INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE - EXERCÍCIOS1) Considerar o evento "chover amanhã". Como interpretar este evento do ponto de vista probabilístico? A probabilidade é um número entre 0 e 1. Entendemos que, quando o boletim meteorológico indica "uma probabilidade de chuva próxima de zero", isso quer dizer que praticamente não há chance alguma de chover. Entretanto, se houver a indicação de 0,90 de probabilidade de chuva, saberemos que é provável que ocorra chuva. Uma probabilidade de 0,50 mostra que tanto é possível chover como não. 2) Dadas as informações da tabela a seguir, estabeleça os espaços amostrais para cada experimento. Experimento: Jogar uma moeda Selecionar uma peça para inspeção Fazer um contato de vendas Lançar um dado Jogar uma partida de futebol Lançar duas moedas. Cara H; Coroa T Experimento - jogar uma moeda. Experimento - selecionar uma peça para inspeção. Experimento - fazer um contato de vendas. Experimento - lançar um dado. Experimento - jogar uma partida de futebol. Experimento – lançar duas moedas. Resultados experimentais: Cara, coroa Defeituosa, não-defeituosa Comprar, não comprar 1, 2, 3, 4, 5, 6 Ganhar, perder, empatar (H, H), (H, T), (T, H), (T, T) S = {Cara, Coroa} S = {Defeituoso, Não defeituoso} S = {Comprar, não comprar} S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} S = {Ganhar, perder, empatar} S = {(H, H), (H, T), (T, H), (T, T)} 3) Considere um estudo sobre o tempo de espera no setor de raios X de um hospital municipal. Um atendente registrou o número de pacientes à espera de atendimento às 9h em 20 dias consecutivos e obteve os resultados constantes nas colunas 1 e 2 da tabela a seguir. Calcule todas as probabilidades e comente o procedimento de cálculo. No. de pessoas a espera 0 1 2 3 4 No. de dias em que o resultado ocorreu 2 5 6 4 3 Total: 20 Probabilidades 0,10 0,25 0,30 0,20 0,15 1,00 Esses dados mostram que em dois dos 20 dias, nenhum (0) paciente estava à espera de atendimento; em cinco desses dias, um (1) paciente estava à espera de atendimento e assim por diante. Usando o método de freqüência relativa, atribuiríamos uma probabilidade de 2/20 = 0,10 ao resultado experimental de nenhum paciente estar à espera de atendimento, 5/20 = 0,25 ao resultado experimental de um paciente estar à espera, 6/20 = 0,30 para dois pacientes, 4/20 = 0,20 para três pacientes e 3/20 = 0,15 para quatro pacientes à espera. Não obstante cada etapa estar programada e ser controlada o mais cuidadosamente possível. O projeto divide-se em duas etapas.7) 9 2 8 (2. a administração estabeleceu uma meta de dez meses para a conclusão total do projeto.7) 10 3 8 (3.4) A KP&L está iniciando um projeto idealizado para aumentar a capacidade de geração de energia em uma de suas usinas ao norte do país. O diagrama em árvore da Figura 2 mostra como ocorrem os nove resultados (pontos amostrais).6) 10 4 7 (4.8) 11 4 6 (4.8) 12 Figura 2: Diagrama em árvore do projeto da KP&L 2 . a administração não é capaz de prever o tempo exato necessário para o término de cada fase do projeto. 3 ou 4 meses. Além disso. Tabela 1: Resultados experimentais correspondentes ao projeto da KP&L Prazo de término (meses) Etapa 1 Etapa 2 Notação p/o resultado Prazo p/conclusão Elaboração Projeto Construção experimental do projeto (meses) 2 6 (2.6) 9 3 7 (3. ou passos.7) 11 4 8 (4. seqüenciais: etapa 1 (projeto) e etapa 2 (construção). Uma análise de projetos de construção similares revelou que os prazos de término possíveis para a fase de elaboração do projeto seriam 2.8) 10 3 6 (3. em virtude da necessidade crítica de energia elétrica adicional. 7 ou 8 meses.6) 8 2 7 (2. e que os prazos de término para a fase de construção seriam 6. A Tabela 1 sintetiza os nove resultados experimentais para o problema da KP&L. 8) 2 4 6 (4.7) 8 3 8 (3. observamos que o resultado (2. Note que P(2.15.6) – apresentam um prazo de término do projeto de dez meses ou menos. Consultando a Tabela 3.7) 6 2 8 (2. Se considerarmos que C denota a eventualidade de o projeto ser concluído em dez meses ou menos. Prosseguindo dessa maneira. o método clássico de atribuição de probabilidades não poderia ser usado.6). A administração decidiu então realizar um estudo dos prazos de conclusão de projetos similares levados a efeito pela KP&L ao longo dos três últimos anos.6). Tabela 2 – Resultados do estudo relativo ao prazo de término de 40 projetos da KP&L Prazo de término (meses) No. Com base na experiência e na capacidade de julgamento.7) e (4. Determine a probabilidade de o projeto total ser executado de acordo com a meta estabelecida pela empresa: dez meses ou menos.6) 2 4 7 (4. De forma similar.7). (3. (2. (2.7) também ocorreu em seis dos 40 projetos. (2.6) 6 2 7 (2.7).6). (3. a administração concluiu que os resultados experimentais