Lista de exercícios - AlocaçãoConstruir o modelo matemático de programação linear dos sistemas descritos a seguir. Obs.: Seguir o roteiro proposto em aula. 1 – Uma empresa fabrica dois modelos de bolsas de couro. O modelo B1, de melhor qualidade, requer o dobro de tempo de fabricação em relação ao modelo B2. Se todas as bolsas fossem do modelo B2 a empresa poderia produzir 1.200 unidades por dia. A disponibilidade do couro permite fabricar 900 bolsas de ambos os modelos por dia. As bolsas empregam metais decorativos diferentes, cuja disponibilidade diária é de 300 para B1 e 500 para B2. Os lucros unitários são de R$3 para B1 e R$4 para B2. Qual o programa ótimo para a produção que maximiza o lucro total diário da empresa? Construa o modelo do sistema descrito. RESPOSTA: x1 = quantidade a produzir x2 = quantidade a produzir Max. Lucro = 3x1 + 4x2 Sujeito à: 2x1 + x2 ≤ 1.200 x1 + x2 ≤ 900 x1 ≤ 300 x2 ≤ 500 x1 ≥ 0, x2 ≥ 0 de B1 de B2 (restrição (restrição (restrição (restrição quanto quanto quanto quanto à à à à quantidade quantidade quantidade quantidade máxima de produção por dia) de couro por dia) de fivelas p/ M1) de fivelas p/ M2) 2 – Uma fabrica produz dois tipos de produto: A e B. Cada modelo A requer 4 horas de corte e 2 horas de polimento, cada modelo B requer 2 horas de corte e 5 horas de polimento. A fábrica possui 3 cortadoras e 2 polidoras. Sabendo-se que a semana de trabalho da fábrica é de 40 horas e que cada modelo A dá um lucro de R$3 e cada modelo B R$4 e que não há restrições de demanda, pede-se qual deve ser o modelo de produção da fábrica que maximiza o lucro. RESPOSTA: x1 = quantidade a produzir do modelo A x2 = quantidade a produzir do modelo B Max. Lucro = 3x1 + 4x2 Sujeito à: 4x1 + 2x2 ≤ 120 (restrição quanto à horas de corte) 2x1 + 5x2 ≤ 80 (restrição quanto à horas de polimento) x1 ≥ 0, x2 ≥ 0 3 – Uma pequena fábrica de móveis produz dois modelos de molduras ornamentais, cujos preços de venda são, respectivamente, R$110,00 e R$65,00. Ela possui 7 peças de madeira e dispõe de 30 horas de trabalho para confeccionar os dois modelos, sendo que o modelo A requer 2 peças de madeira e 5 horas de trabalho, enquanto o modelo B necessita de 1 peça de madeira e 7 horas de trabalho. Quantas molduras de cada modelo a fábrica deve montar se desejar maximizar o rendimento obtido com as vendas. RESPOSTA: A = quantidade a produzir da moldura A B = quantidade a produzir da moldura B Max. Lucro = 110A + 65B Sujeito à: 2A + B ≤ 7 (restrição quanto à quantidade e madeira) 5A + 7B ≤ 30 (restrição quanto à horas de trabalho) A ≥ 0, B ≥ 0 4 – Uma fábrica de computadores produz dois modelos de computador: C1 e C2. O modelo C1 fornece um lucro de R$180,00 e C2 um lucro de R$300,00. O modelo C1 requer, na sua produção, um gabinete pequeno e uma unidade de disco. O modelo C2 requer um gabinete grande e 2 unidades de disco. Existem no estoque: 60 unidades do gabinete pequeno, 50 do gabinete grande e 120 unidades de disco. Pergunta-se qual deve ser o esquema de produção que maximiza o lucro? RESPOSTA: C1 = quantidade a produzir do computador C1 C2 = quantidade a produzir do computador C2 Max. Lucro = 180C1 + 300C2 Sujeito à: C1 ≤ 60 (restrição quanto à quantidade de gabinetes pequenos) C2 ≤ 50 (restrição quanto à quantidade de gabinetes grandes) C1 + 2C2 ≤ 120 (restrição quanto à quantidade de unidades de disco) C1 ≥ 0, C2 ≥ 0 5 – Um fundo de investimentos tem até R$300.000,00 para aplicar em duas ações. A empresa D é diversificada (tem 40% do seu capital aplicado em cerveja e o restante aplicado em refrigerantes) e espera-se que forneça bonificações de 12%. A empresa N não é diversificada (produz apenas cerveja) e espera-se que distribua bonificações de 20%. Para este investimento, considerando a legislação governamental aplicável, o fundo está sujeito às seguintes restrições: a) O investimento na empresa diversificada pode atingir R$270.000,00; b) O investimento na empresa não-diversificada pode atingir R$150.000,00; c) O investimento em cada produto (cerveja ou refrigerante) pode atingir R$180.000,00. Pede-se: Qual é o esquema de investimento que maximiza o lucro? RESPOSTA: D = quantidade a investir nas ações da empresa D N = quantidade a investir nas ações da empresa N Max. Lucro = 0,12D + 0,2N Sujeito à: D + N ≤ 300.000 (restrição quanto total de investimentos) D ≤ 270.000 (restrição quanto ao investimento na empresa diversificada) N ≤ 150.000 (restrição quanto ao investimento na empresa não-diversificada) 0,4D + N ≤ 180.000 (restrição quanto ao investimento em cerveja) 0,6D ≤ 180.000 (restrição quanto ao investimento em refrigerante) D ≥ 0, N ≥ 0 6 – Uma empresa no ramo de madeiras produz madeira tipo compensado e madeira serrada comum e seus recursos são 40m 3 de pinho e 80m3 de canela. A madeira serrada dá um lucro de R$5,00 por m3 e a madeira compensada dá um lucro de R$0,70 por m 2. Para produzir uma mistura comerciável de 1m 3 de madeira serrada são requeridos 1m 3 de pinho e 3m3 de canela. Para produzir 100m2 de madeira compensada são requeridos 3m 3 de pinho e 5m3 de canela. Compromissos de venda exigem que sejam produzidos pelo menos 5m 3 de madeira serrada e 900m2 de madeira compensada. Qual é o esquema de produção que maximiza o lucro de tal forma a usar o máximo possível do estoque de matéria-prima e produzir, no mínimo, o compromisso contratual? RESPOSTA: S = quantidade a produzir de madeira do tipo serrada C = quantidade a produzir de madeira do tipo compensado Max. Lucro = 5S + 0,7C Sujeito à: S + 0,03C ≤ 40 (restrição quanto à quantidade de pinho) 3S + 0,05C ≤ 80 (restrição quanto à quantidade de canela) S≥5 (compromisso de venda de madeira serrada) C ≥ 900 (compromisso de venda de madeira tipo compensado) R$150 por unidade. x2 ≥ 0 9 – A empresa MR Móveis fabrica móveis para escritório e oferece a uma cadeia de lojas três produtos: mesa para computador.5 1 2 4. RESPOSTA: x1 = quantidade a produzir de P1 x2 = quantidade a produzir de P2 Max.000 m2 0. B ≥ 0 8 – Uma empresa após um processo de racionalização de produção ficou com disponibilidade de três recursos produtivos.00. 