2= 460.3.2. Logo. para cada elemento de A devemos ter uma imagem em B. Logo.7. temos duas possibilidades para o casal sentar. Em cada banco.4. no 3º grupo temos 36 possibilidades para o rei negro e 55 para o rei branco. 7.2.3.4.2.2.6. 7.800 modos 07. 24 casas nas bordas do tabuleiro.5). para o 1º elemento temos 7 possibilidades. caso em trocando a posição dos reis a configuração permanece a mesma.2. A condição para uma função ser injetora é que domínios diferentes tenham imagens diferentes. Logo. Numa festa existem 80 homens e 90 mulheres.3 = 6 maneiras 10. 4. O cardápio oferece oito pratos distintos de carne e cinco pratos diferentes de sobremesa. Combinando assento e encosto. De quantas maneiras. quantas posições diferentes esse banco pode assumir? RESOLUÇÃO 6.90 = 7200 casais . Quantos números de dois algarismos podemos formar. independentemente da posição do assento. Num banco de automóvel o assento pode ocupar seis posições diferentes e o encosto cinco posições. De quantas formas ela pode vestir uma blusa e uma saía? RESOLUÇÃO 5.09. Uma moça possui 5 blusas e 6 saías. se pode ir de A a C passando por B? RESOLUÇÃO 2. 6 e 8) e para a escolha do algarismo das unidades temos 4 possibilidades (0. Existem duas vias de locomoção de uma cidade A para uma cidade B e três vias de locomoção da cidade B a uma cidade C. Um homem vai a um restaurante disposto a comer um só prato de carne e uma só sobremesa.6 = 30 possibilidades 13.4 = 16 possibilidades. Quantos casais diferentes podem ser formados? RESOLUÇÃO 80. 3. 4. sabendo que o algarismo das dezenas corresponde a um múltiplo de 2 (diferente de zero) e o algarismo das unidades a um múltiplo de 3? RESOLUÇÃO Para a escolha do algarismos da dezena temos 4 possibilidades (2. 6 e 9). De quantas formas pode o homem fazer sua refeição? RESOLUÇÃO 8. 11.5 = 30 posições 14.5 = 40 possibilidades 12. Num concurso com 12 participantes. de quantas maneiras poderão ser distribuídos um primeiro e um segundo prêmios? RESOLUÇÃO 12.2.3 = 42 alternativas 19. se nenhum puder ganhar mais que um prêmio. podendo o comprador optar entre os motores 2 000 cc e 4 000 cc. De quantas formas uma pessoa poderá entrar no edifício e sair por uma porta diferente da que usou para entrar? RESOLUÇÃO 8.11 = 132 possibilidades 17. 12 camisas e 5 pares de sapatos. Um edifício tem 8 portas. Logo. De quantas formas uma pessoa poderá responder aos 20 testes? RESOLUÇÃO Para cada questão temos 2 possibilidades (sim ou não). 220 modos. cujas respostas para cada pergunta são: sim ou não? RESOLUÇÃO Para cada questão temos 2 possibilidades (sim ou não).15 = 600 possibilidades 18.15. quantas são as alternativas do comprador? RESOLUÇÃO 7. Um homem possui 10 ternos. 212 modos. 20. Sabendo-se que os automóveis são fabricados nas versões standard. Uma prova consta de 20 testes do tipo verdadeiro ou falso. De quantos modos podemos responder a doze perguntas de um questionário. luxo e superluxo. De quantas formas poderá ele vestir um terno. uma camisa e um par de sapatos? RESOLUÇÃO 10.12. Um automóvel é oferecido pelo fabricante em 7 cores diferentes.7= 56 formas 16. Logo. . de quantas maneiras distintas podemos convidar uma ou mais pessoa para jantar? RESOLUÇÃO 25 – 1 = 31 maneiras. qual é o número total de resultados possíveis? RESOLUÇÃO Para cada jogo temos 4 possibilidades. 24. Quantos anagramas podemos formar. Uma sala tem 10 portas. Uma loteria (semelhante à loteria esportiva) apresenta 10 jogos.sim. Logo. 232 palavras.103 22.210 1000000 103. De quantas maneiras diferentes um professor poderá escolher um ou mais estudantes de um grupo de seis estudantes? RESOLUÇÃO 26 – 1 = 63 maneiras. De um grupo de cinco pessoas . 410 = (22)10 = 210. Logo. Qual é o número de palavras distintas de 32 bits? RESOLUÇÃO Para cada bit temos 2 possibilidades (0 ou 1). batendo ao acaso em seis teclas (escolhidas entre as 26 existentes) numa máquina de escrever? Entre eles consta o anagrama TECTEC? RESOLUÇÃO Para a escolha de cada letra temos 6 possibilidades. temos que o número de anagramas é dado por 266 . como são seis caracteres.21. um bit é um dos algarismos 0 ou 1 e uma palavra é uma sucessão de bits. Usando a aproximação 210 103. 26. Em um computador digital. 23. 