não eram igualmente prováveis. de projetos anteriores que Etapa 1 Etapa 2 Ponto amostral tiveram estes prazos Elaboração do Construção da obra de termino Projeto 2 6 (2. a administração decidiu empregar o método de freqüência relativa de atribuição de probabilidades. escrevemos: C = {(2. P(2.8) 2 3 6 (3. Podemos usar o método de freqüência relativa para atribuir uma probabilidade de 6/40 = 0.7).6). obtemos as atribuições de probabilidade para os pontos amostrais do projeto da KP&L mostrados na Tabela 3.15 a esse resultado.8). Os resultados de um estudo de 40 projetos similares estão resumidos na Tabela 2. precisamos considerar como podemos atribuir valores probabilísticos aos resultados experimentais antes de fazer uma avaliação da probabilidade de que o projeto venha a ser concluído dentro do prazo desejado de dez meses. mas achou que o projeto atual era muito similar aos 40 projetos anteriores. (4. Desse modo. (3. o método de freqüência relativa foi considerado o melhor. Produzindo uma probabilidade de 6/40 = 0.7) representa a probabilidade do ponto amostral (2.6).6) representa a probabilidade do ponto amostral (2.8).6) – ou seja.6) 4 3 7 (3.7) e assim por diante. a etapa 1 concluída em dois meses e a etapa 2 concluída em seis meses – ocorria seis vezes nos 40 projetos. Solução: Ao usar os dados da Tabela 2 para calcular as probabilidades. notamos que seis pontos amostrais – (2.7) 4 4 8 (4.8) 6 Total = 40 Depois de rever os resultados do estudo. A administração poderia ter produzido estimativas de probabilidade subjetivas. Portanto. o resultado (2. (2. (3.Embora a identificação dos resultados experimentais possa ser útil.6)} 3 . 05 (4. Uma vez que esse evento é dado por C = {(2. (3.(4.7) = 8/40 = 0.05 (4. a probabilidade desse evento é dada por P(L) = P(2.8) = 6/40 = 0.6) + P(3. desses seis pontos amostrais. calculamos a probabilidade de um evento em particular somando as probabilidades dos pontos amostrais (resultados experimentais) que compõem o evento.8) = 2/40 = 0.15 + 0.40 Finalmente. Dadas as probabilidades dos pontos amostrais apresentados na Tabela 3. qualquer um aparecer como resultado experimental. desde que a eventualidade de o projeto ser concluído em menos de dez meses seja dada por L = {(2. o evento deve ser identificado como um conjunto de pontos amostrais do experimento.7) 11 P(4.15 + 0.05 + 0. P(C) = 0.7). (3. denotada por P(C).7) + P(4.7) + P(3.6) = 6/40 = 0. Dentre outros eventos que poderiam interessar à gerência da KP&L incluem-se os seguintes: L = a eventualidade de o projeto ser concluído em menos de dez meses M = a eventualidade de o projeto ser concluído em mais de dez meses Usando a informação da Tabela 3. para a eventualidade de o projeto ser concluído em mais de dez meses.6).7) = 4/40 = 0.6) Referindo-se às probabilidades dos pontos amostrais da Tabela 3.(4.6) 10 P(4. portanto.6). (2.6) = 0.6)} M = {(3.7) 9 P(2.10 (4. temos M = 4 .7).6) + P(2.15 (2.10 (3.7) = 6/40 = 0. podemos usar o conceito de probabilidade de um evento para calcular a probabilidade de qualquer evento que a gerência da KP&L possa querer considerar. (4.6)(2.05 (3.8).8)} Uma série de eventos adicionais pode ser definida para o projeto da KP&L. será dada por P(C) = P(2. (2.8) + P(3.8) = 2/40 = 0.8) 11 P(3. a probabilidade do evento C.8).Tabela 4.20 (3.7). (3. mas.15 + 0.7).15 (2.6) + P(2.00 Considera-se que o evento C ocorra se.(3. notamos que esses eventos consistem nos seguintes pontos amostrais: L = {(2.10 + 0.6) = 4/40 = 0.10 = 0. em cada caso.70 Similarmente.8) 10 P(2.6) = 2/40 = 0.7).6)}.05 = 0.6) 8 meses P(2. Agora podemos calcular a probabilidade de que o projeto demandará dez meses ou menos para ser concluído. Usando essa definição.3 – Probabilidades para o projeto da KP&L com base na freqüência relativa Ponto amostral Prazo de término do projeto Probabilidades (2.6)}.6) 9 P(3. temos.7) 10 P(3.6).15 Total = 1.8) 12 P(4.15 + 0.7) + P(2. (2.20 + 0. 8 e P(E2) = 0. Toni estabeleceria que P(E1) = 0.05 + 0. uma probabilidade 0. Considere o caso de uma pequena planta de montagem com 50 empregados. (4.70 de o projeto ser concluído em dez meses ou menos. Note que a estimativa de probabilidade de Toni reflete um pessimismo maior quanto à possibilidade de que sua oferta seja aceita.7) + P(4.8. Espera-se que cada funcionário conclua suas obrigações no prazo e que as desempenhe de tal maneira que o produto montado seja aprovado na inspeção final. O fato de suas estimativas de probabilidade serem diferentes enfatiza a natureza pessoal do método subjetivo.8) = 0. Usando o complemento calcule a probabilidade de a remessa não conter peças defeituosas.4. (4. Esse procedimento para o cálculo de probabilidades pode ser repetido para qualquer evento que interesse à gerência da KP&L. São dois os resultados possíveis: El = sua oferta é aceita E2 = sua oferta é rejeitada Judith acredita que a probabilidade de sua oferta ser aceita é 0. 