800 estantes e 1. estante e cadeira com regulagem de altura e rodas. R3. Qual o modelo do sistema de produção que maximiza o lucro? RESPOSTA: A = quantidade a produzir do jogo A B = quantidade a produzir do jogo B Max. O jogo A requer 3 horas para ser confeccionado e propicia um lucro de R$30. Um estudo sobre o uso desses recursos indicou a possibilidade de se fabricar dois produtos P1 e P2.00.600 horas 3 5 0. R1.7 – Uma microempresa produz dois tipos de jogos para adolescentes e sua capacidade de trabalho é de 50 horas semanais. Lucro = 120x1 + 150x2 Sujeito à: 2x1 + 4x2 ≤ 100 (restrição quanto à disponibilidade do recurso R1) 3x1 + 2x2 ≤ 90 (restrição quanto à disponibilidade do recurso R2) 5x1 + 3x2 ≤ 120 (restrição quanto à disponibilidade do recurso R3) x1 ≥ 0. O departamento de produção forneceu a seguinte tabela de usos dos recursos: Produto P1 P2 Disponibilidade de recursos por mês Recurso R1 por unidade 2 4 Recurso R2 por unidade 3 2 Recurso R3 por unidade 5 3 100 90 120 Construa o modelo de produção mensal do sistema.000 mesas. verificou-se que P1 daria um lucro de R$120 por unidade e P2. O vendedor da MR Móveis fecha um pedido de 1. com prazo de entrega de 45 dias.200 4 2 7. Um estudo do departamento de produção já tem estimado a necessidade de mão de obra. enquanto o jogo B precisa de 5 horas para ser produzido e acarreta um lucro de R$40.200 cadeiras.00 0 3 . madeira e componentes metálicos para a fabricação dos três itens e a disponibilidade desses recursos no período de produção: Mes a Quantidade a fabricar Mão de obra (horas/unidade) 2 Madeira (m /unidade) Componentes metálicos (kg/unidade) Disponibilidade de recursos no período Estan te Cadei ra 800 1. Lucro = 30A + 40B Sujeito à: 3A + 5B ≤ 50 (restrição quanto à quantidade de horas de trabalho) A ≥ 0. Levantando os custos e consultando o departamento de vendas sobre o preço de colocação no mercado.5 7. R2.000 kg 1. yc = quantidades a comprar de mesas. A disponibilidade dos produtos eletrônicos permite fabricar 1.000 unidades por dia. xc ≥ 0. yc ≥ 0 10 – Uma determinada empresa fabrica 2 produtos A1 e A2.000 (quantidade a fabricar e comprar de mesas) xe + ye ≥ 800 (quantidade a fabricar e comprar de estantes) xc + yc ≥ 1. cuja disponibilidade diária é de 1. Construa o modelo. xe ≥0.000 (restrição quanto à disponibilidade de comp. O lucro por unidade de A1 é de R$90 e o lucro unitário de A2 é de R$110.900 para C1 e 1. Construa o modelo do sistema de produção mensal com o objetivo de maximizar o lucro desta empresa. Se todos os computadores fossem do modelo C2 a empresa poderia produzir 3.5xc ≤ 7. ym ≥ 0. RESPOSTA: xm .A MR Móveis pode repassar seus projetos a outro fabricante e encontrar uma quantidade conveniente desses produtos com a finalidade de suprir o pedido. Os computadores empregam diferentes tipos de processadores. RESPOSTA: x1 = quantidade a produzir de C1 x2 = quantidade a produzir de C2 Max.5xm + xe + 2xc ≤ 4. custo = 100xm + 130xe + 90 xc + 120ym + 150ye . estantes e cadeiras Min. ye ≥ 0. mais completo.000 (restrição quanto à disponibilidade de madeira) 0. RESPOSTA: x1 = quantidade a produzir x2 = quantidade a produzir Max. Lucro = 90x1 + 110x2 Sujeito à: 1x1 + 2x2 ≤ 80 x1 ≤ 30 x2 ≤ 20 x1 ≥ 0 x2 ≥ 0 de A1 de A2 (restrição quanto à disponibilidade de horas) (restrição quanto à demanda de A1) (restrição quanto à demanda de A2) 11 – Uma empresa fabrica dois modelos de computadores. para minimizar o custo total desse pedido. Após consulta. ye . chegouse no quadro: Custo da fabricação própria (R$) Custo da fabricação por terceiros (R$) Mesa Estante Cadeira 100 130 90 120 150 115 O problema consiste. O tempo mensal disponível para essas atividades é de 80 horas. em determinar as quantias que a MR Móveis deverá produzir e comprar de cada item.000x1 + 800x2 Sujeito à: .000 para C1 e R$800 para C2.600 (restrição quanto à disponibilidade de mão de obra) 3xm + 5xe + 0. As demandas esperadas para os dois produtos levam a empresa a decidir que os montantes produzidos de A1 e A2 não devem ultrapassar 30 unidades de A1 e 20 unidades de A2 por mês. Lucro = 1.500 para C2.800 computadores de ambos os modelos por dia. estantes e cadeiras ym .+ 115yc Sujeito à: xm + ym ≥ 1. Qual o programa ótimo para a produção que maximiza o lucro total diário da empresa? Construa o modelo do sistema descrito. O modelo C1. xe . requer o triplo de tempo de fabricação em relação ao modelo C2. metálicos) xm ≥ 0. agora. Os lucros unitários são de R$1. A empresa necessita de 1 hora para fabricar uma unidade de A1 e 2 horas para fabricar 1 unidade de A2.200 (quantidade a fabricar e comprar de cadeiras) 3xm + 4xe + 2xc ≤ 7. xc = quantidades a fabricar de mesas. 1 – Uma liga especial constituída de ferro.55x4 Sujeito à: x1 ≥ 0.03 (restrição quanto à quantidade mínima de níquel) x4 ≤ 0.40.08 (restrição quanto à quantidade mínima de carvão) x2 ≤ 0.R$0. x3 e x4 ≥ 0 2 – Uma fábrica de ração para animais possui em estoque 3 misturas e pretende.15. a partir delas.000 (restrição quanto à quantidade máxima de produção por dia) x1 + x2 ≤ 1. níquel .900 (restrição quanto à quantidade de processadores p/ C1) x2 ≤ 1. silício . A liga deve ter a seguinte composição final: Matéria-prima Ferro Carvão Silício Níquel % mínima 10 8 10 3 % máxima 25 25 30 10 Os custos dos materiais puros são (por kg): ferro .R$0.55. x2.10 (restrição quanto à quantidade máxima de níquel) x1 + x2 + x3 + x4 = 1 (restrição quanto à composição a produzir) x1.30x2 + 0. x2 ≥ 0 Lista de exercícios – Dosagem Construir o modelo matemático de programação linear dos sistemas descritos a seguir. silício e níquel pode ser obtida usando a mistura desses minerais puros.30 (restrição quanto à quantidade máxima de silício) x4 ≥ 0.: Seguir o roteiro proposto em aula. Ingrediente Por kg Exigência mínima .800 (restrição quanto à quantidade de produtos eletrônicos por dia) x1 ≤ 1.30. RESPOSTA: x1 = quantidade de ferro puro na mistura x2 = quantidade de carvão puro na mistura x3 = quantidade de silício puro na mistura x4 = quantidade de níquel puro na mistura Min.15x3 + 0. carvão.25 (restrição quanto à quantidade máxima de carvão) x3 ≥ 0.40x1 + 0.R$0.3x1 + x2 ≤ 3.25 (restrição quanto à quantidade máxima de ferro) x2 ≥ 0. além das quantidades mínimas exigidas na nova ração.500 (restrição quanto à quantidade de processadores p/ C2) x1 ≥ 0. O quadro abaixo apresenta as misturas com a porcentagem dos ingredientes presentes em cada uma e seu custo. Qual deverá ser a composição da mistura com menor custo por kg? Construa o modelo de decisão.R$0.10 (restrição quanto à quantidade mínima de ferro) x1 ≤ 0.10 (restrição quanto à quantidade mínima de silício) x3 ≤ 0. carvão. Custo = 0. compor uma nova ração que apresente quantidades mínimas de dois nutrientes presentes nas misturas. Obs. 18x3 ≥ 6 x1 ≥ 0.20x4 + 0.60%.R$0.20%. RESPOSTA: x1 = quantidade de MR1 na mistura x2 = quantidade de MR2 na mistura x3 = quantidade de ferro puro na mistura x4 = quantidade de carvão puro na mistura x5 = quantidade de silício puro na mistura x6 = quantidade de níquel puro na mistura Min.7x2 + x3 ≤ 0.25x1 + 0. x3 ≥ 0 (restrição quanto à quantidade total a produzir na mistura) (restrição quanto à quantidade mínima do ingrediente 1) (restrição quanto à quantidade mínima do ingrediente 2) 3 – Uma liga especial constituída de ferro. Material Recuperado 2 – Composição: ferro .20.28x5 + 0. silício R$0. níquel .60 (restrição quanto à quantidade mínima de ferro) 0.30.20x1 + 0. níquel .6x1 + 0.7x2 + x3 ≥ 0.2x1 + 0. x2 ≥ 0.08 (restrição quanto à quantidade máxima de níquel) x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 = 1 (restrição quanto à composição a produzir) x1.65 (restrição quanto à quantidade máxima de ferro) 0. Custo por kg: R$0. RESPOSTA: x1 = quantidade da mistura 1 na nova ração x2 = quantidade da mistura 2 na nova ração x3 = quantidade da mistura 3 na nova ração Min. Custo por kg: R$0.20 (restrição quanto à quantidade máxima de silício) 0.15 (restrição quanto à quantidade mínima de silício) 0.28.30x1 + 0. x3.2x1 + 0.5%.20%.50.05x2 + x6 ≥ 0. carvão.20x1 + 0.30x2 + 0.25x2 + 0. x5 e x6 ≥ 0 . A liga deve ter a seguinte composição final: Matéria-prima Ferro Carvão Silício Níquel % mínima 60 15 15 5 % máxima 65 20 20 8 Os custos dos