25. . De quantas maneiras diferentes essa sala pode ser aberta? RESOLUÇÃO 210 – 1 = 1 023 maneiras. cada um com 4 possíveis resultados. Quantos números de 3 algarismos (iguais ou distintos) podemos formar com os dígitos 1. estas atendem ao que a questão solicita (40 sequências formam PA). Com três tipos de macarrão e 2 tipos de molho... para a escolha do 2º algarismo temos 5 possibilidades e para o 3º algarismo mais 5 possibilidades. Quantas pessoas podem receber um nome e um sobrenome com esses elementos? RESOLUÇÃO 10. 2 = 6 opções . de modo que cada quantidade seja mínima. 29. Três bolinhas são extraídas sucessivamente.5 = 125 possibilidades. Então 4 x 6 = 24 ou 6 x 4. 5. Um mágico se apresenta em público vestindo calça e paletó de cores diferentes. sem reposição. De quantas formas os números das bolinhas formam uma progressão aritmética na ordem em que foram extraídas? RESOLUÇÃO Para melhor visualização da questão pode ser feita a construção da árvore de possibilidades.5. 10. Temos um conjunto de 10 nomes e outro de 20 sobrenomes. 30. 31. O número mínimo de peças é igual 4 + 6 = 10 peças. 3.20 = 200 nomes. 28. Uma urna tem 10 bolinhas numeradas 1. qual é o número mínimo de peças de que ele precisa? RESOLUÇÃO O produto da quantidade de calça pela quantidade de paletó deve ser igual a 24. quantas opções de pratos diferentes de macarronada podem ser preparados? RESOLUÇÃO 3.27. 2. 7. Logo.. 8? RESOLUÇÃO Como os números podem ser iguais ou não. 3. 2. para a escolha do 1º algarismo temos 5 possibilidades. . Observadas todas as possíveis sequências de resultados identifique as que tem razão constante. Para que ele possa se apresentar em 24 sessões com conjuntos diferentes. B.6. AC. há três opções de resposta. 35. se os algarismos: a) podem ser repetidos b) não podem ser repetidos RESOLUÇÃO a) 5. 4 e 5. etc.3.24 = 120 rotas.6 = 180 números b) 5. ABCD. 1. temos as rotas AB.5. como são 5 dias. ABCDE e outras 17 (totalizando 24 rotas) que partem de A e chegam a uma das outras cidades (extremidade B. A seleção para certo concurso é feita com uma prova com seis questões. ABC. por exemplo A. temos 3. Suponha que 5 pontos no plano representam cidades que são ligadas por estradas. Os candidatos marcam as seis respostas em um cartão igual ao da figura: . 2. Calcule quantos números de 3 dígitos podem ser formados com os algarismos 0. Um homem pode ir para o trabalho de carro. fixando o ponto A como ponto de partida. AE. 6 = 12 opções 33. 3. de ônibus ou de trem. Por exemplo. AD. quantas são as possibilidades de resultados? RESOLUÇÃO No lançamento de uma moeda temos duas possibilidades e no lançamento de um dado 6 possibilidades. D e E.). C. Para cada questão. o número de rotas é dado por 5.3 = 243 formas 34. Como são 5 cidades. de modo que 2 cidades são ligadas apenas por uma estrada.4 = 100 números 36.3. Podemos fixar um ponto/cidade e a partir dele temos 4! Possibilidades. 2. Ao lançarmos uma moeda e um dado. Escolhendo-se uma cidade qualquer como ponto de partida.32. De quantas formas diferentes ele pode arranjar sua ida ao trabalho nos 5 dias da semana? RESOLUÇÃO Em cada dia o homem tem 3 opções. C.3. quantas rotas distintas podem ser feitas de forma que cada cidade seja visitada exatamente uma vez? RESOLUÇÃO Dado 5 pontos no plano. 3.4. sem os repetir? RESOLUÇÃO Para escolher o número da milhar temos 4 possibilidades. 4.4 = 120 Total de possibilidades: 6 + 30 + 120 = 156 números 39.5. De quantas maneiras distintas nove pessoas podem ser dispostas em fila? RESOLUÇÃO 9! = 362. para o das dezenas 3 e para as unidades 2 possibilidades. Quantos números de 1. Quantos números entre 1 000 e 8 000 podemos formar usando apenas 1.5 = 30 Números de 3 dígitos: 6.2 = 96 números.880 maneiras 40.10 = 2000 Total de números que não possuem o algarismo 3: 2. 38. 4. Então.9 = 1458 . 2.9. 5 e 6? RESOLUÇÃO Números de 1 dígito: 6 Números de 2 dígitos: 6. como são seis questões 36 = 729 37. 5. 2 ou 3 dígitos (sem repetição) podem ser formados com os algarismos 1.9.10. Quantos números de 5 000 a 6 999 contêm pelo menos um algarismo 3? RESOLUÇÃO Total de números de 5 000 a 6999: 2. 3. para o das centenas 4.3.De quantas maneiras diferentes esse cartão pode ser preenchido? RESOLUÇÃO Para cada questão temos 3 possibilidades de resposta.10. 7 e 9. sim 27 125 28 200 29 10 30 40 31 6 32 12 33 243 34 120 35 a) 180 b) 100 36 729 37 96 38 156 39 362. 2000 – 1458 = 542 números. possuem pelo menos um algarismo 3. Gabarito 01 192 02 648 03 510 04 2n 05 60 06 460.Logo.800 07 3612 e 1806 08 2401 e 840 09 6 10 16 11 40 12 30 13 30 14 7 200 15 56 16 132 17 600 18 42 19 212 20 220 21 aproximadamente 1 000 000 22 232 23 1 023 24 63 25 31 26 266.880 40 542 .