6) Um agente de compras afirma que a probabilidade de o fornecedor enviar uma remessa isenta de peças defeituosas é P(B) = 0.90.8)} e. portanto.6 e P(E2) = 0. Toni. 5) Atribuição subjetiva de probabilidades.90 = 0. Depois de revisar os dados de desempenho.8).40 de o projeto ser concluído em menos de dez meses e uma probabilidade de 0. Ocasionalmente. Ao final de um período de avaliação do desempenho.30 Usando esses resultados probabilísticos. concluindo o trabalho tardiamente ou montando produtos com defeito. algum funcionário deixa de cumprir os padrões de desempenho. Considere o caso em que Toni e Judith fizeram uma oferta para comprar uma casa. o gerente de produção descobriu que cinco dos 50 funcionários concluíam o trabalho atrasados e seis dos 50 montavam um produto com defeito e dois dos 50 funcionários tanto concluíam o trabalho tardiamente como montando produtos com defeitos. 7) Lei da adição de eventos. Judith estabeleceria que P(E1) = 0.10.6.10 + 0. P(D) = 1 – 0. entretanto.10 5 . assim.2. o gerente de produção decidiu atribuir avaliações de desempenho a qualquer empregado cujo trabalho fosse concluído atrasado ou apresentando defeitos. Qual é a probabilidade de o gerente de produção atribuir uma avaliação ruim a um funcionário? Admitamos que L = a eventualidade de o trabalho ser concluído atrasado D = a eventualidade de o produto montado apresentar defeito A informação sobre a freqüência relativa nos leva às seguintes probabilidades: P(L) = 5/50 = 0.30 de o projeto ser concluído em mais de dez meses.{(3. acredita que a probabilidade de sua oferta ser aceita é 0. assim. P(M) = P(3. agora podemos dizer à gerência da KP&L que há uma probabilidade de 0. Tanto Toni como Judith atribuíram probabilidades que satisfazem os dois requisitos básicos.15 = 0.8) + P(4.7). 12 = 0.30 + 0. Qual é a probabilidade de um funcionário que sair dentro de dois anos vir a fazê-lo em virtude da insatisfação com o salário. 9) Como ilustração da aplicação da probabilidade condicional.20 e P(S ∩ W) = 0. queremos conhecer: P(L ∪ D) = P(L) + P(D) – P(L ∩ D) Conhecendo os valores das três probabilidades expressas no segundo membro dessa equação. considere um estudo realizado recentemente pelo gerente de pessoal de uma grande empresa de software de computador. insatisfação com a atribuição de trabalho. O estudo mostrou que 30% dos funcionários que saíram da firma no intervalo de dois anos o fizeram porque estavam insatisfeitos com seus salários. uma comissão de oficiais femininas fez uma acusação formal de discriminação baseando-se no fato de que 288 oficiais masculinos receberam promoções e somente 36 oficiais femininas foram promovidas.30.12. 324 oficiais da força policial receberam promoções.12 P(L ∩ D) = 2/50 = 0. P(W) = 0. Usando a equação 6. ou ambos? Admitamos que S = a eventualidade de o empregado sair em razão do salário W = a eventualidade de o empregado sair em decorrência da atribuição de trabalho Temos P(S) = 0.18 Esse cálculo nos informa que há 0.04 Observe que a questão probabilística se refere à união de dois eventos. 8) Como outro exemplo da lei da adição.04 = 0.12 – 0.38 de que um funcionário saia da empresa por motivos de salário ou de atribuição funcional. Tabela 4 – Status de promoção dos oficiais de polícia nos dois últimos anos Homens Mulheres Total Promovidos 288 36 324 Não promovidos 672 204 876 Total 960 240 1.200 oficiais. podemos escrever: P(L ∪ D) = 0. A estrutura específica de promoções para oficiais masculinos e femininos é apresentada na Tabela 4. A administração da polícia argüiu que o número relativamente baixo de promoções para as oficiais femininas se deveu não à 6 .200 Depois de rever o registro de promoções. tem-se P(S ∪ W) = P(S) + P(W) – P(S ∩ W) = 0. Especificamente.20 – 0.10 + 0.38 Descobrimos que há uma probabilidade de 0.18 de probabilidade de que um funcionário escolhido aleatoriamente receba uma classificação de desempenho ruim. 20% saíram porque estavam insatisfeitos com suas atribuições de trabalho e 12% dos ex-funcionários indicaram insatisfação tanto com o salário como com suas atribuições de trabalho.P(D) = 6/50 = 0. considere a situação do status de promoção de oficiais masculinos e femininos de um grande departamento de polícia metropolitana no leste do Estados Unidos. Nos últimos dois anos. sendo 960 homens e 240 mulheres. A força policial consiste em 1. 73 Total 0.20. A Tabela 5. Por exemplo.20 1. Essas probabilidades se denominam probabilidades marginais em virtude de sua localização nas margens da tabela de probabilidade associada.discriminação. 