materiais puros são (por kg): ferro .05x2 + x5 ≤ 0.15 (restrição quanto à quantidade mínima de carvão) 0.6x1 + 0.05x2 + x5 ≥ 0. silício .30x3 + 0.1 2 Custo/kg (R$) Mistura 1 Mistura 2 Mistura 3 25 20 20 30 32 18 0.25x2 + 0. Custo = 0.R$0.05x2 + x6 ≤ 0. x2.50x6 Sujeito à: 0.28 (em kg) por saco de 30kg 5 6 O problema consiste em determinar a composição do saco de 30kg da nova ração a partir das três misturas que apresente o menor custo. carvão: 20%. Qual deverá ser a composição da mistura em termos de materiais disponíveis.25 0. silício e níquel pode ser obtida usando a mistura desses minerais puros além de 2 tipos de materiais recuperados: Material Recuperado 1 – Composição: ferro .R$0.32x3 ≥ 5 0. carvão .28x3 Sujeito à: x1 + x2 + x3 = 30 0.20x2 + 0. Custo = 0. carvão .20.2x2 + x4 ≥ 0. silício .2x2 + x4 ≤ 0. x4.05 (restrição quanto à quantidade mínima de níquel) 0.25.70%.30 0.2x1 + 0.5%. com menor custo por kg? Construa o modelo de decisão.20 (restrição quanto à quantidade máxima de carvão) 0.2x1 + 0. para uma determinada semana. Ela necessita manter em seus tanques. Na carga do forno para a produção da liga desejada. em sua alimentação diária. gasolina especial e óleo diesel. Um kg do produto A contém 3 unidades de proteínas. Custo = 5x1 + 3x2 Sujeito à: x1 + x2= 400 (restrição quanto ao peso total da peça a produzir) x1 ≥ 100 (restrição quanto à quantidade mínima de aço puro na mistura de 400kg) x1 ≤ 140 (restrição quanto à quantidade máxima de aço puro na mistura de 400kg) x1 ≤ 400 (restrição quanto à disponibilidade máxima de aço puro) x2 ≤ 800 (restrição quanto à disponibilidade máxima de adições metálicas) x1 ≥ 0. Suponhamos que para satisfazer esta necessidade. R$3. a relação de adições para aço puro deve estar entre 25% e 35%. Que quantidade deve-se comprar de cada produto de modo que as exigências da alimentação sejam satisfeitas a um custo mínimo? RESPOSTA: x1 = quantidade do produto A a consumir x2 = quantidade do produto B a consumir Min. 10 unidades de carboidratos e custa R$2. um estoque mínimo dos produtos.00 Estoque mínimo 200 Barris 50 Barris 100 Barris RESPOSTA: x1 = quantidade do petróleo A na mistura x2 = quantidade do petróleo B na mistura Min. respectivamente. 5 unidades de carboidratos e custa R$3. Qual é o esquema de produção de custo mínimo? RESPOSTA: x1 = quantidade de aço puro na mistura x2 = quantidade do adições metálicas na mistura Min.60x2 ≥ 200 (restrição quanto ao estoque mínimo de gasolina comum) .10x1 + 0. Sabe-se que o custo por quilo de aço puro é de R$5. disponibilidades e estoques mínimos.00 e o das ligas.4 – Sabe-se que uma pessoa necessita.00. de um mínimo de 15 unidades de proteínas e 20 unidades de carboidratos.00. Especial Óleo Diesel Disponibilidad e Custo Petróleo A Petróleo B 10% 20% 70% 60% 30% 10% 200 Barris 300 Barris R$ 10.00 e que os estoques são de 400kg e 800kg. Custo = 2x1 + 3x2 Sujeito à: 3x1 + 6x2 ≥ 15 (restrição quanto à quantidade mínima de proteínas a ingerir) 10x1 + 5x2 ≥ 20 (restrição quanto à quantidade mínima de carboidratos a ingerir) x1 ≥ 0. ela disponha dos produtos A e B. A tabela abaixo mostra. Um kg do produto B contém 6 unidades de proteínas. no início de cada semana. Comum Gas. Custo = 10x1 + 15x2 Sujeito à: 0. as composições. Qual é o esquema de produção de custo mínimo? Gas. x2 ≥ 0 6 – Uma empresa adquire petróleo para produzir gasolina comum.00 R$ 15. x2 ≥ 0 5 – Uma empresa siderúrgica produz um tipo de aço a partir de aço puro misturado com “ligas metálicas” e recebeu um pedido de uma peça de 400kg. 037x2 ≤ 120. RESPOSTA: x1 = quantidade de carne bovina na mistura x2 = quantidade de carne de porco na mistura Min. Custo = 0. x2 ≥ 0 8 – Uma empresa de mineração deseja cumprir um contrato de fornecimento de 4 milhões de toneladas por ano do minério Sinter Feed e. conta com os seguintes minérios (a tabela abaixo mostra a composição percentual e o custo por tonelada de cada minério): Fe Si Custo M1 66% 1. Custo = 5.60 M2 64% 3.30 O minério a ser produzido por este blending deve conter no mínimo 65% de Ferro e no máximo 3% de Silício. x2 ≥ 0 (restrição (restrição (restrição (restrição quanto quanto quanto quanto ao estoque mínimo de gasolina especial) ao estoque mínimo de óleo diesel) à disponibilidade máxima de petróleo A) à disponibilidade máxima de petróleo B) 7 – Um açougue prepara almôndegas misturando carne bovina magra e carne de porco. A carne bovina contém 80% de carne e 20% de gordura e custa R$0.30x2 Sujeito à: x1 + x2 = 4.5% R$5.6x2 Sujeito à: x1 + x2 = 1 (restrição quanto à composição a produzir num total de 1kg) 0.30x2 ≥ 50 0.7% R$3.10x2 ≥ 100 x1 ≤ 200 x2 ≤ 300 x1 ≥ 0. a carne de porco contém 68% de carne e 32 % de gordura e custa R$0.64x2 ≥ 2. Quanto de carne bovina e quanto de carne de porco o açougue deve utilizar por kg de almôndega se o objetivo é minimizar seu custo e conservar o teor de gordura da almôndega não superior a 25%? Construa o modelo. x2 ≥ 0 . para tanto.80 o kg.70x1 + 0. Qual é o blending a custo mínimo? RESPOSTA: x1 = quantidade do minério M1 na mistura x2 = quantidade do minério M2 na mistura Min.600.0.60 o kg.000 (restrição quanto à quantidade total a produzir em toneladas por ano) 0.000 (restrição quanto à quantidade máxima de silício na mistura total) x1 ≥ 0.8x1 + 0.60x1 + 3.000.32x2 ≤ 0.25 (restrição quanto à quantidade máxima de gordura) x1 ≥ 0.000 (restrição quanto à quantidade mínima de ferro na mistura total) 0.66x1 + 0.2x1 + 0.20x1 + 0.015x1 + 0. Lista de exercícios . Seguir o roteiro proposto em aula. foi contratado pelo Departamento de Logística com a finalidade de atender a demanda dos depósitos sem exceder a capacidade das fábricas. Custo = 5x11 + 4x12 + 6x13 + 4x21 + 3x22 + 5x23 . Os custos em R$/t estão anotados em cada rota (ligação entre as fábricas e depósitos). a) Construa o modelo. de Produtos Vegetais – CPV possui duas fábricas que abastecem três depósitos. minimizando o custo total do transporte. Obs. As fábricas têm um nível máximo de produção baseado nas suas dimensões e nas safras previstas. RESPOSTA: x11 = quantidade a transportar de F1 para D1 x12 = quantidade a transportar de F1 para D2 x13 = quantidade a transportar de F1 para D3 x21 = quantidade a transportar de F2 para D1 x22 = quantidade a transportar de F2 para D2 x23 = quantidade a transportar de F2 para D3 Min.Transporte Construir o modelo matemático de programação linear dos sistemas descritos a seguir. 1 – Analise a figura a seguir: A Cia. estudante de Administração. José de Almeida. x13 = 500.x11 = 1000. As fábricas 1 e 2 produzem. A demanda restante deve ser suprida a partir da Fábrica 2. = 13000 Custo = 4x1000 + 4x1500 + 6x500 = Custo = 5x1000 + 4x1500 + 5x500 = Custo = 3x1000 +4x500+ 5x1000 + 6x500 Resposta correta: as situações I e III apresentam menor custo.1. 2 e 3 necessitam receber. III .500 unidades devem ser transportadas da Fábrica 1 para os Depósitos 1 e 2. 13500 III – x22 = 1000.1. respectivamente. 13000 II . x12 = 1500. respectivamente. Letra: D 2 – Uma empresa tem duas fábricas para produzir determinado produto a ser depois transportado para três centros de distribuição. x23 = 500.Sujeito à: x11 + x12 + x13 ≤ 2500 x21 + x22 + x23 ≤ 1000 x11 + x21 = 1000 x12 + x22 = 1500 x13 + x23 = 500 x11. Os centros de distribuição 1. x21. A demanda restante deve ser suprida a partir da Fábrica 1. Os custos de transporte. A demanda restante deve ser suprida a partir da Fábrica 1. II . Custo = 7x11 + 4x12 + 3x13 + 3x21 + 1x22 + 2x23 Sujeito à: x11 + x12 + x13 ≤ 100 (restrição quanto à quantidade de carregamentos da fábrica 1 por mês) x21 + x22 + x23 ≤ 50 (restrição quanto à quantidade de carregamentos da fábrica 2 por mês) x11 + x21 = 80 (restrição quanto à necessidade de carregamentos por mês do centro de distribuição 1) x12 + x22 = 30 (restrição quanto à necessidade de carregamentos por mês do centro de distribuição 2) . x22. por carregamento. x13 = 500. x12 = 1500. 80. x12.000 unidades devem ser transportadas da Fábrica 2 para o Depósito 1. 30 e 40 carregamentos por mês. Apresenta(m) o(s) menor(es) custo(s) apenas a(s) situação(ões): (A) I (B) II (C) III (D) I e III (E) II e III RESPOSTA: I – x21 = 1000. x13. 100 e 50 carregamentos por mês. são dados no seguinte quadro: Fábrica 1 Fábrica 2 C1 7 C2 4 C3 3 3 1 2 RESPOSTA: x11 = quantidade a transportar da Fabrica 1 para o Centro de Distribuição 1 x12 = quantidade a transportar da Fabrica 1 para o Centro de Distribuição 2 x13 = quantidade a transportar da Fabrica 1 para o Centro de Distribuição 3 x21 = quantidade a transportar da Fabrica 2 para o Centro de Distribuição 1 x22 = quantidade a transportar da Fabrica 2 para o Centro de Distribuição 2 x23 = quantidade a transportar da Fabrica 2 para o Centro de Distribuição 3 Min.000 unidades devem ser transportadas da Fábrica 2 para o Depósito 2.2. x23 ≥ 0 (restrição (restrição (restrição (restrição (restrição quanto quanto quanto quanto quanto a produção de F1) a produção de F2) capacidade de D1) capacidade de D2) capacidade de D3) b) Em sua decisão José de Almeida considerou as seguintes situações: I . x12 = 500 x11 = 1000. C2 e C3: Cliente C1 C2 C3 Quantidade (toneladas) 15 17 5 Os custos de transporte (em mil R$) são os seguintes: A1 A2 A3 C1 8 16 5 C2 6 14 10 C3 4 15 8 Apresente o modelo para minimização do custo de transporte.A.A para o transbordo em Atlanta . x21. x32 e x33 ≥ 0 4 – A General Ford produz veículos em L. x12. x23. Houston deve receber no mínimo 2. Formule o problema buscando minimizar o custo total de transporte dos veículos.400 veículos por mês e Tampa deve receber no mínimo 1. x22.300 veículos por mês. 10 toneladas num armazém A2 e 11 toneladas num armazém A3 necessitando satisfazer as seguintes demandas mínimas de três clientes C1. e Detroit. x12. x31. x13. O custo de enviar veículos entre pontos é dado na tabela abaixo: De: L. x13. RESPOSTA: x1 = quantidade a transportar de L. possui um ponto de transbordo em Atlanta e entrega os veículos produzidos em Houston e Tampa.900 veículos por mês. RESPOSTA: x11 = quantidade a transportar do Armazém 1 para o Cliente 1 x12 = quantidade a transportar do Armazém 1 para o Cliente 2 x13 = quantidade a transportar do Armazém 1 para o Cliente 3 x21 = quantidade a transportar do Armazém 2 para o Cliente 1 x22 = quantidade a transportar do Armazém 2 para o Cliente 2 x23 = quantidade a transportar do Armazém 2 para o Cliente 3 x31 = quantidade a transportar do Armazém 3 para o Cliente 1 x32 = quantidade a transportar do Armazém 3 para o Cliente 2 x33 = quantidade a transportar do Armazém 3 para o Cliente 3 Min.A.x13 + x23 = 40 centro de distribuição 3) x11. x21.100 veículos por mês e a fábrica de Detroit pode produzir até 2. x22 e x23≥ 0 (restrição quanto à necessidade de carregamentos por mês do 3 – Uma empresa tem atualmente 8 toneladas de arroz num armazém A1.A Detroit Atlanta Atlanta 140 105 - Para: Houston 121 Tampa 119 A fábrica de L. pode produzir até 1. Custo = 8x11 + 6x12 + 4x13 + 16x21 + 14x22 + 15x23 + 5x31 + 10x32 + 8x33 Sujeito à: x11 + x12 + x13 ≤ 8 (restrição quanto à quantidade a transportar do armazém 1) x21 + x22 + x23 ≤ 10 (restrição quanto à quantidade a transportar do armazém 2) x31 + x32 + x33 ≤ 11 (restrição quanto à quantidade a transportar do armazém 3) x11 + x21 + x31 ≥ 15 (restrição quanto à demanda do cliente 1) x12 + x22 + x32 ≥ 17 (restrição quanto à demanda do cliente 2) x13 + x23 + x33 ≥ 5 (restrição quanto à demanda do cliente 3) x11. a capacidade dos armazéns e as necessidades nos pontos de venda. x2. x31 e x32 ≥ 0 5 – Três armazéns abastecem cinco pontos de venda. Custo = 140x1 + 105x2 + 121x31 + 119x32 Sujeito à: x1 ≤ 1100 (restrição quanto à quantidade a transportar da fábrica de L. O quadro abaixo mostra os custos de distribuição.x2 = quantidade a transportar de Detroit para o transbordo em Atlanta x31 = quantidade a transportar do transbordo em Atlanta para Houston x32 = quantidade a transportar do transbordo em Atlanta para Tampa Min. Determine o modelo a fim de minimizar os custos de transporte. Armazém 1 Armazém 2 Armazém 3 Necessidade mínima Necessidade máxima P1 P2 P3 P4 P5 16 12 8 14 4 6 12 14 4 12 8 14 16 8 10 23 69 76 70 82 27 79 80 81 90 Capacida de 170 60 90 RESPOSTA: x11 = quantidade a transportar do Armazém 1 para o Ponto de venda 1 x12 = quantidade a transportar do Armazém 1 para o Ponto de venda 2 x13 = quantidade a transportar do Armazém 1 para o Ponto de venda 3 x14 = quantidade a transportar do Armazém 1 para o Ponto de venda 4 x15 = quantidade a transportar do Armazém 1 para o Ponto de venda 5 x21 = quantidade a transportar do Armazém 2 para o Ponto de venda 1 x22 = quantidade a transportar do Armazém 2 para o Ponto de venda 2 x23 = quantidade a transportar do Armazém 2 para o Ponto de venda 3 x24 = quantidade a transportar do Armazém 2 para o Ponto de venda 4 x25 = quantidade a transportar do Armazém 2 para o Ponto de venda 5 x31 = quantidade a transportar do Armazém 3 para o Ponto de venda 1 x32 = quantidade a transportar do Armazém 3 para o Ponto de venda 2 x33 = quantidade a transportar do Armazém 3 para o Ponto de venda 3 x34 = quantidade a transportar do Armazém 3 para o Ponto de venda 4 x35 = quantidade a transportar do Armazém 3 para o Ponto de venda 5 Min.A – produção máxima da fábrica) x2 ≤ 2900 (restrição quanto à quantidade a transportar da fábrica de Detroit – produção máxima da fábrica) x1 + x2 ≥ 3700 (restrição quanto à demanda mínima de Houston e Tampa) x31 ≥ 2400 (restrição quanto à quantidade mínima a transportar do transbordo de Atlanta para Houston) x32 ≥ 1300 (restrição quanto à quantidade mínima a transportar do transbordo de Atlanta para Tampa) x1. Custo = 16x11 + 14x12 + 12x13 + 12x14 + 16x15 + 12x21 + 4x22 + 14x23 + 8x24 + 8x25 + 8x31 + 6x32 + 4x33 + 14x34 + 10x35 Sujeito à: x11 + x12 + x13 + x14 + x15 ≤ 170 (restrição quanto à quantidade a transportar do armazém 1) x21 + x22 + x23 + x24 + x25 ≤ 60 (restrição quanto à quantidade a transportar do armazém 2) x31 + x32 + x33 + x34 + x35 ≤ 90 (restrição quanto à quantidade a transportar do armazém 3) x11 + x21 + x31 ≥ 23 (restrição quanto à necessidade mínima do ponto de venda 1) x11 + x21 + x31 ≤ 27 (restrição quanto à necessidade máxima do ponto de venda 1) x12 + x22 + x32 ≥ 69 (restrição quanto à necessidade mínima do ponto de venda 2) x12 + x22 + x32 ≤ 79 (restrição quanto à necessidade máxima do ponto de