27% de todos os oficiais receberam promoções e 73% não foram promovidos.200 = 0.200 = 0. Mostrar como a probabilidade condicional poderia ser utilizada para analisar a acusação de discriminação. as probabilidades são chamadas probabilidades associadas (estas aparecem no corpo da tabela).24 Probabilidade de um oficial escolhido aleatoriamente ser um homem e não ser promovido = P(H ∩ Ac) = 672/1.03 0. P(A) = 0.03 = 0. P(M) = 0.24 0.17 Uma vez que cada um desses valores dá a probabilidade da interseção de dois eventos.03 Probabilidade de um oficial escolhido aleatoriamente ser uma mulher e não ser promovida = P(H ∩ Ac) = 204/1. a probabilidade marginal de alguém ser promovido é P(A) = P(H ∩ A) + P(M ∩ A) = 0.27 e P(Ac) = 0.27.80. mas ao fato de relativamente poucas mulheres serem integrantes da força policial.17 0.27 Não promovidos (Ac) 0. é denominada tabela de probabilidade associada. Notamos que as probabilidades associadas são encontradas somando-se as probabilidades que se encontram na linha ou coluna correspondentes da tabela de probabilidade associada. P(H) = 0.73. que apresenta um resumo das informações probabilísticas referentes à situação das promoções dos oficiais do departamento de polícia. Das probabilidades marginais. Ou seja. Os valores indicados nas margens da tabela de probabilidade associada fornecem as probabilidades de cada evento separadamente. Tabela 5 – Probabilidades associadas das promoções dos oficiais Homens (H) Mulheres (M) Total Promovidos (A) 0.56 0.24 + 0. Admitindo-se que H = evento de um oficial ser homem M = evento de um oficial ser mulher A = evento de um oficial ser promovido Ac = evento de um oficial não ser promovido Com base nos valores de dados da Tabela 4 sintetizar a informação disponível com os seguintes valores probabilísticos: Probabilidade de um oficial escolhido aleatoriamente ser um homem e ser promovido = P(H ∩ A) = 288/1.56 Probabilidade de um oficial escolhido aleatoriamente ser uma mulher e ser promovida = P(M ∩ A) = 36/1.200 = 0.200 = 0. vemos que 80% da força policial são homens. 20% da força são mulheres.00 7 .80 0. ou seja. primeiramente precisamos entender que essa notação significa simplesmente que estamos considerando a probabilidade do evento A (promoção). Para calcular P(A | H). ele teve 30% de chance de receber uma promoção no decorrer dos últimos dois anos. visto que sabemos da existência da condição designada como evento H (o oficial ser um homem). a diferença nas duas probabilidades condicionais sustentará a posição de que os oficiais masculinos e femininos são tratados diferentemente nas decisões de promoção. dado que o oficial seja uma mulher.24. qual é a probabilidade de promoção dado que o oficial seja um homem. os valores da probabilidade condicional sustentam o argumento apresentado pelas oficiais. a probabilidade de haver uma promoção dado que o oficial seja um homem é 288/960 = 0.30 P( H ) 0.15 de promoção. a questão crucial no caso da discriminação envolve as duas probabilidades condicionais P(A | H) e P(A | M). em vez dos dados de freqüência da Tabela 4. Em outras palavras. Esse procedimento foi fácil de aplicar porque os valores apresentados na Tabela 4 mostram o número de oficiais de cada categoria. a probabilidade condicional P(A | H) pode ser calculada pela expressão: P( A | H ) = P( A ∩ H ) 0. dado que o oficial seja uma mulher. Note também que 0. Na notação de probabilidade condicional. 24 = = 0. 03 = = 0. P(A | H) nos diz que agora estamos interessados somente no status de promoção dos 960 oficiais do sexo masculino. P(A ∩ H) = 0. Já determinamos que P(A | H) = 0. dado que o oficial seja homem é de 0. Queremos demonstrar agora como se pode calcular diretamente probabilidades condicionais como P(A | H). 20 Que conclusão você tira? A probabilidade de haver uma promoção. 8 .80. Uma vez que 288 dos 960 oficiais do sexo masculino receberam promoções.30.15 P( M ) 0. que 0. P(H) = 0. Não obstante o uso da probabilidade condicional não provar por si mesmo que exista discriminação nesse caso.30. e qual é a probabilidade de promoção dado que o oficial seja uma mulher? Se essas duas probabilidades forem iguais. tentamos determinar P(A | H). Consulte a tabela de probabilidade associada (Tabela 5). Assim.Vamos iniciar agora a análise da probabilidade condicional calculando a probabilidade de um oficial ser promovido dado que o oficial seja um homem.24 é a probabilidade associada de A e H. duas vezes a probabilidade de 0. em especial. dado que um oficial seja um homem.80 Retomemos à questão da discriminação contra oficiais do sexo feminino.27 (independentemente de o oficial ser homem ou mulher). não há base para o argumento de discriminação porque as chances de promoção são as mesmas para oficiais do sexo masculino e do sexo feminino. ou seja. Entretanto. Vamos usar agora os valores de probabilidade da Tabela 5 e a relação básica da probabilidade