venda 2) x13 + x23 + x33 ≥ 76 (restrição quanto à necessidade mínima do ponto de venda 3) x13 + x23 + x33 ≤ 80 (restrição quanto à necessidade máxima do ponto de venda 3) x14 + x24 + x34 ≥ 70 (restrição quanto à necessidade mínima do ponto de venda 4) . como mostrado na matriz abaixo: Fábric as 1 2 3 Deman da Capacid ade Armazéns A 8 24 16 B 14 6 20 C 14 16 32 D 2 16 10 160 180 240 320 200 400 300 Determinar o modelo matemático para o envio dos produtos de cada fábrica para cada armazém de modo a minimizar o custo do transporte. x32. x22. x23. os quais são enviados a partir de três fábricas para quatro armazéns localizados em pontos estratégicos do mercado. x24. x34 e x35 ≥ 0 6 – Uma empresa deve programar o roteiro de embarques de seus produtos. Custo = 8x11 + 14x12 + 14x13 + 2x14 + 24x21 + 6x22 + 16x23 + 16x24+ 16x31 + 20x32 + 32x33 + 10x34 Sujeito à: x11 + x12 + x13 + x14 ≤ 200 (restrição quanto à capacidade da fábrica 1) x21 + x22 + x23 + x24 ≤ 400 (restrição quanto à capacidade da fábrica 2) x31 + x32 + x33 + x34 ≤ 300 (restrição quanto à capacidade da fábrica 3) x11 + x21 + x31 = 160 (restrição quanto à demanda do armazém A) x12 + x22 + x32 = 180 (restrição quanto à demanda do armazém B) x13 + x23 + x33 = 240 (restrição quanto à demanda do armazém C) x14 + x24 + x34 = 320 (restrição quanto à demanda do armazém D) x11. x33. x31. RESPOSTA: x11 = quantidade a transportar da Fabrica 1 para o Armazém A x12 = quantidade a transportar da Fabrica 1 para o Armazém B x13 = quantidade a transportar da Fabrica 1 para o Armazém C x14 = quantidade a transportar da Fabrica 1 para o Armazém D x21 = quantidade a transportar da Fabrica 2 para o Armazém A x22 = quantidade a transportar da Fabrica 2 para o Armazém B x23 = quantidade a transportar da Fabrica 2 para o Armazém C x24 = quantidade a transportar da Fabrica 2 para o Armazém D x31 = quantidade a transportar da Fabrica 3 para o Armazém A x32 = quantidade a transportar da Fabrica 3 para o Armazém B x33 = quantidade a transportar da Fabrica 3 para o Armazém C x34 = quantidade a transportar da Fabrica 3 para o Armazém D Min. x22. (restrição quanto à necessidade máxima do ponto de venda 4) (restrição quanto à necessidade mínima do ponto de venda 5) (restrição quanto à necessidade máxima do ponto de venda 5) x25. x33 e x34 ≥ 0 7 – Determinar o carregamento da rede (modelo) de transporte que minimiza o custo total: . x32. x12. x21. x13. x13. x14. Levando em conta o tipo de transporte que pode ser utilizado em cada caso. x14. x12. x23. os custos são diferenciados para cada combinação fábrica/armazém. x31. bem como das distâncias entre as fábricas e os armazéns.x14 + x24 + x34 ≤ 81 x15 + x25 + x35 ≥ 82 x15 + x25 + x35 ≤ 90 x11. x21. x15. x24. x21. Custo = 10x11 + 3x12 + 5x13 + 17x21 + 7x22 + 9x23 Sujeito à: x11 + x12 + x13 ≤ 15 (restrição quanto à capacidade de fornecimento da Fonte 1) x21 + x22 + x23 ≤ 25 (restrição quanto à capacidade de fornecimento da Fonte 2) x11 + x21 = 20 (restrição quanto à capacidade de recebimento do Destino 1) x12 + x22 = 10 (restrição quanto à capacidade de recebimento do Destino 2) x13 + x23 = 10 (restrição quanto à capacidade de recebimento do Destino 3) x11. assim como a disponibilidade das máquinas. x13.RESPOSTA: x11 = quantidade a transportar da Fonte 1 para o Destino 1 x12 = quantidade a transportar da Fonte 1 para o Destino 2 x13 = quantidade a transportar da Fonte 1 para o Destino 3 x21 = quantidade a transportar da Fonte 2 para o Destino 1 x22 = quantidade a transportar da Fonte 2 para o Destino 2 x23 = quantidade a transportar da Fonte 2 para o Destino 3 Min. o lucro dos produtos e a demanda máxima existente no mercado. . x12. x22 e x23≥ 0 Lista de exercícios – Pesquisa Operacional 1 – Uma oficina mecânica deseja alocar o tempo ocioso disponível em suas máquinas para a produção de 3 produtos. A tabela abaixo dá as informações sobre as necessidades de horas de máquina para produzir uma unidade de cada produto. 00. respectivamente: 1000. A linha Rádios Luxo comporta 24 pessoas e cada rádio consome 2 homens/dia. com objetivo de maximizar o lucro semanal da fábrica de móveis. para cada mesa de madeira produzida podem ser produzidas no máximo 3 mesas metálicas.00/un. A empresa dispõe de 40 horas semanais para a operação A. o distribuidor exige que a relação entre as mesas de madeira e metálicas seja no mínimo de 1:3. R$30. ou seja.00 por unidade. 30 minutos da operação B e 20 minutos da operação C. As mesas de madeira proporcionam um lucro de $ 12. 2 – Uma fábrica de rádios tinha o desafio de maximizar o lucro global diário obtido de duas linhas de produção que comportam 56 operários. a empresa firmou um contrato de exclusividade com um distribuidor. O mesmo exige que a produção mínima semanal seja de 15 mesas de madeira e 20 mesas metálicas.00/un. Formule o modelo de Programação Linear que representa o problema acima. em função da demanda diferenciada pelos dois tipos de produtos. Ele gasta 40 gramas de queijo para preparar uma pizza e 60 gramas de queijo para fazer um calzone. A Linha Rádios Standard comporta 32 pessoas e cada rádio consome 1 homem/dia.00. fornecendo um lucro de R$40. são utilizadas. Já a produção de uma mesa metálica exige 30 minutos da operação A e 15 minutos da operação C. 4 – Uma fábrica de móveis tem como dois dos seus principais produtos mesas de madeira e mesas metálicas. 5 – Um pizzaiolo trabalha 8 horas por dia e faz 16 pizzas por hora. R$25. se fizer somente calzones.00 e R$15. A fabricação de uma mesa de madeira requer 15 minutos da operação A.00. a função objetivo e o sistema de restrições. C e D. Para garantir a venda de toda a sua produção. são. 800. Os lucros unitários dos produtos. a função objetivo e o sistema de restrições. sendo que a fábrica possui apenas 40. em kg. 1000. caso faça somente pizzas. Defina as variáveis de decisão. são respectivamente: R$20. Sabendo-se que o . 1500.Tipo de Máquina Produto A Produto B Produto C 5 8 2 20 3 4 5 15 5 0 3 18 40 50 20 Torno Fresa Furadeira Lucro Demanda Semanal Tempo Disponível (horas por semana) 400 500 300 Pede-se o esquema de produção de lucro máximo. As linhas de produção são Rádios Luxo e Rádios Standard. conforme lista acima. fornecendo um lucro de R$30. Defina as variáveis de decisão. e 9 calzones por hora. 3 – Para a fabricação de cada unidade dos produtos A. B. 2000. já as mesas metálicas determinam um lucro de $ 10. em toneladas. Além disto. Objetiva-se esquematizar a produção para obter lucro máximo. as seguintes matérias-primas: Matéria Prima Madeira Plástico Aço Vidro Tinta Produto A 2 B 1 4 1 1 C 3 1 3 2 2 D 2 1 1 Os estoques das matérias-primas. 30 horas semanais para a operação B e 20 horas semanais para a operação C.00 por unidade. conforme lista acima. Devido à qualidade dos produtos da Aluminâminas S/A. R$15.00 e o calzone a R$22.00.00/unidade. e que o fabricante não deseje estoque final em dezembro. Segundo os contratos fechados. Seção A B C D Corte Dobra Empacotame nto 5 10 12 15 15 20 18 25 Quantidade de Máquinas 4 5 15 22 22 25 3 9 – Um fabricante de brinquedos deseja programar a produção de um determinado brinquedo para atender a seguinte demanda: I. Dada a pequena escala da fábrica. o mercado absorverá qualquer produção a um preço constante. A primeira linha de montagem tem 100 horas semanais disponíveis para a fabricação dos produtos. de maneira a minimizar o custo total. Considere uma jornada de 480 minutos. Toda a produção da companhia é realizada em duas fábricas. Dezembro: 2. Fora do turno normal o custo é de R$ 620. O quadro abaixo identifica o tempo necessário para operação (em minutos para cada 1.00. R$10. obtém-se uma capacidade adicional de 1.000 unidades) em cada seção da fábrica.000 unidades) de cada produto são. 1 tonelada de lâminas médias e 2 toneladas de lâminas grossas por dia. R$18.000. bem como a quantidade de máquinas disponíveis.920 unidades. Os lucros unitários (caixa com 1.600 unidades III.00.total disponível de queijo é de 5 quilogramas por dia.00. e a segunda linha tem um limite de 42 horas semanais. O custo de produção diário da fabrica do Rio de Janeiro é de R$ 200. B.00 e R$20. Novembro: 3. média e grossa. enquanto que na linha 2 o pára-quedas requer 3 horas e a asa-delta requer 7 horas. tendo contratos fechados de fornecimento para todos os 3 tipos diferentes de lâminas de alumínio que fábrica: espessuras fina. no turno normal e no extra. respectivamente. dobrado e empacotado. O custo mensal de armazenagem é de R$ 120. É cortado. pergunta-se: quantas unidades de pizzas e calzones uma pizzaria com três pizzaiolos deve vender diariamente para maximizar a sua receita? 6 – A Esportes Radicais S/A produz pára-quedas e asas-delta em duas linhas de montagem.00/unidade.00.00 para uma capacidade produtiva de 8 toneladas de lâminas finas. C e D. .320 unidades/mês. Usando horas-extras.400 unidades A capacidade normal de produção é de 1. Cada um dos produtos requer 10 horas de processamento na linha 1.200 unidades II.00 e para cada asa-delta vendida é de R$ 40. O custo de produção normal unitário é de R$ 480. a empresa precisa entregar 16 toneladas de lâminas finas.000. Outubro: 1. 6 toneladas de lâminas médias e 28 toneladas de lâminas grossas.00 para uma produção de 2 toneladas de lâminas finas. formule um modelo de programação linear (apresentando-o) para determinar quanto produzir em cada um dos três meses. A fábrica recebe o papel em grandes rolos. Supondo que não exista estoque inicial. encontre a programação de produção que maximize o lucro da Esportes Radicais S/A. há uma demanda extra para cada tipo de lâminas. A fábrica de São Paulo tem um custo de produção diária de R$ 100. Quantos dias cada uma das fabricas deverá operar para atender aos pedidos ao menor custo possível? 8 – Uma fábrica de lenço de papel produz quatro tipos de produto: A. 7 – A indústria Alumilâminas S/A iniciou suas operações em janeiro de 2001 e já vem conquistando espaço no mercado de laminados brasileiro. uma localizada em São Paulo e a outra no Rio de Janeiro. Sabendo que o mercado está disposto a comprar toda a produção da empresa e que o lucro pela venda de cada páraquedas é de R$ 60. e que a pizza é vendida a R$ 18. 1 tonelada de lâminas médias e 7 toneladas de lâminas grossas.00. 30 e 50 reais por unidade. .00. Os lucros unitários (1. 1. cada um dos quais deve ser cortado. As necessidades de homens/hora de cada produto na carpintaria são as seguintes. Sabe-se por experiência passada que não se consegue vender mais do que 4 saladeiras para cada pia vendida. respectivamente. ainda.00 e R$40. A empresa possui duas máquinas de estampar com uma disponibilidade de 40 horas semanais cada uma. de 2880 minutos de tempo de corte. Pede-se o esquema de produção que maximiza o lucro.000 unidades) sobre os produtos são. Supondo-se que não há restrições de demanda de produto.00. Os demais custos não dependem da decisão. 13 – Uma empresa fabrica quatro modelos de rebites metálicos a partir de chapas. O preço de venda de cada pia é de $ 80 e de cada saladeira de $ 30. 1. 12 – Uma fábrica de cadeiras produz quatro modelos. usando a carpintaria e a seção de acabamento. que fornecem lucros de 16. respectivamente. Cada tipo de rádio requer uma certa quantidade de tempo para a fabricação das partes componentes. a disponibilidade em horas de cada setor da fábrica. As sobras são economicamente inaproveitáveis. padronizado. Pergunta-se qual a programação da produção de maior lucro. R$18. A tabela a seguir mostra estas necessidades de tempo (em horas) para lotes de 12 unidades (que são a quantidade mínima de fabricação): Rádio Fabricação Montagem A B C Disponibili dade 3 3.5 3 120 160 48 A tabela mostra. As necessidades específicas de tempo de trabalho (em minutos por 1. dobrado e furado. A empresa possui um total de 500 chapas de aço inoxidável para a produção semanal e deseja saber quanto deve produzir de cada artigo para obter o maior lucro possível no período. Com cada chapa pode-se estampar uma pia e duas saladeiras ou então seis saladeiras. R$20.00. respectivamente. R$12. B e C.00. numa base diária. Os lucros unitários fornecidos por produto são. R$6. respectivamente: 4. 11 – Uma fábrica de rádios produz os modelos A. 9.000 unidades) de cada um dos produtos são as seguintes: Modelo A B C D Cortar 3 2 2 4 Dobrar 2 1 2 1 Furar 1 3 1 3 A empresa dispõe. trabalhando 8 horas por dia e 25 dias por mês. pergunta-se qual o esquema mensal de produção capaz de maximizar o lucro da fábrica. Cada chapa de aço inoxidável custa $ 80. A fábrica possui 20 operários na carpintaria e 30 na seção de acabamento. 2400 minutos de tempo de dobra e 2400 horas de tempo de furar. Para isto.5 5 4 5 8 Embalage m 1 1. respectivamente. R$6. 3 e 40.10 – Uma estamparia pode fabricar pias de aço inoxidável e/ou saladeiras do mesmo material.00. utiliza com matéria-prima chapas de aço de um tamanho único.00. enquanto que as chapas utilizadas para produzir apenas saladeiras requerem um tempo de processamento de 12 minutos.00 e R$8. para a montagem e para a embalagem. 7 e 10 e. na seção de acabamento. 10 e 5. No processo de estamparia as chapas utilizadas para produzir pias e saladeiras requerem um tempo de 8 minutos. As exigências de produção mínima semanal são (em dúzias): 2. R$4. 5 Cidade 2 5 10 3 Cidade 3 2 4 2 0. devem ser processadas. a partir das cidades com usinas de beneficiamento e de acordo com a capacidade das minerações.00 para preparação do terreno. identificados como Minerações A. localizadas nas cidades 1.14 – Um fazendeiro dispõe de 400 hectares cultiváveis com milho. B e C.000 homens/dia de trabalho. 24 homens/dia e um lucro de R$400. função objetivo e sistema de restrições. Finalmente. requer 30 homens/dia de trabalho e gera um lucro de R$800.000.400.00. 20 homens/dia de trabalho e gera um lucro de R$600. atendendo às demandas do mercado. tanto para o transporte como para a mineração e o beneficiamento. O fazendeiro dispõe de R$800. 2 e 3. Tais minerações devem atender a três usinas de beneficiamento e comercialização. Um hectare de trigo envolve custos de R$2. um hectare de soja envolve gastos de R$1. Standard e Especial. sempre. indicando: variáveis de decisão. Formule o modelo de programação linear para o problema exposto acima.00 para preparação. os quais passam por 3 processos dentro da empresa e cujos tempos vemos abaixo (em horas por caixa de bebida): Esterilizaçã o 3 4 4 Bebida Popular Standard Especial Engarrafam ento 2 3 4 Embalagem 1 3 7 16 – Uma grande empresa de mineração tem instalações em 3 estados distintos.000. Qual deve ser a alocação da terra para os vários tipos de cultura de maneira a maximizar os lucros? 