condicional para calcular a probabilidade de um oficial ser promovido. ou seja. Desse modo. Observe. A probabilidade marginal apresentada na linha 1 da Tabela 5 nos mostra que a probabilidade de promoção de um oficial é P(A) = 0.30. P(A | M). a partir das probabilidades de eventos.80 é a probabilidade marginal de um oficial aleatoriamente selecionado ser um homem. No entanto. P( A | M ) = P ( A ∩ M ) 0. Ou seja. se uma peça for escolhida aleatoriamente.63 Sabemos agora que 63% das famílias assinam tanto a edição diária quanto a edição dominical. Qual é a probabilidade de uma família assinar tanto a edição diária como a edição de domingo do jornal? Usando a lei da multiplicação. as probabilidades iniciais seriam P(A1) = 0.35. Atualmente 65% das peças compradas pela empresa são do fornecedor 1 e os restantes 35% são do fornecedor 2. Sem contarmos com nenhuma outra informação. Os dados históricos sugerem que as avaliações da qualidade dos dois fornecedores são aquelas mostradas na Tabela 6.75) = 0. sabe-se que a probabilidade de uma família que já tem uma assinatura da edição diária também assinar a edição de domingo (evento S) é 0. sabendo-se que 84% das famílias de determinado bairro assinam a edição diária do jornal.75. calculamos a P(S ∩ D) desejada como: P(S ∩ D) = P(D)P(S | D) = 0.10) Para ilustrarmos o uso da lei da multiplicação. podemos racionalmente supor que A e B são eventos independentes.64 12) Como uma aplicação do teorema de BAYES.80) = 0. considere o departamento de circulação de um jornal. P(A ∩ B) = P(A) P(B) = (0. conforme a Figura 8. Se admitirmos que D denota o evento de uma família assinar a edição diária. ou seja.02 P(B | A2) = 0. por experiência. Desse modo.84.84 (0. da Tabela 6 retiramos os seguintes valores das probabilidades condicionais: P(B | A1) = 0. considere a situação de um gerente de posto de gasolina que sabe. Tabela 6: Níveis históricos da qualidade de dois fornecedores % de peças boas % de peças ruins Fornecedor 1 98 2 Fornecedor 2 95 5 Denotando por B o evento de a peça ser boa e por R o evento de a peça ser ruim. P(D) = 0. que 80% dos clientes usam cartões de crédito ao comprar gasolina.95 P(R | A2) = 0. Seja A1 o evento de uma peça ser proveniente do fornecedor 1 e A2 o evento da peça vir do fornecedor 2. considere uma firma de manufatura que recebe remessas de peças e dois diferentes fornecedores.65 e P(A2) = 0. Portanto. 11) Como uma aplicação da lei da multiplicação para eventos independentes. 9 . cada um. P(S | D) = 0.75.98 P(R | A1) = 0.05 O processo de cálculo das probabilidades associadas pode ser esquematizado por um diagrama em árvore de probabilidades. Qual é a probabilidade de os dois próximos clientes que compram gasolina usarem. um cartão de crédito? Se admitirmos que A = o evento de o primeiro cliente usar um cartão de crédito B = o evento de o segundo cliente usar um cartão de crédito então o evento que nos interessa é A ∩ B. Além disso.80)(0. 10 . 3) é a probabilidade de o componente funcionar.65 de uma peça escolhida aleatoriamente ser do fornecedor 1. 2. a probabilidade de que ela seja do fornecedor 1 cai para 0. se a peça for ruim. De fato. Os exercícios 13. ou seja: 0. 4262 e P( A2 | R) = 0. podemos escrever: P ( A1 | R ) = P ( A1 ) P ( R | A1 ) P ( A1 ) P ( R | A1 ) + P ( A2 ) P ( R | A2 ) P ( A2 ) P ( R | A2 ) P ( A1 ) P ( R | A1 ) + P ( A2 ) P ( R | A2 ) P ( A2 | R ) = Utilizando as equações acima encontramos as probabilidades procuradas: P( A1 | R) = 0.Figura 8: Árvore de probabilidades – dois fornecedores Supor agora que as peças recebidas dos dois fornecedores são usadas no processo manufatureiro da firma e que uma máquina se quebre ao tentar processar uma peça ruim. Dada a informação de que a peça é ruim. dada a informação de que a peça é ruim. A Teoria da Confiabilidade estuda sistemas e seus componentes. P(E) é a probabilidade do sistema funcionar e pi (i = 1. por exemplo. qual é a probabilidade de ela ter vindo do fornecedor 1 e qual é a probabilidade de ela ter vindo do fornecedor 2? Denotando por R o evento de a peça ser ruim. como.4262. 14 e 15 têm a ver com a Teoria da Confiabilidade. O objetivo da teoria é estudar as relações entre o funcionamento dos componentes e do sistema que ocorre de forma independente.5738. ela tem uma chance maior de ter vindo do fornecedor 2. queremos determinar a probabilidade P(A1 | R) e P(A2 | R). Observe que inicialmente tínhamos a probabilidade de 0.5738 . Da expressão geral do Teorema de BAYES. sistemas mecânicos ou eletrônicos (um automóvel ou um computador) e sistemas biológicos (como o corpo humano). i = 1. ligados em série.Ligação em série Denotando por E = o sistema funciona Ai = o componete i funciona. Assim tem-se: P(E) = P(A1 ∩ A2) = P(A1)P(A2) = p1p2 → P(E) – define a confiabilidade do sistema. 