15 – Uma fábrica de bebidas produz 3 tipos de rum: Popular.00. trigo ou soja.00 para cobrir os custos de preparação do terreno e pode contar também com 8. beneficiamento e transporte). . Minerações A B C Demanda das usinas Usinas de beneficiamento de cobre Cidade 1 8 5 1. Cada hectare de milho envolve custos de R$2. Deve-se observar que.00. quantidades múltiplas de 1 tonelada.00.7 1 3 Capacidade de Minerações 3 10 2 Por outro lado. a empresa deseja minimizar os custos totais (somatório dos custos de mineração. os quais estão apresentados na tabela abaixo: Mineraç ões Custos extração ($/ton) Usinas de beneficiamento A B C 50 40 35 CIDADE 1 CIDADE 2 CIDADE 3 Custos de beneficiamento ($/ton) 70 65 60 Obviamente. também são conhecidos os custos de extração do minério nas minerações e de beneficiamento nas usinas. bem com as capacidades de produção (ton) de cada mineração e as demandas de comercialização (ton) das usinas de beneficiamento. Os custos de transporte ($/ton) entre as minerações e as usinas de beneficiamento são conhecidos e apresentados na tabela a seguir.400. da mesma maneira que as lojas possuem demandas diferentes e específicas. respectivamente. A quantidade estocada de chumbo. serão de 50 kg de cobre.00 para os fornecedores A e B. a fim de cumprir o programa de entrega da próxima semana. todas fabricando o mesmo tipo de painel de madeira para residências. Os fornecedores A e B fornecem sucata com quantidades dos diversos metais conforme a tabela a seguir: Metal Cobre Estanho Chumbo Ferro Outros Sucata do Fornecedor (%) A B 3 9 10 10 16 2 40 60 31 19 O custo por tonelada (1. respectivamente. 4 toneladas de sucata para entrega. no início da próxima semana. Considere que a empresa pretende produzir apenas o necessário para atender ao programa de entrega da próxima semana. Defina as variáveis de decisão. As necessidades mensais mínimas dos armazéns são 1500. II e III.00 e de $ 750. será igual a zero. B e C. . minimizando o custo de aquisição de sucata. o que é apresentado abaixo. 30 kg de estanho e 1. 160 kg de chumbo e 1. Os dados de capacidade e demanda semanal são apresentados a seguir. para a próxima semana. Os estoques. 1500 e 500.700 kg de ferro. O fornecedor A não impôs quaisquer restrições para a quantidade de sucata a ser entregue. que abastecem armazéns situados em A. Fábricas Cidade A Cidade B Cidade C Cidade 1 12 10 8 Lojas Cidade 2 14 10 12 Cidade 3 8 12 10 Por outro lado. B. O programa de entrega aos clientes. 2000. fornecendo-os ao mercado. Formule o modelo de programação linear para o problema exposto acima. 18 – Considere uma metalúrgica que dispõe de tecnologia necessária para a extração de metais diversos a partir da sucata. as fábricas apresentam capacidades de produção diferenciadas. 2500 e 3000. 2 e 3. O fornecedor B informou que. As capacidades mensais das fábricas são de 1000. de modo a determinar a quantidade de sucata a ser comprada de cada fornecedor. Neste sentido. é de 320 kg de cobre. no máximo. 530 kg de estanho. indicando: variáveis de decisão. A empresa está estudando a reestruturação de sua rota de distribuição em função da economicidade de despacho e transporte para as lojas.000 kg) de sucata é de $ 900. Os produtos são atualmente distribuídos para as lojas das cidades 1. respectivamente. a função objetivo e o sistema de restrições.17 – Uma empresa tem fábricas nos locais I.500 kg de ferro. 19 – Uma empresa tem fábricas nas cidades A. a empresa fez um levantamento dos seus atuais custos de transporte das fábricas para as lojas. no início da próxima semana. C e D. disporá de. Os custos unitários de transporte são os seguintes: Origem I II III Destino A 5 4 3 B 8 2 5 C 6 2 4 D 9 1 5 Busca-se o esquema de transporte de custo mínimo. função objetivo e sistema de restrições. para a próxima semana. Capacidade das Fábricas Cidade A 60 Cidade B 52 Cidade C 40 Demanda das Lojas Cidade 1 50 Cidade 2 40 Cidade 3 35 . Defina qual a melhor alternativa atual de despacho dos produtos para atender a demanda das lojas.5 11.3 1.6 6. por tonelada. ou seja. bem como os seus conteúdos de nutrientes e preços por quilo.00.5 a 2 partes de Cálcio para 1 parte de Fósforo. Esta quantidade de Cistina deve ser excedente ao seu requerimento mínimo. função objetivo e sistema de restrições.96 2. R$10.00.9 0.4 g e) Cistina: no mínimo 1. R$15.00. Os alimentos usados para fazer a ração.5 1. Apresente a modelagem (definição das variáveis de decisão.5 3.83 Objetiva-se determinar a composição de ração que ofereça o mínimo custo possível por quilo.0 13.3 2. das ligas são.3 4.2 0.5 11.5 1.5 2. 1.0 10.0 0. a função objetivo e o sistema de restrições).7 308.3 1. Além disso. R$12.6 1. indicando: variáveis de decisão.2 141.00 e R$14.09 0. R$12. .00.14 kg b) Cálcio: no mínimo 5 g c) Fósforo: no mínimo 4 g d) Metionina: no mínimo 4.0 20.26 0. 20 – Os requerimentos unitários de uma ração para engorda de porcos são os indicados abaixo.1 0.93 10.0 10. respectivamente. 21 – Uma metalúrgica possui em seu estoque cinco diferentes tipos de ligas metálicas. com as composições: Compon ente Estanho (%) Chumbo (%) Zinco (%) 1 2 Liga 3 40 30 60 10 20 40 50 30 70 50 20 20 10 20 30 4 5 Os custos. por kg de ração: a) Proteína: no mínimo 0. deve-se obedecer para a quantidade de Cálcio e Fósforo uma relação de 1.0 g Para alcançar estes valores específicos pode-se substituir até 50% do requerimento de Metionina por Cistina. atendendo as exigências colocadas acima. Formule o modelo de programação linear para o problema exposto acima. são os seguintes: Proteína (kg/kg) Metionina (g/kg Cistina (g/kg) Cálcio (g/kg) Fósforo (g/kg) Preço ($/kg) Milho Sorgo Farinha Soja Farinha Sangue Farinha Ossos 0.5 a 2:1. 000 5.00 R$ 30. A configuração da malha rodoviária que liga as fábricas às concessionárias determina os custos de transportes apresentados na tabela abaixo.000 unidades de vitamina C. as composições.25 0. O objetivo é determinar as proporções destas ligas que deveriam ser fundidas para produzir a nova liga a um custo mínimo. 40.20 0. indicando: variáveis de decisão. Gasolina Comum Querosene Gasolina Especial Óleo Disponibilida de Custo Petróleo A Petróleo B Petróleo C Estoque Mínimo 10% 40% 10% 100 barris 10% 20% 20% 50 barris 20% 30% 60% 50 barris 60% 10% 10% 100 barris 280 barris 150 barris 150 barris R$ 20. função objetivo e sistema de restrições.20 Pergunta-se: qual é a mistura a custo mínimo que atende aos requisitos? Formule o modelo de programação linear para o problema exposto acima. Fábricas F1 F2 F3 C1 8 9 14 Concessionárias C2 6 12 9 C3 10 13 15 .000 Suco Laranja Acerola Abacaxi Mamão Caju Vitamina D 80. indicando: variáveis de decisão.000 unidades de vitamina D e 900 unidades de potássio.00 R$ 15.000 10. Os dados são: Vitamina C 20. gasolina especial.000 20. que é feita em 3 fábricas diferentes. Formule o modelo de programação linear para o problema exposto acima. a partir das ligas existentes. para 3 concessionárias localizadas em três grandes cidades. pelo menos 20.000 30. função objetivo e sistema de restrições.000 600 Custo por Litro 0.A empresa deseja fundir. para uma determinada semana.40 0. uma nova liga cuja composição deve ser de 45% de chumbo.00 23 – Uma empresa produz um suco obtido a partir da mistura de cinco tipos de sucos naturais. 