15) A Figura 15.1. i = 1.1 ilustra um sistema com três componentes. 2 Então a probabilidade de o sistema funcionar é determinada pela seguinte relação probabilística: P(E) = P(A1 ∪ A2) = P(A1) + P(A2) – P(A1 ∩ A2) Assim tem-se que P(E) = p1 + p2 – p1p2.1: Ligação mista A solução do problema requer o desenvolvimento de duas etapas: na primeira etapa. 2. Determinar a confiabilidade do sistema. Figura 13. ligados em paralelo.1: Ligação em paralelo Denotando por E = o sistema funciona Ai = o componete i funciona. considerar apenas o circuito formado pelos componentes 2 e 3. A probabilidade de o sistema funcionar - 14) A Figura 14. 3 11 . p2 e p3.1 ilustra um sistema composto de dois componentes. i = 1. numa segunda etapa considerar um circuito em série envolvendo o resultado da etapa anterior com o componente 1. ligados conforme o esquema da figura.1 ilustra um sistema composto de dois componentes.13) A Figura 13. Denotando por E = o sistema funciona Ai = o componete i funciona. o sistema também não funciona. Se os componentes estiverem ligados em paralelo. então o sistema funciona se pelo menos um dos dois componentes funciona. Se um dos componentes não funciona. Neste tipo de esquema o sistema funciona se os componentes 1 e 2 funcionam simultaneamente. Determine a confiabilidade do sistema. Figura 14. Figura 15. funcionando independentemente com confiabilidades p1. 2 Então a probabilidade de o sistema funcionar é determinada pela seguinte relação probabilística: P(E) = P(A1 ∩ A2) uma vez que os eventos “funcionamento do sistema” e “funcionamento dos componentes” são independentes. que mede a confiabilidade do sistema. ligados.... agora...... (C) TOTAIS 70 15 10 20 115 Mulheres (F) 40 15 20 10 85 TOTAIS 110 30 30 30 200 Escolhendo-se ao acaso um aluno do Instituto... P(M ∪ K) = 110/200 + 90/200 = 1 = P(S) 17) A probabilidade de que o aluno A resolva um problema é 2/3 e a probabilidade de que um aluno B resolva é 3/4...... determinar: a) P(E) = 30/200 b) P(H) = 115/200 c) P(A) = 30/200 d) P(A ∩ H) = 15/200 e) P(A ∪ H) = P(A) + P(H) – P(A ∩ H) = 30/200 + 115/200 – 15/200 = 130/200 f) P(C) = 30/200 g) P(M) = 110/200 h) P(A ∪ C) = P(A) + P(C) = 60/200.. então M ∩ K = φ (vazio) e P(M ∩ K) = 0. Se ambos tentarem independentemente resolver o problema... num dado ano..... agora em série: P(E2) = P(A1 ∩ E1) P(E2) = P(A1)P(A2) = p1.... SEXO Homens (H) CURSO Matemática pura .. O evento K = A ∪ E ∪ C tem probabilidade de: P(K) = P(A) + P(E) + P(C) = 30/200 + 30/200 + 30/200 = 90/200. 12 .... Aplicada.. não interessando saber se é homem ou mulher..... (A) Estatística ...... Então a probabilidade deste sistema funcionar é determinada pela seguinte relação probabilística: P(E1) = P(A2 ∪ A3) = P(A2) + P(A3) – P(A2 ∩ A3) P(E1) = p2 + p3 – p2p3 Etapa 2: circuito envolvendo os componentes 1 e o resultante da etapa 1...(p2 + p3 –p2p3) P(E2) = p1p2 + p1p3 – p1p2p3 A confiabilidade do sistema proposto é dada pela P(E) = P(E2) = p1p2 +p1p3 –p1p2p3 16) O quadro a seguir representa uma possível divisão dos alunos matriculados em dado Instituto de Matemática..... qual a probabilidade de o problema ser resolvido.. Suponha........ Estatística ou computação...... (M) Matemática aplicada ........... Qual a probabilidade disto acontecer? Fazendo M ∪ K = S (espaço amostral)... (E) Computação ... ligados em paralelo..... pois os eventos A e C são mutuamente exclusivos (ver no quadro que não há interseção entre ambos os eventos).. que estejamos somente interessados em saber se um estudante escolhido ao acaso está matriculado como aluno de Matemática Pura...Etapa 1: circuito envolvendo os componentes 2 e 3. 0.20 P(M | D1) = 1 Então: a) a probabilidade de o cliente se tornar inadimplente.85 = 0.∩ MRh-) = 0. A B AB O + Rh 0.0025 19) Como aplicação do Teorema de BAYES suponha que um banco local fez uma revisão de sua política de cartões de crédito com a intenção de cancelar alguns contratos de cartões.sendo do grupo sanguíneo do tipo O? P(Rh.01 0. a) Dado que o cliente tenha deixado de efetuar um ou mais pagamentos mensais. Portanto.09 0.| O) = P(Rh.15 = 0.09 / 0.44 = 0.95 D1 = cliente inadimplente P(D1) = 0. ambos os cônjuges serem Rh-? Denotar: H=Homem.15 .20. a probabilidade de os inadimplentes deixarem de efetuar um pagamento mensal é 1.∩ O) / P(O) = 0. 3/4) = 11/12 18) A tabela a seguir apresenta a distribuição dos tipos de sangue da população em geral.24 = 0.106 e) Qual a probabilidade de.Denotando por: A = aluno A resolve a questão B = aluno B resolve a questão R = problema é resolvido P(A ∩ B) = P(A).0225 f) Qual a probabilidade de. dado que deixou de efetuar um pagamento é P ( D1 ).21 P ( D1 | M ) = P( D1 ). 0.15 c) Qual a probabilidade de uma pessoa ser Rh.136 d) Qual a probabilidade de uma pessoa ser do tipo sanguíneo B sendo Rh+? P(B | Rh+) = 0. aproximadamente 5% dos detentores de cartão de crédito se tornaram inadimplentes. uma vez que a probabilidade de um cliente tornar-se inadimplente ao deixar de efetuar um 13 . a gerência estabeleceu uma probabilidade a priori de 0.02 0.05 = 0.05 P(M | D2) = 0. O banco também descobriu que a probabilidade de os clientes que não são inadimplentes deixarem de efetuar um pagamento mensal é 0.P ( M | D1 ) = 0. deixando o banco incapaz de cobrar o saldo devedor. em um casal. calcule a probabilidade a posteriori de que o cliente se torne inadimplente.04 0. No passado.05 . ambos os cônjuges terem o tipo sanguíneo AB? P(HAB ∩ MAB) = 0.06 0.20.34 0. P(R) = P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) = 2/3 + 3/4 – (2/3 .P ( M | D2 ) b) Sim. O banco deveria cancelar o cartão se o cliente deixar de efetuar um pagamento mensal? Por quê? Denotando por: M = pagamento não efetuado D2 = cliente não inadimplente P(D2) = 0. M=Mulher Eventos independentes. em um casal.05 de que qualquer portador de cartão de crédito em particular se tornará inadimplente.05 /0. P(HRh.P(B) → pois A e B são eventos independentes Assim.44 b) Qual a probabilidade de uma pessoa ser Rh-? P(Rh-) = 0.06 / 0. b) O banco gostaria de cancelar o cartão de crédito se a probabilidade de um cliente tornar-se inadimplente for maior que 0.06 a) Qual a probabilidade de uma pessoa ter sangue do tipo O? P(O) = 0.38 Rh 0.P ( M | D1 ) + P ( D2 ). Naturalmente. de ofertas feitas. NSN. o estágio é oferecido. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS – DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE 20) Uma série de experimentos e as variáveis aleatórias correspondentes são listados abaixo. o estágio não é oferecido. 3. 1.. Discreta um posto de pedágio durante ao posto de pedágio uma hora Fazer a auditoria de 50 Número de declarações que X = 0. Experimento Variável aleatória – x Valores Tipo Fazer um exame c/20 questões Número de questões X = 0. 14 . Em cada caso. N = não.pagamento é de 0. a) Ω = {SSS. x é uma variável aleatória discreta c) Valores da variável aleatória: Resultado SSS SSN SNS SNN NSS Valor de 3 2 2 1 2 x NSN 1 NNS 1 NNN 0 22) Contou-se o número de salas de cirurgias em uso em um Hospital. SSN.21 (21%). 1. b) Desenhe um gráfico da distribuição de probabilidade. 50 Discreta declarações de imposto contém erros Contínua Observar o trabalho de um Número de horas não produtivas 0 ≤ x ≤ 8 empregado em um dia de trabalho de oito horas Pesar um carregamento de Número de quilogramas Contínua X≥0 produtos 21) Três estudantes têm entrevistas programadas com o objetivo de obter estágio de verão.. NSS. identifique os valores que a variável aleatória pode assumir e estabeleça se a variável é do tipo discreta ou do tipo contínua. . . SNS. que é maior que o limite estabelecido pela política do banco. . 1. Os resultados experimentais são definidos em termos dos resultados das três entrevistas.. 2. c) Mostre que a distribuição de probabilidade encontrada satisfaz as condições necessárias a uma distribuição de probabilidade discreta válida. durante 20 dias: em 3 dos dias somente uma sala de cirurgia foi utilizada. a entrevista resultará na oferta de uma vaga ou em uma recusa.. SNN. a) Use a abordagem da freqüência relativa para construir a distribuição de probabilidade correspondente ao número de salas de cirurgia em uso em qualquer dia do período. Sugestão: S = sim. NNN} b) Seja x = no. em 5 dos dias duas salas foram utilizadas. NNS. 3. A variável é discreta ou contínua? c) Mostre o valor da variável aleatória correspondente a cada um dos resultados experimentais. Em cada caso.. em 8 dos dias três foram usadas e em 4 dias todas as quatro salas de cirurgia do hospital foram usadas.. a) Liste os resultados experimentais? b) Defina uma variável aleatória que represente o número de ofertas feitas. 2. 20 Discreta respondidas corretamente Observar carros que chegam a Número de carros que chegam X = 0.. 2.. x pode assumir os valores 0.20 1 0. Verifique as propriedades de um experimento binomial para esta situação. 7. 5.40 4/20 = 0.15 4 0. com p = 0. 2. p/x = 1. Observamos que: a) O experimento consiste em dez ensaios idênticos (n = 10). cada ensaio envolve contatar uma família. o que se verifica. 4. de vendas obtidas ao contatar as 10 famílias. 3. 1. o vendedor sabe que a probabilidade de uma família selecionada aleatoriamente comprar uma apólice de seguro é igual a 0.10.10 a) A distribuição de probabilidade é válida? Sim. e como um fracasso se a família não comprar.075 E o desvio padrão? σ = 1.43 DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE BINOMIAL 24) Um vendedor de seguros visita dez famílias selecionadas aleatoriamente.a) distribuição de probabilidade x (no.20 1. 2. 