40% de estanho e 15% de zinco. 24 – Uma montadora de caminhões necessita distribuir a sua produção.10 0. disponibilidades e estoques mínimos. Ela necessita manter em seus tanques.000 30.000 50. em cada litro. Qual é o esquema de produção de custo mínimo? Formule o modelo de programação linear para o problema exposto acima. 22 – Uma empresa adquire petróleo para produzir gasolina comum. indicando: variáveis de decisão. função objetivo e sistema de restrições. A tabela abaixo mostra. no início de cada semana um estoque mínimo de produtos. óleo diesel e querosene.000 5.000 Potássio 500 400 100 2. que deve conter.000 200. B e C possuem carros em excesso. para uma mesma cidade recebedora. E. F e G possuem uma carência de carros. defina qual a quantidade de caminhões que devem ser transportados de cada fábrica para cada concessionária. Formule o modelo de programação linear para o problema exposto acima. . O gerente de distribuição acredita que as cidades A. a qual está apresentada na tabela a seguir: CARROS EM FALTA Econômico Standard Luxo Cidades D 10 5 5 E 20 5 5 F 0 10 10 G 5 20 20 Em termos do eventual transporte dos carros excedente de uma cidade para outra. indicando: variáveis de decisão. assim caracterizados: CARROS EM EXCESSO Cidades A B C Econômico Standard Luxo 20 30 10 10 20 5 10 20 5 Entretanto. das cidades A. A empresa aluga três tipos de carros: econômico. a fim de minimizar o custo envolvido nesta operação. de modo a minimizar o custo do transporte dos carros. F e G são diferenciados. Origem D E F G A 100 300 200 100 Destino B 150 200 100 200 C 200 100 150 150 Formule o modelo de programação linear para o problema exposto acima. da mesma maneira que as concessionárias apresentam necessidades distintas. as cidades D. obedecendo as restrições de produção e demanda. deve ser observado que uma cidade específica não pode fornecer mais de 20 carros.Por outro lado. incluindo todos os modelos. conforme a tabela a seguir. as fábricas apresentam capacidades de produção diferentes. Os dados de capacidade de produção por fábrica e de necessidade por concessionária estão colocados abaixo. 25 – A Renta Car está avaliando a distribuição dos seus carros de aluguel nas diversas cidades onde possui escritórios. o gerente de distribuição não sabe como resolver esse problema de uma maneira ótima. independentemente do tipo de carro transportado. E. Dado que os custos unitários de transporte. Fábrica F1 F2 F3 Produção Máxima 35 50 40 Concession ária C1 C2 C3 Demanda 55 35 35 A partir destes dados. indicando: variáveis de decisão. função objetivo e sistema de restrições. standard e luxo. B e C para as cidades D. função objetivo e sistema de restrições. maximizando o lucro. Sabe-se que o gado deve consumir diariamente. 27 – Um fazendeiro deseja obter a composição da dieta alimentar para o gado de acordo com as necessidades diárias de nutrientes adequadas ao processo de engorda. pelo menos 0. e deve atender a especificações técnicas que limitam a quantidade dos elementos químicos.03 por kg e Estoque = 600 kg Minério B: Custo = R$0. a função objetivo e o sistema de restrições. Determine as variáveis de decisão. Deseja-se obter as quantidades diárias de A e B a serem usadas por animal.07 por Kg e deve atender às seguintes especificações técnicas: Componente Si Fe Al Mínimo Máximo 14% 11% 78% Deseja-se usar ao máximo o estoque de matéria-prima para produzir ambas as ligas. os quais informaram os seguintes valores por caso: ADVOGA DO A 1 1000 2 2000 CASO 3 3000 4 2000 5 1000 . As indústrias locais de ração fabricam dois produtos: A e B. 0.26 – Uma metalúrgica deseja utilizar o máximo de estoque existente para maximizar o lucro de venda obtido através da fabricação de duas ligas de alumínio. de modo a se minimizar o custo com ração. possui 05 questões judiciais. os quais contêm as seguintes quantidades de nutrientes por quilo: Produt o A B N1 N2 N3 N4 100g 100g 200g 200g 100g 100g O alimento A custa R$ 8. cujos estoques e custos são: Minério A: Custo = R$0. partindo de 2 minérios.6 Kg de N2.7 kg de N4. segundo a tabela: Componente Si Fe Al Mínimo Máximo 13% 10% 80% A liga B tem preço de venda R$ 0. 2 Kg de N3 e 1. Determine as variáveis de decisão. 28 – A Trambique S.05 por kg e Estoque = 800 kg Os minérios A e B possuem composição química conforme a tabela a seguir: Componente Silício (Si) Ferro (Fe) Alumínio (Al) Minério A 15% 13% 72% Minério B 10% 5% 85% A liga A é vendida a R$ 0.20 /kg.4 kg de N1.08 por kg.00 por quilo e o B R$ 3. A empresa solicitou uma cotação de preços para 3 advogados. a função objetivo e o sistema de restrições.A. a função objetivo e o sistema de restrições. conforme demonstra a próxima tabela: DEMANDA (EM HORAS) 200 300 200 400 300 CASO 1 2 3 4 5 Por sua vez.o advogado que tratar o caso 5 não poderá trabalhar no caso 1. LOCA L Região 1 Região 2 Região 3 Região 4 Região 5 CUST O 1 2 X X X 3 4 5 X X 6 7 8 9 X X 10 X X X X X X 3 mil 5 mil X X 1 mil X 2 mil 1 mil X X X X 4 mil 3 mil 1 mil X X 2 mil 2 mil 30 – A Super Tech SA está planejando seus gastos com Pesquisa e Desenvolvimento para o próximo ano.B C 2000 1500 2000 1500 2000 2000 2000 2000 2000 1500 Cada caso demandará um conjunto específico de horas. Os dados do problema encontram-se na tabela a seguir: Projeto Valor CAPITAL REQUERIDO (em mil R$) . 29 – O prefeito exige que cada região da cidade seja atendida por pelo menos um posto. Formule a modelagem do problema para obter o custo mínimo. Formule uma modelagem de programação inteira que determine os locais em que os postos policiais devem ser construídos de forma a minimizar os custos e atender às condições exigidas. indicando as variáveis de decisão. A empresa selecionou quatro alternativas de projetos e deve escolher quais priorizar.cada caso terá apenas um advogado alocado. cada advogado possui um número finito de horas disponíveis: DISPONIBILIDADE (EM HORAS) 700 500 600 ADVOGADO A B C Sendo que: . A Trambique gostaria de selecionar os advogados de forma que o custo total de defesa seja minimizado.um determinado advogado não poderá tratar de mais de dois casos e . . 05 2 170. TEMPO EM HORAS 1 2 BERÇO 3 4 A 7 6 12 14 NAVIO B 11 10 16 8 C 9 15 14 5 . O terminal de minério tem 4 berços.30 CAPITAL DISPONÍVEL ANO 1 ANO 2 ANO 3 ANO 4 ANO 5 70 80 90 50 150 15 20 30 20 80 0 25 0 80 90 20 15 40 0 100 20 10 20 20 70 31 – Três navios serão carregados no porto de Tubarão com minério de ferro. dependendo das combinações entre navios e berços (conforme a tabela). há diferentes tempos de carregamento. cada um deles com um shiploader de capacidade diferente.90 3 130. Devido às diferenças nas capacidades dos navios e dos shiploaders. Formule a modelagem de modo que o tempo total de carregamento dos navios seja mínimo.14 4 147.presente (em mil R$) 1 100.