15 . Nesse caso. esse exemplo é um experimento binomial. De chamadas de Probabilidade serviço serviço 0 0.25 8/20 = 0.10 e (1 – p) = 0. 3. O resultado associado a cada visita é classificado como um sucesso se a família comprar uma apólice de seguro. 6.00 b) Gráfico da distribuição de probabilidade c) As condições necessárias para um função probabilidade discreta válida são: f(x) ≥ 0 .45 c) Qual é a variância no número de chamadas de serviço? Var(x) = σ2 = 2. Por experiência. 9 e 10.15 2 0. 23) Um serviço voluntário de ambulâncias atende 0 a 5 chamadas de serviço em determinado dia. De chamadas de Probabilidade No.90. A distribuição de probabilidade correspondente ao número de chamadas de serviço é apresentada a seguir: No.15 5/20 = 0. c) Considera-se que a probabilidades de uma compra e de uma não-compra são as mesmas para cada ensaio (contato de venda). Como as 4 propriedades são satisfeitas. 4 Σf(x) = 1. de salas) 1 2 3 4 Total f(x) 3/20 = 0. a variável de interesse x = no. b) Qual é o número esperado de chamadas de serviço? E(x) = µ = 2.30 5 0.10 3 0. d) Os n = 10 ensaios são independentes porque as famílias são selecionadas aleatoriamente. b) Dois resultados são possíveis em cada ensaio: a família compra uma apólice de seguro (sucesso) ou a família não compra uma apólice (fracasso). 8. . p = 0.40.30. A primeira providência foi contratar um gerente de vendas experiente. a probabilidade de exatamente dois clientes efetuarem uma compra é de 0.0003+0+0 = P(x≥3) = 0.(0. Com base na sua experiência. x = 3.60 não existem valores tabelados.25) Uma loja de roupas recém inaugurada quer estudar as decisões de compras de clientes que chegam à loja. f(x=1). f(x=1) = 0. Observe que. se utilizarmos a Tabela da Distribuição Binomial com os argumentos: n=3.(0. faça os seguintes cálculos: a) calcule a probabilidade de três dos viajantes portarem um telefone celular ou um laptop.343.441.30. (1 – p) = 0. Vemos que para (1 – p) = 0. a probabilidade procurada é P(x=12) = 0.+P(x=15) = = 0. Seja: n = 3 (número de ensaios). Uma questão de confiabilidade é se um sistema de detecção é capaz de 16 . P(x ≥ 3) = p(x=3)+P(x=4)+P(x=5)+..0612+0.0634.1268+0.70)1 = 0. calcula-se a probabilidade solicitada: f(x=2) = . f(x=2) e f(x=3) deve ser igual a 1. a probabilidade de x = 12 pessoas não portarem celular ou laptop é a mesma que a probabilidade de x = 3 pessoas portarem celular ou laptop. 26) Quarenta por cento das pessoas que viajam a negócios portam um telefone celular ou laptop. f(x=3) = 0.1771+0. P(x=3) = 0. (x ≥ 3). p = 0.1181+0. A somatória das probabilidades f(x=0). x=2 e p=0.0634 b) n = 15. x = 2 (sucessos – 2 clientes entre os três efetuarem uma compra) O número de resultados experimentais que resultam em exatamente x = 2 sucessos pode ser calculado pela fórmula das combinações: C= = = ! ! ! =3 Utilizando o digrama em árvore fica fácil de ver os três resultados de interesse.9729 27) Os sistemas militares de radar e de mísseis são concebidos para um país precaver-se de ataques inimigos. b) calcule a probabilidade de 12 viajantes não portarem telefone celular ou laptop. assim. c) calcule a probabilidade de pelo menos 3 dos viajantes portarem um telefone celular ou laptop. Logo. (1 – p) = 0. Tente fazer! Aplicando a função probabilidade binomial. Em relação a uma amostra de 15 pessoas que viajam a negócios. o gerente da loja estima que a probabilidade de qualquer dos clientes comprar é de 0.0634+0. Então lançamos mão da seguinte informação: “a probabilidade de n – x fracassos é igual a probabilidade de x sucessos”. x = 12.1859+0. c) n = 15.189 Assim.2066+0.30.0074+0.30)2.189.027.70.0016+0.0245+0. Fazendo o uso da tabela de distribuição binomial: a) n = 15. Outras probabilidades: f(x=0) = 0. encontra-se o mesmo resultado.60. Qual a probabilidade de dois dos próximos três clientes realizarem uma compra? Fica a cargo do leitor a comprovação das quatro propriedades do experimento binomial. x=1 P(x=1) = 0.99 c) n=3.identificar um ataque e disparar um alarme. É só observar os valores das probabilidades de sucesso.90 a) n=1. Dados: p = 0. x≥1 P(x≥1) = P(x=1)+P(x=2) = 0. Use a distribuição de probabilidade binomial para responder as seguintes questões: a) Qual a probabilidade de um único sistema de detecção detectar um ataque? b) Se dois sistemas de detecção estão instalados na mesma área e operam independentemente.243 + 0. Considere que determinado sistema de detecção tenha uma probabilidade de 0. qual é a probabilidade de que pelo menos um dos sistemas detecte o ataque? d) Você recomendaria o uso de múltiplos sistemas de detecção? Explique.90 b) n=2.90 de detectar um ataque de mísseis.81 = 0.027 + 0. 17 .729 = 0. qual é a probabilidade de pelo menos um dos sistemas detectar o ataque? c) Se três sistemas estão instalados.18 + 0. x≥1 P(x≥1) = P(x=1)+P(x=2)+P(x=3) = 0.999 d) sim.